Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 23846 982925 975549 2026-05-19T06:27:38Z Marvoir 1746 /* Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels */ coquille 982925 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 20 | précédent = [[../Groupes nilpotents/]] | suivant = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | page_liée = Exercices/Groupes commutatifs finis, 1 }} Dans tout ce chapitre, les groupes commutatifs seront notés additivement. L'élément neutre sera donc noté 0; le symétrique d'un élément ''x'' sera noté - x et appelé l'opposé de ''x''; enfin, ''n'' étant un entier rationnel, on écrira ''nx'' au lieu de xⁿ. == Ordre d'un composé d'éléments et ordre d'un composé de sous-groupes dans un groupe commutatif fini == {{Lemme |contenu= Soient G un groupe et x₁, ..., x_n des éléments d'ordres finis de G qui commutent entre eux. L'ordre du composé x₁ ... x_n divise le ppcm des ordres de x₁, ..., x_n (et donc aussi le produit de ces ordres). }} Démonstration. Vu l'associativité du ppcm, il suffit de le démontrer dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur ''n''. Pour le cas n = 2, voir un problème de la série [[../Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]]. Soit G un groupe. Le sous-groupe de G engendré par une famille de sous-groupes de G est parfois appelé le composé de ces sous-groupes. Nous adopterons cette expression, qui rend les expressions un peu moins lourdes. {{Lemme |contenu= Soient G un groupe commutatif fini et H₁, ..., H_n des sous-groupes de G. Le composé de H₁, ..., H_n est l’ensemble H₁ .H₂ ... H_n. }} Démonstration. Comme tout sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué, c’est un cas particulier d'un théorème démontré pour les sous-groupes distingués. On peut évidemment le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. (Laissé au lecteur.) {{Lemme |contenu= Soient G un groupe commutatif fini et H₁, ..., H_n des sous-groupes de G. L'ordre du composé de H₁, ..., H_n divise le produit des ordres de H₁, ..., H_n. }} Démonstration. Ici encore, c’est un cas particulier d'un théorème relatif aux sous-groupes distingués, mais nous allons le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. Il suffit de démontrer l'énoncé dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur ''n''. Soient donc H₁ et H₂ deux sous-groupes de G; il s'agit de prouver que l’ordre du composé de H₁ et H₂ divise <math>\vert H_{1} \vert \cdot \vert H_{2} \vert</math>. D'après le précédent lemme, le composé de H₁ et H₂ est l’ensemble H₁ H₂ et d’après la formule du produit (démontrée au chapitre [[../Produit de groupes|Produit de groupes]]), le cardinal de cet ensemble divise <math>\vert H_{1} \vert \cdot \vert H_{2} \vert</math>. == Théorème de Cauchy == Pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, on va démontrer le théorème de Cauchy pour les groupes commutatifs par une méthode qui ne fait intervenir ni les théorèmes de Sylow ni les opérations d'un groupe sur un ensemble. {{Théorème | titre=Théorème de Cauchy pour les groupes commutatifs. |contenu= Soient G un groupe commutatif fini et ''p'' un [[nombre premier]] divisant l’ordre de G. Il existe au moins un élément de G qui est d'ordre ''p''. }} Démonstration. Soient x₁, ..., x_n les éléments de G. Pour chaque ''i'', désignons par <x_i> le sous-groupe de G engendré par x_i. Il est clair que G est égal à l’ensemble <x₁> ... <x_n>. D'après le lemme précédent, il en résulte que l’ordre de G divise <math>\ \vert <x_{1}> \vert \ldots \vert <x_{n}> \vert </math>. Puisque ''p'' divise l’ordre de G, ''p'' divise donc l’ordre d'au moins un <x_i>, ce qui revient à dire que ''p'' divise l’ordre d'un élément ''x'' de G. Soit ''rp'' l’ordre de ''x'', avec ''r'' naturel. Alors rx est d'ordre ''p'', ce qui prouve l'énoncé. == Composantes primaires d'un groupe commutatif fini == Soient G un groupe commutatif fini et ''p'' un nombre premier. Il résulte du théorème de Cauchy que les deux conditions suivantes sont équivalentes :<br /> 1° l’ordre de G est une puissance de ''p'';<br /> 2° tout élément de G a pour ordre une puissance de ''p''. {{Définition | contenu = Soit ''p'' un nombre premier. Un groupe commutatif fini dont l’ordre est une puissance de ''p'', ou, ce qui revient au même, un groupe commutatif fini dont tout élément a pour ordre une puissance de ''p'', est appelé un groupe p-primaire. Nous dirons qu'un groupe G est primaire s'il existe un nombre premier ''p'' tel que G soit p-primaire. }} Remarque. Il est clair qu'un groupe fini est p-primaire si et seulement si c’est un p-groupe commutatif. Quand on traite de groupes commutatifs, on préfère parler de groupes p-primaires plutôt que de p-groupes. Soient G un groupe commutatif fini et ''p'' un nombre premier. Puisque G est commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués. Il en résulte que G admet un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P. Puisque tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G, il est clair que P est l’ensemble des éléments de G dont l’ordre est une puissance de ''p''. Donc, si G est un groupe commutatif fini et ''p'' un nombre premier, l’ensemble des éléments de G dont l’ordre est puissance de ''p'' est un sous-groupe de G. On rendra cependant le présent chapitre indépendant de la théorie des sous-groupes de Sylow, car on peut le faire à très peu de frais et les théorèmes sur la structure des groupes commutatifs finis (ainsi que certaines de leurs généralisations immédiates) sont utilisés dans des domaines où la notion de sous-groupe de Sylow n'intervient pas. {{Théorème |contenu= Soient G un groupe commutatif (non forcément fini) et ''p'' un nombre premier. Les éléments de G dont l’ordre est une puissance de ''p'' forment un sous-groupe de G. }} Démonstration (indépendante de la théorie des sous-groupes de Sylow) : voir exercices. Si G est un groupe commutatif fini et ''p'' un nombre premier, le sous-groupe de G formé par les éléments ayant pour ordre une puissance de ''p'' est évidemment p-primaire. {{Définition | contenu = Soient G un groupe commutatif fini et ''p'' un nombre premier. Le sous-groupe de G formé par les éléments dont l’ordre est une puissance de ''p'' est appelé la composante p-primaire de G. Nous dirons qu'un sous-groupe H de G est une composante primaire de G s'il existe un nombre premier ''p'' divisant l’ordre de G tel que H soit la composante p-primaire de G. }} Le théorème qui suit explique cette dénomination. {{Théorème |contenu= Tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires. }} Démonstration. C'est un cas particulier d'un théorème que nous avons démontré pour les groupes nilpotents finis, mais, pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, nous allons donner une démonstration indépendante de la théorie des groupes nilpotents. Soit G un groupe commutatif fini, soit ''n'' son ordre, soient p₁, ..., p_r les différents facteurs premiers de ''n''. Pour chaque ''i'' ( 1 ≤ i ≤ n ), désignons par :<math>G_{p_{i}}</math> la composante p_i-primaire de G.<br /> Il s'agit de prouver que G est la somme directe :<math> G_{p_{1}} \oplus \ldots \oplus G_{p_{r}}.</math> C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Nous supposerons donc qu’il ne l'est pas, d'où r ≥ 1.<br /> Commençons par prouver que tout élément ''x'' de G peut s'écrire :<math>(1)\qquad x = x_{1} + \ldots + x_{r},</math> avec :<math> x_{i} \in G_{p_{i}}</math> pour tout ''i''.<br /> Soit :<math>n = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers.<br /> Pour chaque ''i'', posons :<math> n_{i} = n/p_{i}^{e_{i}}.</math> Les n_i sont premiers entre eux dans leur ensemble. En effet, puisque nous supposons r ≥ 1, un facteur premier commun à tous les n_i diviserait au moins un n_i, donc diviserait ''n'', donc serait égal à un p_j. Mais p_j ne divise pas n_j, donc les n_i sont premiers entre eux dans leur ensemble comme annoncé. D'après le théorème de Bézout, il existe donc des entiers rationnels c₁, ... , c_r tels que :<math>c_{1}n_{1} + \ldots + c_{r}n_{r} = 1</math> d'où :<math>(2)\qquad c_{1}n_{1}x + \ldots + c_{r}n_{r}x = x.</math> Pour chaque ''i'', c_i n_i x appartient à <math> G_{p_{i}}</math>, car :<math>p_{i}^{ e^{i}} (c_{i} n_{i} x) = c_{i} n x= 0.</math> La relation (2) prouve donc notre thèse (1).<br /> Prouvons maintenant que la décomposition (1) de ''x'' en somme d'éléments des composantes primaires de G est unique. Il revient au même de prouver que si :<math>(3)\qquad x_{1} + \ldots + x_{r} = 0</math> avec :<math> x_{i} \in G_{p_{i}}</math> pour tout ''i'', alors :<math>(4) \qquad x_{1} = ... = x_{r} = 0.</math> Pour tout indice ''j'', la relation (3) peut s'écrire :<math> x_{j} = \sum _{i \not= j} (- x_{i})</math>. Chaque terme - x_i du second membre a pour ordre une puissance de p_i et est donc d'ordre premier avec p_j. D'après un précédent lemme, il en résulte que l’ordre du second membre, et donc aussi l’ordre du premier membre, est premier avec p_j. Puisque le premier membre est égal à x_j et a donc pour ordre une puissance de p_j, l’ordre de x_j est à la fois puissance de p_j et premier avec p_j, donc est égal à 1, donc x_j = 0. Ceci étant démontré pour tout indice ''j'', notre thèse (4) est démontrée. {{Corollaire | titre=Corollaire 1 |contenu= Soient G un groupe commutatif fini et ''p'' un nombre premier. L'ordre de la composante p-primaire de G est la plus grande puissance de ''p'' qui divise l’ordre de G. }} Démonstration. C'est banal si ''p'' ne divise pas l’ordre de G, donc nous supposerons qu’il le divise. Soient ''n'' l’ordre de G, soient p₁, ... , p_s les différents facteurs premiers de ''n'' et, pour chaque ''i'', soit <math>p_{i}^{e_{i}}</math> la plus grande puissance de p_i qui divise ''n''. Donc :<math>(1) \qquad n = \prod_{i} p_{i}^{e_{i}}</math>. D'autre part, l’ordre de la composante p_i-primaire de G est de la forme <math>p_{i}^{f_{i}}</math>, d'où, d’après le théorème précédent, :<math>(2) \qquad n = \prod_{i} p_{i}^{f_{i}}</math>. La comparaison de (1) et (2) montre que f_i = e_i pour tout ''i''. Comme ''p'' est un des p_i, ceci démontre l'énoncé. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soit G un groupe commutatif fini d'ordre ab, où ''a'' et ''b'' sont des nombres naturels premiers entre eux; G est somme directe d'un sous-groupe d'ordre ''a'' et d'un sous-groupe d'ordre ''b''. }} Démonstration. Soit <math>\ a = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}} </math> la décomposition de ''a'' en facteurs premiers, soit <math>\ b = q_{1}^{f_{1}} \ldots q_{s}^{f_{s}} </math> celle de ''b''. Puisque ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux, la décomposition de ab en facteurs premiers est <math>\ ab = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}} q_{1}^{f_{1}} \ldots q_{s}^{f_{s}}</math>. Donc G est somme directe <math>H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{r} \oplus K_{1} \oplus \ldots \oplus K_{s} </math>, où, pour chaque ''i'', H_i est d'ordre <math>\ p_{i}^{e_{i}} </math> et où, pour chaque ''j'', K_j est d'ordre <math>\ q_{j}^{f_{j}} </math>. Posons <math>\ A = H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{r} </math> et <math>\ B = K_{1} \oplus \ldots \oplus K_{s} </math>. Alors A est d'ordre ''a'', B est d'ordre ''b'' et G est somme directe de A et de B, ce qui prouve l'énoncé.<br /> Remarque. Sous les hypothèses du corollaire 2, G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''a'', qui est l’ensemble des ''x'' tels que ax = 0. Voir les exercices. == Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels == Dans cette section, on va utiliser, en les supposant connues du lecteur, les notions les plus classiques sur les espaces vectoriels (bases, dimension). Ces notions et propriétés interviendront encore dans la suite du chapitre. {{Définition | contenu = Soient G un groupe et ''n'' un nombre naturel. Si pour tout élément ''x'' de G, ''xⁿ'' = 1, on dit que G '''est d'exposant''' ''n''. }} S'il existe un nombre naturel non nul ''n'' tel que le groupe G soit d'exposant ''n'' (ce qui est forcément le cas si G est fini, car alors l'ordre de G convient comme nombre ''n''), il existe un plus petit nombre naturel non nul, soit ''n''₀, possédant cette propriété. On montre facilement que ''n''₀ divise tout nombre naturel ''n'' tel que G soit d'exposant ''n''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Exposant d'un groupe}} Soient G un groupe fini. Le plus petit nombre naturel ''n'' tel que ''xⁿ'' = 1 pour tout élément ''x'' de G (autrement dit tel que G soit d'exposant ''n'') est appelé l'exposant minimal de G, ou encore '''l'exposant de''' G. }} Soit G un groupe. S'il n'existe pas de nombre naturel non nul ''n'' tel que le groupe G soit d'exposant ''n'' (ce qui entraîne que G est infini), on définit ''l'exposant de G'' comme égal à ∞ (l'infini). (Cela n'importe guère dans le présent chapitre, où tous les groupes considérés sont finis.) Remarque. Certains auteurs<ref>Par exemple W.R. Scott Ross, ''Group Theory'', réimpr. Dover, 1987, p. 92. L'expression « l'exposant minimal » est conforme à J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 26 et 202.</ref> usent d'une autre terminologie. Pour eux, dire que G est d'exposant ''n'' revient à dire que ''n'' est l'exposant de G. {{Théorème | contenu = Soit G un groupe commutatif (noté additivement) d'exposant ''p'' premier. G est somme directe d'une famille de sous-groupes d'ordre ''p''. }} Démonstration. Par hypothèse, nous avons p x = 0 pour tout élément ''x'' de G. Si ''r'' et ''s'' sont deux entiers rationnels congrus entre eux modulo ''p'', il est clair que r x = s x. On en tire facilement qu’il existe une (et une seule) application de '''Z'''/p'''Z''' × G dans G qui, pour tout entier rationnel ''r'' et tout élément ''x'' de G, applique (r + p'''Z''', x) sur r x. Comme on le vérifie, on munit ainsi G d'une structure d'espace vectoriel sur le corps '''F'''_p = '''Z'''/p'''Z''', pour laquelle l'addition des vecteurs est la loi de groupe de G. (Pour la structure de corps de '''Z'''/p'''Z''', voir le chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]].) Cette structure est unique car si * est la loi externe d'une telle structure d'espace vectoriel et si, de façon générale, [n] désigne la classe résiduelle de ''n'' modulo ''p'', on doit avoir [1] * x = x pour tout ''x'' dans G, d'où, par récurrence sur ''n'', : [n] * x = n x pour tout ''x'' dans G. Comme tout espace vectoriel, l'espace vectoriel G ainsi défini admet une base, ce qui entraîne que le groupe additif de cet espace vectoriel, autrement dit le groupe additif G, est somme directe d'une famille de groupes isomorphes au groupe additif du corps F_p, autrement dit au groupe <math>\Z/p\Z</math>, ce qui achève la démonstration. Remarques. 1° De façon générale, soit <math>G</math> un groupe, soit <math>x</math> un élément de <math>G</math>; notons <math>f_{x}</math> l'homomorphisme <math>n \mapsto nx</math> de <math>\mathbb{Z}</math> dans <math>G .</math> Si <math>G</math> satisfait aux hypothèses du théorème qui précède, le sous-groupe <math>p \mathbb{Z}</math> de <math>\mathbb{Z}</math> est contenu dans le noyau de <math>f_{x}</math>, donc, d'après un énoncé que nous avons appelé « variante du premier théorème d'isomorphisme » (chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient/]]), il existe un et un seul homomorphisme <math>h_{x}</math> du groupe <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math> dans <math>G</math> tel que, pour tout <math>n</math> dans <math>\mathbb{Z}</math>, <math>h_{x} (n + p \mathbb{Z}) = f_{x}(n) = n x .</math> Alors la loi externe <math>\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times G \to G : (u, x) \mapsto h_{x}(u)</math> et l'addition dans <math>G</math> font de <math>G</math> un espace vectoriel sur le corps <math>\mathbb{F}_{p} = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}</math>. C'est une rédaction un peu plus « professionnelle » du début de la démonstration du théorème qui précède. 2° Le fait qu'un groupe abélien d'exposant premier ''p'' soit un espace vectoriel sur le corps à ''p'' éléments peut se mettre en rapport avec un fait plus général concernant les modules. On a vu au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]] qu'un groupe abélien G est (d'une et une seule manière) un ℤ-module. De façon générale, si A est un anneau et M un A-module à gauche, l'ensemble des éléments ''a'' de A tels que ax = 0 pour tout élément ''x'' de M est un idéal bilatère de A, appelé l'annulateur de M. Pour tout idéal bilatère J de A contenu dans l'annulateur de M, M se munit de façon évidente d'une structure de (A/J)-module<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre, I'', Chapitres 1 à 3, Paris, Hermann, 1970, p. II.28, passage en petits caractères.</ref>. Si on prend pour A l'anneau ℤ et pour M le ℤ-module G, le fait que G soit d'exposant ''p'' revient à dire que l'idéal pℤ de ℤ est contenu dans l'annulateur du ℤ-module G, donc G se munit d'une structure de (ℤ/pℤ)-module, autrement dit d'une structure de <math>\mathbb{F}_{p}</math>-espace vectoriel. 3° On peut ajouter que dans l'espace vectoriel G, comme dans tout espace vectoriel, toute famille libre peut être complétée en une base et deux bases ont toujours le même cardinal. On vérifie facilement que les sous-groupes de G sont exactement ses sous-'''F'''_p-espaces vectoriels. Rappelons qu'au chapitre [[../Groupes linéaires|Groupes linéaires]], on a défini, pour un nombre premier ''p'', un p-groupe abélien élémentaire comme un produit direct (interne) d'une famille finie de groupes d'ordre ''p''. Autrement dit, un p-groupe abélien élémentaire est un groupe isomorphe au produit direct (externe) d'une famille finie de groupes isomorphes au groupe <math>Z/pZ</math>. == Décomposition d'un groupe commutatif fini en somme directe de groupes cycliques == Voir aussi « [[Module sur un anneau/Module sur un anneau principal]] » (appliqué à l'anneau <math>\Z</math>), qui offre même une décomposition de tout groupe abélien ''de type fini''. Nous allons démontrer le [[w:Théorème de Kronecker|théorème de Kronecker]], selon lequel tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques. Puisque nous avons démontré que tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires, il suffira de prouver que si ''p'' est un nombre premier, tout groupe (commutatif) p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques. {{Définition | contenu = Soit G un groupe commutatif. Convenons de dire qu' une famille (x₁, ..., x_r) d'éléments de G est indépendante si les x_i sont tous non nuls et si, pour tous entiers rationnels a₁, ..., a_r, la relation a₁ x₁ +...+ a_r x_r=0 entraîne a₁ x₁ = ... = a_r x_r = 0.<br /> Il revient au même de dire que les x_i sont tous non nuls et que le sous-groupe de G engendré par les x_i est somme directe de la famille (<x_i>). }} Remarque. À l'intention du lecteur qui connaît la notion de module sur un anneau, notons que la condition a_i x_i = 0 n'entraîne pas forcément a_i = 0, de sorte que l'indépendance qu'on vient de définir n’est pas équivalente à l'indépendance linéaire dans le '''Z'''-module G. {{Lemme |contenu= Soient ''p'' un nombre premier et G un groupe commutatif d'exposant ''p''. Une famille (x₁, ..., x_r) d'éléments de G est indépendante si et seulement si c’est une famille linéairement indépendante (autrement dit libre) dans le <math>\mathbb{F}_{p}</math>-espace vectoriel G. }} Démonstration. Voir les exercices. {{Lemme |contenu= Soient ''p'' un nombre premier et G un groupe commutatif fini d'exposant ''p'' (autrement dit un p-groupe abélien élémentaire). Toute famille indépendante x₁, ... , x_n d'éléments de G peut être étendue en une famille indépendante x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_r telle que :<math>G = <x_{1}> \oplus \ldots \oplus <x_{n}> \oplus <y_{1}> \oplus \ldots <y_{r}>.</math> }} '''Première démonstration'''. D'après le lemme qui précède, x₁, ... , x_n d'éléments de G est une famille linéairement indépendante dans le <math>\mathbb{F}_{p}</math>-espace vectoriel G. D'après la théorie des espaces vectoriels, cette famille peut être étendue en une base du <math>\mathbb{F}_{p}</math>-espace vectoriel G. Puisque G est fini, cette base est évidemment finie et convient pour la famille x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_r de l'énoncé. (La possibilité d'étendre une partie libre d'un espace vectoriel en une base n'étant pas limitée aux espaces de dimension finie, on voit que l'énoncé reste vrai, mutatis mutandis, si on supprime l'hypothèse selon laquelle G est fini.) '''Seconde démonstration'''. Voici une démonstration qui évite le langage des espaces vectoriels. Il y a au moins une famille indépendante d'éléments de G qui prolonge x₁, ... , x_n, à savoir cette famille elle-même. Nous pouvons donc considérer, parmi les familles indépendantes qui prolongent x₁, ... , x_n, une famille x₁, ... , x_n, ... , x_t pour laquelle ''t'' est maximal. Prouvons que :<math>G = <x_{1}> \oplus \ldots <x_{t}>.</math> Désignons par H le second membre et supposons que, par absurde, H ne soit pas G tout entier. Il existe donc un élément ''y'' de G qui n'appartient pas au sous-groupe H. Prouvons que <math>H \cap <y> = 0</math>. Il est clair que ''y'' n’est pas nul, donc, puisque G est d'exposant ''p'', ''y'' est d'ordre ''p''. Donc l'image de ''y'' dans G/H a pour ordre un diviseur de ''p'' (voir un problème de la série [[../Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]]). Puisque ''y'' n'appartient pas à H, l’ordre de son image dans G/H n’est pas égal à 1 et est donc égal à ''p''. Il en résulte que si ''s'' est un entier rationnel tel que s y appartienne à H, alors ''s'' est divisible par ''p'', donc s y = 0, ce qui montre que <math>H \cap <y> = 0</math> comme annoncé. Donc H <y> est somme directe de H et de <y>, donc <x₁> ... <x_t <y> est somme directe :<math> <x_{1}> \oplus \ldots <x_{t}> \oplus <y>,</math> autrement dit (puisque ''y'' n’est pas nul) la famille x₁, ... , x_t, y est indépendante, ce qui contredit la maximalité de ''t''. Cette contradiction démontre l'énoncé. {{Corollaire |contenu= Tout groupe commutatif fini d'exposant premier ''p'' est somme directe de sous-groupes cycliques d'ordre ''p''. }} Démonstration. D'après le lemme précédent, la famille vide d'éléments d'un tel groupe, qui est indépendante, peut être prolongée en une famille indépendante x₁, ... , x_n telle que :<math>G = <x_{1}> \oplus \ldots \oplus <x_{n}>.</math> {{Lemme |contenu= Soient ''p'' un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x₁, ..., x_r) une famille d'éléments de G. Si la famille (px₁, ..., px_r) est indépendante, la famille (x₁, ..., x_r) l'est aussi. }} Démonstration. Soient a₁, ..., a_r des entiers rationnels tels que :(1) a₁ x₁ + ... + a_r x_r = 0. Il s'agit de prouver que :(2) a_i x_i = 0 pour tout ''i''. De la relation (1) résulte :p(a₁ x₁+ ... + a_r x_r) = 0, ce qui peut s'écrire :a₁ px₁+ ... + a_r px_r, d'où, puisque la famille (px₁, ..., px_r) est supposée indépendante, :a_i px_i = 0 pour tout ''i''. Donc l’ordre de px_i divise a_i. Si, pour un ''i'', a_i était non divisible par ''p'', l’ordre de px_i serait donc non divisible par ''p''. Puisque l’ordre de px_i (comme l’ordre de tout élément de G) est une puissance de ''p'', l’ordre de px_i serait donc égal à 1, donc px_i serait nul, ce qui (par définition d'une famille indépendante) contredit l'hypothèse selon laquelle la famille (px₁, ..., px_r) est indépendante.<br /> Nous avons donc prouvé que, dans la relation (1), tous les a_i sont divisibles par ''p''. Posons a_i = p b_i, avec b_i entier rationnel. La relation (1) s'écrit :b₁ p x₁ + ... + b_r p x_r = 0, d'où, puisque la famille (px₁, ..., px_r) est supposée indépendante, :b_i p x_i = 0 pour tout ''i'', autrement dit :(2) a_i x_i = 0 pour tout ''i'', ce qui est notre thèse (2). {{Lemme |contenu= Soient ''p'' un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (''x''₁, ..., ''x_r'') une famille indépendante d'éléments de ''G''. Si ''c''₁, ..., ''c_r'' sont des entiers rationnels tels que, pour tout ''i'', ''c_i x_i'' ≠ 0, alors la famille (''c''₁ ''x''₁, ..., ''c_r x_r'') est elle aussi une famille indépendante. }} Démonstration. Nous savons déjà, par hypothèse, que les ''c_i x_i'' sont non nuls. Il reste donc à prouver que si ''a''₁, ..., ''a_r'' sont des entiers rationnels tels que ''a''₁ ''c''₁ ''x''₁ + ... + ''a_r c_r x_r'' = 0, alors ''a_i c_i x_i'' = 0 pour tout ''i''. Cela résulte immédiatement du fait que les ''x_i'' forment une famille indépendante. {{Théorème |contenu= Tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques primaires. }} Démonstration. D'après un précédent théorème, tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires. Il suffit donc de prouver que pour tout nombre premier ''p'', tout groupe p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques.<br/> Soit G un groupe p-primaire. Il existe un nombre naturel ''n'' tel que G soit d'exposant pⁿ, par exemple le nombre naturel ''n'' tel que G soit d'ordre pⁿ. Notre thèse peut s'exprimer comme suit : tout groupe p-primaire d'exposant ''n'' est somme directe de sous-groupes cycliques. Nous allons prouver cet énoncé par récurrence sur ''n''. C'est banal si n = 0 car alors G est réduit à l'élément neutre et est par exemple somme directe d'une famille vide de sous-groupes cycliques. Si n = 1, notre thèse est l'énoncé d'un lemme démontré ci-dessus. Supposons que ''n'' soit un nombre naturel ≥ 2 tel que notre thèse soit vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant p^n-1 et prouvons qu'elle est vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant pⁿ. Soit donc G un groupe p-primaire d'exposant pⁿ. Il s'agit de prouver que G est somme directe de sous-groupes cycliques. Désignons par <math>\ p G</math> l’ensemble des éléments de G de la forme p x avec ''x'' dans G, et par G_p l’ensemble des éléments ''x'' de G tels que p x = 0. Il est clair que p G est un groupe d'exposant n - 1 et G_p un groupe d'exposant ''p''. Par hypothèse de récurrence, p G est somme directe de sous-groupes cycliques, donc il existe des éléments x₁, ... , x_r de G tels que :<math>(1)\qquad p G = <p x_{1}> \oplus \ldots <p x_{r}>.</math> Nous pouvons évidemment choisir les x_i de sorte que tous les p x_i soient non nuls. La relation (1) montre alors que les p x_i forment une famille indépendante d'éléments de G. D'après un précédent lemme, les x_i forment eux aussi une famille indépendante. Donc le sous-groupe X de G engendré par les x_i est somme directe des <x_i> : :<math>X = <x_{1}> \oplus \ldots \oplus <x_{r}>. </math> Pour chaque ''i'', désignons par c_i l’ordre de p x_i. Prouvons que l’ordre de c_i x_i est égal à ''p''. Nous avons :p c_i x_i = 0, donc c_i x_i est d'ordre 1 ou ''p''. S'il était d'ordre 1, c'est-à-dire s'il était nul, on aurait :<math>(2)\qquad c_{i} x_{i}= 0. </math> D'autre part, puisque les p x_i ont été choisis non nuls, les c_i sont tous distincts de 1. Puisque tout élément de G a pour ordre une puissance de ''p'', les c_i sont donc tous divisibles par ''p''. Posons c_i = p c'_i. La relation (2) peut s'écrire :<math>\qquad c'_{i} p x_{i}= 0</math> avec 0 < c'_i < c_i, ce qui contredit le fait que p x_i est d'ordre c_i. Nous avons donc prouvé que, pour tout ''i'', c_i x_i est d'ordre ''p'', autrement dit que c_i x_i appartient à G_p et est non nul. D'après un précédent lemme, il en résulte que les c_i x_i forment une famille indépendante d'éléments de G_p (et donc une famille libre dans le '''F'''_p-espace vectoriel G_p). D'après un autre lemme démontré plus haut, cette famille peut être étendue en une famille indépendante qui engendre G_p (autrement dit en une base du '''F'''_p-espace vectoriel G_p). Choisissons une telle famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s. Désignons par Y le sous-groupe de G_p engendré par les y_j. Puisque les y_j font partie d'une famille indépendante, ils forment eux-mêmes une famille indépendante, donc Y est somme directe des <y_j> : :<math>Y =\langle y_1\rangle\oplus \ldots \oplus\langle y_s\rangle</math>. Prouvons que G est somme directe de X et de Y. Prouvons tout d’abord que <math>X \cap Y = 0.</math> Soit ''g'' un élément de <math>X \cap Y.</math> Il s'agit de prouver que ''g'' est nul. Puisque ''g'' appartient à la fois à X et à Y, nous avons à la fois :<math>(3) \qquad g = \sum a_{i}x_{i}</math> et :<math>(4) \qquad g = \sum b_{j}y_{j}.</math> Puisque ''g'' appartient à Y, qui est contenu dans G_p, p g = 0, donc :<math>\sum a_{i} p x_{i} = 0,</math> donc, puisque les p x_i sont indépendants, a_i p x_i = 0 pour tout ''i''. Puisque l’ordre de p x_i est c_i, il en résulte que, pour chaque ''i'', a_i est divisible par c_i. Soit a_i = a'_i c_i, où a'_i est un nombre naturel. La relation (3) peut s'écrire :<math>g = \sum a'_{i} c_{i} x_{i},</math> d'où, par comparaison avec (4) :<math>\sum a'_{i} c_{i} x_{i} - \sum b_{j}y_{j} = 0.</math> Puisque la famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s a été choisie indépendante, nous avons donc b_j y_j = 0 pour tout ''j'', donc g = 0, ce qui prouve que <math>X \cap Y = 0.</math> Prouvons maintenant que X + Y = G. Soit ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que ''g'' est somme d'un élément de X et d'un élément de Y. Puisque p g appartient à p G, il résulte de (1) qu’il existe une famille (a_i) d'entiers rationnels telle que :<math>pg = \sum a_{i} p x_{i}.</math> On a alors :(5) <math>g - \sum a_{i} x_{i} \in G_{p}.</math> Puisque la famille famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s engendre G_p, il résulte clairement de (5) que ''g'' appartient à X + Y, comme annoncé. {{Théorème |contenu= Tout groupe commutatif fini peut s'écrire comme somme directe :<math>G = H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{r},</math> où les H_i sont cycliques et où, n_i désignant l’ordre de H_i, :<math>n_{1} \vert n_{2} \vert \ldots \vert \ n_{r}</math>. }} Démonstration. Soient p₁, ... , p_s les différents facteurs premiers de l’ordre de G. Pour chaque ''i'', désignons par G_i la composante p_i-primaire de G. D'après des résultats précédents, :(1) <math>G = G_{1} \oplus \ldots \oplus G_{s}</math> et chaque G_i est somme directe de groupes cycliques : :(2) <math>G_{i} = C_{i,1} \oplus \ldots C_{i,r_{i}}</math> où, pour un ''i'' donné, chaque C_{i, j} est un sous-groupe p_i-primaire de G. Étant donné un ''i'', nous pouvons évidemment indexer les C_{i, j} de sorte que pour tout ''j'' tel que j < r_i, l’ordre de C_{i, j} divise l’ordre de C_{i, j + 1}. De plus, quitte à ajouter des sous-groupes nuls au début de la décomposition de certains G_i, nous pouvons évidemment supposer que tous les r_i ont une même valeur ''r''. La relation (2) s'écrit alors :(3) <math>G_{i} = C_{i,1} \oplus \ldots \oplus C_{i,r}.</math> Pour tout ''j'' (1 ≤ j ≤ r), posons :(4) <math>H_{j} = C_{1,j} \oplus \ldots \oplus C_{s,j}.</math> De (1) et (3) résulte (compte tenu de l' « associativité » et de la « commutativité » de la somme interne) :(5) <math>G = H_{1} \oplus \ldots H_{r}.</math> D'après (4), chaque H_j est somme directe de groupes cycliques dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux, donc chaque H_j est cyclique. De plus :(6) <math>\vert H_{j} \vert = \vert C_{1,j}\vert \cdot \ldots \cdot \vert C_{s,j} \vert.</math> Nous avons choisi les C_i,j de sorte que, si j < r, alors, pour chaque ''i'', l’ordre de C_i,j divise l’ordre de C_{i,j + 1}. Il résulte donc de (6) que, si j < r, l’ordre de H_j divise l’ordre de H_{j + 1}. L'énoncé est donc démontré. {{Définition | contenu = Si un groupe commutatif fini G peut s'écrire comme somme directe :<math>G = H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{r},</math> où les H_i sont cycliques non nuls et où, n_i désignant l’ordre de H_i, :<math>n_{1} \vert n_{2} \vert \ldots \vert \ n_{r},</math> on dit que G admet la suite de facteurs invariants (n₁, ... n_r). }} D'après le théorème précédent, tout groupe commutatif fini admet au moins une suite de facteurs invariants. Nous verrons plus loin que la suite de facteurs invariants d'un groupe commutatif fini donné est unique. Notons que les facteurs invariants sont les ordres de groupes non nuls, donc 1 ne figure jamais parmi les facteurs invariants. Dans cette première partie du chapitre sur les groupes commutatifs finis, nous avons démontré des théorèmes d'existence relatifs à certains types de décompositions. Dans la seconde partie, nous démontrerons des théorèmes d'unicité relatifs à ces décompositions. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes nilpotents/]] | suivant = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] }} mn6fsvmzxgbm39ebgsr3m70610lt5cw 0 24187 982922 982910 2026-05-19T05:40:56Z Marvoir 1746 /* L'anneau Z/nZ */ points sur les i 982922 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | page_liée = Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique }} == L'anneau '''Z'''/n'''Z''' == Rappelons que nous avons défini les anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. {{Clr}} {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu=Puisque [1] = 1 + n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il est clair qu'un élément [a] = a + n'''Z''' est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Théorème | titre = Autre forme du théorème précédent. | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément ''a'' + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z''' (avec ''a'' dans '''Z''') est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Démonstration|contenu= C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] que a + n'''Z''' est inversible dans l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Remarque|contenu= Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] : soient G un groupe cyclique d'ordre ''n'', ''g'' un générateur de G et ''r'' un entier rationnel; pour que g{{exp|r}} soit un générateur de G, il faut et il suffit que ''r'' soit premier avec ''n''. }} Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' sont les applications x ↦ cx de '''Z'''/n'''Z''' dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut('''Z'''/n'''Z''') des automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout entier rationnel ''r'', désignons par [r] l'élément r + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z'''. On sait que [1] est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''f'' un automorphisme du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Puisque ''f'' est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel ''r'', :<math>(1) \qquad f([r]) = f(r[1]) = r f([1]) = [r] f([1])</math>. Puisque ''f'' est surjectif, il existe un élément [r] de '''Z'''/n'''Z''' tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''g'' l’application de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' qui applique ''f'' sur f([1]). Prouvons que ''g'' est un isomorphisme. Prouvons d’abord que ''g'' est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme ''f'' du groupe '''Z'''/n'''Z''' qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''', et d'un théorème démontré au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, ''g'' un générateur de G et ''h'' un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique ''g'' sur ''h''). Ainsi, ''g'' est une surjection. Prouvons que ''g'' est une injection. Il s'agit de prouver que si f₁ et f₂ sont des automorphismes de '''Z'''/n'''Z''', si f₁([1]) = f₂([1]), alors f₁ = f₂. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''' et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir [[../Groupes, premières notions#Parties génératrices|Groupes, premières notions]]. Nous avons donc prouvé que ''g'' est une bijection. Pour prouver que ''g'' est un isomorphisme, il reste à prouver que ''g'' est un homomorphisme de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Pour cela, il s'agit de prouver que :<math>(2) \qquad (f \circ g) ([1]) = f([1] g[1])</math>. Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel ''r'' tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2). }} {{Corollaire | titre = Corollaire 1 | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x^c de G dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On sait que G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 2 | contenu = Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif. }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif. }} Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à '''Z''', donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, '''Z'''/n'''Z''' est fini et compte ''n'' éléments. {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi {{nobr|0, 1, ... , n - 1.}} }} {{Démonstration|contenu= On a vu au chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] que tout élément de '''Z'''/n'''Z''' est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]]) que si ''a'' est un entier rationnel, a + n'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. L'énoncé en résulte. }} == La fonction indicatrice d'Euler == {{Définition | contenu = On appelle ''indicateur d'Euler'', ou encore ''indicatrice d'Euler'', et on note <math>\varphi</math> l’application de <math>\N\setminus\{0\}</math> dans <math>\N</math> qui à tout nombre naturel non nul ''n'' fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} D'après la proposition précédente, <math>\varphi (n) </math> est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, <math>\varphi (1) = 1</math> et <math>\varphi (p) = p - 1</math> pour tout nombre premier ''p''. {{Proposition | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n''. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre ''n'' dans G) est égal à <math>\varphi(n)</math>. }} {{Démonstration|contenu= Puisque G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il suffit de le prouver dans le cas où G = '''Z'''/n'''Z'''. Or nous avons vu que <math>\varphi(n)</math> est le nombre des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' sont les générateurs du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. }} Rappelons un théorème qui a été démontré dans un exemple du chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]] : {{Proposition | contenu = Si a et b sont des nombres naturels > 0 premiers entre eux, « le » groupe cyclique d'ordre ab est produit direct interne de son sous-groupe d'ordre a et de son sous-groupe d'ordre b. }} {{Proposition | contenu = Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b).</math> }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]] et qu'on vient de rappeler, G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre ''a'' et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre ''b''. À tout élément ''x'' de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec ''y'' dans A et ''z'' dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme <math>\sigma </math> de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de ''x'' est le ppcm des ordres de ''y'' et de ''z'', l’ordre de ''y'' divise ''a'' et l’ordre de ''z'' divise ''b''. Il est donc clair que ''x'' est d'ordre ab si et seulement si ''y'' est d'ordre ''a'' et ''z'' d'ordre ''b''. Ainsi, <math>\sigma </math> induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre <math>\varphi(ab)</math> des générateurs de G est donc égal au produit du nombre <math>\varphi(a)</math> des générateurs de A par le nombre <math>\varphi(b)</math> des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé. }} {{Remarque|contenu= L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Voir les exercices.) }} {{Lemme | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de '''Z'''/pⁿ'''Z''', les trois conditions suivantes sont équivalentes : #Tous les éléments de X sont divisibles par ''p'' ; #X comprend (au moins) un élément divisible par ''p'' ; #X est un élément non inversible de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Les classes résiduelles modulo pⁿ possédant ces propriétés sont en quantité p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé. Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pⁿ comprend un et un seul des nombres naturels < pⁿ, la quantité des classes modulo pⁿ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par ''p'' parmi 0, 1, ... , pⁿ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où ''x'' parcourt les nombres naturels tels que px < pⁿ, autrement dit les nombres naturels x < p^n-1. Ces nombres naturels ''x'' sont en quantité p^n-1, donc les nombres divisibles par ''p'' dans la suite 0, 1, ... , pⁿ sont en quantité p^n-1. Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans '''N''' et dans '''Z'''. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de '''Z''' n’est pas défini. Deux entiers rationnels ''a'' et ''b'' sont congrus modulo p^n-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pⁿ. On en déduit facilement 1° qu’il existe une et une seule application ''f'' de '''Z'''/p^n-1'''Z''' dans l’ensemble des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' telle que, pour tout entier rationnel ''x'', on ait f(x + p^n-1'''Z''') = p x + p^n-1'''Z''' ; 2° que ''f'' est une bijection. Le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' est donc égal au nombre p^n-1 des éléments de '''Z'''/p^n-1'''Z'''. }} {{Remarque|contenu= Les éléments non inversibles de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau. }} {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit <math>n = \prod_ip_i^{r_i}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, les p_i étant les différents facteurs premiers de ''n'' et les r_i étant ≥ 1. Alors <math>\varphi(n) = \prod_i(p_i- 1) p_i^{r_i-1}</math>. }} {{Démonstration|contenu= D'après une proposition précédente, <math>\varphi(\prod_ip_i^{r_i}) = \prod_i\varphi(p_i^{r_i}),</math> donc il suffit de prouver que si ''p'' est un nombre premier et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, alors <math>\varphi(p^r) = (p-1) p^{r-1}.</math> Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/p^r'''Z''' est égal à p^n-1, <math>\varphi(p^r) = p^{r} - p^{r-1} = (p-1) p^{r-1}.</math>. }} {{Lemme | contenu = Si G est un groupe fini d'ordre ''n'', :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n'' et où, pour tout ''d'', r_d désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si ''x'' est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par ''x''; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc :<math> \qquad \vert G \vert = \sum_C\mathrm{Card}(\mathrm{g \acute{e}n}(C)),</math> où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. Cela peut encore s'écrire :<math>(1) \qquad \vert G \vert = \sum _{d\mid n} \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) )</math> où, pour chaque ''d'', C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C, :<math>\mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = \varphi(d)</math>, d'où :<math> \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = r_d\varphi(d)</math>. En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé. }} {{ancre|phi*1}} {{Proposition | contenu = Si ''n'' est un nombre naturel non nul, :<math>n = \sum_{d\mid n} \varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ''n''. Nous savons que pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'' et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r_d = 1 pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n''. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé. }} {{ancre|ConditionSuffisanteCyclicité}} {{Lemme | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre ''n''. Si pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d'', alors G est cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', désignons par r_d le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Par hypothèse, r_d est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par <math> \sum_{d \vert n} \varphi(d), </math> d'où :<math>(1) \sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} r_d\varphi(d)</math>. Puisque chaque r_d est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r_d = 1 pour tout ''d''. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre ''n'', donc G est cyclique. }} == Corps commutatifs, polynômes et fin du chapitre == {{Ancre|CyclicitéDansCorps}} {{Lemme | contenu = Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique<ref>Ce résultat s'étend facilement aux [[w:Corps gauche|corps gauches]] de [[Corps (mathématiques)/Définitions#Caractéristique|caractéristique]] non nulle ({{article|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051509|titre=Finite multiplicative subgroups in division rings|auteur=I. N. Herstein|revue=Pacific J. Math.|volume=3|issue=1|year=1953|page=121-126}}).</ref>. }} {{Démonstration|contenu= Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit ''d'' un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X^d - 1 admet au plus ''d'' racines dans F et donc au plus ''d'' racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre ''d''. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre ''d'', soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.}} {{Remarque|contenu= D'après un théorème de Wedderburn<ref>Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, ''Basic Number Theory'', 3{{e}} éd., Springer, 1974, p. 1.</ref>, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Si ''p'' est un nombre premier, le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si ''p'' est un nombre premier, l'anneau '''Z'''/p'''Z''' est un corps (commutatif). }} {{Remarque|contenu= Soit ''p'' un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel ''r'' (non divisible par ''p'') tel que r{{exp|0}}, r{{exp|1}}, ... , r^p-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo ''p''. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo ''p'' parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement <math>\varphi(p-1) </math>. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les <math>\varphi(6) = 2</math> nombres 3 et 5. }} {{Corollaire | contenu = Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier ''p'', le groupe des automorphismes de G est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif '''Z'''/p'''Z''', et donc, d’après un théorème précédent, isomorphe au groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''', or nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique. {{Remarque|contenu= La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, pp. 50-51. }} Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ». {{Théorème | contenu = Soient ''p'' un nombre premier '''impair''' et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' est cyclique d'ordre (p - 1) p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est <math>\varphi (p^n) = (p-1) p^{n-1}</math>. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo ''p'', est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pⁿ'''Z''' admet pour inverse la classe de 1 - x p + x{{exp|2}} p{{exp|2}} - ... + (- 1)^n-1 x^n-1 p^n-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p '''Z'''/pⁿ'''Z''' est p^n-1, donc A, égal à 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', compte lui aussi p^n-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p^n-1. Puisque p - 1 est premier avec p^n-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe <math>G = A \oplus B,</math> où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''', étant une classe modulo pⁿ formée de nombres non divisibles par ''p'', est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Désignons par ''f'' l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui contient X. Autrement dit, f(a + pⁿ'''Z''') = a + p'''Z''' pour tout entier rationnel ''a'' non divisible par ''p''. On vérifie facilement que ''f'' est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et est donc cyclique. Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p^n-1. Comme cet ordre divise l’ordre p^n-1 de A et est donc une puissance de ''p'', il suffit de prouver le fait suivant : :(1) pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, <math>(1 + p)^{p^{m}} </math> n’est pas congru à 1 modulo pⁿ. Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0, :<math>(2) \qquad (1 + p)^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1} \pmod{p^{m+2}}</math>. Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''m'' et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de ''m''. Par hypothèse de récurrence, nous avons :<math>(1 + p)^{p^m} = 1 + p^{m+1} + k p^{m+2}</math> pour un certain entier ''k''. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons :<math>(3) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + \sum _{i = 1}^p{\binom pi}(p^{m+1} + k p^{m+2})^i</math>. On sait que <math>\binom p1= p </math> et que, pour tout ''i'' tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, <math>\binom pi</math> est divisible par ''p''. Donc (3) donne :<math>(1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + p^{m+2} + k p^{m+3} + r p^{2m+3} + s p^{pm+p}</math>, avec ''r'' et ''s'' entiers. Puisque <math>p^{2m+3}</math> est multiple de <math>p^{m+3}</math>, nous avons donc :<math>(4) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} \equiv 1 + p^{m+2} + s p^{pm+p} \pmod{p^{m+3}}.</math> Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne :<math> (1 + p)^{p^{m+1}} \equiv 1 + p^{m+2} \pmod{p^{m+3}}</math>, ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>(1 + p)^{p^{m}} - 1</math> est p^m+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A, donc A est cyclique. Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p^n-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit ''m'' un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2^m-2. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout nombre entier rationnel ''r'', nous désignerons par [r] la classe de ''r'' modulo 2^m'''Z'''. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est d'ordre <math>\varphi(2^{m}) = 2^{m-1},</math>, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0, :<math>(1) \qquad 5^{2^j} \equiv 1 + 2^{j+2} \pmod{2^{j+3}}</math>. C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel ''j'', c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier ''k'' tel que :<math> \qquad 5^{2^j} = 1 + 2^{j+2} + k 2^{j+3}</math>. En élevant au carré, nous trouvons :<math>(2) \qquad 5^{2^{j+1}} = (1 + 2^{j+2})^2+ 2 (1 + 2^{j+2}) k 2^{j+3} + k^22^{2j + 6}</math>. Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par <math>2^{j+4}</math>. Le premier terme, égal à <math>1 + 2^{j+3} + 2^{2j+4}</math>, est congru à <math>1 + 2^{j+3} </math> modulo <math>2^{j+4}</math>. La relation (2) entraîne donc :<math> \qquad 5^{2^{j+1}} \equiv 1 + 2^{j+3} \pmod{2^{j+4}}</math>. Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur ''j''. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, <math>5^{2^j} - 1</math> est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel ''j'' tel que <math>5^{2^j} - 1</math> soit divisible par 2^m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est donc 2^m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2^m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z'''. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2^m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2^m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''', ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si ''m'' est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre [[../Produit de groupes/]] que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' pour tout nombre naturel n ≥ 1. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} mtfm6xe9pgth5uzgjfkcrh378y0ahu8 982923 982922 2026-05-19T05:44:01Z Marvoir 1746 /* L'anneau Z/nZ */ points sur les i 982923 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | page_liée = Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique }} == L'anneau '''Z'''/n'''Z''' == Rappelons que nous avons défini les anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]]. {{Clr}} {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément de '''Z'''/n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu=Puisque [1] = 1 + n'''Z''' est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il est clair qu'un élément [a] = a + n'''Z''' est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel ''r'' tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Théorème | titre = Autre forme du théorème précédent. | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel. Un élément ''a'' + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z''' (avec ''a'' dans '''Z''') est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Démonstration|contenu= C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] que a + n'''Z''' est inversible dans l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. }} {{Remarque|contenu= Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] : soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement, soient ''g'' un générateur de G et ''r'' un entier rationnel; pour que g{{exp|r}} soit un générateur de G, il faut et il suffit que ''r'' soit premier avec ''n''. }} Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' sont les applications x ↦ cx de '''Z'''/n'''Z''' dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut('''Z'''/n'''Z''') des automorphismes du groupe additif '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout entier rationnel ''r'', désignons par [r] l'élément r + n'''Z''' de '''Z'''/n'''Z'''. On sait que [1] est un générateur du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''f'' un automorphisme du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. Puisque ''f'' est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel ''r'', :<math>(1) \qquad f([r]) = f(r[1]) = r f([1]) = [r] f([1])</math>. Puisque ''f'' est surjectif, il existe un élément [r] de '''Z'''/n'''Z''' tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Soit ''g'' l’application de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' qui applique ''f'' sur f([1]). Prouvons que ''g'' est un isomorphisme. Prouvons d’abord que ''g'' est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme ''f'' du groupe '''Z'''/n'''Z''' qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''', et d'un théorème démontré au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, ''g'' un générateur de G et ''h'' un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique ''g'' sur ''h''). Ainsi, ''g'' est une surjection. Prouvons que ''g'' est une injection. Il s'agit de prouver que si f₁ et f₂ sont des automorphismes de '''Z'''/n'''Z''', si f₁([1]) = f₂([1]), alors f₁ = f₂. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de '''Z'''/n'''Z''' et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir [[../Groupes, premières notions#Parties génératrices|Groupes, premières notions]]. Nous avons donc prouvé que ''g'' est une bijection. Pour prouver que ''g'' est un isomorphisme, il reste à prouver que ''g'' est un homomorphisme de Aut('''Z'''/n'''Z''') dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. Pour cela, il s'agit de prouver que :<math>(2) \qquad (f \circ g) ([1]) = f([1] g[1])</math>. Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel ''r'' tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2). }} {{Corollaire | titre = Corollaire 1 | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n'', noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x^c de G dans lui-même, où ''c'' parcourt les entiers rationnels premiers avec ''n''. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On sait que G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent. }} {{Corollaire | titre = Corollaire 2 | contenu = Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif. }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif. }} Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à '''Z''', donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, '''Z'''/n'''Z''' est fini et compte ''n'' éléments. {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi {{nobr|0, 1, ... , n - 1.}} }} {{Démonstration|contenu= On a vu au chapitre [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] que tout élément de '''Z'''/n'''Z''' est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]]) que si ''a'' est un entier rationnel, a + n'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' si et seulement si ''a'' est premier avec ''n''. L'énoncé en résulte. }} == La fonction indicatrice d'Euler == {{Définition | contenu = On appelle ''indicateur d'Euler'', ou encore ''indicatrice d'Euler'', et on note <math>\varphi</math> l’application de <math>\N\setminus\{0\}</math> dans <math>\N</math> qui à tout nombre naturel non nul ''n'' fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z'''. }} D'après la proposition précédente, <math>\varphi (n) </math> est égal à la quantité des nombres premiers avec ''n'' parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, <math>\varphi (1) = 1</math> et <math>\varphi (p) = p - 1</math> pour tout nombre premier ''p''. {{Proposition | contenu = Soit G un groupe cyclique d'ordre ''n''. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre ''n'' dans G) est égal à <math>\varphi(n)</math>. }} {{Démonstration|contenu= Puisque G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/n'''Z''', il suffit de le prouver dans le cas où G = '''Z'''/n'''Z'''. Or nous avons vu que <math>\varphi(n)</math> est le nombre des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' sont les générateurs du groupe additif '''Z'''/n'''Z'''. }} Rappelons un théorème qui a été démontré dans un exemple du chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]] : {{Proposition | contenu = Si a et b sont des nombres naturels > 0 premiers entre eux, « le » groupe cyclique d'ordre ab est produit direct interne de son sous-groupe d'ordre a et de son sous-groupe d'ordre b. }} {{Proposition | contenu = Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b).</math> }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]] et qu'on vient de rappeler, G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre ''a'' et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre ''b''. À tout élément ''x'' de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec ''y'' dans A et ''z'' dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme <math>\sigma </math> de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de ''x'' est le ppcm des ordres de ''y'' et de ''z'', l’ordre de ''y'' divise ''a'' et l’ordre de ''z'' divise ''b''. Il est donc clair que ''x'' est d'ordre ab si et seulement si ''y'' est d'ordre ''a'' et ''z'' d'ordre ''b''. Ainsi, <math>\sigma </math> induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre <math>\varphi(ab)</math> des générateurs de G est donc égal au produit du nombre <math>\varphi(a)</math> des générateurs de A par le nombre <math>\varphi(b)</math> des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé. }} {{Remarque|contenu= L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Voir les exercices.) }} {{Lemme | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de '''Z'''/pⁿ'''Z''', les trois conditions suivantes sont équivalentes : #Tous les éléments de X sont divisibles par ''p'' ; #X comprend (au moins) un élément divisible par ''p'' ; #X est un élément non inversible de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Les classes résiduelles modulo pⁿ possédant ces propriétés sont en quantité p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé. Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pⁿ comprend un et un seul des nombres naturels < pⁿ, la quantité des classes modulo pⁿ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par ''p'' parmi 0, 1, ... , pⁿ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où ''x'' parcourt les nombres naturels tels que px < pⁿ, autrement dit les nombres naturels x < p^n-1. Ces nombres naturels ''x'' sont en quantité p^n-1, donc les nombres divisibles par ''p'' dans la suite 0, 1, ... , pⁿ sont en quantité p^n-1. Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans '''N''' et dans '''Z'''. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de '''Z''' n’est pas défini. Deux entiers rationnels ''a'' et ''b'' sont congrus modulo p^n-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pⁿ. On en déduit facilement 1° qu’il existe une et une seule application ''f'' de '''Z'''/p^n-1'''Z''' dans l’ensemble des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' telle que, pour tout entier rationnel ''x'', on ait f(x + p^n-1'''Z''') = p x + p^n-1'''Z''' ; 2° que ''f'' est une bijection. Le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/pⁿ'''Z''' est donc égal au nombre p^n-1 des éléments de '''Z'''/p^n-1'''Z'''. }} {{Remarque|contenu= Les éléments non inversibles de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau. }} {{Proposition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit <math>n = \prod_ip_i^{r_i}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, les p_i étant les différents facteurs premiers de ''n'' et les r_i étant ≥ 1. Alors <math>\varphi(n) = \prod_i(p_i- 1) p_i^{r_i-1}</math>. }} {{Démonstration|contenu= D'après une proposition précédente, <math>\varphi(\prod_ip_i^{r_i}) = \prod_i\varphi(p_i^{r_i}),</math> donc il suffit de prouver que si ''p'' est un nombre premier et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, alors <math>\varphi(p^r) = (p-1) p^{r-1}.</math> Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de '''Z'''/p^r'''Z''' est égal à p^n-1, <math>\varphi(p^r) = p^{r} - p^{r-1} = (p-1) p^{r-1}.</math>. }} {{Lemme | contenu = Si G est un groupe fini d'ordre ''n'', :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n'' et où, pour tout ''d'', r_d désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si ''x'' est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par ''x''; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc :<math> \qquad \vert G \vert = \sum_C\mathrm{Card}(\mathrm{g \acute{e}n}(C)),</math> où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. Cela peut encore s'écrire :<math>(1) \qquad \vert G \vert = \sum _{d\mid n} \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) )</math> où, pour chaque ''d'', C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C, :<math>\mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = \varphi(d)</math>, d'où :<math> \sum_{\vert C \vert = d} \mathrm {Card} (\mathrm {g\acute{e}n} (C) ) = r_d\varphi(d)</math>. En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé. }} {{ancre|phi*1}} {{Proposition | contenu = Si ''n'' est un nombre naturel non nul, :<math>n = \sum_{d\mid n} \varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. }} {{Démonstration|contenu= Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ''n''. Nous savons que pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'' et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r_d = 1 pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n''. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé. }} {{ancre|ConditionSuffisanteCyclicité}} {{Lemme | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre ''n''. Si pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d'', alors G est cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout diviseur naturel ''d'' de ''n'', désignons par r_d le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre ''d'' de G. Par hypothèse, r_d est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons :<math> n = \sum_{d \vert n} r_d\varphi(d)</math>, où ''d'' parcourt les diviseurs naturels de ''n''. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par <math> \sum_{d \vert n} \varphi(d), </math> d'où :<math>(1) \sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} r_d\varphi(d)</math>. Puisque chaque r_d est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice ''d'' dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r_d = 1 pour tout ''d''. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre ''n'', donc G est cyclique. }} == Corps commutatifs, polynômes et fin du chapitre == {{Ancre|CyclicitéDansCorps}} {{Lemme | contenu = Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique<ref>Ce résultat s'étend facilement aux [[w:Corps gauche|corps gauches]] de [[Corps (mathématiques)/Définitions#Caractéristique|caractéristique]] non nulle ({{article|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051509|titre=Finite multiplicative subgroups in division rings|auteur=I. N. Herstein|revue=Pacific J. Math.|volume=3|issue=1|year=1953|page=121-126}}).</ref>. }} {{Démonstration|contenu= Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit ''d'' un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X^d - 1 admet au plus ''d'' racines dans F et donc au plus ''d'' racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre ''d''. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre ''d'', soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de ''d'' éléments ''x'' tels que x^d = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique. }} {{Démonstration déroulante|contenu= C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.}} {{Remarque|contenu= D'après un théorème de Wedderburn<ref>Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, ''Basic Number Theory'', 3{{e}} éd., Springer, 1974, p. 1.</ref>, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Si ''p'' est un nombre premier, le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si ''p'' est un nombre premier, l'anneau '''Z'''/p'''Z''' est un corps (commutatif). }} {{Remarque|contenu= Soit ''p'' un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''' est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel ''r'' (non divisible par ''p'') tel que r{{exp|0}}, r{{exp|1}}, ... , r^p-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo ''p''. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo ''p'' parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement <math>\varphi(p-1) </math>. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les <math>\varphi(6) = 2</math> nombres 3 et 5. }} {{Corollaire | contenu = Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier ''p'', le groupe des automorphismes de G est cyclique (d'ordre ''p'' - 1). }} Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif '''Z'''/p'''Z''', donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif '''Z'''/p'''Z''', et donc, d’après un théorème précédent, isomorphe au groupe multiplicatif de '''Z'''/p'''Z''', or nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique. {{Remarque|contenu= La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, pp. 50-51. }} Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ». {{Théorème | contenu = Soient ''p'' un nombre premier '''impair''' et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''' est cyclique d'ordre (p - 1) p^n-1. }} {{Démonstration|contenu= Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z'''. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est <math>\varphi (p^n) = (p-1) p^{n-1}</math>. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo ''p'', est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pⁿ'''Z''' admet pour inverse la classe de 1 - x p + x{{exp|2}} p{{exp|2}} - ... + (- 1)^n-1 x^n-1 p^n-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p '''Z'''/pⁿ'''Z''' est p^n-1, donc A, égal à 1 + p '''Z'''/pⁿ'''Z''', compte lui aussi p^n-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p^n-1. Puisque p - 1 est premier avec p^n-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe <math>G = A \oplus B,</math> où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau '''Z'''/pⁿ'''Z''', étant une classe modulo pⁿ formée de nombres non divisibles par ''p'', est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Désignons par ''f'' l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' qui contient X. Autrement dit, f(a + pⁿ'''Z''') = a + p'''Z''' pour tout entier rationnel ''a'' non divisible par ''p''. On vérifie facilement que ''f'' est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z'''. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p'''Z''' et est donc cyclique. Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p^n-1. Comme cet ordre divise l’ordre p^n-1 de A et est donc une puissance de ''p'', il suffit de prouver le fait suivant : :(1) pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, <math>(1 + p)^{p^{m}} </math> n’est pas congru à 1 modulo pⁿ. Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0, :<math>(2) \qquad (1 + p)^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1} \pmod{p^{m+2}}</math>. Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''m'' et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de ''m''. Par hypothèse de récurrence, nous avons :<math>(1 + p)^{p^m} = 1 + p^{m+1} + k p^{m+2}</math> pour un certain entier ''k''. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons :<math>(3) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + \sum _{i = 1}^p{\binom pi}(p^{m+1} + k p^{m+2})^i</math>. On sait que <math>\binom p1= p </math> et que, pour tout ''i'' tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, <math>\binom pi</math> est divisible par ''p''. Donc (3) donne :<math>(1 + p)^{p^{m + 1}} = 1 + p^{m+2} + k p^{m+3} + r p^{2m+3} + s p^{pm+p}</math>, avec ''r'' et ''s'' entiers. Puisque <math>p^{2m+3}</math> est multiple de <math>p^{m+3}</math>, nous avons donc :<math>(4) \qquad (1 + p)^{p^{m + 1}} \equiv 1 + p^{m+2} + s p^{pm+p} \pmod{p^{m+3}}.</math> Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne :<math> (1 + p)^{p^{m+1}} \equiv 1 + p^{m+2} \pmod{p^{m+3}}</math>, ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel ''m'' tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de ''p'' qui divise <math>(1 + p)^{p^{m}} - 1</math> est p^m+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pⁿ engendre A, donc A est cyclique. Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p^n-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique. }} {{Théorème | contenu = Soit ''m'' un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2^m-2. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} {{Démonstration|contenu= Pour tout nombre entier rationnel ''r'', nous désignerons par [r] la classe de ''r'' modulo 2^m'''Z'''. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est d'ordre <math>\varphi(2^{m}) = 2^{m-1},</math>, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0, :<math>(1) \qquad 5^{2^j} \equiv 1 + 2^{j+2} \pmod{2^{j+3}}</math>. C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel ''j'', c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier ''k'' tel que :<math> \qquad 5^{2^j} = 1 + 2^{j+2} + k 2^{j+3}</math>. En élevant au carré, nous trouvons :<math>(2) \qquad 5^{2^{j+1}} = (1 + 2^{j+2})^2+ 2 (1 + 2^{j+2}) k 2^{j+3} + k^22^{2j + 6}</math>. Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par <math>2^{j+4}</math>. Le premier terme, égal à <math>1 + 2^{j+3} + 2^{2j+4}</math>, est congru à <math>1 + 2^{j+3} </math> modulo <math>2^{j+4}</math>. La relation (2) entraîne donc :<math> \qquad 5^{2^{j+1}} \equiv 1 + 2^{j+3} \pmod{2^{j+4}}</math>. Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur ''j''. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, <math>5^{2^j} - 1</math> est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel ''j'' tel que <math>5^{2^j} - 1</math> soit divisible par 2^m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est donc 2^m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2^m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z'''. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2^m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2^m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''', ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si ''m'' est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre [[../Produit de groupes/]] que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/2^m'''Z''' n’est pas cyclique. }} On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' pour tout nombre naturel n ≥ 1. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} apvty8xlhfiykvlzoy2yvvz914ljlxl 0 24216 982924 977364 2026-05-19T06:04:48Z Marvoir 1746 /* Problème 2 */ nadvertance 982924 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 22 | chapitre = [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique/]] | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit G un groupe, soit ''n'' un nombre naturel non nul. Prouver que le nombre des éléments d'ordre ''n'' de G est égal à φ(n) fois le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre ''n'' de G. (La fonction φ est l'indicateur d'Euler, défini dans le chapitre théorique.) En particulier, si G est fini, le nombre des éléments d'ordre ''n'' de G est divisible par φ(n). {{clr}} {{Solution | contenu = Désignons par E_n l’ensemble des éléments d'ordre ''n'' de G et par C_n l’ensemble des sous-groupes cycliques d'ordre ''n'' de G. Alors x ↦ <x> définit une application ''f'' de E_n dans C_n. D'après le chapitre théorique, tout groupe cyclique d'ordre ''n'' possède exactement φ(n) générateurs, donc tout élément de C_n est image d'exactement φ(n) éléments de E_n. D'après le principe des bergers, le cardinal de E_n est donc égal à φ(n) fois le cardinal de C_n, ce qui est l'énoncé. }} == Problème 2 == a) Démontrer que si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''' est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' par le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. (Indication : utiliser le théorème chinois, démontré dans les exercices de la série [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z|Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z]].) En déduire que si ''n'' est un nombre naturel ≥ 1, si p₁, ... , p_r sont les différents facteurs premiers de ''n'', si <math>\ n = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}},</math> alors le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe au produit direct des groupes multiplicatifs des anneaux <math> \Z/p_{i}^{e_{i}}\Z.</math> (Ceci détermine entièrement la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', quel que soit le nombre naturel n ≥ 1, puisque, dans la partie théorique, nous avons déterminé la structure du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/p^m'''Z''' pour tout nombre premier ''p'' et tout nombre naturel m ≥ 1.) {{clr}} {{Solution | contenu = Si ''x'' et ''y'' sont deux entiers rationnels congrus entre eux modulo ''ab'', ''x'' et ''y'' ont la même classe modulo ''a'' et la même classe modulo ''b''. Il existe donc une (et une seule) application ''f'' de <math>f : \Z/ab\Z \rightarrow \Z/a\Z \times \Z/a\Z</math> telle que, pour tout entier rationnel ''x'', :<math>f(x + ab\Z) = (x + a\Z, x + b\Z).</math> Si x + ab'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/ab'''Z''', c'est-à-dire si ''x'' est premier avec ''ab'', alors ''x'' est premier avec ''a'' et avec ''b'', donc x + a'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/a'''Z''' et x + b'''Z''' est un élément inversible de l'anneau '''Z'''/b'''Z'''. Donc, si, pour tout nombre naturel ''n'', nous désignons par U_n l’ensemble des éléments inversibles de l'anneau '''Z'''/n'''Z''', ''f'' induit une application <math>g : U_{ab} \rightarrow U_{a} \times U_{b}.</math> On vérifie facilement que ''g'' est un homomorphisme de <math>\ U_{ab}</math> dans le produit direct (externe) <math>\ U_{a} \times U_{b}.</math> Si deux entiers rationnels sont congrus à la fois modulo ''a'' et modulo ''b'', ils sont congrus modulo ''ab''. Il en résulte que l'homomorphisme ''g'' est injectif. Prouvons qu’il est surjectif. Soient ''y'' un entier rationnel premier avec ''a'' et ''z'' un entier rationnel premier avec ''b''; il s'agit de prouver qu’il existe un entier rationnel ''x'' premier avec ''ab'' tel que <math>x \equiv y \pmod{a}</math> et <math>x \equiv z \pmod{v}</math>. D'après le théorème chinois, il existe un entier rationnel ''x'' satisfaisant à ces congruences. De la première congruence et du fait que ''y'' est premier avec ''a'', il résulte que ''x'' est premier avec ''a''. De même, ''x'' est premier avec ''b'', donc ''x'' est premier avec ''ab'', ce qui achève la démonstration de la première partie de l'énoncé.<br /> La seconde partie s'en déduit par récurrence sur ''r'', compte tenu de l' « associativité » de la somme restreinte. }} b) En déduire une nouvelle démonstration du fait que si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, <math>\ \varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b).</math> {{clr}} {{Solution | contenu = C'est une conséquence immédiate du point a), puisque, pour tout nombre entier rationnel n ≥ 1, <math>\ \varphi(n)</math> est égal à l’ordre du groupe multiplicatif de '''Z'''/n'''Z'''. }} c) Pour quels nombres naturels n ≥ 1 le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est-il cyclique ? {{clr}} {{Solution | contenu = Prouvons que le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est cyclique si et seulement si une des conditions suivantes est satisfaite :<br /> 1° n = 1;<br /> 2° n = 2;<br /> 3° n = 4;<br /> 4° n = p^r, où ''p'' est un nombre premier impair et ''r'' un nombre naturel ≥ 1;<br /> 5° n = 2 p^r, où ''p'' est un nombre premier impair et ''r'' un nombre naturel ≥ 1.<br /> Si ''n'' est égal à 1, à 2 ou à 4, <math>\ \varphi(n) </math> est égal à 1 ou à 2, donc l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est égal à 1 ou à 2, donc ce groupe est cyclique. Si ''n'' est de la forme p^r, où ''p'' est un nombre premier impair et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est cyclique d’après la théorie. Enfin, si ''n'' est de la forme 2 p^r, où ''p'' est un nombre premier impair et ''r'' un nombre naturel ≥ 1, il résulte du point a) que le groupe multiplicatif U_n de l'anneau '''Z'''/n'''Z''' est isomorphe à la somme directe de <math>U_{2}</math> et de <math>U_{p^{r}}</math> (où, comme plus haut, U_x désigne le groupe multiplicatif de l'anneau '''Z'''/x'''Z'''). Puisque <math>U_{2}</math> est réduit à l'élément neutre, <math>U_{2p^{r}}</math> est donc isomorphe à <math>U_{p^{r}}</math> et est donc cyclique.<br /> Prouvons maintenant que si aucune des conditions 1° à 5° n'est satisfaite, U_n n’est pas cyclique. Dans ce cas, ou bien ''n'' a au moins deux facteurs premiers impairs distincts, ou bien il est de la forme 2^sp^r, où ''p'' est un nombre premier impair, s ≥ 2 et r ≥ 1.<br /> Si tout d’abord ''n'' a deux facteurs premiers impairs distincts, soit :<math> n = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \ldots p_{u}^{e_{u}}</math> la décomposition de ''n'' en facteurs premiers, avec u ≥ 2. Alors U_n est somme directe d'une famille de sous-groupes parmi lesquels figurent <math>U_{p_{1}^{e_{1}}}</math> et <math>U_{p_{2}^{e_{2}}}</math>. Les ordres de <math>U_{p_{1}^{e_{1}}}</math> et de <math>U_{p_{2}^{e_{2}}}</math> sont tous deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux, donc leur somme directe n’est pas cyclique. Donc U_n admet un sous-groupe non cyclique et n'est donc pas cyclique.<br /> Si maintenant ''n'' est de la forme 2^sp^r, où ''p'' est un nombre premier impair, s ≥ 2 et r ≥ 1, alors U_n est isomorphe à la somme directe de <math>U_{2^{s}}</math> et de <math>U_{p^{r}}</math>. Ici encore, les ordres de <math>U_{2^{s}}</math> et de <math>U_{p^{r}}</math> sont tous deux pairs, donc leur somme directe n’est pas cyclique, donc U_n n’est pas cyclique. }} == Problème 3 == a) Soit G un groupe cyclique, soient ''a'' et ''b'' deux éléments de G ayant le même ordre. Prouver qu'il existe un automorphisme de G qui applique ''a'' sur ''b''. {{clr}} {{Solution | contenu = Notons G multiplicativement et désignons son ordre par ''n''. Vu la caractérisation des automorphismes d'un groupe cyclique qui a été donnée dans le chapitre théorique, il s'agit de prouver qu'il existe un entier rationnel ''s'' premier avec ''n'' tel que a^s = b. Désignons par ''d'' l'ordre de ''a'' et de ''b''. Alors ''d'' divise ''n'' et les sous-groupes <a> et <nowiki><b></nowiki> de G sont d'ordre ''d''. D'après le chapitre [[../../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]], un groupe cyclique a au plus un sous-groupe d'un ordre donné, donc <a> = <nowiki><b></nowiki>. Donc chacun des éléments ''a'' et ''b'' est un générateur du même groupe cyclique <a> = <nowiki><b></nowiki>. D'après un théorème démontré au chapitre [[../../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]], il existe donc un entier rationnel ''r'' premier avec ''d'' tel que a^r = b. Pour prouver notre thèse, à savoir qu'il existe un entier rationnel ''s'' premier avec ''n'' tel que a^s = b, il suffit donc de prouver qu'il existe un entier rationnel ''s'' premier avec ''n'' tel que s ≡ r (mod d). Désignons par d' le produit des facteurs premiers de ''n'' qui ne divisent pas ''d''. D'après le théorème chinois, démontré dan les exercices de la série [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z|Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z]], il existe un entier rationnel ''s'' congru à ''r'' modulo ''d'' et à 1 modulo d'. Alors ''s'' est premier avec ''d'' et avec d', donc est premier avec ''n'' et satisfait donc aux conditions voulues. }} b) Soient G un groupe monogène et H un sous-groupe de G. Prouver que tout automorphisme de H s'étend en un automorphisme de G. {{clr}} {{Solution | contenu = Si G est infini, il est isomorphe à ℤ,+ et on peut se ramener au cas où G = ℤ,+. On sait que tout sous-groupe de ℤ,+ est de la forme nℤ, où ''n'' est un nombre naturel ≥ 0. Si n = 0, alors H est nul et son seul automorphisme s'étend évidemment en un automorphisme de ℤ, par exemple l'automorphisme identité. Si maintenant n > 0, alors nℤ est isomorphe à ℤ, donc ses seuls isomorphismes sont x ↦ x et x ↦ -x. Le premier de ce deux automorphismes de nℤ se prolonge en l'automorphisme x ↦ x de ℤ et le second en l'automorphisme x ↦ -x de ℤ. L'énoncé est donc vrai si G est infini.<br /> Supposons maintenant G fini. Soit ''f'' un automorphisme de H. Il 'agit de prouver que ''f'' peut se prolonger en un automorphisme de G. Choisissons un générateur ''a'' de H. Alors ''a'' et f(a) ont le même ordre (voir un exercice de la série [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]]), donc, d'après le point a), il existe un automorphisme ''g'' de G qui applique ''a'' sur f(a). Alors ''g'' admet une birestriction à H qui est un endomorphisme de H appliquant ''a'' sur f(a). Puisque ''a'' engendre H, la birestriction de ''g'' à H est donc égale à ''f''. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes commutatifs finis, 2/]] | suivant = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] }} j7aarg0v6p3aco3mp286obzmvet2egm 0 40750 982912 975590 2026-05-18T15:56:59Z Crochet.david 317 . 982912 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {|width=100% border=0 style="background-color: #{{Idfaculté/pastel/mathématiques}};" |width=33% valign="top"| *'''Chap. 1 :''' {{C|Lois de composition internes, monoïdes|0|13}} *'''Chap. 2 :''' {{C|Groupes, premières notions|0|14}} *'''Chap. 3 :''' {{C|Classes modulo un sous-groupe|0|15}} *'''Chap. 4 :''' {{C|Sous-groupe distingué et groupe quotient|0|15}} *'''Chap. 5 :''' {{C|Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z|0|14}} *'''Chap. 6 :''' {{C|Groupes monogènes, ordre d'un élément|0|14}} *'''Chap. 7 :''' {{C|Conjugaison, centralisateur, normalisateur|0|15}} *'''Chap. 8 :''' {{C|Action de groupe|0|15}} *'''Chap. 9 :''' {{C|Produit direct et somme restreinte|0|15}} *'''Chap. 10 :''' {{C|Sous-groupes caractéristiques|0|15}} *'''Chap. 11 :''' {{C|Groupes symétriques finis|0|14}} *'''Chap. 12 :''' {{C|Groupes alternés|0|14}} *'''Chap. 13 :''' {{C|Groupes linéaires|0|16}} *'''Chap. 14 :''' {{C|Théorèmes de Sylow|0|16}} *'''Chap. 15 :''' {{C|Théorème de Jordan-Hölder|0|14}} *'''Chap. 16 :''' {{C|Groupe à opérateurs|0|14}} *'''Chap. 17 :''' {{C|Commutateurs, groupe dérivé|0|14}} *'''Chap. 18 :''' {{C|Groupes résolubles|0|17}} |width=28% valign="top"| *'''Chap. 19 :''' {{C|Groupes nilpotents|0|14}} *'''Chap. 20 :''' {{C|Groupes commutatifs finis, 1|0|14}} *'''Chap. 21 :''' {{C|Groupes commutatifs finis, 2|0|14}} *'''Chap. 22 :''' {{C|Automorphismes d'un groupe cyclique|0|14}} *'''Chap. 23 :''' {{C|Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes|0|14}} *'''Chap. 24 :''' {{C|Produit semi-direct|0|14}} *'''Chap. 25 :''' {{C|Groupes diédraux|0|14}} *'''Chap. 26 :''' {{C|Holomorphe d'un groupe|0|14}} *'''Chap. 27 :''' {{C|Groupes dicycliques|0|14}} *'''Chap. 28 :''' {{C|Transfert, théorème du complément normal de Burnside|0|14}} *'''Chap. 29 :''' {{C|Premiers résultats sur les groupes simples|0|14}} *'''Chap. 30 :''' {{C|Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux|0|14}} *'''Chap. 31 :''' {{C|Théorème de Gaschütz|0|14}} *'''Chap. 32 :''' {{C|Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall|0|14}} *'''Chap. 33 :''' {{C|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|0|14}} |width=38% valign="top"| *'''Chap. 34 :''' {{C|Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs|0|14}} *'''Chap. 35 :''' {{C|Intermède : groupes simples d'ordre 168|0|14}} *'''Chap. 36 :''' {{C|Intermède : groupes simples d'ordre 360|0|14}} *'''Chap. 37 :''' {{C|Produit en couronne|0|14}} *'''Chap. 38 :''' {{C|Théorème de Maschke|0|14}} *'''Chap. 39 :''' {{C|Représentations complexes des groupes finis, 1|0|14}} *'''Chap. 40 :''' {{C|Représentations complexes des groupes finis, 2|0|14}} *'''Chap. 41 :''' {{C|Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité|0|14}} *'''Chap. 42 :''' {{C|Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés|0|14}} *'''Chap. 43 :''' {{C|Le théorème p-q de Burnside|0|14}} *'''Chap. 44 :''' {{C|Caractères irréductibles de quelques groupes|0|14}} *'''Chap. 45 :''' {{C|Groupes libres, premiers éléments|0|14}} *'''Chap. 46 :''' {{C|Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier|0|14}} *'''Chap. 47 :''' {{C|Groupes libres : théorème de Howson|0|14}} *'''Chap. 48 :''' {{C|Produit libre d'une famille de groupes|0|14}} *'''Chap. 49 :''' {{C|Sous-groupe de Frattini|0|14}} |} {{AutoCat}} 4ogbc0kef3a60yv71a37c1d0lg5xm95 982914 982912 2026-05-18T15:59:00Z Crochet.david 317 . 982914 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {|width=100% border=0 style="background-color: #{{Idfaculté/pastel/mathématiques}};" |valign="top"| *'''Chap. 1 :''' {{C|Lois de composition internes, monoïdes|0|13}} *'''Chap. 2 :''' {{C|Groupes, premières notions|0|14}} *'''Chap. 3 :''' {{C|Classes modulo un sous-groupe|0|15}} *'''Chap. 4 :''' {{C|Sous-groupe distingué et groupe quotient|0|15}} *'''Chap. 5 :''' {{C|Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z|0|14}} *'''Chap. 6 :''' {{C|Groupes monogènes, ordre d'un élément|0|14}} *'''Chap. 7 :''' {{C|Conjugaison, centralisateur, normalisateur|0|15}} *'''Chap. 8 :''' {{C|Action de groupe|0|15}} *'''Chap. 9 :''' {{C|Produit direct et somme restreinte|0|15}} *'''Chap. 10 :''' {{C|Sous-groupes caractéristiques|0|15}} *'''Chap. 11 :''' {{C|Groupes symétriques finis|0|14}} *'''Chap. 12 :''' {{C|Groupes alternés|0|14}} *'''Chap. 13 :''' {{C|Groupes linéaires|0|16}} *'''Chap. 14 :''' {{C|Théorèmes de Sylow|0|16}} *'''Chap. 15 :''' {{C|Théorème de Jordan-Hölder|0|14}} *'''Chap. 16 :''' {{C|Groupe à opérateurs|0|14}} *'''Chap. 17 :''' {{C|Commutateurs, groupe dérivé|0|14}} *'''Chap. 18 :''' {{C|Groupes résolubles|0|17}} | valign="top"| *'''Chap. 19 :''' {{C|Groupes nilpotents|0|14}} *'''Chap. 20 :''' {{C|Groupes commutatifs finis, 1|0|14}} *'''Chap. 21 :''' {{C|Groupes commutatifs finis, 2|0|14}} *'''Chap. 22 :''' {{C|Automorphismes d'un groupe cyclique|0|14}} *'''Chap. 23 :''' {{C|Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes|0|14}} *'''Chap. 24 :''' {{C|Produit semi-direct|0|14}} *'''Chap. 25 :''' {{C|Groupes diédraux|0|14}} *'''Chap. 26 :''' {{C|Holomorphe d'un groupe|0|14}} *'''Chap. 27 :''' {{C|Groupes dicycliques|0|14}} *'''Chap. 28 :''' {{C|Transfert, théorème du complément normal de Burnside|0|14}} *'''Chap. 29 :''' {{C|Premiers résultats sur les groupes simples|0|14}} *'''Chap. 30 :''' {{C|Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux|0|14}} *'''Chap. 31 :''' {{C|Théorème de Gaschütz|0|14}} *'''Chap. 32 :''' {{C|Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall|0|14}} *'''Chap. 33 :''' {{C|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|0|14}} |valign="top"| *'''Chap. 34 :''' {{C|Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs|0|14}} *'''Chap. 35 :''' {{C|Intermède : groupes simples d'ordre 168|0|14}} *'''Chap. 36 :''' {{C|Intermède : groupes simples d'ordre 360|0|14}} *'''Chap. 37 :''' {{C|Produit en couronne|0|14}} *'''Chap. 38 :''' {{C|Théorème de Maschke|0|14}} *'''Chap. 39 :''' {{C|Représentations complexes des groupes finis, 1|0|14}} *'''Chap. 40 :''' {{C|Représentations complexes des groupes finis, 2|0|14}} *'''Chap. 41 :''' {{C|Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité|0|14}} *'''Chap. 42 :''' {{C|Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés|0|14}} *'''Chap. 43 :''' {{C|Le théorème p-q de Burnside|0|14}} *'''Chap. 44 :''' {{C|Caractères irréductibles de quelques groupes|0|14}} *'''Chap. 45 :''' {{C|Groupes libres, premiers éléments|0|14}} *'''Chap. 46 :''' {{C|Groupes 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{{Exo|Groupes symétriques finis|0|13}} *'''Exercices 12 :''' {{Exo|Groupes alternés|0|13}} *'''Exercices 13 :''' {{Exo|Groupes linéaires|0|13}} *'''Exercices 14 :''' {{Exo|Théorèmes de Sylow|0|16}} *'''Exercices 15 :''' {{Exo|Théorème de Jordan-Hölder|0|13}} *'''Exercices 16 :''' {{Exo|Groupe à opérateurs|0|13}} *'''Exercices 17 :''' {{Exo|Commutateurs, groupe dérivé|0|13}} *'''Exercices 18 :''' {{Exo|Groupes résolubles|0|17}} *'''Exercices 19 :''' {{Exo|Groupes nilpotents|0|13}} *'''Exercices 20 :''' {{Exo|Groupes commutatifs finis, 1|0|13}} | valign="top"| *'''Exercices 21 :''' {{Exo|Groupes commutatifs finis, 2|0|13}} *'''Exercices 22 :''' {{Exo|Automorphismes d'un groupe cyclique|0|13}} *'''Exercices 23 :''' {{Exo|Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes|0|13}} *'''Exercices 24 :''' {{Exo|Produit semi-direct|0|13}} *'''Exercices 25 :''' {{Exo|Groupes diédraux|0|13}} *'''Exercices 26 :''' {{Exo|Holomorphe d'un groupe|0|13}} *'''Exercices 27 :''' {{Exo|Groupes dicycliques|0|14}} *'''Exercices 28 :''' {{Exo|Transfert, théorème du complément normal de Burnside|0|13}} *'''Exercices 29 :''' {{Exo|Premiers résultats sur les groupes simples|0|13}} *'''Exercices 30 :''' {{Exo|Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux|0|13}} *'''Exercices 31 :''' {{Exo|Théorème de Gaschütz|0|13}} *'''Exercices 32 :''' {{Exo|Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall|0|13}} *'''Exercices 33 :''' {{Exo|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|0|13}} *'''Exercices 34 :''' {{Exo|Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs|0|13}} | valign="top"| *'''Exercices 35 :''' {{Exo|Intermède : groupes simples d'ordre 168|0|13}} *'''Exercices 36 :''' {{Exo|Intermède : groupes simples d'ordre 360|0|13}} *'''Exercices 37 :''' {{Exo|Produit en couronne|0|13}} *'''Exercices 38 :''' {{Exo|Théorème de Maschke|0|13}} *'''Exercices 39 :''' {{Exo|Représentations complexes des groupes finis, 1|0|14}} *'''Exercices 40 :''' {{Exo|Représentations complexes des groupes finis, 2|0|14}} *'''Exercices 41 :''' {{Exo|Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité|0|14}} *'''Exercices 42 :''' {{Exo|Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés|0|14}} *'''Exercices 43 :''' {{Exo|Le théorème p-q de Burnside|0|14}} *'''Exercices 44 :''' {{Exo|Caractères irréductibles de quelques groupes|0|14}} *'''Exercices 45 :''' {{Exo|Groupes libres, premiers éléments|0|14}} *'''Exercices 46 :''' {{Exo|Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier|0|14}} *'''Exercices 47 :''' {{Exo|Groupes libres : théorème de Howson|0|14}} *'''Exercices 48 :''' {{Exo|Produit libre d'une famille de groupes|0|14}} *'''Exercices 49 :''' {{Exo|Sous-groupe de Frattini|0|14}} |} {{AutoCat}} 47zf4ek5ymk680v0fjds1ts7i0hh15x 0 73205 982917 978973 2026-05-18T19:28:55Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982917 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Aspect de la cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude relativement à un autre point A : définition dans le référentiel d’étude du « moment cinétique de M par rapport au point A » (ou « moment cinétique vectoriel de M ») == === Introduction === {{Al|5}}Il s'agit d’une part, de décrire le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="galiléen ou non"> Tant que l'on ne fait pas de la dynamique <math>\;\big(</math>c.-à-d. tant que les causes de la cinétique à savoir « les forces » ne sont pas introduites<math>\big)</math>, le référentiel peut être quelconque « galiléen ou non ».</ref> relativement à un point privilégié <math>\;A\;</math><ref name="fixe ou mobile"> Usuellement ce point est choisi fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> mais il peut être mobile si le but recherché est l'étude du plus ou moins grand écart séparant le point matériel <math>\;M\;</math> de ce point mobile de <math>\;\mathcal{R}</math>, lequel n'est pas nécessairement galiléen si l'étude reste en dehors du cadre de la dynamique.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit }}d'autre part, de tenir compte de l'inertie du point matériel <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire de sa masse<math>\big)</math>. === Définition du vecteur « moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d’étude par rapport à un point A » === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) de M dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel de M"> Ou « moment cinétique (vectoriel) du point matériel <math>\;M\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, selon <center><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\;</math> avec <br><math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> « le vecteur quantité de mouvement de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>»,</center> {{Al|5}} soit encore, en cinétique classique<ref name="classique"> C.-à-d. newtonien(ne).</ref> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math> avec <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <math>\;m\;</math> « la masse du point matériel <math>\;M\;</math>».}} [[File:Moment cinétique vectoriel d'un point.png|thumb|330px|Schéma de définition du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à un point <math>\;A\;</math> dans le référentiel d'étude orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>]] {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel <math>\,M\,</math> par rapport au point <math>\,A</math>, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la vitesse en norme, direction et sens d'autre part, le tout relativement au point <math>\,A</math>, la grandeur dépend donc du référentiel <math>\,(\mathcal{R})</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}le point <math>\;A\;</math> est le point par rapport auquel on calcule le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>encore appelé point origine de calcul<math>\big]</math>, le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)\;</math>» est représenté au point <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>voir ci-contre dans le cas d'un espace orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}le moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> est un vecteur axial <math>\;\big(</math>ou pseudo-vecteur<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> comme produit vectoriel de deux vecteurs polaires <math>\;\big(</math>ou vrais vecteurs<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Propriété_du_produit_vectoriel_de_deux_vrais_vecteurs,_de_deux_pseudo-vecteurs_ou_d'un_vrai_vecteur_et_d'un_pseudo-vecteur|propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, son sens dépend donc de l'orientation de l'espace <math>\;\big[</math>si l'espace est orienté à gauche<ref name="orienté à gauche"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>ce qui est excessivement rare<ref> Et n'est jamais le cas en absence de précision.</ref><math>\big)\;</math> le sens de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)\;</math> est inversé par rapport à celui représenté sur le schéma ci-contre<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : avec la notion <math>\;\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\;</math> de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs|torseur]] » introduite dans le chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », on remarque que le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> c'est-à-dire <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)\;</math> est le moment du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] du point matériel <math>\;M\;</math> à savoir <math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. de}\,M}\;</math> dont les [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Réduction_d'un_torseur_en_un_point_quelconque_de_l'espace_affine_euclidien_tridimensionnel_sur_lequel_il_est_défini|éléments de réduction]] sont évalués en <math>\;A\;</math> soit <math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. de}\,M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\end{array}\right\rbrace_A</math>. === Propriétés du « moment cinétique (vectoriel) de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A » === {{Al|5}}Les propriétés du « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math>» <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\;</math> se déduisent de la définition d’un produit vectoriel<ref name="définition du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à savoir : * produit vectoriel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} = \vec{0}\;\text{si}\;A\; \in\;\text{au support de}\; \vec{p}_M(t)\\ \neq \vec{0}\;\text{sinon }\big(\text{voir figure ci-dessus}\big)\end{array}\right\rbrace</math> et * dans le cas où <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) \neq \overrightarrow{0}</math>, les direction, sens et norme sont <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>direction <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\left\lbrace A\,,\,\vec{p}_M(t) \right\rbrace</math>,<br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>sens tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\,\vec{p}_M(t)\,,\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) \right\rbrace\;</math> soit direct<ref name="trièdre direct d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans le cas présent où l'espace est orienté à droite<ref name="trièdre indirect au sens de la physique dans un espace orienté à gauche"> Dans le cas où l'espace serait orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <math>\;\big(</math>ce qui ne sera a priori jamais le cas mais qui n'est pas interdit<math>\big)</math>, le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\,\vec{p}_M(t)\,,\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) \right\rbrace\;</math> serait indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] (préliminaire) » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et on utiliserait la règle de la main gauche, voir description de la règle dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de cette même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>norme <math>\;\Vert \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) \Vert = \Big\Vert \overrightarrow{AM}(t) \Big\Vert\;\Vert \vec{p}_M(t) \Vert\; \Bigg\vert \sin\! \left\lbrace \widehat{\left[ \overrightarrow{AM}(t)\,,\,\vec{p}_M(t) \right]} \right\rbrace \Bigg\vert\;</math> en <math>\;kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : si le mouvement de <math>\;M\;</math> est plan et si <math>\;A\;</math> est choisi dans le plan de la trajectoire de <math>\;M</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)\;</math> est <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\big(</math>dans la mesure où il n’est pas nul<math>\big)\;</math> et « son {{Nobr|sens »<ref name="règle du tire-bouchon de Maxwell"> Pour le déterminer la règle la plus pratique me semble être celle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big\{</math>on suppose que l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math> : le tire-bouchon étant placé en <math>\;A\;</math> tourne dans le sens de <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> pour se déplacer dans le sens de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)</math>.</ref>}} précise le sens de « rotation »<ref> « Rotation » entre guillemets car la trajectoire de <math>\;M\;</math> n'est a priori pas un cercle de centre <math>\;A\;</math> mais cela peut l'être ; <br>{{Al|3}}si le sens de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)\;</math> est connu <math>\;\big\{</math>dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math>, pour que le tire-bouchon de Maxwell placé en <math>\;A\;</math> se déplace dans le sens de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)\;</math> il faut qu'il tourne dans un certain sens, ce qui nous détermine alors le sens de <math>\;\vec{p}_M(t)</math>.</ref> relativement à <math>\;A\;</math> dans le plan. === « Vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A », cas particulier de « vecteur moment d’un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A » === {{Al|5}}De façon générale, le « vecteur moment d’un champ vectoriel <math>\;\vec{C}(M)\;</math><ref name="champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champs_(ou_fonctions)_scalaire_et_vectoriel(le)_de_l'espace,_différentielle_d'un_champ_de_deux_variables#Définition_intrinsèque_d'un_champ_(ou_d'une_fonction)_vectoriel(le)_de_l'espace|définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="champ vectoriel et référentiel"> Champ vectoriel défini en tout point <math>\;M</math>, pouvant, ou non, dépendre du référentiel.</ref> par rapport à <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point origine de calcul du moment<math>\big)\;</math>» étant défini selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)\;</math><ref name="moment et torseur"> C'est aussi le 2^ème vecteur des éléments de réduction en <math>\;A\;</math> d'un torseur glisseur de résultante <math>\;\vec{C}(M)</math> <math>\;\Big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (M étant un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] du glisseur) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans lequel le moment est défini selon <math>\;\vec{C}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;</math> ce qui est effectivement égal à <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)\Big]</math>.</ref>, on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|De façon générale, }}le « <u>vecteur moment cinétique</u> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point origine de calcul du moment cinétique<math>\big)\;</math>» est le « <u>vecteur moment de la quantité de mouvement</u> <math>\;\vec{p}_M\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="dépendances particulières du champ vectoriel"> Ici le champ vectoriel <math>\;\vec{C}(M) = \vec{p}_M\;</math> dépend du référentiel <math>\;\big(</math>et aussi implicitement de <math>\;t\big)</math>.</ref> par rapport à <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point origine de calcul du moment<math>\big)\;</math>». === Complément, expression « relativiste » du « vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A » === {{Al|5}}La notion de « vecteur moment d’un champ vectoriel <math>\;\vec{C}(M)\;</math><ref name="champ vectoriel" />{{,}}<ref name="champ vectoriel et référentiel" /> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math>» étant <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)\;</math><ref name="moment et torseur" /> et ceci indépendamment de toute cinétique, <br>{{Al|5}}le « vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t)\;</math> est défini comme le « vecteur moment de la quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_M\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math>», que le mouvement de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit classique<ref name="classique" /> ou relativiste soit, <center>« en cinétique relativiste, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'expression relativiste, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, de la quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_M\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> en fonction de sa masse <math>\;m\;</math> et de sa vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, a été introduite dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », * elle nécessite de définir le « facteur de Lorentz<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>\;1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>» et * la quantité de mouvement de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit alors <center>«<math>\;\vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore,<br> «<math>\;\vec{p}_M(t) = m_{\text{app}}(t)\;\vec{V}_M(t)\;</math>»<ref name="avantage de mapp"> Le seul avantage de cette expression est qu'elle permet d'avoir une expression de quantité de mouvement en fonction de la vitesse en apparence identique que le mouvement soit newtonien ou relativiste, mais ce n'est qu'une apparence car en relativiste <math>\;m_{\text{app}}(t)\;</math> dépend de la vitesse <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#cite_note-inconvénient_de_mapp-21|²¹]] » qui suit<math>\big]\;</math> et n'est donc pas une constante du mouvement comme en newtonien.</ref> en définissant la « masse apparente de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par <br><math>\;m_{\text{app}}(t) = \gamma_M(t)\;m = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>»<ref name="inconvénient de mapp"> L'inconvénient de l'introduction de la masse apparente est que cette dernière dépend de la vitesse, raison pour laquelle son utilisation doit être réfléchie {{Nobr|<math>\;\big[</math>personnellement}} j'évite de m'y {{Nobr|référer<math>\big]</math>.}}</ref> ;</center> {{Al|5}}par cette expression on en déduit l'expression relativiste, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> en fonction, entre autres, de la vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math> <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{relativ}}(M,\, t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <br>avec «<math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>»<br> soit encore, <br>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{relativ}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\; \overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{newton}}(M,\, t)\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{newton}}(M,\, t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math> est <br>l'expression classique<ref name="classique" /> du vecteur moment cinétique de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Conformément à ce qui est introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments de réduction du torseur cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point de réduction <math>\;A\;</math> sont définis selon <math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. de }\,M}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{p}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\end{array}\right\rbrace_A\!</math>, expression applicable en cinétique classique<ref name="classique" /> ou relativiste et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}suivant le caractère classique<ref name="classique" /> ou relativiste du mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>en cinétique classique<ref name="classique" /> <math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. newton. de }\,M}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{p}_M(t) = m\; \vec{V}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\end{array}\right\rbrace_A\!</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>en cinétique relativiste <math>\,\mathcal{T}_{\text{cinét. relativ. de }\,M}(t) = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{p}_M(t) = \gamma_M(t)\;m\; \vec{V}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_M(t)\end{array} \!\right\rbrace_A = \gamma_M(t)\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{p}_M(t) = m\; \vec{V}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\end{array} \!\right\rbrace_A = \gamma_M(t)\;\mathcal{T}_{\text{cinét. newton. de }\,M}(t)\,</math> établissant l'importance de «<math>\;\gamma_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>» facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> aussi bien dans la cinétique utilisant la résultante que dans celle utilisant le moment vectoriel en <math>\;A</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}on remarque aussi que « les éléments de réduction du torseur cinétique relativiste du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point de réduction <math>\;A\;</math> se déduisent de ceux du torseur cinétique classique<ref name="classique" /> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même point de réduction <math>\;A\;</math>» en y « substituant la masse <math>\;m\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> par la masse apparente de ce dernier à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;m_{\text{app}}(t)</math> <math>= \gamma_M(t)\;m = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. relativ. de }\,M}(t) = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{p}_M(t) = m_{\text{app}}(t)\; \vec{V}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge m_{\text{app}}(t)\;\vec{V}_M(t)\end{array}\right\rbrace_A\;</math>»<ref name="inconvénient de mapp" />. == Formule de changement d’origine du calcul des moments (cinétiques) vectoriels == === Formule de changement d’origine du calcul de vecteur moment d’un champ vectoriel === {{Al|5}}Cette formule a été introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Notion_de_résultante_d'un_torseur|notion de résultante d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » sous le nom de « relation de Varignon<ref name="Varignon"> '''[[w:Pierre_Varignon|Pierre Varignon]] (1654 - 1722)''' mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la [[w:Statique_(mécanique)|statique]] <math>\;\ldots</math></ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} règle de transport des moments<math>\big)\;</math>», un champ de moments étant effectivement un torseur en tant que champ de vecteurs équiprojectif<ref name="champ de vecteurs équiprojectif"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, elle s'écrit selon <center>«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{C}(M) \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{C}(M)\;</math>»<ref> Dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la relation de Varignon était écrite <math>\;\Big\{</math>en y substituant <math>\;\vec{R}\;</math> par <math>\;\vec{C}(M)\;</math> et <math>\;\mathcal{T}(P)\;</math> par <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\!\left[ \vec{C}(M) \right]\Big\}</math>, «<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{C}(M) \right] =</math> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{C}(M) \right] + \vec{C}(M) \wedge \overrightarrow{OO'}\;</math>» ce qui est bien la même expression compte-tenu de <math>\;\overrightarrow{OO'} = -\overrightarrow{O'O}\;</math> et de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="à retenir"> Formule à retenir <math>\;\Big[</math>elle se retient facilement si on pense à la « relation de Chasles <math>\;\overrightarrow{O'M} = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OM}\;</math>»<math>\Big]\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> ;</center> {{Al|5}}ici la démonstration s'effectue simplement en partant de la définition du vecteur moment du champ <math>\;\vec{C}(M)\;</math> par rapport au point origine <math>\;O'\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{C}(M) \right]</math> <math>= \overrightarrow{O'M} \wedge \vec{C}(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|ici la démonstration s'effectue simplement }}en utilisant la relation de Chasles<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> «<math>\;\overrightarrow{O'M} = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OM}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|ici la démonstration s'effectue simplement en utilisant }}la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{C}(M) + \overrightarrow{OM} \wedge \vec{C}(M)\;</math>», expression dans laquelle « le 2^nd terme du 2^ème membre étant <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{C}(M) \right]\;</math> par définition », nous permet de conclure la démonstration. === Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un point matériel dans le référentiel d’étude === {{Al|5}}Le « vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point origine de calcul du moment cinétique<math>\big)\;</math>» étant le « vecteur moment de la quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_M\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="dépendances particulières du champ vectoriel" /> par rapport à <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point origine de calcul du moment<math>\big)\;</math>», on peut lui appliquer la formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment d'un champ vectoriel et on obtient <center>«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\sigma}_{O'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_O\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{p}_M(t)\;</math>» <br>applicable sous cette forme en cinétique classique<ref name="classique" /> ou relativiste.</center> == Cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé == [[File:Mouvement circulaire - moment cinétique au centre.png|thumb|350px|Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> décrivant un cercle de centre <math>\;C</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> imposé, avec précision du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)\;</math> de <math>\;M\;</math> au point <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>origine de calcul de moment cinétique<math>\big)</math>]] === Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle === {{Al|5}}Considérant un point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, en mouvement circulaire de centre <math>\;C</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> orienté à droite<ref name="orienté à droite" />, le vecteur moment cinétique de ce point matériel <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au centre <math>\;C\;</math> de sa trajectoire circulaire, noté <math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)\;</math> est défini par <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\;</math>» ou, <br>dans le cadre de la cinétique classique<ref name="classique" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» ; </center> {{Al|5}}injectant dans cette dernière expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)\;</math> du cadre de la cinétique classique<ref name="classique" />, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, à savoir «<math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) =</math>}} <math>\overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel<ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée ici étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) =</math> <math>\left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)}{m}</math> <math>= \overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t)\; \overrightarrow{\Omega}(t)\; \cancel{-\; \left[ \overrightarrow{CM}(t) \cdot \overrightarrow{\Omega}(t) \right] \overrightarrow{CM}(t)}\;</math>» car, de par la nature du mouvement de <math>\;M\;</math> « le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à tout instant », soit encore, en notant <math>\;R\;</math> le rayon du cercle <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t) = R^2\;\;\forall\;t</math>, l'expression finale du <u>vecteur moment cinétique du point matériel</u> <math>\;M\;</math><u>en mouvement circulaire de centre</u> <math>\;C</math>, <u>de rayon</u> <math>\;R\;</math> et <u>de vecteur rotation instantanée</u> <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> quand <u>l'origine de calcul du moment cinétique est le centre</u> <math>\;C\;</math> du cercle <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) = m\;R^2\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref> On remarque que «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» c.-à-d. que « la grandeur cinétique dans un mouvement de rotation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à la grandeur cinématique <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> correspondante » de même que l'on a trouvé que « la grandeur cinétique dans un mouvement de translation <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à la grandeur cinématique <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> correspondante » <math>\;\ldots</math></ref>.</center> === Notion de moment d'inertie de M relativement à un axe Δ === {{Al|5}}<u>Le moment d'inertie<ref name="moment d'inertie"> Cette appellation historique n'ayant aucun rapport avec les notions de moment de champ vectoriel pourrait prêter à confusion, mais un changement pour un autre nom n'est guère envisageable, de plus, à l'expérience, on se rend compte que, très rapidement, les usagers ne sont plus gênés <math>\;\big(</math>tout comme les usagers de l'électricité des métaux ne sont plus gênés que le sens du courant soit contraire au sens de déplacement des électrons de conduction, porteurs de charge mobiles dans les métaux<math>\big)</math>.</ref> d'un point matériel</u> <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, <u>relativement à un axe</u> <math>\;\Delta\;</math> est introduit quand le point <math>\;M\;</math> « tourne »<ref name="M en rotation"> Pour définir le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, il n'est pas nécessaire que <math>\;M\;</math> ait un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>d'où les guillemets encadrant « tourne »<math>\big)</math>, mais la trajectoire de <math>\;M\;</math> doit être telle que sa « concavité soit dirigée vers l'axe » <math>\;\big[</math>c.-à-d. que le centre de courbure de la trajectoire en <math>\;M</math> soit, par rapport à la tangente en ce point, {{Nobr|<math>\;\big(</math>le}} centre de courbure et la tangente en <math>\;M\;</math> définissant le plan osculateur en ce point<math>\big)</math>, situé du même côté de la tangente en <math>\;M\;</math> que le point d'intersection de <math>\;\Delta\;</math> avec le plan osculateur<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}voir les notions de plan osculateur et de centre de courbure dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_plan_et_cercle_osculateurs_en_un_point_d'une_courbe_«_gauche_»,_de_centre_et_de_rayon_de_courbure_en_ce_point|notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche (c.-à-d. non plane), de centre et de rayon de courbure en ce point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> autour de l'axe <math>\;\Delta</math>, il est noté «<math>\;J_{\Delta}(M)\;</math>»<ref name="notation simplifiée de moment d'inertie"> Ou simplement <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref> et représente une « grandeur scalaire inertielle de rotation »<ref> C.-à-d. une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du point matériel <math>\;M\;</math> dans le cadre d'un mouvement de rotation de ce dernier autour d'un axe <math>\;\big(</math>plus cette grandeur est grande, plus grandes doivent être les actions appliquées au point pour modifier la norme du vecteur rotation instantanée<math>\big)</math>.</ref>, il est défini par la relation <center>«<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;r^2\;</math> exprimé en <math>\;kg \cdot m^2\;</math>», <br>dans laquelle «<math>\;m\;</math> est la masse du point » et «<math>\;r\;</math> la distance orthogonale séparant <math>\;M\;</math> de l'axe <math>\;\Delta\;</math>».</center> === Réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au centre <math>\;C\;</math> du cercle <math>\;\big(</math>« support de la trajectoire de <math>\;M\;</math>»<ref name="trajectoire circulaire"> La trajectoire étant a priori une portion de cercle et non nécessairement le cercle entier.</ref><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref> Expression à retenir, cette formule n'étant valable qu'en <math>\;C\;</math> centre du cercle.</ref> où <br>«<math>\;J_{\Delta}(M) = m\; R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math>», <br>«<math>\;m\;</math> étant la masse du point », «<math>\;R\;</math> le rayon du cercle » et <br>«<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> le vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire du point <math>\;M\;</math>».</center> === Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle === [[File:Mouvement circulaire - moment cinétique en un point de l'axe autre que le centre.png|thumb|350px|Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> décrivant un cercle de centre <math>\;C</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, avec précision du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)\;</math> de <math>\;M\;</math> en un point <math>\;\big(</math>origine de calcul de moment cinétique<math>\big)</math> <math>\;A\;</math> de l'axe de rotation mais différent du centre <math>\;C</math>]] {{Al|5}}Soit «<math>\;A\;</math> un point quelconque de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation du point matériel <math>\;M\;</math>» avec «<math>\;A \neq C\;</math> centre du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)\;</math> avec pour vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>», « le vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point <math>\;A \neq C\;</math> de son axe de rotation, noté <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)\;</math>» est défini par <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\;</math>» ou, <br>dans le cadre de la cinétique classique<ref name="classique" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}injectant dans cette dernière expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)\;</math> du cadre de la cinétique classique<ref name="classique" />, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, à savoir «<math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>»<ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire" />{{,}}<ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire - bis"> On aurait pu aussi écrire <math>\;\vec{V}_M(t) = \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math> avec <math>\;\forall\;A \in \Delta\;</math> voir la remarque du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », mais cela aurait entraîné, après une simplification apparente, une légère complication <math>\;\ldots</math></ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) =</math> <math>\overrightarrow{AM}(t) \wedge m\, \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]\;</math>» nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel<ref name="formules du double produit vectoriel" /> soit {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)}{m}</math>}} <math>= \left[ \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{CM}(t) \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \left[ \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{\Omega}(t) \right] \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) = \overrightarrow{AC}(t) + \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» utilisant la relation de Chasles<ref name="Chasles" /> ou, en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\quad\text{ainsi que}\\ \overrightarrow{AM}(t) = \overline{AC}\;\vec{u}_{\Delta} + \overrightarrow{CM}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{AC}\;\overline{\Omega}(t)\;\cancel{+\; \overrightarrow{CM}(t) \cdot \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}}\\ \overrightarrow{AM}(t) \cdot \overrightarrow{CM}(t) =\; \cancel{\overline{AC}\;\vec{u}_{\Delta} \cdot \overrightarrow{CM}(t)\; +}\; \overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t)\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big[\overrightarrow{CM}(t)\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_{\Delta}\big]\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)}{m} = \overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t)\; \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{AC}\;\overline{\Omega}(t)\; \overrightarrow{CM}(t)\;</math>», soit encore, en notant <math>\;R\;</math> le rayon du cercle <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{CM}^{\,2}\!\!(t) = R^2\;\;\forall\;t</math>, l'expression finale du <u>vecteur moment cinétique du point matériel</u> <math>\;M\;</math><u>en mouvement circulaire de centre</u> <math>\;C</math>, <u>de rayon</u> <math>\;R\;</math> et <u>de vecteur rotation instantanée</u> <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> quand <u>l'origine de calcul du moment cinétique est un point</u> <math>\;A\;</math> <u>de l'axe de rotation</u> <math>\;\neq\;</math> du centre <math>\;C\;</math> du cercle <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = m\;R^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AC}\;\overrightarrow{CM}(t)\;</math>»,</center> {{Al|5}}soit une somme de deux termes dont * le 1^er «<math>\;m\;R^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» est colinéaire à l'axe de rotation et * le 2^nd «<math>\;- m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AC}\;\overrightarrow{CM}(t) = \overrightarrow{\sigma}_{A,\,\perp\, \text{à}\;\Delta}(M,\,t)\;</math>» est <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation dans le « plan méridien de <math>\;M\;</math>», {{Al|5}}ce qu'on peut encore écrire <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t) = \overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) + \overrightarrow{\sigma}_{A,\,\perp\, \text{à}\;\Delta}(M,\,t)\;</math>»<ref> Cette 2^ème composante étant représentée en tiretés sur le schéma, on constate qu'elle est en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> simultanément à la rotation du point <math>\;M</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : « la relation de proportionnalité entre <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> <u>n'est réalisée qu'en choisissant pour origine de calcul du moment cinétique le centre</u> <math>\;C\;</math> <u>du cercle</u> », et qu'« <u>en dehors de ce point</u> <math>\;C</math>, <u>il n'y a pas proportionnalité entre</u> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» car « pour <math>\;A \neq C</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\,t)\;</math> n’est pas porté par l'axe <math>\;\Delta\;</math>»<ref> Il y a toujours la même composante sur l'axe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» mais il y a en plus une composante <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\perp\, \text{à}\;\Delta}(M,\,t) = - m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AC}\;\overrightarrow{CM}(t) =</math> <math>-\left[ m\;R\;\overline{AC} \right] \overline{\Omega}\;\vec{u}_r(M,\,t)\;</math>» de norme d’autant plus grande que <math>\;A\;</math> est éloigné de <math>\;C\;</math> et dont le sens dépend de la position de <math>\;A\;</math> sur l'axe <math>\;\Delta\;</math> relativement à <math>\;C</math> <math>\;\big[</math>pour <math>\;A\;</math> au-dessous de <math>\;C\;</math> comme représenté sur le schéma ci-dessus, <math>\;\overline{AC}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et la composante <math>\;\perp\;</math> à l’axe <math>\;\Delta\;</math> est de sens contraire à <math>\;\vec{u}_r(M,\,t)\;</math> alors que, pour <math>\;A\;</math> au-dessus de <math>\;C</math>, non représenté sur le schéma ci-dessus, <math>\;\overline{AC}\;</math> serait <math>\;< 0\;</math> et la composante <math>\;\perp\;</math> à l’axe <math>\;\Delta\;</math> serait de même que <math>\;\vec{u}_r(M,\,t)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}on vérifie l’homogénéité de cette composante <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;\Delta\;</math> car celle-ci s'exprime en <math>\;\left[ m\; R\; AC \right] = kg \cdot m^2\;</math> multipliée par <math>\;\left[ \Omega \right] = s^{-1}</math>.</ref>. === Analogie entre la cinétique d’un point matériel en mouvement quelconque et celle d’un point matériel en mouvement de rotation autour d’un axe Δ === {{Al|5}}En cinétique classique<ref name="classique" /> d'un point matériel en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math>» et la « grandeur cinématique <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», ce facteur égal à la masse du point matériel «<math>\;m\;</math> représentant la grandeur d'inertie » soit <center><math>\;\begin{array}{c} \vec{p}_M(t) &= &m &\times & \vec{V}_M(t)\\ \text{« grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique » ;}\end{array}</math></center> {{Al|5}}en cinétique classique<ref name="classique" /> d'un point matériel de masse <math>\;m\;</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta</math>, de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, on trouve une relation de proportionnalité analogue<ref name="analogie si point origine des moments en C"> L’analogie n’étant vérifiée que si l’origine de calcul du vecteur moment cinétique est le centre du cercle.</ref> entre la « grandeur cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t)\;</math>» et la « grandeur cinématique <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>», le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> représentant la grandeur d'inertie » soit <center><math>\;\begin{array}{c} \overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \overrightarrow{\Omega}(t)\\ \text{« grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique » ;}\end{array}</math></center> {{Al|5}}on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique<ref name="classique" /> entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes <center>«<math>\;\begin{array}{c} \text{translation} & \vec{p}_M(t) &= &m &\times & \vec{V}_M(t) \\ & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow \\ \text{rotation} & \overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \overrightarrow{\Omega}(t)\end{array}\;</math>».</center> === Complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_point_origine_A_»|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport au point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{relativ}}(M,\,t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement relativiste dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> est lié à l'expression que le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{newton}}(M,\,t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> prendrait si le mouvement de ce dernier était classique<ref name="classique" /> dans le même référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\text{newton}}(M,\,t)\;</math>» <br>avec «<math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math> facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire classique<ref name="classique" /> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, de centre <math>\;C</math>, de rayon <math>\;R\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, avec, pour point origine de calcul du moment, le centre <math>\;C\;</math> du cercle, ayant pour expression établie précédemment «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{newton}}(M,\,t) =</math> <math>J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta}(M) =</math> <math>m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie du point <math>\;M\;</math> autour de son axe de rotation <math>\;\Delta\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}la définition du vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> ainsi que son lien avec le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> dans un mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math> à savoir <math>\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math> restant les mêmes en relativiste, on en déduit l'expression du facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> en fonction de la vitesse angulaire non algébrisée <math>\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert\;</math> et du rayon <math>\;R\;</math> du cercle soit {{Nobr|«<math>\;\gamma_M(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|dans le référentiel d'étude <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation, de centre <math>\;C</math>, de rayon <math>\;R\;</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, avec, pour point origine de calcul du moment, le centre <math>\;C\;</math> du cercle, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <br> «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> le moment d'inertie du point <math>\;M\;</math> autour de son axe de rotation <math>\;\Delta\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse <math>\;m\;</math> en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique <math>\;\vec{p}_M(t)\;</math>» et la « grandeur cinématique <math>\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{V}_M(t)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>», ce facteur égal à la masse du point matériel «<math>\;m\;</math> représentant la grandeur d'inertie » soit <center>«<math>\;\begin{array}{c} \vec{p}_M(t) &= &m &\times & \gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\\ & & \text{ou} & & \\ \vec{p}_M(t) &= &m &\times & \dfrac{\vec{V}_M(t)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\\ \text{grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique}\end{array}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}en cinétique relativiste d'un point matériel de masse <math>\;m\;</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta</math>, de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, on trouve une relation de proportionnalité analogue<ref name="analogie si point origine des moments en C" /> entre la « grandeur cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t)\;</math>» et la « grandeur cinématique <math>\;\gamma_M(t)\;\overrightarrow{\Omega}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{\Omega}(t)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>», le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> représentant la grandeur d'inertie » soit <center>«<math>\;\begin{array}{c} \overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \gamma_M(t)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\\ & & \text{ou} & & \\ \overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \dfrac{\overrightarrow{\Omega}(t)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert}{c} \right]^{\!2}}}\\ \text{grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique}\end{array}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique<ref name="classique" /> et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes »<ref name="inconvénient des grandeurs d'inertie apparentes"> L'inconvénient de l'introduction des grandeurs d'inertie apparentes est que ces dernières dépendant aussi de la vitesse ont également une composante cinématique {{Nobr|<math>\;\big(</math>laquelle}} joue en pratique un rôle d'inertie tout comme la composante pure d'inertie<math>\big)</math>, raison pour laquelle leur utilisation doit être réfléchie <math>\;\big[</math>personnellement j'éviterais, par la suite, à m'y référer<math>\big]</math>.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math>la « masse apparente <math>\;m_{\text{app}} = \gamma_M(t)\;m = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{p}_M(t) = m_{\text{app}}\;\vec{V}_M(t)\;</math> en translation relativiste » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math>le « moment d'inertie apparent <math>\;J_{\Delta,\,\text{app}}(M) = \gamma_M(t)\;J_{\Delta}(M) = \dfrac{J_{\Delta}(M)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math> <math>\big[</math>ou <math>\;J_{\Delta,\,\text{app}}(M) = m_{\text{app}}\;R^2\big]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>J_{\Delta,\,\text{app}}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en rotation relativiste ». == Aspect de la cinétique de M dans le référentiel d’étude relativement à un axe Δ, définition dans ce référentiel du moment cinétique de M par rapport à l’axe Δ (ou « moment cinétique scalaire de M ») == === Notion d’« équiprojectivité » du « champ de vecteurs moment d’un champ vectoriel » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un champ de vecteurs <math>\;\vec{f}(M)\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]]<math>\;\mathcal{E}\;</math>» du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » à savoir <center>«<math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{f}(N) \cdot \overrightarrow{MN}\;</math>»,</center> {{Al|5}}n'est pas vérifiée pour n'importe quel champ de vecteurs mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}cette propriété d’« <u>équiprojectivité</u> » est « <u>applicable au champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel quelconque</u> <math>\;\vec{C}(M)\;</math> défini par <math>\;\forall\;P \in \mathcal{E}</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{PM} \wedge \vec{C}(M)\;</math>», en effet {{Nobr|«<math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2,</math>}} <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ} \;\overset{\text{?}}{=}\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left[ \overrightarrow{PM} \wedge \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ} \;\overset{\text{?}}{=}</math> <math>\left[ \overrightarrow{QM} \wedge \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \left[ \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QM} \right] \wedge \vec{C}(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{PQ} \;\overset{\text{?}}{=}\;</math> <math>\left[ \overrightarrow{QM} \wedge \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\;</math>» par utilisation de la relation de Chasles<ref name="Chasles" /> soit enfin, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle" /> dans le 1^er membre de cette équation que l'on cherche à vérifier {{Nobr|«<math>\;\cancel{\left[ \overrightarrow{PQ} \wedge \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\; +}\; \left[ \overrightarrow{QM} \wedge \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}</math>}} <math>\overset{\cancel{\text{?}}}{=}\;\left[ \overrightarrow{QM} \wedge \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\;</math>» ce qui établit la propriété d’« <u>équiprojectivité</u> » compte-tenu de la nullité du 1^er produit mixte du 1^er membre<ref name="produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <center>en conclusion on retient «<math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2,\quad \overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\qquad\forall\;\vec{C}(M)\;</math>».</center> === Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique de M » dans le référentiel d’étude et conséquence, notion de « moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » === {{Al|5}}Le « vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point origine de calcul du moment cinétique<math>\big)\;</math>» étant le « vecteur moment du champ vectoriel quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_M\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="dépendances particulières du champ vectoriel" /> par rapport à <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point origine de calcul du moment<math>\big)\;</math>», nous en déduisons l'« <u>équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique du point matériel</u> <math>\;M\;</math>» dans le référentiel d’étude soit <center>«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\quad \overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : avec la notion <math>\;\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\;</math> de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs|torseur]] » introduite dans le chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », le vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t)\;</math>» étant le moment du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] de <math>\;M\;</math> «<math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. de}\,M}\;</math>» d'[[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Réduction_d'un_torseur_en_un_point_quelconque_de_l'espace_affine_euclidien_tridimensionnel_sur_lequel_il_est_défini|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. de}\,M} =</math>}} <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{p}_M(t) = m\;\vec{V}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t)\end{array}\right\rbrace_A</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le « moment d'un torseur au point <math>\;A\;</math>» étant <u>par définition</u> un « champ de vecteurs <u>équiprojectif</u> »<ref name="définition d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur|définition d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « <u>équiprojectif</u> » du « vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : considérant un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque et deux points quelconques <math>\;\big(</math>distincts<math>\big)\;</math> de cet axe <math>\;\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2</math>, nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> la relation «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'}\;</math>»<ref name="invariants de torseur"> Il s'agit aussi d'un invariant du torseur cinétique <math>\;\big[</math>voir la notion d'invariants de torseur dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Invariants_d'un_torseur|invariants d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : }}en orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{AA'} = \overline{AA'}\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et en simplifiant par <math>\;\overline{AA'} \neq 0</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M,\, t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»<ref> On peut aussi le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) = \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M,\, t) + \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{p}_M(t)\;</math> et en multipliant scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on obtient alors, par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'égalité cherchée car <math>\;\left[ \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{p}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math> dans la mesure où <math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math> étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le produit mixte est nul <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> cette valeur constante sur <math>\;\Delta\;</math> définissant le moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>. {{Définition|titre= Moment cinétique (scalaire) de M dans le référentiel d'étude par rapport à Δ|contenu = {{Al|5}}Le moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> est la grandeur scalaire, définie à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\, t) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\; A \in \Delta\;</math>» avec <br><math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> « le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math>» et <br><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t)\;</math> « le vecteur moment cinétique de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> <br>évalué en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\Delta\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>», <br> soit encore, <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\, t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\;A \in \Delta\;</math> avec <br><math>\;\vec{p}_M(t)\;</math> « le vecteur quantité de mouvement de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse dans un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> ainsi que de la disposition du point <math>\;M\;</math> par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel <math>\;(\mathcal{R})</math>. == Retour sur le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé == === Évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, par rapport au centre <math>\;C\;</math> du cercle <math>\;\big(</math>« support de la trajectoire de <math>\;M\;</math>»<ref name="trajectoire circulaire" /><math>\big)\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) = J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> le moment d'inertie du point <math>\;M\;</math> relativement à l'axe <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> le vecteur rotation instantanée<ref name="vecteur rotation instantanée" /> du mouvement du point », nous en déduisons {{Al|5}}après orientation de l'axe <math>\;\Delta\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire de rotation du point <math>\;M\;</math> sur le cercle », {{Al|5}}l'expression du moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> du cercle, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\, t) = \overrightarrow{\sigma}_{\!C}(M,\,t) \cdot \vec{u}_\Delta = J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\, t) = J_{\Delta}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref> Expression à retenir.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation de son mouvement circulaire étant la projection sur <math>\;\Delta\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> par rapport à n'importe quel point de <math>\;\Delta</math>, on vérifie qu'en prenant un point origine <math>\;A \in \Delta</math> <math>\;\big(</math>avec <math>\;A \neq</math> <math>C\;</math> centre du cercle<math>\big)\;</math> on trouve le même résultat, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ayant établi précédemment «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) = \overrightarrow{\sigma}_C(M,\, t) + \overrightarrow{\sigma}_{A,\,\perp\, \text{à}\;\Delta}(M,\,t)\;</math>»<ref> Avec plus précisément «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\perp\, \text{à}\;\Delta}(M,\,t) = - m\; \overline{\Omega}(t)\;\overline{AC}\;\overrightarrow{CM}(t)</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> mais seule la propriété de perpendicularité de cette composante est à retenir <math>\;\ldots</math></ref> et multipliant scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> on obtient, après utilisation de la distributivité du produit scalaire relativement à l’addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\sigma}_C(M,\, t) \cdot \vec{u}_\Delta\; \cancel{+\; \overrightarrow{\sigma}_{A,\,\perp\, \text{à}\;\Delta}(M,\,t) \cdot \vec{u}_\Delta}\;</math>», « le 2^ème terme du 2^ème membre étant nul car <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A,\,\perp\, \text{à}\;\Delta}(M,\,t)\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et « le 1^er terme restant du 2^ème membre étant égal à <math>\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>». === Expression symbolique reliant la cinétique et la cinématique dans le cas d’un mouvement circulaire autour d’un axe Δ === {{Al|5}}En cinétique classique<ref name="classique" /> d'un point matériel de masse <math>\;m\;</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Analogie_entre_la_cinétique_d’un_point_matériel_en_mouvement_quelconque_et_celle_d’un_point_matériel_en_mouvement_de_rotation_autour_d’un_axe_Δ|analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ]] » plus haut dans ce chapitre entre la « grandeur cinétique “moment cinétique scalaire” <math>\;\sigma_\Delta(M,\,t)\;</math> du point » et la « grandeur cinématique “vitesse angulaire de rotation” <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> du point », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> représentant la grandeur d'inertie » soit <center><math>\;\begin{array}{c} \sigma_\Delta(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \overline{\Omega}(t)\\ \text{« grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique » ;}\end{array}</math></center> {{Al|5}}on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique<ref name="classique" /> entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes <center>«<math>\;\begin{array}{c} \text{translation} & \vec{p}_M(t) &= &m &\times & \vec{V}_M(t) \\ & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow \\ \text{rotation} & \sigma_\Delta(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \overline{\Omega}(t)\end{array}\;</math>».</center> === Complément, expression relativiste du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle === {{Al|5}}Ayant établi, plus haut dans ce chapitre, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Complément,_expression_relativiste_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle]] », l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le point origine de calcul du vecteur moment cinétique étant le centre <math>\;C\;</math> du cercle, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;J_{\Delta}(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»</center> {{Al|5}}dans laquelle «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est le vecteur rotation instantanée », «<math>\;J_{\Delta}(M)\;</math> le moment d'inertie du point <math>\;M\;</math> autour de son axe de rotation <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\gamma_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math> le facteur de {{Nobr|Lorentz<ref name="Lorentz" />}} du point <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>», il suffit, pour établir l'expression relativiste du moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta</math>, ce dernier étant l'axe par rapport auquel le moment cinétique scalaire est évalué, de projeter <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t)\;</math> sur le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\Delta</math>, d'où {{Al|5}}«<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{relativ}}(M,\,t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left[ \gamma_M(t)\;\overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{newton}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \gamma_M(t) \left[ \overrightarrow{\sigma}_{C,\,\text{newton}}(M,\,t) \cdot \vec{u}_\Delta \right]\;</math>» soit encore, en reconnaissant dans l'expression entre crochets le moment cinétique scalaire <math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{newton}}(M,\,t)\;</math> que le point matériel en mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> aurait en cinétique classique<ref name="classique" />, la relation suivante, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;\sigma_{\Delta,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\overline{\Omega}(t)}{c} \right]^{\!2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math>», <br>«<math>\;J_{\Delta}(M)\;</math> le moment d'inertie du point <math>\;M\;</math> autour de son axe de rotation <math>\;\Delta\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de rotation de <math>\;M\;</math> sur le cercle ».</center> {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse <math>\;m\;</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta</math>, de centre <math>\;C\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées dans le paragraphe plus haut dans ce chapitre, entre la « grandeur cinétique <math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t)\;</math>» et la « grandeur cinématique <math>\;\gamma_M(t)\;\overline{\Omega}(t) =</math> <math>\dfrac{\overline{\Omega}(t)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\overline{\Omega}(t)}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>», le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> représentant la grandeur d'inertie » soit <center>«<math>\;\begin{array}{c} \sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \gamma_M(t)\;\overline{\Omega}(t)\\ & & \text{ou} & & \\ \sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \dfrac{\overline{\Omega}(t)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\overline{\Omega}(t)}{c} \right]^{\!2}}}\\ \text{grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique}\end{array}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : là encore, dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique<ref name="classique" /> et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes »<ref name="inconvénient des grandeurs d'inertie apparentes" /> {{Nobr|c'est-à-dire}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math>la « masse apparente <math>\;m_{\text{app}} = \gamma_M(t)\;m = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{\Vert \vec{V}_M(t) \Vert}{c} \right]^{\!2}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{p}_M(t) = m_{\text{app}}\;\vec{V}_M(t)\;</math> en translation relativiste » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math>le « moment d'inertie apparent <math>\;J_{\Delta,\,\text{app}}(M) = \gamma_M(t)\;J_{\Delta}(M) = \dfrac{J_{\Delta}(M)}{\sqrt{1 - \left[ \dfrac{R\;\overline{\Omega}(t)}{c} \right]^{\!2}}}\;</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;J_{\Delta,\,\text{app}}(M) = m_{\text{app}}\;R^2\big]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>J_{\Delta,\,\text{app}}(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en rotation relativiste ». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] }} qx5fpjjwpj6hn7fe69vev5qf2iu3rgk 0 73208 982918 978974 2026-05-18T19:29:05Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982918 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 29 | niveau = 14 | précédent = [[../Formes différentielles et différentielles de fonctions/]] | suivant = [[../Système d'équations différentielles couplées et leur découplage/]] }} == Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte == === Définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel === [[File:Flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte.png|thumb|left]] {{Al|5}}Soient un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel<ref name="champ vectoriel de l'espace"> Voir le paragraphe « [[../Champs_(ou_fonctions)_scalaire_et_vectoriel(le)_de_l'espace,_différentielle_d'un_champ_de_deux_variables#Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace|Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}une courbe continue fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big(</math>a priori gauche<ref name="gauche"> C.-à-d. non plane.</ref><math>\big)\;</math> à orientation non préférentielle et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}une surface ouverte <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dont l'orientation est en accord avec celle de la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> la limitant<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant"> Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on peut appliquer la <u>règle du tire-bouchon de Maxwell</u> pour déterminer l'orientation de la surface ouverte <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de celle de la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> la limitant : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point <math>\;P_\Gamma\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitrophe de <math>\;(\Gamma)\;</math> et le tournant dans le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math>, le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;P_\Gamma\;</math> correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en tout autre point <math>\;M\;</math> étant obtenu par continuité » <math>\;\big[</math>on peut aussi appliquer la <u>règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier</u>, le pouce pointant le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière, l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P\;</math> et le majeur pointant le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M\big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans l'hypothèse <math>\;\big(</math>excessivement rare<math>\big)\;</math> où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on utilisera la <u>règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher</u>, le pouce pointant le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière, l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P\;</math> et le majeur pointant le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M</math>, ce qui donne un sens opposé à celui qu'on obtiendrait avec un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.</ref>, <br>{{Al|5}}nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de [[w:Flux_(physique)|flux]] du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux }}à travers la surface ouverte orientée <math>\;(\mathcal{S})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons de présenter plus formellement la }}notion qui a été introduite une 1^ère fois au paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons }}du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons de présenter plus formellement la notion }}dont un exemple a été fourni au paragraphe <br>{{Al|7}}{{Transparent|nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemple_de_calcul_de_flux_de_champ_vectoriel|exemple de calcul de flux de champ vectoriel]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons }}du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|5}}Ci-contre schéma de définition du [[w:Flux_(physique)|flux]] d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> d'un espace tridimensionnel à travers une surface ouverte <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math><ref> L'orientation de la surface ouverte étant liée à celle de la courbe fermée la limitant selon la règle rappelée en note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#cite_note-orientations_conjuguées_de_surface_ouverte_et_de_courbe_fermée_la_limitant-3|³]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. {{Définition|titre=Flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel|contenu={{Al|5}}Soient <math>\;\vec{A}(M)\;</math> un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel<ref name="champ vectoriel de l'espace" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}<math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> un vecteur surface élémentaire positionné en <math>\;M\;</math><ref name="vecteur surface élémentaire"> Voir le paragraphe « [[../Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface|Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, point de définition du champ vectoriel, <br>{{Al|5}}on appelle « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers le vecteur élément de surface <math>\;\overrightarrow{dS}_M</math> »,<br>{{Al|5}}{{Transparent|on appelle « }}la [[w:Forme_bilinéaire_symétrique#Définition|forme bilinéaire symétrique]]<ref name="infiniment petit d'ordre deux"> Dont un des vecteurs de définition de la [[w:Forme_bilinéaire_symétrique#Définition|forme bilinéaire symétrique]] est un élément de surface c.-à-d., au sens de la physique, un infiniment petit d'ordre deux.</ref> «<math>\;\delta \Phi\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>».}} === Définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte === {{Définition|titre=Flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte|contenu={{Al|5}}Soient <math>\;\vec{A}(M)\;</math> un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel<ref name="champ vectoriel de l'espace" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}<math>\;(\mathcal{S})\;</math> une surface ouverte limitée par la courbe fermée <math>\;(\Gamma)</math>, orientée de façon arbitraire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> une surface ouverte limitée par la courbe fermée <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}l'orientation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant définie en accord avec celle de <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" />, <br>{{Al|5}}on appelle « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers la surface ouverte orientée <math>\;(\mathcal{S})\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on appelle « }}l'intégrale surfacique «<math>\;\Phi_{(\mathcal{S})}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S})} \delta \Phi\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. <br>{{Al|5}}<u>Unité de [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] de champ vectoriel</u> : <math>\left[ A \right]\;</math> étant l'unité dans laquelle les composantes et la norme du champ vectoriel <math>\;\vec{A}\;</math> sont mesurées, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Unité de flux de champ vectoriel : }}l'unité dans laquelle s'exprime le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] <math>\;\Phi_{(\mathcal{S})}\! \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}\;</math> à travers la surface <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Unité de flux de champ vectoriel : l'unité dans laquelle s'exprime le flux <math>\;\color{transparent}{\Phi_{(\mathcal{S})}\! \left[ \vec{A}(M) \right]}\;</math> }}est <math>\;\left[ A \right] \cdot m^2</math>.}} === 1^ère définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel === {{Définition|titre=Champ vectoriel à flux conservatif (1^ère définition)|contenu={{Al|5}}Un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel<ref name="champ vectoriel de l'espace" /> est dit « <u>à flux conservatif</u> » <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel }}ssi, <math>\;(\Gamma)\;</math> étant une courbe fermée quelconque orientée <math>\;\big(</math>de façon arbitraire<math>\big)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ssi, }}<u>le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ vectoriel à travers une surface ouverte quelconque</u> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel si, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte }}<u>s'appuyant sur</u><math>\;(\Gamma)\;</math><br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ssi, le flux du champ vectoriel }}<u>est indépendant de la surface ouverte choisie</u> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel }}ou, <math>\;\mathcal{S}_{(\Gamma)}\;</math> et <math>\;{\mathcal{S}'}_{(\Gamma)}\;</math> étant deux surfaces ouvertes quelconques s'appuyant <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ou, <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}_{(\Gamma)}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{{\mathcal{S}'}_{(\Gamma)}}\;</math> étant deux surfaces ouvertes }}toutes deux sur <math>\;(\Gamma)\;</math> et dont <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ou, <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}_{(\Gamma)}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{{\mathcal{S}'}_{(\Gamma)}}\;</math> étant }}les orientations sont en accord avec celle de <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel }}ssi «<math>\;\Phi_{\mathcal{S}_{(\Gamma)}}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \Phi_{{\mathcal{S}'}_{(\Gamma)}}\! \left[ \vec{A}(M) \right],\;\;\forall \;( \Gamma )\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ssi «}}<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{(\Gamma)}} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \displaystyle\iint\limits_{{\mathcal{S}'}_{(\Gamma)}} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M,\;\;\forall \;( \Gamma )\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />.}} == Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée == === Définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée === {{Définition|titre=Flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée|contenu={{Al|5}}Soient <math>\;\vec{A}(M)\;</math> un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel<ref name="champ vectoriel de l'espace" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}<math>\;(\mathcal{S})\;</math> une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur<ref name="orientation usuelle d'une surface fermée"> C'est l'orientation systématiquement choisie sauf avis contraire.</ref>, <br>{{Al|5}}on appelle « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] sortant<ref name="flux sortant"> Quand c'est sous-entendu, il s'agit toujours du [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] sortant <math>\;\ldots</math></ref> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers la surface fermée <math>\;(\mathcal{S})\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on appelle « }}l'intégrale surfacique «<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\Phi_{(\mathcal{S})}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \delta \Phi\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\\ \qquad\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si on choisit d'orienter la surface fermée <math>\;(\mathcal{S})\;</math><u>de l'extérieur vers l'intérieur</u>, on définit le <u>[[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] entrant</u> du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers la surface fermée <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math>de l'extérieur vers l'intérieur, on définit }}«<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\Phi_{\text{entrant},\,(\mathcal{S})}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\\ \qquad\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math>de l'extérieur vers l'intérieur, on définit }}ce [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] étant <u>l'opposé du [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] sortant</u> précédemment défini. === 2^ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel === {{Définition|titre=Champ vectoriel à flux conservatif (2^ème définition)|contenu={{Al|5}}Un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel<ref name="champ vectoriel de l'espace" /> est dit « <u>à flux conservatif</u> » <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel }}ssi, <u>le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée quelconque</u> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ssi, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée }}<u>est nul</u> ou <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel }}ssi, <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant une surface fermée quelconque orientée <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ssi, <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> étant une surface fermée quelconque }}de l'intérieur vers l'extérieur, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel ssi, }}«<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\Phi_{(\mathcal{S})}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 0\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />.}} [[File:Flux d'un champ vectoriel à travers deux surfaces ouvertes s'appuyant sur le même contour fermé.png|thumb|Schéma de définition du [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers deux surfaces ouvertes <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\mathcal{S}')\;</math> s'appuyant sur le même contour fermé <math>\;(\Gamma)\;</math> et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" />]] {{Al|5}}<u>Établissement de l'équivalence des deux définitions</u> : <math>\bullet\;</math>la 1^ère définition <math>\Rightarrow</math> la 2^ème définition, en effet le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> étant à flux conservatif, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}son [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] à travers les deux surfaces ouvertes <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;(\mathcal{S}')\;</math> s'appuyant sur le même contour fermé <math>\;(\Gamma)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son flux à travers }}dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}est le même c'est-à-dire «<math>\;\Phi_{(\mathcal{S})}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \Phi_{(\mathcal{S}')}\! \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S}')} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}formant la surface fermée <math>\;(\mathcal{S} \cup \mathcal{S}')\;</math> et l'orientant de l'intérieur vers l'extérieur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>formant la surface fermée <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S} \cup \mathcal{S}')}\;</math> et }}<math>\big[</math>on conserve donc l'orientation de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et on inverse celle de <math>\;(\mathcal{S}')\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}on en déduit alors «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = -\displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S}')_{\text{sens}\,+\,\text{inv}}} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> c'est-à-dire, après transposition, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on en déduit alors }}«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M + \displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S}')_{\text{sens}\,+\,\text{inv}}} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 0\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> soit finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on en déduit alors }}«<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S}\, \cup\, \mathcal{S}')} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 0\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème définition <math>\Rightarrow</math> la 1^ère définition, en effet le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> étant à flux conservatif, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}son [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] sortant à travers une surface fermée <math>\;(\mathcal{S})\;</math> quelconque est nul c'est-à-dire «<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 0\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}traçant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> une courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> quelconque qui sépare <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en surfaces ouvertes <math>\;(\mathcal{S}_1)\;</math> et <math>\;(\mathcal{S}_2)\;</math> s'appuyant toutes deux sur <math>\;(\Gamma)\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>traçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}orientant <math>\;(\Gamma)\;</math> dans un sens arbitraire <math>\Rightarrow</math> l'orientation d'une des surfaces ouvertes en accord avec celle de <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>traçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> orientant <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> dans un sens arbitraire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'orientation d'une des surfaces ouvertes }}<math>\big[</math>par exemple <math>\;(\mathcal{S}_1)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>traçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> orientant <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> dans un sens arbitraire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'orientation de l'autre surface étant l'opposée de celle en accord avec le sens de <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>traçant sur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> orientant <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> dans un sens arbitraire <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'orientation de l'autre surface étant l'opposée }}<math>\big[</math>il s'agit donc de <math>\;(\mathcal{S}_2)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'équivalence des deux définitions : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}on en déduit alors «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S}_1)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M + \displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S}_2)} \vec{A}(M) \cdot \left( -\overrightarrow{dS}_M \right) = 0\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> ou encore «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S}_1)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \displaystyle\iint\limits_{(\mathcal{S}_2)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. == Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence) == {{Al|5}}Le [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de Green - Ostrogradsky]] <ref name="Green"> '''[[w:George_Green_(physicien)|George Green]] (1793 - 1841)''' physicien britannique à qui on doit, entre autres, un ''essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme'' paru en <math>\;1828\;</math> dans lequel on trouve le [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|théorème de Green - Riemann]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<math>\big)</math>, cas particulier du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]], ainsi que l'idée des [[w:Fonction_de_Green|fonctions de Green]] ;<br>{{Al|3}} '''[[w:Bernhard_Riemann|Bernhard Riemann]] (1826 - 1866)''' mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration<math>\big)\;</math> et à la [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques utilisant les outils du [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] pour modéliser une [[w:Espace_de_Minkowski|courbure de l'espace-temps]]<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}} '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème portant son nom]] mais en fait une 1sup>ère</sup> démonstration de ce théorème fût donnée en <math>\;1820\;</math> par '''[[w:Mikhaïl_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit aussi, entre autres, le [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de flux - divergence]] portant partiellement son nom.</ref>{{,}}<ref name="Ostrogradsky"> '''[[w:Mikhail_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit, entre autres, ce théorème portant son nom <math>\;\big[</math>ainsi que celui de '''[[w:George_Green_(physicien)|George Green]] (1793 - 1841)''' physicien britannique qui l'établit indépendamment de lui<math>\big]\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>admis<math>\big)\;</math> transforme le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] sortant d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée quelconque <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref> C.-à-d. une intégrale surfacique sur une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur.</ref> <br>{{Al|18}}{{Transparent|Le théorème de Green - Ostrogradsky <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>admis<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> transforme }}en intégrale volumique de la [[w:Divergence_(analyse_vectorielle)#Définition_en_dimension_3|divergence]] du champ vectoriel <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="divergence"> Voir le paragraphe « [[../Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_scalaire_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> sur <math>\;\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}\;</math> l'expansion tridimensionnelle <br>{{Al|23}}{{Transparent|Le théorème de Green - Ostrogradsky <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>admis<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}}\;</math> }}intérieure à la surface fermée <math>\;(\mathcal{S})\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)|contenu={{Al|5}}Soient <math>\;\vec{A}(M)\;</math> un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel<ref name="champ vectoriel de l'espace" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}<math>\;(\mathcal{S})\;</math> une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur<ref name="orientation usuelle d'une surface fermée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}<math>\;\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}\;</math> l'expansion tridimensionnelle intérieure à la surface fermée <math>\;(\mathcal{S})</math>, <br>{{Al|5}}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] sortant<ref name="flux sortant" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers la surface fermée <math>\;(\mathcal{S})\;</math>», «<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\Phi_{\text{sortant},\,(\mathcal{S})}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|le « flux sortant }}est égal à l'intégrale volumique<ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[../Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|Les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de la [[w:Divergence_(analyse_vectorielle)#Définition_en_dimension_3|divergence]] du champ vectoriel <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="divergence" /> sur <math>\;\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}\;</math> soit <center>«<math>\;\Phi_{\text{sortant},\,(\mathcal{S})}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \begin{array}{c}\qquad\\ \displaystyle\iiint\limits_{\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}} \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;d \tau_P\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="C.N. d'application du théorème de Green - Ostrogradsky"> Pour appliquer ce théorème, il est indispensable que la surface fermée soit <u>orientée de l'intérieur vers l'extérieur</u>.</ref> ou <br>«<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\ \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\end{array}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>\begin{array}{c}\qquad\\= \displaystyle\iiint\limits_{\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}} \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;d \tau_P\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="C.N. d'application du théorème de Green - Ostrogradsky" />.</center>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : ce [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème]] ne s'applique qu'à la condition que la [[w:Divergence_(analyse_vectorielle)#Définition_en_dimension_3|divergence]] du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(P)\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;</math><ref name="divergence" /> soit définie en tout point de <math>\;\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}</math> et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que }}le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(P)\;</math> doit être continûment dérivable en tout point de <math>\;\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}</math>. == Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel == {{Al|5}}<u>Propriété directe</u> : Soit un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » et une surface fermée <math>\;(\mathcal{S})\;</math> quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur, * la 2^ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\Phi_{\text{sortant},\,(\mathcal{S})}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 0\;\;\forall\;(\mathcal{S})\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="2ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#2ème_définition_(équivalente)_d'un_champ_vectoriel_à_flux_conservatif_de_l'espace_tridimensionnel|2^ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, * l'application du [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de Green - Ostrogradsky]]<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Ostrogradsky" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}} \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;d \tau_P\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="théorème de Green - Ostrogradsky"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Théorème_de_Green_-_Ostrogradsky_(ou_théorème_de_flux_-_divergence)|théorème de Green - Ostrogradsky]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, * l'utilisation des deux résultats ci-dessus <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})}} \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;d \tau_P = 0\;\;\forall\;(\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})})\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> et, comme l'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V}_{\text{int. à }(\mathcal{S})})\;</math> sur laquelle l'intégration est faite est quelconque, <br>{{Transparent|l'utilisation des deux résultats ci-dessus <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la fonction scalaire de l'espace tridimensionnel à intégrer est nulle en tout point de l'espace soit «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) = 0\;\;\forall\;P\;</math>»<ref name="divergence" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Propriété directe : }}un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » est tel que sa [[w:Divergence_(analyse_vectorielle)#Définition_en_dimension_3|divergence]] <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref name="divergence" /> est nulle en tout point <math>\;M\;</math> de son domaine de définition. {{Al|5}}<u>Propriété réciproque</u> : soit un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel vérifiant <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math><ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence"> Il faut qu'il n'existe aucun point <math>\;M\;</math> où <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> serait <math>\;\neq 0\;</math> ou non défini.</ref> et une expansion tridimensionnelle quelconque limitée par <math>\;( \mathcal{S} )</math>, <math>\;\mathcal{V}_{\text{lim. par }(\mathcal{S})}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Propriété réciproque : soit un champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel vérifiant <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M}\;</math> et }}<math>( \mathcal{S} )\;</math> étant une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur, * l'utilisation du [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de Green - Ostrogradsky]]<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Ostrogradsky" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\\displaystyle\iiint\limits_{\mathcal{V}_{\text{lim. par }(\mathcal{S})}} \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;d \tau_P = \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="théorème de Green - Ostrogradsky" />, * la nullité de la [[w:Divergence_(analyse_vectorielle)#Définition_en_dimension_3|divergence]] <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math><ref name="divergence" /> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\mathcal{V}_{\text{lim. par }(\mathcal{S})}} \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)\;d \tau_P = \displaystyle\iiint\limits_{\mathcal{V}_{\text{lim. par }(\mathcal{S})}} 0\;d \tau_P = 0\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, * l'utilisation des deux résultats ci-dessus <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\begin{array}{c}\qquad\\ \displaystyle\oiint\limits_{(\mathcal{S})} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 0 \end{array}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> ce qui assure que le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est « à flux conservatif » ; {{Al|5}}{{Transparent|Propriété réciproque : }}un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel vérifiant <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math><ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence" /> est « à flux conservatif ». {{Théorème|titre=Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel| contenu = {{Al|5}}Un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel est « à flux conservatif » ssi «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math>»<ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence" />.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : la condition pour que la propriété réciproque soit applicable est qu'il n'existe aucun point de <math>\;\mathcal{V}_{\text{lim. par }(\mathcal{S})}\;</math> pour lequel la [[w:Divergence_(analyse_vectorielle)#Définition_en_dimension_3|divergence]] du champ vectoriel <math>\;\vec{A}\;</math> n'est pas défini. == Condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif == {{Al|5}}D'après le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Proprété_locale_d'un_champ_vectoriel_à_flux_conservatif_de_l'espace_tridimensionnel|propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel]] » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|D'après le paragraphe }}la C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour qu'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » <br>{{Al|10}}{{Transparent|D'après le paragraphe la C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais a priori non suffisante<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}s'identifie à la propriété locale d'un tel champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> « à flux conservatif » à savoir «<math>\;\mathrm{div}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math>»<ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence" />. <br>{{Al|5}}Ci-après nous allons réécrire la condition dans les trois principaux types de repérage du point de l'espace : === Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cartésien === {{Al|5}}En repérage cartésien le champ vectoriel se décomposant en «<math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\;\vec{u}_x + A_y(M)\;\vec{u}_y + A_z(M)\;\vec{u}_z\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En repérage cartésien }}la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à flux conservatif » s'écrivant «<math>\;\mathrm{div}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math>»<ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En repérage cartésien }}nous explicitons cette dernière selon «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) = 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles"> Voir la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_des_dérivées_partielles|définition des dérivées partielles]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="divergence en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien|Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. === Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cylindro-polaire === {{Al|5}}En repérage cylindro-polaire<ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, le champ vectoriel se décomposant en «<math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\;\vec{u}_\rho + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_z(M)\;\vec{u}_z\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|En repérage cylindro-polaire }}la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à flux conservatif » s'écrivant «<math>\;\mathrm{div}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math>»<ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence" />, <br>{{Al|12}}{{Transparent|En repérage cylindro-polaire }}nous explicitons cette dernière selon «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M) = 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref name="divergence en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire|Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution</u><ref name="champ vectoriel à symétrie de révolution"> Correspondant à <math>\;\vec{A}(M)\;</math> radial <math>\;\Big\{</math>c.-à-d. tel que <math>\;A_\theta(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math> et <math>\;A_z(M) = 0\;\;\forall\;M\Big\}\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|Correspondant à }}la composante radiale ne dépendant que de <math>\;\rho\;</math> soit «<math>\;A_\rho(M) = A_\rho(\rho)\;</math>» <math>\;\Bigg\{\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\! \rho,\,z}(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\! \rho,\,\theta}(M) = 0\;\;\forall\;M\Bigg\}</math>.</ref> : la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que «<math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(\rho)\;\vec{u}_\rho(\theta)\;</math>» soit « à flux conservatif » <br>{{Al|17}}{{Transparent|Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution : la C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais a priori non suffisante<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}se simplifie en «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) =</math> <math>\vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \dfrac{1}{\rho}\; \dfrac{d \left[ \rho\, A_\rho \right]}{d \rho}(M) = 0\;</math>». === Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage sphérique === {{Al|5}}En repérage sphérique<ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, le champ vectoriel se décomposant en «<math>\;\vec{A}(M) = A_r(M)\;\vec{u}_r + A_\theta(M)\;\vec{u}_\theta + A_\varphi(M)\;\vec{u}_\varphi\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|En repérage sphérique }}la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que <math>\;\vec{A}(M)\;</math> soit « à flux conservatif » s'écrivant «<math>\;\mathrm{div}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math>»<ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence" />, <br>{{Al|12}}{{Transparent|En repérage sphérique }}cette dernière se réécrit selon «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi}\!\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M) = 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles" />{{,}}<ref name="divergence en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique|Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique</u><ref name="champ vectoriel à symétrie sphérique"> Correspondant à <math>\;\vec{A}(M)\;</math> radial <math>\;\Big\{</math>c.-à-d. tel que <math>\;A_\theta(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math> et <math>\;A_\varphi(M) = 0\;\;\forall\;M\Big\}\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|Correspondant à }}la composante radiale ne dépendant que de <math>\;r</math> soit «<math>\;A_r(M) = A_r(r)\;</math>» <math>\;\Bigg\{\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)_{\!\! r,\,\varphi}(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\! r,\,\theta}(M) = 0\;\;\forall\;M\Bigg\}</math>.</ref> : la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que «<math>\;\vec{A}(M) = A_r(r)\;\vec{u}_r(\theta\,,\,\varphi)\;</math>» soit « à flux conservatif » <br>{{Al|17}}{{Transparent|Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique : la C.N. <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>mais a priori non suffisante<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}se simplifie en «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M) = \dfrac{1}{r^2}\; \dfrac{d \left[ r^2\, A_r \right]}{d r}(M) = 0\;</math>». == Condition suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif == {{Al|5}}Pour que le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » il suffit que «<math>\;\mathrm{div}\! \left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;\;\forall\;M\;</math>»<ref name="divergence" />{{,}}<ref name="soulignement de l'exigence" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » }}avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point de l'espace de définition de <math>\;\vec{A}</math> <math>\;\big(\mathbb{R}^3\;</math> en absence de restriction<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point }}en lequel <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A}\right]\!(M)\;</math> soit non défini ou <math>\;\neq 0\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Propriété_locale_d'un_champ_vectoriel_à_flux_conservatif_de_l'espace_tridimensionnel|propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'}}il n'existe aucun point <math>\;P\;</math> d'un ouvert quelconque <math>\;U\;</math> de l'espace de définition de <math>\;\vec{A}\;</math><ref name="absence de restriction du domaine de définition du champ vectoriel"> C.-à-d. <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> en absence de restriction du domaine de définition du champ vectoriel <math>\;\vec{A}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> }}tel que, pour tout point <math>\;Q \in U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right] \not\subset U\;</math> c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que le champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu' }}tout ouvert <math>\;U\;</math> de l'espace de définition de <math>\;\vec{A}\;</math><ref name="absence de restriction du domaine de définition du champ vectoriel" /> est [[w:Partie_étoilée|étoilé]] <ref name="ouvert étoilé de R3"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> d'où la proposition suivante : <center><math>\;\vec{A}(M)\;</math> est « à flux conservatif » sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="ouvert étoilé de R3" /> ssi «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = 0\;</math> en tout point de cet ouvert ».</center> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Formes différentielles et différentielles de fonctions/]] | suivant = [[../Système d'équations différentielles couplées et leur découplage/]] }} cp9tlrvk9m3ch5d2ez4tkiuewoqc44h 0 73260 982921 978975 2026-05-19T05:23:21Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982921 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 30 | niveau = 14 | précédent = [[../Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif/]] | suivant = }} <center>Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.</center> == Notion de système d'équations différentielles couplées == {{Définition|titre=Système d'équations différentielles couplées|contenu={{Al|5}}Les équations d'un système de <math>\;n\;</math> équations différentielles à <math>\;n\;</math> fonctions indépendantes d'une même variable <math>\;\big[</math>avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\backslash{\left\lbrace 1 \right\rbrace}\big]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Les équations }}sont dites « couplées » lorsqu'aucune des <math>\;n\;</math> équations différentielles ne peut être résolue indépendamment des autres<ref name="couplage d'un système d'équations différentielles"> C.-à-d. aucune des <math>\;n\;</math> équations différentielles ne peut être résolue sans connaître les solutions des <math>\;n - 1\;</math> autres équations différentielles.</ref>.}} {{Al|5}}La méthode de résolution du système des <math>\;n\;</math> équations différentielles « couplées » aux <math>\;n\;</math> fonctions indépendantes de la même variable <math>\;\big[</math>avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\backslash{\left\lbrace 1 \right\rbrace}\big]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La méthode de résolution }}consiste à réaliser un « <u>découplage</u> » c'est-à-dire trouver un système équivalent de <math>\;n\;</math> autres équations différentielles à <math>\;n\;</math> autres fonctions indépendantes de la même variable <br />{{Al|5}}{{Transparent|La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » c'est-à-dire trouver un système équivalent }}tel que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable<ref> Il n'y a pas de méthode standard de « découplage », ce dernier dépendant du type d'équations différentielles « couplées » présentes dans le système ; <br>{{Al|3}}aussi va-t-on simplement exposer des exemples de système d'équations différentielles couplées et présenter un « découplage » adapté aux équations différentielles du système <math>\;\big[</math>le découplage, quand il est possible, pouvant d'ailleurs ne pas être unique<math>\big]</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » }}il est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres <br />{{Al|5}}{{Transparent|La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible }}<math>\big[</math>c'est-à-dire de trouver les <math>\;n\;</math> nouvelles fonctions de la même variable<math>\big]\;</math> puis <br />{{Al|5}}{{Transparent|La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible }}d'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées » <br />{{Al|5}}{{Transparent|La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible }}<math>\big[</math>c'est-à-dire de trouver les <math>\;n\;</math> fonctions d'origine de la même variable<math>\big]</math>. == Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant == === Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable === {{Al|5}}Soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) = e_1\;f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + c_2\;f_2(x) = e_2\;f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles"> Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que ses dérivées dans un 1^er membre, l'autre fonction <math>\;\big(</math>seule, sans ses dérivées<math>\big)\;</math> apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système"> Pour que chaque équation différentielle soit qualifiée de « linéaire », il faut qu'elle le soit relativement à chaque fonction, celle apparaissant dans le 1^er membre et celle apparaissant dans le 2^ème c.-à-d. dans l'« excitation ».</ref> avec les quatre constantes <math>\;\left( c_1\,,\,c_2\,,\,e_1\,,\,e_2 \right) \in \left[ \mathbb{R}^{*} \right]^4\;</math> connues et les deux fonctions réelles <math>\;\left\lbrace f_1\,,\, f_2 \right\rbrace\;</math> de la variable réelle <math>\;x\;</math> à déterminer ; <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit }}on vérifie aisément le couplage des équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> car <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage }}<math>\bullet\;</math>l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;f_1(x)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle }}<math>\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> a un 2^nd membre « excitation » dépendant de <math>\;f_2(x)</math>, inconnue en absence de <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle <math>\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> a un 2^nd membre « excitation » }}résolution de la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avant la 2^ème <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage }}<math>\bullet\;</math>l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en <math>\;f_2(x)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle }}<math>\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> a un 2^nd membre « excitation » dépendant de <math>\;f_1(x)</math>, inconnue en absence de <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'équation différentielle <math>\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> a un 2^nd membre « excitation » }}résolution de la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément le couplage <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avant la 1^ère <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> d'où <br />{{Al|92}}{{Transparent|Soit on vérifie aisément }}le couplage des deux équations différentielles. === Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable === ==== Généralités ==== {{Al|5}}Les deux équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> étant linéaires<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" />, il semble possible de les découpler par C.L<ref name="C.L."> Combinaison(s) Linéaire(s).</ref>. <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et définition associée de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible de les découpler }}telle que <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> ne dépende que de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible de les découpler }}ceci nécessitant un choix de <math>\;\left( \alpha,\,\beta \right)\;</math> pour être réalisé <math>\;\ldots</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible }}Ce découplage sera effectif si on trouve deux C.L<ref name="C.L." />. distinctes des équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible }}un système d'équations différentielles découplées indépendantes en <math>\;\left\lbrace F_{\alpha_1\,,\,\beta_1}(x)\,,\,F_{\alpha_2\,,\,\beta_2}(x) \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Les deux équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant linéaires, il semble possible un système }}équivalent au système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;\ldots</math> ==== Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire ==== {{Al|5}}Formant <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \left[ \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) \right] + \beta \left[ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + c_2\;f_2(x) \right] = \alpha \left[ e_1\;f_2(x) \right] + \beta \left[ e_2\;f_1(x) \right]\;</math> dans laquelle la somme des dérivées 2^ndes du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 \left[ \alpha\; f_1 + \beta\;f_2 \right]}{dx^2}(x) + c_1\;\alpha\; f_1(x) + c_2\;\beta\; f_2(x) = e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta}\; \beta\; f_2(x) + e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha}\; \alpha\;f_1(x)\;</math> si <math>\;\left( \alpha\,,\, \beta \right)\;</math> est <math>\;\neq \left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> soit, avec <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx^2}(x) = \left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \beta\; f_2(x)</math>, la condition pour que le 2^nd membre s'écrive en fonction de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)\;</math> étant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx^2}(x) = \left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \beta\; f_2(x)}</math>, la condition }}<math>\left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] = \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + \left( c_1 - c_2 \right)\, \dfrac{\alpha}{\beta} - e_2 = 0\;</math> c'est-à-dire <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx^2}(x) = \left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \beta\; f_2(x)}</math>, la condition }}<math>\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> solution de l'équation algébrique du 2^ème degré <math>\;e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + \left( c_1 - c_2 \right)\, \dfrac{\alpha}{\beta} - e_2 = 0\;</math><ref> La valeur <math>\;\alpha = 0\;</math> avait été interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\beta}{\alpha}</math>, si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait <math>\;e_2 = 0\;</math> mais <math>\;e_2 \neq 0</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur <math>\;\beta = 0\;</math> interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait <math>\;e_1 = 0\;</math> pour avoir une forme indéterminée mais <math>\;e_1 \neq 0</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="C.S. pour que le discriminant soit positif"> L'hypothèse où <math>\;e_1\;</math> et <math>\;e_2\;</math> sont de même signe est suffisante pour que le discriminant <math>\;\Delta\;</math> soit <math>\;> 0</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes }}ce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans <math>\;\mathbb{R}</math> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>avec <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0\;</math><ref name="C.S. pour que le discriminant soit positif" />, nous avons deux solutions réelles distinctes <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}</math>, pour chacune, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}le 2^nd membre de <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> s'écrit <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]\;</math><ref> On rappelle que les solutions <math>\;\left\lbrace \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\,,\, \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} \right\rbrace\;</math> suivent l'équation initiale <math>\left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] = \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]\;</math> permettant une factorisation par <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]</math>.</ref> <math>\;= \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] F_{\alpha\,,\,\beta}(x)\;</math> d'où : <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>en posant <math>\;k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]\;</math> et <math>\;F_1(x) = F_{\alpha_1\,,\,\beta_1}(x) = \alpha_1\; f_1(x) + \beta_1\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près"> À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}</math> et non le couple <math>\;\left( \alpha_1\,,\, \beta_1\right)\;</math> <math>\bigg[</math>respectivement <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}</math> et non le couple <math>\;\left( \alpha_2\,,\, \beta_2\right)\bigg]</math>, il est possible de choisir <math>\;\beta_1 = 1\;</math> et <math>\;\alpha_1 = \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> ou <math>\;\beta_1 = 2\;</math> et <math>\;\alpha_1 = 2\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> ou <math>\;\ldots</math> <math>\;\bigg[</math>un choix identique pour <math>\;\alpha_2\;</math> et <math>\;\beta_2\;</math> pouvant être fait à partir de <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\bigg]\;\ldots</math></ref> comme nouvelle fonction, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]}\;</math> et }}<math>\;F_1(x)\;</math> solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_1(x)}\;</math> solution de }}du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_1(x)}\;</math> solution de }}indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) + k_1\;F_1(x) = 0</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>en posant <math>\;k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]\;</math> et <math>\;F_2(x) = F_{\alpha_2\,,\,\beta_2}(x) = \alpha_2\; f_1(x) + \beta_2\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" /> comme nouvelle fonction, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]}\;</math> et }}<math>\;F_2(x)\;</math> solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_2(x)}\;</math> solution de }}du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_2(x)}\;</math> solution de }}indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + k_2\;F_2(x) = 0</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>soit la réalisation du découplage }}selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) + k_1\;F_1(x) = 0\\ \dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + k_2\;F_2(x) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>avec <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul"> L'hypothèse où <math>\;e_1\;</math> et <math>\;e_2\;</math> sont de signe contraire est nécessaire <math>\;\big(</math>mais non suffisante<math>\big)\;</math> pour que le discriminant <math>\;\Delta\;</math> soit <math>\;\leqslant 0</math>.</ref>, nous avons une solution réelle double <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} = \dfrac{c_2 - c_1}{2\;e_1} = \dfrac{2\;e_2}{c_1 - c_2}</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, }}le 2^nd membre de <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> s'écrit <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]\;</math><ref> On rappelle que la solution double <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> suit l'équation initiale <math>\left[ e_2\;\dfrac{\beta}{\alpha} - c_1 \right] = \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]\;</math> permettant une factorisation par <math>\;\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right]</math>.</ref> <math>\;= \left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] F_{\alpha\,,\,\beta}(x)\;</math> <br />{{Al|15}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, le 2^nd membre de <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> s'écrit <math>\;\color{transparent}{\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]}\;</math> }}<math>\;= \left[ e_1\;\dfrac{c_2 - c_1}{2\;e_1} - c_2 \right] F_{\alpha\,,\,\beta}(x)</math> <br />{{Al|15}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, le 2^nd membre de <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> s'écrit <math>\;\color{transparent}{\left[ e_1\;\dfrac{\alpha}{\beta} - c_2 \right] \left[ \alpha\;f_1(x) + \beta\;f_2(x) \right]}\;</math> }}<math>\;= -\dfrac{c_1 + c_2}{2}\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x)</math> d'où : <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>en posant <math>\;k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}\;</math> et <math>\;F_d(x) = F_{\alpha_d\,,\,\beta_d}(x) = \alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis"> À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}</math> et non le couple <math>\;\left( \alpha_d\,,\, \beta_d\right)</math>, il est possible de choisir <math>\;\beta_d = 1\;</math> et <math>\;\alpha_d = \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> ou <math>\;\beta_d = 2\;</math> et <math>\;\alpha_d = 2\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> ou <math>\;\ldots</math></ref> comme nouvelle fonction, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}}\;</math> et }}<math>\;F_d(x)\;</math> solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_d(x)}\;</math> solution de }}homogène, sans terme du 1^er ordre et indépendante <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>en posant <math>\;\color{transparent}{k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F_d(x)}\;</math> solution de homogène, sans terme du 1^er ordre }}<math>\;\dfrac{d^2 F_d}{dx^2}(x) + k_d\;F_d(x) = 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison entre les deux solutions cherchées <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison }}<math>\;\alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x) = F_d(x)\;</math><ref> On rappelle que <math>\;F_d(x)\;</math> est définie à une constante multiplicative près, voir note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-définie_à_une_constante_multiplicative_près_-_bis-12|¹²]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 \leqslant 0}\;</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}nous constatons que le découplage du système initial d'équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> par C.L<ref name="C.L." />. n'aboutit pas<ref> Pour que le découplage par C.L. soit possible il aurait fallu une 2^ème équation différentielle indépendante mais la méthode par C.L. n'en fournit qu'une. <br>{{Al|3}}Toutefois cela ne signifie pas qu'un découplage est impossible mais qu'il ne peut être fait par C.L. <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>avec <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul" />, nous n'avons pas de solutions réelles <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, }}un découplage par C.L<ref name="C.L." />. dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> n'est pas possible, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>avec <math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math>, }}il faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système <math>\ldots</math> === Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif === {{Al|5}}<u>Cas</u><math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0\;</math><ref name="C.S. pour que le discriminant soit positif" /> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> étant équivalent au système d'équations différentielles découplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) + k_1\;F_1(x) = 0\\ \dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + k_2\;F_2(x) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent }}avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} k_1 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right]\\ k_2 = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> où <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\;</math> sont les deux <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent }}solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2^ème degré <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent solutions réelles distinctes de }}«<math>\;e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + \left( c_1 - c_2 \right)\, \dfrac{\alpha}{\beta} - e_2 = 0\;</math>» et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : le système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace}\;</math> étant équivalent avec }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} F_1(x) = F_{\alpha_1\,,\,\beta_1}(x) = \alpha_1\; f_1(x) + \beta_1\; f_2(x)\\ F_2(x) = F_{\alpha_2\,,\,\beta_2}(x) = \alpha_2\; f_1(x) + \beta_2\; f_2(x)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />{{,}}<ref name="mise en pratique du découplage par C.L."> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Mise_en_pratique_du_découplage_par_combinaison_linéaire|mise en pratique du découplage par combinaison linéaire]] » plus haut dans c e chapitre.</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante<ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_deuxième_ordre_homogène_sans_terme_du_premier_ordre|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> nous permet d'obtenir respectivement <math>\;F_1(x)\;</math> et <math>\;F_2(x)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> avec, <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante }}pour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_1\,,\,B_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( A_2\,,\,B_2 \right)</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}il reste alors à revenir aux fonctions initiales <math>\;f_1(x)\;</math> et <math>\;f_2(x)\;</math> en résolvant <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} \alpha_1\; f_1(x) + \beta_1\; f_2(x) = F_1(x)\;\;\left( \mathfrak{a}_1 \right)\\ \alpha_2\; f_1(x) + \beta_2\; f_2(x) = F_2(x)\;\;\left( \mathfrak{a}_2 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" /> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}<math>\bullet\;</math>en formant <math>\;\beta_2\,\left( \mathfrak{a}_1 \right) - \beta_1\,\left( \mathfrak{a}_2 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_1(x) = \dfrac{\beta_2\;F_1(x) - \beta_1\;F_2(x)}{\alpha_1\;\beta_2 - \alpha_2\;\beta_1} = \dfrac{\dfrac{F_1(x)}{\beta_1} - \dfrac{F_2(x)}{\beta_2}}{\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}}\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />{{,}}<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration"> En fait le facteur multiplicatif initialement introduit dans la définition des fonctions <math>\;F_1(x)\;</math> et <math>\;F_2(x)\;</math> à partir des fonctions initiales <math>\;f_1(x)\;</math> et <math>\;f_2(x)\;</math> peut être englobé dans les constantes d'intégration <math>\;\left( A_1\,,\,B_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( A_2\,,\,B_2 \right)\;\ldots</math></ref> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}<math>\bullet\;</math>en formant <math>\;\alpha_2\,\left( \mathfrak{a}_1 \right) - \alpha_1\,\left( \mathfrak{a}_2 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_2(x) = -\dfrac{\alpha_2\;F_1(x) - \alpha_1\;F_2(x)}{\alpha_1\;\beta_2 - \alpha_2\;\beta_1} = -\dfrac{ \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\,\dfrac{F_1(x)}{\beta_1} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\,\dfrac{F_2(x)}{\beta_2}}{\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}}\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />{{,}}<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration" />. {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : }}<u>Exemple</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = 3\;f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 3\;f_2(x) = f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles" /> c'est-à-dire <math>\;c_1 = 1</math>, <math>\;c_2 = 3</math>, <math>\;e_1 = 3\;</math> et <math>\;e_2 = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 16 > 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : }}les deux solutions réelles distinctes <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2}\;</math> de l'équation algébrique du 2^ème degré «<math>\;3\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} - 2\; \dfrac{\alpha}{\beta} - 1 = 0\;</math>» s'écrivant <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : les deux solutions réelles distinctes }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} = \dfrac{2}{2 \times 3} + \dfrac{\sqrt{16}}{2 \times 3} = 1\\ \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} = \dfrac{2}{2 \times 3} - \dfrac{\sqrt{16}}{2 \times 3} = -\dfrac{1}{3}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l c l} k_1 \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!1} - c_2 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ 1 \times 3 - 3 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 0 \\ k_2 \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!2} - c_2 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! -\left[ -\dfrac{1}{3} \times 3 - 3 \right] \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 4\end{array}\right\rbrace\;</math> soit, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : les deux solutions réelles distinctes }}avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}\left( \alpha_1\,,\,\beta_1 \right) = \left( 1\,,\, 1 \right)\\ \left( \alpha_2\,,\,\beta_2 \right) = \left( -1\,,\, 3 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} F_1(x) = f_1(x) + f_2(x)\\ F_2(x) = -f_1(x) + 3\; f_2(x)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près" />, on aboutit au découplage suivant <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d^2 F_1}{dx^2}(x) \!\!&=&\!\! 0\\ \dfrac{d^2 F_2}{dx^2}(x) + 4\;F_2(x) \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} F_1(x) = A_1\;x + B_1\\ F_2(x) = A_2\;\cos(2\;x) + B_2\;\sin(2\;x)\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A_1\,,\,B_1 \\ A_2\,,\,B_2 \end{array} \right\rbrace\;</math> constantes réelles arbitraires<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration" /> d'où {{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 > 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l c l c l}f_1(x) \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{3\;F_1(x) - F_2(x)}{4} \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{3\;A_1\;x + 3\;B_1 - A_2\;\cos(2\;x) - B_2\;\sin(2\;x)}{4}\\ f_2(x) \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{F_1(x) + F_2(x)}{4} \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{A_1\;x + B_1 + A_2\;\cos(2\;x) + B_2\;\sin(2\;x)}{4}\end{array}\right\rbrace</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A_1\,,\,B_1 \\ A_2\,,\,B_2 \end{array} \right\rbrace\;</math> constantes réelles arbitraires<ref name="facteur multiplicatif inséré dans les constantes d'intégration" />. === Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué === {{Al|5}}<u>Cas</u><math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul" /> : le découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> n'aboutissant pas, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : le découplage }}la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_d}{dx^2}(x) + k_d\;F_d(x) = 0\;</math> avec <math>\;k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2}\;</math> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante }}<math>\;F_d(x) = F_{\alpha_d\,,\,\beta_d}(x) = \alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" /> dans laquelle <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante }}<math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} = \dfrac{c_2 - c_1}{2\;e_1} = \dfrac{2\;e_2}{c_1 - c_2}\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" />{{,}}<ref name="mise en pratique du découplage par C.L." /> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante<ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre" /> nous permet d'obtenir <math>\;F_d(x)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> avec <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{F_d(x)}\;</math> }}deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)</math>, c'est-à-dire <br />{{Al|16}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir }}la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées <br />{{Al|16}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir la relation de liaison }}<math>\alpha_d\; f_1(x) + \beta_d\; f_2(x) = F_d(x)\;</math> dont <br />{{Al|16}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir }}on peut tirer <math>\;f_2(x)\;</math> en fonction de <math>\;F_d(x)\;</math> et <math>\;f_1(x)\;</math> selon <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir }}<math>\;f_2(x) = \dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;f_1(x)\;</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}on reporte alors l'expression de <math>\;f_2(x)\;</math> dans l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) = e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - e_1\,\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;f_1(x)\;</math><ref name="découplage par substitution"> Pour achever le découplage du système d'équations différentielles on procède par substitution à partir de la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées <math>\;\ldots</math></ref> ou <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : on reporte alors l'expression de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> dans l'équation différentielle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + c_1\;f_1(x) = e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - \dfrac{c_2 - c_1}{2}\;f_1(x)\;</math> soit finalement <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : on reporte alors l'expression de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> dans l'équation différentielle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_2 + c_1}{2}\;f_1(x) = e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d}</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;f_1(x)\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> avec deux nouvelles <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> }}constantes réelles arbitraires <math>\;\left( {A'}_1\,,\,{B'}_1 \right)\;</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> }}une solution particulière<ref name="qualificatif forcé inadapté"> Comme l'excitation de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène est <math>\;\propto\;</math> à la solution générale de la 1^ère équation différentielle découplée homogène et que cette dernière dépend de deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)</math>, il semble malvenu de qualifier la solution particulière de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène de « solution forcée », cette appellation nécessitant que la solution particulière soit cherchée de même forme que l'excitation, la forme de cette dernière n'étant pas fixée de façon unique car dépendant des deux constantes réelles arbitraires <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)</math>.</ref> associée à l'excitation <br />{{Al|14}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> une solution particulière associée }}<math>\;e_1\;\dfrac{F_d(x)}{\beta_d}\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_forcée_(quand_celle-ci_existe)|recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_de_l'échec_de_la_méthode_de_recherche_de_la_solution_forcée_sinusoïdale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale,_le_polynôme_caractéristique_s'annulant_pour_la_pulsation_(spatiale)_envisagée|cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}nous en déduisons alors <math>\;f_2(x)\;</math> par report de <math>\;f_1(x)\;</math> dans <math>\;f_2(x) = \dfrac{F_d(x)}{\beta_d} - \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;f_1(x)\;\ldots</math> {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}<u>Exemple</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 3\;f_2(x) = -f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles" /> c'est-à-dire <math>\;c_1 = 1</math>, <math>\;c_2 = 3</math>, <math>\;e_1 = 1\;</math> et <math>\;e_2 = -1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la solution réelle double <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d}\;</math> de l'équation algébrique du 2^ème degré «<math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} - 2\; \dfrac{\alpha}{\beta} + 1 = 0\;</math>» s'écrivant <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}<math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;k_d = -\left[ e_1 \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)_{\!d} - c_2 \right] = -\left[ 1 \times 1 - 3 \right] = 2\;</math><ref> On pouvait aussi utiliser <math>\;k_d = \dfrac{c_1 + c_2}{2} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2</math>.</ref> soit, avec <math>\;\left( \alpha_d\,,\,\beta_d \right) = \left( 1\,,\, 1 \right)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}<math>\;F_d(x) = f_1(x) + f_2(x)\;</math><ref name="définie à une constante multiplicative près - bis" />, solution de l'équation différentielle découplée indépendante <math>\;\dfrac{d^2 F_d}{dx^2}(x) + 2\;F_d(x) = 0\;</math> d'où <br />{{Al|14}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double <math>\;\color{transparent}{F_d(x) = f_1(x) + f_2(x)}\;</math>, }}<math>\;F_d(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre" />, <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)\;</math> constantes réelles arbitraires, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}soit, la relation de liaison <math>\;f_1(x) + f_2(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)</math>, <math>\;\left( A_d\,,\,B_d \right)\;</math> constantes réelles arbitraires ; <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double }}de cette relation on tire <math>\;f_2(x)\;</math> en fonction de <math>\;f_1(x)\;</math> selon <math>\;f_2(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x) - f_1(x)\;</math> <br />{{Al|12}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}que l'on reporte dans l'équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> pour obtenir un découplage par substitution d'où <br />{{Al|12}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}la 2^ème équation différentielle découplée indépendante <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x) - f_1(x)\;</math> ou encore <br />{{Al|11}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;f_1(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;\;\left( \mathfrak{1}'' \right)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er avec pulsation de l'excitation égale à la pulsation propre"> La pulsation de l'excitation étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme <math>\;f_{1,\,\text{part}}(x) = A\;x\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B\;x\;\sin(\sqrt{2}\;x)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_de_l'échec_de_la_méthode_de_recherche_de_la_solution_forcée_sinusoïdale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale,_le_polynôme_caractéristique_s'annulant_pour_la_pulsation_(spatiale)_envisagée|cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}solution particulière de <math>\;\left( \mathfrak{1}'' \right)</math> : <math>\;f_{1,\,\text{part}}(x) = A\;x\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B\;x\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er avec pulsation de l'excitation égale à la pulsation propre" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;\dfrac{d f_{1,\,\text{part}}}{dx}(x) = A\;\cos(\sqrt{2}\;x) - \sqrt{2}\;A\;x\;\sin(\sqrt{2}\;x) + B\;\sin(\sqrt{2}\;x) + \sqrt{2}\;B\;x\;\cos(\sqrt{2}\;x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{part}}}{dx^2}(x) = -2\,\sqrt{2}\,A\,\sin(\sqrt{2}\,x) - (\sqrt{2})^2\,A\,x\,\cos(\sqrt{2}\,x) + 2\,\sqrt{2}\,B\,\cos(\sqrt{2}\,x) - (\sqrt{2})^2\,B\,x\,\sin(\sqrt{2}\,x)</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{part}}}{dx^2}(x) + 2\;f_{1,\,\text{part}}(x) = - 2\;\sqrt{2}\;A\;\sin(\sqrt{2}\;x) + 2\;\sqrt{2}\;B\;\cos(\sqrt{2}\;x)\;</math> après simplification à identifier à <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{part}}}{dx^2}(x) + 2\;f_{1,\,\text{part}}(x) =}</math> }}<math>\;A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} B = \dfrac{A_d}{2\;\sqrt{2}}\\ A = -\dfrac{B_d}{2\;\sqrt{2}}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit finalement <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : solution particulière de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1}'' \right)}</math> : }}<math>\;f_{1,\,\text{part}}(x) = -\dfrac{B_d\;x}{2\;\sqrt{2}}\;\cos(\sqrt{2}\;x) + \dfrac{A_d\;x}{2\;\sqrt{2}}\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math> et par suite, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la solution libre étant <math>\;f_{1,\,l}(x) = A_1\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_1\;\sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="équa diff lin à cœf csts du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre" />, on en déduit <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la solution de l'équation <math>\;\left( \mathfrak{1}'' \right)</math>, <math>\;f_1(x) = \left( A_1 - \dfrac{B_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \cos(\sqrt{2}\;x) + \left( B_1 + \dfrac{A_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \sin(\sqrt{2}\;x)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène sans terme du 1er" />, <math>\;\left( A_1\,,\, B_1 \right)\;</math> constantes réelles arbitraires ; <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}on en déduit <math>\;f_2(x) = A_d\;\cos(\sqrt{2}\;x) + B_d\;\sin(\sqrt{2}\;x) - f_1(x) = \left( A_d - A_1 + \dfrac{B_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \cos(\sqrt{2}\;x) + \left( B_d - B_1 - \dfrac{A_d\;x}{2\;\sqrt{2}} \right)\, \sin(\sqrt{2}\;x)</math>. === Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué === {{Al|5}}<u>Cas</u><math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0\;</math><ref name="C.N. mais non S. pour que le discriminant soit négatif ou nul" /> : le découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> étant un échec complet<ref name="mise en pratique du découplage par C.L." />, <br />{{Al|15}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0}\;</math> : le découplage par C.L. réelle }}nous n'obtenons aucune équation différentielle découplée indépendante par C.L<ref name="C.L." />. réelle de ce système, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0}\;</math> : }}il nous faut donc rechercher une autre méthode de découplage et celle qui vient à l'esprit est la méthode « <u>par substitution</u> »<ref> Laquelle est aussi applicable dans les deux autres cas ; il est néanmoins préférable, quand c'est possible, de conserver la méthode « par C.L. réelle », plus rapide.</ref>{{,}}<ref> La méthode par substitution est rendue applicable car, dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> en <math>\;f_1(x)\;</math> l'autre fonction <math>\;f_2(x)\;</math> apparaît proportionnellement une seule fois <math>\;\big[</math>de même, dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> en <math>\;f_2(x)\;</math> l'autre fonction <math>\;f_1(x)\;</math> apparaît proportionnellement une seule fois<math>\big]\;\ldots</math></ref> : {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}de l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, on tire <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_1}{e_1}\;f_1(x)\;</math> que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : de }}l'équation différentielle découplée indépendante en <math>\;f_1(x)\;</math> suivante <math>\;\dfrac{1}{e_1}\;\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + \dfrac{c_1}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_2}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_1\;c_2}{e_1}\;f_1(x) = e_2\;f_1(x)\;</math> soit, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène<ref name="donc découplée et indépendante"> Donc découplée et indépendante.</ref> du 4^ème ordre en <math>\;f_1(x)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : après simplification et normalisation, }}«<math>\;\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + \left( c_1 + c_2 \right)\,\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \left( c_1\;c_2 - e_1\;e_2 \right)\,f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>»<ref> On aurait pu éliminer <math>\;f_1(x)\;</math> à partir de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène <math>\;\big(</math>donc découplée et indépendante<math>\big)\;</math> du 4^ème ordre en <math>\;f_2(x)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{d^4 f_2}{dx^4}(x) + \left( c_2 + c_1 \right)\,\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + \left( c_2\;c_1 - e_2\;e_1 \right)\,f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>il suffisait de permuter les indices «<math>\;_1\;</math>» et «<math>\;_2\;</math>» à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en <math>\;f_1(x)\big]</math>.</ref> ; {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante <math>\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math> en <math>\;f_1(x)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Méthode_de_recherche_d'une_(ou_de_deux_indépendantes)_solution(s)_particulière(s)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_(ou_deuxième)_ordre_homogène|méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et son prolongement à la « recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène ».</ref> nous conduit à <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la résolution de l'équation caractéristique <math>\;s^4 + \left( c_1 + c_2 \right)\,s^2 + \left( c_1\;c_2 - e_1\;e_2 \right) = 0</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’}}équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;s</math>, de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en <math>\;s^2</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;\color{transparent}{s}</math>, de discriminant }}<math>\Delta = \left( c_1 + c_2 \right)^2 - 4\,\left( c_1\;c_2 - e_1\;e_2 \right) = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 < 0</math>, d'où <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée <math>\;\underline{s}^2 = -\dfrac{c_1\! +\! c_2}{2} \pm i\,\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2} = -\dfrac{c_1\! +\! c_2}{2} \pm i\,\dfrac{\sqrt{-\left( c_1\! -\! c_2 \right)^2 - 4\,e_1\,e_2}}{2}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe"> En physique un complexe est repéré par un soulignement de la variable le représentant.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module <math>\;\rho\;</math><ref> Le module commun étant <math>\;\vert \underline{s} \vert = \dfrac{\sqrt{\left( c_1 + c_2 \right)^2 + \left[ -\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2 \right]}}{2} = \sqrt{c_1\;c_2 - e_1\;e_2}</math>, on rappelle qu'un complexe en physique est repéré par le soulignement de sa variable.</ref> et d'arguments distincts <math>\;\left\lbrace\begin{array}{r c r}\theta \!\!&\text{et}&\!\! \theta - \pi\\ -\theta \!\!&\text{et}&\!\! -\theta + \pi \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Dans la mesure où <math>\;c_1 + c_2\;</math> est <math>\;> 0</math>, les arguments de <math>\;\underline{s}^2\;</math> sont <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s}^2 \right] = \pm \left[ \pi - \arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right) \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s} \right] \equiv</math> <math>\pm \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right) \right]\!\!\!\pmod{\pi}</math> ; <br>{{Al|3}}dans la mesure où <math>\;c_1 + c_2\;</math> est <math>\;< 0</math>, les arguments de <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s}^2 \right]\;</math> sont <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s}^2 \right] = \pm \arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s} \right] \equiv</math> <math>\pm \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{-\left( c_1 - c_2 \right)^2 - 4\;e_1\;e_2}}{c_1 + c_2} \right)\!\!\!\pmod{\pi}</math>.</ref> <br />{{Al|14}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module <math>\;\color{transparent}{\rho}\;</math> et d'arguments }}deux à deux opposés soit <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la résolution de l’<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes }}<math>\;\underline{s} = \rho\;\cos(\theta) \pm i\;\rho\;\sin(\theta)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> ou <math>\;\underline{s} = -\rho\;\cos(\theta) \pm i\;\rho\;\sin(\theta)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> et par suite <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la fonction <math>\;f_1(x)\;</math> s'écrit «<math>\;f_1(x) = A\;\exp\! \left[ \rho\;\cos(\theta)\;x \right]\;\cos\! \left[ \rho\;\sin(\theta)\;x + \varphi \right] + B\;\exp\! \left[ -\rho\;\cos(\theta)\;x \right]\;\cos\! \left[ \rho\;\sin(\theta)\;x + \psi \right]\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] (d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », méthode prolongée à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène sans terme du 3^ème et 1^er ordres.</ref> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : la fonction <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> s'écrit «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}avec <math>\;A</math>, <math>\;B</math>, <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\psi\;</math> des constantes arbitraires d'intégration ; <br />{{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}la détermination de la fonction <math>\;f_2(x)\;</math> se fait alors en reportant l'expression de <math>\;f_1(x)\;</math> dans <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{e_1}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{c_1}{e_1}\;f_1(x)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|9}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}<u>Exemple</u> : <math>\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = 2\;f_2(x)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 3\;f_2(x) = -f_1(x)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles" /> c'est-à-dire <math>\;c_1 = 1</math>, <math>\;c_2 = 3</math>, <math>\;e_1 = 2\;</math> et <math>\;e_2 = -1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = -4 < 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}le découplage de ce système d'équations différentielles par C.L<ref name="C.L." />. réelle échouant totalement, on procède au découplage « par substitution » : <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}de l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, on tire <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{1}{2}\;f_1(x)\;</math> que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : de }}l'équation différentielle découplée indépendante en <math>\;f_1(x)\;</math> suivante <math>\;\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + \dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{3}{2}\,\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{3}{2}\,f_1(x) = - f_1(x)\;</math> soit, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : }}après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène<ref name="donc découplée et indépendante" /> du 4^ème ordre en <math>\;f_1(x)</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : après simplification et normalisation, }}«<math>\;\dfrac{d^4 f_1}{dx^4}(x) + 4\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 5\;f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>»<ref> On aurait pu éliminer <math>\;f_1(x)\;</math> à partir de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène <math>\;\big(</math>donc découplée et indépendante<math>\big)\;</math> du 4^ème ordre en <math>\;f_2(x)\;</math> suivante «<math>\;\dfrac{d^4 f_2}{dx^4}(x) + 4\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 5\;f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>».</ref> ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante <math>\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math> en <math>\;f_1(x)\;</math><ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre" /> nous conduit à <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la résolution de l'équation caractéristique <math>\;s^4 + 4\;s^2 + 5 = 0</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’}}équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;s</math>, de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en <math>\;s^2</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en <math>\;\color{transparent}{s}</math>, de discriminant }}<math>\Delta = \left( 4 \right)^2 - 4 \times 1 \times 5 = -4 < 0</math>, d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée <math>\;\underline{s}^2 = -2 \pm i = \sqrt{5}\;\exp \left\lbrace \pm i \left[ \pi - \arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="détermination de l'argument d'un complexe"> Pour déterminer l'argument du complexe voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’}}<math>\bullet\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module <math>\;\rho = \sqrt[4]{5}\;</math> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l'<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, }}d'arguments distincts, deux à deux opposés, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l'<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, }}<math>\mathrm{arg}\! \left[ \underline{s} \right] \equiv \pm \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right]\!\!\!\! \pmod{\pi}\;</math> soit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : la résolution de l’<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>quatre solutions complexes distinctes }}<math>\;\underline{s} = \left\lbrace \begin{array}{c} \sqrt[4]{5} \times \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \pm i \;\dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \\ -\sqrt[4]{5} \times \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \pm i \;\dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="simplification de sbarre"> <math>\;\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \sin\! \left[ \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}</math> <math>\;\Bigg\{</math>en effet posant <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{1}{2} = \dfrac{2\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}{1 - \tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) + 4\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) - 1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = -2 + \sqrt{5}\;</math> et <math>\;\sin\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = \tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)\;\cos\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}{\sqrt{1 + \tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\Bigg\}</math> ;<br>{{Al|3}}<math>\;\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \cos\! \left[ \dfrac{1}{2}\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right) \right] = \dfrac{1}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}</math> <math>\;\Bigg\{</math>en effet posant <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{1}{2} \right)\;</math> <math>\overset{\cdots}{\Rightarrow}</math> <math>\;\tan\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = -2 + \sqrt{5}\;</math> et <math>\;\cos\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\!\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)}} =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\Bigg\}</math>.</ref> d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}«<math>\;f_1(x) = A\;\exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x + \varphi \right] + B\;\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x + \psi \right]\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}avec <math>\;A</math>, <math>\;B</math>, <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\psi\;</math> des constantes arbitraires d'intégration, ou encore, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}«<math>\;f_1(x) = A'\;\exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right] + B'\;\exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}<math>+ C'\;\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right] + D'\;\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;\sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\;x \right]\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin homogène à cœf csts du 4ème ordre - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) =}</math> }}avec <math>\;A'</math>, <math>\;B'</math>, <math>\;C'\;</math> et <math>\;D'\;</math> des constantes arbitraires d'intégration ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}la détermination de la fonction <math>\;f_2(x)\;</math> se fait alors en reportant l'expression de <math>\;f_1(x)\;</math> dans <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{1}{2}\;f_1(x)</math> avec <math>\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) =</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;A' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>+ B' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>- C' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>- D' \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) = A' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - \dfrac{A'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications"> En effet <math>\;\dfrac{\left( \sqrt[4]{5} \right)^2\;\left( \sqrt{5} - 2 \right)^2}{\left( \sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{5} \left( 5 + 4 - 4\;\sqrt{5} \right)}{10 - 4\;\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}}</math>, <br>{{Al|62}}{{Transparent|En effet }}<math>\;\dfrac{\left( \sqrt[4]{5} \right)^2\;\left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\left( \sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}} \right)^2} = \dfrac{5 - 2\;\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}\;</math> et <br>{{Al|62}}{{Transparent|En effet }}<math>\;\dfrac{\left( \sqrt[4]{5} \right)^2}{\left( \sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}}</math>.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>- \dfrac{A'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>B' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \dfrac{B'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>+ \dfrac{B'}{2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - B' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>C' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! +\! \dfrac{C'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>+ \dfrac{C'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! -\! C' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! +\! \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>D' \dfrac{\sqrt{5} \left( 9 - 4\, \sqrt{5} \right)}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! -\! \dfrac{D'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>- \dfrac{D'}{2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\! -\! D' \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\,\sqrt{5}} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}} x \right]\! \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}} x \right]\;</math><ref name="simplifications" /> ou <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) = A' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - bis"> En effet <math>\;\dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} \left( 9 - 4\;\sqrt{5} \right) - \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{10 - 4\;\sqrt{5}} \left[ 8 - 4\;\sqrt{5} \right] = \sqrt{5}\; \dfrac{4 - 2\;\sqrt{5}}{5 - 2\;\sqrt{5}} = \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}</math>.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>B' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>C' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) =}</math> }}<math>D' \dfrac{4 - 2\,\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\;</math><ref name="simplifications - bis" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) = - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - A' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] \cdots\;</math><ref name="simplifications - ter"> En effet <math>\;\dfrac{4 - 2\;\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} + 1 = \dfrac{2 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = -1</math>.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) =}</math> }}<math>- B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + B' \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - ter" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) =}</math> }}<math>C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + C' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \cdots\;</math><ref name="simplifications - ter" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) =}</math> }}<math>D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] - D' \exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right] \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\;</math><ref name="simplifications - ter" /> d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : }}<math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) \right] = \exp\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \left\lbrace \dfrac{B' - A'}{2} \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \dfrac{B' + A'}{2} \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\! \right\rbrace +\! \cdots\;</math> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\Delta = \left( c_1 - c_2 \right)^2 + 4\;e_1\;e_2 = 0}\;</math> : Exemple : <math>\;\color{transparent}{f_2(x) = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + f_1(x) \right] =}</math> }}<math>\exp\! \left[ -\dfrac{\sqrt[4]{5} \left( \sqrt{5} - 2 \right)}{\sqrt{10 - 4\;\sqrt{5}}}\,x \right]\! \left\lbrace \dfrac{C' - D'}{2} \cos\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right] + \dfrac{C' + D'}{2} \sin\! \left[ \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4\,\sqrt{5}}}\,x \right]\! \right\rbrace\;</math><ref> <math>\;f_2(x)\;</math> et <math>\;f_1(x)\;</math> suivant la même équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène <math>\;\big(</math>donc découplée et indépendante<math>\big)\;</math> sans terme du 3^ème et 1^er ordres, il est donc logique de constater que <math>\;f_2(x)\;</math> a la même forme que <math>\;f_1(x)</math>, ces deux fonctions ne différant que par les constantes arbitraires achevant leur définition.</ref>. == Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général == === Présentation de l'exemple === {{Al|5}}Soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\\ \dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left( b\,,\,e \right) \in \left[ \mathbb{R}^{*} \right]^2\;</math> constantes connues et <math>\;\left\lbrace f_1\,,\, f_2\,,\, f_3 \right\rbrace\;</math> trois fonctions réelles de la variable réelle <math>\;x\;</math> à déterminer ; <br />{{Al|121}}on vérifie aisément que les équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right),\,\left( \mathfrak{3} \right) \right\rbrace\;</math> sont couplées car <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;f_1(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation }}fait intervenir les deux autres fonctions <math>\;f_2(x)\;</math> et <math>\;f_3(x)</math>, nécessitant de résoudre <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation fait intervenir }}les deux autres équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> pour être connues <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avant les 2^ème et 3^ème <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{2} \right),\,\left( \mathfrak{3} \right) \right\rbrace</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;f_2(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation }}fait intervenir les deux autres fonctions <math>\;f_3(x)\;</math> et <math>\;f_1(x)</math>, nécessitant de résoudre <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation fait intervenir }}les deux autres équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> pour être connues <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avant les 3^ème et 1^ère <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{3} \right),\,\left( \mathfrak{1} \right) \right\rbrace\;</math> et <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;f_3(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)</math>, <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème équation }}fait intervenir les deux autres fonctions <math>\;f_1(x)\;</math> et <math>\;f_2(x)</math>, nécessitant de résoudre <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème équation fait intervenir }}les deux autres équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> pour être connues <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 3^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> avant les 1^ère et 2^ème <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> d'où <br />{{Al|121}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>le couplage des trois équations différentielles. === Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées === {{Al|5}}Nous admettrons que le découplage complet<ref> Un découplage de trois équations différentielles couplées dépendant des trois fonctions cherchées <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x),\,f_3(x) \right\rbrace\;</math> est qualifié de complet si on trouve un système de trois équations différentielles de trois nouvelles fonctions <math>\;\left\lbrace F_1(x),\,F_2(x),\,F_3(x) \right\rbrace\;</math> dépendant des trois fonctions d'origine <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x),\,f_3(x) \right\rbrace</math>, chaque équation différentielle ne faisant intervenir qu'une nouvelle fonction, le nouveau système étant équivalent au système initial <math>\;\ldots</math></ref> du système d'équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_1(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\\ \dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> est impossible<ref> C'est assez prévisible compte-tenu du caractère non linéaire des équations différentielles ; <br>{{Al|3}}en absence de découplage seule une résolution numérique est possible <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}toutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|toutefois }}il est possible de trouver une relation entre les fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x) \right\rbrace\;</math> indépendante de <math>\;f_3(x)</math>, c'est ce que nous proposons de faire dans un 1^er temps. === Établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées === {{Al|5}}Supposant au moins une des fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x) \right\rbrace\;</math> non identiquement nulle<ref> Si les deux fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x),\,f_2(x) \right\rbrace\;</math> étaient identiquement nulles, les équations différentielles du système seraient immédiatement découplées car il ne resterait que l'équation <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> selon <math>\;\dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_3^2(x)}\;f_3(x) = e</math>.</ref>, plus précisément supposons <math>\;f_2 \not\equiv 0\;</math> et <br />{{Al|5}}formons <math>\;f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;f_2(x) \left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_1(x) \right] - f_1(x) \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{f_1^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) \right] = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <br />{{Al|5}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;f_2(x)\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) - f_1(x)\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) = 0\;</math> soit, en divisant les deux membres par <math>\;f_2^2(x)\;</math> non identiquement nulle<ref> Il peut néanmoins exister des valeurs de <math>\;x\;</math> pour lesquelles <math>\;f_2(x)\;</math> serait nulle, ces valeurs seraient alors à retirer du domaine de définition de la fonction <math>\;f_2</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{f_2(x)\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) - f_1(x)\;\dfrac{d f_2}{dx}(x)}{f_2^2(x)} = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d\! \left( \dfrac{f_1}{f_2} \right)}{dx}(x) = 0\;</math> qui s'intègre en <math>\;\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)} = k\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;f_1(x) = k\;f_2(x)</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle d'intégration<ref name="k = 0"> <math>\;k = 0\;</math> correspondant à la fonction <math>\;f_1\;</math> identiquement nulle.</ref>; <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}les équations différentielles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> se réécrivent alors <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} k\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) \!\!\!\!&-\, b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;k\;f_2(x) \!\!\!&= 0\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) \!\!\!\!&-\, b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) \!\!\!&= 0\end{array} \right\rbrace\;</math> c'est-à-dire <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> les équations différentielles <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> se réécrivent }}selon une même équation différentielle <math>\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;</math> ou, <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> les équations différentielles <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> se réécrivent }}en introduisant la nouvelle fonction <math>\;F_2(x) = \sqrt{k^2 + 1}\;f_2(x)</math>, <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> les équations différentielles <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> se réécrivent }}selon l'équation différentielle <math>\;\dfrac{d F_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;F_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math><ref> En effet il suffit de multiplier de part et d'autre l'équation différentielle <math>\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_2(x) = 0\;</math> par <math>\;\sqrt{k^2 + 1}\;</math> et d'introduire <math>\;F_2(x) = \sqrt{k^2 + 1}\;f_2(x)</math>.</ref> ; {{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;</math> se réécrivant <math>\;\dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{k^2\;f_2^2(x) + f_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3}' \right)</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}le système des trois équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right),\,\left( \mathfrak{3} \right) \right\rbrace\;</math> en les trois fonctions <math>\;\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x)\,,\, f_3(x) \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> le système des trois équations différentielles }}est équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{2}' \right),\,\left( \mathfrak{3}' \right) \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|formons <math>\;\color{transparent}{f_2(x) \times \left( \mathfrak{1} \right) - f_1(x) \times \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> le système des trois équations différentielles est équivalent au système des deux équations différentielles }}en les deux fonctions <math>\;\left\lbrace F_2(x)\,,\, f_3(x) \right\rbrace\;</math> à savoir <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d F_2}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;F_2(x) = 0\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\\ \dfrac{d f_3}{dx}(x) - b\;\sqrt{F_2^2(x) + f_3^2(x)}\;f_3(x) = e\;\;\left( \mathfrak{3}' \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;F_2(x) = \sqrt{k^2 + 1}\;f_2(x)\;</math> avec <math>\;k = \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}</math>.</center> === Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F₂(x) et f₃(x) === {{Al|5}}Nous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{2}' \right),\,\left( \mathfrak{3}' \right) \right\rbrace\;</math> est impossible, <br />{{Al|5}}en absence de découplage seule une résolution numérique est possible <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Utilisation_d'un_logiciel_de_calcul_numérique_pour_déterminer_le_mouvement_de_chute_freinée_de_l'objet_par_résistance_de_l'air_quadratique_ainsi_que_la_trajectoire_de_son_centre_d'inertie_et_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_ce_dernier|utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. == Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant == === Présentation de l'exemple === {{Al|5}}Soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis"> Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que sa dérivée 1^ère dans un 1^er membre, l'autre fonction <math>\;\big(</math>seule, sans ses dérivées<math>\big)\;</math> apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues et <math>\;\left\lbrace f_1\,,\, f_2 \right\rbrace\;</math> deux fonctions réelles de la variable réelle <math>\;x\;</math> à déterminer ; <br />{{Al|110}}on vérifie aisément que les équations différentielles <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right),\,\left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> sont couplées car <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en <math>\;f_1(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation }}a un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de <math>\;f_2(x)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 1^ère équation a un 2^nd membre }}nécessitant de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> pour être connu <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avant la 2^ème <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en <math>\;f_2(x)</math>, c'est-à-dire <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation }}a un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de <math>\;f_1(x)</math>, <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème équation a un 2^nd membre }}nécessitant de résoudre la 1^ère équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> pour être connu <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> avant la 1^ère <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> d'où <br />{{Al|110}}{{Transparent|on vérifie aisément }}<math>\bullet\;</math>le couplage des deux équations différentielles ; <br />{{Al|110}}<u>particularités supplémentaires du couplage</u> : <math>\blacktriangleright\;</math>même [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] «<math>\;\dfrac{d}{dx} + b \times\;</math>» s'appliquant sur <math>\;f_1(x)\;</math> ou <math>\;f_2(x)\;</math> <br />{{Al|111}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>même opérateur linéaire «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d}{dx} + b \times}\;</math>» }}dans le 1^er membre de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> ou <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> et <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : }}<math>\blacktriangleright\;</math>dépendance de l'« excitation » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> ou <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> relativement à <math>\;f_2(x)\;</math> ou <math>\;f_1(x)\;</math> c'est-à-dire <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de }}la fonction n'intervenant pas dans le 1^er membre à savoir <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de }}<math>\succ\;</math>l'« excitation » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, équation en <math>\;f_1(x)</math>, dépend de <math>\;f_2(x)\;</math> <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'« excitation » de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}</math>, équation en <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}</math>, dépend }}selon «<math>\;a\;f_2(x)\;</math>» et <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de }}<math>\succ\;</math>l'« excitation » de <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, équation en <math>\;f_2(x)</math>, dépend de <math>\;f_1(x)\;</math> <br />{{Al|105}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>dépendance de <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'« excitation » de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{2} \right)}</math>, équation en <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}</math>, dépend }}selon «<math>\;-a\;f_1(x)\;</math>» ; <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>remarque</u> : les « excitations » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math> sont souvent les deux 1^ères composantes d'un <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : }}produit vectoriel d'un vecteur <math>\;\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) = f_1(x)\;\vec{u}_x + f_2(x)\;\vec{u}_y\;</math> et <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel }}d'un autre vecteur <math>\;\vec{A} = a\;\vec{u}_z\;</math> soit <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel }}<math>\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) \wedge \vec{A} = \left[ f_1(x)\;\vec{u}_x + f_2(x)\;\vec{u}_y \right] \wedge \left[ a\;\vec{u}_z \right]\;</math> <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel <math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) \wedge \vec{A}}</math> }}<math>= a\;f_1(x) \left[ \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z \right] + a\;f_2(x) \left[ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z \right]\;</math><ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Obtenu par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : produit vectoriel }}<math>\overrightarrow{\mathcal{F}}(x) \wedge \vec{A} = a\;f_2(x)\;\vec{u}_x - a\;f_1(x)\;\vec{u}_y\;</math> c'est-à-dire effectivement <br />{{Al|110}}{{Transparent|particularités supplémentaires du couplage : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>remarque : }}les « excitations » de <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math> précédemment définies. === Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}Formant <math>\;\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + \beta \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \alpha \left[ a\;f_2(x) + d \right] + \beta \left[ -a\;f_1(x) + e \right]\;</math> dans laquelle la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d \left[ \alpha\; f_1 + \beta\;f_2 \right]}{dx}(x) + b \;\alpha\; f_1(x) + b\;\beta\; f_2(x) = a\;\dfrac{\alpha}{\beta}\; \beta\; f_2(x) - a\;\dfrac{\beta}{\alpha}\; \alpha\;f_1(x) + \alpha\;d + \beta\;e\;</math> si <math>\;\left( \alpha\,,\, \beta \right)\;</math> est <math>\;\neq \left( 0\,,\, 0 \right)\;</math> soit, avec <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\dfrac{d F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx}(x) = \left[ - a\;\dfrac{\beta}{\alpha} - b \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ a\;\dfrac{\alpha}{\beta} - b \right] \beta\; f_2(x) + \alpha\;d + \beta\;e\;</math>», le 2^nd membre s'écrivant en fonction de <math>\;F_{\alpha\,,\,\beta}(x) = \alpha\; f_1(x) + \beta\; f_2(x)\;</math> si <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d F_{\alpha\,,\,\beta}}{dx}(x) = \left[ - a\;\dfrac{\beta}{\alpha} - b \right] \alpha\; f_1(x) + \left[ a\;\dfrac{\alpha}{\beta} - b \right] \beta\; f_2(x) + \alpha\;d + \beta\;e)}\;</math>»,}}<math>\left[ - a\;\dfrac{\beta}{\alpha} - b \right] = \left[ a\;\dfrac{\alpha}{\beta} - b \right]\;</math><ref> La valeur <math>\;\alpha = 0\;</math> avait été interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\beta}{\alpha}</math>, si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait <math>\;a = 0\;</math> pour avoir une forme indéterminée mais <math>\;a \neq 0</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur <math>\;\beta = 0\;</math> interdite pour former le quotient <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait <math>\;a = 0\;</math> pour avoir une forme indéterminée mais <math>\;a \neq 0</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + 1 = 0\;</math> sans solution réelle d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Formant <math>\;\color{transparent}{\alpha \left( \mathfrak{1} \right) + \beta \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}l'inapplicabilité de la méthode de découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le découplage de ce système « par substitution » est possible<ref name="découplage par substitution - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Recherche_d'une_autre_méthode_de_résolution_quand_le_découplage_par_combinaison_linéaire_réelle_a_totalement_échoué|recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué]] » plus haut dans le chapitre.</ref> mais en fait, il existe une méthode de découplage par C.L<ref name="C.L." />. complexe plus rapide, présentée ci-après<ref> C'est donc cette méthode de découplage qu'il faut privilégier et non la méthode de résolution « par substitution » laquelle s'avèrera toujours plus longue à mettre en œuvre que n'importe quelle méthode de découplage <math>\;\ldots</math>.</ref>. === Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système }}tel que le 1^er membre corresponde à l'action d'un même [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] <math>\;\mathcal{OL}\left[ \, \right]\;</math> sur l'une des fonctions <math>\;f_1(x)\;</math> ou <math>\;f_2(x)\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système tel que }}le 2^ème membre dépende linéairement de l'autre fonction <math>\;f_2(x)\;</math> ou <math>\;f_1(x)\;</math> avec des cœfficients de proportionnalité opposés <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système }}c'est-à-dire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{OL}\left[ f_1 \right](x) = a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \mathcal{OL}\left[ f_2 \right](x) = -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math> et <math>\;\left( d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^2\;</math> trois constantes connues, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c'est-à-dire }}toute tentative de découplage par C.L<ref name="C.L." />. réelle<ref name="mise en pratique du découplage par C.L." /> conduisant à l'équation algébrique du 2^ème degré <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\!2} + 1 = 0\;</math> <br />{{Al|15}}{{Transparent|Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c'est-à-dire toute tentative de découplage par C.L. réelle conduisant à }}sans solutions réelles mais complexes <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right) = \pm\, i\;</math><ref> Condition pour que la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe exposée dans ce paragraphe soit effectif.</ref>. {{Al|5}}<u>Méthode de découplage par C.L<ref name="C.L." />. complexe du système d'équations couplées</u><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de découplage }}formant <math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)\;</math><ref name="justification de cette C.L."> Cette combinaison linéaire complexe trouve sa justification dans l'échec matérialisé dans le paragraphe précédent « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Vérification_de_l'inapplicabilité_de_la_méthode_de_combinaison_linéaire_réelle_pour_le_découplage_du_système_particulier_des_deux_équations_différentielles_linéaires_à_cœfficients_réels_constants_du_1er_ordre_couplées|vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées]] » ayant établi que <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta}\;</math> devait suivre l'équation algébrique <math>\;\left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{\!2} + 1 = 0\;</math> d'où l'absence de solution réelle et par suite l'absence de combinaison linéaire réelle possible mais <math>\;\ldots\;</math> la présence de deux solutions opposées complexes <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta} = \pm i\;</math> conduit à deux combinaisons linéaires complexes possibles dont nous avons sélectionné celle correspondant à <math>\;\dfrac{\alpha}{\beta} = -i</math>, plus précisément <math>\alpha = 1\;</math> et <math>\;\beta = i</math>.</ref>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]\;</math> où la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre s'écrit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où }}selon la dérivée 1^ère de la fonction complexe <math>\;\underline{F}(x)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où selon la dérivée 1^ère de }}<math>= f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math> telle que <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où selon la dérivée 1^ère de <math>\color{transparent}{=}</math> }}<math>\left\lbrace\begin{array}{l} f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right]\\ f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> }}où la somme des autres termes du 1^er membre s'écrit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left[ \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \right] + i \left[ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \right] = \left[ a\;f_2(x) + d \right] + i \left[ -a\;f_1(x) + e \right]}\;</math> où }}selon <math>\;b \left[ f_1(x) + i\;f_2(x) \right] = b\;\underline{F}(x)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> soit, au final, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = a\, \left[ f_2(x) - i \;f_1(x) \right] + \left[ d + i\;e \right]\;</math> où les fonctions réelles <math>\;\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace\;</math> du 2^nd membre ne devraient s'exprimer qu'au profit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = a\, \left[ f_2(x) - i \;f_1(x) \right] + \left[ d + i\;e \right]}\;</math> où }}de la fonction complexe <math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math> pour que la méthode aboutisse, soit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = a}\,</math> }}<math>\;\left[ f_2(x) - i \;f_1(x) \right] = \left[ -i^2\;f_2(x) - i \;f_1(x) \right] = -i \left[ f_1(x) + i\;f_2(x) \right] = -i\;\underline{F}(x)\;</math><ref> On rappelle que <math>\;i^2 = -1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 = -i^2</math>.</ref> C.Q.F.É<ref name="C.Q.F.É."> Ce Qu'il Fallait Établir.</ref>. d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = -i\;a\; \underline{F}(x) + \left[ d + i\;e \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right] \underline{F}(x) = \underline{E}\;</math>»<ref name="notation physique d'un complexe" /> avec <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right] \in \mathbb{C}\;</math> constante telle que <br />{{Al|15}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\; \underline{F}(x) = -i\;a\; \underline{F}(x) + \left[ d + i\;e \right]}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right] \underline{F}(x) = \underline{E}}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{\underline{E} =}</math> }}<math>\left\lbrace\begin{array}{l} d = \Re e \left[ \underline{E} \right]\\ e = \Im m \left[ \underline{E} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> soit finalement <br />{{Al|11}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}le découplage par C.L<ref name="C.L." />. complexe du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> <br />{{Al|17}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le découplage par C.L. complexe du système d'équations différentielles couplées }}avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues <br />{{Al|11}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le découplage }}en l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre, a priori hétérogène, en <math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Méthode de découplage formant <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right) + i \left( \mathfrak{2} \right)}\;</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le découplage en }}«<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right]\, \underline{F}(x) = \underline{E}\;</math>»<ref name="notation physique d'un complexe" /> avec <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right] \in \mathbb{C}\;</math> constante, a priori non nulle. === Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\mathbb{C}</math>, «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left[ b + i\;a \right]\, \underline{F}(x) = \underline{E}\;</math>»<ref name="notation physique d'un complexe" /> avec <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right] \in \mathbb{C}\;</math> constante, a priori non nulle et <math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x)\;</math> fonction complexe de variable <math>\;x\;</math> réelle c'est-à-dire <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}une équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène en <math>\;\underline{F}(x)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la méthode exposée dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> s'étendant sans aucune modification dans <math>\;\mathbb{C}</math> ; <br>{{Al|3}}pour la détermination de la solution libre, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Méthode_de_recherche_d'une_(ou_de_deux_indépendantes)_solution(s)_particulière(s)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_(ou_deuxième)_ordre_homogène|méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre homogène]] » du même chapitre et <br>{{Al|20}}pour celle de la solution forcée, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_forcée_(quand_celle-ci_existe)|recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)]] » du même chapitre <math>\;\ldots</math></ref>, l'excitation <math>\;\underline{E} = \left[ d + i\;e \right]\;</math> étant une constante complexe : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution forcée</u> : l'excitation étant constante, nous recherchons la solution forcée sous forme d'une constante <math>\;\big(</math>complexe<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « exemple d'un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Premier_ordre_à_excitation_constante|1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\underline{F_{\text{forcée}}} = \underline{cste}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution forcée : }}<math>\cancel{\dfrac{d \underline{F_{\text{forcée}}}}{dx}(x)\; +}\; \left[ b + i\;a \right]\, \underline{F_{\text{forcée}}} = \underline{E}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{F_{\text{forcée}}} = \dfrac{\underline{E}}{b + i\;a} = \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution libre</u> : l'équation caractéristique <math>\;\underline{s} + \left[ b + i\;a \right] = 0\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="solution libre d'une équa diff lin à coef csts du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> admettant pour solution <math>\;\underline{s} = -\left[ b + i\;a \right]</math>, nous en déduisons la solution libre <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre : }}<math>\underline{F_{\text{libre}}}(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right]\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref name="solution libre d'une équa diff lin à coef csts du 1er ordre" /> avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe arbitraire d'intégration ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « }}<math>\bullet\;</math><u>expression de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène</u> : <math>\;\underline{F}(x) = \underline{F_{\text{libre}}}(x) + \underline{F_{\text{forcée}}}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de résoudre, dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{C}}</math>, « <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>expression de la solution générale }}«<math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\; f_2(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math>» avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe arbitraire d'intégration. === Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en f₁(x) et f₂(x) === {{Al|5}}Sachant que les solutions <math>\;\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace\;</math> du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) = a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) = -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> sont telles que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right]\\ f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace}\;</math> du système d'équations différentielles couplées }}<math>\;\underline{F}(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math><ref name="notation physique d'un complexe" />{{,}}<ref> On a posé <math>\;\underline{A} = A\;\exp\! \left( -i\;\varphi \right)</math>.</ref> <math>= A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\exp\! \left[ -i \left( a\;x + \varphi \right) \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> où <br />{{Al|16}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f_1(x)\,,\, f_2(x) \right\rbrace}\;</math> du système d'équations différentielles couplées <math>\;\color{transparent}{\underline{F}(x) = \underline{A}\;\exp\! \left[ -\left( b + i\;a \right) x \right] + \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}}\;</math> <math>\color{transparent}{=}</math>}}<math>\;\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> sont des constantes réelles arbitraires <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions }}<math>\bullet\;</math><math>\;f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right] = A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\cos\! \left( a\;x + \varphi \right) + \Re e \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right]\;</math> <math>= A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\cos\! \left( a\;x + \varphi \right) + \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math><ref name="réécriture des solutions forcées"> En effet <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} = \dfrac{\left( d + i\;e \right)\,\left( b - i\;a \right)}{\left( b + i\;a \right)\,\left( b - i\;a \right)} = \dfrac{\left( b\;d + a\;e\right) + i \left( b\;e - a\;d \right)}{b^2 + a^2}\;</math> d'où <math>\;\Re e \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> et <math>\;\Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}</math>.</ref>{{,}}<ref name="réécriture des solutions forcées - bis"> Ce qu'il faut faire dans l'hypothèse où on ne voit pas la simplification de traitement consistant à multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur. <br>{{Al|20}}Si <math>\;\left( d\,,\, b \right)\;</math> sont <math>\;> 0\;</math> la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ;<br>{{Al|20}}si <math>\;d\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\left( e\,,\, b \right)\;</math> tous deux <math>\;> 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ i\;\dfrac{e - i\;d}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( d\,,\, e \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;b > 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;-\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ -\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{b + i\;a} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;b\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\left( a\,,\, d \right)\;</math> tous deux <math>\;> 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;\dfrac{d + i\;e}{i \left( a - i\;b \right)} = -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{b}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ -i\;\dfrac{d + i\;e}{a - i\;b} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) + \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( b\,,\, a \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;d > 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;-\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Re e \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \pi + \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> ou <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit }}<math>\;\Im m \left[ -\dfrac{d + i\;e}{(-b) + i\;(-a)} \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( b\,,\, a \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;d < 0</math>, <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> s'écrit aussi <math>\;\dfrac{(-d) + i\;(-e)}{(-b) + i\;(-a)}\;</math> et par suite <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d < 0}</math>, }}la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Re e \left[ \dfrac{(-d) + i\;(-e)}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d < 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;\Im m \left[ \dfrac{(-d) + i\;(-e)}{(-b) + i\;(-a)} \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right) - \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \right]</math>. <br>{{Al|3}}La discussion sur la détermination de l'argument du complexe <math>\;\dfrac{d + i\;e}{b + i\;a}\;</math> est faite en utilisant les propriétés exposées dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (d'un quotient de formes algébriques de complexes) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="simplification des résultats de la note 60"> Pour terminer il convient de mettre en accord les résultats des notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] » exposées plus haut dans ce paragraphe. <br>{{Al|20}}Si <math>\;\left( d\,,\, b \right)\;</math> sont <math>\;> 0\;</math> la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d}\;\dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math> }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|Si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, b \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{> 0}\;</math>}}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;d\;</math> est <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;\left( e\,,\, b \right)\;</math> tous deux <math>\;> 0</math>, la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right]\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma' = \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right]}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma') = \dfrac{d}{e}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \sin(\gamma')\;\cos(\delta) + \cos(\gamma')\,\sin(\delta) = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma') + \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma') + \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma')}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \sin(\gamma')\;\cos(\delta) + \cos(\gamma')\,\sin(\delta) = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma') + \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \dfrac{\dfrac{d}{e} + \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{d^2}{e^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right]\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma' = \arctan\! \left( \dfrac{d}{e} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \gamma' - \delta \right]}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma') = \dfrac{d}{e}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) - \sin(\gamma')\,\sin(\delta) = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) \left[ 1 - \tan(\gamma') \, \tan(\delta) \right]</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \cos(\gamma')\,\cos(\delta) - \sin(\gamma')\,\sin(\delta)}</math> }}<math>= \dfrac{1 - \tan(\gamma') \, \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma')}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{d}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{\left( e\,,\, b \right)}\;</math> tous deux <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma' + \delta \right] = \dfrac{1 - \dfrac{d}{e} \, \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{d^2}{e^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( d\,,\, e \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;b > 0</math>, la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array} \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d} \, \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\,\vert d \vert + a\,e\,\dfrac{\vert d \vert}{d}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <br>{{Al|24}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + e \, a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{b\,\vert d \vert + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;d + a\;e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, celle de <math>\;\color{transparent}{f_2(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right]}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma') = \dfrac{d}{e}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{d^2}{e^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{b\,e\,\dfrac{\vert d \vert}{d} - a\,\vert d \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <br>{{Al|44}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( d\,,\, e \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{b > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{e - a}{\sqrt{1 + d^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{b\,e\,\vert d \vert - a\,\vert d \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\,b\,</math> est <math>\,< 0\,</math> avec <math>\,\left( a\,,\, d \right)\,</math> tous deux <math>\,> 0</math>, la solution forcée de <math>\,f_1(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right]\,</math> où <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta' = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, la solution forcée de <math>\,\color{transparent}{f_1(x)}\,</math> se réécrit <math>\,\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta'} = \dfrac{b}{a} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta') + \cos(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ \tan(\gamma) + \tan(\delta') \right] = \dfrac{\tan(\gamma) + \tan(\delta')}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta')}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta') + \cos(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ \tan(\gamma) + \tan(\delta') \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} + \dfrac{b}{a}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}} = \dfrac{a\;e + b\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}celle de <math>\,f_2(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right]\,</math> où <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta' = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, celle de <math>\,\color{transparent}{f_2(x)}\,</math> se réécrit <math>\,\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ -\dfrac{\pi}{2} + \gamma + \delta' \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta'} = \dfrac{b}{a} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') - \sin(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ 1 - \tan(\gamma) \, \tan(\delta') \right] = \dfrac{1 - \tan(\gamma) \, \tan(\delta')}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta')}}\;</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') - \sin(\gamma)\,\sin(\delta') = \cos(\gamma)\,\cos(\delta') \left[ 1 - \tan(\gamma) \, \tan(\delta') \right]}</math>}}<math>\bigg\{\!</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\!\bigg\}</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{b}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{\left( a\,,\, d \right)}\,</math> tous deux <math>\,\color{transparent}{> 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma + \delta' \right] = \dfrac{1 - \dfrac{e}{d} \, \dfrac{b}{a}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}} = -\dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\;\left( b\,,\, a \right)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> avec <math>\;d > 0</math>, la solution forcée de <math>\;f_1(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, la solution forcée de <math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> se réécrit <math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\cos\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma) \, \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d} \, \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\,d + a\,e\;\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,d + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\,d + a\,e}{b^2 + a^2}\,</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + e \, a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{\vert b \vert\,d + a\,e\;\vert b \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\,d + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\,</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}celle de <math>\;f_2(x)\;</math> se réécrit <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] = -\dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\;</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, celle de <math>\,\color{transparent}{f_2(x)}\,</math> se réécrit <math>\,\color{transparent}{f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\sin\! \left[ \pi + \gamma - \delta \right] =}</math> }}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, }}<math>\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\;e - a\;d\;\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <br>{{Al|43}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d > 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{e - a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{\vert b \vert\;e - a\;d\;}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = -\dfrac{b\;e - a\;d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|20}}si <math>\,\left( b\,,\, a \right)\,</math> sont <math>\,< 0\,</math> avec <math>\,d < 0</math>, la solution forcée de <math>\,f_1(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\,\cos\! \left[ \gamma - \delta \right]\,</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \! \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \! \right\rbrace\,</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta) \right] = \dfrac{1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) + \sin(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ 1 + \tan(\gamma)\,\tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\;\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + \dfrac{e}{d}\,\dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\;\vert d \vert + a\;e\;\dfrac{\vert d \vert}{d}\,\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{\left( -b \right) \left( -d \right) + a\;e\; \left( -1 \right)^2}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{b\,d + a\,e}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\,d + a\,e}{b^2 + a^2}\,</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si <math>\;\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{d < 0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\cos\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{1 + e \, a}{\sqrt{1 + e^2}\,\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{\vert b \vert\,\vert d \vert + a\,e\;\vert d \vert\,\vert b \vert}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{\left( -b \right) \left( -d \right) + a\;e\; \left( -1 \right)^2}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}}\,</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}celle de <math>\,f_2(x)\,</math> se réécrit <math>\,f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{\sqrt{d^2 + e^2}}{\sqrt{b^2 + a^2}}\;\sin\! \left[ \gamma - \delta \right]\,</math> avec <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \gamma = \arctan\! \left( \dfrac{e}{d} \right)\\ \delta = \arctan\! \left( \dfrac{a}{b} \right) \end{array}\!\! \right\rbrace\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-60|⁶⁰]] »<math>\big]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace \! \begin{array}{c} \tan(\gamma) = \dfrac{e}{d}\\ \tan{\delta} = \dfrac{a}{b} \end{array} \! \right\rbrace\,</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] = \dfrac{\tan(\gamma) - \tan(\delta)}{\sqrt{1 + \tan^2(\gamma)}\,\sqrt{1 + \tan^2(\delta)}}\;</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, <math>\color{transparent}{\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \sin(\gamma)\,\cos(\delta) - \cos(\gamma)\,\sin(\delta) = \cos(\gamma)\,\cos(\delta) \left[ \tan(\gamma) - \tan(\delta) \right] =}</math> }}<math>\bigg\{</math>car <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\bigg\}</math> d'où <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, }}<math>\sin\! \left[ \gamma - \delta \right] = \dfrac{\dfrac{e}{d} - \dfrac{a}{b}}{\sqrt{1 + \dfrac{e^2}{d^2}}\,\sqrt{1 + \dfrac{a^2}{b^2}}} = \dfrac{\vert b \vert\,e\,\dfrac{\vert d \vert}{d} - a\,\vert d \vert\,\dfrac{\vert b \vert}{b}}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{\left( -b \right)\,e\,\left( -1 \right) - a\,\left( -d \right)\,\left( - 1 \right)}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}} = \dfrac{b\,e - a\,d}{\sqrt{d^2 + e^2}\,\sqrt{b^2 + a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|40}}{{Transparent|si <math>\,\color{transparent}{\left( b\,,\, a \right)}\,</math> sont <math>\,\color{transparent}{< 0}\,</math> avec <math>\,\color{transparent}{d < 0}</math>, celle de <math>\,\color{transparent}{f_2(x)}\,</math> se réécrit }}<math>\;f_{2,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math> <math>\big[</math>en accord avec la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-réécriture_des_solutions_forcées-59|⁵⁹]] »<math>\big]</math>.</ref> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\;\color{transparent}{f_1(x) = \Re e \left[ \underline{F}(x) \right] =}</math> }}<math>\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> constantes réelles arbitraires d'intégration et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions }}<math>\bullet\;</math><math>\;f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right] = -A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right]\;</math> <math>= -A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \dfrac{b\;e - a\;d}{b^2 + a^2}\;</math><ref name="réécriture des solutions forcées" />{{,}}<ref name="réécriture des solutions forcées - bis" />{{,}}<ref name="simplification des résultats de la note 60" /> ou encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\;\color{transparent}{f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right] = -A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \Im m \left[ \dfrac{d + i\;e}{b + i\;a} \right]}\;</math> }}<math>= A\;\exp\! \left( -b\; x \right)\;\sin\! \left( a\;x + \varphi \right) + \dfrac{a\;d - b\;e}{b^2 + a^2}\;</math> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que les solutions <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\;\color{transparent}{f_2(x) = \Im m \left[ \underline{F}(x) \right] =}</math> }}<math>\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> mêmes constantes réelles arbitraires d'intégration. === Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : on rappelle que le meilleur découplage du système d'équations différentielles couplées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) = a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) = -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> s'obtient par C.L<ref name="C.L." />. complexe<ref name="découplage par C.L. complexe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Exposé_de_la_méthode_de_découplage_par_combinaison_linéaire_complexe_du_système_particulier_des_deux_équations_différentielles_linéaires_à_cœfficients_réels_constants_du_1er_ordre_couplées|exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> mais <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : on rappelle }}qu'il est toujours possible de réaliser un découplage par substitution<ref name="découplage par substitution - bis" />, c'est néanmoins PLUS LONG. {{Al|5}}<u>Méthode de découplage par substitution<ref name="mal adaptée"> Mal adaptée.</ref>{{,}}<ref name="découplage par substitution - bis" /> du système d'équations couplées</u><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) \!\!&=&\!\! a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) \!\!&=&\!\! -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="présentation du système d'équations différentielles - bis" />{{,}}<ref name="équations différentielles linéaires d'un système" /> avec <math>\;a \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;\left( b\,,\, d\,,\,e \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> constantes connues : <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution }}de l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, on tire <math>\;f_2(x) = \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \dfrac{b}{a}\;f_1(x) - \dfrac{d}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) = \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x)\;</math> dont on reporte <br />{{Al|20}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution de l'équation différentielle couplée <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{1} \right)}</math>, on tire }}les deux expressions dans l'équation différentielle couplée <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> soit <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution }}<math>\;\left[ \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) \right] + b\, \left[ \dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \dfrac{b}{a}\;f_1(x) - \dfrac{d}{a} \right] = -a\;f_1(x) + e\;</math> ou, en ordonnant et normalisant, <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution }}«<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_1(x) = \left[ b\;d + a\;e \right]\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>» équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre <br />{{Al|18}}{{Transparent|Méthode de découplage par substitution «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_1(x) = \left[ b\;d + a\;e \right]\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)}\;</math>» }}découplée et indépendante en <math>\;f_1(x)</math>, hétérogène<ref> On aurait pu éliminer <math>\;f_1(x)\;</math> à partir de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math>, on aurait obtenu <math>\;f_1(x) = -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - \dfrac{b}{a}\;f_2(x) + \dfrac{e}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) = -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) - \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x)\;</math> d'où par report dans l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, <math>\;\left[ -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) - \dfrac{b}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) \right] + b\, \left[ -\dfrac{1}{a}\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) - \dfrac{b}{a}\;f_2(x) + \dfrac{e}{a} \right] = a\;f_2(x) + d\;</math> soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre découplée et indépendante en <math>\;f_2(x)</math>, hétérogène «<math>\;\dfrac{d^2 f_2}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_2}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_2(x) = \left[ b\;e - a\;d \right]\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>il suffisait de permuter les indices «<math>\;_1\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;_2\;</math>»,}} changer <math>\;a\;</math> en <math>\;-a\;</math> et permuter <math>\;d\;</math> et <math>\;e\;</math>à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en <math>\;f_1(x)\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante en</u><math>\;f_1(x)\;</math> «<math>\;\dfrac{d^2 f_1}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_1}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_1(x) = \left[ b\;d + a\;e \right]\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>»<ref name="résolution d'une équa diff lin du 2ème ordre hétérogène - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_forcée_(quand_celle-ci_existe)|recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : sachant que <math>\;f_1(x) = f_{1,\,\text{libre}}(x) + f_{1,\,\text{forcée}}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution forcée</u><math>\;f_{1,\,\text{forcée}}</math> : cherchée sous la même forme que l'excitation c'est-à-dire forme constante<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution forcée<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}}}</math> : }}<math>\cancel{\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{forcée}}}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_{1,\,\text{forcée}}}{dx}(x)\; + }\left[ b^2 + a^2 \right]\,f_{1,\,\text{forcée}} = \left[ b\;d + a\;e \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution forcée<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{forcée}}}</math> : }}«<math>\;f_{1,\,\text{forcée}} = \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution libre</u><math>\;f_{1,\,\text{libre}}(x)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : solution de <math>\;\dfrac{d^2 f_{1,\,\text{libre}}}{dx^2}(x) + 2\;b\;\dfrac{d f_{1,\,\text{libre}}}{dx}(x) + \left[ b^2 + a^2 \right]\,f_{1,\,\text{libre}}(x) = 0\;</math> dont <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}l'équation caractéristique est <math>\;s^2 + 2\;b\;s + \left[ b^2 + a^2 \right] = 0\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}discriminant réduit <math>\;\Delta' = b^2 - \left[ b^2 + a^2 \right] = -a^2 < 0\;</math><ref name="discriminant réduit"> Lors de la résolution de l'équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;s</math>, <math>\;a\;s^2 + 2\;b\;s + c = 0</math>, le discriminant s'écrivant <math>\;\Delta = 4\;b^2 - 4\;a\;c\;</math> est encore égal à <math>\;4\;\Delta'\;</math> avec <math>\;\Delta' = b^2 - a\;c\;</math> définissant le discriminant réduit ; la discussion de l'existence de solutions réelles distinctes, de solution réelle double et de l'inexistence de solutions réelles portant sur le signe de <math>\;\Delta\;</math> se reporte sans modification sur le signe de <math>\;\Delta'</math>.</ref> d'où <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}absence de solution lors d'une résolution dans <math>\;\mathbb{R}</math>, toutefois dans <math>\;\mathbb{C}</math>, <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : solution de }}existence de deux solutions complexes conjuguées «<math>\;\underline{s} = -b \pm i\;a\;</math>»<ref> Lors de la résolution, dans <math>\;\mathbb{C}</math>, de l'équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;\underline{s}</math>, <math>\;a\;\underline{s}^2 + 2\;b\;\underline{s} + c = 0</math>, les solutions s'écrivent en utilisant le discriminant réduit <math>\;\Delta' = b^2 - a\;c\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#cite_note-discriminant_réduit-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} \text{si }\Delta'\;\text{est }> 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{b}{a} \pm \dfrac{\sqrt{\Delta'}}{a}\\ \text{si }\Delta'\;\text{est }= 0, &\underline{s}_{d} = -\dfrac{b}{a}\\ \text{si }\Delta'\;\text{est }< 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{b}{a} \pm i\;\dfrac{\sqrt{-\Delta'}}{a} \end{array} \right\rbrace</math>, cela résulte de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} \text{si }\Delta = 4\;\Delta'\;\text{est }> 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{2\;b}{2\;a} \pm \dfrac{\sqrt{4\;\Delta'}}{2\;a}\\ \text{si }\Delta = 4\;\Delta'\;\text{est }= 0, &\underline{s}_{d} = -\dfrac{2\;b}{2\;a}\\ \text{si }\Delta = 4\;\Delta'\;\text{est }< 0, &\underline{s}_{\pm} = -\dfrac{2\;b}{2\;a} \pm i\;\dfrac{\sqrt{-4\;\Delta'}}{2\;a} \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : }}d'où «<math>\;f_{1,\,\text{libre}}(x) = A\;\exp(-b\;x)\;\cos(a\;x + \varphi)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_négatif,_solution_libre_pseudo-périodique|cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, avec <br />{{Al|12}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution libre<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x)}\;</math> : d'où «<math>\;\color{transparent}{f_{1,\,\text{libre}}(x) =}</math>}}<math>\;\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> constantes réelles arbitraires d'intégration, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante }}<math>\bullet\;</math><u>détermination de la solution générale</u><math>\;f_1(x)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;f_1(x) = f_{1,\,\text{libre}}(x) + f_{1,\,\text{forcée}} = A\;\exp(-b\;x)\;\cos(a\;x + \varphi) + \dfrac{b\;d + a\;e}{b^2 + a^2}\;</math>», <br />{{Al|11}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution générale<math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> : «<math>\;\color{transparent}{f_1(x) = f_{1,\,\text{libre}}(x) + f_{1,\,\text{forcée}} =}</math>}}<math>\;\left( A\,,\, \varphi \right)\;</math> étant des constantes réelles arbitraires ; <br />{{Al|11}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>détermination de la solution générale<math>\;\color{transparent}{f_1(x)}\;</math> : }}en accord avec le résultat obtenu au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Explicitation_des_solutions_du_système_particulier_des_deux_équations_différentielles_linéaires_à_cœfficients_réels_constants_du_1er_ordre_en_f1(x)_et_f2(x)|précédent]] ». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif|Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} 9rinl3frx3bacfwj7shi5nc068ha402 0 73327 982926 978976 2026-05-19T10:47:34Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982926 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Les matrices, généralités/]] }} == Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel == === Espace affine euclidien tridimensionnel === {{Al|5}}Un espace tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math> est dit <math>\bullet\;</math><u>[[w:Espace_affine#Première_définition|affine]]</u> si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de [[w:Barycentre|barycentre]]<ref name="barycentre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Définition_du_barycentre_d'un_système_de_n_points_pondérés|définition du barycentre d'un système de n points pondérés]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un espace tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}\;</math> est dit }}<math>\bullet\;</math><u>[[w:Espace_affine_euclidien|euclidien]]</u> si la « direction de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] »<ref name="direction d'un espace affine"> Représentant l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]].</ref> est un espace <math>\;\mathbb{R}-</math>[[w:Espace_vectoriel|vectoriel]]<ref> Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisants, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]].</ref> dans lequel on définit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un espace tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}\;</math> est dit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>euclidien }}un [[w:Produit_scalaire#Définitions_et_premières_propriétés|produit scalaire]]<ref name="définition d'un produit scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> permettant de déterminer la distance entre deux points de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]]<ref name="distance entre deux points de l'espace affine"> Égale à la [[w:Norme_(mathématiques)#Définition|norme]] du vecteur associé au bipoint.</ref> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Un espace tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}\;</math> est dit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>euclidien un produit scalaire permettant de déterminer }}l'angle entre deux bipoints<ref name="angle entre deux bipoints"> Se déterminant à l'aide du [[w:Produit_scalaire#Définitions_et_premières_propriétés|produit scalaire]] des vecteurs associés aux bipoints, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Calcul_de_l'angle_entre_deux_vecteurs_connaissant_leurs_composantes_dans_une_même_base_orthonormée_et_par_l'intermédiaire_de_leur_produit_scalaire|calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. === Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel === {{Al|5}}Un champ de vecteurs d'un [[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champs_(ou_fonctions)_scalaire_et_vectoriel(le)_de_l'espace,_différentielle_d'un_champ_de_deux_variables#Définition_intrinsèque_d'un_champ_(ou_d'une_fonction)_vectoriel(le)_de_l'espace|définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », sa définition est rappelée ci-dessous : {{Définition|titre= Champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel|contenu= {{Al|5}}On définit un champ de vecteurs <math>\;\vec{f}\;</math> en <math>\;M\;</math> point de l'[[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition"> Ou sous-ensemble de <math>\;\mathcal{E}</math>, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.</ref> selon :<div style="text-align: center;"><math>\;M\; \overset{\vec{f}}{\rightarrow}\; \vec{f}(M) \in \mathcal{V},\; \forall\; M \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" />, où <br /><math>\;\mathcal{V}\;</math> est l'espace <math>\;\mathbb{R}-</math>[[w:Espace_vectoriel|vectoriel]] de dimension trois, « direction de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] »<ref name="direction d'un espace affine" /> [[w:Espace_affine_euclidien|euclidien]] <math>\;\mathcal{E}</math>.</div>}} === Définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel === {{Définition|titre=Équiprojectivité d'un champ de vecteur d'un espace affine euclidien tridimensionnel|contenu={{Al|5}}Un champ de vecteurs <math>\;\vec{f}(M)\;</math> défini en <math>\;M \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> est « <u>[[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> » si <center><math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{f}(N) \cdot \overrightarrow{MN}</math>.</center> {{Al|5}}On démontre alors qu'il existe un [[w:Endomorphisme|endomorphisme]]<ref name="endomorphisme"> Ici application de <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>direction de <math>\;\mathcal{E}\big]\;</math> dans <math>\;\mathcal{V}\;</math>.</ref> [[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|antisymétrique]]<ref name="adjoint d'un endomorphisme"> L'[[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|adjoint d'un endomorphisme]] <math>\;a\;</math> de <math>\;\mathcal{V}</math>, direction de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] <math>\;\mathcal{E}</math>, est l'[[w:Endomorphisme|endomorphisme]] <math>\;a^{*}\;</math> tel que <math>\;\forall\;\left( x\,,\,y \right) \in \mathcal{V}^2,\; \left\langle x\,,\, a(y) \right\rangle = \left\langle a^{*}(x)\,,\, y \right\rangle\;</math> dans laquelle <math>\;\left\langle \;,\; \right\rangle\;</math> représente la [[w:Espace_euclidien#Définitions|multiplication scalaire]] définie sur <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big\{</math>ainsi <math>\;\left\langle x\,,\, y \right\rangle\;</math> est le [[w:Espace_euclidien#Définitions|produit scalaire]] de <math>\;x \in \mathcal{V}\;</math> sur <math>\;y \in \mathcal{V}\big\}</math>, <math>\;\big\{a(y)\;</math> étant l'élément de <math>\;\mathcal{V}</math>, image de <math>\;y\;</math> par l'[[w:Endomorphisme|endomorphisme]] <math>\;a</math>, <math>\;\left\langle x\,,\, a(y) \right\rangle\;</math> est le [[w:Espace_euclidien#Définitions|produit scalaire]] de <math>\;x\;</math> sur <math>\;a(y)\big\}\;</math> et enfin ce [[w:Espace_euclidien#Définitions|produit scalaire]] devant être égal à <math>\;\left\langle a^{*}(x)\,,\, y \right\rangle</math> <math>\;\big\{</math>c.-à-d. au [[w:Espace_euclidien#Définitions|produit scalaire]] de <math>\;a^{*}(x)</math>, image de <math>\;x\;</math> par l'[[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|endomorphisme adjoint]] <math>\;a^{*}</math>, sur <math>\;y\big\}</math> définit l'[[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|endomorphisme adjoint]] de <math>\;a</math> ; <br>{{Al|3}}les [[w:Endomorphisme|endomorphismes]] égaux à leur [[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|adjoint]] sont dits « symétriques » <math>\;\big\{</math>exemple <math>\;a = \lambda \times\;</math> avec <math>\;\lambda \in \mathbb{R}^{*}\;</math> car <math>\;\left\langle x\,,\, \lambda\;y \right\rangle = \left\langle \lambda\;x\,,\, y \right\rangle\big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|les endomorphi}}ceux opposés à leur [[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|adjoint]] sont dits « antisymétriques » <math>\;\Big\{</math>exemple <math>\;a = u \wedge\;</math> avec <math>\;u \in \mathcal{V}\, \backslash\! \left\lbrace \vec{0} \right\rbrace\;</math> car <math>\;\left\langle x\,,\, u \wedge y \right\rangle = \left\langle -u \wedge x\,,\, y \right\rangle</math>, le [[w:Espace_euclidien#Définitions|produit scalaire]] <math>\;\left\langle x\,,\, u \wedge y \right\rangle\;</math> étant le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|produit mixte]] <math>\;\vec{x} \cdot \left( \vec{u} \wedge \vec{y} \right)</math> <math>\;\big[</math>en adoptant la notation usuelle de la [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|multiplication scalaire]] ainsi que celle des vecteurs pour les éléments de <math>\;\mathcal{V}\big]\;</math> égal à <math>\;\vec{y} \cdot \left( \vec{x} \wedge \vec{u} \right)\;</math> par permutation circulaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|produit mixte]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou à <math>\;\left( \vec{x} \wedge \vec{u} \right) \cdot \vec{y}\;</math> par commutativité du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|produit scalaire]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres propriétés|autres propriétés]] (1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et enfin à <math>\;\left( -\vec{u} \wedge \vec{x} \right) \cdot \vec{y}\;</math> par [[w:Anticommutativité|anticommutativité]] du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel]] <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\Big\}</math>.</ref> <math>\;u\;</math> tel que <center><math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(N) = \vec{f}(M) + u\!\left( \overrightarrow{MN} \right)</math>.</center>}} == Notion de torseur == === Domaine pratique d'utilisation de torseurs === {{Al|5}}Les [[w:Torseur|torseurs]] sont essentiellement utilisés en mécanique <math>\;\big(</math>et plus particulièrement en [[w:Mécanique_du_solide|mécanique du solide]]<math>\big)</math>, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme * le champ de vitesses d'un [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]]<ref name="solide"> On rappelle qu'au sens de la mécanique un [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] est un système de points matériels [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|indéformable]].</ref> défini en chacun des points de ce dernier <math>\;\big[</math>les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] reste constante<math>\big]\;</math> ou * le champ de [[w:Moment_d'une_force|moments de forces]] de même source<ref> Par exemple, le [[w:Moment_d'une_force#Moment_d'une_force|moment des forces]] gravitationnelles crées par la Terre ou forces électrostatiques dues à un corps électrisé <math>\;\ldots</math> <math>\;\big[</math>La notion de moment de force est introduite dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] (du moment vectoriel d'une force) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> appliquées en chacun des points d'un [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]]<ref name="solide" /> <math>\;\big[</math>ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres<math>\big]\;</math> ou * <math>\;\ldots\;</math> === Définition d'un torseur === {{Définition|titre= Définition d'un torseur|contenu= {{Al|5}}Un [[w:Torseur#Définition|torseur]] est un <u>champ de vecteurs [[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> <math>\;\vec{t}()\;</math><ref name="confusion entre l'application et image de l'application"> C'est un abus fréquemment utilisé, on devrait énoncer « l'image d'un [[w:Torseur#Définition|torseur]] est un champ de vecteurs <math>\ldots\;</math>», le [[w:Torseur#Définition|torseur]] étant une application d'un [[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] sur la direction de ce dernier.</ref> défini sur un <u>[[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]]</u> <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> tridimensionnel soit plus précisément <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un torseur est }}une application <math>\;\mathcal{T}\;</math> de <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> dans <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]\;</math> telle que <center><math>\;\forall\; M \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" />, <math>M\; \overset{\mathcal{T}}{\rightarrow}\; \mathcal{T}(M) = \vec{t}_M \in \mathcal{V}\;</math> vérifiant <math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2\;</math><ref name="Domaine de définition" />, <math>\vec{t}_M \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{t}_N \cdot \overrightarrow{MN}\;</math><ref name="Autre écriture de l'équiprojectivité d'un torseur"> L'[[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> peut encore être écrite selon <math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\;\mathcal{T}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \mathcal{T}(N) \cdot \overrightarrow{MN}</math>.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Appellation</u> : <math>\;\mathcal{T}(M)\;</math> où <math>\;M \in \mathcal{E}\;</math> est appelé « <u>[[w:Torseur#Résutante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]]</u> <math>\;\mathcal{T}\;</math> <u>au point</u> <math>\;M\;</math>», c'est donc un élément de <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Appellation : <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}(M)}\;</math> où <math>\;\color{transparent}{M \in \mathcal{E}}\;</math> est appelé « moment du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>», }}le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> étant une application de <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> dans <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]</math>. == Propriétés d'un torseur == === Notion de résultante d'un torseur === {{Théorème|titre=Relation de Varignon (ou règle de transport des moments)|contenu ={{Al|5}}La [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon"> '''[[w:Pierre_Varignon|Pierre Varignon]] (1654 - 1722)''' mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la [[w:Statique_(mécanique)|statique]] <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>admise<math>\big)\;</math> s'énonce sous une forme directe et une forme réciproque : <br />{{Al|5}}<u>Forme directe</u> : Soit un [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> sur <math>\;\mathcal{E}</math>, il existe un unique vecteur <math>\;\vec{R}\;</math> de <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]\;</math> vérifiant <center><math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\quad\mathcal{T}(N) = \mathcal{T}(M) + \vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\;</math><ref> Le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> étant un champ de vecteurs [[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectif]] et ayant admis qu'un tel champ [[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectif]] vérifiait la propriété « il existe un [[w:Endomorphisme|endomorphisme]] [[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|antisymétrique]] <math>\;u\;</math> tel que <math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\;</math> <math>\mathcal{T}(N) = \mathcal{T}(M) + u\!\left( \overrightarrow{MN} \right)\;</math>» nous en déduisons que l'[[w:Endomorphisme|endomorphisme]] [[w:Espace_euclidien#Adjoint_d'un_endomorphisme|antisymétrique]] <math>\;u\;</math> est tel que <math>\;u() = \vec{R} \wedge ()</math>.</ref>, <math>\;\vec{R}\;</math> étant « <u>la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante du torseur]]</u> ».</center> {{Al|5}}<u>Forme réciproque</u> : Si <math>\;\mathcal{T}\;</math> est une application de <math>\;\mathcal{E}\;</math> sur <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Forme réciproque : }}s'il existe un couple <math>\;\left( A\,,\,\vec{R} \right) \in \mathcal{E} \times \mathcal{V}\;</math> tel que <math>\quad\forall\;M \in \mathcal{E},\; \mathcal{T}(M) = \mathcal{T}(A) + \vec{R} \wedge \overrightarrow{AM}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Forme réciproque : }}alors <math>\;\mathcal{T}\;</math> est un [[w:Torseur#Définition|torseur]] sur <math>\;\mathcal{E}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> en est « la <u>[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]]</u> ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : D'après la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" />, on constate que <math>\;\vec{R}\;</math> d'une part et <math>\;\left\lbrace \mathcal{T}(M)\,,\,\mathcal{T}(N) \right\rbrace\;</math> d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref> Cette affirmation résultant du fait qu'une multiplication vectorielle dépend de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (introduction sur l'orientation de l'espace affine) » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, }}il y a deux [[w:Torseur#Types_de_torseurs|types de torseurs]] suivant le comportement comparé de <math>\;\vec{R}\;</math> et de <math>\;\overrightarrow{MN}\;</math> <math>\Big[\overrightarrow{MN}</math>, par construction, ne dépendant pas de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace]] <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> et de <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{MN}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Big[\overrightarrow{MN}}</math>, }}est nécessairement un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\Big]</math> : <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs }}<math>\blacktriangleright\;</math>le 1^er [[w:Torseur#Types_de_torseurs|type de torseur]] correspondant à <math>\;\vec{R}\;</math> ne dépendant pas de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{R}\;</math> est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]] <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 1^er type de torseur correspondant à <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}<math>\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" />, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 1^er type de torseur }}<math>\succ\;</math><math>\;\left\lbrace \vec{R}\,,\,\overrightarrow{MN} \right\rbrace\;</math> étant des [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteurs polaires]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrais vecteurs]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" />, <br />{{Al|18}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 1^er type de torseur <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\vec{R}\,,\,\overrightarrow{MN}}\;</math> étant des vecteurs }}<math>\big(</math>c'est-à-dire indépendants de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]]<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|14}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 1^er type de torseur <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\;</math> est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur axial]]<ref name="produit vectoriel de deux vecteurs polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Produit_vectoriel_de_deux_vrais_vecteurs_(ou_vecteurs_polaires)|produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> car la multiplication vectorielle <br />{{Al|22}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 1^er type de torseur <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}}\;</math> est un vecteur axial }}dépend de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] et <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 1^er type de torseur }}<math>\succ\;</math><math>\;\left\lbrace \mathcal{T}(M)\,,\,\mathcal{T}(N) \right\rbrace\;</math> <math>\big[</math>comme <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\big]\;</math> sont des [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteurs axiaux]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteurs]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux" /> car <br />{{Al|15}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 1^er type de torseur <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}(M)\,,\,\mathcal{T}(N)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>comme <math>\;\color{transparent}{\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\big]}\;</math> sont }}dépendants de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]], <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs }}<math>\blacktriangleright\;</math>le 2^ème [[w:Torseur#Types_de_torseurs|type de torseur]] correspondant à <math>\;\vec{R}\;</math> dépendant de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]] <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{R}\;</math> est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur axial]] <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur correspondant à <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> dépendant de l'orientation de l'espace affine <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}<math>\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux" /> et <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur }}comme <math>\;\overrightarrow{MN}\;</math> est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" /> on en déduit que, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur comme <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{MN}}\;</math> }}<math>\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\;</math> est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]]<ref name="produit vectoiel d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Produit_vectoriel_d'un_pseudo-vecteur_et_d'un_vrai_vecteur_(ou_d'un_vecteur_axial_et_d'un_vecteur_polaire)|produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vrai vecteur)]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" /> car la multiplication <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur comme <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{MN}}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}}\;</math> est }}vectorielle dépend de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]], en résumé : <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur }}<math>\succ\;</math><math>\left\lbrace \mathcal{T}(M)\,,\,\mathcal{T}(N) \right\rbrace\;</math> <math>\big[</math>comme <math>\;\overrightarrow{MN}\;</math> et <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\big]\;</math> sont des [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteurs polaires]] <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{T}(M)\,,\,\mathcal{T}(N) \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>comme <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{MN}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\big]}\;</math> sont des }}<math>\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrais vecteurs]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" /> car <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{T}(M)\,,\,\mathcal{T}(N) \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>comme <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{MN}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\vec{R} \wedge \overrightarrow{MN}\big]}\;</math> }}indépendants de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace]] et <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le 2^ème type de torseur }}<math>\succ\;</math><math>\vec{R}\;</math> est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur axial]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux" />, dépendant de l'orientation de l'[[w:Espace_affine#Première_définition|espace affine]]. === Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini === {{Al|5}}Un [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> défini sur l'[[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> est déterminé par un couple de deux vecteurs <math>\;\in\;</math> chacun à <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]</math> ; <br />{{Al|5}}on distingue deux [[w:Torseur#Types_de_torseurs|types de torseurs]] suivant que sa [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}\;</math> est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" /> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> est }}un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur axial]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux" /> : ==== Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) ==== {{Al|5}}<u>Cas d'un [[w:Torseur#Définition|torseur]] dont la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]</u><math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" /> : le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> défini sur l'[[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : le torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> }}étant déterminé par un couple de deux vecteurs <math>\;\left\lbrace \vec{R}\,,\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \right\rbrace \in \mathcal{V}^2</math> <math>\;\big[\mathcal{V}</math> étant la direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : }}on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante : <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : on distingue }}<math>\bullet\;</math>un 1^er [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" /> <math>\;\vec{R}\;</math> indépendant du point <math>\;A\;</math> en lequel <math>\;\mathcal{T}\;</math> est appliqué et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : on distingue }}<math>\bullet\;</math>un 2^nd [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur axial]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux" /> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A\;</math><ref name="notation antérieure"> Était noté <math>\;\mathcal{T}(A)\;</math> dans la « [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] (forme réciproque) du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Notion_de_résultante_d'un_torseur|notion de résultante d'un torseur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> dépendant a priori du point <math>\;A\;</math> où <math>\;\mathcal{T}\;</math> est appliqué ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : }}ce couple d'un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]<ref name="vecteurs polaires" /> et d'un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]]<ref name="vecteurs axiaux" /> <math>\;\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \right) \in \mathcal{V}^2\;</math><ref name="sans distinguer vecteurs polaire et axial"> Ici la distinction entre [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]] et [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]] n'est pas faite, raison pour laquelle ils sont considérés comme appartenant au même [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{V}\;</math> direction de <math>\;\mathcal{E}</math>.</ref> <br />{{Al|24}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : ce couple d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur }}constitue « <u>la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]]</u><math>\;\mathcal{T}\;</math><u>au point</u><math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> », <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : ce couple }}<math>\bullet\;</math>le 1^er vecteur « [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|polaire]] »<ref name="vecteurs polaires" /> <math>\;\vec{R}\;</math> étant <u>la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante du torseur]]</u> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : ce couple }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd vecteur « [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|axial]] »<ref name="vecteurs axiaux" /> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;</math> <u>le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment du torseur]] au point</u><math>\;A</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou vrai vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : }}cette [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> en <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> s'écrivant symboliquement <math>\;\mathcal{T} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \end{array}\right\rbrace_A\;</math><ref name="éléments de réduction du torseur"> <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A\;</math> sont appelées « [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou coordonnées vectorielles du [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\big)</math>, seul le 2^ème élément <math>\;\big(</math>ou la 2^ème coordonnée<math>\big)\;</math> dépend du point <math>\;A\;</math> de la réduction.</ref>{{,}}<ref> D'après la réciproque de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]], on voit que l'on peut construire un [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> à partir d'un 1^er [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]] <math>\;\in \mathcal{V}\;</math> et un 2^nd [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]] <math>\;\in \mathcal{T}(\mathcal{E}) \subset \mathcal{V}</math>, <br>{{Al|3}}ceci établissant, à condition de discerner l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{V}\;</math> direction de <math>\;\mathcal{E}</math>, de celui incluant l'image de <math>\;\mathcal{E}\;</math> par [[w:Torseur#Définition|torseur]] noté <math>\;\mathcal{V}' \supset \mathcal{T}(\mathcal{E})\;\forall\; \mathcal{T}\;</math> pour concrétiser la différenciation <math>\;\big[</math>ceci permettant de distinguer l'espace des [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrais vecteurs]] de celui des [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteurs]]<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ceci établissant }}que <u>l'ensemble des [[w:Torseur#Définition|torseurs]] forment un [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] de dimension six</u> dont une base possible est la réunion d'une base de <math>\;\mathcal{V}\;</math> et d'une de <math>\;\mathcal{V}'</math>, considérées comme distinctes si on discerne <math>\;\mathcal{V}'\;</math> de <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>attention il est impératif de discerner <math>\;\mathcal{V}'\;</math> de <math>\;\mathcal{V}\;</math> pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois<math>\;\ldots\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : D'après la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-24|²⁴]] », l'ensemble des [[w:Torseur#Définition|torseurs]] formant un [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] de dimension six, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », }}il est possible de décrire un [[w:Torseur#Définition|torseur]], après avoir choisi une base orthonormée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z\,,\,\vec{u}_l\,,\,\vec{u}_m\,,\,\vec{u}_n \right\rbrace\;</math><ref name="base de V et de V'"> <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right)\;</math> étant une base de <math>\;\mathcal{V}\;</math> permettant de décomposer <math>\;\vec{R}\;</math> ainsi que tous les vecteurs du type <math>\;\overrightarrow{MN}\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\;\left( \vec{u}_l\,,\,\vec{u}_m\,,\,\vec{u}_n \right)\;</math> une base de <math>\;\mathcal{V}'\;</math> permettant de décomposer tous les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moments de torseur]] <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> avec <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_l\;</math> de même direction et de même sens <math>\;\big[</math>respectivement <math>\;\vec{u}_y\;</math> et <math>\;\vec{u}_m\;</math> de même direction et de même sens ainsi que <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_n\;</math> de même direction et de même sens<math>\big]</math>.</ref> de cet [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] de dimension six, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, }}par les six composantes de sa [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction]] en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par }}ces six composantes constituant les <u>coordonnées plückeriennes<ref name="Plücker"> De '''[[w:Julius_Plücker|Julius Plücker]] (1801 - 1868)''' mathématicien et physicien allemand, ayant obtenu des résultats fondamentaux en [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]] dans le domaine des mathématiques et effectué des recherches sur les [[w:Rayons_cathodiques|rayons cathodiques]], entre autres, dans le domaine de la physique.</ref> de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] au point</u><math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire }}avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \vec{R} \!\!\!&=&\!\!\! X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \!\!\!&=&\!\!\! L_A\;\vec{u}_l + M_A\;\vec{u}_m + N_A\;\vec{u}_m\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="en faisant la distinction entre vecteurs polaire et axial"> Les [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrais vecteurs]] constituent l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{V}\;</math> direction de <math>\;\mathcal{E}</math>, alors que <br>{{Al|3}}les [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteurs]] forment l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{V}' \supset \mathcal{T}(\mathcal{E})\;\forall\; \mathcal{T}\;</math> où <math>\;\mathcal{V}'\;</math> inclut <math>\;\mathcal{T}(\mathcal{E})</math>, image de <math>\;\mathcal{E}\;</math> par torseur <math>\;\mathcal{T}</math>.</ref>{{,}}<ref> Avec la distinction faite en note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-en_faisant_la_distinction_entre_vecteurs_polaire_et_axial-27|²⁷]] » plus haut dans ce chapitre, il faut écrire <math>\;\left\lbrace \vec{R}\,,\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \right\rbrace \in \mathcal{V} \times \mathcal{V}'</math>.</ref>, il est possible de réécrire la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> au point <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant }}ses coordonnées plückeriennes <math>\;\mathcal{T} = \left\lbrace \begin{array}{l l} X & L_A\\ Y & M_A\\ Z & N_A\end{array}\right\rbrace_{A,\; \left( \begin{array}{l l} \vec{u}_x & \vec{u}_l\\ \vec{u}_y & \vec{u}_m\\ \vec{u}_z & \vec{u}_n\end{array} \right)}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}D'après la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" />, la connaissance de « la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> en un point quelconque <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> » permet de déduire le [[w:Torseur#Définition|torseur]] en n'importe quel point <math>\;P \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> selon <br />{{Al|15}}{{Transparent|Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> en un point quelconque <math>\;\color{transparent}{A \in \mathcal{E}}\;</math> » permet de déduire le torseur }}<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \overrightarrow{\mathcal{M}}_A + \vec{R} \wedge \overrightarrow{AM}\;</math><ref name="convention d'écriture du torseur en un point"> Ou <math>\;\mathcal{T}(P) = \mathcal{T}(A) + \vec{R} \wedge \overrightarrow{AM}\;</math> compte-tenu du fait que <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> n'est qu'une autre écriture de <math>\;\mathcal{T}(P)</math>.</ref>{{,}}<ref name="lien entre les bases de V et de V'"> Si on explicite les composantes plückeriennes de cette [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]], il faut préciser que <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A\;</math> étant décomposés sur <math>\;\left( \vec{u}_l\,,\,\vec{u}_m\,,\,\vec{u}_n \right)\;</math> alors que <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{AM}\;</math> le sont sur <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right)</math>, nous devons poser <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_n\\ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_l\\ \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x = \vec{u}_m\end{array}\right\rbrace\;</math> en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Propriété_du_produit_vectoriel_de_deux_vrais_vecteurs,_de_deux_pseudo-vecteurs_ou_d'un_vrai_vecteur_et_d'un_pseudo-vecteur|propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Exemples</u> : <math>\bullet\;</math>les [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseurs statiques]], voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] » plus loin dans ce chapitre, la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] étant appelée résultante dynamique notée <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}\;</math><ref name="résultante dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_dynamique_s'exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, }}le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] résultant en <math>\;A\;</math> appelé moment résultant dynamique en <math>\;A</math>, noté <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}\;</math><ref name="moment résultant dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\bullet\;</math>les [[w:Torseur_cinétique|torseurs cinétiques]] des systèmes fermés définis dans un [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] <math>\;\mathcal{R}\;</math> fixé, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_cinétique|torseur cinématique]] » plus loin dans ce chapitre, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] étant appelée [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|résultante cinétique]], notée <math>\;\vec{P}_{/\,\mathcal{R}}(t)\;</math><ref name="résultante cinétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] résultant en <math>\;A\;</math> appelé [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment cinétique résultant]] en <math>\;A</math>, noté <math>\;\vec{\sigma}_{\!A\,/\,\mathcal{R}}(t)\;</math><ref name="moment cinétique résultant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> s'écrivant en <math>\;P\;</math> selon <math>\;\vec{\sigma}_{\!P\,/\,\mathcal{R}}(t) = \vec{\sigma}_{\!A\,/\,\mathcal{R}}(t) + \vec{P}_{/\,\mathcal{R}}(t) \wedge \overrightarrow{AP}(t)\;</math><ref> Ou, si le point <math>\;A\;</math> est choisi au [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie]] <math>\;G\;</math> du système fermé, <math>\;\vec{\sigma}_{\!P\,/\,\mathcal{R}}(t) = \vec{\sigma}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t) + \vec{P}_{/\,\mathcal{R}}(t) \wedge \overrightarrow{AG}(t)\;</math> ou encore, utilisant le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé à savoir <math>\;\vec{P}_{/\,\mathcal{R}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Énoncé_du_lien_entre_résultante_cinétique_et_vecteur_vitesse_du_centre_d'inertie_d'un_système_de_points_matériels_fermé|énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> étant la masse du système, <math>\;\vec{\sigma}_{\!P\,/\,\mathcal{R}}(t) = \vec{\sigma}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t) + m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t) \wedge \overrightarrow{AG}(t) = \vec{\sigma}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t) + \overrightarrow{GA}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t)</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\bullet\;</math>les [[w:Torseur_dynamique|torseurs dynamiques]] des systèmes fermés définis dans un [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] <math>\;\mathcal{R}\;</math> fixé, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_dynamique|torseur dynamique]] » plus loin dans ce chapitre, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] étant appelée, par certains, [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|quantité d'accélération]]<ref name="quantité d'accélération"> Ce que je désapprouve car cette appellation ne fait pas référence à l'aspect inertiel de la [[w:Torseur_dynamique#Résultante|résultante]].</ref>{{,}}<ref name="rejet de résultante dynamique"> Pourrait être appelée « résultante dynamique » mais je réserve déjà cette appellation à la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <math>\;\Big\{</math>en fait, si le système de points matériels est fermé, le [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Théorème_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_fermé_de_points_matériels|théorème de la résultante cinétique]] appliquée au système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la résultante cinétique » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> nous établit que la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] est égale à la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] du [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé, toutefois, comme la confusion n'est plus possible pour un système ouvert, je préfère dire « [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] du [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] » pour nommer <math>\sum_k \dot{\vec{p}_k}(t)\Big\}</math>.</ref>, notée <math>\;\left( \dfrac{d\, \vec{P}_{/\,\mathcal{R}}}{dt} \right)_{\!\mathcal{R}}(t)\;</math><ref name="dérivation temporelle dans un référentiel"> A priori, quand on dérive temporellement une grandeur vectorielle, il faut préciser dans quel [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] cette dérivation est effectuée car, suivant ce dernier, le résultat diffère <math>\;\big[</math>en effet les vecteurs de base du repère lié au [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] peuvent être, suivant le cas, fixes ou mobiles<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ici le repérage et la dérivation étant effectués dans le même [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]], les vecteurs de base du repère lié au [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] sont évidemment fixes dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] de dérivation et il serait inutile de le préciser d'où noter <math>\;\dfrac{d\, \vec{P}_{/\,\mathcal{R}}}{dt}(t)\;</math> ou <math>\;\dfrac{d\, \vec{\sigma}_{\!A\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t)\;</math> est suffisant <math>\;\big(</math>ce que nous ferons ultérieurement<math>\big)</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] résultant en <math>\;A\;</math> <math>\big(</math>fixe dans <math>\;\mathcal{R}\big)</math>, appelé moment résultant du [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] en <math>\;A</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, le moment résultant en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>fixe dans <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}\big)}</math>, }}noté <math>\;\left( \dfrac{d\, \vec{\sigma}_{\!A\,/\,\mathcal{R}}}{dt} \right)_{\!\mathcal{R}}(t)\;</math><ref name="dérivation temporelle dans un référentiel" />{{,}}<ref> La définition est en fait, pour un système de n points matériels fermé <math>\;\left\lbrace M_k \right\rbrace_{k\,\in\, \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]}</math>, «<math>\;\sum_k^{1\,,,\,n} \overrightarrow{AM_k}(t) \wedge \dot{\vec{p}_k}(t)\;\;</math>» avec «<math>\;\vec{\sigma}_{\!A\,/\,\mathcal{R}}(t) = \sum_k^{1\,,,\,n} \overrightarrow{AM_k}(t) \wedge \vec{p}_k(t)\;</math>» mais si on dérive temporellement cette dernière relation on trouve «<math>\;\dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!A\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) = \cancel{\sum_k^{1\,,,\,n} \dfrac{d\,\overrightarrow{AM_k}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_k(t) \;+}\; \sum_k^{1\,,,\,n} \overrightarrow{AM_k}(t) \wedge \dfrac{d\,\vec{p}_k}{dt}(t)\;</math>» car, <math>\;A\;</math> étant fixe dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]], <math>\;\dfrac{d\,\overrightarrow{AM_k}}{dt}(t) = \vec{V}_{M_k}(t) = \dfrac{\vec{p}_k(t)}{m_k}\;</math> où <math>\;m_k\;</math> est la masse du point matériel <math>\;M_k\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d\,\overrightarrow{AM_k}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_k(t) = \vec{0}\;</math> d'où l'identification.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> s'écrivant en <math>\;P\;</math> <math>\big(</math>fixe dans <math>\;\mathcal{R}\big)</math>, <math>\;\big(A\;</math> étant aussi fixe dans <math>\;\mathcal{R}\big)</math>, selon <br />{{Al|10}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, la relation de Varignon s'écrivant }}<math>\;\dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!P\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) = \dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!A\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) + \dfrac{d\,\vec{P}_{/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{AP}(t)\;</math><ref> Ou, si le point <math>\;A\;</math> est choisi au [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie]] <math>\;G\;</math> du système fermé, <math>\;\dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!P\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) = \dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) + \dfrac{d\,\vec{P}_{/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{AG}(t)\;</math> ou encore, utilisant le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé à savoir <math>\;\vec{P}_{/\,\mathcal{R}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Énoncé_du_lien_entre_résultante_cinétique_et_vecteur_vitesse_du_centre_d'inertie_d'un_système_de_points_matériels_fermé|énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> étant la masse du système, <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d\,\vec{P}_{/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) = m_{\text{syst}}\;\dfrac{d\,\vec{V}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{a}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t)\;</math> où <math>\;\vec{a}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t)\;</math> est le vecteur accélération de <math>\;G</math>, <math>\;\dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!P\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) = \dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) + m_{\text{syst}}\;\vec{a}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t) \wedge \overrightarrow{AG}(t) = \dfrac{d\,\vec{\sigma}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}}{dt}(t) + \overrightarrow{GA}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{a}_{\!G\,/\,\mathcal{R}}(t)</math>.</ref>. ==== Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur) ==== {{Al|5}}<u>Cas d'un [[w:Torseur#Définition|torseur]] dont la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] est un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur axial]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]]</u><math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux" /> : le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> défini sur l'[[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : le torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> }}étant déterminé par un couple de deux vecteurs <math>\;\left\lbrace \vec{R}\,,\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \right\rbrace \in \mathcal{V}^2</math> <math>\;\big[\mathcal{V}</math> étant la direction<ref name="direction d'un espace affine" /> de <math>\;\mathcal{E}\big]</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : }}on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante : <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : on distingue }}<math>\bullet\;</math>un 1^er [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur axial]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs axiaux" /> <math>\;\vec{R}\;</math> indépendant du point <math>\;A\;</math> en lequel <math>\;\mathcal{T}\;</math> est appliqué et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : on distingue }}<math>\bullet\;</math>un 2^nd [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteur polaire]]<math>\big)\;</math><ref name="vecteurs polaires" /> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A\;</math><ref name="notation antérieure" /> dépendant a priori du point <math>\;A\;</math> où <math>\;\mathcal{T}\;</math> est appliqué ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : }}ce couple d'un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]]<ref name="vecteurs axiaux" /> et d'un [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]]<ref name="vecteurs polaires" /> <math>\;\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \right) \in \mathcal{V}^2\;</math><ref name="sans distinguer vecteurs polaire et axial" /> <br />{{Al|24}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : ce couple d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur }}constitue « <u>la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]]</u><math>\;\mathcal{T}\;</math><u>au point</u><math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> », <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : ce couple }}<math>\bullet\;</math>le 1^er vecteur « [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|axial]] »<ref name="vecteurs axiaux" /> <math>\;\vec{R}\;</math> étant <u>la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante du torseur]]</u> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : ce couple }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd vecteur « [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|polaire]] »<ref name="vecteurs polaires" /> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;</math> <u>le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment du torseur]] au point</u><math>\;A</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou pseudo-vecteur<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : }}cette [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> en <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> s'écrivant symboliquement <math>\;\mathcal{T} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \end{array}\right\rbrace_A\;</math><ref name="éléments de réduction du torseur" />{{,}}<ref> D'après la réciproque de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]], on voit que l'on peut construire un [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> à partir d'un 1^er [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteur]] <math>\;\in \mathcal{V}'\;</math> et un 2^nd [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrai vecteur]] <math>\;\in \mathcal{T}(\mathcal{E}) \subset \mathcal{V}</math>, <br>{{Al|3}}ceci établissant, à condition de discerner l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{V}\;</math> direction de <math>\;\mathcal{E}\;</math> et incluant l'image de <math>\;\mathcal{E}\;</math> par [[w:Torseur#Définition|torseur]], de <math>\;\mathcal{V}'\;</math> dans lequel la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] est générée, pour concrétiser la différenciation <math>\;\big[</math>ceci permettant de distinguer l'espace des [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrais vecteurs]] de celui des [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteurs]]<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ceci établissant }}que <u>l'ensemble des [[w:Torseur#Définition|torseurs]] forment un [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] de dimension six</u> dont une base possible est la réunion d'une base de <math>\;\mathcal{V}\;</math> et d'une de <math>\;\mathcal{V}'</math>, considérées comme distinctes si on discerne <math>\;\mathcal{V}'\;</math> de <math>\;\mathcal{V}</math> <math>\;\big[</math>attention il est impératif de discerner <math>\;\mathcal{V}'\;</math> de <math>\;\mathcal{V}\;</math> pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois<math>\;\ldots\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : D'après la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-24|²⁴]] », l'ensemble des [[w:Torseur#Définition|torseurs]] formant un [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] de dimension six, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », }}il est possible de décrire un [[w:Torseur#Définition|torseur]], après avoir choisi une base orthonormée <math>\;\left\lbrace {\vec{u}'}_x\,,\,{\vec{u}'}_y\,,\,{\vec{u}'}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math><ref name="base de V et de V' - bis"> <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right)\;</math> étant une base de <math>\;\mathcal{V}\;</math> permettant de décomposer tous les vecteurs du type <math>\;\overrightarrow{MN}\;</math> ainsi que tous les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moments de torseur]] <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> et <br>{{Al|3}}<math>\;\left( {\vec{u}'}_x\,,\,{\vec{u}'}_y\,,\,{\vec{u}'}_z \right)\;</math> une base de <math>\;\mathcal{V}'\;</math> permettant de décomposer <math>\;\vec{R}\;</math> avec <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;{\vec{u}'}_x\;</math> de même direction et de même sens <math>\;\big[</math>respectivement <math>\;\vec{u}_y\;</math> et <math>\;{\vec{u}'}_y\;</math> de même direction et de même sens ainsi que <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;{\vec{u}'}_z\;</math> de même direction et de même sens<math>\big]</math>.</ref> de cet [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] de dimension six, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, }}par les six composantes de sa [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction]] en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par }}ces six composantes constituant les <u>coordonnées plückeriennes<ref name="Plücker" /> de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] au point</u><math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire }}avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \vec{R} \!\!\!&=&\!\!\! X\;{\vec{u}'}_x + Y\;{\vec{u}'}_y + Z\;{\vec{u}'}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \!\!\!&=&\!\!\! L_A\;\vec{u}_x + M_A\;\vec{u}_y + N_A\;\vec{u}_z\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="en faisant la distinction entre vecteurs polaire et axial - bis"> Les [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vrais vecteurs]] constituent l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{V}\;\supset \mathcal{T}(\mathcal{E})\;\forall\; \mathcal{T}\;</math> avec <math>\;\mathcal{V}\;</math> direction de <math>\;\mathcal{E}\;</math> et incluant l'image de <math>\;\mathcal{E}\;</math> par [[w:Torseur#Définition|torseur]], alors que <br>{{Al|3}}les [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|pseudo-vecteurs]] forment l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{V}'\;</math> dans lequel la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] des [[w:Torseur#Définition|torseurs]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> sont générées.</ref>{{,}}<ref> Avec la distinction faite en note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-en_faisant_la_distinction_entre_vecteurs_polaire_et_axial - bis-33|³³]] » plus haut dans ce chapitre, il faut écrire <math>\;\left\lbrace \vec{R}\,,\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \right\rbrace \in \mathcal{V}' \times \mathcal{V}</math>.</ref>, il est possible de réécrire la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> au point <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant }}ses coordonnées plückeriennes <math>\;\mathcal{T} = \left\lbrace \begin{array}{l l} X & L_A\\ Y & M_A\\ Z & N_A\end{array}\right\rbrace_{A,\; \left( \begin{array}{l} {\vec{u}'}_x & \vec{u}_x\\ {\vec{u}'}_y & \vec{u}_y\\ {\vec{u}'}_z & \vec{u}_z\end{array} \right)}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}D'après la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" />, la connaissance de « la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> en un point quelconque <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> » permet de déduire le [[w:Torseur#Définition|torseur]] en n'importe quel point <math>\;P \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition" /> selon <br />{{Al|15}}{{Transparent|Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> en un point quelconque <math>\;\color{transparent}{A \in \mathcal{E}}\;</math> » permet de déduire le torseur }}<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \overrightarrow{\mathcal{M}}_A + \vec{R} \wedge \overrightarrow{AM}\;</math><ref name="convention d'écriture du torseur en un point" />{{,}}<ref name="lien entre les bases de V et de V' - bis"> Si on explicite les composantes plückeriennes de cette [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]], il faut préciser que <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A\;</math> et <math>\;\overrightarrow{AM}\;</math> étant décomposés sur <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right)\;</math> alors que <math>\;\vec{R}\;</math> l'est sur <math>\;\left( {\vec{u}'}_x\,,\,{\vec{u}'}_y\,,\,{\vec{u}'}_z \right)</math>, nous devons poser <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} {\vec{u}'}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z\\ {\vec{u}'}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x\\ {\vec{u}'}_z \wedge \vec{u}_x = \vec{u}_y\end{array}\right\rbrace\;</math> en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Propriété_du_produit_vectoriel_de_deux_vrais_vecteurs,_de_deux_pseudo-vecteurs_ou_d'un_vrai_vecteur_et_d'un_pseudo-vecteur|propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur]] » du chap.<math>20</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Exemple</u> : les [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseurs cinématiques]] des [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solides]] définis dans un [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] <math>\;\mathcal{R}\;</math> fixé, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_cinématique|torseur cinématique]] » plus loin dans ce chapitre, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] étant appelée [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur rotation instantanée]] notée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> On généralise la propriété développée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Propriété_de_la_vitesse_angulaire_d'un_point_quelconque_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe|propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » au cas d'un solide en mouvement quelconque, ce dernier étant la composition d'un mouvement de [[w:Translation|translation]] du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] identifié au mouvement d'un de ses points <math>\;A\;</math> et d'un mouvement de [[w:Rotation|rotation]] autour de l'[[w:Torseur_cinématique#Résultante_et_axe_instantané_de_rotation|axe instantané de rotation]] <math>\;\Delta_A\;</math> du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;\big[\Delta_A\;</math> étant l'axe passant par <math>\;A</math>, dont le support a pour direction celle du vecteur vitesse de <math>\;A\;</math> dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] <math>\;\mathcal{R}</math>, la direction de <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> étant celle de <math>\;\Delta_A\big]</math>. <br>{{Al|3}}Souvent on choisit pour point <math>\;A\;</math> du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] son [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie]] <math>\;G\;\ldots</math></ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] résultant en un point <math>\;A\;</math> du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] étant appelé vecteur vitesse de <math>\;A\;</math> dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] <math>\;\mathcal{R}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, le moment résultant en un point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> du solide étant }}noté <math>\;\vec{V}_{A\,/\,\mathcal{R}}(t)\;</math><ref name="vecteur vitesse d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Définition_(intrinsèque)_du_vecteur_vitesse_du_point_M_dans_le_référentiel_d'étude|définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> fixé, }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> s'écrivant en <math>\;P</math>, point du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]], selon <math>\;\vec{V}_{P\,/\,\mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{A\,/\,\mathcal{R}}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AP}(t)\;</math><ref> Ou, si le point <math>\;A\;</math> du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] est choisi en son [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie]] <math>\;G</math>, <math>\;\vec{V}_{P\,/\,\mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{G\,/\,\mathcal{R}}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AG}(t)</math>.</ref> === Diverses opérations sur les torseurs === ==== Égalité de torseurs ==== {{Al|5}}Deux [[w:Torseur#Définition|torseurs]] <math>\;\mathcal{T}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{T}_2\;</math> sont égaux ssi leurs [[w:Torseur#Rédultante_et_réduction|éléments de réduction]] au même point <math>\;A\;</math> sont égaux soit «<math>\;\mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_1 = \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}_1}_A = \overrightarrow{\mathcal{M}_2}_A\end{array}\right\rbrace_A\;</math>». ==== Somme de deux torseurs ==== {{Al|5}}La somme de deux [[w:Torseur#Définition|torseurs]] <math>\;\mathcal{T}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{T}_2\;</math> est le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] dont les [[w:Torseur#Rédultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;A\;</math> sont la somme des [[w:Torseur#Rédultante_et_réduction|éléments de réduction]] de chacun des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseurs]] au même point <math>\;A\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_1 + \mathcal{T}_2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{R} \!\!&=&\!\! \vec{R}_1 + \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \!\!&=&\!\! \overrightarrow{\mathcal{M}_1}_A + \overrightarrow{\mathcal{M}_2}_A\end{array}\right\rbrace_A\;</math>».</center> ==== Multiplication d'un torseur par un scalaire ==== {{Al|5}}Soit <math>\;\mathcal{T}\;</math> un [[w:Torseur#Définition|torseur]] quelconque, <math>\;\forall\;\lambda \in \mathbb{R}</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\lambda \times \mathcal{T}\;</math> est le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|torseur]] dont les [[w:Torseur#Rédultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;A\;</math> sont <math>\;\lambda\;</math> fois les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction du torseur]] au même point <math>\;A\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{T}_{(\times\,\lambda)} = \lambda \times \mathcal{T}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{R}_{(\times\,\lambda)} \!\!&=&\!\! \lambda \times \vec{R}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{(\times\,\lambda)_A} \!\!&=&\!\! \lambda \times \overrightarrow{\mathcal{M}}_A\end{array}\right\rbrace_A\;</math>».</center> ==== Nullité d'un torseur ==== {{Al|5}}Un [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est nul ssi ses [[w:Torseur#Rédultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;A\;</math> sont tous deux nuls soit «<math>\;\mathcal{T} = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{R} \!\!&=&\!\! \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \!\!&=&\!\! \overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace_A\;</math>»<ref> Il s'agit de l'élément neutre de l'addition des [[w:Torseur#Définition|torseurs]].</ref>. === Invariants d'un torseur === {{Définition|contenu= {{Al|5}}Les invariants d'un [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> défini sur l'[[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Les invariants d'un torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> }}sont les grandeurs liées au [[w:Torseur#Définition|torseur]] indépendantes du point où ce dernier est appliqué.}} {{Al|5}}Ce sont : <math>\bullet\;</math>la <u>[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]]</u><math>\;\vec{R}\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Ce sont : }}<math>\bullet\;</math>la projection du [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P,\;\forall P\, \in\, \mathcal{E}\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}</math> sur sa [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R},\;\forall\, P\, \in \mathcal{E}\;</math>» appelée « <u>[[w:Torseur#Invariant_scalaire|invariant scalaire du torseur]]</u> » <br />{{Al|5}}{{Transparent|Ce sont : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la projection du moment <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P,\;\forall P\, \in\, \mathcal{E}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> sur sa résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> }}<math>\bigg[</math>se démontre d'après la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> : <math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P + \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Ce sont : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la projection du moment <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P,\;\forall P\, \in\, \mathcal{E}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> sur sa résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bigg[}</math>}}<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \cdot \vec{R} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R}\; \cancel{+ \left[ \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \right] \cdot \vec{R}}\;</math><ref name="définition intrinsèque d'un produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\bigg]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Ce sont : }}<math>\bullet\;</math>la <u>relation d'[[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectivité]]</u> «<math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \cdot \overrightarrow{PQ}\;</math>» <math>\;\big[</math>contenu dans la définition d'un [[w:Torseur#Définition|torseur]]<ref> N'est donc pas à démontrer à partir de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] <math>\;\big[</math>c'est en fait la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] que nous avons admise et qui peut être démontrée à partir de la relation d'[[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectivité]], démonstration non exposée<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}toutefois la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] étant admise, nous pouvons vérifier aisément que la relation d'[[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] en découle en effet <math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P + \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \cdot \overrightarrow{PQ}</math> <math>= \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \overrightarrow{PQ}\; \cancel{+ \left[ \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \right] \cdot \overrightarrow{PQ}}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref><math>\big]</math>. === Notion d'axe central d'un torseur === ==== Définition de point central d'un torseur ==== {{Définition|contenu = {{Al|5}}Un point <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math> en lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> a même direction que la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}\;</math> de ce dernier<ref> Si le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment du torseur]] en <math>\;A\;</math> ou si la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}\;</math> est nul(le), le caractère « même direction » est considéré comme assuré <math>\;\ldots</math></ref> est dit « <u>central</u> »<ref name="existence d'au moins un point central"> L'existence d'au moins un point de ce type étant admise.</ref> c'est-à-dire <center><math>\;A\;</math> est un point central<ref name="existence d'au moins un point central" /> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> ssi <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \wedge \vec{R} = \vec{0}\;</math><ref> Ou <math>\;\mathcal{T}(A) \wedge \vec{R} = \vec{0}</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\exists\;\lambda \in \mathbb{R},\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \lambda\;\vec{R}</math>.</center>}} ==== Définition d'axe central d'un torseur ==== {{Définition|contenu = {{Al|5}}L'ensemble <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> des points centraux du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> définit « <u>l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]]</u> » du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> c'est-à-dire <center><math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> est l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central du torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Delta_{\mathcal{T}} = \left\lbrace A \in \mathcal{E},\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \wedge \vec{R} = \vec{0} \right\rbrace\;</math><ref> Ou <math>\;\Delta_{\mathcal{T}} = \left\lbrace A \in \mathcal{E},\;\mathcal{T}(A) \wedge \vec{R} = \vec{0} \right\rbrace</math>.</ref>.</center>}} ==== Propriétés du torseur sur son axe central ==== {{Al|5}}Si la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est <math>\;\neq \vec{0}</math>, <math>\bullet\;</math>son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> est une <u>droite de vecteur directeur</u> <math>\;\vec{R}\;</math> et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central <math>\;A\;</math><ref name="point central"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|définition de point central d'un torseur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> }}c'est la droite de vecteur directeur <math>\;\vec{R}\;</math> issue de <math>\;A\;</math> en effet, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>d'après la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> on peut écrire <math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \neq P \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P + \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ}\;</math> dont on déduit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \wedge \vec{R} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \wedge \vec{R} + \left[ \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \right] \wedge \vec{R}\;</math> ou, en utilisant une formule du double produit vectoriel<ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \wedge \vec{R} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \wedge \vec{R} - \left[ \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{R} \right] \vec{R} + \vec{R}^2\; \overrightarrow{PQ}\;</math> et par suite, <math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \neq P \right) \in \Delta_{\mathcal{T}}</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \wedge \vec{R} = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \wedge \vec{R} = \vec{0} \end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, son <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \wedge \vec{R}} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \wedge \vec{R}} - \left[ \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{R} \right] \vec{R} + \vec{R}^2\; \overrightarrow{PQ}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{PQ} \neq \vec{0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{PQ} = \dfrac{\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{R}}{\vec{R}^2}\;\vec{R}\;</math> établissant la propriété directe <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« si <math>\;\left( P\,,\,Q \neq P \right) \in \Delta_{\mathcal{T}}</math>, alors ils sont sur une droite de vecteur directeur <math>\;\vec{R}\;</math>» ou encore <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}l'« ensemble des points centraux<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est <math>\;\subset\;</math> dans la droite de vecteur directeur <math>\;\vec{R}\;</math> passant par <math>\;A\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>réciproquement, si <math>\;\overrightarrow{AQ} = \lambda\;\vec{R},\;\forall \lambda \in \mathbb{R}^{*}\;</math> avec <math>\;A\;</math> point central<ref name="point central" /> dont l'existence est admise, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>réciproquement, }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> donne <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_A\; \cancel{+\; \vec{R} \wedge \overrightarrow{AQ}}\;</math><ref> Car <math>\;\overrightarrow{AQ}\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{R}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \wedge \vec{R} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \wedge \vec{R}\;</math> et par suite, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>réciproquement, }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \wedge \vec{R} = \vec{0}\;</math> <math>\big(A\;</math> point central<ref name="point central" /> de <math>\;\mathcal{T}\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \wedge \vec{R} = \vec{0}\;</math> c'est-à-dire <math>\;Q\;</math> est un point central<ref name="point central" /> de <math>\;\mathcal{T}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>réciproquement, }}d'où l'« ensemble des points de la droite de vecteur directeur <math>\;\vec{R}\;</math> passant par <math>\;A\;</math> est <math>\;\subset\;</math> dans l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> }}finalement « la droite de vecteur directeur <math>\;\vec{R}\;</math> issue du point central<ref name="point central" /> <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>existence admise<math>\big)\;</math> est l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, }}<math>\bullet\;</math><u>le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]]</u><math>\;\mathcal{T}\;</math><u>est le même en tout point de l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> en effet, <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> étant une droite de vecteur directeur <math>\;\vec{R}\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est le même en tout point de l'axe central<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> en effet, }}dans la mesure où on admet l'existence d'un point central <math>\;A\;</math><ref name="point central" />, <br />{{Al|6}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est le même }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> nous donne <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P\; \cancel{+\; \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ}},\;\forall\;\left( P\,,\,Q \neq P \right) \in \Delta_{\mathcal{T}}\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. ; {{Al|5}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, }}<math>\bullet\;</math><u>la norme du [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]]</u><math>\;\mathcal{T}\;</math><u>est minimale sur son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> en effet, <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> étant une droite de vecteur directeur <math>\;\vec{R}</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale sur son axe central<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{T}}}\;</math> en effet, }}dans la mesure où on admet l'existence d'un point central <math>\;A\;</math><ref name="point central" />, <br />{{Al|6}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> nous donne <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P + \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ}\;</math> avec <math>\;P \in \Delta_{\mathcal{T}}</math>, <math>\;\forall\;Q\;\notin\; \Delta_{\mathcal{T}}</math>, <br />{{Al|13}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale la relation de Varignon nous donne }}où <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ}</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}\;</math> donc à <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|13}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale la relation de Varignon nous donne }}<math>\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \Vert^2 = \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \Vert^2 + \Vert \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \Vert^2\;\left\lbrace \begin{array}{l}\forall\;Q \!\!&\notin \Delta_{\mathcal{T}}\\ P \!\!&\in \Delta_{\mathcal{T}} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref> On utilise <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ}</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \left[ \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \right] = 0\;</math> d'où <math>\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \Vert^2 = \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \Vert^2 + \Vert \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \Vert^2 \cancel{+\; 2\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \left[ \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \right]}</math>.</ref> d'où <br />{{Al|13}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale la relation de Varignon nous donne }}<math>\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \Vert^2 > \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \Vert^2\;</math> car <math>\;\Vert \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} \Vert^2 \neq 0\;</math> pour <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{r l}\forall\;Q \!\!\!\!&\notin \Delta_{\mathcal{T}}\\ P \!\!\!\!&\in \Delta_{\mathcal{T}} \end{array} \!\right\rbrace</math>, <br />{{Al|13}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale la relation de Varignon nous donne }}vrai <math>\;\forall\;P\; \in \Delta_{\mathcal{T}}</math>, le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> <br />{{Al|13}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale la relation de Varignon nous donne vrai <math>\;\color{transparent}{\forall\;P\; \in \Delta_{\mathcal{T}}}</math>, }}étant constant sur son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> d'où <br />{{Al|13}}{{Transparent|Si la résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}}\;</math> du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\neq \vec{0}}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la norme du moment du torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>est minimale la relation de Varignon nous donne }}<math>\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \Vert^2 > \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \Vert^2,\;\left\lbrace\! \begin{array}{r l}\forall\;Q \!\!\!\!&\notin \Delta_{\mathcal{T}}\\ \forall\;P \!\!\!\!&\in \Delta_{\mathcal{T}} \end{array} \!\right\rbrace\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. == Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque == === Torseur nul === {{Al|5}}Le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]] <math>\;\mathcal{N}\;</math> est le [[w:Torseur#Définition|torseur]] dont les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point quelconque <math>\;P \in \mathcal{E}\;</math> sont nuls soit <math>\;\mathcal{N} = \left\lbrace \begin{array}{r l} \vec{R} \!\!\!\!&= \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \!\!\!\!&= \overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace_P\;</math><ref> On vérifie que les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un autre point <math>\;Q \in \mathcal{E}\;</math> différant de <math>\;P\;</math> sont aussi nuls en effet, la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] étant invariante reste nulle en <math>\;Q\;</math> et le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment du torseur]] en <math>\;Q\;</math> s'obtenant par application de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] donne <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P}\; + \vec{R} \wedge \overrightarrow{PQ} = \vec{0} \wedge \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{0}</math>.</ref>. === Torseur couple === ==== Définition d'un torseur couple ==== {{Al|5}}Un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] <math>\;\mathcal{C}\;</math> est un [[w:Torseur#Définition|torseur]] pour lequel les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en n'importe quel point <math>\;P\;\in \mathcal{E}\;</math> se réduisent à son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] non nul <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\;</math> soit <math>\;\forall\;P \in \mathcal{E},\;\;\mathcal{C} = \left\lbrace \begin{array}{r l} \vec{R} \!\!\!\!&= \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \!\!\!\!&\neq \overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace_P</math>. ==== Propriétés d'un torseur couple ==== * « <u>Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]]</u><math>\;\mathcal{C}\;</math><u>est constant en tout point</u><math>\;P\;\in \mathcal{E}\;</math>» en effet la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> appliquée à <math>\;\mathcal{C}\;</math> en <math>\;\forall\,\left( P\,,\,Q \neq P \right) \in \mathcal{E}^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_P\; \cancel{+\; \vec{0} \wedge \overrightarrow{PQ}}\;</math> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Le moment d'un torseur couple<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}}\;</math>est constant en tout point<math>\;\color{transparent}{P\;\in \mathcal{E}}\;</math>» en effet la relation de Varignon appliquée à <math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{\forall\,\left( P\,,\,Q \neq P \right) \in \mathcal{E}^2}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \overrightarrow{\text{cste}}\;\;\forall\;P\;\in \mathcal{E}</math> <br />{{Transparent|« Le moment d'un torseur couple<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}}\;</math>est constant en tout point<math>\;\color{transparent}{P\;\in \mathcal{E}}\;</math>» }}<math>\big[</math>une conséquence est qu'il est inutile de préciser en quel point les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] sont évalués, <br />{{Transparent|« Le moment d'un torseur couple<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}}\;</math>est constant en tout point<math>\;\color{transparent}{P\;\in \mathcal{E}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}ainsi le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] <math>\;\mathcal{C}\;</math> sera-t-il simplement noté <math>\;\mathcal{M}\;</math> sans ajouter <math>\;_P\;</math> en indice précisant le point <math>\;P\;</math> où il est évalué<math>\big]</math> ; * <u>un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]]</u><math>\;\mathcal{C}\;</math><u>n'a pas d'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]]</u><math>\;\nexists\; \Delta_{\mathcal{C}}</math>, en effet l'existence d'un point central<ref name="point central" /> pour un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] impliquerait qu'en ce point le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] soit nul puisque colinéaire à sa [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{0}</math>, <br />{{Al|6}}{{Transparent|un torseur couple<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}}\;</math>n'a pas d'axe central<math>\;\color{transparent}{\nexists\; \Delta_{\mathcal{C}}}</math>, en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple impliquerait }}ce qui est impossible, le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] étant constant <math>\;\neq \overrightarrow{0}\;</math><ref> Sinon le [[w:Torseur#Définition|torseur]] serait le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]].</ref>. ==== Somme de deux couples ==== * <u>La somme de deux [[w:Torseur#Torseur_couple|couples]]</u><math>\;\mathcal{C}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{C}_2\;</math><u>est un [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moments]]</u><math>\;\mathcal{M}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{M}_2\;</math><u>ne sont pas opposés</u>, en effet <math>\;\forall\;P\;\in \mathcal{E}</math>, les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] de chacun des [[w:Torseur#Torseur_couple|couples]] étant <br />{{Transparent|La somme de deux couples<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_2}\;</math>est un couple si leurs moments<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_2}\;</math>ne sont pas opposés, en effet <math>\;\color{transparent}{\forall\;P\;\in \mathcal{E}}</math>, les éléments de réduction }}<math>\mathcal{C}_1 = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_1 = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \neq \overrightarrow{0} \end{array} \right\rbrace_P\;</math> et <math>\;\mathcal{C}_2 = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_2 = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_2 \neq \overrightarrow{0} \end{array} \right\rbrace_P</math>, <br />{{Transparent|La somme de deux couples<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_2}\;</math>est un couple si leurs moments<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_2}\;</math>ne sont pas opposés, en effet }}on en déduit ceux de la somme des deux [[w:Torseur#Torseur_couple|couples]] au même point <math>\;P</math> <br />{{Transparent|La somme de deux couples<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_2}\;</math>est un couple si leurs moments<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_2}\;</math>ne sont pas opposés, en effet on en déduit ceux }}<math>\;\mathcal{C}_1 + \mathcal{C}_2 = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_1 + \vec{R}_2 = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 + \overrightarrow{\mathcal{M}}_2 \neq \overrightarrow{0} \end{array} \right\rbrace_P\;</math><ref> Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de la somme des deux [[w:Torseur#Torseur_couple|couples]] est non nul car les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moments]] <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_1\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_1\;</math> ne sont pas opposés.</ref> assurant que <br />{{Transparent|La somme de deux couples<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{C}_2}\;</math>est un couple si leurs moments<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_2}\;</math>ne sont pas opposés, en effet on en déduit }}cette somme est un [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_1 + \overrightarrow{\mathcal{M}}_2</math> ; * <u>si les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moments]] des deux [[w:Torseur#Torseur_couple|couples]]</u><math>\;\mathcal{C}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{C}_2\;</math><u>sont opposés</u>, <u>la somme de ces deux [[w:Torseur#Torseur_couple|couples]]</u><math>\;\mathcal{C}_1 + \mathcal{C}_2\;</math><u>est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]</u><math>\;\mathcal{N}</math>. === Torseur glisseur === ==== Définition d'un torseur glisseur ==== {{Al|5}}Un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\mathcal{G}\;</math> est un [[w:Torseur#Définition|torseur]] pour lequel il existe un point particulier <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math> en lequel les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] non nuls se réduisent à sa [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}</math>, son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] en <math>\;A\;</math> étant nul, c'est-à-dire <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un torseur glisseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math> est un torseur pour lequel }}<math>\;\exists\;A \in \mathcal{E},\;\mathcal{G} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace_A</math>. ==== Propriétés d'un torseur glisseur ==== * « <u>Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] d'un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]]</u><math>\;\mathcal{G}\;</math><u>est nul en tout point de son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}}\;</math>» en effet le point particulier <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math> est un point de <math>\;\Delta_{\mathcal{G}}\;</math> c'est-à-dire un point central<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] <math>\;\mathcal{G}</math>, <br />{{Transparent|« Le moment d'un torseur glisseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math>est nul en tout point de son axe central<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}}}\;</math>» en effet }}<math>\Big[</math>de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}\;</math> on tire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A \wedge \vec{R} = \vec{0}\;</math> soit <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \lambda\;\vec{R}\;</math> avec <math>\;\lambda = 0\;</math><ref name="définition d'un axe central"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'axe_central_d'un_torseur|définition d'axe central d'un torseur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> c'est-à-dire une 1^ère justification ou <br />{{Transparent|« Le moment d'un torseur glisseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math>est nul en tout point de son axe central<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}}\;</math> étant le lieu à <math>\;\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \Vert\;</math> minimale<ref name="3ème propriété d'un torseur sur son axe central"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_du_torseur_sur_son_axe_central|propriétés du torseur sur son axe central]] (3^ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \Vert\;</math> minimale d'où <math>\;A \in \Delta_{\mathcal{G}}</math> <br />{{Al|7}}{{Transparent|« Le moment d'un torseur glisseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math>est nul en tout point de son axe central<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\Big[}</math>l'axe central <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}}}\;</math> étant le lieu à <math>\;\color{transparent}{\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_P \Vert}\;</math> minimale, <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}c'est-à-dire une 2^ème justification<math>\Big]\;</math> et <br />{{Al|1}}{{Transparent|« Le moment d'un torseur glisseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math>est nul en tout point de son axe central<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}}}\;</math>» en effet }}le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{G}\;</math> en tout point de son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}}\;</math> étant le même<ref name="2ème propriété d'un torseur sur son axe central"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_du_torseur_sur_son_axe_central|propriétés du torseur sur son axe central]] (2^ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> est égal à celui de <math>\;A\;</math> d'où <br />{{Al|1}}{{Transparent|« Le moment d'un torseur glisseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math>est nul en tout point de son axe central<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}}}\;</math>» }}<math>\;\forall\;P\;\in \Delta_{\mathcal{G}}</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \overrightarrow{0}\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ; * l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}}\;</math> d'un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\mathcal{G}\;</math> est encore appelé <u>support du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]</u> ; * en tout point <math>\;Q \notin \Delta_{\mathcal{G}}\;</math> les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] sont tous deux non nuls c'est-à-dire <math>\;\forall\;Q\; \notin \Delta_{\mathcal{G}},\;\mathcal{G} = \left\lbrace \begin{array}{l l l} \vec{R} \!\!& \!\!&\neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \!\!&= \vec{R} \wedge \overrightarrow{AQ} \!\!&\neq \overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace_Q</math>, en effet <br />{{Transparent|en tout point <math>\;\color{transparent}{Q \notin \Delta_{\mathcal{G}}}\;</math> les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls }}le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] <math>\;\mathcal{G}\;</math> en <math>\;Q\; \notin \Delta_{\mathcal{G}}\;</math> s'obtient par [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> à partir de <math>\;A\; \in \Delta_{\mathcal{G}}\;</math> soit <br />{{Transparent|en tout point <math>\;\color{transparent}{Q \notin \Delta_{\mathcal{G}}}\;</math> les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls }}<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_A\; +} \vec{R} \wedge \overrightarrow{AQ} \neq \overrightarrow{0}\;</math> car <math>\;\overrightarrow{AQ}\;</math> non colinéaire à <math>\;\vec{R}\;</math><ref> <math>A\;\in \Delta_{\mathcal{G}}\;</math> et <math>\;Q\; \notin \Delta_{\mathcal{G}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AQ}\;</math> non colinéaire à <math>\;\Delta_{\mathcal{G}}\;</math> donc non colinéaire à <math>\;\vec{R}</math>.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ==== Autres caractérisations d'un torseur glisseur ==== * <u>Un [[w:Torseur#Définition|torseur]]</u><math>\;\mathcal{T}\;</math><u>dont les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point</u><math>\;B \in \mathcal{E}\;</math><u>sont non nuls et</u><math>\;\perp</math> soit <math>\;\mathcal{T} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \left[ \begin{array}{c}\neq \overrightarrow{0}\\ \perp\;\text{à}\;\vec{R} \end{array} \right] \end{array}\right\rbrace_B\;</math> <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> }}<u>est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]</u> en effet, appliquant la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> en <math>\;P\;</math> a priori quelconque <math>\;\in \mathcal{E}\;</math> à partir de <math>\;B\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \overrightarrow{\mathcal{M}}_B + \vec{R} \wedge \overrightarrow{BP}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> et <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{BP}\;</math> tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}</math>, permettant de <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, }}choisir <math>\;P_0 \in \mathcal{E}\;</math> vérifiant <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} = \overrightarrow{0}\;</math> c'est-à-dire <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{BP_0} = -\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\vec{R} \wedge \overrightarrow{BP_0}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> colinéaires <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left( \vec{R} \wedge \overrightarrow{BP_0} \right) \wedge \overrightarrow{\mathcal{M}}_B = \vec{0}\;</math> ou, <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant une des formules du double produit vectoriel<ref name="formules du double produit vectoriel" /> on obtient <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>- \left( \overrightarrow{BP_0} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \right)\, \vec{R}\, \cancel{+ \left( \vec{R} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \right)\, \overrightarrow{BP_0}} = \vec{0}\;</math><ref> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> d'où <math>\;\vec{R} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_B = 0</math>.</ref> c'est-à-dire <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\overrightarrow{BP_0}\;\subset\;</math> dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> en <math>\;B\;</math> <math>\big(</math>C.N<ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref>. non S<ref name="C.S."> (Condition) Suffisante.</ref>.<math>\big)\;</math> avec <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>choix supplémentaire de <math>\;\overrightarrow{BP_0}\;\subset\;</math> dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}\;</math> en <math>\;B\;</math><ref name="choix supplémentaire"> La condition «<math>\;\overrightarrow{BP_0}\;\subset\;</math> dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> en <math>\;B\;</math>» correspond à deux degrés de liberté pour <math>\;\overrightarrow{BP_0}</math>, cette condition supplémentaire réduit le nombre de degré de liberté à un.</ref> soit <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\overrightarrow{BP_0}\;\subset\;</math> dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \right)\;</math> en <math>\;B\;</math><ref name="choix supplémentaire" /> <math>\Rightarrow</math> le trièdre <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_B\,,\, \overrightarrow{BP_0} \right)\;</math> est [[w:Base_orthonormée#Définitions|orthogonal]]<ref name="trièdre orthogonal"> C.-à-d. deux à deux <math>\;\perp</math>, <math>\;\Big(\vec{R}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> par hypothèse<math>\Big)</math>.</ref> ou, avec <math>\;\overrightarrow{BP_0} \wedge \vec{R} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math><ref name="utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle"> S'obtenant à partir de <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{BP_0} = -\overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math> après utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_B\,,\, \overrightarrow{BP_0} \right)\;</math> [[w:Base_orthonormée#Définitions|orthogonal]]<ref name="trièdre orthogonal" /> direct<ref name="trièdre direct"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans <math>\;\mathcal{E}\;</math> orienté à droite<ref name="espace orienté à droite"> Voir l'introduction du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> sens de <math>\;\overrightarrow{BP_0}\;</math> déterminé par la règle de la main droite<ref name="règle de la main droite"> Voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, finalement <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>la condition <math>\;\overrightarrow{BP_0} \wedge \vec{R} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_B\;</math><ref name="utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Vert \overrightarrow{BP_0} \wedge \vec{R} \Vert = \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \Vert\;</math> ou, <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\Vert \overrightarrow{BP_0} \Vert\; \Vert \vec{R} \Vert\; \bigg\vert \sin\! \widehat{ \Big( \overrightarrow{BP_0}\,\,\vec{R} \Big)} \bigg\vert = \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \Vert\;</math><ref name="norme du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] (norme) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit, avec <math>\;\overrightarrow{BP_0}\;</math> <math>\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}</math>, <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, choisir <math>\;\color{transparent}{P_0 \in \mathcal{E}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\Vert \overrightarrow{BP_0} \Vert\; \Vert \vec{R} \Vert = \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \Vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Vert \overrightarrow{BP_0} \Vert = \dfrac{\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_B \Vert}{\Vert \vec{R} \Vert}\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />.{{,}}<ref> Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\Big\{</math>sans faire de distinction entre [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteurs polaires]] et [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|axiaux]], ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] et le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]], les vecteurs de base <math>\;\vec{u}_z\;</math> étant colinéaire et de même sens que la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}</math> <math>\;\big[</math>on pose <math>\;\vec{R} = Z\;\vec{u}_z\big]\;</math> et <math>\;\vec{u}_x\;</math> colinéaire et de même sens que le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] en <math>\;B\;</math> c.-à-d. <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_B</math> <math>\;\Big[</math>on pose <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_B = L\;\vec{u}_x\Big]\Big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Autre démonstration }}en choisissant <math>\;B\;</math> comme origine, avec <math>\;P\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)</math>, la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] appliquée en <math>\;P\;</math> à partir de <math>\;B\;</math> à savoir <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \overrightarrow{\mathcal{M}}_B + \vec{R} \wedge \overrightarrow{BP}\;</math> se réécrit suivant <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P =</math> <math>L\;\vec{u}_x + Z\;\vec{u}_z \wedge \left[ x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y + z\;\vec{u}_z \right] = \left[ L - Z\;y \right] \vec{u}_x + Z\;x\;\vec{u}_y\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qui s'annule pour <math>\;P_0\;\left( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0 \right)\;</math> telles que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_0 = 0\\ y_0 = \dfrac{L}{Z}\\ \forall\; z_0 \in \mathbb{R}\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> d'où <br />{{Al|1}}{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>dont les éléments de réduction en un point<math>\;\color{transparent}{B \in \mathcal{E}}\;</math>sont non nuls et<math>\;\color{transparent}{\perp}</math> est un glisseur en effet, }}la déduction que le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] de support passant par ce point particulier <math>\;P_0</math>. * <u>Un [[w:Torseur#Définition|torseur]]</u><math>\;\mathcal{T}\;</math><u>non nul et à [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] non nulle est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]</u> ssi <u>son [[w:Torseur#Invariant_scalaire|invariant scalaire]]</u><ref name="invariant scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Invariants_d'un_torseur|invariants d'un torseur]] (invariant scalaire) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <u>est nul</u> soit <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}\;</math>» en effet <math>\succ\;</math>si <math>\;\mathcal{T}\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] et si <math>\;P \in \Delta_{\mathcal{T}}</math> <math>\;\big[</math>son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]]<math>\big]</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \overrightarrow{0}\;</math><ref name="1ère propriété d'un glisseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (1^ère propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dont on déduit <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est un glisseur et si <math>\;\color{transparent}{P \in \Delta_{\mathcal{T}}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>son axe central<math>\color{transparent}{\big]}</math>, }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \Delta_{\mathcal{T}}\;</math> alors que <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est un glisseur et }}si <math>\;P \notin \Delta_{\mathcal{T}}</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \neq \overrightarrow{0}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}\;</math><ref> Plus exactement pour <math>\;P \notin \Delta_{\mathcal{T}}</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P = \vec{R} \wedge \overrightarrow{AP}\;</math> avec <math>\;A\;</math> point particulier où le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] est nul, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3^ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dont on déduit <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> est un glisseur et si <math>\;\color{transparent}{P \notin \Delta_{\mathcal{T}}}</math> }}<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \notin \Delta_{\mathcal{T}}\;</math><ref> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_P</math>, pour <math>\;P \notin \Delta_{\mathcal{T}}</math>, étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\vec{R}</math>.</ref> d'où la proposition directe ; <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet }}<math>\succ\;</math>si <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}</math> <math>\;\big(\vec{R}\;</math> étant <math>\;\neq \vec{0}\big)</math>, deux hypothèses peuvent être conjecturées : <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> }}<math>\bullet\;</math>il existe des points <math>\;P_0\;</math> en lesquels <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} = \overrightarrow{0}\;</math><ref> En les autres points <math>\;Q\;</math> <math>\big(</math>où <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{Q} \neq \overrightarrow{0}\big)</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{Q}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il existe }}le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] par définition<ref name="définition d'un glisseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|définition d'un torseur glisseur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> }}<math>\bullet\;</math>il n'existe aucun point <math>\;P\;</math> en lesquels <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P} = \overrightarrow{0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P}\;\big(\neq \overrightarrow{0}\big)\;\perp\;\vec{R}\;</math> <math>\forall\;P \in \mathcal{E}</math>, parmi ces points, <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}on choisit un <math>\;P_0\;</math> et d'autres <math>\;Q\;</math> tels que <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe on choisit }}<math>\overrightarrow{P_0Q}\;</math> soit <math>\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}\;</math><ref name="raison des choix de P0 et Q"> De ces choix on en déduit <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q}\;</math> <math>\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}</math>, le trièdre <math>\;\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{P_0Q}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} \right)\;</math> étant [[w:Base_orthonormée#Définitions|orthogonal]].</ref>, <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> en <math>\;Q\;</math> à partir de <math>\;P_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_Q = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} + \vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q}\;</math> dans laquelle <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}<math>\left( \vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q} \right)\,\parallel\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}\;</math><ref name="raison des choix de P0 et Q" /> et donc <math>\;\parallel\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{Q}\;</math> d'où, <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}selon les sens comparés de <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}\;</math><ref> Sens identiques sur la direction commune si le trièdre [[w:Base_orthonormée#Définitions|orthogonal]] <math>\;\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{P_0Q}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} \right)\;</math> est direct dans l'espace <math>\;\mathcal{E}\;</math> orienté à droite <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-trièdre_direct-74|⁷⁴]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-espace_orienté_à_droite-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}sens contraires sur la direction commune si le trièdre [[w:Base_orthonormée#Définitions|orthogonal]] <math>\;\left( \vec{R}\,,\, \overrightarrow{P_0Q}\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} \right)\;</math> est indirect dans l'espace <math>\;\mathcal{E}\;</math> orienté à droite <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] (base indirecte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-espace_orienté_à_droite-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>, <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}<math>\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \Vert = \Big\vert \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} \Vert \pm \Vert \vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q} \Vert \Big\vert\;</math><ref> Signe <math>\;+\;</math> si <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}\;</math> sont de même sens <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-86|⁸⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Signe }}<math>\;-\;</math> si <math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}\;</math> sont de sens contraire <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-86|⁸⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe }}<math>\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q \Vert = \Big\vert \Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} \Vert \pm \Vert \vec{R} \Vert\; \Vert \overrightarrow{P_0Q} \Vert \Big\vert\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}</math>, <math>\;\Vert \vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q} \Vert = \Vert \vec{R} \Vert\; \Vert \overrightarrow{P_0Q} \Vert</math>, voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-norme_du_produit_vectoriel-77|⁷⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}existence de <math>\;Q_0\;</math> tel que <math>\;\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{Q_0} \Vert = 0\;</math><ref> Correspondant à «<math>\;\vec{R} \wedge \overrightarrow{P_0Q}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0}\;</math> de sens contraire » et «<math>\;\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} \Vert = \Vert \vec{R} \Vert\; \Vert \overrightarrow{P_0Q} \Vert\;</math>» soit <math>\;\Vert \overrightarrow{P_0Q} \Vert = \dfrac{\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} \Vert}{\Vert \vec{R} \Vert}</math>.</ref> ou <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{Q_0} = \overrightarrow{0}</math>, <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}laquelle, étant contraire à l'hypothèse initiale<ref> Il n'existe aucun point <math>\;P\;</math> en lesquels <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P} = \overrightarrow{0}</math>.</ref>, prouve que <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}il existe des points <math>\;P_0\;</math> en lesquels <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{P_0} = \overrightarrow{0}\;</math> et par suite <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il existe }}le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\mathcal{T}</math>, par définition<ref name="définition d'un glisseur" />, est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] <br />{{Transparent|Un torseur<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math>non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}\;</math>» en effet <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_P \cdot \vec{R} = 0,\;\forall\; P \in \mathcal{E}}</math> }}d'où la proposition réciproque. ==== Somme de deux glisseurs ==== * <u>La somme de deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]]</u><math>\;\mathcal{G}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{G}_2\;</math><u>est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]</u><math>\;\succ\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>sont concourants</u> soit <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1} \cap \Delta_{\mathcal{G}_2} \neq \empty</math>, plus précisément <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1} \cap \Delta_{\mathcal{G}_2} = \{ P_0 \}\;</math><ref> <math>P_0\,</math> étant unique.</ref> en effet, en <math>\,P_0</math>, les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] étant <math>\,\mathcal{G}_1 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,P_0} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!P_0}\!</math>, <math>\,\mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,P_0} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!P_0}\!</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1} \cap \Delta_{\mathcal{G}_2} = \{ P_0 \}}\;</math> en effet, }}<math>\Rightarrow</math> les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] de la somme des deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] au même point <math>\;P_0\;</math> s'écrivent selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1} \cap \Delta_{\mathcal{G}_2} = \{ P_0 \}}\;</math> en effet, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2 = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_1 + \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,P_0} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,P_0} = \overrightarrow{0} \end{array} \right\rbrace_{P_0}\;</math><ref> La [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] de la somme des deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] est non nulle car la direction de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] de chacun des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] étant celle de son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] et ces dernières étant différentes, <math>\;\vec{R}_1\;</math> et <math>\;\vec{R}_2\;</math> ont des directions différentes et ne peuvent avoir une somme nulle.</ref> assurant que cette somme est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]<ref name="définition d'un glisseur" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1} \cap \Delta_{\mathcal{G}_2} = \{ P_0 \}}\;</math> en effet, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}dont le support est la droite issue de <math>\;P_0\;</math> de vecteur directeur <math>\;\vec{R}_1 + \vec{R}_2\;</math> ou <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur}}<math>\;\succ\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>sont parallèles</u><math>\;\big(</math><u>ou confondus</u><math>\big)\;</math><u>avec leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultantes]] non opposées</u> en effet <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> en étant différent, ces [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] n'ont aucun point commun et par suite, en un point <math>\;Q \notin \Delta_{\mathcal{G}_1} \cup \Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] de chacun des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] en ce point <math>\;Q\;</math> sont <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}<math>\;\mathcal{G}_1 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} \left[\! \begin{array}{c} \neq \overrightarrow{0}\\ \perp\;\text{à}\;\vec{R}_1\end{array} \!\right] \end{array} \right\rbrace_{\!Q}\!</math> et <math>\;\mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} \left[\! \begin{array}{c} \neq \overrightarrow{0}\\ \perp\;\text{à}\;\vec{R}_2\end{array} \!\right] \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}\!</math> <math>\Rightarrow</math> [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|ceux]] de la somme s'écrivent <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}<math>\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 + \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}\;</math><ref name="résultante de la somme de glisseurs non nulle"> La [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] de la somme des deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] est non nulle car <math>\;\vec{R}_1\;</math> et <math>\;\vec{R}_2\;</math> ne sont pas opposées.</ref>, son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] en <math>\;Q\;</math> a priori <math>\;\neq \overrightarrow{0}\;</math><ref> Le cas du [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de <math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> nul sera étudié en remarque plus loin dans ce paragraphe.</ref>, <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{R}_1 + \vec{R}_2\;</math><ref> Car chaque [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] étant <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\vec{R}_1\;</math> et de <math>\;\vec{R}_2</math>, leur somme l'est aussi.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}<math>\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]<ref name="1ère autre caractérisation d'un glisseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Autres_caractérisations_d'un_torseur_glisseur|autres caractérisations d'un torseur glisseur]] (1^ère caractérisation) » plus haut dans ce chapitre.</ref> de support « la droite passant par <math>\;Q_0\;</math> <math>\big[</math>où <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q_0} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q_0} = \overrightarrow{0}\big]\;</math><ref> Le point <math>\;Q_0\;</math> en lequel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q_0} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q_0} = \overrightarrow{0}\;</math> est un point du plan <math>\;\left( \Delta_{\mathcal{G}_1}\,,\, \Delta_{\mathcal{G}_2} \right)</math> ; pour mieux le définir on introduit les points <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} Q_{0,\, 1}\;\in \Delta_{\mathcal{G}_1}\\ Q_{0,\, 2}\;\in \Delta_{\mathcal{G}_2} \end{array} \right\rbrace\;</math> projetés orthogonaux de <math>\;Q_0\;</math> sur les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] respectifs des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] tels que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q_{0,\, 1}} = \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q_{0,\, 2}} = \overrightarrow{0} \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math>, par application de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] à <math>\;\mathcal{G}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{G}_2\;</math> en <math>\;Q_0</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q_0} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q_{0,\, 1}}\;+}\; \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{Q_{1,\,0}Q_0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q_0} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q_{0,\, 2}}\;+}\; \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{Q_{2,\,0}Q_0} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où la condition finale de définition de <math>\;Q_0</math>, «<math>\;\vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{Q_{1,\,0}Q_0} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{Q_{2,\,0}Q_0} = \overrightarrow{0}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}en résumé : on choisit un <math>\;Q_{0,\, 1}\;</math> quelconque sur <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en résumé : }}on projette orthogonalement <math>\;Q_{0,\, 1}\;</math> sur <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> en <math>\;Q_{0,\, 2}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en résumé : }}on définit <math>\;Q_0\;</math> sur la droite <math>\;\left( Q_{0,\, 1}\,Q_{0,\, 2} \right)\;</math> tel que <math>\;\vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{Q_{1,\,0}Q_0} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{Q_{2,\,0}Q_0} = \overrightarrow{0}</math> <math>\;\big\{</math>si <math>\;\vec{R}_1\;</math> et <math>\;\vec{R}_2\;</math> sont de même sens, <math>\;Q_0\;\in\;</math> au segment <math>\;\left[ Q_{0,\, 1}\,Q_{0,\, 2} \right]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en résumé : on définit <math>\;\color{transparent}{Q_0}\;</math> sur la droite <math>\;\color{transparent}{\left( Q_{0,\, 1}\,Q_{0,\, 2} \right)}\;</math> tel que <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{Q_{1,\,0}Q_0} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{Q_{2,\,0}Q_0} = \overrightarrow{0}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}si <math>\;\vec{R}_1\;</math> et <math>\;\vec{R}_2\;</math> sont de sens contraire, <math>\;Q_0\;\in\;\left( Q_{0,\, 1}\,Q_{0,\, 2} \right)\;</math> hors segment <math>\;\left[ Q_{0,\, 1}\,Q_{0,\, 2} \right]\big\}</math>.</ref> <br />{{Al|6}}{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, <math>\color{transparent}{\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2}\;</math> est un glisseur de support « la droite }}de vecteur directeur <math>\;\vec{R}_1 + \vec{R}_2\;</math>»<ref> Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] <math>\;\Big\{</math>sans faire de distinction entre [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteurs polaires]] et [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|axiaux]], ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] et le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]], les vecteurs de base <math>\;\vec{u}_z\;</math> étant colinéaire aux [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultantes]] <math>\;\vec{R}_1\;</math> et <math>\;\vec{R}_2</math> <math>\;\big[</math>on pose <math>\;\vec{R}_1 = Z_1\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{R}_2 = Z_2\;\vec{u}_z\big]\;</math> et <math>\;\vec{u}_x\;</math> colinéaire et de même sens que <math>\;\overrightarrow{Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}}</math> <math>\;\big(Q_{0,\, 1}\;</math> étant quelconque sur <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}</math>, <math>\;Q_{0,\, 2}\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;Q_{0,\, 1}\;</math> sur <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\big)</math>, <math>\;\Big[</math>on pose <math>\;\overrightarrow{Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}} = d\;\vec{u}_x\Big]\Big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Autre démonstration }}en choisissant <math>\;Q_{1,\,0}\;</math> comme origine, avec <math>\;Q_0\;\left( x\,,\,0\,,\,0 \right)</math>, la relation de définition de <math>\;Q_0\;</math> à savoir <math>\;\vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{Q_{1,\,0}Q_0} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{Q_{2,\,0}Q_0}\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-97|⁹⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> se réécrit <math>\;Z_1\;\vec{u}_z \wedge \left[ x\;\vec{u}_x \right] + Z_2\;\vec{u}_z \wedge \left[ -\left( d - x \right) \vec{u}_x \right] = \left[ Z_1\;x - Z_2 \left( d - x \right) \right] \vec{u}_y\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qui s'annule pour <math>\;x_0 =</math> <math>\dfrac{Z_2}{Z_2 + Z_1}\;d</math>.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ; <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}remarque : si le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de <math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> en <math>\;Q\;</math> quelconque est nul, cela prouve, sans autre démonstration, <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, remarque : }}que <math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]<ref name="définition d'un glisseur" /> de support « la droite passant par ce point <math>\;Q\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, remarque : que <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2}\;</math> est un glisseur de support « la droite }}de vecteur directeur <math>\;\vec{R}_1 + \vec{R}_2\;</math>» ; <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> est confondu avec <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, tous les points de ces [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] sont communs et par suite, <math>\;\forall\;Q\; \in \Delta_{\mathcal{G}_1} = \Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est confondu avec <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}</math>, }}les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] en <math>\;Q\;</math> sont <math>\;\mathcal{G}_1 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}</math> et <math>\;\mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est confondu avec <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}</math>, }}<math>\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 + \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}\;</math><ref name="résultante de la somme de glisseurs non nulle" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]<ref name="définition d'un glisseur" /> de support l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] commun <br />{{Al|60}}{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est confondu avec <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2 = }\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2}\;</math> est un glisseur de support }}<math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1} = \Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> et <br />{{Al|62}}{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un glisseur<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est confondu avec <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2 = }\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2}\;</math> est un glisseur }}de vecteur directeur <math>\;\vec{R}_1 + \vec{R}_2</math>. * <u>La somme de deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]]</u><math>\;\mathcal{G}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{G}_2\;</math><u>n'est pas un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]</u><math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>ne concourent pas</u> c'est-à-dire si <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> et <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> ne sont pas coplanaires. * <u>La somme de deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]]</u><math>\;\mathcal{G}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{G}_2\;</math><u>est un [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]]</u><math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>sont parallèles avec leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultantes]] opposées</u> en effet <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un couple<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> en étant différent, ces [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] n'ont aucun point commun et par suite, en un point <math>\;Q \notin \Delta_{\mathcal{G}_1} \cup \Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un couple<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] de chacun des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] en ce point <math>\;Q\;</math> sont <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un couple<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}<math>\;\mathcal{G}_1 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} \left[ \! \begin{array}{c} \neq \overrightarrow{0}\\ \perp\;\text{à}\;\vec{R}_1\end{array} \!\right] \end{array} \right\rbrace_{\!Q}\!</math> et <math>\;\mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} \left[ \! \begin{array}{c} \neq \overrightarrow{0}\\ \perp\;\text{à}\;\vec{R}_2\end{array} \!\right] \end{array} \! \right\rbrace_{\!Q}\;</math> <math>\Rightarrow</math> [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|ceux]] de la somme s'écrivent <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un couple<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}<math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 + \vec{R}_2 = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}\;</math><ref name="résultante de la somme de glisseurs nulle"> La [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] de la somme des deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] est nulle car <math>\;\vec{R}_1\;</math> et <math>\;\vec{R}_2\;</math> sont opposées.</ref>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q}\;</math> étant <math>\;\neq \overrightarrow{0}\;</math><ref> Le cas du [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de <math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> nul est, a priori, à rejeter, en effet il n'y a pas de point d'intersection des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q}\;</math> ne peuvent pas être individuellement nuls en un même point, la seule possibilité serait donc qu'ils soient opposés en tout point <math>\;Q</math>, or si <math>\;Q_1\;\in \Delta_{\mathcal{G}_1}</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q_1} = \overrightarrow{0}\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (1^ère propriété) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et son opposé <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q_1}\;</math> devrait être nul aussi alors que <math>\;Q_1\;\notin \Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> d'où l'impossibilité.</ref>{{,}}<ref> Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] <math>\;\Big\{</math>sans faire de distinction entre [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|vecteurs polaires]] et [[w:Torseur#Vecteurs_vrais_et_pseudovecteurs|axiaux]], ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] et le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]], les vecteurs de base <math>\;\vec{u}_z\;</math> étant colinéaire aux [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultantes]] <math>\;\vec{R}_1\;</math> et <math>\;\vec{R}_2</math> <math>\;\big[</math>on pose <math>\;\vec{R}_1 = Z_1\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{R}_2 = Z_2\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;Z_2 = -Z_1\big]\;</math> et et <math>\;\vec{u}_x\;</math> colinéaire à la <math>\;\perp\;</math> aux [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] dans le plan commun de ces derniers, orienté de <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> vers <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, <math>\;\Big[</math>on pose <math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre les deux [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]<math>\Big]\Big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Autre démonstration }}en notant <math>\;Q_{1,\,0}\;</math> et <math>\;Q_{2,\,0}\;</math> les points respectifs de <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> et <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> de même cote que le point <math>\;Q\;</math> où les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] sont évalués, en prenant le milieu de <math>\;\left[ Q_{1,\,0}Q_{2,\,0} \right]\;</math> comme origine et en posant <math>\;Q\;\left( x\,,\,y\,,\,z = 0 \right)</math> <math>\;\big[</math>l'origine ayant été choisie à la même cote que le point <math>\;Q\big]</math>, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} = \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{Q_{1,\,0}Q} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{Q_{2,\,0}Q}\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-97|⁹⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> se réécrit <math>\;Z_1\;\vec{u}_z \wedge \left[ \left( x - \dfrac{d}{2} \right)\,\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right] - Z_1\;\vec{u}_z \wedge \left[ \left( x + \dfrac{d}{2} \right) \vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right] = Z_1\;d\;\vec{u}_y\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qui est toujours <math>\;\neq \overrightarrow{0}</math>.</ref> prouve que <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est un couple<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math> en étant différent, }}<math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> est un [[w:Torseur#torseur_couple|couple]]<ref name="définition d'un couple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] constant<ref> En effet l'application de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] à <math>\;\mathcal{G}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{G}_2\;</math> en <math>\;Q'\,\neq\, Q\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{QQ'}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{QQ'} \end{array} \!\right\rbrace\;</math> dont on déduit le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de <math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> en <math>\;Q'\;</math> en fonction de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|celui]] en <math>\;Q\;</math> soit <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q'} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q'} = \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{QQ'} \right] + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{QQ'} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} + \left[ \vec{R}_1 + \vec{R}_2 \right] \wedge \overrightarrow{QQ'}\;</math> par factorisation vectorielle à droite par <math>\;\overrightarrow{QQ'}\;</math> dans la somme des deux produits vectoriels <math>\;\big\{</math>la factorisation vectorielle à gauche ou à droite dans une somme de produits vectoriels étant l'opération inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (2^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> soit, <math>\;\vec{R}_1 + \vec{R}_2\;</math> étant nul, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q'} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q'} =</math> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q}\;</math> c.-à-d. constant.</ref> <math>\;\big(</math>propriété caractéristique d'un [[w:Torseur#torseur_couple|couple]]<ref name="constance du moment d'un couple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_couple|propriétés d'un torseur couple]] (1^ère propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>. * <u>La somme de deux [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]]</u><math>\;\mathcal{G}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{G}_2\;</math><u>est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]</u><math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>sont confondus avec leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultantes]] opposées</u> en effet <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est le torseur nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> est confondu avec <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, tous les points de ces [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] sont communs et par suite, <math>\;\forall\;Q\; \in \Delta_{\mathcal{G}_1} = \Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est le torseur nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est confondu avec <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}</math>, }}les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] de chacun des [[w:Torseur#Glisseur|glisseurs]] en ce point <math>\;Q\;</math> sont <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est le torseur nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est confondu avec <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}</math>, }}«<math>\;\mathcal{G}_1 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}</math> et <math>\;\mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}\;</math>»<ref name="1ère propriété d'un glisseur" /> <math>\Rightarrow</math> [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|ceux]] de la somme s'écrivent <br />{{Transparent|La somme de deux glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est le torseur nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math> est confondu avec <math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}</math>, }}<math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2 = \left\lbrace \begin{array}{c}\! \vec{R}_1 + \vec{R}_2 = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,Q} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,Q} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!Q}\;</math><ref name="résultante de la somme de glisseurs nulle" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{G}_1 + \mathcal{G}_2\;</math> est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]] <math>\;\mathcal{N}\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. === Décomposition centrale d'un torseur quelconque === {{Théorème|contenu = {{Al|5}}« Tout [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> peut être décomposé de façon unique <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Tout torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> peut être décomposé }}en la somme d'un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\mathcal{G}\;</math> de support identique à l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Tout torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> peut être décomposé en la somme }}d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] <math>\;\mathcal{C}\;</math>» soit encore <center><math>\;\forall\;\mathcal{T},\;\;\exists\,!\;\left( \mathcal{G}\,,\,\mathcal{C} \right)\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\mathcal{T} = \mathcal{G} + \mathcal{C}\\ \Delta_{\mathcal{G}} = \Delta_{\mathcal{T}}\end{array}\right\rbrace</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Soit le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> et ses [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;A\;</math> de son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}</math>, <math>\;\mathcal{T} = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R} \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \neq \overrightarrow{0}\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}\;</math><ref> Nous supposons que le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> n'est ni un [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] <math>\;\big[</math>interdisant <math>\;\vec{R} = \vec{0}\big]</math>, ni un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] <math>\;\Big[</math>interdisant <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}\Big]</math>, ni le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]] <math>\;\Big[</math>interdisant <math>\;\vec{R} = \vec{0}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}\Big]</math>, car <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposons }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;\vec{R} = \vec{0}</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est un [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] <math>\Rightarrow</math> validité du théorème sans autre démonstration, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposons }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] <math>\Rightarrow</math> validité du théorème sans autre démonstration et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposons }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;\vec{R} = \vec{0}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A = \overrightarrow{0}</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]] <math>\Rightarrow</math> validité du théorème sans autre démonstration.</ref>, nous décomposons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Soit le torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> et }}les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> en <math>\;A\;</math> de la façon unique selon <math>\;\mathcal{T} = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R} \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{0}\end{array} \!\right\rbrace_{\!A} + \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \neq \overrightarrow{0}\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}</math>, avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Soit le torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> et les éléments de réduction du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> de la façon unique selon }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R} \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{0}\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}</math> définissant un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] unique <math>\;\mathcal{G}\;</math> en <math>\;A\;</math><ref> En effet <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R} \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{0}\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}\;</math> sont les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] d'un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]], voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|définition d'un torseur glisseur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Soit le torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> et les éléments de réduction du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> de la façon unique selon <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme }}de support « la droite issue de <math>\;A\;</math> de vecteur directeur <math>\;\vec{R}\;</math>»<ref> Droite qui est aussi l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}</math>.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Soit le torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> et les éléments de réduction du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> de la façon unique selon }}<math>\bullet\;</math>le 2 ^nd terme du 2^nd membre <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \neq \overrightarrow{0}\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}</math> définissant un [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] unique <math>\;\mathcal{C}\;</math> en <math>\;A\;</math><ref> En effet <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_A \neq \overrightarrow{0}\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}\;</math> sont les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]], voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Soit le torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> et les éléments de réduction du torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> de la façon unique selon <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2 ^nd terme }}de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] constant<ref name="constance du moment d'un couple" /> égal à <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_A</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : C'est par le choix des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}\;</math> en un point de son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}}\;</math> que l'on assure l'unicité de la décomposition précédente, c'est aussi <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : C'est }}la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « <u>décomposition centrale</u> », les trois éléments indispensables pour établir cette décomposition étant <math>\;\left\lbrace \Delta_{\mathcal{T}}\,,\,\vec{R}\,,\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{A\,\in\,\Delta_{\mathcal{T}}} \right\rbrace\;</math><ref> On rappelle que le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] d'un [[w:Torseur#Définition|torseur]] est constant sur son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]], il est donc indépendant du point <math>\;A\;</math> choisi.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : C'est la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables }}encore appelés « éléments centraux de <math>\;\mathcal{T}\;</math>». == Produit (ou comoment) de deux torseurs == === Définition du produit (ou comoment) de deux torseurs === {{Définition|contenu = {{Al|5}}Le [[w:Comoment|produit]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Comoment|comoment]]<math>\big)\;</math> des deux [[w:Torseur#Définition|torseurs]] <math>\;\mathcal{T}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{T}_2\;</math> dont les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un même point quelconque <math>\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math> sont <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des deux torseurs }}<math>\;\mathcal{T}_1 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A}</math> et <math>\;\mathcal{T}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A}</math> est la grandeur <math>\;\mathcal{T}_1 \otimes \mathcal{T}_2 \in \mathbb{R}\;</math> telle que <center>«<math>\;\mathcal{T}_1 \otimes \mathcal{T}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A} = \vec{R}_1 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} + \vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A}\;</math>».</center>}} === Propriétés du produit (ou comoment) de deux torseurs === * <u>Le [[w:Comoment|produit]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Comoment|comoment]]</u><math>\big)\;</math><u>de deux [[w:Torseur#Définition|torseurs]]</u><math>\;\mathcal{T}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{T}_2\;</math><u>est commutatif</u> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{T}_1 \otimes \mathcal{T}_2 = \mathcal{T}_2 \otimes \mathcal{T}_1\;</math><ref> Cela résultant de la commutativité de la multiplication scalaire, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (1^ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; * <u>le [[w:Comoment|produit]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Comoment|comoment]]</u><math>\big)\;</math><u>de deux [[w:Torseur#Définition|torseurs]]</u><math>\;\mathcal{T}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{T}_2\;</math><u>est indépendant du point</u><math>\;A\;</math><u>en lequel sont définis les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction des torseurs]]</u> en effet, <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_2}\;</math>est indépendant du point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math>}}avec un point <math>\;B\;\in\;\mathcal{E}\;</math> <math>\;\neq A</math>, seul le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] des [[w:Uorseur#Définition|torseurs]] est modifié selon la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_2}\;</math>est indépendant du point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math>avec un point <math>\;\color{transparent}{B\;\in\;\mathcal{E}}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\neq A}</math>, seul le moment des torseurs est modifié selon}}<math>\left[\! \begin{array}{c} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,B} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A} + \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,B} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{AB}\end{array} \!\right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_2}\;</math>est indépendant du point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math>}}<math>\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,B} \end{array} \!\right\rbrace_{\!B} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,B} \end{array} \!\right\rbrace_{\!B} = \vec{R}_1 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,B} + \vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,B}</math> <br />{{Al|49}}{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_2}\;</math>est indépendant du point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math>}}<math>= \vec{R}_1 \cdot \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} + \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{AB} \right] + \vec{R}_2 \cdot \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A} + \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{AB} \right]</math> <br />{{Al|49}}{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_2}\;</math>est indépendant du point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math>}}<math>= \vec{R}_1 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} + \vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A}\; \cancel{+\; \vec{R}_1 \cdot \left[ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{AB} \right] + \vec{R}_2 \cdot \left[ \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{AB} \right]}\;</math><ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (2^ème propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="permutation entre deux vecteurs d'un produit mixte"> Une permutation entre deux vecteurs d'un produit mixte de trois vecteurs change ce dernier en son opposé, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (2^ème propriété) d'un produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|49}}{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_2}\;</math>est indépendant du point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math>}}<math>= \vec{R}_1 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} + \vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A} = \left\lbrace \begin{array}{c}\! \vec{R}_1\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A}\;</math> soit finalement <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_2}\;</math>est indépendant du point <math>\;\color{transparent}{A}\;</math>}}<math>\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,B} \end{array} \!\right\rbrace_{\!B} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,B} \end{array} \!\right\rbrace_{\!B} = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_1\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A}\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. * <u>Le [[w:Comoment|produit]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Comoment|comoment]]</u><math>\big)\;</math><u>de deux [[w:Torseur#Torseur_couple|torseurs couples]]</u><math>\;\mathcal{C}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{C}_2\;</math><u>est identiquement nul</u> en effet <math>\;\mathcal{C}_1 \otimes \mathcal{C}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \end{array} \!\right\rbrace \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_2 \end{array} \!\right\rbrace\;</math><ref name="moment d'un couple indépendant de P"> On rappelle que le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] est indépendant du point où l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|élément de réduction]] est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;= \vec{0}_{\,(1)} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_2 + \vec{0}_{\,(2)} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 = 0\;</math><ref> Les indices <math>\;_{(1)}\;</math> et <math>\;_{(2)}\;</math> de <math>\;\vec{0}\;</math> sont précisés pour rappeler l'origine du [[w:Torseur#torseur_couple|couple]] mais mis entre parenthèses pour rappeler leur inutilité <math>\;\ldots</math></ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ; * <u>le [[w:Comoment|produit]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Comoment|comoment]]</u><math>\big)\;</math><u>d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] et d'un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]</u><math>\;\mathcal{C}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{G}_2\;</math><u>n'est quasi jamais nul</u> car <math>\;\mathcal{C}_1 \otimes \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A}\;</math><ref name="indépendance du moment d'un couple et moment d'un glisseur évalué sur son axe central"> On rappelle que le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] est indépendant du point où l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|élément de réduction]] est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] de ce dernier, les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] étant indiqués évalués en un point <math>\;A\;</math> de son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> d'où <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A} = \overrightarrow{0}</math>.</ref> <math>\;= \cancel{\vec{0}_{\,(1)} \cdot \overrightarrow{0}_{\,(2),\,A}\; +}\; \vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \;</math><ref name="indices chiffrés entre parenthèses"> Les indices chiffrés <math>\;_{(1)}\;</math> et <math>\;_{(2)}\;</math> de <math>\;\vec{0}\;</math> sont précisés pour rappeler l'origine du [[w:Torseur#Définition|torseur]] mais mis entre parenthèses pour rappeler leur inutilité <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] pourraient être évalués en un point <math>\;B\;</math> hors de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] sans que le résultat de <math>\mathcal{C}_1 \otimes \mathcal{G}_2\;</math> ne soit modifié d’après la 2^ème propriété du [[w:Comoment|produit]]<math>\;\big(</math>ou [[w:Comoment|comoment]]<math>\big)\;</math> de deux [[w:Torseur#Définition|torseurs]] établie dans ce paragraphe, de plus le développement du [[w:Comoment|produit]]<math>\;\big(</math>ou [[w:Comoment|comoment]]<math>\big)\;</math> s’écrivant <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,B} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!B} = \cancel{\vec{0}_{\,(1)} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,B}\; +}\; \vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_1 \;</math> donne effectivement le même résultat.</ref> <br />{{Al|231}}en général <math>\;\neq 0\;</math><ref> Sauf dans le cas où la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{R}_2\;</math> du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] est <math>\;\perp\;</math> au [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_1\;</math> du [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] <math>\;\ldots</math></ref> ; * <u>le [[w:Comoment|produit]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Comoment|comoment]]</u><math>\big)\;</math><u>de deux [[w:Torseur#Glisseur|torseurs glisseurs]]</u><math>\;\mathcal{G}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{G}_2\;</math><u>est nul</u><math>\;\succ\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>sont concourants</u> en effet, en notant <math>\;A_0</math> le point d'intersection des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]], <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont concourants }}<math>\mathcal{G}_1 \otimes \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_1} \neq 0\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_0} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_0} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_0} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_0}\;</math><ref name="définition d'un glisseur" /> <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont concourants <math>\color{transparent}{\mathcal{G}_1 \otimes \mathcal{G}_2}</math> }}<math>\,= \cancel{\vec{R}_1 \cdot \overrightarrow{0}_{(2),\,A_0}}\; +\; \cancel{\vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{0}_{(1),\,A_0}}\;</math><ref name="indices chiffrés entre parenthèses" /> <math>= 0\;</math><ref> Si les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du 1^er [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] sont pris en un point <math>\;A_1\;</math> de son [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\,</math> <math>\;\Big[\!\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_1} = \overrightarrow{0}\Big]\;</math> mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si les éléments de réduction du 1^er glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{A_1}\;</math> }}hors de l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math> du 2^ème [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] <math>\;\Big[\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1}\; +}\; \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_0A_1} \neq \overrightarrow{0}\;</math> par [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<math>\Big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si les éléments de réduction du 1^er glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{A_1}\;</math> }}on en déduit <math>\;\mathcal{G}_1 \otimes \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_1} \neq 0\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_1} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1}\! \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1} = \vec{R}_1 \cdot \left[ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_0A_1} \right]\; \cancel{+\;\vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{0}_{(1),\,A_1}} = 0\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si les éléments de réduction du 1^er glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{A_1}\;</math> on en déduit }}<math>\Big\{</math>les trois vecteurs du produit mixte <math>\;\vec{R}_1 \cdot \left[ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_0A_1} \right]\;</math> étant coplanaires ce dernier est nul, voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si les éléments de réduction du 1^er glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{A_1}\;</math> on en déduit <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>}}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si les éléments de réduction du 1^er glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{A_1}\;</math> on en déduit <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>« définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\Big\}</math> ; <br>{{Al|3}}si les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du 1^er et du 2^ème [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] sont pris en un point <math>\;P\;</math> hors des deux [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> et <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, aucun des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moments]] de [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] n'est nul, ces derniers s'écrivant <br>{{Al|3}}{{Transparent|si les éléments de réduction du 1^er et du 2^ème glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> }}<math>\!\left[ \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,P} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_0}\; +}\; \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{A_0P} \neq \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,P} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_0}\; +}\; \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_0P} \neq \overrightarrow{0}\end{array}\right]\!</math> par [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] avec <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1} \cap \Delta_{\mathcal{G}_2} = A_0</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}{{Transparent|si les éléments de réduction du 1^er et du 2^ème glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> }}<math>\mathcal{G}_1 \otimes \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_1} \neq 0\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,P} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!P} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,P} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!P} = \vec{R}_1 \cdot \left[ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_0P} \right] + \vec{R}_2 \cdot \left[ \vec{R}_1 \wedge \overrightarrow{A_0P} \right] = 0\;</math> car <br>{{Al|3}}{{Transparent|si les éléments de réduction du 1^er et du 2^ème glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> }}une permutation entre deux vecteurs d'un produit mixte de trois vecteurs change ce dernier en son opposé, <br>{{Al|3}}{{Transparent|si les éléments de réduction du 1^er et du 2^ème glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> }}voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (2^ème propriété) d'un produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon <br>{{Al|3}}{{Transparent|si les éléments de réduction du 1^er et du 2^ème glisseur sont pris en un point <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> voir le paragraphe « propriétés (2^ème propriété) d'un produit mixte » }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}en fait ces justifications étaient inutiles car nous avons établi que le [[w:Comoment|produit]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Comoment|comoment]]<math>\big)\;</math> de deux [[w:Torseur#Définition|torseurs]] est indépendant du point en lequel sont définis leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]], voir la 2^ème propriété établie plus haut dans ce paragraphe.</ref> ou <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul}}<math>\;\succ\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>sont confondus</u>, en effet le cas des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] confondus peut être considéré comme <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont confondus, en effet }}le cas particulier d'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] concourants en tous leurs points ou <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul}}<math>\;\succ\;</math><u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>sont parallèles</u> en effet, avec <math>\;A_1 \in \Delta_{\mathcal{G}_1}</math> <math>\;\big(</math>donc hors <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\big)</math>, <math>\;\mathcal{G}_1 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_1} \neq 0\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_1} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1}\;</math> et <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leursaxes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec }}<math>\;A_1 \notin \Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, <math>\;\mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_2} \neq 0\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1}\;</math> où <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1}\;</math> s'obtient <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec }}par [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> appliquée en <math>\;A_1\;</math> avec <math>\;A_2 \in \Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_2}\; +}\; \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_2A_1}\;</math> car <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_2\, \in\, \Delta_{\mathcal{G}_2}} = \overrightarrow{0}</math>, <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec }}soit <math>\;\mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_2} \neq 0\\ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_2A_1} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1}\;</math> dont on déduit <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec }}<math>\mathcal{G}_1 \otimes \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_1} \neq 0\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_1} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_2A_1} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1}</math> <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec <math>\color{transparent}{\mathcal{G}_1 \otimes \mathcal{G}_2}</math> }}<math>= \vec{R}_1 \cdot \left[ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_2A_1} \right]\; \cancel{+\;\vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{0}_{(1),\, A_1}}\;</math><ref name="indices chiffrés entre parenthèses" /> <math>= 0</math>, <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec }}les trois vecteurs <math>\;\left( \vec{R}_1\,,\,\vec{R}_2\,,\,\overrightarrow{A_2A_1} \right)\;</math> étant coplanaires<ref> Si on applique <math>\;R_1\;</math> en <math>\;A_1\;</math> et <math>\;R_2\;</math> en <math>\;A_2</math> <math>\;\ldots</math></ref> <br />{{Al|2}}{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math> est nul<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si leurs axes centraux<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_1}}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\Delta_{\mathcal{G}_2}}\;</math>sont parallèles en effet, avec les trois vecteurs }}leur produit mixte est nul<ref name="définition intrinsèque d'un produit mixte" /> ; * <u>le [[w:Comoment|produit]]</u><math>\;\big(</math><u>ou [[w:Comoment|comoment]]</u><math>\big)\;</math><u>de deux [[w:Torseur#Glisseur|torseurs glisseurs]]</u><math>\;\mathcal{G}_1\;</math><u>et</u><math>\;\mathcal{G}_2\;</math><u>est non nul</u> <u>si leurs [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]]</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math><u>et</u><math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}\;</math><u>ne sont pas concourants, parallèles ou confondus</u>, en effet <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est non nul }}comme il n'existe aucun point commun des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axes centraux]] <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> et <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_2}</math>, on choisit un point <math>\;A_1\;\in\;\Delta_{\mathcal{G}_1}\;</math> <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est non nul }}pour évaluer les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] des [[w:Torseur#Définition|torseurs]] <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_1} = \overrightarrow{0}\!</math>, <math>\left[\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1} = \cancel{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_2} \;+}\; \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_2A_1} \neq \overrightarrow{0}\\ A_2\;\in\;\Delta_{\mathcal{G}_2} \Rightarrow \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_2} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right]\,</math><ref> Par application de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]] en <math>\;A_1\;</math> à partir de <math>\;A_2 \in \Delta_{\mathcal{G}_2}</math>.</ref> d'où <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est non nul }}<math>\;\mathcal{G}_1 \otimes \mathcal{G}_2 = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R_1} \neq 0\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{1,\,A_1} = \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1} \otimes \left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{R}_2 \neq \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{2,\,A_1} \neq \overrightarrow{0} \end{array} \!\right\rbrace_{\!A_1} = \vec{R}_1 \cdot \left[ \vec{R}_2 \wedge \overrightarrow{A_2A_1} \right]\; \cancel{+\;\vec{R}_2 \cdot \overrightarrow{0}_{(1),\, A_1}}\;</math><ref name="indices chiffrés entre parenthèses" /> <math>\neq 0</math>, <br />{{Transparent|le produit<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>de deux torseurs glisseurs<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_1}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_2}\;</math>est non nul }}les trois vecteurs <math>\;\left( \vec{R}_1\,,\,\vec{R}_2\,,\,\overrightarrow{A_2A_1} \right)\;</math> n'étant pas coplanaires leur produit mixte<ref name="définition intrinsèque d'un produit mixte" /> est non nul<ref name="définition intrinsèque d'un produit mixte" />. == Exemples de torseurs en mécanique == === Torseur statique === {{Al|5}}Le [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur des actions mécaniques]]<math>\big)\;</math> sert à modéliser les [[w:Action_mécanique|actions mécaniques]] lors de la résolution d'un problème de statique tridimensionnel<ref> Voir le 1^er exemple du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. {{Al|5}}Une [[w:Action_mécanique|action mécanique]] exercée sur un système de points matériels <math>\;\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> peut être représentée par une force <math>\;\vec{F}_k\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;A_k\;</math> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> peut être représentée }}par une répartition de forces de somme nulle <math>\;\vec{C}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]\right)} = \left\lbrace \vec{F}_{l},\;\sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \vec{F}_l = \vec{0} \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> peut être représentée par une répartition }}définissant un [[w:Couple_(physique)|couple au sens de la mécanique]] s'appliquant au moins <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> peut être représentée par une répartition définissant un couple }}en deux points distincts «<math>\;A_l,\,l \in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>chaque force <math>\;\vec{F}_k\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;A_k\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\mathcal{G}_k\;</math> de support <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_k}\;</math> défini par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>chaque force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_k}\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;\color{transparent}{A_k}\;</math> est }}la droite issue de <math>\;A_k\;</math> de vecteur directeur <math>\;\vec{F}_k</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>chaque force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_k}\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;\color{transparent}{A_k}\;</math> est }}ses [[w:Torseur_des_actions_mécaniques#Éléments_de_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;O\;</math> quelconque <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>chaque force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_k}\;</math> s'exerçant sur le point <math>\;\color{transparent}{A_k}\;</math> est }}étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_k\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{F}_k} = \vec{F}_k \wedge \overrightarrow{A_kO}\end{array}\right\rbrace_O\;</math><ref name="notation de moment de force en physique"> Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de ce [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] sera écrit, en physique, sous la forme <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{F}_k} = \overrightarrow{OA_k} \wedge \vec{F}_k</math> <math>\;\Big\{</math>égale à la forme donnée dans l'[[w:Torseur_des_actions_mécaniques#Éléments_de_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] par <math>\;\overrightarrow{OA_k} = -\overrightarrow{A_kO}\;</math> et anticommutativité de la multiplication vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\Big\}</math>, la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître <math>\;\overrightarrow{OA_k}\;</math> le vecteur position du point <math>\;A_k</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>chaque répartition de forces de somme nulle <math>\;\vec{C}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]\right)} = \left\lbrace \vec{F}_{l},\;\sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \vec{F}_l = \vec{0} \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>chaque répartition de forces de somme nulle }}est un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] <math>\;\mathcal{C}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]\right)}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>chaque répartition de forces de somme nulle est }}ses [[w:Torseur_des_actions_mécaniques#Éléments_de_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;O\;</math> quelconque étant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>chaque répartition de forces de somme nulle est }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{C}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]\right)}} = \sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \vec{F}_l \wedge \overrightarrow{A_lO}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Le point <math>\;O\;</math> en lequel est effectué la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|réduction]] n'est pas indiqué en indice des accolades car les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] d'un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] ne dépendent pas de ce point.</ref>{{,}}<ref name="notation de moment de couple en physique"> Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de ce [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] sera écrit, en physique, sous la forme <math>\;\overrightarrow{\Gamma}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]\right)} = \sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \overrightarrow{OA_l} \wedge \vec{F}_l</math> <math>\;\Big\{</math>égale à la forme donnée dans l'[[w:Torseur_des_actions_mécaniques#Éléments_de_réduction|élément de réduction]] du [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] par <math>\;\overrightarrow{OA_k} =</math> <math>-\overrightarrow{A_kO}\;</math> et anticommutativité de la multiplication vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (1^ère propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\Big\}</math> ;<br>{{Al|3}}nous pouvons vérifier aisément, sous la forme utilisée en physique, l'indépendance du [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] relativement au point de réduction, en effet, si nous prenons un autre point <math>\;O' \neq O</math>, le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Torseur_couple|couple]] évalué en <math>\;O'\;</math> se calcule par <math>\;\sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \overrightarrow{O'A_l} \wedge \vec{F}_l = \sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \left[ \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA_l} \right] \wedge \vec{F}_l\;</math> soit, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, <math>=\; \cancel{\overrightarrow{O'O} \wedge \left[ \sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \vec{F}_l \right]}\; + \sum\limits_l^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \overrightarrow{OA_l} \wedge \vec{F}_l</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (2^ème propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> }}<math>\succ\;</math>les [[w:Action_mécanique|actions mécaniques]] s'exerçant sur le système de points matériels <math>\;\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les actions mécaniques }}sont représentées par un [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat.}}\;</math> nommé « <u>[[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]</u><ref> Ou [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur des actions mécaniques]].</ref> » dont <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les actions mécaniques }}les [[w:Torseur_des_actions_mécaniques#Éléments_de_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;O\;</math> quelconque sont <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les actions mécaniques }}<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat.}} = \sum_k \mathcal{G}_k + \sum\limits_{q,\,\text{indexant}}^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \mathcal{C}_q\;</math><ref name="décomposition centrale d'un torseur quelconque"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Décomposition_centrale_d'un_torseur_quelconque|décomposition centrale d'un torseur quelconque]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une action mécanique exercée sur un système de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>les actions mécaniques <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{stat.}}}</math> }}<math>= \left\lbrace \begin{array}{c} \sum_k \vec{F}_k\\ \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{F}_k} + \sum\limits_{q,\,\text{indexant}}^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\vec{C}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]_q\right)}} \end{array}\right\rbrace_O\;</math><ref name="notation de moment en physique"> Le [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] est aussi la somme du [[w:Torseur#Définition|torseur]] des actions extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\mathcal{T}_{\text{ext}}\;</math> et du [[w:Torseur#Définition|torseur]] des actions intérieures au système <math>\;\mathcal{T}_{\text{int}}\;</math> lequel est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]] d'après le [[w:Lois_du_mouvement_de_Newton#Troisième_loi_de_Newton_ou_principe_des_actions_réciproques|principe des actions réciproques]] <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#1ère_conséquence_du_principe_des_actions_réciproques_en_dynamique_newtonienne,_la_nullité_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|1^ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_par_rapport_à_un_point_origine_A_quelconque|vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] du [[w:Torseur#Définition|torseur]] des actions extérieures <math>\;\mathcal{T}_{\text{ext}}\;</math> s'exerçant sur le système, notée en physique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}\;</math> et appelée « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_dynamique_s'exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|résultante dynamique]] » est aussi celle du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat.}}</math>, <br>{{Al|3}}le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] évalué en <math>\;O\;</math> du [[w:Torseur#Définition|torseur]] des actions extérieures <math>\;\mathcal{T}_{\text{ext}}\;</math> s'exerçant sur le système, noté en physique <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\;</math> et appelé « moment résultant dynamique » en <math>\;O\;</math> est aussi celui du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <math>\;\mathcal{T}_{\text{ext}}\;</math> au même point <math>\;O</math> ; <br>{{Al|3}}le [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] s'écrit donc, en physique <math>\;\mathcal{T}_{\text{ext}} + \mathcal{T}_{\text{int}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{ext}}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\end{array}\right\rbrace_O + \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} = \overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace_O = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{ext}}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\end{array}\right\rbrace_O</math>.</ref>. === Torseur cinématique === {{Al|5}}Le [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] sert à représenter pratiquement les comportements de [[w:Translation|translation]] et de [[w:Rotation|rotation]] d'un [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|système indéformable]] de points matériels<math>\big)\;</math> mais <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le torseur cinématique }}ne peut pas être utilisé pour un système déformable <math>\;\big(</math>ce qui limite son introduction dans le domaine de la physique<math>\big)\;</math><ref> Voir le 1^er exemple du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_axial_(ou_pseudo-vecteur)|cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. {{Al|5}}On établit en effet que le <u>[[w:Modèle_du_solide_indéformable#Champ_des_vitesses_d'un_solide|champ de vitesse des points d'un solide]]</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right),\,A_iA_j\, =\, cste\;\forall (i,\,j)}\;</math> dans un [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] donné <math>\;\vec{V}_{A_k}(t)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}<u>est [[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectif]] donc représentable par un [[w:Torseur#Définition|torseur]]</u> en effet <br />{{Al|5}}{{Transparent|On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}<math>\forall\;\left( A_i\,,\,A_j \right) \in \left( \mathcal{S} \right),\; A_iA_j = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Vert \overrightarrow{A_iA_j}(t) \Vert^2 = cste'\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{A_iA_j}(t) \cdot \dfrac{d \overrightarrow{A_iA_j}}{dt}(t) = 0\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> d'où, <br />{{Al|5}}{{Transparent|On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}en repérant les positions du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] d'étude relativement à un point <math>\;O\;</math> lié au [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]], <br />{{Al|5}}{{Transparent|On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}<math>\dfrac{d \overrightarrow{A_iA_j}}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OA_j}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OA_i}}{dt}(t) = \vec{V}_{A_j}(t) - \vec{V}_{A_i}(t)</math>, d'où <math>\;\left( \mathfrak{a}\right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{A_iA_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{A_j}(t) - \vec{V}_{A_i}(t) \right]= 0\;</math> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}<math>\overrightarrow{A_iA_j}(t) \cdot \vec{V}_{A_j}(t) = \overrightarrow{A_iA_j}(t) \cdot \vec{V}_{A_i}(t)\;</math> établissant le caractère [[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectif]]<ref name="caractère équiprojectif"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur|définition d'un torseur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Champ_des_vitesses_d'un_solide|champ de vitesse d'un solide]]<ref> La relation <math>\;\overrightarrow{A_iA_j}(t) \cdot \vec{V}_{A_j}(t) = \overrightarrow{A_iA_j}(t) \cdot \vec{V}_{A_i}(t)\;</math> s'écrivant encore <math>\;\vec{V}_{A_j}(t) \cdot \overrightarrow{A_iA_j}(t) = \vec{V}_{A_i}(t) \cdot \overrightarrow{A_iA_j}(t)\;</math> par commutativité de la multiplication scalaire de vecteurs, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (1^ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}d'après la forme directe de la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Notion_de_résultante_d'un_torseur|notion de résultante d'un torseur]] plus haut dans le chapitre.</ref> on peut définir, pour le [[w:Torseur#Définition|torseur]] du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Champ_des_vitesses_d'un_solide|champ de vitesse d'un solide]] nommé « <u>[[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]]</u> », <br />{{Al|20}}{{Transparent|d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, }}un vecteur unique <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> vérifiant <math>\;\vec{V}_{A_j}(t) = \vec{V}_{A_i}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{A_iA_j}(t)</math>, <br />{{Al|20}}{{Transparent|d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, un vecteur unique }}<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> définissant la <u>[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] du [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]]</u><ref name="Appellation de omega en physique"> Appelé, dans le domaine de la physique, [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur « rotation instantanée »]] <math>\;\big(</math>ou parfois, [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur vitesse angulaire]] quand on s'intéresse plus particulièrement au mouvement d'un point ou, plus rarement encore, [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Cas_d'un_solide_indéformable|vecteur taux de rotation]] pour un [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|système indéformable]]<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en un point <math>\;A\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sont <math>\;\mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})} = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega}(t)\\ \vec{V}_A(t)\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}\!</math>, le mouvement de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dépendant de la nature de son [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] : * le [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] est un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] si <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overrightarrow{0}\;\forall\;t\;</math> traduisant une [[w:Translation|translation]] du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]], la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> s'écrivant <math>\;\vec{V}_B(t) = \vec{V}_A(t)\;</math> pour <math>\;\left( A,\,B \right) \in (\mathcal{S})^2</math>, dans ce cas le [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] n'a pas d'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]], * {{Transparent|le torseur cinématique est }}un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] si <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) \neq \overrightarrow{0}\;</math> avec l'existence d'un point <math>\;A \in (\mathcal{S})\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_A(t) = \vec{0}</math> <math>\;\big(</math>point central<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]<math>\big)</math>, le [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] ayant pour support « la droite issue de <math>\;A\;</math> de vecteur directeur <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref> Le [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur rotation instantanée]] <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> n'étant pas constant, la direction du support du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] ne l'est pas non plus bien qu'ayant un point <math>\;A\;</math> fixe.</ref>, les autres points <math>\;B \in (\mathcal{S})\;</math> et <math>\;\neq A\;</math> de vecteurs vitesse <math>\;\vec{V}_B(t) = \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AB}(t)\;</math> selon la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon /> établissent que le [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] a un mouvement de [[w:Rotation|rotation]] de [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur rotation instantanée]] <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour du point fixe <math>\;A\;</math> du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]]<ref> En effet la [[w:Rotation|rotation]] de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se faisant autour du support du [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})}}(t)\;</math> de direction variable mais passant par le point fixe <math>\;A</math>, elle se fait autour de ce dernier.</ref>, * {{Transparent|le torseur cinématique est }}un [[w:Torseur#Définition|torseur]] non particulier si <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) \neq \overrightarrow{0}\;</math> avec l'existence d'un point <math>\;A \in (\mathcal{S})\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_A(t)\; \parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math> <math>\;\big(</math>point central<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Définition|torseur]]<ref name="point central non nécessairement fixe"> Point de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> non nécessairement fixe sur ce dernier.</ref><math>\big)</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] ayant pour [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})}}(t)\;</math> « la droite issue de <math>\;A\;</math><ref name="point central non nécessairement fixe" /> de vecteur directeur <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>», les autres points <math>\;B \notin \Delta_{\mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})}}(t)\;</math> de vecteurs vitesse <math>\;\vec{V}_B(t) = \vec{V}_A(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AB}(t)\;</math> selon la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon /> établissent que le mouvement du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] résulte de la composition d'une [[w:Rotation|rotation]] de [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur rotation instantanée]] <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})}}(t)\;</math> et d'une [[w:Translation|translation]] de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_A(t)\;</math> {{Nobr|<math>\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>}} et * {{Transparent|le torseur cinématique est }}un [[w:Torseur#Définition|torseur]] non particulier si <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) \neq \overrightarrow{0}\;</math> avec absence de point <math>\;A \in (\mathcal{S})\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_A(t)\; \parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math> <math>\;\big(</math>absence de point central<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Définition|torseur]]<math>\big)</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] n'ayant donc pas d'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] ; le choix d'un point quelconque <math>\;P \in (\mathcal{S})\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_P(t)\;</math> et d'un autre point <math>\;Q \in (\mathcal{S})\;</math> mais <math>\;\neq P\;</math> de vecteurs vitesse <math>\;\vec{V}_Q(t) = \vec{V}_P(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{PQ}(t)\;</math> selon la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon /> établit que le mouvement du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] résulte de la composition d'une [[w:Rotation|rotation]] de [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur rotation instantanée]] <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour d'un axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> passant par <math>\;P\;</math> et d'une [[w:Translation|translation]] de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_P(t)\; \not\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>. === Torseur cinétique === <center>Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse|cinétique newtonienne]].</center> {{Al|5}}Le [[w:Torseur_cinétique|torseur cinétique]] sert à représenter pratiquement les comportements de « mouvement inertiel »<ref name="mouvement inertiel"> Appellation personnelle : introduction de la notion de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels quand les grandeurs utilisées dépendent à la fois du mouvement du système et de l'inertie de ce dernier qui s'oppose à toute modification de son mouvement.</ref> d'un système de points matériels <math>\;\big(</math>déformable ou [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|indéformable]]<math>\big)\;</math><ref> Voir le 2^ème exemple du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. {{Al|5}}La grandeur cinétique d'un système de points matériels <math>\;\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] d'étude <br />{{Al|5}}{{Transparent|La grandeur cinétique }}est représentée, à l'instant <math>\;t</math>, par son [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|vecteur quantité de mouvement]] <math>\;\vec{p}_k(t) = m_k\;\vec{V}_{A_k}(t)\;</math> du point <math>\;A_k\;</math> avec <math>\;m_k\;</math> masse du point et <math>\;\vec{V}_{A_k}(t)\;</math> son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t</math> ; {{Al|5}}la [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|quantité de mouvement]] <math>\;\vec{p}_k(t)\;</math> du point <math>\;A_k\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\mathcal{G}_k\;</math> dont le support <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_k}(t)\;</math> est la droite issue de <math>\;A_k\;</math> de vecteur directeur <math>\;\vec{p}_k(t)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|la quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{\vec{p}_k(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{A_k}\;</math> est un torseur glisseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_k}\;</math> }}ses [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;O\;</math> quelconque sont <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{p}_k(t) = m_k\;\vec{V}_{A_k}(t)\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{p}_k}(t) = \vec{p}_k(t) \wedge \overrightarrow{A_kO}(t)\end{array} \!\right\rbrace_{\!O}\;</math><ref name="notation de moment cinétique en physique"> Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de ce [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] sera écrit, en physique, sous la forme <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O,\,A_k}(t) = \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \vec{p}_k(t)</math> <math>\;\Big\{</math>égale à la forme donnée dans l'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|élément de réduction]] du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] par <math>\;\overrightarrow{OA_k}(t) =</math> <math>-\overrightarrow{A_kO}(t)\;</math> et anticommutativité de la multiplication vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (1^ère propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\Big\}</math>, la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître <math>\;\overrightarrow{OA_k}\;</math> le vecteur position du point <math>\;A_k</math>, et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le moment de ce torseur glisseur sera }}appelé, en physique, [[w:Moment_cinétique#Cas_d'un_point_matériel|moment cinétique (vectoriel)]] du point matériel <math>\;A_k</math></ref> ; {{Al|5}}l'ensemble des [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|quantités de mouvement]] des points du système de points matériels <math>\;\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des quantités de mouvement des points du système }}est un [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét.}}\;</math> nommé « <u>[[w:Torseur_cinétique|torseur cinétique]]</u> » <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{cinét.}}}\;</math> }}dont les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;O\;</math> quelconque sont <math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét.}} = \sum_k \mathcal{G}_k = \left\lbrace \begin{array}{c} \sum_k \vec{p}_k(t)\\ \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{p}_k}(t)\end{array}\right\rbrace_O\;</math><ref name="notation de moment cinétique en physique - bis"> Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de ce [[w:Torseur_cinétique|torseur cinétique]] sera écrit, en physique, sous la forme <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O,\,\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \vec{p}_k(t)</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{cinét.}}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\sum_k \vec{p}_k(t) =\sum_k m_k\;\vec{V}_k(t)\;</math> du [[w:Torseur_cinétique|torseur cinétique]] notée <math>\;\vec{P}(t)\;</math> est appelée « [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|résultante cinétique]] » et <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{cinét.}}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{p}_k}(t) = \sum_k \vec{p}_k(t) \wedge \overrightarrow{A_kO}(t)\;</math> du [[w:Torseur_cinétique|torseur cinétique]] noté, en physique, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{cinét.}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\sigma}_{O,\,\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}(t)\;</math><ref> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O,\,\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}}(t)\;</math>» sera noté simplement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_O(t)\;</math>» en absence d'ambiguïté.</ref> est appelé « [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] » au point <math>\;O\;</math><ref> Ou parfois « [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment cinétique résultant]] » au point <math>\;O</math>.</ref>, il s'écrit, en physique, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{cinét.}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\sigma}_O(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \vec{p}_k(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge m\;\vec{V}_k(t)\;</math> et la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> lui est applicable selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{cinét.}}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\sigma}_{O'}(t) = \overrightarrow{\sigma}_O(t) + \vec{P}(t) \wedge \overrightarrow{OO'}\;</math> ou encore <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O'}(t) =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_O(t) + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{P}(t)</math>. {{Al|5}}Le [[w:Torseur_cinétique|torseur cinétique]] du système de points matériels <math>\;\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] d'étude à l'instant <math>\;t\;</math> est : * un [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] si <math>\;\vec{P}(t) = \vec{0}\;\forall\;t\;</math> traduisant l'immobilité du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> du système quand celui-ci est fermé<ref name="lien entre P et VG"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Énoncé_du_lien_entre_résultante_cinétique_et_vecteur_vitesse_du_centre_d'inertie_d'un_système_de_points_matériels_fermé|énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » où on a établi que <math>\;\vec{P}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> dans laquelle <math>\;m_{\text{syst}} = \sum_k m_k\;</math> est la masse du système et <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse de son C.D.I. <math>\;G</math>.</ref>, la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> s'écrivant <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O'}(t) = \overrightarrow{\sigma}_O(t)\;</math> pour <math>\;\left( O,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2\;</math> quelconque, dans ce cas le [[w:Torseur_cinétique|torseur cinétique]] n'a pas d'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]], * un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] si <math>\;\vec{P}(t) \neq \vec{0}\;</math> avec l'existence d'un point <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(t) = \vec{0}</math> <math>\;\big(</math>point central<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]]<math>\big)</math>, le [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] ayant pour support « la droite issue de <math>\;A\;</math> de vecteur directeur {{Nobr|<math>\;\vec{P}(t)\;</math>»<ref> Le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|vecteur résultante cinétique]] <math>\;\vec{P}(t)\;</math> n'étant pas constant, la direction du support du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] ne l'est pas non plus et il en est de même du point <math>\;A\;</math> non nécessairement fixe.</ref>,}} en un autre point <math>\;B \in (\mathcal{E})\;</math> et <math>\;\neq A\;</math> le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] s'écrit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{B}(t) =</math> <math>\vec{P}(t) \wedge \overrightarrow{AB}</math> <math>\;\Big[</math>ou <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{B}(t) = \overrightarrow{BA} \wedge \vec{P}(t)\;</math> comme on le note préférentiellement en physique<math>\Big]\;</math> selon la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon /> établissant que le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] du système en <math>\;B\;</math> est égal au [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Moment_cinétique_(relativement_à_un_point_O_du_référentiel)|moment cinétique]] en <math>\;B\;</math> du point <math>\;A\;</math> auquel on aurait affecté une [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|quantité de mouvement]] égale à la [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|résultante cinétique]] du système, * un [[w:Torseur#Définition|torseur]] non particulier si <math>\;\vec{P}(t) \neq \vec{0}\;</math> avec l'existence d'un point <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(t)\; \parallel\;</math> à <math>\;\vec{P}(t)</math> <math>\;\big(</math>point central<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Définition|torseur]]<ref name="point central non nécessairement fixe - bis"> Point de <math>\;\mathcal{E}\;</math> non nécessairement fixe dans ce dernier.</ref><math>\big)</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] ayant pour [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]] <math>\;\Delta_{\mathcal{T}_{\text{cinét.}}}(t)\;</math> « la droite issue de <math>\;A\;</math><ref name="point central non nécessairement fixe - bis" /> de vecteur directeur <math>\;\vec{P}(t)\;</math>», en un autre point <math>\;B \in (\mathcal{E})\;</math> et <math>\;\neq A\;</math> le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] s'écrit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{B}(t) =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_{A}(t) + \vec{P}(t) \wedge \overrightarrow{AB}</math> <math>\;\Big[</math>ou <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{B}(t) = \overrightarrow{\sigma}_{A}(t) + \overrightarrow{BA} \wedge \vec{P}(t)\;</math> comme on le note préférentiellement en physique<math>\Big]\;</math> selon la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon /> établissant que le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] du système en <math>\;B\;</math> résulte de la composition du [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] en <math>\;A\;</math> et du [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Moment_cinétique_(relativement_à_un_point_O_du_référentiel)|moment cinétique]] en <math>\;B\;</math> du point <math>\;A\;</math> auquel on aurait affecté une [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|quantité de mouvement]] égale à la [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|résultante cinétique]] du système, ces deux [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moments résultants cinétiques]] étant <math>\;\perp\;</math> entre eux<ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A}(t)\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{P}(t)\;</math> alors que <math>\;\overrightarrow{BA} \wedge \vec{P}(t)\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{P}(t)</math>.</ref> et * un [[w:Torseur#Définition|torseur]] non particulier si <math>\;\vec{P}(t) \neq \vec{0}\;</math> avec absence de point <math>\;A \in \mathcal{E}\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{\sigma}_A(t)\; \parallel\;</math> à <math>\;\vec{P}(t)</math> <math>\;\big(</math>absence de point central<ref name="point central" /> du [[w:Torseur#Définition|torseur]]<math>\big)</math>, le [[w:Torseur#Définition|torseur]] n'ayant pas d'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|axe central]], considérant un point <math>\;D \in \mathcal{E}\;</math> par rapport auquel le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] est <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{D}(t)\;</math> et un autre point <math>\;B \in \mathcal{E}\;</math> et <math>\;\neq D\;</math> par rapport auquel le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] s'écrit <math>\overrightarrow{\sigma}_{B}(t) = \overrightarrow{\sigma}_{D}(t) + \vec{P}(t) \wedge \overrightarrow{DB}</math> <math>\;\Big[</math>ou <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{B}(t) =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_{D}(t) + \overrightarrow{BD} \wedge \vec{P}(t)\;</math> comme on le note préférentiellement en physique<math>\Big]\;</math> selon la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon /> établissant que le [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] du système en <math>\;B\;</math> résulte de la composition du [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moment résultant cinétique]] en <math>\;D</math>, point quelconque, et du [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Moment_cinétique_(relativement_à_un_point_O_du_référentiel)|moment cinétique]] en <math>\;B\;</math> du point <math>\;D\;</math> auquel on aurait affecté une [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|quantité de mouvement]] égale à la [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|résultante cinétique]] du système, ces deux [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Prolongements_possibles_de_l'article|moments résultants cinétiques]] étant a priori quelconques. === Torseur dynamique === <center>Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la [[w:Mécanique_newtonienne|dynamique newtonienne]].</center> {{Al|5}}Le [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] sert à représenter les variations de « mouvement inertiel »<ref name="mouvement inertiel" /> d'un système de points matériels <math>\;\big(</math>déformable ou [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|indéformable]]<math>\big)\;</math><ref> Voir le 3^ème exemple du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. {{Al|5}}La grandeur [[w:Dynamique_(mécanique)|dynamique]] d'un système de points matériels <math>\;\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] d'étude <br />{{Al|5}}{{Transparent|La grandeur dynamique }}est représentée, à l'instant <math>\;t</math>, par la dérivée temporelle de son [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|vecteur quantité de mouvement]] <math>\;\dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t) = \dot{\vec{p}_k}(t) = m_k\;\vec{a}_{A_k}(t)\;</math> du point <math>\;A_k\;</math> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|La grandeur dynamique est représentée, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement }}<math>\;m_k\;</math> masse du point et <math>\;\vec{a}_{A_k}(t) = \dot{\vec{V}_k}(t)\;</math> son vecteur accélération à l'instant <math>\;t</math> ; {{Al|5}}la dérivée temporelle du [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|vecteur quantité de mouvement]] <math>\;\dot{\vec{p}_k}(t)\;</math> du point <math>\;A_k\;</math> est un [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] <math>\;\mathcal{G}_k\;</math> dont le support <math>\;\Delta_{\mathcal{G}_k}(t)\;</math> est la droite issue de <math>\;A_k\;</math> de vecteur directeur <math>\;\dot{\vec{p}_k}(t) = \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t)\;</math> avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|la dérivée temporellle du vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{\dot{\vec{p}_k}(t)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{A_k}\;</math> est un glisseur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}_k}\;</math> }}pour [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;O\;</math> quelconque <math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t) = m_k\;\vec{a}_{A_k}(t)\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\dot{\vec{p}_k}}(t) = \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{A_kO}(t)\end{array} \!\right\rbrace_{\!O}\;</math><ref name="notation de moment dynamique en physique"> Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de ce [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] sera écrit, en physique, sous la forme <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\dot{\vec{p}_k}}(t) = \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t)</math> <math>\;\bigg\{</math>égale à <math>\;\dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{A_kO}(t)\;</math> car <math>\;\overrightarrow{OA_k}(t) = -\overrightarrow{A_kO}(t)\;</math> d'une part et la multiplication vectorielle est anticommutative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'autre part<math>\bigg\}</math>, la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître <math>\;\overrightarrow{OA_k}\;</math> le vecteur position du point <math>\;A_k</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'ensemble des dérivées temporelles des [[w:Cinétique_du_point_matériel_ou_sans_masse#Quantité_de_mouvement|quantités de mouvement]] des points du système de points matériels <math>\;\left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points }}est un [[w:Torseur#Définition|torseur]] <math>\;\mathcal{T}_{\text{dynam.}}\;</math> nommé « <u>[[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]]</u> » avec <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur }}pour [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en un point <math>\;O \in \mathcal{E}\;</math> <math>\;\mathcal{T}_{\text{dynam.}} = \sum_k \mathcal{G}_k = \left\lbrace\! \begin{array}{c} \sum_k \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t)\\ \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\dot{\vec{p}_k}}(t)\end{array} \!\right\rbrace_{\!O}\;</math><ref name="notation de moment dynamique en physique - bis"> Le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] de ce [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] sera écrit, en physique, sous la forme <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\left\lbrace A_k\,,\,\dot{\vec{p_k}}\,,\, k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace \right\rbrace}(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t)</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur }}<math>\bullet\;</math>la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\sum_k \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t) = \sum_k \dot{\vec{p}_k}(t) = \sum_k m_k\;\vec{a}_k(t)\;</math> du [[w:Torseur_dynmique|torseur dynamique]] <br />{{Al|6}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la résultante }}est appelée, par quelques uns, « [[w:Torseur_dynamique#Résultante|quantité d'accélération]] »<ref name="quantité d'accélération" />{{,}}<ref name="rejet de résultante dynamique" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur }}<math>\bullet\;</math>le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\dot{\vec{p}_k}}(t) = \sum_k \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{A_kO}(t)\;</math> du [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] noté, en physique, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\left\lbrace A_k\,,\,\dot{\vec{p_k}}\,,\, k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace \right\rbrace}(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t)\;</math><ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\left\lbrace A_k\,,\,\dot{\vec{p_k}}\,,\, k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace \right\rbrace}(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t)\;</math>» sera noté simplement «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{tors. dynam.}}(t)\;</math>» en absence d'ambiguïté.</ref> est appelé, par quelques uns, {{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« [[w:Torseur_dynamique#Définition|moment (résultant) dynamique]] » au point <math>\;O\;</math><ref> Ce que je désapprouve car je réserve déjà l'appellation « moment résultant dynamique » au [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <math>\;\Big\{</math>en fait, si le système de points matériels est fermé, le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels,_généralisation_à_un_système_continu_de_matière|théorème du moment cinétique vectoriel]] appliquée au système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen]] en <math>\;O\;</math> fixe » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> nous établit que le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] résultant du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] en un point fixe est égale au [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] résultant du [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé avec <math>\;O\;</math> fixe, toutefois, comme la confusion n'est plus possible dans les autres cas, je préfère dire « [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur_dynamique|torseur dynamique]] » pour nommer <math>\sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \dot{\vec{p}_k}(t)\Big\}</math>.</ref> il s'écrit donc, en physique, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{tors. dynam.}}(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_k}{dt}(t) = \sum_k \overrightarrow{OA_k}(t) \wedge m\;\vec{a}_k(t)\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|relation de Varignon]]<ref name="Varignon" /> lui est applicable selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O',\,\text{tors. dynam.}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{tors. dynam.}}(t) + \dfrac{d \vec{P}}{dt}(t) \wedge \overrightarrow{OO'}\;</math> ou encore <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O',\,\text{tors. dynam.}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{tors. dynam.}}(t) + \overrightarrow{O'O} \wedge \dfrac{d \vec{P}}{dt}(t)</math>. === Produit (ou comoment) du torseur statique exercé sur un solide et du torseur cinématique de ce dernier === {{Al|5}}Soient <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} = \left\lbrace \begin{array}{c} \sum_k \vec{F}_k\\ \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\vec{F}_k} + \sum\limits_{q,\,\text{indexant}}^{\left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\vec{C}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots\, j\right]\right]_q\right)}} \end{array}\right\rbrace_O\;</math><ref name="notation de moment en physique" /> le [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] s'exerçant sur le [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace A_k \right\rbrace_{\left( k \in \left[\left[ 1\,,\,n \right]\right],\,n \in \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> ou <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{ext}}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\end{array}\right\rbrace_O\;</math><ref> En tenant compte des remarques développées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#cite_note-notation_de_moment_en_physique-128|¹²⁸]] ».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}<math>\;\mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})} = \left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega}(t)\\ \vec{V}_O(t)\end{array}\right\rbrace_O</math> le [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] pour lequel <math>\;O\;</math> doit être un point du [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]], <br />{{Al|5}}le [[w:Comoment|produit]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Comoment|comoment]]<math>\big)\;</math> des [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseurs statique]] et [[w:Torseur_cinématique#Définition|cinématique]] relatif au [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, à savoir <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} \otimes \mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})}</math>, nécessite de choisir <math>\;O \in \left( \mathcal{S} \right)</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, }}s'écrit <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} \otimes \mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{ext}}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\end{array}\right\rbrace_O \otimes \left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega}(t)\\ \vec{V}_O(t)\end{array}\right\rbrace_O</math> <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, s'écrit <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} \otimes \mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})}}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{V}_O(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> correspondant à <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, }}<math>\bullet\;</math>la [[w:Puissance_(physique)|puissance]] développée par la [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_dynamique_s'exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|résultante dynamique]] <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}\;</math> lors de la [[w:Translation|translation]] de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_O(t)\;</math> c'est-à-dire <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\;</math> }}<math>\vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{V}_O(t)\;</math> augmentée de <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, }}<math>\bullet\;</math>la [[w:Puissance_(physique)|puissance]] développée par le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|moment résultant dynamique]] <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\;</math> lors de la [[w:Rotation|rotation]] autour du point <math>\;O</math> <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance développée par le moment résultant dynamique <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}}\;</math> }}de [[w:Vecteur_vitesse_angulaire#Particule_en_trois_dimensions|vecteur rotation instantanée]] <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> <br />{{Al|14}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance développée par le moment résultant dynamique }}c'est-à-dire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> soit finalement <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, s'écrit }}<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} \otimes \mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> c'est-à-dire la [[w:Puissance_(physique)|puissance]] développée par les [[w:Action_mécanique#Action_mécanique_statiquement_équivalente|actions extérieures]] <br />{{Al|8}}{{Transparent|le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math>, s'écrit <math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} \otimes \mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\;</math> c'est-à-dire la puissance }}s'exerçant sur le [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;(\mathcal{S})</math> ; {{Al|5}}en conclusion le [[w:Comoment|produit]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Comoment|comoment]]<math>\big)\;</math> des [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseurs statique]] et [[w:Torseur_cinématique#Définition|cinématique]] relatif au [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> évalue la [[w:Puissance_(physique)|puissance]] développée par les [[w:Action_mécanique#Action_mécanique_statiquement_équivalente|actions extérieures]] s'exerçant sur le [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion le produit <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou comoment<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des torseurs statique et cinématique relatif au solide <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> évalue la puissance développée }}dans le [[w:Référentiel_(physique)|référentiel]] où le [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] est déterminé soit <center><math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. sur}\,(\mathcal{S})} \otimes \mathcal{T}_{\text{cinémat. de}\,(\mathcal{S})} = \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{V}_O(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{\Omega}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math><ref> La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable alors que l'expression du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] reste valable <br>{{Al|3}}{{Transparent|La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable }}est que celle du [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] est exclusivement réservée à un [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|système indéformable]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable est que celle du torseur }}<math>\big(</math>nécessité pour que le champ des vitesses soit [[w:Équiprojectivité_en_physique#Champ_équiprojectif|équiprojectif]]<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}s'il est licite de réduire l'ensemble des [[w:Action_mécanique|actions mécaniques]] s'exerçant sur un système déformable aux [[w:Action_mécanique#Action_mécanique_statiquement_équivalente|actions extérieures]] car la [[w:Torseur#Résutante_et_réduction|résultante]] et le [[w:Torseur#Résutante_et_réduction|moment]] résultant des actions intérieures sont nuls, dès qu'on envisage un mouvement accompagné d'une déformation, la [[w:Puissance_(physique)|puissance]] des actions intérieures n'étant plus nulle ne doit plus être omise, ceci se traduisant par le fait que les [[w:Torseur#Résutante_et_réduction|éléments de réduction]] du [[w:Torseur_cinématique#Définition|torseur cinématique]] écrits pour un [[w:Modèle_du_solide_indéformable#Première_approche|solide]] sont insuffisants pour un système déformable car ils ne traduisent pas les mouvements relatifs internes <math>\;\ldots</math></ref>.</center> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Les matrices, généralités/]] }} l1yj94llcy8tddayc839u2ghrcoqto7 0 73466 982927 965998 2026-05-19T11:06:40Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982927 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 2 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Rappel, 1^ères notions de cinétique d'un système discret de points matériels : « masse », « centre d’inertie » et « vecteur résultante cinétique » == === Masse d'un système discret (fermé) de points matériels === {{Al|5}}La masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)</math> <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> est le scalaire positif <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>»<ref name="masse d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Masse_d'un_système_de_points_matériels_(définie_comme_1ère_grandeur_d'inertie_associée_au_système)|masse d'un système de points matériels (définie comme 1^ère grandeur d'inertie associée au système)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}c'est la 1^ère grandeur d'inertie introduite, elle caractérise le système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\big[</math>elle est alors indépendante du référentiel spatio-temporel dans lequel ce système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> {{Nobr|évolue<ref name="masse d'un système ouvert"> Si le système discret de points matériels est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré «<math>\;m_{\text{syst}}(t)\;</math>» : <br>{{Al|3}}si des points matériels sortent de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, <br>{{Al|3}}si des points matériels entrent dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, <br>{{Al|3}}si des points matériels entrent dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que d'autres en sortent simultanément avec le même débit massique <math>\;\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst}}(t) =</math> <math>cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>.</ref><math>\big]</math>.}} === Centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système discret (fermé) de points matériels === {{Al|5}}Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points matériels ayant pour cœfficient leur {{Nobr|masse »<ref name="définition du barycentre d'un système de n points"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Définition_du_barycentre_d'un_système_de_n_points_pondérés|définition du barycentre d'un système de n points pondérés]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>}} c.-à-d. « le point <math>\;G\;</math> tel que <math>\;\sum\limits_{i = 1}^N m_i\;\overrightarrow{GM_i} = \vec{0}\;</math>»<ref name="définition ou propriété du C.D.I."> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#Centre_d'inertie_d'un_système_(discret)_fermé_de_points_matériels|centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, « le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation <math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^N m_i\;\overrightarrow{OM_i}}{\sum\limits_{i = 1}^N m_i} = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^N m_i\;\overrightarrow{OM_i}}{m_{\text{syst}}}\;</math>»<ref name="définition ou propriété du C.D.I." /> <math>\;\bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et « en utilisant la relation de {{Nobr|Chasles<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>}} <math>\;\overrightarrow{GM_i} = \overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OG}\;</math>» d'où «<math>\;\sum\limits_{i = 1}^N m_i \left[ \overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OG} \right] = \vec{0}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i = 1}^N m_i\; \overrightarrow{OM_i} = \left( \sum\limits_{i = 1}^N m_i \right) \overrightarrow{OG}</math> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math>» et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\bigg\}</math>. {{Al|5}}<u>Méthode de construction du barycentre d'un système de points matériels</u> : utiliser autant que faire se peut la notion de barycentre partiel<ref name="barycentre partiel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Propriétés_de_commutativité_et_d'associativité_de_la_prise_de_barycentre,_notion_de_barycentre_partiel|propriétés de commutativité et d'associativité de la prise de barycentre, notion de barycentre partiel]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et, pour déterminer chacun d'eux, choisir un des points du système d'origine comme point de référence <math>\;\big(</math>c.-à-d. comme point <math>\;O\big)\;\ldots</math> voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Méthode_de_construction_du_barycentre_du_système_de_trois_points_pondérés|méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés]] » sur l'exemple du « C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. de la molécule d'eau » dans le chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il est possible de réécrire l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> à l'aide de la « fonction vectorielle de Leibniz<ref name="Leibniz"> '''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ([[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]) dont la paternité doit être partagée avec '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien et astronome britannique, surtout connu pour avoir fondé la mécanique classique et avoir développé le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment.</ref> associée à un système de <math>\;n\;</math> points pondérés <math>\;\left\lbrace A_k\,\left( \alpha_k \right) \right\rbrace_{k = 1,\,\ldots,\,n\, \geqslant\, p + 1}</math> d'un [[w:Espace_affine|espace affine]] <math>\;E\;</math> de [[w:Espace_affine#Première_définition|direction]] <math>\;W\;</math> tous deux de dimension <math>\;p\;</math>», <center>«<math>\;\forall\;M \in E</math>, on associe <math>\;\vec{f}(M) =</math> <math>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\;\overrightarrow{MA_k}\;\in W\;</math>» définissant la fonction vectorielle de Leibniz<ref name="Leibniz" />{{,}}<ref name="fonction vectorielle de Leibniz"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Notion_de_fonction_vectorielle_de_Leibniz|notion de fonction vectorielle de Leibniz]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>la fonction vectorielle de Leibniz<ref name="Leibniz" /> associée au système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N\, \geqslant\, 4}\;</math> s'écrivant ici «<math>\;\forall\;A \in E,\;\vec{f}(A) = \sum\limits_{i = 1}^N m_k\;\overrightarrow{AM_i}\;\in W\;</math>»</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}d'où la réécriture de la définition de <math>\;G\;</math> et de l'expression de <math>\;\overrightarrow{OG}</math> : <center>«<math>\;\vec{f}(G) = \vec{0}\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}(G) = \sum\limits_{i = 1}^N m_k\;\overrightarrow{GM_i}\;</math>»<ref name="fonction vectorielle de Leibniz" /> et <br>«<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\vec{f}(O)}{\sum\limits_{i = 1}^N m_k} = \dfrac{\vec{f}(O)}{m_{\text{syst}}}\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\vec{f}(O) = \sum\limits_{i = 1}^N m_k\;\overrightarrow{OM_i}\;</math>»<ref name="fonction vectorielle de Leibniz" />.</center> === Vecteur résultante cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude === {{Al|5}}La résultante cinétique <math>\;\vec{P}(t)\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \vec{p}_{M_i}(t)\;</math>»<ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="résultante cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système discret ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les vecteurs quantité de mouvement des points matériels présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\big[</math>de même, en cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)\;</math> seuls les vecteurs vitesse des points matériels présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser, il en est de même en cinétique relativiste mais les vecteurs vitesse des points matériels présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à multiplier par le facteur de Lorentz qui leur est associé<math>\big]\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{p}_{M_i}(t)\;</math> est le vecteur quantité de mouvement du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», se réécrivant, <br>en cinétique classique<ref name="newtonienne"> Ou newtonienne.</ref>, «<math>\;\vec{P}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>»<ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}}<ref name="résultante cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Lien avec le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système discret fermé de points matériels</u> <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math> : <center>en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système de points matériels soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que le système}}un système discret ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points matériels entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : en cinétique classique<ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}(t)\;</math> du système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la quantité de mouvement d'un point fictif * de mouvement identique, à tout instant, à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math> du système fermé dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> et * de masse identique à <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> c.-à-d. la masse du système fermé. === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude === {{Al|5}}En cinétique relativiste, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}(t)\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> reste définie selon <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \vec{p}_{M_i,\,\text{relativ}}(t)\;</math>»<ref name="résultante cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{p}_{M_i,\,\text{relativ}}(t)\;</math> est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», <br>se réécrivant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>»<ref name="résultante cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>\;1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : S'il est toujours possible, avec <math>\;O\;</math> point fixe du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, de définir le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en cinétique relativiste selon «<math>\;\overrightarrow{OG}(t) = \dfrac{\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{OM_i}(t)}{m_{\text{syst}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : s'il est toujours possible, }}de dériver la relation ci-dessus par rapport à <math>\;t\;</math> pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_G(t) =</math> <math>\dfrac{\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2^nd membre de la relation explicitant <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>, c.-à-d. <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)</math>, l'expression «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>» explicitant la résultante cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}(t)\;</math> du système<ref> Dans le cas général, les points matériels n'ayant pas même vitesse à l'instant <math>\;t</math>, leur facteur de Lorentz <math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}}\;</math> diffère d'un point à l'autre et par suite <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> n'est pas transformable en «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>» par une opération purement linéaire <math>\;\ldots</math></ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le cas général, <u>il n'y a aucun lien entre la résultante cinétique relativiste</u> <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}(t)\;</math> <u>du système fermé</u> <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>et le vecteur vitesse</u> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <u>du C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> <u>du système fermé</u>, au même instant, dans le même référentiel <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Cas d'un système discret fermé de points matériels</u><math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math><u>en translation dans le référentiel</u><math>\;\mathcal{R}</math> : « tous les points matériels <math>\,M_i\,</math> ayant même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{f}(t),\;\forall\;i \in \left[\left[ 1\,,\,N \right]\right]\,</math> avec <math>\,\vec{f}(t) = \vec{V}_G(t)</math> <math>\,\big[</math>le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\;</math> du système fermé<math>\big]\;</math>», « ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M_i}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;i \in \left[\left[ 1\,,\,N \right]\right]\;</math>» et par suite, ce dernier pouvant être factorisé dans la définition du vecteur résultante cinétique relativiste «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> du système discret fermé de points matériels en translation » selon {{Nobr|«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)</math>}} <math>= \gamma_{G}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t) \right]\;</math>» dans laquelle «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» d'où la liaison entre vecteur résultante cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> d'un <u>système fermé en translation</u> et vecteur vitesse de translation <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de ce dernier selon <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="système ouvert en translation"> La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système discret de points matériels ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en translation étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vitesse et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur vitesse que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs vitesse des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur vitesse que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en translation que s'il s'agit d'un écoulement stationnaire de fluide <math>\;\big[</math>voir l'exemple de la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_du_mouvement_d'un_solide_dans_deux_cas_particuliers#cite_note-12|¹²]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Dans le cas d'un système discret ouvert de points matériels relativistes en translation, tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» avec «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> c.-à-d. le vecteur résultante cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}la résultante cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les points matériels qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les points matériels sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> selon <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t) + \sum\limits^{M_k\,\text{entrant dans}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_k\;\gamma_{M_k}(t)\;\vec{V}_{\!M_k}(t) - \sum\limits^{M_l\,\text{sortant de}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_l\;\gamma_{M_l}(t)\;\vec{V}_{\!M_l}(t)\;</math> car régime stationnaire d'où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\gamma_G(t) \left[ \sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} m_i + \sum\limits^{M_k\,\text{entrant dans}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_k - \sum\limits^{M_l\,\text{sortant de}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_l \right] \vec{V}_G(t)\;</math> soit <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\;\vec{V}_G(t)</math>, le facteur entre crochets s'identifiant à la masse <math>\;m_{\text{syst}}(t)\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t</math>.</ref> dans laquelle <br>«<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du système en translation ».</center> == Vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point A == === Définition du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système discret (fermé) de point matériels dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.</ref> est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit encore <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i,\,t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{p}_{M_i}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système discret ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les vecteurs moment cinétique des points matériels présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\big[</math>de même, en cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)\;</math> seuls les vecteurs vitesse des points matériels présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser, il en est de même en cinétique relativiste mais les vecteurs vitesse des points matériels présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à multiplier par le facteur de Lorentz qui leur est associé<math>\big]\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\vec{p}_{M_i}(t)\;</math> « le vecteur quantité de mouvement de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>», <br>soit, en cinétique classique<ref name="classique"> Ou newtonienne.</ref> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Cette définition est applicable que l'espace physique soit « orienté à droite »<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou « orienté à gauche »<ref name="orienté à gauche"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>dans le cas quasi-systématique l'espace physique étant « orienté à droite »<ref name="orienté à droite" />, « le sens des trièdres <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM_i}(t)\,,\, \vec{p}_{M_i}(t)\,,\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i,\,t) \right\rbrace\;</math> est direct <math>\;\forall\;i\;\in\, \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>»<ref name="trièdre direct d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>dans le cas quasi-inexistant où l'espace physique serait « orienté à gauche »<ref name="orienté à gauche" />, « le sens des trièdres <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM_i}(t)\,,\, \vec{p}_{M_i}(t)\,,\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i,\,t) \right\rbrace\;</math> serait indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> <math>\;\forall\;i\;\in\, \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>»<ref name="trièdre indirect au sens de la physique dans un espace orienté à gauche"> Dans un espace orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le caractère indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] (préliminaire) » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'un trièdre se détermine en utilisant la règle de la main gauche, voir description de la règle dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de cette même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. === Cas d’un système discret (fermé) de points matériels en translation dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}Dans un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les points <math>\;M_i\;</math> ont tous, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, ils ont donc chacun, <u>dans le cadre de la cinétique classique</u><ref name="classique" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_{M_i}(t) = m_i\; \vec{V}_G(t)\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un système discret fermé de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en translation }}le vecteur moment cinétique du système discret fermé <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>», on peut « factoriser vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite »<ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)</math>}} <math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» et on reconnaît dans le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)</math>}} <math>= \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les points matériels qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les points matériels sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t) + \sum\limits^{M_k\,\text{entrant dans}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \overrightarrow{AM_k}(t) \wedge m_k\;\vec{V}_{\!M_k}(t) - \sum\limits^{M_l\,\text{sortant de}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \overrightarrow{AM_l}(t) \wedge m_l\;\vec{V}_{\!M_l}(t)\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t) + \sum\limits^{M_k\,\text{entrant dans}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_k\;\overrightarrow{AM_k}(t) - \sum\limits^{M_l\,\text{sortant de}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_l\;\overrightarrow{AM_l}(t) \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t)</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_sysème_discret_de_points_matériels#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-31|³¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}dans le cas d’un système discret « quasi-quelconque »<ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de points matériels, « le vecteur résultante cinétique du système <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et au vecteur vitesse de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> par la relation <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation {{Nobr|<math>\;\big(</math>revoir}} la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-16|¹⁶]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, pour un <u>système en translation dans le cadre de la cinétique classique</u><ref name="classique" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis" />.</center> === Complément, expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}En cinétique relativiste, le moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> évalué relativement au point origine <math>\;A\;</math> reste défini selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(M_i,\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{p}_{M_i,\,\text{relativ}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{p}_{M_i,\,\text{relativ}}(t)\;</math> est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», <br>se réécrivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : S'il est toujours possible, avec <math>\;O\;</math> point fixe du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, de définir le vecteur position du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en cinétique relativiste selon «<math>\;\overrightarrow{OG}(t) = \dfrac{\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{OM_i}(t)}{m_{\text{syst}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : S'il est toujours possible, }}de dériver la relation ci-dessus par rapport à <math>\;t\;</math> pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_G(t) =</math> <math>\dfrac{\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2^nd membre des relations explicitant <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> ou <math>\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)</math>, c.-à-d. respectivement <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> ou <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t)</math>, l'expression «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>» explicitant le moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math> du système<ref> Dans le cas général, les points matériels n'ayant pas même vitesse à l'instant <math>\;t</math>, leur facteur de Lorentz <math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}}\;</math> diffère d'un point à l'autre, de plus<br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans le cas général, }}les points matériels n'étant pas positionnés au même endroit, <math>\;\overrightarrow{AM_i}(t)\;</math> diffère aussi d'un point à l'autre et par suite <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans le cas général, }}aucune mise en facteur scalaire ou vectorielle de <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> ne pourra conduire à l'utilisation du 2^nd membre des relations explicitant <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> ou <math>\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)</math>, c.-à-d. respectivement <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> ou <math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t)</math> <math>\;\ldots</math></ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le cas général, <u>il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste</u> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math> <u>du système fermé</u> <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> évalué au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>et les grandeurs caractérisant le C.D.I.</u><ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> <u>du système fermé</u> à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Cas d'un système discret fermé de points matériels</u><math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math><u>en translation dans le référentiel</u><math>\;\mathcal{R}</math> : « tous les points matériels <math>\,M_i\,</math> ayant même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{f}(t),\;\forall\;i \in \left[\left[ 1\,,\,N \right]\right]\,</math> avec <math>\,\vec{f}(t) = \vec{V}_G(t)</math> <math>\,\big[</math>le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système fermé<math>\big]\;</math>», « ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}} =</math> <math>\gamma_{G}(t),\;\;\forall\;i \in \left[\left[ 1\,,\,N \right]\right]\;</math>» et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>» du système discret fermé de points matériels en translation évalué en <math>\;A\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t) \right]\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) =</math> <math>\vec{V}_G(t)\;</math> pour tout point <math>\;M_i\;</math>» d'où, par factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» soit encore, par propriété du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t) = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>», l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math>» d'un <u>système fermé en translation</u> et le vecteur vitesse de translation <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de ce dernier ainsi que le vecteur <math>\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math> positionnant son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}}<ref name="système ouvert en translation" />{{,}}<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans le cas d'un système discret ouvert de points matériels relativistes en translation, tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les points matériels qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les points matériels sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t) + \sum\limits^{M_k\,\text{entrant dans}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \overrightarrow{AM_k}(t) \wedge m_k\;\gamma_{M_k}(t)\;\vec{V}_{\!M_k}(t) - \sum\limits^{M_l\,\text{sortant de}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \overrightarrow{AM_l}(t) \wedge m_l\;\gamma_{M_l}(t)\;\vec{V}_{\!M_l}(t)</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\gamma_G(t) \left[ \sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t) + \sum\limits^{M_k\,\text{entrant dans}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_k\;\overrightarrow{AM_k}(t) - \sum\limits^{M_l\,\text{sortant de}\,(\Sigma)}_{\text{sur}\,\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} m_l\;\overrightarrow{AM_l}(t) \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal le 1^er terme <math>\;\sum\limits_{M_i\,\in\,\text{int. de}\,(\Sigma)} m_i\;\overrightarrow{AM_i}(t)</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle <br>«<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du système en translation » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en translation }}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en translation }}dans le cas d’un système discret « quelconque »<ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de points matériels en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation <math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}</math>, à son facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_G(t)\;</math> et à son vecteur vitesse de translation <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> par la relation {{Nobr|«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) =</math>}} <math>\gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-16|¹⁶]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-18|¹⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, pour un <u>système en translation</u>, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />.</center> == Changement d’origine de calcul du moment cinétique vectoriel d’un système discret de points matériels == === Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant la somme des vecteurs moment cinétique, au même instant, de chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même point origine <math>\;A\;</math> et <br>{{Al|5}}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque point <math>\,M_i\,</math> s’écrivant, avec <math>\,A'\,</math> nouvelle origine d'évaluation des moments vectoriels «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M_i,\, t \right) =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M_i,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{p}_{M_i}(t)\;</math>»<ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en faisant la somme de ces <math>\;N\;</math> relations, <center>«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M_i,\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M_i,\, t \right) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{p}_{M_i}(t)\;</math>» ou, </center> {{Al|5}}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche »<ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre et <br>{{Al|5}}en reconnaissant dans le 1^er terme du 2^nd membre le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\;</math> du système par rapport à <math>\;A\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|en reconnaissant }}dans le 1^er membre le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\;</math> du système par rapport à <math>\;A'</math>, on obtient <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \vec{p}_{M_i}(t) \right]\;</math>» </center> {{Al|5}}soit enfin, en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^nd membre <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système ouvert de points matériels {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;\ldots</math></ref>.</center> === Changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « fermé » de points matériels en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> suivant, dans le cadre de la cinétique classique<ref name="classique" /> ou relativiste, la formule <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="validité du changement d'origine" />, dans laquelle <br>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>et «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ;</center> {{Al|5}}<u>dans le cadre de la cinétique classique</u><ref name="classique" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis" />.</center> {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels, le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-31|³¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier {{Nobr|<math>\;\big(</math>dépendant}} a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>,</center> {{Al|10}}{{Transparent|Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}que l'on peut interpréter en remarquant que le 2^ème terme du 2^ème membre est le vecteur moment cinétique du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math> <math>\;\big[</math>considéré comme point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> alors que le 1^er terme du 2^ème membre est le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système discret fermé de points matériels<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément, changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « quelconque » de points matériels « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Nous avons vu au paragraphe précédent que le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système discret « quelconque »<ref name="quelconque" /> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\,\left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> reste applicable en cinétique relativiste sous la forme <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="validité du changement d'origine" />, dans laquelle <br>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>et «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \vec{p}_{M_i,\,\text{relativ}}(t)\;</math> la résultante cinétique relativiste du système » mais <math>\;\ldots</math></center> {{Al|5}}si le mouvement du système discret « quelconque »<ref name="quelconque" /> de points matériels n'est pas une translation, il n'y a, a priori, aucune simplification du vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Cas d'un système discret « quelconque »<ref name="quelconque" /> de points matériels en translation dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}</math> : « tous les points matériels <math>\;M_i\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) =</math> <math>\vec{V}_G(t)\;</math> c.-à-d. le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé », ont aussi « même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M_i}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}} = \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;i \in \left[\left[ 1\,,\,N \right]\right]\;</math>» et par suite, nous avons déduit une expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre, cette expression étant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}}<ref name="système ouvert en translation" />{{,}}<ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation" /> dans laquelle <br>«<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du système en translation » ;</center> {{Al|10}}le report de cette expression dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système discret « quelconque »<ref name="quelconque" /> de points matériels en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste d’un système discret (fermé) de points matériels en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter" />,</center> {{Al|10}}{{Transparent|Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> }}que l'on peut interpréter en remarquant que le 2^ème membre est le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G</math> <math>\;\big[</math>considéré comme point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité de mouvement relativiste <math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;\ldots</math> == Cas où le système discret de points matériels est en rotation autour d’un axe fixe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|300px|Système discret fermé de points matériels <math>\;M_i\,,\, (m_i)\;</math> en rotation autour d'un axe <math>\;(\Delta)\;</math> fixe, moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;(\Delta)</math>]] {{Al|5}}Le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u><ref name="classique" />, écrire le « vecteur moment cinétique du point <math>\;M_i,\;\;\forall\;i \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> sous la forme <center><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i,\,t) =</math> <math>m_i\;r_i^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - m_i\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>«<math>\;H_i\;</math> centre de rotation de <math>\;M_i\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r_i\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M_i\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> étant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point <math>\;M_i</math>, on en déduit donc <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i,\,t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ m_i\;r_i^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - m_i\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math>» ou, </center> {{Al|5}}après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation </u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M_i\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|39}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>»<ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système discret de points matériels ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système discret ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ;</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est donc la somme de deux termes, * le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>» <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et tournant à la même vitesse angulaire que le système de points matériels <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> : rappelons tout d'abord qu'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est nécessairement un solide<ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système discret fermé de points matériels est « <u>indéformable</u> ».</ref>, il est donc possible de lui associer un <u>tenseur d'inertie</u> selon la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)]] »<ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de tenseur [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( y_i^2 + z_i^2 \right) & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;y_i & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i\\ -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;y_i & \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + z_i^2 \right) & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i\\ -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i & \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right)\end{array} \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( y_i^2 + z_i^2 \right)\;</math> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + z_i^2 \right)\;</math> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right)\;</math> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;y_i\;</math> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i\;</math> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i\;</math> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}\;</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>»<ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right) \right\rbrace\end{array}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right) \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\; r_i^2 \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y</math> <math>\;\big[</math>ou encore, après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>, <math>= - \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\; z_i \left( x_i\;\vec{u}_x + y_i\;\vec{u}_y \right) \right\rbrace \overline{\Omega}(t)</math> <math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\; z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément, vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel étude dans le cadre de la cinétique relativiste, le point origine de calcul étant un point A de Δ === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(M_i,\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{p}_{M_i,\,\text{relativ}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{p}_{M_i,\,\text{relativ}}(t)\;</math> est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», <br>se réécrivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge m_i\;\gamma_{M_i}(t)\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M_i}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le vecteur moment cinétique relativiste du point <math>\;M_i,\;\;\forall\;i \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> sous la forme <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M_i,\,t) = \gamma_{M_i}(t)\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M_i,\,t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H_i\;</math> centre de rotation de <math>\;M_i\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r_i\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M_i\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système discret fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M_i,\,t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;r_i^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}} \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;\overline{AH_i}}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique<ref name="classique" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système discret fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;r_i^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}} \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;r_i^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}} \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;\overline{AH_i}}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math>» <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Repérant le point <math>\;M_i\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" /><math>\big]</math>, l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;r_i^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}} \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;z_i\;r_i}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>».</center> === Complément, notion d'axes principaux d’inertie en cinétique newtonienne === {{Al|5}}<u>Pour tout point</u><math>\;A\;</math><u>origine de calcul de vecteur moment cinétique classique</u><ref name="classique" /> du système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> <u>en rotation</u> autour d'un axe «<math>\;\left( \Delta \right)\,\ni\,A\;</math>», axe fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, nous admettrons qu'<u>il existe au moins trois directions de l'axe de rotation</u> <math>\;\left\lbrace \left( \Delta_{p,\,k}\right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}</math>, <u>deux à deux</u><math>\;\perp</math>, telles que <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta_{p,\,k}\right)}(\text{syst},\,t)\;</math> soit <math>\;\parallel\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> du système » c.-à-d. telles que <br>«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_{i,\,k}}\;\overrightarrow{H_{i,\,k}M_i}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref> Ou, en choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}}\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}\;</math> et repérant le point <math>\;M_i\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}}</math> <math>\;\Big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{i,\,k}}\,,\,\vec{u}_{\theta_{i,\,k}}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace\;</math> choisie directe ou indirecte « au sens de la physique » suivant l'orientation de l'espace <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-caractère_direct_ou_indirect_de_la_base-47|⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\Big]</math>, c.-à-d. «<math>\; \left( r_{i,\,k},\, \theta_{i,\,k},\, z_{i,\,k} \right)\;</math>», la réécriture de la condition selon <center>«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_{i,\,k}\;r_{i,\,k}\;\vec{u}_{r_{i,\,k}}(t) = \vec{0}\;</math>».</center></ref> avec «<math>\;H_{i,\,k}\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M_i\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math>», <br><math>\Downarrow</math> <br> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta_{p,\,k}\right)}(\text{syst},\,t) = J_{\Delta_{p,_,k}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_{p,_,k}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_{i,\,k}^{\,2}\;</math> dans laquelle <math>\;r_{i,\,k} = H_{i,\,k}M_i\;</math>», <br><math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> définissant un <u>axe principal d'inertie</u> du système issu de <math>\;A\;</math><ref> Il y a donc au moins trois axes principaux d'inertie d'un système discret fermé par point origine de calcul de moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système lors de la rotation de ce dernier autour de l'axe choisi dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)\;\ldots</math></ref>, <br>«<math>\;J_{\Delta_{p,_,k}}\;</math> étant le <u>moment principal d'inertie</u> du système relativement à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> passant par <math>\;A\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux <math>\;\perp</math>, d'axe de rotation du système telles que « le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque, avec pour axe de rotation un axe issu de <math>\;A\;</math> ayant l'une des trois directions précédentes, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> soit <math>\;\parallel\;</math> au vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> », {{Nobr|c.-à-d.}} qu'<u>on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point</u> <math>\;A</math>, ou encore <u>on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine</u> {{Nobr|<math>\;A\;</math><ref name="repère principal d'inertie"> Les trois axes principaux d'inertie du système issus de <math>\;A\;</math> définissent, avec ce dernier, le « repère principal d'inertie du système ».</ref>}} mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, }}<u>un axe quelconque de rotation</u><math>\;( \Delta )\;</math><u>peut ne jamais être principal d'inertie pour un de ses points</u><math>\;A\;</math> c.-à-d. que le 2^ème terme du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta \right)}(\text{syst},\,t)\;</math> du système en rotation autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, à savoir «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \perp \left( \Delta \right)\;</math>», peut être non nul pour tous les points <math>\;A \in \left( \Delta \right)\;</math><ref> Et s'il existe un point <math>\;A_p \in \left( \Delta \right)\;</math> tel que «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{A_pH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) = \vec{0}\;</math>», pour les autres points <math>\;A \in \left( \Delta \right)\;</math> mais <math>\;\neq A_p\;</math> on a, sauf cas très particulier, {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \neq \vec{0}\;</math>»,}} ce qui signifie que <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est axe principal d'inertie uniquement si le point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système est le point <math>\;A_p</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite)</u> : un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant nécessairement un solide<ref name="solide au sens de la mécanique" />, il est possible de lui associer un <u>tenseur d'inertie</u> selon la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)]] »<ref name="tenseurs d'ordre deux" /> du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », ce tenseur d'inertie pouvant être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du même chap.<math>4</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », matrice d'inertie {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math>}} rappelée ci-dessous <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( y_i^2 + z_i^2 \right) & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;y_i & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i\\ -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;y_i & \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + z_i^2 \right) & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i\\ -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i & -\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i & \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right)\end{array} \right]\;</math>» dont</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}<math>\;\succ\;</math>les éléments diagonaux définissent les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}J_{Ox} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( y_i^2 + z_i^2 \right)\\J_{Oy} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + z_i^2 \right)\\J_{Oz} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}<math>\;\succ\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissent les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}I_{xy} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;y_i\\I_{xz} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;x_i\;z_i\\I_{yz} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;y_i\;z_i\end{array}\right\rbrace\;</math>»</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}Comme il est admis dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » : <center>« toute [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique réelle]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> est [[w:Diagonalisation|diagonalisable]] c.-à-d. qu'il existe une [[w:Matrice_diagonale|matrice diagonale]] <math>\;\left[ D \right]\;</math> à cœfficients réels [[w:Matrices_semblables|semblable]] à <math>\;\left[ A \right]</math> <math>\;\big\{</math>ou encore <br>il existe une [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|matrice orthogonale]] <math>\;\left[ P \right]\;</math><ref name="matrice orthogonale"> Une [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|matrice orthogonale]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> est une matrice carrée <math>\;\big(3\;\text{x}\;3\;</math> à cœfficients réels dans le cas présent<math>\big)\;</math> [[w:Matrice_unitaire|unitaire]] c.-à-d. telle que «<math>\;\left[ P \right]^{*} \times \left[ P \right] =</math> <math>\left[ P \right] \times \left[ P \right]^{*} = \left[ I_3 \right]\;</math>» où <math>\;\left[ P \right]^{*}\;</math> est la [[w:Matrice_adjointe|matrice adjointe]] de <math>\;\left[ P \right]</math> <math>\;\big\{</math>ou encore, la matrice étant réelle, «<math>\;^{t\!}\left[ P \right] \times \left[ P \right] = \left[ P \right] \times ^{\;t\!}\left[ P \right] = \left[ I_3 \right]\big\}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}une matrice carrée est [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|orthogonale]] ssi tous ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux et de norme unité, une [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|matrice orthogonale]] représente donc une [[w:Base_orthonormée|base orthonormée]].</ref> à cœfficients réels et une [[w:Matrice_diagonale|matrice diagonale]] <math>\;\left[ D \right]\;</math> également à cœfficients réels telles que <math>\;\left[ A \right] =</math> <math>\left[ P \right] \times \left[ D \right] \times \left[ P \right]^{-1}\big\}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}on en déduit donc que « <u>la matrice d'inertie</u> <math>\;\left[ J \right]\;</math> <u>est [[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u> ». {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}Comme cela est exposé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » la nature « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » de la matrice d'inertie <math>\;\left[ J \right]\;</math> du solide relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-espace vectoriel tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\;W</math>, [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique, rendant la matrice [[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]], il existe au moins un changement de base <math>\;\big(</math>en fait il en existe au moins trois<math>\big)\;</math> telle que la matrice d'inertie du solide soit transformée en «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right]\;</math> [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}soit <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{X,\,k}\,,\,\vec{u}_{Y,\,k}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math> l'une des [[w:Base_orthonormée#Définition|bases orthonormées]] de <math>\;W\;</math> pour laquelle la matrice d'inertie du solide est rendue [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] <ref name="hypothèse minimale de bases rendant la matrice d'inertie diagonale"> Nous supposerons dans la suite qu'il n'existe que <math>\;3\;</math> bases orthonormées rendant la matrice d'inertie diagonale <math>\;\big[</math>les bases étant choisies directes ou indirectes « au sens de la physique » suivant l'orientation de l'espace <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-caractère_direct_ou_indirect_de_la_base-47|⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\big]\;</math> au facteur multiplicatif <math>\;-1\;</math> près <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_{X,\,k}\,,\,\vec{u}_{Y,\,k}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}}\;</math> }}les axes <math>\;\left\lbrace \left( AX_k \right)\,,\, \left( AY_k \right)\,,\, \left( \Delta_{p,\,k} \right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math><ref name="hypothèse minimale de bases rendant la matrice d'inertie diagonale" />{{,}}<ref name="axes principaux d'inertie"> S'il n'existe que <math>\;3\;</math> changements de base rendant la matrice d'inertie diagonale, le 3^ème axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math> étant choisi <math>\;\big[</math>par exemple <math>\;\left( \Delta_{p,\,1} \right)</math>, les deux autres <math>\;\left\lbrace \left( AX_1 \right)\,,\, \left( AY_1 \right) \right\rbrace\;</math> sont <math>\;\left( \Delta_{p,\,2} \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_{p,\,3} \right)\;</math> choisis tels que la base soit directe ou indirecte « au sens de la physique » suivant l'orientation de l'espace <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-caractère_direct_ou_indirect_de_la_base-47|⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\big]\;\ldots</math></ref> issus de <math>\;A\;</math> et orientés par les vecteurs de la nouvelle base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{X,\,k}\,,\,\vec{u}_{Y,\,k}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math><ref name="hypothèse minimale de bases rendant la matrice d'inertie diagonale" /> définissent alors les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide, axes caractérisant la répartition de masse du solide autour de <math>\;A</math> <math>\;\big(</math>point fixe du solide<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_{X,\,k}\,,\,\vec{u}_{Y,\,k}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}}\;</math> }}les éléments diagonaux de la nouvelle matrice d'inertie [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] <math>\;\left[ \mathcal{J} \right]\;</math> à savoir <math>\;J_{AX_k}</math>, <math>\;J_{AY_k}\;</math> et <math>\;J_{\Delta_{p,\,k}}\;</math> sont appelés <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement aux axes respectifs <math>\;\left\lbrace \left( AX_k \right)\,,\, \left( AY_k \right)\,,\, \left( \Delta_{p,\,k} \right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math><ref name="axes principaux d'inertie" />{{,}}<ref name="moments principaux d'inertie"> S'il n'existe que <math>\;3\;</math> changements de base rendant la matrice d'inertie diagonale, le 3^ème axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math> étant choisi, par exemple <math>\;\left( \Delta_{p,\,1} \right)</math>, les deux autres <math>\;\left\lbrace \left( AX_1 \right)\,,\, \left( AY_1 \right) \right\rbrace\;</math> étant alors <math>\;\left( \Delta_{p,\,2} \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_{p,\,3} \right)\;</math> choisis tels que la base soit directe ou indirecte « au sens de la physique » suivant l'orientation de l'espace <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-caractère_direct_ou_indirect_de_la_base-47|⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, le 3^ème élément diagonal de la matrice d'inertie étant noté <math>\;J_{\Delta_{p,\,1}}</math>, les deux autres <math>\;J_{AX_1}\;</math> et <math>\;J_{AY_1}\;</math> sont aussi <math>\;J_{\Delta_{p,\,2}}\;</math> et <math>\;J_{\Delta_{p,\,3}}\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans ce cas la matrice d'inertie diagonalisée du solide s'écrit aussi «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{\Delta_{p,\,2}} & 0 & 0\\ 0 & J_{\Delta_{p,\,3}} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_{p,\,1}}\end{array} \right]\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="repère principal d'inertie" />, leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels <math>\;M_i\,(m_i)\;</math> du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier. {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}Compte-tenu de ce qui vient d'être rappelé, la matrice d'inertie <math>\;\left[ \mathcal{J} \right]\;</math> du solide dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au solide et <u>relativement axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left\lbrace \left( AX_k \right)\,,\, \left( AY_k \right)\,,\, \left( \Delta_{p,\,k} \right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math><ref name="hypothèse minimale de bases rendant la matrice d'inertie diagonale" /> de ce dernier issus du point <math>\;A</math>, point fixe de <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="repère principal d'inertie" />, s'écrit, avec «<math>\;J_{AX_k}</math>, <math>\;J_{AY_k}\;</math> et <math>\;J_{\Delta_{p,\,k}}\;</math> moments principaux d'inertie du solide », selon <center>«<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX_k} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY_k} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_{p,\,k}}\end{array} \right]\;</math>»<ref name="moments principaux d'inertie" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : }}Dans cette nouvelle base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{X,\,k}\,,\,\vec{u}_{Y,\,k}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}\;</math><ref name="hypothèse minimale de bases rendant la matrice d'inertie diagonale" />, dans la mesure où la rotation du système <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> se fait autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)</math>, « son vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c}0\\0\\\overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» et « le vecteur moment cinétique du système en rotation autour de <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)</math>, moment évalué par rapport à <math>\;A</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>, l'est par la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX_k} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY_k} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_{p,\,k}}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c}0\\0\\\overline{\Omega}(t)\end{array} \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c}0\\0\\ J_{\Delta_{p,\,k}}\;\overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» dont on déduit <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_{\Delta_{p,\,k}}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} = J_{\Delta_{p,\,k}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>», où <br>«<math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math> est l'un des axes principaux d'inertie du système issus de <math>\;A\;</math>» et <br>«<math>\;J_{\Delta_{p,\,k}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\, \left( X_{i,\,k}^{\,2} + Y_{i,\,k}^{\,2} \right)\;</math> le moment principal d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math>» <br>ou encore «<math>\;J_{\Delta_{p,\,k}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\; r_{i,\,k}^{\,2}\;</math>» avec «<math>\;r_{i,\,k}\;</math> la distance orthogonale de <math>\;M_i\;</math> à <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math>».</center> === Complément, exemples de détermination d'axes principaux d'inertie de systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels === {{Al|5}}Ci-dessous une liste <math>\;\big(</math>non exhaustive<math>\big)\;</math> d'axes principaux d'inertie pour des systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels : * <u>Tout axe de symétrie d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe</u> <math>\;\Big[</math>en effet deux points symétriques par rapport à cet axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <math>\;M_p\;</math> et <math>\;M_q,\,q \neq p\;</math> ont même masse <math>\;m_p = m_q,\,q \neq p</math>, même cote <math>\;z_p = z_q,\,q \neq p\;</math> quel que soit le point origine <math>\;A \in \left( \Delta \right)</math>, même distance orthogonale à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> soit <math>\;r_p = r_q,\,q \neq p\;</math> et un vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire associée opposé l'un à l'autre <math>\;\vec{u}_{r_q} = -\vec{u}_{r_p},\,q \neq p\;</math> d'où «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} =\vec{0},\;\;\forall\;A \in \left( \Delta \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est un axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe<math>\Big]</math>, exemple d'axes principaux d'inertie pour un cylindre de révolution « homogène » de hauteur finie<ref name="signification de homogène pour un système discret fermé de points matériels"> S'agissant en fait d'un système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels, la signification du qualificatif « homogène » doit être entendue selon : « les points matériels sont échelonnés de façon à ce qu'à l'échelle macroscopique la répartition massique du système soit homogène ».</ref> : l'axe de symétrie de révolution mais aussi tout axe <math>\;\perp\;</math> à ce dernier passant par le centre d'inertie du cylindre <math>\;\ldots</math> * <u>Tout « axe de symétrie d’ordre</u> <math>\;p \geqslant 3\;</math><u> »<ref name="axe de symétrie d'ordre p"> Un système de points matériels admet un axe de symétrie <math>\;\left( \Delta_s \right)\;</math> d'ordre <math>\;p \geqslant 3</math>, si tout point du système a pour image par rotation d’axe <math>\;\left( \Delta_s \right)\;</math> et d’angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{p}\;</math> un point du système.</ref> d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe</u> <math>\;\Big[</math>en effet supposons que <math>\;\left( \Delta_s \right)\;</math> soit un axe de symétrie d’ordre <math>\;p = 3</math>, cela signifie que les points de chaque triplet de points matériels symétriques d’ordre <math>\;3\;</math> par rapport à <math>\;\left( \Delta_s \right)</math>, <math>\;\left\lbrace M_n,\,M_p,\,M_q \right\rbrace_{n\,\neq p\,\neq\,q\,\text{et}\,n\,\neq\,q}\;</math> se déduisant l'un de l'autre dans une permutation circulaire <math>\;_1\,\rightarrow\,_2\,</math> <math>\rightarrow\,_3\,\rightarrow\,_1\;</math> par rotation autour de cet axe d’angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> ont même masse <math>\;m_n = m_p = m_q</math>, même cote <math>\;z_n = z_p =</math> <math>z_q\;</math> quel que soit le point origine <math>\;A \in \left( \Delta_s \right)</math>, même distance orthogonale à l'axe <math>\;\left( \Delta_s \right)\;</math> soit <math>\;r_n = r_p = r_q\;</math> et un vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire associée se déduisant l'un de l'autre par rotation <math>\;\text{rot}_{(\Delta_s)}\!\!\left( \dfrac{2\;\pi}{3} \right)\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_s \right)\;</math> d’angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> soit <math>\;\vec{u}_{r_n}\; \overset{\text{rot}_{(\Delta_s)}\!\left( \frac{2\;\pi}{3} \right)}{\longrightarrow}\;\vec{u}_{r_p}\; \overset{\text{rot}_{(\Delta_s)}\!\left( \frac{2\;\pi}{3} \right)}{\longrightarrow}\;\vec{u}_{r_q}\; \overset{\text{rot}_{(\Delta_s)}\!\left( \frac{2\;\pi}{3} \right)}{\longrightarrow}\;\vec{u}_{r_n}\;</math> d'où «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} =\vec{0},\;\;\forall\;A \in \left( \Delta_s \right)\;</math>»<ref> S'établit en regroupant les points symétriques d'ordre <math>\;3\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_n} + \vec{u}_{r_p} + \vec{u}_{r_q} = \vec{0}\;\ldots</math></ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \Delta_s \right)\;</math> est un axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe<math>\Big]</math>, exemple d'axes principaux d'inertie pour une expansion tridimensionnelle tétraédrique régulière « homogène »<ref name="signification de homogène pour un système discret fermé de points matériels" /> : les quatre axes passant par l'un des quatre sommets et par le centre d'inertie du tétraèdre car ce sont des axes de symétrie d'ordre <math>\;3\;\ldots</math> * <u>Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie de système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour le pied </u><math>\;A_p\;</math><u>de l'axe sur le plan</u> <math>\;\Big[</math>en effet deux points symétriques par rapport au plan <math>\;\left( \Pi \right)</math>, <math>\;M_p\;</math> et <math>\;M_q,\,q \neq p\;</math> ont même masse <math>\;m_p = m_q,\,q \neq p</math>, même distance orthogonale à l'axe <math>\;\left( \Delta \right) \perp\;</math> à <math>\;\left( \Pi \right)</math>, <math>\;r_p = r_q,\,q \neq p</math>, même vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire commune associée <math>\;\vec{u}_{r_q} = \vec{u}_{r_p}</math>,<math>\,q \neq p\;</math> et une cote opposée l'une de l'autre <math>\;z_q = -z_p,\,q \neq p\;</math> pour le point origine <math>\;A_p = \left( \Delta \right) \cap \left( \Pi \right)\;</math> d'où «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{A_pH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} =\vec{0}\;</math> pour <math>\;A_p = \left( \Delta \right) \cap \left( \Pi \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est un axe principal d'inertie du système pour le point <math>\;A_p\;</math> pied de l'axe sur le plan de symétrie<math>\Big]</math>, autre exemple d'axes principaux d'inertie pour un cylindre de révolution « homogène » de hauteur finie<ref name="signification de homogène pour un système discret fermé de points matériels" /> : le plan passant par le centre d'inertie du cylindre et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de symétrie de révolution étant un plan de symétrie, tout axe <math>\;\perp\;</math> à ce plan en <math>\;A_p</math>, c.-à-d. <math>\;\parallel\;</math> à l'axe de symétrie de révolution et issu de <math>\;A_p</math>, est un axe principal d'inertie du cylindre pour le point origine <math>\;A_p\;\ldots</math> == Définition du moment cinétique (scalaire) d’un système discret (fermé) de points matériels par rapport à un axe Δ == === Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels » dans le référentiel d’étude et conséquence : notion de « moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » === ==== Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels » dans le référentiel d’étude ==== {{Al|5}}La « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]] » introduite au chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est d'abord rappelée ci-dessous dans le but de la tester sur la notion de moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> d'un système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels évalué en un point origine <math>\;A\;</math> quelconque : <center>un champ de vecteurs <math>\;\vec{f}(M)\;</math> défini en <math>\;M\, \in\, \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition"> Ou sous-ensemble de <math>\;\mathcal{E}</math>, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.</ref> est « <u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> » si <br>«<math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{f}(N) \cdot \overrightarrow{MN}\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour démontrer l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique d'un système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels, on utilise la « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude]] » établie plus haut dans ce chapitre soit <center>«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right)\, \in\, \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="validité du changement d'origine" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » puis </center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de points matériels, }}on multiplie scalairement les deux membres par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> d'où <center>«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A} = \left[ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t) \right] \cdot \overrightarrow{A'A}\;</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de points matériels, }}la multiplication scalaire étant distributive par rapport à l'addition vectorielle<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <center>«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A}\;\cancel{+ \left[ \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t) \right] \cdot \overrightarrow{A'A}}\;</math>»<ref> En effet on reconnaît dans le 2^ème terme du 2^ème membre un produit mixte de trois vecteurs coplanaires voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de points matériels, }}ce qui établit l'<u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude</u><ref> Comme cela est indiqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-validité_du_changement_d'origine-42|⁴²]] » de ce chapitre, le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel de système écrit sous la forme «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» étant applicable que le système soit fermé ou ouvert dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste et la multiplication scalaire n'en dépendant pas, on en déduit que <u>l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du moment cinétique vectoriel est valable pour un système fermé ou ouvert dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste</u>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\;\succ\;</math>On pouvait aussi utiliser l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique d'un point matériel établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d’étude_et_conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <center>«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\; \overrightarrow{\sigma}_A(M_i,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M_i,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'},\;\;\forall\;M_i \in \left\lbrace M_k \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,N}\;</math>» puis, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi utiliser }}la définition du moment cinétique vectoriel du système évalué en <math>\;A\;</math> et en <math>\;A'\;</math> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_A(M_i,\, t)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M_i,\, t)\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}il suffit alors de faire la somme des <math>\;N\;</math> relations d'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] pour les <math>\;N\;</math> points matériels du système et de factoriser scalairement par {{Nobr|<math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math><ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>}} dans chaque membre en reconnaissant dans l'autre facteur le moment cinétique vectoriel du système évalué en <math>\;A\;</math> pour le membre de gauche et en <math>\;A'\;</math> pour le membre de droite <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>En utilisant la notion <math>\;\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\;</math> de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs|torseur]] » introduite dans le chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t)\;</math>» étant le moment du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] «<math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. du syst.}}\;</math>» du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> d'[[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Réduction_d'un_torseur_en_un_point_quelconque_de_l'espace_affine_euclidien_tridimensionnel_sur_lequel_il_est_défini|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> «<math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. du syst.}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{P}_{\text{syst}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \vec{p}_{M_i}(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{p}_{M_i}(t)\end{array}\right\rbrace_A</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>En utilisant }}le fait que le « moment d'un torseur au point <math>\;A\;</math>» est <u>par définition</u> un « champ de vecteurs <u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> »<ref name="définition d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur|définition d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>}}nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « <u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> » du « vecteur moment cinétique du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math>». ==== Conséquence, notion de « moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » ==== {{Al|5}}Considérant un axe <math>\,\Delta\,</math> quelconque et deux points quelconques <math>\,\big(</math>distincts<math>\big)\,</math> de cet axe <math>\,\left( A\,,\, A' \neq A \right)\, \in\, \Delta^2</math>, nous déduisons de l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> la relation <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A} =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A}\;</math>»<ref name="invariants de torseur"> Il s'agit aussi d'un invariant du torseur cinétique <math>\;\big[</math>voir la notion d'invariants de torseur dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Invariants_d'un_torseur|invariants d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou,</center> {{Al|5}}en orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AA'} = \overline{AA'}\;\vec{u}_\Delta\;</math> et en simplifiant par <math>\;\overline{AA'} \neq 0</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»<ref> On peut aussi le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» et en multipliant scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on obtient alors, par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'égalité cherchée car «<math>\;\left[ \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{p}_{\text{syst}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» dans la mesure où <math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math> étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le produit mixte est nul {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>,</center> {{Al|5}}cette valeur constante sur <math>\;\Delta\;</math> définissant le moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math> <math>\;\big[</math>cette définition est <u>valable en cinétique classique<ref name="classique" /> ou relativiste</u>, elle s'étend aux systèmes ouverts de points matériels dans le cadre classique<ref name="classique" /> ou relativiste<math>\big]</math>. {{Définition|titre= Moment cinétique (scalaire) d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à Δ|contenu = {{Al|5}}Le moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> est la grandeur scalaire, définie à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\; A \in \Delta\;</math>» avec <br>«<math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> un vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math>» et <br>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> le vecteur moment cinétique de <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> <br>évalué en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\Delta\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>», soit encore, <br>«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{p}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\;A \in \Delta\;</math>» avec <br>«<math>\;\vec{p}_{M_i}(t)\;</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse de chaque point <math>\;M_i\;</math> dans un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> ainsi que de la disposition du point <math>\;M_i\;</math> par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel <math>\;(\mathcal{R})</math>. === Expression du moment cinétique scalaire d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ === {{Al|5}}Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, avec un vecteur rotation instantanée<ref name="vecteur rotation instantanée" /> <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) =</math> {{Nobr|<math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta</math>,}} <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en rotation }}nous choisissons un point <math>\;A\;</math> quelconque de cet axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique<ref name="classique" /> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système par rapport à <math>\;A\;</math> établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » plus haut dans le chapitre à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math>», avec <br>«<math>\;H_i\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et <br>«<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans laquelle <math>\;r_i = H_iM_i\;</math>», puis </center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en rotation nous }}multiplions les deux membres de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left\lbrace J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> <br> {{Al|36}}<math>\;= J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» <br> {{Al|69}}par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> puis,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en rotation nous }}remarquons la nullité du 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math>», le 1^er terme du 2^ème membre se simplifiant selon «<math>\;J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le 1^er membre définissant le moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t)</math>}} <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> si <math>\;A\,\in\, \left( \Delta \right)\;</math>». {{Al|5}}Finalement le moment cinétique scalaire classique<ref name="classique" /> <math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t)\;</math> du système discret de points matériels <u>en rotation</u> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec un vecteur rotation {{Nobr|instantanée<ref name="vecteur rotation instantanée" />}} <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta</math>, moment évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, s'écrit <center>«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="extension à un système ouvert en rotation" />{{,}}<ref> On notera que <math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est valable quel que soit l’axe de rotation pour le système de points matériels <math>\;\big(</math>cet axe pouvant être « principal d’inertie » ou non<math>\big)</math>.</ref> avec <br>«<math>\;J_\Delta\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>».</center> === Complément, expression relativiste du moment cinétique scalaire d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe Δ dans le référentiel d’étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ === {{Al|5}}Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, avec un vecteur rotation instantanée<ref name="vecteur rotation instantanée" /> <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) =</math> {{Nobr|<math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta</math>,}} <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en rotation }}nous choisissons un point <math>\;A\;</math> quelconque de cet axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système par rapport à <math>\;A\;</math> établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|complément, vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique relativiste, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » plus haut dans le chapitre à savoir <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) =</math> <math>\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math>», avec <br>«<math>\;H_i\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r_i = H_iM_i\;</math> la distance orthogonale de <math>\;M_i\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M_i}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», puis </center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en rotation nous }}multiplions les deux membres de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> <br> {{Al|62}}<math>\;= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right]\, \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» <br> {{Al|45}}par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle" /> puis,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}}\;</math> en rotation nous }}remarquons la nullité du 2^ème terme du 2^ème membre due au fait que les deux facteurs vectoriels «<math>\;\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\overline{AH_i}\;\overrightarrow{H_iM_i}(t) \right]\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> sont <math>\;\perp\;</math>», le 1^er terme du 2^ème membre se simplifiant selon «<math>\;\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overline{\Omega}(t)\;</math>» et le 1^er membre définissant le moment cinétique scalaire relativiste du système relativement à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\, t)</math>}} <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> si <math>\;A\,\in\, \left( \Delta \right)\;</math>». {{Al|5}}Finalement le moment cinétique scalaire relativiste <math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\, t)\;</math> du système discret de points matériels <u>en rotation</u> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec un vecteur rotation instantanée<ref name="vecteur rotation instantanée" /> <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta</math>, moment évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, s'écrit <center>«<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\, t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="extension à un système ouvert en rotation" />{{,}}<ref> On notera que <math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\, t) = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] \overline{\Omega}(t)\;</math> est valable quel que soit l’axe de rotation pour le système de points matériels <math>\;\big(</math>cet axe pouvant être « principal d’inertie » ou non<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="moment d'inertie apparent - bis"> Comme cela a déjà été remarqué, on pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;r_i^2 \right] =</math> <math>\left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{m_i\;r_i^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}} \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», l'expression du moment cinétique scalaire relativiste du système en rotation s'écrirait alors «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> avec, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r_i^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M_i\;</math>», <br> «<math>\;r_i\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M_i\;</math>» et «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un point mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un solide en rotat. autour d'un axe]] }} 44n4vkt3b74d1m5mwhg2njfjdcqlrll 4 86054 982916 982911 2026-05-18T15:59:58Z Crochet.david 317 /* La page Théorie des groupes s'affiche mal */ . 982916 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|05}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-19 == <section begin="technews-2026-W19"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L’équipe chargée des fonctionnalités de [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Guidage des articles]] invite les contributeurs et contributrices expérimentés des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators|Wikipédia pilotes]] (arabe, bangla, japonais, portugais, persan, turc, anglais simplifié, espagnol et français) à contribuer à la traduction et à l’adaptation des [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance exemples de trames d’articles]. Ces trames guideront les contributeurs dans la création d’articles clairs, bien structurés et conformes aux règles lors de l’utilisation de [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Special:NewArticle la fonctionnalité] dès son lancement en mai 2026. Des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|instructions simples]] expliquant comment traduire et adapter ces trames sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Le [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Conseil consultatif sur les produits et les technologies]] a publié [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|une proposition de recommandation]] d’une procédure type que les organisations affiliées à Wikimedia pourraient suivre pour contribuer au domaine technique. Les membres de la communauté sont invités à donner leur avis sur cette recommandation avant le 8 mai [[:m:Talk:Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|sur la page de discussion]]. * Le nombre de préférences de taille de la miniature disponibles dans MediaWiki va être réduit à trois options standardisées : ''petite'' (180 px), ''moyenne'' (250 px) et ''large'' (400 px), dans le cadre du travail en cours pour améliorer les performances et réduire la pression sur les services de miniatures. Par conséquent, les préférences existantes seront automatiquement adaptées à la nouvelle taille la plus proche (par exemple, les petites tailles comme 120 px ou 150 px s’afficheront à 180 px, tandis que les grandes tailles comme 300 px ou 360 px s’afficheront à 400 px). L’interface des préférences sera bientôt mise à jour pour refléter ces changements, et les utilisateurs qui souhaitent s’y opposer ou donner leur avis peuvent le faire. [https://phabricator.wikimedia.org/T424909] * Dorénavant, même lorsqu’une permission expire automatiquement, les utilisateurs recevront une notification Echo similaire à la notification normale pour les changements de permissions. Quant au [[m:Special:MyLanguage/Global reminder bot|robot global de rappel]], il continue de prévenir les utilisateurs une semaine ''avant'' que leurs droits ne soient sur le point d’expirer, afin qu’ils puissent les faire renouveler. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème du sélecteur de langue ULS dans [[m:Special:Translate|Special:Translate]] qui faisait défiler verticalement alors qu’il ne devait pas, a été résolu. Auparavant, lorsque les utilisateurs ouvraient le menu déroulant « Traduire en français » et commençaient à saisir le nom d’une langue, la boîte de dialogue défilait verticalement de quelques pixels même lorsqu'il y avait suffisamment d’espace pour afficher tous les résultats. Le menu déroulant ne se déplace plus inutilement lors du filtrage des langues. [https://phabricator.wikimedia.org/T358864] * La [[m:Special:GlobalWatchlist|liste de suivi globale]], qui vous permet de consulter vos listes de suivi provenant de plusieurs wikis sur une seule page, continue de s’améliorer. Par exemple, les listes de suivi pour les sites avec Wikibase tels que [[:d:|Wikidata]] prennent désormais en charge les éléments [[mw:Special:MyLanguage/Extension:EntitySchema|EntitySchema]] pour un meilleur suivi. Le mode Mises à jour en direct actualise désormais la page spéciale toutes les 60 secondes afin de se conformer aux [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|nouvelles limites globales d’accès à l’API]] pour une meilleure réactivité en temps réel. Par ailleurs, un bug de directionnalité du texte qui affichait les liens comme « changements 3 » au lieu de « 3 changements » dans les listes à directions mixtes a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T415450][https://phabricator.wikimedia.org/T424422][https://phabricator.wikimedia.org/T418091] '''Actualités pour la contribution technique''' * La deuxième phase de [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|limitations globales d’accès à l’API]] a été déployée pour réduire l’[[diffblog:2026/03/26/quo-vadis-crawlers-progress-and-whats-next-on-safeguarding-our-infrastructure/|impact des robots IA]] et assurer un accès équitable et durable aux ressources de Wikimedia, en donnant la priorité au trafic humain et conforme à notre mission. Les [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits#Limits|limites]] ne s’appliquent plus par heure mais par minute, produisant une meilleure répartition dans les structures de trafic ainsi qu’une meilleure prévisibilité de la charge de l’API. Les utilisateurs de la communauté ne devraient pas être affectés, et aucune action n’est requise. Les premières indications montrent que certains requérants basés sur l'agent utilisateur ajustent leur comportement, et environ 64 % du trafic API automatisé a été identifié. La surveillance continue, et Wikimedia Enterprise reste disponible pour l’assistance commerciale. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.27|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W19"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 4 mai 2026 à 20:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30498077 --> == Hiruwiki == Bonjour à tous, Désolé si mon français n’est pas parfait, ça fait longtemps que je n’ai pas parlé français. Je voudrais demander s’il y a de l’intérêt pour utiliser Hiruwiki sur Wikiversité. Hiruwiki est une collection de widgets interactifs, multilingues, pour les mathématiques et la géométrie, faits pour les projets Wikimedia. Ça permet aux éditeurs d’ajouter des visualisations dynamiques, des preuves interactives, et des outils éducatifs directement dans les pages wiki, pour rendre les concepts plus faciles à comprendre. Le projet a été créé par la communauté Wikimedia basque et après adapté pour usage international. Est-ce que vous pensez que ça peut être utile pour les contenus éducatifs ou les cours ici ? Vous pouvez voir un exemple [[mw:Hiruwiki|ici]]. Cordialement, [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 6 mai 2026 à 08:13 (UTC) :{{notif|ItsNyoty}}Des premiers exemples avec lesquels je me suis « amusé », je trouve cela superbe et très prédagogique. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 mai 2026 à 10:55 (UTC) :: @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ou @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], pourriez-vous jeter un œil à ceci? [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 10 mai 2026 à 18:39 (UTC) :::Oui, c'est le bienvenu [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ! Attends-tu de nous que nous fassions l'installation du gadget et l'importation des modules ? Il faudrait ensuite traduire tout ça en français. Comment vois-tu les choses ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) :::: La traduction est actuellement achevée à 88%. Vous pouvez la consulter [https://translatewiki.net/wiki/Special:MessageGroupStats?group=hiruwiki&messages=&x=D#sortable:3=desc ici]. L'installation n'est pas difficile, j'ai un manuel sur [[mw:Hiruwiki|MediaWiki]]. Les traductions devraient normalement être terminées cette semaine. [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 07:57 (UTC) :::::Ok [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]], tiens-nous au courant. Je me suis inscrit sur Translatewiki, mais je dois encore comprendre le fonctionnement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:31 (UTC) :::::: D'accord [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 11:47 (UTC) == Proposition d’essai pédagogique de Peer-Review == Bonjour, dans le cadre d’un accompagnement à la diffusion libre des publications scientifiques et à l’expérimentation de revue par les pairs, j’aimerais savoir s’il est possible (et pertinent) de monter sur la Wikiversité un exercice de peer-review à l’adresse d’étudiants et de scientifiques francophones. Nous cherchons un lieu pour faire tester le peer-review libre de publication. Il n’y a pas la volonté de mettre ça sur le dos de la communauté ni de lancer un Wikijournal, mais plutôt de montrer comment fonctionne un tel système par l’expérimentation. Cette expérience sera dans le cadre du colloque [[meta:RUNED26/fr|Runed 2026]] qui est soutenu par Wikimédia Suisse, et je serai la personne qui mettra en place les pages pour encadrer et faire fonctionner tout ça. Est-ce que vous pensez que la Wikiversité peut héberger cette expérience ? L’idée serait de présenter le projet également à ce moment-là et d’en expliquer le contenu et l’usage. Merci d’avance pour vos réponses. :) [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 6 mai 2026 à 13:28 (UTC) :Bonjour, oui à mon avis ça rentre tout à fait dans le cadre d'un travail wikiversitaire, dans l'espace de nom [[Recherche:Accueil]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 mai 2026 à 16:18 (UTC) ::Welcome [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] =) Il y a des personnes rémunérées ou tout le monde est bénévole ? Je pense que cela fait partie des principes Wikimedia d'être au clair là-dessus et puis, ça répond aussi à ma curiosité. Si ça vous intéresse, j'ai organisé un [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2025|séminaire]] deux années de suite dans lequel j'invitais les participant à relire les travaux de chacun. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) ::: Bonjour [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], je pense que je serai la seule personne rémunéré sur ce projet. Et je serai rémunérée uniquement pour mettre en place les pages. Le reste se fera au sein du colloque mentionné avec leurs étudiants, donc je pense que c’est similaire à ce vous faisiez. Je vous remercie d’ailleurs pour ce partage. Et je remercie également [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] pour sa réponse. Je vous propose de vous tenir au courant ici de ce qui est fait, comme ça, si je pars dans une direction qui ne vous convient pas, vous pourrez me corriger facilement en cours de route. [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 11 mai 2026 à 10:08 (UTC) ::::Ok [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas]], le projet Wikiversité est beaucoup plus souple que Wikipédia. En gros, on veille surtout à ce qu'il n'y ai pas de prosélitisme, politique, religieux ou autres. Pour le reste, travaux personnels et tous types de sources sont les bienvenus, tant que ça cadre avec l'objectif du projet dédié à la formation pédagogique et de recherche « scientifique ». Il ne reste qu'un chose à préciser. Comme on est sur un site collaboratif, il faut prévenir si les pages que vous allez créer peuvent être modifiées par tous les utilisateurs, ou pas. Et si oui, selon quelle modalité. Pour [[Recherche:Imagine un monde|ma thèse de doctorat]], j'ai expliqué que les correction au niveau orthographe et syntaxe sur les pages de présentation étaient libres, mais que pour tout ce qui concerne le fond et non la forme, les idées devaient êtres partagées et débatues sur les pages de discussion. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:34 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-20 == <section begin="technews-2026-W20"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * La Communauté Technique a publié [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/How to write a good wish|de nouvelles directives]] expliquant comment les souhaits sur la Liste de souhaits de la communauté sont triés et priorisés. La documentation vise à aider les contributeurs à rédiger des propositions plus solides en clarifiant les facteurs qui influencent les décisions de priorisation. Au-delà du nombre de votes, les directives mettent en avant des considérations telles que l'impact potentiel sur la communauté pour déterminer quels souhaits avanceront. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe de croissance des lecteurs lance une expérience pour tester une nouvelle [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Share_Card|fonctionnalité de Partage de Carte]] qui permet aux lecteurs de créer des cartes visuellement attrayantes à partir d'articles Wikipédia ou de sections d'articles sélectionnées et de les partager en ligne, chaque carte renvoyant à l'article original afin d'aider à augmenter le lectorat et la découverte des articles. Le test A/B réservé aux mobiles ne sera disponible qu'à une partie des lecteurs sur les Wikipédia en arabe, chinois, français, vietnamien et anglais afin de mieux comprendre les habitudes de lecture et de partage, et est prévu pour commencer la semaine du 18 mai pour une durée de quatre semaines. * Les applications Wikipedia pour Android et iOS ont récemment publié en version bêta le [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/25th_Birthday_Reading_Challenge|défi de lecture de 25 jours]], dans le cadre des efforts visant à stimuler l'engagement des lecteurs en encourageant les utilisateurs à atteindre des objectifs de lecture. Pour suivre leur série de lectures pendant le défi, les utilisateurs de l'application peuvent ajouter un widget avec Baby Globe à leur écran d'accueil. Le défi commence officiellement le 11 mai. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:17|la tâche soumise|les {{formatnum:17}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:17||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la préférence globale pour activer la coloration syntaxique dans le wikitexte pouvait s'éteindre de manière inattendue après avoir été activée a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T425286] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Octicons-tools.svg|12px|link=|alt=|Sujet technique]] Le module ResourceLoader <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mediawiki.ui.input</nowiki></code></bdi>, obsolète depuis [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2023/39|septembre 2023]], sera supprimé cette semaine. Il existe un [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Migrating_from_MediaWiki_UI|guide pour migrer de l’interface MediaWiki UI vers Codex]] pour tous les outils qui l’utilisent. [https://phabricator.wikimedia.org/T420125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.2|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W20"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 11 mai 2026 à 19:20 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30524429 --> == La page ''Théorie des groupes'' s'affiche mal == Bonjour. La page [[Théorie des groupes]] s'affiche mal, du moins selon l'idée que je me fais d'une page qui s'affiche bien : en dessous de la liste des exercices, le texte est distribué en colonnes où il n'y a qu'un mot par ligne. Je me sens malheureusement incapable d'y remédier, n'ayant qu'une connaissance limitée de la syntaxe. Au cas où on serait d'accord avec moi pour trouver que cet affichage n'est pas très beau, quelqu'un pourrait-il y remédier ? Merci d'avance. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 mai 2026 à 06:15 (UTC) :{{fait}} balise de tableau mal fermé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 18 mai 2026 à 15:59 (UTC) 4fax5rswxlp5pxwnp2ymxtlzaj1l6id 982919 982916 2026-05-18T20:21:44Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-21 */ nouvelle section 982919 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|05}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-19 == <section begin="technews-2026-W19"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L’équipe chargée des fonctionnalités de [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Guidage des articles]] invite les contributeurs et contributrices expérimentés des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators|Wikipédia pilotes]] (arabe, bangla, japonais, portugais, persan, turc, anglais simplifié, espagnol et français) à contribuer à la traduction et à l’adaptation des [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance exemples de trames d’articles]. Ces trames guideront les contributeurs dans la création d’articles clairs, bien structurés et conformes aux règles lors de l’utilisation de [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Special:NewArticle la fonctionnalité] dès son lancement en mai 2026. Des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|instructions simples]] expliquant comment traduire et adapter ces trames sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Le [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Conseil consultatif sur les produits et les technologies]] a publié [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|une proposition de recommandation]] d’une procédure type que les organisations affiliées à Wikimedia pourraient suivre pour contribuer au domaine technique. Les membres de la communauté sont invités à donner leur avis sur cette recommandation avant le 8 mai [[:m:Talk:Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|sur la page de discussion]]. * Le nombre de préférences de taille de la miniature disponibles dans MediaWiki va être réduit à trois options standardisées : ''petite'' (180 px), ''moyenne'' (250 px) et ''large'' (400 px), dans le cadre du travail en cours pour améliorer les performances et réduire la pression sur les services de miniatures. Par conséquent, les préférences existantes seront automatiquement adaptées à la nouvelle taille la plus proche (par exemple, les petites tailles comme 120 px ou 150 px s’afficheront à 180 px, tandis que les grandes tailles comme 300 px ou 360 px s’afficheront à 400 px). L’interface des préférences sera bientôt mise à jour pour refléter ces changements, et les utilisateurs qui souhaitent s’y opposer ou donner leur avis peuvent le faire. [https://phabricator.wikimedia.org/T424909] * Dorénavant, même lorsqu’une permission expire automatiquement, les utilisateurs recevront une notification Echo similaire à la notification normale pour les changements de permissions. Quant au [[m:Special:MyLanguage/Global reminder bot|robot global de rappel]], il continue de prévenir les utilisateurs une semaine ''avant'' que leurs droits ne soient sur le point d’expirer, afin qu’ils puissent les faire renouveler. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème du sélecteur de langue ULS dans [[m:Special:Translate|Special:Translate]] qui faisait défiler verticalement alors qu’il ne devait pas, a été résolu. Auparavant, lorsque les utilisateurs ouvraient le menu déroulant « Traduire en français » et commençaient à saisir le nom d’une langue, la boîte de dialogue défilait verticalement de quelques pixels même lorsqu'il y avait suffisamment d’espace pour afficher tous les résultats. Le menu déroulant ne se déplace plus inutilement lors du filtrage des langues. [https://phabricator.wikimedia.org/T358864] * La [[m:Special:GlobalWatchlist|liste de suivi globale]], qui vous permet de consulter vos listes de suivi provenant de plusieurs wikis sur une seule page, continue de s’améliorer. Par exemple, les listes de suivi pour les sites avec Wikibase tels que [[:d:|Wikidata]] prennent désormais en charge les éléments [[mw:Special:MyLanguage/Extension:EntitySchema|EntitySchema]] pour un meilleur suivi. Le mode Mises à jour en direct actualise désormais la page spéciale toutes les 60 secondes afin de se conformer aux [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|nouvelles limites globales d’accès à l’API]] pour une meilleure réactivité en temps réel. Par ailleurs, un bug de directionnalité du texte qui affichait les liens comme « changements 3 » au lieu de « 3 changements » dans les listes à directions mixtes a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T415450][https://phabricator.wikimedia.org/T424422][https://phabricator.wikimedia.org/T418091] '''Actualités pour la contribution technique''' * La deuxième phase de [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|limitations globales d’accès à l’API]] a été déployée pour réduire l’[[diffblog:2026/03/26/quo-vadis-crawlers-progress-and-whats-next-on-safeguarding-our-infrastructure/|impact des robots IA]] et assurer un accès équitable et durable aux ressources de Wikimedia, en donnant la priorité au trafic humain et conforme à notre mission. Les [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits#Limits|limites]] ne s’appliquent plus par heure mais par minute, produisant une meilleure répartition dans les structures de trafic ainsi qu’une meilleure prévisibilité de la charge de l’API. Les utilisateurs de la communauté ne devraient pas être affectés, et aucune action n’est requise. Les premières indications montrent que certains requérants basés sur l'agent utilisateur ajustent leur comportement, et environ 64 % du trafic API automatisé a été identifié. La surveillance continue, et Wikimedia Enterprise reste disponible pour l’assistance commerciale. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.27|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W19"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 4 mai 2026 à 20:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30498077 --> == Hiruwiki == Bonjour à tous, Désolé si mon français n’est pas parfait, ça fait longtemps que je n’ai pas parlé français. Je voudrais demander s’il y a de l’intérêt pour utiliser Hiruwiki sur Wikiversité. Hiruwiki est une collection de widgets interactifs, multilingues, pour les mathématiques et la géométrie, faits pour les projets Wikimedia. Ça permet aux éditeurs d’ajouter des visualisations dynamiques, des preuves interactives, et des outils éducatifs directement dans les pages wiki, pour rendre les concepts plus faciles à comprendre. Le projet a été créé par la communauté Wikimedia basque et après adapté pour usage international. Est-ce que vous pensez que ça peut être utile pour les contenus éducatifs ou les cours ici ? Vous pouvez voir un exemple [[mw:Hiruwiki|ici]]. Cordialement, [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 6 mai 2026 à 08:13 (UTC) :{{notif|ItsNyoty}}Des premiers exemples avec lesquels je me suis « amusé », je trouve cela superbe et très prédagogique. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 mai 2026 à 10:55 (UTC) :: @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ou @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], pourriez-vous jeter un œil à ceci? [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 10 mai 2026 à 18:39 (UTC) :::Oui, c'est le bienvenu [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ! Attends-tu de nous que nous fassions l'installation du gadget et l'importation des modules ? Il faudrait ensuite traduire tout ça en français. Comment vois-tu les choses ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) :::: La traduction est actuellement achevée à 88%. Vous pouvez la consulter [https://translatewiki.net/wiki/Special:MessageGroupStats?group=hiruwiki&messages=&x=D#sortable:3=desc ici]. L'installation n'est pas difficile, j'ai un manuel sur [[mw:Hiruwiki|MediaWiki]]. Les traductions devraient normalement être terminées cette semaine. [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 07:57 (UTC) :::::Ok [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]], tiens-nous au courant. Je me suis inscrit sur Translatewiki, mais je dois encore comprendre le fonctionnement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:31 (UTC) :::::: D'accord [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 11:47 (UTC) == Proposition d’essai pédagogique de Peer-Review == Bonjour, dans le cadre d’un accompagnement à la diffusion libre des publications scientifiques et à l’expérimentation de revue par les pairs, j’aimerais savoir s’il est possible (et pertinent) de monter sur la Wikiversité un exercice de peer-review à l’adresse d’étudiants et de scientifiques francophones. Nous cherchons un lieu pour faire tester le peer-review libre de publication. Il n’y a pas la volonté de mettre ça sur le dos de la communauté ni de lancer un Wikijournal, mais plutôt de montrer comment fonctionne un tel système par l’expérimentation. Cette expérience sera dans le cadre du colloque [[meta:RUNED26/fr|Runed 2026]] qui est soutenu par Wikimédia Suisse, et je serai la personne qui mettra en place les pages pour encadrer et faire fonctionner tout ça. Est-ce que vous pensez que la Wikiversité peut héberger cette expérience ? L’idée serait de présenter le projet également à ce moment-là et d’en expliquer le contenu et l’usage. Merci d’avance pour vos réponses. :) [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 6 mai 2026 à 13:28 (UTC) :Bonjour, oui à mon avis ça rentre tout à fait dans le cadre d'un travail wikiversitaire, dans l'espace de nom [[Recherche:Accueil]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 mai 2026 à 16:18 (UTC) ::Welcome [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] =) Il y a des personnes rémunérées ou tout le monde est bénévole ? Je pense que cela fait partie des principes Wikimedia d'être au clair là-dessus et puis, ça répond aussi à ma curiosité. Si ça vous intéresse, j'ai organisé un [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2025|séminaire]] deux années de suite dans lequel j'invitais les participant à relire les travaux de chacun. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) ::: Bonjour [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], je pense que je serai la seule personne rémunéré sur ce projet. Et je serai rémunérée uniquement pour mettre en place les pages. Le reste se fera au sein du colloque mentionné avec leurs étudiants, donc je pense que c’est similaire à ce vous faisiez. Je vous remercie d’ailleurs pour ce partage. Et je remercie également [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] pour sa réponse. Je vous propose de vous tenir au courant ici de ce qui est fait, comme ça, si je pars dans une direction qui ne vous convient pas, vous pourrez me corriger facilement en cours de route. [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 11 mai 2026 à 10:08 (UTC) ::::Ok [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas]], le projet Wikiversité est beaucoup plus souple que Wikipédia. En gros, on veille surtout à ce qu'il n'y ai pas de prosélitisme, politique, religieux ou autres. Pour le reste, travaux personnels et tous types de sources sont les bienvenus, tant que ça cadre avec l'objectif du projet dédié à la formation pédagogique et de recherche « scientifique ». Il ne reste qu'un chose à préciser. Comme on est sur un site collaboratif, il faut prévenir si les pages que vous allez créer peuvent être modifiées par tous les utilisateurs, ou pas. Et si oui, selon quelle modalité. Pour [[Recherche:Imagine un monde|ma thèse de doctorat]], j'ai expliqué que les correction au niveau orthographe et syntaxe sur les pages de présentation étaient libres, mais que pour tout ce qui concerne le fond et non la forme, les idées devaient êtres partagées et débatues sur les pages de discussion. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:34 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-20 == <section begin="technews-2026-W20"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * La Communauté Technique a publié [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/How to write a good wish|de nouvelles directives]] expliquant comment les souhaits sur la Liste de souhaits de la communauté sont triés et priorisés. La documentation vise à aider les contributeurs à rédiger des propositions plus solides en clarifiant les facteurs qui influencent les décisions de priorisation. Au-delà du nombre de votes, les directives mettent en avant des considérations telles que l'impact potentiel sur la communauté pour déterminer quels souhaits avanceront. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe de croissance des lecteurs lance une expérience pour tester une nouvelle [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Share_Card|fonctionnalité de Partage de Carte]] qui permet aux lecteurs de créer des cartes visuellement attrayantes à partir d'articles Wikipédia ou de sections d'articles sélectionnées et de les partager en ligne, chaque carte renvoyant à l'article original afin d'aider à augmenter le lectorat et la découverte des articles. Le test A/B réservé aux mobiles ne sera disponible qu'à une partie des lecteurs sur les Wikipédia en arabe, chinois, français, vietnamien et anglais afin de mieux comprendre les habitudes de lecture et de partage, et est prévu pour commencer la semaine du 18 mai pour une durée de quatre semaines. * Les applications Wikipedia pour Android et iOS ont récemment publié en version bêta le [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/25th_Birthday_Reading_Challenge|défi de lecture de 25 jours]], dans le cadre des efforts visant à stimuler l'engagement des lecteurs en encourageant les utilisateurs à atteindre des objectifs de lecture. Pour suivre leur série de lectures pendant le défi, les utilisateurs de l'application peuvent ajouter un widget avec Baby Globe à leur écran d'accueil. Le défi commence officiellement le 11 mai. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:17|la tâche soumise|les {{formatnum:17}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:17||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la préférence globale pour activer la coloration syntaxique dans le wikitexte pouvait s'éteindre de manière inattendue après avoir été activée a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T425286] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Octicons-tools.svg|12px|link=|alt=|Sujet technique]] Le module ResourceLoader <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mediawiki.ui.input</nowiki></code></bdi>, obsolète depuis [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2023/39|septembre 2023]], sera supprimé cette semaine. Il existe un [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Migrating_from_MediaWiki_UI|guide pour migrer de l’interface MediaWiki UI vers Codex]] pour tous les outils qui l’utilisent. [https://phabricator.wikimedia.org/T420125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.2|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W20"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 11 mai 2026 à 19:20 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30524429 --> == La page ''Théorie des groupes'' s'affiche mal == Bonjour. La page [[Théorie des groupes]] s'affiche mal, du moins selon l'idée que je me fais d'une page qui s'affiche bien : en dessous de la liste des exercices, le texte est distribué en colonnes où il n'y a qu'un mot par ligne. Je me sens malheureusement incapable d'y remédier, n'ayant qu'une connaissance limitée de la syntaxe. Au cas où on serait d'accord avec moi pour trouver que cet affichage n'est pas très beau, quelqu'un pourrait-il y remédier ? Merci d'avance. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 mai 2026 à 06:15 (UTC) :{{fait}} balise de tableau mal fermé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 18 mai 2026 à 15:59 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-21 == <section begin="technews-2026-W21"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'équipe de Wikipédia abstraite a identifié cinq wikis pilotes potentiels pour évaluer leur intérêt à adopter des articles abstraits sur leurs wikis. Les pilotes sont Wikipédia en Malayalam, en Bengali, en Dagbani, en Arabe et en Indonésien. La période de retour d'information sera ouverte jusqu'au 22 mai. Si votre communauté est intéressée à devenir un pilote, [[m:Talk:Abstract Wikipedia|faites-nous savoir sur Meta]]. '''Actualités pour la contribution''' * Une expérience visant à afficher [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|les listes de lecture]] aux lecteurs non connectés sur le web mobile sera lancée le 18 mai sur les Wikipédias Allemande, Espagnole, Italienne, Portugaise, Polonaise, Néerlandaise, Turque et Ourdou, et durera un mois. Cet effort soutient des objectifs plus larges consistant à aider les lecteurs à enregistrer et organiser des articles pour une lecture ultérieure, tout en encourageant des habitudes qui pourraient mener à de futures contributions sur Wikipédia. * Pour prendre en charge un bouton de marquage dans la fonctionnalité bêta Liste de lecture, le menu "Outils > Action" a été mis à jour pour afficher des icônes, y compris l'indicateur en forme d'étoile de suivi qui aide les éditeurs à identifier les articles suivis temporairement. Les icônes correspondent désormais également à celles utilisées sur mobile, améliorant la cohérence entre les plateformes. Le changement est actuellement limité au menu des actions et concerne principalement les éditeurs ayant des droits d'utilisateur privilégié. [https://phabricator.wikimedia.org/T426008] * [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Mode de Suggestion]] a été publié en tant qu'[[w:en:A/B test|test A/B]] pour les nouveaux éditeurs sur le site mobile à [[phab:T421189|~15 Wikipédias]]. L'expérience mesurera l'impact que le Mode de Suggestion a sur la proportion de sessions d'édition sur le web mobile par des nouveaux éditeurs qui aboutissent à des modifications constructives (non annulées) des articles. L'expérience évaluera également l'impact de la fonctionnalité sur la rétention des éditeurs et surveillera les changements dans les taux d'annulation et de blocage. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:27|la tâche soumise|les {{formatnum:27}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:27||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème dans l'application Android de Wikipédia où les images pourraient parfois ne pas se charger après avoir ouvert une notification de liste de lecture recommandée, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T418231] '''Actualités pour la contribution technique''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Wikidata Platform|équipe de la Plateforme Wikidata]] a publié sa [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/Backend Replacement|recommandation de remplacement du backend]] et l'[[wikitech:Wikidata Query Service/WDQS Architecture re-design|architecture technique]] qui l'accompagne pour la migration du Wikidata Query Service (WDQS) hors de Blazegraph grap. Les retours sont attendus jusqu'au 25 mai 2026, en particulier sur les éventuelles lacunes et impacts sur les cas d'utilisation avancés. Les membres de la communauté Wikidata et les utilisateurs de WDQS sont également encouragés à aider à identifier les outils et flux de travail à fort impact qui pourraient nécessiter une attention sur [[d:Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/High-Impact Use Cases|cette page]]. Les retours peuvent être partagés sur la [[d:Wikidata talk:SPARQL query service/WDQS backend update|page de discussion de la migration]] ou lors de la [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Blazegraph Migration Office Hours|prochaine heure de bureau]]. Voir le [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Wikidata Platform team/Newsletter|bulletin de l'équipe WDP]] pour plus de détails. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.3|MediaWiki]] '''En détails''' * Sur les Wikipédia en anglais, en français, en japonais et quelques autres, il y a eu un [[diffblog:2025/09/02/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha/|essai de hCaptcha]], un service tiers de détection de robots. L'essai a montré que hCaptcha détecte et dissuade efficacement certaines activités automatisées de mauvaise foi, à la fois par lui-même et en donnant des signaux aux [[w:en:Wikipedia:Village pump (technical)/Archive 225#Introducing SuggestedInvestigations|checkusers et stewards]] pour qu'ils enquêtent. Comme les résultats étaient positifs, hCaptcha sera déployé sur toutes les wikis au cours des prochaines semaines. [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Anti-abuse signals/hCaptcha|Voir la page du projet hCaptcha]] pour des informations techniques sur la mise en œuvre et les protections de la vie privée. [[diffblog:2026/05/04/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha-part-2/|En savoir plus]]. * La dernière mise à jour de la Technologie communautaire est désormais disponible, avec des progrès dans plusieurs initiatives de la Liste de souhaits communautaire, y compris l'extension des listes de lecture de l'application mobile au site web, la prise en charge de nouvelles langues pour "Who Wrote That" et le Tableau de bord personnel, des améliorations du rendu 3D et des graphiques, ainsi que des travaux à venir sur le tri des pages de discussion, la lecture audio et les flux de travail d'édition. La mise à jour partage également les priorités actuelles, les tendances de l'état de la Liste de souhaits et les opportunités de retour d'information de la communauté sur les domaines de concentration futurs et le Plan annuel 2026–2027 de la Wikimedia Foundation. [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 13, 2026: Latest updates from the Community Tech team|Lisez le bulletin d'information complet pour plus de détails]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W21"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 18 mai 2026 à 20:21 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30539262 --> 4u87nd57j68xe020ujgm54hb3g0qol9 982920 982919 2026-05-19T05:21:31Z Marvoir 1746 /* La page Théorie des groupes s'affiche mal */ 982920 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|05}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-19 == <section begin="technews-2026-W19"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L’équipe chargée des fonctionnalités de [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Guidage des articles]] invite les contributeurs et contributrices expérimentés des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators|Wikipédia pilotes]] (arabe, bangla, japonais, portugais, persan, turc, anglais simplifié, espagnol et français) à contribuer à la traduction et à l’adaptation des [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance exemples de trames d’articles]. Ces trames guideront les contributeurs dans la création d’articles clairs, bien structurés et conformes aux règles lors de l’utilisation de [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Special:NewArticle la fonctionnalité] dès son lancement en mai 2026. Des [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|instructions simples]] expliquant comment traduire et adapter ces trames sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Le [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Conseil consultatif sur les produits et les technologies]] a publié [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|une proposition de recommandation]] d’une procédure type que les organisations affiliées à Wikimedia pourraient suivre pour contribuer au domaine technique. Les membres de la communauté sont invités à donner leur avis sur cette recommandation avant le 8 mai [[:m:Talk:Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|sur la page de discussion]]. * Le nombre de préférences de taille de la miniature disponibles dans MediaWiki va être réduit à trois options standardisées : ''petite'' (180 px), ''moyenne'' (250 px) et ''large'' (400 px), dans le cadre du travail en cours pour améliorer les performances et réduire la pression sur les services de miniatures. Par conséquent, les préférences existantes seront automatiquement adaptées à la nouvelle taille la plus proche (par exemple, les petites tailles comme 120 px ou 150 px s’afficheront à 180 px, tandis que les grandes tailles comme 300 px ou 360 px s’afficheront à 400 px). L’interface des préférences sera bientôt mise à jour pour refléter ces changements, et les utilisateurs qui souhaitent s’y opposer ou donner leur avis peuvent le faire. [https://phabricator.wikimedia.org/T424909] * Dorénavant, même lorsqu’une permission expire automatiquement, les utilisateurs recevront une notification Echo similaire à la notification normale pour les changements de permissions. Quant au [[m:Special:MyLanguage/Global reminder bot|robot global de rappel]], il continue de prévenir les utilisateurs une semaine ''avant'' que leurs droits ne soient sur le point d’expirer, afin qu’ils puissent les faire renouveler. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème du sélecteur de langue ULS dans [[m:Special:Translate|Special:Translate]] qui faisait défiler verticalement alors qu’il ne devait pas, a été résolu. Auparavant, lorsque les utilisateurs ouvraient le menu déroulant « Traduire en français » et commençaient à saisir le nom d’une langue, la boîte de dialogue défilait verticalement de quelques pixels même lorsqu'il y avait suffisamment d’espace pour afficher tous les résultats. Le menu déroulant ne se déplace plus inutilement lors du filtrage des langues. [https://phabricator.wikimedia.org/T358864] * La [[m:Special:GlobalWatchlist|liste de suivi globale]], qui vous permet de consulter vos listes de suivi provenant de plusieurs wikis sur une seule page, continue de s’améliorer. Par exemple, les listes de suivi pour les sites avec Wikibase tels que [[:d:|Wikidata]] prennent désormais en charge les éléments [[mw:Special:MyLanguage/Extension:EntitySchema|EntitySchema]] pour un meilleur suivi. Le mode Mises à jour en direct actualise désormais la page spéciale toutes les 60 secondes afin de se conformer aux [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|nouvelles limites globales d’accès à l’API]] pour une meilleure réactivité en temps réel. Par ailleurs, un bug de directionnalité du texte qui affichait les liens comme « changements 3 » au lieu de « 3 changements » dans les listes à directions mixtes a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T415450][https://phabricator.wikimedia.org/T424422][https://phabricator.wikimedia.org/T418091] '''Actualités pour la contribution technique''' * La deuxième phase de [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|limitations globales d’accès à l’API]] a été déployée pour réduire l’[[diffblog:2026/03/26/quo-vadis-crawlers-progress-and-whats-next-on-safeguarding-our-infrastructure/|impact des robots IA]] et assurer un accès équitable et durable aux ressources de Wikimedia, en donnant la priorité au trafic humain et conforme à notre mission. Les [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits#Limits|limites]] ne s’appliquent plus par heure mais par minute, produisant une meilleure répartition dans les structures de trafic ainsi qu’une meilleure prévisibilité de la charge de l’API. Les utilisateurs de la communauté ne devraient pas être affectés, et aucune action n’est requise. Les premières indications montrent que certains requérants basés sur l'agent utilisateur ajustent leur comportement, et environ 64 % du trafic API automatisé a été identifié. La surveillance continue, et Wikimedia Enterprise reste disponible pour l’assistance commerciale. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.27|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W19"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 4 mai 2026 à 20:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30498077 --> == Hiruwiki == Bonjour à tous, Désolé si mon français n’est pas parfait, ça fait longtemps que je n’ai pas parlé français. Je voudrais demander s’il y a de l’intérêt pour utiliser Hiruwiki sur Wikiversité. Hiruwiki est une collection de widgets interactifs, multilingues, pour les mathématiques et la géométrie, faits pour les projets Wikimedia. Ça permet aux éditeurs d’ajouter des visualisations dynamiques, des preuves interactives, et des outils éducatifs directement dans les pages wiki, pour rendre les concepts plus faciles à comprendre. Le projet a été créé par la communauté Wikimedia basque et après adapté pour usage international. Est-ce que vous pensez que ça peut être utile pour les contenus éducatifs ou les cours ici ? Vous pouvez voir un exemple [[mw:Hiruwiki|ici]]. Cordialement, [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 6 mai 2026 à 08:13 (UTC) :{{notif|ItsNyoty}}Des premiers exemples avec lesquels je me suis « amusé », je trouve cela superbe et très prédagogique. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 mai 2026 à 10:55 (UTC) :: @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ou @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], pourriez-vous jeter un œil à ceci? [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 10 mai 2026 à 18:39 (UTC) :::Oui, c'est le bienvenu [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ! Attends-tu de nous que nous fassions l'installation du gadget et l'importation des modules ? Il faudrait ensuite traduire tout ça en français. Comment vois-tu les choses ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) :::: La traduction est actuellement achevée à 88%. Vous pouvez la consulter [https://translatewiki.net/wiki/Special:MessageGroupStats?group=hiruwiki&messages=&x=D#sortable:3=desc ici]. L'installation n'est pas difficile, j'ai un manuel sur [[mw:Hiruwiki|MediaWiki]]. Les traductions devraient normalement être terminées cette semaine. [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 07:57 (UTC) :::::Ok [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]], tiens-nous au courant. Je me suis inscrit sur Translatewiki, mais je dois encore comprendre le fonctionnement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:31 (UTC) :::::: D'accord [[Utilisateur:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussion utilisateur:ItsNyoty|discuter]]) 11 mai 2026 à 11:47 (UTC) == Proposition d’essai pédagogique de Peer-Review == Bonjour, dans le cadre d’un accompagnement à la diffusion libre des publications scientifiques et à l’expérimentation de revue par les pairs, j’aimerais savoir s’il est possible (et pertinent) de monter sur la Wikiversité un exercice de peer-review à l’adresse d’étudiants et de scientifiques francophones. Nous cherchons un lieu pour faire tester le peer-review libre de publication. Il n’y a pas la volonté de mettre ça sur le dos de la communauté ni de lancer un Wikijournal, mais plutôt de montrer comment fonctionne un tel système par l’expérimentation. Cette expérience sera dans le cadre du colloque [[meta:RUNED26/fr|Runed 2026]] qui est soutenu par Wikimédia Suisse, et je serai la personne qui mettra en place les pages pour encadrer et faire fonctionner tout ça. Est-ce que vous pensez que la Wikiversité peut héberger cette expérience ? L’idée serait de présenter le projet également à ce moment-là et d’en expliquer le contenu et l’usage. Merci d’avance pour vos réponses. :) [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 6 mai 2026 à 13:28 (UTC) :Bonjour, oui à mon avis ça rentre tout à fait dans le cadre d'un travail wikiversitaire, dans l'espace de nom [[Recherche:Accueil]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 mai 2026 à 16:18 (UTC) ::Welcome [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] =) Il y a des personnes rémunérées ou tout le monde est bénévole ? Je pense que cela fait partie des principes Wikimedia d'être au clair là-dessus et puis, ça répond aussi à ma curiosité. Si ça vous intéresse, j'ai organisé un [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2025|séminaire]] deux années de suite dans lequel j'invitais les participant à relire les travaux de chacun. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 10 mai 2026 à 21:52 (UTC) ::: Bonjour [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]], je pense que je serai la seule personne rémunéré sur ce projet. Et je serai rémunérée uniquement pour mettre en place les pages. Le reste se fera au sein du colloque mentionné avec leurs étudiants, donc je pense que c’est similaire à ce vous faisiez. Je vous remercie d’ailleurs pour ce partage. Et je remercie également [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] pour sa réponse. Je vous propose de vous tenir au courant ici de ce qui est fait, comme ça, si je pars dans une direction qui ne vous convient pas, vous pourrez me corriger facilement en cours de route. [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas Lévêque]] ([[Discussion utilisateur:Lucas Lévêque|discuter]]) 11 mai 2026 à 10:08 (UTC) ::::Ok [[Utilisateur:Lucas Lévêque|Lucas]], le projet Wikiversité est beaucoup plus souple que Wikipédia. En gros, on veille surtout à ce qu'il n'y ai pas de prosélitisme, politique, religieux ou autres. Pour le reste, travaux personnels et tous types de sources sont les bienvenus, tant que ça cadre avec l'objectif du projet dédié à la formation pédagogique et de recherche « scientifique ». Il ne reste qu'un chose à préciser. Comme on est sur un site collaboratif, il faut prévenir si les pages que vous allez créer peuvent être modifiées par tous les utilisateurs, ou pas. Et si oui, selon quelle modalité. Pour [[Recherche:Imagine un monde|ma thèse de doctorat]], j'ai expliqué que les correction au niveau orthographe et syntaxe sur les pages de présentation étaient libres, mais que pour tout ce qui concerne le fond et non la forme, les idées devaient êtres partagées et débatues sur les pages de discussion. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 11 mai 2026 à 10:34 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-20 == <section begin="technews-2026-W20"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * La Communauté Technique a publié [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/How to write a good wish|de nouvelles directives]] expliquant comment les souhaits sur la Liste de souhaits de la communauté sont triés et priorisés. La documentation vise à aider les contributeurs à rédiger des propositions plus solides en clarifiant les facteurs qui influencent les décisions de priorisation. Au-delà du nombre de votes, les directives mettent en avant des considérations telles que l'impact potentiel sur la communauté pour déterminer quels souhaits avanceront. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe de croissance des lecteurs lance une expérience pour tester une nouvelle [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Share_Card|fonctionnalité de Partage de Carte]] qui permet aux lecteurs de créer des cartes visuellement attrayantes à partir d'articles Wikipédia ou de sections d'articles sélectionnées et de les partager en ligne, chaque carte renvoyant à l'article original afin d'aider à augmenter le lectorat et la découverte des articles. Le test A/B réservé aux mobiles ne sera disponible qu'à une partie des lecteurs sur les Wikipédia en arabe, chinois, français, vietnamien et anglais afin de mieux comprendre les habitudes de lecture et de partage, et est prévu pour commencer la semaine du 18 mai pour une durée de quatre semaines. * Les applications Wikipedia pour Android et iOS ont récemment publié en version bêta le [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/25th_Birthday_Reading_Challenge|défi de lecture de 25 jours]], dans le cadre des efforts visant à stimuler l'engagement des lecteurs en encourageant les utilisateurs à atteindre des objectifs de lecture. Pour suivre leur série de lectures pendant le défi, les utilisateurs de l'application peuvent ajouter un widget avec Baby Globe à leur écran d'accueil. Le défi commence officiellement le 11 mai. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:17|la tâche soumise|les {{formatnum:17}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:17||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la préférence globale pour activer la coloration syntaxique dans le wikitexte pouvait s'éteindre de manière inattendue après avoir été activée a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T425286] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Octicons-tools.svg|12px|link=|alt=|Sujet technique]] Le module ResourceLoader <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mediawiki.ui.input</nowiki></code></bdi>, obsolète depuis [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2023/39|septembre 2023]], sera supprimé cette semaine. Il existe un [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Migrating_from_MediaWiki_UI|guide pour migrer de l’interface MediaWiki UI vers Codex]] pour tous les outils qui l’utilisent. [https://phabricator.wikimedia.org/T420125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.2|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W20"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 11 mai 2026 à 19:20 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30524429 --> == La page ''Théorie des groupes'' s'affiche mal == Bonjour. La page [[Théorie des groupes]] s'affiche mal, du moins selon l'idée que je me fais d'une page qui s'affiche bien : en dessous de la liste des exercices, le texte est distribué en colonnes où il n'y a qu'un mot par ligne. Je me sens malheureusement incapable d'y remédier, n'ayant qu'une connaissance limitée de la syntaxe. Au cas où on serait d'accord avec moi pour trouver que cet affichage n'est pas très beau, quelqu'un pourrait-il y remédier ? Merci d'avance. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 mai 2026 à 06:15 (UTC) :{{fait}} balise de tableau mal fermé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 18 mai 2026 à 15:59 (UTC) ::Merci beaucoup, [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 19 mai 2026 à 05:21 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-21 == <section begin="technews-2026-W21"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'équipe de Wikipédia abstraite a identifié cinq wikis pilotes potentiels pour évaluer leur intérêt à adopter des articles abstraits sur leurs wikis. Les pilotes sont Wikipédia en Malayalam, en Bengali, en Dagbani, en Arabe et en Indonésien. La période de retour d'information sera ouverte jusqu'au 22 mai. Si votre communauté est intéressée à devenir un pilote, [[m:Talk:Abstract Wikipedia|faites-nous savoir sur Meta]]. '''Actualités pour la contribution''' * Une expérience visant à afficher [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|les listes de lecture]] aux lecteurs non connectés sur le web mobile sera lancée le 18 mai sur les Wikipédias Allemande, Espagnole, Italienne, Portugaise, Polonaise, Néerlandaise, Turque et Ourdou, et durera un mois. Cet effort soutient des objectifs plus larges consistant à aider les lecteurs à enregistrer et organiser des articles pour une lecture ultérieure, tout en encourageant des habitudes qui pourraient mener à de futures contributions sur Wikipédia. * Pour prendre en charge un bouton de marquage dans la fonctionnalité bêta Liste de lecture, le menu "Outils > Action" a été mis à jour pour afficher des icônes, y compris l'indicateur en forme d'étoile de suivi qui aide les éditeurs à identifier les articles suivis temporairement. Les icônes correspondent désormais également à celles utilisées sur mobile, améliorant la cohérence entre les plateformes. Le changement est actuellement limité au menu des actions et concerne principalement les éditeurs ayant des droits d'utilisateur privilégié. [https://phabricator.wikimedia.org/T426008] * [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Mode de Suggestion]] a été publié en tant qu'[[w:en:A/B test|test A/B]] pour les nouveaux éditeurs sur le site mobile à [[phab:T421189|~15 Wikipédias]]. L'expérience mesurera l'impact que le Mode de Suggestion a sur la proportion de sessions d'édition sur le web mobile par des nouveaux éditeurs qui aboutissent à des modifications constructives (non annulées) des articles. L'expérience évaluera également l'impact de la fonctionnalité sur la rétention des éditeurs et surveillera les changements dans les taux d'annulation et de blocage. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:27|la tâche soumise|les {{formatnum:27}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:27||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème dans l'application Android de Wikipédia où les images pourraient parfois ne pas se charger après avoir ouvert une notification de liste de lecture recommandée, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T418231] '''Actualités pour la contribution technique''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Wikidata Platform|équipe de la Plateforme Wikidata]] a publié sa [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/Backend Replacement|recommandation de remplacement du backend]] et l'[[wikitech:Wikidata Query Service/WDQS Architecture re-design|architecture technique]] qui l'accompagne pour la migration du Wikidata Query Service (WDQS) hors de Blazegraph grap. Les retours sont attendus jusqu'au 25 mai 2026, en particulier sur les éventuelles lacunes et impacts sur les cas d'utilisation avancés. Les membres de la communauté Wikidata et les utilisateurs de WDQS sont également encouragés à aider à identifier les outils et flux de travail à fort impact qui pourraient nécessiter une attention sur [[d:Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/High-Impact Use Cases|cette page]]. Les retours peuvent être partagés sur la [[d:Wikidata talk:SPARQL query service/WDQS backend update|page de discussion de la migration]] ou lors de la [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Blazegraph Migration Office Hours|prochaine heure de bureau]]. Voir le [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Wikidata Platform team/Newsletter|bulletin de l'équipe WDP]] pour plus de détails. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.3|MediaWiki]] '''En détails''' * Sur les Wikipédia en anglais, en français, en japonais et quelques autres, il y a eu un [[diffblog:2025/09/02/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha/|essai de hCaptcha]], un service tiers de détection de robots. L'essai a montré que hCaptcha détecte et dissuade efficacement certaines activités automatisées de mauvaise foi, à la fois par lui-même et en donnant des signaux aux [[w:en:Wikipedia:Village pump (technical)/Archive 225#Introducing SuggestedInvestigations|checkusers et stewards]] pour qu'ils enquêtent. Comme les résultats étaient positifs, hCaptcha sera déployé sur toutes les wikis au cours des prochaines semaines. [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Anti-abuse signals/hCaptcha|Voir la page du projet hCaptcha]] pour des informations techniques sur la mise en œuvre et les protections de la vie privée. [[diffblog:2026/05/04/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha-part-2/|En savoir plus]]. * La dernière mise à jour de la Technologie communautaire est désormais disponible, avec des progrès dans plusieurs initiatives de la Liste de souhaits communautaire, y compris l'extension des listes de lecture de l'application mobile au site web, la prise en charge de nouvelles langues pour "Who Wrote That" et le Tableau de bord personnel, des améliorations du rendu 3D et des graphiques, ainsi que des travaux à venir sur le tri des pages de discussion, la lecture audio et les flux de travail d'édition. La mise à jour partage également les priorités actuelles, les tendances de l'état de la Liste de souhaits et les opportunités de retour d'information de la communauté sur les domaines de concentration futurs et le Plan annuel 2026–2027 de la Wikimedia Foundation. [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 13, 2026: Latest updates from the Community Tech team|Lisez le bulletin d'information complet pour plus de détails]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W21"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 18 mai 2026 à 20:21 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30539262 --> cvh17nw4pefxskwcf8ydq35ouvtrk6o 0 86996 982928 982559 2026-05-19T11:11:20Z PandaMystique 80252 982928 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | département = Littérature francophone | numéro = 1 | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = [[../Un roman né de hasards successifs/]] | page_liée = | page_liée2 = }} Pour bien comprendre ''Germinal'', il faut commencer par voir où ce roman se situe dans la production de Zola. Le livre paraît d'abord en feuilleton dans le quotidien ''Gil Blas'' à partir du 26 novembre 1884, puis en volume chez Charpentier (l'éditeur attitré de Zola) en mars 1885<ref>Voir Henri Mitterand, dans Émile Zola, ''Les Rougon-Macquart'', éd. de la Bibliothèque de la Pléiade, Gallimard, t. III, 1964, p. 1815 ''sq''.</ref>. Mais ''Germinal'' n'est pas un livre isolé : c'est le treizième volume d'un vaste ensemble romanesque auquel Zola a donné un titre programmatique, ''Les Rougon-Macquart, histoire naturelle et sociale d'une famille sous le Second Empire''. Concrètement, il s'intercale dans la chronologie de l'œuvre entre ''La Joie de vivre'' (1884) et ''L'Œuvre'' (1886). Qu'est-ce que cette série exactement ? Il s'agit d'une fresque de vingt romans, publiés entre 1871 et 1893, qui retracent l'histoire d'une seule famille, les Rougon-Macquart, à travers tous les milieux de la société française du Second Empire (le régime politique de Napoléon III, de 1852 à 1870, étudié en classe d'histoire). Le projet est immense, et il a un précédent illustre. Trente ans plus tôt, Balzac avait entrepris dans ''La Comédie humaine'' une fresque équivalente : peindre toute une époque à travers un grand nombre de personnages liés par leurs intrigues. Zola reprend l'idée, mais en y ajoutant une dimension nouvelle, qu'il croit scientifique : il veut montrer comment l'hérédité, c'est-à-dire la transmission biologique des caractères d'une génération à l'autre, détermine en partie le destin des individus. Pour structurer son projet, il s'inspire d'un ouvrage médical de l'époque, le ''Traité philosophique et physiologique de l'hérédité naturelle'' de Prosper Lucas, paru en 1850<ref>Jacques Vassevière, ''Germinal, Émile Zola'', Nathan, coll. « Balises », 1989, p. 8.</ref>. [[Fichier:Arbre genealogique des Rougon-Macquart annoté.jpg|vignette|upright=1.75|L'arbre généalogique des Rougon-Macquart (état de 1878).]] Comment fonctionne concrètement cette généalogie ? L'ancêtre commune à toute la famille est une femme, Adélaïde Fouque, dite « Tante Dide ». Elle a eu deux lignées d'enfants. La première, légitime, issue de son mariage avec un certain Rougon : c'est la branche bourgeoise et ascendante de la famille, celle des notables, des médecins, des hommes politiques. La seconde, illégitime, issue de sa liaison avec un contrebandier nommé Macquart : c'est la branche bâtarde, qui transmet de génération en génération diverses tares (alcoolisme, instabilité nerveuse, pulsion homicide) et qui se déploie principalement dans les milieux populaires. La fresque suit ainsi cette double hérédité à travers cinq générations et tous les milieux du Second Empire, depuis la paysannerie jusqu'à la grande bourgeoisie financière, en passant par le clergé, l'armée, la classe ouvrière et la prostitution. Étienne Lantier, le héros de ''Germinal'', appartient à la seconde lignée, celle des Macquart. Sa généalogie est instructive : il est le fils de Gervaise Macquart (l'héroïne de ''L'Assommoir'', paru en 1877) et d'un certain Auguste Lantier, et il a deux frères que les lecteurs des ''Rougon-Macquart'' connaissent par d'autres romans, Claude Lantier (le peintre torturé de ''L'Œuvre'', 1886) et Jacques Lantier (le mécanicien tueur de ''La Bête humaine'', 1890). On voit que la famille porte effectivement les tares évoquées plus haut : Gervaise sombre dans l'alcool dans ''L'Assommoir'', Claude se suicide dans ''L'Œuvre'', Jacques est habité par une pulsion homicide dans ''La Bête humaine''. Étienne, lui, devra lutter dans ''Germinal'' contre ses propres tendances à la violence quand il aura bu, comme on le verra notamment dans la scène où, ivre et furieux, il tue Chaval sous terre dans la dernière partie du roman. Pourquoi Zola a-t-il choisi de centrer un roman sur Étienne, alors qu'il avait déjà écrit un roman sur sa mère Gervaise ? Précisément parce qu'à l'ouvrier urbain de ''L'Assommoir'' devait succéder, dans le plan progressivement précisé du cycle, l'ouvrier industriel et politique. Les deux livres sont, comme l'écrit Zola lui-même, « les deux faces de l'ouvrier »<ref name="vansanten">Lettre à Jacques Van Santen Kolff, 6 octobre 1889, citée par Henri Mitterand, ''op. cit.'', t. III, p. 1819.</ref>. ''L'Assommoir'' montrait la déchéance d'une blanchisseuse parisienne, victime de l'alcool et du milieu de la rue ; ''Germinal'' montrera la révolte d'un mineur du Nord qui, au lieu de s'enfoncer dans la déchéance, prend conscience de sa condition et tente de la transformer. La continuité familiale (mère et fils) sert ainsi de fil conducteur entre deux romans qui dressent ensemble le portrait du peuple sous le Second Empire. Zola a expliqué clairement la place qu'occupe ''Germinal'' dans son projet. Dans une lettre du 6 octobre 1889 à un de ses correspondants, le critique Jacques Van Santen Kolff, il écrit ceci : <blockquote>« J'ai toujours, dans la série des ''Rougon-Macquart'', gardé une large place à l'étude du peuple, de l'ouvrier, et cela dès l'idée première de l'œuvre. Mais ce n'est qu'au moment de ''L'Assommoir'' que, ne pouvant mettre dans ce livre l'étude du rôle politique et surtout social de l'ouvrier, je pris la résolution de réserver cette matière, pour en faire un autre roman. Et, plus tard, ce projet s'est précisé, lorsque je me suis rendu compte du vaste mouvement socialiste qui travaille la vieille Europe de façon si redoutable. Le cadre d'une grève s'est imposé naturellement à moi comme le seul dramatique, le seul qui devait donner aux faits le relief nécessaire. ''Germinal'' est donc le complément de ''L'Assommoir'', les deux faces de l'ouvrier. »<ref name="vansanten" /></blockquote> Cette lettre, écrite quatre ans après la publication de ''Germinal'', est précieuse car elle nous donne, par l'auteur lui-même, la genèse intellectuelle du roman : la décision est venue progressivement, en deux temps. D'abord la résolution, dès ''L'Assommoir'', d'écrire un jour un autre roman ouvrier qui prendrait en charge la dimension politique. Ensuite, plus tard, la prise de conscience de l'ampleur du mouvement socialiste européen, et le choix du cadre dramatique d'une grève. Nous reverrons en détail ces étapes dans la section suivante, consacrée à la genèse proprement dite du roman. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} <br> {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = [[../Un roman né de hasards successifs/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> l6o0btk46oe37kt1eujvbk7sp91wymr