Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 20152 982939 968745 2026-05-20T09:10:06Z Ariae 80406 correction d’erreur de frappe 982939 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ L'éthologie (''Ethos'' = tendance, habitude ; ''Logos'' = science) est la science qui étudie le comportement animal, considérée comme une branche de la zoologie. Un scientifique qui pratique cette discipline est appelé un éthologiste. Le terme éthologie est utilisé dans le sens de "l'étude du comportement animal dans l'environnement naturel", pour la première fois par le Français Isidore Geoffroy St-Hilaire en 1855. Cependant, il faudra attendre les années 1900 pour voir l'essor de l'éthologie et ce grâce aux trois pères fondateurs de l'éthologie moderne. Le premier fût Konrad Lorenz (1903-1989), un autrichien qui s'intéressa aux comportements innées (ou préprogrammés) qu’il se contentait d’aborder de façon descriptive et qualitative. Ainsi, il joua le rôle de mère-cane afin d'observer le processus d'empreinte chez les jeunes canetons. Le deuxième père de l'éthologie fût Niko Tinbergen (1907-1988), un danois qui aborda les comportements animaux de façon plus expérimentale et quantitative et s'intéressa, par exemple, au comportements de parade nuptiale d'épinoches mâles en aquarium en utilisant la méthode des leurres ou aux capacités des guêpes à retrouver leur nids grâce aux indices visuels de l'environnement. Enfin le troisième père fondateur de l'éthologie fût Karl Von Frisch (1886-1982), un autre autrichien qui réussit notamment à déchiffrer et à comprendre la signification de la danse des abeilles butineuses qui indiquent où se trouve la source de nourriture trouvée. L'envie de comprendre le monde animal a ensuite rapidement fait croître le domaine de l'éthologie, et depuis le début du {{s|20}} beaucoup de connaissances dans des domaines aussi divers que la communication animale, l’utilisation des noms personnels symboliques, des émotions animales, l'apprentissage et même le comportement sexuel ont été longuement développées. Des disciplines déjà comprises ont été révolutionnées, formant beaucoup de nouvelles disciplines comme la neuroéthologie. En éthologie, les comportements sont abordés selon une approche dans les traditions des sciences naturelles, c'est-à-dire que le comportement sera décomposé afin d'intégrer les différents niveaux qui le caractérisent, soit : * sa fonction = le comportement est utilisé dans quelles circonstances ? * son ontogénie = comment le comportement se développe au cours de la vie de l'individu ? * sa physiologie = quels parties du corps sont activées pour effectuer le comportement ? * son histoire évolutive = ce comportement se retrouve-t-il chez les espèces ancestrales ? {{AutoCat}} dg87jci5cri674chj0wbqyujm2oj3om 0 22729 982936 979226 2026-05-20T06:18:23Z Marvoir 1746 On peut trouver que les groupes diédraux sont exposés bien tard. 982936 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 25 | précédent = [[../Produit semi-direct/]] | suivant = [[../Holomorphe d'un groupe/]] | page_liée = Exercices/Groupes diédraux }} {{Wikipédia|Groupe diédral}} == Remarque préliminaire == Dans l'état actuel du présent cours, les groupes diédraux ne sont définis qu'après le produit semi-direct. On peut trouver que c'est tard, car, d'une part, comme on le verra dans la suite du présent chapitre, les groupes diédraux peuvent être définis de façon assez simple comme des groupes de permutations (isométries ou autres) et, d'autre part, les groupes diédraux fournissent des exemples de groupes non abéliens dont la structure est très facile à appréhender, ce qui peut aider l'étudiant à contrôler sa compréhension de la matière ou à vérifier ses conjectures. D'ailleurs, dans tous les manuels (Calais, Rotman, Robinson ...) qu'on a consultés avant de rédiger la présente remarque, les groupes diédraux sont introduits bien avant le produit semi-direct. Il n'est donc pas impossible que le présent cours soit un jour remanié de façon à y fair apparaître les groupes diédraux beaucoup plus tôt. == Les groupes diédraux comme produits semi-directs == Soient ''n'' un nombre naturel ≥ 1, A un groupe cyclique d'ordre ''n'' et B un groupe d'ordre 2. Ces deux groupes seront notés multiplicativement. Puisque A est commutatif, la permutation x ↦ x{{exp|-1}} de A est un automorphisme de A. Si nous désignons cet automorphisme par ''inv'', nous avons ''inv''{{exp|2}} = 1 (où 1 désigne l'automorphisme identique de A). On en tire facilement qu’il existe un et un seul homomorphisme de B dans Aut(A) (groupe des automorphismes de A) qui applique l'élément non neutre de B sur ''inv''. Cet homomorphisme de B dans Aut(A), que nous désignerons par τ, peut être considéré comme une opération de B sur A par automorphismes (voir chapitre ''[[../Produit semi-direct/]]''). L'application correspondante de B × A dans A est définie par <math>b \cdot a = a</math> si ''b'' = 1 et <math>b \cdot a = a^{-1}</math> si ''b'' est l'élément de B distinct du neutre. Supposons maintenant que A₁ et A₂ soient deux groupes cycliques d'ordre ''n'' et B₁ et B₂ deux groupes d'ordre 2. Soient τ₁ et τ₂ respectivement les homomorphismes de B₁ dans Aut(A₁) et de B₂ dans Aut(A₂) définis comme ci-dessus. Il existe un unique isomorphisme de B₁ sur B₂, que nous désignerons par σ. De plus, il existe au moins un isomorphisme de A₁ sur A₂ (voir le chapitre sur les groupes monogènes). Choisissons un tel isomorphisme, soit ''f''. Montrons que ''f'' et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ₁ sur l'opération τ₂ (selon la terminologie introduite au chapitre ''produit semi-direct''). Il s'agit de prouver que, pour tout élément ''a'' de A₁ et tout élément ''b'' de B₁, :<math>(1) \qquad f(b \cdot a) = \sigma (b) \cdot f(a).</math> Si ''b'' est l'élément neutre de B₁, <math> b \cdot a </math> est égal à ''a'' et (puisque σ(b) est l'élément neutre de B₂) <math>\sigma (b) \cdot f(a)</math> est égal à f(a). Donc, si ''b'' est l'élément neutre de B₁, les deux membres de (1) sont tous deux égaux à f(a), donc (1) est vraie dans ce cas. Si maintenant ''b'' est l'élément de B₁ distinct du neutre, <math> b \cdot a </math> est égal à a{{exp|-1}} et (puisque σ(b) est l'élément de B₂ distinct du neutre) <math>\sigma (b) \cdot f(a)</math> est égal à f(a){{exp|-1}} ; ainsi, (1) revient à f(a{{exp|-1}}) = f(a){{exp|-1}} et est donc encore vraie. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que ''f'' et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ₁ sur l'opération τ₂. Il en résulte (voir le chapitre ''Produit semi-direct'') que l’application (a, b) ↦ (f(a), σ(b)) est un isomorphisme de groupes du produit semi-direct (externe) <math>A_1\times _{\tau_1} B_1</math> sur le produit semi-direct (externe) <math>A_2\times _{\tau_2} B_2</math>. (On pourrait évidemment le vérifier plus directement.) Ceci montre que, dans les notations et hypothèses ci-dessus, la structure de groupe de <math>A \times _{\tau} B </math> est identique quel que soit le choix du groupe cyclique A d'ordre ''n'' et quel que soit le choix du groupe B d'ordre 2. {{Définition | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. Tout groupe isomorphe au produit semi-direct <math>A \times _{\tau} B </math>, où A est un groupe cyclique d'ordre ''n'', B un groupe d'ordre 2 et τ l'homomorphisme de B dans Aut(A) qui applique l'élément non neutre de B sur l'automorphisme x ↦ x{{exp|-1}} de A, est appelé un groupe diédral d'ordre 2n. }} D'après ce qui précède, les groupes diédraux d'ordre 2n sont tous isomorphes entre eux. Pour ce motif, on dit couramment « le » groupe diédral d'ordre 2n, sans choisir explicitement un représentant particulier. « Le » groupe diédral d'ordre 2n se note D_2n. (Certains auteurs<ref>Par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 121.</ref> le notent D_n). '''Remarque.''' Selon les définitions de certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman , ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 68.</ref>, les groupes d'ordre 2 ne sont pas des groupes diédraux. Bourbaki<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, exerc. 4, Paris, 1970, pp. 134-135.</ref> ne fait pas cette restriction. {{Théorème | titre = Théorème (Homomorphismes partant d'un groupe diédral) | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit G un groupe engendré par un élément ''a'' d'ordre ''n'' et un élément ''b'' d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que :bab{{exp|-1}} (= bab) = a{{exp|-1}}. Soit H un groupe, soient ''x'', ''y'' des éléments de H tels que x{{exp|n}} = 1, y{{exp|2}} = 1 et :yxy{{exp|-1}} (= yxy) = x{{exp|-1}}. Alors :(i) Il existe un et un seul homomorphisme de G dans H qui applique ''a'' sur ''x'' et ''b'' sur ''y'' ; :(ii) si ''x'' est d'ordre ''n'' et ''y'' d'ordre 2, si ''y'' n'appartient pas à <x>, alors l'homomorphisme en question est injectif. }} {{Démonstration déroulante | contenu = De l'hypothèse <math>bab^{-1} (= bab) = a^{-1}</math> et du fait que <math>t \mapsto btb^{-1}</math> définit un automorphisme de G, on tire que :(1) <math>\qquad ba'b^{-1} = a'^{-1}</math> pour tout a' dans <a>, d'où <math>b <a> b^{-1} = \ <a></math>, donc ''b'' normalise <a>. Puisque ''a'' et ''b'' sont supposés engendrer G, <a> est donc un sous-groupe normal de G et G = <a> <nowiki><b></nowiki>. Par hypothèse, ''b'' n'appartient pas à <a>, donc, puisque ''b'' est d'ordre 2, <math><a> \cap <b> = 1</math>. Donc G est produit semi-direct interne de <a> par <nowiki><b></nowiki>. D'autre part, d'après un théorème du chapitre [[Théorie des groupes/Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]], il existe un (et un seul) homomorphisme <math>\alpha</math> de <a> dans H qui applique ''a'' sur ''x'' et il existe un (et un seul) homomorphisme <math>\beta</math> de <nowiki><b></nowiki> dans H qui applique ''b'' sur ''y''. Pour tout a' dans <a> et tout b' dans <nowiki><b></nowiki>, nous avons, d'après (1), :<math>(2) \qquad \alpha(b' a' b'^{-1}) = \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha(a') \ \mathrm{si} \ b' = 1,\\ \alpha(a'^{-1}) \ \mathrm{si} \ b' = b. \end{array} \right. </math> D'autre part, :<math>(3) \qquad \beta(b') \ \alpha(a') \beta(b')^{-1} = \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha(a') \ \mathrm{si} \ b' = 1,\\ y \ \alpha(a') \ y^{-1} \ \mathrm{si} \ b' = b. \end{array} \right. </math> Puisque a' est une puissance de ''a'', <math>\alpha(a')</math> est une puissance de <math>\alpha(a) = x</math>, donc, comme on a tiré (1) de l'hypothèse <math>bab^{-1} = a^{-1}</math>, on tire de l'hypothèse <math>yxy^{-1} = x^{-1}</math> que :<math>y \alpha(a') y^{-1} = \alpha(a')^{-1}.</math> En portant ceci dans (3) et en comparant alors (2) et (3), on trouve que :<math>\alpha(b' a' b'^{-1}) = \beta(b') \ \alpha(a') \beta(b')^{-1}</math> pour tout a' dans <a> et tout b' dans <nowiki><b></nowiki>. Puisque G est produit semi-direct interne de <a> par <nowiki><b></nowiki>, il résulte donc du point (i) d'un théorème (« Homomorphismes partant d'un produit semi-direct interne ») du chapitre [[Théorie des groupes/Produit semi-direct|Produit semi-direct]] qu'il existe un et un seul homomorphisme <math>\lambda</math> de G dans H qui coïncide avec <math>\alpha</math> sur <a> et avec <math>\beta</math> sur <nowiki><b></nowiki>. Puisque ''a'' et ''b'' engendrent G, cela revient à dire que <math>\lambda</math> est le seul homomorphisme de G dans H qui applique ''a'' sur <math>\alpha(a) = x</math> et ''b'' sur <math>\beta(b) = y</math>. Nous avons donc démontré le point (i) de l'énoncé. Si ''x'' est d'ordre ''n'' et ''y'' d'ordre 2, les homomorphismes <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> sont injectifs ; si de plus ''y'' n'appartient pas à <x>, alors, puisque ''y'' est d'ordre 2, nous avons <math><x> \cap <y> = 1,</math> autrement dit <math>\alpha(\langle a \rangle) \cap \beta(\langle b \rangle) = 1</math>, donc, d'après le point (ii) du théorème « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct interne » du chapitre [[Théorie des groupes/Produit semi-direct|Produit semi-direct]], <math>\lambda</math> est injectif, ce qui démontre le point (ii) de l'énoncé. }} Remarques. #On pourrait tirer le point (ii) du point (i), en notant que sous les hypothèses du point (ii), les hypothèses générales sur G, ''a'', ''b'', H, ''x'', ''y'' sont satisfaites par <x, y>, ''x'', ''y'', G, ''a'', ''b'', de sorte que, d'après (i), il existe un homomorphisme <math>\mu</math> de <x, y> dans G qui applique ''x''sur ''a'' et ''y'' sur ''b''. Si <math>\lambda '</math> désigne la corestriction de <math>\lambda</math> à <x, y>, alors <math>\mu \circ \lambda '</math> fixe ''a'' et fixe ''b'', donc, puisque ''a'' et ''b'' engendrent G, <math>\mu \circ \lambda '= \mathrm{id}_G</math>, donc <math>\lambda '</math> est injectif, donc <math>\lambda</math> est injectif. #Si nous connaissions déjà les premiers éléments sur les présentations de groupes, nous pourrions montrer que, sous les hypothèses générales du théorème, le groupe G admet la présentation <math>(a, b \vert a^n= 1, b^2= 1, bab^{-1} = a^{-1})</math> ; le point (i) de l'énoncé s'obtient alors par application immédiate d'un théorème sur les présentations, le théorème de von Dyck<ref>Voir J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4e édition, tirage de 1999, p. 346.</ref>. #Nous déterminerons la structure du groupe Aut(D_2n) (groupe des automorphismes de D_2n) dans un exercice de la série [[Théorie des groupes/Exercices/Holomorphe d'un groupe|Holomorphe d'un groupe]]. #Le titre « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » donné au théorème qui précède s'explique par le corollaire qui suit. {{Théorème | titre = Corollaire | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel ≥ 1, soit G un groupe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : :a) G est un groupe diédral d'ordre 2n ; :b) G est engendré par un élément ''a'' d'ordre ''n'' et un élément ''b'' d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab{{exp|-1}} (= bab) = a{{exp|-1}}. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Supposons d’abord la condition a) satisfaite et prouvons b). Par définition d'un groupe diédral, il existe un groupe cyclique A d'ordre ''n'' et un groupe B d'ordre 2 tel que G soit isomorphe au produit semi-direct externe <math>A \times _{\tau} B </math>, où τ est l'unique homomorphisme de B dans Aut(A) qui applique l'élément de B distinct du neutre sur l'automorphisme t ↦ t{{exp|-1}} de A. Puisque la condition b) de l'énoncé subsiste par passage à un groupe isomorphe, nous pouvons nous contenter de la démontrer dans le cas où G est égal à <math>A \times _{\tau} B </math>. Choisissons un générateur a₀ de A et désignons par b₀ l'élément de B distinct du neutre. Désignons par ''a'' et ''b'' respectivement les éléments (a₀, 1) et (1, b₀) de G = <math>A \times _{\tau} B </math>. Tout élément de G = <math>A \times _{\tau} B </math> est de la forme (a₀^r, b₀^s) pour certains nombres naturels ''r'' et ''s'', autrement dit, vu la définition de la loi de composition dans le produit semi-direct externe, est de la forme a^r b^s, ce qui montre que ''a'' et ''b'' engendrent G = <math>A \times _{\tau} B </math>. Puisque la première inclusion canonique de A dans A × B induit un isomorphisme de A sur le sous-groupe A × {1} de <math>A \times _{\tau} B </math>, l'image ''a'' de a₀ par cette inclusion est d'ordre ''n''. De même, puisque la seconde inclusion canonique de B dans A × B induit un isomorphisme de B sur le sous-groupe {1} × B de <math>A \times _{\tau} B </math>, ''b'' est un élément d'ordre 2 de G. Comme noté dans le chapitre [[Théorie des groupes/Produit semi-direct|Produit semi-direct]], énoncé intitulé « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne », :<math>\ (1, b_{0}) (a_{0}, 1) (1, b_{0})^{-1} = (\tau _{b_{0}}(a_{0}), 1)</math>, autrement dit :<math>\ bab^{-1} = (a_{0}^{-1}, 1)</math>, :<math>\ bab^{-1} = (a_{0}, 1)^{-1}</math>, :<math>\ bab^{-1} = a^{-1}</math>. Enfin, puisque la seconde composante de ''b'' n’est pas égale à 1, ''b'' n'appartient pas à <a>. Nous avons donc prouvé que a) entraîne b). Supposons maintenant b) satisfaite et prouvons a). Le plus simple serait sans doute de montrer, comme dans la démonstration du théorème précédent, que G est produit semi-direct interne de <a> par <nowiki><b></nowiki> et d'appliquer le théorème « Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe » du chapitre [[../Produit semi-direct/]], mais voici une démonstration qui repose sur le théorème précédent. Nous avons vu dans la première partie de la démonstration que si A désigne un groupe cyclique d'ordre ''n'' et <math>a_{0}</math> un générateur de A, si B désigne un groupe d'ordre 2 et <math>b_{0}</math> l'élément non neutre de B, si <math>\tau : B \rightarrow Aut(A)</math> est l'homomorphisme ainsi désigné plus haut, alors l'élément <math>x = (a_{0}, 1)</math> est d'ordre ''n'' dans <math>A \times _{\tau} B </math>, l'élément <math>y = (1, b_{0})</math> est d'ordre 2 dans <math>A \times _{\tau} B </math>, y n'appartient pas au sous-groupe <x> de <math>A \times _{\tau} B </math>, <math>yxy^{-1} = x^{-1}</math> et <math>A \times _{\tau} B </math> est engendré par ''x'' et ''y''. Donc, d'après le théorème précédent (« Homomorphismes partant d'un groupe diédral »), il existe un homomorphisme de G dans <math>A \times _{\tau} B </math> qui applique ''a'' sur ''x'' et ''b'' sur ''y'' et il existe un homomorphisme de <math>A \times _{\tau} B </math> dans G qui applique ''x'' sur ''a'' et ''y'' sur ''b''. Ces deux homomorphismes sont clairement réciproques, donc G est isomorphe à <math>A \times _{\tau} B </math>, ce qui prouve que la condition a) de l'énoncé est satisfaite. }} '''Remarque.''' Si n ≥ 3, l'hypothèse selon laquelle ''b'' n'appartient pas à <a> est entraînée par l'hypothèse bab = a{{exp|-1}}. En effet, si ''b'' appartenait à <a>, il commuterait avec ''a'', donc on aurait bab = bab{{exp|-1}} = a, d'où, d’après l'hypothèse bab = a{{exp|-1}}, a{{exp|-1}} = a, d'où a{{exp|2}} = 1, ce qui est impossible puisque ''a'' est d'ordre n ≥ 3. {{Théorème | titre = Corollaire (autre forme du corollaire précédent) | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel ≥ 1, soit G un groupe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : :a) G est un groupe diédral d'ordre 2n ; :b) G est un groupe d'ordre 2n qui comprend un élément ''a'' d'ordre ''n'' et un élément ''b'' d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab = a{{exp|-1}}. }} {{Démonstration | contenu = L'implication a) <math>\Rightarrow</math> b) résulte immédiatement du théorème précédent. Si b) est satisfaite, <a> est un sous-groupe d'ordre n et <nowiki><b></nowiki> un sous-groupe d'ordre 2 tels que <a> ⋂ <nowiki><b></nowiki> = 1. L'ensemble <a> <nowiki><b></nowiki> compte donc 2n éléments (formule du produit, démontrée dans le chapitre [[../Classes modulo un sous-groupe/]]) et est donc égal à G tout entier, donc ''a'' et ''b'' engendrent G et on peut appliquer le corollaire précédent. }} {{Théorème | contenu = Le groupe diédral D₄ est un groupe de Klein. Pour n ≥ 3, D_2n n’est pas commutatif. }} {{Démonstration déroulante | contenu = D'après les théorèmes précédents, D₄ est un groupe d'ordre 4 et comprend au moins deux éléments d'ordre 2. Puisque tout groupe d'ordre 4 est ou bien un groupe cyclique ou bien un groupe de Klein et qu'un groupe cyclique d'ordre 4 n'a qu'un élément d'ordre 2, D₄ est donc un groupe de Klein. Si n ≥ 3, D_2n comprend un élément ''a'' d'ordre ''n'' et un élément ''b'' d'ordre 2 tels que bab{{exp|-1}} = bab = a{{exp|-1}}. Si D_2n était commutatif, on aurait bab{{exp|-1}} = a, d'où a{{exp|-1}} = a, d'où a{{exp|2}} = 1, ce qui est impossible puisque ''a'' est d'ordre n ≥ 3. }} {{Théorème | contenu = Soit G un groupe diédral d'ordre 2n, soit A un sous-groupe cyclique d'ordre ''n'' de G (on sait qu’il en existe au moins un). Soit ''t'' un élément de G - A. Alors ''t'' est d'ordre 2 et pour tout élément ''x'' de A, txt = x{{exp|-1}}. Si n ≥ 3, G n'a qu'un sous-groupe cyclique d'ordre ''n''. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Si ''n'' = 1, le théorème est banal. Si ''n'' = 2, on le déduit facilement du fait que G est alors un groupe de Klein. Supposons donc n ≥ 3. Il existe un sous-groupe cyclique A₀ d'ordre ''n'' de G et un élément ''b'' d'ordre 2 de G - A₀ satisfaisant à la condition : pour tout élément ''x'' de A₀, bxb = x{{exp|-1}}. (Pour le prouver, on peut par exemple utiliser un corollaire ci-dessus selon lequel G comprend un élément ''a'' d'ordre ''n'' et un élément ''b'' d'ordre 2 n'appartenant pas à <math>\langle a \rangle</math> et tel que bab = a{{exp|-1}} ; puisque <math>x \mapsto bxb = bxb^{-1}</math> définit un automorphisme (intérieur) de G, on a alors <math>b a^{r} b = a^{-r}</math> pour tout entier rationnel ''r'', d'où l'assertion à justifier avec <math>A_{0} = \langle a \rangle</math>. On peut aussi se reporter à la façon dont on a défini le groupe diédral à l'aide d'un produit semi-direct externe au début du chapitre et utiliser la dernière assertion du théorème « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne » du chapitre [[Théorie des groupes/Produit semi-direct|Produit semi-direct]].) Commençons par démontrer les assertions de l'énoncé sur ''t'' dans le cas où A est égal à A₀. Les éléments de la forme ''ab'', où ''a'' parcourt A₀, n'appartiennent pas à A₀ et sont en quantité ''n'', donc ils constituent G - A₀ tout entier. Donc ''t'' est de la forme ab pour un certain élément ''a'' de A₀. Prouvons que ''t'' est d'ordre 2. Puisque ''t'' n'appartient pas à A₀ et est donc distinct de 1, il suffit de prouver que t² = 1. Cela revient à prouver que, pour tout ''a'' dans A₀, (ab){{exp|2}} = 1. Or (ab){{exp|2}} = abab = a(bab) = aa{{exp|-1}} = 1, donc ''t'' est bien d'ordre 2. En outre, si ''x'' est un élément de A₀, nous avons txt = (ab)x(ab) = ab(xa)b. Comme xa appartient à A₀, nous pouvons remplacer b(xa)b par (xa){{exp|-1}} = a{{exp|-1}}x{{exp|-1}}, d'où txt = aa{{exp|-1}}x{{exp|-1}} = x{{exp|-1}}. Montrons maintenant que (dans notre hypothèse n ≥ 3) A₀ est le seul sous-groupe cyclique d'ordre ''n'' de G. Un sous-groupe cyclique A d'ordre ''n'' de G est engendré par un élément ''c'' d'ordre n > 2. Nous avons vu que tout élément de G - A₀ est d'ordre 2, donc ''c'' doit appartenir à A₀, donc A est contenu dans A₀. Puisque A et A₀ ont le même ordre fini ''n'', ils doivent être égaux. Ainsi, G n'a qu'un sous-groupe cyclique d'ordre ''n'', ce qui prouve la dernière assertion de l'énoncé. Il en résulte aussi que ce que nous avons démontré pour A₀ est vrai pour « tout » sous-groupe cyclique d'ordre ''n'' de G, ce qui achève la démonstration. }} {{Théorème | contenu = Tout groupe fini engendré par deux éléments d'ordre 2 (distincts ou non) est diédral. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Soit G un groupe fini engendré par deux éléments ''a'' et ''b'' d'ordre 2. Il est clair que G est engendré par ''ab'' et ''b''. Nous avons b(ab)b = ba. Puisque ''a'' et ''b'' sont d'ordre 2, ''ba'' est l'inverse de ''ab'', donc l'égalité précédente peut s'écrire :<math> (3) \qquad b(ab)b = (ab)^{-1}.</math> Montrons que ''b'' n'appartient pas à <ab>. Supposons que, par l'absurde, ''b'' appartienne à <ab>. Alors ''b'' commute avec ''ab'', donc la relation (3) entraîne ab = (ab){{exp|-1}}. Ainsi, ab est d'ordre 1 ou 2, donc <ab> = {1, ab}. Puisque ''b'' est supposé appartenir à <ab> et n’est pas égal à 1, on doit avoir b = ab, d'où a = 1, contradiction. Cette contradiction prouve que ''b'' n'appartient pas à <ab>. Dès lors, nos résultats montrent, compte tenu d'un précédent théorème, que G est un groupe diédral d'ordre 2n, où ''n'' est l’ordre de ''ab''. }} == Version géométrique des groupes diédraux == Soit ''n'' un nombre naturel ≥ 2, soit P un [[Polygones réguliers|polygone régulier]] à ''n'' sommets. On admet que deux points distincts forment un polygone régulier à 2 sommets, bien que ce cas soit exceptionnel : par exemple un tel polygone n'a pas le même nombre de sommets (deux) et de côtés (un seul), contrairement aux polygones réguliers d'au moins trois sommets. Si ''n'' = 2, nous appellerons centre du polygone P le milieu du segment de droite joignant les deux sommets. Si n ≥ 3, nous appellerons centre du polygone P l'unique point du plan qui est équidistant de tous les sommets. Nous désignerons ce centre par ''c''. Nous pouvons numéroter les sommets a₀, ..., a_n-1, de sorte que, pour une rotation ϱ d'angle 2π/n autour du centre ''c'' de P, on ait a_k+1 = ϱ(a_k) pour tout ''k'' et donc a_k = ϱ^k(a₀) pour tout ''k''. Nous pouvons étendre les indices à '''Z''' tout entier en posant, pour tout entier rationnel ''s'', a_s = a_r, où ''r'' désigne le reste de ''s'' par ''n''. Nous utiliserons le fait suivant : {{Lemme | contenu = Soient ϱ une [[rotation]] du plan autour d'un point ''c'' et σ une [[symétrie axiale]] par rapport à une droite passant par ce point. Alors σ ϱ σ = ϱ{{exp|-1}}. }} {{Démonstration | contenu = Puisque ϱ est une rotation autour du point ''c'', elle est le produit de deux symétries axiales par rapport à des droites passant par ''c''<ref>G. Choquet, ''L'enseignement de la géométrie'', Paris, 1971, p. 75.</ref>, donc ϱ σ est le produit de trois telles symétries. Comme le produit d'un nombre impair de symétries axiales par rapport à des droites passant par ''c'' est une symétrie axiale par rapport à une droite passant par ''c''<ref>G. Choquet, ''L'enseignement de la géométrie'', Paris, 1971, prop. 46.6, p. 77.</ref>, ϱ σ est donc une symétrie axiale (par rapport à une droite passant par ''c''). Comme une symétrie axiale est d'ordre 2, nous avons donc :ϱ σ ϱ σ = 1. En multipliant à gauche par ϱ{{exp|-1}}, nous trouvons σ ϱ σ = ϱ{{exp|-1}}, comme annoncé. }} {{Théorème | contenu = Soient ''n'' un nombre naturel ≥ 2 et P un polygone régulier à ''n'' sommets. Les [[w:Isométrie affine|isométries]] du plan qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P forment (pour la composition) un groupe diédral d'ordre 2n. }} {{Démonstration | contenu = Il est clair que les isométries du plan qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P forment un sous-groupe du groupe des isométries du plan. Soit G ce sous-groupe. Prouvons que G est un groupe diédral d'ordre 2n. Le groupe G contient un sous-groupe cyclique d'ordre ''n'', à savoir le sous-groupe engendré par la rotation ϱ d'angle 2π/n considérée plus haut. Il est clair que G opère de façon naturelle sur l’ensemble des ''n'' sommets de P. Cette opération est transitive, car l'opération de <ϱ> est déjà transitive, comme le montre la relation notée plus haut : a_k = ϱ^k(a₀), vraie pour tout ''k''. Déterminons le stabilisateur du sommet a₀. Soit ''f'' un élément de ce stabilisateur. Puisque ''f'' est une isométrie du plan, ''f'' fixe le centre ''c'' de P. (Si n = 2, noter qu'une isométrie conserve le milieu. Si n ≥ 3, noter que ''c'' est le seul point du plan équidistant des sommets.) Donc ''f'' a au moins deux points fixes, à savoir ''c'' et a₀. Une isométrie du plan qui admet au moins deux points fixes est l'identité ou la symétrie axiale autour de la droite joignant ces deux points<ref>G. Choquet, ''L'enseignement de la géométrie'', Paris, 1971, prop. 45.3, p. 74.</ref>, donc ''f'' est égale à l'identité ou à la symétrie axiale par rapport à la droite ca₀. Il est clair que l'identité appartient bien au stabilisateur de a₀. Prouvons que la symétrie axiale par rapport à ca₀, que nous désignerons par ''f'', appartient elle aussi à ce stabilisateur. Comme ''f'' fixe a₀, il suffit de prouver qu'elle appartient à G, c'est-à-dire qu'elle transforme tout sommet de P en un sommet de P. Pour cela, prouvons que, pour tout nombre naturel k ≥ 0, f(a_k) est un sommet de P. Nous avons f(a_k) = f(ϱ^k(a₀)). D'après le précédent lemme, f ϱ^k = ϱ^-k f, donc notre résultat peut s'écrire f(a_k) = ϱ^-k(f(a₀)). Puisque ''f'' fixe a₀, ceci peut encore s'écrire f(a_k) = ϱ^-k(a₀), donc f(a_k) est bien un sommet de P, donc ''f'' appartient à G et appartient donc au stabilisateur de a₀. Ainsi, le stabilisateur de a₀ comprend exactement deux éléments (l'identité et la symétrie par rapport à la droite ca₀). Nous avons vu que l'action de G sur l’ensemble des sommets est transitive, autrement dit que l’ensemble des sommets tout entier est la seule orbite pour cette opération. Comme le cardinal d'une G-orbite est égal à l'indice dans G du stabilisateur d'un élément de cette orbite, le groupe G est donc d'ordre 2n. Nous avons vu qu’il comprend une rotation ϱ d'angle 2π/n autour de ''c'' telle que ϱ(a_j) = a_j+1 pour tout ''j''. Nous avons vu aussi qu’il comprend la symétrie axiale ''f'' par rapport à la droite ca₀ et que f ϱ^k f= ϱ^-k pour tout nombre naturel ''k'', en particulier pour k = 1. Enfin, puisqu'une symétrie axiale n’est pas une rotation, ''f'' n'appartient pas à < ϱ >. Il résulte donc d'un théorème ci-dessus que G est un groupe diédral d'ordre 2n. }} '''Remarque.''' On peut montrer que si ''n'' est impair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P ont pour axes les ''n'' droites ''cs'', où ''c'' est le centre de P et où ''s'' parcourt les sommets de P. Si ''n'' est pair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P ont pour axes tout d’abord les n/2 droites ''cs'', où ''s'' parcourt les sommets de P (deux sommets opposés fournissant la même droite) et ensuite les n/2 droites ''cm'', où ''m'' parcourt les milieux des côtés (deux côtés opposés fournissant la même droite). == Le groupe diédral d'ordre 2''n'' comme groupe de permutations d'un ensemble à ''n'' éléments == Soit ''n'' un nombre naturel ≥ 3. Considérons un polygone régulier P à ''n'' côtés. D'après la section précédente, les isométries du plan qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P forment un groupe diédral d'ordre 2n, que nous désignerons par D_2n. À toute isométrie appartenant à D_2n, faisons correspondre sa birestriction à l’ensemble des sommets de P. Puisqu'une isométrie du plan est entièrement déterminée par ses valeurs en trois points non alignés, nous définissons ainsi un isomorphisme de D_2n sur un groupe de permutations de l’ensemble des sommets de P (c'est-à-dire sur un sous-groupe du groupe des permutations de l’ensemble des sommets de P). Convenons de désigner ici par E_2n ce groupe de permutations de l’ensemble des sommets de P. Si nous numérotons les sommets de 0 à n-1 « en tournant » dans le sens horlogique ou antihorlogique, nous définissons une bijection ''f'' de l’ensemble des sommets sur l'ensemble '''Z'''/n'''Z'''. D'après ce que nous avons vu au chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], :<math> \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> définit un isomorphisme du groupe E_2n sur un groupe de permutations de l'ensemble '''Z'''/n'''Z'''. En composant les deux isomorphismes que nous avons construits, nous obtenons un isomorphisme σ de D_2n sur un groupe de permutations de l'ensemble '''Z'''/n'''Z'''. Le lecteur courageux vérifiera que les images par σ des rotations appartenant à D_2n sont les ''n'' translations de '''Z'''/n'''Z''', c'est-à-dire les permutations de '''Z'''/n'''Z''' de la forme t_a : x ↦ x + a, et que les images par σ des symétries axiales appartenant à D_2n sont les permutations de '''Z'''/n'''Z''' de la forme s_a : x ↦ a - x. Il en résulte que les t_a et les s_a forment un groupe de permutations de '''Z'''/n'''Z''' qui est un groupe diédral d'ordre 2n. Nous allons en donner une démonstration simple qui ne repose pas sur la version géométrique des groupes diédraux. {{Théorème | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel ≥ 3. Les permutations de '''Z'''/n'''Z''' de la forme t_a : x ↦ x + a (translations) et les permutations de '''Z'''/n'''Z''' de la forme s_a : x ↦ a - x constituent un groupe de permutations de '''Z'''/n'''Z''' (c'est-à-dire un sous-groupe du groupe des permutations de '''Z'''/n'''Z''') qui est un groupe diédral d'ordre 2n. }} {{Démonstration | contenu = L'ensembles des t_a : x ↦ x + a et l’ensemble des s_a : x ↦ a - x sont disjoints. En effet, s'il existait des éléments ''a'' et ''b'' de '''Z'''/n'''Z''' tels que t_a = s_b, alors on aurait, pour tout élément ''x'' de '''Z'''/n'''Z''', x + a = b - x, autrement dit 2x = b - a, d'où 2 × 1 = 2 × 0, ce qui est impossible vu notre hypothèse n ≥ 3. Donc la réunion de ces deux ensembles de permutations est de cardinal 2n.<br /> On vérifie facilement que la composée de deux permutations appartenant à cette réunion appartient elle aussi à cette réunion : :<math> t_{a} \circ t_{b} = t_{a+b},</math> :<math> t_{a} \circ s_{b} = s_{a+b},</math> :<math> s_{a} \circ t_{b} = s_{a-b},</math> :<math> s_{a} \circ s_{b} = t_{a-b}</math>. De plus, l'inverse de t_a est t_-a et s_a est sa propre inverse.<br /> Les t_a et les s_a constituent donc bien un groupe de permutations de '''Z'''/n'''Z'''. Montrons que ce groupe est engendré par deux éléments d'ordre 2, par exemple s₀ et s₁. Nous avons :<math> s_{1} \circ s_{0} = t_{1}</math> et il est clair que t₁ engendre toutes les translations, donc s₀ et s₁ engendrent toutes les translations; en outre, :<math> t_{a} \circ s_{0} = s_{a},</math> donc s₀ et s₁ engendrent toutes les s_a.<br /> Puisque le groupe formé par les t_a et les s_a est d'ordre 2n et est engendré par deux éléments d'ordre 2, il résulte d'un théorème de la première section que ce groupe est un groupe diédral d'ordre 2n. }} {{Corollaire | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel ≥ 3. Le groupe symétrique S_n contient un sous-groupe diédral d'ordre 2''n''. }} {{Démonstration | contenu = Le groupe S_n est isomorphe au groupe des permutations de '''Z'''/n'''Z''' et il résulte du théorème précédent que le groupe des permutations de '''Z'''/n'''Z''' contient un sous-groupe diédral d'ordre 2''n''. }} == Groupes diédraux généralisés == Soit A un groupe abélien (fini ou infini), qu'on notera multiplicativement. Du fait que A est abélien, il résulte que la permutation <math>x \mapsto x^{-1}</math> de A est un automorphisme. Cet automorphisme a pour carré (dans le groupe Aut(A) ) l'automorphisme identique, donc il existe un et un seul homomorphisme <math>\psi</math> du groupe <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> dans le groupe Aut(A) qui applique l'unique élément d'ordre 2 de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> sur l'automorphisme <math>x \mapsto x^{-1}</math> de A. {{Définition | contenu = Soit A un groupe abélien (fini ou infini), noté multiplicativement. Nous définirons le groupe diédral généralisé construit sur A comme le produit semi-direct de A par <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> correspondant à l'unique homomorphisme de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> dans Aut(A) qui applique l'élément d'ordre 2 de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> sur l'automorphisme <math>x \mapsto x^{-1}</math> de A. }} Le groupe diédral généralisé construit sur A se note Dih(A) (de l'anglais ''dihedral''). Si le carré de tout élément de A est égal à 1, ce qui, d'après le chapitre [[../Groupes commutatifs finis, 1/]], revient à dire que A est un 2-groupe abélien élémentaire (autrement dit encore, une somme directe de groupes d'ordre 2), l'automorphisme <math>x \mapsto x^{-1}</math> de A est l'automorphisme identique, donc, dans ce cas, le groupe Dih(A) n'est autre que le produit direct de A par <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} .</math> Certains auteurs<ref>Par exemple W. R. Scott, ''Group Theory'', réimpr. Dover, 1987, p. 215.</ref> ne définissent Dih(A) que si A n'est pas un 2-groupe abélien élémentaire, mais nous ne les suivrons pas. Si le groupe A est cyclique d'ordre ''n'', Dih(A) est isomorphe (ou identique, selon les définitions) au groupe diédral d'ordre 2n. On verra dans les exercices que certaines des propriétés des groupes diédraux démontrées plus haut s'étendent immédiatement aux groupes diédraux généralisés. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Produit semi-direct/]] | suivant = [[../Holomorphe d'un groupe/]] }} rwdhz31ttwrun64addkjrh2122pqc18 0 22763 982937 979281 2026-05-20T06:37:45Z Marvoir 1746 /* Problème 2 */ suggéré d'éviter la définition des groupes diédraux comme produits semi-directs 982937 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 25 | chapitre = [[../../Groupes diédraux/]] | précédent = [[../Produit semi-direct/]] | suivant = [[../Holomorphe d'un groupe/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''n'' un entier naturel non nul, soit G un groupe d'ordre 2n. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1° G est diédral ; 2° G contient un sous-groupe cyclique C d'ordre ''n'' tel que tout élément de G n'appartenant pas à C soit d'ordre 2. {{clr}} {{Solution | contenu = L'implication 1° ⇒ 2° résulte d'un théorème démontré dans le chapitre théorique. Démontrons l'implication 2° ⇒ 1°. Soit donc C un sous-groupe cyclique d'ordre ''n'' de G tel que tout élément de G n'appartenant pas à C soit d'ordre 2. Il s'agit de prouver que G est diédral. Choisissons un générateur ''a'' de C, c'est-à-dire un élément ''a'' de C tel que C = <a>. Choisissons aussi un élément ''b'' de G n'appartenant pas à C. Alors ''b'' et ''ab'' sont tous deux hors de C, donc, par hypothèse, ils sont tous deux d'ordre 2. Le sous-groupe <b, ab> de G engendré par ''b'' et ''ab'' comprend ''a'' et contient donc C : :(1) C ≤ <b, ab>. D'autre part, puisque C est d'indice 2 dans G et ne comprend pas ''b'', <C, b> = G (appliquer par exemple la formule des indices aux sous-groupes C ≤ <C, b> ≤ G). Joint à (1), ceci montre que ''b'' et ''ab'' engendrent G. Puisque ''b'' et ''ab'' sont tous deux d'ordre 2, il résulte d'un théorème démontré dans le chapitre théorique que G est diédral. }} == Problème 2 == Remarque préliminaire. Le point a) qui suit peut s'obtenir comme cas particulier de la classification des groupes d'ordre ''pq'', où ''p'' et ''q'' sont deux nombres premiers distincts. Cette classification a été obtenue dans un [[../Produit semi-direct|exercice sur le produit semi-direct]]. Le lecteur est cependant invité à ne pas utiliser ici la définition des groupes diédraux comme produits semi-directs, car il est possible que, dans un état futur du présent cours, les groupes diédraux soient définis avant le produit semi-direct. a) Soit ''p'' un nombre premier. Prouver que tout groupe d'ordre 2p est cyclique ou diédral. (Indication : utiliser les théorèmes de Sylow et, par exemple, le problème précédent.) {{clr}} {{Solution | contenu = On sait que tout groupe d'ordre 4 est un groupe cyclique ou un groupe de Klein, donc l'énoncé est vrai pour p = 2. On supposera donc ''p'' distinct de 2. Soit G un groupe d'ordre 2p non cyclique; il s'agit de prouver que G est diédral. Puisque nous supposons ''p'' distinct de 2, un p-sous-groupe de Sylow de G est un groupe d'ordre p. D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des sous-groupes d'ordre ''p'' de G est congru à 1 modulo ''p'' et divise 2, donc est égal à 1. Donc G contient un seul sous-groupe d'ordre ''p'', soit P. Puisque P est le seul sous-groupe d'ordre ''p'' de G, tout élément de G n'appartenant pas à P est d'ordre distinct de ''p''. D'autre part, puisque G est d'ordre 2p et n’est pas cyclique, tout élément de G est d'ordre 1, 2 ou ''p''. Donc tout élément de G n'appartenant pas à P est d'ordre 2. Comme tout groupe d'ordre premier est cyclique, P est cyclique. L'énoncé résulte donc du problème précédent. }} b) Prouver que S₃ est isomorphe à D₆. {{clr}} {{Solution | contenu = Cela résulte immédiatement du point a), compte tenu que S₃ est d'ordre 6 et n’est pas cyclique (ni même abélien). On peut dire aussi que d’après le chapitre théorique, D₆ est isomorphe à un sous-groupe H de S₃. Comme H et S₃ sont tous deux d'ordre 6, ils sont égaux, donc D₆ est isomorphe à S₃. }} == Problème 2bis == a) Prouver que si ''d'' et ''m'' sont des nombres naturels non nuls tels que ''d'' divise ''m'', alors D_2d est isomorphe à un sous-groupe de D_2m. {{clr}} {{Solution | contenu = On a vu dans le chapitre théorique que si ''n'' est un nombre naturel ≥ 1 et G un groupe, les deux conditions suivantes sont équivalentes : :1°) G est un groupe diédral d'ordre 2n ; :2°) G est engendré par un élément ''a'' d'ordre ''n'' et un élément ''b'' d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab{{exp|-1}} (= bab) = a{{exp|-1}}. En particulier, notre D_2m est engendré par un élément ''a'' d'ordre ''m'' et un élément ''b'' d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab{{exp|-1}} (= bab) = a{{exp|-1}}. En considérant le sous-groupe de D_2m engendré par a{{exp|m/d}} et par ''b'', on voit que D_2m contient un sous-groupe isomorphe à D_2d. }} b) Prouver que tout groupe diédral d'ordre divisible par 4 contient un sous-groupe de Klein. {{clr}} {{Solution | contenu = On peut appliquer le point a) au cas où d = 2, en notant que D₄ est un groupe de Klein. }} == Problème 3 == a) Prouver que les 2-sous-groupes de Sylow de <math>S_{4}</math> sont isomorphes à <math>D_{8}</math> (groupe diédral d'ordre 8). {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le [[../../Groupes diédraux/|chapitre théorique]], <math>D_{8}</math> est isomorphe à un certain groupe de permutations d'un ensemble de cardinal 4 et est donc isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{4}.</math> Puisque l'ordre de <math>D_{8}</math> est une puissance de 2, il en résulte que :(1)<math>\qquad D_{8}</math> est isomorphe à un sous-groupe d'un 2-sous-groupe de Sylow de <math>S_{4}.</math> D'autre part, puisque <math>S_{4}</math> est d'ordre 24, ses 2-sous-groupes de Sylow sont d'ordre 8 et ont donc le même ordre que <math>D_{8}</math>. Il résulte donc de (1) que <math>D_{8}</math> est isomorphe à un 2-sous-groupe de Sylow de <math>S_{4}.</math> Puisque les 2-sous-groupes de Sylow de <math>S_{4}</math> sont isomorphes entre eux, cela démontre l'énoncé. }} b) Prouver que les 2-sous-groupes de Sylow de <math>S_{6}</math> et ceux de <math>S_{7}</math> sont isomorphes au produit direct :<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8} .</math> {{Solution | contenu = Le groupe <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> est isomorphe à <math>S_{2}</math> et, par exemple d'après le point a), <math>D_{8}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{4}</math>, donc :(1)<math>\qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8}</math> est isomorphe à un sous-groupe du produit direct <math>S_{2} \times S_{4}.</math> D'autre part, <math>S_{2} \times S_{4}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{6}</math> (voir un exercice de la série [[../Groupes symétriques finis/]]). Joint à (1), cela montre que :<math>\qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{6}.</math> Puisque <math>S_{6}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{7}</math>, notre dernier résultat montre que :(2)<math>\qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{6}</math> et à un sous-groupe de <math>S_{7}.</math> Puisque l'ordre de <math> \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8}</math> est une puissance de 2, il résulte de (2) que :(3)<math>\qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8}</math> est isomorphe à un sous-groupe d'un 2-sous-groupe de Sylow de <math>S_{6}</math> et à un sous-groupe d'un 2-sous-groupe de Sylow de <math>S_{7}.</math> Mais <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8}</math> et les 2-sous-groupes de Sylow de <math>S_{6}</math> et de <math>S_{7}</math> sont tous d'ordre 16, donc, d'après (3) :<math>\qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times D_{8}</math> est isomorphe à un 2-sous-groupe de Sylow de <math>S_{6}</math> et à un 2-sous-groupe de Sylow de <math>S_{7}.</math> Puisque les 2-sous-groupe de Sylow de <math>S_{6}</math> (resp. de <math>S_{7}</math>) sont tous isomorphes entre eux, l'énoncé en résulte. }} Remarque. Dans le chapitre [[../../Produit en couronne/]], nous « expliciterons » la structure de tous les sous-groupes de Sylow de tous les groupes symétriques finis. == Problème 4 (Centre d'un groupe diédral) == Déterminer le centre du groupe D_2n. {{clr}} {{Solution | contenu = Si ''n'' est égal à 1 ou à 2, le groupe D_2n est commutatif, donc son centre est D_2n tout entier.<br /> Supposons maintenant n ≥ 3. D'après le chapitre théorique, D_2n contient un unique sous-groupe cyclique d'ordre ''n'', soit A. Pour tout élément ''x'' de A et tout élément ''y'' de D_2n - A, ''y'' est d'ordre 2 et yxy = x{{exp|-1}}, autrement dit :yxy{{exp|-1}} = x{{exp|-1}}. Choisissons un générateur ''a'' de A. La précédente égalité est vraie pour x = a, donc yay{{exp|-1}} = a{{exp|-1}}. Puisque ''a'' est d'ordre n ≥ 3, a{{exp|-1}} est différent de ''a'', donc yay{{exp|-1}} ≠ a, donc ''y'' ne commute pas avec ''a''. Ceci prouve qu'aucun élément ''y'' de D_2n - A n'appartient au centre de D_2n. Reste à voir quels éléments de A appartiennent au centre de D_2n. Choisissons un élément ''b'' de D_2n - A. Alors A et ''b'' engendrent D_2n. Comme A est commutatif, il en résulte qu'un élément ''x'' de A appartient au centre de D_2n si et seulement s'il commute avec ''b''. Or bxb{{exp|-1}} = bxb = x{{exp|-1}}, donc un élément ''x'' de A appartient au centre de D_2n si et seulement si x{{exp|-1}} = x, c'est-à-dire si et seulement si x{{exp|-2}} = 1, autrement dit si et seulement si ''x'' est d'ordre 1 ou 2. Si ''n'' est impair, A ne comprend pas d'élément d'ordre 2. Si ''n'' est pair, A comprend un seul élément d'ordre 2 (car on a vu au chapitre sur les groupes monogènes que pour tout diviseur ''d'' de l’ordre d'un groupe cyclique G, G contient un et un seul sous-groupe d'ordre ''d'').<br /> Nous avons donc prouvé que si n ≥ 3, alors :<br /> 1° si ''n'' est impair, le centre de D_2n est réduit à l'élément neutre;<br /> 2° si ''n'' est pair, le centre de D_2n est l'unique sous-groupe d'ordre 2 de l'unique sous-groupe cyclique d'ordre ''n'' de D_2n. }} == Problème 5 == Prouver que si ''n'' est un nombre naturel impair, D_4n est isomorphe à D_2n × '''Z'''/2'''Z''' (produit direct) et que c’est faux si ''n'' est un nombre naturel pair (> 0). {{clr}} {{Solution | contenu = Pour que tous les groupes considérés soient multiplicatifs, nous utiliserons le groupe d'ordre 2 formé par la partie {1, - 1} de '''Z''', munie de la multiplication.<br /> Supposons tout d’abord ''n'' impair.<br /> Nous savons que D_2n comprend un élément ''a'' d'ordre ''n'' et un élément ''b'' d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> tels que bab = a{{exp|-1}}.<br /> Prouvons que (a, -1) est un élément d'ordre 2n de D_2n × {1, -1}. Il est clair que (a, -1)²ⁿ = 1. Si ''r'' est un nombre naturel tel que (a, -1)^r = 1, alors a^r = 1 et (-1)^r = 1, donc ''r'' est divisible par ''n'' et par 2. Puisque nous supposons ''n'' impair, ''r'' est donc divisible par 2n, ce qui prouve que (a, -1) est d'ordre 2n, comme annoncé. (On montre d'ailleurs facilement que si ''x'' est un élément d'ordre fini d'un groupe G et ''y'' un élément d'ordre fini d'un groupe H, l’ordre de (x, y) dans le produit direct de G par H est le ppcm des ordres de ''x'' et de ''y''.)<br /> D'autre part, (b, 1) est un élément d'ordre 2 de D_2n × {1, -1}. Puisque ''b'' n'appartient pas à <a>, il est clair que (b, 1) n'appartient pas à <(a, -1)>. Enfin, (b, 1) (a, -1) (b, 1) = (bab, -1) = (a{{exp|-1}}, -1) = (a, -1){{exp|-1}}. Puisque D_2n × {1, -1} est d'ordre 4n, nos résultats entraînent que D_2n × {1, -1} est isomorphe à D_4n.<br /> La première partie de l'énoncé est donc démontrée. Soit maintenant ''n'' un nombre naturel pair > 0. Si n = 2, D_2n est un groupe de Klein et est donc commutatif, de sorte que son centre est d'ordre 4; si n > 2, il résulte d'un précédent exercice que le centre de D_2n est d'ordre 2. Donc, que ''n'' soit égal ou supérieur à 2, le centre de D_2n est d'ordre au moins égal à 2. Le centre de D_2n × {1, -1} est Z(D_2n) × Z({1, -1}) (voir exercices sur les produits de groupes), autrement dit Z(D_2n) × {1, -1} et est donc d'ordre au moins égal à 4. Mais l’ordre de D_2n × {1, -1} est au moins égal à 8, donc > 4, et il résulte d'un exercice ci-dessus que le centre d'un groupe diédral d'ordre > 4 est d'ordre au plus 2. Donc D_2n × {1, -1} n’est pas diédral. }} == Problème 6 (Dérivé et suite centrale descendante d'un groupe diédral) == a) Déterminer le dérivé du groupe diédral D_2n. Montrer que ce dérivé est un groupe commutatif. En déduire que D_2n est résoluble. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le chapitre théorique, D_2n contient (au moins) un sous-groupe cyclique d'ordre ''n'', que nous noterons C_n. (Si ''n'' est distinct de 2, C_n est défini de manière unique.) Pour tout élément ''x'' de C_n et tout élément ''y'' de <math>D_{2n} \setminus C_{n}</math>, ''y'' est d'ordre 2 et ''yxy = x''{{exp|-1}}, autrement dit :(1) ''y''{{exp|-1}}''xy = x''{{exp|-1}}. Soient ''a'' et ''b'' deux éléments de D_2n. Si ''a'' et ''b'' appartiennent tous deux à C_n, ils commutent, donc [a, b] = 1. Si ''a'' appartient à C_n et ''b'' à D_2n - C_n, alors, d’après (1), [a,b] = a{{exp|-1}}(b{{exp|-1}}ab) = a{{exp|-2}}. Si ''a'' appartient à D_2n - C_n et ''b'' à C_n, alors [a, b] = (a{{exp|-1}}b{{exp|-1}}a)b = b{{exp|2}}. Enfin, si ''a'' et ''b'' appartiennent tous deux à D_2n - C_n, l'élément ''c'' := ''ab'' appartient à C_n, d'où [a, b] = a{{exp|-1}}b{{exp|-1}}(ab) = a{{exp|-1}}(c{{exp|-1}}a)c = [a, c] = c{{exp|2}} d’après le résultat précédent. Ainsi, les commutateurs d'éléments de D_2n sont exactement les carrés d'éléments de C_n. Si ''n'' est pair, il résulte du chapitre [[../../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]] que les carrés d'éléments de C_n sont exactement les éléments de l'unique sous-groupe d'ordre n/2 de C_n ; il en résulte clairement que dans ce cas, le dérivé de D_2n est l'unique sous-groupe d'ordre n/2 de C_n. Si maintenant ''n'' est impair, alors, d’après un exercice de la série [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]], les carrés d'éléments de C_n sont exactement les éléments de C_n ; il en résulte clairement que dans ce cas, le dérivé de D_2n est C_n. Puisque C_n est un groupe cyclique et donc commutatif, il résulte de ce qui précède que le dérivé de D_2n est commutatif. Cela entraîne que D_2n est résoluble de classe <math>\leq 2</math> (et de classe 2 si n > 1). Remarque : dans la détermination du dérivé, on aurait pu éviter des calculs en raisonnant comme suit. Soit ''c'' un générateur du groupe cyclique <math>C_{n}</math>, soit ''d'' un élément de <math>D_{2n} \setminus C_{n}</math>. Alors {c,d} est une partie génératrice de <math>D_{2n}</math>, donc, d'après un théorème démontré au chapitre [[Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé|Commutateurs, groupe dérivé]], le dérivé de <math>D_{2n}</math> est le sous-groupe normal de <math>D_{2n}</math> engendré par les commutateurs de la forme [x, y], où ''x'' et ''y'' parcourent {c,d}. Si x = y, alors [x,y] = 1; d'autre part, [c,d] est l'inverse de [d,c]; donc nous pouvons limiter les commutateurs [x,y] au seul commutateur [d,c], c'est-à-dire que :(1) le dérivé de <math>D_{2n}</math> est le sous-groupe normal de <math>D_{2n}</math> engendré par <math>[d,c] = (d^{-1}c^{-1}d)c = c^{2}.</math> Comme tout sous-groupe d'un groupe cyclique C est caractéristique dans C, <math><c^{2}></math> est caractéristique dans <math>C_{n}</math>; d'autre part, <math>C_{n}</math> est normal dans <math>D_{2n}</math> (par exemple parce qu'il est d'indice 2 dans <math>D_{2n}</math>), donc <math><c^{2}></math> est normal dans <math>D_{2n}</math> et est donc le sous-groupe normal de <math>D_{2n}</math> engendré par <math>c^{2}</math>. Notre résultat (1) signifie donc que le dérivé de <math>D_{2n}</math> est <math><c^{2}></math>. }} b) Déterminer la suite centrale descendante du groupe diédral D_2n. Prouver qu'un groupe diédral est nilpotent si et seulement si son ordre est une puissance de 2. Préciser alors sa classe de nilpotence. {{clr}} {{Solution | contenu = Mettons l’ordre 2n de D_2n sous la forme 2^rm, avec r ≥ 1 et ''m'' impair. Supposons d’abord 2^rm ≥ 6. Alors, comme on l'a vu au point a), <math>\ D_{2^{r}m}</math> contient un et un seul sous-groupe cyclique d'ordre 2{{exp|r-1}}m, soit <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>, et le dérivé de <math>\ D_{2^{r}m}</math> est l’ensemble des carrés de <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>. Désignons par <math>\ (\gamma_{i}(D_{2^{r}m}))_{i \geq 1}</math> la suite centrale descendante de <math>\ D_{2^{r}m}</math>. Prouvons que pour tout i ≥ 2, <math>\ \gamma_{i+1}(D_{2^{r}m})</math> est formé par les carrés d'éléments de <math>\ \gamma_{i}(D_{2^{r}m})</math>. Puisque la suite centrale est décroissante, <math>\ \gamma_{i}(D_{2^{r}m})</math> est contenu dans <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>, qui est un groupe commutatif, donc il suffit de prouver que si ''a'' est un élément de <math>\ D_{2^{r}m}</math> et ''b'' un élément de <math>\ \gamma_{i}(D_{2^{r}m})</math>, alors [a, b] est le carré d'un élément de <math>\ \gamma_{i}(D_{2^{r}m})</math>.<br /> Si tout d’abord ''a'' appartient à <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>, alors ''a'' et ''b'' appartiennent au même sous-groupe commutatif <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>, donc [a, b] = 1.<br /> Si maintenant ''a'' n'appartient pas à <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>, alors (puisque ''b'' appartient à <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>) a{{exp|-1}}b{{exp|-1}}a = b, d'où [a, b] = a{{exp|-1}}b{{exp|-1}}ab = b{{exp|2}} et il est encore vrai que [a, b] est le carré d'un élément de <math>\ \gamma_{i}(D_{2^{r}m})</math>. De plus, tous les carrés d'éléments de <math>\ \gamma_{i}(D_{2^{r}m})</math> s'obtiennent de cette façon. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que pour tout i ≥ 2, <math>\ \gamma_{i+1}(D_{2^{r}m})</math> est formé par les carrés d'éléments de <math>\ \gamma_{i}(D_{2^{r}m})</math>.<br /> On en tire de proche en proche :que <math>\ \gamma_{r-1}(D_{2^{r}m})</math> est le sous-groupe d'ordre 2m de <math>\ C_{2^{r-1}m},</math> :que <math>\ \gamma_{r}(D_{2^{r}m})</math> est le sous-groupe d'ordre m de <math>\ C_{2^{r-1}m},</math> :et que <math>\ \gamma_{r+1}(D_{2^{r}m})</math> est lui aussi le sous-groupe d'ordre m de <math>\ C_{2^{r-1}m},</math> Dans le cas où m = 1, c'est-à-dire si l’ordre du groupe diédral considéré est une puissance de 2, nous trouvons que <math>\ D_{2^{r}}</math> est nilpotent de classe r - 1. Nous l'avons prouvé pour r ≥ 3, mais c’est encore vrai pour r = 2, puisque D₄ est un groupe abélien d'ordre 4.<br /> Si maintenant le nombre impair ''m'' est > 1, nos résultats montrent que la suite centrale descendante de <math>\ D_{2^{r}m}</math> piétine sur le sous-groupe d'ordre ''m'' de <math>\ C_{2^{r-1}m}</math>. Comme ce sous-groupe n’est pas réduit à l'élément neutre, <math>\ D_{2^{r}m}</math> n'est donc pas nilpotent. }} Remarque. D'après le point a), la classe de résolubilité de tout groupe diédral est inférieure ou égale à 2. D'autre part, d’après la solution du point b), il y a des groupes diédraux nilpotents dont la classe de nilpotence est aussi grande qu'on veut. Cela montre que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être bornée en fonction de sa classe de résolubilité (alors que sa classe de résolubilité est bornée en fonction de sa classe de nilpotence). c) On a vu dans le chapitre théorique [[../../Groupes nilpotents|Groupes nilpotents]] que, pour tout groupe G et tous nombres naturels ''i'', ''j'' non nuls, [C_i(G), C_j(G)] ≤ C_i+j(G). Prouver qu'on n'a pas forcément l'égalité. {{clr}} {{Solution | contenu = Posons G = D₃₂. D'après le point a), [C₂(G), C₂(G)] = 1. D'après le point b), la classe de nilpotence de G est 4, donc C₄(G) > 1 = [C₂(G), C₂(G)]. }} == Problème 7 == On a vu au chapitre [[../../Groupes nilpotents|Groupes nilpotents]] que si G est un groupe nilpotent et H un sous-groupe '''normal''' de G non réduit à l'élément neutre, alors H ⋂ Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre. Donner un exemple de la situation suivante : G est un groupe nilpotent, H est un sous-groupe de G non réduit à l'élément neutre et H ⋂ Z(G) est réduit à l'élément neutre. (Indication : prendre pour G un groupe diédral convenablement choisi.) {{clr}} {{Solution | contenu = Prenons pour G le groupe diédral D₈ d'ordre 8. Ce groupe est nilpotent, puisque son ordre est une puissance de nombre premier. D'après le chapitre théorique, G admet un unique sous-groupe cyclique d'ordre 4, soit C. D'après un exercice précédent, le centre de G est contenu dans C et tout élément de G qui n'appartient pas à C est d'ordre 2. Choisissons un élément ''a'' de G n'appartenant pas à C et désignons par H le sous-groupe {1, a} de G. D'après ce qui précède, H ⋂ Z(G) = 1, alors que H n’est pas réduit à l'élément neutre. }} == Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral) == [[Fichier:Dih4_subgroups.svg|thumb|{{w|Diagramme de Hasse}} du {{w|treillis des sous-groupes}} du groupe diédral D{{ind|8}}.]] Le but de cet exercice est de déterminer tous les sous-groupes et tous les sous-groupes normaux du groupe diédral D_2n. Le lecteur appréciera si cette question l'intéresse. (Un des résultats sera utilisé dans la démonstration de l'isomorphie des [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 168|groupes simples d'ordre 168]].) Les cas n = 1 et n = 2 étant banals, on supposera n ≥ 3, ce qui permet de parler de l'unique sous-groupe cyclique d'ordre ''n'' de D_2n. On désignera ce sous-groupe par C_n. Pour tout diviseur ''d'' de ''n'' (''diviseur'' signifiant toujours diviseur naturel dans cet exercice), on désignera par C_d l'unique sous-groupe d'ordre ''d'' de C_n. a) Prouver que tout sous-groupe de C_n est normal dans D_2n. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque C_n est d'indice 2 dans D_2n, il est normal dans D_2n. D'autre part, puisque C_n est cyclique, tout sous-groupe de C_n est caractéristique dans C_n. (Voir les ''exemples de sous-groupes caractéristiques'' dans le chapitre [[../../Sous-groupes caractéristiques|Sous-groupes caractéristiques]].) On a démontré dans le chapitre [[../../Sous-groupes caractéristiques|Sous-groupes caractéristiques]] que tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe G est normal dans G, donc tout sous-groupe de C_n est normal dans D_2n.<br /> Voici une démonstration qui ne fait pas intervenir la notion de sous-groupe caractéristique. Soit H un sous-groupe de C_n; il s'agit de prouver que H est normal dans D_2n. Soient ''h'' un élément de H et ''x'' un élément de D_2n. Il suffit de prouver que x^-1 h x appartient à H. C'est vrai si ''x'' appartient à C_n parce qu'alors ''x'' et ''h'' appartiennent au même groupe abélien C_n et c’est encore vrai si ''x'' n'appartient pas à C_n parce qu'alors x^-1 h x = h^-1 (voir le chapitre théorique). }} b) Soient H un sous-groupe de C_n et ''b'' un élément de D_2n - C_n (ensemble des éléments de D_2n qui n'appartiennent pas à C_n). Prouver que l’ensemble H ∪ Hb (qui, d’après le point a), peut s'écrire aussi H ∪ bH) est un sous-groupe de D_2n. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque 1 ∈ H ⊂ H ∪ Hb, l’ensemble H ∪ Hb comprend 1.<br /> Prouvons que si ''x'', ''y'' sont des éléments de H ∪ Hb, ''xy'' en est un aussi.<br /> Premier cas : ''x'' et ''y'' appartiennent tous deux à H. Alors xy ∈ H ⊂ H ∪ Hb, donc xy ∈ H ∪ Hb.<br /> Second cas : x ∈ H et y ∈ Hb. Alors y = hb avec h ∈ H, donc xy = (xh)b avec xh ∈ H, donc xy ∈ Hb ⊂ H ∪ Hb, donc xy ∈ H ∪ Hb.<br /> Troisième cas : x ∈ Hb et y ∈ H. Alors (puisque, d’après le point a), Hb = bH), x = bh avec h ∈ H, d'où xy = b(hy) avec hy ∈ H, donc xy ∈ bH = Hb ⊂ H ∪ Hb, donc xy ∈ H ∪ Hb.<br /> Quatrième cas : x ∈ Hb et y ∈ Hb. Alors x ∈ Hb et y ∈ bH, donc xy ∈ Hb²H; d’après le chapitre théorique, ''b'' est d'ordre 2, donc xy ∈ H⊂ H ∪ Hb, donc xy ∈ H ∪ Hb.<br /> Nous avons donc prouvé que si ''x'', ''y'' sont des éléments de H ∪ Hb, ''xy'' en est un aussi. Autrement dit, H ∪ Hb est un sous-monoïde de D_2n.<br /> Reste à prouver que si ''x'' est un élément de H ∪ Hb, alors x^-1 en est un aussi. Si ''x'' appartient à H, alors x^-1 appartient à H. Si maintenant ''x'' appartient à Hb, alors ''x'' appartient à D_2n - C_n, donc, d’après le chapitre théorique, il est d'ordre 2, donc il est son propre inverse, donc x^-1 appartienr à Hb. Dans les deux cas, x^-1 appartient à H ∪ Hb. (On aurait pu dire aussi qu'on a montré que H ∪ Hb est un sous-monoïde de D_2n et que, d'après un exercice de la série [[../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], tout sous-monoïde d'un groupe fini est un sous-groupe de ce groupe.) }} c) Soit H un sous-groupe de C_n. Prouver que les sous-groupes de D_2n de la forme H ∪ Hb, où ''b'' parcourt les éléments de D_2n - C_n, sont en quantité n/<nowiki>|H|</nowiki>. Prouver que si <math>\mathcal{E}</math> est un ensemble de sous-groupes de C_n, le nombre des sous-groupes de D_2n de la forme H ∪ Hb, où H parcourt <math>\mathcal{E}</math> et où ''b'' parcourt D_2n - C_n, est :<math>\sum_{H \in \mathcal{E}}n/ \vert H \vert.</math> {{clr}} {{Solution | contenu = Soit H un sous-groupe de C_n; prouvons que les sous-groupes de D_2n de la fome H ∪ Hb, où ''b'' parcourt D_2n - C_n, sont en quantité <math>n/ \vert H \vert.</math>. D'après le point b), il revient au même de prouver que les ''ensembles'' H ∪ Hb, où ''b'' parcourt D_2n - C_n, sont en quantité <math>n/ \vert H \vert.</math>.<br /> Désignons par F(H) l’ensemble des parties de D_2n de la forme H ∪ Hb, où ''b'' parcourt D_2n - C_n. Il s'agit de prouver que :<math>\vert F(H) \vert = n/ \vert H \vert .</math> Considérons l’application f_H : b ↦ H ∪ Hb de D_2n - C_n dans F(H). Par définition de F(H), cette application est surjective. Étant donné un élément ''b'' de D_2n - C_n, les éléments b' de D_2n - C_n tels que f_H(b') = f_H(b) sont les éléments b' de D_2n - C_n tels que H ∪ Hb' = H ∪ Hb. En passant aux intersections avec D_2n - C_n, nous voyons que cette condition entraîne Hb' = Hb et la réciproque est évidente. Donc les éléments b' de D_2n - C_n tels que f_H(b') = f_H(b) sont les b' tels que Hb' = Hb, autrement dit ce sont les élémens de Hb et ils sont donc en nombre <nowiki>|H|</nowiki>. D'après le principe des bergers, nous avons donc :<math>\qquad \vert F(H) \vert = \frac{D_{2n} - C{n}}{\vert H \vert},</math> :<math>(1) \qquad \vert F(H) \vert = \frac{n}{\vert H \vert},</math> ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.<br /> Pour tout sous-groupe H de C_n et pour tout élément ''b'' de D_2n - C_n, :(H ∪ Hb) ⋂ C_n = H, donc si H₁ et H₂ sont deux différents sous-groupes de C_n, si b₁ et b₂ sont des éléments de D_2n - C_n, alors : H₁ ∪ H₁b₁ ≠ H₂ ∪ H₂b₂. Il en résulte que si H₁ et H₂ sont deux différents sous-groupes de C_n, alors : (2) F(H₁) ⋂ F(H₂) = ∅. Soit <math>\mathcal{E}</math> un ensemble de sous-groupes de C_n. L'ensemble des sous-groupes de D_2n de la forme H ∪ Hb, où H parcourt <math>\mathcal{E}</math> et où ''b'' parcourt D_2n - C_n, est :<math>\bigcup_{H \in \mathcal{E}}F(H)</math> et, d’après notre résultat (2), son cardinal est donc :<math>\sum_{H \in \mathcal{E}} \vert F(H) \vert,</math> autrement dit, d’après (1), :<math>\sum_{H \in \mathcal{E}} \frac{n}{\vert H \vert},</math> ce qui démontre la seconde partie de l'énoncé. }} d) Prouver que les sous-groupes de D_2n sont d’une part les sous-groupes de C_n et d’autre part les ensembles H ∪ Hb, où H parcourt les sous-groupes de C_n et ''b'' les éléments de D_2n - C_n. Prouver que le nombre des sous-groupes de D_2n est τ(n) + σ(n), où τ(n) désigne le nombre des diviseurs (naturels) de ''n'' et σ(n) la somme de ces diviseurs. {{clr}} {{Solution | contenu = Tout sous-groupe de C_n est évidemment un sous-groupe de D_2n. De plus, d’après le point b), tout ensemble de la forme H ∪ Hb, où H est un sous-groupe de C_n et ''b'' un élément de D_2n - C_n, est également un sous-groupe de D_2n. Prouvons que, réciproquement, tout sous-groupe de D_2n est d'un de ces deux types.<br /> Soit K un sous-groupe de D_2n non contenu dans C_n. Il s'agit de prouver que :thèse (3) K est de la forme H ∪ Hb, H étant un sous-groupe de C_n et ''b'' un élément de D_2n - C_n.<br /> Choisissons un élément ''b'' de K n'appartenant pas à C_n et désignons par H l'intersection de K avec C_n. Il suffit alors de prouver que K = H ∪ Hb.<br /> Puisque C_n est d'indice 2 dans D_2n, nous avons :D_2n = C_n ∪ (C_nb), donc K = (K ⋂ C_n) ∪ (K ⋂ (C_nb) ), ce qui peut s'écrire :K = H ∪ (K ⋂ (C_nb) ). Il suffit donc de prouver que :K ⋂ (C_nb) = Hb. L'inclusion Hb ⊆ K ⋂ (C_nb) est claire. Prouvons l'inclusion réciproque :K ⋂ (C_nb) ⊆ Hb. Soit ''x'' un élément de K ⋂ (C_nb); il s'agit de prouver que ''x'' appartient à Hb. Puisque ''x'' appartient à C_nb, il est de la forme x = cb, avec c ∈ C_nb. Puisque ''x'' et ''b'' appartiennent tous deux à K, ''c'' appartient à K et donc à K ⋂ C_n = H, donc ''x'' appartient à Hb, ce qui, comme on l'a vu, achève de prouver la thèse (3) et donc la première assertion de l'énoncé.<br /> Voici une autre façon de prouver que si K est un sous-groupe de D_2n non contenu dans C_n, K est de la forme H ∪ Hb, où H est un sous-groupe de C_n et ''b'' un élément de D_2n - C_n. Puisque K comprend au moins un élément qui n'appartient pas à C_n et que l'indice de C_n dans D_2n, étant égal à 2, est premier, le sous-groupe <C_n, K> de D_2n engendré par C_n et K est égal à D_2n tout entier. (Appliquer la formule des indices aux sous-groupes C_n ≤ <C_n, K> ≤ D_2n. Ce raisonnement montre en fait qu'un sous-groupe d'indice premier est maximal.) Puisque C_n est normal dans D_2n (par exemple parce qu’il est d'indice 2 dans D_2n, ou encore d’après le point a) ), cela peut s'écrire :C_n K = D_2n, d'où (C_n K) / C_n = D_2n / C_n.<br /> D'après le second théorème d'isomorphisme, le premier membre est isomorphe à K/(C_n ⋂ K), donc :[K:(C_n ⋂ K)] = 2. Posons H = C_n ⋂ K. Nous venons donc de voir que :[K:H] = 2. Donc si nous choisissons un élément ''b'' de K n'appartenant pas à H, nous avons K = H ∪ Hb, ce qui démontre notre argument. La première assertion de l'énoncé est donc démontrée.<br /> Désignons par <math>\mathcal{E}</math> l’ensemble des sous-groupes de D_2n, par <math>\mathcal{E}_{1}</math> l’ensemble des sous-groupes de C_n et par <math>\mathcal{E}_{2}</math> l’ensemble des sous-groupes de D_2n de la forme H ∪ Hb, H parcourant les sous-groupes de C_n et ''b'' les éléments de D_2n - C_n. Les deux ensembles <math>\mathcal{E}_{1}</math> et <math>\mathcal{E}_{2}</math> sont disjoints et on vient de voi que leur réunion est égale à <math>\mathcal{E}</math>. Donc :(4) <math>\qquad \vert \mathcal{E} \vert = \vert \mathcal{E}_{1} \vert + \vert \mathcal{E}_{2} \vert.</math> On a vu au chapitre des groupes monogènes que pour tout diviseur ''d'' de l’ordre d'un groupe cyclique, ce groupe admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''d''. D'après le théorème de Lagrange, il en résulte que le nombre des sous-groupes d'un groupe cyclique est égal au nombre des diviseurs de l’ordre de ce groupe. Donc :<math>\vert \mathcal{E}_{1} \vert = \tau (n)</math> et, d’après (4), il reste à prouver que <math>\vert \mathcal{E}_{2} \vert </math> est égal à σ(n), c'est-à-dire à la somme des diviseurs de ''n''. D'après le point c), :(5) <math>\qquad \vert \mathcal{E}_{2} \vert = \sum _{H} n/\vert H \vert,</math> où H parcourt les sous-groupes de C_n. D'après une propriété des groupes cycliques rappelée plus haut, H ↦ <nowiki>|H|</nowiki> définit une bijection de l’ensemble des sous-groupes de C_n sur l’ensemble des diviseurs de ''n''. En faisant suivre cette bijection par la permutation d ↦ n/d de l’ensemble des diviseurs de ''n'', nous trrouvons que H ↦ <nowiki>n/|H|</nowiki> définit une bijection de l’ensemble des sous-groupes de C_n sur l’ensemble des diviseurs de ''n''. La relation (5) peut donc s'écrire :<math>\vert \mathcal{E}_{2} \vert = \sum _{d} d,</math> où ''d'' parcourt les diviseurs de ''n'', autrement dit <math>\mathcal{E}_{2} = \sigma(n).</math> Comme nous l'avons vu, cela achève de démontrer le point d). }} e) Prouver que tout sous-groupe de D_2n est cyclique ou diédral. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit K un sous-groupe de D_2n. Il s'agit de prouver que K est cyclique ou diédral. D'après le point d), K est soit contenu dans C_n, soit de la forme H ∪ Hb, où H est un sous-groupe de C_n et ''b'' un élément de D_2n - C_n. Dans la première éventualité, K est cyclique. Il suffit donc de prouver que si H est un sous-groupe de C_n et ''b'' un élément de D_2n - C_n, alors H ∪ Hb est diédral. Tout élément de H ∪ Hb n'appartenant pas à H appartient à Hb, donc appartient à C_n, donc n'appartient pas à C_n, donc est d'ordre 2. Ceci montre que si ''d'' désigne l’ordre de H, alors H ∪ Hb est un groupe d'ordre 2''d'' contenant un sous-groupe cyclique H d'ordre ''d'' tel que tout élément de H ∪ Hb n'appartenant pas à H soit d'ordre 2. D'après un précédent exercice, il en résulte que H ∪ Hb est diédral, comme annoncé. }} f) Prouver que si ''n'' est impair, les sous-groupes normaux de D_2n sont D_2n et les sous-groupes de C_n. Prouver que si ''n'' est pair, les sous-groupes normaux de D_2n sont d’une part les sous-groupes de C_n et d’autre part D_2n et les sous-groupes de la forme C_n/2 ∪ (C_n/2b), où ''b'' parcourt D_2n - C_n. Quel est le nombre des sous-groupes normaux de D_2n ? {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le point a), tout sous-groupe de C_n est normal dans D_2n. D'autre part, D_2n est, banalement, normal dans D_2n. Si ''n'' est pair, si ''b'' est un élément de D_2n - C_n, alors C_n/2 ∪ (C_n/2b) est normal dans D_2n, par exemple parce qu’il est d'indice 2 dans D_2n. Donc tous les sous-groupes de D_2n considérés dans l'énoncé sont normaux dans D_2n. Pouvons que, réciproquement, tout sous-groupe normal de D_2n est d'un des types considérés dans l'énoncé.<br /> Soit K un sous-groupe normal de D_2n. Il s'agit de prouver que K est d'un des types considérés dans l'énoncé. Si K est contenu dans C_n, il est d'un de ces types, donc nous pouvons supposer que K n’est pas contenu dans C_n. D'après le point c), K est alors de la forme H ∪ Hb₀, où H est un sous-groupe de C_n et b₀ un élément de D_2n - C_n. Choisissons un générateur ''a'' de C, c'est-à-dire un élément ''a'' de C tel que C = <a>. Puisque K est normal dans D_2n, ''a'' normalise K, donc :(6) ''a''^-1 ''b''₀ ''a'' appartient à K. D'après le chapitre théorique, b₀ a b₀^-1 = a^-1, donc a^-1 b₀ = b₀ a, donc le résultat (6) signifie que b₀ a² appartient à K. Puisque b₀ appartient lui aussi à K, nous avons donc a² ∈ K. Puisque ''a'' engendre C_n, a² engendre le sous-groupe C_n² de C_n formé par les éléments de la forme x², ''x'' parcourant C_n. Donc K contient C_n², autrement dit K ⋂ C_n contient C_n², autrement dit :(7) H contient C_n². Si ''n'' est impair, tout élément de C_n est un carré (voir un exercice de la série [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]], donc, dans ce cas, C_n² = C_n et (7) signifie que H contient C_n, autrement dit H = C_n, donc K = D_2n et K est bien d'un des types considérés dans l'énoncé, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. Si maintenant ''n'' est pair, alors C_n² est le sous-groupe C_n/2 d'ordre n/2 de C_n (voir un théorème du chapitre [[../../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]]). Puisque C_n/2 est d'indice 2 dans C_n, les seuls sous-groupes de C_n qui contiennent C_n/2 sont C_n/2 et C_n (appliquer la formule des indices à un sous-groupe intermédiaire entre C_n/2 et C_n), donc, d’après (7), H est égal à C_n/2 ou à C_n, donc K est égal à C_n/2 ∪ (C_n/2b) ou à D_2n et est donc bien d'un des types considérés dans l'énoncé. Les deux assertions de l'énoncé sont donc démontrées. De la première, il résulte que si ''n'' est impair, le nombre des sous-groupes normaux de D_2n est τ(n) + 1. Si ''n'' est pair, alors, d’après le point c), les sous-groupes de D_2n de la forme C_n/2 ∪ C_n/2b, où ''b'' parcourt les éléments de D_2n - C_n, sont en quantité 2, donc, d’après la seconde assertion de l'énoncé, le nombre des sous-groupes normaux de D_2n est τ(n) + 3. }} == Problème 9 (Classes de conjugaison d'un groupe diédral) == Soit ''n'' un nombre naturel non nul, soit D_2n un groupe diédral d'ordre 2n. Déterminer les classes de conjugaison d'éléments de D_2n et préciser leur nombre. {{clr}} {{Solution | contenu = Il existe un sous-groupe cyclique C d'ordre ''n'' de D_2n tel que tout élément ''y'' de D_2n \ C soit d'ordre 2 et possède la propriété suivante : :(1) pour tout ''x'' dans C, <math>yxy^{-1} (= yxy) = x^{-1}</math>. (Si ''n'' est distinct de 2, C est déterminé de façon unique.)<br /> Choisissons un générateur ''c'' de C et un élément ''d'' de D_2n \ C.<br /> Soit ''x'' un élément de C. Puisque C est abélien, le conjugué de ''x'' par un élément de C est toujours égal à ''x''. D'autre part, pour tout élément ''y'' de D_2n \ C, le conjugué de ''x'' par ''y'' est <math>yxy^{-1} (= yxy) = x^{-1}</math> (voir la relation (1)).<br /> Donc la classe de conjugaison dans D_2n d'un élément ''x'' de C est <math>\{x, x^{-1}\}</math>.<br /> Si ''x'' est égal à 1, cette classe comprend un seul élément; si ''n'' est pair et que ''x'' est l'unique élément d'ordre 2 de C, la classe comprend encore un seul élément; dans tous les autres cas, la classe comprend exactement deux éléments.<br /> Déterminons maintenant la classe de conjugaison d'un élément ''y'' de D_2n \ C.<br /> Pour ''x'' dans C, nous avons :<math>xyx^{-1} = x(yx^{-1}y)y</math> :<math>xyx^{-1} = xxy</math> :(2) <math>xyx^{-1} = x^{2}y</math>, donc les conjugués de ''y'' par les éléments de C sont les éléments de la forme <math>x^{2}y</math>, où ''x'' parcourt C.<br /> Si ''n'' est impair, les éléments <math>x^{2}</math>, où ''x'' parcourt C, représentent C tout entier; si ''n'' est pair, ces éléments sont en nombre n/2.<br /> Il reste à déterminer les conjugués de ''y'' par les éléments de D_2n \ C.<br /> Puisque C est d'indice 2 dans D_2n, les éléments de D_2n \ C sont les éléments de la forme ''xy'', où ''x'' parcourt C.<br /> Les conjugués de ''y'' par les éléments de D_2n \ C sont donc les éléments de la forme :<math>(xy)y(xy)^{-1} = (xy)y(y^{-1}x^{-1}) = xyx^{-1}</math>, donc les conjugués de ''y'' par les éléments de D_2n \ C sont les mêmes que les conjugués de ''y'' par les éléments de C, à savoir, d'après (2), les éléments de la forme <math>x^{2}y</math>, où ''x'' parcourt C. On tire facilement de ce qui précède que si ''n'' est pair, les différentes classes de conjugaison d'éléments de D_2n sont :<math>\{1\}, \{c^{n/2}\}, \{c, c^{n-1}\}, \{c^{2}, c^{n-2}\}, \ldots , \{c^{\frac{n}{2} - 1}, c^{\frac{n}{2} +1}\}, \{d, c^{2}d, \ldots , c^{n-2}d\}</math> et <math>\{cd, c^{3}d, \ldots , c^{n-1}d\}</math> et que si ''n'' est impair, les différentes classes sont :<math>\{1\}, \{c, c^{n-1}\}, \{c^{2}, c^{n-2}\}, \ldots , \{c^{(n-1)/2}, c^{(n+1)/2}\}</math> et <math>\{d, cd, \ldots , c^{n-1}d\}</math>. En particulier, le nombre des classes de conjugaison est égal à n/2 + 3 si ''n'' est pair et à (n+3)/2 si ''n'' est impair. }} Remarque. Cet exercice nous servira [[../../Caractères irréductibles de quelques groupes#Caractères irréductibles des groupes diédraux|dans un chapitre sur les caractères des groupes finis]]. == Problème 10 (Une caractérisation des groupes isomorphes à Dih(A) ) == a) On note respectivement <math>\bar{0}</math> et <math>\bar{1}</math> les éléments <math>0 + 2 \mathbb{Z}</math> et <math>1 + 2 \mathbb{Z}</math> du groupe <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> (noté additivement). Donc <math>\bar{1}</math> est l'unique élément d'ordre 2 de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} .</math><br /> Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, de neutre <math>1 = 1_{A}.</math> On pose :<math>A_{1} = A \times \{ \bar{0} \}</math> et <math>b = (1_{A}, \bar{1}) = (1, \bar{1}) .</math> Vérifier que :1°<math>\qquad A_{1}</math> est un sous-groupe de Dih(A) isomorphe à A; :2°<math>\qquad b</math> n'appartient pas à <math>A_{1}</math>; :3°<math>\qquad b</math> est un élément d'ordre 2 de Dih(A); :4°<math>\qquad </math>pour tout élément <math>x</math> de <math>A_{1}</math>, <math>b x b^{-1} = x^{-1}</math> (ce qui peut aussi s'écrire <math>b x b = x^{-1}</math>); :5°<math>\qquad A_{1}</math> et <math>b</math> engendrent Dih(A). {{clr}} {{Solution | contenu = Tout est banal et il ne devrait normalement y avoir aucune difficulté.<br /> Notons <math>\psi</math> l'unique homomorphisme : <math>c \mapsto \psi _{c}</math> de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> dans Aut(A) qui applique l'unique élément <math>\bar{1}</math> d'ordre 2 de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> sur l'automorphisme <math>a \mapsto a^{-1}</math> de A.<br /> Alors, par définition de Dih(A), :<math>Dih(A) = A \rtimes _{\psi} \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} .</math> D'après les propriétés générales du produit semi-direct, :(1)<math>\qquad A \times \{ \bar{0} \}</math> est un sous-groupe de <math>A \rtimes _{\psi} \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> et est isomorphe à A, ce qui prouve le point 1° de l'énoncé.<br /> Puisque, par définition, <math>b = (1_{A}, \bar{1}) = (1, \bar{1})</math> et que <math>\bar{1} \not= \bar{0}</math> dans <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math>, :(2)<math>\qquad b</math> n'appartient pas à <math>A_{1} = A \times \{ \bar{0} \}</math>, ce qui prouve le point 2° de l'énoncé.<br /> En particulier, :(2bis)<math>\qquad b</math> n'est pas l'élément neutre de Dih(A). D'autre part, :<math>b^{2} = (1, \bar{1}) (1, \bar{1})</math> dans Dih(A), :<math>b^{2} = (1 \psi _{\bar{1}}(1), \bar{1} + \bar{1})</math> :<math>b^{2} = (1 \cdot 1^{-1}, \bar{0})</math> :<math>b^{2} = (1, \bar{0})</math>, donc , compte tenu de (2bis), :(3)<math>\qquad b</math> est d'ordre 2 dans Dih(A), ce qui prouve le point 3° de l'énoncé.<br /> Soit <math>x</math> un élément de <math>A_{1} .</math><br /> Par définition de <math>A_{1}</math>, <math>x</math> est de la forme :<math>x = (a, \bar{0})</math>, avec <math>a \in A .</math> Donc d'après (3), :<math>b x b^{-1} = b x b</math> :<math>b x b^{-1} = (1, \bar{1})\ (a, \bar{0})\ (1, \bar{1})</math> :<math>b x b^{-1} = ( (1, \bar{1}) (a, \bar{0}) )\ (1, \bar{1})</math> :<math>b x b^{-1} = ( 1 \psi _{\bar{1}}(a), \bar{1} + \bar{0}) \ (1, \bar{1})</math> :<math>b x b^{-1} = ( a^{-1}, \bar{1}) (1, \bar{1})</math> :<math>b x b^{-1} = ( a^{-1} \psi _{\bar{1}}(1), \bar{1} + \bar{1})</math> :<math>b x b^{-1} = ( a^{-1} 1^{-1}, \bar{0})</math> :<math>b x b^{-1} = ( a^{-1}, \bar{0})</math> :<math>b x b^{-1} = ( a, \bar{0})^{-1}</math> :(4)<math>\qquad b x b^{-1} = x^{-1}</math>, ce qui prouve le point 4° de l'énoncé.<br /> D'après les propriétés générales du produit semi-direct, Dih(A), égal par définition au produit semi-direct <math>A \rtimes _{\psi} \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math>, est engendré par ses sous-groupes <math>A \times \{ \bar{0} \} = A_{1}</math> et <math>\{1\} \times \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} .</math> Comme <math>\{1\} \times \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> est engendré par son élément <math>b = (1, \bar{1})</math>, Dih(A) est donc engendré par <math>A_{1}</math> et <math>b</math>, ce qui prouve le point 5° de l'énoncé. }} b) Soit A un groupe abélien, soit D un groupe.<br /> Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i) D est isomorphe à Dih(A); :(ii) D est engendré par un sous-groupe <math>A_{D}</math> isomorphe à <math>A</math> et par un élément <math>b</math> d'ordre 2 n'appartenant pas à <math>A_{D}</math> et tel que, pour tout élément <math>x</math> de <math>A_{D}</math>, on ait <math>b x b^{-1} (= b x b) = x^{-1} .</math> {{Solution | contenu = L'implication <math>(i) \Rightarrow (ii)</math> est une conséquence immédiate du point a). Prouvons que, réciproquement, la condition (ii) entraîne la condition (i).<br /> Soit donc :(hyp. 1)<math>\qquad D</math> un groupe engendré par un sous-groupe <math>A_{D}</math> isomorphe à A et par un élément <math>b</math> d'ordre 2 n'appartenant pas à <math>A_{D}</math> et tel que, pour tout élément <math>x</math> de <math>A_{D}</math>, on ait <math>b x b^{-1} (= b x b) = x^{-1} .</math> Il s'agit de prouver que :(thèse 2)<math>\qquad D</math> est isomorphe à Dih(A). D'après l'hypothèse (1), :(3)<math>\qquad \langle b \rangle </math> est un sous-groupe d'ordre 2 de <math>D</math>; :(4)<math>\qquad \langle b \rangle </math> normalise <math>A_{D}</math>; :(5)<math>\qquad \langle b \rangle </math> coupe <math>A_{D}</math> trivialement. Puisque, d'après l'hypothèse (1), <math>D</math> est engendré par <math>A_{D}</math> et par <math>b</math>, nous avons :<math>D = \langle A_{D}, \langle b \rangle \rangle </math> Puisque, d'après (4), <math>\langle b \rangle </math> normalise <math>A_{D}</math>, le dernier résultat peut s'écrire :(6)<math>\qquad D = A_{D} \langle b \rangle .</math> D'après (4), (5) et (6), :(7)<math>\qquad D</math> est produit semi-direct interne de <math>A_{D}</math> par <math>\langle b \rangle .</math> Notons <math>\lambda : y \mapsto \lambda _{y}</math> l'homomorphisme de <math> \langle b \rangle </math> dans Aut(<math>A_{D}</math>) tel que, pour tout élément <math>y</math> de <math> \langle b \rangle </math>, <math>\lambda _{y}</math> soit l'automorphisme <math>x \mapsto y x y^{-1}</math> de <math>A_{D} .</math><br /> D'après le chapitre [[../../Produit semi-direct/]], il résulte de (7) que :<math>D</math> est isomorphe au produit semi-direct externe <math>A_{D} \rtimes _{\lambda} \langle b \rangle .</math> Prouver notre thèse (2) revient donc à prouver que :<math>A_{D} \rtimes _{\lambda} \langle b \rangle </math> est isomorphe à <math>A \rtimes _{\psi} \mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math>, où <math>\psi</math> désigne l'unique homomorphisme de <math>\mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math> dans Aut(A) qui applique l'élément d'ordre 2 de <math>\mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math> sur l'automorphisme <math>a \mapsto a^{-1}</math> de A.<br /> D'après le chapitre [[../../Produit semi-direct/]], il suffit pour cela de prouver que l'opération <math>\lambda</math> de <math>\langle b \rangle </math> sur <math>A_{D}</math> est quasi équivalente à l'opération <math>\psi</math> de <math>\mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math> sur <math>A .</math><br /> Il s'agit pour cela de prouver la thèse suivante : :(thèse 8)<math>\qquad </math> il existe un isomorphisme <math>f</math> de <math>\langle b \rangle </math> sur <math>\mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math> et un isomorphisme <math>g</math> de <math>A_{D}</math> sur <math>A</math> tels que, pour tout élément <math>\beta</math> de <math>\langle b \rangle </math> et tout élément <math>\alpha</math> de <math>A_{D}</math>, :<math>g(\lambda_{\beta}(\alpha)) = \psi_{f(\beta) } (g(\alpha) ) .</math> Prenons pour <math>f</math> l'unique isomorphisme de <math>\langle b \rangle </math> sur <math>\mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math> et pour <math>g</math> n'importe quel isomorphisme de <math>A_{D}</math> sur <math>A</math> (il existe un tel isomorphisme <math>g</math> d'après notre hypothèse (1) ).<br /> Pour <math>\beta = b</math> et n'importe quel <math>\alpha</math> dans <math>A_{D}</math>, nous avons :(9)<math>\qquad g(\lambda_{\beta}(\alpha)) = g(\alpha ^{-1}) = g(\alpha)^{-1}</math> et :<math>\qquad \psi_{f(\beta) } (g(\alpha) ) = \psi_{\bar{1}}(g(\alpha))</math> (où, comme au point a), <math>\bar{1}</math> désigne l'élément non nul de <math>\mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math> ), :(10)<math>\qquad \psi_{f(\beta) } (g(\alpha) ) = g(\alpha)^{-1} .</math> La comparaison de (9) et de (10) montre qu'avec notre « choix » de <math>f</math> et de <math>g</math>, notre thèse (8) est vraie pour <math>\beta = b .</math><br /> Si maintenant <math>\beta </math> est l'élément neutre 1 de <math>\langle b \rangle </math>, alors <math>\lambda_{\beta}(\alpha) = \alpha </math>, donc :(11)<math>\qquad g(\lambda_{\beta}(\alpha) ) = g(\alpha ) .</math> D'autre part, toujours dans le cas où <math>\beta = 1</math>, <math>f(\beta )</math> est l'élément neutre de <math>\mathbb{Z} /2 \mathbb{Z}</math>, donc :(12)<math>\qquad \psi_{f(\beta) } (g(\alpha) ) = g(\alpha ) .</math> La comparaison de (11) et de (12) montre qu'avec notre « choix » de <math>f</math> et de <math>g</math>, notre thèse (8) est également vraie pour <math>\beta = 1</math> et est donc vraie dans les deux cas possibles. Comme nous l'avons vu, la thèse (2) en résulte, ce qui prouve l'équivalence des conditions (i) et (ii) de l'énoncé. }} c) Soient A et B deux groupes abéliens isomorphes l'un à l'autre. Prouver que Dih(A) et Dih(B) sont isomorphes l'un à l'autre. (Indication : on peut utiliser le point b).) {{Solution | contenu = D'après le point a) (ou encore d'après le point b) ), :Dih(A) est engendré par un sous-groupe <math>A_{1}</math> isomorphe à <math>A</math> et par un élément <math>b</math> d'ordre 2 n'appartenant pas à <math>A_{1}</math> et tel que, pour tout élément <math>x</math> de <math>A_{1}</math>, on ait <math>b x b^{-1} (= b x b) = x^{-1} .</math><br /> Dans cet énoncé, « isomorphe à A » peut être remplacé par « isomorphe à B » ce qui donne : :Dih(A) est engendré par un sous-groupe <math>A_{1}</math> isomorphe à <math>B</math> et par un élément <math>b</math> d'ordre 2 n'appartenant pas à <math>A_{1}</math> et tel que, pour tout élément <math>x</math> de <math>A_{1}</math>, on ait <math>b x b^{-1} (= b x b) = x^{-1} .</math><br /> Compte tenu de l'implication <math>(ii) \Rightarrow (i)</math> démontrée au point b), il en résulte que Dih(A) est isomorphe à Dih(B). }} == Problème 11 (Une autre caractérisation des groupes isomorphes à Dih(A) ) == Comme dans le problème précédent, on notera respectivement <math>\bar{0}</math> et <math>\bar{1}</math> les éléments <math>0 + 2 \mathbb{Z}</math> et <math>1 + 2 \mathbb{Z}</math> du groupe <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> (noté additivement). Donc <math>\bar{1}</math> est l'unique élément d'ordre 2 de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} .</math><br /> Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, de neutre 1.<br /> a) Vérifier que :(i) le sous-groupe <math>A \times {\bar{0}}</math> de Dih(A) est d'indice 2 dans Dih(A); :(ii) tout élément de <math>Dih(A) \setminus (A \times {\bar{0}})</math> est d'ordre 2; :(iii) pour tout élément <math>a</math> de <math>A \times {\bar{0}}</math> et tout élément <math>t</math> de <math>Dih(A) \setminus (A \times {\bar{0}})</math>, <math>t a t^{-1} (= t a t) = a^{-1} .</math> {{Solution | contenu = Pour prouver le point a),on peut dire que d'après le chapitre [[../Produit semi-direct/]], :<math>\{1\} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}</math> est isomorphe au groupe quotient <math>Dih(A) / (A \times \{ \bar{0} \})</math>, donc ce quotient est d'ordre 2, donc :(1)<math>\qquad A \times \{{\bar{0}} \}</math> est d'indice 2 dans Dih(A). Il est d'ailleurs clair que tout élément de Dih(A) est congru à un des deux éléments <math>(1 , \bar{0})</math> et <math>(1 , \bar{1})</math> modulo le sous-groupe (normal) <math>A \times \{{\bar{0}}\}</math> de Dih(A) et que ces deux éléments ne sont pas congrus entre eux modulo <math>A \times \{{\bar{0}}\}</math>.<br /> Notons <math>\psi</math> l'unique homomorphisme : <math>c \mapsto \psi _{c}</math> de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> dans Aut(A) qui applique l'unique élément <math>\bar{1}</math> d'ordre 2 de <math>\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}</math> sur l'automorphisme <math>x \mapsto x^{-1}</math> de A. Donc :<math>Dih(A) = A \rtimes _{\psi} \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} .</math> Soit <math>t</math> un élément de <math>Dih(A) \setminus (A \times {\bar{0}}) .</math> Nous avons donc :<math>t = (a_{1}, \bar {1})</math>, avec <math>a_{1} \in A .</math> Donc :<math>t^{2} = (a_{1}, \bar {1}) \ (a_{1}, \bar {1})</math> :<math>t^{2} = (a_{1} \psi _{\bar {1}} (a_{1}), \bar {1} + \bar {1})</math> :<math>t^{2} = (a_{1} a_{1}^{-1}, \bar {0} )</math> :<math>t^{2} = (1, \bar {0} )</math>, donc (puisque <math>t</math> est distinct de l'élément neutre de Dih(A) ) :(2)<math>\qquad t</math> est d'ordre 2 dans Dih(A). Soit <math>a</math> un élément de <math>A \times {\bar{0}} .</math> Nous avons donc :<math>a = (a_{0}, \bar {0})</math>, avec <math>a_{0} \in A .</math> Alors, :(3)<math>\qquad t a t^{-1} = (a_{1}, \bar {1}) \ (a_{0}, \bar {0}) \ (a_{1}, \bar {1})^{-1} .</math> D'après (2), <math>t</math> est son propre inverse dans Dih(A), autrement dit :<math>\qquad (a_{1}, \bar {1})^{-1} = (a_{1}, \bar {1})</math>, donc (3) peut s'écrire :(4)<math>\qquad t a t^{-1} = (a_{1}, \bar {1}) \ (a_{0}, \bar {0}) \ (a_{1}, \bar {1}) .</math> Nous avons :<math>(a_{1}, \bar {1}) \ (a_{0}, \bar {0}) = (a_{1} \psi_{\bar {1}} (a_{0}) , {\bar {1}} + {\bar {0}}) = (a_{1} a_{0}^{-1}, \bar {1})</math> donc (4) peut s'écrire :<math>t a t^{-1} = (a_{1} a_{0}^{-1}, \bar {1}) \ (a_{1}, \bar {1})</math> :<math>t a t^{-1} = (a_{1} a_{0}^{-1} \psi _{\bar {1}} (a_{1}), \bar {1} + \bar {1})</math> :<math>t a t^{-1} = (a_{1} a_{0}^{-1} a_{1}^{-1}, \bar {0}) .</math> Puique A est abélien, <math>(a_{1} a_{0}^{-1} a_{1}^{-1} = a_{0}^{-1}</math>, donc le dernier résultat peut s'écrire :<math>t a t^{-1} = (a_{0}^{-1}, \bar {0})</math> :<math>t a t^{-1} = (a_{0}, \bar {0})^{-1}</math> :(5)<math>\qquad t a t^{-1} = a^{-1} .</math> Les résultats (1), (2) et (5) démontrent l'énoncé. }} b) Soit D un groupe. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i) D est isomorphe à Dih(A); :(ii) D contient un sous-groupe <math>A_{1}</math> d'indice 2 isomorphe à A et tel que tout élément de <math>D \setminus A_{1}</math> soit d'ordre 2. Prouver aussi que si <math>A_{1}</math> est tel qu'en (ii), alors, pour tout élément <math>a</math> de <math>A_{1}</math> et tout élément <math>t</math> de <math>D \setminus A_{1}</math>, <math>t a t^{-1} = a^{-1} .</math><br /> (Indication : pour prouver que (ii) entraîne (i), on peut utiliser le problème 10.) {{Solution | contenu = L'implication <math>(i) \Rightarrow (ii)</math> résulte immédiatement du point a).<br /> Réciproquement, supposons (ii) et prouvons (i).<br /> Choisissons :(1)<math>\qquad </math>un élément <math>t_{0}</math> de <math>D \setminus A_{1} .</math> Puisque nous supposons que la condition (ii) de l'énoncé est satisfaite, :(2)<math>\qquad t_{0}</math> est d'ordre 2. Soit <math>a</math> un élément de <math>A_{1} .</math><br /> Puisque nous avons choisi <math>t_{0}</math> hors de <math>A_{1}</math>, :<math>\qquad t_{0} \ a</math> n'appartient pas à <math>A_{1}</math>, donc, puisque nous supposons que la condition (ii) de l'énoncé est satisfaite, :<math>\qquad t_{0} \ a \ t_{0} \ a = 1 .</math> Autrement dit, pour tout élément <math>a</math> de <math>A_{1}</math>, :<math>\qquad t_{0} \ a \ t_{0} = a^{-1} .</math> D'après (2), cela peut s'écrire :(3)<math>\qquad t_{0} \ a \ t_{0}^{-1} = a^{-1} .</math> D'autre part, puisque nous avons choisi <math>t_{0}</math> hors de <math>A_{1}</math> et que (d'après l'hypothèse (ii) de l'énoncé) <math>A_{1}</math> est d'indice 2 dans D, il résulte de la formule des indices que :(4)<math>\qquad A_{1}</math> et <math>t_{0}</math> engendrent D. De (1), (2), (3), (4) et du problème 10, il résulte que D est isomorphe à Dih(A), ce qui prouve, comme annoncé, que la condition (ii) de l'énoncé entraîne la condition (ii). Donc le point 1° de l'énoncé est démontré.<br /> Le point 2° de l'énoncé a en fait déjà été démontré dans la preuve de l'implication <math>(ii) \Rightarrow (i)</math>, car le raisonnement qu'on y a tenu sur un élément <math>t_{0}</math> choisi dans <math>D \setminus A_{1}</math> est valable pour tout élément <math>t</math> de <math>D \setminus A_{1} .</math> }} == Problème 12 (Classification des groupes d'ordre 18) == Soit <math>p</math> un nombre premier impair (autrement dit un nombre premier distinct de 2). On va classifier les groupes d'ordre <math>2 p^{2}</math> (et donc, en particuler, les groupes d'ordre 18). Dans le chapitre [[../../Groupes commutatifs finis, 1/]], nous avons classifié tous les groupes abéliens d'un ordre fini donné, donc il suffit de classifier les groupes non abéliens d'ordre <math>2 p^{2} .</math> Nous allons prouver que tout groupe non abélien d'ordre <math>2 p^{2}</math> est isomorphe soit à <math>D_{2 p^{2}}</math>, soit à <math>Dih(\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ p \mathbb{Z})</math>, soit à <math>\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z} \times D_{2 p}</math> (où <math>\times</math> désigne le produit direct).<br /> Soit G un groupe non abélien d'ordre <math>2 p^{2}</math>. On choisit une fois pour toutes dans G un élément <math>s</math> d'ordre 2 (involution). a) Prouver que G a un seul p-sous-groupe de Sylow, qui sera noté P, et que P est isomorphe à <math>\mathbb{Z}/ p^{2} \mathbb{Z}</math> ou à <math>\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}</math>. En particulier, P est abélien. {{Solution | contenu = D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est <math>\equiv 1 \pmod{p}</math> et divise 2, donc est égal à 1. (On peut aussi dire qu'un p-sous-groupes de Sylow de G est d'indice 2 dans G et donc normal dans G, ce qui, comme on le sait, entraîne que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow.) Le reste de l'énoncé résulte du fait que P est d'ordre <math>p^{2}</math> et d'une description des groupes d'ordre <math>p^{2}</math> (avec ''p'' premier) qui a été donnée dans la série d'exercices [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]]. }} b) Prouver que G est engendre par P et s et que, plus précisément, <math>G = P \ \langle s \rangle .</math> {{Solution | contenu = On peut dire par exemple que le sous-groupe <math>\langle P, s \rangle</math> de G est d'ordre divisible par <math>\vert P \vert = p^{2}</math> et par <math>\vert \langle s \rangle \vert = 2</math>, donc par <math>2 p^{2}</math>, donc <math>\vert \langle P, s \rangle \vert = G .</math> On a vu au point a) que P est normal dans G, donc le résultat peut s'écrire <math>G = P \ \langle s \rangle .</math> }} c) On suppose que P est cyclique (et donc isomorphe à <math>\mathbb{Z} / p^{2} \mathbb{Z} </math>). Prouver que G est isomorphe à <math>D_{2 p^{2}} .</math><br /> (Indication : examiner comment <math>s</math> agit par conjugaison sur un générateur de P.) {{Solution | contenu = Rappelons qu'on a choisi un élément <math>s</math> d'ordre 2 dans G.<br /> Choisissons un générateur <math>a</math> de P, c'est-à-dire un élément d'ordre <math>p^{2}</math> de P.<br /> Puisque, d'après le point a), P est normal dans G, <math>s a s^{-1}</math> appartient à P. Donc, puisque P est engendré par <math>a</math>, il existe un nombre naturel <math>n</math> tel que :(1)<math>\qquad s \ a \ s^{-1} = a^{n} .</math> En appliquant aux deux membres l'automorphisme <math>t \mapsto t^{-1}</math> de G, on obtient :<math>\qquad s^{2} \ a \ s^{-2} = (s \ a \ s^{-1})^{n}.</math> Puisque <math>s</math> est d'ordre 2, le premier membre est égal à <math>a</math>. D'autre part, d'après (1), on peut remplacer dans le second membre <math>s \ a \ s^{-1}</math> par <math>a^{n} .</math> Donc :<math>\qquad a = a^{n^{2}}</math> :<math>\qquad a^{n^{2}-1} = 1</math>, d'où, puisque <math>a</math> est d'ordre <math>p^{2}</math>, :<math>\qquad n^{2} \equiv 1 \pmod{p^{2}} </math>, :(2)<math>\qquad (n-1)\ (n + 1)\equiv 0 \pmod{p^{2}} .</math> Ceci entraîne en particulier qu'un au moins des deux nombres <math>n-1</math>, <math>n+1</math> est divisible par <math>p .</math> Puisque <math>p</math> est un nombre impair > 1, la différence entre <math>n-1</math> et <math>n+1</math>, qui est égale à 2, n'est pas divisible par <math>p</math>, donc un seul des nombres <math>n-1</math>, <math>n+1</math> est divisible par <math>p .</math> Dès lors, puisque <math>p</math> est un nombre premier, il résulte de (2) que :(3)<math>\qquad n \equiv 1 \pmod{p^{2}}</math> ou <math>n \equiv -1 \pmod{p^{2}} .</math> Si :hyp. (4)<math>\qquad n \equiv 1 \pmod{p^{2}}</math>, la relation (1) donne <math>s \ a \ s^{-1} = a</math>, donc <math>s</math> commute avec <math>a</math>. On a vu au point b) que G est engendré par P et par <math>s</math>, ce qui, dans les hypothèses du présent point c), revient à dire que G est engendré par ses sous-groupes <math>\langle a \rangle</math> et <math>\langle s \rangle .</math> Ces deux sous-groupes sont abéliens et nous avons vu que dans notre hypothèse (4), ils se centralisent, donc G est abélien, ce qui est contraire aux hypothèses générales du problème. Donc notre hypothèse (4) est absurde, c'est-à-dire que <math>n \not\equiv 1 \pmod{p^{2}}</math>, donc, d'après (3) :<math>\qquad n \equiv -1 \pmod{p^{2}}</math>, donc, d'après (1), :<math>\qquad s \ a \ s^{-1} = a^{-1} .</math> Ainsi, G est engendré par un élément <math>a</math> d'ordre <math>p^{2}</math> et par un élément <math>s</math> d'ordre 2 de <math>G \setminus \langle a \rangle</math> tel que <math>s \ a \ s^{-1} = a^{-1} .</math> D'après le [[../../Groupes diédraux/|chapitre théorique]], il en résulte que G est isomorphe au groupe diédral <math>D_{2p^{2}}</math>, ce qui démontre le point c). }} d) On suppose maintenant que P est isomorphe au produit direct <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z}</math> et qu'il y a au moins un sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P qui n'est pas normalisé par <math>s .</math> Prouver que G est isomorphe au produit direct <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times D_{2p}.</math><br /> Indication : on peut prouver qu'il existe un sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P qui est centralisé par <math>s</math> et un autre sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P sur lequel la conjugaison par <math>s</math> agit par inversion. {{Solution | contenu = D'après les hypothèses du point d), on peut trouver deux différents sous-groupes <math>H_{1}</math> et <math>H_{2}</math> d'ordre <math>p</math> de P tels que :(1)<math>\qquad s H_{1} s^{-1} (= s H_{1} s) = H_{2} .</math> Choisissons un élément :(2)<math>\qquad x</math> d'ordre <math>p</math> dans <math>H_{1}</math> et posons :(3)<math>\qquad s x s^{-1} = y .</math> D'après (1), :(4)<math>\qquad y</math> est un élément (d'ordre <math>p</math>) de <math>H_{2} .</math> En appliquant l'automorphisme <math>t \mapsto s t s^{-1}</math> de G aux deux membres de (3), nous obtenons :<math>\qquad s^{2} x s^{-2} = s y s^{-1} .</math> Puisque <math>s</math> est d'ordre 2, le membre gauche est égal à <math>x</math>, donc :(5)<math>\qquad s y s^{-1} = x .</math> En multipliant (3) et (5) membre à membre, on obtient :(6)<math>\qquad s x y s^{-1} = y \ x .</math> Puisque P est abélien et que (P étant l'unique p-sous-groupe de Sylow de G) <math>x</math> et <math>y</math> appartiennent à P, <math>x</math> et <math>y</math> commutent, donc (6) peut s'écrire :(7)<math>\qquad s \ x \ y \ s^{-1} = x \ y .</math> D'autre part, puisque <math>H_{1}</math> et <math>H_{2}</math> sont deux différents sous-groupes d'ordre <math>p</math> de P, :(8)<math>\qquad H_{1} \cap H_{2} = 1 .</math> D'après (2) et (4), <math>x</math> appartient à <math> H_{1}</math> et <math>y</math> à <math> H_{2}</math>, donc si on avait <math>x \ y = 1</math>, autrement dit <math>x = y^{-1}</math>, on aurait <math>x \in H_{1} \cap H_{2}</math>, d'où, d'après (8), <math>x = 1</math>, ce qui contredit le choix (2) de <math>x .</math> Donc :(9)<math>\qquad x \ y \not= 1 .</math> Puisque <math>x</math> et <math>y</math> appartiennent à P et que, par hypothèse du point d), P est isomorphe à <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z}</math>, il résulte de (9) que <math>x \ y</math> est d'ordre <math>p</math>, donc (7) montre que :(10)<math>\qquad s</math> centralise un sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P. En passant aux inverses dans (5), on obtient :<math>\qquad s \ y^{-1} \ s^{-1} = x^{-1}</math> et en multipliant cela membre à membre avec (3) :(11)<math>\qquad s \ x \ y^{-1} \ s^{-1} = y \ x^{-1} .</math> De même qu'on a déduit (9) (à savoir <math>x \ y \not= 1</math>) de (8) (à savoir <math>H_{1} \cap H_{2} = 1</math>), on montre que :<math>\qquad x \ y^{-1} \not= 1</math>, donc (puisque <math>x</math> et <math>y^{-1}</math> commutent et sont d'ordre <math>p</math>) :<math>\qquad x \ y^{-1}</math> est d'ordre <math>p .</math> Donc, d'après (10) et (11), nous avons trouvé :(12)<math>\qquad </math> deux différents sous-groupes H et K d'ordre <math>p</math> de P tels que :(13)<math>\qquad s</math> centralise H et que :(14)<math>\qquad </math> la conjugaison par <math>s</math> inverse chaque élément de K. D'après (14), <math>s</math> normalise K et ne le centralise pas, donc :<math>\langle s, K \rangle</math>, égal à <math>\langle s \rangle \ K</math>, est un groupe non abélien d'ordre <math>2p</math>, donc, d'après le problème 2, :(15)<math>\qquad \langle s \rangle \ K</math> est isomorphe au groupe diédral <math>D_{2p} .</math> Prouvons que :(thèse 16)<math>\qquad H \cap (\langle s \rangle \ K) = 1 .</math> Soit <math>h</math> un élément de H appartenant aussi à <math>\langle s \rangle \ K</math>; il s'agit de prouver que <math>h = 1 .</math><br /> Nous avons <math>h = s^{i}\ k</math> où <math>i</math> est un nombre naturel et <math>k</math> un élément de K, d'où :(17)<math>\qquad h \ k^{-1} = s^{i} .</math> Puisque <math>h</math> et <math>k^{-1}</math> appartiennent à P, l'ordre du membre gauche de (17) est une puissance de <math>p .</math> D'autre part, puisque <math>s</math> est d'ordre 2, l'ordre du second membre de (17) divise 2. Donc l'ordre de <math>h \ k^{-1}</math> est une puissance de <math>p</math> qui divise 2, donc cet ordre est égal à 1, donc <math>h = k</math>, donc :(18)<math>\qquad h \in H \cap K .</math> D'après (12), H et K sont deux différents sous-groupes d'ordre <math>p</math> de P, donc <math>H \cap K = 1</math>, donc (18) donne <math>h = 1 .</math> Comme nous l'avons vu, cela prouve notre thèse (16), à savoir :(19)<math>\qquad H \cap (\langle s \rangle \ K) = 1 .</math> D'autre part, H et K engendrent P, donc <math>\langle s \rangle</math> et P sont tous deux contenus dans le sous-groupe de G engendré par H et <math>\langle s \rangle K</math>, donc H et <math>\langle s \rangle K</math> engendrent <math>\langle s \rangle P</math>, c'est-à-dire, d'après le point b), que :(20)<math>\qquad</math>H et <math>\langle s \rangle K</math> engendrent G. Enfin, H centralise K (puisque H et K sont contenus dans le groupe abélien P) et, d'après (13), il centralise <math>\langle s \rangle</math>, donc :(21)<math>\qquad</math>H centralise <math>\langle s \rangle K .</math> De (19), (20) et (21) résulte que :(22)<math>\qquad</math>G est produit direct de <math>H</math> et <math>\langle s \rangle K .</math> Puisque H est d'ordre <math>p</math> et que, d'après (15), <math>\langle s \rangle \ K</math> est isomorphe à <math>D_{2p}</math>, il résulte de (22) que :<math>\qquad</math>G est isomorphe à <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times D_{2p}</math>, ce qui démontre le point d). }} e) On suppose maintenant que P est isomorphe à <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z}</math> et que tout sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P est normalisé par <math>s .</math> Prouver que G est isomorphe à <math>Dih(\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z}) .</math> {{Solution | contenu = Soit H un sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P. Choisissons un générateur <math>h</math> de H.<br /> D'après les hypothèses du point e), <math>s</math> normalise H, donc :<math>\qquad shs^{-1}</math> appartient à H, donc, puisque <math>h</math> engendre H, nous avons :(1)<math>\qquad shs^{-1} = h^{n}</math> pour un certain nombre naturel <math>n .</math> En appliquant aux deux membres de cette égalité l'automorphisme <math>t \mapsto sts^{-1}</math> de G, nous trouvons :(2)<math>\qquad s^{2}hs^{-2} = (shs^{-1})^{n} .</math> Puisque <math>s</math> est d'ordre 2, le membre gauche de (2) égale <math>h</math>; d'autre part, d'après (1), le membre droit de (2) égale <math>h^{n^{2}} .</math> Donc :<math>\qquad h = h^{n^{2}}</math>, :<math>\qquad h^{n^{2}-1} = 1 .</math> Puisque <math>h</math> est d'ordre <math>p</math>, on a donc :<math>\qquad n^{2}-1 \equiv 0 \pmod{p}</math> :<math>\qquad (n-1) (n+1) \equiv 0 \pmod{p}</math>, donc <math>n</math> est congru à 1 ou à -1 modulo <math>p</math>, donc d'après (1), :<math>\qquad shs^{-1}</math> est égal à <math>h</math> ou à <math>h^{-1}</math> Donc :(3)<math>\qquad </math>ou bien <math>s</math> centralise H ou bien la conjugaison par <math>s</math> inverse chaque élément de H. Si <math>s</math> centralisait tous les sous-groupes d'ordre <math>p</math> de P, il centraliserait P (car P, étant supposé isomorphe à <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z}</math>, est la réunion de ses sous-groupes d'ordre <math>p</math>), donc (puisque, d'après le point b), G est engendré par P et <math>\langle s \rangle</math>, qui sont abéliens) G serait abélien, ce qui est contraire aux hypothèses générales.<br /> Donc <math>s</math> ne centralise pas tous les sous-groupes d'ordre <math>p</math> de P, donc, d'après (3), :<math>\qquad </math>il existe un sous-groupe <math>H_{0}</math> d'ordre <math>p</math> de P tel que :(4)<math>\qquad </math> pour tout <math>h</math> dans <math>H_{0}</math>, <math>shs^{-1} = h^{-1} .</math> Choisissons un élément <math>h_{0}</math> d'ordre <math>p</math> dans <math>H_{0}</math>; donc :(5)<math>\qquad sh_{0}s^{-1} = h_{0}^{-1} .</math> Supposons que, par absurde, :(hyp. 6)<math>\qquad s</math> centralise un sous-groupe <math>H_{1}</math> d'ordre <math>p</math> de P. D'après (4), nous avons donc :(7)<math>\qquad H_{0} \not= H_{1}</math>, d'où (puisque <math>H_{0}</math> et <math>H_{1}</math> sont d'ordre premier) <math>H_{0} \cap H_{1} = 1.</math> Choisissons un élément <math>h_{1}</math> d'ordre <math>p</math> dans <math>H_{1}</math>; d'après l'hypothèse (6), :(8)<math>\qquad sh_{1}s^{-1} = h_{1} .</math> En multipliant cette égalité membre à membre avec (5), on obtient :(9)<math>\qquad sh_{0}h_{1}s^{-1} = h_{0}^{-1}h_{1},</math> d'où :(10)<math>\qquad s \langle h_{0}h_{1} \rangle s^{-1} = \langle h_{0}^{-1}h_{1} \rangle .</math> Prouvons que :(thèse 11)<math>\qquad \langle h_{0}h_{1} \rangle </math> et <math>\langle h_{0}^{-1} h_{1} \rangle </math> sont deux différents sous-groupes d'ordre <math>p</math> de P. Puisque <math>h_{0}</math> et <math>h_{1}</math> appartiennent tous deux à P, <math>h_{0} h_{1}</math> appartient à P et est donc d'ordre 1 ou P. Si <math>h_{0} h_{1}</math> était d'ordre 1, on aurait <math>h_{0} h_{1} = 1</math>, <math>h_{0} = h_{1}^{-1}</math>, donc :(12)<math>\qquad h_{0}</math> appartiendrait à <math>H_{0} \cap H_{1} .</math> Mais, d'après (7), <math>H_{0} \cap H_{1} = 1</math>, donc, d'après (12), on aurait <math>h_{0} = 1</math>, ce qui contredit le choix de <math>h_{0} .</math> La contradiction obtenue prouve que :(13)<math>\qquad h_{0} h_{1}</math> et, de même, <math>h_{0}^{-1} h_{1}</math> sont d'ordre <math>p .</math> Supposons que, par absurde, on ait :(hyp. 14)<math>\quad \langle h_{0} h_{1} \rangle = \langle h_{0}^{-1} h_{1} \rangle .</math> Alors <math>h_{0} h_{1}</math> et <math>h_{0}^{-1} h_{1}</math> appartiendraient tous deux à <math>\langle h_{0} h_{1} \rangle </math>, donc <math>h_{0} h_{1} (h_{0}^{-1} h_{1})^{-1}</math> appartiendrait à <math>\langle h_{0} h_{1} \rangle </math>, c'est-à-dire que <math>h_{0}^{2}</math> appartiendrait à <math>\langle h_{0} h_{1} \rangle .</math> Puisque <math>h_{0}</math> est d'ordre <math>p</math> impair, <math>h_{0}</math> est une puissance de <math>h_{0}^{2}</math>, donc <math>h_{0}</math> appartiendrait à <math>\langle h_{0} h_{1} \rangle .</math> On aurait donc <math>\langle h_{0} \rangle \subseteq \langle h_{0} h_{1} \rangle</math>. Comme, par choix de <math>h_{0}</math> et d'après (13), les deux membres sont de cardinal <math>p</math>, on aurait donc <math>\langle h_{0} \rangle = \langle h_{0} h_{1} \rangle</math>, d'où <math> h_{0} h_{1} \in \langle h_{0} \rangle</math>, d'où <math> h_{1} \in \langle h_{0} \rangle</math>, d'où, de nouveau pour motif de cardinal, <math> \langle h_{0} \rangle =\langle h_{1} \rangle</math>, <math>H_{0} = H_{1}</math>, ce qui contredit (7). Cette contradiction prouve que notre hypothèse (14) est absurde, donc <math>\langle h_{0} h_{1} \rangle \not= \langle h_{0}^{-1} h_{1} \rangle .</math> Joint à (13), cela prouve notre thèse (11), à savoir que :<math>\qquad \langle h_{0}h_{1} \rangle </math> et <math>\langle h_{0}^{-1} h_{1} \rangle </math> sont deux différents sous-groupes d'ordre <math>p</math> de P. Dès lors, (10) montre qu'il existe au moins un sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P qui n'est pas normalisé par <math>s</math>, ce qui contredit les hypothèses du point e). La contradiction obtenue prouve que notre hypothèse (6) est absurde, donc <math>s</math> ne centralise aucun sous-groupe d'ordre <math>p</math> de P. Donc, d'après (3), :(16)<math>\qquad</math>la conjugaison par <math>s</math> inverse chaque élément de P. Puisque <math>s</math> est un élément d'ordre 2 de G, que (P étant d'ordre impair) <math>s</math> n'appartient pas à P, que P est isomorphe à <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z}</math> et que, d'après le point b), P et <math>s</math> engendrent G, il résulte de (16) et du problème (10) que :<math>\qquad G</math> est isomorphe à <math>Dih(\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z})</math>, ce qui démontre le point e). }} Puisque les cas c), d) et e) représentent tous les cas possibles, nous avons prouvé l'énoncé général, à savoir que tout groupe non abélien d'ordre <math>2p^{2}</math> est isomorphe à <math>D_{2p^{2}}</math>, à <math>Dih(\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /p \mathbb{Z})</math> ou à <math>\mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \times D_{2p} .</math> En faisant <math>p = 3</math>, nous obtenons une classification des groupes d'ordre 18. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Produit semi-direct/]] | suivant = [[../Holomorphe d'un groupe/]] }} 8ww5d9twgzme1wst164vsqk618mrdl1 0 73475 982929 961838 2026-05-19T15:57:10Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982929 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 2 | niveau = 14 | précédent = [[../Les torseurs/]] | suivant = [[../Les matrices carrées, leur réduction, généralités/]] }} == Introduction des « matrices » en mathématiques == {{Al|5}}En mathématiques, les « [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, en termes calculatoires, <br />{{Al|5}}{{Transparent|En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, }}les résultats théoriques de l'[[w:Algèbre_linéaire|algèbre linéaire]] <ref name="algèbre linéaire"> Branche des mathématiques s'intéressant aux [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]] <math>\;\Big\{</math>ensembles <math>\;E\;</math> définis sur un [[w:Corps_commutatif#Définition_et_exemples|corps commutatif]] <math>\;K\;</math> comme le [[w:Corps_(mathématiques)|corps]] <math>\;\mathbb{R}\;</math> des réels, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> }}munis de deux lois : <math>\triangleright\;</math>une loi de composition interne notée «<math>\;+\;</math>» appelée « addition ou [[w:Somme_vectorielle|somme vectorielle]] » <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> munis de deux lois : <math>\color{transparent}{\triangleright}\;</math>une loi de composition interne }}«<math>\;E^2\;\overset{+}{\rightarrow}\;E\;</math>» ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> munis de deux lois : }}<math>\triangleright\;</math>une loi de composition externe à gauche notée «<math>\;\cdot\;</math>» appelée « [[w:Multiplication_par_un_scalaire|multiplication par un scalaire]] » <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> munis de deux lois : <math>\color{transparent}{\triangleright}\;</math>une loi de composition externe à gauche }}«<math>\;K \times E\;\overset{\cdot}{\rightarrow}\;E\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> }}avec les propriétés suivantes : <math>\succ\;</math><math>(E,\;+)\;</math> est un [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big[</math>la loi «<math>\;+\;</math>» est associative, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{+}\;</math>» }}admet un élément neutre noté <math>\;0_E\;</math> appelé vecteur nul et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{+}\;</math>» est }}telle que tout vecteur <math>\;v\;</math> a un opposé <math>\;-v\;</math>, de plus <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{+}\;</math>» }}est commutative<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : }}<math>\succ\;</math>la loi «<math>\;\cdot\;</math>» est [[w:Distributivité|distributive]] à gauche par rapport à la loi «<math>\;+\;</math>» de <math>\;E</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big[</math>pour <math>\;\lambda \in K\;</math> et <math>\;\left( u\,,\,v \right) \in E^2</math>, <math>\;\lambda \cdot \left( u + v \right) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{\cdot}\;</math>» est distributive }}à droite par rapport à l'addition de <math>\;K</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big[</math>pour <math>\;\left( \lambda\,,\,\mu \right) \in K^2\;</math> et <math>\;u \in E</math>, <math>\;\left( \lambda + \mu \right) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{\cdot}\;</math>» est }}associative mixte par rapport à la multiplication dans <math>\;K</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big[</math>pour <math>\;\left( \lambda\,,\,\mu \right) \in K^2\;</math> et <math>\;u \in E</math>, <math>\;\left( \lambda\;\mu \right) \cdot u = \lambda \cdot \left( \mu \cdot u \right)\big]</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{\cdot}\;</math>» est }}telle que l'élément neutre multiplicatif de <math>\;K\;</math> noté <math>\;1_K\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{\cdot}\;</math>» est telle que l'élément neutre }}est neutre à gauche pour «<math>\;\cdot\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>ensembles <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> avec les propriétés suivantes : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la loi «<math>\;\color{transparent}{\cdot}\;</math>» est telle que l'élément neutre }}<math>\big[</math>pour <math>\;u \in E</math>, <math>\;1_K \cdot u = u\big]\Big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Niels_Henrik_Abel|Niels Henrich Abel]] (1802 - 1829)''' mathématicien norvégien, connu pour ses travaux divers en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]] et aussi sur la [[w:Théorème_d'Abel_(algèbre)|résolution des équations en algèbre]] <math>\;\ldots</math></ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, les résultats théoriques }}des [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] <ref name="application linéaire"> Pour <math>\;E\;</math> et <math>\;F\;</math> deux [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]] à gauche sur un même [[w:Corps_(mathématiques)|corps]] <math>\;K</math>, l'application <math>\;f\;:\;E\;\rightarrow\;F\;</math> est dite linéaire <math>\;\big(</math>c'est alors un [[w:Morphisme#Cas_des_espaces_vectoriels|morphisme]] de <math>\;K</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]]<math>\big)\;</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> deux espaces vectoriels à gauche sur un même corps <math>\;\color{transparent}{K}</math>, l'application <math>\;\color{transparent}{f\;:\;E\;\rightarrow\;F}\;</math> est dite linéaire }}ssi <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \forall\;\left( u\,,\, v \right) \in E^2,\qquad \!\!&f(u + v) \!\!&= f(u) + f(v)\\ \forall\;\lambda \in K,\;\forall\;u \in E, \quad \!\!&f(\lambda\;u) \!\!&= \lambda\;f(u)\end{array}\right\rbrace</math>.</ref>. [[Fichier:Matrice.svg|thumb|left|300px]] {{Al|5}}Une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;m \times n\;</math> <math>\big\{</math>avec <math>\;\left( m\,,\,n \right) \in \left[ \mathbb{N}^{*} \right]^2\;</math><ref name="matrice vide"> En toute rigueur il est possible d'admettre les valeurs nulles pour <math>\;m\;</math> ou <math>\;\big(</math>et<math>\big)</math> <math>\;n</math>, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] correspondante en absence de lignes ou <math>\;\big(</math>et<math>\big)\;</math> de colonnes définit la « [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] vide » ; <br>{{Al|3}}pour l'exposé que nous faisons par la suite son introduction n'a pas d'intérêt d'où la limitation de <math>\;\left( m\,,\,n \right)\;</math> à <math>\;\left[ \mathbb{N}^{*} \right]^2\;</math>.</ref>{{,}}<ref name="dimension de la matrice"> Le couple <math>\;\left( m\,,\,n \right)\;</math> est appelé « dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math>» de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]].</ref> tels qu'au moins un des nombres est <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1\;</math><ref name="dimension ( 1 , 1)"> Les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de taille <math>\;\left( 1\,,\, 1 \right)\;</math> théoriquement possibles sont aussi éliminées <math>\;\big[</math>car leurs propriétés s'identifient pratiquement à celles d'un élément de <math>\;K\big]</math>, <br>{{Al|3}}elles n'interviendront pas dans l'exposé de cette leçon d'où l'ajout qu'« au moins un des nombres de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> doit être <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1\;</math>».</ref><math>\big\}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une matrice <math>\;\color{transparent}{m \times n}\;</math> }}est un tableau rectangulaire <math>\;\left[ A \right]\;</math> de <math>\;m\;</math> lignes et <math>\;n\;</math> colonnes, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une matrice <math>\;\color{transparent}{m \times n}\;</math> }}le terme générique de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> définie sur <math>\;\mathbb{R}\;</math><ref name="ou sur C"> Nous nous limiterons a priori aux [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] définies sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> mais tout ce qui est exposé pourrait être répété pour les matrices définies sur <math>\;\mathbb{C}\;\ldots</math></ref>, noté <math>\;a_{i,\,j}\;</math><ref name="terme générique"> Le terme générique de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> définie sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> est donc tel que <math>\;a_{i,\,j} \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|3}}celui d'une matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> définie sur <math>\;\mathbb{C}\;</math> serait tel que <math>\;a_{i,\,j} \in \mathbb{C}\;\ldots</math></ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une matrice <math>\;\color{transparent}{m \times n}\;</math> le terme générique }}occupant la case de la i^ème ligne et la j^ème colonne, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une matrice <math>\;\color{transparent}{m \times n}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] étant encore notée <math>\;\left( a_{i,\,j} \right)_{1 \leqslant i \leqslant m\,,\, 1 \leqslant j \leqslant n}\;</math><ref name="notation simplifiée de matrice"> Ou plus simplement <math>\;\left( a_{i,\,j} \right)\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; <br />{{Al|5}}les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] : <br />{{Al|5}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] nulle si <math>\;a_{i,\,j} = 0\;\;\forall\; \left( i\,,\,j \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] si <math>\;n = 1</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] si <math>\;m = 1\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] si <math>\;m = n \neq 1\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] triangulaire supérieure pour une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] telle que <math>\;a_{i,\,j} = 0\;\;\forall\; j > i\;</math> et <math>\;\exists\;\left( i,\, j \leqslant i \right)\;:\;a_{i,\,j} \neq 0\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] triangulaire inférieure pour une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] telle que <math>\;a_{i,\,j} = 0\;\;\forall\; j < i\;</math> et <math>\;\exists\;\left( i,\, j \geqslant i \right)\;:\;a_{i,\,j} \neq 0\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice diagonale]] pour une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] telle que <math>\;a_{i,\,j} = 0\;\;\forall\; j \neq i\;</math><ref name="éléments extradiagonaux"> Ces éléments sont appelés « extradiagonaux ».</ref> et <math>\;\exists\;j\;:\;a_{j,\,j} \neq 0\;</math><ref name="éléments diagonaux"> Ces éléments sont appelés « diagonaux ».</ref> » et <br />{{Al|89}}{{Transparent|les appellations suivantes }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Matrice_identité|matrice identité]] notée <math>\;\left[ I \right]\;</math> pour une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice diagonale]] telle que <math>\;\forall\;j\;:\; i_{j,\,j} = 1\;</math>». <br />{{Al|89}} Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> à des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] définies sur <math>\;\mathbb{R}</math>. == Opérations sur les matrices == === Transposition de matrices === {{Définition| contenu={{Al|5}}Soit une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] «<math>\;\left[ A \right] = \left( a_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i \,\leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math><ref name="notation simplifiée de matrice" /> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\,n \right)\;</math>», on appelle <br />{{Al|8}}{{Transparent|Soit }}« <u>[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] de</u><math>\;\left[ A \right]\;</math>» « <u>la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]]</u> notée <math>\;^{t\!}\left[ A \right]\;</math><ref name="autre notation de la matrice transposée"> Ou <math>\;\left[ A \right]^T\;</math> ou encore <math>\;\left[ A \right]^t</math>.</ref> <u>de dimension</u><math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( n\,,\,m \right)\;</math>» telle que <br />{{Al|6}}{{Transparent|Soit « matrice transposée de<math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» « la matrice notée }}«<math>\;^{t\!}\left[ A \right] = \left( a_{j,\,i} \right)_{1 \leqslant j \leqslant n\,,\, 1 \leqslant i \leqslant m}\;</math>»<ref name="notation simplifiée de matrice transposée"> Ou plus simplement <math>\;\left( a_{j,\,i} \right)\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>.}} [[Fichier:Matrix transpose.gif|thumb||200px|upright=0.5]] {{Al|5}}<u>Exemple</u> : soit la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right]\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3\,,\,2 \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : soit }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] de <math>\;\left[ A \right]\;</math> est la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 2\,,\,3 \right)\;</math> s'écrivant <math>\;^{t\!}\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\end{array} \right]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : soit la matrice transposée }}elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale<ref name="diagonale principale"> La diagonale principale d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] est l'ensemble des positions pour lesquelles le numéro de ligne est égal au numéro de colonne.</ref> de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : soit la matrice transposée elle s'obtient pratiquement }}<math>\big(</math>ou en permutant lignes et colonnes de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de départ<math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : soit }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] de <math>\;^{t\!}\left[ A \right]\;</math> redonnant la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> soit <math>\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[ A \right] \right\rbrace = \;\left[ A \right]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] <math>\;^{t\!}\left[ A \right]\;</math><ref name="notations simplifiées"> Sur l'animation la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> est simplement notée <math>\;A</math>, la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] <math>\;^{t\!}\left[ A \right]\;</math> simplement notée <math>\;A^T\;</math> et la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] <math>\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[ A \right] \right\rbrace\;</math> notée <math>\;\left( A^T \right)^T</math>.</ref> de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math><ref name="notations simplifiées" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser }}son itération <math>\;\Big(</math>c.-à-d. la formation de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] <math>\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[ A \right] \right\rbrace\;</math><ref name="notations simplifiées" /> de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] <math>\;^{t\!}\left[ A \right]\;</math><ref name="notations simplifiées" /><math>\Big)\;\ldots</math> === Addition de matrices et multiplication par un scalaire === {{Al|5}}Ces opérations sont définies sur l'« [[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble des matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math><ref name="restriction sur m et n"> Les nombres <math>\;m\;</math> et <math>\;n\;</math> appartenant à <math>\;\mathbb{N}^{*}\;</math> avec au moins un des nombres <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1\;</math></ref> définies sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>» et noté «<math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>». ==== Addition de matrices de même dimension (ou taille) ==== {{Al|5}}Sur «<math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» on définit la loi de composition interne « [[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition de matrices]] » notée «<math>\;+\;</math>» <math>\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2\;\overset{+}{\rightarrow}\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> définie selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» on définit la loi de composition interne }}«<math>\;\forall\;\left\lbrace \left( a_{i,\,j} \right)\,,\,\left( b_{i,\,j} \right) \right\rbrace\;\in\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \left( a_{i,\,j} \right)\,,\,\left( b_{i,\,j} \right) \right\rbrace\;\overset{+}{\rightarrow}\; \left( a_{i,\,j} \right) + \left( b_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} + b_{i,\,j} \right)\;\in\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» }}l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] «<math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» muni de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition]] «<math>\;+\;</math>» est un [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]] <ref name="groupe abélien"> C.-à-d. que la loi de composition interne est associative, commutative, admet un élément neutre et possède la propriété suivante : pour tout élément de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] existe un élément unique telle que la composition de ces deux éléments donne l'élément neutre <math>\;\big[</math>dans le cas d'une addition, l'élément neutre est noté <math>\;0\;</math> et l'élément unique dont le composé avec l'élément <math>\;a\;</math> donne <math>\;0\;</math> est noté <math>\;-a\;</math> et appelé l'opposé de <math>\;a\big)</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Niels_Henrik_Abel|Niels Henrich Abel]] (1802 - 1829)''' mathématicien norvégien, connu pour ses travaux divers en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]] et aussi sur la [[w:Théorème_d'Abel_(algèbre)|résolution des équations en algèbre]] <math>\;\ldots</math></ref>, en effet <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» }}la loi de composition interne possède les propriétés : <math>\bullet\;</math>associativité «<math>\;\left( a_{i,\,j} \right) + \left\lbrace \left( b_{i,\,j} \right) + \left( c_{i,\,j} \right) \right\rbrace = \left( a_{i,\,j} \right) + \left( b_{i,\,j} + c_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} + b_{i,\,j} + c_{i,\,j} \right) = \left\lbrace \left( a_{i,\,j} \right) + \left( b_{i,\,j} \right) \right\rbrace + \left( c_{i,\,j} \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition interne possède les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>commutativité «<math>\;\left( a_{i,\,j} \right) + \left( b_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} + b_{i,\,j} \right) = \left( b_{i,\,j} + a_{i,\,j} \right) = \left( b_{i,\,j} \right) + \left( a_{i,\,j} \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition interne possède les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>existence d'un élément neutre « la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] nulle » qui vérifie «<math>\;\left( a_{i,\,j} \right) + \left( 0_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} + 0_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition interne possède les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>telle que toute [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] admet un opposé unique «<math>\;\forall\;\left( a_{i,\,j} \right)\;</math> <math>\;\exists\,!\;</math> un opposé <math>\;\left( {a'}_{i,\,j} \right)\;</math> vérifiant <math>\;{a'}_{i,\,j} = -a_{i,\,j}\;</math>» car <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition interne possède les propriétés : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>telle que toute matrice admet un opposé unique }}«<math>\;\left( a_{i,\,j} \right) + \left( {a'}_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} + {a'}_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} - a_{i,\,j} \right) = \left( 0_{i,\,j} \right)\;</math>». ==== Multiplication par un scalaire ==== {{Al|5}}Sur «<math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» on définit la loi de composition externe « [[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|multiplication par un scalaire]] de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» notée «<math>\;\cdot\;</math>» <math>\;\mathbb{R} \times M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right) \;\overset{\cdot}{\rightarrow}\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math><ref name="à gauche ou à droite"> La multiplication par un scalaire se fait aussi bien à gauche qu'à droite, dans ce cas la loi est l'application <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right) \times \mathbb{R}\;\overset{\cdot}{\rightarrow}\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)</math>.</ref> définie selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» on définit la loi de composition externe }}«<math>\;\forall\;\lambda\;\in\;\mathbb{R},\;\;\forall\; \left( a_{i,\,j} \right)\;\in\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \lambda\,,\,\left( a_{i,\,j} \right) \right\rbrace\;\overset{\cdot}{\rightarrow}\; \lambda \cdot \left( a_{i,\,j} \right) = \left( \lambda\;a_{i,\,j} \right)\;\in\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» on définit la loi de composition externe }}«<math>\;\forall\;\lambda\;\in\;\mathbb{R},\;\;\forall\; \left( a_{i,\,j} \right)\;\in\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>», «<math>\;\left\lbrace \left( a_{i,\,j} \right)\,,\, \lambda \right\rbrace\;\overset{\cdot}{\rightarrow}\; \left( a_{i,\,j} \right) \cdot \lambda = \left( a_{i,\,j}\;\lambda \right) = \left( \lambda\;a_{i,\,j} \right)\;\in\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» }}cette loi de composition externe « [[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|multiplication par un scalaire]] de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» définie sur le [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]]<ref name="groupe abélien" /> «<math>\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\,,\, + \right\rbrace\;</math>» et notée «<math>\;\cdot\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» cette loi de composition externe }}possède les propriétés : <math>\bullet\;</math>« distributivité par rapport à l'addition de <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» cette loi de composition externe possède les propriétés : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\lambda \cdot \left\lbrace \left( a_{i,\,j} \right) + \left( b_{i,\,j} \right) \right\rbrace = \lambda \cdot \left( a_{i,\,j} \right) + \lambda \cdot \left( b_{i,\,j} \right) = \left( \lambda\;a_{i,\,j} \right) + \left( \lambda\;b_{i,\,j} \right) = \left( \lambda\;a_{i,\,j} + \lambda\;b_{i,\,j} \right) = \left( \lambda \left\lbrace a_{i,\,j} + b_{i,\,j} \right\rbrace \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» cette loi de composition externe possède les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>« distributivité par rapport à l'addition de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» cette loi de composition externe possède les propriétés : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\left\lbrace \lambda + \mu \right\rbrace \cdot \left( a_{i,\,j} \right) = \lambda \cdot \left( a_{i,\,j} \right) + \mu \cdot \left( b_{i,\,j} \right) = \left( \lambda\;a_{i,\,j} \right) + \left( \mu\;a_{i,\,j} \right) = \left( \lambda\;a_{i,\,j} + \mu\;a_{i,\,j} \right) = \left( \left\lbrace \lambda + \mu \right\rbrace\;a_{i,\,j} \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» cette loi de composition externe possède les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>« associativité mixte par rapport à la multiplication dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» cette loi de composition externe possède les propriétés : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\left\lbrace \lambda\;\mu \right\rbrace \cdot \left( a_{i,\,j} \right) = \lambda \cdot \left\lbrace \mu \cdot \left( a_{i,\,j} \right) \right\rbrace = \lambda \cdot \left( \mu\; a_{i,\,j} \right) = \left( \lambda\;\mu\; a_{i,\,j} \right) = \left( \left\lbrace \lambda\;\mu \right\rbrace\;a_{i,\,j} \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Sur «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» cette loi de composition externe possède les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>telle que « l'élément neutre de la multiplication dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> noté <math>\;1_{\mathbb{R}}\;</math> est neutre pour “<math>\;\cdot\;</math>” » «<math>\;1_{\mathbb{R}} \cdot \left( a_{i,\,j} \right) = \left( 1_{\mathbb{R}}\; a_{i,\,j} \right) = \left( a_{i,\,j} \right)\;</math>». ==== Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée ==== ===== Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée ===== {{Al|5}}L'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] «<math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» muni de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition]] «<math>\;+\;</math>» étant un [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]]<ref name="groupe abélien" />{{,}}<ref name="propriétés pour groupe abélien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Addition_de_matrices_de_même_dimension_(ou_taille)|addition de matrices de même dimension (ou taille)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'ensemble «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» }}la loi de composition externe « [[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|multiplication par un scalaire]] de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» étant <math>\bullet\;</math>« distributive par rapport à l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition]] de <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>»<ref name="propriétés de loi de composition externe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Multiplication_par_un_scalaire|multiplication par un scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ainsi que <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'ensemble «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» étant }}<math>\bullet\;</math>« {{Transparent|distributive }}par rapport à l'addition de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="propriétés de loi de composition externe" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'ensemble «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» étant }}<math>\bullet\;</math>« associative mixte par rapport à la multiplication dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="propriétés de loi de composition externe" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'ensemble «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» étant }}<math>\bullet\;</math>« telle que l'élément neutre <math>\;1_{\mathbb{R}}\;</math> de la multiplication dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'ensemble «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» étant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« telle que l'élément neutre <math>\;\color{transparent}{1_{\mathbb{R}}}\;</math> }}est neutre pour la loi de composition externe »<ref name="propriétés de loi de composition externe" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'ensemble «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» }}nous en déduisons que «<math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» est un «<math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] » et <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'ensemble «<math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» }}nous pourrions démontrer<ref> Mais nous l'admettrons.</ref> que « la dimension de cet [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]]<ref name="dimension d'un espace vectoriel"> C'est le nombre de vecteurs indépendants permettant de générer un élément quelconque de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]].</ref> est <math>\;m \times n\;</math>». ===== Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique ===== {{Al|5}}Tout élément de <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est décomposable de façon unique sur sa [[w:Matrice_(mathématiques)#Base_canonique_de_l'espace_des_matrices|base canonique]] composée des «<math>\;m\;n\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] <math>\;\left[ E \right]_{p,\,q}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout élément de <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> est décomposable de façon unique sur sa }}<math>\bigg\{</math>dans <math>\;\left[ E \right]_{p,\,q}\;</math> tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices <math>_{p,\,q}\;</math> qui vaut <math>\;1</math>, ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout élément de <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> est décomposable de façon unique sur sa <math>\color{transparent}{\bigg\{}</math>}}en utilisant le [[w:Symbole_delta_de_Kronecker|symbole de Kronecker]] <ref name="Kronecker"> '''[[w:Leopold_Kronecker|Leopold Kronecker]] (1823 - 1891)''' mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en <math>\;1850\;</math> la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'[[w:Équation_quintique|équation quintique]] en utilisant la [[w:Théorie_des_groupes|théorie des groupes]].</ref> <math>\;\delta_{k,\,l} = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\text{si }\;k \neq l\\ 1\;\text{si }\;k = l\end{array}\right\rbrace</math>, l'écriture suivante <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout élément de <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> est décomposable de façon unique sur sa <math>\color{transparent}{\bigg\{}</math>dans }}<math>\;\left[ E \right]_{p,\,q} = \left( e_{i,\,j}^{p,\,q} \right)_{p,\,q}\;</math> avec <math>\;e_{i,\,j}^{p,\,q} = \delta_{i,\,p}\;\delta_{j,\,q}\;</math> pour <math>\;i \in \left[\left[ 1\,,\, m \right] \right]\;</math> et <math>\;j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right] \right]\bigg\}</math>, <br />{{Al|7}}{{Transparent|Tout élément de <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la décomposition de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right] = \left( a_{i,\,j}\right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math><ref name="notation simplifiée de matrice" /> sur la [[w:Matrice_(mathématiques)#Base_canonique_de_l'espace_des_matrices|base canonique]] s'écrivant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout élément de <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la décomposition de la matrice }}«<math>\;\left[ A \right] = \left( a_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n} = \sum\limits_{\begin{array}{c} 1 \leqslant p \leqslant m\\ 1 \leqslant q \leqslant n\end{array}} a_{p,\,q} \cdot \left[ E \right]_{p,\,q} = \sum\limits_{\begin{array}{c} 1 \leqslant p \leqslant m\\ 1 \leqslant q \leqslant n\end{array}} a_{p,\,q} \cdot \left( e_{i,\,j}^{p,\,q} \right)_{p,\,q} = \sum\limits_{\begin{array}{c} 1 \leqslant p \leqslant m\\ 1 \leqslant q \leqslant n\end{array}} a_{p,\,q} \cdot \left( \delta_{i,\,p}\;\delta_{j,\,q} \right)_{p,\,q}\;</math>». {{Al|5}}<u>Exemple</u> : <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right]\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3\,,\,2 \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}les six vecteurs de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Base_canonique_de_l'espace_des_matrices|base canonique]] étant <math>\;\left[ E \right]_{1,\,1} = \left[ \begin{array}{c} 1 & 0\\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]</math>, <math>\;\left[ E \right]_{1,\,2} = \left[ \begin{array}{c} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]</math>, <math>\;\left[ E \right]_{2,\,1} = \left[ \begin{array}{c} 0 & 0\\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]</math>, <math>\;\left[ E \right]_{2,\,2} = \left[ \begin{array}{c} 0 & 0\\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right]</math>, <math>\;\left[ E \right]_{3,\,1} = \left[ \begin{array}{c} 0 & 0\\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right]\;</math> et <math>\;\left[ E \right]_{3,\,2} = \left[ \begin{array}{c} 0 & 0\\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}la décomposition de <math>\;\left[ A \right]\;</math> sur sa [[w:Matrice_(mathématiques)#Base_canonique_de_l'espace_des_matrices|base canonique]] s'écrit «<math>\;\left[ A \right] = 1 \cdot \left[ E \right]_{1,\,1} + 2 \cdot \left[ E \right]_{1,\,2} + 3 \cdot \left[ E \right]_{2,\,1} + 4 \cdot \left[ E \right]_{2,\,2} + 5 \cdot \left[ E \right]_{3,\,1} + 6 \cdot \left[ E \right]_{3,\,2}\;</math>». === Multiplication matricielle à droite (ou à gauche) === ==== Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) ==== [[Fichier:Matrix multiplication diagram.svg|thumb|300px|Description du mode opératoire de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right] \in M_{4,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ B \right] \in M_{2,\,3}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>]] {{Al|5}}La [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math><ref name="restriction sur m et n" /> définies sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite }}est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à droite, d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant }}des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\;\left( n\,,\, p \right)\;</math><ref name="restriction sur n et p"> Les nombres <math>\;n\;</math> et <math>\;p\;</math> appartenant à <math>\;\mathbb{N}^{*}\;</math> avec au moins un des nombres <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1</math>, <math>\;n\;</math> étant le nombre défini dans le 1^er facteur du produit <math>\;\ldots</math></ref> définies sur <math>\;\mathbb{R}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite }}le résultat de cette [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite le résultat }}étant une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{m,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, p \right)\;</math><ref name="restriction sur m et p"> Avec les restrictions pratiques imposées sur <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math> et sur <math>\;\left( n\,,\, p \right)</math> <math>\;\big[</math>les nombres <math>\;m\;</math> et <math>\;n\;</math> appartiennent à <math>\;\mathbb{N}^{*}\;</math> avec au moins un des nombres <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1</math> puis le nombre <math>\;p\;</math> appartient à <math>\;\mathbb{N}^{*}\;</math> avec au moins un des nombres <math>\;n\;</math> et <math>\;p\;</math> <math>\neq\;</math> de <math>\;1\big]</math>, rien n'interdit que le résultat soit une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 1 \right)\;</math> si une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] de <math>\;M_{1,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est multipliée à droite par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] de <math>\;M_{n,\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)\;\ldots</math></ref> soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite }}en notant «<math>\;\times\;</math>» la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>, la définition de la loi de composition externe suivante <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite en notant «<math>\;\color{transparent}{\times}\;</math>» la multiplication matricielle <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>à droite<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}<math>M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right) \times M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right) \;\overset{\times}{\rightarrow}\;M_{m,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> telle que <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite }}« pour <math>\;\left[ A \right] = \left( a_{i,\,j} \right) \in M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et <math>\;\left[ B \right] = \left( b_{i,\,j} \right) \in M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>», «<math>\;\left[ A \right] \times \left[ B \right] = \left[ C \right] \in M_{m,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite }}«<math>\;\left( a_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n} \times \left( b_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p} = \left( c_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p}\;</math>» où «<math>\;c_{i,\,j} = \sum\limits_{k = \left[ \left[ 1,\, n \right] \right]} a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à droite }}voir mode opératoire de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite ci-contre. {{Al|5}}La [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math><ref name="restriction sur m et n" /> définies sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche }}est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à gauche, d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{q,\,m}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche est une loi de composition externe nécessitant }}des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\,\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\left( q\,,\, m \right)\,</math><ref name="restriction sur q et m"> Les nombres <math>\;q\;</math> et <math>\;m\;</math> appartenant à <math>\;\mathbb{N}^{*}\;</math> avec au moins un des nombres <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1</math>, <math>\;m\;</math> étant le nombre défini dans le 2^ème facteur du produit <math>\;\ldots</math></ref> définies sur <math>\,\mathbb{R}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche }}le résultat de cette [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche le résultat }}étant une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{q,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\,\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\,\left( q\,,\, n \right)\;</math><ref name="restriction sur q et n"> Avec les restrictions pratiques imposées sur <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math> et sur <math>\;\left( q\,,\, m \right)</math> <math>\;\big[</math>les nombres <math>\;m\;</math> et <math>\;n\;</math> appartiennent à <math>\;\mathbb{N}^{*}\;</math> avec au moins un des nombres <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1</math> puis le nombre <math>\;q\;</math> appartient à <math>\;\mathbb{N}^{*}\;</math> avec au moins un des nombres <math>\;q\;</math> et <math>\;m\;</math> <math>\neq\;</math> de <math>\;1\big]</math>, rien n'interdit que le résultat soit une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou de taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 1 \right)\;</math> si une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] de <math>\;M_{m,\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est multipliée à gauche par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] de <math>\;M_{1,\,m}\!\left( \mathbb{R} \right)\;\ldots</math></ref> soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche }}en notant «<math>\;\times\;</math>» la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)</math>, la définition de la loi de composition externe suivante <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche en notant «<math>\;\color{transparent}{\times}\;</math>» la multiplication matricielle <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>à gauche<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}<math>M_{q,\,m}\!\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right) \;\overset{\times}{\rightarrow}\;M_{q,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> telle que <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche }}« pour <math>\;\left[ A \right] = \left( a_{i,\,j} \right) \in M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et <math>\;\left[ B \right] = \left( b_{i,\,j} \right) \in M_{q,\,m}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>», «<math>\;\left[ B \right] \times \left[ A \right] = \left[ D \right] \in M_{q,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche }}«<math>\;\left( b_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, q\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, m} \times \left( a_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n} = \left( d_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, q\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>» avec «<math>\;d_{i,\,j} = \sum\limits_{l = \left[ \left[ 1,\, m \right] \right]} b_{i,\,l}\;a_{l,\,j}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche }}le mode opératoire de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus <br />{{Al|5}}{{Transparent|La multiplication matricielle à gauche le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même }}à condition de permuter la position de <math>\;\left[ A \right]\;</math> avec celle de <math>\;\left[ B \right]</math>. {{Al|5}}<u>Exemple</u> : soit la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right] \in M_{3,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> à [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplier]] à droite par la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ B \right] = \left[ \begin{array}{c} 7 & 9 & 11\\ 8 & 10 & 12\end{array} \right] \in M_{2,\,3}\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, on obtient la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right] \times \left[ B \right] = \left[ C \right] \in M_{3,\,3}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> soit <math>\;\left[ C \right] =</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemple : soit la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 2 \end{array} \right] \in M_{3,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> à multiplier à droite par la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ B \right] = \left[ \begin{array}{c} 7 & 9 & 11 \end{array} \right] \in M_{2,\,3}\!\left( \mathbb{R} \right)}</math>, on obtient }}<math>\;\left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 7 & 9 & 11\\ 8 & 10 & 12\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 23 & 29 & 35\\ 53 & 67 & 81 \\ 83 & 105 & 127 \end{array} \right]\;</math><ref> En effet <math>\;c_{1,\,1} = a_{1,\,1}\;b_{1,\,1} + a_{1,\,2}\;b_{2,\,1} = 1 \times 7 + 2 \times 8 = 23</math>, <math>\;c_{1,\,2} = a_{1,\,1}\;b_{1,\,2} + a_{1,\,2}\;b_{2,\,2} = 1 \times 9 + 2 \times 10 = 29</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;c_{1,\,3} = a_{1,\,1}\;b_{1,\,3} + a_{1,\,2}\;b_{2,\,3} = 1 \times 11 + 2 \times 12 = 35</math>, <math>\;c_{2,\,1} = a_{2,\,1}\;b_{1,\,1} + a_{2,\,2}\;b_{2,\,1} = 3 \times 7 + 4 \times 8 = 53</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;c_{2,\,2} = a_{2,\,1}\;b_{1,\,2} + a_{2,\,2}\;b_{2,\,2} = 3 \times 9 + 4 \times 10 = 67</math>, <math>\;c_{2,\,3} = a_{2,\,1}\;b_{1,\,3} + a_{2,\,2}\;b_{2,\,3} = 3 \times 11 + 4 \times 12 = 81</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;c_{3,\,1} = a_{3,\,1}\;b_{1,\,1} + a_{3,\,2}\;b_{2,\,1} = 5 \times 7 + 6 \times 8 = 83</math>, <math>\;c_{3,\,2} = a_{3,\,1}\;b_{1,\,2} + a_{3,\,2}\;b_{2,\,2} = 5 \times 9 + 6 \times 10 = 105\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;c_{3,\,3} = a_{3,\,1}\;b_{1,\,3} + a_{3,\,2}\;b_{2,\,3} = 5 \times 11 + 6 \times 12 = 127</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}le choix des dimensions <math>\;\big(</math>ou tailles<math>\big)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] ci-dessus a été fait pour que la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication]] à gauche de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right] \in M_{3,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ B \right] \in M_{2,\,3}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> soit aussi possible, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : le choix des dimensions <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou tailles<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> }}on obtient alors la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ B \right] \times \left[ A \right] = \left[ D \right] \in M_{2,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : le choix des dimensions <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou tailles<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> on obtient }}<math>\left[ D \right] = \left[ \begin{array}{c} 7 & 9 & 11\\ 8 & 10 & 12\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right]</math> <math>= \left[ \begin{array}{c} 89 & 116 \\ 98 & 128 \end{array} \right]\;</math><ref> En effet <math>\;d_{1,\,1} = b_{1,\,1}\;a_{1,\,1} + b_{1,\,2}\;a_{2,\,1} + b_{1,\,3}\;a_{3,\,1} = 7 \times 1 + 9 \times 3 + 11 \times 5 = 89</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;d_{1,\,2} = b_{1,\,1}\;a_{1,\,2} + b_{1,\,2}\;a_{2,\,2} + b_{1,\,3}\;a_{3,\,2} = 7 \times 2 + 9 \times 4 + 11 \times 6 = 116</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;d_{2,\,1} = b_{2,\,1}\;a_{1,\,1} + b_{2,\,2}\;a_{2,\,1} + b_{2,\,3}\;a_{3,\,1} = 8 \times 1 + 10 \times 3 + 12 \times 5 = 98\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\;d_{2,\,2} = b_{2,\,1}\;a_{1,\,2} + b_{2,\,2}\;a_{2,\,2} + b_{2,\,3}\;a_{3,\,2} = 8 \times 2 + 10 \times 4 + 12 \times 6 = 128</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}on vérifie que «<math>\;\left[ B \right] \times \left[ A \right] = \left[ D \right] \in M_{2,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» est <math>\;\neq\;</math> de «<math>\;\left[ A \right] \times \left[ B \right] = \left[ C \right] \in M_{3,\,3}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>», les dimensions <math>\;\big(</math>ou tailles<math>\big)\;</math> étant <math>\;\big(</math>d'ailleurs<math>\big)\;</math> différentes<ref> Sauf quand les deux [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] facteurs sont [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math>, les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit]] de l'une des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] facteurs par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication]] à droite ou à gauche par l'autre [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] facteur étant alors de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math> que les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] facteurs.</ref> toutefois, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : on vérifie que }}si les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] facteurs <math>\;\left[ A \right]\;</math> et <math>\;\left[ B \right]\;</math> sont [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math>, «<math>\;\left[ A \right] \times \left[ B \right]\;</math> reste, en général, <math>\;\neq\;</math> de <math>\;\left[ B \right] \times \left[ A \right]\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : on vérifie que si les matrices facteurs <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\left[ B \right]}\;</math> sont carrées de même dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produits]] étant [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math> que les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] facteurs<ref name="multiplication matricielle des matrices carrées de même dimension non commutative"> On vérifie aisément que la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] définie sur l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble des matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math> est <math>\;\big(</math>sauf cas particulier<math>\big)\;</math> non commutative c.-à-d., pour des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] {{Nobr|«<math>\;\left[ B \right]\;</math>}} et <math>\;\left[ A \right]\;</math>» [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math>, «<math>\;\left[ B \right] \times \left[ A \right] \neq \left[ A \right] \times \left[ B \right]\;</math>» : vérification ci-dessous avec des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 2\,,\, 2 \right)\;</math> <br>{{Al|3}}soit «<math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right] \in M_{2,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et <math>\;\left[ B \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{array} \right] \in M_{2,\,2}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\left[ C \right] = \left[ A \right] \times \left[ B \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 2 & 3\\ 4 & 5\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 10 & 13\\ 22 & 29 \end{array} \right]\\ \left[ D \right] = \left[ B \right] \times \left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 1 & 2\\ 3 & 4\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 11 & 16\\ 19 & 28 \end{array} \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|10}}en effet <math>\;c_{1,\,1} = a_{1,\,1}\;b_{1,\,1} + a_{1,\,2}\;b_{2,\,1} = 1 \times 2 + 2 \times 4 = 10</math>, {{Al|10}}<math>\;d_{1,\,1} = b_{1,\,1}\;a_{1,\,1} + b_{1,\,2}\;a_{2,\,1} = 2 \times 1 + 3 \times 3 = 11</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|en effet }}<math>\;c_{1,\,2} = a_{1,\,1}\;b_{1,\,2} + a_{1,\,2}\;b_{2,\,2} = 1 \times 3 + 2 \times 5 = 13</math>, {{Al|10}}<math>\;d_{1,\,2} = b_{1,\,1}\;a_{1,\,2} + b_{1,\,2}\;a_{2,\,2} = 2 \times 2 + 3 \times 4 = 16</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|en effet }}<math>\;c_{2,\,1} = a_{2,\,1}\;b_{1,\,1} + a_{2,\,2}\;b_{2,\,1} = 3 \times 2 + 4 \times 4 = 22</math>, {{Al|10}}<math>\;d_{2,\,1} = b_{2,\,1}\;a_{1,\,1} + b_{2,\,2}\;a_{2,\,1} = 4 \times 1 + 5 \times 3 = 19</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|en effet }}<math>\;c_{2,\,2} = a_{2,\,1}\;b_{1,\,2} + a_{2,\,2}\;b_{2,\,2} = 3 \times 3 + 4 \times 5 = 29</math>, {{Al|10}}<math>\;d_{2,\,2} = b_{2,\,1}\;a_{1,\,2} + b_{2,\,2}\;a_{2,\,2} = 4 \times 2 + 5 \times 4 = 28</math>.</ref>. ==== Relation de transposition d'un produit matriciel ==== {{Propriété|titre=Transposée d'un produit matriciel|contenu={{Al|5}}« La [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ C \right] \in M_{m,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> étant obtenue par <math>\;\left[ A \right] \times \left[ B \right]\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\left[ A \right] \in M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\\ \left[ B \right] \in M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|5}}« sa [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] <math>\;^{t\!}\left[ C \right] \in M_{p,\,m}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> vérifie <math>\;^{t\!}\left[ C \right] =\; ^{t\!}\left[ B \right] \times \,^{t\!}\left[ A \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\,^{t\!}\left[ B \right] \in M_{p,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\\ \,^{t\!}\left[ A \right] \in M_{n,\,m}\!\left( \mathbb{R} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>», <center>soit encore «<math>\;^{t\!}\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace =\; ^{t\!}\left[ B \right] \times \,^{t\!}\left[ A \right]\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : soit «<math>\;\left[ A \right] = \left( a_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n} \in M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et <math>\;\left[ B \right] = \left( b_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p} \in M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}« le [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit]] <math>\;\left[ A \right] \times \left[ B \right]\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ C \right] \in M_{m,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» selon «<math>\;\left( a_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n} \times \left( b_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p} = \left( c_{i,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\;,\; 1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p}\;</math>» où «<math>\;c_{i,\,j} = \sum\limits_{k = \left[ \left[ 1,\, n \right] \right]} a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] de <math>\;\left[ C \right]\;</math> s'écrit alors <math>\;^{t\!}\left[ C \right] = \left( {c'}_{j,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p\;,\; 1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math>» avec «<math>\;{c'}_{j,\,i} = c_{i,\,j} = \sum\limits_{k = \left[ \left[ 1,\, n \right] \right]} a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice transposée]] de <math>\;\left[ B \right]\;</math> s'écrivant <math>\;^{t\!}\left[ B \right] = \left( {b'}_{j,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p\;,\; 1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n}\;</math>» avec «<math>\;{b'}_{j,\,i} = b_{i,\,j}\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}« {{Al|8}}[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|celle transposée]] de <math>\;\left[ A \right]\;</math> {{Transparent|s'écrivant }}<math>\;^{t\!}\left[ A \right] = \left( {a'}_{j,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\;,\; 1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math>» avec «<math>\;{a'}_{j,\,i} = a_{i,\,j}\;</math>», on en déduit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}« le [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit]] <math>\;^{t\!}\left[ B \right] \times \,^{t\!}\left[ A \right] = \left[ D \right] = \left( d_{j\,i} \right)_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p\;,\; 1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math>» tel que «<math>\;d_{j,\,i} = \sum\limits_{k = \left[ \left[ 1,\, n \right] \right]} {b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i} = \sum\limits_{k = \left[ \left[ 1,\, n \right] \right]} b_{k,\,j}\;a_{i,\,k} = {c'}_{j,\,i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ D \right] = \;^{t\!}\left[ C \right]\;</math>» et par suite <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : « le produit <math>\;\color{transparent}{^{t\!}\left[ B \right] \times \,^{t\!}\left[ A \right] = \left[ D \right] = \left( d_{j\,i} \right)_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, p\;,\; 1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}}\;</math>» tel que «<math>\;\color{transparent}{d_{j,\,i} = \sum\limits_{k = \left[ \left[ 1,\, n \right] \right]} {b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i} = \sum\limits_{k = \left[ \left[ 1,\, n \right] \right]} b_{k,\,j}\;a_{i,\,k} = {c'}_{j,\,i}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;^{t\!}\left[ B \right] \times \,^{t\!}\left[ A \right] = \;^{t\!}\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.. === Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble === ==== Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée ==== {{Al|5}}Toute [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> fixée<ref name="taille de matrices carrées"> Les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( n\,,\,n \right)\;</math> sont dites « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|carrées]] de taille <math>\;n\;</math>» et l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble de ces matrices]] définies sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> est noté, de façon simplifiée, <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)</math>.</ref> pouvant être [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multipliée]] à droite <math>\;\big(</math>ou à gauche<math>\big)\;</math> par n'importe [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] de <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}« la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite <math>\;\big(</math>ou à gauche<math>\big)\;</math> définie sur <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» devient alors « une loi de composition interne <math>\;\left\lbrace M_n\!\left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2 \;\overset{\times}{\rightarrow}\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> « la multiplication matricielle }}possédant les propriétés : <math>\bullet\;</math>« associativité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] » c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace \times \left[ C \right] = \left[ A \right] \times \left\lbrace \left[ B \right] \times \left[ C \right] \right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> « la multiplication matricielle possédant les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>« distributivité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche relativement à l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition matricielle]] » soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> « la multiplication matricielle possédant les propriétés : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\left[ A \right] \times \left\lbrace \left[ B \right] + \left[ C \right] \right\rbrace = \left[ A \right] \times \left[ B \right] + \left[ A \right] \times \left[ C \right]\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> « la multiplication matricielle possédant les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>« distributivité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite relativement à l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition matricielle]] » soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> « la multiplication matricielle possédant les propriétés : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\left\lbrace \left[ A \right] + \left[ B \right] \right\rbrace \times \left[ C \right] = \left[ A \right] \times \left[ C \right] + \left[ B \right] \times \left[ C \right]\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> « la multiplication matricielle possédant les propriétés : }}<math>\bullet\;</math>« existence d'un élément neutre de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] “la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] <math>\;\left[ I \right]\;</math>” » c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> « la multiplication matricielle possédant les propriétés : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\left[ A \right] \times \left[ I \right] = \left[ A \right]\;</math> et <math>\;\left[ I \right] \times \left[ A \right] = \left[ A \right]\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Toute matrice de l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}« La [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] n'est pas commutative » c.-à-d. qu'usuellement «<math>\;\left[ A \right] \times \left[ B \right] \neq \left[ B \right] \times \left[ A \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-multiplication_matricielle_des_matrices_carrées_de_même_dimension_non_commutative-30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. ==== Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée ==== {{Al|5}}L'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> fixée<ref name="taille de matrices carrées" /> étant un cas particulier de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math> fixée <br />{{Al|11}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée étant un cas particulier de l’}}lequel, muni de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition]] «<math>\;+\;</math>», est un [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]]<ref name="groupe abélien" />{{,}}<ref name="établissement de la structure d'espace vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#Structure_d'espace_vectoriel_de_l'ensemble_des_matrices_de_dimension_(ou_taille)_fixée|structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée }}l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;\left\lbrace M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\,,\, + \right\rbrace\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> fixée<ref name="taille de matrices carrées" /> muni de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition]] «<math>\;+\;</math>» <br />{{Al|11}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée l'ensemble <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\,,\, + \right\rbrace}\;</math> }}est aussi un <u>[[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]]</u><ref name="groupe abélien" />{{,}}<ref name="établissement de la structure d'espace vectoriel" />, de plus <br />{{Al|11}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée }}la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <ref name="à droite (ou à gauche)"> À droite <math>\;\big(</math>ou à gauche<math>\big)</math>.</ref> étant une loi de composition interne de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> ayant les propriétés <br />{{Al|17}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée la multiplication matricielle }}<math>\bullet\;</math>« <u>associativité</u> »<ref name="particularité de la multiplication matricielle des matrices carrées"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|17}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée la multiplication matricielle }}<math>\bullet\;</math>« <u>distributivité à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle</u> »<ref name="particularité de la multiplication matricielle des matrices carrées" />, <br />{{Al|17}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée la multiplication matricielle }}<math>\bullet\;</math>« <u>existence d'un élément neutre</u> »<ref name="particularité de la multiplication matricielle des matrices carrées" /> et <br />{{Al|17}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée la multiplication matricielle }}<math>\bullet\;</math>« <u>absence de commutativité</u> »<ref name="particularité de la multiplication matricielle des matrices carrées" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|17}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée la multiplication matricielle }}<math>\bullet\;</math>« l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> possède une structure d’<u>[[w:Anneau_unitaire#Définition|anneau unitaire]] non commutatif</u> »<ref name="anneau unitaire"> Un ensemble <math>\;\mathcal{A}\;</math> est un [[w:Anneau_unitaire#Définition|anneau unitaire]] s'il est muni de deux lois de composition interne noté <math>\;+\;</math> et <math>\;\times\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,,\, + \right\rbrace\;</math> [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]], <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> est un anneau unitaire s'il est muni de deux lois de composition interne noté <math>\;\color{transparent}{+}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\times}\;</math> avec }}<math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,,\, \times \right\rbrace\;</math> [[w:Monoïde|monoïde]] <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;\times\;</math> associatif possédant un élément neutre<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> est un anneau unitaire s'il est muni de deux lois de composition interne noté <math>\;\color{transparent}{+}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\times}\;</math> avec }}distributivité <math>\;\big(</math>à droite et à gauche<math>\big)\;</math> de <math>\;\times\;</math> par rapport à <math>\;+</math>, de plus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> est un anneau unitaire s'il est muni de deux lois de composition interne noté <math>\;\color{transparent}{+}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\times}\;</math> avec }}si <math>\;\times\;</math> n'est pas commutative, l'[[w:Anneau_unitaire#Définition|anneau unitaire]] est dit non commutatif. <br>{{Al|3}}<u>Remarques</u> : le qualificatif « unitaire » ajouté au substantif « [[w:Anneau_unitaire#Définition|anneau]] » n'est pas indispensable car la définition de ce dernier inclut l'existence d'un élément neutre pour <math>\;\times</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,,\, \times \right\rbrace\;</math> étant un [[w:Monoïde|monoïde]] ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarques : }}quand toutes les propriétés sont présentes sans l'existence d'un élément neutre pour <math>\;\times</math>, on parle de [[w:Pseudo-anneau|pseudo-anneau]], <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,,\, \times \right\rbrace\;</math> étant alors un [[w:demi-groupe|demi-groupe]] <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;\times\;</math> associatif<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarques : }}si tous les éléments non nuls du [[w:Monoïde|monoïde]] <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,,\, \times \right\rbrace\;</math> admettent un inverse, <math>\;\mathcal{A}\,\setminus 0\;</math> est un [[w:Groupe_(mathématiques)#Exemples_et_applications|groupe multiplicatif]], <math>\;\mathcal{A}\;</math> est alors un [[w:Corps_(mathématiques)|corps]] <math>\;\big(</math>[[w:Corps_commutatif|commutatif]] ou [[w:Corps_gauche|non]] suivant que <math>\;\times\;</math> l'est ou non<math>\big)</math>.</ref> car <br />{{Al|17}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée la multiplication matricielle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;\left\lbrace M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\,,\, + \right\rbrace\;</math> est un <u>[[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]]</u><ref name="groupe abélien" />{{,}}<ref name="établissement de la structure d'espace vectoriel" /> avec <br />{{Al|17}}{{Transparent|L'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fixée la multiplication matricielle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les propriétés de la 2^nde loi de composition interne «<math>\;\times\;</math>» ; <br />{{Al|5}}l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math> fixée étant un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]]<ref name="établissement de la structure d'espace vectoriel" /> et l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> fixée<ref name="taille de matrices carrées" /> <br />{{Al|11}}{{Transparent|l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( m\,,\, n \right)}\;</math> fixée étant un <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel et l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées }}en étant un cas particulier <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|8}}{{Transparent|l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( m\,,\, n \right)}\;</math> fixée étant un <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel et }}« l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> fixée<ref name="taille de matrices carrées" /> <br />{{Al|8}}{{Transparent|l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( m\,,\, n \right)}\;</math> fixée étant un <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel et « l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées }}est aussi un <math>\;\mathbb{R}</math>-<u>[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]]</u> » <br />{{Al|8}}{{Transparent|l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( m\,,\, n \right)}\;</math> fixée étant un <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel et « l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices carrées est aussi }}dont la dimension<ref name="dimension d'un espace vectoriel" /> est <math>\;n^2\;</math><ref name="établissement de la structure d'espace vectoriel" /> ; {{Al|5}}la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» sur l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> fixée<ref name="taille de matrices carrées" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de par <br />{{Al|5}}{{Transparent|la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» sur l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}les propriétés de cette loi rappelées au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Multiplication_par_un_scalaire|multiplication par un scalaire]] » plus haut dans ce chapitre <br />{{Al|5}}{{Transparent|la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» sur l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> les propriétés }}avec une structure de [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]]<ref name="groupe abélien" />{{,}}<ref name="établissement de la structure d'espace vectoriel" /> de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|ensemble]] <math>\;\left\lbrace M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\,,\, + \right\rbrace</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» }}de plus, cette loi étant « associative mixte par rapport à la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] » c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» de plus, cette loi étant }}«<math>\;\forall\;\lambda \in \mathbb{R},\;\;\forall\; \left\lbrace \left[ A \right]\,,\, \left[ B \right] \right\rbrace \in \left\lbrace M_n\!\left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2</math>, <math>\;\lambda\;\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace = \left\lbrace \lambda\;\left[ A \right] \right\rbrace \times \left[ B \right] = \left[ A \right] \times \left\lbrace \lambda\;\left[ B \right] \right\rbrace\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» de plus, cette loi étant }}propriété qui, ajoutée à la structure d'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] et d'[[w:Anneau_unitaire#Définition|anneau unitaire]] que possède <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math>» de plus, cette loi étant propriété }}confère à «<math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> une structure de <math>\;\mathbb{R}</math>-<u>[[w:Algèbre_associative#Définition_formelle|algèbre associative unitaire]]</u><math>\;\big(</math>non commutative<math>\big)\;</math>»<ref name="algèbre associative"> Un ensemble <math>\;\mathcal{A}\;</math> a une structure d'[[w:Algèbre_associative#Définition_formelle|algèbre associative]] sur le [[w:Corps_(mathématiques)|corps]] <math>\;\mathbb{R}\;</math> si, sur <math>\;\mathcal{A}\;</math> on définit deux lois de composition interne l'« addition <math>\;+\;</math>» et la « multiplication <math>\;\times\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> a une structure d'algèbre associative sur le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> si, sur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> on définit deux lois de composition interne }}telles que <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,,\, + \right\rbrace\;</math> est un [[w:Groupe_abélien|groupe abélien (ou commutatif)]] ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> a une structure d'algèbre associative sur le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> si, sur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> on définit deux lois de composition interne telles que }}<math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,\setminus 0\,,\, \times \right\rbrace\;</math> {{Transparent|est}} un [[w:Groupe_(mathématiques)#Exemples_et_applications|groupe multiplicatif]], soit globalement, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> a une structure d'algèbre associative sur le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> si, sur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> on définit deux lois de composition interne telles que }}<math>\;\mathcal{A}\;</math> est un [[w:Anneau_unitaire#Définition|anneau unitaire]] <math>\;\big(</math>[[w:Anneau_commutatif|commutatif]] ou non<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> a une structure d'algèbre associative sur le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> si, sur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> on définit }}une loi de composition externe la « multiplication par un scalaire réel <math>\;\cdot\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> a une structure d'algèbre associative sur le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> si, sur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> on définit une loi de composition externe la }}telle que <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,,\, +\,,\, \cdot \right\rbrace\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]], enfin <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> a une structure d'algèbre associative sur le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> si, sur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> on définit une loi de composition externe }}la propriété d'« associativité mixte mixte par rapport à la multiplication <math>\;\times\;</math>». <br>{{Al|3}}<u>Remarques</u> : le qualificatif « unitaire » ajouté à « [[w:Algèbre_associative#Définition_formelle|algèbre associative]] » peut être omis, la définition de ce dernier incluant l'existence d'un élément neutre pour <math>\;\times</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,\setminus 0\,,\, \times \right\rbrace\;</math> étant un [[w:Groupe_(mathématiques)#Exemples_et_applications|groupe]] ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarques : }}l'« [[w:Algèbre_associative#Définition_formelle|algèbre associative]] <math>\;\mathcal{A}\;</math>» est dite commutative si <math>\;\left\lbrace \mathcal{A}\,\setminus 0\,,\, \times \right\rbrace\;</math> est un [[w:Groupe_(mathématiques)#Exemples_et_applications|groupe multiplicatif]] commutatif.</ref>. == Interprétations linéaires de matrices == === 1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels === ==== Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de R^m ==== {{Al|5}}Considérant l'ensemble <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> avec <math>\;m\,\in\, \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="m différent de 1"> En fait la valeur <math>\;1\;</math> pour <math>\;m\;</math> pourrait être admise, nous l'éliminons pour conserver la restriction pratique précédemment envisagée « pas de [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\,1 \right)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> en tant que <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension<ref name="dimension d'un espace vectoriel" /> <math>\;m\;</math> ainsi que « la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\left\lbrace e_1,\cdots e_i, \cdots e_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de cet espace avec <br />{{Al|16}}{{Transparent|Considérant l'ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{m\,\in\, \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math> en tant que <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> ainsi que «}}<math>\;e_i = \left( \delta_{1,\,i}, \cdots \delta_{k,\,i}, \cdots \delta_{m,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m}\;</math>» où «<math>\;\delta_{k,\,i} = \left\lbrace \begin{array}{c} 0\;\;\text{si } k \neq i\\ 1\;\;\text{si } k = i\end{array}\right\rbrace\;</math> est <br />{{Al|16}}{{Transparent|Considérant l'ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{m\,\in\, \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math> en tant que <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> ainsi que «<math>\;\color{transparent}{e_i = \left( \delta_{1,\,i}, \cdots \delta_{k,\,i}, \cdots \delta_{m,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m}}\;</math>» où « }}le [[w:Symbole_delta_de_Kronecker|symbole de Kronecker]] »<ref name="Kronecker" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}nous pouvons définir <math>\bullet\;</math>une « [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre chaque élément <math>\;e_i = \left( \delta_{1,\,i}, \cdots \delta_{k,\,i}, \cdots \delta_{m,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m}\;</math> de la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons définir <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une « correspondance bijective entre }}chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \delta_{1,\,i}\\ \cdots \\ \delta_{k,\,i}\\ \cdots \\ \delta_{m,\,i}\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m}</math> de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\;M_{m,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» et par suite, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons définir }}<math>\bullet\;</math>une « [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre le <math>\;m</math>-uplet <math>\;\left( a_1,\,\cdots a_i, \cdots a_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons définir <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une « correspondance bijective entre }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_1\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}</math> de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\;M_{m,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» d'où la définition suivante <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons définir }}<math>\bullet\;</math>« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_1\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}</math> est la <u>[[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée canonique]]</u> du <math>\;m</math>-uplet <math>\;\left( a_1,\,\cdots a_i, \cdots a_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math>». {{Al|5}}Considérant l'ensemble <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> avec <math>\;m\,\in\, \mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="m différent de 1" /> en tant que <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension<ref name="dimension d'un espace vectoriel" /> <math>\;m\;</math> ainsi que « une autre base <math>\;\big(</math>non canonique<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math>»<ref name="exemple de base non canonique de R2 et correspondance bijective avec matrice colonne"> Par exemple une base non canonique de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> pourrait être <math>\;\left\lbrace b_1,\, b_2 \right\rbrace\;</math> avec <math>\;b_1 = \left( 1\,,\,1 \right)\;</math> et <math>\;b_2 = \left( 1\,,\,-1 \right)\;</math> c.-à-d. <math>\;b_1 = e_1 + e_2\;</math> et <math>\;b_2 = e_1 - e_2\;</math> dont nous déduisons les composantes de <math>\;b_1\;</math> et <math>\;b_2\;</math> dans la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans cet exemple il y a une [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre <math>\;b_1\;</math> et la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} b_{1,\,1} = 1\\ b_{2,\,1} = 1\end{array} \right]\;</math> de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{2,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Dans cet exemple il y a une correspondance bijective }}entre <math>\;b_2\;</math> et la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} b_{1,\,2} = 1\\ b_{2,\,2} = -1\end{array} \right]\;</math> de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{2,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;\ldots</math></ref> <br />{{Al|5}}nous pouvons établir <math>\bullet\;</math>une « [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre chaque élément <math>\;b_i = \sum\limits_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m} b_{k,\,i}\; e_k\;</math><ref> «<math>\;b_{k,\,i}\;</math> étant le projeté de <math>\;b_i\;</math> <math>\big(</math>i^ème élément de la base non canonique de <math>\;\mathbb{R}^m\big)\;</math> sur <math>\;e_k\;</math> <math>\big(</math>k^ème élément de la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^m\big)</math>, voir l'exemple des bases [[w:Base_canonique#Définition|canonique]] et non canonique de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> exposé dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_matrice_colonne-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> » de la base <math>\;\big(</math>non canonique<math>\big)\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons établir <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une « correspondance bijective entre }}chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} b_{1,\,i}\\ \cdots \\ b_{k,\,i}\\ \cdots \\ b_{m,\,i}\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m}</math> de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{m,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons établir }}<math>\bullet\;</math>une « [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre le <math>\;m</math>-uplet de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> de décomposition <math>\;\left( \alpha_1, \cdots \alpha_i, \cdots \alpha_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> dans la base non canonique <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math><ref name="décomposition d'un élément de Rm dans une base non canonique"> Le <math>\;m</math>-uplet de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> ayant pour décomposition basique <math>\;\sum\limits_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \alpha_i\;b_i\;</math> dans laquelle chaque élément <math>\;b_i\;</math> de la base non canonique <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> est un <math>\;m</math>-uplet particulier, voir l'exemple de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_matrice_colonne-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons établir <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une « correspondance bijective entre }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \alpha_1\\ \cdots \\ \alpha_i\\ \cdots \\ \alpha_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}</math> de l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\;M_{m,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>»<ref name="exemple de base non canonique de R2 et correspondance bijective avec couple"> Considérant la base non canonique de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> choisie dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_matrice_colonne-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre à savoir <math>\;\left\lbrace b_1,\, b_2 \right\rbrace\;</math> telle que avec <math>\;b_1 = e_1 + e_2\;</math> et <math>\;b_2 = e_1 - e_2\;</math> ainsi que <br>{{Al|27}}{{Transparent|Considérant }}le <math>\;2</math>-uplet <math>\;\big(</math>ou couple<math>\big)</math> <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> ayant pour décomposition sur la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\left( a\,,\, b \right) = a\;e_1 + b\;e_2\;</math> soit, en utilisant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = e_1 + e_2\\ b_2 = e_1 - e_2\end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} e_1 = \dfrac{b_1 + b_2}{2}\\ e_2 = \dfrac{b_1 - b_2}{2}\end{array} \right\rbrace\;</math> permettant d'en déduire la décomposition dans la base non canonique «<math>\;\left( a\,,\, b \right) = a\;\dfrac{b_1 + b_2}{2} + b\;\dfrac{b_1 - b_2}{2} = \dfrac{a + b}{2}\;b_1 + \dfrac{a - b}{2}\;b_2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> une [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre le <math>\;2</math>-uplet <math>\;\big(</math>ou couple<math>\big)</math> <math>\;\left( a\,,\,b \right)\;</math> et la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \dfrac{a + b}{2}\\ \dfrac{a - b}{2}\end{array} \right]\;\ldots</math></ref> d'où la définition suivante <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons établir }}<math>\bullet\;</math>« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \alpha_1\\ \cdots \\ \alpha_i\\ \cdots \\ \alpha_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> est la <u>[[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]]</u> du <math>\;m</math>-uplet de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> de décomposition <math>\;\left( \alpha_1, \cdots \alpha_i, \cdots \alpha_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|nous pouvons établir <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« la matrice colonne <math>\;\color{transparent}{\left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}}\;</math> est la matrice coordonnée du <math>\;\color{transparent}{m}</math>-uplet de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}\;</math> de }}dans la base non canonique <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math><ref name="décomposition d'un élément de Rm dans une base non canonique" /> »<ref name="exemple de base non canonique de R2 et correspondance bijective avec couple" />. ==== 1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de R^m ==== {{Al|5}}Après avoir défini une [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre « le <math>\;m</math>-uplet <math>\;\left( a_1,\,\cdots a_i, \cdots a_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Après avoir défini une correspondance bijective entre }}« sa [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée canonique]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_1\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\! \in \;M_{m,\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>»<ref name="bijection entre m-uplet et matrice colonne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Interprétation_linéaire_d'une_matrice_colonne_de_dimension_(ou_taille)_m,_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_dans_une_base_de_Rm|interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de R^m]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Après avoir défini }}une [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre « le <math>\;m</math>-uplet <math>\;\left( a_1,\,\cdots a_i, \cdots a_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> tel que <math>\;\sum\limits_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \alpha_i\;b_i\;</math> dans la base <math>\;\big(</math>non canonique<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math><ref name="exemple de base non canonique de R2 et correspondance bijective avec couple" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Après avoir défini une correspondance bijective entre }}« sa [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \alpha_1\\ \cdots \\ \alpha_i\\ \cdots \\ \alpha_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\! \in \;M_{m,\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> dans la base <math>\;\big(</math>non canonique<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math>»<ref name="bijection entre m-uplet et matrice colonne" />, {{Al|5}}on prolonge cette [[w:Bijection|correspondance bijective]] entre « les familles de <math>\;n</math> <math>\;m</math>-uplets de <math>\;\left[ \mathbb{R}^m \right]^n\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre }}« l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Espaces_de_matrices|ensemble]] <math>\;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math>» c.-à-d., en utilisant la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^m</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective }}entre « l'élément <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1} \cdots a_{m,\,1} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \\ \vdots \\ \left( a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j} \cdots a_{m,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\\ \vdots \\ \left( a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n} \cdots a_{m,\,n} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \end{array} \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> de la famille de <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” de <math>\;\left[ \mathbb{R}^m \right]^n\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)</math> <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & \cdots & a_{1,\,j} & \cdots & a_{1,\,n} \\ & &\vdots & & \\ a_{i,\,1} & \cdots & a_{i,\,j} & \cdots & a_{i,\,n} \\ & & \vdots & & \\ a_{m,\,1} & \cdots & a_{m,\,j} & \cdots & a_{m,\,n} \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\\1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\end{array}}\! \in \;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <br />{{Al|3}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice }}<math>\big[</math>résultant de la juxtaposition des <math>\;n\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrices coordonnées canoniques]] des “<math>\;m</math>-uplets ”<math>\big]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice }}appelée [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée canonique]] de la famille des <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” ou, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre « l'ensemble <math>\;\color{transparent}{M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> des matrices de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( m\,,\, n \right)}\;</math>» c.-à-d., }}avec une base non canonique <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}</math> de <math>\;\mathbb{R}^m</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective }}entre « l'élément <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1} \cdots a_{m,\,1} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \\ \vdots \\ \left( a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j} \cdots a_{m,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\\ \vdots \\ \left( a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n} \cdots a_{m,\,n} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \end{array} \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}</math> de la famille de <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” de <math>\;\left[ \mathbb{R}^m \right]^n\;</math> <math>\big(m</math>-uplet exprimé en [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^m\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \left( a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1} \cdots a_{m,\,1} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \end{array} \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}}</math> de la }}<math>\Big\{</math>le <math>\;m</math>-uplet générique de la famille <math>\;\left( a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j} \cdots a_{m,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> se décomposant en <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \left( a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1} \cdots a_{m,\,1} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \end{array} \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}}</math> de la <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>}}base non canonique <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> selon <math>\;\sum\limits_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \alpha_{i,\,j}\;b_i\Big\}\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\, n \right)\;</math> <math>\;\left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \cdots & \alpha_{1,\,j} & \cdots & \alpha_{1,\,n} \\ & &\vdots & & \\ \alpha_{i,\,1} & \cdots & \alpha_{i,\,j} & \cdots & \alpha_{i,\,n} \\ & & \vdots & & \\ \alpha_{m,\,1} & \cdots & \alpha_{m,\,j} & \cdots & \alpha_{m,\,n} \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\\1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\end{array}}\! \in \;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)</math> <br />{{Al|3}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice }}<math>\big[</math>résultant de la juxtaposition des <math>\;n\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrices coordonnées]] <math>\;\big(</math>non canoniques<math>\big)\;</math> des “<math>\;m</math>-uplets ”<math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice }}appelée [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] non canonique de la famille des <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” en base non canonique <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math>». {{Définition | contenu= {{Al|5}}On appelle « <u>[[w:Matrice_(mathématiques)#Base_canonique_de_l'espace_des_matrices|rang]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]]</u><math>\;\left[ D \right] = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \cdots & \alpha_{1,\,j} & \cdots & \alpha_{1,\,n} \\ & &\vdots & & \\ \alpha_{i,\,1} & \cdots & \alpha_{i,\,j} & \cdots & \alpha_{i,\,n} \\ & & \vdots & & \\ \alpha_{m,\,1} & \cdots & \alpha_{m,\,j} & \cdots & \alpha_{m,\,n} \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\\1\, \leqslant, j\, \leqslant\, n\end{array}}\! \in \;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» la <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle }}« <u>[[w:Dimension_d'un_espace_vectoriel|dimension du sous-espace vectoriel]]</u> de <math>\;\left[ \mathbb{R}^m \right]^n\;</math> généré par les <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> }}généré par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1} \cdots a_{m,\,1} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \\ \vdots \\ \left( a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j} \cdots a_{m,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\\ \vdots \\ \left( a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n} \cdots a_{m,\,n} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \end{array} \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}</math>, <math>\Big\{</math>avec <math>\;\left[ D \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> }}[[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] non canonique de la famille des <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> }}en base non canonique <math>\;\left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}</math> de <math>\;\mathbb{R}^m</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> }}le “<math>\;m</math>-uplet ” générique de la famille <math>\;\left( a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j} \cdots a_{m,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> étant <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> }}égal à sa décomposition en base non canonique <math>\;\sum\limits_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \alpha_{i,\,j}\;b_i\Big\}\;</math>» ; <br />{{Al|5}}on établit que « le [[w:Matrice_(mathématiques)#Base_canonique_de_l'espace_des_matrices|rang]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ D \right]\;</math> est <math>\;\leqslant \min \left[ m,\, n \right]\;</math>».}} ==== Matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de R^m ==== {{Al|5}}Considérant « le “<math>\;m</math>-uplet ” <math>\;\left( a_1,\,\cdots a_i, \cdots a_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> décomposé dans une base non canonique <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_i, \cdots b_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> selon <math>\;\sum\limits_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \alpha_i\;b_i\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] non canonique <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} \alpha_1\\ \cdots \\ \alpha_i\\ \cdots \\ \alpha_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>»<ref name="bijection entre m-uplet et matrice colonne" /> puis <br />{{Transparent|Considér}}« le même “<math>\;m</math>-uplet ” <math>\;\left( a_1,\,\cdots a_i, \cdots a_m \right)_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> décomposé dans une autre base non canonique <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> selon <math>\;\sum\limits_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m} \beta_i\;c_i\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] non canonique <math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} \beta_1\\ \cdots \\ \beta_i\\ \cdots \\ \beta_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>»<ref name="bijection entre m-uplet et matrice colonne" />, {{Al|5}}nous cherchons « la relation permettant de passer de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X' \right]\;</math> du même “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous cherchons « la relation }}à partir de la connaissance de la décomposition de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> sur la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace</math>, matérialisée par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;m\;</math> appelée <br />{{Al|9}}{{Transparent|nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> sur la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}</math>, matérialisée par }}« <u>[[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base</u><math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math><u>à la base</u><math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>» <br />{{Al|9}}{{Transparent|nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> sur la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}</math>, matérialisée par }}<math>\Big\{</math>[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de la <br />{{Al|9}}{{Transparent|nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> sur la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}</math>, matérialisée par <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>}}décomposition de chaque élément de la base non canonique <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> sur la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}</math>, matérialisée par <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>décomposition }}dans la base non canonique <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math><ref name="exemple de matrice de passage sur R2"> Par exemple sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> considérant comme 1^ère base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, b_2 \right\rbrace\;</math> introduite dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_matrice_colonne-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre telle que avec <math>\;b_1 = e_1 + e_2\;</math> et <math>\;b_2 = e_1 - e_2\;</math> avec <math>\;\left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> correspondant à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} e_1 = \left( 1,\, 0\right)\\ e_2 = \left( 0,\, 1\right) \end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^2}\;</math> considérant }}comme 2^ème base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> c.-à-d. la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2</math>, <br>{{Al|3}}de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = e_1 + e_2\\ b_1 = e_1 - e_2\end{array} \right\rbrace\;</math> nous déduisons l'identification <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \left( 1,\, 1\right)\\ b_2 = \left( 1,\, -1\right) \end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] de <math>\;b_1\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> «<math>\;\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\end{array} \right]\;</math>» ainsi que <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>{{Transparent|la matrice coord }}{{Al|1}}[[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|celle]] de <math>\;b_2\;</math> dans la même base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> «<math>\;\left[ \begin{array}{c} 1\\ -1\end{array} \right]\;</math>» et par suite <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> notée <math>\;\left[ P \right]\;</math> s'obtenant en juxtaposant les deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] précédentes soit «<math>\;\left[ P \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & \,1\\ 1 & -1 \end{array} \right]\;</math>».</ref><math>\Big\}</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous cherchons « la relation }}avec la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, nous établissons que <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous cherchons « la relation avec la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]}\;</math> de passage de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> à la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}</math>, }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X' \right]\;</math> du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>» se déduit de <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous cherchons « la relation avec la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]}\;</math> de passage de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> à la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}</math>, }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>» par <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous cherchons « la relation avec la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]}\;</math> de passage de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> à la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}</math>, nous établissons que }}«<math>\;\left[ X' \right] = \left[ P \right] \times \left[ X \right]\;</math>»<ref name="lien entre matrices coordonnées et matrice de passage sur R2"> Par exemple sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> considérant comme 1^ère base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, b_2 \right\rbrace\;</math> introduite dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_matrice_colonne-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre telle que avec <math>\;b_1 = e_1 + e_2\;</math> et <math>\;b_2 = e_1 - e_2\;</math> avec <math>\;\left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> correspondant à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} e_1 = \left( 1,\, 0\right)\\ e_2 = \left( 0,\, 1\right) \end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^2}\;</math> considérant }}comme 2^ème base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> c.-à-d. la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2</math>, <br>{{Al|3}}nous avons établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_matrice_de_passage_sur_R2-44|⁴⁴]] » plus haut dans ce chapitre, la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> «<math>\;\left[ P \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & \,1\\ 1 & -1 \end{array} \right]\;</math>» ;<br>{{Al|3}}ayant établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_couple-42|⁴²]] » plus haut dans ce chapitre que la décomposition du “<math>\;2</math>-uplet ” <math>\;\big(</math>ou couple<math>\big)</math> <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> conduisait à la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{a + b}{2}\\ \dfrac{a - b}{2}\end{array} \right]\;</math> du {{Nobr|“<math>\;2</math>-uplet ”}} <math>\;\big(</math>ou couple<math>\big)</math> <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, nous vérifions effectivement que «<math>\;\left[ P \right] \times \left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & \,1\\ 1 & -1 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \dfrac{a + b}{2}\\ \dfrac{a - b}{2}\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{a + b}{2} + \dfrac{a - b}{2}\\ \dfrac{a + b}{2} - \dfrac{a - b}{2}\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a\\ b\end{array} \right] = \left[ X' \right]\;</math>» [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] du “<math>\;2</math>-uplet ” {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} couple<math>\big)</math> <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> dans la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;\ldots</math></ref> ; {{Al|10}}inversement « la relation permettant de passer de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X' \right]\;</math> du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> du même “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>» se détermine <br />{{Al|10}}{{Transparent|inversement « la relation }}à partir de la décomposition de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> sur la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> matérialisée par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> dont on déduit <br />{{Al|10}}{{Transparent|inversement « la relation à partir de }}la décomposition de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> matérialisée par la « <u>[[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]]</u><math>\;\left[ P \right]^{-1}\;</math><u>de la base</u><math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math><u>à la base</u><math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>»<ref name="exemple de matrice inverse de passage sur R2"> Par exemple sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> considérant comme 1^ère base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, b_2 \right\rbrace\;</math> introduite dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_matrice_colonne-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre telle que avec <math>\;b_1 = e_1 + e_2\;</math> et <math>\;b_2 = e_1 - e_2\;</math> avec <math>\;\left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> correspondant à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} e_1 = \left( 1,\, 0\right)\\ e_2 = \left( 0,\, 1\right) \end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^2}\;</math> considérant }}comme 2^ème base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> c.-à-d. la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2</math>, <br>{{Al|3}}nous avons établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_matrice_de_passage_sur_R2-44|⁴⁴]] » plus haut dans ce chapitre, la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> «<math>\;\left[ P \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & \,1\\ 1 & -1 \end{array} \right]\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|nous avons }}inversé dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_couple-42|⁴²]] » plus haut dans ce chapitre la décomposition de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = e_1 + e_2\\ b_2 = e_1 - e_2\end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} e_1 = \dfrac{b_1 + b_2}{2}\\ e_2 = \dfrac{b_1 - b_2}{2}\end{array} \right\rbrace\;</math> dont nous déduisons la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] <math>\;\left[ P \right]^{-1}\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> soit «<math>\;\left[ P \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2} & \,\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{array} \right]\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>juxtaposition de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} \end{array} \right]\;</math> de la décomposition de <math>\;c_1 = e_1\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> et de celle <math>\;\left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{1}{2} \end{array} \right]\;</math> de la décomposition de <math>\;c_2 = e_2\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\Bigg\}</math>.</ref>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|inversement « la relation à partir de la décomposition de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> sur la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> matérialisée par la « matrice de passage }}<math>\Big\{</math>cette [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] résultant de l'[[w:Matrice_inversible|inversion]] de la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|de passage]] <br />{{Al|10}}{{Transparent|inversement « la relation à partir de la décomposition de la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> sur la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> matérialisée par la « matrice de passage <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>}}de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>»<ref name="matrice inversible"> Une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] n'est pas toujours « [[w:Matrice_inversible|inversible]] » mais ici elle l'est puisque la décomposition d'une 1^ère base sur une 2^nde se déduit sans difficulté de celle de la 2^nde sur la 1^ère <math>\;\big(</math>et inversement<math>\big)</math>.</ref><math>\Big\}\;</math> et par suite <br />{{Al|10}}{{Transparent|inversement }}« la relation permettant de passer de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X' \right]\;</math> du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> du même “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>» s'écrit selon <center>«<math>\;\left[ X \right] = \left[ P \right]^{-1} \times \left[ X' \right]\;</math>»<ref name="lien entre matrices coordonnées et matrice inverse de passage sur R2"> Par exemple sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> considérant comme 1^ère base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, b_2 \right\rbrace\;</math> introduite dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_matrice_colonne-39|³⁹]] » plus haut dans ce chapitre telle que avec <math>\;b_1 = e_1 + e_2\;</math> et <math>\;b_2 = e_1 - e_2\;</math> avec <math>\;\left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> correspondant à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} e_1 = \left( 1,\, 0\right)\\ e_2 = \left( 0,\, 1\right) \end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^2}\;</math> considérant }}comme 2^ème base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace e_1,\, e_2 \right\rbrace\;</math> c.-à-d. la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de <math>\;\mathbb{R}^2</math>, <br>{{Al|3}}ayant établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_matrice_inverse_de_passage_sur_R2-46|⁴⁶]] » plus haut dans ce chapitre la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] <math>\;\left[ P \right]^{-1}\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> soit «<math>\;\left[ P \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2} & \,\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{array} \right]\;</math>» et <br>{{Al|3}}sachant que la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] du “<math>\;2</math>-uplet ” <math>\;\big(</math>ou couple<math>\big)</math> <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> est <math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} a\\ b\end{array} \right]\;</math> nous vérifions effectivement que <math>\;\left[ P \right]^{-1} \times \left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2} & \,\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} a\\ b\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{a + b}{2}\\ \dfrac{a - b}{2}\end{array} \right]\;</math> c.-à-d. la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> du “<math>\;2</math>-uplet ” <math>\;\big(</math>ou couple<math>\big)</math> <math>\;\left( a\,,\, b \right)\;</math> dans la base <math>\;\big(</math>non canonique<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> comme cela a été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-exemple_de_base_non_canonique_de_R2_et_correspondance_bijective_avec_couple-42|⁴²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>.</center> ==== Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de R^m ==== {{Al|5}}« La [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] d'une famille de <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” de <math>\;\left[ \mathbb{R}^m \right]^n\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> notée <math>\;\left[ A \right]\;</math>» s'obtenant par « juxtaposition des [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrices coordonnées]] de chaque “<math>\;m</math>-uplet ” <br />{{Al|5}}{{Transparent|« La matrice coordonnée d'une famille de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> “<math>\;\color{transparent}{m}</math>-uplets ” de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}\;</math> notée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» s'obtenant par « juxtaposition }}dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> à savoir <math>\;\left[ X_j \right]_{1, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>» soit <br />{{Al|3}}{{Transparent|« La matrice coordonnée d'une famille de <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> “<math>\;\color{transparent}{m}</math>-uplets ” de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}\;</math> notée }}«<math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} X_{1,\,1} & \cdots & X_{1,\,j} & \cdots & X_{1,\,n} \\ & &\vdots & & \\ X_{i,\,1} & \cdots & X_{i,\,j} & \cdots & X_{i,\,n} \\ & & \vdots & & \\ X_{m,\,1} & \cdots & X_{m,\,j} & \cdots & X_{m,\,n} \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\\1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\end{array}}\! \in \;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>»<ref name="matrice coordonnée d'une famille de n “m-uplet” dans une base de Rm"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#1ère_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_coordonnée_d'une_famille_de_n_«_m-uplets_»_dans_une_base_de_Rm|1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n “ m-uplet ” dans une base de R^m]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et {{Al|5}}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] d'un “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m</math>, <math>\;\left[ {X'}_{\!j} \right]_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>» s'obtenant en multipliant à gauche « la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] du “<math>\;m</math>-uplet ” dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m</math>, <math>\;\left[ X_j \right]_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|« la matrice coordonnée d'un “<math>\;\color{transparent}{m}</math>-uplet ” dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}</math>, <math>\;\color{transparent}{\left[ {X'}_{\!j} \right]_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}}\;</math>» s'obtenant en multipliant à gauche }}par « la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>» selon <br />{{Al|3}}{{Transparent|« la matrice coordonnée d'un “<math>\;\color{transparent}{m}</math>-uplet ” dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}</math>, }}«<math>\;\left[ {X'}_{\!j} \right]_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n} = \left[ P \right] \times \left[ X_j \right]_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>»<ref name="réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un “ m-uplet ” par changement de base de R^m]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on en déduit aisément que {{Al|5}}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] de la famille des <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” de <math>\;\left[ \mathbb{R}^m \right]^n\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m</math>, <math>\;\left[ A' \right] = \left[ \begin{array}{c} {X'}_{\!1,\,1} & \cdots & {X'}_{\!1,\,j} & \cdots & {X'}_{\!1,\,n} \\ & &\vdots & & \\ {X'}_{\!i,\,1} & \cdots & {X'}_{\!i,\,j} & \cdots & {X'}_{\!i,\,n} \\ & & \vdots & & \\ {X'}_{\!m,\,1} & \cdots & {X'}_{\!m,\,j} & \cdots & {X'}_{\!m,\,n} \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\\1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\end{array}}\! \in \;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» s'obtient selon la relation <center>«<math>\;\begin{array}{c c c c c}\;\left[ A' \right] &= &\left[ P \right] &\times &\left[ A \right]\;\\ \;\text{dans }\,\left\lbrace C \right\rbrace & & \begin{array}{c}\text{de }\,\left\lbrace C \right\rbrace\;\\ \;\text{à }\,\left\lbrace B \right\rbrace\end{array} & & \text{dans }\,\left\lbrace B \right\rbrace\; \end{array}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}inversement « la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] de la famille des <math>\;n\;</math> “<math>\;m</math>-uplets ” de <math>\;\left[ \mathbb{R}^m \right]^n\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m</math>, <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} X_{1,\,1} & \cdots & X_{1,\,j} & \cdots & X_{1,\,n} \\ & &\vdots & & \\ X_{i,\,1} & \cdots & X_{i,\,j} & \cdots & X_{i,\,n} \\ & & \vdots & & \\ X_{m,\,1} & \cdots & X_{m,\,j} & \cdots & X_{m,\,n} \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m\\1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\end{array}}\! \in \;M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|inversement « la matrice coordonnée de la famille des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> “<math>\;\color{transparent}{m}</math>-uplets ” de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathbb{R}^m \right]^n}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m}</math>, }}s'obtient à l'aide de « la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]^{-1}\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>» selon <center>«<math>\;\begin{array}{c c c c c}\;\left[ A \right] &= &\left[ P \right]^{-1} &\times &\left[ A' \right]\;\\ \;\text{dans }\,\left\lbrace B \right\rbrace & & \begin{array}{c}\text{de }\,\left\lbrace B \right\rbrace\;\\ \;\text{à }\,\left\lbrace C \right\rbrace\end{array} & & \text{dans }\,\left\lbrace C \right\rbrace\; \end{array}\;</math>»<ref> En effet si on [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplie]] les deux membres de la relation «<math>\;\left[ A' \right] = \left[ P \right] \times \left[ A \right]\;</math>» précédemment obtenue, à gauche par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]^{-1}\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\left[ P \right]^{-1} \times \left[ A' \right] = \left[ P \right]^{-1} \times \Big\{ \left[ P \right] \times \left[ A \right] \Big\}\;</math>»,}} <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si on utilise l'associativité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ P \right]^{-1} \times \left[ A' \right] = \Big\{ \left[ P \right]^{-1} \times \left[ P \right] \Big\} \times \left[ A \right]\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si on utilise que les [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrices]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> et <math>\;\left[ P \right]^{-1}\;</math> sont inverses l'une de l'autre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ P \right]^{-1} \times \left[ A' \right] = \left[ I \right]_n \times \left[ A \right]\;</math>» et enfin <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si on utilise la neutralité de la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] pour la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] ayant un sens <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ P \right]^{-1} \times \left[ A' \right] = \left[ A \right]\;</math>» C.Q.F.D. <math>\;\big(</math>Ce Qu'il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref>.</center> === 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels === ==== Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension m ==== {{Définition|titre=Application linéaire entre deux espaces vectoriels sur le corps des réels|contenu={{Al|5}}Considérant deux <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]] <math>\;E\;</math> et <math>\;F</math>, une « <u>[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]]</u> de <math>\;E\;</math> dans <math>\;F\;</math>» est <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant deux <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espaces vectoriels <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{F}</math>, }}une « [[w:Application_(mathématiques)|application]] <math>\;\varphi</math> : <math>E\;\overset{\varphi}{\rightarrow}\;F\;</math><u>additive</u> et <u>homogène</u> » c.-à-d. <center>«<math>\;\forall\;\left( x\,,\,y \right)\;\in E^2</math>, <math>\;\varphi\!\left( x + y \right) = \varphi\! \left( x \right) + \varphi\! \left( y \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>additivité<math>\big]\;</math> et <br />«<math>\;\forall\;\lambda\;\in\;\mathbb{R}\;</math> et <math>\;\forall\; x\;\in E</math>, <math>\;\varphi\!\left( \lambda\; x \right) = \lambda\;\varphi\! \left( x \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>homogénéité<math>\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On constate qu'« une [[w:Application_(mathématiques)|application]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans le <math>\;\mathbb{R}</math>-espace vectoriel <math>\;F\;</math> est linéaire » ssi elle respecte les C.L<ref name="C.L."> Combinaison(s) Linéaire(s).</ref>. à savoir <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : On constate qu'« une application du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> dans le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> est linéaire » }}ssi «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\;\left( \lambda_i \right)_{i\, \in\, \left[ \left[ 1\,,\,p \right] \right]}\;\in \mathbb{R}^p \\ \forall\;\left( x_i \right)_{i\, \in\, \left[ \left[ 1\,,\,p \right] \right]}\;\in E^p\end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\varphi\!\left( \sum_i^{\left[ \left[ 1\,,\,p \right] \right]} \lambda_i\;x_i \right) = \sum_i^{\left[ \left[ 1\,,\,p \right] \right]} \lambda_i\;\varphi\! \left( x_i \right)\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}L'ensemble des [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> est noté «<math>\;L\!\left( E\,,\, F \right)\;</math>»<ref> Ou «<math>\;L_{\,\mathbb{R}}\!\left( E\,,\, F \right)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathrm{Hom}_{\,\mathbb{R}}\!\left( E\,,\, F \right)\;</math>» pour « ensemble des [[w:Morphisme|homomorphismes]] de <math>\;E\;</math> dans <math>\;F\;</math>».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : L'ens. }}celui des [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] [[w:Bijection|bijectives]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. des [[w:Isomorphisme|isomorphismes]] de <math>\;E\;</math> dans <math>\;F\big]\;</math> {{Transparent|est }}{{Al|5}}noté «<math>\;\mathrm{Isom}\!\left( E\,,\, F \right)\;</math>»<ref> Ou «<math>\;\mathrm{Isom}_{\,\mathbb{R}}\!\left( E\,,\, F \right)\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}l'ensemble des [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans lui-même <math>\;\big[</math>c.-à-d. des [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphismes]] de <math>\;E\big]\;</math> est noté «<math>\;L\!\left( E \right)\;</math>»<ref> Ou «<math>\;L_{\,\mathbb{R}}\!\left( E \right)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathrm{End}_{\,\mathbb{R}}\!\left( E \right)\;</math>».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : l'ens. }}celui des [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] [[w:Bijection|bijectives]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans <math>\;E</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. des [[w:Automorphisme|automorphismes]] de <math>\;E\big]\;</math> {{Al|1}}noté «<math>\;GL\!\left( E \right)\;</math>»<ref> Ou plus rarement «<math>\;\mathrm{Aut}_{\,\mathbb{R}}\!\left( E \right)\;</math>».</ref> et encore appelé « [[w:Groupe_général_linéaire#Groupe_général_linéaire_d'un_espace_vectoriel|groupe linéaire]] de <math>\;E\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}l'ensemble des [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans le [[w:Corps_(mathématiques)|corps]] <math>\;\mathbb{R}</math> <math>\;\big[</math>[[w:Corps_(mathématiques)|corps]] de construction de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] où l'[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\big(</math>alors appelée « [[w:Forme_linéaire|forme linéaire]] »<math>\big)\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : l'ensemble des applications linéaires du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> dans le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>corps de construction de l'espace vectoriel où l'application linéaire }}est définie<math>\big]\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : l'ensemble des applications linéaires du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> dans le corps <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math> }}est noté <math>\;E^{*}\;</math> et définit l'« [[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;E\;</math>» <math>\;\big[E^{*}\;</math> étant donc l'ensemble des [[w:Forme_linéaire|formes linéaires]] de <math>\;E\;</math><ref name="covecteur de E"> Un élément de <math>\;E^{*}</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. une [[w:Forme_linéaire|forme linéaire]] définie dans l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\big)\;</math> est encore appelé « covecteur de <math>\;E\;</math>».</ref><math>\big]</math>. ==== 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C) ==== {{Al|5}}Considérant deux <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]] avec définition d'une base dans chacun d'eux <math>\bullet\;</math>un « 1^er<math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant n}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant deux <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux }}<math>\bullet\;</math>un « 2^nd<math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant m}\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}une « [[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math> dans <math>\;F\;</math>» : {{Définition|titre = Matrice d'application linéaire d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-espace vectoriel E dans un <math>\;\mathbb{R}</math>-espace vectoriel F |contenu={{Al|5}}On appelle « <u>[[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'application linéaire]]</u> <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « matrice de l'application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}dans le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> de base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle }}la « <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension</u> <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\,n \right)\;</math> notée <math>\;\left[ A \right] \in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <u>telle que</u> <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle la }}«<math>\;\forall\;x \in E\;</math> de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X \right] \in M_{n,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>»<ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel"> <br>{{Al|3}}On prolonge la notion de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] d'un “<math>\;n</math>-uplet ” de <math>\;\mathbb{R}^n</math> <math>\;\big[</math>ou d'un “<math>\;m</math>-uplet ” de <math>\;\mathbb{R}^m\big]\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace {b'}_1,\cdots {b'}_j, \cdots {b'}_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^n</math> <math>\;\big[</math>ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|On prolonge la notion de matrice coordonnée d'un “<math>\;\color{transparent}{n}</math>-uplet ” de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^n}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>ou d'un “<math>\;\color{transparent}{m}</math>-uplet ” de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^m\big]}\;</math> }}dans la base <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace = \left\lbrace {c'}_1,\cdots {c'}_j, \cdots {c'}_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^m\big]\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|On prolonge la notion de }}<math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Interprétation_linéaire_d'une_matrice_colonne_de_dimension_(ou_taille)_m,_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_dans_une_base_de_Rm|interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de R^m]] » <br>{{Al|3}}{{Transparent|On prolonge la notion de <math>\color{transparent}{\big[}</math>voir le paragraphe }}plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> à <br>{{Al|5}}{{Transparent|On prolonge la }}celle de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] d'un vecteur du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}</math> <math>\;\big[</math>ou à <br>{{Al|5}}{{Transparent|On prolonge la }}celle de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] d'un vecteur du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\big]</math>, <br>{{Al|3}}la raison de ce prolongement étant que les composantes d'un vecteur d'un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n</math> dans n'importe quelle base de cet espace <math>\;\big[</math>ou de dimension <math>\;m\big]\;</math> définissent un “<math>\;n</math>-uplet ” de <math>\;\mathbb{R}^n</math> <math>\;\big[</math>ou un “<math>\;m</math>-uplet ” de <math>\;\mathbb{R}^m\big]\;\ldots</math></ref>, on associe <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle la }}«<math>\;\varphi(x) \in F\;</math> de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\left[ X' \right] \in M_{m,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;F\;</math>»<ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> telle que «<math>\;\left[ X' \right] = \left[ A \right] \times \left[ X \right]\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : « <u>à toute [[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]]</u> <math>\;\varphi\;</math> d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}dans un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> de base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}on peut associer « <u>une et une seule [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice d'application linéaire]]</u> <math>\;\left[ A \right]\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\,n \right)\;</math>» dans laquelle <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}« la j^ème colonne de <math>\;\left[ A \right]\;</math> est la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] de <math>\;\varphi(b_j)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> de <math>\;F\;</math><ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> c.-à-d. <math>\;\left[ \begin{array}{c} \varphi(b_j)_1\\ \cdots \\ \varphi(b_j)_i\\ \cdots \\ \varphi(b_j)_m\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}<math>\;\bigg\{</math>la décomposition de <math>\;\varphi(b_j)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> étant «<math>\;\varphi(b_j) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,m} \varphi(b_j)_i\;c_i\;</math>»<math>\bigg\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> appelée « <u>matrice de l'[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]]</u><math>\;\varphi\;</math><u>dans le couple de bases</u><math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>» et notée «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> }}vérifie «<math>\;\forall\; x \in E\;</math>» et «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(x)\;</math> sa [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>»<ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> vérifie }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] de <math>\;\varphi(x)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;F</math>, notée <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math>»<ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> s'évalue par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : « à toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> vérifie « la matrice coordonnée de <math>\;\color{transparent}{\varphi(x)}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{F}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right] &= &\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) &\times &\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(x)\\ \in M_{m\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)& & \in M_{m\,n}\!\left( \mathbb{R} \right) & & \in M_{n\,1}\!\left( \mathbb{R} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}On déduit que « <u>l'[[w:Application_(mathématiques)|application]] de l'ensemble</u><math>\;L\!\left( E\,,\, F \right)\;</math> des [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> dans le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : On déduit que « l'application }}<u>dans l'ensemble</u><math>\;M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( m\,,\,n \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : On déduit que }}<math>\;\Big\{</math>[[w:Application_(mathématiques)|application]] qui, à « chaque [[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\varphi\;\in L\!\left( E\,,\, F \right)\;</math>» fait correspondre « la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\, \left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : On déduit que <math>\;\color{transparent}{\Big\{}</math>application qui, à « chaque application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi\;\in L\!\left( E\,,\, F \right)}\;</math>» fait correspondre « }}<math>\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>»<math>\Big\}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : On déduit que « l'application }}<u>est un [[w:Isomorphisme|isomorphisme]] d'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]]</u><ref> Compte-tenu de cet [[w:Isomorphisme|isomorphisme]], une confusion entre l'[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] et la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] est un abus toléré <math>\;\big(</math>même s'il est préférable de l'éviter<math>\big)\;\ldots</math></ref>. [[Fichier:Similitude vectorielle.png|vignette|550px|Exemple d'un [[w:Automorphisme|automorphisme]] du plan vectoriel, la [[w:Similitude_(géométrie)#Définitions|similitude directe]] <math>\;\mathcal{S}\;</math> de rapport <math>\;\sqrt{2}\;</math> et d'angle <math>\;45\;\text{°}</math>]] {{Al|5}}<u>Exemple</u> : La [[w:Similitude_(géométrie)#Définitions|similitude directe]] <math>\;\mathcal{S}\;</math> de rapport <math>\;\sqrt{2}\;</math> et d'angle <math>\;45\;\text{°}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : La similitude directe <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}}\;</math> }}est un [[w:Automorphisme|automorphisme]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel_euclidien|espace vectoriel euclidien]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;2</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}avec le choix de la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace = \left( e_1\,,\,e_2 \right)\;</math> pour décrire les vecteurs de <math>\;E\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : avec le choix de la base canonique }}du domaine de définition de l'[[w:Automorphisme|automorphisme]] <math>\;\mathcal{S}\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : avec le choix }}de la même [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\left( e_1\,,\,e_2 \right)\;</math> pour les images par [[w:Automorphisme|automorphisme]] <math>\;\mathcal{S}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : avec le choix de la même base canonique <math>\;\color{transparent}{\left( e_1\,,\,e_2 \right)}\;</math> pour les images }}des vecteurs de <math>\;E\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : avec le choix }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{S}(e_1) \!\!\!&= \sqrt{2}\, \left[ \cos(45\,\text{°})\;e_1 + \sin(45\,\text{°})\;e_2 \right] \!\!\!&= \;\;e_1 + e_2\\ \mathcal{S}(e_2) \!\!\!&= \sqrt{2}\, \left[ \cos(135\,\text{°})\;e_1 + \sin(135\,\text{°})\;e_2 \right] \!\!\!&= -e_1 + e_2\end{array}\right\rbrace</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de l'[[w:Automorphisme|automorphisme]] <math>\;\mathcal{S}\;</math> de <math>\;E\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace,\, \left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace \right)\;</math> s'écrit alors <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : la matrice de l'automorphisme <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace,\, \left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace}\! \left( \mathcal{S} \right) = \left[ \begin{array}{c} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array} \right]\;</math>», d'où : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}un vecteur <math>\;x\;\in E\;</math> de composantes <math>\;\left( a\,,\,b \right)\;</math> dans la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : un vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in E}\;</math> }}de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace}\! \left( x \right) = \left[ \begin{array}{c} a\\ b \end{array} \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : un vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in E}\;</math> }}a pour image, par [[w:Similitude_(géométrie)#Définitions|similitude directe]] <math>\;\mathcal{S}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : un vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in E}\;</math> a pour image, }}le vecteur <math>\;\mathcal{S}(x)\;\in E\;</math> de composantes <math>\;\left( a'\,,\,b' \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : un vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in E}\;</math> a pour image, le vecteur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}(x)\;\in E}\;</math> de }}dans la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : un vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in E}\;</math> a pour image, le vecteur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}(x)\;\in E}\;</math> }}de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\mathrm{mat}_{\left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace}\! \left[ \mathcal{S}(x) \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : un vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in E}\;</math> a pour image, le vecteur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}(x)\;\in E}\;</math> de matrice coordonnée }}s'obtenant selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : un vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in E}\;</math> a pour image, le vecteur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{S}(x)\;\in E}\;</math> de matrice coordonnée }}<math>\mathrm{mat}_{\left\lbrace B_{\text{can}} \right\rbrace}\! \left[ \mathcal{S}(x) \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} a\\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a - b \\ a + b \end{array} \right]\;</math> soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} a' = a - b\\ b' = a + b\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-joint : <math>\bullet\;</math><math>\overrightarrow{AB} = \left( 2\,,\, 0 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\overrightarrow{A'B'} = \left( 2 - 0 = 2\,,\, 2 + 0 = 2 \right)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-joint : }}<math>\bullet\;</math><math>\overrightarrow{BC} = \left( 0\,,\, 1 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\overrightarrow{B'C'} = \left( 0 - 1 = -1\,,\, 0 + 1 = 1 \right)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-joint : }}<math>\bullet\;</math><math>\overrightarrow{CD} = \left( -1\,,\, 1 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\overrightarrow{C'D'} = \left( -1 - 1 = -2\,,\, -1 + 1 = 0 \right)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-joint : }}<math>\bullet\;</math><math>\overrightarrow{DE} = \left( 0\,,\, -1 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\overrightarrow{D'E'} = \left( 0 + 1 = 1\,,\, 0 - 1 = -1 \right)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-joint : }}<math>\bullet\;</math><math>\overrightarrow{EF} = \left( -1\,,\, 1 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\overrightarrow{E'F'} = \left( -1 - 1 = -2\,,\, -1 + 1 = 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-joint : }}<math>\bullet\;</math><math>\overrightarrow{FA} = \left( 0\,,\, -2 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\overrightarrow{F'A'} = \left( 0 + 2 = 2\,,\, 0 - 2 = -2 \right)</math>.</ref>. ==== Matrice de la composée de deux applications linéaires, la 1^ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2^ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base D ==== {{Al|5}}Considérant trois <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]] avec définition d'une base dans chacun d'eux <math>\bullet\;</math>un « 1^er <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant trois <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux }}<math>\bullet\;</math>un « 2^nd <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant trois <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux }}<math>\bullet\;</math>un « 3^ème <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;G\;</math> de dimension <math>\;p\;</math> avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace D \right\rbrace = \left\lbrace d_1,\cdots c_k, \cdots d_p \right\rbrace_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, p}\;</math>» <br />{{Al|10}}ainsi que deux « [[w:Application linéaire#Définitions|applications linéaires]] <math>\;\blacktriangleright\;</math><math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math> dans <math>\;F\;</math> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|ainsi que deux « applications linéaires }}<math>\;\blacktriangleright\;</math><math>\;\psi\;</math> de <math>\;F\;</math> dans <math>\;G\;</math>». {{Al|5}}On appelle « <u>[[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Propriétés|matrice composée de l'application linéaire]]</u><math>\;\psi \circ \varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « matrice composée de l'application linéaire<math>\;\color{transparent}{\psi \circ \varphi}\;</math> }}dans le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;G\;</math> de dimension <math>\;p\;</math> de base <math>\;\left\lbrace D \right\rbrace\;</math> avec, <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « matrice composée de l'application linéaire<math>\;\color{transparent}{\psi \circ \varphi}\;</math> }}pour <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] intermédiaire <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> de base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle }}la « <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension</u> <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( p\,,\,n \right)\;</math> notée <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace D \right\rbrace}\!\left( \psi \circ \varphi \right) \in M_{p,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle la « matrice de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( p\,,\,n \right)}\;</math> }}<u>telle que</u> «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> étant la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\, \left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>» et <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle la « matrice de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( p\,,\,n \right)}\;</math> telle que }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace D \right\rbrace}\!\left( \psi \right) \in M_{p,\,m}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> {{Transparent|étant }}la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'application linéaire]] <math>\;\psi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace C \right\rbrace\,,\, \left\lbrace D \right\rbrace \right)\;</math>», <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle la « matrice de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( p\,,\,n \right)}\;</math> telle que }}la « [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Propriétés|matrice composée de l'application linéaire]] <math>\;\psi \circ \varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\, \left\lbrace D \right\rbrace \right)\;</math>» se détermine par <br />{{Al|1}}{{Transparent|On appelle la « matrice de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\left( p\,,\,n \right)}\;</math> telle que la « matrice composée de l'application linéaire <math>\;\color{transparent}{\psi \circ \varphi}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace D \right\rbrace}\!\left( \psi \circ \varphi \right) &= &\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace D \right\rbrace}\!\left( \psi \right) &\times &\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\\ \in\;M_{p,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right) & & \in\;M_{p,\,m}\! \left( \mathbb{R} \right) & & \in\;M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>». ==== Changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image ==== {{Al|5}}Considérant deux <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]] avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux <math>\bullet\;</math>un « 1^er <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> avec deux bases distinctes <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant deux <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>un « 1^er <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> avec }}<math>\left[\! \begin{array}{c} \left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\\ \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace {b'}_1,\cdots {b'}_j, \cdots {b'}_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\end{array} \!\right]\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant deux <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux }}<math>\bullet\;</math>un « 2^nd <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;F\;</math> de dimension <math>\;m\;</math> avec deux bases distinctes <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant deux <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>un « 2^nd <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> avec }}<math>\left[\! \begin{array}{c} \left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\\ \left\lbrace C' \right\rbrace = \left\lbrace {c'}_1,\cdots {c'}_i, \cdots {c'}_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\end{array} \!\right]\;</math>» <br />{{Al|1}}{{Transparent|Considérant }}et une « [[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math> dans <math>\;F\;</math>» ainsi que les [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices de l'application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> dans différents couples de bases : <br />{{Al|1}}{{Transparent|Considérant et une « application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{F}\;</math>» ainsi que }}<math>\bullet\;</math>« la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de l'[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\, \left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>» et <br />{{Al|1}}{{Transparent|Considérant et une « application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{F}\;</math>» ainsi que }}<math>\bullet\;</math>« la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de l'[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B' \right\rbrace\,,\, \left\lbrace C' \right\rbrace \right)\;</math>» ; {{Al|5}}on se propose de « déterminer la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» connaissant «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de « déterminer la matrice <math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» connaissant }}« les [[w:Matrice_de_passage#Définition|matrices de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> ainsi que <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de « déterminer la matrice <math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math>» connaissant « les matrices de passage }}<math>\;\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}\in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace\;</math>», c.-à-d. de <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de }}« déterminer les conséquences sur la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> du changement simultané de la base dans laquelle les vecteurs de <math>\;E\;</math> sont repérés et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de « déterminer les conséquences sur la matrice de l'application linéaire <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du changement simultané }}de celle dans laquelle ceux de <math>\;F\;</math> le sont » ; on établit : <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» {{Al|10}}dans laquelle «<math>\;\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> est la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]]<ref name="matrice inversible" /> de <math>\;\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}\;</math>»<ref> <math>\;\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> est donc la [[w:Matrice_de_passage#Définition|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace</math>.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|on se propose de }}<u>Justification</u> : Appliquant <math>\;\varphi\;</math> à tout «<math>\;x\;\in\;E\;</math> repéré dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(x)\;</math>»<ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : Appliquant <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> à tout «<math>\;\color{transparent}{x\;\in\;E}\;</math> }}on obtient «<math>\;\varphi(x)\;\in\;F\;</math> repéré dans la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_m \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, m}\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math>»<ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : }}notant «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\, \left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>», on en déduit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math><ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> de celle <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(x)\;</math> par <br />{{Al|3}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right] = \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(x)\;</math>»<ref name="matrice de l'application linéaire et matrices coordonnées de l'antécédent et de l'image"> Voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)]] (1^ère propriété) plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : }}notant «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> la [[w:Matrice_de_passage#Définition|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(x)\;</math> de <math>\;x\;\in\;E\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math><ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> est liée à <br />{{Al|6}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coord }}celle <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;</math> de <math>\;x\;\in\;E\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon <br />{{Al|2}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(x) = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;</math>»<ref name="effet d'un changement de base sur la matrice coordonnée d'un vecteur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » associé à la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#cite_note-matrice_coordonnée_d'un_vecteur_d'un_espace_vectoriel-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math> de <math>\;\varphi(x)\;\in\;F\;</math> dans <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math><ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> se réécrit en fonction de <br />{{Al|6}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coord }}celle <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;</math> de <math>\;x\;\in\;E\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon <br />{{Al|2}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right] = \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x) \right\rbrace</math> <br />{{Al|2}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]}</math> }}<math>= \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;</math>» <br />{{Al|7}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]}</math> }}par utilisation de l'associativité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <ref name="associativité de la multiplication matricielle"> Généralisation de l'associativité vue dans le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] plus haut dans ce chapitre, l'associativité restant applicable dès lors que la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible <math>\;\ldots</math></ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : }}notant «<math>\;\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}\in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> la [[w:Matrice_de_passage#Définition|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace\;</math>» dont on déduit en [[w:Matrice_inversible|inversant]]<ref name="matrice inversible" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant }}«<math>\;\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> la [[w:Matrice_de_passage#Définition|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>» et par suite <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math> de <math>\;\varphi(x)\;\in\;F\;</math> dans <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace\;</math><ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> se réécrit en fonction de <br />{{Al|6}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coord }}celle <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math> de <math>\;\varphi(x)\;\in\;F\;</math> dans <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> selon <br />{{Al|2}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right] = \left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math>»<ref name="effet d'un changement de base sur la matrice coordonnée d'un vecteur" /> et finalement <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math> de <math>\;\varphi(x)\;\in\;F\;</math> dans <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace\;</math><ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> se réécrit en fonction de <br />{{Al|6}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coord }}celle <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;</math> de <math>\;x\;\in\;E\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon <br />{{Al|2}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right] = \left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \times \bigg\langle \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x) \bigg\rangle</math> <br />{{Al|2}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]}</math> }}<math>= \left\lbrace \left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>» <br />{{Al|7}}{{Transparent|on se propose de Justification : notant «<math>\;\color{transparent}{\left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \in M_m\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]}</math> }}par utilisation de l'associativité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]]<ref name="associativité de la multiplication matricielle" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : }}pour terminer, notant «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'application linéaire]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B' \right\rbrace\,,\, \left\lbrace C' \right\rbrace \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : pour terminer, notant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right]\;</math> de <math>\;\varphi(x)\;\in\;F\;</math> dans <math>\;\left\lbrace C' \right\rbrace\;</math><ref name="matrice coordonnée d'un vecteur d'un espace vectoriel" /> se déduit de <br />{{Al|6}}{{Transparent|on se propose de Justification : pour terminer, notant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coord }}celle <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;</math> de <math>\;x\;\in\;E\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> par <br />{{Al|2}}{{Transparent|on se propose de Justification : pour terminer, notant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> la matrice coordonnée }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C' \right\rbrace}\!\left[ \varphi(x) \right] = \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\, \left\lbrace C' \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace}(x)\;</math>»<ref name="matrice de l'application linéaire et matrices coordonnées de l'antécédent et de l'image" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|on se propose de Justification : pour terminer, }}par identification avec la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, valable <math>\;\forall\;x\;\in\;E</math>, «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\, \left\lbrace C' \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) = \left[ Q \right]_{\left\lbrace C \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Soit «<math>\;\varphi\;\in L(E)\;</math> un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> dans lequel on choisit deux bases distinctes <math>\;\left( \begin{array}{c} \left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\\ \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace {b'}_1,\cdots {b'}_j, \cdots {b'}_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\end{array} \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Soit }}«<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> la [[w:Matrice_de_passage#Définition|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}« les [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math> dans chaque couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B \right\rbrace \right)\;</math> et <math>\;\left( \left\lbrace B' \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B' \right\rbrace \right)\;</math>» étant liées par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> « }}sont qualifiées de « [[w:Matrices_semblables|matrices semblables]] », <br />{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> « }}<math>\Big\{</math>« deux [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] <math>\;\left( \left[ A \right]\,,\, \left[ B \right] \right) \in \left\lbrace M_n\! \left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2\;</math> sont [[w:Matrices_semblables|semblables]] » ssi «<math>\;\exists\;\left[ P \right] \in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> <u>[[w:Matrice_inversible|inversible]]</u> » telle que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> « <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>« deux matrices <math>\;\color{transparent}{\left( \left[ A \right]\,,\, \left[ B \right] \right) \in \left\lbrace M_n\! \left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2}\;</math> sont semblables » ssi }}«<math>\;\left[ A \right] \times \left[ P \right] = \left[ P \right] \times \left[ B \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ A \right] = \left[ P \right] \times \left[ B \right] \times \left[ P \right]^{-1}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> « <math>\color{transparent}{\Big\{}</math>« deux matrices <math>\;\color{transparent}{\left( \left[ A \right]\,,\, \left[ B \right] \right) \in \left\lbrace M_n\! \left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2}\;</math> sont semblables » ssi «<math>\;\color{transparent}{\left[ A \right] \times \left[ P \right] = \left[ P \right] \times \left[ B \right]}\;</math> }}<math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ B \right] = \left[ P \right]^{-1} \times \left[ A \right] \times \left[ P \right]\;</math>»<math>\Big\}</math>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Les torseurs/]] | suivant = [[../Les matrices carrées, leur réduction, généralités/]] }} pj1bddh919lki64e1s5qs3vnmv52twn 0 73682 982930 965703 2026-05-19T16:24:57Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982930 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Les matrices carrées, leur inversion sous conditions/]] | suivant = [[../Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels/]] }} == Introduction des « tenseurs » en mathématiques == {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tous ces éléments pris individuellement forment un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension finie et, avec pour corps de construction <math>\;\mathbb{R}</math>, les 1^ers exemples sont : ::* l'ensemble des scalaires formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathbb{R}\;</math> lui-même de dimension <math>\;1</math>, <center>un scalaire étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre zéro</u>,</center> ::* l'ensemble des vecteurs formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> de dimension <math>\;n</math>, chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_j\\ \vdots\\ x_n\end{array} \right] \in M_{n,\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <center>un vecteur d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre un</u><ref name="autre tenseur d'ordre un"> Comme nous le voyons au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Divers_types_de_tenseurs_d'ordre_un,_définitions_et_propriétés|divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre un que les vecteurs.</ref>,</center> ::* l'ensemble des familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^p</math>, chaque famille ordonnée de <math>\;p\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & \cdots & x_{1,\,j} & \cdots & x_{1,\,p}\\ & & \vdots & & \\ x_{i,\,1} & \cdots & x_{i,\,j} & \cdots & x_{i,\,p}\\ & & \vdots & & \\ x_{n,\,1} & \cdots & x_{n,\,j} & \cdots & x_{n,\,p}\end{array} \right] \in M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)</math> {{Nobr|<math>\Bigg\{</math>en}} particulier l'ensemble des familles ordonnées de <math>\;n\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> est le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^n</math>, chaque famille ordonnée de <math>\;n\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & \cdots & x_{1,\,j} & \cdots & x_{1,\,n}\\ & & \vdots & & \\ x_{i,\,1} & \cdots & x_{i,\,j} & \cdots & x_{i,\,n}\\ & & \vdots & & \\ x_{n,\,1} & \cdots & x_{n,\,j} & \cdots & x_{n,\,n}\end{array} \right] \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\Bigg\}</math>, <center>une famille ordonnée de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux</u> <math>\;\big(</math>avec <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\!\big)\;</math><ref name="autre tenseur d'ordre deux"> Comme nous le voyons au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Divers_types_de_tenseurs_d'ordre_deux,_définitions_et_propriétés|divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux que les familles de vecteurs.</ref> et</center> ::* l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^p \right\rbrace^q</math>, chaque collection ordonnée de <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par un tableau parallélépipédique constitué de <math>\;q\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] placées en « couches »<ref name="couche"> Le terme « couche » pour un tableau parallélépipédique n'est pas codifié car la représentation en perspective d'un tel tableau parallélépipédique n'est guère utilisée, on préfère représenter chaque « couche » par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> fixée, chacune à la suite des précédentes comme si on faisait des coupes successives du tableau parallélépipédique au niveau de chaque « couche » <math>\;\ldots</math></ref> successives, de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( n\,,\, p \right)</math>, <center>une famille ordonnée de <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre trois</u> <math>\;\Big[</math>à condition que <math>\;\left( p\,,\, q \right)\,\in\, \big\{\mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\!\big\}^2\Big]\;</math><ref name="autre tenseur d'ordre trois"> Comme cela est évoqué au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Tenseurs_d'ordre_strctement_supérieur_à_deux|tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre trois que les collections de familles de vecteurs.</ref>,</center> ::* <math>\;\ldots\;</math> [[File:Tenseurs - exemples.png|thumb|center|600px|Exemples de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre zéro <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre un <math>\;\big(</math>vecteur de l'espace physique<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre deux <math>\;\big(</math>famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'espace physique<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre trois <math>\;\big(</math>collection de <math>\;3\;</math> familles de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'espace physique<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;\in \mathbb{N}\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> forment donc un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^{\,p}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> }}on définit en effet <math>\bullet\;</math>l'addition de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] de même ordre <math>\;p</math> <math>\;\Big(</math>par loi de composition interne <math>\;T_p \times T_p\; \overset{+}{\rightarrow}\; T_p\;</math> où <math>\;T_p\;</math> est l'ensemble des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;</math><ref name="addition de deux tensions d'ordre p"> Soient deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> représentables, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\,b_2\,,\,b_3 \right\rbrace</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & x_{1,\,2} & x_{1,\,3}\\ x_{2,\,1} & x_{2,\,2} & x_{2,\,3}\\ x_{3,\,1} & x_{3,\,2} & x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et par un autre [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1,\,1} & {x'}_{\!1,\,2} & {x'}_{\!1,\,3}\\ {x'}_{\!2,\,1} & {x'}_{\!2,\,2} & {x'}_{\!2,\,3}\\ {x'}_{\!3,\,1} & {x'}_{\!3,\,2} & {x'}_{\!3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, la somme de ces deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> peut être définie par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] la représentant, à l'aide de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, c.-à-d. <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} + {x'}_{\!1,\,1} & x_{1,\,2} + {x'}_{\!1,\,2} & x_{1,\,3} + {x'}_{\!1,\,3}\\ x_{2,\,1} + {x'}_{\!2,\,1} & x_{2,\,2} + {x'}_{\!2,\,2} & x_{2,\,3} + {x'}_{\!2,\,3}\\ x_{3,\,1} + {x'}_{\!3,\,1} & x_{3,\,2} + {x'}_{\!3,\,2} & x_{3,\,3} + {x'}_{\!3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math> ; <br>{{Al|3}}on prolonge de la même façon la définition de l'addition de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> à celle de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre quelconque <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}\;</math> de cet espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}</math>.</ref><math>\Big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> on définit en effet }}<math>\bullet\;</math>la multiplication d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;p\;</math> par un scalaire <math>\;\Big(</math>loi de composition externe <math>\;\mathbb{R} \times T_p\; \overset{\cdot}{\rightarrow}\; T_p\;</math><ref name="multiplication d'un tenseur d'ordre p par un scalaire"> Soient un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\,b_2\,,\,b_3 \right\rbrace</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & x_{1,\,2} & x_{1,\,3}\\ x_{2,\,1} & x_{2,\,2} & x_{2,\,3}\\ x_{3,\,1} & x_{3,\,2} & x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et un scalaire <math>\;\lambda\;\in\;\mathbb{R}</math>, le produit de ce [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> par ce scalaire peut être définie par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] le représentant, à l'aide de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, c.-à-d. <math>\;\left[ \begin{array}{c} \lambda\;x_{1,\,1} & \lambda\;x_{1,\,2} & \lambda\;x_{1,\,3}\\ \lambda\;x_{2,\,1} & \lambda\;x_{2,\,2} & \lambda\;x_{2,\,3}\\ \lambda\;x_{3,\,1} & \lambda\;x_{3,\,2} & \lambda\;x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math> ; <br>{{Al|3}}on prolonge de la même façon la définition de la multiplication d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> par un scalaire à celle d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre quelconque <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}\;</math> de cet espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}</math>.</ref><math>\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> on définit en effet }}<math>\bullet\;</math>ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble <math>\;T_p\;</math> des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;</math> d'être un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : <math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre un, leurs représentations en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] dépendent de la base, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre deux, leurs représentations en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] rectangulaires dépendent de la base, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre trois, leurs représentations en tableaux parallélépipédiques dépendent de la base ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre <math>\;>\;</math> à trois, leurs représentations en tableaux hyperparallélépipédiques<ref name="hyperparallélépipédique"> Un parallélépipède est une expansion tridimensionnelle particulière de l'espace physique à trois dimensions, <br>{{Al|3}}un hyperparallélépipède dans un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] à quatre dimensions est une expansion tétradimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède, <br>{{Al|3}}un hyperparallélépipède dans un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] à cinq dimensions est une expansion pentadimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède, <br>{{Al|3}}{{Transparent|un hyperparallélépipède }}cette appellation restant valable pour tout [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] de dimension <math>\;> 3</math>.</ref> dépendent de la base. == 1^ères définitions de tenseurs == {{Al|5}}<u>Préliminaires</u> : Comme nous l'avons vu au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Introduction_des_«_tenseurs_»_en_mathématiques|introduction des tenseurs en mathématiques]] » plus haut dans ce chapitre, un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] nécessite de préciser l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de travail, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}il s'agit d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^{\,p}</math>, <math>\;p\;\in \mathbb{N}</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 0</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] est <math>\;\mathbb{R}\;</math> de dimension <math>\;1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 1</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3\;</math> est, quand c'est utile, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, l'espace vectoriel }}choisi [[w:Espace_vectoriel_euclidien|euclidien]] <ref name="espace vectoriel euclidien"> C.-à-d. muni d'une [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de vecteurs, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_scalaire_de_deux_vecteurs|produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et dans ce cas, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, }}l'espace vectoriel est la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]]<ref name="direction d'un espace affine"> C.-à-d. l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]].</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, l'espace vectoriel est la direction de l'}}tridimensionnel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 2</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] est de dimension <math>\;9</math>, par exemple, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 2}</math>, }}l'ensemble des familles de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 2}</math>, l'ensemble des familles de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> vecteurs de l’}}tridimensionnel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math><math>\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : }}Une grandeur est qualifiée de « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] » lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] d'étude<ref name="exemple de grandeur covariante"> Soit un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel_euclidien|espace vectoriel euclidien]] <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de dimension <math>\;3\;</math> et ses composantes selon la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> choisie dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> à savoir <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right)\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> où «<math>\;\cdot\;</math> est la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] définie sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Soit }}une autre base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans laquelle les composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> sont <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math>, <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & X_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>» telle que la j^ème [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] est la décomposition de <math>\;\vec{b'}_{\!j}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ce qui se traduit par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i\\ \vec{b'}_{\!2} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \\ \vec{b'}_{\!3} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,3}\; \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]</math> <math>\;\big[</math>voir, dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités##Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] quelconque ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}par report des relations <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> dans les composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> exprimées selon <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\;\left( \mathfrak{b}' \right)</math>, «<math>\;\left( \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,3}\; \vec{b}_i \right\rbrace \right) =</math> <math>\left( \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,3}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace \right)\;</math>» par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|par report des relations <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math> dans les composantes de <math>\;\color{transparent}{\vec{x}}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> exprimées }}selon <math>\;\left[ \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur écrites sous forme de [[w:Produit_scalaire|produits scalaires]] avec la base utilisée est une grandeur [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] <math>\;\big\{</math>on parle de « composantes [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] du vecteur », « le triplet étant représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Une grandeur est }}qualifiée de « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle des vecteurs de base du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] d'étude<ref name="exemple de grandeur contravariante"> Soit le triplet de scalaires réels <math>\;\left( x_1\,,\, x_2\,,\, x_3 \right)\;</math> défini comme composantes d'un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;</math> au <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de dimension <math>\;3</math>, composantes selon la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> choisie dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, c.-à-d. telles que «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 x_i\;\vec{b}_i\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» et <br>{{Al|19}}{{Transparent|Soit }}une autre base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon laquelle le vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> a pour composantes le triplet de scalaires réels <math>\;\left( {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right)\;</math> telles que «<math>\;\vec{x} =</math> <math>\sum\limits_{i = 1}^3 {x'}_{\!i}\;\vec{b'}_{\!i}\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>», <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>» telle que la j^ème [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] est la décomposition de <math>\;\vec{b'}_{\!j}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ce qui se traduit par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i\\ \vec{b'}_{\!2} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \\ \vec{b'}_{\!3} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,3}\; \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]</math> <math>\;\big[</math>voir, dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] quelconque ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}par report des relations <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)</math>, «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 {x'}_{\!i}\,\left( \sum\limits_{j = 1}^3 a_{j,\,i}\; \vec{b}_j \right) = \sum\limits_{j = 1}^3 \left( \sum\limits_{i = 1}^3 a_{j,\,i}\;{x'}_{\!i} \right)\,\vec{b}_j\;</math>» par distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à une addition vectorielle et par factorisation par un vecteur dans cette addition vectorielle ou, en permutant le nom des indices «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 \left( \sum\limits_{j = 1}^3 a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j} \right)\,\vec{b}_i\;</math>» soit, en identifiant à <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 x_i\;\vec{b}_i\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_i =</math> <math>\sum\limits_{j = 1}^3 a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j},\;\;\forall\;i\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_1 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,j}\; {x'}_{\!j}\\ x_2 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{2,\,j}\; {x'}_{\!j} \\ x_3 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{3,\,j}\; {x'}_{\!j} \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right]</math> ; <br>{{Al|3}}dans la mesure où tout changement de bases peut être inverser, la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» est [[w:Matrice_inersible|inversible]], son [[w:Matrice_inversible|inverse]] est notée «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math>» et les composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> sont modifiées selon <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]\;</math> prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur est une grandeur [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] <math>\;\big\{</math>on parle de « composantes [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] du vecteur », « le triplet étant représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] »<math>\big\}</math>.</ref>. === Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro === {{Définition|titre=Définition d'un tenseur d'ordre zéro|contenu={{Al|5}}« Tout scalaire <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout élément de <math>\;\mathbb{R}\big)\;</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un scalaire ne dépendant d'aucune base, un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> est évidemment indépendant du choix d'une telle base<ref name="scalaire défini comme produit scalaire de deux vecteurs"> Le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] de deux vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction d'un espace affine]] est l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}\;</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}étant un scalaire et <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> étant }}invariant par changement de bases de <math>\;W</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}nous vérifions bien le caractère inchangé <math>\;\big(</math>on dit invariant<math>\big)\;</math> d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Comme un scalaire ne dépend d'aucune base<ref> Ou s'il est défini comme le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] de deux vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction d'un espace affine]] est l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>, le scalaire obtenu ne dépend pas d'un éventuel changement de bases de <math>\;W</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#cite_note-scalaire_défini_comme_produit_scalaire_de_deux_vecteurs-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>, « un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> est dit <u>invariant</u> », il n'est ni [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] ni [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <math>\;\ldots</math> == Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés == === Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un === {{Définition|titre=Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre un|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout vecteur de cet [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math>» <ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> n'est pas un vecteur de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci<ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur"> Pour définir les composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] d'un vecteur il n'est pas utile que l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de définition soit [[w:Espace_euclidien|euclidien]] par contre <br>{{Al|41}}pour définir les composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] du même vecteur, son [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de définition doit être [[w:Espace_euclidien|euclidien]].</ref><math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] »<ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}}<ref name="exemple de grandeur contravariante" />, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>tout vecteur de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout vecteur de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]</u><ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref> ». === Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un === {{Définition|titre=Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{*}\;</math> de dimension <math>\;3</math> <math>\;\big(W^{*}\;</math> étant l'[[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W\;</math><ref name="autre notation d'un dual"> Le [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\;</math> étant l'ensemble des [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> est encore noté <math>\;L(W,\,\mathbb{R})\;</math> ou <math>\;L_{\mathbb{R}}(W,\,\mathbb{R})\;</math> ou encore <math>\;\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(W,\,\mathbb{R})\;</math> mais le plus souvent on se contente de <math>\;W^{*}</math>.</ref> [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]]<ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. toute [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{*}}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type associé au vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> est la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;f := \vec{a} \cdot\;</math>» telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}</math>, <math>\;\big[</math>la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> est un élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" />, chaque élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> étant encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] »<ref name="justification de covecteur"> La justification de cette appellation venant du fait que ses composantes dans une base de <math>\;W\;</math> sont « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] ».</ref><math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci<ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 2^ème type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] »<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="covariance des composantes de covecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> écrites sous forme de [[w:Produit_scalaire|produits scalaires]] ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_covariante-10|¹⁰]] » plus haut dans ce chapitre, nous allons l'expliciter en terme de vecteur de <math>\;W^{*}</math> <math>\;\big(W^{*}\;</math> étant le [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\big)\;</math> <math>\big\{</math>encore appelé [[w:Covecteur|covecteur]] de <math>\;W^{*}</math> <math>\big(</math>ou de [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] sur <math>\;W\big)\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}soit <math>\;\vec{a}\;</math> un vecteur de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <math>\;\vec{a} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_i \right) b_i\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]</math>, on en a déduit, <br>{{Al|3}}le vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> se décomposant dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\vec{a} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!i} \right) \vec{b'}_{\!i}</math>, l'influence du changement de bases de <math>\;W\;</math> sur les somposantes de <math>\;\vec{a}\;</math> écrites en terme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right] = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, d'où une 1^ère justification du qualificatif « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » données aux composantes du vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> exprimées sous forme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] avec les vecteurs de base de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> ; <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> associée à <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> «<math>\;f := \vec{a} \cdot\;</math> telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\;</math>» <math>\;\big[f\;\in\;W^{*}\;</math> est encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] de <math>\;W^{*}\;</math>»<math>\big]</math>, l'image de <math>\;\vec{x}\;</math> par <math>\;f\;</math> s'écrivant encore, dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, «<math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \sum\limits_{k = 1}^3 x_k\;\vec{b}_k = \sum\limits_{k = 1}^3 \vec{a} \cdot \vec{b}_k\; x_k\;</math>» par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, sous forme [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] «<math>\;f(\vec{x}) = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ X \right]\;</math>» où <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]\;</math> est la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] des composantes de <math>\vec{x}\;</math> sur cette base, on déduit, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}du caractère invariant par changement de bases du scalaire <math>\;f(x)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}de celui [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> représentées par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> de celui }}<math>\big(</math>caractère [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}le caractère [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes de <math>\;\vec{a}\;</math> exprimées sous forme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] avec les vecteurs de base et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> le caractère covariant }}représentées par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right]</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}<math>\big\{</math>ceci constituant la 2^ème justification du qualificatif « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » données à ces composantes<math>\big\}</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique » est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u><ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus - bis"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]].</ref> » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« tout [[w:Covecteur|covecteur]] de l'espace [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique » est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u><ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus - bis" /> ». === Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> étant un vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W</math>, ses composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]]<math>\big)\;</math> <math>\left( a_1\,,\,a_2\,,\,a_3 \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Un tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariant étant un vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}</math>, ses composantes }}ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;\Big\{</math>«<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant sa [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] »<math>\Big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> }}les composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]]<math>\big)\;</math> du vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>contravariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> du vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {a'}_{\!1}\\ {a'}_{\!2}\\ {a'}_{\!3}\end{array}\right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\;</math>». {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus - bis" /> associé au vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> étant la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;f := a \cdot\;</math>» telle que <math>\;\forall\;x\;\in\;W</math> <math>\;f(x) = a \cdot x</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant associé au vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> étant }}la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] » de <math>\;W^{*}\big)\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant associé au vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> étant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}«<math>\;f := a \cdot\;</math>» étant un élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> l'[[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant }}ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant ses composantes dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\;</math>»<ref name="abus usuel pour covecteur"> Pour simplifier l'écriture on dira que « le [[w:Covecteur|covecteur]] associé au vecteur <math>\;a\;\in\;W\;</math>» est représenté, « dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right]\;</math> au lieu de <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right]\;</math>», idem pour la représentation dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> }}les composantes de <math>\;\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\left[ {a'}_{\!1}\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne }}<math>\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace C \right\rbrace} \times\;</math>»<ref name="abus usuel pour covecteur" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Propriété</u> : « Le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] <ref name="définition intrinsèque du produit scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> des vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2\;</math>» s'identifiant à « l'image de <math>\;\vec{x}\;\in\;W\;</math> par la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\;</math>»<ref name="autre notation d'un dual" /> à savoir «<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = f(\vec{x})\;\in\;\mathbb{R}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» }}est invariant par changement de base choisie dans <math>\;W\;</math> en effet <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant }}évalué, dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =\left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W</math>, par «<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,3} a_k\;x_k\;</math><ref name="définition du produit scalaire par les composantes des vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math><ref name="abus usuel pour covecteur" /> », <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant }}on vérifie que le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}conduit à l'évaluation dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right]\;</math>»<ref name="abus usuel pour covecteur" /> où «<math>\;\left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times</math> <math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>»<ref name="abus usuel pour covecteur" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où « }}<math>\big\{</math>caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] » de “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\big\}\;</math> et <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right] =</math> <math>\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où « }}<math>\big\{</math>caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] » de “<math>\;\vec{x}\;</math>” <math>\;\in\;W\big\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right]\;</math><ref name="abus usuel pour covecteur" /> <math>= \left\lbrace \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \right\rbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x}}</math> }}<math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times \cancel{\bigg\{ \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \bigg\}} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible.</ref>{{,}}<ref name="propriété de matrices inverses l'une de l'autre"> <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\,</math> on a <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} = \left[ I_3 \right] \\ \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ I_3 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left[ I_3 \right]\;</math> est la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] de <math>\;M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> laquelle est l'élément neutre de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] quand celle-ci est possible <math>\;\big\{</math>voir le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (4^ème propriété, élément neutre) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big\}</math>.</ref> » soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}« l'invariance de <math>\;\vec{a} \cdot \vec{x}\;</math> par changement de bases » C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>. ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x}\;</math> étant un scalaire est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> d'où son invariance par changement de bases<ref name="caractère invariant d'un tenseur d'ordre 0"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_tenseur_d'ordre_zéro|définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> »<ref> Autre justification.</ref>. == Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés == {{Al|5}}Parmi les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle fait intervenir des [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parmi les tenseurs d'ordre deux }}nous écartons tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> à représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle avec au moins une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] rectangulaire dont une dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> est <math>\;3</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parmi les tenseurs d'ordre deux nous écartons tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont }}l'autre étant un entier <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1\,,\,3 \right\rbrace</math>. === Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^2 = 9\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. toute famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel<math>\big)</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{3^2 = 9}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>»<ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> n'est pas une famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci<ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] »<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="contravariance des composantes de famille de 3 vecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes d'un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans ce chapitre, nous rappelons ci-dessous, les principaux résultats : <br>{{Al|3}}soit <math>\;\vec{x}\;</math> un vecteur quelconque de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} x_i\; b_i\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|soit }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>», on en a déduit, <br>{{Al|3}}la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] du vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right]\;</math> dans laquelle le triplet <math>\;\left\lbrace {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> sont les composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> sur <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} telles que <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} {x'}_{\!i}\; \vec{b'}_{\!i}\;</math> soit «<math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ X \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>», <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, la relation <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de <math>\;x</math> ; <br>{{Al|3}}considérant maintenant une famille de <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;\in\;W^3</math>, de composantes sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x}\,:\, \left( x_1\,,\, x_2\,,\, x_3 \right)\\ \vec{v}\,:\, \left( v_1\,,\, v_2\,,\, v_3 \right)\\ \vec{w}\,:\, \left( w_1\,,\, w_2\,,\, w_3 \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> et représentées [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\;\left\lbrace \vec{x}\,:\, \left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;;\;\vec{v}\,:\, \left[ V \right] = \left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array} \right]\;;\; \vec{w}\,:\, \left[ W \right] = \left[ \begin{array}{c} w_1\\ w_2\\ w_3\end{array} \right] \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> précédemment défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\!</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}les composantes des trois vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x}\,:\, \left( {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right)\\ \vec{v}\,:\, \left( {v'}_{\!1}\,,\, {v'}_{\!2}\,,\, {v'}_{\!3} \right)\\ \vec{w}\,:\, \left( {w'}_{\!1}\,,\, {w'}_{\!2}\,,\, {w'}_{\!3} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> respectivement représentées [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] suivantes <math>\;\left\lbrace \vec{x}\,:\, \left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right]\;;\;\vec{v}\,:\, \left[ V' \right] = \left[ \begin{array}{c} {v'}_{\!1}\\ {v'}_{\!2}\\ {v'}_{\!3}\end{array} \right]\;;\; \vec{w}\,:\, \left[ W' \right] = \left[ \begin{array}{c} {w'}_{\!1}\\ {w'}_{\!2}\\ {w'}_{\!3}\end{array} \right] \right\rbrace</math>, liées aux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\left[ X' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ X \right] \\ \left[ V' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ V \right] \\ \left[ W' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ W \right]\end{array}\right\rbrace</math>, <math>\;\Big\{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> <br>étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\Big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de chaque vecteur selon <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3 \end{array} \right]\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} & {v'}_{\!1} & {w'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2} & {v'}_{\!2} & {w'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3} & {v'}_{\!3} & {w'}_{\!3} \end{array} \right]\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> «<math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la j^ème colonne de <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;</math> résultant de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> de la j^ème colonne de <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\!\bigg\}</math>, la relation <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute famille de</u><math>\;3\;</math><u>vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. toute famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que « toute famille de<math>\;\color{transparent}{3}\;</math>vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel }}est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]</u><ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="par abus" /> n'apportent guère plus que les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="par abus" />, mis à part le regroupement de <math>\;3\;</math> vecteurs dans une même famille c.-à-d. <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariants, mis à part }}le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="par abus" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariants, mis à part le regroupement }}en un seul [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="par abus" />. === Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Toute famille de <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> <math>\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]]<ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel<math>\big)</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}toute famille de <math>\;3\;</math> éléments du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{*}</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /><math>\big)\;</math> <math>\;\big\{</math>ou encore toute famille de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] de <math>\;W^{*}\big\}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Toute famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> formes linéaires du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>»<ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> n'est pas une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarques 1</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type associé au triplet de vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\, \vec{a'}\,,\,\vec{a''} \right)\;\in\;W^3\;</math> est la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,f' := \vec{a'} \cdot\,,\,f'' := \vec{a''} \cdot \right)\;</math>» telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;\left\lbrace f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\,,\,f'(\vec{x}) = \vec{a'} \cdot \vec{x}\,,\,f''(\vec{x}) = \vec{a''} \cdot \vec{x} \right\rbrace</math>, <math>\;\big[</math>les [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> dont chaque élément étant encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] »<ref name="justification de covecteur" /><math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques 1 : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci<ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 2^nd type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] »<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="covariance des composantes de famille de 3 covecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes d'un vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> écrites sous forme de produits scalaires ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_covariante-10|¹⁰]] » plus haut dans ce chapitre, on sait, en considérant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> que les composantes de <math>\;\vec{a}\;</math> écrites selon <math>\;\left\lbrace \vec{a} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{a} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] et on en a déduit <br>{{Al|3}}le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] de la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Covecteur|covecteur]]<math>\big)\;</math> “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\big)\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}soit, en considérant sa représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> c.-à-d. la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\;</math>» ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit, en considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, on en a déduit, dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit, }}la représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Covecteur|covecteur]]<math>\big)\;</math> “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\;</math> en fonction de celle dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ {a'}_{\!1}\;\; {a'}_{\!2}\;\; {a'}_{\!3} \right] \times = \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;:\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-abus_usuel_pour_covecteur-23|²³]] pour la simplification d'écriture des composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] d'un vecteur » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, la relation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> traduisant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] du triplet de [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] <math>\;\left\lbrace a_1\;(\vec{b}_1\;\cdot)\;,\;a_2\;(\vec{b}_2\;\cdot)\;,\;a_3\;(\vec{b}_3\;\cdot) \right\rbrace\;</math> appelé, par abus, « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math> du [[w:Covecteur|covecteur]] <math>\;(\vec{a}\;\cdot)\;\in\;W^{*}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}considérant une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3</math>, de « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( a_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; a_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; a_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( r_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; r_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; r_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( s_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; s_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; s_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}représentées opérationnellement par la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ a_1 \;\; a_2 \;\; a_3 \right]\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ r_1 \;\; r_2 \;\; r_3 \right]\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ s_1 \;\; s_2 \;\; s_3 \right]\;\times \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, }}de « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace</math> <math>\left\lbrace\!\! \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( {a'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {a'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {a'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( {r'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {r'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {r'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( {s'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {s'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {s'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\end{array} \!\!\right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}représentées opérationnellement par la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {a'}_{\!1} \;\; {a'}_{\!2} \;\; {a'}_{\!3} \right]\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {r'}_{\!1} \;\; {r'}_{\!2} \;\; {r'}_{\!3} \right]\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {s'}_{\!1} \;\; {s'}_{\!2} \;\; {s'}_{\!3} \right]\;\times \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> précédemment défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\!</math>, nous déduisons <br>{{Al|3}}les « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> des trois [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;</math> en fonction de celles sur <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon leur représentation opérationnelle correspondant à une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {a'}_{\!1} \;\; {a'}_{\!2} \;\; {a'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ a_1 \;\; a_2 \;\; a_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ A \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {r'}_{\!1} \;\; {r'}_{\!2} \;\; {r'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ r_1 \;\; r_2 \;\; r_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ R \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {s'}_{\!1} \;\; {s'}_{\!2} \;\; {s'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ s_1 \;\; s_2 \;\; s_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ S \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}la représentation opérationnelle de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> étant la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en empilant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] associées à chaque [[w:Covecteur|covecteur]] selon <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} a_1 & a_2 & a_3\\ r_1 & r_2 & r_3\\ s_1 & s_2 & s_3 \end{array} \right]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|a représentation opérationnelle de la famille des <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace}\;</math> }}dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> {{Transparent|étant }}la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en empilant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] associées à chaque [[w:Covecteur|covecteur]] selon <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} {a'}_{\!1} & {a'}_{\!2} & {a'}_{\!3}\\ {r'}_{\!1} & {r'}_{\!2} & {r'}_{\!3}\\ {s'}_{\!1} & {s'}_{\!2} & {s'}_{\!3} \end{array} \right]</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> «<math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la i^ème ligne de <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;</math> résultant de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de la i^ème ligne de <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\!\bigg\}\;</math> soit finalement, <br>{{Al|3}}{{Transparent|le lien entre ces dernières lors du changement de bases, }}en représentation opérationnelle, «<math>\;\left( \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;\times \right) = \left( \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>», la relation <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute famille de</u><math>\underline{\;3\;}</math><u>[[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u><ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus - bis" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]]<ref name="par abus - bis" /> n'apportent guère plus que les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]]<ref name="par abus - bis" /> mis à part le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] dans une même famille c.-à-d. <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariants mis à part }}le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]]<ref name="par abus - bis" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariants mis à part le regroupement }}en un seul [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]<ref name="par abus - bis" />. === Définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Toute [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]]<ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel <math>\;\Big\{</math>c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}toute [[w:Application_linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> vérifiant “<math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\overset{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)}{\rightarrow}\; \left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;\in\;\mathbb{R}\;</math> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|« toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W^2}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> vérifiant “<math>\;\color{transparent}{\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2}</math>, }}<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> soit linéaire relativement à <math>\;\vec{x}\;</math> et <math>\;\vec{y}\;</math>”<math>\Big\}\;</math><ref name="forme bilinéaire"> C.-à-d. telle que «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \vec{y} \right) = \alpha_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y} \right) + \alpha_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y} \right) \\ \left( \vec{x}\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \beta_1\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \beta_2\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y}_2 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ce qui aurait pour conséquence * «<math>\;\left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \alpha_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) + \alpha_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right)\;</math>» en développant par rapport à la 1^ère variable puis * «<math>\;\left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \alpha_1\;\beta_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \alpha_1\;\beta_2\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y}_2 \right) + \alpha_2\;\beta_1\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \alpha_2\;\beta_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y}_2 \right)\;</math>» en développant par rapport à la 2^ème variable.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Toute forme bilinéaire du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarques 1</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type associé à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit scalaire" /> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math><ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel"> L'ensemble des [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphismes]] de <math>\;W\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] noté <math>\;L_{\mathbb{R}}(W)\;</math> ou encore <math>\;\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(W)\;</math> mais le plus souvent on se contente de <math>\;L(W)</math>.</ref> est l'application composée «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>»<ref name="autre notation d'un dual" />{{,}}<ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel" /><math>\Big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques 1 : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci<ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 3^ème type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont partiellement [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] »<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="caractère covariant et contravariant d'un tenseur mixte"> Les composantes de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> dans laquelle <math>\;\varphi\;\in\;L_{\mathbb{R}}\!\left( W \right)\;</math> est un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] de <math>\;W\;</math> sont, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W</math>, effectivement « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] à droite » et « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] à gauche » en effet, <br>{{Al|3}}considérant deux vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)\;</math> de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right) \vec{b}_i\\ \vec{y} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_i \right) \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;W\;</math> représenté, dans la même base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, par sa matrice <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ \begin{array}{c} \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_1 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_1 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_1\\ \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_2 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_2 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_2\\ \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_3 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_3 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_3 \end{array} \right]</math> obtenue en juxtaposant les matrices coordonnées de <math>\;\varphi(\vec{b}_j),\;j\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]\;</math> dans la base des <math>\;\left\lbrace \vec{b}_i \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace de dimension n de base B dans un autre espace de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)]] (1^ère propriété) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans le cas où les espaces définition et image de dimension commune <math>\;m = n = 3\;</math> sont confondus avec choix d'une même base <math>\;C = B\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> vers la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>s'obtenant en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\big]\;</math> selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\;, \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir,}} dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, conduisant aux modifications <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur la [[w:Forme_linéaire|forme linéaire]] « [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] par le vecteur <math>\;\vec{x}\;</math>» «<math>\;\vec{x} \cdot\;</math>» de représentation opérationnelle « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times = \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>» selon le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés]] (2^ème sous-paragraphe) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le vecteur <math>\;\vec{y}\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> dans laquelle <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> est la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> selon la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans le chapitre ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur l'endomorphisme <math>\;\varphi\;</math> représenté[[w:Matrice_(mathématiques)| matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ \begin{array}{c c c} \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1}\\ \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2}\\ \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \end{array} \right]</math> <math>= \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_s ur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le vecteur <math>\;\varphi(\vec{y})\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right] = </math> <math>\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right] \right\rbrace =</math> <math>\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \cancel{\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \right\rbrace} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big]\;</math> soit enfin <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le scalaire <math>\;\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par le [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit matriciel]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur le scalaire <math>\;\color{transparent}{\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})}\;</math> représenté }}<math>\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur le scalaire <math>\;\color{transparent}{\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})}\;</math> représenté }}<math>\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right]\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> soit, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en y reportant les relations de changement de bases ci-dessus, <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right]</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>= \left\lbrace \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right] \right\rbrace</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>= \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \cancel{\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \right\rbrace \times} \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> le caractère invariant du scalaire <math>\;\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})</math> ; <br>{{Al|3}}de la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de l'image de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W\;</math> appliquée à <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)\;</math> soit <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation matricielle de l'image de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> appliquée à <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)}\;</math> }}représentant <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}{{Transparent|de }}la représentation opérationnelle de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche et à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> selon une « }}de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> “<math>\;\times\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\; \times\;</math>” » et <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche et à droite du produit de <math>\;3\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> selon une « }}“<math>\;\times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>” <math>\big\{</math>chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> selon une « }}étant de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\big\}\;</math>» d'où <br>{{Al|3}}le caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] à droite » et « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] à gauche » de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout élément de <math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math><ref name="autre notation d'un dual" />{{,}}<ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel" /><math>\big]\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>“mixte”</u><ref name="mixte"> Appellation personnelle pour traduire que le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] n'est ni [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] ni [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] mais un mélange des deux, plus exactement <br>{{Al|27}}{{Transparent|Appellation personnelle }}un torseur d'ordre <math>\;p\;</math> « mixte » est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre partiel <math>\;l\; \in\; \left[\left[ 1\,,\, p \right[\right[\;</math> et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] d'ordre partiel <math>\;m = p - l\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="mixte d'ordre 2"> Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> « mixte » est donc [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre partiel <math>\;1\;</math> et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] d'ordre partiel <math>\;1\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="par abus - ter"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont partiellement [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]].</ref> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> « mixtes »<ref name="mixte" />{{,}}<ref name="mixte d'ordre 2" />{{,}}<ref name="par abus - ter" /> apportent quelque chose de nouveau par rapport aux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]]<ref name="par abus - bis" /> ou [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="par abus" /> car <br>{{Al|20}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> « mixtes » }}ils ne peuvent pas se réduire à une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1</math> <math>\;\ldots</math> === Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux === <center>Parmi les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux nous nous sommes limités à ceux dont la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle fait intervenir des [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3</math>, <br>nous avons donc écarté tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> à représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle avec au moins une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] rectangulaire dont une dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> est <math>\;3</math>,{{Al|24}} <br>{{Transparent|nous avons donc écarté tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont }}l'autre étant un entier <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1\,,\,3 \right\rbrace</math>.{{Al|10}}</center> * « Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] »<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> étant une « famille de <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \;\in\;W^3\;</math> où <math>\;W\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] »<ref name="tenseur d'ordre 2 contravariant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> à savoir <math>\;\left\lbrace \vec{x}\;\left( x_1\,,\,x_2\,,\,x_3 \right)\,;\, \vec{v}\;\left( v_1\,,\,v_2\,,\,v_3 \right)\,;\, \vec{w}\;\left( w_1\,,\,w_2\,,\,w_3 \right) \right\rbrace\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3\end{array}\right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» résultant de la juxtaposition des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] représentant chaque vecteur <math>\;\big(</math>ou [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /><math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] correspondante <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases" />, les composantes de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \;\in\;W^3\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} & {v'}_{\!1} & {w'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} & {v'}_{\!2} & {w'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3} & {v'}_{\!3} & {w'}_{\!3}\end{array}\right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3\end{array}\right]\;</math><ref name="matrice de passage inverse"> <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> et traduisant le changement de la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> vers la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>.</ref>»<ref name="contravariance des composantes de famille de 3 vecteurs" /> <br><math>\big\{</math>les composantes des <math>\;3\;</math> vecteurs dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant <math>\;\vec{x}\,:\,\left( {x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3} \right)\,;\, \vec{v}\,:\,\left( {v'}_{\!1}\,,\,{v'}_{\!2}\,,\,{v'}_{\!3} \right)\,;\, \vec{w}\,:\,\left( {w'}_{\!1}\,,\,{w'}_{\!2}\,,\,{w'}_{\!3} \right) \big\}</math>. * « Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] »<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus - bis" /> associé à la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{r}\,,\,\vec{s} \right) \;\in\;W^3\;</math> étant la « famille des <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> définie selon <math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,g := \vec{r} \cdot\,,\,h := \vec{s} \cdot \right)\;</math>»<ref name="tenseur d'ordre 2 covariant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_2ème_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;\left\lbrace f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\,,\,g(\vec{x}) = \vec{r} \cdot \vec{x}\,,\,h(\vec{x}) = \vec{s} \cdot \vec{x} \right\rbrace</math>, <math>\;\big[</math>les [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> étant des éléments de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> [[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W</math>, c.-à-d. des « [[w:Covecteur|covecteurs]] »<ref name="justification de covecteur" /> de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /><math>\big]\;</math>, ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\; \times\;</math>»<ref name="abus usuel pour covecteur - bis"> Par abus on dira que la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] «<math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,g := \vec{r} \cdot\,,\,h := \vec{s} \cdot \right)\;</math>» est représentée par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array} \right]</math> <math>\;\big\{</math>obtenue en mettant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] représentant chaque [[w:Covecteur|covecteur]] en couches les unes au-dessous des autres<math>\big\}</math>, c'est aussi la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\;</math> représentant la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{r}\,,\,\vec{s} \right)\, \in W^3</math> <math>\;\big\{</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] représentant chaque vecteur les unes à côté des autres<math>\big\}</math>, chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] étant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] correspondante</ref> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] correspondante <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, les composantes de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left( \vec{a}\, \cdot\,,\,\vec{r}\, \cdot\,,\,\vec{s}\, \cdot \right) \in\;\left\lbrace W^{*} \right\rbrace^3\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array}\right] \times</math> <math>= \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\! \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>»<ref name="covariance des composantes de famille de 3 covecteurs" /> dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> <math>\;\Bigg\langle</math>les composantes des <math>\;3\;</math> vecteurs dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{a}\,:\,\left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \vec{r}\,:\,\left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \vec{s}\,:\,\left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array}\right\rbrace \Bigg\rangle</math>. * « Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> “ mixte ”<ref name="mixte" />{{,}}<ref name="mixte d'ordre 2" />{{,}}<ref name="par abus - ter" /> » étant une « [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math>», c.-à-d. une « [[w:Application_linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>l'image d'un élément <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> par <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est donc un scalaire<math>\Big\}\;</math><ref name="tenseur d'ordre 2 mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_3ème_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, sa représentation opérationnelle <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]]<math>\big)</math>, après choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W</math>, doit contenir <math>\;3^2 = 9\;</math> cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> c.-à-d. une matrice de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 1 \right)</math>, ce qui nécessite <br>{{Transparent|« }}<math>\succ\;</math>une représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]]<math>\big)\;</math> pour le 1^er vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> et <br>{{Transparent|« }}<math>\succ\;</math>{{Transparent|une représentation matricielle }}de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3\,,\, 1 \right)\;</math><math>\big(</math>c.-à-d. une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<math>\big)\;</math> pour le 2^ème vecteur <math>\;\vec{y}\;</math> <br>soit la représentation opérationnelle <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]]<math>\big)\;</math> de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> par «<math>\;\times \left[ A \right] \times\;</math>» dans laquelle <math>\;\left[ A \right]\;\in\;M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|taille<math>\big)</math>}} <math>\;\left( 3\,,\, 3 \right)\;</math> et «<math>\;\times\;</math>» la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\Big\{</math>on vérifie que la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)</math>, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math>» est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] à gauche et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] à droite<ref name="vérification du caractère mixte"> En effet l'image <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> du couple de vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;</math> par la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> étant un scalaire c.-à-d. un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> invariant, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}son évaluation nécessitant l'intervention à gauche d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] représentant un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]], <math>\Rightarrow</math> le côté gauche du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] représentant <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] et <br>{{Al|2}}{{Transparent|En effet son évaluation nécessitant l'interve }}celle à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <math>\Rightarrow</math> le côté droit du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] représentant <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]].</ref><math>\Big\}</math> ; <br>{{Transparent|« }}<math>\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> étant un scalaire, est invariant par changement de bases de <math>\;W\;</math> et se calcule, en utilisant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace</math>, par évaluation du [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit matriciel]] «<math>\;\left[ x_1\;\;x_2\;\;x_3 \right] \times \left[ A \right] \times \left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\\ y_3\end{array} \right]\;</math>» dans laquelle <math>\;\left[ x_1\;\;x_2\;\;x_3 \right]\;</math> et <math>\;\left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\\ y_3\end{array} \right]\;</math> sont la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] représentant <math>\;\vec{x}\;</math> et la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{y}\;</math> et <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right]\;</math> dans la même base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math><ref name="matrice carrée utilisée dans une forme bilinéaire"> On justifie la forme de la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> en évaluant <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right)\;</math> par calcul matriciel <math>\;\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ A \right] \times \left[ \begin{array}{c} \delta_{1,\,j}\\\delta_{2,\,j}\\ \delta_{3,\,j}\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \delta_{1,\,j}\\\delta_{2,\,j}\\ \delta_{3,\,j}\end{array} \right]\;</math> effectivement égal à <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right)\;</math> compte-tenu de <math>\;\delta_{k,\,l} = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\text{si }\;k \neq l\\ 1\;\text{si }\;k = l\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big(</math>symbole de Kronecker<math>\big)</math>, en effet : <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 1</math> : <math>\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 2</math> : <math>\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2\right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 3</math> : <math>\;\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3\right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace\! \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leopold_Kronecker|Leopold Kronecker]] (1823 - 1891)''' mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en <math>\;1850\;</math> la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'[[w:Équation_quintique|équation quintique]] en utilisant la [[w:Théorie_des_groupes|théorie des groupes]].</ref>{{,}}<ref name="forme bilinéaire associée à la multiplication scalaire et l'endomorphisme varphi"> On vérifie l'accord sur la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] particulière du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> associée à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math> c.-à-d. l'application composée {{Nobr|«<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) =</math>}} <math>\text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>»<math>\Big]\;</math> la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> étant {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-caractère_covariant_et_contravariant_d'un_tenseur_mixte-47|⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> <math>\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \\ \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \\ \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \end{array} \right]\;</math> avec <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right) = \vec{b}_i \cdot \varphi(\vec{b}_j)\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, la représentation opérationnelle de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> est la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite et à gauche de la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> exprimée dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math>» soit <center>«<math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] \times\;=\;\times \left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] \times\;</math>»<ref name="matrice carrée utilisée dans une forme bilinéaire" />{{,}}<ref name="forme bilinéaire associée à la multiplication scalaire et l'endomorphisme varphi" />{{,}}<ref> Obtenue en remplaçant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> par la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#cite_note-forme_bilinéaire_associée_à_la_multiplication_scalaire_et_l'endomorphisme_varphi-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br> <math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> ou encore <br><math>\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_2}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> soit finalement <br>«<math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] \times\;=\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> ou encore <br><math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] \times\;=\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_2}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times\;</math>»<ref name="matrice de passage inverse" />{{,}}<ref name="caractère covariant et contravariant d'un tenseur mixte" />{{,}}<ref> On vérifie l'accord avec le résultat de la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-caractère_covariant_et_contravariant_d'un_tenseur_mixte-37|³⁷]] » exposée dans le cadre de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] particulière du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> associée à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math> c.-à-d. l'application composée «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>on rappelle que les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>»<math>\Big]\;\ldots</math></ref>.</center> == Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux == {{Al|5}}Nous pourrions poursuivre la construction des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;3\;</math> comme celle exposée pour les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;\leqslant\;</math> à <math>\;2\;</math> mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] après l'introduction de deux opérations sur les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] : * la [[w:Produit_tensoriel|multiplication tensorielle]] <ref name="multiplication tensorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels_de_dimension_finie|produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> d'une part et * la [[w:Contraction_tensorielle|contraction tensorielle]] <ref name="contraction tensorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs_et_leurs_composantes,_notion_de_contraction_tensorielle_et_notation_d'Einstein#Contraction_tensorielle|contraction tensorielle]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> d'autre part, {{Al|5}}leur introduction conduisant à une définition de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] nettement plus concise<ref name="2ème définition de tenseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Définition_de_tenseurs_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels_tridimensionnels|définition de tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref><math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Les matrices carrées, leur inversion sous conditions/]] | suivant = [[../Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels/]] }} oork66wimcf1yiceoenli815fxdeb9z 0 73872 982931 961866 2026-05-19T16:40:01Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982931 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Les tenseurs et leurs composantes, notion de contraction tensorielle et notation d'Einstein/]] | suivant = [[../Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie/]] }} == Introduction au « tenseur d'inertie » en mécanique du solide == {{Al|5}}Le « [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] » d'un solide<ref name="solide"> Au sens de la mécanique des systèmes de points matériels c.-à-d. un système de points matériels <u>indéformable</u>.</ref> précise le positionnement des points matériels dans le référentiel spatial lié au solide<ref name="solide" /> dans le but d'étudier dynamiquement <br />{{Al|9}}{{Transparent|Le « tenseur d'inertie » d'un solide précise }}un mouvement rotatoire du solide<ref name="solide" /> autour d'une position fixe dans le référentiel de ce dernier ; <br />{{Al|9}}{{Transparent|Le « tenseur d'inertie » d'un solide précise }}pour cela on introduit d'abord la notion de <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le }}« tenseur d'inertie » d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le « tenseur d'inertie » d'un point matériel }}afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi, <br />{{Al|5}}le « [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] » d'un solide<ref name="solide" /> dans le référentiel spatial lié au solide<ref name="solide" /> étant la somme des « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'inertie » de tous les points matériels du solide<ref name="solide" />. == Tenseur d'inertie d'un point matériel == === Définition du tenseur d'inertie d'un point matériel === {{Définition|titre=Tenseur d'inertie d'un point matériel relativement à un référentiel d'espace|contenu={{Al|5}}Soit un point matériel <math>\;M\;</math> de masse inerte <math>\;m\;</math> repéré relativement à un point <math>\;O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse inerte <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> repéré }}par son vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}</math>, <br />{{Al|5}}on appelle « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie du point matériel <math>\;M\;(m)\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dont <math>\;O\;</math> est un point fixe <br />{{Al|5}}{{Transparent|on appel}}le « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseur d'ordre deux"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}}<ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref> <math>\;\mathcal{I} := \left( m\;\vec{r}^2 \right) \delta - m\;\vec{r}^{\,\otimes\,2}\;</math>» dans lequel <br />{{Al|19}}{{Transparent|on appelle « tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant }}<math>\bullet\;</math><math>\;\vec{r}^{\,\otimes\, 2} = \vec{r} \otimes \vec{r}\;</math> carré tensoriel<ref name="carré tensoriel de vecteur"> C.-à-d. le [[w:Produit_tensoriel#Produit_tensoriel_de_deux_tenseurs_contravariants_d'ordre_1|produit tensoriel]] d'un vecteur par lui-même <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Définition_du_produit_tensoriel_de_deux_espaces_vectoriels_tridimensionnels|définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels]] (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> <math>\;\vec{r}</math> <br />{{Al|19}}{{Transparent|on appelle « tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big[</math>«<math>\;\vec{r}^{\,\otimes\, 2}\;</math> est donc un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> »<ref name="tenseur d'ordre deux contravariants"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\in\,W^{\,\otimes\,2}\;</math><ref name="définition de W"> <math>\;W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] utilisé en physique <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="carré tensoriel d'espace vectoriel"> C.-à-d. le [[w:Produit_tensoriel#Produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels|produit tensoriel]] d'un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] par lui-même <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Définition_du_produit_tensoriel_de_deux_espaces_vectoriels_tridimensionnels|définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br />{{Al|19}}{{Transparent|on appelle « tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>«}}<math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> <br />{{Al|19}}{{Transparent|on appelle « tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel }}nonadimensionnel<ref name="les quatre produits tensoriels nonadimensionnels"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Les_quatre_produits_tensoriels_de_deux_espaces_vectoriels_tridimensionnels_formés_à_partir_de_ces_derniers_ou_de_leurs_duals|les quatre produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals]] (1^er exemple) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math>, <br />{{Al|19}}{{Transparent|on appelle « tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant }}<math>\bullet\;</math><math>\;\vec{r}^2 = \vec{r} \cdot \vec{r}\;</math> carré scalaire du vecteur <math>\;\vec{r}\;</math><ref name="carré scalaire en tant que carré contracté de tenseurs d'ordre un"> La note ci-dessous est rédigée à partir du vecteur <math>\;\vec{r}\;</math> mais elle reste applicable au vecteur <math>\;\vec{r}_k</math> ; <br>{{Al|3}}le carré scalaire <math>\;\vec{r} \cdot \vec{r}\;</math> est aussi un « [[w:Espace_dual#Définitions|crochet de dualité]] » <math>\;\langle \text{?}\,,\,\text{?} \rangle\;</math> défini sur <math>\;W^{*} \times W</math> <math>\;\Big[</math>c.-à-d. une [[w:Forme_bilinéaire_non_dégénérée|forme bilinéaire non dégénérée]] construite ici à l'aide de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] sur <math>\;W</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]]}} tridimensionnel [[w:Espace_vectoriel_euclidien|euclidien]]<math>\big)\;</math> telle qu’au vecteur <math>\;\vec{u} \in W\;</math> on associe le [[w:Covecteur|covecteur]] “<math>\;\vec{u}\, \cdot \; \in W^{*}\;</math>” <math>\;\big(</math>un [[w:Covecteur|covecteur]] de <math>\;W^{*}</math>, lequel est le [[w:Espace_dual|dual]] de <math>\;W</math>, étant encore une [[w:Forme_linéaire_(algèbre_linéaire)|forme linéaire]] de ce dernier<math>\big)</math>, le « [[w:Espace_dual#Définitions|crochet de dualité]] » entre le [[w:Covecteur|covecteur]] “<math>\;\vec{u}\, \cdot \; \in W^{*}\;</math>” et le vecteur <math>\;\vec{v}\; \in W\;</math> étant défini par <math>\;\langle \vec{u}\; \cdot \,,\,\vec{v} \rangle = \vec{u} \cdot \vec{v}\;\in \mathbb{R}</math>, <math>\;\Big\{</math>de façon plus générale le « [[w:Espace_dual#Définitions|crochet de dualité]] » entre un [[w:Covecteur|covecteur]] <math>\;\varphi</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. une [[w:Forme_linéaire_(algèbre_linéaire)|forme linéaire]] de <math>\;W\big)\;</math> et un vecteur <math>\;\vec{v}\;</math> s'évalue selon <math>\;\langle \varphi\,,\, \vec{v} \rangle = \varphi(\vec{v}) \in \mathbb{R}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Notion_d'espace_bidual|notion d'espace bidual]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\Big\}\Big]\;</math> soit, en « notant <math>\;\overset{\sim}{r}\;</math> le [[w:Covecteur|covecteur]] “<math>\;\vec{r}\, \cdot \;</math>” associé au vecteur <math>\;\vec{r}\;</math>», la réécriture du carré scalaire selon «<math>\;\vec{r} \cdot \vec{r}</math> <math>= \langle \overset{\sim}{r}\,,\, \vec{r} \rangle = \overset{\sim}{r}(\vec{r})\;</math>» ; <br>{{Al|3}}d'autre part on a défini dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs_et_leurs_composantes,_notion_de_contraction_tensorielle_et_notation_d'Einstein#Produit_contracté_de_deux_tenseurs|produit contracté de deux tenseurs]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » le [[w:Produit_tensoriel#Contraction|produit contracté]] d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <math>\;\overset{\sim}{u} \in W^{*}\;</math> et d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <math>\;\vec{v} \in W\;</math> que l'on note <math>\;\overset{\sim}{u} \odot \vec{v}\;\in \mathbb{R}</math> <math>\;\Big[</math>le [[w:Produit_tensoriel#Contraction|produit contracté]] de ces deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> s'obtient en formant leur [[w:Produit_tensoriel#Produit_tensoriel_de_deux_tenseurs_contravariants_d'ordre_1|produit tensoriel]] <math>\;\overset{\sim}{u} \otimes \vec{v}\;\in W^{*} \otimes W</math> <math>\;\big(</math>l'espace des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> mono[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] et mono[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<math>\big)\;</math> et en [[w:Contraction_tensorielle|contractant]] ce [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. en déterminant les <math>\;9\;</math> composantes de ce [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] à présenter en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;3\, \text{x}\, 3\;</math> et en en prenant la [[w:Trace_(algèbre)|trace]] c.-à-d. en faisant la somme de ses éléments diagonaux<math>\big)\;</math> ce qui donne un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2 - 2 = 0\;</math> c.-à-d. un scalaire<math>\Big]</math>, soit ici <math>\;\overset{\sim}{r} \odot \vec{r} = \overset{\sim}{r}(\vec{r})\;</math> comme cela a été établi dans le 1^er exemple du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs_et_leurs_composantes,_notion_de_contraction_tensorielle_et_notation_d'Einstein#Produit_contracté_de_deux_tenseurs|produit contracté de deux tenseurs]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}en conclusion le carré scalaire <math>\;\vec{r}^2 = \vec{r} \cdot \vec{r}\;</math> est égal au [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Produit_contracté_de_deux_tenseurs|produit contracté]] du [[w:Covecteur|covecteur]] <math>\;\overset{\sim}{r}\;</math> et du vecteur <math>\;\vec{r}\;</math> soit <math>\;\vec{r}^2 = \overset{\sim}{r} \odot \vec{r}</math>.</ref> et <br />{{Al|19}}{{Transparent|on appelle « tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant }}<math>\bullet\;</math><math>\;\delta\;</math> est le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> de Kronecker<ref name= "tenseurs de Kronecker"> Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] de Kronecker <math>\;\delta\;</math> est, comme les deux autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] de Kronecker <math>\;\big(</math>également notés <math>\;\delta\big)\;</math> l'un étant [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] et l'autre “ mixte ” <math>\;\big(</math>c.-à-d. mono[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] et mono[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]<math>\big)</math>, un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2</math>, <br>{{Al|3}}il est défini relativement à la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_i \otimes \vec{u}_j \right\rbrace_{\left( i\,,\, j \right)\, \in\, \left[\left[\, 1\,,\, 3 \,\right]\right]}\;</math> de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{\,\otimes\,2}\;</math> auquel il appartient <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs_et_leurs_composantes,_notion_de_contraction_tensorielle_et_notation_d'Einstein#cite_note-autres_tenseurs_de_Kronecker_et_justification_de_leur_expression-31|³¹]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> par <math>\;\delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \vec{u}_i \otimes \vec{u}_i</math>, ce [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] étant aussi une [[w:Forme_bilinéaire|forme bilinéaire]] de <math>\;W^2</math>, <br>{{Al|3}}son application sur chaque couple <math>\;\left( \vec{u}_l\,,\, \vec{u}_m \right)\;</math> de vecteurs de [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_i = \right\rbrace_{i\, \in\, \left[\left[\, 1\,,\, 3 \,\right]\right]}\;</math> de <math>\;W\;</math> conduit à «<math>\;\delta\left( \vec{u}_l\,,\, \vec{u}_m \right) = \left\lbrace\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \vec{u}_i \otimes \vec{u}_i \right\rbrace\left( \vec{u}_l\,,\, \vec{u}_m \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left\lbrace \vec{u}_i \otimes \vec{u}_i \right\rbrace\left( \vec{u}_l\,,\, \vec{u}_m \right)</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \langle \overset{\sim}{u}_i\,,\, \vec{u}_l \rangle\;\langle \overset{\sim}{u}_i\,,\, \vec{u}_m \rangle\;</math>» <math>\;\big[</math>en notant «<math>\;\overset{\sim}{r}\;</math> le [[w:Covecteur|covecteur]] “<math>\;\vec{r}\, \cdot \;</math>” associé au vecteur <math>\;\vec{r}\;</math>», <math>\;\big(</math>avec la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] définie sur <math>\;W\;</math> notée «<math>\;\cdot\;</math>»<math>\big)\big]\;</math> soit encore «<math>\;\delta\left( \vec{u}_l\,,\, \vec{u}_m \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \delta_{i,\,l}\;\delta_{i,\,m}</math> <math>= \delta_{l,\,m} = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\text{si }\;l \neq m\\ 1\;\text{si }\;l = m\end{array}\right\rbrace\;\;\forall\;\left( l\,,\,m \right) \in \left\lbrace \left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right] \right\rbrace^2\;</math>» <math>\;\big[\delta_{l,\,m}\;</math> étant le symbole de Kronecker<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|son application }}sur le couple <math>\;\left( \vec{u} = \sum\limits_{l\,=\,1\,..\,3} u_l\;\vec{u}_l\; \in W\,,\, \vec{v} = \sum\limits_{m\,=\,1\,..\,3} v_m\;\vec{u}_m\; \in W \right)</math>, «<math>\;\delta\left( \vec{u}\,,\, \vec{v} \right) = \sum\limits^{l\,=\,1\,..\,3}_{m\,=\,1\,..\,3} u_l\;v_m\;\delta\left( \vec{u}_l\,,\, \vec{u}_m \right) =</math> <math>\sum\limits^{l\,=\,1\,..\,3}_{m\,=\,1\,..\,3} u_l\;v_m\;\delta_{l,\,m} = \sum\limits_{l\,=\,1\,..\,3} u_l\;v_l = \vec{u} \cdot \vec{v}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="Kronecker"> '''[[w:Leopold_Kronecker|Leopold Kronecker]] (1823 - 1891)''' mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en <math>\;1850\;</math> la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'[[w:Équation_quintique|équation quintique]] en utilisant la [[w:Théorie_des_groupes|théorie des groupes]].</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie <math>\;\mathcal{I}\;</math> du point matériel <math>\;M\;(m)\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dont <math>\;O\;</math> est un point fixe est donc la somme de <math>\;2\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le 1^er «<math>\;\left( m\;\vec{r}^2 \right) \delta\;</math>» étant le produit d'un scalaire positif et du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> de Kronecker<ref name="tenseurs de Kronecker" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le 2^nd «<math>\;- m\;\vec{r}^{\,\otimes\,2}\;</math>» étant le produit d'un scalaire négatif et du carré tensoriel<ref name="carré tensoriel de vecteur" /> du vecteur position. === Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels === {{Al|5}}Avec <math>\;W\;</math> la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] représentant l'espace physique et <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> sa [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]], <br />{{Al|5}}{{Transparent|Av }}le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] nonadimensionnel <math>\;W^{\,\otimes\,2}\;</math><ref name="carré tensoriel d'espace vectoriel" /> des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> ayant pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_i \otimes \vec{u}_j \right\rbrace_{\left( i\,,\, j \right)\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace^2}\;</math><ref name="base du carré tensoriel de W"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs_et_leurs_composantes,_notion_de_contraction_tensorielle_et_notation_d'Einstein#Bases_pour_les_espaces_vectoriels_dont_les_éléments_sont_des_tenseurs_d'ordre_deux|base pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux]] (1^er exemple) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que la notion de [[w:Produit_tensoriel#Produit_tensoriel_de_deux_tenseurs_contravariants_d'ordre_1|produit tensoriel de deux vecteurs]] au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Définition_du_produit_tensoriel_de_deux_espaces_vectoriels_tridimensionnels|définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels]] (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> }}les composantes des deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> intervenant dans le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie du point matériel <math>\;M\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants }}sont <math>\bullet\;</math>pour le 1^er «<math>\;\mathcal{I}_1 = \left( m\;\vec{r}^2 \right) \delta\;</math>», la composante sur <math>\;\vec{u}_i \otimes \vec{u}_j\;</math> est <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathcal{I}_{1,\,i,\,j} = m\, \left( x^2 + y^2 + z^2 \right)\,\delta_{i,\,j},\;\;\forall\;\left( i\,,\, j \right)\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace^2\;</math><ref name= "tenseurs de Kronecker" /> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\bigg(\delta_{i,\,j} = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\text{si }\;i \neq j\\ 1\;\text{si }\;i = j\end{array}\right\rbrace\;</math> symbole de Kronecker<ref name="Kronecker" /><math>\bigg)\;</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont }}<math>\bullet\;</math>pour le 2^nd «<math>\;\mathcal{I}_2 = - m\;\vec{r}^{\,\otimes\,2}\;</math>»<ref name="carré tensoriel de vecteur" />, la composante sur <math>\;\vec{u}_i \otimes \vec{u}_j\;</math> est <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathcal{I}_{2,\,i,\,j} = -m\, r_i\;r_j,\;\;\forall\;\left( i\,,\, j \right)\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace^2\;</math><ref name="composantes du carré tensoriel de vecteur"> D'après le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Définition_du_produit_tensoriel_de_deux_espaces_vectoriels_tridimensionnels|définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels]] (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\;\vec{r}^{\,\otimes\,2}\;</math> est une [[w:Application_linéaire|application linéaire]] de <math>\;W^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> telle que «<math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)\; \in W^2</math>, <math>\;\left\lbrace \vec{r} \otimes \vec{r} \right\rbrace \left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right) = \left( \vec{r} \cdot_W \vec{x} \right) \left( \vec{r} \cdot_W \vec{y} \right)\; \in \mathbb{R}\;</math>» où «<math>\;\cdot_W\;</math> est la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] définie sur <math>\;W\;</math>» soit, appliquée à <math>\;\left( \vec{b}_i\,,\,\vec{b}_j \right)</math>, «<math>\;\left\lbrace \vec{r} \otimes \vec{r} \right\rbrace \left( \vec{b}_i\,,\,\vec{b}_j \right) = \left( \vec{r} \cdot_W \vec{b}_i \right) \left( \vec{r} \cdot_W \vec{b}_i \right) = r_i\;r_j\; \in \mathbb{R}\;</math>».</ref> avec <math>\;\left[ \begin{array}{c} r_x = x\\ r_y = y\\ r_z = z\end{array}\right]\;</math> d'où <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont }}<math>\bullet\;</math>en en faisant la somme <math>\;\mathcal{I}_{i,\,j} = m \left[ \left( \sum\limits_{l\,\in\,\left\lbrace x\,,\, y\,,\, z \right\rbrace} r_l^2 \right) \delta_{i,\,j} - r_i\;r_j \right]</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en en faisant la somme }}<math>\;\forall\;\left( i\,,\, j \right)\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace^2\;</math> avec <math>\;\left[ \begin{array}{c} r_x = x\\ r_y = y\\ r_z = z\end{array}\right]\;</math> soit, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en explicitant chaque composante du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie du point matériel <math>\;M\;(m)</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{x,\,x} = m \left[ \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{x,\,x} - x^2 \right] = m \left( y^2 + z^2 \right)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{x,\,y} = m \left[ \;\cancel{\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{x,\,y}}\; - x\;y \right] = -m\;x\;y</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{x,\,z} = m \left[ \;\cancel{\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{x,\,z}}\; - x\;z \right] = -m\;x\;z</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{y,\,x} = m \left[ \;\cancel{\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{y,\,x}}\; - y\;x \right] = -m\;x\;y</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{y,\,y} = m \left[ \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{y,\,y} - y^2 \right] = m \left( x^2 + z^2 \right)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{y,\,z} = m \left[ \;\cancel{\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{y,\,z}}\; - y\;z \right] = -m\;y\;z</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{z,\,x} = m \left[ \;\cancel{\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{z,\,x}}\; - z\;x \right] = -m\;x\;z</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{z,\,y} = m \left[ \;\cancel{\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{z,\,y}}\; - z\;y \right] = -m\;y\;z</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes des deux tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en explicitant }}<math>\succ\;\mathcal{I}_{z,\,z} = m \left[ \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \delta_{z,\,z} - z^2 \right] = m \left( x^2 + y^2 \right)</math>. === Matrice d'inertie d'un point matériel ainsi que les moments et produits d'inertie du point === {{Al|5}}Tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{\,\otimes\,2}\;</math> nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\;W^{\,\otimes\,2}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;3\, \text{x}\, 3\;</math><ref name="représentation d'un tenseur d'ordre 2 contravariant par une matrice carrée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Différence_de_représentativités_entre_les_tenseurs_d'ordre_deux|différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux]] (1^er exemple) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] représentant le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie <math>\;\mathcal{I}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dans la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\;W^{\,\otimes\,2}\;</math> est sans ambiguïté<ref name="représentation d'un tenseur d'inertie par matrice carrée"> Le numéro de ligne de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] se détermine par le 1^er indice des composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie <math>\;\mathcal{I}_{i,\,j}\;</math> avec <math>\;i\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace</math>, <math>\big\{i = x\;</math> correspond à la 1^ère ligne, <math>\;i = y\;</math> à la 2^ème ligne et <math>\;i = z\;</math> à la 3^ème ligne<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}le numéro de colonne de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] {{Transparent|se détermine }}par le 2^ème indice des composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie <math>\;\mathcal{I}_{i,\,j}\;</math> avec <math>\;j\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace</math>, <math>\big\{j = x\;</math> correspond à la 1^ère colonne, <math>\;j = y\;</math> à la 2^ème colonne et <math>\;j = z\;</math> à la 3^ème colonne<math>\big\}\;</math> mais <br>{{Al|3}}nous aurions obtenu la même [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] en supposant le numéro de ligne déterminé par le 2^ème indice des composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie <math>\;\mathcal{I}_{i,\,j}\;</math> avec <math>\;j\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace</math>, <math>\big\{j = x\;</math> correspondant à la 1^ère ligne, <math>\;j = y\;</math> à la 2^ème ligne et <math>\;j = z\;</math> à la 3^ème ligne<math>\big\}\;</math> et simultanément le numéro de colonne de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] {{Transparent|déterminé }}par le 1^er indice des composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie <math>\;\mathcal{I}_{i,\,j}\;</math> avec <math>\;i\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace</math>, <math>\big\{i = x\;</math> correspondant à la 1^ère colonne, <math>\;i = y\;</math> à la 2^ème colonne et <math>\;i = z\;</math> à la 3^ème colonne<math>\big\}</math> <math>\;\big(</math>en effet <math>\;\mathcal{I}_{i,\,j} = \mathcal{I}_{j,\,i}\;</math> pour <math>\;\left( i,\, j \right)\;</math> fixés, les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'inertie étant donc invariantes par permutation des indices, la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] est [[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)</math>.</ref>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> la matrice }}elle est appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du point matériel</u><math>\;M\;</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> la matrice elle est }}notée <math>\;\left[ J(M) \right]</math> <math>\;\big(</math>ou simplement <math>\;\left[ J \right]\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> la matrice }}elle s'écrit «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} m \left( y^2 + z^2 \right) & -m\;x\;y & -m\;x\;z\\ -m\;x\;y & m \left( x^2 + z^2 \right) & -m\;y\;z\\ -m\;x\;z & -m\;y\;z & m \left( x^2 + y^2 \right)\end{array} \right]\;</math>»<ref name="matrice symétrique"> On vérifie aisément que <math>\;\left[ J(M) \right]\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] [[w:Matrice_symétrique|symétrique]] c.-à-d. égale à sa propre [[w:Matrice_transposée|transposée]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Transposition_de_matrices|transposition de matrices]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> }}parmi les cœfficients de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du point matériel <math>\;M\;</math> on distingue : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;</math>« <math>\;J_{Ox} = m \left( y^2 + z^2 \right)\;</math> moment d'inertie de <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>»<ref name="précision sur les moments d'inertie de M par rapport à un axe"> Avec <math>\;M\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math> et <math>\;M_x\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;Ox</math>, «<math>\;J_{Ox} = m \left( y^2 + z^2 \right) = m\;\left( MM_x \right)^2\;</math>» avec <math>\;MM_x\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> de l'axe <math>\;Ox</math> ; <br>{{Al|27}}{{Transparent|Avec <math>\;\color{transparent}{M\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)}\;</math> et }}<math>\;M_y\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;Oy</math>, «<math>\;J_{Oy} = m \left( x^2 + z^2 \right) = m\;\left( MM_y \right)^2\;</math>» avec <math>\;MM_y\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> de l'axe <math>\;Oy</math> ; <br>{{Al|27}}{{Transparent|Avec <math>\;\color{transparent}{M\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)}\;</math> et }}<math>\;M_z\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;Oz</math>, «<math>\;J_{Oz} = m \left( x^2 + y^2 \right) = m\;\left( MM_z \right)^2\;</math>» avec <math>\;MM_z\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> de l'axe <math>\;Oz</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;J_{Oy} = m \left( x^2 + z^2 \right)\;</math> moment d'inertie de <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>»<ref name="précision sur les moments d'inertie de M par rapport à un axe" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;J_{Oz} = m \left( x^2 + y^2 \right)\;</math> moment d'inertie de <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>»<ref name="précision sur les moments d'inertie de M par rapport à un axe" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du point dans un plan privilégié</u> plus précisément <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;I_{xy} = m\;x\;y\;</math> produit d'inertie de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;I_{xz} = m\;x\;z\;</math> produit d'inertie de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;I_{yz} = m\;y\;z\;</math> produit d'inertie de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;yOz\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> }}soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du point <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>». == Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels == === Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable) === {{Définition|titre=Tenseur d'inertie d'un solide relativement au référentiel d'espace qui lui est lié|contenu={{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> composé de <math>\;N\;</math> points matériels <math>M_k\;</math> de masse <math>\;m_k\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit un solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> composé de <math>\;\color{transparent}{N}\;</math> points matériels }}repérés relativement à un point <math>\;O\;</math> fixe dans le référentiel spatial <math>\;\mathcal{R}_{(\mathcal{S})}\;</math> lié au solide <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit un solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> composé de <math>\;\color{transparent}{N}\;</math> points matériels repérés }}par leur vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM_k} = \vec{r}_k</math>, <br />{{Al|5}}on appelle « [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{(\mathcal{S})}\;</math> dont <math>\;O\;</math> est un point fixe <br />{{Al|5}}{{Transparent|on appelle }}« la somme des <math>\;N\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'inertie de chaque point matériel <math>\;M_k\,\left( m_k \right)\;</math>» soit encore <br />{{Al|5}}{{Transparent|on appelle }}« le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> <math>\;\mathcal{I}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} \mathcal{I}(M_k)\;</math>» dans lequel <br />{{Al|12}}{{Transparent|on appelle « le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant }}«<math>\;\mathcal{I}(M_k) = \left( m_k\;\vec{r}_k^2 \right) \delta - m_k\;\vec{r}_k^{\,\otimes\,2}\;</math>» avec <br />{{Al|12}}{{Transparent|on appelle « le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant }}<math>\bullet\;</math><math>\;\vec{r}_k^{\,\otimes\, 2} = \vec{r}_k \otimes \vec{r}_k\;</math> carré tensoriel<ref name="carré tensoriel de vecteur" /> du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> <math>\;\vec{r}_k</math> <br />{{Al|12}}{{Transparent|on appelle « le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big[</math>«<math>\;\vec{r}_k^{\,\otimes\, 2}\;</math> est donc un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> »<ref name="tenseur d'ordre deux contravariants" /> <math>\,\in\,W^{\,\otimes\,2}\;</math><ref name="définition de W" />{{,}}<ref name="carré tensoriel d'espace vectoriel" />, <br />{{Al|12}}{{Transparent|on appelle « le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>«}}<math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> <br />{{Al|12}}{{Transparent|on appelle « le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel }}nonadimensionnel<ref name="les quatre produits tensoriels nonadimensionnels" /><math>\big]</math>, <br />{{Al|12}}{{Transparent|on appelle « le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant }}<math>\bullet\;</math><math>\;\vec{r}_k^2 = \vec{r}_k \cdot \vec{r}_k\;</math> carré scalaire du vecteur <math>\;\vec{r}_k\;</math><ref name="carré scalaire en tant que carré contracté de tenseurs d'ordre un" /> et <br />{{Al|12}}{{Transparent|on appelle « le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariant }}<math>\bullet\;</math><math>\;\delta\;</math> est le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> de Kronecker<ref name= "tenseurs de Kronecker" />{{,}}<ref name="Kronecker" />.}} === Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels === {{Al|5}}Avec <math>\;W\;</math> la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] représentant l'espace physique et <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> sa [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]], <br />{{Al|5}}{{Transparent|Av }}le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] nonadimensionnel <math>\;W^{\,\otimes\,2}\;</math><ref name="carré tensoriel d'espace vectoriel" /> des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]]<ref name="covariant ou contravariant" />{{,}}<ref name="par abus" /> ayant pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_i \otimes \vec{u}_j \right\rbrace_{\left( i\,,\, j \right)\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace^2}\;</math><ref name="base du carré tensoriel de W" />, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> }}les composantes du [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] <math>\;\mathcal{I}(\mathcal{S})\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans cette [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_i \otimes \vec{u}_j \right\rbrace_{\left( i\,,\, j \right)\, \in\, \left\lbrace x\,,\,y\,,\, z \right\rbrace^2}\;</math> se déterminent en ajoutant <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> }}les composantes des <math>\;N\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'inertie de chaque point matériel <math>\;M_k\;\left( m_k \right)\;</math><ref name="composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Détermination_des_composantes_du_tenseur_d'inertie_d'un_point_matériel_sur_la_base_orthonormée_de_l'espace_vectoriel_des_tenseurs_d'ordre_deux_contravariants_défini_sur_le_corps_des_réels|détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ce qui donne <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{x,\,x}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( y_k^2 + z_k^2 \right)</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{x,\,y}(\mathcal{S}) = -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;y_k</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{x,\,z}(\mathcal{S}) = -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;z_k</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{y,\,x}(\mathcal{S}) = -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;y_k</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{y,\,y}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + z_k^2 \right)</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{y,\,z}(\mathcal{S}) = -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;y_k\;z_k</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{z,\,x}(\mathcal{S}) = -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;z_k</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{z,\,y}(\mathcal{S}) = -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;y_k\;z_k</math> et <br />{{Al|8}}{{Transparent|Av le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel nonadimensionnel <math>\;\color{transparent}{W^{\,\otimes\,2}}\;</math> les composantes du tenseur d'inertie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{I}(\mathcal{S})}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\succ\;</math><math>\;\mathcal{I}_{z,\,z}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + y_k^2 \right)</math>. === Matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier === {{Al|5}}Tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{\,\otimes\,2}\;</math> nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\;W^{\,\otimes\,2}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;3\, \text{x}\, 3\;</math><ref name="représentation d'un tenseur d'ordre 2 contravariant par une matrice carrée" /> et <br />{{Al|1}}{{Transparent|Tout }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide étant la somme des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'inertie des points matériels le composant, lesquels sont des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2</math>, est donc lui-même un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <br />{{Al|1}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;3\, \text{x}\, 3\;</math><ref name="représentation d'un tenseur d'ordre 2 contravariant par une matrice carrée" />, somme des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] représentant individuellement les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'inertie des points matériels composant le solide ; <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par }}la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;3\, \text{x}\, 3\;</math> représentant le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] <math>\;\mathcal{I}(\mathcal{S})\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="constituants du solide"> Le solide est le système indéformable des points matériels <math>\;\left\lbrace M_k\;\left( m_k \right),\;k\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right],\;\left[ M_lM_m \right] = cste\;\;\forall\;\left( l\,,\,m \right)\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2 \right\rbrace</math>.</ref> dans la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\;W^{\,\otimes\,2}\;</math> est définie sans ambiguïté<ref> Car les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] représentant individuellement les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'inertie des points matériels composant le solide sont définies sans ambiguïté <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#cite_note-représentation_d'un_tenseur_d'inertie_par_matrice_carrée-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; <br />{{Al|9}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice }}elle est appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice elle est }}notée <math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right]</math> <math>\;\big(</math>ou simplement <math>\;\left[ J \right]\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big)</math>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice }}elle s'écrit «<math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( y_k^2 + z_k^2 \right) & -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;y_k & -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;z_k\\ -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;y_k & \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + z_k^2 \right) & -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;y_k\;z_k\\ -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;z_k & -\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;y_k\;z_k & \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + y_k^2 \right)\end{array} \right]\;</math>»<ref name="matrice symétrique - bis"> On vérifie aisément que <math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right]\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] [[w:Matrice_symétrique|symétrique]] c.-à-d. égale à sa propre [[w:Matrice_transposée|transposée]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Transposition_de_matrices|transposition de matrices]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> ; <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par }}parmi les cœfficients de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> on distingue : <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;J_{Ox}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( y_k^2 + z_k^2 \right)\;</math> moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>»<ref name="précision sur les moments d'inertie de S par rapport à un axe"> Avec <math>\;M_k\;\left( x_k\,,\,y_k\,,\,z_k \right)\;</math> et <math>\;M_{k,\,x}\;</math> projeté <math>\;\perp\;</math> de <math>\;M_k\;</math> sur <math>\;Ox</math>, «<math>\;J_{Ox}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( y_k^2 + z_k^2 \right) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;\left( M_kM_{k,\,x} \right)^2\;</math>» <math>\;\big(M_kM_{k,\,x}\;</math> distance entre <math>\;M_k\;</math> et <math>\;Ox\big)</math> ; <br>{{Al|27}}{{Transparent|Avec <math>\;\color{transparent}{M_k\;\left( x_k\,,\,y_k\,,\,z_k \right)}\;</math> et }}<math>\;M_{k,\,y}\;</math> projeté <math>\;\perp\;</math> de <math>\;M_k\;</math> sur <math>\;Oy</math>, «<math>\;J_{Oy}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + z_k^2 \right) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;\left( M_kM_{k,\,y} \right)^2\;</math>» <math>\;\big(M_kM_{k,\,y}\;</math> distance entre <math>\;M_k\;</math> et <math>\;Oy\big)</math> ; <br>{{Al|27}}{{Transparent|Avec <math>\;\color{transparent}{M_k\;\left( x_k\,,\,y_k\,,\,z_k \right)}\;</math> et }}<math>\;M_{k,\,z}\;</math> projeté <math>\;\perp\;</math> de <math>\;M_k\;</math> sur <math>\;Oz</math>, «<math>\;J_{Oz}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + y_k^2 \right) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;\left( M_kM_{k,\,z} \right)^2\;</math>» <math>\;\big(M_kM_{k,\,z}\;</math> distance entre <math>\;M_k\;</math> et <math>\;Oz\big)</math>.</ref>, <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;J_{Oy}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + z_k^2 \right)\;</math> moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>»<ref name="précision sur les moments d'inertie de S par rapport à un axe" /> et <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;J_{Oz}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k \left( x_k^2 + y_k^2 \right)\;</math> moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>»<ref name="précision sur les moments d'inertie de S par rapport à un axe" />, <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;I_{xy}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;y_k\;</math> produit d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;I_{xz}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;x_k\;z_k\;</math> produit d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux }}<math>\succ\;</math>«<math>\;I_{yz}(\mathcal{S}) = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,N} m_k\;y_k\;z_k\;</math> produit d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans le plan <math>\;yOz\;</math>», <br />{{Al|4}}{{Transparent|Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par }}soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> se réécrit «<math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox}(\mathcal{S}) & -I_{xy}(\mathcal{S}) & -I_{xz}(\mathcal{S})\\ -I_{xy}(\mathcal{S}) & J_{Oy}(\mathcal{S}) & -I_{yz}(\mathcal{S})\\ -I_{xz}(\mathcal{S}) & -I_{yz}(\mathcal{S}) & J_{Oz}(\mathcal{S})\end{array} \right]\;</math>». == Axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels == === Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice autoadjointe === {{Al|5}}Toute [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math> à cœfficients réels représentant un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <ref name="représentation d'un endomorphisme par une matrice carrée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C)]] <math>\;\big\{</math>cas où les deux espaces vectoriels sont confondus avec <math>\;B = C</math> <math>\;\big(</math>l'application linéaire étant alors un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]]<math>\big)\;</math> et <math>\;m = n = 3\big\}\;</math>» du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> <math>\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] modélisant l'espace physique<math>\big)</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Toute matrice carrée <math>\;\color{transparent}{3\;\text{x}\;3}\;</math> à cœfficients réels représentant un endomorphisme }}il existe donc un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Toute matrice carrée <math>\;\color{transparent}{3\;\text{x}\;3}\;</math> à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right]\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étudié c.-à-d. <br />{{Al|11}}{{Transparent|Toute matrice carrée <math>\;\color{transparent}{3\;\text{x}\;3}\;</math> à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}avec la base <math>\;\big(</math>choisie [[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]]<math>\big)\;</math> «<math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math>», <br />{{Al|11}}{{Transparent|Toute matrice carrée <math>\;\color{transparent}{3\;\text{x}\;3}\;</math> à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}«<math>\;\exists!\; \varphi\, \in\, L(W)\;</math><ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel"> L'ensemble des [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphismes]] de <math>\;W\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] noté <math>\;L_{\mathbb{R}}(W)\;</math> ou encore <math>\;\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(W)\;</math> mais le plus souvent on se contente de <math>\;L(W)</math>.</ref> tel que <math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right] = \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;</math>»<ref name="notation de matrice représentant un endomorphisme"> Voir les notations du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br />{{Al|1}}{{Transparent|Toute }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right]\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant « [[w:Matrice_symatrique|symétrique]] », l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;W\;</math> qu'elle représente dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> est « [[w:Endomorphisme_autoadjoint#Définition|autoadjoint]] »<ref name="justification endomorphisme autoadjoint"> Voir le paragraphe « [[w:Matrice_symétrique#Décomposition_spectrale|décomposition spectrale]] de l'article [[w:Matrice_symétrique|Matrice symétrique]] de wikipédia » dans lequel il est précisé la propriété suivante « dans un [[w:Espace_euclidien|espace euclidien]], une [[w:Matrice_d'une_application_linéaire|matrice représentant]] un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] dans une [[w:Base_orthonormée|base orthonormée]] est [[w:Matrice_symétrique|symétrique]] ssi l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] est [[w:Endomorphisme_autoadjoint|autoadjoint]] », <math>\;\big\{</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#cite_note-justification_du_caractère_autoadjoint_d'un_endomorphisme_représenté_par_une_matrice_symétrique-28|²⁸]] » plus loin dans ce chapitre pour une justification de cette propriété<math>\big\}</math>.</ref> c.-à-d. vérifiant <br />{{Al|1}}{{Transparent|Toute la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> étant « symétrique », }}«<math>\;\forall\;\left( \vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \in W^2</math>, <math>\;\vec{v} \cdot \varphi(\vec{w}) = \varphi(\vec{v}) \cdot \vec{w}\;</math>»<ref name="justification du caractère autoadjoint d'un endomorphisme représenté par une matrice symétrique"> Soit la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math> [[w:Matrice_symétrique|symétrique]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c c c} a & d & e\\ d & b & f\\ e & f & c\end{array}\right]\;</math> représentant l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace</math>, les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de <math>\;\left[ A \right]\;</math> étant les composantes de <math>\;\left\lbrace \varphi(\vec{u}_x)\,,\,\varphi(\vec{u}_y)\,,\,\varphi(\vec{u}_z) \right\rbrace\;</math> sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{r c l} \varphi(\vec{u}_x) \!\!&=&\!\! a\;\vec{u}_x + d\;\vec{u}_y + e\;\vec{u}_z\\ \varphi(\vec{u}_y) \!\!&=&\!\! d\;\vec{u}_x + b\;\vec{u}_y + f\;\vec{u}_z\\ \varphi(\vec{u}_z) \!\!&=&\!\! e\;\vec{u}_x + f\;\vec{u}_y + c\;\vec{u}_z\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l c l} \varphi(\vec{w}) \!\!&=&\!\! \varphi(w_x\;\vec{u}_x + w_y\;\vec{u}_y + w_z\;\vec{u}_z) \!\!&=&\!\! w_x\;\varphi(\vec{u}_x) + w_y\;\varphi(\vec{u}_y) + w_z\;\varphi(\vec{u}_z)\\ \varphi(\vec{v}) \!\!&=&\!\! \varphi(v_x\;\vec{u}_x + v_y\;\vec{u}_y + v_z\;\vec{u}_z) \!\!&=&\!\! v_x\;\varphi(\vec{u}_x) + v_y\;\varphi(\vec{u}_y) + v_z\;\varphi(\vec{u}_z)\end{array}\right\rbrace\;</math> par utilisation du caractère linéaire de <math>\;\varphi\;</math> ou, en [[w:Produit_scalaire|multipliant scalairement]] <math>\;\varphi(\vec{w})\;</math> par <math>\;\vec{v}\;</math> et <math>\;\varphi(\vec{v})\;</math> par <math>\;\vec{w}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{v} \cdot \varphi(\vec{w}) \!\!&=&\!\! w_x \left[ \vec{v} \cdot \varphi(\vec{u}_x) \right] + w_y \left[ \vec{v} \cdot \varphi(\vec{u}_y) \right] + w_z \left[ \vec{v} \cdot \varphi(\vec{u}_z) \right]\\ \vec{w} \cdot \varphi(\vec{v}) \!\!&=&\!\! v_x \left[ \vec{w} \cdot \varphi(\vec{u}_x) \right] + v_y \left[ \vec{w} \cdot \varphi(\vec{u}_y) \right] + v_z \left[ \vec{w} \cdot \varphi(\vec{u}_z) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> par [[w:Distributivité|distributivité]] de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle dans <math>\;W\;</math> [[w:Espace_euclidien|euclidien]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{v} \cdot \varphi(\vec{w}) \!\!&=&\!\! w_x \left[ v_x\;a + v_y\;d + v_z\;e \right] + w_y \left[ v_x\;d + v_y\;b + v_z\;f \right] + w_z \left[ v_x\;e + v_y\;f + v_z\;c \right]\\ \vec{w} \cdot \varphi(\vec{v}) \!\!&=&\!\! v_x \left[ w_x\;a + w_y\;d + w_z\;e \right] + v_y \left[ w_x\;d + w_y\;b + w_z\;f \right] + v_z \left[ w_x\;e + w_y\;f + w_z\;c \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> en explicitant <math>\;\left\lbrace \varphi(\vec{u}_x)\,,\,\varphi(\vec{u}_y)\,,\,\varphi(\vec{u}_z) \right\rbrace\;</math> soit finalement <math>\;\vec{v} \cdot \varphi(\vec{w}) = \vec{w} \cdot \varphi(\vec{v})\;</math> c.-à-d. le caractère « [[w:Endomorphisme_autoadjoint#Définition|autoadjoint]] » de <math>\;\varphi</math>.</ref> ; par extension nous dirons que <br />{{Al|1}}{{Transparent|Toute la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> étant « symétrique », }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right]\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est « autoadjointe »<ref name="matrices réelles adjointes"> La [[w:Matrice_adjointe|matrice adjointe]] <math>\;\left[ A \right]^{*}\;</math> d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> à cœfficients réels est la [[w:Matrice_transposée|matrice transposée]] <math>\;^{t\!}\left[ A \right]\;</math> de cette dernière <math>\;\big\{</math>notion n'introduisant donc rien de nouveau pour une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] à cœfficients réels<math>\big\}\;</math> <br>{{Al|3}}<math>\big\{</math>par contre la [[w:Matrice_adjointe|matrice adjointe]] <math>\;\left[ A \right]^{*}\;</math> d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> à cœfficients complexes est définie comme la matrice transconjuguée <math>\;\big(</math>c.-à-d. [[w:Matrice_transposée|transposée]] de la conjuguée<math>\big)\;</math> de cette dernière, elle se distingue de <math>\;^{t\!}\left[ A \right]\;</math> et son introduction a un intérêt évident<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] autoadjointe à cœfficients réels étant telle que son [[w:Matrice_adjointe|adjointe]] se confond avec elle c.-à-d. <math>\;\left[ A \right]^{*} = \left[ A \right]\;</math> ou <math>\;^{t\!}\left[ A \right] = \left[ A \right]\;</math> est donc aussi une [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|3}}<math>\big\{</math>par contre si une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] autoadjointe à cœfficients complexes est toujours telle que son [[w:Matrice_adjointe|adjointe]] se confond avec elle, cela s'écrit, en notant <math>\;\overline{\left[ A \right]}\;</math> la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] conjuguée de <math>\;\left[ A \right]</math>, <math>\;\left[ A \right]^{*} = \left[ A \right]\;</math> ou <math>\;^{t}\overline{\left[ A \right]} = \left[ A \right]\;</math> ce qui nécessite les cœfficients diagonaux de <math>\;\left[ A \right]\;</math> réels et ses cœfficients non diagonaux symétriques par rapport à la diagonale principale deux à deux complexes conjugués<math>\big\}</math>.</ref>{{,}}<ref> Plus généralement une « [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique à cœfficients réels]] » représentant un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] [[w:Endomorphisme_autoadjoint#Définition|autoadjoint]] sera dite autoadjointe.</ref>. === Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide === {{Théorème|titre = Théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes (admis)| contenu ={{Al|5}}« Tout [[w:Endomorphisme_autoadjoint|endomorphisme auto-adjoint]] <ref name="endomorphisme auto-adjoint"> Un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varpi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel_euclidien|espace vectoriel euclidien]] <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique<math>\big)\;</math> est dit [[w:Endomorphisme_autoadjoint#Définition|autoadjoint]] ssi «<math>\;\forall\;\left( \vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \in W^2</math>, <math>\;\vec{v} \cdot \varpi(\vec{w}) = \varpi(\vec{v}) \cdot \vec{w}\;</math>». <br>{{Al|3}}La définition d'un [[w:Endomorphisme_autoadjoint|endomorphisme auto-adjoint]] est encore valable sur un <math>\;\mathbb{C}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension finie quelconque à condition qu'une [[w:Produit_scalaire#Produit_scalaire_hermitien|multiplication scalaire hermitienne]] y soit définissable, le <math>\;\mathbb{C}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension finie est alors dit [[w:Espace_hermitien|hermitien]] :<br>{{Al|3}}une [[w:Produit_scalaire#Produit_scalaire_hermitien|multiplication scalaire hermitienne]] définie sur un [[w:Espace_hermitien|espace hermitien]] <math>\;H\;</math> est une « application <math>\;\left( \; \vert \; \right)\;:\; H\,\times\,H \mapsto \mathbb{C}\;</math>» * telle que «<math>\;\forall \left( x\,,\, y \right)\,\in H \times H,\; \left( x \,,\, y \right)\, \overset{\left( \text{?}\, \vert \text{?} \right)}{\longmapsto} \left( x\, \vert y\, \right) \in \mathbb{C}\;</math>», * [[w:Forme_sesquilinéaire|sesquilinéaire]] à gauche c.-à-d. semi-linéaire par rapport au 1^er argument, le 2^nd étant fixé «<math>\;\forall\;\lambda\,\in \mathbb{C},\;\left( \lambda\;x\, \vert y\, \right) = \lambda^{*}\,\left( x\, \vert y\, \right)\;</math>» <math>\;\big[\lambda^{*}\;</math> étant le conjugué de <math>\;\lambda\big]</math>,<br> {{Transparent|sesquilinéaire à gauche c.-à-d. }}linéaire par rapport au 2^nd argument, le 1^er étant fixé «<math>\;\forall\;\lambda\,\in \mathbb{C},\;\left( x\, \vert \lambda\;y\, \right) = \lambda\,\left( x\, \vert y\, \right)\;</math>», * symétrique hermitienne c.-à-d. «<math>\;\forall \left( x\,,\, y \right)\,\in H \times H,\; \left( y\,,\, x \right) = \left( x\,,\, y \right)^{*}\;</math>», * positive c.-à-d. «<math>\;\forall\, x\,\in H,\; \left( x\,,\, x \right) \in \mathbb{R}_{+}\;</math>» et * définie c.-à-d. «<math>\;\left( x\,,\, x \right) = 0 \rightarrow x = 0\;</math>». {{Al|3}}'''[[w:Charles_Hermite|Charles Hermite]] (1822 - 1901)''' mathématicien français connu pour ses travaux sur la [[w:Théorie_des_nombres|théorie des nombres]], les [[w:Forme_quadratique|formes quadratiques]], les [[w:Polynômes_orthogonaux|polynômes othogonaux]], les [[w:Fonction_elliptique|fonctions elliptiques]] et les [[w:Équations_différentielles|équations différentielles]], il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.</ref> d'un [[w:Espace_euclidien#Définitions|espace euclidien]] <ref name="validité du théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes d'un espace hermitien"> Le [[w:Théorème_spectral#Formalisation_algébrique|théorème spectral en dimension finie]] pour les [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphismes]] reste applicable si ces derniers sont définis dans un [[w:Espace_hermitien|espace hermitien]] <math>\;\big\{</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#cite_note-endomorphisme_auto-adjoint-31|³¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref> est [[w:Endomorphisme_linéaire#Diagonalisation|diagonalisable]] dans une [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] et <br />{{Al|17}}{{Transparent|« Tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien }}ses [[w:Valeur_propre_(synthèse)|valeurs propres]] <ref name="valeurs propres d'un endomorphisme"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction,_généralités#Valeurs_propres,_vecteurs_propres_et_espaces_propres_d'un_endomorphisme|valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> sont toutes réelles ».}} {{Théorème|titre = Théorème spectral en dimension finie pour les matrices (admis)| contenu ={{Al|5}}« Toute [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique réelle]] <math>\,\left[ A \right]\,</math> est [[w:Diagonalisation|diagonalisable]] <ref name="signification de matrice carrée diagonalisable"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction,_applications#Tentative_de_diagonalisation_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\big\{</math>il existe une [[w:Matrice_diagonale|matrice diagonale]] <math>\;\left[ D \right]\;</math> à cœfficients réels [[w:Matrices_semblables|semblable]] à <math>\,\left[ A \right]\;</math><ref name="matrices semblables"> Deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> et <math>\;\left[ B \right]\;</math> de même dimension <math>\;n\;</math> sont [[w:Matrices_semblables|semblables]] s'il existe une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> [[w:Matrice_inversible|inversible]] telle que «<math>\;\left[ A \right] = \left[ P \right] \times \left[ B \right] \times \left[ P \right]^{-1}\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_sur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> <br />{{Al|13}}{{Transparent|« Toute matrice symétrique réelle <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> est diagonalisable <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>il existe une matrice diagonale }}<math>\;\Updownarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|« Toute matrice symétrique réelle <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> est diagonalisable <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}il existe une [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|matrice orthogonale]] <math>\;\left[ P \right]\;</math><ref name="matrice orthogonale"> Une [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|matrice orthogonale]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;\big(3\;\text{x}\;3\;</math> à cœfficients réels dans le cas présent<math>\big)\;</math> [[w:Matrice_unitaire|unitaire]] c.-à-d. telle que «<math>\;\left[ P \right]^{*} \times \left[ P \right] =</math> <math>\left[ P \right] \times \left[ P \right]^{*} = \left[ I_3 \right]\;</math>» où <math>\;\left[ P \right]^{*}\;</math> est la [[w:Matrice_adjointe|matrice adjointe]] de <math>\;\left[ P \right]\;</math> c.-à-d. la [[w:Matrice_transposée|matrice transposée]] de la [[w:Matrice_conjuguée|matrice conjuguée]] <math>\;\overline{\left[ P \right]}\;</math> ou <math>\;\left[ P \right]^{*} = \;^{t} \overline{\left[ P \right]}\;</math> ou encore, pour une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] à cœfficients réels <math>\;\left[ P \right]^{*} = \;^{t} \left[ P \right]\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}une [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|matrice orthogonale]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> à cœfficients réels est une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <math>\;\big(3\;\text{x}\;3\big)\;</math> [[w:Matrice_unitaire|unitaire]] c.-à-d. telle que «<math>\;^{t} \left[ P \right] \times \left[ P \right] = \left[ P \right] \times \;^{t} \left[ P \right] = \left[ I_3 \right]\;</math>» ; <br>{{Al|3}}une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] est [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|orthogonale]] ssi tous ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux et de norme unité, une [[w:Matrice_orthogonale#Propriétés|matrice orthogonale]] représente donc une [[w:Base_orthonormée|base orthonormée]].</ref> à cœfficients réels et <br />{{Al|9}}{{Transparent|« Toute matrice symétrique réelle <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> est diagonalisable <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>il existe }}une [[w:Matrice_diagonale|matrice diagonale]] <math>\;\left[ D \right]\;</math> à cœfficients réels telles que <br />{{Al|9}}{{Transparent|« Toute matrice symétrique réelle <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> est diagonalisable <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}«<math>\;\left[ A \right] = \left[ P \right] \times \left[ D \right] \times \left[ P \right]^{-1}\;</math>»<ref name="matrices semblables" /><math>\big\}\;</math>».}} {{Al|5}}D'après le [[w:Théorème_spectral#Formalisation_algébrique|théorème spectral en dimension finie]] pour les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices]], on peut donc affirmer que <u>la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie</u><math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right]\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><u>est [[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u>. === Définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier === {{Al|5}}La nature « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\left[ J(\mathcal{S}) \right]\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> relativement à un référentiel lié à ce dernier, <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}dans la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\;W\;</math><ref name="définition de W" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}<math>\Rightarrow</math> le caractère [[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]] de cette [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]]<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}il est donc possible de choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\;\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math><ref name="définition de W" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir }}pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> soit transformée en <math>\;\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right]\;</math> [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir }}les axes <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{OX}\,,\, \overrightarrow{OY}\,,\, \overrightarrow{OZ} \right\rbrace\;</math> passant par le point <math>\;O\;</math> et orientés par <math>\;\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|12}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir les axes <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OX}\,,\, \overrightarrow{OY}\,,\, \overrightarrow{OZ}}\;</math> }}sont appelés « <u>axes principaux d'inertie</u> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <br />{{Al|12}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir les axes <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OX}\,,\, \overrightarrow{OY}\,,\, \overrightarrow{OZ}}\;</math> sont appelés « }}issus de <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>point fixe de ce dernier<math>\big)\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir }}les éléments diagonaux de <math>\;\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right]\;</math> à savoir <math>\;J_{OX}(\mathcal{S})</math>, <math>\;J_{OY}(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;J_{OZ}(\mathcal{S})\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right]}\;</math> }}sont appelés « <u>moments principaux d'inertie</u> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right]}\;</math> sont appelés « }}relativement aux axes respectifs <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right]}\;</math> sont appelés « relativement }}<math>\left\lbrace \overrightarrow{OX}\,,\, \overrightarrow{OY}\,,\, \overrightarrow{OZ} \right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir les éléments diagonaux }}leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels <math>\;M_k\,(m_k)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ J(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> il est donc possible de choisir les éléments diagonaux }}du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ; {{Al|5}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right]\;</math> du solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}_{(\mathcal{S})}\;</math> lié à <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et « relativement axes principaux d'inertie <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{OX}\,,\, \overrightarrow{OY}\,,\, \overrightarrow{OZ} \right\rbrace\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> issus du point <math>\;O</math>, point fixe de <math>\;\mathcal{R}_{(\mathcal{S})}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\;\color{transparent}{\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right]}\;</math> du solide <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}s'écrit, avec «<math>\;J_{OX}(\mathcal{S})</math>, <math>\;J_{OY}(\mathcal{S})\;</math> et <math>\;J_{OZ}(\mathcal{S})\;</math> moments principaux d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math>», selon «<math>\;\left[ \mathcal{J}(\mathcal{S}) \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{OX}(\mathcal{S}) & 0 & 0\\ 0 & J_{OY}(\mathcal{S}) & 0\\ 0 & 0 & J_{OZ}(\mathcal{S})\end{array} \right]\;</math>». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Les tenseurs et leurs composantes, notion de contraction tensorielle et notation d'Einstein/]] | suivant = [[../Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie/]] }} 5ovuva84ggat2zbijdhy7hc0wnqwu0n 0 73991 982932 964474 2026-05-19T17:32:15Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982932 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = physique | numéro = 28 | niveau = 14 | précédent = [[../Applications des fonctions hyperboliques directes et inverses/]] | suivant = [[../Applications de flux d'un champ vectoriel de l'espace, de champ vectoriel à flux conservatif/]] | chapitre = [[../../Formes différentielles et différentielles de fonctions/]] }} == Formes différentielles et différentielles exactes == === Vérification de l'exactitude d'une forme différentielle et calcul d'une intégrale curviligne de cette dernière le long d'un arc de courbe plane === #Considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes “ x, y et z ”]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », notion restant valable pour un nombre de variables indépendantes autre que <math>\;3</math>.</ref> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy}\;</math>» }}vérifier sa fermeture<ref name="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle de deux variables indépendantes est dite « fermée » si elle vérifie la « condition d'égalité des dérivées croisées » voir l'exemple du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Exemple_de_forme_différentielle_vérifiant_les_conditions_d'«_égalités_des_dérivées_croisées_»_mais_n'étant_pas_une_différentielle_de_fonction_scalaire|exemple de forme différentielle vérifiant les conditions d'égalités des dérivées croisées mais n'étant pas une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|4}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy}\;</math>» vérifier }}son exactitude<ref name="forme différentielle exacte"> Une forme différentielle fermée de deux variables indépendantes est dite « exacte » si elle est une différentielle de fonction scalaire des deux variables indépendantes.</ref> par application du [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]] <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] (lemme de Poincaré) » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]] affirmant qu'une forme différentielle fermée de deux variables indépendantes sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. contenant au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout autre point <math>\;Q\;</math> de l'ouvert <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U\big)\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> est exacte.</ref>, enfin <br>{{Al|4}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy}\;</math>» }}évaluer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle sur l'arc de parabole <math>\,(\Gamma)\,</math> d'équation cartésienne <math>\;y = 2\,\dfrac{x^2}{a}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle sur l'arc de parabole }}entre les points <math>\;O\,(0\,,\, 0)\;</math> et <math>\;A\,(a\,,\, 2\,a)</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle }}<math>\big(a\,</math> étant une grandeur <math>\,> 0\,</math> de même dimension que <math>\,x\,</math> et <math>\,y\big)</math> ; #considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) \right\rbrace\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <br>{{Al|11}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right)) \right\rbrace\,dy}\;</math>» }}vérifier sa fermeture<ref name="forme différentielle fermée" /> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right)) \right\rbrace\,dy}\;</math>» vérifier }}son exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> par application du [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux <br>{{Al|16}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right)) \right\rbrace\,dy}\;</math>» vérifier son exactitude par application }}formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" />, et <br>{{Al|11}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right)) \right\rbrace\,dy}\;</math>» }}évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\delta_{\text{forme diff}}(M)\,</math> sur la courbe plane fermée <br>{{Al|11}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right)) \right\rbrace\,dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de }}<math>\,(\Gamma)\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques <br>{{Al|35}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right)) \right\rbrace\,dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de }}<math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{l} x = a\;\sin(\theta)\;\cos^2(\theta) \\ y = a\;\sin^2(\theta) \\ \theta\;\in\; \left[ 0\,,\, 2\;\pi \right[ \end{array} \!\right\rbrace</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right)) \right\rbrace\,dy}\;</math>» évaluer }}<math>\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math> ; #considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \dfrac{2\,x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\,\in\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> indépendantes, <br>{{Al|7}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,x\;dx - x^2\;dy}\;</math>» }}vérifier sa fermeture<ref name="forme différentielle fermée" /> puis <br>{{Al|7}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,x\;dx - x^2\;dy}\;</math>» vérifier }}son exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> par application du [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" />, enfin <br>{{Al|7}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,x\;dx - x^2\;dy}\;</math>» }}déterminer les primitives de cette forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,x\;dx - x^2\;dy}\;</math>» }}évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\delta_{\text{forme diff}}(M)\,</math> sur une courbe plane <math>\,(\Gamma)\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques <br>{{Al|7}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,x\;dx - x^2\;dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\,</math> sur une courbe plane }}de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe C¹]] par morceaux sur <math>\;U = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,x\;dx - x^2\;dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\,</math> sur une courbe plane <math>\,\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}allant de <math>\;A\,(a,\,2\,a)\;</math> à <math>\;B\,(3\,a,\,8\,a)</math> ; #considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\,\in\,\mathbb{R}^2\;</math> indépendantes, <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» }}vérifier sa fermeture<ref name="forme différentielle fermée" /> puis <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 6\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» vérifier }}son exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> par application du [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles <br>{{Al|12}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» vérifier son exactitude par application du lemme du Poincaré relatif aux }}fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" />, enfin <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» }}déterminer les primitives de cette forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» }}évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\delta_{\text{forme diff}}(M)\,</math> <math>\bullet\;</math>sur le demi-cercle supérieur <math>\;( \Gamma_1 )\;</math> de diamètre <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\left[A B\right]</math>, de <math>\;A\,(R,\,2\,R)\;</math> à <math>\;B\,(3\,R,\,4\,R)</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big\{R\;</math> étant le rayon du demi-cercle<math>\big\}\;</math> puis <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\,</math> }}<math>\bullet\;</math>sur la courbe <math>\;( \Gamma_2 )\;</math> d'équations cartésiennes <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = a\, (1 + 3\;t - t^2) \\ y = a\,(2 + 4\;t - 2\,t^2) \\ t\;\in\; \left[ 0\,,\, 1 \right[ \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 3\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy}\;</math>» évaluer l'intégrale curviligne de <math>\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M)}\,</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big\{a > 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big\}</math>. {{Solution|contenu=#À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = 2\;x\;y \\ B(x,\,\cancel{y}) = x^2 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = 2\;x \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!\cancel{y}}(x,\,\cancel{y}) = 2\;x \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, <br>{{Al|4}}{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy}\;</math>» }}vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» sur cette forme différentielle <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|À partir de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> }}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> comme elle est définie sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^2}\;</math> sans restriction }}le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique et par suite <br>{{Transparent|À partir de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)</math> ; <br><u>détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy = df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 2\;x\;y\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = x^2\;y + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé"> Toute fonction dérivable de <math>\;y\;</math> étant une constante lors de l'intégration partielle relativement à <math>\;x</math>.</ref> dont nous déduisons <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = x^2 + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;x^2\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> d'où «<math>\;f(x,\,y) = x^2\;y + cste\;</math>» ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de parabole</u> : soit <math>\;( \Gamma )\;</math> l'arc de parabole d'équation cartésienne <math>\;y = 2\,\dfrac{x^2}{a}\;</math> entre les points <math>\;O\,(0\,,\, 0)\;</math> et <math>\;A\,(a\,,\, 2\,a)</math>, l'intégrale curviligne <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de parabole : }}«<math>\;\displaystyle\int_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{(\Gamma)} 2\;x\;y\;dx + x^2\;dy = \displaystyle\int_{O\, \overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, A} df = f(A) - f(O) = \left[ 2\;a^3 + cste \right] - \left[ 0 + cste \right] = 2\;a^3\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) \right\rbrace\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) \\ B(x,\,y) = 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = -2\,x\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) - 2\,x\;y\;\cos\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\,\dfrac{x^2}{a^3} \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = - 2\,x\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) - x^2\; \cos\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\,\dfrac{2\,x\;y}{a^3} \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» sur cette forme différentielle <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|À partir de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) \right\rbrace\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> et <br>{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> }}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> comme elle est définie sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^2}\;</math> sans restriction }}le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique et par suite <br>{{Transparent|À partir de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) \right\rbrace\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( x^2\;y \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( x^2\;y \right) \right\rbrace\,dy}\;</math>» est exacte c.-à-d. qu'elle est la différentielle }}des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)</math> ; <br><u>détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;-2\,x\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) \right\rbrace\,dy = df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> <br>{{Al|150}}{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> vérifiant }}pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = -2\,x\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = a^3\;\cos\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = -x^2\;\sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;2\,a\;y - x^2\; \sin\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right)\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 2\,a\;y\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|80}}{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\varphi(y) = a\;y^2 + cste\;</math> d'où «<math>\;f(x,\,y) = a^3\;\cos\! \left( \dfrac{x^2\;y}{a^3} \right) + a\;y^2 + cste\;</math>» ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane fermée</u> : soit <math>\;( \Gamma )\;</math> la courbe plane fermée d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = a\;\sin(\theta)\;\cos^2(\theta) \\ y = a\;\sin^2(\theta) \\ \theta\;\in\; \left[ 0\,,\, 2\;\pi \right[ \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane fermée : }}«<math>\;f\! \left\lbrace x(\theta),\,y(\theta) \right\rbrace = a^3\;\cos\! \left\lbrace \sin^4(\theta)\;\cos^4(\theta) \right\rbrace + a^3\;\sin^2(\theta) + cste\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\! \left\lbrace x(0),\,y(0) \right\rbrace = f\! \left\lbrace x(2\,\pi),\,y(2\,\pi) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane fermée : }}d'où «<math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma)} df = \left[ f\! \left\lbrace x(\theta),\,y(\theta) \right\rbrace \right]_0^{2\,\pi} = f\! \left\lbrace x(2\,\pi),\,y(2\,\pi) \right\rbrace - f\! \left\lbrace x(0),\,y(0) \right\rbrace = 0\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \dfrac{2\,x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\,\in\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> indépendantes, posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = \dfrac{2\,x}{y} \\ B(x,\,y) = - \dfrac{x^2}{y^2} \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = -\dfrac{2\,x}{y^2} \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = - 2\,\dfrac{x}{y^2} \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» sur cette forme différentielle <math>\Rightarrow</math> la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \dfrac{2\,x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> et <br>{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> }}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> comme elle est définie sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}}\;</math> sans restriction }}le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique et par suite <br>{{Transparent|À partir de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \dfrac{2\,x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)</math> ; <br><u>détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \dfrac{2\,x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy = df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = \dfrac{2\,x}{y}\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = \dfrac{x^2}{y} + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = - \dfrac{x^2}{y^2} + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;- \dfrac{x^2}{y^2}\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> et <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> soit «<math>\;f(x,\,y) = \dfrac{x^2}{y} + cste\;</math>» ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane</u> : soit <math>\;( \Gamma )\;</math> la courbe plane d'équations cartésiennes paramétriques de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe C¹]] par morceaux sur <math>\;U = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : }}«<math>\;\displaystyle\int_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{A\,(a,\,2\,a)}^{B\,(3\,a,\,8\,a)} df = \left[ f(M) \right]_{A\,(a,\,2\,a)}^{B\,(3\,a,\,8\,a)} = \left[ \dfrac{x^2}{y} + cste \right]_{(a,\,2\,a)}^{(3\,a,\,8\,a)} = \dfrac{(3\,a)^2}{8\,a} - \dfrac{a^2}{2\,a} = \dfrac{5}{8}\;a\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 6\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\,\in\,\mathbb{R}^2\;</math> indépendantes, posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = y^3 - 6\,x\;y^2 \\ B(x,\,y) = 3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = 3\,y^2 - 12\,x\;y \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 3\,y^2 - 12\,x\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» sur cette forme différentielle <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|À partir de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 6\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> et <br>{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> }}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|À partir de la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) =}</math> comme elle est définie sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}^2}\;</math> sans restriction }}le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique et par suite <br>{{Transparent|À partir de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 6\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> est exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> c'est donc la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)</math> ; <br><u>détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 6\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy = df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> vérifiant <math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y^3 - 6\,x\;y^2)\; dx + (3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y)\; dy = df =}</math> }}pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = y^3 - 6\,x\;y^2\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = x\;y^3 - 3\,x^2\;y^2 + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = 3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;3\,x\;y^2 - 6\,x^2\;y\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> et <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> soit <br>{{Transparent|détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte }}«<math>\;f(x,\,y) = x\;y^3 - 3\,x^2\;y^2 + cste\;</math>» ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane</u> : <math>\bullet\;</math>soit <math>\;( \Gamma_1 )\;</math> le demi-cercle supérieur de diamètre <math>\;\left[A B\right]</math>, allant de <math>\;A\,(R,\,2\,R)\;</math> vers <math>\;B\,(3\,R,\,4\,R)</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\displaystyle\int_{(\Gamma_1)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{A\,(R,\,2\,R)}^{B\,(3\,R,\,4\,R)} df = \left[ f(M) \right]_{A\,(R,\,2\,R)}^{B\,(3\,R,\,4\,R)} = \left[ x\;y^3 - 3\,x^2\;y^2 + cste \right]_{(R,\,2\,R)}^{(3\,R,\,4\,R)} = -240\;R^4 + 4\;R^4</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_{(\Gamma_1)} \delta_{\text{forme diff}}(M)}</math> }}<math>= -236\;R^4\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : }}<math>\bullet\;</math>soit <math>\;( \Gamma_2 )\;</math> la courbe plane d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = a\, (1 + 3\;t - t^2) \\ y = a\,(2 + 4\;t - 2\,t^2) \\ t\;\in\; \left[ 0\,,\, 1 \right[ \end{array} \right\rbrace\;</math> allant de <math>\;M(0)\; (a,\,2\,a)\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vers <math>\;M(1)\; (3\,a,\,4\,a)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\int_{(\Gamma_2)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{M(0)\,(a,\,2\,a)}^{M(1)\,(3\,a,\,4\,a)} df \;\overset{\cdots}{\;=\;}\; -236\;a^4\;</math>».}} === Calcul d'intégrales curvilignes d'une même forme différentielle le long de deux arcs de courbes distincts de mêmes extrémités et conséquence === {{Al|5}}Considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy}\;</math>» }}calculer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle le long <br>{{Al|9}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy}\;</math>» calculer l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>du segment de droite reliant <math>\;O\,(0\,,\, 0)\;</math> et <math>\;A\,(a\,,\, a)\;</math> de <math>\;O\;</math> vers <math>\;A</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy}\;</math>» calculer l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>de l'arc de parabole d'équation cartésienne <math>\;y = \dfrac{x^2}{a}\;</math> entre <math>\;O\,(0\,,\, 0)\;</math> et <math>\;A\,(a\,,\, a)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy}\;</math>» calculer l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math> ;<br>{{Al|9}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy}\;</math>» }}conclure à l'exactitude ou non<ref name="forme différentielle exacte" /> de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" />{{,}}<ref> En fait, la comparaison des résultats de l'intégrale de la forme différentielle le long des deux arcs de courbe de mêmes extrémités ne permet une conclusion que dans le cas de non exactitude, dans celui d'exactitude ce n'est qu'une hypothèse qui nécessiterait d'être validée sur tous les arcs de courbe reliant les mêmes extrémités <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Considérant la forme différentielle «<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy}\;</math>» }}justifier votre réponse d'une 2^nde façon en recherchant la fermeture ou non<ref name="forme différentielle fermée" /> de cette forme différentielle<ref name="forme différentielle" />{{,}}<ref name="non fermeture entraîne non exactitude"> En fait, le cas de non fermeture de la forme différentielle justifie sa non exactitude mais dans le cas où celle-ci serait fermée nous ne pourrions pas conclure sur l'exactitude ou non de la forme différentielle <math>\;\ldots</math></ref>. {{Solution|contenu={{Al|5}}L'intégrale curviligne de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'intégrale curviligne }}le long <math>\bullet\;</math>du segment de droite <math>\;( \Gamma_1 )\;</math> reliant <math>\;O\,(0\,,\, 0)\;</math> et <math>\;A\,(a\,,\, a)\;</math> de <math>\;O\;</math> vers <math>\;A</math>, d'équation cartésienne <math>\;y = x</math>, avec <math>\;(x\,,\, y)\;</math> coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma_1)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'intégrale curviligne le long <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du segment de droite <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_1 )}\;</math> }}que nous paramétrons en <math>\;x</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> porté par <math>\;(\Gamma_1)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dy = dx\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'intégrale curviligne le long <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du segment de droite <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_1 )}\;</math> }}«<math>\;I_1 = \displaystyle\int_{O \overset{(\Gamma_1)}{\rightarrow} A} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{O \overset{(\Gamma_1)}{\rightarrow} A} x^2\;dx - x\;y\;dy =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{a} \left( x^2 - x^2 \right)\,dx = 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'intégrale curviligne le long }}<math>\bullet\;</math>de l'arc de parabole <math>\;( \Gamma_2 )\;</math> d'équation cartésienne <math>\;y = \dfrac{x^2}{a}\;</math> entre <math>\;O\,(0\,,\, 0)\;</math> et <math>\;A\,(a\,,\, a)</math>, avec <math>\;(x\,,\, y)\;</math> coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma_2)\;</math> paramétré en <math>\;x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'intégrale curviligne le long <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>de l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_2 )}\;</math> }}<math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma_2)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dy = 2\;\dfrac{x}{a}\;dx\;</math> d'où «<math>\;I_2 = \!\!\displaystyle\int\limits_{O \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow} A} \delta_{\text{forme diff}}(M)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'intégrale curviligne le long <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>de l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_2 )}\;</math> }}<math>= \!\!\displaystyle\int\limits_{O \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow} A} x^2\;dx - x\;y\;dy = \displaystyle\int_{0}^{a} \left\lbrace x^2 - x\;\dfrac{x^2}{a}\,\left( 2\;\dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\,dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} - 2\;\dfrac{x^5}{5\;a^2} \right]_{0}^{a}= \dfrac{a^3}{3} - \dfrac{2\;a^3}{5} = -\dfrac{a^3}{15}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}les intégrales curvilignes <math>\;I_1\;</math> et <math>\;I_2\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> le long d'arcs de courbes différents de mêmes extrémités, étant de valeurs différentes, nous en déduisons que <br>{{Al|5}}{{Transparent|les intégrales curvilignes <math>\;\color{transparent}{I_1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{I_2}\;</math> de }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> n'est pas exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> ; <br>{{Al|5}}pour tenter de justifier d'une autre façon que la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> n'est pas exacte<ref name="forme différentielle exacte" />, nous cherchons la fermeture ou non<ref name="forme différentielle fermée" /> de celle-ci et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour tenter de justifier d'une autre façon }}posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,\cancel{y}) = x^2 \\ B(x,\,y) = -x\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,\cancel{y}) = 0 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = -y \end{array} \right\rbrace\;</math> soit <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,\cancel{y}) \neq \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math> pour <math>\;y \neq 0\;</math> traduisant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour tenter de justifier d'une autre façon que }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> n'est pas fermée<ref name="forme différentielle fermée" />{{,}}<ref> Pour que la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;dx - x\;y\;dy\;</math>» soit fermée il faut que la « condition d'égalité des dérivées croisées » soit vérifiée sur un pavé de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> et non, comme c'est le cas ici, sur <math>\;\mathbb{R} \times \left\lbrace 0 \right\rbrace</math>.</ref> et par suite, ne peut être exacte<ref name="non fermeture entraîne non exactitude" />.}} == Champs vectoriels à circulation conservative et détermination de potentiels scalaires dont dérivent ces champs vectoriels == === Étude d'un 1^er exemple de l'espace bidimensionnel === {{Al|5}}Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y )\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{F}(M) = y\;\vec{u}_x + x\;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>établir que <math>\;\overrightarrow{F}(M) = y\;\vec{u}_x + x\;\vec{u}_y\;</math> est un champ vectoriel à circulation conservative<ref name="champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|définition équivalente d'un “ champ vectoriel à circulation conservative ”]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>déterminer les potentiels scalaires <math>\;U(M)\;</math> dont dérive <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>en déduire la « circulation du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> du point <math>\;A\,(x_A,\,y_A)\;</math> au point <math>\;B\,( x_B,\,y_B)\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}Soit le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y )\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{F}(M) = y\;\vec{u}_x + x\;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \overrightarrow{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Correspondance_entre_«_forme_différentielle_des_coordonnées_de_l'espace_»_et_«_circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_cet_espace_»|correspondance entre forme différentielle des coordonnées de l'espace et circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big\{</math>avec <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y\;</math> le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\,(x,\,y)\Big\}\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \overrightarrow{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}est une forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> sur tout ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] <ref name="ouvert étoilé"> C.-à-d. ouvert <math>\;U\;</math> contenant au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout autre point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math>.</ref> de <math>\;\mathbb{R}^2</math>, or <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = y\;dx + x\;dy\;</math>» vérifie, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(\cancel{x},\,y) = y \\ B(x,\,\cancel{y}) = x \end{array} \right\rbrace</math>, «<math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!\cancel{x}} = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!\cancel{y}}\;</math>» de valeur commune <math>\;1</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire }}pour domaine de définition <math>\;\mathcal{R}^2\;</math> [[w:Ensemble_convexe|convexe]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tous ses points<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M)\;</math> forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>les potentiels scalaires <math>\;U(M)\;</math> dont dérive <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> se déterminent par «<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = -dU(M)\;</math>»<ref name="potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;y\;dx + x\;dy = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y}(M)\;dx - \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x}(M)\;dy\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les potentiels scalaires }}<math>\;\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y}(M) = -y\;</math> s'intégrant en <math>\;U(x,\,y) = -y\;x + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" />, avec <math>\;\varphi(y)\;</math> à déterminer <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x}(M) = -x + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;-x\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les potentiels scalaires }}<math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> s'intégrannt en <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> soit finalement «<math>\;U(x,\,y) = -x\;y + cste\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>la « circulation du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> du point <math>\;A\,(x_A,\,y_A)\;</math> au point <math>\;B\,( x_B,\,y_B)\;</math> vaut <math>\;\mathcal{C}_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B} \delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \displaystyle\int_A^B -dU(M) = U(A) - U(B)</math> soit <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la « circulation du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{F}(M)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{A\,(x_A,\,y_A)}\;</math> au point <math>\;\color{transparent}{B\,( x_B,\,y_B)}\;</math> vaut }}<math>\mathcal{C}_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = x_B\;y_B - x_A\;y_A\;</math>».}} === Étude d'un 2^nd exemple de l'espace bidimensionnel === {{Al|5}}Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y )\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{F}(M) = x^2\;\vec{u}_x + y^2\;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>établir que <math>\;\overrightarrow{F}(M) = x^2\;\vec{u}_x + y^2\;\vec{u}_y\;</math> est un champ vectoriel à circulation conservative<ref name="champ vectoriel à circulation conservative" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>déterminer les potentiels scalaires <math>\;U(M)\;</math> dont dérive <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>en déduire la « circulation du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> du point <math>\;A\,(x_A,\,y_A)\;</math> au point <math>\;B\,( x_B,\,y_B)\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}Soit le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y )\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{F}(M) = x^2\;\vec{u}_x + y^2\;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \overrightarrow{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> <math>\Big\{</math>avec <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y\;</math> le vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\,(x,\,y)\Big\}\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \overrightarrow{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}est une forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> sur tout ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="ouvert étoilé" /> de <math>\;\mathbb{R}^2</math>, or <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = x^2\;dx + y^2\;dy\;</math>» vérifie, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,\cancel{y}) = x^2 \\ B(\cancel{x},\,y) = y^2 \end{array} \right\rbrace</math>, «<math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!x} = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}\;</math>» de valeur commune <math>\;0</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire }}pour domaine de définition <math>\;\mathcal{R}^2\;</math> [[w:Ensemble_convexe|convexe]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tous ses points<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M)\;</math> forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>les potentiels scalaires <math>\;U(M)\;</math> dont dérive <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> se déterminent par «<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = -dU(M)\;</math>»<ref name="potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ou «<math>\;x^2\;dx + y^2\;dy = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y}(M)\;dx - \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x}(M)\;dy\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les potentiels scalaires }}<math>\;\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y}(M) = -x^2\;</math> s'intégrant en <math>\;U(x,\,y) = -\dfrac{x^3}{3} + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" />, avec <math>\;\varphi(y)\;</math> à déterminer <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x}(M) = 0 + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;-y^2\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les potentiels scalaires }}<math>\;\varphi'(y) = -y^2\;</math> s'intégrannt en <math>\;\varphi(y) = -\dfrac{y^3}{3} + cste\;</math> soit finalement «<math>\;U(x,\,y) = -\dfrac{x^3 + y^3}{3} + cste\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>la « circulation du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> du point <math>\;A\,(x_A,\,y_A)\;</math> au point <math>\;B\,( x_B,\,y_B)\;</math> vaut <math>\;\mathcal{C}_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B} \delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \displaystyle\int_A^B -dU(M) = U(A) - U(B)</math> soit <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la « circulation du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{F}(M)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{A\,(x_A,\,y_A)}\;</math> au point <math>\;\color{transparent}{B\,( x_B,\,y_B)}\;</math> vaut }}<math>\mathcal{C}_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \dfrac{x_B^3 + y_B^3}{3} - \dfrac{x_A^3 + y_A^3}{3}\;</math>».}} === Étude d'un exemple de l'espace tridimensionnel === {{Al|5}}Considérant le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y\,,\, z )\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{F}(M) = y^2\,\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\vec{u}_x + \left\lbrace 2\,a\,y\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + a^2\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\right\rbrace\,\vec{u}_y + 2\,a\,y\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\;\vec{u}_z\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y\,,\, z )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>établir que <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> est un champ vectoriel à circulation conservative<ref name="champ vectoriel à circulation conservative" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y\,,\, z )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>déterminer le potentiel scalaire <math>\;U(M)\;</math> dont dérive <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> en imposant sa référence à l'origine<ref name="référence du potentiel scalaire"> La référence du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel est l'endroit où ce potentiel est choisi nul.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en <math>\;\color{transparent}{M\;( x\,,\,y\,,\, z )}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>en déduire la « circulation du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> du point <math>\;A\,\left(0,\,a,\,0\right)\;</math> au point <math>\;B\,\left( a\,\frac{\pi}{2},\,3\,a,\, 0\right)\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}Soit le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y\,,\,z )\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{F}(M) = y^2\,\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\vec{u}_x + \left\lbrace 2\,a\,y\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + a^2\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\right\rbrace\,\vec{u}_y + 2\,a\,y\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\;\vec{u}_z\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire <math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \overrightarrow{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> <math>\Big\{\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z\;</math> vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\,(x,\,y,\,z)\Big\}\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire <math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \overrightarrow{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}est une forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> sur tout ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="ouvert étoilé" /> de <math>\;\mathbb{R}^2</math>, or <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire }}«<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = y^2\,\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\,y\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + a^2\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\right\rbrace\,dy + 2\,a\,y\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\;dz\;</math>» vérifie, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l} A(x,\,y,\,\cancel{z}) = y^2\,\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \\ B(x,\,y,\,z) = 2\,a\,y\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + a^2\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)} \\ C(\cancel{x},\,y,\,z) = 2\,a\,y\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)} \end{array} \right\rbrace</math>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!x,\,\cancel{z}} \!\!&=&\!\! 2\,y\,\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y,\,z} \\ \left( \dfrac{\partial A}{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \!\!&=&\!\! 0 \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial C}{\partial x} \right)_{\!y,\,z} \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \!\!&=&\!\! 2\,a\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial C}{\partial y} \right)_{\!\cancel{x},\,z} \end{array} \right\rbrace\;</math>», avec pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire }}domaine de définition <math>\;\mathcal{R}^3\;</math> [[w:Ensemble_convexe|convexe]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tous ses points<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M)\;</math> forme différentielle exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>le potentiel scalaire à référence à l'origine<ref name="référence du potentiel scalaire" /> <math>\;U(M)\;</math> dont dérive <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> se déterminent par «<math>\;\delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = -dU(M)\;</math><ref name="potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> avec <math>\;U(O) = 0\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le potentiel scalaire }}«<math>\;y^2\,\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,dx + \left\lbrace 2\,a\,y\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + a^2\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\right\rbrace\,dy + 2\,a\,y\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\;dz = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(M)\;dx - \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(M)\;dy - \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(M)\;dz\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le potentiel scalaire }}<math>\;\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(M) = -y^2\,\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;</math> s'intégrant en <math>\;U(x,\,y,\,z) = -a\,y^2\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + \varphi(y,\,z)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y et z figé"> Toute fonction dérivable partiellement du couple <math>\;(y,\,z)\;</math> étant une constante lors de l'intégration partielle relativement à <math>\;x</math>.</ref>, avec <math>\;\varphi(y,\,z)\;</math> à déterminer <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le potentiel scalaire }}<math>\;\left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(M) = -2\,a\,y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y,\,z)\;</math> à identifier avec <math>\;-\left\lbrace 2\,a\,y\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + a^2\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y,\,z) = -a^2\,\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\;</math> s'intégrant en <br>{{Al|70}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le potentiel scalaire }}<math>\;\varphi(y,\,z) = -a^2\,y\;\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)} + \psi(z)\;</math><ref name="intégration par rapport à y à z figé"> Toute fonction dérivable de <math>\;z\;</math> étant une constante lors de l'intégration partielle relativement à <math>\;y</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U(x,\,y,\,z) = -a\,y^2\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) - a^2\,y\;\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)} + \psi(z)\;</math> avec <math>\;\psi(z)\;</math> à déterminer <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le potentiel scalaire }}<math>\;\left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(M) = -2\,a\,y\;\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)} + \psi'(z)\;</math> à identifier avec <math>\;-2\,a\,y\;\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\psi'(z) = 0\;</math> s'intégrant en <math>\;\psi(z) = cste\;</math> choisie nulle par référence de <math>\;U\;</math><ref name="référence du potentiel scalaire" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le potentiel scalaire }}«<math>\;U(x,\,y,\,z) = -a\,y^2\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) - a^2\,y\;\operatorname{e}^{\left(2 \frac{z}{a}\right)}\;</math>» vérifiant effectivement <math>\;U(0,\,0,\,0) = 0</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel }}<math>\bullet\;</math>la « circulation du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> du point <math>\;A\,\left(0,\,a,\,0\right)\;</math> au point <math>\;B\,\left( a\,\frac{\pi}{2},\,3\,a,\, 0\right)\;</math> vaut <math>\;\mathcal{C}_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B} \delta \mathcal{C}\left[ \vec{F} \right](M) = \displaystyle\int_A^B -dU(M) = U(A) - U(B)</math> soit <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit le champ vectoriel <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la « circulation du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{F}(M)}\;</math> du point <math>\;\color{transparent}{A\,\left(0,\,a,\,0\right)}\;</math> au point <math>\;\color{transparent}{B\,\left( a\,\frac{\pi}{2},\,3\,a,\, 0\right)}\;</math> vaut }}<math>\mathcal{C}_{A \overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow} B}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = -a^3 + 12\;a^3 = 11\;a^3\;</math>».}} == Détermination de primitives de formes différentielles dans le cas où elles sont exactes == {{Al|5}}Déterminer l'exactitude ou non des formes différentielles <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M)\;</math><ref name="forme différentielle exacte" /> ci-dessous et, dans le cas où elles sont exactes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}les primitives <math>\;f\;</math> <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> de ces formes différentielles exactes<ref name="forme différentielle exacte" /> : #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\sin\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dx + \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dy\;</math>» <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math> ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \left( 2\,a\,x\,y + y^3 \right)\,dx + \left( a\,x^2 + 3\,x\,y^2 \right)\,dy\;</math>» <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math> ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -y\;dx + x\;dy\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \left\lbrace y + a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\,dx + \left\lbrace \dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{a} \right\rbrace\,dy\;</math>» <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math> ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = y^2\;dx + 2\;x\;y\;dy\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,\dfrac{x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(T,\,V) = C_V\;dT + \dfrac{n\;R\;T}{V}\;dV\;</math>» <math>\big(C_V</math>, <math>\;n\;</math> et <math>\;R\;</math> étant des constantes <math>\;> 0\big)</math> ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(T,\,V) = \dfrac{C_V}{T}\;dT + \dfrac{n\;R}{V}\;dV\;</math>» <math>\big(C_V</math>, <math>\;n\;</math> et <math>\;R\;</math> étant des constantes <math>\;> 0\big)</math>. {{Solution|contenu= #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\sin\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dx + \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = -\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\sin\! \left( \dfrac{y}{a} \right) \\ B(x,\,y) = \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = -\dfrac{1}{a}\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right) \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = -\dfrac{1}{a}\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» s'y vérifiant <math>\Rightarrow</math> la fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> ; <br>{{Al|5}}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)</math> ; <br>{{Al|5}}<u>détermination des primitives de la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;df = -\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\sin\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dx + \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dy = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = -\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\sin\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\sin\! \left( \dfrac{y}{a} \right) + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right) + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\cos\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;f(x,\,y) = a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,\sin\! \left( \dfrac{y}{a} \right) + cste\;</math>» ; #à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \left( 2\,a\,x\,y + y^3 \right)\,dx + \left( a\,x^2 + 3\,x\,y^2 \right)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = 2\,a\,x\,y + y^3 \\ B(x,\,y) = a\,x^2 + 3\,x\,y^2 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = 2\,a\,x + 3\,y^2 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 2\,a\,x + 3\,y^2 \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» s'y vérifiant <math>\Rightarrow</math> la fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> ; <br>{{Al|5}}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)</math> ; <br>{{Al|5}}<u>détermination des primitives de la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;df = \left( 2\,a\,x\,y + y^3 \right)\,dx + \left( a\,x^2 + 3\,x\,y^2 \right)\,dy = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 2\,a\,x\,y + y^3\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = a\;x^2\;y + x\;y^3 + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = a\,x^2 + 3\,x\,y^2 + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;a\,x^2 + 3\,x\,y^2\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;f(x,\,y) = a\;x^2\;y + x\;y^3 + cste\;</math>» ; #à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -y\;dx + x\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(\cancel{x},\,y) = -y \\ B(x,\,\cancel{y}) = x \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! \cancel{x}}(\cancel{x},\,y) = -1 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!\cancel{y}}(x,\,\cancel{y}) = +1 \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; #à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = \left\lbrace y + a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\,dx + \left\lbrace \dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{a} \right\rbrace\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A(x,\,y) = y + a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \\ B(x,\,y) = \dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{a} \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = 1 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 2\;\dfrac{x}{a} \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; #à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = y^2\;dx + 2\;x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(\cancel{x},\,y) = y^2 \\ B(x,\,y) = 2\,x\,y \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! \cancel{x}}(\cancel{x},\,y) = 2\,y \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 2\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» s'y vérifiant <math>\Rightarrow</math> la fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> ; <br>{{Al|5}}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)</math> ; <br>{{Al|5}}<u>détermination des primitives de la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;df = y^2\;dx + 2\;x\;y\;dy = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = y^2\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = x\;y^2 + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = 2\,x\;y + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;2\,x\,y\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;f(x,\,y) = x\;y^2 + cste\;</math>» ; #à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = 2\,\dfrac{x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = 2\,\dfrac{x}{y} \\ B(x,\,y) = - \dfrac{x^2}{y^2} \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = -2\,\dfrac{x}{y^2} \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = -2\,\dfrac{x}{y^2} \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» s'y vérifiant <math>\Rightarrow</math> la fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> ; <br>{{Al|5}}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}\;</math> et que tout ouvert de <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point <math>\;\big(</math>de même tout ouvert de <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{-}\;</math> y est [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tous ses points<math>\big)\;</math><ref> On peut donc affirmer que tout ouvert de <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}\;</math> est [[w:Ensemble_convexe|convexe]], de même tout ouvert de <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{-}\;</math> est [[w:Ensemble_convexe|convexe]], par contre <br>{{Al|3}}{{Transparent|On peut donc affirmer que }}tout ouvert <math>\;U\;</math> de <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}\;</math> n'est pas [[w:Ensemble_convexe|convexe]] car pour <math>\;P\,(x_P,\, y_P > 0)\,\in\,U\;</math> il existe <math>\;Q\,(x_Q = -x_P,\, y_Q = -y_P < 0)\,\in\,U\;</math> tel que le segment <math>\left[ PQ \right]\;</math> contenant <math>\;O\,(0,\, 0)\;</math> n'est pas <math>\;\subset U</math>.</ref>, le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'applique dans <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{-}\;</math> <math>\big(</math>ou dans <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{-}\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> dans <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{-}\;</math> <math>\big(</math>ou dans <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{-}\big)\;</math> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)\;</math> sur tout domaine interdisant <math>\;y = 0</math> ; <br>{{Al|5}}<u>détermination des primitives de la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;df = 2\,\dfrac{x}{y}\;dx - \dfrac{x^2}{y^2}\;dy = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 2\,\dfrac{x}{y}\;</math> soit <math>\;f(x,\,y) = \dfrac{x^2}{y} + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = -\dfrac{x^2}{y^2} + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;-\dfrac{x^2}{y^2}\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(y) = cste\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;f(x,\,y) = \dfrac{x^2}{y} + cste\;</math>» ; #à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(T,\,V) = C_V\;dT + \dfrac{n\;R\;T}{V}\;dV\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(T\,,\, V)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A(\cancel{T,\,V}) = C_V \\ B(T,\,V) = \dfrac{n\;R\;T}{V} \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \dfrac{\partial A}{\partial V} \right)_{\! \cancel{T}}(\cancel{T,\,V}) = 0 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial T} \right)_{\!V}(T,\,V) = \dfrac{n\;R}{V} \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial V} \right)_{\! T}(T,\,V) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial T} \right)_{\!V}(T,\,V)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; #à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(T,\,V) = \dfrac{C_V}{T}\;dT + \dfrac{n\;R}{V}\;dV\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(T\,,\, V)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(T,\,\cancel{V}) = \dfrac{C_V}{T}\\ B(\cancel{T},\,V) = \dfrac{n\;R}{V} \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial V} \right)_{\! T}(T,\,\cancel{V}) = 0 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial T} \right)_{\!V}(\cancel{T},\,V) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial V} \right)_{\! T}(T,\,V) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial T} \right)_{\!V}(T,\,V)\;</math>» s'y vérifiant <math>\Rightarrow</math> la fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> ; <br>{{Al|5}}comme elle est définie sur <math>\;\left(\mathbb{R}^{*}_{+}\right)^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\left(\mathbb{R}^{*}_{+}\right)^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;(T\,,\, V)</math> ; <br>{{Al|5}}<u>détermination des primitives de la différentielle exacte</u> : <math>\;f\;</math> vérifiant <math>\;df = \dfrac{C_V}{T}\;dT + \dfrac{n\;R}{V}\;dV = \left( \dfrac{\partial f}{\partial T} \right)_{\!V}(T,\,V)\;dT + \left( \dfrac{\partial f}{\partial V} \right)_{\!T}(T,\,V)\;dV\;</math> pour tout <math>\;(dT,\, dV)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial T} \right)_{\!V}(T,\,V) = \dfrac{C_V}{T}\;</math> soit <math>\;f(T,\,V) = C_V\;\ln(T) + \varphi(V)\;</math><ref name="intégration par rapport à T à V figé"> Toute fonction dérivable de <math>\;V\;</math> étant une constante lors de l'intégration partielle relativement à <math>\;T</math>.</ref> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial V} \right)_{\!T}(T,\,V) = 0 + \varphi'(V)\;</math> à identifier avec <math>\;\dfrac{n\;R}{V}\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = \dfrac{n\;R}{V}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(y) = n\,R\;\ln(V) + cste\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;f(T,\,V) = C_V\;\ln(T) + n\,R\;\ln(V) + cste\;</math>» ou, en physique, l'argument de la fonction <math>\;\ln( ? )\;</math> devant être sans dimension, <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;f(T,\,V) = C_V\;\ln\! \left( \dfrac{T}{T_0} \right) + n\,R\;\ln\! \left( \dfrac{V}{V_0} \right) + cste\;</math>» <math>\;\big\{</math>avec <math>\;(T_0,\,V_0)\;</math> constantes dont l'homogénéité est celle de <math>\;(T,\,V)\big\}</math>.}} == Établissement de quelques propriétés d'une fonction harmonique d'un espace bidimensionnel == {{Al|5}}Considérant une [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonction harmonique]] d'un espace bidimensionnel «<math>\;f\;:\; \mathbb{R}^2 \, \to\, \mathbb{R},\;(x,\,y)\;\mapsto\;f(x,\,y)\;\mid\, \Delta \{f\}(x,\,y) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une fonction harmonique d'un espace bidimensionnel }}«<math>\;\Delta \{f\}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right)_{\!y}(x,\,y) + \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)_{\!x}(x,\,y)\;</math>» le [[w:Opérateur_laplacien#Coordonnées_cartésiennes|champ scalaire laplacien bidimensionnel]] de <math>\;f\;</math> en repérage cartésien<ref name="champ scalaire laplacien en repérage cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_cartésien|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = -\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes où <math>\;f\;</math> est la [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonction harmonique]] introduite ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}on se propose d'établir, ci-après, quelques propriétés des [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonctions harmoniques]] bidimensionnelles : === Calcul de l'intégrale curviligne de la forme différentielle le long d'un cercle centré en O et de rayon ρ et conséquence === #Soit <math>\;( \Gamma_\rho )\;</math> le cercle de centre <math>\;O\;(0,\,0)</math>, de rayon <math>\;\rho</math>, orienté dans le sens trigonométrique, <br>évaluer l'intégrale curviligne le long du cercle <math>\;( \Gamma_\rho )\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = -\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes <br>{{Transparent|évaluer l'intégrale curviligne le long du cercle <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_r )}\;</math> de la forme différentielle « }}où <math>\;f\;</math> est la [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonction harmonique]] précédemment introduite. #Soit la fonction «<math>\;\varphi\;:\; \mathbb{R}_{+} \, \to\, \mathbb{R},\;\rho\;\mapsto\;\varphi(\rho) = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} f \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\, d \theta \;\bigg\vert\; \Delta \{f\}(x,\,y) = 0\;</math>», <br>montrer que, pour <math>\;\rho > 0</math>, la fonction <math>\;\rho\;\varphi'(\rho)\;</math> est égale à <math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma_\rho)} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math> avec <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math> la forme différentielle précédemment définie puis, <br>en déduire une expression simple de <math>\;\varphi\;</math> en fonction de <math>\;f</math>. {{Solution|contenu= #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = -\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = -\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) \\ B(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = -\left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)_{\!x}(x,\,y) \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right)_{\!y}(x,\,y) \end{array} \right\rbrace\;</math> et la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» s'y vérifiant car <math>\;f\;</math> est une [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonction harmonique]] bidimensionnelle c.-à-d. telle que <math>\;\Delta \{f\}(x,\,y) = 0\;</math> ou <math>\;\left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right)_{\!y}(x,\,y) + \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)_{\!x}(x,\,y) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right)_{\!y}(x,\,y) = -\left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)_{\!x}(x,\,y)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> ; <br>{{Al|5}}comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;\Psi\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)\;</math> soit «<math>\;-\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dy = d \Psi(x,\,y)\;</math>» ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur le cercle centré en</u><math>\;O</math> : soit <math>\;( \Gamma_\rho )\;</math> le cercle de centre <math>\;O\;(0,\,0)</math>, de rayon <math>\;\rho</math>, orienté dans le sens trigonométrique, l'intégrale curviligne <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur le cercle centré en<math>\;\color{transparent}{O}</math> : }}«<math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma_r)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_\rho)} -\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dy = \displaystyle\oint_{(\Gamma_\rho)}\, d \Psi(x,\,y) = 0\;</math>». #La [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonction harmonique]] bidimensionnelle <math>\;f\;</math> étant au moins de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe D²]] <ref> Une fonction scalaire de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe D²]] étant deux fois dérivable.</ref>, il en est de même de la fonction «<math>\;\varphi\;:\; \mathbb{R}_{+} \, \to\, \mathbb{R},\;\rho\;\mapsto\;\varphi(\rho) = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} f \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\, d \theta\;</math>» sa dérivée s'évaluant selon <br>«<math>\;\varphi'(\rho) = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\,\left( \dfrac{\partial x}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\,\left( \dfrac{\partial y}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} \right\rbrace\, d \theta = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\,\cos(\theta) + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\,\sin(\theta) \right\rbrace\, d \theta\;</math>», <br>or «<math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma_\rho)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = 0\;</math> se réécrivant, en variable <math>\;\theta\;</math> selon <math>\displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace -\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\;\left[ -\rho\,\sin(\theta) \right] + \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\;\left[ \rho\,\cos(\theta) \right] \right\rbrace\, d \theta\;</math> <math>\big(</math>valable pour <math>\;\rho \neq 0\big)\;</math> soit encore <br>{{Transparent|or «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{(\Gamma_r)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = 0}\;</math> se réécrivant, en variable <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> selon }}<math>\rho\,\displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\,\cos(\theta) + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}\! \big\{ \rho\,\cos(\theta),\, \rho\,\sin(\theta) \big\}\,\sin(\theta) \right\rbrace\, d \theta = \rho\;\varphi'(\rho)\;</math>» d'où <math>\;\varphi'(\rho) = 0\;</math> et par suite <math>\;\varphi(\rho) = cste = \varphi(0)\;</math><ref> En effet <math>\;\varphi(\rho)\;</math> étant définie sur <math>\;\mathbb{R}_{+}\;</math> l'est pour <math>\;\rho = 0</math> ; ayant établi que <math>\;\varphi(\rho) = cste\;</math> sur <math>\;\left] 0,\, + \infty \right[</math>, on prolonge la propriété pour <math>\;\rho = 0\;</math> assurant la continuité de <math>\;\varphi(\rho)\;</math> sur <math>\;\mathbb{R}_{+}</math>.</ref> <math>= \displaystyle\int_0^{2\,\pi} f\! \big\{ 0,\, 0 \big\}\, d \theta = 2\,\pi\;f(0,\, 0)\;</math>».}} === Calcul de la moyenne de la fonction harmonique sur un disque centré en O et de rayon R === {{Al|5}}Soit <math>\;( \mathcal{D}_R )\;</math> le disque de centre <math>\;O\;(0,\,0)</math>, de rayon <math>\;R</math>, <br>{{Al|5}}calculer la moyenne de la [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonction harmonique]] bidimensionnelle <math>\;f\;</math> sur le disque <math>\;( \mathcal{D}_R )</math>, «<math>\;\dfrac{1}{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_R}} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,( \mathcal{D}_R )} f(M)\;dS_M\;</math>» où <math>\;dS_M\;</math> est l'aire de la surface élémentaire au point générique <math>\;M\,\in\,( \mathcal{D}_R )</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|calculer la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> sur le disque <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D}_R )}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_R} f(M)\;dS_M}\;</math>» où }}<math>\;\mathcal{A}_{\mathcal{D}_R}\;</math> l'aire du disque <math>\;( \mathcal{D}_R )</math>. {{Solution|contenu={{Al|5}}Soit <math>\;( \mathcal{D}_R )\;</math> le disque de centre <math>\;O\;(0,\,0)</math>, de rayon <math>\;R\;</math> et <math>\;M\;</math> le point générique de <math>\;( \mathcal{D}_R )\;</math> en repérage polaire <math>\;M\;(\rho,\;\theta)\;</math><ref name="repérage polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_assocée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et bas locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », le repérage polaire étant le cas particulier d'un espace bidimensionnel plan.</ref>, l'aire de la surface élémentaire en <math>\;M\;</math> s'écrivant «<math>\;dS_M = \rho\; d \rho\; d \theta\;</math>»<ref name="dS en repérage polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cylindro-polaire|expressions en paramétrage cylindro-polaire]] (du vecteur surface élémentaire du plan xOy) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D}_R )}\;</math> le disque de centre <math>\;\color{transparent}{O\;(0,\,0)}</math>, de rayon <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> le point générique de <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D}_R )}\;</math> en repérage polaire <math>\;\color{transparent}{M\;(\rho,\;\theta)}\;</math>, }}l'aire du disque <math>\;( \mathcal{D}_R )</math>, «<math>\;\mathcal{A}_{\mathcal{D}_R} = \pi\;R^2\;</math>»<ref name ="aire d'un disque"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (aire d'un disque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, nous en déduisons <br>{{Al|5}}la moyenne de la [[w:Fonction_harmonique#Définition|fonction harmonique]] bidimensionnelle <math>\;f\;</math> sur le disque <math>\;( \mathcal{D}_R )</math>, «<math>\;\dfrac{1}{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_R}} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,( \mathcal{D}_R )} f(M)\;dS_M = \dfrac{1}{\pi\;R^2} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,( \mathcal{D}_R )} f \big\{ \rho\;\cos(\theta),\, \rho\;\sin(\theta) \big\} \;\rho\; d \rho\; d \theta</math> qui s'intègre selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> sur le disque <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D}_R )}</math>, «}}<math>\;\dfrac{1}{\pi\;R^2} \displaystyle\int_0^{R} \left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} f \big\{ \rho\;\cos(\theta),\, \rho\;\sin(\theta) \big\}\; d \theta \right\rbrace \;\rho\; d \rho = \dfrac{1}{\pi\;R^2} \displaystyle\int_0^{R} \varphi(\rho) \;\rho\; d \rho\;</math><ref> Voir l'énoncé de la question « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Exercices/Applications_des_formes_différentielles_et_des_différentielles_de_fonction#Calcul_de_l'intégrale_curviligne_de_la_forme_différentielle_le_long_d'un_cercle_centré_en_O_et_de_rayon_ρ_et_conséquence|calcul de l'intégrale curviligne de la forme différentielle le long d'un cercle centré en O et de rayon ρ et conséquence]] (2) » plus haut dans cette feuille d'exercices.</ref> <math>= \dfrac{1}{\pi\;R^2} \displaystyle\int_0^{R} \left[ 2\,\pi\,f(0,\, 0) \right] \,\rho\; d \rho\;</math><ref> Voir la solution de la question « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Exercices/Applications_des_formes_différentielles_et_des_différentielles_de_fonction#Calcul_de_l'intégrale_curviligne_de_la_forme_différentielle_le_long_d'un_cercle_centré_en_O_et_de_rayon_ρ_et_conséquence|calcul de l'intégrale curviligne de la forme différentielle le long d'un cercle centré en O et de rayon ρ et conséquence]] (2) » plus haut dans cette feuille d'exercices.</ref> <math>=</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> sur le disque <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D}_R )}</math>, «}}<math>\;\dfrac{f(0,\, 0)}{\pi\;R^2} \displaystyle\int_0^{R} 2\,\pi\, \,\rho\; d \rho = \dfrac{f(0,\, 0)}{\pi\;R^2}\;\pi\,R^2 = f(0,\,0)\;</math>».}} == Modification de formes différentielles pour les rendre exactes, détermination de primitives des différentielles obtenues et calculs de leurs intégrales curvilignes le long d'arcs de courbes planes == #Considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + a\;\sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\big(</math>avec <math>\;a\,</math> grandeur <math>\,> 0\,</math> de même dimension que <math>\,x\,</math> et <math>\,y\big)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = y\;\sin\! \left( x \right)\;dx + a\;\sin^2\! \left( y \right)\,dy}\;</math>» }}vérifier qu'elle n'est pas fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> et par suite non exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> ; <br>posant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}A(x,\,y) = y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\\ B(x,\,y) = a\;\sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) \end{array} \right\rbrace</math>, nous nous proposons de rendre exacte la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(x,\,y)\;dx + B(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|posant <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c}A(x,\,y) = y\;\sin\! \left( x \right) \end{array} \right\rbrace}</math>, nous nous proposons de rendre exacte }}en changeant <math>\;B(x,\,y)\;</math> en <math>\;C(x,\,y) = B(x,\,y) + \phi(x)\;</math> avec <math>\;\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\;</math> fonction de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe C¹]] à déterminer ; ## déterminer <math>\;\phi(x)\;</math> pour que la forme différentielle «<math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff}}(M) = A(x,\,y)\;dx + C(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes soit exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> et nulle en <math>\;(0,\, 0)\;</math> puis ## déterminer les primitives de la différentielle «<math>\;A(x,\,y)\;dx + C(x,\,y)\,dy\;</math>» obtenue et ## calculer son intégrale curviligne <math>\;\displaystyle\int_{(\Gamma)} {\delta'}_{\!\text{forme diff}}(M)\;</math> le long de l'arc de courbe <math>\;( \Gamma )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;( \theta^{\,2} + \theta^{\,5}) \\ y = a\;\operatorname{e}^{-\theta}\;\sin(\theta) \\ \theta\,\in\, \left[ 0\,,\, \pi \right] \end{array}\right\rbrace</math>. #Considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff},\,2}(M) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + 0\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\big(</math>avec <math>\;a\,</math> grandeur <math>\,> 0\,</math> de même dimension que <math>\,x\,</math> et <math>\,y\big)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|considérant la forme différentielle «<math>\;\,\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff},\,2}(M) = 2\;a^2\;x\;y\;dx + 0\;dy}\;</math>» }}vérifier qu'elle n'est pas fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> et par suite non exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> ; <br>posant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}A(x,\,y) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\\ B(x,\,y) = 0 \end{array} \right\rbrace</math>, nous nous proposons de rendre exacte la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff},\,2}(M) = A(x,\,y)\;dx + B(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|posant <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c}A(x,\,y) = 2\;a^2\;x\;y \end{array} \right\rbrace}</math>, nous nous proposons de rendre exacte }}en changeant <math>\;B(x,\,y)\;</math> en <math>\;C(x,\,y) = B(x,\,y) + \Phi(x)\;</math> avec <math>\;\Phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\;</math> fonction de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe C¹]] à déterminer ; ## déterminer <math>\;\Phi(x)\;</math> pour que la forme différentielle «<math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff},\,2}(M) = A(x,\,y)\;dx + C(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes soit exacte<ref name="forme différentielle exacte" /> et nulle en <math>\;(0,\, 0)\;</math> puis ## déterminer les primitives de la différentielle «<math>\;A(x,\,y)\;dx + C(x,\,y)\,dy\;</math>» obtenue et ## calculer son intégrale curviligne <math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma_2)} {\delta'}_{\!\text{forme diff},\,2}(M)\;</math> le long de l'ellipse <math>\;( \Gamma_2 ) \;</math> orientée dans le sens trigonométrique et d'équation cartésienne implicite <math>\;\dfrac{x^2}{7\;a^2} + \dfrac{y^2}{3\;a^2} = 1\;</math><ref name="équation cartésienne d'une ellipse"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] (équation cartésienne) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. {{Solution|contenu= #À partir de la forme différentielle «<math>\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + a\;\sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \\ B(\cancel{x},\,y) = a\;\sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; ##nous nous proposant de rendre exacte la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = A(x,\,y)\;dx + B(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> en changeant <math>\;B(x,\,y)\;</math> en <math>\;C(x,\,y) = B(x,\,y) + \phi(x)\;</math> avec <math>\;\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\;</math> fonction de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe C¹]], nous exprimons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) \!\!&=&\!\! \!\!& &\!\! \sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \\ \left( \dfrac{\partial C}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) + \phi'(x) \!\!&=&\!\! \phi'(x) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> la forme différentielle «<math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff}}(M) = A(x,\,y)\;dx + C(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes est fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> pour <math>\;\phi'(x) = \sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\phi(x) = -a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + cste\;</math> d'où <math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff}}(M) = y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + \left\lbrace a\;\sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) - a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + cste \right\rbrace\,dy\;</math> ou, la nouvelle forme différentielle devant s'annuler en <math>\;(0,\, 0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = a</math>, «<math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff}}(M) = y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + a\,\left\lbrace 1 + \sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) - \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\,dy\;</math>» ; comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;\psi\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)\;</math> soit «<math>\;y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + a\,\left\lbrace 1 + \sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) - \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\,dy = d \psi(x,\,y)\;</math>» ; ##<u>détermination des primitives de la différentielle exacte</u> : <math>\;\psi\;</math> vérifiant <math>\;d \psi(x,\,y) = y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + a\,\left\lbrace 1 + \sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) - \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\,dy = \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> <math>\forall\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;</math> soit <math>\;\psi(x,\,y) = -a\;y\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + \varphi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = -a\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) + \varphi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;a\,\left\lbrace 1 + \sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) - \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\;</math> d'où <math>\;\varphi'(y) = a\,\left\lbrace 1 + \sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) \right\rbrace\;</math> ou, <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}en linéarisant, <math>\;\varphi'(y) = \dfrac{a}{2}\,\left\lbrace 3 - \cos\! \left( \dfrac{2\;y}{a} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="formules de trigonométrie de duplication" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi(y) = \dfrac{a}{4}\,\left\lbrace 6\;y - a\;\sin\! \left( \dfrac{2\;y}{a} \right) \right\rbrace + cste\;</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;\psi(x,\,y) = \dfrac{a}{4}\,\left\lbrace 6\;y - a\;\sin\! \left( \dfrac{2\;y}{a} \right) - 4\;y\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace + cste\;</math>» ; ## <u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de courbe</u> : soit <math>\;( \Gamma )\;</math> l'arc de courbe d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;( \theta^{\,2} + \theta^{\,5}) \\ y = a\;\operatorname{e}^{-\theta}\;\sin(\theta) \\ \theta\,\in\, \left[ 0\,,\, \pi \right] \end{array}\right\rbrace</math>, l'intégrale curviligne <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de courbe : }}«<math>\;\displaystyle\int_{(\Gamma)} {\delta'}_{\!\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{(\Gamma)} y\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + a\,\left\lbrace 1 + \sin^2\! \left( \dfrac{y}{a} \right) - \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\,dy = \displaystyle\int_{(\Gamma)} d \psi = \left[ \psi\! \big\{ x(\theta),\, y(\theta) \big\} \right]_0^\pi\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de courbe : «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_{(\Gamma)} {\delta'}_{\!\text{forme diff}}(M)}</math> }}<math>= \psi\! \big\{ x(\pi),\, y(\pi) \big\} - \psi\! \big\{ x(0),\, y(0) \big\} = 0 - 0 = 0\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff},\,2}(M) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + 0\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, posons <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} A(x,\,y) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2} \\ B(\cancel{x},\,\cancel{y}) = 0 \end{array} \!\right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left\lbrace\! \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \dfrac{2\;a^2\;x}{(a^2 + x^2)^2} \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,\cancel{y}) = 0 \end{array} \!\right\rbrace\,</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; ##nous nous proposant de rendre exacte la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff},\,2}(M) = A(x,\,y)\;dx + B(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> en changeant <math>\;B(x,\,y)\;</math> en <math>\;C(x,\,y) = B(x,\,y) + \Phi(x)\;</math> avec <math>\;\Phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\;</math> fonction de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe C¹]], nous exprimons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) \!\!&=&\!\! \!\!& &\!\! \dfrac{2\;a^2\;x}{(a^2 + x^2)^2} \\ \left( \dfrac{\partial C}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,\cancel{y}) + \Phi'(x) \!\!&=&\!\! \Phi'(x) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> la forme différentielle «<math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff},\,2}(M) = A(x,\,y)\;dx + C(x,\,y)\,dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes est fermée<ref name="forme différentielle fermée" /> pour <math>\;\Phi'(x) = \dfrac{2\;a^2\;x}{(a^2 + x^2)^2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Phi(x) = \displaystyle\int^x \dfrac{2\;a^2\;x'}{(a^2 + {x'}^2)^2}\;dx' = \displaystyle\int^{(a^2 + x^2)} \dfrac{a^2}{(a^2 + {x'}^2)^2}\;d\! \left(a^2 + {x'}^2\right) = -\dfrac{a^2}{a^2 + x^2} + cste\;</math> d'où <math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff},\,2}(M) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + \left\lbrace -\dfrac{a^2}{a^2 + x^2} + cste \right\rbrace\,dy\;</math> ou, cette dernière devant s'annuler en <math>\;(0,\, 0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = 1</math>, «<math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff},\,}(M) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + \left\lbrace -\dfrac{a^2}{a^2 + x^2} + 1 \right\rbrace\,dy =</math> <math>\dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + \dfrac{x^2}{a^2 + x^2}\;dy\;</math>» ; comme elle est définie sur <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> sans restriction <math>\;\big(</math>tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> étant [[w:Partie_étoilée|étoilé]] pour tout point est dit [[w:Ensemble_convexe|convexe]]<math>\big)\;</math> le [[w:Lemme_de_Poincaré|lemme du Poincaré]]<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="lemme de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées" /> s'y applique <math>\Rightarrow</math> l'exactitude de la forme différentielle<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire <math>\;\Psi\;</math> des deux variables indépendantes <math>\;( x\,,\, y)\;</math> soit finalement {{Nobr|«<math>\;{\delta'}_{\!\text{forme diff},\,2}(M)</math>}} <math>= \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + \dfrac{x^2}{a^2 + x^2}\;dy = d \Psi(x,\,y)\;</math>» ; ##<u>détermination des primitives de la différentielle exacte</u> : <math>\;\Psi\;</math> vérifiant <math>\;d \Psi(x,\,y) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + \dfrac{x^2}{a^2 + x^2}\;dy = \left( \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;</math> pour tout <math>\;(dx,\, dy)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}<math>\;\left( \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;</math> soit <math>\;\Psi(x,\,y) = \displaystyle\int^x \dfrac{2\;a^2\;x'\;y}{(a^2 + {x'}^2)^2}\;dx' = \displaystyle\int^{(a^2 + x^2)} \dfrac{a^2\;y}{(a^2 + {x'}^2)^2}\;d\! \left(a^2 + {x'}^2\right) = -\dfrac{a^2\;y}{a^2 + x^2} + \varpi(y)\;</math><ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> <br>{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte }}d'où <math>\;\left( \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = -\dfrac{a^2}{a^2 + x^2} + \varpi'(y)\;</math> à identifier avec <math>\;\dfrac{x^2}{a^2 + x^2}\;</math> d'où <math>\;\varpi'(y) = \dfrac{x^2}{a^2 + x^2} + \dfrac{a^2}{a^2 + x^2} = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varpi(y) = y + cste\;</math> soit <br>{{Al|7}}{{Transparent|détermination des primitives de la différentielle exacte : }}«<math>\;\Psi(x,\,y) = -\dfrac{a^2\;y}{a^2 + x^2} + y + cste = \dfrac{x^2\;y}{a^2 + x^2} + cste\;</math>» ; ## <u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une ellipse</u> : soit <math>\;( \Gamma_2 )\;</math> l'ellipse d'équation cartésienne implicite <math>\;\dfrac{x^2}{7\;a^2} + \dfrac{y^2}{3\;a^2} = 1\;</math><ref name="équation cartésienne d'une ellipse" /> décrite dans le sens trigonométrique de <math>\;A\;</math> à <math>\;A\;</math><ref> Point quelconque de l'ellipse.</ref> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une ellipse : }}l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint\limits_{A\, \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow}\, A} {\delta'}_{\!\text{forme diff},\,2}(M) = \displaystyle\oint\limits_{A\, \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow}\, A} \dfrac{2\;a^2\;x\;y}{(a^2 + x^2)^2}\;dx + \dfrac{x^2}{a^2 + x^2}\;dy = \displaystyle\oint\limits_{A\, \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow}\, A} d \Psi = \left[ \Psi(M) \right]_A^A = 0\;</math>».}} == Calculs d'intégrales curvilignes de formes différentielles le long de courbes planes directement et par théorème de Green-Riemann == #Considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = x\;y\;dx + y^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes et <br>{{Transparent|Considérant }}la courbe plane <math>\;( \Gamma_1 )</math>, triangle isocèle rectangle orienté dans le sens trigonométrique, de sommets <math>\;A\,(0,\;0)</math>, <math>\;B\,(a\;0)\;</math> et <math>\;C\,(0\;a)\;</math> avec <math>\;a\;</math> grandeur de même homogénéité que <math>\;x\;</math> et <math>\;y</math>, <br>{{Transparent|Considérant }}préciser si la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math> est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive, <br>{{Transparent|Considérant }}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( \Gamma_1 )} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math>» <math>\bullet\;</math>directement puis <br>{{Transparent|Considérant calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( \Gamma_1 )} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]] <ref name="formule de Green-Riemann"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Formule_de_Green_-_Riemann_(cas_particulier_du_théorème_de_Kelvin_-_Stokes)|formule de Green - Riemann (cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans lequel la circulation élémentaire du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> «<math>\;\delta \mathcal{C}\! \left[ \vec{A} \right](M) = \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = A_x(M) dx + A_y(M) dy\;</math>» est à remplacer par la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) =</math> <math>A(M)\;dx + B(M)\;dy\;</math>» d'où la réécriture de la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]] selon «<math>\;\displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} A(M)\;dx + B(M)\;dy =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \left[ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy\;</math>». <br>{{Al|3}}'''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''', connu aussi sous le nom de '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|Lord Kelvin]]''', physicien britannique d'origine irlandaise à qui on doit des avancées significatives en thermodynamique avec, entre autres, l'introduction du zéro absolu correspondant à l'état idéal d'absence d'agitation thermique ; il redécouvrit dans les années <math>\;1840\;</math> le [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Stokes]] attribué à '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' mathématicien et physicien britannique <math>\;\big[</math>voir ci-dessous<math>\big]\;</math> mais démontré en 1^er en <math>\;1820\;</math> par '''[[w:Mikhail_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit aussi, entre autres, le [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de flux - divergence]] portant partiellement son nom ; <br>{{Al|3}}ce que '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]]''' a apporté en redécouvrant le [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Stokes]] est la formulation particulièrement adaptée à la physique que les anglo-saxons nomme [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]] concernant la circulation du rotationnel d'un champ vectoriel sur une courbe fermée et sa transformation en flux du champ à travers n'importe quelle surface ouverte s'appuyant sur le contour fermé <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème portant son nom]] mais en fait une 1sup>ère</sup> démonstration de ce théorème fût donnée en <math>\;1820\;</math> par '''[[w:Mikhaïl_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit aussi, entre autres, le [[w:Théorème_de_la_divergence|théorème de flux - divergence]] portant partiellement son nom <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="ou formule"> Ou [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|théorème de Green - Riemann]].</ref>{{,}}<ref name="Green"> '''[[w:George_Green_(physicien)|George Green]] (1793 - 1841)''' physicien britannique à qui on doit, entre autres, un ''essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme'' paru en <math>\;1828\;</math> dans lequel on trouve le [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|théorème de Green - Riemann]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<math>\big)</math>, cas particulier du [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin - Stokes]], ainsi que l'idée des [[w:Fonction_de_Green|fonctions de Green]] <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="Riemann"> '''[[w:Bernhard_Riemann|Bernhard Riemann]] (1826 - 1866)''' mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration<math>\big)\;</math> et à la [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques utilisant les outils du [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] pour modéliser une [[w:Espace_de_Minkowski|courbure de l'espace-temps]]<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> ; #considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = x\;y\;dx + a\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)\;</math> et <br>{{Transparent|considérant }}la courbe plane <math>\;( \Gamma_2 )</math>, triangle isocèle rectangle orienté dans le sens trigonométrique, de sommets <math>\;A\,(-a,\;0)</math>, <math>\;B\,(a\;0)\;</math> et <math>\;C\,(0\;a)\;</math> puis <br>{{Transparent|considérant }}le contour <math>\;( {\Gamma'}_{\!2} )\;</math> du domaine <math>\;\mathcal{D} := \left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in\,\mathbb{R}_{+}^2\;\Big\vert x\, \in\, \left[ 0\,,\, \pi\,a \right],\; y \leqslant a\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace</math> <br>{{Transparent|considérant }}préciser si la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math> est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive, <br>{{Transparent|considérant }}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( \Gamma_2} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math>» le long de <math>\;( \Gamma_2)\;</math> <math>\bullet\;</math>directement et vérifier le résultat <br>{{Transparent|considérant calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( \Gamma_2 )} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;</math>» le long de <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_2)}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> <br>{{Transparent|considérant }}puis calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( {\Gamma'}_{\!2}} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math>» le long de <math>\;( {\Gamma'}_{\!2})\;</math> <math>\bullet\;</math>directement et vérifier le résultat <br>{{Transparent|considérant puis calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( {\Gamma'}_{\!2} )} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;</math>» le long de <math>\;\color{transparent}{( {\Gamma'}_{\!2})}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> ; #considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = -x^2\;y\;dx + a\;x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)\;</math> et <br>{{Transparent|considérant }}la cercle <math>\;( \Gamma_3 )\;</math> de centre <math>\;O\,(0,\,0)\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, orienté dans le sens trigonométrique, <br>{{Transparent|considérant }}préciser si la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math> est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive, <br>{{Transparent|considérant }}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( \Gamma_3} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math>» le long de <math>\;( \Gamma_3)\;</math> <math>\bullet\;</math>directement et vérifier le résultat <br>{{Transparent|considérant calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( \Gamma_3 )} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;</math>» le long de <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_3)}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> ; #considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = (x^2 - a\;y)\;dx + (y^2 + a\;x)\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\,\big(</math>avec <math>\,a\,</math> grandeur <math>\,\neq 0\,</math> de même dimension que <math>\,x\,</math> et <math>\,y\big)\,</math> et <br>{{Transparent|considérant }}la même cercle <math>\;( \Gamma_3 )\;</math> de centre <math>\;O\,(0,\,0)\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, orienté dans le sens trigonométrique, <br>{{Transparent|considérant }}préciser si la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math> est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive, <br>{{Transparent|considérant }}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( \Gamma_3} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math>» le long de <math>\;( \Gamma_3)\;</math> <math>\bullet\;</math>directement et vérifier le résultat <br>{{Transparent|considérant calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( \Gamma_3 )} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;</math>» le long de <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_3)}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> ; #considérant la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = 2\,(x^2 + y^2)\;dx + (x + y)^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes et <br>{{Transparent|considérant }}la courbe plane <math>\;( \Gamma_4 )</math>, triangle orienté dans le sens trigonométrique, de sommets <math>\;A\,(a,\;a)</math>, <math>\;B\,(2\,a\;2\,a)\;</math> et <math>\;C\,(a\;3\,a)</math>, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)\;</math> <br>{{Transparent|considérant }}préciser si la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math> est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive, <br>{{Transparent|considérant }}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( \Gamma_4} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)\;</math>» le long de <math>\;( \Gamma_4)\;</math> <math>\bullet\;</math>directement et vérifier le résultat <br>{{Transparent|considérant calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( \Gamma_4 )} \delta_{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;</math>» le long de <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_4)}\;</math>}}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" />. #Considérant le contour <math>\;( \Gamma_5 )\;</math> du domaine <math>\;\mathcal{D}' := \left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+}\;\Big\vert x\, \in\, \left[ -a\,,\, a \right],\; y \leqslant \sqrt{a^2 - x^2} \right\rbrace</math> c.-à-d. le demi-disque centré en <math>\;O\,(0\,,\,0)</math>, de rayon <math>\;a</math>, au-dessus de l'axe <math>\;x'x\;</math> et <br>{{Transparent|Considérant }}la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff},\,1}(x,\,y) = (x + y)\;dx + (2\;x + y)\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, ainsi que <br>{{Transparent|Considérant la forme différentielle }}«<math>\;\delta_{\text{forme diff},\,2}(x,\,y) = x\;y^2\;dx + 2\;a\;x\;y \;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des mêmes variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)\;</math> <br>{{Transparent|Considérant }}préciser si les formes différentielles <math>\;\delta_{\text{forme diff},\,1}(x,\,y)\;</math> et <math>\;\delta_{\text{forme diff},\,2}(x,\,y)\;</math> sont exactes ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elles dérivent, <br>{{Transparent|Considérant }}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( \Gamma_5} \delta_{\text{forme diff},\,1}(x,\,y)\;</math>» <math>\bullet\;</math>directement et vérifier le résultat <br>{{Transparent|considérant calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( \Gamma_5 )} \delta_{\text{forme diff},\,1}(x,\,y)}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> puis <br>{{Transparent|Considérant }}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{( \Gamma_5} \delta_{\text{forme diff},\,2}(x,\,y)\;</math>» <math>\bullet\;</math>directement et vérifier le résultat <br>{{Transparent|considérant calculer l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{( \Gamma_5 )} \delta_{\text{forme diff},\,2}(x,\,y)}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" />. {{Solution|contenu= #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = x\;y\;dx + y^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = \;x\;y \\ B(\cancel{x},\,y) = y^2 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = x \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle rectangle isocèle</u> : soit <math>\;( \Gamma_1 )\;</math> le triangle <math>\;ABC\;</math> d'équations cartésiennes par morceaux <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} y = 0\!\! &\text{sur}\;\left[ AB \right] \\ y = a - x\!\!&\text{sur}\;\left[ BC \right]\\ x = 0\!\! &\text{sur}\;\left[ CA \right] \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma_1)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_1)} x\;y\;dx + y^2\;dy\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{l l} dy = 0,\;dx >0 &\text{sur}\;\left[ AB \right] \\ dy = -dx >0 &\text{sur}\;\left[ BC \right]\\ dx = 0,\;dy < 0 &\text{sur}\;\left[ CA \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> se calcule selon <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{(\Gamma_1)} \delta_{\text{forme diff}}(M)} =</math> }}<math>\cancel{\displaystyle\int_{A\, \overset{(\Gamma_1)}{\rightarrow}\, B} 0\;dx + 0\;dy} + \displaystyle\int_{B\, \overset{(\Gamma_1)}{\rightarrow}\, C} x\;(a - x)\;dx - (a - x)^2\;dx + \displaystyle\int_{C\, \overset{(\Gamma_1)}{\rightarrow}\, A} \cancel{0\;dx +}\; y^2\;dy\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{(\Gamma_1)} \delta_{\text{forme diff}}(M)}</math> }}<math>= \displaystyle\int_a^0 \!(-a^2 + 3\;a\;x - 2\;x^2)\;dx + \displaystyle\int_a^0 \!y^2\;dy = \left[ - a^2\;x + 3\,a\;\dfrac{x^2}{2} - 2\,\dfrac{x^3}{3} \right]_a^0 + \left[ \dfrac{y^3}{3} \right]_a^0 = \dfrac{a^3}{6} - \dfrac{a^3}{3} = -\dfrac{a^3}{6}\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma_1)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_1)} x\;y\;dx + y^2\;dy = \!\!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_1)}} \left[ \cancel{\left( \dfrac{\partial\, y^2}{\partial x} \right)_{\!\!y}} - \left( \dfrac{\partial\, xy}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy = \!\!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_1)}} -x\;dx\;dy\;</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\oint_{(\Gamma_1)} \delta_{\text{forme diff}}(M)}</math> }}<math>= \displaystyle\int_0^a -x\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{a - x} dy \right\rbrace dx = \displaystyle\int_0^a -x\;(a - x)\;dx = \left[ -a\;\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} \right]_0^a = -\dfrac{a^3}{6}\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = x\;y\;dx + a\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = x\;y \\ B(\cancel{x},\,y) = a\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = x \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; ##<u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle rectangle isocèle</u> : soit <math>\;( \Gamma_2 )\;</math> le triangle <math>\;ABC\;</math> d'équations cartésiennes par morceaux <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} y = 0\!\! &\text{sur}\;\left[ AB \right] \\ y = a - x\!\!&\text{sur}\;\left[ BC \right]\\ y = a + x\!\! &\text{sur}\;\left[ CA \right] \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;I_2 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_2)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_2)} x\;y\;dx + y^2\;dy\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{l l} dy = 0,\;dx >0 &\text{sur}\;\left[ AB \right] \\ dy = -dx >0 &\text{sur}\;\left[ BC \right]\\ dy = dx <0 &\text{sur}\;\left[ CA \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> se calcule selon <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_2} =</math> }}<math>\cancel{\displaystyle\int_{A\, \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow}\, B} 0\;dx + 0\;dy} + \displaystyle\int_{B\, \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow}\, C} x\;(a - x)\;dx - a\;(a - x)\;dx + \displaystyle\int_{C\, \overset{(\Gamma_2)}{\rightarrow}\, A} x\;(a + x)\;dx + a\;(a + x)\;dx\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_2}</math> }}<math>= \displaystyle\int_a^0 \!(-a^2 + 2\;a\;x - x^2)\;dx + \displaystyle\int_0^{-a} \!(a^2 + 2\;a\;x + x^2)\;dx = \left[ - a^2\;x + a\;x^2 - \dfrac{x^3}{3} \right]_a^0 + \left[ a^2\;x + a\;x^2 + \dfrac{x^3}{3} \right]_0^{-a}</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_2}</math> }}<math>= \dfrac{a^3}{3} - \dfrac{a^3}{3} = 0\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;I_2 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_2)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_2)} x\;y\;dx + a\;y\;dy = \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_2)}} \left[ \cancel{\left( \dfrac{\partial\; a\;y}{\partial x} \right)_{\!\!y}} - \left( \dfrac{\partial\; xy}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_2}</math> }}<math>= \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_2)}} -x\;dx\;dy = \displaystyle\int_{-a}^0 -x\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{a + x} dy \right\rbrace dx + \displaystyle\int_0^a -x\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{a - x} dy \right\rbrace dx</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_2}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{-a}^0 -x\;(a + x)\;dx + \displaystyle\int_0^a -x\;(a - x)\;dx = \left[ -a\;\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right]_{-a}^0 + \left[ -a\;\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} \right]_0^a</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_2}</math> }}<math>= \dfrac{a^3}{6} - \dfrac{a^3}{6} = 0\;</math>» ; ##<u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur</u><math>\;( {\Gamma'}_{\!2} )</math> : soit <math>\;( {\Gamma'}_{\!2} )\;</math> le contour du domaine <math>\;\mathcal{D} := \left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in\,\mathbb{R}_{+}^2\;\Big\vert x\, \in\, \left[ 0\,,\, \pi\,a \right],\; y \leqslant a\,\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right\rbrace\;</math> d'équations cartésiennes par morceaux <br>{{Al|130}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur<math>\;\color{transparent}{( {\Gamma'}_{\!2} )}</math> : }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l l}y = 0 &\text{pour }x \nearrow \text{sur } \left[ 0\,,\, \pi\;a \right] \\ y = a\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) &\text{pour }x \searrow \text{sur } \left[ 0\,,\, \pi\;a \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;{I'}_{\!2} = \displaystyle\oint_{({\Gamma'}_{\!2})} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{({\Gamma'}_{\!2})} x\;y\;dx + a\;y\;dy\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{l l} dy = 0 &\text{pour }x \nearrow \text{sur } \left[ 0\,,\, \pi\;a \right] \\ dy = \cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,dx &\text{pour }x \searrow \text{sur } \left[ 0\,,\, \pi\;a \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne }}«<math>\;{I'}_{\!2} = \displaystyle\oint_{({\Gamma'}_{\!2})} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \cancel{\displaystyle\int_0^{\pi\,a} 0\;dx + 0\;dy \;+}\;\displaystyle\int_{\pi\,a}^0 x\;a\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + a\;\Big\{ a\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \Big\}\;\cos\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\,dx\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{{I'}_{\!2}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{\pi\,a}^0 x\;a\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + \displaystyle\int_{\pi\,a}^0 \dfrac{a^2}{2}\;\sin\! \left( \dfrac{2\;x}{a} \right)\;dx = a^3 \displaystyle\int_{\pi}^0 u\;\sin(u)\;du\; \cancel{+ \dfrac{a^3}{4} \displaystyle\int_{2\,\pi}^0 \sin(v)\;dv}\;</math><ref> Par changement de variable <math>\;u = \dfrac{x}{a}\;</math> dans la 1^ère intégrale et <math>\;v = \dfrac{2\,x}{a}\;</math> dans la 2^nde, cette dernière s'intégrant en <math>\;\left[ -\cos(v) \right]_{2\,\pi}^0 = 0</math>.</ref> s'intégrant <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne « }}par parties<ref name="I.p.p."> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;{I'}_{\!2} = a^3 \left\lbrace \left[ u\;\big\{ -\cos(u) \big\} \right]_{\pi}^0 - \displaystyle\int_{\pi}^0 \big\{ -\cos(u) \big\}\;du \right\rbrace = a^3 \left\lbrace - \pi\; \cancel{+\; \left[ \sin(u) \right]_{\pi}^0} \right\rbrace = -\pi\;a^3\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;{I'}_{\!2} = \displaystyle\oint_{({\Gamma'}_{\!2})} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{({\Gamma'}_{\!2})} x\;y\;dx + a\;y\;dy = \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }({\Gamma'}_{\!2})}} \left[ \cancel{\left( \dfrac{\partial\; a\;y}{\partial x} \right)_{\!\!y}} - \left( \dfrac{\partial\; xy}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{{I'}_{\!2}}</math> }}<math>= \!\!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }({\Gamma'}_{\!2})}} \!\!\!\!\!-x\;dx\;dy = \displaystyle\int_0^{\pi\,a} \!\!\!\!\!-x\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{a\,\sin \left( \frac{x}{a} \right)} \!dy \right\rbrace dx = -a \displaystyle\int_0^{\pi\,a} \!\!\!\!\!x\;\sin\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\, dx = -a^3 \displaystyle\int_0^{\pi} \!\!u\;\sin(u)\, du\;</math><ref> Par changement de variable <math>\;u = \dfrac{x}{a}</math>.</ref> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann « }}s'intégrant par parties<ref name="I.p.p." /> soit <math>{I'}_{\!2} = -a^3 \left\lbrace \left[ u\;\big\{ -\cos(u) \big\} \right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi} \big\{ -\cos(u) \big\}\;du \right\rbrace</math> <br>{{Al|34}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann « s'intégrant par parties soit <math>\color{transparent}{{I'}_{\!2}}</math> }}<math>= -a^3 \left\lbrace \pi \cancel{+\; \left[ \sin(u) \right]_0^{\pi}} \right\rbrace = -\pi\;a^3\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = -x^2\;y\;dx + a\;x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = -x^2\;y \\ B(x,\,y) = x\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = -x^2 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = y \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle</u> : soit <math>\;( \Gamma_3 )\;</math> le cercle de centre <math>\;O\,(0,\,0)\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, orienté dans le sens trigonométrique, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle : soit <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_3 )}\;</math> le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O\,(0,\,0)}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math>, }}d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = R\;\cos(\theta)\\ y = R\;\sin(\theta) \\ \theta \nearrow \text{sur} \left[ 0\,,\, 2\,\pi \right] \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;I_3 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} -x^2\;y\;dx + a\;x\;y\;dy\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -R\;\sin(\theta)\;d \theta \\ dy = R\;\cos(\theta)\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> se calcule selon <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \displaystyle\int_0^{2\,\pi} R^4\;\cos^2(\theta)\;\sin^2(\theta)\;d \theta + a\;R^3\;\cos^2(\theta)\;\sin(\theta)\; d \theta = \dfrac{R^4}{4} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sin^2(2\,\theta)\;d \theta + \cancel{a\;R^3 \displaystyle\int_{\cos(0)}^{\cos(2\,\pi)} -u^2\;du}\;</math><ref name="formules de trigonométrie de duplication"> On rappelle <math>\;2\;\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\;\theta)\;</math> et <math>\;\sin^2(\theta) = \dfrac{1 - \cos(2\;\theta)}{2}\;</math> ainsi que <math>\;\sin(\theta)\;\cos(\theta) = \dfrac{\sin(2\,\theta)}{2}</math>.</ref>{{,}}<ref> Par changement de variable dans la 2^ème intégrale <math>\;u = \cos(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;du = -\sin(\theta)\; d \theta</math>.</ref> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \dfrac{R^4}{8} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \big\{ 1 - \cos(4\,\theta) \big\}\;d \theta\;</math><ref name="formules de trigonométrie de duplication" /> <math>= \dfrac{R^4}{8} \left[ \theta - \cancel{\dfrac{\sin(4\,\theta)}{4}} \right]_0^{2\,\pi} = \dfrac{\pi\;R^4}{4}\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;I_3 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} \!\!\!-x^2\;y\;dx + a\;x\;y\;dy = \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_3)}} \!\!\!\left[ \left( \dfrac{\partial\; a\;x\;y}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial\; -x^2\,y}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_3)}} \big\{ a\;y + x^2 \big\}\;dx\;dy\;</math> soit, en passant en repérage polaire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = \rho\;\cos(\theta) \\ y = \rho\;\sin(\theta) \\ dx\;dy = \rho\; d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="repérage polaire" />{{,}}<ref name="dS en repérage polaire" /> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= a\,\displaystyle\int_{0}^R \rho^2\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sin(\theta)\;d \theta \right\rbrace d \rho + \displaystyle\int_0^R \rho^3\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \cos^2(\theta)\;d \theta \right\rbrace d \rho</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \cancel{a\,\displaystyle\int_{0}^R \rho^2\,\left[ -\cos(\theta) \right]_0^{2\,\pi} d \rho}\; + \displaystyle\int_0^R \rho^3\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \dfrac{1 + \cos(2\,\theta)}{2}\;d \theta \right\rbrace d \rho\;</math><ref name="formules de trigonométrie de duplication" /> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \displaystyle\int_0^R \rho^3\, \left[ \dfrac{\theta}{2}\; \cancel{+ \dfrac{\sin(2\,\theta)}{4}} \right]_0^{2\,\pi} d \rho = \pi\, \left[ \dfrac{\rho^4}{4} \right]_0^R = \dfrac{\pi\;R^4}{4}\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = (x^2 - a\;y)\;dx + (y^2 + a\;x)\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, <math>\;\big(</math>avec <math>\;a\;</math> grandeur <math>\;\neq 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = x^2 - a\;y \\ B(x,\,y) = y^2 + a\;x \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = -a \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = +a \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle</u> : soit <math>\;( \Gamma_3 )\;</math> le cercle de centre <math>\;O\,(0,\,0)\;</math> et de rayon <math>\;R</math>, orienté dans le sens trigonométrique, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle : soit <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_3 )}\;</math> le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O\,(0,\,0)}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math>, }}d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = R\;\cos(\theta)\\ y = R\;\sin(\theta) \\ \theta \nearrow \text{sur} \left[ 0\,,\, 2\,\pi \right] \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;I_4 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} (x^2 - a\;y)\;dx + (y^2 + a\;x)\;dy\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -R\;\sin(\theta)\;d \theta \\ dy = R\;\cos(\theta)\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> se calcule selon <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_4}</math> }}<math>= \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \big\{ -R^3\;\cos^2(\theta)\;\sin(\theta) + a\;R^2\;\sin^2(\theta) \big\}\,d \theta + \big\{ R^3\;\sin^2(\theta)\;\cos(\theta) + a\;R^2\;\cos^2(\theta) \big\}\,d \theta</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_4}</math> }}<math>= \cancel{R^3 \left\lbrace \displaystyle\int_{\cos(0)}^{\cos(2\,\pi)} u^2\;du + \displaystyle\int_{\sin(0)}^{\sin(2\,\pi)} v^2\;dv \right\rbrace}\;</math><ref> Par changement de variable dans le 1^er terme de l'intégrale <math>\;u = \cos\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;du = -\sin(\theta)\; d \theta\;</math> et dans le 3^ème terme de l'intégrale <math>\;v = \sin\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dv = \cos(\theta)\; d \theta</math>.</ref> <math>+\; a\;R^2 \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \big\{ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) \big\}\; d \theta = a\;R^2\;\left[ \theta \right]_0^{2\,\pi} = 2\,\pi\;a\;R^2\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;I_4 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_3)} \!\!\!(x^2 - a\;y)\;dx + (y^2 + a\;x)\;dy = \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_3)}} \!\!\!\left[ \left( \dfrac{\partial\; (y^2 + a\;x)}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial\; (x^2 - a\;y)}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_4}</math> }}<math>= \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_3)}} 2\;a\;dx\;dy\;</math> soit, en passant en repérage polaire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = \rho\;\cos(\theta) \\ y = \rho\;\sin(\theta) \\ dx\;dy = \rho\; d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="repérage polaire" />{{,}}<ref name="dS en repérage polaire" /> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_4}</math> }}<math>= 2\;a\,\displaystyle\int_{0}^R \rho\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} d \theta \right\rbrace d \rho = 2\,\pi\;a\;R^2\;</math>». #À partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = 2\,(x^2 + y^2)\;dx + (x + y)^2\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, nous posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = 2\,(x^2 + y^2) \\ B(x,\,y) = (x + y)^2 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = 4\;y \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = 2\,(x + y) \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle</u> : soit <math>\;( \Gamma_4 )\;</math> le triangle <math>\;ABC\;</math> d'équations cartésiennes par morceaux <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} y = x\!\! &\text{sur}\;\left[ AB \right] \\ y = 4\;a - x\!\!&\text{sur}\;\left[ BC \right]\\ x = 0\!\! &\text{sur}\;\left[ CA \right] \end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet l'équation du morceau <math>\;\left[ BC \right]\;</math> se détermine par <math>\;\dfrac{y - y_C}{x - x_C} = \dfrac{y_B - y_C}{x_B - x_C}\;</math> soit <math>\;\dfrac{y - 3\,a}{x - a} = \dfrac{2\,a - 3\,a}{2\,a - a}\;</math> ou <math>\;y - 3\,a = -(x - a)</math>.</ref>, <math>\;\big(a\;</math> grandeur de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle : soit <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_4 )}\;</math> le triangle <math>\;\color{transparent}{ABC}\;</math> }}orienté dans le sens trigonométrique, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;I_5 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_4)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_4)} 2\,(x^2 + y^2)\;dx + (x + y)^2\;dy\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{l l} dy = dx \!\! &\text{sur}\;\left[ AB \right] \\ dy = -dx \!\!&\text{sur}\;\left[ BC \right]\\ dx = 0\!\! &\text{sur}\;\left[ CA \right]\end{array} \right\rbrace\;</math> se calcule selon <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_5}</math> }}<math>= \displaystyle\int_a^{2\,a} 8\;x^2\;dx + \displaystyle\int_{2\,a}^a \big\{ 2\,\left[ x^2 + (4\,a - x)^2 \right] - \left[ x + (4\,a - x) \right]^2 \big\}\;dx + \displaystyle\int_{3\,a}^a 3\;y^2\;dy = \left[ 8\;\dfrac{x^3}{3} \right]_a^{2\,a} + \left[ 4\;\dfrac{x^3}{3} - 8\;a\;x^2 + 16\;a^2\;x \right]_{2\,a}^a + \left[ y^3 \right]_{3\,a}^a\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_5}</math> }}<math>= \left[ 8\;\dfrac{8\;a^3}{3} - 8\;\dfrac{a^3}{3} \right] + \left[ \left( 4\;\dfrac{a^3}{3} - 8\;a^3 + 16\;a^3 \right) - \left( 32\;\dfrac{a^3}{3} - 32\;a^3 + 32\;a^3 \right) \right] + \left[ a^3 - 27\;a^3 \right] = -\dfrac{4\,a^3}{3}\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;I_5 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_4)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma_4)} \!\!\!2\,(x^2 + y^2)\;dx + (x + y)^2\;dy = \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_4)}} \!\!\!\left[ \left( \dfrac{\partial\; \left\{ (x + y)^2 \right\}}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial\; \left\{ 2\,(x^2 + y^2) \right\}}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_5}</math> }}<math>= \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_4)}} \big\{ 2\;(x + y) - 4\;\big\}\;dx\;dy = 2\,\displaystyle\int_{a}^{2\,a} \left\lbrace \displaystyle\int_x^{4\,a - x} (x - y)\; dy \right\rbrace dx = 2\,\displaystyle\int_{a}^{2\,a} \left[ x\;y - \dfrac{y^2}{2} \right]_x^{(4\,a - x)} \; dx\;</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_5}</math> }}<math>= 2\,\displaystyle\int_{a}^{2\,a} \left[ \left\lbrace 4\;a\;x - x^2 - \dfrac{(4\;a - x)^2}{2} \right\rbrace - \left\lbrace x^2 - \dfrac{x^2}{2} \right\rbrace \right] \; dx = 4\,\displaystyle\int_{a}^{2\,a} \left\lbrace - x^2 + 4\;a\;x - 4\;a^2 \right\rbrace \; dx</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_5}</math> }}<math>= 4\,\left[ -\dfrac{x^3}{3} + 2\;a\;x^2 - 4\;a^2\;x \right]_{a}^{2\,a} = -\dfrac{4\,a^3}{3}\;</math>». #Considérant le contour fermé du domaine <math>\;\mathcal{D}' := \left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+}\;\Big\vert x\, \in\, \left[ -a\,,\, a \right],\; y \leqslant \sqrt{a^2 - x^2} \right\rbrace</math>, <math>\;( \Gamma_6 )\;</math> d'équations cartésiennes par morceaux <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l}y = 0 &\text{pour }x \nearrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \\ y = \sqrt{a^2 - x^2} &\text{pour }x \searrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> nous nous proposons d'évaluer les intégrales curvilignes le long de ce contour des deux formes différentielles ci-après : ##à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = (x + y)\;dx + (2\;x + y)\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = x + y \\ B(x,\,y) = 2\;x + y \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = 1 \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) = 2 \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" />, il n'existe donc pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur</u><math>\;( \Gamma_6 )</math> : soit <math>\;( \Gamma_6 )\;</math> le contour du domaine <math>\;\mathcal{D}' := \left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+}\;\Big\vert x\, \in\, \left[ -a\,,\, a \right],\; y \leqslant \sqrt{a^2 - x^2} \right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur<math>\;\color{transparent}{( \Gamma_6 )}</math> : soit <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_6 )}\;</math> le }}contour fermé d'équations cartésiennes par morceaux <math>\left\lbrace \begin{array}{l l}y = 0 &\text{pour }x \nearrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \\ y = \sqrt{a^2 - x^2} &\text{pour }x \searrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;I_3 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_6)} (x + y)\;dx + (2\;x + y)\;dy\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{l l} dy = 0 &\text{pour }x \nearrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \\ dy = \dfrac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx &\text{pour }x \searrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne }}«<math>\;I_3 = \displaystyle\int_{-a}^a x\;dx + \displaystyle\int_a^{-a} \left( x + \sqrt{a^2 - x^2} \right)\,dx + \left( 2\;x + \sqrt{a^2 - x^2} \right)\, \dfrac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \cancel{\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{-a}^a\; +}\; \displaystyle\int_a^{-a} \left( \sqrt{a^2 - x^2} - \dfrac{2\;x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \right)\,dx\;</math> ou, par changement de variable <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos(\theta) \\ dx = -a\;\sin(\theta)\;d \theta \\ \theta \nearrow \text{sur}\;\left[ 0\,,\, \pi \right] \end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \displaystyle\int_0^\pi \left( a\;\sin(\theta) - \dfrac{2\;a^2\;\cos^2(\theta)}{a\;\sin(\theta)} \right) \big\{ -a\;\sin(\theta)\;d \theta \big\} = a^2 \displaystyle\int_0^\pi \big\{ 2\;\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \big\} d \theta</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= a^2 \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{1 + 3\;\cos(2\;\theta)}{2} d \theta\;</math><ref name="formules de trigonométrie de duplication" /> <math>= a^2 \left\lbrace \left[ \dfrac{\theta}{2} \right]_0^\pi\; \cancel{+ \left[ \dfrac{3\;\sin(2\;\theta)}{4} \right]_0^\pi} \right\rbrace = \dfrac{\pi\;a^2}{2}\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;I_3 = \displaystyle\oint_{(\Gamma_6)} (x + y)\;dx + (2\;x + y)\;dy = \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_6)}} \left[ \left( \dfrac{\partial\; (2\;x + y)}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial\; (x + y)}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_6)}} 1\;dx\;dy = \displaystyle\int_{-a}^a \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} dy \right\rbrace dx = \displaystyle\int_{-a}^a \sqrt{a^2 - x^2}\, dx\;</math> soit, par changement de variable <br>{{Al|31}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann « }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos(\theta) \\ dx = -a\;\sin(\theta)\;d \theta \\ \theta \searrow \text{sur}\;\left[ 0\,,\, \pi \right] \end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;I_3 = \displaystyle\int_\pi^0 -a^2\;\sin^2(\theta)\, d \theta = -a^2 \displaystyle\int_\pi^0 \dfrac{1 - \cos[2\;\theta)}{2}\, d \theta\;</math> <br>{{Al|37}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann « <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -a\;\sin(\theta)\;d \theta \end{array} \right\rbrace}</math>, <math>\color{transparent}{I_3}</math> }}<math>= -\dfrac{a^2}{2} \left\lbrace \left[ \theta \right]_\pi^0 \cancel{+\; \left[ -\dfrac{\sin(2\,\theta)}{2} \right]_\pi^0} \right\rbrace = \dfrac{\pi\;a^2}{2}\;</math>» ; ##à partir de la forme différentielle «<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(x,\,y) = x\;y^2\;dx + 2\;a\;x\;y\;dy\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> des deux variables <math>\;(x\,,\, y)\;</math> indépendantes, posons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} A(x,\,y) = x\;y^2 \\ B(x,\,y) = 2\;a\;x\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = 2\;x\;y \\ \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(\cancel{x},\,y) = 2\;a\;y \end{array} \right\rbrace\;</math> et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées <math>\;\left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\! x}(x,\,y) = \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;</math>» ne s'y vérifiant pas <math>\Rightarrow</math> la non fermeture de la forme différentielle<ref name="forme différentielle fermée" /> et donc sa non exactitude<ref name="forme différentielle exacte" /> il n'existe donc pas de primitives de la forme différentielle<ref name="forme différentielle" /> ; <br><u>évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur</u><math>\;( \Gamma_6 )</math> : soit <math>\;( \Gamma_6 )\;</math> le contour du domaine <math>\;\mathcal{D}' := \left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+}\;\Big\vert x\, \in\, \left[ -a\,,\, a \right],\; y \leqslant \sqrt{a^2 - x^2} \right\rbrace</math>, <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur<math>\;\color{transparent}{( \Gamma_6 )}</math> : soit <math>\;\color{transparent}{( \Gamma_6 )}\;</math> le }}contour fermé d'équations cartésiennes par morceaux <math>\left\lbrace \begin{array}{l l}y = 0 &\text{pour }x \nearrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \\ y = \sqrt{a^2 - x^2} &\text{pour }x \searrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;{I'}_{\!3} = \displaystyle\oint_{(\Gamma_6)} x\;y^2\;dx + 2\;a\;x\;y\;dy\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{dM}\;\left\lbrace \begin{array}{l l} dy = 0 &\text{pour }x \nearrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \\ dy = \dfrac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx &\text{pour }x \searrow \text{sur } \left[ -a\,,\, a \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne }}«<math>\;{I'}_{\!3} = \cancel{\displaystyle\int_{-a}^a 0\;dx\; +}\; \displaystyle\int_a^{-a} x\;(a^2 - x^2)\,dx + \left( 2\;a\;x\;\sqrt{a^2 - x^2} \right)\, \dfrac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \displaystyle\int_a^{-a} \left( a^2\;x - 2\;a\;x^2 - x^3 \right) dx</math> <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>directement l'intégrale curviligne «<math>\;\color{transparent}{{I'}_{\!3}}</math> }}<math>= \left[ a^2\;\dfrac{x^2}{2} - 2\;a\;\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} \right]_a^{-a} = \dfrac{4}{3}\;a^4\;</math>», <br>{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne }}<math>\bullet\;</math>par [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> «<math>\;{I'}_{\!3} = \displaystyle\oint_{(\Gamma_6)} x\;y^2\;dx + 2\;a\;x\;y\;dy = \!\!\displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_6)}} \left[ \left( \dfrac{\partial\; (2\;a\;x\;y)}{\partial x} \right)_{\!\!y} - \left( \dfrac{\partial\; (x\;y^2)}{\partial y} \right)_{\!\!x} \right](P)\;dx\;dy</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{{I'}_{\!3}}</math> }}<math>= \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma_6)}} 2\;(a - x)\;y\;dx\;dy = \displaystyle\int_{-a}^a 2\;(a - x)\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} y\;dy \right\rbrace dx = \displaystyle\int_{-a}^a 2\;(a - x)\,\dfrac{a^2 - x^2}{2}\, dx\;</math> <br>{{Al|28}}{{Transparent|évaluation de l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par formule de Green - Riemann «<math>\;\color{transparent}{{I'}_{\!3}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{-a}^a (a^3 - a^2\;x - a\;x^2 + x^3)\, dx = \left[ a^3\;x - a^2\;\dfrac{x^2}{2} - a\;\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4} \right]_{-a}^a = 2\;a^4 - \dfrac{2}{3}\;a^4 = \dfrac{4}{3}\;a^4\;</math>».}} == Calculs d'aires par formule de Green - Riemann == {{Al|5}}L'aire <math>\;\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}\;</math> de la surface plane <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;(\mathcal{C})\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}}\;</math> de la surface plane <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}s'évaluant par l'intégrale surfacique «<math>\;\mathcal{A}_{(\mathcal{S})} = \displaystyle\iint_{(\mathcal{S})} dS_M\;</math>» avec <math>\;dS_M\;</math> l'aire de la surface élémentaire au point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}}\;</math> }}établir, en utilisant la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" />, que «<math>\;\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}\;</math> peut s'évaluer par l'intégrale curviligne le long de la courbe fermée <math>\;(\mathcal{C})\;</math> décrite dans le sens trigonométrique <br>{{Al|32}}{{Transparent|L'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}}\;</math> vérifier, en utilisant la formule de Green - Riemann, que «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}}\;</math> peut s'évaluer par l'intégrale curviligne }}<math>\displaystyle\oint_{(\mathcal{C})} \delta_{\text{forme diff}}(P)\;</math> de la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(P) =</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|L'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}}\;</math> vérifier, en utilisant la formule de Green - Riemann, que «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}}\;</math> peut s'évaluer par l'intégrale curviligne <math>\color{transparent}{\displaystyle\oint_{(\mathcal{C})} \delta_{\text{forme diff}}(P)}\;</math> de la forme différentielle }}<math>-\dfrac{y}{2}\;dx + \dfrac{x}{2}\,dy\;</math><ref name="forme différentielle" /> ». #Appliquer cette propriété pour calculer l'aire de la couronna circulaire <math>\;( C ) := \left\lbrace (x,\,y) \in \mathbb{R}^2\;\mid\; x^2 + y^2 \in \left[ a^2\,,\, 4\;a^2 \right] \right\rbrace</math>, <math>\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>. #Appliquer cette propriété pour calculer l'aire de la surface plane limitée par l'[[w:Astroïde|astroïde]] <math>\;( A )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos^3(\theta) \\ y = a\;\sin^3(\theta) \\ \theta\,\in\, \left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="astroïde"> [[Image:Astroid 2.svg|thumb|left|upright=0.85|Une astroïde.]] [[Image:HypotrochoidOn4.gif|thumb|right|upright=0.7|Construction d'une astroïde par roulement d'un cercle inscrit.]] Une [[w:Astroïde|astroïde]] est une courbe plane qui peut être obtenue en faisant rouler sans glisser un cercle de rayon <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> à l'intérieur d'un cercle fixe de rayon <math>\;1</math> <math>\;\big(</math>voir figure animée à droite<math>\big)</math>. <br><br>{{Al|3}}Sur la figure ci-contre à gauche a été tracé en vert un segment de longueur <math>\;1\;</math> reliant un point de l'axe des abscisses à un point de l'axe des ordonnées. Il est tangent à l'[[w:Astroïde|astroïde]]. <br>{{Al|3}}L'[[w:Astroïde|astroïde]] peut donc être vue comme l'[[w:Enveloppe_(géométrie)|enveloppe]] de la famille des segments vérifiant ces propriétés. <br>{{Al|3}}Pour décrire cette famille par une image, on évoque souvent une échelle glissant le long d'un mur.<br><br><br><br><br><br></ref> <br>{{Transparent|Appliquer cette propriété pour calculer l'aire de la surface plane limitée par l'astroïde <math>\;\color{transparent}{( A )}\;</math> }}<math>\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>. {{Solution|contenu= {{Al|5}}L'aire <math>\;\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}\;</math> de la surface plane <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;(\mathcal{C})\;</math> égale à l'intégrale surfacique «<math>\;\mathcal{A}_{(\mathcal{S})} = \displaystyle\iint_{(\mathcal{S})} 1\;dS_M\;</math>» avec <math>\;dS_M = dx\;dy\;</math> l'aire de la surface élémentaire au point <math>\;M\,(x,\,y)\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}}\;</math> de la surface plane <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}peut s'évaluer par l'intégrale curviligne le long de <math>\;(\mathcal{C})</math>, orientée dans le sens trigonométrique, d'une forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(P)</math> <math>= A(x,\,y)\;dx + B(x,\,y)\;dy\;</math><ref name="forme différentielle" /> vérifiant <math>\;\left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) - \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!z}(x,\,y) = 1\;</math> de façon à appliquer la [[w:Théorème_de_Green#Énoncé|formule de Green - Riemann]]<ref name="formule de Green-Riemann" />{{,}}<ref name="ou formule" />{{,}}<ref name="Green" />{{,}}<ref name="Riemann" /> selon «<math>\;\displaystyle\iint_{(\mathcal{S})} 1\;dS_M = \displaystyle\iint_{(\mathcal{S})} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) - \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!z}(x,\,y) \right\rbrace \;dS_M = \displaystyle\oint_{(\mathcal{C})} \delta_{\text{forme diff}}(P) =</math> <math>\;\displaystyle\oint_{(\mathcal{C})} A(x,\,y)\;dx + B(x,\,y)\;dy\;</math>» et pour cela, nous choisissons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial B}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = \dfrac{1}{2} \\ \left( \dfrac{\partial A}{\partial y} \right)_{\!z}(x,\,y) = -\dfrac{1}{2} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="choix le plus simple"> Ce choix n'est pas unique, il y en a même une infinité, il s'agit simplement du plus simple.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} B(x,\,y) = \dfrac{x}{2} + \varphi(y) \\ A(x,\,y) = -\dfrac{y}{2} + \varpi(x) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégration par rapport à y à x figé"> Toute fonction dérivable de <math>\;x\;</math> étant une constante lors de l'intégration partielle relativement à <math>\;y</math>.</ref>{{,}}<ref name="intégration par rapport à x à y figé" /> solutions parmi lesquelles nous choisissons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} B(x,\,y) = \dfrac{x}{2} \\ A(x,\,y) = -\dfrac{y}{2} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="choix le plus simple" /> d'où l'aire <math>\;\mathcal{A}_{(\mathcal{S})}\;</math> de la surface plane <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;(\mathcal{C})\;</math> peut s'évaluer par l'intégrale curviligne le long de <math>\;(\mathcal{C})</math>, orientée dans le sens trigonométrique, de la forme différentielle <math>\;\delta_{\text{forme diff}}(P)</math> <math>= -\dfrac{y}{2}\;dx + \dfrac{x}{2}\;dy\;</math><ref name="forme différentielle" />{{,}}<ref name="choix le plus simple - bis"> Choix non unique, en effet si nous ajoutons à cette forme différentielle la différentielle de n'importe quelle fonction des deux variables <math>\;(x,\,y)\;</math> indépendantes, l'intégrale curviligne de cet ajout le long d'une courbe fermée est nulle et par suite nous obtenons une forme différentielle dont l'intégrale le long de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> donne l'aire de <math>\;(\mathcal{S})</math>.</ref> soit «<math>\;\mathcal{A}_{(\mathcal{S})} = \displaystyle\iint_{(\mathcal{S})} dS_M = \displaystyle\oint_{(\mathcal{C})} \dfrac{-y\;dx + x\;dy}{2}\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.. {{Al|5}}<u>Préliminaire à toute application</u> : Jusqu'ici nous avons considéré un seul contour fermé et imposé à ce dernier d'être orienté dans le sens trigonométrique de façon que l'orientation de la surface limitée par ce contour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire à toute application : }}soit vers le haut selon les orientations conjuguées d'une surface ouverte et de la courbe fermée la limitant<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant"> Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on peut appliquer la <u>règle du tire-bouchon de Maxwell</u> pour déterminer l'orientation de la surface ouverte <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de celle de la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> la limitant : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point <math>\;P_\Gamma\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitrophe de <math>\;(\Gamma)\;</math> et le tournant dans le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math>, le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;P_\Gamma\;</math> correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en tout autre point <math>\;M\;</math> étant obtenu par continuité » <math>\;\big[</math>on peut aussi appliquer la <u>règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier</u>, le pouce pointant le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière, l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P\;</math> et le majeur pointant le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M\big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans l'hypothèse <math>\;\big(</math>excessivement rare<math>\big)\;</math> où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on utilisera la <u>règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher</u>, le pouce pointant le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière, l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P\;</math> et le majeur pointant le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M</math>, ce qui donne un sens opposé à celui qu'on obtiendrait avec un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell|distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.</ref>{{,}}<ref> L'espace tridimensionnel dans lequel est plongé l'espace bidimensionnel plan est supposé orienté à droite <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, c'est toujours l'hypothèse à faire quand rien dans un texte ne précise l'orientation de l'espace.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire à toute application : }}avec deux contours fermés<ref> Ou plus <math>\;\ldots</math></ref> limitant la surface plane considérée, les orientations des contours doivent être choisies en accord avec celle de la surface plane<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> orientée vers le haut, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire à toute application : avec deux contours fermés limitant la surface plane considérée, }}les orientations de ces contours sont usuellement opposées. #<u>Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire</u> : soit la couronne circulaire <math>\;( C ) := \left\lbrace (x,\,y) \in \mathbb{R}^2\;\mid\; x^2 + y^2 \in \left[ a^2\,,\, 4\;a^2 \right] \right\rbrace</math>, <math>\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>, <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : }}limitée par le contour fermé extérieur <math>\;(\mathcal{C}_{\text{ext}})\;</math> d'équation cartésienne implicite <math>\;x^2 + y^2 = 4\;a^2\;</math> <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : limitée par le contour fermé extérieur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_{\text{ext}})}\;</math> }}orienté dans le « sens trigonométrique <math>\;_{+}\;</math>» en accord avec l'orientation de la couronne vers le haut<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> et <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : limitée }}par le contour fermé intérieur <math>\;(\mathcal{C}_{\text{int}})\;</math> d'équation cartésienne implicite <math>\;x^2 + y^2 = a^2\;</math> <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : limitée par le contour fermé intérieur <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_{\text{int}})}\;</math> }}orienté dans le « sens anti-trigonométrique <math>\;_{-}\;</math>» en accord avec l'orientation de la couronne vers le haut<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : }}«<math>\;\mathcal{A}_{( C )} = \displaystyle\oint_{ (\mathcal{C}_{\text{ext},\,+}) } \dfrac{-y\;dx + x\;dy}{2} + \displaystyle\oint_{ (\mathcal{C}_{\text{int},\,-}) } \dfrac{-y\;dx + x\;dy}{2} = I_1 + I_2\;</math>» soit, en passant en paramétrage polaire<ref name="repérage polaire" />, <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : }}posant, pour <math>\;I_1</math>, <math>\left\lbrace \begin{array}{c} x = 2\;a\;\cos(\theta) \\ y = 2\;a\;\sin(\theta) \\ \theta\;\nearrow\;\text{sur}\;\left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \end{array} \right\rbrace</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -2\;a\;\sin(\theta)\;d \theta \\ dy = 2\;a\;\cos(\theta)\;d \theta \end{array} \right\rbrace</math> d'où <math>\;I_1 = \displaystyle\oint_{ (\mathcal{C}_{\text{ext},\,+}) } \dfrac{-y\;dx + x\;dy}{2} = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;a^2\, \big\{ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) \big\}\, d \theta</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : posant, pour <math>\;\color{transparent}{I_1}</math>, <math>\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \theta\;\nearrow\;\text{sur}\;\left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \end{array} \right\rbrace}</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -2\;a\;\sin(\theta)\;d \theta \end{array} \right\rbrace}</math> d'où <math>\;\color{transparent}{I_1}</math> }}<math>= 2\,a^2\,\left[ \theta \right]_0^{2\,\pi} = 4\,\pi\;a^2\;</math> et <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : posant, }}pour <math>\;I_2</math>, <math>\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos(\theta) \\ y = a\;\sin(\theta) \\ \theta\;\searrow\;\text{sur}\;\left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \end{array} \right\rbrace</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -a\;\sin(\theta)\;d \theta \\ dy = a\;\cos(\theta)\;d \theta \end{array} \right\rbrace</math> d'où <math>\;I_2 = \displaystyle\oint_{ (\mathcal{C}_{\text{int},\,-}) } \dfrac{-y\;dx + x\;dy}{2} = \displaystyle\int_{2\,\pi}^0 \dfrac{a^2}{2}\, \big\{ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) \big\}\, d \theta</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : posant, pour <math>\;\color{transparent}{I_1}</math>, <math>\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \theta\;\searrow\;\text{sur}\;\left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \end{array} \right\rbrace}</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -a\;\sin(\theta)\;d \theta \end{array} \right\rbrace}</math> d'où <math>\;\color{transparent}{I_1}</math> }}<math>= \dfrac{a^2}{2}\,\left[ \theta \right]_{2\,\pi}^0 = -\pi\;a^2\;</math> d'où <br>{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : }}«<math>\;\mathcal{A}_{( C )} = T_1 + I_2 = 3\;\pi\;a^2\;</math>». #<u>Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une [[w:Astroïde|astroïde]]</u><ref name="astroïde" /> : soit la surface plane <math>\;( \mathcal{D} )\;</math> limitée par l'[[w:Astroïde|astroïde]] <math>\;( A )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos^3(\theta) \\ y = a\;\sin^3(\theta) \\ \theta\,\in\, \left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="astroïde" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : soit la surface plane <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D} )}\;</math> limitée par l'astroïde <math>\;\color{transparent}{( A )}\;</math> }}orientée dans le sens trigonométrique en accord avec l'orientation de la surface <br>{{Al|6}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : soit la surface plane <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D} )}\;</math> limitée par l'astroïde <math>\;\color{transparent}{( A )}\;</math> orientée dans le sens trigonométrique en accord avec }}plane vers le haut<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant" /> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : soit la surface plane <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{D} )}\;</math> limitée par l'astroïde <math>\;\color{transparent}{( A )}\;</math> }}<math>\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : }}«<math>\;\mathcal{A}_{( \mathcal{D} )} = \displaystyle\oint_{ ( A ) } \dfrac{-y\;dx + x\;dy}{2}\;</math>» soit, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos^3(\theta) \\ y = a\;\sin^3(\theta) \\ \theta\;\nearrow\;\text{sur}\;\left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -3\,a\;\cos^2(\theta)\;\sin(\theta)\; d \theta \\ dy = 3\,a\;\sin^2(\theta)\;\cos(\theta)\; d \theta \end{array} \right\rbrace</math>, «<math>\;\mathcal{A}_{( \mathcal{D} )}</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{( \mathcal{D} )}}</math> }}<math>= \dfrac{3\,a^2}{2} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \big\{ \sin^4(\theta)\;\cos^2(\theta) + \cos^4(\theta)\;\sin^2(\theta) \big\}\, d \theta = \dfrac{3\,a^2}{2} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sin^2(\theta)\;\cos^2(\theta) \big\{ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) \big\}\, d \theta\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{( \mathcal{D} )}}</math> }}<math>= \dfrac{3\,a^2}{2} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sin^2(\theta)\;\cos^2(\theta)\, d \theta = \dfrac{3\,a^2}{8} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sin^2(2\,\theta)\, d \theta = \dfrac{3\,a^2}{16} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \big\{ 1 - \cos(4\,\theta) \big\}\, d \theta\;</math><ref name="formules de trigonométrie de duplication" /> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{( \mathcal{D} )}}</math> }}<math>= \dfrac{3\,a^2}{16}\, \left[ \theta - \cancel{\dfrac{\sin(4\,\theta)}{4}} \right]_0^{2\,\pi} = \dfrac{3\,\pi\;a^2}{8}\;</math>».}} {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Applications des fonctions hyperboliques directes et inverses/]] | suivant = [[../Applications de flux d'un champ vectoriel de l'espace, de champ vectoriel à flux conservatif/]] }} hscxo3dz5ssga5s54kin6erd9rq1pgq 0 74033 982933 981935 2026-05-19T18:35:41Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982933 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré »<ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires »<ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand<ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques<ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul<ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus »<ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires<ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique »<ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul<ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>»<ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>»<ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point »<ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point »<ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles<ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point »<ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles<ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique<ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>»<ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>»<ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>»<ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u><ref name="C.D.I." />{{,}}<ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé<ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u><ref name="C.D.I." />{{,}}<ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé<ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}}<ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u><ref name="C.D.I." />{{,}}<ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé<ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}}<ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique<ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique<ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique<ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite »<ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque »<ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque »<ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite »<ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque »<ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque »<ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite »<ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque »<ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque »<ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé<ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, s'il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}}<ref name="système ouvert en translation" />{{,}}<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque »<ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé<ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, s'il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}}<ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}}<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque »<ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé<ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, s'il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}}<ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}}<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque »<ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue »<ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>»<ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue »<ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche »<ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}}<ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique<ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière<ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque »<ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste<ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques<ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>»<ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque »<ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque »<ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment<ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}}<ref name="système ouvert en translation" />{{,}}<ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du système en translation »<ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque »<ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d'un « système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique ou linéique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[\sigma(M)\;</math> étant sa masse surfacique en <math>\;M\big]</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[\lambda(M)\;</math> étant sa masse linéique en <math>\;M\big]</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>».</ref> et la façon de réaliser une « somme continue »<ref name="somme continue - bis"> Par intégrale surfacique si l'expansion est surfacique et par intégrale curviligne si l'expansion est linéique <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue »<ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue »<ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>»<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}}<ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u><ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide<ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}}<ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u><ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]<ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}}<ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u><ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>»<ref name="matrice d'inertie d'un solide" />{{,}}<ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide ci-dessus on distingue : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Ox} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oy} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oz} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}d'où la réécriture de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant }}l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant }}tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; on peut alors vérifier que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math><ref name="matrice" /> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne }}du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne }}dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<ref name="matrice" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne }}<math>\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'obtient en [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multipliant matriciellement]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>»<ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne }}«<math>\;\begin{array}{| c c c l} \!\!& \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \!\!& \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \!\!& \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique ou linéique - bis" > Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[\sigma(M)\;</math> étant sa masse surfacique en <math>\;M\big]</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> est le facteur de Lorentz du pseudo-point, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math>» où <math>\;\vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[\lambda(M)\;</math> étant sa masse linéique en <math>\;M\big]</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> est le facteur de Lorentz du pseudo-point, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math>» où <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>».</ref> et la façon de réaliser une « somme continue »<ref name="somme continue - bis" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique relativiste d'un système continu"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé }}avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" />{{,}}<ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé avec « }}la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé }}soit encore «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé soit encore }}avec «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé soit encore avec « }}<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé soit encore avec }}«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t)\;</math>» du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t)}\;</math>» du système continu fermé }}<u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t)}\;</math>» du système continu fermé en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t)}\;</math>» }}par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> }}«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t)\;</math>» <math>\;\big[</math>en effet <math>\;d \vec{p}_{\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>en effet <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{\text{relativ}}(M,\,t)}</math> }}<math>= \gamma_M(t)\;d \vec{p}_{\text{newton}}(M,\,t)\big]</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> }}«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" /> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> }}«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point <math>\;\color{transparent}{M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)}\;</math> }}«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» d'où {{Al|5}}le vecteur moment cinétique relativiste «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math>» de ce système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport à <math>\;A\;\in\;( \Delta)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)}\;</math>» de ce système continu fermé en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)}\;</math>» de ce système continu fermé en rotation }}s'obtient par « somme continue »<ref name="somme continue" /> des «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste }}comme en cinétique classique<ref name="newtonienne" />, ce dernier est la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste comme }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste comme }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste }}<u>Remarque</u> : choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : choisissant }}l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : choisissant }}tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : choisissant }}le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : }}le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : le vecteur moment cinétique relativiste du système en rotation }}calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />. === Complément : notion d'axes principaux d'inertie d'un « système continu de matière » === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique ou linéique" /> et la façon de réaliser une « somme continue »<ref name="somme continue - bis" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Pour tout point</u><math>\;A\;</math><u>origine de calcul de vecteur moment cinétique classique</u><ref name="classique"> Ou newtonienne.</ref> du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> <u>en rotation</u> autour d'un axe «<math>\;\left( \Delta \right)\,\ni\,A\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour tout point<math>\;\color{transparent}{A}\;</math>origine de calcul de vecteur moment cinétique classique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation autour d'un }}axe fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}<u>il existe au moins trois directions de l'axe de rotation</u><math>\;\left\lbrace \left( \Delta_{p,\,k}\right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}</math>, <u>deux à deux</u><math>\;\perp</math>, telles que «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta_{p,\,k}\right)}(\text{syst},\,t)\;</math> soit <math>\;\parallel\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> du système » <math>\;\big(</math>propriété admise<math>\big)\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe au moins trois directions de l'axe de rotation<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \Delta_{p,\,k}\right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}}</math>, deux à deux<math>\;\color{transparent}{\perp}</math>, }}vérifiant «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH_k}\;\overrightarrow{H_kM}(t)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Ou, en choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}}\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}\;</math> et repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_{p,\,k} \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}}</math> <math>\;\Big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_k}\,,\,\vec{u}_{\theta_k}\,,\,\vec{u}_{\Delta_{p,\,k}} \right\rbrace\;</math> choisie directe ou indirecte « au sens de la physique » suivant l'orientation de l'espace <math>\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-caractère_direct_ou_indirect_de_la_base-96|⁹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\Big]</math>, c.-à-d. «<math>\; \left( r_k,\, \theta_k,\, z_k \right)\;</math>», la réécriture de la condition selon <center>«<math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z_k\;r_k\;\vec{u}_{r_k}(t)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>».</center></ref> avec «<math>\;H_k\,</math> projeté orthogonal de <math>\,M\,</math> sur <math>\,\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe au moins trois directions de l'axe de rotation<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \Delta_{p,\,k}\right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}}</math>, deux à deux<math>\;\color{transparent}{\perp}</math>, }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta_{p,\,k}\right)}(\text{syst},\,t) = J_{\Delta_{p,_,k}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_{p,_,k}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r_k^{\,2}\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;r_k = H_kM\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe au moins trois directions de l'axe de rotation<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \Delta_{p,\,k}\right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}}</math>, deux à deux<math>\;\color{transparent}{\perp}</math>, }}<math>\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> définissant un <u>axe principal d'inertie</u> du système issu de <math>\;A\;</math><ref> Il y a donc au moins trois axes principaux d'inertie d'un système continu fermé par point origine de calcul de moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système lors de la rotation de ce dernier autour de l'axe choisi dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe au moins trois directions de l'axe de rotation<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \left( \Delta_{p,\,k}\right) \right\rbrace_{k\,=\,1\,..\,3}}</math>, deux à deux<math>\;\color{transparent}{\perp}</math>, }}<math>J_{\Delta_{p,_,k}}\;</math> étant le <u>moment principal d'inertie</u> du système relativement à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_{p,\,k}\right)\;</math> passant par <math>\;A</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux <math>\;\perp</math>, d'axe de rotation du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir }}telles que « le vecteur moment cinétique du système évalué par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir telles que « }}en rotation autour d'un axe issu de <math>\;A\;</math> ayant l'une des trois directions précédentes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir telles que «}}<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> soit <math>\;\parallel\;</math> au vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> », c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, }}<u>on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point</u><math>\;A</math>, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, }}<u>on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine</u><math>\;A\;</math><ref name="repère principal d'inertie"> Les trois axes principaux d'inertie du système issus de <math>\;A\;</math> définissent, avec ce dernier, le « repère principal d'inertie du système ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut }}mais <math>\;\ldots\;</math><u>un axe quelconque de rotation</u><math>\;( \Delta )\;</math><u>peut ne jamais être principal d'inertie pour un de ses points</u><math>\;A</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, }}c.-à-d. que le 2^ème terme du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\left( \Delta \right)}(\text{syst},\,t)\;</math> du système en rotation autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, c.-à-d. que le 2^ème terme du vecteur moment cinétique }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, à savoir <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, c.-à-d. que le 2^ème terme }}«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH_k}\;\overrightarrow{H_kM}(t)\;d \mathcal{V}_M \perp \left( \Delta \right)\;</math>», peut être <math>\;\neq \vec{0}\;\forall\;A \in \left( \Delta \right)\;</math><ref> Et s'il existe un point <math>\;A_p \in \left( \Delta \right)\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{A_pH_k}\;\overrightarrow{H_kM}(t)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», pour les autres points <math>\;A \in \left( \Delta \right)\;</math> mais <math>\;\neq A_p\;</math> on a «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH_k}\;\overrightarrow{H_kM}(t)\;d \mathcal{V}_M \neq \vec{0}\;</math>», sauf cas très particulier, ce qui signifie que <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> est axe principal d'inertie uniquement si le point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système est le point <math>\;A_p</math>.</ref>. === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u><ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>»<ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|15}}{{Transparent|« Boule <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{B} \right)}</math>, homogène », de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math>, de centre <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> et de « masse <math>\;\color{transparent}{m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3}\;</math>», }}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u><ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>»<ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u><ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>»<ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|15}}{{Transparent|« Sphère <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}</math>, homogène », de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math>, de centre <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> et de « masse <math>\;\color{transparent}{m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2}\;</math>», }}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u><ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>»<ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u><ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>»<ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u><ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta_{Gz}}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré }}principal d'inertie correspondant était non nul » mais <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}«<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]]<ref name="Huygens"> '''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\big[</math>encore appelé « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Steiner]] <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> »<ref> Parfois nommé « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens-Steiner]] » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de transport]] » ou encore « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème des axes parallèles]] »<math>\big]\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le « théorème de Huygens » }}évalue le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\big[\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le « théorème de Huygens » évalue le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math> connaissant }}la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Le « théorème de Huygens » évalue le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math> connaissant }}la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soient un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient }}un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, <br>{{Al|5}}« le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, vérifie la relation <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta \right)}</math>, à savoir }}<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta \right)}</math>, }}avec «<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\big[</math>axe <math>\parallel</math> à <math>\left( \Delta \right)</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|« le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta \right)}</math>, avec «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> par rapport à }}passant par <math>\;G\big]\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|« le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta \right)}</math>, avec }}«<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u><ref> Exposée sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, celles sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'en déduisent aisément en adaptant la notion de pseudo-point <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_surfacique_ou_linéique-90|⁹⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et celle de somme continue <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-somme_continue_-_bis-91|⁹¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Démonstration : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\;</math> étant défini par <math>\;\color{transparent}{J_{\Delta} = _{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» avec }}«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles<ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2 = \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et en intégrant membre à membre, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : on passe de l'un à l'autre }}«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\, HK^2 + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : on passe de l'un à l'autre }}«<math>\;\qquad\qquad\; J_{\Delta} \;\qquad\qquad\, = \qquad\qquad\quad\;m_{\text{syst}}\qquad d^2 \quad\, + \qquad\qquad\; J_{\Delta_G} \qquad\quad\;\;\, + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \qquad m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG} \qquad\quad\;\;</math>»<ref> En effet, selon une propriété du C.D.I. <math>\;G\;</math> du solide <math>\;\big[</math>Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d'inertie_(ou_centre_de_masse)_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\big]</math> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Démonstration : on passe de l'un à l'autre }}«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>»<ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.. {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u> <math>\big(</math>liste non exhaustive<math>\big)</math> : <math>\bullet\;</math>« <u>Boule</u><ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>»<ref name="volume d'une boule" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Boule <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{B} \right)}</math>, homogène », }}un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Boule <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{B} \right)}</math>, homogène », }}le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Boule <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{B} \right)}</math>, homogène », le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{B} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{7}{5}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>« <u>Cylindre de révolution</u><ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>»<ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right)}</math> <math>\color{transparent}{= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2}</math> }}<math>\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\left( \mathcal{C} \right)</math> par rapport à <math>\Delta'</math> «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\,\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math> par rapport à <math>\color{transparent}{\Delta'}</math> «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math> par rapport à <math>\color{transparent}{\Delta'}</math> «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>« <u>Sphère</u><ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>»<ref name="aire d'une sphère" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Sphère <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}</math>, homogène », }}un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Sphère <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}</math>, homogène », }}le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) = J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Sphère <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}</math>, homogène », le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\!\left( S \right)}</math> }}<math>= \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>« <u>Tuyau cylindrique de révolution</u><ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math>, de longueur <math>\;\color{transparent}{H}</math>, de centre <math>\;\color{transparent}{G}</math>, }}de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>»<ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\left( \mathcal{T} \right)</math> par rapport à <math>\Delta</math> «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\, \left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math> par rapport à <math>\color{transparent}{\Delta}</math> «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right)}</math> }}<math>= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math> par rapport à <math>\color{transparent}{\Delta}</math> «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right)}</math> <math>\color{transparent}{= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2}</math> }}<math>\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>un « axe <math>\;\color{transparent}{\Delta'}\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant }}<math>\perp</math> à l'axe de révolution » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\left( \mathcal{T} \right)</math> <math>\,/\, \Delta'</math> «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\,\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math> <math>\,\color{transparent}{/\, \Delta'}</math> «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right)}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math> d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math> <math>\,\color{transparent}{/\, \Delta'}</math> «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>« <u>Disque</u><ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>»<ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 = \dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) = J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta'}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>« <u>Cercle</u><ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 = m\;R^2 + m\;R^2</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right)}</math> }}<math>= 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie du cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta'}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>« <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4} = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemples d'application <math>\color{transparent}{\big(}</math>liste non exhaustive<math>\color{transparent}{\big)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le moment d'inertie de <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> est «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right)}</math> <math>\color{transparent}{= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}}</math> }}<math>\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière par rapport à un axe « Δ » == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'aborderons l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur champ moment cinétique d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique que nous laissons au lecteur le soin d'établir, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique ou linéique" /> et la façon de réaliser une « somme continue »<ref name="somme continue - bis" /> <math>\;\ldots</math> === Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système continu (fermé) de matière » dans le référentiel d’étude === {{Al|5}}La « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]] » introduite au chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est d'abord rappelée ci-dessous dans le but de la tester sur la notion de moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> d'un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle<ref> La vérification pour une expansion surfacique ou linéique se traitant de la même façon, voir « introduction du paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Moment_cinétique_(scalaire)_d’un_système_continu_de_matière_par_rapport_à_un_axe_«_Δ_»|moment cinétique (scalaire) d'un système continu de matièe par rapport à un axe Δ]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> en un point origine <math>\;A\;</math> quelconque : <center>un champ de vecteurs <math>\;\vec{f}(M)\;</math> défini en <math>\;M \in \mathcal{E}\;</math><ref name="Domaine de définition"> Ou sous-ensemble de <math>\;\mathcal{E}</math>, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.</ref> est « <u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> » si <br>«<math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{f}(N) \cdot \overrightarrow{MN}\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour démontrer l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique d'un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer }}on utilise la « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » établie plus haut dans ce chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer on utilise la }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»<ref name="validité du changement d'origine" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer }}on multiplie scalairement les deux membres par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer on utilise la }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A} = \left[ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t) \right] \cdot \overrightarrow{A'A}\;</math>» ou, la multiplication scalaire étant distributive par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer on utilise la }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A}\;\cancel{+ \left[ \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t) \right] \cdot \overrightarrow{A'A}}\;</math>»<ref> En effet on reconnaît dans le 2^ème terme du 2^ème membre un produit mixte de trois vecteurs coplanaires voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour démontrer }}l'<u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique d'un système continu</u><math>\;\big(</math><u>fermé</u><math>\big)\;</math><u>de matière dans le référentiel d'étude</u><ref> Comme cela est indiqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-validité_du_changement_d'origine-79|⁷⁹]] » de ce chapitre, le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel de système écrit sous la forme <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) =</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> étant applicable que le système soit fermé ou ouvert dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste et la multiplication scalaire n'en dépendant pas, on en déduit que <u>l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du moment cinétique vectoriel est valable pour un système fermé ou ouvert dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste</u>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\succ\;</math>On pouvait aussi utiliser l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique d'un point matériel<ref name="équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d’étude_et_conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> en la transposant à celle de pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> d'une expansion tridimensionnelle<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi utiliser }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\; d \overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'} = d \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M,\, t) \cdot \overrightarrow{AA'},\;\;\forall\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi utiliser }}la définition du moment cinétique vectoriel du système évalué en <math>\;A\;</math> et en <math>\;A'\;</math> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,(\mathcal{V}} d \overrightarrow{\sigma}_A(M,\, t)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,(\mathcal{V}} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}(M,\, t)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi }}faire la « somme continue »<ref name="somme continue" /> des relations d'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] pour les pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi }}factoriser scalairement chaque membre par <math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math><ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, l'autre facteur étant le vecteur moment cinétique du système évalué en <math>\;A\;</math> pour le membre de gauche et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi factoriser scalairement chaque membre par <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{AA'}}\;</math>, l'autre facteur étant le vecteur moment cinétique du système évalué }}en <math>\;A'\;</math> pour le membre de droite C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>On pouvait aussi utiliser la notion <math>\;\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\;</math> de [[w:Torseur|torseur]] <ref name="torseur"> Voir le chap.<math>1</math> intitulé « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs|les torseurs]] » de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> et plus particulièrement de [[w:Torseur#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] <ref name="torseur cinétique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi }}le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi le vecteur moment cinétique du système }}étant le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] du [[w:Torseur#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] «<math>\;\mathcal{T}_{\text{cinét. du syst.}}\;</math>» de ce système, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On pouvait aussi le vecteur moment cinétique du système étant le moment du torseur cinétique }}d'[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math><ref name="éléments de réduction d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Réduction_d'un_torseur_en_un_point_quelconque_de_l'espace_affine_euclidien_tridimensionnel_sur_lequel_il_est_défini|réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c} \vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,(\mathcal{V})} d \vec{p}_M(t)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,(\mathcal{V})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_M(t)\end{array} \!\right\rbrace_{\!A}</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le caractère « <u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> » du « vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du système }}étant une conséquence de la définition du [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] d'un [[w:Torseur|torseur]]<ref name="torseur" /> comme « champ de vecteurs <u>[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectif]]</u> »<ref name="définition d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur|définition d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>. === Conséquence : notion de « moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique ou linéique" /> et la façon de réaliser une « somme continue »<ref name="somme continue - bis" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Soient un axe <math>\,\Delta\,</math> quelconque et deux points quelconques <math>\,\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2</math>, l'[[w:Champ_équiprojectif|équiprojectivité]] du vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> quelconque et deux points quelconques <math>\,\color{transparent}{\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \overrightarrow{A'A}\;</math>»<ref name="invariants de torseur"> Il s'agit aussi d'un invariant du [[w:Torseur#Torseur_cinétique|torseur cinétique]] <math>\;\big[</math>voir la notion d'invariants de [[w:Torseur|torseur]] dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Invariants_d'un_torseur|invariants d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> quelconque et deux points quelconques <math>\,\color{transparent}{\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2}</math>, }}en orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AA'} = \overline{AA'}\;\vec{u}_\Delta\;</math> et en simplifiant par <math>\;\overline{AA'} \neq 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> quelconque et deux points quelconques <math>\,\color{transparent}{\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»<ref> On peut aussi le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (ferme) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et en multipliant scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on obtient alors, par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'égalité cherchée car «<math>\;\left[ \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{p}_{\text{syst}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» dans la mesure où <math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math> étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le produit mixte est nul {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> quelconque et deux points quelconques <math>\,\color{transparent}{\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2}</math>, }}cette valeur constante sur <math>\;\Delta\;</math> définissant le moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> quelconque et deux points quelconques <math>\,\color{transparent}{\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2}</math>, }}le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : cette définition est <u>valable en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste</u>, elle s'étend aux systèmes continus ouverts de matière dans le cadre classique<ref name="newtonienne" /> ou relativiste. {{Définition|titre= Moment cinétique (scalaire) d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à Δ|contenu = {{Al|5}}Le moment cinétique <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> est la grandeur scalaire, définie à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\; A \in \Delta\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}«<math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> un vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «}}<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> le vecteur moment cinétique du système dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> « }}évalué en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\Delta\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,(\mathcal{V})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\;A \in \Delta\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}«<math>\;d \vec{p}_M(t)\;</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\;M\;(dm)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Commentaire : cette grand, }}elle tient compte de l'inertie d'une part par l'intermédiaire de la masse de chaque pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Commentaire : cette grand, elle tient compte }}de la composante de la vitesse de chaque pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Commentaire : cette grand, elle tient compte }}de la disposition du point <math>\;M\;</math> par rapport à cet axe d'autre part, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Commentaire : cette grand, }}elle dépend donc bien du référentiel <math>\;(\mathcal{R})</math>. == Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'expliciterons le moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique que nous laissons au lecteur le soin d'établir, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique ou linéique" /> et la façon de réaliser une « somme continue »<ref name="somme continue - bis" /> <math>\;\ldots</math> === Expression du moment cinétique scalaire d’un système continu fermé de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l’axe Δ === {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé }}son vecteur moment cinétique évalué en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math> s'écrit, en <u>cinétique classique</u><ref name="newtonienne" />, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé son vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en rot.},\,t) = J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_«_système_continu_fermé_de_matière_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé son vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <math>\big[\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;( \Delta )\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé son vecteur moment cinétique }}«<math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé son vecteur moment cinétique }}«<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans laquelle <math>\;r = HM\;</math>»<ref name="moment d'inertie d'un système continu par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_«_système_continu_fermé_de_matière_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé }}le moment cinétique scalaire par rapport à <math>\;( \Delta )\;</math> de ce système étant le produit scalaire du vecteur moment cinétique du système évalué par rapport à <math>\;A\;\in ( \Delta )\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé }}«<math>\;\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\Delta}(\text{syst. en rot.},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left\lbrace J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé «<math>\;\color{transparent}{\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t)}</math> }}<math>= J_\Delta\, \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta - \overline{\Omega}(t) \left[ \;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\,\overline{AH}\,\overrightarrow{HM}(t)\,d \mathcal{V}_M \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé «<math>\;\color{transparent}{\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t)}</math> }}expression dans laquelle le 2^ème terme est nul, «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="intégrale volumique" /> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math>»<ref name="HM perp à Delta"> Car <math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;( \Delta )</math>.</ref> d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu fermé }}dans le cadre de la cinétique classique<ref name="newtonienne" />, «<math>\;\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t) = J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = J_\Delta\; \overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="extension à un système ouvert en rotation" /> avec «<math>\;J_\Delta\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le système continu fermé dans le cadre de la cinétique classique, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t) = J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = J_\Delta\; \overline{\Omega}(t)}\;</math>» avec }}«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On notera que <math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rot.},\, t) = J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est valable quel que soit l’axe de rotation pour le système de matière <math>\;\big(</math>cet axe pouvant être « principal d’inertie » ou non<math>\big)\;</math><ref name="axe principal d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_notion_d'axes_principaux_d'inertie_d'un_«_système_continu_de_matière_»|complément : notion d'axes principaux d'inertie d'un système continu de matière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On notera que }}<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,(\Delta)}(\text{syst. en rot.},\,t) = J_\Delta\; \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> nécessite que l'axe <math>\;( \Delta )\;</math> soit « principal d’inertie »<ref name="axe principal d'inertie" /> <math>\;\ldots</math> === Complément : expression relativiste du moment cinétique scalaire d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe fixe Δ dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe « Δ » === {{Al|5}}Le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu }}son vecteur moment cinétique évalué en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math> s'écrit, en <u>cinétique relativiste</u>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu son vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique relativiste d'un système continu en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|complément : vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu son vecteur moment cinétique }}«<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r = HM\;</math> la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu son vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math> la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu son vecteur moment cinétique }}«<math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}} = \gamma_{M}(t)\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu }}le moment cinétique scalaire par rapport à <math>\;( \Delta )\;</math> de ce système étant le produit scalaire du vecteur moment cinétique du système évalué par rapport à <math>\;A\;\in ( \Delta )\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu }}«<math>\;\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A\,\in\,\Delta}(\text{syst. en rot.},\,t) \cdot \vec{u}_\Delta = \left\lbrace \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu «<math>\;\color{transparent}{\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t)}</math> }}<math>= \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta - \overline{\Omega}(t) \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> par distributivité de la multiplication scalaire <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le système continu «<math>\;\color{transparent}{\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t)}</math> <math>\color{transparent}{= \left[\; \displaystyle\iiint \gamma_M(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta - \overline{\Omega}(t) \left[\; \displaystyle\iiint \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] \cdot \vec{u}_\Delta}\;</math>» }}par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu «<math>\;\color{transparent}{\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t)}</math> }}expression dans laquelle le 2^ème terme est nul, «<math>\;\left[\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math><ref name="intégrale volumique" /> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math>»<ref name="HM perp à Delta" /> d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu }}dans le cadre de la cinétique relativiste, «<math>\;\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, avec <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de rotation autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système continu dans le cadre de la cinétique relativiste, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_\Delta(\text{syst. en rot.},\,t)}</math> }}<math>= \left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="extension à un système ouvert en rotation" />. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : le moment cinétique scalaire relativiste <math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\, t)\;</math> du système continu de matière <u>en rotation</u> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste }}par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, le vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\;t\;</math> étant <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste }}«<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\, t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> »<ref name="extension à un système ouvert en rotation" />{{,}}<ref> On notera que <math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\, t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overline{\Omega}(t)\;</math> est valable quel que soit l’axe de rotation pour le système continu de matière <math>\;\big(</math>cet axe pouvant être « principal d’inertie » ou non<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="moment d'inertie apparent - bis"> Comme cela a déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_d'inertie_apparent-110|¹¹⁰]] » plus haut dans ce chapitre, on pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] =</math> <math>\left[\; \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», l'expression du moment cinétique scalaire relativiste du système en rotation s'écrirait alors «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> avec, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste }}«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste }}«<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>». == Lien entre grandeurs cinétique, cinématique et d’inertie d’un solide en rotation autour d’un axe == {{Al|5}}Il s'agit d'étendre « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Analogie_entre_la_cinétique_d’un_point_matériel_en_mouvement_quelconque_et_celle_d’un_point_matériel_en_mouvement_de_rotation_autour_d’un_axe_Δ|analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ]] <math>\big(</math>dans le cadre classique<ref name="newtonienne" /><math>\big)\;</math>» établie dans le chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » au cas de système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Rappel de l'analogie entre cinétique de mouvement quelconque et celle de rotation d'un point matériel</u> : <center><math>\begin{array}{c} & & \text{grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique} & \\ & \text{mouvement quelconque} & \vec{p}_M(t) &= &m &\times & \vec{V}_M(t) \\ & & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & \\ \text{« }&\!\!\!\!\! \text{rotation de centre}\;C & \overrightarrow{\sigma}_C(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \overrightarrow{\Omega}(t) &\text{ ».}\\ & & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & \\& \text{rotation d'axe}\;\Delta & \sigma_\Delta(M,\,t) &= &J_{\Delta}(M) &\times & \overline{\Omega}(t) &\end{array}</math></center> {{Al|5}}<u>Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide</u> : * en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> d'un solide en translation, le lien entre la grandeur cinétique « la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>», la grandeur cinématique « le vecteur vitesse d'entraînement <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math> <math>= \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="centre de masse" /><math>\big]\;</math> et la grandeur d’inertie « la masse du solide <math>\;m_{\text{syst}}\;</math>» est «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ; * en cinétique classique<ref name="newtonienne" /> d’un solide en rotation autour d’un axe fixe <math>\;\Delta</math>, le lien entre la grandeur cinétique « le moment cinétique scalaire relativement à l'axe <math>\;\sigma_\Delta\! \left( \text{syst. en rot.},\,t \right)\;</math>», la grandeur cinématique « la vitesse angulaire de rotation <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et la grandeur d’inertie « le moment d’inertie du solide relativement à l’axe <math>\;J_\Delta\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» est «<math>\; \sigma_\Delta\! \left( \text{syst. en rot.},\,t \right) = J_\Delta\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide : }}<math>\Rightarrow</math> même analogie entre solide en translation et solide en rotation autour d’un axe que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide : <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> même }}celle entre point matériel en mouvement quelconque et point matériel en rotation autour d’un axe : <center><math>\begin{array}{c} &\!\!\!\!\!\! & \text{grandeur cinétique}&= &\text{grandeur d'inertie} &\times &\text{grandeur cinématique} & \\ &\!\!\!\! \text{translation} & \vec{P}_{\text{syst}}(t) &= &m_{\text{syst}} &\times & \vec{V}_G(t) & \\ \text{« }&\!\!\!\! & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & \text{ ».}\\ &\!\!\!\! \text{rotation d'axe}\;\Delta & \sigma_\Delta\! \left( \text{syst},\,t \right) &= &J_\Delta\!\left( \text{syst} \right) &\times & \overline{\Omega}(t) &\end{array}</math></center> == Signification physique du moment d’inertie d’un solide relativement à un axe == {{Al|5}}Pour un « <u>moment cinétique scalaire du solide en rotation fixé</u> »<ref> Nous verrons que la réserve cinétique du solide en rotation provient du positionnement des forces motrices et de leur action antérieure <math>\;\big[</math>plus précisément du moment scalaire des forces motrices, ce dernier étant introduit dans les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] (du vecteur moment d'une force par rapport à un point A) » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et le lien avec le moment cinétique scalaire étudié dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Causes_de_modification_du_moment_cinétique_scalaire_du_point_matériel_M_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude|causes de modification du moment cinétique scalaire du point matériel M par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>, <u>plus le moment d'inertie du solide relativement à cet axe est grand</u>, <u>plus la vitesse angulaire est faible</u> <math>\;\big\{</math>par exemple : un patineur sur glace tournant sur lui-même ralentit dès lors qu'il écarte les bras, pour le moment cinétique scalaire qu'il possède, il fait croître son moment d’inertie <math>\Rightarrow</math> sa vitesse angulaire de rotation diminue<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}parallèlement un solide ayant une <u>vitesse angulaire autour de son axe de rotation fixée</u>, aura un <u>moment cinétique scalaire par rapport à cet axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. une réserve cinétique en rotation<math>\big)\;</math> <u>d’autant plus grand</u> que <u>son moment d’inertie relativement à cet axe sera grand</u> <math>\;\big\{</math>par exemple le volant d’inertie d’un « gyrobus »<ref name="gyrobus"> Le Gyrobus était propulsé par un moteur électrique, dont l'énergie était fournie par une grande roue lancée à grande vitesse ; le moteur alimentant le volant de stockage d'énergie était réversible ; une fois le volant en acier de <math>\;1500\; kg</math>, lancé à <math>\;3000\; tr \cdot min^{-1}</math>, le moteur se transformait en générateur électrique et alimentait les moteurs permettant la propulsion du véhicule ; la recharge du volant s'effectuait lors des montées et descentes des passagers, au moyen d'une perche placée sur le véhicule ; la recharge du volant prenait de <math>\;30\; s\;</math> à <math>\;3\; min</math>, en fonction de la tension électrique appliquée aux bornes du moteur ; complètement chargé, un Gyrobus était autonome sur une distance de <math>\;6\; km\;</math> environ, à une vitesse d'environ <math>\;50\;</math> à <math>\;60\; km \cdot h^{-1}\;</math> selon le type de véhicule et la charge de ces derniers ; ces derniers ont été opérationnels vers les années <math>\;1950\;</math> à <math>\;1960\;</math> sur très peu de lignes et ont été rapidement abandonnés car le volant était beaucoup trop lourd <math>\;\ldots</math></ref> lancé avant le départ du bus avec une vitesse angulaire fixée possède un grand moment d’inertie permettant d’avoir un grand moment cinétique scalaire, ce dernier restitué progressivement fournissant une plus grande autonomie au gyrobus sans avoir besoin de relancer le volant d’inertie<math>\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe sur la répartition des masses à l’intérieur du solide, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe }}en comparant le résultat de cette mesure <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe en comparant }}à celui que l’on aurait trouvé pour un solide homogène et de même forme ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par exemple des mesures astronomiques du moment d’inertie de la Terre par rapport à son axe <math>\,\Delta_{S - N}\;</math><ref name="axe de la Terre"> Passant par son centre et de direction « pôle Sud - pôle Nord ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\Delta_{S - N}}(\text{♁}) \simeq</math> <math>0,33\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2}\;</math>», «<math>\;\big(m_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> masse et rayon de la Terre<math>\big)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}alors que {{Al|5}}si la Terre était homogène on trouverait «<math>\;\dfrac{2}{5}\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2} = 0,4\;\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2}\;</math>» d'où la présence d’une couche profonde près de l’axe de rotation plus dense que la couche superficielle, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : alors que }}{{Al|5}}{{Transparent|si la Terre était homogène on trouverait «<math>\;\color{transparent}{2\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2} = 0,4\;\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math>» d'où la présence d’une }}couche profonde définissant le noyau de la Terre ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : par exemple }}la dimension du noyau de la Terre ayant été déterminée par ondes sismiques soit <math>\;R_{\text{noyau de la ♁}} \simeq 3490\; km</math>, on en a déduit <br>{{Al|18}}{{Transparent|Remarque : par exemple }}celle de l’ensemble « manteau - croûte » comme complément à <math>\;R_{\text{♁}} \simeq 6370\; km\;</math> soit <math>\;2880\;km</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : par exemple }}la densité des couches superficielles constituant l’ensemble « manteau - croûte » étant par ailleurs déterminée <math>\,\big\{</math>entre «<math>\;2,7\,</math> et <math>\,2,9\,</math> pour la croûte d’épaisseur maximale <math>\,35\; km\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : par exemple la densité des couches superficielles constituant l’ensemble « manteau - croûte » étant par ailleurs déterminée <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}et «<math>\;\simeq 3,3\;</math> pour le manteau »<ref> Correspondant à une profondeur moyenne de <math>\;2880\;km - 35\;km \simeq 2845\;km</math>.</ref><math>\big\}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : par exemple }}associée à la détermination expérimentale du moment d’inertie de la Terre relativement à son axe <math>\;\Delta_{S - N}\;</math><ref name="axe de la Terre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : par exemple }}<math>\Rightarrow</math> un ordre de grandeur de la « densité du noyau »<ref> En fait il existe deux noyaux, l’un externe liquide <math>\;\big(</math>d'épaisseur <math>\;2270\; km\big)\;</math> et l’autre interne solide <math>\;\big(</math>de rayon <math>\;1220\; km\big)</math>, la cristallisation à partir d’une certaine profondeur correspondant à un accroissement de pression tel que la température de fusion du matériau constituant le noyau <math>\;\big(</math>c.-à-d. essentiellement le fer<math>\big)\;</math> croît plus rapidement que la température du noyau elle-même et à partir d’une certaine profondeur la température du noyau est devenue inférieure à la température de fusion du matériau constituant le noyau ; la densité du noyau liquide est approximativement <math>\;10\;</math> et celle du noyau solide approximativement <math>\;13\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> La densité moyenne de la Terre c.-à-d. constituée de « manteau - croûte » et du (ou des) noyau(x) étant <math>\;5,5</math>.</ref> correspondant à celle du fer à haute pression, d'où la conjecture d'un noyau essentiellement composé de fer <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} gbx1u2t263akj347toqtjg98hd0ukte 0 74151 982935 967396 2026-05-20T05:55:40Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982935 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 4 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] }} == Notion de vecteur moment d’une force par rapport à un point A (ou moment vectoriel d’une force) == === Définition === {{Définition|titre=Vecteur moment d'une force appliquée en M par rapport à un point A|contenu={{Al|5}}Le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F"> On se place dans le cas le plus fréquent où la force ne dépend pas explicitement du temps <math>\;t\;</math> mais la dépendance explicite de la force à <math>\;t\;</math> n'est pas a priori exclue <math>\;\big(</math>si cela doit l'être ce sera clairement précisé<math>\big)\;\ldots</math></ref> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est la grandeur vectorielle notée <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\;</math> définie par <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;</math>»<ref name="définition intronsèque du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}ses composantes et sa norme s’expriment dans le [[w:Système_international_d'unités|système international]] <math>\;\big(S.I.\big)\;</math> en «<math>\;N \cdot m\;</math>»<ref name="unité de moment de force"> C.-à-d. « Newton mètre » ; veuillez à ne pas omettre le point séparateur entre les symboles d'unité et éviter de permuter ces derniers car cumuler les deux <math>\;\big(</math>absence de point séparateur et «<math>\;m\;</math> avant <math>\;N\;</math>»<math>\big)\;</math> donnerait «<math>\;mN\;</math>» c.-à-d. « milliNewton » <math>\;\big(</math>sous multiple d'unité de force<math>\big)\;\ldots</math></ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;</math><ref name="moment et torseur statique"> C'est aussi le 2^ème vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|torseur glisseur]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{F}(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Notion_de_résultante_d'un_torseur|notion de résultante d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon <math>\;\vec{F}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;</math> ce qui est effectivement égal à <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3^ème propriété) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\;M\;</math> étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big)\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est le vecteur moment du champ vectoriel <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur moment de champ vectoriel"> Le vecteur moment d'un champ vectoriel <math>\;\vec{C}(M)\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> a été défini dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d’un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)</math>, c'est aussi le 2^ème vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> d'un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{C}(M)\;</math> dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon <math>\;\vec{C}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;</math> ce qui est effectivement égal à <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3^ème propriété) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\;M\;</math> étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big)\big]</math>.</ref>. === Propriétés === [[File:Moment vectoriel de force.png|thumb|300px|Schéma de définition du vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée en <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;\notin\;</math> au support de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>]] {{Al|5}}Le moment vectoriel de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport à <math>\;A</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\,</math>» est <math>\bullet\;</math>nul si «<math>\;A\;</math> est sur le support de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> »<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 1"> Voir la 1^ère partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant alors colinéaires <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\bullet\;</math>non nul si « le support de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> ne passe pas par <math>\;A\;</math>»<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2"> Voir la 2^ème partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant alors coplanaires <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l’ensemble <math>\;\left\lbrace \vec{F}(M)\,,\, A \right\rbrace\;</math> formant un plan : dans ce cas, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\,</math>» est <math>\succ\;</math>de direction <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\left\lbrace \vec{F}(M)\,,\, A \right\rbrace\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2" /> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\succ\;</math>de sens tel que <math>\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace</math> direct si l'espace physique <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de sens tel que <math>\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace}</math> }}est orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> »<ref name="trièdre direct d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big(</math>voir schéma ci-contre, sauf avis contraire, ce sera toujours le cas envisagé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\succ\;</math>de sens tel que <math>\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace</math> indirect <math>\big(</math>au sens de la <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}physique<math>\big)\;</math><ref name="au sens de la physique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] (préliminaire) » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour la justification de l'ajout « au sens de la physique ».</ref> si l'espace physique est orienté à gauche<ref name="orienté à gauche"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>cas pratiquement <br>{{Al|22}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>physique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> si l'espace physique est orienté à gauche }}jamais envisagé<math>\big)\;</math>»<ref name="trièdre indirect au sens de la physique d'un espace orienté à gauche"> Un trièdre est direct <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans un espace orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> s'il obéit à la règle de la main gauche, voir la description de la règle dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-19|¹⁹]] » de ce même chap.<math>7</math> de cette même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2" />, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\succ\;</math>de norme «<math>\;\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \Big\Vert = \Big\Vert \overrightarrow{AM}(t) \Big\Vert\; \Vert \vec{F}(M) \Vert\; \Bigg\vert \sin\! \left[ \widehat{ \overrightarrow{AM}(t)\,,\,\vec{F}(M)} \right] \Bigg\vert = \Vert \vec{F}(M) \Vert\, \left\lbrace \Big\Vert \overrightarrow{AM}(t) \Big\Vert\;\vert \sin\! \left( \alpha \right) \vert \right\rbrace</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de norme «<math>\;\color{transparent}{\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \Big\Vert}</math> }}<math>= \Vert \vec{F}(M) \Vert\;\mathsf{d}(t)\;</math>»<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2" /> dans laquelle <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\mathsf{d}(t)\,</math> est la distance <math>\,\perp\,</math> entre le support de <math>\,\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> à l'instant <math>\,t\,</math> et le point origine <math>\,A\,</math> de définition de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\mathsf{d}(t)}\,</math> est }}grandeur appelée « <u>bras de levier de la force</u><math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> <u>relativement à </u><math>\;A\;</math>»<ref> Cette notion de « bras de levier de force » est définie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#2ème_méthode_de_détermination_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ,_notion_de_bras_de_levier_de_la_force_relativement_à_l'axe|2^ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe]] » plus loin dans le chapitre car, dans l’intitulé du programme de physique de P.C.S.I., elle est introduite dans la définition du moment scalaire d’une force relativement à un axe mais personnellement <br>{{Al|3}}je conseille de prendre l’habitude de déterminer la direction et le sens du moment vectoriel de la force puis d'évaluer sa norme comme le produit de la norme de la force et du bras de levier de celle-ci relativement au point origine <math>\;A\;</math> de définition du vecteur moment de la force.</ref>. === Changement d’origine de calcul du moment vectoriel d’une force === {{Al|5}}Le « vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}étant le « vecteur moment du champ vectoriel <math>\;\vec{F}(M)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="vecteur moment de champ vectoriel" />, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}la formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel s'y applique <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{C}(M) \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{C}(M)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel"> <math>\;\mathcal{E}\;</math> étant l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique tridimensionnel.</ref>{{,}}<ref name="formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_de_vecteur_moment_d’un_champ_vectoriel|formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où le champ vectoriel <math>\;\vec{C}(M)\;</math> est la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, soit <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{F}(M)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />. == Définition du moment (scalaire) d’une force par rapport à un axe Δ, bras de levier de la force == === Équiprojectivité du « moment vectoriel d'une force » === {{Al|5}}Un champ de vecteurs <math>\;\vec{f}(M)\;</math> d'un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> étant <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> ssi «<math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{f}(N) \cdot \overrightarrow{MN}\;</math>»<ref name="définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, nous savons que <br>{{Al|5}}le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque <math>\;\vec{C}(M)\;</math> défini par <math>\;\forall\;P \in \mathcal{E}\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{PM} \wedge \vec{C}(M)\;</math><ref name="vecteur moment de champ vectoriel" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque <math>\;\color{transparent}{\vec{C}(M)}\;</math> }}est <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> c.-à-d. «<math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />, <math>\;\;\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\quad\forall\;\vec{C}(M)\;</math>»<ref name="équiporjectivité du vecteur moment d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Notion_d’«_équiprojectivité_»_du_«_champ_de_vecteurs_moment_d’un_champ_vectoriel_»|notion d'équiprojectivité du champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le « vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}étant le « vecteur moment du champ vectoriel <math>\;\vec{F}(M)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="vecteur moment de champ vectoriel" />, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}on peut lui appliquer la propriété d'<u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectivité]]</u> soit «<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />, <math>\;\;\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'}\;</math>»<ref name="équiporjectivité du vecteur moment d'un champ vectoriel" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}étant aussi le « 2^ème vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <ref name="définition d'un torseur glisseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définiyion_d'un_Torseur_statique|définiytion d'un torseur glisseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{F}(M)\;</math>»<ref name="moemnt et torseur glisseur - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3^ème propriété) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\;M\;</math> étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon <math>\;\vec{F}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;</math> ce qui est effectivement égal à <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(M)</math>.</ref>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant aussi }}« [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]]<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat}}\;</math>d’[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A</math>, <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}(M)\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\end{array}\right\rbrace_A</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le « moment d'un [[w:Torseur|torseur]] au point <math>\;A\;</math>» étant <u>par définition</u> un « champ de vecteurs <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> »<ref name="définition d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur|définition d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\big(</math>sans autre développement<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le « vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> ». === Définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ === {{Al|5}}Considérant un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque"> Au sens « fixe » ou « mobile ».</ref> et deux points quelconques <math>\;\big(</math>distincts<math>\big)\;</math> de cet axe <math>\;\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque }}l'[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectivité]] du vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'}\;</math>»<ref name="invariants de torseur"> Il s'agit aussi d'un invariant du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <math>\;\big[</math>voir la notion d'invariants de [[w:Torseur|torseur]] dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Invariants_d'un_torseur|invariants d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}soit, en orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AA'} = \overline{AA'}\;\vec{u}_\Delta\;</math> et en simplifiant par <math>\;\overline{AA'} \neq 0</math>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»<ref> On peut le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] + \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{F}(M)\;</math>» <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_moment_vectoriel_d'une_force|changement d'origine de calcul du moment vectoriel d'une force]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et en multipliant scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on obtient alors, par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'égalité cherchée car «<math>\;\left[ \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» dans la mesure où <math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math> étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le produit mixte est nul <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, cette valeur constante sur <math>\;\Delta\;</math> définissant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}le moment <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>. {{Définition|titre= Moment (scalaire) d'une force par rapport à un axe Δ|contenu = {{Al|5}}Le moment <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est la grandeur scalaire, définie à l'instant <math>\;t</math>, par <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\; A \in \Delta\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par }}«<math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]\;</math> le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par « }}matériel <math>\;M\;</math> évalué en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\Delta\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta\;</math>».}} === 1^ère méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ === {{Al|5}}Pour exprimer le moment scalaire d’une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à un axe <math>\;\Delta\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on peut * déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point <math>\;A\, \in\, \Delta\;</math> dans une base orthonormée « directe si l'espace est orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> »<ref name="trièdre direct d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>pratiquement toujours le cas considéré<math>\big)\;</math> ou <br>{{Transparent| déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point <math>\;\color{transparent}{A\, \in\, \Delta}\;</math> dans une base orthonormée }}« indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math><ref name="au sens de la physique" /> si l'espace est orienté à gauche<ref name="orienté à gauche" /> »<ref name="trièdre indirect au sens de la physique d'un espace orienté à gauche" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent| déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point <math>\;\color{transparent}{A\, \in\, \Delta}\;</math> dans une base orthonormée « indirecte <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>au sens de la physique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>}}<math>\big(</math>cas pratiquement jamais envisagé<math>\big)\;</math> et * multiplier scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="choix de la base"> <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant usuellement le 3^ème vecteur de la base et dans ce cas, le produit scalaire avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> du moment vectoriel de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> est la 3^ème composante de ce dernier dans la base de calcul.</ref> pour obtenir le moment scalaire cherché<ref> Ce n’est toutefois pas la meilleure méthode de détermination et de très loin !.</ref>. === 2^ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe === {{Al|5}}Méthode à préférer car c'est, en général et de très loin, la plus rapide. {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : De «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta\;</math>», produit mixte des trois vecteurs «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math>»<ref name="définition d'un produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : De «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta}\;</math>», }}ce dernier est nul si ces trois vecteurs sont coplanaires<ref name="définition d'un produit mixte - 1"> Voir la 1<suo>ère</sup> partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}or «<math>\;A \in \Delta\;</math>» alors que «<math>\;M\;</math> a priori <math>\;\notin \Delta\;</math>»<ref name="cas où M sur Delta"> Si «<math>\;M \in \Delta\;</math>», <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> sont colinéaires <math>\Rightarrow</math> le produit mixte des trois vecteurs «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math>» est nul <math>\Rightarrow</math> la nullité du moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> d'où : <br>{{Al|3}}« <u>si l’axe</u><math>\;\Delta\;</math><u>passe par le point</u><math>\;M</math>, <u>point d’application de la force</u><math>\;\vec{F}(M)</math>, <u>le moment scalaire de</u><math>\;\vec{F}(M)\;</math><u>par rapport à cet axe est nul</u> ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> ne sont pas colinéaires et forment un plan <math>\;( \Pi )\;</math>», on a deux cas de figures suivant que <math>\;\vec{F}(M) \subset ( \Pi )\;</math> ou <math>\;\cancel{\subset}\; ( \Pi )\;</math> : [[File:Moment scalaire de force.png|left|thumb|Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe coupant ce dernier]] [[File:Moment scalaire de force - bis.png|right|thumb|Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe ne coupant pas ce dernier]] {{Al|5}}Ci-contre à gauche le cas de figure dans lequel la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> appartient au plan <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à gauche }}les trois vecteurs <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant coplanaires le moment scalaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport à <math>\;\Delta\;</math> est nul<ref name="définition d'un produit mixte - 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à gauche }}soit mathématiquement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = 0\;</math>» ; {{Al|5}}Ci-contre à droite le cas de figure dans lequel la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> n'appartient pas au plan <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}les trois vecteurs <math>\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, <math>\overrightarrow{AM}(t)</math> et <math>\vec{u}_\Delta</math> n'étant pas coplanaires le moment scalaire de <math>\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport à <math>\Delta</math> est <math>\neq 0\;</math><ref name="définition d'un produit mixte - 2"> Voir la 2<suo>ème</sup> partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}soit mathématiquement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \neq 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}décomposant la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> en une composante <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\vec{F}_{\parallel}\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> en }}une composante <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\vec{F}_{\perp}\;</math>» soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}«<math>\;\vec{F}(M) = \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M)\;</math>», on déduit de la distributivité de la multiplication mixte<ref name="définition d'un produit mixte" /> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M) = \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M)}\;</math>», on déduit de la distributivité }}par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributuvité de la multiplication mixte par rapport à l'addition vectorielle"> Résulte de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> relativement à l'addition vectorielle.</ref> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left\lbrace \overrightarrow{AM}(t) \wedge \left[ \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]}</math> }}<math>= \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_{\parallel}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_{\perp}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]}</math> }}<math>= \cancel{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\parallel}(M)\,,\,t \right]\; +}\; \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]\;</math>», le 1^er terme étant nul<ref> Deux vecteurs <math>\;\left\lbrace \vec{F}_{\parallel}(M)\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> sur les trois du produit mixte étant colinéaires, les trois sont donc coplanaires <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math></ref> ; [[File:Moment scalaire de force - ter.png|thumb|300px|Schéma en vue de dessus de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la composante de la force sur le plan perpendiculaire à l'axe appliquée en un point extérieur à l'axe ne passant pas par la trace de ce dernier sur le plan]] {{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}il reste donc à évaluer <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]</math> <math>\;\big[</math>schéma ci-contre à droite<math>\big]</math> : <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}<math>\succ\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\big[</math>le sens «<math>\;+\;</math>» de rotation dans le plan <math>\,\perp\,</math> à l’axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}passant par <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>c.-à-d. le plan de la figure ci-contre<math>\big)\,</math> étant <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}défini par le sens de <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big(</math>sur l'exemple ci-contre sens <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>défini par le sens de <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}trigonométrique<ref name="sens trigonométrisue"> Ou sens direct ou sens prograde ou sens anti-horaire, les contaires étant sens anti-trigonométrique ou sens indirect ou sens rétrograde ou sens horaire.</ref><math>\big)\big]</math> : <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>» le moment scalaire est <math>\,> 0\,</math> et <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» le moment scalaire est <math>\,< 0</math>, <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord }}d'où, dans l’exemple ci-contre, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] < 0\;</math>», <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}<math>\succ\;</math>ensuite on détermine la valeur absolue du moment scalaire par «<math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] \Big\vert = \Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>»<ref name="justification de la norme du moment vectoriel d'une force"> Pour la justification, voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Propriétés|Propriétés]] (norme du moment vectoriel d'une force » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> où <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite }}«<math>\;\mathsf{d}(t)\,</math> est le <u>'''bras de levier'''</u>, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite «<math>\;\color{transparent}{\mathsf{d}(t)}\,</math> est }}la « <u>'''distance orthogonale entre le support de</u><math>\;\mathbf{\vec{F}_{\perp}(M)}\;</math><u>et l’axe'''</u> »<ref name="précision sur bras de levier"> Le bras de levier d'une force relativement à un axe n'est donc défini que lorsque le support de la force est <math>\;\perp\;</math> à l'axe, le bras de levier étant une grandeur non algébrisée <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}<math>\succ\;</math>enfin on en déduit la valeur de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]\;</math>» : <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>enfin }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = +\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>» et <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>enfin }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = -\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>cas de la figure immédiatement au-dessus<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Si « le support de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> coupe <math>\;\big(</math>au sens large<ref name="coupe au sens large"> C.-à-d. coupe effectivement <math>\;\big(</math>c.-à-d. un seul point d'intersection<math>\big)</math>, ou est confondu avec <math>\;\big(</math>c.-à-d. une infinité de points d'intersection<math>\big)\;</math> ou est <math>\;\parallel\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. un seul point d'intersection à l'infini<math>\big)\;\ldots</math></ref><math>\big)\;</math> l'axe <math>\;\Delta\;</math> de définition du moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> », <br>{{Al|14}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> coupe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>au sens large<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}le moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> est nul «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}si « le support de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> et l’axe <math>\;\Delta\;</math> de définition du moment scalaire de cette force ne sont pas coplanaires », <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}le moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> est non nul «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \neq 0\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition le moment scalaire de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est égal au moment scalaire de la composante <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> sur le <br>{{Al|12}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition le moment scalaire de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est égal au moment scalaire de la composante }}plan passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe : <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}<math>\succ\;</math>si <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> tend à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = +\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}<math>\succ\;</math>si <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> tend à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = -\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>», <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}avec «<math>\;\mathsf{d}(t)\;</math> le <u>bras de levier</u>, à l'instant <math>\;t</math>, de <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» dans les deux cas. === Exemples de calcul de moment scalaire de force : moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide et moment scalaire du poids dans l’exemple du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Toujours préférer faire des schémas de situation avec des « paramètres de position positifs » de façon à raisonner sur le schéma sans avoir à « tenir compte du signe du paramètre »<ref> Intuitivement un paramètre de position est toujours considéré positif et par suite si on représente un schéma avec paramètre de position négatif, il y a risque d’erreur de signe <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S<ref name="P.P.S."> Pendule Pesant Simple.</ref>. à un degré de liberté <math>\,\big[</math>à <math>\,t = 0\,</math> le P.P.S<ref name="P.P.S." />. étant écarté de <math>\,\theta_0\,</math> de sa position d’équilibre stable <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}lâché sans vitesse initiale <math>\,\dot{\theta}_0 = 0</math>, le point matériel <math>\,M\,</math> décrit alors un mouvement circulaire <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de rayon <math>\,\mathit{l}\;</math><ref name="notation pour P.P.S."> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige <math>\;\big(</math>ou du fil tendu<math>\big)\;</math> du P.P.S. <math>\;\ldots</math></ref> d'axe <math>\,\Delta\;\perp\,</math> au plan vertical de lancement<ref name="mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçcon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. }}en faisant deux schémas de situation avec un changement de signe du paramètre de position <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. en faisant deux schémas de situation }}pour y souligner l'intérêt de faire un schéma avec <math>\;\theta(t) > 0\;</math> <math>\ldots</math> {{Al|5}}<u>Schémas de situation à l'instant</u><math>\;t</math> avec <math>\;\theta(t) > 0\;</math> à gauche <math>\;\big(</math><u>schéma souhaitable</u><math>\big)\;</math> et <math>\;\theta(t) < 0\;</math> à droite <math>\;\big(</math><u>schéma à éviter</u> autant que possible<math>\big)</math> : [[File:Pendule pesant simple à un degré de liberté.png|left|thumb|300px|Schéma représentant un pendule pesant simple <math>\;\big(</math>P.P.S.<math>\big)\;</math> à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est positif]] [[File:Pendule pesant simple à un degré de liberté - bis.png|right|thumb|300px|Schéma représentant un pendule pesant simple <math>\;\big(</math>P.P.S.<math>\big)\;</math> à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est négatif]] {{Al|5}}Ci-contre à gauche schéma représentant un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur <math>\;M\;</math> à un instant où l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de ce dernier est <math>\;> 0</math>, <u>schéma souhaitable</u> n'induisant pas d'erreur potentielle de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de <math>\;M</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\;</math>» si on oublie le signe de <math>\;\theta</math> ; {{Al|5}}ci-contre à droite schéma représentant un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur <math>\;M\;</math> à un instant où l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de ce dernier est <math>\;< 0</math>, <u>schéma à éviter</u> car susceptible d'induire une erreur de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de <math>\;M</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\;</math>» si on oublie le signe de <math>\;\theta</math>, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite }}on observe, sur le schéma de droite, que <math>\;m\;\vec{g}\;</math> tendant à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] > 0\;</math>»}} avec <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathsf{d}\;</math> dans laquelle le bras de levier de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> s'écrit «<math>\;\mathsf{d} = \mathit{l}\;\vert \sin(\theta) \vert\;</math>»<ref name="précision sur bras de levier - bis"> On rappelle que le bras de levier d'une force étant une grandeur non algébrisée est toujours <math>\;\geqslant 0\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="notation pour P.P.S." /> d'où l'erreur potentielle si on oublie le signe de <math>\;\theta\;</math> du schéma en écrivant «<math>\;\cancel{\mathsf{d} = \mathit{l}\;\sin(\theta)}\;</math>»<ref name="notation pour P.P.S." /> ce qui conduit à un bras de levier <math>\;< 0\;</math> contraire à la définition d'un bras de levier<ref name="précision sur bras de levier - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite on observe, }}<math>\;\big[</math>en fait, comme <math>\;\theta\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma ci-contre à droite, on a «<math>\;\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\;</math>» et par suite «<math>\;\mathsf{d} = -\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta) > 0\;</math> conforme au signe du moment scalaire de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> observé sur le schéma, <math>\;\big(g\;</math> étant l'intensité de la pesanteur c.-à-d. <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\big)\big]</math>. {{Al|5}}<u>Évaluation du moment scalaire du poids du P.P.S<ref name="P.P.S." />. relativement à l'axe</u><math>\underline{\;\Delta}</math> <math>\;\big(</math>sur le schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : on observe, sur ce schéma, que <math>\;m\;\vec{g}\;</math> tendant à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] < 0\;</math>» avec <math>\;\big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \big\vert</math> <math>= \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathsf{d}\;</math> dans laquelle le bras de levier de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\mathsf{d} = \mathit{l}\;\vert \sin(\theta) \vert</math>}} <math>= \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>»<ref name="notation pour P.P.S." /> <math>\;\big\{\theta > 0\;</math> sur le schéma<math>\big\}</math>, <br>{{Al|66}}soit <math>\;\big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \big\vert = \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math><ref name="notation pour P.P.S." /> et, en posant <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math><ref name="intensité de la pesanteur"> <math>\;g\;</math> est donc l'intensité de la pesanteur <math>\;\ldots</math></ref>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g}\,,\, t \right] = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>»<ref> On trouve le même résultat en réalisant un schéma avec <math>\;\theta < 0\;</math> <u>à condition d'être très attentif aux signes</u> comme cela a été établi dans l'apparté entre crochets ci-dessus <math>\;\big[</math>toutefois je rappelle qu'il est <u>fortement conseillé</u> d'éviter de faire des schémas avec un paramètre de position négatif<math>\big]</math>.</ref> compte-tenu de son caractère négatif sur ce schéma. {{Al|5}}<u>Évaluation du moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide du P.P.S<ref name="P.P.S." />. relativement à l'axe</u><math>\underline{\;\Delta}</math> <math>\;\big(</math>sur le schéma ci-dessus à gauche<math>\big)</math> : le support de la tension <math>\;\vec{T}(t)\;</math> de la tige idéale rigide coupant l’axe <math>\;\Delta</math>, son moment scalaire par rapport à cet axe est nul soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = 0\;</math>»<ref name="autre justification du moment scalaire de la tension nul"> On pouvait aussi justifier la nullité du moment scalaire de <math>\;\vec{T}(t)\;</math> en disant que le bras de levier de <math>\;\vec{T}(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est nul.</ref>{{,}}<ref> On aurait évidemment obtenu le même résultat en travaillant sur le schéma de droite avec <math>\;\theta < 0\;</math> et ceci sans possibilité d'erreur <math>\;\big[</math>toutefois je rappelle qu'il est <u>fortement conseillé</u> d'éviter de faire des schémas avec un paramètre de position négatif<math>\big]</math>.</ref>. == Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels, généralisation à un système continu fermé de matière == === Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}La distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> dans lequel {{Nobr|«<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»}} introduite au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_et_système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures et système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » est rappelée ci-dessous : * le système des forces extérieures appliquées au système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> est l'ensemble des forces <math>\;\left\lbrace \vec{F}_{i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace} \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur au système de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> exerce sur chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> de ce dernier ; * le système des forces intérieures agissant dans le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> est l'ensemble des forces <math>\;\left\lbrace \vec{F}_{i\, \leftarrow\, j} \right\rbrace_{\left( i\,,\, j\,\neq\,i \right)\, \in\, \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^{\,2}}\;</math> que chaque point matériel <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> exerce sur chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> de ce dernier. === Généralisation à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle === {{Al|5}}Il existe deux types principaux de forces s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle qui seront vus plus en détail aux paragraphes « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champs_de_forces_volumique_ou_surfacique_dans_un_fluide,_exemples|champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples]] », « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champ_de_force_volumique_et_sa_densité_volumique_de_force,_retour_sur_les_exemples|champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples]] » et « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champ_de_force_surfacique_et_sa_densité_surfacique_de_force,_cas_de_la_densité_surfacique_de_force_pressante|champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] » : * les <u>forces volumiques</u><math>\;\big(</math>forces de champ<math>\big)\;</math> s’exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\mu(M)\;</math> est la masse volumique du système continu en <math>\;M</math>, pseudo-point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo-point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref>, forces volumiques notées <math>\;d\vec{F}_{\!V}(M) = \vec{f}_{\!V}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> avec <math>\;\vec{f}_{\!V}(M)\;</math> densité volumique de force de champ au point <math>\;M\;</math> et * les <u>forces surfaciques</u><math>\;\big(</math>forces de contact<math>\big)\;</math> s'exerçant sur chaque surface élémentaire de la surface fermée limitant un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, forces surfaciques notées <math>\;d^2\!\vec{F}_{\!S}(N_M) =</math> {{Nobr|<math>\vec{f}_{\!S}(N_M)\;d^2 S_{N_M}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux"> L'aire de la surface fermée limitant le pseudo-point étant comme le volume de ce dernier infiniment petite, une surface élémentaire de cette surface fermée est d'aire infiniment petite relativement à l'aire de la surface fermée, elle est donc infiniment petite d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref>}} avec <math>\;\vec{f}_{\!S}(N_M)\;</math> densité surfacique de force de contact au point <math>\;N_M</math> <math>\;\big[N_M\;</math> désignant un point de la surface fermée limitant le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}On fait également la distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en prolongeant celle faite dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Distinction_entre_forces_extérieures_et_intérieures_appliquées_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels]] » ci-dessus selon : * les forces extérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir <br><math>\succ\;</math>des forces volumiques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de champ<math>\big)</math> <math>\;d\vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou <br><math>\succ\;</math>des forces surfaciques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de contact<math>\big)</math> <math>\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N) = \vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N)\;d^2 S_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux" /> que l'extérieur du système exerce sur chaque point <math>\;N\;</math> de la surface fermée limitant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ; * les forces intérieures agissant dans le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> limitée par la surface fermée <math>\;\left( S \right)\;</math> sont <br><math>\succ\;</math>des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\;\big(</math>elles sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bivolumiques »<ref name="forces bivolumiques"> En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément de volume de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bivolumiques ».</ref><math>\big)\;</math> à savoir <math>\;d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - bis"> Les forces entre deux pseudo-points d'expansion tridimensionnelle étant proportionnelles aux deux éléments de volume de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément de volume, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> force que le pseudo-point centré en <math>\;M'\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce sur le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\;\Bigg\{</math>le rapport <math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathcal{V}_M\,d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> pourrait être appelé densité bivolumique de force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\Bigg\}</math> ou <br><math>\succ\;</math>des forces de contact entre deux pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> voisins <math>\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^2S_N \right\rbrace}(N)</math> <math>= \vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^2 S_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Dans le cas où le système continu de matière devient d'<u>expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> parce que une des dimensions de l'expansion volumique initiale est infiniment petite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des <u>forces surfaciques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d \mathcal{S}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d \mathcal{S}_M</math>, dans lequel <math>\;\sigma(M)\;</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\;M</math>, pseudo-point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide bidimensionnel, le pseudo-point est appelé « particule de fluide (bidimensionnel) »<math>\big]</math>.</ref> notées <math>\;d\vec{F}_{\!S}(M) =</math> <math>\vec{f}_{\!S}(M)\;d \mathcal{S}_M\;</math> avec <math>\;\vec{f}_{\!S}(M)\;</math> densité surfacique de force de champ au point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 :}}les forces surfaciques de contact initiales {{Transparent|sont à remplacer}} par des forces linéiques de contact s'exerçant sur chaque longueur élémentaire de la courbe fermée limitant un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, notées <math>\;d^2\!\vec{F}_{\!\mathit{l}}(N_M) = \vec{f}_{\!\mathit{l}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - ter"> La longueur de la courbe fermée limitant le pseudo-point étant comme l'aire de ce dernier infiniment petite, une partie élémentaire de cette courbe fermée est de longueur infiniment petite relativement à la longueur de la courbe fermée, elle est donc infiniment petite d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> avec <math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l}}(N_M)\;</math> densité linéique de force de contact au point <math>\;N_M</math> <math>\;\big[N_M\;</math> désignant un point de la courbe fermée limitant le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /><math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir <br><math>\succ\;</math>des forces surfaciques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de champ<math>\big)</math> <math>\;d\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{S}_M\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> ou <br><math>\succ\;</math>des forces linéiques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de contact<math>\big)</math> <math>\;d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N) = \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N)\;d^2 \mathit{l}_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - ter" /> que l'extérieur du système exerce sur chaque point <math>\;N\;</math> de la courbe fermée limitant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : on distingue : }}les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;\left( C \right)\;</math> sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> <math>\;\big(</math>sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bisurfaciques »<ref name="forces bisurfaciques"> En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément d'aire de l'expansion surfacique sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bisurfaciques ».</ref><math>\big)\;</math> à savoir <math>\;d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - tétra"> Les forces entre deux pseudo-points d'expansion surfacique étant proportionnelles aux deux éléments d'aire de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément d'aire, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> force que le pseudo-point centré en <math>\;M'\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> exerce sur le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>le rapport <math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathcal{S}_M\,d \mathcal{S}_{M'}}\;</math> pourrait être appelé densité bisurfacique de force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\Bigg\}</math> ou des forces de contact entre pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> voisins <math>\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N)= </math> <math>\vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^2 \mathit{l}_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - ter" />. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Dans le cas où le système continu de matière devient d'<u>expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> parce que deux des dimensions de l'expansion volumique initiale sont infiniment petites, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des <u>forces linéiques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, dans lequel <math>\;\lambda(M)\;</math> est la masse linéique du système continu en <math>\;M</math>, pseudo-point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide monodimensionnel, le pseudo-point est appelé « particule de fluide (monodimensionnel) »<math>\big]</math>.</ref> notées <math>\;d\vec{F}_{\!\mathit{l}}(M) =</math> <math>\vec{f}_{\!\mathit{l}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math> avec <math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l}}(M)\;</math> densité linéique de force de champ au point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 :}}les forces surfaciques de contact initiales {{Transparent|sont à remplacer}} par des forces de contact s'exerçant entre chaque pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> voisin, notées <math>\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\;</math> ou <math>\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M)\;</math> suivant que le pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> voisin du pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> centré en <math>\;M\;</math> est situé d'un côté ou de l'autre <math>\;\big\{</math>forces de contact exercées sur l'un ou l'autre des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> extrêmes limitant l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir <br><math>\succ\;</math>des forces linéiques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de champ<math>\big)</math> <math>\;d\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{l}_M\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> ou <br><math>\succ\;</math>les forces de contact exercées sur les pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> extrêmes limitant l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, <math>\;\vec{f}_{N_g\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N_g)\;</math> ou <math>\;\vec{f}_{N_d\,\leftarrow\,\text{ext}_{l'}}(N_d)\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque point extrême limitant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> suivant le côté considéré ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : on distingue : }}les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> <math>\,\big(</math>sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bilinéiques »<ref name="forces bilinéiques"> En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément de longueur de l'expansion linéique sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bilinéiques ».</ref><math>\big)\,</math> à savoir <math>\,d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - penta"> Les forces entre deux pseudo-points d'expansion linéique étant proportionnelles aux deux éléments de longueur de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément de longueur, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> force que le pseudo-point centré en <math>\,M'\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> exerce sur le pseudo-point centré en <math>\,M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> <math>\,\Bigg\{</math>le rapport <math>\,\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathit{l}_M\,d \mathit{l}_{M'}}\,</math> pourrait être appelé densité bilinéique de force que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\Bigg\}</math> ou des forces de contact entre pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> voisins <math>\,\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\,</math> ou <math>\,\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M)\,</math> suivant que le pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> voisin du pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> centré en <math>\,M\,</math> est situé d'un côté ou de l'autre. == Conséquence du principe des actions réciproques sur le système des forces intérieures == {{Al|5}}Le principe des actions réciproques <math>\;\big(</math>ou 3^ème loi de Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien et astronome britannique, surtout connu pour avoir fondé la mécanique classique et avoir développé le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ([[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]) dont la paternité doit être partagée avec le philosophe, scientifique, mathématicien allemand '''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' pour qui l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] fut la contribution principale, dans le domaine mathématique, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment.</ref><math>\big)\;</math> a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques_et_commentaires|énoncé du principe des actions réciproques et commentaires]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », il ne s'agit donc que d'un rappel dans les deux 1^ers sous-paragraphes ci-dessous. === Rappel : énoncé du principe des actions réciproques === {{Théorème|titre=Principe des actions réciproques (ou 3^ème loi de Newton)|contenu={{Al|5}}Pour deux points matériels <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> en interaction telle que <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}\;</math> décrive l'action de <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;M_1\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points"> La force décrivant l'action de <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;M_1\;</math> est encore notée <math>\;\vec{F}_{1\,,\,2}\;</math> et celle décrivant l'action de <math>\;M_1\;</math> sur <math>\;M_2\;</math> encore notée <math>\;\vec{F}_{2\,,\,1}\;</math> avec l'objet subissant l'action en 1^er indice et l'objet source de l'action en 2^nd.</ref> et <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> l'action de <math>\;M_1\;</math> sur <math>\;M_2\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points" />, on a à tout instant et quels que soient les mouvements de <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2</math> : <center>«<math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math>» <br>et<br>«<math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}\;</math>»<ref> Ce qui est équivalent à «<math>\;\overrightarrow{M_2M_1} \wedge \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math>».</ref>.</center>}} === Rappel : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}La résultante des forces intérieures <math>\,\vec{F}_{\text{int}}\,</math> s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec «<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» étant définie selon «<math>\,\vec{F}_{\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]</math> <math>= \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;</math>»<ref name="résultante des forces intérieures sur système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|définition de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste"> En <u>dynamique relativiste</u>, <u>le principe des actions réciproques reste applicable</u> dans la mesure où les forces utilisées sont <u>invariantes par changement de référentiel</u> <math>\;\big(</math>et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique <math>\;\left\lbrace \vec{E}\,,\,\vec{B} \right\rbrace\;</math> dans sa globalité<math>\big)</math>.</ref> « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système de points matériels fermé <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>»<ref name="démonstration de la nullité de la résultante des forces intérieures sur système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#1ère_conséquence_du_principe_des_actions_réciproques_en_dynamique_newtonienne,_la_nullité_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|1^ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système (discret) de points matériels fermé]] (démonstration) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. === Généralisation : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière === {{Al|5}}La résultante des forces intérieures <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant définie selon «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bivolumique"> Il s'agit d'une intégrale bivolumique c.-à-d. de deux intégrales volumiques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales volumiques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bivolumique <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}</math> en deux intégrales volumiques emboîtées, <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" /> et «<math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right]\;</math>»<ref name="intégrale quintuple"> On forme d'abord une intégrale surfacique pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;dS_M\;</math> la surface fermée limitant l'expansion volumique élémentaire <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{V}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale volumique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où la réécriture de l'intégrale quintuple <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right] =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux" />, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque résultante partielle <math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque résultante partielle et par suite « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}La résultante des forces intérieures <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> étant définie selon «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bisurfacique"> Il s'agit d'une intégrale bisurfacique c.-à-d. de deux intégrales surfaciques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales surfaciques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bisurfacique <math>\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math> en deux intégrales surfaciques emboîtées avec explicitation de l'argument <math>\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \!\!\!\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\;d \mathcal{S}_{M'} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - ter" /> et «<math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right]\;</math>»<ref name="intégrale triple"> On forme d'abord une intégrale curviligne pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;d\mathit{l}_M\;</math> le contour fermé limitant l'expansion surfacique élémentaire <math>\;d \mathcal{S}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{S}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale surfacique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où l'intégrale triple <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right] =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\; \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" />, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque résultante partielle <math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque résultante partielle et par suite « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}La résultante des forces intérieures <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> étant définie selon «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}</math>}} <math>= \displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bicurviligne"> Il s'agit d'une intégrale bicurviligne c.-à-d. de deux intégrales curvilignes emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales curvilignes dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bicurviligne <math>\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \!\!d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math> en deux intégrales curvilignes emboîtées avec explicitation de l'argument <math>\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \!\!\!\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\;d \mathit{l}_{M'} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - penta" /> et «<math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] (PCSI) ».</ref>{{,}}<ref name="signification Mg et Md" > Les points <math>\;M_g\;</math> et <math>\;M_d\;</math> étant les deux points de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> voisins de <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;\ldots</math></ref>, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque résultante partielle <math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque résultante partielle et par suite « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>». === Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un « point origine quelconque A », moment résultant scalaire de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ » === ==== Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque ==== {{Al|5}}Le vecteur moment résultant, par rapport au point origine <math>\;A</math>, des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec «<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» est définie selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right) \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> « <u>la nullité du moment résultant vectoriel des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système de points matériels fermé <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : « en associant les termes de la somme <math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;</math> par couple <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\,,\, \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} \right\rbrace\;</math>» dont la somme vaut «<math>\;\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} =</math> <math>\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \left( -\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right)</math> après avoir utilisé la 1^ère relation du principe des actions réciproques à savoir <math>\;\vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} = -\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\;</math>» ou encore, après « factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\;</math>»<ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> et utilisation de la relation de Chasles<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> sur l’autre facteur «<math>\;\left[ \overrightarrow{AM_i} - \overrightarrow{AM_j} \right] \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} = \overrightarrow{M_jM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} = \vec{0}\;</math> par la 2^ème partie du principe des actions réciproques » d'où la nullité de chaque somme de couple «<math>\;\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} = \vec{0}\;</math>» et par suite, en faisant la somme sur tous les couples différents possibles «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\;</math>». ==== Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque ==== {{Al|5}}De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\;</math> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique"> <math>\;\mathcal{E}\;</math> étant l'[[w:Espace_affine|espace affine]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien|euclidien]] modélisant l'espace physique.</ref> et <br>{{Al|5}}de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> à partir du vecteur moment relativement à un point <math>\;A\;</math> de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on en tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|de }}la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} =</math> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> puis <br>{{Al|5}}on en déduit « <u>la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système de points matériels fermé <u>en dynamique newtonienne</u> <math>\;\big(</math>et aussi relativiste<math>\big)\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = 0,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. === Généralisation : vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un « point origine quelconque A », moment scalaire résultant de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ » === ==== Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un point origine A quelconque ==== {{Al|5}}Du vecteur moment résultant par rapport au point origine quelconque <math>\,A\;</math><ref name="quelconque" /> des forces intérieures <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}}\,</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} =</math> <math>\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bivolumique - bis"> Il s'agit d'une intégrale bivolumique c.-à-d. de deux intégrales volumiques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales volumiques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bivolumique <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) \right]</math> en intégrales volumiques emboîtées selon <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) =</math> <math>\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" /> et «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale quintuple - bis"> On forme d'abord une intégrale surfacique pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;dS_M\;</math> la surface fermée limitant l'expansion volumique élémentaire <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{V}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale volumique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où la réécriture de l'intégrale quintuple selon <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right\rbrace\;</math> en explicitant le moment vectoriel ou encore <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M}\; \right] d \mathcal{V}_M\;</math> en détaillant la force à intégrer <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux" />, on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> <math>\;\big(</math>appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale bivolumique<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathcal{V}_M \right] d \mathcal{V}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés selon <math>\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\; d \mathcal{V}_{M'}\;</math> après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)</math> {{Nobr|<math>\big[</math>utilisation}} de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et, en utilisant la relation de Chasles, <math>\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\; d \mathcal{V}_{M'} = \vec{0}\;</math> par 2^ème partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;M\;</math> et de <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale quintuple<math>\big)\;</math> avec <math>\;N_M = N_{M'}\;</math> point commun des deux expansions élémentaires voisines centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'</math>, de volume respectif <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{V}_{M'}\;</math> de même valeur, la surface commune centrée en <math>\;N_M = N_{M'}\;</math> est de même aire <math>\;d^2 S_{N_M}</math>, termes associés selon <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M + \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'})\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\!S,\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'}) =</math> <math>-\vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M - \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_{M'} = \vec{0}</math> <math>\;\big[</math>car <math>\;N_{M'} =</math> <math>N_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{V}_{M'} = d \mathcal{V}_M\big]</math>, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;N_M\;</math> et de <math>\;N_M'\;</math> sur les surfaces limitant les expansions élémentaires centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> ainsi que celles résultant de la variation de <math>\;M\;</math> ou <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref> et par suite « <u>la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Le vecteur moment résultant relativement à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> étant défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bisurfacique - bis"> Il s'agit d'une intégrale bisurfacique c.-à-d. de deux intégrales surfaciques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales surfaciques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où en décomposant l'intégrale bisurfacique en intégrales surfaciques emboîtées selon <math>\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M) = \;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\;d \mathcal{S}_{M'} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - ter" /> et «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale triple - bis"> On forme d'abord une intégrale curviligne pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;d\mathit{l}_M\;</math> le contour fermé limitant l'expansion surfacique élémentaire <math>\;d \mathcal{S}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{S}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale surfacique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où la réécriture de l'intégrale triple en explicitant le moment vectoriel puis la force à intégrer <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\; \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" />, on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque vecteur moment résultant partiel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu - bis"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale bisurfacique<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathcal{S}_M \right] d \mathcal{S}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés <math>\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\; d \mathcal{S}_{M'}\;</math> après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)</math> <math>\;\big[</math>utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> puis, en utilisant la relation de Chasles, <math>\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\; d \mathcal{S}_{M'} = \vec{0}\;</math> par 2^ème partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;M\;</math> et de <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu - bis"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right\rbrace d \mathcal{S}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale triple<math>\big)\;</math> avec <math>\;N_M</math> <math>= N_{M'}\;</math> point commun des deux expansions élémentaires voisines centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'</math>, d'aire respective <math>\;d \mathcal{S}_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{S}_{M'}\;</math> de même valeur, le contour commun centré en <math>\;N_M = N_{M'}\;</math> est de même longueur <math>\;d^2 \mathit{l}_{N_M}</math>, termes associés selon <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_M + \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'})\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'}) = -\vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_M - \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_{M'} = \vec{0}</math> <math>\;\big[</math>car <math>\;N_{M'} = N_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{S}_{M'} = d \mathcal{S}_M\big]</math>, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;N_M\;</math> et de <math>\;N_M'\;</math> sur les contours limitant les expansions élémentaires centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> ainsi que celles résultant de la variation de <math>\;M\;</math> ou <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref> et par suite « <u>la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Le moment résultant <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> relativement à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> étant défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bicurviligne - bis"> Il s'agit d'une intégrale bicurviligne c.-à-d. de deux intégrales curvilignes emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales curvilignes dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bicurviligne <math>\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math> en deux intégrales curvilignes emboîtées avec explicitation de l'argument <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - penta" /> et «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="signification Mg et Md" />, on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> <math>\big(</math>appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque vecteur moment résultant {{Nobr|partiel<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu - ter"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \mathit{l} \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale bicurviligne<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathit{l}_M \right] d \mathit{l}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés <math>\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\; d \mathit{l}_{M'}\;</math> après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)</math> <math>\;\big[</math>utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> puis, en utilisant la relation de Chasles, <math>\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\; d \mathit{l}_{M'} = \vec{0}\;</math> par 2^ème partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;M\;</math> et de <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu - ter"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale curviligne<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \overrightarrow{AM_g} \wedge \vec{f}_{\!M_g\,\leftarrow\,M}(M_g)\;</math> dans laquelle <math>\;\left( M_g\,,\, M \right)\;</math> du 2^ème produit vectoriel est un terme du type <math>\;\left( M\,,\, M_d \right)\;</math> de l'argument de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale curviligne<math>\big)\;</math> avec, selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques <math>\;\vec{f}_{\!M_g\,\leftarrow\,M}(M_g) = -\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\;</math> d'où la réécriture de la somme des deux termes associés après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)</math> <math>\;\big[</math>utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> selon <math>\;\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM_g} \right] \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) = \overrightarrow{M_gM} \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) \rightarrow \vec{0}</math> <math>\;\big[</math>car <math>\;M_g\;</math> étant un point voisin immédiat du point <math>\;M</math>, entités sans épaisseur, <math>\;M_g \rightarrow M\;</math> et par suite <math>\;\overrightarrow{M_gM} \rightarrow \vec{0}\big]</math>, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \Gamma \right)\;\ldots</math></ref>}} et par suite « <u>la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. ==== Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un axe Δ quelconque ==== {{Al|5}}De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> et <br>{{Al|5}}de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> à partir du vecteur moment relativement à un point <math>\;A\;</math> de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on en tire <br>{{Al|10}}la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> puis <br>{{Al|5}}on en déduit « <u>la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique <u>en dynamique newtonienne</u> <math>\;\big(</math>et aussi relativiste<math>\big)\;</math> par rapport à un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = 0,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. === Commentaire sur la nullité de la résultante et du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé de matière === {{Al|5}}Bien que <u>le système des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière</u> ait une résultante nulle et un moment résultant par rapport à un point origine quelconque<ref name="quelconque" /> également nul, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Bien que }}le système des forces intérieures <u>n’est pas, a priori, équivalent à un système de forces nulles</u><ref> En effet nous verrons dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] de la définition de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », que la puissance développée par les forces intérieures n'est pas nulle si le système de matière est déformable alors qu'un système de forces nulles ne développe évidemment aucune puissance<math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : en utilisant la notion <math>\,\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\,</math> de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rematque : }}l'ensemble de la résultante et du moment résultant <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière, moment par rapport à un point origine quelconque <math>\;A\;</math><ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble }}constitue les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math><ref name="éléments de réduction d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Réduction_d'un_torseur_en_un_point_quelconque_de_l'espace_affine_euclidien_tridimensionnel_sur_lequel_il_est_défini|réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <ref name="torseur statique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> des forces intérieures <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. int}}\;</math> s'exerçant sur le système fermé de matière soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> du torseur statique des forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. int}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\end{array}\right\rbrace_A,\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> }}<u>le [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]<ref name="torseur statique" /> des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est</u> donc <u>le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]</u><ref name="torseur nul"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Nullité_d'un_torseur|torseur nul]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}toutefois si le [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]<ref name="torseur statique" /> des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]<ref name="torseur nul" />, <u>ce n'est pas le [[w:Torseur|torseur]] de forces nulles</u><ref> Seuls les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en tout point de l'espace affine euclidien tridimensionnel du [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière <math>\;\big(</math>égal au [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]<math>\big)\;</math> et du [[w:Torseur|torseur]] de forces nulles sont les mêmes, les forces agissant sur chaque point d'un système discret ou sur chaque pseudo-point d'un système continu <math>\;\big\{</math>un pseudo-point étant un élément de matière de dimension mésoscopique {{Nobr|<math>\;\big(</math>petite}} à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique<math>\big)\big\}\;</math> n'étant évidemment pas les mêmes et ce sont elles qui sont à prendre en compte quand un système isolé <math>\;\big(</math>c.-à-d. sans forces extérieures<math>\big)\;</math> se déforme <math>\;\ldots</math></ref>. == Résultante dynamique, moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire appliqués à un système de points matériels == {{Al|5}}Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire }}restent applicables en dynamique relativiste. === Rappel : résultante dynamique appliquée à un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}La résultante dynamique appliquée au système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec {{Nobr|«<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}\;</math> s’exerçant sur ce système<ref name="résultante dynamique"> Voir 1^ère introduction du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_dynamique_s'exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système (discret) de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\;</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\;</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}}\,</math> somme des forces }}sur chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> du système ». === Complément : résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière === {{Al|5}}La définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues <math>\;\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, surfacique<ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> d'où : {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\;\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\,</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités volumiques de forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion tridimensionnelle ». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d S_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> du système » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités surfaciques de forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des forces que chaque <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> du système » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités linéiques de forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\;</math>». === Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine « quelconque A » === {{Définition|titre=Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système de points matériels fermé|contenu= {{Al|5}}Le <u>vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine</u><math>\;A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> appliqué à un système fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}\,</math> est le <u>vecteur moment résultant des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique <math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}}\,</math> est le vecteur moment résultant }}points matériels <u>relativement au point</u><math>\;A\,</math> soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}}\,</math> somme des forces que }}chaque point matériel <math>\,M_i\;</math>».}} === Complément : Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine « quelconque A » === {{Al|5}}La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues <math>\;\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, {{Nobr|surfacique<ref name="intégrale surfacique" />}} ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> d'où : {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à <math>\;A\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,</math> somme des forces que }}chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités volumiques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;</math> somme des densités volumiques de forces que }}chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion tridimensionnelle du système ». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à <math>\;A\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,</math> somme des forces que }}chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d S_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> du système » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités surfaciques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;</math> somme des densités surfaciques de forces que }}chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion surfacique du système ». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à <math>\;A\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,</math> somme des forces que }}chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> du système » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités linéiques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;</math> somme des densités linéiques de forces que }}chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion linéique du système ». === Complément : vecteurs résultante et moment résultant dynamiques s'exerçant sur un système discret (ou continu) fermé de matière, éléments de réduction du torseur dynamique de ce système === {{Al|5}}En utilisant la notion <math>\,\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\,</math> de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|En utilisant la notion }}<u>l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques, moment par rapport à un point origine quelconque</u><math>\;A\;</math><ref name="quelconque" />, s'exerçant sur un système fermé de matière <br>{{Al|6}}{{Transparent|En utilisant la notion l'ensemble }}constitue les <u>[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]]</u> en <math>\,A\;</math><u>du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]</u><ref name="torseur statique" />{{,}}<ref name="éléments de réduction d'un torseur" />{{,}}<ref name="torseur statique et non dynamique"> Attention le qualificatif « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_dynamique|dynamique]] » pour un [[w:Torseur|torseur]] a une signification particulière relative à la façon dont les « quantités de mouvement » des points <math>\,\big\{</math>ou des pseudo-points <math>\,\big[</math>éléments de matière de dimension mésoscopique <math>\,\big(</math>c.-à-d. petite à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique<math>\big)\big]\big\}\,</math> varient avec le temps, celui de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|statique]] » attribué à un [[w:Torseur|torseur]] fait toujours référence aux forces appliquées au système, que celles-ci soient intérieures ou extérieurs ; <br>{{Al|3}}même s'il y a un lien entre le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_dynamique|torseur dynamique]] d'un système et le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] des forces extérieures appliquées au système dans un référentiel galiléen cela résulte d'un théorème et non de la définition d'où la nécessité de faire a priori la différence <math>\;\ldots</math></ref> <u>des forces extérieures</u><math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. ext}}\;</math> s'exerçant sur ce système fermé de matière, d'où <br>{{Al|24}}{{Transparent|En utilisant la notion l'ensemble constitue les éléments de réduction en <math>\,\color{transparent}{A}\;</math>du torseur statique des forces extérieures}}«<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. ext}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{ext}}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \end{array}\right\rbrace_A,\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. === Moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ » === {{Al|5}}Lz vecteur moment résultant dynamique s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\,\big[</math>avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,</math> par rapport à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lz vecteur moment résultant dynamique }}se définissant par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lz vecteur moment résultant dynamique se définissant par }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque point matériel <math>\,M_i\;</math>» et <br>{{Al|5}}le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> se définissant à partir du vecteur moment résultant dynamique relativement à un point <math>\,A\, \in\,\Delta</math>, axe orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le moment résultant scalaire dynamique relativement à un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> se définissant }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}la définition du moment résultant dynamique scalaire s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\,\big[</math>avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,</math> par rapport à un axe <math>\,\Delta\,</math> quelconque<ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la définition du moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \left[ \left( \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right) \cdot \vec{u}_\Delta \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>». {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système de points matériels fermé|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système de points matériels fermé <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de points matériels fermé <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>» avec <br>«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M_i\;</math>».</center>}} === Complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ » === {{Al|5}}La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> étant calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues <math>\;\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> et <br>{{Al|17}}celle du moment résultant dynamique scalaire d'un système discret fermé de points matériels relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> s'obtenant par [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système en n'importe quel point <math>\;A\;\in\,\Delta\;</math> par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant <math>\;\Delta\;</math> avec utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}on en déduit la définition du moment résultant dynamique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> utilisant * d'une part la définition générale d'un moment scalaire relativement à un moment vectoriel et * d'autre part la propriété de « distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'intégration vectorielle »<ref name="intégration vectorielle"> L'intégration vectorielle étant une addition <math>\;\big(</math>continue<math>\big)\;</math> d'une fonction vectorielle dépendant du pseudo-point <math>\;\big[</math>élément de matière de dimension mésoscopique <math>\;\big(</math>c.-à-d. petite à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique<math>\big)\big]\;</math> générique de l'expansion {{Nobr|<math>\;\big(</math>tridimensionnelle,}} surfacique ou linéique<math>\big)\;</math> sur lequel l'intégration est faite.</ref> : {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système continu fermé de matière <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math> quelconque <math>\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}</math> appliqué à un }}d'expansion tridimensionnelle <math>\left( \mathcal{V} \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\iiint\limits_{M\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M,\,\left( d\mathcal{V}_M \right)\;</math>».</center>}} {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion surfacique|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système continu fermé de matière <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math> quelconque <math>\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}</math> appliqué à un }}d'expansion surfaciqye <math>\left( \mathcal{S} \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\iint\limits_{M\, \in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>«<math>\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M,\,\left( dS_M \right)\;</math>».</center>}} {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion linéique|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système continu fermé de matière <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math> quelconque <math>\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}</math> appliqué à un }}d'expansion linéiqye <math>\left( \Gamma \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\int\limits_{M\, \in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>«<math>\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M,\,\left( d\mathit{l}_M \right)\;</math>».</center>}} == Changement d’origine de calcul du moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système de points matériels == === Changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force <math>\,\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée à un point matériel <math>\,M\,</math> par rapport à un point origine <math>\,A\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math>»<ref name="changement d'origine du vecteur moment d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d’origine_de_calcul_du_moment_vectoriel_d’une_force|changement d'origine de calcul du moment vectoriel d'une force]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|8}}{{Transparent|À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{F}(M),\;\;\left( \mathfrak{ch} \right)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir }}du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math> <math>\,\big[</math>avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,</math> par rapport à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du vecteur moment résultant dynamique }}défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du vecteur moment résultant dynamique défini selon }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math><ref name="dépendance de F" /> somme des forces que les systèmes <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieurs exerce sur chaque point matériel <math>\,M_i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du }}par addition vectorielle des relations <math>\,\left( \mathfrak{ch} \right)</math> <math>\,\big\{</math>dans lesquelles <math>\,M\,</math> est remplacée par <math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> ainsi que <math>\,\left( O\,,\, O' \right)\,</math> par <math>\,\left( A\,,\, A' \right)\big\}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] + \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}« en factorisant vectoriellement à gauche par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math>»<ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> avec «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_k \vec{F}_{\text{ext}_k}(t)\,</math> la somme des résultantes dynamiques <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle «<math>\;\color{transparent}{\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \sum \vec{F}_{\text{ext}_k}(t)}\,</math> la somme }}exercées par tous les systèmes <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieurs ». === Complément : changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière === {{Al|5}}Les définitions des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des vecteurs résultante et }}moment évalué par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, étant calquées sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des }}seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des seules modifications le remplacement }}de la factorisation vectorielle à gauche dans une somme discrète vectorielle »<ref name="factorisation vectorielle" /> par « celle dans une intégration vectorielle »<ref name="intégration vectorielle" />{{,}}<ref name="factorisation vectorielle - bis"> Utilisation de « la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’intégration vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir la signification d'« intégration vectorielle » dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-intégration_vectorielle-93|⁹³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;\ldots</math></ref>, d'où <br>{{Al|5}}la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique exercée sur le système continu fermé <br>{{Al|15}}d'expansions tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>».</center> === Complément : changement d’axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système matériel quand les deux axes gardent une même direction === === Complément : changement d’axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système matériel quand les deux axes gardent une même direction === {{Al|5}}Soit <math>\,\left( \Delta\,,\, \Delta' \right)\,</math> un couple d'axes <math>\,\parallel\,</math> quelconques<ref name="quelconque" /> tous deux orientés par le même vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\,A\,</math> et <math>\,A'\,</math> deux points quelconques choisis respectivement sur <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\Delta'</math>, <br>{{Al|5}}le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système matériel fermé, qu'il soit discret ou continu d'expansions tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique }}s'écrivant «<math>\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;\;( \mathfrak{a} )\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant }}«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d'expansions tridimensionnelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;</math> la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d’}}surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué au système s'obtient en multipliant scalairement chaque membre de la relation <math>\;( \mathfrak{a} )\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}en utilisant la distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="invariance du produit mixte"> En effet le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\Delta'\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> de direction <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}notant <math>\,H'\,</math> le projeté orthogonal de <math>\,A'\,</math> sur <math>\,\Delta</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A} = \vec{u}_\Delta \wedge \left( \overrightarrow{A'H'} + \overrightarrow{H'A} \right) = \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} + \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H'A}\;</math><ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « notant <math>\,\color{transparent}{H'}\,</math> le projeté orthogonal de <math>\,\color{transparent}{A'}\,</math> sur <math>\,\color{transparent}{\Delta}</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A}}</math> }}<math>= \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math><ref> Les points <math>\;H'\;</math> et <math>\;A\;</math> étant tous deux sur <math>\;\Delta</math>, <math>\;\overrightarrow{H'A}\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H'A} = \vec{0}</math>, voir la 1^ère partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>» avec «<math>\;\Delta'\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> de direction <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\Delta'\;\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> }}et <math>\,H'\,</math> projeté orthogonal de <math>\,A'\,</math> sur <math>\,\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}le vecteur «<math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math>» étant <math>\,\perp\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace</math>, selon la disposition de la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « le vecteur «<math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}}\;</math>» étant <math>\,\color{transparent}{\perp}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, selon la disposition de la }}à l'instant <math>\,t</math>, le changement d'axe se réécrit : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> est <math>\,\parallel\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace</math>, <math>\,\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = 0\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit mixte - 1"> Voir la 1^ère partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\;\overrightarrow{A'H'}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;\vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t)\big\}\;</math> étant alors coplanaires <math>\;\ldots</math></ref> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <math>\,\Delta'\,</math> étant <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = 0}\,</math> d'où « }}avec «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\; \parallel\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> est <math>\,\not\parallel\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace</math>, c.-à-d. si <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t) + \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t)\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t) \neq \vec{0}\,</math> composante <math>\,\perp\,</math> au plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, }}<math>\,\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \left[ \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t) + \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t) \right]\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, }}par distributivité de la multiplication mixte<ref name="définition d'un produit mixte" /> par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributuvité de la multiplication mixte par rapport à l'addition vectorielle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \cancel{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t)\; +} \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit mixte - 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, }}ou, avec «<math>\;\mathit{d} = A'H'\;</math> la distance <math>\,\big(</math>non algébrisée<math>\big)\,</math> séparant les deux axes <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\Delta'\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,}}«<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = \pm\, \Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}\;</math>»<ref name="plus ou moins"> Avec le signe «<math>\;+\;</math>» si «<math>\;\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)\;</math> est de même sens que <math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec le signe }}«<math>\;-\;</math>» si «<math>\;\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)\;</math> est de sens contraire à <math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math>».</ref> d'où le changement d'axe se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,}}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}\;</math>» où <math>\,\Delta'\;\parallel\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\mathit{d} = d \left( \Delta\,,\,\Delta' \right)\;</math><ref> C-à-d la plus courte distance séparant les deux axes.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;</math>» où }}<math>\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)</math> composante de <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;</math>» où <math>\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)}</math> }}<math>\perp</math> au plan <math>\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;</math>» où }}<math>\,+\,</math> ou <math>\,-\,</math> suivant la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-plus_ou_moins-100|¹⁰⁰]] » == Définition d’un couple, propriété du moment vectoriel d’un couple == === Définition d'un couple en tant que système de forces === {{Définition|titre=Définition d'un couple parmi les systèmes de forces|contenu={{Al|5}}Un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\big(</math>en tant que système de forces<math>\big)\;</math> est un système de forces dont * la résultante est nulle à tout instant <math>\;t\;</math> soit : «<math>\;\overrightarrow{\text{résult}}_{\text{couple}}(t) = \vec{0}\;\;\forall\;t\;</math>» et * le moment résultant par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> n'est pas identiquement nul soit : {{Nobr|«<math>\;\forall\;A</math>,}} <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{couple}}(t) \neq \vec{0}\;</math>»<ref> Cela signifiant qu'il existe au moins un instant <math>\;t'\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{couple}}(t')\;</math> soit <math>\;\neq \vec{0}\;</math> mais rien n'interdit que le moment résultant soit nul à certains instants.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\big(</math>en tant que système de forces<math>\big)\;</math> est un cas particulier de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" /> nommé « [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] »<ref name="définition d'un torseur couple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définiyion d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\ldots</math> [[File:Couples parmi les systèmes de forces.png|thumb|500px|Schémas représentant deux exemples de [[w:Couple_(physique)|couples]] en tant que systèmes de forces]] === Exemples de couple === {{Al|5}}Voir ci-contre : * exemple de gauche : système de forces de même norme également réparties sur un cercle du système de matière sur <br>{{Transparent|exemple de gauche : }}lequel le [[w:Couple_(physique)|couple]] s'exerce<ref> Par exemple l'action d'une [[w:Clé_(outil)#Clé_à_tube|clé à tube]].</ref>, * exemple de droite : deux forces opposées <math>\,\left\lbrace \vec{F}_1\,,\,\vec{F}_2 = -\vec{F}_1 \right\rbrace\,</math> appliquées respectivement en deux points <math>\,\left( M_1\,,\,M_2 \right)\,</math> <br>{{Transparent|exemple de droite : }}du système de matière sur lequel le [[w:Couple_(physique)|couple]] s'exerce, la direction commune de <math>\,\left\lbrace \vec{F}_1\,,\,\vec{F}_2 = -\vec{F}_1 \right\rbrace\,</math> <br>{{Transparent|exemple de droite : }}étant différente de celle de <math>\,\overrightarrow{M_1M_2}</math>. === Propriété du moment vectoriel d'un couple === {{Al|5}}La résultante d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] étant nulle et {{Al|5}}le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\vec{R}_{\text{syst. de forces}}\;</math> étant «<math>\;\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{syst. de forces}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{syst. de forces}} + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\text{syst. de forces}}\;</math>»<ref name="changement d'origine de calcul du moment résultant vecotirel d'un système de forces"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_sysème_continu_fermé_de_matière|complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre, la formule restant applicable même si le système de forces considéré ne contient qu'une partie des forces extérieures.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante }}<math>\;\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Al|6}}«<math>\;\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{couple}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{couple}}\;</math>», le moment résultant vectoriel d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] est <br>{{Al|11}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{couple}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{couple}}}\;</math>», }}indépendant du point origine de calcul <math>\;\big\{</math>aussi <br>{{Al|12}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}pour le différencier des autres systèmes de forces de vecteur moment résultant <br>{{Al|12}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}dépendant du point origine, le vecteur moment <math>\,\big(</math>résultant<math>\big)\;</math><ref name="appellation simplifiée du vecteur moment résultant d'un couple"> Le qualificatif « résultant » est usuellement omis pour parler du moment <math>\,\big(</math>résultant<math>\big)\,</math> vectoriel d'un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\ldots</math></ref> d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] est <br>{{Al|13}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « dépendant du point origine, le vecteur moment }}usuellement noté «<math>\;\overrightarrow{\Gamma}\;</math>»<ref name="notation d'un couple"> Attention, une erreur fréquemment commise consiste à noter le [[w:Couple_(physique)|couple]] «<math>\;\overrightarrow{\Gamma}\;</math>» alors qu'il ne s'agit que du moment vectoriel <math>\,\big(</math>résultant<math>\big)\,</math> du [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-appellation_simplifiée_du_vecteur_moment_résultant_d'un_couple-106|¹⁰⁶]] » ci-dessus<math>\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\,\big(</math>en tant que système de forces<math>\big)\,</math> étant un cas particulier de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" /> nommé « [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] »<ref name="définition d'un torseur couple" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Un couple <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>en tant que système de forces<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> étant un cas particulier de « torseur » }}on peut donc lui attribuer, sans autre commentaire, les propriétés de ce dernier à savoir <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Un couple <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>en tant que système de forces<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> étant un cas particulier de « torseur » on peut donc lui attribuer, }}la constance du moment du [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] en tout point de l'espace<ref name="constance du moment du torseur couple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_couple|propriétés d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\ldots</math> === Équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple === {{Al|5}}Considérant un solide<ref name="solide"> Système fermé indéformable.</ref> <math>\,\left( S \right)\,</math> et son système de forces exercées par son extérieur <math>\,\left( \Sigma \right)_k</math>, de résultante «<math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» et de moment résultant à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et }}l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,A\,</math> d'un système de forces s'exerçant sur un système fermé de matière quelconque<ref> C.-à-d. déformable ou indéformable, le cas du solide <math>\,\left( S \right)\;</math> envisagé plus haut dans ce paragraphe correspodant à un système idéformbale.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces }}constituant les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\,A\,</math> du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]<ref name="torseur statique" />{{,}}<ref name="éléments de réduction d'un torseur" /> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces constituant }}associé aux forces précitées dans le cadre de la notion <math>\,\big(</math>hors <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces constituant }}programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)</math> de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" />, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces constituant }}«<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat},\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\end{array}\right\rbrace_A\;</math>» et <br>{{Al|5}}l'évolution spatiale d'un solide<ref name="solide" /> ne dépendant que des forces extérieures<ref name="dépendance de l'évolution spatiale d'un solide"> En effet l'absence de déformation possible d'un solide entraîne que l'évolution spatiale de ce dernier est régie par le mouvement de son centre d'inertie <math>\,\big(</math>C.D.I.<math>\big)</math> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de matière » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ainsi que par son mouvement de rotation autour de <math>\,G</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ces deux mouvements ne dépendant que des forces extérieures.</ref> plus précisément de la résultante «<math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» et du moment résultant au point origine <math>\,G\,</math> C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. du solide <br>{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures }}<math>\Rightarrow</math> le système des forces extérieures exercées par <math>\,\left( \Sigma \right)_k\,</math> sur <math>\,\left( S \right)\,</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant en <math>\,G\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant }}en <math>\,A\;</math><ref name="passage de G à A"> Donc, compte-tenu de la formule de changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_sysème_continu_fermé_de_matière|complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> avec une même résultante, on a aussi même moment résultant en n'importe quel point origine <math>\;A</math>.</ref> quelconque. {{Al|5}}<u>Système équivalent au système de forces extérieures que</u><math>\;(\Sigma_k)\;</math><u>exerce sur le solide</u><math>\;(S)</math> : <math>\bullet\;</math>une « force unique <math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math> appliquée en <math>\;A\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>un couple de moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>justification</u> : le moment du système de forces exercées par <math>\,\left( \Sigma \right)_k\,</math> sur <math>\,\left( S \right)\,</math> au point origine <math>\,A'\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : }}<math>\neq\,</math> de <math>\,A\,</math> s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} =</math> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>»<ref name="changement d'origine de calcul du moment résultant vecotirel d'un système de forces" /> s'identifie à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : }}la somme du moment du couple «<math>\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» <math>\,\big(</math>1^er terme du 2^ème membre<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : la somme }}du moment de la force <math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math> appliquée en <math>\,A\,</math> <math>\,\big(</math>2^ème terme du 2^ème membre<ref> Celui-ci étant nul quand <math>\;A' = A</math>.</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : la somme du moment de la force }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\!\left[ \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} \right] =\overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>». == Notion de « liaison pivot », propriété de son moment == {{Al|5}}Une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » est mise en œuvre lors du mouvement d'un 1^er solide sur un 2^ème solide, pour restreindre le mouvement relatif à une rotation autour d'un axe fixe du référentiel lié au 2^ème solide. === Définition d'une « liaison pivot » === {{Al|5}}Une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » d'axe <math>\,Oz\,</math> restreint les possibilités de mouvement du « [[w:Rotor|rotor]] » <math>\,\big(</math>solide tournant<math>\big)\,</math> à une rotation d’axe <math>\,Oz\,</math> par rapport au « [[w:Stator|stator]] » <math>\,\big(</math>solide par rapport auquel se fait la rotation<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans ce paragraphe, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est « géométriquement idéale » c.-à-d. qu'elle assure un guidage parfait en rotation autour de l'axe de liaison <math>\,Oz\,</math> en bloquant toute translation le long de cet axe ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce paragraphe }}la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est entièrement définie par la direction et la position de l'axe <math>\,Oz\,</math> qui doit être systématiquement représenté sur tout schéma ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce paragraphe }}la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est la liaison la plus « commune »<ref> Dans une bicyclette on en compte plus d'une dizaine : <math>\,1\,</math> par roue, <math>\,1\,</math> sur le guidon, <math>\,1\,</math> sur le pédalier, <math>\,1\,</math> par manette de frein, <math>\,1\,</math> par mâchoire de frein, <math>\,1\,</math> par pédale lors de leur liaison au pédalier et une bonne demi-douzaine supplémentaire sur le dérailleur.</ref> des systèmes mécaniques. === Réalisation pratique d'une « liaison pivot » === [[File:Liaison pivot.png|center|thumb|900px|Schéma d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\,</math> d'axe <math>\,z'z\,</math> pour laquelle les translations sont bloquées ainsi que les rotations suivant les axes <math>\,\perp\,</math> à <math>\,z'z\,</math><ref name="Norme pour liaisons mécaniques"> Sur le schéma on utilise la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\;\ldots\big]\,</math> alors que <math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\;\ldots\big]</math>.</ref> ; <br>le cylindre sur lequel tourne le [[w:Rotor|rotor]] et qui matérialise l'axe de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] exerce un système de forces sur le [[w:Rotor|rotor]] équivalent<ref name="justification de l'équivalence à une force et un couple"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Équivalence_d'un_système_de_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_solide_:_ensemble_d'une_force_appliquée_en_un_point_et_d'un_couple|équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple]] » plus haut dans le chapitre.</ref> à <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>une résultante <math>\,\vec{R}\; \left( R_x,\, R_y,\, R_z \right)\;</math><ref> Les composantes <math>\,\left( R_x,\, R_y,\, R_z \right)\,</math> n'ont évidemment aucun rapport avec les grandeurs utilisées dans la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » décrite dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-Norme_pour_liaisons_mécaniques-90|⁹⁰]] » précédente.</ref>, appliquée en <math>\,A</math>, de direction quelconque, s'adaptant aux actions exercées sur le [[w:Rotor|rotor]] de façon à supprimer toute translation de ce dernier et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>un couple de moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma}\; \left( \Gamma_x,\,\Gamma_y,\,\Gamma_z = 0 \right)\;</math><ref name="confusion entre couple et moment de couple"> Attention dans la légnde du schéma ci-dessus il faut remplacer "Couple : <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\,</math> à <math>\,Az\;</math>" par "Couple de moment : <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\,</math> à <math>\,Az\;</math>", il s'agit d'une confusion fréquemment faite.</ref>, de direction <math>\,\perp\,</math> à <math>\,z'z</math>, s'adaptant aux actions exercées sur le [[w:Rotor|rotor]] de façon à supprimer toute rotation de ce dernier autre que celle autour de <math>\,z'z\,</math> laquelle, en absence de frottements, se traduit par <math>\,\Gamma_z = 0</math>]] [[File:Rolling-element bearing (numbered).png|thumb|left|Éclaté d'un roulement à billes : <br>{{Al|5}} 1. bague extérieure <br>{{Al|5}} 2. bille <br>{{Al|5}} 3. cage <br>{{Al|5}} 4. chemin de la bille <br>{{Al|5}} 5. bague intérieure]] [[File:Jehlove lozisko.png|thumb|right|Roulement à aiguilles]] {{Al|5}}La solution technique la plus courante pour réaliser une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » consiste à emboîter deux cylindres coaxiaux <br>{{Al|1}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}et à réaliser des butées empêchant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}les cylindres de coulisser le long de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}leur axe commun <math>\big(</math>voir schéma <br>{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste leur axe commun <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir }}ci-dessus<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides réductibles à l’aide <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides }}<math>\bullet\;</math>d'une « lubrification »<ref> Les frottements fluides étant toujours moins importants que les frottements solides et ceci, quelle que soit la vitesse des pièces mécaniques.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides }}<math>\bullet\;</math>en utilisant <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}<math>\blacktriangleright\;</math>des roulements [[w:Roulement_mécanique#Roulement_à_billes|« à billes »]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\big(</math>voir éclaté à gauche<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}<math>\blacktriangleright\;</math>des roulements [[w:Roulement_mécanique#Roulement_à_aiguilles|« à aiguilles »]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\big(</math>voir photo à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'utilisation de roulements étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}toujours préférable. === Action d’une « liaison pivot », cas d’une « liaison pivot idéale » d’axe Az === {{Al|5}}Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du [[w:Rotor|rotor]] sur le cylindre d'axe <math>\;z'z\;</math> au niveau de la coupe <math>\;\left( BC \right)\;</math> du 1^er schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor sur le cylindre d'axe <math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> au niveau de la coupe <math>\;\color{transparent}{\left( BC \right)}\;</math> du 1^er schéma du paragraphe « }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor }}on constate qu'elles sont réparties tout au long de la surface de contact et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu'elles sont }}<math>\perp\;</math> à celle-ci dans la mesure où « les frottements solides <math>\;\big(</math>ou fluides<math>\big)\;</math> sont supposés négligeables », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’}}elles coupent donc l'axe de rotation <math>\;z'z\;</math> <math>\Rightarrow</math> le <u>moment scalaire relativement à l'axe</u><math>\;z'z\;</math><u>de ces forces de contact</u> {{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’elles coupent donc l'axe de rotation <math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>assurant le guidage en rotation du [[w:Rotor|rotor]] sur le cylindre d'axe</u><math>\;z'z\;</math><u>est nul</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il y a d'autres forces de contact entre le [[w:Rotor|rotor]] et le cylindre d'axe <math>\;z'z\;</math> sur lequel le [[w:Rotor|rotor]] tourne : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces }}<math>\bullet\;</math>celles assurant l'absence de translation du [[w:Rotor|rotor]] le long des axes <math>\,\left( x'x\,,\,y'y\,,\,z'z \right)\,</math> du cylindre, de résultante s'adaptant à toute action pouvant entraîner une translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de translation du rotor le long des axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y\,,\,z'z \right)}\,</math> du cylindre, }}de moment <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> résultant nul en un point <math>\,A\,</math> de l'axe <math>\,z'z\,</math><ref> Ces forces forment donc un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|torseur glisseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>, avec <math>\;A\;</math> point central du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces }}<math>\bullet\;</math>celles assurant l'absence de basculement du [[w:Rotor|rotor]] autour des deux axes <math>\,\left( x'x\,,\,y'y \right)\,</math> du cylindre, de moment <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> résultant au point <math>\,A\,</math> de l'axe <math>\,z'z</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,</math> du cylindre, de moment <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe <math>\,z'z</math>, s'adaptant à toute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,</math> du cylindre, de moment <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}action pouvant entraîner un basculement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,</math> du cylindre, }}de résultante <math>\,\big(</math>éventuelle<math>\big)\,</math> non nulle de direction quelconque ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du [[w:Rotor|rotor]] en rotation sur le cylindre d'axe <math>\,z'z</math>, avec absence de translation du [[w:Rotor|rotor]] relativement au cylindre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du rotor en rotation sur le cylindre d'axe <math>\,\color{transparent}{z'z}</math>, avec absence }}de basculement perpendiculairement au cylindre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère }}ce système de forces étant de résultante <math>\,\big(</math>vectorielle<math>\big)\,</math> «<math>\;\vec{R}\;\left( R_x,\,R_y,\,R_z \right)\;</math>»<ref> Composée de la résultante des forces empêchant la translation et d'éventuellement celle des forces empêchant le basculement ainsi que des forces assurant le guidage <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces étant }}de moment résultant <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> en un point <math>\,A\;\in\;z'z\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;</math> <math>\left( \mathcal{M}_{\!A,\,x}\,,\, \mathcal{M}_{\!A,\,y}\,,\,\mathcal{M}_{\!A,\,z} = 0 \right)\;</math>»<ref> Composé du moment résultant en <math>\,A\,</math> des forces empêchant le basculement, celui des forces empêchant la translation étant nul en <math>\,A\,</math> ainsi que celui des forces assurant le guidage <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces }}est équivalent au système composé <math>\bullet\;</math>d'une force unique «<math>\;\vec{R}\;\left( R_x,\,R_y,\,R_z \right)\;</math>» appliquée en <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé }}<math>\bullet\;</math>d'un couple de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;\left( \Gamma_x = \mathcal{M}_{\!A,\,x}\,,\, \Gamma_y = \mathcal{M}_{\!A,\,y}\,,\,\Gamma_z = \mathcal{M}_{\!A,\,z} = 0 \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Équivalence_d'un_système_de_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_solide_:_ensemble_d'une_force_appliquée_en_un_point_et_d'un_couple|équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un couple }}« la nullité de <math>\;\Gamma_z\;</math>» caractérisant une « <u>[[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un couple }}« la présence de frottements » même faibles <math>\,\big(</math>[[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] « non idéale »<math>\big)\,</math> correspondant à «<math>\;\Gamma_z < 0\;</math>». == Notions simples sur les « moteurs ou freins » dans les dispositifs rotatifs, présence d’un « stator » exerçant un couple sur le « rotor » == === Généralités === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe <math>\,Oz\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, il y a <math>\bullet\;</math>un solide tournant autour de <math>\,Oz\,</math> appelé « <u>[[w:Rotor|rotor]]</u> » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{Oz}\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, il y a }}<math>\bullet\;</math>un solide fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> appelé « <u>[[w:Stator|stator]]</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{Oz}\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}le [[w:Rotor|rotor]] étant usuellement en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » relativement au [[w:Stator|stator]] ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>le dispositif rotatif peut être <math>\bullet\;</math>« moteur », dans ce cas le [[w:Stator|stator]] doit exercer un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]] pour que « celui-ci soit entraîné » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le dispositif rotatif peut être }}<math>\bullet\;</math>« résistif » <math>\,\big(</math>il agit donc en « frein »<math>\big)</math>, dans ce cas le [[w:Stator|stator]] doit exercer un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif sur le [[w:Rotor|rotor]] pour que « celui-ci ne s'emballe pas » <math>\;\ldots</math> === Cas du moteur === {{Al|5}}Le dispositif rotatif est « moteur » si <u>le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]]</u> pour entraîner ce dernier lequel, à son tour, déploie une action motrice sur l'objet en interaction avec le [[w:Rotor|rotor]] ; {{Al|5}}si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] entre [[w:Stator|stator]] et [[w:Rotor|rotor]] est quasi-idéale <math>\,\big(</math>c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est en rotation libre</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre }}<u>le [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur que le [[w:Stator|stator]] doit exercer sur le [[w:Rotor|rotor]] est quasi nul</u> mais <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est « en charge »</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. tel qu'il déploie une action motrice sur une partie extérieure au système rotatif<math>\big)</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}la partie soumise à l'action du [[w:Rotor|rotor]] exerçant un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant sur le [[w:Rotor|rotor]]<ref> En effet dans le cas où le moteur est utilisé pour entraîner une autre pièce mécanique en rotation, le [[w:Rotor|rotor]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur cette pièce et, d'après le principe des actions réciproques, cette pièce exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant sur le [[w:Rotor|rotor]].</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}<u>le [[w:Stator|stator]] doit appliquer sur le [[w:Rotor|rotor]] un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur</u> de compensation sinon le [[w:Rotor|rotor]] s’arrêtera<ref> En effet pour maintenir le [[w:Rotor|rotor]] en rotation <math>\,\big(</math>et si possible uniforme<math>\big)</math>, il est nécessaire que le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur de compensation sur le [[w:Rotor|rotor]], ce [[w:Couple_(physique)|couple]] s'adaptant au [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant que la pièce mécanique en rotation exerce sur le [[w:Rotor|rotor]] <math>\,\big[</math>[[w:Couple_(physique)|couple]] moteur quasi nul en absence de pièce à entraîner <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement à vide du moteur<math>\big)\,</math> et de moment scalaire d’autant plus grand que l’inertie de la pièce à entraîner est grande <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement en charge du moteur<math>\big)\big]</math>.</ref>. === Cas du frein === {{Al|5}}Le dispositif rotatif est « résistif » si <u>le [[w:Stator|stator]] exerce un couple résistif sur le [[w:Rotor|rotor]]</u> pour que ce dernier « ne s'emballe pas », en conséquence de quoi <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le dispositif rotatif est « résistif » si le stator exerce un couple résistif sur }}le [[w:Rotor|rotor]] déploie une action résistive sur l'objet en interaction avec lui <math>\,\big(</math>but recherché pour que le [[w:Rotor|rotor]] ait une action de « frein »<math>\big)</math> ; {{Al|5}}si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] entre [[w:Stator|stator]] et [[w:Rotor|rotor]] est quasi-idéale <math>\,\big(</math>c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est en rotation libre</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre }}<u>le couple résistif que le [[w:Stator|stator]] doit exercer sur le [[w:Rotor|rotor]] est quasi nul</u> mais <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est « en charge »</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. tel qu'il déploie une action résistive sur une partie extérieure au système rotatif, but recherché par tout « frein »<math>\big)</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}la partie soumise à l'action du [[w:Rotor|rotor]] exerçant un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]]<ref> En effet dans le cas où le frein est utilisé pour ralentir une autre pièce mécanique en rotation, le [[w:Rotor|rotor]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif sur cette pièce et, d'après le principe des actions réciproques, cette pièce exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]].</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}<u>le [[w:Stator|stator]] doit appliquer sur le [[w:Rotor|rotor]] un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif</u> de compensation sinon le [[w:Rotor|rotor]] s’emballera<ref> En effet pour maintenir le [[w:Rotor|rotor]] en rotation <math>\,\big(</math>et si possible uniforme<math>\big)</math>, il est nécessaire que le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif de compensation sur le [[w:Rotor|rotor]], ce [[w:Couple_(physique)|couple]] s'adaptant au [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur que la pièce mécanique en rotation exerce sur le [[w:Rotor|rotor]] <math>\,\big[</math>[[w:Couple_(physique)|couple]] résistif quasi nul en absence de pièce à ralentir <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement à vide du frein<math>\big)\,</math> et de moment scalaire négatif de valeur absolue d’autant plus grande que l’inertie de la pièce à ralentir est grande <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement en charge du frein<math>\big)\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Exemple du frein avant</u><math>\;\big(</math><u>ou arrière</u><math>\big)\;</math><u>d’une bicyclette entraînée dans une descente</u> : le [[w:Rotor|rotor]] étant la roue avant <math>\,\big(</math>ou arrière<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le [[w:Stator|stator]] le cadre de la bicyclette choisi comme référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le sol de la route <math>\,\searrow\,</math> défile dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> vers l’arrière de plus en plus vite en absence de freinage<ref> On peut dire que la vitesse de défilement de la route dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> s’emballe en absence de freinage.</ref>, pour l'éviter <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : le sol de la route <math>\,\color{transparent}{\searrow}\,</math> défile dans <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> vers l’arrière de plus en plus vite }}il faut ralentir le défilement de la route dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}la route <math>\,\searrow\,</math> exerçant un couple moteur sur la roue <math>\,\big(</math>[[w:Rotor|rotor]]<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le cadre de la bicyclette <math>\,\big(</math>[[w:Stator|stator]]<math>\big)\,</math> doit exercer un couple résistant sur la roue <math>\,\big(</math>[[w:Rotor|rotor]]<math>\big)\,</math> ce qui est réalisé <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : le cadre de la bicyclette <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>stator<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> doit exercer un couple résistant }}par l’action des patins du frein s’appuyant sur la roue. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un sol. en rot. autour de Δ]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Th. des moments cinét. relativ. à A ou Δ fixes]] }} nrd0lyhoeef5sc2xra7e81zxa3tdd90 0 74207 982940 973790 2026-05-20T10:39:30Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982940 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 5 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]] }} {{Al|5}}La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne. == Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un point fixe == === Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Partant de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. appliquée au point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. }}«<math>\;\sum_k \vec{F}_k = \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref> dans laquelle <math>\,\vec{p}_{\!M}(t)\,</math> est la quantité de mouvement du point matériel <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \vec{F}_k = \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» dans laquelle }}<math>\,\left\lbrace \vec{F}_k \right\rbrace\,</math> l'ensemble des forces appliquées au point <math>\,M</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. }}on [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplie vectoriellement]] à gauche chaque membre de l'équation par <math>\,\overrightarrow{OM}(t)</math> <math>\,\big[O\,</math> étant, pour l'instant, un point quelconque<ref name="quelconque"> Fixe ou mobile.</ref> de <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \left[ \sum_k \vec{F}_k \right] = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» qui se réécrit <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{F}_k = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. }}avec <math>\,O\,</math> <u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)</math> «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» est la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. avec <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» est }}«<math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{\sigma}_{O}(M,\,t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\;</math> en effet : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. avec <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» est «}}<math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) + \overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\,</math> où <math>\,O\,</math> étant un point fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. avec <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» est «}}<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\,</math> est le vecteur position de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> et par suite <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. avec <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» est }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\,</math> est le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> égal à <math>\,\dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)}{m}\;</math>» en <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. avec <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» est «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)}\,</math> est le vecteur vitesse <math>\,\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t)}\,</math> de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> }}cinétique newtonienne<ref name="vecteur vitesse en relativiste"> Dans le cadre de la cinétique relativiste on a <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> également <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{p}_{\!M}(t)\;</math> selon <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)}{m_{\text{app}}(t)}\;</math> avec <math>\;m_{\text{app}}(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;m\;</math> la masse apparente de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans laquelle <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{ \vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. avec <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» est « }}d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)}{m} \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="en relativiste"> Restant valable en cinétique relativiste car «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)}{m_{\text{app}}(t)} \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = \vec{0}\;</math>» voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-vecteur_vitesse_en_relativiste-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et par suite <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. avec <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)}\;</math>» est }}«<math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. }}le 1^er membre de la relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)</math> «<math>\;\sum_k \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{F}_k\;</math>» étant égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. }}l'expression de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à un point matériel <math>\,M\,</math> relativement à un point <math>\,O\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen selon «<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t)\;</math><ref name="applicabilité en relativiste" /> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Partant de la r.f.d.n. l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> relativement à un point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen selon « }}si <math>\;O\;</math> est un point fixe de <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ». === Causes de modification du vecteur moment cinétique du point matériel M par rapport à un point origine O fixe dans le référentiel d’étude === {{Al|5}}D'après l'expression de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à un point matériel <math>\;M\;</math> relativement à un point <math>\;O\;</math> fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen «<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|D'après }}l'expression de tout théorème de la dynamique d'un point matériel <math>\,M\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinétique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinétique vectorielle}\end{array}\right\rbrace</math><ref name="applicabilité en relativiste" />, {{Al|5}}nous pouvons affirmer que « les moments vectoriels des forces appliquées au point matériel <math>\,M\,</math> calculés par rapport au point origine <math>\,O\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à savoir <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons affirmer que }}« les causes de modification du moment cinétique vectoriel du point <math>\,M\,</math> par rapport à ce même point origine <math>\,O\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à savoir <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}\! \left( M,\, t \right)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />. === Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}La relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="relation (a)"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)_appliquée_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_point_fixe_O_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> étant établie pour <math>\,O\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> est donc valable sous cette forme pour <math>\,O\,</math> mobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen «<math>\;\begin{array}{c}\sum_k \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{F}_k = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\\ \text{dans laquelle}\;O\; \text{est un point mobile de}\;\mathcal{R}\end{array}\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> ; {{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque }}<u>remarque</u> : dans la suite, pour distinguer plus nettement le cas d'un point origine fixe ou mobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, nous noterons <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque remarque : dans la suite, }}le point origine «<math>\;A\,</math> quand ce dernier est mobile dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> », réservant la notation «<math>\;O\,</math> quand ce dernier y est fixe » d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque remarque : dans la suite, }}«<math>\;\begin{array}{c}\sum_k \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_k = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\\ \text{dans laquelle}\;A\; \text{est mobile dans}\;\mathcal{R}\;\text{galilé}\!\text{en}\end{array}\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> ; {{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque }}toutefois, avec <math>\,A\,</math> mobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \dfrac{d\vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» est a priori «<math>\;\neq\,</math> de <math>\,\dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t)\;</math>» en effet : <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque toutefois, }}<math>\,\vec{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) + \overrightarrow{AM}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\,</math> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque toutefois, <math>\,\color{transparent}{\vec{\sigma}_{\!A}(M,\,t) =}</math> }}<math>\overrightarrow{AM}(t) = \overrightarrow{OM}(t) - \overrightarrow{OA}(t)\;</math><ref name="O point fixe de R"> Dans laquelle <math>\,O</math>, point fixe de <math>\,\mathcal{R}</math>, sert d'origine aux vecteurs position.</ref> par relation de Chasles<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]]''' (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OA}}{dt}(t) = \vec{V}_{\!M}(t) - \vec{V}_{\!A}(t)\;</math><ref name="applicabilité en relativiste" /> <br>{{Al|21}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque toutefois, <math>\,\color{transparent}{\vec{\sigma}_{\!A}(M,\,t) =}</math> <math>\color{transparent}{\overrightarrow{AM}(t) = \overrightarrow{OM}(t) - \overrightarrow{OA}(t)}\;</math> par relation de Chasles <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\,\color{transparent}{\dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)}{m} - \vec{V}_{\!A}(t)\,</math> en cinétique newtonienne<ref name="vecteur vitesse en relativiste" />, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque toutefois, <math>\,\color{transparent}{\vec{\sigma}_{\!A}(M,\,t) =}</math> }}d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = \left[ \dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)}{m} - \vec{V}_{\!A}(t) \right] \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = -\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref> Ou, en relativiste, «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{AM}}{dt}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = \left[ \dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)}{m_{\text{app}}(t)} - \vec{V}_{\!A}(t) \right] \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = -\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>».</ref> soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque toutefois, <math>\,\color{transparent}{\vec{\sigma}_{\!A}(M,\,t) =}</math> d'où }}«<math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) + \overrightarrow{AM}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque toutefois, <math>\,\color{transparent}{\vec{\sigma}_{\!A}(M,\,t) =}</math> d'où }}«<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> ; {{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_k\;</math>» étant la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,A\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen c.-à-d. <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_k = \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />, on en déduit <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque }}l'expression de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à un point matériel <math>\,M\,</math> relativement à un point <math>\,A\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen sous la forme <br>{{Al|13}}{{Transparent|La relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}\;</math> étant établie pour <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> quelconque }}«<math>\;\begin{array}{c}\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) \\ \text{si}\;A\; \text{est un point mobile de}\;\mathcal{R}\;\text{galilé}\!\text{en}\end{array}\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\begin{array}{c}\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) - \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) \\ \text{si}\;A\; \text{est un point mobile de}\;\mathcal{R}\;\text{galilé}\!\text{en}\end{array}\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />. == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel == === Énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\,</math> <u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,O\,</math> des forces appliquées à un point matériel <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de <math>\,M\,</math> <math>\overrightarrow{\sigma}_{O}(M,\,t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen «<math>\;\color{transparent}{\sum \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)}\;</math>» est égal à la dérivée temporelle }}par rapport au même point <math>\,O\,</math> au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen «<math>\;\color{transparent}{\sum \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)}\;</math>» est égal à }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t)\,</math> si <math>\,O\,</math> est fixe dans <math>\;\mathcal{R}\,</math> galiléen »<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)_appliquée_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_point_fixe_O_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Revoir le paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)_appliquée_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_point_fixe_O_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|galiléen]] » plus haut dans le chapitre. === Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de centre « C », de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique d'un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C</math>, de rayon <math>\,R\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, moment évalué par rapport à <math>\,C</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique d'un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}</math>, }}s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire d'axe Delta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Réécriture_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_au_centre_C_du_cercle_en_fonction,_entre_autres,_du_vecteur_rotation_instantanée|réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2]] (PCSI) ».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en cinétique relativiste"> Non applicable en cinétique relativiste car a été obtenu à partir de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}(M,\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)</math> <math>\,\big(</math>applicable en cinétique newtonienne ou relativiste<math>\big)\,</math> dans laquelle on a utilisé <math>\,\vec{p}_{\!M}(t) = m\;\vec{V}_{\!M}(t) = m \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right]</math> <math>\,\big(</math>uniquement valable en cinétique newtonienne<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}en cinétique relativiste on aurait <math>\,\vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = m\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_{\!M}(t)\,</math> avec <math>\,\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\Delta\;</math> de vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» d'où <math>\;\ldots\;</math> après un développement semblable à celui effectué en cinétique newtonienne <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta</math> <math>\,\big[</math>de même on définit le moment cinétique scalaire relativiste du point <math>\;M\,</math> en mouvement circulaire autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> selon «<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) \cdot \vec{u}_\Delta = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire de rotation de <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> avec <math>\,J_{\Delta}(M) = m\; R^2\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>masse <math>\,m\big)\,</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique d'un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}</math>, s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{J_{\Delta}(M) = m\; R^2}\,</math> le }}relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, de rayon <math>\,R\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire }}les moments évalués par rapport à <math>\,C\,</math> et le moment d'inertie de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> étant constant <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C}(M)}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant galiléen et <br>{{Al|8}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire «<math>\;\color{transparent}{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C}(M)(t) = J_\Delta(M)\;d \overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}le centre <math>\,C\,</math> du cercle nécessairement fixe<ref name="C ou Delta nécessairement fixes"> Sinon la trajectoire de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> ne serait pas circulaire <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, s'énonce selon : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} === Complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Considérant le point</u><math>\;A</math>, <u>origine des moments</u>, <u>mobile dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel</u><math>\;M</math> <math>\,\big(</math>de masse <math>\,m\big)</math>, prend la forme<ref name="à retrouver"> Expression qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le point<math>\;\color{transparent}{A}</math>, origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, le théorème du moment cinétique vectoriel }}découlant de la dérivée temporelle du moment cinétique vectoriel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le point<math>\;\color{transparent}{A}</math>, origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, le théorème du moment cinétique vectoriel découlant de la }}de <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,A\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}\;</math><ref name="expression de la r.f.d.n. appliquée à M en A mobile"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Complément,_expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)_appliquée_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_point_mobile_A_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A\;</math><u>mobile</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,A\,</math> des forces appliquées à un point matériel <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t)\;</math>» et du [[w:Produit_vectoriel#Définition|produit vectoriel]] «<math>\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\vec{p}_{\!M}(t)\,</math> est le vecteur quantité de mouvement du point <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math>» soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center> |} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière == === Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Soit le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» étudié dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}un point <math>\,O\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport auquel on détermine les moments vectoriels, <br>{{Al|5}}on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, moments évalués relativement au point <math>\,O\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M_i)}{dt}(t)\;</math>» puis <br>{{Al|5}}on fait la somme de ces <math>\,N\,</math> relations <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left\lbrace \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M_i)}{dt}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}on reconnaît dans <math>\bullet\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^ème terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^ème terme du 1^er membre » }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment résultant vectoriel des forces intérieures sur un système discret de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_par_rapport_à_un_point_origine_A_quelconque|vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » pour l'établissement de la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^ème membre » égal à, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »<ref name="permutation entre dérivation et addition"> Car la somme des dérivées temporelles de grandeurs différentes est la dérivée temporelle de la somme de ces grandeurs.</ref>, «<math>\;\dfrac{d\! \left[ \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{O}(M_i) \right]}{dt}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^ème membre » égal à, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point <math>\,O\,</math> au même instant <math>\,t</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\,</math> <u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,O\,</math> appliqué au système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> appliqué }}«<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> appliqué }}à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, par eapport au même point <math>\,O</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\,</math> si <math>\,O\,</math> est fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen »<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} === Généralisation à un système continu fermé de matière === {{Al|5}}Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement des sommes discrètes du 1^er par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement }}des sommes continues du 2^nd<ref name="somme continue"> C.-à-d. mettant en œuvre dans un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. mettant en œuvre }}dans un système continu fermé de matière d'expansion surfacique, une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. mettant en œuvre }}dans un système continu fermé de matière d'expansion linéique, une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le théorème du moment cinétique vectoriel s'applique à un système continu de matière dans un référentiel <u>galiléen</u> où le point origine <math>\;O\;</math> d'évaluation des moments est <u>fixe</u> selon l'énoncé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\,</math> <u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,O\,</math> appliqué au système continu fermé de matière d'expansion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> appliqué }}tridimensionnelle <math>\left( \mathcal{V} \right)</math> de masse volumique <math>\mu(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> appliqué }}surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> appliqué }}linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le vecteur moment résultant dynamique en <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> appliqué }}à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, par rapport au même point <math>\,O</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\,</math> si <math>\,O\,</math> est fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen »<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Rappels</u> : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\;</math>» du système continu fermé de matière, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> }}les vecteurs <math>\bullet\;</math>moment résultant dynamique en <math>\,O\,</math> appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> salculé selon <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right]\;</math><ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec <math>\,d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> la somme des forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> du système, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{= \displaystyle\iiint \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M}\;</math> avec }}<math>\,\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> étant la somme des densités volumiques <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\,M\,</math> de l'expansion volumique du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs }}<math>\bullet\;</math>moment cinétique du système en <math>\,O\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> calculé selon <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="applicabilité en relativiste" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\,</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en cinétique newtonienne, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec <math>\,\vec{V}_{M}(t)\,</math> « le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <br>{{Al|10}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cinétique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M}\;</math> avec <math>\,\color{transparent}{\vec{V}_{M}(t)}\,</math> « }}<math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Rappels : }}Pour une expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» du système continu fermé de matière, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}les vecteurs <math>\bullet\;</math>moment résultant dynamique en <math>\,O\,</math> appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> salculé selon <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right]\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec <math>\,d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> la somme des forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d S_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> du système, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{= \displaystyle\iint \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M}\;</math> avec }}<math>\,\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> étant la somme des densités surfaciques <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\,M\,</math> de l'expansion surfacique du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs }}<math>\bullet\;</math>moment cinétique du système en <math>\,O\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> calculé selon <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="applicabilité en relativiste" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\,</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en cinétique newtonienne, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref> avec <math>\,\vec{V}_{M}(t)\,</math> « le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <br>{{Al|21}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cinétique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M}\;</math> avec <math>\,\color{transparent}{\vec{V}_{M}(t)}\,</math> « }}<math>(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Rappels : }}Pour une expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math>» du système continu fermé de matière, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> }}les vecteurs <math>\bullet\;</math>moment résultant dynamique en <math>\,O\,</math> appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> salculé selon <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right]\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec <math>\,d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> la somme des forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> du système, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{= \displaystyle\int \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M}\;</math> avec }}<math>\,\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> étant la somme des densités linéiques <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\,M\,</math> de l'expansion linéique du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs }}<math>\bullet\;</math>moment cinétique du système en <math>\,O\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> calculé selon <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="applicabilité en relativiste" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\,</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en cinétique newtonienne, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec <math>\,\vec{V}_{M}(t)\,</math> « le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <br>{{Al|16}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les vecteurs <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cinétique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M}\;</math> avec <math>\,\color{transparent}{\vec{V}_{M}(t)}\,</math> « }}<math>(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». {{Al|5}}<u>Justification</u><math>\;\big(</math>exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, les vecteurs moments ayant pour point origine <math>\,O\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V\, \left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\, \leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d^2 \vec{F}_{V\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,} \right]\!(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique <math>\,M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V\, \left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\, \leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d^2 \vec{F}_{V\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,} \right]\!(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \dfrac{\partial \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}{\partial t} \right\rbrace_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="dérivées droite ou partielle"> Le volume «<math>\;\mathcal{V}\;</math>» de l'expansion spatiale dépendant a priori du temps <math>\,\big(</math>sauf si le système continu de matière est indéformable<math>\big)\,</math> et la dérivée temporelle, associée à un point <math>\,M\,</math> fixé <math>\,\big(</math>en effet elle résulte de l'application du théorème du moment cinétique au pseudo point centré en <math>\,M\big)</math>, devant se faire en figeant le point <math>\,M</math>, on a remplacé la dérivée droite <math>\,\big[</math>utilisée dans le théorème du moment cinétique vectoriel <math>\,\big(</math>ou {{Nobr|scalaire<math>\big)\,</math>}} appliqué au pseudo point <math>\,\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)</math>, ce dernier n’ayant pas de raison d’être changé<math>\big]\,</math> par une dérivée partielle à <math>\,M\,</math> figé.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>le 1^er terme du 1^er membre définissant le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système de matière à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>le 2^ème terme du 1^er membre définissant le vecteur moment résultant des forces intérieures par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système de matière à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{int}}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment résultant vectoriel des forces intérieures sur un système discret de points matériels - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_continu_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_point_origine_A_quelconque|vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un point origine A quelconque]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » pour l'établissement de la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>le 2^ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique <math>\,M\,</math> et de la dérivation temporelle »<ref name="permutation intégration spatiale et dérivation temporelle"> Propriété admise <math>\,\big[</math>analogue de la propriété « toute somme discrète de dérivées temporelles de grandeurs <math>\,g(M_i)\,</math> est la dérivée temporelle de la somme discrète des grandeurs <math>\,g(M_i)\,</math>» en remplaçant somme discrète par somme continue<math>\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le 2^ème membre se transformant, }}en «<math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right] \right\rbrace}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="dérivées partielle et droite"> Après permutation de l'intégration volumique sur le point générique <math>\,M\,</math> et de la dérivation temporelle et une fois l’intégration volumique réalisée, le point générique <math>\,M\,</math> n’apparaît plus, il n'y a donc plus qu'une seule dépendance « le temps » et la dérivée partielle devient droite.</ref>, l'intégrale volumique <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]\,</math> définissant le vecteur moment cinétique du système <br>{{Al|20}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le 2^ème membre se transformant, en «<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right] \right\rbrace(t)}\;</math>», l'intégrale volumique <math>\,\color{transparent}{\displaystyle\iiint \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}\,</math> définissant }}de matière en <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|20}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le 2^ème membre se transformant, en «<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right] \right\rbrace(t)}\;</math>», l'intégrale volumique <math>\,\color{transparent}{\displaystyle\iiint \overrightarrow{\sigma}_{O}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}\,</math> définissant }}<math>\overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst},\,t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le 2^ème membre égal à <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(\text{syst})}{dt}(t)\,</math> : C.Q.F.J<ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>.. === Complément, adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique vectoriel relativement à un point origine <math>\,A\,</math> mobile dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen appliqué à un point matériel <math>\,M\;</math><ref name="théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point M relativement à A mobile"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Complément,_expression_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_point_mobile_A_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique vectoriel relativement à un point origine <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile dans le référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}à un système discret fermé de points matériels. ==== Adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen ==== {{Al|5}}Soit le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» étudié dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}un point <math>\,A\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ; {{Al|5}}la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,A\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, appliqué à chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile }}s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M_i}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile }}on ajoute ces <math>\,N\,</math> relations <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left\lbrace \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on ajoute ces <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> relations <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}<math>= \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i)}{dt}(t) + \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M_i}(t) \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile }}on reconnaît dans <math>\bullet\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » }}système discret fermé de points matériels en <math>\,A\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » }}à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » }}appliquées au système discret fermé de points <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » }}matériels en <math>\,A\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="moment résultant vectoriel des forces intérieures sur un système discret de points matériels" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 1^er terme du 2^nd membre » se réécrivant «<math>\;\dfrac{d\! \left[ \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M_i) \right]}{dt}(t)\;</math>» après <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »<ref name="permutation entre dérivation et addition" />, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^nd membre » }}s'identifiant à «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <math>\,\big\{</math>dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}matériels en <math>\,A\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A}(\text{syst})(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /><math>\big\}\,</math> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^nd terme du 2^nd membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à gauche par <math>\,\vec{V}_{\!A}(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \left[ \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \vec{p}_{\!M_i}(t) \right]\;</math>» reconnaissant dans le <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}2^nd facteur du [[w:Produit_vectoriel#Définition|produit vectoriel]] <math>\,\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> <math>\big\{</math>vecteur résultante cinétique du <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« 2^nd facteur du produit vectoriel <math>\,\color{transparent}{\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}système de points matériels<ref name="résultante cinétique d'un système discret de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref><math>\big\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 2^nd membre » }}«<math>\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile }}ainsi le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile ainsi }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, moments évalués relativement à un point <math>\,A\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> mobile ainsi }}prend la forme «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» d'où l'énoncé<ref name="à retrouver" /> : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A\;</math><u>mobile</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> appliqué à un système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> et du [[w:Produit_vectoriel#Définition|produit vectoriel]] «<math>\;\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel" /> dans lequel <math>\,\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math>»<ref name="résultante cinétique d'un système discret de points matériels" /> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />{{,}}<ref name="lien entre résultante cinétique et vitesse du C.D.I."> En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système discret fermé de points matériels <math>\,\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est lié à la vitesse du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> et à la masse de ce dernier <math>\,m_{\text{syst}}\,</math> par <math>\,\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Lien_entre_la_résultante_cinétique_et_le_vecteur_vitesse_du_centre_d'inertie_d'un_système_de_points_matériels_fermé|lien entre la résultante cinétique et le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> d'un système discret fermé de points matériels et le mouvement du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système {{Nobr|<math>\;\Bigg[</math>voir}} le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultanta cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associées au système]] (en cinétique relativiste) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » où on rappelle l'expression <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \gamma_{M_i}(t)\;m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> avec <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M_i}^{\,2}(t)}{c^2}}}\,</math> le facteur de Lorentz du point <math>\,M_i</math>, alors que l'expression de la vitesse du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système s'exprime, comme en cinématique newtonienne, selon <math>\,\vec{V}_{\!G}(t) = \dfrac{\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\vec{V}_{\!M_i}(t)}{m_{\text{syst}}}\,</math> d'où aucun lien dans le cas général<math>\Bigg]</math> <math>\;\ldots\;</math> sauf dans le cas où le système de points matériels est en translation car tous les points matériels <math>\,M_i\,</math> ont la même vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> donc le même facteur de Lorentz <math>\,\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^2}}}\,</math> d'où, après factorisation par ce dernier ainsi que par la vitesse commune <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst. en transl.},\,t \right) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sachant que les relations d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique se déduisent de celles d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en remplaçant les sommes discrètes du 2^nd par des sommes continues du 1^er <math>\,\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre dans le 1^er une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>l'adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen avec point origine</u><math>\;A\;</math><u>d'évaluation des moments mobile</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation }}<u>se généralise sans modification</u><math>\;\Big[</math>les définitions du vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> appliqué au système continu fermé de matière «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}du vecteur moment cinétique par rapport à <math>\,A\,</math> du système étudié «<math>\;\overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>»<ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}du vecteur résultante cinétique du système considéré «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>»<ref name="vecteur résultante cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> résultent du remplacement de la somme discrète des <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /> des grandeurs <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle<ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique<ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique<ref name="pseudo point d'une expansion linéique"/><math>\Big]</math>. ==== Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen ==== {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u> appliqué à un système discret fermé de points matériels <u>selon</u><math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math><u>est inapplicable si</u><math>\;A\;</math><u>est mobile dans le référentiel</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u><ref name="théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels avec A mobile"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels selon<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)(t)}\;</math>est inapplicable }}sauf pour <math>\,A\,</math> tel que <math>\,\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \vec{0}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels }}le théorème adapté à utiliser étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>»<ref name="non à retenir mais à retrouver"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est<math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels avec A mobile" /> : <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels }}or, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\; \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» avec «<math>\;G\;</math> le C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. du système discret <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\; \vec{V}_{\!G}(t)}\;</math>» avec « }}fermé de points matériels » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}si le point origine <math>\,A\,</math> se déplace parallèlement au C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}<math>\big\{</math>c.-à-d. pour <math>\,\vec{V}_{\!A}(t)\,</math> colinéaire à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\big\}</math> <math>\,\vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = \vec{0}\,</math> d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}<u>le théorème du moment cinétique vectoriel s'applique à un système discret</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}<u>fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec</u><math>\;A\;</math><u>mobile</u> selon <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{\!A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\\ \text{dans la mesure où }\; \vec{V}_{\!A}(t)\;\propto\;\vec{V}_{\!G}(t)\end{array} \right\rbrace\;</math>», le cas particulier le plus <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}fréquent étant celui où <math>\,A\,</math> est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système étudié d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude galiléen quand <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}le point origine de calcul des moments est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système<ref name="non à retenir mais à retrouver" /> : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> étudié, le vecteur moment résultant dynamique par rapport au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport au C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma_{G}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{G}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_C.D.I.-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre, le seul cas où <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est <math>\,\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> en cinétique relativiste étant celui d'un système discret de points matériels en translation et par suite, à l'exception de ce cas <math>\,\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> est toujours <math>\,\not\propto\,</math> à <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> en cinétique relativiste<math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="applicabilité à un système continu de matière"> Encore applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>.</center> |} == Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un axe fixe == {{Al|5}}Nous cherchons à trouver l'expression de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. <math>\,\big[</math>ou du théorème du moment cinétique vectoriel qui en est une conséquence<math>\big]\,</math> appliqué(e) à un point matériel <math>\,M\,</math> relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe. === Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, le point origine des moments étant un point <math>\,O\,</math> choisi fixe sur l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe du référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen<ref> Rappelons que théorème du moment cinétique vectoriel est l'expression de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>Relation Fondamentales de la Dynamique Newtonienne<math>\big)\,</math> appliquée à un point matériel <math>\,M\,</math> relativement à un point origine <math>\,O\;</math> fixe du référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> avec <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{O}(M,\,t)\,</math> le moment cinétique vectoriel de <math>\,M\,</math> en <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] = d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)(t)}\;</math>» avec }}<math>\,\left\lbrace \vec{F}_k \right\rbrace\,</math> l'ensemble des forces appliquées au point <math>\;M</math>, le vecteur moment en <math>\,O</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] = d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)(t)}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{F}_k \right\rbrace}\,</math> l'ensemble des forces appliquées au point <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}de chaque force étant <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right]</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] = d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)(t)}\;</math>» }}on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ou, avec la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta = d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)(t) \cdot \vec{u}_\Delta}\;</math>» ou, avec la distributivité }}<math>\left\lbrace \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta = \sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta = d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)(t) \cdot \vec{u}_\Delta}\;</math>» ou, avec }}le caractère constant de <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right]}{dt}(t)\;</math><ref> En effet la constance de <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{d \vec{u}_\Delta}{dt}(t) = \vec{0}\,</math> et <math>\,\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{O}(M)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta + \cancel{\overrightarrow{\sigma}_{O}(M,\,t)\;\dfrac{d \vec{u}_\Delta}{dt}} = \dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right]}{dt}(t)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = \dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right]}{dt}(t)\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; le point <math>\,O\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, on reconnaît dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd membre de la relation <math>\,\left( \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right]}{dt}(t)\;</math>» la dérivée temporelle du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}</math>, }}« moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}</math>, }}à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(M,\,t)\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire d'un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d'étude_et_conséquence,_«_notion_de_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}</math>, }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right]}{dt}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(M)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> et dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre de la relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math>» la somme des <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}</math>, }}« moments scalaires des forces appliquées à <math>\,M\,</math> par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}</math>, « }}rapport à <math>\,\Delta</math>, de moment individuel <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «<math>\;\color{transparent}{\sum_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{F}_k,\, t \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace = d\! \left[ \overrightarrow{\sigma}_{O}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right](t)\;\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math>» ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre de la relation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}</math>, « }}à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="moment scalaire d'une force par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> » c.-à-d. «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}d'où l'expression de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. <math>\,\big[</math>ou du théorème du moment cinétique vectoriel<math>\big]\,</math> appliqué(e) à un point matériel <math>\,M\,</math> relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe <br>{{Al|9}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel d'où l'expression de la r.f.d.n. <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>ou du théorème du moment cinétique vectoriel<math>\color{transparent}{\big]}\,</math> appliqué(e) à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel d'où l'expression de la r.f.d.n. }}«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(M)}{dt}(t)\;</math><ref name="applicabilité en relativiste" /> si <math>\,\Delta\,</math> est un axe fixe de <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ». === Causes de modification du moment cinétique scalaire du point matériel M par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d’étude === {{Al|5}}D'après l'expression de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. <math>\,\big[</math>ou celle du théorème du moment cinétique vectoriel<math>\big]\,</math> appliquée à un point matériel <math>\;M\;</math> relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <br>{{Al|9}}{{Transparent|D'après l'expression de la r.f.d.n. <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>ou celle du théorème du moment cinétique vectoriel<math>\color{transparent}{\big]}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(M)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|D'après }}l'expression de tout théorème de la dynamique d'un point matériel <math>\,M\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinétique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinétique scalaire}\end{array}\right\rbrace</math><ref name="applicabilité en relativiste" />, {{Al|5}}nous pouvons affirmer que « les moments scalaires des forces appliquées au point matériel <math>\,M\,</math> calculés par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à savoir <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» sont <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvons affirmer que }}« les causes de modification du moment cinétique scalaire du point <math>\,M\,</math> par rapport à ce même axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à savoir <math>\,\sigma_{\!\Delta}(M,\,t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />. === Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Soit un axe <math>\,\Delta\,</math> mobile dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et un point quelconque <math>\,A\,</math> sur <math>\,\Delta\,</math> choisi comme origine des moments vectoriels, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Soit }}l'axe <math>\,\Delta</math> <math>\,\big(</math>a priori de mouvement quelconque dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen<math>\big)\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en <math>\,A\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant selon «<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t)\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="applicabilité en relativiste" />{{,}}<ref name="expression de la r.f.d.n. appliquée à M en A mobile" />{{,}}<ref name="non à retenir mais à retrouver" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel }}nous multiplions scalairement la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> membre à membre par <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{p}_{\!M}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel }}nous reconnaissons dans <math>\bullet\;</math>« le 1^er membre », après avoir utilisé la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er membre », }}la somme des moments scalaires des forces appliquées au point matériel <math>\;M\;</math> relativement à l'axe <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er membre », }}«<math>\;\left[ \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \sum_k \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) \cdot \vec{u}_\Delta \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans }}<math>\bullet\;</math>« le 1^er terme du 2^ème membre » <u>si</u><math>\;\Delta\;</math><u>garde une direction constante</u><math>\;\big[</math>c.-à-d. si le mouvement de <math>\,\Delta\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est une translation<math>\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^ème membre » si<math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math>garde une direction constante }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\text{cste}}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^ème membre » si<math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math>garde une direction constante }}«<math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \dfrac{d\! \left[ \vec{\sigma}_{\!A}(M) \cdot \vec{u}_\Delta \right]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^ème membre » si<math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math>garde une direction constante «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \vec{\sigma}_{\!A}(M)}{dt}(t) \cdot \vec{u}_\Delta}</math> }}<math>= \dfrac{d \sigma_{\Delta}(M)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" /> c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^ème membre » si<math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math>garde une direction constante « }}la dérivée temporelle de <math>\sigma_{\Delta}(M,\,t)</math> moment cinétique scalaire <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^ème membre » si<math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math>garde une direction constante « }}de <math>\,M\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta</math> <math>\,\big(</math><u>en translation dans</u><math>\;\mathcal{R}\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^ème membre » si<math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math>garde une direction constante « de <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}au même instant <math>\,t\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un point matériel" /> et enfin dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, par invariance du [[w:Calcul_vectoriel_en_géométrie_euclidienne#Produit_mixte|produit mixte]] par permutation circulaire<ref name="invariance de produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, }}à «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>» ou, en notant <math>\,\vec{V}_{\!\Delta}(t)\,</math> la vitesse de translation de l'axe <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M}(t)}\;</math>» ou, }}<math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{\!A}(t) = \vec{V}_{\!\Delta}(t) + \vec{V}_{\text{gliss. de }A\,\text{sur }\Delta}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « }}<math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t) = \vec{u}_\Delta \wedge \left[ \vec{V}_{\!\Delta}(t) + \vec{V}_{\text{gliss. de }A\,\text{sur }\Delta}(t) \right]\,</math> soit, par distributivité de la <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t)}</math> }}[[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t)}</math> }}<math>= \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!\Delta}(t)\; \cancel{+\; \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\text{gliss. de }A\,\text{sur }\Delta}(t)}\;</math> par nullité du [[w:Produit_vectoriel#Définition|produit]] <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!A}(t)}</math> }}[[w:Produit_vectoriel#Définition|vectoriel]] de deux vecteurs colinéaires<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel" />, d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« ce 2^nd terme du 2^ème membre » égal à «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!\Delta}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />, terme <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« ce 2^nd terme du 2^ème membre » égal à « }}nul pour un mouvement de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le plan <math>\,\left\lbrace \Pi_\Delta(t) \right\rbrace = \left\lbrace \vec{u}_\Delta\,,\, \vec{V}_{\!\Delta}(t) \right\rbrace\;</math><ref name="plan de translation de Delta"> Plan de <math>\,\mathcal{R}\,</math> dépendant de <math>\,t\,</math> dans lequel l'axe <math>\,\Delta\,</math> se translate à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« ce 2^nd terme du 2^ème membre » égal à « }}non nul pour un mouvement de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> à composante <math>\,\perp\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Pi_\Delta(t) \right\rbrace\,</math><ref name="plan de translation de Delta" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel }}d'où la forme de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. <math>\,\big(</math>ou du théorème du moment cinétique vectoriel<math>\big)\,</math> appliqué(e) à un point matériel <math>\,M\,</math> par rapport à un axe mobile <math>\,\Delta\;</math><u>de direction fixe</u> <br>{{Al|9}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique vectoriel d'où la forme de la r.f.d.n. <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>ou du théorème du moment cinétique vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> appliqué(e) à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen<ref name="non à retenir mais à retrouver" /> : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\;</math><u>en translation</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, le moment scalaire résultant par rapport à <math>\,Delta\,</math> des forces appliquées à un point matériel <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» et de la grandeur scalaire définie par le [[w:Calcul_vectoriel_en_géométrie_euclidienne#Produit_mixte|produit mixte]] «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!\Delta}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M}(t)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\vec{V}_{\!\Delta}(t)\,</math> est le vecteur vitesse de translation de l'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <math>\,\big(</math>en absence de glissement parallèlement à lui-même<math>\big)\,</math> et <math>\,\vec{p}_{\!M}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement du point <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math>» soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}\!\left( M \right)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!\Delta}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />{{,}}<ref name="non à retenir mais à retrouver" />.</center> |} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel == === Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\Delta\,</math> <u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces appliquées à un point matériel <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique de <math>\,M\,</math> <math>\sigma_{\Delta}(M,\,t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen «<math>\;\color{transparent}{\sum \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)}\;</math>» est égal à la dérivée temporelle }}par rapport au même axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen «<math>\;\color{transparent}{\sum \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)}\;</math>» est égal à }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(M)}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(M)}{dt}(t)\,</math> si <math>\,\Delta\,</math> est fixe dans <math>\;\mathcal{R}\,</math> galiléen »<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(ou_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel)_appliqué(e)_à_un_point_matériel_M_reativement_à_un_axe_fixe_Δ_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : Revoir le paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(ou_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel)_appliqué(e)_à_un_point_matériel_M_reativement_à_un_axe_fixe_Δ_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre. === Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée === {{Al|5}}Le moment cinétique scalaire d'un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C</math>, de rayon <math>\,R\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, moment évalué par rapport à <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment cinétique scalaire d'un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}</math>, }}s'écrivant «<math>\;\sigma_{\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire de M en mouvement circulaire d'axe Delta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_l’axe_Δ_du_cercle|évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2]] (PCSI) ».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en cinétique relativiste" /> avec <math>\,J_{\Delta}(M) = m\; R^2\,</math> le moment d'inertie de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>masse <math>\,m\big)\,</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|Le moment cinétique scalaire d'un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}</math>, s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{J_{\Delta}(M) = m\; R^2}\,</math> le }}relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C</math>, de rayon <math>\,R\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire }}les moments évalués par rapport à <math>\,\Delta\,</math> et le moment d'inertie de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> étant constant <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire }}«<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(M)}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant galiléen et <br>{{Al|8}}{{Transparent|l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire «<math>\;\color{transparent}{d \sigma_{\Delta}(M)(t) = J_\Delta(M)\;d \overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}l'axe <math>\,\Delta\,</math> du cercle nécessairement fixe<ref name="C ou Delta nécessairement fixes" /><math>\big)</math>, s'énonce selon : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\,Delta\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big[</math>la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la }}angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la }}angulaire instantanée <math>\,\theta(t)\,</math> repérant <math>\,M\,</math> sur sa trajectoire circulaire <math>\Rightarrow</math> la dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la }}temporelle de <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la dérivée temporelle 2^nde de <math>\,\theta(t)\,</math> c.-à-d. l'accélération <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la }}angulaire de <math>\,M\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\,</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\,\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\,\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\,</math> non transformable selon <math>\,J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\,</math> ni selon <math>\,\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\,\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\,</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} === Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Considérant l'axe</u><math>\;\Delta</math>, <u>origine des moments</u>, <u>en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel</u><math>\;M</math> <math>\,\big(</math>de masse <math>\,m\big)</math>, prend la forme<ref name="à retrouver" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant l'axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math>, origine des moments, en translation dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, le théorème du moment cinétique scalaire }}découlant de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant l'axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math>, origine des moments, en translation dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, le théorème du moment cinétique scalaire découlant de }}de <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math><ref name="expression de la r.f.d.n. appliquée à M en Delta translatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Complément,_expression_de_la_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(ou_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel)_appliqué(e)_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_axe_mobile_Δ_de_direction_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] », plus haut dans ce chapitre.</ref> : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\;</math><u>en translation</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces appliquées à un point matériel <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» et du [[w:Calcul_vectoriel_en_géométrie_euclidienne#Produit_mixte|produit mixte]] «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!\Delta}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="définition intrinsèque du produit mixte" /> dans lequel <math>\,\vec{V}_{\!\Delta}(t)\,</math> est le vecteur vitesse de translation de l'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <math>\,\big(</math>en absence de glissement parallèlement à lui-même<math>\big)\;</math> et <math>\,\vec{p}_{\!M}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement du point <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(M)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\!\Delta}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center> |} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière == === Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Soit le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» étudié dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport auquel on détermine les moments scalaires, <br>{{Al|5}}on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, moments évalués relativement à l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque point matériel <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(M_i)}{dt}(t)\;</math>» puis <br>{{Al|5}}on fait la somme de ces <math>\,N\,</math> relations <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left\lbrace \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \dfrac{d \sigma_{\Delta}(M_i)}{dt}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}on reconnaît dans <math>\bullet\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système discret fermé de points matériels par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^ème terme du 1^er membre » le moment résultant scalaire des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels relativement au même axe <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^ème terme du 1^er membre » }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}}(t) = 0\;</math>»<ref name="moment résultant scalaire des forces intérieures sur un système discret de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_par_rapport_à_un_axe_Δ_quelconque|moment résultant scalaire des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » pour l'établissement de la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^ème membre » égal à, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »<ref name="permutation entre dérivation et addition" />, «<math>\;\dfrac{d\! \left[ \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\Delta}(M_i) \right]}{dt}(t)\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^ème membre » égal à, }}la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels par rapport au même axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\Delta\,</math> <u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> appliqué }}«<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> appliqué }}à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, par eapport au même axe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen la dérivée temporelle du }}«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» au même instant <math>\,t\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Conséquence,_«_notion_de_moment_cinétique_scalaire_du_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion de moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math> si <math>\,\Delta\,</math> est fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen »<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} === Généralisation à un système continu fermé de matière === {{Al|5}}Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement des sommes discrètes du 1^er par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement }}des sommes continues du 2^nd<ref name="somme continue" /> <br>{{Al|5}}le théorème du moment cinétique scalaire s'applique à un système continu de matière dans un référentiel <u>galiléen</u> où l'axe origine <math>\;\Delta\;</math> d'évaluation des moments est <u>fixe</u> selon l'énoncé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\Delta\,</math> <u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système continu fermé de matière d'expansion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> appliqué }}tridimensionnelle <math>\left( \mathcal{V} \right)</math> de masse volumique <math>\mu(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> appliqué }}surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> appliqué }}linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen le moment résultant dynamique scalaire en <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> appliqué }}à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, par rapport au même axe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen la dérivée temporelle du }}«<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst})(t)\;</math>» au même instant <math>\,t\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Conséquence_:_notion_de_«_moment_cinétique_scalaire_du_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|conséquence, notion de moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math> si <math>\,\Delta\,</math> est fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen »<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Rappels</u> : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\;</math>» du système continu fermé de matière, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> }}les scalaires <math>\bullet\;</math>moment résultant dynamique en <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> salculé selon <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right]\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec <math>\,d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> la somme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{= \displaystyle\iiint \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M}\;</math> avec }}<math>\,\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> étant la somme des densités <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}volumiques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\,M\,</math> de l'expansion volumique du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires }}<math>\bullet\;</math>moment cinétique du système en <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> calculé selon <math>\,\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="applicabilité en relativiste" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}avec <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\,</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en cinétique newtonienne, <math>\,\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec <math>\,\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cinétique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M}\;</math> avec }}dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : }}Pour une expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» du système continu fermé de matière, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}les scalaires <math>\bullet\;</math>moment résultant dynamique en <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> salculé selon <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right]\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec <math>\,d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> la somme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d S_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> du système, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{= \displaystyle\iint \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M}\;</math> avec }}<math>\,\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> étant la somme des densités <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}surfaciques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\,M\,</math> de l'expansion surfacique du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires }}<math>\bullet\;</math>moment cinétique du système en <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> calculé selon <math>\,\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="applicabilité en relativiste" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}avec <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\,</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en cinétique newtonienne, <math>\,\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec <math>\,\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cinétique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M}\;</math> avec }}dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : }}Pour une expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» du système continu fermé de matière, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> }}les scalaires <math>\bullet\;</math>moment résultant dynamique en <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> salculé selon <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\! \left[ d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right]\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec <math>\,d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> la somme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> du système, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{= \displaystyle\int \left[ \overrightarrow{OM} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M}\;</math> avec }}<math>\,\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> étant la somme des densités <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}linéiques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\,M\,</math> de l'expansion linéique du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires }}<math>\bullet\;</math>moment cinétique du système en <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> calculé selon <math>\,\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="applicabilité en relativiste" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}avec <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\,</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en cinétique newtonienne, <math>\,\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec <math>\,\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappels : Pour une expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> les scalaires <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cinétique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\sigma_{\Delta}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M}\;</math> avec }}dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t</math>. {{Al|5}}<u>Justification</u><math>\;\big(</math>exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, les moments scalaires ayant pour axe origine <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V\, \left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\, \leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d^2 \vec{F}_{V\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,} \right]\!(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique <math>\,M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V\, \left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\, \leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d^2 \vec{F}_{V\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,} \right]\!(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \dfrac{\partial \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}{\partial t} \right\rbrace_{\!M}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="dérivées droite ou partielle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>le 1^er terme du 1^er membre définissant le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système de matière à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>le 2^ème terme du 1^er membre définissant le moment résultant scalaire des forces intérieures par rapport à <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système de matière à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}}(t) = 0\;</math>»<ref name="moment résultant scalaire des forces intérieures sur un système discret de points matériels - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_continu_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_quelconque|moment résultant scalaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un axe Δ quelconque]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » pour l'établissement de la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}<math>\succ\;</math>le 2^ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique <math>\,M\,</math> et de la dérivation temporelle »<ref name="permutation intégration spatiale et dérivation temporelle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le 2^ème membre se transformant, }}en «<math>\;\dfrac{d\! \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right] \right\rbrace}{dt}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="dérivées partielle et droite" />, l'intégrale volumique <math>\,\displaystyle\iiint_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]\,</math> définissant le moment cinétique scalaire du <br>{{Al|17}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le 2^ème membre se transformant, en «<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right] \right\rbrace}\;</math>», l'intégrale volumique <math>\,\color{transparent}{\displaystyle\iiint \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}\,</math> définissant }}système de matière en <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|17}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le 2^ème membre se transformant, en «<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\ \left( \mathcal{V} \right)} \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right] \right\rbrace}\;</math>», l'intégrale volumique <math>\,\color{transparent}{\displaystyle\iiint \sigma_{\Delta}\!\left[ \left( M,\,d \mathcal{V}_M \right) \right]}\,</math> définissant }}<math>\sigma_{\Delta}(\text{syst},\,t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le 2^ème membre égal à <math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\,</math> : C.Q.F.J<ref name="C.Q.F.J." />. === Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen appliqué à un point matériel <math>\,M\;</math><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point M relativement à Delta en translation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Complément,_adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_point_matériel_M_relativement_à_un_axe_Δ_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique scalaire relativement à un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen }}à un système discret fermé de points matériels. ==== Adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen ==== {{Al|5}}Soit le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» étudié dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}un axe <math>\,\Delta\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport auquel on détermine les moments scalaires ; {{Al|5}}le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\Delta\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, appliqué à chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta}(M_i)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M_i}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation «}}<math>\;\vec{V}_\Delta(t)\,</math> étant le vecteur vitesse de translation de <math>\,\Delta\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <math>\,\big(</math>en absence de glissement <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_\Delta(t)}\,</math> étant le vecteur vitesse de translation de <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> dans <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}le long de <math>\,\vec{u}_\Delta\big)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation «}}<math>\;\vec{p}_{\!M_i}(t)\;</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation }}on ajoute ces <math>\,N\,</math> relations <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t) + \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left\lbrace \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right](t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on ajoute ces <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> relations <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}<math>= \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \dfrac{d \sigma_{\Delta}(M_i)}{dt}(t) + \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{p}_{\!M_i}(t)\;</math>»<ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point M relativement à Delta en translation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation }}on reconnaît dans <math>\bullet\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » }}système discret fermé de points matériels en <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 1^er membre » }}à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » le moment résultant scalaire des forces intérieures <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » }}appliquées au système discret fermé de points <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » }}matériels en <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 2^nd terme du 1^er membre » }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}}(t) = 0\;</math>»<ref name="moment résultant scalaire des forces intérieures sur un système discret de points matériels" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 1^er terme du 2^nd membre » se réécrivant «<math>\;\dfrac{d\! \left[ \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\Delta}(M_i) \right]}{dt}(t)\;</math>» après <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »<ref name="permutation entre dérivation et addition" />, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le 1^er terme du 2^nd membre » }}s'identifiant à «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» <math>\,\big\{</math>dérivée <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}matériels en <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst})(t)\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /><math>\big\}\,</math> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans }}<math>\bullet\;</math>« le 2^nd terme du 2^nd membre » dans lequel on effectue une factorisation scalaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à gauche par <math>\,\vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t)\;</math><ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \vec{p}_{\!M_i}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}reconnaissant dans le 3^ème facteur du [[w:Calcul_vectoriel_en_géométrie_euclidienne#Produit_mixte|produit mixte]] <math>\,\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> <math>\big\{</math>vecteur résultante <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« reconnaissant dans le 3^ème facteur }}cinétique du système de points matériels<ref name="résultante cinétique d'un système discret de points matériels" /><math>\big\}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation on reconnaît dans <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« reconnaissant dans le 3^ème facteur }}«<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation }}ainsi le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation ainsi }}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, moments évalués relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> en translation ainsi }}prend la forme «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» d'où l'énoncé<ref name="à retrouver" /> : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\,\Delta\;</math><u>en translation</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[</math>l'axe <math>\,\Delta\,</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\big]</math>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> appliqué à un système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t</math> «<math>\;\sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> et du [[w:Calcul_vectoriel_en_géométrie_euclidienne#Produit_mixte|produit mixte]] «<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit mixte" /> dans lequel <math>\,\vec{V}_\Delta(t)\,</math> est le vecteur vitesse de translation de <math>\,\Delta\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <math>\,\big(</math>en absence de glissement le long de <math>\,\vec{u}_\Delta\big)\,</math> et <math>\,\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\,</math> le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>»<ref name="résultante cinétique d'un système discret de points matériels" /> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />{{,}}<ref name="lien entre résultante cinétique et vitesse du C.D.I." />.</center> |} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sachant que les relations d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique se déduisent de celles d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en remplaçant les sommes discrètes du 2^nd par des sommes continues du 1^er <math>\,\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre dans le 1^er une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>l'adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où l'axe</u><math>\;\Delta\;</math><u>d'évaluation des moments y est en translation</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation }}<u>se généralise sans modification</u><math>\;\Big[</math>les définitions du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> appliqué au système continu fermé de matière «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> du système étudié «<math>\;\sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu fermé" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}du vecteur résultante cinétique du système considéré «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>»<ref name="vecteur résultante cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> résultent du remplacement de la somme discrète des <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /> des grandeurs <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : l'adaptation se généralise sans modification<math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>les définitions }}associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle<ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique<ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique<ref name="pseudo point d'une expansion linéique"/><math>\Big]</math>. ==== Applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen ==== {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique scalaire</u> appliqué à un système discret fermé de points matériels <u>selon</u><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math><u>est inapplicable pour</u><math>\;\Delta\;</math><u>mobile dans le référentiel</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u><ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discrte fermé de points matériels avec Delta mobile"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe A quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels selon<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)(t)}\;</math>est }}sauf pour <math>\,\Delta\;</math><u>en translation dans</u><math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big\{</math>le vecteur unitaire <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels selon<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)(t)}\;</math>est sauf pour <math>\,\color{transparent}{\Delta}\;</math>en translation dans<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}l'orientant <math>\,\vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\text{cste}}\big\}</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels selon<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)(t)}\;</math>est sauf pour <math>\,\color{transparent}{\Delta}\;</math> en }}tel que <math>\,\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels }}le théorème adapté à utiliser dans le cas où <math>\,\Delta\,</math> est en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen<ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discrte fermé de points matériels avec Delta mobile" /> étant <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels }e théorème adapté à utiliser }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>»<ref name="non à retenir mais à retrouver" /> : <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels }}or, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\; \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» avec «<math>\;G\;</math> le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système discret <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = m_{\text{syst}}\; \vec{V}_{\!G}(t)}\;</math>» avec « }}fermé de points matériels » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}si l'axe <math>\,\Delta\,</math> se translate parallèlement au plan <math>\,\left\lbrace \vec{u}_\Delta\,,\,\vec{V}_G(t) \right\rbrace\,</math> <math>\Big[</math>c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, si }}<math>\vec{V}_{\Delta}(t)\,</math> coplanaire au plan <math>\,\left\lbrace \vec{u}_\Delta\,,\,\vec{V}_G(t) \right\rbrace = \left\lbrace \vec{u}_\Delta\,,\,\vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) \right\rbrace\Big]</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, si l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> se translate parallèlement }}<math>\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{V}_{\Delta}(t) \right] \cdot \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right) = 0\;</math><ref name="nullité d'un produit mixte"> En effet le [[w:Calcul_vectoriel_en_géométrie_euclidienne#Produit_mixte|produit mixte]] de trois vecteurs est nul si ces vecteurs sont coplanaires voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}<u>le théorème du moment cinétique scalaire s'applique à un système discret</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}<u>fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec</u><math>\;\Delta\;</math><u>en translation</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}selon «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\\ \text{si }\; \left[ \vec{V}_{\Delta}(t),\;\vec{u}_\Delta,\;\vec{V}_{\!G}(t) \right]\;\text{coplanaires}\end{array} \right\rbrace\;</math>», le cas particulier <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}le plus fréquent étant celui où <math>\,\Delta\,</math> se translate en passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}<math>G\,</math> du système étudié en lui restant solidaire<ref name="Delta solidaire de G"> Dont on déduit que <math>\,G\,</math> ne glisse pas sur <math>\,\Delta</math>.</ref>, <math>\,\big\{\Delta\,</math> alors noté <math>\,\Delta_G\big\}</math>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, le plus fréquent étant }}<math>\vec{V}_\Delta(t) = \vec{V}_G(t)\;</math><ref name="Delta solidaire de G" /> d'où l'énoncé du théorème du <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}matériels dans un référentiel d'étude galiléen avec, pour axe origine de <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}calcul des moments, l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, calcul des moments, l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_G}\,</math> }}solidaire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, }}<math>\big(</math>complément non à retenir mais à savoir justifier si besoin est<math>\big)</math> : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\,\Delta_G</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> étudié, l'axe restant solidaire de <math>\,G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système à l'instant <math>\,t\,</math> en <math>\,\Delta_G\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système par rapport à <math>\,\Delta_G\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire d'un système discret fermé" /> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis" />{{,}}<ref name="applicabilité à un système continu de matière" />.</center> |} == Différents cas de conservation du moment cinétique vectoriel ou scalaire d'un système discret fermé de points matériels == === Conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Il y a <u>conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point</u><math>\;O\;</math><u>fixe dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> à savoir «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel }}<u>si le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O\;</math><u>appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est nul à tout instant</u><math>\;t\;</math> c.-à-d. si «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel }}propriété résultant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système fermé de matière en un point <math>\,O\,</math> fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Téorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|Généralisation à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel la nullité du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> celle du 2^nd membre soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du «}}<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math> d'où, après intégration par rapport au temps, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_O\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si }}le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> par rapport au point <math>\,O\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique }}peut être nul par <math>\bullet\;</math><u>absence de forces extérieures</u> c.-à-d. si le système fermé de matière est <u>isolé</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures toutes « centrales par rapport au point fixe</u><math>\;O\;</math><u>»</u><ref name="centrale"> C.-à-d. de direction passant par le même point fixe <math>\;O</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures à vecteurs moments par rapport au point fixe</u><math>\;O\;</math><u>se compensant</u><ref name="système pseudo isolé en rotation autour d'un point"> On pourrait qualifier le système fermé de matière de « pseudo-isolé en rotation autour d'un point » dans la mesure où la compensation des moments vectoriels des forces extérieures entraîne la même propriété cinétique que leur absence, toutefois cette appellation n'est pas utilisée <math>\;\ldots</math></ref>. === Conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Il y a <u>conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe</u><math>\;\Delta\;</math><u>fixe dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> à savoir «<math>\;\sigma_\Delta\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \text{cste},\;\;\forall\;t\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire }}<u>si le moment résultant dynamique scalaire en</u><math>\;\Delta\;</math><u>appliqué au système<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> est nul à tout instant</u><math>\;t\;</math> c.-à-d. si «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire }}propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire appliqué au système fermé de matière en un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire propriété résultant du }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = \dfrac{d \sigma_\Delta\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Téorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|Généralisation à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel la nullité du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> celle du 2^nd membre soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire propriété résultant du «}}<math>\;\dfrac{d \sigma_\Delta\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> d'où, après intégration par rapport au temps, «<math>\;\sigma_\Delta\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \text{cste},\;\;\forall\;t\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire si }}le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire }}peut être nul par <math>\bullet\;</math><u>absence de forces extérieures</u> c.-à-d. si le système fermé de matière est <u>isolé</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures «</u><math>\;\parallel\;</math><u>à</u> ou <u>de support coupant</u> <u>l'axe fixe</u><math>\;\Delta\;</math>»<ref name="nullité des moments scalaires individuels"> Les moments scalaires individuels des forces extérieures étant alors tous nuls.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures à moments scalaires par rapport à l'axe fixe</u><math>\;\Delta\;</math><u>se compensant</u><ref name="système pseudo isolé en rotation autour d'un axe"> On pourrait qualifier le système fermé de matière de « pseudo-isolé en rotation autour d'un axe » dans la mesure où la compensation des moments scalaires des forces extérieures entraîne la même propriété cinétique que leur absence, toutefois cette appellation n'est pas utilisée <math>\;\ldots</math></ref>. === Complément, conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) G dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Il y a <u>conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son C.D.I<ref name="C.D.I." />.</u><math>\;G\;</math><u>quel que soit le mouvement de ce dernier dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> à savoir <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math>quel que soit le mouvement de ce dernier }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_G\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel }}<u>si le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;G\;</math><u>appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est nul à tout instant</u><math>\;t\;</math> c.-à-d. si «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel }}propriété résultant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système fermé de matière en <math>\,G\,</math> mobile dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_G\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en G"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre, l'application du théorème à un système continu fermé de matière se généralisant sans aucune modification.</ref>{{,}}<ref name="non à retenir mais à retrouver" /> dans lequel la nullité du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> celle du 2^nd membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant }}soit <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_G\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math> d'où, après intégration par rapport au temps, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_G\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \overrightarrow{\text{cste}},\;\;\forall\;t\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si }}le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> par rapport à son C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> mobile dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|25}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport à son C.D.I. }}quel que soit son mouvement dans <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique }}peut être nul par <math>\bullet\;</math><u>absence de forces extérieures</u> c.-à-d. si le système fermé de matière est <u>isolé</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big[</math>dans le cadre de la dynamique newtonienne, <math>\,G\,</math> a alors un mouvement rectiligne uniforme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>}}dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème du mouvement du C.D.I. (dynamique newtonienne)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » conséquence de l'utilisation du théorème de la résultante cinétique [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé|énoncé]] dans le même chapitre avec application de la relation valable en cinétique newtonienne <math>\,\vec{P}_{\text{syst. fermé}}(t) = m_{\text{syst. fermé}}\;\vec{V}_G(t)</math> ; <br>{{Al|3}}on rappelle que le théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de matière est a priori <u>inapplicable en dynamique relativiste</u> voir le paragraphe exposé « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#En_complément,_inapplicabilité_du_théorème_du_mouvement_du_centre_d'inertie_à_un_système_fermé_de_points_matériels_dans_le_cadre_de_la_dynamique_relativiste|en complément, inapplicabilité du théorème du mouvement du centre d'inertie à un système fermé de points matériels dans le cadre de la dynamique relativiste]] » du même chap.<math>9</math> de la même leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » car si le théorème de la résultante cinétique [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé|énoncé]] dans le même chapitre reste applicable en dynamique relativiste il n'y a plus, a priori, de relation entre <math>\,\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. fermé}}(t)\,</math> et <math>\,\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures toutes « centrales par rapport au C.D.I<ref name="C.D.I." />.</u><math>\;G\;</math><u>»</u><ref name="centrale par rapport à G"> C.-à-d. de direction passant par le centre d'inertie <math>\,G</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures à vecteurs moments par rapport au C.D.I<ref name="C.D.I." />.</u><math>\;G\;</math><u>se compensant</u>. === Complément, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système en translation dans le référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Il y a, <u>dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, <u>conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe</u><math>\;\Delta_G\;</math><u>de direction fixée, passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />.</u><math>\;G\;</math> du système, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à }}<u>l'axe restant solidaire du C.D.I<ref name="C.D.I." />.</u><math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, }}«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \text{cste},\;\;\forall\;t\;</math>» <u>si le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\Delta_G\;</math><u>appliqué au système</u><ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> <u>est nul à tout instant</u><math>\;t\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, «<math>\;\color{transparent}{\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \text{cste},\;\;\forall\;t}\;</math>» si }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, }}propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire applqué, dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, au système fermé de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire applqué, }}par rapport à un axe <math>\,\Delta_G</math>, de direction fixe, solidaire du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\,G\,</math> du système<ref name="Delta solidaire de G" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire applqué, par rapport à un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_G}</math>, de direction fixe, solidaire du C.D.I. }}par lequel il passe<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, propriété résultant du }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}\!\left( \text{syst. fermé},\,t \right) = \dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t)\;</math>» dans lequel la nullité du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> celle du 2^nd membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, propriété résultant du }}soit <math>\,\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst. fermé} \right)}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> d'où, après intégration par rapport au temps, «<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst. fermé},\, t \right) = \text{cste},\;\;\forall\;t\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, }}le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière" /> par rapport à l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, le moment résultant dynamique scalaire }}peut être nul par <math>\bullet\;</math><u>absence de forces extérieures</u> c.-à-d. si le système fermé de matière est <u>isolé</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big[</math>dans le cadre de la dynamique newtonienne <math>\,G\,</math> a un mouvement rectiligne uniforme dans le <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\big[}</math>}}référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I<ref name="C.D.I." />.{{,}}<ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures</u> «</u><math>\;\parallel\;</math><u>à</u> ou <u>de support coupant l'axe</u><math>\;\Delta_G\;</math>»<ref name="nullité des moments scalaires individuels" /> ou enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a, dans le référentiel d'étude<math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math>galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par }}<math>\bullet\;</math><u>des forces extérieures dont les moments scalaires par rapport à l'axe</u><math>\;\Delta_G\;</math><u>se compensant</u>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinét. : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]] }} esf5a0xvnmtw18f2a62sq5p3h9vpoj5 0 74240 982941 974562 2026-05-20T10:45:32Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982941 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] }} {{Al|5}}Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I.. == Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> à mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}établi au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> à mouvement circulaire }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> où le point matériel <math>\,M</math>, de masse <math>\,m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le centre <math>\,C\,</math> du cercle décrit par <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,C\,</math> des forces appliquées à <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{C}\,</math> des forces appliquées à <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» de <math>\,M\,</math> relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «<math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math>» de <math>\,M\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur }}autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> soit <center>«<math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre <math>\;C\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> en cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2 \overrightarrow{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\Delta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!C,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]]''' (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations dites de Lorentz]] » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}établi, pour un système discret de points matériels, au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}généralisé à un système continu de matière au même chap.<math>5</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière|généralisation à un système continu fermé de matière]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière }}est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u> et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\,O\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière</u><ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_Vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_point_origine_«_quelconque_A_»|complément : vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine quelconque A]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,\color{transparent}{O}\;</math>appliqué }}à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système</u> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> par rapport au même point <math>\,O\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t)\;</math>»<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste"> Restant applicable sous cette forme en dynamique <math>\,\big(</math>ou cinétique<math>\big)\,</math> relativiste.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment résultant dynamique }}défini par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», }}le vecteur moment cinétique du système<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{\sigma}_{\!O}(M_i,\,t)\;</math>» ou, en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}}\;</math> avec <math>\;\color{transparent}{N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace}\;</math>», le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math>»<ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système<ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = d \mathcal{V}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>»<ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique"> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>»<ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système<ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = d S(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>Pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,O\,</math> appliqué au système<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> à l'instant <math>\,t\,</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> dans lequel <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)}\;</math> est }}sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>»<ref name="pseudo point d'une expansion linéique"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\,</math> densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\,M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» }}le vecteur moment cinétique du système<ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> par rapport à <math>\,O\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> l'est par <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma\right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement <br>{{Al|7}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = d \mathit{l}(M,\, t)}\;</math> }}en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> en cinétique newtonienne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» le vecteur moment cinétique «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!O}(\text{syst},\, t) =}</math> }}avec «<math>\;\vec{V}_{M}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> dans <math>\,(\mathcal{R})\,</math> au même instant <math>\,t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Le théorème du moment cinétique vectoriel</u>, par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système }}<u>discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> galiléen, appliqué à un système fermé de matière, }}<u>reste celui donné au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]]</u> »<ref name="théorème du moement cinétique appliqué à un système fermé de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}<u>la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière</u><ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> <u>restant celle rappelée au « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|paragraphe précédent]] »</u> quelle que soit le mouvement du système, <br>{{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : [[File:Système en rotation - moment cinétique.png|thumb|270px|Système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\,(m_i) \right\rbrace\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|270px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,( \mathcal{V} )\,</math> en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe, moment cinétique {{Nobr|<math>\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math>}} du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de l'axe <math>\,(\Delta)</math>]] {{Al|5}}L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque »<ref name="quelconque"> Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système }}a été explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » puis <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> fixe « quelconque »<ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point <math>\,A\;\in\;\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système }}explicitée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à]] <br>{{Transparent|L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}Nous avons obtenu : <math>\succ\;</math>pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>»<ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta"> Le point <math>\,M_i\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M_i\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système discret fermé «}}<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\,</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math>pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse volumique <math>\,\mu(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <math>\,\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis"> Le point <math>\,M\,</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\,A\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\,</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» <math>\,\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique solidaire du solide<math>\big)\,</math> étant notée <math>\,\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\big]</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>.</ref> <math>\;= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique vectoriel et masse surfacique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques<ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques<ref name="intégrale surfacique" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right]\,</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>de masse linéique <math>\,\lambda(M)\big]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>en rotation autour d'un axe fixe</u><math>\;\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans lequel <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système <br>{{Al|8}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée <math>\,\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> dans lequel <math>\,\color{transparent}{\overline{\Omega}(t)}\,</math> est la }}autour de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}<u>l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne du }}vecteur moment évalué par rapport à un point <math>\,A\,</math> quelconque de <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne }}est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique }}à condition de remplacer les intégrales volumiques<ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales curvilignes<ref name="intégrale curviligne" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}«<math>\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un système continu fermé }}le moment d'inertie du système par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> égal à «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter"> <math>\,dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\,</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du pseudo-point <math>\,M\;(dm)\,</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\,M\,</math> à la distance orthogonale <math>\,r\,</math> de l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et d'aire <math>\,d S_M</math>.</ref> <math>\,= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u><ref name="tenseur d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Big[</math>dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M)</math>, en rotation <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans lequel <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque</u> : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\Big]</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}La notion de <u>tenseur d'inertie</u> associée à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)</math>, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique<ref name="tenseur d'inertie d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis]] (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}le <u>tenseur d'inertie</u> associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux<ref name="tenseurs d'ordre deux"> Plus précisément un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Dire qu'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] est [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] est une façon raccourcie pour dire que ses composantes le sont.</ref> pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une }}<u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u><ref> Comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> ayant pour <math>\bullet\;</math>éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> les moments d'inertie par rapport à l'axe<ref name="repérage cartésien solidaire du solide"> La base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)</math>.</ref> donné en indice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour }}<math>\bullet\;</math>opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions<ref name="repérage cartésien solidaire du solide" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> ayant pour <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> et }}données en indice : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : La notion la matrice d'inertie }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si le vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> est représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si }}le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,A\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math>» représenté par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\,</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)}\;</math>» représenté par la }}cette dernière se déduit de la 1^ère par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>»<ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Ay} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> au même instant <math>\,\color{transparent}{t}\;</math> }}«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}</math>»<ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\,</math> du solide en rotation autour d'un axe <math>\,(\Delta)\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen<ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta}\;</math> }}porté par l'axe de rotation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t) = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left[ x\;\vec{u}_x(t) + y\;\vec{u}_y(t) \right] d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>= - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous retrouvons bien les deux termes <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x(t) - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y(t)}</math> }}<math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen</u><ref name="exposé avec système continu de matière d'expansion tridimensionnelle"> Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> : «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>» s'obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}en dérivant «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> par rapport à <math>\,t</math>, «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> étant constant, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref> Le 3^ème terme résulte de l'évaluation de <math>\,\dfrac{d \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}{dt} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta}\;\dfrac{d \theta}{dt}(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> soit, avec <math>\,\dfrac{d \vec{u}_r}{d \theta} = \vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et <math>\,\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \overline{\Omega}(t)\,</math> d'où le résultat du 3^ème terme après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref>{{,}}<ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]</math> ;</center> {{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\,A\,</math> fixe de <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</center></ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 1^ère composante du 2^ème membre «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» est <math>\,\parallel\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 2^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- d \overline{\Omega}(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> à l'accélération angulaire de rotation «<math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»<ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}devenant nulle dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» est <math>\,\perp\,</math> à l'axe de rotation <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la 3^ème composante du 2^ème membre «<math>\;\color{transparent}{- \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]}\;</math>» est }}<math>\,\propto\,</math> au carré de la vitesse angulaire de rotation «<math>\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<ref> Composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}composante a priori non nulle dans la mesure où <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M\,</math> est non nulle et <br>{{Al|3}}{{Transparent|composante }}restant non nulle même dans le cas d'une rotation uniforme.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Taux de variation horaire }}<math>\bullet\;</math><u>remarque</u> : les 2^ème et 3^ème composantes sont <math>\,\perp\,</math> à <math>\,(\Delta)\,</math> et orthogonales deux à deux<ref name="direction des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet «<math>\;\vec{u}_\theta(M)\,</math> se déduit de <math>\,\vec{u}_r(M)\,</math> par rotation de <math>\,+\dfrac{\pi}{2}\;</math>» avec les mêmes cœfficients «<math>\;\mu(M)\;z\;r\;</math>» avant intégration d'où «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> et <math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> de directions orthogonales ».</ref> et <br>{{Transparent|Taux de variation horaire <math>\color{transparent}{\bullet}\,</math>remarque les 2^ème et 3^ème composantes}}elles s'annulent simultanément<ref name="norme des 2ème et 3ème composantes du taux de variation horaire du moment cinétique vectoriel du solide en rotation"> En effet on peut affirmer que les deux vecteurs «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M</math>» s'annulent simultanément pour une répartition particulière des coordonnées axiale et radiale du point courant du solide, les composantes cartésiennes de <math>\,\left\lbrace\begin{array}{c} \vec{u}_r(M) = \cos(\theta)\,\vec{u}_x + \sin(\theta)\,\vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta(M) = -\sin(\theta)\,\vec{u}_x + \cos(\theta)\,\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\,</math> étant les mêmes au signe près d'où l'évaluation des deux vecteurs selon <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = I_{z,\,x}\;\vec{u}_x + I_{z,\,y}\;\vec{u}_y\,</math> et <br>{{Al|3}}<math>\,\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = -\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V}_M\right] \vec{u}_x + \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V}\right] \vec{u}_y = -I_{z,\,y}\;\vec{u}_x + I_{z,\,x}\;\vec{u}_y</math>,<br>{{Al|56}}lesquels s'annulent simultanément si <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\cos(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,x} = 0\\ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\sin(\theta)\;d \mathcal{V} = I_{z,\,y} = 0\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\ldots</math></ref>. {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,A</math>, fixe sur l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> tourne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point <math>\,\color{transparent}{A}</math>, fixe sur }}l'axe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant fixe dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,A\,</math> du système appliqué à ce dernier à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> est égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à <math>\,A\,</math> de ce dernier au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, la dérivée temporelle du }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" /> <math>= J_\Delta(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="repérage cylindro-polaire de pôle A et d'axe Delta - bis" /> soit, après dérivation temporelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma_{A}}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="non à retenir"> Non à retenir mais à retrouver si besoin est <math>\;\ldots</math></ref>. |} === Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide</u><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Complément,_notion_d'axes_principaux_d’inertie_en_cinétique_newtonienne|complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : «<math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math>» est un <u>axe principal d'inertie d'un solide</u><ref name="solide"> C.-à-d. un système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable.</ref> <u>s'il existe un point particulier</u> «<math>\;O_p\,\in\,\left( \Delta_p \right)\;</math>» <u>tel que le vecteur moment cinétique du</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>solide quand ce dernier tourne autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>fixe dans le référentiel</u> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe }}<u>d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est porté par l'axe</u><math>\;\left( \Delta_p \right)</math>, le moment étant évalué en <math>\,O_p</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : }}si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}en repérant <math>\,M\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires <math>\,\left( r,\,\theta,\,z \right)\,</math> de pôle <math>\,O_p\,</math> et d'axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> par ses coordonnées cylindro-polaires }}orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_{\Delta_p}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu }}<math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> est axe principal d'inertie du solide ssi «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="condition pour que l'axe d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\,</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> issu de <math>\,O_p</math>, tous deux fixes dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, la condition pour que <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;O_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> : «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : }}«<math>\;J_{\Delta_p} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V}\right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> est le moment <br>{{Al|19}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>, du solide en rotation autour de<math>\;\color{transparent}{\left( \Delta_p \right)}\;</math>de vecteur rotation instantanée<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\Omega}(t)}\;</math> : « }}principal d'inertie du solide relativement à <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><ref name="moment principal d'inertie d'un système de matière discret ou continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} = \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> la distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\left( \Delta_p \right)</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> <math>\,\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\;</math>» la définition du moment principal d'inertie par rapport à <math>\,\left( \Delta_p \right)\,</math> s'écrit «<math>\;J_{\Delta_p} =</math> {{Nobr|<math>\,\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma\right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math>»,}} <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie</u><ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_de_points_matériels_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de ppints matériels indéformable)]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big\{</math>ces définitions utilisant la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\,2\,</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\,\big[</math>une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] si elle varie de façon contraire aux vecteurs de base, sinon elle est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]]<math>\big]\big\}</math>, ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] pouvant être représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> appelée [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\,</math> est rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A\,</math> et de directions notées en <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}indice <math>\,\big[</math>rappelons que la base cartésienne <math>\,\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z = \vec{u}_\Delta \right)\,</math> est solidaire du solide, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>indice <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>rappelons que la }}elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de <math>\,\left( \Delta \right)\big]</math> : <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>», voir le paragraphe <br>{{Al|3}}{{Transparent|la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>symétrique<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> est rappelée ci-dessous }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide - bis"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie_et_des_moments_principaux_d'inertie_du_solide|définition des axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie et des moments principaux d'inertie du solide]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\Big[</math>exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math>}}<math>\,\mu(M)</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> du référentiel <br>{{Al|18}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie <math>\,\color{transparent}{\Big[}</math><math>\,\color{transparent}{\mu(M)}</math>, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{\left( \Delta \right)}\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}\,</math> }}d'étude <math>\,\mathcal{R}\Big]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}le [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un tel solide<ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\,3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice" /> «<math>\;\left[ J \right]\;</math>» définissant la <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide<ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] <br>{{Al|32}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide }}rappelée ci-dessous : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="éléments diagonaux et opposé des éléments non diagonaux de la matrice d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (éléments diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les éléments diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ax} & &\\& J_{Ay} &\\ & & J_\Delta\end{array} \right]\,</math> dans lesquels <math>\,A\,</math> est un point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> définissent les moments d'inertie par rapport à l'axe précisé en indice. <br>{{Al|3}}Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] (opposé des éléments non diagonaux) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », l'opposé des éléments non diagonaux <math>\,\left[ \begin{array}{c c c} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & & I_{yz}\\ I_{xz} & I_{yz} & \end{array} \right]\,</math> définit les produits d'inertie dans le plan passant par <math>\,A</math>, point quelconque choisi fixe sur <math>\,\left( \Delta \right)</math>, et de directions précisées en indice.</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ J \right]\,</math> du solide<ref name="matrice d'inertie d'un solide" /> relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour [[w:Base_orthonormée#Définition|base]] <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}[[w:Base_orthonormée#Définition|orthonormée]] du <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine"> <math>W\;</math> étant la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] modélisant l'espace physique tridimensionnel dans lequel le solide est immobile.</ref> <math>\,\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\,</math> étant « [[w:Matrice_symétrique|réelle symétrique]] » <br>{{Al|25}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ J \right]}\,</math> du solide }}est <u>[[w:Matrice_diagonalisable|diagonalisable]]</u><ref name="matrice d'inertie diagonalisable"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_composé_d'un_nombre_fini_de_points_matériels#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Caractère_diagonalisable_de_la_matrice_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie|caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie]] (théorème spectral en dimension finie pour les matrices) » au chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}on peut donc choisir une nouvelle [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] de <math>\,W</math>, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace</math>, pour que la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de <math>\,\color{transparent}{W}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace}</math>, pour que }}soit <u>[[w:Matrice_diagonale|diagonalisée]]</u> en <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math> : <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les axes <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> passant par le point <math>\,A\,</math> du solide et respectivement orientés par <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace}\,</math> }}définissent les <u>axes principaux d'inertie</u> du solide issus de <math>\,A</math> ; <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}les éléments diagonaux de <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]</math>, «<math>\;J_{AX}</math>, <math>\,J_{AY}\,</math> et <math>\,J_{AZ}\;</math>» sont les <u>moments principaux d'inertie</u> du solide relativement <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}</math>, «<math>\;\color{transparent}{J_{AX}}</math>, <math>\,\color{transparent}{J_{AY}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{J_{AZ}}\;</math>» sont les }}aux axes respectifs <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\;</math><ref name="dépendance des moments principaux d'inertie d'un solide"> Leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle du solide, pseudo-point centré en <math>\,M\,</math>, répartition autour des axes principaux d'inertie du solide ; <br>{{Al|3}}un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\,\left[ \mathcal{J} \right]\,</math> du solide relativement à ses axes principaux d'inertie <math>\,\left\lbrace \overrightarrow{AX}\,,\, \overrightarrow{AY}\,,\, \overrightarrow{AZ} \right\rbrace\,</math> issus du point <math>\;A\,</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie <math>\,\color{transparent}{\left[ \mathcal{J} \right]}\,</math> }}du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{AZ}\end{array} \right]\;</math>». {{Al|5}}<u>Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à</u><math>\;A_p\;</math><u><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" />, du solide en rotation autour de</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math><u>de vecteur rotation instantanée</u><math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <u>utilisant la notion de tenseur d'inertie</u><ref name="tenseur d'inertie d'un solide - bis" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie <math>\,( \Delta_p )\;</math><ref name="disposition des axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points"> Les trois axes principaux d'inertie d'un solide issus d'un de ses points, étant respectivement <math>\;\perp</math>.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, avec <math>\,A_p\,</math> fixe sur <math>\,( \Delta_p )</math>, le vecteur moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}cinétique du solide par rapport à <math>\,A_p</math>, à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du solide au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, }}<math>\,\big[</math>en effet, avec la [[w:Base_orthonormée#Définition|base orthonormée]] <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y\,,\,\vec{u}_Z = \vec{u}_{(\Delta_p)} \right\rbrace\,</math> de <math>\,W\;</math><ref name="direction de l'espace affine" />, <math>\,\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien#Définitions|euclidien]] associé à l'espace physique, <math>\,\left\lbrace \vec{u}_X\,,\,\vec{u}_Y \right\rbrace\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide est [[w:Matrice_diagonale|diagonale]] selon «<math>\;\left[ \mathcal{J} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}«<math>\;J_{\Delta_p}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,( \Delta_p )</math> ; si les vecteurs rotation instantanée du solide <math>\,\overrightarrow{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si les vecteurs }}moment cinétique du solide en <math>\,A_p</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right)\,</math> au même instant <math>\,t\;</math><ref name="vecteur moment cinétique d'un système continu fermé" />{{,}}<ref name="vecteur moment cinétique d'un système discret fermé" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si }}sont représentés par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\,\left[ \Omega(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; si sont représentés par les matrices colonnes }}<math>\,\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right]</math>, le lien entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] est «<math>\;\left[ \sigma_{\!A_p}(t) \right] = \left[ \mathcal{J} \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>»<ref name="lien entre matrices colonnes rotation instantanée et moment cinétique"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (remarque) plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; les matrices colonnes est }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A_p,\,X}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,Y}(t)\\ \overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{AX} & 0 & 0\\ 0 & J_{AY} & 0\\ 0 & 0 & J_{\Delta_p}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Expression du vecteur moment cinétique, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>«<math>\;\color{transparent}{J_{\Delta_p}}\;</math>» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à <math>\,\color{transparent}{( \Delta_p )}</math> ; }}dont on déduit «<math>\;\overline{\sigma}_{\!A_p,\,\Delta_p}(t) = J_{\Delta_p}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ou «<math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A_p}\!\left( t \right) = J_{\Delta_p}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>.<math>\big]</math>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\;</math><u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments un point <math>\,O_p\;</math><u>fixe</u> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>le vecteur moment résultant dynamique en</u><math>\;O_p\;</math><u>appliqué à un système fermé de matière<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels" />{{,}}<ref name="vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière" /> en</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>rotation autour d'un de ses axes principaux</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}<u>d'inertie</u><math>\;\left( \Delta_p \right)\,</math> passant par <math>\,O_p\;</math><ref name="notion d'axe principal d'inertie d'un solide" />, c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>» à l'instant <math>\,t</math>, le système tournant avec un vecteur <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen le vecteur moment résultant dynamique en<math>\;\color{transparent}{O_p}\;</math>appliqué }}rotation instantanée, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="vecteur rotation instantanée" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}<u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» <u>et</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit }}<u>de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» <u>du système</u> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée }}dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Dans un référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math>galiléen }}soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_p}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;O_p\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O_p,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - bis"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilité_en_cinétique_relativiste-13|¹³]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_p \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O_p}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de <math>\,t\,</math> est nécessairement <u>indéformable</u> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle<ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle - bis"> Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\,</math> dans lequel <math>\,\mu(M)\,</math> est la masse volumique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo oint en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref>, surfacique<ref name="pseudo point d'une expansion surfacique - bis"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M\,</math> dans lequel <math>\,\sigma(M)\,</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> ou linéique<ref name="pseudo point d'une expansion linéique - bis"> Un pseudo point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>, de masse <math>\,dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\,</math> dans lequel <math>\,\lambda(M)\,</math> est la masse linéique du système continu en <math>\,M</math>, pseudo point en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la vitesse à l'instant <math>\,t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> restant la même au cours du temps, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarques : Dans ce paragraphe }}le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «<math>\;J_{\Delta_p}(\text{syst})\;</math>» est constant <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!O _p}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\; \overrightarrow{\Omega} \right]}{dt}(t) = J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>». === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Nous avons établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » dans le paragraphe précité du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », applicabilité dans la mesure où l'origine de calcul des moments vectoriels est le C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. <math>\;G\;</math> du système étudié <math>\;\big(</math>qu'il soit discret ou continu de matière<math>\big)\;</math> et le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est galiléen soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - ter"> Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-lien_entre_r%C3%A9sultante_cin%C3%A9tique_et_vitesse_du_C.D.I.-28|²⁸]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le seul cas où <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> étant celui d'un système discret ou continu en translation, à l'exception de ce cas <math>\;\vec{P}_{\text{relativ}}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math> est toujours <math>\;\not\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;\ldots\big]</math>, la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point <math>\;A\;</math> mobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen étant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) + \vec{V}_{\!A}(t) \wedge \vec{P}\!\left( \text{syst},\,t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_point_mobile_A_quelconque_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> quel que soit le mouvement de <math>\;G\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|5}}par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen est la composition * d'un mouvement de translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> et * d'un mouvement de rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i,\, (m_i) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right]\;</math>»<ref name="repérage cylindro-polaire de pôle G et d'axe DeltaG"> Le point <math>\;M_i\;</math> étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[</math>de sens a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu<math>\big]\;</math> «<math>\;\left( r_i,\, \theta_i,\, z_i \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M_i\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_{r_i}\,,\,\vec{u}_{\theta_i}\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]</math>.</ref> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="autre forme du moment cinétique par rapport à G dans le cas d'un système continu de matière"> Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathcal{V}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right)</math>}} <math>= J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d S_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégralse_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) =</math>}} <math>J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\; d \mathit{l}_M \right]\;</math>», <math>\big[</math>voir d'une part le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;G\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_{\Delta_G} \right)\big]\;</math> avec <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M\;</math> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i}(t) \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i}(t) \right]\;</math>»<ref name="taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un solide en rotation autour de DeltaG si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d S_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d S_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;</center>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par le centre d'inertie (C.D.I.) <math>\;G\;</math> du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G\;</math> s'écrit <center><math>\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t) - \dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(t)\;d \mathit{l}_M \right] - \overline{\Omega}^2\!(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(t)\;d \mathit{l}_M \right]\!</math>, <br><math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</center></ref> et donc, a priori, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst})}{dt}(t) \neq J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»}} sauf si l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> de ce dernier<ref> Issus de <math>\;G\;</math> il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement <math>\;\perp\;</math> deux à deux.</ref> car la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{r_i} = \vec{0}\;</math>»<ref name="condition pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}</math>, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S}\right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\!</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit principal d'inertie s'écrit <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\!</math>, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dont on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\sum_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;z_i\;r_i\;\vec{u}_{\theta_i} = \vec{0}\;</math>»<ref name="condition déduite par rotation de 90° autour de DeltaG de celle pour que l'axe DeltaG d'un solide en rotation soit principal d'inertie si le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique"> Par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-condition_pour_que_l'axe_DeltaG_d'un_solide_en_rotation_soit_principal_d'inertie_si_le_syst%C3%A8me_de_mati%C3%A8re_est_continu_d'expansion_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique-40|⁴⁰]] » plus haut dans ce chapitre : <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle «<math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de {{Nobr|<math>\;G</math>,}} de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>», <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion surfacique «<math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d S_M = \vec{0}\;</math>»}}, <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique «<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>» en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> issu de <math>\;G</math>, de la condition pour que <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit un axe principal d'inertie «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_r(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» on déduit, par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;z\;r\;\vec{u}_\theta(M)\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>»}}, {{Nobr|<math>\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>. {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des vecteurs moments le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système fermé de matière étudié, <u>C.D.I. mobile</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le vecteur moment résultant dynamique</u> par rapport à <math>\;G\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie</u> <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G\;</math> et gardant une direction fixe <u>est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe</u> {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>»}} <u>et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée</u> «<math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» du système dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> au même instant <math>\;t</math> soit <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = J_{\Delta_G}(\text{syst})\;\dfrac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un solide en rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie - bis"> On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Commentaires_sur_la_«_r.f.d.n._»|commentaires sur la r.f.d.n.]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique vectorielle}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation du système <math>\;J_{\Delta_G}(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point <math>\;G\;</math> choisi sur l'axe principal d'inertie du système <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - tetra"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta_p}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} == Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée == {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_rayon_R_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_donnée|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le point matériel étudié <math>\;M</math>, de masse <math>\;m</math>, a un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, le moment résultant scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> des forces appliquées à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>» est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» de <math>\;M\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire"> Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t)</math>, on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée {{Nobr|<math>\;\big(</math>définissant}} l'accélération angulaire instantanée<math>\big)\;</math> s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</ref> repérant le point <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire<math>\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\Delta}\! \left( \vec{F}_k,\, t \right) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(M)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un point en mouvement circulaire"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du mouvement circulaire <math>\;\sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left( \vec{F}_k,\, t \right)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - penta"> Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant «<math>\;\sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M,\,t) =</math> <math>\gamma_{M}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t)</math> <math>= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{R^2\; \overline{\Omega}^2(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Non applicable en dynamique relativiste car, }}d'autre part <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t) + \gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, <math>\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t) \neq 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta,\,\text{relativ}}(M)}{dt}(t)\;</math> non transformable selon <math>\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math> ni selon <math>\;\gamma_M(t)\;J_\Delta(M)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)</math> <math>\;\big(</math>sauf mouvement uniforme<math>\big)\;</math> en dynamique relativiste ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928)]]''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''Henri Poincaré''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''Hendrik Lorentz''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''Albert Einstein''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''Hendrik Lorentz''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''Pieter Zeeman (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''Henri Poincaré (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''Albert Einstein (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref>.</center>}} == Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen == === « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_de_points_matériels_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière]] » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous : {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>le moment résultant dynamique scalaire</u> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>appliqué</u> à l'instant <math>\;t\;</math> <u>à un système fermé de matière</u> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <u>est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au même axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> «<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t)\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t)\;</math>»<ref name="applicabilité en relativiste" />.</center>}} {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math>, selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](t)\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \sigma_{\!\Delta}(M_i,\,t)\;</math> ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\, N} \left[ \overrightarrow{OM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{M_i}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <math>\;\big[\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>. {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> «<math>\;\left( \mathcal{V} \right) \;</math>» et de « masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathcal{V}_M \right)\;</math>»<ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{V,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité volumique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) \;</math>» et de « masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math>»<ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" > Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1^ère a toujours pour indice un axe alors que la 2^ème n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>, les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d S_M \right)\;</math>»<ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{f}_{S,\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité surfacique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». {{Al|5}}Dans le cadre d'un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> «<math>\;\left( \Gamma \right) \;</math>» et de « masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math>», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> sont respectivement définis, à l'instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;O\;</math> un point fixe choisi quelconque sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]\;</math> selon <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right](M)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans lequel «<math>\;d \vec{F}_{\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point <math>\;\left( M,\, d \mathit{l}_M \right)\;</math>»<ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> ou encore <math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\, M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;</math> la densité linéique des forces extérieures appliquée en <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», soit, en cinétique newtonienne, <math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\, t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> avec {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math>}} le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>». === Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>L'expression du théorème du moment cinétique scalaire</u>, par rapport à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe d'un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <u>appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>reste celle donnée au paragraphe précédent</u> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#«_Rappel_»_de_l'énoncé_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_fermé_de_matière_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen]] », {{Al|5}}<u>il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée</u>, suivant la nature discrète ou continue du système, <u>au paragraphe précédent</u>, {{Al|5}}<u>la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système</u> comme c'est rappelé ci-dessous : {{Al|5}}Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque »<ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire }}d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe « quelconque »<ref name="quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système, dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }} avons obtenu : <math>\;\succ\;</math> pour un <u>système discret fermé de points matériels</u> «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math><ref> <math>\;r_i\;</math> étant la distance orthogonale séparant le point <math>\;M_i\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>.</ref> le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u> <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse volumique <math>\;\mu(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2\;</math>»<ref name="intégrale volumique" />{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point" /> <br>soit encore «<math>\;J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>»<ref name="intégrale volumique" />.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\big]\;</math><ref name="distinction moment cinétique scalaire et masse surfacique" /> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques<ref name="intégrale volumique" /> par des intégrales surfaciques<ref name="intégrale surfacique" /> soit <center>«<math>\,\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2\,</math>»<ref name="intégrale surfacique" />{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - bis" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Nous avons obtenu : }}<math>\;\succ\;</math> pour un <u>système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>de masse linéique <math>\;\lambda(M)\big]\;</math> <u>en rotation autour d'un axe fixe</u> <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <u>l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système</u>, évalué par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques<ref name="intégrale surfacique" /> par des intégrales curvilignes<ref name="intégrale curviligne" /> soit <center>«<math>\sigma_{\!\Delta}(\text{syst},\,t) = J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br> « le moment d'inertie du système par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» égal à <br>«<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2\,</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point - ter" /> <br>soit encore «<math>\,J_\Delta(\text{syst}) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>»<ref name="intégrale curviligne" />.</center> {{Al|5}}<u>Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe</u> : <math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{d \left[ J_\Delta(\text{syst})\;\overline{\Omega}(t) \right]}{dt} = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math><ref name="constance du moment d'inertie"> Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps <math>\;t</math>.</ref> ou <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit <math>\;\theta(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref><math>\big]\;</math> les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :<center><math>\;\dfrac{d \sigma_{\!\Delta}(\text{syst})}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)</math>.</center> {{Théorème|titre=Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen|contenu={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et prenant pour <u>origine</u> des moments l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> du système «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est égal au produit du moment d'inertie «<math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» du système par rapport à l'axe de rotation <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» du système autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> soit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}\! \left( t \right) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_\Delta(\text{syst})\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>»<ref name="forme symbolique du théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Préliminaire,_forme_symbolique_de_tout_théorème_de_la_dynamique_du_point_matériel|préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\text{la cause de modification de toute}\\\text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la grandeur d'inertie associée}\\ \text{à cette grandeur cinématique}\end{array} \right\rbrace \times \left\lbrace \begin{array}{c} \text{la dérivée temporelle}\;\dfrac{d}{dt}\;\text{de cette}\\ \text{grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\;</math></center> {{Al|3}}dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation <math>\;J_\Delta(\text{syst})\;</math>» et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> de rotation du système <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}\!\left( t \right)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hexa"> Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_cin%C3%A9tique_relativiste-9|⁹]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!C}\!\left( M,\,t \right) = J_\Delta(M)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( M,\,t \right)\;</math> portée par l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » <math>\;\big[O\;</math> étant un point quelconque choisi sur <math>\;\left( \Delta \right)\big]</math>, non applicabilité rédhibitoire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!O}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite <math>\;\sigma_{\!\Delta}\!\left( \text{syst},\,t \right) \neq J_{\Delta}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\ldots</math></ref>.</center>}} === Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude » === {{Al|5}}Ayant établi, en complément, « l'[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_ΔG_passant_par_le_centre_d'inertie_(C.D.I.)_G_du_système,_axe_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » au chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>rappelé ci-dessous<math>\big)\;</math> {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G"> <math>\;G\;</math> ne glisse pas sur l'axe considéré.</ref>, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right)\;</math>»,}} ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)\;</math>»<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - hepta"> Non applicable en dynamique relativiste <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Th%C3%A9or%C3%A8mes_des_moments_cin%C3%A9tiques_relativement_%C3%A0_un_point_ou_un_axe_fixes#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_bis-30|³⁰]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Adaptation_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_Δ_quelconque_en_translation_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chapitre précité<math>\big]</math>.</ref></center> |} {{Al|5}}et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> de rotation à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » des chap.<math>2</math> et <math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />. du solide <center>«<math>\;\sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec <br>«<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;</math> le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>» et <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant <math>\;t\;</math>», <br><math>\;\big[</math>voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe<math>\big]</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|et cette applicabilité }}le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> étant, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t) =</math> <math>J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t)\;</math>»<ref name="constance du moment d'inertie" /> on en déduit l'énoncé ci-dessous : {| class="wikitable" |{{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u>, et prenant pour <u>origine</u> des moments scalaires l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, de direction fixée, passant par le C.D.I<ref name="C.D.I." />. <math>\;G\;</math> du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de <math>\;G\;</math><ref name="Delta solidaire de G" />, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> est « la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> autour de {{Nobr|<math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»,}} le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> appliqué à ce système à l'instant <math>\;t</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;</math>», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;</math>» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, soit «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst}\right)\;\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math>»<ref name="non applicabilité en dynamique relativiste - octa"> Non applicable en dynamique relativiste puisque «<math>\;\cancel{\mathcal{M}_{\Delta_G,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d\, \sigma_{\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)}{dt}(t)}\;</math>» ne l'est pas d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Application_%C3%A0_un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe#cite_note-non_applicabilit%C3%A9_en_dynamique_relativiste_-_hepta-54|⁵⁴]] » précédente <math>\;\ldots</math></ref> avec <br><math>\;\bigg[\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math><ref name="abscisse angulaire d'un solide en rotation autour de DeltaG"> Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math>, on définit un point <math>\;M_{\text{réf}}\;\not\in\; \left( \Delta_G \right)\;</math> et solidaire du solide, <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>, de centre <math>\;C_{\text{réf}}\;</math> relativement au référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> et on repère la position du solide à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> par la position de <math>\;M_{\text{réf}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans ce même référentiel, soit <math>\;\theta(t) =</math> <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(0)\,,\, \overrightarrow{C_{\text{réf}}M_{\text{réf}}}(t) \right\rbrace}</math>.</ref>, <br>la vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée <math>\;\theta(t)\;</math><ref name="accélération angulaire" /> et <br><math>\;\dfrac{d \overline{\Omega}}{dt}(t) = \dfrac{d^2 \theta}{dt^2}(t)\;</math> l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre<math>\bigg]</math>.</center> |} {{Al|5}}<u>Justification</u> de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, est la composition d'une translation de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math>, avec <math>\;G\;</math> C.D.I<ref name="C.D.I." />. du solide, et d'une rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, l'axe lui restant solidaire<ref name="Delta solidaire de G" />, et de direction fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, l'origine du moment cinétique scalaire étant <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Justification }}Soit un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dont <math>\;G\;</math> est le C.D.I<ref name="C.D.I." />. de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> l'axe issu de <math>\;G</math>, restant solidaire à ce dernier<ref name="Delta solidaire de G" />, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}</math>, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant <math>\;t</math>, égal à <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> dans lequel <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> est la vitesse angulaire instantanée au même instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification }}le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se calcule selon «<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\!\left( \text{syst},\, t \right) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t)</math>, vecteur vitesse de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'évalue selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t)\;</math>», <math>\;H_i\;</math> étant le centre du cercle que décrit le point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}\;</math> lié à <math>\;G\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> d'autre part, <center><math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G} + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> ;</center> * le 1^er terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» se réécrivant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \left[ m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» ou encore, par factorisations scalaire<ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> puis vectorielle à droite<ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) \right] \wedge \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>»}} dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I<ref name="C.D.I." />. du système discret fermé<ref name="définition du C.D.I. d'un système discret fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_discret_(fermé)_de_points_matériels|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;\overrightarrow{GM_i}(t) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!G}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>= 0\;</math>» et * le 2^ème terme du 2^ème membre «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{V}_{\!M_i\, /\, \mathcal{R}^{*}}(t)\;</math>» étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}^{*}</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. le référentiel lié à <math>\;G\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}^{*}</math>, moment cinétique scalaire évalué, au même instant <math>\;t</math>, relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> soit «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge m_i \left[ \overrightarrow{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{H_iM_i}(t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math> avec <math>\;J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;[H_iM_i]^2 =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> le moment d'inertie du système relativement à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».</ref> d'où <center>«<math>\;\sigma_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst},\, t \right) = J_{\!\Delta_G}\!\left( \text{syst} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» C.Q.F.J<ref name="C.Q.F.J."> Ce Qu'il Fallait Justifier.</ref>..</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /> et chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> par un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> d'expansion tridimensionnelle<ref name="pseudo point d'une expansion tridimensionnelle" />, surfacique<ref name="pseudo point d'une expansion surfacique" /> ou linéique<ref name="pseudo point d'une expansion linéique" /> <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Théorème des moments cinét. vect. relativ. à un point ou un axe fixes]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinét. : Pendule de torsion]] }} ocwe0nsgar3yuh40x57aszv1hq7418e 0 74912 982942 962619 2026-05-20T10:45:42Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982942 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = physique | numéro = 6 | chapitre = [[../../Fonction de plusieurs variables indépendantes/]] | niveau = 14 | précédent = [[../Applications du théorème de Fourier/]] | suivant = [[../Applications du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte/]] }} == Calcul de la différentielle de la fonction de deux variables réelles indépendantes x^y == {{Al|5}}Calculer la différentielle, en tout point du domaine de définition, de la fonction «<math>\;f\;:\;(x,y)\;\mapsto\; x^{\,y}\;</math>». <br>{{Al|5}}En déduire une « valeur approchée de <math>\;1{,}02^{\,3{,}01}\;</math>». {{Solution|contenu= {{Al|5}}<u>Calcul de la différentielle de</u><math>\;f(x,\,y) := x^{\,y}</math> : la fonction «<math>\;f\;:\;(x,\,y)\;\mapsto\; x^{\,y} = \operatorname{e}^{\,y\,\ln(x)}\;</math>»<ref> Encore notée <math>\;\exp\, \left[ y\,\ln(x) \right]</math>.</ref> est définie sur <math>\;\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la différentielle de<math>\;\color{transparent}{f(x,\,y) := x^{\,y}}</math> : }}Sur ce domaine, «<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = \operatorname{e}^{\,y\,\ln(x)}\,\dfrac{y}{x} = x^{\,y - 1}\;y\;</math>» et «<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = \operatorname{e}^{\,y\,\ln(x)}\,\ln(x) = x^{\,y}\;\ln(x)\;</math>» sont continues donc <math>\;f\;</math> est de [[w:Classe_de_régularité#Domaine_en_dimension_n_=_1|classe C¹]] <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de la différentielle de<math>\;\color{transparent}{f(x,\,y) := x^{\,y}}</math> : Sur ce domaine, }}pour tout <math>\;(dx,\,dy)\,\in\,\mathbb{R}^2\;</math><ref> Usuellement, en physique, <math>\;dx\;</math> et <math>\;dy\;</math> sont aussi petits que possibles mais mathématiquement ils peuvent être quelconques.</ref>, «<math>\;df = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y)\;dy = x^{\,y - 1}\,y\;dx + x^{\,y}\,\ln(x)\;dy\;</math>». {{Al|5}}<u>Valeur approchée de</u><math>\;1{,}02^{\,3{,}01}</math> : de l'expression de <math>\;df\;</math> on déduit «<math>\;\delta f = f(x + \delta x,\, y + \delta y) - f(x,\,y) \simeq x^{\,y - 1}\,y\;\delta x + x^{\,y}\,\ln(x)\;\delta y\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f(x + \delta x,\, y + \delta y) \simeq f(x,\,y) + x^{\,y - 1}\,y\;\delta x + x^{\,y}\,\ln(x)\;\delta y\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Valeur approchée de<math>\;\color{transparent}{1{,}02^{\,3{,}01}}</math> : }}soit, avec «<math>\;\left( x\,;\, y \right) = \left( 1\,;\, 3 \right)\;</math> et <math>\;\left( \delta x\,;\, \delta y \right) = \left( 2\,10^{-2}\,;\, 10^{-2} \right)\;</math>», «<math>\;1{,}02^{\,3{,}01} \simeq 1^3 + 1^{(3 - 2)} \times 3 \times 2\,10^{-2} + 1^3 \times \ln(1) \times 10^{-2} = 1,06\;</math>».}} {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Applications du théorème de Fourier/]] | suivant = [[../Applications du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte/]] }} gw1uy8322mxmnihn19ltiz13fcypcny 104 76203 982938 982875 2026-05-20T06:54:10Z Marvoir 1746 ajout d'un paragraphe "Une erreur providentielle" 982938 wikitext text/x-wiki == La femme a-t-elle été transportée par ambulance aérienne (hélicoptère) ? == === Il y a bien eu un hélicoptère qui a atterri === Il y a bien eu une ambulance aérienne qui a atterri à Salisbury, d'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064949.major-incident-at-salisbury-district-hospital-linked-to-medical-emergency-at-maltings-police-confirm/ le Salisbury Journal du 5 mars 2018], qui donne une vidéo intitulée "Air ambulance at Salisbury Central Car Park", mais ne précise pas la date. Mais cet hélicoptère a-t-il transporté quelqu'un à l'hôpital ? === On dit d'abord que l'hélicoptère a transporté la femme à l'hôpital === D'après [https://www.salisburyjournal.co.uk/news/16064166.two-in-hospital-after-medical-emergency-at-maltings-in-salisbury/ le Salisbury Journal du 4 mars 2018], "The woman, who was unconscious at the scene, was airlifted to Salisbury District Hospital at about 5.15pm. The man, a former Russian spy, was transported to SDH by road and is understood to be conscious." Plus loin, cet article cite la police comme ayant dit : "Colleagues from the ambulance service are in attendance and the air ambulance has landed at the scene. " Dans [https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/05/salisbury-hospital-police-fire-crews-attend-major-incident cet article du Guardian, daté du 5 mars 2018 à 18:20 GMT], on lit : "The woman, who was unconscious, was airlifted to Salisbury district hospital and the man taken there by road." De même, : [https://www.thesun.co.uk/news/5733372/ex-russian-spy-sergei-skripal-poisoned-salisbury-feared-life-cops/ le Sun du 6 mars 2018] dit : "Skripal was taken to the city’s hospital by ambulance while Yulia was flown by air ambulance and their arrival sparked the shutdown of the hospital’s A&E department." De même, le Daily Mail du 6 mars 2018 (mis à jour le 7)<ref>Claire Duffin, "How the 'poisoned' spy plot unfolded: Sergei Skripal and his daughter left Zizzi after arguing over a risotto before being found collapsed on a bench", Daily Mail, 6 mars 2018, mis à jour le 7 mars 2018 à 8:05 BST, [https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html en ligne].</ref> : "An air ambulance landed on a nearby shopping centre car park and Miss Skripal was taken to hospital while her father was taken by road." Le 10 mars 2018, le Guardian<ref>[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/10/salisbury-poisoning-sergei-skripal-local-news-international-incident en ligne].</ref> dit encore : " An air ambulance landed in the central car park. At 5.10pm, it took off, ferrying the woman to Salisbury district hospital. The man went by ambulance." === Inquiétudes dans le public sur l'état sanitaire de l'hélicoptère === Le 5 mars 2018, le compte Twitter de Wiltshire Air Ambulance publie un tweet<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/970622040196767749 en ligne].</ref> disant : "Thank you for the landing site at The Manor Primary School Melksham, hope you enjoyed the tour of the aircraft." Faut-il comprendre que les enfants de l'école avaient visité l'hélicoptère ? Le 11 mars 2018, un nouveau tweet de Wiltshire Air Ambulance<ref>[https://twitter.com/WiltsAirAmbu/status/972879516346585095 en ligne].</ref> dit : "Great parking available for us in the middle of Bath today, thanks to all who said hi" Une des réponses à ce tweet (Olid~star @lidstar 11 mars 2018) pose la question : "Don't you have to be decontaminated like the ambulances in Salisbury?" Le 14 mars 2018, on peut lire dans Spire FM<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref> : "A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed." === Ouf ! L'hélicoptère n'a transporté personne === Dans ce même article du 14 mars 2018<ref>[https://www.spirefm.co.uk/news/local-news/2527336/air-ambulance-not-used-to-take-skripal-pair-to-hospital/ en ligne].</ref>, Spire FM peut rassurer le public : "Wiltshire Air Ambulance has confirmed neither Sergei or Yulia Skripal were flown to Salisbury District Hospital. A number of people have voiced concerns the emergency helicopter may have been contaminated after it was called to the Maltings on the 4th March where the former Russian agent and his daughter had collapsed It's now been confirmed both were taken by land ambulance to our hospital. (...) Public Health England have reiterated the message that the risk to the public remains low." Cet article ne dit pas quel a été le rôle exact de l'hélicoptère lors de l'incident Skripal. En résumé : le 14 mars 2018, après qu'un certain nombre de personnes ont exprimé la crainte que l'hélicoptère n'ait été contaminé, on annonce que, contrairement à ce que tous les journaux avaient publié, l'hélicoptère n'a transporté ni Sergueï ni Ioulia Skripal à l'hôpital. Public Health England redit au public que le risque est faible. En faveur de la thèse du non-transport, on peut évidemment arguer que si l'hélicoptère avait transporté la femme, il aurait été risqué de prétendre publiquement le contraire, puisqu'un photographe ou cinéaste, professionnel ou amateur, aurait pu avoir photographié ou filmé l'embarquement de la femme puis le décollage de l'hélicoptère. Mais si on admet que l'hélicoptère n'a transporté personne, il reste deux questions : est-il fréquent que Wiltshire Air Ambulance déplace son hélicoptère pour rien ? quel était le motif exact de la présence de l'hélicoptère ? == L'homme et la femme du banc ont-ils été exposés au novichok ou avaient-ils pris du Fentanyl ? == :Jamie Paine, un jeune homme de Salisbury qui a apporté des premiers soins à la femme et a aussi observé l'homme, a donné deux interviews où il attestait qu'ils sont tous deux devenus raides. Dans le film de la première interview, on l'a montré attestant la rigidité de l'homme, mais on a coupé ce qu'il disait de la rigidité de la femme (et qui est reproduit dans des extraits texte de l'interview). Dans la seconde interview, on le voit et l'entend attester la rigidité des deux : :[https://www.bbc.com/news/uk-43295134 (BBC 6 mars 2018)] :[https://www.bbc.com/news/uk-43326734 (BBC 8 mars 2018)] :[https://www.euronews.com/2018/03/06/uk-was-critically-ill-former-russian-spy-poisoned- Euronews, 6 mars 2018] :[https://www.itv.com/news/2018-03-22/britain-v-russia-a-new-cold-war-tonight/ ITV News 22 mars 2018] :[https://www.facebook.com/itvnews/videos/2092891704072758/ vidéo d'ITV News 22 mars 2018] :Il y a ici deux autres attestations de la rigidité de l'homme, formulées dans les premiers jours de l'affaire : :[https://www.dailymail.co.uk/news/article-5470455/How-poisoned-spy-plot-unfolded-Salisbury.html Daily Mail, 6mars 2018, mis à jour le 7.] :Plus tard, le 14 décembre 2018, une policière attestera elle aussi la rigidité de l'homme : :[https://www.theguardian.com/uk-news/2018/dec/14/we-did-our-best-police-who-rushed-to-skripal-scene-tell-of-shock-and-pride Guardian, 14 décembre 2018] :Le fentanyl peut causer de la rigidité musculaire, comme on le voit en faisant une recherche Internet de " fentanyl-induced muscle rigidity", "Muscle Rigidity a Sign of Fentanyl Overdose"... (Cette dernière expression est le titre de [https://www.stopoverdose.gov.bc.ca/theweekly/muscle-rigidity-sign-fentanyl-overdose l'article que voici.] :Les agents innervants, au contraire, sont dits provoquer de la flaccidité musculaire, comme le montre [https://fas.org/nuke/guide/usa/doctrine/army/mmcch/NervAgnt.htm#TIME%20COURSE%20OF%20EFFECTS ce passage] (où il s'agit des agents innervants) : :"A large amount of liquid on the skin causes effects within minutes. Commonly there is an asymptomatic period of one to 30 minutes, and then the sudden onset of an overwhelming cascade of events, including loss of consciousness, seizure activity, apnea, and muscular flaccidity." :À l'hôpital de Salisbury, où on savait sûrement que les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, on a diagnostiqué une overdose de Fentanyl. :L'hôpital était sûr de son diagnostic, comme on le voit par sa première annonce d'un "major incident" : :"Salisbury District Hospital declared a "major incident" on Monday 5 March after two patients were exposed to an opioid. (...) It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to the drug Fentanyl in the city centre. The opioid is 10,000 times stronger than heroin." :La forme initiale de l'annonce a été reproduite le 26 avril 2018 dans un [https://twitter.com/dgaytandzhieva/status/989616317484421125?ref_src=twsrc%5Etfw tweet de Dilyana Gaytandzhieva]. :On notera que dans la capture prise par Dilyana Gaytandzhieva, l'hôpital disait affirmativement : « after two patients were exposed to an opioid. » :Le jour même de la publication du tweet de D. Gaytandzhieva, l'hôpital modifia son annonce (en reconnaissant cette modification). L'annonce disait maintenant : :"Salisbury District Hospital declared a “major incident” on Monday 5 March, after two patients were exposed to '''what is believed to be''' an opioid. The fire service was called to decontaminate the hospital’s Accident & Emergency unit, as paramedics treated the casualties. Emergency personnel arrived to the scene, wearing full-body hazardous materials protective and an incident response unit was on site. It followed an incident hours earlier in which a man and a woman were exposed to a substance in the city centre." Et il y avait cette note : "Note: This story was updated on 26 April 2018 to remove suggestion (which was widely speculated and reported at the time of writing) that the substance found was fentanyl<ref>[https://www.clinicalservicesjournal.com/story/25262/response-unit-called-as-salisbury-hospital-declares-major-incident Clinical Service Journal, 5 mars 2018 et note rectificative du 26 avril 2018.]</ref>." :Si on en croit [https://www.bbc.com/news/uk-44278609 cet article], l'hôpital a modifié son diagnostic à l'initiative de la police. :Noter qu'en réaction à un article du ''[[w:The Times|Times]]'' du 14 mars, Stephen Davies, conseiller en médecine d'urgence à l'hôpital de Salisbury, disait encore, dans une lettre rectificative adressée au Times (et publiée par ce journal le 16 mars 2018) qu' « aucun patient n'a présenté des symptômes d'empoisonnement par agent innervant à Salisbury<ref>Lettre de Stephen Davies, Consultant in emergency medicine, Salisbury NHS Foundation Trust, sous ''Letters to the editor'', « British retaliation against Russia’s actions », ''[[w:The Times]]'', 16 mars 2018, [https://www.thetimes.co.uk/article/british-retaliation-against-russia-s-actions-p5hmpj8jh en ligne].</ref>. » :La rigidité attestée par plusieurs témoins semble embarrassante pour la propagande du gouvernement britannique. Mark Urban est journaliste à la BBC. Au sujet de la BBC et de ses liens avec les services secrets britanniques, voyez l'article de Wikipédia [[w:British Broadcasting Corporation#Liens avec les services secrets britanniques]]. Bien sûr, penser que ce qui a existé pourrait exister encore est du pur "complotisme". Mark Urban, donc, ne s'est pas contenté de réaliser [https://www.bbc.com/news/uk-46290989 une émission BBC] (diffusée en novembre 2018) où aucun des témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits n'avait été invité, mais il a publié (première édition en octobre 2018) un livre, ''The Skripal Files'', où, décrivant censément les symptômes que montraient les Skripal lors de la scène du banc, il n'a visiblement pour but que de persuader le lecteur que tous ces symptômes "d'agent innervant" pouvaient être pris pour des symptômes d'opioïde, ce qui, n'est-ce pas, explique parfaitement l' "erreur" de l'hôpital. À cette fin, il utilise deux tours de passe-passe : il ne dit pas un mot de la rigidité attestée par plusieurs témoins et il allègue la contraction des pupilles, qui est un symptôme commun aux agents innervants et à certains opioïdes (parmi lesquels le fentanyl), mais qui n'a pas été attestée par les témoins de la scène du banc nommés par la presse à l'époque des faits. Le passage de son livre peut être consulté sur [https://books.google.be/books?id=ldBiDwAAQBAJ&pg=PT193#v=onepage&q&f=false Google livres], à partir de la page 193. En résumé : les agents innervants provoquent de la flaccidité et non de la rigidité, l'homme et la femme du banc présentaient de la rigidité, donc ils n'étaient pas sous l'influence d'un agent innervant, comme le dit la propagande du gouvernement britannique, mais plus vraisemblablement sous l'influence du Fentanyl. == Une erreur providentielle == Puisque la version officielle est que le diagnostic initial de l'hôpital (Fentanyl) était erroné, on peut trouver étonnant que l'homme et la femme en aient réchappé, car le traitement d'urgence contre une overdose de Fentanyl n'est pas le traitement d'urgence qui convient contre une exposition au novichok. En 2024, on apporta une réponse à cette question, au moins quant à l'homme : pendant que l'ambulance conduisait celui-ci à l'hôpital, un infirmier, par une erreur providentielle, crut lui administrer du naloxone (remède contre une intoxication par Fentanyl) mais lui administra en réalité de l'atropine, remède contre les "agents innervants", en particulier le novichok<ref>Steven Morris, « Paramedic gave Sergei Skripal novichok antidote by chance, inquiry hears », ''The Guardian'', 30 octobre 2024, [https://www.theguardian.com/uk-news/2024/oct/30/paramedic-gave-sergei-skripal-novichok-antidote-by-chance-inquiry-hears en ligne].</ref>. L'article du ''Guardian'' qui fait cette révélation ne parle que de l'homme (censé être Sergueï Skripal) et non de la femme (censée être Ioulia Skripal). Cela suggère que la femme n'a pas été transportée dans la même ambulance que l'homme. Peut-être a-t-elle été transportée par hélicoptère ? == Notes et références == {{Références}} 98dfxbyxl6zwqk42m6jwgbdmz3sw4nv 2 80493 982934 977032 2026-05-19T20:50:44Z Leonard Kifoti Kiyala 78812 Actualisation de la page 982934 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1