Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 75809 982969 964992 2026-05-21T16:54:09Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982969 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 23 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Puissance de la force de Lorentz/]] | suivant = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</center> == Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme, mise en équation par application de la r.f.d.n. : mouvement à vecteur accélération constant == {{Al|5}}Une particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> placée dans un espace champ électrostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{E}\;</math> étant soumis à une force électrique «<math>\;\vec{F}_{\text{élec}} = q\;\vec{E}\;</math> constante » a un <u>mouvement de vecteur accélération constante</u> en absence d'autre force <math>\;\big[</math>en particulier l'influence éventuelle du poids de la particule dans le cas où l'expérience se passe sur Terre est négligeable, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Comparaison_de_la_force_électrique_exercée_sur_un_proton_dans_un_champ_électrique_de_norme_modérée_au_poids_du_proton_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre|comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, en effet {{Al|5}}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. à la particule chargée de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel liée à la source du champ électrostatique, référentiel supposé galiléen nous conduisant à <math>\;\vec{F}_{\text{élec}} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math> avec <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> le vecteur accélération de la particule chargée à l'instant <math>\;t</math>, nous en déduisons «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{\vec{F}_{\text{élec}}}{m} = \dfrac{q}{m}\;\vec{E}\;</math> constant » <math>\;\big[</math>voir l'étude générale d'un tel mouvement dans le chap.<math>3</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant|description et paramétrage du mouvement d'un point : mouvement de vecteur accélération constant]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. == Exemple de l’oscilloscope cathodique, détermination de la déflexion électrique == [[File:Déflexion électronique dans tube cathodique.jpg|thumb|400px|Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un tube cathodique]] {{Al|5}}Déjà traité au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Déviation_électronique_dans_l'interface_entre_les_plaques_longitudinales_de_déviation|déviation électronique dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans l'exemple d'un électron <math>\,M \left( -e \right)\;</math><ref name="e"> <math>\,e\,</math> étant la charge élémentaire valant <math>\,\simeq 1,6\;10^{-19}\;C</math>.</ref> de masse <math>\,m_e\,</math> entrant dans l’espace champ électrostatique uniforme de vecteur champ <math>\,\vec{E}\,</math> existant entre plaques <math>\,\parallel\,</math> de déviation d'un oscilloscope cathodique, avec une « vitesse initiale <math>\,\vec{V}_0 \perp\,</math> au champ électrostatique <math>\,\vec{E}\;</math>», les principaux résultats étant rappelés ci-dessous <math>\,\big\{</math>voir le choix du repère <math>\,\left[O,\; \left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right)\right]\,</math> associé au référentiel lié aux plaques de déviation sur le schéma ci-contre<math>\big\}</math> : * le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> déduit de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. «<math>\;\vec{a}_M = -\dfrac{e}{m_e}\;\vec{E}\;</math>» projeté sur les axes <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a_x = 0\\ a_y = -\dfrac{e}{m_e}\;E_y\\ a_z = 0 \end{array}\right\rbrace</math>, * son vecteur vitesse obtenu par intégration avec C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. «<math>\;\vec{V}_{\!M} = -\dfrac{e}{m_e}\;\vec{E}\;t + \vec{V}_0\;</math>» <math>\;\big[</math>loi horaire vectorielle de vitesse de <math>\;M\big]\;</math> projeté sur les axes <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_x = V_0\\ V_y = -\dfrac{e}{m_e}\;E_y\;t\\ V_z = 0 \end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>les trois lois horaires scalaires de vitesse de <math>\;M\big]\;</math> et * son vecteur position obtenu par nouvelle intégration avec C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\overrightarrow{OM} = -\dfrac{e}{m_e}\;\vec{E}\;\dfrac{t^2}{2} + \vec{V}_0\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>loi horaire vectorielle de position de <math>\;M\big]\;</math> projeté sur les axes <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = V_0\;t\\ y = -\dfrac{e}{m_e}\;E_y\;\dfrac{t^2}{2}\\ z = 0 \end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>les trois lois horaires scalaires de position de <math>\;M\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>entre les deux plaques de déviation de l'oscilloscope cathodique la cinématique de l'électron est donc tel que * son mouvement est plan, le plan <math>\;\perp\;</math> aux plaques de déviation <math>\;\big[</math>donc <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{E}\big]\;</math> passant par la position initiale <math>\;O\;</math> de l'électron et contenant le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> de ce dernier, le plan <math>\;xOy\;</math> du schéma, * le mouvement de son projeté <math>\;M_x\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, <math>\;\parallel\;</math> aux plaques de déviation, est uniforme de vitesse <math>\;V_0\;</math> et * le mouvement de son projeté <math>\;M_y\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}</math>, <math>\;\perp\;</math> aux plaques de déviation, est uniformément varié d'accélération <math>\;-\dfrac{e}{m_e}\;E_y\;</math> et de vitesse initiale nulle ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>les trois lois horaires scalaires de position de <math>\;M\;</math> étant aussi les trois équations paramétriques de sa trajectoire, nous obtenons les deux équations cartésiennes de celle-ci en éliminant le paramètre <math>\;t</math>, soit <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} z = 0\\ y = -\dfrac{e\;E_y}{2\;m_e\;V_0^2}\;x^2\end{array} \right\rbrace\;</math>» équations d'une parabole de sommet <math>\;O</math>, de tangente au sommet <math>\;Ox\;</math> et de direction asymptotique <math>\;Oy</math> ;</center> {{Al|11}}l'équation de la parabole dans le plan <math>\;xOy\;</math> peut être réécrite en fonction de la tension <math>\;U\;</math> imposée aux bornes des deux plaques de déviation distantes de <math>\;d\;</math> selon «<math>\;y = \dfrac{e\;U}{2\;d\;m_e\;V_0^2}\;x^2\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>en effet, si «<math>\;U\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;E_y\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>le champ électrique étant dans le sens des potentiels <math>\;\searrow\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_y = -\dfrac{U}{d}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_de_charge_q_dans_un_champ_électrique_uniforme|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme]] (parallèlement …) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\bigg\}</math> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>à la sortie de l’espace champ, l’électron n’est plus soumis à « aucune force »<ref name="influence du poids négligeable"> L'influence du poids éventuel de l'électron ne peut plus être négligé compte-tenu du fait qu'il n'y a pas d'autre force, mais sa norme est suffisamment petite et la vitesse de l'électron suffisamment grande pour que l'influence du poids éventuel reste totalement négligeable.</ref> et par suite a un mouvement rectiligne uniforme de direction tangente à la parabole et de vitesse égale à celle en <math>\;S\;</math> <math>\;\big(</math>point de sortie de l’espace<math>\big)</math> ; il a alors un impact <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>d’ordonnée <math>\;Y\big)\;</math> sur un écran situé à <math>\;D\;</math> du centre <math>\;J\;</math> de l’espace champ ; {{Al|11}}la trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques de déviation étant une parabole et celle à la sortie de l’espace champ étant la tangente à cette parabole au point de sortie, nous en déduisons que la trajectoire à la sortie de l'espace champ passe par le centre <math>\;J\;</math> de l’espace champ<ref name="propriété de l'intersection de deux tangentes à une parabole"> La justification de cette propriété a été vue dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Propriété_de_la_tangente_à_la_parabole_en_un_point_quelconque|propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{Y}{D}\;</math> dont on tire <math>\;Y = D\; \tan(\alpha)</math> ; {{Al|11}}la détermination de <math>\;\tan(\alpha)\;</math> peut se faire de la même façon en utilisant <math>\;y_S = \dfrac{e\;U}{2\;d\;m_e\;v_0^2}\;l^2\;</math> d'où <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{y_S}{\dfrac{l}{2}} = \dfrac{e\;l}{m_e\;v_0^2\;d}\;U\;</math> que l'on reporte dans <math>\;Y = D\; \tan(\alpha)\;</math> pour obtenir <center>«<math>\;Y = \dfrac{e}{m_e\;v_0^2}\;\dfrac{l\;D}{d}\;U\;</math>» c.-à-d. une déflexion électrique <math>\;\propto\;</math> à la tension <math>\;U\;</math> imposée, <br>sa mesure permettant de déterminer la valeur de <math>\;U</math> <math>\;\big(</math>principe de l'oscilloscope analogique<math>\big)</math>.</center> == Intégrale 1^ère du mouvement : conservation de l’énergie mécanique de la particule chargée dans le champ électrostatique == {{Al|5}}La particule chargée <math>\;M \left( q \right)</math> <math>\;\big(</math>de masse <math>\;m\big)\;</math> dans l’espace champ électrostatique de vecteur champ en la position <math>\;P\;</math> «<math>\;\vec{E}(P)\;</math><ref name="quelconque"> Non nécessairement uniforme.</ref> » étant <u>soumise à la seule force électrostatique conservative</u> «<math>\;\vec{F}_{\text{élec}} =</math> <math>q\;\vec{E}(P)\;</math>» <u>laquelle « dérive » de l’énergie potentielle électrostatique</u> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{élec}}(M) = q\;V(M)\;</math>» avec «<math>\;V(P)\;</math>» le potentiel électrostatique en la position <math>\;P\;</math> dont « dérive » le champ électrostatique <math>\;\vec{E}(P)\;</math><ref name="quelconque" /> <math>\;\big(</math>la référence de l’énergie potentielle<ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> étant la même que celle du potentiel<ref name="référence du potentiel"> C.-à-d. l'endroit où le potentiel est choisi nul.</ref><math>\big)</math> <ref name="force électrique quelconque conservative"> Le champ électrostatique non uniforme étant un champ à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»_et_correspondance_entre_la_«_circulation_élémentaire_d'un_tel_champ_»_et_la_«_différentielle_de_fonction_scalaire_des_coordonnées_de_l'espace_»|notion de “ champ vectoriel à circulation conservative ” et correspondance entre la “ circulation élémentaire d'un tel champ ” et la “ différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace ”]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la force électrique exercée sur une particule dans un tel champ est conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#En_complément,_généralisation_admise_relative_à_un_champ_électrique_non_uniforme|en complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme]] » du chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, {{Al|5}}<u>l’énergie mécanique de la particule dans le champ électrostatique</u> définie dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié à ce dernier «<math>\;\mathcal{E}_m(M) = K_M + \mathcal{E}_{\text{élec}}(M)\;</math>» dans laquelle <math>\;K_M\;</math> est l'énergie cinétique de la particule dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <u>est conservée</u>, ce qui se réécrit, dans le cadre de la dynamique classique, selon <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^{\,2} + q\;V(M) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 + q\;V_0\;</math>» <br>avec <math>\;\vec{V}_{\!M}\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <br><math>\;V_0\;</math> étant le potentiel électrostatique quand <math>\;M\;</math> est lancé de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>cette équation constituant l’intégrale 1^ère énergétique de la particule.</center> {{Al|5}}<u>Cas particulier de vitesse initiale nulle</u> : Si <math>\;\vec{V}_0 = \vec{0}</math>, l'intégrale 1^ère énergétique de la particule se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^{\,2} = -q\;U\;</math>» avec «<math>\;U = V(M) - V_0\;</math> la tension <math>\;\big(</math>ou d.d.p<ref name="d.d.p."> Différence De Potentiel.</ref>.<math>\big)\;</math> définie par rapport au position initiale de la particule » et le mouvement de la particule chargée démarre tangentiellement aux lignes de champ ; {{Al|24}}{{Transparent|Cas particulier de vitesse initiale nulle : , }} dans le cas où le <u>champ électrostatique</u> est <u>uniforme</u>, les lignes de champ étant des droites parallèles, <u>le mouvement de la particule chargée se poursuit rectilignement</u> en suivant la ligne de champ passant par la position initiale de la particule<ref> Car la seule force s’exerçant sur la particule chargée étant tangentielle aux lignes de champ électrostatique, le vecteur accélération initial est tangent à la ligne de champ passant par la position initiale, ce qui crée un vecteur vitesse à un instant <math>\;\delta t\;</math> légèrement postérieur à l’instant initial tangent à cette même ligne de champ, et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Car }}la force électrostatique s'exerçant sur la particule à cet instant <math>\;\delta t\;</math> étant tangentielle à la ligne de champ initiale, le vecteur accélération à cet instant <math>\;\delta t\;</math> est tangent à cette même ligne de champ, ce qui crée une variation de vecteur vitesse entre l'instant <math>\;2\;\delta t\;</math> et <math>\;\delta t\;</math> également tangente à cette ligne de champ d'où un vecteur vitesse à l'instant <math>\;2\;\delta t\;</math> tangent à la ligne de champ passant par la position initiale dans la mesure où le vecteur vitesse à l'instant <math>\;\delta t\;</math> est porté par cette ligne de champ,<br>{{Al|3}}{{Transparent|Car }}la propriété s'établissant aisément par récurrence <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|24}}{{Transparent|Cas particulier de vitesse initiale nulle : , }} dans le cas où le <u>champ électrostatique n’est pas uniforme</u>, <u>le mouvement ne peut pas se poursuivre en suivant les lignes de champ</u> car celles-ci n’étant pas des droites possèdent un rayon de courbure fini <math>\;\mathcal{R}_c(P)\;</math> en chacun de leurs points <math>\;P\;</math> usuellement « réguliers »<ref name="point régulier"> Un point <math>\;P\;</math> d’une courbe <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est dit « régulier » si le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dP}\;</math> est non nul <math>\;\big\{</math>dans le cas <math>\;\big(</math>très fréquent en physique<math>\big)\;</math> où la courbe est paramétrée par le paramètre <math>\;s</math>, la condition de régularité du point <math>\;P(s_0)\;</math> est <math>\;\overrightarrow{OP}\,{'}(s_0) \neq \vec{0}\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}un point <math>\;P\;</math> d’une surface <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> définie de façon implicite «<math>\;f(x,\, y,\, z) = 0\;</math>» est dit « régulier » si «<math>\;\overrightarrow{grad}\left[ f \right](P) \neq \vec{0}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}un point non régulier d’une courbe <math>\;\big(</math>ou d’une surface<math>\big)\;</math> est dit « singulier », <br>{{Al|3}}{{Transparent|un point non régulier }}sur une courbe il est donc tel que «<math>\;\overrightarrow{dP}_{\text{sing}} = \vec{0}\;</math>» <math>\;\Big[</math>ou si la courbe est paramétrée par <math>\;s</math>, tel que <math>\;\overrightarrow{OP}\,{'}(s_{\text{sing}}) = \vec{0}\Big]</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|un point non régulier }}sur une surface définie de façon implicite «<math>\;f(x,\, y,\, z) = 0\;</math>», tel que «<math>\;\overrightarrow{grad}\left[ f \right](P_{\text{sing}}) = \vec{0}\;</math>».</ref> et par suite, si la particule poursuivait son mouvement en suivant la ligne de champ passant par sa position initiale, elle aurait une « accélération normale » <math>\;a_n(M) = \dfrac{v_M^2}{\mathcal{R}_c(M)}\;</math> non nulle, incompatible avec le fait que la force électrostatique s’exerçant sur elle étant tangente à cette ligne de champ, le vecteur accélération de la particule au même instant lui est aussi tangent par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la particule, donc sans accélération normale <math>\;\ldots</math> == Exemple du canon à électrons == [[File:Canon à électrons.jpg|thumb|Schéma expliquant le fonctionnement d'un canon à électrons]] {{Al|5}}Déjà traité au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#Canon_à_électrons|canon à électrons]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », le principe de fonctionnement étant rappelé ci-dessous ; {{Al|5}}dans un canon à électrons, des électrons sont émis par « effet thermoélectronique »<ref name="effet thermoélectronique"> Éjection d'électrons d'un métal par apport d'énergie cinétique d'agitation thermique : un électron dont l'énergie cinétique d'agitation est supérieure au [[w:Travail_de_sortie|travail d'extraction]] du métal <math>\;\dfrac{1}{2}\,m_e\,\vec{V}^2 > W_{\text{extraction}}\;</math> peut quitter ce dernier, il quitte alors le métal et contribue à l'instauration d'une charge d'espace négative au-dessus de ce dernier, rendant l'extraction des électrons suivants d'autant plus difficile que la charge d'espace est importante ; <br>{{Al|3}}la valeur moyenne de l'énergie cinétique d'agitation étant <math>\;\Big \langle \dfrac{1}{2}\,m_e\,\vec{V}^2 \Big\rangle = \dfrac{3}{2}\,k_B\,T\;</math> avec «<math>\;k_B \simeq 1,38\;10^{-23}\;J \cdot K^{-1}\;</math> la [[w:Constante_de_Boltzmann|constante de Boltzmann]] » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d’un système_à_l’équilibre_:_température_cinétique_d'un_gaz,_exemple_d__G.P.M.#Définition_de_la_température_cinétique_d'un_gaz_en_équilibre_thermodynamique|définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'effet thermoélectronique sera donc d'autant plus efficace que la température sera élevée <math>\;\big[</math>ne pas perdre de vue que seuls les électrons les plus énergétiques peuvent être arrachés : par exemple, à haute température <math>\;T = 1000\; K</math>, l'énergie cinétique moyenne d'agitation des électrons n'est que de <math>\;0,13\; eV\;</math> alors que le travail d'extraction dans le cas du fer est de <math>\;1,8\; eV\;</math> <math>\Rightarrow</math> seul le très petit pourcentage d'électrons très agités <math>\;\big(</math>ayant donc une énergie cinétique d'agitation <math>\;>\;</math> à <math>\;1,8\; eV\big)\;</math> peut être arraché<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Ludwig_Boltzmann|Ludwig Eduard Boltzmann]] (1844 - 1906)''' physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ; en mathématiques il est aussi, avec '''Oliver Heaviside (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle.</ref> provenant d'une électrode <math>\;(K)\;</math> dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, l'énergie cinétique d'éjection des électrons de <math>\;(K)\;</math> restant très faible, ils ne quittent pas spontanément son voisinage et forme autour d'elle une charge d'espace négative qui s'oppose à la poursuite de l'effet thermoélectronique ; {{Al|5}}le but poursuivi étant de créer un faisceau d'électrons, on accélère les électrons arrachés en imposant une d.d.p. <math>\;U_{\text{accél}}\;</math> entre cette électrode <math>\;(K)\;</math> et l'électrode de sortie <math>\;(A)\;</math> du canon à électrons, <math>\;U_{\text{accél}}\;</math> étant positive, <math>\;(K)\;</math> est appelée « cathode » et <math>\;(A)\;</math> « anode » ; {{Al|5}}souhaitant créer un faisceau d'électrons quasi homocinétiques à la sortie du canon, on accélère ces derniers à l'aide d'un champ électrique <math>\;\vec{E}_{\text{accél}}\;</math> imposé entre la cathode <math>\;(K)\;</math> et l'anode <math>\;(A)</math>, de sens de <math>\;(A)\;</math> vers <math>\;(K)</math> <math>\;\big[</math>dans l'interface l'électron <math>\;M\;</math> n'est soumis qu'à la force électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) = -e\;\vec{E}_{\text{accél}}(M)\;</math> de sens de <math>\;(K)\;</math> vers <math>\;(A)</math>, donc l'accélérant effectivement<math>\big]</math>, la force électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) = -e\;\vec{E}_{\text{accél}}(M)\;</math> conservative « dérivant » de l'énergie potentielle électrique «<math>\;\mathcal{E}_p(M) = -e\;V(M)\;</math>», avec <math>\;V(P)\;</math> le potentiel électrique de l'espace champ électrique dans l'interface du canon à électrons en la position <math>\;P</math>, la référence de l'énergie potentielle de l'électron<ref name="référence de l'énergie potentielle" /> étant la même que celle du potentiel électrique<ref name="référence du potentiel" />, on peut donc appliquer l'intégrale 1^ère énergétique à l'électron entre <math>\;(K)\;</math> et <math>\;(A)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{E}_m(A) = \mathcal{E}_m(K)\;</math>» et, dans la mesure où l'énergie cinétique de l'électron lors de son extraction de <math>\;(K)\;</math> est considérée comme négligeable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_m(K) \simeq 0 - e\;V_K</math>, <math>\;\mathcal{E}_m(A)\;</math> étant <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m_e\;\vec{V}_0^2 - e\;V_A</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{1}{2}\;m_e\;\vec{V}_0^2 \simeq e \left( V_A - V_K \right)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{2}\,m_e\,\vec{V}_0^2 \simeq e\;U_{\text{accél}}\;</math>» ; {{Al|5}}<u>A.N.</u> : <math>\;e = 1,602\; 10^{-19}\; C</math>, <math>\;m_e = 0,91\; 10^{-30}\; kg\;</math> et <math>\;U_{\text{accél}} = 500\; V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{2}\;m_e\;\vec{V}_0^2 = 500\; eV\;</math> dont on tire <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert = \sqrt{\dfrac{2\;e\;U_{\text{accél}}}{m_e}} \simeq \sqrt{\dfrac{2 \times \left( 1,602\;10^{-19} \right) \times 500}{0,91\;10^{-30}}} \simeq 1,33\; 10^7\; m \cdot s^{-1}\;</math> ou encore <math>\;13300\; km \cdot s^{-1}\;</math> soit <math>\;4,4\; \%\;</math> de la vitesse de la lumière justifiant le caractère non relativiste. == En complément, 1^ères notion d’optique électronique == === Réfraction électronique créée par un déplacement d’électrons entre deux grilles parallèles à des potentiels différents respectivement V₁ et V₂, la référence des potentiels étant choisies à l’entrée du canon à électrons === {{Al|5}}Considérons un canon à électrons accélérant les électrons avant la 1^ère grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> de façon à leur communiquer, au niveau de cette grille, un vecteur vitesse de norme <math>\;\Vert \vec{V}_1 \Vert\;</math> notée <math>\;v_1\;</math> à partir d’une cathode de potentiel nul où leur énergie cinétique est supposée nulle <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m_e\;v_1^2 + q_e\;V_1 = 0\;</math><ref name="énergie mécanique initiale nulle"> La référence des potentiels étant à l’entrée du canon et celle de l'énergie potentielle des électrons confondue avec la référence des potentiels, l’énergie mécanique initiale des électrons est nulle car leur vitesse initiale l'est.</ref> » <math>\;\big(</math>avec <math>\;q_e = -e\;</math> la charge d'un électron, <math>\;m_e\;</math> sa masse et <math>\;V_1\;</math> le potentiel de l'anode du canon qui est aussi celui de la 1^ère grille<math>\big)\;</math> ou encore «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m_e\;v_1^2 = -q_e\;V_1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_1 = \sqrt{\dfrac{-2\;q_e\;V_1}{m_e}}\;</math>». ==== Cas où V₂ est supérieur à V₁ ==== [[File:Réfraction électronique.png|thumb|300px|Schéma présentant une réfraction électronique d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, le dioptre plan faisant passer le « rayon » électronique d'une région de potentiel <math>\;V_1\;</math> à une région de potentiel <math>\;V_2 > V_1\;</math>]] {{Al|5}}Considérons d'abord que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes <math>\;\parallel</math> <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> est tel que le potentiel électrique <math>\;\nearrow\;</math> de la grille d'entrée vers la grille de sortie c.-à-d. <math>\;V_2 > V_1</math> <math>\;\big(</math>la référence des potentiels<ref name="référence du potentiel" /> étant toujours la cathode du canon à électrons<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir schéma ci-contre<math>\big]</math> : {{Al|5}}chaque électron <math>\;M\;</math> sortant du canon à électrons avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_1\;</math> de norme <math>\;v_1 = \sqrt{\dfrac{-2\;q_e\;V_1}{m_e}}\;</math> et faisant l'angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1 = \widehat{\left( \vec{n}_1\,,\,\vec{V}_1 \right)}\;</math> avec <math>\;\vec{n}_1\;</math> le vecteur unitaire normal à la grille d'entrée au point d'injection <math>\;\big[</math>les angles du plan d'incidence <math>\;\big(</math>c.-à-d. du plan <math>\;\perp\;</math> à la grille d'entrée contenant le faisceau d'électrons sortant du canon à électrons<math>\big)\;</math> étant compté positivement dans le sens horaire<math>\big]\;</math> uniquement soumis à une force électrostatique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) =</math> <math>q_e\;\vec{E}\;</math> constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels, <br>{{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> tel que son angle d'émergence <math>\;\mathit{i}_2 = \widehat{\left( \vec{n}_2\,,\,\vec{V}_2 \right)} > 0</math> <math>\;\Big(\vec{n}_2\;</math> étant le vecteur unitaire normal à la grille de sortie au point d'éjection et <math>\;\vec{V}_2\;</math> le vecteur vitesse de sortie de l'électron<math>\Big)\;</math> est <math>\;<\;</math> à son angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}le mouvement du projeté de <math>\;M\;</math> sur les grilles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> étant uniforme <math>\;\big(</math>la force électrostatique étant <math>\;\perp\;</math> aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de <math>\;M\big)</math>, nous en déduisons <math>\;V_x(M) = cste\;</math> en notant <math>\;\overrightarrow{x'x}\;</math> l'axe <math>\;\parallel\;</math> aux grilles, orienté vers la droite, dans le plan d'incidence de chaque électron et par suite, en explicitant <math>\;V_x\;</math> sur chacune des grilles «<math>\;v_1\;\sin(\mathit{i}_1) = v_2\;\sin(\mathit{i}_2),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» avec <math>\;v_2 = \Vert \vec{V}_2 \Vert</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}comme il y a aussi conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m_e\;v_2^2 + q_e\;V_2 = 0\;</math><ref name="énergie mécanique initiale nulle" /> » soit «<math>\;v_2 = \sqrt{\dfrac{-2\;q_e\;V_2}{m_e}}\;</math>» et {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}le report des expressions de <math>\;v_1\;</math> et <math>\;v_2\;</math> en fonction des potentiels dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> nous conduit, après simplification évidente, à <center>«<math>\;\sqrt{V_1}\;\sin(\mathit{i}_1) = \sqrt{V_2}\;\sin(\mathit{i}_2),\;\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Cette relation est analogue à la 2^ème loi de réfraction optique de Snell-Descartes<ref name="Snell"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit assuré<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.</ref> «<math>\;n_1\;\sin(\mathit{i}_1) = n_2\;\sin(\mathit{i}_2)\;</math>» lors de la traversée d'un dioptre d'un milieu d'indice <math>\;n_1\;</math> vers un milieu d'indice <math>\;n_2</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell-Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'indice <math>\;n\;</math> des milieux optiques devant être remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique <math>\;\sqrt{V}\;</math> des milieux avant et après la réfraction électronique ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}de cette relation nous concluons qu’<u>une réfraction électronique vers une zone à plus haut potentiel</u> est l’analogue du passage d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, c.-à-d. que <u>le « rayon » électronique se rapproche de la normale</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une différence fondamentale avec l’optique géométrique est que, dans cette dernière, le changement de direction se fait sur une surface « le dioptre » alors qu’en optique électronique il se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles » <math>\;\ldots</math> ==== Cas où V₂ positif est inférieur à V₁ ==== [[File:Réfraction électronique - bis.png|thumb|280px|Schéma présentant une réfraction électronique d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, le dioptre plan faisant passer le « rayon » électronique d'une région de potentiel <math>\;V_1 > 0\;</math> à une région de potentiel <math>\;V_2 > 0\;</math> mais <math>\;<\;</math> à <math>\;V_1\;</math>]] {{Al|5}}Considérons ensuite que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes <math>\;\parallel</math> <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> est tel que le potentiel électrique <math>\;\searrow\;</math> de la grille d'entrée vers la grille de sortie en restant <math>\;> 0\;</math> c.-à-d. <math>\;0 < V_2 < V_1</math> <math>\;\big(</math>la référence des potentiels<ref name="référence du potentiel" /> étant toujours la cathode du canon à électrons<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir schéma ci-contre<math>\big]</math> : {{Al|5}}chaque électron <math>\;M\;</math> sortant du canon à électrons avec un même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_1\;</math> que précédemment, de norme <math>\;v_1 = \sqrt{\dfrac{-2\;q_e\;V_1}{m_e}}\;</math> et faisant l'angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1 = \widehat{\left( \vec{n}_1\,,\,\vec{V}_1 \right)}</math> <math>\;\big[</math>avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent<math>\big]</math>, uniquement soumis à une force électrostatique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) =</math> <math>q_e\;\vec{E}\;</math> constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels, <br>{{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> tel que, dans la mesure où l'électron atteint la grille de sortie, son angle d'émergence <math>\;\mathit{i}_2 = \widehat{\left( \vec{n}_2\,,\,\vec{V}_2 \right)} > 0</math> <math>\;\big[</math>avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent<math>\big]\;</math> est <math>\;>\;</math> à son angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}le mouvement du projeté de <math>\;M\;</math> sur les grilles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> étant uniforme <math>\;\big(</math>la force électrostatique étant <math>\;\perp\;</math> aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de <math>\;M\big)</math>, nous en déduisons <math>\;V_x(M) = cste</math> <math>\;\big[</math>avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent<math>\big]</math> et par suite, en explicitant <math>\;V_x\;</math> sur chacune des grilles «<math>\;v_1\;\sin(\mathit{i}_1) = v_2\;\sin(\mathit{i}_2),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» avec <math>\;v_2 = \Vert \vec{V}_2 \Vert</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}comme il y a toujours conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m_e\;v_2^2 + q_e\;V_2 = 0\;</math><ref name="énergie mécanique initiale nulle" /> » soit «<math>\;v_2 = \sqrt{\dfrac{-2\;q_e\;V_2}{m_e}}\;</math>» et {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}le report des expressions de <math>\;v_1\;</math> et <math>\;v_2\;</math> en fonction des potentiels dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> nous conduit, après simplification évidente, à <center>«<math>\;\sqrt{V_1}\;\sin(\mathit{i}_1) = \sqrt{V_2}\;\sin(\mathit{i}_2),\;\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : C'est la même relation que celle du paragraphe précédent, analogue à la 2^ème loi de réfraction optique de Snell-Descartes<ref name="Snell" />{{,}}<ref name="Descartes" /> «<math>\;n_1\;\sin(\mathit{i}_1) = n_2\;\sin(\mathit{i}_2)\;</math>» lors de la traversée d'un dioptre d'un milieu d'indice <math>\;n_1\;</math> vers un milieu d'indice <math>\;n_2</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell-Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'indice <math>\;n\;</math> des milieux optiques devant être remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique <math>\;\sqrt{V}\;</math> des milieux avant et après la réfraction électronique ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}de cette relation nous concluons qu’<u>une réfraction électronique vers une zone à plus bas potentiel</u> est l’analogue du passage d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, c.-à-d. que <u>le « rayon » électronique s'éloigne de la normale</u> et que, dans la mesure où l'angle d'incidence n'est pas trop grand, le « rayon » électronique émerge par la grille de sortie <math>\;\Bigg[</math>c.-à-d. qu'il y a réfraction effective et pour cela il faut que <math>\;\sqrt{V_1}\;\sin(\mathit{i}_1)\;</math> soit <math>\;<\;</math> à <math>\;\sqrt{V_2}\;</math> soit <math>\;\mathit{i}_1 < \arcsin\! \left( \sqrt{\dfrac{V_2}{V_1}} \right)\Bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Nous constatons évidemment la même différence fondamentale avec l’optique géométrique et l'optique électronique, le changement de direction dans la 1^ère se faisant sur une surface « le dioptre » alors que, dans la 2^ème il se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles » <math>\;\ldots</math> ==== Cas où V₂ positif est inférieur à V₁ avec un angle d'incidence d'injection tel qu'il y ait réflexion totale ==== [[File:Réfraction électronique - ter.png|thumb|280px|Schéma présentant une réflexion électronique totale d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, le dioptre plan reliant une région de potentiel <math>\;V_1 > 0\;</math> à une région de potentiel <math>\;V_2 > 0\;</math> mais <math>\;<\;</math> à <math>\;V_1</math>, avec un angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_i >\;</math> à l'angle limite]] {{Al|5}}Considérons enfin que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes <math>\;\parallel</math> <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> est toujours tel que le potentiel électrique <math>\;\searrow\;</math> de la grille d'entrée vers la grille de sortie en restant <math>\;> 0\;</math> c.-à-d. <math>\;0 < V_2 < V_1</math> <math>\;\big(</math>la référence des potentiels<ref name="référence du potentiel" /> étant toujours la cathode du canon à électrons<math>\big)</math> mais avec une inclinaison du faisceau électronique suffisante pour que ce dernier n'atteigne pas la grille de sortie <math>\;\big[</math>voir schéma ci-contre<math>\big]</math> : {{Al|5}}chaque électron <math>\;M\;</math> sortant du canon à électrons avec un même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_1\;</math> que précédemment, de norme <math>\;v_1 = \sqrt{\dfrac{-2\;q_e\;V_1}{m_e}}\;</math> et faisant l'angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1 = \widehat{\left( \vec{n}_1\,,\,\vec{V}_1 \right)} > \arcsin\! \left( \sqrt{\dfrac{V_2}{V_1}} \right)</math> <math>\;\big[</math>avec les mêmes définitions que dans les deux paragraphes précédents<math>\big]</math>, uniquement soumis à une force électrostatique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) =</math> <math>q_e\;\vec{E}\;</math> constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels, <br>{{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> avec, dans la mesure où l'angle d'incidence ne vérifie pas la condition pour que le faisceau d'électrons atteigne la grille de sortie <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_électrostatique_uniforme#Cas_où_V2_positif_est_inférieur_à_V1|cas où V₂ positif est inférieur à V₁]] (commentaires 2) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, un sommet <math>\;S\;</math> se situant avant la grille de sortie ; {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}le mouvement du projeté de <math>\;M\;</math> sur les grilles <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> étant uniforme <math>\;\big(</math>la force électrostatique étant <math>\;\perp\;</math> aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de <math>\;M\big)</math>, nous en déduisons <math>\;V_x(M) = cste</math> <math>\;\big[</math>avec les mêmes définitions que dans les deux paragraphes précédents<math>\big]</math> et par suite, en explicitant <math>\;V_x\;</math> sur la grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et au somment <math>\;S\;</math> «<math>\;v_1\;\sin(\mathit{i}_1) = v_S,\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» avec <math>\;v_S = \Vert \vec{V}_S \Vert</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}comme il y a toujours conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m_e\;v_S^2 + q_e\;V_S = 0\;</math><ref name="énergie mécanique initiale nulle" /> » soit «<math>\;v_S = \sqrt{\dfrac{-2\;q_e\;V_S}{m_e}}\;</math>» et {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}le report des expressions de <math>\;v_1\;</math> et <math>\;v_S\;</math> en fonction des potentiels dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> nous conduit, après simplification évidente, à <center>«<math>\;\sqrt{V_1}\;\sin(\mathit{i}_1) = \sqrt{V_S}\;</math>» dont nous déduisons le plan équipotentiel contenant <math>\;S\;</math> <br>par le potentiel de l'espace champ entre les deux grilles où l'électron fait demi-tour.</center> {{Al|9}}{{Transparent|chaque électron M }}le mouvement de l'électron <math>\;M\;</math> étant antisymétrique relativement à l'axe de la parabole, nous en déduisons, d'une part, que le point de sortie de <math>\;M\;</math> à travers la grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> est le symétrique de son point d'entrée à travers la même grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)</math>, d'autre part, que le vecteur vitesse de sortie <math>\;{\vec{V}'}_1\;</math> à travers la grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> est l'antisymétrique du vecteur vitesse d'entrée <math>\;\vec{V}_1\;</math> à travers la même grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et par suite que l'angle d'émergence <math>\;{\mathit{i}\,'}_1 = \widehat{\left( {\vec{n}'}_1\,,\,{\vec{V}'}_1 \right)}</math> <math>\;\Big({\vec{n}'}_1\;</math> étant le vecteur unitaire normal à la grille d'entrée au point d'éjection orienté dans le sens retour c.-à-d. <math>\;{\vec{n}'}_1 = -\vec{n}_1\Big)\;</math> est l'opposé de l'angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1 = \widehat{\left( \vec{n}_1\,,\,\vec{V}_1 \right)}\;</math> soit «<math>\;{\mathit{i}\,'}_1 = -\mathit{i}_1\;</math>». {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Cette relation est analogue à la 2^ème loi de réflexion optique de Snell-Descartes<ref name="Snell" />{{,}}<ref name="Descartes" /> «<math>\;{\mathit{i}\,'}_1 = -\mathit{i}_1\;</math>» lors de la réflexion totale sur un dioptre séparant un milieu d'entrée plus réfringent d'indice <math>\;n_1\;</math> d'un milieu moins réfringent d'indice <math>\;n_2\;</math> avec un angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1\;</math> de valeur absolue plus grande que l'angle limite <math>\;\mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_2}{n_1} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell-Descartes de la réflexion]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Cône_limite_d'incidence_pour_qu'il_y_ait_réfraction_dans_le_cas_d'un_milieu_plus_réfringent_à_un_milieu_moins_réfringent|cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent]] (remarque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'indice <math>\;n\;</math> des milieux optiques devant être, pour définir l'angle limite, remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique <math>\;\sqrt{V}\;</math> des milieux précédant la grille <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et suivant la grille <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}de cette relation nous concluons qu’<u>une réflexion totale électronique sur une zone à potentiel décroissant</u> lorsque l'angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1\;</math> est tel que <math>\;\vert \mathit{i}_1 \vert > \mathit{l} = \arcsin\! \left( \sqrt{\dfrac{V_2}{V_1}} \right)\;</math> est l’analogue d’une réflexion totale sur un dioptre d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent quand l'angle d'incidence <math>\;\mathit{i}_1\;</math> est tel que <math>\;\vert \mathit{i}_1 \vert > \mathit{l} = \arcsin\! \left( \dfrac{n_2}{n_1} \right)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Nous constatons évidemment la même différence fondamentale avec l’optique géométrique et l'optique électronique, la réflexion totale dans la 1^ère se faisant sur une surface « le dioptre » alors que, dans la 2^ème elle se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles » <math>\;\ldots</math> === Évocation des prolongements possibles : dioptre et lentille sphérique === {{Al|5}}Nous avons vu précédemment l'analogie existant entre la réfraction et la réflexion en optique géométrique et celle en optique électronique, le dioptre plan séparant deux milieux d'indices différents étant remplacé par l'espace champ électrostatique uniforme entre deux grilles planes parallèles à des potentiels électrostatiques différents, la référence des potentiels<ref name="référence du potentiel" /> étant choisie à la cathode du canon à électrons ; {{Al|5}}nous pouvons, sans difficulté insurmontable, prolonger cette analogie en introduisant, en optique électronique, les notions analogues à celle de dioptre sphérique et de lentille sphérique <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Pour obtenir l'analogue en optique électronique du dioptre sphérique séparant deux milieux d'indices différents de l'optique géométrique<ref> Voir la définition d'un dioptre sphérique dans l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d'un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » de la série d'exercices <math>\;13\;</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, on considère l'espace champ électrostatique entre deux grilles sphériques concentriques à des potentiels électrostatiques différents, la référence des potentiels étant toujours choisie à la cathode <math>\;\left( K \right)\;</math> du canon à électrons, le champ électrostatique entre les deux grilles en un point <math>\;P\;</math> à la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;\left( K \right)\;</math> étant radial, isotrope et de norme <math>\;\propto\;</math> à <math>\;r^{-2}</math>, l'indice <math>\;n\;</math> étant toujours remplacé par la racine carré des potentiels <math>\;\sqrt{V}</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Pour obtenir l'analogue en optique électronique d'une lentille sphérique plongée dans un même milieu de l'optique géométrique<ref> Voir la définition d'un lentille sphérique dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_«_centrés_»_:_les_lentilles_sphériques|exemple de systèmes dioptriques centrés : les lentilles sphériques]] » du chap.<math>\;14\;</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, on considère la succession de deux espaces champs électrostatiques entre des grilles sphériques concentriques, le 1^er espace champ étant entre deux grilles sphériques de même centre <math>\;C_e\;</math> à des potentiels électrostatiques différents <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, la référence des potentiels étant toujours choisie à la cathode <math>\;\left( K \right)\;</math> du canon à électrons, le 2^ème espace champ étant entre deux autres grilles sphériques de même centre <math>\;C_s\;</math> aux potentiels électrostatiques <math>\;V_2\;</math> et <math>\;V_1</math> ; comme en optique géométrique le stigmatisme et l'aplanétisme du système étudié ne sont, dans le cas général, qu'approchés<ref> Voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Notion_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique|notion de stigmatisme approché d'un système optique]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Notion_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique|notion d'aplanétisme approché d'un système optique]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et les conditions pour qu'ils soient réalisés sont analogues aux conditions de Gauss<ref name="Gauss"> '''[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] (1777 - 1855)''', mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps <math>\;\big(</math>il fut surnommé « le prince des mathématiciens »<math>\big)</math>, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, '''[[w:Carl Friedrich Gauss|C. Gauss]]''' n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1796</math>, à l'âge de dix-neuf ans, '''[[w:Carl Friedrich Gauss|C. Gauss]]''' caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la première démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|L. Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]</math> <math>\;\big\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl Friedrich Gauss|C. Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique '''[[w:Carl Friedrich Gauss|C. Gauss]]''' est l'auteur de deux des quatre [[w:Équations_de_Maxwell|équations de Maxwell]] gérant l'électromagnétisme <math>\;\big\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs dans un espace physique orienté à droite a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\big\}</math> <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\ldots</math> == Rappel de la r.f.d.r. (relation fondamentale de la dynamique relativiste) et application à l’exemple de l’oscilloscope cathodique == === Rappel de la r.f.d.r. (relation fondamentale de la dynamique relativiste) === {{Théorème|titre = Relation fondamentale de la dynamique relativiste (r.f.d.r.)|contenu = {{Al|5}} Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées «<math>\;\sum_k \vec{F}_k\;</math>» à un point matériel «<math>\;M \left( m \right)\;</math>» à l'instant <math>\;t\;</math> est liée à sa quantité de mouvement «<math>\;\vec{p}_{\!M}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t\;</math> par la r.f.d<ref name="r.f.d."> Relation Fondamentale de la Dynamique.</ref>. «<math>\;\sum_k \vec{F}_k = \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_«_p.f.d._»|énoncé du p.f.d.]] (principe fondamental de la dynamique) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}en cinétique relativiste la quantité de mouvement de <math>\;M \left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est liée à sa vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> par <center>«<math>\;\vec{p}_{\!M}(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\!M}(t) \right]^{2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref> de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un problème de dynamique relativiste du point place la quantité de mouvement de ce dernier au centre de la résolution, son explication en fonction du vecteur vitesse n'étant quasiment jamais réalisée <math>\;\big(</math>sauf bien sûr si la nécessité s'en fait sentir<math>\big)</math>. === Application à l’« exemple de l’oscilloscope cathodique » === [[File:Déflexion électronique dans un tube cathodique - bis.png|thumb|400px|Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un tube cathodique dans le cadre de la dynamique relativiste]] {{Al|5}}La différence fondamentale par rapport au traitement du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_électrostatique_uniforme#Exemple_de_l’oscilloscope_cathodique,_détermination_de_la_déflexion_électrique|exemple de l'oscilloscope cathodique, détermination de la déflexion électrique]] » plus haut dans ce chapitre est que l'électron <math>\;M \left( m_e \right)\;</math> injecté dans l'espace champ électrostatique créé entre les plaques parallèles de déviation d'un oscilloscope cathodique l'étant avec une vitesse initiale de norme <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert \gtrsim \dfrac{c}{10}</math>, le traitement doit être fait dans le cadre de la dynamique relativiste c.-à-d. en introduisant, à la place de la vitesse initiale d'injection de l'électron, sa quantité de mouvement initiale d'injection <math>\;\vec{p}_0 =</math> <math>\gamma_0\;m_e\;\vec{V}_0\;</math> avec <math>\;\gamma_0 = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_0 \right]^{2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> initial <math>\;\big[</math>voir schéma ci-contre<math>\big]</math> : {{Al|5}}L'application à l'électron <math>\;M \left( m_e \right)</math>, de charge <math>\;q_e = -e\;</math><ref name="e" />, de la r.f.d.r<ref name="r.f.d.r."> Relation Fondamentale de la Dynamique Relativiste.</ref>. dans le référentiel supposé galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié à la source du champ électrostatique existant entre les plaques de déviation de l'oscilloscope cathodique, le vecteur champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> y étant uniforme, nous conduit, sachant que l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique «<math>\;\vec{F}_{\text{élec}} = q_e\;\vec{E}\;</math>» <math>\;\big[</math>l'influence éventuelle du poids de l'électron dans le cas où l'expérience se passe sur Terre étant négligeable, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Comparaison_de_la_force_électrique_exercée_sur_un_proton_dans_un_champ_électrique_de_norme_modérée_au_poids_du_proton_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre|comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, à <center>«<math>\;q_e\;\vec{E} = \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{p}_{\!M}(t)\;</math> est la quantité de mouvement de l'électron à l'instant <math>\;t\;</math>» ;</center> [[File:Déflexion électrique relativiste d'un électron - diagramme horaire de vitesse perpendiculaire au champ.png|thumb|400px|Diagramme horaire de vitesse d'un électron selon Ox après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox]] [[File:Déflexion électrique relativiste d'un électron - diagramme horaire de vitesse parallèle au champ.png|thumb|400px|Diagramme horaire de vitesse d'un électron selon Oy après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox]] {{Al|5}}<u>loi(s) horaire(s) de quantité de mouvement de l'électron</u> : intégrant cette équation avec l'utilisation de la « C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\vec{p}_{\!M}(0) = \vec{p}_0\;</math>», nous obtenons la loi horaire vectorielle de la quantité de mouvement de l'électron «<math>\;\vec{p}_{\!M}(t) = q_e\;\vec{E}\;t + \vec{p}_0\;</math>» ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma ci-dessus, les trois lois horaires scalaires de quantité de mouvement de l'électron «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} p_{x,\,M}(t) = p_0\\ p_{y,\,M}(t) = q_e\;E_y\;t\\ p_{z,\,M}(t) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou, avec <math>\;E_y = -\dfrac{U}{d}\;</math><ref name="lien entre champ électrostatique, tension et distance séparant les armatures d'un condensateur"> En effet, si «<math>\;U\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;E_y\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>le champ électrique étant dans le sens des potentiels <math>\;\searrow\big)\;</math> voir la justification de la relation dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_de_charge_q_dans_un_champ_électrique_uniforme|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme]] (parallèlement …) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <math>\;q_e = -e\;</math><ref name="e" />, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} p_{x,\,M}(t) = p_0\\ p_{y,\,M}(t) = \dfrac{e\;U}{d}\;t\\ p_{z,\,M}(t) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}<u>expression instantanée de l'énergie totale de l'électron</u> : l'énergie totale de l'électron à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{E}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. la somme de son énergie cinétique «<math>\;K_M(t)\;</math>» et de son énergie de masse «<math>\;E^{\,0} =</math> <math>m_e\;c^2\;</math>»<math>\big]\;</math><ref name="énergie totale"> L'énergie totale définie en cinétique relativiste ne prend en compte aucune énergie potentielle, pour une prise en compte de cette dernière en dynamique relativiste nous définissons une autre énergie qui pourrait être appelée « énergie mécanique totale » égale à la somme de l'énergie totale et de l'énergie potentielle <math>\;\ldots</math></ref> étant liée à sa quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> selon «<math>\;\mathcal{E}_M(t) = K_M(t) + E^{\,0} = \sqrt{\vec{p}_{\!M}^2(t)\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math>»<ref name="lien relativiste entre énergie cinétique et quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique (précédemment introduite) du point]] (en cinétique relativiste) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », l'énergie totale s'obtenant en ajoutant l'énergie de masse à l'énergie cinétique.</ref>, nous obtenons ici «<math>\;\mathcal{E}_M(t) = \sqrt{\left( q_e\;\vec{E}\;t + \vec{p}_0 \right)^{\!2}\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math>» soit, en développant et en tenant compte que <math>\;\vec{p}_0\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{E}</math>, «<math>\;\mathcal{E}_M(t) = \sqrt{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2\;t^2 + \vec{p}_0^{\,2}\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math>» ou, en introduisant l'« énergie totale initiale de l'électron <math>\;\mathcal{E}_0 = \sqrt{\vec{p}_0^{\,2}\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math>», «<math>\;\mathcal{E}_M(t) =</math> <math>\sqrt{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}\;</math>» soit enfin, avec <math>\;E_y = -\dfrac{U}{d}\;</math><ref name="lien entre champ électrostatique, tension et distance séparant les armatures d'un condensateur" /> et <math>\;q_e = -e\;</math><ref name="e" />, «<math>\;\mathcal{E}_M(t)</math> <math>= \sqrt{e^2\;\dfrac{U^2}{d^2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}\;</math>»<ref name="variation de l'énergie cinétique relativiste"> L'énergie cinétique de l'électron à l'instant <math>\;t\;</math> vaut donc «<math>\;K_M(t) = \mathcal{E}_M(t) - E^{\,0} =</math> <math>\sqrt{e^2\;\dfrac{U^2}{d^2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}} - E^{\,0}\;</math>» et varie entre la position initiale et celle à l'instant <math>\;t\;</math> selon «<math>\;K_M(t) - K_M(0) =</math> <math>\Delta K_M = W_{M_t \,\leftarrow\, M_0}\!\left[ q_e\;\vec{E} \right] = q_e\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{M_0M_t} = q_e\;E_y\;y(t) = e\;\dfrac{U}{d}\;y(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] (dynamique relativiste) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le calcul du travail d'une force étant le même en dynamique newtonienne ou relativiste<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}compte tenu du lien entre énergie totale et énergie cinétique, la variation d'énergie cinétique est aussi la variation d'énergie totale <math>\;\Delta K_M = \Delta \mathcal{E}_M\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{E}_M(t) - \mathcal{E}_{0,\,M} = \Delta \mathcal{E}_M = e\;\dfrac{U}{d}\;y(t)\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}<u>loi(s) horaire(s) de vitesse de l'électron</u> : le vecteur vitesse de l'électron <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant lié à son vecteur quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_{\!M}(t)\;</math> et à son énergie totale <math>\;\mathcal{E}_M(t)\;</math> par «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{\vec{p}_{\!M}(t)\;c^2}{\mathcal{E}_M(t)}\;</math>»<ref name="lien entre vitesse, quantité de mouvement et énergie totale"> En cinétique relativiste de la particule <math>\;M \left( m \right)\;</math> a été introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et de cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » le lien entre énergie cinétique <math>\;K_M</math>, énergie de masse <math>\;E^{\,0} = m\;c^2\;</math> et vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}\;</math> par le facteur de Lorentz <math>\;\gamma_M =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}}{c^2}}}</math>, «<math>\;K_M =</math> <math>(\gamma_M - 1)\;E^{\,0}\;</math>» soit une 1^ère expression de l'énergie totale <math>\;\mathcal{E}_M = K_M + E^{\,0}</math>, «<math>\;\mathcal{E}_M = \gamma_M\;E^{\,0}\;</math>» avec pour « facteur de Lorentz <math>\;\gamma_M = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}}}\;</math>» <math>\;\bigg(\!\vec{\beta}_{\!M} = \dfrac{\vec{V}_{\!M}}{c}\;</math> étant le vecteur vitesse relative<math>\bigg)</math>, <br>{{Al|3}}de plus a été introduit dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » le lien entre vecteur quantité de mouvement <math>\;\vec{p}_{\!M}</math>, masse <math>\;m\;</math> et vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}</math>, «<math>\;\vec{p}_{\!M} = \gamma_M\;m\;\vec{V}_{\!M}\;</math>», <math>\;\gamma_M\;</math> étant le facteur de Lorentz, ou, en introduisant le vecteur vitesse relative <math>\;\beta_{\!M} = \dfrac{V_{\!M}}{c}</math>, on en déduit «<math>\;\vec{p}_{\!M}\;c = \gamma_M\;m\;c^2\;\vec{\beta}_{\!M} = \gamma_M\;E^{\,0}\;\vec{\beta}_{\!M}\;</math>» avec «<math>\;\gamma_M = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}}}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}des deux expressions explicitant <math>\;\mathcal{E}_M\;</math> et <math>\;\vec{p}_{\!M}\;c\;</math> en fonction des grandeurs d'inertie et cinématique nous en déduisons le vecteur vitesse réduite <math>\;\vec{\beta}_{\!M}\;</math> par le rapport «<math>\;\dfrac{\vec{p}_{\!M}\;c}{\mathcal{E}_M} = \vec{\beta}_{\!M}\;</math>» d'où l'expression du vecteur vitesse citée dans le corps du texte.</ref> nous en déduisons ici la loi horaire vectorielle de vitesse de l'électron «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) =</math> <math>\dfrac{q_e\;\vec{E}\;c^2\;t + \vec{p}_0\;c^2}{\sqrt{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}}\;</math>» ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma de début de paragraphe, les trois lois horaires scalaires de vitesse de l'électron «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,M}(t) = \dfrac{p_0\;c^2}{\sqrt{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}}\\ V_{y,\,M}(t) = \dfrac{q_e\;E_y\;c^2\;t}{\sqrt{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}}\\ V_{z,\,M}(t) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} V_{x,\,M}(t) = \dfrac{p_0\;c^2}{\sqrt{e^2\;\dfrac{U^2}{d^2}\;c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}}\\ V_{y,\,M}(t) = \dfrac{e\;U\;c^2\;t}{d\;\sqrt{e^2\;\dfrac{U^2}{d^2}\;c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}}\\ V_{z,\,M}(t) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec <math>\;E_y = -\dfrac{U}{d}\;</math><ref name="lien entre champ électrostatique, tension et distance séparant les armatures d'un condensateur" /> et <math>\;q_e = -e\;</math><ref name="e" /> soit, en mettant l'énergie totale initiale <math>\;\mathcal{E}_0\;</math> en facteur dans le dénominateur des deux 1^ères composantes pour faire apparaître des fractions sans dimension ou homogène à une vitesse, «<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{l l r} V_{x,\,M}(t) &=& \dfrac{p_0\;c}{\mathcal{E}_0}\;\dfrac{c}{\sqrt{1 + \left( \dfrac{e\;U}{\mathcal{E}_0}\;\dfrac{c\;t}{d} \right)^{\!\!2}}}\\ V_{y,\,M}(t) &=& \dfrac{e\;U}{\mathcal{E}_0}\;\dfrac{c\;t}{d}\;\dfrac{c}{\sqrt{1 + \left( \dfrac{e\;U}{\mathcal{E}_0}\;\dfrac{c\;t}{d} \right)^{\!\!2}}}\\ V_{z,\,M}(t) &=& 0\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}ci-dessus à droite les diagrammes horaires de vitesse de l'électron selon <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}</math>, l'électron pénétrant en <math>\;O\;</math> dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{Oy}</math> <math>\;\big[</math>sa norme valant <math>\;1\;MV \cdot m^{-1}\big]\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel qu'il soit relativiste <math>\;\bigg[</math>sa norme étant égale à <math>\;\dfrac{c}{2} \simeq 1,5\;10^8\;m \cdot s^{-1}\bigg]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessus à droite }}on constate que <math>\;V_{y,\,M}</math>, la composante de vitesse de l'électron parallèlement au champ électrique <math>\;\vec{E}</math>, <math>\;\nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> en s'approchant asymptotiquement de la vitesse limite <math>\;c</math> <math>\;\big[</math>après <math>\;5\;ns\;</math> la composante vaut <math>\;\simeq 2,8\;10^8\;m \cdot s^{-1}\;</math> donc <math>\;\lesssim c\;</math> mais à moins de <math>\;10\;\%\;</math> près<math>\big]</math>, avec pour conséquence <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessus à droite on constate }}que <math>\;V_{x,\,M}</math>, la composante de vitesse de l'électron parallèlement à sa vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math>, <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\dfrac{c}{2}\;</math> en s'approchant asymptotiquement de <math>\;0</math> <math>\;\big[</math>après <math>\;5\;ns\;</math> la composante vaut <math>\;\simeq 5,5\;10^7\;m \cdot s^{-1}\;</math> donc a déjà été divisée par <math>\;\simeq 3</math>, la <math>\;\searrow\;</math> s'accélérant par la suite<math>\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessus à droite on constate}}<math>\Big\{</math>la raison étant que <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M} \Vert = \sqrt{V_{x,\,M}^{\,2} + V_{y,\,M}^{\,2}}\;</math> ne pouvant dépasser <math>\;c\;</math> alors que la dynamique de l'électron fait <math>\;\nearrow V_{y,\,M}\;</math> jusqu'à <math>\;c</math>, <math>\;V_{x,\,M}\;</math> doit <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math><ref> D'autre part, d'après la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_électrostatique_uniforme#cite_note-variation_de_l'énergie_cinétique_relativiste-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre, l'énergie cinétique de l'électron étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> du temps, il en est de même de la norme de sa vitesse <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert\;</math> et par suite de son facteur de Lorentz <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert^{2}}{c^2}}}</math>, la composante de sa quantité de mouvement selon <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> c.-à-d. «<math>\;p_{x,\,M}(t)\;</math> restant constante égale à <math>\;p_0\;</math>» et son lien avec sa vitesse étant «<math>\;p_{x,\,M}(t)</math> <math>= \gamma_M(t)\;m\;V_{x,\,M}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la constance de <math>\;p_{x,\,M}(t)\;</math> simultanément à la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\gamma_M(t)\;</math> vers <math>\;\infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;V_{x,\,M}(t)\;</math> vers <math>\;0</math>.</ref><math>\Big\}</math> ; [[File:Déflexion électrique relativiste d'un électron - diagramme horaire de position perpendiculairement au champ.png|thumb|380px|Diagramme horaire de position d'un électron selon Ox après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox]] [[File:Déflexion électrique relativiste d'un électron - diagramme horaire de position parallèlement au champ.png|thumb|380px|Diagramme horaire de position d'un électron selon Oy après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox]] {{Al|5}}<u>loi(s) horaire(s) de position de l'électron</u> : le vecteur position de l'électron <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> étant lié à son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> par «<math>\;\dot{\overrightarrow{OM}}(t) =</math> <math>\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>», on obtiendra le 1^er en intégrant l'expression du 2^nd «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{q_e\;\vec{E}\;c^2\;t}{\sqrt{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}} + \dfrac{\vec{p}_0\;c^2}{\sqrt{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2\;t^2 + \mathcal{E}_0^{\,2}}}\;</math>» par rapport à <math>\;t\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} «<math>\;\dot{\overrightarrow{OM}}(t) = \dfrac{q_e\;\vec{E}\;c^2}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c}\;\dfrac{t}{\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}}} + \dfrac{\vec{p}_0\;c^2}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c}\;\dfrac{1}{\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|loi(s) horaire(s) de position de l'électron : }}le 1^er terme du 2^ème membre ayant pour primitive «<math>\;\dfrac{q_e\;\vec{E}\;c^2}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c}\;\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} + \overrightarrow{cste} =</math> <math>c\;\vec{u}_y\;\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} + \overrightarrow{cste}\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\dfrac{x\;dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{d \! \left( x^2 + a^2 \right)}{2\;\sqrt{x^2 + a^2}}\;</math> est la différentielle de <math>\;\sqrt{x^2 + a^2}\;</math>» car <math>\;\dfrac{d \left( \sqrt{u} \right)}{du} = \dfrac{d \left( u^{\frac{1}{2}} \right)}{du} = \dfrac{1}{2}\;u^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\;\sqrt{u}}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|loi(s) horaire(s) de position de l'électron : }}le 2^nd terme du 2^ème membre {{Transparent|ayant}} pour primitive «<math>\;\dfrac{\vec{p}_0\;c^2}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{t}{\dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert\;c}} \right) + \overrightarrow{cste'}</math> <math>= \dfrac{\vec{p}_0\;c}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert\;c\;t}{\mathcal{E}_0} \right) + \overrightarrow{cste'}\;</math>»<ref name="sinus hyperbolique inverse"> En effet «<math>\;\dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{d\! \left( \dfrac{x}{a} \right)}{\sqrt{\left( \dfrac{x}{a} \right)^{\!2} + 1}}\;</math> est la différentielle de <math>\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{x}{a} \right)\;</math>» voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Fonction_argument_sinus_hyperbolique|fonction argument sinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|loi(s) horaire(s) de position de l'électron : }}en tenant compte de la position initiale de l'électron choisie pour origine du repérage <math>\;M(0) = O</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) =</math>}} <math>\left[ c\;\vec{u}_y\;\sqrt{{t'}^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} \right]_0^t + \left[ \dfrac{\vec{p}_0\;c}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert\;c\;t'}{\mathcal{E}_0} \right) \right]_0^t</math>» soit la loi horaire vectorielle de position de l'électron {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) =</math>}} <math>\left[ c\;\vec{u}_y\;\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} - \dfrac{\mathcal{E}_0\;\vec{u}_y}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right] + \dfrac{\vec{p}_0\;c}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert\;c\;t}{\mathcal{E}_0} \right)\;</math>» ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma de début de paragraphe, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_M(t) = \dfrac{p_0\;c}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert\;c\;t}{\mathcal{E}_0} \right)\\ y_M(t) = c\;\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} - \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\\ z_M(t) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» c.-à-d. les trois lois horaires scalaires de position de l'électron ou, avec <math>\;E_y = -\dfrac{U}{d}\;</math><ref name="lien entre champ électrostatique, tension et distance séparant les armatures d'un condensateur" /> et <math>\;q_e = -e\;</math><ref name="e" />, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l r} x_M(t) &=& d\; \dfrac{p_0\;c}{e\;U}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{e\;U}{\mathcal{E}_0}\;\dfrac{c\;t}{d} \right)\\ y_M(t) &=& \sqrt{c^2\;t^2 + d^2\;\dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{e^2\;U^2}} - d\;\dfrac{\mathcal{E}_0}{e\;U}\\ z_M(t) &=& 0\qquad\qquad\qquad \end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}ci-dessus à droite les diagrammes horaires de position de l'électron selon <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}</math>, l'électron pénétrant en <math>\;O\;</math> dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{Oy}</math> <math>\;\big[</math>sa norme valant <math>\;1\;MV \cdot m^{-1}\big]\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel qu'il soit relativiste <math>\;\Bigg[</math>sa norme étant égale à <math>\;\dfrac{c}{2} \simeq 1,5\;10^8\;m \cdot s^{-1}\;</math> <math>\Rightarrow</math> un facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_0 = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\!\!2}}} =</math> <math>\dfrac{2}{\sqrt{3}} \simeq 1,155\Bigg]\;</math> correspondant à une « énergie totale initiale <math>\;\mathcal{E}_0 = \gamma_0\;E^{\,0}\;</math>»<ref name="énergie totale et facteur de Lorentz"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et de cinématique du point]] (en cinétique relativiste) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\, E^{\,0}\;</math> ainsi que la définition de l'énergie totale <math>\;\mathcal{E}_M(t) = K_M(t) + E^{\,0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_M(t) = \gamma_M(t)\;E^{\,0}</math>.</ref> avec <math>\;E^{\,0} = m_e\;c^2\;</math> l'énergie de masse de l'électron <math>\;\big[E^{\,0} \simeq 0,511\;MeV\;</math> d'où <math>\;\mathcal{E}_0 \simeq 1,155 \times 0,511 \simeq 0,590\;MeV\big]</math> et une « norme de quantité de mouvement initiale <math>\;p_0 = \gamma_0\;m_e\;V_0\;</math>»<ref name="quantité de mouvement et facteur de Lorentz"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;p_0 = \gamma_0\;\dfrac{E^{\,0}}{c}\;\dfrac{V_0}{c}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>soit numériquement <math>\;p_0 \simeq 1,155 \times 0,511 \times \dfrac{1}{2}\;</math> en <math>\;MeV \cdot c^{-1}\;</math> ou <math>\;p_0 \simeq 0,295\;MeV \cdot c^{-1}\bigg]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessus à droite }}on constate que <math>\;y_M(t)</math>, la coordonnée de l'électron parallèlement au champ électrique <math>\;\vec{E}</math>, <math>\;\nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> selon une branche hyperbolique <math>\;\big[</math>après <math>\;5\;ns\;</math> la variation temporelle de <math>\;y_M(t)\;</math> est quasiment linéaire, ceci correspondant à la confusion de la branche hyperbolique avec son asymptote quand <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math><ref name="branche hyperbolique"> Le diagramme horaire de position selon <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> est effectivement une branche d'hyperbole car l'équation explicite <math>\;y_M(t) = c\;\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} - \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;</math> peut être réécrite sous forme implicite <math>\;\left( y_M + \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2} - c^2\;t^2 = \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}}\;</math> ou «<math>\;\dfrac{\left( y_M + \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2}}{\left( \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2}} - \dfrac{t^2}{\left( \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c} \right)^{\!\!2}} = 1\;</math>» équation implicite d'une hyperbole de centre <math>\;\left( y_C = -\dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\,\, t_C = 0 \right)\;</math> dont les axes sont <math>\;\parallel\;</math> aux axes du diagramme et dont les demi-axes focal et non focal valent respectivement <math>\;\dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}si <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, l'équation implicite «<math>\;\dfrac{\left( y_M + \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2}}{\left( \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2}} = 1 + \dfrac{t^2}{\left( \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c} \right)^{\!\!2}}\;</math>» devient équivalente à «<math>\;\dfrac{\left( y_M + \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2}}{\left( \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2}} \simeq \dfrac{t^2}{\left( \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert\;c} \right)^{\!\!2}}\;</math>» ou «<math>\;\left( y_M + \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \right)^{\!\!2} \simeq c^2\;t^2\;</math>» dont on déduit l'équation de l'asymptote qui se confond avec la branche hyperbolique «<math>\;y_{\text{asympt}} = c\;t - \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}numériquement avec <math>\;\mathcal{E}_0 \simeq 0,590\;MeV\;</math> et <math>\;\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert = 1\;MeV \cdot m^{-1}</math>, l'équation de l'asymptote se réécrit <math>\;y_{\text{asympt. en }m} = 3\;10^8\;t_{\text{en }s} - 0,59\;</math> ou «<math>\;y_{\text{asympt. en }m} = 0,3\;t_{\text{en }ns} - 0,59\;</math>» d'où, à l'instant <math>\;t = 5\;ns</math>, «<math>\;y_{\text{asympt}} \simeq 0,91\;m\;</math>» alors que <math>\;y_M(t) = \sqrt{c^2\;t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}}} - \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> à l'instant <math>\;t = 5\;ns</math>, «<math>\;y_{M,\,\text{en }m} = \sqrt{ \left( 0,3 \times 5 \right)^{2} + \left( 0,590 \right)^{2}} - 0,590 \simeq 1,02\;m\;</math>» se confondant avec «<math>\;y_{\text{asympt}} \simeq 0,91\;m\;</math>» à <math>\;10\;\%\;</math> près.</ref><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessus à droite on constate }}que <math>\;x_M(t)</math>, la coordonnée de l'électron perpendiculairement au champ électrique <math>\;\vec{E}</math>, <math>\;\nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> selon un sinus hyperbolique inverse <math>\;\Bigg[</math>à l'instant <math>\;t = 5\;ns</math>, «<math>\;x_M(t) =</math> <math>\dfrac{p_0\;c}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert \times 0,3\;t_{\text{en }ns}}{\mathcal{E}_0} \right)\;</math>» donne «<math>\;x_{M,\,\text{en }m} \simeq \dfrac{0,295}{1,0}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{1,0 \times 0,3 \times 5}{0,590} \right) \simeq 0,49\;m\Bigg]</math> ; [[File:Déflexion électrique relativiste d'un électron - trajectoire dans l'espace champ.png|thumb|400px|Trajectoire d'un électron après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox]] {{Al|5}}<u>trajectoire de l'électron</u> : le mouvement de l'électron étant plan, dans le plan <math>\;\perp\;</math> aux plaques de déviation contenant le vecteur quantité de mouvement initial <math>\;\vec{p}_0\;</math> c.-à-d. le plan <math>\;z = 0</math>, les deux équations paramétriques de sa trajectoire dans le plan <math>\;xOy\;</math> étant aussi les deux lois horaires scalaires de position «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_M(t) = \dfrac{p_0\;c}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\;\mathrm{argsinh}\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert\;c\;t}{\mathcal{E}_0} \right)\\ y_M(t) = c\;\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} - \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\end{array}\right\rbrace\;</math>» nous obtenons son équation cartésienne dans ce plan en éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> entre les deux équations paramétriques selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} t = \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\; \Vert \vec{E} \Vert\;c}\;\sinh\!\left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;x_M \right)\\ y_M(t) = c\;\sqrt{t^2 + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} - \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où, par report de «<math>\;t = t(x_M)\;</math>» dans «<math>\;y_M = y_M(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y_M = c\;\sqrt{\dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}\;\sinh^2\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;x_M \right) + \dfrac{\mathcal{E}_0^{\,2}}{q_e^2\;{\vec{E}}^{\,2}\,c^2}} - \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} =</math> <math>\dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \left[ \sqrt{\sinh^2\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;x_M \right) + 1} - 1 \right]\;</math>» soit finalement «<math>\;y_M = \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \left[ \cosh\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;x_M \right) - 1 \right]\;</math> <ref name="lien fondamentale entre cosinus et sinus hyperboliques"> Voir la relation fondamentale entre cosinus et sinus hyperboliques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Liens_entre_cosinus_hyperbolique_et_sinus_hyperbolique|liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » «<math>\;\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sqrt{\sinh^2(x) + 1} = \cosh(x)</math>, ce dernier étant <math>\;\geqslant 1\;</math>».</ref> » ; <br>{{Al|5}}ci-dessus à droite la trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques de déviation, l'électron pénétrant en <math>\;O\;</math> dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{Oy}</math> <math>\;\big[</math>sa norme valant <math>\;1\;MV \cdot m^{-1}\big]\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel qu'il soit relativiste <math>\;\Bigg[</math>sa norme étant égale à <math>\;\dfrac{c}{2} \simeq 1,5\;10^8\;m \cdot s^{-1}\;</math> <math>\Rightarrow</math> un facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_0 =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\!\!2}}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \simeq 1,155\Bigg]\;</math> correspondant à une « énergie totale initiale <math>\;\mathcal{E}_0 = \gamma_0\;E^{\,0}\;</math>»<ref name="énergie totale et facteur de Lorentz" /> avec <math>\;E^{\,0} = m_e\;c^2\;</math> l'énergie de masse de l'électron <math>\;\big[E^{\,0} \simeq 0,511\;MeV\;</math> d'où <math>\;\mathcal{E}_0 \simeq 0,590\;MeV\big]</math> et une « norme de quantité de mouvement initiale <math>\;p_0 = \gamma_0\;m_e\;V_0\;</math>»<ref name="quantité de mouvement et facteur de Lorentz" /> <math>\;\bigg[</math>soit numériquement <math>\;p_0 = \gamma_0\;\dfrac{E^{\,0}}{c}\;\dfrac{V_0}{c} \simeq 0,295\;MeV \cdot c^{-1}\bigg]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-dessus à droite }}on constate que la trajectoire de l'électron relativiste dans l'interface entre les plaques de déviation est une « <u>[[w:Chaînette#Définition_mathématique|chaînette]]</u> » <math>\;\big(</math>alors que celle d'un électron classique dans la même situation est une parabole<math>\big)</math> <math>\;\bigg[</math>si les plaques de déviation sont longues de <math>\;\mathit{l} = 48\;cm</math>, distantes de <math>\;d = 2\;m\;</math> et soumises à une tension <math>\;U = 2\;MV</math>, l'électron sort de l'interface en <math>\;S\;</math> en frôlant la plaque supérieure, ses coordonnées sont <math>\;\left( x_S = \mathit{l} = 48\;cm\,,\, y_S \simeq 97\;cm < \dfrac{d}{2} = 1\;m \right)\;</math><ref name="valeur numérique de yS"> En effet <math>\;y_S = \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert} \left[ \cosh\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;\mathit{l} \right) - 1 \right] \simeq \dfrac{0,590}{1,0} \times \left[ \cosh\! \left( \dfrac{1,0}{0,295} \times 0,48 \right) - 1 \right] \simeq 0,969\;m</math>.</ref>, au début de la trajectoire <math>\;\big(</math>jusqu'à l'abscisse <math>\;39\;cm\big)\;</math> l'électron est un peu plus proche de l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> que le traitement en dynamique classique dans les mêmes conditions ne l'aurait positionné alors qu'en fin de trajectoire <math>\;\big(</math>à partir de l'abscisse <math>\;39\;cm\big)\;</math> il en est plus éloigné et d'autant plus qu'il se rapproche de <math>\;S\bigg]</math> ; {{Al|5}}<u>angle de déflexion électrique à la sortie de l'interface entre les plaques de déviation</u> <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\vec{V}_S \right)}</math> : l'angle de déflexion du mouvement de l'électron se détermine par «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{dy}{dx}(x_S = \mathit{l})\;</math>» avec <math>\;\dfrac{dy}{dx}(x) = \dfrac{\mathcal{E}_0}{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}\; \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;\sinh\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;x\right) = \dfrac{\mathcal{E}_0}{p_0\;c}\;\sinh\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;x\right)\;</math> d'où «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\mathcal{E}_0}{p_0\;c}\;\sinh\! \left( \dfrac{\vert q_e \vert\;\Vert \vec{E} \Vert}{p_0\;c}\;\mathit{l}\right)\;</math>» ou, avec <math>\;\Vert \vec{E} \Vert = \dfrac{U}{d}\;</math><ref name="lien entre champ électrostatique, tension et distance séparant les armatures d'un condensateur" /> et <math>\;\vert q_e \vert = e\;</math><ref name="e" />, le lien entre la pente de l'angle de déflexion électrique à la sortie de l'interface entre les plaques de déviation et la tension imposée aux bornes de ces dernières «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\mathcal{E}_0}{p_0\;c}\;\sinh\! \left( \dfrac{e\;U}{p_0\;c\;d}\;\mathit{l}\right)\;</math> non <math>\;\propto\;</math> à <math>\;U</math> <math>\;\big(</math>contrairement au résultat pour des électrons non relativistes<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_électrostatique_uniforme#Exemple_de_l’oscilloscope_cathodique,_détermination_de_la_déflexion_électrique|exemple de l'oscilloscope cathodique, détermination de la déflexion électrique]] (à la sortie de l'espace champ) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>numériquement «<math>\;\tan(\alpha) \simeq \dfrac{0,590}{0,295} \times \sinh\! \left( \dfrac{U_{\text{en }MV}}{0,295 \times 2,0} \times 0,48 \right) \simeq 2,0 \times \sinh\! \left( 0,814 \times U_{\text{en }MV} \right)\;</math>» soit, pour <math>\;\tan\! \left[ \alpha_{\,(U_2 = 2\;MV)} \right] \simeq 4,90\;</math> alors que <math>\;\tan\! \left[ \alpha_{\,(U_1 = 1\;MV)} \right] \simeq 1,81\;</math> d'où «<math>\;U_2 = 2\;U_1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\! \left[ \alpha_{\,(U_2)} \right] \simeq 2,7\;\tan\! \left[ \alpha_{\,(U_1)} \right]\;</math>», cette absence de linéarité entre angle de déflexion et tension rend l'utilisation de l'oscilloscope cathodique dans le domaine relativiste inopérante <math>\;\big(</math>à ajouter au fait que le canon à électrons susceptible de créer le faisceau d'électrons avant pénétration dans l'interface entre les plaques de déviation devrait être très long pour que les électrons soient relativistes<math>\big)\bigg\}</math>. == Rappel de la conservation de l’énergie mécanique relativiste et application à l’exemple du canon à électrons == === Généralisation de la notion de mouvement conservatif d'un point matériel en dynamique relativiste === {{Al|5}}Cette notion de mouvement conservatif d'un point matériel introduite en dynamique newtonienne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Définition_d'un_mouvement_conservatif|définition d'un mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> reste applicable en dynamique relativiste<ref> La raison étant que la définition du travail d'une force est inchangée.</ref>, ce qui s'énonce ainsi : {{Al|5}}« Dans le cadre de la dynamique relativiste, un point matériel <math>\;M\;</math> a un <u>mouvement conservatif</u><ref name="mouvement conservatif"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|point matériel à mouvement conservatif]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'il <u>n'est soumis qu'à des forces conservatives</u> ou si <u>les éventuelles forces non conservatives<ref name="force non conservative"> Ou conservatives dont on n'introduit pas l'énergie potentielle dont chacune dérive.</ref> ne travaillent pas</u><ref> Il faut préciser le référentiel d'étude car le travail des forces, donc des éventuelles forces non conservatives, en dépend.</ref> ». === Généralisation de la conservation de l’énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif en dynamique relativiste === {{Al|5}}Cette propriété de conservation de l’énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif introduite en dynamique newtonienne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Intégrale_1ère_«_énergétique_»_d'un_point_matériel_à_mouvement_conservatif|intégrale 1^ère énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> reste applicable en dynamique relativiste<ref> La raison étant que le théorème de la variation de l'énergie mécanique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces(s) conservative(s)]] (de la dynamique newtonienne) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> reste applicable en dynamique relativiste <math>\;\big\{</math>le théorème de l'énergie cinétique dont il découle restant inchangé, le théorème de la puissance cinétique étant encore applicable <math>\;\big[</math>la définition de la puissance de force est en effet la même et le théorème de la puissance cinétique s'établit en multipliant scalairement par <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> les deux membres de la forme de la r.f.d. valable dans le cadre commun de la dynamique newtonienne et relativiste <math>\;\big(</math>voir ci-dessous<math>\big)\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}<u>Démonstration du théorème de la puissance cinétique en relativiste</u> : La forme de la r.f.d. restant applicable en dynamique relativiste étant « dans un référentiel galiléen <math>\;\sum\limits_k \vec{F}_k = \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{F}_k\;</math> les forces appliquées au point matériel <math>\;M\;</math> dont <math>\;\vec{p}_{\!M}(t)\;</math> est sa quantité de mouvement relativiste, on multiplie scalairement les deux membres par le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> du point considéré soit, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, «<math>\;\sum\limits_k \left[ \vec{F}_k \cdot \vec{V}_{\!M}(t) \right] = \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) \cdot \vec{V}_{\!M}(t)\;</math>», le 1^er membre étant la somme des puissances instantanées développées par les forces appliquées constituant le 1^er membre du théorème de la puissance cinétique, il reste, pour établir la validité de ce théorème en dynamique relativiste, à vérifier que le 2^nd membre est égal à la puissance cinétique du point en cinétique relativiste ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Démonstration du théorème de la puissance cinétique en relativiste : }}or la quantité de mouvement relativiste d'un point étant liée à sa vitesse et à sa masse par «<math>\;\vec{p}_{\!M}(t) = \gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\gamma_M(t)\;</math> est le facteur de Lorentz égal à <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) \cdot \vec{V}_{\!M}(t) = \left[ \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;m\;\vec{V}_{\!M}(t) + \gamma_M(t)\;m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) \cdot \vec{V}_{\!M}(t)</math>}} <math>= \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;m\;\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t) + \gamma_M(t)\;m\;\dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}^{\,2}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\Bigg[\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t) \cdot \vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant la dérivée temporelle de <math>\;\dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{2}\Bigg]\;</math> soit, en utilisant la notion de « vitesse relative <math>\;\vec{\beta}_{\!M}(t) = \dfrac{\vec{V}_{\!M}(t)}{c}\;</math>» pour simplifier l'exposé <math>\Rightarrow</math> la réécriture du facteur de Lorentz selon «<math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}(t)}}\;</math>», «<math>\;\dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) \cdot \vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;m\;c^2\;\vec{\beta}_{\!M}^{\,2}(t) + \gamma_M(t)\;m\;c^2\;\dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}}{dt}(t)\;</math>» ou, en explicitant <math>\;\vec{\beta}_{\!M}^{\,2}(t)\;</math> en fonction de <math>\;\gamma_M(t)\;</math> par <math>\;\gamma_M^{\,2}(t) = \dfrac{1}{1 - \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}(t)}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}(t) = \dfrac{1}{\gamma_M^{\,2}(t)}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{\beta}_{\!M}^{\,2}(t) = 1 - \dfrac{1}{\gamma_M^{\,2}(t)}\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}}{dt}(t) = \dfrac{2}{\gamma_M^{\,3}(t)}\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\gamma_M(t)\;m\;c^2\;\dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}}{dt}(t) = \dfrac{m\;c^2}{\gamma_M^{\,2}(t)}\;\dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;</math> et par suite «<math>\;\dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) \cdot \vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;m\;c^2 \left[ \vec{\beta}_{\!M}^{\,2}(t) + \dfrac{1}{\gamma_M^{\,2}(t)} \right] = \dfrac{d \gamma_M}{dt}(t)\;m\;c^2\;</math> en utilisant la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» c.-à-d. encore «<math>\;\dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) \cdot \vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» l'énergie cinétique relativiste <math>\;K_M(t)\;</math> étant définie par «<math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\, m\;c^2\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (en cinétique relativiste) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ce qui établit la validité du théorème de la puissance cinétique en relativiste.</ref>, ce qui s'énonce ainsi : {{Théorème|titre = Intégrale 1^ère énergétique d'un point matériel à mouvement relativiste conservatif| contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> et dans le cadre de la dynamique relativiste, « <u>l'énergie mécanique relativiste d'un point matériel</u> <math>\;M \left( m \right)\;</math> <u>à mouvement conservatif</u> <math>\;E_{m,\,M} = K_M + U(M)</math> <math>\big[K_M\;</math> étant l'énergie cinétique relativiste du point et <math>\;U(M)\;</math> son énergie potentielle<math>\big]\;</math> <u>est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » est une <u>propriété nécessitant que le référentiel soit galiléen</u> et si on considère un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>on rappelle que la définition du caractère conservatif du mouvement d'un point matériel ne nécessite pas que le référentiel soit galiléen<math>\big)\;</math> l'énergie mécanique du point ne sera pas conservée <math>\;\big(</math>dans la pratique, il ne viendrait à personne l'idée d'introduire la notion de mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen car cela n'aurait aucun intérêt<math>\big)</math>.</ref>, l'énergie cinétique relativiste du point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> s'explicitant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, selon «<math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\,E^{\,0}\;</math>» avec <math>\;E^{\,0} = m\;c^2\;</math> l'énergie de masse du point et <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{_,2}(t)}{c^2}}}\;</math> son facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant son vecteur vitesse au même instant dans le même référentiel ; <br>{{Al|5}}cela constitue l'intégrale 1^ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif dans le cadre de la dynamique relativiste<ref> C'est donc le même énoncé que dans le cadre de la dynamique newtonienne, la seule différence <math>\;\big(</math>implicite<math>\big)\;</math> étant dans la définition de l'énergie cinétique, celle de l'énergie potentielle dont « dérivent » les forces conservatives étant la même.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : En dynamique relativiste la conservation de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> à mouvement conservatif «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U(M_t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right]\,E^{\,0} + U(M_t)\;</math>» est usuellement avantageusement remplacée par la conservation de l'énergie mécanique totale du point «<math>\;\mathcal{E}_{m,\,M}(t) = E_{m,\,M}(t) + E^{\,0} = K_M(t) + U(M_t) + E^{\,0} = \gamma_M(t)\;E^{\,0} + U(M_t)\;</math>». === Application à l’« exemple du canon à électrons » === [[File:Canon à électrons - bis.png|thumb|400px|Schéma expliquant le fonctionnement d'un canon à électrons dans le cadre de la dynamique relativiste]] {{Al|5}}La différence fondamentale par rapport au traitement du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_électrostatique_uniforme#Exemple_du_canon_à_électrons|exemple du canon à électrons]] (en dynamique newtonienne) » plus haut dans ce chapitre est que l'électron <math>\;M \left( m_e \right)\;</math> éjecté de l'espace champ électrostatique créé dans le canon à électrons l'étant avec une vitesse de norme <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert \gtrsim \dfrac{c}{10}</math>, le traitement doit être fait dans le cadre de la dynamique relativiste c.-à-d. en introduisant, à la place de la vitesse d'éjection de l'électron, sa quantité de mouvement d'éjection <math>\;\vec{p}_0 =</math> <math>\gamma_0\;m_e\;\vec{V}_0\;</math> avec <math>\;\gamma_0 = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_0 \right]^{2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> d'éjection <math>\;\big[</math>voir schéma ci-contre<math>\big]</math> : {{Al|5}}l'énergie cinétique d'éjection des électrons émis par « effet thermoélectronique »<ref name="effet thermoélectronique" /> d'une électrode <math>\;(K)\;</math> dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, étant très faible, peut être considérée comme nulle, les électrons arrachés sont alors accélérés en imposant une d.d.p. <math>\;U_{\text{accél}} > 0\;</math> entre la cathode <math>\;(K)\;</math> et l'anode de sortie <math>\;(A)\;</math> du canon à électrons ; {{Al|5}}la force électrique agissant sur chaque électron <math>\;M \left( m_e \right)\;</math> de charge <math>\;q_e = -e\;</math><ref name="e" /> à l'intérieur du canon <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) = -e\;\vec{E}_{\text{accél}}(M)\;</math> conservative « dérivant » de l'énergie potentielle électrique «<math>\;\mathcal{E}_p(M) =</math> <math>-e\;V(M)\;</math>», avec <math>\;V(P)\;</math> le potentiel électrique de l'espace champ électrique dans l'interface du canon à électrons en la position <math>\;P</math>, la référence de l'énergie potentielle de l'électron<ref name="référence de l'énergie potentielle" /> étant la même que celle du potentiel électrique<ref name="référence du potentiel" />, on peut donc appliquer l'intégrale 1^ère énergétique à l'électron entre <math>\;(K)\;</math> et <math>\;(A)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{E}_m(A) = \mathcal{E}_m(K)\;</math>» soit, avec <math>\;\mathcal{E}_m(K) \simeq E^{\,0} - e\;V_K\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{E}_m(A) = \mathcal{E}_0 - e\;V_A\;</math> avec <math>\;\mathcal{E}_0\;</math> l'énergie totale d'éjection de l'électron, son énergie totale initiale étant son énergie de masse <math>\;E^{\,0} = m_e\;c^2</math>, on en déduit <math>\;\mathcal{E}_0 - E^{\,0} \simeq e \left( V_A - V_K \right)\;</math> soit «<math>\;\mathcal{E}_0 - E^{\,0} \simeq e\;U_{\text{accél}}\;</math>» ou, le lien entre énergie totale <math>\;\mathcal{E}\;</math> et quantité de mouvement <math>\;p = \Vert \vec{p} \Vert\;</math> étant <math>\;\mathcal{E} = \sqrt{p^2\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math><ref name="lien relativiste entre énergie cinétique et quantité de mouvement" />, «<math>\;\sqrt{p_0^2\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}} \simeq E^{\,0} + e\;U_{\text{accél}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_0\;c \simeq \sqrt{\left( E^{\,0} + e\;U_{\text{accél}} \right)^{\!2} - \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;p_0\;c \simeq \sqrt{e\;U_{\text{accél}} \left( 2\;E^{\,0} + e\;U_{\text{accél}} \right)}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<u>A.N.</u> : sachant que <math>\;E^{\,0} = m_e\;c^2 \simeq 0,511\; MeV\;</math> et souhaitant obtenir un faisceau d'électrons éjecté par le canon à électron avec une quantité de mouvement <math>\;p_0 \simeq 0,295\;MeV \cdot c^{-1}</math>, la tension accélératrice <math>\;U_{\text{accél}}\;</math> à imposer entre <math>\;\left( K \right)\;</math> et <math>\left( A \right)\;</math> doit être telle que «<math>\;e\;U_{\text{accél}} \left( 2\;E^{\,0} + e\;U_{\text{accél}} \right) - \left( p_0\;c \right)^2 = 0\;</math>» ou «<math>\;\left( e\;U_{\text{accél}} \right)^{\!2} + 2\;E^{\,0}\, \left( e\;U_{\text{accél}} \right) - \left( p_0\;c \right)^2 = 0\;</math>» équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;e\;U_{\text{accél}}\;</math> de discriminant réduit <math>\;\Delta' = \left( E^{\,0} \right)^2 + \left( p_0\;c \right)^2 \simeq (0,511)^2 + (0,295)^2 \simeq 0,348\;MeV^2 \simeq \left( 0,590\;MeV \right)^2\;</math> d'où, en gardant la solution positive <math>\;\left( e\;U_{\text{accél}} \right) \simeq - 0,511 + 0,590\;</math> en <math>\;MeV\;</math> ou <math>\;\left( e\;U_{\text{accél}} \right) \simeq 0,079\;MeV</math> correspondant à une tension accélératrice de <math>\;U_{\text{accél}} \simeq 79\; kV\;</math> <math>\;\bigg[</math>nous pouvons vérifier que cette quantité de mouvement <math>\;p_0 \simeq 0,295\;MeV \cdot c^{-1}\;</math> correspond effectivement à un électron relativiste en évaluant sa vitesse, l'énergie totale de l'électron valant <math>\;\mathcal{E}_0 = \sqrt{p_0^2\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}} \simeq \sqrt{(0,295)^2 + \left( 0,511 \right)^2} \simeq 0,590\;MeV\;</math> et sa vitesse relative <math>\;\beta_0 = \dfrac{p_0\;c}{\mathcal{E}_0}\;</math><ref name="lien entre vitesse, quantité de mouvement et énergie totale" /> de valeur numérique <math>\;\beta_0 \simeq \dfrac{0,295}{0,590} \simeq 0,5\;</math> soit une vitesse <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert \simeq 0,5\;c \simeq 1,5\;10^8\;m \cdot s^{-1} \gtrsim \dfrac{c}{10}\;</math> justifiant le caractère relativiste<math>\bigg]</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Puissance de la force de Lorentz|Mouv. de part. charg. ds des champs élect. et magnét. : Puissance de la force de Lorentz]] | suivant = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme|Mouv. de part. charg. ds des champs élect. et magnét. : Cas part. d'un champ magnétost. unif.]] }} 9p6wa93k6p2y4aiwfjgvx8q2v1pzit5 104 75848 982970 975157 2026-05-21T17:35:37Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982970 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Nous connaissons tous le '''congélateur'''. L'immense majorité d'entre nous en possède au moins un, permettant de stocker divers aliments. Cet objet est devenu si '''banal''' dans les foyers que nous ne le remarquons même plus, et peu d'entre nous s'interrogent sur l'histoire et sur les évolutions qui ont permis de faire de cet objet une '''norme'''. À travers cette page, nous déterminerons '''la place du congélateur alimentaire dans nos sociétés''' (plus spécifiquement en France), mais nous analyserons aussi tout ce qui lui a permis d'atteindre cette place, en exploitant des considérations historiques, sociales, économiques, techniques ou écologiques. Vous verrez que cette analyse est très '''complexe''', et que le congélateur est aujourd'hui très loin du simple outil de conservation initialement pensé. Nous espérons que vous apprendrez des choses, mais aussi que les éléments que nous exposons susciteront une '''réflexion''' de votre part, vous permettant de vous '''forger votre propre avis''' : Avez-vous un congélateur ? Si oui, l'utilisez-vous souvent ? Qu'y stockez-vous ? Êtes-vous conscient de tous les impacts sociaux et environnementaux que cet objet a sur vos vies ? Vous est-il vraiment indispensable ? <big>Bonne lecture !</big> == La Naissance du Congélateur (→ 1960-1970) == === Un peu d'Histoire : La conservation par le Froid === Quelques dates correspondantes à l'évolution de l'utilisation du froid dans la conservation alimentaire : * '''Préhistoire''' : Utilisation de glace par les hommes préhistoriques dans les parties froides du monde pour conserver leurs aliments.[[File:Ermenonville (60), parc Jean-Jacques Rousseau, glacière 1.jpg|thumb|Glacière fixe du château d'Ermenonville, dans le parc Jean-Jacques-Rousseau<ref name="Glacière">Page Wikipédia "Glacière", consulté le 04/05/20,https://fr.wikipedia.org/wiki/Glacière</ref>]] * '''Antiquité''' : Utilisation de la glace par les Romains pour conserver le poisson pêché dans le Rhin<ref name=":0">Page Quelcongélateur.com, chapitre "Un peu d'Histoire", consulté le 08/05/2020, https://www.quelcongelateur.com/guide/achat-congelateur/article/choisir-son-congelateur/un-peu-d-histoire-175.html</ref>. * '''Antiquité''' jusqu'à '''aujourd'hui''' : Utilisation de “glacières”, bâtiments en sous-sol, alimentés chaque hiver par de gros blocs de glace, dans lesquels on peut stocker et conserver des denrées durant l’été. *'''XVIIe siècle''' jusqu'à la '''fin du XIXe siècle''' : Utilisation de glacières en meuble dans les familles riches, dans lesquelles était entreposées de la glace et des denrées à conserver. [[Fichier:Iceboxes.jpg|thumb|Glacières en meuble<ref name ="Glacière"/>]] * '''1755''' : Découverte par l’anglais William Cullen qu’il est possible de fabriquer de la glace par évaporation de l’eau sous une cloche à vide. * '''1805''' : Description du cycle frigorifique à compression d’éther par Oliver Evans. * '''XIXe siècle''' : Apparition du congélateur dit “moderne”. * '''1824''' : Travaux importants de Sadi Carnot sur les machines frigorifiques qui s’appuient sur le principe de compression d’un fluide frigorigène. * '''1835''' : Premier brevet d’un machine fonctionnant à l’éther déposé par l’Américain Jacob Perkins<ref>Hankins, T. (1985). Bibliographic Essay. In ''Science and the Enlightenment'' (Cambridge Studies in the History of Science, pp. 191-204). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781316036402.008</ref>. * '''1851''' : Brevet de la première machine frigorifique à air (principe de détente de l’air sans évaporation ni liquéfaction) par l’Américain John Gorrie. * '''1858''' : Première machine frigorifique par Charles Tellier qui introduit l’ammoniac comme fluide frigorigène. * '''1859''' : Fabrication du premier congélateur à absorption (à gaz) par Ferdinand Carré<ref name=":0" />. * '''1860''' : Brevet du congélateur à absorption aux États-Unis. * '''1862''' : Exposition d’une machine permettant de créer 200 kg de glace par heure à l’Exposition Universelle de Londres (par Ferdinand Carré)<ref name=":0" />. *'''1876''' : Invention du réfrigérateur à compression utilisant l'ammoniac comme fluide réfrigérant par l'allemand Carl von Linde<ref>Page Wikipédia "Carl von Linde", consultée le 05/05/2020, https://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_von_Linde</ref>. * '''1913''' : Création du premier réfrigérateur électrique domestique aux États-Unis (Chicago). * Début de la '''Seconde Guerre Mondiale''' : Les congélateurs électriques viennent compléter les réfrigérateurs dans les foyers. *'''1969''' : Apparition des réfrigérateurs-congélateurs combinés. * '''1977-1979''' : Développement du marché des réfrigérateurs-congélateurs combinés : multiplication par 2 des achats d'appareils neufs en 2 ans. ===Qu’est ce qu’un Congélateur ? Principe Technique Détaillé=== ==== Notions basiques de Physique<ref>Pierre Rapin, Patrick Jacquard, Serge Sandre. Formulaire du froid.15ème édition, Paris : RPF. Dunod. DL 2014, Chapitre "généralités", p1 à 7</ref>==== ===== Congélateur et Transfert Thermique ===== Lorsque deux corps à températures différentes sont en contact, un '''transfert d’énergie thermique''' a lieu : le corps le plus chaud transfère toujours de la chaleur au corps le plus froid, jusqu'à ce que l'équilibre thermique soit atteint. Le congélateur exploite cette propriété : les aliments entreposés dans l'enceinte sont le corps chaud, qui va céder sa chaleur à un fluide frigorifique plus froid circulant à l'arrière du congélateur. Cela a pour effet d''''abaisser la température des aliments'''. ===== Modes de Transfert Thermique ===== Un corps peut échanger de la chaleur de deux manières différentes : *'''En chaleur sensible''' : Lorsqu'un corps absorbe de la chaleur dite "sensible", sa température va augmenter. A l'inverse, si le corps libère de la chaleur sensible, sa température s'abaisse : c'est le cas des aliments dans le congélateur. Un transfert thermique sous forme de chaleur sensible est traduit par une variation de la température du corps considéré, sans changement de son état physique. La chaleur massique d'un corps représente la quantité de chaleur qu'il faut fournir à 1 kg de ce corps pour que sa température monte de 1°C, sans changer son état physique. <u>Exemple</u> : la chaleur massique de l'eau est de 4185 joules par kg dans les Conditions Normales de Température et Pression (température de 0°C, pression de 1 atm). La quantité de chaleur ''Q_s'' à nécessaire pour faire varier la température d'un corps est proportionnelle à sa masse ''m'', à la variation de température souhaitée ''ΔΘ'', et à sa chaleur massique ''C''. Ainsi : ''Q_s'' = ''C''.''m''.''ΔΘ'' *'''En chaleur latente''' : L'absorption de chaleur latente entraîne un changement de l'état physique du corps, sans variation de sa température, comme pour la glace qui fond à 0°C. Par exemple, la quantité de chaleur ''Q_c'' nécessaire pour congeler un corps de masse ''m'' est proportionnelle à sa chaleur latente de solidification ''L_s''. On a ainsi : ''Q_c'' = ''m''.''L_s'' ====Description interne d'un Congélateur et principe de fonctionnement==== L'immense majorité des congélateurs alimentaires actuels sont des machines frigorifiques dites « à compression mécanique ». Ces machines frigorifiques comportent un fluide frigorigène qui subit différentes transformations et permet un échange thermique entre la chambre du congélateur et l’extérieur. ===== Composition du Congélateur à Compression mécanique<ref>G. Vassogne, "La pratique des machines frigorifiques", 1928, édité par Librairie polytechnique Ch.Beranger (Paris ; Liège). Chapitre VII, VIII et IX. https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/4340</ref> ===== [[Fichier:CycleFrigorifique.png|vignette|214px|Schéma du circuit du fluide frigorigène dans le congélateur<ref>Page Wikipédia "Cycle frigorifique", consultée le 01/05/2020[[w:Cycle_frigorifique|, https://fr.wikipedia.org/wiki/Cycle_frigorifique]]</ref>]] Ce congélateur est constitué de 4 éléments : * '''Évaporateur''' : Il permet un échange thermique entre le fluide frigorigène la chambre du congélateur. Les aliments transmettent leur chaleur à l'air intérieur. Les mouvements de convection de l'air permettent de répartir cette chaleur de manière relativement homogène. Cette chaleur est transmise par conduction à travers la paroi jusqu'au fluide, qui la récupère sous forme de chaleur latente de vaporisation pour passer de l’état liquide à l’état gazeux (ébullition). Ceci a pour effet de refroidir la paroi, et par conduction l'intérieur du congélateur. * '''Compresseur''' : Il permet de comprimer le fluide frigorigène à l’état gazeux (après son passage dans l’évaporateur), en augmentant fortement sa pression. La compression élève la température du fluide frigorigène gazeux au-dessus de la température de la source chaude (intérieur du congélateur). * '''Condenseur''' : Le but du condenseur est de liquéfier le fluide frigorigène qui arrive sous forme gazeuse (à la sortie du compresseur). Pour cela, le fluide cède de la chaleur sensible puis de la chaleur latente à l’air ambiant (cuisine, cave…) et se liquéfie. * '''Détendeur''' : Cet élément permet de séparer la zone basse pression du système de la zone haute pression en diminuant la pression du gaz. Le détendeur doit également gérer et régler la quantité de liquide à faire entrer dans l’évaporateur en fonction de la quantité de fluide sous forme gazeuse que demande le compresseur. ===== Fonctionnement<ref>G. Vassogne, "La pratique des machines frigorifiques", 1928, édité par Librairie polytechnique Ch.Beranger (Paris ; Liège). Chapitre IV. <nowiki>https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/4340</nowiki></ref> ===== [[Fichier:Carnot-cycle-p-V-diagram.svg|vignette|Cycle thermodynamique de la machine frigorifique idéal, soit le cycle de Carnot réversible. AB : Détente isotherme ; BC : Détente adiabatique ; CD : Compression isotherme ; DA : Compression adiabatique<ref>Page Wikipédia "Cycle de Carnot", consultée le 01/05/2020, https://fr.wikipedia.org/wiki/Cycle_de_Carnot</ref>]] La machine frigorifique idéale fonctionne selon un cycle proche du [[Machines thermiques/Cycles thermodynamiques|Cycle de Carnot]] réversible, c’est-à-dire en 4 étapes. Le fluide frigorigène subit d'abord une détente isotherme (à température constante), puis une détente adiabatique (sans perte d'énergie avec l'extérieur), une compression isotherme et enfin une compression adiabatique. Le fluide frigorigène rentre dans l’'''évaporateur''' sous forme liquide, puis passe sous forme gazeuse à la température T₁ en absorbant de la chaleur latente de la chambre du congélateur. C’est ici qu’il y a « production de froid ». Le '''compresseur''' permet ensuite de maintenir le fluide alors gazeux à une pression élevée et de le refouler vers le '''condenseur'''. Grâce à un circuit secondaire d’eau froide, les vapeurs sont condensées : le fluide perd de la chaleur latente (devient liquide) puis de la chaleur sensible (baisse sa température jusqu'à une température T₂). Enfin, le '''détendeur''' permet de rétablir la pression et la température initiales dans le circuit, pour faire entrer à nouveau le fluide frigorigène sous forme liquide dans l’évaporateur à une température T₁ et une pression P₁. ====Fluides Frigorigènes<ref>Pierre Rapin, Patrick Jacquard, Serge Sandre. Formulaire du froid. 15ème édition, Paris : RPF. Dunod. DL 2014. Chapitre "Fluides frigorigènes", p41</ref>==== Le congélateur est seulement un système mécanique qui sert à provoquer les changements d’états physiques du fluide frigorigène caloporteur qui circule à travers les différents organes qui le composent. On sent bien ici que le '''choix du fluide''' utilisé revêt une importance capitale. Le fluide frigorigène idéal devrait avoir les diverses caractéristiques physiques suivantes : # Une '''chaleur latente de vaporisation très grande'''. Cela permet d’augmenter l’efficacité de la machine frigorifique car le fluide engendre un plus gros transfert d’énergie thermique pour changer de phase, et peut donc ponctionner plus de chaleur aux denrées stockées. # Une '''température''' '''d’évaporation''' (à pression atmosphérique) assez '''basse''' (inférieure à -25°C) pour pouvoir travailler avec une phase gazeuse dans le système. # Un faible rapport entre les '''pressions de refoulement''' (à la sortie du compresseur) et '''d’aspiration''' (à l’entrée du compresseur) pour minimiser l’énergie nécessaire pour compresser le fluide, et ainsi maximiser le rendement du congélateur. # Une '''température critique''' suffisamment '''haute''' pour éviter tout problème d’état supercritique du fluide au sein du congélateur et s’assurer de pouvoir aisément changer sa phase. # Un '''faible volume massique''' de fluide gazeux, pour pouvoir réduire les dimensions des composants, ce qui permet d’avoir des appareils moins volumineux, ou de stocker plus de denrées pour un volume identique. # Être de composition chimique '''stable''' dans les conditions de fonctionnement du congélateur pour éviter être altéré (perdre ses propriétés, ou même, pire encore, en acquérir de nouvelles défavorables). # Être '''chimiquement inactif''' sur les autres composants du système (compresseur, tuyauterie, radiateurs, etc.), d'une part pour ne pas être altéré (voir point précédent), d'autre part pour que les autres composants ne soit pas détériorés. Notamment : les '''métaux''' composant le circuit, points de soudures, etc.; les matériaux des '''joints''' ; le '''lubrifiant''' du compresseur. # Être '''non dangereux''' en cas de fuite, statistiquement inévitable. On souhaitera donc que le fluide et, le cas échéant, les produits de sa réaction avec l'air, soient ininflammables, non explosif en présence d’air, non toxique pour les êtres vivants, inoffensif pour l'environnement (notamment : ODP -- Ozone Depletion Potential, potentiel d’appauvrissement de la couche d’ozone, utilisé pour quantifier la capacité des gaz à oxyder l’ozone O₃ de l’atmosphère -- et GWP -- Global Warming Potential, indice basé sur le CO₂, où le GWP du C0₂ vaut 1, utilisé pour quantifier l'effet du gaz sur le réchauffement climatique -- aussi bas que possible, et même nul si possible). # Être '''détectable''' en cas de fuite. # Être à bas '''prix'''. # Être facile à produire, transporter et manipuler. Il n’existe pas de fluide frigorigène parfait, et des compromis sont fait, en tenant compte d'autre éléments tels que, par exemple, la taille du système. Par exemple, le fluide R-290, de plus en plus utilisé pour son impact environnemental excellent (ainsi que son prix et sa facilité de manipulation), n'est autre que le [[propane]], manifestement combustible et explosif, mais cela n'est pas si grave pour de petits systèmes où la quantité de fluide est assez faible. Il existe plusieurs familles de gaz frigorigènes. Parmi eux, on retrouve les CFCs (Chlorofluorocarbone, dont l'arrêt de production a été décidé en 1995 car leur ODP était trop fort), les HFCs (Hydrofluorocarbone), les HCFCs (Hydrochlorofluorocarbone, arrêt de production en 2015 pour la même raison), les BrFC (Bromo Fluorocarbone), des hydrocarbures comme le propane, etc. Nous verrons dans une partie ultérieure l'impact détaillé de ces fluides sur l'environnement, ainsi que les diverses normes qui ont été adoptées quant à leur utilisation. ====Méthodes de Production de Froid<ref name="production du froid">Pierre Rapin, Patrick Jacquard, Serge Sandre. Formulaire du froid. 15ème édition, Paris : RPF. Dunod. DL 2014. Chapitre "Production du froid", p113</ref>==== Il existe trois principaux moyens pour créer du froid : *'''Mélanges réfrigérants :''' Lorsqu’on mélange certains sels à des liquides, la dissolution est parfois endothermique, et donc productrice de froid. <u>Exemple :</u> Si on mélange de l’eau avec du nitrate d’ammonium et du carbonate de soude, on peut abaisser la température du mélange de +10°C à -22°C. Cela serait suffisant pour la congélation, mais il faudrait beaucoup de réactifs pour maintenir les denrées à cette température-là. *'''Détente de gaz à volume constant :''' D’après la [[Théorie cinétique des gaz/Gaz parfait|Loi des gaz Parfaits]] (''PV = nRT''), si l’on abaisse la pression d’un gaz à volume constant et dans un système fermé, on réduit sa température. Cependant, pour obtenir une température suffisamment basse, il faudrait réussir à baisser fortement la pression du gaz, ce qui est difficile à mettre en oeuvre, d’autant plus s’il faut adapter la taille du dispositif à des appareils domestiques, relativement petits. *'''Evaporation d’un liquide pur ou d’un mélange de liquides purs :''' C’est cette dernière technique qui est aujourd'hui la plus utilisée, notamment pour les machines frigorifiques comme le congélateur, qu’il soit ménager ou commercial. Nous avons décrit plus haut le principe de fonctionnement d'une telle machine. Cependant, elle n'est pas forcément vouée à perdurer : de nouvelles normes, que nous détaillerons plus loin, visent à contraindre l'utilisation des fluides frigorigènes. ====Isolants<ref>Pierre Rapin, Patrick Jacquard, Serge Sandre. Formulaire du froid. 15ème édition, Paris : RPF. Dunod. DL 2014. Chapitre "Isolants", p351</ref>==== Le congélateur est un appareil qui consomme beaucoup d’énergie pour produire le froid, c’est pourquoi il est très important de conserver ce froid le mieux possible à l'intérieur, en isolant soigneusement les parois. Les meilleurs '''isolants''' sont les gaz sans mouvement. Il faut les enfermer dans une matrice la plus poreuse possible (laine, cheveux, etc.) pour empêcher leur mouvement. Dans les congélateurs ménagers, les isolants les plus utilisés sont la laine de verre et la mousse de polyuréthane, qui est une mousse rigide en plastique avec des alvéoles. Un isolant parfait doit avoir les caractéristiques suivantes : # Une '''conductivité thermique''' la plus faible possible, pour éviter que la chaleur de l'extérieur ne s'infiltre. # Conserver ses propriétés dans le temps pour assurer la '''durabilité''' de l'appareil. # Être '''non hygroscopique''', pour éviter d’absorber l’humidité des aliments et de gonfler, ce qui pourrait endommager l’appareil. # Être '''imputrescible'''. # Être '''stable''' dans les gammes de températures dans lesquelles il est utilisé pour garantir son efficacité pendant l'usage. # Être '''ininflammable'''. # Être '''inoffensif''' pour le bois, le métal, ou tout autre matériau avec lequel il est en contact dans le congélateur. # Ne pas être un potentiel habitat pour les '''rongeurs''' et insectes (certains congélateurs étant conservés dans les caves, il est possible que des animaux soient attirés par le contenu du congélateur). # Être '''abordable''' et facile à produire. ====Bilan Frigorifique et Comparaisons Énergétiques==== On peut faire une étude théorique de la consommation d'énergie d'un congélateur, en s'intéressant aux échanges de chaleur ayant lieu. Pour cela, il faut prendre en compte les paramètres suivants<ref>Pierre Rapin, Patrick Jacquard, Serge Sandre. "Formulaire du froid". 15ème édition, Paris : RPF. Dunod. DL 2014. Chapitre "Bilan Frigorifique", p361</ref> : # Le '''type''' d’isolant utilisé dans le congélateur. #'''L'épaisseur''' de la couche d’isolant. # La température '''ambiante''' à l’extérieur du congélateur. # La température '''moyenne''' interne à laquelle il faut maintenir le congélateur. # Les '''dimensions''' du compartiment froid. # Le type de '''denrées''' à conserver. # La température '''initiale''' des denrées avant leur entrée dans le congélateur. # La '''masse''' de ces denrées. # Le "'''service'''" du congélateur (ouverture fréquente, etc.). Le calcul du bilan frigorifique est détaillé [https://docs.google.com/document/d/1aS1vuex_JvogV4KI5skrOXmlfbeUaZyfdYp7MOOzI-U/edit?usp=sharing ici]. Le bilan frigorifique du congélateur traduit une consommation d'environ 200 kWh d'électricité par an (nous développerons ce résultat dans une partie suivante). Pour avoir une idée de ce que cela représente, voici une petite liste non exhaustive de ce que l’on peut faire avec 1 kWh, avec différents appareils<ref> "Que peut-on faire avec 1kWh ?" consulté le 24/04/20 https://www.edf.fr/groupe-edf/espaces-dedies/l-energie-de-a-a-z/tout-sur-l-energie/le-developpement-durable/que-peut-on-faire-avec-1-kwh </ref>: # Regarder la '''TV''' entre 3 et 5 h selon la taille et la technologie de son téléviseur. # Jouer une journée avec sa '''console de jeux'''. # '''Cuire''' un poulet au four à pyrolyse et faire fonctionner une '''plaque vitrocéramique''' ou un '''four à micro-ondes''' pendant 1 h. # Réaliser un cycle de '''lavage du linge'''. Il faudra par contre 3 kWh pour un cycle de sèche-linge ! # S’'''éclairer''' entre une journée et une journée et demie. Cela dépend si l’on habite en maison ou en appartement. Il faut bien veiller au choix des luminaires car avec 1 kWh, on fait fonctionner une lampe à halogène pendant seulement 2 h alors qu’on peut s’éclairer pendant 7 h avec 7 lampes basse consommation ! # Travailler une demi-journée avec un '''ordinateur fixe''' contre une journée et demie avec un ordinateur portable. # Parcourir {{unité|2|km}} avec un '''véhicule''' Smart électrique. À titre de comparaison, un litre de '''pétrole''' représente une énergie d'environ 10 kWh. La consommation électrique annuelle d’un congélateur équivaut donc à l’utilisation de 20 L de pétrole. Un litre d’essence représente 9,85 kWh et comme les moteurs thermiques ont en moyenne un rendement de 30%, on peut donc tirer 2,96 kWh de chaque litre d’essence. En admettant qu'un supermarché soit situé à {{unité|3|km}} du domicile, et qu’une voiture utilise en moyenne 7,18 L d’essence au {{unité|100|km}} en 2018<ref>“Consommation moyenne de carburant d'une voiture particulière en France de 2004 à 2018, selon le type de carburant” https://fr.statista.com/statistiques/486554/consommation-de-carburant-moyenne-voiture-france/ consulté le 23/04/20</ref> donc 0,4308 L d’essence pour un aller-retour au supermarché, cela représente une consommation de 1,275 kWh par aller-retour au supermarché. La consommation annuelle du congélateur correspond donc à '''156 aller-retours au supermarché''' par an (ce qui correspond à {{unité|941|km}}, et à une consommation de {{Unité|67.5|litres}} d’essence) soit en moyenne un trajet tous les 2,3 jours. Rares sont les personnes qui vont aussi souvent faire leurs courses en grande surface ! En considérant qu’un kWh d’électricité équivaut à la production de 150 g de CO₂<ref>THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE AUX SYSTÈMES DE CONVERSION D’ÉNERGIE, INSA de Lyon Département du Premier Cycle 2ème Année P2I "L’énergie sous toutes ses formes", Jocelyn Bonjour et Rémi Revellin, 2020</ref> et qu’une voiture française en produit en moyenne 111 g au km<ref>Consommations conventionnelles de carburant et émissions de CO2, ADEME, 2017</ref>, la consommation d’électricité annuelle du congélateur équivaut à '''la production d’autant de CO₂ qu'un trajet de {{unité|270|km}} en voiture'''. Cela est conséquent, mais toujours 3,5 fois moins que les 941 kms calculés ci-dessus. En termes de '''prix''', les différences sont importantes également. En effet, un kWh d’électricité coûte en moyenne {{unité|0.1765|€}} en 2019<ref>“Prix du kWh d'électricité : tarifs EDF - avril 2020” consulté le 24/04/20 https://www.fournisseurs-electricite.com/guides/prix/kwh-electricite </ref> et le coût annuel moyen de la consommation du congélateur s’élève donc à {{unité|35.3|€}}. Le prix moyen d’un litre de SP95 est lui de {{unité|1.50|€}}<ref>"évolution des prix des carburants" consulté le 24/04/20 https://carbu.com/france/index.php/prixmoyens </ref>, il faudra donc débourser {{unité|101.25|€}} d’essence pour obtenir l'équivalent énergétique de la consommation du congélateur. Le congélateur est donc bien plus économique que les aller-retours en voiture, ce qui pourrait expliquer sa popularité. Pour ce qui est des énergies renouvelables, il faudrait un '''panneau photovoltaïque''' de {{unité|1.6|m|2}} pour produire 200 kWh / an<ref>"Comment calculer la puissance d’une installation ?" consulté le 24/04/20 https://www.lepanneausolaire.net/comment-calculer-puissance-d-installation.php </ref>. Avec une '''éolienne''' qui tourne en moyenne 1000 h par an, l’énergie produite peut s’approximer par la formule E = 0,15*(diamètre des pales)^2,15<ref>"L’éolienne domestique et sa capacité de production", consulté le 24/04/20 https://blog-travaux.primesenergie.fr/energie-renouvelables/eolienne/capacite-production-eolienne-domestique </ref>. Ainsi, pour produire 200 kWh, il faudrait une éolienne avec des pales de {{unité|28.4|m}} de diamètre. Cependant, ces installations dépendent des conditions météorologiques et ne pourraient pas fournir une énergie constante toute l'année au congélateur. On se rend bien compte avec toutes ces comparaisons que le congélateur a un '''coût énergétique en électricité''' important. Évidemment, il serait aberrant de se séparer de son congélateur pour aller au supermarché en voiture tous les 2 jours, mais si l'on y va 1 fois par semaine, ou bien plus souvent mais à pied ou en vélo, le '''gain écologique''' est vraiment très important ! A méditer avant d'acheter un nouvel appareil... === Une Innovation Technique Révolutionnaire === ==== Genèse des Fluides et des Machines Réfrigérantes ==== On l'a vu, l'Homme utilise depuis l'Antiquité de la glace pour réfrigérer ses aliments. C'est encore le cas au 18^e siècle, lorsqu'Oliver Evans (1755-1819) propose d’utiliser un '''fluide volatile en cycle fermé pour transformer l'eau en glace''', afin de produire un froid "contrôlé". Il ne construit pas de machine lui-même, mais ses travaux inspirent Richard Trevithick, le premier à proposer le plan détaillé d'une machine réfrigérante en 1828, ainsi que Jacob Perkins<ref>{{Lien web|titre=Jacob Perkins - The Father of the Refrigerator|url=http://www.historyofrefrigeration.com/refrigeration-invention/jacob-perkins/|site=www.historyofrefrigeration.com|consulté le=2020-05-11}}</ref>, qui construit le '''premier prototype''' de machine à vapo-compression fonctionnant avec de l’éthyle au début des années '''1830'''. Le prototype de Perkins possède déjà les fonctions principales de la machine réfrigérante : des condensations et vaporisations successives d'un fluide frigorigène permettent de refroidir l'intérieur d'une enceinte. Il est d'ailleurs considéré comme le '''premier congélateur'''<ref name=":1">{{Article|prénom1=James M|nom1=Calm|prénom2=David A|nom2=Didion|titre=Trade-offs in refrigerant selections: past, present, and future|périodique=International Journal of Refrigeration|volume=21|numéro=4|date=1998-06|issn=0140-7007|doi=10.1016/s0140-7007(97)00089-3|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1016/s0140-7007(97)00089-3|consulté le=2020-05-11|pages=308–321}}</ref>. ==== Premières Recherches de Fluides ==== Après la Première Guerre mondiale, les prototypes se multiplient sans que de véritables réglementations soient établies. Willis H. Carrier (notamment connu pour ses travaux sur l’air conditionné) et R. W. Waterfill mènent la '''première étude''' ayant pour but de trouver des fluides frigorigènes répondant à des '''critères de sécurité, de durabilité et d’efficacité''', et devant pouvoir être utilisés à la fois dans des pompes et des machines à [https://fr.wikipedia.org/wiki/Compresseur_centrifuge compression centrifuge]. Ils examinent pour cela les propriétés des fluides utilisés dans les divers prototypes de l'époque, tels que l’ammoniac, l'éthyle, le dioxyde de carbone, le tétrachlorométhane, le dioxyde de soufre et l’eau. Selon leurs expériences, le dioxyde de carbone a la plus petite performance en termes de réfrigération de l'enceinte, tandis que l'eau et l'ammoniac ont des phases de compression trop importantes pour obtenir des résultats satisfaisants et industrialisables ; le dioxyde de soufre s'avère trop toxique et le tétrachlorométhane attaque les métaux en présence d’eau... Au final, Carrier et Waterfill choisissent le '''1,2-dichloroéthène''' (aussi désigné par le code R-1130) pour faire fonctionner la première machine réfrigérante à compression centrifuge. Un problème demeure toutefois : il n'existe pas de source naturelle de cet élément<ref name=":1" />... ==== Mise au point des CFCs ==== Dans les années 1920, les fluides frigorigènes les plus utilisés sont certains hydrocarbures ainsi que quelques composés chlorés tels que le R-1130, le R- 1120 et le R-30. La quasi-totalité de ces fluides s'avèrent très inflammables et toxiques, et leur utilisation est fortement remise en cause par de '''nombreux accidents''' à Chicago impliquant le chlorométhane dans des installations domestiques, ainsi qu'à cause de l''''accident de la ''[https://en.wikipedia.org/wiki/Cleveland_Clinic_fire_of_1929 Cleveland Clinic]''''' en 1929, qui fait '''scandale''' à l'époque bien que les fluides frigorigènes ne soient pas directement impliqués. [[Fichier:La sélection des éléments de Midgley.png|vignette|En orange sont encadrés les huit éléments sélectionnés par Midgley<ref>{{Article|prénom1=James M|nom1=Calm|prénom2=David A|nom2=Didion|titre=Trade-offs in refrigerant selections: past, present, and future|périodique=International Journal of Refrigeration|volume=21|numéro=4|date=1998-06|issn=0140-7007|doi=10.1016/s0140-7007(97)00089-3|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1016/s0140-7007(97)00089-3|consulté le=2020-05-12|pages=308–321}}</ref>]] Les pressions de l''''Association Médicale Américaine''' (AMA) ainsi que les demandes de la marque ''Frigidaire'' pour trouver des fluides frigorigènes moins dangereux aboutissent à une '''nouvelle phase de recherche'''<ref name=":2">THOMAS MIDGLEY, JR., AND THE INVENTION OF CHLOROFLUOROCARBON REFRIGERANTS: IT AIN’T NECESSARILY SO [http://acshist.scs.illinois.edu/bulletin_open_access/v31-2/v31-2%20p66-74.pdf]</ref>. En 1928, Thomas Midgley Jr et ses associés de ''General Motors'' mènent une étude basée sur le tableau périodique des éléments dans l'espoir de trouver un composant '''stable, peu inflammable et avec une température d'ébullition optimale''' (environ égale à celle du tétrachlorométhane déjà utilisé), toutes ces caractéristiques représentant celles d'un fluide frigorigène idéal. Une première sélection permet à Midgley d'isoler 8 éléments, dont 7 étaient déjà utilisés dans les fluides de l'époque. Cependant, le dernier élément, le '''fluor''', n'était utilisé dans aucun fluide : Midgley et ses associés ont alors l'idée de développer des fluides à base de fluor, dans l'espoir qu'ils remplissent les caractéristiques idéales évoquées ci-dessus tout en étant moins dangereux que leurs prédécesseurs. Leurs recherches leur permettent de développer un nouveau fluide : le dichlorodifluorométhane (CCl₂F₂), aussi appelé fréon, ainsi que quelques dérivés de ce-dernier<ref name=":1" />. Midgley reçoit en 1937 la médaille Perkins pour à la mise au point de ces '''ChloroFluoroCarbures''' (ou CFC), révolutionnaires car non toxiques, très peu inflammables et avec une température d'ébullition optimale<ref name=":2" />. == Depuis 1960-1970 : le Temps du Progrès == === Le cycle de vie d'un Aliment Surgelé === [[File:Tiefkühlschublade.JPEG|thumb|Surgelés dans un congélateur]] Il existe différentes techniques pour conserver un aliment. Le '''froid''' en est une, et il est très efficace. Il permet de '''diminuer la vitesse des réactions biologiques''' à l'intérieur de l'aliment (par exemple le développement de micro-organismes). Sous 3°C, il n'y a plus aucun risque dû aux bactéries pathogènes et toxinogènes. En dessous de -10°C, les bactéries ne peuvent plus se multiplier. Enfin, passer en dessous des -18°C provoque l'arrêt de toute multiplication microbienne, y compris les levures et les moisissures, ainsi que des réactions biochimiques ou enzymatiques. En effet, l'eau étant cristallisée, elle ne peut plus être utilisée pour ces réactions : les aliments sont alors très bien conservés. Il faut cependant toujours veiller à ne pas briser la chaîne du froid (par exemple décongeler un aliment puis le congeler à nouveau), car les réactions peuvent reprendre et endommager le produit. On considère qu'en France, '''50 % des aliments subissent un traitement frigorifique''' au cours de leur cycle de vie<ref name="GA">« La congélation & surgélation - Génie Alimentaire ». Consulté le 8 avril 2020. http://genie-alimentaire.com/spip.php?article11.</ref>, que ce soit pour le stockage réfrigéré des matières premières (lait cru…), la fabrication de produits transformés (utilisation du froid pour bloquer l'acidification lors de la fabrication de yaourts par exemple), pour le stockage des produits finis en chambres froides, pour le transport (véhicules frigorifiques) et la distribution (meubles de réfrigération ou congélation). On distingue plus spécifiquement 3 types de traitements frigorifiques<ref name="GA" /> : * La '''Réfrigération''', ou Froid Positif consiste à refroidir les aliments, tout en restant à des températures positives (en moyenne 0°C à 10 °C). Elle est plutôt destinée à la conservation courte-durée. * La '''Congélation''' est un refroidissement lent, à des températures négatives (de -40°C à -10°C, en général -18°C). Les cristaux de glace formés sont relativement gros par rapport aux cellules de l'aliment, et peuvent parfois déchirer les parois de certaines cellules, la peau de certains fruits, etc. C'est pourquoi on l'utilise généralement pour des aliments déjà transformés ou en vrac par exemple. * La '''Surgélation''' est un refroidissement rapide des aliments (les températures finales sont les mêmes que la congélation). On obtient ainsi beaucoup de petits cristaux, qui ne détériorent pas les cellules. C'est un mode de conservation plus "propre", qui abîme beaucoup moins les aliments, et qui est celui utilisé dans l'industrie agro-alimentaire (il faut pouvoir proposer au consommateur des produits bons et beaux !). Il existe différents procédés de surgélation, qui reposent principalement sur deux techniques : le '''froid mécanique''' (on surgèle les aliments grâce à des groupes producteurs de froid alimentés en électricité et en fluide caloporteur) et la '''cryogénie''' (on surgèle les aliments grâce à de l'azote liquide ou du dioxyde de carbone liquide). Les aliments congelés ou surgelés ont donc une '''longue durée de conservation''' (entre 4 à 24 mois). Ils sont souvent d'abord cuisinés, précuits (ou blanchis) puis congelés ou surgelés, afin d'en faire des plats tout prêts qu'il suffit de réchauffer. Cependant, nous n'avons bien souvent que peu d'informations sur l'origine des ingrédients composant ces plats préparés. Certains produits comportent l'étiquette "élaboré en France", ce qui nous indique que le plat a bien été cuisiné en France mais cela ne nous donne aucune information sur la '''provenance''' des ingrédients, comme nous l'a démontré le scandale des "lasagnes au cheval", que nous évoquerons par la suite. Dans certains cas, le lieu d'agriculture est proche des usines de production : ainsi, les pommes de terre utilisées chez ''McCain'' pour faire des frites surgelées sont cultivées dans la région Hauts-de-France (principale région productrice de pommes de terre), et utilisées dans les 2 usines que la marque possède dans le département du Nord ; la Bretagne accueille aussi des marques spécialisées dans les produits de la mer surgelés ; la Nouvelle-Aquitaine, première région productrice de légumes, abrite de nombreuses usines de légumes surgelés<ref>xerfi. « Le marché et la fabrication de produits surgelés | étude de marché Xerfi ». Consulté le 11 mai 2020. https://www.xerfi.com/presentationetude/Le-marche-et-la-fabrication-de-produits-surgeles_9IAA23.</ref>. A l'inverse, il est aussi possible que les lieux d'élevage/de cultivation et de production soient fortement éloignés : on a ainsi la possibilité d'acheter en France un gigot d'agneau élevé en Nouvelle-Zélande ou en Afrique du Sud. Il faut donc toujours faire autant que possible '''attention à ce que l'on consomme'''. Le cycle de vie d'un aliment congelé/surgelé est extrêmement '''gourmand en énergie'''. Les matières premières sont acheminées par transport frigorifique (le plus souvent dans des camions réfrigérés) dans les usines de transformation, où elles sont transformées en grande quantités (les machines de congélation/surgélation industrielles sont extrêmement énergivores). Puis les produits finis sont de nouveau transportés (ici dans des camions congélateurs, encore plus énergivores que les premiers) jusque dans les magasins, où ils sont stockés dans des armoires à congélation, puis achetés par le consommateur, qui les stocke dans son propre congélateur. Chaque appareil utilisé dans ce cycle consomme énormément d'électricité, mais il y a surtout beaucoup d'appareils différents… La '''prise de conscience écologique''' de certains consommateurs ces dernières années conduit à une stagnation, voire à une régression du marché de ces aliments surgelés. ===L'évolution des choix proposés au Consommateur=== Le consommateur désirant acheter un congélateur se trouve face à une offre variée et relativement diversifiée. En fonction de son budget, de ses goûts, de sa sensibilité à diverses questions (environnementales, sociales...) il choisira un modèle, une marque, des options différentes. Que ce soit un modèle fonctionnel pour sa grande capacité ou son efficacité énergétique, ou un véritable objet de ''design'' intégré à un espace de vie, le congélateur occupe toujours une place centrale dans l'électroménager des foyers. Voici un petit tour d'horizon de ce qui est proposé. ==== Différents types de congélateurs… ==== Il existe 4 principaux types de congélateurs domestiques, qui se différencient par leur taille et le lieu d'installation souhaité par le consommateur. On distingue<ref name="Que Choisir">« Congélateurs – Bien choisir son congélateur ». Consulté le 23 février 2020. https://www.quechoisir.org/guide-d-achat-congelateurs-n2487/.</ref>{{,}}<ref>« Les différents types de congélateur : comment faire le bon choix ? » Consulté le 22 avril 2020. https://www.m-habitat.fr/electromenager/refrigerateurs/les-differents-types-de-congelateur-1063_A. </ref>: *''Le Congélateur Coffre'' : C'est le type de congélateur le plus répandu (35 % du marché français des congélateurs en 2015<ref name="Que Choisir" />{{,}}<ref>Congélateur. « Top Congélateur coffre - Classement & Guide d’achat - 2020 », 15 septembre 2019. https://congelateur.biz/congelateur-coffre/.</ref>). Généralement de grandes dimensions (110*140*70 cm le plus souvent) et de gros volume (600 L en moyenne), il est surtout destiné aux maisons individuelles disposant d'une cave ou d'un cellier. Les coffres sont souvent mieux isolés que les autres types de congélateurs, notamment les armoires, ce qui leur permet de consommer moins d'électricité pour fonctionner, et leur garantit une plus grande autonomie en cas de panne de courant. *''Le Congélateur Armoire'' : Ses dimensions sont la plupart du temps un peu moins importantes que celles du congélateur coffre (60*55*150 cm généralement), et son volume un peu moins grand (200 à 400 L en moyenne). Ce modèle est pratique pour être disposé dans une cuisine. Plusieurs marques proposent de l'assembler avec un réfrigérateur de même gamme, ou bien de l'encastrer dans un meuble colonne. Son principal atout réside dans son confort d'utilisation : alors que le consommateur doit se baisser pour utiliser le coffre, l'armoire est à une hauteur plus adaptée. *''Le Congélateur Top ou Sous-Plan'' : C'est un petit congélateur, représentant la moitié d'un congélateur armoire environ (60*55*70 cm, de 30 à 100 L). Il est conçu pour s'insérer sous un plan de travail, une table, ou dans un meuble. Il est plutôt destiné, étant donné sa faible capacité, aux congélations occasionnelles plutôt qu'à un usage régulier. On le distingue parfois du ''Congélateur bar'', encore plus petit… *''Le Congélateur Combiné'' : Sans conteste le plus moderne de tous les modèles proposés, ce n'est pas uniquement un congélateur. On désigne en effet par cette appellation tout appareil regroupant un réfrigérateur et un congélateur dans la même installation. Les tailles sont très variables, du gros combiné américain produisant des glaçons au petit combiné d'étudiant. Souvent plus cher qu'un congélateur "classique", il est néanmoins de plus en plus répandu, les consommateurs appréciant le gain de place permis (1 seul appareil au lieu de deux distincts). <br /> Il existe également d'autres types de congélateurs, plus gros et plus performants, destinés aux '''professionnels''' (restauration, commerces…), mais nous ne les étudierons pas ici. Il s'agit en effet dans ce cas véritablement d'appareils "fonctionnels", choisis pour leur côté pratique (capacité, performance énergétique…), mais qui ne traduisent pas vraiment un mode de vie ou une évolution sociétale. ====… Avec différents Volumes…==== Évidemment, les différentes tailles présentées dans la section précédente ne sont que des indications : on peut trouver des volumes très variables<ref name="Que Choisir" />. Le consommateur souhaitant acquérir un congélateur doit déterminer le volume qu'il souhaite, qui dépend principalement de 3 facteurs.<br /> Le premier est la '''taille du foyer''' : on conseille un appareil de moins de 150L pour une personne seule, de 150 à 250L pour 2 ou 3 personnes, et plus si le nombre de personnes est supérieur. Ceci permet de limiter la consommation d'énergie des petits foyers, qui n'auront pas un congélateur à moitié vide.<br /> Les '''habitudes alimentaires''' sont également à prendre en compte lors du choix : si le consommateur aime congeler beaucoup de fruits et légumes, du poisson qu'il pêche, ou bien du gibier s'il chasse, il aura besoin d'un plus gros volume.<br /> Le dernier facteur découle directement du précédent : le '''lieu de résidence''' joue un rôle important dans le choix du consommateur. Une personne vivant en ville, à proximité des commerces, n'aura pas forcément besoin d'un gros appareil, ni forcément la place de l'installer. Inversement, un individu vivant dans un milieu rural, parfois excentré, aura besoin de congeler les fruits et légumes qu'il produit éventuellement dans son verger/potager, le gibier qu'il chasse ou le poisson qu'il pêche, ou de stocker les produits achetés au marché s'il ne peut pas y aller très souvent. Il aura plus tendance à faire des stocks, et le congélateur représentera pour lui un confort non négligeable. L'étude de l''''évolution des volumes''' montre que sur toute la période avant 1995, les volumes étaient très dispersés, avec de très gros appareils et de très petits. L'écart n'a cessé de se réduire jusqu'à aujourd'hui<ref name="EDF">« consommation lavage et froid menager en 2007.pdf ». Consulté le 17 avril 2020. https://www.enertech.fr/pdf/54/consommation%20lavage%20et%20froid%20menager%20en%202007.pdf.</ref>. Le volume moyen des appareils en revanche suit une courbe en cloche, atteignant son maximum à la fin des années 1990, avant de diminuer depuis, et de stagner depuis une dizaine d'années. Cette évolution est probablement due à la remise en question écologique (voir [[Recherche:Pastech/242-3_Le_Congélateur_Alimentaire#Le_Coût_Énergétique_du_Congélateur_et_des_Aliments_Surgelés|paragraphe à ce propos]]), qui interroge les consommateurs sur la nécessité de posséder un appareil énorme s'il n'est jamais rempli. ==== … Pour différents Prix… ==== Tous les types de congélateurs ne se vendent pas au même '''prix''', c'est d'ailleurs souvent l'un des critères de choix principaux pour les ménages souhaitant s'équiper.<br /> Les congélateurs "coffre" sont souvent moins chers (compter en moyenne 150€ à 900€, prix récupérés sur les sites des fabricants), tandis que les congélateurs "armoire", plus répandus, se vendent entre 200€ et 1000€ en fonction de leurs tailles. Les modèles encastrables nécessitent des dimensions et des systèmes de ventilation adaptés, ils sont donc plus chers (entre 400€ et 2000€). Les systèmes "combinés" (réfrigérateur + congélateur) sont moins chers, car la taille du congélateur est réduite (vendus en général entre 200€ et 700€, sachant que le prix d'un réfrigérateur classique ne dépasse que rarement les 400€).<br /> D'autres critères que le type d'appareil interviennent dans les variations de prix<ref>« Prix d’un congélateur ». Consulté le 23 février 2020. https://www.m-habitat.fr/electromenager/refrigerateurs/prix-d-un-congelateur-1068_A. </ref>: Le principal est la classe énergétique (plus elle est bonne, plus l'appareil est cher à l'achat, mais il est souvent vite rentabilisé par les économies sur la facture électrique). La puissance de congélation, l'autonomie, l'isolation, les matériaux utilisés, le type de porte, le niveau sonore, les technologies de froid utilisées (voir [[Recherche:Pastech/242-3_Le_Congélateur_Alimentaire#…_Et_différentes_Technologies_de_Froid|ci-dessous]]), la marque, ou les diverses options font aussi varier les prix.<br /> Ces dernières années, le prix moyen d'un congélateur a augmenté, suivant logiquement la courbe d'inflation. L'écart de prix augmente lui aussi, les différences étant de plus en plus marquées entre les appareils basiques et les plus techniques<ref name="EDF"/>. ==== … Et différentes Technologies de Froid ==== [[File:Glace au congélateur.jpg|thumb|Congélateur rempli de givre]] On désigne par l'appellation '''''Technologies de Froid''''' l'ensemble des systèmes qui permettent de refroidir l'intérieur de l'enceinte de l'appareil. Il ne s'agit pas ici de décrire comment le froid est "produit", mais plutôt comment il est transmis aux aliments contenus. On distingue 3 technologies courantes<ref> « Réfrigérateur - Le type de froid ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.boulanger.com/info/animation/bcbu/gros-menager/refrigerateur/type-froid.html. </ref>:<br /> * Le '''Froid Statique''' laisse l'air circuler librement dans l'appareil. La température intérieure y est donc naturellement non homogène (l'air plus chaud monte, le bas est plus froid). Du givre se forme régulièrement et doit être retiré. C'est la technologie la plus ancienne, et la plus simple. * Le '''Froid Ventilé''', appelé aussi "No Frost", utilise un ventilateur, qui propulse un air froid sec, empêchant ainsi la formation de givre. L'intérêt est important, le givre réduisant le volume utile de l'appareil, entraînant une surconsommation d'énergie (nous le verrons par la suite), et obligeant un arrêt régulier de l'appareil pour le retirer. Le confort pour les consommateurs est réel, ce qui explique le franc succès remporté par cette technologie. Néanmoins, le ventilateur augmente la consommation électrique de l'appareil : on peut dire qu'un appareil ''ventilé'' consomme moins qu'un appareil ''statique'' non dégivré régulièrement, mais bien plus qu'un appareil ''statique'' correctement entretenu. * Les '''Smart Frost''', ou '''Stop Frost''', sont des technologies intermédiaires, qui limitent la formation de givre sans toutefois l'éliminer complètement. Elles constituent un bon intermédiaire entre le confort du ''Froid Ventilé'' et le prix bien plus bas du ''Froid Statique''… ==== L'option Super-Freeze ==== L'option '''''Super Freeze''''', ou ''Super Congélation'' est une innovation récente, de plus en plus répandue sur les appareils modernes<ref>Electromenager-Compare. « Page intéressante à lire sur Electromenager Compare : Définition de Super Freeze ». Electromenager Compare. Consulté le 22 avril 2020. https://www.electromenager-compare.com/definition-de-super-freeze.htm.</ref>. Elle permet une congélation rapide d'une grande quantité d'aliments frais. Elle est souvent méconnue des consommateurs, pour qui il est de toute façon extrêmement rare d'avoir à congeler rapidement des volumes importants de denrées à température ambiante (sauf cas exceptionnels comme les chasseurs…). Elle entraîne par ailleurs une surconsommation électrique importante. <br /> Une fois encore, les fabricants vantent le '''confort potentiel''' permis par la technologie, bien qu'on puisse s'interroger sur la nécessité réelle d'une telle option. ==== Autres Options, Design, Entretien et Réparations ==== Les congélateurs ne sont pas encore équipés d'écrans tactiles et de multiples gadgets comme les réfrigérateurs les plus récents, mais il comportent souvent quelques '''options'''<ref name="Que Choisir" />, intéressantes ou non. <br /> Par exemple, certains modèles embarquent un thermostat digital (plus facile à utiliser et plus précis qu'un thermostat mécanique) pour régler la température de l'appareil, une alarme (signal lumineux ou sonore qui prévient quand une porte est mal fermée ou s'il y a une chute brutale de température), un verrouillage enfants, un contrôle de température ou encore une fonction "économie" (qui calcule la température optimale à régler en fonction du coût de l'électricité, de la quantité de denrées stockées…).<br /> En ce qui concerne le '''design''' des appareils les plus récents, chaque marque suit sa propre stratégie<ref>« Congélateur | Toutes les marques ». Consulté le 2 mars 2020. https://www.quelcongelateur.com/marques.html. </ref>:<br /> Ainsi, ''Siemens'' se concentre sur l'ergonomie, proposant un intérieur avec finition métal, un système d'ouverture facile "Easy Opening" par canal de dépressurisation, un éclairage LED… ''Frigidaire'' joue sur l'organisation du contenu, en inventant de nouveaux modèles de paniers permettant d'optimiser l'espace intérieur. Du côté de ''Beko'', on insiste sur la durabilité en proposant de nouveaux plastiques certifiés "longue vie". Parfois, les marques proposent au consommateur un retour dans le passé, à l'image de ''Smeg'' et de sa nouvelle gamme "années 1950", combinant orange flashy, noir intense, rouge flamboyant et porte effet-inox.<br /> Le congélateur ne nécessite pas d''''entretien''' particulier, si ce n’est le dégivrage régulier<ref name="Gifam"> https://www.gifam.fr/wp-content/uploads/2020/03/Cong%C3%A9lateur.pdf </ref> pour maintenir son efficacité. Les '''réparations''' superficielles (joints de portes, alimentation électrique, thermostat…) sont réalisables par le client qui possède quelques bases de bricolage (si toutefois il arrive à se procurer les pièces détachées) mais la plupart des réparations sont à proscrire<ref name="Que Choisir" />, l'appareil contenant des gaz inflammables.<br /> Que ce soit par les technologies employées, ou par l'aspect esthétique, tout est mis en œuvre pour proposer au consommateur un objet dont la fonction principale est modifiée et enrichie pour en faire un véritable '''objet d'art''', confortable dans son utilisation, inscrit dans la modernité, et dont on peut être fier<ref>1996, 30 janvier. "Le Gros Electroménager entre image et technologie". ''La Tribune'' (France)</ref>. Par ailleurs, comme pour la plupart des appareils électroménagers aujourd'hui, les réparations délicates et l'accès difficile aux pièces détachées incitent les consommateurs à renouveler plus régulièrement leur équipement, contribuant ainsi à la dynamique du marché. ==== Classe Climatique ==== La '''classe climatique''', à ne pas confondre avec la '''classe énergétique''', est un code référence qui symbolise les températures extrêmes dans lesquelles l'appareil peut fonctionner de manière optimale (avec une consommation électrique moindre). On en distingue 4<ref name="Que Choisir" />: *''SN'' : Classe tempérée élargie, pour un fonctionnement entre 10°C et 32°C *''N'' : Classe tempérée, pour un fonctionnement optimal entre 16°C et 32°C *''ST'' : Classe subtropicale, pour des températures entre 16°C et 38°C *''T'' : Classe tropicale, pour un fonctionnement de 16°C à 43°C<br /> Ce critère est un choix fait par le consommateur, mais aussi par le distributeur ou le vendeur, qui vend les appareils les plus adaptés au climat de la région pour laquelle l'appareil est destiné. N'ayant pas d'impact significatif sur le prix, la classe énergétique est souvent négligée, mais reste néanmoins capitale pour les économies sur la facture électrique ou pour le geste écologique qu'elle représente. ==== L'Evolution Historique de l'Offre en France ==== Les différents types de congélateurs domestiques évoqués ci-dessus permettent de mettre en lumière l''''évolution de l'offre''' proposée au consommateur, qui est décrite en détails dans la section suivante. Dans les années '''1960''', la variété de modèles de congélateurs proposés est très réduite<ref name="FroidDom"> Guillou, Anne, Pascal Guibert. « Le froid domestiqué : l’usage du congélateur ». Terrain. Anthropologie & sciences humaines, nᵒ 12 (1 avril 1989): 7‑14. https://doi.org/10.4000/terrain.3328. </ref> : l'appareil est destiné principalement aux '''agriculteurs''', qui achètent des modèles de ''bahuts'', ancêtres des ''coffres'', de grande taille. L'objectif est alors évidemment de pouvoir stocker sa propre viande, ses propres produits.<br /> Dans les années '''1970''', les enfants des agriculteurs, élevés avec le congélateur, s'installent à la ville. Ils connaissent par ailleurs des campagnes publicitaires pro-congélateurs et reçoivent parfois l'appareil de leurs parents<ref name="FroidDom" />. Alors qu'ils pourraient se dispenser de stocker, ils utilisent pourtant le congélateur pour s'initier à d'autres modes de consommation, comme les plats préparés ou les surgelés. C'est durant les années '''1970-1980''' que le modèle ''armoire'' est inventé par les fabricants, qui comprennent que le marché le plus prometteur se situe bien '''à la ville''' et non à la campagne. Moins encombrant en surface, plus confortable d'utilisation, le modèle séduit de plus en plus de citadins, enthousiasmés par l'organisation qu'il permet grâce à ses tiroirs. Les modèles ''top'' et ''bar'' apparaissent à peu près à la même période, destinés aux hôtels (de luxe initialement), de même que les combinés, qui sont eux destinés à garantir une économie de place plus importante (2 appareils en 1).<br /> Les années '''1990''' et le début des années '''2000''' sont l'occasion pour les fabricants de se lancer dans la course à l''''efficacité énergétique''' : poussés par un nombre croissant de consommateurs soucieux d'alléger leur facture électrique ou de polluer le moins possible, ils innovent sans cesse pour proposer des appareils toujours plus performants. Par ailleurs l'accent est mis sur le design, les fabricants proposant des modèles éclairés à l'intérieur, des finitions métalliques, etc. <br /> Depuis le '''milieu des années 2000''', deux tendances influent l'évolution du congélateur<ref>FreshMAG FR. « Réfrigérateurs d’hier à aujourd’hui : voici les évolutions », 18 février 2015. https://blog.liebherr.com/electromenager/fr/comment-les-refrigerateurs-ont-evolue/.</ref>. D'un côté, la course à l'efficacité énergétique se poursuit : de nouvelles classes énergétiques sont inventées, comme A++ et A+++, d'autres sont peu à peu interdites à la vente, comme toutes les classes en dessous de A+ en Europe en 2013 ; le ''Gifam'' (groupement des marques d'appareils pour la maison) nous présente d'ailleurs le congélateur comme un appareil "citoyen"<ref name="Gifam" />, toujours mieux isolé, consommant toujours moins. D'autre part, les fabricants commencent à '''innover''' dans les options, avec l'objectif d'augmenter le confort des utilisateurs, ou d'adapter le design des appareils à leurs attentes<ref> Publicité ''Liebherr'' https://home.liebherr.com/media/hau/brochures/commercial-use/fr-ch/pdf/liebherr-download-fr-fr-commercial-appliances-icecream-2018.pdf </ref>. Les diverses options et innovations évoquées précédemment en sont de très bons exemples, de même que l'éclairage LED, ou le style "années 1950", retour dans le passé de plus en plus prisé par les consommateurs.<br /> On trouve évidemment encore des appareils "basiques", coffres blancs sans artifices, mais ils font aujourd'hui partie des appareils "bas de gamme", remplissant uniquement leur fonction de conservation alimentaire.<br /> On constate bien que l'évolution de l'offre de congélateurs proposée au citoyen consommateur suit les '''évolutions de la société''', les fabricants cherchant toujours à s'inscrire dans leur temps pour séduire le plus grand nombre. L'évolution de l'offre est par conséquent toujours étroitement liée aux évolutions des modes de vie. ==== Et à l'International ? ==== [[Fichier:Statista inspiré.png|vignette|Nombre de congélateurs vendus en Europe par an entre 2012 et 2025 (prévisions et traitement Statista)]] [[Fichier:Statista 2 inspiré.png|vignette|Nombre de congélateurs vendus aux États-Unis par an entre 2012 et 2025 (prévisions et traitement Statista)]] Globalement, quel que soit le pays, tous les fabricants de congélateurs domestiques produisent des '''appareils semblables''', à la fois pour leurs fonctionnalités, leurs options, leur ''design'' etc. La différence entre les différents marchés autour du monde réside plutôt dans les différents '''comportements de consommation''' adoptés par les sociétés. * En '''Europe''' : l'Union Européenne recense environ 510 millions d'habitants, et une étude du marché ''statista'' nous montre que l'on y vend 6,90 millions de congélateurs par an<ref name="Statista1"> Statista. « Freezers - Europe | Statista Market Forecast ». Consulté le 27 avril 2020. https://www.statista.com/outlook/16010200/102/freezers/europe.</ref>. Ce chiffre (qui correspond à environ 0,014 appareil vendu par européen et par an) stagne depuis 2012, et il devrait continuer à stagner jusqu'en 2025, ce qui traduit la non-évolution du comportement des européens en matière de consommation de congélateur (le nombre d'habitants diminuant légèrement par ailleurs). En étudiant pays par pays, on constate que la France fait partie des rares pays où les volumes de congélateurs vendus diminuent depuis 2012, contrairement à d'autres pays comme l'Allemagne ou l'Italie, où ils augmentent (même beaucoup pour l'Allemagne). Est-ce-que cette évolution particulière est due à un changement d'habitudes alimentaires des français ? Pas forcément… Cela peut aussi être lié à un attrait pour les appareils combinés qui n'apparaissent pas dans l'étude. * Aux '''États-Unis''' : la population est d'environ 330 millions d'habitants, et on constate que l'on y vend 2,66 millions de congélateurs par an (chiffre 2019)<ref name="Statista2"> Statista. « Freezers - United States | Statista Market Forecast ». Consulté le 27 avril 2020. https://www.statista.com/outlook/16010200/109/freezers/united-states.</ref>. Ceci correspond à environ 0,008 appareil vendu par an et par américain, ce qui est un chiffre bien plus bas que la statistique européenne. Néanmoins, l'étude montre que ce chiffre ne stagne pas, mais augmente assez vite depuis 2012, et devrait continuer de monter à ce rythme jusqu'en 2025. En comparant avec l'évolution de la population (qui devrait croître mais relativement faiblement), le chiffre de 0,008 appareil vendu par habitant et par an devrait légèrement monter jusqu'en 2025, ce qui traduirait une augmentation de la demande des américains en congélateurs, et tendrait à la rapprocher des chiffres européens. * Au '''Japon''' : on constate que les volumes de vente de congélateurs diminuent régulièrement depuis 2012<ref> Statista. « Freezers - Japan | Statista Market Forecast ». Consulté le 27 avril 2020. https://www.statista.com/outlook/16010200/121/freezers/japan. </ref> (nous n'avons pas réussi à accéder aux chiffres précis), mais nous ne pouvons pas déterminer si cela est imputable à la diminution de la population, ou à un réel changement de comportement alimentaire de la part des japonais. * En '''Chine''' : les volumes de vente de congélateurs ont légèrement baissé depuis 2012, mais devraient re-augmenter dans les années à venir (pas d'accès aux chiffres précis)<ref> Statista. « Freezers - China | Statista Market Forecast ». Consulté le 27 avril 2020. https://www.statista.com/outlook/16010200/117/freezers/china. </ref> * Au '''Brésil''' : les volumes stagnent aussi, mais devraient augmenter un petit peu dans les années à venir<ref> Statista. « Freezers - Brazil | Statista Market Forecast ». Consulté le 27 avril 2020. https://www.statista.com/outlook/16010200/115/freezers/brazil.</ref> Dans l'ensemble, il est délicat de formuler des conclusions sur les '''habitudes alimentaires''' au sein des différents pays, d'autant qu'il n'existe pas forcément de véritable étude sociologique à ce sujet. Les français sont probablement plus attachés à la cuisine "faite maison" (plutôt qu'aux plats préparés) que dans d'autres pays, comme les États-Unis, mais il est difficile de le prouver. Par ailleurs, on ne peut pas catégoriser la consommation de congélateurs selon le statut "développé" ou "en développement" du pays : on a pu voir que des tendances très différentes se dégageaient au sein même de ces catégories. On a ainsi constaté que la France et l'Allemagne, qui ont pourtant des situations économiques et sociales assez proches, suivent des tendances totalement inverses en matière de consommation de congélateurs. Cette dernière n'augmente pas forcément non plus de manière exponentielle dans les pays "'''en développement'''" comme le Brésil ou la Chine. Néanmoins, dans tous les cas, le congélateur s'est largement diffusé dans les sociétés grâce à l''''amélioration du confort''' qu'il permettait, comme on l'a vu pour la France. <br /> En conclusion, les différents comportements d'achat de congélateurs autour du monde ne dépendent pas tellement du développement des pays (sauf pour les états non-développés, où cet objet ne figure pas dans les priorités des populations), mais plutôt de '''facteurs sociaux et économiques''' internes à chacun, qui poussent les populations à acheter différemment, et qui influent aussi sur l'activité des fabricants et négociants, comme nous le verrons dans une partie ultérieure. === Evolution des Modes de Vie === ==== Possibilité de Conservation des Récoltes et Réduction du Gaspillage ==== Comme on l'a vu, le congélateur est avant tout apparu dans le '''milieu rural''', dans le cadre général de la politique agricole française des années 1960. Il s’agissait au départ d'une simple ''case de congélation'', sorte de chambre froide de grandes dimensions pour les coopératives d’agriculteurs<ref name="FroidDom" />. Le congélateur « simple » ou ''bahut'' très volumineux était le seul appareil acheté prioritairement par les agriculteurs pour stocker leurs '''surplus de production'''. Il incarnait alors un simple moyen supplémentaire de conservation des aliments. Entre novembre 1978 et janvier 1979, 41,4% des habitants résidant dans les communes rurales possèdent un congélateur indépendant contre seulement 14,7% dans les communes de plus de 100 000 habitants et 9,8% en agglomération parisienne<ref name="Bocaux">{{Lien web |auteur = Alain Trognon |titre = Bocaux hier, congélateur aujourd'hui |url = https://doi.org/10.3406/estat.1979.4200 |périodique = Économie et Statistique, volume 116 |date = novembre 1979 |consulté le = 25 février 2020 }}</ref>. Le congélateur diffère l’utilisation des aliments pour ne les consommer que lorsque cela est nécessaire. Une '''manière novatrice de gestion''' des ressources apparaît : au lieu d’être jetées, de nouvelles denrées peuvent être conservées à l’échelle de semestres ou d’années, au lieu de jours ou semaines. Grâce au congélateur, il est possible même pour le particulier de '''prévenir le gaspillage''' sans pour autant tomber dans un rythme excessif de consommation<ref name ="DBALVET">{{Lien web |auteur = Delphine Balvet |titre = La consommation de productions locales en Bresse de l’Ain :Pratiques et représentations alimentaires |url = https://doi.org/10.3406/estat.1979.4200 |périodique = Thèse, Sociologie et anthropologie, Université Lumière Lyon 2 |date = 10 décembre 2002 |consulté le = 27 février 2020 }} </ref>. Pour les particuliers ce sont davantage les restes de plats très bons qui sont congelés, permettant d’avoir toujours quelque chose à offrir en cas de venues imprévues d'amis, de famille. Le congélateur rentabilise à moindre échelle les petites productions, pas suffisantes pour en faire un plat, comme des champignons ramassés ou des fruits cueillis, qui sont conservés dans l’attente d’être en quantité suffisante (comme précédemment évoqué). ==== Accès à la Diversité Alimentaire ==== Parallèlement à l'arrivée du congélateur, l’alimentation en France mais également dans d’autres pays développés se '''diversifie'''. La consommation de nourriture dite "des pauvres", très riche en féculents, en pain, etc. diminue. Elle est peu à peu remplacée par de la nourriture dite "des riches", à base d’aliments plus onéreux, tels que la viande ou le poisson. Certains contrastes sociaux sont ainsi gommés, l'alimentation de toute la population s'homogénéisant<ref name="JPPOULAIN">{{Ouvrage |auteur = Jean-Pierre Poulain |titre = Sociologies de l'alimentation |lieu édition = Paris |éditeur = PUF |date = 2017 }}</ref>. Dans ce contexte la '''consommation de produits surgelés évolue'''. En Suède par exemple, c’est en 1940 qu’apparaissent les fruits et les légumes surgelés autour de grandes villes équipées en usines de conditionnement. Dix ans plus tard les volailles et les plats cuisinés arrivent sur le marché, et sont distribués finalement à toute la population. S’en suit chronologiquement les fruits de mer, la viande hachée, les pommes de terre, les produits de boulangerie et des produits de plus en plus transformés. Bien que la diversité des surgelés grandisse, ils ne représentent que 5% de la consommation totale du pays (soit 18,2 kg par habitant et par an) en 1973 en Suède, pourtant alors au second rang mondial pour la consommation de surgelés . Dans la fin des années 1970 (date de publication de l'étude), on constate également une diminution de la consommation de surgelés du Nord au Sud, avec par exemple 0,9 kg par habitant et par an en Italie, en raison d’un climat plus propice à de nombreuses ressources agricoles toute l'année. De plus chaque pays a ses préférences pour un type de produits comme les poissons dans les Pays Scandinaves<ref> {{Lien web |auteur = Jacques Pinard |titre = L'industrie et la distribution des produits alimentaires surgelés en Suède |url = https://www.persee.fr/doc/noroi_0029-182x_1978_num_97_1_7472_t1_0291_0000_2 |périodique = Norois n°97-98, pages 291-293 |date = juin 1978 |consulté le = 25 février 2020 }}</ref>. La variété de produits consommables grâce aux surgelés s'illustre aussi à travers une certaine envie '''“d'exotisme culinaire”.''' Elle est apparue durant les années 1960, notamment dans les magazines féminins des pays occidentaux où sont représentés des plats issus d’autres cultures<ref> {{Ouvrage |auteur = Phillippe CARDON, Thomas DEPECKER, Marie PLESSZ |titre = Sociologie de l'alimentation |lieu édition = Paris |éditeur = Arman COLLIN |date = 2019 }}</ref>. La diversité alimentaire à laquelle nous avons aujourd'hui accès est possible à un '''coût humain et environnemental''' très important. Si en France, nombre de nos produits à bas coût sont d’origine espagnole, c’est qu’ils proviennent très certainement d’immenses serres où l’agriculture y est intensive. Les serres d’''Almería'' en sont un exemple. Elles totalisent près de {{unité|40000|hectares}} de serres, provoquant l'assèchement des nappes phréatiques, accélérant la désertification de la région et perturbant les écosystèmes. Les travailleurs y ont des conditions d’emploi plus que précaires et un salaire largement en dessous du minimum légal. Ce sont pour la grande majorité d’entre eux des immigrés qui ne connaissent pas encore leurs droits et acceptent toutes les conditions possibles contre une faible rémunération. Leurs logements sont faits de restes de serres et ils n’y ont bien entendu ni eau potable ni électricité. Les aliments issus de ces '''zones agricoles intensives''' ne sont évidemment pas certifiés "biologiques" ou encore "d'agriculture responsable"<ref>{{Lien web |auteur = Page Wikipédia |titre = Almería |url =https://fr.wikipedia.org/wiki/Almer%C3%ADa#Agriculture |consulté le = 26 avril 2020 }}</ref>. Un autre exemple de ce coût est l’élevage de crevettes marines en Asie et plus particulièrement en Thaïlande qui en est le principal exportateur. L’industrie de la crevette a débuté dans les années 1970 et a connu une '''croissance rapide''' suite à la demande croissante des États-Unis, du Japon mais aussi de l’Europe Occidentale, pour dépasser en 2003, 1,6 millions de tonnes produites dans l'année. L'industrie mondiale des crevettes a des '''conséquences dévastatrices''' pour l’écologie, ne serait-ce simplement que pour les crevettes (on observe chez elles de nombreuses maladies dues à la monoculture et à la promiscuité). Et bien que cette activité génère beaucoup d’emplois, les plus gros bénéfices ne sont malheureusement pas utilisés pour soutenir les travailleurs<ref>{{Lien web |auteur = Page Wikipédia |titre = Elevage de crevettes |url =https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89levage_de_crevettes#Impact_social |consulté le = 26 avril 2020 }}</ref>. Beaucoup des surgelés que nous consommons utilisent des produits issus de ces parcelles d'agriculture intensive et de ces zones d'élevage intensif. Malheureusement, il est souvent très difficile d’établir un lien explicite entre les produits vendus et la provenance des composants (peu voire aucune indication sur les emballages et pas de communication de la part des industriels du froid alimentaire). ==== Gain de Temps et de Confort ==== Tout le temps passé à des activités autres que le travail représente un manque à gagner. Il paraît donc nécessaire d’'''optimiser son temps libre''' au mieux pour qu’il soit le plus agréable possible. Les activités les plus contraignantes comme les tâches ménagères, la cuisine, etc. sont peu à peu facilitées et raccourcies par l'arrivée sur le marché d'appareils d’équipement individuels, qui permettent ainsi à chacun de se libérer du temps pour la pratique de nouveaux loisirs. Parallèlement au développement du congélateur, les femmes se libèrent peu à peu des tâches ménagères (qu'elles exécutaient beaucoup plus que les hommes) et s’insèrent de plus en plus sur le marché du travail. En 1950, une femme passait environ 4h de ses journées pour des activités liées à l’alimentaire (préparation des repas, vaisselle…) contre moins d’une heure en 1992 grâce, entre autres, au congélateur<ref> |auteur = Jean-Pierre Poulain |titre = Sociologies de l'alimentation |lieu édition = Paris |éditeur = PUF |date = 2017 </ref>. [[Image:Évolution de la consommation des ménages américains entre 1900 et 2005.jpg|thumb| Evolution de la consommation des ménages américains en équipement domestique<ref>{{Lien web | langue = anglais | auteur = Nicholas Felton | url = https://archive.nytimes.com/www.nytimes.com/imagepages/2008/02/10/opinion/10op.graphic.ready.html?ex%255Cu003d1360299600%255Cu0026en%255Cu003d9ef4be7cf82e4353%255Cu0026ei%255Cu003d5124%255Cu0026partne | titre = CONSUMPTION SPREADS FASTER TODAY | site = The News York Times | consulté le = 15 mars 2020 }}.</ref>]] Un autre exemple : au Canada, si le temps de la préparation des repas diminue entre 1986 et 2005 pour passer de 8,3 à 3,8 heures par semaine, on observe au contraire que certaines activités prennent de plus en plus de temps, comme le travail (qui passe de 24,7 h/semaine à 28 h/semaine), les associations et les loisirs comme le sport (1,8 h/semaine à 3,5 h/semaine), les soirées et visites (6,6 h/semaine à 8,9 h/semaine)<ref name="IRPP"> « Le temps dans tous ses états : temps de travail, temps de loisir et temps pour la famille à l’aube du XXIe siècle ». Enjeux publics IRPP 8 .Pronovost, Gilles. 2007.</ref> . Le gain de temps permis, entre autres, par le congélateur pour la préparation de repas, peut améliorer le confort de la population qui s'offre plus de loisirs même si elle passe globalement plus de temps au travail. De plus un '''rejet progressif du modèle culinaire''' ancestral de la mère (on a alors l'habitude que ce soit toujours la mère de famille qui fasse la cuisine !) se profile : le recours à des aliments déjà en partie transformés est de plus en plus fréquent. Le congélateur libère enfin les cuisiniers et cuisinières des contraintes liées à l’avancement des produits. Il constitue un objet de '''gain de temps précieux,''' puisqu'il permet par exemple de consommer, lorsque nous n’avons pas le temps de cuisiner, des portions d’un plat fait en grosse proportions un jour de temps libre. On peut conserver sur de longues durées tous les produits que l'on devrait sinon manger immédiatement ou jeter ! ==== Le "combiné" : Objet de Réussite Sociale ==== Entre 1977 et 1979, l’équipement France en combinés (appareils qui font à la fois réfrigérateur et congélateur) a '''presque doublé''', passant de 8,8% à 16,7% en taux d’équipement dans les ménages. Le congélateur indépendant lui reste relativement stable, équipant de 20,5% à 23,6% des ménages. [[File:Taux de possession en congélateur en France entre 1978-79.png|thumb|Taux de possession en congélateur en fonction du revenu par ménage en France entre 1978-79<ref name="Bocaux" />]]Si le fort lien entre population rurale et congélateur indépendant a été évoqué dans les parties précédentes, le congélateur combiné lui est '''privilégié par les urbains''' et plus précisément ceux issus des classes aisées. En effet, entre 1978 et 1979, les cadres supérieurs et moyens et les professions libérales sont ceux qui ont le plus fort taux d’équipement en combiné réfrigérateur-congélateur (environ 25% d'entre eux en possèdent un). Ainsi, on constate que '''"le haut revenu favorise le combiné"'''<ref name="Bocaux" />. La réussite sociale associée au congélateur est également représentée dans les '''affiches publicitaires'''. Ces dernières représentent, avec leur style vintage, une femme, “ la ménagère” fière et heureuse de son beau combiné. Ce dernier a un design issu des pensées futuristes des années 1960, sa forme est arrondie, sa couleur est rayonnante. Il symbolise véritablement le progrès et doit absolument être présent dans les ménages. Comme évoqué précédemment, le congélateur a participé à l’'''émancipation des femmes''' par son côté pratique et le confort qu'il a apporté. D’autres équipements ménagers ciblent la femme comme cliente principale dans le but de lui rendre la vie meilleure toute en restant la personne préposée pour faire les tâches ménagères (il y a peu voire pas d'hommes de maison). Le célèbre slogan “''Moulinex libère la femme''” publié dès 1960 illustre parfaitement ce propos. === Le Marché du Gros Electroménager (GEM) Français, un marché étendu === Les paragraphes qui suivent ont pour objectif d'introduire l'impact du Gros Electroménager (GEM) sur l'économie française. Les données et analyses présentées s'appuient largement sur une étude de l'organisation Xerfi<ref name="Xerfi1">Pecqueur Hugo, Lemesle Olivier, Césard Anne. « La Fabrication et le Marché du gros Electroménager ». 2020, 161. https://www.xerfi.com/presentationetude/La-fabrication-et-le-marche-du-gros-electromenager_20CSO03 </ref>.<br /> Attention, certaines données présentées dans les paragraphes suivants constituent des prévisions de l'activité du secteur réalisées début 2020, avant la crise du coronavirus. Il convient donc de les considérer avec précaution. ==== Panorama du Marché et des Acteurs ==== <small> ===== Le Marché de l'Electroménager ===== </small> Le secteur de l'électroménager a pour cible principale le grand public, les "ménages". S'il est vrai que certaines entreprises (transport frigorifique, restauration…) s'équipent également en appareils professionnels, nous ne traiterons ici que le marché s'adressant au '''grand public'''.<br /> On désigne par l'appellation Gros Electroménager (GEM) l'ensemble des appareils entrant dans les 3 catégories suivantes : '''''Froid''''' (réfrigérateur, congélateur, cave-à-vin), '''''Cuisson''''' (four, plaque de cuisson, hotte, cuisinière, micro-ondes) et '''''Lavage''''' (lave-linge, sèche-linge, lave-vaisselle). On considère qu'en 2018, 15,3 millions d'articles de GEM ont été vendus en France, pour un total de 5,2 milliards d'euros. Le segment du Froid représente 29 %, en valeur, des ventes de GEM, pour 1,5 milliards d'euros en 2018<ref name="Gifam1"> Communiqué de Presse - Bilan 2018 du Gifam [https://www.gifam.fr/wp-content/uploads/2019/02/Communiqu%C3%A9-de-presse.pdf]</ref>. Ainsi, le ''Gifam'' nous indique que 673 735 congélateurs ont été vendus en France en 2019<ref name="Gifam2">« Le congélateur – Gifam ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.gifam.fr/accueil/gem/le-congelateur/#chiffres-cls.</ref>. La plupart de ces ventes constituent du renouvellement d'un parc existant, la durée de vie moyenne d'un congélateur acheté neuf étant d'une quinzaine d'années<ref name="Gifam2" />. <br /> En 2018, les foyers français abritent 206 millions d'appareils de GEM, soit en moyenne 7 par foyer<ref name="Gifam1" />, dont 17,5 millions de congélateurs ! On considère plus spécifiquement que 55 % des ménages possèdent un congélateur<ref name="Gifam2" /> (attention, ce chiffre ne prend en compte que les congélateurs simples, pas les appareils combinés réfrigérateur/congélateur, qui sont de plus en plus nombreux, et qui amènent ce taux à plus de 90 %). <small> ===== La commercialisation ===== </small> La commercialisation de l'électroménager se fait via de '''nombreux circuits'''. Ainsi, en 2017, 5,8 % des ventes étaient réalisées en grandes surfaces alimentaires, 50,3 % en grandes surfaces spécialisées (''Darty'', ''Boulanger''…), 15,5 % en magasins de proximité (type ''Gitem'' ou ''Pro&Cie''), 19,3 % en enseignes de cuisine (''Mobalpa'',''Schmidt''…), et 9,1 % sur internet<ref name="Xerfi1" />. Les fabricants d'électroménager ne vendent pas directement les appareils aux particuliers mais passent systématiquement par des négociants ou par les centrales d'achat de ces magasins. <small> ===== Qu'est ce qui influe sur le marché : les déterminants ===== </small> L'étude Xerfi<ref name="Xerfi1" /> nous expose les 9 "déterminants" du secteur, les 9 facteurs et acteurs qui influencent l'activité économique des fabricants et des négociants : * La '''Situation Financière des Ménages''' : Il est évident que la situation économique et financière des ménages influe fortement sur leurs comportements d'achats. En fonction des revenus et du pouvoir d'achat, les ménages vont décider de se tourner vers des marques reconnues ou vers des marques de distributeurs, choisir de monter ou de descendre en gamme, etc. * Le nombre de '''Transactions Immobilières''' : Le déménagement étant bien souvent pour les ménages l'occasion de renouveler les équipements électroménagers, le nombre de transactions immobilières a un gros impact sur l'activité des fabricants et des négociants de GEM, et donc de congélateurs. * Les '''Évolutions Socioculturelles''' : L'ensemble des tendances de consommation, des effets de mode, jouent un rôle important sur le comportement des ménages. Par exemple, la tendance du "fait-maison", initiée au début des années 2000, a poussé de nombreux ménages à s'équiper en appareils de cuisine (fours plus performants, tables de cuisson…), impactant de manière positive les ventes de GEM. Aujourd'hui, les préoccupations écologiques poussent les consommateurs à se tourner vers des appareils plus durables, moins gourmands en énergie, ou insérés dans une logique d'économie circulaire. * Les variations des '''Taux de Change''' : Les négociants français s'approvisionnent en grande partie hors de la zone euro. Les coûts d'approvisionnement dépendent donc en grande partie du cours de l'euro vis-à-vis des autres devises, ce qui influe spécifiquement sur leur chiffre d'affaires. * La '''Demande Étrangère''' : Les fabricants français de GEM réalisent une part importante de leur activité à l'étranger (17 % selon Xerfi en 2017), dont la majorité en Europe. Les variations des exportations influent donc sur le chiffre d'affaires des fabricants, mais aussi des négociants, souvent en charge du transit des marchandises destinées à l'export. *Le '''Rapport de Force''' avec les distributeurs : La capacité des fabricants et des négociants à revaloriser leurs tarifs (et donc à accroître les ventes, en valeur) dépend de leur pouvoir de négociation vis-à-vis de leurs clients, qui sont en majorité des centrales d'achat des enseignes spécialisée, ayant un pouvoir élevé. On observe par ailleurs ces dernières années une tendance au regroupement des centrales d'achat des enseignes spécialisées, qui contribue à un renforcement de leur pouvoir de négociation. * La '''Concurrence étrangère''' : Les fabricants français sont confrontés à une forte concurrence étrangère, à la fois en France et sur les marchés internationaux. Ils doivent faire face à l'offre de produits d'entrée et milieu de gamme originaire des pays émergents. Ceci peut entraîner une perte de clientèle, et limiter les volumes de ventes. De plus, les distributeurs français s'approvisionnent dans les pays à bas coût de main-d'œuvre, ce qui force les fabricants français à diminuer leurs prix de vente pour s'aligner, et impacte négativement les ventes en valeur. * Les '''Efforts d'Innovation''' : Les innovations encouragent les ménages à renouveler leurs équipements, ce qui a un impact déterminant sur l'activité des fabricants. Elles leurs permettent en effet de se démarquer de la concurrence et de réhausser leurs tarifs. Le goût prononcé des consommateurs pour les nouveautés permet aux fabricants de vendre plus et plus cher. * Les '''Capacités de Production''' : Les fermetures d'usines (délocalisations dans les pays à coûts de fabrication peu élevés), la construction de nouveaux ateliers ou les ouvertures de lignes de production induisent l'augmentation ou la diminution du chiffre d'affaires des fabricants. À cette liste, il serait pertinent d'ajouter les diverses '''Crises''' à la lumière de la situation actuelle. Ainsi, la crise du coronavirus a incité les français à acheter plus de congélateurs, par peur du manque, ou manque de place pour stocker autrement : Le groupe ''Fnac-Darty'' a ainsi annoncé que ses ventes avaient été multipliées par 10 comparé aux commandes habituelles, avec un pic le 17 mars, 65 000 commandes en une journée<ref>MSN. « Coronavirus: des ventes de congélateurs multipliés par 10 et ruée sur les imprimantes ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.msn.com/fr-fr/finance/other/coronavirus-des-ventes-de-cong%C3%A9lateurs-multipli%C3%A9s-par-10-et-ru%C3%A9e-sur-les-imprimantes/ar-BB11qb0x.</ref>{{,}}<ref>lsa-conso.fr. « [Coronavirus] Fnac Darty vend plus d’ordinateurs, de consoles...et de congélateurs ». Consulté le 27 avril 2020. https://www.lsa-conso.fr/fnac-darty-vend-plus-d-ordinateurs-de-consoles-et-de-congelateurs,343165.</ref>!<br /> La crise écologique en cours peut aussi influer sur la consommation d'appareils électroménagers, notamment de congélateurs, comme nous le verrons par la suite. ==== Evolution des Déterminants et Conséquences sur le Secteur ==== Cette sous-section traite de quelques exemples pour illustrer l'influence des 9 déterminants évoqués ci-dessus<ref name="Xerfi1" />. Ces exemples nous permettent de bien comprendre à quel point le marché de l'électroménager français est important, à quel point il fait parler de lui. Les enjeux sont fondamentaux, et les distributeurs comme les consommateurs ne s'y trompent pas ! * Influence des '''Fermetures et Ouvertures d'usines''' : En 2019, la fermeture de l'usine ''Whirlpool'' d'Amiens (en juin 2018)<ref>« Tout comprendre à la fermeture de l’usine Whirlpool à Amiens ». Le Monde.fr, 26 avril 2017. https://www.lemonde.fr/emploi/article/2017/04/26/tout-comprendre-a-la-fermeture-de-l-usine-whirlpool-a-amiens_5118204_1698637.html.</ref> a immédiatement entraîné une baisse de -7,4 % (traitement Xerfi, source Eurostat-Podcom) de la valeur du montant des ventes des fabricants français. Avant cela, la fermeture en 2016 de l'usine ''Electrolux'' de Revin (08)<ref>Franceinfo. « L’usine Electrolux qui va fermer dans les Ardennes est en grève à 100% », 22 octobre 2012. https://www.francetvinfo.fr/economie/entreprises/electrolux-va-fermer-une-usine-de-lave-linge-dans-les-ardennes_159015.html.</ref> avait eu, à un degré moindre, le même effet. Inversement, le groupe ''Schneider Consumer'' a annoncé en février 2019 la relocalisation en France de la marque ''Schlotès'', l'objectif étant de surfer sur la vague du "Made in France" pour conquérir de nouveaux marchés, notamment asiatiques<ref>« Schneider Consumer Group (ex-Admea) va relocaliser la marque d’électroménager Scholtès en France - Equipements électriques ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.usinenouvelle.com/article/schneider-consumer-group-ex-admea-va-relocaliser-scholtes-en-france.N802130.</ref>. Ceci aurait dû se concrétiser par une hausse en 2020 de 5% des facturations du secteur (prévision Xerfi, avant le coronavirus). * Influence de la '''Politique Intérieure''' : La crise des gilets jaunes (2018-2019) a conduit le gouvernement à mener certaines mesures économiques pour réhausser le pouvoir d'achat des français (+1,6 % en 2019 pour l'ensemble des français, +2% pour les classes moyennes<ref>Gouvernement.fr. « 2019 : le pouvoir d’achat des Français est en hausse ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.gouvernement.fr/2019-le-pouvoir-d-achat-des-francais-est-en-hausse.</ref>). Ceci a permis à plus de français de moderniser leurs équipements en 2019, faisant par ailleurs bondir l'activité des négociants (''Mobalpa'' et ''Schmidt'' par exemple). En revanche, il risque de ne pas en être de même en 2020 : les prévisions faisaient état, avant même la crise du coronavirus, d'une hausse modérée du pouvoir d'achat des français (+1 %) et d'une baisse de 1% du chiffre d'affaires des négociants. Il y a fort à parier que ces chiffres seront en réalité très différents. * Influence de la '''Politique Extérieure''' : L'érosion du tissu industriel français (que nous expliciterons par la suite), observée depuis une dizaine d'années, conduit à une hausse de la concurrence étrangère sur le marché français (+ 8 % d'importations en valeur en 2019)<ref name="Xerfi1" />. Certains secteurs, comme le lavage et le froid (qui nous intéresse) sont sans acteur majeur français : les distributeurs se tournent alors vers des pays aux politiques tarifaires agressives, comme la Chine ou la Turquie (respectivement + 38 % et + 42 % du volume d'importations en 2019). Nous détaillerons dans une section suivante ce phénomène d'érosion industrielle. * Influence des '''Innovations''' : La technologie ''Twintechno'' d'''Electrolux''<ref>Electrolux TwinTech. Consulté le 22 avril 2020. https://www.youtube.com/watch?v=D1lJkmcM2ss.</ref> (qui permet de "préserver le goût et la durée de vie des aliments") a contribué au rebond de l'activité des négociants. De nombreuses innovations, notamment dans le domaine des appareils connectés, permettent par ailleurs de donner un second souffle aux ventes des fabricants : de nouveaux modèles permettant des gains de temps ou des économies d’énergie sont plébiscités par les français. D'après une étude réalisée par le Gifam, 40% des français aimeraient avoir un lave-linge ou un réfrigérateur connecté. Les fabricants multiplient les initiatives et les investissements afin de sortir l’électroménager connecté de son marché de niche pour en faire une norme et générer un nouveau cycle de croissance. ''Bosch'' ambitionne ainsi de passer de 10% d’électroménager connecté dans son offre (en 2019) à 50% d’ici 2023 et 75% en 2025<ref>« Home Connect : la maison connectée | BOSCH ELECTROMENAGER ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.bosch-home.fr/nos-exclusivites/home-connect.</ref>. * Influence des '''Alliances''' : Plusieurs alliances entre grandes enseignes tricolores ont eu lieu ces dernières années, a l'image de ''Fnac''+''Darty''<ref>Franceinfo. « Fnac-Darty : la naissance d’un nouveau géant français », 7 novembre 2015. https://www.francetvinfo.fr/economie/commerce/fnac-darty-la-naissance-d-un-nouveau-geant-francais_1164109.html. </ref>, ''Auchan''+''Boulanger''<ref>lsa-conso.fr. « Accord entre Boulanger et Auchan, un pragmatisme implacable ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.lsa-conso.fr/accord-entre-boulanger-et-auchan-un-pragmatisme-implacable,246120.</ref>, ''Conforama''+''Casino''<ref>Lentschner, Keren. « Casino et Conforama unis au rayon électroménager ». Le Figaro.fr, 30 novembre 2016. https://www.lefigaro.fr/societes/2016/11/30/20005-20161130ARTFIG00340-casino-et-conforama-unis-au-rayon-electromenager.php.</ref>… Les négociants subissent une baisse de leur influence face à ces giga-enseignes, et ne peuvent par ailleurs que subir également la hausse du coût des marchandises, liée à la dépréciation de l'euro face au dollar. === Les Autres Utilisations du Mécanisme de Congélation === Nous nous sommes intéressés jusqu'ici au congélateur comme objet électroménager, au sens de "pour les ménages". En réalité, pour saisir totalement la place que l'objet occupe dans notre société, il est nécessaire d'envisager ses autres utilisations. De plus, il est intéressant de constater que le congélateur a été, dès son développement "moderne" (années 1950), utilisé dans '''des domaines très éloignés de la conservation alimentaire''', et parfois très pointus ! Il a permis de nombreux progrès en médecine, en ingénierie, en recherche, etc. Nous évoquerons dans les sous-sections suivantes quelques domaines où les congélateurs (ou le mécanisme de congélation) sont utilisés. ==== Médecine ==== En médecine, l'utilisation du congélateur est largement répandue. On l'utilise notamment et surtout pour la conservation de cellules sexuelles : <small> ===== Conservation de Sperme ===== </small> La '''congélation des spermatozoïdes''' permet aux hommes de conserver la possibilité de devenir père lorsqu’ils doivent subir un traitement (chimiothérapie, radiothérapie…) ou une intervention chirurgicale (prostate, vessie…) risquant de les rendre stériles<ref>« Autoconservation de sperme - Centre Hospitalier Universitaire (CHU) de Toulouse ». Consulté le 3 avril 2020. https://www.chu-toulouse.fr/-autoconservation-de-sperme-.</ref>. Elle peut être également utilisée pour faciliter certains processus d’assistance médicale à la procréation (Fécondation in Vitro ou insémination artificielle). En effet, les spermatozoïdes humains peuvent être congelés et conservés pendant de longues années (plus de 20 ans dans la plupart des cas !) sans perdre leur pouvoir fécondant. Le sperme est mélangé dans l’heure qui suit son prélèvement à un milieu cryoprotecteur (protège les cellules du froid, pour éviter qu’elles n’éclatent) avant d’être conditionné sous forme de paillettes de 0,3 mL puis d’être congelé progressivement dans de la vapeur d’azote à -80°C, puis de l’azote liquide à -196°C<ref>Bleu, Globule. « Préservation de La Fertilité : La Congélation Du Sperme ». CPMA. Consulté le 3 avril 2020. http://cpma-ulg.be/les-traitements/la-preservation-de-la-fertilite/sperme/.</ref>. Suivant les pays, différentes lois encadrent cette pratique, en fonction de la raison qui pousse les patients à y recourir, de l’utilisation future envisagée pour les spermatozoïdes, etc. <small> ===== Conservation d'Ovocytes ===== </small> La '''congélation d'ovocytes''', autorisée dans certains pays (Espagne par exemple) est pour le moment interdite en France, sauf dans certains cas très précis, au moins jusqu’à ce que le Sénat valide la loi de bioéthique votée par l’Assemblée Nationale en octobre 2019<ref> Franceinfo. « Congélation d’ovocytes : un espoir à relativiser... », 7 novembre 2019. https://www.francetvinfo.fr/sante/grossesse/congelation-d-ovocytes-un-espoir-a-relativiser_3693283.html.</ref>. Les rares cas autorisés aujourd’hui sont les raisons médicales (certaines maladies comme l'endométriose, ou certains traitements de chimiothérapie et radiothérapie), ainsi que pour le don d’ovocytes. Le projet de loi voté par l'Assemblée prévoit que toutes les femmes puissent y recourir, afin de décider elles-mêmes du moment de leur grossesse (en fonction de la durée des études et de la situation financière, la volonté de procréer peut apparaître tard, parfois trop pour l’horloge biologique). Différents traitements hormonaux sont subis par la patiente pour stimuler les ovaires. Les ovocytes en sont extraits grâce à une ponction, puis les ovocytes mûrs sont sélectionnés, et plongés dans une solution de saccharose afin d’éliminer l’eau qu’ils contiennent (qui pourrait les endommager lors de la congélation). Ils sont ensuite placés dans des petits tubes, plongés dans l’azote liquide à – 196°C. L’opération ne réussit pas toujours, en fonction de l’âge de la patiente et de divers facteurs individuels, et elle coûte en général très cher (par exemple aux États-Unis)<ref>Timefreeze. « Qu’est-ce que la congélation d’ovocytes ? » Consulté le 3 avril 2020. https://www.timefreeze.fr/le-processus/.</ref>. ==== Biologie ==== [[File:Svalbard Global Seed Vault - panoramio.jpg|thumb|Réserve mondiale de semences du Svalbard]] En biologie, on utilise le mécanisme de congélation pour conserver notamment les '''graines'''. En effet, les graines de végétaux, étant donné leur caractère relativement pauvre en eau, se prêtent bien au processus de congélation. Elles peuvent ainsi être stockées pendant de nombreuses années sans se dégrader<ref>agence, A. F. P., Agathe Muller. « Norvège: le grenier de l’humanité s’adapte pour lutter contre le réchauffement climatique ». Le Figaro.fr, 2 mars 2018. https://www.lefigaro.fr/sciences/2018/03/02/01008-20180302ARTFIG00370-norvege-le-grenier-de-l-humanite-s-adapte-pour-lutter-contre-le-rechauffement-climatique.php.</ref>. L’exemple le plus connu d’un tel processus est celui situé dans l’archipel norvégien du Svalbard, au cœur de l’Arctique, où un immense complexe surnommé le « grenier de l’humanité » a été bâti en 2008 pour stocker près d’un million de variétés de graines végétales. Il offre une réserve pour faire face aux potentielles catastrophes naturelles, guerres, changement climatique ou maladies. Si des espèces venaient à disparaître de certaines régions, on pourrait utiliser ces réserves pour les rétablir. Des immenses salles sont creusées à {{unité|120|m}} sous Terre, au cœur du pergélisol, qui contribue à maintenir la température intérieure aux alentours de -18°C, l’idéal pour conserver les graines. ==== Congélation des sols et Génie civil ==== Dans le domaine du génie civil, on n'utilise pas de "congélateur" à proprement parler, mais la '''congélation des sols''' peut être employée pour certains travaux. Il s'agit d'une technique couramment utilisée pour le perçage de puits et de tunnels dans des terrains saturés en eau. On peut décider de faire geler cette eau pour pouvoir excaver le sol, qui devient parfois aussi dur que du béton<ref>« Congélation des sols - Bodengefriertechnik ». Consulté le 3 avril 2020. https://www.congelation-des-sols.fr/.</ref>. Le processus historique (utilisé depuis 1862) consiste à placer dans le sol des tuyaux contenant une solution de saumure (chlorure de calcium, sodium ou magnésium) à environ -50°C. Cette solution, en circulant, va jouer le rôle de fluide caloporteur et extraire la chaleur du sol, qui va peu à peu geler (compter de 20 à 40 jours tout de même !). Depuis plus récemment, on utilise de l’azote liquide (-196°C) sous pression (5 bars) pour remplacer la saumure<ref>« Congélation des sols ». In Wikipédia, 29 février 2020. https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Cong%C3%A9lation_des_sols&oldid=167930703.</ref>. De nombreux exemples d’utilisation de cette technique existent, comme certains tunnels du métro parisien<ref>« Ligne 4 du métro de Paris ». In Wikipédia, 15 avril 2020. https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ligne_4_du_m%C3%A9tro_de_Paris&oldid=169596254.</ref>, ou encore le projet d’autoroute souterraine Big Dig<ref>« Big Dig ». In Wikipédia, 10 novembre 2019. https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Big_Dig&oldid=164366640.</ref> à Boston. ==== Recherche Physique : un Congélateur au LHC ==== [[File:Views of the LHC tunnel sector 3-4, tirage 1.jpg|thumb|Vue du tunnel du '''LHC''']] Certains domaines de la '''recherche scientifique''' nécessitent de maintenir des températures très basses pour réaliser des opérations. C'est le cas pour les expériences menées au '''LHC''', le plus puissant accélérateur de particules au monde, situé sous la frontière franco-suisse. Il s'agit d'un anneau de {{unité|27|km}} de diamètre enterré à {{unité|100|m}} sous terre, qui produit plus de 600 millions de collisions de particules par seconde, grâce à des faisceaux de protons à des vitesses proches de celle de la lumière<ref>« Le plus grand congélateur du monde est livré au {{Abréviation|CERN|Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire}} ». Le Monde.fr, 18 octobre 2006. https://www.lemonde.fr/planete/article/2006/10/18/le-plus-grand-congelateur-du-monde-est-livre-au-cern_824789_3244.html. </ref>, que l'on concentre grâce à d’immenses aimants, qui chauffent beaucoup. Ces aimants sont en alliage de niobium-titane, aux vertus supraconductrices, de résistance complètement nulle aux courants électriques (pas de chaleur excessive produite) à condition d’être réfrigérés à -264°C. La société française Air Liquide, qui a conçu le système de refroidissement, a décidé de descendre jusqu’à -271°C (1,9°C au-dessus du 0 absolu), car l’hélium liquide utilisé dans le système devient alors un superfluide, qui possède des propriétés de conductivité parfaite, de non-frottements et une viscosité nulle. == Le 21^e siècle : Temps de Remise en Questions ? == === Impact des Fluides Frigorigènes sur l’Environnement (CFC puis HFC) === Les CFCs sont utilisés pendant plus de '''40 ans''' après leur invention à la fin des années 1920. Cependant, les études de James Lovelock menées grâce au '''Détecteur à Capture d'Electrons''' (inventé en 1957) montrent que les CFCs sont largement présents dans l'atmosphère, tandis que celles Richard Stolarski et Ralph Cicerone montrent au début des années 1970 qu'un atome de chlore se comporte de la même manière qu'un oxyde d'azote (NOx), en réagissant avec l'oxygène (sous forme d'ozone) de l'atmosphère en présence d’UltraViolets. C'est cette réaction qui provoque la '''destruction de la couche d'ozone''' dont on parle souvent. Suite à ces découvertes, Mario Molina et F. Sherwood Rowland découvrent en 1974 que les CFCs présents dans les réfrigérateurs, climatiseurs et congélateurs sont la cause principale de la présence d'atomes de chlore dans l'atmosphère : ceci leur vaut le prix Nobel de Chimie en 1995. Les appareils électroménagers avaient donc bien un impact réel sur l'environnement... Toutes ces recherches et prévisions ne sont '''pas prises au sérieux dans les années 1970 et 80''', même si quelques restrictions d'utilisation de certains fluides sont tout de même appliquées. Mais la donne change en 1985, lorsque des scientifiques découvrent un '''immense trou dans la couche d’ozone''', dû en grande partie aux CFCs. C'est à ce moment là que l'indice '''Ozone Depletion Potentiel''' (ou ODP) est mis en place pour identifier les fluides participant le plus à la destruction de cette-dernière<ref>{{Lien web|langue=en-US|titre=The Nobel Prize in Chemistry 1995|url=https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/1995/press-release/|site=NobelPrize.org|consulté le=2020-05-11}}</ref>. [[Fichier:Tableaux de données.png|vignette|Quelques données concernant les GWP de fluides frigorigènes<ref>[https://www.abcclim.net/les-gwp-des-fluides.html]</ref>]] Le '''protocole de Montréal''' signé en 1987 vise à interdire peu à peu les CFCs (cf [[Recherche:Pastech/242-3_Le_Congélateur_Alimentaire#Prise_de_conscience_Écologique_et_Nouvelles_Normes|paragraphe sur les normes]]). Ces derniers sont remplacés par des hydrochlorofluorocarbures ou HCFCs, légèrement moins actifs sur la couche d'ozone, dans l'attente de la découverte de fluides avec un ODP nul. Dans les années 1990, les hydrofluorocarbures (HFC) sont développés, leur ODP étant nettement moins élevé que celui des CFCs ou HCFCs. En revanche, ils ont un '''Global Warming Potentiel''' (GWP) vraiment très élevé, ce qui signifie que même s'ils ne détruisent plus la couche d'ozone, ils sont de puissants '''gaz à effet de serre'''... De plus, ces nouveaux fluides sont moins stables et plus inflammables que leurs prédécesseurs<ref name=":1" />. Les '''fuites''' de fluides frigorigènes participent activement au '''réchauffement climatique''' : on estime que jusqu'à 30 % des fluides stockés dans les appareils et installations à l'échelle mondiale se seraient perdus dans l'atmosphère à cause de fuites ! Même s'il est difficile de quantifier réellement ces fuites et de chiffrer correctement leur impact environnemental, on peut dire qu'elles ont un '''réel impact''' sur le réchauffement climatique, et que le développement de fluides totalement respectueux de l'environnement reste un '''important enjeu écologique'''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Fluides frigorigènes [Climatisation]|url=https://energieplus-lesite.be/techniques/climatisation8/composants-installation-frigorifique/fluides-frigorigenes/|site=Energie Plus Le Site|consulté le=2020-05-11}}</ref>. === Le marché du GEM français, un marché en perte de vitesse === ==== Structure économique globale du secteur ==== <small> ===== Etat général de l'Industrie en France ===== </small> De manière générale, le '''tissu industriel''' français est '''affaibli''' : depuis les années 1980, l'ensemble du secteur industriel regroupe de moins en moins d'emplois. La part de l'industrie dans le PIB est passée de 35 % en 1970 à moins de 20 % aujourd'hui<ref name="Desind">La Tribune. « Désindustrialisation de la France: où en est-on? » Consulté le 22 avril 2020. https://www.latribune.fr/opinions/tribunes/20140707trib000838796/desindustrialisation-de-la-france-ou-en-est-on.html.</ref>. Cette désindustrialisation est due à de nombreux facteurs, mais les plus importants sont les suivants : * Le '''progrès technique''' : on gagne en productivité et on n'a plus forcément besoin des ouvriers les moins qualifiés. * L'évolution de '''l'environnement social et fiscal''', de moins en moins favorables aux emplois industriels. * Les '''choix politiques''', qui ont été à l'origine de certaines mesures, comme l'exonération de certaines cotisations, favorisant l'emploi tertiaire au détriment de l'industrie. * La '''concurrence étrangère''' : d'autres choix politiques ont permis à certains pays de devenirs beaucoup plus concurrentiels industriellement parlant<ref>« La désindustrialisation française et son impact sur l’emploi - CREG ». Consulté le 22 avril 2020. https://creg.ac-versailles.fr/la-desindustrialisation-francaise-et-son-impact-sur-l-emploi.</ref>. Tous ces facteurs ont poussé de nombreuses entreprises françaises à '''externaliser''' ou '''délocaliser''' tout ou partie de leur production pour diminuer leurs coûts de fonctionnement, ou bien à se faire racheter pour ne pas faire faillite. La tendance ne s'inverse pas ces dernières années, au contraire, elle semble s'accélérer encore depuis 2010, notamment à cause des effets à long terme de la crise de 2008. <br /> Cependant, l'industrie française n'est '''pas une exception''' : au sein des pays développés (Europe occidentale, États-Unis, Japon…), le phénomène de désindustrialisation est généralisé<ref name="Desind" /> et semble aller de pair avec l'amélioration de la qualité de vie… Ainsi, en Grande-Bretagne, berceau de la révolution industrielle, la part des emplois industriels manufacturiers n'est plus que de 10 % alors qu'elle atteignait environ 50 % à l'aube de la Première Guerre Mondiale ! Les États-Unis suivent la même évolution, malgré une récente ré-industrialisation, de même que l'Allemagne, qui a pourtant toujours été plus industrialisée que la moyenne. Même l'Europe de l'Est et les pays émergents (Chine, Inde, Brésil…) connaissent cette évolution : ils ont connu une industrialisation beaucoup plus tardive et fulgurante que les pays développés, mais leur désindustrialisation débutante a commencé également beaucoup plus tôt au regard de leur développement économique. Ils profitent encore cependant très largement des délocalisations des entreprises de pays développés. <small> ===== L'Industrie du Gros Electroménager ===== </small> Le secteur de l''''électroménager''' n'échappe pas à la règle : on comptait en France 98 sites de production de GEM en 2010, et 77 en 2018<ref name="Xerfi1" />. Le nombre de salariés employés dans ce secteur est lui aussi en baisse (9996 en 2010, 7426 en 2018<ref name="Xerfi1" />).<br /> Les principaux sites de production encore présents en France se situent en région Centre-Val-de-Loire, avec 3 usines concentrant plus de la moitié des effectifs du secteur : 2 usines ''Cevital'' (ex ''Brandt'') et 1 usine ''Candy Hoover''.<br /> Concernant le '''négoce''', on trouve essentiellement des petites structures (70 % des entreprises de négoces avaient moins de 10 salariés en 2017), mais les 5 plus grandes entreprises réalisent 30 % des ventes de GEM en 2017. Ce sont majoritairement des filiales de grands groupes (''Whirlpool'', ''BSH'', ''LG Group''…), qui bénéficient d'un large catalogue et d'une forte notoriété. La France se situe au 5^e rang européen<ref name="Xerfi1" /> (d'après des données Eurostat-Prodcom) pour la vente de GEM, loin derrière la Pologne, dont la désindustrialisation est bien moins avancée, l'Italie, l'Allemagne, traditionnellement plus industrialisée, puis à un degré moindre l'Espagne. <br /> Les '''exportations françaises''' se trouvent à un niveau particulièrement bas (381 Millions d'euros en 2018<ref name="Xerfi1" />) alors que les flux entrants progressent et atteignent des taux 5 fois supérieurs ! Excepté le secteur de la cuisson haut-de-gamme, encore un peu présent en France, la quasi-totalité des appareils de GEM (dont tous les secteurs du lavage et du froid) commercialisés en France sont fabriqués à l'étranger. Les fabricants tricolores subissent par ailleurs un '''défaut de compétitivité''' face aux acteurs implantés en Europe de l'Est et Asie (main-d'œuvre qualifiée et beaucoup moins chère) : le déficit commercial se creuse, 2,2 Milliards d'euros en 2018<ref name="Xerfi1" />. On constate bien que le Gros Electroménager est à l'image de la plupart des branches de l'industrie française : il fait les frais de la mondialisation et d'une rude concurrence internationale. Le seul secteur où les entreprises tricolores sont encore concurrentielles vis-à-vis des entreprises étrangères est le '''haut-de-gamme'''. Néanmoins, cela ne suffit pas aux entreprises pour maintenir une activité industrielle en France : elles sont alors obligées de '''délocaliser'''. Il en va de même avec les entreprises étrangères implantées en France : la plupart ne souhaitent pas y rester, préférant les coûts de production bien plus attractifs d'Europe de l'Est et du Sud. Les résultats économiques présentés dans la sous-section suivante traduisent bien cette tendance, avec de moins en moins d'exportations depuis 2015 (les fermetures progressives de certaines usines induisant forcément moins de production), et de plus en plus d'importations. ==== Indicateurs de l'Activité ==== [[Fichier:Exportations1.png|gauche|vignette|Exportations françaises de GEM par zone géographique (D'après traitement Xerfi, données Douanes et Intracen)]] [[Fichier:Importations1.png|vignette|Importations de GEM françaises par zone géographique (D'après traitement Xerfi, données Douanes et Intracen)]] [[Fichier:Exportations2.png|gauche|vignette|Evolution des Exportations françaises de GEM en valeur (D'après traitement Xerfi, données Douanes et Intracen)]] [[Fichier:Importations2.png|vignette|Evolution des Importations françaises de GEM en valeur (D'après traitement Xerfi, données Douanes et Intracen)]] Les graphiques ci-dessous représentent les différentes données concernant les '''importations''' et les '''exportations''' de GEM français, permettant d'étudier l'activité économique du secteur. On remarque principalement que depuis 3 ans les exportations sont en baisse, alors que les importations augmentent de plus en plus. Par ailleurs, plus spécifiquement pour le congélateur, les ventes ont énormément baissé ces dernières années, et les prévisions envisageaient une stagnation pour 2019 et 2020. Le marché du GEM Français est clairement en perte de vitesse depuis une petite dizaine d'années (Les résultats d'une étude GfK de 2015 le montrent<ref>« Press release », 11 avril 2019. https://www.gfk.com/fr/insights/press-release/la-stabilisation-du-marche-des-biens-dequipement-de-la-maison-se-confirme-au-deuxieme-trimestre/.</ref>), et le congélateur est souvent pointé du doigt comme étant l'appareil qui "plombe" le plus les résultats économiques<ref>« Press release », 11 avril 2019. https://www.gfk.com/insights/press-release/a-stable-quarter-in-the-western-europe-technical-consumer-goods-market/.</ref>, en témoignent les chiffres de ventes de ces dernières années. Il est intéressant de constater aussi que l'année 2016 constitue un pic dans les ventes de congélateurs, et qu'il s'agissait d'une année particulièrement chaude comparé à 2017 et 2018. On pourrait attendre les résultats précis de 2019, année de fortes canicules, pour déterminer si les ventes de congélateurs sont vraiment liées aux '''pics de chaleur''' enregistrés, mais il y a fort à parier que oui<ref>« Press release », 11 avril 2019. https://www.gfk.com/fr/insights/press-release/apres-un-debut-dannee-positif-le-marche-des-biens-dequipement-de-la-maison-reste-stable-au-troisieme/.</ref>. [[Fichier:Ventes.png|cadre|centre|Evolution des ventes de GEM en France (D'après traitement Xerfi, données GfK et Kantar via Gifam)]] ==== Forces en Présence ==== <small> ===== Le Marché du GEM Français ===== </small> Le marché du GEM français ne regroupe '''pas beaucoup d'acteurs''' : on en trouve au total une dizaine qui interviennent dans la fabrication de GEM, dont seulement 3 fabricants présents sur le territoire français : les groupes ''Cevital''<ref>« Brandt, entre le made in France et l’Algérie - Electroménager ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.usinenouvelle.com/article/brandt-entre-le-made-in-france-et-l-algerie.N909329.</ref>, ''BSH'' via la marque ''Gaggenau'' (tables de cuisson, hottes, fours…)<ref>lsa-conso.fr. « Gaggenau ouvre un centre d’excellence en Alsace ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.lsa-conso.fr/gaggenau-ouvre-un-centre-d-excellence-en-alsace,142711.</ref> et ''Candy-Hoover'', via la marque d'appareils de cuisson haut-de-gamme ''Rosieres''. Globalement centrés sur l'univers de la '''cuisine''', et principalement en monoproduction, ils s'établissent sur un marché haut-de-gamme, capitalisant sur leur identité nationale, et jouant du "Made in France".<br /> <small> ===== Le Marché Mondial du GEM ===== </small> Au niveau mondial, la fabrication est dominée par des '''grands groupes occidentaux''', comme l'allemand ''BSH''<ref>Electroménager, B. S. H. « Accueil | BSH Electroménager ». Consulté le 22 avril 2020. /fr-fr_1/content/p_home.xml.</ref> (''Bosch'' et ''Siemens'', chiffre d'affaires 2017 : 13 800 millions d'euros), l'américain ''Whirlpool''<ref>« Electromenager Whirlpool - Le sens de la différence ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.whirlpool.fr/.</ref> (CA 2018 : 17 806 millions d'euros) ou le suédois ''Electrolux''<ref>Electrolux. « Equipements et conseils en électroménagers ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.electrolux.fr/.</ref> (CA 2018 : 12 102 millions d'euros). Certains groupes de pays émergents leur font face, à l'image de ''Haier'' (Chine, CA 2018 : 23 480 millions d'euros) ou ''Cevital'' (Algérie, CA 2016 : 3500 millions d'euros). La conclusion est la même pour le secteur du négoce, dominé lui aussi par les pays développés (''Samsung'', ''Miele'', ''LG Group''…), mais où la Turquie occupe une place de choix grâce aux groupes ''Vestel'' et ''Arcelik'' (filiale de ''Beko''). Dans les deux cas, on constate bien qu'aucun groupe ou aucune marque française ne font partie des acteurs majeurs à l'échelle mondiale. <br /> La concurrence des '''entreprises émergentes''' est d'autant plus marquée depuis décembre 2018, quand ''BSH'', ''Candy-Hoover'', ''Eberhardt Frères'', ''Indesit'', ''Whirlpool'' et ''Electrolux'' ont été condamnés à 189 millions d'euros d'amende pour entente commerciale<ref>« Les fabricants d’électroménager lourdement sanctionnés pour entente sur les prix ». Le Monde.fr, 6 décembre 2018. https://www.lemonde.fr/economie/article/2018/12/06/les-fabricants-d-electromenager-lourdement-sanctionnes-pour-entente-sur-les-prix_5393447_3234.html. </ref>{{,}}<ref>Vallez-d’Erceville, Angélique. « Électroménager : six industriels punis pour avoir lavé leur linge sale en famille ». Le Figaro 23116, nᵒ 23116 (7 décembre 2018): 25.</ref> : les 6 entreprises s'étaient mises d'accord pour augmenter entre 2006 et 2009 les prix de vente de leurs produits, pour accentuer leurs marges, au détriment des acheteurs. Leur image a été fortement dégradée, contribuant ainsi aux bons résultats des entreprises concurrentes. <br /> <small> ===== Le Marché Français du Congélateur ===== </small> Plus spécifiquement, le marché français du '''congélateur''' est un peu différent du marché global du GEM<ref>« Les 15 meilleures marques d’électroménager | Electroguide ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.electroguide.com/top-15-les-grandes-marques-electromenager.</ref>. Il est dominé par 4 marques allemandes<ref name="France"> « Congélateur Made in France : c’est fini ? | Electroguide ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.electroguide.com/congelateur-made-in-france.</ref> : ''Bosch'' et ''Siemens'' (qui appartiennent au même groupe ''BSH''), ''Liebherr'' et ''Miele'', qui produisent encore leurs appareils en Allemagne et innovent sans cesse pour maintenir leur clientèle, ainsi que par le suédois ''Electrolux'' et l'italien ''Indesit'' (racheté par Whirlpool en 2014). La marque américaine ''Whirlpool'' réalise de bons résultats en France, mais sa réputation d'appareils peu fiables et son image dégradée par la fermeture de l'usine d'Amiens en 2018 la discréditent aux yeux des français. Les marques européennes, le coréen ''Samsung'' ou le turc ''Beko'' en profitent pour faire de très bons résultats par ailleurs.<br /> La '''dernière entreprise française''' à produire des congélateurs de série destinés au grand public était '''''Brandt'''''<ref>Brandt Electroménager. « Freezer ». Consulté le 22 avril 2020. http://www.brandt.com/freezer.</ref>. Son dernier site à Lesquin (à côté de Lille) a été fermé (en faisant grand bruit d'ailleurs<ref>L’Humanité. « Lesquin : " Ce qui intéressait Brandt, c’était la marque. Pas les hommes. " », 14 mai 2001. https://www.humanite.fr/node/246239.</ref>) en 2005, année au cours de laquelle l'entreprise a été rachetée par le groupe espagnol ''Fagor'', la production de réfrigérateurs étant délocalisée en Pologne et celle de congélateurs en Italie. En 2014, elle a été reprise<ref>« Groupe Brandt ». In Wikipédia, 20 mars 2020. https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Groupe_Brandt&oldid=168605861.</ref> par le conglomérat algérien ''Cevital'', qui possède toujours des usines en France (Val de Loire), mais a définitivement abandonné le secteur du froid, tourné maintenant vers la cuisson (haut-de-gamme)<ref>« Brandt (entreprise) ». In Wikipédia, 20 avril 2020. https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Brandt_(entreprise)&oldid=169788768.</ref>.<br /> On trouve malgré tout encore des congélateurs '''''made-in-France'''''<ref name="France" /> : la marque ''Friginox''<ref>« Friginox : Fournisseur de matériel frigorifique pour les professionnels de la restauration ». Consulté le 22 avril 2020. http://www.friginox.com/PBSCCatalog.asp?PBMInit=1.</ref> propose des congélateurs, chers et techniques, destinés aux professionnels de la restauration, tandis que ''Freecold''<ref name="free">coldinnov.com. « Réfrigérateurs & Congélateurs solaires - FREECOLD - COLDINNOV ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.coldinnov.com/freecold-froid-solaire-photovoltaique/refrigerateurs-congelateurs/. </ref> propose des congélateurs et chambres froides fonctionnant à l'énergie solaire. Il s'agit ici encore d'appareils coûteux (le moins cher de la gamme est à 1240€), et plutôt destinés à être exportés vers l'Afrique, où le potentiel solaire est bien plus important. <br /> Enfin, contrairement aux fabricants, les '''négociants français''' arrivent encore à tirer leur épingle du jeu face aux filiales commerciales des grands groupes évoqués précédemment en se positionnant comme partenaires privilégiés des distributeurs et magasins de proximité<ref name="Findis">« La force des magasins de proximité ». Groupe Findis (blog). Consulté le 22 avril 2020. https://www.groupefindis.fr/la-force-des-magasins-de-proximite/.</ref> indépendants (''MDA'', ''Pulsat'', ''Extra'', ''Domial'', ''ProxiConfort''…). La plupart de ces négociants sont des '''enseignes nationales''' (''Findis'', ''GPDis''…) qui s'appuient sur des centrales d'achat nationales, parfois en mutualisant leurs fournitures (''Findis'' et ''Concerto'' ont créé en 2018 une centrale d'achats commune<ref>« CP-Findis-Concerto-190218.pdf ». Consulté le 22 avril 2020. https://www.groupefindis.fr/wp-content/uploads/2018/02/CP-Findis-Concerto-190218.pdf.</ref>), ce qui leur permet de commercialiser un nombre important de références de grandes marques (plus de 4000 pour ''Findis'' par exemple<ref>« Chiffres clés Électroménager Image Son ». Groupe Findis (blog). Consulté le 22 avril 2020. https://www.groupefindis.fr/chiffres-cles-electromenager-image-son/.</ref>, qui réalise 225 Millions d'euros de chiffre d'affaires par an), tout en bénéficiant de coûts d'approvisionnement attractifs. Mais pour combien de temps encore ? On observe en effet une diminution de 3 % par an du nombre de magasins de proximité (propriétaires en retraite qui ne retrouvent pas de repreneurs, etc.), alors que les grandes surfaces voient elles leur surface augmenter de 1% par an<ref name="Findis" />. Par ailleurs, une part croissante des achats est faite directement sur '''internet''', sur le site du fabricant, court-circuitant ainsi le négociant. <br /> En conclusion, le marché du GEM français n'est pas si prometteur que cela, et toujours plus '''remis en question''', les fabricants français ayant disparu depuis déjà une dizaine d'années, et les négociants faisant face à l'évolution des '''modes de consommation'''. === La Fin de vie de l’Appareil === En général, les congélateurs en fin de vie sont, en France, plutôt bien recyclés : les plastiques utilisés se recyclent à 91% tandis que les mousses polyuréthane isolantes sont valorisées énergétiquement à '''70%''' par l’ADEME. Les pièces recyclées sont utilisées pour la construction automobile, la fabrication de câbles et vitres et les fluides restants sont récupérés et brûlés. Le '''taux de collecte''' d'appareils usagés par la filière agréée était de '''43%''' en 2017<ref name=":3">Lien de l[https://www.ademe.fr/sites/default/files/assets/documents/compo_traitement_refrigerateur.pdf 'Ademe] recyclage des congélateurs en France</ref>. Néanmoins, on trouve malgré tout des appareils non recyclés en France, et plus encore dans certains pays où les taux de recyclage sont encore plus faibles. Ils finissent dans des '''parcs à conteneurs''' gérés par les municipalités du monde entier, ou dans des '''décharges''' sauvages<ref name=":3" />. Ceci constitue un désastre écologique, car les congélateurs (et tous les autres appareils électroménagers en réalité) contiennent de nombreux éléments toxiques, à l'image du mercure, présent dans les congélateurs fabriqués dans les années 2000, qui finissent par polluer l'environnement même s'ils sont présents en très petites quantités. Pour éviter cela, des programmes tels que ''FrigoResponsable'' au Québec émergent, avec l'objectif de recycler 96% des appareils en fin de vie. Ces programmes sont surtout basés sur '''la sensibilisation''' des utilisateurs, ainsi que sur l'établissement de partenariats avec des municipalités et des entreprises<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Impacts environnementaux|url=http://www.frigoresponsable.ca/fr/content/impacts-environnementaux|site=www.frigoresponsable.ca|consulté le=2020-05-11}}</ref>. Le '''recyclage''' constitue donc un autre véritable enjeu quant à l'utilisation du congélateur : l'impact écologique des appareils pourrait être considérablement réduit si leur fin de vie était traitée systématiquement de manière éco-responsable, et il est aussi du devoir de chacun de s'assurer que son appareil ne termine pas sa vie au milieu de la nature à '''polluer''' les eaux et les sols. === Le Coût Énergétique du Congélateur et des Aliments Surgelés === ==== La Consommation d'un Congélateur ==== Cet aspect est entré récemment dans les critères de choix du consommateur qui souhaite acquérir un congélateur. Que ce soit pour des convictions écologiques ou bien pour faire des économies sur la facture d'électricité, on observe bien une tendance à l'achat d'appareils plus respectueux de l'environnement.<br /> <small> ===== Impact Financier<ref>Selectra. « Appareils électriques : quelle consommation en kWh et en euros ? », 30 avril 2017. https://selectra.info/energie/guides/conso/appareils-electriques.</ref>{{,}}<ref>« Congélateur : comment le choisir et l’utiliser ? » Consulté le 23 février 2020. https://www.consoglobe.com/congelateur-choisir-utiliser-3615-cg.</ref> ===== </small> Le congélateur est un appareil nécessitant d'être branché et allumé en continu pour ne pas rompre la chaîne du froid. Consommant de l'électricité 24h/24 toute l'année, il est en général l'appareil électroménager le plus '''énergivore'''. On peut néanmoins facilement diminuer son coût en électricité en optant pour un appareil moderne. La facture annuelle d'électricité d'un congélateur armoire de capacité de 250 L acheté en 2000 (de classe énergétique E), consommant 700 kWh/an serait aujourd'hui de 126€ (tarif actuel de l'électricité : environ {{unité|0.18|€}} par kWh en heures pleines), le congélateur fonctionnant en continu. Un appareil moderne de même type, de classe A++ (consommant environ 160kWh/an) revient uniquement à {{unité|28.80|€}} (presque 80% d'économie !). L'impact financier est non négligeable ! Les congélateurs les plus économes, de classe énergétique A+++, consomment 70% d'électricité de moins que les appareils A+ (classe la plus énergivore encore disponible à la vente depuis 2014), mais ils sont encore peu répandus car très chers à l'achat.<br /> <small> ===== Impact écologique ===== </small> Les méthodes de fabrication, les matériaux et fluides utilisés sont les principaux éléments qui définissent l''''empreinte écologique''' d'un congélateur, mais la consommation électrique (liée à la classe énergétique) et le comportement du propriétaire ont également un impact non négligeable. Les '''économies d'électricité''' permises par les appareils les plus économes sont très importantes, et permettent à ces derniers de satisfaire le nombre croissant de consommateurs soucieux de leur impact sur l'environnement. Les fabricants ne s'y trompent pas, vantant les mérites d'appareils toujours plus vertueux. Néanmoins, un congélateur consomme encore beaucoup d'électricité : l'appareil a toujours tout d'une aberration écologique… L’'''Empreinte Carbone''' d’un congélateur de sa fabrication à son recyclage ou à son élimination (on ne prend pas en compte ici l'électricité consommée par l'appareil, que l'on a déjà évaluée précédemment) est estimée à 492 kg d’équivalent CO₂ pour un appareil d'un volume de 261 litres. C'est l'équivalent d'un trajet de {{unité|2000|km}} en voiture avec une consommation moyenne de 6,0 L aux {{unité|100|km}} pour chaque congélateur produit. Le congélateur est donc l'appareil électroménager dont la production a le plus grand impact environnemental, juste derrière le four professionnel avec 332 kg d’équivalent CO₂<ref>Données [https://www.bilans-ges.ademe.fr/documentation/UPLOAD_DOC_FR/index.htm?electromenager.htm site] Ademe bilan GES d'électroménager</ref>{{,}}<ref>Calculatrice d'équivalent carbone [https://www.greentripper.org/default.aspx?cl=fr&ct=car]</ref>. Si l'on ajout le '''coût écologique de production/recyclage/élimination''' (ci-dessus) et le '''coût écologique de fonctionnement''' (consommation d'électricité, cf [[Recherche:Pastech/242-3_Le_Congélateur_Alimentaire#Bilan_Frigorifique_et_Comparaisons_Énergétiques|paragraphe sur la consommation électrique]]), le congélateur, fonctionnant en continu toute l'année alors que le four par exemple n'est allumé que de manière ponctuelle, est bel et bien '''l'appareil électroménager le plus mauvais pour l'environnement'''. ==== Le Coût Énergétique des Aliments Surgelés ==== On l'a déjà vu auparavant, la fabrication et le stockage des '''aliments congelés et surgelés''' nécessitent d'immenses machines industrielles, très gourmandes en électricité, des camions réfrigérés voire congelés (qui polluent pour circuler, mais aussi pour générer le froid) et des installations en grandes-surfaces ou en magasins spécialisés (type ''Picard'' ou ''Thiriet'') pour la vente de ces aliments. Les installations de froid alimentaire représentent ainsi la moitié des dépenses énergétiques d'un supermarché<ref>Advizeo. « Quels sont les postes de dépenses énergétiques d’un supermarché ? », 11 mars 2020. https://www.advizeo.io/blog/tendances-marche/retail-chiffres-cles-depenses-energetiques/.</ref> ! Par ailleurs, la congélation permet de transporter de manière fiable des aliments provenant de '''pays lointains'''. Nous pouvons ainsi facilement consommer des produits exotiques, mais qui sont bien souvent transportés par bateaux ou par avions, toujours très énergivores, sur des très longues distances… Le coût énergétique de la consommation de ces produits exotiques est très élevé. Des enseignes françaises vont même jusqu'à s'installer à l'autre bout du monde pour toucher des nouveaux marchés, à l'image de ''Picard'' qui a ouvert en 2016 une première usine au Japon. Tout ceci participe à l''''internationalisation''' des surgelés, et aux '''surconsommations''' liées au transport de ces derniers. Il arrive enfin qu'il y ait des '''pannes électriques''' : les appareils ordinaires ont une autonomie en absence d'électricité de 24h s'ils sont à moitié remplis, de 48h s'ils sont pleins<ref>« Réfrigérateur-congélateur : que faire en cas de coupure de courant ? - Darty & Vous ». Consulté le 3 mai 2020. https://www.darty.com/darty-et-vous/cuisine/cuisine-pratique/conservation-des-aliments/refrigerateur-congelateur-que-faire-en-cas-de-coupure-de-courant.</ref>. Au delà, la température intérieure est trop montée et certains aliments doivent être consommés immédiatement, voire jetés (cela dépend du type d'aliment, de l'emballage, etc.). Si on n'y fait pas attention, ceci peut constituer un gaspillage alimentaire important, et c'est pourquoi les appareils les plus modernes embarquent des thermomètres adaptés qui enregistrent les hausses de température et indiquent si des problèmes surviennent. ==== Politique européenne ==== Depuis 2013, tous les congélateurs de classes énergétiques inférieures à A+ (consommation électrique d'environ 2,2 kWh/Litre/an, les classes A++ et A+++ correspondant respectivement à 1,3 kWh/Litre/an et 0,7 kWh/Litre/an) sont interdits à la vente dans l'Union Européenne. Cependant, un appareil plus vertueux coûte souvent plus cher, ce qui explique la réticence des consommateurs à acheter des appareils neufs (la rentabilité à long terme n'est pas toujours forcément garantie, même si avec une durée de vie moyenne de 15 ans, le congélateur coûte finalement souvent moins cher que l'électricité qu'il a consommé).<br /> Le Parlement et le Conseil Européen ont aussi défini des améliorations en matière de '''consommation d’énergie''' concernant le vaste monde de l’électroménager dans le ''Règlement du 4 juillet 2017 établissant un cadre pour l’étiquetage énergétique''<ref>Règlement (UE) 2017/1369 du Parlement européen et du Conseil du 4 juillet 2017 établissant un cadre pour l’étiquetage énergétique et abrogeant la directive 2010/30/UE (Texte présentant de l’intérêt pour l’EEE. ), Pub. L. No. 32017R1369, 198 OJ L (2017). http://data.europa.eu/eli/reg/2017/1369/oj/fra. </ref> qui comprend de nouvelles normes appliquées à la réglementation des étiquettes ainsi que de nouvelles obligations imposées aux fournisseurs et revendeurs du marché européen. Ces fameuses '''étiquettes''' A+/A++/A+++, qui accompagnent obligatoirement tous les appareils d’électroménager en vente et qui demeurent le principal indicateur de la consommation d’électricité, seront rééchelonnées régulièrement (de l’ordre d’un remaniement par décennie) afin de durcir les conditions nécessaires pour qu’un appareil puisse appartenir aux classes moins énergivores, avec pour objectif de favoriser le progrès technique et les innovations en faveur de l’environnement. ==== Le rôle du consommateur ==== Un mauvais '''comportement du propriétaire''' peut également entraîner une surconsommation électrique de l’appareil, qui peut aisément doubler ses besoins en électricité si l’on ne respecte pas certains gestes simples, mais possiblement responsables d’une grande perte énergétique, à commencer par le '''dégivrage'''. En effet du givre apparaît naturellement sur les parois du congélateur à cause de l’humidité de l’air ambiant et des aliments, mais ce givre va jouer le rôle d’isolant thermique entre le système réfrigérant (derrière l'appareil) et l’intérieur de l’appareil. Le circuit réfrigérant va donc devoir plus travailler pour refroidir l'enceinte du congélateur. On estime qu’une couche de cinq millimètres d’épaisseur de givre entraîne une augmentation de 30 %<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Futura|titre=Congélateur : pourquoi faut-il le dégivrer ?|url=https://www.futura-sciences.com/planete/questions-reponses/eco-consommation-congelateur-faut-il-degivrer-1400/|site=Futura|consulté le=2020-04-29}}</ref> de la consommation électrique du congélateur ! De la même façon un nettoyage régulier de la '''grille d’évacuation''' est recommandé pour enlever la poussière qui empêche la bonne évacuation du flux d’air chaud. Il est également conseillé de garder son congélateur le plus rempli possible, afin qu'à chaque ouverture de porte, il y ait peu d’échange d’air entre l'intérieur et l'extérieur et que la variation de la température à l’intérieur soit la plus minime possible. Ainsi cet entretien peu exigeant mais trop souvent oublié permet de véritables économies, sur le plan financier évidemment, et surtout sur la consommation énergétique des congélateurs (et autres appareils réfrigérants). === Le Changement de Paradigme Social === ==== Place dans les foyers ==== [[File:Taux de possession de congélateur des ménages français.jpg|thumb|Evolution du taux de possession en congélateur en France<ref>{{Lien web |auteur = INSEE |titre = Equipement des ménages 1996-2006 |url = https://www.insee.fr/fr/statistiques/3128367?sommaire=3128378 |périodique = Norois n°97-98, pages 291-293 |date = 6 octobre 2017 |consulté le = 16 mars 2020 }}</ref>]] Aujourd’hui '''tout le monde ou presque a un congélateur''', qu’il soit simple ou combiné avec un réfrigérateur. Le format congélateur-réfrigérateur combiné représentait en 2014 près de 42,7% des ventes favorisant ainsi la présence inéluctable du congélateur dans nos foyers<ref>{{Lien web |titre = Réfrigérateurs – Bien choisir son réfrigérateurs |url = https://www.quechoisir.org/guide-d-achat-refrigerateurs-n1401/ |périodique = QUE CHOISIR |consulté le = 16 mars 2020 }}</ref>. Selon une enquête de Que Choisir près de 1800 congélateurs sont achetés chaque jour en France. Ils sont à 38 % entreposés dans la cuisine et à 46 % dans l’arrière cuisine ou le garage. 36 % des français en sortent des aliments entre 2 à 5 fois par semaines et autant une fois par semaine. Seulement 17% l’utilisent plusieurs fois par jour. Pour ce qui est du remplissage, la fréquence est moindre : 42 % des usagers le remplissent 1 à 3 fois par mois contre seulement 8 % qui le font plusieurs fois par semaines. Les surgelés, présents dans 100% des congélateurs, sont donc majoritairement achetés en grosse quantité pour être écoulés petit à petit<ref>{{Lien web |titre = Congélateur - Vous et votre congélateur |url = https://www.quechoisir.org/actualite-congelateur-infographie-vous-et-votre-congelateur-n1869/ |périodique = QUE CHOISIR |consulté le = 16 mars 2020 }}</ref>. ==== Homogénéisation de la Façon de Manger ? ==== En 1993, George Ritzer développe la théorie de l’ '''“américanisation”''', aussi appelée “macdonaldisation” en référence à la grande chaîne de fast-food américaine qui aurait exporté son modèle d’'''organisation du travail''' et de '''consommation''' dans le monde entier, que toutes les cultures auraient adopté. C’est l’essor du "manger rapide", des snacks et de l’uniformisation des goûts. Cl.Fisher et E.Mason ont étudié l'hypothèse de cette uniformisation en 2007 et ont démontré que beaucoup de modèles culinaires y résistaient, par exemple le modèle français. En effet, d’après les '''enquêtes Emploi du temps de l’INSEE''' (entre 1966 et 1998-99), ils ont pu observer le temps passé à préparer à manger, et le nombre de repas pris chez soi ou à l’extérieur dans plusieurs pays dont la France, le Royaume-Uni ou les États-Unis sur cette période (ils se sont concentrés sur 5 pays européens en plus des États-Unis). Leurs conclusions sont que '''l’hypothèse d’homogénéisation de l’alimentation ne peut pas être vérifiée'''. La France par exemple semble peu influencée car les changements observés sont faibles et le temps que l’on y passe à manger reste globalement stable. D’autre part, des enquêtes sur l’alimentation dans les pays scandinaves en 1997 et 2012 montrent que beaucoup de '''spécificités nationales''' perdurent comme l’absence de plat chaud au déjeuner en Norvège contrairement à la Finlande par exemple<ref>"Sociologies de l'alimentation", Philippe CARDON, Thomas DEPECKER et Marie PLESSZ publié en 2019 et édité par ARMAND COLIN à Domont (France)</ref>. L'homogénéisation de la façon de manger "à l'américaine" n'est donc pas forcément une réalité partout, en tout cas pas poussée à l'extrême. Mais la France et les pays nordiques ne sont pas les seuls à "résister". L’’un des porte-étendard contre cette américanisation est l’association '''Slow Food''' (en opposition à “fast-food”) fondée à Bra (Italie) en 1986 et dont l'objectif est de proposer des '''alternatives nutritionnelles''' bonnes pour la santé, pour l’environnement, et peu chères pour les consommateurs, tout en rémunérant bien les producteurs et en favorisant les produits régionaux afin d’en conserver le '''patrimoine'''. Elle se veut opposée au modèle américain qui distribue aux personnes défavorisées, de façon industrialisée et en grandes quantités, des produits non diversifiés qui ne respectent pas ces valeurs. Sa création intervient après l’ouverture d’un McDonald’s en plein cœur de Rome. Le plan d’action de l'association repose sur la production et la vente en communautés et par territoires ou encore par de l’'''éducation gustative'''<ref>Site officiel de Slow Food, https://www.slowfood.com/about-us/ ,en ligne, consulté le 28/04/2020</ref>. ====Rupture entre Mangeur et Aliment, Mise en Place de Stratégies Alimentaires==== Entre 1846 et 1990, le rapport entre population rurale et population urbaine est inversé (on trouve maintenant une grande majorité de personnes vivant en villes) et conduit par la même occasion à une '''rupture du rapport mangeur-aliment'''. Ceux qui vivent en ville sont par définition moins en contact avec la nature et ce qu’elle produit. L’aliment devient progressivement une '''simple marchandise''' d’entreprise vendue grâce au travail de chefs de produits et de spécialistes en marketing. Progressivement nous assistons à la naissance du '''mangeur-consommateur''' qui a à disposition, grâce au congélateur, une grande diversité de produits hors-saison<ref name="JPPOULAIN" />. Il faut cependant légèrement nuancer notre propos puisque depuis les années 1980, le fait de cultiver ses propres aliments devient un '''loisir''' pour de nouvelles couches de la population. De nombreux potagers fleurissent ainsi chez les particuliers vivant dans les zones périurbaines, voire même parfois en plein centre-ville ! Une '''évolution des pratiques alimentaires''' est également visible. Si autrefois une journée était composée de 3 repas distincts par jour, aujourd’hui le “grignotage” est de plus en plus présent. La structure même du repas est transformée : il y a moins de menus avec entrée + plat + dessert mais plus avec seulement entrée + plat ou plat + dessert. Selon les lieux de vie et les professions, différentes tendances se dégagent : dans les villes moyennes et les grandes villes, les ouvriers et les professions intermédiaires semblent conserver dans 37,7 % des cas la formule de 2 repas structurés (entrée + plat + dessert) par jour. En revanche à Paris et en région parisienne, les employés et cadres adoptent pour 20,6 % des cas un nouveau comportement avec deux repas de types entrée + plat ou plat + dessert<ref name="JPPOULAIN" />. Ces nouveaux modes de consommation résultent également d'un '''"éclatement de l’ancien modèle de consommation familiale"'''. En effet les ménages deviennent progressivement à géométrie variable suite à des décohabitions, divorces... Au sein même des foyers, l'individualisation est de plus en plus présente, permettant la prise individuelle de décision concernant l'alimentation. Par exemple, on observe de plus en plus que les menus des parents diffèrent de ceux des enfants<ref name="JPPOULAIN" />. En parallèle les revenus par ménages deviennent instables et le rythme de vie, en ville principalement, change. Il est par conséquent nécessaire d''''adopter une "stratégie alimentaire" propre à sa situation''', en variant le contenu de ses repas, mais aussi leur lieu et leur provenance. On n'a plus un seul type de consommateur mais une '''diversité''' de mangeurs, dans un réseau de services très complet mais aussi très complexe (hypermarchés, fast-foods, livraison à domicile...)<ref> {{Lien web |auteur = Jean-Paul Betbèze - Saadi Lahlou - Joëlle Maffre |titre = Les produits alimentaires à l'horizon 1995 : du surgelé au "nouveau frais"https |url = https://www.credoc.fr/publications/les-produits-alimentaires-a-lhorizon-1995-du-surgele-au-nouveau-frais</ |périodique = CREDOC Consommation & Modes de Vie N°CMV18 |date = avril 1987 |consulté le = 18 mars 2020 }}</ref>. Toutes ces transformations ont orienté la demande vers des aliments '''prêts-à-manger''' comme les portions individuelles surgelées ou les fruits et légumes pré-lavés, pelés et découpés que contiennent, entre autres, nos congélateurs. ==== Nouvelle Manière de Consommer, permise par l'Industrialisation des Aliments… ==== Avec le congélateur, est apparu dès 1940, on l'a vu, un nouveau marché, celui des '''surgelés'''. Cependant, on a vu également qu'il ne ressemblait pas à celui d'aujourd’hui puisqu’il se concentrait sur '''les fruits et légumes''' et ne visait que les grandes villes. Il s’est étendu en une dizaine d'années à plusieurs autres segments de l'alimentation comme la volaille, le poisson, les viandes, les entrées et les plats préparés… '''Le choix de produits est devenu alors de plus en plus large'''. C’est aussi le moment du développement du secteur de '''l’alimentation hors foyer''', les produits sont '''transformés hors de la maison''' par quelqu’un d’autre : la part des achats des produits alimentaires incluant des transformations hors du ménage passe de 50% (1960) à 83% (1991). Ainsi, si dans les régions non industrialisées l’activité « cuisine » commence dès la cueillette et l’agriculture, dans les régions où l’industrialisation est déjà installée, elle commence plus tard, après transformation et vente, '''le début de la chaîne étant pris en compte par le marchand'''<ref name="JPPOULAIN"></ref>. Le marché des surgelés prend de l’ampleur et connaît une '''forte croissance''' entre 1975 et 1985 : la consommation de produits congelés en France (ménages et professionnels de la restauration confondus) passe de 200 000 tonnes (pour 200 000 tonnes de produits congelés produits en France) à 800 000 tonnes (pour une production inchangée)<ref>Consommation et modes de vie, CREDOC, n°18-Avril 1987</ref>. En effet, la forte expansion du marché (de l'ordre de 10 % par an) est due pour moitié aux '''ménages''' et pour moitié à la '''restauration'''. L'évolution s'est poursuivie jusqu'à aujourd'hui : de ce fait, on arrive en 2018 à une moyenne d’achat par Français de 220€ de surgelés par an, un chiffre d’affaire du secteur de 9 milliards d’euros annuels, tandis que la fabrication, le transport et la distribution de ces produits représentent 70 000 emplois sur le territoire<ref> Surgelés. Un marché français en bonne santé, Le Télégramme, 03/02/2018, https://www.letelegramme.fr/economie/surgeles-un-marche-francais-en-bonne-sante-03-02-2018-11837692.php consulté le 05/05/2020 </ref>. Cela est dû à l’augmentation des repas pris à l’extérieur : par exemple, la classe d'âge 16-25 ans déclare aller jusqu’à 5 fois par semaine manger à l’extérieur, consommant bien souvent sans le savoir des produits surgelés. Pour vendre ces produits surgelés et préparés, le marketing de l’industrie agro-alimentaire développe la notion de ''convenience'' (praticité)<ref name="JPPOULAIN"></ref>. Si en France le marché est dominé par des '''acteurs français''' (''Bonduelle'', ''Bigard'' …), il est aussi tourné vers l’étranger (''Bonduelle'' est également présent en Russie) et on trouve aussi en France des acteurs étrangers, à l'image du groupe canadien ''McCain''<ref name="XERFIDISTRIBUTION">« La distribution de produits surgelés », Xerfi France, paru le 02/12/2019, surgelés https://www.xerfi.com/presentationetude/La-distribution-de-produits-surgeles_20DIS18</ref>{{,}}<ref>« Le marché et la fabrication de surgelés », Xerfi France, paru le 23/09/2019, https://www.xerfi.com/presentationetude/Le-marche-et-la-fabrication-de-produits-surgeles_9IAA23</ref>. Par ailleurs, un autre marché se développe grâce à l’industrialisation des aliments et à la diffusion du congélateur, celui des '''glaces''' et des '''sorbets'''. En effet, poussé également par la montée générale des températures et l’augmentation du nombre de canicules, ce marché se porte bien. Pendant la canicule de l’été 2019, c’est une hausse de chiffre d’affaires de 46,4 % pour les glaces en bac, et 33,6 % pour les « glaces détentes » (cornets, bâtonnets...) entre le 24 et le 30 juin par rapport à la même période en 2018<ref>« Canicule : les glaces et l'eau en profitent, mais pas la bière » , Les Echos (Enrique Moreira et Vincent Jaouen), le 24/07/2019 https://www.lesechos.fr/industrie-services/conso-distribution/canicule-les-glaces-et-leau-en-profitent-mais-pas-la-biere-1040076 consulté le 04/05/2020 </ref>. Sur une plus longue période (10 ans), on observe également une '''croissance globale''' (malgré certaines baisses annuelles) de la consommation des ménages en glaces et sorbets : entre 2009 et 2019 les indices de volume et de valeur (base 100 en 2005) des glaces et sorbets consommés par les ménages français ont été multipliés tous deux par presque 1,5<ref name="XERFIDISTRIBUTION"></ref>. Aujourd’hui, si l’industrie des surgelés se porte bien en France, elle est cependant '''en déclin''' depuis 2010 suite à l’évolution des consommations (prise de conscience écologique, volonté de « manger mieux », donc engouement pour le bio, les produits frais, le « fait maison », le zéro déchet), et à divers scandales… Ainsi en 2016, les surgelés touchaient 7,1 % des ménages contre 8 % en 2007. L’ensemble glaces + surgelés a perdu sur la même période 1,6 % en valeur vendue et 1,3 % en nombres d’articles vendus. Cela est dû aux dépenses des ménages qui n’augmentent plus et à une fréquence et des quantités d’achats en baisse. Si les marchés espagnol et italien sont dans une situation encore pire (ils ont été frappés plus durement par la crise de 2008), le marché allemand est encore en forte croissance car, au contraire, les dépenses augmentent encore dans ce pays<ref>« Bilan marché : les surgelés plafonnent », Le Mode des surgelés (Jean-François AUBRY), 16/06/2017, http://lemondedusurgele.fr/Actualites/Marches-et-reglementation/Fiche/6241/Bilan-marche-%253A-les-surgeles-plafonnent#.XodQ43I69PY consulté le 05/05/2020</ref>. ==== … Au détriment de la Fonction Culinaire ==== S'il est vrai que le congélateur peut apporter du confort en permettant aux consommateurs de passer plus de temps pour des loisirs ou pour prendre soin d'eux par exemple, un point négatif est cependant à relever : l’action de cuisiner perd de la valeur aux yeux des gens. En effet, si on assiste bien à une réduction du temps de préparation des repas au Canada (cf paragraphe [[Recherche:Pastech/242-3_Le_Congélateur_Alimentaire#Gain_de_Temps_et_de_Confort|Gain de temps et de Confort]]) de 8,3 à 3,8 h par semaine entre 1986 et 2005, le temps total consacré aux travaux ménagers augmente (de 12,1 à 13,6 h par semaine sur la même période). En réalité '''c’est la part du temps consacré à cuisiner dans les « tâches ménagères » qui diminue''' : elle passe de 69% à 28%<ref name="IRPP"></ref>. Avec les plats préparés (ou seulement pré-préparés) le cuisinier se contente d’assembler ou de réchauffer. L’activité « cuisine » a été transférée du secteur domestique au secteur économique. On peut par ailleurs classer les types de qualité des aliments en 3 catégories : * Celles liées aux '''caractéristiques intrinsèques''' de l’aliment (le goût, les qualités nutritives, ses origines ...) * Celles qui permettent de '''donner du sens''' à ce que l’on mange, qui ont une dimension symbolique (plats traditionnels, qui créent un lien social, qui sont caractéristiques d’un événement, comme Noël, etc.) * Celles liées aux '''caractéristiques objectives''' (coût, facilité de stockage et de disponibilité, '''''convenience'' : plat facile/rapide à cuisiner, réchauffer, manger'''…) Or l’essor des plats préparés, porté par celui du congélateur, a fait prendre plus de place à cette dernière catégorie dans l’esprit des personnes. En effet dans les '''années 1970-80''', on a assisté à une montée de l’'''individualisme''' et de la recherche de la '''performance''' et de l’'''efficacité''', au même moment où les surgelés, le congélateur et le micro-onde ont commencé à empiéter sur le savoir-faire maison<ref name="PROUST"> « Désirs et peurs alimentaires au XXIe siècle », Isabelle Proust, DALLOZ, 2006</ref>. De ce fait, aujourd’hui, si parmi la génération des 50-60 ans, 67 % des individus considèrent l’action de cuisiner comme une activité domestique qui demande une implication auprès des autres et apporte une notion de '''partage''', 50 % d’entre eux pensent que cette activité est '''contraignante''' (répétitivité, obligation, nécessité, habitude), 18 % la voient comme ennuyante et la considèrent comme une corvée et une perte de temps, et 5% la trouvent coûteuse<ref name="JPPOULAIN"> </ref>. On observe néanmoins depuis récemment (années 2000) un « retour aux sources » de la part de la jeune génération. La génération des 25-40 ans veut '''réapprendre à cuisiner''', manger mieux et savoir ce qui est dans son assiette. Face à cela, les '''médias''' se sont adaptés : les livres de cuisine sont plus simples, les recettes plus accessibles… De nombreuses émissions de cuisine passent par ailleurs à la télévision. Il s'agit ici de susciter chez le consommateur l'envie de cuisiner<ref name="PROUST"></ref> ! ==== Différer la consommation pour mieux oublier de consommer ==== Le congélateur, en tant que nouveau moyen de conservation des aliments, a changé notre '''rapport aux aliments'''. Avant, on achetait pour le repas du midi, du soir ou du lendemain, donc avec une idée assez précise de ce qu'on allait faire à manger et quand. Le congélateur répondait à un '''besoin réel, identifiable''', celui de conserver le gibier que l’on venait de chasser, les récoltes : les personnes qui ont vu arriver ce nouvel appareil se souviennent de la raison pour laquelle il a d'abord été acheté. Maintenant, avec le congélateur on stocke tout, on reçoit ou on achète des aliments que l’on garde « pour plus tard » sans savoir quand on va les consommer. Ces mêmes personnes se rendent compte qu’il a changé leur façon de consommer. Il arrive souvent que, lorsque l'on retrouve le reste de plats dans le réfrigérateur, ils ne soient « plus bons ». Que les denrées alimentaires soient apportées en grande quantité ou alors de façon ponctuelle (« ma mère me l’a donné quand je suis rentré… »), elles sont stockées pour n’être ressorties qu’'''au fil des envies ou des besoins''' : il n’est pas rare de se rappeler que l’on avait quelque chose au congélateur au moment où on le « retrouve » en cherchant ce que l’on va faire à manger. Finalement, '''le congélateur sert à « se débarrasser » des aliments « en trop »''' : on les met on congélateur en se disant qu’ils serviront un jour à quelqu’un de la famille, pour un repas, mais il arrive souvent que ces restes soient jetés car stockés trop longtemps ou car on a oublié ce que c'était. Mais cette '''tendance à oublier''' ce que l’on conserve date de bien avant l’invention du congélateur et on peut l’observer de manière identique avec '''les anciens modes de conservation''' de manière identique : les produits « roulés dans du papier » au grenier par exemple (pour être stockés plus longtemps) étaient d’autant plus oubliés car '''« loin du regard »'''<ref name ="DBALVET"></ref>. Finalement, c'est autant le congélateur que le '''principe même de conservation d'aliments''' qui nous pousse à souvent oublier ce que l'on stocke, à ne pas le consommer et à finir par le jeter : tout ce qu'on a pas sous les yeux est très vite '''oublié au profit des aliments frais''', destinés à être mangés plus vite. ==== Sur-stock et impact en cas de panne ==== Au début de l’utilisation du congélateur, le stock était fait avant tout dans une perspective d’épargne économique. Il s'agissait de conserver les surplus de récolte au lieu de les jeter et donc de perdre de l’argent, ou alors de congeler une bête qui avait subi un accident au lieu de vendre sa viande immédiatement, dans l’attente d’une meilleure opportunité financière. Cela permettait donc de réduire les pertes économiques. Ensuite l’habitude fut prise de '''produire pour la congélation'''<ref name="FroidDom" />. De nos jours, l’habitude de '''faire ses provisions''' une fois par semaine est très répandue. Dans la majorité des cas les personnes se rendent dans les grandes surfaces de type hypermarché, qui incitent parfois à la surconsommation via les promotions en "tête de gondole". En revenant de ces hypermarchés, le consommateur porte un poids moyen de courses de 25 kg, nettement supérieur aux 4 kg qu'il porte en revenant des petits commerces de proximité. Même si cela s'explique par la fréquence des achats (le consommateur va moins souvent en hypermarchés, donc achète en plus grandes quantités lorsqu'il y va), la différence est très importante. Cependant, l’économie financière réalisée en réalisant ses courses en gros volumes et à moindre coût en grandes-surfaces est en réalité perdue en raison du coût énergétique en électricité de nos appareils de conservation courte et longue durée, nos réfrigérateurs et congélateurs<ref>{{Ouvrage |auteur = Philipe Bovet |titre = L'hypermarché, le Caddie et le congélateur, |périodique = Le Monde diplomatique |date = mars 2001 |consulté le = 26 février 2020 }}</ref>. Il vaudrait mieux la plupart du temps, économiquement, aller faire ses courses à proximité de son domicile, plus souvent, mais se passer de congélateur par exemple. Congeler revient finalement à '''anticiper les besoins nutritionnels''' mais aussi les '''plaisirs''' liés à ce que nous mangeons. Le contenu du congélateur est souvent le fruit de plusieurs mois voire années d’'''accumulation''' de denrées et, lorsqu'il devient subitement hors d’usage, cela est souvent vécu par les usagers comme une '''"véritable catastrophe"'''. En effet les aliments congelés deviennent très rapidement un tas d’aliments mouillés révélant au passage tout l’aspect “artificiel du dispositif”. Il faut aussi les consommer au plus vite, c’est-à-dire les cuisiner, les partager avec ses voisins si possible, bousculant ainsi son planning et ses habitudes quotidiennes<ref>{{Lien web |auteur = Camille Adamiec et Marina Savani |titre = Le congélateur : un dispositif "trans" |url = https://journals-openedition-org.docelec.insa-lyon.fr/tc/8813 |périodique = Techniques et Culture, p 112-125 |date = 2018 |consulté le = 15 février 2020 }}</ref>. ====Impact sur la Santé==== Les produits alimentaires congelés sont de plusieurs types et ont donc des impacts différents sur la santé des consommateurs. On trouve par exemple des fruits et légumes : dans ce cas, la congélation peut présenter des aspects positifs sur les '''valeurs nutritionnelles''' des produits. En effet, les fruits et légumes congelés ont une meilleure teneur en vitamines que les produits « frais » conservés à température ambiante pendant plusieurs jours. Cependant, les '''caroténoïdes''' (dont certains ont des effets positifs contre le cancer de la prostate) supportent moins ce mode de conservation : les pertes vont jusqu'à 30 % de la teneur en caroténoïdes des aliments congelés pendant un an. De plus, les aliments, après congélation, perdent également leurs '''propriétés antioxydantes''' : une journée de congélation en fait perdre 15% aux brocolis, 23% aux haricots verts et 26% aux petits pois.<ref>Le Figaro, Nina Hubinet : « Les produits surgelés gardent-ils de bonnes qualités nutritionnelles ? » ,17/02/2019, consulté le 26/03/2020, <nowiki>https://sante.lefigaro.fr/article/les-produits-surgeles-gardent-ils-de-bonnes-qualites-nutritionnelles-/</nowiki></ref> On peut même parfois relever des impacts franchement négatifs sur notre santé, en particulier avec les plats préparés industrialisés, prêts à réchauffer. Ce ne sont cependant pas les '''additifs''' et les '''conservateurs''' qu'ils contiennent, souvent pointés du doigts, qui sont les plus dangereux pour la santé : bien que non-naturels, les conservateurs servent par exemple à maintenir les qualités nutritives de certains aliments. En revanche, à cause des nombreuses transformations qu'ils subissent, ces plats sont souvent beaucoup plus riches en '''sucre''' et en '''sel''', et contiennent vraiment moins de '''vitamines''' ou de '''fibres''' que des plats "fait-maison". Ils ne sont par ailleurs la plupart du temps pas du tout équilibrés et ne constituent en fait pas un vrai repas, au sens où un repas doit combler les besoins de notre organisme en glucides, protéines et lipides, et pas seulement satisfaire notre faim. Il faut donc obligatoirement '''compléter''' ces plats préparés avec d'autres aliments, comme des laitages par exemple, car les surgelés sont généralement pauvres en protéines.<ref>France info : « La consommation de plats préparés est-elle mauvaise pour la santé ? »,12/02/2019, consulté le 26/03/2020, <nowiki>https://www.francetvinfo.fr/sante/alimentation/la-consommation-de-plats-prepares-est-elle-mauvaise-pour-la-sante_3187005.html</nowiki></ref>{{,}}<ref>Le Parisien : « Les plats préparés sont-ils bons pour la santé ?»,05/09/2019, consulté le 26/03/2020, <nowiki>http://www.leparisien.fr/guide-shopping/conso/food/les-plats-prepares-sont-ils-bons-pour-la-sante-23-10-2019-8178675.php</nowiki></ref> ===Prise de conscience Écologique et Nouvelles Normes=== Suite à la découverte du trou dans la couche d'ozone en 1985, la '''Convention de Vienne''' (la même année) et le '''protocole de Montréal''' en 1987 établissent des règles strictes à suivre pour tous les pays signataires afin de réduire l'impact des fluides frigorigènes sur la couche d'ozone. Elles portent notamment sur : * L'élimination complète des '''[https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrocarbure_halog%C3%A9n%C3%A9 halons]''' (composés chimiques halogénés bromés, parfois utilisés dans les appareils électroménagers) à partir du {{1er}} janvier 1994. * L'élimination complète avant le {{1er}} janvier 1996 des '''chlorofluorocarbones''' (CFC), des '''hydrobromofluorocarbones''' (HBFC), du méthyle chloroforme et du tétrachlorure de carbone. * L'arrêt de la vente des '''hydrochlorofluorocarbones''' (HCFC) avant le 1er janvier 1996, puis l'arrêt de leur production avant 2004 et enfin, leur élimination complète avant le {{1er}} janvier 2030. * L'arrêt de la production du '''bromure de méthyle''' avant le {{1er}} janvier 1995, puis son élimination complète avant le {{1er}} janvier 2005, avec un rapport sur la consommation annuelle de ce composé. * L'interdiction de la production et de la consommation de '''bromochlorométhane''' à compter du {{1er}} janvier 2002. Les pays en développement ont actuellement un délai supplémentaire de 10 à 15 ans pour se conformer à ces objectifs. Pour les pays développés, ces normes ont eu l'effet escompté, si bien que le trou dans la couche d'ozone découvert en 1985 devrait être complètement '''refermé d'ici 2050''', si les prévisions se confirment et que les interdictions sont maintenues<ref>article Protocole de Montréal [https://www.actu-environnement.com/ae/dictionnaire_environnement/definition/protocole_de_montreal.php4]</ref>. Le '''Protocole de Kyoto''', ratifié en '''1997''', qui fait suite au '''Sommet de la Terre de 1992''' (où fut adoptée la CCNUCC : Convention-Cadre des Nations Unies sur les Changements Climatiques), prévoit un programme progressif pour '''l’élimination des fluides HCFCs et HFCs'''. L’objectif était de réduire avant 2008 d’au moins 5% les émissions de gaz à effet de serre par rapport aux niveaux de 1990. Bien que ce protocole n'ait été suivi que par 37 pays industrialisés, ces pays ont atteint en 2008 des baisses d'émissions de l'ordre de -22,6% par rapport à 1990, les objectifs du protocole étant donc largement dépassés. De plus, au sein de l’'''UE''', des mécanismes d’entraide, de revente de permis d’émissions, de réglementations internes et d'améliorations des systèmes les plus polluants ont été mis en place<ref>Fiche pédagogique Protocole de Kyoto [https://www.connaissancedesenergies.org/fiche-pedagogique/protocole-de-kyoto] </ref>. Pour permettre aux signataires de Kyoto de poursuivre leurs engagements, l’UE a mis en place en 2006 le règlement européen n°842/2006 relatif aux gaz à effet de serre dit '''réglementation « F-Gas »'''. Ce dernier a été remplacé par le règlement européen n° 517/2014 aussi appelé '''réglementation F-gas II''', applicable depuis le {{1er}} janvier 2015. Il s'agit maintenant de réduire d'ici 2050 de 80 % les émissions de gaz à effet de serre par rapport au seuil de 1990<ref>Blog d'un professionnel réglementation F-[https://www.cameo-energy.com/blog/24/retour-sur-la-reglementation-f-gas-ii-sujet-de-preoccupation-majeur-des-acteurs-du-froid Gaz]</ref>. Des lois sur la maîtrise et le '''remplacement des installations''' par des organismes spécialisés et des '''quotas''' pour les fluides HFCs ont également été mis en place : ainsi, depuis le {{1er}} janvier 2020, il est interdit d’utiliser des HFCs au ''GWP'' supérieur à 2500 dans les installations neuves sauf si la température visée est inférieure à - 50°C (ce règlement permet de limiter la fabrication des appareils les plus polluants, ceux qui participent le plus au réchauffement climatique). De plus, à partir de janvier 2022 les HFCs au ''GWP'' supérieur à 150 seront interdits dans les équipements de centrales de réfrigération dont la puissance est supérieure ou égale à 40 kWh, cette dernière norme ne s'appliquant pas pour les systèmes en cascade (juxtaposition de plusieurs systèmes frigorifiques au sein de la même machine) pour lesquelles le ''GWP'' devra "seulement" être inférieur à 1500<ref name=":4">Article dossier froid p 28 revue CFP 830 : Quels fluides pour demain ?</ref>. Toutes ces '''réglementations''' ainsi que la '''prise de conscience écologique''' initiée depuis les années 1990 amène les professionnels à se questionner sur l'avenir des fluides frigorigènes. Les compromis entre ''ODP'' et ''GWP'' semblent complexes à déterminer, et certains scientifiques parleraient même de retourner aux fluides originels tels que le dioxyde de carbone, l'eau ou encore l'ammoniac<ref name=":1" />{{,}}<ref name=":4" />{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=Emma|nom1=Alapetite|titre=Français : Schéma explicatif|date=2020-05-12|lire en ligne=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sch%C3%A9ma_Influence_des_%C3%A9l%C3%A9ments.png|consulté le=2020-05-12}}</ref> === Alternatives et Concurrents === ==== Une Alternative à la Machine à Compression Mécanique : la Machine Tritherme à Absorption<ref name="production du froid" />==== La '''machine tritherme à absorption''' est une alternative à la machine à compression mécanique (le congélateur "classique") qui repose également sur le principe d'évaporation d’un fluide. Historiquement, c'est même ce type de machine qui a été inventé en premier, par Ferdinand Carré en 1859. Ce dispositif est basé sur la '''solubilité d’un gaz''' (qui joue le rôle de fluide frigorigène) dans un liquide (joue le rôle d'absorbant), sans qu'aucune modification chimique n’ait lieu au sein du mélange binaire. Le compresseur de la machine "classique" à compression mécanique est remplacé par un dispositif, l'absorbeur, qui tire parti de cette propriété. Le détendeur est lui aussi remplacé par un concentrateur. <u>Exemple</u> : à 0°C, l’eau est capable d’absorber plus de 1000 fois son volume d’ammoniac (NH₃) gazeux, sans qu’aucune transformation chimique n’ait lieu. Plus la température augmente, plus la solubilité diminue, et ainsi, à 100°C, l’eau dégaze la quasi totalité de l’ammoniac qu'elle avait stocké. C'est cette propriété qui est utilisée. On peut aussi signaler qu'il existe des modèles où le liquide est remplacé par un solide, l'adsorbant. On parle alors de '''machine "à adsorption"''', dont le principe de fonctionnement est un peu différent de la machine à absorption, mais reste similaire. <small> ===== Production de Froid ===== </small> [[File:Réfrigérateur à absorption de gaz v2.svg|thumb|Schéma de fonctionnement de la machine tritherme]] Un '''mélange binaire''' eau/ammoniac contenu dans un bouilleur est porté à ébullition par un brûleur (la source chaude de la machine tritherme) sous haute pression. La vapeur d’ammoniac engendrée est purifiée de la vapeur d’eau entraînée avec elle en passant dans un rectificateur. L’ammoniac gazeux (alors anhydre et "pur") passe ensuite dans un condenseur où il cède sa chaleur à l’extérieur (la source ambiante de la machine tritherme) ou à un circuit de refroidissement selon les modèles, ce qui le le liquéfie. De nouveau liquide, l'ammoniac va ensuite se détendre, puis se vaporiser à basse pression et à basse température en utilisant la chaleur de la chambre froide (la source froide de la machine tritherme) au niveau de l’évaporateur. C'est cette étape qui permet de '''refroidir''' le contenu de l'enceinte. Il faut maintenant faire en sorte de pouvoir recommencer ce cycle. Comme nous sommes à basse température, le gaz peut être aisément dissout dans la solution aqueuse maintenant appauvrie en ammoniac. Cette '''dissolution''' a lieu au niveau de l’absorbeur : la solution appauvrie en provenance du bouilleur rencontre l’ammoniac gazeux, en libérant de la chaleur vers l’extérieur. Nous obtenons une solution riche régénérée qui sera ensuite pompée jusqu’au bouilleur pour recommencer le cycle (la pompe est nécessaire car il y a une différence de pression entre l'absorbeur et le bouilleur). On peut aussi contourner le recours à la pompe mécanique : en introduisant un '''gaz inerte''' (le dihydrogène par exemple) dans certains éléments, on peut rétablir une pression égale partout dans le système. Le bouilleur est ainsi réapprovisionné par une simple système de vases communicants. On parle alors de '''machine “à diffusion”'''. <small> ===== Autres Mélanges Binaires utilisés ===== </small> D’autres mélanges binaires peuvent être utilisés à la place du mélange eau/ammoniac, comme par exemple le couple '''eau/bromure de lithium''', où l’eau fait ici office de fluide caloporteur et non de solvant comme dans l’exemple précédent. Le Bromure de lithium est un composé intéressant puisqu’il n’est ni toxique, ni inflammable, ni explosif, et très stable, même après plusieurs années d’usage. De plus, il permet l’usage de cuivre dans les tuyauteries, ce qui est impossible avec le mélange eau/ammoniac car l’ammoniac corrode le cuivre et ses alliages. <small> ===== Avantages des Machines Trithermes ===== </small> Les machines frigorifiques trithermes, qu’elles soient à absorption, à diffusion ou à adsorption comportent plusieurs avantages : # Elles sont parfaitement '''silencieuses''' (ni bruits ni même vibrations) car dépourvues de compresseur, c’est pourquoi elles sont beaucoup utilisées dans les minibars des chambres d’hôtels. # Comme elles ne comportent aucun système mécanique, elles sont très peu sujettes à la panne et ont donc une '''durée de vie presque illimitée'''. #'''Aucune maintenance''' de graissage n’est nécessaire. # Elles sont '''utilisables partout''' puisqu’elles ne nécessitent pas de courant électrique. Ce sont donc des technologies d’avenir pour les pays en développement, et elle sont d’ores et déjà largement utilisées dans les campings-cars par exemple. # Elles peuvent produire du froid “'''gratuitement'''” si l’énergie de chauffe du bouilleur provient de la chaleur fatale (chaleur rejetée, qui serait "perdue" dans la nature sinon) d’une industrie, par exemple. Néanmoins, ces dispositifs sont relativement peu répandus chez les particuliers, car le '''Coefficient de Performance''' (COP) des machines frigorifiques trithermes (0,7 environ pour la machine à absorption, 0,5 à 0,6 pour la machine à adsorption), est très inférieur à celui de la machine à compression mécanique (entre 3 et 4)<ref>Energie Plus Le Site. « Machine frigorifique à ab/adsorption ». Consulté le 3 mai 2020. https://energieplus-lesite.be/techniques/climatisation8/production-de-froid/machine-frigorifique-a-ab-adsorption/.</ref>, ce qui la rend moins intéressante pour les particuliers qui ne disposent pas de chaleur fatale gratuite (qui doivent donc utiliser de l'énergie, et donc payer l'électricité, le bois ou le fioul pour produire la chaleur nécessaire au fonctionnement de la machine). ==== L'Effet Thermoélectrique<ref name="production du froid" />==== La '''thermoélectricité''', qui exploite notamment l'[https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Peltier effet Peltier], est un autre moyen de produire du froid, encore peu développé commercialement et principalement utilisé dans les glacières portatives de faible puissance. Le principe est très simple : en imposant un courant électrique continu entre deux plaques de métal de densités différentes collées l'une contre l'autre, on remarque que l’une s’échauffe fortement, tandis que l’autre refroidit. On peut arriver à refroidir le contenu d'une enceinte fermée en plaçant la plaque froide du côté de l'enceinte que l'on veut refroidir et la plaque chaude tournée vers l'extérieur. Cette technologie comporte plusieurs avantages, notamment le '''coût très réduit''' que nécessite sa mise en place, et sa '''simplicité''' qui permet de gagner beaucoup de place comparé aux installations frigorifiques classiques. Malheureusement, il n'existe pas encore de congélateurs thermoélectriques car l'effet thermoélectrique tel qu'il est actuellement utilisé n'est pas encore assez puissant pour la congélation, qui nécessite de produire un froid très intense. ==== Alternatives Low-Tech ==== On constate qu'il existe actuellement beaucoup de modèles de réfrigérateurs '''Low-Tech''' (enterrés, sans électricité, etc.), à l'image du [https://wiki.lowtechlab.org/wiki/Frigo_du_d%C3%A9sert frigo du désert], mais aucun modèle de congélateur. En effet, le congélateur est un appareil beaucoup plus puissant, qui ne se contente pas de maintenir une température fraîche, mais doit descendre à des températures négatives très basses. Un tel appareil permettrait de grosses '''économies''' d'électricité mais semble aujourd'hui impossible à réaliser. ==== Alternatives High-Tech ==== Inversement, on peut trouver quelques idées de congélateurs '''High-Tech''' et '''innovants''', utilisant des technologies pointues et modernes pour fonctionner sans électricité (en tout cas sans apport d'électricité extérieur). Ainsi nous avons déjà évoqué les congélateurs et chambres froides ''made-in-France'' de la marque ''Freecold''<ref name="free" />, qui fonctionnent grâce à des '''panneaux solaires'''. Un capteur photovoltaïque alimente directement le compresseur du congélateur, ou recharge une batterie (disponible en option). Ces appareils sont aujourd'hui principalement exportés vers l'Afrique, au potentiel solaire plus élevé. Ils restent encore très chers à l'achat, plus de 1000 €, et l'économie d'électricité induite ne permet pas forcément de les rentabiliser. ==== Le Changement des Modes de Consommation ==== Le congélateur ne peut que difficilement être concurrencé en tant qu'objet : la quantité de froid qu'il doit "produire" est si importante qu'il n'existe pas d'autre objet qui pourrait le remplacer dans sa fonction. En revanche, l'évolution des modes de consommation pourrait bien faire de lui un objet '''superflu''' aux yeux de nombreux consommateurs. Depuis quelques années, l’image des produits surgelés, qui s'étaient fortement développés grâce à la congélation, est de de plus en plus ternie. De plus en plus de consommateurs se tournent vers une consommation plus '''éco-citoyenne''', plus '''responsable''' : ils consomment moins de produits transformés, sur-emballés et choisissent des produits issus de '''circuits-courts''', parfois '''en vrac'''. Ils rejettent le mode de consommation et de production d'aliments qui était associé aux surgelés. Les '''préoccupations environnementales''' et donc la volonté de réduire le '''coût énergétique''' et l''''« empreinte carbone »''' des aliments encouragent les consommateurs à acheter en circuits-courts. La production et le transport des aliments jouent un rôle clé dans cette réflexion : la consommation locale, qui permet aux citoyens de contrôler où et comment les aliments sont produits, jouit d'une image beaucoup plus positive que les surgelés, même si la plupart des consommateurs ne vont pas jusqu'à étudier le '''cycle de vie des aliments''' et ses impacts énergétiques, climatiques, ou sur la biodiversité. Par ailleurs, le circuit-court a généralement un '''meilleur impact social''' que les produits industrialisés et mondialisés puisque les producteurs sont mieux rémunérés par rapport au travail qu’ils fournissent (une forme de commerce équitable donc)<ref> « Alimentation – Les circuits courts de proximité », Agence de l’Environnement et de la Maîtrise de l’Energie, « Les avis de l’ADEME » Juin 2017, https://www.ademe.fr/sites/default/files/assets/documents/avis-ademe-circuits-courts.pdf </ref>. L'Etat soutient, depuis le début des années 2000, des '''politiques de sensibilisation''' à ces grands enjeux : de nombreux outils sont créés et utilisés pour conduire le consommateur vers une alimentation plus '''durable''' et plus '''saine'''. A travers les labels, l'évocation de l'empreinte carbone de notre alimentation, le soutien au commerce équitable, l'Etat nous montre les nombreux impacts sociétaux de notre alimentation, que ce soit sur notre santé, sur l'environnement, la régulation des marchés ou la société en général<ref>Philippe CARDON, Thomas DEPECKER, Marie PLESSZ : Sociologie de l’alimentation, 2011</ref>. Les consommateurs sont aussi à l’origine d’'''initiatives'''. Par exemple, pour encourager les circuits courts, une nouvelle plateforme de e-commerce a vu le jour : ''La Ruche qui dit oui !''. Elle permet de découvrir et rentrer en contact avec les producteurs à proximité. D’autre part, pour mieux '''gérer les stocks de nourriture''', l’application ''Partagetonfrigo'' a été créée et se concentre sur les échanges entre particuliers, qui peuvent redistribuer leurs surplus alimentaires, pour éviter d'oublier des restes dans le réfrigérateur et donc limiter le recours à la congélation : ces restes peuvent être consommés immédiatement, ou pendant une courte durée (pour laquelle la conservation au réfrigérateur suffit) par quelqu’un d’autre. Ces initiatives étant encouragées par l’Etat, le consommateur devient de plus en plus sensible à toutes ces problématiques, en particulier celles touchant à la '''fin de vie des aliments''', puisque c’est ce qu'il est obligé de gérer personnellement chez lui. Le '''tri des emballages''', qui peuvent devenir très encombrants même s’ils sont très pratiques pour le transport et le stockage, fait aussi partie de cette démarche. De plus, si les consommateurs remettent en question leur consommation, ils ont également envie d'un « retour aux sources » et recherchent un sens à leur alimentation (cf paragraphe [[Recherche:Pastech/242-3_Le_Congélateur_Alimentaire#…_Au_détriment_de_la_Fonction_Culinaire|Au Détriment de la fonction culinaire]]). Le '''goût''' et la '''qualité''' des aliments (notamment les valeurs nutritives) prennent à nouveau le dessus sur la '''praticité'''<ref>Isabelle Proust, Désirs et peurs alimentaires au XXIe siècle, 2006</ref>. En cuisinant soi-même, les consommateurs prennent du plaisir de la préparation à la dégustation et ont confiance en leur alimentation, qu’ils « contrôlent » véritablement<ref> « 16 fiches pour mieux appréhender les comportements alimentaires de 2025 », Ministère de l’agriculture et de l’alimentation, 28/02/2017, https://agriculture.gouv.fr/16-fiches-pour-mieux-apprehender-les-comportements-alimentaires-de-2025 , consultée le 06/05/2020 </ref>. Ainsi, sur certains segments tels que les plats cuisinés, les entrées, la viande ou le poisson, les produits surgelés sont en concurrence directe avec les '''produits frais''', qui bénéficient de la bonne image qu'ils renvoient et d'un atout fraîcheur indéniable. En revanche, ils restent souvent plus chers et demandent plus de temps de préparation... Par ailleurs, pour les légumes, plats cuisinés et certains poissons, les '''conserves''' semblent être une bonne alternative aux surgelés : faciles à préparer, d'un prix très attractif et pouvant se conserver très longtemps, elles souffrent néanmoins d'une image moins valorisante... En réalité, chacune de ces méthodes de préparation et de conservation des aliments ont leurs avantages et leurs défauts : ce qui concurrence les surgelés, ce ne sont pas les produits frais ou les conserves en tant que tels, mais plutôt '''l'image qu'ils renvoient''' aux yeux du consommateur soucieux de son '''comportement'''<ref>Xerfi. « Le marché et la fabrication de produits surgelés | étude de marché Xerfi ». Consulté le 7 mai 2020. https://www.xerfi.com/presentationetude/Le-marche-et-la-fabrication-de-produits-surgeles_9IAA23.</ref>. Les acteurs du surgelé ont bien compris cette tendance, et y sont très sensibles : le marché dépend en effet avant tout de la stratégie du consommateur, qui le pousse plutôt vers certains produits que d'autres<ref>« Les produits alimentaires à l’horizon 1995 : du surgelé au “nouveau frais” », 1 avril 1987. https://www.credoc.fr/publications/les-produits-alimentaires-a-lhorizon-1995-du-surgele-au-nouveau-frais.</ref>. Les différentes marques ont adapté leurs offres pour '''redorer l’image des produits surgelés'''. Ainsi, le bio est devenu une « mode » sur laquelle s’appuient les marques. ''Picard'', l’un des géants du marché français, a donc créé toute une gamme de bio, et dit promouvoir les producteurs les '''plus respectueux de l’environnement''' et utiliser '''moins de pesticides''' pour la production de ses fruits et légumes. La marque est également dans une démarche d’'''« éco-conception »''' pour réduire les emballages, qui sont fabriqués en matériaux recyclés, mais aussi d’autres éléments de la chaîne comme le transport et les durées de stockage. Ils valorisent également une meilleure isolation des magasins permettant une consommation d’énergie moins importante. ''Findus'' a pour sa part déclaré vérifier l’origine des produits de la mer pour veiller au respect des écosystèmes (pêche responsable…). Ces choix stratégiques impliquent de devoir '''monter les prix''', mais c'est un moyen efficace pour lutter contre la baisse des ventes à laquelle la filière du surgelé fait face depuis quelques années<ref> « Les surgelés se mettent au bio. N'est-ce pas "schizophrène" ? », Le Monde (Pascal Santi), 01/04/2009, https://www.lemonde.fr/economie/article/2009/04/01/les-surgeles-se-mettent-au-bio-n-est-ce-pas-schizophrene_1175126_3234.html, consultée le 06/05/2020) </ref>. == Conclusion == Dès les débuts de l'humanité, la conservation des aliments est un '''enjeu crucial'''. Le congélateur n'est qu'une innovation technique issue de cette volonté, permise dès le 18^e siècle par les progrès technologiques et les diverses inventions. L'exploitation du cycle des fluides frigorigènes en a été l'élément déclencheur. Mais cette innovation, qui est véritablement '''révolutionnaire''', a permis bien plus que la simple conservation des aliments : au 20^e siècle, elle a totalement transformé nos sociétés, en améliorant le '''confort de vie''' des agriculteurs puis des urbains, et en changeant notre manière de consommer et nos régimes alimentaires. Toute une industrie et un marché se sont développés autour du congélateur et des tout nouveaux produits surgelés, prenant toujours plus de place dans nos vies. Si la balance a longtemps penché en faveur du confort apporté par le congélateur plutôt que des '''considérations écologiques''', on constate depuis déjà un demi-siècle les effets délétères sur l'atmosphère et l'environnement des fluides utilisés, et la tendance est bien en train de s'inverser. Le début des années 2010 marque une rupture : on commence à prendre conscience des autres impacts négatifs de l'appareil sur l'environnement, tels que la consommation électrique, les matériaux utilisés, mais aussi de l''''absurdité écologique''' du commerce de produits surgelés. Ainsi, si le congélateur a constitué un vrai '''changement de paradigme''' pour les sociétés développées du milieu du 20^e siècle, il y a fort a parier qu'il en provoque un autre dans les années à venir : si un virage écologique est amorcé à l'échelle mondiale, il passera par un nouveau changement de nos modes de consommation et une réduction de nos consommations non-essentielles. Il y a fort à parier que '''le congélateur ménager n'aurait pas sa place''', en tout cas sous sa forme actuelle, dans ce monde plus "vert"... <big><big>'''Rendez-vous dans une dizaine d'années pour en juger !'''</big></big> <br /> <br /> <br /> <br /> == Auteurs == Cette page a été réalisée dans le cadre du projet '''PASTECH''' ('''PA'''radigmes, '''S'''ociétés et '''TECH'''nologies) mené en 2^e année à l'INSA de Lyon. Il s'agissait de choisir un objet, une technologie de production ou de conversion d'énergie, et de retracer sa trajectoire dans notre société, en étudiant ses différents aspects (Technique, Social, Economique, Environnemental…). Nous espérons avoir rempli au mieux cet objectif.<br /> Nous tenions également à '''remercier''' tous les enseignants et intervenants qui nous ont accompagnés dans ce projet, nous prodiguant conseils et pistes sur le contenu et la rédaction de cette page (nous ne les citerons pas par peur d'en oublier ! ;-) ) ALAPETITE Emma, CHATRON MICHAUD Paul, COMMEYRAS Louis, DUMAS Grégoire, FRANCHOMME Claudie-Océane, HEINTZ Antoine, VILLEMEY-RAYET Marilou, ROBERT Antoine. <br /><br /> == Références == <references responsive="" /><br /> <br /><br /> hrc0cx1crbmosmsrwz80ngpe8jj1jky 104 75855 982971 981669 2026-05-21T18:10:42Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982971 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ == Introduction == [[File:Plancher chauffant hydraulique.jpg|thumb|Photo d'une installation de plancher chauffant]] Le plancher chauffant est un système de chauffage via le sol d'une pièce, ou d'un bâtiment complet. Le plus souvent hydraulique (installation de tuyau) ou électrique (résistances), il peut être employé grâce à différentes sources d'énergie thermique telles que les chaudières gaz ou les pompes à chaleur par exemple. Ce paradigme technologique prend naissance dans l'Antiquité en Occident, et également à la même période en Corée, où cette technologie a perduré depuis pour s'imposer comme une technique de chauffage majoritaire dans ce pays. Il a évolué au fil des ans et des découvertes scientifiques pour se développer aujourd'hui dans les pays tempérés tels que la France. On peut alors se demander quelle a été la trajectoire de cette technologie en Occident, et pourquoi ? <br /> == Apparition du plancher chauffant == === Tradition Asiatique === ==== Des origines antiques ==== Malgré une croyance populaire occidentale, les premiers systèmes de planchers chauffants ne viennent pas de la Rome antique et de ses thermes, mais d’Asie. Certaines fouilles archéologiques en Chine laissent penser que dès 10 000 ans avant JC, des pierres étaient chauffées: il s’agit du “kang”, qui signifie “sécher”. Ces installations ont été interprétées comme servant de lit chauffant. La notion de confort domestique, et thermique serait donc déjà présente à l’époque. De nombreuses excavations ont permis d’observer différentes améliorations de ce système au cours des millénaires. On a pu donc constater que les peuplades du nord-est de la Mandchourie (Chine)  préféraient des systèmes chauffants hors du sol tandis que les autres privilégient ceux proches du sols<ref>Robert Bean, Membre ASHRAE; Bjarne W. Olesen, Ph.D., Membre ASHRAE; Kwang Woo Kim, Arch.D., Membre ASHRAE,February 2010, ASHRAE Journal, Part 1 History of Radiant Heating& Cooling Systems, <nowiki>https://healthyheating.com/History_of_Radiant_Heating_and_Cooling/History_of_Radiant_Heating_and_Cooling_Part_1.pdf</nowiki></ref>. ==== Le ondol : la technique coréenne ==== [[Fichier:Ondol.png|alt=Schéma en coupe de la structure et du fonctionnement d'un ondol|vignette|Le système historique du ondol]] On ne peut parler de chauffage au sol avec exactitude qu’aux alentours de 500 avant JC (on parle parfois de 1000 ou plus avant JC mais l’évolution de cette technologie la rend difficilement définissable), avec le système de l”Ondol” (ou “gudeul”) en Corée. En effet, ce système est celui qui répond le mieux aux critères de chauffage au sol : une grande partie,ou l’intégralité, de la surface de la chambre est chauffée par un réseau d’air chauffé à l'aide d'une cheminée. À l’époque, cette dernière se trouvait dans la pièce à vivre et servait aussi aux tâches ménagères, à la cuisine. Ce système, en forme de L ou de I, a été partagé dans toute la péninsule Coréenne, dans les classes moyennes ou aisées. Puisque la Corée et le Japon étant proches géographiquement, on suppose que ce dernier a pu bénéficier de cette technique coréenne. Dès le XVe siècle, la majorité des habitations de Corée étaient équipées d’un ondol. Il a été adapté aux différentes régions climatiques: dans la partie nord du pays, où l’hiver est très rude, la cheminée a été gardée dans la pièce à vivre. Dans la partie sud, plus chaude, elle a été déplacée à l’extérieur des habitations car la nourriture chauffait trop en intérieur et laissait de mauvaises odeurs. Le ondol a alors été équipé sur toute la surface de la pièce. ==== La trace de cette technique dans la société coréenne et asiatique ==== Durant la dynastie Chosun (1392 à 1910), le ondol a été largement répandu dans toute la Corée et a fortement influencé l’art de vivre Coréen, et plus largement Asiatique. En effet, la présence des ondols et des kangs dans les logements a permis de développer toute une culture relative au sol. Un sol chaud invite à dormir près du sol (couches plates plutôt que matelas), à avoir un mobilier bas (manger par terre) et à enlever ses chaussures en rentrant. Pour des occidentaux, encore aujourd'hui, ce geste peut être interprété comme une volonté de ne pas salir la pièce, pourtant il vient simplement d’un confort pour les pieds. Pour que le plancher soit encore plus chaud, on pouvait parfois le recouvrir d’une couverture appelée ''ibul''. Lorsque la famille était de retour dans la demeure, tout le monde pouvait se glisser sous le ''ibul'' pour se réchauffer ensemble, ce qui illustre par la tradition les liens familiaux. Le ondol a donc eu une place importante dans la société, et par conséquent il a été une source d'inspiration pour des artistes. On peut citer le patrimoine culturel conservé en Corée et lié à la technique du ondol : notamment de nombreux témoignages littéraires datant de l'époque médiévale<ref>Quisefit, Laurent (2018). « Ondol. L'hypocauste coréen, tradition et mutations d'un système de chauffage », dans ''Le froid. Adaptation, production, effets, représentations'', sous la dir. de Chartier, Daniel et Borm, Jan. Québec, Presses de l'Université du Québec, coll. «Droit au Pôle », pp. 89-104 https://archipel.uqam.ca/11505/</ref>, par exemple celui de Yi Kyu-Bo(1168-1241) faisant allusion à l'ondol dans un poème de remerciements à ses hôtes : "À la froide saison de l’hiver, je me suis couché sur le  kudˇul (synonyme de ondol) gelé / Le froid m’a saisi par surprise, me glaçant jusqu’aux os / Heureusement, des branches sèches rassemblées en fagot Allumé / les flammes montent en fleurs de feu / Comme une douce chaleur printanière s’est diffusée… /"<ref>Yi Kyu-bo, « Koyulsi », Tongguk Yi Sangguk-chip, vers 1240-1241, livre 5</ref> Ces premières sources écrites nous montrent que l'ondol a une grande importance dans la culture coréenne depuis toujours, ce qui peut expliquer pourquoi cette technique a été conservée depuis ses origines antiques jusqu'à l'ère moderne. ==== Convergence moderne du ondol ==== En 1953, la guerre de Corée laisse le pays en déséquilibre, le gouvernement prend alors des mesures collectives pour l'ensemble du pays. Afin de limiter la déforestation, le gouvernement impose l’installation d’ondols modernisés, fonctionnant au charbon. Cela permit de réduire fortement les pertes en chaleur grâce à une structure préfabriquée en béton. Cependant, de nombreux cas d’intoxications par inhalation des fumées passant à travers des fissures poussèrent les autorités à changer de politique dans les années 1970. Le système moderne de l’ondol par circulation d’eau chaude a donc été installé à ce moment et s’est rapidement répandu grâce à la demande suivant l’essor économique et immobilier du pays. Ce système moderne ne proviendrait pas de Corée, mais des États-Unis où l'architecte Frank Lloyd Wright l'aurait mis au point au début du XXe siècle, totalement inspiré par le ondol traditionnel. En 2017, 67% de la consommation d'énergie sud-coréenne reposait sur des énergies fossiles carbonées<ref>U.S. Energy Information Administration''. L'énergie en Corée du Sud en 2018 : importations d'hydrocarbures, place du nucléaire'', in ''Country Analysis Brief: South Korea''. [EN LIGNE]. Juillet 2018. Disponible sur <nowiki>https://www.connaissancedesenergies.org/situation-energetique-de-la-coree-du-sud-en-2018-180723</nowiki> (consulté le 02/05/2020)</ref>, laissant penser que les ondols modernes sont alimentés par ces ressources. Il est intéressant de voir que certaines entreprises ont, à la même période, tenté d’importer le chauffage par radiateur en Corée, dans une optique d’occidentalisation et de “modernisation”. Pourtant le public l’a rejeté car ce système n'apporte pas le même confort au niveau du sol que l’ondol. Le mode de vie millénaire coréen a donc supplanté le système occidental. Aujourd'hui, environs 95% des bâtiments en Corée et 85% dans la partie nord de la Chine sont équipés d'un système de chauffage au sol, et une croissance est observée au Japon. Ces chiffres peuvent être vus comme la suite logique d'une longue histoire entre les populations de ces régions d'Asie et une technique de chauffage ancestrale et efficace. === Épisode Occidental === [[Fichier:Photo hypocauste st romain en gal 1.jpg|vignette|Photo d'un système de chauffage par hypocauste datant de l'occupation de la Gaule par les romains. Site archéologique de St-Romain-en-Gal. ]] Le terme hypocauste provient du grec "hupokauston" qui signifie "brûler dessous" et du terme latin "hypocaustum" signifiant "chauffé en dessous" ou "par le dessous". En effet, les hypocaustes sont des systèmes de chauffage pouvant s'apparenter au chauffage au sol moderne. Le principe repose sur la circulation d'air chaud sous différentes pièces grâce à des sortes de galeries et qui chauffe les pièces par le dessous. Les grecs utilisaient les hypocaustes à partir du {{S|4}} avant {{Abréviation|J.C.|Jésus Christ}} A Syracuse, des fouilles ont révélé des vestiges de pièces chauffées par des canalisations datant du {{S|4}} avant {{Abréviation|J.C.|Jésus Christ}}. On connaît également un autre exemple dans les thermes du nord-est à Epidaure. Les premiers hypocaustes romains semble dater du premier siècle avant {{Abréviation|J.C.|Jésus Christ}} à Olympie puis également à Zevgolatio près de Corinthe<ref>Ginouves, René, et Séraphin Charitonidis. « Bain romain de Zevgolatio près de Corinthe ». Bulletin de Correspondance Hellénique Volume 79, no 1 (1955): 102‑20. https://doi.org/10.3406/bch.1955.2424.</ref> quelques siècles plus tard. Tous ces thermes présentent des similitudes dues aux habitudes culturels des romains et de leur quotidien. On peut donner de nombreux exemples de villes dans tout l’Empire Romain qui utilisaient cette technique pour chauffer ses thermes ; c'était un système très répandu. On trouve également des variantes des hypocaustes en Syrie ou en Afghanistan et dans quelques autres pays<ref>Robert Bean, Membre ASHRAE; Bjarne W. Olesen, Ph.D., Membre ASHRAE; Kwang Woo Kim, Arch.D., Membre ASHRAE,February 2010, ASHRAE Journal, Part 2 History of Radiant Heating& Cooling Systems, https://healthyheating.com/History_of_Radiant_Heating_and_Cooling/History_of_Radiant_Heating_and_Cooling_Part_2.pdf</ref>. Il ne semble pas que cette technologie ait été développée sous influence Ondol, en raison de l'éloignement géographique, immense pour l'époque, entre ces 2 régions du monde. ====Fonctionnement de l'hypocauste ==== [[Fichier:Photo Thermes.jpg|vignette|Photo des thermes de Saint-Romain-En-Gal où nous pouvons voir les briques de l'Hypocauste et une entrée d'air.]] Les pièces étaient surélevé de {{Unité|60|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} environ sur des pilastres (piles de carreaux de terre cuite) et elles étaient arrondies pour faciliter le mouvement en tourbillon de l’air chaud. L’hypocauste était recouvert de plaques de terre cuite qui reposaient sur les pilastres et était recouvert d’un ciment très fin. Ainsi les foyers étaient alimentés par des hommes (les fourniers) qui portaient le bois et qui gardaient en permanence une flamme vive. Le four était également construit en brique, il permettait de chauffer l’air qui circulait dans l’hypocauste et cela permettait de chauffer les salles par le sol. L’hypocauste recevait l’air froid du dehors et il était ensuite chauffé et les fumées s’échappaient par une cheminée. Les cheminées étaient placées stratégiquement dans les coins de chaque salle pour évacuer les fumées. L'air chaud circulait également grâce à des ouvertures dans les murs pour que la chaleur puisse se répandre dans la pièce. Au cours du temps des foyers ont été ajoutés au fur et à mesure pour renforcer le chauffage. Plus tard, au début du troisième siècle, des canaux de briques munis d’évents latéraux ont été construits permettant de conduire l’air chauffé par les foyers vers le centre des différentes pièces. Une pièce était plus chaude quand elle se trouvait proche d’un foyer et on régulait la température en alimentant plus ou moins les foyers. Dans le cas du site de Saint-Romain-en-Gal, ce système permettait même de chauffer une petite piscine se trouvant dans le caldarium grâce à un foyer central construit au début du troisième siècle<ref> Goulpeau, Louis, et Hugues Savay-Guerraz. 1998. « Datation archéomagnétique des grandes étapes du fonctionnement des « Thermes des Lutteurs » à Saint-Romain-en-Gal (Rhône) ». Revue archéologique de Narbonnaise Tome 31 (1): 159‑84. https://doi.org/10.3406/ran.1998.1502.</ref>. ====Utilisation des hypocaustes romains==== Nous pouvons comprendre le fonctionnement de cette ancienne technique grâce à différentes fouilles archéologiques réalisées en France et par exemple à Saint-Romain-en-Gal dans la région du Rhône. Ces termes appartiennent à la ville de Vienne. Les fouilles montrent un site dont la construction a débuté au {{S|1}} après {{Abréviation|J.C.|Jésus Christ}}. Les thermes romains étaient composés de plusieurs salles montées sur hypocauste qui étaient donc chauffées grâce à de l'air chaud qui circulaient sous les salles. En fonction des endroits il y avait plusieurs salles froides et plusieurs salles chaudes. Les salles chaudes ont pour nom "tepidarium" et "caldarium". Dans le cas de Saint-Romain-en-Gal, entre la fin du premier siècle et le deuxième siècle après {{Abréviation|J.C.|Jésus Christ}}, une pièce sur hypocauste est construite et ressemble à une étuve "laconicum". À Saint-Romain-en-Gal, le système de chauffage par hypocauste a fini par être utilisé par les particuliers car cette méthode était particulièrement efficace. Cette amélioration est la plus moderne concernant le confort des villas “à la romaine”, elle fut réalisée dans les dernières années de la période de la pax romana. Nous trouvions ce type de chauffage en Europe à partir du premier siècle avant {{Abréviation|J.C.|Jésus Christ}}. Ensuite il a disparu en Europe à la fin de l’Empire romain d’occident. Ce système de chauffage semble avoir disparu au profit du chauffage central dans les habitations, en effet les habitations ou les châteaux au Moyen Âge utilisaient des cheminées. Nous pouvons émettre l'hypothèse que ce système semble avoir disparu par rapport à un problème de coût ou de moyens. Il semble étonnant que la technique puisse avoir disparu car à la même époque on réalisait des constructions très raffinées et compliquées (comme dans les cathédrales par exemple). Cette disparition de cette technique peut être également liée à une perte de l'habitude d'aller à des bains publics pour se laver et donc il n'y aurait plus ce besoin de chauffer des pièces comme dans les thermes romains et grecs. [[Fichier:Schéma de l'organisation des thermes de Saint-Romain-En-Gal.jpg|vignette|centré|alt=|Schéma de l'organisation des thermes de Saint-Romain-en-Gal]] == Le développement du plancher chauffant == === Redécouverte occidentale === ==== Évolution en Occident ==== Du 12 au 17e siècle, les feux ouverts étaient le mode de chauffage le plus utilisé en Europe, moyen orient et Amérique du Nord. Différentes techniques propres à chaque région amenèrent à la mise au point au 18e siècle du poêle dit « poêle de Franklin » qui est rapidement devenu le principal système de chauffage dans les habitations. À la même époque, on retrouve des traces écrites de différentes réapparitions du chauffage au sol, souvent éloignées de plusieurs dizaines d’années et sans lien direct entre elles. On sait par exemple que des serres étaient chauffées par conduit d’eau chaude sous le sol au 17e siècle ou que Sir John Stone avait doté la Bank of England d’un chauffage par conduits d’eau chaude dans les murs et dans les sols dès 1790. Cette installation témoigne des avancées du 18e et du 19e en termes de chauffage par canalisations d’eau chaude. C’est à cette époque que John Leslie comprit le rôle du rayonnement dans la transmission de chaleur ; Benjamin Thompson quant à lui détermina les conductivités thermiques de certains matériaux isolants et mis au point l’isolation par double vitrage. Toute la technique moderne du chauffage par circulation d’eau chaude s’est développée au 19e siècle, avec les premiers brevets qui ont théorisé ces systèmes. La maîtrise des canalisations d’eau et de la diffusion de chaleur a permis une meilleure appréhension du chauffage au sol lorsque celui-ci a été réintroduit dans certains logements. Cependant la cheminée classique était un système bien implanté et pratique d'utilisation à l'époque, ce qui a pu dissuader de chercher à remplacer ce système par d'autres plus couteux et moins adaptés au mode de vie. Jusqu’au 20e siècle, on trouve différents exemples de bâtiments avec un système de chauffage au sol. Cependant les techniques sont très souvent différentes les unes des autres et ont plutôt valeur d’expérimentation que de technologie fixée et employée à grande échelle. En revanche aux États-Unis l’évolution du chauffage au sol suit une direction plus facilement identifiable. Benjamin Franklin est souvent considéré comme le précurseur du chauffage au sol en Amérique du Nord. Dès le 18e siècle, il avait étudié différentes technologies asiatiques et françaises pour mettre au point son poêle. Il a donc été intrigué par les systèmes de chauffage au sol présents en Chine et Corée notamment et par les différents exemples présents à l’époque en Europe. Il a cherché à améliorer un système de récupération de fumées qui passaient ensuite sous un sol, sans pour autant que celui ne soit utilisé. Durant la guerre civile aux États-Unis (1861-1865) les tentes d’infirmeries ont été équipées d’un système de chauffage rudimentaire. L’air chaud et les fumées d’un feu enfoui étaient conduits dans une tranchée traversant la tente puis évacués dans une cheminée construite à partir d’un empilement de bidons. La tranchée était recouverte de dalles qui diffusaient la chaleur dans toute la tente, permettant de maintenir les blessés dans un confort thermique relatif. Cette technique de chauffage de dalle rappelle le kang, utilisé depuis des millénaires en Chine. Bien qu’il n’y ai pas de sources fiables prouvant une telle hypothèse, certaines spéculations mènent à croire que ce sont les migrants chinois venus s’installer en Californie peu avant la guerre qui auraient partagé ce système. Au début du 20e siècle, le chauffage européen était bien modernisé et le chauffage au sol avait acquis une petite renommée grâce à certains bâtiments publics, sans pour autant être très utilisé. L’architecte Américain Frank Lloyd Wright, passionné d’architecture asiatique, a beaucoup étudié le système de chauffage japonais (tiré de celui employé en Corée) et a popularisé le chauffage au sol d’abord aux États-Unis, puis en Europe. Ses deux projets les plus connus ayant bénéficié intégralement de ce chauffage sont le Johnson Wax Building (inauguré en 1937) et la résidence Jacobs. Il faut attendre la fin de la Seconde Guerre Mondiale pour voir le premier usage à grande échelle de chauffage au sol : 2000 foyers sont construits avec un système de transmission par tuyaux de cuivre. Le projet étant considéré comme une réussite, des milliers d’autres logements sont construits selon cette technique et le Canada suit ce projet dans les années 1960. Cependant aujourd’hui la part de logements équipés d’un système de chauffage au sol aux États-Unis et au Canada ne dépasse pas 5%. Nous n'avons pu trouver de sources expliquant cette rupture entre débuts prometteurs et situation actuelle peu développée. Une hypothèse serait les forts écarts de richesse en Amérique du Nord qui empêcherait une bonne partie de la population d'envisager ce système de chauffage qui demande un certain investissement. Sans beaucoup de demandes, le marché du plancher chauffant pourrait ne pas s'être réellement développé aux États-Unis. Si dès 1933, des expériences sur l’éthylène à haute pression permettent la découverte du polyéthylène, il faut attendre 1965 pour que Thomas Engel dépose un brevet sur ses processus de stabilisation et qu’une commercialisation à grande échelle soit lancée. Le développement du chauffage au sol en Occident va de pair avec celui de ces plastiques, alors que le système hydraulique prédomine toujours en Corée.  À partir des années 2000 on considère que ce système de chauffage a réellement sa place sur le marché européen, notamment grâce aux systèmes de bâtiments thermoactifs (chauffage et rafraîchissement) lancés dans les années 1990. ==== Influence possible du ondol ==== Le système de chauffage au sol Coréen, sans avoir été importé directement en Europe au XXe siècle, pourrait avoir influencé la conception du système occidental. Cette hypothèse se justifie par différents points mais aucune source ne permet de la valider ou non. Au XIXe siècle, des liens entre l’Occident et l’Extrême Orient, se créent. Le premier lien est commercial : des négociants hollandais, puis anglo-saxons font affaire à Séoul, mais cela arrive tardivement, puisque, c'est seulement en 1876 que la Corée s'ouvre aux étrangers, avec le traité de Ganghwa<ref>Chung, Young-lob. (2005). Korea Under Siege, 1876-1945: Capital Formation and Economic Transformation, ''p. 42.'', p. 42, at Google Books; excerpt, "''... the initial opening of Korea's borders to the outside world came in the form of the Korea-Japan Treaty of Amity (the so-called Ganghwa Treaty)''."</ref> (ou traité d'amitié Japon-Corée), qui permet d'abord aux japonais de faire commerce à nouveau avec la Corée (après une période d'arrêt due au mesures prises par le régent de l'époque, Daewongun), puis au reste du monde de venir faire affaire en Corée. Cela pourrait donc expliquer certaines correspondances entre ondol et innovations de chauffage au sol en Occident, mais l'on peut également se dire, en raison de l'ouverture tardive de la Corée sur le monde, que le chauffage au sol n'est pas directement une importation depuis la Corée vers l'occident, ou alors, possiblement une importation d'un système semblable utilisé dans d'autres pays d'Asie ayant été sous influence coréenne par le passé. Le deuxième est religieux : la Corée cherche à se réinventer spirituellement et philosophiquement et trouve dans le culte chrétien le modèle qu’elle recherche, sans pourtant avoir été visité par des missionnaires jésuites comme en Chine ou au Japon. Le troisième est culturel : l’Orientalisme bat son plein en Europe, et tout un fantasme autour des cultures allant du Maghreb au Japon se développe. Cette fascination est alimentée par les nouvelles routes commerciales, permettant la publication de carnets de voyages de commerçants, puis d’écrivains se précipitant vers cette source d’inspiration. La Corée a donc été décrite aux Européens de l’époques à travers ces récits. En Angleterre, les écrivains John Green, William Robert Broughton, Basil Hall, et John M’Leod parle du pays comme « l’une des nations les plus civilisées du monde »<ref>Koh, Grace. « British Perceptions of Joseon Korea as Reflected in Travel Literature of the Late Eighteenth and Early Nineteenth Century ». ''THE REVIEW OF KOREAN STUDIES'' 9, n^o 4 (décembre 2006): 103‑33. Disponible sur http://www.dbpia.co.kr/journal/articleDetail?nodeId=NODE01159816 (consulté le 21/03/2020)</ref>. Les scientifiques se sont donc penchés sur les technologies de cette civilisation exotique et avancée. Les ondols, jusqu’alors jugés trop chauds et trop désagréables par les commerçants Hollandais, deviennent un sujet de recherche pour certains scientifiques ou techniciens curieux. On peut citer Benjamin Franklin et Frank Lloyd Wright qui ont tous deux cherchés à étudier ce système particulier de plancher chauffant et à l’adapter aux goûts en matière de confort thermique occidental. Les ondols auraient donc pu influencer les redécouvertes de systèmes de plancher chauffant en occident à travers un partage de cultures, lui-même amplifié par les goûts des Européens pour les cultures exotiques. Par la suite, durant la Révolution Industrielle et la mondialisation, ces deux pôles ont pu interagir et échanger différentes innovations qui ont amené aux systèmes actuels de chauffage au sol dans le monde. ==== Le parcours français ==== Après la seconde guerre mondiale en Europe, et notamment en France, un grand besoin de reconstruction rapide s’est fait sentir, et avec lui un besoin en chauffage. Les fabricants de radiateurs de l’époque ne pouvant pas répondre à toute la demande, ils décidèrent d’intégrer un émetteur simplifié intégré au sol de certains logements afin de compléter l’afflux de chaleur. Ce système consistait à peu de choses près aux systèmes de canalisation d’eau chaude. C’est de cette manière que le chauffage au sol moderne a fait son entrée en France. L'architecte Le Corbusier a lui aussi contribué à cette introduction. Le mix énergétique des bâtiments dans le pays n’étant pas encore très développé à cette époque, ce système consommait beaucoup pour un rendement assez instable. Le dimensionnement des serpentins au sol n’était pas encore effectué par le calcul, et donc les émissions de chaleur résultantes étaient souvent insuffisantes ou excessives. Étant installés par les fabricants de radiateurs en supplément, ces planchers chauffants fonctionnaient à peu de choses près comme des radiateurs traditionnels. L'eau chaude qui circulait dans le sol chauffait le plancher, qui chauffait ensuite l'air de la pièce par convection. Ce principe était problématique car l'air chaud s'accumulait au plafond et pour que toute la pièce soit assez chaude il fallait une température de sol supérieur à 30°C, ce qui crée des douleurs aux jambes. Des pertes importantes d'énergie avaient aussi lieu à cause de ponts thermiques (zone souvent mal isolé thermiquement qui laisse s’échapper les calories). Les premiers essais n’étant donc pas concluants, cette idée fut mise de côté dans les années 1960. On peut aussi supposer que le système ne s'accordait pas facilement aux logements déjà existants, comme les immeubles Haussmanniens par exemple. Dans ce genre de bâtiments, il est toujours plus simple d'installer des canalisations pour des radiateurs, qui rappellent la traditionnelle cheminée, que de retravailler tout le plancher pour un chauffage qui a tout à prouver. Vers 1975, l’apparition de canalisation en matériaux de synthèse permettant de transporter des fluides chauds amène de nouvelles possibilités. Le chauffage par rayonnement est alors plus utilisé, et il permet de moins consommer d'énergie et de pallier certains des précédents problèmes. Une régulation des systèmes permet de mettre en place des systèmes plus fiables et plus pertinents. L’arrêté du 23 juin 1978 fixe la température de surface des sols à 28°C (température théorique de la voute plantaire) pour les chauffages intégrés, le premier Avis Technique pour les systèmes de canalisation en matériau de synthèse pour l’eau chaude paraît en 1979 et le développement du système est fait grâce à une reconnaissance par le DTU 65.8 paru en 1990. La législation et les règles ont évolué en même temps que les innovations et les nouvelles connaissances, jusqu’à aujourd’hui. Une nouvelle régulation, à l’échelle européenne cette fois ci, paraît en 1998 avec le NF EN 1264 qui traite des normes des chapes désolidarisées isolées. Celle-ci permet d’étendre un peu plus ces systèmes en Occident. Aujourd'hui, le plancher chauffant a sa place sur le marché du chauffage français. Les professionnels l'envisagent comme une option sérieuse lors de la construction d'un nouveau bâtiment et ce système s'étend donc au fur et à mesure dans les habitations. Les logements déjà existants, peu compatibles, les coûts d'installation et la culture du radiateur bien implantée semblent être maintenant les principaux freins à l'expansion du secteur en France. ===Architecture : prescripteurs=== Le plancher chauffant attire beaucoup les architectes en recherche d'espace et de neutralité. Installé sous le revêtement du sol, il permet de libérer les murs des radiateurs habituels. A cela s'ajoute un confort thermique par cet apport constant et uniforme de chaleur, un confort qui s'est amélioré au cours des années par l'évolution des technologies. Les architectes ont ramené le plancher chauffant de leurs voyages pour le développer dans leur pays d'origine. Bien que peu efficace et durable en premier lieu, ce système a été promu dans divers endroits du globe par des architectes de différentes nationalités. ===== En Amérique ===== ====== Levittown ====== William Levitt, un promoteur immobilier américain du 20e siècle, a conçu et construit avec l’aide de son frère Alfred Levitt la première majeure banlieue américaine. Cette banlieue située dans l’état de New York fut construite à la suite de la deuxième guerre mondiale pour accueillir les familles des vétérans. Pour répondre à la forte demande immobilière de l'époque, Levitt & Sons a suivi les chaînes de montage de Henry Ford construisant ainsi une maison toutes les deux heures. Chacune de ses maisons étaient équipées de plancher chauffant en raison de l’air plus propre qu’il prodiguait, son esthétisme et le peu de poussières qu’il entraînait. Le système hydraulique était équipé d’une chaudière « pas plus haute qu’une machine à laver » qui chauffait l’eau circulant dans des tuyaux en cuivre sous une dalle de béton. Ce système a été conçu par le vice président de l’entreprise Irwin Jalonack. Il a pu être installé dans toutes ces maisons grâce au décret du conseil municipal de la ville d’Hempstead autorisant l’installation d’un chauffage par radiation et de ne pas avoir de cave<ref>{{Article|langue=en-US|prénom1=Jay|nom1=Romano|titre=YOUR HOME; The Virtues Of Radiant Heating|périodique=The New York Times|date=1998-12-27|issn=0362-4331|lire en ligne=https://www.nytimes.com/1998/12/27/realestate/your-home-the-virtues-of-radiant-heating.html|consulté le=2020-05-14}}</ref>. Cette installation est une première démonstration d'installation majeur de plancher chauffant dans des maisons adressées à une population de classe moyenne qui se veulent modernes et fonctionnelles. Ce système avait néanmoins de nombreux défauts. La dalle n’était pas isolée par le dessous. Ainsi, les sols étaient suffisamment chaud pour que des tulipes poussent en février aux abords de la maison. Il y avait aussi de nombreuses fuites de liquide dans les sols car les matériaux n’étaient pas suffisamment adaptés pour résister à la casse et à la rouille. Les habitants de la ville abandonnaient ainsi leur système de chauffage au bout de 15 à 20 ans pour des radiateurs<ref>{{Article|langue=en|titre=Levittown’s ‘Cellarless’ Homes|périodique=JLC Online|date=2018-03-12|lire en ligne=https://www.jlconline.com/how-to/foundations/levittowns-cellarless-homes_o|consulté le=2020-05-12}}</ref>. ====== Maisons Usoniennes ====== Frank Lloyd Wright est un architecte qui a beaucoup participé au développement du plancher chauffant dans le monde. Par exemple, à la même époque que la banlieue Levittown, ce célèbre architecte américain, a cherché à concevoir des maisons d’architecte économiquement abordables : les maisons usoniennes. Il souhaitait que ses maisons soient fonctionnelles et en harmonie avec la nature. Dans cet objectif, Il y a installé des planchers chauffants hydrauliques pour permettre de libérer les espaces. Or, le système perdait toujours beaucoup de chaleur et les tuyaux ne tenaient pas très longtemps. Aujourd’hui, de nombreux propriétaires de maisons au style usonien réadaptent l’ancien système avec les techniques actuelles<ref>{{Ouvrage|nom1=Wright, Frank Lloyd, 1867-1959.|titre=In the cause of architecture, Frank Lloyd Wright : essays|éditeur=Architectural Record|date=1975|isbn=0-07-025350-1|isbn2=978-0-07-025350-6|oclc=1174425|lire en ligne=http://worldcat.org/oclc/1174425|consulté le=2020-05-12}}</ref>. ====== Centres commerciaux ====== Beaucoup de centres commerciaux se sont équipés aux États-Unis de plancher chauffant pour réduire l’occupation des équipements matériels comme les grosses ventilations que l'on peut voir sur les plafonds des commerces habituels. Ces systèmes restent cependant très chers à installer sur d'aussi grande surface<ref>{{Chapitre-B|titre chapitre=Cooling and Integrated Heating/Cooling Systems|titre ouvrage=Energy Audits and Improvements for Commercial Buildings|éditeur=John Wiley & Sons, Inc|date=2016-04-29|isbn=978-1-119-17485-1|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.1002/9781119174851.ch7|consulté le=2020-05-12|passage=117–136}}</ref>. ===== En Chine ===== Dans les pays tropicaux, les planchers rafraichissants apparaissent peu à peu comme un moyen de remplacer la climatisation souvent bruyante et peu esthétique. Par exemple, nous retrouvons la Pearl River Tower qui se dit être la tour la plus respectueuse de l’environnement, étant néanmoins le siège d’une entreprise de tabac. Située en Chine, dans la province de Guangzhou, elle a été construite dans le but de minimiser son utilisation énergétique avec l’installation de panneaux solaires, d’éoliennes ainsi que de plancher rafraîchissant. A l’aide d’air refroidi diffusé dans les étages et de "métal rafraichissant", de l'air frais est injecté par le sol, refroidi par des matériaux en métal, et l'air chaud récupéré dans le plafond<ref>{{Lien web|titre=Pearl River Tower: Guangzhou, China|url=http://www.hpbmagazine.org/Case-Studies/Pearl-River-Tower-Guangzhou-China/|site=www.hpbmagazine.org|consulté le=2020-05-12}}</ref>.Cette utilisation reste cependant à nuancer avec l'utilisation, souvent trop forte, dans ces pays de la climatisation. Peut-être que le plancher chauffant est plus écoresponsable, mais pour avoir un moindre impact environnementale, il doit être utilisé plus faiblement. ===== En France ===== En France, la mauvaise isolation des bâtiments à longtemps été un frein au développement du plancher chauffant. Dans l'objectifs de répondre à l'augmentation rapide de la population dans les années 1950, l'Etat a commandé 3 unités d'habitation au célèbre architecte français Le Corbusier. Ces oeuvres sont de gros immeubles permettant d'accueillir des habitations, des commerces, des rues, un théâtre, une école pour créer une véritable ville verticale. Il avait prévu d'installer du plancher chauffant dans l'intégralité de l'immeuble. Or, son installation coutait cher et ils ont été alors uniquement installés dans les unités commandées, non pas par l'Etat, mais pas par des particuliers comme celle de Firminy. Le chauffage au sol fonctionnait souvent un peu trop fort, mais ce système a attiré Le Corbusier pour sa capacité à se fondre dans l'appartement. Cet architecte est connu pour des espaces très fonctionnels, un plancher chauffant répondait à ce souhait pour le peu de place qu'il prenait<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Site Le Corbusier {{!}} Saint-Étienne Tourisme|url=https://sitelecorbusier.com/|site=Le corbusier|consulté le=2020-05-12}}</ref>. Bien qu'il est eu un essort incroyable en Corée et dans les pays asiatiques, le plancher chauffant a mis beaucoup de temps à correspondre aux habitudes occidentales. Dans toutes ces oeuvres architecturales, les architectes tentent de changer de faire évoluer le mode de ie vers des espaces plus fonctionelset moins brut, des changements pas toujours appréciés par les occupants (trop chaud, trop compliqué à régler). <br /> ===Développement géographique=== Dans le monde, on prévoit une croissance de 6% du marché du plancher chauffant pour la période de 2019 à 2023. La croissance dans ce domaine est mené principalement par les pays d’Asie. Les premiers à investir dans cette technologie est l’Inde, la Chine et le Japon. On compte également des pays émergents tels que la Malaisie, le Vietnam, la Thaïlande et l’Indonésie. Ils investissent dans les nouvelles technologies pour la construction des bâtiments<ref>« Global Underfloor Heating Market 2019-2023| Emergence of Smart Thermostats to Boost Demand | Technavio », 22 avril 2019. https://www.businesswire.com/news/home/20190422005225/en/Global-Underfloor-Heating-Market-2019-2023-Emergence-Smart.</ref>. Ils utilisent notamment les planchers chauffants. En Corée, ce système de chauffage est le plus commun, il est utilisé dans la plupart des bâtiments résidentiels. Ce type de chauffage a toujours été plus présent en Asie à cause du climat comme nous l'avons précisé dans la partie historique. En France, en fonction des années, la croissance du marché des matériaux pour plancher chauffant ou la croissance du marché des planchers chauffants oscille entre 5% et 7% en fonction des années. Les planchers chauffants sont principalement vendus et installés sur des maisons moyennes et haut de gamme individuelles. Le marché du plancher chauffant est moins développé en France et moins connus des français car nous avons plus développé le système de radiateurs due à un mode de vie différent. Aujourd'hui il se développe de plus en plus car il semble plus rentable dans des bâtiments mieux isolés. Il semble également de plus en plus se développer en France grâce aux planchers chauffants réversibles qui permettraient de remplacer les radiateurs mais aussi les climatisations dans les habitations. L’Europe était leader dans ce marché en 2018, les second était l’Amérique du Nord puis vient les APAC et l’Amérique du Sud. Les Européens étaient leader dans ce secteur sûrement à cause de la volonté de réduire les émissions de gaz à effet de serre. De plus, contrairement à la France, l'Espagne ou l'Allemagne développe le plancher chauffant dans des habitats collectifs comme dans des écoles par exemple car on gère l'installation du plancher chauffant "par zones". Nous pouvons ainsi penser que la France n'a développé le plancher chauffant presque seulement dans les habitations individuelles car il coûte cher d'installation. Si nous voulions en mettre dans les écoles ou d'autres lieux publics cela coûteraient peut-être trop chers. De plus, on en utilise souvent dans les habitations individuelles car elles sont neuves, certains lieux publics récents en sont pourvus également. Des études sont également en cours pour importer du chauffage au sol à Marrakech pour des utilisations sur des hammams<ref>SOBHY, Issam, Abderahim BRAKEZ, et Brahim BENHAMOU. « Modélisation dynamique du comportement thermique d’un plancher chauffant avec circuit fermé à Marrakech », 2014. https://doi.org/10.13140/2.1.3472.8968</ref>. On a testé également différents systèmes dans le nord de chypre ainsi qu’en Algérie. Ces contrés importent beaucoup d’énergie et c’est pour cela qu’utiliser des planchers chauffants à base d'énergie solaire serait intéressant. Il existe différents exemples de nouveautés et d’études sur les planchers chauffants dans le monde entier. Nous allons parler de quelques exemples même si nous pourrions en trouver beaucoup plus. Au Danemark, un lotissement complet du nom de Juulsbjergparken compte 88 appartements complètement équipé d’un chauffage au sol rafraîchissant<ref> « Sol chaud et confortable à Juulsbjergparken | Schlüter-Systems ». Consulté le 18 mars 2020. https://www.bekotec-therm.fr/sol-chaud-et-confortable-a-juulsbjergparken.aspx. </ref>. En Angleterre,fut récemment construit un bâtiment luxueux connu sous le nom « Moonstone Project » , il est situé près de Cheltenham. Ce bâtiment se veut écologique et durable et l'entrepreneur John Croft a choisi pour cette bâtisse ultra-moderne un plancher chauffant-rafraîchissant Schlüter-BEKOTEC-THERM, il a été recouvert complètement de dalles en pierre naturelle. L'entrepreneur se vante du fait qu’il répond aux normes écologiques les plus stricts. Cette maison est dite à “énergie positive”, elle produit plus d’énergie qu’elle n’en consomme. On peut ajouter également que le système de chauffage est couplé à une isolation du bâtiment remarquable d’où son efficacité<ref>« Moonstone Project – BEKOTEC-THERM dans une maison haut de gamme à faible consommation d’énergie | Schlüter-Systems ». Consulté le 18 mars 2020. https://www.bekotec-therm.fr/moonstone-project-bekotec-therm-dans-une-maison-haut-de-gamme-a-faible-consommat.aspx.</ref>. Ensuite, nous pouvons étudier un cas en Turquie ou une étude très profonde a cherché la rentabilité et le confort thermique dans un lieu religieux. On peut donc évoquer l'étude réalisée dans la mosquée de Izmir en Turquie<ref>Bughrara, Khaled S.M., Zeynep Durmuş Arsan, et Gülden Gökçen Akkurt. « Applying Underfloor Heating System for Improvement of Thermal Comfort in Historic Mosques: The Case Study of Salepçioğlu Mosque, Izmir, Turkey ». Energy Procedia, Elsevier Vol.133 (octobre 2017): p.290 299. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1876610217344818?via%3Dihub</ref>. Elle a été construite en 1905 avec une superficie de 300 m2. L’étude avait pour but de déterminer si le chauffage au sol était utile dans un bâtiment de cette architecture spécifique. Le problème était que suivant le modèle de [[Recherche:Pastech/241-2_Plancher_chauffant#L'approche_analytique|Fanger]], ce bâtiment ne respectait pas le confort thermique de ce modèle. De 2014 à 2015, on a fait des mesures d’humidité et de température afin de pouvoir répondre au confort thermique au premier étage de cette mosquée. Dans ce bâtiment, on a estimé que pour avoir le meilleur confort thermique il fallait poser un chauffage au sol électrique qui marche continuellement de 10h à 22h et qui est éteint le reste du temps. La température de la mosquée est réglé sur 22 degrés pour qu’on se sente au mieux . Pendant toute l’année on a relevé que la température variait entre 4,89°C au minimum et 35,94°C au maximum. Il existe selon le modèle précédent des limites de confort thermique, on estime que pour certaines températures, nous sommes en dessous du confort thermique, dans cette mosquée, nous avons estimé que la limite a été dépassée en décembre 2014 (744 heures) Décembre 2014 (744 heures), janvier 2015 (744 heures) et Mars 2015 (744 heures) les autres mois d’inconfort sont novembre 2014 février 2015 et avril 2015. Les relevés d’humidité de l’air donnaient les mêmes résultats d’inconfort thermique pour ces mois-ci. Après l’utilisation du chauffage ou sol on passe à 446 heures d’inconfort thermique en Janvier, les autres mois ont également beaucoup diminué en nombre d’heures. Pour résumer les résultats de l'étude, il a été calculé que l’utilisation du chauffage au sol permettait de diminuer de 54,74 % le nombre d’heures d’inconfort thermique sur l’année. Ils avaient surement également choisi le chauffage au sol pour ne pas contrarier l’aspect historique de la mosquée. Nous notons également que sur le marché des planchers chauffants, sans avoir de chiffres exactes (car varie beaucoup en fonction des différentes sources) on compte une croissance de la vente de plancher chauffant réversibles. Ce type de chauffage permet également de rafraîchir un lieu à moindre coût quand il y a de fortes chaleurs. Ce système serait donc adapté avec le changement climatique qui compte des augmentations de température en été et de basses températures en hiver. Cependant ce système coûte beaucoup plus cher à installer, seulement les personnes aisées peuvent donc se l'offrir. Dans le futur, il serait intéressant d'étudier la différence de rentabilité d'un chauffage au sol réversible et d'un système de radiateurs couplé à une climatisation par exemple. Pour l'instant, il semble que les planchers chauffants réversibles ont un coût d'utilisation bien inférieur à des radiateurs et une climatisation, cependant ils sont plus chers à installer et doivent être couplés à des types spécifiques de pompes à chaleur<ref> « Croissance de 5 % pour le plancher chauffant - Actualité - Le Bâtiment Performant ». Consulté le 8 mai 2020. https://lebatimentperformant.fr/actualites/croissance-de-5-pour-le-plancher-chauffant/1/2588. </ref>. ==Les planchers chauffant modernes (de 1990 à aujourd'hui) == ===Technique du plancher chauffant=== ==== Les deux types de plancher chauffant : caractéristiques et principe de fonctionnement<ref>CEDEO TV. Technique | Le principe de fonctionnement des planchers chauffants [vidéo en ligne]. Mis en ligne le 7 février 2018, Consulté de 15 février 2020.https://www.youtube.com/watch?v=o2YL50uLgls</ref>{{,}}<ref name=":1">FRIDMANN, Pierre. 2003 « Le plancher chauffant et rafraîchissant : réglementation, dimensionnement, mise en oeuvre, réglage », Ed. parisiennes, 107 p.</ref>==== Les planchers chauffant sont des systèmes assurant l'émission de chaleur au niveau du sol et dans le milieu ambiant par divers processus : convection, conduction et rayonnement. Ces deux modes de chauffage ont pour particularité de garantir une température homogène et confortable (28°C) sur toute la surface du plancher mais aussi une température d'air ambiant agréable (de l'ordre de 19°C) afin de procurer un excellent confort thermique aux usagers. On distingue deux types de Planchers Chauffants basse Température (PCBT) qui sont utilisés dans les installations modernes : les planchers chauffants électrique et hydraulique. ===== Les planchers chauffant électriques ===== Il s'agit des premiers systèmes de chauffage au sol apparus durant la période après guerre car leur principe de fonctionnement reste simple. En effet, le transfert de chaleur est assuré par un réseau de tubes métalliques placés sous la chape et reliés au disjoncteur de l'habitat qui une fois mis sous tension électrique, se comportent comme des résistances dissipant la chaleur dans le sol par effet Joule. Parmi ces planchers chauffants, il existe une autre distinction qui est faite et qui permet d'identifier les Planchers Rayonnants / Radiatifs Électriques (PRE) et les planchers chauffants électriques à accumulation ou planchers mixtes. <u>Les Planchers Rayonnant / Radiatifs Électriques :</u> Ces dispositifs de chauffage sont dits rayonnant car ils produisent et émettent la chaleur directement à partir du câble électrique mis sous tension: ils restituent donc la chaleur à partir du sol. Les PRE assurent donc un transfert rapide et homogène de la chaleur vers la surface du sol, garantissant un confort thermique presque immédiat. Ensuite, les transferts thermiques assurant le chauffage de l'air ambiant se font simplement par rayonnement et convection de la chaleur dans les pièces du bâtiment. <u>Les planchers chauffant électriques à accumulation ou planchers mixtes :</u> Ce type de plancher chauffant a pour particularité de combiner deux systèmes de chauffages classiques : un chauffage au sol et un ou plusieurs dispositifs de chauffage d'appoint tels que des radiateurs, des plinthes ou des plafonds chauffant. Ces derniers permettent de prendre le relais ou d'assister le chauffage au sol en hiver, période durant laquelle les besoins énergétiques sont conséquents. De plus, le plancher chauffant à accumulation possède une forte inertie thermique responsable d'une accumulation de la chaleur sous le sol pendant de longues heures. Ce processus étant lent, il permet d'initier le fonctionnement du système de chauffage au sol pendant la nuit. L'utilisateur profite donc des heures creuses pour faire des économies d'énergie avant que le plancher chauffant ne restitue progressivement la chaleur au sol du fait de son inertie élevée, garantissant par là-même un confort thermique satisfaisant et constant durant toute la journée. Cependant, c'est cette lenteur des transferts thermiques à travers les couches du sol qui justifie également le couplage du plancher chauffant à accumulation avec des systèmes de chauffage d'appoint qui assurent un chauffage rapide de l'air ambiant. ===== Les planchers chauffant hydrauliques ===== Ces dispositifs sont équipés d'un générateur thermodynamique (chaudière ou pompe à chaleur) chargé de chauffer un fluide caloporteur (généralement de l'eau) qui est ensuite dirigé par un collecteur dans un réseau de tuyaux situé sous la chape du bâtiment. Le fluide cède alors de la chaleur au sol et permet de le porter jusqu'à 28°C lorsque la température d'eau dépasse les 40°C. Les planchers chauffants hydrauliques peuvent également fonctionner en mode rafraîchissement en été s'ils sont équipés d'une pompe à chaleur (PAC) réversible : on parle alors de planchers chauffants rafraîchissants. Ce mode de chauffage au sol est davantage répandu aujourd'hui que les systèmes électriques, notamment en France, et ce pour plusieurs raisons : # Le couplage avec un générateur thermodynamique assure un très bon rendement global de l'installation. En effet, les utilisateurs disposent aujourd'hui d'un large choix de systèmes de chauffage d'eau disposant d'un excellent rendement thermodynamique : autour de 100 % pour les différents types de chaudières tandis que les PAC ont un COA (Coefficient d'Amplification) de 3 ou 4 généralement. # Un développement poussé au niveau de la recherche de nouveaux matériaux de synthèse (PER, polymères, PU) à partir des années 1990 permettant de respecter les Réglementations Thermiques et de fournir un confort thermique toujours plus satisfaisant en plus de faciliter l'installation du plancher chauffant et d'améliorer son rendement. # La possibilité d'inverser le processus thermodynamique pour refroidir le sol en été et garantir un confort thermique toute l'année. # Il s'agit donc du mode de chauffage par le sol qui a initié la réintroduction des planchers chauffants dans les foyers français au début des années 1990 pour devenir le mode de chauffage par le sol le plus répandu en France. <u>Les Planchers Chauffant Solaires (PCS) :</u><ref>R. Kharchi, N. Aït Messaoudène, M. Belhamel et A. Hamid, « Etude Expérimentale du Comportement Thermique d’un Plancher Solaire Direct» [en ligne]. 2001</ref> Le principe des PCS repose sur l'utilisation de panneaux solaires dans lesquels circule le fluide caloporteur. Celui-ci est alors porté à haute température (70°C) par le rayonnement solaire puis acheminé jusqu’au réseau de chauffage de l'installation. Il s’agit donc d’un plancher chauffant hydraulique qui utilise comme source de chaleur principale le rayonnement solaire. Parmi ces PCS, on retrouve principalement des systèmes nommés PSD (Plancher Solaire Direct). Ils ont été mis au point dans une démarche écologique et présentent de nombreux avantages s’ils sont utilisés dans des conditions optimales d’ensoleillement et de temps d’exposition. Les PSD ont été conçus de tel sorte que le fluide caloporteur ne soit pas stocké dans un ballon ou bien ne transite pas par un échangeur afin de limiter les pertes de chaleur dans le circuit, ce qui en fait des systèmes à haut rendement capables de restituer sur une surface de 100 <math>m^2</math> de PCBT autant de chaleur que 7000 L d’eau contenues dans un ballon d’eau chaude. Ces planchers chauffants intéressent notamment beaucoup les chercheurs algériens souhaitant exploiter le potentiel solaire du pays. ==== Structure d'un plancher chauffant ==== L'architecture d'un plancher chauffant n'a que très peu varié depuis sa réintroduction dans les ménages pendant la période après-guerre, si ce n'est dans l'ajout ou la suppression de couches et de bandes isolantes. La structure des installations a davantage évolué sur le plan des appareils et composants externes au plancher dont l'objectif est de permettre son fonctionnement optimal. De même, ces appareils reposent toujours sur le même principe, seules leurs performances, leur durabilité et leur coût évoluant vraiment d'un modèle à l'autre. ===== Architecture de la dalle chauffante ===== [[Fichier:Coupe_v3.jpg|alt=|vignette|636px|<u>Schéma :</u> Coupe simplifiée d'une installation de plancher chauffant (électrique ou hydraulique) dans un habitat. Les propriétés et caractéristiques des éléments représentés seront détaillées dans les parties suivantes.]] L'architecture d'un plancher chauffant, qu'il soit hydraulique ou électrique, est similaire et constituée des mêmes types de couches. En partant de bas en haut, on a : # Un sol dressé et compacté : il s'agit des fondations en béton sur lesquelles le plancher repose. # Une dalle isolante : elle permet de limiter au maximum les transferts de chaleur vers le bas qui ne participe pas au chauffage du sol. On peut utiliser soit des dalles isolantes dites à plots (seulement pour les PCBT hydrauliques), disposant d'encoches rigides permettant d'y insérer facilement les tubes ; ou des dalles planes, percées de trous dans lesquels on vient mettre des agrafes en U afin de maintenir les tubes chauffant en place. # Les tubes chauffant : pour les PCBT électriques, il s'agit de tubes métalliques en acier ; pour les PCBT hydrauliques, ce sont des tubes flexibles en matériaux de synthèse. # Une chape sèche ou fluide. D'après les normes en vigueur (RT 2012), celle-ci doit être coulée par un artisan qualifié. Les chapes les plus courantes sont les chapes fluides en ciment / plâtre (hémihydrate de calcium) et les chapes fluides anhydrites (anhydrite de calcium) : elles sont chargées de transférer la chaleur vers le haut et doivent donc être d'excellents conducteurs thermiques. # Un revêtement de sol : il peut être constitué de deux à trois couches minces. Le plus souvent, le plancher chauffant est installé sous un carrelage qui est maintenu par une fine couche de mortier et selon les cas d'un primaire d'accrochage. Cependant, le revêtement de sol peut aussi être un parquet que l'on fixe au sol grâce à une colle parquet en polymères. # Sur les bords, une isolation périphérique et un joint élastique doivent être installés entre les couches du planchers chauffants et la cloison pour éviter les pertes de chaleur par via des ponts thermiques et assurer l'étanchéité parfaite de l'installation sur toute sa surface en plus d'absorber la dilatation de la chape sous l'effet de la chaleur. En effet, la jonction plancher - mur et le changement de géométrie des couches au niveau de l'interface plinthe - revêtement de sol constituent des ponts thermiques dont il est indispensable de se soustraire pour assurer une continuité de la barrière isolante. La superposition des différentes couches d'isolants et de conducteurs permet donc de garantir une très bonne isolation limitant les pertes de chaleur tout en dirigeant efficacement le flux thermique vers la surface du plancher : le choix des matériaux adéquats devient donc primordial dans la conception d'un plancher chauffant. ===== Composants et appareils constitutifs d'un plancher chauffant ===== L'installation d'un plancher chauffant constitue toujours un investissement conséquent pour l'usager car en plus de devoir se procurer les matériaux nécessaires à la construction de la dalle chauffante, il doit se munir de plusieurs composants et appareils électroniques ou thermodynamiques. En particulier, l'installation d'un chauffage au sol hydraulique requiert un grand nombre de dispositifs chargés du chauffage, de la régulation de la température ou encore du stockage du fluide caloporteur. ====== Planchers chauffant électriques ====== Évidemment, ce mode de chauffage au sol est raccordé au disjoncteur du bâtiment. De plus, l'installation doit être équipée d'une sonde de température ainsi que de plusieurs thermostats d'ambiance électriques ou électromécaniques (un par pièce) qui sont raccordés au disjoncteur. En ce qui concerne les planchers chauffants électriques à accumulation, il est indispensable de soutenir le système grâce à un ou plusieurs chauffages d'appoint : radiateur classique, poêle, plinthes ou plafond chauffant. ====== Planchers chauffants hydrauliques ====== <u>'''Choix du générateur thermodynamique :'''<br /></u>Pour chauffer l'eau circulant dans les tubes, l'usager doit se procurer un générateur thermodynamique Haute ou Basse Température HT ou BT. Pour cela, plusieurs choix s'offrent à lui : <u>Les chaudières :</u> Tout type de chaudière est adaptée pour assurer le fonctionnement d’un chauffage au sol. Il faut juste qu’elle soit assez puissante et que le système de régulation de la température de l’eau soit adaptée. Les chaudières classiques et à bois font parfaitement l’affaire du fait de leur rendement initial déjà très élevé (de l’ordre de 90 %), mais les chaudières à condensation et à cogénération peuvent constituer des investissements plus intéressants sur le long terme.En effet, la particularité de la chaudière à condensation est de récupérer la chaleur latente de condensation de la vapeur d’eau issue de la combustion du combustible (gaz, fioul, biomasse) pour chauffer les eaux chaudes sanitaires. Les rendements de chaudière à condensation sont alors souvent de l’ordre de 100 % et assurent un approvisionnement suffisant en eau chaude à tout le réseau de chauffage central d’un habitat (individuel ou collectif) en plus de consommer moins d’énergie qu’une chaudière classique. Par exemple, sous une pression P de 1 bar et pour une température T autour de 298 K (pour les chaudières HT, la température peut dépasser les 65°C), on récupère une chaleur latente de vaporisation de {{unité|44.0|kJ}} par mole d'eau condensée. De même, les chaudière à cogénération (à “micro-cogénération” et à “électrogènes”) sont des machines dont le rendement s’évalue à 107 % car elles produisent de l’électricité en plus de chauffer le réseau d’eau qui alimente le plancher chauffant. Enfin, l’avantage des PCBT hydrauliques est que leur fonctionnement global n’influe pas sur le rendement des chaudières, donc elles s’imposent comme des solutions viables pour permettre le chauffage du fluide caloporteur. Le principal frein à l’utilisation de ces chaudières est le coût de ce type d’installation : de 5000 à 12000 euros pour une chaudière classique dans un habitat individuel, les coûts peuvent s’élever jusqu'à 30000 euros pour assurer le chauffage de logements collectifs. <u>Les Pompes à chaleur (PAC) :</u> Les PAC sont des machines thermiques qui prennent de la chaleur à une source froide (l’air extérieur par exemple) pour la transférer vers une source chaude, en l’occurrence dans notre cas l’eau circulant dans les tubes chauffant du plancher hydraulique. [[Fichier:PAC v1.jpg|centré|vignette|500px|Schéma thermodynamique d'une Pompe à Chaleur. La convention du banquier s'applique au système σ que constitue le fluide caloporteur de la PAC et qui est soumis à un cycle thermodynamique<ref>Manuel de cours de thermodynamique INSA FIMI 1A, rédigé par l'équipe enseignante de thermodynamique en FIMI de l'INSA Lyon.</ref>.]] En fonctionnement réversible, on peut montrer que : <math>COP_r = {-Q_1 \over W_r}={T_1 \over T_1-T_2}</math> Le fonctionnement réel de la machine étant irréversible, on en déduit que le COP et donc le COA réel (COA = COP - 1) de cette machine thermique est inférieur à <math>{T_1 \over T_1-T_2}</math> On remarque donc que le COP augmente lorsque la température de la source froide diminue. La PAC présente un avantage supplémentaire lorsqu'elle est couplée à un Plancher Chauffant Basse Température. En effet, la température de l’eau en sortie du circuit de chauffage est assez faible, ce qui privilégie le processus thermodynamique de la condensation de l'eau, processus exothermique améliorant de manière significative le rendement de tout générateur à condensation tel que la PAC. Pour une pompe à chaleur, le coefficient de performance reste donc assez élevé et varie généralement entre 3 et 4. Dans le cadre de l’étude de l’utilisation d’une PAC avec un PCBT, le plus intéressant est d'étudier principalement deux catégories parmi ces machines thermiques : les PAC aérothermiques air / eau et eau / eau, et les PAC géothermiques. Les PAC aérothermiques air / eau chauffent l’eau du circuit en prélevant de la chaleur à l’air extérieur. Elles ont un très bon coefficient de performance (COP = 4) mais présentent des limites lorsque la température de l’air descend en-dessous des 0°C puisqu’il faut leur fournir davantage d’électricité pour récupérer la chaleur de l’air froid. Ainsi, dans les régions où les températures hivernales sont négatives, une PAC seule ne suffit pas pour approvisionner en continu le plancher chauffant en eau chaude : la PAC s’installe alors en relève d’une chaudière pour compenser les pertes d'énergie en hiver. Il existe aussi des PAC eau / eau qui reposent sur le même principe que les PAC air / air mais qui utilisent comme source froide l'eau prélevée dans les nappes phréatiques. Les PAC géothermiques quant à elles sont davantage utilisées dans le cadre de l’installation de plancher chauffant et rafraîchissant. Elles bénéficient d’un bon COP ainsi que de l’avantage d’avoir des performances constantes sur l’ensemble de l’année en plus de fournir la possibilité de refroidir l’eau du circuit lors des périodes chaudes. Ce refroidissement est permis par une association de la PAC avec un réseau géothermique qui constitue la source chaude pour laquelle on va prélever de la chaleur à l’eau du circuit (source froide) et ainsi la refroidir. Toutefois, il s’agit là d’un investissement conséquent dont l’utilisation reste avant tout consacrée au chauffage puisque les planchers rafraîchissants restent moins performants que les climatiseurs sur le marché. <u>Pour les Planchers Chauffant Solaires :</u> Les PCS étant avant tout des chauffages au sol basés sur le principe des PCBT hydrauliques, la plupart des appareils et composants nécessaires à leur installation leur sont communes, hormis ceux par lesquels le fluide est censé transiter après la phase de chauffage, en l'occurrence le ballon d'eau chaude chargé du stockage pour les Planchers Solaires Directs. A cela s'ajoute bien sûr les panneaux solaires dont surface de captage pour un habitat individuel est environ de l’ordre d’1/10ème de la surface de la dalle chauffante, soit en général 10 à 25 <math>m^2</math>. Cependant, les PCS ne permettent pas de couvrir l’ensemble des besoins en chauffage d'une maison (seulement 50 à 60 %), notamment en hiver. C’est pourquoi il est indispensable de le coupler à une autre source d’énergie : bois, fioul, gaz, électricité. Ainsi, il peut être utilisé en relève d'une chaudière ou bien en complément de radiateurs classiques. <u>'''Autres composants et appareils :'''</u> De même que pour les systèmes électriques, les planchers chauffants hydrauliques nécessitent des sondes de température ainsi que des consoles de commandes de la température de chauffage permettant une régulation correcte de la température de l'eau : thermostat d'ambiance et / ou panneau de commande de la chaudière ou de la PAC. Les habitations chauffées sont aussi équipées d'un collecteur par pièce. Cet appareil est chargé de collecter et de diriger le fluide caloporteur entrant vers le réseau d'eau chaude et celui sortant en bout de circuit vers le générateur thermodynamique pour y être réchauffé. Le collecteur peut être connecté jusqu'à 10 circuits d'eau chaude différents, le maximum n'étant pas recommandé pour éviter la surchauffe : dans ce cas il est alors conseillé d'installer deux collecteurs dans la pièce. Un autre composant indispensable pour ce type d'installation est le ballon tampon. Il s'agit d'un ballon utilisé pour stocker de l'énergie sous forme d'eau chaude en complément d'une chaudière à bois ou d'un chauffage solaire ou bien au contraire pour récupérer le surplus de chaleur produit par l'installation. Il représente un investissement conséquent mais permet d'économiser beaucoup d'énergie en plus de soutenir les générateurs thermodynamiques dans leur fonctionnement en limitant leur durée d'utilisation. Enfin, les systèmes de chauffage au sol hydrauliques ayant recourt soit à une PAC, soit à une chaudière, il est conseillé de les équiper d'une vanne trois voies mélangeuses (vanne en forme de T) facilitant la régulation de la température de l'eau en phase de Mélange (2 entrées et 1 sortie) ou de Répartition (1 entrée et 2 sorties). Dans le cas d'un PCBT hydraulique suivant des lois de régulation précises, le commandement de la vanne se fait de manière motorisée et est souvent automatique. ==== Le choix des matériaux : influence sur les performances et sur la consommation d'énergie<ref>FOURMOND, Erwann. 2011. « Transferts thermiques », INSA de Lyon Département Science et Génie des Matériaux 3ème année.</ref>{{,}}<ref>LEFEVRE Frédéric, MERCHIERS Olivier, SARTRE Valérie. 2019. « Introduction aux transferts thermiques », INSA de Lyon Département Science et Génie des Matériaux 3ème année.</ref>==== Le choix des matériaux à utiliser pour transférer la chaleur depuis les émetteurs de chaleur vers la surface du plancher permettent de limiter les pertes thermiques dans le sol et de rendre les transferts thermiques plus efficaces. De plus, ces transferts thermiques s'effectuent selon divers divers processus physiques : rayonnement + convection à l'interface sol - air du plancher chauffant et conduction + convection dans la chape, ce qui influe sur les choix des matériaux des différentes couches du sol. On souligne ainsi l'importance particulière des couches constitutives des planchers chauffant, où la conduction est prédominante dans les transferts de chaleur. On définit alors plusieurs grandeurs nécessaires à la compréhension des choix des matériaux : * Le flux de chaleur émis, qui s'exprime par <math>\varphi [W/m^2] = {\phi \over S} = - \lambda grad(T)</math> avec φ la densité de flux thermique) et λ la conductivité thermique de conduction : Φ dirigé vers la surface isotherme de plus basse température, c'est-à-dire le sol de l'habitat. * Conductivité thermique de conduction <math>\lambda[W/m/K]</math> : caractéristique propre au matériau évaluant son comportement lors d'un transfert de chaleur par conduction. Ainsi, plus λ est grand, moins il y aura de pertes thermiques et donc meilleur sera le transfert thermique par conduction. * La résistance thermique de conduction <math>R[K/W] = {e \over (\lambda S)}</math> avec e l'épaisseur de la couche et S sa surface. R caractérise la résistance au transfert de chaleur par conduction d'une couche (e,S). On note <math>R'[m^2.K/W] = RS = {e \over \lambda}</math> la résistance thermique par surface unitaire : il s'agit de celle utilisée en construction. * Diffusivité thermique <math>a [m^2/s] = {\lambda \over (\rho C)}</math>, avec ρ la masse volumique et C la capacité thermique massique : a caractérise la capacité d'un matériau à diffuser de la chaleur. * Coefficient d'échange thermique <math>h</math> <math>[W/m^2/K]</math>, caractérisant l'intensité de l'échange convectif entre la paroi du plancher chauffant (surface de contact avec les pieds des usagers) et l'air ambiant de la pièce. ===== Isolation ===== Une très bonne isolation thermique est indispensable dans le cas d’un plancher chauffant afin d’éviter des pertes de chaleur trop importantes par le bas du plancher. Effectivement, comme évoqué précédemment (cf. 3.2.3.), l'isolation des bâtiments, notamment en France, fût l'un des points déterminants dans l'abandon des planchers chauffant à la fin des années 1960. Dans les bâtiments mal isolés, les effets positifs des transferts de chaleur par le sol ne faisaient absolument pas sentir, ce qui rendait le système presque inutile et beaucoup moins pertinent à utiliser qu'un radiateur classique par exemple, dont les pertes de chaleur liés à une mauvaise isolation étaient bien moindres puisque les transferts thermiques avec la pièce sont très localisés. Ainsi, sous le système qui apporte de la chaleur au plancher (grille de résistances électriques ou tuyaux contenant le fluide caloporteur), le principe est de placer des matériaux possédant une conductivité thermique de conduction λ [W/m/K] très faible et donc une résistance thermique de conduction assez élevée puisque le transfert de chaleur à travers le plancher solide se fait principalement par conduction. <u>Choix des isolants sous la chape :</u> plusieurs solutions d’isolation sont envisageables pour l'aménagement d'un plancher chauffant basse température : * Dalles isolantes à plots : constituées de polystyrène (λ vaut 0,04 W/m/K pour du polystyrène expansé) dont la résistance thermique peut varier entre 0,5 et 2,1 <math>m^2.K/W </math> en fonction de l’épaisseur de la dalle, ce qui représente un pouvoir isolant faible. Avantage de ces dalles : solution économique pour la main-d’œuvre car facilitant la pose des tubes en plus de limiter la quantité de chape fluide à couler. * Dalles isolantes planes : pour ces dalles, R' > 5 <math>m^2.K/W </math>, ce qui représente un pouvoir isolant fort qui facilite le respect des exigences d’isolation des constructions neuves à basse consommation.   De plus, ces isolants thermiques se trouvant sous la chape, il doivent être capables de supporter des charges et donc des compressions importantes : classe de compressibilité I ou II pour une seule couche d’isolant utilisée. De manière générale, pour tout type de plancher chauffant, on utilise les isolants suivants : * Polystyrène expansé = PSE (forme la plus connue du polystyrène) : λ = 0,04 W/m/K, excellente résistance mécanique et hydrophobe. Le PSE est issu de la pétrochimie par polymérisation du styrène. Il est facilement recyclable par granulation, dissolution ou reprécipitation ; il s'agit cependant d'un recyclage partiel. * Certaines dalles isolantes peuvent aussi être faites en polystyrène extrudé (PSX). * Mousse de polyuréthane (sous forme de mousse rigide) : λ = 0,025 W/m/K, isolant thermique légèrement plus performant que le polystyrène. Dans le secteur de l’isolation, le polyuréthane s’utilise sous forme de panneaux isolants (PU) qui permettent une très bonne isolation thermique avec une faible épaisseur de matériau. De plus, ces panneaux possèdent une bonne résistance à la compression. <u>Ponts thermiques :</u> Il faut aussi installer des isolants au niveau des bords du plancher (plinthes et joints élastiques) et entre les couches du PCBT et le mur adjacent afin d’assurer une étanchéité parfaite sur toute sa surface. En effet, l'utilisation d’isolants périphériques permet d’éviter les ponts thermiques tout en absorbant la dilatation de la chape sous l’effet de la chaleur. [[Fichier:Pont th v1.jpg|centré|vignette|282px|Pont thermique entre un plancher bas et un mur, en l’absence d’isolant périphérique chargé d’assurer la continuité de la barrière isolante au niveau de la jonction plancher bas - mur]]De manière générale, ces bandes périphériques sont constituées de polymères de type polyuréthane voire polyéthylène. Les bandes de rive peuvent aussi être fabriquées à partir de matière naturelles comme le liège. En effet, ce matériau est souvent utilisé pour ses qualités d'isolant thermique (conductivité thermique faible de l'ordre de 0,04 W/m/K) et est de plus en plus employé dans l'édification de maisons à basse consommation énergétique car il permet de limiter grandement les pertes d'énergie tout en utilisant des épaisseurs bien moindres de matériaux. A titre de comparaison, une épaisseur d'un cm de liège offre la même résistance au passage de la chaleur que {{unité|12|cm}} de briques creuses ou {{unité|38|cm}} de béton. Dans le cadre de son utilisation en tant qu'isolant thermique, l'écorce de liège récupérée est d'abord traitée avant d'être broyée puis compressée pour former des panneaux isolant compactes, légers et peu épais. <u>Certifications pour les isolants thermiques :</u><ref>Site commercial de l'entreprise TECHNISOL-KNAUF. Consulté le 10 mars 2020. https://www.technisol-france.fr</ref> Par exemple, la société Knauf (multinationale allemande dont une partie de l’activité est basée sur la fabrique et la distribution d’isolants thermiques) s’est vu attribuée la certification ACERMI (Association pour la CERtification des Matériaux Isolants) qui valide en usine et en laboratoire les caractéristiques des isolants conçus et fabriqués en termes de pouvoir isolant et de résistance mécanique à la traction et à la compression notamment. ===== Chape<ref>Site Ooreka.fr. Chape plancher chauffant [En ligne]. Consulté le 28 février 2020. https://plancher-chauffant.ooreka.fr/comprendre/chape-plancher-chauffant</ref>===== La chape constitue une couche possédant plusieurs rôles primordiaux déterminant les performances des planchers chauffants : # Son épaisseur en moyenne plus importante que les autres couches (au minimum {{unité|25|mm}} dans certains cas) lui confère un rôle important dans le transfert de la chaleur depuis les tubes chauffants qu'elle enrobe vers le sol de la pièce. Ce transfert thermique doit être efficace, d'où l'emploi de matériaux possédant une très bonne conductivité thermique. # L'épaisseur de la chape détermine également une caractéristique importante des planchers chauffant et difficile à maîtriser : leur inertie thermique, c'est-à-dire leur temps de réponse suite à un changement de régime de température. En plus de jouer sur l'épaisseur de la couche, il faut donc aussi choisir un composé adéquat pour obtenir une chape de masse volumique adaptée à l'inertie souhaitée pour l'installation, car le temps de réponse <math>\tau</math> du système est proportionnel à la masse volumique <math>\rho</math> du matériau. Il existe ainsi plusieurs types de chape selon les matériaux employés et donc plusieurs procédés de fabrication et de pose : * Le béton d'enrobage : il s'agit de superposer deux couches de bétons (bonne conductivité thermique : λ = 1,28 W/m/K à 20°C). La première, appelée béton d'enrobage, repose sur la dalle isolante et a une épaisseur d'au moins {{unité|20|mm}}. La seconde couche est une dalle désolidarisée édifiée sur le béton d'enrobage : c'est sur cette dalle que sera placé le revêtement de sol. Afin de limiter l'inertie thermique de l'installation, la masse au mètre carré du plancher chauffant ne doit pas excéder les 160 kg. *Le mortier de scellement : c'est un composé comprenant majoritairement un liant hydraulique qu'est le ciment, de masse volumique variant entre 250 et 300 <math>kg/m^3</math>. L'épaisseur de la couche vaut environ {{unité|5|cm}}. *La chape fluide : il s'agit de la technique la plus onéreuse mais c'est aussi le procédé le plus réalisé par les entreprises spécialisées dans le secteur de nos jours et le plus recommandé en termes de performances et de confort. On distingue principalement deux types de chapes fluides : chape anhydrite et chape ciment. {| class="wikitable" |+Fiches techniques (non exhaustives) et comparaisons des chapes anhydrite et ciment !Propriétés !Chape anhydrite<ref>Page Wikipédia dédiée à l'hémihydrate de calcium. https://fr.wikipedia.org/wiki/Hémihydrate_de_sulfate_de_calcium</ref> !Chape ciment |- |Composition |Sulfate de calcium <chem>CaSO_4 </chem> + sable + liant hydraulique + adjuvant (activateur et fixateur) Certaines chapes sont fibrées pour accroître la surface d'échange de chaleur avec les tubes chauffant et le sol |Mortier (ciment Portland, CEM I, 95 % de Clinker) + sable fin + adjuvant (plastifiant et fluidifiant) (+ produit de cure) |- |Grandeurs physiques |Les normes françaises imposent <math>\lambda \geq 1,2</math> <math>W/m/K</math><ref>Site commercial de l'entreprise Technisol-Knauf. Consulté le 2 mars 2020. https://www.technisol-france.fr/Lexique/texol-knauf/</ref>. Aujourd'hui, certaines de ces chapes atteignent les 2,2 à 2,6 W/m/K. Par exemple, une étude menée par le CSBT (Centre Scientifique et Technique du Bâtiment) a permis de montrer que les chapes RADDIFLUIDE T (anhydrite, base plâtre) présentaient une conductivité thermique de conduction de l'ordre de 2,6 W/m/K, assurant ainsi des excellentes performances thermiques pour l'aménagement de plancher chauffant. <br />Faible inertie : temps de réaction court permettant une régulation rapide de la température de chauffe. Grande résistance mécanique à la compression. |Les normes françaises imposent <math>\lambda \geq 1,2</math> <math>W/m/K</math>. Les meilleures chapes fluides ciment conçues aujourd'hui présentent un λ thermique de 2,3 W/m/K : c'est par exemple le cas des chapes CIMFLUIDE. Inertie élevée : le ciment possède une masse volumique d'au moins 250 <math>kg/m^3 </math>, donc il présente une inertie plus élevée que la chape anhydrite et réagira plus lentement aux consignes de changement de température. |- |Caractéristiques Techniques |Chape autolissante et autonivelante : facilite grandement la pose en évitant le lissage à la taloche et la mise à niveau à la règle. |Chape autonivelante. |- |Inconvénients |Temps de séchage très long en comparaison avec une chape ciment (2 semaines) : une semaine par cm d'épaisseur jusqu'à 4 semaines et deux semaines par cm au-delà. Apparition de laitance à la surface des chapes après séchage : couche pulvérulente (qui a la consistance de la poussière), peu résistante et empêchant le bon accrochage du revêtement de sol sur la chape. Il faut donc poncer la surface de la chape pour éliminer cette couche résiduelle et avoir une surface lisse. |Légèrement moins performante qu'une chape anhydrite. <br />Nécessité d'utiliser un produit de cure pour traiter la chape ciment qui est sensible à la dessiccation : phénomène de desséchage du ciment lié à l'évaporation progressive de l'eau sous l'effet de la chaleur et qui entraîne la formation prématurée de fissures dans la dalle. Ce produit de cure est généralement composé d'un solvant organique appelé véhicule, d'un liant (résine ou polymère) et de charges minérales comme le dioxyde de titane <chem>TiO_2</chem>. De nos jours, la plupart des produits de cure disponibles en phase aqueuse (pulvérisation sur la surface de la chape) sont biodégradables. |- |Type de plancher chauffant |Recommandée pour les PCBT hydrauliques. |PCBT hydrauliques et électriques |} Enfin, dans la catégorie des chapes anhydrites, on retrouve des chapes constituées d'hémihydrate de calcium <chem>CaSO_4.1/2H2O </chem><ref>cstb.fr. Avis Technique 13/09-1053*V1 [En ligne]. Consulté le 17 février 2020. http://www.cstb.fr/pdf/atec/GS13-N/AN091053_V1.pdf</ref> qui est une forme de plâtre présentant des propriétés physiques similaires au sulfate de calcium telle qu'une conductivité thermique élevée de l'ordre de 2,1 W/m/K mais ayant pour inconvénient d'être moins résistant à la compression mécanique. ===== Revêtement de sol ===== En ce qui concerne le revêtement de sol, il ne doit pas ralentir la diffusion de la chaleur vers le haut, donc sa résistance thermique totale doit être faible : <math>R'(revetement) \leq 0,15</math> <math>m^2.K/W </math>, ce qui implique par exemple une épaisseur de carrelage ne devant excéder les {{unité|8|mm}} (car R' est proportionnelle à e). Ainsi, le plancher chauffant est davantage réactif aux consignes de température car un revêtement de sol peut résistif lui confère une inertie thermique plus faible. En France, les recommandations techniques souscrites par les normes en vigueur indiquent même une valeur de <math>0,09</math> <math>m^2.K/W </math> pour les revêtements de sol. Voici quelques exemples de revêtements compatibles avec le plancher chauffant basse température et leur résistance thermique surfacique de conduction que l'on peut trouver dans la littérature : {| class="wikitable" |+Tableau donnant la résistance thermique surfacique de conduction de certains revêtements de sol !<big>Revêtement de sol</big> !<big>R' [<math>m^2.K/W </math>]</big> |- |<big>Carrelage</big> |<big>Entre 0,015 et 0,04</big> |- |<big>Lino PVC</big> |<big>0,06</big> |- |<big>Parquet collé</big> |<big>Entre 0,08 et 0,014</big> |- |<big>Moquette collée</big> |<big>Entre 0,08 et 0,015</big> |} ===== Inertie thermique<ref>FOURMOND, Erwann. 2011. « Transferts thermiques », INSA de Lyon Département Science et Génie des Matériaux 3ème année.</ref>===== Définition de l’inertie thermique (d’après Quillet (1948)) : propriété qu’ont les corps de ne pouvoir modifier d’eux-mêmes l’état de mouvement ou de repos dans lequel ils se trouvent. On la définit aussi par : caractère d'un matériau capable d'accumuler de l'énergie calorifique lors d'un rapport de chaleur, pour la restituer ensuite dans un délai plus ou moins long. L'inertie thermique d'un matériau est un général proportionnel à sa conductivité thermique, plus une maçonnerie est lourde et épaisse plus son inertie thermique est élevée. L’inertie thermique est donc une notion permettant de caractériser la résistance d’un matériau à un changement d’état ou de régime, c’est-à-dire son temps de réponse suite à la rupture de son équilibre thermique via un phénomène dynamique tel qu’un changement de température. Ainsi, pour quantifier ce temps de réponse, on calcule un temps caractéristique qui est lié au déphasage thermique et qui s’exprime par : <math>\tau = {e^2 \over a}</math>. Ainsi, l’inertie thermique, c’est-à-dire le temps caractéristique de réponse, est d’autant plus élevée que la couche de matériau à traverser a une épaisseur e importante, ce qui est logique car cela implique que la chaleur doit être diffusée à travers davantage de matière. Au contraire, si le matériau est un bon conducteur thermique, il diffusera plus facilement la chaleur et le temps de réponse du revêtement sera proportionnellement plus faible. Dans ces aspects sur les formules théoriques, on trouve les bases de l’inertie thermique dans l’optimisation du fonctionnement d’un plancher chauffant. En effet, un PCBT possédant une inertie thermique élevée possède un temps de réponse souvent très long suite à une consigne de changement de température : cela peut alors prendre plus de 12h pour qu’un PCBT atteigne sa température de chauffe maximale. Une première solution pour palier à ce problème et réduire l’inertie thermique du plancher serait de diminuer au maximum l’épaisseur des couches de matériaux à traverser et ainsi diminuer <math>\tau</math>. En particulier, il est recommandé de ne pas dépasser un certain seuil pour les épaisseurs de revêtements de sol : par exemple, il est préférable de ne pas poser du carrelage dont l’épaisseur excède {{unité|8|mm}}. Cependant, une inertie thermique élevée présente l’avantage de garantir un confort thermique optimal car le sol emmagasine la chaleur pendant longtemps, maintenant alors la température du sol constante et uniforme sur toute sa surface, même lors des changements de consigne de température. L’enjeu réside donc dans l’adoption d’une solution permettant à la fois de stocker suffisamment de chaleur pendant un temps relativement long pour éviter les sensations d’inconfort thermique et à la fois d’avoir un système qui puisse réagir rapidement en cas de changement brutal de la température extérieure. Pour cela, plusieurs solutions sont envisageables<ref><nowiki>Site Ooreka.fr. Plancher chauffant : comment vite obtenir la bonne température ? [En ligne]. Consulté le 1 mars 2020.</nowiki> https://plancher-chauffant.ooreka.fr/astuce/voir/192913/plancher-chauffant-comment-vite-obtenir-la-bonne-temperature</ref> : * Compléter l’installation avec un petit poêle ou des radiateurs fixes. Cette solution reste tout de même peu enviable car elle implique un investissement supplémentaire et rentre en contradiction avec les motivations poussant à installer un chauffage au sol. * Utiliser une sonde de température extérieure permettant d’anticiper les changements brutaux de température ⇒ Couplage avec un thermostat pour permettre à l’installation de réagir avant que la température extérieure ne change. * Investir dans un plancher chauffant sec qui ont particularité d’avoir les tubes transportant le fluide caloporteur immergés dans des rainures de panneaux isolants sur lesquels on pose une plaque (ciment cellulose, ...) puis le revêtement de sol. L’épaisseur d’un PC sec est donc comprise entre {{unité|30|mm}} et {{unité|60|mm}} tandis que les PCBT traditionnels ont une épaisseur 2 à 3 trois fois plus élevée. L’on réduit donc le temps caractéristique du plancher d’un facteur environ égal à 4 voire 9 puisque <math>\tau</math> est proportionnel au carré de l’épaisseur des couches de matériaux. Le plancher chauffant sec monte donc beaucoup plus vite en température : 15 minutes peuvent suffire pour gagner 1°C ou 30 minutes pour baisser en température. ===== Tubes chauffants ===== Les tubes qui chauffent les planchers chauffants hydrauliques doivent avoir une excellente conductivité thermique afin de transmettre le plus efficacement et le plus rapidement possible la chaleur transportée par le fluide caloporteur à la chape qui les entourent. C'est pourquoi, comme en plomberie, trois matériaux sont principalement employés dans la fabrication des tubes des planchers chauffant hydrauliques : * Le Cuivre : le cuivre est depuis très longtemps utilisé pour la fabrication de tuyaux du fait de son caractère étanche et de son excellente conductivité thermique, de l'ordre de 386,0 W/m/K à température ambiante, ce qui est bien meilleur que la plupart des autres métaux. Le coût des tuyaux en cuivre reste tout de même très élevé. De plus, la nécessité de souder les tuyaux entre eux ou de les raccorder avec des bagues pour assurer une étanchéité parfaite rend l'installation plus difficile et donc encore plus coûteuse pour la plupart des usagers qui doivent alors faire appel à un professionnel maîtrisant le savoir-faire tel qu'un plombier. Bien que systématiquement utilisé pour la fabrication des planchers chauffants hydrauliques au début des années 1990, le cuivre fut rapidement supplanté par des matériaux de synthèse (PER et PB-1), plus faciles à installer et permettant un meilleur contrôle du flux thermique du fait de leur résistance thermique plus faible : il est plus compliqué de gérer ce flux thermique et de respecter les normes de température imposées en 1978 avec du cuivre car sa conductivité thermique est tellement élevée que le transfert de chaleur à travers la paroi des tuyaux est bien trop rapide et efficace. On le voit néanmoins réapparaître dans quelques installations de chauffage au sol aujourd'hui, mais avec du recul, on se rend compte que ce n'est pas le matériau le plus adapté à des planchers chauffant basse température. En effet, son emploi est plus adéquat dans des systèmes atteignant des températures très élevées (de l'ordre de plusieurs centaines de °C) profitant de sa résistance aux chaleurs extrêmes sans subir de dégradation. * Le Polyéthylène Réticulé (PER) : dérivé du Polyéthylène (PE), c'est un plastique inerte de conductivité thermique égale à 0,4 W/m/K. Bien que très inférieure à la conductivité thermique du cuivre, cette propriété du PER présente l'avantage de retarder la baisse de température du fluide caloporteur car celui-ci cède moins rapidement de la chaleur à la chape. Ainsi, le chauffage de la chape est plus lent et progressif (caractère davantage réversible permettant de limiter les pertes thermiques lors des transferts de chaleur) en plus de procurer au système une inertie plus élevée, assurent un chauffage constant et uniforme sur une longue durée. Le PER est souple et facilement flexible, ce qui le rend facile à installer, d'autant plus que les dalles isolantes (planes et à plots) de nos jours sont conçues de sorte à pouvoir plier et fixer les tubes dessus : l'installation de tubes en PER est donc simple et facile en plus d'être peu coûteuse. Le PER étant issu de l'industrie pétrochimique, donc son recyclage n'est que partiel et n'est pas garantie d'un fonctionnement effectif sur le long terme (plusieurs dizaines d'années) en plus de présenter une dilatation thermique élevée. Toutefois, il reste surement le meilleur choix de matériau pour les tubes chauffant d'un PCBT hydraulique. * Le Polybutène-1 (PB-1) : Le PB-1 est un thermoplastique de la même famille que le PE. Il possède donc des propriétés similaires à celles du PER. Contrairement à ce dernier, il présente toutefois l'avantage d'être plus flexible, ce qui facilite encore davantage la pose et limite le nombre de raccords mécaniques à utiliser pour réduire le coût d'installation. Comme le PER, la stabilité dans le temps du PB-1 est estimée à 50 ans, bien que les chercheurs n'ont pas encore le recul nécessaire pour le confirmer. Le Polybutène-1 possède une conductivité thermique inférieure à celle du PER (λ = 0,22 W/m/K) ayant pour effet d'augmenter légèrement l'inertie totale du système. Ce matériau constitue une alternative au cuivre aussi pertinente que le PER. Il est aussi utilisé en Europe et en Asie pour les installations de planchers chauffant mais possède une très mauvaise image aux États-Unis où son emploi dans les tuyauteries sous pression entre les années 1960 et 1990 a posé problème car les raccords plastiques utilisés faisaient apparaître des défauts importants dans beaucoup de réseaux de transport d'eau ; il n'a cependant jamais été ciblé de plaintes en Europe ou en Asie. ==== Régulation de la température de chauffe<ref>Site Ooreka.fr. Regulation plancher chauffant eau [En ligne]. Consulté le 11 mars 2020. https://plancher-chauffant.ooreka.fr/comprendre/regulation-plancher-chauffant-eau</ref>==== La régulation des planchers chauffants est l'un des enjeux principaux du secteur du chauffage au sol car c'est ce processus qui va influencer beaucoup de paramètres inhérents au système : anticipation des changements de température extérieure, modification de la température de chauffe, choix des composants, dimensionnement du plancher chauffant, performances et longévité de l'installation. C'est un processus qui doit donc être maîtrisé et amélioré pour s'assurer du bon fonctionnement du chauffage au sol et d'un bon retour sur investissement sur le long terme. ===== Régulation des Planchers Chauffant et Rafraîchissant Basse Température<ref>BONNEFOI, Frédéric. « Chauffage thermique et climatisation dans l'habitat (les pompes à chaleur, les planchers chauffants-rafraîchissants) » [en ligne]. 2002 </ref>===== De manière générale pour les planchers chauffant hydrauliques réversibles, l’eau est portée entre 35 et 40°C en mode chauffage afin de ne pas dépasser les limites de température imposées par les normes en vigueur : 28°C pour le sol et 19°C pour l’air ambiant. Quant au mode rafraîchissement, la température de l’eau est comprise entre 18 et 22°C selon le climat de la région où se situe l’habitat afin d’éviter la condensation au niveau du plancher. <u>Régulation en mode chauffage :</u> Elle est basée sur ce que l’on appelle une loi d’eau, c’est-à-dire une droite <math>T(eau) = f(T(ext))</math> donnant l’évolution de la température à laquelle l’eau doit être portée en fonction de la température extérieure (= rigueur climatique) : plus la température extérieure est faible, plus la température de l’eau devra être élevée. [[Fichier:Loi_eau_v1.jpg|alt=|centré|vignette|475px|Exemple d'une loi d'eau pour plancher chauffant hydraulique : représente la température à laquelle l'eau en entrée du circuit doit être portée en fonction de la température du milieu extérieur au bâtiment<ref>BONNEFOI, Frédéric. « Chauffage thermique et climatisation dans l'habitat (les pompes à chaleur, les planchers chauffants-rafraîchissants) » [en ligne]. 2002 https://www.osti.gov/etdeweb/servlets/purl/20341660</ref>.]] Cette loi d’eau permet d’assurer la stabilité de la régulation de la température d’eau pour ainsi optimiser le rendement tout en maintenant des conditions de confort idéales : le paramètre déterminant dans la loi d’eau est donc la pente de la droite. Le générateur thermodynamique couplé avec le plancher chauffant (PAC réversible air / eau ou eau / eau) doit donc être équipé obligatoirement de deux capteurs : une sonde mesurant la température de l’eau de chauffage et l’autre mesurant la température extérieure. De manière générale, pour un plancher chauffant, la loi d’eau est fonction d'un grand nombre de paramètres. En notant <math>T(emc)</math> et <math>T(emf)</math> les températures de l'eau respectivement en entrée et en sortie du circuit, on obtient les lois suivantes. En voici une liste non exhaustive mais assez fournie pour montrer l'étendue de ces paramètres. On note <math>T(emc)</math> et <math>T(emf)</math> les températures de l'eau respectivement en entrée et en sortie du circuit : * <math>T(emc, base) </math> le régime de température choisi en fonction du type d'émetteur de chaleur. Par exemple, pour un PCBT, on choisira <math>{T(emc, base) \over T(emf, base)}={40 \over 35}</math> (T en °C) * <math>T(int)</math> la température ambiante de consigne fixée entre 19 et 21°C sut toute la saison de chauffe. * <math>T(nc)</math> la température de non chauffage. Elle dépend des apports de chaleur gratuits dont bénéficie l'habitat : apports de chaleur solaires ou internes. Lorsque ceux-ci contribuent à une élévation de 2°C en moyenne de la température ambiante, <math>T(nc)</math> est fixée à 18°C alors que lorsque ceux-ci contribuent à élever la température de 3 à 6°C en moyenne, <math>T(nc)</math> peut être comprise entre 14 et 17°C. * <math>T(base) </math> est la température de dimensionnement pour le plancher chauffant dont la valeur dépend de la zone géographique et est donnée par la Réglementation Thermique en vigueur en France : la RT2012. Cette température de base est par définition : " la température extérieure journalière qui, en moyenne, n'est dépassée vers le bas que pendant un seul jour pas an ". Par exemple, à Strasbourg, <math>T(base) </math> vaut -15°C. La régulation de la température par la loi d’eau se fait généralement de manière automatique grâce aux sondes et à la loi d’eau. La température du fluide caloporteur peut aussi être régulée par un thermostat d’ambiance : c’est une régulation par asservissement qui permet de corriger un écart entre la température d’ambiance souhaitée et la température extérieure en ordonnant une action au générateur thermodynamique. Ainsi, le thermostat d’ambiance impose un fonctionnement intermittent modélisable de manière idéale par : [[Fichier:Graph1jaypici.jpg|alt=|centré|vignette|744px|Régulation intermittente de la température de chauffe par un thermostat d'ambiance<ref>Wikipédia, «Loi d'eau » [En ligne], création 01/03/2019.</ref>]] Avec <math>T(actif) </math> la durée d’activité (c'est-à-dire de chauffe) du système et <math>T </math> la période du cycle : on définit alors le rapport cyclique <math>\alpha = {T(actif) \over T} </math>. Comme <math>\theta(moy)=\alpha\times\theta(max) </math> on cherche à faire tendre <math>\alpha </math> vers 1 pour que <math>\theta(max) </math> tende vers <math>\theta(moy) </math>, car lorsque <math>\theta(max) </math> est trop élevée, les performances du générateurs thermodynamiques se dégradent. L’idéal en termes de performance et de confort est de coupler les deux systèmes d’automatisation (loi d'eau et thermostat d'ambiance) car si la courbe de chauffe est initialement mal réglée lors du premier démarrage du système, le fonctionnement ne sera pas optimal et il y a des risques de surconsommation d’énergie mais aussi d’inconforts pour les usagers puisque les températures du sol et de l'air pourraient alors s'avérer soit trop faibles, soit trop élevées. <u>Régulation en mode rafraîchissement :</u> Le plancher chauffant rafraîchissant fonctionne avec une pompe à chaleur réversible éventuellement couplée avec un ballon d’eau chaude et une vanne trois voies mélangeuse, donc les techniques de régulation en mode rafraîchissement sont : # Tout ou rien sur une PAC : fixer la température d’eau du plancher au dessus des seuils critiques de températures de condensation et dès que cette température d’eau dépasse effectivement le seuil critique, le système est inversé (on coupe la régulation de la température) afin de revenir dans des conditions de température respectant les recommandations. Dès que cela est fait on inverse de nouveau la régulation (on la remet en fonctionnement rafraîchissement) afin de se replacer dans les conditions critiques. Dans le cas d’un fonctionnement en “Tout ou rien”, il est très recommandé d’installer un ballon tampon : il permet d’éviter les variation trop courtes de marche / arrêt de la PAC car un fonctionnement intermittent pareil abîmerait rapidement certains composants mécaniques de la PAC, en particulier le compresseur. # Action sur une vanne trois voies mélangeuse : Prendre en compte les paramètres influents sur le confort, le rendement et la régulation (température extérieure / intérieure, hygrométrie = humidité) afin d’optimiser le fonctionnement du système tout en évitant la condensation de l’eau sur le plancher.Les vannes mélangeuses peuvent être équipées de plusieurs options anti-condensation : un calculateur de température de rosée qui évalue la température de condensation de l’eau en fonction de la pression et de la température ambiantes ; un hygromètre chargé de relever l’humidité au niveau du sol ; une température limite de sol fixée par l’installateur en fonction de la zone géographique. Le mode rafraîchissant présente toutefois des limites qu’il est indispensable de prendre en compte lors de la conception du PCBT et lors de son installation dans un bâtiment : * Risque d’apparition de condensation en surface du plancher si la température d’eau est trop faible : par exemple en été en France, dans les régions tempérées la température du fluide doit être fixée à 18°C tandis que dans des zones plus chaudes (Sud-Est avec climat méditerranéen), il faut que l’eau soit portée à 22°C. On peut alors avoir apparition de condensation en surface qui peut entraîner des moisissures ou des risques de glissades sur le sol. Il est possible qu’apparaisse un phénomène de condensation en sous-face du revêtement de sol qui est encore plus problématique, car pouvant provoquer des fissures au niveau du revêtement et donc des déformations et des décollements des couches qui nuiraient au confort et à l’esthétique du bâtiment. Mais surtout, cela entraînerait la formation de poche d’air entre les couches de revêtements dont la présence nuirait grandement à l’efficacité du transfert de chaleur entre la dalle et le revêtement de sol. En effet, l’air est un mauvais conducteur thermique (dont la valeur varie entre 0.024 et 0.0262 W/m/K lorsque la température varie entre 0°C et 27°C) et donc un bon isolant thermique qui pourrait ralentir de manière non négligeable la diffusion de la chaleur par convection et conduction entre les différentes couches de matériaux si l’épaisseur des déformations devenait trop importante. * La puissance en mode rafraîchissement s’avère souvent insuffisante dans les locaux à fortes charges thermiques. En effet, contrairement au mode chauffant permettant d’émettre un flux thermique allant jusqu’à {{unité|100|W}}/m2, le mode rafraîchissant ne permet d’absorber qu’au maximum une puissance de {{unité|40|W}}/m2 afin de maintenir la température du sol entre 19 et 22°C pour ainsi garantir le confort de l’usager et empêcher la condensation de l’eau sur le sol. Cet écart s’explique aussi par la différence de coefficient d’échange superficiel entre les deux modes : h = {{unité|7|W}}/m2/K pour le mode rafraîchissant contre 12.2 W/m2/K pour le mode chauffage. La régulation des planchers chauffants hydrauliques est donc assez technique et dans la majorité des cas totalement automatisée pour assurer un fonctionnement optimal du système. C'est un facteur clé dans le confort thermique procuré par les PCBT sur lequel la recherche est très active, car malgré les avancées effectuées, le mode rafraîchissant reste bien moins performant et est davantage soumis à diverses problématiques gênantes que le mode chauffage. ==== Les Planchers Chauffant Basse Température et les autres systèmes de chauffage du bâtiment : étude comparative ==== Après avoir détaillé les aspects techniques relatifs au PCBT les plus importants, il est temps de voir dans quelle mesure ils permettent de comparer le mode de chauffage au sol avec d'autres systèmes de chauffage, en l'occurrence les radiateurs ou encore les poêles, les cheminées, les chaudières et les pompes à chaleur. ===== Performances et confort thermique ===== Pour pouvoir comparer ces différents types d'émetteurs de chaleur, le point à aborder en premier est la question du confort thermique procuré aux usagers. Le Confort Thermique (CT) est une notion déterminante dans l'avis général vis-à-vis des PCBT par exemple : c'est en effet l'inconfort thermique avec <math>T(plancher) \geq 33</math>°C qu'ils provoquaient dans les années 1950-1960 qui leur a fait défaut et qui a conduit à leur brutale disparition des foyers français dans les années 1970 jusqu'en 1990 environ. On le caractérise par l’équilibre thermodynamique s’établissant entre le corps humain (organisme homéotherme, c'est-à-dire dont le milieu interne garde une température constante telle que l'on puisse considérer que <math>T(peau) =cste= 35</math>°C) et le milieu dans lequel il est plongé.[[Fichier:CT_v1.jpg|alt=|centré|vignette|651px|Schéma thermodynamique montrant les échanges thermiques ayant lieu entre le corps humain (homéotherme) et le milieu extérieur de température T(amb) : ce sont principalement ces échanges qui sont pris en compte dans les calculs concernant le confort thermique.]]Donc <math>Q_\sigma = Q_+ + Q_-</math> et si <math>Q_\sigma = 0</math>, alors le confort thermique de l’individu est atteint car il y a équilibre thermodynamique. Les échanges de chaleur <math>Q_-</math> avec l’extérieur se font par conduction, convection, rayonnement mais aussi par sudation / évaporation. L’équilibre thermique et donc la température ressentie dépendent de l'activité, de la nature des vêtements (modification de la résistance thermique de surface R), mais aussi de la température du milieu ambiant. À partir de ces échanges thermiques, les chercheurs déterminent quels sont les facteurs qui peuvent les influencer pour réduire les situations d'inconforts thermiques (chaud ou froid) dans les bâtiments. Certains modèles analytiques et adaptatifs ainsi que d'autres types de profils cherchent donc à identifier les critères du confort thermique afin de pouvoir les adapter au émetteurs de chauffage. C'est par exemple le cas de l'équipe du professeur FRANGER du Centre Scientifique et Technique du Bâtiment (CSTB) qui a travaillé en collaboration avec le Groupe de Recherche sur les Émetteurs de Chaleur (GREC) afin d'établir une méthodologie expérimentale permettant d'évaluer l'inconfort thermique à travers un profil nommé UCRES<ref>BERIAN Jean-Jacques, BARLES Pierre, FRANCOIS Claude, INARD Christian Les émetteurs de chaleur, étude comparée [En ligne]. Consulté le 26 mars 2020. https://books.google.fr/books?hl=fr&lr=&id=VLcBvW-SrWEC&oi=fnd&pg=PA5&dq=profil+ucres+plancher+chauffant&ots=AzeR7iFTv-&sig=flsMY21nCIKPshMM2UDvkbOUB6A#v=onepage&q&f=false</ref> : U : Uniformité des températures opératives <u><math>\theta(rs)</math></u> C : Courants d’air R : Rayonnement dissymétrique dans la pièce E : Écart de température entre la tête et les pieds (en position assise ou debout) S : Sol chaud ou froid À partir de ces 5 critères, un indice est calculé à partir du % d'insatisfaits parmi les individus soumis à des conditions thermiques particulières (à l'image des modèles de Fanger et de Gagge) et permet de qualifier l’ambiance thermique. Il prend en compte des paramètres importants que les concepteurs de systèmes de chauffage doivent considérer s'ils veulent garantir le meilleur confort thermique pour leurs clients : * Température résultante sèche <math>\theta(rs)</math> : cette température est un bon indicateur du CT car elle correspond à la moyenne arithmétique de la température d’air <math>\theta(a)</math> et de la température radiante moyenne des parois de la pièce <math>\theta(rm)</math>. Ainsi, <u><math>\theta(rs)</math></u> dépend de la position du corps dans la pièce car <math>\theta(rm)</math> varie d’un point à un autre, d’où l’intérêt du chauffage par rayonnement (60 % de chauffage par rayonnement pour les PCBT contre 40 % pour les radiateurs) car dans des zones limitées on maintient <math>\theta(rm)</math> tel que <math>\theta(rs)</math> reste convenable malgré une température d’air <math>\theta(a)</math> faible. La température résultante sèche (qu’on appelle plus communément température opérative) est donc un critère important du confort thermique qui permet d’approcher de manière simplifiée cette notion pour la thermique du bâtiment et notamment les PCBT et doit être prise en compte par le concepteur. * Les gradients de température que l'émetteur de chaleur provoque dans la pièce et qui sont sources d'inconforts thermiques. Des zones dites " trains de chaleur " (alternance de chaud et de froid) peuvent apparaître lorsque les gradients de température sont trop marqués. * L'humidité du milieu ambiant : une atmosphère trop sèche ou trop humide ne correspond pas à une situation thermique agréable. Toutes ces notions permettent donc de comprendre les avantages et inconvénients des systèmes de chauffage vis-à-vis de la problématique du confort thermique. On peut par exemple d'abord comparer les radiateurs (électriques ou à eau) avec le plancher chauffant<ref>Site Izi by EDF. Comparatif des principaux systèmes de chauffage [En ligne]. Consulté le 11 mai 2020. https://www.mychauffage.com/blog/comparaison-systemes-de-chauffage</ref>{{,}}<ref>Site Ooreka.fr. Radiateur, chauffage au sol, au plafond ou mural ? [En ligne]. Consulté le 11 mai 2020. https://chauffage.ooreka.fr/comprendre/comparatif_radiateur_chauffage_sol_plafond</ref>.En effet, depuis l'arrêté ministériel de 1978 imposant une température de sol de 28°C pour les systèmes de chauffage par le sol, ces derniers procure un confort thermique d'une excellente qualité aux usagers. La température de sol 28°C est optimale pour le confort des pieds et des jambes et permet d’éviter les sensations de lourdeurs et de douleurs dans les jambes souvent ressenties par les usagers dans les années 1960-1970 durant lesquelles les planchers chauffaient le sol à 32-33°C. De plus, la température d'air maximale de 19°C imposée par les normes limite le phénomène de convection de la chaleur dans l’air ambiant de la pièce, ce qui permet de ne pas créer de gradient vertical de température de l’air dans la pièce tout en ne soulevant pas les poussières : comme évoqué précédemment, les trop fortes variations spatiales de la chaleur sont sources d'inconforts thermiques et c'est ce qui fait défaut aux radiateurs, surtout ceux équipés de convecteurs électriques. Ces derniers dessèchent rapidement l'atmosphère, entraînent des différences de températures entre le sol et le plafond provoquant par là-même des trains de chaleur et n'assurent pas une homogène répartition de la chaleur dans le volume habitable, alors que les PCBT ont pour particularité d'assurer une uniformité quasi parfaite des températures, que ce soit celle su sol ou celle de l'air<ref>Site picbleu habutat durable. Avis comparatif sur le système de chauffage le plus économique. [En ligne] Consulté le 11 mai 2020. https://www.picbleu.fr/page/avis-comparatif-sur-systeme-de-chauffage-le-plus-economique</ref>. Cependant, on peut toutefois noter que l’homogénéité de la température du sol peut parfois déranger. C'est lié à la dimension psychologique du CT, un aspect non négligeable mais difficile à quantifier, et certaines personnes préfèrent se munir en plus d’un système agissant comme un point chaud (= poêle à bois, insert) dans la pièce pour avoir un repère de température plus élevée. [[Fichier:T v1.jpg|centré|vignette|921px|Schémas comparatifs montrant les gradients de température provoqués par deux systèmes de chauffage différents : le Plancher Chauffant Basse Température (schéma du haut) et le radiateur (schéma du bas). Cette représentation schématique permet de mettre en évidence l'uniformité des températures et des gradients dans une pièce équipée d'un chauffage au sol. La présence d'un radiateur crée quant à elle des différences spatiales et temporelles des températures très marquées au sein d'une même pièce, nuisant grandement au confort thermique des individus. Ces deux schémas montrent aussi l'un des avantages du chauffage au sol : la diffusion de la chaleur par rayonnement en plus des phénomènes de conduction et convection permet de créer plus facilement une ambiance thermique confortable pour les usagers. En clair, il suffit de porter le PCBT à 27 - 28°C alors que les radiateurs ont besoin d'atteindre 40°C pour porter l'air de la pièce à 20°C au maximum. La conduction se faisant principalement dans les couches du PCBT et la convection étant assez limitée, c'est donc le phénomène de rayonnement au niveau du sol qui rend les planchers chauffants aussi performants et intéressants<ref name=":2">Site Solchauffant.fr. COMPARATIF DES SYSTEMES DE CHAUFFE [En ligne]. Consulté le 11 mai 2020. http://sol-chauffant.fr/comparatif-chauffages.html#</ref>.]] D'ailleurs, ces paramètres influençant le confort thermique concernent aussi des systèmes tels que les cheminées / inserts et autres poêles à bois qui comme les radiateurs, émettent de la chaleur dans une zone restreinte de l'espace et provoquent un fort gradient de température qui les rend inférieurs aux PCBT dans le domaine du confort thermique. De plus, la mise en route de ces émetteurs de chaleur est rapide et ils atteignent facilement leur température maximale, tandis que l'inertie d'un plancher chauffant ne lui permet pas d'atteindre le régime quasi permanent avant plusieurs heures (en moyenne 10 h). D'un côté, cette caractéristique des PCBT est un atout qui assure une montée en température progressive et agréable, essentielle pour mettre en place une ambiance thermique uniforme au niveau du sol et dans l'air et garantir un excellent confort des usagers. D'un autre côté, le long temps de réponse des PCBT suite à une consigne de changement de température est dérangeant lorsque des changements brutaux de température extérieure n'ont pas été suffisamment anticipés à l'avance et qu'il faut attendre plus d'une demi-journée pour retrouver une habitation chauffée au maximum. Les jours de grand froid inattendus et spontanés sont d'ailleurs l'une des raisons pour lesquels de plus en plus de sondes et capteurs de température sont employés dans l'équipement des PCBT hydrauliques. La comparaison peut également se faire au niveau du mode rafraîchissement des PCRBT car d'autres systèmes de refroidissement existent tels que les climatiseurs et PAC réversibles. Ces systèmes créent une excellente ambiance thermique. En particulier, les climatiseurs les plus formants bénéficient de la technologie Inverter, qui leur permet grâce à une régulation électronique poussée, de brasser l'air 6 à 8 fois par heure en général, afin de recycler l'air et d'assurer une excellente qualité d'air respirable. De plus, les climatiseurs<ref><nowiki>Site Climreversible. La climatisation réversible : système 2 en 1 pour votre confort [En ligne]. Consulté le 9 mai 2020.</nowiki> https://www.climatisationreversible.net/la-climatisation-reversible.htm</ref>{{,}}<ref>Site Ooreka.fr. Climatisation réversible [En ligne]. Consulté le 8 mai 2020. https://climatisation.ooreka.fr/comprendre/reversible_climatisation</ref>{{,}}<ref>Site Travaux.com. Bien choisir son climatiseur réversible [En ligne]. Consulté le 9 mai 2020. https://www.travaux.com/climatisation/articles/climatiseur-reversible</ref> et PAC réversible bénéficient d'un très bon COP saisonnier avoisinant 4 et garantissant des très bonnes performances en mode chauffage et rafraîchissement, tandis que ce dernier mode constitue le point faible des PCRBT qu'il est nécessaire de consolider pour les prochaines années. Les canicules survenues durant les précédents étés en France par exemple (notamment en 2019) ont montré que les personnes investissaient de plus en plus dans des systèmes réversibles plus efficaces que le PCRBT et afin de pouvoir aussi profiter du chauffage en hiver. Les climatiseurs et PAC réversibles seules sont donc des concurrents importants pour les planchers chauffants dont le mode rafraîchissement est 2 fois moins performant que le mode chauffage en plus d'engendrer de la condensation sur le sol lorsque les températures deviennent trop élevées, ayant pour conséquences des inconforts thermiques au niveau des pieds et une augmentation de l'humidité qui peut s'avérer désagréable. Les climatiseurs font aussi preuve d'un temps de réponse très rapides de par leur capacité à brasser rapidement la totalité du volume d'air dans une pièce pour le remplacer par un air neuf, tandis que les PCBT présentent le désavantage d'être peu réactifs si le froid survient de manière imprévue. Cependant, ces émetteurs / absorbeurs de chaud ne peuvent pas chauffer aussi efficacement le sol qu'un plancher chauffant mais bien que le recyclage régulier et rapide de l'air par les climatiseurs provoque des courants d'air sources d'inconforts thermiques, ils restent de alternatives parfaitement viables et tout aussi intéressantes que les PC(R)BT sur la question du confort thermique. Enfin, on peut également évoqué l'existence des films carbone chauffantes<ref>Site Chauffage P.BAYRAT. Chauffage au sol électrique à film carbone à économie d'énergie [En ligne]. Consulté le 30 avril 2020. https://chauffage-carbone.blogspot.com</ref>ou encore des rubans chauffants AHT<ref>Site Solchauffant.fr. RUBANS VS CABLES CHAUFFANTS [En ligne]. Consulté le 30 avril 2020. https://sol-chauffant.fr/index.html</ref> qui constituent ce que l'on pourrait considérer comme des planchers chauffants électriques améliorés sur certains points. En effet, ces derniers fonctionnant à partir de convecteurs électriques qui vont diffuser l'énergie thermique dans le sol qui va ensuite rayonner cette chaleur dans l'air ambiant, ils restent légèrement moins efficaces que les tubes chauffants en polymères de synthèse employés dans les PCBT. Quant aux films carbone et aux rubans AHT, il exploitent le rayonnement infrarouge pour chauffer le sol, l'air étant un très mauvais conducteur de chaleur et participant bien moins que le rayonnement du sol au chauffage de la pièce. Ces solutions technologiques sont bien moins onéreuses et garantissent une uniformité des températures agréable pour l'usager et comparable aux planchers chauffants électriques conventionnels, mais ils ne recouvrent pas la totalité de la surface habitable (seulement 20 %), ce qui a tout de même pour effet de limiter cette homogénéité des températures à des zones plus restreintes et d'être très dépendant de la production de chaleur par les autres éléments de la pièce pour augmenter la température de l'air. Pour conclure sur le confort thermique, les PC(R)BT figurent clairement parmi les émetteurs de chaleur à la meilleure qualité en termes d'ambiance thermique créée et de température de sol engendrée. Ils ne sont toutefois pas révolutionnaires puisque d'autres systèmes procurent des sensations thermiques comparables (excepté au niveau du sol) et que certaines de leurs caractéristiques peuvent s'avérer parfois sources d'inconforts thermiques, notamment leur faible inertie thermique et leurs limites en mode rafraîchissant. Sur cet aspect, les PC(R)BT restent donc des solutions bien plus fiables que des radiateurs ou des cheminées, même s'il est possible de combiner ces différents modes de chauffage pour bénéficier d'un point chaud en plus d'une pièce chauffée presque uniformément. On y perdrai toutefois un avantage non négligeable du plancher chauffant : son esthétique. Effectivement, ce que les usagers apprécient dans le recours au plancher chauffant, c'est justement que le système est invisible à leur yeux puisque caché sous la chape et les revêtements de sol, contrairement à des radiateurs ou des poêles qui encombrent une partie de la pièce et limite la surface exploitable d'une ou plusieurs pièces. En particulier, les planchers chauffants électriques n'occupent pas plus de place que le sol et même si les PCBT hydrauliques présentent le même avantage, l'emploie des collecteurs dans chaque pièce oblige à aménager un petit placard pour ne pas que l'imposante pièce de plomberie soit visible. ===== Aspect économique : point de vue global et simplifié ===== Ensuite, intéressons-nous rapidement sur les coûts liés à l'installation et à l'usage de ces différents modes de chauffage. En effet, il apparaît clairement que le chauffage au sol figure parmi les options les plus onéreuses puisque l'installation d'un plancher chauffant est difficile et requiert l'aide de nombreux experts du bâtiments. Ainsi, lorsqu'un particulier veut installer chez lui un PCBT hydraulique, davantage recommandé aujourd'hui par les professionnels du secteur, il doit investir dans le matériel nécessaire parmi lesquels on trouve les tubes chauffants, les différentes couches d'isolants, les revêtements de sol, les collecteurs d'eau du réseau de chauffage, un générateur thermodynamique (PAC ou chaudière) et des composants garantissant un bien meilleur fonctionnement du système tels qu'un ballon tampon ou une vanne 3 voies mélangeuses. En plus de ce premier investissement à hauteur de plusieurs milliers d'euros (rien qu'un générateur thermodynamique coûte au moins 1500 €), l'acquéreur doit aussi se charger d'engager un architecte pour dessiner des plans pour la maison qui intègre le plancher chauffant, des artisans qualifiés pour installer le réseau de tubes et couler une chape respectant les normes de la RT en vigueur et enfin une entreprise pour installer correctement le générateur thermodynamique et programmer la régulation de la température de chauffe de l'installation ainsi que son automatisation. Il s'agit donc d'une opération compliquée et importante lors du chantier qui nécessite obligatoirement le recours à des tierces pour ne pas avoir à craindre de dysfonctionnements qui entraîneraient la destruction du plancher. De plus, comme un plancher chauffant est conçu pour tenir plusieurs décennies dans les meilleurs cas et que le système fait partie intégrante de l'habitat, le propriétaire doit assurer une maintenance continue de l'installation. La révision annuelle de la chaudière par un artisan chauffagiste certifié est obligatoire en France depuis l'arrêté du 15 septembre 2019 tandis que l'entretien annuel d'une PAC est fortement recommandé pour profiter pleinement de ses avantages sur une longue durée<ref><nowiki>Site Izy by EDF. Entretien pompe à chaleur : est-ce obligatoire chaque année ? [En ligne]. Consulté le 3 mai 2020.</nowiki> https://www.mychauffage.com/blog/obligation-entretien-pompe-a-chaleur</ref>. Cela représente donc un coût annuel supplémentaire pour l'usager. Il apparaît donc clair que le plancher chauffant n'est pas accessible pour absolument tous les ménages avec son prix moyen au mètre carré de 50 €, soit un premier investissement à hauteur de 4000 à 6000 €<ref>Site Ooreka.fr. Chauffage à eau chaude [En ligne]. Consulté le 3 mai 2020. https://chauffage.ooreka.fr/comprendre/radiateur_eau_chauffage</ref>{{,}}<ref>Site Ooreka.fr. Radiateur, chauffage au sol, au plafond ou mural ? [En ligne]. Consulté le 11 mai 2020. https://chauffage.ooreka.fr/comprendre/comparatif_radiateur_chauffage_sol_plafond</ref> en fonction de la surface recouvrable pour un PCBT hydraulique. Un plancher chauffant électrique revient moins cher car ne nécessitant pas de composants externes (générateur thermodynamique ou encore collecteurs et ballon tampon) pour fonctionner correctement. Cependant, le chauffage au sol est davantage rentable sur le long terme par rapport aux installations de type radiateurs ou chaudières. <ref><nowiki>Site Selectra. Tarif Engie : prix de l'électricité et du gaz Engie - mai 2020 [En ligne]. Consulté le 13 mai 2020.</nowiki> https://selectra.info/energie/fournisseurs/engie/tarifs</ref>{{,}}<ref name=":2" />{{,}}<ref name=":1" />D'abord, on peut s'intéresser à l'énergie électrique, dont la consommation moyenne dans les foyers français en 2019 s'est élevée à hauteur de {{unité|4590|kWh}}, le prix du kWh fourni par EDF valant {{unité|0.1765|€}} TTC en 2019 : cela correspond par exemple à une facture annuelle de 831 € pour le client (pour une puissance de {{unité|6|kVA}}, option tarifaire base). Bien que le coût de l'électricité a augmenté ces dernières années, notamment en France, et que le chauffage représente de manière globale 2/3 des besoins en énergie d'une habitation, cette énergie reste toujours plus viable d'un point de vue économique puisque les prix du gaz, autre source d'énergie utilisée pour le chauffage, sont plus élevés (tarifs ENGIE variant autour de 100 à 110 € pour des offres de gaz naturel). Comme le coût des radiateurs s'élève à hauteur de 2000 € pour une installation de chauffage chez un particulier, les radiateurs utilisant des convecteurs électriques semblent donc figurer parmi les solutions les plus abordables en termes de prix d'achat et de coût annuel, contrairement aux installations de PCBT hydrauliques sont onéreuses et chers à l'entretien et à l'approvisionnement en énergie si le générateur thermodynamique est une chaudière gaz. Cependant, il faut nuancer les propos en remarquant que la plupart des installations de PCBT restent moins coûteuses sur le long terme. En effet, les installations de PCBT électriques ne demandant aucune maintenance et celles de PCBT hydrauliques fonctionnant avec une PAC ou une chaudière électrique, cogénération ou à bois sont certes coûteuses à installer, mais en contrepartie elles ont une longue durée de vie et bénéficient d'un très bon rendement global lié aux performances croissantes des générateurs thermodynamiques en plus de procurer un confort thermique presque inégalé aux usagers, là où l'efficacité des radiateurs ne leur permet pas de chauffer une pièce à plus de 20 °C sans monter en température au-delà de 40°C tout en créant des inconforts thermiques très marqués. De plus, les installations de PCBT hydrauliques nécessitant un générateur thermodynamique, elles assurent l'entièreté des besoins énergétiques liés au chauffage du maison : chauffage du sol et de l'air avec le chauffage au sol et chauffage des eaux sanitaires qui peuvent être stockées dans un ballon-tampon. La différence entre ces installations de PCBT et celles de chaudières ou de PAC que l'on déjà dans de nombreux foyers est donc la présence ou non du plancher chauffant. Quant aux installations de type cheminée, poêles ou inserts qui utilisent du bois, elles paraissent tout aussi être de bonnes alternatives puisque leur coût d'achat est faible comparativement aux autres émetteurs de chaleur (aux alentours de 1000 - 1500 € pour des installations classiques et au moins 2000 € pour les plus performantes sophistiquées) en plus de s'alimenter avec du bois dont le prix reste encore très abordable : la stère de hêtre, de chêne ou de cerisier (très bon bois pour le chauffage, bonne tenue dans la durée pour un chauffage long et efficace) est à 30 - 35 € en moyenne et celle de peuplier (bois plus commun et moins " noble " que les précédents mais suffisant pour chauffer une maison par des températures extérieures plus modérées en hiver) autour de 15 - 20 €. Quant aux granulés, les sacs de 15 kg de pellets peuvent facilement se trouver à 5 €, ce qui montre une fois de plus que les solutions que constituent les poêles, inserts, cheminées et autres foyers sont parmi les plus abordables du marché. Cependant, tout comme les radiateurs, ce ne sont pas les émetteurs de chaleur procurant les meilleures sensations de confort thermique en créant des gradients de température marqués et n'étant pleinement efficaces que dans des espaces très cloisonnés et parfaitement isolés. Néanmoins, l'on ressent rapidement la chaleur transmise et le prix reste très abordable, expliquant le fait que ce sont des modes de chauffage encore très employés dans les foyers, bien que soumis à diverses controverses. Enfin, on peut évoquer le cas particulier des Planchers Chauffants Solaires dont l'investissement en composants externes est bien moindre qu'un PCBT hydraulique classique (absence de chaudière, de ballon-tampon ou de vannes 3 voies mélangeuses) mais nécessitant d'acheter une surface de panneaux solaires égales au dixième de la surface habitable chauffée et de les faire installer par un professionnel. De plus, l'irrégularité des performances des PSD liées aux conditions climatiques est un aléa qui limite leur efficacité et ne leur permet d'assurer en moyenne que 60 % des besoins en chauffage d'un foyer situé dans une région bénéficiant d'un bon ensoleillement (Sud de la France par exemple), d'où la nécessité de coupler ces installations avec des chaudières pour chauffer les eaux sanitaires. Le coût de l'installation sur le court terme reste donc élevé mais le caractère de l'énergie solaire et le fait de n'avoir réellement besoin de la chaudière que pendant le tiers de l'année limite fortement l'investissement financier annuel. Ainsi, si l'installation est correctement gérée, elle peut s'avérer rentable au bout de plusieurs années, si bien sûr les panneaux solaires n'ont pas besoin d'être changés jusque-là et que leur performances n'aient pas trop diminué après les deux premières années d'utilisation. Après réflexion, on comprend donc que les PCS présentent beaucoup de désavantages puisqu'ils doivent toujours être assistés ou en compléments d'une chaudière bois, fioul, électrique ou gaz en plus de ne pas procurer à l'installation globale un rendement constant et 'être fortement soumis à la détérioration et à la baisse rapide de performances. Cela reste donc une alternative vraiment viable dans des pays où les accès directs aux formes d'énergie les plus communes sur le marché sont plus limitées et/ou le potentiel énergétique solaire est plus intéressant : on pourrait citer l'Algérie notamment qui possède l'un des meilleurs parcs solaires au mode et qui ne demandent qu'à être exploité ou encore des pays du pourtour méditerranéen bénéficiant d'un excellent ensoleillement moyen le long de l'année, comme le Sud-Est de la France ou l'Andalousie en Espagne. Ainsi, pour résumer sur cette comparaison simplifiée (une étude plus poussée est menée dans la partie 4.2. Economie du plancher chauffant) des émetteurs de chaleur, les solutions ne se valent pas toutes, que ce soit en ce qui concerne l'approvisionnement en énergie (principalement fioul, gaz naturel, électricité) ou le prix et l'efficacité des installations qui varient très fortement. Néanmoins, les PCBT ressortent comme figurant parmi les solutions les plus viables sur le long terme et procurant les meilleures sensations de confort thermique. Et malgré un coût financier peu abordable pour la majorité des potentiels usagers, c'est l'une des solutions les plus recommandées par les architectes et professionnels du chauffage lors de l'édification d'un nouveau bâtiment ou d'une nouvelle maison. D'ailleurs aujourd'hui en France, une maison sur deux qui est construite est équipée d'un Plancher Chauffant Basse Température, hydraulique en particulier. {| class="wikitable" |+Tableau comparatif du prix des différents types de chauffages différenciant le prix moyen d'installation et le coût moyen en utilisation<ref><nowiki>HabitatPresto, "Prix des différents types de chauffages : tout pour bien choisir", publié le 3 décembre 2018 [En ligne] Disponible sur : </nowiki>https://www.habitatpresto.com/interieur/chauffage/165-prix-chauffage</ref> ! !Coût moyen (chiffres de 2018) en euros / MWh !'''Prix moyen de l'installation''' '''pour une maison de {{unité|100|m|2}} (le prix fluctue en fonction de l'appareillage)''' |- |'''Prix du chauffage au bois''' |De 30 à 70 |1.500 à 6.000 |- |'''Prix d'une PAC (Pompe à chaleur)''' |De 35 à 70 |4.500 à 15.000 |- |'''Prix d'un chauffage solaire''' |Energie Gratuite (Mais coût de fonctionnement limité) |3.000 à 15.000 |- |'''Prix d'un chauffage électrique''' |144 |2.000 à 5.000 |- |'''Prix du chauffage au gaz''' |74 |2.000 à 7.000 |- |'''Prix du chauffage au fioul''' |90 |3.000 à 7.000 |- |'''Prix du chauffage au sol''' |96 |4.000 à 16.000 |} ===== Mix énergétique ===== La question du mix énergétique revient beaucoup lorsque l'on parle d'approvisionnement énergétique des bâtiments puisque des bons choix permettent de faire des économies d'énergie tout en ayant recours aux énergies renouvelables, solaire et éolien en particulier. En France, cette alternative est devenue de plus en plus envisagée après l'entrée en vigueur de la RT2012 qui interdit l'utilisation unique d'une chaudière pour assurer le chauffage d'un habitat par exemple, dans le but d'orienter la consommation vers d'autres formes d'énergie. Sur cet aspect-ci, les PCBT s'inscrivent très bien dans cette dynamique de mix énergétique. On l'a par exemple déjà évoqué avec le cas des PCS qui permettent de chauffer l'eau grâce au rayonnement UV. Ces mêmes panneaux photovoltaïques peuvent aussi servir à l'approvisionnement en électricité de l'installation de chauffage central de la maison ; la chaudière ou la PAC par exemple. Cependant, le problème des aléas climatiques persiste et les panneaux ont une durée de vie limitée qui pousse à éventuellement envisager d'autres solutions. Il est également possible d'avoir recours à l'éolien pour approvisionner son habitat en électricité en installant une petite éolienne dans son jardin. Il est même possible de coupler ce système avec des panneaux photovoltaïques. Mais malgré la possibilité de produire et de consommer sa propre électricité pour la stocker et ne pas se la faire racheter par EDF en cas de surconsommation (qui la revend ensuite plus cher), les installations énergétiques de ce type restent très difficilement rentables puisqu'elles requièrent un investissement financier important et restent des solutions limitées par leur rendement et leur coût<ref>Site Quelle énergie Par Effy. Puis-je utiliser l’électricité produite pour ma propre consommation ? [En ligne]. Consulté le 12 mai 2020. https://www.quelleenergie.fr/questions/utiliser-electricite-produite-pour-ma-propre-consommation</ref>. <ref>Site plans.fr. Quel mix énergétique pour votre chaudière ? [En ligne]. Consulté le 25 octobre 2023. https://www.plans.fr/quel-mix-energetique-pour-votre-chaudiere/</ref>Le champ des possibles en termes de mix énergétique pour les PC(R)BT est très comparable aux autres systèmes d'émission de chaleur puisqu'il est possible de coupler une chaudière et une PAC air - eau pour bénéficier de 10 à 20 % d'économie par rapport à une chaudière à condensation. Cette combinaison présente l'avantage d'être toujours pleinement fonctionnelle tout le long de l'année et qu'importe le climat extérieur : lorsque la température est modérée, c'est la PAC qui fonctionne tandis qu'en hiver, lorsque les températures avoisine les 0°C, c'est la chaudière qui prend le relais, la PAC voyant son rendement saisonnier baisser lorsque les températures baissent puisqu'il lui faut davantage d'énergie électrique pour extraire de la chaleur à la source froide. Ce couplage permet donc d'avoir une installation toujours très performante qui ne fonctionne jamais en sous-régime et qui ne gaspille pas inutilement de l'électricité. Le seul inconvénient d'une telle installation (sans le PC(R)BT) est son prix variant entre 7000 et 12000 €. ===== Aspect environnemental ===== ====== Surdimensionnement des planchers chauffants<ref>J. M. DUMAY, D. BLAY. 1995. « Etude de l'influence d'un surdimensionnement en flux d'un plancher chauffant Effects of an oversized heat flux upon floor heating systems », Électricité de France, 19 p.</ref>====== Il consiste à augmenter le flux de chaleur émis par le PCBT dans l'optique de monter plus vite en température et dépasser les limites de températures de sol et d'air imposées par les normes. Pour ne pas dépasser cette limite, la régulation du PCBT se fait en mode tout ou rien : si la température de l'air est supérieur à 19°C dans la pièce, le système est coupé ; lorsque la température de l'air est inférieur à 19°C, on relance le chauffage de sorte à ce que la température d'air oscille autour de 19°C. Il s'agit d'une technique encore répandue dans l'utilisation des PCBT et qui pose des soucis d'un point de vue de la consommation de ressources énergétiques à cause de la surconsommation d'électricité et matérielles. Le fonctionnement intermittent use plus vite le compresseur des PAC. Le surdimensionnement des planchers chauffants a un mauvais impact environnemental et son utilisation encore aujourd'hui n'est certainement pas un bon point quant à la réputation de ce mode de chauffage dans notre société. Cela peut également expliquer le fait que cette technique soit encore peu démocratisée en France par exemple et de moins en moins répandue dans les habitats les plus récents. ====== Évaluation environnementale des matériaux utilisés ====== Les installations de planchers chauffants nécessitent beaucoup de matériels et donc de matériaux tous très spécifiques et indispensables au bon fonctionnement du système, en particulier pour les PCBT hydrauliques : * Les tubes chauffants, par exemple, ont jusqu'à il y a une vingtaine d'années, été fabriqués en cuivre, métal très bon conducteur de la chaleur et présentant de nombreux autres propriétés exploitables pour le chauffage au sol. Bien que ce métal fasse parfois son retour dans ce secteur et qu'il présente des avantages, c'est un matériau soumis à une très forte demande dans de nombreux domaines techniques (réseaux électriques, plomberies, etc.) dont le recyclage est limité et dont les réserves mondiales baissent très rapidement, si bien que la production mondiale de cuivre, en plus d'être très énergivore, devrait bientôt entamer une courbe descendante (vers 2020 environ) [[Fichier:Copper_-_world_production_trend.svg|alt=|centré|vignette|378px|Production mondiale de Cuivre 1990 (d'après la page Wikipédia dédiée au Cuivre)<ref>Page Wikipédia dédiée au Cuivre. [[:Fichier:Copper - world production trend.svg|Copper - world production trend.svg]]</ref>.]] Les tubes chauffants sont à présents faits en polymères de synthèse tels que le PER ou le PB-1 qui sont issus de la pétrochimie. De par leur nature, ces matériaux sont difficilement recyclables, voire seulement partiellement dans la plupart des cas. En contrepartie, ils ont une durée de vie estimée à un demi-siècle, garantissant la longévité des installations de plancher chauffant, même si cela n'est pas encore confirmé expérimentalement étant donné que cela ne fait qu'une vingtaine d'années que ces matériaux ont été développés. Les panneaux isolants en PU présentent les mêmes désavantages d'un point de vue écologiques, même s'il sont partiellement recyclables par regranulation, comme le polystyrène expansé. * Il est aussi nécessaire d'évoquer un sujet soumis à débat vis-à-vis de certains appareils employés. Cela concerne les techniques de régulation de la température de chauffe des planchers chauffants. En effet, la partie dédiée à la régulation a mis en avant l'importance primordiale d'avoir la possibilité de réguler de manière très précise la température des planchers chauffants. Cependant, cela entraîne un recours de plus en plus important à l'appareillage électronique associé (thermostat, disjoncteur, sondes de température et autres capteurs) dont la fabrication nécessite d'aller chercher divers matériaux. En particulier, l'électronique se compose de nombreux métaux rares qu'il faut généralement importer depuis la Chine, premier et presque seul producteur de métaux rares dans le monde car concentrant près de 95 % de la production mondiale. Ces matériaux sont comme leur dénomination l'indiquent présents en quantité très limitée sur Terre et sont non recyclables en plus de nécessiter des moyens colossaux pour être localisés et extraits et donc dont la production rejette de grandes quantités de gaz à effet de serre et de particules polluantes dans l'atmosphère tout en ravageant des paysages et des écosystèmes à cause des gigantesques chantiers et sites miniers. [[Fichier:Global_Carbon_Emissions.svg|vignette|359px|Émissions globale de carbone : la secteur de la cimenterie représente une part non négligeable du bilan mondial<ref>Page Wikipédia dédiée au Ciment https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Global_Carbon_Emissions.svg</ref>.]] *<ref>Le ciment [En ligne]. Consulté le 14 mai 2020. http://acces.ens-lyon.fr/acces/thematiques/eedd/climat/pedagogie/hors_classe/ciment.pdf</ref>Quant aux chapes, anhydrites ou ciments, elles sont faites à partir de matériaux issus de l'industrie du ciment qui figure parmi l'un des plus gros émetteurs de dioxyde de carbone et autres gaz à effets de serre puisque le <chem>CO_2(g)</chem> est l'un des principaux produits de la réaction chimique de combustion du calcaire <chem>CaCO_3(s)</chem>et de l'argile (<chem>SiO_2</chem> et <chem>Al_2O_3(s)</chem>) en ciment ou en plâtre. C'est la décomposition du calcaire en chaux <chem>CaO(s)</chem> qui est responsable de 60 % des émissions de <chem>CO_2</chem> : <chem>CaCO_3(s) <=> CaO(s) + CO_2(g)</chem>. De plus, afin d'éviter la contamination de la chape, notamment celle ciment, on utilise des produits de cure qui sont des liants ou solvants organiques sous forme aqueuse et qui sont pulvérisés sur la chape après qu'elle ait été posée. Bien que ces produits chimiques soient biodégradables, il se pose la question de l'étendue de leur caractère biodégradable et de leurs effets sur la qualité des eaux et donc sur la faune et la flore aquatique, d'autant plus que la plupart de ces composés contiennent du dioxyde de Titane <chem>TiO_2</chem>, espèce dont de nombreuses recherches montrent qu'elle est dangereuse pour les êtres vivants, voire potentiellement cancérigène si présente dans l'organisme sous forme de micro ou nanoparticules. Néanmoins, comme la plupart des composants inhérents ou externes aux PCBT, la chape et les produits de traitement sont nécessaires à leur fonctionnement global, leurs performances et leur longévité. <br /> ====== Comparaison avec les autres émetteurs de chaleur ====== En effet, la thématique du chauffage des bâtiments constitue un enjeu énergétique important puisque la plupart des foyers sont en état de surconsommation d'énergie lorsqu'il s'agit de chauffer, les exigences de confort thermique des personnes ayant fortement évoluées vers une consommation excessive pour vivre dans une ambiance thermique toujours plus chaude et agréable. Néanmoins, les PC(R)BT modernes représentent une avancée non négligeable vers une diminution de la consommation d'énergie. Comme évoqué dans la partie sur le confort thermique, ces systèmes comptent principalement sur le phénomène physique de rayonnement pour transmettre de la chaleur au milieu ambiant bien plus efficacement que par conduction, contrairement aux radiateurs qui sont moins efficaces et consomment 10 à 15 % plus d'énergie pour fonctionner à un régime moins stable et moins agréable d'un point de vue thermique. Quant aux systèmes alimentés en bois (poêles, inserts, foyers, etc.), ils émettent du dioxyde de carbone et des particules fines dans l'atmosphère, certes, mais ces quantités restent limitées et au final leur bilan carbone est bien plus intéressant que la plupart des autres systèmes qui s'approvisionnent soit en électricité, soit en énergies fossiles (fioul, gaz naturel, etc.). Bien que le rendement de combustion d'un poêle ou d'une cheminée à combustion montante reste assez faible comparativement à la plupart des autres émetteurs de chaleur (de l'ordre de 50 %), il assurent un confort thermique de meilleure qualité que les radiateurs et souvent suffisant pour des surfaces habitables d'étendue moyenne ou faible. Pour revenir aux PC(R)BT, on peut évoquer de nouveau les problématiques engendrées par l'automatisation de la régulation de la température de chauffe. Cet usage de plus en plus courant de la domotique inquiète car la multiplication des appareils automatisés et électroniques nécessaires au fonctionnement autonome des PC(R)BT entraîne une accumulation d'autant plus importante des données relatives à la régulation que ces appareils stockent, nuisant légèrement au bilan carbone dune installation de ce type. Cette inquiétude est d'autant plus marquée que près de 50 % des habitats équipés de PC(R)BT possèdent au moins un thermostat ou autre systèmes de régulation de la température par pièce, et donc autant de sondes de température en plus. Cependant, pour être vraiment efficace, la régulation automatisée est devenue un standard dans les installations de PC(R)BT et permet de composer avec la grande inertie thermique du chauffage au sol : ainsi, lorsqu'un changement de température extérieure s'opère, le système s'adapte et lorsque les usagers partent de leur maison la matin, ils lancent le programme automatisé qui s'occupe de faire monter en température le plancher de façon à ce qu'il atteigne son régime maximal en fin de journée, c'est-à-dire lorsque les usagers sont présents. Quand les usagers sont présents chez eux pendant toute une journée, ils peuvent au contraire lancer le programme dans la nuit et comme l'inertie du plancher est élevée, il n'est vraiment à température de chauffe qu'à partir du matin lorsque les propriétaires se lèvent et commencent leur journée. Bien que la régulation automatisée entraîne une production plus importante de données techniques, elle permet d'optimiser le rendement de l'installation et de composer avec l'inertie thermique du chauffage au sol pour le faire fonctionner de manière utiles et seulement pendant les périodes nécessaires afin d'économiser de l'énergie et limiter la durée de fonctionnement des composants externes, en l'occurrence la PAC ou la chaudière. === Économie du plancher chauffant en France === ====Le marché et les acteurs du plancher chauffant==== Le marché du plancher chauffant s'adapte au fur et à mesure à la demande des ménages toujours dans un objectif d'économie d'énergie, l'atout majeur de ce système de chauffage. En effet, avec l'esthétisme et le confort thermique, le plancher chauffant s'impose comme un dispositif de chauffage très intéressant. Aujourd'hui, 45% des ménages français se chauffent au gaz pour son accessibilité économique mais son utilisation est contrainte par la proximité d'un réseau de gaz. En seconde place, 30% des français utilisent le chauffage électrique bien que cela soit l'énergie la plus cher à l'utilisation pour la grande proposition de systèmes sur le marché. Un plancher chauffant peut utiliser de l'eau, chauffée à l'aide d'une chaudière à gaz, à bois ou utiliser l'électricité. Au niveau du système de chauffe, le plancher chauffant est directement concurrencé par le radiateur, principal système de chauffage des ménages en France. Plusieurs critères rentrent en jeu pour différencier ces systèmes. En s'intéressant à la distribution de chaleur ou à la rentabilité du système, le chauffage par rayonnement est beaucoup plus efficace que le chauffage par convection des radiateurs. Cependant, le radiateur apparaît comme un système plus simple et plus accessible à l'installation. Pour poser un radiateur électrique, il suffit d'avoir un accès à l'électricité et une place sur un mur. Poser un plancher chauffant c'est, pour un plancher hydraulique, installer un réseau de tuyaux et d'isolant sur ou sous le sol, ou, pour un plancher électrique, poser un système de résistances avec des isolants à un prix plus élevé. Le prix d'installation et d'achat d'un radiateur électrique est autour de 200€ alors que le prix d'achat et d'installation d'un plancher chauffant électrique est autour de 40€/m2 donc 800€ dans une pièce de 20m2. Un plancher chauffant devient plus rentable sur la durée, mais à l'installation, des radiateurs électriques vont être plus accessibles, réduisant considérablement l'échantillon de la population capable de s'offrir un plancher chauffant. Une dizaine d'entreprises sont sur le marché de conception et fabrication de planchers chauffant en France, des entreprises également présentes à l'échelle européenne. Le marché du plancher chauffant est séparé en 2 parties distinctes lié à des technologies différentes : le plancher chauffant hydraulique et le plancher chauffant électrique. =====Cas du plancher chauffant hydraulique===== Le marché des planchers chauffants hydrauliques est en croissance depuis ses dernières années. En effet, une maison individuelle neuve sur deux choisie de s’équiper d’un PCRBT (Plancher Chauffant Rafraîchissant à Basse Température). En 2018, la progression des PCRBT a été de +5 % (+7,5 % au {{1er}} semestre 2018) sur le marché du chauffage qui a connu une évolution de +3 %<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Batiactu|titre=Planchers chauffants et canalisations synthétiques se portent bien|url=https://www.batiactu.com/edito/planchers-chauffants-et-canalisations-synthetiques-55948.php|site=Batiactu|date=2019-03-28|consulté le=2020-05-12}}</ref>. Cette progression sur le marché est due aux avantages suivants : * 7 à 8% de gain de surface habitable (SHAB). * entretien faible. * 5 à 10% d’économies d’énergie avec un gain d’environ 10% de Cep (Coefficient d’énergie primaire). * amélioration de la qualité de l’air intérieur : le système ne provoque aucun mouvement d’air. * un système 2-en-1. * facilité et rapidité à mettre en œuvre. Cette technologie répond donc à de nombreuses demandes des clients et aux normes de l’État sur les Bâtiments Basse Consommation (BBC). Les maisons individuelles constituent 80% de ce marché tandis que le tertiaire occupe 15% et le collectif 5%<ref>Bedat T., Wiss L., Tuland F., et al. Les performances du plancher chauffant/rafraîchissant dans le cadre de la RT 2012 : résultats des études thermiques au niveau national. Conférence de presse. [Internet]. COCHEBAT; 2015 [cité 12 mai 2020]. Disponible sur: <nowiki>https://www.certitherm.fr/wp-content/uploads/performances-du-pcrbt-rt-2012.pdf</nowiki></ref>. Ces chiffres s’expliquent par le fait qu’il est plus compliqué et plus coûteux d’utiliser un PCRBT ou un PCBT sur de grandes surfaces. Crée en 1984, le syndicat national des fabricants de composants et de systèmes intégrés de chauffage, rafraîchissement et sanitaires, nommée COCHEBAT est un acteur majeur du marché du plancher chauffant réversible. En effet, il représente 80% du marché français des surfaces chauffantes/rafraîchissantes par eau basse température et compte 13 entreprises adhérentes. En particulier, il incarne 77% des boucles de plancher chauffant vendues en France et 52% des dalles isolantes. Son rôle est d’assurer la performance de ses systèmes à l’utilisateur final en travaillant avec tous les acteurs nécessaires (fabricants et installateurs). Le syndicat diffuse aussi beaucoup d’information sur les systèmes de ses adhérents. Pour se faire, COCHEBAT certifie des systèmes de chauffage via une marque de qualité intitulé CERTITHERM. Créée en 2011, elle comprend l’ensemble des systèmes dont la résistance thermique est comprise entre 0,75 et 5,5<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Pour qui ? {{!}} Certitherm|url=https://www.certitherm.fr/certitherm/pour-qui/|consulté le=2020-05-12}}</ref>. Elle délivre un certificat de performance aux systèmes qui respectent les conditions des normes RT2020 et du label E+C- (Bâtiment à Énergie Positive et Réduction Carbone). Ainsi, la marque de qualité est un gage de la performance et de la sécurité des systèmes pour l’utilisateur mais aussi une preuve de qualité pour les distributeurs et installateurs. Plus récemment, les nouveaux certificats CERTITHERM comprennent désormais l’empreinte carbone du cycle de vie du PCRBT ({{unité|1|m|2}} = 21,6 kg eq.CO2) et une Fiche de Déclaration environnementale et sanitaire (FDES). De plus, le syndicat assure que toutes les vérifications des systèmes et des composants ainsi que tous les calculs thermiques sont réalisés et validés par un bureau d’étude extérieur (BBS SLAMA). Comme vu dans les paragraphes précédents, les planchers chauffants hydrauliques ont connu de fortes critiques dans les années 1980 : peu efficace, peu fiable... Aujourd'hui, les entreprises veulent changer les a priori de l'opinion publique. C'est pourquoi, le marché des planchers chauffants hydrauliques s'est organisé autour du syndicat COCHEBAT. Ce regroupement d'entreprises permet un rayonnement plus important de la technologie. De plus, la marque de qualité CERTITHERM veut rassurer le client sur les performances du système de chauffage. ====== Zoom sur une entreprise : UPONOR ====== Uponor<ref>« Uponor ». In ''Wikipedia'', 20 février 2020. <nowiki>https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uponor&oldid=941752405</nowiki>.</ref> est un groupe mondial dont le siège social est situé en Finlande. En 1965, la première usine de plastique est construite et l’entreprise se lance dans ses premiers tubes en plastique à Nastola, Finlande. Aujourd’hui, le Groupe Uponor compte environ 3 800 employés dans 26 pays en Europe et en Amérique du Nord pour un chiffre d’affaires de 1 103,1 millions d'euros (2019).  Uponor s’est diversifié autour de 3 activités et propose des solutions de climat intérieur (chauffage, climatisation et ventilation), des solutions de plomberie et des solutions d'infrastructure. En France, le groupe finlandais est membre du syndicats Cochebat et possède 36 certifications CERTITHERM. Très présent sur le marché des maisons neuves individuelles, le marché connait un élargissement avec notamment des systèmes pour le marché du collectif et du tertiaire (écoles…). La RE2020 pose de nouvelles contraintes au fabricant qui se tourne vers l’innovation pour créer des produits à faible inertie, plus réactif et plus économe. De plus, l’entreprise propose des systèmes variés adaptables. Par exemple, le dernier produit développé par Uponor est un panneau "tout en un" avec un diffuseur en aluminium préformé directement intégré à la plaque isolante. Il est facile à mettre en œuvre, léger et est plus fin que la plupart de ces concurrents. L’entreprise développe aussi un fort intérêt sur la réduction de l’empreinte carbone du cycle de vie du PCRBT avec des processus de fabrication plus écologique et des notions d’écoconception. =====Cas des planchers chauffant électrique===== Le marché plancher chauffant électrique connait une histoire différente que celle du plancher chauffant hydraulique. En effet, la RT2012 a stoppé la croissance de ce marché<ref>{{Lien web|titre=Réglementation RT 2012 et chauffage électrique par Philippe Nunes|url=https://www.climamaison.com/tendance/reglementation-rt-2012-et-chauffage-electrique.htm|site=www.climamaison.com|consulté le=2020-05-12}}</ref>. La Règlementation Thermique impose 50KWh(ep)/an (ep= énergie primaire). Or, il est donc devenu difficile de respecter la RT2012 via un chauffage électrique car l’électricité a un coefficient de 2.58<ref>{{Lien web|titre=Conversion Energie finale/Energie primaire électricité : facteur 2,58 - Conseils Thermiques|url=https://conseils-thermiques.org/contenu/conversion_energie_primaire_finale.php|site=conseils-thermiques.org|consulté le=2020-05-12}}</ref>. Ceci signifie que pour qu’un utilisateur utilise 1KWh d’électricité (énergie finale), il faut produire {{Unité|2.58|{{Abréviation|KWh|kilowatt-heure}}}} (énergie primaire). Ce phénomène est dû aux pertes dans les lignes, aux rendements des transformateurs, aux mix énergétiques et à son rendement. Ainsi, la consommation d’une installation RT2012 en électricité est limitée à environ 20 KWh/an en énergie finale. Voilà pourquoi, le marché des systèmes de chauffage électriques a fortement diminué suite à cette réglementation. Cette réglementation a été fortement critiquée par les défenseurs de l’électricité. L’électricité est une énergie qui produit peu de gaz à effet de serre du fait de sa production principale à partir du nucléaire en France. Ainsi, privilégier les énergies fossiles comme le gaz ou le pétrole productrices de gaz à effet de serre qui nécessite une importation semble peu logique malgré un coefficient d’énergie primaire sur énergie finale de 1. Le marché des planchers chauffants électriques à l'inverse des PCBT hydrauliques ne s'organise pas en syndicat. C'est peut être aussi une explication sur le recul de ce marché. Les entreprises se concurrencent au lieu de s'unifier pour promouvoir leur technologie. Ainsi, les entreprises se partagent le marché. Certaines choisissent une stratégie Business to Dealer ou Business to Client, c'est-à-dire de la vente directe au client en passant par les enseignes de bricolage ou par leur site internet avec des pack prêt à installer. Tandis que d'autres choisissent de vendre leur produits à des installateurs afin de se garantir que le système soit installé par des professionnels et d'optimiser les performances. ====== Zoom sur une entreprise : WARMUP ====== Cependant, certaines entreprises ont continué à développer les planchers chauffants électriques. Warmup<ref>{{Lien web|langue=en-US|titre=About Us {{!}} Company {{!}} Warmup North America|url=https://www.warmup.com/about|site=Warmup|date=2015-10-08|consulté le=2020-05-12}}</ref> est une société britannique fondée en 1994 qui crée des commandes et des solutions de chauffage électrique par le sol. Warmup a vendu plus de 2 millions de systèmes dans plus de 70 pays à travers le monde. La société Warmup propose différentes solutions respectant cette réglementation avec une solution pour une application directement sous revêtement sur trame avec un pas de pose défini afin d’atteindre {{unité|85|W}}/m² (Warmup MAT) permettant d’avoir une très faible inertie augmentant la réactivité de chauffe. Et une autre solution est un procédé de mise en œuvre sous chape, livré en couronne ou en trame, cette solution permet d’avoir entre 65 et {{unité|85|W}}/m² afin de maintenir un confort de chape constant (forte inertie). De plus, le plancher chauffant électrique trouve de nombreuses applications variées. Du fait de sa faible épaisseur, ce système de chauffage est souvent utilisé en rénovation. On trouve aussi des applications plus inédites comme l’installation de plancher chauffant dans un train historique : l’Orient Express<ref>{{Lien web|langue=en-GB|titre=Le mythique Orient-Express équipe ses suites avec du Warmup !|url=https://www.warmupfrance.fr/blog/le-mythique-orient-express-equipe-ses-suites-avec-du-warmup|site=Warmup|date=2018-05-01|consulté le=2020-05-12}}</ref>. En effet, l’entreprise Warmup a installé dans les cabines de ce mythique train un plancher chauffant électrique pour les sols et même des murs chauffants pour les salles de bains des suites luxueuses. Cette technologie est aussi utilisée pour déneiger les routes et les toits avec l’utilisation de câbles chauffants. Elle permet de réduire les risques d’accident en améliorant les conditions de la chaussée et en prévenant les risques d’effondrement. ===== Normes ===== Le marché du plancher chauffant est régulé par un grand nombre de normes d'une part pour sécuriser son utilisation (réduire les risques pour la santé, volonté d'économie d'énergie) mais aussi pour favoriser les entreprises françaises et européennes sur le marché français. Chaque pays détient ses propres normes et réglementations en vigueur bien que les pays européens se rassemblent sur de nombreux points. Accentuer les normes permet d'écarter le marché chinois au profit du marché européen, éloigner les produit chinois moins cher à la fabrication qui peuvent englober tout le marché. Accentuer les réglementations permet de contraindre la fabrication des planchers chauffant et mettre en valeur les expertises françaises et/ou européennes. Les réglementations thermiques RT sont renouvelées normalement tous les cinq ans mais, à cause de la difficulté de les mettre enplace, elles sont souvent déplacées. La réglementation thermique de 2020 imposant au nouveaux bâtiments d'être à énergie positive, a été d'ailleurs reportée. Ces réglementations fixent les consommations maximales d'énergie suite aux chocs pétroliers et à la hausse du coût des hydrocarbures qui bousculent ce marché. * Les premières RT permettent de fixer la température de chauffe de l'eau circulant dans les planchers chauffants à une température de 50°C pour limiter la température en surface : "Les planchers chauffants doivent têe conçus et installés de façon que, dans les conditions de base, la température au contact des sols finis ne puisse dépasser 28°C en aucun point". Extrait de l'article 35, alinéa 2 RT 2005. * RT2007 s'articule autour de de l'isolation des planchers afin de réduire la consommation énergétique : « Les planchers chauffants installés ou remplacés dont la face inférieure ne donne pas sur un local chauffé doivent être isolés à l’aide d’un matériau isolant dont la résistance thermique de la paroi, exprimée en m2.K/W, doit être supérieure ou égale à 2 pour le chauffage électrique et à 1,25 pour les autre cas »<ref>https://www.ademe.fr/sites/default/files/assets/documents/fiche-travaux-renovation-logement-reglementation-thermique.pdf</ref>.  - ADEME * RT2012 fixe une consommation maximum d'énergie primaire à 50Whep/m2/an pour les ménages se qui contraint les fabricants de plancher chauffant à améliorer le rendement de leur système. * RT2020 a pour but d'atteindre un bâtiment à énergie positive c'est-à-dire produire plus que ce que le bâtiment consomme, une réglementation déplacée à 2021. Son nom va passer de RT à RE pour réglementation environnementale. Les NF DTU ou document technique unifié rassemble les décisions de la Commission générale de la Normalisation du bâtiment concernant l'installation ou la construction d'un système. Il se présentent comme un cahier des charges rassemblant les normes, les règles de calcul et les consignes d'installation du plancher chauffant en France. L'Europe impose cependant des normes thermiques plus larges applicables à tous les pays de l'union européenne comme la CEN/TC 228 qui décrit des méthodes de calcul d'énergie dans un bâtiment<ref>{{Lien web|titre=CEN - Technical Bodies - CEN/TC 228|url=https://standards.cen.eu/dyn/www/f?p=204:22:0::::FSP_ORG_ID,FSP_LANG_ID:6209,25&cs=100243DC95FA50AB5CDDE3298A84770BF|site=standards.cen.eu|consulté le=2020-05-13}}</ref>. ===== Coût ===== Le coût d'un plancher chauffant dépend de la technologie choisie. En effet, les éléments constituants un plancher chauffant hydraulique et un plancher chauffant électrique sont différents et leur prix aussi. {| class="wikitable" |+Tableau comparatif des coûts d'installations par type de technologies de plancher chauffant utilisée ! !Elements !Coût d'installation moyen en France |- | rowspan="5" |Plancher chauffant hydraulique |Collecteur | rowspan="5" |70€ à 100€/m² pour un PCBT 100€ à 120€/m² pour un PCRBT |- |Isolant thermique |- |Tube souples |- |Chape |- |Génératrice (PAC, chaudière...) |- | rowspan="3" |Plancher chauffant électrique |Isolant thermique | rowspan="3" |40€ à 50€/m² |- |Câble chauffant |- |Chape |} Ces différences de coûts d'installations peuvent s'expliquer avec plusieurs raisons. En effet, un plancher chauffant hydraulique réversible PCRBT a un coût plus important qu'un PCBT car les pompes a chaleur (PAC) coûtent plus chères qu'une chaudière classique. De plus, l'installation d'un plancher chauffant électrique est plus rapide que celle d'un plancher chauffant hydraulique. Les liaisons hydrauliques à réaliser entre les collecteurs et la génératrice sont plus complexes qu'un branchement direct sur un circuit électrique dédié. <br /> =====Comparaison du coût du plancher chauffant et de d'autres systèmes de chauffage ===== Nous pouvons observer sur les deux graphiques suivant la différence de coût entre un plancher chauffant électrique et un radiateur électrique dans une pièce de 20m2 et une pièce de 40m2. On voit que le plancher chauffant coûte plus cher juste après son installation mais au bout de quelques années les tendances s'inversent et il finit par coûter moins cher que des radiateurs électriques. Plus la pièce sera grande, plus il sera avantageux rapidement<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Prix d’un plancher chauffant électrique|url=https://www.prix-pose.com/plancher-chauffant-electrique/|site=Prix Pose|date=2017-05-30|consulté le=2020-05-16}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Anonyme|titre=Prix d'un radiateur électrique|url=https://www.enchantier.com/devis/radiateur-electrique.php|site=Devis travaux immédiat : calculez le prix de vos travaux en ligne|date=2018-06-20|consulté le=2020-05-16}}</ref>. [[Fichier:Evolutions du coût de deux systèmes de chauffage au cous du temps - un plancher chauffant électrique et un radiateur électrique d'une puissance de {{unité|1300|W}} dans une pièce de 40m2..png|vignette|centre|390px|Graphique décrivant l'évolution du prix d'un plancher chauffant électrique et de deux radiateurs électriques d'une puissance de {{unité|1300|W}} dans une pièce de 40m2. (Utilisation 7 mois dans l'année)]] [[Fichier:Comparaison du prix d'un plancher chauffant et d'un radiateur électrique d'une puissance de {{unité|1300|W}} dans une pièce de 20m2.png|vignette|centre|402px|Graphique décrivant l'évolution du prix d'un plancher chauffant électrique et d'un radiateur d'une puissance de {{unité|1300|W}} dans une pièce de 20m2. (Utilisation 7 mois dans l'année)]] ===Utilisation industrielle: Les recherches dans le domaine de l'agriculture === Dans les années 1980 en France ou en Allemagne, et jusque dans les années 2000 dans d'autres pays comme l'Algérie par exemple, on trouve la trace de recherches menées sur l'utilisation du plancher chauffant dans le domaine de l'agriculture intensive, et plus particulièrement pour les cultures sous serres. ==== Les recherches en France à Saint-Laurent-des-Eaux ==== En France, de 1977 à 1981, de nombreuses expérimentations ont été réalisées dans les environs de la centrale nucléaire de Saint-Laurent-des-Eaux concernant l'impact du chauffage par le sol de cultures sous serres. L'idée générale est assez simple : utiliser les eaux de rejet d'une centrale nucléaire(20-40°c) pour chauffer les cultures sous serres, qui étaient à l'époque chauffée par air à 70-90°c. L'avantage majeur de ce type de système est d'utiliser les eaux normalement rejetées directement dans les fleuves et rivières aux alentours pour chauffer les cultures, et ainsi éviter de perdre l'énergie thermique associée, et avoir moins d'impact sur le réchauffement des fleuves à cause des centrales de ce type. Les études réalisées par l'INRA<ref>Utilisation d’eau à basse température pour le forçage de cultures sous abris. I. Aspects micro climatique et énergétique - T.Boulard, A.Baille, J.Lorgeou, G.Sappe - 1984</ref> ont mis en évidence de nombreux points clefs concernant les recherches sur ce domaine. Tout d'abord, les chercheurs ont comparé 2 types de structures de chauffage au sol différentes : la technique dite du "paillage radiant", qui consiste à poser à même le sol des gaines plastiques dans lesquelles circulent les eaux de rejet, et la seconde technique, par tuyaux enterrés dans le sol, qui est très similaire à la technique domestique utilisée aujourd'hui. Cela a permis d'identifier les premiers avantages et inconvénients de ce type de système. La première observation clef est l'impact de la profondeur des tuyaux sur l'efficacité du système. En effet, les chercheurs ont observé que le bénéfice du chauffage au sol sur les cultures (qui permettaient d'augmenter la rapidité de leur croissance) n'était plus assez intéressant si les tuyaux étaient enterrés à plus de {{unité|50|cm}} de profondeur. La technique du paillage radiant pouvait donc avoir son intérêt par rapport à la technique dite "domestique". Cependant, le fait d'avoir des gaines posées à même le sol réduit considérablement la surface cultivable et empêche les cultures à haute densité. De plus, l'impact de la profondeur des tuyaux ne s'arrête pas là, puisqu'une profondeur plus importante améliore la répartition de la chaleur dans le sol, qui doit être la plus homogène possible pour que la croissance des plantes soit la meilleure possible. On peut donc voir que cette première observation pose déjà des problèmes : il faut trouver un compromis efficace entre efficacité de chauffage et répartition homogène de la chaleur. Une seconde observation cause également beaucoup de questionnements : il s'agit de la modification du microclimat des serres. En effet, le fait de chauffer directement le sol pour augmenter la productivité de la serre, et non plus de chauffer l'air, entraîne l'assèchement du sol en profondeur, et une augmentation importante du taux d'humidité dans les serres, ce qui modifie complètement le type de cultures adaptées à pousser dans cet environnement, qui entraîne également une surconsommation d'eau, pour éviter l'assèchement des cultures. Enfin, l'inertie thermique<ref>Utilisation des eaux de rejet en agriculture, I. Modifications microclimatiques dues au chauffage du sol par tuyaux enterrés, en plein champ- A.Baille,M.Mermier - Agricultural Meteorology, 1980</ref> du système est également à prendre en compte : il y a stockage et restitution de chaleur aux cultures via le sol. Cela présente l'avantage de protéger les cultures en cas de chute brutale de température et de modification extérieure brutale de l'environnement, mais cela rend également le système très difficile à réguler. Pour tenter de pallier ces problèmes d'inertie thermique, l'équipe de recherche de Saint-Laurent-des-Eaux a étudié le couplage d'un système de chauffage au sol avec un chauffage de l'air. En effet, le chauffage par l'air ayant une très faible inertie, il était intéressant d'étudier son utilisation en tant que régulateur du chauffage par le sol. Tout d'abord, il permet de répondre aux besoins d'une température constante optimale pour le développement des cultures, en apportant du chauffage de nuit, pour combler l'apport thermique de l'énergie solaire en journée. La comparaison a été réalisée entre un système simple de chauffage à air et ce système couplé. Pour une même consigne de température interne à la serre, les chercheurs ont observé que : sur les mois d’hiver, le système de chauffage mixte a une meilleure efficacité énergétique, mais, dès que les mois de printemps et d’été arrivent, cet avantage est perdu, puisque les serres sont ouvertes dans la journée à partir de ces mois là (pour éviter justement une trop forte chaleur qui serait fatale aux cultures) et que la chaleur dissipée par le sol est en grande partie perdue, et donc, n’est plus utile pour réchauffer l’atmosphère de la serre, c’est le chauffage d’air qui prend seul le relais. (sur une expérimentation d'octobre à juin, on a consommé 27L de FOD/m^2 (fioul domestique/m^2) pour le chauffage couplé et 26 pour le chauffage à air). Il pourrait alors être intéressant d'utiliser le système de chauffage par le sol pour accélérer la croissance des cultures sur les mois d'hiver, et de cesser la circulation d'eau pendant les mois de printemps et d'été. Cela permettrait de réduire l'impact environnemental du chauffage à air durant les mois d'hiver. On peut comparer l'idée générale du chauffage par le sol via eaux de rejets avec la technique des couches chaudes, employée en permaculture, et qui consiste à utiliser la chaleur dégagée par la fermentation du fumier frais pour obtenir un développement un peu plus précoce des cultures. Cependant, si l'on fait la comparaison du chauffage au sol avec cette technique employée en permaculture, une question se pose : quel est l'utilité d'une méthode peu avantageuse énergétiquement et nécessitant des installations lourdes de tuyaux enterrés dans le sol par rapport à une méthode beaucoup plus naturelle et écologique ? Ceci est une première piste pour expliquer le fait que l'on ne trouve pas de traces d'application de ces recherches à l'agriculture en France, et peu de recherches datant d'après les années 1980. On peut également se pencher sur l'histoire plus spécifique à la centrale de Saint-Laurent-des-Eaux : le 13 mars 1980, le réacteur 2 de la centrale nucléaire de Saint-Laurent-des-Eaux a été gravement endommagé par la fusion de 20kg de dioxyde d’uranium, et rendu inutilisable pendant 3 ans et demi environ. Cet accident est classé de niveau 4 sur l’échelle INES, le plus grave qu'enregistré en France. Cela a potentiellement pu causer des problèmes pour les expériences, ou aurait pu causer l’arrêt des recherches, ou leur ralentissement, même si cela n'est toutefois qu'une hypothèse. ==== Les recherches en Algérie ==== On trouve des traces d’utilisation du chauffage au sol dans l’agriculture en Algérie, où le but était d’utiliser des sources de chaleur géothermique pour chauffer des serres agricoles. L’idée du chauffage de serres par différents moyens a commencé à se développer dans les années 1950 sur le modèle d’essais en Hollande, et en Belgique. Après des recherches sur ces systèmes, les puits d’eau chaude utilisés en Algérie jusqu’alors pour les besoins domestiques, furent utilisés pour le chauffage des serres à partir des années 1970. Cependant, le coût des énergies dites douces telles que la géothermie était tel que, malgré les optimisations telles que l’isolation des tuyaux transportant l’eau chaude, la méthode restait très peu rentable économiquement. Cependant, cela prouve qu’une application réelle à l’agriculture a bien été mise en place, pendant qu’au même moment ou presque, la recherche française testait l’efficacité du système. L’étude de Bouchekima en 2001 en Algérie<ref name=":0">Utilisation de l’Energie Géothermique pour le Chauffage des Serres Agricoles au Sud Algérien -B Bouchekima, Y Babi - Revue des Energies Renouvelables CDER Alger-2001</ref> teste 3 systèmes de chauffage au sol pour l’agriculture : le paillage radiant, l’Agrotherm PP25 (méthode de chauffage au sol développée par des chercheurs allemands dans les années 1980, avec des tuyaux présentant des anneaux, pour une meilleure répartition du débit d’eau dans les tuyaux, et une meilleure surface d’échange avec le sol qu’un tuyau classique) et les tuyaux enterrés en polyéthylène haute densité (méthode testée à Saint-Laurent-des-Eaux). Les chercheurs observent alors des difficultés sur l’homogénéité du champ de températures (coïncidant avec les observations réalisées en France) ainsi que le fait que la chaleur de l’eau diminue avec la distance parcourue. La forte augmentation de la température à la surface du sol par rapport à l’extérieur, d’après les observations, favorise la germination et le développement de la plante. En Algérie, avec un fort ensoleillement, le chauffage de la serre est assurée de jour quasiment uniquement par l’énergie solaire, mais le chauffage de nuit est assuré par le système de chauffage au sol par géothermie. L'équipe de recherche observe avec ce système un taux d’humidité dans l’air trop fort pour des plantes qui ne sont pas faites pour cela, et qui développent alors des maladies nuisant à leur bon développement. Mais, en couplant le système avec une aération de jour, le taux d’humidité de 75% est acceptable pour les plantes utilisées pour l’expérience. Comme pour les études menées en France, les scientifiques algériens montrent que l’utilité de ce chauffage réside dans la période la plus froide de l’année, où ils observent un calibre de fruit beaucoup plus important dans leur serre chauffée(par technique équivalente au paillage radiant via tuyaux Agrotherm) que dans leur serre non chauffée, mais aussi un rendement beaucoup plus élevé : la production de tomates dans la serre chauffée est 4 fois plus élevée que dans la serre non chauffée. L'article de recherche de Bouchekima a pour conclusion :  “L’augmentation du rendement de la serre chauffée, comparativement à la serre non chauffée, a été bien illustrée dans cette étude. Il serait donc fort utile de généraliser ce thème de recherche de grande importance sur le plan économique, en tenant compte de son impact sur l’environnement”<ref name=":0" />. Cette étude a été menée en 2001. Que s’est il passé ensuite ? Les recherches en Algérie n’ont pas non plus l’air d’avoir encouragé à appliquer cette technique à l’agriculture algérienne, et ce malgré des résultats présentés comme très encourageants. Cela peut être parce que l'on retrouve les mêmes problèmes d’inertie thermique que ceux mis en évidence en France, mais aussi ceux de la modification du microclimat sous la serre. Mais également d'autres problèmes propres à la situation algérienne, et à la source thermique utilisée : les sources de chauffage d’eau par géothermie sont enfouis très profondément : les études en Algérie ont été réalisées avec comme source de chaleur un aquifère(nappe d'eau souterraine contenue dans un sol ou une roche réservoir originellement poreuse ou fissurée, et suffisamment perméable pour que l'eau puisse y circuler librement) géothermique situé à une profondeur de {{unité|2000|m}} avec une température d’eau de 60 à 65°c. Les études réalisées en Algérie ne mentionnent pas l’impact écologique du forage pour aller récupérer cette eau en profondeur, de sa réalisation jusqu'à l’impact écologique à long terme du fait de vider les nappes phréatiques. Ceci peut expliquer le manque de recherches et d’applications de cette méthode en Algérie, et la difficulté de trouver des documents actuels traitant de cette méthode. ==Opinion publique== Outre la notion de confort thermique déjà évoquée dans la partie technique, il faut s'intéresser à ce que pensent réellement les usagers de ce mode de chauffage qui, bien que de plus en plus répandu en France, fait davantage parler de lui auprès des professionnels du chauffage que des consommateurs. === Santé === Concernant la santé, le plancher chauffant est soumis à des normes depuis un décret publié en 1978. En effet, depuis ce décret la température du sol ne doit pas dépasser les '''28 degrés Celsius''' car au delà de cette température, les champs magnétiques de basses fréquences ont des risques de perturber le corps humain et entraîner ces effets secondaires indésirables : - De l'insuffisance veineuse ( le sang stagne dans les jambes au lieu de remonter). - Des sensations de jambes lourdes. - La dilatation des veines, autrement dit, les varices, voire même d’engendrer des phlébites. Cependant, en étudiant plus précisément ces anomalies selon les planchers chauffant, il a été prouvé que ces problèmes de santé survenaient majoritairement à cause des anciens planchers chauffants. En effet avant 1970, les bâtiments étaient moins bien isolés et les tuyauteries de plancher chauffant pouvaient être très espacés. La chaleur diffusée dans le bâtiment n'était donc pas homogène et l'eau circulant dans les tuyaux pouvait osciller entre 50 et 70°C. Donc, la température au sol pouvait dépasser ces 28°C et atteindre plus de 30°C et ainsi déclencher des problèmes de santé. Aujourd'hui, les planchers chauffants étant mieux installés, la chaleur répartie est beaucoup plus homogène et donc ces excès de températures sont moins fréquents. Les problèmes de santés cités précédemment sont donc rares et même remis en question. Dans les vieux bâtiments, certaines personnes restent sceptiques par rapport au plancher chauffant et il y a beaucoup de question à ce sujet sur les forums dédiés aux bâtiments. Cependant, dans les bâtiments récents, on ne relève plus de problèmes de santé et on encourage souvent l'installation de planchers chauffants de par ces nombreux avantages citées précédemment<ref>PIGHETTI Olivia, "Insuffisance veineuse, jambes lourdes, varice, le plancher chauffant constitue-t-il un risque pour notre santé ?", publié le 29 juin 2016, [En ligne] Disponible sur : https://www.calculeo.fr/actualites/insuffisance-veineuse-jambes-lourdes-varice-le-plancher-chauffant-constitue-t-il-un-risque-pour-notre-sante</ref>. ===Opinion et satisfaction par une étude statistique=== Les résultats suivants sont obtenus grâce à une étude faite en interrogeant 548 clients. Ayant la particularité : * D'être équipés d’un plancher chauffant électrique. * Que celui-ci ait été utilisé pendant un hiver au moins. * Qu’ils habitent en maison individuelle. Ces gens interrogés sont majoritairement des ménages jeunes, les constructions datent généralement de 1991 à 1993 et la surface habitable est comprise entre 100 et {{unité|200|m|2}}. Après le sondage quelques chiffres sont importants à noter : Environ un tiers des gens ayant un plancher chauffant utilisent aussi en parallèle un autre système de chauffage (souvent des convecteurs en salle de séjour ou salle de bain) pour combler leurs besoins. De plus, au niveau de l'installation, dans 98% des cas, le plancher chauffant est installé lors de la construction de la maison. Ces gens là avouent avoir choisi ce mode de chauffage avant tout pour le confort. De plus, moins d'une personne sur deux déclare avoir reçu des informations sur la façon d’utiliser le chauffage au sol par EDF, un électricien ou le constructeur. Néanmoins, lorsque les informations sont données, elles sont considérées comme satisfaisantes. Pour la régulation, les informations sont données par le graphique ci-après. [[Fichier:Graphique régulation plancher chauffant.png|vignette|450px|Graphique de la répartition des moyens de régulation du plancher chauffant par les personnes interrogées ]] En ce qui concerne la satisfaction les personnes interrogées notent 3 points forts : * Son confort. * Son esthétique et son aspect non encombrant. * Sa praticité. Un point faible : * Le coût de fonctionnement. Et 2 points controversés : * Sa lenteur de mise en route. * Sa performance. Finalement, 88% des particuliers choisissent le même type de chauffage si le choix était à refaire (les 12% restant sont majoritairement gênés par le coût de fonctionnement). En conclusion, le retour d’expérience reste largement positif, les gens sont satisfaits et le problème le plus important lié au plancher chauffant reste son coût de fonctionnement. Cette observation reste en accord avec nos hypothèses précédentes liées au prix d'installation et de fonctionnement du plancher chauffant dans les habitations individuelles. Le plancher chauffant semble être un bon moyen de chauffage mais toujours trop cher pour de nombreux particuliers<ref>SCHMITT, G, "Planchers chauffants électriques. Retour d'expérience technique.", 1996</ref>. ===Une inégalité sociale et économique face à l’installation=== Beaucoup d'entreprises de plancher chauffant prônent les atouts économiques de leur système (faible température, durabilité) mais cela reste à nuancer par le prix important de leur installation. Par exemple, l'achat et l'installation d'un plancher chauffant électrique, qui est le plus simple d'installation car il se pose directement sur le sol, s'articule autour de 40-50 euros du m². Le coût d'achat et d'installation d'un radiateur est autour de 200 euro. Dans une pièce de {{unité|20|m|2}}, installer un radiateur est 4 fois moins cher. Les planchers chauffants hydrauliques sont plus économiques à la consommation, mais leur installation implique d'avoir des habitats neufs ou en grosse rénovation. On observe ainsi que les personnes capables de s'offrir un tel système ne sont pas très nombreux. Dans les habitations neuves, le chauffage au sol est de toute façon compris dans le prix d'achat de la maison donc ça ne change peut-être pas grand chose au niveau du prix pour les particuliers quand ils achètent une maison. Cependant si on veut installer un nouveau système de chauffage lors d'une rénovation d'habitat, on risque de plus se poser la question de si on investit ou non dans ce type de système. Les personnes ayant peu de moyens ne pourront donc pas se permettre ce type d'achat même s'ils le préfèrent à un système de chauffage plus conventionnel. ===Vers un changement de nos habitudes=== L'utilisation d'un plancher chauffant amène à nous questionner face à nos habitudes de consommation car nous venons à nous demander quel système de chauffage est plus intéressant qu'un autre. Nous avons parlé d'économie, de confort thermique, de santé et de différence de culture. Le plancher chauffant semble s'être majoritairement bien installé en France mais il reste de nombreux problèmes sans solutions. Le coût reste un problème majeur mais face aux nombreux avantages du plancher chauffant beaucoup de personnes l'installe chez eux de part son confort et son plus léger impact sur l'environnement d'où la croissance du marché. Nous avons vu également que le marché des planchers chauffants réversibles est en pleine expansion en Europe. Cependant, nous pouvons nous demander s'il arrivera réellement à s'installer en France. En effet, les particuliers ne voudront peut-être plus utiliser de climatisation car elles seront jugées mauvaises pour l'environnement. Mais un plancher chauffant réversible est-il vraiment la solution ? Ouvrir ses fenêtre en été pour avoir plus de fraicheur reste toujours plus respectueux de l'environnement qu'utiliser son plancher rafraichissant ou sa climatisation. Ils renonceront peut-être à un confort thermique proche d'une "perfection" avec une climatisation mais renonceront sûrement également à un plancher chauffant réversible hors de prix si ça ne fait qu'une différence de 4° Celsius en intérieur. De plus, va-t-on préférer avoir un plancher chauffant connecté pour économiser de l'énergie ou manuel pour préserver les terres rares ? Ainsi nous aurons peut-être besoin seulement de planchers chauffants simples même sans climatisation. == Annexes sur la notion de Confort Thermique (CT) : les modèles d'études appliqués dans le cas général et dans celui des bâtiments<ref>Dr R.Cantin, B. Moujalled, Dr HDR G. Guarracino.Complexité du confort thermique dans les bâtiments [En ligne]. Consulté le 18 mars 2020. http://www.res-systemica.org/afscet/resSystemica/Paris05/cantin.pdf</ref>== Cette partie constitue une annexe visant à apporter des informations complémentaires à la notion de CT pour comprendre les autres paramètres influents sur le confort thermique, à la fois liés à l'individu et aux technologies employées dans les bâtiments. Cette annexe permet de mettre en avant la complexité des approches et de la prise en compte du CT dans le cadre de l'étude des émetteurs de chaleur dans les bâtiments. ==== Les modèles d'étude du CT ==== Les travaux portés sur la notion de confort thermique visent à étudier les conditions favorables à un bilan thermique global nul pour le système {corps humain}. Ainsi, dans le cadre de la thermique du bâtiment, deux approches sont effectuées : l’approche analytique, basée sur des modèles physiques et physiologiques théoriques permettant d’étudier les paramètres les plus évidents qui influent sur le confort thermique tels que les métabolismes humains (pour lesquels entrent en compte des grandeurs telles que la température interne, la température cutanée et la mouillure cutanée) ou les échanges de chaleur avec l’extérieur via les mécanismes physiques de conduction, convection, rayonnement et évaporation. Cette approche davantage statistique ne s’inscrit donc pas directement dans l’étude même du confort thermique dans un bâtiment et c’est pourquoi une seconde méthode dite adaptative est utilisée pour pouvoir représenter la réalité du confort thermique du bâtiment. ===== L'approche analytique ===== <u>Modèle de Fanger :</u> Modèle basé sur la détermination expérimentale de deux indices relatifs au confort thermique : PMV et PPD. Ces indices sont calculés par une approche statistique reposant sur les sensations de confort thermique éprouvées par des groupes d’individus placés dans des conditions thermiques particulières, dites homogènes et stationnaires : ambiance chaude ou froide, des courants d’air ou non (prendre en compte la vitesse de l’air); température du sol ; l’individu reste statique ou pratique une activité dans la pièce ; nature des vêtements portés… Le modèle de Fanger est donc un modèle statique qui étudie des conditions stationnaires et qui détermine expérimentalement les conditions physiologiques (température cutanée et sudation) nécessaires au confort thermique dans chacune des configurations étudiées. Les indices PMV et PPD permettant au modèle d’évaluer ces paramètres et sont définis par : * <nowiki>PMV (Percentage Mean Vote) : il s’agit de la valeur moyenne prédite des votes d’un grand groupe de personnes sur l’échelle de sensation thermique de l’ASHRAE (American Society of Heating, Refrigerating & Air-Conditioning Engineers). Le PMV caractérise donc une sensation thermique ressentie par un large groupe d’individus et peut être calculé à partir de divers paramètres importants que sont le métabolisme M [W/m2], l’isolement vestimentaire ou encore les paramètres climatiques tels que l'humidité, la vitesse d'air et la température d'air. Quant à l’isolation thermique procurée par les vêtements, on la quantifie par la chaleur apportée au système {corps humain} par les vêtements par unité de surface et par kelvin : l’unité correspondante est le clo telle que 1 clo = 0.155 W/m2/K.</nowiki> * PPD (Predicted Percentage of Dissatisfied) : correspond au pourcentage d’individus insatisfaits dans les conditions thermiques homogènes et stationnaires étudiées, c’est-à-dire le pourcentage de personnes ayant ressenti une sensation d’inconfort thermique.<br /> [[Fichier:PMV_PPD_v1.jpg|alt=|centré|vignette|548px|Correspondance entre PMV et PPD dans ds conditions expérimentales standards<ref>Docteur Bronislaw KAPITANIAK. Ergonomie de l’ambiance physique et psychosociale [En ligne].Consulté le 17 avril 2020. http://www.chups.jussieu.fr/ext/ergonomie/op2_t6_bk.pdf</ref>.]] Pour un PMV nul (= ni chaud ni froid), on a seulement 5 % d’insatisfaits dans les mêmes conditions expérimentales, ce qui met en avant que malgré l’équilibre thermique atteint, d’autres paramètres non pris en compte par le modèle peuvent influer sur la sensation de confort thermique : la géométrie du bâtiment ou encore la dimension physiologique et psychologique du confort thermique. <u>Modèle de Gagge :</u> Modélise le corps humain en deux compartiments concentriques représentant le centre du corps et la peau. C’est un modèle qui prend en compte des variables qui peuvent évoluer dans le temps : il s’agit donc d’un modèle analytique dynamique car il étudie des situations instationnaires. L’approche de Gagge se base alors sur le calcul d’un indice qualifiant le confort thermique à partir de la température de la peau et de la mouillure cutanée : le SET = la température équivalente d’une enceinte isotherme à 50 % d’humidité relative, dans laquelle un sujet portant une vêture standard échangerait la même quantité de chaleur et aurait la même réponse physiologique que dans l’enceinte réelle dans laquelle il se trouve. ===== L'approche adaptative ===== Il s’agit d’une approche conçue pour aborder les questions relatives au confort thermique dans le secteur du bâtiment. Comme l’approche analytique, elle repose sur une méthode statistique permettant d’analyser des bases de données regroupant les mesures des grandeurs physiques de l’ambiance thermique et les ressentis des personnes soumises aux différentes conditions thermiques. Cependant, elle la complète via la prise en compte des caractéristiques physiques des bâtiments et installations thermiques pour pouvoir déterminer les facteurs du confort thermique ''in situ''. Les modèles établis prévoient des plages de confort plus large que les résultats de l’approche analytique car il prennent en compte, en plus des paramètres physiques et physiologiques, des paramètres liés au climat, à la région, au type de bâtiment ou encore psychologiques. Cela permet d’envisager que l’individu peut s’adapter plus facilement que prévu à une ambiance thermique qui peut tendre à évoluer dans un bâtiment et que par conséquent, il est plus aisé d’adapter les structures des bâtiments et les modes de chauffages pour satisfaire le confort thermique des individus car ce-dernier devient moins restrictif ⇒ plus de possibilités de situations de confort. <nowiki>Beaucoup de chercheurs ont étudiés des modèles et établit des algorithmes en vue d’améliorer l’approche adaptative (en particulier NICOL et HUMPHREYS en 1998 avec leur publication ayant posé les bases de cette approche) car c’est encore l’approche analytique, moins complète, qui est utilisée pour l’écriture des normes (Exemple :  ISO 8996 [AFNOR, 1990] pour établir le bilan thermique entre l’être humain et l’ambiance extérieure) :</nowiki> * Projet européen SCATS, de NICOL et McCartney ⇒ algorithme du contrôle adaptatif ACA * Projet ASHRAE RP-884 de DEAR et BRAGER ===== Conclusion sur les deux approches du confort thermique ===== L’approche analytique présente des limites dans sa description de modèles réels et adaptés aux ambiances thermiques dans les bâtiments en plus de privilégier la climatisation active et donc la consommation excessive d'énergie, ce qui n’en fait pas une méthode respectueuse des exigences de développement durable et d'économie des ressources. C’est pourquoi de nombreux calculs se basent aujourd’hui sur la méthode adaptative qui présente des avantages à tous les niveaux et peut être utilisée à bon escient dans le cas de l'installation de PCBT dans les bâtiments. == Sources et références == <references />« Plancher chauffant ». In ''Wikipédia'', 25 mars 2020. <nowiki>https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Plancher_chauffant&oldid=168803271</nowiki>. sjvcxtn3zygumkaqeldtop5a76un3is 104 75856 982972 956734 2026-05-21T18:15:38Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982972 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ === Les origines des micro-ondes === Les micro-ondes sont des formes de '''[[w:Rayonnement_électromagnétique|rayonnement électromagnétique]]''' dont la gamme de fréquence se situe entre 300 MHz et 300 GHz. Ce sont donc des rayonnements uniquement '''à haute fréquence''', pouvant servir dans la technologie moderne, que ce soit dans le domaine militaire avec les radars<ref>{{Lien web|langue=en-US|auteur1=Tibi PIUI|titre=Home Science Physics How the microwave oven was made from WWII radar tech|url=https://www.zmescience.com/science/physics/microwave-oven-from-ww2/|site=ZME Science|date=2018-09-03|consulté le=2020-05-10}}</ref> permettant par exemple la détection des véhicules, ou bien dans le domaine informatique avec le réseau sans fil.<br /> [[Fichier:EM spectrum.svg|alt=|centré|vignette|500px|Domaine du spectre électromagnétique]] C'est en 1865 que [[w:James_Clerk_Maxwell|'''James Clerk Maxwell''']] prédit et théorise l'existence des ondes électromagnétiques à partir de ses équations, mais il faudra attendre 1888 pour que [[w:Heinrich_Hertz|'''Heinrich Rudolf Hertz''']] construise un appareil produisant des ondes radio qui démontre leur existence<ref>{{Lien web|langue=english|titre=Microwave|url=https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Microwave|site=New World Encyclopedia|date=|consulté le=2020-05-10}}</ref>. L’idée de chauffer un diélectrique grâce à des champs électromagnétiques à haute fréquence remonte à 1934<ref name=":1">{{Lien web|langue=english|titre=Microwave Oven History|url=http://www.historyofmicrowave.com/microwave-history/microwave-oven-history/|site=History of Microwave|date=|consulté le=2020-05-10}}</ref> (Bien que dans son idée c'était de la vapeur que l'on chauffait pour réchauffer un métal puis l'aliment). C’est avec l’apparition du '''[[w:Magnétron|magnétron]]''' que cela a été rendu possible, entre 1937 et 1940 par le physicien britannique [[w:John_Randall_(physicien)|'''Sir John Turton Randall''']]<ref>{{Lien web|langue=en|auteur1=Allison MARSH|titre=From World War II Radar to Microwave Popcorn, the Cavity Magnetron Was There|url=https://spectrum.ieee.org/tech-history/dawn-of-electronics/from-world-war-ii-radar-to-microwave-popcorn-the-cavity-magnetron-was-there|site=IEEE Spectrum: Technology, Engineering, and Science News|date=31 octobre 2018|consulté le=2020-05-13}}</ref>. Le magnétron fut ensuite exporté aux États-Unis en 1940<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=|prénom1=David C.|nom1=Cassidy|titre=A Short History of Physics in the American Century|passage=80|lieu=|éditeur=Harvard University Press|date=2011-10-24|pages totales=|isbn=978-0-674-06274-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=IyypW641SgIC&pg=PA80&lpg=PA80&dq=exportation+magnetron+in+USA+1940&source=bl&ots=AZbAx6ss4b&sig=ACfU3U2U9UX70V-F0_naGiOoS1n7qWFg6w&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwirpre3pKzpAhXJ7eAKHV9eC-AQ6AEwAHoECAoQAQ#v=onepage&q&f=false|consulté le=2020-05-11}}</ref>, enchaînant sur l’appropriation de cette technologie par [[w:Raytheon|Raytheon]]. L’industrie se construit alors autour de ces micro-ondes en développant des systèmes comme la radio, puis plus tard, le four à micro-ondes. == Débuts hésitants d'une découverte par sérendipité == === Découverte du principe de cuisson et création du four à micro-ondes === ==== Découverte par sérendipité ==== En 1945, l'ingénieur américain '''[[w:Percy_Spencer|Percy Spencer]]''', travaillant à Raytheon, une usine de fabrication de magnétrons pour '''radars''', passe à proximité d'un de ces appareils en activité et ressent de la chaleur dans la poche de sa blouse. En plongeant la main dans la poche, il observe que sa barre de chocolat a fondu. Il découvre ainsi le principe de cuisson d'aliment par micro-ondes qu'il expérimentera avec d'autres aliments tels que du maïs ou un œuf. Spencer crée ensuite une boîte en métal dans laquelle un champ électromagnétique à haute tension est alimenté par des micro-ondes en permanence provenant d’un magnétron, mettant en évidence que les aliments cuisent plus vite si ceux-ci sont confinés dans une enceinte fermée<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Burno JACOMY|titre=FOUR À MICRO-ONDES|url=http://www.universalis-edu.com.docelec.insa-lyon.fr/encyclopedie/four-a-micro-ondes/|site=Encyclopædia Universalis [en ligne]|date=|consulté le=2020-05-13}}</ref>. ==== Structure du four à micro-ondes ==== [[Fichier:Four à micro-ondes avec légende.jpg|vignette|Schéma du chemin des ondes ]]Le four à micro-ondes moderne est composé : * d'une source d'alimentation à haute tension, généralement un simple transformateur ou un convertisseur de puissance électronique qui transmet l'énergie au magnétron, * d'un condensateur haute tension connecté au magnétron et au transformateur, * d'un magnétron à cavité, convertissant l'énergie électrique à haute tension en rayonnement micro-ondes, * d'un circuit de commande magnétron, * d'un guide d'ondes court pour coupler la puissance micro-ondes du magnétron dans la chambre de cuisson, * d'une chambre de cuisson en métal (ou [[w:Cage_de_Faraday|cage de Faraday]]), * d'une plaque tournante et/ou d'un ventilateur d'agitation à guide d'ondes métalliques, * d'un panneau de contrôle. La source à haute tension va alimenter le magnétron à cavité par un courant continu. Le condensateur va simplement servir à stocker l'énergie électrique lors de l'arrivée des électrons dans le magnétron et empêcher la surchauffe du magnétron. On pourrait également remplacer le condensateur par un ventilateur aspirant de l'air frais. Des ondes électromagnétiques sont créées puis émises par le magnétron à travers le guide d'ondes jusqu'au brasseur d'ondes, les dispersant dans l'intégralité de la chambre de cuisson. Cette chambre va réfléchir les ondes vers l'aliment à chauffer, puis les ondes vont pénétrer dans l'aliment pour le chauffer, de l'intérieur comme de l'extérieur<ref>{{Lien web|langue=fr|auteur1=Janlou CHAPUT|titre=Comment ça marche : entrez à l'intérieur du four à micro-ondes|url=https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/physique-ca-marche-entrez-interieur-four-micro-ondes-51050/|site=Futura Sciences|date=15 janvier 2014|consulté le=2020-05-11}}</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Micro-onde|titre ouvrage=Wikipédia|date=2020-04-22|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Micro-onde&oldid=169886163|consulté le=2020-05-11}}</ref>. === Principe technique de cuisson === ===== Le chauffage diélectrique ===== Avec l'ajout de cette cage de Faraday permettant le confinement des ondes dans son enceinte, le four à micro-ondes est né. Son fonctionnement repose sur le phénomène de chauffage diélectrique<ref name=":1" />. Une onde électromagnétique de haute fréquence (environ {{unité|2.45|GHz}} pour des fours à micro-ondes modernes) va agir sur les '''molécules dipolaires,''' ayant un [[w:Moment_dipolaire_électrique|moment dipolaire électrique]], contenu dans les aliments. Cette fréquence n'est pas choisie par hasard. La fréquence utilisée dans le cas du four à micro-ondes est choisie selon plusieurs critères : la fréquence doit être dans l'une des '''bandes de fréquence industrielle, scientifique et médicale'''<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Peter McNEIL|titre=What are the ISM Bands, and What Are They Used For?|url=https://blog.pasternack.com/uncategorized/what-are-the-ism-bands-and-what-are-they-used-for/|site=Pasternack|date=2018-03-22|consulté le=2020-05-11}}</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=ISM band|titre ouvrage=Wikipedia|date=2020-04-10|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=ISM_band&oldid=950099701|consulté le=2020-05-11}}</ref> limitant des contraintes énergétiques et économiques. Ces bandes sont des parties du spectre électromagnétique dont l'utilisation est réservée aux domaines industriels, de la médecine ou scientifique plutôt que dans la communication. Elles ont la particularité de ne pas interférer avec d'autres ondes radios de même de nature. Cependant, les fours à micro-ondes peuvent fonctionner sous d'autres fréquences en fonction de leur domaine d'utilisation. Par exemple, dans le secteur industriel ou commercial, les fours à micro-ondes utilisent des fréquences de l'ordre de 915 MHz<ref>{{Lien web|langue=english|auteur1=Ian McKENZIE|titre=What is the dielectric heating principle? What are its applications?|url=https://www.quora.com/What-is-the-dielectric-heating-principle-What-are-its-applications|site=Quora|date=7 décembre 2018|consulté le=2020-05-11}}</ref>. Du fait de la haute fréquence de cette onde, les molécules dipolaires vont elles-même pivoter en s'alignant à ce champ : on appelle cela la rotation moléculaire. Au fur et à mesure que ces molécules vont pivoter, celles-ci vont s'agiter et rentrer en collision entre elles puis transmettre une partie de leur énergie aux molécules voisines. La température étant la résultante de l'énergie cinétique des particules, celle-ci va augmenter du fait de l''''agitation des molécules dans l'aliment'''. C'est donc par l'intermédiaire de '''l'énergie rayonnée''' par cette onde électromagnétique que la température va augmenter<ref>{{Lien web|langue=en-US|auteur1=Christopher S. BRAID|titre=Why are the microwaves in a microwave oven tuned to water?|url=https://wtamu.edu/~cbaird/sq/2014/10/15/why-are-the-microwaves-in-a-microwave-oven-tuned-to-water/|site=Science Questions with Surprising Answers|date=15 octobre 2014|consulté le=2020-05-11}}</ref>{{,}}<ref name=":2">{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=Dielectric heating|titre ouvrage=Wikipedia|date=2019-11-15|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dielectric_heating&oldid=926226280|consulté le=2020-05-11}}</ref>. ===== Pénétration dans les aliments ===== Conventionnellement, l'onde se répartit dans l'aliment de façon à ce que la densité de courant soit la plus grande à la surface de l'aliment, puis diminue avec la profondeur<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=Skin effect|titre ouvrage=Wikipedia|date=2020-03-14|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Skin_effect&oldid=945453062|consulté le=2020-05-11}}</ref>, et pénètre dans les aliments jusqu'à ce que son énergie soit entièrement convertie en chaleur, qu'on désigne par le terme '''"perte diélectrique"'''. Les nutriments tels que les graisses ou les sucres ne sont pas affectés par le champ électromagnétique : ceux-ci ne sont pas assez polaires, ils ne sont pas sensibles aux forces générées par le champ électromagnétique alternatif et vont plutôt avoir tendance à absorber l'énergie de cette onde<ref>{{Lien web|langue=english|auteur1=Chris WOODFORD|titre=Microwave ovens {{!}} How do they work?|url=http://www.explainthatstuff.com/microwaveovens.html|site=Explain that Stuff|date=17 juillet 2019|consulté le=2020-05-11}}</ref>. Ce champ va donc agir sur le composant le plus polaire dans l'aliment : '''les molécules d'eau'''. La fréquence d'absorption optimale de l'eau étant de 10 GHz<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Martin CHAPLIN|titre=Water absorption spectrum|url=http://www1.lsbu.ac.uk/water/water_vibrational_spectrum.html|site=Water structure and science|date=2000|consulté le=2020-05-11}}</ref>, donc supérieure à celle du champ émis, le phénomène du '''chauffage diélectrique''' a lieu sur la molécule d'eau très polaire. L'onde va donc pénétrer plus en profondeur dans l'aliment, ne chauffant pas seulement sa surface, mais également son centre. Si la fréquence des ondes émises par le fours était de l'ordre de la fréquence d'absorption optimale de l'eau, l'aliment absorberait tout le rayonnement de l'onde uniquement à sa surface<ref name=":2" /> le rendant donc totalement brûlant à l'extérieur mais glacial à l'intérieur. === Le magnétron, un composant essentiel === ===== Un dispositif multifonction ===== [[Fichier:Magnétron.jpg|vignette|alt=|Structure du magnétron]]Le magnétron était initialement destiné à la télécommunication, mais ne fut finalement pas utilisé du fait de son défaut de stabilité de fréquence émise, celle-ci oscillant en permanence entre 250 MHz et 3 GHz. L'idée d'utiliser le magnétron à une seule cavité anodique dans le domaine de la télécommunication à longue portée fut abandonnée pour cause de manque de puissance, celui-ci ne produisant qu'une centaine de watts. Après avoir créé un magnétron à quatre cavités, les premières expériences concluent que celui-ci peut être utile pour produire des '''impulsions électromagnétiques''' permettant la détection de bateaux et d'icebergs<ref name=":3">{{Lien web|langue=|titre=Magnétron|url=http://www.composelec.com/magnetron.php|site=Composant électrique|date=|consulté le=2020-05-11}}</ref>. Après plusieurs autres innovations (ajout de deux cavités anodiques, remplacement de la cathode en tungstène par une cathode en oxyde...), le magnétron fut confié au [[w:Massachusetts_Institute_of_Technology|MIT]] pour le perfectionner puis le produire à une plus grande échelle et en plusieurs exemplaires. Il fut ainsi utilisé à des fins militaires dans les radars permettant la détection d'avions ou bateaux ennemis, menant ainsi à la réduction des antennes et l'intégration de radars embarqués sur les bateaux et les avions de l'époque de la Seconde Guerre Mondiale grâce à ses hautes fréquences (entre {{unité|2.45|GHz}} et 3 GHz). Cependant, celui-ci a peu à peu été remplacé après la poursuite des recherches sur un dispositif plus stable en fréquence<ref>{{Lien web|langue=fr|auteur1=Christian WOLFF|traducteur=Christophe PAUMIER|titre=Invention du magnétron|url=https://www.radartutorial.eu/04.history/hi80.fr.html|site=radartutorial.eu|date=|consulté le=2020-05-11}}</ref>. C'est avec la découverte accidentelle de Percy Spencer que le magnétron fut utilisé dans un autre domaine que militaire. Avec l'apparition de plus en plus d'autres dispositifs capables de maintenir une fréquence stable et pouvant produire des impulsions électromagnétiques plus puissantes, mais aussi avec la fin de la Seconde Guerre Mondiale, les sociétés de production de magnétrons et de matériaux militaires se tournèrent vers le marché de l'électroménager. D'un autre côté, les sociétés d'électroménagers commencèrent à s'intéresser au four micro-onde suite à la démonstration de Raytheon, expliquant que le magnétron est aujourd'hui plus utilisé dans des appareils électroménagers que dans des radars militaires<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Magnétron|titre ouvrage=Wikipédia|date=2020-02-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Magn%C3%A9tron&oldid=167734508|consulté le=2020-05-11}}</ref>. ===== Principe de fonctionnement ===== Le magnétron est composé d'un tube anodique qui contient en son centre une cathode reliée à un générateur de tension extérieur. Celle-ci émet des électrons de charges négatives dans la cavité résonnante du tube qui sont attirés par l'anode ayant un potentiel positif. Pour éviter que ces électrons ne se fixent aux parois, ils sont déviés par une force magnétique créée par un puissant aimant situé à l'extérieur de l'enceinte. Grâce à celui-ci, les électrons sont obligés de parcourir un chemin en spirale en passant dans plusieurs cavités creusées dans l'anode : cette oscillation crée les ondes électromagnétiques. Elles arrivent ensuite dans une dernière cavité dans laquelle se trouve une '''boucle de couplage''' menant à un '''guide d'onde''', qui est une sortie menant à un tube par lequel s'échappent les ondes électromagnétiques, dites micro-ondes. Enfin, elles sont acheminées vers le '''brasseur d'onde''' dont le rôle est de répartir le rayonnement dans la cavité du four. Il s'agit d'une sorte d'hélice munie de pales qui, en tournant doucement, réfléchit les ondes. Il permet ainsi d'homogénéiser la cuisson de l'aliment pour éviter les zones froides et peut remplacer dans certains fours à micro-ondes la présence d'un plateau tournant<ref>{{Lien web|langue=fr|auteur1=Christian WOLFF|traducteur=Pierre VAILLANT|titre=Magnétron|url=https://www.radartutorial.eu/08.transmitters/Magnetron.de.html|site=radartutorial.eu|date=|consulté le=2020-05-11}}</ref>{{,}}<ref name=":3" />{{,}}<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le principe de fonctionnement du four à micro onde|url=http://microwaves-cagac.e-monsite.com/pages/fonctionnement/le-principe-de-fonctionnement-du-four-a-micro-onde.html|site=microwaves-cagac.e-monsite.com|consulté le=2020-05-11}}</ref> Nous pouvons calculer la puissance de cette énergie rayonnée en sortie du magnétron en versant de l'eau dans un récipient que nous ferons chauffer dans le four à micro-ondes et en utilisant la formule<ref>{{Lien web|langue=|titre=NF EN 15284 - Juillet 2007|url=https://www.boutique.afnor.org/norme/nf-en-15284/materiaux-et-articles-en-contact-avec-les-denrees-alimentaires-methode-d-essai-de-la-resistance-des-articles-culinaires-en-ceram/article/678031/fa113510|site=AFNOR Boutique|date=|consulté le=2020-05-13}}</ref> : <math>P = \frac{4,187\cdot m_{eau}(T_{f} - T_{i}) + 0,55 \cdot m_{r}(T_{f} - T_{A})}{t}</math> où : * P est la puissance de l'énergie rayonnée par les ondes électromagnétiques sortantes du magnétron (en W), * m_eau est la masse de l'eau contenu dans le récipient (en g), * m_r est la masse du récipient (en g), * T_A est la température ambiante (en °C), * T_i est la température initiale de l'eau (en °C), * T_f est la température finale de l'eau (en °C), * t est le temps de chauffage, en excluant la durée de chauffage du magnétron (en s). C'est cette puissance restituée qui nous est indiquée sur les micro-ondes modernes, et qui est aujourd'hui, pour la plupart de ces fours, réglable. Ce principe de fonctionnement n'a pas beaucoup évolué à travers le temps. Les premières entreprises comme celles d'aujourd'hui ont utilisé et utilisent encore ce fonctionnement pour lancer leurs prototypes. === Premières entreprises === ==== Raytheon et le premier four à micro-ondes ==== [[Fichier:Radarange NS Svannah.jpg|vignette|Modèle Radarange à bord du navire civil de transport NS Savannah<ref>{{Ouvrage|langue=|auteur1=|prénom1=Kelly|nom1=MICHALS|titre=Nuclear Ship NS Savannah - Raytheon RadaRange (Radar Range) Microwave|passage=|lieu=|éditeur=|date=2012-12-08|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://www.flickr.com/photos/rocbolt/8369028835/|consulté le=2020-05-10}}</ref>|alt=]] Le '''8 octobre 1945'''<ref name=":4">{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=Microwave oven|titre ouvrage=Wikipedia|date=2020-05-04|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Microwave_oven&oldid=954877192|consulté le=2020-05-12}}</ref>, le premier prototype de micro-ondes de Raytheon est placé dans un restaurant à Boston, et le même jour un premier brevet est déposé. A ce moment là, bien que des procédés industriels de chauffage par des champs électriques existent (notamment basés sur les ondes radio de 10 à 20MHz), il n’existe aucune régulation juridique sur la puissance utilisée dans le cadre du chauffage. En effet avant 1946<ref>https://tile.loc.gov/storage-services/service/ll/fedreg/fr011/fr011199/fr011199.pdf : Federal Register du 11 octobre 1946, page 11819</ref>, aux États-Unis, les seules législations existantes sur les procédés utilisant des ondes radios, provenaient du [[w:Communications_Act|Communication Act]] ou de l'I[[w:Union_internationale_des_télécommunications|nternational Telecommunication Convention]] qui fixaient des normes quant au transfert de données et qui ne s'appliquaient donc pas dans le domaine du four à micro-ondes. Ces nouvelles régulations de 1946 permettant donc d'apporter un cadre juridique aux équipements industriels de chauffage par de l’énergie issue de radiofréquence arrive à point nommé puisqu'elle permettent notamment aux fours à micro-ondes de ne pas avoir besoin d'une certification d'émission d'ondes radio (nécessaires aux équipements de télécommunications). Bien que cette nouvelle législation ne s'adresse pas particulièrement aux fours à micro-ondes qui n’étaient alors qu'à leurs balbutiements, il est certain que l'allègement des procédures et des autorisations a été un plus pour le développement de cette technologie. En 1947<ref>{{Lien web|titre=Microwave Oven|url=https://www.smecc.org/microwave_oven.htm|site=www.smecc.org|consulté le=2020-05-10}}</ref>, le tout premier four à micro-ondes est commercialisé, nommé '''Radarange''', mesurant {{unité|1.80|m}} de hauteur et pesant environ 340 kg pour plus de 30000 dollars américains actuels. Il peut délivrer une puissance de {{unité|3|kW}} et est composé d'un système de refroidissement à eau. C’est toujours la société Raytheon qui le met en vente. Cette entreprise d’origine militaire se doit, pour survivre dans le monde d’après-guerre, de trouver des produits à commercialiser au public et non plus aux armées. Il est important de noter que ce four était plus puissant que les fours à micro-ondes actuels ({{unité|3|kW}} au lieu de {{unité|1.2|kW}} actuellement). Avec ces dimensions et cette grande puissance, le marché ciblé était les restaurants, navires de croisières, chemins de fer ou grandes entreprises, ayant potentiellement besoin de réchauffer des aliments en grande quantité. Mais surtout les fast-food, tout simplement parce que l'argument principal du micro-onde est la rapidité, ce que cherche impérativement ce genre de restaurant. C’est donc un marché très réduit et c’est loin d’être un succès commercial. Apparemment, seulement 1000 exemplaires auraient alors été vendus. Néanmoins, ce sont dans ces cafétérias américaines que la population entre en premier en contact avec le four à micro-ondes. Au niveau des brevets concernant le micro-ondes, le premier est donc déposé par l’ingénieur de Raytheon Percy Spencer le 8 octobre 1945<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=PERCY L. SPENCER.|titre=Method of treating foodstuffs|passage=|lieu=|éditeur=|date=1945-10-08|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://patents.google.com/patent/US2495429A/en|consulté le=2020-05-15}}</ref>, année où il se rend compte que sa barre chocolatée a fondu au contact d’un magnétron en fonctionnement. Il concerne seulement le procédé de réchauffage par micro-ondes des aliments et non pas des plans ou des éléments clés de fabrication de l’appareil en lui-même. Dans son brevet, il estime à hauteur de 3GHz la fréquence nécessaire pour rendre l'appareil rentable autant économiquement que "culinairement". Son procédé montre également l'importance de faire bouger la nourriture pour qu'elle concentre le plus d'onde possible. Sa solution consiste en un va et vient en translation (bien différent de notre plateau tournant de nos jours). Le brevet de Spencer ne protège alors pas le Radarange dans son intégralité. Bien que cette licence fut rachetée dans les années suivantes, les entreprises suivantes ont souvent déposé un nouveau brevet, mettant en avant des fonctionnalités différentes, comme par exemple [[wikipedia:Litton_Industries|Litton]] et son micro-ondes résistant à la condition à vide (à savoir sans aliments pour absorber les ondes). Quant aux entreprises du reste du monde comme [[wikipedia:Sharp_Corporation|Sharp]], ils ont non seulement breveté de nouvelles fonctionnalités, comme le plateau tournant ou la reconception du magnétron, mais aussi, puisque Raytheon n’a pas étendu ses droits à l’international car ils n’ont déposé qu’un brevet américain, ils peuvent également développer cette technologie indépendamment de Raytheon. Enfin, à partir donc de 1966, la découverte de Percy Spencer tombe dans le domaine public (au bout de 20 ans) et les entreprises peuvent alors utiliser l’idée originale pour la développer. ==== Un deuxième échec commercial ==== En Janvier 1947<ref name=":1" />, le premier micro-ondes '''à usage public''' à été installé au Grand Central Terminal à New York, ressemblant plus à un distributeur de hot-dogs vendus après cuisson qu'à un réel four à micro-ondes. Quant au premier appareil '''domestique''', il est commercialisé en 1955 par l’entreprise américaine [[wikipedia:Tappan_(brand)|Tappan Stove]], après l'achat de la licence à la fameuse entreprise Raytheon en 1952. Son nom, le '''RL-1'''. Il est mis sur le marché pour un prix (11000 dollars actuels) et des dimensions déjà plus raisonnables ({{unité|68.58|cm}} x {{unité|60.96|cm}} x {{unité|68.58|cm}})<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Tappan Model RL-1 Microwave Oven|url=https://americanhistory.si.edu/collections/search/object/nmah_1088040|site=National Museum of American History|consulté le=2020-05-10}}</ref> que le Radarange. Pour la première fois, le marché ciblé était clairement les cuisines individuelles américaines. Cependant, pour la première année de production, l’entreprise produit seulement 34 unités. La production s’arrête en 1964, et l’entreprise n’aurait vendu que 1396 RL-1 en neuf ans.   C’est un '''échec commercial''', le prix n’est pas encore assez compétitif et les dimensions de l’appareil sont encore trop élevées. De plus, du fait des fonctions originelles du magnétron, la technologie utilisée devait échapper au grand public à l'époque, qui pouvait nourrir un sentiment de méfiance auprès de ce nouveau produit débarquant directement d'entreprises spécialisées dans le matériel militaire. Pourtant, cet appareil était présenté comme la cuisson électrique du futur, car plus rapide et sans forcément de gaz. A noter qu’il était aussi prévu pour une fixation murale, facilitant son potentiel accès dans de plus petites cuisines que celles d’un restaurant. Bien qu'il soit un nouvel échec, la diminution des dimensions du four à micro-ondes joua un rôle essentiel dans le succès de celui-ci, comme on le verra plus tard. Afin de parvenir à ce résultat, Tappan Stove eut l'idée d'un système de refroidissement plus performant et demandant moins d'espace que celui utilisé dans le Radarange<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=|prénom1=Colin|nom1=Hempstead|prénom2=William|nom2=Worthington|titre=Encyclopedia of 20th-Century Technology|passage=499|lieu=|éditeur=Routledge|date=2005-08-08|pages totales=|isbn=978-1-135-45551-4|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=2ZCNAgAAQBAJ&pg=PA499&lpg=PA499&dq=Tappan+Stove+RL-1&source=bl&ots=Hm0icfdmQL&sig=ACfU3U0UiIJ6TsrmdUztt3Q7-pZwPwUJwQ&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwj78IeZoJzpAhVpA2MBHaBDCOgQ6AEwGnoECAkQAQ#v=onepage&q=Tappan%20Stove%20RL-1&f=false|consulté le=2020-05-11}}</ref>. ==== Une difficile insertion dans le quotidien ==== Il semblerait aussi que cet appareil ait eu du mal à faire son entrée dans les cuisines des années 1950 et 60, vu qu’il s’agit en fait d’un appareil supplémentaire dans la cuisine car il ne permet pas de réaliser les choses que les autres pensionnaires de la cuisine (four à cuisson ou gazinière) sont capables de faire. En effet, le micro-ondes réchauffe alors que le duo four gazinière peut cuire, cuisiner, et réchauffer n’importe quoi (viande, légumes, desserts, liquide…) et cela pour un prix bien inférieur à celui d'un micro-ondes. Par exemple, on pouvait trouver à l’époque un four pour quatre fois moins cher que le RL-1. Les gens auraient alors du mal à distinguer les applications du four à micro-ondes et n’en voient alors pas l’utilité lorsqu’ils possèdent un four ou une simple gazinière. Le point faible du micro-ondes de l’époque est donc son '''manque de polyvalence''', pénalisant, surtout lorsqu’il est vendu à un tel prix. === Un intérêt porté à l'international === ==== Le début du succès ==== De l’autre côte du Pacifique, en 1961, la société japonaise [[wikipedia:Toshiba|Toshiba]] installe 2500 fours à micro-ondes dans les trains pour réchauffer le riz. Les trains étant le moyen de transport favori des japonais. L’Asie est la deuxième région du monde à s’intéresser aux micro-ondes et à leurs capacités à réchauffer les aliments. On verra plus tard que les asiatiques ont eu un rôle prépondérant dans la diffusion mondiale du four à micro-ondes. [[Fichier:1971rr4.jpg|vignette|Premier modèle de four à micro-ondes par la société Amana]] Les '''années 1960''' voient également l’émergence de concurrence pour Raytheon et Tappan Stove. En effet, d’autres entreprises essaient d’intégrer le marché de ses nouveaux fours. Pour rester dans le mouvement, Raytheon achète en 1965 la société [[wikipedia:Amana_Corporation|'''Amana''']] spécialisée dans la fabrication d’appareils ménagers et créent ensemble le premier modèle de micro-ondes connaissant un vrai succès auprès du grand public, il était au prix beaucoup plus raisonnable de '''495 dollars américains actuels'''<ref name=":4" />. La société Litton Industries crée ensuite une version plus petite et contenant un magnétron spécial qui est similaire à ceux qu’on connaît aujourd’hui. Cette version a, par exemple, permis de limiter grandement les "fuites" d'ondes avec son nouveau design. C’est aussi à la base une entreprise de la défense américaine, mais comme Raytheon, elle se diversifie dans de nombreux domaines et notamment dans les fours à micro-ondes. On rappelle que nous sommes après-guerre et que les entreprises d’armement doivent démultiplier leurs activités pour survivre. Litton a donné la forme actuelle des micro-ondes et a aussi permis que le four puisse résister à des conditions à vide, c’est-à-dire, sans que rien "n'absorbe" les ondes. Au final, c’est surtout auprès des restaurants que Litton va faire son chiffre d’affaires. Il y a également [[wikipedia:Sharp_Corporation|Sharp Corporation]], l'entreprise japonaise, toujours existante aujourd’hui, qui commercialise le premier four à micro-ondes avec plaque tournante, qui marque un tournant, sans mauvais jeu de mot, dans l'histoire du micro-ondes. C'est en effet encore une technologie utilisée aujourd'hui qui permet une homogénéité dans la cuisson ou dans le réchauffage des aliments et qui permet aux aliments de concentrer le plus d'ondes possibles afin d'optimiser le temps de cuisson. En clair, les technologies s'affinent et s'exportent, c'est bien '''le début du succès'''. ==== Japon et États-Unis : deux pays à la pointe de la technologie ==== Les deux pays précurseurs sont donc '''les États-Unis et le Japon'''. Pour les États-Unis, on peut expliquer cela par l’opulence d’entreprises travaillant dans le secteur militaire, à savoir le premier secteur où les micro-ondes ont été utilisées. De plus, c’est également la course à la découverte technologique dans ces années-là entre les deux blocs de la guerre froide, donc de nombreuses découvertes se font aux États-Unis à ce moment-là. Quant au Japon, c’est également un pays où les nouvelles technologies ont une grande importance (on le voit par exemple aujourd’hui avec la robotique, la 5G…). De plus, leurs méthodes de travail (notamment symbolisées par le [[wikipedia:Toyota_Production_System|Toyotisme]] que l’on peut dater au début des années 1960 et théorisées à travers le [[w:Kaizen|Kaizen]] encore utilisé aujourd’hui) permettent souvent de simplifier les productions donc de réduire leurs coûts, ce qui rend le Japon très compétitif dans le secteur des nouvelles technologies. De plus, les États-Unis et le Japon sont sûrement les deux pays développés qui ont pu faire le plus de recherches dans les nouvelles technologies (principalement militaires) durant la guerre car ces deux pays n’étaient pas occupés et n’étaient pas directement ou de manière frontalière touchés par le conflit (en opposition à la France, à l’Italie, ou au Royaume-Uni). L’autre pays qui s’est également bien développé technologiquement durant la guerre est évidemment '''l’Allemagne''', mais son démantèlement d’après-guerre et sa séparation en deux pays bien distincts a été fatale à son développement d'après conflit. Aux États-Unis, la forte progression de ces découvertes et des recherches qui y sont associées peut aussi être expliquée par la volonté du pays de se construire en tant que leader dans la recherche scientifique, notamment grâce à la création du [[w:National_Institute_of_Standards_and_Technology|National Institute of Standards and Technologies]]<ref>[https://uscode.house.gov/statviewer.htm?volume=31&page=1449 56ème Congrès des États-Unis],3 mars 1901, Création du National Bureau of Standards qui deviendra plus tard le National Institue of Standards and Technologies. </ref>, dont le but premier était de définir des normes communes aux États-Unis afin de faciliter la recherche. Dès 1901, date de la création de cet institut, les salaires du directeur et des scientifiques, inscrits dans la loi, nous permettent de voir à quel point les États-Unis investissaient dans la recherche scientifique puisque le salaire annuel du directeur était de 5000$ soit, grâce à un calculateur basé sur l'inflation<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Value of 1901 dollars today {{!}} Inflation Calculator|url=https://www.in2013dollars.com/us/inflation/1901|site=www.in2013dollars.com|consulté le=2020-05-08}}</ref>, près de 152 000$ en termes de dollars actuels. De plus, dès 1950<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Congrès Américain|titre=Public Law ch.486|url=https://uscode.house.gov/statviewer.htm?volume=64&page=371#|site=uscode.house.gov|date=22 juillet 1950|consulté le=2020-05-08}} </ref>, la tendance à investir dans la recherche s'accélère puisque le Congrès définit une liste de secteurs de recherches prioritaires dans laquelle on retrouve '''une allusion aux fréquences radio.''' Plusieurs points leurs sont accordés, ce qui a, sans aucun doute, été un accélérateur pour le développement du four à micro-ondes. Autre raison à '''l’absence des européens''', est le fait que nous nous situons historiquement après-guerre, l’Europe est en ruine donc en reconstruction, ce qui laisse probablement moins de place à des investissements dans les nouvelles technologies comme le micro-ondes. Par exemple en France, le secteur des télécommunications n’apparaît qu'à partir du 4^ème plan de reconstruction<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Planification en France|titre ouvrage=Wikipédia|date=2020-03-25|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Planification_en_France&oldid=168803481|consulté le=2020-05-15}}</ref>. == Miniaturisation ou début d'une croissance exponentielle == === Éléments de miniaturisation === [[Fichier:Tableau Avant-après 1980.png|vignette|Tableau de miniaturisation du four à micro-ondes avant 1980]] Lors du développement et de l’augmentation des ventes de micro-ondes dans les années 1980, les entreprises ont commencé la '''[[w:Miniaturisation|miniaturisation]] de leurs produits'''. En effet, étant plus petits, moins chers et tout aussi performants, la demande a augmenté. La miniaturisation a alors commencé par l’enlèvement de vis, boulon… du micro-ondes afin d’être plus léger et facile à transporter. Le micro-ondes a alors pris une place importante dans la cuisine des ménages. En étant plus compact, plus esthétique, les ventes ont grandement augmenté, comme nous le verrons par la suite. Il est nécessaire d’ajouter que la miniaturisation ne possède pas que des points positifs. En enlevant certains composants, la structure devient plus fragile et une obsolescence due à leur miniaturisation rentre en jeu sans que cette dernière soit recherchée en tant que stratégie commerciale par le concepteur. C'est ce qui rend difficile toute '''objectivation''' d'une telle stratégie, et donc l'éventuelle condamnation pénale de l'industriel<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Obsolescence programmée|titre ouvrage=Wikipédia|date=2020-05-13|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Obsolescence_programm%C3%A9e&oldid=170813026|consulté le=2020-05-15}}</ref>. === Années 1970, la décennie de l'explosion aux États-Unis et au Japon === ==== Début d'un véritable marché ==== Avec le rachat en 1965  de la société [[wikipedia:Amana_Corporation|Amana Refrigeration]], qui s’affaire autour de la réfrigération et du conditionnement de l’air, la même société Raytheon travaille à rendre cet appareil '''commercialisable''' et accessible pour tous. Il s’agit alors d’investir massivement dans la '''miniaturisation''' et notamment au niveau de la méthode de refroidissement, d’où le rachat cité précédemment de la société Amana. C’est donc en 1967 que Raytheon commercialise le premier four à taille raisonnable. Ce modèle est le premier qui fera véritablement son entrée dans les foyers, majoritairement américain à l’époque, il s’appelle le '''RR-6 Radarange 6'''. En 1972, Litton sort deux nouveaux fours pour moins de 400 dollars de l’époque (environ 2400$ actuellement) pour essayer de conquérir ce marché qu’on estime alors à '''750 millions de dollars (environ 4,6 Milliards de dollars actuels)'''. ==== La femme ménagère, cible des industriels ==== Le marché ciblé est évidemment le grand public, l’usage domestique, mais une cible est visée en particulier : '''la femme ménagère'''. En effet, sur les premières publicités retrouvées<ref>{{Lien web|langue=en|titre=6 vintage microwave ads show the evolution of nuking your food|url=https://www.metv.com/lists/6-vintage-microwave-ads-show-the-evolution-of-nuking-your-food|site=Me-TV Network|consulté le=2020-05-15}}</ref>, c’est toujours à la femme que le four va rendre service. A l’époque, la femme est plus souvent au foyer qu’elle ne l’est aujourd’hui, c’est très souvent elle qui prépare le repas à la maison, d’où le fait qu’elle soit ciblée par les entreprises. L'idée est que si la femme passe moins de temps en cuisine, car aidée par des appareils performants, elle peut faire d'avantage d'activités : le micro-ondes est donc présenté comme un '''"appareil libérateur"''' pour la femme. Les principaux arguments de vente sont la rapidité de l’appareil et l’innovation qu’il représente. La plupart des publicités listent les plats possibles au micro-ondes et leur temps de cuisson si on utilise l’appareil (comme les pommes de terre au four). ==== La hausse des ventes entraînent de nouvelles législations ==== C’est dans ces années 1970 que le four à micro-ondes va devenir moins cher qu’un four ou qu’une cuisinière. Cette dernière est toujours plus polyvalente mais elle va de plus en plus se voir accompagnée par le micro-ondes. Dans les foyers familiaux, le micro-ondes devient un '''appareil en complément''' plutôt qu’un appareil de substitution<ref>{{Article|prénom1=Paul|nom1=Millier|titre=Plutôt champion du profit que leader du marché|périodique=L'Expansion Management Review|volume=N° 118|numéro=3|date=2005|issn=1254-3179|issn2=2271-7749|doi=10.3917/emr.118.0054|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.3917/emr.118.0054|consulté le=2020-05-15|pages=54}}</ref>. En effet, bien qu'il existe quelques cas où le four à micro-ondes a remplacé le four traditionnel, le micro-ondes est plutôt le deuxième four de la maison, pour décongeler ou réchauffer. On s'aperçoit alors que cette période correspond aussi à une '''période "d'explosion" législatives'''. En effet, en 1968<ref>{{Lien web|langue=Anglais|titre=Radiation Control for Health and Safety Act|description=Public Law 1968 (90th US Congress). An Act to amend the Public Health Service Actto provide for the protection of the public health from radiation emissions from electronic products|url=https://uscode.house.gov/statviewer.htm?volume=82&page=1174|site=uscode.house.gov|date=18 octobre 1968|consulté le=2020-05-08}}</ref>, naît la première loi permettant de réguler l'utilisation des fours micro-ondes dans le domaine public. Cette loi a entraîné de nombreuses controverses<ref name=":0">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=|prénom1=United States|nom1=Congress|titre=Congressional Record: Proceedings and Debates of the ... Congress|passage=20152-20153|lieu=|éditeur=U.S. Government Printing Office|date=1968|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=NXHtiSJ9WcIC&lpg=PA20154&ots=A7uE1jBeRq&dq=microwave%20oven%20leak%20open%20door%20court&hl=fr&pg=PA20152#v=onepage&q=microwave%20oven%20leak%20open%20door%20court&f=false|consulté le=2020-05-08}}</ref> puisque avant elle, aucune vérification du danger des micro-ondes n'était nécessaire pour la mise sur le marché. De plus, aucune étude n'avait encore démontrée l'existence de lien entre la cataracte et l'exposition aux micro-ondes, et c'est la première fois dans un débat législatif qu'une personne se demande si un four à micro-ondes peut cuire un homme comme il cuit un morceau de viande. Cependant, une législation concernant les appareils utilisant des micro-ondes dans le domaine militaire limitait leur émission (porte fermée) à '''10 mW/cm².''' Dans un but purement publicitaire les industriels s'étaient fixés la même limite (sans pour autant qu'aucune valeur législative ne soit prescrite). Il s'est cependant avéré lors d'un test au [[wikipedia:Walter_Reed_Army_Medical_Center|Walter Reed Army Medical Center]], utilisant des fours à micro-ondes, que sur 30 appareils, '''24''' ne respectaient pas cette limite et étaient même à plus de '''20mW/cm²''' (porte fermée). Un test effectué au [[wikipedia:Fort_George_G._Meade|Fort Georges G Meade]] a même montré qu'un appareil avait des fuites de '''200mW/cm²''' ! En cause, un défaut de design selon les autorités. De plus, à cette époque les publicitaires s'appuyaient sur le fait que leurs produits étaient approuvés par la [[wikipedia:Federal_Communications_Commission|Federal Communications Commission]] et la [[wikipedia:NSF_International|National Sanitation Fundation]] pour affirmer que leurs produits étaient sûrs. Cependant, ces mêmes laboratoires affirment qu'ils ne pratiquaient aucun test de santé publique et qu'il ne pouvaient donc pas garantir la sécurité des consommateurs. Bien que cette nouvelle législation s'applique à l'ensemble des appareils électroniques émettant des ondes, elle est tout de même clairement accès vers le micro-ondes comme nous l'avons vu dans les débats parlementaires. Cependant, cette loi donne le pouvoir à la '''[[wikipedia:Food_and_Drug_Administration|Federal Food and Drug Administration]] (FDA)''' de contrôler, surveiller et tester l'utilisation de ces fours micro-ondes mais aussi de rendre impossible la vente de micro-ondes sur le territoire américain à toute entreprise dont le produit n'a pas été approuvé par la FDA. Toutefois, le fonctionnement de la FDA est relativement étrange, et critiquable, puisque c'est aux entreprises d'envoyer des documents sur les tests réalisés sur leurs produits à la FDA, et cette dernière doit donner une réponse sous 180 jours. De plus, bien que la FDA ait autorité quant à la mise sur le marché, elle n'a cependant pas autorité à retirer un produit déjà existant. C'est ainsi que, bien que la FDA ait autorité sur la mise sur le marché depuis 1968 comme dit précédemment, il faudra attendre 1977<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Food and Drug Administration|titre=Procedures for Field Testing Microwave Ovens {{!}} FDA|url=https://www.fda.gov/media/74740/|site=www.fda.gov|date=août 1977|consulté le=2020-05-08}}</ref> pour avoir un véritable dossier de procédure de tests pour les fours micro-ondes. Avant cette date, les seules informations disponibles, autant pour les industriels que pour les consommateurs, sont une '''liste d'incidents'''<ref>(en) Food and Drug Administration: [https://www.fda.gov/media/75184/download Notice to Industry: Information Requirements for Cookbooks and User and Service Manuals] datant du 20 janvier 1975 (consulté le 08/05/20). Réactualisée au fil du temps.</ref> à cause de mauvaises utilisations. Cette liste a pour objectif de définir au mieux la notice d'utilisation des appareils. Des recommandations de la FDA ont été faites mais aucune obligation légale n'a été décrétée. Parallèlement, au Japon, la première occurrence du four à micro-ondes dans la législation japonaise date d'entre 1962<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Cabinet of Japan|titre=Japanese Law Translation - [Law text] - Order for Enforcement of the Household Goods Quality Labeling Act|url=http://www.japaneselawtranslation.go.jp/law/detail/?id=2812&vm=04&re=02&new=1|site=www.japaneselawtranslation.go.jp|date=1962|consulté le=2020-05-08}}</ref> et 1974<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Cabinet of Japan|titre=Japanese Law Translation - [Law text] - Order for Enforcement of the Act on the Regulation of Manufacture and Evaluation of Chemical Substances|url=http://www.japaneselawtranslation.go.jp/law/detail/?id=3455&vm=02&re=02|site=www.japaneselawtranslation.go.jp|date=1974|consulté le=2020-05-08}}</ref> (cet écart s'explique malheureusement par le fait que le système d'archive législatif japonais quant aux ordonnances n'existe qu'en version japonaise en deçà des années 2000). En 1962 paraît le Household Goods Quality Labelling Act<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Cabinet of Japan|titre=日本法令外国語訳データベースシステム - [法令本文表示] - 家庭用品品質表示法|url=http://www.japaneselawtranslation.go.jp/law/detail/?id=2217&vm=&re=|site=www.japaneselawtranslation.go.jp|date=1962|consulté le=2020-05-08}}</ref> qui fixe un ensemble de critères, notices et informations à fournir aux consommateurs avant l'achat de certains objets ménagers ou de la vie courante. En 1964, cette liste est complétée par l'ajout d'appareils électriques dont potentiellement celui du four micro-ondes (la date d'ajout du four micro-onde n'est pas fournie mais la date d'ajout de la catégorie d'appareil est de 1964). En 1974 paraît une ordonnance japonaise visant à restreindre l'usage des '''polychlorobiphényle''' dans les appareils tels que les fours à micro-ondes dans lequel ce composé controversé était utilisé comme isolant électrique presque ininflammable<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Polychlorobiphényle|titre ouvrage=Wikipédia|date=2019-12-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Polychlorobiph%C3%A9nyle&oldid=165519181|consulté le=2020-05-08}}</ref>. Là encore le fait que l’appareil soit cité dans des textes législatifs nous apprend que celui-ci disposait déjà d'une place dans le marché japonais. En effet on ne fait pas une loi de santé publique pour des appareils domestiques utilisés par seulement quelques personnes. De plus, après la seconde guerre mondiale, le Japon étant un état capitulant, il a été mis sous occupation américaine. Le droit japonais devant alors se moderniser, il s’inspire fortement du droit américain. Mais aussi, avec le début de la guerre de Corée, les États-Unis devaient se faire des alliés dans le secteur, et le Japon était le meilleur candidat, reconnaissant pour la gestion d'après Guerre, il est donc normal que leurs histoires soient communes ! Cette recrudescence des sociétés travaillant et développant des nouveaux procédés et fonctionnements pour le four à micro-ondes font qu’en l’espace de 5 ans (de 1970 à 1975), '''les ventes de micro-ondes passent de 40 000 unités à environ 1 million'''. En 1975, les ventes de fours à micro-ondes dépassent celles des fours à gaz aux États-Unis. A la fin des années 1970, approximativement 20% des ménages possèdent un four à micro-ondes alors qu’on était à peu près à 1% en 1971. Au début des années 1980, 20 millions de micro-ondes sont utilisés dans les foyers du monde entier, seulement chez les particuliers, donc en ne comptant pas ceux utilisés dans les lieux de travail ou de communauté. Cette augmentation fulgurante du nombre de micro-ondes dans les foyers américains a entraîné une hausse du nombre de lois et de régulations qui lui sont associées. C'est ainsi que le début des années 1980 marque l'essor des procédures de tests, des normes et de toutes les régulations associées aux fours micro-ondes et dont la plupart sont encore valables aujourd'hui. Par exemple, en 1980<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Food and Drug Administration|titre=Open Door Operation of Microwave Ovens as a Result of Oven Miswiring (PDF Only) {{!}} FDA|url=https://www.fda.gov/media/73665/|site=www.fda.gov|date=1980|consulté le=2020-05-08}}</ref> une lettre adressée par la FDA à l'ensemble des industriels produisant des fours micro-ondes explique qu'il y'a eu trois incidents concernant des micro-ondes qui fonctionnaient alors même que la porte du four était ouverte, entraînant une forte exposition aux ondes aux utilisateurs. La lettre prend cependant le parti des industriels puisque dès la seconde phrase il est écrit que ces incidents ont entraîné des pertes économiques à cause de l'important programme de rappel de produit et de campagnes massives de tests. De plus il est indiqué que de nombreux travailleurs auraient été aussi exposés à ces ondes. Enfin, la lettre explique que le problème vient d'une mauvaise écriture du programme du circuit intégré du four micro-ondes, ce qui automatiquement incrimine les industriels. Néanmoins, nous n'avons trouvé aucune occurrence de décision de justice concernant ces incidents. Là encore, la FDA n'ayant pas l'autorité pour retirer des produits du marché, a seulement pu conseiller les industriels quant aux nouvelles réglementations à mettre en place. Un an et demi plus tard, la réglementation fédérale<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Food and Drug Administration|titre=Letter to All Manufacturers and Importers of Microwave Ovens: Retention of Records Required by 21 CFR 1002 {{!}} FDA|url=https://www.fda.gov/media/76025|site=www.fda.gov|date=1981|consulté le=2020-05-08}}</ref> concernant les fours micro-ondes a évolué et encore quelques mois plus tard la FDA donne, enfin, une procédure de test des micro-ondes par les laboratoires<ref>{{Lien web|langue=en|nom1=Health|prénom1=Center for Devices and Radiological|titre=Procedures for Laboratory Testing of Microwave Ovens|url=https://www.fda.gov/regulatory-information/search-fda-guidance-documents/procedures-laboratory-testing-microwave-ovens|site=U.S. Food and Drug Administration|date=Octobre 1981|consulté le=2020-05-08}}</ref>. Cela permet de standardiser les dossiers de tests de nouveaux produits présentés et ainsi d'avoir une meilleure vision sur les critères qui sont essentiels pour commercialiser un four micro-ondes tout en garantissant '''la santé publique'''. === Années 1980 et 90, confirmation du phénomène === Dans les années 1980, l’arrivée sur le marché des fours à micro-ondes japonais fait baisser le prix des américains, rendant l’appareil de plus en plus accessible à tous. Les japonais sont en fait arrivés à reconcevoir le magnétron pour que son coût de production soit sensiblement diminué. Ainsi, ils arrivent à mettre en vente '''des micro-ondes low-cost''' qui garantit l’explosion rapide des ventes. C’est d’ailleurs ces mêmes japonais qui dans cette période-là ont le plus fort taux d’équipement dans le monde, avec 26% en 1978.[[File:Consommation de popcorn à passer au micro-ondes.jpg|thumb]] Aux États-Unis,  le '''marché des produits "dérivés"''' connaît quant à lui une explosion. Par exemple, une entreprise lance sa gamme de pop-corn réalisable au micro-ondes aux États-Unis au début des années 1980. 15 ans plus tard donc en 1995, 65% du pop-corn mangé par les américains (ce qui représente des dizaines de millions de kg par an) sont « cuits » au micro-ondes. Les années 1980 marquent une grande évolution dans le système de logement aux États-Unis puisqu'en 1974<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=Section 8 (housing)|titre ouvrage=Wikipedia|date=2020-03-21|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Section_8_(housing)&oldid=946663692|consulté le=2020-05-08}}</ref> la création de la Section 8 du Housing Act de 1937<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=Housing Act of 1937|titre ouvrage=Wikipedia|date=2020-03-29|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Housing_Act_of_1937&oldid=947992064|consulté le=2020-05-09}}</ref> permet aux Américains de ne pas dépenser plus de 30% de leur revenu pour payer leur loyer, le reste étant à la charge de l'État. Au fur et à mesure, afin d'augmenter le niveau de vie et de confort de la population, de nombreux biens commencent à devenir nécessaires pour que le logement soit autorisé à bénéficier de cette aide d'État. Dans cette liste nous retrouvons entre autres en 1995<ref>{{Lien web|langue=en|titre=24 CFR § 982.401 - Housing quality standards (HQS).|url=https://www.law.cornell.edu/cfr/text/24/982.401|site=LII / Legal Information Institute|date=1995|consulté le=2020-05-08}}</ref> '''l'ajout du four à micro-ondes comme un équipement indispensable'''. Cet ajout montre que le four à micro-ondes occupe une grande place dans la société américaine. En 1989 selon une étude du Campbell Microwave Institute<ref>{{Lien web|titre=Pittsburgh Post-Gazette - Google News Archive Search|url=https://news.google.com/newspapers?nid=1129&dat=19900307&id=x65RAAAAIBAJ&sjid=Y24DAAAAIBAJ&pg=4118,1862379&hl=fr.|site=news.google.com|consulté le=2020-05-10}}</ref>, '''25% des dîners américains''' se préparent avec un four à micro-ondes. Dans ces années-là les principaux utilisateurs sont les travailleurs et paradoxalement les anciens. Ces derniers utiliseraient alors à l’époque 52% plus de fois la cuisson au micro-ondes que les autres générations. C’est d’ailleurs paradoxal pour un appareil qui est censé faire gagner du temps. En effet, les retraités ont plus de temps pour manger à midi que les actifs… C'est paradoxal aussi vu qu'aujourd’hui en France, les personnes plus âgées sont toujours plus réfractaires que le reste de la population aux fours micro-ondes. En 1993, '''80% des ménages américains''' possèdent un four à micro-ondes et plus de 75% des lieux de travail en sont aussi dotés. En clair, avec un graphique du New York Times, on remarque une croissance exponentielle de 1975 à 1990, puis une douce augmentation de cette date à nos jours, qui représente l’époque de la [[Recherche:Pastech/241-3 micro-ondes#Miniaturisation ou début d'une croissance exponentielle|3^ème partie]]. === Mondialisation de l’appareil === L’Europe commence à s’y mettre également au cours de ces années-là, notamment la Grande-Bretagne et l’Allemagne de l’Ouest, chez qui les ventes sont en fortes croissances, respectivement 150 000 et 80 000 unités vendues. Ce qu’on observe est que ce sont très majoritairement '''les pays développés''' de l’époque qui utilisent le micro-ondes : Amérique du Nord, Asie de l’Est (principalement Japon) et Europe Occidentale. Il est également important de noter que la Russie Communiste a '''interdit l’usage des micro-ondes de 1976 à 1990''' à cause de leurs prétendus effets néfastes sur les aliments et leurs vitamines. Il est aussi compréhensible qu'en pleine guerre froide l'URSS refuse l'entrée d'une technologie américaine sur son territoire. Cela peut expliquer aussi le fait que ce soit principalement les pays occidentaux (influencés par les États-Unis et non pas par la Russie) qui utilisent le plus ces fours à l'empreinte américaine. Concernant les régions en développement, l’adoption se fait beaucoup plus doucement. En effet, les ménages de ces régions-là disposent rarement d’un revenu suffisant, et lorsqu’ils l’ont, vont préférer un appareil plus utile pour eux, comme un réfrigérateur ou un four polyvalent. On a donc un fort décalage du taux d’équipement dans le temps selon les régions du monde. Par exemple, la Russie et l’Afrique du Sud (un des pays les plus développés d’Afrique) atteint un taux de 40% seulement en 2004, l’Inde serait à moins de 5% en 2008, ou encore le Vietnam qui culminerait à 16% en 2008. === Le retard français === Du côté français, c’est très timide dans ces années d'explosion, on peine à obtenir les 18 000 appareils achetés. Une archive du Monde<ref>AUJAME, JANY. « Le four à micro-ondes ». Le Monde, 15 janvier 1981. <nowiki>https://nouveau-europresse-com.docelec.insa-lyon.fr/Link/INSAT_3/news·19810115·LM·2718172</nowiki></ref> explique ce retard par la difficulté des français à '''modifier leurs habitudes culinaires'''. Il est vrai que la France est tout de même le pays de la bonne '''gastronomie''', '''traditionnelle''', c’est alors compréhensible que l’on soit réfractaires à cet appareil qui envoie des micro-ondes dans les aliments et qui réchauffe ou cuit ces derniers en un temps record, sans les laisser mijoter avec des petits oignons. De plus, les français sont encore assez '''méfiants''' de ce nouvel appareil. En effet, on nous montre sur une vidéo du salon des arts ménagers de 1981<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Ina.fr|prénom1=Institut National de l’Audiovisuel-|titre=L'espace des micros-ondes au salon des arts ménagers|url=http://www.ina.fr/video/I18065232|site=Ina.fr|consulté le=2020-05-15}}</ref> ce que serait la cuisine du futur, avec un micro-ondes. Ce dernier est associé tout le long de la vidéo à des bruits ressemblant à ceux de robots extra-terrestres, comme s’il s’agissait d’une technologie vraiment étrange, ou tout au moins qui n’inspire pas vraiment la confiance des potentiels utilisateurs. [[Fichier:Moulinex logo de.gif|gauche|vignette|Logo de la marque française d'électroménager Moulinex]] C’est seulement en 1979 que la '''marque française [[w:Moulinex|Moulinex]]''' lance son premier four à micro-ondes. Cela explique sans doute aussi le « retard » de la France dans le développement de ce four. On peut également relever les prix, tout de même hauts comparés à ceux que l’on peut observer aujourd’hui. En effet, en 1981, le prix moyen d’un micro-ondes dans les magasins français est entre 3000 et 3500 F, soit autour de 500€. Au final, c’est surtout cher pour un appareil supplémentaire et non pas de substitution. En effet, on voit dans la même vidéo que la cuisine du futur est composée d’un four conventionnel et d’un four à micro-ondes. Moulinex, la marque française, arrive tout de même à sortir un appareil à 2000F (300€). Cette dernière fait d'ailleurs partie des principaux fabricants avec [[w:Bosch_(entreprise)|Bosch]], [[w:Brandt_(entreprise)|Brandt]], [[w:De_Dietrich|De Dietrich]], [[w:Kenwood_(entreprise)|Kenwood]], [[w:Neff_(entreprise)|Neff]], [[w:Philips|Philips]], [[w:Scholtès|Scholtès]], [[w:Thermor|Thermor]], [[w:Toshiba|Toshiba]]. On retrouve la majorité de ces enseignes encore aujourd’hui. Ce sont rarement des marques spécialistes, plutôt des fabricants d’électroménager général. Comme aujourd’hui, les prix sont encore très variables, on a dit 2000F pour Moulinex et jusqu’à 7000F (plus de 1000€) pour Neff. De plus, '''le marché des produits surgelés''' ou au moins préparés n’est pas du tout le même qu’aujourd’hui. Dans les années 1960, la France produisait seulement 30 000 tonnes de produits surgelés, ce qui correspond à moins de 1kg par habitant par an. Cependant, la part des plats préparés dans les achats alimentaires des ménages ne dépassait pas les 1% (elle est 5 fois supérieure aujourd’hui). Par conséquent, les produits principalement utilisés au micro-ondes n’étaient pas du tout présents dans les foyers français. Néanmoins, depuis 1960, la '''consommation de plats préparés''' augmente en moyenne de 4.4% par an, ce qui représente tout de même une forte augmentation (en partie responsable de la croissance des ventes de micro-ondes dans les années 1980 et 90). Une archive du [[w:Le_Monde|Monde]] indiquait déjà en 1981 que le développement de ce type de four serait lié avec le développement des produits dérivés, à savoir les produits surgelés et les appareils de congélation. Si on s’intéresse à la courbe du taux d’équipement, on peut remarquer que la pente forte de croissance s’est faite au début des années 1990. En effet, le taux d’équipement a doublé entre 1990 et 1994. En fait, l’explosion est à peu près la même que celle des États-Unis au niveau de la croissance, mais avec '''15 ans de retard'''. Du point de vue législatif, c'est également le même constat. Face à cette hausse, la France a pris des mesures de régulations pour réglementer le marché. C'est ainsi qu'en 1992<ref>{{Ouvrage|langue=|auteur1=Gouvernement Français|titre=Arrêté du 25 juin 1992 portant mise en application obligatoire de normes|passage=|lieu=|éditeur=|date=1992|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://www.legifrance.gouv.fr/affichTexte.do?cidTexte=JORFTEXT000000540228&categorieLien=id|consulté le=2020-05-09}}</ref> l'état met en place des normes obligatoires même si celles-ci n'ont pas été directement conçues pour les fours micro-ondes. Il faudra attendre 1993<ref>Commission de la sécurité des consommateurs: [https://www.economie.gouv.fr/files/files/directions_services/cnc/Avis_CSC/1993_avis_four_microonde.pdf Avis relatif aux incendies de fours micro-ondes] , 1993 (consultée le 08/05/2020) </ref> pour que l'Association Française de Normalisation ([[w:Association_française_de_normalisation|AFNOR]]) émette un avis relatif aux incendies de fours micro-ondes à cause de mauvaises utilisations par les consommateurs et publie un rapport de multiples incidents. Mais ce n'est qu'en 1997<ref>{{Lien web|titre=NF EN 61270-1 - Février 1997|url=https://www.boutique.afnor.org/norme/nf-en-61270-1/condensateurs-pour-les-fours-a-micro-ondes-partie-1-generalites/article/628873/fa037462|site=www.boutique.afnor.org|consulté le=2020-05-09}}</ref> pour que la première [[w:Norme|norme]] française spécifique aux micro-ondes soit rédigée, puis s'ensuit ensuite une multitude de révisions et d'homologation de nouvelles réglementations. Le four à micro-ondes a donc fini tout de même par gagner les populations françaises et comme de nombreux autres appareils électroménagers, il se répand très vite en commençant par les ménages aisés puis finit par devenir un '''équipement standard'''. De nouvelles habitudes alimentaires voient alors le jour. Le '''mode de vie urbain''' et l’exigence croissante de rapidité de la société moderne ont restreint le temps accordé par les Français à l’achat et à la préparation des repas. Ils aspirent à utiliser davantage leur temps pour les loisirs et recherchent donc praticité et gain de temps concernant leurs prises alimentaires, qu’ils trouvent notamment dans la consommation d’'''aliments services''' (plats préparés, sandwichs, restauration et livraison à domicile…). On peut en effet noter que le micro-ondes dans un ménage s’accompagne également d’un congélateur, puisqu'un des principes fondamentaux du micro-ondes est la '''décongélation''' d’aliments et de plats tout prêts<ref>INSEE, 2008, '''''Le repas depuis 45 ans : moins de produits frais, plus de plats préparés''''', Insee Première N° 1208 - septembre 2008 Le tout dans une présentation Power Point https://agriculture.gouv.fr/telecharger/84041?token=0a5fdff2be10073b079358e3354be02d </ref>. Le net affaiblissement de la '''transmission intergénérationnelle''' du savoir-faire culinaire a également contribué à renforcer cette tendance des plats tout prêts à réchauffer au micro onde et il peut être une source d'explication de ce retard pris par les français. Comme on le cite plus haut, les français sont très attachés à leur gastronomie qui fait partie de notre culture. Les anciens avaient plaisir à transmettre ce savoir qui se perd peu à peu dans les familles. Ceci peut donc également expliquer pourquoi les personnes âgées sont plus réticentes face à l'utilisation de ce four. L'évolution des pratiques culinaires et l'utilisation croissante du four à micro-ondes dans les ménages s'expliquent également par l'évolution de la place de la femme dans nos sociétés durant la fin du 20^ème siècle.<br /> === Le micro-ondes et la place de la femme === Le rapport entre le développement du four à micro-ondes et l’évolution de la femme au sein de nos sociétés entre les années 1960 et 90, peut être rapproché du paradoxe de l’œuf et de la poule. En effet, est-ce le désir d’'''émancipation des femmes''' qui a contribué au succès et au développement du micro-ondes, ou est-ce l’arrivée du micro-ondes dans les ménages qui a permis entre autres à la femme de s’émanciper ? Difficile à dire. Pour être exact, il semblerait qu’aucun de ces deux phénomènes n’ait été la conséquence de l’autre, mais plutôt que leurs trajectoires se soient mutuellement impactées l’une l’autre.[[Fichier:RL-1 Tappan Stove.jpg|vignette|Modèle RL-1 Tappan Stove<ref>{{Ouvrage|langue=|auteur1=|nom1=Ethan|titre=Sans titre|passage=|lieu=sur Flickr|éditeur=|date=2011-05-24|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://www.flickr.com/photos/42353480@N02/5757760150/|consulté le=2020-05-10|site=}}</ref>|alt=]]La 2^ème moitié du XXème siècle voit la place de la femme totalement changer (tout du moins en France). L’obtention du droit de vote en 1944 sonne le début d’une série de transformations qui finiront par rendre la femme des années 2000 bien différente de la « ménagère » des années 1950. Avec le réfrigérateur et la machine à laver déjà présents dans bon nombre de ménages, le micro-ondes s’inscrit alors dans la catégorie des objets électroménagers ayant accompagné l’émancipation de la femme à partir des années 1960. En effet à partir de cette date, le nombre de femmes ayant un emploi se met à croître considérablement, avec un '''désir d’indépendance''' et un '''souci d’égalité''' de plus en plus présents. En un sens, le micro-ondes rend plus compatible le travail salarié et les tâches domestiques grâce à un allègement du temps de préparation des repas.<ref>TAHON Marie-Blanche. Le micro-ondes, le privé et le domestique. Recherches sociologiques [en ligne]. 1999, Vol 30, n°3, pp 87-114. Disponible sur : <nowiki>https://sharepoint.uclouvain.be/sites/rsa/Articles/1999XXX-3_07.pdf</nowiki>  (consulté le 24.03.2020). ISSN 0771677X. </ref> Le micro-ondes arrive ainsi juste à temps pour remplir le besoin croissant de gain de temps dans la cuisine, ce qui explique en partie son succès et sa position progressive en tant que paradigme. En plus d’être un gain de temps pour la « ménagère », le micro-ondes contribue à la déqualification du travail ménager : facile d’utilisation, n’importe qui peut s’en servir et la femme n’est plus la seule à pouvoir préparer à manger. Il permettra comme nous le verrons plus loin l’autonomie de chacun face à la préparation des repas, et la déstructuration progressive de ceux-ci. Grâce au micro-ondes, la femme est alors libérée de certaines obligations traditionnelles à l’égard des enfants, notamment celle d’être au foyer à leur retour de l’école puisque le micro-ondes (ainsi que le réfrigérateur) permet une plus grande autonomie des enfants<ref>{{Lien web|titre=Service d'authentification centralisée|url=https://login.insa-lyon.fr/cas/login?service=https%3a%2f%2flogin.docelec.insa-lyon.fr%2flogin%3fqurl%3dezp.2aHR0cHM6Ly93d3cuY2Fpcm4uaW5mby9jb25zb21tYXRpb24tZXQtbW9kZXMtZGUtdmllLWVuLWZyYW5jZS0tOTc4MjcwNzE1NjY1NS1wYWdlLTQ1Lmh0bQ--|site=login.insa-lyon.fr|consulté le=2020-05-14}}</ref>. Pendant cette période, ce n’est pas seulement la condition féminine qui évolue, mais aussi et surtout la vision que la société a de la femme. Quand en 1950 l’archétype de la femme est celui d’une mère et d’une épouse maniant les arts domestiques à merveille, ce modèle est peu à peu remplacé par celui de la femme indépendante sachant '''concilier vie familiale et professionnelle'''. Ainsi petit à petit, les femmes ont non seulement moins de temps pour préparer les repas, mais ont surtout moins besoin de la valorisation sociale liée à ce rôle. De ce fait, même si le micro-ondes peut être considéré comme « dévalorisant l’art de la cuisine » cet aspect n’est en rien un frein à son utilisation croissante au sein des ménages. <br /> === Les premiers débats === Dans la période des '''[[w:Trente_Glorieuses|Trente Glorieuses]]''', les cuisines évoluent et l’électroménager s’impose doucement. Dans les années 1960, la cocotte-minute ou la poêle antiadhésive font leur apparition. La décennie suivante sera marquée par l’arrivée du lave-vaisselle, de la cafetière électrique… C’est dans ce contexte historique que le four à micro-ondes s’impose en France, quelques années plus tard. L’arrivée des fours à micro-ondes dans la vie quotidienne a évidemment apporté son '''lot de débats''' et de '''craintes'''. Un tel appareil est inconnu du grand public. Habitué à la cuisine au four traditionnel ou à la gazinière, ce nouveau four ne semble pas correspondre aux cuisines de l’époque. Ce changement perturbe les habitudes : le public appréhende l’inconnu, notamment l’utilisation des ondes. Cela peut expliquer, entre autres, son arrivée timide dans les foyers. ==== Les premières normes ==== Le sujet qui suscite le plus de controverses à propos des fours à micro-ondes est, comme on l’entend dans son nom, la '''crainte des ondes'''. Il est vrai que nous sommes constamment traversés par des ondes électromagnétiques. Les téléphones portables, les bornes wifi, les antennes réseau : tous envoient et reçoivent des radiofréquences. Les micro-ondes de ces fours effraient par rapport au risque d’exposition directe sur le corps humain, mais également pour les '''conséquences sur la nourriture'''. Lors du fonctionnement du four, les micro-ondes sont émises dans toutes les directions. Afin d’éviter leur propagation hors de l’enceinte du four, un boîtier et une grille métallique sur la porte du four sont présents. Un four à micro-ondes fonctionne sur le principe d’une cage de Faraday : il renvoie les ondes qu’il reçoit. Le risque de fuite est cependant présent. Une vitre fissurée, mal entretenue, des joints qui se décollent : autant de raisons pour que les micro-ondes s’échappent du four en fonctionnement. C'est pourquoi, pour rassurer les ménages, la première des règles qui a été admise très rapidement autant par les utilisateurs que les industriels est que le four ne doit pas pouvoir fonctionner si la porte du four n'est pas fermée. En effet, on ne doit pas pouvoir faire fonctionner le four si la porte est ouverte afin de limiter l'exposition du corps humains aux ondes. Cependant, en 2000<ref>{{Lien web|titre=JORF n°266 du 17 novembre 2000 - Version initiale - Légifrance|url=https://beta.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000000220634|site=beta.legifrance.gouv.fr|consulté le=2020-05-09}}</ref> le [[w:Conseil_d'État_(France)|Conseil D'État]] a quand même dû légiférer et interdire la publication d'un livre expliquant que l'on pouvait soulager ses douleurs d’arthrite (entre autre) en mettant la partie douloureuse de son corps dans son micro-onde (à cette époque certains modèles disposaient d'une sécurité mécanique désactivable relativement facilement). Mais dès 1968<ref name=":0" /> les sénateurs américains remontaient des problèmes liés aux fuites des micro-ondes avec des cas où les fuites représentaient plus de 200 fois la norme (mais qui était réservé aux appareils radio militaire donc n'entrant pas dans le champs d'application des fours micro-ondes). C'est donc très vite que les fuites ont été réglementées pour être limitées à une valeur de '''10mW/cm²''' aux États-Unis en 1968. En France, les micro-ondes sont très vite soumis aux exigences de tout appareils émettant des ondes quant à la limite d'exposition. Celle-ci à été ensuite fixée à '''5mW/cm²''' par [[w:OMS|l'OMS]]<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=OMS (WHO)|titre=WHO {{!}} Electromagnetic fields & public health: Microwave ovens|url=http://www.who.int/peh-emf/publications/facts/info_microwaves/en/|site=WHO|date=2005|consulté le=2020-05-09}}</ref> qui est une limite qui a été reprise par la plupart des pays dont la France. ==== La première exposition médiatique ==== Si chacun a son avis, les détracteurs de cet outil ménager sont assez nombreux et estiment que le four à micro-ondes est un '''réel danger''' pour l’homme. Les débats sur les risques liés à ce four émergent à cette époque, et perdurent encore aujourd’hui… Le four à micro-ondes connaît sa première grosse exposition médiatique en 1992. Un chercheur indépendant et un professeur de [[w:École_polytechnique_fédérale_de_Lausanne|l’EPFL]] mènent une étude scientifique sur les potentiels dangers de l’appareil. Cette dernière est publiée dans le journal Franz Weber<ref>https://www.ffw.ch/wp-content/uploads/2018/06/JFW_1992_19_FR.pdf Journal Franz WEBER, Le danger des micro-ondes : la preuve scientifique, jan/fev/mars 1992, pages 2 à 10, numéro 19</ref>, ''No 19, jan/fev/mars 1992''. [[w:Franz_Weber|Franz Weber]] est un humaniste, écologiste, et journaliste suisse. Son journal éponyme, très engagé, présente les actions de la fondation Franz Weber, protectrice des animaux et de l’environnement. Cette étude est catégorique : les '''fours à micro-ondes sont nocifs'''. Cette étude a été menée sur huit volontaires, soumis pendant deux mois à un régime alimentaire strict. Les repas étaient préparés selon différentes cuissons (cuisson à l’eau, plaque chauffante, aliments crus, four à micro-ondes…) puis analysés. Des analyses sanguines étaient également effectuées sur les volontaires. Selon cette étude, les résultats sont sans équivoques : la cuisson au four à micro-ondes influent sur les constantes sanguines et amène à un état précancéreux. La cuisson par micro-ondes modifie les substances nutritives des aliments, qui amènent à des modifications des systèmes humains. L’article conclut sur la nécessité de proscrire ces appareils et de mettre à la casse tous ceux en fonction, « il y va de la santé publique » disent-ils. Les résultats très alarmistes sont cependant à prendre avec du recul. Effectivement, le journal écologiste Franz Weber n’est probablement pas l’organisation la plus neutre. Réputé très engagé contre les nouvelles technologies, et militant dans les domaines de l’écologie, de tels résultats doivent être comparés à d’autres études. D'autant plus que celle-ci ne porte que sur huit volontaires, ceci n'étant pas très représentatif de la société actuelle. Au-delà des constats très pessimistes, c’est « grâce » à l’enquête judiciaire qui l’a suivie que cette étude a été connue du grand public. En effet, les fournisseurs et fabricants d’appareils électro-domestiques, furieux de cette enquête qu’ils jugeaient non fiable, ont poursuivi en justice le chercheur indépendant pour concurrence déloyale. La Suisse condamna le chercheur pour violation de la loi sur la concurrence déloyale, et il fut interdit de diffusion de ses thèses. Quelques années plus tard, en 1998, l’affaire atteint la [[w:Cour_européenne_des_droits_de_l'homme|Cour Européenne des Droits de l’Homme]]<ref><nowiki>https://www.letemps.ch/suisse/suisse-condamnee-strasbourg-censure-un-scientifique</nowiki> Sylvie ARSEVER. ''Le Temps''. La Suisse est condamnée à Strasbourg pour avoir censuré un scientifique. 26 août 1998. [en ligne].(consulté le 15/03/2020)</ref>. La Suisse est condamnée, à Strasbourg, pour atteinte à la liberté d’expression. L’étude du chercheur, même si sa thèse prônait un avis minoritaire, doit pouvoir être publiée. C’est la première grande exposition médiatique du four à micro-ondes. Dès sa miniaturisation et son entrée dans les ménages, il commence à créer des débats. <br /> == Un appareil omniprésent symptomatique de la société d'aujourd'hui == === Symbole de la société actuelle === Aujourd’hui le micro-ondes reflète bien la société à travers deux de ses désirs toujours plus présents : la '''liberté''' et la '''rapidité'''. Comme on l’a vu précédemment, le micro-ondes a laissé entrevoir aux ménages un '''gain de temps''' : plus de temps pour se consacrer aux loisirs, car moins de temps consacré à la préparation des repas. De plus, on remarque que le micro-ondes n’est pas un bien en déclin : de nouvelles fonctionnalités apparaissent pour compléter son utilisation. Le micro-ondes attire encore et il fait partie des acteurs de cette société de consommation. Société de consommation qui est aussi caractérisée de fainéante ou paresseuse. Les tâches considérées doivent toujours être exécutées plus rapidement, et les appareils doivent toujours remplir le plus de fonctionnalités, utiles ou non. Par exemple le four à micro-onde peut aujourd’hui décongeler, réchauffer mais aussi cuire tel un véritable four. Ainsi l’utilisateur peut observer un gain de temps, gain d’argent… Et c’est le but d’un très grand nombre de personnes, certains plus que d’autres par exemple les étudiants ou les familles nombreuses… À l’ère où le moindre chargement devient trop long et où chaque temps d’attente est considéré comme un temps perdu, le micro-ondes s’impose alors en tant qu’'''objet essentiel'''. Permettant de préparer des repas en un temps record, il correspond parfaitement à la volonté actuelle de gagner toujours plus de temps. De surcroît, le micro-ondes permet à chacun au sein d’un ménage de manger ce qu’il veut à l’heure qu’il souhaite, sans respect de l’heure des repas, ou de l’unicité de ceux-ci (chacun est libre de se préparer ce qu’il souhaite)<ref>{{Lien web|titre=Service d'authentification centralisée|url=https://login.insa-lyon.fr/cas/login?service=https%3a%2f%2flogin.docelec.insa-lyon.fr%2flogin%3fqurl%3dezp.2aHR0cHM6Ly93d3cuY2Fpcm4uaW5mby9sYS1zb2Npb2xvZ2llLXVyYmFpbmUtLTk3ODIxMzA4MTIxMTEtcGFnZS0xMDEuaHRt|site=login.insa-lyon.fr|consulté le=2020-05-14}}</ref>.  En offrant à tous cette liberté vis-à-vis des repas, le micro-ondes exprime ainsi l’individuation au sein de la famille. En effet, les repas principaux, ont été décrits depuis les fondateurs de la sociologie en France comme une véritable institution familiale, et un cadre essentiel de la socialisation. [[w:Paul-Henry_Chombart_de_Lauwe|Chombart de Lauwe]]<nowiki> donne même en 1956 la définition des ménages comme suit : « Le ménage [...] est le groupe dont les membres partagent la nourriture à la même table, et cette table peut mieux définir le groupe que le logement. ». Depuis le début des années 1980, les sociologues se questionnent alors sur l’impact de la « déstructuration des repas traditionnels » sur la socialisation au sein du ménage. Si du côté des États-Unis ce mode de vie semble avoir été plus facilement admis, il continue de faire débat en France où une importance particulière reste accordée aux repas.</nowiki><ref>{{Lien web|titre=Service d'authentification centralisée|url=https://login.insa-lyon.fr/cas/login?service=https%3a%2f%2flogin.docelec.insa-lyon.fr%2flogin%3fqurl%3dezp.2aHR0cHM6Ly93d3cuY2Fpcm4uaW5mby9jb25zb21tYXRpb24tZXQtbW9kZXMtZGUtdmllLWVuLWZyYW5jZS0tOTc4MjcwNzE1NjY1NS1wYWdlLTQ1Lmh0bQ--|site=login.insa-lyon.fr|consulté le=2020-05-14}}</ref> En s’inscrivant totalement dans l’évolution logique des consommations alimentaires et des modes de vie d’aujourd’hui, le micro-ondes affirme alors sa position de '''véritable paradigme'''. === Des impacts environnementaux === Cette logique moderne de consommation alimentaire n'est cependant pas du tout neutre d'un point de vue environnemental. Le gain en temps et en liberté permis par ces nouveaux appareils s'accompagnent d'une '''augmentation''' de la consommation d''''énergie''', de '''ressources''', de la '''production de CO₂''', des impacts environnementaux de nos cuisines. On peut penser que le four à micro-ondes est un appareil très efficace d'un point de vue énergétique, que pour des besoins équivalents, il consomme moins d'énergie que des appareils plus traditionnels. En réalité, cette efficacité énergétique du four à micro-ondes dépend de l'usage qu'on en fait, c'est-à-dire du type d’aliment ainsi que de la quantité que l’on veut réchauffer. Il existe peu d’études qui comparent de son efficacité en fonction des aliments. On trouve cependant plusieurs études, ainsi que des essais réalisés par des particuliers<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Estimation du rendement d'un four micro-ondes|url=https://www.econologie.com/forums/laboratoire-econologique/estimation-du-rendement-d-un-four-micro-ondes-t2365.html|site=Forums des énergies: chauffage, isolation, maison, inventions, technologies, renouvelables, solaire, bois, électricité, transports électriques, voitures plus propres...|consulté le=2020-05-07}}</ref>, comparant '''son efficacité''' à d’autres appareils pour faire chauffer ou bouillir de l’eau. Par exemple, dans une étude analysant l’efficacité énergétique dans la pratique quotidienne de la cuisine<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Claudia|nom1=Oberascher|prénom2=Rainer|nom2=Stamminger|prénom3=Christiane|nom3=Pakula|titre=Energy efficiency in daily food preparation|périodique=International Journal of Consumer Studies|volume=35|numéro=2|date=2011|issn=1470-6431|doi=10.1111/j.1470-6431.2010.00963.x|lire en ligne=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1470-6431.2010.00963.x|consulté le=2020-05-07|pages=201–211}}</ref>, les chercheurs ont comparé l’énergie consommée pour réchauffer différentes quantités d’eau avec plusieurs appareils : deux bouilloires électriques différentes, un four à micro-ondes et deux casseroles sur plaques électriques avec couvercles. L’efficacité du four à micro-ondes reste globalement constante en fonction la quantité à chauffer. Au contraire, pour les deux casseroles, l’efficacité augmente fortement avec l’augmentation de la quantité d'eau. On observe le même phénomène, bien que moins marqué, pour les bouilloires électriques. En comparant les résultats des 3 appareils, les chercheurs ont constaté que la bouilloire électrique est toujours la plus efficace. L'appareil consomme 1,5 fois moins d’énergie que le four à micro-ondes pour des quantités proches de celles d’une tasse (250 ml), et plus de 2 fois moins d’énergie pour 1L d'eau. En comparaison avec la casserole, le four à micro-ondes est plus efficace pour les quantités inférieures à 500ml et moins efficaces pour des quantités plus importantes. Dans certains contextes, pour réchauffer de petites quantités d’aliments, le four à micro-ondes semble donc posséder un intérêt énergétique, bien que peu important. Le seul moment où il serait réellement intéressant, d'un point de vue de la consommation d'énergie, d'utiliser un micro-onde, serait dans le cas de plats préparés, qui ne peuvent pas être réchauffés à la casserole. En effet, l'utilisation d'un four électrique traditionnel entraînerait une augmentation de la consommation. Le four à micro-ondes rend donc la consommation de plats préparés, plus simple, plus rapide. Cependant, cette consommation a également des effets sur l'usage d'autres appareils : les réfrigérateurs, les congélateurs...[[Fichier:Impact changement climatique du four à micro-ondes.png|vignette|333px|cas du four à micro-ondes]]Mesurer l’efficacité énergétique du four à micro-ondes est donc intéressant, mais ne permet pas de déterminer son impact réel sur la consommation globale d'énergie. En effet, lorsque l’on améliore l’efficacité énergétique d’un appareil, on observe parfois une augmentation de son utilisation, ou une '''augmentation de l’utilisation d’autres appareils'''. Pour comprendre l’impact réel d'un appareil, il est nécessaire de quantifier ce phénomène, appelé '''effet rebond'''. C'est l'objet d'une étude<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Biying|nom1=Yu|prénom2=Junyi|nom2=Zhang|prénom3=Akimasa|nom3=Fujiwara|titre=Evaluating the direct and indirect rebound effects in household energy consumption behavior: A case study of Beijing|périodique=Energy Policy|volume=57|date=2013-06-01|issn=0301-4215|doi=10.1016/j.enpol.2013.02.024|lire en ligne=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0301421513001092|consulté le=2020-05-07|pages=441–453}}</ref> réalisée en 2013 sur le cas particulier de Pékin. Les chercheurs ont d’abord analysé l’effet rebond direct, c’est-à-dire la sur-utilisation du micro-ondes en cas d’amélioration de son efficacité. L’effet calculé est proche de 100%, ainsi les bienfaits d’une amélioration technique augmentant le rendement de l’appareil seraient totalement compensés par son utilisation incessante. Si on prend en compte les effets indirects : l'utilisation excessive d’autres appareils, l’étude montre un effet rebond entre 500 et 700%. Cela signifie qu’une augmentation de l’efficacité énergétique du micro-onde, provoque une augmentation de la quantité totale d’énergie consommée 5 à 7 fois plus importante que ce qui est sauvegardé par l’amélioration technique. On observe une corrélation avec la sur-utilisation du réfrigérateur, mais aussi de la télévision, des ordinateurs et de la voiture. Selon les auteurs de l’étude, cet effet est probablement dû au fait que plus le rendement d’un micro-onde augmente, plus il est rapide d’utilisation, ce qui libère du temps pour les loisirs et les déplacements. L'étude tend à montrer que le micro-onde s'inscrit bien dans cette logique moderne de rapidité de consommation.[[Fichier:MIPS-superBOM électroménager.png|vignette|406px|l'ADEME utilise deux indicateurs dans son rapport : SuperBom qui correspond à la quantité de matière présente dans le produit fini, et MIPS qui correspond à la quantité totale de matière première nécessaire à sa fabrication.]]Enfin, la consommation d’énergie n’est pas le seul indicateur qui permet de déterminer les impacts d’un appareil sur l’environnement. Pour cela, on effectue une analyse en cycle de vie. L'idée est de quantifier, depuis l'extraction des matières premières jusqu'à la fin de vie de l'appareil, les différents impacts environnementaux qu'engendre la création de l'appareil. C'est ce qu'a fait [[w:Ademe|l'ADEME]] (Agence de l'environnement et de la maîtrise de l'énergie) sur un grand nombre d'équipements dans un rapport de 2017<ref>ADEME. J. Lhotellier, E. Less, E. Bossanne, S. Pesnel. 2018.Modélisation et évaluation ACV de produits de consommation et biens d’équipement–Rapport. 186pages. [https://www.ademe.fr/modelisation-evaluation-impacts-environnementaux-produits-consommation-biens-dequipement lien direct]</ref>. Il montre entre autre la contribution au changement climatique des différentes étapes de la vie du four à micro-ondes. On remarque que la phase d'utilisation de l'appareil ne correspond qu'à 20% de ses impacts. Une part plus importante (36%) provient des matières premières utilisées, ce qui montre l'importance de prendre en compte chaque étape de la vie de l'objet. Un indicateur permettant de prendre conscience de ce phénomène est le "sac à dos écologique". Il correspond à toutes les matières premières utilisées, depuis l'extraction jusqu'à la fin de vie de l’appareil. Cette quantité de matière est souvent 15 à 100 fois supérieure à la quantité de matière effectivement présente dans un produit fini. Dans le cas du four à micro-ondes, l'appareil pèse environ 13kg. Cependant, 2108 kg de matières premières ont été nécessaires pour le construire soit 162 fois plus. On retrouve ce type de résultat pour d'autres appareils de cuisine : pour un mini four électrique 86 fois la masse du produit en matières première ont été nécessaires pour le fabriquer et 73 fois la masse finale pour un four encastrable. Ainsi, malgré son faible poids, le four à micro-ondes nécessite pour être produit à peu près la même quantité de matière que des appareils bien plus massifs tels qu'un lave vaisselle ou un lave linge. Bien qu'il soit composé à plus de 50% d'acier, son sac à dos écologique contient 80% de cuivre. On y retrouve également une quantité non négligeable de charbon, utilisé principalement pour la production de l'acier. === Etat des lieux actuel === L'appareil est donc bien un symbole de notre société, que ce soit au niveau comportemental, environnemental, ou de la consommation. Mais qu'en est-il de sa consommation à ce jour ? On l'a dit précédemment, l'appareil ne connaît pas de révolution dans son fonctionnement, et la frénésie de la fin du siècle passée est terminée... Ne connaît-il alors pas un déclin ? ==== Le cas français ==== Aujourd’hui, '''plus de 89% des foyers''' sont équipés en France<ref>{{Lien web|titre=Équipement des ménages − Tableaux de l'économie française {{!}} Insee|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/3676680?sommaire=3696937&q=%C3%A9quipement+m%C3%A9nages+fours+%C3%A0%20micro-ondes.|site=www.insee.fr|consulté le=2020-05-10}}</ref> contre 20% en 1990. En France, on observe un nombre de ventes en '''hausse de 3.3%''', hausse au-dessus des autres appareils électroménagers liés à la cuisson. Le marché est encore croissant alors que la très grande majorité des ménages est équipée. Évidemment, l’accessibilité financière de ces appareils favorise grandement l’achat de ces derniers. En effet, on trouve aujourd’hui maintenant des '''appareils à 40€''', accessibles à tous. L'autre raison de la forte hausse du début des années 2000 peut cependant s'expliquer par de nombreuses lois promouvant le micro-ondes en France, par exemple en 2005<ref>{{Ouvrage|langue=|auteur1=Gouvernement Français|titre=Arrêté du 10 octobre 2005 portant approbation de diverses dispositions complétant et modifiant le règlement de sécurité contre les risques d'incendie et de panique dans les établissements recevant du public|passage=|lieu=|éditeur=|date=2005|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://www.legifrance.gouv.fr/affichTexte.do?cidTexte=JORFTEXT000000240955|consulté le=2020-05-09}}</ref> le four à micro-ondes est reconnu comme l'appareil de remise à température des plats à utiliser pour les établissements accueillant du public. Mais ce sont les années 2010 qui représentent l'apogée en terme législatif de la promotion du micro-ondes. En 2010<ref>{{Lien web|titre=Arrêté du 4 juin 2010 fixant les normes et la procédure de classement des résidences de tourisme - Légifrance|url=https://beta.legifrance.gouv.fr/loda/id/LEGIARTI000022374846/2010-07-01/#LEGIARTI000022374846|site=beta.legifrance.gouv.fr|consulté le=2020-05-09}}</ref> c'est l'entrée du micro-onde dans la classification des résidences de tourisme, en effet l'appareil devient obligatoire pour que la résidence de tourisme puisse accéder à la deuxième étoile. En 2013<ref>{{Lien web|titre=NF EN 60335-2-25 - Février 2013|url=https://www.boutique.afnor.org/norme/nf-en-60335-2-25/appareils-electrodomestiques-et-analogues-securite-partie-2-25-regles-particulieres-pour-les-fours-a-micro-ondes-y-compris-les-f/article/772148/fa168928|site=www.boutique.afnor.org|consulté le=2020-05-09}}</ref> une norme spécifique au micro-onde apparaît permettant de différencier les appareils électro-domestiques tels que les fours classiques des fours micro-ondes. Enfin, c'est en 2015<ref>{{Lien web|titre=Décret n° 2015-981 du 31 juillet 2015 fixant la liste des éléments de mobilier d'un logement meublé {{!}} Legifrance|url=https://www.legifrance.gouv.fr/affichTexte.do;jsessionid=C1685B29758F9B86E5C9F1F5BCAE8A0D.tplgfr41s_1?cidTexte=LEGITEXT000030972570&dateTexte=20150805&categorieLien=cid#LEGITEXT000030972570|site=www.legifrance.gouv.fr|consulté le=2020-05-09}}</ref> que la plus importante législation sur le micro-onde a été prise, puisque c'est dans ce décret que l'État fixe le micro-onde comme un bien nécessaire dans une location meublée (il reste tout de même substituable par un four classique). Au final, de nos jours le micro-ondes est un bien très présent dans notre société puisqu'en 2019<ref>{{Lien web|titre=Arrêté du 10 avril 2019 fixant les normes et la procédure de classement des résidences de tourisme - Version en vigueur au 09 mai 2020 - Légifrance|url=https://beta.legifrance.gouv.fr/loda/texte_lc/LEGITEXT000038367798/|site=beta.legifrance.gouv.fr|consulté le=2020-05-09}}</ref> le précédent arrêté fixant le classement des résidences de tourisme a été amendé de sorte à ce que les fours à micro-ondes deviennent nécessaires dès la première étoile. ==== Le cas des États-Unis ==== [[File:Évolution des ventes de micro-ondes aux USA.jpg|thumb]] Par ailleurs, aux États-Unis, c’est plus de '''90% des ménages''' qui sont équipés<ref>{{Lien web|langue=en|nom1=Ferdman|prénom1=Roberto A.|titre=The slow death of the microwave|url=https://qz.com/187743/the-slow-death-of-the-microwave/|site=Quartz|consulté le=2020-05-10}}</ref>. On peut alors imaginer que la hausse française va se poursuivre jusqu’à ce que le taux d’équipement atteigne un niveau maximal, symbolisé par celui des américains. C’est ce qu'il s’est passé aux États-Unis. Un sondage d’un institut américain montre en 2006 que seuls les voitures, les machines à laver, les séchoirs et les climatisations étaient plus essentiels pour les américains en termes de produits de consommation que le four à micro-ondes. 2006 est l’année du pic du chiffre d’affaires du four à micro-ondes aux États-Unis avec '''3.7 milliards de dollars'''. Depuis cette année 2006, on observe une baisse des ventes entre 2006 et 2010 suivie d’un plateau depuis. En 2014, les ventes avaient chuté de 40% comparées à 2004. Le plateau observé peut s’expliquer par les remplacements d’appareils. En effet, comme beaucoup d’appareils d’aujourd’hui, les appareils ne sont pas réparables par l’utilisateur qui va alors préférer remplacer, et par la même occasion acquérir un modèle plus innovant. Car oui, le micro-ondes propose aujourd’hui des nouvelles fonctionnalités qui peuvent séduire la clientèle : grill, fonction de nettoyage intégrée, ou encore adaptation de la puissance en fonction du plat et du poids de l’aliment (sans que l’utilisateur programme). Quant à la baisse entre 2006 et 2014, des sociologues américains l’expliquent qu’avec l’explosion des snackings et de la livraison à domicile<ref>BIANCHI Frédéric, {{Lien web|langue=fr|titre=Pourquoi les ventes de fours micro-ondes s’effondrent aux États-Unis|url=https://www.lsa-conso.fr/pourquoi-les-ventes-de-fours-micro-ondes-s-effondrent-aux-États-Unis,167951|site=lsa-conso.fr|consulté le=2020-05-10}}</ref> (peu coûteuse aux États-Unis où le salaire moyen d’un livreur est de 7 dollars de l’heure et représentant un tiers des repas pris par les américains), le nombre de repas pris à la maison a chuté, d’où la baisse d’utilisation du micro-ondes. Le gain de temps offert par le micro-ondes est surpassé par celui proposé par la livraison à domicile ou par le snacking : pas besoin de surveiller ou même de prendre une petite dizaine de minutes pour déballer un plat préparé ou surgelé et le mettre dans le micro-ondes. De plus, et pour reprendre l’exemple des popcorns, ces derniers comme beaucoup d’autres produits sont désormais disponibles à la vente déjà tout préparés. On a donc des usages du micro-ondes qui disparaissent, remplacés par des consommables déjà tout fait. L’article explique que ce phénomène n’apparaît pas en France (les ventes sont stables voire légèrement croissantes depuis 2013<ref>{{Lien web|titre=Planetoscope - Statistiques : Nombre de micro-ondes vendus en France|url=https://www.planetoscope.com/electromenager/984-nombre-de-micro-ondes-vendus-en-france.html|site=www.planetoscope.com|consulté le=2020-05-10}}</ref>) du fait d’une part que la livraison à domicile ne soit pas aussi économique qu’aux États-Unis et d'autre que le snacking n’est pas encore prépondérant face à la tradition culinaire française même s’il connait une recrudescence ces dernières années. Même chose au Canada où les ventes sont stables depuis une vingtaine d’années. [[File:Évolution des ventes de micro-ondes en France.jpg|thumb]] Autre raison de la baisse des ventes aux États-Unis est le fait que lentement, les américains s’intéressent de plus en plus à ce qu’il mange et à la mouvance de la '''cuisine « fraîche »'''. En effet, on observe dans le même temps que la chute de ventes de micro-ondes une évolution similaire au niveau de la vente des plats préparés congelés. Cela a atteint effectivement un pic en 2008 et depuis, les ventes stagnent voire baissent. A noter quand même que la chute n’est pas impressionnante mais qu’elle est tout de même un des vecteurs de la chute des ventes de micro-ondes, servant justement à décongeler ou réchauffer ces plats. On voit alors une nouvelle fois que les trajectoires des plats préparés et surgelés et des fours à micro-ondes sont étroitement liées. A l’inverse, les français passent environ 25% de moins de temps à faire à manger en 2010 (53 minutes) qu’en 1986 (71 minutes), et les ventes plats surgelés/préparés sont encore en hausse (+4% entre 2013 et 2018)  et la part des produits préparés dans les achats alimentaires des français est encore et toujours en augmentation<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Businesscoot|titre=Nos études de marché sectorielles {{!}} Businesscoot|url=https://www.businesscoot.com/fr/etudes|site=www.businesscoot.com|consulté le=2020-05-10}}</ref>. ==== Raisons de la stagnation ==== Enfin, on aperçoit aussi une prolifération de nouveaux appareils de cuisine : robots cuisiniers, cuiseur de riz, mini-four, friteuse, qui prennent de la place dans le plan de travail de la cuisine et qui renvoient parfois le micro-ondes dans un coin ou le remplacent complètement, surtout avec la mouvance du [[w:Do_it_yourself|DIY]] (Do It Yourself) expliquée précédemment. En clair, on remarque que l’appareil en lui-même est toujours aussi présent. En effet, le taux d’équipement est stable dans les pays développés, voire encore grandissant dans les autres régions. Cependant, il a passé le stade de la découverte pour devenir une évidence à laquelle tout le monde a globalement accès d’où l’essoufflement ou tout au moins l’adoucissement de la pente croissante des ventes (commençant par les États-Unis).   À l’échelle mondiale, le marché des micro-ondes représentait 11,4 milliards de dollars en 2018, avec une prévision de 16,2 milliards en 2026. Nous ne sommes donc pas sur un marché en recul. Alors que, comme on l’a dit précédemment, c’est assez paradoxal avec la durée de vie des appareils. En effet, le magnétron, opérant la fonction principale de réchauffage des aliments, est un composant à longue durée de vie (autour de 10 ans).  On peut penser que l’on doit cette prévision au fait que bon nombre de pays n’ont pas encore atteint le taux d’équipement dans États-Unis où plus largement des pays occidentaux. On l’a vu dans la grande partie précédente avec le taux de l’Inde, de l’Afrique du Sud ou encore de la Russie. De plus, selon un sondage, certes commandé par le fabricant de micro-ondes [[w:Panasonic|Panasonic]] mais qui a tout de même son intérêt, c’est que 41% des ménages utilisent leur four à micro-ondes chaque jour. Au final, le phénomène de ralentissement progressif des ventes du fours à micro-ondes est alors sans doute seulement aux États-Unis pour le moment, pays où tout a commencé. === Des débats toujours nombreux === 50 ans après son installation dans les ménages, le four à micro-ondes fait toujours l’objet de craintes concernant ses effets sur la santé des utilisateurs. Même si pour la majorité de la population, cet appareil est entré dans les cuisines et dans les habitudes, certains le voient encore nocif. Les débats modernes sont, étonnamment, assez semblables à ceux du début de l’ère des fours à micro-ondes. La question du danger des ondes, la destruction des nutriments dans les aliments, les effets sur la santé de ses utilisateurs… : autant de sujets déjà abordés en 1992, dans le journal de Franz Weber. Et pourtant, une trentaine d’années après, les mêmes questions perdurent<ref>https://www.lci.fr/sante/le-four-micro-ondes-est-il-oui-on-non-nefaste-pour-la-sante-2097313.html Charlotte ANGLADE. LCI. Le four micro-ondes est-il oui ou non néfaste pour la santé ? 10 septembre 2018 [en ligne]. (consulté le 10/04/2020)</ref>. Il faut premièrement noter un gros '''manque d’études scientifiques''' sur le sujet. La présidente de [[w:Centre_de_recherche_et_d'information_indépendantes_sur_les_rayonnements_électromagnétiques|CRIIREM]] (Centre de Recherche et d’Information Indépendant sur les Rayonnements Electro-Magnétiques) elle-même reproche à la communauté scientifique un manque de recherches, notamment sur l’alimentation. Aussi étonnant que cela puisse paraître, pour un objet que l’on pourrait considérer « du quotidien », la science n’a pas tranché. ==== Les risques liés à un mauvais usage ==== [[Fichier:Etiquetage-energetique.jpg|vignette|Étiquette énergétique]] La plupart des peurs qui ont ensuite émergé sont liées à des mauvaises utilisations du four micro-ondes, des explosions d'aliments après avoir été cuits, des brûlures importantes, de la fumée qui sortait de l'appareil après y avoir mis une casserole...C'est pourquoi la plupart des règles que les fours micro-ondes doivent respecter, outre le fait qu'ils ne doivent pas pouvoir s'activer quand la porte est ouverte et la limitation des fuites, sont sur leur notice d'utilisation. En effet, la plupart des accidents domestiques et des dangers sont issus non pas du four lui-même mais de l'utilisation qui en est faite. Au Japon, de nombreuses règles d'étiquetage ont été fixées<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=Cabinet of Japan|titre=日本法令外国語訳データベースシステム|url=http://www.japaneselawtranslation.go.jp/common/data/notice/062905_checked_2018-08-20-11-41-20_m.html|site=www.japaneselawtranslation.go.jp|date=2017|consulté le=2020-05-09}}</ref> comprenant la consommation électrique, les dimensions de la cavité, la liste des ustensiles qui peuvent (ou ne peuvent pas) passer au micro-ondes... En France, c'est l'apposition d'étiquette sur le micro-ondes et de compléments dans la notice d'utilisation qui a été choisie. En effet, tout les micro-ondes ont une étiquette indiquant les surfaces pouvant chauffer (généralement le haut du four) ainsi qu'un avertissement quant à l'enlèvement du couvercle du micro-onde pouvant entraîner des fuites. Ces règles d'étiquetages font écho à de nombreux accidents dus à des mauvaises utilisations de micro-ondes entraînant leurs dysfonctionnements, l'explosion de certains aliments dans le four ou encore des incendies. On peut retrouver des affaires de brûlure graves à cause de bouillotte chauffée au micro-ondes<ref>{{Lien web|titre=Comm. Sécurité des consommateurs, bouillottes (BOCCRF du 26 avril 2002)|url=https://www.economie.gouv.fr/files/files/directions_services/dgccrf/boccrf/02_07/a0070006.htm|site=www.economie.gouv.fr|consulté le=2020-05-09}}</ref>, des dysfonctionnements à cause d'un nettoyage à la vapeur de la cavité du micro-onde, ou encore des incendies de maison dus à des surtensions du micro-onde (cependant aucun cas d'explosion dû à un micro-onde tel qu'on pourrait le voir dans les films n'a été signalé). Finalement dans la partie notice d'utilisation (ou mise en garde du consommateur) une longue liste d'instruction doit être indiquée. Voici une liste des '''instructions''' qui doivent être présentes : * MISE EN GARDE: Si la porte ou les joints de porte sont endommagés, le four ne doit pas être mis en fonctionnement avant d’avoir été réparé par une personne compétente. * MISE EN GARDE: Il est dangereux pour quiconque autre qu’une personne compétente d’effectuer des réparations ou des opérations de maintenance entraînant le retrait d’un couvercle protégeant contre l’exposition à l’énergie micro-ondes. * MISE EN GARDE: Les liquides ou autres aliments ne doivent pas être chauffés dans des contenants fermés hermétiquement puisqu’ils sont susceptibles d’exploser. * MISE EN GARDE: Le chauffage de boissons au micro-ondes peut provoquer des jaillissements retardés de liquide en ébullition; par conséquent, des précautions doivent être prises lors de la manipulation du récipient. * MISE EN GARDE: Le contenu des biberons et petits pots pour bébé doivent être remués ou agités et la température vérifiée avant consommation, afin d’éviter des brûlures. * La hauteur minimale de l’espace libre nécessaire au-dessus de la surface supérieure du four. * N’utiliser que des ustensiles appropriés à l’usage dans les fours à micro-ondes. * Lorsque des aliments sont chauffés dans des récipients jetables en matière plastique ou papier, garder un œil sur le four en raison des risques d’inflammation. * Si de la fumée apparaît, déconnecter ou débrancher l’appareil et maintenir la porte fermée de façon à étouffer les flammes. * Il est recommandé que les œufs dans leur coquille et les œufs durs entiers ne soient pas chauffés dans un four à micro-ondes car ils risquent d’exploser même après la fin de la cuisson. * Les détails pour nettoyer les joints de porte, les cavités et parties adjacentes. * Il est recommandé que le four soit nettoyé régulièrement et tout dépôt d’aliments retiré. * Si le four n’est pas maintenu dans un bon état de propreté, sa surface pourrait se dégrader, affecter de façon inexorable la durée de vie de l’appareil et conduire à une situation dangereuse. * N’utiliser que la sonde thermique prévue pour ce four (pour les appareils prévus avec une sonde thermique). * Il est recommandé de ne pas nettoyer l’appareil avec un jet d’eau (pour les appareils prévus pour être posés sur le sol et qui ne sont pas au moins IPX5). Enfin pour qu'un micro-onde puisse être mis sur le marché Européen il nécessite l’apposition du marquage CE et donc de la réglementation européenne en vigueur (notamment les directives [https://phishing.insa-lyon.fr/?url=http%3A%2F%2Feur-lex.europa.eu%2Flegal-content%2FFR%2FTXT%2FPDF%2F%3Furi%3DCELEX%3A32014L0035%26from%3DFR 2014/35/UE] relative aux appareils basse tension, [http://eur-lex.europa.eu/legal-content/FR/TXT/PDF/?uri=CELEX:32014L0030&from=FR 2014/30/UE] relative à la compatibilité électromagnétique et enfin [http://eur-lex.europa.eu/legal-content/FR/TXT/PDF/?uri=CELEX:32014L0030&from=FR 2011/65/UE] relative aux produits électriques et électroniques consacrée à la limitation des substances dangereuses dans ces appareils). [[w:Direction_générale_de_la_Concurrence,_de_la_Consommation_et_de_la_Répression_des_fraudes|La Direction Générales de la Concurrence de la Consommation et de la Répression des Fraudes]] (DGCCRF) impose également l’étiquetage énergétique<ref>{{Lien web|langue=fr|auteur1=DGCCRF|titre=Étiquetage énergétique et information sur les prix des équipements électriques|url=https://www.economie.gouv.fr/dgccrf/etiquetage-energetique-et-information-sur-prix-des-equipements-electriques|site=www.economie.gouv.fr|date=19 juin 2015|consulté le=2020-05-09}}</ref>, cependant celui-ci ne concerne que la France. En cas de mauvais entretien de l’appareil, ou de fissure de la vitre, l’appareil ne doit plus être utilisé. Dans le cas contraire, les micro-ondes sont susceptibles de sortir hors de l’enceinte du four. L’énergie des micro-ondes peut alors être absorbée par le corps humain, et les tissus exposés s’échauffent. Le risque est donc présent, mais comme le rappelle l’OMS<ref>https://www.who.int/peh-emf/publications/facts/micro_ondes_info_sheet2005.pdf OMS. Champs électromagnétiques et santé publique. Fours à micro-ondes. Document d'information février 2005. 4 pages.</ref>, les fours à micro-ondes sont sûrs, à condition qu’ils soient utilisés conformément aux recommandations.     ==== Le mythe de la nourriture irradiée                                         ==== Autre débat que le four à micro-ondes a apporté : la '''nourriture''' serait '''irradiée''', '''transformée''', et certains '''nutriments détruits'''. Même si ces débats n’ont jamais trouvé de réponses, il faut cependant prendre du recul sur la notion d’irradiation des aliments. En regardant le spectre des ondes électromagnétiques, il est possible d’apporter un certain recul sur les risques possibles de l’exposition aux micro-ondes. En effet, si l’on décompose ce spectre en deux parties, séparées par le rayonnement visible, deux types d’ondes ressortent. À gauche du visible, les ondes de hautes fréquences et basses longueurs d’ondes, et à droite, les ondes de plus faibles fréquences. Il faut s’intéresser à l’énergie transportée par chacune de ces ondes.[[Fichier:Spectre_des_ondes_électromagnétiques.jpg|vignette|Spectre des ondes électromagnétiques|alt=|330x330px]] L’énergie des ondes situées à droite des rayonnements visibles dépend de l’amplitude de l’onde. Au contraire, l’énergie des ondes situées à gauche dépend de leur fréquence. L’énergie d’un rayon X est donc nettement supérieure à celle d’une micro-onde ou d’une onde radio. Ainsi, le spectre des ondes électromagnétiques distingue les rayonnements ionisants des non ionisants. L’énergie transportée par une micro-onde n’est pas suffisante pour provoquer l’ionisation, c’est-à-dire la modification des molécules de la matière vivante. C’est une énergie de vibration : les atomes vibrent mais la matière n’est pas transformée. L’irradiation est donc un terme qui ne fait référence qu’à certaines ondes électromagnétiques du spectre. Certaines, comme les rayons X ou les UV sont des ondes d’énergie très intenses, ionisantes<ref>http://www.radiofrequences.gouv.fr/que-sont-les-ondes-radiofrequences-a1.html Portail radiofréquences du gouvernement français. Que sont les ondes radiofréquences ? Modifié le 20 décembre 2017. [en ligne] </ref>. Cette étude du spectre électromagnétique permet de replacer les ondes utilisées dans un four à micro-ondes dans une zone d’'''ondes non ionisantes'''. Elles se situent entre l’infrarouge et les ondes TV, ondes auxquelles nous sommes en permanence exposés. Ainsi, une fois le four éteint, les micro-ondes ne sont plus, ni dans l’enceinte du four, ni « stockées » dans la nourriture. Si l’aliment subit des modifications au niveau microscopique, la chaleur peut en être la source. En effet, l’échauffement provoque la vibration des atomes, mais ceci quelle que soit la méthode de cuisson utilisée. Il faut d’ailleurs noter que la température dans l’enceinte du four à micro-ondes ne dépasse rarement les 70°C, température assez faible par rapport à d’autres moyens de cuisson. La question générale du danger de l’exposition aux ondes restera probablement encore des années dans l’actualité, mais il faut savoir les différencier et utiliser les termes qui leur correspondent. Certains décident simplement de ne pas rajouter un tel appareil dans leur foyer, afin d’éviter une surexposition inutile aux ondes. ==== Une nourriture transformée, des nutriments affectés ==== À propos des aliments, les avis divergent'''.''' Si certains affirment qu’ils peuvent différencier au goût une eau réchauffée au four à micro-ondes d’une eau de bouilloire, d’autres font du micro-ondes leur marque de fabrique. C’est le cas du chef cuisinier Pierre Marchesseau<ref>https://next.liberation.fr/vous/2015/07/12/micro-ondes-le-fab-four-a-70-ans_1346863 Virginie Ballet. Libération. Micro-ondes, le fab four a 70 ans. 12 juillet 2015. [en ligne]</ref>. Ce dernier propose des cours particuliers de cuisine au micro-ondes, il a écrit un livre « Mes meilleures recettes au micro-ondes » … Sans réelles études scientifiques sur ce sujet, c’est au '''choix de chacun''' d’utiliser, ou non, cet appareil. ==== Le point de vue des fabricants ==== Les fabricants d’électroménager réfutent évidemment ces accusations. Ils focalisent la communication commerciale sur la praticité, la facilité d’utilisation, les gains en énergie dus au four à micro-ondes… C’est le cas de GIFAM par exemple, ''Groupement Interprofessionnel des Fabricants d’Appareils d’équipements Ménagers'', qui regroupe une cinquantaine d’entreprises, de grands groupes internationaux ou de [[w:Petite_ou_moyenne_entreprise|PME]] spécialisés dans l’électroménager. Ces derniers mettent en avant tout type d’appareils pour la maison. Le four à micro-ondes possède une fiche produit sur leur site<ref>https://www.gifam.fr/wp-content/uploads/2020/03/Fiche-produit_four-micro-ondes.pdf GIFAM. Tout savoir sur le four à micro-ondes. Fiche produit. </ref>, qui présente tous les avantages d’un tel appareil. L’ergonomie, l’innovation technologique, les différents fours du marché, le recyclage : tout y est. Tout, sauf peut être une réponse aux accusations sur la nocivité de l’appareil. Sur une fiche produit de dix pages, seule une ligne réfère à la nécessité de bien respecter les instructions figurant dans les notices d’utilisation. Les fabricants d’électroménagers concentrent ainsi leur communication sur les avantages d’utiliser un four à micro-ondes, et les avancées technologiques de ce dernier. La communication est essentielle pour les industriels, qui doivent, au maximum, réduire l’image dangereuse que leur produit est susceptible de renvoyer. Ainsi, de chaque côté du débat, nous pouvons noter un éventuel manque de neutralité, et une focalisation sur les sujets en leur faveur. La science ne semble visiblement pas avoir tranché définitivement sur le lot de débats qu’apporte le four à micro-ondes. Sans vérité scientifique, tous les avis sont importants à prendre en compte. Comme pour beaucoup de technologies, la controverse sur les fours à micro-ondes est en soit une explication. Elle explique la trajectoire nuancée de cet appareil : une arrivée timide, un objet technique toujours remis en question… == Conclusion : Micro-ondes et temps == Au final, ce que l’on peut remarquer, c’est que le four à micro-ondes est intimement lié à la notion de '''temps'''. Un temps '''court''' même quand on y réfléchit. En effet son histoire, sur l'échelle de l'humanité, est courte : 80 ans. Son explosion rapide : 15 ans. De plus, il est également souvent utilisé sur un court laps de temps (quelques minutes voire quelques secondes), dans le but de gagner du temps. Mais gagner du temps pour faire quoi ? Surtout lorsque ce temps est aussi infime que celui que nous fait gagner le micro-ondes, à savoir quelques minutes, ou même quelques secondes. C’est aussi dans cela que réside une partie de la '''problématique environnementale'''. Ce perpétuel désir d’immédiateté nous pousse à faire toujours plus de choses, toutes plus énergivores les unes que les autres. ''Il est sans doute temps de prendre le temps, à voir si nous le ferons à temps...'' == Sources et références == <references responsive="" /> == Note sur les auteurs == Cette page wiki a été réalisée par huit élèves : Léo Maravitti, Corentin Duthy, Vincent Tritto, Florent Curvalle, Anna Tomasini, Marion Roselier, Elisabeth Creusot et Jordan Franzetti, de l'INSA Lyon dans le cadre du projet PASTECH. Tous les membres de l'équipe remercient les professeurs et toutes les personnes qui les ont entourés durant l'écriture de ce wiki et espèrent que vous l'avez apprécié. ow8luzqwes2eydmtogrnmsdyg8tlncs 0 75895 982974 965012 2026-05-21T19:21:57Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982974 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 24 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme/]] | suivant = }} <center>Les notions de ce chapitre sont a priori introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne ou<br>{{Transparent|Les notions de ce chapitre sont }}exceptionnellement <math>\;\big(</math>si précisé<math>\big)\;</math> {{Transparent|de la dynamique }}relativiste,{{Al|12}}<br>l'espace physique est orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et les bases orthonormées introduites sont toutes directes<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage de Frenet : mouvement plan, uniforme, circulaire, rayon de la trajectoire et période de rotation == <center>Étude faite dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> === Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » === {{Al|5}}Une particule chargée <math>\;M \left( q \right)</math>, de masse <math>\;m</math>, entre dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B}\;</math>» en la position <math>\;M_0\;</math> choisie comme origine <math>\;O\;</math> du repérage intrinsèque avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0\;</math> <math>\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math>»<ref name="V0 perp à B"> Seul le cas du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0 \perp\;</math> au vecteur champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B}\;</math> est explicitement au programme de physique de P.C.S.I..</ref> ; {{Al|5}}nous nous proposons de déterminer le mouvement ultérieur de la particule dans le référentiel lié à l’espace champ magnétique <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> supposé galiléen quand elle n’est soumise qu’à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>\;1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz"> Voir le paragraphe « 2^ème [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Cas_particuliers|cas particulier]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math> <math>\;\big[</math>en effet, même dans le cas où l'expérience se passe sur Terre, l'influence du poids de la particule peut toujours être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz<ref name="influence du poids négligeable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Comparaison_de_la_force_magnétique_exercée_sur_un_proton_lancé_à_une_vitesse_de_norme_modérée_perpendiculairement_dans_un_champ_magnétique_de_norme_de_même_ordre_de_grandeur_que_le_champ_magnétique_terrestre_au_poids_du_proton_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre|comparaison de la force magnétique exercée sur un proton lancé à une vitesse de norme modérée perpendiculairement dans un champ magnétique de même ordre de grandeur que le champ magnétique terrestre au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>y compris quand cette dernière est nulle, donc sans action sur le mouvement de la particule<ref name="V0 parallèle à B"> Dans le cas où la vitesse initiale de la particule <math>\;\vec{V}_0\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{B}</math>, la force magnétique de Lorentz initiale étant nulle, le vecteur accélération initiale <math>\;\vec{a}_0\;</math> de la particule l'est aussi si la force magnétique de Lorentz est la seule force appliquée <math>\Rightarrow</math> un mouvement rectiligne uniforme sur <math>\;\left[ 0\,,\, \delta t \right]</math> <math>\;\big\{\delta t\;</math> étant une durée mésoscopiquement petite<math>\big\}\;</math> et par suite un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(\delta t)\;</math> de la particule à l’instant <math>\;\delta t</math> <math>\;\parallel\;</math> au champ magnétostatique <math>\;\vec{B}</math> ; <br>{{Al|3}}faisant l'hypothèse que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(n\;\delta t)\;</math> de la particule à l’instant <math>\;n\;\delta t</math>, <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}</math>, est <math>\;\parallel\;</math> au champ magnétostatique <math>\;\vec{B}</math>, nous en déduisons que la force magnétique de Lorentz au même instant <math>\;n\;\delta t\;</math> est nulle <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération à cet instant <math>\;\vec{a}_M(n\;\delta t)\;</math> de la particule l'est aussi et par suite le mouvement de cette dernière est rectiligne uniforme sur <math>\;\left[ n\;\delta t\,,\, (n + 1)\;\delta t \right]</math> <math>\Rightarrow</math> le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}[(n + 1)\;\delta t]\;</math> de la particule à l’instant <math>\;(n + 1)\;\delta t</math> est <math>\;\parallel\;</math> au champ magnétostatique <math>\;\vec{B}</math> ; <br>{{Al|3}}en conclusion la propriété « si <math>\;\vec{V}_0\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> et si la force magnétique de Lorentz est la seule force appliquée, le mouvement de la particule est rectiligne uniforme » est établie par récurrence.</ref>, son poids n'ayant dans la pratique aucune influence car de norme excessivement petite<math>\big)\big]</math> ; {{Al|5}}nous choisissons une base cartésienne orthonormée directe <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x \,,\, \vec{u}_y \,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> associée au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> telle que * <math>\;\vec{u}_z\;</math> est colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{B}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math>, * <math>\;\vec{u}_x\;</math> est colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et * <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x</math>. === Mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}L’application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> soumise à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />, <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>», conduit, sachant que le vecteur accélération de la particule à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{a}_M(t)</math>, est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse au même instant <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)</math>, à l’équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> <center>«<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>».</center> === Conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement === {{Al|5}}Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est <math>\;\perp\;</math> à chacun de ses vecteurs<ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, nous en déduisons que <math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> donc à <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire colinéaire à <math>\;\vec{B}\;</math> et <br>{{Al|5}}projetant l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> nous obtenons «<math>\;0 = m\;\dfrac{d V_{z,\,M}}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{z,\,M}(t) = cste\;</math> et la C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. <math>\;\vec{V}_0 \perp \vec{B}\;</math> imposant «<math>\;V_{0,\,z} = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = 0\;</math> soit «<math>\;V_{z,\,M}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|projetant l'équation différentielle ( a ) sur uz nous obtenons }} «<math>\;0 = V_{z,\,M}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(t) = cste'\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;M_0\;</math> en <math>\;O\;</math> imposant «<math>\;z_0 = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0\;</math> soit «<math>\;z_M(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>». {{Al|5}}En conclusion, le mouvement de la particule <math>\;M\;</math> pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur <math>\;M\;</math> est la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, <u>plan</u>, le plan du mouvement étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> passant par la position initiale <math>\;M_0\;</math> de la particule. === Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » (ou de la projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet) : nature uniforme du mouvement === {{Al|5}}La force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> ne développant aucune puissance<ref name="puissance de la force magnétique de Lorentz nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Puissance_de_la_force_de_Lorentz#Propriété_:_seule_la_composante_électrique_de_la_force_de_Lorentz_peut_développer_une_puissance_non_nulle|propriété : seule la composante électrique de la force de Lorentz peut développer une puissance non nulle]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière reste constante par application du théorème de la puissance cinétique<ref name="théorème de la puissance cinétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et par suite la norme de sa vitesse aussi soit «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = cste\;</math>», la constante se déterminant par C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(0) \Vert = \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0\;</math>» d’où «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = V_0\;\;\forall\;t\;</math>» c.-à-d. un mouvement <u>uniforme</u> de la particule ; {{Al|5}}nous pouvions aussi projeter l'équation différentielle «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» sur <math>\;\vec{\tau}_M</math>, le vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>ce dernier paragraphe permettant de définir le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<math>\big)</math>.</ref>, en utilisant <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvions aussi }}d'une part que <math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math><ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" /> donc à <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> sa projection sur <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> est nulle et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous pouvions aussi }}d'autre part que <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> étant <math>\;= \vec{a}_M(t)\;</math> sa projection sur <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> définit l'accélération tangentielle de la particule <math>\;a_{\tau,\,M}(t) = \dfrac{d v_M}{dt}(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;v_M(t)\;</math> la vitesse instantanée de la particule <math>\;v_M(t) = \vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\tau}_M\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, {{Al|5}}ce qui donnait «<math>\;0 = m\;\dfrac{d v_M}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;v_M(t) = cste\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;v_M(0) = \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0</math> <math>\;\big(</math>dans la mesure où <math>\;\vec{\tau}_{M_0}\;</math> est choisi dans le sens de <math>\;\vec{V}_0\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = V_0\;</math> soit «<math>\;v_M(t) = V_0\;\; \forall\; t\;</math>» ou encore «<math>\;v_M(t) = v_0\;\; \forall\; t\;</math>» en notant <math>\;v_0\;</math> la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> initiale de la particule <math>\;\big(</math>égale à <math>\;V_0\;</math> dans la mesure où <math>\;\vec{\tau}_{M_0}\;</math> est choisi dans le sens de <math>\;\vec{V}_0\big)\;</math> c.-à-d. un mouvement <u>uniforme</u> de la particule. === Conséquence de la nature plane et uniforme du mouvement avec projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet : nature circulaire du mouvement === [[File:Particule de charge positive entrant perpendiculairement dans un champ magnétostatique uniforme.png|thumb|300px|Description du mouvement d'une particule de charge <math>\;q > 0\;</math> entrant en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}</math>]] {{Al|5}}Le mouvement de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> étant plan, dans le plan passant par <math>\;M_0 = O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert\Big)</math>, c.-à-d. le plan <math>\;xOy\;</math> et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0 = v_0\;\vec{u}_x</math> <math>\;\Big(v_0\;</math> étant la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> initiale de la particule encore égale à <math>\,\Vert \vec{V}_0 \Vert\,</math> compte-tenu du choix du sens <math>\,+\,</math> sur la trajectoire<math>\Big)</math>, nous obtenons le schéma descriptif ci-contre dans l'hypothèse où <math>\,q\,</math> est <math>\,> 0\,</math> {{Nobr|<math>\bigg[</math>pour}} savoir de quel côté de <math>\;\vec{V}_0\;</math> la courbe s’amorce nous déterminons la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0) = q\;\vec{V}_0 \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />{{,}}<ref name="notation simplifiée de la force magnétique"> Sur le schéma, notée «<math>\;\vec{F}_{\text{Lor}}(0)\;</math> pour simplifier » <math>\;\big[</math>signifiant «<math>\;\vec{F}_{\text{Lor}}(t = 0)\;</math>»<math>\big]</math>.</ref>, de direction <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\left( \vec{V}_0\,,\, \vec{B} \right)\;</math> ou <math>\;xOz\;</math> c.-à-d. portée par <math>\;Oy</math>, et de sens tel que <math>\;\left\lbrace q\;\vec{V}_0\,,\,\vec{B}\,,\,\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0) \right\rbrace\;</math> soit direct<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> dans l'espace physique orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0)\;</math>»<ref name="notation simplifiée de la force magnétique" /> de sens contraire à <math>\;\vec{u}_y\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\bigg]</math>, la rotation de la particule se faisant dans le sens <math>\;-\;</math> du plan <math>\;xOy</math> <math>\;\Big[</math>le sens de <math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0)\;</math><ref name="notation simplifiée de la force magnétique" /> sur <math>\;Oy\;</math> nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens<math>\Big]</math> ; <br>{{Al|5}}pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet<ref name="Frenet" /> de base directe «<math>\;\left\lbrace \vec{\tau}_M \,,\, \vec{n}_M \,,\, \vec{b} = -\vec{u}_z \right\rbrace\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#2ème_et_3ème_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_étudiée|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » {{Nobr|<math>\;\Big[</math>ce}} 2^ème paragraphe permettant de définir le vecteur unitaire tangentiel de Frenet et le 3^ème les vecteurs normaux principal et secondaire en précisant que, dans le cas d'une courbe plane, les 1^er et 2^nd vecteurs de base sont dans le plan et le 3^ème vecteur de base <math>\;\perp\;</math> au plan tel que son sens est en accord avec le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles orientés de ce plan d'où ici <math>\;\vec{b} = -\vec{u}_z\Big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="notation simplifiée de la base de Frenet"> Sur le schéma, les deux 1^ers vecteurs de base de Frenet sont notés «<math>\;\vec{\tau}\;</math>» et «<math>\;\vec{n}\;</math>» pour simplifier.</ref> <math>\;\big(</math>l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)\;</math> et projetons l'équation différentielle «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» sur <math>\;\vec{n}_M</math>, le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" />, en utilisant {{Al|5}}d'une part que «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math><ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" />, donc à <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, est porté par <math>\;\vec{n}_M\;</math>», « son sens se déterminant par <math>\;\left\lbrace q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\,\vec{B}\,,\,q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} \right\rbrace\;</math> direct<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> est celui de <math>\;\vec{n}_M\;</math>»<ref name="vrai quel que soit le signe de q"> Vérifié sur le schéma correspondant à <math>\;q > 0\;</math> mais restant valable pour <math>\;q < 0</math> <math>\;\Big[</math>dans ce cas la force magnétique de Lorentz initiale étant dans l'autre sens, le mouvement démarre dans le sens <math>\;+</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} que la courbe s’amorce vers le bas et la droite<math>\big)\;</math> et, le mouvement étant uniforme, il se poursuit dans le sens <math>\;+</math>, le vecteur unitaire normal secondaire <math>\;\vec{b}\;</math> est alors égal à <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant dans le sens de <math>\;-\vec{\tau}_M\;</math> le caractère direct dans un espace orienté à droite de <math>\;\left\lbrace q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\,\vec{B}\,,\,q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} \right\rbrace\;</math> est équivalent à <math>\;\left\lbrace -\vec{\tau}_M(t)\,,\,\vec{b}\,,\,\pm\, \Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert\;\vec{n}_M(t) \right\rbrace\;</math> direct dans le même espace physique orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, en effectuant une permutation de deux vecteurs simultanément au remplacement de l'un d'eux par son opposé <math>\;\big\{</math>cette opération ne modifiant pas l'orientation du trièdre, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, d'où le caractère direct de <math>\;\left\lbrace \vec{b}\,,\,\vec{\tau}_M(t)\,,\,\pm\, \Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert\;\vec{n}_M(t) \right\rbrace\;</math> dans l'espace physique orienté à droite ou enfin, en faisant une permutation circulaire <math>\;\left\lbrace \vec{\tau}_M(t)\,,\,\pm\, \Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert\;\vec{n}_M(t)\,,\,\vec{b} \right\rbrace\;</math> direct dans ce même espace physique orienté à droite, ce qui nécessite que le 2^ème s'identifie à <math>\;+\, \Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert\;\vec{n}_M(t)\;</math> C.Q.F.D. <math>\;\big(</math>Ce Qu'il Fallait Démontrer<math>\big)\Big]</math>.</ref> et {{Al|5}}d'autre part que <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> étant <math>\;= \vec{a}_M(t)\;</math> sa projection sur <math>\;\vec{n}_M\;</math> définit l'accélération normale de la particule <math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!M}}(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale" /> avec <math>\;v_M(t)\;</math> la vitesse instantanée de la particule <math>\;v_M(t) =</math> <math>\vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\tau}_M\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> et <math>\;\mathcal{R}_{\!M}(t)\;</math> le rayon de courbure de la trajectoire en la position de la particule à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, {{Al|5}}ce qui donne «<math>\;\Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = m\;\dfrac{v_M^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!M}}(t)\;</math>» avec «<math>\;\Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = \vert q \vert\, \Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert\, \Vert \vec{B} \vert\, \bigg\vert \sin\! \widehat{\left[ q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\, \vec{B} \right]} \bigg\vert\;</math>» dans laquelle <math>\;\bigg\vert \sin\! \widehat{\left[ q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\, \vec{B} \right]} \bigg\vert = 1</math> <math>\;\Big[</math>le mouvement se faisant dans le plan passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\Big]\;</math> et <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = v_M(t)</math> <math>\;\big[</math>le sens <math>\;+\;</math> étant choisi dans le sens du mouvement<math>\big]\;</math> soit encore, en notant <math>\;\Vert \vec{B} \Vert = B</math>, «<math>\;\vert q \vert\; v_M(t)\;B = m\;\dfrac{v_M^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!M}}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{R}_{\!M}(t) = \dfrac{m\;v_M(t)}{\vert q \vert\;B}\;</math>» ; {{Al|5}}le mouvement de la particule étant uniforme <math>\;v_M(t) = v_0,\;\;\forall\;t</math>, le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit «<math>\;\mathcal{R}_{\!M}(t) = \dfrac{m\;v_0}{\vert q \vert\;B},\;\;\forall\;t\;</math>» c.-à-d. une constante et {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement de la particule }}étant plan, la trajectoire suivie par la particule est <u>circulaire</u> <math>\;\big(</math>la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle<math>\big)</math>, <center>le rayon du cercle étant «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;v_0}{\vert q \vert\;B} = \dfrac{p_0}{\vert q \vert\;B}\;</math>»<ref name="à retenir"> Expression à savoir retrouver rapidement et qu'il est souhaitable de retenir.</ref> avec <br><math>\;p_0 = m\;v_0\;</math> la norme de la quantité de mouvement initiale de la particule.</center> === Période de rotation === {{Al|5}}Le mouvement de la particule étant uniforme sur une trajectoire circulaire, nous pouvons définir la vitesse angulaire de rotation <math>\;\big(</math>comptée positivement dans le même sens que le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}_M\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" /><math>\big)\;</math><ref name="signe de la vitesse angulaire"> Le fait que la vitesse angulaire de rotation de la particule sur sa trajectoire circulaire soit comptée positivement dans le même sens que <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> et que le sens de ce dernier à l'instant initial soit identifié au sens de <math>\;\vec{V}_0\;</math> implique que la vitesse angulaire de rotation est toujours positive quel que soit le signe de la charge de la particule.</ref> «<math>\;\omega_0 = \dfrac{v_0}{\mathcal{R}_c}\;</math>» ou, en reportant l'expression de <math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;v_0}{\vert q \vert\;B}\;</math> établie au paragraphe précédent «<math>\;\omega_0 = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math>» ; {{Al|5}}cette vitesse angulaire «<math>\;\omega_0 = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math>» ne dépendant que des caractéristiques de la particule et de la norme du champ magnétostatique est appelée « <u>pulsation cyclotron de la particule</u> » et notée «<math>\;\omega_c\;</math>» <center>soit «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert}{m}\;B\;</math>» <math>\;\big(</math>la pulsation cyclotron de la particule est donc indépendante des C.I<ref name="C.I." />. de celle-ci<math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}la période de rotation de la particule sur sa trajectoire est alors «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\; m}{\vert q \vert\; B}\;</math>» indépendante de la vitesse linéaire initiale. == Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage cartésien : mouvement plan, découplage du système d’équations différentielles dans le plan par introduction d’une variable complexes et résolution == <center>Étude du mouvement d'une particule chargée avec vitesse initiale <math>\;\perp\;</math> au champ magnétostatique uniforme et soumise à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> faite dans le cadre de la dynamique newtonienne <math>\;\big(</math>toutefois l'utilisation du repérage cartésien n'est intéressante que si la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> n'est pas la seule force appliquée, le traitement ci-dessous étant fait pour exposer la méthode<math>\big)</math>.</center> === Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Exposé_du_problème_:_mouvement_d’une_particule_chargée_entrant_dans_un_espace_champ_magnétostatique_uniforme_avec_une_«_vitesse_initiale_perpendiculaire_à_ce_champ_»|exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ]] » plus haut dans ce chapitre. === Mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage cartésien dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_équation_par_application_de_la_r.f.d.n._en_repérage_intrinsèque_dans_le_référentiel_d’étude_galiléen|mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre pour l'établissement de l'équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)</math>, le vecteur vitesse de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen, <center>«<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}il reste à projeter chaque membre de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sur les vecteurs de base cartésienne orthonormée directe <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x \,,\, \vec{u}_y \,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> associée au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> avec * <math>\;\vec{u}_z\;</math> colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{B}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math>, * <math>\;\vec{u}_x\;</math> colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_0\;</math> et <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{V}_{\!M}(t) = V_{x,\,M}(t)\;\vec{u}_x + V_{y,\,M}(t)\;\vec{u}_y + V_{z,\,M}(t)\;\vec{u}_z\\ \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t) = \dot{V}_{x,\,M}(t)\;\vec{u}_x + \dot{V}_{y,\,M}(t)\;\vec{u}_y + \dot{V}_{z,\,M}(t)\;\vec{u}_z\end{array}\right\rbrace\;</math> en absence de présupposé sur le mouvement : {{Al|5}}les projections du 1^er membre de <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> s'obtiennent en utilisant le calcul des composantes d'un produit vectoriel de deux vecteurs exposé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » soit <br><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{x,\,M}(t) & & 0 & & q\;V_{y,\,M}(t) \times B - q\;V_{z,\,M}(t) \times 0 & = & q\;B\;V_{y,\,M}(t)\\ \vec{u}_y &|& q\;V_{y,\,M}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{z,\,M}(t) & _{-}{\nearrow} & B & & & & \end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{x,\,M}(t) & & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{y,\,M}(t) & & 0 & & q\;V_{z,\,M}(t) \times 0 - q\;V_{x,\,M}(t) \times 0 & = & -q\;B\;V_{x,\,M}(t)\\ \vec{u}_z &|& q\;V_{z,\,M}(t) & ^{+}{\searrow} & B & & & & \\ \vec{u}_x &|& q\;V_{x,\,M}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{x,\,M}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{y,\,M}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{z,\,M}(t) & & B & & q\;V_{x,\,M}(t) \times 0 - q\;V_{y,\,M}(t) \times 0 & = & 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où les projetés suivants «<math>\;\left\lbrace q\;B\;V_{y,\,M}(t)\,,\, - q\;B\;V_{x,\,M}(t)\,,\, 0 \right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|les proj }}celles du 2^ème membre de <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> étant «<math>\;\left\lbrace m\;\dfrac{d V_{x,\,M}}{dt}(t)\,,\,m\;\dfrac{d V_{y,\,M}}{dt}(t)\,,\,m\;\dfrac{d V_{z,\,M}}{dt}(t) \right\rbrace\;</math>» nous en déduisons les trois équations différentielles scalaires du 1^er ordre en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule : <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c r} m\;\dfrac{d V_{x,\,M}}{dt}(t) & = & q\;B\;V_{y,\,M}(t) & \left( \mathfrak{1} \right)\\ m\;\dfrac{d V_{y,\,M}}{dt}(t) & = & -q\;B\;V_{x,\,M}(t) & \left( \mathfrak{2} \right)\\ m\;\dfrac{d V_{z,\,M}}{dt}(t) & = & 0 & \left( \mathfrak{3} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>les deux 1^ères équations étant couplées<ref name="système d'équations différentielles couplées"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Notion_de_système_d'équations_différentielles_couplées|notion de système d'équations différentielles couplées]] » du chap.<math>30</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et la 3^ème indépendante des deux autres.</center> === Intégration de l’équation (3) avec « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement === {{Al|5}}<u>Résolution de l'équation différentielle</u> <math>\;\left( \mathfrak{3} \right)</math> : «<math>\;m\;\dfrac{d V_{z,\,M}}{dt}(t) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{z,\,M}(t) = cste\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\vec{V}_0 \perp \vec{B}\;</math> imposant «<math>\;V_{0,\,z} = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = 0\;</math> soit «<math>\;V_{z,\,M}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle ( 3 ) :}} «<math>\;0 = V_{z,\,M}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(t) = cste'\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;M_0\;</math> en <math>\;O\;</math> imposant «<math>\;z_0 = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0\;</math> soit «<math>\;z_M(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle ( 3 ) :}} En conclusion, le mouvement de la particule <math>\;M\;</math> pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur <math>\;M\;</math> est la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, <u>plan</u>, le plan du mouvement étant <math>\;xOy\;</math>. === Rappel de la méthode de découplage du système d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées (1) et (2) du 1^er ordre des variables V_x(t) et V_y(t) === {{Al|5}}Les équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants <math>\;\left\lbrace \left( \mathfrak{1} \right)\,,\, \left( \mathfrak{2} \right) \right\rbrace\;</math> du 1^er ordre en <math>\;V_{x,\,M}(t)\;</math> et <math>\;V_{y,\,M}(t)\;</math> du système normalisé «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c r} \dfrac{d V_{x,\,M}}{dt}(t) \!\!& = \!\!& \!\!\dfrac{q\;B}{m}\;V_{y,\,M}(t) \!\!& \left( \mathfrak{1}' = \dfrac{\mathfrak{1}}{m} \right)\\ \dfrac{d V_{y,\,M}}{dt}(t) \!\!& = \!\!& \!\!-\dfrac{q\;B}{m}\;V_{x,\,M}(t) \!\!& \left( \mathfrak{2}' = \dfrac{\mathfrak{2}}{m} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» étant couplées de la même façon que celle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Présentation_de_l'exemple_2|présentation de l'exemple]] <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{d f_1}{dx}(x) + b\;f_1(x) = a\;f_2(x) + d\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d f_2}{dx}(x) + b\;f_2(x) = -a\;f_1(x) + e\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» du chap.<math>30</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans lequel <math>\;\left( b\,,\,d\,,\,e \right) = \left( 0\,,\, 0\,,\, 0 \right)\;</math> et <math>\;a \neq 0</math> <math>\;\bigg[</math>dans l'exemple étudié ici <math>\;f_1(x) = V_{x,\,M}(t)</math>, <math>\;f_2(x) = V_{y,\,M}(t)\;</math> et <math>\;a = \dfrac{q\;B}{m}\bigg]</math>, nous adoptons <br>{{Al|5}}la méthode de découplage présentée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_d'équations_différentielles_couplées_et_leur_découplage#Exposé_de_la_méthode_de_découplage_par_combinaison_linéaire_complexe_du_système_particulier_des_deux_équations_différentielles_linéaires_à_cœfficients_réels_constants_du_1er_ordre_couplées|exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées]] » du même chap.<math>30</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » consistant à former la C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i\, \left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» pour obtenir l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «<math>\;\underline{F}(x) = f_1(x) + i\,f_2(x)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + b\;\underline{F}(x) = -i\;a\;\underline{F}(x) + \left( d + i\;e \right)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d \underline{F}}{dx}(x) + \left( b + i\;a \right)\,\underline{F}(x) = \left( d + i\;e \right)\;</math>». === Détermination de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre « (1') + i (2') » en variable complexe « (V_x + i V_y)(t) » === {{Al|5}}Partant de la forme normalisée du système d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en <math>\;V_{x,\,M}(t)\;</math> et <math>\;V_{y,\,M}(t)\;</math> couplées «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c r} \dfrac{d V_{x,\,M}}{dt}(t) \!\!& = \!\!& \!\!\dfrac{q\;B}{m}\;V_{y,\,M}(t) \!\!& \left( \mathfrak{1}' \right)\\ \dfrac{d V_{y,\,M}}{dt}(t) \!\!& = \!\!& \!\!-\dfrac{q\;B}{m}\;V_{x,\,M}(t) \!\!& \left( \mathfrak{2}' \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» et formant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;\left( \mathfrak{1}' \right) + i\, \left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>» nous obtenons <math>\;\dfrac{d V_{x,\,M}}{dt}(t) + i\;\dfrac{d V_{y,\,M}}{dt}(t) = \dfrac{q\;B}{m}\;V_{y,\,M}(t) - i\;\dfrac{q\;B}{m}\;V_{x,\,M}(t)\;</math> ou, en mettant le cœfficient de <math>\;V_{x,\,M}(t)\;</math> du 2^ème membre <math>\;-i\;\dfrac{q\;B}{m}\;</math> en facteur dans ce dernier <math>\;\dfrac{d V_{x,\,M}}{dt}(t) + i\;\dfrac{d V_{y,\,M}}{dt}(t) = - i\;\dfrac{q\;B}{m}\, \left[ i\;V_{y,\,M}(t) + V_{x,\,M}(t) \right]</math> <math>\;\big(</math>utilisant <math>\;+1 = -i^2 = -i \times i\big)\;</math> soit finalement <center>l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = V_{x,\,M}(t) + i\;V_{y,\,M}(t)\;</math>» homogène <br>«<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}_{\!M}}{dt}(t) + i\;\dfrac{q\;B}{m}\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = 0\;\; \left( \mathfrak{1}' + i\;\mathfrak{2}' \right)\;</math>».</center> === Établissement de la solution complexe « (V_x + i V_y)(t) » et déduction des lois horaires scalaires de vitesse sur les axes Ox et Oy === {{Al|5}}La solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t)\;</math>» homogène «<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}_{\!M}}{dt}(t) + i\;\dfrac{q\;B}{m}\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = 0\;</math>» est donc «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = \underline{A}\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math>»<ref name="solution d'équation différentielle linéaire à cœfficients du 1er ordre homogène"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe à déterminer à l'aide des C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left( V_{0,\,x} = V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\,,\, V_{0,\,y} = 0 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(0) = V_0\;</math> ou <math>\;\underline{A} = V_0\;</math> soit finalement la loi horaire de « vitesse complexe » <center>«<math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = V_{x,\,M}(t) + i\;V_{y,\,M}(t) = V_0\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = V_0\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> soit «<math>\;V_{x,\,M}(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) \right] = V_0\;\cos\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en prenant }}la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = V_0\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|en déduisons }}la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> soit «<math>\;V_{y,\,M}(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) \right] = -V_0\;\sin\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : des lois horaires cartésiennes de vitesse de la particule <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, nous en déduisons la nature de l’hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans ce même référentiel<ref name="hodographe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Définition_de_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_M|définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> selon la définition <math>\;\left( \mathcal{H} \right) = \left\lbrace P,\;\overrightarrow{OP}(t) \;\widehat{=}\;\vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau"> Le symbole <math>\;\widehat{=}\;</math> signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte.</ref>{{,}}<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau"> Par abus d'écriture nous écrirons fréquemment <math>\;\overrightarrow{OP}(t) = \vec{V}_{\!M}(t)\;</math> sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.</ref> soit, dans le cas présent «<math>\;P\,\left\lbrace \begin{array}{l c r} X_P \!\!&\widehat{=}&\!\! V_0\;\cos\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\\ Y_P \!\!&\widehat{=}&\!\! -V_0\;\sin\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" /> <math>\Rightarrow</math> <u>l’hodographe</u> <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> <u>est un cercle</u> du plan <math>\;XOY</math>, de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;\widehat{=}\;V_0\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" />, de position initiale <math>\;P_0\; \left( X_{P_0}\;\widehat{=}\;V_0\,,\, Y_{P_0}\;\widehat{=}\;0 \right)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref name="notation simplifiée du signe égal surmonté d'un chapeau" />, <u>le mouvement</u> de <math>\;P\;</math> <u>y étant uniforme</u> à la vitesse angulaire «<math>\;-\dfrac{q\;B}{m}\;</math>»<ref name="vitesse angulaire sur l'hodographe"> En effet les équations paramétriques de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> se réécrivant selon «<math>\;P\,\left\lbrace \begin{array}{c} X_P = V_0\;\cos\! \left( -\dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\\ Y_P = V_0\;\sin\! \left( -\dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» nous en déduisons «<math>\;\theta_P = \widehat{\left( \vec{u}_X\,,\, \overrightarrow{OP} \right)} = -\dfrac{q\;B}{m}\;t\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\theta}_P = -\dfrac{q\;B}{m}\;</math>».</ref>, c.-à-d. dans le sens trigonométrique « rétrograde si <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et « direct si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0\;</math>»<ref name="sens de rotation sur l'hodographe"> Nous pouvons expliciter la vitesse angulaire sur l’hodographe en fonction de la « pulsation cyclotron de la particule <math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert}{m}\;B\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Période_de_rotation|période de rotation]] (pulsation cyclotron de la particule) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} -\omega_c \;\text{pour } q > 0\\ +\omega_c \;\text{pour } q < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>».</ref>. === Intégration temporelle de « (V_x + i V_y)(t) » et déduction des lois horaires scalaires de position sur les axes Ox et Oy === {{Al|5}}Définissant la « coordonnée complexe » <math>\;\underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) = x_M(t) + i\;y_M(t)\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> liée à la « vitesse complexe » <math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = V_{x,\,M}(t) + i\;V_{y,\,M}(t)\;</math> par «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = \dfrac{d \underline{\mathcal{X}}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>», nous obtenons cette « coordonnée complexe » par intégration temporelle de «<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{X}}_{\!M}}{dt}(t) = V_0\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math>» soit <math>\;\underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) = \dfrac{V_0}{-i\;\dfrac{q\;B}{m}}\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right) + \underline{cste} = i\;\dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;\exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right) + \underline{cste}\;</math> avec <math>\;\underline{cste}\;</math> à déterminer à l'aide des C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace x(0) = 0\,,\, y(0) = 0 \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{\mathcal{X}}_{\!M}(0) = 0\;</math> ou <math>\;i\;\dfrac{m\;V_0}{q\;B} + \underline{cste} = 0\;</math> soit <math>\;\underline{cste} = -i\;\dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math> et finalement la loi horaire de « coordonnée complexe » <center>«<math>\;\underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) = x_M(t) + i\;y_M(t) = -i\;\dfrac{m\;V_0}{q\;B}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right) \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) = -i\;\dfrac{m\;V_0}{q\;B}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right) \right]\;</math> nous en déduisons la loi horaire d'abscisse de la particule <math>\;x_M(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) \right] = -i\;\dfrac{m\;V_0}{q\;B} \times \left[ i\;\sin\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) \right]\;</math><ref name="partie réelle et imaginaire d'un produit dont un des facteurs est imaginaire pur"> Pour prendre la partie réelle d'un produit de deux facteurs dont le 1^er facteur est un imaginaire pur, on multiplie le 1^er facteur par <math>\;i\;\Im\left[ \right.</math> du 2^ème facteur <math>\left. \right]</math> ;<br>{{Al|20}}pour prendre la partie imaginaire d'un produit de deux facteurs dont le 1^er facteur est un imaginaire pur, on multiplie <math>\;\Im\left[ \right.</math> du 1^er facteur <math>\left. \right]</math> par <math>\;\Re\left[ \right.</math> du 2^ème facteur <math>\left. \right]</math>.</ref> ou <center>«<math>\;x_M(t) = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;\sin\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent|en prenant }}la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) = -i\;\dfrac{m\;V_0}{q\;B}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\dfrac{q\;B}{m}\;t \right) \right]\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|en déduisons }}la loi horaire d'ordonnée de la particule <math>\;y_M(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) \right] = -\dfrac{m\;V_0}{q\;B} \times \left[ 1 - \cos\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) \right]\;</math><ref name="partie réelle et imaginaire d'un produit dont un des facteurs est imaginaire pur" /> ou <center>«<math>\;y_M(t) = \dfrac{m\;V_0}{q\;B} \left[ \cos\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) - 1 \right]\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Nature de la trajectoire de la particule</u> : les deux lois horaires cartésiennes de position de la particule <math>\;M\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} x_M(t) = \!\!&\!\! \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;\sin\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right)\\ y_M(t) = \!\!&\!\! \dfrac{m\;V_0}{q\;B} \left[ \cos\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) - 1 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>» étant aussi les deux équations paramétriques de la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy</math>, nous obtenons l'équation cartésienne de cette dernière en éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> et pour cela nous explicitons les sinus et cosinus de l'argument angulaire <math>\;\dfrac{q\;B}{m}\;t\;</math> à partir de chacune des équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} \sin\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) = \!\!&\!\! \dfrac{x_M}{\dfrac{m\;V_0}{q\;B}}\;\\ \cos\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) = \!\!&\!\! \dfrac{y_M + \dfrac{m\;V_0}{q\;B}}{\dfrac{m\;V_0}{q\;B}} \end{array} \right\rbrace\;</math>», l'élimination de <math>\;t\;</math> utilisant «<math>\;\sin^2\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) + \cos^2\! \left( \dfrac{q\;B}{m}\;t \right) = 1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{x_M^{\,2}}{\left( \dfrac{m\;V_0}{q\;B} \right)^{\!2}} + \dfrac{\left( y_M + \dfrac{m\;V_0}{q\;B} \right)^{\!2}}{\left( \dfrac{m\;V_0}{q\;B} \right)^{\!2}} = 1\;</math> d'où l'équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy</math> <center>«<math>\;x_M^{\,2} + \left( y_M + \dfrac{m\;V_0}{q\;B} \right)^{\!2} = \left( \dfrac{m\;V_0}{q\;B} \right)^{\!2}\;</math>», équation d'un cercle<ref name="équation cartésienne d'un cercle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] (équation cartésienne d'un cercle de centre O) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », équation qu'il est aisé de généraliser au cas où le centre est un point quelconque du plan.</ref> passant par <math>\;O</math>, <br>de centre <math>\;C \left( x_C = 0\,,\, y_C = -\dfrac{m\;V_0}{q\;B} \right)\;</math> et de rayon <math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> :<math>\;\succ\;</math>Pour <math>\;q > 0</math>, les lois horaires de position de <math>\;M\;</math> se réécrivant selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l} x_M(t) = \!\!&\!\! \mathcal{R}_c\;\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t \right)\\ y_M(t) = \!\!&\!\! \mathcal{R}_c \left[ \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t \right) - 1 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r l} x_M(t) = \!\!&\!\! \mathcal{R}_c\;\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t \right)\\ y_M(t) + \mathcal{R}_c = \!\!&\!\! \mathcal{R}_c\; \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» démontre que le mouvement circulaire se fait autour du centre «<math>\;C\, \left( x_C = 0\,,\, y_C = -\mathcal{R}_c \right)\;</math>» dans le sens <math>\;-\;</math> à la « vitesse angulaire <math>\;-\dfrac{\vert q \vert\;B}{m} = -\omega_c\;</math>»<ref name="justification de la vitesse angulaire de M"> En effet, pour <math>\;q > 0</math>, <math>\;\theta_{\!M} = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{CM} \right)} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}_{\!M} = - \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|En effet, }}pour <math>\;q < 0</math>, <math>\;\theta_{\!M} = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{CM} \right)} = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t - \dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}_{\!M} = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math>.</ref> c.-à-d. l'opposé de la pulsation cyclotron de la particule<ref name="pulsation cyclotron de la particule"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Période_de_rotation|période de rotation]] (pulsation cyclotron de la particule) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\succ\;</math>pour <math>\;q < 0</math>, les lois horaires de position de <math>\;M\;</math> se réécrivant selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l l} x_M(t) = \!\!&\!\! -\dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B}\;\sin\! \left( -\dfrac{\vert q \vert \;B}{m}\;t \right) \!\!&\!\!=\!\!&\!\! \mathcal{R}_c\;\cos\! \left( \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t - \dfrac{\pi}{2} \right)\\ y_M(t) = \!\!&\!\! -\dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B} \left[ \cos\! \left( -\dfrac{\vert q \vert \;B}{m}\;t \right) - 1 \right]\!\!&\!\!=\!\!&\!\! \mathcal{R}_c \left[ \sin\! \left( \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t - \dfrac{\pi}{2} \right) + 1 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> ou encore selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r l} x_M(t) = \!\!&\!\! \mathcal{R}_c\;\cos\! \left( \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t - \dfrac{\pi}{2} \right)\\ y_M(t) - \mathcal{R}_c = \!\!&\!\! \mathcal{R}_c\; \sin\! \left( \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;t - \dfrac{\pi}{2} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» démontre que le mouvement circulaire se fait autour du centre «<math>\;C\, \left( x_C = 0\,,\, y_C = \mathcal{R}_c \right)\;</math>» dans le sens <math>\;+\;</math> à la « vitesse angulaire <math>\;\dfrac{\vert q \vert\;B}{m} = \omega_c\;</math>»<ref name="justification de la vitesse angulaire de M" /> {{Nobr|c.-à-d.}} la pulsation cyclotron de la particule<ref name="pulsation cyclotron de la particule" />. === Résumé des principaux résultats === [[File:Particule de charge positive entrant perpendiculairement dans un champ magnétostatique uniforme - bis.png|thumb|400px|left|Description du mouvement d'une particule de charge <math>\;q > 0\;</math> entrant en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}</math>]] [[File:Particule de charge négative entrant perpendiculairement dans un champ magnétostatique uniforme.png|thumb|400px|right|Description du mouvement d'une particule de charge <math>\;q < 0\;</math> entrant en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}</math>]] {{Al|5}}Ci-contre, à gauche, la description du mouvement suivi par la particule chargée «<math>\;M \left( q > 0 \right)\;</math>» pénétrant en <math>\;O\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math>» avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math>» <math>\;\big(</math>donc <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\big)</math>, mouvement de nature <u>plane</u> dans <math>\;xOy</math>, <u>uniforme</u> de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> «<math>\;v_0 = V_0\;</math>» dans le sens rétrograde, <u>circulaire</u> de rayon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{R}_c =</math>}} <math>\dfrac{m\;v_0}{q\;B}\;</math>», de centre <math>\;C\, \left( 0\,,\, -\mathcal{R}_c \right)\;</math> et de vitesse angulaire «<math>\;-\omega_c = -\dfrac{q\;B}{m}\;</math>» <math>\;\big(\omega_c\;</math> étant la pulsation cyclotron de la particule<ref name="pulsation cyclotron de la particule" /><math>\big)</math>, la période de rotation étant «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B}\;</math>» indépendante de la vitesse initiale ; {{Al|5}}ci-contre, à droite, la description du mouvement suivi par la particule chargée «<math>\;M \left( q < 0 \right)\;</math>» pénétrant en <math>\;O\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math>» avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math>» <math>\;\big(</math>donc <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\big)</math>, mouvement de nature <u>plane</u> dans <math>\;xOy</math>, <u>uniforme</u> de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> «<math>\;v_0 = V_0\;</math>» dans le sens direct, <u>circulaire</u> de rayon «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;v_0}{\vert q \vert\;B}\;</math>», de centre <math>\;C\, \left( 0\,,\, \mathcal{R}_c \right)\;</math> et de vitesse angulaire «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math>» <math>\;\big(\omega_c\;</math> étant la pulsation cyclotron de la {{Nobr|particule<ref name="pulsation cyclotron de la particule" /><math>\big)</math>,}} la période de rotation étant «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\;m}{\vert q \vert\;B}\;</math>» indépendante de la vitesse initiale. == Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, détermination de la nature plane du mouvement par projection de la r.f.d.n. sur la direction du champ magnétostatique puis du rayon de courbure en admettant que la trajectoire est circulaire et en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle le centre du cercle == {{Al|5}}« Admettre le caractère circulaire » de la trajectoire d'une particule chargée dans un espace champ magnétostatique uniforme quand cette dernière pénètre perpendiculairement au champ magnétostatique est explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., de plus il est demandé de déterminer le rayon « sans calcul », ce qui, évidemment, est impossible <math>\;\ldots</math> Sans doute faut-il remplacer « sans calcul » par « sans intégration d’équations différentielles » <math>\;\ldots</math> === Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Exposé_du_problème_:_mouvement_d’une_particule_chargée_entrant_dans_un_espace_champ_magnétostatique_uniforme_avec_une_«_vitesse_initiale_perpendiculaire_à_ce_champ_»|exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ]] » plus haut dans ce chapitre, avec toutefois une différence l'origine <math>\;O\;</math> du repérage intrinsèque n'est plus choisie en la position initiale <math>\;M_0\;</math> de la particule chargée <math>\;\big(O\;</math> sera choisie au centre du cercle décrit par cette dernière<math>\big)</math>. === Projection de la r.f.d.n. sur la « direction du champ magnétostatique » et conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement === {{Al|5}}L’application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> soumise à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />, <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, nous conduisant à l’équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_équation_par_application_de_la_r.f.d.n._en_repérage_intrinsèque_dans_le_référentiel_d’étude_galiléen|mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, nous projetons les deux membres de cette équation sur <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\big(</math>vecteur unitaire de la direction de <math>\;\vec{B}\;</math> choisi dans le sens de ce dernier<math>\big)\;</math> et obtenons <br>{{Al|5}}«<math>\;0 = m\;\dfrac{d V_{z,\,M}}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{z,\,M}(t) = cste\;</math> soit «<math>\;V_{z,\,M}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\vec{V}_0 \perp \vec{B}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{0,\,z} = 0\;</math>»<ref name="projection de l'équa diff sur uz"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Conséquence_de_«_la_vitesse_initiale_perpendiculaire_au_champ_magnétostatique_»_:_nature_plane_du_mouvement|conséquence de “ la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique ” : nature plane du mouvement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et {{Al|5}}«<math>\;0 = V_{z,\,M}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(t) = cste'\;</math> soit «<math>\;z_M(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>», le plan <math>\;xOy \perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> étant choisi passant par la position initiale <math>\;M_0\;</math> de la particule <math>\Rightarrow</math> «<math>\;z_0 = 0\;</math>». {{Al|5}}En conclusion, le mouvement de la particule <math>\;M\;</math> pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur <math>\;M\;</math> est la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, <u>plan</u>, le plan du mouvement étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> passant par la position initiale <math>\;M_0\;</math> de la particule. === Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » : nature uniforme du mouvement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Conséquence_de_«_la_force_magnétique_de_Lorentz,_seule_force_exercée_»_(ou_de_la_projection_de_la_r.f.d.n._sur_le_vecteur_unitaire_tangentiel_de_Frenet)_:_nature_uniforme_du_mouvement|conséquence de la force magnétique de Lorentz, seule force exercée … : nature uniforme du mouvement]] » plus haut dans ce chapitre <math>\;\big(</math>uniquement la 1^ère méthode de résolution utilisant la puissance développée par la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, le but poursuivi ici étant d'éviter l'introduction de la base de Frenet<ref name="Frenet" /> hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en conclusion, le mouvement de la particule <math>\;M\;</math> pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur <math>\;M\;</math> est la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, <u>uniforme</u>, la norme du vecteur vitesse du mouvement restant égale à celle du vecteur vitesse initiale soit «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) = \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0,\;\;\forall\;t\;</math>». === Détermination du rayon de courbure de la trajectoire de nature (admise) circulaire par projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire radial de base cylindro-polaire de pôle « le centre du cercle » === {{Al|5}}Admettant la nature circulaire du mouvement de la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> passant par <math>\;M_0</math> <math>\;\big(</math>la position initiale de la particule<math>\big)</math>, les angles de ce plan étant toujours orientés par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> choisi dans la direction et le sens de <math>\;\vec{B}</math>, nous adoptons le repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans ce plan en choisissant le centre <math>\;C\;</math> du cercle comme pôle <math>\;O\;</math> du repérage, la base cartésienne du plan étant toujours <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x = \dfrac{\vec{V}_0}{V_0}\,,\, \vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x \right\rbrace</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left\lbrace r_M = CM = \mathcal{R}_c\,,\, \theta_M = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\overrightarrow{CM} \right)} \right\rbrace\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » en tant que cas particulier où la cote du point est identiquement nulle.</ref> avec <math>\;\mathcal{R}_c\;</math> le rayon du cercle à déterminer ». [[File:Particule de charge positive entrant perpendiculairement dans un champ magnétostatique uniforme - ter.png|thumb|400px|Description du mouvement d'une particule <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q > 0\;</math> entrant en <math>\;M_0\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}</math>, la nature circulaire du mouvement étant admise]] {{Al|5}}Ci-contre la description du mouvement suivi par la particule chargée «<math>\;M \left( q > 0 \right)\;</math>» pénétrant en <math>\;M_0\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math>» avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math>» <math>\;\big(</math>donc <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\big)</math>, mouvement de nature <u>plane</u> dans <math>\;xM_0y</math>, <u>uniforme</u> de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> «<math>\;v_0 = V_0\;</math>» dans le sens rétrograde et <u>circulaire</u> <math>\;\big(</math>admis<math>\big)\;</math> de centre <math>\;C\;</math> choisi comme pôle du repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xM_0y</math>, ses coordonnées étant <math>\;\left( \mathcal{R}_c\,,\, \theta_M \right)</math> <math>\;\big[</math>abscisse angulaire simplement notée <math>\;\theta\;</math> sur le schéma<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}projetant l'équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_équation_par_application_de_la_r.f.d.n._en_repérage_intrinsèque_dans_le_référentiel_d’étude_galiléen|mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math> <math>\;\big[</math>vecteur unitaire radial de la base polaire <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math> lié à <math>\;M\;</math> dans le plan du mouvement de ce dernier<ref name="repérage cylindro-polaire d'un point" /><math>\big]\;</math> nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}sachant que <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t) = \vec{a}_{\!M}(t)\;</math> se projette sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> en l'« accélération radiale <math>\;a_{r,\,M}(t) = \;\cancel{\ddot{r}_{\!M}(t)}\; - r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}^{\,2}\;</math>»<ref name="accélération radiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (accélération radiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant <math>\;\rho(t)\;</math> par <math>\;r(t)</math>.</ref> <math>\;\bigg[</math>le 1^er terme étant nul car <math>\;r_{\!M}(t) = cste\;\;\forall\;t\;</math> et le 2^nd constant car <math>\;\dot{\theta}_{\!M}(t) = \dfrac{V_{\theta,\,M}(t)}{r_{\!M}(t)}\;</math><ref name="vitesse orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (vitesse orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant <math>\;\rho(t)\;</math> par <math>\;r(t)</math>.</ref> <math>= \dfrac{-V_0}{r_{\!M}}\;\;\forall\;t</math>, le mouvement circulaire étant uniforme dans le sens rétrograde<math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre sachant }}que «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = q\;V_{\theta,\,M}(t)\;\vec{u}_\theta \wedge B\;\vec{u}_z = q\;V_{\theta,\,M}(t)\;B\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> projeté sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> en «<math>\;\overline{F}_{\text{mag. de Lor}}(t) = q\;r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}\;B\;</math>» <math>\;\big[</math>la vitesse orthoradiale <math>\;V_{\theta,\,M}(t) = r_{\!M}(t)\;\dot{\theta}_{\!M}(t)\;</math><ref name="vitesse orthoradiale" /> étant constante car chacun des facteurs l'est et <math>\;< 0</math>, la vitesse angulaire l'étant<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}pour projection radiale de <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> : «<math>\;q\;r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}\;B = -m\;r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}^{\,2}\;</math>» dont nous tirons la « vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}_{\!M} = -\dfrac{q\;B}{m} = -\omega_c\;</math>» <math>\;\big(</math>dans la mesure où <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\omega_c\;</math> étant la pulsation cyclotron de la particule<ref name="pulsation cyclotron de la particule" /><math>\big)</math> <math>\;\bigg[</math>la période de rotation étant «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B}\;</math>» indépendante de la vitesse initiale<math>\bigg]</math>, puis le rayon de la trajectoire circulaire à l'aide de l'identification de la vitesse orthoradiale <math>\;V_{\theta,\,M} = r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}\;</math><ref name="vitesse orthoradiale" /> avec l'opposé de la norme du vecteur vitesse initiale <math>\;-V_0\;</math> d'où <math>\;r_{\!M} = \dfrac{-V_0}{\dot{\theta}_{\!M}} = \dfrac{-V_0}{-\dfrac{q\;B}{m}}\;</math> soit finalement <center>l'expression du rayon de la trajectoire circulaire suivie par la particule «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>» <math>\;\big(</math>pour <math>\;q > 0\big)</math> ;</center> [[File:Particule de charge négative entrant perpendiculairement dans un champ magnétostatique uniforme - bis.png|thumb|400px|Description du mouvement d'une particule <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q < 0\;</math> entrant en <math>\;M_0\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}</math>, la nature circulaire du mouvement étant admise]] {{Al|5}}Ci-contre, la description du mouvement suivi par la particule chargée «<math>\;M \left( q < 0 \right)\;</math>» pénétrant en <math>\;M_0\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math>» avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math>» <math>\;\big(</math>donc <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\big)</math>, mouvement de nature <u>plane</u> dans <math>\;xM_0y</math>, <u>uniforme</u> de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> «<math>\;v_0 = V_0\;</math>» dans le sens direct et <u>circulaire</u> <math>\;\big(</math>admis<math>\big)\;</math> de centre <math>\;C\;</math> choisi comme pôle du repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xM_0y</math>, ses coordonnées étant <math>\;\left( \mathcal{R}_c\,,\, \theta_M \right)</math> <math>\;\big[</math>abscisse angulaire simplement notée <math>\;\theta\;</math> sur le schéma<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|ci-contre }}projetant l'équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_équation_par_application_de_la_r.f.d.n._en_repérage_intrinsèque_dans_le_référentiel_d’étude_galiléen|mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math> <math>\;\big[</math>vecteur unitaire radial de la base polaire <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math> lié à <math>\;M\;</math> dans le plan du mouvement de ce dernier<ref name="repérage cylindro-polaire d'un point" /><math>\big]\;</math> nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}sachant que <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t) = \vec{a}_{\!M}(t)\;</math> se projette sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> en l'« accélération radiale <math>\;a_{r,\,M}(t) = \;\cancel{\ddot{r}_{\!M}(t)}\; - r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}^{\,2}\;</math>»<ref name="accélération radiale" /> <math>\;\bigg[</math>le 1^er terme étant nul car <math>\;r_{\!M}(t) = cste\;\;\forall\;t\;</math> et le 2^nd constant car <math>\;\dot{\theta}_{\!M}(t) = \dfrac{V_{\theta,\,M}(t)}{r_{\!M}(t)}\;</math><ref name="vitesse orthoradiale" /> <math>= \dfrac{V_0}{r_{\!M}}\;\;\forall\;t</math>, le mouvement circulaire étant uniforme dans le sens direct<math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre sachant }}que «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = q\;V_{\theta,\,M}(t)\;\vec{u}_\theta \wedge B\;\vec{u}_z = q\;V_{\theta,\,M}(t)\;B\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> projeté sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> en «<math>\;\overline{F}_{\text{mag. de Lor}}(t) = q\;r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}\;B\;</math>» <math>\;\big[</math>la vitesse orthoradiale <math>\;V_{\theta,\,M}(t) = r_{\!M}(t)\;\dot{\theta}_{\!M}(t)\;</math><ref name="vitesse orthoradiale" /> étant constante car chacun des facteurs l'est et <math>\;> 0</math>, la vitesse angulaire l'étant<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre }}pour projection radiale de <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> : «<math>\;q\;r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}\;B = -m\;r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}^{\,2}\;</math>» dont nous tirons la « vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}_{\!M} = -\dfrac{q\;B}{m} = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m} = \omega_c\;</math>» <math>\;\big(</math>dans la mesure où <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;\omega_c\;</math> étant la pulsation cyclotron de la particule<ref name="pulsation cyclotron de la particule" /><math>\big)</math> <math>\;\bigg[</math>la période de rotation étant «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\;m}{\vert q \vert\;B}\;</math>» indépendante de la vitesse initiale<math>\bigg]</math>, puis le rayon de la trajectoire circulaire à l'aide de l'identification de la vitesse orthoradiale <math>\;V_{\theta,\,M} = r_{\!M}\;\dot{\theta}_{\!M}\;</math><ref name="vitesse orthoradiale" /> avec la norme du vecteur vitesse initiale <math>\;V_0\;</math> d'où <math>\;r_{\!M} = \dfrac{V_0}{\dot{\theta}_{\!M}} = \dfrac{V_0}{\dfrac{\vert q \vert\;B}{m}}\;</math> soit finalement <center>l'expression du rayon de la trajectoire circulaire suivie par la particule «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B}\;</math>» <math>\;\big(</math>pour <math>\;q < 0\big)</math>.</center> === Conclusion === {{Al|5}}Bien que l'exposé précédent ait l'inconvénient d'admettre la nature de la trajectoire suivie par la particule c'est ce qui est explicitement demandé dans le programme de physique de P.C.S.I., les principaux résultats étant ceux rappelés dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Résumé_des_principaux_résultats|résumé des principaux résultats]] » plus haut dans ce chapitre, les schémas qui y sont tracés restant les mêmes à condition que l'origine <math>\;O\;</math> du repère cartésien associé au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> soit positionné au centre <math>\;C\;</math> du cercle décrit, la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;v_0\;</math> s'identifiant à la norme du vecteur vitesse initiale <math>\;V_0</math>. == En complément, mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant obliquement par rapport au champ, mouvement hélicoïdal == <center>Étude faite dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> === Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale oblique relativement à ce champ » === {{Al|5}}Une particule chargée <math>\;M \left( q \right)</math>, de masse <math>\;m</math>, entre dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B}\;</math>» en la position <math>\,M_0\,</math> choisie comme origine <math>\,O\,</math> du repérage intrinsèque avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0\,</math> <math>\cancel{\perp}\,</math> et <math>\,\nparallel\,</math> à <math>\,\vec{B}\;</math>» <math>\,\big[</math>à considérer comme complément <math>\,\big(</math>même si c'est un cas relativement fréquent dans la nature<math>\big)\,</math> car non explicitement au programme de physique de P.C.S.I<ref name="V0 perp à B" />.<math>\big]</math> ; {{Al|5}}nous nous proposons de déterminer le mouvement ultérieur de la particule dans le référentiel lié à l’espace champ magnétique <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> supposé galiléen quand elle n’est soumise qu’à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />, <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math> <math>\;\big[</math>en effet, même dans le cas où l'expérience se passe sur Terre, l'influence du poids de la particule peut toujours être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz<ref name="influence du poids négligeable" /> <math>\;\big(</math>y compris quand cette dernière est nulle, donc sans action sur le mouvement de la particule<ref name="V0 parallèle à B" />, son poids n'ayant dans la pratique aucune influence car de norme excessivement petite<math>\big)\big]</math> ; {{Al|5}}nous choisissons une base cartésienne orthonormée directe <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x \,,\, \vec{u}_y \,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> associée au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> telle que * <math>\;\vec{u}_z\;</math> est colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{B}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math>, * <math>\;\vec{u}_x\;</math> tel que le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> de la particule soit dans le plan de vecteurs directeurs <math>\;\left\lbrace \vec{u}_z\,,\, \vec{u}_x \right\rbrace\;</math> passant par la position initiale <math>\;M_0\;</math> et tel que <math>\;V_{0,\,x} = \vec{V}_0 \cdot \vec{u}_x\;</math> soit <math>\;> 0\;</math> et * <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x\;</math> orientant les angles du plan de vecteurs directeurs <math>\;\left\lbrace \vec{u}_z\,,\, \vec{u}_x \right\rbrace\;</math> passant par la position initiale <math>\;M_0</math> ; {{Al|5}}notant «<math>\;\beta_0 = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique, de valeur «<math>\;\in\; \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\; \cup \;\left] + \dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right[\;</math>», nous en déduisons <center>«<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\cos(\beta_0)\;\vec{u}_z + V_0\;\sin(\beta_0)\;\vec{u}_x\;</math>» avec «<math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math>».</center> === Rappel de la mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d’étude galiléen et nature du mouvement du projeté « M_z » sur la direction du champ === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_équation_par_application_de_la_r.f.d.n._en_repérage_intrinsèque_dans_le_référentiel_d’étude_galiléen|mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre pour l'établissement de l'équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)</math>, le vecteur vitesse de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen, <center>«<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la projection de l'équation différentielle vectorielle <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> conduisant à «<math>\;0 = m\;\dfrac{d V_{z,\,M}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>en rappelant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est <math>\;\perp\;</math> à chacun de ses vecteurs<ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" /><math>\big]\;</math> nous en déduisons <math>\;V_{z,\,M}(t) = cste\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. imposant «<math>\;V_{0,\,z} = V_0\;\cos(\beta_0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = V_0\;\cos(\beta_0)\;</math> soit «<math>\;V_{z,\,M}(t) = V_0\;\cos(\beta_0)\;\; \forall\; t\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|la projection de l'équation différentielle vectorielle ( a) sur uz conduisant à }} «<math>\;V_0\;\cos(\beta_0) = V_{z,\,M}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(t) = V_0\;\cos(\beta_0)\;t + cste'\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;M_0\;</math> en <math>\;O\;</math> imposant «<math>\;z_0 = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0\;</math> soit «<math>\;z_M(t) = V_0\;\cos(\beta_0)\;t,\;\; \forall\; t\;</math>». {{Al|5}}En conclusion, le mouvement du projeté orthogonal <math>\;M_z\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> après pénétration de cette dernière dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> incliné d'un angle <math>\;\beta_0\;</math> par rapport à <math>\;\vec{B}\;</math> est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur <math>\;M\;</math> est la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, rectiligne <u>uniforme</u>, de vitesse «<math>\;V_{0,\,z} = V_0\;\cos(\beta_0)\;</math>» à partir de la cote initiale <math>\;z_0 = 0\;</math> de la particule. === Équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en « la composante vectorielle de la vitesse perpendiculaire au champ magnétostatique » résultant de la projection du vecteur vitesse sur le plan perpendiculaire à la direction du champ passant par la position initiale et nature du mouvement du projeté « M_xy » de la particule sur le plan précédent === {{Al|5}}Décomposant le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> suivant la direction du champ magnétostatique <math>\;\overrightarrow{Mz}\;</math> et du plan <math>\;xMy\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> passant par <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_{\!M,\,z}(t) + \vec{V}_{\!M,\,xy}(t)\;</math>», le 1^er terme étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_z\;</math> et le 2^nd <math>\;\parallel\;</math> au plan <math>\;xMy\;</math> ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Décomposant }}le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_{\!M}(t)\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> suivant la direction du champ magnétostatique <math>\;\overrightarrow{Mz}\;</math> et du plan <math>\;xMy\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> passant par <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{a}_{M}(t) = \vec{a}_{M,\,z}(t) + \vec{a}_{M,\,xy}(t)\;</math>», le 1^er terme étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_z\;</math> et le 2^nd <math>\;\parallel\;</math> au plan <math>\;xMy</math>, {{Al|5}}les liens entre les vecteurs accélérations et vitesses étant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}_{M}(t) = \dot{\vec{V}}_{\!M}(t)\\ \vec{a}_{M,\,z}(t) = \dot{\vec{V}}_{\!M,\,z}(t)\\ \vec{a}_{M,\,xy}(t) = \dot{\vec{V}}_{\!M,\,xy}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}l'équation différentielle vectorielle <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)</math> se réécrit selon «<math>\;q \left[ \vec{V}_{\!M,\,z}(t) + \vec{V}_{\!M,\,xy}(t) \right] \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \left[ \vec{V}_{\!M,\,z} + \vec{V}_{\!M,\,xy} \right]}{dt}(t)\;</math>» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle<ref name="Propriétés de la multiplication vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ainsi que la linéarité de la dérivation temporelle, «<math>\;\cancel{q\; \vec{V}_{\!M,\,z}(t) \wedge \vec{B}\; +}\; q\;\vec{V}_{\!M,\,xy}(t) \wedge \vec{B} = \cancel{m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M,\,z}}{dt}(t)\; +}\; m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M,\,xy}}{dt}(t)\;</math>» le 1^er terme de chaque membre étant séparément nul <math>\;\big[</math>pour le membre de gauche parce que les deux vecteurs du produit vectoriel sont colinéaires<ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" /> et pour le membre de droite parce qu'il a été établi au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Rappel_de_la_mise_en_équation_par_application_de_la_r.f.d.n._en_repérage_intrinsèque_dans_le_référentiel_d’étude_galiléen_et_nature_du_mouvement_du_projeté_«_Mz_»_sur_la_direction_du_champ|rappel de la mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen et nature du mouvement du projeté M_z sur la direction du champ]] » plus haut dans ce chapitre que le mouvement de <math>\;M_z\;</math> est uniforme<math>\big]</math> d'où l'équation différentielle vectorielle <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> du 1^er ordre en le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M,\,xy}(t)\;</math> du projeté orthogonal <math>\;M_{xy}\;</math> de la particule sur le plan <math>\;xOy</math>, <center>«<math>\;q\;\vec{V}_{\!M,\,xy}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M,\,xy}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le problème de la détermination du mouvement du projeté orthogonal <math>\;M_{xy}\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;\perp\;</math> au champ <math>\;\vec{B}\;</math> et passant par la position initiale de cette dernière étant le même que celui du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Exposé_du_problème_:_mouvement_d’une_particule_chargée_entrant_dans_un_espace_champ_magnétostatique_uniforme_avec_une_«_vitesse_initiale_perpendiculaire_à_ce_champ_»|exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur vitesse initiale de <math>\;M_{xy}\;</math> étant <math>\;\vec{V}_{0,\,xy} = V_0\;\sin(\beta_0)\;\vec{u}_x</math>, nous en déduisons<ref> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Conséquence_de_«_la_force_magnétique_de_Lorentz,_seule_force_exercée_»_(ou_de_la_projection_de_la_r.f.d.n._sur_le_vecteur_unitaire_tangentiel_de_Frenet)_:_nature_uniforme_du_mouvement|conséquence de la “ force magnétique de Lorentz, seule force exercée ” (ou de la projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet) : nature uniforme du mouvement]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Conséquence_de_la_nature_plane_et_uniforme_du_mouvement_avec_projection_de_la_r.f.d.n._sur_le_vecteur_unitaire_normal_principal_de_Frenet_:_nature_circulaire_du_mouvement|conséquence de la nature plane et uniforme du mouvement avec projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet : nature circulaire du mouvement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> que le mouvement de <math>\;M_{xy}\;</math> est * <u>uniforme</u> de vitesse instantanée «<math>\;v_{M_{xy}}(t) = V_0\;\sin(\beta_0)\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\;\big\{</math>celle-ci étant définie comme composante du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M,\,xy}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{\tau}_{xy}\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;\big[</math>le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> lié à <math>\;M_{xy}\;</math> sur la trajectoire de ce dernier, choisi tel que <math>\;\vec{\tau}_{xy}(0)\;</math> soit dans le sens de <math>\;\vec{V}_{0,\,xy}\big]\big\}\;</math> ou encore «<math>\;v_{M_{xy}}(t) = v_{0,\,xy}\;\;\forall\;t\;</math>» en notant «<math>\;v_{0,\,xy} = V_0\;\sin(\beta_0)\;</math> la vitesse instantanée initiale de <math>\;M_{xy}\;</math> sur sa trajectoire »<ref name="vitesse instantanée" /> et * <u>circulaire</u> de rayon «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy} = \dfrac{m\;v_{0,\,xy}}{\vert q \vert\;B}\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy} = \dfrac{m\;V_0\;\sin(\beta_0)}{\vert q \vert\;B}\;</math>» ; {{Al|5}}la vitesse angulaire de rotation de <math>\;M_{xy}\;</math> sur sa trajectoire <math>\;\big(</math>vitesse angulaire comptée positivement dans le même sens que <math>\;\vec{\tau}_{xy}\;</math> et non relativement au sens <math>\;+\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math> défini par <math>\;\vec{u}_z\big)\;</math> est donc {{Nobr|«<math>\;\dfrac{v_{0,\,xy}}{\mathcal{R}_{c,\,xy}} =</math>}} <math>\dfrac{v_{0,\,xy}}{\dfrac{m\;v_{0,\,xy}}{\vert q \vert\;B}} = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\omega_c\;</math> la pulsation cyclotron de la particule »<ref name="pulsation cyclotron de la particule" /> et <br>{{Al|5}}la période de rotation de <math>\;M_{xy}\;</math> sur sa trajectoire est alors «<math>\;T_{xy} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\; m}{\vert q \vert\;B}\;</math>» toujours indépendante de la vitesse linéaire initiale. === Nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule === {{Al|5}}<u>Le mouvement de la particule</u> <math>\;M \left( q \right)\;</math> entrant obliquement en <math>\;O</math>, dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> dans lequel <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math>, avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math> <math>= V_{0,\,z}\;\vec{u}_z + v_{0,\,xy}\;\vec{u}_x\;</math> dans lequel <math>\;\left( V_{0,\,z}\,,\, v_{0,\,xy} \right) \neq \left( 0\,,\, 0 \right)</math> <math>\;\big[v_{0,\,xy}\;</math> étant la vitesse instantanée initiale du projeté orthogonal <math>\;M_{xy}\;</math> de la particule sur le plan <math>\;xOy</math>, comptée algébriquement dans le sens du mouvement choisi comme sens <math>\;+\;</math> sur la trajectoire de <math>\;M_{xy}\;</math><ref name="vitesse instantanée" /><math>\big]\;</math> <u>étant le composé du mouvement circulaire uniforme</u> du projeté orthogonal <math>\,M_{xy}\,</math> de la particule sur le plan <math>\,xOy\,</math> <u>et du mouvement de dérive uniforme</u> du projeté orthogonal <math>\,M_z\,</math> de <math>\,M\,</math> sur la direction <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> <u>est un mouvement hélicoïdal uniforme</u>, inscrit sur un cylindre de révolution d’axe <math>\,Cz</math> <math>\,\big(C\,</math> étant le centre du cercle décrit par <math>\,M_{xy}\big)\,</math> et de rayon «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy} = \dfrac{m\;v_{0,\,xy}}{\vert q \vert\;B}\;</math>», le « pas de l’hélice »<ref name="pas de l'hélice"> C.-à-d. la valeur absolue de la différence de cotes pour une augmentation d'abscisse angulaire de <math>\;2\;\pi</math>.</ref> étant «<math>\;p = \vert V_{0,\,z} \vert\; T_{xy}\;</math>» avec «<math>\;T_{xy} = \dfrac{2\; \pi\; m}{\vert q \vert\; B}\,</math> la période de rotation de <math>\,M_{xy}\,</math> et <math>\,V_{0,\,z}\,</math> la vitesse de dérive de <math>\,M_z\;</math>» soit «<math>\;p = \dfrac{2\; \pi\; m\;\vert V_{0,\,z} \vert}{\vert q \vert\; B}\;</math>». [[File:Particule de charge positive entrant obliquement dans un champ magnétostatique uniforme.png|thumb|left|400px|Description du mouvement d'une particule de charge <math>\;q > 0\;</math> entrant en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\cancel{\perp}\;</math> et <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\vec{B}</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>sur}} le schéma l'indice «<math>\;_{xy}\;</math>» est noté «<math>\;_{\perp}\;</math>»<math>\big)</math>]] [[File:Particule de charge négative entrant obliquement dans un champ magnétostatique uniforme.png|thumb|right|400px|Description du mouvement d'une particule de charge <math>\;q < 0\;</math> entrant en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\cancel{\perp}\;</math> et <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\vec{B}</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>sur}} le schéma l'indice «<math>\;_{xy}\;</math>» est noté «<math>\;_{\perp}\;</math>»<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Ci-contre, à gauche, le cas d'une particule de charge <math>\;q > 0\;</math> entrant obliquement en <math>\;O\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec une composante de vitesse initiale le long du champ <math>\;V_{0,\,z} > 0</math>, l'hélice décrite est alors « gauche »<ref name="hélice gauche ou droite"> Une hélice est qualifiée de « senestre » ou « gauche » si un observateur placé à l'extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » <math>\;\big[</math>elle monte donc dans le sens rétrograde c.-à-d. le sens horaire<math>\big]</math> et <br>{{Al|34}}{{Transparent|Une hélice est }}qualifiée de « dextre » ou « droite » si un observateur placé à l'extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » <math>\;\big[</math>elle monte donc dans le sens direct c.-à-d. le sens anti-horaire<math>\big]</math></ref> <math>\;\big[</math>dans le cas non représenté où la composante de vitesse initiale le long du champ <math>\;V_{0,\,z}\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'hélice décrite est alors « droite »<ref name="hélice gauche ou droite" /><math>\big]</math> ; notant «<math>\;\beta_0 = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique, angle orienté par <math>\;\vec{u}_y</math>, nous en déduisons * <math>\;V_{0,\,z} = V_0\;\cos(\beta_0)</math>, l'hélice est alors « gauche pour <math>\;\beta_0 \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;\;</math>» et « droite pour <math>\;\beta_0 \in \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right[\;\;</math>», son pas se réécrivant «<math>\;p = \dfrac{2\; \pi\; m\;V_0\;\vert \cos(\beta_0) \vert}{q\; B}\;</math>» ainsi que * <math>\;v_{0,\,xy} = V_0\;\sin(\beta_0)</math>, le rayon du cylindre support de l'hélice se réécrivant «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy} = \dfrac{m\;V_0\;\sin(\beta_0)}{q\;B}\;</math>» ; {{Al|5}}Ci-contre, à droite, le cas d'une particule de charge <math>\;q < 0\;</math> entrant obliquement en <math>\;O\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec une composante de vitesse initiale le long du champ <math>\;V_{0,\,z} > 0</math>, l'hélice décrite est alors « droite »<ref name="hélice gauche ou droite" /> <math>\;\big[</math>dans le cas non représenté où la composante de vitesse initiale le long du champ <math>\;V_{0,\,z}\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'hélice décrite est alors « gauche »<ref name="hélice gauche ou droite" /><math>\big]</math> ; notant «<math>\;\beta_0 = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique, angle orienté par <math>\;\vec{u}_y</math>, nous en déduisons * <math>\;V_{0,\,z} = V_0\;\cos(\beta_0)</math>, l'hélice est alors « droite pour <math>\;\beta_0 \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;\;</math>» et « gauche pour <math>\;\beta_0 \in \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right[\;\;</math>», le pas de cette dernière se réécrivant «<math>\;p =</math> <math>\dfrac{2\; \pi\; m\;V_0\;\vert \cos(\beta_0) \vert}{\vert q \vert\; B}\;</math>» ainsi que * <math>\;v_{0,\,xy} = V_0\;\sin(\beta_0)</math>, le rayon du cylindre support de l'hélice se réécrivant «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy} = \dfrac{m\;V_0\;\sin(\beta_0)}{\vert q \vert\;B}\;</math>». == En complément, précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour du champ magnétostatique uniforme, sens de rotation, retour sur la pulsation cyclotron de la particule == {{Al|5}}L'étude de la [[w:Précession|précession]] du vecteur vitesse d'une particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» autour d'un champ magnétostatique uniforme «<math>\;\vec{B}\;</math>» quand <math>\;M\;</math> n'est soumise qu'à la seule force magnétique de {{Nobr|Lorentz<ref name="Lorentz" />}} «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" /> n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., le choix d'exposer « la [[w:Précession|précession]] de <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> autour de <math>\;\vec{B}\;</math>» en complément de dynamique newtonienne résulte du fait que cette notion est un élément important de culture générale. === Mise en évidence de la précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour de la direction du champ magnétostatique === {{Al|5}}Considérant une particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> dans laquelle « elle entre en <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> de direction quelconque relativement à celle de <math>\;\vec{B}\;</math>», la particule n'étant soumis qu'à la seule « force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" /> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> lié à la source du champ magnétostatique<math>\big]\;</math> et {{Al|5}}appliquant la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la particule <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> supposé galiléen nous obtenons «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> c.-à-d. la dérivée temporelle du vecteur vitesse de la particule au même instant <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)</math>, soit finalement l’équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> <center>«<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t) = \dfrac{q}{m}\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;:\;\;\dfrac{\left( \mathfrak{a} \right)}{m} = \left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}définissant l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math><ref name="hodographe" /> selon la définition <math>\;\left( \mathcal{H} \right) = \left\lbrace P,\;\overrightarrow{OP}(t) \;\widehat{=}\;\vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \overrightarrow{OP}}{dt}(t) = \vec{V}_{\!P}(t) \;\widehat{=}\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />{{,}}<ref name="vecteur vitesse d'un point de l'hodographe"> Nous pouvons donc vérifier que «<math>\;\overrightarrow{OP}(t) \;\widehat{=}\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{\!P}(t) \;\widehat{=}\;\vec{a}_{M}(t)\;</math>», voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Lien_avec_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_M|lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M]] (vecteur vitesse de P sur l'hodographe) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, nous pouvons réécrire l'équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t) = \dfrac{q}{m}\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;:\;\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!P}(t) = \dfrac{q}{m}\;\overrightarrow{OP}(t) \wedge \vec{B}\;</math>» ou, en utilisant l'anticommutativité de la multiplication {{Nobr|vectorielle<ref name="Propriétés de la multiplication vectorielle" />,}} selon <center>«<math>\;\vec{V}_{\!P}(t) = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B} \wedge \overrightarrow{OP}(t)\;:\;\;\left( {\mathfrak{a}'}_P \right)\;</math>» ;</center> [[File:Précession.png|thumb|left|400px|Description de la [[w:Précession|précession]] d'un champ vectoriel temporel <math>\;\vec{A}(t)\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}</math>, {{Nobr|c.-à-d.}} la [[w:Précession|précession]] du vecteur <math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\;\vec{A}(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /> autour de l'axe support de <math>\;\vec{\Omega}\;</math> et passant par <math>\;O</math>]] [[File:Précession - bis.png|thumb|right|400px|Description de la [[w:Précession|précession]] du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> d'une particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}</math>, [[w:Précession|précession]] autour de ce dernier avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> représentée pour <math>\;q > 0</math>]] {{Al|5}}nous reconnaissons dans la relation <math>\;\left( {\mathfrak{a}'}_P \right)\;</math> l’« expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point <math>\;P\;</math> en mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> autour de l'axe passant par l'origine <math>\;O\;</math> du repérage intrinsèque et support de <math>\;\vec{\Omega}\;</math>» <center>«<math>\;\vec{V}_{\!P}(t) = \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OP}(t)\;</math>»<ref name="expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}ci-contre à gauche le schéma descriptif de la [[w:Précession|précession]] d'un champ vectoriel temporel quelconque <math>\;\vec{A}(t)\;</math> en représentant ce dernier à partir d'un point fixe <math>\;O\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\;\vec{A}(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />, la [[w:Précession|précession]] étant de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}\;</math> autour de l'axe passant par <math>\;O\;</math> et de même direction que <math>\;\vec{\Omega}</math>, la trajectoire de <math>\;P\;</math> étant le cercle représenté en tiretés dans un plan <math>\;\perp\;</math> à l'axe ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à gauche }}ce schéma général est bien sûr applicable dans le cas particulier où <math>\;\vec{A}(t) = \vec{V}_{\!M}(t)\;\widehat{=}\;\overrightarrow{OP}(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" />, la trajectoire de <math>\;P\;</math> étant alors l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> du mouvement de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ <math>\;\vec{B}\;</math><ref name="hodographe" />, le vecteur rotation instantanée étant <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}</math> ; {{Al|5}}ci-contre à droite le schéma descriptif de la [[w:Précession|précession]] du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ <math>\;\vec{B}\;</math> en représentant <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> à partir d'un point fixe <math>\;O</math>, la [[w:Précession|précession]] étant de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> autour de l'axe passant par <math>\;O\;</math> et de même direction que <math>\;\vec{B}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite }}<math>\vec{\Omega}\;</math> étant de sens contraire à <math>\;\vec{B}\;</math> pour une particule de charge positive <math>\;\big(</math>cas de la figure<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|19}}{{Transparent|ci-contre à droite }}de même sens que <math>\;\vec{B}\;</math> pour une particule de charge négative <math>\;\big(</math>cas non représenté<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite }}l'extrémité <math>\;P\;</math> de <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> représenté à partir du point fixe <math>\;O</math> <math>\;\Big[</math>telle que <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;\widehat{=}\;\overrightarrow{OP}(t)\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un chapeau" /><math>\Big]\;</math> décrit un cercle représenté en tiretés, le vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, du point générique <math>\;P\;</math> de ce cercle représentant le vecteur accélération <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> de la particule au même instant <math>\;t</math> ; {{Al|65}}{{Transparent|ci-contre à droite }}<u>conséquences de la précession de</u> <math>\vec{V}_{\!M}(t)</math> <u>autour de</u> <math>\vec{B}</math> : «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> représenté à partir du point fixe <math>\;O\;</math> restant sur un cône de révolution de sommet <math>\;O\;</math> et d’axe de vecteur directeur <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math>» nous en déduisons <br>{{Al|65}}{{Transparent|ci-contre à droite }}<math>\;\succ\;</math>« l'angle non algébrisé <math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{\Omega}\,,\, \vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace}\;</math> reste constant égal à <math>\;\alpha_0\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> ou encore que « l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse <math>\vec{V}_{\!M}(t)</math> de la particule relativement au vecteur champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\;</math> reste constant, de valeur <math>\;\pi - \alpha_0\;</math> pour <math>\;q > 0\;</math> et <math>\;\alpha_0\;</math> pour <math>\;q < 0\;</math>» ainsi que <br>{{Al|65}}{{Transparent|ci-contre à droite }}<math>\;\succ\;</math>« l'extrémité <math>\;P\;</math> de <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> représenté à partir du point fixe <math>\;O\;</math> reste à égale distance du point <math>\;O\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert\;</math> reste constante égale à <math>\;V_0</math>, permettant de retrouver la nature uniforme du mouvement de la particule <math>\;M\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme ». === Sens de rotation === {{Al|5}}D'après le paragraphe précédent, nous constatons que le sens de la [[w:Précession|précession]] dépend simultanément du sens du champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\;</math> sur la direction de [[w:Précession|précession]] et du signe de la charge <math>\;q\;</math> de la particule : * pour une particule de charge <math>\;q > 0</math>, «<math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> étant de sens contraire à <math>\;\vec{B}\;</math>» et, définissant le sens <math>\;+\;</math> de rotation par le sens de <math>\;\vec{B}</math>, nous en déduisons que « le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> est en précession dans le sens <math>\;-\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. le sens rétrograde <math>\;\big(</math>ou trigonométrique inverse ou encore horaire<math>\big)\;</math> en positionnant l'observateur tel que <math>\;\vec{B}\;</math> vienne vers lui, voir schéma du paragraphe précédent ci-dessus à droite<math>\big]</math> ; * pour une particule de charge <math>\;q < 0</math>, «<math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> étant de même sens que <math>\;\vec{B}\;</math>» et, définissant le sens <math>\;+\;</math> de rotation par le sens de <math>\;\vec{B}</math>, nous en déduisons que « le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> est en précession dans le sens <math>\;+\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. le sens trigonométrique direct <math>\;\big(</math>ou anti-horaire<math>\big)\;</math> en positionnant l'observateur tel que <math>\;\vec{B}\;</math> vienne vers lui, cas non représenté sur un schéma<math>\big]</math>. === Retour sur la pulsation cyclotron de la particule === {{Al|5}}En comparant le vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> de la [[w:Précession|précession]] du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme autour du champ <math>\;\vec{B}\;</math> de ce dernier et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En comparant }}la pulsation cyclotron <math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math> de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans ce même espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ magnétostatique <math>\;\vec{B}</math> <math>\;\big(B\;</math> étant la norme du champ magnétostatique <math>\;\Vert \vec{B} \Vert\big)\;</math><ref name="pulsation cyclotron de la particule" />, nous en déduisons que <center>la pulsation cyclotron <math>\;\omega_c\;</math> de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B}\;</math><ref name="pulsation cyclotron de la particule" /> est aussi <br>la norme du vecteur rotation instantanée <math>\;\Vert \vec{\Omega} \Vert\;</math> de la [[w:Précession|précession]] du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de <math>\;M\;</math> dans ce champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\;</math> <br>soit «<math>\;\omega_c = \Vert \vec{\Omega} \Vert = \bigg\Vert\! -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\, \bigg\Vert = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math>».</center> === Rayon de courbure de l’hélice décrite par la particule chargée entrant obliquement dans l’espace champ magnétostatique === {{Al|5}}L’application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> soumise à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" /> avec <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, référentiel lié à la source de l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}</math>, donnant «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m\;\vec{a}_M(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» avec <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|5}}la projection de la relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> sur le « vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{n}_M\;</math>»<ref name="base locale de Frenet" /> nous conduisant à <center>«<math>\;\Vert q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = m\;a_{n,\,M}(t)\;</math>»<ref name="projection de la force magnétique de Lorentz sur la normale"> La force magnétique de Lorentz étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> n'a aucune composante sur le « vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet <math>\;\vec{\tau}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>ce dernier paragraphe permettant de définir le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<math>\big)\big]\;</math> et le vecteur accélération d'un point étant, quel que soit le mouvement, dans le plan osculateur à la trajectoire de ce point <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Notion_de_plan_et_de_cercle_osculateurs_en_un_point_d'une_courbe_gauche,_centre_et_rayon_de_courbure_en_ce_point|notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en de point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> donc <math>\;\perp\;</math> au « vecteur unitaire normal secondaire de la base locale de Frenet <math>\;\vec{b}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#2ème_et_3ème_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_étudiée|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, il en est de même de la force magnétique de Lorentz et par suite cette dernière est colinéaire à <math>\;\vec{n}_M</math> <math>\;\big(</math>et de même sens<math>\big)</math>.</ref></center> {{Al|5}}dans laquelle «<math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^{\,2}(t)}{\mathcal{R}_c(t)}\;</math> est l'accélération normale de la particule à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="accélérations tangentielle et normale" />, <math>\;v_M(t)\;</math> étant la vitesse instantanée de la particule <math>\;v_M(t) =</math> <math>\vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\tau}_M\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> et <math>\;\mathcal{R}_c(t)\;</math> le rayon de courbure de la trajectoire en la position de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe gauche"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Énoncé_de_la_définition_simultanée_du_2ème_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_et_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_gauche|énoncé de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe gauche]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|dans laquelle }}«<math>\;\Vert q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = \vert q \vert\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert\;\Vert \vec{B} \Vert\;\Bigg\vert \sin\! \left[ \widehat{\left\lbrace q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\,\vec{B} \right\rbrace} \right] \Bigg\vert\;</math>» ou, <math>\;\vec{\tau}_{M_0}\;</math> étant choisi dans le sens de <math>\;\vec{V}_0\;</math> et le mouvement étant uniforme <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_évidence_de_la_précession_du_vecteur_vitesse_de_la_particule_chargée_autour_de_la_direction_du_champ_magnétostatique|mise en évidence de la précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour de la direction du champ magnétostatique]] (2^ème conséquence) » <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = V_0\;</math> plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;v_M(t) = \Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert</math> <math>\;\big[= V_0\big]\;</math> et, {{Al|125}}{{Transparent|dans laquelle }}l'« angle non algébrisé <math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{\Omega}\,,\, \vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace}</math> <math>\;\bigg[</math>avec <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> le vecteur rotation instantanée de [[w:Précession|précession]] du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de la particule autour du champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\bigg]\;</math> restant constant égal à <math>\;\alpha_0\;</math><ref> Voir schéma de droite du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_évidence_de_la_précession_du_vecteur_vitesse_de_la_particule_chargée_autour_de_la_direction_du_champ_magnétostatique|mise en évidence de la précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour de la direction du champ magnétostatique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Mise_en_évidence_de_la_précession_du_vecteur_vitesse_de_la_particule_chargée_autour_de_la_direction_du_champ_magnétostatique|mise en évidence de la précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour de la direction du champ magnétostatique]] (1^ère conséquence) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> ou, avec «<math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{\Omega}\,,\, \vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace} = \pi - \widehat{\left\lbrace \vec{B}\,,\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace}\;</math>»<ref> En effet si <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{\Omega}\,,\, \vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace -\vec{B}\,,\, \vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace}</math> <math>\;\bigg(\dfrac{q}{m}\;</math> étant <math>\;< 0\bigg)\;</math> est l'angle supplémentaire de <math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{B}\,,\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace}</math> <math>\;\big(q\;</math> étant <math>\;> 0\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{\Omega}\,,\, \vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{B}\,,\, \vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace}</math> <math>\;\bigg(\!-\dfrac{q}{m}\;</math> étant <math>\;> 0\bigg)\;</math> est l'angle supplémentaire de <math>\;\widehat{\left\lbrace \vec{B}\,,\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace}</math> <math>\;\big(q\;</math> étant <math>\;< 0\big)\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\widehat{\left\lbrace \vec{B}\,,\,q\;\vec{V}_{\!M}(t) \right\rbrace} = \pi - \alpha_0 = \widehat{\left\lbrace q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\, \vec{B} \right\rbrace}\;</math>» car non algébrisé <math>\Rightarrow</math> <math>\Bigg\vert \sin\! \left[ \widehat{\left\lbrace q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\,\vec{B} \right\rbrace} \right] \Bigg\vert = \sin(\alpha_0)\;</math> soit finalement la réécriture de la norme de la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> sous la forme <br>{{Al|125}}{{Transparent|dans laquelle }}«<math>\;\Vert q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = \vert q \vert\;v_{M}(t)\;B\;\sin(\alpha_0)</math> <math>\;\big[B\;</math> étant égal à <math>\;\Vert \vec{B} \Vert\big]\;</math> dans laquelle <math>\;v_M(t) = V_0\;</math>» ; {{Al|5}}la projection de la relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> sur <math>\;\vec{n}_M\;</math><ref name="base locale de Frenet" /> se réécrit donc «<math>\;\vert q \vert\;v_{M}(t)\;B\;\sin(\alpha_0) = m\;\dfrac{v_M^{\,2}(t)}{\mathcal{R}_c(t)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{R}_c(t) = \dfrac{m\;v_M(t)}{\vert q \vert\;B\;\sin(\alpha_0)}\;</math>» ou, avec <math>\;v_M(t) = \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0\;\;\forall\;t</math>, l'expression du rayon de courbure de la trajectoire suivie par la particule dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{R}_c(t) = \dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B\;\sin(\alpha_0)} = cste\;\;\forall\;t\;</math>» <br><math>\Downarrow</math> <br>la trajectoire est une <u>hélice</u> si <math>\;\alpha_0 \neq \dfrac{\pi}{2}</math> <math>\;\big(</math>la seule courbe gauche à rayon de courbure constant étant une hélice<math>\big)</math> ou <br>{{Transparent|la trajectoire est }}un <u>cercle</u> si <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}</math> <math>\;\big(</math>la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle<math>\big)</math>.{{Al|11}}</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » plus haut dans ce chapitre que le mouvement du projeté orthogonal sur le plan <math>\;xOy\;</math> de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> entrant obliquement en <math>\;O</math>, dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> dans lequel <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math>, avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math> <math>= V_{0,\,z}\;\vec{u}_z + v_{0,\,xy}\;\vec{u}_x\;</math> dans lequel <math>\;\left( V_{0,\,z}\,,\, v_{0,\,xy} \right) \neq \left( 0\,,\, 0 \right)</math> <math>\;\big[v_{0,\,xy}\;</math> étant la vitesse instantanée initiale du projeté orthogonal <math>\;M_{xy}\;</math> de la particule sur le plan <math>\;xOy</math>, comptée algébriquement dans le sens du mouvement choisi comme sens <math>\;+\;</math> sur la trajectoire de <math>\;M_{xy}\;</math><ref name="vitesse instantanée" /><math>\big]\;</math> est circulaire uniforme de rayon «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy} = \dfrac{m\;v_{0,\,xy}}{\vert q \vert\;B}\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en notant «<math>\;\beta_0 = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_{0,\,xy} = V_0\;\sin(\beta_0)\;</math> avec <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math>» ou, en introduisant l'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{\Omega}\,,\,\vec{V}_0 \right)}</math> <math>\;\bigg[</math>avec <math>\;\vec{\Omega} = -\dfrac{q}{m}\;\vec{B}\;</math> le vecteur rotation instantanée de [[w:Précession|précession]] du vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> de la particule autour du champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\bigg]</math>, {{Nobr|«<math>\;\beta_0 = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{V}_0 \right)}</math>}} <math> = \left\lbrace \begin{array}{l r} \pi - \alpha_0\!\!&\!\!\text{pour }q > 0\\ \alpha_0\!\!&\!\!\text{pour }q < 0\end{array}\right.\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_{0,\,xy} = V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le rayon de la trajectoire circulaire suivie par <math>\;M_{xy}</math> se réécrivant «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy} = \dfrac{m\;V_0\;\sin(\alpha_0)}{\vert q \vert\;B}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>lequel est aussi le rayon du cylindre de révolution support de la trajectoire hélicoïdale suivie par la particule <math>\;M\;</math> de rayon de courbure «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B\;\sin(\alpha_0)}\;</math>»<math>\bigg]</math>, nous en déduisons le lien entre le rayon de courbure de l'hélice «<math>\;\mathcal{R}_c\;</math>», le rayon du cylindre de révolution support de l'hélice «<math>\;\mathcal{R}_{c,\,xy}\;</math>» et l'angle non algébrisé entre une tangente à l'hélice en un point quelconque et l'axe du cylindre «<math>\;\alpha_0\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{\mathcal{R}_{c,\,xy}}{\sin^2(\alpha_0)}\;</math>».</center> == En complément, établissement de l’expression du rayon de courbure relativiste de la trajectoire quand la particule relativiste entre perpendiculairement au champ magnétostatique uniforme par utilisation de la r.f.d.r. == <center>Étude faite dans le cadre de la dynamique relativiste.</center> === Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » mais justifiant d’un traitement relativiste === {{Al|5}}Une particule chargée <math>\;M \left( q \right)</math>, de masse <math>\;m</math>, entre dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B}\;</math>» en la position <math>\;M_0\;</math> choisie comme origine <math>\;O\;</math> du repérage intrinsèque avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0\;</math> <math>\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math>» et de norme telle que la particule <math>\;M\;</math> relève initialement de la cinétique relativiste <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. que sa quantité de mouvement initiale <math>\;\vec{p}_0 \neq m\;\vec{V}_0\;</math> à plus de <math>\;1\;\%\;</math> dans la mesure où la norme de sa vitesse relative <math>\;\Vert \vec{\beta}_0 \Vert = \bigg\Vert \dfrac{\vec{V}_0}{c} \bigg\Vert\;</math> est <math>\;\cancel{\lesssim}\; 0,14</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et que son énergie cinétique initiale <math>\;K_0 \neq \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2}\;</math> à plus de <math>\;1\;\%\;</math> dans la mesure où la norme de sa vitesse relative <math>\;\Vert \vec{\beta}_0 \Vert = \bigg\Vert \dfrac{\vec{V}_0}{c} \bigg\Vert\;</math> est <math>\;\cancel{\lesssim}\; 0,115</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\bigg\}</math> ; {{Al|5}}nous nous proposons de déterminer le mouvement ultérieur de la particule dans le référentiel lié à l’espace champ magnétique <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> supposé galiléen quand elle n’est soumise qu’à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />, <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math> <math>\;\big[</math>en effet, même dans le cas où l'expérience se passe sur Terre, l'influence du poids de la particule peut toujours être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz<ref name="influence du poids négligeable" /> dans la mesure où celle-ci n'est pas nulle <math>\;\big(</math>et même si celle-ci était nulle il serait illusoire de tenir compte du poids, ce dernier étant de norme excessivement petite<math>\big)\big]</math> ; {{Al|5}}nous choisissons une base cartésienne orthonormée directe <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x \,,\, \vec{u}_y \,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> associée au référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> telle que * <math>\;\vec{u}_z\;</math> est colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{B}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math>, * <math>\;\vec{u}_x\;</math> est colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{V}_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et * <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x</math>. === Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » : nature uniforme du mouvement === {{Al|5}}La force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> ne développant aucune puissance<ref name="puissance de la force magnétique de Lorentz nulle" /> en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière <math>\;K_M(t)\;</math> reste constante par application du théorème de la puissance cinétique<ref name="théorème de la puissance cinétique" /> et par suite le « facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> de la particule <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math> noté <math>\;\gamma_M(t) = 1 + \dfrac{K_M(t)}{E^{\,0}}</math> <math>\;\big(</math>avec <math>\;E^{\,0} = m\;c^2\;</math> l'énergie de masse de <math>\;M\big)\;</math> aussi »<ref name="énergie cinétique relativiste en fonction des grandeurs d'inertie et cinématique"> L'énergie cinétique relativiste d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> s'écrivant <math>\;K_M(t) = \left[ \gamma_M(t) - 1 \right] E^{\,0}\;</math> avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point dans lequel <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point dans le référentiel d'étude et <math>\;E^{\,0} = m\;c^2\;</math> l'énergie de masse du point <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (dans le cadre de la cinétique relativiste) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, la constante se déterminant par C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(0) \Vert = \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\gamma_M(0) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(0)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_0^{\,2}}{c^2}}} = \gamma_0\;</math> soit «<math>\;\gamma_{M}(t) = \gamma_0\;\;\forall\;t\;</math>» dont nous pouvons déduire la nature <u>uniforme</u> du mouvement de la particule <math>\;\Bigg[\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^2} = \dfrac{1}{\gamma_M^{\,2}(t)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert}{c} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma_M^{\,2}(t)}}\;</math> d'où «<math>\;\gamma_{M}(t) = \gamma_0,\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = c\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma_0^{\,2}}} = V_0,\;\;\forall\;t\;</math>»<math>\Bigg]</math>. === Réécriture de la r.f.d.r. dans le « cas d’un mouvement uniforme » === {{Al|5}}L’application de la r.f.d.<ref name="r.f.d.r."> Relation Fondamentale de la Dynamique <math>\;\big(</math>newtonienne ou relativiste<math>\big)</math>.</ref> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> soumise à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />, <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, soit <center>«<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M) = \dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{p}_{\!M}(t)\;</math> est le vecteur quantité de mouvement de la particule à l'instant <math>\;t\;</math>»,</center> {{Al|10}}{{Transparent|L'application de la r.f.d. }}conduit, sachant que le vecteur quantité de mouvement de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> s'exprime en fonction des grandeurs d'inertie et cinématique sous la forme relativiste suivante {{Nobr|«<math>\;\vec{p}_{\!M}(t) =</math>}} <math>\gamma_M(t)\;m\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> avec <math>\;\gamma_M(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math>»<ref name="vecteur quantité de mouvement relativiste en fonction des grandeurs d'inertie et cinématique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_relativiste|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou, le mouvement de <math>\;M\;</math> étant uniforme <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{M}(t) = \gamma_0\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir, dans le cadre de la dynamique relativiste, le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Conséquence_de_«_la_force_magnétique_de_Lorentz,_seule_force_exercée_»_:_nature_uniforme_du_mouvement_2|conséquence de “ la force magnétique de Lorentz, seule force exercée ” : nature uniforme du mouvement]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, «<math>\;\vec{p}_{\!M}(t) =</math> <math>\gamma_0\;m\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \vec{p}_{\!M}}{dt}(t) = \gamma_0\;m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>», {{Al|10}}{{Transparent|L'application de la r.f.d. conduit }}à l'équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)</math>, le vecteur vitesse relativiste de la particule <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math> <center>«<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = \gamma_0\;m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a}'' \right)\;</math>» <br>avec «<math>\;\gamma_0 = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_0^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz<ref name="Lorentz" /> initial » ou,<br> avec «<math>\;\gamma_0\;m = m_{\text{app}}\;</math>» définissant « la masse apparente du point dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math>», <br>«<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m_{\text{app}}\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a}'' \right)\;</math>»<ref name="identité formelle avec la dynamique newtonienne"> L'équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> dans le cadre de la dynamique relativiste <math>\;\left( \mathfrak{a}'' \right)\;</math> est formellement identique à celle trouvée dans le cadre de la dynamique newtonienne <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> à condition de substituer la masse <math>\;m\;</math> du point de la dynamique newtonienne par la masse apparente <math>\;m_{\text{app}} = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_0^{\,2}}{c^2}}}\;</math> de ce dernier dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> de la dynamique relativiste.</ref>.</center> === Conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement === {{Al|5}}Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est <math>\;\perp\;</math> à chacun de ses vecteurs<ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" />, nous en déduisons que <math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> donc à <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire colinéaire à <math>\;\vec{B}\;</math> et <br>{{Al|5}}projetant l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{a}'' \right)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> nous obtenons «<math>\;0 = m_{\text{app}}\;\dfrac{d V_{z,\,M}}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{z,\,M}(t) = cste\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\vec{V}_0 \perp \vec{B}\;</math> imposant «<math>\;V_{0,\,z} = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = 0\;</math> soit «<math>\;V_{z,\,M}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|projetant l'équation différentielle ( a'' ) sur uz nous obtenons }} «<math>\;0 = V_{z,\,M}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(t) = cste'\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;M_0\;</math> en <math>\;O\;</math> imposant «<math>\;z_0 = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0\;</math> soit «<math>\;z_M(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>». {{Al|5}}En conclusion, le mouvement de la particule <math>\;M\;</math> pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse relativiste <math>\;\vec{V}_0\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur <math>\;M\;</math> est la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, <u>plan</u>, le plan du mouvement étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> passant par la position initiale <math>\;M_0\;</math> de la particule. === Conséquence de la nature plane et uniforme du mouvement avec projection de la r.f.d.r. sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet : nature circulaire du mouvement === [[File:Particule de charge positive entrant perpendiculairement dans un champ magnétostatique uniforme.png|thumb|300px|Description du mouvement d'une particule de charge <math>\;q > 0\;</math> entrant en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;</math> avec un vecteur vitesse relativiste <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}</math>]] {{Al|5}}Le mouvement de la particule <math>\;M \left( q \right)\;</math> étant plan, dans le plan passant par <math>\;M_0 = O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z</math> <math>\;\Big(</math>avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert\Big)</math>, c.-à-d. le plan <math>\;xOy\;</math> et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse relativiste <math>\;\vec{V}_0 = v_0\;\vec{u}_x</math> <math>\;\Big(v_0\;</math> étant la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> initiale de la particule encore égale à <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> compte-tenu du choix du sens <math>\;+\;</math> sur la trajectoire<math>\Big)</math>, nous obtenons le schéma descriptif ci-contre dans l'hypothèse où <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0</math> {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>pour}} savoir de quel côté de <math>\;\vec{V}_0\;</math> la courbe s’amorce nous déterminons la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0) = q\;\vec{V}_0 \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />{{,}}<ref name="notation simplifiée de la force magnétique" />, de direction <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\left( \vec{V}_0\,,\, \vec{B} \right)\;</math> ou <math>\;xOz\;</math> c.-à-d. portée par <math>\;Oy</math>, et de sens tel que <math>\;\left\lbrace q\;\vec{V}_0\,,\,\vec{B}\,,\,\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0) \right\rbrace\;</math> soit direct<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> dans l'espace physique orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0)\;</math>»<ref name="notation simplifiée de la force magnétique" />}} de sens contraire à <math>\,\vec{u}_y\bigg]</math>, <math>\Rightarrow</math> la rotation de la particule dans le sens <math>\,-\,</math> du plan <math>\,xOy</math> <math>\Big[</math>le sens de <math>\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0)\;</math><ref name="notation simplifiée de la force magnétique" /> sur <math>\;Oy\;</math> nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens<math>\Big]</math> ; <br>{{Al|5}}pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet<ref name="Frenet" /> de base directe «<math>\;\left\lbrace \vec{\tau}_M \,,\, \vec{n}_M \,,\, \vec{b} = -\vec{u}_z \right\rbrace\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />{{,}}<ref> Le repérage de Frenet étant un repérage mathématique est indépendant de la physique, il est donc utilisable aussi bien en dynamique newtonienne qu'en dynamique relativiste.</ref>{{,}}<ref name="base locale de Frenet" />{{,}}<ref name="notation simplifiée de la base de Frenet" /> <math>\;\big(</math>l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)\;</math> et projetons l'équation différentielle «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = m_{\text{app}}\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;:\;\;\left( \mathfrak{a}'' \right)\;</math>» sur <math>\;\vec{n}_M</math>, le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" />, en utilisant {{Al|5}}d'une part que «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math><ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" />, donc à <math>\;\vec{\tau}_M\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, est porté par <math>\;\vec{n}_M\;</math>», « son sens se déterminant par <math>\;\left\lbrace q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\,\vec{B}\,,\,q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} \right\rbrace\;</math> direct<ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /> dans l'espace physique orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> est celui de <math>\;\vec{n}_M\;</math>»<ref name="vrai quel que soit le signe de q" /> et {{Al|5}}d'autre part que <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> étant <math>\;= \vec{a}_M(t)\;</math> sa projection sur <math>\;\vec{n}_M\;</math> définit l'accélération normale de la particule <math>\;a_{n,\,M}(t) = \dfrac{v_M^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!M}}(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale" /> avec <math>\;v_M(t)\;</math> la vitesse instantanée de la particule <math>\;v_M(t) =</math> <math>\vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\tau}_M\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> et <math>\;\mathcal{R}_{\!M}(t)\;</math> le rayon de courbure de la trajectoire en la position de la particule à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe plane" />, {{Al|5}}ce qui donne «<math>\;\Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = m_{\text{app}}\;\dfrac{v_M^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!M}}(t)\;</math>» avec «<math>\;\Vert\, q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = \vert q \vert\, \Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert\, \Vert \vec{B} \vert\, \bigg\vert \sin\! \widehat{\left[ q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\, \vec{B} \right]} \bigg\vert\;</math>» dans laquelle <math>\;\bigg\vert \sin\! \widehat{\left[ q\;\vec{V}_{\!M}(t)\,,\, \vec{B} \right]} \bigg\vert = 1</math> <math>\;\Big[</math>le mouvement se faisant dans le plan passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\Big]\;</math> et <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = v_M(t)</math> <math>\;\big[</math>le sens <math>\;+\;</math> étant choisi dans le sens du mouvement<math>\big]\;</math> soit, en notant <math>\;\Vert \vec{B} \Vert = B</math>, «<math>\;\vert q \vert\; v_M(t)\;B = m_{\text{app}}\;\dfrac{v_M^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!M}}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{R}_{\!M}(t) = \dfrac{m_{\text{app}}\;v_M(t)}{\vert q \vert\;B}\;</math>» ; {{Al|5}}le mouvement de la particule étant uniforme <math>\;v_M(t) = v_0,\;\;\forall\;t</math>, le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit «<math>\;\mathcal{R}_{\!M}(t) = \dfrac{m_{\text{app}}\;v_0}{\vert q \vert\;B},\;\;\forall\;t\;</math>» c.-à-d. une constante et {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement de la particule }}étant plan, la trajectoire suivie par la particule est <u>circulaire</u> <math>\;\big(</math>la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle<math>\big)</math>, <center>le rayon du cercle étant «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m_{\text{app}}\;v_0}{\vert q \vert\;B} = \dfrac{\gamma_0\;m\;v_0}{\vert q \vert\;B} = \dfrac{p_0}{\vert q \vert\;B}\;</math>»<ref name="à retenir" /> avec <br><math>\;p_0 = \gamma_0\;m\;v_0 = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_0^{\,2}}{c^2}}}\;v_0\;</math> la norme de la quantité de mouvement initiale de la particule.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La détermination du rayon de courbure <math>\;\mathcal{R}_c\;</math> de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme permet d’en déduire la norme de sa quantité de mouvement <math>\;p_0\;</math> pourvu que sa charge <math>\;q\;</math> soit connue <math>\;\big(</math>en fait seule sa valeur absolue est utile<math>\big)\;</math> ainsi que la norme du champ magnétostatique <math>\;B\;</math> par «<math>\;p_0 = \vert q \vert\;B\;\mathcal{R}_c\;</math>», cette même formule étant applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == Approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l’énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique == [[File:Microscope Electronique à Transmission.ogv|thumb|upright=1.9|Principe de fonctionnement du [[w:Microscopie_électronique_en_transmission|microscope électronique en transmission]]]] [[File:Microscope Electronique à Balayage.ogv|thumb|upright=1.9|Principe de fonctionnement du [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|microscope électronique à balayage]]]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La [[w:Microscope_électronique|microscopie électronique]] permet d'obtenir une image très agrandie d’un échantillon, « les grossissements peuvent aller jusqu'à <math>\;5\; 10^6\;</math>» soit <math>\;2500\;</math> fois plus que ce qu’on peut obtenir avec le meilleur [[w:Microscope_optique|microscope optique]], les deux principaux types de [[w:Microscope_électronique|microscopes électroniques]] sont : * le [[w:Microscopie_électronique_en_transmission|MET]] <math>\;\big[</math>acronyme de M(icroscope) E(lectronique en) T(ransmission)<math>\big]\;</math> dans lequel un faisceau d'électrons accélérés <math>\;\big(</math>leur énergie cinétique valant de <math>\;40\;</math> à <math>\;400\;keV\;</math><ref name="keV"> Le kiloélectronvolt <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;keV\big)\;</math> vaut <math>\;10^3\;eV</math> <math>\;\big[</math>l'électronvolt <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;eV\big)\;</math> étant une unité d'énergie adaptée à la [[w:Physique_atomique|physique atomique]] valant <math>\;1\;eV \simeq</math> <math>1,6\;10^{-19}\;J\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1\;keV \simeq</math> <math>1,6\;10^{-16}\;J</math> unité adaptée à l'énergie des électrons du cœur des atomes.</ref><math>\big)\;</math> est « transmis » à travers un échantillon très mince, les interactions de ces électrons avec l'échantillon fournissant une image électronique projetée à l'aide d'un système de [[w:Lentille_magnétique|lentilles magnétiques]] sur un écran [[w:Phosphorescence|phosphorescent]], ce qui permet finalement d'observer une image optique ; le grossissement de ce microscope varie entre <math>\;10^4\;</math> et <math>\;10^5</math>, la résolution de ce dernier<ref name="résolution d'un microscope"> Distance minimale séparant deux points d'un échantillon dont les images sont séparables.</ref> pouvant atteindre <math>\;0,4\;\text{Å}\;</math><ref name="angström"> L'angström, de symbole <math>\;\text{Å}</math>, est une unité de longueur adaptée à la physique atomique valant <math>\;10^{-10}\;m = 100\;pm</math>, l'unité ayant été nommée ainsi pour rendre hommage à '''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]]''' ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]] (1814 - 1874)''', astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle était un des fondateurs de la spectroscopie.</ref> est essentiellement limitée par les [[w:Aberration_(optique)|aberrations]] des [[w:Lentille_magnétique|lentilles magnétiques]] ; le principe du [[w:Microscopie_électronique_en_transmission|MET]] a été mis au point en <math>\;1931\;</math> par '''[[w:Max_Knoll|Max Knoll]]'''<ref name="Knoll"> '''[[w:Max_Knoll|Max Knoll]] (1897 - 1969)''' ingénieur allemand en électricité, co-inventeur en <math>\;1931\;</math> du [[w:Microscope_électronique_en_transmission|MET]] avec '''[[w:Ernst_Ruska|Ernst Ruska]]'''.</ref> et '''[[w:Ernst_Ruska|Ernst]]''' {{Nobr|'''[[w:Ernst_Ruska|Ruska]]'''<ref name="Ruska"> '''[[w:Ernst_Ruska|Ernst Ruska]] (1906 - 1988)''' physicien allemand, co-inventeur en <math>\;1931\;</math> du [[w:Microscope_électronique_en_transmission|MET]] avec '''[[w:Max_Knoll|Max Knoll]]''', ce qui valut à '''[[w:Ernst_Ruska|Ernst Ruska]]''' la moitié du prix Nobel de physique en <math>\;1986\;</math> pour ses travaux fondamentaux en [[w:Optique_des_particules_chargées|optique électronique]] et pour la conception du premier [[w:Microscope_électronique|microscope électronique]], l'autre moitié du prix Nobel étant partagée par '''[[w:Gerd_Binning|Gerd Binning]]''' et '''[[w:Heinrich_Rohrer|Heinrich Rohrer]]''' pour leur conception du [[w:Microscope_à_effet_tunnel|microscope à effet tunnel]] à balayage. <br>{{Al|3}}'''[[w:Gerd_Binning|Gerd Binning]] (né en 1947)''' physicien allemand, connu pour avoir développé en <math>\;1982\;</math> avec '''[[w:Heinrich_Rohrer|Heinrich Rohrer]]''' le [[w:Microscope_à_effet_tunnel|microscope à effet tunnel]], ce qui leur valut de partager une moitié de prix Nobel de physique en <math>\;1986</math>, a également participé au développement en <math>\;1985\;</math> du [[w:Microscope_à_force_atomique|microscope à force atomique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Heinrich_Rohrer|Heinrich Rohrer]] (1933 - 2013)''' physicien suisse, essentiellement connu pour avoir développé en <math>\;1982\;</math> avec '''[[w:Gerd_Binning|Gerd Binning]]''' le [[w:Microscope_à_effet_tunnel|microscope à effet tunnel]], ce qui leur valut de partager une moitié de prix Nobel de physique en <math>\;1986</math>.</ref>}} ce qui valut à ce dernier la moitié du prix Nobel de physique en <math>\;1986</math> <math>\;\big[</math>ci-contre le principe de fonctionnement<math>\big]</math> ; * le [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|MEB]] <math>\;\big[</math>acronyme de M(icroscope) E(lectronique à) B(alayage)<math>\big]\;</math> dans lequel un faisceau d'électrons accélérés <math>\;\big[</math>leur énergie cinétique variant de <math>\;2\;</math> à <math>\;20\;keV\;</math><ref name="keV" /> suivant le type d'émission électronique <math>\;\big(</math>[[w:Émission_thermoionique|thermoionique]] nécessitant une tension accélératrice de <math>\;20\;kV\;</math> ou [[w:Émission_par_effet_de_champ|par effet de champ]] avec une tension accélératrice de <math>\;2\;</math> à <math>\;7\;kV\big)\;</math> utilisée provenant de la cathode<math>\big]\;</math> est « focalisé » en un point balayant la surface d'un échantillon de façon à analyser cette surface, les interactions de ces électrons avec la surface locale de l'échantillon entourant le point de focalisation produisant, dans l'espace d'arrivée de ces électrons, leur renvoi <math>\;\big[</math>[[w:Électron_rétrodiffusé|électrons rétrodiffusés]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>incidents}} déviés de façon quasi-élastiques<math>\big)\big]</math> ou l'émission d'autres particules <math>\;\big[</math>[[w:Électron_secondaire|électrons secondaires]] <math>\;\big(</math>peu liés aux atomes<math>\big)</math>, [[w:Électron_Auger|électrons Auger]] <ref name="Auger"> '''[[w:Pierre_Auger|Pierre-Victor Auger]] (1899 - 1993)''' physicien français ayant travaillé en [[w:Physique_atomique|physique atomique]], [[w:Physique_nucléaire|physique nucléaire]] et sur les [[w:Rayon_cosmique|rayons cosmiques]], essentiellement connu pour la découverte, en <math>\;1923</math>, de l'émission d'« électrons Auger » lors de la désexcitation d'atomes, phénomène trouvé quasi-simultanément par '''[[w:Lise_Meitner|Lise (Élise) Meitner]]'''. <br>{{Al|3}}'''[[w:Lise_Meitner|Lise (Élise) Meitner]] (1878 - 1968)''' physicienne autrichienne naturalisée suédoise, ayant découvert en <math>\;1923\;</math> le « processus Auger d'émission d'électrons lors de la désexcitation d'atomes » quasi-simultanément à la découverte de '''[[w:Pierre_Auger|Pierre Auger]]''', renommée aussi pour ses travaux sur la [[w:Radioactivité|radioactivité]] et en [[w:Physique_nucléaire|physique nucléaire]], jouant un rôle majeur dans la découverte de [[w:Fission_nucléaire|fission nucléaire]] ; en <math>\;1997</math>, le nouvel élément artificiel de numéro atomique <math>\;Z = 109\;</math> fut baptisé [[w:Meitnérium|meitnerium]] <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;Mt\big)\;</math> à sa mémoire.</ref> <math>\;\big(</math>émis à partir de couche interne lors de la désexcitation d’atomes<math>\big)\;</math> et [[w:Rayon_X|rayons X]]<math>\big]</math>, l'ensemble étant capté par différents détecteurs permettant de reconstruire une image en trois dimensions de la surface grâce au balayage de celle-ci ; le grossissement de ce microscope peut atteindre <math>\;2\;10^4</math>, sa résolution<ref name="résolution d'un microscope" /> varie de <math>\;4\;</math> à <math>\;200\;\text{Å}\;</math><ref name="angström" /> ; le 1^er [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|MEB]] construit en <math>\;1938\;</math> par '''[[w:Manfred_von_Ardenne|Manfred von Ardenne]]'''<ref name="von Ardenne"> '''[[w:Manfred_von_Ardenne|Manfred von Ardenne]] (1907 - 1997)''' physicien allemand dont les recherches étaient de [[w:Physique_appliquée|physique appliquée]] dans des domaines aussi divers que la [[w:Radioélectricité|radioélectricité]], la [[w:Microscope_électronique|microscopie électronique]], la [[w:Physique_nucléaire|physique nucléaire]], la [[w:Physique_des_plasmas|physique des plasmas]] et le [[w:Génie_biomédical|génie biomédical]] <math>\;\ldots</math></ref> était en fait un [[w:Microscope_électronique_en_transmission_à_balayage|METB]] <math>\;\big[</math>acronyme de M(icroscope) E(lectronique en) T(ransmission à) B(alayage)<math>\big]\;</math> permettant l'étude d'échantillons très fins en transmission par balayage, le 1^er vrai [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|MEB]] fut construit par '''[[w:Charles_William_Oatley|Charles William Oatley]]'''<ref name="Oatley"> '''[[w:Charles_William_Oatley|Charles William Oatley]] (1904 - 1996)''' scientifique britannique ayant créé en <math>\;1951</math>, avec l'aide d'un de ses étudiants '''Dennis McMullan''', le 1^er vrai [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|microscope électronique à balayage]] et l'ayant amélioré de nombreuses fois par la suite avec l'aide d'autres étudiants, en particulier, en <math>\;1960</math>, avec le nouveau [[w:Détecteur_Everhart-Thornley|détecteur Everhart-Thornley]] portant le nom de ses deux inventeurs '''[[w:Thomas_Eugene_Everhart|Thomas Eugène Everhart]]''' et '''R.F.M. Thornley''', détecteur extrêmement efficace pour collecter les électrons [[w:Électron_secondaire|secondaires]] et [[w:Électron_rétrodiffusé|rétrodiffusés]], ce qui a pour conséquence sa présence actuelle sur presque tous les [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|MEB]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Thomas_Eugene_Everhart|Thomas Eugène Everhart]] (né en 1932)''' physicien américain, ayant obtenu son doctorat en <math>\;1958\;</math> à l'[[w:Université_de_Cambridge|Université de Cambridge]] en Angleterre sous la direction de '''[[w:Charles_William_Oatley|Charles Oatley]]''' et participé avec '''R.F.M. Thornley''' en <math>\;1960\;</math> à l'invention du détecteur portant leurs deux noms avant de retourner aux États-Unis d'Amérique du Nord pour enseigner pendant plus de <math>\;20\;ans\;</math> en ingénierie électrique à l'[[w:Université_de_Californie_à_Berkeley|Université de Californie]] à [[w:Berkeley_(Californie)|Berkeley]] dans l'état de [[w:Californie|Californie]] puis enseigner de <math>\;1984\;</math> à <math>\;1987\;</math> en ingénierie informatique et électrique à l'[[w:Université_de_l'Illinois_à_Urbana-Champaign|Université de l'Illinois]] à [[w:Urbana_(Illinois)|Urbana]]-[[w:Champaign|Champaign]] deux villes jumelles de l'[[w:Illinois|Illinois]] et enfin présider de <math>\;1987\;</math> à <math>\;1997\;</math> [[w:California_Institute_of_Technology|CalTech]] <math>\;\big[</math>acronyme de Cal(ifornia Institute of) Tech(nology)<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''R.F.M. Thornley''' : aucune information <math>\;\big(</math>pour l'instant<math>\big)\;</math> sur '''R.F.M. Thornley''' mis à part qu'il fut un des étudiants de '''[[w:Charles_William_Oatley|Charles Oatley]]''' dans les années <math>\;1960\;</math> à l'[[w:Université_de_Cambridge|Université de Cambridge]] en Angleterre et qu'il participa à la création du [[w:Détecteur_Everhart-Thornley|détecteur Everhart-Thornley]] apportant une amélioration certaine aux [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|microscopes électroniques à balayage]] <math>\;\ldots</math></ref> et '''Dennis McMullan'''<ref name="McMullan"> Aucune information <math>\;\big(</math>pour l'instant<math>\big)\;</math> sur '''Dennis McMullan''' mis à part qu'il fut un des étudiants de '''[[w:Charles_William_Oatley|Charles Oatley]]''' dans les années <math>\;1950\;</math> à l'[[w:Université_de_Cambridge|Université de Cambridge]] en Angleterre et qu'il participa à la création du 1^er vrai [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|microscope électronique à balayage]] <math>\;\ldots</math></ref> en <math>\;1952\;</math> avec une résolution de <math>\;500\;\text{Å}\;</math><ref name="angström" /> ce qui rendait ainsi pour la 1^ère fois cet effet de relief caractéristique de la [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|microscopie électronique à balayage]] <math>\;\big[</math>ci-contre le principe de fonctionnement<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En pratique « la résolution spatiale intrinsèque »<ref name="résolution spatiale intrinsèque"> C.-à-d. la plus petite distance entre deux « sources ponctuelles » séparées en absence de collimateur <math>\;\big[</math>le collimateur d’un détecteur est une galette dans laquelle des trous cylindriques <math>\;\parallel\;</math> sont percés suivant un système d’axes déterminé, seules les particules dont le parcours emprunte ces directions sont détectées <math>\;\big(</math>en accord avec la définition du [[w:Collimateur|collimateur]] en optique géométrique<math>\big)</math>, la résolution due au collimateur du détecteur est définie comme la capacité à déceler deux événements adjacents<math>\big]</math> ; dans la résolution spatiale intrinsèque on ne tient donc pas compte du collimateur <math>\;\ldots</math></ref> est « toujours plus grande » que la longueur d’onde du rayonnement incident {{Nobr|<math>\Bigg(\!</math>longueur}} d'onde de de Broglie<ref name="de Broglie"> '''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big(</math>se prononce « Brogle »<math>\big)\;</math> mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929</math>.</ref> des électrons incidents<ref name="longueur d'onde de de Broglie"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#La_longueur_d'onde_de_de_Broglie|la longueur d'onde de de Broglie]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{p}\;</math>» soit, dans un [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|MEB]] où les électrons incidents sont quasi-newtoniens <math>\Rightarrow</math> <math>\;K = \dfrac{p^2}{2\;m} \left[ = e\;U_{\text{accél}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p = \sqrt{2\;m\;K} = \sqrt{2\;m\;e\;U_{\text{accél}}}\;</math> d'où {{Nobr|«<math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h}{\sqrt{2\;m\;e\;U_{\text{accél}}}}\;</math>»}} c.-à-d. pour <math>\;U_{\text{accél}} \in \left[ 2,0\;kV\,;\, 20\;kV \right]\;</math><ref name="condition pour que les électrons d'un MEB soient newtoniens"> En fait d'après le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » les électrons incidents sont newtoniens si leur énergie cinétique est <math>\;\lesssim 1\;\%\;</math> de leur énergie de masse <math>\;E^{\,0} = m\;c^2</math> <math>\simeq 511\;keV\;</math> c.-à-d. <math>\;K \lesssim 5,1\;keV\;</math> ce qui correspond à une tension accélératrice <math>\;U_{\text{accél}} \lesssim 5,1\;kV\;</math> mais nous supposerons ici qu'une tension de <math>\;20\;kV\;</math> engendre une erreur restant petite.</ref> «<math>\;\lambda_{d.B.} \in \left[ 0,087\;\text{Å}\,;\, 0,275\;\text{Å} \right]\;</math>»<ref name="valeurs numériques de la longueur d'onde de de Broglie des électrons incidents newtoniens"> En effet «<math>\;h \simeq 6,63\;10^{-34}\;J \cdot s\;</math>», «<math>\;e \simeq 1,60\;10^{-19}\;C\;</math>» et «<math>\;m \simeq 0,91\; 10^{-30}\;kg\;</math>» d'où <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{6,63\;10^{-34}}{\sqrt{2 \times 0,91\;10^{-30} \times 1,60\;10^{-19}}} \times \dfrac{1}{\sqrt{U_{\text{accél}}}} \simeq \dfrac{1,23\;10^{-9}}{\sqrt{U_{\text{accél. en }V}}} = \dfrac{3,89\;10^{-11}}{\sqrt{U_{\text{accél. en }kV}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou encore «<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{38,9}{\sqrt{U_{\text{accél. en }kV}}}\;</math> en <math>\;pm\;</math>» soit «<math>\;U_{\text{accél}} = 2,0\;kV\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 27,5\;pm = 0,275\;\text{Å}\;</math>» et «<math>\;U_{\text{accél}} = 20\;kV\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 8,7\;pm = 0,087\;\text{Å}\;</math>».</ref> et, dans un [[w:Microscopie_électronique_en_transmission|MET]] où les électrons incidents sont usuellement relativistes <math>\Rightarrow</math> <math>\;K \left[ = e\;U_{\text{accél}} \right] = \mathcal{E} - E^{\,0}\;</math><ref name="lien entre énergies cinétique et totale à l'énergie de masse"> Voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » définissant l'énergie totale <math>\;\mathcal{E}</math> <math>\;\big(E\;</math> dans la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] »<math>\big)\;</math> d'un point matériel d'énergie de masse <math>\;E^{\,0}\;</math> à partir de son énergie cinétique <math>\;K\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon «<math>\;\mathcal{E} = K + E^{\,0}\;</math>».</ref> avec <math>\;E^{\,0} = m\;c^2\;</math> l'énergie de masse de l'électron et <math>\;\mathcal{E} = \sqrt{p^2\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math> l'énergie totale<ref name="lien entre énergies totale et de masse à la quantité de mouvement"> Voir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » définissant l'énergie totale <math>\;\mathcal{E}</math> <math>\;\big(E\;</math> dans la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#cite_note-énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4|⁴]] »<math>\big)\;</math> d'un point matériel d'énergie de masse <math>\;E^{\,0}\;</math> à partir de la norme de sa quantité de mouvement <math>\;p\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon «<math>\;\mathcal{E} = \sqrt{p^2\;c^2 + \left( E^{\,0} \right)^{\!2}}\;</math>».</ref> de ce dernier d'où <math>\;p\;c = \sqrt{\mathcal{E}^2 - \left( E^{\,0} \right)^{\!2}} = \sqrt{\left( E^{\,0} + K \right)^{\!2} - \left( E^{\,0} \right)^{\!2}} = \sqrt{K\, \left( 2\;E^{\,0} + K \right)} = \sqrt{e\;U_{\text{accél}}\, \left( 2\;E^{\,0} + e\;U_{\text{accél}} \right)}\;</math> d'où «<math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h\;c}{\sqrt{e\;U_{\text{accél}}\, \left( 2\;E^{\,0} + e\;U_{\text{accél}} \right)}}\;</math>» c.-à-d. pour <math>\;U_{\text{accél}}\;</math> variant entre <math>\;40\;kV\;</math> et <math>\;400\;kV\;</math> «<math>\;\lambda_{d.B.} \in \left[ 0,0165\;\text{Å}\,;\, 0,060\;\text{Å} \right]\;</math>»<ref name="valeurs numériques de la longueur d'onde de de Broglie des électrons incidents relativistes"> En effet «<math>\;h \simeq 6,63\;10^{-34}\;J \cdot s\;</math>», «<math>\;e \simeq 1,60\;10^{-19}\;C\;</math>», «<math>\;c \simeq 3,00\;m \cdot s^{-1}\;</math>» et «<math>\;E^{\,0} \simeq 511\;keV = e \times 511\;kV\;</math>» d'où <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{6,63\;10^{-34} \times 3,00\;10^8}{1,60\;10^{-19}\;\sqrt{U_{\text{accél}} \times \left( 2 \times 511\;10^3 + U_{\text{accél}} \right)}} \simeq</math> <math>\dfrac{1,24\;10^{-6}}{\sqrt{U_{\text{accél. en }V} \times \left( 1,02\;10^6 + U_{\text{accél. en }V} \right)}} = \dfrac{1,24\;10^{-9}}{\sqrt{U_{\text{accél. en }kV} \times \left( 1020 + U_{\text{accél. en }kV} \right)}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou encore «<math>\;\lambda_{d.B.} \simeq \dfrac{1240}{\sqrt{U_{\text{accél. en }kV} \times \left( 1020 + U_{\text{accél. en }kV} \right)}}\;</math> en <math>\;pm\;</math>» soit «<math>\;U_{\text{accél}} =</math> <math>40\;kV\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 6,0\;pm = 0,060\;\text{Å}\;</math>» et «<math>\;U_{\text{accél}} = 400\;kV\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\lambda_{d.B.} \simeq 1,65\;pm = 0,0165\;\text{Å}\;</math>».</ref><math>\Bigg)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>A priori il n'y a donc que dans le cas d'un [[w:Microscopie_électronique_en_transmission|MET]] où les électrons incidents sont relativistes mais, bien que ce ne soit pas usuellement le cas dans un [[w:Microscopie_électronique_à_balayage|MEB]], nous les considérerons également relativistes {{Nobr|<math>\,\big(</math>les}} particules newtoniennes étant un cas particulier des mêmes relativistes<math>\big)</math> ; ci-dessous un tableau récapitulatif de valeurs correspondantes <math>\;\left\lbrace U_{\text{accél}}\,,\, \lambda_{d.B.}\,,\,\mathcal{E}\,,\,\gamma\,,\,\beta \right\rbrace</math> <math>\;\bigg[</math>pour les valeurs de la norme de vitesse relative des électrons incidents <math>\;\beta = \dfrac{\Vert \vec{V} \Vert}{c} \lesssim\;0,1\;</math> les électrons auraient pu être considérés comme newtoniens<math>\bigg]</math>, ce que confirment les valeurs de la colonne supplémentaire «<math>\;\lambda_{d.B.,\,\text{hyp. newt.}} =</math> <math>\dfrac{h}{p_{\text{hyp. newt.}}} = \dfrac{h}{\sqrt{2\;m\;e\;U_{\text{accél}}}}\;</math>» du tableau évaluées dans l'hypothèse d'un électron supposé newtonien, les valeurs des constantes étant celles rappelées dans les notes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#cite_note-valeurs_numériques_de_la_longueur_d'onde_de_de_Broglie_des_électrons_incidents_relativistes-70|⁷⁰]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#cite_note-valeurs_numériques_de_la_longueur_d'onde_de_de_Broglie_des_électrons_incidents_newtoniens-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre <math>\Bigg[</math>la formule pour évaluer la longueur d'onde de de Broglie<ref name="de Broglie" /> en fonction de la tension accélératrice pour un électron relativiste étant «<math>\;\lambda_{d.B.} = \dfrac{h\;c}{\sqrt{e\;U_{\text{accél}}\, \left( 2\;E^{\,0} + e\;U_{\text{accél}} \right)}}\;</math>» {{Nobr|<math>\,\big(</math>établie}} un peu plus haut dans ce paragraphe<math>\big)</math>, «<math>\;\mathcal{E} = K + E^{\,0} = e\;U_{\text{accél}} + E^{\,0}\;</math>», «<math>\;\gamma = \dfrac{\mathcal{E}}{E^{\,0}}\;</math>» et de <math>\;\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\;</math> on tire <math>\;1 - \beta^2 = \dfrac{1}{\gamma^2}\;</math> soit «<math>\;\beta = \sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma^2}} = \dfrac{\sqrt{\gamma^2 - 1}}{\gamma}\;</math>»<math>\Bigg]</math> : <div style="text-align: center;"><math>\;\begin{array}{|c | c | c | c | c | c |} \hline \quad U_{\text{accél}}\;\left( kV \right) \quad & \quad \lambda_{d.B.}\; \left( pm \right) \quad & \quad \mathcal{E}\;\left( keV \right) \quad & \qquad \gamma \qquad & \qquad \beta \qquad & \;\;\lambda_{d.B.,\,\text{hyp. newt.}}\;\left( pm \right)\;\;\\ \hline 1,00 & 38,8 & 512 & 1,002 & 0,062 & 38,9 \\ \hline 2,00 & 27,4 & 513 & 1,004 & 0,088 & 27,5 \\ \hline 5,00 & 17,3 & 516 & 1,010 & 0,139 & 17,4 \\ \hline 10,0 & 12,2 & 521 & 1,020 & 0,195 & 12,3 \\ \hline 20,0 & 8,60 & 531 & 1,039 & 0,272 & 8,70 \\ \hline 50,0 & 5,36 & 561 & 1,098 & 0,413 & 5,50 \\ \hline 100 & 3,71 & 611 & 1,196 & 0,548 & 3,89 \\ \hline 200 & 2,51 & 711 & 1,391 & 0,695 & 2,75 \\ \hline 500 & 1,42 & 1011 & 1,978 & 0,863 & 1,74 \\ \hline 1000 & 0,872 & 1511 & 2,957 & 0,941 & 1,23 \\ \hline \end{array}\;</math></div> {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Sachant que seules les trois 1^ères lignes de ce tableau satisfont à la condition d'électrons incidents newtoniens à savoir «<math>\;K \lesssim 10^{-2}\;E^{\,0} \simeq 5,11\;keV\;</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\;U_{\text{accél}} \lesssim 5,11\;kV\;</math>», nous vérifions que la longueur d’onde de de Broglie<ref name="de Broglie" /> des électrons incidents évaluée dans le cadre de la cinétique relativiste ou newtonienne donne effectivement le même résultat à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près et que {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}nous pouvons être moins strict dans la possibilité d'utiliser la cinétique newtonienne pour évaluer la longueur d'onde de de Broglie<ref name="de Broglie" /> de ces électrons à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près, le tableau nous montrant que la « condition <math>\;U_{\text{accél}} \leqslant 10,0\;kV\;</math>» est suffisante ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}dans les autres lignes nous observons que la longueur d’onde de de Broglie<ref name="de Broglie" /> des électrons incidents est surestimée dans l’approximation newtonienne par rapport à l'évaluation relativiste<ref> Pour <math>\;U_{\text{accél}} = 20,0\;kV\;</math> l'écart relatif de longueur d'onde de de Broglie vaut <math>\;\dfrac{\lambda_{d.B.,\,\text{hyp. newt.}} - \lambda_{d.B.}}{\lambda_{d.B.}} \simeq 1,1\;\%\;</math> par excès et pour <math>\;U_{\text{accél}} = 1000\;kV\;</math> il vaut <math>\;\dfrac{\lambda_{d.B.,\,\text{hyp. newt.}} - \lambda_{d.B.}}{\lambda_{d.B.}} \simeq 41\;\%\;</math> par excès.</ref> et par conséquent que {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}« la résolution spatiale intrinsèque nécessite de tenir compte de l’approximation relativiste pour obtenir des résultats en accord avec l’expérience »<ref> Si l'approximation newtonienne restait applicable aux fortes tensions accélératrices, nous aurions une résolution moins bonne que celle obtenue pratiquement <math>\;\ldots</math></ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme|Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} p4b3mp1lbt9fl1ao39vpvl3xav4whe1 0 76014 982975 965072 2026-05-22T05:44:39Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982975 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme | idfaculté = physique | numéro = 23 | chapitre = [[../../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme/]] | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Puissance de la force de Lorentz/]] | suivant = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme/]] | niveau = 14 }} == Action d'un champ électrique uniforme sur une particule chargée : analyseur électrostatique == [[File:Analyseur électrostatique.png|thumb|400px|Schéma descriptif d'un analyseur électrostatique permettant de séparer les isotopes d'un faisceau d'ions monocinétiques de sommet <math>\;O\;</math> par point de focalisation <math>\;A\;</math> différent suivant la nature de l'isotope]] {{Al|5}}Une particule <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> et de charge <math>\;q\;</math> est lancée avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> d'un point <math>\;O\;</math> situé entre les armatures d'un condensateur plan ; {{Al|5}}le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> est situé dans un plan <math>\;xOy\;\perp\;</math> aux armatures et fait un angle orienté <math>\;\alpha\;</math> avec le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_y\;</math> de la direction <math>\;y'y\; \perp\;</math> aux armatures, <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant dans le sens partant de l'armature reliée à la masse vers l'autre armature <math>\;\big(</math>c.-à-d. le sens <math>\;+\;</math> de mesure de tension entre les deux armatures<math>\big)</math>, le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles du plan <math>\;xOy\;</math> étant dans le sens trigonométrique rétrograde <math>\;\big(</math>sens horaire<math>\big)\;</math> défini par un vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;xOy\;</math> s'éloignant de vous<ref name="base indirecte"> Attention la base cartésienne orthonormée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> est indirecte <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe|base directe]] (base indirecte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, cette orientation n'ayant aucune conséquence dans la mesure où on ne définit pas de produit vectoriel.</ref> <math>\;\big(</math>non représenté ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}nous supposerons que la totalité de la portion de trajectoire de la particule étudiée reste située à l'intérieur du condensateur <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>. === Détermination de la « portée » de la particule en fonction (entre autres) de sa vitesse initiale V₀ et l'angle d'inclinaison α de son vecteur vitesse initiale === {{Al|5}}La tension algébrisée <math>\;U\;</math> imposée entre les armatures et la distance <math>\;h\;</math> séparant ces dernières ont été choisies de manière que la trajectoire de la particule <math>\;M\;</math> recoupe l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> en un point <math>\;A\;</math> situé au-delà de <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>par analogie avec la chute d'un point matériel lancé obliquement vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme, nous pourrons appeler « portée » la distance <math>\;OA\big)</math>. {{Al|5}}Exprimer l'abscisse du point <math>\;A\;</math> en fonction de <math>\;q</math>, <math>\;m</math>, <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert</math>, <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_y\,,\,\vec{V}_0 \right)}</math>, <math>\;U\;</math> et <math>\;h</math>. {{Al|5}}Préciser les signes respectifs possibles de <math>\;q\;</math> et <math>\;U\;</math> pour que le point <math>\;A\;</math> ait une abscisse positive. {{Solution | contenu = [[File:Analyseur électrostatique - bis.png|thumb|400px|Schéma descriptif d'un analyseur électrostatique dont le but est de séparer les isotopes d'un faisceau d'ions monocinétiques de sommet <math>\;O\;</math> par point de focalisation <math>\;A\;</math> différent suivant la nature de l'isotope]] {{Al|5}}La tension algébrique <math>\;U\;</math> imposée entre les armatures du condensateur plan, l'armature supérieure étant au potentiel <math>\;V\;</math> et l'armature inférieure reliée à la masse, créant un vecteur champ électrostatique uniforme «<math>\;\vec{E} = E_y\;\vec{u}_y\;</math>» <math>\;\big(</math>en sens contraire de <math>\;\vec{u}_y\;</math> dans le cas où <math>\;U\;</math> est <math>\;> 0\;</math> correspondant à <math>\;E_y < 0</math>, voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> issue de <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>la source créant <math>\;M\;</math> en <math>\;O\;</math> n'étant pas représentée sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\sin(\alpha)\;\vec{u}_x + V_0\;\cos(\alpha)\;\vec{u}_y\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans lequel <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_y\,,\,\vec{V}_0 \right)} > 0\bigg]\;</math> subit, en entrant dans l'espace champ électrostatique du condensateur plan, l'action de la force électrostatique «<math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) = q\;\vec{E} = q\;E_y\;\vec{u}_y\;</math>», la seule force à considérer<ref name="action du poids à négliger"> L'influence éventuelle du poids de la particule dans le cas où l'expérience se passe sur Terre étant négligeable, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Comparaison_de_la_force_électrique_exercée_sur_un_proton_dans_un_champ_électrique_de_norme_modérée_au_poids_du_proton_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre|comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et par suite {{Al|5}}la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. appliquée à la particule chargée <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au condensateur plan «<math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrivant «<math>\;q\;E_y\;\vec{u}_y = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{q}{m}\;E_y\;\vec{u}_y\;\;\forall\;t\;</math>» communique à la particule <math>\;M\;</math> un mouvement de vecteur accélération constant <math>\;\big[</math>voir chap.<math>3</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_de_vecteur_accélération_constant|Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}projetant sur les trois axes nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c}a_{M,\,x}(t) \!\!&=&\!\! 0 \!\!&=&\!\! \dot{V}_{\!M,\,x}(t)\\ a_{M,\,y}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{q}{m}\;E_y \!\!&=&\!\! \dot{V}_{\!M,\,y}(t)\\a_{M,\,z}(t) \!\!&=&\!\! 0 \!\!&=&\!\! \dot{V}_{\!M,\,z}(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c}V_{\!M,\,x}(t) \!\!&=&\!\! cste_x\\ V_{\!M,\,y}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{q}{m}\;E_y\;t + cste_y\\V_{\!M,\,z}(t) \!\!&=&\!\! cste_z\end{array}\right\rbrace\;</math> soit, en utilisant les C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. de vitesse, nous obtenons les lois horaires scalaires de vitesse «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c}V_{\!M,\,x}(t) \!\!&=&\!\! V_0\;\sin(\alpha)\\ V_{\!M,\,y}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{q}{m}\;E_y\;t + V_0\;\cos(\alpha)\\V_{\!M,\,z}(t) \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c}\dot{x}_{M}(t) \!\!&=&\!\! V_0\;\sin(\alpha)\\ \dot{y}_{M}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{q}{m}\;E_y\;t + V_0\;\cos(\alpha)\\ \dot{z}_{M}(t) \!\!&=&\!\! 0 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c}x_{M}(t) \!\!&=&\!\! V_0\;\sin(\alpha)\;t + {cste'}_x\\ y_{M}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{q}{2\;m}\;E_y\;t^2 + V_0\;\cos(\alpha)\;t + {cste'}_y\\z_{M}(t) \!\!&=&\!\! {cste'}_z\end{array}\right\rbrace\;</math> et, en utilisant les C.I<ref name="C.I." />. de position, les lois horaires scalaires de position «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c}x_{M}(t) \!\!&=&\!\! V_0\;\sin(\alpha)\;t\\ y_{M}(t) \!\!&=&\!\! \dfrac{q}{2\;m}\;E_y\;t^2 + V_0\;\cos(\alpha)\;t\\z_{M}(t) \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}les trois lois horaires scalaires de position de la particule <math>\;M\;</math> étant aussi les trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire de cette dernière, nous obtenons les deux équations cartésiennes de celle-ci en éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> par l'équation suivant <math>\;\vec{u}_x\;</math> «<math>\;t = \dfrac{x_M}{ V_0\;\sin(\alpha)}\;</math>» <math>\;\big[</math>nécessitant <math>\;\alpha \neq 0\;</math> et <math>\;\pi\big]\;</math> et son report dans les deux autres équations soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c} y_{M} \!\!&=&\!\! \dfrac{q}{2\;m\;V_0^2\;\sin^2(\alpha)}\;E_y\;x_M^{\,2} + \cot(\alpha)\;x_M\\z_{M} \!\!&=&\!\! 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», la 2^ème équation traduisant le caractère <u>plan</u> de la trajectoire dans le plan <math>\;xOy\;</math> et la 1^ère la nature <u>parabolique</u> de celle-ci. {{Al|5}}<u>Remarque</u> Nous aurions pu déterminer les lois horaires vectorielles de vitesse et de position avant de projeter sur las axes suivant «<math>\;\vec{a}_M(t) = \dfrac{q}{m}\;E_y\;\vec{u}_y\;</math>» <math>= \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{q}{m}\;E_y\;\vec{u}_y\;t + \vec{V}_0\;</math>» en utilisant la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\vec{V}(0) = \vec{V}_0\;</math>» puis «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{q}{m}\;E_y\;\vec{u}_y\;t + \vec{V}_0\;</math>» <math>= \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \dfrac{q}{2\;m}\;E_y\;\vec{u}_y\;t^2 + \vec{V}_0\;t\;</math>» en utilisant la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \vec{0}\;</math>» <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Pour obtenir l'équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> en fonction de <math>\;U\;</math> et <math>\;h\;</math> il convient d'éliminer <math>\;E_y\;</math> en leur profit en utilisant, * d'une part, que <math>\;\vec{E}\;</math> étant dans le sens des potentiels décroissants, «<math>\;E_y\;</math> est <math>\;< 0\;</math> pour <math>\;U > 0\;</math>» et * d'autre part que le lien entre le champ électrique et le potentiel étant <math>\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math><ref> On rappelle que le lien entre force électrique <math>\;\big(</math>conservative dans toutes les situations<math>\big)\;</math> et énergie potentielle électrique est <math>\;\delta W(q\; \vec{E}) = -d \mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;q\; \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -d \mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}\;</math> ceci entraînant que <math>\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -\dfrac{d \mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}}{q} = -d\! \left( \dfrac{\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}}{q} \right)</math>, le champ électrique étant alors qualifié de « champ à circulation conservative » dérivant d'un potentiel <math>\;V\;</math> défini par <math>\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math> correspondant à <math>\;V = \dfrac{\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}}{q}</math> <math>\;\big(</math>sans constante additive si la référence de l'énergie potentielle électrique est la même que la référence du potentiel électrique, la référence d'une grandeur définie à une constante additive près étant l'endroit où celle-ci est choisie nulle<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit, dans le cas présent où le champ électrique est uniforme et <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_y</math>, <math>\;E_y\; dy = -dV\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V = -E_y\; y + \text{cste}\;</math> et <math>\;U = V_{\text{sup}} - V_{\text{inf}} = -E_y\; h\;</math> soit finalement «<math>\;E_y = -\dfrac{U}{h}\;</math>»<ref> On retiendra que dans un condensateur où le champ électrique est uniforme, la norme de ce dernier s'obtient en divisant la d.d.p. existant entre les armatures par la distance séparant ces dernières.</ref> ; {{Al|5}}en reportant l'expression <math>\;E_y</math>, l'équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> se réécrit <center>«<math>\;y_M = -\dfrac{q\; U}{2\; m\; V_0^2\; \sin^2(\alpha)\; h}\; x_M^{\,2} + \cot(\alpha)\; x_M\;</math>».</center> {{Al|5}}le point <math>\;A\;</math> étant le point d'intersection de la trajectoire avec l'axe <math>\;Ox\;</math> autre que <math>\;O</math>, son abscisse <math>\;x_A\;</math> est la solution <math>\;\neq 0\;</math> de <math>\;y_M(x_M) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_M \neq 0\\-\dfrac{q\; U}{2\; m\; V_0^{2}\; \sin^2(\alpha)\; h}\; x_M^{\,2} + \cot(\alpha)\; x_M = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;-\dfrac{q\; U}{2\; m\; V_0^{2}\; \sin^2(\alpha)\; h}\; x_M + \cot(\alpha) = 0\;</math>»}} soit <math>\;x_A = \cot(\alpha)\; \dfrac{2\; m\; V_0^2\; \sin^2(\alpha)\; h}{q\; U} = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\; \dfrac{2\; m\; V_0^2\; \sin^2(\alpha)\; h}{q\; U}</math> ou, après simplification évidente, <math>\;x_A = \dfrac{2\; m\; V_0^2\; \sin(\alpha)\; \cos(\alpha)\; h}{q\; U}\;</math> et finalement <center>«<math>\;x_A = \dfrac{m\; V_0^2\;\sin(2\;\alpha)}{q\; U}\;h\;</math>»<ref> En utilisant la formule de trigonométrie «<math>\;2\;\sin(x)\;\cos(x) = \sin(2\;x)\;</math>».</ref>.</center> {{Al|5}}Pour que <math>\;A\;</math> existe effectivement dans l'espace champ électrostatique du condensateur plan, il faut que son abscisse soit positive ce qui correspond à * «<math>\;q\;</math> et <math>\;U\;</math> de même signe » pour «<math>\;\alpha \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. si <math>\;U\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\;\big(</math>cas de la figure<math>\big)\;</math> la charge <math>\;q\;</math> doit être <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> la force électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M)\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}\;</math> agit sur <math>\;M\;</math> comme force attractive relativement à l'armature inférieure ou si <math>\;U\;</math> est <math>\;< 0</math> <math>\;\big(</math>le champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> est dans le sens contraire de celui de la figure<math>\big)\;</math> la charge <math>\;q\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> la force électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M)\;</math> en sens contraire de <math>\;\vec{E}\;</math> agit encore sur <math>\;M\;</math> comme force attractive relativement à l'armature inférieure<math>\big]</math> ou * «<math>\;q\;</math> et <math>\;U\;</math> de signe contraire » pour «<math>\;\alpha \in \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right[\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. si <math>\;U\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\;\big(</math>cas de la figure<math>\big)\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> obtus <math>\;\big(</math>par exemple en considérant le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> symétrique de celui représenté sur la figure par rapport à l'axe <math>\;Ox\big)\;</math> la charge <math>\;q\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> la force électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M)\;</math> en sens contraire de <math>\;\vec{E}\;</math> agit sur <math>\;M\;</math> comme force attractive relativement à l'armature supérieure ou si <math>\;U\;</math> est <math>\;< 0</math> <math>\;\big(</math>le champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> est dans le sens contraire de celui de la figure<math>\big)\;</math> avec <math>\;\alpha\;</math> toujours obtus <math>\;\big(</math>par exemple en considérant le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> symétrique de celui représenté sur la figure par rapport à l'axe <math>\;Ox\big)\;</math> la charge <math>\;q\;</math> doit être <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> la force électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}}(M)\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{E}\;</math> agit encore sur <math>\;M\;</math> comme force attractive relativement à l'armature supérieure<math>\big]</math>.}} === Condition de focalisation d'un pinceau de particules identiques monocinétiques issu de O et de faible ouverture === {{Al|5}}Montrer que pour un pinceau « bidimensionnel » de faible ouverture <math>\;\Delta \alpha\;</math> dans le plan <math>\;xOy</math>, constitué de particules identiques issues du même point <math>\;O\;</math> et lancées avec un vecteur vitesse de même norme <math>\;V_0\;</math> au voisinage d'une direction particulière repérée par <math>\;\alpha = \alpha_0</math>, les trajectoires se recoupent toutes en un même point <math>\;A\;</math> d'abscisse <math>\;x_0</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\alpha_0\;</math> et exprimer <math>\;x_0\;</math> en fonction de <math>\;q</math>, <math>\;m</math>, <math>\;V_0</math>, <math>\;U\;</math> et <math>\;h</math>. {{Solution | contenu ={{Al|5}}Pour que les trajectoires de toutes les particules monocinétiques du pinceau « bidimensionnel » issu de <math>\;O\;</math> dont la direction du vecteur vitesse initiale repérée par l'angle orienté du plan <math>\;xOy\;</math> «<math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_y\,,\,\vec{V}_0 \right)}</math>» vérifie «<math>\;\alpha \in \left[ \alpha_0 - \dfrac{\Delta \alpha}{2}\, ,\, \alpha_0 + \dfrac{\Delta \alpha}{2} \right]\;</math>» <math>\;\big(\Delta \alpha\;</math> étant de faible valeur considérée comme infiniment petite d'ordre un<ref name="infiniment petit d'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] (infiniment petit d'ordre un) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\;</math> se recoupent en un même point <math>\;A</math>, il suffit d'écrire que « l'abscisse de <math>\;A\;</math> reste constant relativement à <math>\;\delta \alpha = \alpha - \alpha_0</math> <math>\;\bigg(\delta \alpha\;</math> étant de valeur absolue <math>\;\leqslant\;</math> à <math>\;\dfrac{\Delta \alpha}{2}\;</math> est aussi un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petit d'ordre un" /><math>\bigg)\;</math> quand on fait le D.L<ref name="D.L." > Développement Limité.</ref>. de <math>\;x_A(\alpha)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\delta \alpha\;</math> au voisinage de <math>\;\alpha_0\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un au voisinage de a"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs|D.L. à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}or le D.L<ref name="D.L." />. à l'ordre un en <math>\;\delta \alpha\;</math> de <math>\;x_A(\alpha)\;</math> au voisinage de <math>\;\alpha_0\;</math> s'écrivant «<math>\;x_A(\alpha) \simeq x_A(\alpha_0) + \dfrac{d x_A}{d \alpha}(\alpha_0)\,\left( \alpha - \alpha_0 \right)\;</math>» ou «<math>\;x_A(\alpha) \simeq x_A(\alpha_0) + \dfrac{d x_A}{d \alpha}(\alpha_0)\;\delta \alpha\;</math>»<ref> Mathématiquement le D.L. à l'ordre un en <math>\;\delta \alpha\;</math> de <math>\;x_A(\alpha)\;</math> au voisinage de <math>\;\alpha_0\;</math> s'écrirait «<math>\;x_A(\alpha) = x_A(\alpha_0) + \dfrac{d x_A}{d \alpha}(\alpha_0)\;\delta \alpha + {\scriptscriptstyle\mathcal{O}}\!\left[ \delta \alpha \right]\;\;</math> avec <math>\;\;\lim\limits_{\delta \alpha\, \rightarrow\, 0} \left\lbrace \dfrac{{\scriptscriptstyle\mathcal{O}}\!\left[ \delta \alpha \right]}{\delta \alpha} \right\rbrace = 0</math>».</ref>, ce D.L<ref name="D.L." />. restera constant relativement à <math>\;\delta \alpha\;</math> pour « les valeurs <math>\;\alpha_0\;</math> annulant <math>\;\dfrac{d x_A}{d \alpha}(\alpha)\;</math>» <math>\;\big[</math>pour ces valeurs <math>\;\alpha_0</math>, <math>\;x_A(\alpha)\;</math> diffère de <math>\;x_A(\alpha_0)\;</math> d'un infiniment petit d'ordre minimum deux<ref name="D.L. à l'ordre 2 au voisinage de a"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Notion_de_développements_limités_d'ordre_p_d'une_fonction_d'une_variable_de_classe_Cn_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs,_l'ordre_p_étant_<_à_n|notion de D.L. à l'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cⁿ au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n]] (cas p = 2) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, c.-à-d. que la variation est quasi imperceptible, on dit que <math>\;x_A(\alpha)\;</math> est <u>stationnaire</u> pour ces valeurs <math>\;\alpha_0\big]\;</math> soit, avec «<math>\;x_A(\alpha) = \dfrac{m\; V_0^2\;\sin(2\;\alpha)}{q\; U}\;h\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d x_A}{d \alpha}(\alpha) = \dfrac{2\;m\; V_0^2\;\cos(2\;\alpha)}{q\; U}\;h\;</math>», nous en déduisons que la C.N.S<ref name="C.N.S."> Condition Nécessaire et Suffisante.</ref>. de focalisation «<math>\;\dfrac{d x_A}{d \alpha}(\alpha_0) = 0\;</math>» se réécrit, après simplification évidente, selon «<math>\;\cos(2\; \alpha_0) = 0\;</math>», soit <center>«<math>\;\alpha_0 = \dfrac{\pi}{4}\;</math> ou <math>\;\dfrac{3\; \pi}{4}\;</math>» suivant que la direction principale du pinceau « bidimensionnel » est dirigée vers le haut <math>\;\big(\alpha\;</math> aigu<math>\big)\;</math> ou vers le bas <math>\;\big(\alpha\;</math> obtus<math>\big)\;</math><ref> On rappelle que si <math>\;U\;</math> est <math>\;> 0</math>, pour que <math>\;A\;</math> existe avec une particule de charge <math>\;q > 0</math>, «<math>\;\alpha\;</math> doit être aigu » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On rappelle que si U est > 0, pour que A existe }}avec une particule de charge <math>\;q < 0</math>, «<math>\;\alpha\;</math> doit être obtus », <br>{{Al|3}}les résultats étant inversés si <math>\;U\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}La valeur de <math>\;x_A\;</math> correspondant à un même point de focalisation sur l'axe <math>\;Ox\;</math> d'un pinceau « bidimensionnel » de particules monocinétiques issues de <math>\;O\;</math> et de direction principale <math>\;\alpha_0\;</math> est <center>«<math>\;x_A(\alpha_0) = \dfrac{m\; V_0^2}{q\; U}\;h\;</math>» notée «<math>\;x_0\;</math>».</center>}} === Séparation isotopique par focalisation distincte d'un pinceau de particules moncinétiques et isotopiques issu de O et de faible ouverture autour de la direction particulière repérée par α₀ === {{Al|5}}Le pinceau de particules de faible ouverture lancées de <math>\;O</math>, au voisinage de la direction <math>\;\alpha_0</math>, est constitué maintenant de deux types de particules de masses <math>\;m_1\;</math> et <math>m_2</math>, de même charge <math>\;q\;</math> et de vitesses initiales de même norme <math>\;V_0</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;V_0\;</math> pour que les points de focalisation <math>\;A_1\;</math> et <math>\;A_2\;</math> soient séparés d'une distance de <math>\;1\; cm\;</math> dans le cas où les particules sont des ions argon, portant tous la même charge <math>\;q = 1,60\; 10^{-19}\; C\;</math> et obtenues à partir des deux isotopes de l'argon de nombre de masse <math>\;38\;</math> et <math>\;40</math>. {{Al|5}}<u>Données</u> : <math>\;U = 1000\; V</math>, <math>\;h = 10,0\; cm\;</math> et la constante d'Avogadro vaut <math>\;\mathcal{N} = 6,02\; 10^{23}\; mol^{-1}</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Un ion isotope de « nombre de masse <math>\;A\;</math>» correspondant à une « masse molaire atomique <math>\;M \simeq (A)\; g \cdot mol^{-1} = (A \times 10^{-3})\; kg \cdot mol^{-1}\;</math>» a une « masse égale à <math>\;m = \dfrac{M}{\mathcal{N}} = \dfrac{(A \times 10^{-3})}{N}\; kg\;</math>» dans laquelle <math>\;N = \mathcal{N} \times 1\;mol \simeq 6,02\;10^{23}</math> ; {{Al|5}}ainsi « l'ion isotope <math>\;^{38}\! Ar^{+}\;</math> de masse <math>\;m_1\;</math>» étant plus léger que « l'ion isotope <math>\;^{40}\! Ar^{+}\;</math> de masse <math>\;m_2\;</math>», son point de focalisation <math>\;A_1\;</math> sur l'axe <math>\;Ox\;</math> sera plus rapproché de <math>\;O\;</math> que celui <math>\;A_2\;</math> sur le même axe <math>\;Ox\;</math> de l'autre ion <math>\;\big(x_0\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> à <math>\;m\big)</math>, la distance les séparant étant «<math>\;d = \overline{A_1A_2} = x_{0,\, 2} - x_{0,\, 1}\;</math>» ; {{Al|5}}nous en déduisons donc l'équation «<math>\;d = \dfrac{m_1\; V_0^2}{q\; U}\;h - \dfrac{m_2\; V_0^2}{q\; U}\;h = h\;\dfrac{V_0^2}{q\; U}\;\dfrac{\left[ A\!\left( ^{40}\! Ar \right) - A\!\left( ^{38}\! Ar \right) \right]\,10^{-3}}{N}\;</math>» soit finalement «<math>\;V_0 = \sqrt{\dfrac{d}{h}\;q\;U\;\dfrac{N}{\left[ A\!\left( ^{40}\! Ar \right) - A\!\left( ^{38}\! Ar \right) \right]\,10^{-3}}}\;</math>» ; {{Al|5}}numériquement on obtient <math>\;V_0 \simeq \sqrt{\dfrac{1}{10} \times 1,60\;10^{-19} \times 1000 \times\dfrac{6,02\;10^{23}}{\left( 40 - 38 \right) \times 10^{-3}}} \simeq 69,4\;10^3\;m \cdot s^{-1}\;</math> soit finalement «<math>\;V_0 \simeq 69,4\; km \cdot s^{-1}\;</math>».}} == Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan == {{Al|5}}Voir cet exercice « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Influence_de_la_résistance_de_l'air#Expérience_(de_la_gouttelette_d'huile)_de_Millikan|Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan]] <ref name="Millikan"> '''[[w:Robert_Andrews_Millikan|Robert Andrews Millikan]] (1868 - 1953)''' physicien américain surtout connu pour ses mesures précises de la charge de l'électron, l'étude de l'effet photoélectrique et celle des rayons cosmiques ; il obtint le prix Nobel de physique en <math>\;1923\;</math> pour ses travaux sur la charge élémentaire de l'électricité et l'effet photoélectrique.</ref> » dans la série d'exercices n°<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Puissance de la force de Lorentz/|Mouv. de part. chargées ds des chps élect. et magnét. : Puiss. de la force de Lorentz]] | suivant = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme/|Mouv. de part. chargées ds des chps électrique et magnétique : Cas part. d'un chp magnétostat. unif.]] }} ogsd0oby9iqikfs06opf09t01a6xpfy 0 76032 982976 965085 2026-05-22T05:51:25Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982976 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme | idfaculté = physique | numéro = 24 | chapitre = [[../../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme/]] | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme/]] | suivant = | niveau = 14 }} == Séparation isotopique des particules chargées d'un faisceau monocinétique par l'action d'un champ magnétostatique uniforme perpendiculaire au vecteur vitesse initiale des particules == [[File:Spectrographe de Bainbridge.png|thumb|300px|Schéma du spectrographe de Bainbridge<ref name="Bainbridge"> '''[[w:Kenneth_Bainbridge|Kenneth Bainbridge]] (1904 - 1996)''' [[w:Physique_nucléaire|physicien nucléaire]] américain, spécialiste des [[w:Spectrométrie_de_masse|spectromètres de masse]], ayant joué un rôle décisif dans le développement des [[w:Synchroton|synchrotrons]].</ref> permettant la séparation isotopique d'un faisceau monocinétique de particules de même charge par action d'un champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B}</math> <math>\;\perp\;</math> à leur vitesse d'entrée <math>\;\vec{V}_0</math>]] {{Al|5}}Le spectrographe de Bainbridge<ref name="Bainbridge" /> accélère préalablement les isotopes ionisés de même charge «<math>\;^A_ZX^{+}\;</math>» et «<math>\;^{A'}_Z\!X^{+}\;</math>» d'un « même élément <math>\;_ZX\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement }}lesquels, après passage dans un filtre de vitesse, ressortent avec un même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans le référentiel d'étude lié au filtre, référentiel supposé galiléen, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement }}pour pénétrer dans une chambre de déviation où règne un champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B}\;</math> dont la direction est <math>\;\perp\;</math> à la direction du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> commun aux isotopes ionisés ; {{Al|5}}après une trajectoire semi-circulaire dans la chambre de déviation, on mesure la « distance <math>\;\delta\;</math> séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur une « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}pour l'exposé de la solution nous supposerons que <math>\;A'\;</math> représente le plus grande nombre de masse des deux isotopes c.-à-d. «<math>\;A' > A\;</math>». === Justification du mouvement de chaque isotope ionisé dans la chambre de déviation === {{Al|5}}Justifier que le mouvement de chaque ion est plan, circulaire et uniforme en précisant les rayons <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}'\;</math> des différents isotopes ionisés. {{Solution |contenu = {{Al|5}}L’application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen à l'isotope ionisé <math>\;P \left( q = +e \right)\;</math><ref name="e"> <math>\;e\;</math> étant la charge élémentaire.</ref> soumise à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'effet photoélectrique.</ref> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(P) = q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz"> Voir le paragraphe « 2^ème [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Cas_particuliers|cas particulier]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;\vec{V}_{\!P}(t)\;</math> étant le vecteur vitesse de l'isotope ionisé à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(P) = m\;\vec{a}_P(t)\;</math>», conduit, sachant que le vecteur accélération de la particule à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{a}_P(t)</math>, est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse au même instant <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!P}}{dt}(t)</math>, à l’équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en <math>\;\vec{V}_{\!P}(t)\;</math> «<math>\;q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!P}}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est <math>\;\perp\;</math> à chacun de ses vecteurs<ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, nous en déduisons que <math>\;q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> c.-à-d. à <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire colinéaire à <math>\;\vec{B}\;</math> et de sens contraire {{Nobr|<math>\;\big[</math>de}} façon à ce que la base cartésienne orthonormée <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right)\;</math> soit directe<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{B} = -B\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math> ;<br>{{Al|5}}projetant l'équation différentielle sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> nous obtenons «<math>\;0 = m\;\dfrac{d V_{z,\,P}}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_{z,\,P}(t) = cste\;</math> et la C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math> imposant «<math>\;V_{0,\,z} = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste = 0\;</math> soit «<math>\;V_{z,\,P}(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|projetant l'équation différentielle sur uz nous obtenons }} «<math>\;0 = V_{z,\,P}(t) = \dfrac{d z_P}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_P(t) = cste'\;</math> et la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;P_0\;</math> en <math>\;O\;</math> imposant «<math>\;z_0 = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0\;</math> soit «<math>\;z_P(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|5}}en 1^ère conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé <math>\;P\;</math> pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x</math> <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\;</math> est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur <math>\;P\;</math> est la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, <u>plan</u>, le plan du mouvement étant <math>\;xOy</math> ; {{Al|5}}la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> ne développant aucune puissance<ref name="puissance de la force magnétique de Lorentz nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Puissance_de_la_force_de_Lorentz#Propriété_:_seule_la_composante_électrique_de_la_force_de_Lorentz_peut_développer_une_puissance_non_nulle|propriété : seule la composante électrique de la force de Lorentz peut développer une puissance non nulle]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière reste constante par application du théorème de la puissance cinétique<ref name="théorème de la puissance cinétique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et par suite la norme de sa vitesse aussi soit «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!P}(t) \Vert = cste\;</math>», la constante se déterminant par C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!P}(0) \Vert = \Vert \vec{V}_0 \Vert = V_0\;</math>» d’où «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!P}(t) \Vert = V_0\;\;\forall\;t\;</math>» c.-à-d. {{Al|5}}en 2^ème conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé <math>\;P\;</math> après pénétration dans l'espace champ magnétostatique uniforme est <u>uniforme</u> de norme de vitesse égale à <math>\;V_0</math> ; {{Al|5}}le mouvement de l'isotope ionisé <math>\;P \left( q = +e \right)\;</math><ref name="e" /> étant plan, dans le plan « le plan <math>\;xOy\;</math>» et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x</math> <math>\;\Big(V_0 =</math> <math>\Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> étant aussi la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les notions d'abscisse curviligne et de vecteur unitaire tangentiel de Frenet étant exposées dans les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|premier vecteur de base de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> initiale <math>\;v_0\;</math> de l'isotope ionisé si on choisit le sens <math>\;+\;</math> sur la trajectoire dans le sens du mouvement<math>\Big)</math>, nous obtenons le schéma descriptif ci-dessus présenté dans l'énoncé, <math>\;q\;</math> étant <math>\;> 0</math> <math>\;\bigg[</math>pour savoir de quel côté de <math>\;\vec{V}_0\;</math> la courbe s’amorce il convient de déterminer la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> initiale «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(P_0) = q\;\vec{V}_0 \wedge \vec{B}\;</math>»<ref name="force magnétique de Lorentz" />, de direction <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\left( \vec{V}_0\,,\, \vec{B} \right)\;</math> ou <math>\;xOz\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} portée par <math>\;Oy\;</math> et de sens tel que <math>\;\left\lbrace q\;\vec{V}_0\,,\,\vec{B}\,,\,\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(P_0) \right\rbrace\;</math> soit direct <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(P_0)\;</math>» de même sens que <math>\;\vec{u}_y\bigg]</math>, la rotation de l'isotope ionisé se faisant dans le sens <math>\;+\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math> défini par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> colinéaire à <math>\;\vec{B}\;</math> et de sens contraire <math>\;\Big[</math>le sens de <math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_0)\;</math> sur <math>\;Oy\;</math> nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens<math>\Big]</math> ; <br>{{Al|5}}pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre <math>\,\big(</math>ou base<math>\big)\,</math> de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> de base directe «<math>\;\left\lbrace \vec{T} \,,\, \vec{N} \,,\, \vec{b} = \vec{u}_z \right\rbrace\;</math>»<ref name="base locale de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Deuxième_et_troisième_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_étudiée|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » {{Nobr|<math>\;\Big[</math>ce}} 2^ème paragraphe permettant de définir le vecteur unitaire tangentiel de Frenet et le 3^ème les vecteurs normaux principal et secondaire en précisant que, dans le cas d'une courbe plane, les 1^er et 2^nd vecteurs de base sont dans le plan et le 3^ème vecteur de base <math>\;\perp\;</math> au plan tel que son sens est en accord avec le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles orientés de ce plan d'où ici <math>\;\vec{b} = \vec{u}_z\Big]</math>.</ref> et projetons l'équation différentielle «<math>\;q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B} = m\;\dfrac{d \vec{V}_{\!P}}{dt}(t)\;</math>» sur <math>\;\vec{N}</math>, le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="base locale de Frenet" />, en utilisant {{Al|5}}d'une part que «<math>\;q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B}\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{V}_{\!P}(t)\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math><ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" />, donc à <math>\;\vec{T}\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, est porté par <math>\;\vec{N}\;</math>», « son sens se déterminant par <math>\;\left\lbrace q\;\vec{V}_{\!P}(t)\,,\,\vec{B}\,,\,q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B} \right\rbrace\;</math> direct est celui de <math>\;\vec{N}\;</math>» et {{Al|5}}d'autre part que <math>\;\dfrac{d \vec{V}_{\!P}}{dt}(t)\;</math> étant <math>\;= \vec{a}_P(t)\;</math> sa projection sur <math>\;\vec{N}\;</math> définit l'accélération normale de l'isotope ionisé <math>\;a_{n,\,P}(t) = \dfrac{v_P^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!P}}(t)\;</math><ref name="accélérations tangentielle et normale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_locales_de_Frenet_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_accélérations_tangentielle_et_normale_du_point|composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;v_P(t)\;</math> la vitesse instantanée de l'isotope ionisé <math>\;v_P(t) =</math> <math>\vec{V}_{\!P}(t) \cdot \vec{T}\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> et <math>\;\mathcal{R}_{\!P}(t)\;</math> le rayon de courbure de la trajectoire en la position de l'isotope ionisé à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, {{Al|5}}ce qui donne «<math>\;\Vert\, q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = m\;\dfrac{v_P^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!P}}(t)\;</math>» avec «<math>\;\Vert\, q\;\vec{V}_{\!P}(t) \wedge \vec{B}\, \Vert = \vert q \vert\, \Vert \vec{V}_{\!P}(t) \Vert\, \Vert \vec{B} \vert\, \bigg\vert \sin\! \widehat{\left[ q\;\vec{V}_{\!P}(t)\,,\, \vec{B} \right]} \bigg\vert\;</math>» dans laquelle <math>\;\bigg\vert \sin\! \widehat{\left[ q\;\vec{V}_{\!P}(t)\,,\, \vec{B} \right]} \bigg\vert = 1</math> <math>\;\Big[</math>le mouvement se faisant dans le plan passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\Big]\;</math> et <math>\;\Vert \vec{V}_{\!P}(t) \Vert = v_P(t)</math> <math>\;\big[</math>le sens <math>\;+\;</math> étant choisi dans le sens du mouvement<math>\big]\;</math> soit encore, <math>\;q\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\Vert \vec{B} \Vert\;</math> étant notée <math>\;B</math>, «<math>\;q\; v_P(t)\;B = m\;\dfrac{v_P^{\,2}}{\mathcal{R}_{\!P}}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{R}_{\!P}(t) = \dfrac{m\;v_P(t)}{q\;B}\;</math>» ; {{Al|5}}le mouvement de la particule étant uniforme <math>\;v_p(t) = v_0,\;\;\forall\;t</math>, le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant <math>\;t\;</math> se réécrit «<math>\;\mathcal{R}_{\!P}(t) = \dfrac{m\;v_0}{q\;B},\;\;\forall\;t\;</math>» c.-à-d. une constante et {{Al|5}}{{Transparent|le mouvement de la particule }}étant plan, la trajectoire suivie par l'isotope ionisé est <u>circulaire</u> <math>\;\big(</math>la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle<math>\big)</math>, <center>le rayon du cercle étant «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;v_0}{q\;B}\;</math>».</center> {{Al|5}}En conclusion le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé «<math>\;^A_ZX^{+}\;</math> de masse <math>\;m\;</math>» est «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{m\;v_0}{e\;B}\;</math>» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé «<math>\;^{A'}_Z\!X^{+}\;</math> de masse <math>\;m'\;</math>» est «<math>\;\mathcal{R}' = \dfrac{m'\;v_0}{e\;B}\;</math>».}} === Établissement de l'expression de la distance séparant les deux points d'impact des isotopes ionisés sur la plaque photographique de la sortie de la chambre de déviation === {{Al|5}}Exprimer la « distance <math>\;\delta\;</math> séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur la « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer la distance « δ » }}en fonction de la constante d'Avogadro<ref name="Avogadro"> '''[[w:Amedeo_Avogadro|Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro]] (1776 - 1856)''' est un physicien et chimiste du [[w:Piémont|Piémont]] <math>\;\big(</math>région actuelle de l'Italie<math>\big)\;</math> à qui on doit essentiellement la [[w:Loi_d'Avogadro|loi d'Avogadro Ampère]] qu'il énonça en <math>\;1811\;</math> et proposée indépendamment par '''Ampère''' en <math>\;1814</math>, celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière.</ref> <math>\;\mathcal{N}</math>, la charge élémentaire <math>\;e</math>, la norme du champ magnétostatique <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert</math>, la norme du vecteur vitesse d'entrée dans la chambre de déviation <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert</math>, les masses molaires atomiques <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> des isotopes de nombre de masse <math>\;A\;</math> et <math>\;A'</math>. {{Solution |contenu = [[File:Spectrographe de Bainbridge - bis.png|thumb|300px|Schéma du spectrographe de Bainbridge<ref name="Bainbridge" /> permettant la séparation isotopique d'un faisceau monocinétique de deux isotopes ionisés de même charge par action d'un champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B}</math> <math>\;\perp\;</math> à leur vitesse d'entrée <math>\;\vec{V}_0</math>]] {{Al|5}}Le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé «<math>\;^A_ZX^{+}\;</math> de masse <math>\;m\;</math>» valant «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{m\;v_0}{e\;B}\;</math>» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé «<math>\;^{A'}_Z\!X^{+}\;</math> de masse <math>\;m'\;</math>» {{Nobr|«<math>\;\mathcal{R}'</math>}} <math>= \dfrac{m'\;v_0}{e\;B}\;</math>», transformons l'expression du rayon de chaque cercle en explicitant la masse «<math>\;m\;</math>» et «<math>\;m'\;</math>» de chaque isotope ionisé en fonction de leur masse molaire atomique «<math>\;M\;</math>» et «<math>\;M'\;</math>» ainsi que de la « constante d'Avogadro<ref name="Avogadro" /> <math>\;\mathcal{N}\;</math>» selon «<math>\;m = \dfrac{M}{\mathcal{N}}\;</math>» et «<math>\;m' = \dfrac{M'}{\mathcal{N}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{M\;v_0}{\mathcal{N}\;e\;B}\;</math>» et «<math>\;\mathcal{R}' =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{M'\;v_0}{\mathcal{N}\;e\;B}\;</math>» ;}} {{Al|5}}le rayon du cercle décrit par chaque isotope ionisé étant <math>\;\propto\;</math> à sa masse molaire atomique, c'est l'isotope ionisé ayant la plus grande masse molaire atomique <math>\;\big(</math>c.-à-d. correspondant au plus grand nombre de masse soit <math>\;A'\big)\;</math> qui décrit le demi-cercle le plus extérieur, c'est donc celui-là dont l'impact sur la plaque photographique est le plus éloigné de son point d'entrée dans la chambre de déviation ; {{Al|5}}les impacts sur la plaque photographique des isotopes ionisés «<math>\;^A_ZX^{+}\;</math>» et «<math>\;^{A'}_Z\!X^{+}\;</math>» étant situés respectivement à la distance <math>\;2\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;2\;\mathcal{R}'\;</math> de leur point d'entrée dans la chambre de déviation <math>\;\big(</math>chaque distance correspondant au diamètre de chaque demi-cercle<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math>, <center>la distance séparant les deux impacts s'écrit «<math>\;\delta = 2\;\mathcal{R}' - 2\;\mathcal{R}\;</math>» <br> ou encore «<math>\;\delta = \dfrac{2\,\left( M' - M \right)\,v_0}{\mathcal{N}\;e\;B}\;</math>».</center>}} === Application numérique === {{Al|5}}À partir de «<math>\;B = 0,30\; T\;</math>», «<math>\;e \simeq 1,60\; 10^{-19}\; C\;</math>», «<math>\;V_0 = 600\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et «<math>\;\mathcal{N} \simeq 6,02\; 10^{23}\; mol^{-1}\;</math>», déduire, de la mesure de «<math>\;\delta \simeq 4,15\; cm\;</math>», la nature de l'autre isotope de carbone sachant que l'un des deux est l'isotope le plus fréquent le «<math>\;^{12}_{\;6}C\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}De la relation «<math>\;\delta = \dfrac{2\,\left( M' - M \right)\,v_0}{\mathcal{N}\;e\;B}\;</math>» établie précédemment nous déduisons «<math>\;M' - M = \dfrac{\mathcal{N}\;e\;B\;\delta}{2\;v_0} = \dfrac{\mathcal{N}\;e\;B\;\delta}{2\;V_0}\;</math>» <math>\;\big(</math>le sens <math>\;+\;</math> sur les trajectoires ayant été choisi dans le sens du mouvement la vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> s'identifie à la norme du vecteur vitesse<math>\big)\;</math> soit numériquement «<math>\;M' - M \simeq \dfrac{6,02\;10^{23} \times 1,60\;10^{-19} \times 0,30 \times 4,15\;10^{-2}}{2 \times 6,00\;10^5} \simeq 9,99\;10^{-4}\;kg \cdot mol^{-1}\;</math>» ou «<math>\;M' - M \simeq 1,00\;g \cdot mol^{-1}\;</math>» ce qui correspond à une différence de nombres de masse des isotopes de <math>\;1\;</math> soit «<math>\;A' - A = 1\;</math>» ; {{Al|3}}l'un des isotopes étant le «<math>\;^{12}_{\;6}C\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;A\;</math> ou <math>\;A'\;</math> vaut <math>\;12\;</math> et par suite * si <math>\;A = 12</math>, <math>\;A'\;</math> vaut <math>\;A + \left( A' - A \right) = 13\;</math> correspondant à l'isotope «<math>\;^{13}_{\;6}C\;</math>» peu fréquent mais existant alors que * si <math>\;A' = 12</math>, <math>\;A\;</math> vaut <math>\;A' - \left( A' - A \right) = 11\;</math> lequel correspond à un isotope «<math>\;^{11}_{\;6}C\;</math>» n'existant pas à l'état naturel. <center>Les isotopes du carbone déterminés par séparation isotopique sont le «<math>\;^{12}_{\;6}C\;</math>» et le «<math>\;^{13}_{\;6}C\;</math>».</center>}} == Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique perpendiculaires entre eux sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, mouvement cycloïdal, filtre de vitesse == [[File:Champ électromagnétique uniforme à composantes perpendiculaires.png|thumb|400px|Description d'un champ électromagnétique uniforme à composantes électrostatique et magnétostatique respectivement <math>\;\perp\;</math> avec choix des axes cartésiens tel que <math>\;\vec{E} = E\;\vec{u}_y\;</math> et <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z</math>]] {{Al|5}}À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse <math>\;m\;</math> et de charge <math>\;q > 0\;</math> est d'abord considérée immobile dans le vide en un point représentant l'origine <math>\;O\;</math> des espaces ; {{Al|5}}nous établissons à cet instant un champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\;</math> uniforme et un champ électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> également uniforme, de direction perpendiculaire à celle du champ magnétique et {{Al|5}}{{Transparent|nous }}choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{B} = B\;\vec{u}_z\\ \vec{E} = E\;\vec{u}_y \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} B = \Vert \vec{B} \Vert\\ E = \Vert \vec{E} \Vert \end{array} \right\rbrace</math>, le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_x\;</math> permettant l'orientation des angles du plan <math>\;yOz</math> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}Le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> lié au champ électromagnétique est supposé galiléen. === Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme === {{Al|5}}Après application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, déduire les trois équations différentielles en composantes cartésiennes du vecteur vitesse de cette particule dans l'espace champ électromagnétique uniforme, puis {{Al|5}}simplifier ces équations en introduisant la pulsation cyclotron de la particule <math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\; B}{m}\;</math> soit, pour une particule de charge positive «<math>\;\omega_c = \dfrac{q\; B}{m}\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}L'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />., dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen, à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> soumis à la seule force de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{Lor}}(M_t) = q\, \left( \vec{E} + \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} \right)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> est le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> donne «<math>\;\vec{F}_{\text{Lor}}(M_t) = m\; \vec{a}_{M}(t)\;</math> avec <math>\;\vec{a}_{M}(t) = \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> le vecteur accélération de la particule au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math>» soit encore l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en son vecteur vitesse «<math>\;q\, \left( \vec{E} + \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} \right) = m\; \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}sachant que «<math>\;\vec{E} = E\; \vec{u}_y\;</math>», «<math>\;\vec{B} = B\; \vec{u}_z\;</math>» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = V_{M,\,x}(t)\; \vec{u}_x + V_{M,\,y}(t)\; \vec{u}_y + V_{M,\,z}(t)\; \vec{u}_z\;</math>» nous en déduisons les composantes cartésiennes «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>» en effectuant les calculs suivants<ref name="composantes d'un produit vectoriel connaissant celles de chaque vecteur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la seule condition de validité de cette définition étant que la base soit orthonormée le plus souvent directe <math>\;\big(</math>mais la définition reste valable si elle est indirecte<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & & 0 & & q\;V_{M,\,y}(t) \times B - q\;V_{M,\,z}(t) \times 0 & = & q\;B\;V_{M,\,y}(t)\\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & _{-}{\nearrow} & B & & & & \end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & & 0 & & q\;V_{M,\,z}(t) \times 0 - q\;V_{M,\,x}(t) \times 0 & = & -q\;B\;V_{M,\,x}(t)\\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & ^{+}{\searrow} & B & & & & \\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & & B & & q\;V_{M,\,x}(t) \times 0 - q\;V_{M,\,y}(t) \times 0 & = & 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;\vec{u}_x - q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;\vec{u}_y\;</math>»<ref name="calcul du produit vectoriel en ligne"> Il est aussi possible d'effectuer, en ligne, le calcul du produit vectoriel de deux vecteurs à partir des composantes de ces derniers en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> soit ici «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} =</math> <math>q\, \left[ V_{M,\,x}(t)\;\vec{u}_x + V_{M,\,y}(t)\;\vec{u}_y + V_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z \right] \wedge B\;\vec{u}_z = q\, \left[ V_{M,\,x}(t)\; \vec{u}_x \wedge B\;\vec{u}_z + V_{M,\,y}(t)\; \vec{u}_y \wedge B\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; V_{M,\,z}(t)\; \vec{u}_z \wedge B\;\vec{u}_z} \right]\;</math>» soit encore, après factorisation scalaire, «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} =</math> <math>q\;B\, \left\lbrace V_{M,\,x}(t)\,\left[ \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z \right] + V_{M,\,y}(t)\, \left[ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z \right] \right\rbrace\;</math>» et le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs de base <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y\\ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x\end{array}\right\rbrace</math>, «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;\vec{u}_x - q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;\vec{u}_y\;</math>».</ref> et par suite {{Al|5}}les équations différentielle scalaires du mouvement de la particule en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de celle-ci en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des axes du repère cartésien soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} q\; B\; V_{M,\,y}(t) = m\; \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t)\\ q\; E\; - q\; B\; V_{M,\,x}(t) = m\; \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t)\\ 0 = m\; \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou, en normalisant, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,y}(t)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,x}(t) + \dfrac{q}{m}\;E \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \qquad 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» et enfin, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\; B}{m}\;</math>» c.-à-d., pour une particule de charge positive, «<math>\;\omega_c = \dfrac{q\; B}{m}\;</math>» <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\omega_c\; V_{M,\,y}(t)\qquad\qquad\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \omega_c\; V_{M,\,x}(t) + \dfrac{q}{m}\;E\;\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{2} \right) \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \qquad 0\qquad\qquad\qquad\quad\text{:}\;\;\left( \mathfrak{3} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} === Détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme === {{Al|5}}Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de la particule <math>\;M\;</math> dans le champ électromagnétique uniforme en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente et {{Al|5}}présenter ces équations paramétriques en utilisant, entre autres, la grandeur homogène à une longueur «<math>\;\dfrac{E}{B\; \omega_c} = R\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}L'équation différentielle «<math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;\text{:}\;\; \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = 0\;</math>» s'intègre en «<math>\;V_{M,\,z}(t) = cste_z\;</math>», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_{M,\,z}(0) = 0\;</math>» d'où <math>\;cste_z = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;V_{M,\,z}(t)</math>}} <math>= 0\;\;\forall\;t\;</math>» puis, intégrant «<math>\;V_{M,\,z}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t) = 0\;</math>» en «<math>\;z_M(t) = {cste'}_z\;</math>», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;M(0) = O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(0) = 0\;</math>» d'où <math>\;{cste'}_z = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;z_M(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» d'où la nature <u>plane</u> du mouvement de la particule <math>\;M\;</math> dans le « plan <math>\;xOy\;</math>». {{Al|5}}Les équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\omega_c\; V_{M,\,y}(t)\\ \left( \mathfrak{2} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \omega_c\; V_{M,\,x}(t) + \dfrac{q}{m}\;E\end{array} \right\rbrace\;</math>» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» et en formant la C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i\, \left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) + i\; \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = \omega_c\; V_{M,\,y}(t) - i\; \omega_c\; V_{M,\,x}(t) + i\; \dfrac{q}{m}\; E\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d\! \left[ V_{M,\,x} + i\;V_{M,\,y} \right]}{dt}(t) = - i\; \omega_c\, \left[ V_{M,\,x}(t) + i\;V_{M,\,y}(t) \right] + i\; \dfrac{q}{m}\; E\;</math>»<ref name="conseil pour découpler"> Comme le découplage par introduction de «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» et C.L. «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i\, \left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» est possible dès que le couplage résulte d'un produit vectoriel, il suffit de « mettre le cœfficient de <math>\;V_{M,\,x}(t)\;</math> en facteur commun » des termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;V_{M,\,x}(t)\;</math> et <math>\;V_{M,\,y}(t)</math>, le facteur restant étant alors nécessairement «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» ce qui est effectivement vérifié car le cœfficient de <math>\;V_{M,\,y}(t)\;</math> étant l'opposé du cœfficient de <math>\;V_{M,\,x}(t)\;</math> c.-à-d. le cœfficient de <math>\;V_{M,\,x}(t)\;</math> multiplié par <math>\;-1 = i^2</math>.</ref>{{,}}<ref name="utilisation du conseil pour découpler"> L'utilisation de la remarque de la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#cite_note-conseil_pour_découpler-19|¹⁹]] » précédente au cas présent donne «<math>\;\omega_c\; V_{M,\,y}(t) - i\; \omega_c\; V_{M,\,x}(t) = - i\; \omega_c\; V_{M,\,x}(t) - i^2\;\omega_c\;V_{M,\,y}(t) = - i\; \omega_c\, \left[ V_{M,\,x}(t) + i\;V_{M,\,y}(t) \right]\;</math>».</ref> soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en « vitesse complexe <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» hétérogène <center>«<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}}{dt}(t) + i\; \omega_c\;\underline{\mathcal{V}}(t) = i\; \dfrac{q}{m}\; E\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math>» hétérogène s'écrit «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = \underline{\mathcal{V}}_l(t) + \underline{\mathcal{V}}_f\;</math>» dans laquelle «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_l(t)\;</math> est la solution libre » <math>\;\Bigg[</math>c.-à-d. la « solution générale de l'équation différentielle homogène <math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}_l}{dt}(t) + i\; \omega_c\;\underline{\mathcal{V}}_l(t) = 0\;</math>»<math>\Bigg]\;</math> et «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_f\;</math> la solution forcée » <math>\;\Bigg[</math>c.-à-d. la « solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme <math>\;\big(</math>si elle existe<math>\big)\;</math> que l'excitation <math>\;\big(</math>constante<math>\big)\;</math> de cette dernière <math>\;\cancel{\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}_f}{dt}(t)\; +}\; i\; \omega_c\;\underline{\mathcal{V}}_f(t) = i\; \dfrac{q}{m}\; E\;</math>»<math>\Bigg]\;</math> d'où «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_l(t) = \underline{A}\;\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right)\;</math>» avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe d'intégration<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_f = \dfrac{i\; \dfrac{q}{m}\; E}{i\; \omega_c} = \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c}\;</math>»<ref name="solution forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_forcée_(quand_celle-ci_existe)|recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)]] (d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) =</math> <math>\underline{A}\;\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c}\;</math>», <math>\;\underline{A}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(0) = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>la particule étant initialement immobile<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\underline{A} + \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c} = 0\;</math>» d'où finalement <center>la loi horaire de vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] = \dfrac{E}{B}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right]\;</math>»<ref name="réintégration de B"> En effet <math>\;\dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c}\;</math> se réécrit, en utilisant <math>\;\omega_c = \dfrac{q\;B}{m}\;</math> selon <math>\;\dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\dfrac{q\;B}{m}} = \dfrac{E}{B}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;V_{M,\,x}(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Re\!\left\lbrace \dfrac{E}{B}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace = \dfrac{E}{B}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ou encore, «<math>\;\dfrac{E}{B}\;</math> étant homogène à une vitesse » et «<math>\;\omega_c\;</math> à une vitesse angulaire », « le rapport <math>\;\dfrac{\dfrac{E}{B}}{\omega_c} = \dfrac{E}{B\; \omega_c}\;</math> est homogène à une longueur notée <math>\;R\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{M,\,x}(t) = R\;\omega_c\,\left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;V_{M,\,y}(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Im\!\left\lbrace \dfrac{E}{B}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace = \dfrac{E}{B}\; \sin\! \left( \omega_c\;t \right) = R\;\omega_c\;\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>voir justification ci-dessus<math>\big)</math> ; <center>les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}V_{M,\,x}(t) = R\;\omega_c\,\left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\\ V_{M,\,y}(t) = R\;\omega_c\;\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}La vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{\!M,\,x}(t) + i\;V_{\!M,\,y}(t)\;</math>» étant la dérivée temporelle de la position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_{M}(t) + i\;y_{M}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{X}}}{dt}(t) = \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] = \dfrac{E}{B}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right]\;</math>»<ref name="réintégration de B" /> qui s'intègre selon «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \dfrac{E}{B}\, \left[ t - \dfrac{\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right)}{-i\;\omega_c} \right] + \underline{cste} = \dfrac{E}{B\;\omega_c}\, \left[ \omega_c\;t - i\;\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] + \underline{cste}\;</math>», <math>\;\underline{cste}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(0) = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>la particule étant initialement en <math>\;O\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-i\;\dfrac{E}{B\;\omega_c} + \underline{cste} = 0\;</math> d'où «<math>\;\underline{cste} = i\;\dfrac{E}{B\;\omega_c}\;</math>» et nous déduisons finalement <center>la loi horaire de position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \dfrac{E}{B\;\omega_c}\, \left\lbrace \omega_c\;t + i\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace\;</math>» ou <br>{{Al|8}}avec «<math>\;R = \dfrac{E}{B\;\omega_c}\;</math>», «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = R\, \left\lbrace \omega_c\;t + i\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;x_M(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Re\!\left\lbrace R\; \omega_c\;t + i\;R\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace = R\; \omega_c\;t + i\;R\, \left[ +i\;\sin\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ou encore, «<math>\;x_M(t) = R\, \left[ \omega_c\;t - \sin\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;y_M(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Im\!\left\lbrace R\; \omega_c\;t + i\;R\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace = R\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ; <center>les lois horaires de position de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = R\, \left[ \omega_c\;t - \sin\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\\ y_M(t) = R\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center>}} === Allure de la trajectoire de la particule ainsi que de l'hodographe de pôle O du mouvement de cette dernière === {{Al|5}}Préciser l'allure de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme. {{Al|5}}Établir les équations paramétriques de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de la particule <math>\;M\;</math><ref name="définition de l'hodographe de pôle O du mouvement d'un point M"> L'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> est l'ensemble des positions <math>\;P\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> tel que «<math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>le symbole <math>\;\widehat{=}\;</math> signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, il sous-entend le choix d'une échelle des vitesses, voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Définition_de_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_M|définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\;\big]</math>.</ref> soumis au champ électromagnétique uniforme puis {{Al|5}}préciser son allure. {{Solution |contenu = [[File:Cycloïde droite.png|thumb|600px|[[w:Cycloïde|Cycloïde droite]] <math>\;\big(</math>ou roulette de Pascal<ref name="Pascal"> '''[[w:Blaise_Pascal|Blaise Pascal]] (1623 - 1662)''' mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1^ère machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre <math>\;\big(</math>il a publié à <math>\;16\;ans\;</math> un traité de [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]], a développé en <math>\;1654\;</math> une méthode de résolution du [[w:Problème_des_partis|problème des partis]] ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des [[w:Probabilité|probabilités]]<math>\big)</math> ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir [[w:Les_Provinciales|LesProvinciales]] et les [[w:Pensées|Pensées]] qui ne furent publiées qu'après sa mort.</ref><math>\big)\;</math> engendrée par le mouvement d'un point d'un cercle de rayon <math>\;R\;</math> roulant sans glisser sur l'axe <math>\;x'x</math>, à la vitesse angulaire <math>\;\omega_c\;</math> en étant du côté <math>\;y > 0</math>]] [[File:Cycloid animated .gif|thumb|600px|La courbe fixe sur laquelle roule sans glisser le cercle appelé « roulante » étant la droite <math>\;x'x</math> et le point mobile un point du cercle, la courbe que ce point engendre de la famille des « [[w:Roulette_(courbe)|roulettes]] » est la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] <math>\;\big(</math>ou roulette de Pascal<ref name="Pascal" /><math>\big)\;</math> de directrice <math>\;x'x</math>]] {{Al|5}}Les lois horaires de position de la particule <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = R\, \left[ \omega_c\;t - \sin\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\\ y_M(t) = R\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» étant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de cette dernière dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, les « coordonnées de la particule <math>\;\left( x_M\,,\, y_M \right)\;</math>» et le «paramètre <math>\;\theta = \omega_c\;t\;</math> lié à sa position » sont liés entre eux par <center>«<math>\;\left( y_M - R \right)^2 + \left( x_M - R\; \theta \right)^2 = R^2\;</math>»<ref> En effet de <math>\;x_M(\theta) = R\, \left[ \theta - \sin\! \left( \theta \right) \right]\;</math> on tire «<math>\;\sin\! \left( \theta \right) = -\dfrac{x_M - R\;\theta}{R}\;</math>» et de <math>\;y_M(\theta) = R\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math> on tire «<math>\;\cos\! \left( \theta \right) = -\dfrac{y_M - R}{R}\;</math>» ; on élimine partiellement le paramètre <math>\;\theta\;</math> en utilisant <math>\;\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\;</math> soit <math>\;\left( -\dfrac{y_M - R}{R} \right)^{\!2} + \left( -\dfrac{x_M - R\;\theta}{R} \right)^{\!2} = 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left( y_M - R \right)^2 + \left( x_M - R\; \theta \right)^2 = R^2\;</math>».</ref> c.-à-d.</center> {{Al|5}}l'équation cartésienne d'un « cercle du plan <math>\;xOy\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> dont le centre <math>\;C \left( x_C = R\;\theta\,,\, y_C = R \right)\;</math> se déplace sur la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;x'x\;</math> d'équation <math>\;y = R\;</math>» <math>\;\big(</math>en rouge sur le tracé ci-contre<math>\big)</math>, ce cercle roulant sans glisser sur l'axe <math>\;x'x\;</math> car * d'une part il y est toujours tangent et * d'autre part le point <math>\;A\;</math> lié au cercle en contact avec l'axe <math>\;x'x\;</math> à l'instant <math>\;t = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\theta = 0\;</math> étant confondu avec <math>\;O</math>, il a tourné sur le cercle à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;\Delta \theta = \theta - 0 = \omega_c\;t\;</math> dans le sens horaire soit, en notant <math>\;I\;</math> la position du point de contact du cercle sur l'axe <math>\;x'x</math>, une longueur d'arc «<math>\;\overset{\curvearrowright}{IA} = R\;\theta\;</math>» décrit sur le cercle égale à la distance de déplacement du point de contact sur l'axe <math>\;x'x\;</math> «<math>\;\overline{OI} = x_C(\theta) - 0 = R\;\theta\;</math>», <center>«<math>\;\overset{\curvearrowright}{IA} = \overline{OI}\;</math>» caractérisant le roulement sans glissement du cercle « la roulante » <br>sur l'axe « la courbe fixe » sur laquelle « la roulante » roule sans glisser, <br>la courbe engendrée « la roulette » étant une « [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] de directrice l'axe <math>\;x'x\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la trajectoire de la particule <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> est donc une <u>[[w:Cycloïde|cycloïde droite]]</u> de directrice <math>\;x'x</math> <math>\;\big(</math>voir tracé ci-dessus à droite<math>\big)</math>, elle est périodique de « période spatiale <math>\;X\;</math>» correspondant à la « période temporelle commune de <math>\;y_M(t)\;</math> et de la partie périodique de <math>\;x_M(t)\;</math> égale à <math>\;T_y = \dfrac{2\; \pi}{\omega_c}\;</math>» pendant laquelle {{Nobr|«<math>\;y_M\;</math>}} reprend sa valeur de début d'intervalle » et «<math>\;x_M \nearrow\;</math> de <math>\;X = R\; \omega_c\; T_y = 2\; \pi\; R\;</math>» ou encore, avec «<math>\;R =</math> <math>\dfrac{E}{B\; \omega_c}\;</math>», la <u>période spatiale de la trajectoire</u> de <math>\;M\;</math> «<math>\;X = \dfrac{2\; \pi\; E}{B\; \omega_c} = \dfrac{E}{B}\; T_y\;</math>» avec «<math>\;T_y = \dfrac{2\; \pi}{\omega_c}\;</math>». [[File:Hodographe de pôle O d'un mouvement cycloïdal.png|thumb|400px|Tracé de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement cycloïdal d'une particule initialement immobile dans un champ électromagnétique à composantes électrique et magnétique <math>\;\perp</math>]] {{Al|5}}Les équations cartésiennes paramétriques de l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> défini comme l'ensemble des positions <math>\;P\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> du <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> tel que «<math>\;\overrightarrow{OP}(t)\;\widehat{=}\;\vec{V}_M(t)\;</math>»<ref name="symbole représenté par ou représentant"> Le symbole <math>\;\widehat{=}\;</math> signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, il sous-entend le choix d'une échelle des vitesses, voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Définition_de_l'hodographe_de_pôle_O_du_mouvement_de_M|définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> sont aussi {{Al|5}}les lois horaires de vitesse de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy</math>, elles s'écrivent donc «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} X_P(t)\; \widehat{=}\; V_{\!M,\,x}(t) = R\; \omega_c\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\, t \right) \right]\\ Y_P(t)\; \widehat{=}\; V_{\!M,\,y}(t) = R\; \omega_c\; \sin\! \left( \omega_c\, t \right) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="symbole représenté par ou représentant" /> », ses dernières établissant que l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> est {{Al|5}}le <u>cercle</u> du plan <math>\;xOy\;</math> de « centre <math>\;C_P \left( X_{C_P} \, \widehat{=}\, R\; \omega_c \,,\, Y_{C_P} \, \widehat{=}\, 0 \right)\;</math><ref name="symbole représenté par ou représentant"/> », de « rayon <math>\;R_P \, \widehat{=}\, R\; \omega_c\;</math><ref name="symbole représenté par ou représentant" /> »<ref> En effet de <math>\;X_P(t)\; \widehat{=}\; R\; \omega_c\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\, t \right) \right]\;</math> on tire «<math>\;\cos\! \left( \omega_c\, t \right) \; \widehat{=}\; -\dfrac{X_P - R\; \omega_c}{R\; \omega_c}\;</math>» et de <math>\; Y_P(t) \; \widehat{=}\; R\; \omega_c\; \sin\! \left( \omega_c\, t \right)\;</math> on tire «<math>\;\sin\! \left( \omega_c\, t \right) = \dfrac{Y_P}{R\; \omega_c}\;</math>» ; on élimine le paramètre <math>\;\omega_c\, t\;</math> en utilisant <math>\;\cos^2(\omega_c\, t) + \sin^2(\omega_c\, t) = 1\;</math> soit <math>\;\left( -\dfrac{X_P - R\; \omega_c}{R\; \omega_c} \right)^{\!2} + \left( \dfrac{Y_P}{R\; \omega_c} \right)^{\!2} = 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left( X_P - R\; \omega_c \right)^2 + \left( Y_P \right)^2 = \left( R\;\omega_c \right)^2\;</math>».</ref> passant par <math>\;O</math>, {{Al|5}}{{Transparent|le cercle }}décrit d'un mouvement uniforme à la « vitesse angulaire de valeur absolue <math>\;\vert \Omega_P \vert = \omega_c\;</math>» dans le sens horaire <math>\;\big[</math>car le point <math>\;P\;</math> générique de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> partant de <math>\;O\;</math> à l'instant <math>\;t = 0\;</math> poursuit avec <math>\;Y_P \nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;R_P\;</math> pendant que <math>\;X_P \nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;R_P\;</math> puis <math>\;Y_P \searrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pendant que <math>\;X_P \nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;2\;R_P\;</math> suivi de <math>\;Y_P \searrow\;</math> jusqu'à <math>\;-R_P\;</math> pendant que <math>\;X_P \searrow\;</math> jusqu'à <math>\;R_P\;</math> et enfin <math>\;Y_P \nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pendant que <math>\;X_P \searrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> <math>\Rightarrow</math> rotation dans le sens horaire<math>\big]</math> d'où {{Al|5}}{{Transparent|le cercle décrit d'un mouvement uniforme }}une vitesse angulaire négative «<math>\;\Omega_P = -\omega_c\;</math>» correspondant à une «période <math>\;T_P = \dfrac{2\; \pi}{\vert \Omega_P \vert} = \dfrac{2\; \pi}{\omega_c}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>laquelle}} est aussi la période de variation de <math>\;y_M(t)\;</math> ainsi que celle de la partie périodique de <math>\;x_M(t)\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Les points de contact d'une [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] avec sa directrice sont des [[w:Point_singulier|points de rebroussement de 1^ère espèce]] <ref name="point de rebroussement de 1ère espèce"> Pour une courbe paramétrée, un point de rebroussement est d'abord un point singulier <math>\;\bigg[</math>point en lequel la dérivée 1^ère des coordonnées par rapport au paramètre s'annule simultanément c.-à-d., si <math>\;t_0\;</math> est la valeur du paramètre définissant un point singulier de la courbe, <math>\;\dfrac{dx}{dt}(t_0) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{dy}{dt}(t_0) = 0\bigg]\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour une courbe paramétrée, un point de rebroussement est d'abord un point singulier }} pour lequel il existe deux [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangentes]] à la courbe de pentes distinctes <math>\;\bigg[</math>sachant que la pente pour <math>\;t_0^{-}\;</math> est le quotient de la dérivée 2^nde de <math>\;y(t)\;</math> sur celle de <math>\;x(t)\;</math> pour <math>\;t_0^{-}\;</math> soit «<math>\;p(t_0^{-}) = \dfrac{y''}{x''}(t_0^{-})\;</math>» et qu'il en est de même pour <math>\;t_0^{+}\;</math> soit «<math>\;p(t_0^{+}) = \dfrac{y''}{x''}(t_0^{+})\;</math>», le point singulier est un point de rebroussement si «<math>\;p(t_0^{+}) \neq p(t_0^{-})\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;y''(t_0^{+})\;x''(t_0^{-}) \neq y''(t_0^{-})\;x''(t_0^{+})\bigg]</math> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour une courbe paramétrée, un point de rebroussement est d'abord un point singulier }} le point de rebroussement est dit de 1^ère espèce si les pentes des [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangentes]] à la courbe en ce point sont opposées soit «<math>\;p(t_0^{+}) = -p(t_0^{-})\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;y''(t_0^{+})\;x''(t_0^{-}) = -y''(t_0^{-})\;x''(t_0^{+})</math>» <math>\;\big(</math>sinon il est dit de 2^ème espèce<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\bigg[</math>en effet ces points sont effectivement singuliers car ils correspondent au passage par <math>\;O\;</math> du point <math>\;P\;</math> de l'hodographe de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement du point <math>\;M\;</math> sur la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] et les dérivées 2^ndes des coordonnées de <math>\;M\;</math> par rapport au paramètre <math>\;t\;</math> étant aussi les dérivées 1^ères des coordonnées de <math>\;P\;</math> par rapport au même paramètre <math>\;t</math> <math>\;\big(</math>au choix de l'échelle des vitesses près<math>\big)\;</math> ces points sont de rebroussement de 1^ère espèce si, <math>\;t_0\;</math> étant la valeur du paramètre les définissant, «<math>\;\dfrac{{Y_P}'}{{X_P}'}(t_0^{+}) = - \dfrac{{Y_P}'}{{X_P}'}(t_0^{-})\;</math>» ce qui est réalisé car l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement du point <math>\;M\;</math> sur la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] est symétrique relativement à l'axe <math>\;X'X\;</math><ref> L'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement du point <math>\;M\;</math> sur la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] étant symétrique relativement à l'axe <math>\;X'X</math>, les tangentes en des points de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> symétriques par rapport à <math>\;X'X\;</math> ont des pentes opposées et en particulier, pour <math>\;O \in \left( \mathcal{H} \right)</math>, la [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangente]] à <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> en <math>\;O\;</math> pour <math>\;t_0^{+}\;</math> étant la symétrique de la [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangente]] à <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> en <math>\;O\;</math> pour <math>\;t_0^{-}</math>, leurs pentes sont effectivement opposées</ref><math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le cas présent les pentes des [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangentes]] à <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> en <math>\;O\;</math> <math>\;\big[</math>ou celles des [[w:Tangente_(géométrie)#Demi-tangentes|demi-tangentes]] à la trajectoire cycloïdale de <math>\;M\;</math> en ses points de contact avec la directrice de la [[w:Cycloïde|cycloïde droite]]<math>\big]\;</math> sont infinies avec, <math>\;t_0\;</math> étant la valeur du paramètre définissant ces points de contact, <math>\;p(t_0^{+}) = +\infty\;</math> et <math>\;p(t_0^{-}) = -\infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> une même demi-droite tangente à la trajectoire de <math>\;M\;</math> en ces points de contact <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy\;</math> assurant que ces derniers sont effectivement des points rebroussement de 1^ère espèce pour la trajectoire<ref> Par contre on observe une même droite tangente à <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> en <math>\;O\;</math> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Y'Y</math>, <math>\;O\;</math> n'étant d'ailleurs pas un point singulier pour <math>\;\left( \mathcal{H} \right)</math> bien que les points correspondants sur la trajectoire de <math>\;M\;</math> en soient.</ref>.}} === Explicitation de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t === {{Al|5}}Déduire de ce qui précède la norme du vecteur vitesse de la particule <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en fonction de <math>\;E</math>, <math>\;B</math>, <math>\;\omega_c\;</math> et <math>\;t\;</math> puis, {{Al|5}}calculer la valeur de celle-ci pour «<math>\;t_1 = \dfrac{\pi}{\omega_c}\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}La norme du vecteur vitesse de la particule <math>\;M\;</math> se déduit des équations cartésiennes paramétriques de l'hodographe <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert \;\widehat{=}\; \sqrt{X_P^2(t) + Y_P^2(t)}\;</math>»<ref name="symbole représenté par ou représentant" /> soit ici <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = R\; \omega_c\; \sqrt{ \left[ 1 - \cos(\omega_c\; t) \right]^{\,2} + \sin^2(\omega_c\; t)}\;</math> ou, après développement et simplification sous le radical, <math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = R\; \omega_c\; \sqrt{ 2\, \left[ 1 - \cos(\omega_c\; t) \right]}\;</math> puis, en utilisant la relation trigonométrique «<math>\;1 - \cos(\xi) =</math> <math>2\;\sin^2\!\left( \dfrac{\xi}{2} \right)\;</math>», l'expression finale de la norme du vecteur vitesse de la particule <math>\;M\;</math> <center>«<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = 2\; R\; \omega_c\; \bigg\vert \sin\! \left( \dfrac{\omega_c\; t}{2} \right) \! \bigg\vert = 2\;\dfrac{E}{B}\;\; \bigg\vert \sin\! \left( \dfrac{\omega_c\; t}{2} \right) \! \bigg\vert\;</math>» car <math>\;R = \dfrac{E}{B\; \omega_c}</math> ;</center> {{Al|5}}la norme du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> prend donc pour <math>\;t_1 = \dfrac{\pi}{\omega_c} = \dfrac{T_P}{2} = \dfrac{T_y}{2}\;</math> sa valeur maximale «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t_1) = v_1 = 2\; \dfrac{E}{B}\;</math>», cette vitesse correspondant au point <math>\;M_1\;</math> de la trajectoire <math>\;\big(</math>représentée dans la solution de la question précédente<math>\big)\;</math> ou aux points qui se déduisent de <math>\;M_1\;</math> par translation de <math>\;n\;X\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> et <math>\;X = \dfrac{E}{B}\;T_y\;</math> la période spatiale de la trajectoire <math>\;\Big[</math>le point <math>\;M_1</math> <math>\;\big(</math>ainsi que tous les points se déduisant de <math>\;M_1\;</math> par translation de <math>\;n\;X\;\vec{u}_x\big)\;</math> correspond au point <math>\;P_1 \neq O\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{H} \right)\;</math> sur l'axe <math>\,X'X\Big]</math>.}} === Détermination de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t par utilisation du théorème de l'énergie cinétique appliqué à cette dernière === {{Al|5}}Retrouver les résultats de la question précédente en utilisant le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la particule soumis au champ électromagnétique uniforme. {{Solution |contenu = {{Al|5}}En appliquant, entre les instants initial et quelconque, le théorème de l'énergie cinétique à la particule <math>\;M\;</math> dans l'espace champ électromagnétique uniforme à composantes électrostatique et magnétostatique <math>\;\perp</math>, nous obtenons, compte tenu du fait que « la composante magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> <math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(t) = q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math> ne travaille pas <math>\;\Big[</math>seule la composante électrique <math>\;\vec{F}_{\text{élec}} = q\;\vec{E}\;</math> travaillant<math>\Big]\;</math>» et que « les C.I<ref name="C.I." />. de la particule sont <math>\;M(0)\;</math> en <math>\;O\;</math> et <math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = \vec{0}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t) - 0 = W_{\left[ 0\,,\,t \right]}\! \left( \vec{F}_{\text{élec}} \right) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>la force électrique étant constante<math>\big]\;</math> soit, avec <math>\;\vec{E} = E\;\vec{u}_y</math>, «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t) = q\;E\;y_M(t)\;</math>» ou, la loi horaire de la position de la particule sur l'axe <math>\;y'y\;</math> étant <math>\;y_M(t) = R\, \left[ 1 - \cos(\omega_c\;t) \right]</math>, «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\!M}^{\,2}(t) = q\;E\;R\, \left[ 1 - \cos(\omega_c\;t) \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = \sqrt{2\;\dfrac{q}{m}\;E\;R\, \left[ 1 - \cos(\omega_c\;t) \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{q}{m}\;E\;R}\; \bigg\vert \sin\! \left( \dfrac{\omega_c\; t}{2} \right) \! \bigg\vert\;</math>» en utilisant la formule de trigonométrie «<math>\;1 - \cos(\xi) =</math> <math>2\;\sin^2\!\left( \dfrac{\xi}{2} \right)\;</math>» ou encore, avec «<math>\;\dfrac{q\;B}{m} = \omega_c\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{q}{m} = \dfrac{\omega_c}{B}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{q}{m}\;E\;R = \dfrac{E}{B}\;R\;\omega_c\;</math> et, avec «<math>\;\dfrac{E}{B\;\omega_c} = R\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{E}{B} = R\;\omega_c</math>, «<math>\;\dfrac{q}{m}\;E\;R = \left( R\;\omega_c \right)^2\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t) \Vert = 2\; R\; \omega_c\; \bigg\vert \sin\! \left( \dfrac{\omega_c\; t}{2} \right) \! \bigg\vert = 2\;\dfrac{E}{B}\;\; \bigg\vert \sin\! \left( \dfrac{\omega_c\; t}{2} \right) \! \bigg\vert\;</math>» car <math>\;R = \dfrac{E}{B\; \omega_c}</math> ;</center> {{Al|5}}nous en déduisons la valeur de la norme du vecteur vitesse de la particule <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t_1 = \dfrac{\pi}{\omega_c}</math>, sachant que <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\omega_c\; t_1}{2} \right) = \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1</math>, <center>«<math>\;\Vert \vec{V}_{\!M}(t_1) = v_1 = 2\; \dfrac{E}{B}\;</math>».</center>}} === Cas d'une particule pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse respectivement perpendiculaire aux deux composantes électrostatique et magnétostatique du champ, notion de filtre de vitesse === {{Al|5}}Une autre particule, identique à la précédente, pénètre, à un instant pris comme nouvelle origine des temps, avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V_0} = V_0\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert</math> <math>\;\Big[</math>donc <math>\;\perp\;</math> aux deux composantes électrostatique <math>\;\vec{E} = E\;\vec{u}_y\;</math> et magnétostatique <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> du champ et tel que le trièdre <math>\;\left( \vec{V}_0\,,\,\vec{E}\,,\,\vec{B} \right)\;</math> soit direct<math>\Big]</math>. {{Al|5}}Déterminer les nouvelles équations paramétriques de la trajectoire et {{Al|5}}montrer que « les particules ayant une vitesse initiale à préciser en fonction de <math>\;E\;</math> et <math>\;B\;</math> ne sont pas déviées » <math>\;\big[</math>c.-à-d. que, parmi toutes les valeurs de vitesse initiale, il en existe une <math>\;\big(</math>et une seule<math>\big)\;</math> pour laquelle le mouvement de la particule est rectiligne uniforme lui permettant de ressortir par un diaphragme judicieusement positionné sur l'axe <math>\;Ox</math>, toutes les autres particules à vitesses initiales différentes ne pouvant pas traverser ce diaphragme sont absentes dans le faisceau de sortie situé au-delà du diaphragme, nous avons donc un filtre de vitesse connu sous le nom de « filtre de Wien »<ref name="W.Wien"> '''[[w:Wilhelm_Wien|Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien]] (1864 - 1928)''' physicien allemand qui publia la loi portant son nom en <math>\;1896\;</math> précisant la répartition spectrale du rayonnement du [[w:Corps_noir|corps noir]] pour les courtes longueurs d'onde ; à partir de <math>\;1898\;</math> il mit au point des bases de [[w:Spectrométrie_de_masse|spectrométrie de masse]] pour ses travaux des [[w:Rayons_canaux|rayons anodiques]] <math>\;\big(</math>sans doute est-ce la raison pour laquelle le filtre de vitesses porte son nom<math>\big)</math> ; '''[[w:Wilhelm_Wien|Wilhelm Wien]]''' reçut le prix Nobel de physique de <math>\;1911\;</math> pour ses découvertes sur les [[w:Loi_de_Wien|lois du rayonnement]] de la chaleur.</ref><math>\big]</math>. {{Solution |contenu = {{Al|5}}Comme la seule modification relativement à la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Explicitation_des_équations_différentielles_cartésiennes_régissant_le_mouvement_de_la_particule_soumis_au_champ_électromagnétique_uniforme|explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme]] » de cet exercice concerne les C.I<ref name="C.I." />. et que celles-ci n'interviennent pas dans les équations différentielles du mouvement de la particule nous pouvons affirmer que ces dernières sont rigoureusement identiques à celles qui ont été établies dans la solution de la question précitée à savoir «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,y}(t)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,x}(t) + \dfrac{q}{m}\;E \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \qquad 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\; B}{m} = \dfrac{q\; B}{m}\;</math>» pour une particule de charge positive, <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\omega_c\; V_{M,\,y}(t)\qquad\qquad\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \omega_c\; V_{M,\,x}(t) + \dfrac{q}{m}\;E\;\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{2} \right) \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \qquad 0\qquad\qquad\qquad\quad\text{:}\;\;\left( \mathfrak{3} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I." />. de la particule <math>\;M\;</math> dans cette question étant «<math>\;M(0) = O\;</math> et <math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math>» conduisant aux mêmes C.I<ref name="C.I." />. pour le mouvement de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;z'z\;</math> que celles de la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Détermination_des_équations_paramétriques_de_la_trajectoire_de_la_particule_soumis_au_champ_électromagnétique_uniforme|détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme]] (mouvement le long de z'z) » de cet exercice, nous en déduisons la même conclusion à savoir, la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy</math>. {{Al|5}}Les équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\omega_c\; V_{M,\,y}(t)\\ \left( \mathfrak{2} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \omega_c\; V_{M,\,x}(t) + \dfrac{q}{m}\;E\end{array} \right\rbrace\;</math>» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» comme cela a été fait dans la question « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Détermination_des_équations_paramétriques_de_la_trajectoire_de_la_particule_soumis_au_champ_électromagnétique_uniforme|détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme]] (mouvement dans le plan xOy) » de cet exercice, ce qui nous donne l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en « vitesse complexe <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» hétérogène <center>«<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}}{dt}(t) + i\; \omega_c\;\underline{\mathcal{V}}(t) = i\; \dfrac{q}{m}\; E\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la solution de cette même équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math>» hétérogène est de même forme que celle de la solution de la question précitée à savoir, «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) =</math> <math>\underline{A'}\;\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c}\;</math>», <math>\;\underline{A'}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(0) = V_0\;</math>» <math>\;\big(</math>le vecteur vitesse initiale de la particule étant <math>V_0\;\vec{u}_x\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{A'} + \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c} = V_0\;</math> soit «<math>\;\underline{A'} = V_0 - \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c}\;</math>» d'où finalement <center>la loi horaire de vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = \left( V_0 - \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c} \right)\, \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c} = \left( V_0 - \dfrac{E}{B} \right)\, \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{E}{B}\;</math>»<ref name="réintégration de B" /> ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;V_{M,\,x}(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Re\!\left\lbrace \left( V_0 - \dfrac{E}{B} \right)\, \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{E}{B} \right\rbrace = \left( V_0 - \dfrac{E}{B} \right)\, \cos\! \left( \omega_c\;t \right) + \dfrac{E}{B}\;</math>» ou encore, «<math>\;\dfrac{E}{B}\;</math> étant homogène à une vitesse » et «<math>\;\omega_c\;</math> à une vitesse angulaire », « le rapport <math>\;\dfrac{\dfrac{E}{B}}{\omega_c} = \dfrac{E}{B\; \omega_c}\;</math> est homogène à une longueur notée <math>\;R\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_{M,\,x}(t) = \left( V_0 - R\;\omega_c \right)\, \cos\! \left( \omega_c\;t \right) + R\;\omega_c\;</math>» et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;V_{M,\,y}(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Im\!\left\lbrace \left( V_0 - \dfrac{E}{B} \right)\, \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{E}{B} \right\rbrace = -\left( V_0 - \dfrac{E}{B} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t \right) = -\left( V_0 - R\;\omega_c \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>voir justification ci-dessus<math>\big)</math> ; <center>les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}V_{M,\,x}(t) = \left( V_0 - R\;\omega_c \right)\, \cos\! \left( \omega_c\;t \right) + R\;\omega_c\\ V_{M,\,y}(t) = -\left( V_0 - R\;\omega_c \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}La vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{\!M,\,x}(t) + i\;V_{\!M,\,y}(t)\;</math>» étant la dérivée temporelle de la position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_{M}(t) + i\;y_{M}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{X}}}{dt}(t) = \left( V_0 - \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c} \right)\, \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{q}{m}\;\dfrac{E}{\omega_c} =</math> <math>\left( V_0 - \dfrac{E}{B} \right)\, \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{E}{B}\;</math>»<ref name="réintégration de B" /> qui s'intègre selon «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \left( V_0 - \dfrac{E}{B} \right)\, \dfrac{\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right)}{-i\;\omega_c} + \dfrac{E}{B}\;t + \underline{cste'} = i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - \dfrac{E}{B\;\omega_c} \right)\, \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \dfrac{E}{B}\;t + \underline{cste'}\;</math>», <math>\;\underline{cste'}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. {{Nobr|«<math>\;\underline{\mathcal{X}}(0) = 0\;</math>»}} <math>\;\big(</math>la particule étant initialement en <math>\;O\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - \dfrac{E}{B\;\omega_c} \right) + \underline{cste'} = 0\;</math> d'où «<math>\;\underline{cste'} = -i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - \dfrac{E}{B\;\omega_c} \right)\;</math>» et nous déduisons finalement <center>la loi horaire de position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = -i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - \dfrac{E}{B\;\omega_c} \right)\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] + \dfrac{E}{B}\;t\;</math>» ou <br>{{Al|8}}avec «<math>\;R = \dfrac{E}{B\;\omega_c}\;</math>», «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = -i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] + R\;\omega_c\;t\;</math>» ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;x_M(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Re\!\left\lbrace -i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] + R\;\omega_c\;t \right\rbrace\;</math>» soit «<math>\;x_M(t) =</math> <math>R\; \omega_c\;t - i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ +i\;\sin\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ou encore, «<math>\;x_M(t) = R\; \omega_c\;t + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\;</math>» et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;y_M(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Im\!\left\lbrace -i\,\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] + R\;\omega_c\;t \right\rbrace\;</math>» soit «<math>\;y_M(t) =</math> <math>= -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ; <center>les lois horaires de position de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = R\; \omega_c\;t + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_M(t) = -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> [[File:Roulement d'un cercle avec glissement.png|thumb|500px|Schéma explicatif du roulement d'un cercle avec glissement sur un axe <math>\;x'x</math>, le roulement étant dans le sens horaire et le glissement dans le sens <math>\;+\;</math> de l'axe]] {{Al|5}}Les lois horaires de position de la particule <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = R\; \omega_c\;t + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_M(t) = -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» étant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de cette dernière dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, les « coordonnées de la particule <math>\;\left( x_M\,,\, y_M \right)\;</math>» et le « paramètre <math>\;\theta = \omega_c\;t\;</math> lié à sa position » sont liés entre eux par <center>«<math>\;\left[ y_M - \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right) \right]^2 + \left( x_M - R\; \theta \right)^2 = \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)^{\!2}\;</math>»<ref> En effet de <math>\;x_M(\theta) = R\; \theta + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\sin\! \left( \theta \right)\;</math> on tire «<math>\;\sin\! \left( \theta \right) = \dfrac{x_M - R\;\theta}{\dfrac{V_0}{\omega_c} - R}\;</math>» et de <math>\;y_M(\theta) = -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math> on tire «<math>\;\cos\! \left( \theta \right) = \dfrac{y_M + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)}{\dfrac{V_0}{\omega_c} - R}\;</math>» ; on élimine partiellement le paramètre <math>\;\theta\;</math> en utilisant <math>\;\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\;</math> soit <math>\;\left[ \dfrac{y_M + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)}{\dfrac{V_0}{\omega_c} - R} \right]^{\!2} + \left( \dfrac{x_M - R\;\theta}{\dfrac{V_0}{\omega_c} - R} \right)^{\!\!2} = 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left[ y_M + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right) \right]^2 + \left( x_M - R\; \theta \right)^2 = \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)^{\!2}\;</math>».</ref> c.-à-d.</center> {{Al|5}}l'équation cartésienne d'un « cercle du plan <math>\;xOy\;</math> de rayon <math>\;\Bigg\vert R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \Bigg\vert\;</math> dont le centre <math>\;C\, \left\lbrace x_C = R\;\theta\,,\, y_C = \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right) \right\rbrace\;</math> se déplace sur la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;x'x\;</math> d'équation <math>\;y = R - \dfrac{V_0}{\omega_c}\;</math>», ce cercle roulant en glissant sur l'axe <math>\;x'x\;</math> avec le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x</math> <math>\;\bigg[</math>pour la justification ci-dessous nous supposons «<math>\;V_0 <\;</math> à <math>\;R\;\omega_c\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « le rayon du cercle s'écrivant alors <math>\;R - \dfrac{V_0}{\omega_c}\bigg]\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> en effet, * d'une part il y est toujours tangent et * d'autre part le point <math>\;A\;</math> lié au cercle en contact avec l'axe <math>\;x'x\;</math> à l'instant <math>\;t = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\theta = 0\;</math> étant confondu avec <math>\;O</math>, il a tourné sur le cercle à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;\Delta \theta = \theta - 0 = \omega_c\;t\;</math> dans le sens horaire <math>\;\big(</math>considéré comme sens <math>\;+\big)\;</math> soit, en notant <math>\;I\;</math> la position du point de contact du cercle sur l'axe <math>\;x'x</math>, une longueur d'arc «<math>\;\overset{\curvearrowright}{IA} = \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)\,\theta = R\;\theta - V_0\;t\;</math>» décrit sur le cercle dans laquelle l'abscisse de <math>\;I\;</math> est la somme de la distance de déplacement du point de contact sur l'axe <math>\;x'x\;</math> due au roulement du cercle en absence de glissement «<math>\;\overline{OI}_{\text{roul}} = \left( R\;\theta - V_0\;t \right) - 0 = R\;\theta - V_0\;t\;</math>» et de la distance parcourue par le cercle lors de son glissement sur l'axe <math>\;x'x\;</math> «<math>\;\overline{I_{\text{roul}}I} = x_C(t) - \overline{OI}_{\text{roul}} =</math> <math>R\;\theta - \left( R\;\theta - V_0\;t \right) = V_0\;t\;</math>» <math>\;\Big(</math>le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe <math>\;x'x\;</math> est donc <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\Big)</math> ; [[File:Roulement d'un cercle avec glissement - bis.png|thumb|500px|Schéma explicatif du roulement d'un cercle avec glissement sur un axe <math>\;x'x</math>, le roulement étant dans le sens anti-horaire et le glissement dans le sens <math>\;+\;</math> de l'axe]] {{Al|5}}{{Transparent|Les lois horaires}}<math>\;\Bigg[</math>dans le cas où «<math>\;V_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;R\;\omega_c\;</math>», « le rayon du cercle s'écrit <math>\;\dfrac{V_0}{\omega_c} - R\;</math>» et l'« ordonnée de son centre <math>\;y_C = -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» le roulement du cercle se fait dans le sens anti-horaire <math>\;\big(</math>considéré comme sens <math>\;-\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta =</math> <math>-\omega_c\;t < 0\;</math>» et une longueur d'arc «<math>\;\overset{\curvearrowright}{IA} = \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\theta = -V_0\;t + R\;\omega_c\;t < 0\;</math>» décrit sur le cercle dans laquelle l'abscisse de <math>\;I\;</math> devant être la somme de la distance de déplacement du point de contact sur l'axe <math>\;x'x\;</math> due au roulement du cercle en absence de glissement «<math>\;\overline{OI}_{\text{roul}} = -\overset{\curvearrowright}{IA} = V_0\;t - R\;\omega_c\;t > 0\;</math>» et de la distance parcourue par le cercle lors de son glissement sur l'axe <math>\;x'x\;</math> «<math>\;\overline{I_{\text{roul}}I} = V_{\text{gliss}}\;t = x_C(t) - \overline{OI}_{\text{roul}} =</math> <math>R\;\omega_c\;t - \left( V_0\;t - R\;\omega_c\;t \right) = \left( 2\;R\;\omega_c - V_0 \right)\,t\;</math>» <math>\Rightarrow</math> le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe <math>\;x'x\;</math> est égal à <math>\;\left( 2\;R\;\omega_c - V_0 \right)\,\vec{u}_x</math> <math>\;\Big\{</math>dans le schéma ci-contre <math>\;V_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;R\;\omega_c\Big\}</math>, les modifications par rapport au cas précédent étant donc le sens du roulement, le positionnement du centre du cercle par rapport à l'axe <math>\;x'x\;</math> et l'expression de la vitesse de glissement du cercle <math>\;\Big\{</math>dans le cas où <math>\;V_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;R\;\omega_c</math> la seule modification par rapport au cas représenté sur le schéma ci-contre est le sens du vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe <math>\;x'x\Big\}\Bigg]</math> ; [[File:Filtre de vitesse de Wien.png|thumb|500px|Exemple de mouvement d'une particule entrant dans un filtre de vitesse de Wien<ref name="W.Wien" /> suivant sa vitesse <math>\;V_0\;</math>d'entrée]] {{Al|5}}{{Transparent|Les lois horaires}} en conclusion le roulement d'un cercle « la roulante » sur un axe « la courbe fixe » sur laquelle « la roulante » roule, se fait avec glissement si, <math>\;I\;</math> étant le point de contact du cercle sur l'axe et <math>\;A\;</math> le point fixe du cercle au contact de l'axe à l'instant initial, «<math>\;\overset{\curvearrowright}{IA} = \pm\overline{OI}_{\text{roul}}\;</math> suivant que la rotation du cercle est dans le sens horaire ou anti-horaire », <math>\;I_{\text{roul}}\;</math> étant le point de contact hypothétique du cercle sur l'axe en absence de glissement, tel que «<math>\;\overline{OI} = \overline{OI}_{\text{roul}} + \overline{V_{\text{gliss}}}\;t\;</math>» avec <math>\;\vec{V}_{\text{gliss}} = \overline{V_{\text{gliss}}}\;\vec{u}_x\;</math> le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe, {{Al|5}}{{Transparent|Les lois horaires en conclusion }}la courbe « la roulette » engendrée par le cercle « la roulante » roulant en glissant sur l'axe <math>\;x'x\;</math> « la courbe fixe » étant une « [[w:Trochoïde|trochoïde]] de directrice l'axe <math>\;x'x\;</math>»<ref> Une [[w:Trochoïde|trochoïde]] étant une [[w:Cycloïde|cycloïde droite]] dans le cas d'une vitesse de glissement nulle.</ref> <math>\;\big(</math>voir quelques tracés ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Recherche de la vitesse d'entrée de la particule pour que cette dernière ne soit pas déviée</u> : Nous pouvons vérifier, à partir des lois horaires de position du mouvement de la particule <math>\;M\;</math> soumis à un champ électromagnétique uniforme à composantes électrique <math>\;\vec{E} =</math> <math>E\;\vec{u}_y\;</math> et magnétique <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z</math>, pénétrant dans cet espace avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x</math>, mouvement localisé dans le plan <math>\;xOy\;</math> de lois horaires de position «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = R\; \omega_c\;t + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_M(t) = -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» que la particule n'est pas déviée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Recherche de la vitesse d'entrée de la particule pour que cette dernière ne soit pas déviée : }}ssi «<math>\;y_M(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» ce qui est réalisé ssi le cœfficient de <math>\;\left[ 1 - \cos(\omega_c\;t) \right]\;</math> est nul c.-à-d. ssi <math>\;\dfrac{V_0}{\omega_c} - R = 0\;</math> correspondant à une vitesse d'entrée de la particule égale à <center>«<math>\;V_0 = R\;\omega_c = \dfrac{E}{B}\;</math>» <math>\;\bigg(</math>on rappelle que <math>\;R = \dfrac{E}{B\;\omega_c}\bigg)</math>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Recherche de la vitesse d'entrée de la particule pour que cette dernière ne soit pas déviée : }}toutes les autres particules ayant une vitesse d'entrée «<math>\;V_0 \neq V_{\text{filtre}}\;</math> avec <math>\;V_{\text{filtre}} = R\;\omega_c = \dfrac{E}{B}\;</math>» subissant une déviation <math>\;\big(</math>voir les tracés de trajectoire ci-contre<math>\big)\;</math> ne peuvent pas sortir par le diaphragme aligné avec <math>\;O\;</math> sur <math>\;x'x\;</math> et situé à une distance de <math>\;O\;</math> non multiple de la période spatiale <math>\;X\;</math> de la [[w:Trochoïde|trochoïde]] <math>\;\bigg[X = 2\;\pi\;R = 2\;\pi\;\dfrac{E}{B\;\omega_c} = V_{\text{filtre}}\;\dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = V_{\text{filtre}}\;\dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B}\bigg]\;</math> <math>\Rightarrow</math> ce dispositif est bien un <u>filtre de vitesse</u>, les particules pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec cette vitesse «<math>\;V_0 = V_{\text{filtre}} = R\;\omega_c = \dfrac{E}{B}\;</math>» ayant pour loi horaire de position «<math>\;x_M(t) = R\;\omega_c\;t = V_{\text{filtre}}\;t\;</math>» ont effectivement un mouvement rectiligne uniforme de vitesse égale à leur vitesse d'entrée. [[File:TrohoidH0,8.gif|thumb|400px|<center>[[w:Trochoïde|trochoïde]] raccourcie de rapport <math>\;0,8\;</math></center>]] [[File:Trochoïde raccourcie de rapport un tiers.png|thumb|400px|[[w:Trochoïde|trochoïde]] raccourcie de rapport <math>\;\dfrac{1}{3}\;</math> engendrée par un point situé à une distance <math>\;b\;</math> du centre d'un disque de rayon <math>\;a\;</math> roulant sans glisser sur l'axe <math>\;x'x\;</math> avec <math>\;\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3}\;</math>]] {{Al|5}}<u>Autre interprétation d'une [[w:Trochoïde|trochoïde]]</u> : L'équation cartésienne précédemment trouvée «<math>\;\left[ y_M - \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right) \right]^2 + \left( x_M - R\; \theta \right)^2 = \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)^{\!2}\;</math>» étant toujours celle d'un « cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math> de rayon <math>\;\Bigg\vert R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \Bigg\vert\;</math> dont le centre <math>\;C\, \left\lbrace x_C = R\;\theta\,,\, y_C = \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right) \right\rbrace\;</math> se déplace sur la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;x'x\;</math> d'équation <math>\;y = R - \dfrac{V_0}{\omega_c}\;</math>», ce cercle étant maintenant solidaire d'un autre cercle <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> de même centre <math>\;C\;</math> mais de rayon <math>\;R\;</math> roulant sans glisser sur la droite <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;x'x\;</math> d'équation <math>\;y = - \dfrac{V_0}{\omega_c}</math> <math>\;\bigg[</math>pour l'explication ci-dessous nous supposons «<math>\;V_0 <\;</math> à <math>\;R\;\omega_c\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « le rayon du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> s'écrit alors <math>\;R - \dfrac{V_0}{\omega_c}\bigg]\;</math>» en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autre interprétation d'une trochoïde : }}<math>\succ\;</math>d'une part le cercle <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> est toujours tangent à la droite d'équation <math>\;y = - \dfrac{V_0}{\omega_c} < 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autre interprétation d'une trochoïde : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le point <math>\;A_R\;</math> lié au cercle <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> en contact avec la droite d'équation <math>\;y = - \dfrac{V_0}{\omega_c}\;</math> à l'instant <math>\;t = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\theta = 0\;</math> a tourné sur <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;\Delta \theta = \theta - 0 =</math> <math>\omega_c\;t\;</math> dans le sens horaire <math>\;\big(</math>considéré comme sens <math>\;+\big)\;</math> soit <math>\;\bigg[</math>en notant <math>\;I_R\;</math> la position du point de contact du cercle <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> sur la droite d'équation <math>\;y = - \dfrac{V_0}{\omega_c}\bigg]\;</math> une longueur d'arc sur <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> «<math>\;\overset{\curvearrowright}{I_RA_R} = R\;\theta =</math> <math>R\;\omega_c\;t\;</math>» égale à «<math>\;x_C(t)\;</math>» caractérisant le roulement sans glissement de <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> sur la droite d'équation <math>\;y = - \dfrac{V_0}{\omega_c}\;</math> ou encore, le cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> étant solidaire du cercle <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)</math> <math>\;\Big[</math>en notant <math>\;A\;</math> le point de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> aligné avec <math>\;A_R</math> <math>\;\big(</math>du même côté par rapport au centre commun <math>\;C\big)\;</math> et <math>\;I\;</math> la position du point de contact du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> sur l'axe <math>\;x'x\Big]\;</math> une longueur d'arc sur le cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> «<math>\;\overset{\curvearrowright}{IA} = \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)\,\theta = R\;\omega_c\;t - V_0\;t\;</math>» d'où <math>\;A\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_A(t) = x_C(t) - \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)\,\sin(\theta)\\ y_A(t) = y_C - \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)\,\cos(\theta) \end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore «<math>\;A\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_A(t) = R\;\omega_c\;t - \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)\,\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_A(t) = \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» c.-à-d. effectivement les lois horaires de position du point <math>\;M</math> ; [[File:TrohoidH1.5.gif|thumb|400px|<center>[[w:Trochoïde|trochoïde]] allongée de rapport <math>\;1,5\;</math></center>]] [[File:Trochoïde allongée de rapport trois demis.png|thumb|400px|[[w:Trochoïde|trochoïde]] allongée de rapport <math>\;\dfrac{3}{2}\;</math> engendrée par un point situé à une distance <math>\;b\;</math> du centre d'un disque de rayon <math>\;a\;</math> roulant sans glisser sur l'axe <math>\;x'x\;</math> avec <math>\;\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2}</math> (le point étant rendu solidaire du disque à l'aide d'une manivelle)]] {{Al|5}}{{Transparent|Autre interprétation d'une trochoïde : }}<math>\;\Bigg[</math>dans le cas où «<math>\;V_0\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;R\;\omega_c\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « le rayon du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> s'écrit alors <math>\;\dfrac{V_0}{\omega_c} - R\;</math>», la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;x'x\;</math> sur laquelle le cercle <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)</math>, de rayon <math>\;R</math>, solidaire de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et de même centre <math>\;\bigg\{</math>d'« ordonnée <math>\;y_C = -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right) < 0\bigg\}\;</math>» roule sans glisser est d'équation <math>\;y = \vert y_C \vert + R = \dfrac{V_0}{\omega_c} > 0</math>, le centre de <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> étant positionné au-dessous de cette droite, le roulement sans glissement de <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> sur cette droite se fait dans le sens anti-horaire <math>\;\big(</math>considéré comme sens <math>\;-\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta = -\omega_c\;t < 0\;</math>» d'où une longueur d'arc sur le cercle <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> «<math>\;\overset{\curvearrowright}{I_RA_R} = R\;\theta = -R\;\omega_c\;t\;</math>» égale à «<math>\;-x_C(t)\;</math>» caractérisant le roulement sans glissement de <math>\;\left( \mathcal{C}_R \right)\;</math> sur la droite d'équation <math>\;y = \dfrac{V_0}{\omega_c}\;</math> dans le sens rétrograde ou encore, une longueur d'arc sur le cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> «<math>\;\overset{\curvearrowright}{IA} = \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\theta = R\;\omega_c\;t - V_0\;t\;</math>» d'où <math>\;A\;\left\lbrace \begin{array}{l c l}x_A(t) = x_C(t) + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\sin(\theta) \!\!&=&\!\! R\;\omega_c\;t + \left( R - \dfrac{V_0}{\omega_c} \right)\,\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_A(t) = y_C + \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\cos(\theta) \!\!&=&\!\! -\left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> ou, avec <math>\;A'\;</math> symétrique de <math>\;A\;</math> par rapport à <math>\;x'x</math>, {{Nobr|«<math>\;A'\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_{A'}(t) = x_A(t) = R\;\omega_c\;t - \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\,\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_{A'}(t) = -y_A(t) = \left( \dfrac{V_0}{\omega_c} - R \right)\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>»}} c.-à-d. effectivement les lois horaires de position du point <math>\;M</math>, les modifications par rapport au cas précédent étant donc le sens du rotation des cercles, le positionnement du centre commun des deux cercles par rapport à l'axe <math>\;x'x\;</math> et la nécessité de prendre le symétrique par rapport à cet axe de façon à avoir le même sens de rotation des cercles <math>\;\big(</math>sur les schémas ci-contre la symétrie a déjà été effectuée, c'est donc le mouvement du point <math>\;A'\;</math> qui y apparaît directement<math>\big)\Bigg]</math>.}} == Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique parallèles sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, spectrographe de J.J. Thomson == [[File:Champ électromagnétique uniforme à composantes parallèles.png|thumb|Description d'un couple de champs électrostatique et magnétostatique <math>\;\parallel\;</math> agissant sur une particule chargée entrant en <math>\;O\;</math> avec une vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à la direction commune des champs et choix des axes cartésiens tel que <math>\;\vec{E} = E\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x</math>]] {{Al|5}}À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse <math>\;m\;</math> et de charge <math>\;q > 0\;</math> pénètre dans un espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> en un point représentant l'origine <math>\;O\;</math> des espaces ; {{Al|5}}l'espace champ électromagnétique résulte de la superposition d'un espace champ magnétostatique de champ <math>\;\vec{B}\;</math> uniforme et d'un espace champ électrostatique de champ <math>\;\vec{E}\;</math> également uniforme, de même direction perpendiculaire à celle du vecteur vitesse initiale de la particule et {{Al|5}}nous choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{B} = B\;\vec{u}_z\\ \vec{E} = E\;\vec{u}_z\\ \vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} B = \Vert \vec{B} \Vert\\ E = \Vert \vec{E} \Vert\\ V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert \end{array} \right\rbrace</math> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}Le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> lié au champ électromagnétique est supposé galiléen. === Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis aux champs électrostatique et magnétostatique uniformes === {{Al|5}}Après application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, déduire les trois équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de cette particule dans l'espace commun des champs électrostatique et magnétostatique uniformes. {{Solution |contenu = {{Al|5}}L'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />., dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen, à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> soumis à la seule force de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{Lor}}(M_t) = q\, \left( \vec{E} + \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} \right)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> est le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> donne «<math>\;\vec{F}_{\text{Lor}}(M_t) = m\; \vec{a}_{M}(t)\;</math> avec <math>\;\vec{a}_{M}(t) = \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> le vecteur accélération de la particule au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math>» soit encore l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en son vecteur vitesse «<math>\;q\, \left( \vec{E} + \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} \right) = m\; \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}sachant que «<math>\;\vec{E} = E\; \vec{u}_z\;</math>», «<math>\;\vec{B} = B\; \vec{u}_z\;</math>» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = V_{M,\,x}(t)\; \vec{u}_x + V_{M,\,y}(t)\; \vec{u}_y + V_{M,\,z}(t)\; \vec{u}_z\;</math>» nous en déduisons les composantes cartésiennes «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>» en effectuant les calculs suivants<ref name="composantes d'un produit vectoriel connaissant celles de chaque vecteur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la seule condition de validité de cette définition étant que la base soit orthonormée le plus souvent directe <math>\;\big(</math>mais la définition reste valable si elle est indirecte<math>\big)</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & & 0 & & q\;V_{M,\,y}(t) \times B - q\;V_{M,\,z}(t) \times 0 & = & q\;B\;V_{M,\,y}(t)\\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & _{-}{\nearrow} & B & & & & \end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & & 0 & & q\;V_{M,\,z}(t) \times 0 - q\;V_{M,\,x}(t) \times 0 & = & -q\;B\;V_{M,\,x}(t)\\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & ^{+}{\searrow} & B & & & & \\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & & B & & q\;V_{M,\,x}(t) \times 0 - q\;V_{M,\,y}(t) \times 0 & = & 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;\vec{u}_x - q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;\vec{u}_y\;</math>»<ref name="calcul du produit vectoriel en ligne" /> et par suite {{Al|5}}les équations différentielle scalaires du mouvement de la particule en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de celle-ci en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des axes du repère cartésien soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} q\; B\; V_{M,\,y}(t) = m\; \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t)\\ - q\; B\; V_{M,\,x}(t) = m\; \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t)\\ q\;E = m\; \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou, en normalisant, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,y}(t)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,x}(t)\\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \qquad \dfrac{q}{m}\;E \end{array} \right\rbrace\;</math>» et, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\; B}{m}\;</math>» {{Nobr|c.-à-d.,}} pour une particule de charge positive, «<math>\;\omega_c = \dfrac{q\; B}{m}\;</math>» <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\omega_c\; V_{M,\,y}(t)\quad\text{:}\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \omega_c\; V_{M,\,x}(t) \;\;\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{2} \right) \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \qquad \dfrac{q}{m}\;E\qquad\text{:}\;\;\left( \mathfrak{3} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} === Détermination des lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule soumis aux champs électrostatique et magnétostatique uniformes === {{Al|5}}Déterminer les lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule <math>\;M\;</math> dans les champs électrostatique et magnétostatique uniformes en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente. {{Solution |contenu = {{Al|5}}L'équation différentielle «<math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;\text{:}\;\; \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \dfrac{q}{m}\;E\;</math>» s'intègre en «<math>\;V_{M,\,z}(t) = \dfrac{q}{m}\;E\;t + cste_z\;</math>», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_{M,\,z}(0) = 0\;</math>» d'où <math>\;cste_z = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;V_{M,\,z}(t)</math>}} <math>= \dfrac{q}{m}\;E\;t,\;\;\forall\;t\;</math>» puis, intégrant «<math>\;V_{M,\,z}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t) = \dfrac{q}{m}\;E\;t\;</math>» en «<math>\;z_M(t) = \dfrac{q}{m}\;E\;\dfrac{t^2}{2} + {cste'}_z\;</math>», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;M(0) = O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(0) = 0\;</math>» d'où <math>\;{cste'}_z = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;z_M(t) = \dfrac{q}{2\;m}\;E\;t^2,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où un <u>mouvement uniformément accéléré</u> du « projeté orthogonal <math>\;M_z\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;Oz\;</math>». {{Al|5}}Les équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = \;\;\omega_c\; V_{M,\,y}(t)\\ \left( \mathfrak{2} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = - \omega_c\; V_{M,\,x}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math>» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» et en formant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i\, \left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) + i\; \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = \omega_c\; V_{M,\,y}(t) - i\; \omega_c\; V_{M,\,x}(t)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d\! \left[ V_{M,\,x} + i\;V_{M,\,y} \right]}{dt}(t) = - i\; \omega_c\, \left[ V_{M,\,x}(t) + i\;V_{M,\,y}(t) \right]\;</math>»<ref name="conseil pour découpler" />{{,}}<ref name="utilisation du conseil pour découpler" /> soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en « vitesse complexe <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» homogène <center>«<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}}{dt}(t) + i\; \omega_c\;\underline{\mathcal{V}}(t) = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math>» homogène s'écrit «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = \underline{\mathcal{V}}_l(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_l(t)\;</math> est la solution libre » <math>\;\Bigg[</math>c.-à-d. la « solution générale de l'équation différentielle homogène <math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}_l}{dt}(t) + i\; \omega_c\;\underline{\mathcal{V}}_l(t) = 0\;</math>»<math>\Bigg]\;</math> d'où «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = \underline{\mathcal{V}}_l(t) = \underline{A}\;\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right)\;</math>» avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe d'intégration<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" /> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(0) = V_0\;</math>» <math>\;\big(</math>le vecteur vitesse initiale de la particule étant <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\underline{A} = V_0\;</math>» d'où finalement <center>la loi horaire de vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_0\; \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;V_{M,\,x}(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Re\!\left[ V_0\; \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] = V_0\; \cos\! \left( \omega_c\;t \right)\;</math>» et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;V_{M,\,y}(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Im\!\left[ V_0\; \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] = -V_0\; \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\;</math>» ; <center>les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}V_{M,\,x}(t) = V_0\;\cos\! \left( \omega_c\;t \right)\\ V_{M,\,y}(t) = -V_0\;\sin\! \left( \omega_c\;t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>», ces lois caractérisant un <br><u>mouvement circulaire uniforme du point générique P_{x y} de l'hodographe</u> de pôle <math>\;O\;</math> du mouvement du projeté orthogonal <math>\;M_{x\,y}\;</math> de la particule sur le plan <math>\;xOy\;</math><ref name="définition de l'hodographe de pôle O du mouvement d'un point M" />.</center> [[File:Mouvement d'une particule lancée perpendiculairement dans un champ électromagnétique uniforme à composantes parallèles.png|thumb|300px|Mouvement partiel d'une particule chargée <math>\;M \left( q > 0 \right)</math>, de masse <math>\;m</math>, entrant en <math>\;O\;</math> avec une vitesse <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à la direction commune du couple de champs électrostatique et magnétostatique uniformes, choix des axes cartésiens tel que <math>\;\vec{E} = E\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{V}_0 =</math> <math>V_0\;\vec{u}_x</math>, seul le mouvement de <math>\;M_{x\,y}\;</math> projeté <math>\;\perp\;</math> de <math>\;M\;</math> sur <math>\;xOy\;</math> est représenté]] {{Al|5}}La vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{\!M,\,x}(t) + i\;V_{\!M,\,y}(t)\;</math>» étant la dérivée temporelle de la position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_{M}(t) + i\;y_{M}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{X}}}{dt}(t) =</math> {{Nobr|<math>V_0\; \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right)\;</math>»}} équation s'intégrant selon «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) =</math> <math>V_0\; \dfrac{\exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right)}{-i\;\omega_c} + \underline{cste} = i\;\dfrac{V_0}{\omega_c}\; \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) + \underline{cste}\;</math>», <math>\;\underline{cste}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(0) = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>la particule étant initialement en <math>\;O\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i\;\dfrac{V_0}{\omega_c} + \underline{cste} = 0\;</math> d'où «<math>\;\underline{cste} =</math> <math>-i\;\dfrac{V_0}{\omega_c}\;</math>» et nous déduisons finalement <center>la loi horaire de position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = -i\;\dfrac{V_0}{\omega_c}\, \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ou <br>{{Al|8}}avec «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{V_0}{\omega_c} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>», «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = -i\;\mathcal{R}_c\; \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;x_M(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Re\!\left\lbrace -i\;\mathcal{R}_c\; \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace =</math> <math>- i\;\mathcal{R}_c\, \left[ +i\;\sin\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» soit finalement, «<math>\;x_M(t) = \mathcal{R}_c\; \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\;</math>» et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;y_M(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Im\!\left\lbrace -i\;\mathcal{R}_c\; \left[ 1 - \exp\! \left( -i\;\omega_c\;t \right) \right] \right\rbrace =</math> <math>-\mathcal{R}_c\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\;</math>» ; <center>les lois horaires de position de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = \mathcal{R}_c\; \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_M(t) = -\mathcal{R}_c\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{V_0}{\omega_c} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>» <br>sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire du projeté orthogonal <math>\;M_{x\,y}\;</math> de la particule sur le plan <math>\;xOy</math>, <br>un <u>cercle</u> de rayon <math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}</math>, de centre <math>\;C\, \left( x_C = 0\,,\, y_C = -\mathcal{R}_c = -\dfrac{m\;V_0}{q\;B} \right)\;</math> et <br>décrit par <math>\;M_{x\,y}\;</math> d'un <u>mouvement uniforme</u> dans le sens horaire à la vitesse angulaire de valeur absolue <math>\;\omega_c\;</math><ref name="justification du sens horaire de rotation"> En effet, à partir de <math>\;t = 0\;</math> où <math>\;M_{x\,y}\;</math> est en <math>\;O</math>, <math>\;x_M(t) = \mathcal{R}_c\; \sin\! \left( \omega_c\;t \right) \nearrow\;</math> pendant le 1^er quart de période alors que <math>\;y_M(t) = -\mathcal{R}_c\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right] \searrow\;</math> sur le même quart de période, ce qui correspond effectivement à une rotation dans le sens horaire, la vitesse angulaire de rotation étant alors <math>\;\Omega = -\omega_c < 0</math>.</ref>.</center>}} === Détermination du lieu des impacts des particules chargées d'un faisceau polycinétique sur un écran perpendiculaire à la direction du faisceau dans le cas simultané de faibles déviations électrostatique et magnétostatique des particules === {{Al|5}}Considérant maintenant un faisceau de particules chargées <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> de vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> à la direction commune des champs électrostatique et magnétostatique uniformes mais de norme <math>\;V_0\;</math> quelconque et <br>{{Al|5}}faisant l'hypothèse que la déviation magnétostatique reste faible, <br>{{Al|5}}nous plaçons, à l'abscisse <math>\;x = \mathit{l}</math>, un écran <math>\;\perp\;</math> à la direction du faisceau <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\parallel\;</math> au plan <math>\;yOz\big)</math>. {{Al|5}}Après avoir précisé la signification de « la déviation magnétostatique reste faible », déterminer le lieu des impacts du faisceau polycinétique sur l'écran et vérifier qu'il s'agit d'une demi-parabole. {{Solution |contenu = {{Al|5}}Nous supposons que « la déviation magnétostatique reste faible » c.-à-d. que le mouvement du projeté orthogonal <math>\;M_{x\,y}\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;xOy</math>, dont l'origine est l'action du champ magnétostatique, reste voisin de son mouvement impulsé initialement, ce qui signifie que «<math>\;y_M(t)\;</math> reste faible » soit «<math>\;\cos(\omega_c\;t)\;</math> reste voisin de <math>\;1\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\omega_c\;t \ll 1\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;t \ll \dfrac{1}{\omega_c} = \dfrac{T_{x\,y}}{2\;\pi}\;</math>» avec «<math>\;T_{x\,y} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B}\;</math> la période de rotation de <math>\;M_{x\,y}\;</math> sur sa trajectoire »<ref> Dans l'hypothèse où la trajectoire de <math>\;M_{x\,y}\;</math> resterait localisée dans l'espace champ magnétostatique, sinon <math>\;M_{x\,y}\;</math> sortant de ce dernier avant d'avoir effectué un tour complet, le caractère périodique de son mouvement n'a plus de signification.</ref> ;</center> {{Al|5}}«<math>\;\omega_c\;t\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un »<ref name="infiniment petit d'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] (infiniment petit d'ordre un) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> nous pouvons en déduire une approche des lois horaires du mouvement de <math>\;M_{x\,y}\;</math> en faisant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. d'ordre deux en <math>\;\omega_c\;t\;</math> de ces dernières <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c}x_M(t) \!\!&=&\!\! \mathcal{R}_c\; \sin\! \left( \omega_c\;t \right) \!\!& &\!\! \!\!&\simeq&\!\! \mathcal{R}_c\; \omega_c\;t\\y_M(t) \!\!&=&\!\! -\mathcal{R}_c\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right] \!\!&\simeq&\!\! -\mathcal{R}_c\, \left[ 1 - \left( 1 - \dfrac{(\omega_c\;t)^2}{2} \right) \right] \!\!&=&\!\! -\mathcal{R}_c\;\dfrac{\omega_c^2\;t^2}{2}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="D.L. d'ordre deux"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] (sinus et cosinus) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>}} et par suite <br>{{Al|10}}{{Transparent|« ω_c t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons }}estimer l'instant <math>\;t_I\;</math> de l'impact d'une particule <math>\;M\;</math> sur l'écran d'abscisse <math>\;x_I = \mathit{l}\;</math> soit «<math>\;t_I \simeq \dfrac{\mathit{l}}{\mathcal{R}_c\;\omega_c}\;</math>» <math>\;\big(</math>dans la mesure où l'instant d'entrée de <math>\;M\;</math> dans l'espace champ est <math>\;t_0 = 0\big)\;</math> puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|« ω_c t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons }}exprimer la déviation magnétostatique de <math>\;M\;</math> c.-à-d. l'ordonnée de l'impact de la particule sur l'écran «<math>\;y_I \simeq -\mathcal{R}_c\;\dfrac{\omega_c^2\;t_I^{\,2}}{2} = -\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{2\;\mathcal{R}_c}\;</math>» ou encore, avec «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>», «<math>\;y_I \simeq -\dfrac{q\;B\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0}\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|« ω_c t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons }}exprimer la déviation électrostatique de <math>\;M\;</math> c.-à-d. la cote de l'impact de la particule sur l'écran «<math>\;z_I = \dfrac{q\;E}{2\;m}\;t_I^{\,2} \simeq \dfrac{q\;E}{2\;m}\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{\mathcal{R}_c^2\;\omega_c^2}\;</math>» ou encore, avec «<math>\;\mathcal{R}_c\;\omega_c = V_0\;</math>», «<math>\;z_I \simeq \dfrac{q\;E\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0^{\,2}}\;</math>». [[File:Champ électromagnétique uniforme à composantes parallèles - impact sur écran.png|thumb|400px|Particules chargées entrant en <math>\;O\;</math> avec une vitesse <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math> de norme <math>\;V_0\;</math> quelconque <math>\;\perp\;</math> à la direction commune <math>\;z'z\;</math> d'un couple de champs électrostatique <math>\;\vec{E}\;</math> et magnétostatique <math>\;\vec{B}</math> <math>\;\parallel\;</math> et uniformes et lieu de leurs impacts sur un écran <math>\;\perp\;</math> à la direction initiale de la vitesse]] {{Al|5}}Le lieu de <math>\;I\;</math> sur l'écran d'abscisse <math>\;x_I = \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>dans l'hypothèse où la charge <math>\;q\;</math> des particules est <math>\;> 0</math>, la vitesse initiale de ces dernières ayant pour valeur <math>\;V_0\;</math> quelconque<math>\big)</math>, ayant pour équations cartésiennes paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_I = \mathit{l}\\ y_I \simeq -\dfrac{q\;B\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0}\\ z_I \simeq \dfrac{q\;E\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0^{\,2}}\end{array} \right\rbrace\;</math>» nous obtenons la 2^ème équation cartésienne du lieu de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>la 1^ère étant <math>\;x_I = \mathit{l}\,\big)\;</math> en éliminant le paramètre <math>\;V_0\;</math> entre les deux dernières équations paramétriques soit {{Nobr|«<math>\;y_I \simeq -\dfrac{q\;B\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0}\;</math>}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_0 \simeq -\dfrac{q\; B\; \mathit{l}^{\,2}}{2\; m\; y_I}\;</math>» que l'on reporte dans «<math>\;z_I \simeq \dfrac{q\;E\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0^{\,2}}\;</math> d'où <math>\;z_I \simeq \dfrac{q\; E\; \mathit{l}^{\,2}}{2\; m}\, \left( -\dfrac{2\; m\; y_I}{q\; B\; \mathit{l}^{\,2}} \right)^{\!\!2} = \dfrac{q\; E\; \mathit{l}^{\,2}}{2\; m}\;\dfrac{4\; m^2\; y_I^{\,2}}{q^2\; B^{\,2}\; \mathit{l}^{\,4}}\;</math>» et finalement les deux équations cartésiennes du lieu de <math>\;I\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_I = \mathit{l}\\ z_I \simeq \dfrac{2\; m\; E}{q\; B^{\,2}\;\mathit{l}^{\,2}}\; y_I^{\,2}\\q > 0 \Rightarrow y_I < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> On rappelle que ces équations supposent <math>\;q > 0\;</math> et que l'ordonnée de l'impact s'écrivant <math>\;y_I \simeq -\dfrac{q\;B\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0}\;</math> correspond à «<math>\;y_I < 0\;</math>».</ref>, c.-à-d. <center>une « demi-parabole du plan <math>\;x_I = \mathit{l}\;</math> du côté des <math>\;y < 0\;</math> de concavité vers les <math>\;z > 0\;</math>» <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, <br>deux isotopes de même charge positive se retrouvant sur deux courbes différentes quelle que soit <math>\;V_0\;</math> avec <br>le plus lourd sur la courbe la plus proche de l'axe <math>\;z'z\;</math><ref name="positionnement suivant V0"> Avec une ordonnée pour un isotope donné d'autant plus grande en valeur absolue que la vitesse initiale est faible car «<math>\;y_I \simeq -\dfrac{q\;B\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0}\;</math>».</ref>, d'où le nom de « spectrographe de J.J. Thomson<ref name="J.J.Thomson"> '''[[w:Joseph_John_Thomson|Joseph John Thomson]] (1856 - 1940)''' physicien britannique, prix Nobel de physique en <math>\;1906\;</math> pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz lui ayant permis de prouver l'existence de l'électron en tant que particule ponctuelle.</ref> » donné au dispositif ;</center> {{Al|5}}<u>remarque</u> : dans le cas où la charge <math>\;q\;</math> de la particule <math>\;M\;</math> est <math>\;< 0</math>, les résultats précédemment obtenus sont remplacés par les suivants : {{Al|5}}{{Transparent|remarque : }}<math>\succ\;</math>le système d'équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) = -\omega_c\; V_{M,\,y}(t) \;\;\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) = \;\;\omega_c\; V_{M,\,x}(t) \quad\text{:}\;\;\left( \mathfrak{2} \right) \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) = \qquad \dfrac{q}{m}\;E\qquad\text{:}\;\;\left( \mathfrak{3} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m} = -\dfrac{q\;B}{m}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|remarque : }}<math>\succ\;</math>les lois horaires de position «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = \mathcal{R}_c\; \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ y_M(t) = \mathcal{R}_c\, \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_c\;t \right) \right]\\ z_M(t) = \dfrac{q}{2\;m}\;E\;t^2\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{R}_c = \dfrac{V_0}{\omega_c} = -\dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|remarque : }}<math>\succ\;</math>le mouvement de <math>\;M_z\;</math> est uniformément accéléré vers les <math>\;z < 0\;</math> et <br>{{Al|25}}{{Transparent|remarque : }}celui de <math>\;M_{x\,y}\;</math> {{Al|3}}circulaire uniforme, de rayon <math>\;\mathcal{R}_c</math>, de centre <math>\;C\, \left( x_C = 0\,,\, y_C = \mathcal{R}_c \right)\;</math> décrit dans le sens anti-horaire, {{Al|5}}{{Transparent|remarque : }}<math>\succ\;</math>l'impact <math>\;I\;</math> sur l'écran d'abscisse <math>\;x_I = \mathit{l}\;</math> dans le cas de faibles déviations magnétostatiques a pour coordonnées «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_I = \mathit{l}\\ y_I \simeq -\dfrac{q\;B\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0} > 0\\ z_I \simeq \dfrac{q\;E\;\mathit{l}^{\,2}}{2\;m\;V_0^{\,2}} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|remarque : }}<math>\succ\;</math>le lieu de <math>\;I\;</math> sur l'écran d'abscisse <math>\;x_I = \mathit{l}\;</math> a pour équations cartésiennes «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_I = \mathit{l}\\ z_I \simeq \dfrac{2\; m\; E}{q\; B^{\,2}\;\mathit{l}^{\,2}}\; y_I^{\,2}\\q < 0 \Rightarrow y_I > 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», c.-à-d. <center>une « demi-parabole du plan <math>\;x_I = \mathit{l}\;</math> du côté des <math>\;y > 0\;</math> de concavité vers les <math>\;z < 0\;</math>» <math>\;\big(</math>voir ci-dessus<math>\big)</math>, <br>deux isotopes de même charge négative se retrouvant sur deux courbes différentes quelle que soit <math>\;V_0\;</math> avec <br>le plus lourd sur la courbe la plus proche de l'axe <math>\;z'z\;</math><ref name="positionnement suivant V0" />, d'où le nom de « spectrographe de J.J. Thomson<ref name="J.J.Thomson" /> » donné au dispositif.</center>}} == Étude d'un cyclotron == [[File:Cyclotron - vues de dessus et de face.png|thumb|Vues de dessus et de face d'un [[w:Cyclotron|cyclotron]] montrant les dés hémicylindriques <math>\;D\;</math> et <math>\;D'</math> et le faible écartement entre eux]] {{Al|5}}Un [[w:Cyclotron|cyclotron]] est un accélérateur de particules constitué, comme il est représenté sur la figure ci-contre, par deux demi cylindres à surfaces métalliques<ref name="tuyau cylindrique"> Quand un « cylindre métallique » est vide de matière, on parle plutôt de « tuyau cylindrique métallique ».</ref> appelés « dés » <math>\;D\;</math> et <math>\;D'</math>, de même direction d'axe <math>\;Oz</math> <math>\;\big[Oz\;</math> étant l'axe commun du cylindre<ref name="tuyau cylindrique" /> constitué des deux « dés » avant que ceux-ci ne soient écartés de part et d'autre de <math>\;Oz\;</math> d'une faible distance suivant la direction <math>\;y'y</math> <math>\;\big(</math>non représenté sur la figure<math>\big)\big]</math>, placés dans le vide, à l'intérieur desquels règne un champ magnétostatique uniforme «<math>\;\vec{B} = B\; \vec{u}_z\;</math>», l'« interface <math>\;\big(</math>tridimensionnel<math>\big)\;</math>» entre les deux « dés » étant un espace champ électrique uniforme alternatif de champ électrique dirigé suivant <math>\;y'y</math> <math>\;\big[</math>non représenté sur la figure mais tel que la base cartésienne <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right)\;</math> soit orthonormée directe<math>\big]</math> créé en appliquant entre <math>\;D\;</math> et <math>\;D'\;</math> une tension alternative «<math>\;u(t) = U_m\; \sin(\omega t)\;</math>» délivrée par un générateur haute fréquence <math>\;\big(</math>le sens <math>\;+\;</math> de définition de la tension étant dans le sens de <math>\;\vec{u}_y\;</math> c.-à-d. de <math>\;D'\;</math> et <math>\;D\;</math> sur le schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}Une particule de masse <math>\;m\;</math> et de charge <math>\;q\;</math> est injectée dans l'un des « dés » au voisinage de <math>\;O</math>, perpendiculairement à la surface plane limitant le « dé », à la vitesse instantanée <math>\;v_1\;</math><ref name="vitesse instantanée" />, l'action du champ magnétostatique sur la particule injectée communiquant à cette dernière une trajectoire semi circulaire centrée en <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;\mathcal{R}_1\;</math><ref name="approximation de la 1ère trajectoire semi circulaire"> La vitesse instantanée d'injection étant faible et l'injection se faisant au voisinage de <math>\;O</math>, nous admettrons que la trajectoire est de centre <math>\;O\;</math> et que le rayon <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> est petit.</ref>. {{Al|5}}Dès que la particule sort d'un « dé », elle est soumise, avant de pénétrer dans l'autre « dé », à l'action du champ électrique existant dans l'« interface <math>\;\big(</math>tridimensionnel<math>\big)\;</math> étroit » séparant les deux « dés », correspondant à la valeur maximale <math>\;\big(</math>ou minimale<math>\big)\;</math> de la tension délivrée par le générateur de façon à accélérer la particule <math>\;\big(</math>maximale ou minimale suivant le signe de la charge de la particule et le sens de passage<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous admettrons que la durée de chaque passage entre <math>\;D\;</math> et <math>\;D'\;</math> est négligeable par rapport à celle de chaque traversée de « dé» et {{Al|5}}{{Transparent|Nous admettrons }}que l'étude peut être effectuée dans le cadre de la dynamique newtonienne, le référentiel d'étude lié au [[w:Cyclotron|cyclotron]] <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> étant galiléen. === Détermination de la fréquence de la tension accélératrice imposée entre les « dés » === {{Al|5}}Déterminer, en fonction de <math>\;q</math>, <math>\;m\;</math> et <math>\;B</math>, la fréquence <math>\;f\;</math> qu'il convient de donner à la tension accélératrice imposée entre les surfaces planes de chaque « dé » pour que les particules chargées soient effectivement accélérées chaque fois qu'elles traversent l'« interface <math>\;\big(</math>tridimensionnel<math>\big)\;</math> étroit » séparant les deux « dés ». {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : les particules à accélérer étant des protons avec une « norme de champ magnétostatique <math>\;B = 1,00\;T\;</math>», «<math>\;q = e \simeq 1,60\;10^{-19}\;C</math> <math>\;\big(</math>charge élémentaire<math>\big)\;</math>» et «<math>\;m \simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}La particule injectée décrivant un mouvement circulaire uniforme à l'intérieur de chaque « dé » <math>\;D\;</math> ou <math>\;D'\;</math> de vitesse angulaire égale à la pulsation cyclotron de la particule «<math>\;\omega_c = \dfrac{|q|\; B}{m}\;</math>», la durée pour parcourir un demi-cercle quelconque étant indépendante de ce dernier égale à «<math>\;\Delta t = \dfrac{\pi}{\omega_c}\;</math>» et la particule devant accélérer lors de sa traversée de l'« interface <math>\;\big(</math>tridimensionnel<math>\big)\;</math> étroit » séparant les deux « dés » ce qui nécessite que la tension accélératrice prenne l'une ou l'autre de ses valeurs de crête <math>\;\big(</math>positive ou négative suivant le signe de la charge de la particule et le sens de passage<math>\big)</math>, nous en déduisons que «<math>\;\Delta t = \dfrac{\pi}{\omega_c}\;</math>» doit correspondre à une demi période de la tension accélératrice, soit «<math>\;\Delta t = \dfrac{T_u}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T_u = \dfrac{2\; \pi}{\omega_c}\;</math>» dont nous déduisons la fréquence de la tension accélératrice <center>«<math>\;f = \dfrac{1}{T_u} = \dfrac{\omega_c}{2\; \pi} = \dfrac{\vert q \vert\; B}{2\; \pi\; m}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>A.N.</u><ref name="A.N." /> : Cas de protons avec «<math>\;B = 1,00\; T\;</math>», «<math>\;q = e \simeq 1,60\;10^{-19}\;C</math> <math>\;\big(</math>charge élémentaire<math>\big)\;</math>» et «<math>\;m \simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;</math>», «<math>\;f \simeq \dfrac{1,6\; 10^{-19} \times 1,00}{2 \times \pi \times 1,67\, 10^{-27}} \simeq 15,25\; 10^6\; Hz\;</math>» soit «<math>\;f \simeq 15,25\; M\!Hz\;</math>».}} === Détermination du rayon de la n^ème trajectoire lors du passage de la particule dans l'un ou l'autre des « dés » === {{Al|5}}Sachant que la trajectoire d'une particule est formée d'une suite de demi cercles centrés au voisinage de <math>\;O</math>, de rayons successifs «<math>\;\mathcal{R}_1</math>, <math>\;\mathcal{R}_2</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;\mathcal{R}_n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\, \backslash \left\lbrace 1\,,\,2 \right\rbrace\;</math>»<ref> Nous supposons donc la suite de demi cercles comprend au moins trois demi cercles.</ref> reliés, dans l'« interface <math>\;\big(</math>tridimensionnel<math>\big)\;</math> » séparant les deux « dés », par des éléments de trajectoires rectilignes <math>\;\perp\;</math> aux surfaces planes de ces deux « dés », déterminer <br>{{Al|5}}le rayon <math>\;\mathcal{R}_n\;</math> en fonction de <math>\;q</math>, <math>\;m</math>, <math>\,B</math>, <math>\;n</math>, <math>\;v_1\;</math> et l'amplitude <math>\;U_m\;</math> de la tension accélératrice. {{Solution |contenu = [[File:Cyclotron - bis.png|thumb|Description du mouvement d'une particule de charge <math>\;q > 0\;</math> à l'intérieur d'un [[w:Cyclotron|cyclotron]]]] {{Al|5}}Le rayon «<math>\;\mathcal{R}_n\;</math>» dépendant de la vitesse instantanée «<math>\;v_n\;</math>»<ref name="vitesse instantanée" /> <math>\;\big(</math>ou norme du vecteur vitesse d'entrée sur le n^ème demi-cercle <math>\;V_n = \Vert \vec{V}_n \Vert\;</math> si l'orientation de la trajectoire est faite dans le sens du mouvement<math>\big)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{R}_n = \dfrac{m\; v_n}{\vert q \vert\; B}\;</math>» <math>\;\big(</math>à connaître<math>\big)</math>, il faut donc auparavant déterminer «<math>\;v_n\;</math>» ; {{Al|5}}lors de la 1^ère accélération <math>\;\bigg(</math>c.-à-d. à la sortie de la 1^ère trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_1 = \dfrac{m\; v_1}{\vert q \vert\; B}\bigg)\;</math> on détermine <math>\;v_2\;</math> en fonction de <math>\;v_1\;</math> par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la 1^ère trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_1\;</math> et le point d'entrée de la 2^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_2\;</math> dans le référentiel lié au [[w:Cyclotron|cyclotron]] <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne <math>\;\big[</math>ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel<math>\big]\;</math> soit : <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\; v_2^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;m\; v_1^{\,2} = W_{1\,\rightarrow\,2}(q\;\vec{E}) = \vert q \vert\; U_m\;\text{:}\;\; \left( \mathfrak{1} \right)\;</math><ref> En effet si <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\;\big(</math>cas de la figure<math>\big)</math>, l'accélération de la particule <math>\;M\;</math> nécessite que « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> soit orienté de <math>\;M_1\;</math> point de sortie de la 1^ère trajectoire vers <math>\;M_2\;</math> point d'entrée sur la 2^ème trajectoire » c.-à-d. que « la d.d.p. <math>\;\Pi(M_1) - \Pi(M_2)\;</math> soit <math>\;> 0\;</math>» <math>\;\big(</math>le potentiel étant noté <math>\;\Pi\;</math> pour éviter une éventuelle confusion avec la norme du vecteur vitesse notée <math>V\big)\;</math> d'où le travail de la force électrique entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> s'évaluant selon <math>\;W_{1\,\rightarrow\,2}(q\;\vec{E}) = \displaystyle\int\limits_{M_1\,\rightarrow\,M_2} q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \displaystyle\int\limits_{M_1\,\rightarrow\,M_2} -q\;d \Pi = q\, \left[ \Pi(M_1) - \Pi(M_2) \right] > 0\;</math> avec la d.d.p. <math>\;\Pi(M_1) - \Pi(M_2)\;</math> égale à la valeur de crête positive <math>\;U_m\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;W_{1\,\rightarrow\,2}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ U_m \right] = \vert q \vert\;U_m\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'accélération de la particule <math>\;M\;</math> nécessite que « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> soit orienté de <math>\;M_2\;</math> point d'entrée sur la 2^ème trajectoire vers <math>\;M_1\;</math> point de sortie de la 1^ère trajectoire » c.-à-d. que « la d.d.p. <math>\;\Pi(M_1) - \Pi(M_2)\;</math> soit <math>\;< 0\;</math>» d'où le travail de la force électrique entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> s'évaluant toujours selon <math>\;W_{1\,\rightarrow\,2}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ \Pi(M_1) - \Pi(M_2) \right] > 0\;</math> car les deux facteurs sont <math>\;< 0</math>, avec la d.d.p. <math>\;\Pi(M_1) - \Pi(M_2)\;</math> égale à la valeur de crête négative <math>\;-U_m\;</math> soit «<math>\;W_{1\,\rightarrow\,2}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ -U_m \right] = \vert q \vert\;U_m\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_2 =</math> <math>\sqrt{v_1^{\,2} + \dfrac{2\; \vert q \vert}{m}\; U_m}\;</math>» ; {{Al|5}}lors de la 2^ème accélération <math>\;\bigg(</math>c.-à-d. à la sortie de la 2^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_2 = \dfrac{m\; v_2}{\vert q \vert\; B}\bigg)\;</math> on détermine <math>\;v_3\;</math> en fonction de <math>\;v_2\;</math> par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la 2^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_2\;</math> et le point d'entrée de la 3^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_3\;</math> dans le référentiel lié au [[w:Cyclotron|cyclotron]] <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne <math>\;\big[</math>ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel<math>\big]\;</math> soit : <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\; v_3^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;m\; v_3^{\,2} = W_{2\,\rightarrow\,3}(q\;\vec{E}) = \vert q \vert\; U_m\;\text{:}\;\; \left( \mathfrak{2} \right)\;</math><ref> En effet si <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\;\big(</math>cas de la figure<math>\big)</math>, l'accélération de la particule <math>\;M\;</math> nécessite que « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> soit orienté de <math>\;M_2\;</math> point de sortie de la 2^ème trajectoire vers <math>\;M_3\;</math> point d'entrée sur la 3^ème trajectoire » c.-à-d. que « la d.d.p. <math>\;\Pi(M_2) - \Pi(M_3)\;</math> soit <math>\;> 0\;</math>» d'où le travail de la force électrique entre <math>\;M_2\;</math> et <math>\;M_3\;</math> s'écrivant <math>\;W_{2\,\rightarrow\,3}(q\;\vec{E}) = \displaystyle\int\limits_{M_2\,\rightarrow\,M_3} q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M_2\,\rightarrow\,M_3} -q\;d \Pi =</math> <math>q\, \left[ \Pi(M_2) - \Pi(M_3) \right] > 0\;</math> avec la d.d.p. <math>\;\Pi(M_2) - \Pi(M_3)\;</math> égale à la valeur de crête positive <math>\;U_m\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;W_{2\,\rightarrow\,3}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ U_m \right] =</math> <math>\vert q \vert\;U_m\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'accélération de la particule <math>\;M\;</math> nécessite que « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> soit orienté de <math>\;M_3\;</math> point d'entrée sur la 3^ème trajectoire vers <math>\;M_2\;</math> point de sortie de la 2^ème trajectoire » c.-à-d. que « la d.d.p. <math>\;\Pi(M_2) - \Pi(M_3)\;</math> soit <math>\;< 0\;</math>» d'où le travail de la force électrique entre <math>\;M_2\;</math> et <math>\;M_3\;</math> s'évaluant toujours selon <math>\;W_{2\,\rightarrow\,3}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ \Pi(M_2) - \Pi(M_3) \right] > 0\;</math> car les deux facteurs sont <math>\;< 0</math>, avec la d.d.p. <math>\;\Pi(M_2) - \Pi(M_3)\;</math> égale à la valeur de crête négative <math>\;-U_m\;</math> soit «<math>\;W_{2\,\rightarrow\,3}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ -U_m \right] = \vert q \vert\;U_m\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_3 = \sqrt{v_2^{\,2} + \dfrac{2\; \vert q \vert}{m}\; U_m}\;</math>» ou, avec «<math>\;v_2^{\,2} = v_1^{\,2} + \dfrac{2\; \vert q \vert}{m}\; U_m\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_3 = \sqrt{v_1^{\,2} + \dfrac{4\; \vert q \vert}{m}\; U_m}\;</math>» ; {{Al|5}}hypothèse de récurrence : la vitesse instantanée <math>\;v_p\;</math><ref name="vitesse instantanée" /> de la particule à la sortie de la p^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_p = \dfrac{m\; v_p}{\vert q \vert\; B}\;</math> est liée à celle <math>\;v_1\;</math> sur la 1^ère trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_1 =</math> <math>\dfrac{m\; v_1}{\vert q \vert\; B}\;</math> par «<math>\;v_p = \sqrt{v_1^{\,2} + \dfrac{2\,\left( p - 1 \right)\, \vert q \vert}{m}\; U_m}\;</math>» : <br>{{Al|5}}{{Transparent|hypothèse de récurrence : }}lors de la p^ème accélération <math>\;\bigg(</math>c.-à-d. à la sortie de la p^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_p = \dfrac{m\; v_p}{\vert q \vert\; B}\bigg)\;</math> on détermine <math>\;v_{p + 1}\;</math> en fonction de <math>\;v_p\;</math> par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la p^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_p\;</math> et le point d'entrée de la (p + 1)^ème trajectoire semi-circulaire de rayon <math>\;\mathcal{R}_{p + 1}\;</math> dans le référentiel lié au [[w:Cyclotron|cyclotron]] <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne <math>\;\big[</math>ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même {{Nobr|référentiel<math>\big]\;</math>}} soit : <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\; v_{p + 1}^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;m\; v_p^{\,2} = W_{p\,\rightarrow\,(p + 1)}(q\;\vec{E}) = \vert q \vert\; U_m\;\text{:}\;\; \left( \mathfrak{p} \right)\;</math><ref> En effet si <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\;\big(</math>cas de la figure<math>\big)</math>, l'accélération de la particule <math>\;M\;</math> nécessite que « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> soit orienté de <math>\;M_p\;</math> point de sortie de la p^ème trajectoire vers <math>\;M_(p + 1)\;</math> point d'entrée sur la (p + 1)^ème trajectoire » c.-à-d. que « la d.d.p. <math>\;\Pi(M_p) - \Pi(M_{p + 1})\;</math> soit <math>\;> 0\;</math>» d'où le travail de la force électrique entre <math>\;M_p\;</math> et <math>\;M_{p + 1}</math>, <math>\;W_{p\,\rightarrow\,(p + 1)}(q\;\vec{E}) = \displaystyle\int\limits_{M_p\,\rightarrow\,M_{p + 1}} q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M_p\,\rightarrow\,M_{p + 1}} -q\;d \Pi = q\, \left[ \Pi(M_p) - \Pi(M_{p + 1}) \right] > 0\;</math> avec la d.d.p. <math>\;\Pi(M_p) - \Pi(M_{p + 1})\;</math> égale à la valeur de crête positive <math>\;U_m\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;W_{p\,\rightarrow\,(p + 1)}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ U_m \right] = \vert q \vert\;U_m\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'accélération de la particule <math>\;M\;</math> nécessite que « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> soit orienté de <math>\;M_{p + 1}\;</math> point d'entrée sur la (p + 1)^ème trajectoire vers <math>\;M_p\;</math> point de sortie de la p^ème trajectoire » c.-à-d. que « la d.d.p. <math>\;\Pi(M_p) - \Pi(M_{p + 1})\;</math> soit <math>\;< 0\;</math>» d'où le travail de la force électrique entre <math>\;M_p\;</math> et <math>\;M_{p + 1}\;</math> s'écrivant toujours <math>\;W_{p\,\rightarrow\,(p + 1)}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ \Pi(M_p) - \Pi(M_{p + 1}) \right] > 0\;</math> car les deux facteurs sont <math>\;< 0</math>, avec la d.d.p. <math>\;\Pi(M_p) - \Pi(M_{p + 1})\;</math> égale à la valeur de crête négative <math>\;-U_m\;</math> soit «<math>\;W_{p\,\rightarrow\,(p + 1)}(q\;\vec{E}) = q\, \left[ -U_m \right] = \vert q \vert\;U_m\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_{p + 1} = \sqrt{v_p^{\,2} + \dfrac{2\; \vert q \vert}{m}\; U_m}\;</math>» ou, avec «<math>\;v_p^{\,2} = v_1^{\,2} + \dfrac{2\,\left( p - 1 \right)\, \vert q \vert}{m}\; U_m\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_{p + 1} = \sqrt{v_1^{\,2} + \dfrac{2\;p\; \vert q \vert}{m}\; U_m}\;</math>», ce qui valide l'hypothèse de récurrence ; {{Al|5}}en conclusion la propriété <math>\;\mathcal{P}_p\;</math> «<math>\;v_p = \sqrt{v_1^{\,2} + \dfrac{2\,\left( p - 1 \right)\, \vert q \vert}{m}\; U_m}\;</math>» est établie par récurrence <math>\;\forall\;p \in \mathbb{N}^{*}\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math> car elle est « démontrée pour <math>\;p = 2\;</math>» et «<math>\;\mathcal{P}_p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{P}_{p + 1}\;</math>». {{Al|5}}Nous en déduisons «<math>\;\mathcal{R}_n = \dfrac{m\; v_n}{\vert q \vert\; B} = \dfrac{m\;\sqrt{v_1^2 + \dfrac{2 \left( n - 1 \right)\, \vert q \vert}{m}\, U_m}}{\vert q \vert\, B}\;</math>» ou encore, en factorisant par <math>\;\dfrac{m\;v_1}{\vert q \vert\;B}</math>, «<math>\;\mathcal{R}_n = \dfrac{m\, v_1}{\vert q \vert\, B}\; \sqrt{1 + 2\, \left( n - 1 \right)\, \dfrac{\vert q \vert\; U_m}{m\; v_1^2}}\;</math>» soit, en introduisant « le rayon du 1^er demi-cercle suivi par la particule <math>\;\mathcal{R}_1 = \dfrac{m\; v_1}{\vert q \vert\; B}\;</math>», l'expression du « rayon du n^ème demi-cercle suivi par la particule avant son éjection <center><math>\;\mathcal{R}_n = \mathcal{R}_1\; \sqrt{1 + 2\, \left( n - 1 \right)\, \dfrac{\vert q \vert\; U_m}{m\; v_1^2}}\;</math>».</center>}} === Évaluation de la vitesse maximale atteinte par la particule à la sortie du cyclotron, du nombre de tours qu'elle a effectué et de son temps de transit dans l'accélérateur === {{Al|5}}Des protons étant injectés dans le [[w:Cyclotron|cyclotron]] précédemment décrit sur une trajectoire de rayon «<math>\;\mathcal{R}_1 = 5,2\; 10^{-8}\; m\;</math>», la norme du champ magnétostatique ayant pour valeur «<math>\;B = 1,00\;T\;</math>», le diamètre utile du [[w:Cyclotron|cyclotron]] étant «<math>\;D = 0,625\; m\;</math>» et l'amplitude de la tension accélératrice valant «<math>\;U_m = 20,0\; kV\;</math>», calculer : * la vitesse maximale atteinte par les protons sortant tangentiellement du [[w:Cyclotron|cyclotron]], * le nombre de tours effectués par les particules dans l'appareil et * leur temps de transit «<math>\;\tau\;</math>» dans l'accélérateur. {{Solution |contenu = {{Al|5}}<u>Données</u> : Injection de protons de charge «<math>\;q = e \simeq 1,60\;10^{-19}\;C</math> <math>\;\big(</math>charge élémentaire<math>\big)\;</math>», de masse «<math>\;m \simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;</math>» sur une trajectoire initiale de rayon «<math>\;\mathcal{R}_1 = 5,2\; 10^{-8}\; m\;</math>» dans un des « dés » dans lesquels règne un champ magnétostatique de norme «<math>\;B = 1,00\;T\;</math>», la tension accélératrice entre les « dés » étant d'amplitude «<math>\;U_m = 20,0\; kV\;</math>», chaque « dé » étant de rayon utile «<math>\;\dfrac{D}{2} = 0,3125\; m\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Données :}}<math>\succ\;</math><u>Vitesse maximale atteinte par les protons sortant tangentiellement du [[w:Cyclotron|cyclotron]]</u> : le rayon utile des « dés » du [[w:Cyclotron|cyclotron]] s'identifiant au plus grand rayon possible des trajectoires semi-circulaires des protons soit «<math>\;R_{\text{max}} = \dfrac{D}{2} = \dfrac{m\; v_{\text{max}}}{q\; B}\;</math>» nous en déduisons la vitesse maximale de sortie des protons «<math>\;v_{\text{max}} = \dfrac{q\; B\; R_{\text{max}}}{m} \simeq \dfrac{1,6\; 10^{-19} \times 1,00 \times 0,3125}{1,67\; 10^{-27}} \simeq 2,99\; 10^7\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit «<math>\;v_{\text{max}} \simeq 29,9\; 10^3\; km \cdot s^{-1}\;</math>» ou approximativement «<math>\;v_{\text{max}} \simeq 30\, 000\;km \cdot s^{-1}\;</math>» c.-à-d. <math>\;\lesssim \dfrac{c}{10}\;</math> ce qui valide l'utilisation de la dynamique newtonienne. {{Al|5}}{{Transparent|Données :}}<math>\succ\;</math><u>Nombre de tours effectuée par les protons dans l'appareil avant éjection</u> : de «<math>\;\mathcal{R}_1 = 5,2\; 10^{-8}\; m\;</math>», nous en déduisons la vitesse d'injection des protons sur leur 1^ère trajectoire semi-circulaire dans l'un des « dés » «<math>\;v_1 = \dfrac{q\; B\; \mathcal{R}_1}{m} \simeq \dfrac{1,6\; 10^{-19} \times 1,00 \times 5,2\; 10^{-8}}{1,67\; 10^{-27}} \simeq 4,98\; m \cdot s^{-1}\;</math>»<ref> C.-à-d. tout à fait négligeable devant <math>\;v_{\text{max}} \simeq 2,99\; 10^7\; m \cdot s^{-1}</math>.</ref> dont nous tirons aisément que «<math>\;\dfrac{q\; U_m}{m\; v_1^{\,2}} \simeq \dfrac{1,6\; 10^{-19} \times 2\; 10^4}{1,67\; 10^{-27} \times \left( 4,98 \right)^2} \simeq 7,7\; 10^{10} \gg 1\;</math>» et par suite la possibilité de déterminer <math>\;n\;</math> par «<math>\;\mathcal{R}_n = \mathcal{R}_1 \sqrt{\cancel{1\; +}\; 2\, \left( n - 1 \right) \dfrac{q\; U_m}{m\; v_1^{\,2}}}\;</math>» soit «<math>\;R_{\text{max}} = \mathcal{R}_1 \sqrt{2\, \left( n - 1 \right) \dfrac{q\; U_m}{m\; v_1^{\,2}}}\;</math>» d'où «<math>\;n \simeq 1 + \dfrac{R_{\text{max}}^{\,2}}{\mathcal{R}_1^{\,2}}\; \dfrac{m\; v_1^{\,2}}{2\; q\; U_m}\;</math>»<ref> Remarquant que «<math>\;\dfrac{v_1^{\,2}}{\mathcal{R}_1^{\,2}} = \left( \dfrac{q\; B}{m} \right)^{\!\!2}\;</math>» nous pourrions réécrire «<math>\;n \simeq 1 + \dfrac{R_{\text{max}}^{\,2}}{\mathcal{R}_1^{\,2}}\; \dfrac{m\; v_1^{\,2}}{2\; q\; U_m} = 1 + R_{\text{max}}^{\,2}\; \dfrac{q\; B^{\,2}}{2\; m\; U_m}\;</math>».</ref> et numériquement «<math>\;n \simeq 1 + \left( \dfrac{0,3125}{5,2\; 10^{-8}} \right)^{\!2} \times \dfrac{1,67\; 10^{-27} \times \left( 4,98 \right)^2}{2 \times 1,6\; 10^{-19} \times 2\; 10^4} \simeq</math> {{Nobr|<math>234,7\;</math>»}} soit finalement un maximum de <math>\;234\;</math> demi-tours correspondant à «<math>\;117\;</math> tours ». {{Al|5}}{{Transparent|Données :}}<math>\succ\;</math><u>Temps de transit des protons dans l'accélérateur</u> : le temps de transit «<math>\;\tau\;</math>» des protons dans l'accélérateur correspond à leur durée de séjour dans l'ensemble des « dés » <math>\;\big[</math>car la largeur de l'interface {{Nobr|<math>\;\big(</math>tridimensionnel<math>\big)\;</math>}} entre les « dés » étant faible, la durée de séjour des protons dans cet interface est négligeable devant celle dans les deux « dés »<math>\big]\;</math> c.-à-d. «<math>\;\tau \simeq n\; \Delta t = n\; \dfrac{\pi}{\omega_c} = \dfrac{n}{2}\; T_u = \dfrac{n}{2\; f}\;</math>» soit numériquement «<math>\;\tau \simeq \dfrac{234}{2 \times 15,25\; 10^6} \simeq 7,67\; 10^{-6}\; s\;</math>» et finalement «<math>\;\tau \simeq 7,67\; \mu s\;</math>».}} == Freinage d'une particule dans une chambre à bulles == {{Al|5}}Considérons une particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> pénétrant en <math>\;M_0\;</math> dans une région où règne un champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\;</math> uniforme avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> au champ <math>\;\vec{B}</math> ; <br>{{Al|5}}la particule se déplace dans un milieu qui exerce sur elle une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M_t) = -h\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> est le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;h\;</math> est une constante réelle positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\rho_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:Georges_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].</ref> et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule » en plus de<br>{{Al|5}}{{Transparent|la particule se déplace dans un milieu qui exerce sur elle }}la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> due à son déplacement dans l'espace champ magnétostatique uniforme. {{Al|5}}Nous admettrons que l'étude peut être faite dans le cadre de la dynamique newtonienne et que le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> est galiléen. === Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme === {{Al|5}}Pour définir le repère cartésien lié au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, on choisit l'origine <math>\;O\;</math> en <math>\;M_0</math>, le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_x\;</math> colinéaire à <math>\;\vec{V}_0\;</math> et de même sens <math>\;\big(\!\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math> avec <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\big)</math>, le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> colinéaire à <math>\;\vec{B}\;</math> et de même sens <math>\;\big(\!\Rightarrow</math> <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert\big)</math> et le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_y\;</math> tel que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> soit orthonormée directe <math>\;\big(\!\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_x = \vec{u}_y\big)</math>. {{Al|5}}Après application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, déduire les trois équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de cette particule soumise un frottement fluide linéaire dans l'espace champ magnétostatique uniforme <math>\;\big(</math>on vérifiera que deux des trois équations différentielles forment un système d'équations différentielles couplées<math>\big)\;</math> puis, {{Al|5}}les réécrire en introduisant la pulsation cyclotron « algébrisée » de la particule «<math>\;\overline{\omega}_c = \dfrac{q\;B}{m}\;</math>»<ref name="pulsation cyclotron algébrisée"> La pulsation cyclotron <math>\;\omega_c\;</math> d'une particule est toujours <math>\;> 0\;</math> car définie selon <math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math>, son utilisation est intéressante lorsque le signe de la charge est connu, ce qui n'est pas le cas ici, aussi, pour éviter cet inconvénient, nous introduisons la notion non normalisée de pulsation cyclotron « algébrisée » «<math>\;\overline{\omega}_c = \dfrac{q\;B}{m} = \left\lbrace \begin{array}{r} \omega_c\;\text{pour }q > 0\\ -\omega_c\;\text{pour }q < 0\end{array} \right.\;</math>».</ref> ainsi que la constante de temps d'amortissement de celle-ci dans le fluide «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}L'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />., dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen, à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> se déplaçant dans un milieu matériel visqueux où règne un champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B}</math>, nous donne, sachant que <math>\;M\;</math> est soumis * à la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_t) = q\; \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>» avec <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> et * à la force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M_t) = -h\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» avec «<math>\;h\;</math> une constante réelle positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]]<ref name="viscosité dynamique" /> et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule, {{Al|5}}«<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M_t) = m\; \vec{a}_{M}(t)\;</math> avec <math>\;\vec{a}_{M}(t) = \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math> le vecteur accélération de la particule au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math>» soit encore <center>l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> <br>«<math>\;q\; \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} - h\; \vec{V}_{\!M}(t) = m\; \dfrac{d \vec{V}_{\!M}}{dt}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}sachant que «<math>\;\vec{B} = B\; \vec{u}_z\;</math>» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = V_{M,\,x}(t)\; \vec{u}_x + V_{M,\,y}(t)\; \vec{u}_y + V_{M,\,z}(t)\; \vec{u}_z\;</math>» nous en déduisons les composantes cartésiennes «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>» en effectuant les calculs suivants<ref name="composantes d'un produit vectoriel connaissant celles de chaque vecteur" /> : <br>{{Al|5}}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & & 0 & & q\;V_{M,\,y}(t) \times B - q\;V_{M,\,z}(t) \times 0 & = & q\;B\;V_{M,\,y}(t)\\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & _{-}{\nearrow} & B & & & & \end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & & 0 & & q\;V_{M,\,z}(t) \times 0 - q\;V_{M,\,x}(t) \times 0 & = & -q\;B\;V_{M,\,x}(t)\\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & ^{+}{\searrow} & B & & & & \\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & q\;\vec{V}_{\!M}(t) & \wedge & \vec{B} & = & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} & {\scriptstyle\text{♣}} & q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\\ \vec{u}_x &|& q\;V_{M,\,x}(t) & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_y &|& q\;V_{M,\,y}(t) & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& q\;V_{M,\,z}(t) & & B & & q\;V_{M,\,x}(t) \times 0 - q\;V_{M,\,y}(t) \times 0 & = & 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;q\;\vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B} = q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;\vec{u}_x - q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;\vec{u}_y\;</math>»<ref name="calcul du produit vectoriel en ligne" /> et par suite {{Al|5}}les équations différentielle scalaires du mouvement de la particule en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de celle-ci en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des axes du repère cartésien soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} q\; B\; V_{M,\,y}(t) - h\;V_{M,\,x}(t) = m\; \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t)\\ - q\; B\; V_{M,\,x}(t) - h\;V_{M,\,y}(t) = m\; \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t)\\ -h\;V_{M,\,z}(t) = m\; \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou, en normalisant, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) + \dfrac{h}{m}\;V_{M,\,x}(t) = \;\;\dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,y}(t)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) + \dfrac{h}{m}\;V_{M,\,y}(t) = - \dfrac{q\; B}{m}\; V_{M,\,x}(t) \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) + \dfrac{h}{m}\;V_{M,\,z}(t) = \qquad 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» et enfin, en introduisant la pulsation cyclotron « algébrisée » de la particule «<math>\;\overline{\omega}_c = \dfrac{q\; B}{m}\;</math>»<ref name="pulsation cyclotron algébrisée" /> et la constante de temps d'amortissement de celle-ci dans le fluide «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math>» <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,x}(t) = \;\;\overline{\omega}_c\; V_{M,\,y}(t)\;\;\text{:}\;\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,y}(t) = - \overline{\omega}_c\; V_{M,\,x}(t) \;\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{2} \right) \\ \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,z}(t) = \qquad 0\qquad\quad\;\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{3} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>les équations <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math> étant couplées<math>\big]</math>.</center>}} === Détermination des lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme === {{Al|5}}Déterminer la loi horaire de vitesse puis de position de la particule suivant la direction <math>\;z'z\;</math> et résolvant l'équation différentielle non couplée aux deux autres. {{Al|5}}Découpler les deux autres équations différentielles en introduisant la vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t) = V_{\!M,\,x}(t) + i\;V_{\!M,\,y}(t)\;</math>» et déterminant l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en <math>\;\underline{\mathcal{V}}_{\!M}(t)\;</math> homogène, {{Al|5}}en déduire la loi horaire de vitesse complexe puis les deux lois horaires de vitesse selon <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y\;</math> ; {{Al|5}}enfin introduire la position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}_{\!M}(t) = x_{M}(t) + i\;y_{M}(t)\;</math>» et déduire de la loi horaire de vitesse complexe celle de position complexe puis les deux lois horaires de position selon <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>. {{Solution |contenu = {{Al|5}}L'équation différentielle «<math>\;\left( \mathfrak{3} \right)\;\text{:}\;\; \dfrac{d V_{M,\,z}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,z}(t) = 0\;</math>» étant linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre homogène s'intègre en «<math>\;V_{M,\,z}(t) = A_z\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>»<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />, la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_{M,\,z}(0) = 0\;</math>» d'où <math>\;A_z = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;V_{M,\,z}(t)</math>}} <math>= 0\;\;\forall\;t\;</math>» puis, intégrant «<math>\;V_{M,\,z}(t) = \dfrac{d z_M}{dt}(t) = 0\;</math>» en «<math>\;z_M(t) = {cste'}_z\;</math>», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;M(0) = M_0 = O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;z_M(0) = 0\;</math>» d'où <math>\;{cste'}_z = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;z_M(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» d'où <center>la nature <u>plane</u> du mouvement de la particule <math>\;M\;</math> dans le « plan <math>\;xOy\;</math>» <math>\;\big(</math>plan passant par <math>\;M_0\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{B}\big)</math>.</center> {{Al|5}}Les équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,x}(t) = \;\;\overline{\omega}_c\; V_{M,\,y}(t)\\ \left( \mathfrak{2} \right)\;\text{:}\;\;\dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,y}(t) = - \overline{\omega}_c\; V_{M,\,x}(t)\end{array} \right\rbrace\;</math>» étant « couplées par produit vectoriel » se découplent en introduisant la vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» et en formant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i\, \left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d V_{M,\,x}}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,x}(t) + i\; \dfrac{d V_{M,\,y}}{dt}(t) + i\;\dfrac{1}{\tau}\;V_{M,\,y}(t) = \overline{\omega}_c\; V_{M,\,y}(t) - i\; \overline{\omega}_c\; V_{M,\,x}(t)\;</math>» se réécrivant selon «<math>\;\dfrac{d\! \left[ V_{M,\,x} + i\;V_{M,\,y} \right]}{dt}(t) + \dfrac{1}{\tau}\, \left[ V_{M,\,x}(t) + i\;V_{M,\,y}(t) \right] =</math> <math>- i\; \overline{\omega}_c\, \left[ V_{M,\,x}(t) + i\;V_{M,\,y}(t) \right]\;</math>»<ref name="conseil pour découpler" /> {{,}}<ref name="utilisation du conseil pour découpler - bis"> L'utilisation de la remarque de la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#cite_note-conseil_pour_découpler-19|¹⁹]] » au cas présent donne «<math>\;\overline{\omega}_c\; V_{M,\,y}(t) - i\; \overline{\omega}_c\; V_{M,\,x}(t) = - i\; \overline{\omega}_c\; V_{M,\,x}(t) - i^2\;\overline{\omega}_c\;V_{M,\,y}(t) = - i\; \overline{\omega}_c\, \left[ V_{M,\,x}(t) + i\;V_{M,\,y}(t) \right]\;</math>».</ref> soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en « vitesse complexe <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{M,\,x}(t) + i\; V_{M,\,y}(t)\;</math>» homogène <center>«<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{V}}}{dt}(t) + \left( \dfrac{1}{\tau} + i\; \overline{\omega}_c \right)\,\underline{\mathcal{V}}(t) = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math>» homogène s'écrit «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = \underline{A}\;\exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right]\;</math>» avec <math>\;\underline{A}\;</math> constante complexe d'intégration<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre" />, <math>\;\underline{A}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(0) = V_0\;</math>» <math>\;\big(</math>le vecteur vitesse initiale étant <math>\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\underline{A} = V_0\;</math>» d'où finalement <center>la loi horaire de vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_0\;\exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;V_{M,\,x}(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Re\!\left\lbrace V_0\;\exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace = V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right)\;</math>» ou encore, quel que soit le signe de la charge <math>\;q</math>, «<math>\;V_{M,\,x}(t) = V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \cos\! \left( \omega_c\;t \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math> la pulsation cyclotron de la particule » et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{V}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;V_{M,\,y}(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{V}}(t) \right] = \Im\!\left\lbrace V_0\;\exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace = -V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right)\;</math>» ou encore, suivant le signe de la charge <math>\;q</math>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\text{pour }q > 0\;\text{:}\;V_{M,\,y}(t) = -V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\\ \text{pour }q < 0\;\text{:}\;V_{M,\,y}(t) = V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math> la pulsation cyclotron de la particule » ; <center>les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}V_{M,\,x}(t) = V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \cos\! \left( \omega_c\;t \right),\;\;\forall\;\text{le signe de }q\\ V_{M,\,y}(t) = \left[ \begin{array}{c} -V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t \right),\;\text{pour }q > 0\\ V_0\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t \right),\;\text{pour }q < 0\end{array}\right. \end{array}\right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math> la pulsation cyclotron de la particule ».</center> {{Al|5}}La vitesse complexe «<math>\;\underline{\mathcal{V}}(t) = V_{\!M,\,x}(t) + i\;V_{\!M,\,y}(t)\;</math>» étant la dérivée temporelle de la position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_{M}(t) + i\;y_{M}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \underline{\mathcal{X}}}{dt}(t) = V_0\;\exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right]\;</math>» qui s'intègre selon «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)</math> <math>= V_0\; \dfrac{\exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right]}{- \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right)} + \underline{cste} = V_0\;\dfrac{-\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c}{\dfrac{1}{\tau^2} + \overline{\omega}_c^{\,2}}\; \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] + \underline{cste} = V_0\;\tau\;\dfrac{-1 + i\;\overline{\omega}_c\;\tau}{1 + \overline{\omega}_c^{\,2}\;\tau^2}\; \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] + \underline{cste}\;</math>», <math>\;\underline{cste}\;</math> se déterminant à l'aide de la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(0) = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>la particule étant initialement en <math>\;O\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_0\;\tau\;\dfrac{-1 + i\;\overline{\omega}_c\;\tau}{1 + \overline{\omega}_c^{\,2}\;\tau^2} + \underline{cste} = 0\;</math> d'où «<math>\;\underline{cste} = V_0\;\tau\;\dfrac{1 - i\;\overline{\omega}_c\;\tau}{1 + \overline{\omega}_c^{\,2}\;\tau^2}\;</math>» et nous déduisons finalement <center>la loi horaire de position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = V_0\;\tau\;\dfrac{1 - i\;\overline{\omega}_c\;\tau}{1 + \overline{\omega}_c^{\,2}\;\tau^2}\, \left\lbrace 1 - \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace\;</math>» ou <br>{{Al|8}}avec «<math>\;\overline{R} = \dfrac{V_0}{\overline{\omega}_c}\;</math>» et «<math>\;\overline{\xi} = \tau\;\overline{\omega}_c\;</math>», «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\, \left\lbrace 1 - \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}prenant la partie réelle de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;x'x\;</math> «<math>\;x_M(t) = \Re\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Re\!\left\lbrace \overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} \right\rbrace + \Re\!\left\lbrace -\overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\; \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace =</math> <math>\dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} + \Re\!\left\lbrace -\overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} \right\rbrace\; \Re\! \left\lbrace \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace - \Im\!\left\lbrace -\overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} \right\rbrace\; \Im\! \left\lbrace \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace = \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} - \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) + \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}^{\,2}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right)\;</math>» ou encore, «<math>\;x_M(t) = \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\, \left\lbrace 1 - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \left[ \cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) - \overline{\xi}\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) \right] \right\rbrace = \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\, \left[ 1 - \sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\; \cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t + \overline{\varphi} \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\overline{\varphi} = \arctan\! \left( \overline{\xi} \right)\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) - \overline{\xi}\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) = \sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\,\left[ \dfrac{1}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) - \dfrac{\overline{\xi}}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) \right]\;</math>» soit, en posant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}} = \cos(\overline{\varphi})\\ \dfrac{\overline{\xi}}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}} = \sin(\overline{\varphi})\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow\;</math> «<math>\;\overline{\varphi} = \arctan\! \left( \overline{\xi} \right)\;</math>», la réécriture du terme entre crochets «<math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) - \dfrac{\overline{\xi}}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) = \cos(\overline{\varphi})\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) - \sin(\overline{\varphi})\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) = \cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t + \overline{\varphi} \right)\;</math>».</ref> et {{Al|5}}prenant la partie imaginaire de <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon <math>\;y'y\;</math> «<math>\;y_M(t) = \Im\!\left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Im\!\left\lbrace \overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} \right\rbrace + \Im\!\left\lbrace -\overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\; \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace =</math> <math>-\dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}^{\,2}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} + \Re\!\left\lbrace -\overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} \right\rbrace\; \Im\! \left\lbrace \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace + \Im\!\left\lbrace -\overline{R}\;\overline{\xi}\;\dfrac{1 - i\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} \right\rbrace\; \Re\! \left\lbrace \exp\! \left[ - \left(\dfrac{1}{\tau} + i\;\overline{\omega}_c \right) t \right] \right\rbrace = -\dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}^{\,2}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}} + \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) + \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}^{\,2}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\; \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right)\;</math>» ou encore, «<math>\;y_M(t) = -\dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\, \left\lbrace \overline{\xi} - \exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right) \left[ \overline{\xi}\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) + \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) \right] \right\rbrace = -\dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\, \left[ \overline{\xi} - \sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t + \overline{\varphi} \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\overline{\varphi} = \arctan\! \left( \overline{\xi} \right)\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\overline{\xi}\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) + \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) = \sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\,\left[ \dfrac{\overline{\xi}}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) + \dfrac{1}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) \right]\;</math>» soit, en posant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}} = \cos(\overline{\varphi})\\ \dfrac{\overline{\xi}}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}} = \sin(\overline{\varphi})\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow\;</math> «<math>\;\overline{\varphi} = \arctan\! \left( \overline{\xi} \right)\;</math>», la réécriture du terme entre crochets «<math>\;\dfrac{\overline{\xi}}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) + \dfrac{1}{\sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}}\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) = \sin(\overline{\varphi})\;\cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) + \cos(\overline{\varphi})\;\sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t \right) = \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t + \overline{\varphi} \right)\;</math>».</ref> ; <center>les lois horaires de position de la particule dans le plan <math>\;xOy\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = \dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\, \left[ 1 - \sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\; \cos\! \left( \overline{\omega}_c\;t + \overline{\varphi} \right) \right]\\ y_M(t) = -\dfrac{\overline{R}\;\overline{\xi}}{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\, \left[ \overline{\xi} - \sqrt{1 + \overline{\xi}^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \overline{\omega}_c\;t + \overline{\varphi} \right) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec <br>«<math>\;\overline{\varphi} = \arctan\! \left( \overline{\xi} \right)\;</math>», «<math>\;\overline{R} = \dfrac{V_0}{\overline{\omega}_c} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>» et «<math>\;\overline{\xi} = \tau\;\overline{\omega}_c = \dfrac{q\;B}{h}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\varphi} = \arctan\! \left( \dfrac{q\;B}{h} \right)\;</math>», <br>s'écrivant encore selon le signe de <math>\;q</math>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x_M(t) = \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ 1 - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\; \cos\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right],\;\;\forall\;\text{le signe de }q\\ y_M(t) = \left\lbrace \begin{array}{c} -\dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ \tau\;\omega_c - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right],\;\;\text{pour }q > 0\\ \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ \tau\;\omega_c - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right],\;\;\text{pour }q < 0\end{array}\right. \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En effet pour <math>\;q > 0</math>, «<math>\;\overline{R} = \dfrac{V_0}{\overline{\omega}_c} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{R} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B} = R\;</math>», «<math>\;\overline{\xi} = \tau\;\overline{\omega}_c = \dfrac{q\;B}{h}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{\xi} = \dfrac{q\;B}{h} = \tau\;\omega_c\;</math>» d'où «<math>\;\overline{\varphi} = \arctan(\overline{\xi}) = \arctan\! \left( \dfrac{q\;B}{h} \right) = \arctan(\tau\;\omega_c) =</math> <math>\varphi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;x_M(t) = \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ 1 - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\; \cos\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right]\;</math>» et «<math>\;y_M(t) = -\dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ \tau\;\omega_c - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right]\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}pour <math>\;q < 0</math>, «<math>\;\overline{R} = \dfrac{V_0}{\overline{\omega}_c} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{R} = -\dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B} = -R\;</math>», «<math>\;\overline{\xi} = \tau\;\overline{\omega}_c = \dfrac{q\;B}{h}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{\xi} = -\dfrac{\vert q \vert\;B}{h} = -\tau\;\omega_c\;</math>» d'où «<math>\;\overline{\varphi} = \arctan(\overline{\xi}) = \arctan\! \left( -\dfrac{\vert q \vert\;B}{h} \right) =</math> <math>-\arctan(\tau\;\omega_c) = -\varphi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;x_M(t) = \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ 1 - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\; \cos\! \left( -\omega_c\;t - \varphi \right) \right] = \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ 1 - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\; \cos\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right]\;</math>» et «<math>\;y_M(t) =</math> <math>-\dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ -\tau\;\omega_c - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( -\omega_c\;t - \varphi \right) \right] = \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ \tau\;\omega_c - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right]\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m}\;</math> la pulsation cyclotron de <math>\;M\;</math>», «<math>\;R = \dfrac{m\;V_0}{\vert q \vert\;B}\;</math>», «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math>» et «<math>\;\varphi = \arctan(\tau\;\omega_c)\;</math>».</center>}} === Tracé de la courbe suivie par la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme avec existence d'un point asymptotique sur la trajectoire === {{Al|5}}Représenter la trajectoire de la particule <math>\;M\;</math> soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme dans le cas où la charge <math>\;q\;</math> de la particule est <math>\;>\;</math> 0 et {{Al|5}}montrer que la trajectoire admet un point asymptotique «<math>\;M_{\infty}\;</math>». {{Solution |contenu = [[File:Chambre à bulles - trajectoire d'un proton.png|thumb|left|450px|Tracé de la trajectoire d'un proton entrant en <math>\;O\;</math> avec une vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> le long de <math>\;Ox\;</math> dans un milieu visqueux où règne un champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\;</math> uniforme orienté selon <math>\;\vec{u}_z</math>, le frottement fluide étant linéaire à viscosité modérée]] [[File:Chambre à bulles - trajectoire d'un proton - bis.png|thumb|right|400px|Tracé de la trajectoire d'un proton entrant en <math>\;O\;</math> avec une vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> le long de <math>\;Ox\;</math> dans un milieu visqueux où règne un champ magnétostatique <math>\;\vec{B}\;</math> uniforme orienté selon <math>\;\vec{u}_z</math>, le frottement fluide étant linéaire à faible viscosité]] {{Al|5}}Les lois horaires de position de <math>\;M \left( q > 0 \right)\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> étant * d'une part les équations cartésiennes paramétriques de sa trajectoire dans ce plan et * d'autre part celles-ci étant pseudo-périodiques à amortissement exponentiel de même pseudo-période <math>\;T_c = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c} = \dfrac{2\;\pi\;m}{\vert q \vert\;B}\;</math> se réécrivant «<math>\;T_c = \dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B}\;</math>» <math>\;\big(</math>la particule étant de charge <math>\,> 0\big)</math>, {{Al|5}}nous en déduisons le caractère « spiralant » de la trajectoire, la spirale étant décrite dans le sens horaire du plan <math>\;xOy\;</math> pour une particule de charge positive <math>\;\big(</math>elle serait décrite dans le sens anti-horaire pour une particule de charge négative<math>\big)\;</math> autour d'un point asymptotique <math>\;M_{\infty}</math>, la particule effectuant d'autant plus de tours avant d'atteindre « pratiquement »<ref name="pratiquement"> En fait l'amortissement étant exponentiel, la particule effectue un nombre de tours théoriquement infini avant d'atteindre le point asymptotique mais nous estimons que ce point est « pratiquement » atteint lorsque la distance le séparant de la particule est inférieure au minimum détectable expérimentalement.</ref> ce dernier, voir ci-contre : {{clr}} {{Al|5}}à gauche, un frottement modéré où <math>\;\tau = \dfrac{T_c}{2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;h = \dfrac{q\;B}{\pi}\;</math><ref> En effet «<math>\;\tau = \dfrac{T_c}{2}\;</math>» se réécrit «<math>\;\dfrac{m}{h} = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B}\;</math>» d'où la relation «<math>\;h = \dfrac{q\;B}{\pi}\;</math>».</ref>, {{Al|137}}à droite, un faible frottement où <math>\;\tau = 2\;T_c\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;h = \dfrac{q\;B}{4\;\pi}\;</math><ref> En effet «<math>\;\tau = 2\;T_c\;</math>» se réécrit «<math>\;\dfrac{m}{h} = 2\;\dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B}\;</math>» d'où la relation «<math>\;h = \dfrac{q\;B}{4\;\pi}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}L'existence d'un point asymptotique <math>\;M_{\infty}\;</math> pour la trajectoire de la particule <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> résulte de celle d'une limite finie des coordonnées de <math>\;M\;</math> quand <math>\;t \rightarrow \infty</math>, cette limite finie définissant chaque coordonnée <math>\;\left( x_{\infty}\,,\,y_{\infty} \right)\;</math> de <math>\;M_{\infty}\;</math> soit «<math>\;\left[ \begin{array}{l c c c}\lim\limits_{t\,\rightarrow\,\infty} \!\!&\!\! \left\lbrace \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ 1 - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \cos\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right] \right\rbrace \!\!&=&\!\! x_{\infty}\\ \lim\limits_{t\,\rightarrow\,\infty} \!\!&\!\! \left\lbrace -\dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\, \left[ \tau\;\omega_c - \sqrt{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega_c\;t + \varphi \right) \right] \right\rbrace \!\!&=&\!\! y_{\infty}\end{array}\right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;M_{\infty}\, \left( x_{\infty} = \dfrac{R\;\tau\;\omega_c}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}}\,,\, y_{\infty} = -\dfrac{R\;\tau^2\;\omega_c^{\,2}}{1 + \tau^2\;\omega_c^{\,2}} \right)\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;M_{\infty}\, \left( x_{\infty} = R\;\dfrac{\dfrac{m}{h}\;\dfrac{q\;B}{m}}{1 + \dfrac{m^2}{h^2}\;\dfrac{q^2\;B^{\,2}}{m^2}}\,,\, y_{\infty} = -R\;\dfrac{\dfrac{m^2}{h^2}\;\dfrac{q^2\;B^{\,2}}{m^2}}{1 + \dfrac{m^2}{h^2}\;\dfrac{q^2\;B^{\,2}}{m^2}} \right)\;</math>»}} soit, après simplification et multiplication par <math>\;\dfrac{h^2}{q^2\;B^{\,2}}\;</math> de façon à exprimer les coordonnées de <math>\;M_{\infty}\;</math> en fonction de «<math>\;R = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>» <math>\;\big(</math>rayon de la trajectoire en absence de frottement fluide<math>\big)\;</math> et du paramètre sans dimension «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B}\;</math>» <math>\;\propto\;</math> au cœfficient <math>\;h\;</math> caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]]<ref name="viscosité dynamique" /> et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule dans la force de frottement fluide linéaire, <center>«<math>\;M_{\infty}\, \left( x_{\infty} = R\;\dfrac{\chi}{1 + \chi^2}\,,\, y_{\infty} = -R\;\dfrac{1}{1 + \chi^2} \right)\;</math>» avec «<math>\;R = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>» et «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B}\;</math>» <br>s'écrivant encore «<math>\;M_{\infty}\, \left( x_{\infty} = \dfrac{h\;m\;V_0}{h^2 + q^2\;B^{\,2}}\,,\, y_{\infty} = -\dfrac{q\;B\;m\;V_0}{h^2 + q^2\;B^{\,2}} \right)\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Nous constatons que la limite du « point asymptotique <math>\;M_{\infty}\, \left( x_{\infty} = R\;\dfrac{\chi}{1 + \chi^2}\,,\, y_{\infty} = -R\;\dfrac{1}{1 + \chi^2} \right)\;</math> de la trajectoire de la particule <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math>» quand le cœfficient «<math>\;h\;</math>» caractérisant la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]]<ref name="viscosité dynamique" /> et la densité du fluide ainsi que la dimension de la particule dans la force de frottement fluide linéaire <math>\;\rightarrow 0</math> <math>\;\bigg(\!\!\Rightarrow</math> «<math>\;\chi = \dfrac{h}{q\;B} \rightarrow 0\bigg)\;</math>» est le centre <math>\;C\, \left( x_C = 0\,,\, y_C = -R \right)\;</math> de la trajectoire circulaire de la particule <math>\;M\;</math> soumise à la seule force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> dans le plan <math>\;xOy</math>.}} === Positionnement du point asymptotique de la trajectoire de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme === {{Al|5}}Déterminer la distance séparant le point asymptotique «<math>\;M_{\infty}\;</math>» de la trajectoire de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme de sa position initiale «<math>\;M_0\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;a =</math>}} <math>M_0M_{\infty}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}l'angle que fait la direction du point asymptotique «<math>\;M_{\infty}\;</math>» à partir de la position initiale «<math>\;M_0\;</math>» de la particule avec le vecteur vitesse initiale de cette dernière «<math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\, \overrightarrow{M_0M_{\infty}} \right)}\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}La distance séparant la position initiale «<math>\;M_0 \left( 0\,,\, 0 \right)\;</math>» de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme, du point asymptotique «<math>\;M_{\infty} \left( x_{\infty}\,,\, y_{\infty} \right)\;</math>» de la trajectoire suivie par la particule, est définie selon «<math>\;a = M_0M_{\infty} = \sqrt{x_{\infty}^{\,2} + y_{\infty}^{\,2}} = \dfrac{R}{1 + \chi^2}\;\sqrt{\left( \chi \right)^{2} + \left( -1 \right)^{2}}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;a = M_0M_{\infty} = \dfrac{R}{\sqrt{1 + \chi^2}}\;</math>» avec «<math>\;R = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>» et «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B}\;</math>»<ref name="distance entre points origine et asymptotique"> Pour l'exemple de tracé représenté à gauche dans la solution de la question précédente «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B} = \dfrac{1}{\pi}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = M_0M_{\infty} = \dfrac{R}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{\pi^2}}} \simeq 0,95\;R\;</math>» et <br>{{Al|3}}pour celui {{Al|21}} représenté à droite dans la solution de la question précédente «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B} = \dfrac{1}{4\;\pi}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = M_0M_{\infty} = \dfrac{R}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{16\;\pi^2}}} \simeq 0,997\;R\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;a = M_0M_{\infty} = \dfrac{m\;V_0}{\sqrt{q^2\;B^{\,2} + h^2}} = \dfrac{V_0}{\sqrt{\omega_c^{\,2} + \dfrac{1}{\tau^2}}}\;</math>» avec «<math>\;\omega_c = \dfrac{q\;B}{m}\;</math> la pulsation cyclotron de <math>\;M\;</math>» <br>{{Al|48}}et «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> la constante de temps d'amortissement de <math>\;M\;</math> dans le fluide » ;</center> {{Al|5}}l'angle que fait la direction du point asymptotique «<math>\;M_{\infty} \left( x_{\infty}\,,\, y_{\infty} \right)\;</math>» à partir de la position initiale «<math>\;M_0 \left( 0\,,\, 0 \right)\;</math>» de la particule avec le vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_x\;</math>» de cette dernière, est défini selon «<math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\, \overrightarrow{M_0M_{\infty}} \right)} = \arctan\! \left( \dfrac{y_{\infty} - 0}{x_{\infty} - 0} \right) = \arctan\! \left( \dfrac{-R\;\dfrac{1}{1 + \chi^2}}{R\;\dfrac{\chi}{1 + \chi^2}} \right)\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\, \overrightarrow{M_0M_{\infty}} \right)} = -\arctan\! \left( \dfrac{1}{\chi} \right)\;</math>» avec «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B}\;</math>»<ref name="direction de la droite joignant les points origine et asymptotique"> Pour l'exemple de tracé représenté à gauche dans la solution de la question précédente «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B} = \dfrac{1}{\pi}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\, \overrightarrow{M_0M_{\infty}} \right)} = -\arctan\! \left( \pi \right) \simeq -72,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|3}}pour celui {{Al|21}} représenté à droite dans la solution de la question précédente «<math>\;\chi= \dfrac{h}{q\;B} = \dfrac{1}{4\;\pi}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\, \overrightarrow{M_0M_{\infty}} \right)} = -\arctan\! \left( 4\;\pi \right) \simeq -85,5\;\text{°}\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\, \overrightarrow{M_0M_{\infty}} \right)} = -\arctan\! \left( \dfrac{q\;B}{h} \right) = -\arctan\! \left( \tau\;\omega_c \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega_c = \dfrac{q\;B}{m}\;</math> la pulsation cyclotron de <math>\;M\;</math>» <br>{{Al|72}}et «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> la constante de temps d'amortissement de <math>\;M\;</math> dans le fluide ».</center>}} == Actions simultanées, sur une particule chargée pénétrant en O dans un espace champ magnétostatique uniforme constitué d'un milieu matériel, de la force magnétique de Lorentz due au champ magnétostatique et des interactions électriques avec le milieu matériel environnant modélisées par une force de rappel de centre O, la particule pénétrant en O avec un vecteur vitesse perpendiculaire au champ == {{Al|5}}Un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «<math>\;\vec{B}\;</math>» étant repéré par le trièdre <math>\;Oxyz</math>, de base cartésienne orthonormée directe «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math>», <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{B}</math> <math>\;\Big[\!\Rightarrow</math> <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_y\;</math> avec <math>\;B = \Vert \vec{B} \Vert\Big]</math>, <br>{{Al|5}}une particule chargée «<math>\;M \left( q > 0 \right)\;</math>» de masse <math>\;m\;</math> « pénètre à <math>\;t = 0\;</math> en <math>\;O\;</math>» dans cet espace avec une « vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\perp\;</math> au champ <math>\;\vec{B}\;</math>», <math>\;\vec{V}_0\;</math> étant colinéaire et de même sens que <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\Big[\!\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_z\;</math> avec <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\Big]</math> ; {{Al|5}}le milieu dans lequel pénètre la particule étant matériel, celle-ci subit, en plus d'une force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> due à l'action du champ magnétostatique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le milieu dans lequel pénètre la particule étant matériel, celle-ci subit, }}une force due aux interactions électriques de la particule avec le milieu matériel modélisée par une force linéaire de rappel vers le point d'entrée dans le milieu soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int. élec}}(M_t) = -k\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math>» <math>\;k\;</math> étant une constante <math>\;> 0\;</math> caractérisant l'évolution électrique du milieu par rapport à son point particulier <math>\;O</math>. {{Al|5}}Nous supposons que l'étude peut être faite dans le cadre de la dynamique newtonienne et que le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> est galiléen. === Détermination de l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule === {{Al|5}}Par application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}</math>, déterminer l'équation différentielle vectorielle du mouvement de celle-ci. {{Solution |contenu = {{Al|5}}L'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />., dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> galiléen, à la particule chargée <math>\;M \left( q \right)\;</math> de masse <math>\;m\;</math> soumis à la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_t) = q\; \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> est le vecteur vitesse de la particule à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math> et à une force d'interaction électrique avec le milieu matériel modélisée par la force linéaire de rappel vers le point de pénétration de la particule dans le milieu «<math>\;\vec{F}_{\text{int. élec}}(M_t) = -k\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math>» <math>\;\big(k\;</math> étant une constante <math>\;> 0\;</math> caractérisant l'évolution électrique du milieu par rapport à son point particulier <math>\;O\big)\;</math> donne «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_t) + \vec{F}_{\text{int. élec}}(M_t) = m\; \vec{a}_{M}(t)\;</math> avec <math>\;\vec{a}_{M}(t) = \dfrac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2}(t)\;</math> le vecteur accélération de la particule au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{lab}}\;</math>» soit «<math>\;q\; \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) \wedge \vec{B} - k\;\overrightarrow{OM}(t) = m\; \dfrac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2}(t)\;</math>» d'où l'équation différentielle vectorielle normalisée du mouvement de la particule <math>\;M\;</math> en son vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM}(t)</math> <center>«<math>\;\dfrac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2}(t) + \dfrac{q}{m}\;\vec{B} \wedge \dfrac{d \overrightarrow{OM}}{dt}(t) + \dfrac{k}{m}\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{0},\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>».</center>}} === Établissement de la nature plane du mouvement de la particule === {{Al|5}}Montrer que le mouvement de la particule se fait dans le plan contenant le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au champ magnétostatique <math>\;\vec{B}</math>, c.-à-d. le « plan <math>\;xOz\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est <math>\;\perp\;</math> à chacun de ses vecteurs<ref name="définition intrinsèque d'un produit vectoriel" />, nous en déduisons que la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" /> «<math>\;\vec{F}_{\text{mag. de Lor}}(M_t) = q\; \vec{V}_{\!M}(t) \wedge \vec{B}\;</math>» est <math>\;\perp\;</math> au champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B}\;</math> c.-à-d. à <math>\;\vec{u}_y\;</math> vecteur unitaire colinéaire à <math>\;\vec{B}\;</math> et de même sens d'où la projection de l'équation différentielle vectorielle <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> «<math>\;\dfrac{d^2 y_M}{dt^2}(t) + \dfrac{k}{m}\;y_M(t) = 0,\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» correspondant à l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math>le long de <math>\;y'y\;</math><ref name="oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (d'un oscillateur harmonique non amorti) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit encore, avec «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> la pulsation propre de cet oscillateur harmonique », la réécriture de l'équation différentielle de ce dernier sous forme canonique «<math>\;\ddot{y}_M(t) + \omega_0^{\,2}\;y_M(t) = 0,\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>» ; {{Al|5}}l'équation différentielle normalisée <math>\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math> étant linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en <math>\;y_M(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, avec pour cœfficient de <math>\;y_M(t)\;</math> «<math>\;\omega_0^{\,2} > 0\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la solution s'écrit «<math>\;y_M(t)</math> <math>= A_y\; \cos(\omega_0\; t) + B_y\; \sin(\omega_0\; t)\;</math>»<ref name="solution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Résolution_de_l'équation_différentielle_d'un_oscillateur_harmonique|résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique]] (non amorti) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, les constantes <math>\;A_y\;</math> et <math>\;B_y\;</math> se déterminant à l'aide des C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;M(0) = O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;y_M(0) = 0\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{y}_{\!M}(0) = 0\;</math>» d'où * «<math>\;y_M(0) = 0\;</math>» reporté dans <math>\;y_M(t) = A_y\; \cos(\omega_0\; t) + B_y\; \sin(\omega_0\; t)\;</math> impliquant «<math>\;A_y = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y_M(t) = B_y\; \sin(\omega_0\; t)\;</math>» et * «<math>\;\dot{y}_{\!M}(0) = 0\;</math>» reporté dans <math>\;\dot{y}_M(t) = B_y\;\omega_0\; \cos(\omega_0\; t)\;</math> impliquant <math>\;B_y\;\omega_0 = 0\;</math> soit «<math>\;B_y = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y_M(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>», {{Al|5}}soit la nature <u>plane</u> du mouvement de la particule dans le plan contenant le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au champ magnétostatique <math>\;\vec{B}</math>, c.-à-d. le « plan <math>\;xOz\;</math>».}} === Détermination du système d'équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z === {{Al|5}}Expliciter le système des deux équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relatives à «<math>\;x(t)\;</math> et <math>\;z(t)\;</math>» c.-à-d. les lois horaires de l'abscisse et de la cote de cette dernière ; {{Al|5}}faire une réduction canonique de ce système en posant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et «<math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{q\;B}{m}\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}Sachant que «<math>\;\vec{B} = B\; \vec{u}_y\;</math>» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule dans le plan <math>\;xOz\;</math> selon «<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \dot{x}_M(t)\; \vec{u}_x + \dot{z}_M(t)\; \vec{u}_z\;</math>» nous en déduisons les composantes cartésiennes «<math>\; \vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t)\;</math>» en effectuant les calculs suivants<ref name="composantes d'un produit vectoriel connaissant celles de chaque vecteur" /> : <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \vec{B} & \wedge & \vec{V}_{\!M}(t) & = & \vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t) & {\scriptstyle\text{♣}} & \vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t)\\ \vec{u}_x &|& 0 & & \dot{x}_M(t) & & B \times \dot{z}_M(t) - 0 \times 0 & = & B\; \dot{z}_M(t)\\ \vec{u}_y &|& B & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& 0 & _{-}{\nearrow} & \dot{z}_M(t) & & & & \end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \vec{B} & \wedge & \vec{V}_{\!M}(t) & = & \vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t) & {\scriptstyle\text{♣}} & \vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t)\\ \vec{u}_x &|& 0 & & \dot{x}_M(t) & & & & \\ \vec{u}_y &|& B & & 0 & & 0 \times \dot{x}_M(t) - 0 \times \dot{z}_M(t) & = & 0 \\ \vec{u}_z &|& 0 & ^{+}{\searrow} & \dot{z}_M(t) & & & & \\ \vec{u}_x &|& 0 & _{-}{\nearrow} & \dot{x}_M(t) & & & & \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \vec{B} & \wedge & \vec{V}_{\!M}(t) & = & \vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t) & {\scriptstyle\text{♣}} & \vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t)\\ \vec{u}_x &|& 0 & ^{+}{\searrow} & \dot{x}_M(t) & & & & \\ \vec{u}_y &|& B & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \\ \vec{u}_z &|& 0 & & \dot{z}_M(t) & & 0 \times 0 - B \times \dot{x}_M(t) & = & -B\; \dot{x}_M(t) \end{array} \right\rbrace\;</math> soit finalement «<math>\;\vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t) = B\; \dot{z}_M(t)\;\vec{u}_x - B\; \dot{x}_M(t)\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="calcul du produit vectoriel en ligne - bis"> Il est aussi possible d'effectuer, en ligne, le calcul du produit vectoriel de deux vecteurs à partir des composantes de ces derniers en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> soit en l'appliquant ici «<math>\;\vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t) =</math> <math>B\;\vec{u}_y \wedge \left[ \dot{x}_M(t)\;\vec{u}_x + \dot{z}_M(t)\;\vec{u}_z \right] = B\;\vec{u}_y \wedge \dot{x}_M(t)\; \vec{u}_x + B\;\vec{u}_y \wedge \dot{z}_M(t)\; \vec{u}_z\;</math>» soit encore, après factorisation scalaire, «<math>\;\vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t) =</math> <math>B\, \left\lbrace \dot{x}_M(t)\,\left[ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_x \right] + \dot{z}_M(t)\, \left[ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z \right] \right\rbrace\;</math>» et le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs de base <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_y \wedge \vec{u}_x = -\vec{u}_z\\ \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x\end{array}\right\rbrace</math>, «<math>\;\vec{B} \wedge \vec{V}_{\!M}(t) = -B\;\dot{x}_M(t)\;\vec{u}_z + B\;\dot{z}_M(t)\;\vec{u}_x\;</math>».</ref> et par suite </center> {{Al|5}}les équations différentielle scalaires cartésiennes du mouvement de la particule dans le plan <math>\;xOz\;</math> en projetant l'équation différentielle vectorielle <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du mouvement de cette dernière sur chacun des deux axes du plan <math>\;xOz\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \ddot{x}_M(t) + \dfrac{q}{m}\;B\;\dot{z}_M(t) + \dfrac{k}{m}\;x_M(t) = 0\\ \ddot{z}_M(t) - \dfrac{q}{m}\;B\;\dot{x}_M(t) + \dfrac{k}{m}\;z_M(t) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» ou, en posant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et «<math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{q\;B}{m}\;</math>», <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \ddot{x}_M(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{z}_M(t) + \omega_0^{\,2}\;x_M(t) = 0\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \ddot{z}_M(t) - 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{x}_M(t) + \omega_0^{\,2}\;z_M(t) = 0\;\text{:}\;\;\left( \mathfrak{3} \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} === Découplage des deux équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z par introduction de la position complexe « x(t) + i z(t) » avec explicitation puis résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2^ème ordre en cette position complexe === {{Al|5}}Découpler les deux équations différentielles cartésiennes du mouvement de la particule relativement aux deux directions <math>\;x'x\;</math> et <math>\;z'z\;</math> en introduisant la position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x(t) + i\;z(t)\;</math>» et {{Al|5}}déterminer l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2^ème ordre en <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math> homogène puis {{Al|5}}la résoudre en explicitant la forme que doit suivre la loi horaire de position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}} = \underline{\mathcal{X}}(t)\;</math>» de la particule étudiée {{Al|5}}{{Transparent|la résoudre en explicitant}}<math>\Big[</math>vérifier que celle-ci est de la forme «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \underline{A}\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) + \underline{B}\;\exp\! \left( +i\;\omega'\;t \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega\;</math> et <math>\;\omega'\;</math> grandeurs réelles vérifiant <math>\;0 < \omega < \omega'\;</math>» à expliciter<math>\Big]</math>. {{Solution |contenu = {{Al|5}}Les équations différentielles «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \left( \mathfrak{1} \right)\;\text{:}\;\;\ddot{x}_M(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{z}_M(t) + \omega_0^{\,2}\;x_M(t) = 0\\ \left( \mathfrak{3} \right)\;\text{:}\;\;\ddot{z}_M(t) - 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{x}_M(t) + \omega_0^{\,2}\;z_M(t) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_M(t) + i\;z_M(t)\;</math>» et en formant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i\, \left( \mathfrak{3} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{x}_M(t) + i\; \ddot{z}_M(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{z}_M(t) - 2\;i\;\sigma\;\omega_0\;\dot{x}_M(t) + \omega_0^{\,2}\;x_M(t) + i\; \omega_0^{\,2}\;z_M(t) = 0\;</math>» ou, en regroupant les termes de même ordre de dérivées temporelles « deux, un ou zéro », «<math>\;\dfrac{d^2\! \left[ x_M + i\;z_M \right]}{dt^2}(t) - 2\;i\;\sigma\;\omega_0\; \dfrac{d\! \left[ x_M + i\;z_M \right]}{dt}(t) + \omega_0^{\,2}\, \left[ x_M(t) + i\;z_M(t) \right] = 0\;</math>»<ref name="conseil pour découpler - bis"> Comme le découplage par introduction de «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_M(t) + i\;z_M(t)\;</math>» et C.L. «<math>\;\left( \mathfrak{1} \right) + i\, \left( \mathfrak{3} \right)\;</math>» est possible dès que le couplage résulte d'un produit vectoriel, il suffit de « mettre le cœfficient de <math>\;V_{M,\,x}(t) = \dot{x}_M(t)\;</math> en facteur commun » des termes <math>\;\propto\;</math> à <math>\;V_{M,\,x}(t) = \dot{x}_M(t)\;</math> et <math>\;V_{M,\,z}(t) = \dot{z}_M(t)</math>, le facteur restant étant alors nécessairement «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_M(t) + i\;z_M(t)\;</math>» ce qui est effectivement vérifié car le cœfficient de <math>\;V_{M,\,z}(t)\;</math> étant l'opposé du cœfficient de <math>\;V_{M,\,x}(t)\;</math> c.-à-d. le cœfficient de <math>\;V_{M,\,x}(t)\;</math> multiplié par <math>\;-1 = i^2</math>.</ref>{{,}}<ref name="utilisation du conseil pour découpler - ter"> L'utilisation de la remarque de la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Exercices/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#cite_note-conseil_pour_découpler_-_bis-67|⁶⁷]] » précédente au cas présent donne «<math>\;2\;\sigma\;\omega_0\; V_{M,\,z}(t) - 2\;i\;\sigma\; \omega_0\; V_{M,\,x}(t) = - 2\;i^2\;\sigma\; \omega_0\; V_{M,\,z}(t) - 2\;i\;\sigma\; \omega_0\; V_{M,\,x}(t)\;</math>» soit, en mettant <math>\;-2\;i\;\sigma\;\omega_0\;</math> en facteur, «<math>\;2\;\sigma\;\omega_0\; V_{M,\,z}(t) - 2\;i\;\sigma\; \omega_0\; V_{M,\,x}(t) = - 2\;i\;\sigma\; \omega_0\, \left[ V_{M,\,x}(t) + i\;V_{M,\,z}(t) \right]\;</math>».</ref> soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2^ème ordre en « position complexe <math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = x_M(t) + i\;z_M(t)\;</math>» homogène <center>«<math>\;\dfrac{d^2 \underline{\mathcal{X}}}{dt^2}(t) - 2\;i\;\sigma\; \omega_0\;\dfrac{d \underline{\mathcal{X}}}{dt}(t) + \omega_0^{\,2}\;\underline{\mathcal{X}}(t) = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2^ème ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math>» homogène s'obtient en résolvant, dans <math>\;\mathbb{C}</math>, l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle à savoir «<math>\;\underline{s}^2 - 2\;i\;\sigma\; \omega_0\;\underline{s} + \omega_0^{\,2} = 0\;</math>»<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd) ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la différence avec l'exposé fourni dans le paragraphe précité est que la solution cherchée étant complexe, les solutions complexes de l'équation caractéristique sont admises.</ref> de discriminant réduit «<math>\;\Delta' = \left( -i\;\sigma\;\omega_0 \right)^2 - \omega_0^{\,2} = -\omega_0^{\,2}\,\left( 1 + \sigma^2 \right) = \left( i\;\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2} \right)^{\!2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> les solutions de l'équation caractéristique «<math>\;\underline{s}_{\pm} = i\;\sigma\;\omega_0 \pm i\;\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\;</math>» ou «<math>\;\underline{s}_{\pm} = \left\lbrace \begin{array}{c c r} i\;\omega_0\, \left( \sigma + \sqrt{1 + \sigma^2} \right) \!\!\!&=&\!\!\! i\;\omega'\\ i\;\omega_0\, \left( \sigma - \sqrt{1 + \sigma^2} \right) \!\!\!&=&\!\!\! -i\;\omega\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit la solution de l'équation différentielle à cœfficients complexes constants du 2^ème ordre en «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t)\;</math>» homogène s'écrivant sous la forme <center>«<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \underline{A}\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) + \underline{B}\;\exp\! \left( +i\;\omega'\;t \right)\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} \omega = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} - \sigma \right)\\ \omega' = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} + \sigma \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec<br><math>\;\underline{A}\;</math> et <math>\;\underline{B}\;</math> des constantes à déterminer à l'aide des C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;M(0) = O\;</math> et <math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_z\;</math>», soit</center> * «<math>\;M(0) = O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{\mathcal{X}}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;\underline{A} + \underline{B} = 0\;</math>» <math>\;\underline{A} = -\underline{B}\;</math> permettant de réécrire «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \underline{B}\, \left[ \exp\! \left( i\;\omega'\;t \right) - \exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) \right]\;</math>» et * «<math>\;\vec{V}_{\!M}(0) = V_0\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\underline{\mathcal{X}}}(0) = \dot{x}_M(0) + i\;\dot{z}_M(0) = i\;V_0\;</math>» dans laquelle «<math>\;\dot{\underline{\mathcal{X}}}(t) = \underline{B}\, \left[ i\;\omega'\;\exp\! \left( i\;\omega'\;t \right) + i\;\omega\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) \right]\;</math>» d'où <math>\;i\;V_0 = i\,\left( \omega' + \omega \right)\,\underline{B}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\underline{B} = \dfrac{V_0}{\omega' + \omega}\;</math>» {{Al|5}}dont nous déduisons finalement la loi horaire de position complexe de la particule <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOz\;</math> <center>«<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \dfrac{V_0}{\omega' + \omega}\, \left[ \exp\! \left( i\;\omega'\;t \right) - \exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) \right]\;</math>» avec <br>«<math>\;0 < \omega = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} - \sigma \right) < \omega' = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} + \sigma \right)\;</math>» <br><math>\Downarrow</math> <br>«<math>\;\omega + \omega' = 2\;\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\;</math>».</center>}} === Détermination des lois horaires de position de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z === {{Al|5}}Déduire de la loi horaire de position complexe «<math>\;\underline{\mathcal{X}} = \underline{\mathcal{X}}(t)\;</math>» de la particule étudiée, celles de position de cette particule relativement aux deux directions <math>\;x'x\;</math> et <math>\;z'z\;</math> c.-à-d. «<math>\;x = x(t)\;</math>» et «<math>\;z = z(t)\;</math>» en fonction de «<math>\;V_0</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;\omega'\;</math> et <math>\;t\;</math>». {{Solution |contenu = {{Al|5}}Nous déterminons «<math>\;x_M(t)\;</math> et <math>\;z_M(t)\;</math>» en prenant respectivement les parties réelle et imaginaire de «<math>\;\underline{\mathcal{X}}(t) = \dfrac{V_0}{\omega' + \omega}\, \left[ \exp\! \left( i\;\omega'\;t \right) - \exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) \right]\;</math>» soit : {{Al|5}}«<math>\;x_M(t) = \Re\! \left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Re\! \left\lbrace \dfrac{V_0}{\omega' + \omega}\, \left[ \exp\! \left( i\;\omega'\;t \right) - \exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) \right] \right\rbrace = \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \left[ \cos(\omega'\; t) - \cos(\omega\; t) \right]\;</math>» ou, avec la formule de trigonométrie «<math>\;\cos(p) - \cos(q) = -2\; \sin\! \left( \dfrac{p + q}{2} \right)\, \sin\! \left( \dfrac{p - q}{2} \right)\;</math>»<ref name="différence de cosinus"> Cette formule résulte de «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \cos(a + b) = \cos(a)\; \cos(b) - \sin(a)\; \sin(b)\\ \cos(a - b) = \cos(a)\; \cos(b) + \sin(a)\; \sin(b)\end{array}\right\rbrace\;</math>» dont on tire «<math>\;\cos(a + b) - \cos(a - b) = -2\; \sin(a)\; \sin(b)\;</math>» et finalement la relation citée en posant <math>\;p = a + b\;</math> et <math>\;q = a - b\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = \dfrac{p + q}{2}\;</math> et <math>\;b = \dfrac{p - q}{2}\;</math>».</ref> d'où la loi horaire de position de la particule <math>\;M\;</math> le long de l'axe <math>\;x'x\;</math> <center>«<math>\;x_M(t) = -2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\; \sin\! \left[ \dfrac{\omega' + \omega}{2}\; t \right]\, \sin\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right]\;</math>» avec <br>«<math>\;\omega = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} - \sigma \right)\;</math> et <math>\;\omega' = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} + \sigma \right)\;</math>» <math>\;\bigg[\Rightarrow</math> «<math>\;\left(\begin{array}{l c c}\omega' + \omega \!\!&=&\!\! 2\;\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\\ \omega' - \omega \!\!&=&\!\! 2\;\sigma\;\omega_0\end{array}\right)\;</math>»<math>\bigg]\;</math> <br>d'où «<math>\;x_M(t) = -\dfrac{V_0}{\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}}\; \sin\! \left[ \omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\; t \right]\, \sin\! \left[ \sigma\;\omega_0\; t \right]\;</math>» avec <br> «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et «<math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{q\;B}{m}\;</math>» <math>\Bigg[\Rightarrow</math> «<math>\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{q\;B}{2\;m}\;</math>» et <math>\;\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2} = \sqrt{\dfrac{k}{m} + \dfrac{q^2\;B^{\,2}}{4\;m^2}} = \dfrac{q\;B}{2\;m}\;\sqrt{1 + \dfrac{4\;k\;m}{q^2\;B^{\,2}}}\;</math>»<math>\Bigg]\;</math> et</center> {{Al|5}}«<math>\;z_M(t) = \Im\! \left[ \underline{\mathcal{X}}(t) \right] = \Im\! \left\lbrace \dfrac{V_0}{\omega' + \omega}\, \left[ \exp\! \left( i\;\omega'\;t \right) - \exp\! \left( -i\;\omega\;t \right) \right] \right\rbrace = \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \left[ \sin(\omega'\; t) + \sin(\omega\; t) \right]\;</math>» ou, avec la formule de trigonométrie «<math>\;\sin(p) + \sin(q) = 2\; \sin\! \left( \dfrac{p + q}{2} \right)\, \cos\! \left( \dfrac{p - q}{2} \right)\;</math>»<ref name="somme de sinus"> Cette formule résulte de «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sin(a + b) = \sin(a)\; \cos(b) + \cos(a)\; \sin(b)\\ \sin(a - b) = \sin(a)\; \cos(b) - \cos(a)\; \sin(b)\end{array}\right\rbrace\;</math>» dont on tire «<math>\;\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2\; \sin(a)\; \cos(b)\;</math>» et finalement la relation citée en posant <math>\;p = a + b\;</math> et <math>\;q = a - b\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = \dfrac{p + q}{2}\;</math> et <math>\;b = \dfrac{p - q}{2}\;</math>».</ref> d'où la loi horaire de position de la particule <math>\;M\;</math> le long de l'axe <math>\;z'z\;</math> <center>«<math>\;z_M(t) = 2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\; \sin\! \left[ \dfrac{\omega' + \omega}{2}\; t \right]\, \cos\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right]\;</math>» avec <br>«<math>\;\omega = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} - \sigma \right)\;</math> et <math>\;\omega' = \omega_0\,\left( \sqrt{1 + \sigma^2} + \sigma \right)\;</math>» <math>\;\bigg[\Rightarrow</math> «<math>\;\left(\begin{array}{l c c}\omega' + \omega \!\!&=&\!\! 2\;\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\\ \omega' - \omega \!\!&=&\!\! 2\;\sigma\;\omega_0\end{array}\right)\;</math>»<math>\bigg]\;</math> <br>d'où «<math>\;z_M(t) = \dfrac{V_0}{\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}}\; \sin\! \left[ \omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\; t \right]\, \cos\! \left[ \sigma\;\omega_0\; t \right]\;</math>» avec <br> «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et «<math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{q\;B}{m}\;</math>» <math>\Bigg[\Rightarrow</math> «<math>\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{q\;B}{2\;m}\;</math>» et <math>\;\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2} = \sqrt{\dfrac{k}{m} + \dfrac{q^2\;B^{\,2}}{4\;m^2}} = \dfrac{q\;B}{2\;m}\;\sqrt{1 + \dfrac{4\;k\;m}{q^2\;B^{\,2}}}\;</math>»<math>\Bigg]</math>.</center>}} === Étude de la variation en fonction du temps de la position de la particule relativement à chaque direction x'x et z'z, tracé l'allure de leur diagramme horaire puis de la trajectoire suivie par la particule étudiée === {{Al|5}}Vérifier que les lois horaires de position de la particule relativement aux directions <math>\;x'x\;</math> et <math>\;z'z\;</math> se mettent sous la forme «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r}x(t) \!\!\!&=&\!\!\! -X_m(t)\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;t \right)\\z(t) \!\!\!&=&\!\!\! Z_m(t)\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;t \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;X_m(t)\;</math> et <math>\;Z_m(t)\;</math> varient plus lentement que <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;t \right)\;</math>» <math>\;\Big[\!\Rightarrow</math> «<math>\;\vert X_m(t) \vert\;</math>» et «<math>\;\vert Z_m(t) \vert\;</math>» sont donc les « pseudo-amplitudes » respectives de <math>\;x(t)\;</math> et <math>\;z(t)\Big]</math> ; {{Al|5}}tracer l'allure des diagrammes horaires de variation de «<math>\;X_m(t)\;</math>» et «<math>\;Z_m(t)\;</math>», vérifier qu'elles ont même période <math>\;T_m\;</math> et expliciter celle-ci puis, {{Al|5}}{{Transparent|tracer l'allure des diagrammes horaires de variation }}de «<math>\;x(t)\;</math>» et «<math>\;z(t)\;</math>», expliciter la pseudo-période commune <math>\;T\;</math> et commenter l'évolution de <math>\;x(t)\;</math> et de <math>\;z(t)\;</math> en fonction du temps en terme de modulation d'amplitude de période <math>\;T_{\text{mod. ampl.}}\;</math> à expliciter ; {{Al|5}}tracer l'allure de la trajectoire de la particule sur une période de modulation d'amplitude <math>\;T_{\text{mod. ampl.}}\;</math> et {{Al|5}}comparer ce tracé à celui que suivrait la même particule en absence d'interactions électriques avec le milieu matériel <math>\;\Big[</math>c.-à-d. sans force modélisée par «<math>\;\vec{F}_{\text{int. élec}}(M_t) = -k\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math>»<math>\Big]</math>. {{Solution |contenu = {{Al|5}}À partir de la loi horaire de position de <math>\;M\;</math> le long de l'axe <math>\;x'x\;</math> «<math>\;x_M(t) = -2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \sin\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right]\, \sin\! \left[ \dfrac{\omega' + \omega}{2}\; t \right]\;</math>» nous vérifions que «<math>\;x_M(t) = -X_m(t)\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;t \right)\;</math>» dans laquelle «<math>\;X_m(t) =</math> <math>2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \sin\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right]\;</math>» de pulsation <math>\;\dfrac{\omega' - \omega}{2} < \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;</math> « varie plus lentement que <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\; t \right)\;</math>» ; <br>{{Al|14}}{{Transparent|À partir de la loi horaire de position de M le long de l'axe x'x }}«<math>\;x_M(t) = -X_m(t)\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;t \right) = -X_m(t)\;\sin\! \left( \omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\;t \right)\;</math>» est donc une fonction pseudo-périodique du temps de « pseudo-période <math>\;T = \dfrac{4\;\pi}{\omega' + \omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}}\;</math>» avec, pour fonction du temps réalisant la [[w:Modulation_d'amplitude#Allure_du_signal_modulé|modulation d'amplitude]] «<math>\;X_m(t) = 2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \sin\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right] = \dfrac{V_0}{\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}}\, \sin\! \left[ \sigma\;\omega_0\; t \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>le signal modulant<math>\big)\;</math> périodique de « période <math>\;T_m = \dfrac{4\;\pi}{\omega' - \omega} = \dfrac{2\;\pi}{\sigma\;\omega_0}\;</math>» <math>\;\big[</math>qui est <math>\;></math> <math>\;\big(</math>et en général <math>\;\gg\big)\;</math> à la pseudo-période <math>\;T\;</math> du signal modulé<math>\big]</math> <math>\;\bigg\{</math>comme le signal modulant est sinusoïdal et que la pseudo-amplitude du signal modulé est définie positivement, cette dernière s'écrit <math>\;\vert X_m(t) \vert\;</math> et sa périodicité <math>\;\dfrac{T_m}{2}\;</math> définissant la période de modulation d'amplitude <math>\;T_{\text{mod. ampl.}}</math>, celle-ci vaut donc «<math>\;T_{\text{mod. ampl.}} = \dfrac{2\;\pi}{\omega' - \omega} = \dfrac{\pi}{\sigma\;\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, voir ci-dessous à gauche la superposition du diagramme horaire du signal modulant <math>\;X_m(t)\;</math> en rouge et de celui du signal modulé <math>\;x_M(t)\;</math> en noir dans le cas où la période <math>\;T_m\;</math> du signal modulant vaut <math>\;20\;</math> fois la pseudo-période <math>\;T\;</math> du signal modulé ; [[File:Modulation d'amplitude - signaux modulant et modulé.png|thumb|left|500px|Superposition du diagramme horaire du signal modulant (en rouge) <math>\;X_m(t)\;</math> et de celui du signal modulé (en noir) <math>\;x_M(t)\;</math> sur une période <math>\;T_m\;</math> du signal modulant représentant <math>\;20\;</math> pseudo-périodes <math>\;T\;</math> du signal modulé]] [[File:Modulation d'amplitude - signaux modulant et modulé - bis.png|thumb|right|500px|Superposition du diagramme horaire du signal modulant (en rouge) <math>\;Z_m(t)\;</math> et de celui du signal modulé (en noir) <math>\;z_M(t)\;</math> sur une période <math>\;T_m\;</math> du signal modulant représentant <math>\;20\;</math> pseudo-périodes <math>\;T\;</math> du signal modulé]] {{clr}} {{Al|5}}à partir de la loi horaire de position de <math>\;M\;</math> le long de l'axe <math>\;z'z\;</math> «<math>\;z_M(t) = 2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \cos\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right]\, \sin\! \left[ \dfrac{\omega' + \omega}{2}\; t \right]\;</math>» nous vérifions que «<math>\;z_M(t) = Z_m(t)\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;t \right)\;</math>» dans laquelle «<math>\;Z_m(t) =</math> <math>2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \cos\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right]\;</math>» de pulsation <math>\;\dfrac{\omega' - \omega}{2} < \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;</math> « varie plus lentement que <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\; t \right)\;</math>» ; <br>{{Al|14}}{{Transparent|à partir de la loi horaire de position de M le long de l'axe z'z }}«<math>\;z_M(t) = Z_m(t)\;\sin\! \left( \dfrac{\omega' + \omega}{2}\;t \right) = Z_m(t)\;\sin\! \left( \omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}\;t \right)\;</math>» est donc une fonction pseudo-périodique du temps de « pseudo-période <math>\;T =</math> <math>\dfrac{4\;\pi}{\omega' + \omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}}\;</math>» avec, pour fonction du temps réalisant la [[w:Modulation_d'amplitude#Allure_du_signal_modulé|modulation d'amplitude]] «<math>\;Z_m(t) = 2\; \dfrac{V_0}{\omega + \omega'}\, \cos\! \left[ \dfrac{\omega' - \omega}{2}\; t \right] = \dfrac{V_0}{\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}}\, \cos\! \left[ \sigma\;\omega_0\; t \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>le signal modulant<math>\big)\;</math> périodique de « période <math>\;T_m</math> <math>= \dfrac{4\;\pi}{\omega' - \omega} = \dfrac{2\;\pi}{\sigma\;\omega_0}\;</math>» <math>\;\big[</math>qui est <math>\;></math> <math>\;\big(</math>et en général <math>\;\gg\big)\;</math> à la pseudo-période <math>\;T\;</math> du signal modulé<math>\big]</math> <math>\;\bigg\{</math>comme le signal modulant est sinusoïdal et que la pseudo-amplitude du signal modulé est définie positivement, cette dernière s'écrit <math>\;\vert Z_m(t) \vert\;</math> et sa périodicité <math>\;\dfrac{T_m}{2}\;</math> définissant la période de modulation d'amplitude <math>\;T_{\text{mod. ampl.}}</math>, celle-ci vaut donc «<math>\;T_{\text{mod. ampl.}} = \dfrac{2\;\pi}{\omega' - \omega} = \dfrac{\pi}{\sigma\;\omega_0}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, voir ci-dessus à droite la superposition du diagramme horaire du signal modulant <math>\;Z_m(t)\;</math> en rouge et de celui du signal modulé <math>\;z_M(t)\;</math> en noir dans le cas où la période <math>\;T_m\;</math> du signal modulant vaut <math>\;20\;</math> fois la pseudo-période <math>\;T\;</math> du signal modulé. {{Al|5}}<u>Commentaire</u> : la pseudo-amplitude <math>\;\vert X_m(t) \vert\;</math> de <math>\;x_M(t)\;</math> étant initialement nulle <math>\Rightarrow</math> la particule <math>\;M\;</math> oscille initialement en restant proche de l'axe <math>\;z'z\;</math> alors que <br>{{Al|2}}{{Transparent|Commentaire : la pseudo-amplit }} celle <math>\;\vert Z_m(t) \vert\;</math> de <math>\;z_M(t)\;</math> étant initialement maximale <math>\Rightarrow</math> les oscillations initiales de <math>\;M\;</math> se font quasiment sur l'axe <math>\;z'z</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire : }}ensuite <math>\;\vert X_m(t) \vert \nearrow\;</math> et <math>\;\vert Z_m(t) \vert \searrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> les pseudo-oscillations de <math>\;M\;</math> se font pratiquement suivant une direction de plus en plus inclinée relativement à l'axe <math>\;z'z\;</math> en se rapprochant de l'axe <math>\;x'x</math>, la rotation de la direction des pseudo-oscillations se faisant dans le sens anti-horaire du plan <math>\;xOz</math> <math>\;\big(</math>le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles orientés de ce plan étant défini par <math>\;\vec{u}_y\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire : }}puis <math>\;\dfrac{T_m}{4} = \dfrac{T_{\text{mod. ampl.}}}{2}\;</math> plus tard, la pseudo-amplitude <math>\;\vert X_m(t) \vert\;</math> de <math>\;x_M(t)\;</math> étant maximale alors que celle <math>\;\vert Z_m(t) \vert\;</math> de <math>\;z_M(t)\;</math> est nulle <math>\Rightarrow</math> les pseudo-oscillations de <math>\;M\;</math> se font quasiment sur l'axe <math>\;x'x</math>, la direction des pseudo-oscillations ayant tourné de <math>\;-\dfrac{\pi}{2}</math> <math>\;\bigg(</math>ou de <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math> dans le sens anti-horaire<math>\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire : }}par la suite <math>\;\vert X_m(t) \vert \searrow\;</math> et <math>\;\vert Z_m(t) \vert \nearrow\;</math> <math>\Rightarrow</math> les pseudo-oscillations de <math>\;M\;</math> se font pratiquement suivant une direction de plus en plus inclinée relativement à l'axe <math>\;x'x\;</math> en se rapprochant de l'axe <math>\;z'z</math>, la rotation de la direction des pseudo-oscillations se poursuivant dans le sens anti-horaire du plan <math>\;xOz</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire : }}enfin <math>\;\dfrac{T_m}{2} = T_{\text{mod. ampl.}}\;</math> plus tard relativement à l'instant initial, la pseudo-amplitude <math>\;\vert X_m(t) \vert\;</math> de <math>\;x_M(t)\;</math> étant de nouveau nulle alors que celle <math>\;\vert Z_m(t) \vert\;</math> de <math>\;z_M(t)\;</math> est maximale <math>\Rightarrow</math> les pseudo-oscillations de <math>\;M\;</math> se font de nouveau quasiment sur l'axe <math>\;z'z</math>, la direction des pseudo-oscillations ayant tourné de <math>\;-\pi</math> depuis l'instant initial <math>\;\big(</math>ou de <math>\;\pi</math> dans le sens anti-horaire<math>\big)</math> <math>\Rightarrow</math> les pseudo-oscillations de la particule <math>\;M\;</math> se sont donc pratiquement effectuées sur toutes les directions du plan <math>\;xOz\;</math><ref> En effet une pseudo-oscillation autour de <math>\;O\;</math> dans le plan <math>\;xOz\;</math> suivant une direction donnée de ce plan se faisant de part et d'autre de <math>\;O</math>, il suffit que l'angle de la direction de pseudo-oscillation par rapport à une direction fixe du plan balaie un intervalle de largeur <math>\;\pi\;</math> pour que toutes les directions de pseudo-oscillation du plan aient été décrites.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire : }}en conclusion retrouvant approximativement le mouvement initial de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;T_{\text{mod. ampl.}}\;</math> nous pouvons convenir que le mouvement de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se retrouve pratiquement à l'identique à l'instant <math>\;t + T_{\text{mod. ampl.}}\;</math> et par suite en déduire que «<math>\;T_{\text{mod. ampl.}} = \dfrac{2\;\pi}{\omega' - \omega} = \dfrac{\pi}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c}</math> <math>\;\bigg\{\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m} = \dfrac{q\;B}{m}</math> <math>\;\big(</math>car <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0\big)\;</math> étant la pulsation cyclotron de la particule<math>\bigg\}\;</math>» mesure la périodicité pratique du mouvement de la particule. [[File:Particule entrant perpendiculairement dans champ magnétostatique uniforme avec force de rappel linéaire.png|thumb|left|400px|Début de trajectoire d'une particule <math>\;M \left( q > 0 \right)\;</math> injectée en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;\vec{u}_y\;</math> avec une vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_z\;</math> et soumise, en plus de la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, à une force de rappel linéaire vers le point d'injection]] [[File:Particule entrant perpendiculairement dans champ magnétostatique uniforme avec force de rappel linéaire - bis.png|thumb|right|400px|Trajectoire d'une particule <math>\;M \left( q > 0 \right)\;</math> injectée en <math>\;O\;</math> dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ <math>\;\vec{B}\;\vec{u}_y\;</math> avec une vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_z\;</math> et soumise, en plus de la force magnétique de Lorentz<ref name="Lorentz" />, à une force de rappel linéaire vers le point d'injection, trajectoire tracée sur une période <math>\;T_{\text{mod. ampl.}} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_c}</math> <math>\;\big(\omega_c\;</math> étant la pulsation cyclotron de la particule<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Voir ci-contre à gauche le tracé du début de trajectoire de la particule <math>\;M \left( q > 0 \right)</math>, de masse <math>\;m</math>, injectée en <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_z\;</math> dans un milieu matériel baignant dans un champ magnétostatique uniforme <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_y</math>, les interactions électriques de <math>\;M\;</math> avec le milieu matériel étant modélisées par une force de rappel linéaire «<math>\;\vec{F}_{\text{int. élec}}(M_t) = -k\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math>», le tracé étant effectué sur le 1^er cinquième de la « période pratique du mouvement de la particule <math>\;T_{\text{mod. ampl.}} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega' - \omega} = \dfrac{\pi}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c}</math> <math>\;\bigg\{\omega_c = \dfrac{\vert q \vert\;B}{m} = \dfrac{q\;B}{m}</math> <math>\;\big(</math>car <math>\;q\;</math> est <math>\;> 0\big)\;</math> étant la pulsation cyclotron de la particule<math>\bigg\}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}ci-contre à droite le tracé de la trajectoire de la particule <math>\;M \left( q > 0 \right)</math>, de masse <math>\;m</math>, injectée au même endroit dans les mêmes conditions avec les même modélisations, le tracé étant maintenant sur la « période pratique du mouvement de la particule <math>\;T_{\text{mod. ampl.}} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega' - \omega} = \dfrac{\pi}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;\pi\;m}{q\;B} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_c}</math> <math>\;\big\{\omega_c\;</math> étant la pulsation cyclotron de la particule<math>\big\}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'étude du mouvement de la particule est effectué à partir de l'instant <math>\;t = 0</math>, à cet instant elle est en <math>\;O\;</math> situé au centre de l'espace champ magnétostatique avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0</math>, ce qu'a été son mouvement avant <math>\;t = 0\;</math> n'est théoriquement pas notre problème <math>\;\big(</math>pratiquement nous pourrions supposer que sur la partie négative de l'axe <math>\;z'z\;</math> ni l'espace champ magnétostatique ni le milieu matériel n'existaient pour <math>\;t < 0</math>, d'où la possibilité d'injecter la particule en <math>\;O\;</math> avec un vecteur vitesse connu, avec pour conséquence l'impossibilité d'obtenir un tracé complet de la trajectoire sur une « période pratique de son mouvement » ou, si nous souhaitons obtenir le tracé complet, supposer que l'espace champ magnétostatique et le milieu matériel sont créés sur la partie négative de l'axe <math>\;z'z\;</math> après injection de la particule <math>\;\ldots\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}en absence d'interactions électriques avec le milieu matériel <math>\;\Big[</math>c.-à-d. sans force modélisée par «<math>\;\vec{F}_{\text{int. élec}}(M_t) = -k\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math>»<math>\Big]</math>, la particule <math>\;M \left( q > 0 \right)\;</math> entrant en <math>\;O\;</math> avec le vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\vec{u}_z\;</math> dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ <math>\;\vec{B} = B\;\vec{u}_y\;</math> décrirait, dans le plan <math>\;xOz</math>, un « cercle de centre <math>\;C\, \left( x_C = -\mathcal{R} = -\dfrac{m\;V_0}{q\;B}\,,\, z_C = 0 \right)\;</math>» dans le sens anti-horaire du plan <math>\;xOz</math> <math>\;\big(</math>le sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles orientés de ce plan étant défini par <math>\;\vec{u}_y\big)\;</math> « à la vitesse angulaire <math>\;-\omega_c = -\dfrac{q\;B}{m}\;</math>», le rayon du cercle «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;</math>» s'écrivant en fonction de l'« unité choisie sur les axes des deux tracés ci-dessus <math>\;\dfrac{2\;V_0}{\omega' + \omega} = \dfrac{V_0}{\omega_0\;\sqrt{1 + \sigma^2}} = \dfrac{V_0}{2\;\sigma\;\omega_0}\;\dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 + \sigma^2}} = \dfrac{m\;V_0}{q\;B}\;\dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 + \sigma^2}}\;</math>» soit, en notant «<math>\;\left[ \dfrac{2\;V_0}{\omega' + \omega} \right]\;</math>» cette unité, «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{\sqrt{1 + \sigma^2}}{2\;\sigma}\, \left[ \dfrac{2\;V_0}{\omega' + \omega} \right] = \dfrac{\omega' + \omega}{2\, \left( \omega' - \omega \right)}\, \left[ \dfrac{2\;V_0}{\omega' + \omega} \right]\;</math>» soit, avec les valeurs numériques proposées sur les tracés ci-dessus, «<math>\;\mathcal{R} = \dfrac{2,1\;\omega_0 + 1,9\;\omega_0}{2 \times \left( 2,1\;\omega_0 + 1,9\;\omega_0 \right)}\, \left[ \dfrac{2\;V_0}{\omega' + \omega} \right] = 10\,\left[ \dfrac{2\;V_0}{\omega' + \omega} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}alors que l'absence d'interactions électriques entre le milieu matériel et la particule permet à <math>\;M\;</math> de s'éloigner de <math>\;O\;</math> jusqu'à une distance maximale de <math>\;20\;</math> unités de longueur, l'intervention des interactions électriques avec le milieu matériel localise <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> à l'intérieur d'un cercle de centre <math>\;O\;</math> et de <math>\;1\;</math> unité de longueur <math>\;\big\{</math>nette limitation de l'éloignement de la particule relativement à sa position d'entrée due à la modélisation des interactions électriques par une force de rappel linéaire<math>\big\}</math>.}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme/|Mouv. de part. chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme]] | suivant = [[../../|Sommaire]] }} 1lch81kdl3evkihgce08gpstfcmg1o3 0 76675 982977 963285 2026-05-22T05:57:21Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982977 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = physique | numéro = 17 | chapitre = [[../../Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique/]] | niveau = 14 | précédent = [[../Applications des divers repérages d'un point dans l'espace/]] | suivant = [[../Applications des intégrales impropres/]] }} == Calcul d'une intégrale surfacique définie sur une demi-sphère == {{Al|5}}Soit la demi-sphère de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;2\;</math> unités de longueur, située au-dessus du plan <math>\;xOy\;</math> c.-à-d. «<math>\; (S)\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+ \mid x^2 + y^2 + z^2 = 4 \right\rbrace\;</math>». <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit la demi-sphère de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, de rayon <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> unités de longueur, située au-dessus du plan <math>\;\color{transparent}{xOy}\;</math> }}Calculer l'intégrale surfacique «<math>\displaystyle\iint_{(S)} \left( x^2 + y^2 \right)\,z\;dS\;</math>». {{Solution|contenu= {{Al|5}}On choisit le repérage sphérique pour localiser le point générique <math>\;M\, (2\,,\, \theta\,,\, \varphi)\;</math><ref name="coordonnées sphériques et base locale"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de la demi-sphère <math>\;(S)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = 2\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi) \\ y = 2\;\sin(\theta)\;\sin(\varphi) \\ z = 2\;\cos(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \theta \in \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right] \\ \varphi \in \left[ 0\,,\, 2\,\pi \right[ \end{array} \right\rbrace</math>, le vecteur surface élémentaire étant «<math>\;\overrightarrow{dS} =</math> <math>2^2\;\sin(\theta)\;d \theta\; d \varphi\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="vecteur surface élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_sphérique|expressions en paramétrage sphérique]] (du vecteur surface élémentaire) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où «<math>\displaystyle\iint_{(S)} \left( x^2 + y^2 \right)\,z\;dS = \displaystyle\iint_{(S)} \left[ 4\;\sin^2(\theta)\;\cos^2(\varphi) + 4\;\sin^2(\theta)\;\sin^2(\varphi) \right]\,2\;\cos(\theta)\;dS = \displaystyle\iint_{(S)} 8\;\sin^2(\theta)\;\cos(\theta)\;dS\;</math> <math>= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 8\;\sin^2(\theta)\;\cos(\theta)\;4\;\sin(\theta)\;\left\lbrace \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} d \varphi \right\rbrace d \theta\;</math>» soit «<math>\displaystyle\iint_{(S)} \left( x^2 + y^2 \right)\,z\;dS = 64\;\pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(\theta)\;\cos(\theta)\;d \theta = 64\;\pi\;\left[ \dfrac{\sin^4(\theta)}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 16\;\pi\;</math>».}} == Calcul d'une intégrale surfacique définie sur un tuyau cylindrique de révolution fermé à ses extrémités == {{Al|5}}Soit le tuyau cylindrique de révolution d'axe <math>\;Oz</math>, de rayon <math>\;3\;</math> unités de longueur, fermé par deux bases situées en <math>\;z = 0\;</math> et <math>\;z = 2\;</math> unités de longueur c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le tuyau cylindrique de révolution d'axe <math>\;\color{transparent}{Oz}</math>, de rayon <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}«<math>\; (\mathcal{T})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3\; \bigg\vert\; \left( x^2 + y^2 = 9\,,\, z \in \left[ 0\,,\, 2 \right] \right)\;\cup\; \left( z = 0\,,\, \sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 2 \right) \;\cup\; \left(z = 2\,,\, \sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 2 \right) \right\rbrace\;</math>». <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit le tuyau cylindrique de révolution d'axe <math>\;\color{transparent}{Oz}</math>, de rayon <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}Calculer l'intégrale surfacique «<math>\;\begin{array}{c} \\ \displaystyle\oiint_{( \mathcal{T} )} (x^2 + y^2 + z^2)\;dS \end{array}\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}On choisit le repérage cylindrique pour localiser le point générique <math>\;M\, (\rho\,,\, \theta\,,\, z)\;</math><ref name="coordonnées cylindriques et base locale"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> du tuyau cylindrique de révolution fermé à ses extrémités <math>\;(\mathcal{T})\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = \rho\;\cos(\theta) \\ y = \rho\;\sin(\theta) \\ z = z \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \theta \in \left[ 0\,,\, 2\;\pi \right] \\ z \in \left[ 0\,,\, 2 \right[ \end{array} \right\rbrace</math>, le vecteur surface élémentaire pour la surface latérale du tuyau <math>\;\rho = 3\;</math> unités de longueur étant «<math>\;\overrightarrow{dS}_{\text{lat}} = 3\;d \theta\; dz\;\vec{u}_\rho\;</math>»<ref name="vecteur surface élémentaire en cylindrique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cylindro-polaire|expressions en paramétrage cylindro-polaire]] (du vecteur surface élémentaire) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et pour la base supérieure <math>\;z = 2\;</math> unités de longueur «<math>\;\overrightarrow{dS}_{\text{sup}} = \rho\;d \theta\; d \rho\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="vecteur surface élémentaire en cylindrique" /> ainsi que pour la base inférieure <math>\;z = 0\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dS}_{\text{inf}} = \rho\;d \theta\; d \rho\;(-\vec{u}_z)\;</math>»<ref name="vecteur surface élémentaire en cylindrique" />, <math>\; (\mathcal{T})\;</math> étant orienté vers l'extérieur d'où «<math>\;\begin{array}{c} \\ \displaystyle\oiint_{( \mathcal{T} )} (x^2 + y^2 + z^2)\;dS \end{array} = \displaystyle\iint_{( \mathcal{T}_{\text{lat}} )} (9 + z^2)\;dS_{\text{lat}} + \displaystyle\iint_{( \mathcal{T}_{\text{sup}} )} (\rho^2 + 4)\;dS_{\text{sup}} + \displaystyle\iint_{( \mathcal{T}_{\text{inf}} )} \rho^2\;dS_{\text{inf}} =</math> <math>\displaystyle\iint_{( \mathcal{T}_{\text{lat}} )} (9 + z^2)\;3\;d \theta\; dz + \displaystyle\iint_{( \mathcal{T}_{\text{sup}} )} (\rho^2 + 4)\;\rho\;d \theta\; d \rho + \displaystyle\iint_{( \mathcal{T}_{\text{inf}} )} \rho^2\;\rho\;d \theta\; d \rho = \displaystyle\int_0^2 (27 + 3\;z^2) \left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} d \theta \right\rbrace\; dz + \displaystyle\int_0^3 (2\;\rho^3 + 4\;\rho) \left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} d \theta \right\rbrace\; d \rho = 6\;\pi\; \left[ 9\;z + \dfrac{z^3}{3} \right]_0^2 + 4\;\pi\; \left[ \dfrac{\rho^4}{4} + 2\;\dfrac{\rho^2}{2} \right]_0^3\;</math>» d'où {{Nobr|«<math>\;\begin{array}{c} \\ \displaystyle\oiint_{( \mathcal{T} )} (x^2 + y^2 + z^2)\;dS \end{array}</math>}} <math>= 6\;\pi\, \left[ 18 + \dfrac{8}{3} \right] + 4\;\pi\, \left[ \dfrac{81}{4} + 9 \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{c} \\ \displaystyle\oiint_{( \mathcal{T} )} (x^2 + y^2 + z^2)\;dS \end{array} = 241\;\pi\;</math>».</center>}} == Calculs d'aires == === Calcul de l'aire de la surface latérale de l'intersection de deux cylindres de révolution de même rayon et d'axe se coupant perpendiculairement === {{Al|5}}Considérant un 1^er cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et d'axe <math>\;x'x\;</math> soit «<math>\; (\mathcal{C}_1)\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3\; \bigg\vert\; y^2 + z^2 \leqslant R^2\,,\, \forall\;x \in \left] -\infty\,,\, +\infty \right[ \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}un 2^nd cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et d'axe <math>\;y'y\;</math> soit «<math>\; (\mathcal{C}_2)\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3\; \bigg\vert\; x^2 + z^2 \leqslant R^2\,,\, \forall\;y \in \left] -\infty\,,\, +\infty \right[ \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant un 2^nd cylindre de révolution de rayon <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> et d'axe <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> }}calculer l'aire de la surface latérale de l'intersection de ces deux cylindres. {{Solution|contenu= {{Al|5}}<math>\;(\mathcal{C}_1)\;</math> et <math>\;(\mathcal{C}_2)\;</math> étant de même rayon et d'axes respectifs <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y\;</math> se rencontrant perpendiculairement, ont pour plan de symétrie commun <math>\;xOy\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;xOy\;</math> est un plan de symétrie de leur intersection, <br>{{Al|1}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> étant de même rayon et d'axes respectifs <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> }}ils se déduisent l'un l'autre par rotation d'axe <math>\;z'z\;</math> et d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> leur intersection est invariante par cette même rotation d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> étant de même rayon et d'axes respectifs <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> }}<math>\;(\mathcal{C}_1)\, \cap\, (\mathcal{C}_2)\;</math> étant invariant par rotation d'axe <math>\;z'z\;</math> et d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> ainsi que par symétrie par rapport au plan <math>\;xOy\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> étant de même rayon et d'axes respectifs <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)\, \cap\, (\mathcal{C}_2)}\;</math> }}est composé de <math>\;8\;</math> expansions tridimensionnelles<ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle"> Alors qu'il existe deux termes en français pour distinguer l'expansion spatiale à deux dimensions que l'on nomme « surface », de la mesure de cette expansion que l'on nomme « aire », pour l'expansion spatiale à trois dimensions et sa mesure il n'y a qu'un seul terme le « volume », c'est là l'une des rares insuffisances de la langue française ! Pour éviter cela, on peut réserver le terme « volume » à la mesure et parler d'« expansion tridimensionnelle <math>\;\big(</math>ou volumique<math>\big)\;</math>» pour l'ensemble de points et c'est ce qui sera fait autant que possible.</ref> se déduisant entre elles par rotation d'axe <math>\;z'z\;</math> et d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> ainsi que <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> étant de même rayon et d'axes respectifs <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)\, \cap\, (\mathcal{C}_2)}\;</math> est composé de <math>\;\color{transparent}{8}\;</math> expansions tridimensionnelles se déduisant entre elles }}par symétrie par rapport au plan <math>\;xOy\;</math> d'où <br>{{Al|5}}l'aire <math>\;\mathcal{A}\;</math> de la surface latérale de <math>\;(\mathcal{C}_1)\, \cap\, (\mathcal{C}_2)\;</math> est donc <math>\;8\;</math> fois l'aire de <math>\;( S_{\text{lat}} ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3_{+}\; \bigg\vert\; y \leqslant \sqrt{R^2 - z^2}\;,\; x = \sqrt{R^2 - z^2} \right\rbrace\;</math><ref name="définition de la surface latérale"> Pour définir la surface latérale de <math>\;(\mathcal{C}_1)\, \cap\, (\mathcal{C}_2)\;</math> il faut imposer qu'elle est sur la surface latérale de l'un des cylindres et à l'intérieur de l'autre, nous en sélectionnons une partie en imposant qu'elle est sur la surface latérale de <math>\;(\mathcal{C_2})\;</math> et à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C_1})</math>.</ref>{{,}}<ref name="définition de la surface latérale - bis"> Choisissant <math>\;x = \sqrt{R^2 - z^2}\;</math> on impose <math>\;x \geqslant 0\;</math> en plus de <math>\;z \geqslant 0</math>, de plus <math>\;y\;</math> est imposé <math>\;\geqslant 0\;</math> avec <math>\;y \leqslant \sqrt{R^2 - z^2}\;</math> ce qui représente bien <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de la surface latérale de <math>\;(\mathcal{C}_1)\, \cap\, (\mathcal{C}_2)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}pour la calculer on substitue les paramètres <math>\;\left( y\,,\, z \right)\;</math> par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} y = \rho\;\cos(\theta) \\ z = \rho\;\sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;( S_{\text{lat}} ) := \left\lbrace (x,\,\rho,\,\theta)\;\in\;\mathbb{R}_{+}^2 \times \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right] \; \bigg\vert\; \rho\;\cos(\theta) \leqslant \sqrt{R^2 - \rho^2\;\sin^2(\theta)}\;,\; x = \sqrt{R^2 - \rho^2\;\sin^2(\theta)} \right\rbrace\;</math><ref> L'inéquation <math>\;\rho\;\cos(\theta) \leqslant \sqrt{R^2 - \rho^2\;\sin^2(\theta)}\;</math> est équivalente à <math>\;\rho \leqslant R</math>.</ref> dont le vecteur surface élémentaire se détermine par <math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> vecteurs déplacement élémentaire de <math>\;M\;\left( x = \sqrt{R^2 - \rho^2\;\sin^2(\theta)}\,,\, y = \rho\;\cos(\theta)\,,\, z = \rho\;\sin(\theta) \right)\;</math> dans le plan tangent à <math>\;( S_{\text{lat}} )\;</math> par exemple «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \overrightarrow{dM_1} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} d \rho\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} d \rho\;\vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial z}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} d \rho\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{-\rho\,\sin^2(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;\vec{u}_x + \cos(\theta)\;\vec{u}_y + \sin(\theta)\;\vec{u}_z \right]\,d \rho \\ \overrightarrow{dM_2} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \right)_{\! \rho} d \theta\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \right)_{\! \rho} d \theta\;\vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial z}{\partial \theta} \right)_{\! \rho} d \theta\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{-\rho^2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;\vec{u}_x - \rho\;\sin(\theta)\;\vec{u}_y + \rho\;\cos(\theta)\;\vec{u}_z \right]\,d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit le vecteur surface élémentaire <math>\;\overrightarrow{dS_M} = \left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \overrightarrow{dM_1} & \wedge & \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x &|& \dfrac{-\rho\,\sin^2(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;d \rho & & \dfrac{-\rho^2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \theta & & \rho\;\cos^2(\theta) - \sin[\theta) \left[-\rho\;\sin^2(\theta) \right]\; d \rho\; d \theta & = & \rho \; d \rho\; d \theta \\ \vec{u}_y &|& \cos(\theta)\; d \rho & ^{+}{\searrow} & - \rho\;\sin(\theta)\; d \theta & & & & 0 \\ \vec{u}_z &|& \sin(\theta)\; d \rho & _{-}{\nearrow} & \rho\;\cos(\theta)\; d \theta & & & & \dfrac{\rho^2\,\sin(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes d'un produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> La 2^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge &\!\! \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \dfrac{-\rho\,\sin^2(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \rho \!\!& &\!\! \dfrac{-\rho^2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\; d \rho \!\!& &\!\! - \rho\;\sin(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \dfrac{-\rho^2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;\sin(\theta)\; d \rho\; d \theta - \dfrac{-\rho\,\sin^2(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;\rho\;\cos(\theta)\; d \rho\; d \theta \!\!& = &\!\! 0 \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! \sin(\theta)\; d \rho \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! \rho\;\cos(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \dfrac{-\rho\,\sin^2(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \rho \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! \dfrac{-\rho^2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge & \overrightarrow{dM_2} \!\!& = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \dfrac{-\rho\,\sin^2(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;d \rho \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! \dfrac{-\rho^2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\;d \rho \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! - \rho\;\sin(\theta)\;d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! \sin(\theta)\;d \rho \!\!& &\!\! \rho\;\cos(\theta)\;d \theta \!\!& &\!\! \dfrac{\rho^2\,\sin^3(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \rho\; d \theta - \dfrac{-\rho^2\,\sin(\theta)\,\cos^2(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \rho\; d \theta \!\!& = &\!\! \dfrac{\rho^2\,\sin(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\; d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> soit <br>«<math>\;\overrightarrow{dS_M} = \left[\rho\;\vec{u}_x + \dfrac{\rho^2\,\sin(\theta)}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\;\vec{u}_z \right]\,d \rho\;d \theta\;</math>» d'où la valeur absolue de l'aire élémentaire <math>\;\vert dS_M \vert = \Vert \overrightarrow{dS_M} \Vert = \sqrt{\rho^2 + \dfrac{\rho^4\,\sin^2(\theta)}{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\, \vert d \rho \vert\; \vert d \theta \vert = \dfrac{\rho\;R}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\, \vert d \rho \vert\; \vert d \theta \vert\;</math> soit, en définissant la positivité de <math>\;d S_M\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\rho\;</math> et de <math>\;\theta</math>, «<math>\;d S_M = \dfrac{\rho\;R}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}}\,d \rho\;d \theta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}l'aire <math>\;\mathcal{A}\;</math> de la surface latérale de <math>\;(\mathcal{C}_1)\, \cap\, (\mathcal{C}_2)\;</math> étant <math>\;8\;</math> fois l'aire de <math>\;( S_{\text{lat}} ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3_{+}\; \bigg\vert\; y \leqslant \sqrt{R^2 - z^2}\;,\; x = \sqrt{R^2 - z^2} \right\rbrace\;</math><ref name="définition de la surface latérale" />{{,}}<ref name="définition de la surface latérale - bis" />, noue en déduisons «<math>\;\mathcal{A} = 8\;\displaystyle\iint\limits_{(S_{\text{lat}})} dS_M\;</math><ref> Avec les variables <math>\;\left( x,\,\rho,\,\theta \right)\;</math> remplaçant <math>\;\left( x,\, y,\, z \right)\;</math> la définition de <math>\;( S_{\text{lat}} )\;</math> se réécrit <math>\;\left\lbrace (x,\,\rho,\,\theta)\;\in\;\mathbb{R}^3_{+}\; \bigg\vert\; \rho\;\cos(\theta) \leqslant \sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}\;,\; x = \sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)} \right\rbrace\;</math> soit encore, en élevant <math>\;\rho\;\cos(\theta) \leqslant \sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}\;</math> au carré et en simplifiant de façon évidente <math>\;\left\lbrace (x,\,\rho,\,\theta)\;\in\;\mathbb{R}^3_{+}\; \bigg\vert\; \rho \leqslant R\;,\; x = \sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)} \right\rbrace</math>.</ref> <math>= 8\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \displaystyle\int_0^{R} \dfrac{\rho\, d \rho}{\sqrt{R^2 - \rho^2\,\sin^2(\theta)}} \right] d \theta \right\rbrace = 4\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \displaystyle\int_0^{R^2} \dfrac{du}{\sqrt{R^2 - u\,\sin^2(\theta)}} \right] d \theta \right\rbrace\;</math><ref name="u = rho2"> Par changement de variable <math>\;u = \rho^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;du = 2\;\rho\; d \rho</math>.</ref> <math>= 4\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \displaystyle\int_0^{R^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{dv}{\sqrt{R^2 - v}} \right] d \theta \right\rbrace\;</math><ref> Par nouveau changement de variable <math>\;v = u\,\sin^2(\theta)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dv = \sin^2(\theta)\; du\;</math> à <math>\;\theta\;</math> figé.</ref> ou, en sortant <math>\;\dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;</math> de l'intégration sur <math>\;v\;</math> <math>\mathcal{A} = 4\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \displaystyle\int_0^{R^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{dv}{\sqrt{R^2 - v}} \right] \dfrac{d \theta}{\sin^2(\theta)} \right\rbrace = 4\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -2\;\sqrt{R^2 - v} \right]_0^{R^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{d \theta}{\sin^2(\theta)} \right\rbrace = 8\;R^2\,\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1 - \cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\;d \theta = 8\;R^2\,\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{2\,\sin^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{4\,\sin^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\,\cos^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;d \theta = 8\;R^2\,\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d \theta}{2\;\cos^2 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math> <math>= 8\;R^2\, \left[ \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{A} = 8\;R^2\;</math>».}} === Calcul de l'aire de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani d'une sphère === {{Al|5}}Considérant une sphère de rayon <math>\;2\;R\;</math> et de centre <math>\;O\;</math> soit «<math>\; (\mathcal{S})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3\; \bigg\vert\; x^2 + y^2 + z^2 = 4\;R^2 \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et d'axe <math>\;( \Delta )\;:=\,\left\lbrace z\;\in\;\mathbb{R}\; \bigg\vert\; x = 0\;\text{et}\; y = R \right\rbrace\;</math> soit «<math>\; (\mathcal{C})\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3\; \bigg\vert\; x^2 + (y - R)^2 = R^2\,,\, \forall\;z \in \left] -\infty\,,\, +\infty \right[ \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}une [[w:Fenêtre_de_Viviani|fenêtre de Viviani]] <ref name="Viviani"> '''[[w:Vincenzo_Viviani|Vincenzo Viviani]] (1622 - 1703)''' est un mathématicien, physicien et astronome toscan <math>\;\big(</math>habitant de [[w:Toscane|Toscane]], région de l'Italie<math>\big)</math>, il a été assistant de '''[[w:Galilée_(savant)|Galilée]]''' de <math>\;1639\;</math> à <math>\;1642</math>, démontra le [[w:Théorème_de_Viviani|théorème de géométrie euclidienne]] qui porte son nom sur une propriété des triangles équilatéraux en <math>\;1649</math>, publia un traité sue les [[w:Coniques|coniques]] en <math>\;1659</math>, mesura <math>\;\big(</math>avec '''[[w:Giovanni_Alfonso_Borelli|Borelli]]'''<math>\big)\;</math> la vitesse du son en <math>\;1660</math>, énonça en <math>\;1692\;</math> le problème d'architecture de la percée d'une voûte hémisphérique par une fenêtre telle que le reste de la voûte soit quarrable <math>\;\big(</math>c.-à-d. dont l'aire s'écrit <math>\;a^2\;</math> où <math>\;a\;</math> est une longueur constructible à la règle et au compas<math>\big)</math>, le résultat <math>\;\big(</math>dû à '''[[w:John_Wallis|Wallis]]''' la même année<math>\big)\;</math> de la fenêtre étant connu sous le nom de [[w:Fenêtre_de_Viviani|fenêtre de Viviani]], fournit un travail important sur la résistance des solides jusqu'en <math>\;1703</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Galilée_(savant)|Galileo Galilei]] (1564 - 1642)''' mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien <math>\;\big(</math>pour l'époque, florentin plus exactement toscan<math>\big)</math>, à qui on doit en <math>\;1609\;</math> l'amélioration de la [[w:Longue-vue|longue-vue]] inventée par l'opticien hollandais '''[[w:Hans_Lippershey|Hans Lippershey]] (1570 - 1619)''' en [[w:Lunettes_de_Galilée#Premère_lunette|lunette d'observation]] des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès <math>\;1610\;</math> en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le [[w:Géocentrisme|géocentrisme]] ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'[[w:Héliocentrisme|héliocentrisme]] <math>\;\big[</math>théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en <math>\;1633\;</math> où il fût déclaré [[w:Galilée (savant)#Galilée attaqué et condamné par les autorités|suspect d'hérésie]] par l'[[w:Inquisition#XVIe_et_XVIIe_siècles,_réforme_et_Renaissance|Inquisition romaine]] et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides <math>\;\big(</math>en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie<math>\big)\;</math> ainsi que la généralisation des mesures de temps <math>\;\big(</math>en particulier par l'étude de l'[[w:Isochrone|isochronisme]] du pendule<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Giovanni_Alfonso_Borelli|Giovanni Alfonso Borelli]] (1608 - 1679''' mathématicien, philosophe, astronome, médecin et physiologiste italien <math>\;\big(</math>plus exactement pour l'époque, [[w:Naples|napolitain]], de la région de [[w:Campanie|Campanie]]<math>\big)</math>, est considéré comme le père de la [[w:Biomécanique|biomécanique]] et aussi comme l'inventeur du 1^er scaphandre. <br>{{Al|3}}'''[[w:John_Wallis|John Wallis]] '1616 - 1703)''' astronome et mathématicien anglais, précurseur de la [[w:Phonétique|phonétique]], de l'éducation des sourds et de l'[[w:Orthophonie|orthophonie]] ; en mathématiques ses travaux concernent essentiellement le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul différentiel et intégral]] où il a introduit les [[w:Intégrale_de_Wallis|ìntégrales de Wallis]] <math>\;\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x)\,dx\;</math> <math>\ldots</math></ref> de la sphère <math>\;(\mathcal{S})\;</math> est une [[w:Courbe_algébrique|courbe algébrique]] [[w:Repère_de_Frenet#Courbe_gauche|gauche]], [[w:Courbe_fermée|fermée]], intersection de la sphère <math>\;(\mathcal{S})\;</math> et de la surface latérale d'un cylindre de révolution du type <math>\;(\mathcal{C})</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|Considérant une fenêtre de Viviani de la sphère <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}\;</math> }}calculer l'aire de la surface sphérique délimitée par la [[w:Fenêtre_de_Viviani|fenêtre de Viviani]]<ref name="Viviani" /> construite sur la sphère <math>\;(\mathcal{S})</math>. {{Solution|contenu= {{Al|5}}La sphère <math>\;(\mathcal{S})\;</math> de centre <math>\;O\;</math> et le cylindre de révolution <math>\;(\mathcal{C})\;</math> d'axe <math>\;( \Delta )\;:=\,\left\lbrace z\;\in\;\mathbb{R}\; \bigg\vert\; x = 0\;\text{et}\; y = R \right\rbrace\;</math> étant globalement symétriques par rapport aux plans <math>\;( xOy )\;</math> et <math>\;( yOz );</math> <math>\Rightarrow</math> leur intersection c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La sphère <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}</math> de centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et le cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{( \Delta )}\;</math> }}<math>\;( \mathcal{F} ) = (\mathcal{S})\, \cap\, (\mathcal{C})\;</math> la surface sphérique délimitée par la [[w:Fenêtre_de_Viviani|fenêtre de Viviani]]<ref name="Viviani" /> est aussi symétrique par rapport aux plans <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} ( xOy ) \\ \text{et} \\ (yOz )\end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|La sphère <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{S})}</math> de centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et le cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C})}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{( \Delta )}\;</math> }}elle est donc constituée de <math>\;4\;</math> portions de sphère se déduisant entre elles par symétries planes par rapport à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} ( xOy ) \\ \text{ou} \\ (yOz )\end{array} \right\rbrace</math> ; <br>{{Al|5}}la surface sphérique délimitée par la [[w:Fenêtre_de_Viviani|fenêtre de Viviani]]<ref name="Viviani" /> <math>\;( \mathcal{F} )\;</math> est définie par <math>\;( \mathcal{F} ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}\; \bigg\vert\; x^2 + y^2 + z^2 = 4\;R^2\;,\; x^2 + (y - R)^2 \leqslant R^2 \right\rbrace\;</math><ref name="définition de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani"> Pour définir la surface sphérique <math>\;(\mathcal{F}) = (\mathcal{S}) \cap\, (\mathcal{C})\;</math> il faut imposer qu'elle est sur la surface de la sphère <math>\;( \mathcal{S})\;</math> d'où l'équation <math>\;x^2 + y^2 + z^2 = 4\;R^2\;</math> et à l'intérieur du cylindre de révolution <math>\;( \mathcal{C})\;</math> d'où l'inéquation <math>\;x^2 + (y - R)^2 \leqslant R^2</math></ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{F} )}\;</math> }}son aire est égale à <math>\;4\;</math> fois l'aire de <math>\;( \mathcal{F}_{1/4} ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}_{+}^3\; \bigg\vert\; z = \sqrt{4\;R^2 - x^2 - y^2}\;,\; x \leqslant \sqrt{R^2 - (y - R)^2} \right\rbrace\;</math><ref name="définition de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani - bis"> Choisissant <math>\;z = \sqrt{4\;R^2 - x^2 - y^2}\;</math> on impose <math>\;z \geqslant 0\;</math> en plus de <math>\;y \geqslant 0</math>, de plus <math>\;x\;</math> est imposé <math>\;\geqslant 0\;</math> avec <math>\;x \leqslant \sqrt{R^2 - (y - R)^2}\;</math> ce qui représente bien <math>\;\dfrac{1}{4}\;</math> de la surface sphérique délimitée par la [[w:Fenêtre_de_Viviani|fenêtre de Viviani]].</ref> ; <br>{{Al|5}}pour la calculer on substitue les paramètres <math>\,\left( x\,,\, y \right)\,</math> par <math>\,\left( \rho\,,\, \theta \right)\,</math> selon <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} x = \rho\;\cos(\theta) \\ y = \rho\;\sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,( \mathcal{F}_{1/4} ) := \left\lbrace (\rho,\,\theta,\,z)\;\in\;\mathbb{R}_{+} \times \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right] \times \mathbb{R}_{+}\; \bigg\vert\; z = \sqrt{4\;R^2 - \rho^2}\;,\; \rho\,\cos(\theta) \leqslant \sqrt{R^2 - [\rho\,\sin(\theta) - R]^2} \right\rbrace\;</math><ref name="définition de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani - ter"> L'inéquation <math>\;\rho\,\cos(\theta) \leqslant \sqrt{R^2 - [\rho\,\sin(\theta) - R]^2}\;</math> est équivalente à <math>\;\rho \leqslant 2\,R\;\sin(\theta)</math>, pour obtenir l'équivalence de l'inéquation d'origine, on élève au carré et on simplifie <math>\;\ldots</math>.</ref> dont le vecteur surface élémentaire se détermine par <math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> vecteurs déplacement élémentaire de <math>\;M\;\left\lbrace x = \rho\;\cos(\theta)\,,\, y = \rho\;\sin(\theta)\,,\, z = \sqrt{4\;R^2 - \rho^2} \right\rbrace\;</math> dans le plan tangent à <math>\;( \mathcal{S} )\;</math> par exemple «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} \overrightarrow{dM_1} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} d \rho\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} d \rho\;\vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial z}{\partial \rho} \right)_{\! \theta} d \rho\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ \cos(\theta)\;\vec{u}_x + \sin(\theta)\;\vec{u}_y + \dfrac{-\rho}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\;\vec{u}_z \right]\,d \rho \\ \overrightarrow{dM_2} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \right)_{\! \rho} d \theta\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \right)_{\! \rho} d \theta\;\vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial z}{\partial \theta} \right)_{\! \rho} d \theta\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ -\rho\;\sin(\theta)\;\vec{u}_x + \rho\;\cos(\theta)\;\vec{u}_y + 0\;\vec{u}_z \right]\,d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit le vecteur surface élémentaire <math>\;\overrightarrow{dS_M} = \left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \overrightarrow{dM_1} & \wedge & \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x &|& \cos(\theta)\;d \rho & & -\rho\;\sin(\theta)\; d \theta & & \dfrac{\rho^2\;\cos(\theta)}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; d \rho\; d \theta & = & \dfrac{\rho^2\;\cos(\theta)}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; d \rho\; d \theta \\ \vec{u}_y &|& \sin(\theta)\; d \rho & ^{+}{\searrow} & \rho\;\cos(\theta)\; d \theta & & & & \dfrac{\rho^2\;\sin(\theta)}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; d \rho\; d \theta \\ \vec{u}_z &|& \dfrac{-\rho}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; d \rho & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \rho\; d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes d'un produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> La 2^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge &\!\! \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\;d \rho \!\!& &\!\! -\rho\;\sin(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! \sin(\theta)\; d \rho \!\!& &\!\! \rho\;\cos(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \dfrac{-\rho}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\;\left[ -\rho\;\sin(\theta) \right]\; d \rho\; d \theta \!\!& = &\!\! \dfrac{\rho^2\;\sin(\theta)}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; d \rho\; d \theta \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! \dfrac{-\rho}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; d \rho \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\;d \rho \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! -\rho\;\sin(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge & \overrightarrow{dM_2} \!\!& = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\;d \rho \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! -\rho\;\sin(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! \sin(\theta)\; d \rho \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! \rho\;\cos(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! \dfrac{-\rho}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; d \rho \!\!& &\!\! 0 \!\!& &\!\! \rho\;\cos^2(\theta)\; d \rho\; d \theta + \rho\;\sin^2(\theta)\; d \rho\; d \theta \!\!& = &\!\! \rho\; d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{dS_M} = \left[ \dfrac{\rho^2\;\cos(\theta)}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\;\vec{u}_x + \dfrac{\rho^2\;\sin(\theta)}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\;\vec{u}_y + \rho\;\vec{u}_z \right]\,d \rho\;d \theta\;</math>» d'où la valeur absolue de l'aire élémentaire <math>\;\vert dS_M \vert = \Vert \overrightarrow{dS_M} \Vert = \sqrt{\dfrac{\rho^4\,\cos^2(\theta) + \rho^4\,\sin^2(\theta)}{4\,R^2 - \rho^2} + \rho^2}\; \vert d \rho \vert\; \vert d \theta \vert = \rho\;\dfrac{2\;R}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\; \vert d \rho \vert\; \vert d \theta \vert\;</math><ref> En effet <math>\;\sqrt{\dfrac{\rho^4\,\cos^2(\theta) + \rho^4\,\sin^2(\theta)}{4\,R^2 - \rho^2} + \rho^2}\; \vert d \rho \vert\; \vert d \theta \vert = \sqrt{\dfrac{4\,R^2\;\rho^2}{4\,R^2 - \rho^2}}\; \vert d \rho \vert\; \vert d \theta \vert = \sqrt{\dfrac{\rho^4\,\sin^2(2\,\theta) + 4\, R^2\;\rho^2\,\cos^2(2\,\theta)}{4\,R^2 - \rho^2}}\; \vert d \rho \vert\; \vert d \theta \vert</math>.</ref> soit, en définissant la positivité de <math>\;d S_M\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\rho\;</math> et de <math>\;\theta</math>, {{Nobr|«<math>\;d S_M</math>}} <math>= \dfrac{2\,R\;\rho}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}}\;d \rho\;d \theta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}l'aire <math>\;\mathcal{A}\;</math> de la surface sphérique délimitée par la [[w:Fenêtre_de_Viviani|fenêtre de Viviani]]<ref name="Viviani" /> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> étant <math>\;4\;</math> fois l'aire de <math>\,( \mathcal{F}_{1/4} ) := \left\lbrace (\rho,\,\theta,\,z)\;\in\;\mathbb{R}_{+} \times \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right] \times \mathbb{R}_{+}\; \bigg\vert\; z = \sqrt{4\;R^2 - \rho^2}\;,\; \rho \leqslant 2\;R\;\sin(\theta) \right\rbrace\;</math><ref name="définition de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani - bis" />{{,}}<ref name="définition de la surface sphérique délimitée par la fenêtre de Viviani - ter" />, noue en déduisons «<math>\;\mathcal{A} = 4\;\displaystyle\iint\limits_{( \mathcal{F}_{1/4} )} dS_M\;</math> <math>= 8\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \displaystyle\int_0^{2\,R\,\sin(\theta)} \dfrac{\rho\, d \rho}{\sqrt{4\,R^2 - \rho^2}} \right] d \theta \right\rbrace = 4\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \displaystyle\int_0^{4 R^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{du}{\sqrt{4\,R^2 - u}} \right] d \theta \right\rbrace\;</math><ref name="u = rho2" /> <math>= 4\;R\, \left\lbrace \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -2\;\sqrt{4\,R^2 - u} \right]_0^{4 R^2 \sin^2(\theta)} d \theta \right\rbrace =</math> <math>8\;R^2\,\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\,d \theta = 8\;R^2\, \left[ \theta - \sin(\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 8\;R^2\, \left( \dfrac{\pi}{2} - 1 \right)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{A} = 4\;R^2\,( \pi - 2)\;</math>».}} == Aire d'une surface engendrée par la rotation du graphe d'une fonction continue positive d'une variable autour de l'axe des abscisses == {{Al|5}}On considère la fonction continue de la variable <math>\;x\;</math> définie sur l'intervalle <math>\;\left[ a\,,\, b \right]\;</math> à valeurs dans <math>\;\mathbb{R}_{+}\;</math> soit <math>\;f\;:\; \left[ a\,,\, b \right] \, \to\, \mathbb{R}_{+},\;x\;\mapsto\;f(x)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}<math>( \Sigma )\;</math> la surface engendrée par la rotation du graphe de <math>\;f\;</math> autour de l'axe <math>\;(Ox)</math>, soit <math>\; (\Sigma)\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\left[ a\,,\, b \right] \times \mathbb{R}^2 \;\Big\vert\; \sqrt{y^2 + z^2} = f(x) \right\rbrace</math>. === Expression de l'aire de la surface en intégrale sur l'intervalle de définition de la fonction === {{Al|5}}Démontrer que l'aire <math>\;\mathcal{A}\;</math> de la surface <math>( \Sigma )\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;f\;</math> autour de l'axe <math>\;(Ox)\;</math> peut être calculé selon «<math>\;\mathcal{A} = 2\;\pi \displaystyle\int_a^b f(x)\;\sqrt{1 + (f')^2(x)}\;dx\;</math>». {{Solution|contenu={{Al|5}}La surface <math>\;( \Sigma )\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;f\;</math> autour de l'axe <math>\;(Ox)\;</math> est définie par <math>\;( \Sigma ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\left[ a\,,\, b \right] \times \mathbb{R}^2\; \bigg\vert\;\sqrt{y^2 + z^2} = f(x) \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}son aire est définie par l'intégrale surfacique <math>\;\displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} dS_M\;</math> avec <math>\;dS_M\;</math> l'aire de la surface élémentaire au point générique <math>\;M\,\in\,( \Sigma )</math> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}pour traduire que <math>\;( \Sigma )\;</math> est une surface de révolution autour de <math>\;(Ox)</math>, on substitue les paramètres <math>\;\left( y\,,\, z \right)\;</math> par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\;</math> selon <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}<math>\left\lbrace \begin{array}{c} y = \rho\;\cos(\theta) \\ z = \rho\;\sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;( \Sigma ) := \left\lbrace (x,\,\rho,\,\theta)\;\in\;\left[ a\,,\, b \right] \times \mathbb{R}_{+} \times \left[ 0\,,\, 2\,\pi \right[ \; \bigg\vert\; \rho = f(x) \right\rbrace\;</math> dont le vecteur surface élémentaire <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}se détermine par <math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> vecteurs déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> générique de <math>\;( \Sigma )</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}<math>M\;\left( x \,,\, y = f(x)\;\cos(\theta)\,,\, z = f(x)\;\sin(\theta) \right)</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> étant dans le plan tangent en <math>\;M\;</math> à <math>\;( \Sigma )</math>, par exemple <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c} \overrightarrow{dM_1} \!\!&=&\!\! \dfrac{dx}{dx}\,dx\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\! \theta} dx\;\vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\! \theta} dx\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ \vec{u}_x + f'(x)\,\cos(\theta)\;\vec{u}_y + f'(x)\,\sin(\theta)\;\vec{u}_z \right]\,dx \\ \overrightarrow{dM_2} \!\!&=&\!\! \cancel{\left( \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \right)_{\! x} d \theta\;\vec{u}_x} + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \right)_{\! x} d \theta\;\vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial z}{\partial \theta} \right)_{\! x} d \theta\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ - f(x)\;\sin(\theta)\;\vec{u}_y + f(x)\;\cos(\theta)\;\vec{u}_z \right]\,d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}on en déduit le vecteur surface élémentaire <math>\;\overrightarrow{dS_M}</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}<math>= \left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \overrightarrow{dM_1} & \wedge & \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x &|& dx & & 0 & & f'(x)\;f(x)\; dx\; d \theta & = & f'(x)\;f(x)\; dx\; d \theta \\ \vec{u}_y &|& f'(x)\;\cos(\theta)\; dx & ^{+}{\searrow} & - f(x)\;\sin(\theta)\; d \theta & & & & -f(x)\;\cos(\theta)\; dx\; d \theta \\ \vec{u}_z &|& f'(x)\;\sin(\theta)\; dx & _{-}{\nearrow} & f(x)\;\cos(\theta)\; d \theta & & & & - f(x)\;\sin(\theta)\; dx\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes d'un produit vectoriel" />{{,}}<ref> La 2^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge &\!\! \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! dx \!\!& &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! f'(x)\;\cos(\theta)\; dx \!\!& &\!\! - f(x)\;\sin(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! -f(x)\;\cos(\theta)\; dx\; d \theta \!\!& = &\!\! -f(x)\;\cos(\theta)\; dx\; d \theta \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! f'(x)\;\sin(\theta)\; dx \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! f(x)\;\cos(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! dx \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge & \overrightarrow{dM_2} \!\!& = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! dx \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! f'(x)\;\cos(\theta)\; dx \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! - f(x)\;\sin(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! f'(x)\;\sin(\theta)\; dx \!\!& &\!\! f(x)\;\cos(\theta)\; d \theta \!\!& &\!\! - f(x)\;\sin(\theta)\; dx\; d \theta \!\!& = &\!\! - f(x)\;\sin(\theta)\; dx\; d \theta \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> soit <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{dS_M} = \left\lbrace f'(x)\;f(x)\;\vec{u}_x - f(x) \left[ \cos(\theta)\;\vec{u}_y + \sin(\theta)\;\vec{u}_z \right] \right\rbrace\,dx\;d \theta\;</math>» d'où la valeur absolue de l'aire élémentaire <math>\;\vert dS_M \vert =</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}<math>\Vert \overrightarrow{dS_M} \Vert = \sqrt{(f')^2(x)\;f^2(x) + f^2(x) \left[ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) \right]}\, \vert dx \vert\; \vert d \theta \vert = f(x)\; \sqrt{(f')^2(x) + 1}\;\vert dx \vert\; \vert d \theta \vert\;</math> soit, en définissant la <br>{{Al|6}}{{Transparent|la surface <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> autour de l'axe <math>\;\color{transparent}{(Ox)}\;</math> }}positivité de <math>\;d S_M\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x\;</math> et de <math>\;\theta</math>, «<math>\;d S_M = f(x)\;\sqrt{(f')^2(x) + 1}\;dx\;d \theta\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}l'aire de la surface <math>\;( \Sigma )\;</math> engendrée par la rotation du graphe de <math>\;f\;</math> autour de l'axe <math>\;(Ox)</math>, «<math>\;\mathcal{A} = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} dS_M = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace \displaystyle\int_a^b f(x)\;\sqrt{(f')^2(x) + 1}\;dx \right\rbrace d \theta = 2\;\pi\;\displaystyle\int_a^b f(x)\;\sqrt{1 + (f')^2(x)}\;dx\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>..}} === Application au calcul de l'aire de la sphère de centre O et de rayon R === {{Al|5}}Déterminer la fonction <math>\;f\;</math> dont le graphe en rotation autour de l'axe <math>\;(Ox)\;</math> engendre la sphère de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> puis <br>{{Al|5}}en appliquant la formule établie à la [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Exercices/Applications_du_vecteur_surface_élémentaire,_des_intégrales_surfaciques,_du_volume_élémentaire_et_des_intégrales_volumiques#Expression_de_l'aire_de_la_surface_en_intégrale_sur_l'intervalle_de_définition_de_la_fonction|question précédente]], retrouver l'aire de la sphère de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R</math>. {{Solution|contenu={{Al|5}}La sphère <math>\;( \mathcal{S} ) \;</math> de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> pouvant être définie selon <math>\;( \mathcal{S} ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\mathbb{R}^3\; \bigg\vert\;y^2 + z^2 = R^2 - x^2 \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La sphère <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S} )}\;</math> de centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}peut être obtenue par rotation, autour de l'axe <math>\;( Ox )</math>, du demi-cercle de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;R</math>, situé dans la partie positive du plan <math>\;( xOy )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La sphère <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S} )}\;</math> de centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}ce demi-cercle étant le graphe de la fonction <math>\;f\;:\; \left[ -R\,,\, +R \right] \, \to\, \mathbb{R}_{+},\;x\;\mapsto\;f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La sphère <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S} )}\;</math> de centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> }}la sphère <math>\;( \mathcal{S} ) \;</math> étant encore définie selon <math>\;( \mathcal{S} )\;:=\,\left\lbrace (x,\,y,\,z)\;\in\;\left[ -R\,,\, +R \right] \times \mathbb{R}^2 \;\Big\vert\; \sqrt{y^2 + z^2} = f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \right\rbrace\;</math> on en déduit <br>{{Al|5}}l'aire de la sphère <math>\;( \mathcal{S} ) \;</math> selon «<math>\;\mathcal{A} = 2\;\pi\;\displaystyle\int_{-R}^{+R} f(x)\;\sqrt{1 + (f')^2(x)}\;dx\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}\\ f'(x) = \dfrac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}} \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{A} = 2\;\pi\;\displaystyle\int_{-R}^{+R} \sqrt{R^2 - x^2}\;\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{R^2 - x^2}}\;dx = 2\;\pi\;\displaystyle\int_{-R}^{+R} R\;dx = 4\;\pi\;R^2 \;</math>»<ref> On retrouve bien l'expression connue de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.}} === Application au calcul de l'aire d'un tore === {{Al|5}}Dans le plan <math>\;(xOy)</math>, on considère le cercle de centre <math>\;(0\,,\,a)\;</math> et de rayon <math>\;R \leqslant a</math> ; déterminer l'équation implicite dont le cercle est le graphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le plan <math>\;\color{transparent}{(xOy)}</math>, on considère le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{(0\,,\,a)}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R \leqslant a}</math> ; }}en déduire, suivant le signe de <math>\;y - a</math>, les [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] <math>\;f_{+}(x)\;</math> et <math>\;f_{-}(x)\;</math> solutions de l'équation implicite<ref name="fonction implicite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Fonction_implicite_entre_deux_variables_réelles|fonction implicite entre deux variables réelles]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le plan <math>\;\color{transparent}{(xOy)}</math>, on considère le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{(0\,,\,a)}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R \leqslant a}</math> ; en déduire, }}l'aire du [[w:Tore|tore]] obtenu en faisant tourner ce cercle autour de l'axe <math>\;(Ox)</math>. {{Solution|contenu= {{Al|5}}Le cercle de centre <math>\;(0\,,\,a)\;</math> et de rayon <math>\;R \leqslant a\;</math> du plan <math>\;(xOy)\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;x^2 + (y - a)^2 = R^2\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{(0\,,\,a)}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R \leqslant a}\;</math> du plan <math>\;\color{transparent}{(xOy)}\;</math> }}il est le graphe de la fonction «<math>\;f_{+}\;:\; \left[ -R\,,\, +R \right] \, \to\, \mathbb{R}_{+},\;x\;\mapsto\;f_{+}(x) = a + \sqrt{R^2 - x^2}\;</math>» pour <math>\;y - a > 0\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{(0\,,\,a)}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R \leqslant a}\;</math> du plan <math>\;\color{transparent}{(xOy)}\;</math> il est le graphe de la fonction }}«<math>\;f_{-}\;:\; \left[ -R\,,\, +R \right] \, \to\, \mathbb{R}_{+},\;x\;\mapsto\;f_{-}(x) = a - \sqrt{R^2 - x^2}\;</math>» pour <math>\;y - a < 0</math> ; <br>{{Al|5}}la rotation de l'association de ces deux graphes autour de l'axe <math>\;(Ox)\;</math> engendrant le [[w:Tore|tore]] d'axe de révolution <math>\;(Ox)\;</math> et de section méridienne le cercle de centre <math>\;(0\,,\,a)\;</math> et de rayon <math>\;R \leqslant a</math>, nous en déduisons <br>{{Al|5}}l'aire du [[w:Tore|tore]] par «<math>\;\mathcal{A} = 2\;\pi\;\displaystyle\int_{-R}^{+R} f_{+}(x)\;\sqrt{1 + ({f_{\!+}'})^2(x)}\;dx + 2\;\pi\;\displaystyle\int_{-R}^{+R} f_{-}(x)\;\sqrt{1 + ({f_{\!-}'})^2(x)}\;dx\;</math>» avec <math>\;f_{\!+}'(x) = \dfrac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}\;</math> et <math>\;f_{\!-}'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'aire du tore par }}«<math>\;\mathcal{A} = 2\;\pi\;\displaystyle\int_{-R}^{+R} \left[ a + \sqrt{R^2 - x^2} \right]\,\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{R^2 - x^2}}\;dx + 2\;\pi\;\displaystyle\int_{-R}^{+R} \left[ a - \sqrt{R^2 - x^2} \right]\,\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{R^2 - x^2}}\;dx = 4\;\pi\;a\;R \displaystyle\int_{-R}^{+R} \dfrac{dx}{\sqrt{R^2 - x^2}} = 4\;\pi\;a\;R \displaystyle\int_{-1}^{+1} \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math>»<ref> Obtenu par changement de variable <math>\;u = \dfrac{x}{R}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;du = \dfrac{dx}{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;dx = R\;du\;</math> et <math>\;\sqrt{R^2 - x^2} = R\,\sqrt{1 - u^2}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dx}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}</math>, <math>\;u\;</math> variant de <math>\;-1\;</math> à <math>\;+1</math>.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'aire du tore par }}«<math>\;\mathcal{A} = 4\;\pi\;a\;R\; \left[ \arcsin(u) \right]_{-1}^{+1}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_sinus_:_fonction_arcsinus|fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », une primitive de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math> étant <math>\;\arcsin(u)</math>.</ref> <math>= 4\;\pi\;a\;R\; \left[ 2\;\dfrac{\pi}{2} \right] = 4\;\pi^2\;a\;R\;</math>».}} == Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers une portion de cylindre parabolique == {{Al|5}}On considère le champ de vecteurs de l'espace tridimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y\,,\,z )\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{F}(M) = 3\,z^2\;\vec{u}_x + 6\,\vec{u}_y + 6\,x\,z\;\vec{u}_z\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}la portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = u \\ y = u^2 \\ z = v \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left( u\,,\, v \right) \in \left[ 0\,,\, 2 \right] \times \left[ 0\,,\, 3 \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère la portion de cylindre parabolique <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> }}calculer le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel_à_travers_une_surface_ouverte|définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à travers la portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )</math>, [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] noté <math>\;\Phi_1\;</math> puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|On considère la portion de cylindre parabolique <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> calculer le flux du champ de vecteurs <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{F}(M)}\;</math> }}à travers la portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )\;</math> obtenue en permutant <math>\;u\;</math> et <math>\;v\;</math><ref name="permutation de u et v"> Ce qui donne la portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = v \\ y = v^2 \\ z = u \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left( u\,,\, v \right) \in \left[ 0\,,\, 3 \right] \times \left[ 0\,,\, 2 \right]</math>.</ref>, [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] noté <math>\;\Phi_2</math>. {{Solution|contenu={{Al|5}}<math>\bullet\;</math>Le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers la portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )\;</math> est défini par «<math>\;\Phi_1 = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math>», <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> étant dans le plan tangent en <math>\;M\;</math> à <math>\;( \Sigma )</math>, par exemple «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c} \overrightarrow{dM_1} \!\!&=&\!\! \dfrac{dx}{du}\,du\;\vec{u}_x + \dfrac{d y}{d u}\,du\;\vec{u}_y + \cancel{\dfrac{d z}{d u}\,du\;\vec{u}_z} \!\!&=&\!\! \left[ \vec{u}_x + 2\,u\;\vec{u}_y \right]\,du \\ \overrightarrow{dM_2} \!\!&=&\!\! \cancel{\dfrac{d x}{d v}\, d v\;\vec{u}_x + \dfrac{d y}{d v}\,d v\;\vec{u}_y} + \dfrac{d z}{d v}\, d v\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \vec{u}_z\;\,d v \end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où <math>\;\overrightarrow{dS}_M = \left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \overrightarrow{dM_1} & \wedge & \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x &|& du & & 0 & & 2\;u\; du\; dv & = & 2\;u\; du\; dv \\ \vec{u}_y &|& 2\;u\; du & ^{+}{\searrow} & 0 & & & & -du\; dv \\ \vec{u}_z &|& 0 & _{-}{\nearrow} & dv & & & & 0 \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes d'un produit vectoriel" />{{,}}<ref> La 2^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge &\!\! \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! du \!\!& &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! 2\;u\; du \!\!& &\!\! 0 \!\!& &\!\! -du\,dv \!\!& = &\!\! -du\; dv \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! 0 \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! dv \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! du \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge & \overrightarrow{dM_2} \!\!& = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! du \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! 2\;u\; du \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! 0 \!\!& &\!\! dv \!\!& &\!\! 0 \!\!& = &\!\! 0 \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \left[ 2\;u\;\vec{u}_x - \vec{u}_y \right]\,du\;dv\;</math>» ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M) = 3\,z^2\;\vec{u}_x + 6\,\vec{u}_y + 6\,x\,z\;\vec{u}_z\;</math> pour <math>\;M\,\in\,( \Sigma )</math>, surface d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = u \\ y = u^2 \\ z = v \end{array} \right\rbrace</math>, se réécrivant <math>\;\overrightarrow{F}(M) = 3\,v^2\;\vec{u}_x + 6\,\vec{u}_y + 6\,u\,v\;\vec{u}_z</math>, on en déduit le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux élémentaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel|définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\delta \Phi_1 = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \left[ 3\,v^2\;\vec{u}_x + 6\,\vec{u}_y + 6\,u\,v\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ \left\lbrace 2\;u\;\vec{u}_x - \vec{u}_y \right\rbrace \;du\;dv \right] = \left[ 6\;u\;v^2 - 6 \right]\;du\;dv\;</math>»<ref name="définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et le calcul du [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers la portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )</math>, «<math>\;\Phi_1 = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 6\;\displaystyle\int_0^3 \left\lbrace \displaystyle\int_0^2 u\;du \right\rbrace\;v^2\;dv - 6\;\displaystyle\int_0^3 \left\lbrace \displaystyle\int_0^2 du \right\rbrace\;dv = 6\;\left[ \dfrac{u^2}{2} \right]_0^2\;\left[ \dfrac{v^3}{3} \right]_0^3 - 6\;\left[ u \right]_0^2\;\left[ v \right]_0^3 = 72\;</math>». <br>{{Al|5}}<math>\bullet\;</math>La portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques identiques aux précédentes après permutation entre <math>\;u\;</math> et <math>\;v\;</math><ref name="permutation de u et v" /> soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = v \\ y = v^2 \\ z = u \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\left( u\,,\, v \right) \in \left[ 0\,,\, 3 \right] \times \left[ 0\,,\, 2 \right]\;</math> a pour vecteur surface élémentaire en <math>\;M\,\in\, ( \Sigma )\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{{dM'}_{\!1}} \wedge \overrightarrow{{dM'}_{\!2}}\;</math>», <math>\;\overrightarrow{{dM'}_{\!1}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{{dM'}_{\!2}}\;</math> étant dans le plan tangent en <math>\;M\;</math> à <math>\;( \Sigma )</math>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c} \overrightarrow{{dM'}_{\!1}} \!\!&=&\!\! \cancel{\dfrac{d x}{d u}\, d u\;\vec{u}_x + \dfrac{d y}{d u}\,d u\;\vec{u}_y} + \dfrac{d z}{d u}\, d u\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \vec{u}_z\;\,d u \\ \overrightarrow{{dM'}_{\!2}} \!\!&=&\!\! \dfrac{dx}{dv}\,dv\;\vec{u}_x + \dfrac{d y}{d v}\,dv\;\vec{u}_y + \cancel{\dfrac{d z}{d v}\,dv\;\vec{u}_z} \!\!&=&\!\! \left[ \vec{u}_x + 2\,v\;\vec{u}_y \right]\,dv \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dS}_M</math>}} <math>= \left[ \vec{u}_y - 2\;v\;\vec{u}_x \right]\,du\;dv\;</math>»<ref> S'obtient à partir de l'expression de «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \left[ 2\;u\;\vec{u}_x - \vec{u}_y \right]\,du\;dv\;</math>» en permutant <math>\;u\;</math> et <math>\;v\;</math> mais aussi en échangeant la position des vecteurs dans le produit vectoriel d'où un changement de signe d'après l'anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle (1^ère propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, d'où le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers la portion de cylindre parabolique <math>\; ( \Sigma )\;</math> résultant de la permutation entre <math>\;u\;</math> et <math>\;v\;</math><ref name="permutation de u et v" />, <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math> se réécrivant avec <math>\;M\,\in\,( \Sigma )</math>, <math>\;\overrightarrow{F}(M) = 3\,u^2\;\vec{u}_x + 6\,\vec{u}_y + 6\,v\,u\;\vec{u}_z</math>, «<math>\;\Phi_2 = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \delta \Phi_2\;</math>» avec <math>\;\delta \Phi_2 = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \left[ 3\,u^2\;\vec{u}_x + 6\,\vec{u}_y + 6\,v\,u\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ -2\;v\;\vec{u}_x + \vec{u}_y \right]\,du\;dv\;</math><ref name="définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes" /> <math>= \left[ -6\,u^2\,v + 6 \right]\,du\;dv\;</math> d'où «<math>\;\Phi_2 = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \delta \Phi_2</math> <math>= -6\;\displaystyle\int_0^3 \left\lbrace \displaystyle\int_0^2 v\;dv \right\rbrace\;u^2\;du + 6\;\displaystyle\int_0^3 \left\lbrace \displaystyle\int_0^2 dv \right\rbrace\;du = -6\;\left[ \dfrac{v^2}{2} \right]_0^2\;\left[ \dfrac{u^3}{3} \right]_0^3 + 6\;\left[ v \right]_0^2\;\left[ u \right]_0^3 = -72\;</math>». }} == Calculs de flux de champs vectoriels à travers une portion de plan, de sphère ou de cône de révolution == === Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers une portion de plan === {{Al|5}}On considère le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y\,,\,z )\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{F}(M) = x^2\;\vec{u}_x + 3\;y^2\;\vec{u}_z\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}la portion de plan <math>\; ( \Sigma )\;</math> d'équation cartésienne <math>\;x + y + z = 1</math>, portion de la région <math>\;( x,\, y,\, z) \in \mathbb{R}_{+}^3\;</math> c.-à-d. <math>\;( \Sigma ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}_{+}^3 \mid z = 1 - x - y \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère la portion de plan <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> }}calculer le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers cette portion de plan <math>\; ( \Sigma )</math>, cette dernière étant orientée vers le haut. {{Solution|contenu={{Al|5}}Le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers la portion de plan <math>\; ( \Sigma )\;</math> est défini par «<math>\;\Phi = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math>», <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> étant dans le plan support de <math>\;( \Sigma )</math>, par exemple «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c} \overrightarrow{dM_1} \!\!&=&\!\! \dfrac{dx}{dx}\,dx\;\vec{u}_x + \cancel{\dfrac{d y}{d x}\,dx\;\vec{u}_y} + \dfrac{d z}{d x}\,dx\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ \vec{u}_x - \vec{u}_z \right]\,dx \\ \overrightarrow{dM_2} \!\!&=&\!\! \cancel{\dfrac{d x}{d y}\, d y\;\vec{u}_x} + \dfrac{d y}{d y}\,d y\;\vec{u}_y + \dfrac{d z}{d y}\, d y\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ \vec{u}_y - \vec{u}_z\right]\,d y \end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où <math>\;\overrightarrow{dS}_M = \left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \overrightarrow{dM_1} & \wedge & \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x &|& dx & & 0 & & dx\; dy & = & dx\; dy \\ \vec{u}_y &|& 0 & ^{+}{\searrow} & dy & & & & dx\; dy \\ \vec{u}_z &|& -dx & _{-}{\nearrow} & -dy & & & & dx\;dy \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes d'un produit vectoriel" />{{,}}<ref> La 2^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge &\!\! \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! dx \!\!& &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! 0 \!\!& &\!\! dy \!\!& &\!\! dx\,dy \!\!& = &\!\! dx\; dy \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! -dx \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! -dy \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! dx \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge & \overrightarrow{dM_2} \!\!& = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! dx \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! 0 \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! dy \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! -dx \!\!& &\!\! -dy \!\!& &\!\! dx\;dy \!\!& = &\!\! dx\;dy \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> <math>= \left[ \vec{u}_x + \vec{u}_y + \vec{u}_z \right]\,dx\;dy\;</math> effectivement orienté vers le haut pour <math>\;dx\;dy > 0</math> ; <br>{{Al|5}}le champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M) = x^2\;\vec{u}_x + 3\;y^2\;\vec{u}_z\;</math> pour <math>\;M\,\in\,( \Sigma )</math>, surface d'équations <math>\;z = 1 - x - y\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'expression du [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux élémentaire" /> «<math>\;\delta \Phi = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M =</math> <math>\left[ x^2\;\vec{u}_x + 3\,y^2\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ \left\lbrace \vec{u}_x + \vec{u}_y + \vec{u}_z \right\rbrace \;dx\;dy \right] = \left[ x^2 + 3\,y^2 \right]\;dx\;dy\;</math>»<ref name="définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes" />, le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers la portion de plan <math>\; ( \Sigma )\;</math> vérifiant <math>\;z = 1 - x - y \geqslant 0\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x \geqslant 0\\ y \geqslant 0 \end{array} \right\rbrace\;</math> se calculant par «<math>\;\Phi = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \displaystyle\int_0^1 \left\lbrace \displaystyle\int_0^{(1 - x)} (x^2 + 3\,y^2)\;dy \right\rbrace\;dx = \displaystyle\int_0^1 \left[ x^2\;y + y^3 \right]_0^{(1 - x)}\;dx = \displaystyle\int_0^1 \left[ x^2\;(1 - x) + (1 - x)^3 \right]\;dx = \displaystyle\int_0^1 x^2\;dx - \displaystyle\int_0^1 x^3\;dx + \displaystyle\int_0^1 (1 - x)^3\;dx = \displaystyle\int_0^1 x^2\;dx\;</math>»<ref> En effet, en faisant le changement de variable <math>\;t = 1 - x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dt = -dx\;</math> la 3^ème intégrale se réécrit <math>\;\displaystyle\int_0^1 (1 - x)^3\;dx = -\displaystyle\int_1^0 t^3\;dt = \displaystyle\int_0^1 t^3\;dt\;</math> égale à la 2^nde d'où la simplification.</ref>, soit finalement «<math>\;\Phi = \left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}\;</math>».}} === Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers un hémisphère === {{Al|5}}On considère le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y\,,\,z )\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{F}(M) = -y\;\vec{u}_x + x\;\vec{u}_y + 3\;z\;\vec{u}_z\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}la moitié de la sphère <math>\; ( \Sigma )\;</math> de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;4\;</math> unités de longueur, d'équation cartésienne <math>\;x^2 + y^2 + z^2 = 16</math>, moitié de la région <math>\;z \geqslant 0\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère la moitié de la sphère <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> de centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{4}\;</math> unités de longueur, }}<math>( \Sigma ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_{+} \mid z = \sqrt{16 - x^2 - y^2} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère la moitié de la sphère <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> }}calculer le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers cette moitié de sphère <math>\; ( \Sigma )</math>, cette dernière étant orientée vers le haut. {{Solution|contenu={{Al|5}}Le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers la moitié de sphère <math>\; ( \Sigma )\;</math> est défini par «<math>\;\Phi = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math>», <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> étant dans le plan tangent en <math>\;M\;</math> de <math>\;( \Sigma )\;</math> en posant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = 4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi) \\ y = 4\;\sin(\theta)\;\sin(\varphi) \\ z = 4\;\cos(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="lien entre coordonnées sphériques et cartésiennes"> Voir le oaragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cartésien_en_fonction_du_repérage_sphérique|repérage cartésien en fonction du repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, par exemple «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c} \overrightarrow{dM_1} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi}\,d \theta\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi}\,d \theta\;\vec{u}_y + \dfrac{d z}{d \theta}\,d \theta\;\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! 4\,\left[ \cos(\theta)\;\cos(\varphi)\;\vec{u}_x + \cos(\theta)\;\sin(\varphi)\;\vec{u}_y - \sin(\theta)\;\vec{u}_z \right]\,d \theta \\ \overrightarrow{dM_2} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta}\,d \varphi\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta}\,d \varphi\;\vec{u}_y + \cancel{\dfrac{d z}{d \varphi}\, d \varphi\;\vec{u}_z} \!\!&=&\!\! 4\,\left[ - \sin(\theta)\;\sin(\varphi)\;\vec{u}_x + \sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;\vec{u}_y \right]\,d \varphi \end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où le calcul du vecteur surface élémentaire en <math>\;M\;</math> de <math>\;( \Sigma )</math> «<math>\;\overrightarrow{dS}_M =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \overrightarrow{dM_1} & \wedge & \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x &|& 4\;\cos(\theta)\;\cos(\varphi)\, d \theta & & -4\;\sin(\theta)\;\sin(\varphi)\, d \varphi & & 16\;\sin^2(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \theta\; d \varphi & = & 16\;\sin^2(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \theta\; d \varphi \\ \vec{u}_y &|& 4\;\cos(\theta)\;\sin(\varphi)\, d \theta & ^{+}{\searrow} & 4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \varphi & & & & 16\;\sin^2(\theta)\;\sin(\varphi)\;d \theta\; d \varphi \\ \vec{u}_z &|& -4\;\sin(\theta)\;d \theta & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & 16\;\cos(\theta)\;\sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes d'un produit vectoriel" />{{,}}<ref> La 2^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge &\!\! \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! 4\;\cos(\theta)\;\cos(\varphi)\, d \theta \!\!& &\!\! -4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \varphi \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! 4\;\cos(\theta)\;\sin(\varphi)\, d \theta \!\!& &\!\! 4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \varphi \!\!& &\!\! 16\;\sin^2(\theta)\;\sin(\varphi)\;d \theta\; d \varphi \!\!& = &\!\! 16\;\sin^2(\theta)\;\sin(\varphi)\;d \theta\; d \varphi \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! -4\;\sin(\theta)\;d \theta \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! 4\;\cos(\theta)\;\cos(\varphi)\, d \theta \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! -4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \varphi \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge & \overrightarrow{dM_2} \!\!& = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! 4\;\cos(\theta)\;\cos(\varphi)\, d \theta \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! -4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \varphi \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! 4\;\cos(\theta)\;\sin(\varphi)\, d \theta \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! 4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;d \varphi \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! -4\;\sin(\theta)\;d \theta \!\!& &\!\! 0 \!\!& &\!\! 16\;\cos(\theta)\;\sin(\theta) \left[ \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) \right] d \theta\; d \varphi \!\!& = &\!\! 16\;\cos(\theta);\sin(\theta)\;d \theta\; d \varphi \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> <math>= 16\;\sin(\theta)\,\left[ \sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;\vec{u}_x + \sin(\theta)\;\sin(\varphi)\;\vec{u}_y + \cos(\theta)\;\vec{u}_z \right]\,d \theta\;d \varphi\;</math>» effectivement orienté vers le haut pour <math>\;d \theta\;d \varphi > 0\;</math> car <math>\;\theta\,\in\, \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right]</math> ; <br>{{Al|5}}le champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M) = -y\;\vec{u}_x + x\;\vec{u}_y + 3\;z\;\vec{u}_z\;</math> se réécrit pour <math>\;M\,\in\,( \Sigma )</math>, surface d'équation <math>\;z = 4\;\cos(\theta)</math>, <math>\;\overrightarrow{F}(M) = -4\;\sin(\theta)\;\sin(\varphi)\;\vec{u}_x + 4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;\vec{u}_y + 12\;\cos(\theta)\;\vec{u}_z\;</math> d'où le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux élémentaire" /> «<math>\;\delta \Phi = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \left[ -4\;\sin(\theta)\;\sin(\varphi)\;\vec{u}_x + 4\;\sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;\vec{u}_y + 12\;\cos(\theta)\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ 16\;\sin(\theta)\,\left\lbrace \sin(\theta)\;\cos(\varphi)\;\vec{u}_x + \sin(\theta)\;\sin(\varphi)\;\vec{u}_y + \cos(\theta)\;\vec{u}_z \right\rbrace d \theta\;d \varphi \right] =</math> <math>64\;\sin(\theta) \left[ \cancel{-\sin^2(\theta)\;\sin(\varphi)\;\cos(\varphi) + \sin^2(\theta)\;\sin(\varphi)\;\cos(\varphi)} + 3\;\cos^2(\theta) \right] d \theta\;d \varphi\;</math>»<ref name="définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes" /> soit «<math>\;\delta \Phi = 192\;\sin(\theta)\;\cos^2(\theta)\; d \theta\;d \varphi\;</math>» d'où le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers la moitié de sphère <math>\; ( \Sigma )\;</math> vérifiant <math>\;\theta\,\in\, \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right]\;</math> se calculant par «<math>\;\Phi = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = 192\,\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta)\;\cos^2(\theta)\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} d \varphi \right\rbrace\;d \theta = 384\;\pi\;\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)\;\sin(\theta)\;d \theta = 384\;\pi\;\left[ -\dfrac{\cos^3(\theta)}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 128\;\pi\;</math>».}} === Calcul du flux d'un champ vectoriel à travers un tronc de cône de révolution === {{Al|5}}On considère le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en <math>\;M\;( x\,,\,y\,,\,z )\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{F}(M) = -a\;x\;\vec{u}_x + x\;y\;\vec{u}_y + z^2\;\vec{u}_z\;</math> <math>\big\{a\;</math> étant une longueur <math>\;> 0\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}la tranche du cône de révolution <math>\; ( \Sigma )\;</math> de sommet <math>\;O</math>, d'axe <math>\;z'z\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\dfrac{\pi}{4}</math>, d'équation cartésienne <math>\;z = x^2 + y^2</math>, tronc de cône tel que <math>\;z\,\in \left[ a\,;\, 2\;a \right]\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère la tranche du cône de révolution <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> de sommet <math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'axe <math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\color{transparent}{\pi}\;</math>, }}<math>( \Sigma ) := \left\lbrace (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^2 \times \left[ 1\,;\, 2 \right] \mid z = \sqrt{x^2 + y^2} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère la tranche du cône de révolution <math>\;\color{transparent}{( \Sigma )}\;</math> }}calculer le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers ce tronc de cône de révolution <math>\; ( \Sigma )</math>, ce dernier étant orienté vers l'intérieur. {{Solution|contenu={{Al|5}}Le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers le tronc de cône de révolution <math>\; ( \Sigma )\;</math> est défini par «<math>\;\Phi = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math>», <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> étant dans le plan tangent en <math>\;M\;</math> de <math>\;( \Sigma )\;</math> en posant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = \rho\;\cos(\theta) \\ y = \rho\;\sin(\theta) \\ z = \rho \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="lien entre coordonnées cylindriques et cartésiennes"> Voir le oaragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cartésien_en_fonction_du_repérage_cylindro-polaire|repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, par exemple «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c c} \overrightarrow{dM_1} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \rho} \right)_{\!\theta}\,d \rho\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \rho} \right)_{\!\theta}\,d \rho\;\vec{u}_y + \dfrac{d z}{d \rho}\,d \rho\;\;\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \left[ \cos(\theta)\;\vec{u}_x + \sin(\theta)\;\vec{u}_y + \vec{u}_z \right]\,d \rho \\ \overrightarrow{dM_2} \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \right)_{\!\rho}\,d \theta\;\vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \right)_{\!\rho}\,d \theta\;\vec{u}_y + \cancel{\dfrac{d z}{d \theta}\, d \theta\;\vec{u}_z} \!\!&=&\!\! \left[ - \sin(\theta)\;\vec{u}_x + \cos(\theta)\;\vec{u}_y \right]\,\rho\;d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où le calcul du vecteur surface élémentaire en <math>\;M\;</math> de <math>\;( \Sigma )</math> «<math>\;\overrightarrow{dS}_M =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} & & \overrightarrow{dM_1} & \wedge & \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} & = & \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x &|& \cos(\theta)\; d \rho & & -\sin(\theta)\; \rho\;d \theta & & -\cos(\theta)\;\rho\;d \rho\; d \theta & = & -\rho\;\cos(\theta)\;d \rho\; d \theta \\ \vec{u}_y &|& \sin(\theta)\; d \rho & ^{+}{\searrow} & \cos(\theta)\;\rho\;d \theta & & & & -\rho\;\sin(\theta)\; d \rho\; d \theta \\ \vec{u}_z &|& d \rho & _{-}{\nearrow} & 0 & & & & \rho\;d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="composantes d'un produit vectoriel" />{{,}}<ref> La 2^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge &\!\! \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\; d \rho \!\!& &\!\! -\sin(\theta)\;\rho\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! \sin(\theta)\; d \rho \!\!& &\!\! \cos(\theta)\;\rho\;d \theta \!\!& &\!\! -\sin(\theta)\; \rho\;d \rho\; d \theta \!\!& = &\!\! -\rho\;\sin(\theta)\; d \rho\; d \theta \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! d \rho \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! 0 \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\; d \rho \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! -\sin(\theta)\;\rho\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème composante de <math>\;\overrightarrow{dS_M} =</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c c c c c c c} \!\!& &\!\! \overrightarrow{dM_1} \!\!& \wedge & \overrightarrow{dM_2} \!\!& = & \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \!\!& = &\!\! \overrightarrow{dS_M} \\ \vec{u}_x \!\!&|&\!\! \cos(\theta)\; d \rho \!\!& ^{+}{\searrow} &\!\! -\sin(\theta)\;\rho\; d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_y \!\!&|&\!\! \sin(\theta)\; d \rho \!\!& _{-}{\nearrow} &\!\! \cos(\theta)\;\rho\;d \theta \!\!& &\!\! \!\!& &\!\! \\ \vec{u}_z \!\!&|&\!\! d \rho \!\!& &\!\! 0 \!\!& &\!\! \left[ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) \right] \rho\;d \rho\; d \theta \!\!& = &\!\! \rho\;d \rho\; d \theta \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> <math>= \left[ -\cos(\theta)\;\vec{u}_x - \sin(\theta)\;\vec{u}_y + \vec{u}_z \right]\;\rho\;d \rho\;d \theta\;</math>» effectivement orienté vers l'intérieur pour <math>\;d \rho\;d \theta > 0\;</math><ref> Le tronc de cône étant de révolution autour de l'axe <math>\;( Ox )\;</math> et s'évasant vers les <math>\;z > 0</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}le champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M) = -a\;x\;\vec{u}_x + x\;y\;\vec{u}_y + z^2\;\vec{u}_z\;</math> se réécrit pour <math>\;M\,\in\,( \Sigma )</math>, surface d'équation <math>\;z = \rho</math>, <math>\;\overrightarrow{F}(M) = -a\;\rho\;\cos(\theta)\;\vec{u}_x + \rho^2\;\cos(\theta)\;\sin(\theta)\;\vec{u}_y + \rho^2\;\vec{u}_z\;</math> d'où le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux élémentaire" /> «<math>\;\delta \Phi = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M = \left[ -a\;\rho\;\cos(\theta)\;\vec{u}_x + \rho^2\;\cos(\theta)\;\sin(\theta)\;\vec{u}_y + \rho^2\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ \rho\,\left\lbrace -\cos(\theta)\;\vec{u}_x - \sin(\theta)\;\vec{u}_y + \vec{u}_z \right\rbrace d \rho\;d \theta \right] = \left[ a\;\rho^2\;\cos^2(\theta) - \rho^3\;\cos(\theta)\;\sin^2(\theta) + \rho^3 \right]\,d \rho\;d \theta\;</math>»<ref name="définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes" /> d'où le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ de vecteurs <math>\;\overrightarrow{F}(M)\;</math><ref name="flux" /> à travers le tronc de cône de révolution <math>\; ( \Sigma )\;</math> vérifiant <math>\;\rho\,\in\, \left[ a\,,\, 2\;a \right]\;</math> et <math>\;\theta\,\in\, \left[ 0\,,\, 2\;\pi \right[\;</math> «<math>\;\Phi = \displaystyle\iint\limits_{( \Sigma )} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math> est la somme de trois intégrales emboîtées selon <math>\;\Phi =</math> <math>\displaystyle\int_a^{2\,a} a\;\rho^2\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \cos^2(\theta)\;d \theta \right\rbrace\;d \rho - \displaystyle\int_a^{2\,a} \rho^3\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \cos(\theta)\;\sin^2(\theta)\;d \theta \right\rbrace\;d \rho + \displaystyle\int_a^{2\,a} \rho^3\,\left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} d \theta \right\rbrace\;d \rho\;</math> <math>= \left\lbrace \left[ a\;\dfrac{\rho^3}{3} \right]_a^{2\,a}\;\left[ \dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin(2\,\theta)}{4} \right]_0^{2\,\pi} \right\rbrace\; \cancel{- \left\lbrace \left[ \dfrac{\rho^4}{4} \right]_a^{2\,a}\;\left[ \dfrac{\sin^3(\theta)}{3} \right]_0^{2\,\pi} \right\rbrace} + \left\lbrace \left[ \dfrac{\rho^4}{4} \right]_a^{2\,a}\;\left[ \theta \right]_0^{2\,\pi} \right\rbrace\;</math><ref> On utilise pour calculer la 1^ère intégrale sur <math>\;\theta</math>, <math>\;\cos^2(\theta) = \dfrac{1 + \cos(2\,\theta)}{2}\;</math> s'intégrant en <math>\;\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin(2\,\theta)}{4}</math>.</ref> <math>\left\lbrace \dfrac{7}{3}\;a^4\;\pi \right\rbrace + \left\lbrace \dfrac{15}{4}\;a^4\;2\;\pi \right\rbrace = \dfrac{59\;\pi}{6}\;a^4\;</math>».}} {{Bas de page | idfaculté =physique | précédent = [[../Applications des divers repérages d'un point dans l'espace/]] | suivant = [[../Applications des intégrales impropres/]] }} 08tq8z5m15sg2p1bwf92lfznkpo9tgb 3 87061 982973 2026-05-21T18:40:54Z Fourmidable 50100 Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} » 982973 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 21 mai 2026 à 18:40 (UTC)}} n49zmx0c72vh2vcf3f4pv4hrixowgv0