Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 104 48644 982983 970519 2026-05-22T20:39:47Z Romanc19s 30210 Au cours du moiSSS de février 2014, le projet a gonflé son capital d'un million d’euros sur base d'une 982983 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ L'[[Recherche:Trilogie pour un monde juste et sain/Une humanité en crise|humanité est en crise]] et les nations font face à [[Recherche:Trilogie pour un monde juste et sain/Une crise de la gouvernance|une crise de la gouvernance]] sans précédent. La littérature tout comme la production audiovisuelle abondent de documents dénonciateurs. Malheureusement, parmi tous ces documents, rares sont ceux qui présentent une perspective globale de résolution. Ce texte pourrait en être une. === Vers une humanité adulte === [[Fichier:Future Music Festival 2013 (8541725920).jpg|thumb|upright=1.2]] Un premier constat philosophique : :« La modernité n’est pas en crise, elle est une crise : la crise d’adolescence de l’humanité. Et s’il est nécessaire de faire sa crise d’adolescence, il est également préférable d’en sortir un jour, pour devenir tant bien que mal un adulte. [...] L’âge adulte doit ainsi réaliser la synthèse entre les vérités de l’enfance et la liberté de l’adolescence. Ainsi par exemple les règles de la morale : d’abord acceptées passivement, ensuite rejetées violemment, elles seraient redécouvertes et voulues, réaffirmées librement par une conscience éclairée qui en saisit la nécessité et la bonté. De même, la nature politique de l’homme (sa nécessaire inscription dans une communauté) serait d’abord vécue spontanément, avant l’avènement de la conscience individuelle (« belle totalité [[w:Grèce antique|grecque]] ») ; puis rejetée à l’âge moderne ([[w:libéralisme politique|libéralisme politique]], [[w:Contractualisme|théorie du contrat]]), et enfin retrouvée à l’âge adulte (état [[w:Hegel|hégélien]]). À chaque fois le parcours est le même : éveil de la conscience libre, rejet de la norme (moins pour son contenu que pour la manière qu’elle avait de s’imposer qui faisait fi de la liberté de la conscience), redécouverte du contenu de la norme (débarrassé des scories inessentiels de la tradition), désormais librement voulue et acceptée. » {{harv|Guillaud|2005|p=77 & 84}} [[Fichier:Earth-moon.jpg|vignette|Vue de la terre depuis la lune|upright=1.2]] Dans ce monde en crise où la [[w:Population mondiale|population humaine a doublé en moins de cinquante ans]], devenir adulte dans sa condition d’être humain pourrait bien devenir une nécessité pressante. Dans cette perspective, l'émancipation des peuples ne serait elle pas la clef de sortie à la crise globale que connaît notre humanité ? Par [[wikt:émancipation|définition]], l'émancipation citoyenne repose sur trois principes : * Une émancipation économique basée sur la fin des contraintes économiques comme conditions d’existence et de dignité humaine. * Une émancipation politique basée sur la fin des tutelles politiques au bénéfice d'une gouvernance citoyenne. * Une reconnaissance du citoyen comme responsable de la qualité de vie sur terre. === L'émancipation économique === Le [[w:XXIe siècle|XXI{{e}} siècle]] est une époque de « surabondances » pour certains et de pénurie pour d’autre {{harv|Tchibambelela|2009|p=37}} dans laquelle l’[[w:Obsolescence programmée|obsolescence programmée]] et la[[w:publicité| publicité]] jouent un rôle prépondérant dans la vie économique du citoyen. :« Dans les années quatre-vingt, la politique se vendait comme des savonnettes. Aujourd'hui, ce sont les savonnettes qui vendent de la politique assure Robert Rochefort. Pour le directeur du CREDOC (Centre de recherche et d'études des coûts), la publicité pourrait se résumer à cette simple formule: « Un moyen de combler le vide de la société » . La crise politique et économique aidant, le vide s'accroît. D'où un recentrage des publicités, qui véhiculent aujourd’hui des valeurs dont le consommateur est frustré. Famille, environnement, sécurité ... « La plupart des campagnes publicitaires ont désormais tendance à montrer un bonheur dégoulinant. Un bonheur qui n'existe pas » , convient Bruno Delhomme, créatif chez BDDP, une des plus grosses agences de publicité, rachetée récemment par les britanniques. »<ref> {{Cite web | title = La Publicité perd le consommateur idéal mais garde le goût de séduire | accessdate = 2014-02-26 | url = http://www.humanite.fr/node/164759 | date = 15 octobre 1996 | author = E.F. | work = L'Humanité.fr }}</ref> [[Fichier:Fredmeyer edit 1.jpg|thumb|Rayons de supermarché|upright=1.2]] :« Des trois formes d’obsolescence programmée, le recours aux techniques pour rendre un produit suranné, à la publicité pour nous convaincre d’acquérir de nouveaux biens dont nous n’avons nul besoin, le plus symptomatique et le plus pervers est le fait d’introduire dans les produits une pièce défectueuse pour en limiter la durée de vie. » {{harv|Latouche|2012}} Pendant que 36 marques publicitaires dépensent « plus d'1 milliard $ en 2012 »<ref>{{Cite web | title = Publicité : les 36 marques qui ont dépensé plus d’1 milliard $ en 2012 ! | work = llllitl.fr | accessdate = 2014-02-27 | url = http://www.llllitl.fr/2012/12/publicite-36-marques-depense-budget-plus-d1-milliard-dollars-en-2012/ | date = 5 décembre 2012 | author = LLLLITL }}</ref> pour encourager les citoyens dans leur consommation, une frustration économique naît de façon évidente parmi ceux qui ne peuvent répondre aux appels des campagnes de marketing. :« L'économiste et ancien secrétaire général d'Ecolo [[w:Philippe Defeyt|Philippe Defeyt]] a estimé qu'un quart de la population "crève vraiment" et vit "le problème de savoir dès le 15 ou le 20 du mois quelle facture elle va pouvoir ou ne pas pouvoir payer". Les plus touchées sont les familles monoparentales. À côté de ces gens qui encaissent vraiment la baisse de pouvoir d'achat, il y a toute une frange de la population qui vit avant tout un sentiment de frustration par rapport à une série de nouveaux besoins et de nouvelles dépenses créés par notre société de consommation mais qui ne sont pas vraiment nécessaires, a jugé Philippe Defeyt parlant de "spirale d'achat". "Par exemple, si vous achetez un appareil photo, vous allez être tenté d'acheter une imprimante. Si vous achetez une imprimante, vous aurez forcément besoin de papiers spéciaux pour faire fonctionner cette imprimante. Et donc, en posant un geste de consommation, en fait, on est très vite entraîné à en poser d'autres" expliquait-il. »<ref> {{Cite web | title = Pouvoir d'achat: 1/4 de la population 'crève vraiment', les autres sont dans une frustration d'achat | accessdate = 2014-02-16 | url = http://www.rtl.be/info/economie/monargent/178776/pouvoir-d-achat-1-4-de-la-population-creve-vraiment-les-autres-sont-dans-une-frustration-d-achat | date = 7 octobre 2008 | author = Philippe Defeyt en interview sur BEL RTL | work = RTL info.be }}</ref> Quand son pouvoir d'achat est insuffisant pour répondre aux tentations publicitaires, le citoyen est alors poussé à se tourner vers le [[w:crédit à la consommation|crédit à la consommation]] qui lui permettra quand même de consommer selon ses envies. Mais le service rendu par les banques commerciales n’est pas désintéressé et une accumulation de crédits peut placer le citoyens dans une situation de surendettement. :« Au cours des dernières années et en 2013 notamment, la Wallonie (tout comme les deux autres régions du pays) a été confrontée à une augmentation du surendettement. Sans aucun doute, la conjoncture économique détériorée de ces dernières années explique, en partie, les difficultés financières rencontrées par les ménages ainsi que la hausse du surendettement. »<ref> {{Cite web | accessdate = 2014-03-07 | url = http://www.observatoire-credit.be/images/stories/docs/publications/RE/donnes_surendettement_rrw_fin_2013_-_final.pdf | work = L’observatoire du crédit et de l'endettement.be | title = Le surendettement en Wallonie : quelques indicateurs pour l’année 2013 | author = Caroline Jeanmart }}</ref> Coincés entre la pression publicitaire et les dettes, les citoyens en viennent alors à manifester pour leur pouvoir d'achat auprès des autorités publiques. Un sujet qui deviendra d'ailleurs très porteur pour les campagnes électorales. :« Je serai le président du pouvoir d’achat »<ref> {{Cite web | author = C. Laborde | title = Pouvoir ou pouvoir d'achat | work = Agoravox.fr | accessdate = 2014-02-19 | date = 31 janvier 2008 | url = http://www.agoravox.fr/actualites/politique/article/pouvoir-ou-pouvoir-d-achat-35022 }}</ref> : « Mon véritable adversaire, [...] c’est le monde de la finance »<ref>{{Cite web | author = Reuters | title = Hollande : "mon véritable adversaire, c’est le monde de la finance" | work = La Tribune.fr | accessdate = 2014-02-19 | date = 22 janvier 2012 | url = http://www.latribune.fr/actualites/economie/france/20120122trib000679586/hollande-mon-veritable-adversaire-c-est-le-monde-de-la-finance.html }}</ref> ... [[Fichier:Congestion caused by a road accident, Algarve, Portugal.jpg|vignette|Filles de voiture dans un embouteillage|upright=1.2]] Mais les promesses non tenues<ref> {{Cite web | author = Juan | title = L'abécédaire des promesses non-tenues de Nicolas Sarkozy | work = Marianne.net | accessdate = 2014-02-19 | url = http://www.marianne.net/L-abecedaire-des-promesses-non-tenues-de-Nicolas-Sarkozy_a171761.html | date = 28 décembre 2008 }}</ref> ou en attente de réalisation<ref> {{Cite web | author = Maxime Vaudano, Clément Parrot et Corentin Dautreppe. | work = Lui Président.fr | title = Taxe sur les transactions financières européenne | accessdate = 2014-02-19 | url = http://www.luipresident.fr/engagement/taxe-sur-transactions-financieres-europeenne-227 }}</ref> ne font que maintenir le citoyen en état de frustration. Une frustration d'autant plus grande que le « piège de la dette publique » {{harv|Attac France|2011}} est connu, tout comme le « scandale des paradis fiscaux » {{harv|Harel|2012}} ainsi que les propositions pour « changer d'économie » {{harv|Les économistes atterrés|2012}}. Heureusement, devant l’impuissance (ou la connivence diront certains<ref>{{Cite web | title = Au-delà de Cahuzac : les liaisons dangereuses entre les politiques et le monde des affaires. | work = Alternatives économiques.fr | author = Jean Gadrey | accessdate = 2014-03-07 | date = 13 avril 2013 | url = http://alternatives-economiques.fr/blogs/gadrey/2013/04/13/au-dela-de-cahuzac-les-liaisons-dangereuses-entre-les-politiques-et-le-monde-des-affaires-1-le-cercle-de-l%E2%80%99industrie-dsk-moscovici-carrez-barrot-etc/ }}</ref>) du pouvoir politique face au pouvoir économique, les citoyens gardent la possibilité de se tourner vers des démarches alternatives. De fait, on assiste aujourd’hui à l'émergence, ou parfois à la réapparition, de nombreux systèmes de solidarité et d'entraide économique : [[w:Ville en transition|villes en transition]], [[w:système d'échange local|systèmes d'échanges locaux]], [[w:groupement d'achat|groupements d'achat]], [[w:Coopérative de consommation|coopératives de consommation]], [[w:Jardin communautaire|jardins communautaires]], [[w:potager collectif|potagers collectifs]] ou [[w:Incredible Edible|gratuits]], [[w:Repair Café|cafés bricolage]], [[w:BeWelcome|communautés d'entraide au tourisme et au logement]], [[w:friperie|friperies]], [[w:Autopartage|autopartage]], [[w:Cohabitat|cohabitations]], [[w:Freecycle|donneries]], [[w:production communautaire|production communautaire]], etc. Toutes ces idées reposent sur ce nouveau concept de [[w:Consommation collaborative|consommations collaboratives]] {{harv|Botsman|Rogers|2011}}, qui pourrait selon certains « marquer la fin de l'âge de la propriété et de l'hyper consommation »<ref>{{Cite web | issn = 0261-3077 | author = Xavier de Lecaros Aquise | title = The rise of collaborative consumption and the experience economy | work = The Guardian.com | accessdate = 2014-03-07 | date = 1er mars 2014 | url = http://www.theguardian.com/technology/2014/jan/03/collaborative-consumption-experience-economy-startups }}</ref>. Soutenus par plusieurs auteurs et organisations<ref>Juste comme exemple : [http://www.asblrcr.be/ Le RCR ou Réseau de Consommateur Responsable]. Une liste à compléter de organisme de promotion des alternatives économique est disponible dans la partie [[Recherche:L'émancipation_citoyenne/documentation|annexe]] de ce travail</ref>, des réseaux de consommation alternatifs sont en train de se propager de bouches à oreille, ou de clavier à écran, au sein des populations. :« [[w:Juliet Schor|Juliet Schor]] démontre qu'un mode de vie qui privilégie l'épanouissement et la cohésion sociale plutôt que l'accumulation peut mener à l'équilibre écologique et économique. Cela passe tout d’abord par la réduction du temps de travail, et par une bonne utilisation du temps ainsi libéré : agriculture urbaine, bricolage, échanges, sont autant d'exemples explorés ici. Juliet Schor défend aussi l’idée que les innovations sociales et les nouvelles technologies peuvent simultanément améliorer nos vies et protéger la planète. Elle nous convainc ainsi que nous pouvons remettre en cause l’idée de déterminisme, notamment économique, auquel nous devrions nous soumettre et nous donne les moyens de sortir du cycle qui mène du travail aux dépenses et d'aller vers un monde riche de temps, de créativité, d'information et de lien social. » {{harv|Schor|2013|p=4ème de couverture}} [[Fichier:The SWAP Team.jpg|thumb|Echange de vêtements|upright=1.2]] :« [[w:Serge Latouche|Serge Latouche]] interroge toutes les idées reçues en circulation et y apporte des réponses précises et argumentées pour mettre un terme aux inquiétudes fantasmagoriques qui l’entourent. Non la décroissance n’est pas synonyme de croissance zéro ; non elle n’est pas technophobe. Ce n’est ni un projet anti-moderne destiné à nous renvoyer vivre dans des cavernes, ni un programme visant à restaurer un ordre patriarcal communautaire, ni l’instrument qui ferait de nous des chômeurs. » {{harv|Latouche|2011|p=4ème de couverture}} À côté des alternatives à la consommation sont aussi nés des mouvements [[w:Antipub|Antipub]] qui organisent la [[w:résistance à l'agression publicitaire|résistance à l'agression publicitaire]]. Sans pour autant faire un lien direct avec ces mouvements sociaux, les sondages démontrent toutefois que les citoyens développent un regard de plus en plus critique sur la publicité. :« La publicité, outil marketing par excellence, continue de voir son appréciation se dégrader, même si l'attention qu'on lui porte reste constante. C'est la preuve que la forme qu'elle prend, son contenu, sa présence, sont moins bien acceptés. En 2011, les publiphobes sont presque 3 fois plus nombreux que les publiphiles. En 2004, il n'y avait que 25% de publiphobes de plus que de publiphiles... »<ref> {{Cite web | title = Publicité et Société 2011: Décrochages | accessdate = 2014-02-26 | url = http://www.tns-sofres.com/etudes-et-points-de-vue/publicite-et-societe-2011-decrochages | work = Tns-sofres.com | author = [[w:TNS Sofres|TNS Sofres]] | date = 27 septembre 2011 }}</ref> Du côté politique aussi les choses évoluent, même si les initiatives n'émergent pas forcément des représentants. Parmi les idées les plus radicales, et peut-être des plus prometteuses en termes d'égalité sociale, il existe le [[w:Revenu de base|revenu de base inconditionnel]] et sa variante, défendu par [[w:Bernard Friot|Bernard Friot]] : le [[Recherche:Salaire à vie|salaire à vie]]. Sans être une idée nouvelle, le concept de revenu de base se dit moderne et efficace par ses nouveaux promoteurs {{harv|Jörimann|2007}}, et son financement a déjà fait l’objet de plusieurs propositions {{harv|Jörimann|Kundig|2010}}. Autour de ces idées s'est constitué le [[w:Basic Income Earth Network|Basic Income Earth Network]], un réseau d'universitaires et d'activistes qui fut à l'origine de la création d'un mouvement citoyen plus large dont les actions ont déjà abouti à certains résultats. En effet, si leur campagne de lancement d'initiatives citoyennes n'a pu aboutir au niveau européen<ref>{{Cite web | title = {{unité|285.000|euro}}péens veulent faire plancher la commission européenne sur le revenu de base | work = Revenu de base.info | author = Portail francophone du revenu de base | accessdate = 2014-02-26 | url = http://revenudebase.info/2014/01/15/fin-initiative-europeenne-mouvement | date= 15 janvier 2014 }}</ref>, elle a par contre permis le dépôt de {{formatnum:125000}} signatures auprès de la Chancellerie fédérale suisse<ref>{{Cite web | title = Europe - Les Suisses voteront sur le principe d'un revenu de base | work = France 24.com | author = France 24 | accessdate = 2014-02-28 | url = http://www.france24.com/fr/20130526-suisses-rente-revenu-base-inconditionnel-rbi-francs-euros-vote-initiative-populaire-referendum | date = 26 mai 2013 }} </ref>. D'ici 2015, et grâce à ces signatures, les citoyens helvétiques seront donc invités à se positionner par référendums sur l'opportunité d'intégrer les principes de revenu de base dans leur constitution<ref>{{Cite web | author = Ralph Kundig | title = Un revenu de base de {{unité|2500|francs}} en Suisse: une fortune ? | work = Revenu de base.info | accessdate = 2014-03-02 | url = http://revenudebase.info/2013/11/30/montant-revenu-suisse-2500/ | date = 30 novembre 2013 }}</ref>. [[Fichier:Repair Cafe by Ilvy Njiokiktjien.jpg|vignette|Repair Café à Amsterdam|upright=1.2]] Le débat autour des idées d'allocations universelles va donc se poursuivre au sein de l’opinion publique, où l’on peut d'ores et déjà observer un clivage de type progressistes et conservateurs. Avec des propos similaires à ceux de [[w:Philippe Van Parijs|Philippe Van Parijs]] du côté des [[w:Liste des partisans du revenu de base|partisans du revenu de base]]: :« Pour améliorer nos modèles sociaux, pour les sauver même, il y a bien mieux à faire que de se cramponner à ce qui existe. Il faut les restructurer de manière à permettre un va-et-vient plus souple, tout au long de l'existence, entre l'emploi, la formation et les activités bénévoles au sein de la famille et en dehors. »<ref>{{Cite web |author = Philippe Van Parijs dans une interview par le journal Le Monde |date = 13 décembre 2013 |title = Pour la mise en place d'un revenu universel |work = Le Monde.fr |accessdate = 2014-03-02 |url = http://www.lemonde.fr/idees/article/2013/12/13/pour-la-mise-en-place-d-un-revenu-universel_4333666_3232.html }}</ref> Et des propos similaires à ceux de [[w:Mateo Alaluf|Mateo Alaluf]] du côté des opposants: : « Je pense qu’il faut d’abord lutter pour renforcer les minima sociaux à savoir le revenu d’insertion, la grapa (garantie de revenu aux personnes âgées) et en ce qui concerne le chômage, combattre les mesures de dégressivité et la chasse aux chômeurs et agir pour l’augmentation des allocations. La réduction du temps de travail, l’amélioration des conditions de travail et la fixation d’un revenu maximal pour les riches constituent autant de champs de mobilisation prioritaire. »<ref>{{Cite web | author = Aurore Van Opstal | work = Femmes de chambre.be | title = Mateo Alaluf : « Le revenu de base précariserait l’emploi » | accessdate = 2014-03-02 | url = http://www.femmesdechambre.be/mateo-alaluf-le-revenu-de-base-precariserait-lemploi | date = 15 janvier 2014 }}</ref> Au niveau de la finance, des alternatives existent également, soit au travers d'autres types de monnaies ou de financement tels que les [[w:Monnaie complémentaire|monnaies complémentaires]], [[w:Monnaie locale|locales]] ou [[w:Monnaie fondante|fondantes]] et la [[w:Finance participative|finance participative]]; soit au travers de nombreux projets qui se développent autour du concept de [[w:Finance solidaire|finance solidaire]] : [[w:Association internationale des investisseurs en économie sociale|l'association internationale des investisseurs en économie sociale]], [[w:Réseau Financement Alternatif|le réseau de financement alternatif]], [[w:La Nef (entreprise)|la société coopérative de finances solidaires]], [[w:Finansol|Finansol]], [[w:Cigales|Cigales]], [[w:Fédération européenne des banques éthiques et alternatives|La fédération européenne des banques éthiques et alternatives]], [[w:Réseau Financement Alternatif|Le réseau Financement Alternatif]], [[w:Garrigue|Garrigue]] et puis cette initiative d'envergure de la banque coopérative [https://newb.coop/fr NewB], lancée le 23 mars 2013, banque qui se dit participative, transparente, sobre et dédiée à l'économie locale tout en œuvrant pour l’intérêt général et en mettant le client au cœur de ses décisions<ref>{{Cite web | author = NewB | title = Quelle banque construisons-nous? | work = NewB | accessdate = 2014-03-08 | date = 29 janvier 2014 | url = https://newb.coop/fr/quelle-banque-construisons-nous }}</ref> . Construit majoritairement sur des fonds citoyens et associatifs, ce projet a réussi, deux jours après son lancement, à rassembler 5500 coopérants<ref>{{Cite web | title = "New B": déjà plus de 5500 coopérants au lendemain de son lancement - RTBF Économie | work = RTBf Info .be | accessdate = 2014-03-07 | date = 26 mars 2013 | author = Agence Belga | url = http://www.rtbf.be/info/economie/detail_la-new-b-compte-deja-la-moitie-des-cooperants-desires-au-lendemain-du-lancement?id=7955833 }}</ref>. Au cours du mois de février 2014, le projet a gonflé son capital d'un million d’euros sur base d'une campagne de récolte de fonds effectuée sans l'usage des méthodes de marketing traditionnelles<ref>{{Cite web | title = NewB rassemble un million grâce à ses membres | work = 7 sur 7.be | accessdate = 2014-03-06 | author = Agence Belga | date = 6 mars 2014 | url = http://s.7s7.be/1806340 }}</ref>. Si ce succès continue, cette banque devrait entrer en fonction d'ici 2015. [[Fichier:Auroville - Maitri Mandir (5571796).jpg|thumb|Le [[w:Matrimandir|Matrimandir]] de [[w:Auroville|Auroville]]|upright=1.2]] Enfin, il existe déjà des communautés qui s'organisent dans une économie parallèle où les richesses sont mises en commun pour être redistribuées parmi les membres. C'est le cas de communautés de tailles diverses et informelles, mais aussi de communautés nationalement soutenues et reconnues, telles que les [[w:kibboutz|kibboutzs]] ou [[w:Auroville|Auroville]] (plus de 2000 habitants). Vivre dans un monde sans argent avec une [[w:The_Venus_Project#Une_économie_basée_sur_les_ressources|économie basée sur les ressources]] est aussi la vision d'un projet d'envergure planétaire très controversé intitulé [[w:The Venus Project|Projet Vénus]]. Ainsi, l'essor de la consommation collaborative, la désaffectation de la publicité, la défense d'un revenu de base inconditionnel, le développement de la finance solidaire, et l’existence de diverses communautés et projets apparaissent tel un ensemble d'indicateurs d'émancipation économique citoyenne. Au départ de ces nouvelles tendances, il faut espérer que les citoyens retrouveront une certaine sérénité économique et que par la même occasion, ils puissent reprendre goût à la gestion politique du monde qui les entoure. Dans une époque où la contrainte économique absorbe le temps et la pensée citoyenne, où l' « opinion publique se fabrique » {{harv|Chomsky|2003}}, où le « marketing politique » {{harv|Achache|1989}} sait « comment manipuler l'opinion en démocratie » {{harv|Bernays|2008}}, un autre type d'émancipation citoyenne reste effectivement à faire. === L'émancipation politique === Au sein d'une population d'adultes, l’idée de tutelle prend sens dès le moment où les décisions politiques sont prises par un groupe restreint de citoyens. Tuteurs de la nation, ces représentants politiques reçoivent pour mandat d'assumer la responsabilité des décisions politiques, sans pour autant en assumer les conséquences. :« Aujourd'hui, quand un politique dit « j'assume », il ne veut pas dire « j'en accepte les conséquences » mais « c’est comme ça, point barre » ! Or, l'exercice de responsabilités doit être assumé réellement et non de manière purement formelle. C'est vrai en ''corporate governance'', ce doit l'être aussi en gouvernance politique. » {{harv|Monette|Laporte|2007|p=126}} Quand la gouvernance politique se dit démocratique, l'accès à la représentation politique doit se faire au travers d'élections. Pour accéder au pouvoir, « Un acteur politique n'a d’autre choix que de chercher à se faire ''a.i.m.e.r.'' » {{harv|Eraly|2002|p=27}} [[Fichier:G-20 Reunion Washington.jpg|thumb|G-20 Reunion Washington|upright=1.2]] Si se faire aimer est une condition indispensable à l'accès au poste de représentant politique, c’est aussi une source de conflits d'intérêts. En effet, quand une décision politique est à la fois bonne et déplaisante pour les citoyens, en assumer la responsabilité représente pour un élu le risque de perdre la sympathie de son électorat et donc, par la même occasion, risquer sa place de représentant aux prochaines élections. :« Dans l'élaboration d'une politique économique, les conflits entre objectifs d’abord, entre moyens ensuite, entre forces politiques, groupes d'intérêts, voire corps administratifs enfin, tiennent sans doute une place plus importante que les complémentarités. Les choix, qui viennent les résoudre, ne découlent que très partiellement d'un calcul économique rationnel quels qu'en soient par ailleurs les critères et la base sociologique de ceux-ci. » {{harv|Bénard|1962}} Ce conflit d'intérêt n’est pas le seul, puisque les représentants politiques sont aussi juges et parties dans la décision des règles qui les concernent. Ils peuvent ainsi s'octroyer des avantages sans accord préalable avec le reste de la population. :«Chaque assemblée, chaque gouvernement, détermine dans son coin les règles de rémunérations. Cela aboutit à des différences qui sont assez difficiles à expliquer. Est-il logique qu’un ministre flamand gagne moins qu’un Secrétaire d’État bruxellois ? »<ref>Propos de Jean Faniel recueilli par {{Cite web | author = F.C. | work = La Libre.be | title = Les vrais salaires de la politique belge | accessdate = 2014-03-10 | date = 28 novembre 2013 | url = http://www.lalibre.be/actu/politique-belge/les-vrais-salaires-de-la-politique-belge-528d8e773570386f7f3091f2 }}</ref> Autre exemple, en Belgique « Les partis politiques s'attribuent 8 millions d'euros<ref>À titre comparatif et pour une période de deux ans : {{Cite web | date = 15 juillet 2013 | work = Diplomatie Belgium.be | title = La Belgique octroie 9,2 millions d’euros à la lutte contre la pauvreté et à l’aide à la gouvernance Affaires étrangères, Commerce extérieur et Coopération au Développement | accessdate = 2014-03-10 | url = http://diplomatie.belgium.be/fr/Newsroom/actualites/communiques_de_presse/cooperation/2013/07/ni_150713_fao.jsp?referer=tcm:313-227977-64 }}</ref> supplémentaires » en août 2013<ref>{{Cite web | work = La Libre.be | author = Agence Belga | title = Les partis politiques s'attribuent 8 millions d’euros supplémentaires | accessdate = 2014-02-19 | url = http://www.lalibre.be/actu/politique-belge/les-partis-politiques-s-attribuent-8-millions-d-euros-supplementaires-5218469435707ef67ad8e859 | date = 24 août 2013 }}</ref>, alors que deux ans auparavant on voyait « la Belgique épinglée pour son financement des partis politiques »<ref>{{Cite web | work = La Libre.be | author = Agence Belga | title = La Belgique épinglée pour son financement des partis politiques | accessdate = 2014-02-19 | date = 10 août 2011 | url = http://www.lalibre.be/actu/belgique/la-belgique-epinglee-pour-son-financement-des-partis-politiques-51b8d7dfe4b0de6db9c29055 }}</ref> par l'agence anti-corruption du Conseil de l'Europe. Pour les partis politiques au pouvoir, ces 8 millions tomberont donc juste à point pour payer leurs campagnes de marketing politiques prévues pour les élections de 2014. [[Fichier:Le forum mondial de la démocratie au Conseil de lEurope.jpg|thumb|Forum mondial de la démocratie|upright=1.2]] Dans ce contexte apparaît dès lors une concurrence déloyale envers les partis politiques émergents. En effet, les partis qui n'ont toujours aucun membre élu ne profiteront pas du transfert de ces 8 millions, pas plus que d'une quelconque aide en provenance de l'état. Par contre, pour se présenter aux élections, ces nouveaux partis se verront dans le devoir de récolter et faire valider dans chaque commune soit un nombre important de signatures en provenance des citoyens (5000 pour une liste européenne en Belgique), soit un nombre réduit de signatures en provenance des élus sortants (5 dans les mêmes circonstances)<ref>{{Cite web | work = ibz.rrn.fgov.be | title = La candidature aux différentes élections - Élections 2014 | accessdate = 2014-03-08 | url = http://www.ibz.rrn.fgov.be/index.php?id=3448&L=0 | author = Art. 21 de la Loi du 23 mars 1989 relative à l’élection du Parlement européen | date = 2014 }}</ref>. Mais il va de soi que les élus signeront au profit des dépôts de listes de leur propre parti et refuseront de donner leur signature pour un parti « adverse ». De cette situation injuste, découle ainsi la facilité pour les partis déjà en place de renforcer leur présence au sein des gouvernements et la difficulté pour les partis naissant d'entrer dans l'espace de décisions politiques . :« Depuis 1952, avec la campagne d'[[w:Dwight David Eisenhower|Eisenhower]] qui le premier fit appel à des agences de publicité, le marketing politique a joué un rôle croissant dans les campagnes électorales. Sa pénétration en France, bien que plus tardive, est aujourd’hui à peu près totale. Tous les candidats importants à l'élection présidentielle de 1988 se sont adjoint les services d'une agence de publicité ou de conseil en marketing. C'est sans doute par manque de moyens financiers que les petits candidats n'ont pas eu recours à de tels conseillers. » {{harv|Achache|1989|p=103}} :« Cette concentration du pouvoir dans les mains de quelques-uns et en dehors des règles prévues par la Constitution n’est pas saine. Il s'agit même d'une dérive dangereuse. En outre, on l'a vu, ce fonctionnement ne garantit nullement des décisions adéquates et cohérentes. Ce n'est donc pas parce que le gouvernement voire même un noyau au sein du gouvernement semble plus adapté pour répondre à la complexité et l'accélération du monde d’aujourd’hui qu’il faut en oublier les vertus de l'indispensable {{lang|en|checks and balances}} et le supprimer ou le rendre purement formel, ce qui revient au même. Le principe du contre-pouvoir est le garant de la démocratie car comme le disait Montesquieu de manière fort juste, " seul le pouvoir arrête le pouvoir " ! » {{harv|Monette|Laporte|2007|p=60}} [[Fichier:Protest against ACTA - 2012-01-28 - Toulouse - 04.jpg|thumb|Protestation contre [[w:ACTA|ACTA]]|upright=1.2]] :« Tout cela donne une mesure du travail qu’il reste à accomplir à ceux et à celles qui pensent que la démocratie doit être vécue au grand jour par des participants lucides et informés. » {{harv|Bernays|2008|p = 11 du pdf}}<ref>Préface de [[w:Normand Baillargeon|Normand Baillargeon]]</ref> Enfin, le système démocratique par élection pose aussi problème en termes de représentation.En effet, si un système électoral permet de désigner les représentants de la nation, ces derniers ne sont pas pour autant représentatifs, sociologiquement parlant, des populations qui les ont élus. :« En plus d’une crise économique sans précédent, la France souffre actuellement d’une grave crise politique, marquée par un sentiment de coupure entre le peuple et ses élites politiques. Ce sentiment trouve pour partie son fondement dans un véritable déficit de représentativité de l’Assemblée nationale. Le profil type du député : homme blanc, de plus de {{unité|50|ans}} et issu des classes sociales supérieures, laisse hors de toute représentation des pans importants de la population. » {{harv|Keslassy|2012|p=4ème de couverture}} Malgré toutes ses déficiences démocratiques, la tutelle politique s'est avérée utile à une époque où une grande partie des citoyens n'avait pas accès ni à l'enseignement, ni aux informations nécessaires à la compréhension du monde dans sa globalité. :« Dans les pays politiquement les plus démocratiques, les plus libres, tels que l’Angleterre, la Belgique, la Suisse et les États-Unis d’Amérique, la liberté et les droits politiques dont les ouvriers sont censés jouir ne sont rien qu’une fiction. Esclaves de leurs patrons au point de vue économique, ils sont, au point de vue politique, également des esclaves. Ils n’ont ni l’instruction, ni le loisir, ni l’indépendance nécessaires pour exercer librement, et avec pleine connaissance de cause, leurs droits de citoyens. » {{harv|Bakounine|1910|p=191 & 192}} [[Fichier:Femmes adivasies, Gwalior, India.jpg|vignette|Femmes indiennes participant à la marche pour la justice d'octobre 2012 en Inde|upright=1.2]] Mais les choses ont bien changé depuis la mise en place des [[w:démocratie représentative|démocraties représentatives]]. Tout d’abord, Internet et ses moteurs de recherche toujours plus performants offrent aux citoyens d'aujourd'hui un accès sélectif à une information difficilement censurable et toujours plus abondante. De plus, grâce à l'avènement du [[w:Web 2.0|Web 2.0]], et plus précisément de la « démocratie 2.0 » {{harv|Lejeune|2009}} Internet ouvre le potentiel d'un réel espace de gouvernance citoyenne comme déjà en témoignent divers projets recensés dans le monde dans des pays tel que la France, l'Irlande, l'Islande, les États-Unis, le Brésil<ref>{{Cite web | title = Cinq expériences de démocratie 2.0 | author = Anne-Sophie Novel | work = Le Monde.fr | accessdate = 2014-03-25 | date = 25 novembre 2013 | url = http://www.lemonde.fr/actualite-medias/article/2013/11/25/cinq-experiences-de-democratie-2-0_3519922_3236.html }}</ref>, la Belgique, l'Espagne, l'Italie, la Suisse<ref>{{Cite web | title = Les outils numériques au service d’une participation citoyenne et démocratique augmentée. Les initiatives en Belgique francophone et les bonnes pratiques étrangères visant à renforcer l’expression citoyenne et la démocratie participative | author = Périne Brotcorne sous la direction de Gérard Valenduc | work = Fondation Travail-Université | date = mars 2012 | accessdate = 2014-04-03 | url = http://www.ftu-namur.org/fichiers/TIC_participation_citoyenne.pdf }}</ref>, etc. Les citoyens ont aussi prouvé qu’ils pouvaient s'organiser en communautés auto gouvernées de toutes sortes, qu’elles soient centralisées comme dans les projets [[w:Wikimédia|Wikimédia]], [[w:OpenStreetMap|OpenStreetMap]] ou décentralisées comme dans la [[w:blogosphère|blogosphère]] et les réseaux sociaux. :« Le Web 2.0 a fait une entrée fracassante dans les sociétés arabes depuis quelque années, en particulier auprès des jeunes. Si le numérique a des effets politiques, notamment à travers le rôle qu’il a joué dans les soulèvements depuis 2011, il est avant tout un vecteur de reconfigurations sociales majeur. » {{harv|de Montbrial|Moreau Defarges|2013|p=156}} Enfin, la démocratisation de l'enseignement a rendu la scolarisation possible, et même parfois obligatoire, dans toutes les couches sociales des populations, même si les résultats de l’Enquête faite par le [[w:programme PISA|programme PISA 2012]] démontrent qu’il existe encore de grandes disparités<ref> {{Cite web | author = Programme International pour le Suivi des Acquis des élèves (PISA) | work = Organisation de coopération et de développement économiques (OCDE) | title = Principaux résultats de l’Enquête PISA 2012 Ce que les élèves de {{unité|15|ans}} savent et ce qu’ils peuvent faire avec ce qu’ils savent. | accessdate = 2014-02-27 | url = http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/PISA-2012-results-overview-FR.pdf | date = 2012 }}</ref>. Dans ce nouveau contexte, la dénonciation pertinente et documentée des incohérences ou du manque d'éthique manifestés par les dirigeants politiques ou leurs administrations devient chose fréquente. Sur Internet, fleurissent des sites que l’on pourrait qualifier de « veille citoyenne » tel que [http://wikileaks.org Wikileaks.org], [http://www.agoravox.fr agoravox.fr], [http://www.cumuleo.be cumuleo.be], [http://www.deputesgodillots.info députés godillot.info], [http://www.droitderegard.be Droitderegard.be], [http://www.luipresident.fr luiprésident.fr], [http://www.zewerkenvoorjou.be/ zewerkenvoorjou .be] dont la distribution des informations se voit amplifiée par les réseaux sociaux. Tous ces dispositifs spontanés de surveillance ne font d'ailleurs que renforcer le phénomène de désaffectation citoyenne à l'égard du politique observé par les instances européennes depuis plus de quinze ans déjà {{harv|Commission européenne|2000|p=6}}. [[Fichier:SomUnaNacioNosaltresDecidim10Juliol2010.jpg|vignette|Mouvement d'autodétermination catalan à Barcelone|upright=1.2]] : « PARTOUT, la désaffection des citoyens et la corruption des mœurs politiques sont les symptômes les plus flagrants d’une démocratie en crise, confrontée au défi de la mondialisation. »<ref>{{Cite web | author = Alain Bihr | title = Les nouvelles frontières de la souveraineté | work = Le Monde diplomatique.fr | accessdate = 2014-03-01 | url = http://www.monde-diplomatique.fr/1995/04/BIHR/1411 | date = avril 1995 }}</ref> :« Les débats relatifs à la démocratie locale, sur un registre participatif, prennent corps au sein de sociétés dans lesquelles le rapport entre la société civile et le politique se délite progressivement. Plus exactement, c’est un type d’organisation du politique historiquement daté qui est en cause. En effet, il a longtemps été inconcevable de penser le politique en dehors de l’État, de ses institutions et de son territoire contrôlé par le biais d’un ensemble de frontières et d’instruments normatifs. Ce modèle politique a, semble-t-il, vécu, il est du moins remis en question. » {{harv|Jouve|2005|p=317}} :« Avec 17% de vote Le Pen, c’est un vote d'opposition qui s'est structuré depuis la fin des années 1980. » {{harv|Le Vigan|2007|p=374}}. La perte de confiance envers les politiciens ne s'observe pas uniquement dans les urnes, elle se manifeste aussi dans les rues comme en témoignent de nombreux mouvements citoyens internationaux tels que [[w:Mouvement des Indignés|les indignés]], [[w:Anonymous (collectif)|anonymous]], [[w:Masse critique (mouvement social)|Masse critique (mouvement social), ]][[w:Via Campesina|Via Campesina]] ou nationaux tel que [[w:Ekta Parishad|Ekta Parishad]] en Inde, le [[w:Mouvement des sans-terre|Mouvement des sans-terre]] au Brésil, [[w:Vidsich|Vidsich]] en Ukraine, [[w:Wutbuerger|Wutbuerger]] en Allemagne, [[w:Occupy Wall Street|occupy wall street]] aux USA. À côté de ces manifestations de masse, apparaissent aussi des organisations structurées et reconnues telles que le [[w:Comité pour l'annulation de la dette du tiers monde|comité pour l'annulation de la dette du tiers monde]] et [http://www.democracy-international.org Démocracy International] ou encore des initiatives citoyennes spontanées tel que [http://www.democratiereelle.eu/ Démocratie réelle.eu], [http://www.constituante.be constituante.be], [http://www.periferia.be Periferia] les [http://gentilsvirus.org gentils virus] et bien d'autres. À cela faut-il encore ajouter l'engagement de personnalités tel que [[w:Etienne Chouard|Etienne Chouard]] au travers ces [http://etienne.chouard.free.fr/Europe/tous_les_resumes.php nombreux débats et conférences] ou [[w:David Van Reybrouck|David Van Reybrouck]] avec récent livre intitulé ''Contre les élections'' qui fut l'un des principaux initiateurs de la plate-forme d'innovation démocratique [http://www.g1000.org/fr/ G 1000]. À l'image de certaines communes et cantons de Suisse où les décisions politiques se prennent à mains levées ([[w:Landsgemeinde|Landsgemeinde]]), cette plate-forme rassembla 704 citoyens belges tirés au sort pour débattre des problèmes de société en pleine crise gouvernementale belge. De ce sommet est ressorti comme question principale : « avec ou sans emploi, comment aborder le travail dans notre société ? » {{harv|G 1000|2012}} [[Fichier:Landsgemeinde Glarus 2006.jpg|thumb|Vote à main levée dans la commune de Glarus|upright=1.2]] :« On a tout réduit à une seule procédure : les élections. Cela a assez bien fonctionné pendant deux siècles mais entre l’époque où les élections ont été inventées et notre époque actuelle, beaucoup de choses ont changé notamment au niveau des médias… »<ref>Propos de [[w:David Van Reybrouck|David Van Reybrouck]] dans une [http://www.rtbf.be/video/embed?id=1869246# interview] de {{Cite web | title = David Van Reybrouck : "Nous sommes des fondamentalistes des élections" | work = RTBf Info.be | accessdate = 2014-03-03 | url = http://www.rtbf.be/info/belgique/detail_david-van-reybrouck-nous-sommes-des-fondamentalistes-des-elections?id=8136684 | author = Arnaud Ruyssen | date = 16 novembre 2013 }}</ref> Dans un autre contexte, des communautés d'internautes se sont aussi créées sur base de principes démocratiques directs et participatifs. La communauté de contributeurs de la distribution [[w:Debian|Debian]] et celle des projets [[w:Wikimédia|Wikimédia]] en sont probablement les deux meilleurs exemples. Dans ces deux communautés comme ailleurs dans d'autres projets défendant les valeurs véhiculées par la culture libre, on parle déjà d'un nouveau concept de gouvernance appelé [[w:gouvernement ouvert|démocratie ouverte]]. :« C'est un modèle particulièrement efficace qui facilite la prise d'initiative par le plus grand nombre. Ce système particulièrement est répandu dans l'univers des wikis, en particulier dans les sections les moins surveillées d'un wiki. Avec ce système, on s'appuie sur le principe que (hormis quelques cas de vandalisme) ce sont les experts sur la question qui vont avoir la motivation et prendre le temps d'écrire sur un sujet qui les intéresse. Cette hypothèse ou plutôt ce pari de l'auto-sélection semble se vérifier dans de nombreux cas, et sa facilité d'implémentation expliquerait l'actuel enthousiasme pour le recours aux wikis. »<ref> {{Cite web | work = wikifarm.koumbit.net | title = Wikipedia et le projet Québec, La reconnaissance des usages contributifs (version 02) | author = Anne Goldenberg | accessdate = 2014-03-02 | date = 9 novembre 2009 | url = https://wikifarm.koumbit.net/anne/CRSHWikipedia }}</ref> Un tel type de gouvernance combiné à une indépendance financière octroie à une communauté d'utilisateur telle que celle de Wikipédia une réelle souveraineté par rapport au contenu de son site. Cette souveraineté a d'ailleurs fait ses preuves lorsqu'une injonction faite par le ministère Français de l'intérieur accompagnée de menaces envers un membre de l'association Wikimédia France n'a pu aboutir à la suppression d'un [[w:Station hertzienne militaire de Pierre-sur-Haute|article traitant d'une base militaire française]]<ref>Tous les détaille sur cette affaire on été repris sur une page de l'encyclopédie intitulée [[w:Wikipédia:Affaire_de_Pierre-sur-Haute|Wikipédia: L'affaire de Pierre-sur-Haute]].</ref>. De tous les faits pouvant servir d'indicateurs à un processus d'émancipation politique, le plus révélateur à ce jour, restera sans doute la révolution des casseroles islandaise. Pendant cette révolution relativement impressionnante pour un pays où la population ne dépasse pas {{formatnum:322000}} habitants, une nouvelle Constitution a été écrite au départ d'une assemblée constituante tirée au sort en 2011 pour être ensuite « assassinée par le Parlement » en 2013<ref>{{Cite web | author = Thorvaldur Gylfason | translate = Jessica Devergnies | title = Putsch : la Constitution Islandaise a été assassinée par le Parlement | work = Vivre en Islande.fr | accessdate = 2014-02-16 | url = http://www.vivreenislande.fr/2013/03/la-constitution-islandaise-assassinee.html }}</ref>. [[Fichier:W15a Protesters 1844.JPG|thumb|Policier islandais face au manifestants|upright=1.2]] :« L’exemple islandais montre qu’une crise profonde peut conduire à des changements sociétaux rapides et majeurs, comme l’illustre la mise en route d’un processus constitutionnel tout à fait original et, plus largement, d’initiatives visant à assainir le système politique. Mais les développements actuels indiquent également qu’un tel mouvement, malgré l’engouement populaire qu’il a pu susciter, peut retomber de manière rapide si les forces qui le portent ne parviennent pas à l’inscrire dans la durée par exemple en faisant un enjeu politique primordial, ou en l’appuyant sur un mouvement social d’ampleur. Ce constat nous rappelle l’importance des rapports de forces en démocratie pour faire avancer une idée, un point de vue ou une réforme, ou au contraire pour les contrecarrer. » {{harv|Stéfanski|2013|p=8 du pdf}} L'expérience islandaise nous informe que pour aboutir à une émancipation politique, un mouvement doit soit inscrire son action dans un cadre institutionnel fidèle autant que favorable, soit garantir son autonomie et son indépendance dans un mouvement social structuré et continu. Ce que l'exemple islandais nous indique aussi, c’est que dans le cadre d'une remise en question d'un système politique, les représentants élus en fonction n'hésitent pas à user de leurs prérogatives institutionnelles pour défendre leurs places et leurs intérêts. Il y a d'ailleurs de fortes chances pour que la nouvelle Constitution islandaise votée par le peuple reste dans ses cartons tant que les citoyens n'en assumeront pas eux-même la responsabilité de la mise en pratique. Cette prise de responsabilités semble donc décisive dans le processus d'émancipation. Car prendre ses responsabilités, c’est aussi mettre fin au confort octroyé par l'encadrement et la tutelle. À l'image du jeune adulte qui décide de s'émanciper en quittant la maison familiale pour voler de ses propres ailes, devenir responsable de son propre destin représente une étape cruciale à franchir dans l'esprit de chaque citoyen. === Le citoyen responsable === Libéré de ses contraintes économiques et de sa tutelle politique, le citoyen émancipé se retrouvera face à ses responsabilités. Sans plus personne sur qui reporter la faute, les problèmes économiques, politiques ou écologiques deviendront les problèmes de tout un chacun. Pour les résoudre, il n'existera d’autre choix que de s'impliquer tous ensemble dans la bonne gouvernance du monde qui nous entoure. Dès lors, anticiper les conséquences de ses actes et de ses choix sera la seul manière de ne pas se retrouver un jour à la place de la victime ou du bourreau dans le cadre d'une mauvaise gouvernance. Bien plus qu'une réforme économique et politique, ce qu'apportera l'émancipation des citoyens sera un nouvel art de vivre ensemble. Vivre ensemble comme on fait de la musique. Écouter ensemble tous les sons, toutes les voix, tous les musiciens. Décider ensemble de leurs places, du rôles et des fonctions de chacun, dans le but d'atteindre un idéal : une harmonie parfaite. === Notes et références === <references /> === Bibliographie === * [[w:Attac|Attac]] France (2011) :{{Cite book | publisher = Éditions Les Liens qui libèrent | isbn = 9782918597568 | last = Attac France | title = Le piège de la dette publique: Comment s'en sortir | date = 2011 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=NhYEFVbpeSYC&hl=fr&source=gbs_similarbooks }} * [[w:Mikhaïl Bakounine|Bakounine, Michel]] (1910) :{{Cite book | volume = tome IV | publisher = James Guillaume | place = Paris | date = 1910 | isbn = 2851842005 | last = Bakounine | first = Michel | title = Œuvres | url = https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Bakounine_-_%C5%92uvres_t4.djvu/206 }} * Bénard, Jean (1962) :{{Cite book | doi = 10.2307/3499712 | issn = 0035-2764 | pages = 701–735 | last = Bénard | first = Jean | title = Conflits et choix dans l'élaboration de la politique économique | publisher = In: ''Revue économique'', Volume 13, n°5 | date = 1962 | url = http://www.persee.fr/articleAsPDF/reco_0035-2764_1962_num_13_5_407525/article_reco_0035-2764_1962_num_13_5_407525.pdf }} * [[w:Edward Bernays|Bernays Edward L.]] (2008) :{{Cite book | publisher = Lux, editeur | isbn = 9782895960638 | last = Bernays | first = Edward L. | title = Propaganda: Comment Manipuler L'opinion en Démocratie | date = 2008 | url = http://dissidenceresistance.files.wordpress.com/2012/05/propaganda-comment-manipuler-lopinion-en-dc3a9mocratie.pdf | location = Montréal }} * [http://www.rachelbotsman.com Botsman, Rachel] ; Rogers, Roo (2011) :{{Cite book | publisher = HarperCollins UK | isbn = 9780007413485 | last = Botsman | last2 = Rogers | first = Rachel | first2 = Roo | title = What’s Mine Is Yours: How Collaborative Consumption is Changing the Way We Live | date = 2011 | url = http://books.google.be/books?id=GqoUMEAoZ_MC&printsec=frontcover&dq=collaborative+consumption+what%27s+mine&hl=fr&sa=X&ei=ozwaU_qiCqaC4gS49ICQDA&ved=0CDEQ6AEwAA#v=onepage&q=collaborative%20consumption%20what%27s%20mine&f=false }} * [http://www.babelio.com/auteur/Gilles-Achache/2078A Chache, Gilles] (1989) :{{Cite book | last = Achache | first = Gilles | title = Political advertising | date = 1989 | publisher = CNRS Editions | location = Paris | url = http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/15364/HERMES_1989_4_103.pdf?sequence=1 }} * [[w:Commission européenne|Commission Européenne]] (2000) :{{Cite book | title = Communication de la Commission au conseil, au Parlement européen, au comité économique et social et au Comité des régions sur une stratégie d'information et de communication pour l'Union Européenne. | last = Commission européenne | accessdate = 2014-02-12 | date = 2000 | url = http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=COM:2002:0350:FIN:FR:PDF }} * [[w:Noam Chomsky|Chomsky, Noam]] (2003) :{{Cite book | publisher = Les Editions du Rocher/Serpent à Plumes | isbn = 9782842614164 | last = Chomsky | first = Noam | coauthors = Edward S. Herman | title = La fabrique de l'opinion publique: la politique économique des médias américains : essai | date = 2003 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=CtsHAgAACAAJ&dq=emploie+austérité+%22changement+de+paradigme%22&hl=fr&sa=X&ei=_AwOU5q-HZKy7AbJpoHoBQ&ved=0CFkQ6AEwCQ }} * [[w:Thierry de Montbrial|de Montbrial, Thierry]] ; [[w:Philippe Moreau Defarges|Moreau Defarges, Philippe]] (2013) :{{Cite book | publisher = Dunod | isbn = 9782100702749 | last2 = Moreau Defarges | first2 = Philippe | last = de Montbrial | first = Thierry | work = I. F. R. I. Institut français des Relations internationales | title = Ramses 2014 - Les jeunes : vers l'explosion ? | date = 2013 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=scyWAAAAQBAJ&pg=PA156&dq=la+révolution+web+2.0+2014&hl=fr&sa=X&ei=kkQPU_qqKsmqhAfqroGYBg&ved=0CDMQ6AEwAA#v=onepage&q=la%20révolution%20web%202.0%202014&f=false }} * [http://www.g1000.org G 1000] (2012) :{{Cite book | title = Rapport final | accessdate = 2014-03-08 | url = http://www.g1000.org/documents/G1000_FR_Website.pdf | publisher = Benoît Derenne | date = 2012 | isbn = 9782930275529 | last = G 1000 | location = Bruxelles }} * [http://www.editionsducerf.fr/html/fiche/ficheauteur.asp?n_aut=10108 Guillaud, Frédéric] (2005) :{{Cite book | doi = 10.3917/phoir.025.0077 | issn = 1283-7091 | volume = n° 25 | issue = 2 | pages = 77–88 | last = Guillaud | first = Frédéric | title = La modernité : crise d'adolescence de l'humanité ? | journal = Le Philosophoire | accessdate = 2014-02-10 | date = 2005 | url = http://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=PHOIR_025_0077 }} * [http://www.biographie.net/Alain-Eraly Eraly, Alain] (2002) :{{Cite book | publisher = Labor | isbn = 9782804016760 | last = Eraly | first = Alain | title = Le pouvoir enchaîné: être ministre en Belgique | date = 2002 | location = | url = http://www.ulb.ac.be/wserv2_oratio/oratio?f_context=unibooks&noteid=136&style=&f_type=view&data-file=bib1 }} * [http://booknode.com/auteur/xavier-harel Harel, Xavier] (2012) :{{Cite book | publisher = Éditions Les Liens qui libèrent | isbn = 9782918597766 | last = Harel | first = Xavier | title = La grande évasion: Le vrai scandale des paradis fiscaux | date = 2012 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=v_-hTYoce8UC&hl=fr&source=gbs_similarbooks }} * Jörimann, Albert (2007) :{{Cite book | publisher = Basic Income Earth Network Switzerland, B.I.E.N.-Suisse | isbn = 9782970055204 | last = Jörimann | first = Albert | title = Un revenu de base inconditionnel - moderne et efficace | date = 2007 | location = Zurich | url = http://books.google.be/books?id=nS_QGAAACAAJ&dq=revenu+de+base+inconditionnel&hl=fr&sa=X&ei=800OU7KMAoGShQen2YCoDQ&ved=0CDwQ6AEwAw }} * Jörimann, Albert ; Kundig, Bernard (2010) :{{Cite book | last = Jörimann | first = Albert | last2 = Kundig | first2 = Bernard | publisher = Ed. 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Sexe, âge, catégories socioprofessionnelles et pluralité visible | date = 2012 | url = http://www.institutdiderot.fr/wp-content/uploads/2012/10/UneAssembléeNationaleplusrepresentative.pdf | location = Paris }} * [[w:Serge Latouche|Latouche, Serge]] (2011) :{{Cite book | publisher = Fayard/Mille et une nuits | isbn = 9782755504552 | last = Latouche | first = Serge | title = Vers une société d'abondance frugale: Contresens et controverses de la décroissance | date = 2011 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=IAu8uYtp6OEC&hl=fr&source=gbs_similarbooks }} * [[w:Serge Latouche|Latouche, Serge]] (2012) :{{Cite book | publisher = Éditions Les Liens qui libèrent | isbn = 9791020900272 | last = Latouche | first = Serge | title = Bon pour la casse: les déraisons de l'obsolescence programmée | date = 2012 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=t0z-DbWjv-4C&dq=Obsolescence+programmée&hl=fr&sa=X&ei=MBQOU7n7AeeV7AbYx4HgAQ&ved=0CC4Q6AEwAA }} * [http://www.hec.ulg.ac.be/?q=user/619 Lejeune, Christophe] (2009) :{{Cite book | publisher = Espace de libertés | isbn = 9782930001975 | last = Lejeune | first = Christophe | title = Démocratie 2.0: une histoire politique d'Internet | date = 2009 }} * [[w:Les économistes atterrés|Les économistes atterrés]] (2012) :{{Cite book | publisher = Éditions Les Liens qui libèrent | isbn = 9782918597742 | last = Les économistes atterrés | title = Changer d'économie !: Nos propositions pour 2012 | date = 2012 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=OVfNfRw9Lv8C&hl=fr&source=gbs_similarbooks }} * [[w:Pierre Le Vigan|Le Vigan, Pierre]] (2007) :{{Cite book | publisher = Avatar Editions | isbn = 9780955513251 | last = Le Vigan | first = Pierre | title = Inventaire de la modernité, avant liquidation | date = 2007 | url = http://books.google.be/books?id=i4VvY8X3vBMC&pg=PP2&lpg=PP2&dq=Inventaire+de+la+modernité,+avant+liquidation&source=bl&ots=njm2Lm1HOu&sig=XJOSq0yoY6jPsr0o8LoLWV3hI6Y&hl=fr&sa=X&ei=3D8RU4bKOL8ywPF5oH4Bw&ved=0CDYQ6AEwAQ#v=onepage&q=Inventaire%20de%20la%20modernité%2C%20avant%20liquidation&f=false }} * [[w:Pierre-Yves Monette|Monette Pierre-Yves]] ; [[w:Christian Laporte|Laporte, Christian]] (2007) :{{Cite book | publisher = Editions Mardaga | isbn = 9782870099483 | last = Monette | first = Pierre-Yves | first2 = Christian | last2 = Laporte | title = Entretiens avec Christian Laporte : Belgique, où vas-tu ? | date = 2007 | location = Wavre | url = http://books.google.be/books?id=0mOSmp7T9v8C&printsec=frontcover&dq=Belgique,+o%C3%B9+vas-tu?&hl=fr&sa=X&ei=WT0aU4SnFOSL4gT17YHoDg&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=Belgique%2C%20o%C3%B9%20vas-tu%3F&f=false }} * [[w:Juliet Schor|Schor, Juliet]] (2013) :{{Cite book | publisher = Charles Léopold Mayer/ECLM | isbn = 9782843771743 | last = Schor | first = Juliet | title = Le véritable richesse: Une économie du temps retrouvé | date = 2013 | location = Paris | url = http://books.google.be/books?id=_ToVmwEACAAJ&dq=emploie+austérité+%22changement+de+paradigme%22&hl=fr&sa=X&ei=_AwOU5q-HZKy7AbJpoHoBQ&ved=0CEEQ6AEwBA }} * Stéfanski, Nicolas (2013) :{{Cite book | last = Stéfanski | first = Nicolas | title = Les élections de 2013 en Islande : enjeux pour l’Union européenne et pour les dynamiques citoyennes | date = 2013 | accessdate = 2014-02-16 | work = Les analyses du CRISP en ligne | = www.crisp.be. | url = http://www.crisp.be/crisp/wp-content/uploads/analyses/2013-06-17_Elections%202013%20en%20Islande%20%28N.%20Stéfanski%29.pdf }} * [[w:en:Bernard Tchibambelela|Tchibambelela, Bernard]] (2009) :{{Cite book | publisher = L'Harmattan | isbn = 9782296104938 | last = Tchibambelela | first = Bernard | title = Le commerce mondial de la faim: stratégie de rupture positive au Congo-Brazzaville | date = 2009 | place = Paris | url = http://books.google.be/books/about/Le_commerce_mondial_de_la_faim.html?id=SHBf6LU7YVcC&redir_esc=y }} [[Catégorie:Anthropologie]] [[Catégorie:Recherche en anthropologie]] [[Catégorie:Travaux de recherche]] 0zlbt7a6kg85whdyob3fcvi2mb0pv5c 0 76694 982978 963708 2026-05-22T19:05:34Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982978 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = physique | numéro = 15 | chapitre = [[../../ Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne /]] | niveau = 14 | précédent = [[../Applications du théorème de Taylor-Young et des développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs/]] | suivant = [[../Applications des divers repérages d'un point dans l'espace/]] }} == Calculs d'intégrales curvilignes sur un arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques == {{Al|5}}Dans un [[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] à deux dimensions <math>\;\mathcal{E}_2\;</math> de [[w:Espace_affine#Première_définition|direction]] <math>\;V\;</math><ref name="direction"> C.-à-d. l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]] par l'application qui, à chaque bipoint <math>\;(A\,,\,B)\;</math> de l'[[w:Espace_affine|espace affine]] associe un élément de l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] noté <math>\;\overrightarrow{AB}\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. l'espace vectoriel associé à l'espace affine par l'application }}vérifiant la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] sur tout triplet de points de l'[[w:Espace_affine|espace affine]] ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. l'espace vectoriel associé à l'espace affine par l'application vérifiant }}l'existence et l'unicité d'un translaté de vecteur donné à partir de n'importe quel point de l'[[w:Espace_affine|espace affine]].</ref> avec <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)\;</math> comme base orthonormée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un espace affine euclidien à deux dimensions <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_2}\;</math> }}on considère l'arc de [[w:Cycloïde|cycloïde]] <math>\;( \Gamma )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = t - \sin(t) \\ y = 1 - \cos(t) \\ t\,\in\, \left[ 0\,,\, 2\,\pi \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="cycloïde"> [[Fichier:Cycloid f.gif|thumb|right|Le point mobile engendre une [[w:Cycloïde|cycloïde]] droite.]] La [[w:Cycloïde|cycloïde]] est une courbe plane [[w:Courbe#Courbe_transcendante|transcendante]], trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite ; <br>{{Al|3}}elle a été appelée [[w:Cycloïde|cycloïde]] pour la 1^ère fois par [[w:Jean_de_Beaugrand|Jean de Beaugrand]]. <br>{{Al|3}}Il s'agit donc d'une [[w:Roulette_(courbe)|roulette]], ou [[w:Courbe_cycloïdale|courbe cycloïdale]] particulière dont la [[w:Directrice (mathématiques)|directrice]] est une droite et dont le point générateur est situé sur le cercle lui-même ; <br>{{Al|3}}c'est un cas particulier de [[w:Trochoïde|trochoïde]] <math>\;\big(</math>courbe obtenue en traçant le mouvement décrit par un point lié à un disque roulant sans glisser sur une droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|c'est un cas particulier de trochoïde <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>}}dans le cas de la [[w:Cycloïde|cycloïde]] le point générateur est sur la périphérie du disque et non à l'intérieur de ce dernier. <br><br><br><br><br></ref>. === Calculs d'intégrales curvilignes de champs de vecteurs sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques === {{Al|5}}Considérant les champs de vecteurs définis en <math>\;M\;(x\,,\,y)\, \in \mathcal{E}_2</math>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c r c l} \vec{F}(M) \!\!&=&\!\! x\;\vec{u}_x \!\!&+&\!\! (y + 2)\;\vec{u}_y \\ \vec{G}(M) \!\!&=&\!\! & &\!\! m\,g\;\vec{u}_y \\ \vec{H}(M) \!\!&=&\!\! y\;\vec{u}_x \!\!&-&\!\! x\;\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les champs de vecteurs }}évaluer les intégrales curvilignes de chacun de ces champs sur l'arc de [[w:Cycloïde|cycloïde]]<ref name="cycloïde" /> <math>\;( \Gamma )\;</math> précédemment défini. {{Solution|contenu={{Al|5}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds\;</math>» dans laquelle <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;( \Gamma )</math>, l'origine étant <math>\;A\;</math> position de <math>\;M\;</math> pour <math>\;t = 0\;</math> et le sens sur <math>\;( \Gamma )</math>, le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;t</math>, avec <math>\;\vert ds \vert = \Vert \overrightarrow{dM} \Vert = \sqrt{dx^2 + dy^2}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! dt - \cos(t)\,dt \\ dy \!\!&=&\!\! \sin(t)\,dt \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert ds \vert = \sqrt{[1 - \cos(t)]^2 + \sin^2(t)}\;\vert dt \vert = \sqrt{2\;[1 - \cos(t)]}\;\vert dt \vert = \sqrt{4\;\sin^2\left( \dfrac{t}{2} \right)}\;\vert dt \vert = 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;\vert dt \vert\;</math> d'où «<math>\;ds = 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt\;</math>», le sens sur <math>\;( \Gamma )\;</math> étant le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;t</math>, soit «<math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace x(t)\;\vec{u}_x + \left[ y(t) + 2 \right]\;\vec{u}_y \right\rbrace\; 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt = \left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left[ t - \sin(t) \right] 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt \right\rbrace \;\vec{u}_x + \left\lbrace \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left[ 3 - \cos(t) \right] 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt \right\rbrace \;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>la composante sur <math>\vec{u}_x\;</math> étant <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;t\; \sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;\sin(t)\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt = I_1 - I_2\;</math> avec <math>\;I_1\;</math> s'intégrant par parties<ref name="I.p.p."> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <math>\;I_2\;</math> à l'aide de <math>\;\sin(t) = 2\,\sin \left( \dfrac{t}{2} \right) \cos \left( \dfrac{t}{2} \right)</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante sur <math>\color{transparent}{\vec{u}_x}</math> étant }}<math>\;I_1 = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;t\; \sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt = \left[ 2\;t\; \left\lbrace -2\,\cos \left( \dfrac{t}{2} \right) \right\rbrace \right]_0^{2\,\pi} - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} -2\,\cos \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt = 8\,\pi + \left[ 4\,\sin \left( \dfrac{t}{2} \right) \right]_0^{2\,\pi} = 8\,\pi\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante sur <math>\color{transparent}{\vec{u}_x}</math> étant }}<math>\;I_2 = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;\sin(t)\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 4\;\sin^2 \left( \dfrac{t}{2} \right)\,\cos \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt = \left[ \dfrac{8}{3}\, \sin^3 \left( \dfrac{t}{2} \right) \right]_0^{2\,\pi} = 0\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« la composante sur <math>\vec{u}_x\;</math> vaut <math>\;8\,\pi\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>la composante sur <math>\vec{u}_y\;</math> se réécrivant <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace 2 + \left[ 1 - \cos(t) \right] \right\rbrace\, 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right) \;dt = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 4\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right) \;dt + \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 4\;\sin^3 \left( \dfrac{t}{2} \right) \;dt = {I'}_{\!1} + {I'}_{\!2}\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante sur <math>\color{transparent}{\vec{u}_y}</math> se réécrivant }}<math>{I'}_{\!1} = \left[ -8\,\cos \left( \dfrac{t}{2} \right) \right]_0^{2\,\pi} = 16\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la composante sur <math>\color{transparent}{\vec{u}_y}</math> se réécrivant }}<math>{I'}_{\!2} = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 4\; \left\lbrace 1 - \cos^2 \left( \dfrac{t}{2} \right) \right\rbrace \sin \left( \dfrac{t}{2} \right) \;dt = \left[ -8\,\cos \left( \dfrac{t}{2} \right) \right]_0^{2\,\pi} + \left[ \dfrac{8}{3}\, \cos^3 \left( \dfrac{t}{2} \right) \right]_0^{2\,\pi} = 16 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« la composante sur <math>\vec{u}_y\;</math> vaut <math>\;\dfrac{80}{3}\;</math>» et finalement <center>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M(s) \right]\, ds = 8\;\pi\;\vec{u}_x + \dfrac{80}{3}\;\vec{u}_y\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{G} \left[ M(s) \right]\, ds\;</math>» avec «<math>\;ds = 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt\;</math>» déterminée précédemment <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} m\,g\;\vec{u}_y\; 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt = \left[ -4\,m\,g\;\cos \left( \dfrac{t}{2} \right) \right]_0^{2\,\pi}\;\vec{u}_y = 8\;m\;g\;\vec{u}_y\;</math>» d'où finalement <center>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{G} \left[ M(s) \right]\, ds = 8\;m\;g\;\vec{u}_y\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M(s) \right]\, ds\;</math>» avec «<math>\;ds = 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt\;</math>» <math>\,\big(</math>voir ci-dessus<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left\lbrace \left[ 1 - \cos(t) \right]\;\vec{u}_x - \left[ t - \sin(t) \right]\;\vec{u}_y\right\rbrace\, 2\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\;dt = \left\lbrace \begin{array}{c c l} \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 4\,\sin^3 \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt \!\!&\text{sur}&\!\! \vec{u}_x \\ - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\,\left[ t - \sin(t) \right]\,\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt \!\!&\text{sur}&\!\! \vec{u}_y \end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>la composante sur <math>\vec{u}_x\;</math> étant <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} 4\,\sin^3 \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt = {I'}_{\!2} = \dfrac{32}{3}\;</math> <math>\big(</math>voir ci-dessus<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M(s) \right]\, ds}\;</math>» }}<math>\succ\;</math>la composante sur <math>\vec{u}_y\;</math> se réécrivant <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\; \sin(t)\,\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;t \;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt = I_2 - I_1 = -8\,\pi</math> <math>\big(</math>voir ci-dessus<math>\big)\;</math> d'où finalement <center>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M(s) \right]\, ds = \dfrac{32}{3}\;\vec{u}_x - 8\;\pi\;\vec{u}_y\;</math>».</center>}} === Calculs de la circulation de champs de vecteurs sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques === {{Al|5}}Considérant les mêmes champs de vecteurs définis en <math>\;M\;(x\,,\,y)\, \in \mathcal{E}_2</math>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c r c l} \vec{F}(M) \!\!&=&\!\! x\;\vec{u}_x \!\!&+&\!\! (y + 2)\;\vec{u}_y \\ \vec{G}(M) \!\!&=&\!\! & &\!\! m\,g\;\vec{u}_y \\ \vec{H}(M) \!\!&=&\!\! y\;\vec{u}_x \!\!&-&\!\! x\;\vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les mêmes champs de vecteurs }}évaluer la circulation de chacun de ces champs<ref name="circulation d'un champ de vecteurs"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] (circulation d'un champ vectoriel le long d'une courbe) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> sur l'arc de [[w:Cycloïde|cycloïde]]<ref name="cycloïde" /> <math>\;( \Gamma )\;</math> précédemment défini. {{Solution|contenu={{Al|5}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation d'un champ de vecteurs" /> <math>= \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} F_x(M)\;dx + F_y(M)\;dy = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} x\;dx + (y + 2)\;dy = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left[ t - \sin(t) \right]\,\left[ 1 - \cos(t) \right]\,dt + \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left[ 3 - \cos(t) \right]\,\sin(t)\,dt\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire"> Voir la « solution de la question [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Exercices/Applications_des_intégrales_sur_un_intervalle,_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_des_intégrales_curvilignes#Calculs_d'intégrales_curvilignes_de_champs_de_vecteurs_sur_l'arc_de_cycloïde_connu_par_ses_équations_cartésiennes_paramétriques|calculs d'intégrales curvilignes de champs de vecteurs sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques]] » plus haut dans cet exercice, on y a établi <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! dt - \cos(t)\,dt \\ dy \!\!&=&\!\! \sin(t)\,dt \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> <math>= \displaystyle\int_0^{2\,\pi} t\;dt - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} t\;\cos(t)\;dt + \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;\sin(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}la 2^ème intégrale s'intégrant par parties<ref name="I.p.p." /> selon <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} t\;\cos(t)\;dt = \cancel{\left[ t\;\sin(t) \right]_0^{2\,\pi}} - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sin(t)\;dt = \cancel{\left[ \cos(t) \right]_0^{2\,\pi}} = 0</math>, la 1^ère intégrale selon <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} t\;dt = \left[ \dfrac{t^2}{2} \right]_0^{2\,\pi} = 2\,\pi^2\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}la 3^ème intégrale selon <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\;\sin(t)\;dt = \cancel{\left[ -2\;\cos(t) \right]_0^{2\,\pi}} = 0\;</math> d'où finalement <center>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM} = 2\;\pi^2\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{G} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation d'un champ de vecteurs" /> <math>= \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} G_x(M)\;dx + G_y(M)\;dy = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} m\;g\;dy = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} m\;g\;\sin(t)\;dt\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire" /> <math>= \cancel{\left[ -m\;g\;\cos(t) \right]_0^{2\,\pi}} = 0\;</math>». {{Al|5}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation d'un champ de vecteurs" /> <math>= \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} H_x(M)\;dx + H_y(M)\;dy = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} y\;dx - x\;dy = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left[ 1 - \cos(t) \right]\,\left[ 1 - \cos(t) \right]\,dt - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \left[ t - \sin(t) \right]\,\sin(t)\,dt\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire" /> <math>= \displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\,\left[ 1 - \cos(t) \right]\,dt - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} t\;\sin(t)\;dt\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}la 2^ème intégrale s'intégrant par parties<ref name="I.p.p." /> selon <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} t\;\sin(t)\;dt = \left[ -t\;\cos(t) \right]_0^{2\,\pi} - \displaystyle\int_0^{2\,\pi} -\cos(t)\;dt = -2\;\pi + \cancel{\left[ \sin(t) \right]_0^{2\,\pi}} = -2\;\pi\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}la 1^ère intégrale selon <math>\;\displaystyle\int_0^{2\,\pi} 2\,\left[ 1 - \cos(t) \right]\,dt = \left[ 2 \left\lbrace t - \sin(t) \right\rbrace \right]_0^{2\,\pi} = 4\;\pi\;</math> d'où finalement <center>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \vec{H} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM} = 6\;\pi\;</math>».</center>}} === Calcul de l'intégrale curviligne d'un champ scalaire sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques === {{Al|5}}Considérant le champ scalaire «<math>\;f\;:\;\mathbb{R}^2\, \to\, \mathbb{R},\;(x,\,y)\;\mapsto\;f(x,\,y) = \sqrt{\vert y \vert}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ scalaire }}évaluer l'intégrale curviligne de ce champ scalaire sur l'arc de [[w:Cycloïde|cycloïde]]<ref name="cycloïde" /> <math>\;( \Gamma )\;</math> précédemment défini. {{Solution|contenu={{Al|5}}«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} f \left[ M(s) \right]\, ds = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} \sqrt{\vert y \vert}\, ds = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sqrt{1 - \cos(t) }\;2\,\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt\;</math>» utilisant l'expression de l'abscisse curviligne élémentaire <math>\;ds\;</math><ref name="abscisse curviligne élémentaire"> Voir la « solution de la question [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Exercices/Applications_des_intégrales_sur_un_intervalle,_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_des_intégrales_curvilignes#Calculs_d'intégrales_curvilignes_de_champs_de_vecteurs_sur_l'arc_de_cycloïde_connu_par_ses_équations_cartésiennes_paramétriques|calculs d'intégrales curvilignes de champs de vecteurs sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques]] » plus haut dans cet exercice, on y a établi <math>\;ds = 2\,\sin \left( \dfrac{t}{2} \right)\,dt</math>.</ref> déterminée précédemment ou, avec <math>\;1 - \cos(t) = 2\;\sin^2 \left( \dfrac{t}{2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} f \left[ M(s) \right]\, ds}</math> }}<math>\;\sin \left( \dfrac{t}{2} \right) = \sqrt{\dfrac{1 - \cos(t)}{2}}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} f \left[ M(s) \right]\, ds = \displaystyle\int_0^{2\,\pi} \sqrt{2}\,\left[ 1 - \cos(t) \right]\,dt = \sqrt{2}\;\left[ t - \sin(t) \right]_0^{2\,\pi}\;</math> soit finalement «<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} f \left[ M(s) \right]\, ds = 2\;\pi\;\sqrt{2}\;</math>».}} == Calcul de la circulation d'un champ vectoriel le long d'un arc de courbe gauche connue par ses équations cartésiennes paramétriques == {{Al|5}}Dans un [[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] à trois dimensions <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> de [[w:Espace_affine#Première_définition|direction]] <math>\;V\;</math><ref name="direction" /> avec <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math> comme base orthonormée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un espace affine euclidien à trois dimensions <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_3}\;</math> }}on considère l'arc de courbe gauche <math>\;( \mathcal{G} )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = t \\ y = t^2 \\ z = t^3 \\ t\,\in\, \left[ 0\,,\, 1 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}Considérant le champ vectoriel défini en <math>\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\, \in \mathcal{E}_3</math>, «<math>\;\vec{F}(M) = x\;y\;\vec{u}_x + y\;z\;\vec{u}_y + x\;z\;\vec{u}_z\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ vectoriel }}évaluer la circulation de ce champ<ref name="circulation d'un champ de vecteurs" /> le long de l'arc de courbe gauche <math>\;( \mathcal{G} )\;</math> précédemment défini. {{Solution|contenu= {{Al|5}}La circulation du champ vectoriel <math>\;\vec{F}(M)\;</math> le long de l'arc de courbe gauche <math>\;( \mathcal{G} )\;</math> est définie par <math>\;\mathcal{C}_{( \mathcal{G} )}\! \left[ \vec{F} \right] = \displaystyle\int\limits_{(\mathcal{G})} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation d'un champ de vecteurs" /> dans laquelle le vecteur déplacement élémentaire du point générique de <math>\;( \mathcal{G} )\;</math> soit <math>\;M\; \left( x = t\,,\, y = t^2\,,\, z = t^3 \right)\;</math> s'évalue selon <math>\;\overrightarrow{dM} =</math> <math>dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z = dt\;\vec{u}_x + 2\;t\;dt\;\vec{u}_y + 3\;t^2\;dt\;\vec{u}_z \;</math> d'où <math>\;\mathcal{C}_{( \mathcal{G} )}\! \left[ \vec{F} \right] = \displaystyle\int_{(\mathcal{G})} x(t)\,y(t)\,dx + y(t)\,z(t)\,dy + x(t)\,z(t)\,dz\;</math> soit finalement <math>\;\mathcal{C}_{( \mathcal{G} )}\! \left[ \vec{F} \right] =</math> <math>\displaystyle\int_0^1 t\;t^2\;dt + t^2\;t^3\;2\;t\;dt + t\;t^3\;3\;t^2\;dt = \displaystyle\int_0^1 \left( t^3 + 5\, t^6 \right)\,dt = \left[ \dfrac{t^4}{4} + \dfrac{5}{7}\;t^7 \right]_0^1 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{7}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\mathcal{C}_{( \mathcal{G} )}\! \left[ \vec{F} \right] = \dfrac{27}{28}\;</math>».</center>}} == Calculs d'intégrales curvilignes sur un arc d'astroïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques == {{Al|5}}Dans un [[w:Espace_affine_euclidien|espace affine euclidien]] à deux dimensions <math>\;\mathcal{E}_2\;</math> de [[w:Espace_affine#Première_définition|direction]] <math>\;V\;</math><ref name="direction" /> avec <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)\;</math> comme base orthonormée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un espace affine euclidien à deux dimensions <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_2}\;</math> }}on considère l'arc d'[[w:Astroïde|astroïde]] <math>\;( \mathcal{A} )\;</math> d'équations cartésiennes paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = \cos^3(t) \\ y = \sin^3(t) \\ t\,\in\, \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right] \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="astroïde"> [[Image:Astroid 2.svg|thumb|left|upright=0.85|Une astroïde.]] [[Image:HypotrochoidOn4.gif|thumb|right|upright=0.7|Construction d'une astroïde par roulement d'un cercle inscrit.]] Une [[w:Astroïde|astroïde]] est une courbe plane qui peut être obtenue en faisant rouler sans glisser un cercle de rayon <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> à l'intérieur d'un cercle fixe de rayon <math>\;1</math> <math>\;\big(</math>voir figure animée à droite<math>\big)</math>. <br><br>{{Al|3}}Sur la figure ci-contre à gauche a été tracé en vert un segment de longueur <math>\;1\;</math> reliant un point de l'axe des abscisses à un point de l'axe des ordonnées. Il est tangent à l'[[w:Astroïde|astroïde]]. <br>{{Al|3}}L'[[w:Astroïde|astroïde]] peut donc être vue comme l'[[w:Enveloppe_(géométrie)|enveloppe]] de la famille des segments vérifiant ces propriétés. <br>{{Al|3}}Pour décrire cette famille par une image, on évoque souvent une échelle glissant le long d'un mur.<br><br><br><br><br><br></ref>. === Calcul de l'intégrale curviligne d'un champ scalaire sur l'arc d'astroïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques === {{Al|5}}Considérant le champ scalaire défini en <math>\;M\;(x\,,\,y)\, \in \mathcal{E}_2</math>, «<math>\;f\;:\; \mathbb{R}^2\; \to\; \mathbb{R},\;(x,\,y)\; \mapsto\;x\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ scalaire }}évaluer l'intégrale curviligne de ce champ sur l'arc de [[w:Astroïde|astroïde]]<ref name="astroïde" /> <math>\;( \mathcal{A} )\;</math> précédemment défini. {{Solution|contenu={{Al|5}}«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} f \left[ M(s) \right]\, ds\;</math>» dans laquelle <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;( \mathcal{A} )</math>, l'origine étant <math>\;A\;</math> position de <math>\;M\;</math> pour <math>\;t = 0\;</math> et le sens sur <math>\;( \mathcal{A} )</math>, le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;t</math>, avec <math>\;\vert ds \vert = \Vert \overrightarrow{dM} \Vert = \sqrt{dx^2 + dy^2}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! -3\,\cos^2(t)\,\sin(t)\,dt \\ dy \!\!&=&\!\! 3\,\sin^2(t)\,\cos(t)\,dt \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert ds \vert = 3\,\cos(t)\,\sin(t)\,\sqrt{[-\cos(t)]^2 + \sin^2(t)}\;\vert dt \vert = 3\,\cos(t)\,\sin(t)\;\vert dt \vert\;</math> d'où «<math>\;ds = 3\,\cos(t)\,\sin(t)\;dt\;</math>», le sens sur <math>\;( \mathcal{A} )\;</math> étant le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;t</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} x\, ds</math>}} <math>= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(t)\;3\,\cos(t)\,\sin(t)\;dt = 3 \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(t)\;\sin(t)\;dt = 3\,\left[ - \dfrac{\cos^5(t)}{5} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\;</math>» et finalement <center>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} f \left[ M(s) \right]\, ds = \dfrac{3}{5}\;</math>».</center>}} === Calcul de la circulation d'un champ de vecteurs sur l'arc d'astroïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques === {{Al|5}}Considérant le champ de vecteurs défini en <math>\;M\;(x\,,\,y)\, \in \mathcal{E}_2</math>, «<math>\;\vec{F}(M) = x\;\vec{u}_x + 5\;y\;\vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant le champ de vecteurs }}évaluer la circulation de ce champ<ref name="circulation d'un champ de vecteurs" /> sur l'arc de [[w:Astroïde|astroïde]]<ref name="astroïde" /> <math>\;( \mathcal{A} )\;</math> précédemment défini. {{Solution|contenu={{Al|5}}«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="circulation d'un champ de vecteurs" /> <math>= \displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} F_x(M)\;dx + F_y(M)\;dy = \displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} x\;dx + 5\;y\;dy = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ \cos^3(t) \right]\,\left[ -3\,\cos^2(t)\,\sin(t) \right]\, dt + \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 5\;\sin^3(t) \right]\,\left[ 3\,\sin^2(t)\,\cos(t) \right]\,dt\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire - bis"> Voir la « solution de la question [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Exercices/Applications_des_intégrales_sur_un_intervalle,_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_des_intégrales_curvilignes#Calcul_de_l'intégrale_curviligne_d'un_champ_scalaire_sur_l'arc_d'astroïde_connu_par_ses_équations_cartésiennes_paramétriques|calcul de l'intégrale curviligne d'un champ scalaire sur l'arc d'astroïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques]] » plus haut dans cet exercice, on y a établi <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! -3\,\cos^2(t)\,\sin(t)\,dt \\ dy \!\!&=&\!\! 3\,\sin^2(t)\,\cos(t)\,dt \end{array} \right\rbrace</math>.</ref> soit la somme de deux intégrales dont <br>{{Al|9}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}la 1^ère se calcule selon <math>\;\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} -3\;\cos^5(t)\;\sin(t)\; dt = -3\;\left[ -\dfrac{\cos^6(t)}{6} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\dfrac{1}{2}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> }}la 2^nde selon <math>\;\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 15\;\sin^5(t)\;\cos(t)\; dt = 15\;\left[ \dfrac{\sin^6(t)}{6} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{5}{2}\;</math> et finalement <center>«<math>\;\displaystyle\int\limits_{(\mathcal{A})} \vec{F} \left[ M \right] \cdot \overrightarrow{dM} = 2\;</math>».</center>}} == Calcul d'intégrales curvilignes de formes différentielles le long d'arcs de courbes planes ou gauches == {{Al|5}}Calculer les intégrales curvilignes <math>\;\displaystyle\int_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M)\;</math><ref name="forme différentielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes “ x, y et z ”]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », notion restant valable pour un nombre de variables indépendantes autre que <math>\;3</math>.</ref> dans les situations suivantes : #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x\;y\;dx + a\;(x + y)\;dy\;</math>» <math>\;\big\{a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big\}\;</math> et <br>«<math>\;(\Gamma)\;</math> l'arc de parabole d'équation cartésienne <math>\;y = \dfrac{x^2}{a}\;</math> pour <math>\;x\;</math> variant de <math>\;-a\;</math> à <math>\;2\,a\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = -y\;dx + x\;dy\;</math>» et «<math>\;(\Gamma)\;</math> le segment de droite allant de <math>\;A\;(x_A,\,y_A)\;</math> à <math>\;B\;(x_B,\,y_B)\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = y\;\sin \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + x\;\cos \left( \dfrac{y}{a} \right)\;dy\;</math>» <math>\;\big\{a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big\}\;</math> et <br>«<math>\;(\Gamma)\;</math> le segment de droite allant de <math>\;A\;(0,\,0)\;</math> à <math>\;B\;(a,\,a)\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = x^2\;y\;dx + a\;x\;y\;dy\;</math>» <math>\;\big\{a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big\}\;</math> et <br>«<math>\;(\Gamma)\;</math> le cercle de rayon <math>\;R\;</math> centré en <math>\;O\;(0,\,0)\;</math> et parcouru dans le sens trigonométrique » ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = y^2\;dx + x^2\;dy\;</math>» et «<math>\;(\Gamma)\;</math> la courbe orientée dans le sens trigonométrique d'équation <math>\;x^2 + y^2 - a\,y = 0,\;\;a \in \mathbb{R}^{*}\;</math>» <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = y^2\;dx + x^2\;dy}\;</math>» }}ou «<math>\;(\Gamma)\;</math> la courbe orientée dans le sens trigonométrique d'équation <math>\;\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - 2\;\dfrac{x}{a} - 2\;\dfrac{y}{b} = 0,\;( a\,,\, b ) \in \mathbb{R}_{+}^{*}\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = y\;dx + 2\;x\;dy\;</math>» et «<math>\;(\Gamma)\;</math> le contour parcouru une fois dans le sens trigonométrique de la surface d'inéquation <math>\;\left\lbrace (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leqslant 2\;a\;x,\;x^2 + y^2 \leqslant 2\;a\;y \right\rbrace\;</math>», <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\delta_{\text{forme diff}}(M) = y\;dx + 2\;x\;dy}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> le contour parcouru une fois dans le sens trigonométrique de la surface d'équation }}<math>\;\big\{a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big\}</math> ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = a\;x\;dx + x\;y\;dy\;</math>» <math>\;\big\{a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big\}</math> et <br>«<math>\;(\Gamma)\;</math> le quart de cercle de rayon <math>\;R\;</math> et de centre <math>\;O\;( 0,\, 0)\;</math> joignant <math>\;A\;(R\,,0)\;</math> à <math>\;B\;(0\,,R)\;</math>» ; #«<math>\;\delta_{\text{forme diff}}(M) = (y - z)\;dx + (z - x)\;dy + (x - y)\;dz\;</math>» et «<math>\;(\Gamma)\;</math> le chemin d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = r\;\cos(\theta) \\ y = r\; \sin(\theta) \\ z = 2\;r\;\theta\end{array} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\theta\;\in \left[ 0\,,\, \frac{\pi}{2} \right]\;</math>». {{Solution|contenu= #Soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> l'arc de parabole d'équation cartésienne <math>\;y = \dfrac{x^2}{a}\;</math> entre les extrémités <math>\;A\, \left( x_A = - a,\, y_A = a \right)\;</math> et <math>\;B\, \left( x_B = 2\,a,\, y_B = 4\,a \right)\;</math>», <math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> que nous paramétrons en <math>\;x</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dy = \dfrac{2\;x}{a}\;dx\;</math> d'où «<math>\;I_1 = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} \delta_{\text{forme diff}}(M) =</math> <math>\displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} x\;y\;dx + a\;(x + y)\;dy = \displaystyle\int_{-a}^{2\,a} x\;\dfrac{x^2}{a}\;dx + a\,\left( x + \dfrac{x^2}{a} \right)\,\dfrac{2\;x}{a}\;dx = \displaystyle\int_{-a}^{2\,a} \left( 3\,\dfrac{x^3}{a} + 2\,x^2 \right)\,dx = \left[ \dfrac{3\,x^4}{4\,a} + \dfrac{2\,x^3}{3} \right]_{-a}^{2\,a} = 12 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{16}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{69}{4}\;</math>» ; #soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> le segment de droite allant de <math>\;A\;(x_A,\,y_A)\;</math> à <math>\;B\;(x_B,\,y_B)\;</math> d'équation cartésienne <math>\;y = y_A + \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\;(x - x_A)\;</math>», <math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> que nous paramétrons en <math>\;x</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> porté par <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dy = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\;dx\;</math> d'où «<math>\;I_2 = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} \delta_{\text{forme diff}}(M) =</math> <math>\displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} -y\;dx + x\;dy = \displaystyle\int_{x_A}^{x_B} -\left\lbrace y_A + \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\;(x - x_A) \right\rbrace\,dx + x\, \left( \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\;dx \right) = \displaystyle\int_{x_A}^{x_B} -\left\lbrace y_A - \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\;x_A \right\rbrace\,dx = -\left\lbrace y_A - \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\;x_A \right\rbrace\,(x_B - x_A) = y_B\;x_A - y_A\;x_B\;</math>» ; #soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> le segment de droite allant de <math>\;A\;(0,\,0)\;</math> à <math>\;B\;(a,\,a)\;</math> d'équation cartésienne <math>\;y = x\;</math>», <math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> que nous paramétrons en <math>\;x</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> porté par <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dy = dx\;</math> d'où «<math>\;I_3 = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} y\;\sin \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + x\;\cos \left( \dfrac{y}{a} \right)\;dy =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{a} x\;\sin \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx + x\;\cos \left( \dfrac{x}{a} \right)\;dx\;</math> qui s'intègrent par parties<ref name="I.p.p." /> <math>= \left[ x\;(-a)\;\cos \left( \dfrac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} - \displaystyle\int_{0}^{a} (-a)\;\cos \left( \dfrac{x}{a} \right)\,dx + \left[ x\;(a)\;\sin \left( \dfrac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} - \displaystyle\int_{0}^{a} (a)\;\sin \left( \dfrac{x}{a} \right)\,dx\;</math> ou encore <math>= -a^2\;\cos(1) + \left[ a^2\;\sin \left( \dfrac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} + a^2\;\sin(1) - \left[ -a^2\;\cos \left( \dfrac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} = -a^2\;\cos(1) + a^2\;\sin(1) + a^2\;\sin(1) + a^2\;\cos(1) - a^2 = a^2\,\left[ 2\,\sin(1) - 1 \right]\;</math>» ; #soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> le cercle de rayon <math>\;R\;</math> centré en <math>\;O\;(0,\,0)\;</math> et parcouru dans le sens trigonométrique d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = R\;\cos(\theta) \\ y = R\;\sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math>», <math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> que nous paramétrons en <math>\;\theta</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -R\;\sin(\theta)\; d \theta \\ dy = R\;\cos(\theta)\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où «<math>\;I_4 =</math> <math>\displaystyle\oint_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma)} x^2\;y\;dx + a\;x\;y\;dy = \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!-R^4\;\cos^2(\theta)\;\sin^2(\theta)\;d \theta + \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!a\;R^3\;\cos^2(\theta)\;\sin(\theta)\;d \theta = -\dfrac{R^4}{4} \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\sin^2(2\,\theta)\;d \theta + \cancel{a\;R^3 \left[ -\dfrac{\cos^3(\theta)}{3} \right]_{0}^{2\,\pi}} = -\dfrac{R^4}{4} \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \dfrac{1 - \cos(4\,\theta)}{2}\;d \theta\;</math> <math>= -\dfrac{R^4}{8} \left\lbrace \left[ \theta \right]_{0}^{2\,\pi} - \cancel{\left[ \dfrac{\sin(4\,\theta)}{4} \right]_{0}^{2\,\pi}} \right\rbrace = -\pi\;\dfrac{R^4}{4}\;</math>» ; #<math>\quad\bullet\;</math>soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> le cercle de rayon <math>\;\dfrac{a}{2}\;</math> centré en <math>\;C\;\left(0,\,\dfrac{a}{2}\right)\;</math> et parcouru dans le sens trigonométrique d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = \dfrac{a}{2}\;\cos(\theta) \\ y = \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2}\;\sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math>», <math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math>cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> que nous paramétrons en <math>\;\theta</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -\dfrac{a}{2}\;\sin(\theta)\; d \theta \\ dy = \dfrac{a}{2}\;\cos(\theta)\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math>d'où «<math>\;\displaystyle\oint_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma)} y^2\;dx + x^2\;dy = \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\!\! -\dfrac{a^3}{8}\,\left[ 1 + \sin(\theta) \right]^2 \;\sin(\theta)\;d \theta + \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\dfrac{a^3}{8}\;\cos^3(\theta)\;d \theta = \dfrac{a^3}{8} \left\lbrace -\displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ \sin(\theta) + 2\,\sin^2(\theta) + \sin^3(\theta) \right]\;d \theta + \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 - \sin^2(\theta) \right]\,\cos(\theta)\;d \theta \right\rbrace</math> <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math><math>= \dfrac{a^3}{8}\! \left\lbrace \cancel{\left[ \cos(\theta) \right]_{0}^{2\,\pi}} - \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 - \cos(2\,\theta) \right]\,d \theta - \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 - \cos^2(\theta) \right]\,\sin(\theta)\;d \theta + \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 - \sin^2(\theta) \right]\,\cos(\theta)\;d \theta \right\rbrace = \dfrac{a^3}{8}\! \left\lbrace \left[ - \theta + \dfrac{\sin(2\,\theta)}{2} + \cos(\theta) - \dfrac{\cos^3(\theta)}{3} + \sin(\theta) - \dfrac{\sin^3(\theta)}{3} \right]_{0}^{2\,\pi} \right\rbrace</math> <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math><math>= -\pi\; \dfrac{a^3}{4}\;</math>» ; <br><math>\quad\bullet\;</math>soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> l'ellipse d'axes de symétrie <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y\;</math> centré en <math>\;C\;\left(a,\,b\right)\;</math> de demi-axes <math>\;a\,\sqrt{2}\;</math> et <math>\;b\,\sqrt{2}\;</math><ref> En effet l'équation cartésienne de <math>\;(\Gamma)\;</math> «<math>\;\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - 2\;\dfrac{x}{a} - 2\;\dfrac{y}{b} = 0\;</math>» se réécrit <math>\;\dfrac{(x - a)^2}{a^2} + \dfrac{(y - b)^2}{b^2} - 2 = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{(x - a)^2}{\left( a\,\sqrt{2} \right)^2} + \dfrac{(y - b)^2}{\left( b\,\sqrt{2} \right)^2} - 1 = 0\;</math>» ce qui est effectivement l'équation cartésienne d'une ellipse d'axes de symétrie <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y\;</math> centré en <math>\;C\;\left(a,\,b\right)\;</math> de demi-axes <math>\;a\,\sqrt{2}\;</math> et <math>\;b\,\sqrt{2}\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « équation cartésienne d'une [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et parcouru dans le sens trigonométrique d'équations cartésiennes paramétriques <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a + a\;\sqrt{2}\;\cos(\theta) \\ y = b + b\;\sqrt{2}\;\sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> En effet l'ellipse d'axes de symétrie <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y\;</math> centré en <math>\;C\;\left(a,\,b\right)\;</math> de demi-axes <math>\;a\,\sqrt{2}\;</math> et <math>\;b\,\sqrt{2}\;</math> est l'mage par l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Cx</math>, de direction <math>\;Cy\;</math> et de rapport <math>\;k = \dfrac{b\;\sqrt{2}}{a\;\sqrt{2}} = \dfrac{b}{a}</math> du cercle de rayon <math>\;a\;\sqrt{2}\;</math> et de centre <math>\;C\;\left(a,\,b\right)\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Conséquence_:_équations_paramétriques_d'une_ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>, <math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> que nous paramétrons en <math>\;\theta\;</math><ref> Attention «<math>\;\theta\;</math>» est l'abscisse angulaire du point courant du cercle mais ne représente rien pour le point courant de l'ellipse, voir figure du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Conséquence_:_équations_paramétriques_d'une_ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> les composantes du vecteur déplacement <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math>élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -a\;\sqrt{2}\;\sin(\theta)\; d \theta \\ dy = b\;\sqrt{2}\;\cos(\theta)\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> dont on déduit l'expression de l'intégrale curviligne «<math>\;I_5 = \displaystyle\oint_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\oint_{(\Gamma)} y^2\;dx + x^2\;dy =</math> <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math><math>\displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\!\! -b^2\;a\;\sqrt{2}\,\left[ 1 + \sqrt{2}\;\sin(\theta) \right]^2 \;\sin(\theta)\;d \theta + \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \! a^2\;b\;\sqrt{2}\,\left[ 1 + \sqrt{2}\;\cos(\theta) \right]^2 \;\cos(\theta)\;d \theta\;</math> qui se réécrit, après mise en facteur de <math>\;a\;b\;\sqrt{2}\;</math> et développement du carré des expressions selon <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math><math>a\;b\;\sqrt{2} \left\lbrace -b \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ \sin(\theta) + 2\,\sqrt{2}\,\sin^2(\theta) + 2\,\sin^3(\theta) \right] d \theta + a \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ \cos(\theta) + 2\,\sqrt{2}\,\cos^2(\theta) + 2\,\cos^3(\theta) \right] d \theta \right\rbrace = a\;b\;\sqrt{2} \left\lbrace -b\;C_1 + a\;C_2 \right\rbrace</math> où <math>\;C_1\;</math> et <math>\;C_2\;</math> sont les intégrales suivantes <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math><math>\left\lbrace \begin{array}{l} C_1 = \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ \sin(\theta) + 2\,\sqrt{2}\,\sin^2(\theta) + 2\,\sin^3(\theta) \right] d \theta = -\cancel{\left[ \cos(\theta) \right]_{0}^{2\,\pi}} + \sqrt{2} \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 - \cos(2\,\theta) \right]\,d \theta + 2 \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 - \cos^2(\theta) \right]\,\sin(\theta)\;d \theta = 2\, \left[ \dfrac{\theta}{\sqrt{2}} - \dfrac{\sin(2\,\theta)}{2\,\sqrt{2}} - \cos(\theta) + \dfrac{\cos^3(\theta)}{3} \right]_{0}^{2\,\pi} = \dfrac{4\,\pi}{\sqrt{2}} \\ C_2 = \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ \cos(\theta) + 2\,\sqrt{2}\,\cos^2(\theta) + 2\,\cos^3(\theta) \right] d \theta = \cancel{\left[ \cos(\theta) \right]_{0}^{2\,\pi}} + \sqrt{2} \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 + \cos(2\,\theta) \right]\,d \theta + 2 \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} \!\!\left[ 1 - \sin^2(\theta) \right]\,\cos(\theta)\;d \theta = 2\, \left[ \dfrac{\theta}{\sqrt{2}} + \dfrac{\sin(2\,\theta)}{2\,\sqrt{2}} + \sin(\theta) - \dfrac{\sin^3(\theta)}{3} \right]_{0}^{2\,\pi} = \dfrac{4\,\pi}{\sqrt{2}} \end{array} \right\rbrace\;</math> <br><math>\color{transparent}{\quad\bullet}\;</math>soit <math>\;I_5 = a\;b\;\sqrt{2} \left\lbrace -b\;\dfrac{4\,\pi}{\sqrt{2}} + a\;\dfrac{4\,\pi}{\sqrt{2}} \right\rbrace = 4\;\pi\;a\;b\;(a - b)\;</math>» ; #soient «<math>\;(\mathcal{D}_1)\;</math> le disque de rayon <math>\;a</math>, de centre <math>\;C_1\;(a,\,0)</math>, d'inéquation cartésienne <math>\;x^2 + y^2 \leqslant 2\;a\;x\;</math>», de contour <math>\;(\mathcal{C}_1)\;</math> cercle de rayon <math>\;a</math>, de centre <math>\;C_1</math>, d'équation cartésienne <math>\;x^2 + (y - a)^2 = a^2\;</math> et <br>{{Transparent|soient }}«<math>\;(\mathcal{D}_2)\;</math> le disque de rayon <math>\;a</math>, de centre <math>\;C_2\;(0,\,a)</math>, d'inéquation cartésienne <math>\;x^2 + y^2 \leqslant 2\;a\;y\;</math>», de contour <math>\;(\mathcal{C}_2)\;</math> cercle de rayon <math>\;a</math>, de centre <math>\;C_2</math>, d'équation cartésienne <math>\;(x - a)^2 + y^2 = a^2</math>, <br>{{Transparent|soient }}les deux contours <math>\;(\mathcal{C}_1)\;</math> et <math>\;(\mathcal{C}_2)\;</math> se coupant en <math>\;O\;(0,\,0)\;</math> et <math>\;A\;(a,\,a)</math>, la surface commune des deux disques <math>\;(\mathcal{D}_1)\;</math> et <math>\;(\mathcal{D}_2)\;</math> d'inéquations cartésiennes <math>\;\left\lbrace x^2 + y^2 \leqslant 2\;a\;x\;,\;x^2 + y^2 \leqslant 2\;a\;y \right\rbrace\;</math> <br>{{Transparent|soient les deux contours <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> se coupant en <math>\;\color{transparent}{O\;(0,\,0)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A\;(a,\,a)}</math>, }}a pour contour fermé <math>\;(\Gamma)</math>, la réunion, décrite dans le sens trigonométrique, des arcs de cercle <math>\;\overset{\curvearrowright}{OA}\;</math> de <math>\;(\mathcal{C}_2)\;</math> et <math>\;\overset{\curvearrowright}{AO}\;</math> de <math>\;(\mathcal{C}_1)\;</math> <br>{{Transparent|soient les deux contours <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> se coupant en <math>\;\color{transparent}{O\;(0,\,0)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A\;(a,\,a)}</math>, }}d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos(\theta_2) \\ y = a + a\;\sin(\theta_2) \end{array} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\theta_2 = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_2A}\,,\, \overrightarrow{C_2M} \right\rbrace}\;</math> variant de <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;0\;</math> et <br>{{Transparent|soient les deux contours <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> se coupant en <math>\;\color{transparent}{O\;(0,\,0)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A\;(a,\,a)}</math>, d'équations cartésiennes paramétriques }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a + a\;\cos(\theta_1) \\ y = a\;\sin(\theta_1) \end{array} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\theta_1 = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{C_1x}\,,\, \overrightarrow{C_1M} \right\rbrace}\;</math> variant de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;\pi\;</math> <br>{{Transparent|soient les deux contours <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> se coupant en <math>\;\color{transparent}{O\;(0,\,0)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A\;(a,\,a)}</math>, }}<math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> que nous paramétrons en <math>\;\theta_2\;</math> ou <math>\;\theta_1</math>, <br>{{Transparent|soient les deux contours <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> se coupant en <math>\;\color{transparent}{O\;(0,\,0)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A\;(a,\,a)}</math>, }}<math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> soit <br>{{Transparent|soient les deux contours <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_1)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{C}_2)}\;</math> se coupant en <math>\;\color{transparent}{O\;(0,\,0)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{A\;(a,\,a)}</math>, }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -a\;\sin(\theta_2)\; d \theta_2 \\ dy = a\;\cos(\theta_2)\; d \theta_2 \end{array} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\theta_2\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ -\dfrac{\pi}{2}\,,\,0 \right]\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -a\;\sin(\theta_1)\; d \theta_1 \\ dy = a\;\cos(\theta_1)\; d \theta_1 \end{array} \right\rbrace\;</math> pour <math>\;\theta_1\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\,\pi \right]\;</math> d'où <br>{{Transparent|soient }}«<math>\;I_6 = \displaystyle\oint_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int\limits_{\overset{\curvearrowright}{OA}\,\text{de}\,(\mathcal{C}_2)} y\;dx + 2\;x\;dy + \displaystyle\int\limits_{\overset{\curvearrowright}{AO}\,\text{de}\,(\mathcal{C}_1)} y\;dx + 2\;x\;dy = a^2 \bigg\{ \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \left\lbrace -\left[ 1 + \sin(\theta_2) \right] \sin(\theta_2) + 2\, \cos^2(\theta_2) \right\rbrace d \theta_2 + \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left\lbrace -\sin^2(\theta_1) + 2\,\left[ 1 + \cos(\theta_1) \right] \cos(\theta_1) \right\rbrace d \theta_1 \bigg\}</math> <br>{{Transparent|soient «<math>\;\color{transparent}{I_6}</math> }}<math>= a^2 \bigg\{ \left[ \cos(\theta_2) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} + \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \left[ 2\,\cos^2(\theta_2) - \sin^2(\theta_2) \right] d \theta_2 + 2\,\left[ \sin(\theta_1) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} + \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left[ 2\,\cos^2(\theta_1) - \sin^2(\theta_1) \right] d \theta_1 \bigg\} = a^2 \bigg\{ 1 + \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \dfrac{1 + 3\,\cos(2\,\theta_2)}{2}\, d \theta_2 - 2 + \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \dfrac{1 + 3\,\cos(2\,\theta_1)}{2}\, d \theta_1 \bigg\}\;</math> <br>{{Transparent|soient «<math>\;\color{transparent}{I_6}</math> }}<math>= a^2 \bigg\{ - 1 + \left[ \dfrac{\theta_2}{2} + \dfrac{3}{4}\;\sin(2\,\theta_2) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} + \left[ \dfrac{\theta_1}{2} + \dfrac{3}{4}\;\sin(2\,\theta_1) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \bigg\} = \left( \dfrac{\pi}{2} - 1 \right)\,a^2\;</math>» ; #Soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> le quart de cercle de rayon <math>\;R\;</math> et de centre <math>\;O\;( 0,\, 0)\;</math> joignant <math>\;A\;(R\,,0)\;</math> à <math>\;B\;(0\,,R)\;</math> dans le sens trigonométrique, d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = R\;\cos(\theta) \\ y = R\;\sin(\theta) \end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\theta \in \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right]\;</math>» <br><math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> paramétré en <math>\;\theta</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dx = -R\;\sin(\theta)\; d \theta \\ dy = R\;\cos(\theta)\; d \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> d'où «<math>\;I_7 = \displaystyle\int_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \displaystyle\int_{(\Gamma)} a\;x\;dx + x\;y\;dy = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \!\!-a\;R^2\;\cos(\theta)\;\sin(\theta)\;d \theta + \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \!\!R^3\;\cos^2(\theta)\;\sin(\theta)\;d \theta = -a\;R^2\, \left[ \dfrac{\sin^2(\theta)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - R^3\, \left[ \dfrac{\cos^3(\theta)}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =</math> <br><math>-\dfrac{a\;R^2}{2} + \dfrac{R^3}{3} = \dfrac{R^2}{6}\, \left( 2\;R - 3\;a \right)\;</math>» ; #Soit «<math>\;(\Gamma)\;</math> l'arc d'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] droite<ref name="hélice circulaire"> Elle est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec <math>\;z \propto \theta\;</math> <math>\big[</math>si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'[[w:Hélice|hélice]] devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\big]</math>, <br>{{Al|3}}elle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ; <br>{{Al|3}}elle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde <math>\;\big(</math>ou encore dans le sens horaire<math>\big)</math>.</ref> porté par un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] d'axe <math>\;z'z</math>, de rayon <math>\;r</math>, le pas de l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice]]<ref name="pas d'une hélice circulaire"> On définit le pas d'une [[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] par la valeur absolue de la variation de cote correspondant à un tour complet.</ref> étant <math>\;4\,\pi\,r</math>, d'équations cartésiennes paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = r\;\cos(\theta) \\ y = r\; \sin(\theta) \\ z = 2\;r\;\theta\end{array} \right\rbrace\;</math>» et <br><math>\;\theta \in \left[ 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right]</math>, <math>\;(x\,,\, y\,,\,z)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> paramétré en <math>\;\theta</math>, <math>\;(dx\,,\, dy\,,\,dz)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)</math> en <math>\;M</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c} dx = -r\;\sin(\theta)\; d \theta \\ dy = r\;\cos(\theta)\; d \theta \\ dz = 2\,r\, d \theta \end{array} \!\right\rbrace</math> d'où «<math>\;I_8 = \!\displaystyle\int_{(\Gamma)} \delta_{\text{forme diff}}(M) = \!\displaystyle\int_{(\Gamma)} (y - z)\;dx + (z - x)\;dy + (x - y)\;dz = \!\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \!\! r^2 \left\lbrace - \left[ \sin(\theta) - 2\;\theta \right]\,\sin(\theta) + \left[ 2\;\theta - \cos(\theta) \right]\,\cos(\theta) + 2 \left[ \cos(\theta) - \sin(\theta) \right] \right\rbrace\,d \theta</math> <math>= r^2 \left\lbrace \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ -\sin^2(\theta) + 2\;\theta\;\sin(\theta) + 2\;\theta\;\cos(\theta) - \cos^2(\theta) \right] d \theta + \cancel{2\; \left[ \sin(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + 2\; \left[ \cos(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}} \right\rbrace\;</math><ref> Les deux derniers termes étant opposés car <math>\;\left[ \sin(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1\;</math> et <math>\;\left[ \cos(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -1\;</math>.</ref> <math>= r^2 \left\lbrace -\left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + 2\,\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\, \left[ \sin(\theta) + \cos(\theta) \right] d \theta \right\rbrace\;</math><ref> En effet la somme de <math>\;\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\sin^2(\theta)\;d \theta\;</math> et <math>\;\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\cos^2(\theta)\;d \theta\;</math> est égale à <math>\;\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -d \theta\;</math> soit <math>\;\left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}</math>.</ref> <math>= r^2 \left\lbrace -\dfrac{\pi}{2} + 2\; J \right\rbrace\;</math> dans laquelle <math>\;J =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\, \left[ \sin(\theta) + \cos(\theta) \right] d \theta\;</math> s'intègre par parties<ref name="I.p.p." /> soit <math>\;J = \left[ \theta \left\lbrace -\cos(\theta) + \sin(\theta) \right\rbrace \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left\lbrace -\cos(\theta) + \sin(\theta) \right\rbrace d \theta = \dfrac{\pi}{2} + \cancel{\left[ \sin(\theta) + \cos(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\;</math><ref> En effet <math>\;\left[ \sin(\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1\;</math> et <math>\;\left[ \cos(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -1</math>.</ref> d'où <math>\;I_8 = \dfrac{\pi\;r^2}{2}\;</math>».}} == Calcul d'une grandeur associée à un arc de courbe définie par l'intégrale curviligne de sa densité linéique le long de l'arc == === Calcul d'une grandeur associée à un arc de parabole définie par l'intégrale curviligne de sa densité linéique le long de l'arc === {{Al|5}}Considérant l'arc de parabole <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> d'équation cartésienne <math>\;y = \dfrac{x^2}{a}\;</math> reliant les points <math>\;A\,( -a\,,\, a)\;</math> et <math>\;B\,( a\,,\, a)</math>, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}une grandeur <math>\;G\;</math> associée à <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, définie par sa densité linéique sur <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;g(s) = \Lambda_G\;\dfrac{y^2}{a^2\;\sqrt{a^2 + 4\;x^2}}\;</math>» avec <math>\;s\;</math> l'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne de M"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> du point générique <math>\;M\,(x,\,y)\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Considérant une grandeur <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math>, définie par sa densité linéique sur <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{g(s) = \Lambda_G\;a^2\;\sqrt{a^2 + 4\;x^2}}\;</math>» avec }}<math>\Lambda_G\;</math> une constante de même homogénéité que <math>\;G</math>, <br>{{Al|5}}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;G_{( \Gamma )} = \displaystyle\int_{(\Gamma)} g(s)\;ds\;</math>» dans laquelle <math>\;ds\;</math> est la longueur élémentaire <math>\;\big(</math>ou l'abscisse curviligne élémentaire<math>\big)\;</math> de l<math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;M</math>. {{Solution|contenu={{Al|5}}«<math>\;G_{( \Gamma )} = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} g(s)\;ds\;</math>» dans laquelle <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;( \Gamma )</math>, l'origine étant <math>\;O\,(0,\,0)\;</math> et le sens sur <math>\;( \Gamma )</math>, le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, avec <math>\;\vert ds \vert = \Vert \overrightarrow{dM} \Vert = \sqrt{dx^2 + dy^2}\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! dx \\ dy \!\!&=&\!\! 2\,\dfrac{x}{a}\,dx \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert ds \vert = \sqrt{1 + 4\,\dfrac{x^2}{a^2}}\;\vert dx \vert = \dfrac{\sqrt{a^2 + 4\;x^2}}{a}\;\vert dx \vert\;</math> d'où «<math>\;ds = \dfrac{\sqrt{a^2 + 4\;x^2}}{a}\;dx\;</math>», le sens sur <math>\;( \Gamma )\;</math> étant le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, soit «<math>\;G_{( \Gamma )} = \displaystyle\int_{-a}^{a} \Lambda_G\;\dfrac{\dfrac{x^4}{a^2}}{a^2\;\sqrt{a^2 + 4\;x^2}}\; \dfrac{\sqrt{a^2 + 4\;x^2}}{a}\;dx = \dfrac{\Lambda_G}{a^5}\;\displaystyle\int_{-a}^{a} x^4\;dx</math> <math>= \dfrac{\Lambda_G}{a^5}\,\left[ \dfrac{x^5}{5} \right]_{-a}^{a} = \dfrac{2\;\Lambda_G}{5}\;</math>».}} === Calcul d'une grandeur associée à un arc de cercle définie par l'intégrale curviligne de sa densité linéique le long de l'arc === {{Al|5}}Considérant le demi-cercle <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> d'équation cartésienne <math>\;x^2 + y^2 = 2\,a\;x,\;y \geqslant 0\;</math> reliant les points <math>\;O\,( 0\,,\, 0)\;</math> et <math>\;A\,( 2\,a\,,\, 0)</math>, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}une grandeur <math>\;G\;</math> associée à <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, définie par sa densité linéique sur <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;g(s) = \Lambda_G\;\dfrac{y}{a^2}\;</math>» avec <math>\;s\;</math> l'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne de M" /> du point générique <math>\;M\,(x,\,y)\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|Considérant une grandeur <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math>, définie par sa densité linéique sur <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{g(s) = \Lambda_G\;\dfrac{y}{a^2}}\;</math>» avec }}<math>\Lambda_G\;</math> une constante de même homogénéité que <math>\;G</math>, <br>{{Al|5}}calculer l'intégrale curviligne «<math>\;G_{( \Gamma )} = \displaystyle\int_{(\Gamma)} g(s)\;ds\;</math>» dans laquelle <math>\;ds\;</math> est la longueur élémentaire <math>\;\big(</math>ou l'abscisse curviligne élémentaire<math>\big)\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;M</math>. {{Solution|contenu={{Al|5}}«<math>\;G_{( \Gamma )} = \displaystyle\int\limits_{(\Gamma)} g(s)\;ds\;</math>» dans laquelle <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;( \Gamma )</math>, l'origine étant <math>\;O\,(0,\,0)\;</math> et le sens sur <math>\;( \Gamma )</math>, le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, avec <math>\;\vert ds \vert = \Vert \overrightarrow{dM} \Vert = \sqrt{dx^2 + dy^2}\;</math> où <math>\;dy\;</math> résulte de la différenciation de la « [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] du demi-cercle <math>\;y = \sqrt{x\,(2\,a - x)}\;</math>»<ref name="fonction implicite de Gamma"> L'équation implicite du demi-cercle <math>\;x^2 + y^2 = 2\,a\;x,\;y \geqslant 0\;</math> admet pour solution la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;y = \sqrt{x\,(2\,a - x)}\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Fonction_implicite_entre_deux_variables_réelles|fonction implicite entre deux variables réelles]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit <math>\left\lbrace \begin{array}{l c l} dx \!\!&=&\!\! dx \\ dy \!\!&=&\!\! \dfrac{a - x}{\sqrt{x\,(2\,a - x)}}\,dx \end{array} \right\rbrace</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert ds \vert = \sqrt{1 + \dfrac{(a - x)^2}{x\,(2\,a - x)}}\;\vert dx \vert = \dfrac{a}{\sqrt{x\,(2\,a - x)}}\;\vert dx \vert\;</math> d'où «<math>\;ds = \dfrac{a}{\sqrt{x\,(2\,a - x)}}\;dx\;</math>», le sens sur <math>\;( \Gamma )\;</math> étant le sens <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x</math>, soit «<math>\;G_{( \Gamma )} = \displaystyle\int_{0}^{2\,a} \Lambda_G\;\dfrac{\sqrt{x\,(2\,a - x)}}{a^2}\; \dfrac{a}{\sqrt{x\,(2\,a - x)}}\;dx = \dfrac{\Lambda_G}{a}\;\left[ x \right]_{0}^{2\,a} = 2\;\Lambda_G\;</math>».}} == Calculs d'intégrales curvilignes sur un arc de parabole défini par son équation cartésienne == {{Al|5}}Considérant l'arc de parabole <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> d'équation cartésienne <math>\;y = a - \dfrac{x^2}{a}\;</math> reliant les points <math>\;A\,( -a\,,\, 0)\;</math> et <math>\;B\,( a\,,\, 0)</math>, <math>\;\big(a\;</math> étant une grandeur <math>\;> 0\;</math> de même dimension que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> }}calculer les intégrales curvilignes «<math>\;I_1 = \displaystyle\int\limits_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} y\;dx\;</math>», «<math>\;I_2 = \displaystyle\int\limits_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} x\;dy\;</math>» et «<math>\;I_3 = \displaystyle\int\limits_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} x\;dy + y\;dx\;</math>»<ref> Pour cette dernière donner deux justifications, la 1^ère découlant des deux précédentes intégrales curvilignes, la 2^nde par étude directe et propriété de l'arc de parabole.</ref>. {{Solution|contenu={{Al|5}}Soit l'arc de parabole <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> d'équation cartésienne <math>\;y = a - \dfrac{x^2}{a}\;</math> reliant les points <math>\;A\,( -a\,,\, 0)\;</math> et <math>\;B\,( a\,,\, 0)</math>, <math>\;(x\,,\, y)\;</math> étant les coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, point générique de <math>\;(\Gamma)\;</math> paramétré en <math>\;x</math>, <math>\;(dx\,,\, dy)\;</math> étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dy = -\dfrac{2\;x}{a}\;dx\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> d'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = a - \dfrac{x^2}{a}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;I_1 = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} y\;dx = \displaystyle\int_{-a}^{a} \left( a - \dfrac{x^2}{a} \right)\,dx = \left[ a\;x - \dfrac{x^3}{3\;a} \right]_{-a}^{a} = 2\;a^2 - \dfrac{2}{3}\;a^2 = \dfrac{4}{3}\;a^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> d'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = a - \dfrac{x^2}{a}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;I_2 = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} x\;dy = \displaystyle\int_{-a}^{a} x\,\left( -\dfrac{2\;x}{a} \right)\,dx = \left[ -\dfrac{2\;x^3}{3\;a} \right]_{-a}^{a} = -\dfrac{4}{3}\;a^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> d'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = a - \dfrac{x^2}{a}}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;I_3 = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} x\;dy + y\;dx = I_2 + I_1 = 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> d'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = a - \dfrac{x^2}{a}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}la 2^ème justification résulte de la transformation de la forme différentielle «<math>\;x\;dy + y\;dx\;</math>»<ref name="forme différentielle" /> selon «<math>\;x\;dy + y\;dx = d \left( x\;y \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'arc de parabole <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> d'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{y = a - \dfrac{x^2}{a}}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;I_3 = \displaystyle\int_{A \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} B} d \left( x\;y \right) = \left\lbrace x\;y \right\rbrace(B) - \left\lbrace x\;y \right\rbrace(A) = 0\;</math>» car <math>\;y_B = y_A = 0</math>.}} {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Applications du théorème de Taylor-Young et des développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs|Applic. du théorème de Taylor-Young et des D.L. d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] | suivant = [[../Applications des divers repérages d'un point dans l'espace/]] }} dojqnr9p9iau3cy84ppy39mf4e00kke 0 76807 982979 962046 2026-05-22T19:06:54Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982979 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie/]] | suivant = [[../Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther/]] }} {{Al|5}}La notion d'[[w:Angle_solide|angle solide]] permet d'introduire la mesure d'une portion d'« [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel » comme <br />{{Al|5}}la notion d'angle traduit l'introduction de la mesure d'une portion d'« [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] bidimensionnel ». <br />{{Al|5}}<u>Remarque</u> : bien que cette notion ne soit pas au programme de mathématiques <math>\;\big(</math>ou de physique<math>\big)\;</math> de P.C.S.I., nous l'introduisons car <br />{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : bien que cette }}elle ne présente aucune difficulté et est très utile pour simplifier les exposés en physique. == Rappel de la définition de la mesure d'un angle non orienté d'un plan (en radians « rad ») == [[File:Mesure d'un angle non orienté.png|thumb|left|290px|Schéma de définition de la mesure <math>\;\alpha\;</math> d'un angle non orienté]] {{Al|5}}Deux demi-droites distinctes de même origine délimitent dans le plan les contenant deux secteurs angulaires<ref name="secteur angulaire"> Par abus appelé « angle » <math>\;\big(</math>par confusion entre l'objet « secteur angulaire » et sa mesure « angle »<math>\big)</math>.</ref>, * la portion d'espace plan [[w:Espace_convexe|convexe]] définit un « secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> saillant » <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math>, * l'autre portion d'espace plan non [[w:Espace_convexe|convexe]] {{Transparent|définit }}un « secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> rentrant » <math>\;\big(</math>sur le schéma ci-contre c'est la portion d'espace plan [[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] du « secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> saillant » du plan les contenant<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans la suite nous considérons le « secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> saillant » comme support d'explication <math>\;\big(</math>mais tout ce qui est introduit est encore applicable au « secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> rentrant » [[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] du « secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> saillant » du plan<math>\big)</math> ; {{Al|5}}pour mesurer un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> <math>\big(</math>l'origine des deux demi-droites définissant le sommet du secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> et les demi-droites ses côtés<math>\big)</math>, <br />{{Al|10}}{{Transparent|pour mesurer un secteur angulaire }}nous traçons, dans le plan contenant le secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" />, un cercle de rayon <math>\;R\;</math> quelconque <br />{{Al|14}}{{Transparent|pour mesurer un secteur angulaire nous traçons, dans le plan contenant le secteur angulaire, un cercle }}centré au sommet du secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|pour mesurer un secteur angulaire nous }}mesurons l'« arc <math>\;\overset{\frown}{s(R)}\;</math> découpé par le secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> sur le cercle », <center>{{Al|5}}«<math>\;\overset{\frown}{s(R)}\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> à <math>\;R\;</math>»<ref> En effet la longueur de l'arc de cercle défini selon «<math>\;s(R) = \displaystyle\int_{A\,\overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\,B} ds\;</math>» où <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> est le cercle centré au sommet <math>\;O\;</math> du secteur angulaire et de rayon <math>\;R</math>, <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant les intersections des côtés du secteur et du cercle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, soit encore, en utilisant le paramétrage polaire de pôle <math>\;O\;</math> du cercle «<math>\;s(R) = \displaystyle\int_{\theta_A}^{\theta_B} R\;d \theta = R\,\left( \theta_B - \theta_A \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;s(R) \propto R\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> le « rapport <math>\;\dfrac{\overset{\frown}{s(R)}}{R}\;</math> indépendant de <math>\;R\;</math> représente la mesure du secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> ou « angle » <math>\;\big(</math>en <math>\;rad\big)\;</math>».</center> {{Définition|titre=Mesure d'un secteur angulaire (ou angle)|contenu={{Al|5}}La mesure <math>\;\alpha\;</math> en <math>\;rad\;</math> d'un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> est «<math>\;\alpha = \dfrac{\overset{\frown}{s(R)}}{R}\;</math>» dans laquelle «<math>\;\overset{\frown}{s(R)}\;</math> est la longueur de l'arc de cercle découpé par le secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> sur le cercle centré au sommet du secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> et de rayon <math>\;R\;</math> arbitraire ».}} {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : <math>\;\succ\;</math>la mesure d'un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> « saillant » est «<math>\;<\;</math> à <math>\;\pi\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}<math>\;\succ\;</math>la mesure d'un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> « rentrant » est «<math>\;>\;</math> à <math>\;\pi\;</math> mais <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;\pi\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}<math>\;\succ\;</math>si les côtés d'un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> sont alignés sans être superposés, le secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> est dit « plat » et sa « mesure est <math>\;\pi\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}<math>\;\succ\;</math>si les côtés d'un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> sont superposés, le secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> est dit « nul » et sa « mesure est <math>\;0\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}<math>\;\succ\;</math>le secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> [[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] dans le plan du secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> nul est dit « plein » et sa « mesure est <math>\;2\;\pi\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}<math>\;\succ\;</math>un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> « saillant » à côtés <math>\;\perp\;</math> est dit « droit » et sa « mesure est <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}<math>\;\succ\;</math>un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> « saillant » de « mesure <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math>» est dit « aigu » et {{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}<math>\;\succ\;</math>un secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> « saillant » de « mesure <math>\;>\;</math> à <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math>» est dit « obtus ». == Définition d'un angle solide mesurant l'intérieur d'un cône (en stéradians « sr ») == === Analogie tridimensionnelle de la notion de secteur angulaire (ou angle) d'un plan === {{Al|5}}De même qu'un plan peut être découpé en deux portions par deux demi-droites de même origine donnant la notion de secteurs angulaires<ref name="secteur angulaire" /> « saillant<ref name="secteur angulaire saillant"> Par abus encore appelé « angle intérieur » <math>\;\big(</math>par confusion entre l'objet « secteur angulaire saillant » et sa mesure « angle intérieur »<math>\big)</math>.</ref> » et « rentrant<ref name="secteur angulaire rentrant"> Par abus encore appelé « angle extérieur » <math>\;\big(</math>par confusion entre l'objet « secteur angulaire rentrant » et sa mesure « angle extérieur »<math>\big)</math>.</ref> », <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'un plan peut être découpé en deux portions par deux demi-droites de même origine donnant }}la mesure du « secteur angulaire saillant<ref name="secteur angulaire saillant" /> » étant <math>\;<\;</math> à celle du « secteur angulaire rentrant<ref name="secteur angulaire rentrant" /> », <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'}}l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\big[</math>ensemble de demi-droites de même origine <math>\;\big(</math>appelé [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet du cône]]<math>\big)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}s'appuyant sur une courbe fermée <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en général plane<ref name="cône dégénéré"> Dans le cas où la courbe est plane, si le plan de celle-ci contient le [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet du cône]], le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] obtenu est dégénéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. plan<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>appelée [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] du [[w:Cône_(géométrie)|cône]]<math>\big)\;</math><ref name="directrice gauche"> La [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] peut être gauche mais dans ce cas il est toujours possible de tracer sur le même [[w:Cône_(géométrie)|cône]] une courbe fermée plane jouant le rôle de [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] de ce [[w:Cône_(géométrie)|cône]] et par suite d'utiliser cette courbe fermée plane comme [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\ldots</math></ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}les demi-droites constituant les [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] de ce dernier<math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône }}<math>\;\big(</math>dans la suite de ce paragraphe nous supposons la [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] plane<ref name="directrice plane"> Car il est toujours possible de choisir une [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] plane pour un [[w:Cône_(géométrie)|cône]] quelconque, voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#cite_note-directrice_gauche-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône }}<math>\bullet\;</math>si la [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] est « [[w:Courbe_convexe|convexe]] <ref name="courbe convexe"> Une courbe est [[w:Courbe_convexe|convexe]] si elle est la frontière d'un [[w:Ensemble_convexe|ensemble convexe]], ce dernier étant tel qu'en y prenant deux points quelconques.<math>\;A\;</math> et <math>\;B</math>, le segment <math>\;\left[ A B \right]\;</math> qui les joint y est entièrement contenu.</ref> », <math>\succ\;</math>la portion « [[w:Espace_convexe|convexe]]<ref name="courbe convexe" /> » d'espace tridimensionnel délimitée par <br />{{Al|14}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la portion « convexe » }}le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] définit l'« intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] », <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « convexe », }}<math>\succ\;</math>l'autre portion « non [[w:Espace_convexe|convexe]]<ref name="courbe convexe" /> » <math>\big(</math>[[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] de l'intérieur <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] dans l'espace tridimensionnel<math>\big)\;</math> définissant <br />{{Al|14}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'autre portion « non convexe » }}l'« extérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] », <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône }}<math>\bullet\;</math>si la [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] est « non [[w:Courbe_convexe|convexe]]<ref name="courbe convexe" /> », <math>\exists\;</math> une courbe fermée plane <math>\;\left( \Gamma_{\text{sup}} \right)\;</math> « [[w:Courbe_convexe|convexe]]<ref name="courbe convexe" /> » telle que <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », }}tous les points de la [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] « non [[w:Courbe_convexe|convexe]]<ref name="courbe convexe" /> » <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> soient <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », }}à l'intérieur de cette courbe fermée <math>\;\left( \Gamma_{\text{sup}} \right)\;</math> « [[w:Courbe_convexe|convexe]]<ref name="courbe convexe" /> » <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », }}<math>\succ\;</math>l'« intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» est défini par <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}la portion d'espace tridimensionnel délimité par <math>\;\left( K \right)\;</math> incluse <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}dans l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K_{\text{sup}} \right)\;</math> de [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma_{\text{sup}} \right)\;</math> de <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}même [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] que le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », }}<math>\succ\;</math>l'« extérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» est défini par <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le [[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] de l'intérieur de <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> <br />{{Al|9}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône est « non convexe », <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le complémentaire }}dans l'espace tridimensionnel. <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône }}<math>\bullet\;</math><u>Remarque</u> : si la [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> est gauche, tracer une courbe fermée plane <math>\;\left( \Gamma' \right)\;</math> sur <math>\;\left( K \right)\;</math><ref name="directrice gauche" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarque : si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math> est gauche, }}la considérer comme [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> pour <br />{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarque : si la directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math> est gauche, }}définir l'intérieur et l'extérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)</math>. {{Al|5}}<u>Commentaire applicable dans la suite du chapitre</u> : nous considérons systématiquement l'« intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] » comme support d'explication mais tout ce qui est introduit est encore applicable à <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire applicable dans la suite du chapitre : nous considérons systématiquement }}l'« extérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] » [[w:Complémentaire_(théorie_des_ensembles)|complémentaire]] de l'« intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] » dans l'espace tridimensionnel. === Définition de l'angle solide (non orienté) mesurant l'intérieur d’un cône (en stéradians « sr ») === [[File:Mesure d'un angle solide non orienté.png|thumb|300px|Schéma de définition de la mesure de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] non orienté correspondant à l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;(K)\;</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O</math>]] {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La mesure de la « portion d'espace tridimensionnel intérieur au [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;(K)\;</math>»<ref name="angle solide"> Par abus encore appelé « [[w:Angle_solide|angle solide]] intérieur au [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;(K)\;</math>» <math>\;\big(</math>par confusion entre l'objet « portion d'espace tridimensionnel intérieur au [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;(K)\;</math>» et sa mesure « [[w:Angle_solide|angle solide]] mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;(K)\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> est calquée sur <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La m }}celle de la « portion de plan correspondant à un secteur angulaire saillant<ref name="secteur angulaire saillant" /> » ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}pour cela, le « cercle de rayon quelconque centré sur le sommet du secteur angulaire<ref name="secteur angulaire" /> » est remplacé par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : pour cela, }}une « sphère de rayon quelconque centrée sur le [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;(K)\;</math>». {{Al|5}}Pour mesurer l'« intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math><ref name="angle solide" />, de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O</math>, de [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>non représentée sur le schéma ci-contre <br />{{Al|9}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, de sommet <math>\;\color{transparent}{O}</math>, de directrice <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}dans le but de ne pas surcharger la figure<math>\big]</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, }}nous traçons une sphère <math>\;\left( \Sigma \right)</math>, de rayon <math>\;R\;</math> quelconque, centrée au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] et <br />{{Al|8}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, nous }}mesurons l'« aire <math>\;\Sigma(R)\;</math><ref name="aire non algébrique"> Non algébrique.</ref> de la portion de sphère limitée par la courbe fermée <math>\;\left( K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> <br />{{Al|13}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, nous mesurons l'« aire <math>\;\color{transparent}{\Sigma(R)}\;</math> de la portion de sphère }}découpée par le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> sur la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math>», <br />{{Al|8}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, }}«<math>\;\Sigma(R)\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> à <math>\;R^2\;</math>»<ref> En effet l'aire de la portion de sphère définie selon «<math>\;\Sigma(R) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\text{int de }\left( K \right)\, \cap\, \left( \Sigma \right)}\!\!\!\! dS_M\;</math>» avec <math>\;dS_M\;</math> l'aire de la surface élémentaire définie en <math>\;M\;</math> de la portion de sphère centrée au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] et de rayon <math>\;R</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> soit encore, en utilisant le paramétrage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> de la sphère «<math>\;\Sigma(R) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\text{int de }\left( K \right)\, \cap\, \left( \Sigma \right)} \!\!\!\!R^2\;\sin\! \left( \theta_M \right)\;d \theta_M\;d \varphi_M = R^2 \left[\, \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\text{int de }\left( K \right)\, \cap\, \left( \Sigma \right)} \!\!\!\!\sin\! \left( \theta_M \right)\;d \theta_M\;d \varphi_M \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\Sigma(R) \propto R^2\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> le « rapport <math>\;\dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math> est indépendant de <math>\;R</math>, <br />{{Al|14}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, «<math>\;\color{transparent}{\Sigma(R)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{R^2}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le « }}il représente la « mesure <math>\;\omega\;</math> de l’intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math><ref name="angle solide" /> » appelée <br />{{Al|14}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, «<math>\;\color{transparent}{\Sigma(R)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{R^2}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le « il représente la }}« [[w:Angle_solide#Définition|angle solide]] <math>\big(</math>non orienté<math>\big)</math> de l'intérieur de <math>\;\left( K \right)\;</math>» <br />{{Al|14}}{{Transparent|Pour mesurer l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math>, «<math>\;\color{transparent}{\Sigma(R)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{R^2}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le « il représente la «}}<math>\;\big(</math>en « stéradians de symbole <math>\;sr\;</math>»<math>\big)\;</math>» d'où <center>l'« [[w:Angle_solide#Définition|angle solide]] <math>\big(</math>non orienté<math>\big)</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math>» est défini par «<math>\;\omega = \dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math>» avec <br />«<math>\;\Sigma(R)\;</math> l'aire<ref name="aire non algébrique" /> de la surface limitée par la courbe fermée découpée par le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> sur la sphère de rayon <math>\;R\;</math>».</center> === Algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône === {{Al|5}}Si la surface sphérique limitée par l'intersection du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> et de la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> centrée au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] est, en <math>\;M\;</math> de sa surface, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la surface sphérique }}<u>orientée par</u> le 1^er vecteur de la base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> liée à <math>\;M\;</math> à savoir <u>le vecteur unitaire radial</u> «<math>\;\vec{u}_r = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{R}\;</math>» <math>\;\big(</math><u>orientation dans le sens centrifuge</u><math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la surface sphérique orientée par le 1^er vecteur de la base sphérique }}l'« [[w:Angle_solide#Définition|angle solide]] algébrique <math>\;\Omega\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|6}}{{Transparent|Si la surface sphérique orientée par le 1^er vecteur de la base sphérique l'angle solide algébrique }}«<math>\;\Omega = \omega = \dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math><ref name="aire non algébrique - bis"> <math>\;\Sigma(R)\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;d \Sigma(R)\big\}\;</math> étant l'aire non algébrique de la portion de sphère <math>\;\left( \Sigma \right)</math>.</ref> » ; {{Al|5}}si la surface sphérique limitée par l'intersection du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> et de la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> centrée au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] est, en <math>\;M\;</math> de sa surface, <br />{{Al|5}}{{Transparent|si la surface sphérique }}<u>orientée par</u> l'opposé du 1^er vecteur de la base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> liée à <math>\;M\;</math> à savoir <u>l'opposé du vecteur unitaire radial</u> «<math>\;-\vec{u}_r = -\dfrac{\overrightarrow{OM}}{R}\;</math>» <math>\;\big(</math><u>orientation dans le sens centripète</u><math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Si la surface sphérique orientée par l'opposé du 1^er vecteur de la base sphérique }}l'« [[w:Angle_solide#Définition|angle solide]] algébrique <math>\;\Omega\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|6}}{{Transparent|Si la surface sphérique orientée par l'opposé du 1^er vecteur de la base sphérique l'angle solide algébrique }}«<math>\;\Omega = -\omega = -\dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math><ref name="aire non algébrique - bis" /> ». === Expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ, φ) à dθ et dφ près === [[File:Angle solide élémentaire en repérage sphérique.png|thumb|400px|Schéma décrivant le repérage sphérique pour évaluer l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire_2|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)\;</math> mesurant l'intérieur d'un [[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire d'axe repéré en sphérique par <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> près]] {{Al|5}}Soit le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire <math>\;\left( dK \right)\;</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit le cône élémentaire <math>\;\color{transparent}{\left( dK \right)}\;</math> }}d'axe repéré en sphérique de pôle <math>\;O\;</math> par <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> près <math>\;\big[</math>voir ci-contre<math>\big]\;</math> ainsi que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R</math> <math>\;\big\{</math>seul le huitième de sphère du quadrant <math>\;\left( x > 0\,,\, y > 0\,,\, z > 0 \right)\;</math> est partiellement représenté par ses [[w:Méridien|méridiens]] de longitude <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\varphi + d \varphi\;</math> ainsi que par les portions de [[w:Parallèle_(géographie)|parallèles]] localisés entre les deux [[w:Méridien|méridiens]] précédents, [[w:Parallèle_(géographie)|parallèles]] de colatitude <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d \theta\big\}</math>, <br />{{Al|5}}l'intersection “ [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( dK \right)\;</math> et sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math>” donnant une courbe fermée <math>\;\left( dK \right)\, \cap\, \left( \Sigma \right)\;</math> constituée <br />{{Al|6}}{{Transparent|l'intersection “ cône <math>\;\color{transparent}{\left( dK \right)}\;</math> et sphère <math>\;\color{transparent}{\left( \Sigma \right)}\;</math>” donnant une courbe fermée }}des portions de [[w:Parallèle_(géographie)|parallèles]] de colatitude <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d \theta\;</math> et <br />{{Al|6}}{{Transparent|l'intersection “ cône <math>\;\color{transparent}{\left( dK \right)}\;</math> et sphère <math>\;\color{transparent}{\left( \Sigma \right)}\;</math>” donnant une courbe fermée }}des portions de [[w:Méridien|méridiens]] de longitude <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\varphi + d \varphi\;</math><ref> Localisées entre les deux [[w:Parallèle_(géographie)|parallèles]] de colatitude <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\theta + d \theta</math>.</ref> <br />{{Al|6}}{{Transparent|l'intersection “ cône <math>\;\color{transparent}{\left( dK \right)}\;</math> et sphère <math>\;\color{transparent}{\left( \Sigma \right)}\;</math>” donnant une courbe fermée }}<math>\big(</math>toutes représentées en bleu sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|l'intersection “ cône <math>\;\color{transparent}{\left( dK \right)}\;</math> et sphère <math>\;\color{transparent}{\left( \Sigma \right)}\;</math>” }}délimite la « portion de sphère d'aire<ref name="aire non algébrique" /> <math>\;d \Sigma(R) = R^2\;\sin(\theta)\;\vert d \theta \vert\;\vert d \varphi \vert\;</math>»<ref name="aire élémentaire d'une sphère de rayon R"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_sphérique|expressions en paramétrage sphérique]] (du vecteur élément de surface en un point générique d'une surface) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br />{{Al|5}}l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire_2|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> «<math>\;d \omega\;</math>» mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire <math>\;\left( dK \right)\;</math> d'axe repéré par <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> près : <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;d \omega = \dfrac{d \Sigma(R)}{R^2} = \sin(\theta)\;\vert d \theta \vert\;\vert d \varphi \vert\;</math><ref name="aire non algébrique - bis" /> ». {{Al|5}}L'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire_2|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)\;</math> «<math>\;d \Omega\;</math>» mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire <math>\;\left( dK \right)\;</math> d'axe repéré par <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> près <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}est défini par «<math>\;d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est défini par }}«<math>\;d \Omega > 0\;</math> pour <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> de même signe » <math>\;\big[\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> toutes deux <math>\;\nearrow\;</math> ou <math>\;\searrow\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est défini par }}«<math>\;d \Omega < 0\;</math> pour <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> de signe contraire » <math>\;\big[\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\varphi \searrow\;</math> ou <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\varphi \nearrow\big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\succ\;</math>La définition de l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire_2|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)\;</math> «<math>\;d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi\;</math>» mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire <math>\;\left( dK \right)\;</math> d'axe repéré par <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> près <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» }}est en accord avec «<math>\;d \Omega = \pm d \omega = \pm \dfrac{d \Sigma(R)}{R^2}\;</math><ref name="aire non algébrique - bis" /> »<ref name="Sigma(R) remplacé par d Sigma(R)"> Obtenue à partir de «<math>\;\Omega = \pm \omega = \pm \dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Algébrisation_d'un_angle_solide_Ω_mesurant_l'intérieur_d'un_cône_par_orientation_de_la_surface_sphérique_limitée_par_l'intersection_du_cône_et_de_la_sphère_de_rayon_R_centrée_au_sommet_du_cône|algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> en l'appliquant à une surface élémentaire.</ref> dans la mesure où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord avec }}le « vecteur surface élémentaire de la portion sphérique limitée par <math>\;\left( dK \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord avec le « vecteur surface élémentaire }}est défini selon <math>\;\overrightarrow{d \Sigma(R)} = R^2\;\sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord }}<math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> sont de même signe <math>\;\big[\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> toutes deux <math>\;\nearrow\;</math> ou <math>\;\searrow\big]</math>, nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overrightarrow{d \Sigma(R)} = d \Sigma(R)\;\vec{u}_r\;</math> où <math>\;d \Sigma(R) = R^2\;\sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi > 0\;</math> et <math>\;\overrightarrow{d \Sigma(R)}\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;d \Omega = d \omega = \dfrac{d \Sigma(R)}{R^2} = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>., <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord }}<math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> sont de signe contraire <math>\;\big[\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\varphi \searrow\;</math> ou <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\varphi \nearrow\big]</math>, nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overrightarrow{d \Sigma(R)} = -d \Sigma(R)\;\vec{u}_r\,</math> où <math>\,d \Sigma(R) = R^2\,\sin(\theta)\,\vert d \theta \vert\, \vert d \varphi \vert > 0\,</math> et <math>\,\overrightarrow{d \Sigma(R)}\,</math> orienté par <math>\,-\vec{u}_r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La définition de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi}\;</math>» est en accord <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;d \Omega = -d \omega = -\dfrac{d \Sigma(R)}{R^2} = -\sin(\theta)\;\vert d \theta \vert\; \vert d \varphi \vert = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\;\overline{d \Sigma(R)}\;</math> de la portion de sphère délimitée par l'intersection du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( dK \right)\;</math> et de la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> selon «<math>\;\overline{d \Sigma(R)} = R^2\;\sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\;\color{transparent}{\overline{d \Sigma(R)}}\;</math> }}le « vecteur surface élémentaire de cette portion sphérique se réécrit selon <math>\;\overrightarrow{d \Sigma(R)} = \overline{d \Sigma(R)}\;\vec{u}_r\;</math> où <math>\;\overline{d \Sigma(R)} = \overrightarrow{d \Sigma(R)} \cdot \vec{u}_r\;</math>» d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\;\color{transparent}{\overline{d \Sigma(R)}}\;</math> }}l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire_2|angle solide]] <math>\big(</math>algébrique<math>\big)</math> «<math>\;d \Omega\;</math>» mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire <math>\;\left( dK \right)\;</math> d'axe repéré par <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> près s'écrit selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\color{transparent}{\overline{d \Sigma(R)}}</math> l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}«<math>\;d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\;d \varphi = \dfrac{\overline{d \Sigma(R)}}{R^2} = \dfrac{\overrightarrow{d \Sigma(R)} \cdot \vec{u}_r}{R^2}\;</math>» unifiant «<math>\;d \Omega = \pm d \omega = \pm \dfrac{d \Sigma(R)}{R^2}\;</math><ref name="aire non algébrique - bis" /> »<ref name="Sigma(R) remplacé par d Sigma(R)" /> en effet, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\color{transparent}{\overline{d \Sigma(R)}}</math> l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> sont de même signe <math>\;\big[\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> toutes deux <math>\;\nearrow\;</math> ou <math>\;\searrow\big]</math>, nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\color{transparent}{\overline{d \Sigma(R)}}</math> l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{d \Sigma(R)} > 0</math>, <math>\;\overrightarrow{d \Sigma(R)}\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \Omega = d \omega = \dfrac{d \Sigma(R)}{R^2} = \dfrac{\overline{d \Sigma(R)}}{R^2}\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V." />., <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\color{transparent}{\overline{d \Sigma(R)}}</math> l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}<math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> sont de signe contraire <math>\;\big[\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\varphi \searrow\;</math> ou <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\varphi \nearrow\big]</math>, nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si nous introduisons l'aire algébrique <math>\color{transparent}{\overline{d \Sigma(R)}}</math> l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{d \Sigma(R)} < 0</math>, <math>\;\overrightarrow{d \Sigma(R)}\;</math> dans le sens de <math>\;-\vec{u}_r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \Omega = -d \omega = -\dfrac{d \Sigma(R)}{R^2} = \dfrac{\overline{d \Sigma(R)}}{R^2}\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V." />. === Expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône === [[File:Cône de révolution d'axe Oz.png|thumb|400px|Schéma de description d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;\alpha\;</math> avec repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> des directions intérieures au cône]] {{Al|5}}Considérons un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] <math>\;\left( K \right)</math>, de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et de demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;\alpha</math> <math>\;\big[</math>voir le schéma ci-contre<ref> Les [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> étant des demi-droites ne sont pas limitées contrairement à la représentation qui en est faite sur le schéma.</ref><math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérons un cône de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}</math>, }}chaque direction intérieure au [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> étant repérée par sa « colatitude <math>\;\theta \in \left[ 0\,,\,\alpha \right[\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérons un cône de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}</math>, chaque direction intérieure au cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math> étant repérée par }}sa « longitude <math>\;\varphi \in \left[0\,,\, 2\;\pi \right[\;</math>», <br />{{Al|5}}nous nous proposons d'évaluer l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\Omega\;</math> mesurant l'intérieur de ce [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] <math>\;\left( K \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons d'évaluer }}à l'aide <math>\succ\;</math>de l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons d'évaluer à l'aide <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'intérieur du }}d'axe repéré en sphérique par <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> et <math>\;d \varphi\;</math> près<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Expression_en_coordonnées_sphériques_de_l'angle_solide_(algébrique)_mesurant_l'intérieur_du_cône_élémentaire_d'axe_repéré_en_sphérique_par_(θ,_φ)_à_dθ_et_dφ_près|expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ,_φ) à dθ et dφ près]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons d'évaluer à l'aide <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'intérieur du }}à savoir «<math>\;d \Omega = \sin(\theta)\;d \theta\; d \varphi\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous nous proposons d'évaluer à l'aide }}<math>\succ\;</math>du caractère additif de la notion d'[[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé ou non<math>\big)</math> qui sera établi « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Définition_de_l'angle_solide_(algébrique)_sous_lequel_de_O_on_voit_une_surface_ouverte_orientée|plus bas dans ce chapitre]] »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Définition_de_l'angle_solide_(algébrique)_sous_lequel_de_O_on_voit_une_surface_ouverte_orientée|définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée]] (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus bas dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}nous en déduisons l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\Omega\;</math> mesurant l'intérieur de ce [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] <math>\;\left( K \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}sous forme de l'intégrale surfacique sur la portion de sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;R\;</math> quelconque, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> sous forme de l'intégrale surfacique sur }}limitée par le contour fermé <math>\;\left( K \right) \cap \left( \Sigma \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> sous forme de l'intégrale surfacique sur la }}portion de sphère notée <math>\;\left( \Delta \Sigma \right)\;</math> et orientée par <math>\;\vec{u}_r\;</math><ref> Vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle <math>\;O</math>, lié au point <math>\;M\;</math> de coordonnées sphériques <math>\;\left( r\,,\,\theta\,,\,\varphi \right)</math>.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> sous forme }}«<math>\;\Omega = \displaystyle\iint\limits_{\left( \Delta \Sigma \right)} d \Omega( \theta,\, \varphi) = \displaystyle\iint\limits_{\left( \Delta \Sigma \right)} \sin(\theta)\;d \theta\; d \varphi\;</math>»<ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#|les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> qui s'intègre selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> sous forme «}}<math>\;\Omega = \displaystyle\int_{\varphi\,=\,0}^{\varphi\,=\,2\;\pi} \left[ \displaystyle\int_{\theta\,=\,0}^{\theta\,=\,\alpha} \sin(\theta)\;d \theta \right] d \varphi = \displaystyle\int_{\varphi\,=\,0}^{\varphi\,=\,2\;\pi} d \varphi \times \displaystyle\int_{\theta\,=\,0}^{\theta\,=\,\alpha} \sin(\theta)\;d \theta\;</math><ref> Quand la méthode de calcul de l'intégrale surfacique conduit à deux intégrales emboîtées telles que les bornes de l'intégrale intérieure <math>\;\big(</math>ici l'intégrale sur <math>\;\theta\;</math> réalisée à <math>\;\varphi\;</math> constant<math>\big)\;</math> sont indépendantes de la variable figée <math>\;\big(</math>ici <math>\;\varphi\big)</math>, l'ensemble des deux intégrales emboîtées devient un produit de deux intégrales indépendantes.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> sous forme «<math>\;\color{transparent}{\Omega}</math> }}<math>= 2\;\pi \times \left[ -\cos(\theta) \right]_0^\alpha = 2\;\pi\,\left[ 1 - \cos(\alpha) \right]\;</math> soit finalement <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons }}l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\Omega\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> et de demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;\alpha\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}vaut «<math>\;\Omega = 2\;\pi\,\left[ 1 - \cos(\alpha) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>résultat utile à connaître<math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}<u>remarque</u> : c'est aussi l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> et de demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;\alpha\;</math>» <br />{{Al|6}}{{Transparent|nous en déduisons l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> remarque : c'est aussi l’angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;\omega = 2\;\pi\,\left[ 1 - \cos(\alpha) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>résultat aussi à connaître<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Applications</u> : <math>\succ\;</math>L'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> mesurant l'espace tridimensionnel entier à partir d'un point <math>\;O\;</math> quelconque » <br />{{Al|5}}{{Transparent|Applications : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'espace tridimensionnel entier }}est aussi l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Applications : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'espace tridimensionnel entier est aussi l'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'intérieur du cône de révolution }}de demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\pi\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Applications : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'espace tridimensionnel entier est aussi }}«<math>\;\omega_{\text{espace entier}} = 2\;\pi\,\left[ 1 - \cos(\pi) \right] = 4\;\pi\;sr\;</math>» <math>\;\big(</math>à connaître<math>\big)</math>. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Applications : }}<math>\succ\;</math>L'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> mesurant le demi-espace tridimensionnel situé d'un côté d'un plan et vue d'un point <math>\;O\;</math> situé de l'autre côté du plan » <br />{{Al|5}}{{Transparent|Applications : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant le demi-espace tridimensionnel }}est aussi l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Applications : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant le demi-espace tridimensionnel est aussi l'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'intérieur du cône de révolution }}de demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\dfrac{\pi}{2}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Applications : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant le demi-espace tridimensionnel est aussi }}«<math>\;\omega_{\text{demi-espace}} = 2\;\pi\,\left[ 1 - \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \right] = 2\;\pi\;sr\;</math>» <math>\;\big(</math>à connaître<math>\big)</math>. == Définition d'un angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée == === Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée === [[File:Angle solide sous lequel de O on voit une surface ouverte.png|thumb|400px|Schéma de définition de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> orientée s'appuyant sur le contour fermé <math>\;\left( \Gamma \right)</math>]] {{Al|5}}Considérant la surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> s’appuyant sur le contour fermé <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir ci-contre<math>\big]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> ayant pour [[w:Directrice_(mathématiques)|directrice]] la courbe fermée <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir ci-contre<math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}nous définissons l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» par <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous définissons }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> s'appuyant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous définissons l'« }}après définition de la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> centrée en <math>\;O\;</math> de rayon <math>\;R\;</math> quelconque et <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous définissons l'« après }}détermination de l'aire <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\Sigma(R)\;</math> de la portion de sphère limitée par <math>\;\left( K \right) \cap \left( \Sigma \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous définissons }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math>» : «<math>\;\omega = \dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math>»<ref name="aire non algébrique - bis" />. {{Al|5}}Pour définir l'[[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)</math> <math>\;\Omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}il faut orienter la surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> par « vecteur unitaire normal <math>\;\vec{n}</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;\vec{n}'\big)\;</math>»<ref name="vecteur unitaire normal orientant une surface"> Choix d'un sens en un point quelconque puis généralisation par continuité en tous les autres points de la surface ouverte.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> il faut orienter }}la portion de la sphère limitée par <math>\;\left( K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> en correspondance<ref name="en correspondance"> Il reste à définir la signification de « en correspondance » : le plus simple est de passer par l'orientation des surfaces ouvertes en accord avec celle des contours fermés sur lesquels elles s'appuient <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#cite_note-orientations_conjuguées_de_surface_ouverte_et_de_courbe_fermée_la_limitant-3|³]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, pour que l'orientation des deux surfaces ouvertes soient en correspondance il faut que celle, vue du point <math>\;O</math>, des contours fermés soient dans le même sens <math>\;\big(</math>pour un observateur ayant placé son œil en <math>\;O\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> il faut orienter la portion de la sphère }}par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> il faut orienter la portion de la sphère par « vecteur unitaire }}pôle <math>\;O</math>, <math>\;\vec{u}_r</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;-\vec{u}_r\big)\;</math>»<ref name="vecteur unitaire normal orientant une surface" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}<math>\succ\;</math>si <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est orienté par <math>\;\vec{n}\;</math> <math>\Rightarrow</math> la portion de sphère limitée par <math>\;\left( K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> l'est par <math>\;\vec{u}_r</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\big(</math>algébrique<math>\big)</math> <math>\Omega</math> sous lequel la surface ouverte orientée <math>\left( \mathcal{S} \right)</math> est vue de <math>O</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\color{transparent}{\Omega}</math> }}est <math>\;> 0\;</math> et vaut <math>\;\Omega = \omega = \dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math>»<ref name="aire non algébrique - bis" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}<math>\succ\;</math>si <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est orienté par <math>\;\vec{n}'\;</math> <math>\Rightarrow</math> la portion de sphère limitée par <math>\;\left( K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> l'est par <math>\;-\vec{u}_r</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\big(</math>algébrique<math>\big)</math> <math>\Omega</math> sous lequel la surface ouverte orientée <math>\left( \mathcal{S} \right)</math> est vue de <math>O</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\color{transparent}{\Omega}</math> }}est <math>\;< 0\;</math> et vaut <math>\;\Omega = -\omega = -\dfrac{\Sigma(R)}{R^2}\;</math>»<ref name="aire non algébrique - bis" />. {{Al|5}}<u>Caractère additif de la notion d'[[w:Angle_solide|angle solide]]</u> : Que l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» soit algébrisé ou non, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Caractère additif de la notion d'angle solide : Que }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] étant défini, après introduction de la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)</math>, de rayon <math>\;R\;</math> et de centre <math>\;O</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide étant défini, }}grâce à l'aire <math>\;\Sigma(R)\;</math><ref name="aire non algébrique" /> de la portion de sphère limitée par <math>\;\left( K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide étant défini, }}<math>\big[\left( K \right)\;</math> étant le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> s'appuyant sur la courbe fermée <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> limitant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Caractère additif de la notion d'angle solide : Que }}« l'aire d'une portion de sphère étant une grandeur additive », nous en déduisons que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Caractère additif de la notion d'angle solide : Que }}l'« <u>[[w:Angle_solide|angle solide]]</u> <math>\;\big(</math>algébrisé ou non<math>\big)\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est une <u>grandeur additive</u> ». === Expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé === [[File:Angle solide sous lequel de O on voit une surface élémentaire.png|thumb|400px|Schéma de définition de l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M\;</math> de coordonnées sphériques de pôle <math>\;O\;</math> «<math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math>»]] {{Al|5}}Considérant la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M\;</math> de coordonnées sphériques de pôle <math>\;O\;</math> «<math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Considérant la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math>}}<math>\big[</math>ci-contre la surface élémentaire représentée en bleu non nécessairement rectangulaire<math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\,\big(</math>non algébrisé<math>\big)\,</math> <math>d \omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math>» est <br />{{Al|5}}l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire_2|angle solide]] <math>\,\big(</math>non algébrisé<math>\big)\,</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\,\left( dK \right)\,</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|l'« angle solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> mesurant l'intérieur du cône }}s'appuyant sur la courbe fermée limitant la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math>» <br />{{Al|6}}{{Transparent|l'« angle solide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> mesurant l'intérieur du cône }}<math>\big[</math>[[w:Cône_(géométrie)|cône]] élémentaire <math>\;\left( dK \right)\;</math> en rouge sur le schéma ci-contre<math>\big]\;</math> soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'« }}après définition de la sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> centrée en <math>\;O\;</math> de rayon <math>\;r\;</math> coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'« après }}détermination de l'aire <math>\,\big(</math>non algébrisée<math>\big)</math> <math>\;d \Sigma(r)\;</math> de la portion de sphère limitée par <math>\;\left( dK \right) \cap \left( \Sigma \right)</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'« après détermination de l'aire <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisée<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}<math>\big[</math>représentée en rouge sur le schéma ci-contre<math>\big]</math>, nous en déduisons <br />{{Al|5}}l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\,\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>d \omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> selon <math>\;d \omega = \dfrac{d \Sigma(r)}{r^2}\;</math><ref name="aire non algébrique - ter"> <math>\;\Sigma(r)\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;d \Sigma(r)\big\}\;</math> étant l'aire non algébrique de la portion de sphère <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> de rayon <math>\;r</math>.</ref> »<ref> Cette définition étant un cas particulier de celle donnée au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Définition_de_l'angle_solide_(algébrique)_sous_lequel_de_O_on_voit_une_surface_ouverte_orientée|définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée]] (avant algébrisation) » plus haut dans ce chapitre dans lequel <math>\;R = r</math>.</ref>. {{Al|5}}Pour définir l'[[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)</math> <math>\;d \Omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math><ref name="aire non algébrique" />, il faut <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> }}orienter la surface élémentaire <math>\;\left( dS \right)\;</math> par un « vecteur unitaire normal <math>\;\vec{n}</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;\vec{n}'\big)\;</math>»<ref name="précision sur le vecteur unitaire normal à (dS)"> Voir les coupes ci-dessous réalisées dans le [[w:Méridien|plan méridien]] passant par <math>\;M</math> <math>\;\bigg[</math>c.-à-d. le plan <math>\;\left( \overrightarrow{Oz}\,,\, M \right)\bigg]</math>, <br>{{Al|3}}« cas où la surface élémentaire d'aire <math>\;dS</math> est orientée par <math>\;\vec{n}\;</math> et la portion de sphère limitée par <math>\;\left( d K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> orientée par <math>\;\vec{u}_r\;</math> à gauche » et <br>{{Al|3}}« cas où la surface élémentaire d'aire <math>\;dS</math> est orientée par <math>\;\vec{n}' = -\vec{n}\;</math> et la portion de sphère limitée par <math>\;\left( d K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> orientée par <math>\;-\vec{u}_r\;</math> à droite ».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> orienter }}la portion de sphère limitée par <math>\;\left( d K \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> en correspondance<ref name="en correspondance - bis"> Il reste à définir la signification de « en correspondance » : le plus simple est de passer par l'orientation des surfaces élémentaires en accord avec celle des contours fermés sur lesquels elles s'appuient <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#cite_note-orientations_conjuguées_de_surface_ouverte_et_de_courbe_fermée_la_limitant-3|³]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » avec surfaces ouvertes remplacées par surfaces élémentaires<math>\big]</math>, pour que l'orientation des deux surfaces élémentaires soient en correspondance il faut que celle, vue du point <math>\;O</math>, des contours fermés soient dans le même sens <math>\;\big(</math>pour un observateur ayant placé son œil en <math>\;O\big)</math>.</ref> c.-à-d. {{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> orienter la portion de sphère }}par un « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour définir l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> orienter la portion de la sphère par un « vecteur unitaire }}pôle <math>\;O</math>, <math>\;\vec{u}_r</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;-\vec{u}_r\big)\;</math>»<ref name="précision sur le vecteur unitaire normal à (dS)" /> ; [[File:Angle solide sous lequel de O on voit une surface élémentaire - bis.png|thumb|left|400px|Schéma de définition en coupe de l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M\;</math> de coordonnées sphériques de pôle <math>\;O\;</math> «<math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math>» avec orientation de <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> s'éloignant de <math>\;O</math>]] [[File:Angle solide sous lequel de O on voit une surface élémentaire - ter.png|thumb|right|400px|Schéma de définition en coupe de l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M\;</math> de coordonnées sphériques de pôle <math>\;O\;</math> «<math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math>» avec orientation de <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> se rapprochant de <math>\;O</math>]] {{Al|5}}<math>\succ\;</math>«<math>\;\left( dS \right)\;</math> est orientée par <math>\;\vec{n}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big]\;</math><math>\Rightarrow</math> la portion de sphère limitée par <math>\;\left( dK \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> orientée par <math>\;\vec{u}_r\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'[[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;d \Omega\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \Omega = d \omega = \dfrac{d \Sigma(r)}{r^2}\;</math><ref name="aire non algébrique - ter" /> » ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« }}il reste à évaluer <math>\;d \Sigma(r)\;</math> en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire <math>\;dS</math>, soit, en notant <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{n} \right)}</math>, «<math>\;d \Sigma(r) =</math> <math>dS\;\cos(\alpha)\;</math>»<ref name="évaluation du projeté d'une surface élémentaire sur un plan"> En effet, dans l'hypothèse où la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> est rectangulaire à deux côtés <math>\;\perp\;</math> au [[w:Méridien|plan méridien]] de coupe et deux autres côtés <math>\;\parallel\;</math> à ce plan, <br>{{Al|3}}chaque côté <math>\;\perp\;</math> au [[w:Méridien|plan méridien]] de coupe de longueur <math>\;da\;</math> se projette sur le plan tangent à <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> en <math>\;M\;</math> en vraie grandeur et <br>{{Al|3}}chaque côté <math>\;\parallel\;</math> au [[w:Méridien|plan méridien]] de coupe de longueur <math>\;db\;</math> se projette sur le plan tangent à <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> en <math>\;M\;</math> selon <math>\;db\;\cos(\alpha)\;</math> d'où <br>{{Al|3}}«<math>\;d \Sigma(r) = da \times db\;\cos(\alpha) = \left( a \times b \right) \times \cos(\alpha) = dS \times \cos(\alpha)\;</math>», le résultat obtenu en prenant une surface élémentaire rectangulaire étant applicable quelle que soit la forme de la surface.</ref> ou encore «<math>\;d \Sigma(r) = \overrightarrow{dS} \cdot \vec{u}_r\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« }}finalement nous en déduisons «<math>\;d \Omega = d \omega = \dfrac{\overrightarrow{dS} \cdot \vec{u}_r}{r^2}\;</math>» ; <br />{{Al|5}}<math>\succ\;</math>«<math>\;\left( dS \right)\;</math> est orientée par <math>\;\vec{n}'\;</math>» <math>\;\big[</math>schéma ci-contre à droite<math>\big]\;</math><math>\Rightarrow</math> la portion de sphère limitée par <math>\;\left( dK \right) \cap \left( \Sigma \right)\;</math> orientée par <math>\;-\vec{u}_r\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;d \Omega\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math>» <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \Omega = -d \omega = -\dfrac{d \Sigma(r)}{r^2}\;</math><ref name="aire non algébrique - ter" /> » ; <br />{{Al|123}}il reste à évaluer <math>\;d \Sigma(r)\;</math> en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire <math>\;dS</math>, soit, <br />{{Al|111}}en notant <math>\;\alpha' = \widehat{\left( -\vec{u}_r\,,\, \vec{n}' \right)}</math>, «<math>\;d \Sigma(r) =</math> <math>dS\;\cos(\alpha')\;</math>»<ref name="évaluation du projeté d'une surface élémentaire sur un plan - bis"> En effet, dans l'hypothèse où la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> est rectangulaire à deux côtés <math>\;\perp\;</math> au [[w:Méridien|plan méridien]] de coupe et deux autres côtés <math>\;\parallel\;</math> à ce plan, <br>{{Al|3}}chaque côté <math>\;\perp\;</math> au [[w:Méridien|plan méridien]] de coupe de longueur <math>\;da\;</math> se projette sur le plan tangent à <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> en <math>\;M\;</math> en vraie grandeur et <br>{{Al|3}}chaque côté <math>\;\parallel\;</math> au [[w:Méridien|plan méridien]] de coupe de longueur <math>\;db\;</math> se projette sur le plan tangent à <math>\;\left( \Sigma \right)\;</math> en <math>\;M\;</math> selon <math>\;db\;\cos(\alpha')\;</math> d'où <br>{{Al|3}}«<math>\;d \Sigma(r) = da \times db\;\cos(\alpha') = \left( a \times b \right) \times \cos(\alpha') = dS \times \cos(\alpha')\;</math>», le résultat obtenu en prenant une surface élémentaire rectangulaire étant applicable quelle que soit la forme de la surface.</ref> ou encore «<math>\;d \Sigma(r) = \overrightarrow{dS} \cdot \left( -\vec{u}_r \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \Omega = -d \omega = -\dfrac{\overrightarrow{dS} \cdot \left( -\vec{u}_r \right)}{r^2}\;</math>» ; <br />{{Al|123}}finalement nous en déduisons «<math>\;d \Omega = -d \omega = \dfrac{\overrightarrow{dS} \cdot \vec{u}_r}{r^2}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M</math>, l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;d \Omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire » s'écrit <br />{{Al|6}}{{Transparent|Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math> centrée en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;d \Omega = \dfrac{\overrightarrow{dS} \cdot \vec{u}_r}{r^2}\;</math>» avec <br />{{Al|6}}{{Transparent|Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math> centrée en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> «}}<math>\;r = OM\;</math> coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> dans son repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> et <br />{{Al|6}}{{Transparent|Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math> centrée en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, l'angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> «}}<math>\;\vec{u}_r\;</math> vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à <math>\;M</math>. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}L'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;d \Omega\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : L'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> }}s'écrivant encore «<math>\;d \Omega = \dfrac{\vec{u}_r}{r^2} \cdot \overrightarrow{dS}\;</math>» quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire, nous en déduisons que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : L'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> }}c'est aussi « <u>le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel</u><math>\;\dfrac{\vec{u}_r}{r^2}\;</math><u>à travers la surface élémentaire de vecteur surface</u><math>\;\overrightarrow{dS}\;</math>»<ref name="flux élémentaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel|définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. === Définition (équivalente) de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée === {{Al|5}}D'une part l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé ou non<math>\big)\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue une surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est une grandeur additive »<ref name="angle solide algébrisé, grandeur additive"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Définition_de_l'angle_solide_(algébrique)_sous_lequel_de_O_on_voit_une_surface_ouverte_orientée|définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface orientée ouverte]] (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre.<</ref>, <br />{{Al|5}}d'autre part l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_élémentaire|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;d \Omega\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;dS\;</math> centrée en <math>\;M</math> <math>\big[</math>de coordonnée radiale <math>\;r\;</math> dans son repérage sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|d'autre part l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> sous lequel de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math> centrée en <math>\;\color{transparent}{M}</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_r\big]\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|d'autre part l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> sous lequel de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math> centrée en <math>\;\color{transparent}{M}</math> }}est le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] du champ vectoriel <math>\;\dfrac{\vec{u}_r}{r^2}\;</math><ref name="flux élémentaire" /> <br />{{Al|6}}{{Transparent|d'autre part l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> sous lequel de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math> centrée en <math>\;\color{transparent}{M}</math> est le flux élémentaire }}à travers la surface élémentaire de vecteur surface <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math>» <br />{{Al|6}}{{Transparent|d'autre part l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{d \Omega}\;</math> sous lequel de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vue la surface élémentaire d'aire <math>\;\color{transparent}{dS}\;</math> centrée en <math>\;\color{transparent}{M}</math> }}c.-à-d. «<math>\;d \Omega = \dfrac{\vec{u}_r}{r^2} \cdot \overrightarrow{dS}\;</math>»<ref name="angle solide algébrisé d Omega, flux élémentaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Expression_de_l'angle_solide_élémentaire_sous_lequel_de_O_on_voit_une_surface_élémentaire_de_vecteur_surface_fixé|expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé]] (2^ème conclusion) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|d'autre part }}une définition <math>\;\big(</math>équivalente<math>\big)\;</math> de l'« [[w:Angle_solide#Forme_intégrale|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)</math> <math>\;\Omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue une surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|d'autre part une définition <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}comme « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ vectoriel <math>\;\dfrac{\vec{u}_r}{r^2}\;</math> à travers la surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="flux"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel_à_travers_une_surface_ouverte|définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> : {{Définition|titre=Définition (équivalente) de l'angle solide (algébrique) sous lequel du point O est vue une surface ouverte orientée|contenu={{Al|5}}L'« [[w:Angle_solide#Forme_intégrale|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)</math> <math>\;\Omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue une surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> }}est le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ vectoriel <math>\;\dfrac{\vec{u}_r}{r^2}\;</math> à travers la surface <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="flux" />, <br />{{Al|4}}{{Transparent|L'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> est }}<math>\big[</math>avec <math>\;r\;</math> coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et <br />{{Al|4}}{{Transparent|L'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> est <math>\color{transparent}{\big[}</math>avec }}<math>\;\vec{u}_r\;</math> vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à <math>\;M\big]\;</math> soit mathématiquement <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> est }}«<math>\;\Omega = \Phi_{(\mathcal{S})}\! \left[ \dfrac{\vec{u}_r}{r^2} \right] = \displaystyle\iint_{(\mathcal{S})} \dfrac{\vec{u}_r}{r^2} \cdot \overrightarrow{dS}_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> dans lequel <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\Omega}\;</math> est }}<math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> est le vecteur surface élémentaire défini au point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans ce [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Définition_(équivalente)_de_l'angle_solide_(algébrique)_sous_lequel_de_O_on_voit_une_surface_ouverte_orientée|paragraphe]] nous avons établi que « l'[[w:Angle_solide#Forme_intégrale|angle solide]] <math>\big(</math>algébrique<math>\big)</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue la surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe nous avons établi que « l'angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}est le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ vectoriel <math>\;\dfrac{\vec{u}_r}{r^2}\;</math> à travers la surface <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="flux" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe }}pour affirmer l'équivalence des deux définitions il conviendrait d'établir la réciproque c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence }}le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du champ vectoriel <math>\;\dfrac{\vec{u}_r}{r^2}\;</math> à travers la surface ouverte orientée <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>»<ref name="flux" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le }}<math>\big[</math>avec <math>\;r\;</math> coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le <math>\color{transparent}{\big[}</math>avec }}<math>\;\vec{u}_r\;</math> vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à <math>\;M\big]\;</math> <br />{{Al|7}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le « flux du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}\;</math> }}mesure algébriquement l'« intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> <br />{{Al|7}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le « flux du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}\;</math> mesure algébriquement l'« intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math> }}s'appuyant sur le contour fermé <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> limitant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» mais <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence }}son établissement ne présentant aucune difficulté est laissé au soin du lecteur <math>\;\ldots</math> === Suite des applications utilisant l'expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône === {{Al|5}}<u>Rappel</u> : L'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> et de demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;\alpha\;</math>» vaut «<math>\;\omega = 2\;\pi\,\left[ 1 - \cos(\alpha) \right]\;</math>»<ref name="angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Expression_de_l'angle_solide_mesurant_l'intérieur_d'un_cône_de_révolution_de_demi-angle_au_sommet_α_à_partir_du_sommet_du_cône|expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. {{Al|5}}<u>Application</u> : L'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> sous lequel d'un point <math>\;O\;</math> est vu un disque <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, de centre <math>\;C</math>, de rayon <math>\;R</math>, d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> tel que <math>\;OC = h\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Application : L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> sous lequel d'un point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vu un disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, }}est aussi l'« [[w:Angle_solide#Angle_solide_d'un_cône_de_révolution|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Application : L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> sous lequel d'un point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vu un disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, est aussi l'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'intérieur du cône de révolution }}de demi-angle au [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Application : L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> sous lequel d'un point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vu un disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, est aussi l'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> mesurant l'intérieur du cône de révolution }}<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{R}{h} \right)\;</math>» d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Application : L'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> sous lequel d'un point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vu un disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, est aussi }}«<math>\;\omega_{\,\left( \mathcal{D} \right)\;\text{vu de }O} = 2\;\pi\,\left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{R}{h} \right) \right] \right\rbrace = 2\;\pi\, \left( 1 - \dfrac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \right)\;sr\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Simplification_de_fonction_composée_de_grandeurs_trigonométriques_directe_et_inverse|simplification de fonction composée de grandeurs trigonométriques directe et inverse]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}appliquant la méthode exposée dans le paragraphe cité ci-dessus, avec «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{R}{h} \right) \in \left] 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> s'inversant en <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{R}{h}\;</math>», nous en déduisons d'une part «<math>\;\cos(\alpha) > 0\;</math>» et d'autre part {{Nobr|«<math>\;\cos^2(\alpha)</math>}} <math>= \dfrac{1}{1 + \tan^2(\alpha)} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{R^2}{h^2}} = \dfrac{h^2}{h^2 + R^2}\;</math>» soit finalement «<math>\;\cos(\alpha) = \dfrac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}}\;</math>».</ref>. == Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une courbe fermée orientée == [[File:Orientations couplées surface ouverte - courbe fermée limitante.png|thumb|300px|Schémas de définition des orientations couplées d'une surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et de la courbe fermée <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> sur laquelle s'appuie la surface <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>]] {{Al|5}}<u>Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour</u> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées }}Supposant l'espace tridimensionnel orienté à droite<ref name="espace orienté"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec choix d'une base orthonormée directe<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées }}pour déterminer l'orientation de la surface ouverte <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de celle de la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> la limitant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation }}<math>\big(</math>voir schémas ci-contre<math>\big)</math>, nous appliquons l'une des règles suivantes<ref name="liste non exhaustive"> Liste non exhaustive, voir d'autres exemples de règles dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation }}<math>\succ\;</math>la <u>règle du tire-bouchon de Maxwell</u><ref name="Maxwell"> '''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell#Énoncé|sa distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point <math>\;P_\Gamma\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> limitrophe de <math>\;(\Gamma)\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le tournant dans le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math>, le sens correspondant sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;P_\Gamma\;</math> est <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en tout autre point <math>\;M\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}étant obtenu par continuité, ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation }}<math>\succ\;</math>la <u>règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier</u> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le pouce pointant dans le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M\;</math> est donné par le sens pointé par le majeur. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation }}<u>Remarque</u> : dans l'hypothèse où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche<ref name="espace orienté" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : }}avec choix d'une base orthonormée indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math><ref name="base indirecte au sens de la physique d'un espace orienté à gauche"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : dans l’}}hypothèse quasi-jamais choisie, nous appliquons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : }}la <u>règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher</u><ref> Encore appelée « règle de la main gauche ».</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : }}le pouce pointant dans le sens choisi sur <math>\;(\Gamma)</math> en un point <math>\;P\;</math> de cette dernière et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : }}l'index pointant un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{S})\;</math> à partir de <math>\;P</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : }}le sens défini sur <math>\;(\mathcal{S})\;</math> en <math>\;M\;</math> est donné par le sens pointé par le majeur<ref> Ce qui donne un sens opposé à celui obtenu dans un espace tridimensionnel orienté à droite <math>\;\big(</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#cite_note-espace_orienté-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\big(</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#cite_note-base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite-38|³⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>. {{Définition|titre=Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel du point O est vue une courbe fermée orientée|contenu={{Al|5}}L'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)</math> <math>\;\Omega\;</math> sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue une courbe fermée orientée <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» est <br />{{Al|5}}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue une surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque<ref name="quelconque"> Le caractère « quelconque » est justifié dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Propriétés|propriétés]] (1^ère propriété) » plus bas dans ce chapitre, la raison étant que modifier la surface ouverte en gardant le même contour conserve le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] s'appuyant sur ce contour et par suite l'[[w:Angle_solide|angle solide]] est inchangé.</ref> s'appuyant <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> sous lequel de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est vue une }}l'orientation de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> étant couplée à celle de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>» ; c'est donc aussi <br />{{Al|5}}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)\;</math> mesurant l'intérieur du [[w:Cône_(géométrie)|cône]] <math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> s'appuyant sur le contour fermé orienté <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> mesurant l'intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math> de sommet <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> s'appuyant sur }}de la surface ouverte <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à orientation <br />{{Al|5}}{{Transparent|l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> mesurant l'intérieur du cône <math>\;\color{transparent}{\left( K \right)}\;</math> de sommet <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> s'appuyant sur de la surface }}couplée à celle de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>».</center>}} == Propriétés == {{Proposition|titre=1^ère propriété|contenu={{Al|5}}« <u>Les [[w:Angle_solide|angles solides]]</u><math>\;\big(</math>algébrisés<math>\big)\;</math><u>sous lequel d'un même point</u><math>\;O\;</math><u>sont vues deux surfaces ouvertes</u> orientées distinctes <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathcal{S}' \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>sous lequel d'un même point<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>sont vues }}<u>s'appuyant sur un même contour fermé</u> orienté <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, avec les <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>sous lequel d'un même point<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>sont vues }}orientations de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et <math>\;\left( \mathcal{S}' \right)\;</math> couplées à celle de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="orientations couplées de surface ouverte et de courbe fermée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Définition_de_l'angle_solide_(algébrique)_sous_lequel_de_O_on_voit_un_courbe_fermée_orientée|définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une courbe fermée orientée]] (rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>}}<u>sont égaux</u> ».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : En effet si nous modifions la surface ouverte en gardant le même contour, le [[w:Cône_(géométrie)|cône]] s'appuyant sur le contour reste le même et par suite l'[[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> reste inchangé ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : En effet }}si les orientations des surfaces ouvertes s'appuyant sur le contour restent couplées à celle du contour, l'algébrisation de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] n'est pas modifiée. {{Proposition|titre=2^ème propriété|contenu={{Al|5}}« <u>Les [[w:Angle_solide|angles solides]]</u><math>\;\big(</math>algébrisés<math>\big)\;</math><u>sous lequel d'un même point</u><math>\;O\;</math><u>sont vues deux courbes fermées</u> distinctes <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et <math>\;\left( \Gamma' \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>sous lequel d'un même point<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>sont vues }}<u>tracées sur un même [[w:Cône_(géométrie)|cône]]</u><math>\;\left( K \right)\;</math> de [[w:Cône_(géométrie)#Cas_général|sommet]] <math>\;O\;</math> avec les <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>sous lequel d'un même point<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>sont vues }}orientations de <math>\left( \Gamma \right)</math> et <math>\left( \Gamma' \right)</math> dans le même sens si celles des <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>sous lequel d'un même point<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>sont vues }}surfaces ouvertes <math>\left( \mathcal{S} \right)</math> et <math>\left( \mathcal{S}' \right)</math> s'appuyant sur <math>\left( \Gamma \right)</math> et <math>\left( \Gamma' \right)</math> en <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>sous lequel d'un même point<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>sont vues }}leur étant respectivement couplées<ref name="orientations couplées de surface ouverte et de courbe fermée" /> sont les mêmes <br />{{Al|11}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>sous lequel d'un même point<math>\;\color{transparent}{O}\;</math>sont vues leur étant respectivement couplées }}relativement à <math>\;O\;</math><ref> C.-à-d. si les vecteurs normaux à <math>\left( \mathcal{S} \right)</math> et <math>\left( \mathcal{S}' \right)</math> respectivement en des points <math>\;M\;</math> et <math>\,M'\;</math> alignés avec <math>\;O\;</math> s'éloignent de ce dernier ou s'en rapprochent simultanément.</ref>,<br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les angles solides<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>algébrisés<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>}}<u>sont égaux</u> ».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : En effet si nous modifions la courbe fermée en gardant le même [[w:Cône_(géométrie)|cône]], l'[[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> reste inchangé ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : En effet }}si les orientations des courbes fermées sont dans le même sens, l'algébrisation de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] n'est pas modifiée. == Utilisation des symétries de l'espace pour évaluer des angles solides == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une « [[w:Symétrie|symétrie]] de l'espace » qualifie ici le fait que l'espace entier <math>\big(</math>ou une partie de ce dernier<math>\big)</math> peut être, en étant observé à partir d'un même point <math>\;O</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Une « symétrie de l'espace » qualifie ici le fait que l'espace entier <math>\color{transparent}{\big(}</math>ou une partie de ce dernier<math>\color{transparent}{\big)}</math> peut être, }}décomposé en <math>\;n</math> <math>\;\left(\in \mathbb{N}^{*}\; \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)\;</math> [[w:Ensembles_disjoints|parties disjointes]] <ref name="disjointes"> En fait il est possible que les parties ne soient pas strictement [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]] mais aient une [[w:Intersection_(mathématiques)|intersection]] commune, dans ce cas il faut s'assurer que la suppression de cette [[w:Intersection_(mathématiques)|intersection]] commune ne change pas la mesure de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vue chaque partie d'espace.</ref> <math>\;\mathcal{P}_k</math>, de même configuration, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Une « symétrie de l'espace » qualifie ici le fait que l'espace entier <math>\color{transparent}{\big(}</math>ou une partie de ce dernier<math>\color{transparent}{\big)}</math> peut être, décomposé en <math>\;\color{transparent}{n}</math> <math>\;\color{transparent}{\left(\in \mathbb{N}^{*}\; \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\right)}\;</math> }}la [[w:Symétrie|symétrie]] étant alors dite d'[[w:Ordre_de_symétrie|ordre]] <math>\;n</math> ;<br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le caractère commun des configurations de chaque partie <math>\;\mathcal{P}_k\;</math> vue du point <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'identité des [[w:Angle_solide|angles solides]] <math>\big(</math>non algébrisés<math>\big)</math> <math>\;\omega_k\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue chaque partie <math>\;\mathcal{P}_k\;</math> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : le caractère commun des configurations de chaque partie <math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_k}\;</math> vue du point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\omega_k = cste\;\;\forall\;k\;\in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : le caractère commun }}connaissant l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel du point <math>\;O\;</math> est vu l'espace entier <math>\big(</math>ou une partie de ce dernier<math>\big)</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : le caractère commun }}utilisant le caractère additif de la notion d'[[w:Angle_solide|angle solide]]<ref name="angle solide algébrisé, grandeur additive" />, nous en déduisons que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : le caractère commun }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega_k\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue chaque partie <math>\;\mathcal{P}_k\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : le caractère commun l'« angle solide <math>\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\omega_k}\;</math> }}vaut <math>\;\dfrac{1}{n}\;</math> de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel de <math>\;O\;</math> est vu l'espace entier <math>\;\big(</math>ou une partie de ce dernier<math>\big)</math> ». {{Al|5}}<u>Exemples</u> : <math>\succ\;</math>Utilisation d'une [[w:Symétrie|symétrie]] d'[[w:Ordre_de_symétrie|ordre]] deux <math>\;\big(</math>ou [[w:Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie orthogonale par rapport à un plan|symétrie orthogonale par rapport à un plan]]<math>\big)</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux }}l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\left( \Pi \right)\;</math> passant par un point quelconque <math>\;O\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> }}peut être décomposé en <math>\;2\;</math> parties [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]] <math>\;\big[</math>à l'exception du plan <math>\;\left( \Pi \right)\big]\;</math><ref name="disjointes" />, <br />{{Al|12}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> peut être décomposé en }}celles situées d'un côté ou de l'autre de <math>\;\left( \Pi \right)</math>, <br />{{Al|12}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> peut être décomposé en celles }}symétriques l'une de l'autre par rapport à <math>\;\left( \Pi \right)\;</math> <br />{{Al|12}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> peut être décomposé en celles symétriques }}donc de même configuration et par suite <br />{{Al|12}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> peut être décomposé en }}mesurées par le « même [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> <br />{{Al|12}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> peut être décomposé en mesurées par le « }}sous lequel de <math>\;O\;</math> elles sont vues <br />{{Al|12}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> peut être décomposé en mesurées par le « }}<math>\;\omega_{\,\text{demi-espace}}\;</math>» ; nous en déduisons que <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega_{\,\text{demi-espace}}\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue la partie d'espace située d'un même côté du plan <math>\;\left( \Pi \right)\;</math> passant par <math>\;O\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\omega_{\,\text{demi-espace}}}\;</math> }}vaut <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel de <math>\;O\;</math> est vu l'espace entier » d'où <br />{{Al|9}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;\omega_{\,\text{demi-espace}} = \dfrac{1}{2}\;\omega_{\,\text{espace entier}} = 2\;\pi\;sr\;</math>»<ref> Nous retrouvons le résultat obtenu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Notion_d'angle_solide#Expression_de_l'angle_solide_mesurant_l'intérieur_d'un_cône_de_révolution_de_demi-angle_au_sommet_α_à_partir_du_sommet_du_cône|expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône]] (2^ème application) » plus haut dans ce chapitre.</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\succ\;</math>Utilisation d'une [[w:Symétrie|symétrie]] d'[[w:Ordre_de_symétrie|ordre]] quatre <math>\bigg(\!</math>ou invariance par rotation d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour d'un même axe<math>\bigg)</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre }}le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan <math>\;\left( \Pi \right)\;</math> passant par un point quelconque <math>\;O\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> }}peut être décomposé en un ensemble ordonné de <math>\;4\;</math> parties [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]]<ref name="disjointes" /> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> }}parties se déduisant les unes des autres par rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> parties }}<math>\;\perp\;\left( \Pi \right)\;</math> en <math>\;O\;</math> d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math><ref> En fait les <math>\;4\;</math> parties qui se déduisent les unes des autres par rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;\perp\;\left( \Pi \right)\;</math> en <math>\;O\;</math> d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> ne sont pas strictement [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]], elles le sont à l'exception du plan <math>\;\left( \Pi \right)\;</math> et de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> qui leur sont communs.</ref> donc de même configuration et par suite <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> parties }}mesurées par le « même [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> parties mesurées par le « }}sous lequel de <math>\;O\;</math> elles sont vues <math>\;\omega_{\,\text{int. trièdre rect.}}\;</math>» ; <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan <math>\;\color{transparent}{\left( \Pi \right)}\;</math> parties mesurées par le }}nous en déduisons que <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega_{\,\text{int. trièdre rect.}}\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue la partie d'espace située à l'intérieur d'un [[w:Trièdre|trièdre rectangle]] d'origine <math>\;O\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\omega_{\,\text{int. trièdre rect.}}}\;</math> }}vaut <math>\;\dfrac{1}{4}\;</math> de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel de <math>\;O\;</math> est vu le demi-espace » d'où <br />{{Al|9}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;\omega_{\,\text{int. trièdre rect.}} = \dfrac{1}{4}\;\omega_{\,\text{demi-espace}} = \dfrac{1}{4}\,\left( 2\;\pi \right) = \dfrac{\pi}{2}\;sr\;</math>»<ref> C'est aussi le «<math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel de <math>\;O\;</math> est vu l'espace entier ».</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\succ\;</math>Utilisation d'une [[w:Symétrie|symétrie]] d'[[w:Ordre_de_symétrie|ordre]] quatre <math>\bigg(\!</math>ou invariance par rotations d'angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> autour de deux axes faisant un angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> entre eux<math>\bigg)</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre }}l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;O\;</math> d'un [[w:Tétraèdre_régulier|tétraèdre régulier]] peut être décomposé en un ensemble de <math>\;4\;</math> parties [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]]<ref name="disjointes" />, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier }}<math>3\;</math> parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> autour <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier <math>\color{transparent}{3}\;</math> parties }}d'un axe <math>\;\left( \Delta_1 \right)\;</math> issu de <math>\;O\;</math> passant par un sommet du [[w:Tétraèdre_régulier|tétraèdre]], <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier }}la 4^ème partie se déduisant de n'importe laquelle des précédentes par rotation <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier la 4^ème partie }}d'angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_2 \right)\;</math> issu de <math>\;O\;</math> <br />{{Al|13}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier la 4^ème partie d'angle <math>\;\color{transparent}{2\;\pi}\;</math> autour de }}passant le sommet adéquat<ref> En fait ces <math>\;4\;</math> parties qui se déduisent entre elles par rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta_1 \right)\;</math> ou <math>\;\left( \Delta_2 \right)\;</math> d'angle <math>\;\dfrac{2\;\pi}{3}\;</math> ne sont pas strictement [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]] deux à deux, elles le sont à l'exception des <math>\;4\;</math> demi-droites issues des <math>\;4\;</math> sommets du [[w:Tétraèdre_régulier|tétraèdre régulier]] et passant par le centre <math>\;O\;</math> de ce dernier, demi-droites à support susceptible d'être choisi comme axe de rotation <math>\;\left( \Delta_1 \right)\;</math> ou <math>\;\left( \Delta_2 \right)\;</math> et appartenant aux deux parties qui se déduisent l'une de l'autre par rotation adéquate, les <math>\;4\;</math> parties étant globalement [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]] à l'exception du centre <math>\;O\;</math> du [[w:Tétraèdre_régulier|tétraèdre régulier]].</ref>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier }}ces <math>\;4\;</math> parties étant donc de même configuration et par suite elles sont <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier ces <math>\;\color{transparent}{4}\;</math> parties }}mesurées par le « même [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier ces <math>\;\color{transparent}{4}\;</math> parties mesurées par le « }}sous lequel de <math>\;O\;</math> elles sont vues <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un tétraèdre régulier ces <math>\;\color{transparent}{4}\;</math> parties mesurées par le «}}<math>\;\omega_{\,\text{int. face tétraèdre}}\;</math>» ; nous en tirons que <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega_{\,\text{int. face tétraèdre}}\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue une face quelconque du [[w:Tétraèdre_régulier|tétraèdre régulier]] de centre <math>\;O\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\omega_{\,\text{int. face tétraèdre}}}\;</math> }}vaut <math>\;\dfrac{1}{4}\;</math> de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel de <math>\;O\;</math> est vu l'espace entier » d'où <br />{{Al|9}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;\omega_{\,\text{int. face tétraèdre}} = \dfrac{1}{4}\;\omega_{\,\text{espace entier}} = \pi\;sr\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Exemples : }}<math>\succ\;</math>Utilisation d'une [[w:Symétrie|symétrie]] d'[[w:Ordre_de_symétrie|ordre]] six <math>\bigg(\!</math>ou invariance par rotations d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> autour de deux axes <math>\;\perp\!\!\bigg)</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six }}l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;O\;</math> d'un [[w:Cube|cube]] peut être décomposé en un ensemble de <math>\;6\;</math> parties [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]]<ref name="disjointes" />, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube }}<math>4\;</math> parties d'entre elles <math>\left( _1\,,\,_2\,,\,_3\,,\,_4 \right)</math> se déduisant les unes des autres par rotation d'angle <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube <math>\color{transparent}{4}\;</math> parties }}<math>\dfrac{\pi}{2}</math> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)</math> issu de <math>\;O\;</math> passant par le centre d'une des faces du [[w:Cube|cube]], <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube }}les <math>\;2\;</math> autres s'obtenant à partir de deux des précédentes n'ayant que <math>\;O\;</math> comme point <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> autres }}commun <math>\big[</math>par exemple <math>\;\left( _1\,,\,_3 \right)\!\big]</math> par rotation d'angle <math>\dfrac{\pi}{2}</math> autour d'un axe <math>\left( \Delta' \right)</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> autres }}issu de <math>\;O\;</math> passant par le centre d'une des deux faces incluses dans l'une <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> autres issu de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> passant par le centre d'une }}des deux autres parties <math>\;\left( _2\,,\,_4 \right)\;</math><ref> En fait ces <math>\;6\;</math> parties qui se déduisent entre elles par rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> ou <math>\;\left( \Delta' \right)\;</math> d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> ne sont pas strictement [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]] deux à deux, elles le sont à l'exception des <math>\;8\;</math> demi-droites issues du centre <math>\;O\;</math> du [[w:Cube|cube]] et passant par l'un des <math>\;8\;</math> sommets de ce dernier, les <math>\;6\;</math> parties étant globalement [[w:Ensembles_disjoints|disjointes]] à l'exception du centre <math>\;O\;</math> du [[w:Cube|cube]].</ref>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube }}ces <math>\;6\;</math> parties étant donc de même configuration et par suite elles sont <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube ces <math>\;\color{transparent}{6}\;</math> parties }}mesurées par le « même [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube ces <math>\;\color{transparent}{6}\;</math> parties mesurées par le « }}sous lequel de <math>\;O\;</math> elles sont vues <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> d'un cube ces <math>\;\color{transparent}{6}\;</math> parties mesurées par le «}}<math>\;\omega_{\,\text{int. face cube}}\;</math>» ; nous en déduisons que <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six }}l'« [[w:Angle_solide|angle solide]] <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\omega_{\,\text{int. face cube}}\;</math> sous lequel de <math>\;O\;</math> est vue une face quelconque du [[w:Cube|cube]] de centre <math>\;O\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{\omega_{\,\text{int. face cube}}}\;</math> }}vaut <math>\;\dfrac{1}{6}\;</math> de l'[[w:Angle_solide|angle solide]] sous lequel de <math>\;O\;</math> est vu l'espace entier » d'où <br />{{Al|9}}{{Transparent|Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'« angle solide <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>non algébrisé<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;\omega_{\,\text{int. face cube}} = \dfrac{1}{6}\;\omega_{\,\text{espace entier}} = \dfrac{2\;\pi}{3}\;sr\;</math>». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie/]] | suivant = [[../Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther/]] }} 2514x2mp30p46szj6f43xqg2n5djcwq 0 77577 982984 962080 2026-05-23T06:56:32Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982984 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Notion d'angle solide/]] | suivant = [[../Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle/]] }} {{Al|5}}Après une introduction rapide de la notion de « [[w:Groupe_de_symétrie|groupe de symétries]] », <br />{{Al|5}}{{Transparent|Après une introduction rapide }}on développera le [[w:Théorème_de_Noether_(physique)|théorème de Nœther]] <ref name="Noether"> '''[[w:Emmy_Noether|Emmy Nœther]] (1882 – 1935)''' mathématicienne allemande, spécialiste d'[[w:Algèbre_abstraite|algèbre abstraite]] et de [[w:Physique_théorique|physique théorique]] à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des [[w:Algèbre_sur_un_corps|algèbres]] et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en <math>\;1915\;</math> et publié en <math>\;1918\;</math> dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la [[w:Théorie_de_la_relativité|théorie de la relativité]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''' <math>\;\big[</math>[[w:Physique_théorique|physicien théoricien]] d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet]] {{Nobr|[[w:Effet_photoélectrique|photoélectrique]]<math>\big]\;</math>}} disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».</ref> liant l'invariance de lois physiques par transformation d'un [[w:Groupe_de_symétrie|groupe de symétries]] <br />{{Al|9}}{{Transparent|Après une introduction rapide on développera le théorème de Nœther liant }}à la conservation d'une grandeur physique<ref> Ce théorème, notion de mathématiques applicable à la physique, n'étant pas du programme de physique de P.C.S.I. est traité dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » et est à considérer comme un complément.</ref>. == Notion de groupe et de morphisme == === Structure de groupe === {{Al|5}}Un [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] est un ensemble <math>\;\mathcal{G} \neq \emptyset\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. non vide<math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un groupe est un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G} \neq \emptyset}\;</math> }}muni d'une [[Loi (mathématiques)/Loi interne|loi de composition interne]] <math>\big[</math>que nous noterons <math>\;*\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un groupe est un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G} \neq \emptyset}\;</math> muni d'une loi de composition interne }}<math>\bullet\;</math>associative <math>\big[</math>c.-à-d. telle que <math>\;(a * b) * c = a * (b * c)\;\;\forall\; (a\,,\,b\,,\,c) \in \mathcal{G}^3\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un groupe est un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G} \neq \emptyset}\;</math> muni d'une loi de composition interne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>associative <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}permettant de définir sans ambiguïté «<math>\;a * b * c\;</math>»<math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un groupe est un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G} \neq \emptyset}\;</math> muni d'une loi de composition interne }}<math>\bullet\;</math>possédant un élément neutre <math>\;e \in \mathcal{G}\;</math> <math>\bigg[</math>c.-à-d. telle que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}a * e = a\\e * a = a\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\; a \in \mathcal{G}\bigg]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un groupe est un ensemble <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G} \neq \emptyset}\;</math> muni d'une loi de composition interne }}<math>\bullet\;</math>telle qu'elle associe un élément symétrique <math>\;x^{-1} \in \mathcal{G}\;</math> à tout élément <math>\;x \in \mathcal{G}\;</math> <math>\bigg[</math>c.-à-d. telle que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}x * x^{-1} = e\\x^{-1} * x = e\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\; x \in \mathcal{G}\bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : l'élément neutre <math>\;e\;</math> est unique et il existe un unique symétrique pour chaque élément de <math>\;\mathcal{G}</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}tout élément de <math>\;\mathcal{G}\;</math> est « [[w:Loi_de_composition_interne#Réguliers_et_dérivés|régulier]] » <math>\;\big(</math>ou « simplifiable »<math>\big)\;</math> c.-à-d. que si <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}a * x = a * y\\\text{ou}\\ x * a = y * a\end{array}\right\rbrace\;\;\forall\;a \in \mathcal{G}\;</math> alors <math>\; x = y</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}un [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] n'est pas nécessairement commutatif c.-à-d. qu'il est possible que <math>\;a * b \neq b * a</math>. === Morphisme de groupes === {{Al|5}}Une fonction <math>\;f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H}\;</math> entre deux [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupes]] <math>\;\mathcal{G}\;</math> et <math>\;\mathcal{H}\;</math> munis respectivement de la [[Loi (mathématiques)/Loi interne|loi de composition interne]] <math>\;\bullet\;</math> et <math>\;\star\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une fonction <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H}}\;</math> entre deux groupes <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\mathcal{H}}\;</math> }}est un <u>[[w:Morphisme_de_groupes|morphisme de groupes]]</u> si l'égalité «<math>\;f(a \bullet b) = f(a) \star f(b)\;\;\forall\;(a\,,\,b)\;\in \mathcal{G}^2\;</math>» est valable ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une fonction <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H}}\;</math> entre deux groupes <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\mathcal{H}}\;</math> }}cette définition <math>\Rightarrow</math> même résultat en utilisant la [[Loi (mathématiques)/Loi interne|loi de composition interne]] <math>\;\bullet\;</math> avant d'appliquer le [[w:Morphisme_de_groupes|morphisme de groupes]] <math>\,f\,</math> «<math>\;a \bullet b\,\mapsto\,f(a \bullet b)\;</math>» <br />{{Transparent|Une fonction <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H}}\;</math> entre deux groupes <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\mathcal{H}}\;</math> cette définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> même résultat en utilisant la loi de composition interne }}ou <math>\;\star\;</math> après emploi du [[w:Morphisme_de_groupes|morphisme de groupes]] <math>\,f\,</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} a\,\mapsto\,f(a)\\ b\,\mapsto\,f(b)\end{array} \right\rbrace</math> suivi de <br />{{Transparent|Une fonction <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H}}\;</math> entre deux groupes <math>\;\color{transparent}{\mathcal{G}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\mathcal{H}}\;</math> cette définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> même résultat en utilisant la loi de composition interne ou <math>\;\color{transparent}{\star}\;</math> après emploi du }}<math>f(a) \star f(b)\;</math>», c.-à-d. le même résultat <math>\;f(a \bullet b)</math>. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : l'image de l'élément neutre du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> est l'élément neutre du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{H}\,;\;\star)\;</math> c.-à-d. «<math>\;f(e_{\mathcal{G}}) = e_{\mathcal{H}}\;</math>»<ref> En effet on a «<math>\;\forall\;a \in \mathcal{G}</math>, <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}a \bullet e_{\mathcal{G}} = a\\e_{\mathcal{G}} \bullet a = a\end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet e_{\mathcal{G}}) = f(a)\\f(e_{\mathcal{G}} \bullet a) = f(a)\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'une part avec «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet e_{\mathcal{G}}) = f(a) \star f(e_{\mathcal{G}})\\f(e_{\mathcal{G}} \bullet a) = f(e_{\mathcal{G}}) \star f(a)\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'autre part <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a) \star f(e_{\mathcal{G}}) = f(a)\\f(e_{\mathcal{G}}) \star f(a) = f(a)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\; f(a) \in \mathcal{H}\;</math>» dont nous déduisons, par unicité de l'élément neutre de <math>\;\mathcal{H}</math>, «<math>\;f(e_{\mathcal{G}}) = e_{\mathcal{H}}\;</math>».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}l'image du symétrique d'un élément quelconque <math>\;a\;</math> du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>(\mathcal{G}\,;\;\bullet)</math> est le symétrique de l'image de <math>\;a</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : l'image du symétrique d'un élément quelconque <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> du groupe <math>\color{transparent}{(\mathcal{G}\,;\;\bullet)}</math> est le symétrique de l’}}image qui est un élément décrivant le [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>(\mathcal{H}\,;\;\star)</math>, c.-à-d.«<math>\;f(a^{-1}) = \left[ f(a) \right]^{-1}\;\;\forall\;a\; \in\;\mathcal{G}\;</math>»<ref> En effet on a «<math>\;\forall\;a \in \mathcal{G}</math>, <math>\;\exists!\, a^{-1}\,\in \mathcal{G}\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}a \bullet a^{-1} = e_{\mathcal{G}}\\a^{-1} \bullet a = e_{\mathcal{G}}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet a^{-1}) = f(e_{\mathcal{G}})\\f(a^{-1} \bullet a) = f(e_{\mathcal{G}})\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'une part avec «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet a^{-1}) = f(a) \star f(a^{-1})\\f(a^{-1} \bullet a) = f(a^{-1}) \star f(a)\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'autre part dont nous déduisons {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a) \star f(a^{-1}) = f(e_{\mathcal{G}})\\f(a^{-1}) \star f(a) = f(e_{\mathcal{G}})\end{array} \right\rbrace\;</math>»}} ou, avec <math>\;f(e_{\mathcal{G}}) = e_{\mathcal{H}}</math>, «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a) \star f(a^{-1}) = e_{\mathcal{H}}\\f(a^{-1}) \star f(a) = e_{\mathcal{H}}\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\; f(a) \in \mathcal{H}\;</math>» soit, par unicité du symétrique de tout élément de <math>\;\mathcal{H}</math>, «<math>\;\left[ f(a) \right]^{-1} = f(a^{-1})\;</math>».</ref>. === Groupes isomorphes, isomorphisme entre groupes === {{Al|5}}Deux [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupes]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> et <math>\;(\mathcal{H}\,;\;\star)\;</math> sont dits <u>[[w:Morphisme_de_groupes#Isomorphismes_de_groupes|isomorphes]]</u> s'il existe deux [[w:Morphisme_de_groupes|morphismes de groupes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H} \\g\;\text{:}\;\mathcal{H}\;\mapsto\;\mathcal{G}\end{array} \right\rbrace\;</math> tels que leur [[Opérations sur les fonctions/Composition|composé]] donne l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|identité]] quel que soit l'ordre d'application c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Deux groupes <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{G}\,;\;\bullet)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{H}\,;\;\star)}\;</math> sont dits isomorphes }}si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} g \left[ f(a) \right] = a\;\;\forall\;a\;\in\;\mathcal{G}\\ f \left[ g(b) \right] = b\;\;\forall\;b\;\in\;\mathcal{H}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} g \circ f = id_{\mathcal{G}}\\ f \circ g = id_{\mathcal{H}}\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Deux groupes <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{G}\,;\;\bullet)}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{H}\,;\;\star)}\;</math> sont dits isomorphes si }}«<math>\;id_{\mathcal{G}}\;</math> et <math>\;id_{\mathcal{H}}\;</math> étant respectivement les [[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|identités]] des [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupes]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> et <math>\;(\mathcal{H}\,;\;\star)\;</math>». <br />{{Al|5}}Les deux [[w:Morphisme_de_groupes|morphismes de groupes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H} \\g\;\text{:}\;\mathcal{H}\;\mapsto\;\mathcal{G}\end{array} \right\rbrace\;</math> sont alors [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection#Application réciproque d’une application bijective|réciproques l'un de l'autre]] à gauche et à droite, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Les deux morphismes de groupes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H} \right\rbrace}\;</math> }}réalisant chacun une [[w:Bijection|bijection]] entre les deux [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupes]] et définissant un <u>[[w:Morphisme_de_groupes#Isomorphismes_de_groupes|isomorphisme de groupes]]</u> entre ces derniers. === Endomorphisme d'un groupe === {{Al|5}}Un [[w:Morphisme_de_groupes|morphisme]] <math>\;f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}\;</math> du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> sur lui-même constitue un <u>[[w:Endomorphisme|endomorphisme]]</u> du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)</math>, c.-à-d. que « l'égalité <math>\;f(a \bullet b) = f(a) \bullet f(b)\;\;\forall\;(a\,,\,b)\;\in \mathcal{G}\;</math>» est valable ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un morphisme <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}}\;</math> du groupe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{G}\,;\;\bullet)}\;</math> sur lui-même }}cette définition <math>\Rightarrow</math> même résultat en utilisant la [[Loi (mathématiques)/Loi interne|loi de composition interne]] avant d'appliquer l'[[w:Endomorphisme|endomorphisme]] <math>\,f\,</math> ce qui donne «<math>\;f(a \bullet b)\;</math>» <br />{{Transparent|Un morphisme <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}}\;</math> du groupe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{G}\,;\;\bullet)}\;</math> sur lui-même cette définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> même résultat en utilisant la loi de composition interne }}ou après emploi de l'[[w:Endomorphisme|endomorphisme]] <math>\,f\,</math> ce qui donne «<math>\;f(a) \bullet f(b)\;</math>» <br />{{Transparent|Un morphisme <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}}\;</math> du groupe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{G}\,;\;\bullet)}\;</math> sur lui-même cette définition <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> même résultat en utilisant la loi de composition interne ou après emploi }}c.-à-d. le même résultat «<math>\;f(a \bullet b) = f(a) \bullet f(b)\;</math>». {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : l'image de l'élément neutre du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> est l'élément neutre de ce dernier c.-à-d. «<math>\;f(e_{\mathcal{G}}) = e_{\mathcal{G}}\;</math>»<ref> En effet on a «<math>\;\forall\;a \in \mathcal{G}</math>, <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}a \bullet e_{\mathcal{G}} = a\\e_{\mathcal{G}} \bullet a = a\end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet e_{\mathcal{G}}) = f(a)\\f(e_{\mathcal{G}} \bullet a) = f(a)\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'une part avec «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet e_{\mathcal{G}}) = f(a) \bullet f(e_{\mathcal{G}})\\f(e_{\mathcal{G}} \bullet a) = f(e_{\mathcal{G}}) \bullet f(a)\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'autre part <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a) \bullet f(e_{\mathcal{G}}) = f(a)\\f(e_{\mathcal{G}}) \bullet f(a) = f(a)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\; f(a) \in \mathcal{G}\;</math>» dont nous déduisons, par unicité de l'élément neutre de <math>\;\mathcal{G}</math>, «<math>\;f(e_{\mathcal{G}}) = e_{\mathcal{G}}\;</math>».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriétés : }}l'image du symétrique d'un élément quelconque <math>\;a\;</math> du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> est le symétrique de l'image de <math>\;a</math>, c.-à-d. «<math>\;f(a^{-1}) = \left[ f(a) \right]^{-1}\;\;\forall\;a\; \in\;\mathcal{G}\;</math>»<ref> En effet on a «<math>\;\forall\;a \in \mathcal{G}</math>, <math>\;\exists!\, a^{-1}\,\in \mathcal{G}\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}a \bullet a^{-1} = e_{\mathcal{G}}\\a^{-1} \bullet a = e_{\mathcal{G}}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet a^{-1}) = f(e_{\mathcal{G}})\\f(a^{-1} \bullet a) = f(e_{\mathcal{G}})\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'une part avec «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a \bullet a^{-1}) = f(a) \bullet f(a^{-1})\\f(a^{-1} \bullet a) = f(a^{-1}) \bullet f(a)\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'autre part dont nous déduisons {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a) \bullet f(a^{-1}) = f(e_{\mathcal{G}})\\f(a^{-1}) \bullet f(a) = f(e_{\mathcal{G}})\end{array} \right\rbrace\;</math>»}} ou, avec <math>\;f(e_{\mathcal{G}}) = e_{\mathcal{G}}</math>, «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}f(a) \bullet f(a^{-1}) = e_{\mathcal{G}}\\f(a^{-1}) \bullet f(a) = e_{\mathcal{G}}\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\; f(a) \in \mathcal{G}\;</math>» soit, par unicité du symétrique de tout élément de <math>\;\mathcal{G}</math>, «<math>\;\left[ f(a) \right]^{-1} = f(a^{-1})\;</math>».</ref>. === Automorphisme d'un groupe === {{Al|5}}Deux [[w:Endomorphisme|endomorphismes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G} \\g\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}\end{array} \right\rbrace\;</math> du [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> sur lui-même, [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection#Application réciproque d’une application bijective|réciproques l'un de l'autre]] à gauche et à droite, <br />{{Al|7}}{{Transparent|Deux endomorphismes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H} \right\rbrace}\;</math> }}réalisent, pour chacun d'entre eux, une [[w:Bijection|bijection]] sur ce [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] et <br />{{Al|7}}{{Transparent|Deux endomorphismes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{H} \right\rbrace}\;</math> }}définissent un <u>[[w:Morphisme_de_groupes#Automorphismes_de_groupe|automorphisme de groupe]]</u> sur ce dernier. {{Al|5}}<u>Définition équivalente</u> : un <u>[[w:Morphisme_de_groupes#Automorphismes_de_groupe|automorphisme]]</u> sur un [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math> est un [[w:Endomorphisme|endomorphisme]] de ce [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] qui est aussi un [[w:Morphisme_de_groupes#Isomorphismes_de_groupes|isomorphisme de groupes]] sur ce dernier c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Définition équivalente : }}« si <math>\;f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}\;</math> est un [[w:Morphisme_de_groupes#Automorphismes_de_groupe|automorphisme]] de <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\bullet)\;</math>», «<math>\;\exists!\,g\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}\;</math> [[w:Morphisme_de_groupes#Automorphismes_de_groupe|automorphisme]] [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection#Application réciproque d’une application bijective|réciproque]] à gauche et à droite de <math>\;f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}\;</math>» tel que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Définition équivalente : « si <math>\;\color{transparent}{f\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}}\;</math> est un automorphisme de <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{G}\,;\;\bullet)}\;</math>», «<math>\;\color{transparent}{\exists!\,g\;\text{:}\;\mathcal{G}\;\mapsto\;\mathcal{G}}\;</math> automorphisme réciproque à gauche et à droite de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}«<math>\;f \circ g = id_{\mathcal{G}} = g \circ f\;</math>». == Groupes de symétries en physique == === 1^ers exemples de symétries en physique classique === {{Al|5}}On se propose de chercher quelle est l'influence de certaines transformations de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] dans certains contextes par exemple : <br />{{Al|1}}{{Transparent|On se propose de chercher }}<math>\bullet\;</math>quelle est l'influence d'une [[w:Translation|translation d'espace]] ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique [[w:Homogénéité_(matériau)|homogène]], celle-ci n'est pas modifiée par [[w:Translation|translation de l'espace]] <math>\;\ldots</math> <br />{{Al|1}}{{Transparent|On se propose de chercher }}<math>\bullet\;</math>quelle est l'influence d'une [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation de temps]] ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique [[w:État_stationnaire|stationnaire]], celle-ci n'est pas modifiée par [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation du temps]] <math>\;\ldots</math> <br />{{Al|1}}{{Transparent|On se propose de chercher }}<math>\bullet\;</math>quelle est l'influence d'une [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation d'espace]] ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique [[w:Isotropie|isotrope]], celle-ci n'est pas modifiée par [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation dans l'espace]] <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Toutes ces transformations de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] sont des exemples de [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_en_physique_classique|symétries en physique classique]], <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toutes ces transformations de l'espace-temps sont }}ces exemples étant caractérisés par un ou des paramètres pouvant varier continûment<ref> Pour une [[w:Translation|translation d'espace]], il y a trois paramètres qui sont les composantes du vecteur définissant la [[w:Translation|translation d'espace]], <br>{{Al|3}}pour une [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation de temps]], il y a un paramètre qui est le décalage temporel définissant la [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation de temps]] et <br>{{Al|3}}pour la [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation d'espace]], il y a trois paramètres qui sont les [[w:Angles_d'Euler|angles d'Euler]] définissant la [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation d'espace]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie.</ref> constituent des <u>[[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_continue|symétries continues]]</u> de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toutes ces transformations de l'espace-temps sont }}ces exemples de [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_en_physique_classique|symétries en physique classique]] correspondant à une même transformation en tous les points de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Toutes ces transformations de l'espace-temps sont ces exemples de symétries en physique classique }}constituent des <u>[[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_globale|symétries globales]]</u> de ce dernier. <center>Dans ce qui suit nous nous limiterons aux [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_continue|symétries continues]] et [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_globale|globales]] de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]].</center> === Groupes de symétries de l'espace temps === [[File:AngleEuler.png|thumb|300px|[[w:Angles_d'Euler|Angles d'Euler]] <math>\;\left( \psi\,,\,\theta\,,\,\varphi \right)\;</math><ref> L'angle <math>\;\psi = \widehat{( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{Ou})} = \widehat{( \overrightarrow{Oy}\,,\,\overrightarrow{Ov})}\;</math> correspondant à une [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation autour de l(axe]] <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> définit la [[w:Précession|précession]], <br>{{Al|3}}l'angle <math>\;\theta = \widehat{( \overrightarrow{Ov}\,,\,\overrightarrow{Ow})} = \widehat{( \overrightarrow{Oz}\,,\,\overrightarrow{Oz'})}\;</math> correspondant à une [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation autour de l(axe]] <math>\;\overrightarrow{Ou}\;</math> définit la [[w:Nutation|nutation]] et <br>{{Al|3}}l'angle <math>\;\varphi = \widehat{( \overrightarrow{Ou}\,,\,\overrightarrow{Ox'})} = \widehat{( \overrightarrow{Ow}\,,\,\overrightarrow{Oy'})}\;</math> correspondant à une [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation autour de l(axe]] <math>\;\overrightarrow{Oz'}\;</math> définit la [[w:Angles_d'Euler|rotation propre]].</ref> ; le système fixe est indiqué en noir <math>\;\left( Oxyz \right)</math>, le système mobile en rouge <math>\;\left( Ox'y'z' \right)\;</math> et la ligne des [[w:Nœud_(astronomie)|nœuds]] <ref name="ligne des nœuds"> En astronomie la ligne des [[w:Nœud_(astronomie)|nœuds]] <math>\;\big(</math>ou ligne nodale<math>\big)\;</math> est la droite d'intersection du plan d'une orbite avec un plan de référence ; <br>{{Al|3}}en description des [[w:Angles_d'Euler|angles d'Euler]] permettant de définir la [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation]] d'un repère d'espace <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox'}\,,\,\overrightarrow{Oy'}\,,\,\overrightarrow{Oz'} \right\rbrace\;</math> relativement à un repère de référence <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{Oy}\,,\,\overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> la ligne des [[w:Nœud_(astronomie)|nœuds]] est la droite d'intersection des plans <math>\left( x'Oy' \right)\;</math> et <math>\left( xOy \right)</math>.</ref> en bleu <math>\;\left( Ou \right)</math>]] {{Al|5}}« Si un ensemble de [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_continue|symétries continues]] et [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_globale|globales]] correspondant à des transformations particulières de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]]<ref> Cela signifiant que l'ensemble est muni de la [[Loi (mathématiques)/Loi interne|loi de composition]] de ces transformations particulières.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Si un ensemble de symétries continues et globales }}est un [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] », celui-ci définit un « <u>[[w:Groupe_de_symétrie|groupe de symétries]]</u> de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] ». {{Al|5}}<u>Exemples de [[w:Groupe_de_symétrie|groupes de symétries]] de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]]</u> : <math>\bullet\;</math>« [[w:Groupe_de_symétrie|groupe]] de [[w:Translation|translations d'espace]] » <math>\big[</math>l'élément neutre étant la [[w:Translation#Composition|translation de vecteur nul]], <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de translations d'espace » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}l'élément symétrique de la [[w:Translation|translation]] de vecteur <math>\;\vec{u}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de translations d'espace » <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'élément symétrique }}étant la [[w:Translation|translation]] de vecteur <math>\;-\vec{u}\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Groupe_de_symétrie|groupe]] de [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translations de temps]] » <math>\big[</math>d'élément neutre, la [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation de décalage horaire]] nul, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de translations de temps » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}d'élément symétrique de la [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation]] d'avance <math>\;\Delta t</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de translations de temps » <math>\color{transparent}{\big[}</math>d'élément symétrique de }}la [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation]] de retard <math>\;\Delta t\big]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Groupe_de_symétrie|groupe]] de [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotations d'espace]] » <math>\big[</math>l'élément neutre étant la [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation]] de [[w:Précession|précession]], [[w:Nutation|nutation]] et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de rotations d'espace » <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'élément neutre étant la rotation de }}[[w:Angles_d'Euler|rotation propre]] tous nuls, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de rotations d'espace » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}l'élément symétrique de la [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation]] d'[[w:Angles_d'Euler|angles d'Euler]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de rotations d'espace » <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'élément symétrique de la rotation d'angles }}<math>(\psi\,,\,\theta\,,\,\varphi)</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de rotations d'espace » <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'élément symétrique }}étant la [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation]] d'[[w:Angles_d'Euler|angles d'Euler]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« groupe de rotations d'espace » <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'élément symétrique étant la rotation d'}}<math>(-\psi\,,\,-\theta\,,\,-\varphi)\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big(</math>voir définition des [[w:Angles_d'Euler|angles d'Euler]] sur le schéma ci-contre et dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Théorème_d'Emmy_Nœther#cite_note-8|⁸]] » de ce chapitre<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où les [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_en_physique_classique|symétries]] envisagées sont appliquées à un [[w:Groupe_(mathématiques)#Définition|groupe]] <math>\;\mathcal{G}\;</math> muni de la [[Loi (mathématiques)/Loi interne|loi de composition interne]] <math>\;\star</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le cas où les symétries envisagées }}on peut encore « définir un [[w:Groupe_de_symétrie|groupe de symétries]] de <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\star)\;</math> comme <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : dans le cas où les symétries envisagées on peut encore « définir }}un [[w:Groupe_de_symétrie|groupe]] d'[[w:Morphisme_de_groupes#Automorphismes_de_groupe|automorphismes]] du [[w:Groupe_de_symétrie|groupe]] <math>\;(\mathcal{G}\,;\;\star)\;</math><ref> Voir la notion d'[[w:Morphisme_de_groupes#Automorphismes_de_groupe|automorphisme de groupe]] dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Groupes_de_symétries_continues_et_globales,_énoncé_du_théoème_d'Emmy_Nœther#Automorphisme_d'un_groupe|automorphisme d'un groupe]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ». == Énoncé du théorème d'Emmy Nœther == <center>Le [[w:Théorème_de_Noether_(physique)|théorème d'Emmy Nœther]] est admis, la démonstration sortant du niveau d'exigence de ce chapitre.</center> {{Théorème|titre=Énoncé du théorème d'Emmy Nœther|contenu ={{Al|5}}« À toute invariance <math>\big(</math>de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] muni de lois physiques adéquates<math>\big)</math> selon un [[w:Groupe_de_symétrie|groupe de symétries]] <br />{{Al|3}}{{Transparent|« À toute invariance <math>\color{transparent}{\big(}</math>de l'espace-temps muni de lois physiques adéquates<math>\color{transparent}{\big)}</math> selon un groupe de }}<math>\big(</math>[[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_continue|symétries continues]] et [[w:Symétrie_(physique)#Symétrie_globale|globales]]<math>\big)</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|« À toute invariance }}est nécessairement associée une grandeur physique conservée en toutes circonstances »<ref> On rappelle que ce théorème est un complément du programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\ldots</math></ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce [[w:Théorème_de_Noether_(physique)|théorème]] car il existe des cas où l'invariance de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] muni d'une loi physique particulière <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car il existe des cas où l'invariance de l'espace-temps }}réalisée en absence d'objets sensibles à la loi <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car il existe des cas où l'invariance de l'espace-temps }}n'est plus valable si un de ces objets est présent : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car }}<math>\succ\;</math>en un lieu vide de matière on peut considérer que l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] est invariant par [[w:Translation|translation d'espace]] mais <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car }}<math>\succ\;</math>s'il y a un corps céleste, la [[w:Loi_universelle_de_la_gravitation#Expression_mathématique_selon_Newton|loi de gravitation de Newton]]<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]]..</ref> <math>\;\big(</math>en restant hors [[w:Relativité_générale|relativité générale]]<math>\big)\;</math> implique que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>s'il y a un corps céleste, }}l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] n'est plus invariant par [[w:Translation|translation d'espace]]. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Les exemples de validité de ce [[w:Théorème_de_Noether_(physique)|théorème]] sont à trouver dans les leçons « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<ref> Dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l%27inertie_et_référentiels_galiléens#En_complément_:_le_principe_(ou_théorèmes)_de_l'inertie,_cas_particulier_du_théorème_d'Emmy_Nœther|en complément : le principe (ou théorèmes) de l'inertie, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther]] » du chap.<math>8</math> pour l'invariance de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] par [[w:Translation|translation d'espace]] et la conservation de la [[w:Quantité_de_mouvement|quantité de mouvement]]. <br>{{Al|3}}Dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d%27un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_la_conservation_de_l'énergie_mécanique,_cas_particulier_du_théorème_d'Emmy_Nœther|en complément : la conservation de l'énergie mécanique, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther]] » du chap.<math>17</math> pour l'invariance de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] par [[w:Cristal_temporel#Symétrie_par_translation_du_temps_et_brisure_de_symétrie|translation de temps]] et la conservation de l'[[w:Énergie_mécanique|énergie mécanique]].</ref> et auraient pu l'être dans la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<ref> Plus précisément dans le chap.<math>5</math> intitulé « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes|Loi du moment cinétique : théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou à un axe fixes]] » où nous aurions pu illustrer l'utilisation du [[w:Théorème_de_Noether_(physique)|théorème de Nœther]] sur l'invariance de l'[[w:Espace-temps#La_notion_d'espace-temps|espace-temps]] par [[w:Rotation_(physique)#Rotation_dans_l'espace|rotation d'espace]] autour d'un point ou d'un axe.</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Notion d'angle solide|Notion d'angle solide]] | suivant = [[../Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle|Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle]] }} pcs8xze04iilpzsgzecyv7moudph1bk 0 77578 982985 963289 2026-05-23T07:04:43Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982985 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 26 | niveau = 14 | précédent = [[../Changement de référentiels/]] | suivant = [[../Fonctions hyperboliques directes et inverses/]] }} {{Al|5}}La [[w:Transformation_de_Laplace|transformation de Laplace]] a été nommée ainsi en l'honneur de '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]]'''<ref name="Laplace"> '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]] (1749 - 1827)''' mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'[[w:Adhésion_capillaire|attraction capillaire]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>expliquant}} ce qui se passe dans les [[w:Tube_capillaire|tubes capillaires]] ou dans les bulles d'air d'un liquide<math>\big)\;</math> ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de '''[[w:Isaac_Newton|Newton]]''' sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>partagée de façon plus ou moins indépendante avec '''[[w:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]]'''<math>\big)</math> ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]] (1646 - 1716)''' entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]]}} et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)\;</math> dont la paternité doit être partagée avec '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]]'''.</ref> pour son utilisation dans la [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] qu'il a initiée<ref> La [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] fut en fait découverte par '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]]'''. <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie.</ref>. == Transformée (bilatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle « non causale » d'une variable réelle == {{Al|5}}Soit une fonction réelle <math>\;g\;</math> « non causale »<ref name="non causale"> Ou encore « à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] non positif », le [[w:Support_de_fonction#Définition|support d'une fonction numérique]] étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, on suppose qu'elle est non nulle pour des valeurs de la variable négatives.</ref> de la variable réelle <math>\;t\;</math> ayant les propriétés suivantes : * « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle <math>\;\left[ t_1\,;\,0 \right[\;</math> et <math>\;\left] 0\,;\,t_0 \right]\;</math>»<ref name="t0 quelconque positif"> <math>\;t_0\;</math> étant un réel quelconque <math>\;> 0</math>.</ref>{{,}}<ref name="t1 quelconque négatif"> <math>\;t_1\;</math> étant un réel quelconque <math>\;< 0</math>.</ref>{{,}}<ref name="non nécessairement définie pour 0"> Elle n'est donc pas nécessairement définie pour <math>\;t = 0</math>.</ref>, * « au voisinage de <math>\;t = 0</math>, <math>\;\exist\; \gamma \in \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert g(t) \vert \right] = 0\;</math>» et * « la fonction est “ d'ordres exponentiels <math>\;\alpha_1\,,\,\alpha_2\;</math>” avec <math>\;\alpha_1 \in \mathbb{R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace\;</math> et <math>\;\alpha_2 \in \mathbb{R}\;</math> en étant <math>\;> \alpha_1\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\exist\; M > 0\;</math> vériifiant <math>\;\forall\, \beta\;</math> tel que <math>\;\alpha_1\, \leqslant\, \beta\, \leqslant\, \alpha_2</math>, <math>\;\vert \exp\! \left( -\beta\;t \right)\;g(t) \vert < M,\;\;\forall\, \vert t \vert > \tau\;</math> et <math>\;\forall\,\tau > 0\;</math>»<ref> C.-à-d. que la fonction <math>\;\vert g(t) \vert\;</math> est majorée par <math>\;M\;\exp\! \left( \beta\;t \right)\;\;\forall\, \beta\, \leqslant\, \alpha_2\;</math> et <math>\;\beta\, \geqslant\, \alpha_1\;</math> ceci <math>\;\forall\;t\, \neq\, 0</math> ; <br>{{Al|3}}pour concrétiser supposns <math>\;\alpha_1 = -1\;</math> et <math>\;\alpha_2 = +2</math>, le fait que <math>\;g(t)\;</math> soit “ d'ordres exponentiels <math>\;-1\,,\,+2\;</math>” signifie que * <math>\;\vert g(t) \vert\;</math> est majorée par <math>\;M\;\exp\! \left( \beta\;t \right)\;\;\forall\, \beta\, \leqslant\, +2\;</math> la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour <math>\;t < 0\;</math> <math>\big[</math>en particulier, quand <math>\;t \rightarrow -\infty</math>, il faut que <math>\;\vert g(t) \vert\;\rightarrow 0\;</math> plus rapidement <math>\;\big(</math>au sens large<math>\big)\;</math> que <math>\;\exp\! \left( -2\;\vert t \vert \right)\big]\;</math> et * <math>\;\vert g(t) \vert\;</math> est majorée par <math>\;M\;\exp\! \left( \beta\;t \right)\;\;\forall\, \beta\, \geqslant\, -1\;</math> la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour <math>\;t > 0\;</math> <math>\big[</math>en particulier, quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, il faut que <math>\;\vert g(t) \vert\;\rightarrow 0\;</math> plus rapidement <math>\;\big(</math>au sens large<math>\big)\;</math> que <math>\;\exp\! \left( - t \right)\big]</math>.</ref>. === Définition de la transformée (bilatérale) de Laplace de la fonction « non causale » g(t) ci-dessus === {{Définition| contenu = {{Al|5}}La [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> de <math>\;g(t)</math> fonction « non causale »<ref name="non causale" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée bilatérale de Laplace de <math>\;\color{transparent}{g(t)}</math> fonction }}continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles <math>\;\left[ t_1\,;\,0 \right[ \cup \left] 0\,;\,t_2 \right]\;</math><ref name="t0 quelconque positif" />{{,}}<ref name="t1 quelconque négatif" />{{,}}<ref name="non nécessairement définie pour 0" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée bilatérale de Laplace de <math>\;\color{transparent}{g(t)}</math> fonction }}intégrable au <math>\;\mathcal{V}(0)\;</math><ref name="voisinage de 0 - bis"> C.-à-d. au voisinage de <math>\;0</math>, la « condition d'existence de <math>\;\displaystyle\int_0^\varepsilon g(t)\;dt\;</math> <math>\;\big[\varepsilon\;\in\;\mathcal{V}(0^{+})\big]\;</math> et de <math>\;\displaystyle\int_{\varepsilon'}^0 g(t)\;dt\;</math> <math>\;\big[\varepsilon'\;\in\;\mathcal{V}(0^{-})\big]\;</math>» étant «<math>\;\exist\; \gamma \in \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert g(t) \vert \right] = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on en conclut qu'il n'existe pas de [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]] de la fonction <math>\;g(t) = \dfrac{1}{t}\;</math> puisqu'elle ne respecte pas cette condition.</ref> ainsi que « d'ordres exponentiels <math>\;\alpha_1,\,\alpha_2\;</math>»<ref> Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est <math>\;g(t) = \exp(t^2)</math>, on en conclut qu'il n'existe pas de [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]] de la fonction <math>\;g(t) = \exp(t^2)</math>.</ref> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée bilatérale de Laplace de <math>\;\color{transparent}{g(t)}</math> }}est la fonction <math>\;G \;</math> de la variable complexe <math>\;p\;</math><ref name="p non souligné"> Bien que <math>\;p\;</math> soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas <math>\;\underline{p}\;</math> pour simplifier l'écriture.</ref> définie par <center>«<math>\;G(p) = \mathcal{L}\!\left\lbrace g(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>définie pour «<math>\;p \in \mathbb{C}\;</math> tel que <math>\;\alpha_1 < \Re (p) < \alpha_2\;</math>», <math>\;\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[\;</math> étant « l'intervalle de convergence »<ref> À ma connaissance il n'y a pas de nom donné à cet intervalle contrairement à <math>\;\alpha\;</math> dans la [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformation monolatérale de Laplace]] qui est appelée « abscisse de convergence » ; par contre la bande engendrée dans le plan complexe par la condition <math>\;\alpha_1 < \Re (p) < \alpha_2\;</math> porte le nom de « bande de convergence ».</ref> ;<br>on dit encore que <math>\;G(p)\;</math> est l'« image de <math>\;g(t)\;</math>» par [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace|transformation bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On prolonge la définition de la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> d'une fonction à celle d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\big(</math>la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] devant être telle que l'intégrale de définition<ref name="sens des distributions"> Au sens des distributions.</ref> de sa [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée de Laplace]]<ref name="Laplace" /> converge<ref> Ceci nécessitant que <math>\;\exp\! \left( -\beta\;t \right)\;g(t)\;</math> où <math>\;g(t)\;</math> est la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] et <math>\;\beta\;</math> un réel quelconque <math>\;\in \left[ \alpha_1\,,\, \alpha_2 \right]\;</math> soit une [[w:Distribution tempérée#Exemples de distributions tempérées|distribution tempérée]] ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une [[w:Distribution_tempérée#Distributions_à_support_compact|distribution à support compact]] <math>\;\big(</math>le [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support d'une distribution]] étant le plus petit fermé en dehors duquel la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] est nulle, ce [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini {{Nobr|d'ouverts<math>\big)</math>,}} <br>{{Al|3}}par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\delta(t)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> a pour [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] le singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace</math>, évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et <br>{{Al|3}}{{Transparent|par exemple }}la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\exp\! \left( -\beta\;t \right)\;\delta(t)\;</math> a également pour [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] le singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> évidemment compact et ceci pour tout <math>\;\beta \in \mathbb{R}</math> ; <br>{{Al|3}}on peut donc définir la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]] du pic de Dirac d'impulsion unité, son « intervalle de convergence » étant <math>\;\left] -\infty\,,\, +\infty \right[</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]] et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de [[w:Werner_Heisenberg|Heisenberg]], deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Karl Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], ayant obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_bilatérales_de_Laplace_directes_et_inverses,_cas_particulier_des_transformées_de_Fourier#cite_note-Heaviside-17|¹⁷]] » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.</ref><math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>mais aussi à celle d'une [[w:Hyperfonction|hyperfonction]] <ref name="hyperfonction"> Le domaine des [[w:Hyperfonction|hyperfonctions]] essentiellement créé par '''[[w:Mikio_Satō|Mikio Satō]]''' généralise celui des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]] dont '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' est le principal artisan ; <br>{{Al|3}}alors que le domaine de définition d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] est l'axe des réels <math>\;\big(</math>ou un ouvert de cet axe des réels<math>\big)</math>, son domaine de valeurs étant <math>\;\subseteq\;</math> dans <math>\;\left[-\infty\,,\, +\infty\right]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|alors que le domaine de déf }}celui d'une [[w:Hyperfonction|hyperfonction]] est aussi l'axe des réels <math>\;\big(</math>ou un ouvert de cet axe des réels<math>\big)</math>, mais son domaine de valeurs est <math>\;\subseteq\;</math> dans <math>\;\mathbb{C}\; \backslash\; \mathbb{R}</math> <math>\;\big(</math>ou le voisinage complexe de l'ouvert de définition privé de ce dernier<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Mikio_Satō|Mikio Satō]] (né en 1928)''' est un mathématicien japonais dont les travaux sont essentiellement du domaine de l'[[w:Analyse_algébrique|analyse algébrique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' est un mathématicien français à qui on doit la [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] qui permit une description rigoureuse de la notion de pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref> que nous ne ferons que citer car dépassant très largement le cadre de cet exposé<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}en physique la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> n'est quasiment pas utilisée, on lui préfère la [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformation monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" />, raison pour laquelle on introduit la même notation <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \right\rbrace\;</math> pour les deux, toutefois, dans le cas où les deux transformations apparaitraient dans le même exposé, nous noterons <math>\;\mathcal{L}\left\lbrace \right\rbrace\;</math> la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace|transformation bilatérale]] et <math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace \right\rbrace\;</math> la transformation monolatérale. {{Al|5}}<u>Exemple</u><ref> Un seul exemple car d'une part la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]] n'est quasiment pas utilisée dans le domaine de la physique et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Un seul exemple car }}d'autre part cette [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace|transformation bilatérale de Laplace]] acquiert un intérêt dans le domaine des [[w:Hyperfonction|hyperfonctions]] qui dépasse largement le cadre de cet exposé <math>\;\big[</math>voir la note [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_bilatérales_de_Laplace_directes_et_inverses,_cas_particulier_des_transformées_de_Fourier#cite_note-hyperfonction-15|¹⁵]] plus haut dans ce chapitre pour quelques menus détails supplémentaires<math>\big]</math></ref> : Soit la fonction réelle <math>\;g\;</math> « non causale »<ref name="non causale" /> de la variable réelle <math>\;t\;</math> définie sur <math>\;\left[ -\infty\,,\, 0 \right[\;</math> telle que «<math>\;g(t) = Y(-t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\;\text{pour }t > 0\\ 1\;\;\text{pour }t > 0\end{array}\right\rbrace\;</math> où <math>\;Y\;</math> est la fonction de Heaviside<ref name="Heaviside"> '''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphie, développé de façon intuitive le [[w:Calcul_opérationnel|calcul opérationnel]] pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom {{Nobr|<math>\;\big(</math>encore}} appelée échelon ou marche<math>\big)\;</math> utilisée dans l'étude de systèmes en [[w:Automatique|automatique]].</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Exemple : Soit la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{g}\;</math> « non causale » de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> définie sur <math>\;\color{transparent}{\left[ -\infty\,,\, 0 \right[}\;</math> telle que «<math>\;\color{transparent}{g(t) = Y(-t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\;\text{pour }t > 0\end{array}\right\rbrace}\;</math> où <math>\;\color{transparent}{Y}\;</math> est la }}<math>\;\big(</math>ou échelon unité<math>\big)\,</math>», <br>{{Al|15}}{{Transparent|Exemple : Soit la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{g}\;</math> « non causale » }}la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;g(t) = Y(-t)\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace g(t) \right\rbrace = -\dfrac{1}{p}\;</math> pour <math>\;\Re (p) < 0\;</math>»<ref> L'intervalle de convergence de la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]] de <math>\;g(t) = Y(-t)\;</math> étant «<math>\;\left] -\infty\,,\, 0 \right[\;</math>» <math>\;\big[\alpha_1 = -\infty\;</math> et <math>\;\alpha_2 = 0\big]</math>.</ref> en effet <br>{{Al|15}}{{Transparent|Exemple : Soit la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{g}\;</math> « non causale » }}«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace g(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;g(t)\;dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{0^{-}} \exp(-p\,t)\;g(t)\;dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{0^{-}} \exp(-p\,t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> <math>= \left[ \dfrac{\exp(-p\,t)}{-p} \right]_{-\infty}^{0^{-}} = -\dfrac{1}{p}\;</math> si <math>\;\Re (p) < 0\;</math>». === Rappel de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence) === {{Al|5}}La notion de [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> d'une fonction réelle <math>\;f\;</math> de la variable réelle <math>\;t</math>, fonction de propriétés nécessaires rappelées ci-dessous, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La notion de transformée monolatérale de Laplace }}a été introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#Définition_de_la_transformée_(monolatérale)_de_Laplace_de_la_fonction_f(t)_ci-dessus|définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t)]] » <br>{{Al|9}}{{Transparent|La notion de transformée monolatérale de Laplace a été introduite dans le paragraphe }}du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » : * « les valeurs de la fonction sont nulles pour <math>\;t < 0\;</math>»<ref name="support positif au sens large"> Le [[w:Support_de_fonction#Définition|support d'une fonction numérique]] étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] positif » <math>\;\big(</math>a priori il s'agit de positif au sens large<math>\big)</math>.</ref> <math>\big(</math>la fonction est alors qualifiée de « causale »<ref name="causale"> En supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant <math>\;t = 0</math>, les effets ne pouvant se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout <math>\;t < 0\;</math> sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction ne traduit pas les effets d'une cause.</ref><math>\big)</math>, * « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle <math>\;\left] 0\,;\,t_0 \right]\;</math>»<ref name="t0 quelconque positif" />{{,}}<ref name="non nécessairement définie pour 0" />, * « au voisinage de <math>\;t = 0</math>, <math>\;\exist\; \gamma \in \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert f(t) \vert \right] = 0\;</math>»<ref> Ainsi <math>\;f(0^{+})\;</math> peut être fini, ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ainsi }}<math>\;f(t)\;</math> n'avoir aucune limite quand <math>\;t \rightarrow 0^{+}\;</math> en restant de valeur absolue bornée <math>\;\Big[</math>comme <math>\;\sin\!\left( \dfrac{A}{t} \right)\Big]\;</math> ou même <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ainsi <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}avoir une limite infinie à condition que son équivalent soit de la forme <math>\;\dfrac{A}{t^{\gamma'}}\;</math> avec <math>\;\gamma' < \gamma\;</math> tous deux <math>\;\in \left] 0\,,\,1 \right[</math>.</ref> et * « la fonction est “ d'ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>” avec <math>\;\alpha\, \in\, \mathbb{R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace\;</math>», <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\exist\; M > 0\;</math> tels que <math>\;\forall\, \beta\, \geqslant\, \alpha,\;\;\vert \exp\! \left( -\beta\;t \right)\;f(t) \vert < M,\;\;\forall\, t > \tau\;</math> et <math>\;\forall\,\tau > 0\;</math>»<ref> C.-à-d. que la fonction <math>\;\vert f(t) \vert\;</math> est majorée par <math>\;M\;\exp\! \left( \beta\;t \right)\;\;\forall\, \beta\, \geqslant\, \alpha\;</math> et <math>\;\forall\,t\, >\, 0</math>.</ref>. {{Définition| titre= Définition de la transformée (monolatérale) d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)|contenu = {{Al|5}}La [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> de la fonction <math>\;f(t)</math> « causale »<ref name="causale" />{{,}}<ref name="support positif"> C.-à-d. à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] positif <math>\;\big(</math>voir précision dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_monolatérales_de_Laplace_directes_et_inverses_et_leur_utilisation#cite_note-support_positif_au_sens_large-19|¹⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}continue par morceaux sur tout intervalle <math>\;\left] 0\,;\,t_0 \right]\;</math><ref name="t0 quelconque positif" />, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}intégrable au <math>\;\mathcal{V}(0)\;</math><ref name="voisinage de 0"> C.-à-d. au voisinage de <math>\;0</math>, la « condition d'existence de <math>\;\displaystyle\int_0^\varepsilon f(t)\;dt\;</math> <math>\;\big[\varepsilon\;\in\;\mathcal{V}(0)\big]\;</math>» est «<math>\;\exist\; \gamma\, \in\, \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert f(t) \vert \right] = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]] de la fonction <math>\;f(t) = \dfrac{1}{t}\;</math> puisqu'elle ne respecte pas cette condition.</ref> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}« d'ordre exponentiel <math>\;\alpha\;</math>»<ref> Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est <math>\;f(t) = \exp(t^2)</math>, on en conclut qu'il n'existe pas de [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]] de la fonction <math>\;f(t) = \exp(t^2)</math>.</ref> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction <math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}est la fonction <math>\;F\;</math> de la variable complexe <math>\;p\;</math><ref name="p non souligné"> Bien que <math>\;p\;</math> soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas <math>\;\underline{p}\;</math> pour simplifier l'écriture.</ref> définie par <center>«<math>\;F(p) = \mathcal{L}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>définie pour «<math>\;p \in \mathbb{C}\;</math> tel que <math>\;\Re(p) > \alpha\;</math>», <math>\;\alpha\;</math> étant appelée l'« abscisse de convergence » ;<br>on dit encore que <math>\;F(p)\;</math> est l'« image de <math>\;f(t)\;</math>» par [[w:Transformation_de_Laplace|transformation de Laplace]]<ref name="Laplace" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On prolonge la définition de la [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> d'une fonction à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] positif<ref name="condition d'existence de transformée de Laplace"> Sous condition d'existence de [[w:Transformation_de_Laplace|transformée de Laplace]].</ref> à celles <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace }}d'une fonction à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] positif étendu à gauche de <math>\;0\;</math> c.-à-d. de [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[\; \cup\; \mathcal{V}(0^{-})\;</math> où <math>\;\mathcal{V}(0^{-})\;</math> est un voisinage ouvert à gauche de <math>\;0</math>, borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[\;</math> dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable<ref name="f(0-) différent de 0"> Alors que <math>\;f(0^{-}) = 0\;</math> pour une fonction <math>\;f\;</math> à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] positif, pour une fonction <math>\;f\;</math> à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] <math>\;\left[ 0\,,\, +\infty \right[\; \cup\; \mathcal{V}(0^{-})</math>, <math>\;f(0^{-}) \neq 0</math>.</ref> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace }}d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\big(</math>sous condition que l'intégrale de définition<ref name="sens des distributions"> Au sens des distributions.</ref> de sa [[w:Transformation_de_Laplace|transformée de Laplace]]<ref name="Laplace" /> converge<ref name="convergence de transformée de Laplace d'une distribution"> Ceci nécessitant que <math>\;\exp\! \left( -\beta\;t \right)\;f(t)\;</math> où <math>\;f(t)\;</math> est la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] et <math>\;\beta\;</math> un réel quelconque <math>\;\geqslant \alpha\;</math> soit une [[w:Distribution_tempérée#Exemples_de_distributions_tempérées|distribution tempérée]] ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une [[w:Distribution_tempérée#Distributions_à_support_compact|distribution à support compact]] <math>\;\big(</math>le [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support d'une distribution]] étant le plus petit fermé en dehors duquel la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] est nulle, ce [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\delta(t)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> a pour [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] le singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace</math>, évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et <br>{{Al|3}}{{Transparent|par exemple }}la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] <math>\;\exp\! \left( -\beta\;t \right)\;\delta(t)\;</math> a également pour [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] le singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> évidemment compact et ceci pour tout <math>\;\beta \in \mathbb{R}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|par exemple }}on peut donc définir la [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]] du pic de Dirac d'impulsion unité, son abscisse de convergence <math>\;\alpha\;</math> étant <math>\;-\infty</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]] et la [[w:Mécanique_matricielle|mécanique matricielle]] de [[w:Werner_Heisenberg|Heisenberg]], deux présentations de la même [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' dans sa [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] ; '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' fut colauréat du prix Nobel de Physique en <math>\;1933\;</math> pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' pour la formulation de l'équation d'onde dite de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger]] (1887 - 1961)''' physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] <math>\;\big(</math>connu sous le nom de [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]]<math>\big)</math> ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de [[w:Erwin_Schrödinger|Schrödinger]] lui a valu de partager le prix Nobel de physique en <math>\;1933\;</math> avec '''[[w:Paul_Dirac|Paul Dirac]]''' lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à '''[[w:Erwin_Schrödinger|Erwin Schrödinger]]''' l'expérience de pensée proposée à '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1935\;</math> et connue sous le nom [[w:Chat_de_Schrödinger|chat de Schrödinger]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Werner_Heisenberg|Werner Karl Heisenberg]] (1901 - 1976)''' physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], ayant obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1932\;</math> pour la création de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des [[w:Allotropie|variétés allotropiques]] de l'hydrogène. <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_bilatérales_de_Laplace_directes_et_inverses,_cas_particulier_des_transformées_de_Fourier#cite_note-Heaviside-17|¹⁷]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref><math>\big)</math>. === Écriture de la transformée monolatérale de Laplace de la fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence) en transformée bilatérale de Laplace === {{Al|5}}Soit une fonction « causale » <math>f(t)\;</math> admettant comme « [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> pour «<math>\;\Re (p) > \alpha</math>, <math>\;\alpha\;</math> étant l'abscisse de convergence de la [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> », remarquant que cette dernière s'écrit encore selon «<math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;Y(t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> dans laquelle <math>\;Y(t)\;</math> est la fonction d'Heaviside<ref name="Heaviside" />, nous en déduisons «<math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;f(t)\;Y(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> avec <math>\;\Re (p) > \alpha\;</math>»<ref> La fonction <math>\;f(t)\;</math> étant causale, le fait de la multiplier par <math>\;Y(t)\;</math> ne modifie aucunement la condition de convergence de la [[w:Transformation_de_Laplace|transformée de Laplace]] pour les valeurs de <math>\;t > 0\;</math> et n'en introduit aucune pour celles de <math>\;t < 0</math>.</ref> c.-à-d. la « [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> de <math>\;f(t)\;Y(t)\;</math>»<ref> L'« intervalle de convergence » de la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]] de <math>\;f(t)\;Y(t)\;</math> est <math>\;\left] \alpha\,,\, +\infty \right[</math>.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace f(t)\,Y(t) \right\rbrace\;</math>».</center> == Quelques éléments sur la transformation (bilatérale) inverse de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction complexe holomorphe d'une variable complexe == <center>Comme nous n'utilisons pas, par la suite, la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace|transformation bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" />, nous nous contentons de quelques éléments sur sa transformation inverse.</center> {{Définition| contenu = {{Al|5}}La transformée bilatérale inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> de la fonction complexe <math>\;G(p)\;</math> de la variable complexe <math>\;p\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée bilatérale inverse de Laplace de la fonction complexe <math>\;\color{transparent}{G(p)}\;</math> }}[[w:Fonction_holomorphe#Définition|holomorphe]] <ref name="holomorphe"> C.-à-d. dérivable <math>\;\big(</math>au sens complexe<math>\big)</math>.</ref> sur son domaine de définition <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée bilatérale inverse de Laplace }}est la fonction réelle <math>\;g(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{g(t)}\;</math> }}continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles <br>{{Al|9}}{{Transparent|La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{g(t)}\;</math> continue par morceaux sur }}<math>\left[ t_1\,;\,0 \right[ \cup \left] 0\,;\,t_2 \right]\;</math><ref> Elle doit aussi être intégrable au <math>\;\mathcal{V}(0)\;</math> <math>\Big\{</math>c.-à-d. au voisinage de <math>\;0</math>, la condition d'existence de <math>\;\displaystyle\int_0^\varepsilon g(t)\;dt\;</math> et de <math>\;\displaystyle\int_\varepsilon^0 g(t)\;dt\;</math> étant <math>\;\exist\; \gamma \in \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert g(t) \vert \right] = 0\Big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Elle doit aussi être }}d'ordres exponentiels <math>\;\alpha_1,\,\alpha_2\;</math> <math>\Bigg\{</math>c.-à-d. <math>\;\alpha_1 \in \mathbb{R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace\;</math> et <math>\;\alpha_2 \in \mathbb{R}\;</math> en étant <math>\;> \alpha_1</math>, <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Elle doit aussi être d'ordres exponentiels <math>\;\color{transparent}{\alpha_1,\,\alpha_2}\;</math> <math>\color{transparent}{\Bigg\{}</math>c.-à-d. }}<math>\;\exist\; M > 0\;</math> tels que <math>\;\alpha_1 \leqslant \beta \leqslant \alpha_2</math>, <math>\;\vert \exp\! \left( -\beta\;t \right)\;g(t) \vert < M,\;\forall \tau > 0\;\text{et}\;\left[\begin{array}{c}\forall\; t > \tau\\ \text{et}\\ \forall\; t < -\tau\end{array}\right]\Bigg\}</math>.</ref> telle que <center>«<math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace g(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;g(t)\;dt = G(p)\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> pour <math>\;p\;</math> tel que <math>\;\alpha_1 < \Re e(p) < \alpha_2</math>»<ref> Si le domaine de définition de <math>\;G(p)\;</math> contient des valeurs de <math>\;p\;</math> telles que <math>\;\Re (p) \notin \left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[\;</math> alors, pour ces valeurs, <math>\;g(t)\;</math> ne peut pas être la transformée bilatérale inverse de Laplace de <math>\;G(p)</math>.</ref>, <br><math>\;\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[\;</math> étant « l'intervalle de convergence » de la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> ;<br>on dit encore que <math>\;g(t)\;</math> est l'« originale de <math>\;G(p)\;</math>» par [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace|transformation bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <br>et on notera <math>\;g(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace G(p) \right\rbrace\;</math> si <math>\;\Re (p) \in \left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La transformation bilatérale inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> est une [[w:Application_linéaire#Cas_général|application <u>linéaire</u>]] et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un intervalle fixé <math>\;\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[\;</math> de définition de <math>\;G(p)</math>, la transformée bilatérale inverse <math>\;g(t)\;</math> est <u>unique</u> <math>\;\big(</math>admis<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> }}il est donc essentiel de préciser le domaine sur lequel on cherche l'originale <math>\;g(t)\;</math> de la fonction <math>\;G(p)\;</math> car, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine }}suivant l'intervalle de convergence, la fonction originale diffère, exemple : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;\Re (p) > 0</math>, la fonction <math>\;G(p) = \dfrac{1}{p}\;</math> admet pour originale <math>\;g(t) = Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\;\text{si }\;t > 0\\ 0\;\;\text{si }\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En effet pour <math>\;\beta > 0</math>, <math>\;\exp(-\beta\,t)\;g(t)\;</math> doit <math>\;\rightarrow 0\;</math> quand <math>\;t \rightarrow -\infty\;</math> ce qui nécessite que <math>\;g(t)\;</math> y soit nulle <math>\;\big[\Leftarrow</math> [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] de <math>\;g(t)\;</math> positif<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> s'identifie à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on note dans ce cas que }}la transformée monolatérale inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on note dans ce cas que }}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace_{\Re (p)\,>\,0} = Y(t) = \mathcal{L}_{+}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;\Re (p) < 0</math>, la fonction <math>\;G(p) = \dfrac{1}{p}\;</math> admet pour originale <math>\;g(t) = -Y(-t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\quad\;\text{si }\;t > 0\\ -1\;\;\text{si }\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En effet d'une part pour <math>\;\beta < 0</math>, <math>\;\exp(-\beta\,t)\;g(t)\;</math> doit <math>\;\rightarrow 0\;</math> quand <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math> réalisé si <math>\;g(t)\;</math> y est nulle <math>\;\big[\Leftarrow</math> [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] de <math>\;g(t)\;</math>négatif<math>\big]</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}d'autre part «<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace_{\Re (p)\,>\,0}\!(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \left( \dfrac{1}{-p'} \right)_{p' = -p} \right\rbrace_{\Re e(p')\,>\,0}\!(t' = -t)\;</math>» <math>\big[</math>si on change <math>\;p\;</math> en <math>\;p' = -p\;</math> il faut changer <math>\;t\;</math> en <math>\;t' = -t\;</math> pour conserver le comportement de <math>\;\exp(-\beta\,t)\,g(t)\;</math> à l'infini, <math>\;\beta\;</math> étant lui-même changé en <math>\;\beta' = -\beta\big]</math>, soit «<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace_{\Re (p)\,>\,0}\!(t) =</math> <math>-\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p'} \right\rbrace_{\Re (p')\,>\,0}\!(t' = -t) = -Y(t' = -t)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> définie en <math>\;t\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on note dans ce cas que }}l'opposée de la transformée monolatérale inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> définie en <math>\;-t\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : pour un intervalle fixé <math>\;\color{transparent}{\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[}\;</math> il est donc essentiel de préciser le domaine <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on note dans ce cas que }}«<math>\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace_{\Re (p)\,<\,0}\!(t) =</math> <math>-Y(-t) = -\mathcal{L}_{+}^{-1}\!\left\lbrace \dfrac{1}{p} \right\rbrace(-t)\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace<ref name="Laplace" /> comme par exemple sa [[w:Transformation_inverse_de_Laplace#Méthodes_analytiques|méthode analytique de détermination]], mais nous n'en dirons rien car <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace comme par exemple sa méthode analytique de détermination, }}dépassant très largement le cadre de cet exposé <math>\;\ldots</math> == Quelques notions sur la transformation de Fourier, cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace, lien avec le développement en série de Fourier de fonctions réelles périodiques == === Définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable === {{Définition| titre = Transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable| contenu = {{Al|5}}Soit « une fonction réelle <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> intégrable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="intégrabilité d'une fonction"> L'intégrabilité de la fonction étant initialement définie au sens de Riemann <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Intégrabilité_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_réelle_au_sens_de_Riemann|intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, c.-à-d. applicable à toute fonction réelle bornée et presque partout continue. <br>{{Al|3}}'''[[w:Bernhard_Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann]] (1826 - 1866)''' mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration<math>\big)\;</math> et à la [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques utilisant les outils du [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] pour modéliser une [[w:Espace_de_Minkowski|courbure de l'espace-temps]]<math>\big)</math>.</ref>, nous appelons <br>{{Al|5}}« [[w:Transformation_de_Fourier|transformée de Fourier]] <ref name="Fourier" > '''[[w:Jean_Baptiste_Joseph_Fourier|Joseph Fourier]] (1768 – 1830)''' mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes <math>\;\big(</math>évoqués ici<math>\big)\;</math> et leur application au problème de la propagation de la chaleur <math>\ldots</math></ref> de la fonction <math>\;f(t)\;</math>» « la fonction complexe <math>\;\mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace =</math> <math>\widehat{f}\;</math> de la variable réelle <math>\;\omega\;</math>» définie selon <center>«<math>\;\widehat{f}(\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Pour les électroniciens « la variable <math>\;t\;</math> représente le temps » et « la variable <math>\;\omega\;</math> la pulsation usuellement remplacée par la variable <math>\;\nu = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> représentant la fréquence »<ref name="signification de fréquence négative"> Physiquement une fréquence <math>\;\big(</math>ou une pulsation<math>\big)\;</math> étant toujours positive, il conviendrait de donner une signification à une fréquence <math>\;\big(</math>ou une pulsation<math>\big)\;</math> négative ; quand on transforme <math>\;\exp(-i\,\omega\,t)\;</math> en <math>\;\cos(\omega\,t) - i\,\sin(\omega\,t)</math>, on constate que changer <math>\;\omega\;</math> en <math>\;-\omega\;</math> revient à conserver la composante harmonique paire et à changer la composante harmonique impaire en son opposée d'où une signification possible que nous ne développerons pas plus.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Pour les électroniciens }}la réécriture de l'expression de la « [[w:Transformation_de_Fourier#Conventions_alternatives|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> <math>\;\mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \widehat{f}\;</math> en fonction de <math>\;\nu\;</math>»<ref name="abus de notation sur fonction"> La valeur de la [[w:Transformation_de_Fourier|transformée de Fourier]] est la même que ce soit la variable <math>\;\omega\;</math> ou la variable <math>\;\nu\;</math> mais la fonction est évidemment différente ; par abus <math>\;\big(</math>et comme d'usage en physique<math>\big)\;</math> nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de <math>\;\mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \widehat{f}\;</math> quand la variable est <math>\;\nu</math>.</ref> <center>«<math>\;\widehat{f}(\nu) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Pour les électroniciens }}dans le but d'obtenir une symétrisation entre la [[w:Transformation_de_Fourier#Conventions_alternatives|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> <math>\;\mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \widehat{f}\;</math> exprimée en fonction de la pulsation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation entre }}sa [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformée de Fourier inverse]]<ref name="Fourier" /> <math>\;\mathcal{F}^{-1}\! \left\lbrace \widehat{f} \right\rbrace = f\;</math> exprimée en fonction de la pulsation <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation }}certains électroniciens normalisent <math>\;\mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \widehat{f}\;</math> selon «<math>\;\widehat{f}(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="conséquence du facteur multiplicatif dans transformée de Fourier"> Sans conséquence tant qu'on n'introduit pas le « [[w:Produit_de_convolution#Définition_du_produit_de_convolution|produit de convolution]] de deux fonctions », ce qu'on ne fera pas.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : La définition de la [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_pour_les_fonctions_intégrables|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> des fonctions [[w:Intégrabilité#Au_sens_de_Riemann|intégrables au sens de Riemann]] <ref name="Riemann"> '''[[w:Bernhard_Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann]] (1826 - 1866)''' mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration<math>\big)\;</math> et à la [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques utilisant les outils du [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] pour modéliser une [[w:Espace_de_Minkowski|courbure de l'espace-temps]]<math>\big)</math>.</ref> a été d'abord été étendue <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier }}aux fonctions [[w:Intégrale_de_Lebesgue#Intérêt_pratique_de_l'intégrale_de_Lebesgue|intégrables au sens de Lebesgue]] <ref name="Lebesque"> '''[[w:Henri-Léon_Lebesgue|Henri-Léon Lebesgue]] (1875 - 1941)''', mathématicien français, reconnu comme l'un des plus grands de la 1^ère moitié du XX^ème siècle, à qui on doit principalement sa [[w:Intégrale_de_Lebesgue#Intérêt_pratique_de_l'intégrale_de_Lebesgue|théorie d'intégration]] publiée en <math>\;1902\;</math> et associée à la notion de « [[w:Mesure_de_Lebesgue|mesure de Lebesgue]] » prolongeant le concept intuitif de volume.</ref> <math>\;\big\{</math>pour qu'une fonction réelle soit [[w:Intégrale_de_Lebesgue|Lebesgue-intégrable]] sur l'intervalle <math>\;\left[ a\,,\, b \right]\;</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>}}il suffit qu'elle soit bornée sur cet intervalle<ref> Il n'est donc pas nécessaire qu'elle soit continue par morceaux comme l'exige une fonction [[w:Intégrabilité#Au_sens_de_Riemann|Riemann-intégrable]].</ref><math>\big\}\;</math> et en particulier <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier }}aux fonctions de [[w:Carré_sommable|carré sommable]] dont l'intérêt s'est manifesté en physique quantique, extension due à Plancherel<ref name="Plancherel"> '''[[w:Michel_Plancherel|Michel Plancherel]] (1885 - 1967)''' mathématicien suisse, à qui on doit essentiellement des travaux en [[w:Analyse_harmonique_(mathématiques)|analyse harmonique]] dont le [[w:Théorème_de_Plancherel|théorème de Plancherel]] étendant la transformée de Fourier aux fonctions de [[w:Carré_sommable|carré sommable]].</ref> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier }}aux [[w:Distribution tempérée#Exemples de distributions tempérées|distributions tempérées]] <ref name="distribution tempérée"> Un exemple de [[w:Distribution tempérée#Exemples de distributions tempérées|distribution tempérée]] est une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] à [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] compact <math>\;\big(</math>le [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support d'une distribution]] étant le plus petit fermé en dehors duquel la [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]] est nulle, ce [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts<math>\big)</math>, le pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\delta(t)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ayant pour [[w:Support_de_fonction#Définition_3|support]] le singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace</math>, évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, est une [[w:Distribution tempérée#Exemples de distributions tempérées|distribution tempérée]], on peut donc définir la [[w:Transformation_de_Fourier|transformée de Fourier]] du pic de Dirac d'impulsion unité.</ref>, [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie de la distribution]] due à Schwartz<ref name="Schwartz"> '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]] (1915 - 2002)''' mathématicien français du XX^ème siècle qui reçut la médaille Fields en <math>\;1950</math>, pour la finalisation de la [[w:Distribution_(mathématiques)|théorie des distributions]] <math>\;\big[</math>initiée par '''[[w:Paul_Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]] (1902 - 1984)''' physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1933</math>, à qui on doit des avancées cruciales dans le domaine de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] et de la [[w:Physique_quantique|physique quantique]] des atomes, et qui, pour les besoins du formalisme quantique, inventa la notion, sans fondement mathématique précis, de [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}outre un très grand mathématicien, '''[[w:Laurent_Schwartz_(mathématicien)|Laurent Schwartz]]''' fut un ardent défenseur des droits de l'homme, dénonçant la torture pratiquée pendant la guerre d'Algérie, ayant été l'un des fondateurs du comité {{Nobr|“ Maurice}} Audin ” <math>\;\big[</math>'''[[w:Maurice_Audin|Maurice Audin]] (1932 - 1957)''' mathématicien français, militant de l'indépendance algérienne, arrêté par les militaires français le '''11 juin 1957''' pendant la bataille d'Alger et maintenu en détention pour être interrogé par des parachutistes<math>\big]</math>, ayant organisé la soutenance de thèse de '''Maurice Audin''' en l'absence de ce dernier dans le grand amphithéâtre de la Sorbonne en '''décembre 1957''', alors que le chercheur et militant anti-colonialiste avait disparu depuis '''juin 1957''' et, apprit-on plus tard, était mort sous la torture lors de sa détention ; <br>{{Al|3}}ses positions hostiles à la guerre d'Algérie et plus généralement à la colonisation lui valurent quelques déboires dans sa vie professionnelle.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Si la fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> est « causale »<ref name="causale" /> et intégrable sur <math>\;\mathbb{R}_{+}\;</math><ref name="réel positif ou nul"> L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté <math>\;\mathbb{R}^{+}\;</math> mais les mathématiciens utilisent <math>\;\mathbb{R}_{+}</math>.</ref>{{,}}<ref name="sens des distributions - bis"> Dans le cas d'une [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]], l'intégration doit être faite au sens des [[w:Distribution_(mathématiques)|distributions]].</ref>, la [[w:Transformation_de_Fourier|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> se simplifie en <center>«<math>\;\widehat{f}(\omega) = \displaystyle\int_{0^{-}}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> si <math>\;f(t)\;</math> est « causale »<ref name="causale" />.</center> === La transformation de Fourier, un cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace === {{Al|5}}« Une fonction réelle <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> qui admet une [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformation de Fourier]] »<ref name="Fourier" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Une fonction réelle <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}« étant intégrable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math><ref name="intégrabilité d'une fonction" /> l'est aussi au <math>\;\mathcal{V}(0)\;</math>»<ref name="voisinage de 0"> C.-à-d. au voisinage de <math>\;0</math>, la « condition d'existence de <math>\;\displaystyle\int_0^\varepsilon f(t)\;dt\;</math> <math>\;\big[\varepsilon\;\in\;\mathcal{V}(0)\big]\;</math>» est «<math>\;\exist\; \gamma\, \in\, \left ] 0\,; 1\right[\;</math> tels que <math>\;\lim\limits_{t\, \rightarrow\, 0} \left[ t^\gamma \;\vert f(t) \vert \right] = 0\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]] de la fonction <math>\;f(t) = \dfrac{1}{t}\;</math> puisqu'elle ne respecte pas cette condition.</ref> en étant « d'ordres exponentiels <math>\;0\,,\,0\;</math>»<ref> C.-à-d. que <math>\;\exist\; M > 0\;</math> tels que <math>\;\forall \beta \geqslant 0,\;\vert \exp\! \left( -\beta\;t \right)\;f(t) \vert < \vert f(t) \vert < M,\;\forall \tau > 0\;\text{et}\;\forall t > \tau</math> assurant que la fonction est d'ordre exponentiel <math>\;0\;</math> du côté de <math>\;+\infty\;</math> d'une part et<br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. que }}<math>\;\exist\; M' > 0\;</math> tels que <math>\;\forall \beta \leqslant 0,\;\vert \exp\! \left( - \beta\;t \right)\;f(t) \vert < \vert f(t) \vert < M',\;\forall \tau' > 0\;\text{et}\;\forall t < -\tau'</math> assurant que la fonction est d'ordre exponentiel <math>\;0\;</math> du côté de <math>\;-\infty\;</math> d'autre part.</ref> et par conséquent <br>{{Al|5}}« cette fonction admet une [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> avec un intervalle de convergence se réduisant au singleton <math>\;\left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math>» soit <center>«<math>\;\mathcal{L}\! \left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> pour <math>\;\Re (p) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p\;</math> peut être réécrit sous la forme <math>\;p = i\;\omega\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en conclusion la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> «<math>\;\mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \widehat{f}\;</math> avec <math>\;\widehat{f}(\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> de la fonction réelle <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> s'identifie à <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion }}la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathcal{L}\! \left\lbrace f \right\rbrace = F\;</math> avec <math>\;F(p) = \left[ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\! \left( -p\;t \right)\;f(t)\,dt \right]_{\Re (p)\,=\,0}\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> pour <math>\;p\,\in\,i \mathbb{R}\;</math>» de la fonction réelle <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> ou <center>« en posant <math>\;p = i\;\omega\;</math>» «<math>\;\widehat{f}(\omega) = F(i\;\omega)\;</math>» avec «<math>\;\widehat{f} = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;F = \mathcal{L}\! \left\lbrace f \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Si on définit la [[w:Transformation_de_Fourier#Conventions_alternatives|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> «<math>\;\widehat{f} = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace\;</math>» sous forme normalisée selon «<math>\;\widehat{f}(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, son lien avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Si on définit }}la [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> «<math>\;F = \mathcal{L}\! \left\lbrace f \right\rbrace\;</math>» s'écrit «<math>\;\widehat{f}(\omega) = \dfrac{F(i\;\omega)}{\sqrt{2\;\pi}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : on peut trouver un lien entre la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> «<math>\;\widehat{f} = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace\;</math>» de la fonction <math>\;f\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre }}les [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformées monolatérales de Laplace]]<ref name="Laplace" /> de fonctions construites à partir de <math>\;f\;</math> en décomposant la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> en deux intégrales selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier }}«<math>\;\widehat{f}(\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{0} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt + \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier }}<math>\succ\;</math>la 2^ème intégrale «<math>\;\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> étant la [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f^{+} \right\rbrace\;</math> de <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la 2^ème intégrale «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt}\;</math>» étant }}la « fonction à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] positif <math>\;f^{+}(t) = \left\lbrace\begin{array}{l} f(t)\;\text{pour}\;t \geqslant 0\\0\quad\;\,\text{pour}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la 2^ème intégrale «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t) \right\rbrace \left[ p \right] = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f^{+}(t)\;\exp\! \left( -p\;t \right)\,dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> pour <math>\;\Re(p) = 0\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier }}<math>\succ\;</math>la 1^ère intégrale «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{0} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> se réécrivant, avec <math>\;t' = -t</math>, selon «<math>\;\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(-t')\;\exp\! \left( i\;\omega\;t' \right)\,dt'\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la 1^ère intégrale }}étant la conjuguée de la [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <math>\;\mathcal{L}_{+}^{\,*}\!\left\lbrace f^{-} \right\rbrace\;</math><ref name="notation physique du conjugué d'un complexe"> Voir la notation utilisée en physique du « conjugué du complexe <math>\;\underline{z}\;</math> à savoir <math>\;\underline{z}^{*}\;</math>» dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Notion_de_complexe_conjugué|notion de complexe conjugué]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>on rappelle que, dans le présent chapitre, un complexe est noté, quand il n'y a pas d'ambiguïté, sans soulignement dans le but de simplifier l'écriture<math>\big]</math>.</ref> de <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la 1^ère intégrale étant la conjuguée de }}la « fonction à [[w:Support_de_fonction#Définition|support]] positif <math>\;f^{-}(t') = \left\lbrace\begin{array}{l} f(-t')\;\text{pour}\;t' \geqslant 0\\0\qquad\;\,\text{pour}\;t' < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la 1^ère intégrale }}«<math>\;\left\lbrace \mathcal{L}_{+}\!\left[ f^{-}(t') \right] \left( p \right) \right\rbrace^{*} = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f^{-}(t')\;\exp\! \left( -p^{*}\;t' \right)\,dt'\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" />{{,}}<ref> La [[w:Transformation_de_Laplace#Définition|transformée monolatérale de Laplace]] de <math>\;f^{-}(t')\;</math> étant «<math>\;\mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t') \right\rbrace \left[ p \right] = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f^{-}(t')\;\exp\! \left( -p\;t' \right)\,dt'\;</math> pour <math>\;\Re(p) = 0\;</math>».</ref> pour <math>\;\Re(p) = 0\;</math>» d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier }}<math>\succ\;</math>la réécriture de la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> «<math>\;\widehat{f} = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace\;</math>» de la fonction <math>\;f\;</math> selon <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la réécriture de la transformée de Fourier }}«<math>\;\mathcal{F}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace \left[ \omega \right] = \mathcal{L}_{+}\!\left[ f^{+}(t) \right] \left( p \right) + \left\lbrace \mathcal{L}_{+}\!\left[ f^{-}(t) \right] \left( p \right) \right\rbrace^{*}\;</math> pour <math>\;\Re(p) = 0\;</math>»<ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la réécriture de la transformée de Fourier }}avec «<math>\;f^{+}(t) = \left\lbrace\begin{array}{l} f(t)\;\text{pour}\;t \geqslant 0\\0\quad\;\,\text{pour}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» et «<math>\;f^{-}(t) = \left\lbrace\begin{array}{l} f(-t)\;\text{pour}\;t \geqslant 0\\0\qquad\;\text{pour}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la réécriture de la transformée de Fourier }}ou «<math>\;\mathcal{F}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace \left[ \omega \right] = \mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t) \right\rbrace \left[ i\,\omega \right] + \mathcal{L}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t) \right\rbrace \left[ -i\,\omega \right]\;</math>» <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la réécriture de la transformée de Fourier }}avec «<math>\;f^{+}(t) = \left\lbrace\begin{array}{l} f(t)\;\text{pour}\;t \geqslant 0\\0\quad\;\,\text{pour}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» et «<math>\;f^{-}(t) = \left\lbrace\begin{array}{l} f(-t)\;\text{pour}\;t \geqslant 0\\0\qquad\;\text{pour}\;t < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : « Si la fonction réelle <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> admet une [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> <math>\;\widehat{f} = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque 3 : « Si la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> admet }}« cette dernière est un cas particulier de [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <math>\;F = \mathcal{L}\! \left\lbrace f \right\rbrace\;</math> de cette même fonction <math>\;f(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : « Si la fonction réelle <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> admet }}mais la réciproque est, a priori, fausse en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}« une fonction réelle <math>\;g(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> admettant une [[w:Transformation_bilatérale_de_Laplace#Définition|transformée bilatérale de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <math>\;G = \mathcal{L}\! \left\lbrace g \right\rbrace\;</math> avec un intervalle de convergence <math>\;\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[\;\cancel{\ni}\;0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : « une fonction réelle <math>\;\color{transparent}{g(t)}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}n'admet pas de [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> car <math>\;\mathcal{L}\!\left\lbrace g(t) \right\rbrace\!\left[ p \right] = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> diverge pour <math>\;\Re(p) = 0 \;\cancel{\in}\;\left] \alpha_1\,,\,\alpha_2 \right[\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque 3 : « une fonction réelle <math>\;\color{transparent}{g(t)}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> n'admet pas de transformée de Fourier car }}<math>\;\mathcal{F}\!\left\lbrace g(t) \right\rbrace\!\left[ \omega \right] = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-i\;\omega\,t)\;g(t)\;dt\;</math><ref name="intégrale généralisée" /> diverge également. === Transformée de Fourier inverse === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une fonction réelle <math>\;f\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> intégrable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> admet pour « [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> une fonction complexe <math>\;\widehat{f}\;</math> de la variable réelle <math>\;\omega</math>, <u>à symétrie hermitienne</u> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Préliminaire : Une fonction réelle <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> intégrable sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe <math>\;\color{transparent}{\widehat{f}}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{\omega}</math>, }}<math>\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math>»<ref name="symétrie hermitienne au sens des électroniciens"> <br>{{Al|3}}Une fonction complexe <math>\;\underline{F}\;</math> d'une variable réelle <math>\;\xi\;</math> est « à symétrie hermitienne <math>\;\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math>» « si <math>\;\underline{F}(-\xi) = \left[ \underline{F}(\xi) \right]^{*}\;</math> avec <math>\;\left[ \underline{F}(\xi) \right]^{*}\;</math> conjugué de <math>\;\underline{F}(\xi)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}il s'agit d'un prolongement des électroniciens de la notion « symétrie hermitienne » d'une [[w:Forme_sesquilinéaire#Formes_sesquilinéaires|forme sesquilinéaire]] <math>\;\underline{f} \left(\;,\; \right)</math> <math>\;\Bigg[</math>appliquant <math>\;H^2</math> <math>\;\big(</math>où <math>\;H\;</math> est un <math>\;\mathbb{C}-</math>espace vectoriel<math>\big)\;</math> dans <math>\;\mathbb{C}\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{f} \left( x + \underline{\lambda}\;x'\,,\, y \right) = \underline{f} \left( x \,,\, y \right) + \underline{\lambda}^{*}\;\underline{f} \left( x' \,,\, y \right) \\ \underline{f} \left( x \,,\, y + \underline{\mu}\;y' \right) = \underline{f} \left( x \,,\, y \right) + \underline{\mu}\;\underline{f} \left( x \,,\, y' \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> si [[w:Forme_sesquilinéaire#Formes_sesquilinéaires|sesquilinéaire]] à gauche<math>\Bigg]\;</math> cette dernière étant [[w:Forme_sesquilinéaire#Formes_hermitiennes|à symétrie hermitienne]] si <math>\;\underline{f}( y\,,\, x) = \left[ \underline{f}( x\,,\, y) \right]^{*}\!</math>, <br>{{Transparent|il s'agit d'un }}le prolongement de la « symétrie hermitienne » à la fonction complexe <math>\;\underline{F}\;</math> de la variable réelle <math>\;\xi\;</math> traduisant que <math>\;\underline{F}\;</math> est de « module pair <math>\;\vert \underline{F}(-\xi) \vert = \vert \underline{F}(\xi) \vert\;</math>» et d'« argument impair <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{F}(-\xi) \right]</math> <math>= -\mathrm{arg}\! \left[ \underline{F}(\xi) \right]\;</math>», ce qui n'a qu'un rapport lointain avec la « symétrie hermitienne » d'une [[w:Forme_sesquilinéaire#Formes_sesquilinéaires|forme sesquilinéaire]] d'où l'ajout « au sens des électroniciens ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles_Hermite|Charles Hermite]] (1822 - 1901)''' mathématicien français connu pour ses travaux sur la [[w:Théorie_des_nombres|théorie des nombres]], les [[w:Forme_quadratique|formes quadratiques]], les [[w:Polynômes_orthogonaux|polynômes othogonaux]], les [[w:Fonction_elliptique|fonctions elliptiques]] et les [[w:Équations_différentielles|équations différentielles]], il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Préliminaire : Une fonction réelle <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> intégrable sur <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe }}«<math>\;\widehat{f}(\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}«<math>\;\widehat{f}(-\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp(i\,\omega\,t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> se réécrit, en posant <math>\;t' = -t</math>, «<math>\;\widehat{f}(-\omega) = \displaystyle\int_{+\infty}^{-\infty} -f(-t')\;\exp(-i\,\omega\,t')\;dt' = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(-t')\;\exp(-i\,\omega\,t')\;dt'\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Préliminaire : «<math>\;\color{transparent}{\widehat{f}(-\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp(i\,\omega\,t)\;dt}\;</math>» se réécrit, en posant <math>\;\color{transparent}{t' = -t}</math>, }}dont le conjugué est «<math>\;\left[ \widehat{f}(-\omega) \right]^{*}\;</math><ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> <math>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(-t')\;\exp(i\,\omega\,t')\;dt'\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> lequel se réécrit, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Préliminaire : «<math>\;\color{transparent}{\widehat{f}(-\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp(i\,\omega\,t)\;dt}\;</math>» se réécrit, }}en revenant à <math>\;t = -t'</math>, «<math>\;\left[ \widehat{f}(-\omega) \right]^{*}\;</math><ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> <math>= \displaystyle\int_{+\infty}^{-\infty} f(t)\;\exp(-i\,\omega\,t)\;(-dt) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp(-i\,\omega\,t)\;dt = \widehat{f}(\omega)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> d'une fonction réelle est effectivement <u>à symétrie hermitienne</u> <math>\;\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math><ref name="symétrie hermitienne au sens des électroniciens" />. ==== Définition de la transformée de Fourier inverse (sous condition d'existence) d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle ==== {{Définition| titre= Transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe holomorphe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle |contenu = {{Al|5}}La « [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformée de Fourier inverse]]<ref name="Fourier" /> de la fonction complexe <math>\;\widehat{f}(\omega)\;</math> de la variable réelle <math>\;\omega</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La « transformée de Fourier inverse de la fonction complexe <math>\;\color{transparent}{\widehat{f}(\omega)}\;</math> }}à symétrie hermitienne <math>\;\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math><ref name="symétrie hermitienne au sens des électroniciens" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La « transformée de Fourier inverse de la fonction complexe <math>\;\color{transparent}{\widehat{f}(\omega)}\;</math> }}[[w:Fonction_holomorphe#Définition|holomorphe]] sur son domaine de définition » <br>{{Al|11}}{{Transparent|La « transformée de Fourier inverse }}est, sous condition d'existence, la « fonction réelle <math>\;f(t)\;</math> de la variable réelle <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La « transformée de Fourier inverse est, sous condition d'existence, la « fonction réelle <math>\;\color{transparent}{f(t)}\;</math> }}intégrable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>» telle que <center>«<math>\;\mathcal{F}\!\left\lbrace f(t) \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-i\,\omega\,t)\;f(t)\;dt = \widehat{f}(\omega)\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> On peut dire encore que <math>\;f(t)\;</math> est l'« originale de <math>\;\widehat{f}(\omega)\;</math>» par [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformation de Fourier]], même si cet emploi est peu utilisé.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La définition de la [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformée de Fourier inverse]]<ref name="Fourier" /> d'une fonction complexe d'une variable réelle à symétrie hermitienne <math>\;\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math><ref name="symétrie hermitienne au sens des électroniciens" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe d'une variable réelle }}[[w:Fonction_holomorphe#Définition|holomorphe]] sur le domaine de définition de la fonction complexe, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse }}correspondant initialement à une fonction réelle intégrable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math><ref name="différents types d'intégrabilité"> Fonction « [[w:Intégrabilité#Au_sens_de_Riemann|Riemann-intégrable]] » ou « [[w:Intégrale_de_Lebesgue|Lebesgue-intégrable]] » ou « à [[w:Carré_sommable|carré sommable]] », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Transformées_bilatérales_de_Laplace_directes_et_inverses,_cas_particulier_des_transformées_de_Fourier#Définition_de_la_transformée_de_Fourier_d'une_fonction_réelle_d'une_variable_réelle_intégrable|définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'un variable réelle intégrable]] (remarque 2) » plus haut dans ce chapitre.</ref> est prolongée en tant que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse correspondant initialement à une }}[[w:Distribution tempérée#Exemples de distributions tempérées|distribution tempérée]]<ref name="distribution tempérée" /> <math>\;\big(</math>sous réserve d'existence bien sûr<math>\big)</math>. ==== Expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité ==== {{Al|5}}« Si la fonction complexe <math>\;\widehat{f}\;</math> de la variable réelle <math>\;\omega\;</math> à symétrie hermitienne <math>\;\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math><ref name="symétrie hermitienne au sens des électroniciens" /> et [[w:Fonction_holomorphe#Définition|holomorphe]] sur son domaine de définition » <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Si la fonction complexe <math>\;\color{transparent}{\widehat{f}}\;</math> de la variable réelle <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math> }}est « la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> d'une fonction réelle <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> intégrable sur <math>\;\mathbb{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}« si <math>\;\widehat{f}(\omega)\;</math> est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule de « [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformation de Fourier inverse]]<ref name="Fourier" /> <math>\;\mathcal{F}^{-1}\!\left\lbrace \right\rbrace\;</math>» appliquée à <math>\;\widehat{f}(\omega)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« si <math>\;\color{transparent}{\widehat{f}(\omega)}\;</math> est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule }}permettant <math>\;\big(</math>sous conditions appropriées<math>\big)\;</math> de retrouver l'originale <math>\;f(t)\;</math> à partir de <math>\;\widehat{f}(\omega)</math> : <center>«<math>\;f(t) = \mathcal{F}^{-1}\! \left\lbrace \widehat{f} \right\rbrace = \dfrac{1}{2\,\pi}\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\omega)\;\exp(i\;\omega\;t)\;d \omega\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\widehat{f}(\omega) = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp(-i\;\omega\;t)\;dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Pour les électroniciens « la variable <math>\;t\;</math> représente le temps » et « la variable <math>\;\omega\;</math> la pulsation qu'ils préfèrent usuellement remplacer par la fréquence <math>\;\nu = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math>»<ref name="signification de fréquence négative" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Pour les électroniciens }}la réécriture de l'expression de la « [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformée de Fourier inverse]]<ref name="Fourier" /> <math>\;\mathcal{F}^{-1}\! \left\lbrace \widehat{f} \right\rbrace = f\;</math> en fonction de <math>\;\nu\;</math>»<ref name="abus de notation sur fonction - bis"> La valeur de la [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformée de Fourier inverse]] est la même que ce soit la variable <math>\;\omega\;</math> ou la variable <math>\;\nu\;</math> mais la fonction est évidemment différente ; par abus <math>\;\big(</math>et comme d'usage en physique<math>\big)\;</math> nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de <math>\;\mathcal{F}^{-1}\! \left\lbrace \widehat{f} \right\rbrace = f\;</math> quand la variable est <math>\;\nu</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Pour les électroniciens }}«<math>\;f(t) = \mathcal{F}^{-1}\! \left\lbrace \widehat{f} \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,d \nu\;</math>»<ref> En effet <math>\;\nu = \dfrac{\omega}{2\,\pi}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d \nu = \dfrac{d \omega}{2\,\pi}</math>.</ref>{{,}}<ref name="intégrale généralisée" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\widehat{f}(\nu) = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Pour les électroniciens }}l'utilisation de la variable <math>\;\nu\;</math> ayant pour conséquence une symétrisation entre [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformées de Fourier directe]]<ref name="Fourier" /> [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|inverse]] ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}pour obtenir une symétrisation entre [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformées de Fourier directe]]<ref name="Fourier" /> et [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|inverse]] en utilisant la variable <math>\;\omega</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation }}certains électroniciens normalisent la 1^ère en introduisant un facteur <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}</math>, soit «<math>\;\widehat{f}(\omega) = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="conséquence du facteur multiplicatif dans transformée de Fourier" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation }}on retrouve alors ce même facteur dans l'expression de la [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformée de Fourier inverse]]<ref name="Fourier" /> «<math>\;f(t) = \mathcal{F}^{-1}\! \left\lbrace \widehat{f} \right\rbrace = \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\omega)\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)\,d \omega\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> <center>d'où «<math>\;\widehat{f}(\omega) = \mathcal{F}\! \left\lbrace f \right\rbrace = \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;\omega\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="conséquence du facteur multiplicatif dans transformée de Fourier" /> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;f(t) = \mathcal{F}^{-1}\! \left\lbrace \widehat{f} \right\rbrace = \dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\omega)\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)\,d \omega\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : La notion de fréquence <math>\;\nu < 0\;</math> n'ayant pas de signification physique alors que la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> d'une fonction <math>\;\big(</math>ou [[w:Distribution_(mathématiques)|distribution]]<math>\big)\;</math> réelle <math>\;f\;</math> de la variable réelle <math>\;t\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier }}est définie pour toute valeur de <math>\;\nu\, \in\, \mathbb{R}\;</math> selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier est définie }}«<math>\;\widehat{f}(\nu) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left( -i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,dt\;</math>»<ref name="abus de notation sur fonction" />{{,}}<ref name="intégrale généralisée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique }}la propriété de symétrie hermitienne <math>\;\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math><ref name="symétrie hermitienne au sens des électroniciens" /> de <math>\;\widehat{f}(\nu)\;</math> soit «<math>\;\widehat{f}(-\nu) = \left[ \widehat{f}(\nu) \right]^{*}\;</math>»<ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique la propriété }}nous permet de réécrire l'expression de la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> inverse <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;\widehat{f}(\nu)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique la propriété nous permet de réécrire }}en utilisant uniquement les fréquences <math>\;\nu \geqslant 0</math>, en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique }}l'expression de la [[w:Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|transformée de Fourier inverse]]<ref name="Fourier" /> de <math>\;\widehat{f}(\nu)\;</math> s'écrivant «<math>\;f(t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,d \nu\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique l'expression de la transformée de Fourier inverse de <math>\;\color{transparent}{\widehat{f}(\nu)}\;</math> s'écrivant }}<math>\big(</math>voir remarque 1 ci-dessus<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique l'expression }}se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'une sur les fréquences <math>\;\leqslant 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, }}l'autre sur les fréquences <math>\;\geqslant 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose }}selon «<math>\;f(t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \widehat{f}(\nu')\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu'\;t \right)\,d \nu' + \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,d \nu\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique }}la 1^ère intégrale généralisée «<math>\;\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \widehat{f}(\nu')\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu'\;t \right)\,d \nu'\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> se transformant en posant <math>\;\nu = -\nu'\;</math> suivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée }}«<math>\;-\displaystyle\int_{+\infty}^{0} \widehat{f}(-\nu)\;\exp\! \left( -i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,d \nu = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \widehat{f}(-\nu)\;\exp\! \left( -i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,d \nu\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée }}avec la propriété de symétrie hermitienne <math>\;\big(</math>au sens des électroniciens<math>\big)\;</math><ref name="symétrie hermitienne au sens des électroniciens" /> de <math>\;\widehat{f}(\nu)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée avec la propriété }}«<math>\;\widehat{f}(-\nu) = \left[ \widehat{f}(\nu) \right]^{*}\;</math>»<ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> cette 1^ère intégrale généralisée se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée }}«<math>\; \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \left[ \widehat{f}(\nu) \right]^{*}\,\exp\! \left( -i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,d \nu = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \left[ \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right) \right]^{*}\,d \nu\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification phys }}d'où la réécriture de l'expression de la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> inverse <math>\;f(t)\;</math> de <math>\;\widehat{f}(\nu)\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique }}«<math>\;f(t) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \left[ \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right) \right]^{*}\,d \nu + \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right)\,d \nu\;</math><ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique «<math>\;\color{transparent}{f(t)}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \left\lbrace \left[ \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right) \right]^{*} + \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right) \right\rbrace\,d \nu\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref name="notation physique du conjugué d'un complexe" /> ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : La notion de fréquence <math>\;\color{transparent}{\nu < 0}\;</math> n'ayant pas de signification physique }}«<math>\;f(t) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} 2\;\Re\! \left[ \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left( i\;2\,\pi\;\nu\;t \right) \right]\,d \nu\;</math>»<ref name="intégrale généralisée" />{{,}}<ref> En effet l'intégrande <math>\;\big(</math>c.-à-d. la fonction à intégrer<math>\big)\;</math> de la dernière intégrale généralisée étant la somme d'un complexe <math>\;\underline{z}\;</math> et de son conjugué <math>\;\underline{z}^{*}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\underline{z}^{*} + \underline{z} = 2\;\Re(\underline{z})\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Notion_de_complexe_conjugué|notion de complexe conjugué]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. === Lien entre transformée de Fourier d'une fonction réelle et développement en série de Fourier quand cette fonction réelle est périodique === <center>Tableau comparatif entre [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> d'une fonction réelle et 3^ème développement en série de Fourier<ref name="Fourier" /> d'une fonction réelle périodique<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Troisième_développement_en_série_de_Fourier|3^ème développement en série de Fourier]] d'une fonction réelle périodique » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> :</center> {| class="wikitable" | align="center" width=600" | Expression d'une fonction réelle à l'aide de sa [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> et <br>évaluation de la [[w:Transformation_de_Fourier#Définition|transformée de Fourier]]<ref name="Fourier" /> relativement à la fonction réelle | align="center" width="600"| 3^ème développement en série de Fourier<ref name="Fourier" /> d'une fonction réelle périodique et <br>évaluation des cœfficients du développement à l'aide de la fonction réelle |- | align="center" | <math>\;f(t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\nu)\;\exp\! \left(i\, 2\, \pi\, \nu\, t \right) d \nu\;</math> <br><math>\;f(t)\;</math> étant une fonction réelle intégrable ainsi que <math>\;\widehat{f}(\nu)</math> ;<br> on ajoute les composantes élémentaires <math>\;\widehat{f}(\nu)\,\exp\! \left(i\, 2\, \pi\, \nu\, t \right)\,d \nu\,</math> <br>en intégrant sur la fréquence généralisée de <math>\;-\infty\;</math> à <math>\;+\infty</math> ; | align="center" | <math>\;f(t) = \sum\limits_{n\; \in\; \mathbb{Z}}^{-\infty\, \text{à}\, +\infty} \left[ \underline{C'}_n\, \exp(i\, 2\, \pi\, n\, \nu\, t) \right]\;</math> <br><math>\;f(t)\;</math> étant une fonction réelle <math>\;T</math>-périodique ; <br> on ajoute tous les harmoniques généralisés de fréquence généralisée <math>\;n\,\nu\;</math> <br>pour <math>\;n\;</math> entier relatif de <math>\;-\infty\;</math> à <math>\;+\infty</math> ; |- | align="center" | <math>\;\widehat{f}(\nu) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\exp\! \left(-i\, 2\, \pi\, \nu\, t \right) dt</math> ;<br> on ajoute toutes les grandeurs élémentaires <math>\;f(t)\;\exp\! \left(-i\, 2\, \pi\, \nu\, t \right) dt\;</math> <br>en intégrant sur <math>\;t\;</math> de <math>\;-\infty\;</math> à <math>\;+\infty</math> ; | align="center" | <math>\;\underline{C'}_n = \dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T f(t)\, \exp(-i\, 2\, \pi\, n\, \nu\, t)\, dt</math> ; <br>on ajoute toutes les grandeurs élémentaires <math>\;f(t)\;\exp\! \left(-i\, 2\, \pi\, n\,\nu\, t \right) dt\;</math> <br>en intégrant sur <math>\;t\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;T\;</math> et en divisant par <math>\;T</math> ; |- | align="center" | <math>\;\vert \widehat{f}(\nu) \vert</math> représentée en fonction de <math>\;\nu\,\in\,\mathbb{R}\;</math> définit un spectre d'amplitude du signal <br> et ce spectre est continu ; | align="center" | <math>\;\vert \underline{C'}_n \vert</math> représentée en fonction de <math>\;n\,\nu\;(n\,\in\,\mathbb{Z})\;</math> définit un spectre d'amplitude du signal <br> et ce spectre est discret. |} == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Changement de référentiels|Changement de référentiels]] | 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Dans une moindre mesure, les alternances peuvent s’appliquer également à des noms impersonnels, bien que cela ne soit pas pris en compte dans les spécifications visées en dehors de la colonne dédiée à l'ostentatoire inanimée. __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {| class="wikitable" |+Proposition d'équivalences suffixales coordonnées ! colspan="3" |Alternances allusives ! colspan="5" |Extensions ostentatoires ! rowspan="2" |Exemples |- !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Ambigu !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Équivoque !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Isonèphe ''ou'' Pannébulleux !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | '''Allophène'''<ref group="N">Colonne construite autour de la proposition exogène répandue ''iel,'' dont est tiré l’affixe ''-iẽl-'' avec un tilde renforçant le soin pris à éviter les collisions lexicales, et par suite via des cas où l’altération consonantique vers ''-iẽr-'' était cohésive à l’usage, extraction de -iẽ- comme morphe autonome.</ref> ! style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Arrhénophène<ref group="N">Construit sur -ì-.</ref> !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Générique<ref group="N">Colonne construite autour de ''-ā-''.</ref> !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Inanimé<ref group="N">Colonne construite autour de ''-ǫ-'' en priorité, avec ogonek évitant tout risque d’homographie.</ref> ! style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | '''Thélyphène'''<ref group="N">Colonne construite autour de la lettre ''u''. Emploi de -û- lorsque que la prononciation donne /y/ et de ú pour /u/. </ref> |- | -oise | -ois | -ense -isque -ose -oẏse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫïse | -ûse |une villageoise, un villageois, des villagences ou des villagisques ou des villageoses, iẽne villagiẽse, úne villageûse, āne villageāse, ǫne villageǫrze, ine villageìse |- | colspan="3" | -ose | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫïse | -ûse |une virtuose, un virtuose, des virtuoses, iẽne virtuiẽse, úne virtuûse, āne virtuāse, ǫne virtuǫrze, ine virtuìse |- | -ise | -is | -èse | -iẽse | -uìse | -āse | -ǫse | -ûse |une marquise, un marquis, ẏņ marquèse, ẽņ marquiẽse, ìņ marcuìse, marquāse, marquǫse, úņ marcûse |- | colspan="3" | -a | -iẽre | -uìre | -iāstre | -iǫre | -iúre | |- | -a | -o | -urde -urge -urle -urne | -ẽ | -ì | -ãrque -ãrse -iãstre | -ǫire -iǫre | -û | |- | colspan="3" | -urge | -iẽrge | -ìrge | -ārge | -ǫrge | -úrge |une thaumaturge, un thaumaturge, des thaumaturges, iẽņ thaumatiẽrge, ìņ thaumatìrge, āņ thaumatārge, ǫņ thaumatǫrge, úņ thaumatúrge |- | -ière | -ier | -iage -iataire -iesque -iurge | -ẽre | -uìre -ìre | -iāre | -iǫre | -iúre |une aventurière, un aventurier, ẏņ aventuriurge, iẽne aventurẽre, ine aventurìure, āne aventuriāre, ǫne aventuriǫre, úne aventuriúre |- | -ière | -ier | -iurge | -ẽre | -ìre | -iāre | -iǫre | -iúre |une pionnière, un pionnier, ẏņ pionniurge, ẽņ pionnẽre, ìņ pionnìre, āņ pionniāre, ǫņ pionniǫre, úņ pionniúre |- | -ière | -ier | -iêtre | -iẽstre | -ìstre | -iāstre | -iǫstre | -iûstre | |- | colspan="3" | -gore | -guẽre | -guìre | -gāre | -gǫr | -gûre |une égrégore, un égrégore, quelque égrégore |- | colspan="3" | -ierge | -iẽlge | -uìrge | -iārge | -iǫrge | -iûrge |<blockquote>une concierge, un concierge, des concierge</blockquote> |- | colspan="3" | -ier | -ẽre | -uìre | -iāre | -iǫre | -iúre |<blockquote>une Bélier, un Bélier, des Béliers, iẽne Béliẽre, úne Béliúre, āne Béliāre, ǫne Béliǫre, ine Béluìre</blockquote> |- | -ère | -er | -age -ataire -esque -urge | -ẽge -ẽrge -iẽsque | -ìge -ìre -ìrge -ìsque | -āge -āre -ārge -ārste -āsque | -ǫge -ǫre -ǫrge -ǫsque | -ûge -úre -úrge -ûsque |une conseillère, un conseiller, ẏņ conseillurge , iẽņ conseilliẽrge, úņ conseillúre, āņ conseillārste, ǫņ conseillǫre, ìņ conseillìre |- | colspan="3" | -er (/e/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |<blockquote>une usager, un usager, des usager, iẽne usagiẽre, úne usageúre, āne usageāre, ǫne usageǫre, ine usagìre</blockquote> |- | colspan="3" | -er (/œʁ/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |<blockquote>une afrikander, un afrikander, des afrikanders</blockquote> |- | colspan="3" | -er (/ɛʁ/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une reporter, un reporter, ẏņ reporter, ẽņ reportiẽre, ìņ reportìre, āņ reportāre, ǫņ reportǫre, úņ reportúre |- | colspan="3" | -erc | -éẽrc (/e.ɛʁ/) | -éìrc | -éārc | -éǫrc | -éûrc |<blockquote>une clerc, un clerc, des clercs, cléẽrc,  cléûrc, cléārc, cléǫrc, cléìrc</blockquote> |- | colspan="3" | -erne | -erniẽme | -ernìme | -ernāme | -ernǫme | -ernûme | |- | -erte | -ert | ''-arcte'' -ertaire |<nowiki>-ertiẽre</nowiki> | -ertìre | -ertāre | -ertǫre | -ertúre |''experte, expert, esparcte'' ou ''exparcte, expertaire, expertiẽre, expertìre, expertāre, expertǫre, expertúre'' |- | -erte | -ert | -erde | -iẽrte | -ìerde | -ouāirde | -ǫerde | -ûerde |vert, vert, verde, viẽrte, vìerde, vouāirde, vǫerde, vûerde |- | colspan="3" | -ef | -iẽlve | -ìve | -āve | -ǫve | -ûve |<blockquote>une rédac’chef, un rédac’chef, des rédac’chefs</blockquote> |- | -effe <bdi>-èfe</bdi> <bdi>-effesse</bdi> <bdi>-eftaine</bdi> | -ef | -ève -eft -effurge -eftaire | -ẽif | -aìf | -āf | -ǫf | -ûf |une cheffe ou une chèfe ou une cheffesse ou une cheftaine, un chef, quelque chève ou quelque cheft ou quelque cheffurge ou quelque cheftaire, iẽņ khiẽf, ìņ khìf, ãņ chāf, ǫņ chǫf, úņ chûf |- | -agne | -agnon | -igne | -ẽrgne | -ìrgne | -ārgne | -ǫrgne | -úrgne |une compagne, un compagnon, des compignes, iẽne compiẽgne, úne compûgne, āne compārgne, ǫne compǫrgne, ine compìrgne |- | -agnonne | -agnon | -agnoine | -agniēne | -agnìne | -agnāne | -agnǫrne<ref name=":2" group="N" /> | -agnûne |une compagnonne, un compagnon, des compagnoines, iẽne compagniēne, ine compagnìne, āne compagnāne, ǫne compagnǫrne, úne compagnûne |- | colspan="3" | -ancre | -ancriẽme | -ancrìme | -ancrāme | -ancrǫme | -ancrûme |une cancre, un cancre, quelque cancre, iẽņ cancriẽme, ìņ cancrìme, āņ cancrāme, ǫņ cancrǫme, úņ cancrûme |- | colspan="3" | -ance | -iẽņce | -ìņce (/ins/) | -āņce | -ǫņce | -úņce | |- | -anche | -anc | -aņche | -ẽņche | -ìņche | -iāņche | -ǫņche | -ûņche | |- | -ande | -an | -ände (/ɛnd/) | -iẽņde | -ìņde (/ind/) | -āņde | -ǫņde | -úņde |une faisande, un faisan… |- | -ande | -and | -ände (/ɛnd/) | -iẽņde | -ìņde (/ind/) | -āņde | -ǫņde | -úņde |une tisserande, un tisserand, ẏņ tisserände, iẽņ tisseriẽņde, ìņ tisserìņde, āņ tisseriāņde, ǫņ tisserǫņde, úņ tisserúņde |- | colspan="3" | -andre | -iẽņdre | -ìņdre | -āņdre | -ǫņrde | -úņrde | |- | colspan="3" | -andre | -andriẽsque | -andrìsque | -andrāsque | -andrǫsque | -andrûsque | |- | -onde | -ond | -önde (/ɔnd/) | -ondiẽme | -ondìme | -ondāme | -ondǫme | -ondûme |une furibonde, un furibond, quelque furibönde, iẽņ furibondiẽme, ìņ furibondìme, āņ furibondāme, ǫņ furibondǫme, úņ furibondûme |- | colspan="3" | -aphe | -aphiēne | -aphìne | -aphāne | -aphǫnte<ref group="N">Le -t- intercalaire permet d’éviter toute ambiguïté avec ''-phone'', le suffixe désignant la notion de son ou de sonorité, tout en faisant un rapprochement au morphe ''-ont-'' retrouvé par exemple dans ''ontique''. </ref> | -aphûne |une lexicographe, un lexicographe, des lexicographes, iẽņ lexicographiēne, ìņ lexicographìne, āņ lexicographāne, ǫņ lexicographǫnte, úņ lexicographûne |- | colspan="3" | -adre | -iēdre | -ìdre | -āldre | -ǫdre | -ûdre |une cadre, un cadre, des cadres, iẽne quiẽdre, úne cûdre, āne cāldre, ǫne cǫdre, ine quìdre<ref group="N">Ici les ''qu-'' remplacent les ''c-'' devant les ''-i-'' pour conserver le son /k/.</ref> |- | -ess | -∅ | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une stewardess, un steward, des stewardestres, iẽne stewardiẽstre, úne stewardûstre, āne stewardāstre, ǫne stewardǫstre, ine stewardìstre |- | -ess | -er | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une waitress, un waiter, des waitestres, iẽne waitiĕstre, úne waitûstre, āne waitāstre, ǫne waitǫstre, ine waitìstre |- | colspan="3" | -iesque | -ẽsque -iadẽsque -imẽsque -inẽsque -ipẽsque -iriẽsque -itiẽsque | -iuìsque -uìsque | -iāsque -āstre | -iǫsque -ǫsque | -iûsque -ûsque |simiesque |- | colspan="3" | -esque | -iẽsque | -ìsque | -āsque | -ǫsque | -ûsque | |- | colspan="3" | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une séquestre, un séquestre, des séquestres, iẽņ séquiĕstre, iņ séquìstre, āņ séquāstre, ǫņ séquǫstre, úņ séquûstre |- | -mastrice -mistress | -master | -mestre | -miēstre | -mìstre | -māstre | -mǫstre | -mûstre |une webmastrice ou une webmistress, un webmaster, des webmestres, iẽne webmiĕstre, úne webmûstre, āne webmāstre, ǫne webmǫstre, ine webmìstre |- | colspan="3" | -maître- | -miēstre- | -mäìstre- | -māstre- | -mǫïstre- | -maústre- |une quartier-maître, un quartier maître, des quartiers-maîtres, iẽne quartier-miẽstre, úne quartier-maústre, āne quartier-māstre, ǫne quartier-mǫïstre, ine quartier-mäìstre |- | -maîtresse- | -maître- | -mèstre-<ref>Inspiration occitane, ''confer'' {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=mèstre|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-12-25|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=m%C3%A8stre&oldid=29051074|consulté le=2023-02-26}}</ref> | -miēstre- | -mäìstre- | -māstre- | -mǫïstre- | -maústre- |une maîtresse d’œuvre, un maître d’œuvre, des mèstres d’œuvre, iẽne miẽstre d’œuvre, úne quartier-maústre d’œuvre, āne quartier-māstre d’œuvre, ǫne quartier-mǫïstre d’œuvre, ine quartier-mäìstre d’œuvre |- | colspan="3" | -âtre | -âtriẽre | -âtrìre | -âtrāre | -âtrǫre | -âtrúre | |- | -âtresse | -âtre | -âtraire | -âtriẽre | -âtrìre | -âtrāre | -âtrǫre | -âtrúre | |- | colspan="3" | -aire | -atiẽre (postvoyelle) -iẽre (post-consonne) | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une intermédiaire, un intermédiaire, des intermédiaires, iẽne intermédiatẽre, ìne intermédiäìre, āne intermédiāre, ǫne intermédiǫre, úne intermédiúre |- | colspan="3" | -able | -ẽble | -ìble | -āible | -ǫble | -ûble |une comptable, un comptable, ẏņ comptable, ẽņ comptble, ìņ comptìble, āņ comptāible, ǫņ comptǫble, úņ comptûble |- | colspan="3" | -ible | -iẽble | -ìmble | -āmble | -ǫble | -ûble | |- | colspan="3" | -ium (/jɔm/) | -iẽme | -ìme | -iāme | -iǫme (/jom/) | -iûme |une médium, un médium, des médiums, iẽne médiẽme, ìne médìme, āne médiāme, ǫne médiǫme, úne médiûme |- | -ielle | -iel | -ium (/jɔm/) | -iẽme | -ìme | -iāme | -iǫme (/jom/) | -iûme |une officielle, un officiel, des officiums, iẽne officiẽme, ìne officìme, āne officiāme, ǫne officiǫme, úne officiûme |- | colspan="3" | -eil | -yiẽlle (/jɛj/) | -ìlle | -āille | -ǫille | -úille (/uj/) |<blockquote>une conseil, un conseil, des conseils</blockquote> |- | colspan="3" | -eille | -yiẽlle (/jɛj/) | -ìlle | -āille | -ǫille | -úille |<blockquote>une zoreille, un zoreille, des zoreilles</blockquote> |- | -eille | -eil | -euille (/œj/) | -yiẽlle (/jɛj/) | -ìlle | -āille | -ǫille | -úille |<blockquote>une pareille, un pareil, des pareuilles</blockquote> |- | -ieille | -ieux | -iaille | -iēlste (/jɛlst/) | -uìlle (/wij/) | -iāille (/jaj/) | -iǫille (/joj/) | -iúille (/juj/) |<blockquote>une vieille, un vieux, des </blockquote> |- | colspan="3" | -yste | -iēlste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |<blockquote>une lobbyste, un lobbyste, des lobbystes, iẽne lobbiẽlste, úne lobbûste, āne lobbāste, ǫne lobbǫste, ine lobbuìste</blockquote> |- | colspan="3" | -iste | -ẽste<ref group="N">Notamment après une consonne /s/ pour éviter la proximité phonétique à ''sieste''.</ref> -iẽste | -uìste | -iaste -āste | -iǫste -ǫste | -iûste -ûste |une journaliste, un journaliste, des journalistes, ẽņ journaliẽste, āņ journaliāste, ǫņ journaliǫste, úņ journaliûste |- | colspan="3" | -lâtre | -lâtrẽste | -lâtrìste | -lâtrāste | -lâtrǫste | -lâtrûste |une lâtrolâtre, un lâtrolâtre, ẏņ lâtrolâtre, ẽņ lâtrolâtrẽste, ìņ lâtrolâtrìste, āņ lâtrolâtrāste, ǫņ lâtrolâtrǫste, úņ lâtrolâtrûste |- | colspan="3" | -phore -phoriste | -phoriẽste | -phoruìte | -phorāste | -phorǫste | -phorûste |une dadophore, un dadophore, quelque dadophore, iẽne dadophoriẽste, úne dadophorûste, āne dadophorāste, ǫne dadophorǫste, ine dadophoruìte |- | colspan="3" | -ipte | -iẽpte | -uìpte | -āpte | -ǫpte | -ûpte |une iatralipte, un iatralipte, des iatraliptes, iẽne iatraliẽpte, ine iatraluìpte, úne iatralûpte, āne iatralāpte, ǫne iatralǫpte |- | colspan="3" | -io | -iẽste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |une physio, un physio, ẏne physio, iẽne physiẽste, úne physûste, āne physāste, ǫne physǫste, ine physuìste |- | colspan="3" | -io | -iẽre | -ìre | -iāre | -iǫre | -iúre |une proprio, un proprio, des proprios, iẽne propriẽre, ìne proprìre, āne propriāre, ǫne propriǫre, úne propriúre |- | -ia | -io | -ius | -iẽse | -ìse | -iāse | -iǫse | -iúse |une impréssarria, un impréssarrio, des impréssarrius, iẽne impréssarriẽse, ìne impréssarrìse, āne impréssarriāse, ǫne impréssarriǫse, úne impréssarriúse |- | -ienne | -ien | -iaire | -ẽstre | -ìestre | -iāstre | -iǫstre | -iûstre | |- | -ienne | -ien | -iste | -iēste -ẽste -ẽre | -uìste | -iāste | -iǫste | -iûste |une wikipédienne, un wikipédien, ẏne wikipédistes, iẽne wikipédiẽste, ìne wikipéduiste, āne wikipédiāste, ǫne wikipédiǫste, úne wikipédiûste |- | -ienne | -ien | -oine -ẏne | -oēne (/wɛn/) | -uìne | -iāne | -iǫne | -iúne |une généticienne, un généticien, ẏ génétiçoine, ẽņ génétiçoẽne, ìņ génétiçuìne, āne généticiāne, ǫne généticiǫne, úņ généticiúne |- | -ie | -e | -oine -ẏ -ẏe | -oēne (/wɛn/) | -uìne | -iāne | -iǫne | -iúne | |- | colspan="3" | -yenne | -yẽigņe (/jɛɲ/) | -yìne | -yāne | -yǫïne (/jɔjn/) | -yûne |Cheyenne |- | -yenne | -yen | -yeune (/jœn/) -yaune (/jon/) | -yẽigņe (/jɛɲ/) | -yìne | -yāne | -yǫïne (/jɔjn/) | -yûne |Libyenne… |- | colspan="3" | -on (/ɔn/) | -iēlne | -ìne | -āne | -ǫlne<ref name=":2" group="N" /> | -ûne |<blockquote>une orpington, un orpington, des orpingtons</blockquote> |- | colspan="3" | -on (/ɔ̃/) | -iēlne | -ìne | -āne | -ǫne | -ûne |anticivilisation Poisson Scorpion souillon |- | colspan="3" | -phone | -phoniẽre | -phonìre | -phonāre | -phonǫre | -phonúre | |- | colspan="3" | -one | -iēne | -ìne | -āne | -ǫïne<ref name=":2" group="N" /> | -úne |<blockquote>une cicérone, un cicérone, des cicérones</blockquote> |- | -one (/ɔn/) | -on | -oine | -ēne | -ìne | -āne | -ǫïne<ref name=":2" group="N" /> | -úne |buflone<blockquote>une démone, un démon, des </blockquote><blockquote>une péone, un péon</blockquote> |- | -onne | -on | -oine | -ēne | -ìne | -āne | -ǫïne<ref group="N" name=":2">Plutôt que ''-ǫne'' pour désambiguïser de ''-one''.</ref> | -úne |<blockquote>une bûcheronne, un bûcheron, des bûcheroines, iẽne bûcheriẽne, úne bûcherúne, āne bûcherāne, ǫne bûcherǫlne, ine bûcherìne</blockquote> |- | -one | -on | -onide | | | | | |une amphictyone, un amphictyon, quelque amphictyonide |- | colspan="3" | -an (/an/) | -iẽne | -ìne | -āire | -ǫne | -ûne |<blockquote>une végan, un végan, des végans, iẽne végiẽne, úne végûne, āne végiāire, ǫne végiǫne, ine végyìne</blockquote> |- | colspan="3" | -ian (/jœn/) | -iẽne | -yìne | -iāire | -iǫne | -iûne |<blockquote>une Canadian, un Canadian, des Canadians, iẽne Canadiẽne, úne Canadiûne, āne Canadiāire, ǫne Canadiǫne, ine Canadyìne</blockquote> |- | colspan="3" | -iane | -iẽne | -uìne | -iāire | -iǫne | -iûne |<blockquote>une tidiane, un tidiane, des tidianes, iẽne tidiiẽne, úne tidiûne, āne tidiiāire, ǫne tidiiǫne, ine tidiuìne</blockquote> |- | -ane | -an (/ɑ̃/) | -âme -anime -aire -oine | -iẽne | -ìne -uìne | -iāne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une artisane, un artisan, des artisâmes</blockquote> |- | -anne | -an | -âme -anime -aire -oine | -iẽne | -ìne -uìne | -iāne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une paysanne, un paysan, des paysâmes</blockquote> |- | -ane | -an (/an/) | -oine | -iẽne | -ìne -uìne | -iāne | -ǫne | -ûne -úne |<blockquote>une chamane, un chaman, des chamoines<ref group="N">À ne pas confondre avec des chanoines, évidemment.</ref></blockquote> |- | colspan="3" | -mane | -maniẽsque | -manìsque | -maniǫsque | -maniāsque | -maniûsque | |- | colspan="3" | -ane | -iẽne | -ìne -uìne | -āine | -ǫne | -ûne |<blockquote>une profane, un profane, des profanes,</blockquote> |- | -ie | -i | -iste | -iēste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |une yogie, un yogi, ẏņ yogiste, iēņ yogiẽste, ìņ yogüìste, āņ yogāste, ǫņ yogǫste, úņ yogûste |- | colspan="3" | -ie | -iẽste | -uìste | -iāste | -iǫste | -iûste |une génie, un génie, ẏņ génie, ẽņ géniẽste, ìņ génuìste, āņ géniāste, ǫņ géniǫste, úņ géniûste |- | colspan="3" | -ix (/iks/) | | | | | |<blockquote>une zmigrix, un zmigrix, des zmigrix,</blockquote> |- | -ix (/i/) | | | | | | | |<blockquote>une perdrix</blockquote> |- | colspan="3" | -i | -iēl | -yì | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une mistigri, un mistigri, des mistigris</blockquote> |- | -ue | -u | -ustre | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ústre |<blockquote>une résolue, un résolu, des résolustres </blockquote> |- | colspan="3" | -u (/y/) | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ústre |<blockquote>une belu, un belu, des belus, iẽne beliẽstre, ìne belìstre, āne belāstre, ǫne belǫstre, úne belústre</blockquote> |- | colspan="3" | -u (/u/) | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ústre |<blockquote>une Xiongnu, un Xiongnu, des Xiongnus, iẽne Xiongniẽstre, ìne Xiongnìstre, āne Xiongnāstre, ǫne Xiongnǫstre, úne Xiongnústre</blockquote> |- | colspan="3" | -u (/u/) | -iẽste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |<blockquote>une otaku, un otaku, des otakus, iẽne otakiẽste, úne otakûste, āne otakāste, ǫne otakǫste, ine otakuìste</blockquote> |- | colspan="3" | -aste | -iẽste | -ìste -uìste | -āiste | -ǫste | -ûste |<blockquote>une cinéaste, un cinéaste, des cinéastes, iẽne cinéiẽste, úne cinéûste, āne cinéāiste, ǫne cinéǫste, ine cinéìste</blockquote> |- | colspan="3" | -oste | -iẽste | -ìste | -āste | -ǫlste | -ûste |<blockquote>une géognoste, un géognoste, des géognostes, iẽne géognosiẽste, úne géognosûste, āne géognosāste, ǫne géognosǫlste, ine géognosiste</blockquote> |- | colspan="3" | -uste | -iẽste | -ìste | -āste | -ǫste | -úste |<blockquote>une juste, un juste, des justes, iẽne jiẽste, úne júste, āne jāste, ǫne jǫste, ine jìste</blockquote> |- | -aise | -ais | -aïse (/ajz/) | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une anglaise, un anglais, ẏņ anglaïse, iẽņ anglẽse, úņ anglûse, āņ anglāse, ǫņ anglǫse, iņ anglìse |- | -use | -us (/y/) | -üs (/ys/) | -iẽse | -uìse | -āse | -ǫse | -úse |une intruse, un intrus, ẏn intrüs, iẽņ intriẽse, úņ intrúse, āņ intrāse, ǫņ intrǫse, iņ intruìse |- | colspan="3" | -iatre | -iẽtre | -yìtre | -iāstre | -iǫtre | -iûtre |une pédiatre, une pédiatre, quelque pédiatre, iẽņ pédiẽtre, ìņ pédyìtre, āņ pédiāstre, ǫņ pédiǫtre, úņ pédiûtre |- | colspan="3" | -itre | -iẽltre | -ìltre | -āltres | -ǫltre | -ûltre<ref group="N">Plutôt que -ûtre, pour éviter d’induire des termes comme ''pûtre'' en alterance de ''pitre'', jugé trop proche du terme préjoratif qu’est ''pute''. Aussi la reprise du -l- sur les autres gestes ostentatoires de cette entrée est considéré ici comme euphonique en plus de fournir une entrée plus homogène.</ref> |<blockquote>une arbitre, un arbitre, des arbitres</blockquote> |- | -itresse | -itre | -itrurge | -itriẽse | -itrìsse | -itrāste<ref name=":0" group="N" /> | -itrǫsse | -itrússe |<blockquote>une pitresse, un pitre, pitrurges,</blockquote> |- | colspan="3" | -ant | -ẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |<blockquote>une enfant, un enfant, des enfants</blockquote><blockquote>une ayant droit, un ayant droit, des ayants droit</blockquote> |- | -ante | -ant | -änte (/ant/) | -ẽņte | -ìņte -uìņte<ref name=":1" group="N">Notamment après un ''-i-''.</ref> | -āïņte<ref group="N" name=":3">Lorsque l'isonèphe termine déjà en -iänte.</ref> (/ajnt/) -iāņte | -ǫņte | -úņte |une savante, un savant, ẏņ savänte, iẽņ savẽņte, ìņ savìņte, āņ saviāņte, ǫņ savǫņte, úņ savúņte |- | -ente | -ent | -enste | -ẽņte | -ìņte -uìņte<ref name=":1" group="N" /> | -āïņte<ref name=":3" group="N" /> (/ajnt/) -iāņte | -ǫņte | -úņte |<blockquote>une surefficiente, un surefficient, ẏņ surefficienste, iẽne surefficiẽņte, ine sureffiçuìņte, āne surefficiāņte, ǫne surefficiǫņte, úne surefficiûņte</blockquote> |- | colspan="3" | -être | -ẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une ancêtre, un ancêtre, des ancêtres, |- | colspan="3" | -ètre | -ètriēste | -ètruìste | -ètrāste | -ètrǫste | -ètrûste |une géomètre, un géomètre, des géomètres, iẽne géomètriẽste, úne géomètrûste, āne géomètrāste, ǫne géomètrǫste, ine géomètruìste |- | -oigne -oignesse -ointe -ouine | -oin | -éïne | rowspan="2" | -ẽne | rowspan="2" | -ìne | rowspan="2" | -āne | rowspan="2" | -ǫïne | rowspan="2" | -ûne | rowspan="2" |''une témoigne'' ou ''une témoignesse'' ou ''une témoin'' ou ''une témointe'' ou ''une témouine'', ''un témoin'', ''ẏņ téméïne'' ou ''ẏņ témoin'', ẽņ témẽne, ìņ témìne, āņ témāne, ǫņ témǫïne, úņ témûne |- | colspan="3" | -oin |- | -jointe | -joint | -jugum (/ʒy.gɔm/) | -jugiẽl | -jugì | -jugā | -jugǫ | -jugû |une adjointe, un adjoint, des adjugums, iẽņ adjugiẽl, ìņ adjugì, āņ adjugā, ǫņ adjugǫ, úņ adjugû |- | colspan="3" | -uge | -ugiẽme | -ugìme | -ugiāme | -ugiǫme | -ugiûme |une juge, un juge, des juges, iẽņ jugiẽme, ìņ jugìme, āņ jugiāme, ǫņ jugiǫme, úņ jugiûme |- | -eresse | -eur | -urge | -eriẽsse | -ìarge | -āire | -ǫre | -ûre |une enchanteresse, un enchanteur, des enchanturges, iẽne enchanteriẽsse, ìne enchantìarge, āne enchantāire, ǫne enchantǫre, úne enchantûre |- | colspan="3" | -ecte | -ectiẽsse | -ectìsse | -ectāste<ref name=":0" /> | -ectǫsse | -ectússe |<blockquote>une architecte, un architecte, des architectes, </blockquote> |- | -esse | -e | -urge | -iẽsse | -ìsse | -āste<ref group="N" name=":0">L’adjonction de consonnes infixes comme -t- permet ici de distinguer du suffixe parfois péjoratif -asse. Pour des termes épicènes à terminaison similaire, confer enthousiaste et pancratiaste.</ref> | -ǫsse | -ússe |une poétesse, un poète, ẏņ poèturges, ẽņ poètiẽsse , úņ poètússe, āņ poétāste, ǫņ poétǫsse, ìņ poétìsse |- | -esse | -e | -aire | -iẽsse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe | |- | -esse | -e | -este -iste | -iẽsse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe | |- | -esse | -e | -éleste | -élẽsse | -élìsse | -élāste<ref name=":0" group="N" /> | -élǫsse | -élússe |angesse, ange, angéleste, angélẽsse, angélāste, angélǫsse, angélìsse, angélússe |- | -esse | -e | -esque | -iẽsque | -ìsque | -āsque | -ǫsque | -ûsque | |- | -tresse | -tre | -trurge | -triẽsse | -truìsse | -trāste<ref name=":0" group="N" /> | -trǫsse | -trússe | |- | -i | -o | -ès | -iẽse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe | |- | colspan="3" | -aï | -äiẽse | -äìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -äǫsse | -äússe | |- | -aïe | -aï | -aès | -äiẽse | -äìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -äǫsse | -äússe | |- | -esse | -é | -atème | -iẽsse | -uìsse | -āsse | -ǫïsse | -ússe |une abbesse, un abbé, ẏņ abbatème, iẽņ abbiẽsse , úņ abbússe, āņ abbāsse, ǫņ abbǫïsse, iņ abbuìsse. |- | -esse | -∅ | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre | |- | -iée | -ié | -iègne | -iẽne | -yìne | -iãne | -iǫne | -iúne | |- | -ée | -é | -aistre -estre | -iẽstre | -ìstre | -ãstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une passionnée, un passioné, ẏņ passionègne </blockquote> |- | -née | -né | -naistre | -niẽstre | -näìstre | -iãstre | -ǫastre | -äústre |une nouveau-née ou une nouvelle-née, un nouveau né, ẏņ nouveaule-naistre     nouviẽle-niẽstre     nouvuìle-näìstre     nouviāle-niāstre     nouvǫle-nǫastre     nouvúele-naústre |- | | | | | | | | | |- | colspan="3" | -é | -iẽl | -ì | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une hominidé, un hominidé, des hominidé</blockquote> |- | colspan="3" | -ée | -iẽle | -ìe | -āe | -ǫe | -ûe |<blockquote>une athée, un athée, des athées</blockquote> |- | colspan="3" | -pied | -piēlde | -pyìde | -piāde | -pǫde | -piûde |<blockquote>une casse-pied, un casse-pied, des casse-pieds</blockquote> |- | colspan="3" | -ay | -iẽl | -ì | -ā | -ǫ | -û |L’invariance de la terminaison lexical allusive en -ay se constate dans des métonymies de noms d’espèce, comme ''Charbray'', ou d’un groupe ethnique comme ''Ojibway''.<blockquote>une Ojibway, un Ojibway, des Ojibways</blockquote> |- | colspan="3" | -e (/e/) | -iẽl | -ì | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une corriente, un corriente, des corrientes</blockquote> |- | colspan="3" | -ee (/i/) | -iẽl | -ìl | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une Cherokee, un Cherokee, des Cherokees</blockquote> |- | colspan="3" | -y | -iẽl | -ìl | -ā | -ǫ | -û |Termes généralement issus d'un emprant à l'anglais, et dont des graphies en -ie existe généralement pour les singuliers de geste allusif.<blockquote>une gipsy, un gipsy, des gipsies </blockquote> |- | colspan="3" | -um (/ɔm/) | -iẽme | -ìme | -āme | -ǫme (/om/) | -ûme |<blockquote>une factotum, un factotum, des factotums</blockquote> |- | -ure | -ur | -urum (/yʁ.ɔm/) | -uriẽme | -urìme | -urāme | -urǫme (/yʁ.om/) | -urûme |une dure, un dur, des durums, iẽņ duriẽme, ìņ durìme, āņ durāme, ǫņ durǫme, úņ durûme |- | colspan="3" | -ure | -uriẽme | -urìme | -urāme | -urǫme (/yʁ.om/) | -urûme |une manicure, un manicure, des manicurums, iẽņ manicuriẽme, ìņ manicurìme, āņ manicurāme, ǫņ manicurǫme, úņ manicurûme |- | colspan="3" | -am | -amniẽl | -amnì | -amnā<ref>En lien avec l'exemple donné, voir les flexions du terme latin {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=damnum|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-03|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=damnum&oldid=31667475|consulté le=2023-03-04}}</ref> | -amnǫ | -amnû |<blockquote>une goddam, un goddam, des goddams</blockquote> |- | colspan="3" | -âme | -iæ̂̃me | -ìâme | -āime | -ǫâme | -úâme |<blockquote>une infâme, un infâme, des infâmes</blockquote> |- | colspan="3" | -em | | | | | |<blockquote>Une Yem-Yem, un Yem-Yem, des Yem-Yems</blockquote> |- | | -em | | | | | | |Certains termes comme ''moqqadem'' ont des variantes de flexion en nombre : ''des moqqadems'' ou des ''moqqademin''. |- | -ame | -am | -oime | -iẽme | -ìme | -iāme | -ǫme | -ûme |<blockquote>une imame, un imam</blockquote> |- | -ame -ane | -am | -æme (/ɛm/) | -iẽme | -ìme | -iāme | -ǫme | -ûme |<blockquote>une quidame ou une quidane, un quidam,</blockquote> |- | colspan="3" | -ime | -iẽme | -ìlme | -āme | -ǫme | -ûme |<blockquote>une habilissime, un habilissime, des habilissimes</blockquote> |- | colspan="3" | -im | | | | | |<blockquote>une canchim, un canchim, des canchims</blockquote> |- | colspan="3" | -ome | -iẽme | -ìme | -āme | -ǫlme | -ûme |<blockquote>une astronome, un astronome, des astronomes</blockquote> |- | colspan="3" | -om (/ɔm/) | | | | | |<blockquote>une Rome, un Rome, des Romes</blockquote> |- | colspan="3" | -om (/ɔ̃/) | | | | | |<blockquote>une prête-nom, un prête-nom, des prête-noms</blockquote> |- | -ame | -om (/ɔ̃/) | -ab | | | | | |<blockquote>une dame, un dom, des dabs,</blockquote> |- | -femme- | -homme- | -personne- | | | | | | |- | -maid | -man | -tender | -teniẽre | -tenìre | -tenāre | -tenǫr | -tenúre |<blockquote>une barmaid, un barman, des bartenders ou mixologistes</blockquote> |- | -woman- | -man- | -person- | | | | | |<blockquote>une businesswoman, un businessman, des businesspersons</blockquote> |- | -woman- | -man- | -opérator-<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=Camera operator|titre ouvrage=Wikipedia|date=2023-02-09|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Camera_operator&oldid=1138475987|consulté le=2023-03-10}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Voyagiste|titre ouvrage=Wikipédia|date=2023-02-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Voyagiste&oldid=201501291|consulté le=2023-03-10}}</ref> | | | | | |<blockquote>une camérawoman, un caméraman, des caméraopérators</blockquote> |- | -woman | -man | -iste | | | | | |<blockquote>une groupwoman, un groupman, des groupistes</blockquote> |- | -seuf- | -reuf- | -adeuf- | | | | | | |- | -sœur- | -frère- | -adelphe- -frœur- -sibling- | -sèriẽl-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=εἴρω|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-12-12|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=%CE%B5%E1%BC%B4%CF%81%CF%89&oldid=31151568|consulté le=2023-03-19}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=series|titre ouvrage=Wiktionary|date=2023-03-17|lire en ligne=https://en.wiktionary.org/w/index.php?title=series&oldid=71726109|consulté le=2023-03-19}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=sèrie|titre ouvrage=Wiktionary|date=2021-03-08|lire en ligne=https://en.wiktionary.org/w/index.php?title=s%C3%A8rie&oldid=61963975|consulté le=2023-03-19}}</ref> | -fruìr- | -pār-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=par|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-02-20|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=par&oldid=31554890|consulté le=2023-03-19}}</ref> | -sǫrs-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=consors|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-14|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=consors&oldid=31778204|consulté le=2023-03-19}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=sors|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-12-11|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=sors&oldid=31137366|consulté le=2023-03-19}}</ref> | -súère-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=suer|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-18|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=suer&oldid=31821334|consulté le=2023-03-19}}</ref> |<blockquote>une consœur, un confrère, des confrœurs, iẽne consèriẽl, úne consúère, āne conpār, one consors, ine confrix </blockquote> |- | -meuf- | -keum- | -zigue- | | | | | | |- |nana |mec |freq | | | | | |<blockquote>sa nana, son mec, ses freqs</blockquote> |- | -fille- | -garçon- | -aide- -humble- | | | | | |<blockquote>une fille de cuisine, un garçon de cuisine, des aides de cuisine ou des humbles de cuisine</blockquote> |- | -demoiselle- | -garçon- | -chantre- -pleige- -proche- | | | | | |<blockquote>demoiselle d’honneur, garçon d’honneur</blockquote> |- | -fille- | -garçon- | -gosse- -jeune- -môme- | | | | | | |- | colspan="3" | -aestro | | | | | |<blockquote>une maestro, une maestro, des maestros</blockquote> |- | -aestra | -aestro | -aestriurge | | | | | |une maestra, un maestro, quelque maestriurge, maestrẽ, maestrì, maestrārque, maestrǫire, maestrû |- | -emoiselle | -amoiseau | -omoisum | | | | | |<blockquote>une demoiselle, un damoiseau, des domoisum</blockquote> |- | colspan="3" | -eau | | | | | | |- | -e | -eau | | | | | | | |- | -aude -eaude -oune | -aud -eau -o | | | | | | | |- | -eaute | -eau | | | | | | | |- | -elle | -eau | -eaule | -iẽle | -uìle | -iāle | -ǫle | -úele (/wɛl/) |nouvelle, nouveau, nouveaule    nouviẽle    nouvuìle    nouviāle    nouvǫlenouvúele |- | -ette | -eau | | | | | | | |- | -otte | -eau | | | | | | | |- | -elle | -el | -eaule | -iẽl | -uìle | -āle | -ǫle | -úele (/wɛl/) |<blockquote>une intellectuelle, un intellectuel, intellectueaule, intellectuiẽle, intellectuúele, intellectuāle, intellectuǫle, intellectuìle</blockquote> |- | colspan="3" | -eule | -iẽle | -ìle | -āle | -ǫle | -ûle |une pipeule, un pipeule, des pipeules, iẽņ pipiẽle, ìņ pipìle, āņ pipāle, ǫņ pipǫle, úņ pipûle |- | -eule (/œl/) | -eul | -ẏle -oule | -oẽle | -eìle | -āule | -ǫïle | -ûole |une aïeule, un aïeul, ẏņ aïẏle, ẽņ aïoẽle, ìņ aïeìle, āņ aïāule, ǫņ aïǫïle, úņ aïûole |- | -eule (/øl/) | -eul (/øl/) | -euliane | -euliẽne | -eulyìne | -euliāire | -euliǫne | -euliûne |une Peule, un Peul, des Peulianes, iẽne Peuliiẽne, ine Peuliyìne, āne Peuliiāire, ǫne Peuliiǫne, úne Peuliûne |- | | -eulle | | | | | | |un tieulle |- | -eure -euresse | -eur | -arque | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -ûre |<blockquote>une majeure, un majeur, des majarques, iẽne majiẽre, úne majûre, āne majāre, ǫne majǫre, ine majìre</blockquote> |- | -ieuse | -ieur | -iaire | -ẽstre | -ìestre | -iāstre | -iǫstre | -iûstre |uņ ingénieuse, un ingénieur, ẏņ ingéniaire, ẽņ ingénẽstre, ìņ ingénìestre, āņ ingéniāstre, ǫņ ingéniǫstre, úņ ingéniûstre |- | -euse | -eur | -urge | -ẽre | -ìre | -āre -ārste -ārque | -ǫre | -ûre -úre<ref group="N" name=":4">En fonction des collisions terminologiques à éviter. Ainsi ''contúre'' serait homophonique de ''contours'', et bidouillûre pourra suggérer le résultat d'une bidouille plutôt que la personne qui l'a réalisé.</ref> |<blockquote>une conteuse, un conteur, des conturges, iẽne contiẽre, úne contûre, āne contāre, ǫne contǫre, ìne contìre </blockquote> |- | colspan="3" | -er | rowspan="2" | -iẽre | rowspan="2" | -ìre | rowspan="2" | -āre -ārste -ārque | rowspan="2" | -ǫre | rowspan="2" | -ûre -úre<ref name=":4" /> | rowspan="2" | |- | -euse -ère -eresse -ereuse -resse | -er | -urge |- | -queuse | -queux | -qûrge | -quẽse | -quìse | -quāse | -quǫïse (/kojz/) | -qûse | |- | -ieuse | -ieux | -ieude -iurge | -iẽse | -uìse | -iāse | -iǫse | -iûse |une victorieuse, un victorieux, ẏņ victorieude ou ẏņ victoriurge, ẽņ victoriẽse, ìņ victoruìse, āņ victoriāse, ǫņ victoriǫse, úņ victoriûse |- | -euse | -eux | -eude -urge | -ẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une amoureuse, un amoureux, ẏņ amoureude ou ẏņ amoururge, ẽņ amouriēlse, úņ amourûse, āņ amourāse, ǫņ amourǫse, iņ amourìse |- | -trice | -teur | -taire | -tiẽre -triẽce | -tìre -truìce | -tāre -tārce | -tǫre -torce | -túre -trûce |''une autrice, un auteur, ẏņ autaire, ẽņ autiẽre ou ẽņ autriẽce, āņ autāre, ǫņ autǫre, úņ autúre'' ou ''úņ autrûc''e |- | -drice | -deur | -daire | -driẽce | -drìc | -drāce | -drǫce | -drûce |<blockquote>une ambassadrice, un ambassadeur, des ambassadaires, </blockquote> |- | | | | | | | | | |- | colspan="3" | -ouine | -ouigniẽne | -ouignìne | -ouignāne | -ouignǫne | -ouignûne |une transpédégouine, un transpédégouine, ẏņ transpédégouine, ẽņ transpédégouiniẽne, ìņ transpédégouinìne, āņ transpédégouināne, ǫņ transpédégouinǫne, úņ transpédégouinûne |- | -ouine | -ouin | -ouigne | -ouigniẽne | -ouignìne | -ouignāne | -ouignǫne | -ouignûne |une Pahouine, un Pahouin, ẏņ Pahouigne, ẽņ Pahouigniẽne, ìņ Pahouignìne, āņ Pahouignāne, ǫņ Pahouignǫne, úņ Pahouignûne |- | colspan="3" | -ine | -iẽne | -uìne | -āne -iãne | -ǫne -iǫne | -ûne -iûne |une Bordjiguine, un Bordjiguine, ẏņ Bordjiguine, |- | -ine | -in | -aine -ouine -oine | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une voisine, un voisin, ẏņ voisaine, iẽne voisiẽne, úne voisûne, āne voisāne, ǫne voisǫne, ìne voisuìne</blockquote> |- | -ine | -in | -ing | | | | | |<blockquote>une Latine, un Latin, des Latings</blockquote> |- | colspan="3" | -in | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une médecin, un médecin, des médecins, iẽne médeciẽne, ine médecuìne, āne médecāne, ǫne médecǫne, úne médecûne |- | -ine | -∅ | -ène | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une elfine, un elf, des elfènes, iẽne elfiẽne, ìne elfuìne, āne elfāne, ǫne elfǫne, úne elfûne |- | -oïne | -os | -ène | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une héroïne, un héros, quelque hérène, iẽne hérïẽne, ìne héruìne, āne hérāne, ǫne hérǫne, úne hérûne |- | -ine | -ot | -aire | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne | |- | -ine | -ain | -iaigne | -ẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -iúne -ûne |une sacristine, un sacristain, ẏņ sacrisitaigne, iẽne sacristẽne, ìne sacristuìne, āne sacristāne, ǫne sacristǫne, úne sacristûne |- | colspan="3" | -ène | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une mécène, un mécène, quelque mécène, iẽne méçiẽne, ìne méçuìe, āne méçāne, ǫne méçǫne, úne méçûne |- | -aine | -ain | -aïne | -iẽne | -uìne -ìne | -āne | -ǫne | -ûne |une suzeraine, un suzerain, ẏņ suzeraïne, ẽņ suzeriẽne, ìņ suzerìne, āņ suzerāne, ǫņ suzerǫne, úņ suzerûne |- | colspan="3" | -aine | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une capitaine, un capitaine, des capitaines</blockquote> |- | colspan="3" | -end (/ɛnd/) | -endēne | -enduìne | -āne | -ǫne | -ûne |une sex-friend, un sex-friend, quelque sex-friend, iẽņ sex-friendēne, ìņ sex-frienduìne, āņ sex-friendāne, ǫņ sex-friendǫne, ûņ sex-friendûne |- | colspan="3" | -end (/ɛ̃d/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une Zend, un Zend, quelque Zend, Zendiẽre, Zendìre, Zendāre, Zendǫre, Zendúre |- | -ende | -end | -ënde (/ɛnd/) | -iẽņde | -ìņde (/ind/) | -āņde | -ǫņde | -úņde |une révérende, un révérend, quelque révérënde, révériẽņde, révérìņde, révérāņde, révérǫņde, révérúņde |- | colspan="3" | -ade | -iẽde | -ìde | -iāde | -ǫde | -ûde | |- | colspan="3" | -ade | -adiẽsque | -adìsque | -adāsque | -adǫsque | -adûsque | |- | colspan="3" | -age | -æ̃ge (/ɛʒ/) | -äìge (/ajʒ/) | -āïḑge | -ǫage (/waʒ/) | -aúge (/awʒ/) | |- | colspan="3" | -age | -iẽge | -ìge | -iāge | -ǫge | -ûge | |- | colspan="3" | -age | -agiẽsque | -agìsque | -ageāsque | -ageǫsque | -ageûsque | |- | -ide | -e | -idus | -iẽde | -ìņde (/ind/) | -āde | -ǫde | -ûde |une gnomide, un gnome, des gnomidus, iẽņ gnomiẽde, ìņ gnomìņde, āņ gnomāde, ǫņ gnomǫde, úņ gnomûde |- | -ida | -id | -oude | -iẽde | -ìņde (/ind/) | -āde | -ǫde | -ûde |une mujahida, un mujahid, des mujahoudes, iẽņ mujahiẽde, ìņ mujahìņde, āņ mujahāde, ǫņ mujahǫde, úņ mujahûde |- | colspan="3" | -id (/id/) | -iẽd | -ìņd (/ind/) | -ād | -ǫd | -ûd |une kid, un kid, des kids, iẽņ kiẽd, ìņ kìņd, āņ kād, ǫņ kǫd, úņ kûd |- | colspan="3" | -ide | -idiẽre | -idìre | -idāre | -idǫre | -idúre |une guide, un guide, des guides, iẽņ guidiẽre, ìņ guidìre, āņ guidāre, ǫņ guidǫre, úņ guidúre |- | -ide | -∅ | -iane | -iẽde | -ìņde (/ind/) | -āde | -ǫde | -ûde |une titanide, un titan, des titanianes, iẽņ titaniẽde, ìņ titanìņde, āņ titanāde, ǫņ titanǫde, úņ titanûde |- | -itride | -ète | -ène |''-iẽste'' |''-ìète'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une aulitride, un aulète, des aulènes, iẽne auliẽste, ine aulìète, āne auliāste, ǫne aulïǫste, úne auliûste |- | colspan="3" | -aque | | | | | |<blockquote>un monomaque, une monomaque, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -èque | | | | | |<blockquote>une métèque, un métèque, des métèques, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -êque | | | | | |<blockquote>une archevêque, un archevêque, des archevêques, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -ique | -icurgiẽre | -icurgìre | -icurgeāire | -icurgeǫre | -icurgeûre |une scientifique, un scientifique, quelque scientifique, iẽņ scientificurgiẽre, ìņ scientificurgìre, scientificurgeāire, ǫņ scientificurgeǫre, ùņ scientificurgeûre |- | -ique | -ic | -iquestre | -iquiẽstre | -iquìstre | -iquāste | -iquǫstre | -iqûstre |une syndique, un syndic, ẏņ syndiquestre, iẽņ syndiquiẽstre, iņ syndiquístre, āņ syndiquāste, ǫņ syndiquǫstre, úņ syndiqûstre |- | -uche | -oquet | -ouquestre | -ouquiẽstre | -ouquìstre | -ouquāste | -ouquǫstre | -ouqûstre |une perruche, un perroquet, ẏņ perriquestre |- | colspan="3" | -oque | -ẽque | -ìque | -āque | -ǫïque (/ɔjk/) | -ûque |une ventriloque, un ventriloque, des ventriloques, iẽne ventrilẽque, ìne ventrilìque, āne ventrilāque, ǫne ventrilǫïque, úne ventrilûque |- | -oque | -oc | -ouc | -ẽque | -ìque | -āque | -ǫïque (/ɔjk/) | -ûque |une mastoque, un mastoc, des mastoucs, iẽne mastẽque, ìne mastìque, āne mastāque, ǫne mastǫïque, úne mastûque |- | | | -uque | | | | | | |- | colspan="3" | -âtre | | | | | | |- | colspan="3" | -lâtre | | | | | | |- | -arde | -ard | -oirde | -ẽrde | -ìrde | -iārde | -ǫrde | -ûrde |<blockquote>une débrouillarde, un débrouillard</blockquote> |- | -iarde | -iard | -iâtre | -iẽrde | -ìrde | -iārque | -iǫrde | -iûrde | |- | colspan="3" | -arde | -ardiẽme | -ardìme | -ardāme | -ardǫme | -ardûme |<blockquote>une garde, un garde, des gardes</blockquote> |- | -ardesse | -arde | -urge | -iẽse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe |<blockquote>une bardesse, un barde</blockquote> |- | colspan="3" |gen[dst]- |giẽņ- |gìņ- |geāņ- |geǫņ- |geûņ- |une gendarme, un gendarme, ẏņ gendarme, ẽņ giẽņdarme, úņ geûņdarme, āņ geāņdarme, ǫņ geǫņdarme, ìņ gìņdarme |- | colspan="3" | -ète | ''-iẽste'' | ''-ìète'' | ''-iāste'' | ''-ïǫste'' | -iûste |une athlète, un athlète, des athlètes, iẽne athliẽste, ine athlìète, āne athliāste, ǫne athlïǫste, úne athliûste |- | -ète | -et | -ectus | -ectiẽme | -ectìme | -ectāme | -ectǫme | -ectúme |<blockquote>une préfète, un préfet, des préfectus</blockquote> |- | -ette | -ot | -ouse -ouze | -iẽlche | -ìche | -āsse | -ǫche | -ûche |<blockquote>une gendarmette, un gendarmot, des gendarmouses, iẽne gendarmiẽlche, úne gendarmûche, āne gendarmāsse, ǫne gendarmǫche, ine gendarmìche </blockquote> |- | -ette | -et | -este |''-iẽte'' |''-ìte'' |''-āte'' |''-ǫte'' | -ûte |<blockquote>une cadette, un cadet, des cadestes</blockquote> |- | -oyette | -o | -oyiste |''-oyẽste'' |''-oyuìste'' |''-oyāste'' |''-oyǫste'' | -oyûste |une yoyette, un yoyo, des yoyistes, iẽne yoyẽste, ìne yoyöuìste, āne yoyiāste, ǫne yoyïǫste, úne yoyiûste |- | colspan="3" | -eute |''-iẽste'' |''-ìexte'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une thérapeute, un thérapeute, des thérapeutes, iẽne thérapiẽste, ìne thérapìexte, āne thérapiāste, ǫne thérapïǫste, úne thérapiûste |- | -ite | -it | -iste -ẏte |''-iẽste'' |''-uìste'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une érudite, un érudit, des érudistes<ref>{{Article|prénom1=Bon-Joseph|nom1=Dacier|titre=Notice historique sur la vie et les ouvrages de M. Gossellin|périodique=Mémoires de l'Institut de France|volume=9|numéro=1|date=1831|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/minf_1267-8996_1831_num_9_1_2348|consulté le=2023-05-01|pages=200–221}}</ref>, iẽne érudiẽste, ìne éruduìste, āne érudiāste, ǫne érudïǫste, úne érudiûste |- | colspan="3" | -ite |''-iẽste'' |''-uìste'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une cosmopolite, un cosmopolite, des cosmopolites, iẽne cosmopoliẽste, ìne cosmopoluìste, āne cosmopoliāste, ǫne cosmopolïǫste, úne cosmopoliûste |- | colspan="3" | -orte | -ortiẽltre | -ortìntre (/ɛ̃tʁ/) | -ortāntre | -ortǫntre | -ortúntre (/œ̃tʁ/) |<blockquote>une porte-parole, un porte-parole, des porte-parole ou des porte-paroles, </blockquote> |- | -orte | -ort | -ortiaire -ortium -ourte | -ortiẽme -oẽrte | -ortìme -ouìrte | -ortāme -oārte | -ortǫme -iǫrte | -ortûme -úorte |<blockquote>une morte, un mort, des mortiums</blockquote> |- | -otte | -ot | -onte | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une jeunotte, un jeunot, des , iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote><blockquote>une griotte, un griot, des</blockquote> |- | -ote | -ot | -onte | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre -ústre |<blockquote>une matelote, un matelot, des matelontes ou des , iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -onte | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |démogéronte |- | colspan="3" | -ote | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une pilote, un pilote, des pilotes</blockquote> |- | -ote | -o | -otium | -otiẽme | -otìme | -otāme | -otǫme | -otûme |<blockquote>une typote, un typo</blockquote> |- | colspan="3" | -ôte | -ôtiẽme | -ôtìme | -ôtāme | -ôtǫme | -ôtûme |une hôte, un hôte, des hôtes |- | colspan="3" | -ot | | | | | |<blockquote>une barjot, un barjot, des barjots</blockquote><blockquote>une heurte-pot, un heurte-pot, des heurte-pots</blockquote><blockquote>une pivot, un pivot, des pivots</blockquote><blockquote>une prot, un prot, des prots</blockquote><blockquote>une suce-goulot, un suce-goulot, des suce-goulots</blockquote> |- | colspan="3" | -ate | -iẽstre | -ìstre (/ɛ̃t/) | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une démocrate, un démocrate, des démocrates, iẽne , úne , āne , ǫne , ine </blockquote> |- | colspan="3" | -athe | -aẽre (postvoyelle) -iẽre (post-consonne) | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une ostéopathe, un ostéopathe, quelque ostéopathe, iẽņ ostéopathiẽre, ìņ ostéopathìre, āņ ostéopathāre, ǫņ ostéopathǫre, úņ ostéopathúre |- | -ate | -at | -aîstre (/ɛstʁ/) | -iẽstre | -ìstre (/ɛ̃t/) | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une avocate, un avocat, des avocaîstres, iẽne avociẽlte ou iẽne avocquiẽlte, úne avocûnte, āne avocānte ou āne avoquānte, ǫne avocǫnte ou ǫne avoquǫnte, ine avocìnte ou ine avoquìnte </blockquote> |- | colspan="3" | -istre | -iẽstre | -uìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une ministre, un ministre, des ministres, iẽne miniẽstre, ìne minuìstre, āne mināstre, ǫne minǫstre, úne minûstre |- | colspan="3" | -eintre (/ɛ̃tʁ/) | -ẽņtre | -ìņtre | -āņtre | -ǫņtre | -úņtre |une peintre, un peintre, ẏne peintre, iẽne pẽņtre, ìne pìņtre, āne pāņtre, ǫne pǫņtre, úne púņtre |- | colspan="3" | -ès | | | | | |<blockquote>une agrès, un agrès, des agrès,</blockquote> |- | colspan="3" | -ey | | | | | |<blockquote>une disc jockey, un disc jockey, des disc jockeys</blockquote> |- | colspan="3" | -ai | | | | | |<blockquote>une Bai, un Bai, des Bais</blockquote> |- | colspan="3" | -paide | -paidẽste | -paidìste | -paidāste | -paidǫste | -paidûste |une philopaide, un philopaide, quelque philopaide, iẽņ philopaidẽste, ìņ philopaidìste, āņ philopaidāste, ǫņ philopaidǫste, úņ philopaidûste |- | colspan="3" | -aide- | -aidẽņte- | -aidìņte- | -aidiāņte- | -aidǫņte- | -aidúņte- |une aide-bibliothécaire, un aide-bibliothécaire, quelque aide-bibliothécaire, iẽņ aidẽņte-bibliothécaire, ìņ aidìņte-bibliothécaire, āņ aidiāņte-bibliothécaire, ǫņ aidǫņte-bibliothécaire, úņ aidúņte-bibliothécaire |- | -aide | -aid | -aïde (/ajd/) | -aidẽse | -aidìse | -aidāse | -aidǫse | -aidúse |une laide, un laid, quelque laïde, iẽņ laidẽse, ìņ laidìse, āņ laidāse, ǫņ laidǫse, úņ laidúse |- | -euve | -euf | -eune | | | | | |<blockquote>une veuve, un veuf, des veunes, iẽne viẽne, úne vûne, āne vāne, ǫne vǫne, ine vìne</blockquote> |- | colspan="3" | -euve | | | | | |<blockquote>une yeuve, un yeuve, des yeuves</blockquote> |- | -ouse | -oux | -ose | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫïse | -ûse |une épouse, un époux, ẏne épose, iẽņ épiẽse, ìņ épìse, āņ épāse, ǫņ épǫïse, úņ épûse |- | -ouse | -ou | -asse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une gargouillouse, un gargouillou, des gargouillasses, iẽņ gargouilliẽse, ìņ gargouillìse, āņ gargouillāse, ǫņ gargouillǫse, úņ gargouillûse |- | colspan="3" | -asse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |dégueulasse |- | | | | | | | | | |- | colspan="3" | -ouse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une Toungouse, un Toungouse, des Toungouses, iẽņ Toungiẽse, ìņ Toungìse, āņ Toungāse, ǫņ Toungǫse, úņ Toungûse |- | -ouve | | | | | | | | |- | colspan="3" | -own | -owniẽne | -ownìne | -ownāne | -ownǫne | -ownûne |une southdown, un southdown, des southdowns, iẽņ southdowniẽne, ìņ southdownìne, āņ southdownāne, ǫņ southdownǫne, úņ southdownûne |- | -ownesse | -own | -owniste | -ẽown (/ɛɔwn/) | -ìown (/iɔwn/) | -āown (/aɔwn/) | -ǫwn (/ɔwn/) | -ûown (/yɔwn/) |une clownesse, un clown, des clownistes, iẽņ clẽown, ìņ clìown, āņ clāown, ǫņ clǫwn, úņ clûown |- | -oue | -ou | -ouäne | -ouiẽne | -ouìne | -ouāire | -ouǫne | -úne |une Aïnoue, un Aïnou, des Aïnoune, iẽņ Aïnouïẽne, ìņ Aïnouìne, āņ Aïnouāire, ǫņ Aïnouǫne, úņ Aïnúne |- | -oue | -ou | -ouïste | -ouiẽste | -ouyìste | -ouāste | -ouǫste | -úste |une hindoue, un hindou, des hindouïstes, iẽņ hindouïẽste, ìņ hindouyìste, āņ hindouāste, ǫņ hindouǫste, úņ hindúste |- | colspan="3" | -oute | -outēne | -outìne | -outāne | -outǫïne | -outúne |une rouquemoute, un rouquemoute, ẏņ rouquemoute, ẽņ rouquemoutēne, ìņ    rouquemoutìne, āņ rouquemoutāne, ǫņ rouquemoutǫïne, úņ rouquemoutúne |- | colspan="3" |⟨verbe⟩oute-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outẽre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outìre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outāre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outǫre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outúre-⟨nom⟩ |uņ boute-feu, un boute-feu, ẏņ boute-feu, ẽņ boutẽre-feu, ìņ boutìre-feu, āņ boutāre-feu, ǫņ boutǫre-feu, úņ boutúre-feu |- |style=" background-color:#ffffcc; background-image: linear-gradient(to bottom right, transparent calc(50% - 1px), grey, transparent calc(50% + 1px)); " | | -oute |style=" background-color:#ffffcc; background-image: linear-gradient(to bottom right, transparent calc(50% - 1px), grey, transparent calc(50% + 1px)); " | | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |∅, un biloute, ∅, ẽņ biliẽstre, ìņ bilìstre, ãņ bilāstre, ǫņ bilǫstre, úņ bilûstre |- | colspan="3" | -acoute | -acquiẽstre | -acquìstre | -acquāstre | -acquǫstre | -acqûstre |une macoute, un macoute, ẏņ macout, ẽņ macquiẽstre, ìņ macquìstre, āņ macquāstre, ǫņ macquǫstre, úņ macqûstre |- | -oute | -out (/ut/) | -outarque -outiste | -outarquiẽstre -outiēste | -outarqustre -outuìste | -outarquāstre -outāste | -outarquǫstre -outǫste | -outarqûstre -outûste |une maraboute, un marabout, ẏņ maraboutarque ou ẏņ maraboutiste, |- | colspan="3" | -arque | rowspan="2" | -arquiēstre | rowspan="2" | -arquìstre | rowspan="2" | -arquāstre | rowspan="2" | -arquǫstre | rowspan="2" | -arqûstre | |- | -arquesse | -arque | -arquestre | |- | -oute | -out (/u/) | -outiste -outille -oude | -outiẽse | -outuìsse | -outiāste | -outiǫsse | -outiûsse |<blockquote>une scoute, un scout, des scoutilles ou des scoutistes ou des scoudt, </blockquote> |- | -oute | -out (/u/) | -outie | -outiēste | -outuìste | -outāste | -outǫste | -outûste |<blockquote>une Tangoute, un Tangout, des Tangouties</blockquote> |- | -auve | | | | | | | | |- | -ecte | -ect | -ectum | -ectiẽlme | -ectìme | -ectāme | -ectǫlme | -ectûme |<blockquote>une suspecte, un suspect, des suspectums, </blockquote> |- | -ive | -if | -oive -ẏve | -iẽve | -ìlve | -āve | -ǫve | -ûve |une native, un natif, des natoives, iẽņ natiẽve, ìņ natìlve, āņ natāve, ǫņ natǫve, úņ natûve |- | colspan="3" | -auve | -iẽve | -ìve | -āve | -ǫïve (/ɔjv/) | -ûve |une chauve, un chauve, des chauves, iẽņ chiẽve, ìņ chìlve, āņ chāve, ǫņ chǫïve, úņ chûve |- | colspan="3" | -ave | -iẽve | -ìve | -ālve | -ǫve | -ûve |une brave, un brave, des braves, iẽņ briẽve, ìņ brìlve, āņ brālve, ǫņ brǫve, úņ brûve |- | colspan="3" | -ève | -iẽve | -ìve | -āve | -ǫve | -ûve |une élève, un élève, des élèves, iẽņ éliẽve, ìņ élìve, ãņ élāve, ǫņ élǫve, úņ élûve |- | colspan="3" | -ive | -iẽve | -ìlve | -āve | -ǫve | -ûve |une détective, un détective, des détectives, iẽņ détectiẽve, ìņ détectìlve, āņ détectāve, ǫņ détectǫve, úņ détectûve |- | -uve | -uve | -uve | -iẽve | -ìve | -āve | -ǫve | -ûlve | |- | colspan="3" | -ule | -iẽl | -ìle | -āle | -ǫle | -ûcle |<blockquote>une contribule, un contribule, des contribules</blockquote> |- | -ulle | -ul | -ullus (/y.lys/) | -iẽl | -ìlle | -ālle | -ǫlle | -úlle |<blockquote>une nulle, un nul, des nullus</blockquote> |- | -ulle | -ulle | | -ulliẽsse | -ullìsse | -ulliāsse | -ulliǫsse | -ulliússe | |- | -ule | -ul | -ulum | -iẽl | -ìle | -āle | -ǫle | -úle |<blockquote>une consule, un consul, des consulums</blockquote> |- | colspan="3" | -ole | -iẽl | -ìle | -iāle | -ǫple<ref group="N">Permet de désambiguïser avec ''-ole'', tout en faisant un lien avec <code>hóplon/ὅπλον</code> : ''outil, arme.''</ref> | -ûle |<blockquote>une bénévole, un bénévole, des bénévoles</blockquote> |- | colspan="3" | -il | -iẽle | -oìle | -āle | -ǫle | -ûle |<blockquote>une danakil, un danakil, des danakils</blockquote> |- | colspan="3" | -ile | -iẽl | -uìle | -āle | -ǫle | -ûle |<blockquote>une juvénile, un juvénile, des juvéniles</blockquote> |- | colspan="3" | -ille | -iẽlle | -oìle | -ālle | -ǫlle | -úlle |<blockquote>une intranquille, un intranquille, des intranquilles</blockquote> |- | -ile | -il | -iliane -oile | -iẽle | -uìle | -āle | -ǫle | -ûle |<blockquote>une civile, un civil, des</blockquote> |- | -iale | -ial | -iaule (/jol/) | -iẽle | -yìle | -āïle (/ajl/) -āyle | -ǫïle (/ɔjl/) | -iúle |une milléniale, un millénial, ẏn mélléniaule, ēņ milléniẽle, ìņ millényìle, āņ millénāïle, ǫņ millénǫïle, úņ milléniúle |- | -ale | -al | -aule (/ol/) | -iẽle | -ìale | -āïle | -ǫïle (/ɔ.jl/) | -iúle |une originale, un orignal, ẏņ originaule, |- | -ale | -al | -alesque | -aliẽsque | -alìsque | -alāsque | -alǫsque | -alûsque | |- | -oniale | -oine | -onaste | -onēste | -onìste | -oniāste | -onǫste | -onûste |<blockquote>une moniale, un moine, des monastes</blockquote> |- | colspan="3" | -ègue | -iẽgue | -ìgue | -āgue | -ǫgue | -ûgue |<blockquote>une collègue, un collègue, des collègues</blockquote> |- | -ègue | -eg | -ège | -iẽgue | -ìgue | -āgue | -ǫgue | -ûgue |<blockquote>une Touarègue, un Touareg, des Touarèges</blockquote> |- | colspan="3" | -ogue | -ẽgue | -ìgue | -āgue | -ǫrgue -ǫïgue | -ûgue |<blockquote>une psychagogue, un psychagogue, des psychagogues, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -igue | -iẽlgue | -ìlgue | -āgue | -ǫgue | -ûgue |<blockquote>une prodigue, un prodigue, des prodigues, </blockquote> |} <noinclude> === Notes === <references group="N" /> === Références === <references /> </noinclude> hffofg961njdzsxr3rc8pzdugf1xe2x 104 84552 982980 982865 2026-05-22T19:58:08Z Psychoslave 2753 982980 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''affenpinscher''<ref>{{Lien web|titre=Page introuvable|url=https://chien.ouest-atlantis.com/avis-affenpinscher.html|site=chien.ouest-atlantis.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Affenpinscher à donner : adoption et rescues Québec [2024]|url=https://lebernard.ca/chiens/refuges/adoption-affenpinscher/|site=lebernard.ca|date=2023-02-04|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''africander, afrikander, alzheimer''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Couturier|titre=Puzzle: journal d'une Alzheimer|éditeur=J. Lyon|date=2004|isbn=978-2-84319-089-6|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimer, baby-boomer, babyboomer, baby-sitter, bartender, biker''<ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Issam|nom1=Charhi|titre=Nina Agdal : une biker sexy et glamour qui n’a plus rien à prouver !|périodique=Public|date=2014-04-09|lire en ligne=https://www.public.fr/nina-agdal-une-biker-sexy-et-glamour-qui-n-a-plus-rien-a-prouver|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcher, biohacker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Biohacking : qu’est-ce que c’est et comment ça fonctionne ? {{!}} BIOGENA France|url=https://biogena.com/fr-fr/savoir/guide/biohacking_bba_5612051|site=biogena.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Biohacking, l’art de doper sa routine !|url=https://www.parismatch.com/vivre/art-de-vivre/biohacking-lart-de-doper-sa-routine-234579|site=parismatch.com|date=2024-02-14|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Gabriel Dorthe|titre=Lepht Anonym : transhumanisme de cuisine|url=https://shs.cairn.info/le-transhumanisme-une-anthologie--9791037005717-page-303?lang=fr.}}</ref>'', bodybuilder''<ref>{{Lien web|titre=Mon poids, ma transformation + Entraînement Powerlifting|url=https://www.youtube.com/watch?v=8F5qyPu_6Lg|extrait=Je répond aussi à la question: est-ce qu'une femme qui s'entraine en musculation deviendra automatiquement comme une bodybuilder de haut niveau.}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Radio|prénom1=D. H.|titre=La belle histoire d'amour entre un nain bodybuilder et une femme transgenre|url=https://www.dhnet.be/medias/dh-radio/2015/03/30/la-belle-histoire-damour-entre-un-nain-bodybuilder-et-une-femme-transgenre-2PGEOCSPKRFSHAPVYSNZJJA2LM/|site=DHnet|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|nom1=WokeUpandChoseViolence|titre=L'odyssée d'une bodybuilder olympienne {{!}} Ep. 108: Mimi Capes|url=https://www.youtube.com/watch?v=F3wH4kpyvug|date=2024-07-10|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosser''<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Mazag de Robert Solé|isbn=978-2-02-039280-8|lire en ligne=https://livraddict.com/biblio/livre/mazag.html|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Rires D'homme Entre Deux Pluies De Claude Duneton|url=https://inter-commerce.de/1196925/Entre-Deux-Pluies-De-Claude-Duneton|extrait=Découverte grâce à une bookcrosser canadienne}}</ref>'', booker''<ref>{{Lien web|nom1=Souilem|prénom1=Ichrak|titre=[Interview] Connaissez vous Les Bookers ?|url=https://www.surfntaste.com/2012/06/interview-connaissez-vous-les-bookers.html|site=Surf 'n' Taste|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Back in the Dayz recrute un.e booker musique pop / variété|url=https://www.facebook.com/backinthedayz.be/posts/back-in-the-dayz-recrute-une-booker-musique-pop-vari%C3%A9t%C3%A9-fran%C3%A7aise/1410990631038110/}}</ref>'', bookmaker''<ref>{{Lien web|titre=Les Soprano - Saison 5|url=https://www.primevideo.com/-/fr/detail/The-Sopranos/0PTDULHB1XZY6O4QPUD6VMVXYR|extrait=Sack n'accepte pas le plan de partage du pouvoir que propose Tony et le lui fait savoir par une bookmaker du nom de Lorraine Calluzo.}}</ref>'', boomer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Pourquoi le terme « boomer » fait polémique|url=https://www.20minutes.fr/societe/3029587-20210426-pourquoi-terme-boomer-fait-polemique|site=20 Minutes|date=2021-04-26|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Bon à savoir 🤔 - C&#39;est quoi un “boomer” ? Un “boomer” est quelqu&#39;un né pendant le baby-boom, c’est une période de forte hausse (explosion) des naissances entre 1945 et 1975. (d&#39;où le terme « baby »… {{!}} Antoine Gérard {{!}} 27 commentaires|url=https://fr.linkedin.com/posts/antoine-g%C3%A9rard_bon-%C3%A0-savoir-cest-quoi-un-boomer-activity-7151482980757041152-deWI|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bootlegger''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Bootlegger : tout le pouvoir aux femmes|url=https://ici.radio-canada.ca/espaces-autochtones/1439606/bootlegger-kitigan-zibi-caroline-monnet-film|site=Radio-Canada|date=2019-12-23|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=AlloCine|titre=Hunger Games 6 : voici le casting complet du prochain film de la saga aux 3,3 milliards de dollars !|url=https://www.allocine.fr/article/fichearticle_gen_carticle=1000144157.html|site=AlloCiné|date=2025-05-15|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', bouncer''<ref>{{Lien web|titre=Laa - Encyclopédie Star Wars HoloNet|url=https://www.starwars-holonet.com/encyclopedie/personnage-laa.html|site=www.starwars-holonet.com|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Ty peluche vache Bouncers Daisy Cow White jouet en peluche Planet Happy BE|url=https://www.planethappy.be/fr/produit/410804/ty-peluche-vache-bouncers-daisy-cow-white-jouet-en-peluche.html|site=www.planethappy.be|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Olivia-Jeri Pizzuco-Ennis et Alice Young, auteur sur Montréal Campus|url=https://montrealcampus.ca/author/olivia-jeripizz/|site=Montréal Campus|date=2024-03-12|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', broker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les marchés financiers, des métiers passionnants|url=https://www.jinvestislavenir.fr/actualites/les-marches-financiers-des-metiers-passionnants|site=J’investis l’avenir|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=broker indelicat|url=https://www.hisse-et-oh.com/sailing/broker-indelicat|site=www.hisse-et-oh.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', buzzer''<ref>{{Lien web|titre=COMMISSAIRE TETINE passe à la télé aujourd'hui...|url=https://m.facebook.com/1339423339536398/photos/a.1363027137176018/2734202833391768/?type=3&locale=hi_IN|extrait=... une buzzer, une faiseur de buzz encore moins une buzziste, elle est encore trop jeune, ,laissez la grandir et apprendre , ne lui faite pas ...}}</ref>'', challenger''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Martinez|prénom1=Nicolas|titre=Aperçu : Aryna Sabalenka et Iga Swiatek s'affrontent en demi-finale de l'Open de Cincinnati 2024 - Open 6ème Sens - Tennis|url=https://www.open6emesens.fr/tennis/apercu-aryna-sabalenka-et-iga-swiatek-saffrontent-en-demi-finale-de-lopen-de-cincinnati-2024/|site=Open 6ème Sens|date=2024-08-17|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cheerleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Qu’est-ce que le cheerleading – FANATIC CHEER 19|url=https://www.fanaticcheer19.fr/quest-ce-que-le-cheerleading/|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', clubber''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Toulouse en panne d'endroits pour les plus de 30 ans|url=https://www.ladepeche.fr/article/2008/12/23/512102-toulouse-panne-endroits-plus-30-ans.html|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', co-designer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Isabel Marant s'offre une seconde directrice artistique|url=https://www.marieclaire.fr/kim-bekker-directrice-artistique-isabel-marant,1400742.asp|site=Marie Claire|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=FR|prénom1=FashionNetwork com|titre=The Kooples valide et amplifie sa stratégie de développement sur le sac|url=https://fr.fashionnetwork.com/news/The-kooples-valide-et-amplifie-sa-strategie-de-developpement-sur-le-sac,999832.html|site=FashionNetwork.com|date=2018-07-22|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', codesigner, coleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=à 07h00|prénom1=Par Le 31 mars 2012|titre=Fournier sait où elle va|url=https://www.leparisien.fr/hauts-de-seine-92/fournier-sait-ou-elle-va-31-03-2012-1932219.php|site=leparisien.fr|date=2012-03-31|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cosplayer, cost-killer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Dalila Zein, une « cost killer » devient directrice générale de l'AFP|url=https://www.acrimed.org/Dalila-Zein-une-cost-killer-devient-directrice|site=Acrimed {{!}} Action Critique Médias|date=2018-07-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', couchsurfer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Couchsurfing|url=https://www.couchsurfing.com/|site=Couchsurfing|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cracker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Access denied - Cristina Rodriguez|url=https://www.babelio.com/livres/Rodriguez-Access-denied/195530|site=Babelio|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crooner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Doris Day|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-01-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Doris_Day&oldid=232549107|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crossgolfer, dealer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Une dealer arrêté avec près d'un million d'euros|url=https://www.sudouest.fr/faits-divers/une-dealer-arrete-avec-pres-d-un-million-d-euros-8796791.php|site=SudOuest.fr|date=2013-02-19|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Littoral|prénom1=P. C. F.|titre=Une dealer républicaine|url=http://pcf-littoral.over-blog.com/2019/08/une-dealer-republicaine.html|site=Le blog de PCF Littoral|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', debater''<ref>{{Lien web|titre=Et oui, je prends le temps de lire les contrats. Le premier ministre, M. Legault pourrait en faire autant avant de les signer. Ça nous permettrait d’éviter d’autres fiascos financiers avec notre argent!|url=https://www.facebook.com/marwahrizqymtl/posts/et-oui-je-prends-le-temps-de-lire-les-contrats-le-premier-ministre-m-legault-pou/1240978227836763/|extrait=Une femme brillante, intègre, une "debater" excellente... Legault ne fait pas le poids devant Marwah Rizqy.}}</ref>'', designer, disliker, dissenter''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Valentina|nom1=Altopiedi|champ libre=En citant le verset biblique d’Isaïe (43 : 6) qui a pour signification l’unification de tous les peuples de la Terre sous un seul Dieu, la dissenter Williams célébrait la liberté qui aurait unifié tous les peuples dans un rêve quasiment millénariste d’une république universelle.|titre=Une Révolution pour tous ? Comment des femmes anglaises ont vécu et écrit la Révolution française : le cas de Mary Wollstonecraft et Helen Maria Williams|périodique=La Révolution française|numéro=22|date=2022/janv./20|issn=2105-2557|doi=10.4000/lrf.6206|lire en ligne=https://journals.openedition.org/lrf/6206|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', dogsitter''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Roncq - Marie, dogsitter professionnelle, pallie l’absence des maîtres|périodique=La Voix du Nord|lire en ligne=https://www.lavoixdunord.fr/592911/article/2019-06-03/marie-dogsitter-professionnelle-pallie-l-absence-des-maitres|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', doppelgänger''<ref>{{Lien web|titre=[Ecologie] Doppelgänger / Changelins|url=https://www.donjondudragon.fr/forum/vos-creations/illustrations/vos-creations-graphiques/precis-d-histoires-naturelles-carnets-ecologiques/ecologie-doppelganger-changelins-6173.html|site=www.donjondudragon.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Commentaire de chisalockhart sur Les Royaumes sans lune, Tome 1 : Le Porterune|url=https://booknode.com/les_royaumes_sans_lune_tome_1_le_porterune_03671487/commentaires/25027854|site=booknode.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', drifter''<ref>{{Lien web|nom1=Destrohido|titre=😍 Guide Drifter/Voyageuse SEXY ! 😍{{!}} Warframe [FR]|url=https://www.youtube.com/watch?v=0uvCDkn-HUo|date=2022-05-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', driver''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=En Mayenne, une grosse opération du PMU dans plusieurs bars pour redonner envie aux turfistes de parier - ICI|url=https://www.francebleu.fr/pays-de-la-loire/mayenne-53/laval/en-mayenne-une-grosse-operation-du-pmu-dans-plusieurs-bars-pour-faire-redonner-envie-aux-turfistes-de-parier-1177235|site=ICI, le média de la vie locale|date=2025-09-13|consulté le=2026-02-18|extrait=Joël est fan d'une driver en particulier. "Il y en a une, quand elle est dans la charrette, je le joue à chaque fois !", lance-t-il en parlant de Clarisse Lelièvre, originaire d'Ernée.}}</ref>'', droughtmaster, drummer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=DAWSON4|url=https://www.bandmix.fr/dawson4/|site=BandMix|consulté le=2026-02-18|extrait=Je recherche un ou une bassiste un ou une Drummer un ou une pianiste.}}</ref>'', e-merchandiser, fabmanager''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le Carrefour numérique de la Cité des sciences et de l'industrie recrute un/une Fabmanager/Fabmanageuse|url=https://forum.rfflabs.fr/topic/504/le-carrefour-num%C3%A9rique-de-la-cit%C3%A9-des-sciences-et-de-l-industrie-recrute-un-une-fabmanager-fabmanageuse|site=Réseau Fr. des FabLabs|date=2021-10-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', facebooker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=SaId.A|titre=Houssaine Obrim : » C’est fini, j’arrête. «|url=https://lionsdelatlas.ma/houssaine-obrim-c-est-fini-j-arrete/|date=2017-09-27|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Top dix des incivilités des Algériens.|url=https://www.algerie-dz.com/forums/algerie/260487-top-dix-des-incivilit%C3%A9s-des-alg%C3%A9riens|site=Algerie-dz.com|date=2012-10-20|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fighter''<ref>{{Lien web|titre=LP est une "Fighter" avec Imanbek dans un clip futuriste|url=https://www.chartsinfrance.net/Imanbek/news-118908.html|site=chartsinfrance.net|date=2021-10-03|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fixer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Romance Panam Cyberpunk 2077 : comment vivre le grand amour avec elle ?|url=https://www.jeuxvideo.com/news/1806152/romance-panam-cyberpunk-2077-comment-vivre-le-grand-amour-avec-elle.htm|site=Jeuxvideo.com|date=2023-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=R&ocirc;liste|prénom1=Senior|titre=Récit de partie Cyberpunk: Pour 500 eddies... - Senior Rôliste - Blog JDR (Jeu de rôle)|url=https://senioroliste.com/cyberpunk/pour-500-eddies|site=Senior Rôliste|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Netflix : les nouveautés à voir en avril 2023|url=http://www.ellequebec.com/style-de-vie/cinema-et-tele/netflix-les-nouveautes-a-voir-en-avril-2023|site=Magazine ELLE Québec {{!}} Tendances mode, beauté, lifestyle et célébrités|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', flanker, flyer''<ref>{{Lien web|titre=05/03/2022 - PERTH ASCOT: Pronostics, Cotes & Résultats|url=https://www.zeturf.fr/fr/reunion-du-jour/2022-03-05/R9-perth-ascot#a-l-affiche-tab|site=www.zeturf.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', follower''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=J'ai Eu Ma Première GROSSE Commande Grâce à Une Follower!|url=https://www.youtube.com/shorts/SOQFdyC2V_w|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerider''<ref>{{Lien web|titre=Welcome to the team Casey!|url=https://www.swatch.com/fr-fr/athlete-casey-brown.html?srsltid=AfmBOorEVey699qy0MAAFVnCEHL1s_uz1Ewmfyd7bHCiEI8MfjXiiSoW|site=www.swatch.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerunner''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Orion|prénom1=Maryam|titre=Lilou Ruel, star du parkour et freerunning à 17 ans nous partage ses secrets !|url=https://laruche.wizbii.com/interview-de-lilou-ruel-une-freerunner-girl-de-17-ans|site=WIZBII Blog|date=2020-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-ch|titre=https://we.tl/t-CKlLTf0DDy|url=https://www.redbull.com/ch-fr/red-bull-art-of-motion-2022-qualifications|site=Red Bull|date=2022-04-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le FN, un parti "dictatorial", Marine, une "Führer": les perles de Jean-Marie Le Pen|url=https://www.lexpress.fr/politique/rn/le-fn-un-parti-dictatorial-marine-une-fuhrer-les-perles-de-jean-marie-le-pen_1688798.html|site=L'Express|date=2015-06-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', Führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=My Cute Fuhrer sur Steam|url=https://store.steampowered.com/app/1205960/My_Cute_Fuhrer/|site=store.steampowered.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', gabber''<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Staelens|prénom1=Stefanie|titre=Une après-midi à danser le hakken dans le shop gabber le plus culte du Benelux|url=https://www.vice.com/fr/article/une-apres-midi-a-danser-le-hakken-dans-le-shop-gabber-le-plus-culte-du-benelux/|site=VICE|date=2018-06-14|consulté le=2026-05-16|extrait=Le groupe qui me semble le plus amical est une famille constituée d'une gabber mama, Antilla, et de ses sept fils.}}</ref>'', gamer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Academos|titre=Academos a posé 10 questions à un gamer pur et dur|url=https://academos.qc.ca/blogue-jeunes/entrevues/10-questions-pour-passionne-jeux-video/|site=Academos|date=2019-08-16|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', globe-trotter''<ref>{{Lien web|titre=Sarthe. Une globe-trotter vient en aide aux jeunes Africaines|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/la-chartre-sur-le-loir-72340/sarthe-une-globe-trotter-vient-en-aide-aux-jeunes-africaines-771895e6-4ede-11ed-84de-086d7f92e6be}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Nouaillé-Maupertuis : le documentaire d’une globe-trotter|url=https://www.lanouvellerepublique.fr/vienne/commune/nouaille-maupertuis/nouaille-maupertuis-le-documentaire-d-une-globe-trotter|site=lanouvellerepublique.fr|date=2024-10-01|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', greeter''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les greeters, guides bénévoles qui nous font aimer le patrimoine de leur ville|url=https://www.franceinfo.fr/culture/patrimoine/les-greeters-guides-benevoles-qui-nous-font-aimer-le-patrimoine-de-leur-ville_3368661.html|site=franceinfo|date=2017-08-11|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', hacker, hinterwälder, hipster, homeschooler, looser, merchandiser, planner, ranger, rocker, teen-ager, teenager, trader, viewer, webmaster, youngtimer''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Majoritairement, ce sont des termes issus d’emprunts à l’anglais. Souvent la forme épicène est concourante à l’emploi de variations avec alternance suffixale en -euse, ''-ère'', ''-eresse ou -resse'' : ''africandère''<ref>{{Ouvrage|nom1=Getty Research Institute|titre=Le rire : journal humoristique paraissant le samedi|éditeur=Paris : F. Juven|date=1894|lire en ligne=http://archive.org/details/lerirejournalhum07unse|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimeresse''<ref>{{Lien web|titre=Bimbo com's - Ma-bimbo.com, jeu de mode ! Jeu de filles et jeu pour filles|url=https://ma-bimbo.com/profile/lolissou,coms,1583364,63.htm|site=ma-bimbo.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', baby-boomeuse,'' baby-sitteuse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Guillot|prénom1=Justine|titre=Baby-Sitting : quel statut, quel salaire ?|url=https://info-jeunes.fr/baby-sitting-quel-statut-quel-salaire/|site=Info-Jeunes|date=2024-01-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Tina, nounou est à la recherche d'un emploi à Strasbourg|url=https://yoopies.fr/nounou/strasbourg/baby-sitteuse-douce-experimentee-strasbourg/6343547|site=Yoopies|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''bartendresse'', ''bikeuse,'' ''bodybuildeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Sikagz|titre=Une bodybuildeuse de 47 ans balaye les critiques sur son physique|url=https://www.gentsu.fr/actu-urbaine/une-bodybuildeuse-de-47-ans-balaye-les-critiques-sur-son-physique/|site=Gentsu|date=2023-07-04|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Article|langue=en|titre=Immersion - Avec une bodybuildeuse {{!}} TV5MONDE États-Unis|périodique=TV5MONDE États-Unis|lire en ligne=https://usa.tv5monde.com/en/tv-guide/documentaries/immersion/avec-une-bodybuildeuse-728259|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une bodybuildeuse et influenceuse retrouvée morte après une chute de son immeuble, elle avait le corps lacéré|url=https://www.ladepeche.fr/2025/11/14/une-bodybuildeuse-et-influenceuse-retrouvee-morte-apres-une-chute-de-son-immeuble-elle-avait-le-corps-lacere-13052748.php|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosseuse''<ref>{{Lien web|titre=Marie-Paule Douaud, première « bookcrosseuse »|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/aizenay-85190/marie-paule-douaud-premiere-bookcrosseuse-3799563}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=A Lille, le "bookcrossing" fait voyager les livres {{!}} TF1 Info|url=https://www.tf1info.fr/conso/a-lille-le-bookcrossing-fait-voyager-les-livres-1519899.html|site=www.tf1info.fr|date=2015-01-12|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Comment trouver un bookeur, un agent, un tourneur, bref des dates autrement que par soi-même|url=https://confliktarts.com/blogs/news/comment-trouver-un-bookeur-un-agent-un-tourneur-bref-des-dates-autrement-que-par-soi-meme|site=Confliktarts|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Ducarre|prénom1=Antoine|titre=USA : Donald Trump destitué, le pari fou des bookmakers|url=https://vl-media.fr/usa-trump-destitue-pari-fou-bookmakers/|site=VL Média|date=2017-05-11|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Message du 1er janvier 2026 réservé aux hommes|url=https://atypikal.life/2026/01/01/message-du-1er-janvier-2026-reserve-aux-hommes/|site=Atypikal Life|date=2025-12-31|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeresse''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Auguste|nom1=Lepère|champ libre=p.142 : les paris pris par la bookmakeresse au Grand Prix hippique de Paris.|titre=[Illustrations de Paris au hasard]|date=1895|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b2000080w|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', boomeuse, boomeresse''<ref>{{Lien web|titre=Reddit - Le cœur d’Internet|url=https://www.reddit.com/r/TropPeurDeDemander/comments/1perfmz/vous_%C3%AAtes_l%C3%A0_les_petitsenfants_de_boomers/|site=www.reddit.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcheuse, coronère''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=À la poursuite de la santé - Des communautés autochtones {{!}} Savoir média {{!}} Lea-Chloe Bilodeau|url=https://fr.linkedin.com/posts/lea-chloe-bilodeau-3679741aa_%C3%A0-la-poursuite-de-la-sant%C3%A9-des-communaut%C3%A9s-activity-7334629045785038848-2PD2|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-16|extrait=Dans les jours qui suivent la publication du rapport de la coronère Stephanie Gamache sur le décès de Raphaël André, je suis tombée sur ce reportage de Savoir Média :}}</ref>'','' ''designeuse, globe-trotteuse, quakeresse''.<blockquote>ℹ️ ''Alzheimère'' ne semble employé que dans un jeu de mot avec mère<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Luna Théâtres|url=https://www.luna-theatres.fr/spectacle/alzheimere-fils-563|site=Luna Théâtres|consulté le=2026-02-17}}</ref>, qui dans le même registre alterne avec ''Alzheipère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Hoang|prénom1=Van|titre=Alzheipère de Xavier Benout aux Riches Claires jusqu'au 28 octobre • Le Suricate|url=https://www.lesuricate.org/alzheipere-de-xavier-benout/|site=Le Suricate|date=2017-10-16|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Alzheipère de Xavier Benout : Peut-on rire de tout ? - RTBF Actus|url=https://www.rtbf.be/article/alzheipere-de-xavier-benout-peut-on-rire-de-tout-9741731|site=RTBF|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. De même pour alzheimeuse, qui a servi de nom à une association chargée de promouvoir et développer le lien social des personnes souffrant de la maladie d'Alzheimer dans la Meuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. À noter également les dérivés ''Alzheimerienne'' et ''Alzheimerien''. De même pour ''boomère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Anne-Laure|titre=Les mots qu’il nous faut / Jeanne Henin|url=https://www.agence-dejademain.fr/les-mots-quil-nous-faut-jeanne-henin/|site=Agence Déjà Demain|date=2024-11-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'','' auquel une alternance en ''boopère'' n'est pas attesté en ce sens malgré la constatation de l'emploi d'un terme homéomorphe<ref>{{Ouvrage|prénom1=France)|nom1=University of Michigan|titre=Bulletins de la Société des antiquaires de l'Ouest|éditeur=Poitiers : Chez tous les libraires ; Paris : Chez Derache, Libraire|lire en ligne=http://archive.org/details/bulletindelasoc157unkngoog|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=Michel Sévigny Obituary {{!}} 2025 - 2025 {{!}} Sudbury Star|url=https://thesudburystar.remembering.ca/obituary/michel-sevigny-1076249989|site=thesudburystar.remembering.ca|consulté le=2026-02-18}}</ref>. </blockquote><blockquote>ℹ️ Outre ''bartendresse'', du côté anglophone la forme ''bartendereresse'' est attestée<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les 50 meilleurs bars et boissons dans Riga|url=https://wanderlog.com/fr/list/geoCategory/6425/les-meilleurs-bars-et-boissons-dans-riga|site=Wanderlog|consulté le=2026-02-17|extrait=The service was welcoming and the bartenderesse skills impressive.}}</ref>, et les formes ''barmaid'' à l'ambigu et ''barman'' à l'équivoque sont également en usage dans la francophonie.</blockquote> ====== Défectivités ====== La forme ''barebacker'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec ''barebackeuse''<ref>{{Lien web|titre=Liste des barebackeuses - Page 2 - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=15726&start=15|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Beatriz hilton - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=12260|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=la salope a queues - CuckoldPlace.com|url=https://www.cuckoldplace.com/16_61375_1.html|site=www.cuckoldplace.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>''.'' La forme ''be-boper'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec be-bopeuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=CultureJazz.fr|prénom1=Équipe de rédaction de|titre=L'Appeal Du Disque - Décembre 2020|url=https://www.culturejazz.fr/spip.php?article3600|site=CultureJazz.fr|date=2020-12-15|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Guitare Jazz Manouche • Voir le sujet - Rare: Emily Remler playin' "Hot House"|url=https://guitarejazzmanouche.com/forum/viewtopic.php?t=21417&p=238714|site=guitarejazzmanouche.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=#alain gerber {{!}} Explore Tumblr posts and blogs {{!}} Tumgik|url=https://www.tumgik.com/tag/alain%20gerber|site=www.tumgik.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Follow Me|url=https://www.faq-drone.com/topic/22294-follow-me/|site=Forum Drones & Voitures RC|date=2018-11-03|consulté le=2026-02-17}}</ref>. Le terme ''buumdroeger'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''crossgolfer'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''freefighter'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''wasenmeister'' n’est attesté qu’à l'équivoque. ''Un growler''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Une chorale de chanteurs métal en spectacle vendredi au CEM|url=https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/2062560/growlers-choir-chant-gorge|site=Radio-Canada|date=2024-04-04|consulté le=2026-05-22}}</ref>, personne qui se spécialise le chant guttural, ne semble employé qu'à l'équivoque, mais des flexions comme ''growleuse'' sont en usage<ref>{{Lien web|titre=Chronique : PassCode Strive (2020)|url=https://www.leseternels.net/chronique.aspx?id=19040|site=www.leseternels.net|consulté le=2026-05-22}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-fr|nom1=Lo|titre=Of Hope And Aspiration|url=https://www.musiczine.net/index.php/fr/chroniques/item/23786-Of_Hope_And_Aspiration|site=www.musiczine.net|consulté le=2026-05-22}}</ref>. ====== Métaphores et métonymies haplogestes ====== ''Un bloomer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un blaster,'' arme, et par suite personne qui l'utilise. ''Un blazer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un bomber'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un cruiser,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ''Un dumper,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ====== Biotiques haplogestse ====== * ''un backer, oiseau&nbsp;;'' * ''un borer,'' insecte&nbsp;; * ''un burger,'' cépage&nbsp;; * ''un duiker,'' mammifère&nbsp;; ====== Références ====== <references /> ac18x7kc1r2wum59cg6bp0k4mvrk44w 982982 982980 2026-05-22T20:11:47Z Psychoslave 2753 Solutions de paradagime 982982 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''affenpinscher''<ref>{{Lien web|titre=Page introuvable|url=https://chien.ouest-atlantis.com/avis-affenpinscher.html|site=chien.ouest-atlantis.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Affenpinscher à donner : adoption et rescues Québec [2024]|url=https://lebernard.ca/chiens/refuges/adoption-affenpinscher/|site=lebernard.ca|date=2023-02-04|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''africander, afrikander, alzheimer''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Couturier|titre=Puzzle: journal d'une Alzheimer|éditeur=J. Lyon|date=2004|isbn=978-2-84319-089-6|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimer, baby-boomer, babyboomer, baby-sitter, bartender, biker''<ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Issam|nom1=Charhi|titre=Nina Agdal : une biker sexy et glamour qui n’a plus rien à prouver !|périodique=Public|date=2014-04-09|lire en ligne=https://www.public.fr/nina-agdal-une-biker-sexy-et-glamour-qui-n-a-plus-rien-a-prouver|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcher, biohacker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Biohacking : qu’est-ce que c’est et comment ça fonctionne ? {{!}} BIOGENA France|url=https://biogena.com/fr-fr/savoir/guide/biohacking_bba_5612051|site=biogena.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Biohacking, l’art de doper sa routine !|url=https://www.parismatch.com/vivre/art-de-vivre/biohacking-lart-de-doper-sa-routine-234579|site=parismatch.com|date=2024-02-14|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Gabriel Dorthe|titre=Lepht Anonym : transhumanisme de cuisine|url=https://shs.cairn.info/le-transhumanisme-une-anthologie--9791037005717-page-303?lang=fr.}}</ref>'', bodybuilder''<ref>{{Lien web|titre=Mon poids, ma transformation + Entraînement Powerlifting|url=https://www.youtube.com/watch?v=8F5qyPu_6Lg|extrait=Je répond aussi à la question: est-ce qu'une femme qui s'entraine en musculation deviendra automatiquement comme une bodybuilder de haut niveau.}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Radio|prénom1=D. H.|titre=La belle histoire d'amour entre un nain bodybuilder et une femme transgenre|url=https://www.dhnet.be/medias/dh-radio/2015/03/30/la-belle-histoire-damour-entre-un-nain-bodybuilder-et-une-femme-transgenre-2PGEOCSPKRFSHAPVYSNZJJA2LM/|site=DHnet|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|nom1=WokeUpandChoseViolence|titre=L'odyssée d'une bodybuilder olympienne {{!}} Ep. 108: Mimi Capes|url=https://www.youtube.com/watch?v=F3wH4kpyvug|date=2024-07-10|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosser''<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Mazag de Robert Solé|isbn=978-2-02-039280-8|lire en ligne=https://livraddict.com/biblio/livre/mazag.html|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Rires D'homme Entre Deux Pluies De Claude Duneton|url=https://inter-commerce.de/1196925/Entre-Deux-Pluies-De-Claude-Duneton|extrait=Découverte grâce à une bookcrosser canadienne}}</ref>'', booker''<ref>{{Lien web|nom1=Souilem|prénom1=Ichrak|titre=[Interview] Connaissez vous Les Bookers ?|url=https://www.surfntaste.com/2012/06/interview-connaissez-vous-les-bookers.html|site=Surf 'n' Taste|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Back in the Dayz recrute un.e booker musique pop / variété|url=https://www.facebook.com/backinthedayz.be/posts/back-in-the-dayz-recrute-une-booker-musique-pop-vari%C3%A9t%C3%A9-fran%C3%A7aise/1410990631038110/}}</ref>'', bookmaker''<ref>{{Lien web|titre=Les Soprano - Saison 5|url=https://www.primevideo.com/-/fr/detail/The-Sopranos/0PTDULHB1XZY6O4QPUD6VMVXYR|extrait=Sack n'accepte pas le plan de partage du pouvoir que propose Tony et le lui fait savoir par une bookmaker du nom de Lorraine Calluzo.}}</ref>'', boomer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Pourquoi le terme « boomer » fait polémique|url=https://www.20minutes.fr/societe/3029587-20210426-pourquoi-terme-boomer-fait-polemique|site=20 Minutes|date=2021-04-26|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Bon à savoir 🤔 - C&#39;est quoi un “boomer” ? Un “boomer” est quelqu&#39;un né pendant le baby-boom, c’est une période de forte hausse (explosion) des naissances entre 1945 et 1975. (d&#39;où le terme « baby »… {{!}} Antoine Gérard {{!}} 27 commentaires|url=https://fr.linkedin.com/posts/antoine-g%C3%A9rard_bon-%C3%A0-savoir-cest-quoi-un-boomer-activity-7151482980757041152-deWI|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bootlegger''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Bootlegger : tout le pouvoir aux femmes|url=https://ici.radio-canada.ca/espaces-autochtones/1439606/bootlegger-kitigan-zibi-caroline-monnet-film|site=Radio-Canada|date=2019-12-23|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=AlloCine|titre=Hunger Games 6 : voici le casting complet du prochain film de la saga aux 3,3 milliards de dollars !|url=https://www.allocine.fr/article/fichearticle_gen_carticle=1000144157.html|site=AlloCiné|date=2025-05-15|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', bouncer''<ref>{{Lien web|titre=Laa - Encyclopédie Star Wars HoloNet|url=https://www.starwars-holonet.com/encyclopedie/personnage-laa.html|site=www.starwars-holonet.com|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Ty peluche vache Bouncers Daisy Cow White jouet en peluche Planet Happy BE|url=https://www.planethappy.be/fr/produit/410804/ty-peluche-vache-bouncers-daisy-cow-white-jouet-en-peluche.html|site=www.planethappy.be|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Olivia-Jeri Pizzuco-Ennis et Alice Young, auteur sur Montréal Campus|url=https://montrealcampus.ca/author/olivia-jeripizz/|site=Montréal Campus|date=2024-03-12|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', broker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les marchés financiers, des métiers passionnants|url=https://www.jinvestislavenir.fr/actualites/les-marches-financiers-des-metiers-passionnants|site=J’investis l’avenir|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=broker indelicat|url=https://www.hisse-et-oh.com/sailing/broker-indelicat|site=www.hisse-et-oh.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', buzzer''<ref>{{Lien web|titre=COMMISSAIRE TETINE passe à la télé aujourd'hui...|url=https://m.facebook.com/1339423339536398/photos/a.1363027137176018/2734202833391768/?type=3&locale=hi_IN|extrait=... une buzzer, une faiseur de buzz encore moins une buzziste, elle est encore trop jeune, ,laissez la grandir et apprendre , ne lui faite pas ...}}</ref>'', challenger''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Martinez|prénom1=Nicolas|titre=Aperçu : Aryna Sabalenka et Iga Swiatek s'affrontent en demi-finale de l'Open de Cincinnati 2024 - Open 6ème Sens - Tennis|url=https://www.open6emesens.fr/tennis/apercu-aryna-sabalenka-et-iga-swiatek-saffrontent-en-demi-finale-de-lopen-de-cincinnati-2024/|site=Open 6ème Sens|date=2024-08-17|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cheerleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Qu’est-ce que le cheerleading – FANATIC CHEER 19|url=https://www.fanaticcheer19.fr/quest-ce-que-le-cheerleading/|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', clubber''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Toulouse en panne d'endroits pour les plus de 30 ans|url=https://www.ladepeche.fr/article/2008/12/23/512102-toulouse-panne-endroits-plus-30-ans.html|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', co-designer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Isabel Marant s'offre une seconde directrice artistique|url=https://www.marieclaire.fr/kim-bekker-directrice-artistique-isabel-marant,1400742.asp|site=Marie Claire|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=FR|prénom1=FashionNetwork com|titre=The Kooples valide et amplifie sa stratégie de développement sur le sac|url=https://fr.fashionnetwork.com/news/The-kooples-valide-et-amplifie-sa-strategie-de-developpement-sur-le-sac,999832.html|site=FashionNetwork.com|date=2018-07-22|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', codesigner, coleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=à 07h00|prénom1=Par Le 31 mars 2012|titre=Fournier sait où elle va|url=https://www.leparisien.fr/hauts-de-seine-92/fournier-sait-ou-elle-va-31-03-2012-1932219.php|site=leparisien.fr|date=2012-03-31|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cosplayer, cost-killer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Dalila Zein, une « cost killer » devient directrice générale de l'AFP|url=https://www.acrimed.org/Dalila-Zein-une-cost-killer-devient-directrice|site=Acrimed {{!}} Action Critique Médias|date=2018-07-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', couchsurfer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Couchsurfing|url=https://www.couchsurfing.com/|site=Couchsurfing|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cracker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Access denied - Cristina Rodriguez|url=https://www.babelio.com/livres/Rodriguez-Access-denied/195530|site=Babelio|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crooner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Doris Day|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-01-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Doris_Day&oldid=232549107|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crossgolfer, dealer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Une dealer arrêté avec près d'un million d'euros|url=https://www.sudouest.fr/faits-divers/une-dealer-arrete-avec-pres-d-un-million-d-euros-8796791.php|site=SudOuest.fr|date=2013-02-19|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Littoral|prénom1=P. C. F.|titre=Une dealer républicaine|url=http://pcf-littoral.over-blog.com/2019/08/une-dealer-republicaine.html|site=Le blog de PCF Littoral|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', debater''<ref>{{Lien web|titre=Et oui, je prends le temps de lire les contrats. Le premier ministre, M. Legault pourrait en faire autant avant de les signer. Ça nous permettrait d’éviter d’autres fiascos financiers avec notre argent!|url=https://www.facebook.com/marwahrizqymtl/posts/et-oui-je-prends-le-temps-de-lire-les-contrats-le-premier-ministre-m-legault-pou/1240978227836763/|extrait=Une femme brillante, intègre, une "debater" excellente... Legault ne fait pas le poids devant Marwah Rizqy.}}</ref>'', designer, disliker, dissenter''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Valentina|nom1=Altopiedi|champ libre=En citant le verset biblique d’Isaïe (43 : 6) qui a pour signification l’unification de tous les peuples de la Terre sous un seul Dieu, la dissenter Williams célébrait la liberté qui aurait unifié tous les peuples dans un rêve quasiment millénariste d’une république universelle.|titre=Une Révolution pour tous ? Comment des femmes anglaises ont vécu et écrit la Révolution française : le cas de Mary Wollstonecraft et Helen Maria Williams|périodique=La Révolution française|numéro=22|date=2022/janv./20|issn=2105-2557|doi=10.4000/lrf.6206|lire en ligne=https://journals.openedition.org/lrf/6206|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', dogsitter''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Roncq - Marie, dogsitter professionnelle, pallie l’absence des maîtres|périodique=La Voix du Nord|lire en ligne=https://www.lavoixdunord.fr/592911/article/2019-06-03/marie-dogsitter-professionnelle-pallie-l-absence-des-maitres|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', doppelgänger''<ref>{{Lien web|titre=[Ecologie] Doppelgänger / Changelins|url=https://www.donjondudragon.fr/forum/vos-creations/illustrations/vos-creations-graphiques/precis-d-histoires-naturelles-carnets-ecologiques/ecologie-doppelganger-changelins-6173.html|site=www.donjondudragon.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Commentaire de chisalockhart sur Les Royaumes sans lune, Tome 1 : Le Porterune|url=https://booknode.com/les_royaumes_sans_lune_tome_1_le_porterune_03671487/commentaires/25027854|site=booknode.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', drifter''<ref>{{Lien web|nom1=Destrohido|titre=😍 Guide Drifter/Voyageuse SEXY ! 😍{{!}} Warframe [FR]|url=https://www.youtube.com/watch?v=0uvCDkn-HUo|date=2022-05-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', driver''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=En Mayenne, une grosse opération du PMU dans plusieurs bars pour redonner envie aux turfistes de parier - ICI|url=https://www.francebleu.fr/pays-de-la-loire/mayenne-53/laval/en-mayenne-une-grosse-operation-du-pmu-dans-plusieurs-bars-pour-faire-redonner-envie-aux-turfistes-de-parier-1177235|site=ICI, le média de la vie locale|date=2025-09-13|consulté le=2026-02-18|extrait=Joël est fan d'une driver en particulier. "Il y en a une, quand elle est dans la charrette, je le joue à chaque fois !", lance-t-il en parlant de Clarisse Lelièvre, originaire d'Ernée.}}</ref>'', droughtmaster, drummer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=DAWSON4|url=https://www.bandmix.fr/dawson4/|site=BandMix|consulté le=2026-02-18|extrait=Je recherche un ou une bassiste un ou une Drummer un ou une pianiste.}}</ref>'', e-merchandiser, fabmanager''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le Carrefour numérique de la Cité des sciences et de l'industrie recrute un/une Fabmanager/Fabmanageuse|url=https://forum.rfflabs.fr/topic/504/le-carrefour-num%C3%A9rique-de-la-cit%C3%A9-des-sciences-et-de-l-industrie-recrute-un-une-fabmanager-fabmanageuse|site=Réseau Fr. des FabLabs|date=2021-10-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', facebooker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=SaId.A|titre=Houssaine Obrim : » C’est fini, j’arrête. «|url=https://lionsdelatlas.ma/houssaine-obrim-c-est-fini-j-arrete/|date=2017-09-27|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Top dix des incivilités des Algériens.|url=https://www.algerie-dz.com/forums/algerie/260487-top-dix-des-incivilit%C3%A9s-des-alg%C3%A9riens|site=Algerie-dz.com|date=2012-10-20|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fighter''<ref>{{Lien web|titre=LP est une "Fighter" avec Imanbek dans un clip futuriste|url=https://www.chartsinfrance.net/Imanbek/news-118908.html|site=chartsinfrance.net|date=2021-10-03|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fixer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Romance Panam Cyberpunk 2077 : comment vivre le grand amour avec elle ?|url=https://www.jeuxvideo.com/news/1806152/romance-panam-cyberpunk-2077-comment-vivre-le-grand-amour-avec-elle.htm|site=Jeuxvideo.com|date=2023-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=R&ocirc;liste|prénom1=Senior|titre=Récit de partie Cyberpunk: Pour 500 eddies... - Senior Rôliste - Blog JDR (Jeu de rôle)|url=https://senioroliste.com/cyberpunk/pour-500-eddies|site=Senior Rôliste|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Netflix : les nouveautés à voir en avril 2023|url=http://www.ellequebec.com/style-de-vie/cinema-et-tele/netflix-les-nouveautes-a-voir-en-avril-2023|site=Magazine ELLE Québec {{!}} Tendances mode, beauté, lifestyle et célébrités|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', flanker, flyer''<ref>{{Lien web|titre=05/03/2022 - PERTH ASCOT: Pronostics, Cotes & Résultats|url=https://www.zeturf.fr/fr/reunion-du-jour/2022-03-05/R9-perth-ascot#a-l-affiche-tab|site=www.zeturf.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', follower''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=J'ai Eu Ma Première GROSSE Commande Grâce à Une Follower!|url=https://www.youtube.com/shorts/SOQFdyC2V_w|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerider''<ref>{{Lien web|titre=Welcome to the team Casey!|url=https://www.swatch.com/fr-fr/athlete-casey-brown.html?srsltid=AfmBOorEVey699qy0MAAFVnCEHL1s_uz1Ewmfyd7bHCiEI8MfjXiiSoW|site=www.swatch.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerunner''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Orion|prénom1=Maryam|titre=Lilou Ruel, star du parkour et freerunning à 17 ans nous partage ses secrets !|url=https://laruche.wizbii.com/interview-de-lilou-ruel-une-freerunner-girl-de-17-ans|site=WIZBII Blog|date=2020-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-ch|titre=https://we.tl/t-CKlLTf0DDy|url=https://www.redbull.com/ch-fr/red-bull-art-of-motion-2022-qualifications|site=Red Bull|date=2022-04-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le FN, un parti "dictatorial", Marine, une "Führer": les perles de Jean-Marie Le Pen|url=https://www.lexpress.fr/politique/rn/le-fn-un-parti-dictatorial-marine-une-fuhrer-les-perles-de-jean-marie-le-pen_1688798.html|site=L'Express|date=2015-06-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', Führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=My Cute Fuhrer sur Steam|url=https://store.steampowered.com/app/1205960/My_Cute_Fuhrer/|site=store.steampowered.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', gabber''<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Staelens|prénom1=Stefanie|titre=Une après-midi à danser le hakken dans le shop gabber le plus culte du Benelux|url=https://www.vice.com/fr/article/une-apres-midi-a-danser-le-hakken-dans-le-shop-gabber-le-plus-culte-du-benelux/|site=VICE|date=2018-06-14|consulté le=2026-05-16|extrait=Le groupe qui me semble le plus amical est une famille constituée d'une gabber mama, Antilla, et de ses sept fils.}}</ref>'', gamer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Academos|titre=Academos a posé 10 questions à un gamer pur et dur|url=https://academos.qc.ca/blogue-jeunes/entrevues/10-questions-pour-passionne-jeux-video/|site=Academos|date=2019-08-16|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', globe-trotter''<ref>{{Lien web|titre=Sarthe. Une globe-trotter vient en aide aux jeunes Africaines|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/la-chartre-sur-le-loir-72340/sarthe-une-globe-trotter-vient-en-aide-aux-jeunes-africaines-771895e6-4ede-11ed-84de-086d7f92e6be}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Nouaillé-Maupertuis : le documentaire d’une globe-trotter|url=https://www.lanouvellerepublique.fr/vienne/commune/nouaille-maupertuis/nouaille-maupertuis-le-documentaire-d-une-globe-trotter|site=lanouvellerepublique.fr|date=2024-10-01|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', greeter''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les greeters, guides bénévoles qui nous font aimer le patrimoine de leur ville|url=https://www.franceinfo.fr/culture/patrimoine/les-greeters-guides-benevoles-qui-nous-font-aimer-le-patrimoine-de-leur-ville_3368661.html|site=franceinfo|date=2017-08-11|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', hacker, hinterwälder, hipster, homeschooler, looser, merchandiser, planner, ranger, rocker, teen-ager, teenager, trader, viewer, webmaster, youngtimer''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Majoritairement, ce sont des termes issus d’emprunts à l’anglais. Souvent la forme épicène est concourante à l’emploi de variations avec alternance suffixale en -euse, ''-ère'', ''-eresse ou -resse'' : ''africandère''<ref>{{Ouvrage|nom1=Getty Research Institute|titre=Le rire : journal humoristique paraissant le samedi|éditeur=Paris : F. Juven|date=1894|lire en ligne=http://archive.org/details/lerirejournalhum07unse|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimeresse''<ref>{{Lien web|titre=Bimbo com's - Ma-bimbo.com, jeu de mode ! Jeu de filles et jeu pour filles|url=https://ma-bimbo.com/profile/lolissou,coms,1583364,63.htm|site=ma-bimbo.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', baby-boomeuse,'' baby-sitteuse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Guillot|prénom1=Justine|titre=Baby-Sitting : quel statut, quel salaire ?|url=https://info-jeunes.fr/baby-sitting-quel-statut-quel-salaire/|site=Info-Jeunes|date=2024-01-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Tina, nounou est à la recherche d'un emploi à Strasbourg|url=https://yoopies.fr/nounou/strasbourg/baby-sitteuse-douce-experimentee-strasbourg/6343547|site=Yoopies|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''bartendresse'', ''bikeuse,'' ''bodybuildeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Sikagz|titre=Une bodybuildeuse de 47 ans balaye les critiques sur son physique|url=https://www.gentsu.fr/actu-urbaine/une-bodybuildeuse-de-47-ans-balaye-les-critiques-sur-son-physique/|site=Gentsu|date=2023-07-04|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Article|langue=en|titre=Immersion - Avec une bodybuildeuse {{!}} TV5MONDE États-Unis|périodique=TV5MONDE États-Unis|lire en ligne=https://usa.tv5monde.com/en/tv-guide/documentaries/immersion/avec-une-bodybuildeuse-728259|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une bodybuildeuse et influenceuse retrouvée morte après une chute de son immeuble, elle avait le corps lacéré|url=https://www.ladepeche.fr/2025/11/14/une-bodybuildeuse-et-influenceuse-retrouvee-morte-apres-une-chute-de-son-immeuble-elle-avait-le-corps-lacere-13052748.php|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosseuse''<ref>{{Lien web|titre=Marie-Paule Douaud, première « bookcrosseuse »|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/aizenay-85190/marie-paule-douaud-premiere-bookcrosseuse-3799563}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=A Lille, le "bookcrossing" fait voyager les livres {{!}} TF1 Info|url=https://www.tf1info.fr/conso/a-lille-le-bookcrossing-fait-voyager-les-livres-1519899.html|site=www.tf1info.fr|date=2015-01-12|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Comment trouver un bookeur, un agent, un tourneur, bref des dates autrement que par soi-même|url=https://confliktarts.com/blogs/news/comment-trouver-un-bookeur-un-agent-un-tourneur-bref-des-dates-autrement-que-par-soi-meme|site=Confliktarts|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Ducarre|prénom1=Antoine|titre=USA : Donald Trump destitué, le pari fou des bookmakers|url=https://vl-media.fr/usa-trump-destitue-pari-fou-bookmakers/|site=VL Média|date=2017-05-11|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Message du 1er janvier 2026 réservé aux hommes|url=https://atypikal.life/2026/01/01/message-du-1er-janvier-2026-reserve-aux-hommes/|site=Atypikal Life|date=2025-12-31|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeresse''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Auguste|nom1=Lepère|champ libre=p.142 : les paris pris par la bookmakeresse au Grand Prix hippique de Paris.|titre=[Illustrations de Paris au hasard]|date=1895|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b2000080w|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', boomeuse, boomeresse''<ref>{{Lien web|titre=Reddit - Le cœur d’Internet|url=https://www.reddit.com/r/TropPeurDeDemander/comments/1perfmz/vous_%C3%AAtes_l%C3%A0_les_petitsenfants_de_boomers/|site=www.reddit.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcheuse, coronère''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=À la poursuite de la santé - Des communautés autochtones {{!}} Savoir média {{!}} Lea-Chloe Bilodeau|url=https://fr.linkedin.com/posts/lea-chloe-bilodeau-3679741aa_%C3%A0-la-poursuite-de-la-sant%C3%A9-des-communaut%C3%A9s-activity-7334629045785038848-2PD2|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-16|extrait=Dans les jours qui suivent la publication du rapport de la coronère Stephanie Gamache sur le décès de Raphaël André, je suis tombée sur ce reportage de Savoir Média :}}</ref>'','' ''designeuse, globe-trotteuse, quakeresse''.<blockquote>ℹ️ ''Alzheimère'' ne semble employé que dans un jeu de mot avec mère<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Luna Théâtres|url=https://www.luna-theatres.fr/spectacle/alzheimere-fils-563|site=Luna Théâtres|consulté le=2026-02-17}}</ref>, qui dans le même registre alterne avec ''Alzheipère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Hoang|prénom1=Van|titre=Alzheipère de Xavier Benout aux Riches Claires jusqu'au 28 octobre • Le Suricate|url=https://www.lesuricate.org/alzheipere-de-xavier-benout/|site=Le Suricate|date=2017-10-16|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Alzheipère de Xavier Benout : Peut-on rire de tout ? - RTBF Actus|url=https://www.rtbf.be/article/alzheipere-de-xavier-benout-peut-on-rire-de-tout-9741731|site=RTBF|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. De même pour alzheimeuse, qui a servi de nom à une association chargée de promouvoir et développer le lien social des personnes souffrant de la maladie d'Alzheimer dans la Meuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. À noter également les dérivés ''Alzheimerienne'' et ''Alzheimerien''. De même pour ''boomère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Anne-Laure|titre=Les mots qu’il nous faut / Jeanne Henin|url=https://www.agence-dejademain.fr/les-mots-quil-nous-faut-jeanne-henin/|site=Agence Déjà Demain|date=2024-11-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'','' auquel une alternance en ''boopère'' n'est pas attesté en ce sens malgré la constatation de l'emploi d'un terme homéomorphe<ref>{{Ouvrage|prénom1=France)|nom1=University of Michigan|titre=Bulletins de la Société des antiquaires de l'Ouest|éditeur=Poitiers : Chez tous les libraires ; Paris : Chez Derache, Libraire|lire en ligne=http://archive.org/details/bulletindelasoc157unkngoog|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=Michel Sévigny Obituary {{!}} 2025 - 2025 {{!}} Sudbury Star|url=https://thesudburystar.remembering.ca/obituary/michel-sevigny-1076249989|site=thesudburystar.remembering.ca|consulté le=2026-02-18}}</ref>. </blockquote><blockquote>ℹ️ Outre ''bartendresse'', du côté anglophone la forme ''bartendereresse'' est attestée<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les 50 meilleurs bars et boissons dans Riga|url=https://wanderlog.com/fr/list/geoCategory/6425/les-meilleurs-bars-et-boissons-dans-riga|site=Wanderlog|consulté le=2026-02-17|extrait=The service was welcoming and the bartenderesse skills impressive.}}</ref>, et les formes ''barmaid'' à l'ambigu et ''barman'' à l'équivoque sont également en usage dans la francophonie.</blockquote>Pour l'isonèphe reprendre ''-urge'', déjà proposé pour [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-euse, -eur|''-euse, -eur'']] semble tout indiqué. Pour les ostentatoires également, avec pour seule contrainte supplémentaire l'emploire de -iẽre plutôt que -ẽre pour éviter les homophonies aux flexions alternatives d'ambigu en -ère. Soit respectivement ''-iẽre, -ìre, -āre'' ou ''-ārste'' ou ''-ārque, -ǫre, -ûre'' ou ''-úre''. ====== Défectivités ====== La forme ''barebacker'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec ''barebackeuse''<ref>{{Lien web|titre=Liste des barebackeuses - Page 2 - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=15726&start=15|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Beatriz hilton - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=12260|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=la salope a queues - CuckoldPlace.com|url=https://www.cuckoldplace.com/16_61375_1.html|site=www.cuckoldplace.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>''.'' La forme ''be-boper'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec be-bopeuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=CultureJazz.fr|prénom1=Équipe de rédaction de|titre=L'Appeal Du Disque - Décembre 2020|url=https://www.culturejazz.fr/spip.php?article3600|site=CultureJazz.fr|date=2020-12-15|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Guitare Jazz Manouche • Voir le sujet - Rare: Emily Remler playin' "Hot House"|url=https://guitarejazzmanouche.com/forum/viewtopic.php?t=21417&p=238714|site=guitarejazzmanouche.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=#alain gerber {{!}} Explore Tumblr posts and blogs {{!}} Tumgik|url=https://www.tumgik.com/tag/alain%20gerber|site=www.tumgik.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Follow Me|url=https://www.faq-drone.com/topic/22294-follow-me/|site=Forum Drones & Voitures RC|date=2018-11-03|consulté le=2026-02-17}}</ref>. Le terme ''buumdroeger'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''crossgolfer'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''freefighter'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''wasenmeister'' n’est attesté qu’à l'équivoque. ''Un growler''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Une chorale de chanteurs métal en spectacle vendredi au CEM|url=https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/2062560/growlers-choir-chant-gorge|site=Radio-Canada|date=2024-04-04|consulté le=2026-05-22}}</ref>, personne qui se spécialise le chant guttural, ne semble employé qu'à l'équivoque, mais des flexions comme ''growleuse'' sont en usage<ref>{{Lien web|titre=Chronique : PassCode Strive (2020)|url=https://www.leseternels.net/chronique.aspx?id=19040|site=www.leseternels.net|consulté le=2026-05-22}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-fr|nom1=Lo|titre=Of Hope And Aspiration|url=https://www.musiczine.net/index.php/fr/chroniques/item/23786-Of_Hope_And_Aspiration|site=www.musiczine.net|consulté le=2026-05-22}}</ref>. ====== Métaphores et métonymies haplogestes ====== ''Un bloomer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un blaster,'' arme, et par suite personne qui l'utilise. ''Un blazer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un bomber'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un cruiser,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ''Un dumper,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ====== Biotiques haplogestse ====== * ''un backer, oiseau&nbsp;;'' * ''un borer,'' insecte&nbsp;; * ''un burger,'' cépage&nbsp;; * ''un duiker,'' mammifère&nbsp;; ====== Références ====== <references /> m48fdvidfidmfh8ar7p0hs5ytsfpsfx