Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 77769 982990 966866 2026-05-23T15:49:29Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982990 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Les matrices, généralités/]] | suivant = [[../Les matrices carrées, leur réduction, applications/]] }} == Définition de la réduction d'une matrice carrée == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une « [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math>»<ref name="matrice carrée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] (matrice carrée) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> étant, quelle que soit la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]</math>, <br />{{Al|8}}{{Transparent|Préliminaire : }}la « [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice]] d'un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> dans une base particulière <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>»<ref name="matrice d'endomorphisme d'un espace vectoriel dans une base particulière"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation linéaire d'une dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de basess (B, C)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » appliqué au cas où l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] image est identique à l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] antécédent <math>\;\big(</math>l'[[w:Application_linéaire#Cas_général|application linéaire]] étant alors appelée « [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] »<math>\big)</math>, avec choix d'une même base dans l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] commun.</ref> c.-à-d. telle que {{Al|8}}{{Transparent|Préliminaire : la }}«<math>\;\left[ A \right] = \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}on peut « envisager une nouvelle base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math> de [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> de la base initiale <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à cette nouvelle base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>»<ref name="matrice de passage traduisant un changement de bases"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » prolongé au cas d'un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] quelconque de dimension <math>\;m</math>.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : on peut « envisager }}pour que « la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans cette nouvelle base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math><ref name="matrice d'endomorphisme d'un espace vectoriel dans une base particulière" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : on peut « envisager pour que «}}<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace,\,\left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math> soit la plus simple possible »<ref name="simplification d'une matrice"> Les éléments de l'ensemble des [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] <math>\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> peuvent être classés en sous-ensemble de simplicité croissante selon : * une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] sans éléments nuls est à considérer comme faisant partie du sous-ensemble des moins simples, * une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] avec quelques éléments nuls <math>\;\big[</math>sans être [[w:Matrice_triangulaire#Matrices_triangulaires_supérieures|triangulaire supérieure]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Matrice_triangulaire#Matrices_triangulaires_inférieures|inférieure]]<math>\big)\big]\;</math> est plus simple qu'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] sans éléments nuls, * une [[w:Matrice_triangulaire#Matrices_triangulaires_supérieures|matrice triangulaire supérieure]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Matrice_triangulaire#Matrices_triangulaires_inférieures|inférieure]]<math>\big)\;</math> est plus simple qu'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] avec quelques éléments nuls et * une [[w:Matrice_diagonale|matrice diagonale]] est plus simple qu'une [[w:Matrice_triangulaire#Matrices_triangulaires_supérieures|matrice triangulaire supérieure]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Matrice_triangulaire#Matrices_triangulaires_inférieures|inférieure]]<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : on peut « }}trouver la matrice <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> telle que «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} =</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : on peut « trouver la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> telle que «}}<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace,\,\left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math><ref name="lien entre matrices d'un endomorphisme dans deux couples de bases de l'espace vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_sur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> soit la plus simple possible »<ref name="simplification d'une matrice" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}sachant que « la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans cette nouvelle base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace</math>, <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace,\,\left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}est « une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] particulière <math>\;\left[ B \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> identique à <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace,\,\left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : sachant }}que « la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans la base initiale <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}est « la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] d'origine <math>\;\left[ A \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> identique à <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le fait que «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace,\,\left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) = \left[ B \right]\;</math> soit plus simple que <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) = \left[ A \right]\;</math>»<ref name="simplification d'une matrice" /> a pour conséquence que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : le fait que }}« la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] particulière <math>\;\left[ B \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> est plus simple que la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] d'origine <math>\;\left[ A \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math>»<ref name="simplification d'une matrice" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}cette simplification <math>\;\big(</math>lorsqu'elle est poussée à son maximum possible<math>\big)\;</math><ref name="simplification d'une matrice" /> correspond à la « [[w:Réduction_de_matrice|réduction de la matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math>». {{Définition |titre= Définition de la réduction d'une matrice carrée| contenu = {{Al|5}}« [[w:Réduction_de_matrice|Réduire]] la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math>» identifiable à <br />{{Al|2}}{{Transparent|« Réduire }}« la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice d'un endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> dans une base particulière <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|2}}{{Transparent|« Réduire « la matrice d'un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) = \left[ A \right]\;</math>» c'est <br />{{Al|5}}« faire un changement de bases de <math>\;E\;</math> avec une [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> de la base initiale <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la nouvelle base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|« faire un changement de bases de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> }}tel que « la nouvelle [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace,\,\left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) = \left[ B \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|« faire un changement de bases de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> tel que « la nouvelle matrice }}dans la base particulière <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> soit simplifiée au mieux à l'instar de <br />{{Al|5}}{{Transparent|« faire un changement de bases de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> tel que « }}la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice]] initiale <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) = \left[ A \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi</math> de <math>\;E\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|« faire un changement de bases de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> tel que « la matrice initiale <math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) = \left[ A \right]}</math> }}dans la base initiale <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>»<ref name="simplification d'une matrice" />, c'est donc <br />{{Al|5}}« trouver une [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> de la base initiale <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la nouvelle base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>» telle que <br />{{Al|5}}{{Transparent|« trouver une matrice de passage <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}}\;</math> }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> soit la plus <br />{{Al|5}}{{Transparent|« trouver une matrice de passage <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)}</math> }}simple possible<ref name="simplification d'une matrice"/> par rapport à <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;</math>» ou, telle que <br />{{Al|5}}{{Transparent|« trouver une matrice de passage <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}}\;</math> }}«<math>\;\left[ B \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ A \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> soit simplifiée au mieux<ref name="simplification d'une matrice"/> <math>\;/\;</math> à <math>\;\left[ A \right]\;</math>».}} {{Définition |titre= Définition (équivalente) de la réduction d'une matrice carrée| contenu = {{Al|5}}« [[w:Réduction_de_matrice|Réduire]] la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math>» c'est donc aussi <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Réduire la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]\;}</math> }}« trouver une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ B \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> [[w:Matrices_semblables|semblable]] à la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] initiale <math>\;\left[ A \right]\;</math><ref name="matrices semblables"> On rappelle que « deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices]] <math>\;\left( \left[ A \right]\,,\, \left[ B \right] \right) \in \left\lbrace M_n\! \left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2\;</math>» sont [[w:Matrices_semblables|semblables]] » ssi <br>{{Al|25}}{{Transparent|On rappelle que }}«<math>\;\exists\;\left[ P \right] \in M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> [[w:Matrice_inversible|inversible]] » telle que «<math>\;\left[ A \right] \times \left[ P \right] = \left[ P \right] \times \left[ B \right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ A \right] = \left[ P \right] \times \left[ B \right] \times \left[ P \right]^{-1}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ B \right] = \left[ P \right]^{-1} \times \left[ A \right] \times \left[ P \right]\;</math>», <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_sur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Réduire la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]\;}</math> « trouver une matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ B \right]\;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> }}la plus simple possible<ref name="simplification d'une matrice"/> relativement à la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] initiale <math>\;\left[ A \right]\;</math>».}} == Notion de déterminant d'une matrice carrée == {{Al|5}}« Une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\end{array} \right] \in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math>» étant « la juxtaposition des [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrices coordonnées]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right]_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n} \!\!\!\!\in\; M_{n,\,1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de la famille de <math>\;n</math> <br />{{Al|8}}{{Transparent|« Une matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\end{array} \right] \;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>» étant « }}“<math>\;n</math>-uplets ” <math>\;\left( a_{1,\,j},\, \cdots\, a_{i,\,j},\, \cdots\, a_{n,\,j} \right)_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> <br />{{Al|8}}{{Transparent|« Une matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\end{array} \right] \;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>» étant « }}dans la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] <math>\;\left\lbrace E \right\rbrace = \left\lbrace e_1,\cdots e_i, \cdots e_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n}\;</math> de ce dernier »<ref name="matrice juxtaposition de matrices coordonnées"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#1ère_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_coordonnée_d'une_famille_de_n_«_m-uplets_»_dans_une_base_de_Rm|1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n “ m-uplets ” dans une base de R^m]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans le cas où <math>\;n = m</math>.</ref> avec <br />{{Al|8}}{{Transparent|« Une matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\end{array} \right] \;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>» étant }}«<math>\;e_i = \left( \delta_{1,\,i}, \cdots \delta_{k,\,i}, \cdots \delta_{m,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m}\;</math> où <math>\;\delta_{k,\,i} = \left\lbrace \begin{array}{c} 0\;\;\text{si } k \neq i\\ 1\;\;\text{si } k = i\end{array}\right\rbrace\;</math> <br />{{Al|8}}{{Transparent|« Une matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\end{array} \right] \;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou taille<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>» étant «<math>\;\color{transparent}{e_i = \left( \delta_{1,\,i}, \cdots \delta_{k,\,i}, \cdots \delta_{m,\,i} \right)_{1\, \leqslant\, k\, \leqslant\, m}}\;</math> où <math>\;\color{transparent}{\delta_{k,\,i}};</math> }}est le [[w:Symbole_delta_de_Kronecker|symbole de Kronecker]] »<ref name="Kronecker"> '''[[w:Leopold_Kronecker|Leopold Kronecker]] (1823 - 1891)''' mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en <math>\;1850\;</math> la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'[[w:Équation_quintique|équation quintique]] en utilisant la [[w:Théorie_des_groupes|théorie des groupes]].</ref>, <br />{{Al|5}}« <u>le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de la matrice carrée]] </u><math>\;\left[ A \right]\;</math>» est défini comme « <u>le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_famille_de_n_vecteurs_dans_une_base|déterminant de la famille de ses]]</u><math>\;n\;</math><u>“</u><math>n</math><u>-uplets ”</u><math>\;x_{j\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\, n \right] \right]} = \left( a_{1,\,j},\, \cdots\, a_{i,\,j},\, \cdots\, a_{n,\,j} \right)\;</math><u>dans la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] de </u><math>\;\mathbb{R}^n\;</math>», <br />{{Al|2}}{{Transparent|« le déterminant de la matrice carrée<math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» }}il se calcule selon la « [[w:Formule_de_Leibniz#Déterminant_d'une_matrice_carrée|formule de Leibniz]] »<ref name="Leibniz"> '''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' [[w:Polymathie|polymathe]] allemand <math>\;\big[</math>entre autres philosophe, logicien, mathématicien, scientifique <math>\;\ldots\big]\;</math> dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>dont la paternité doit être partagée avec '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]]'''<math>\big\}\;</math> ainsi que l'introduction des notations connues de nos jours sous le nom de [[w:Notation_de_Leibniz|notations de Leibniz]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la [[w:Mécanique_newtonienne|mécanique classique]], pour sa [[w:Loi_universelle_de_la_gravitation|théorie de la gravitation]] et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>partagée de façon plus ou moins indépendante avec '''[[w:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]]'''<math>\big)</math> ; en optique il a développé une [[w:Théorie_de_la_couleur#Explorations_physiques|théorie de la couleur]] et a aussi inventé un télescope composé d'un [[w:Miroir_concave|miroir primaire concave]] et d'un [[w:Miroir_plan|miroir secondaire plan]], télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> «<math>\;\mathrm{det}\! \left( A \right) = \mathrm{det}_{\left\lbrace E \right\rbrace}\!\left( x_1,\,\cdots\,x_j,\,\cdots\,x_n \right) = \sum\limits_{ \sigma\, \in\, S_n } \left[ \varepsilon(\sigma)\; \prod\limits_{j = 1}^n a_{\sigma(j),\,j} \right]\;</math>» avec <br />{{Al|7}}{{Transparent|« le déterminant de la matrice carrée<math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» il se calcule selon la « formule de Leibniz » }}«<math>\;\sigma\;</math> une [[w:Permutation#Définition|permutation]] de <math>\;S_n\;</math>» <math>\;\Big(</math>ensemble des [[w:Permutation#Définition|permutations]] des éléments de <math>\;\left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]\Big)</math>, <br />{{Al|7}}{{Transparent|« le déterminant de la matrice carrée<math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» il se calcule selon la « formule de Leibniz » }}«<math>\;\sigma(j)\;</math> étant le j^ème élément de la [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\sigma\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right] \!\!&\text{:} \!\!& 1 \!\!& \cdots \!\!& j \!\!& \cdots \!\!& n\\ \sigma \!\!&\text{:} \!\!& \sigma(1) \!\!& \cdots \!\!& \sigma(j) \!\!& \cdots \!\!& \sigma(n)\end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br />{{Al|7}}{{Transparent|« le déterminant de la matrice carrée<math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» il se calcule selon la « formule de Leibniz » }}«<math>\;\varepsilon(\sigma)\;</math> la [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature de la permutation]] <math>\;\sigma\;</math>» soit «<math>\;\varepsilon(\sigma) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{si }\;\sigma\;\text{est paire}\\-1\;\;\text{si }\;\sigma\;\text{est impaire}\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br />{{Al|7}}{{Transparent|« le déterminant de la matrice carrée<math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» il se calcule selon la « formule de Leibniz » }}« une [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\sigma\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{paire}\\ \text{impaire}\end{array}\right\rbrace\;</math> si le nombre d'inversions<ref name="nombre d'inversions d'une permutation"> Le nombre d'inversions d'une [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\sigma\;</math> étant le nombre de fois où <math>\;\sigma(j)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\sigma(i > j)</math>.</ref> est <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pair}\\ \text{impair}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="exemple de parité de permutation"> Par exemple la [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left[\left[ 1\,,\, 5 \right]\right] \!\!&\text{:} \!\!& 1 \!\!& 2 \!\!& 3 \!\!& 4 \!\!& 5\\ \sigma \!\!&\text{:} \!\!& 2 \!\!& 5 \!\!& 3 \!\!& 1 \!\!& 4\end{array}\right\rbrace\;</math> est telle que * <math>\;\sigma(1) = 2\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\sigma(4) = 1\;</math> d'où une 1^ère inversion, * <math>\;\sigma(2) = 5\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\sigma(3) = 3</math>, <math>\;\sigma(4) = 1\;</math> et <math>\;\sigma(5) = 4\;</math> d'où trois autres inversions, * <math>\;\sigma(3) = 3\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\sigma(4) = 1\;</math> d'où une autre inversion et * <math>\;\sigma(4) = 1\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;\sigma(5) = 4\;</math> pas d'autre inversion {{Al|3}}soit au total cinq inversions, la [[w:Permutation#Définition|permutation]] est donc impaire et sa [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] vaut <math>\;\varepsilon(\sigma) = -1</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : la « [[w:Formule_de_Leibniz#Déterminant_d'une_matrice_carrée|formule de Leibniz]] »<ref name="Leibniz" /> permet de définir le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] mais <br />{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : la « formule de Leibniz » }}n'est pas la façon la plus efficace pour le calculer, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}nous allons néanmoins l'utiliser sur deux exemples de [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3\,,\, 3 \right)\;</math> pour préciser cette méthode : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math><u>1^er exemple</u> : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;2 & 5 & 8\; \end{array}\;\;</math><ref name="autre notation de déterminant de matrice"> Un [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de matrice]] est souvent noté en remplaçant <math>\;\mathrm{det}\!\left( \; \right)\;</math> par des barres verticales se substituant aux crochets utilisés en 2^ème représentation d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]].</ref> ; <math>\bullet\;</math>lister tout d'abord les six <math>\;\big(3\,!\big)\;</math> [[w:Permutation#Définition|permutations]] de colonnes numérotées de <math>\;1\;</math> à <math>\;3\;</math> en déterminant la [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] de chacune <br />{{Al|70}}{{Transparent|Remarque : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>1^er exemple : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_1 \text{ :} \!\!& 1 & 2 & 3 & \text{:} \!\!&+1\\ \sigma_2 \text{ :} \!\!& 1 & 3 & 2 & \text{:} \!\!&-1\\ \sigma_3 \text{ :} \!\!& 2 & 1 & 3 & \text{:} \!\!&-1\\ \sigma_4 \text{ :} \!\!& 2 & 3 & 1 & \text{:} \!\!&+1\\ \sigma_5 \text{ :} \!\!& 3 & 1 & 2 & \text{:} \!\!&+1\\ \sigma_6 \text{ :} \!\!& 3 & 2 & 1 & \text{:} \!\!&-1\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet dans la 1^ère [[w:Permutation#Définition|permutation]] aucune inversion d'où [[w:Permutation#Définition|permutation]] paire, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans la 2^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] une inversion d'où [[w:Permutation#Définition|permutation]] impaire, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans la 3^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] une inversion d'où [[w:Permutation#Définition|permutation]] impaire, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans la 4^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] deux inversions d'où [[w:Permutation#Définition|permutation]] paire, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans la 5^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] deux inversions d'où [[w:Permutation#Définition|permutation]] paire et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans la 6^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] trois inversions d'où [[w:Permutation#Définition|permutation]] impaire.</ref> puis <br />{{Al|70}}{{Transparent|Remarque : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>1^er exemple : }}<math>\bullet\;</math>évaluer chaque produit associé à une [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \sigma_1 \text{ :} \!\!& + 0 \times 4 \times 8 &= +0\\ \sigma_2 \text{ :} \!\!& - 0 \times 5 \times 7 &= -0\\ \sigma_3 \text{ :} \!\!& - 1 \times 3 \times 8 &= -24\\ \sigma_4 \text{ :} \!\!& + 1 \times 5 \times 6 &= +30\\ \sigma_5 \text{ :} \!\!& + 2 \times 3 \times 7 &= +42\\ \sigma_6 \text{ :} \!\!& - 2 \times 4 \times 6 &= -48\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet la 1^ère [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;+1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_1(1),\,1}\;a_{\sigma_1(2),\,2}\;a_{\sigma_1(3),\,3} = a_{1,\,1}\;a_{2,\,2}\;a_{3,\,3} = 0 \times 4 \times 8</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 2^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;-1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_2(1),\,1}\;a_{\sigma_2(2),\,2}\;a_{\sigma_2(3),\,3} = a_{1,\,1}\;a_{3,\,2}\;a_{2,\,3} = 0 \times 5 \times 7</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 3^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;-1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_3(1),\,1}\;a_{\sigma_3(2),\,2}\;a_{\sigma_3(3),\,3} = a_{2,\,1}\;a_{1,\,2}\;a_{3,\,3} = 1 \times 3 \times 8</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 4^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;+1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_4(1),\,1}\;a_{\sigma_4(2),\,2}\;a_{\sigma_4(3),\,3} = a_{2,\,1}\;a_{3,\,2}\;a_{1,\,3} = 1 \times 5 \times 6</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 5^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;+1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_5(1),\,1}\;a_{\sigma_5(2),\,2}\;a_{\sigma_5(3),\,3} = a_{3,\,1}\;a_{1,\,2}\;a_{2,\,3} = 2 \times 3 \times 7\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 6^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;-1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_6(1),\,1}\;a_{\sigma_6(2),\,2}\;a_{\sigma_6(3),\,3} = a_{3,\,1}\;a_{2,\,2}\;a_{1,\,3} = 2 \times 4 \times 6</math>.</ref> soit au final <br />{{Al|70}}{{Transparent|Remarque : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>1^er exemple : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;2 & 5 & 8\; \end{array}\; = +0 - 0 - 24 + 30 + 42 - 48 = 0\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math><u>2^ème exemple</u> : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;2 & 3 & 8\; \end{array}\;\;</math><ref name="autre notation de déterminant de matrice" /> ; <math>\bullet\;</math>lister tout d'abord les six <math>\;\big(3\,!\big)\;</math> [[w:Permutation#Définition|permutations]] de colonnes numérotées de <math>\;1\;</math> à <math>\;3\;</math> en déterminant la [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] de chacune <br />{{Al|70}}{{Transparent|Remarque : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>2^ème exemple : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_1 \text{ :} \!\!& 1 & 2 & 3 & \text{:} \!\!&+1\\ \sigma_2 \text{ :} \!\!& 1 & 3 & 2 & \text{:} \!\!&-1\\ \sigma_3 \text{ :} \!\!& 2 & 1 & 3 & \text{:} \!\!&-1\\ \sigma_4 \text{ :} \!\!& 2 & 3 & 1 & \text{:} \!\!&+1\\ \sigma_5 \text{ :} \!\!& 3 & 1 & 2 & \text{:} \!\!&+1\\ \sigma_6 \text{ :} \!\!& 3 & 2 & 1 & \text{:} \!\!&-1\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> Identiques à celles du 1^er exemple.</ref> puis <br />{{Al|72}}{{Transparent|Remarque : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>2^ème exemple : }}<math>\bullet\;</math>évaluer chaque produit associé à une [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \sigma_1 \text{ :} \!\!& + 0 \times 5 \times 8 &= +0\\ \sigma_2 \text{ :} \!\!& - 0 \times 3 \times 7 &= -0\\ \sigma_3 \text{ :} \!\!& - 1 \times 4 \times 8 &= -32\\ \sigma_4 \text{ :} \!\!& + 1 \times 3 \times 6 &= +18\\ \sigma_5 \text{ :} \!\!& + 2 \times 4 \times 7 &= +56\\ \sigma_6 \text{ :} \!\!& - 2 \times 5 \times 6 &= -60\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet la 1^ère [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;+1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_1(1),\,1}\;a_{\sigma_1(2),\,2}\;a_{\sigma_1(3),\,3} = a_{1,\,1}\;a_{2,\,2}\;a_{3,\,3} = 0 \times 5 \times 8</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 2^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;-1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_2(1),\,1}\;a_{\sigma_2(2),\,2}\;a_{\sigma_2(3),\,3} = a_{1,\,1}\;a_{3,\,2}\;a_{2,\,3} = 0 \times 3 \times 7</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 3^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;-1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_3(1),\,1}\;a_{\sigma_3(2),\,2}\;a_{\sigma_3(3),\,3} = a_{2,\,1}\;a_{1,\,2}\;a_{3,\,3} = 1 \times 4 \times 8</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 4^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;+1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_4(1),\,1}\;a_{\sigma_4(2),\,2}\;a_{\sigma_4(3),\,3} = a_{2,\,1}\;a_{3,\,2}\;a_{1,\,3} = 1 \times 3 \times 6</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 5^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;+1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_5(1),\,1}\;a_{\sigma_5(2),\,2}\;a_{\sigma_5(3),\,3} = a_{3,\,1}\;a_{1,\,2}\;a_{2,\,3} = 2 \times 4 \times 7\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}la 6^ème [[w:Permutation#Définition|permutation]] a pour [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature]] <math>\;-1\;</math> et le produit s'évalue par <math>\;a_{\sigma_6(1),\,1}\;a_{\sigma_6(2),\,2}\;a_{\sigma_6(3),\,3} = a_{3,\,1}\;a_{2,\,2}\;a_{1,\,3} = 2 \times 5 \times 6</math>.</ref> soit au final <br />{{Al|72}}{{Transparent|Remarque : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>2^ème exemple : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;2 & 3 & 8\; \end{array}\; = +0 - 0 - 32 + 18 + 56 - 60 = -18\;</math>». == Évaluation pratique du déterminant d'une matrice carrée par formule de Laplace == === Notion de comatrice d'une matrice carrée === {{Al|5}}Soit « la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\end{array} \right] \;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math>», on appelle <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Comatrice#Définitions|cofacteur]] d'indice <math>\;_{i,\,j}\;</math> de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math>» « le réel <math>\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := \mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)\;</math>» où «<math>\;\left[ {A'}_{i,\,j} \right]\;</math> est la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> déduite de <math>\;\left[ A \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» « le réel <math>\;\color{transparent}{\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := \mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{\left[ {A'}_{i,\,j} \right]}\;</math> }}en remplaçant la j^ème colonne par une colonne constituée de <math>\;0\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» « le réel <math>\;\color{transparent}{\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := \mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{\left[ {A'}_{i,\,j} \right]}\;</math> }}à l'exception du cœfficient de la i^ème ligne remplacé par <math>\;1\;</math>» soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» « le réel <math>\;\color{transparent}{\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := \mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math>» où }}«<math>\;\left[ {A'}_{i,\,j} \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \cancel{a_{1,\,j}} \rightsquigarrow 0 \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\\ \!\!& \!\!& \cancel{\vdots} \rightsquigarrow 0 \!\!& \!\!& \\ a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \cancel{a_{i,\,j}} \rightsquigarrow 1 \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\\ \!\!& \!\!& \cancel{\vdots} \rightsquigarrow 0 \!\!& \!\!& \\ a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \cancel{a_{n,\,j}} \rightsquigarrow 0 \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\end{array} \right] \!\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» le réel }}«<math>\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := (-1)^{i + j}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math>» où «<math>\;\left[ A_{i,\,j} \right]\;</math> la sous-[[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n - 1\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» le réel «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := (-1)^{i + j}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{\left[ A_{i,\,j} \right]}\;</math> }}déduite de <math>\;\left[ A \right]\;</math> en supprimant la i^ème ligne et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» le réel «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := (-1)^{i + j}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{\left[ A_{i,\,j} \right]}\;</math> déduite de <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> en supprimant }}la j^ème colonne » soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» le réel «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := (-1)^{i + j}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math>» où }}«<math>\;\left[ A_{i,\,j} \right]\! =\! \left[\! \begin{array}{c c c c c c} a_{1,\,1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{1,\,j - 1} \!\!&\!\! a_{1,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{1,\,n}\\ \!\!&\!\! \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \!\!&\!\! \\ a_{i - 1,\,1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i - 1,\,j - 1} \!\!&\!\! a_{i - 1,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i - 1,\,n}\\ a_{i + 1,\,1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i + 1,\,j - 1} \!\!&\!\! a_{i + 1,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i + 1,\,n}\\ \!\!&\!\! \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \!\!&\!\! \\ a_{n,\,1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{n,\,j - 1} \!\!&\!\! a_{n,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{n,\,n}\end{array} \!\right]</math> <math>\in M_{n - 1}\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>», <br />{{Al|3}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« cofacteur d'indice <math>\;\color{transparent}{_{i,\,j}}\;</math> de la matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math>» le réel «<math>\;\color{transparent}{\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} := (-1)^{i + j}}</math>}}«<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math> définissant un [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de <math>\;\left[ A \right]\;</math>» puis <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit « la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}</math> }}<math>\bullet\;</math>« [[w:Comatrice#Définitions|comatrice]] de <math>\;\left[ A \right]\;</math> la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] de ses [[w:Comatrice#Définitions|cofacteurs]] » : «<math>\;\mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace = \left[ \begin{array}{c} \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{1,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array} \right]\! \in \; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>». === Formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée === {{Al|5}}On peut calculer le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de la matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;\in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> en le développant en fonction des cœfficients d'une seule colonne <math>\;\big(</math>ou d'une seule ligne<math>\big)\;</math> et des [[w:Comatrice#Définitions|cofacteurs]] correspondants. {{Al|5}}Cette formule est dite « [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]] »<ref name="Laplace"> '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]] (1749 - 1827)''' mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'[[w:Adhésion_capillaire|attraction capillaire]] <math>\;\big(</math>expliquant ce qui se passe dans les [[w:Tube_capillaire|tubes capillaires]] ou dans les bulles d'air d'un liquide<math>\big)\;</math> ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de '''[[w:Isaac_Newton|Newton]]''' sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais : voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#cite_note-Leibniz-9|⁹]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref>, elle permet de « ramener le calcul d'un [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] d'ordre <math>\;n\;</math> à celui de <math>\;n\;</math> de [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminants]] d'ordre <math>\;n - 1\;</math>». {{Al|5}}<u>Formules de développement du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]]</u> «<math>\;\mathrm{det}\!\left( A \right) = \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> d'ordre <math>\;n\;</math>» : <math>\bullet\;</math>par rapport à la colonne <math>\;j</math> : «<math>\;\mathrm{det}\!\left( A \right) = \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j}</math> <br />{{Al|59}}{{Transparent|Formules de développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}\;</math> d'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>» : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par rapport à la colonne <math>\;\color{transparent}{j}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}</math> }}<math>= \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i + j}\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math>»<ref name="mineur de la matrice"> «<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math> étant le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> dans laquelle la i^ème ligne et la j^ème colonne ont été supprimées c.-à-d. <br>{{Al|26}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j - 1} \!\!& a_{1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,j - 1} \!\!& a_{i - 1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,n}\;\\ \;a_{i + 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,j - 1} \!\!& a_{i + 1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j - 1} \!\!& a_{n,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> sont simultanément <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,j - 1} \!\!& a_{2,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j - 1} \!\!& a_{n,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = 1\;</math> et <math>\;j\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j - 1} \!\!& a_{1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,j - 1} \!\!& a_{n - 1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = n\;</math> et <math>\;j\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c |} \;a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{i - 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,n}\;\\ \;a_{i + 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math> et <math>\;j = 1</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{i - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,n - 1}\;\\ \;a_{i + 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math> et <math>\;j = n</math>, <br>{{Al|26}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{2,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = 1 \\ j = 1 \end{array} \right\rbrace</math>, <math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = n \\ j = n \end{array} \right\rbrace</math>, <math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = 1 \\ j = n \end{array} \right\rbrace</math>, <math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = n \\ j = 1 \end{array} \right\rbrace\;</math>».</ref> ; <br />{{Al|59}}{{Transparent|Formules de développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}\;</math> d'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>» : }}<math>\bullet\;</math>par rapport à la ligne <math>\;i</math> : «<math>\;\mathrm{det}\!\left( A \right) = \sum_{j=1}^n a_{i,\,j}\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j}</math> <br />{{Al|59}}{{Transparent|Formules de développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}\;</math> d'ordre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>» : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par rapport à la ligne <math>\;\color{transparent}{i}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}</math> }}<math>= \sum_{j=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i + j}\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math>»<ref name="mineur de la matrice" />. === Retour sur les deux exemples exposés précédemment === {{Al|5}}<u>Retour sur le 1^er exemple</u> : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;2 & 5 & 8\; \end{array}\;\;</math><ref name="autre notation de déterminant de matrice" /> ; le plus simple est de développer selon la 1^ère colonne ou la 1^ère ligne<ref name="présence d'un zéro"> La raison étant que cette colonne <math>\;\big(</math>ou cette ligne<math>\big)\;</math> contient au moins un zéro.</ref> par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> soit <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : }}<math>\succ\;</math>selon la 1^ère colonne : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = \;\cancel{0\;\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 7\; \\ \;5 & 8\; \end{array}}\; - 1\;\;\begin{array}{|c c|} \;3 & 6\; \\ \;5 & 8\; \end{array} + 2\;\;\begin{array}{|c c|} \;3 & 6\; \\ \;4 & 7\; \end{array}\;</math> dans lequel <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère colonne : }}<math>\;\begin{array}{|c c|} \;3 & 6\; \\ \;5 & 8\; \end{array} = 3 \times 8 - 5 \times 6 = -6\;</math> et <math>\;\begin{array}{|c c|} \;3 & 6\; \\ \;4 & 7\; \end{array} = 3 \times 7 - 4 \times 6 =</math> <math>-3\;</math> d'où <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère colonne : }}<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = -1 \times (-6) + 2 \times (-3) = 0\;</math> en accord avec le résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Notion_de_déterminant_d'une_matrice_carrée|notion de déterminant d'une matrice carrée]] (Remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : }}<math>\succ\;</math>selon la 1^ère ligne : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = \;\cancel{0\;\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 7\; \\ \;5 & 8\; \end{array}}\; - 3\;\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 7\; \\ \;2 & 8\; \end{array} + 6\;\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 4\; \\ \;2 & 5\; \end{array}\;</math> dans lequel <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère ligne : }}<math>\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 7\; \\ \;2 & 8\; \end{array} =</math> <math>1 \times 8 - 2 \times 7 = -6\;</math> et <math>\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 4\; \\ \;2 & 5\; \end{array} = 1 \times 5 - 2 \times 4 = -3\;</math> d'où <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère ligne : }}<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = -3 \times (-6) + 6 \times (-3) = 0\;</math> identique au résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz" />. {{Al|5}}<u>Retour sur le 2^ème exemple</u> : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;2 & 3 & 8\; \end{array}\;\;</math><ref name="autre notation de déterminant de matrice" /> ; le plus simple est de développer selon la 1^ère colonne ou la 1^ère ligne<ref name="présence d'un zéro" /> par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> soit <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : }}<math>\succ\;</math>selon la 1^ère colonne : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = \;\cancel{0\;\;\begin{array}{|c c|} \;5 & 7\; \\ \;3 & 8\; \end{array}}\; - 1\;\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 6\; \\ \;3 & 8\; \end{array} + 2\;\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 6\; \\ \;5 & 7\; \end{array}\;</math> dans lequel <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère colonne : }}<math>\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 6\; \\ \;3 & 8\; \end{array} = 4 \times 8 - 3 \times 6 = 14\;</math> et <math>\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 6\; \\ \;5 & 7\; \end{array} = 4 \times 7 - 5 \times 6 = -2\;</math> d'où <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère colonne : }}<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = -1 \times 14 + 2 \times (-2) = -18\;</math> en accord avec le résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz" /> ; <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : }}<math>\succ\;</math>selon la 1^ère ligne : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = \;\cancel{0\;\;\begin{array}{|c c|} \;5 & 7\; \\ \;3 & 8\; \end{array}}\; - 4\;\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 7\; \\ \;2 & 8\; \end{array} + 6\;\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 5\; \\ \;2 & 3\; \end{array}\;</math> dans lequel <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère ligne : }}<math>\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 7\; \\ \;2 & 8\; \end{array} = 1 \times 8 - 2 \times 7 = -6\;</math> et <math>\;\begin{array}{|c c|} \;1 & 5\; \\ \;2 & 3\; \end{array} = 1 \times 3 - 2 \times 5 = -7\;</math> d'où <br />{{Al|72}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>selon la 1^ère ligne : }}<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = -4 \times (-6) + 6 \times (-7) = -18\;</math> identique au résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz" />. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : on constate que l'utilisation de la [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> pour évaluer le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] fait intervenir un calcul toujours plus simple que la [[w:Formule_de_Leibniz#Déterminant_d'une_matrice_carrée|formule de définition de Leibniz]]<ref name="Leibniz" /> et ceci même si la colonne <math>\;\big(</math>ou la ligne<math>\big)\;</math> selon laquelle le développement est fait ne contient pas de zéros <math>\;\ldots</math> == Quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n == === Énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n === {{Propriété|titre=Propriétés du déterminant d'une matrice carrée|contenu={{Al|5}}<math>\succ\;1\;</math>Le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] dans laquelle on ramène la j^ème colonne devant la 1^ère est multipliée par le scalaire <math>\;(-1)^{(j - 1)}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;2\;</math>Le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] avec deux colonnes identiques est nul. {{Al|5}}<math>\succ\;3\;</math>Le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] est multiplié par le scalaire <math>\;\alpha\;</math> si on multiplie une des colonnes de la matrice par le scalaire <math>\;\alpha</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;4\;</math>Le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. des autres. {{Al|5}}<math>\succ\;5\;</math>Le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] dont les colonnes sont liées<ref name="colonnes liées"> Appelant <math>\;C_j\;</math> le vecteur dont les composantes dans la [[w:Base_canonique#Définition|base canonique]] d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> sont la j^ème colonne de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]], les colonnes de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] sont liées si <math>\;\exists\, \left( \alpha_1,\, \cdots \alpha_j,\, \cdots \alpha_n \right)\, \in \mathbb{R}^n\;</math> tel que <math>\;\sum\limits_{j\,=\,1\,,,\,n} \alpha_j\;C_j = 0_E</math>.</ref> est nul. {{Al|5}}<math>\succ\;1',\;2',\;3',\;4'\;</math> et <math>\;5'\;</math>Mêmes propriétés si on remplace colonne par ligne.}} {{Al|5}}<u>Démonstrations</u> : Soit « la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\end{array} \right] \;\in\; M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math>» et « son [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] <math>\;\mathrm{det}(A) =\; \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : }}nous nous proposons d'effectuer successivement les démonstrations des <math>\;5\;</math> principales propriétés énoncées ci-dessus<ref name="liste non exhaustive"> Liste non exhaustive <math>\;\ldots</math></ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : nous nous proposons d'effectuer successivement }}des démonstrations analogues pourraient être établies en remplaçant colonne par ligne. {{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : }}<u>Propriété 1</u> : Supposons que l'« on déplace la colonne <math>\;C_{j\,\neq\,1} = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math> devant la 1^ère colonne <math>\;C_1 = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,1}\\ \vdots \\ a_{i,\,1} \\ \vdots \\ a_{n,\,1}\end{array} \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : }}comparons le « nouveau [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] <math>\;\mathrm{det}(A') =\; \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{1,\,j} \!\!& a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j-1} \!\!& a_{1,\,j+1} \!\!&\cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,j} \!\!&a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j-1} \!\!& a_{i,\,j+1} \!\!&\cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,j} \!\!&a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j-1} \!\!& a_{n,\,j+1} \!\!&\cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math>» au « [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] initial <math>\;\mathrm{det}(A) =\; \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : comparons }}en développant, selon la [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" />, « le nouveau [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] <math>\;\mathrm{det}(A')\;</math> selon la nouvelle 1^ère colonne <math>\;{C'}_1 = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math>» soit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant }}<math>\;\mathrm{det}(A') = \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A' \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} = \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i + 1}\;\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="mineur de la matrice - bis"> «<math>\;\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)\;</math> étant le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A' \right]\;</math> dans laquelle la i^ème ligne et la 1^ème colonne ont été supprimées c.-à-d. <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j - 1} \!\!& a_{1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i-1,\,1} \!\!& a_{i-1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i-1,\,j - 1} \!\!& a_{i-1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i-1,\,n}\;\\ \;a_{i+1,\,1} \!\!& a_{i+1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i+1,\,j - 1} \!\!& a_{i+1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i+1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j - 1} \!\!& a_{n,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\;</math> est <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n\;</math> ainsi que <math>\;j \neq n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& a_{2,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,j - 1} \!\!& a_{2,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j - 1} \!\!& a_{n,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = 1\;</math> et <math>\;j \neq n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = 1,\,j} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j - 1} \!\!& a_{1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,1} \!\!& a_{n - 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,j - 1} \!\!& a_{n - 1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = n\;</math> et <math>\;j \neq n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = n,\,j} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{i-1,\,1} \!\!& a_{i-1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i-1,\,n - 1}\;\\ \;a_{i+1,\,1} \!\!& a_{i+1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i+1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\;</math> est <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n\;</math> mais <math>\;j = n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j = n} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& a_{2,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n - 1}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = 1\;</math> et <math>\;j = n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = 1,\,j = n} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,1} \!\!& a_{n - 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = n\;</math> et <math>\;j = n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = n,\,j = n} \right)\;</math>».</ref> ou <br />{{Al|11}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant <math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A') = \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A' \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j}}</math> }}<math>= \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i + 1}\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="mineur de la matrice - bis" /> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, }}« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] initial <math>\;\mathrm{det}(A)\;</math> selon la j^ème colonne <math>\;C_j = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math>» soit <br />{{Al|10}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le déterminant initial }}<math>\;\mathrm{det}(A) = \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} = \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i + j}\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="mineur de la matrice" /> d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, }}«<math>\;\mathrm{det}(A') = (-1)^{j - 1} \left\lbrace \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i - j + 2}\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right) \right\rbrace = (-1)^{j - 1} \left\lbrace \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i + j}\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right) \right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;(-1)^{i - j + 2} = (-1)^{i - j + 2} \times 1 = (-1)^{i - j + 2} \times (-1)^{2\;j - 2} = (-1)^{i + j}</math>.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> }}<math>= (-1)^{j - 1}\;\mathrm{det}(A)\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." > Ce Qu'il Fallat Démontrer.</ref>.. {{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : }}<u>Propriété 2</u> : Supposons « la colonne <math>\;C_{j\,\neq\,1} = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math> identique à la colonne <math>\;C_1 = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,1}\\ \vdots \\ a_{i,\,1} \\ \vdots \\ a_{n,\,1}\end{array} \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : }}effectuons le développement du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] par utilisation de la [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> selon la 1^ère ligne soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant }}«<math>\;\mathrm{det}\!\left( A \right) = \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \rightsquigarrow a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \rightsquigarrow a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \rightsquigarrow a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array} = \sum_{k=1}^n a_{1,\,k}\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{1,\,k} = \sum_{k=1}^n a_{1,\,k}\;(-1)^{1 + k}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,k} \right)\;</math><ref name="mineur de la matrice - ter"> «<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,k} \right)\;</math> étant le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \rightsquigarrow a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \rightsquigarrow a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \rightsquigarrow a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array} \right]\;</math> dans laquelle la 1^ère ligne et la k^ème colonne ont été supprimées c.-à-d. <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,j} \right) = \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{2,\,j - 1} \!\!&\!\! a_{2,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{2,\,n}\;\\ \!\!&\!\! \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \!\!&\!\! \\ \;a_{i,\,1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i,\,j - 1} \!\!&\!\! a_{i,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i,\,n}\;\\ \!\!&\!\! \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \!\!&\!\! \\ \;a_{n,\,1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{n,\,j - 1} \!\!&\!\! a_{n,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math>», <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,1} \right) = \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{2,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,p} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,p} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,p} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array} = (-1)^{j - 2}\;\begin{array}{|c c c c|} \;a_{2,\,j}\;\;a_{2,\,2} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{2,\,j - 1}\;\;a_{2,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{2,\,n}\;\\ \!\!&\!\! \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \!\!&\!\! \\ \;a_{i,\,j}\;\;a_{i,\,2} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i,\,j - 1}\;\;a_{i,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{i,\,n}\;\\ \!\!&\!\! \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\! \!\!&\!\! \\ \;a_{n,\,j}\;\;a_{n,\,2} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{n,\,j - 1}\;\;a_{n,\,j + 1} \!\!&\!\! \cdots \!\!&\!\! a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> <math>\big\{</math>placement de la (j - 1)^ème colonne devant la 1^ère de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A_{1,\,1} \right]\;</math> puis <br>{{Al|152}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,1} \right)}</math> }}application de la 1^ère propriété de ce paragraphe<math>\big\}\;</math>» soit finalement, avec <math>\;a_{i,\,j} = a_{i,\,1}\;</math> <br>{{Al|3}}<math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,1} \right) = (-1)^{j - 2}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,j} \right)\;</math>» et <br>{{Al|3}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,k\, \neq\, 1\,\text{et}\, j} \right) = \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,k - 1} \!\!& a_{2,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,k - 1} \!\!& a_{i,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,k - 1} \!\!& a_{n,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> ou <math>\;= \begin{array}{|c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;k = n\;</math> dans laquelle les colonnes <math>\;\left( \begin{array}{c} a_{2,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math> et <math>\;\left( \begin{array}{c} a_{2,\,1}\\ \vdots \\ a_{i,\,1} \\ \vdots \\ a_{n,\,1}\end{array} \right)</math> sont identiques ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}</math> }}<math>= a_{1,\,1}\; \mathrm{det}\! \left( A_{1,\,1} \right) + a_{1,\,j}\;(-1)^{1 + j}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,j} \right) + \sum\limits_{k=2\,..\,j - 1}^{k= j + 1\,..\,n} a_{1,\,k}\;(-1)^{1 + k}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,k\, \neq\, 1\,\text{et}\, j} \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}</math> }}<math>= a_{1,\,1}\; (-1)^{j - 2}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,j} \right) + a_{1,\,j}\;(-1)^{1 + j}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,j} \right) + \sum\limits_{k=2\,..\,j - 1}^{k= j + 1\,..\,n} a_{1,\,k}\;(-1)^{1 + k}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,k\, \neq\, 1\,\text{et}\, j} \right)\;</math><ref name="mineur de la matrice - ter" /> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}</math> }}<math>= \cancel{a_{1,\,1} \left\lbrace 1 + (- 1)^3 \right\rbrace (-1)^{j - 2}\; \mathrm{det}\! \left( A_{1,\,j} \right)\;} + \sum\limits_{k=2\,..\,j - 1}^{k= j + 1\,..\,n} a_{1,\,k}\;(-1)^{1 + k}\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,k\, \neq\, 1\,\text{et}\, j} \right)\;</math>»<ref name="colonne j et 1 identique"> On rappelle que la colonne <math>\;C_{j\,\neq\,1} = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math> est identique à la colonne <math>\;C_1 = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,1}\\ \vdots \\ a_{i,\,1} \\ \vdots \\ a_{n,\,1}\end{array} \right)</math>.</ref> dans laquelle <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}</math> }}chaque [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{1,\,k\, \neq\, 1\,\text{et}\, j} \right)\;</math> de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n - 1\;</math> ayant deux colonnes identiques<ref name="colonne j et 1 identique" /> conduit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left( A \right)}</math> }}après <math>\;n - 2\;</math> itérations successives à un [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;2\;</math> à colonnes identiques donc nul <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant }}«<math>\;\mathrm{det}\!\left( A \right) = \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \rightsquigarrow a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \rightsquigarrow a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \rightsquigarrow a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array} = 0\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : }}<u>Propriété 3</u> : « Multipliant la colonne <math>\;C_j = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,j} \\ \vdots \\ a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math> par le scalaire <math>\;\alpha\;</math>» nous obtenons le « nouveau [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] <math>\;\mathrm{det}(A') = \; \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \alpha\;a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \alpha\;a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& \alpha\;a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math>» soit, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 3 : }}en développant suivant la j^ème colonne par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> «<math>\;\mathrm{det}(A') = \sum_{i=1}^n \alpha\;a_{i,\,j}\;\left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A' \right] \right\rbrace \right)_{i,\,j} = \sum_{i=1}^n \alpha\;a_{i,\,j}\;(-1)^{i + j}\;\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="mineur de la matrice - tetra"> «<math>\;\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)\;</math> étant le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A' \right]\;</math> dans laquelle la i^ème ligne et la j^ème colonne ont été supprimées c.-à-d. <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j - 1} \!\!& a_{1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,j - 1} \!\!& a_{i - 1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,n}\;\\ \;a_{i + 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,j - 1} \!\!& a_{i + 1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j - 1} \!\!& a_{n,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> sont simultanément <math>\;\neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,j - 1} \!\!& a_{2,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j - 1} \!\!& a_{n,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = 1\;</math> et <math>\;j\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = 1,\,j} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j - 1} \!\!& a_{1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,j - 1} \!\!& a_{n - 1,\,j + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = n\;</math> et <math>\;j\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = n,\,j} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c |} \;a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{i - 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,n}\;\\ \;a_{i + 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math> et <math>\;j = 1</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j = 1} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{i - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i - 1,\,n - 1}\;\\ \;a_{i + 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i + 1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i\; \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n</math> et <math>\;j = n</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j = n} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{2,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = 1 \\ j = 1 \end{array} \right\rbrace</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = 1,\,j = 1} \right)</math>, {{Al|20}}<math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = n \\ j = n \end{array} \right\rbrace</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = n,\,j = n} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n - 1}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n - 1}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = 1 \\ j = n \end{array} \right\rbrace</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = 1,\,j = n} \right)</math>, {{Al|20}}<math>= \begin{array}{|c c c|} \;a_{1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \vdots \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,2} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} i = n \\ j = 1 \end{array} \right\rbrace</math>, s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = n,\,j = n} \right)\;</math>», <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)}\;</math> }}<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right)\;</math> étant le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> dans laquelle la i^ème ligne et la j^ème colonne ont été supprimées.</ref> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la j^ème colonne par formule de Laplace «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> }}<math>= \alpha\;\left\lbrace \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\;(-1)^{i + j}\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,j} \right) \right\rbrace\;</math><ref name="mineur de la matrice - tetra" /> après factorisation par <math>\;\alpha\;</math> ou encore, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la j^ème colonne par formule de Laplace }}«<math>\;\mathrm{det}(A') = \alpha\;\mathrm{det}(A)\;</math>»<ref> En reconnaissant, dans le terme entre accolades, le développement suivant la j^ème colonne par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]] de <math>\;\mathrm{det}(A)</math>.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : }}<u>Propriété 4</u> : « Ajoutons à la colonne <math>\;C_k = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,k}\\ \vdots \\ a_{i,\,k} \\ \vdots \\ a_{n,\,k}\end{array} \right)\;</math><ref name="hypothèse sur k"> Pour simplifier l'exposé nous supposerons <math>\;k \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n\;</math> mais la démonstration resterait la même dans l'hypothèse <math>\;k = 1\;</math> ou <math>\;n\;</math> avec une diversification des [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineurs]] de <math>\;\left[ A \right]</math>.</ref> une C.L<ref name="C.L." />. <math>\;\sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;C_j = \left( \begin{array}{c} \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{1,\,j}\\ \vdots \\ \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{i,\,j} \\ \vdots \\ \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{n,\,j}\end{array} \right)\;</math> des autres colonnes » et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : }}évaluons le nouveau [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] «<math>\;\mathrm{det}(A') = \; \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,k} + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{1,\,j}\!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,k} + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,k} + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math>» soit, en développant suivant la k^ème colonne par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : }}«<math>\;\mathrm{det}(A') = \sum_{i=1}^n \left[ \left\lbrace a_{i,\,k} + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{i,\,j} \right\rbrace \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A' \right] \right\rbrace \right)_{i,\,k} \right] = \sum_{i=1}^n \left[ \left\lbrace a_{i,\,k} + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{i,\,j} \right\rbrace\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( {A'}_{i,\,k} \right) \right]\;</math><ref name="mineur de la matrice - penta"> «<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right)\;</math> étant le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A' \right]\;</math> dans laquelle la i^ème ligne et la k^ème colonne ont été supprimées c.-à-d. <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,k - 1} \!\!& a_{1,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i-1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i-1,\,k - 1} \!\!& a_{i-1,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i-1,\,n}\;\\ \;a_{i+1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i+1,\,k - 1} \!\!& a_{i+1,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{i+1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,k - 1} \!\!& a_{n,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i \neq\;</math> de <math>\;1\;</math> et <math>\;n\;</math> s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{2,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,k - 1} \!\!& a_{2,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{2,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,k - 1} \!\!& a_{n,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = 1\;</math> s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = 1,\,k} \right)</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right)}\;</math> }}<math>= \begin{array}{|c c c c c c|} \;a_{1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,k - 1} \!\!& a_{1,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n - 1,\,1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,k - 1} \!\!& a_{n - 1,\,k + 1} \!\!& \cdots \!\!& a_{n - 1,\,n}\;\end{array}\;</math> si <math>\;i = n\;</math> s'identifiant à <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i = n,\,k} \right)\;</math>», <br>{{Al|20}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right)}\;</math> }}<math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right)\;</math> étant le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> dans laquelle la i^ème ligne et la k^ème colonne ont été supprimées.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> }}<math>= \sum_{i=1}^n \left[ \left\lbrace a_{i,\,k} + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{i,\,j} \right\rbrace\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) \right]\;</math><ref name="mineur de la matrice - penta" /> <math>= \sum_{i=1}^n \left[ a_{i,\,k}\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) \right] + \sum_{i=1}^n \left[ \left\lbrace \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{i,\,j} \right\rbrace\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> }}<math>= \mathrm{det}\!(A) + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j \left\lbrace \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) \right\rbrace\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\;\sum_{i=1}^n \left[ a_{i,\,k}\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) \right]\;</math> le développement suivant la k^ème colonne par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]] de <math>\;\mathrm{det}\!(A)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}on permute les deux sommations dans <math>\;\sum_{i=1}^n \left[ \left\lbrace \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;a_{i,\,j} \right\rbrace\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) \right]</math>.</ref> » ; or constatant que <math>\;\sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) = \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\; \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,k}\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> <math>\color{transparent}{= \mathrm{det}\!(A) + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j \left\lbrace \sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\; (-1)^{i + k}\; \mathrm{det}\! \left( A_{i,\,k} \right) \right\rbrace}\;</math> » ; or constatant que }}est le développement suivant la k^ème colonne par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <br />{{Al|87}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> <math>\color{transparent}{= \mathrm{det}\!(A) + }\;</math> » ; or constatant que }}du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice]] <math>\;\left[ A \right]_{k\, \rightsquigarrow\, j\,\neq\,k}\;</math> dans laquelle la k^ème colonne <br />{{Al|87}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> <math>\color{transparent}{= \mathrm{det}\!(A) + }\;</math> » ; or constatant que du déterminant d'une matrice <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]_{k\, \rightsquigarrow\, j\,\neq\,k}}\;</math> }}a été substituée par la j^ème <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|87}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}(A')}</math> <math>\color{transparent}{= \mathrm{det}\!(A) + }\;</math> » ; or constatant que }}<math>\;\sum_{i=1}^n a_{i,\,j}\; \left( \mathrm{com} \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \right)_{i,\,k} = \mathrm{det}\! \left( A_{k\, \rightsquigarrow\, j\,\neq\,k} \right) = 0\;</math><ref name="d'après 2ème propriété"> D'après la propriété <math>\;2\;</math> de ce paragraphe.</ref> et par suite <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : }}«<math>\;\mathrm{det}(A') = \mathrm{det}\!(A) + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\; \mathrm{det}\! \left( A_{k\, \rightsquigarrow\, j\,\neq\,k} \right) = \mathrm{det}\!(A) + \sum\limits_{j\, \in\, \left[[ 1,\, n \right]]}^{j\, \neq\, k} \alpha_j\;0\;</math><ref name="d'après 2ème propriété" /> <math>= \mathrm{det}\!(A)\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : }}<u>Propriété 5</u> : Soit «<math>\;C_1 + \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;C_j = \left( \begin{array}{c} a_{1,\,1} + \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;a_{1,\,j}\\ \vdots \\ a_{i,\,1} + \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;a_{i,\,j}\\ \vdots \\ a_{n,\,1} + \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;a_{n,\,j}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \\ \vdots\\ 0\end{array} \right)\;</math> la relation de liaison entre colonnes de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math>»<ref name="colonnes liées" /> dont on souhaite évaluer le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]], <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 4 : }}ce dernier étant inchangé si on ajoute à la colonne «<math>\;_1\;</math>» la C.L. <math>\;\sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;C_j\;</math> des autres colonnes «<math>\;_{\forall\,j\,\neq\,1}\;</math>»<ref name="d'après la 4ème propriété"> D'après la propriété <math>\;4\;</math> de ce paragraphe.</ref> on obtient alors <br />{{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : Propriété 5 : }}«<math>\;\mathrm{det}(A) =\; \begin{array}{|c c c c c|} \;a_{1,\,1} + \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{i,\,1} + \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;a_{i,\,j}\!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;a_{n,\,1} + \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 2\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;a_{n,\,j}\!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\; = \;\begin{array}{|c c c c c c|} \;0 \!\!& a_{1,\,2}\!\!&\cdots \!\!& a_{1,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{1,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;0\!\!& a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!& a_{i,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{i,\,n}\;\\ \!\!& \!\!& \!\!&\vdots \!\!& \!\!& \\ \;0\!\!& a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!& a_{n,\,j} \!\!& \cdots \!\!& a_{n,\,n}\;\end{array}\;= 0\;</math>» <math>\;\big(</math>par développement selon la 1^ère colonne<math>\big)</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Démonstrations : }}<u>Propriété 1', 2', 3', 4' et 5'</u> : les démonstrations sont calquées sur celles des propriétés <math>\;1,\;2,\;3,\;4\;</math> et <math>\;5\;</math> en permutant colonnes et lignes. === Nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment === {{Al|5}}On se propose d'utiliser la propriété <math>\;4\;</math> « le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant d'une matrice carrée]] est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L<ref name="C.L." />. des autres <math>\;\big(</math>même propriété en remplaçant colonne par ligne<math>\big)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|On se propose d'utiliser la propriété <math>\;\color{transparent}{4}\;</math> }}de façon à introduire le plus de zéros possible dans une même colonne <math>\;\big(</math>ou une même ligne<math>\big)\;</math> de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] sans changer la valeur de son [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]], puis <br />{{Al|5}}{{Transparent|On se propose }}d'évaluer ce dernier en le développant selon cette colonne ou cette ligne <math>\;\big(</math>ou d'utiliser au préalable une des autres propriétés<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Retour sur le 1^er exemple</u> : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;2 & 5 & 8\; \end{array}\;\;</math><ref name="autre notation de déterminant de matrice" /> ; <math>\bullet\;</math>modifier la colonne <math>\;\left( C_3 \right)\;</math> en lui ajoutant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;0\;C_1 - 2\;C_2 = -2\;C_2\;</math>» des colonnes <math>\;\left( C_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( C_2 \right)\;</math><ref name="d'après la 4ème propriété - bis"> D'après la propriété <math>\;4\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br />{{Al|69}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;2 & 5 & 8\; \end{array}\; = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6 - 2 \times 3\; \\ \;1 & 4 & 7 - 2 \times 4\; \\ \;2 & 5 & 8 - 2 \times 5\; \end{array}\; =\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 0\; \\ \;1 & 4 & -1\; \\ \;2 & 5 & -2\; \end{array}\;</math> <math>\;= -1\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 0\; \\ \;1 & 4 & 1\; \\ \;2 & 5 & 2\; \end{array}\;\;</math> en multipliant la 3^ème colonne par <math>\;-1\;</math><ref name="d'après 3ème propriété"> D'après la propriété <math>\;3\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et enfin, <br />{{Al|69}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = -1\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 0\; \\ \;1 & 4 & 1\; \\ \;2 & 5 & 2\; \end{array}\; = 0\;</math>» mêmes 3^ème et 1^ère colonnes<ref name="d'après 2ème propriété - bis"> D'après la propriété <math>\;2\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> identique au résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz" /> ; <br />{{Al|70}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : ; }}<math>\bullet\;</math>modifier la ligne <math>\;\left( L_3 \right)\;</math> en lui ajoutant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;0\;L_1 - 2\;L_2 = -2\;L_2\;</math>» des lignes <math>\;\left( L_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( L_2 \right)\;</math><ref name="d'après la propriété 4'"> D'après la propriété <math>\;4'\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br />{{Al|70}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;2 & 5 & 8\; \end{array}\; = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;2 - 2 \times 1 & 5 - 2 \times 4 & 8 - 2 \times 7\; \end{array}\; = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;0 & -3 & -6\; \end{array}\;</math> ou, en multipliant la 3^ème ligne par <math>\;-1\;</math><ref name="d'après la propriété 3'"> D'après la propriété <math>\;3'\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|70}}{{Transparent|Retour sur le 1^er exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right) = -1\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 3 & 6\; \\ \;1 & 4 & 7\; \\ \;0 & 3 & 6\; \end{array}\; = 0\;</math>» mêmes 3^ème et 1^ère lignes<ref name="d'après propriété 2'"> D'après la propriété <math>\;2'\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> identique au résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz" />. {{Al|5}}<u>Retour sur le 2^ème exemple</u> : <math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;2 & 3 & 8\; \end{array}\;\;</math><ref name="autre notation de déterminant de matrice" /> ; <math>\bullet\;</math>modifier la colonne <math>\;\left( C_3 \right)\;</math> en lui ajoutant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;0\;C_1 - \dfrac{3}{2}\;C_2 = -\dfrac{3}{2}\;C_2\;</math>» des colonnes <math>\;\left( C_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( C_2 \right)\;</math><ref name="d'après la 4ème propriété - bis" /> d'où <br />{{Al|69}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;2 & 3 & 8\; \end{array}\; = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6 - \dfrac{3}{2} \times 4\; \\ \;1 & 5 & 7 - \dfrac{3}{2} \times 5\; \\ \;2 & 3 & 8 - \dfrac{3}{2} \times 3\; \end{array}\; =</math> <math>\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 0\; \\ \;1 & 5 & -\dfrac{1}{2}\; \\ \;2 & 3 & \dfrac{7}{2}\; \end{array}\;\;</math> soit, en développant par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> suivant la 1^ère ligne, <br />{{Al|69}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = -4\;\;\begin{array}{|c c|} \;1 & -\dfrac{1}{2}\; \\ \;2 & \dfrac{7}{2}\; \end{array}\; = -4\,\left( 1 \times \dfrac{7}{2} - 2 \times \dfrac{-1}{2} \right) = -18\;</math>» identique au résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz" /> ; <br />{{Al|70}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : ; }}<math>\bullet\;</math>modifier la ligne <math>\;\left( L_3 \right)\;</math> en lui ajoutant la C.L<ref name="C.L." />. «<math>\;0\;L_1 - 2\;L_2 = -2\;L_2\;</math>» des lignes <math>\;\left( L_1 \right)\;</math> et <math>\;\left( L_2 \right)\;</math><ref name="d'après la propriété 4'" /> d'où <br />{{Al|70}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;2 & 3 & 8\; \end{array}\; = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;2 - 2 \times 1 & 3 - 2 \times 5 & 8 - 2 \times 7\; \end{array}\; = \;\begin{array}{|c c c|} \;0 & 4 & 6\; \\ \;1 & 5 & 7\; \\ \;0 & -7 & -6\; \end{array}\;</math> soit, en développant par [[w:Comatrice#Formules_de_Laplace|formule de Laplace]]<ref name="Laplace" /> <br />{{Al|70}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}suivant la 1^ère colonne «<math>\;\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right) = -1\;\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 6\; \\ \;-7 & -6\; \end{array}\; = -\left[ 4 \times (-6) - (-7) \times 6 \right] = -18\;</math>» <br />{{Al|83}}{{Transparent|Retour sur le 2^ème exemple : ; <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>suivant la 1^ère colonne «<math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\! \left( \begin{array}{c c c} 1 & 5 & 7 \end{array} \right) = -1\;\;\begin{array}{|c c|} \;4 & 6\; \end{array}\; =}</math>}}identique au résultat trouvé précédemment<ref name="même résultat qu'avec formule de Leibniz" />. == Déterminant d'un endomorphisme == === Déterminant des matrices d'un endomorphisme suivant la base choisie dans l'espace vectoriel de définition === {{Al|5}}Soit «<math>\;E\;</math> un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> dans lequel on définit une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\varphi\;</math> un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] de <math>\;E\;</math>», on peut associer à ce dernier « une [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B \right\rbrace \right)\;</math> notée <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace , \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>»<ref name="matrice d'endomorphisme d'un espace vectoriel dans une base particulière" /> puis <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> un endomorphisme de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>», on peut }}définir « le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de cette matrice]] <math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace , \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace\;</math>»<ref name="déterminant d'une matrice carrée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Notion_de_déterminant_d'une_matrice_carrée|notion de déterminant d'une matrice carrée]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> c.-à-d. « le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] de la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> un endomorphisme de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>», on peut définir « le déterminant de cette matrice <math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace , \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace}\;</math>» c.-à-d. « le }}dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B \right\rbrace \right)\;</math>» avec la question sous-jacente : <br />{{Al|11}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> un endomorphisme de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>», on peut définir « le déterminant de cette matrice <math>\;\color{transparent}{\mathrm{det}\!\left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace , \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace}\;</math>» c.-à-d. }}« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] dépend-il de la base choisie » ? <br />{{Al|5}}Pour tenter d'y répondre, considérons «<math>\;\left\lbrace C \right\rbrace = \left\lbrace c_1,\cdots c_i, \cdots c_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n}\;</math> une nouvelle base de <math>\;E\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter d'y répondre, considérons }}«<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base initiale <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math> à la nouvelle base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>»<ref name="matrice de passage traduisant un changement de bases" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter d'y répondre, }}on définit alors « la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans le nouveau couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace C \right\rbrace\,,\,\left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="matrice d'endomorphisme d'un espace vectoriel dans une base particulière" /> relativement à <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter d'y répondre, on définit alors }}« [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|celle du même endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple initial de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B \right\rbrace \right)\;</math>» par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter d'y répondre, on définit alors }}«<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math>»<ref name="lien entre matrices d'un endomorphisme dans deux couples de bases de l'espace vectoriel" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter d'y répondre, on définit alors }}« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] de la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans le nouveau couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace C \right\rbrace\,,\,\left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>» selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour tenter d'y répondre, on définit alors }}«<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace = \mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}Pour poursuivre, il est nécessaire de préciser quelques propriétés du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] d'un produit de [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math>. === Déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille) === {{Al|5}}<u>Propriété</u> : « le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] d'un produit de [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math> est égal au produit des [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminants de chaque matrice]] »<ref name="déterminant d'un produit de matrices de même taille"> Voir le paragraphe « [[Matrice/Déterminant#Conséquences|conséquences]] » du chap.<math>6</math> intitulé « [[Matrice/Déterminant|Déterminant]] » de la leçon « [[Matrice|Matrice]] » du cours « [[Mathématiques_en_MPSI|Mathématiques en MPSI]] », les grandes lignes de la démonstration étant rappelées ci-après : <br>{{Al|3}}Soit «<math>\;\left[ A \right]\;</math> une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] fixée de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> c.-à-d. <math>\;\left[ A \right]\;\in\;M_n(\mathbb{R})\;</math>», on définit, pour la démonstration, l'« application <math>\;f\;</math> de <math>\;M_n(\mathbb{R})\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» selon <center>«<math>\;\forall\;\left[ B \right]\;\in\;M_n(\mathbb{R})</math>, <math>\;\left[ B \right]\;\overset{f}{\mapsto}\; f(\left[ B \right]) = \mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|3}}d'une part « si une colonne quelconque <math>\;_j\;</math> de <math>\;\left[ B \right]\;</math> est multipliée par le scalaire <math>\;\alpha\;</math>», il en est de même, de par la définition du produit matriciel à gauche <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, de la colonne <math>\;_j\;</math> du produit matriciel <math>\;\left[A \right] \times \left[ B \right]\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'une part « si une colonne quelconque <math>\;\color{transparent}{_j}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\left[ B \right]}\;</math> est multipliée par le scalaire <math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>», }}«<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace\;</math> est aussi multiplié par le scalaire <math>\;\alpha\;</math>» d'après la « propriété <math>\;3\;</math> du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'une part « si une colonne quelconque <math>\;\color{transparent}{_j}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\left[ B \right]}\;</math> est multipliée par le scalaire <math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math>», }}ce qui prouve que l'image de <math>\;\left[ B \right]\;</math> par l'application <math>\;f\;</math> c.-à-d. <math>\;f(\left[ B \right])\;</math> dépend linéairement de chaque colonne de la matrice antécédent <math>\;\left[ B \right]</math> <math>\;\Big\{</math>c'est le même comportement que l'application <math>\;g\;</math> de <math>\;M_n(\mathbb{R})\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> définie selon «<math>\;\forall\;\left[ B \right]\;\in\;M_n(\mathbb{R})</math>, <math>\;\left[ B \right]\;\overset{g}{\mapsto}\; g(\left[ B \right]) = \mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ B \right] \right\rbrace\;</math>»<math>\Big\}</math> ;<br>{{Al|3}}d'autre part « si deux colonnes <math>\;_j\;</math> et <math>\;_{j' \neq j}\;</math> de <math>\;\left[ B \right]\;</math> sont identiques », il en est de même, de par la définition du produit matriciel à gauche <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, des deux colonnes <math>\;_j\;</math> et <math>\;_{j' \neq j}\;</math> du produit matriciel <math>\;\left[A \right] \times \left[ B \right]\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part « si deux colonnes <math>\;\color{transparent}{_j}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{_{j' \neq j}}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\left[ B \right]}\;</math> sont identiques », }}«<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace = 0\;</math>» d'après la « propriété <math>\;2\;</math> du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Énoncé_et_démonstration_de_quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part « si deux colonnes <math>\;\color{transparent}{_j}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{_{j' \neq j}}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\left[ B \right]}\;</math> sont identiques », }}ce qui prouve que l'image d'une matrice <math>\;\left[ B \right]\;</math> ayant deux colonnes identiques par l'application <math>\;f\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;f(\left[ B \right]) = 0\;</math> pour <math>\;\left[ B \right]</math> ayant deux colonnes identiques <math>\;\Big\{</math>c'est le même comportement que l'application <math>\;g\;</math> de <math>\;M_n(\mathbb{R})\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> définie selon «<math>\;\forall\;\left[ B \right]\;\in\;M_n(\mathbb{R})</math>, <math>\;\left[ B \right]\;\overset{g}{\mapsto}\; g(\left[ B \right]) = \mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ B \right] \right\rbrace\;</math>»<math>\Big\}</math> ; <br>{{Al|3}}de ces deux propriétés de l'application «<math>\;f\;:\;M_n(\mathbb{R}) \mapsto \mathbb{R}\;</math>» identiques à celle de l'application «<math>\;g\;:\;M_n(\mathbb{R}) \mapsto \mathbb{R}\;</math>», on déduit la proportionnalité des deux applications c.-à-d. «<math>\;f \propto g\;</math>» ou «<math>\;f = K\;g\;</math> avec <math>\;K\;\in\;\mathbb{R}\;</math> restant à déterminer » ; <br>{{Al|3}}appliquant «<math>\;f = K\;g\;</math>» à <math>\;\left[ B \right]\;</math> quelconque de <math>\;M_n(\mathbb{R})</math>, on obtient «<math>\;f(\left[ B \right]) = K\;g(\left[ B \right])\;</math>» ou, d'après les définitions de <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, «<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace = K\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ B \right] \right\rbrace,\;\;\forall\;\left[ B \right]\;\in\;M_n(\mathbb{R})\;</math>» soit, en particulier pour <math>\;\left[ B \right] = \left[ I_n \right]</math> <math>\;\big\{</math>[[w:Matrice_identité|matrice identité]] de <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\big\}</math>, «<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ I_n \right] \right\rbrace = K\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ I_n \right] \right\rbrace\;</math>» ou, avec <math>\;\left[ A \right] \times \left[ I_n \right] = \left[ A \right]\;</math> et <math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ I_n \right] \right\rbrace = 1</math>, «<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace = K\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;f = \mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace\;g\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f(\left[ B \right]) = \mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace\;g(\left[ B \right])\;</math>» ou <br>{{Al|22}}«<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace = \mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \left[ B \right] \right\rbrace\;</math>».</center></ref> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : « le déterminant d'un produit de matrices carrées }}«<math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ A \right] \times \left[ B \right] \right\rbrace = \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ A \right] \right\rbrace \; \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ B \right] \right\rbrace\;\;\forall\; \left( \left[ A \right]\,,\, \left[ B \right] \right)\; \in \left\lbrace M_n\!\left( \mathbb{R} \right) \right\rbrace^2\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : « Deux [[w:Matrice_inversible|matrices inverses l'une de l'autre]] ont des [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminants]] inverses l'un de l'autre » en effet <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : }}«<math>\;\left[ P \right]^{-1} \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right] \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>», on a «<math>\;\left[ P \right]^{-1} \times \left[ P \right] = \left[ I_n \right]\;</math>»<ref name="matrice identité"> <math>\;\left[ I_n \right]\;</math> étant la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] de <math>\;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » avec ajout de l'indice <math>\;_n\;</math> pour préciser la taille<math>\big]</math>.</ref> avec «<math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ I_n \right] \right\rbrace = 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]^{-1} \times \left[ P \right] \right\rbrace = \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ I_n \right] \right\rbrace = 1\;</math>» d'une part et <br />{{Al|11}}{{Transparent|Conséquence : «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]^{-1} \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> étant la matrice inverse de <math>\;\color{transparent}{\left[ P \right] \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math>», on a «<math>\;\color{transparent}{\left[ P \right]^{-1} \times \left[ P \right] = \left[ I_n \right]}\;</math>» avec }}«<math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]^{-1} \times \left[ P \right] \right\rbrace</math> <math>= \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]^{-1} \right\rbrace \; \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right] \right\rbrace\;</math>» d'autre part d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : }}«<math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]^{-1} \right\rbrace = \left( \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right] \right\rbrace \right)^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right] \right\rbrace}\;</math>». === Indépendance du déterminant des matrices d'un endomorphisme par rapport à la base choisie dans l'espace vectoriel de définition, définition du déterminant d'un endomorphisme === {{Al|5}}« Les [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math>» respectivement « dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace C \right\rbrace\,,\,\left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>» et « dans celui <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B \right\rbrace \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les matrices de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>» }}étant liées par «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math>»<ref name="lien entre matrices d'un endomorphisme dans deux couples de bases de l'espace vectoriel" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Les matrices de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>» }}dans laquelle «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> est la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>»<ref name="matrice de passage traduisant un changement de bases" />, <br />{{Al|5}}nous en déduisons, en prenant le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de la matrice]] du membre de gauche et celui du produit [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matriciel]] du membre de droite, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}«<math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace = \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right\rbrace\;</math>» ou, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}en utilisant les résultats sur le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] du produit de [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices]]<ref name="déterminant d'un produit de matrices"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Déterminant_d'un_produit_de_matrices_de_même_dimension_(ou_taille)|déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille)]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> du membre de droite et sur le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] d'une [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]]<ref name="lien entre déterminants de matrices inverses"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Déterminant_d'un_produit_de_matrices_de_même_dimension_(ou_taille)|déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille)]] (conséquence) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}«<math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace = \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \right\rbrace \; \mathrm{det}\! \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace \; \mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right\rbrace\;</math>»<ref name="déterminant d'un produit de matrices" /> ou encore, <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}«<math>\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace = \dfrac{1}{\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right\rbrace}\;\mathrm{det}\! \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace \;\mathrm{det}\! \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right\rbrace\;</math><ref name="lien entre déterminants de matrices inverses" /> <math>= \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous en déduisons, }}<u>l'indépendance du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] des [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices de l'endomorphisme]]</u><math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math><u>par rapport à la base choisie</u> dans ce dernier. {{Définition|titre=Déterminant d'un endomorphisme|contenu = {{Al|5}}On appelle « [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminant de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appel}}« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] commun des [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices de cet endomorphisme]] dans n'importe couple de bases de <math>\;E\;</math>» soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle }}«<math>\;\mathrm{det}\! \left( \varphi \right) = \mathrm{det}\! \left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace\;\;\forall\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> base de <math>\;E\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Si on considère « une famille de <math>\;n\;</math> vecteurs <math>\;\left\lbrace X \right\rbrace = \left\lbrace x_1,\cdots x_j, \cdots x_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>» de ce dernier et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Si on considère }}« son image par l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math> à savoir <math>\;\varphi\! \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right) = \left\lbrace \varphi(x_1),\cdots \varphi(x_j), \cdots \varphi(x_n) \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> dans la même base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math>» ainsi que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Si on considère }}« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_famille_de_n_vecteurs_dans_une_base|déterminant de chaque famille]] dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>» c.-à-d. <math>\bullet\;</math>« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_famille_de_n_vecteurs_dans_une_base|déterminant de la famille de]] ces <math>\;n\;</math> vecteurs <math>\;x_{j\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\, n \right] \right]} = \left( x_{1,\,j},\, \cdots\, x_{i,\,j},\, \cdots\, x_{n,\,j} \right)\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>» c.-à-d. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le déterminant de la famille de ces }}dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>» noté «<math>\;\mathrm{det}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right)\;</math>»<ref> C.-à-d. « le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de la matrice]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & \cdots & x_{1,\,j} & \cdots & x_{1,\,n} \\ & &\vdots & & \\ x_{i,\,1} & \cdots & x_{i,\,j} & \cdots & x_{i,\,n} \\ & & \vdots & & \\ x_{n,\,1} & \cdots & x_{n,\,j} & \cdots & x_{n,\,n} \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n\\1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\end{array}} \in \;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>celle-ci étant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] de la famille des <math>\;n\;</math> vecteurs <math>\;x_{j\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\, n \right] \right]}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E</math>, [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] notée <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right)\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#1ère_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_coordonnée_d'une_famille_de_n_«_m-uplets_»_dans_une_base_de_Rm|1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n m-uplets dans une base de R^m]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans lequel <math>\;m = n\;</math> d'une part et les <math>\;m</math>-uplets de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> remplacés par des vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> d'autre part<math>\big\}</math>.</ref> et <br />{{Al|6}}{{Transparent|Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>» c.-à-d. }}<math>\bullet\;</math>« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_famille_de_n_vecteurs_dans_une_base|déterminant de la famille de]] ces <math>\;n\;</math> vecteurs images <math>\;\varphi\! \left( x_{j\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\, n \right] \right]} \right)\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>» c.-à-d. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« le déterminant de la famille de ces }}dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>» noté «<math>\;\mathrm{det}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right) \right)\;</math>»<ref> Ce dernier étant encore le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de la matrice]] «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \varphi_1\! \left( x_1 \right) & \cdots & \varphi_1\! \left( x_j \right) & \cdots & \varphi_1\! \left( x_n \right) \\ & &\vdots & & \\ \varphi_i\! \left( x_1 \right) & \cdots & \varphi_i\! \left( x_j \right) & \cdots & \varphi_i\! \left( x_n \right) \\ & & \vdots & & \\ \varphi_n\! \left( x_1 \right) & \cdots & \varphi_n\! \left( x_j \right) & \cdots & \varphi_n\! \left( x_n \right) \end{array} \right]_{\begin{array}{c}1\, \leqslant\, i\, \leqslant\, n\\1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n\end{array}} \in \;M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>celle-ci étant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice coordonnée]] de la famille des <math>\;n\;</math> vecteurs <math>\;\varphi\! \left( x_{j\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\, n \right] \right]} \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E</math>, [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] notée <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi\! \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right) \right)\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#1ère_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_coordonnée_d'une_famille_de_n_«_m-uplets_»_dans_une_base_de_Rm|1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n m-uplets dans une base de R^m]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans lequel <math>\;m = n\;</math> d'une part et les <math>\;m</math>-uplets de <math>\;\mathbb{R}^m\;</math> remplacés par des vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> d'autre part<math>\big\}</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : }}« le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminant de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;E\;</math>» est « le scalaire <math>\;\mathrm{det}\! \left( \varphi \right)\;</math> vérifiant <math>\;\mathrm{det}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right) \right) = \mathrm{det}\! \left( \varphi \right)\;\mathrm{det}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right)\;</math>»<ref> Ce résultat se déduisant de «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi\! \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right) \right) = \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \left\lbrace X \right\rbrace \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans lequel les deux [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espaces vectoriels]] ainsi que leur base sont confondus <math>\;\big(</math>avec simplification des notations consistant à ne pas répéter la même base de l'espace commun “définition et image”<math>\big)\big]\;</math> suivi de l'utilisation de la propriété « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Déterminant_d'un_produit_de_matrices_de_même_dimension_(ou_taille)|le déterminant d'un produit de matrices est le produit des déterminants de chacune d'elles]] » exposée plus haut dans ce chapitre et le fait que « le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] des [[w:Matrice_d'une_application_linéaire|matrices d'un endomorphisme]] est indépendant de la base utilisée » <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : « Deux [[w:Matrices_semblables|matrices semblables]] étant des [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices d'un même endomorphisme]] d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans des couples de bases différents »<ref name="matrices semblables, matrices d'un même endomorphisme"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_sur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br />{{Al|18}}{{Transparent|Conséquence : « Deux matrices semblables étant des }}« ces dernières ayant même [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] » <math>\;\big(</math>définissant le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminant de l'endomorphisme]]<math>\big)\;</math> on en déduit que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : }}« <u>deux [[w:Matrices_semblables|matrices semblables]] ont même [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]]</u> » ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : }}réciproquement « deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math> qui ont même [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] pouvant être considérées comme <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : réciproquement « }}deux [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices d'un même endomorphisme]] d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> dans des couples de bases différents »<ref> Car si les [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices]] étaient des [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrices d'endomorphismes]] différents, leurs [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminants]] seraient les [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminants d'endomorphismes]] différents donc leurs [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminants]] seraient différents <math>\;\ldots</math></ref> on en déduit que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : réciproquement }}« <u>deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices]] de même dimension</u><math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math><u>ayant même [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] sont [[w:Matrices_semblables|semblables]]</u> ». == Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme == {{Al|5}}Soit l'« [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math>», on appelle <math>\bullet\;</math>« <u>[[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeur propre]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]]</u><math>\;\varphi\;</math>» un « scalaire <math>\;\lambda\;\in \mathbb{R}\;</math>» tel que «<math>\;\exists\;x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace\;</math> vérifiant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« valeur propre de l'endomorphisme<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» un « scalaire <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tel que «}}<math>\;\varphi(x) = \lambda\;x\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle }}<math>\bullet\;</math>« <u>[[w:Valeur_propre_(synthèse)#Vecteur_propre|vecteur propre]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]]</u><math>\;\varphi\;</math>» un « vecteur <math>\;x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace\;</math>» tel que «<math>\;\exists\;\lambda\;\in \mathbb{R}\;</math> vérifiant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« vecteur propre de l'endomorphisme<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» un « vecteur <math>\;\color{transparent}{x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace}\;</math>» tel que «}}<math>\;\varphi(x) = \lambda\;x\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}on dit alors que «<math>\;x\;</math> est un [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Vecteur_propre|vecteur propre]] associé à la [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeur propre]] <math>\;\lambda\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle }}<math>\bullet\;</math>« <u>[[w:Valeur_propre_(synthèse)#Sous-espaces_propres|sous-espace propre]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]]</u><math>\;\varphi\;</math>» un « sous-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathcal{S}_E \subseteq E\;</math> constitué de l'ensemble des <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« sous-espace propre de l'endomorphisme<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» un « }}[[w:Valeur_propre_(synthèse)#Vecteur_propre|vecteurs propres]] associés à une [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeur propre]] <math>\;\lambda\;</math> auquel on a <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« sous-espace propre de l'endomorphisme<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» un « }}adjoint le vecteur nul <math>\;0_E\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit l'« endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math>», on appelle <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}on dit alors que «<math>\;\mathcal{S}_E\;</math> est le [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Sous-espaces_propres|sous-espace propre]] associé à la [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeur propre]] <math>\;\lambda\;</math>». === Polynôme caractéristique d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n === {{Al|5}}On appelle « [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> de <math>\;M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>», le « [[w:Polynôme|polynôme]] d'[[w:Indéterminée|indéterminée]] <math>\;X\;</math>»<ref name="construction d'un polynôme sur l'ensemble des réels"> Un [[w:Polynôme|polynôme]] à une [[w:Indéterminée|indéterminée]] <math>\;X\;</math> à cœfficients dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> est une [[w:Suite_(mathématiques)|suite]] à valeurs dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> nulle à partir d'un certain [[w:Suite_(mathématiques)|#Notations|rang]] ; <br>{{Al|3}}la [[w:Suite_(mathématiques)|suite]] d'éléments de <math>\;\mathbb{R}\;</math> est notée <math>\bullet\;</math>sans utiliser l'[[w:Indéterminée|indéterminée]] <math>\;X\;</math> selon <math>\;(p_0,\, p_1, \cdots,\, p_k, \cdots,\, p_n)\;</math> ou encore simplement <math>\;(p_k)_{k\,\in \left[\left[ 0, n \right]\right]}\;</math> ou, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la suite d'éléments de <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> est notée }}<math>\bullet\;</math>en utilisant l'[[w:Indéterminée|indéterminée]] <math>\;X\;</math> selon <math>\;p(X) = \sum\limits_{k\,\in \left[\left[ 0, n \right]\right]} p_k\; X^k\;\ldots</math></ref> défini par <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math>», le }}«<math>\;p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \left[ A \right] \right) = \sum\limits_{ \sigma\, \in\, S_n } \left[ \varepsilon(\sigma)\; \prod\limits_{j = 1}^n \alpha_{\sigma(j),\,j}(X) \right]\;</math>»<ref name="déterminant d'une matrice carrée" />{{,}}<ref name="commentaires sur les permutations"> L'évaluation du [[w:Formule_de_Leibniz#Déterminant_d'une_matrice_carrée|déterminant de la matrice carrée]] étant faite d'après la [[w:Formule_de_Leibniz#Déterminant_d'une_matrice_carrée|formule de Leibniz]] avec <math>\bullet\;</math><math>\sigma\;</math> une [[w:Permutation#Définition|permutation]] de <math>\;S_n</math> <math>\;\Big(</math>ensemble des [[w:Permutation#Définition|permutations]] des éléments de <math>\;\left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]\Big)</math>, <br>{{Al|27}}{{Transparent|L'évaluation du déterminant de la matrice carrée étant faite d'après la formule de Leibniz avec }}<math>\bullet\;</math><math>\sigma(j)\;</math> le j^ème élément de la [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\sigma\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|27}}{{Transparent|L'évaluation du déterminant de la matrice carrée étant faite d'après la formule de Leibniz avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math><math>\color{transparent}{\sigma(j)}\;</math> le j^ème élément de la }}<math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right] \!\!&\text{:} \!\!& 1 \!\!& \cdots \!\!& j \!\!& \cdots \!\!& n\\ \sigma \!\!&\text{:} \!\!& \sigma(1) \!\!& \cdots \!\!& \sigma(j) \!\!& \cdots \!\!& \sigma(n)\end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|27}}{{Transparent|L'évaluation du déterminant de la matrice carrée étant faite d'après la formule de Leibniz avec }}<math>\bullet\;</math><math>\varepsilon(\sigma)\;</math> la [[w:Signature_d'une_permutation#Définition_de_la_signature|signature de la permutation]] <math>\;\sigma\;</math> c.-à-d. <math>\;\varepsilon(\sigma) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{si }\;\sigma\;\text{est paire}\\-1\;\;\text{si }\;\sigma\;\text{est impaire}\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|27}}{{Transparent|L'évaluation du déterminant de la matrice carrée étant faite d'après la formule de Leibniz avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}une [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\sigma\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{paire}\\ \text{impaire}\end{array}\right\rbrace\;</math> si le nombre d'inversions est <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pair}\\ \text{impair}\end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|27}}{{Transparent|L'évaluation du déterminant de la matrice carrée étant faite d'après la formule de Leibniz avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}il y a inversion dans la [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\sigma\;</math> quand <math>\;\sigma(j)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\sigma(i > j)\;</math> <br>{{Al|27}}{{Transparent|L'évaluation du déterminant de la matrice carrée étant faite d'après la formule de Leibniz avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#cite_note-exemple_de_parité_de_permutation-11|¹¹]] » plus haut dans le chapitre, exemple d'évaluation de parité de <math>\;\sigma\big]\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' [[w:Polymathie|polymathe]] allemand <math>\;\big[</math>entre autres philosophe, logicien, mathématicien, scientifique <math>\;\ldots\big]\;</math> dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>dont la paternité doit être partagée avec '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]]'''<math>\big\}\;</math> ainsi que l'introduction des notations connues de nos jours sous le nom de [[w:Notation_de_Leibniz|notations de Leibniz]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la [[w:Mécanique_newtonienne|mécanique classique]], pour sa [[w:Loi_universelle_de_la_gravitation|théorie de la gravitation]] et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>partagée de façon plus ou moins indépendante avec '''[[w:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]]'''<math>\big)</math> ; en optique il a développé une [[w:Théorie_de_la_couleur#Explorations_physiques|théorie de la couleur]] et a aussi inventé un télescope composé d'un [[w:Miroir_concave|miroir primaire concave]] et d'un [[w:Miroir_plan|miroir secondaire plan]], télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math>», le }}«<math>\;\alpha_{i,\,j}(X)\;</math> étant le [[w:Polynôme|polynôme]] <math>\;\delta_{i,\, j}\; X - a_{i,\, j}\;</math><ref name="symbole de Kronecker"> Où <math>\;\delta _{i,\,j} = \left\lbrace \begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}\right\rbrace\;</math> est le [[w:Symbole_delta_de_Kronecker|symbole de Kronecker]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leopold_Kronecker|Leopold Kronecker]] (1823 - 1891)''' mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en <math>\;1850\;</math> la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'[[w:Équation_quintique|équation quintique]] en utilisant la [[w:Théorie_des_groupes|théorie des groupes]].</ref> », cœfficient d'indice <math>\;_{i,\, j}\;</math> de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] «<math>\;X\,\left[ I_n \right] - \left[ A \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}le « développement du [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> de <math>\;M_n\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math> selon les puissances <math>\;\searrow\;</math>» : «<math>\;p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \left[ A \right] \right)</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> selon les puissances <math>\;\color{transparent}{\searrow}\;</math>» : «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) :}</math>}}<math>= X^n - f_1(\left[ A \right])\;X^{n - 1} + f_2(\left[ A \right])\;X^{n - 2} - \cdots + (-1)^n\;f_n(\left[ A \right])\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> selon les puissances <math>\;\color{transparent}{\searrow}\;</math>» : «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) :}</math>}}avec «<math>\;f_k(\left[ A \right]) = \sum_{I\,\subset\,\left\lbrace 1,\,\dots,\,n \right\rbrace}^{\mathrm{card}(I) = k} \mathrm{\det}\! \left( A_{I,\,I} \right)\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> selon les puissances <math>\;\color{transparent}{\searrow}\;</math>» : «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) :}</math>avec }}« la somme des [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)#Mineurs_particuliers|mineurs principaux]] d'ordre <math>\;k\;</math> de <math>\;\left[ A \right]\;</math>»<ref name="mineurs principaux d'une matrice carrée"> « Un [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] de [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\; \in\; M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] d'une de ses [[w:Sous-matrice|sous-matrices]] carrées <math>\;\big(</math>obtenue en ne gardant que certaines lignes et colonnes de façon à ce que le nombre soit le même<math>\big)\;</math>» soit, <br>{{Al|3}}en supposant qu'on ne garde que les lignes <math>\;1\;</math> et <math>\;3\;</math> ainsi que les colonnes <math>\;2\;</math> et <math>\;3\;</math> de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]\; \in\; M_{m,\,n}\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, on obtient le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 1,\,3 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 2\,,\, 3 \right\rbrace} \right)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en supposant qu'on ne garde que les lignes <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> ainsi que les colonnes <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}le nombre commun de lignes et de colonnes définissant l'ordre du [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] » <math>\;\big(</math>ici d'ordre <math>\;2\big)</math> ; <br>{{Al|3}}le [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)|mineur]] est dit « [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)#Mineurs_particuliers|principal]] » si on ne garde que les lignes et colonnes de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] de même indice par exemple <math>\;\mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 1,\,3 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 1\,,\, 3 \right\rbrace} \right)\;</math> est un [[w:Mineur_(algèbre_linéaire)#Mineurs_particuliers|mineur principal]] d'ordre <math>\;2</math>.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> selon les puissances <math>\;\color{transparent}{\searrow}\;</math>» : «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) :}</math> }}où «<math>\;I\;</math> est une partie à <math>\;k\;</math> éléments<ref name="cardinal d'un ensemble"> Le [[w:Nombre_cardinal|cardinal]] d'un ensemble <math>\;\mathcal{E}\;</math> fini ou dénombrable, noté <math>\;\mathrm{card}\! \left( \mathcal{E} \right)</math>, est le nombre d'éléments de cet ensemble.</ref> de l'ensemble des entiers naturels <br />{{Al|11}}{{Transparent|le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée <math>\;\color{transparent}{\left[ A \right]}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M_n\! \left( \mathbb{R} \right)}\;</math> selon les puissances <math>\;\color{transparent}{\searrow}\;</math>» : «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) :}</math>où «<math>\;\color{transparent}{I}\;</math> est une partie à <math>\;\color{transparent}{k}\;</math> éléments de l'ensemble }}<math>\;\left\lbrace 1,\,\dots,\,n \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : « le cœfficient constant <math>\;p_{\left[ A \right]}(0)\;</math>» vaut «<math>\;(-1)^n\;f_n(\left[ A \right])\;</math> avec <math>\;f_n(\left[ A \right]) = \mathrm{det}\! \left( A \right)\;</math> c.-à-d. le [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de la matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}« le cœfficient de <math>\;X^{n - 1}\;</math>» est égal à «<math>\;-f_1(\left[ A \right])\;</math> dans laquelle <math>\;f_1(\left[ A \right]) = \sum_{i \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} a_{i,\,i} = \mathrm{Tr}\! \left( A \right)\;</math> c.-à-d. la [[w:Trace_(algèbre)|trace de la matrice]] <math>\;\left[ A \right]\;</math>»<ref name="trace d'une matrice carrée"> <math>\;\mathrm{Tr}\! \left( A \right)\;</math> étant donc la somme des cœfficients de la diagonale principale de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\;\left[ A \right]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Exemples</u> : <math>\bullet\;</math>1^er exemple, déterminer le « [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right] \in\;M_3\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>1^er exemple, déterminer }}«<math>\;p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) = \begin{array}{|c c c|} \;X & -3 & -6\; \\ \;-1 & X - 4 & -7\; \\ \;-2 & -5 & X - 8\; \end{array}\; = X^3 - f_1(\left[ A \right])\;X^2 + f_2(\left[ A \right])\;X - f_3(\left[ A \right])\;</math>» avec <br />{{Al|45}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>1^er exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} f_1(\left[ A \right]) \!\!&= \mathrm{Tr}\! \left( A \right) \!\!&= 0 + 4 + 8 \!\!&= 12\\ f_3(\left[ A \right]) \!\!&= \mathrm{det}\! \left( A \right) \!\!& \!\!&= 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="trace d'une matrice carrée" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Nouveau_retour_sur_les_deux_exemples_exposés_précédemment|nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment]] (retour sur le 1^er exemple) » plus haut dans ce chapitre, pour la détermination la plus rapide de <math>\;\mathrm{det}\! \left( A \right)</math>.</ref> et <br />{{Al|45}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>1^er exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> }}<math>\succ\;</math>«<math>\;f_2(\left[ A \right]) = \mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 1,\,2 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 1\,,\, 2 \right\rbrace} \right) + \mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 1,\,3 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 1\,,\, 3 \right\rbrace} \right) + \mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 2,\,3 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 2\,,\, 3 \right\rbrace} \right)\;</math><ref name="mineurs principaux d'une matrice carrée" /> <br />{{Al|46}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>1^er exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{f_2(\left[ A \right])}</math> }}<math>= \begin{array}{|c c|} \;0 & 3\; \\ \;1 & 4 \;\end{array} + \begin{array}{|c c|} \;0 & 6\; \\ \;2 & 8 \;\end{array} + \begin{array}{|c c|} \;4 & 7\; \\ \;5 & 8 \;\end{array} = (-3) + (-12) + (4 \times 8 - 5 \times 7)</math> <br />{{Al|46}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>1^er exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{f_2(\left[ A \right])}</math> }}<math>= -18\;</math>» d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>1^er exemple, déterminer }}le « [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{array} \right]\;</math> est <math>\;p_{\left[ A \right]}(X) = X^3 - 12\;X^2 - 18\;X\;</math>» ; <br />{{Al|5}}<u>Exemples</u> : <math>\bullet\;</math>2^nd exemple, déterminer le « [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right] \in\;M_3\! \left( \mathbb{R} \right)\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>2^nd exemple, déterminer }}«<math>\;p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) = \begin{array}{|c c c|} \;X & -4 & -6\; \\ \;-1 & X - 5 & -7\; \\ \;-2 & -3 & X - 8\; \end{array}\; = X^3 - f_1(\left[ A \right])\;X^2 + f_2(\left[ A \right])\;X - f_3(\left[ A \right])\;</math>» avec <br />{{Al|45}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>2^nd exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} f_1(\left[ A \right]) \!\!&= \mathrm{Tr}\! \left( A \right) \!\!&= 0 + 5 + 8 \!\!&= 13\\ f_3(\left[ A \right]) \!\!&= \mathrm{det}\! \left( A \right) \!\!& \!\!&= -18\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="trace d'une matrice carrée" />{{,}}<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Nouveau_retour_sur_les_deux_exemples_exposés_précédemment|nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment]] (retour sur le 2^ème exemple) » plus haut dans ce chapitre, pour la détermination la plus rapide de <math>\;\mathrm{det}\! \left( A \right)</math>.</ref> et <br />{{Al|45}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>2^nd exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> }}<math>\succ\;</math>«<math>\;f_2(\left[ A \right]) = \mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 1,\,2 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 1\,,\, 2 \right\rbrace} \right) + \mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 1,\,3 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 1\,,\, 3 \right\rbrace} \right) + \mathrm{det}\! \left( A_{\left\lbrace 2,\,3 \right\rbrace\,,\,\left\lbrace 2\,,\, 3 \right\rbrace} \right)\;</math><ref name="mineurs principaux d'une matrice carrée" /> <br />{{Al|46}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>2^nd exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{f_2(\left[ A \right])}</math> }}<math>= \begin{array}{|c c|} \;0 & 4\; \\ \;1 & 5 \;\end{array} + \begin{array}{|c c|} \;0 & 6\; \\ \;2 & 8 \;\end{array} + \begin{array}{|c c|} \;5 & 7\; \\ \;3 & 8 \;\end{array} = (-4) + (-12) + (5 \times 8 - 3 \times 7)</math> <br />{{Al|46}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>2^nd exemple, déterminer «<math>\;\color{transparent}{p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_3 \right] - \left[ A \right] \right) =\;=}</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{f_2(\left[ A \right])}</math> }}<math>= 3\;</math>» d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>2^nd exemple, déterminer }}le « [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 8 \end{array} \right]\;</math> est <math>\;p_{\left[ A \right]}(X) = X^3 - 13\;X^2 + 3\;X - 18\;</math>». === Polynôme caractéristique d'un endomorphisme === {{Al|5}}Soit «<math>\;E\;</math> un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> dans lequel on définit une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\cdots b_j, \cdots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\varphi\;</math> un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] de <math>\;E\;</math>», on peut associer à ce dernier « une [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B \right\rbrace \right)\;</math> notée <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace , \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>»<ref name="matrice d'endomorphisme d'un espace vectoriel dans une base particulière" /> puis <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> un endomorphisme de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>», on peut }}définir « le [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de cette matrice]] <math>\;p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;</math><ref name="polynôme caractéristique d'une matrice carrée"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Polynôme_caractéristique_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|polynôme caractéristique d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>= \sum\limits_{ \sigma\, \in\, S_n } \left[ \varepsilon(\sigma)\; \prod\limits_{j = 1}^n \alpha_{\sigma(j),\,j}(X) \right]\;</math>»<ref name="déterminant d'une matrice carrée" />{{,}}<ref name="commentaires sur les permutations" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> un endomorphisme de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>», on peut définir }}«<math>\;\alpha_{i,\,j}(X)\;</math> étant le [[w:Polynôme|polynôme]] <math>\;\delta_{i,\, j}\; X - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)_{i,\, j}\;</math><ref name="symbole de Kronecker" /> », cœfficient d'indice <math>\;_{i,\, j}\;</math> de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] «<math>\;X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> un endomorphisme de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>», on peut définir }}question sous-jacente : « le [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique]] obtenu dépend-il de la base choisie » ? {{Al|5}}<u>Propriété</u> : « le [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice]] représentant l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> de <math>\;E\;</math>» c.-à-d. «<math>\;p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : « le polynôme caractéristique de la matrice représentant l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math>» }}est « indépendant du choix de la base » en effet, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : }}soit <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math> une autre base de <math>\;E\;</math> on définit «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace , \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> la [[w:Matrice_d'une_application_linéaire#Définition|matrice de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans le couple de bases <math>\;\left( \left\lbrace C \right\rbrace\,,\,\left\lbrace C \right\rbrace \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : soit <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math> une autre base de <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> on définit }}« le [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de cette matrice]] <math>\;p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X) = \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : }}le lien entre les deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices]] étant «<math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math>»<ref name="lien entre matrices d'un endomorphisme dans deux couples de bases de l'espace vectoriel" /> avec «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math>» la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace C \right\rbrace\;</math><ref name="matrice de passage traduisant un changement de bases" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : }}on en déduit, par report dans «<math>\;p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X) = \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : on en déduit, par }}l'utilisation de «<math>\;\left[ I_n \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ I_n \right] = \left[ I_n \right]^2 = \left[ I_n \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} =</math> <math>\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ I_n \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}\;</math>»<ref> On utilise la commutativité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] entre la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] et n'importe quelle autre [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math>, la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] étant l'élément neutre de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (4^ème propriété) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la propriété de commutativité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] entre deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] quelconques de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> n'étant a priori pas réalisée<math>\;\ldots</math></ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : on en déduit, }}«<math>\;p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X) = \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ I_n \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} - \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right)\;</math> ou, par factorisation matricielle à gauche et à droite<ref name="factorisation matricielle"> La factorisation matricielle à gauche ou à droite étant l'opération inverse de la distributivité de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche ou à droite relativement à l'[[w:Matrice_(mathématiques)#Addition_des_matrices_et_multiplication_par_un_scalaire|addition matricielle]], voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (2^ème et 3^ème propriétés) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : on en déduit, «<math>\;\color{transparent}{p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X)}</math> }}<math>= \mathrm{det}\! \left( \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \times \left\lbrace X\, \left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right)\;</math><ref> Obtenu en factorisant matriciellement à gauche par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Obtenu en factorisant matriciellement }}à droite par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}</math>.</ref> soit finalement, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : on en déduit, «<math>\;\color{transparent}{p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X)}</math> }}<math>= \mathrm{det}\! \left( \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \right)\;\mathrm{det}\! \left( X\, \left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\; \mathrm{det}\! \left( \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right)\;</math>»<ref name="déterminant d'un produit de matrices" />, ou encore, avec «<math>\;\mathrm{det}\! \left( \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace}^{\,-1} \right) = \dfrac{1}{\mathrm{det}\! \left( \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace C \right\rbrace} \right)}\;</math>»<ref name="lien entre déterminants de matrices inverses" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : on en déduit, }}«<math>\;p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace C \right\rbrace, \left\lbrace C \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X) = \mathrm{det}\! \left( X\, \left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right) = p_{\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)}(X)\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Définition|titre=Polynôme caractéristique d'un endomorphisme|contenu = {{Al|5}}On définit le [[w:Polynôme_caractéristique#Polynôme_caractéristique_d'un_endomorphisme|polynôme caractéristique de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n</math>, par <br />{{Al|5}}{{Transparent|On définit }}le [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique de la matrice carrée]] <math>\;\left[ A \right]\;</math> représentant <math>\;\varphi\;</math> dans une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> quelconque de <math>\;E\;</math><ref name="indépendance de la base"> Cette définition n'ayant un sens que si les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] représentant l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> dans n'importe quelle base de <math>\;E\;</math> ont même [[w:Polynôme_caractéristique#Définition_formelle|polynôme caractéristique]] c.-à-d. indépendant de la base choisie, ce qui a été effectivement établi précédemment.</ref>, c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|On définit }}«<math>\;p_{\varphi}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right) = \sum\limits_{ \sigma\, \in\, S_n } \left[ \varepsilon(\sigma)\; \prod\limits_{j = 1}^n \alpha_{\sigma(j),\,j}(X) \right]\;</math>»<ref name="déterminant d'une matrice carrée" />{{,}}<ref name="commentaires sur les permutations" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|On définit }}«<math>\;\alpha_{i,\,j}(X)\;</math> étant le [[w:Polynôme|polynôme]] <math>\;\delta_{i,\, j}\; X - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)_{i,\, j}\;</math><ref name="symbole de Kronecker" /> », <br />{{Al|5}}{{Transparent|On définit «<math>\;\color{transparent}{\alpha_{i,\,j}(X)}\;</math> }}cœfficient d'indice <math>\;_{i,\, j}\;</math> de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] «<math>\;X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <u>Deux [[w:Matrices_semblables|matrices semblables]]</u> pouvant être considérées comme représentant le même [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\Big(</math>car elles sont liées par la relation <math>\;\exists\, \left[ P \right]\;\in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et inversible telle que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : Deux matrices semblables pouvant être considérées comme représentant le même endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\Big(}</math>car elles sont liées par la relation }}<math>\;\left[ B \right] = \left[ P \right]^{-1} \times \left[ A \right] \times \left[ P \right]\Big)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : Deux matrices semblables }}<u>ont même [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]]</u><ref name="réciproque fausse"> La réciproque est néanmoins fausse « deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\;</math> ayant même [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]] ne sont pas nécessairement [[w:Matrices_semblables|semblables]] » <math>\;\big[</math>voir 4^ème [[w:Polynôme caractéristique#Propriétés|propriété]] de l'article de Wikipédia sur les [[w:Polynôme_caractéristique|polynômes caractéristiques]] de [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)\big]\;</math> : <br>{{Al|3}}exemple de [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices]] de <math>\;M_2\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> ayant même [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]] et n'étant pas [[w:Matrices_semblables|semblables]] «<math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right]\;</math> et <math>\;\left[ B \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array} \right]\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|exemple de matrices de <math>\;\color{transparent}{M_2\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> ayant même polynôme caractéristique et n'étant pas semblables }}elles ont même [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]] «<math>\;p_{\left[ A \right]}(X) = p_{\left[ B \right]}(X) = (X - 1)^2 = X^2 - 2\;X + 1\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>le 1^er étant défini selon «<math>\;p_{\left[ A \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_2 \right] - \left[ A \right] \right) = \Bigg\vert \begin{array}{c} (X - 1) & 0\\ 0 & (X - 1)\end{array}\Bigg\vert\;</math>» et le 2^nd selon «<math>\;p_{\left[ B \right]}(X) := \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_2 \right] - \left[ B \right] \right) = \Bigg\vert \begin{array}{c} (X - 1) & 1\\ 0 & (X - 1)\end{array}\Bigg\vert\;</math>»<math>\bigg\}\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|exemple de matrices de <math>\;\color{transparent}{M_2\!\left( \mathbb{R} \right)}\;</math> ayant même polynôme caractéristique et n'étant pas semblables }}mais elles ne sont pas [[w:Matrices_semblables|semblables]] car elles le seraient s'il existait une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] <math>\;\left[ P \right]\;</math> inversible telle que «<math>\;\left[ B \right] \;\overset{\text{?}}{=}\; \left[ P \right]^{-1} \times \left[ A \right] \times \left[ P \right]\;</math>» soit, comme «<math>\;\left[ A \right] = \left[ I_2 \right]\;</math>», «<math>\;\left[ B \right] \;\overset{\text{?}}{=}\; \left[ P \right]^{-1} \times \left[ I_2 \right] \times \left[ P \right] = \left[ P \right]^{-1} \times \left\lbrace \left[ I_2 \right] \times \left[ P \right] \right\rbrace = \left[ P \right]^{-1} \times \left[ P \right] = \left[ I_2 \right] = \left[ A \right]\;</math>» ce qui n'est pas puisque <math>\;\left[ B \right] \neq \left[ A \right]\;</math> d'où <math>\;\left[ P \right]\;</math> inversible n'existe pas et par suite <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right]\;</math> et <math>\;\left[ B \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 1\end{array} \right]\;</math> ne sont pas [[w:Matrices_semblables|semblables]] ;<br>{{Al|3}}deux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices carrées]] de dimension <math>\;n\;</math> non [[w:Matrices_semblables|semblables]] pouvant avoir même [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]], on en déduit que deux [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphismes]] différents d'un même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> peuvent également avoir même [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]] ;<br>{{Al|3}}une conséquence de cette non-propriété est qu'un [[w:Polynôme|polynôme]] de degré <math>\;n\;</math> ne caractérise ni une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;n\;</math> <math>\big(</math>même à une [[w:Matrices_semblables|similitude]] près<math>\big)</math>, ni un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n</math> <math>\;\ldots</math></ref>. === Lien entre valeurs propres d'un endomorphisme et son polynôme caractéristique === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] est de « [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminant]] nul » ss'il est « non [[w:Injection_(mathématiques)#Définition_formelle|injectif]] »<ref name="endomorphisme non injectif"> « Un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> sur le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;E\;</math> de dimension <math>\;n\;</math> est non injectif » « si <math>\;\exists\, \left( x,\,x' \right)\, \in\, E^2\;</math> tel que <math>\;\varphi(x') = \varphi(x) \Rightarrow x' \neq x\;</math>» <br>{{Al|27}}{{Transparent|« Un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sur le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> est non injectif » « si }}<math>\big[\Leftrightarrow</math> «<math>\;\varphi(x' - x) = 0_E \Rightarrow</math> <math>x' - x \neq 0_E\;</math>» <br>{{Al|27}}{{Transparent|« Un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sur le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> est non injectif » « si <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\exists\;\xi\,\in\,E\;</math> tel que <math>\;\varphi(\xi) = 0_E \Rightarrow \xi \neq 0_E\;</math>»<math>\big]\;</math> ou, par contraposée, <br>{{Al|28}}{{Transparent|« Un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sur le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> est non injectif » }}« si <math>\;\exists\, \left( x,\,x' \right)\, \in\, E^2\;</math> tel que <math>\;x' = x \Rightarrow \varphi(x') \neq \varphi(x)\;</math>» <br>{{Al|28}}{{Transparent|« Un endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sur le <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{E}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> est non injectif » « si }}<math>\big[\Leftrightarrow</math> «<math>\;x' - x = 0_E \Rightarrow \varphi(x' - x)</math> <math>\neq 0_E\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\xi = 0_E \Rightarrow \varphi(\xi) \neq 0_E\;</math>»<math>\big]</math>.</ref> en effet considérant «<math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, \ldots b_j,\, \ldots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> une base de <math>\;E\;</math>» et <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet considérant }}«<math>\;\varphi(\left\lbrace B \right\rbrace) = \left\lbrace \varphi(b_1),\, \ldots \varphi(b_j),\, \ldots \varphi(b_n) \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> son image dans <math>\;E\;</math> par <math>\;\varphi\;</math>», <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet }}<math>\bullet\;</math>« si <math>\;\varphi\;</math> est non [[w:Injection_(mathématiques)#Définition_formelle|injectif]] », «<math>\;\exists\;\xi\,\in\,E\;</math> tel que <math>\;\varphi(\xi) = 0_E \Rightarrow \xi \neq 0_E\;</math>»<ref name="endomorphisme non injectif" /> ou, en explicitant <math>\;\xi</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> est non injectif », }}«<math>\;\exists\!\! \sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \!\!\!\alpha_j\;b_j\, \in E\;</math> tel que <math>\;\varphi\, \bigg(\! \sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]}\!\!\! \alpha_j\;b_j \!\bigg) = 0_E\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \!\!\!\alpha_j\;b_j \neq 0_E\;</math>» <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> est non injectif », «<math>\;\color{transparent}{\exists\!\! \sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \!\!\!\alpha_j\;b_j\, \in E}\;</math> }}ou «<math>\;\sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;\varphi(b_j) = 0_E\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;b_j \neq 0_E\;</math>» <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> est non injectif », }}c.-à-d. « l'existence d'une relation de liaison entre les images de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> est non injectif », c.-à-d. « }}<math>\sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;\varphi(b_j) = 0_E\;</math> avec <math>\;\alpha_j\;</math> non tous nuls »<ref> En effet l'hypothèse «<math>\;\alpha_j = 0\;\;\forall\;j\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;b_j = 0_E\;</math>» ce qui a pour contraposée «<math>\;\sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;b_j \neq 0_E\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\exists\; j\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]\;</math> tel que <math>\;\alpha_j \neq 0\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> est non injectif », }}<math>\;\begin{array}{|c c c c c|} \;\varphi(b_1)_1 \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_j)_1 \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_n)_1\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;\varphi(b_1)_i \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_j)_i \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_n)_i\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;\varphi(b_1)_n \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_j)_n \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_n)_n\;\end{array}\; = 0\;</math><ref name="condition de déterminant nul"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Quelques_propriétés_pratiques_du_déterminant_d'une_matrice_carrée_de_dimension_(ou_taille)_n|quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n]] (propriété 5) » plus haut dans le chapitre, « l'existence d'une relation de liaison entre les colonnes de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] entraînant la nullité de son [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] ».</ref> ou <math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace = 0</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« si <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> est non injectif », }}c.-à-d. la « nullité du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminant de l'endomorphisme]] <math>\;\varphi</math>, <math>\;\mathrm{det}(\varphi) = 0\;</math>»<ref name="définition du déterminant d'un endomorphisme"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction,_généralités#Indépendance_du_déterminant_des_matrices_d'un_endomorphisme_par_rapport_à_la_base_choisie_dans_l'espace_vectoriel_de_définition,_définition_du_déterminant_d'un_endomorphisme|indépendance du déterminant des matrices d'un endomorphisme par rapport à la base choisie dans l'espace vectoriel de définition, définition du déterminant d'un endomorphisme]] (encadré) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet }}<math>\bullet\;</math>« si <math>\;\mathrm{det}(\varphi) = \mathrm{det}\!\left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \right\rbrace = 0\;</math>» <math>\;\forall\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, \ldots b_j,\, \ldots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> de <math>\;E</math>, c.-à-d. <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« si <math>\;\begin{array}{|c c c c c|} \;\varphi(b_1)_1 \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_j)_1 \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_n)_1\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;\varphi(b_1)_i \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_j)_i \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_n)_i\;\\ \!\!& \!\!& \vdots \!\!& \!\!& \\ \;\varphi(b_1)_n \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_j)_n \!\!& \cdots \!\!& \varphi(b_n)_n\;\end{array} = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\begin{array}{|c}\;\text{existence d'une relation de liaison} \\ \;\text{entre les images de la base}\;\left\lbrace B \right\rbrace \\ \text{c.-à-d.}\;\sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;\varphi(b_j) = 0_E \\ \text{avec}\;\alpha_j\;\text{non tous nuls}\end{array}\;</math>»<ref> En effet, si tel n'était pas le cas <math>\;\varphi(\left\lbrace B \right\rbrace) = \left\lbrace \varphi(b_1),\, \ldots \varphi(b_j),\, \ldots \varphi(b_n) \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> pourrait être choisie comme base de <math>\;E\;</math> et <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\;</math> serait la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\varphi(\left\lbrace B \right\rbrace)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)]] (propriétés) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans lequel <math>\;m = n\;</math> et l'[[w:Application linéaire#Définitions|application linéaire]] est l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left[ \varphi(b_j) \right] = \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right) \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace}(b_j)\;\;\forall\;j\; \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]\;</math> établissant que <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left( \varphi \right)\;</math> serait la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\varphi(\left\lbrace B \right\rbrace)\big]\;</math> donc de [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant]] <math>\;\neq 0\;</math> ce qui est contraire à l'hypothèse initiale.</ref> <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\varphi\, \bigg(\! \sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]}\!\!\! \alpha_j\;b_j \!\bigg) = 0_E\;</math> avec <math>\;\alpha_j\;</math> non tous nuls » dont on déduit <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}«<math>\;\exists\; \xi = \sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]} \alpha_j\;b_j\, \in E\;</math> et <math>\;\neq 0_E\;</math> tel que <math>\;\varphi(\xi) = 0_E\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> « }}le caractère « non [[w:Injection_(mathématiques)#Définition_formelle|injectif]] » de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math><ref name="endomorphisme non injectif" />. {{Propriété|titre=Lien entre valeurs propres et polynôme caractéristique d'un endomorphisme|contenu={{Al|5}}« Les racines du [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> sont ses [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeurs propres]] ».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Par définition « les [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeurs propres]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> sont les scalaires <math>\;\lambda\;\in \mathbb{R}\;</math>» tels que «<math>\;\exists\;x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace\;</math> vérifiant <math>\;\varphi(x) = \lambda\;x\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}«<math>\;\exists\;x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace\;</math> vérifiant <math>\;\left\lbrace \lambda\;Id - \varphi \right\rbrace\!(x) = 0_E\;</math>»<ref name="Id"> «<math>\;Id\;</math> étant l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] identité tel que <math>\;\forall\;x\;\in E</math>, <math>\;Id(x) = x\;</math>».</ref> ou encore, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}«<math>\;\exists\;x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace\;</math> vérifiant <math>\;\psi_\lambda(x) = 0_E\;</math>» avec «<math>\;\psi_\lambda := \lambda\;Id - \varphi\;</math><ref name="Id" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que «<math>\;\color{transparent}{\exists\;x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace}\;</math> vérifiant <math>\;\color{transparent}{\psi_\lambda(x) = 0_E}\;</math>» avec « }}[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] de <math>\;E\;</math>» soit, en <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}« décomposant <math>\;x\;</math> sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, \ldots b_j,\, \ldots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}\;</math> de <math>\;E\;</math> selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que « décomposant <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> sur la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1,\, \ldots b_j,\, \ldots b_n \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}}\;</math> }}<math>x = \sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 1,\,n \right]\right]} x_j\;b_j\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}«<math>\;\exists\;\sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 1,\,n \right]\right]} x_j\;b_j\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace\;</math> vérifiant <math>\;\psi_\lambda\! \bigg(\! \sum\limits_{j \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]}\!\!\! x_j\;b_j \!\bigg) = 0_E\;</math> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que «<math>\;\color{transparent}{\exists\;\sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 1,\,n \right]\right]} x_j\;b_j\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace}\;</math> }}vérifiant <math>\;\sum\limits_{j\,\in\,\left[\left[ 1,\,n \right]\right]} x_j\;\psi_\lambda(b_j) = 0_E\;</math>», relation de liaison <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}entre les vecteurs de la famille <math>\;\left\lbrace \psi_\lambda(B) \right\rbrace = \left\lbrace \psi_\lambda(b_1), \ldots \psi_\lambda(b_j), \ldots \psi_\lambda(b_n) \right\rbrace_{1\, \leqslant\, j\, \leqslant\, n}</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}« la nullité du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'une_matrice|déterminant de la matrice]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\psi_\lambda\;</math> dans le couple de bases <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que « la nullité du déterminant de la matrice de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\psi_\lambda}\;</math> }}<math>\;\left( \left\lbrace B \right\rbrace\,,\,\left\lbrace B \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="condition de déterminant nul" /> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}«<math>\;\mathrm{det}\!\left\lbrace \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \psi_\lambda \right) \right\rbrace = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nullité du déterminant de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\psi_\lambda\;</math>»<ref name="déterminant d'un endomorphisme"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction#Indépendance_du_déterminant_des_matrices_d'un_endomorphisme_par_rapport_à_la_base_choisie_dans_l'espace_vectoriel_de_définition,_définition_du_déterminant_d'un_endomorphisme|indépendance du déterminant des matrices d'un endomorphisme par rapport à la base choisie dans l'espace vectoriel de définition, définition du déterminant d'un endomorphisme]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}«<math>\;\mathrm{det}\!\left( \psi_\lambda \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\mathrm{det}\!\left( \lambda\;Id - \varphi \right) = 0\;</math>»<ref name="Id" /> assurant que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que }}« la [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeur propre]] <math>\;\lambda\;</math> de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> est une racine de son [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> sont les scalaires <math>\;\color{transparent}{\lambda\;\in \mathbb{R}}\;</math>» tels que « la valeur propre <math>\;\color{transparent}{\lambda}\;</math> de l'endomorphisme }}<math>p_{\varphi}(X) := \mathrm{det}\! \left( X \left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;</math>»<ref name="polynôme caractéristique d'un endomorphisme"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices_carrées,_leur_réduction,_généralités#Polynôme_caractéristique_d'un_endomorphisme|polynôme caractéristique d'un endomorphisme]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Justification : }}réciproquement, « les racines <math>\;\lambda\;</math> du [[w:Polynôme_caractéristique|polynôme caractéristique]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math><ref name="polynôme caractéristique d'un endomorphisme" /> “<math>\;p_{\varphi}(X) = \mathrm{det}\! \left( X\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;</math>” » <br />{{Al|12}}{{Transparent|Justification : réciproquement, « les racines <math>\;\color{transparent}{\lambda}\;</math> du polynôme caractéristique de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}vérifiant «<math>\;p_{\varphi}(\lambda) = \mathrm{det}\! \left( \lambda\,\left[ I_n \right] - \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\! \left\lbrace \varphi \right\rbrace \right) = 0\;</math>» c.-à-d. <br />{{Al|12}}{{Transparent|Justification : réciproquement, « les racines <math>\;\color{transparent}{\lambda}\;</math> du polynôme caractéristique de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> vérifiant }}« la nullité du [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminant de l'endomorphisme]] <math>\;\psi_\lambda = \lambda\;Id - \varphi\;</math> de <math>\;E\;</math>»<ref name="Id" />{{,}}<ref name="déterminant d'un endomorphisme" />, assurant <br />{{Al|12}}{{Transparent|Justification : réciproquement, « les racines <math>\;\color{transparent}{\lambda}\;</math> du polynôme caractéristique de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}« le caractère non [[w:Injection_(mathématiques)#Définition_formelle|injectif]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\psi_\lambda = \lambda\;Id - \varphi\;</math><ref name="Id" /> de <math>\;E\;</math>»<ref> Voir le préliminaire de ce paragraphe dans lequel il est démontré qu'un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] est de « [[w:Déterminant_(mathématiques)#Déterminant_d'un_endomorphisme|déterminant]] nul » ss'il est « non [[w:Injection_(mathématiques)#Définition_formelle|injectif]] ».</ref> ce qui se traduit par <br />{{Al|12}}{{Transparent|Justification : réciproquement, « les racines <math>\;\color{transparent}{\lambda}\;</math> du polynôme caractéristique de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}«<math>\;\exists\;x\;\in \left\lbrace E\; \backslash\; 0_E \right\rbrace\;</math> vérifiant <math>\;\psi_\lambda(x) = 0_E\;</math> ou encore <math>\;\varphi(x) = \lambda\;x\;</math>» assurant que <br />{{Al|12}}{{Transparent|Justification : réciproquement, « les racines <math>\;\color{transparent}{\lambda}\;</math> du polynôme caractéristique de l'endomorphisme <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> }}«<math>\;\lambda\;</math> est une [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Valeur_propre|valeur propre]] de l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de [[w:Valeur_propre_(synthèse)#Vecteur_propre|vecteur propre]] associé <math>\;x\;</math>». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Les matrices, généralités/]] | suivant = [[../Les matrices carrées, leur réduction, applications/]] }} 2qdnujo669e9m2cbfhbx71cu2q4fi5g 0 78126 982991 975335 2026-05-23T17:22:17Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982991 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther/]] | suivant = [[../Notion de champs tensoriels, recherche d'une méthode compacte pour déterminer la variation d'un champ vectoriel/]] }} <center>L'espace physique considéré dans ce chapitre est <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> « orienté à droite »<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Introduction</u> : Une 1^ère notion de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla” et de quelques champs qui en découlent <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Une 1^ère notion }}a été donnée au chap.<math>19\;</math><ref name="chap.19 de la leçon Outils mathématiques pour la physique"> Voir le chap.<math>19</math> intitulé « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent|Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” et autres champs qui en découlent]] » de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : }}dans ce chapitre nous nous proposons <math>\succ\;</math>d'abord de faire un rappel succinct de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla” noté «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>» ainsi que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct }}des [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] construits à partir de lui <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs }}“nabla scalaire ...” noté «<math>\;\vec{\nabla} \cdot\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs }}“nabla vectoriel ...” noté «<math>\;\vec{\nabla} \wedge\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs }}“nabla scalaire nabla” noté «<math>\;\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}\;</math> ou <math>\;\vec{\nabla}^2\;</math>», puis <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct }}des champs vectoriel ou scalaire qui en découlent : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des }}champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel }}noté «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \vec{\nabla} \left[ U \right](M)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des }}champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]] d'une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire }}noté «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla}\! \cdot\! \vec{A}(M)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des }}champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]] d'une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel }}noté «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M)\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des }}champ scalaire [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]] <ref name="Laplace"> Nom donné pour rendre hommage à '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]] (1749 - 1827)''' mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la [[w:Théorie_des_probabilités|théorie des probabilités]] <math>\;\big\{</math>dans cette dernière il utilise la transformation de Laplace <math>\;\big(</math>portant son nom pour lui rendre hommage<math>\big)\;</math> découverte par '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]]'''<math>\big\}</math> ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'[[w:Capillarité|attraction capillaire]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>expliquant}} ce qui se passe dans les [[w:Tube_capillaire|tubes capillaires]] ou dans les bulles d'air d'un liquide<math>\big)\;</math> ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de '''[[w:Isaac_Newton|Newton]]''' sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie. <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>partagée de façon plus ou moins indépendante avec [[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Leibniz]]<math>\big)</math> ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]]. <br>{{Al|3}}'''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Leibniz]] (1646 - 1716)''' entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]]}} et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)\;</math> dont la paternité doit être partagée avec [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]].</ref> d'une fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire }}noté «<math>\;\Delta \left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons }}<math>\succ\;</math>ensuite de présenter une représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] de ces champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite }}de prolonger aux fonctions vectorielles l'application des [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] scalaires [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaires]] “dM scalaire nabla” et “vitesse scalaire nabla” <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite de prolonger aux fonctions vectorielles }}s'appliquant initialement aux fonctions scalaires, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite }}d'introduire la notion de champ [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]<ref name="Laplace" /> appliqué à une fonction vectorielle et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite }}de vérifier, ou non, l'identification du champ [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]<ref name="Laplace" /> d'une fonction vectorielle dans chaque repérage <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite de vérifier, ou non, }}avec l'image de la fonction vectorielle par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] “nabla scalaire nabla”. == Rappel succinct de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla”, des opérateurs qui en découlent et des principaux champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle de l'espace == === Opérateurs linéaires du 1^er ordre “nabla”, “nabla scalaire ...”, “nabla vectoriel ...”, opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” === ==== Opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” ==== {{Proposition|titre= Définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”|contenu = {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla”, noté <math>\;\vec{\nabla}</math>, est un [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] tel que l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \; \right]\;</math>» est identique à l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire “différenciation” «<math>\;d \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="définition intrinsèque de l'opérateur nabla"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Proposition_de_définition_intrinsèque_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”|proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \; \right] = d \left[ \; \right]\;</math>»<ref> Pour l'instant le domaine d'application de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Définition équivalente dans les principaux repérages</u> : <math>\succ\;</math>repérage cartésien<ref name="nabla en repérage cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_repérage_cartésien|définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>, «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Définition équivalente dans les principaux repérages : }}<math>\succ\;</math>repérage cylindro-polaire<ref name="nabla en repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_(équivalente)_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_repérage_cylindro-polaire|définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>, «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Définition équivalente dans les principaux repérages : }}<math>\succ\;</math>repérage sphérique<ref name="nabla en repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_(équivalente)_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_repérage_sphérique|définition (équivalente) de l'pérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage sphérique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>, «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>». ==== Opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «<math>\;\vec{\nabla} \cdot\;</math>» est construit à partir <math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla”<ref name="opérateur vectoriel nabla"> Voir le rappel « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Opérateur_vectoriel_linéaire_du_1er_ordre_“nabla”|opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br />{{Al|6}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» est construit à partir }}<math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] entre grandeurs vectorielles « [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] »<ref name="prolongement de la multiplication scalaire"> On admet l'applicabilité de la notion de [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel comme l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|3}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» }}il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes : <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage cartésien «<math>\;\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\text{?}} = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \cdot \overrightarrow{\text{?}}\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_du_premier_ordre_“nabla_scalaire_...”|construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla scalaire ...”]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage cylindro-polaire «<math>\;\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\text{?}} = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \cdot \overrightarrow{\text{?}}\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla scalaire" /> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage sphérique «<math>\;\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\text{?}} = \left\lbrace \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace \cdot \overrightarrow{\text{?}}\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla scalaire" />. ==== Opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «<math>\;\vec{\nabla} \wedge\;</math>» est construit à partir <math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla”<ref name="opérateur vectoriel nabla" /> et <br />{{Al|6}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \wedge}\;</math>» est construit à partir }}<math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] entre grandeurs vectorielles « [[w:Produit_vectoriel|multiplication vectorielle]] »<ref name="prolongement de la multiplication vectorielle"> On admet l'applicabilité de la notion de [[w:Produit_vectoriel|multiplication vectorielle]] avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel comme l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|3}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \wedge}\;</math>» }}il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes : <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \wedge}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage cartésien «<math>\;\vec{\nabla} \wedge \overrightarrow{\text{?}} = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \wedge \overrightarrow{\text{?}}\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_du_premier_ordre_“nabla_vectoriel_...”|construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla vectoriel ...”]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \wedge}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage cylindro-polaire «<math>\;\vec{\nabla} \wedge \overrightarrow{\text{?}} = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \wedge \overrightarrow{\text{?}}\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla vectoriel" /> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \wedge}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage sphérique «<math>\;\vec{\nabla} \wedge \overrightarrow{\text{?}} = \left\lbrace \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace \wedge \overrightarrow{\text{?}}\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla vectoriel" />. ==== Opérateur linéaire du 2^ème ordre “nabla scalaire nabla” ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «<math>\;\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2\;</math>» est construit à partir <math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla”<ref name="opérateur vectoriel nabla" /> et <br />{{Al|6}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2}\;</math>» est construit à partir }}<math>\bullet\;</math>de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] entre grandeurs vectorielles « [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] »<ref name="prolongement de la multiplication scalaire" />, <br />{{Al|3}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2}\;</math>» }}il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes : <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage cartésien «<math>\;\vec{\nabla}^2 \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace^2 \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla carré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Construction_de_l'opérateur_du_second_ordre_“nabla_scalaire_nabla”|construction de l'opérateur du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage cylindro-polaire «<math>\;\vec{\nabla}^2 \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace^2 \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla carré" /> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2}\;</math>» il est défini }}<math>\succ\;</math>en repérage sphérique «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_r\, \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{r}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} + \vec{u}_\varphi\, \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \right\rbrace^2\! \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="construction de l'opérateur nabla carré" />. === Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire, champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle, champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle et champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire === ==== Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U\;\; \overset{\vec{\nabla}}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \left[ U \right]\;</math>» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> définissant <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{U\;\; \overset{\vec{\nabla}}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \left[ U \right]}\;</math>» c.-à-d. }}le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math>», soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \vec{\nabla} \left[ U \right](M)\;</math>» avec «<math>\;U\;</math> fonction scalaire différentiable de l'espace »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Lien_entre_le_champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_et_l'image_par_l'opérateur_“nabla”_de_cette_fonction_scalaire|lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}suivant le type de repérage utilisé, les composantes de «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \vec{\nabla} \left[ U \right](M)\;</math>» : <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cartésien «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)= </math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en repérage }}<math>\left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}\!(M)\; \vec{u}_x + \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}\!(M)\; \vec{u}_y + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}\!(M)\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="composantes cartésiennes du gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cartésiennes_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>, <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cylindro-polaire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) =</math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en repérage }}<math>\left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M)\; \vec{u}_\rho + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M)\; \vec{u}_\theta + \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\; \vec{u}_z\;</math>»<ref name="composantes cylindro-polaires du gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cylindro-polaires_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> et <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage sphérique «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) =</math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en repérage }}<math>\left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!(M)\; \vec{u}_r + \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!\!(M)\; \vec{u}_\theta + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!\!(M)\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="composantes sphériques du gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}ces composantes de «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>» selon le type de repérage utilisé sont en accord avec la « définition <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}intrinsèque du champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire de l'espace »<ref name="définition intrinsèque du gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> rappelée ci-dessous : {{Définition|titre=Définition intrinsèque du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire <math>U(M)</math>|contenu = {{Al|5}}Le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> noté «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>» est le champ vectoriel <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ vectoriel }}tel que « sa circulation élémentaire »<ref> La circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est <math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{A}) = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math> <math>\rightsquigarrow\;</math> voir paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est égale à « la différentielle de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math>» soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU(M)\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \cdot \overrightarrow{dM} = dU\;</math>» <math>\rightsquigarrow</math> définition à connaître sans hésitation.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : quand il y a transport d'une grandeur [[w:Extensivité_et_intensivité_(physique)#Intensivité|intensive]] <ref name="intensive"> C.-à-d. définie localement et par suite dépendant, a priori, du point <math>\;M\;</math> considéré et de l'instant <math>\;t\;</math> envisagé ; <br>{{Al|3}}À savoir distinguer d'une grandeur [[w:Extensivité_et_intensivité_(physique)#Extensivité|extensive]] qui est définie globalement pour tous les points du système <math>\;\big(</math>donc ne dépendant ni du point générique <math>\;M\;</math> ni de l'instant <math>\;t\big)\;</math> et est additive.</ref> <math>\;f(M,\,t)\;</math> en raison du mouvement du milieu environnant <math>\;\big\{</math>caractérisé par le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> du point où le transport est considéré<math>\big\}</math>, <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive <math>\;\color{transparent}{f(M,\,t)}\;</math> }}on dit qu'il y a « [[w:Advection|advection]] de la grandeur scalaire <math>\;f(M,\,t)\;</math>» et <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive <math>\;\color{transparent}{f(M,\,t)}\;</math> }}on caractérise le transport de <math>\;f(M,\,t)\;</math> par « son champ scalaire d'[[w:Advection|advection]] “<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\nabla}\! \left[ f(M,\,t) \right]\;</math>” s'écrivant encore <br />{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive <math>\;\color{transparent}{f(M,\,t)}\;</math> on caractérise le transport de <math>\;\color{transparent}{f(M,\,t)}\;</math> par « son champ scalaire d'advection }}“<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}} \left[ f(M,\,t) \right]\;</math>” ». ==== Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{A}\;\; \overset{\vec{\nabla} \cdot}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \cdot \vec{A}\;</math>» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> définissant <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{A}\;\; \overset{\vec{\nabla} \cdot}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \cdot \vec{A}}\;</math>» c.-à-d. }}le champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]] de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math>», soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \cdot \vec{A}(M)\;</math>» avec «<math>\;\vec{A}\;</math> fonction vectorielle différentiable de l'espace »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_du_champ_scalaire_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_par_l'image_que_donne_l'opérateur_“nabla_scalaire...”_de_cette_fonction_vectorielle|définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire...” de cette fonction vectorielle]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}suivant le type de repérage utilisé, l'expression de «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \cdot \vec{A}(M)\;</math>» : <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cartésien «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = </math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en repérage }}<math>\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>»<ref name="expression de la divergence en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>, <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cylindro-polaire «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = </math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en }}<math>\dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="expression de la divergence en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> et <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage sphérique «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \cdots</math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en }}<math>\cdots \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi} + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\;</math>»<ref name="expression de la divergence en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_de_la_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_sphérique|expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>{{,}}<ref name="simplification de notation"> Pour alléger la notation, le point <math>\;M\;</math> dont dépendent les fonctions du 2^nd membre n'a pas été indiqué <math>\;\ldots</math></ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}ces expressions de «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}intrinsèque du champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]] de la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math>»<ref name="définition intrinsèque de la divergence"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_(équivalente)_du_champ_scalaire_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'esp }}rappelée ci-dessous : {{Définition|titre=Définition intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle <math>\vec{A}(M)</math>|contenu = {{Al|5}}Le champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]] de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> noté «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» est le champ scalaire en <math>\;M\;</math> égal au <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ scalaire }}« quotient du flux élémentaire de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> “<math>\;\delta \Phi(\vec{A})\;</math>” à travers une surface élémentaire fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> entourant <math>\;M\;</math><ref name="flux élémentaire"> Le flux élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est «<math>\;\delta \Phi(\vec{A}) = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}\;</math>» <math>\rightsquigarrow</math> voir paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluationl]] (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ scalaire « quotient }}sur le volume élémentaire “<math>\;d\mathcal{V}_M\;</math>” mesurant l'intérieur de <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math>» soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{\color{transparent}{\big[}\!\!\color{black}\delta \Phi(\vec{A})}{\color{transparent}{\big[}\!\!\color{black}d\mathcal{V}_M}\;</math>»{{Al|5}}ou{{Al|5}}«<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \dfrac{\color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oiint_{(\delta \mathcal{S})} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}}{\color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}d\mathcal{V}_M}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\; d\mathcal{V} = \delta \Phi(\vec{A}) = \color{transparent}{\Bigg[}\!\!\color{black}\displaystyle\oiint_{(\delta \mathcal{S})} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br />«<math>\;\overrightarrow{d^2S}_{\text{lat.}}\;</math> est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> entourant <math>\;M\;</math> et orienté vers l'extérieur », <br />« l'intérieur de cette surface élémentaire fermée <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> étant de volume <math>\;d\mathcal{V}_M^;</math>».</div>}} ==== Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{A}\;\; \overset{\vec{\nabla} \wedge}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \wedge \vec{A}\;</math>» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> définissant <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{A}\;\; \overset{\vec{\wedge} \cdot}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \wedge \vec{A}}\;</math>» c.-à-d. }}le champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]] de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math>», soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M) = \vec{\nabla}\! \wedge \vec{A}(M)\,</math>» avec «<math>\,\vec{A}</math> fonction vectorielle différentiable de l'espace »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_du_champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_par_l'image_que_donne_l'opérateur_“nabla_vectoriel...”_de_cette_fonction_vectorielle|définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel...” de cette fonction vectorielle]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}suivant le type de repérage utilisé, les composantes de «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M)\;</math>» : <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cartésien «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M) = </math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en repérage }}<math>\left\lbrace \begin{array}{c}\left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_x \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_y \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) \right]\;\text{sur}\; \vec{u}_z\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cartésien|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien]] (méthode de détermination des composantes cartésiennes) » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>, <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cylindro-polaire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M) = </math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l r}\left[ \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\rho \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{\rho} \left[ \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\;A_\theta \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) \right]\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_z\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire]] (méthode de détermination des composantes cylindro-polaires) » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> et <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage sphérique «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M) = </math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en }}<math>\left\lbrace \begin{array}{l r} \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \bigg\{ \left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} - \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} \bigg\}\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_r \\ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta} - \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{r} \bigg\{ \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} - \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi} \bigg\}\!\!&\!\!\text{sur}\; \vec{u}_\varphi \end{array} \right\rbrace</math>»<ref name="expression du rotationnel en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_en_sphérique|expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique]] (méthode de détermination des composantes sphériques) » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}ces composantes de «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» selon le type de repérage sont en accord avec la <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}« définition intrinsèque du champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]] de la fonction vectorielle de l'espace »<ref name="définition intrinsèque du rotationnel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_(équivalente)_du_champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vect }}rappelée ci-dessous : {{Définition|titre=Définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle <math>\vec{A}(M)</math>|contenu = {{Al|5}}Le champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]] de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> noté «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» est le champ vectoriel défini en <math>\;M\;</math> dont <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ vectoriel }}« le flux à travers une surface élémentaire ouverte <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> entourant <math>\;M\;</math><ref> Le flux élémentaire du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\;</math> est «<math>\;\delta \Phi\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}\;</math>» <math>\rightsquigarrow</math> voir paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> “<math>\;\delta \Phi\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right)\;</math>” est égal à <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ vectoriel « }}la circulation du champ <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long du contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> limitant la surface <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math><ref> La circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long d'un contour élémentaire <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> est <math>\;\delta^2 \mathcal{C}(\vec{A}) = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{d^2M}\;</math> où <math>\;\overrightarrow{d^2M}\;</math> est le vecteur déplacement élémentaire en <math>\;M\;</math> de <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> <math>\rightsquigarrow\;</math> voir paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}la circulation du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long du contour élémentaire <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> est définie par «<math>\;\delta \mathcal{C} (\vec{A}) = \displaystyle\oint_{(\delta \Gamma)} \delta^2 \mathcal{C}(\vec{A}) = \displaystyle\oint_{(\delta \Gamma)} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{d^2M}\;</math>» <math>\;\rightsquigarrow\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> “<math>\;\delta \mathcal{C} (\vec{A})\;</math>” » soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\delta \Phi\! \left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\right) = \delta \mathcal{C} (\vec{A})\;</math>»{{Al|5}}ou{{Al|5}}«<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS} = \displaystyle\oint_{(\delta \Gamma)} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{d^2M}\;</math>», <br />«<math>\;(\delta \Gamma)\;</math> étant le contour élémentaire fermé limitant la surface élémentaire ouverte centrée en <math>\;M\;</math> et de vecteur surface élémentaire <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math>», <br />«<math>\;\overrightarrow{d^2M}\;</math> étant le vecteur déplacement élémentaire générique du contour élémentaire fermé <math>\;(\delta \Gamma)\;</math>», <br />« l'orientation du contour fermé <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> étant définie en accord avec celle de la surface ouverte <math>\;(\delta S)\;</math>»<ref name="orientations conjuguées de surface ouverte et de courbe fermée la limitant"> Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite <math>\;\big\{</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> avec choix d'une base orthonormée directe <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on peut appliquer la <u>règle du tire-bouchon de Maxwell</u> pour déterminer l'orientation de la courbe fermée <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> limitant la surface ouverte <math>\;(\delta S)\;</math> à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point <math>\;P\;</math> de <math>\;(\delta \mathcal{S})\;</math> et effectuant une translation dans le sens choisi sur <math>\;(\delta \mathcal{S})</math>, le sens défini sur <math>\;(\delta \Gamma)\;</math> correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».</ref>.</div>}} ==== Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace ==== {{Al|5}}L'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U\;\; \overset{\vec{\nabla}^2}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla}^2\! \left[ U \right]\;</math>» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)\;</math> définissant <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{U\;\; \overset{\vec{\nabla}^2}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla}^2\! \left[ U \right]}\;</math>» c.-à-d. }}le champ scalaire [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]]<ref name="Laplace" /> de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math>», soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\Delta\!\left[ U \right]\!(M) = \vec{\nabla}^2\!\! \left[ U \right]\!(M)\;</math>» avec «<math>\;U</math> fonction scalaire différentiable de l'espace »<ref name="nécessité d'existence des dérivées secondes"> Plus précisément il faut que les dérivées partielles 2^ndes de la fonction scalaire existent.</ref>{{,}}<ref name="champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_du_champ_scalaire_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_par_l'image_de_l'opérateur_“nabla_scalaire_nabla”_sur_cette_fonction_scalaire|définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}suivant le type de repérage utilisé, l'expression de «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M)\;</math>» : <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cartésien «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = </math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en repérage }}<math>\left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!x,\, y}(M)\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_cartésien|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>, <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage cylindro-polaire «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \cdots</math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en repérage }}<math>\cdots + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z} + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta}\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_cylindro-polaire|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>{{,}}<ref name="simplification de notation" /> et <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type }}<math>\succ\;</math>en repérage sphérique «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \dfrac{1}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial U}{\partial r} \right]}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}\partial r}(M) + \cdots</math> <br />{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> suivant le type <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en }}<math>\cdots \dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta}(M) + \dfrac{1}{r^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2}(M)\;</math>»<ref name="expression du laplacien en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Expression_du_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_en_sphérique|expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref>{{,}}<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles"> Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis <math>\;\big(</math>à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté<math>\big)</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}ces expressions de «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)\;</math>» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition <br />{{Al|5}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}intrinsèque du champ scalaire [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]]<ref name="Laplace" /> d'une fonction scalaire de l'espace »<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_(équivalente)_du_champ_scalaire_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour plus de détails.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'esp }}rappelée ci-dessous : {{Définition|titre=Définition intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire <math>U(M)</math>|contenu = {{Al|5}}Le champ scalaire [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]]<ref name="Laplace" /> de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> noté «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M)\;</math>» <br />{{Al|9}}{{Transparent|Le champ scalaire laplacien }}est « le champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]] du champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> soit <br />{{Al|9}}{{Transparent|Le champ scalaire laplacien est }}«<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace\!(M)\;</math>».}} == Représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien == {{Al|5}}<u>Introduction</u> : Les scalaires et vecteurs étant des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] sont représentables par des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]], nous distinguons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Les scalaires et vecteurs étant }}des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;0\;</math> pour les 1^ers<ref name="tenseur d'ordre zéro"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_tenseur_d'ordre_zéro|définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> « invariants » <math>\big[</math>donc représentables par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1"> Les [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] de taille <math>\;\left( 1\,,\, 1 \right)\;</math> théoriquement possibles sont usuellement éliminées <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, la raison étant que, dans la pratique, leurs propriétés s'identifient à celles d'un élément de <math>\;\mathbb{R}</math>, mais ici nous maintenons cette possibilité.</ref><math>\big]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Les scalaires et vecteurs étant }}des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> pour les 2^nds « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] »<ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}}<ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref> <math>\big[</math>représentables, après choix d'une base du <math>\;\mathbb{R}</math>-espace vectoriel les contenant, <br />{{Al|18}}{{Transparent|Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> pour les 2^nds « contravariants » <math>\color{transparent}{\big[}</math>représentables, }}par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice colonne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Interprétation_linéaire_d'une_matrice_colonne_de_dimension_(ou_taille)_m,_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_dans_une_base_de_Rm|interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de R^m]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans lequel les résultats établis pour les triplets sont applicables aux vecteurs de l'espace tridimensionnel.</ref> <br />{{Al|18}}{{Transparent|Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> pour les 2^nds « contravariants » <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les éléments de la colonne étant les composantes du vecteur représenté sur la base choisie<math>\big]</math>. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : }}Admettant que les [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] scalaires et vectoriels sont aussi des [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] [[w:Tenseur_(mathématiques)|tensoriels]] représentables par des [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] d'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]], nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que }}la représentation de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\vec{\nabla}\;</math>» en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] s'écrivant <math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}} =</math> <math>\left[\! \begin{array}{c} \vec{u}_x\,\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\\ \vec{u}_y\,\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\\ \vec{u}_z\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \end{array} \!\right]\;\text{»},</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}}\;</math>» en matrice colonne s'écrivant }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{c} \vec{u}_\rho\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\\ \dfrac{\vec{u}_\theta}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\\ \vec{u}_z\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\end{array} \right]\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}}\;</math>» en matrice colonne s'écrivant }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{c} \vec{u}_r\,\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\\ \dfrac{\vec{u}_\theta}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\\ \dfrac{\vec{u}_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\end{array} \right]\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que }}la représentation de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\vec{\nabla} \cdot\;</math>» en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] s'écrivant <math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{cart}} =</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» en matrice ligne s'écrivant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien }}<math>\left[ \vec{u}_x \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\;,\; \vec{u}_y \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\;,\; \vec{u}_z \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right]\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» en matrice ligne s'écrivant }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{cyl}} =</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» en matrice ligne s'écrivant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}<math>\left[ \vec{u}_\rho \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\;,\; \vec{u}_\theta \cdot \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\;,\; \vec{u}_z \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right]\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» en matrice ligne s'écrivant }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{sph}} =</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «<math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla} \cdot}\;</math>» en matrice ligne s'écrivant <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\left[ \vec{u}_r \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\,,\, \vec{u}_\theta \cdot \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\,,\, \vec{u}_\varphi \cdot \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} \right]\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que }}la représentation de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «<math>\;\vec{\nabla} \wedge\;</math>» en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 3 \right)\;</math> s'écrivant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire }}<math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{cart}} = \left[ \begin{array}{c c c} \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} & \vec{u}_y \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\\ \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} & \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_x \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\\ \vec{u}_y \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z} & \vec{u}_x \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z} & \vec{0}\; \wedge \end{array} \right]\;</math>»<ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla vectoriel"> La représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 3 \right)\;</math> conduit à une [[w:Matrice_symétrique|matrice symétrique]] uniquement dans le repérage cartésien, celle propriété devenant fausse dans le repérage cylindro-polaire ou sphérique <math>\;\big(</math>voir les notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-représentation_matricielle_de_l'opérateur_nabla_vectoriel_-_bis-52|⁵²]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-représentation_matricielle_de_l'opérateur_nabla_vectoriel_-_ter-53|⁵³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire<ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla vectoriel - bis"> La représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 3 \right)\;</math> conduit à une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] non [[w:Matrice_symétrique|symétrique]] en repérage cylindro-polaire, l'élément <math>\;_{3,\,2}\;</math> diffèrant de l'élément <math>\;_{2,\,3}\;</math> de façon à ce que «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{cyl}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}\;</math> <math>\Big\{\left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}\;</math> étant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en repérage cylindro-polaire<math>\Big\}\;</math> représente la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] associée au champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> dans ce repérage » <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Représentation_matricielle_du_champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus loin dans ce chapitre.<math>\big)</math>.</ref> <math>\text{«}\;\left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{c c c} \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} & \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\\ \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} & \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_\rho \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\\ \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} & \dfrac{\vec{u}_\rho}{\rho} \wedge \left( \dfrac{\partial \left\lbrace \rho \right.}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} & \vec{0}\; \wedge \end{array} \right]\;\text{» et}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire }}<math>\bullet\;</math>en sphérique<ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla vectoriel - ter"> La représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 3 \right)\;</math> conduit à une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice]] non [[w:Matrice_symétrique|symétrique]] en repérage sphérique, l'élément <math>\;_{1,\,3}\;</math> diffèrant de l'élément <math>\;_{3,\,1}\;</math> de façon à ce que «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{sph}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}\;</math> <math>\Big\{\left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}\;</math> étant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en repérage sphérique<math>\Big\}\;</math> représente la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] associée au champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> dans ce repérage » <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Représentation_matricielle_du_champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> «<math>\;\left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{c c c} \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_\varphi \wedge \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} & \dfrac{\vec{u}_\theta}{\sin(\theta)} \wedge \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta) \right.}{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\\ \vec{u}_\varphi \wedge \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} & \vec{0}\; \wedge & \dfrac{\vec{u}_r}{r} \wedge \left( \dfrac{\partial \left\lbrace r \right.}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\\ \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi} & \dfrac{\vec{u}_r}{r} \wedge \left( \dfrac{\partial \left\lbrace r \right.}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi} & \vec{0}\; \wedge \end{array} \right]\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que }}la représentation de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «<math>\;\vec{\nabla}^2\;</math>» en matrice de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> s'écrivant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire }}<math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cart}} = \left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{cart}} \times \left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}} = \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\!y,\,z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_{\!x,\,z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!x,\,y}\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cartésien" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cyl}} = \left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{cyl}} \times \left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}} = \left[ \vec{u}_\rho \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\;,\; \vec{u}_\theta \cdot \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\;,\; \vec{u}_z \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \vec{u}_\rho\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\\ \dfrac{\vec{u}_\theta}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\\ \vec{u}_z\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cyl}}}</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\;\dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta}\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cylindro-polaire" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}} = \left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{sph}} \times \left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\;\left[ \vec{u}_r \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\;,\; \vec{u}_\theta \cdot \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\;,\; \vec{u}_\varphi \cdot \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \vec{u}_r\,\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\\ \dfrac{\vec{u}_\theta}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\\ \dfrac{\vec{u}_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\;\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial }{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}\;</math>»<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" />{{,}}<ref name="expression du laplacien en sphérique" />. === Représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace === {{Al|5}}Le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] de la fonction scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math> étant l'image de <math>\;U(M)\;</math> par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla” c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> étant }}«<math>\;U(M)\;\; \overset{\vec{\nabla}}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \left[ U \right](M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>» nous en déduisons, <br />{{Al|5}}suivant le type de repérage choisi, la représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> <math>\big(</math>en utilisant celle de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla”<ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés"> Voir l'introduction du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Représentation_matricielle_des_champs_vectoriels_gradient_et_rotationnel,_des_champs_scalaires_divergence_et_laplacien|représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)\;</math> en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] : <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cartésien <math>\text{« }\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace U \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(M)\,\vec{u}_x \\ \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(M)\,\vec{u}_y\\ \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]\text{ »,}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace U \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}(M)\,\vec{u}_\rho \\ \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}(M)\,\vec{u}_\theta\\ \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace U \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}(M)\,\vec{u}_r \\ \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}(M)\,\vec{u}_\theta\\ \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}(M)\,\vec{u}_\varphi\end{array} \right]\;</math>». === Représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace === {{Al|5}}Le champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]] de la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math> étant l'image de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla scalaire …” c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> étant }}«<math>\;\vec{A}(M)\;\; \overset{\vec{\nabla} \cdot}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \cdot \vec{A}(M) = \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» nous en déduisons, <br />{{Al|5}}suivant le type de repérage choisi, la représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] du champ scalaire <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> <math>\big(</math>en utilisant celle de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla scalaire ...” en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]]<ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>en utilisant }}celle du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<math>\big)\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> }}en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] : <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{cart}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \vec{u}_x \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\;,\; \vec{u}_y \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\;,\; \vec{u}_z \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right] \times \left[ \begin{array}{c} A_x(M)\,\vec{u}_x \\ A_y(M)\,\vec{u}_y\\ A_z(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien «<math>\;\color{transparent}{\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\;\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!(M)\;</math>»<ref name="expression de la divergence en cartésien" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{cyl}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \vec{u}_\rho \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\;,\; \vec{u}_\theta \cdot \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\;,\; \vec{u}_z \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right] \times \left[ \begin{array}{c} A_\rho(M)\,\vec{u}_\rho \\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta\\ A_z(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\;\dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="expression de la divergence en cylindro-polaire" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \vec{\nabla} \cdot \right]_{\text{sph}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \vec{u}_r \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\;,\; \vec{u}_\theta \cdot \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\;,\; \vec{u}_\varphi \cdot \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} \right] \times \left[ \begin{array}{c} A_r(M)\,\vec{u}_r \\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta\\ A_\varphi(M)\,\vec{u}_\varphi\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\;\dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="expression de la divergence en sphérique" />. === Représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace === {{Al|5}}Le champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]] de la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math> étant l'image de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> étant }}«<math>\;\vec{A}(M)\;\; \overset{\vec{\nabla} \wedge}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M) = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» nous en déduisons, <br />{{Al|5}}suivant le type de repérage choisi, la représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] du champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> <math>\big\{</math>en utilisant celle de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla vectoriel ...”<ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés" /> en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice carrée]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla }}de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 3 \right)\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>en utilisant }}celle du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<math>\big\}\;</math> <br />{{Al|6}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> }}en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] par [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] : <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{cart}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \begin{array}{c c c} \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} & \vec{u}_y \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\\ \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} & \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_x \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\\ \vec{u}_y \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z} & \vec{u}_x \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z} & \vec{0}\; \wedge \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} A_x(M)\,\vec{u}_x \\ \\ A_y(M)\,\vec{u}_y\\ \\A_z(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\;\left[ \begin{array}{c}\left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \right]\;\vec{u}_x \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) \right]\;\vec{u}_y \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) \right]\;\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cartésien" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire <math>\text{«}\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{cyl}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{c c c} \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} & \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\\ \vec{u}_z \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} & \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_\rho \wedge \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\\ \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} & \dfrac{\vec{u}_\rho}{\rho} \wedge \left( \dfrac{\partial \left\lbrace \rho \right.}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} & \vec{0}\; \wedge \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} A_\rho(M)\,\vec{u}_\rho \\ \\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta\\ \\ A_z(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\; \left[ \begin{array}{c}\left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) \right\rbrace\, \vec{u}_\rho \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) \right\rbrace\, \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{\rho} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\;A_\theta \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M) \right\rbrace\, \vec{u}_z\end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en cylindro-polaire" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \vec{\nabla} \wedge \right]_{\text{sph}} \times \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\; \left[ \begin{array}{c c c} \vec{0}\; \wedge & \vec{u}_\varphi \wedge \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} & \dfrac{\vec{u}_\theta}{\sin(\theta)} \wedge \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta) \right.}{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\\ \vec{u}_\varphi \wedge \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} & \vec{0}\; \wedge & \dfrac{\vec{u}_r}{r} \wedge \left( \dfrac{\partial \left\lbrace r \right.}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\\ \vec{u}_\theta \wedge \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi} & \dfrac{\vec{u}_r}{r} \wedge \left( \dfrac{\partial \left\lbrace r \right.}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi} & \vec{0}\; \wedge \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} A_r(M)\,\vec{u}_r \\ \\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta\\ \\ A_\varphi(M)\,\vec{u}_\varphi\end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>\overset{\ldots}{\;=\;}\; \left[ \begin{array}{c}\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) - \left( \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M) \right\rbrace\; \vec{u}_r \\ \left\lbrace \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M) - \dfrac{1}{r} \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) \right\rbrace\; \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{r} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ r\;A_\theta \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) - \left( \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right)_{\!r,\, \varphi}\!(M) \right\rbrace\; \vec{u}_\varphi\end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du rotationnel en sphérique" />. === Représentation matricielle du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace === {{Al|5}}Le champ scalaire [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]]<ref name="Laplace" /> de la fonction scalaire de l'espace <math>\;U(M)\;</math> étant l'image de <math>\;U(M)\;</math> par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” c.-à-d. <br />{{Al|10}}{{Transparent|Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> étant }}«<math>\;U(M)\;\; \overset{\vec{\nabla}^2}{\rightarrow}\;\; \vec{\nabla}^2 \left[ U \right](M) = \Delta \left[ U \right](M)\;</math>» nous en déduisons, <br />{{Al|5}}suivant le type de repérage choisi, la représentation [[Matrice/Définition#Définition|matricielle]] du champ scalaire <math>\;\Delta \left[ U \right](M)\;</math> <math>\big\{</math>en utilisant celle de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire <math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ U \right](M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire }}en [[Matrice/Définition#Définition|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /><math>\big\}\;</math><ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés" /> <br />{{Al|6}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire <math>\;\color{transparent}{\Delta \left[ U \right](M)}\;</math> }}en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \Delta \left\lbrace U \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cart}}\! \left\lbrace U(M) \right\rbrace = \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!x,\,y}\!(M)\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cartésien" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \Delta \left\lbrace U \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cyl}}\! \left\lbrace U(M) \right\rbrace = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M)\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cylindro-polaire" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|suivant le type de repérage choisi }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \Delta \left\lbrace U \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}}\! \left\lbrace U(M) \right\rbrace = \dfrac{1}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial U}{\partial r} \right]}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}\partial r}(M) + \dfrac{1}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}r^2 \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right]}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}\partial \theta}(M) + \dfrac{1}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}r^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 U}{\color{transparent}{\Big[}\!\!\color{black}\partial \varphi^2}(M)\;</math>»<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" />{{,}}<ref name="expression du laplacien en sphérique" />. == Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace et conséquences == {{Al|5}}<u>Introduction</u> : ayant décrit l'application directe de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] "nabla" «<math>\;\vec{\nabla}\! \left[ \, \right]\;</math>» aux fonctions scalaires de l'espace <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit }}dans les exemples suivants <math>\bullet\;</math>le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]] d'une fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> de l'espace «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M) = \vec{\nabla} \left[ U \right](M)\;</math>»<ref name="champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ainsi que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le champ vectoriel }}ses deux champs scalaires s'en déduisant <math>\blacktriangleright\;</math>le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire <math>\;U(M)</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;d \left[ U \right](M) = \left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ U \right](M) = \overrightarrow{dM} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math>»<ref name="opérateur différenciation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Proposition_de_définition_intrinsèque_de_l'opérateur_vectoriel_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”|proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant }}<math>\blacktriangleright\;</math>le champ scalaire d'[[w:Advection|advection]]<ref name="advection"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.</ref> de la grandeur scalaire [[w:Extensivité_et_intensivité_(physique)#Intensivité|intensive]] <math>\;f(M,\,t)\;</math><ref name="intensive" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) \cdot \nabla\! \left[ f(M,\,t) \right] = \vec{V}_{\!M}(t) \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}} \left[ f(M,\,t) \right]\;</math>» avec <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> le vecteur <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}vitesse du point <math>\;M\;</math> du milieu environnant où le transport est considéré<ref name="advection" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants }}<math>\bullet\;</math>le champ scalaire [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]]<ref name="Laplace" /> de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> de l'espace «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2\! \left[ U \right](M)\;</math>»<ref name="champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Champ_scalaire_laplacien_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : }}nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] "nabla" «<math>\;\vec{\nabla}\! \left[ \, \right]\;</math>» aux fonctions vectorielles de l'espace<ref name="directe"> Application « directe » de l'opérateur vectoriel «<math>\;\vec{\nabla}\! \left[ \, \right]\;</math>» à une fonction vectorielle «<math>\;\vec{A}(M)\;</math>» sans utiliser les opérateurs intermédiaires « [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] <math>\;\cdot\;</math>» comme dans le champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]] «<math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \cdot \vec{A}(M)\;</math>» ou « [[w:Produit_vectoriel|multiplication vectorielle]] <math>\;\wedge\;</math>» comme dans le champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]] «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}(M)\;</math>».</ref>. === Identification de l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace === {{Al|5}}Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “dM scalaire nabla” «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» aux fonctions vectorielles différentiables de l'espace<ref name="rappel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Prolongement_de_l'application_(directe)_de_l'opérateur_linéaire_"nabla"_aux_fonctions_vectorielles_de_l'espace_et_conséquences|prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire “nabla” aux fonction vectorielles de l'espace et conséquences]] (introduction) » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” }}pour préciser la façon dont «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» agit sur la fonction vectorielle «<math>\;\vec{A}(M)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” pour préciser }}nous nous plaçons en repérage « cylindro-polaire »<ref name="Raison du choix de repérage"> On aurait pu choisir <math>\;-\;</math> pour les mêmes raisons <math>\;-\;</math> le repérage sphérique.</ref>{{,}}<ref name="Raison du choix de repérage cylindro-polaire"> Dans le repérage « cylindro-polaire » les deux 1^ers vecteurs de base dépendant des coordonnées de <math>\;M</math> <math>\Rightarrow</math> l'action des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” sur eux n'est pas nécessairement nulle d'où l'intérêt du choix de ce repérage pour préciser la façon dont «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» agit sur la fonction vectorielle «<math>\;\vec{A}(M)\;</math>».</ref> : {{Al|5}}<u>Étude en repérage « cylindro-polaire »<ref name="Raison du choix de repérage" />{{,}}<ref name="Raison du choix de repérage cylindro-polaire" /></u> : le vecteur déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> de coordonnées <math>\;\left( \rho\,,\,\theta\,,\, z \right)\;</math> s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\, \vec{u}_\rho + \rho\, d \theta\, \vec{u}_\theta + dz\, \vec{u}_z\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla” s'exprimant selon «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_\rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur vectoriel nabla" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “dM scalaire nabla” s'écrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right] = \left\lbrace d \rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \cancel{\rho}\, d \theta\, \cancel{\dfrac{1}{\rho}}\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + dz\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : }}d'où, en appliquant «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» au champ vectoriel «<math>\;\vec{A}(M) = A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>» nous en déduisons <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, }}« l'image de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par <math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» définie comme le vecteur «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) =</math> <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «}}<math>\;\left\lbrace d \rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + d \theta\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + dz\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \left[ A_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math>», soit <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « }}en faisant agir les dérivées partielles uniquement sur les composantes <math>\;\left( A_\rho\,,\, A_\theta\,,\, A_z \right)\;</math> de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> une 1^ère série de termes <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «}}<math>\;\overrightarrow{\delta A_1} = \left\lbrace \begin{align} \;\;\;d \rho\, \left( \dfrac{\partial A_\rho }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\, \vec{u}_\rho(M) + d \rho\, \left( \dfrac{\partial A_\theta }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\, \vec{u}_\theta(M) + d \rho\, \left( \dfrac{\partial A_z }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)\, \vec{u}_z + \cdots\\ \cdots\, d \theta\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_\rho(M) + d \theta\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_\theta(M) + d \theta\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\, \vec{u}_z + \cdots\\ \cdots\,dz\, \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\, \vec{u}_\rho(M) + dz\, \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\, \vec{u}_\theta(M) + dz\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)\, \vec{u}_z \color{transparent}{+ \cdots}\,\end{align}\right\rbrace\;</math> <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\delta A_1}}</math> }}<math>= dA_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + dA_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + dA_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>»<ref> On pourrait encore écrire «<math>\;\overrightarrow{\delta A_1} = \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ A_\rho \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} \right\rbrace \vec{u}_\rho(M) + \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ A_\theta \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} \right\rbrace \vec{u}_\theta(M) + \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ A_z \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} \right\rbrace \vec{u}_z\;</math>».</ref> et <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « }}en faisant agir les dérivées partielles sur les vecteurs de base cylindro-polaire <math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> une 2^ème série de termes <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «}}<math>\;\overrightarrow{\delta A_2} = \left\lbrace \begin{align} \;\;\;d \rho\, A_\rho(M)\, \cancel{\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\rho }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)} + d \rho\, A_\theta(M)\, \cancel{\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)} + d \rho\, A_z(M)\, \cancel{\left( \dfrac{\partial \vec{u}_z }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}(M)} + \cdots\\ \cdots\, d \theta\, A_\rho(M)\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\rho }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\;\, + d \theta\, A_\theta(M)\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}(M)\;\, + d \theta\, A_z(M)\, \cancel{\left( \dfrac{\partial \vec{u}_z }{\partial \theta} \right)_{\!\theta,\, z}(M)} + \cdots\\ \cdots\,dz\, A_\rho(M)\, \cancel{\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\rho }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)} + dz\, A_\theta(M)\, \cancel{\left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta }{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}(M)} + dz\, A_z(M)\, \cancel{\left( \dfrac{\partial \vec{u}_z }{\partial z} \right)_{\!\theta,\, \theta}(M)} \color{transparent}{+ \cdots}\,\end{align}\right\rbrace\;</math> <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\delta A_2}}</math> }}<math>= A_\rho(M)\, d \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, d \vec{u}_\theta(M)\;</math>»<ref> En effet «<math>\;d \vec{u}_\rho = \dfrac{d \vec{u}_\rho }{d \theta}\, d \theta\;</math>» et «<math>\;d \vec{u}_\theta = \dfrac{d \vec{u}_\theta }{d \theta}\, d \theta\;</math>» les dérivées partielles étant en fait des dérivées droites dans la mesure où les vecteurs de base ne dépendent que d'une variable <math>\;\theta</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>ou encore «<math>\;\overrightarrow{\delta A_2} = d \theta\, A_\rho(M)\, \vec{u}_\theta(M) - d \theta\, A_\theta(M)\, \vec{u}_\rho(M)\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho }{d \theta} = \vec{u}_\theta\;</math> et <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta }{d \theta} = -\vec{u}_\rho\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big\}</math> soit finalement <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, }}«<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = dA_\rho(M)\, \vec{u}_\rho(M) + dA_\theta(M)\, \vec{u}_\theta(M) + dA_z(M)\, \vec{u}_z + A_\rho(M)\, d \vec{u}_\rho(M) + A_\theta(M)\, d \vec{u}_\theta(M)\;</math>» ou <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « }}en reconnaissant dans le membre de droite la différentielle <math>\;d\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)</math>, <br />{{Al|18}}{{Transparent|Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « }}l'identification recherchée «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = d\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» établie en repérage cylindro-polaire et valable quel que soit le repérage. {{Al|5}}<u>Étude en repérage « cartésien »</u> : la vérification ne présente aucune difficulté, les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point <math>\;M</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Étude en repérage « cartésien » : }}le vecteur déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> de coordonnées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\, z \right)\;</math> s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{dM} = dx\, \vec{u}_x + dy\, \vec{u}_y + dz\, \vec{u}_z\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Étude en repérage « cartésien » : }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla” s'exprimant selon «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \; \right] = \left\lbrace \vec{u}_x\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + \vec{u}_y\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + \vec{u}_z\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>»<ref name="opérateur vectoriel nabla" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Étude en repérage « cartésien » : }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “dM scalaire nabla” s'écrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right] = \left\lbrace dx\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + dy\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + dz\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \left[ \; \right]\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Étude en repérage « cartésien » : }}d'où, en appliquant «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» au champ vectoriel «<math>\;\vec{A}(M) = A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>» nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Étude en repérage « cartésien » : d'où, }}«<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M) = \left\lbrace dx\, \left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\, z} + dy\, \left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\, z} + dz\, \left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace \left[ A_x(M)\, \vec{u}_x + A_y(M)\, \vec{u}_y + A_z(M)\, \vec{u}_z \right]\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Étude en repérage « cartésien » : d'où, «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= \left\lbrace \begin{align} \;\;\;dx\, \left( \dfrac{\partial A_x }{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M)\, \vec{u}_x + dx\, \left( \dfrac{\partial A_y }{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M)\, \vec{u}_y + dx\, \left( \dfrac{\partial A_z }{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M)\, \vec{u}_z + \cdots\\ \cdots\, dy\, \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M)\, \vec{u}_x + dy\, \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M)\, \vec{u}_y + dy\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M)\, \vec{u}_z + \cdots\\ \cdots\,dz\, \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\, \vec{u}_x + dz\, \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\, \vec{u}_y + dz\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M)\, \vec{u}_z \color{transparent}{+ \cdots}\,\end{align}\right\rbrace\;</math> ou encore <br />{{Al|5}}{{Transparent|Étude en repérage « cartésien » : d'où, «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \vec{A} \right](M)}</math> }}<math>= dA_x(M)\, \vec{u}_x + dA_y(M)\, \vec{u}_y + dA_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>» s'identifiant termes à termes à «<math>\;d\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>.. {{Al|5}}<u>Étude en repérage « sphérique »<ref name="Choix de repérage sphérique"> Dans le repérage « sphérique » les deux 1^ers vecteurs de base <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math> dépendant des deux coordonnées angulaires <math>\;\left( \theta\,,\, \varphi \right)\;</math> de <math>\;M</math>, le 3^ème <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> ne dépendant que de <math>\;\varphi</math> <math>\Rightarrow</math> l'action des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” sur eux n'est donc pas nécessairement nulle d'où une complication <math>\;\big(</math>plus importante que celle utilisant le repérage cylindro-polaire<math>\big)</math>.</ref></u> : vérification plus délicate <math>\;\big(</math>laissée à l'initiative du lecteur<math>\big)\;</math><ref> Pour cela on pourra utiliser à bon escient les informations établies dans les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> utilisant la même méthode de vérification qu'en cylindro-polaire. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “dM scalaire nabla”</u><math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]</math> : découle de celle de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] vectoriel [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “nabla” «<math>\;\vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : découle }}[[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multipliée matriciellement]] à gauche par celle de la forme linéaire «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot\;</math>» en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : }}représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de «<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : }}<math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}} = \left[ \overrightarrow{dM} \cdot \right]_{\text{cart}} \times \left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \left[ \;dx\,\vec{u}_x\,\cdot \;,\;dy\,\vec{u}_y\,\cdot\;,\;dz\;\vec{u}_z\,\cdot \;\right] \times \left[ \begin{array}{c} \vec{u}_x\,\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\\ \vec{u}_y\,\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\\ \vec{u}_z\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\end{array} \right]\;</math><ref name="produit de matrices"> Le résultat du [[Matrice/Produit_matriciel#Produit_de_matrices|produit]] d'une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 3 \right)\;</math> par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 1 \right)\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)</math>.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= dx\;\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + dy\;\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + dz\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\;</math>»<ref name="opérateur linéaire différenciation"> C.-à-d. «<math>\;d \left\lbrace \, \right\rbrace\;</math>» l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] de différenciation.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}} = \left[ \overrightarrow{dM} \cdot \right]_{\text{cyl}} \times \left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \;d \rho\,\vec{u}_\rho\,\cdot \;,\;\rho\,d \theta\,\vec{u}_\theta\,\cdot\;,\;dz\;\vec{u}_z\,\cdot \;\right] \times \left[ \begin{array}{c} \vec{u}_\rho\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}\\ \vec{u}_\theta\, \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}\\ \vec{u}_z\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\end{array} \right]\;</math><ref name="produit de matrices" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= d \rho\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + \cancel{\rho}\,d \theta\,\cancel{\dfrac{1}{\rho}}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\;</math>»<ref name="opérateur linéaire différenciation" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}} = \left[ \overrightarrow{dM} \cdot \right]_{\text{sph}} \times \left[ \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}</math> <br />{{Al|23}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique « }}<math>= \left[ dr\,\vec{u}_r\,\cdot \;,\;r\,d \theta\,\vec{u}_\theta\,\cdot\;,\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi\,\vec{u}_\varphi\,\cdot \right] \times\! \left[\! \begin{array}{c} \vec{u}_r\,\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\\ \dfrac{\vec{u}_\theta}{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\\ \dfrac{\vec{u}_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\end{array}\! \right]\;</math><ref name="produit de matrices" /> <br />{{Al|29}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique « }}<math>= dr \dfrac{\partial }{\partial r} + \cancel{r} d \theta\,\cancel{\dfrac{1}{r}} \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cancel{r\,\sin(\theta)} d \varphi\,\cancel{\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}} \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \;</math>»<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" />{{,}}<ref name="opérateur linéaire différenciation" />. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de l'image de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “dM scalaire nabla”</u><math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math><math>\big\{</math><u>ou représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de la différentielle</u><math>\;d \vec{A}(M)</math><math>\big\}</math> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image }}en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] résultant de l'action de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> sur la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{A}(M)\;</math>»<ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne"> L'action d'un [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire sur une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] transforme cette dernière en une nouvelle [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] dont chaque élément est le résultat de l'action de cet [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] sur chaque élément de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] d'origine. <br>{{Al|3}}Attention il ne s'agit nullement d'un [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit de matrices]] lequel ne serait pas défini entre une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math> et une [[w:Matrice_(mathématiques)|autre]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3 \times 1 \right)</math>.</ref> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne }}<math>\bullet\;</math>en cartésien, «<math>\;\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}}\;</math><ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> <math>= \left\lbrace dx\,\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + dy\,\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_x(M)\,\vec{u}_x\\ A_y(M)\,\vec{u}_y\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math> s'écrit encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}} =}\;</math> }}<math>\;d \left\lbrace \left[ \begin{array}{c} A_x(M)\,\vec{u}_x\\ A_y(M)\,\vec{u}_y\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right] \right\rbrace</math> <ref name="différenciation"> Avec «<math>\;d \left\lbrace \, \right\rbrace\;</math>» [[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] de différenciation.</ref> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace dx\,\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + dy\,\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right\rbrace\,\vec{u}_x\\ \left\lbrace dx\,\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + dy\,\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right\rbrace\,\vec{u}_y\\ \left\lbrace dx\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + dy\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} dA_x\,\vec{u}_x\\ \\ dA_y\,\vec{u}_y\\ \\ dA_z\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>»<ref name="simplification de notation" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire, «<math>\;\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}\;</math><ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> <math>= \left\lbrace d \rho\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + d \theta\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_\rho(M)\,\vec{u}_\rho(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math> s'écrit encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}} =}\;</math> }}<math>\;d \left\lbrace \left[ \begin{array}{c} A_\rho(M)\,\vec{u}_\rho(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right] \right\rbrace</math><ref name="différenciation" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace d\rho\,\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + d \theta\,\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace\,\vec{u}_\rho + d \theta\, A_\rho\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta} \\ \left\lbrace d \rho\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + d \theta\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + d \theta\, A_\theta\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}\\ \left\lbrace d \rho\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + d \theta\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + dz\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} dA_\rho\,\vec{u}_\rho + A_\rho\, d \vec{u}_\rho\\ \\ dA_\theta\,\vec{u}_\theta + A_\theta\,d \vec{u}_\theta\\ \\ dA_z\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>»<ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref> Ou encore, en utilisant les résultats rappelés en notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-65|⁶⁵]] et [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre «<math>\;\left[ d \vec{A} \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{l} dA_\rho\,\vec{u}_\rho + A_\rho\, \vec{u}_\theta\, d \theta \\ dA_\theta\,\vec{u}_\theta - A_\theta\, \vec{u}_\rho\, d \theta\\ dA_z\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>» <math>\big\{</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-simplification_de_notation-27|²⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne }}<math>\bullet\;</math>en sphérique, «<math>\;\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}\;</math><ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> <math>= \left\lbrace dr\,\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi} + d \theta\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi} + d \varphi\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_r(M)\,\vec{u}_r(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ A_\varphi(M)\,\vec{u}_\varphi(M) \end{array} \right]\;</math> s'écrit encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}} =}\;</math> }}<math>\;d \left\lbrace \left[ \begin{array}{c} A_\rho(M)\,\vec{u}_\rho(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ A_\varphi(M)\,\vec{u}_\varphi(M) \end{array} \right] \right\rbrace</math><ref name="différenciation" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace dr\,\dfrac{\partial A_r}{\partial r} + d \theta\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} + d \varphi\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_r + A_r \left\lbrace d \theta\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi} + d \varphi\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta} \right\rbrace \\ \left\lbrace d r\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} + d \theta\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + d \varphi\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + A_\theta \left\lbrace d \theta\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi} + d \varphi\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta} \right\rbrace \\ \left\lbrace d r\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} + d \theta\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} + d \varphi\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi + A_\varphi\, d \varphi\, \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} dA_r\,\vec{u}_r + A_r\, d \vec{u}_r\\ \\ dA_\theta\,\vec{u}_\theta + A_\theta\,d \vec{u}_\theta\\ \\ dA_\varphi\,\vec{u}_\varphi + A_\varphi\, d \vec{u}_\varphi \end{array} \right]\;</math>»<ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref> Ou encore, en utilisant les résultats des paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <center>«<math>\;\left[ d \vec{A} \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{l} dA_r\,\vec{u}_r + A_r \left\lbrace \vec{u}_\theta\, d \theta + \vec{u}_\varphi\,\sin(\theta)\, d \varphi \right\rbrace\\ \\ dA_\theta\,\vec{u}_\theta + A_\theta \left\lbrace -\vec{u}_r\, d \theta + \vec{u}_\varphi\,\cos(\theta)\, d \varphi \right\rbrace\\ \\ dA_\varphi\,\vec{u}_\varphi - A_\varphi \left\lbrace \vec{u}_r\,\sin(\theta) + \vec{u}_\theta\,\cos(\theta) \right\rbrace d \varphi \end{array} \right]\;</math>» <math>\big\{</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-simplification_de_notation-27|²⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</center></ref>. === Champ d'advection d'une fonction vectorielle de l'espace === {{Al|5}}<u>Détermination de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”</u><math>\;\vec{V}_{\!M}\, \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math><u>»<ref name="simplification de notation - bis"> Pour alléger la notation, l'instant <math>\;t\;</math> des grandeurs dépendant explicitement du temps n'a pas été indiqué <math>\;\ldots</math></ref> à partir de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “dM scalaire nabla”</u>«<math>\;\overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math>» : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” }}le « vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> “<math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math>” » étant lié <br />{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” }}au « vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> à partir de l'instant <math>\;t\;</math> pendant la durée élémentaire <math>\;dt\;</math> “<math>\;\overrightarrow{dM}(t)\;</math>” »<ref> Ou simplement <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> quand il n'y a aucune ambiguïté, ce qui est quasiment toujours le cas.</ref> par <br />{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” au }}«<math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dM}(t)}{dt}\;</math>»<ref name="vecteur vitesse de M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Généralités#Vecteur_déplacement_élémentaire_du_point_M,_autre_définition_de_son_vecteur_vitesse|vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse]] (autre définition du vecteur vitesse du point M) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. que <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> s'obtient en divisant <math>\;\overrightarrow{dM}(t)\;</math> par <math>\;dt\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” s'obtient en multipliant par <math>\;\dfrac{1}{dt}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla” }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “dM scalaire nabla” soit «<math>\;\vec{V}_{\!M}\, \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right] = \dfrac{1}{dt} \left\lbrace \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right] \right\rbrace\;</math><ref name="simplification de notation - bis" /> <math>= \dfrac{1}{dt}\; d \left\lbrace \, \right\rbrace\;</math>»<ref name="différenciation" />. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”</u><math>\;\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]</math> : <math>\bullet\;</math>en cartésien «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}} = \dfrac{1}{dt}\; \left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{dt} \left\lbrace dx\;\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + dy\;\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + dz\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right\rbrace\;</math><ref name="identification des opérateurs dM scalaire nabla et différenciation"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Identification_de_l'opérateur_scalaire_linéaire_du_premier_ordre_“dM_scalaire_nabla”_avec_l'opérateur_“différenciation”_lorsqu'ils_agissent_sur_une_fonction_vectorielle_de_l'espace|identification de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace]] (représentation matricielle) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \dot{x}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + \dot{y}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + \dot{z}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\;</math>»<ref name="simplification de notation - bis" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}} = \dfrac{1}{dt}\; \left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{dt} \left\lbrace d \rho\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} \!+ d \theta \;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} \!+ dz\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace\;</math><ref name="identification des opérateurs dM scalaire nabla et différenciation" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \dot{\rho}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + \dot{\theta} \;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + \dot{z}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}\;</math>»<ref name="simplification de notation - bis" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : }}<math>\bullet\;</math>en sphérique «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}} = \dfrac{1}{dt}\; \left[ \overrightarrow{dM} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{dt} \left\lbrace dr\;\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi} + d \theta \;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi} + d \varphi\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} \right\rbrace\;</math><ref name="identification des opérateurs dM scalaire nabla et différenciation" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>= \dot{r}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi} + \dot{\theta} \;\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi} + \dot{\varphi}\;\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\;</math>»<ref name="simplification de notation - bis" />. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de l'image de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 1^er ordre “vitesse scalaire nabla”</u><math>\;\vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \left[ \, \right]\;</math><u><ref name="simplification de notation - bis" /></u><br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image }}<math>\big\{</math><u>ou représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] du « champ d'[[w:Advection|advection]]<ref name="advection" /></u><math>\;\vec{V}_{\!M}\, \cdot \vec{\nabla} \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math>»<u> de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="simplification de notation - bis" /><math>\big\}</math> : <br />{{Al|6}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image }}en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] résultant de l'action de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateurs]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> sur la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{A}(M)\;</math>»<ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne }}<math>\bullet\;</math>en cartésien, «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}}\;</math><ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> <math>= \left\lbrace \dot{x}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial x} \right)_{\!y,\,z} + \dot{y}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial y} \right)_{\!x,\,z} + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!x,\,y} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_x(M)\,\vec{u}_x\\ A_y(M)\,\vec{u}_y\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - bis" /> s'écrit encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \dot{x}\,\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \dot{y}\,\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!(M) \right\rbrace\,\vec{u}_x\\ \left\lbrace \dot{x}\,\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \dot{y}\,\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!(M) \right\rbrace\,\vec{u}_y\\ \left\lbrace \dot{x}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \dot{y}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - bis" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cartésien, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_x(M) \right\rbrace\,\vec{u}_x\\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_y(M) \right\rbrace\,\vec{u}_y\\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_z(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>»<ref name="simplification de notation - bis" />{{,}}<ref name="composantes cartésiennes du gradient" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne }}<math>\bullet\;</math>en cylindro-polaire, «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}\;</math><ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> <math>= \left\lbrace \dot{\rho}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + \dot{\theta}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_\rho(M)\,\vec{u}_\rho(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - bis" /> s'écrit encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace \dot{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + \dot{\theta}\,\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace\,\vec{u}_\rho + \dot{\theta}\, A_\rho\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta} \\ \left\lbrace \dot{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + \dot{\theta}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + \dot{\theta}\, A_\theta\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}\\ \left\lbrace \dot{\rho}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z} + \dot{\theta}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z} + \dot{z}\,\left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta} \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - bis" />{{,}}<ref name="simplification de notation" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en cylindro-polaire, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\rho(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho + A_\rho(M)\, \dot{\theta}\, \dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta}\\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\theta(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + A_\theta(M)\,\dot{\theta}\, \dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta}\\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_z(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - bis" />{{,}}<ref name="composantes cylindro-polaires du gradient" />{{,}}<ref> Ou encore, en utilisant les résultats rappelés en notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-65|⁶⁵]] et [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{l} \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\rho(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho + A_\rho(M)\, \dot{\theta}\, \vec{u}_\theta \\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\theta(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta - A_\theta(M)\, \dot{\theta}\, \vec{u}_\rho \\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_z(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-simplification_de_notation_-_bis-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne }}<math>\bullet\;</math>en sphérique, «<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}\;</math><ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> <math>= \left\lbrace \dot{r}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi} + \dot{\theta}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi} + \dot{\varphi}\,\left( \dfrac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_r(M)\,\vec{u}_r(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ A_\varphi(M)\,\vec{u}_\varphi(M) \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - bis" /> s'écrit encore <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace \dot{r}\,\dfrac{\partial A_r}{\partial r} + \dot{\theta}\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} + \dot{\varphi}\, \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_r + A_r \left\lbrace \dot{\theta}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi} + \dot{\varphi}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta} \right\rbrace \\ \left\lbrace \dot{r}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} + \dot{\theta}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dot{\varphi}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + A_\theta \left\lbrace \dot{\theta}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi} + \dot{\varphi}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta} \right\rbrace \\ \left\lbrace \dot{r}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} + \dot{\theta}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} + \dot{\varphi}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi + A_\varphi\, \dot{\varphi}\, \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - bis" />{{,}}<ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" /> <br />{{Al|10}}{{Transparent|Représentation matricielle de l'image en matrice colonne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en sphérique, «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}}\;</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_r(M) \right\rbrace\,\vec{u}_r + A_r(M)\, \left\lbrace \dot{\theta}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi} + \dot{\varphi}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta} \right\rbrace \\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\theta(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + A_\theta(M)\, \left\lbrace \dot{\theta}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\varphi} + \dot{\varphi}\, \left( \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} \right)_{\!\theta} \right\rbrace \\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\varphi(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi + A_\varphi(M)\, \dot{\varphi}\, \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} \end{array} \right]\;</math>»<ref name="simplification de notation - bis" />{{,}}<ref name="composantes sphériques du gradient" />{{,}}<ref> Ou encore, en utilisant les résultats des paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <center>«<math>\;\left[ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \vec{\nabla} \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{l} \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_r(M) \right\rbrace\,\vec{u}_r + A_r(M)\, \left\lbrace \vec{u}_\theta\, \dot{\theta} + \vec{u}_\varphi\,\sin(\theta)\, \dot{\varphi} \right\rbrace\\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\theta(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + A_\theta(M)\, \left\lbrace -\vec{u}_r\, \dot{\theta} + \vec{u}_\varphi\,\cos(\theta)\, \dot{\varphi} \right\rbrace\\ \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace A_\varphi(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi - A_\varphi(M)\, \left\lbrace \vec{u}_r\,\sin(\theta) + \vec{u}_\theta\,\cos(\theta) \right\rbrace \dot{\varphi} \end{array} \right]\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-simplification_de_notation_-_bis-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</center></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple, champ d'[[w:Advection|advection]]<ref name="advection" /> du champ des vecteurs vitesse d'un milieu environnant mobile</u> «<math>\;\left\lbrace \vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace\! \left[ \vec{V}_{\!M}(t) \right]\;</math>»<ref> Ce champ intervient lors du calcul de la [[w:Dérivée_totale#Dérivée_particulaire|dérivée particulaire]] du champ de vecteurs vitesse d'un milieu fluide «<math>\;\dfrac{D \vec{V}_{\!M}}{Dt}(t) = \left( \dfrac{\partial \vec{V}_{\!M}}{\partial t} \right)_{\!\!M}(t) + \left\lbrace \vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace\! \left[ \vec{V}_{\!M}(t) \right]\;</math>», cette [[w:Dérivée_totale#Dérivée_particulaire|dérivée particulaire]] de <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> jouant le rôle du vecteur accélération du point <math>\;M\;</math> lors de l'étude de la [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], * le 1^er terme <math>\;\left( \dfrac{\partial \vec{V}_{\!M}}{\partial t} \right)_{\!\!M}(t)\;</math> traduisant la variation locale de <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> en <math>\;M\;</math> figé et * le 2^ème <math>\;\left\lbrace \vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace\! \left[ \vec{V}_{\!M}(t) \right]\;</math> la variation [[w:Advection|advective]] <math>\;\big(</math>ou encore [[w:Convection|convective]]<math>\big)\;</math> de <math>\;\vec{V}_{\!M}(t)\;</math> liée au déplacement du point <math>\;M</math>.</ref> : suivant le repérage utilisé nous obtenons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple, }}<math>\succ\;</math>en cartésien «<math>\;\left\lbrace \vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace\! \left[ \vec{V}_{\!M}(t) \right] = \vec{V}_{\!M}(t)\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,x}(t) \right]\,\vec{u}_x + \vec{V}_{\!M}(t)\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,y}(t) \right]\,\vec{u}_y + \vec{V}_{\!M}(t)\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,z}(t) \right]\,\vec{u}_z\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple, }}<math>\succ\;</math>en cylindro-polaire «<math>\;\left\lbrace \vec{V}_{\!M}(t) \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace\! \left[ \vec{V}_{\!M}(t) \right] = \left\lbrace \vec{V}_{\!M}(t)\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,\rho}(t) \right] - V_{M,\,\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho + \left\lbrace \vec{V}_{\!M}(t)\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,\theta}(t) \right] + V_{M,\,\rho}(t)\;\dot{\theta}(t) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + \vec{V}_{\!M}(t)\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,z}(t) \right]\,\vec{u}_z\;</math>»<ref> Voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-80|⁸⁰]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple, }}<math>\succ\;</math>en sphérique «<math>\;\left\lbrace \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace\! \left[ \vec{V}_{\!M} \right] = \left\lbrace \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,r} \right] - V_{M,\,\theta}\;\dot{\theta} - V_{M,\,\varphi}\;\sin(\theta)\;\dot{\varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_r + \left\lbrace \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,\theta} \right] + V_{M,\,r}\;\dot{\theta} - V_{M,\,\varphi}\;\cos(\theta)\;\dot{\varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta\; \cdots</math> <br />{{Transparent|Exemple,<math>\color{transparent}{\succ}</math>en sphérique «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{V}_{\!M} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace\! \left[ \vec{V}_{\!M} \right] = \left\lbrace \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,r} \right] - V_{M,\,\theta}\;\dot{\theta} - V_{M,\,\varphi}\;\sin(\theta)\;\dot{\varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_r}</math> }}<math>\cdots\;+ \left\lbrace \vec{V}_{\!M}\, \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_{M,\,\varphi} \right] + \left[ V_{M,\,r}\;\sin(\theta) + V_{M,\,\theta}\;\cos(\theta) \right]\,\dot{\varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="simplification de notation - bis" />{{,}}<ref> Voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-81|⁸¹]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla scalaire nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace == {{Al|5}}<u>Introduction</u> : ayant décrit l'application directe de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre "nabla scalaire nabla" «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ \, \right]\;</math>» aux fonctions scalaires différentiables<ref name="nécessité d'existence des dérivées secondes" /> de l'espace <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit }}en « l'image de la fonction scalaire différentiable<ref name="nécessité d'existence des dérivées secondes" /> de l'espace <math>\;U(M)\;</math> par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” » c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit en « }}le champ scalaire [[w:Opérateur_laplacien|laplacien]]<ref name="Laplace" /> de la fonction scalaire <math>\;U(M)\;</math> «<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \mathrm{div}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right] \right\rbrace\!(M)\;</math>»<ref name="champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire" /> selon <br />{{Al|9}}{{Transparent|Introduction : ayant décrit en « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{U(M)}\;</math> }}«<math>\;\Delta\!\left[ U \right](M) = \vec{\nabla}^2 \left[ U \right](M)\;</math>»<ref name="champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire - bis" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : }}nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'[[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|opérateur linéaire]] du 2^nd ordre "nabla scalaire nabla" «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ \, \right]\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe }}à la fonction vectorielle différentiable<ref name="nécessité d'existence des dérivées secondes - bis"> Plus précisément il faut que les dérivées partielles 2^ndes de la fonction vectorielle existent.</ref> de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref name="directe - bis"> Application « directe » de l'opérateur scalaire «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left[ \, \right]\;</math>» à une fonction vectorielle «<math>\;\vec{A}(M)\;</math>» sans utiliser les opérateurs intermédiaires « [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] <math>\;\cdot\;</math>» intervenant dans l'opérateur «<math>\;\left\lbrace \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \right\rbrace \left[ \, \right]\;</math>» ou « “nabla” <math>\;\vec{\nabla} \! \left[ \, \right]\;</math>».</ref> puis <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : nous nous proposons }}de comparer le résultat obtenu à celui établi par « définition intrinsèque du champ [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]<ref name="Laplace" /> »<ref name="définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_champ_laplacien_vectoriel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Introduction : nous nous proposons de comparer }}dans les trois repérages cartésien, cylindro-polaire et sphérique <math>\;\ldots</math> === Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace === {{Définition|titre=Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle <math>\vec{A}(M)</math>|contenu = {{Al|5}}Le champ [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]<ref name="Laplace" /> de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> noté «<math>\;\vec{\Delta}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math>» <br />{{Al|9}}{{Transparent|Le champ laplacien vectoriel }}est « la différence entre le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]]<ref name="définition intrinsèque du gradient" /> du champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]]<ref name="définition intrinsèque de la divergence" /> de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> et <br />{{Al|9}}{{Transparent|Le champ laplacien vectoriel est « la différence entre }}le champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]]<ref name="définition intrinsèque du rotationnel" /> du champ vectoriel [[w:Rotationnel|rotationnel]]<ref name="définition intrinsèque du rotationnel" /> de <math>\;\vec{A}(M)\;</math>» <br />{{Al|2}}{{Transparent|Le champ laplacien vectoriel est }}soit «<math>\;\vec{\Delta}\! \left[ \vec{A} \right](M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M) - \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M)\;</math>».}} === Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cartésien === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : nous allons établir cette identification en travaillant sur leurs représentations [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielles]] en cartésien. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]], en cartésien, du champ [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]<ref name="Laplace" /> de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>défini intrinsèquement</u> : <math>\vec{\Delta}\! \left[ \vec{A} \right](M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M) - \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M)\;</math><ref name="définition intrinsèque du laplacien vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_champ_laplacien_vectoriel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, }}<math>\succ\;</math>le champ scalaire <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> étant représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ scalaire <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> étant représenté matriciellement }}<math>\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cart}} = \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!(M)\;</math><ref name="représentation matricielle de la divergence"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Représentation_matricielle_du_champ_scalaire_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace U \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial U}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(M)\,\vec{u}_x \\ \left( \dfrac{\partial U}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(M)\,\vec{u}_y\\ \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math><ref name="représentation matricielle du gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Représentation_matricielle_du_champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]]<ref name="définition intrinsèque du gradient" /> du champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]]<ref name="définition intrinsèque de la divergence" /> de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}«<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \right\rbrace \right]_{\text{cart}}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \right)_{\!y,\, z} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cart}} + \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial y} \right)_{\!x,\, z} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cart}} + \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!x,\, y} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cart}}</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x^2}(M)\;\vec{u}_x\\ \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y\,\partial x}(M)\;\vec{u}_y\\ \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z\,\partial x}(M)\;\vec{u}_z\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x\,\partial y}(M)\;\vec{u}_x\\ \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y^2}(M)\;\vec{u}_y\\ \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z\,\partial y}(M)\;\vec{u}_z\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\,\partial z}(M)\;\vec{u}_x\\ \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\,\partial z}(M)\;\vec{u}_y\\ \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}(M)\;\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - ter"> Pour alléger la notation, les variables maintenues figées lors de dérivations partielles n'ont pas été indiquées <math>\;\ldots</math></ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x\,\partial y}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\,\partial z}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_x\\ \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y\,\partial x}(M) + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\,\partial z}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_y\\ \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z\,\partial x}(M) + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z\,\partial y}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - ter" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, }}<math>\succ\;</math>le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> étant représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \begin{array}{c}\left[ \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) \right]\;\vec{u}_x \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial z} \right)_{\!x,\, y}(M) - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) \right]\;\vec{u}_y \\ \left[ \left( \dfrac{\partial A_y}{\partial x} \right)_{\!y,\, z}(M) - \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M) \right]\;\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math>»<ref name="représentation matricielle du rotationnel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#Représentation_matricielle_du_champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}on y substitue les composantes cartésiennes de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par celles de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> pour obtenir celles de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M)\;</math> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}«<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y\,\partial x} - \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial x} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_x \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial y} - \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x\,\partial y} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_y \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x\,\partial z} - \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} - \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y\,\partial z} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array}\right]\;</math><ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}}\color{transparent}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y\,\partial x} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial x} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_x \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial y} + \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x\,\partial y} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_y \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x\,\partial z} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y\,\partial z} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array}\right]\;</math>»<ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <math>\Rightarrow</math> par soustraction <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, }}<math>\succ\;</math>le champ vectoriel <math>\;\vec{\Delta}\! \left[ \vec{A} \right](M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}} - \left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cart}}\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}«<math>\;\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cart}} = \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x\,\partial y} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\,\partial z} \right\rbrace\,\vec{u}_x\\ \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y\,\partial x} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\,\partial z} \right\rbrace\,\vec{u}_y\\ \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z\,\partial x} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z\,\partial y} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \right\rbrace\,\vec{u}_z\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y\,\partial x} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial x} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_x \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial y} + \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x\,\partial y} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_y \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x\,\partial z} + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y\,\partial z} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array}\right]\;</math><ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_x\\ \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_y\\ \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - ter" />{{,}}<ref name="théorème de Schwarz"> En admettant que, lors d'une dérivation partielle du 2^nd ordre on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat <math>\;\big(</math>[[w:Théorème_de_Schwarz|théorème de Schwarz]]<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Hermann_Schwarz|Hermann Amandus Schwarz]] (1843 - 1921)''' mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'[[w:Analyse_réelle|analyse réelle]] et [[w:Analyse_complexe|complexe]] à la [[w:Géométrie_ différentielle|géométrie différentielle]], en passant par le [[w:Calcul_des_variations|calcul des variations]] ; il contribua à propager en '''Italie''' et en '''France''' les idées du mathématicien '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Weierstrass]]''' dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en <math>\;1861</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] <math>\;\big[</math>on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de [[w:Fonction_de_Weierstrass|fonction de Weierstrass]] ayant la propriété d'être partout continue mais dérivable nulle part<math>\big]</math>.</ref> <math>= \left[ \begin{array}{c} \Delta\! \left\lbrace A_x \right\rbrace\!(M)\;\vec{u}_x\\ \\ \Delta\! \left\lbrace A_y \right\rbrace\!(M)\;\vec{u}_y\\ \\ \Delta\! \left\lbrace A_z \right\rbrace\!(M)\;\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cartésien" />. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]], en cartésien, de l'image de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”</u> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” <math>\;\vec{\nabla}^2 \left[ \, \right]\;</math> étant représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” <math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}^2 \left[ \, \right]}\;</math> étant représenté matriciellement }}<math>\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cart}} = \left\lbrace\! \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\!y,\,z} \!\!+ \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_{\!x,\,z} \!\!+ \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!x,\,y} \!\right\rbrace\;</math><ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, }}son action sur la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{A}(M)\;</math> conduit à une image représentée [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, son action }}«<math>\;\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}} = \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_{\!y,\,z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_{\!x,\,z} + \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!x,\,y} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_x(M)\,\vec{u}_x\\ A_y(M)\,\vec{u}_y\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cartésien, son action «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cart}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cart}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \right)_{\!x,\,y}\!(M) \right\rbrace\,\vec{u}_x\\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \right)_{\!x,\,y}\!(M) \right\rbrace\,\vec{u}_y\\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} \right)_{\!y,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} \right)_{\!x,\,z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \right)_{\!x,\,y}\!(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \Delta\! \left\lbrace A_x \right\rbrace\!(M)\;\vec{u}_x\\ \Delta\! \left\lbrace A_y \right\rbrace\!(M)\;\vec{u}_y\\ \Delta\! \left\lbrace A_z \right\rbrace\!(M)\;\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cartésien" />. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : « les représentations [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielles]] de <math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math> et de <math>\;\vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math> en repérage cartésien étant les mêmes » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) = \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>»<ref name="généralisation"> Pour l'instant «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) = \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>» uniquement en cartésien mais la généralisation est faite dans les deux paragraphes suivants, en cylindro-polaire et en sphérique.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : les <u>composantes cartésiennes du [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]</u><ref name="Laplace" /> de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <u>sont</u> les <u>[[w:Opérateur_laplacien|laplaciens scalaires]]<ref name="Laplace" /> des composantes cartésiennes</u> de la fonction vectorielle ! === Tentative échouée d'identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cylindro-polaire === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : nous allons tenter d'établir cette identification en travaillant sur leurs représentations [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielles]] en cylindro-polaire mais <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : nous allons }}échouer car, en fait, l'identification n'est valable qu'en représentation cartésienne. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]], en cylindro-polaire, du champ [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]<ref name="Laplace" /> de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>défini intrinsèquement</u> : <math>\vec{\Delta}\! \left[ \vec{A} \right](M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M) - \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M)\;</math><ref name="définition intrinsèque du laplacien vectoriel" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, }}<math>\succ\;</math>le champ scalaire <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> étant représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ scalaire <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> étant représenté matriciellement }}<math>\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cyl}} = \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\;</math><ref name="représentation matricielle de la divergence" />{{,}}<ref name="simplification de notation" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace U \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial U}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\,z}(M)\,\vec{u}_\rho(M) \\ \dfrac{1}{\rho}\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\,z}(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ \left( \dfrac{\partial U}{\partial z} \right)_{\!\rho,\,\theta}(M)\,\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math><ref name="représentation matricielle du gradient" /> nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]]<ref name="définition intrinsèque du gradient" /> du champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]]<ref name="définition intrinsèque de la divergence" /> de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}«<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z}\!(M) + \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z}\!(M) + \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta}\!(M) \right\rbrace \right]_{\text{cyl}}\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, A_\rho \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right\rbrace \right]_{\text{cyl}} + \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \dfrac{1}{\rho} \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right\rbrace \right]_{\text{cyl}} + \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \right]_{\text{cyl}}</math><ref name="simplification de notation" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial \rho} \right\rbrace}{\partial \rho}\;\vec{u}_\rho\\ \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial \rho} \right\rbrace}{\partial \theta}\;\vec{u}_\theta\\ \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial \rho} \right\rbrace}{\partial z}\;\vec{u}_z\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta} \right\rbrace}{\partial \rho}\;\vec{u}_\rho\\ \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta} \right\rbrace}{\partial \theta}\;\vec{u}_\theta\\ \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta} \right\rbrace}{\partial z}\;\vec{u}_z\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right\rbrace}{\partial \rho}\;\vec{u}_\rho\\ \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right\rbrace}{\partial \theta}\;\vec{u}_\theta\\ \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right\rbrace}{\partial z}\;\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - ter" />{{,}}<ref name="simplification de notation" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \dfrac{\partial \left( \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial \rho} \right)}{\partial \rho}(M) - \dfrac{1}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}(M) + \dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \rho\,\partial \theta}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \rho\,\partial z}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho(M)\\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial \theta\,\partial \rho}(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2}(M) + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \theta\,\partial z}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta(M)\\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial z\,\partial \rho}(M) + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial z\,\partial \theta}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z\end{array} \right]\;</math>»<ref name="simplification de notation - ter" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, }}<math>\succ\;</math>le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> étant représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{c}\left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} - \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace\, \vec{u}_\rho \\ \left\lbrace \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right)_{\!\rho,\, \theta} - \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right\rbrace\, \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{\rho} \left\lbrace \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\;A_\theta \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} - \left( \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\rho,\, z} \right\rbrace\, \vec{u}_z\end{array} \right]\;</math>»<ref name="représentation matricielle du rotationnel" />{{,}}<ref name="simplification de notation" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}on y substitue les composantes cylindro-polaires de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par celles de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> pour obtenir celles de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M)\;</math> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}«<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace \dfrac{1}{\rho} \,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left[ \rho\,A_\theta \right]}{\partial \rho} - \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right\rbrace}{\partial \theta} - \dfrac{\partial \left[ \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right]}{\partial z} \right\rbrace\,\vec{u}_\rho \\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_z}{\partial \theta} - \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right]}{\partial z} - \dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left( \rho\,A_\theta \right)}{\partial \rho} - \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right]}{\partial \rho} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta \\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial \left[ \rho\, \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} - \rho\, \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right]}{\partial \rho} - \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_z }{\partial \theta} - \dfrac{\partial A_\theta}{\partial z} \right]}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array}\right]\;</math><ref name="simplification de notation"/>{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}}\color{transparent}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \;\left\lbrace \left( \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\, \partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial \rho} \right) - \left( \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \theta^2} + \dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial z^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho \\ \left\lbrace \left( \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial \theta} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \rho\,\partial \theta} + \dfrac{1}{\rho^2}\,A_\theta \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial z^2} + \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \rho^2} + \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta \\ \;\;\left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \rho\,\partial z} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\,\partial z} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \rho^2} + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array}\right]\;</math>»<ref name="simplification de notation"/>{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, }}<math>\succ\;</math>le champ vectoriel <math>\;\vec{\Delta}\! \left[ \vec{A} \right](M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}} - \left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{cyl}}\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}«<math>\;\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cyl}} = \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \dfrac{\partial \left( \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial \rho} \right)}{\partial \rho} - \dfrac{1}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \rho\,\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \rho\,\partial z} \right\rbrace\,\vec{u}_\rho\\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial \theta\,\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \theta\,\partial z} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta\\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 \left( \rho\, A_\rho \right)}{\partial z\,\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial z\,\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \right\rbrace\,\vec{u}_z\end{array} \right] -\; \cdots</math> <br />{{Al|25}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>\cdots \left[ \begin{array}{l} \;\left\lbrace \left( \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\, \partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial \rho} \right) - \left( \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \theta^2} + \dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial z^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho \\ \left\lbrace \left( \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z\,\partial \theta} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \rho\,\partial \theta} + \dfrac{1}{\rho^2}\,A_\theta \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial z^2} + \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \rho^2} + \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta \\ \;\;\left\lbrace \left( \dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \rho\,\partial z} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\,\partial z} + \dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \rho^2} + \dfrac{1}{\rho^2}\,\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array}\right]\;</math><ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \rho^2}(M) + \dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \rho}(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\;\dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial \theta^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial z^2}(M) - \dfrac{A_\rho(M)}{\rho^2} - \dfrac{2}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \rho^2}(M) + \dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho}(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial z^2}(M) - \dfrac{A_\theta(M)}{\rho^2} + \dfrac{2}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta(M)\\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{\partial A_z}{\partial \rho}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \rho^2}(M) + \dfrac{1}{\rho^2}\;\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial \theta^2}(M) + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="théorème de Schwarz" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \Delta\! \left[ A_\rho \right]\!(M) - \dfrac{A_\rho(M)}{\rho^2} - \dfrac{2}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\rho(M)\\ \left\lbrace \Delta\! \left[ A_\theta \right]\!(M) - \dfrac{A_\theta(M)}{\rho^2} + \dfrac{2}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta}(M) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta(M)\\ \Delta\! \left[ A_z \right]\!(M)\;\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cylindro-polaire" />. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]], en cylindro-polaire, de l'image de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”</u> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” <math>\;\vec{\nabla}^2 \left[ \, \right]\;</math> étant représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> c.-à-d. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” <math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}^2 \left[ \, \right]}\;</math> étant }}<math>\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cyl}} = \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \!\!+ \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z} \!\!+ \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta} \!\right\rbrace\;</math><ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, }}son action sur la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{A}(M)\;</math> conduit à une image représentée [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action }}«<math>\;\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}} = \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \left( \dfrac{\partial \left[ \rho\, \left( \dfrac{\partial }{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \right]}{\partial \rho} \right)_{\!\theta,\, z} \!\!+ \dfrac{1}{\rho^2}\, \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial \theta^2} \right)_{\!\rho,\, z} \!\!+ \left( \dfrac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)_{\!\rho,\, \theta} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_\rho(M)\,\vec{u}_\rho(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta'M)\\ A_z(M)\,\vec{u}_z \end{array} \right]</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial \left( \rho\, \dfrac{\partial A_\rho }{\partial \rho} \right)}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\, \dfrac{\partial^2 A_\rho }{\partial \theta^2} + \dfrac{\partial^2 A_\rho}{\partial z^2} \right\rbrace\,\vec{u}_\rho + \dfrac{1}{\rho^2} \left\lbrace 2\,\dfrac{\partial A_\rho }{\partial \theta}\,\dfrac{d \vec{u}_\rho}{d \theta} + A_\rho\,\dfrac{d^2 \vec{u}_\rho}{d \theta^2} \right\rbrace\\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial \left( \rho\, \dfrac{\partial A_\theta }{\partial \rho} \right)}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\, \dfrac{\partial^2 A_\theta }{\partial \theta^2} + \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial z^2} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + \dfrac{1}{\rho^2} \left\lbrace 2\,\dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta}\,\dfrac{d \vec{u}_\theta}{d \theta} + A_\theta\,\dfrac{d^2 \vec{u}_\theta}{d \theta^2} \right\rbrace\\ \left\lbrace \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial \left(\rho\, \dfrac{\partial A_z }{\partial \rho} \right)}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho^2}\, \dfrac{\partial^2 A_z }{\partial \theta^2} + \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \right\rbrace\,\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - ter" />{{,}}<ref name="simplification de notation" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{cyl}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{cyl}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \Delta\! \left(A_\rho \right)\!(M) - \dfrac{A_\rho(M)}{\rho^2} \right\rbrace\,\vec{u}_\rho + \dfrac{2}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \theta}\;\vec{u}_\theta\\ \left\lbrace \Delta\! \left(A_\theta \right)\!(M) - \dfrac{A_\theta(M)}{\rho^2} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta - \dfrac{2}{\rho^2}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\;\vec{u}_\rho\\ \Delta\! \left\lbrace A_z \right\rbrace\!(M)\;\vec{u}_z \end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du laplacien en cylindro-polaire" />{{,}}<ref> En effet «<math>\;\dfrac{d \vec{u}_\rho }{d \theta} = \vec{u}_\theta\;</math> et <math>\;\dfrac{d \vec{u}_\theta }{d \theta} = -\vec{u}_\rho\;</math>» <math>\;\big(</math>les dérivées initialement partielles étant devenues droites dans la mesure où les vecteurs de base ne dépendent que d'une variable <math>\;\theta\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> dont on déduit «<math>\;\dfrac{d^2 \vec{u}_\rho }{d \theta^2} = -\vec{u}_\rho\;</math> et <math>\;\dfrac{d^2 \vec{u}_\theta }{d \theta^2} = -\vec{u}_\theta\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" />. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : « <u>les représentations [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielles]]</u> de <math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math> et de <math>\;\vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math> <u>en repérage cylindro-polaire étant différentes</u> » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \neq \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>»<ref name="bilan partiel pour identification"> Pour l'instant «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) = \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>» en cartésien et «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \neq \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>» en cylindro-polaire.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : les <u>composantes cylindro-polaires du [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]</u><ref name="Laplace" /> de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <u>ne sont pas</u> les <u>[[w:Opérateur_laplacien|laplaciens scalaires]]<ref name="Laplace" /> des composantes cylindro-polaires</u> de la fonction vectorielle ! === Tentative échouée d'identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage sphérique === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : nous allons tenter d'établir cette identification en travaillant sur leurs représentations [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielles]] en sphérique mais <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : nous allons }}échouer car, en fait, l'identification n'est valable qu'en représentation cartésienne. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]], en sphérique, du champ [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]<ref name="Laplace" /> de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>défini intrinsèquement</u> : <math>\vec{\Delta}\! \left[ \vec{A} \right](M) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M) - \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right] \right\rbrace(M)\;</math><ref name="définition intrinsèque du laplacien vectoriel" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, }}<math>\succ\;</math>le champ scalaire <math>\;\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> étant représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ scalaire <math>\;\color{transparent}{\mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M)}\;</math> étant }}<math>\left[ \mathrm{div}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{sph}} = \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi} + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi} + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\;</math><ref name="représentation matricielle de la divergence" />{{,}}<ref name="simplification de notation" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace U \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial U}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}(M)\,\vec{u}_r(M)\\ \dfrac{1}{r}\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}(M)\,\vec{u}_\theta(M)\\ \dfrac{1}{r\;\sin(\theta)}\,\left( \dfrac{\partial U}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}(M)\,\vec{u}_\varphi(M)\end{array} \right]\;</math><ref name="représentation matricielle du gradient" /> nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel [[w:Gradient|gradient]]<ref name="définition intrinsèque du gradient" /> du champ scalaire [[Analyse_vectorielle/Divergence|divergence]]<ref name="définition intrinsèque de la divergence" /> de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}«<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \dfrac{1}{r^2} \left( \dfrac{\partial \left[ r^2\, A_r \right]}{\partial r} \right)_{\!\theta,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\, \varphi}\!(M) + \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \left( \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\, \theta}\!(M) \right\rbrace \right]_{\text{sph}}\;</math> <br />{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ «<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r^2}\,\dfrac{\partial \left( r^2\, A_r \right)}{\partial r} \right\rbrace}{\partial r}(M)\;\vec{u}_r(M)\\ \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r^2}\,\dfrac{\partial \left( r^2\, A_r \right)}{\partial r} \right\rbrace}{\partial \theta}(M)\;\vec{u}_\theta(M)\\ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r^2}\,\dfrac{\partial \left( r^2\, A_r \right)}{\partial r} \right\rbrace}{\partial \varphi}(M)\;\vec{u}_\varphi(M)\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \, \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace}{\partial r}(M)\;\vec{u}_r(M)\\ \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \, \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace}{\partial \theta}(M)\;\vec{u}_\theta(M)\\ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)} \, \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} \right\rbrace}{\partial \varphi}(M)\;\vec{u}_\varphi(M)\end{array} \right]\;\cdots</math> <br />{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le cha«<math>\;\color{transparent}{\left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}}}</math> <math>\color{transparent}{= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r^2}\,\dfrac{\partial \left( r^2\, A_r \right)}{\partial r} \right\rbrace}{\partial r}(M)\;\vec{u}_r(M)\\ \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r^2}\,\dfrac{\partial \left( r^2\, A_r \right)}{\partial r} \right\rbrace}{\partial \theta}(M)\;\vec{u}_\theta(M)\\ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r^2}\,\dfrac{\partial \left( r^2\, A_r \right)}{\partial r} \right\rbrace}{\partial \varphi}(M)\;\vec{u}_\varphi(M)\end{array} \right]}</math>}}<math>\cdots\; + \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right\rbrace}{\partial r}(M)\;\vec{u}_r(M)\\ \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right\rbrace}{\partial \theta}(M)\;\vec{u}_\theta(M)\\ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left\lbrace \dfrac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right\rbrace}{\partial \varphi}(M)\;\vec{u}_\varphi(M)\end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ </math> }}<math>= \left[\!\! \begin{array}{c} \left\lbrace \dfrac{1}{r^2} \left[ \dfrac{\partial^2 \left( r^2\,A_r \right)}{\partial r^2} - 4\;A_r - 2\;r\;\dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right] - \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)} \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} + \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} - r\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\,A_\theta \right]}{\partial r\,\partial \theta} - r\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r\,\partial \varphi} \right] \right\rbrace\,\vec{u}_r\\ \left\lbrace \dfrac{1}{r^3}\,\dfrac{\partial^2 \left( r^2\, A_r \right)}{\partial \theta\,\partial r} + \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} - \dfrac{1}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,A_\theta - \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta\, \partial\varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta\\ \left\lbrace \dfrac{1}{r^3\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left( r^2\, A_r \right)}{\partial \varphi\,\partial r} + \dfrac{1}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi\end{array} \!\!\right]\,</math>»<ref name="théorème de Schwarz" />{{,}}<ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, }}<math>\succ\;</math>le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> étant représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\,\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right](M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{c}\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} - \dfrac{\partial \left[ A_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace \vec{u}_r \\ \left\lbrace \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \varphi} - \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial \left[ r\;A_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{r} \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;A_\theta \right]}{\partial r} - \dfrac{\partial \left[ A_r \right]}{\partial \theta} \right\rbrace \vec{u}_\varphi\end{array} \right]\,</math>»<ref name="représentation matricielle du rotationnel" />{{,}}<ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}on y substitue les composantes sphériques de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> par celles de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left[ \vec{A} \right](M)\;</math> pour obtenir celles de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M)\;</math> d'où <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le }}«<math>\;\left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)} \,\dfrac{\partial \left[ \dfrac{\sin(\theta)}{r}\,\dfrac{\partial \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial r} - \dfrac{\sin(\theta)}{r}\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} - \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left[ r\,A_\varphi \right]}{\partial r} \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace\,\vec{u}_r \\ \left\lbrace \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \theta} - \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right]}{\partial \varphi} - \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left[ \dfrac{\partial \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial r} - \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right]}{\partial r} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta \\ \left\lbrace \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \dfrac{\partial \left[ r\,A_\varphi \right]}{\partial r} \right]}{\partial r} - \dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \left[ \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \theta} - \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right]}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi \end{array}\right]\;</math><ref name="simplification de notation"/>{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|15}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le champ }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace \left( \,\dfrac{\partial^2 \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial \theta\, \partial r} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\, A_\varphi \right]}{\partial \varphi\,\partial r} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial r} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_r \\ \dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace \left( \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \varphi\,\partial \theta} + r\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \theta} \right) - \left( \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \varphi^2} + r\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\, A_\theta \right]}{\partial r^2} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{r^2}\, \left\lbrace \left( \dfrac{r}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \varphi} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\,\partial \varphi} \right) \right.\;\cdots\\ \left. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\cdots\; - \left( r\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\,A_\varphi \right]}{\partial r^2} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right) \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi \end{array}\right]\;</math>»<ref name="simplification de notation"/>{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <math>\Rightarrow</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, }}<math>\succ\;</math>le champ vectoriel <math>\;\vec{\Delta}\! \left[ \vec{A} \right](M)\;</math> représenté en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left\lbrace \mathrm{div}\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}} - \left[ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\! \left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left( \vec{A} \right) \right\rbrace(M) \right]_{\text{sph}}\;</math>» ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}«<math>\;\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{sph}} = \left[\! \begin{array}{l} \dfrac{1}{r^2} \left\lbrace \left[ \dfrac{\partial^2 \left( r^2\,A_r \right)}{\partial r^2} - 4\;A_r - 2\;r\;\dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right] - \dfrac{1}{\sin(\theta)} \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} + \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} - r\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\,A_\theta \right]}{\partial r\,\partial \theta} - r\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r\,\partial \varphi} \right] - \right.\;\cdots\\ \left. \;\cdots\; \Bigg[ \left( \,\dfrac{\partial^2 \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial \theta\, \partial r} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\, A_\varphi \right]}{\partial \varphi\,\partial r} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial r} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right) \Bigg] \right\rbrace \vec{u}_r\\ \dfrac{1}{r^2} \left\lbrace \dfrac{1}{r}\;\dfrac{\partial^2 \left( r^2\, A_r \right)}{\partial \theta\,\partial r} \right. + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} \left. - \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,A_\theta - \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta\, \partial\varphi} - \Bigg[ \Bigg( \right.\;\cdots\\ \left. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\cdots\; \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \varphi\,\partial \theta} + r\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \theta} \Bigg) - \left( \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \varphi^2} + r\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\, A_\theta \right]}{\partial r^2} \right) \Bigg] \right\rbrace \vec{u}_\theta \\ \dfrac{1}{r^2} \left\lbrace \dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left( r^2\, A_r \right)}{\partial \varphi\,\partial r} \right. + \left. \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} - \left[ \left( \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} + \right. \right. \right.\;\cdots \\ \left. \left. \left. \qquad\quad\;\,\cdots\; \dfrac{r}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\,\partial \varphi} \right) - \left( r\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\,A_\varphi \right]}{\partial r^2} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right) \right] \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi \end{array}\!\! \right]\;</math><ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{sph}} =}</math> }}[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] simplifiée par utilisation des développements du contenu de chaque ligne entre accolades<ref> Dans cette note nous utilisons le [[w:Théorème_de_Schwarz|théorème de Schwarz]] voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_en_représentation_matricielle_et_expressions_des_champs_qui_en_découlent#cite_note-théorème_de_Schwarz-93|⁹³]] » pour plus de détails. <br>{{Al|3}}<math>\;r^2 \times\;</math><u>la 1^ère ligne</u> : <math>\left[ \dfrac{\partial^2 \left( r^2\,A_r \right)}{\partial r^2} - 4\;A_r - 2\;r\;\dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right] - \dfrac{1}{\sin(\theta)} \left[ \dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\theta \right]}{\partial \theta} + \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} - r\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\,A_\theta \right]}{\partial r\,\partial \theta} - r\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r\,\partial \varphi} \right] - \;\cdots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 1^ère ligne : }}<math>\cdots\; \left[ \left( \,\dfrac{\partial^2 \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial \theta\, \partial r} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\, A_\varphi \right]}{\partial \varphi\,\partial r} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ r\,A_\theta \right]}{\partial r} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right) + \dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} \right] =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 1^ère ligne : }}<math>\left[ 2\;A_r + 4\;r\;\dfrac{\partial A_r}{\partial r} + r^2\;\dfrac{\partial^2 A_r }{\partial r^2} - 4\;A_r - 2\;r\;\dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right] - \dfrac{1}{\sin(\theta)} \left[ \cos(\theta)\;A_\theta + \sin(\theta)\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} - r\;\cos(\theta)\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} - r\;\sin(\theta)\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial r\,\partial \theta} - r\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r\,\partial \varphi} \right] \;\cdots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 1^ère ligne : }}<math>\cdots\;- \left[ \left( \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + r\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\, \partial r} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{r}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi\, \partial r} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, A_\theta + \dfrac{r\;\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} \right) - \left( \dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right) \right] =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 1^ère ligne : }}<math>\left[ r^2\;\dfrac{\partial^2 A_r }{\partial r^2} + 2\;r\;\dfrac{\partial A_r}{\partial r} + \dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right] - \left[ 2\;A_r + 2\;\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;A_\theta + 2\;\dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta} + \dfrac{2}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi }{\partial \varphi}\right]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;r^2 \times\;</math><u>la 2^ème ligne</u> : <math>\dfrac{1}{r}\;\dfrac{\partial^2 \left( r^2\, A_r \right)}{\partial \theta\,\partial r} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} - \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,A_\theta - \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta\, \partial\varphi} - \left[ \left( \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi \right]}{\partial \varphi\,\partial \theta} + r\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \theta} \right) \right. \cdots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 2^ème ligne : }}<math>\left. \cdots\;- \left( \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \varphi^2} + r\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\, A_\theta \right]}{\partial r^2} \right) \right]\; =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 2^ème ligne : }}<math>2\;\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} + r\;\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta\,\partial r} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} - \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,A_\theta - \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta\, \partial\varphi} - \left[ \left( \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi\, \partial \theta} + r\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \theta} \right) \right. \cdots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 2^ème ligne : }}<math>\left. \cdots\;- \left( \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \varphi^2} + 2\,r\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} + r^2\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial r^2} \right) \right]\; =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 2^ème ligne : }}<math>2\;\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \varphi^2} + 2\,r\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} + r^2\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial r^2} - \left[ \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;A_\theta + 2\;\dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;r^2 \times\;</math><u>la 3^ème ligne</u> : <math>\dfrac{1}{r\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left( r^2\, A_r \right)}{\partial \varphi\,\partial r} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} - \left[ \left( \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta} + \dfrac{r}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\,\partial \varphi} \right) - \left( r\,\dfrac{\partial^2 \left[ r\,A_\varphi \right]}{\partial r^2} + \right. \right. \cdots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 3^ème ligne : }}<math>\left. \left. \cdots\; \dfrac{1}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 \left[ \sin(\theta)\, A_\varphi \right]}{\partial \theta^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} \right) \right] =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 3^ème ligne : }}<math>\dfrac{2}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} + \dfrac{r}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi\, \partial r} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\, \partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} + 2\,r\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} + r^2\;\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r^2} + 2\,\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} -\; \cdots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 3^ème ligne : }}<math>\cdots\;\left[ A_\varphi + \dfrac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}\;A_\varphi + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} + \dfrac{r}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial r\,\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta\,\partial \varphi} \right] = </math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{r^2 \times}\;</math>la 3^ème ligne : }}<math>\dfrac{2}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} + 2\,\dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} + 2\,r\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} + r^2\;\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta^2} - \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;A_\varphi</math>.</ref> selon <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}«<math>\;\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{sph}} = \left[ \! \begin{array}{l} \dfrac{1}{r^2} \left\lbrace \left[ r^2\;\dfrac{\partial^2 A_r }{\partial r^2} + 2\;r\;\dfrac{\partial A_r}{\partial r} + \dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right] - \bigg[ 2\; A_r + 2\;\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;A_\theta + \right. \;\cdots\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots\; \left. 2\;\dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta} + \dfrac{2}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi }{\partial \varphi} \bigg] \right\rbrace\,\vec{u}_r\\ \dfrac{1}{r^2} \left\lbrace 2\;\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \varphi^2} + 2\,r\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} + r^2\;\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial r^2} - \left[ \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;A_\theta + \right. \right. \cdots\\ \left. \left. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\cdots\;2\;\dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \right] \right\rbrace\,\vec{u}_\theta\\ \dfrac{1}{r^2} \left\lbrace \dfrac{2}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} + 2\,\dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \varphi^2} + 2\,r\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} + r^2\;\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial r^2} + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} + \right.\;\cdots\\ \left. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;\cdots\; \dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta^2} - \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;A_\varphi \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi \end{array} \!\right]\;</math><ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{c} \left\lbrace \Delta\! \left[ A_r \right]\!(M) - \dfrac{2}{r^2} \left[ A_r(M) + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\;A_\theta(M) + \dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta}\!(M) + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi }{\partial \varphi}\!(M) \right] \right\rbrace\,\vec{u}_r(M)\\ \left\lbrace \Delta\! \left[ A_\theta \right]\!(M) + \dfrac{1}{r^2} \left[ 2\;\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\!(M) - \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;A_\theta(M) - 2\;\dfrac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\;\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\!(M) \right] \right\rbrace\,\vec{u}_\theta(M)\\ \left\lbrace \Delta\! \left[ A_\varphi \right]\!(M) + \dfrac{1}{r^2} \left[ \dfrac{2}{\sin(\theta)}\; \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\!(M) + \dfrac{2\;\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\; \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\!(M) - \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\;A_\varphi(M) \right] \right\rbrace \;\vec{u}_\varphi(M) \end{array} \right]\;</math>»<ref name="expression du laplacien en sphérique" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" />. {{Al|5}}<u>Représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]], en sphérique, de l'image de la fonction vectorielle</u><math>\;\vec{A}(M)\;</math><u>par l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla”</u> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, }}l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] scalaire [[w:Opérateur_(mathématiques)#Opérateur_linéaire|linéaire]] du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” <math>\;\vec{\nabla}^2 \left[ \, \right]\;</math> étant représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de dimension <math>\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1 \times 1 \right)\;</math><ref name="matrice de taille 1 x 1" /> c.-à-d. <br />{{Al|3}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, l'opérateur scalaire linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” <math>\;\color{transparent}{\vec{\nabla}^2 \left[ \, \right]}\;</math> étant}}<math>\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}} = \left\lbrace\!\! \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial }{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \!\!\right\rbrace\,</math><ref name="représentation matricielle de l'opérateur nabla et de ses dérivés" />{{,}}<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" />, <br />{{Al|3}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, }}son action sur la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{A}(M)\;</math> conduit à une image représentée [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<ref name="action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne" /> soit <br />{{Al|3}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, son action }}«<math>\;\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}} = \left\lbrace \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial }{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2 \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2 \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 }{\partial \varphi^2} \right\rbrace \left[ \begin{array}{c} A_r(M)\,\vec{u}_r(M)\\ A_\theta(M)\,\vec{u}_\theta'M)\\ A_\varphi(M)\,\vec{u}_\varphi(M) \end{array} \right]\;</math><ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" /> <br />{{Al|3}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, son action «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>= \left[ \begin{array}{l} \left\lbrace \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial A_r}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 A_r }{\partial \varphi^2} \right\rbrace\,\vec{u}_r\; \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\cdots\; - \dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace 2\;A_r + \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_r + \dfrac{1}{r^2}\,\left[ 1 + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right]\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\,\vec{u}_\theta + \dfrac{2}{r^2\,\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi\\ \left\lbrace \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial A_\theta}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial A_\theta }{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 A_\theta }{\partial \varphi^2} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta\; \cdots\;\\ \quad\cdots\;-\dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace \left[ 1 + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right]\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\,\vec{u}_r + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\,\left[ A_\theta + \sin^2(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right]\,\vec{u}_\theta - \dfrac{2\,\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi \right\rbrace\\ \left\lbrace \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)} \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial A_\varphi }{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)} \dfrac{\partial^2 A_\varphi }{\partial \varphi^2} \right\rbrace\,\vec{u}_\varphi \;\cdots\;\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\cdots\;- \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)} \left\lbrace 2\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\;\vec{u}_r + 2\,\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi }{\partial \varphi}\; \vec{u}_\theta + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\, A_\varphi\; \vec{u}_\varphi \right\rbrace\end{array} \right]\;</math><ref name="simplification de notation - ter" />{{,}}<ref name="simplification de notation" />{{,}}<ref> On utilisera les informations établies dans les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_1er_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_des_dérivées_partielles_du_2nd_vecteur_de_base_sphérique|détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Détermination_de_la_dérivée_du_3ème_vecteur_de_base_sphérique|détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}<u>La 1^ère ligne</u> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial \varphi^2}\;</math>» contient deux types de termes <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne }}<math>\succ\;</math>ceux qui résultent de la dérivation de <math>\;A_r(M)\;</math> maintenant figés les vecteurs de base sphériques et dont la somme fournit <math>\;\Delta\! \left[ A_r \right]\!(M)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne }}<math>\succ\;</math>ceux qui résultent de la dérivation de <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> maintenant constants «<math>\;A_r(M)\;</math> ou ses dérivées 1^ères » <math>\big[</math>hyp. <math>(\mathfrak{a})\;</math> de variation de <math>\;\vec{u}_r\big]</math>, d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 1^er terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial r} \right]}{\partial r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, A_r\, \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \dfrac{\partial A_r }{\partial r}\, \vec{u}_r \right]}{\partial r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{A_r}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial r} \right]}{\partial r} + 2\;\dfrac{\dfrac{\partial A_r }{\partial r}}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \vec{u}_r \right]}{\partial r}\; \cancel{+\; \dfrac{\dfrac{\partial^2 A_r }{\partial r^2}}{r^2}\, r^2\, \vec{u}_r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 1^er terme «}}<math>\;\big(\vec{u}_r\;</math> indépendant de <math>\;r\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 2^nd terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\,A_r\; \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\,\vec{u}_r \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme «}}<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{A_r}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta}\; \cancel{+\; \dfrac{\dfrac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\;\vec{u}_r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})} = </math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme «}}<math>\;\dfrac{A_r}{r^2\, \sin(\theta)} \left\lbrace \cos(\theta)\;\dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} + \sin(\theta)\;\dfrac{\partial^2 \vec{u}_r}{\partial \theta^2} \right\rbrace + \dfrac{\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \left\lbrace \cos(\theta)\;\dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} + \sin(\theta)\;\dfrac{\partial^2 \vec{u}_r}{\partial \theta^2} \right\rbrace\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} = \vec{u}_\theta\\ \dfrac{\partial^2 \vec{u}_r}{\partial \theta^2} = \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} = -\vec{u}_r\end{array} \right\rbrace</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme }}d'où «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! = - \dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace A_r + \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_r + \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)}\,\left\lbrace A_r\;\cos(\theta) + \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \left[ \sin(\theta) + \cos(\theta) \right] \right\rbrace\,\vec{u}_\theta\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 3^ème terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial \varphi^2} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ A_r\, \dfrac{\partial \vec{u}_r }{\partial \varphi} \right]}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\, \vec{u}_r \right]}{\partial \varphi}\!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme «}}<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\, \dfrac{\partial \vec{u}_r }{\partial \varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, A_r\, \dfrac{\partial^2 \vec{u}_r }{\partial \varphi^2}\; \cancel{+\; \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 A_r }{\partial \varphi^2}\,\vec{u}_r} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\, \dfrac{\partial \vec{u}_r }{\partial \varphi}\!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}</math>» avec <math>\;\dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} = \sin(\theta)\,\vec{u}_\varphi\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme «}}<math>\;\dfrac{\partial^2 \vec{u}_r}{\partial \varphi^2} = \sin(\theta)\, \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} = \sin(\theta)\, \left[ -\sin(\theta)\,\vec{u}_r - \cos(\theta)\,\vec{u}_\theta \right] = -\sin^2(\theta)\,\vec{u}_r - \sin(\theta)\,\cos(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math> d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme }}«<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_r\,\vec{u}_r \right)}{\partial \varphi^2} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{a})}\!\!\!\! = - \dfrac{1}{r^2}\,A_r\,\vec{u}_r - \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\,\sin(\theta)}\,A_r\,\vec{u}_\theta + \dfrac{2}{r^2\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 1^ère ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}ajouter à <math>\;\Delta\! \left[ A_r \right]\;</math> dans la 1^ère ligne de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;- \dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace 2\;A_r + \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_r + \dfrac{1}{r^2}\,\left[ 1 + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right]\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\,\vec{u}_\theta + \dfrac{2}{r^2\,\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi\;</math>». <br>{{Al|3}}<u>La 2^ème ligne</u> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial \varphi^2}\;</math>» contient deux types de termes <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne }}<math>\succ\;</math>ceux qui résultent de la dérivation de <math>\;A_\theta(M)\;</math> maintenant figés les vecteurs de base sphériques et dont la somme fournit <math>\;\Delta\! \left[ A_\theta \right]\!(M)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne }}<math>\succ\;</math>ceux qui résultent de la dérivation de <math>\;\vec{u}_\theta(M)\;</math> maintenant constants «<math>\;A_\theta(M)\;</math> ou ses dérivées 1^ères » <math>\big[</math>hyp. <math>(\mathfrak{b})\;</math> de variation de <math>\;\vec{u}_\theta\big]</math>, d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 1^er terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial r} \right]}{\partial r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, A_\theta\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \dfrac{\partial A_\theta }{\partial r}\, \vec{u}_\theta \right]}{\partial r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{A_\theta}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial r} \right]}{\partial r} + 2\;\dfrac{\dfrac{\partial A_\theta }{\partial r}}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \vec{u}_\theta \right]}{\partial r}\; \cancel{+\; \dfrac{\dfrac{\partial^2 A_\theta }{\partial r^2}}{r^2}\, r^2\, \vec{u}_\theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 1^er terme «}}<math>\;\big(\vec{u}_\theta\;</math> indépendant de <math>\;r\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 2^nd terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\,A_\theta\; \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\,\vec{u}_\theta \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme «}}<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{A_\theta}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta}\; \cancel{+\; \dfrac{\dfrac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\;\vec{u}_\theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})} = </math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme «}}<math>\;\dfrac{A_\theta}{r^2\, \sin(\theta)} \left\lbrace \cos(\theta)\,\dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} + \sin(\theta)\,\dfrac{\partial^2 \vec{u}_\theta}{\partial \theta^2} \right\rbrace + \dfrac{\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \left\lbrace \cos(\theta)\,\dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} + \sin(\theta)\,\dfrac{\partial^2 \vec{u}_\theta}{\partial \theta^2} \right\rbrace\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace\!\! \begin{array}{l} \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \theta} = -\vec{u}_r\\ \dfrac{\partial^2 \vec{u}_\theta}{\partial \theta^2} = -\dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \theta} = -\vec{u}_\theta\end{array} \!\!\right\rbrace</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme }}d'où «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! = - \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)}\,\left\lbrace A_\theta\,\cos(\theta) + \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \left[ \sin(\theta) + \cos(\theta) \right] \right\rbrace\,\vec{u}_r - \dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace A_\theta + \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 3^ème terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial \varphi^2} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ A_\theta\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta }{\partial \varphi} \right]}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\, \vec{u}_\theta \right]}{\partial \varphi}\!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme «}}<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta }{\partial \varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, A_\theta\, \dfrac{\partial^2 \vec{u}_\theta }{\partial \varphi^2}\; \cancel{+\; \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 A_\theta }{\partial \varphi^2}\,\vec{u}_\theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta }{\partial \varphi}\!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}</math>» avec <math>\;\dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} = \cos(\theta)\,\vec{u}_\varphi\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme «}}<math>\;\dfrac{\partial^2 \vec{u}_\theta}{\partial \varphi^2} = \cos(\theta)\, \dfrac{d \vec{u}_\varphi}{d \varphi} = \cos(\theta)\, \left[ -\sin(\theta)\,\vec{u}_r - \cos(\theta)\,\vec{u}_\theta \right] = -\sin(\theta)\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - \cos^2(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math> d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme }}«<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_\theta\,\vec{u}_\theta \right)}{\partial \varphi^2} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{b})}\!\!\!\! = - \dfrac{\cos(\theta)}{r^2\,\sin(\theta)}\,A_\theta\,\vec{u}_r - \dfrac{\cos^2(\theta)}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,A_\theta\,\vec{u}_\theta + \dfrac{2\,\cos(\theta)}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}ajouter à <math>\;\Delta\! \left[ A_\theta \right]\;</math> dans la 2^ème ligne de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;- \dfrac{1}{r^2}\,\left[ 1 + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right]\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\,\vec{u}_r - \dfrac{1}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\left\lbrace A_\theta + \sin^2(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_\theta + \dfrac{2\,\cos(\theta)}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi\;</math>». <br>{{Al|3}}<u>La 3^ème ligne</u> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial \left( A_\varphi\,\vec{u}_\varphi \right)}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_\varphi\,\vec{u}_\varphi \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_\varphi\,\vec{u}_\varphi \right)}{\partial \varphi^2}\;</math>» contient deux types de termes <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne }}<math>\succ\;</math>ceux qui résultent de la dérivation de <math>\;A_\varphi(M)\;</math> maintenant figés les vecteurs de base sphériques et dont la somme fournit <math>\;\Delta\! \left[ A_\varphi \right]\!(M)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne }}<math>\succ\;</math>ceux qui résultent de la dérivation de <math>\;\vec{u}_\varphi(M)\;</math> maintenant constants «<math>\;A_\varphi(M)\;</math> ou ses dérivées 1^ères » <math>\big[</math>hyp. <math>(\mathfrak{c})\;</math> de variation de <math>\;\vec{u}_\varphi\big]</math>, d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 1^er terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2 \dfrac{\partial \left( A_\varphi\,\vec{u}_\varphi \right)}{\partial r} \right]}{\partial r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, A_\varphi\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial r} \right]}{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \dfrac{\partial A_\varphi }{\partial r}\, \vec{u}_\varphi \right]}{\partial r} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{A_\varphi}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial r} \right]}{\partial r} + 2\;\dfrac{\dfrac{\partial A_\varphi }{\partial r}}{r^2}\, \dfrac{\partial\! \left[ r^2\, \vec{u}_\varphi \right]}{\partial r}\; \cancel{+\; \dfrac{\dfrac{\partial^2 A_\varphi }{\partial r^2}}{r^2}\, r^2\, \vec{u}_\varphi} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 1^er terme «}}<math>\;\big(\vec{u}_\varphi\;</math> indépendant de <math>\;r\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 2^nd terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta) \dfrac{\partial \left( A_\varphi\,\vec{u}_\varphi \right)}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\,A_\varphi\; \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta}\,\vec{u}_\varphi \right]}{\partial \theta} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme «}}<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{A_\varphi}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \dfrac{\partial\! \left[ \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \theta} \right]}{\partial \theta}\; \cancel{+\; \dfrac{\dfrac{\partial^2 A_\varphi}{\partial \theta^2}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\;\vec{u}_\varphi} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})} = </math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 2^nd terme «}}<math>\;\dfrac{A_\varphi}{r^2\, \sin(\theta)} \left\lbrace\! \cos(\theta)\,\dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \theta} + \sin(\theta)\,\dfrac{\partial^2 \vec{u}_\varphi}{\partial \theta^2} \!\right\rbrace + \dfrac{\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \theta} + \dfrac{\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \theta}}{r^2\, \sin(\theta)}\, \left\lbrace\! \cos(\theta)\,\dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \theta} + \sin(\theta)\,\dfrac{\partial^2 \vec{u}_\varphi}{\partial \theta^2} \!\right\rbrace = \vec{0}\;</math>» <math>\,\big(\vec{u}_\varphi\;</math> indépendant de <math>\;\theta\big)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\blacktriangleright\;</math>pour le 3^ème terme «<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_\varphi\,\vec{u}_\varphi \right)}{\partial \varphi^2} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! = \left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ A_\varphi\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi }{\partial \varphi} \right]}{\partial \varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial \left[ \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\, \vec{u}_\varphi \right]}{\partial \varphi}\!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! =</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme «}}<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi }{\partial \varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, A_\varphi\, \dfrac{\partial^2 \vec{u}_\varphi }{\partial \varphi^2}\; \cancel{+\; \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 A_\varphi }{\partial \varphi^2}\,\vec{u}_\varphi} + \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\, \dfrac{\partial \vec{u}_\varphi }{\partial \varphi}\!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!</math>» avec <math>\;\dfrac{\partial \vec{u}_\varphi}{\partial \varphi} = -\sin(\theta)\,\vec{u}_r - \cos(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 2^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme «}}et <math>\;\dfrac{\partial^2 \vec{u}_\varphi}{\partial \varphi^2} = -\sin(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_r}{\partial \varphi} - \cos(\theta)\, \dfrac{\partial \vec{u}_\theta}{\partial \varphi} = -\sin^2(\theta)\, \vec{u}_\varphi - \cos^2(\theta)\, \vec{u}_\varphi = -\vec{u}_\varphi\;</math> d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le 3^ème terme }}«<math>\;\left\lbrace\! \dfrac{1}{r^2\, \sin^2(\theta)}\, \dfrac{\partial^2 \left( A_\varphi\,\vec{u}_\varphi \right)}{\partial \varphi^2} \!\right\rbrace_{(\mathfrak{c})}\!\!\!\! = - \dfrac{2}{r^2\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\,\vec{u}_r - \dfrac{2\,\cos(\theta)}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\theta - \dfrac{1}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,A_\varphi\,\vec{u}_\varphi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|La 3^ème ligne <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}ajouter à <math>\;\Delta\! \left[ A_\varphi \right]\;</math> dans la 3^ème ligne de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] «<math>\;- \dfrac{2}{r^2\,\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\,\vec{u}_r - \dfrac{2\,\cos(\theta)}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\theta - \dfrac{1}{r^2\,\sin^2(\theta)}\,A_\varphi\,\vec{u}_\varphi\;</math>»..</ref>, <br />{{Al|3}}{{Transparent|Représentation matricielle, en sphérique, son action «<math>\;\color{transparent}{\left[ \vec{\nabla}^2 \right]_{\text{sph}}\; \left[ \vec{A}(M) \right]_{\text{sph}}}</math> }}<math>= \left[\! \begin{array}{l} \Delta\! \left(A_r \right)\!(M)\,\vec{u}_r - \dfrac{1}{r^2}\,\left\lbrace 2\;A_r + \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta} \right\rbrace\,\vec{u}_r + \dfrac{1}{r^2}\,\left[ 1 + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right]\,\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\,\vec{u}_\theta + \dfrac{2}{r^2\,\sin(\theta)}\, \dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi\\ \Delta\! \left(A_\theta \right)\!(M)\,\vec{u}_\theta - \dfrac{1}{r^2} \left\lbrace\! \left[ 1 + \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right]\! \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\,\vec{u}_r + \dfrac{1}{\sin^2(\theta)}\! \left[ A_\theta + \sin^2(\theta)\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right]\! \vec{u}_\theta - \dfrac{2\,\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi \!\right\rbrace\\ \Delta\! \left( A_\varphi \right)\!(M)\;\vec{u}_\varphi - \dfrac{1}{r^2\,\sin(\theta)} \left\lbrace 2\,\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\;\vec{u}_r + 2\,\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\,\dfrac{\partial A_\varphi }{\partial \varphi}\; \vec{u}_\theta + \dfrac{1}{\sin(\theta)}\, A_\varphi\; \vec{u}_\varphi \right\rbrace \end{array} \!\right]\;</math>»<ref name="expression du laplacien en sphérique" />{{,}}<ref name="simplification de notation - ter" />. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : « <u>les représentations [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielles]]</u> de <math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math> et de <math>\;\vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math> <u>en repérage sphérique étant différentes</u> » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \neq \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>»<ref name="bilan pour identification"> «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) = \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>» en cartésien mais «<math>\;\vec{\nabla}^2\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M) \neq \vec{\Delta}\! \left\lbrace \vec{A} \right\rbrace\!(M)\;</math>» en cylindro-polaire et en sphérique.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : les <u>composantes sphériques du [[w:Opérateur_laplacien_vectoriel#Expressions_dans_d'autres_systèmes_de_coordonnées|laplacien vectoriel]]</u><ref name="Laplace" /> de la fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <u>ne sont pas</u> les <u>[[w:Opérateur_laplacien|laplaciens scalaires]]<ref name="Laplace" /> des composantes sphériques</u> de la fonction vectorielle ! == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther/]] | suivant = [[../Notion de champs tensoriels, recherche d'une méthode compacte pour déterminer la variation d'un champ vectoriel/]] }} 7ef2p3zcxbdtnzsvk9jsttduk6g0yyb 0 78710 982992 962443 2026-05-23T17:29:03Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982992 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 15 | niveau = 14 | précédent = [[../Notion de champs tensoriels, recherche d'une méthode compacte pour déterminer la variation d'un champ vectoriel/]] | suivant = }} <center>Dans ce chapitre nous nous limitons aux [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] les plus couramment utilisées en physique à savoir des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] entre variables réelles.</center> == Définition d'une fonction implicite == === Fonction implicite entre deux variables réelles === {{Définition|titre=Définition d'une fonction implicite entre deux variables réelles|contenu={{Al|5}}Considérant «<math>\;\left( x\,,\, y \right) \in \mathbb{R}^2\;</math> un couple a priori quelconque de variables indépendantes » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}«<math>\;f\;</math> est une fonction de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» définie par «<math>\;\forall\;\left( x\,,\, y \right) \in \mathbb{R}^2\;:\;\left( x\,,\, y \right)\;\overset{f}{\rightarrow}\; f\left( x\,,\, y \right)\;\in \mathbb{R}\;</math>», <br>{{Al|5}}l'équation <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> <u>définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] entre les variables</u> <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> si on peut exprimer une des variables <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;y\big)\;</math> en fonction de l'autre <math>\;y</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;x\big)\;</math> pour tous les couples <math>\;\left( x\,,\, y \right)\;</math> vérifiant l'équation soit mathématiquement <br>{{Al|5}}«<math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] entre <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math>» « si <math>\;\exists\;\psi\;:\; \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\;</math> telle que <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;y = \psi(x)\;</math>» <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y \right) = 0}\;</math> définit une fonction implicite entre <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y}\;</math>» }}ou « si <math>\;\exists\;\varphi\;:\; \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\;</math> telle que <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \varphi(y)\;</math>», <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y \right) = 0}\;</math> définit une fonction implicite entre <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y}\;</math>» }}et ceci pour tous les couples <math>\;\left( x\,,\, y \right)\;</math> vérifiant l'équation <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0</math>.}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La fonction «<math>\;\psi\;:\; x\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\;</math>» ou celle «<math>\;\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math>» définie pour tous les couples <math>\;\left( x\,,\, y \right)\;</math> vérifiant l'équation <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> est appelée « <u>[[w:Fonction_implicite|fonction implicite]]</u> » <math>\;\big\{f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> étant, quant à elle, appelée « équation implicite »<ref> Mais, par abus, «<math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math>» est parfois appelée « [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] » au lieu d'« équation implicite »<math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}«<math>\;y = \psi(x)\;</math>» ou «<math>\;x = \varphi(y)\;</math>» est l'équation du graphe de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;</math> ou <math>\;\varphi\;</math>» <math>\;\big\{</math>mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «<math>\;\psi\;</math> ou <math>\;\varphi\;</math>» pour représenter le graphe de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]], lequel est une courbe en général continue<ref name="équation de la courbe sous forme implicite"> Quand le graphe de l'une ou l'autre des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] équivalentes à une même équation implicite est une courbe, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la courbe sous forme implicite ».</ref><math>\big\}</math>. === Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus === {{Définition|titre=Définition d'une fonction implicite entre trois variables réelles|contenu={{Al|5}}Considérant «<math>\;\left( x\,,\, y\, , \, z \right) \in \mathbb{R}^3\;</math> un triplet a priori quelconque de variables indépendantes » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}«<math>\;f\;</math> est une fonction de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» définie par «<math>\;\forall\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in \mathbb{R}^3\;:\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;\overset{f}{\rightarrow}\; f\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;\in \mathbb{R}\;</math>», <br>{{Al|5}}l'équation <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> <u>définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] entre les variables</u> <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> si on peut exprimer une des variables <math>\;x</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;y\;</math> ou <math>\;z\big]\;</math> en fonction des deux autres <math>\;\left( y\,,\, z \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( x\,,\, z\right)\;</math> ou <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> pour tous les triplets <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math> vérifiant l'équation soit encore <br>{{Al|5}}<math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] entre <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> « si <math>\;\exists\;\psi\;:\; \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\;</math> telle que <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;y = \psi(x\,,\, z)\;</math>» <br>{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0}\;</math> définit une fonction implicite entre <math>\;\color{transparent}{x}</math>, <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> }}ou « si <math>\;\exists\;\varphi\,:\, \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\;</math> telle que <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \varphi(y\,,\,z)\;</math>», <br>{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0}\;</math> définit une fonction implicite entre <math>\;\color{transparent}{x}</math>, <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> }}ou « si <math>\;\exists\;\zeta\;:\; \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\;</math> telle que <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;z = \zeta\,(x\,,\,y)\;</math>» <br>{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0}\;</math> définit une fonction implicite entre <math>\;\color{transparent}{x}</math>, <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> }}et ceci pour tous les triplets <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math> vérifiant <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0</math>.}} {{Al|5}}<u>Remarques 1</u> : La fonction «<math>\;\psi\;:\; (x\,,\, z)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\;</math>» ou celle «<math>\;\varphi\;:\; (y\,,\,z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math>» ou encore celle «<math>\;\zeta\;:\; (x\,,\,y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z\;</math>» définie pour tous les triplets <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math> vérifiant l'équation <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> est appelée « <u>[[w:Fonction_implicite|fonction implicite]]</u> » <math>\;\big\{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> étant, quant à elle, appelée « équation implicite »<ref> Mais, par abus, «<math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math>» est parfois appelée « [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] » au lieu d'« équation implicite »<math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques 1 : }}«<math>\;y = \psi(x,\, z)\;</math>» ou «<math>\;x = \varphi(y,\, z)\;</math>» ou «<math>\;z = \zeta\,(x,\, y)\;</math>» est l'équation du graphe de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;</math> ou <math>\;\varphi\;</math> ou <math>\;\zeta\;</math>» <math>\;\big\{</math>mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «<math>\;\psi\;</math> ou <math>\;\varphi\;</math> ou <math>\;\zeta\;</math>» pour représenter le graphe de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]], lequel est une surface en général continue<ref name="équation de la surface sous forme implicite"> Quand le graphe de l'une des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] équivalentes à une même équation implicite est une surface, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la surface sous forme implicite ».</ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Remarques 2</u> : La définition d'une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] entre quatre variables réelles <math>\;\big(</math>ou plus<math>\big)\;</math> se déduit aisément de celle exposée ci-dessus entre trois variables réelles, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles }}elle est simplement évoquée ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques 2 : }}considérant «<math>\;\left( x\,,\, y\, , \, z\, , \, t \right) \in \mathbb{R}^4\;</math> un quadruplet a priori quelconque de variables indépendantes » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques 2 : considérant }}«<math>\;f\;</math> est une fonction de <math>\;\mathbb{R}^4\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» définie par «<math>\;\forall\;\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) \in \mathbb{R}^4\;:\;\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right)\;\overset{f}{\rightarrow}\; f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right)\;\in \mathbb{R}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques 2 : }}l'équation <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] entre les variables <math>\;x</math>, <math>\;y</math>, <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math> si on peut exprimer une des variables <math>\;x</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;y\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou <math>\;t\big]\;</math> en fonction des trois autres <math>\;\left( y\,,\, z\,,\, t \right)</math> <math>\;\big[</math>ou <math>\;\left( x\,,\, z\,,\, t\right)\;</math> ou <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, t \right)\;</math> ou <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\big]\;</math> pour tous les quadruplets <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right)\;</math> vérifiant l'équation soit, par exemple, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques 2 : considérant }}«<math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] entre <math>\;x</math>, <math>\;y</math>, <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math>» « si <math>\;\exists\;\psi\;:\; \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}\;</math> telle que <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;y = \psi(x\,,\, z\,,\, t)\;</math>»<ref> La fonction «<math>\;\psi\;:\; (x\,,\, z\,,\, t )\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\;</math>» définie pour tous les quadruplets <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right)\;</math> vérifiant l'équation <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> est appelée « [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] » <math>\;\big\{f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> étant, quant à elle, appelée « équation implicite »<math>\big\}</math> ; «<math>\;y = \psi(x,\, z,\, t)\;</math>» est l'équation du graphe de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;</math>» mais ce dernier étant une [[w:Hypersurface|hypersurface]] de dimension trois nécessiterait un espace de dimension quatre pour être représenté <math>\;\ldots</math></ref> ou <math>\;\ldots</math> == Exemples de fonctions implicites == === Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles === {{Al|5}}L'équation implicite «<math>\;x^2 + y^2 - 1 = 0\;</math>» définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;:\;x \in \left[ -1\,,\, +1 \right]\;\overset{\psi}{\rightarrow}\;y = \psi(x) = \pm \sqrt{1 - x^2}\;</math>»<ref name="plus ou moins - psi"> L'utilisation du symbole «<math>\;\pm\;</math>» est en fait incorrecte car le [[w:Théorème des fonctions implicites|théorème des fonctions implicites]] est d'application locale, il faudrait plutôt écrire «<math>\;y = \psi_{+}(x) = +\text{ ?}\;</math> ou <math>\;y = \psi_{-}(x) = -\text{ ?}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} exclusif<math>\big)\;</math> suivant l'endroit que nous voulons localiser.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\varphi\;:\;y \in \left[ -1\,,\, +1 \right]\;\overset{\varphi}{\rightarrow}\;x = \varphi(y) = \pm \sqrt{1 - y^2}\;</math>»<ref name="plus ou moins - varphi"> L'utilisation du symbole «<math>\;\pm\;</math>» est en fait incorrecte car le [[w:Théorème des fonctions implicites|théorème des fonctions implicites]] est d'application locale, il faudrait plutôt écrire «<math>\;x = \varphi_{+}(y) = +\text{ ?}\;</math> ou <math>\;x = \varphi_{-}(y) = -\text{ ?}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} exclusif<math>\big)\;</math> suivant l'endroit que nous voulons localiser.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}toutes deux étant l'équation du [[w:Cercle_trigonométrique|cercle trigonométrique]] <ref> Par abus, l'équation implicite «<math>\;x^2 + y^2 - 1 = 0\;</math>» est parfois appelée « équation du [[w:Cercle_trigonométrique|cercle trigonométrique]] sous forme implicite ».</ref>. {{Al|5}}L'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1 = 0\;</math>» définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;:\;x \in \left[ -a'\,,\, +a' \right]\;\overset{\psi}{\rightarrow}\;y = \psi(x) = \pm\, b'\;\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - psi" /> ou <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\varphi\;:\;y \in \left[ -b'\,,\, +b' \right]\;\overset{\varphi}{\rightarrow}\;x = \varphi(y) = \pm\,a'\; \sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - varphi" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>, dont <math>\,a'\;</math> est le demi-grand axe <math>\;\big(</math>ou le demi-petit axe<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'axes <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y'y}</math>, dont }}<math>\,b'\;</math> le demi-petit axe <math>\;\big(</math>ou le demi-grand axe<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Par abus, l'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1 = 0\;</math>» est parfois appelée « équation de l'ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>, sous forme implicite ».</ref>. {{Al|5}}L'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} - 1 = 0\;</math>» définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;:\;x \in \left] -\infty\,,\, -a \right] \cup \left[ +a\,,\, +\infty \right[ \;\overset{\psi}{\rightarrow}\;y = \psi(x) = \pm\, b\;\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2} - 1}\;</math>»<ref name="plus ou moins - psi" /> ou <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 - y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\varphi\;:\;y \in \left] -\infty\,,\, +\infty \right[\;\overset{\varphi}{\rightarrow}\;x = \varphi(y) = \pm\,a\; \sqrt{\dfrac{y^2}{b^2} + 1}\;</math>»<ref name="plus ou moins - varphi" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 - y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;x'x\;</math> et non focal <math>\;y'y</math>, dont <math>\;a\;</math> est le demi-axe focal et <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 - y^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'axes focal <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> et non focal <math>\;\color{transparent}{y'y}</math>, dont }}<math>\;b\;</math> le demi-axe non focal<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Par abus, l'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} - 1 = 0\;</math>» est parfois appelée « équation de l'hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>, sous forme implicite ».</ref>. === Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles === {{Al|5}}L'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0\;</math>» définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;:\;\left( x\,,\, z \right) \in \left[ -a'\,,\, +a' \right] \times \left[ -c'\,,\, +c' \right] \;\overset{\psi}{\rightarrow}\;y = \psi(x,\,z) = \pm\, b'\;\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - psi - bis"> L'utilisation du symbole «<math>\;\pm\;</math>» est en fait incorrecte car le [[w:Théorème des fonctions implicites|théorème des fonctions implicites]] est d'application locale, il faudrait plutôt écrire «<math>\;y = \psi_{+}(x,,\,z) = +\text{ ?}\;</math> ou <math>\;y = \psi_{-}(x,\,z)</math> <math>= -\text{ ?}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou exclusif<math>\big)\;</math> suivant l'endroit que nous voulons localiser.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\varphi\;:\;\left( y\,,\, z \right) \in \left[ -b'\,,\, +b' \right] \times \left[ -c'\,,\, +c' \right]\;\overset{\varphi}{\rightarrow}\;x = \varphi(y,\,z) = \pm\,a'\;\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - varphi - bis"> L'utilisation du symbole «<math>\;\pm\;</math>» est en fait incorrecte car le [[w:Théorème des fonctions implicites|théorème des fonctions implicites]] est d'application locale, il faudrait plutôt écrire «<math>\;x = \varphi_{+}(y,\,z) = +\text{ ?}\;</math> ou <math>\;x = \varphi_{-}(y,\,z)</math> <math>= -\text{ ?}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou exclusif<math>\big)\;</math> suivant l'endroit que nous voulons localiser.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\zeta\;:\;\left( x\,,\, y \right) \in \left[ -a'\,,\, +a' \right] \times \left[ -b'\,,\, +b' \right] \;\overset{\zeta}{\rightarrow}\;z = \zeta\,(x,\,y) = \pm\,c'\;\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} - \dfrac{y^2}{b'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - zeta"> L'utilisation du symbole «<math>\;\pm\;</math>» est en fait incorrecte car le [[w:Théorème des fonctions implicites|théorème des fonctions implicites]] est d'application locale, il faudrait plutôt écrire «<math>\;z = \zeta_{+}(x,,\,y) = +\text{ ?}\;</math> ou <math>\;z = \zeta_{-}(x,\,y)</math> <math>= -\text{ ?}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou exclusif<math>\big)\;</math> suivant l'endroit que nous voulons localiser.</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}toutes trois étant l'équation de l'[[w:Ellipsoïde|ellipsoïde]] [[w:Ellipsoïde#Ellipsoïde_triaxial|triaxial]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x</math>, <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'z</math>, avec <math>\;a'</math>, <math>\;b'\;</math> et <math>\;c'\;</math> les demi-axes <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite toutes trois étant }}<math>\big(</math>les demi-axes étant des paramètres positifs, deux à deux différents quand l'[[w:Ellipsoïde|ellipsoïde]] est [[w:Ellipsoïde#Ellipsoïde_triaxial|triaxial]]<math>\big)\;</math><ref> L'intersection de l'[[w:Ellipsoïde#Ellipsoïde_triaxial|ellipsoïde triaxial]] avec le plan <math>\;xOz\;</math> est une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;z'z</math>, <math>\;a'\;</math> étant le demi-grand axe <math>\;\big(</math>ou demi-petit axe<math>\big)</math>, <math>\;c'\;</math> le demi-petit axe <math>\;\big(</math>ou demi-grand axe<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'intersection de l'ellipsoïde triaxial }}avec le plan <math>\;yOz\;</math> {{Transparent|est}} une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'z</math>, <math>\;b'\;</math> étant le demi-grand axe <math>\;\big(</math>ou demi-petit axe<math>\big)</math>, <math>\;c'\;</math> le demi-petit axe <math>\;\big(</math>ou demi-grand axe<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'intersection de l'ellipsoïde triaxial }}avec le plan <math>\;xOy\;</math> {{Transparent|est}} une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>, <math>\;a'\;</math> étant le demi-grand axe <math>\;\big(</math>ou demi-petit axe<math>\big)</math>, <math>\;b'\;</math> le demi-petit axe <math>\;\big(</math>ou demi-grand axe<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Par abus, l'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0\;</math>» est parfois appelée « équation de l'[[w:Ellipsoïde|ellipsoïde]] [[w:Ellipsoïde#Ellipsoïde_triaxial|triaxial]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x</math>, <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'y</math>, sous forme implicite ».</ref>. {{Al|5}}L'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0\;</math>» définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;:\;\left( x\,,\, z \right) \in \mathbb{R}^2 \;\overset{\psi}{\rightarrow}\;y = \psi(x,\,z) = \pm\, b'\;\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - psi - bis" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\varphi\;:\;\left( y\,,\, z \right) \in \mathbb{R}^2\;\overset{\varphi}{\rightarrow}\;x = \varphi(y,\,z) = \pm\,a'\;\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - varphi - bis" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\zeta\;:\;\left( x\,,\, y \right) \in \mathbb{R}^2 \;\overset{\zeta}{\rightarrow}\;z = \zeta\,(x,\,y) = \pm\,c'\;\sqrt{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1}\;</math>»<ref name="plus ou moins - zeta" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}toutes trois étant l'équation de l'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde à une nappe]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x</math>, <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'z</math>, avec <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}<math>a'</math>, <math>\;b'\;</math> et <math>\;c'\;</math> les demi-axes <math>\,\big(</math>paramètres positifs<math>\big)</math>, le caractère [[w:Connexité_(mathématiques)|connexe]] de l'[[w:Hyperboloïde|hyperboloïde]] <math>\,\big(</math>présence d'une seule nappe<math>\big)\,</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite <math>\color{transparent}{a'}</math>, <math>\;\color{transparent}{b'}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{c'}\;</math> les demi-axes <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>paramètres positifs<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}étant assuré par le fait que <math>\;z\;</math> peut prendre toute valeur réelle alors que <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite <math>\color{transparent}{a'}</math>, <math>\;\color{transparent}{b'}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{c'}\;</math> les demi-axes <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>paramètres positifs<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}<math>x\;</math> et <math>\;y\;</math> prennent des valeurs telles que <math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} \geqslant 1\;</math> <ref> L'intersection de l'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde à une nappe]] avec le plan <math>\;xOz\;</math> est une hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axe focal <math>\;x'x\;</math> et non focal <math>\;z'z</math>, <math>\;a'\;</math> étant le demi-axe focal, <math>\;c'\;</math> le demi-axe non focal, <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe }}avec le plan <math>\;yOz\;</math> {{Transparent|est}} une hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axe focal <math>\;y'y\;</math> et non focal <math>\;z'z</math>, <math>\;b'\;</math> étant le demi-axe focal, <math>\;c'\;</math> le demi-axe non focal et <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe }}avec le plan <math>\;xOy\;</math> {{Transparent|est}} une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>, <math>\;a'\;</math> étant le demi-grand axe <math>\;\big(</math>ou demi-petit axe<math>\big)</math>, <math>\;b'\;</math> le demi-petit axe <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe avec le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}\;</math> {{Transparent|est}} une ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'axes <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y'y}</math>, <math>\;\color{transparent}{a'}\;</math> étant le demi-grand axe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou demi-petit axe<math>\color{transparent}{\big)}</math>, <math>\;\color{transparent}{b'}\;</math> }}<math>\big(</math>ou demi-grand axe<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Par abus, l'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0\;</math>» est parfois appelée « équation de l'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde à une nappe]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x</math>, <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'y</math>, sous forme implicite ».</ref>. {{Al|5}}L'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} + 1 = 0\;</math>» définit une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] «<math>\;\psi\;:\;\left( x\,,\, z \right) \in \mathbb{R} \times \left\lbrace \left] -\infty\,,\, -c' \right] \cup \left[ +c'\,,\, +\infty \right[ \right\rbrace \;\overset{\psi}{\rightarrow}\;y = \psi(x,\,z) = \pm\, b'\;\sqrt{\dfrac{z^2}{c'^2} - \dfrac{x^2}{a'^2} - 1}\;</math>»<ref name="plus ou moins - psi - bis" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} + 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\varphi\;:\;\left( y\,,\, z \right) \in \mathbb{R} \times \left\lbrace \left] -\infty\,,\, -c' \right] \cup \left[ +c'\,,\, +\infty \right[ \right\rbrace \;\overset{\varphi}{\rightarrow}\;x = \varphi(y,\,z) = \pm\,a'\;\sqrt{\dfrac{z^2}{c'^2} - \dfrac{y^2}{b'^2} - 1}\;</math>»<ref name="plus ou moins - varphi - bis" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} + 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}«<math>\;\zeta\;:\;\left( x\,,\, y \right) \in \mathbb{R}^2 \;\overset{\zeta}{\rightarrow}\;z = \zeta\,(x,\,y) = \pm\,c'\;\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2}}\;</math>»<ref name="plus ou moins - zeta" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}toutes trois étant l'équation de l'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_deux_nappes|hyperboloïde à deux nappes]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x</math>, <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'z</math>, avec <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite }}<math>a'</math>, <math>\;b'\;</math> et <math>\;c'\;</math> les demi-axes <math>\,\big(</math>paramètres positifs<math>\big)</math>, le caractère non [[w:Connexité_(mathématiques)|connexe]] de l'[[w:Hyperboloïde|hyperboloïde]] <math>\,\big(</math>présence de deux nappes<math>\big)</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite <math>\color{transparent}{a'}</math>, <math>\;\color{transparent}{b'}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{c'}\;</math> les demi-axes <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>paramètres positifs<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}étant assuré par le fait que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> peuvent prendre toute valeur réelle <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite <math>\color{transparent}{a'}</math>, <math>\;\color{transparent}{b'}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{c'}\;</math> les demi-axes <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>paramètres positifs<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}alors que <math>\;z\;</math> prend des valeurs de la réunion de deux intervalles <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0}\;</math>» définit une fonction implicite <math>\color{transparent}{a'}</math>, <math>\;\color{transparent}{b'}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{c'}\;</math> les demi-axes <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>paramètres positifs<math>\color{transparent}{\big)}</math>, alors que <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> prend des valeurs de la réunion de deux }}[[w:Ensembles_disjoints|disjoints]] <ref> L'intersection de l'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_deux_nappes|hyperboloïde à deux nappes]] avec le plan <math>\;xOz\;</math> est une hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axe focal <math>\;z'z\;</math> et non focal <math>\;x'x</math>, <math>\;a'\;</math> étant le demi-axe non focal, <math>\;c'\;</math> le demi-axe focal, <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'intersection de l'hyperboloïde à deux nappes }}avec le plan <math>\;yOz\;</math> {{Transparent|est}} une hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axe focal <math>\;z'z\;</math> et non focal <math>\;y'y</math>, <math>\;b'\;</math> étant le demi-axe non focal, <math>\;c'\;</math> le demi-axe focal et <br>{{Al|3}}{{Transparent|L'intersection de l'hyperboloïde à deux nappes }}avec le plan <math>\;xOy\;</math> {{Transparent|est}} l'ensemble vide, <br>{{Al|3}}voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Par abus, l'équation implicite «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} + 1 = 0\;</math>» est parfois appelée « équation de l'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_deux_nappes|hyperboloïde à deux nappes]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x</math>, <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'y</math>, sous forme implicite ».</ref>. == Dérivée d'une fonction implicite == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère <math>\,\big(</math>ou n'importe quelle des dérivées partielles 1^ères<math>\big)\,</math> d'une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <br>{{Al|6}}{{Transparent|Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée 1^ère }}en utilisant les dérivées partielles du 1^er membre de l'équation implicite dont la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] est solution<ref> L'utilisation de la relation ainsi trouvée peut être particulièrement utile quand la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] est impossible à déterminer algébriquement.</ref>. === Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles === {{Proposition|titre=Dérivée 1^ère d'une fonction implicite entre x et y|contenu={{Al|5}}Soit « l’équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> des variables réelles <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> avec <math>\;f\;</math> fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}« la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\psi\;:\; x\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\;</math> solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «<math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;y = \psi(x)\;</math>», <br>{{Al|5}}« la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\psi\;</math> est, par suite, continue et différentiable en <math>\;x_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}la valeur de sa dérivée 1^ère en <math>\;x_0\;</math> peut se déterminer par «<math>\;\psi'(x_0) = -\dfrac{{f'}_{\!x}(x_0,\,y_0)}{{f'}_{\!y}(x_0,\,y_0)}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d \psi}{dx}(x_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la valeur de sa dérivée 1^ère en <math>\;\color{transparent}{x_0}\;</math> peut se déterminer }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;y</math> <math>\;\big(x\;</math> étant figée<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la valeur de sa dérivée 1^ère en <math>\;\color{transparent}{x_0}\;</math> peut se déterminer si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}est telle que <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) \neq 0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : différenciant «<math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> en <math>\;(x_0\,,\, y_0)\;</math>» nous obtenons «<math>\;df(x_0,\, y_0) = 0\;</math> ou <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)\;dy = 0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0)}\;</math>» nous obtenons }}dont nous déduisons, dans la mesure où <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) \neq 0</math>, «<math>\;\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math><ref> <math>\;\dfrac{dy}{dx}\;</math> étant <math>\;\dfrac{d \psi}{dx}(x_0)\;</math> par abus d'écriture.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : à partir de « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math> solution de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \varphi(y)\;</math>», pour laquelle «<math>\;f\;</math> est une fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : à partir de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> }}nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\varphi\;</math> est continue et différentiable en <math>\;y_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : à partir de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}la valeur de sa dérivée 1^ère en <math>\;y_0\;</math> pouvant se déterminer par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : à partir de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\varphi'(y_0) = -\dfrac{{f'}_{\!y}(x_0,\,y_0)}{{f'}_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{d \varphi}{dy}(y_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : à partir de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;y\;</math> figée<math>\big)\;</math> vérifie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : à partir de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) \neq 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Lien entre les dérivées des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] d'une même équation implicite</u><ref name="variable de dérivation sous-entendue"> Il est sous-entendu que la dérivée de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] explicitant la variable <math>\,x\,</math> <math>\big(</math>ou <math>\,y\big)\,</math> en fonction de la 2^ème variable <math>\,y\,</math> <math>\big(</math>ou <math>\,x\big)\,</math> est effectuée par rapport à la 2^ème variable <math>\,y\,</math> <math>\big(</math>ou <math>\,x\big)</math>.</ref> : « <u>les deux [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]]</u> “<math>\;\psi\;:\; x\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\;</math> et <math>\;\varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math>” solutions de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}pour laquelle <math>\;f\;</math> est une fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0)\;</math>» étant elles-mêmes continues et différentiables, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}<u>ont une dérivée 1^ère<ref name="variable de dérivation sous-entendue" /> finie, inverse l'une de l'autre</u> dans la mesure où «<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) \neq 0\;</math> ainsi que <br>{{Al|17}}{{Transparent|Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «}}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) \neq 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}en effet «<math>\;\dfrac{d \varphi}{dy}(y_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}\;</math>» et «<math>\;\dfrac{d \psi}{dx}(x_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet «}}<math>\;\dfrac{d \varphi}{dy}(y_0) \; \dfrac{d \psi}{dx}(x_0) = \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)} \right] = 1\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : en effet }}«<math>\;\dfrac{d \varphi}{dy}(y_0) \; \dfrac{d \psi}{dx}(x_0) = 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \varphi}{dy}(y_0) = \dfrac{1}{\dfrac{d \psi}{dx}(x_0)}\;</math>» si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \psi\;:\; x\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\\ \varphi\;:\; y\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Attention les [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] n'étant pas, a priori, [[w:Biiection|bijectives]] ne sont donc pas, a priori, [[w:Bijection_réciproqie|inverses]] l'une de l'autre.</ref>. === Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles === {{Proposition|titre=Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y et z|contenu={{Al|5}}Soit « l’équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> des variables réelles <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z</math>, <math>\;f\;</math> étant continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 )\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}« la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\psi\;:\; (x\,,\, z)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\;</math> solution de l'équation implicite » c.-à-d. telle que «<math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;y = \psi(x,\,z)\;</math>», <br>{{Al|5}}« la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\psi\;</math> est, par suite, continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, z_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;x\;</math> à <math>\;z\;</math> figée évaluée au point <math>\;(x_0\,,\, z_0)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> figée }}peut se déterminer par «<math>\;{\psi'}_{\!\!x}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> figée peut se déterminer par }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;z\;</math> à <math>\;x\;</math> figée évaluée au point <math>\;(x_0\,,\, z_0)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> figée }}peut se déterminer par «<math>\;{\psi'}_{\!\!z}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> figée peut se déterminer par }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> figée peut se déterminer }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;y</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> figée peut se déterminer si «}}<math>\;\big(</math>à <math>\,x\,</math> et <math>\,z\,</math> figées<math>\big)\,</math> vérifie <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : différenciant, à <math>\;z\;</math> figée, «<math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 )\;</math>» nous obtenons «<math>\;d_zf(x_0,\, y_0,\, z_0) = 0\;</math><ref name="indice de l'opérateur différenciation"> L'indice <math>\;_{\text{?}}\;</math> suivant l'opérateur différenciation <math>\;d\;</math> signifiant que la différenciation est effectuée à <math>\;\text{?}\;</math> figée.</ref> ou <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)\;d_zx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\, z_0)\;d_zy = 0\;</math>»<ref name="indice de l'opérateur différenciation" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> figée, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 )}\;</math>» nous obtenons }}dont nous déduisons, dans la mesure où <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> figée, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 )}\;</math>» nous obtenons dont nous déduisons, }}«<math>\;\dfrac{d_zy}{d_zx} = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math><ref name="indice de l'opérateur différenciation" />{{,}}<ref> <math>\;\dfrac{d_zy}{d_zx}\;</math> étant <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)\;</math> par abus d'écriture.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}différenciant, à <math>\;x\;</math> figée, «<math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 )\;</math>» nous obtenons «<math>\;d_xf(x_0,\, y_0,\, z_0) = 0\;</math><ref name="indice de l'opérateur différenciation" /> ou <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)\;d_xy + \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\, z_0)\;d_xz = 0\;</math>»<ref name="indice de l'opérateur différenciation" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> figée, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 )}\;</math>» nous obtenons }}dont nous déduisons, dans la mesure où <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> figée, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 )}\;</math>» nous obtenons dont nous déduisons, }}«<math>\;\dfrac{d_xy}{d_xz} = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math><ref name="indice de l'opérateur différenciation" />{{,}}<ref> <math>\;\dfrac{d_xy}{d_xz}\;</math> étant <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)\;</math> par abus d'écriture.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : de « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math> solution de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \varphi(y,\,z)\;</math>», avec «<math>\;f\;</math> fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> }}nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\varphi\;</math> est continue et différentiable en <math>\;(y_0,\,z_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;y\;</math> à <math>\;z\;</math> figée évaluée au point <math>\;(y_0\,,\, z_0)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;z\;</math> à <math>\;y\;</math> figée évaluée au même point <math>\;(y_0\,,\, z_0)\;</math> pouvant <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> figée évaluée au même point }}se déterminer par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\varphi'}_{\!\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\varphi'}_{\!\!z}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> figées<math>\big)\;</math> vérifie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{x}</math> }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z\;</math> solution de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;z = \zeta\,(x,\,y)\;</math>», avec «<math>\;f\;</math> fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> }}nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\zeta\;</math> est continue et différentiable en <math>\;(x_0,\,y_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;x\;</math> à <math>\;y\;</math> figée évaluée au point <math>\;(x_0\,,\, y_0)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;y\;</math> à <math>\;x\;</math> figée évaluée au même point <math>\;(x_0\,,\, y_0)\;</math> pouvant <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> figée évaluée au même point }}se déterminer par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\zeta'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\zeta'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;z</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> figées<math>\big)\;</math> vérifie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}</math> }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Liens entre dérivées partielles des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] d'une même équation implicite</u><ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue"> Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] explicitant la variable <math>\;x\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;y\;</math> ou <math>\;z\big\}\;</math> en fonction des autres variables <math>\;y,\,z\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;x,\,z\;</math> ou <math>\;x,\,y\big\}\;</math> est effectuée par rapport à l'une ou l'autre des deux autres variables <math>\;y\;</math> ou <math>\;z</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;x\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore <math>\;x\;</math> ou <math>y\big\}</math>.</ref> : « <u>les trois [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]]</u> “<math>\;\psi\;:\; (x,\,z)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y</math>, <math>\;\varphi\;:\; (y,\,z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math> et <math>\;\zeta\;:\; z\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; (x,\,y)\;</math>” <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les trois fonctions implicites “ }}solutions de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math> pour laquelle <math>\;f\;</math> est une fonction <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0)\;</math>» étant elles-mêmes continues et différentiables, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}<u>ont des dérivées partielles 1^ères<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue" /> liées deux à deux selon</u> : <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> dans la mesure où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>” <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) = \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> dans la mesure où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>” <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) \; \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) = \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) \; \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(y_0,\,z_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> dans la mesure où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>” <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue" /> des trois [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\psi\;:\; (x,\,z)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y</math>, <math>\;\varphi\;:\; (y,\,z)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math> et <math>\;\zeta\;:\; (x,\,y)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z\;</math> solutions de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>nous pouvons déduire des liens }}pour laquelle <math>\;f\;</math> est une fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0)\;</math>», <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] <math>\;\psi</math>, <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\zeta</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieu }}solutions de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math><ref> À condition qu'aucune des trois dérivées partielles 1^ères de <math>\;f\;</math> qui se retrouvent au dénominateur des relations liant chaque dérivée partielle 1^ère de [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] aux dérivées partielles 1^ères de <math>\;f\;</math> ne s'annule au point <math>\;(x_0,\,y_0,\, z_0)\;</math> c.-à-d. «<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>», «<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>» et «<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = -1\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\; \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = -1\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial y\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\;</math> ou encore <math>\;\partial z\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> La justification résultant de «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>», «<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» et «<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» d'où {{Nobr|«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) =</math>}} <math>\;\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right] = (-1)^3 = -1\;</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial y\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\;</math> ou encore <math>\;\partial z\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial y\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\;</math> ou encore <math>\;\partial z\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Encore équivalent à «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)} = -\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>soit, en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> noté «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) =</math> <math>-\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)} = -\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;</math>» ou encore «<math>\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)} = -\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> ainsi que <br>{{Al|3}}encore équivalent à «<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)} = -\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0)\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>soit, en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> noté «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) =</math> <math>-\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,z_0)} = -\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0)\;</math>»<math>\Bigg\}</math>.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(x_0,\,y_0) = -1\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\; \left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) = -1\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial y\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\;</math> ou encore <math>\;\partial z\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> La justification résultant de «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>», «<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» et «<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» d'où {{Nobr|«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(x_0,\,y_0) =</math>}} <math>\;\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)} \right] = (-1)^3 = -1\;</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(x_0,\,y_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\;</math> ou encore <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) = -\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z}(x_0,\,y_0)\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) \; \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) = -\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0)\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\;</math> ou encore <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Encore équivalent à «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)} = -\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>soit, en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> noté «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) =</math> <math>-\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)} = -\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\;</math>» ou encore «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0)\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)} = -\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y}(y_0,\,z_0)\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> ainsi que <br>{{Al|3}}encore équivalent à «<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z}(x_0,\,y_0) = -\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)} = -\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>soit, en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> noté «<math>\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0)\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z}(y_0,\,z_0) =</math> <math>-\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x}(x_0,\,z_0)} = -\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0)\;</math>»<math>\Bigg\}</math>.</ref>. === Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles === {{Proposition|titre=Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y, z et t|contenu={{Al|5}}Soit « l’équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> des variables réelles <math>\;x</math>, <math>\;y</math>, <math>\;z\;</math> et <math>\;t</math>, <math>\;f\;</math> étant continue et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit « l’équation implicite <math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0}\;</math> des variables réelles <math>\;\color{transparent}{x}</math>, <math>\;\color{transparent}{y}</math>, <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}</math>, <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> étant }}différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0 )\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}« la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\psi\;:\; (x\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y\;</math> solution de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;y = \psi(x,\,z,\, t)\;</math>», <br>{{Al|5}}« la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\psi\;</math> est, par suite, continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;x</math>, à <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math> figées, évaluée au point <math>\;(x_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, }}peut se déterminer par «<math>\;{\psi'}_{\!\!x}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0,\, t_0)}{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0,\, t_0)}\;</math>» ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, peut se }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\, t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;z</math>, à <math>\;x\;</math> et <math>\;t\;</math> figées, évaluée au point <math>\;(x_0\,,\, z_0,\, t_0)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, }}peut se déterminer par «<math>\;{\psi'}_{\!\!z}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, peut se }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;t</math>, à <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> figées, évaluée au point <math>\;(x_0\,,\, z_0,\, t_0)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> figées, }}peut se déterminer par «<math>\;{\psi'}_{\!\!t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|« sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> figées, peut se }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;y</math> <math>\;\big(x</math>, <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math> étant figées<math>\big)\;</math> vérifie <br>{{Al|5}}{{Transparent|« ces trois relations ci-dessus nécessitant que « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{y}</math> }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : différenciant, à <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math> figées, «<math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0 )\;</math>» nous obtenons «<math>\;d_{z,\,t}f(x_0,\, y_0,\, z_0,\, t_0) = 0\;</math><ref name="indice de l'opérateur différenciation" /> soit, en explicitant la différentielle, à <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math> figées, de <math>\;f</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0 )}\;</math>» nous obtenons }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)\;d_{z,\,t}x + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\, z_0,\, t_0)\;d_{z,\,t}y = 0\;</math>»<ref name="indice de l'opérateur différenciation" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0 )}\;</math>» nous obtenons }}«<math>\;\dfrac{d_{z,\,t}y}{d_{z,\,t}x} = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math><ref name="indice de l'opérateur différenciation" />{{,}}<ref> <math>\;\dfrac{d_{z,\,t}y}{d_{z,\,t}x}\;</math> étant <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> par abus d'écriture.</ref> dans la mesure où <br>{{Al|75}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0 )}\;</math>» nous obtenons }}<math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\, t_0) \neq 0\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />., <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : différenciant, à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> figées, «<math>\;\color{transparent}{f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0 )}\;</math>» }}les expressions des deux autres dérivées partielles 1^ères<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue - bis"> Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] explicitant la variable <math>\;x\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;y\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou <math>\;t\big\}\;</math> en fonction des autres variables <math>\;y,\,z,\,t\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;x,\,z,\,t\;</math> ou <math>\;x,\,y,\,t\;</math> ou <math>\;x,\,y,\,z\big\}\;</math> est effectuée par rapport à l'une des trois autres variables <math>\;y\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou <math>\;t</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;x\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou <math>\;t\;</math> ou encore <math>\;x\;</math> ou <math>y\;</math> ou <math>\;z\big\}</math>.</ref> se déterminant de la même façon <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : de « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x\;</math> solution de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x = \varphi(y,\,z,\,t)\;</math>», avec «<math>\;f\;</math> fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> }}nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\varphi\;</math> est continue et différentiable en <math>\;(y_0,\,z_0,\,t_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;y\;</math> à <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math> figées en <math>\;(y_0\,,\, z_0,\,t_0)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;z\;</math> à <math>\;y\;</math> et <math>\;t\;</math> figées en <math>\;(y_0\,,\, z_0\,,\,t_0)\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;t\;</math> à <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> figées en <math>\;(y_0\,,\, z_0\,,\,t_0)\;</math> pouvant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> figées en <math>\;\color{transparent}{(y_0\,,\, z_0\,,\,t_0)}\;</math> }}se déterminer par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\varphi'}_{\!\!y}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\varphi'}_{\!\!z}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\varphi'}_{\!\!t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;y</math>, <math>\;z\;</math> et <math>\;t\;</math> figées<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y\,,\, z\,,\, t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}vérifie <math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z\;</math> solution de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;z = \zeta(x,\,y,\,t)\;</math>», avec «<math>\;f\;</math> fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> }}nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\zeta\;</math> est continue et différentiable en <math>\;(x_0,\,y_0,\,t_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;x\;</math> à <math>\;y\;</math> et <math>\;t\;</math> figées en <math>\;(x_0\,,\, y_0,\,t_0)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;y\;</math> à <math>\;x\;</math> et <math>\;t\;</math> figées en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\,t_0)\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;t\;</math> à <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> figées en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\,t_0)\;</math> pouvant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> figées en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\,t_0)}\;</math> }}se déterminer par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\zeta'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\zeta'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\zeta'}_{\!\!t}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;z</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;t\;</math> figées<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\zeta\;:\; (x\,,\, y\,,\, t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}vérifie <math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t\;</math> solution de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;t = \tau(x,\,y,\,z)\;</math>», avec «<math>\;f\;</math> fonction continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> }}nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\tau\;</math> est continue et différentiable en <math>\;(x_0,\,y_0,\,z_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}sa dérivée partielle 1^ère par rapport à <math>\;x\;</math> à <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> figées en <math>\;(x_0\,,\, y_0,\,z_0)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;y\;</math> à <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> figées en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\,z_0)\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « }}celle par rapport à <math>\;z\;</math> à <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> figées en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\,z_0)\;</math> pouvant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « celle par rapport à <math>\;\color{transparent}{z}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> figées en <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\, y_0\,,\,z_0)}\;</math> }}se déterminer par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\tau'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!x}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\tau'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!y}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> Ou, de façon plus concise, «<math>\;{\tau'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{{f'}_{\!\!z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{{f'}_{\!\!t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que }}si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;t</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> figées<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : de « la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\tau\;:\; (x\,,\, y\,,\, z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t}\;</math> nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que si « la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}vérifie <math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Liens entre dérivées partielles des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] d'une même équation implicite</u><ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue - bis" /> : « <u>les quatre [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]]</u> “<math>\;\psi\;:\; (x,\,z,\,t)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y</math>, <math>\;\varphi\;:\; (y,\,z,\,t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x</math>, <math>\;\zeta\;:\; (x,\,y,\,t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “<math>\;\color{transparent}{\psi\;:\; (x,\,z,\,t)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y}</math>, <math>\;\color{transparent}{\varphi\;:\; (y,\,z,\,t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x}</math>, }}<math>\;\tau\;:\; (x,\,y,\,z)\; \overset{\tau}{\rightarrow}\; t\;</math>” solutions <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les quatre fonctions implicites “ }}de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math> pour laquelle <math>\;f\;</math> est une fonction <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}continue et différentiable en <math>\;(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math>» étant elles-mêmes continues et différentiables, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}<u>ont des dérivées partielles 1^ères<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue - bis" /> liées deux à deux selon</u> : <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> ainsi que <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« “}}<math>\,\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\,</math>” <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\,\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)</math> <br>{{Al|60}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> ainsi que <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« “}}<math>\,\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\,</math>” <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0) \, \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)</math> <br>{{Al|60}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0) \; \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial t}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial t\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> ainsi que <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« “}}<math>\,\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\,</math>” <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\,\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0)</math> <br>{{Al|60}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial t}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial t\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> ainsi que <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« “}}<math>\,\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\,</math>” <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\,\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)</math> <br>{{Al|60}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial z\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}(y_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}(y_0,\,z_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial t}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial t\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> ainsi que <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« “}}<math>\,\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\,</math>” <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\,\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)</math> <br>{{Al|60}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial t}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial t\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial x\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial t}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial t\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial z\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> si «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}« “<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> ainsi que <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« “}}<math>\,\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\,</math>” <math>\Rightarrow</math> <math>\,\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)\,\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0)</math> <br>{{Al|60}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = 1\;</math>», <br>{{Al|14}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera par la suite «<math>\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial t}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = 1\;</math>»<ref> Mais il est rappelé que <math>\;\partial t\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial z\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>. <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue - bis" /> des quatre [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\psi\;:\; (x,\,z,\,t)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y</math>, <math>\;\varphi\;:\; (y,\,z,\,t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x</math>, <math>\;\zeta\;:\; (x,\,y,\,t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z\;</math> et <math>\;\tau\;:\; (x,\,y,\,z)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; t\;</math> solutions de l'équation <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}implicite <math>\,f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\,</math> pour laquelle <math>\,f\,</math> est une fonction continue et différentiable en <math>\,(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math>», <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] <math>\,\psi</math>, <math>\,\varphi</math>, <math>\,\zeta</math>, <math>\,\tau</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères }}solutions de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math><ref> À condition qu'aucune des quatre dérivées partielles 1^ères de <math>\;f\;</math> qui se retrouvent au dénominateur des relations liant chaque dérivée partielle 1^ère de [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] aux dérivées partielles 1^ères de <math>\;f\;</math> ne s'annule au point <math>\;(x_0,\,y_0,\, z_0,\, t_0)\;</math> c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\, t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)\; \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = 1\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) \; \left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0)\; \left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,t_0)\; \left( \dfrac{\partial t}{\partial y} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = 1\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial z\;</math> ou <math>\;\partial t\;</math> ou encore <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> La justification résultant de «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>», «<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>», «<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,t_0) =</math> <math>-\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» et «<math>\;\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» d'où «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0)</math> <math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right]\, \left[ \dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = (-1)^4 = 1\;</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math><ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial t}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0)}\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial z\;</math> ou <math>\;\partial t\;</math> ou encore <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math><math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)}</math> }}<math>= \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = \left( \dfrac{\partial y}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial z\;</math> ou <math>\;\partial t\;</math> ou encore <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> La justification résultant de <math>\;\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0)} = \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)</math>.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ainsi que trois autres relations équivalentes dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur<ref> Chacune étant obtenue en basculant dans le 2^nd membre l'un des trois autres facteurs par exemple <math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)\;</math> ce qui donne <br>{{Al|3}}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\; \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) = \dfrac{1}{\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)}\;\overset{\cdots}{\;=\;}\; \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une }}<math>\blacktriangleright\;</math>il y a cinq autres relations du même type dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a cinq autres relations }}formées à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \\ \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a cinq autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a cinq autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \\ \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a cinq autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \\ \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a cinq autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \\ \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace</math> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}<math>\bullet\;</math>nous pouvons déduire des liens entre « les dérivées partielles 1^ères<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue - bis" /> des quatre [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\psi\;:\; (x,\,z,\,t)\; \overset{\psi}{\rightarrow}\; y</math>, <math>\;\varphi\;:\; (y,\,z,\,t)\; \overset{\varphi}{\rightarrow}\; x</math>, <math>\;\zeta\;:\; (x,\,y,\,t)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; z\;</math> et <math>\;\tau\;:\; (x,\,y,\,z)\; \overset{\zeta}{\rightarrow}\; t\;</math> solutions de l'équation <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}implicite <math>\,f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\,</math> pour laquelle <math>\,f\,</math> est une fonction continue et différentiable en <math>\,(x_0\,,\, y_0\,,\, z_0\,,\, t_0)\;</math>», <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] <math>\,\psi</math>, <math>\,\varphi</math>, <math>\,\zeta</math>, <math>\,\tau</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une relation liant quatre des dérivées partielles 1^ères }}solutions de l'équation implicite <math>\;f\left( x\,,\, y\,,\, z\,,\, t \right) = 0\;</math><ref> À condition qu'aucune des trois dérivées partielles 1^ères de <math>\;f\;</math> qui se retrouvent au dénominateur des relations liant chaque dérivée partielle 1^ère de [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] aux dérivées partielles 1^ères de <math>\;f\;</math> ne s'annule au point <math>\;(x_0,\,y_0,\, z_0,\, t_0)\;</math> c.-à-d. trois parmi les quatre «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0) \neq 0 \\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial t} \right)_{\!x,\,y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0,\, t_0) \neq 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) = -1\;</math>»<ref> En physique <math>\;\big(</math>et par abus<math>\big)\;</math> on notera «<math>\;\left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) \; \left( \dfrac{\partial x}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0)\; \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0) = -1\;</math>» mais il est rappelé que <math>\;\partial x\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;\partial z\;</math> ou encore <math>\;\partial y\big)\;</math> seule n'a aucune signification <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> La justification résultant de «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}(x_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>», «<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}(y_0,\,z_0,\,t_0) = -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» et «<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}(x_0,\,y_0,\,t_0) =</math> <math>-\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}\;</math>» dont on déduit en multipliant les trois dérivées partielles 1^ères des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] choisies «<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;\left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0)</math> <math>= \left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right]\,\left[ -\dfrac{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)}{\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y,\,t}\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t_0)} \right] = (-1)^3 = -1\;</math>.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une }}<math>\blacktriangleright\;</math>il y a sept autres relations du même type dont la détermination est laissée au bon soin du lecteur, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a sept autres relations }}formées à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a sept autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a sept autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a sept autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \\ \left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \right)_{\!z,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a sept autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right)_{\!x,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \\ \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial y} \right)_{\!x,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a sept autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial t} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \\ \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>il y a sept autres relations formées }}à partir de <math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right)_{\!y,\,z}\!\!\!\!\!(y_0,\,z_0,\,t_0)\;</math> avec <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial \tau}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,z_0) \\ \left( \dfrac{\partial \zeta}{\partial x} \right)_{\!y,\,t}\!\!\!\!\!(x_0,\,y_0,\,t_0) \end{array} \right\rbrace</math>. === Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre plus de quatre variables réelles === {{Al|5}}Soit l'équation implicite <math>\;f\left( x_1\,,\, ..\,,\, x_i\,,\, ..\, ,\, x_n \right) = 0\;</math> des <math>\;n\;</math> variables réelles <math>\;x_1\,,\; \ldots\,,\; x_i\,,\; \ldots\,,\; x_n\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}^{*}\, \backslash \left[\left[ 1\,,\, 4 \right]\right]\;</math> avec <math>\;f\;</math> continue et différentiable en <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, .. \,,\, x_{i,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{n,\,0} )\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}les <math>\;n\;</math> [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] “<math>\;\varphi_1\;:\; (x_2\,,\, ..\,,\, x_j \,,\, .. \,,\, x_n)\; \overset{\varphi_1}{\rightarrow}\; x_1\;</math>”, <math>\ldots</math>, “<math>\;\varphi_i\;:\; (x_1\,,\, ..\,,\, x_{i - 1} \,,\, x_{i + 1}\,\,.. \,,\, x_n)\; \overset{\varphi_i}{\rightarrow}\; x_i\;</math>”, <math>\ldots</math>, “<math>\;\varphi_n\;:\; (x_1\,,\, ..\,,\, x_j \,,\, x_{n - 1})\; \overset{\varphi_n}{\rightarrow}\; x_n\;</math>” <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit les <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> fonctions implicites }}continues et différentiables respectivement en <math>\;(x_{2,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{j,\,0} \,,\, .. \,,\, x_{n,\,0})</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{i - 1,\,0} \,,\, x_{i + 1,\,0}\,\,.. \,,\, x_{n,\,0})</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{j,\,0} \,,\, .. \,,\, x_{n - 1,\,0})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}la dérivée partielle 1^ère de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\,\varphi_i\,:\, (x_1\,,\, ..\,,\, x_{i - 1} \,,\, x_{i + 1}\,\,.. \,,\, x_n)\, \overset{\varphi_i}{\rightarrow}\, x_i\,</math> par rapport à <math>\,x_j\;</math><ref> L'indice <math>\;j\;</math> étant évidemment <math>\;\neq\, i</math>.</ref>, les <math>\,n - 2\,</math> autres variables figées, évaluée en <math>\,(x_{1,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{i - 1,\,0} \,,\, x_{i + 1,\,0}\,\,.. \,,\, x_{n,\,0})</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi_i}\;</math> }}peut se déterminer à l'aide de «<math>\;\dfrac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}(x_{1,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{i - 1,\,0} \,,\, x_{i + 1,\,0}\,\,.. \,,\, x_{n,\,0}) = -\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_{1,\,0}\,,\, .. \,,\, x_{i,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{n,\,0} )}{\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x_{1,\,0}\,,\, .. \,,\, x_{i,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{n,\,0} )}\;</math>»<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles"> Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis <math>\;\big(</math>à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté<math>\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi_i}\;</math> }}cette relation nécessitant que la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\,x_i</math>, les <math>\,n - 1\,</math> autres variables figées, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi_i}\;</math> cette relation nécessitant que la dérivée partielle 1^ère de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> par rapport à <math>\,\color{transparent}{x_i}</math>, }}évaluée en <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, .. \,,\, x_{i,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{n,\,0} )\;</math> soit non nulle c.-à-d. <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit la dérivée partielle 1^ère de la fonction implicite <math>\;\color{transparent}{\varphi_i}\;</math> cette relation nécessitant que }}«<math>\;\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x_{1,\,0}\,,\, .. \,,\, x_{i,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{n,\,0} ) \neq 0\;</math>»<ref name="Notations simplifiées dérivées partielles" />. {{Al|5}}<u>Liens entre dérivées partielles des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] d'une même équation implicite</u> : « les [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] “<math>\;\varphi_1\,:\, (x_2\,,\, ..\,,\, x_j \,,\, .. \,,\, x_n)\; \overset{\varphi_1}{\rightarrow}\; x_1\;</math>”, <math>\ldots</math>, “<math>\;\varphi_i\,:\, (x_1\,,\, ..\,,\, x_{i - 1} \,,\, x_{i + 1}\,\,.. \,,\, x_n)\; \overset{\varphi_i}{\rightarrow}\; x_i\;</math>”, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “<math>\;\color{transparent}{\varphi_1\,:\, (x_2\,,\, ..\,,\, x_j \,,\, .. \,,\, x_n)\; \overset{\varphi_1}{\rightarrow}\; x_1}\;</math>”, }}<math>\ldots</math>, “<math>\;\varphi_n\;:\; (x_1\,,\, ..\,,\, x_j \,,\, x_{n - 1})\; \overset{\varphi_n}{\rightarrow}\; x_n\;</math>” solutions <br>{{Al|6}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ }}de l'équation implicite <math>\;f\left( x_1\,,\, ..\,,\, x_i\,,\, ..\, ,\, x_n \right) = 0\;</math> pour laquelle <math>\;f\;</math> est une fonction <br>{{Al|7}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ de l'équation implicite }}continue et différentiable en <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, .. \,,\, x_{i,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{n,\,0} )\;</math>» <br>{{Al|6}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les fonctions implicites “ }}étant elles-mêmes continues et différentiables au point d'application étudié<ref> C.-à-d. en <math>\;(x_{2,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{j,\,0} \,,\, .. \,,\, x_{n,\,0})\;</math> pour <math>\;\varphi_1\;:\; (x_2\,,\, ..\,,\, x_j \,,\, .. \,,\, x_n)\; \overset{\varphi_1}{\rightarrow}\; x_1</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. }}en <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{i - 1,\,0} \,,\, x_{i + 1,\,0}\,\,.. \,,\, x_{n,\,0})\;</math> pour <math>\;\varphi_i\,:\, (x_1\,,\, ..\,,\, x_{i - 1} \,,\, x_{i + 1}\,\,.. \,,\, x_n)\; \overset{\varphi_i}{\rightarrow}\; x_i</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|C.-à-d. }}en <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{j,\,0} \,,\, .. \,,\, x_{n - 1,\,0})\;</math> pour <math>\;\varphi_n\;:\; (x_1\,,\, ..\,,\, x_j \,,\, x_{n - 1})\; \overset{\varphi_n}{\rightarrow}\; x_n</math>.</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}ont des dérivées partielles 1^ères liées entre elles de multiple façon et, en particulier, globalement <br>{{Al|6}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}il y a «<math>\;(n - 1)\,!\;</math> liens entre les dérivées partielles<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue - ter"> Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1^ère de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] explicitant la variable <math>\;x_i\;</math> en fonction des autres variables <math>\;x_1\,,\, ..\,,\, x_{i - 1} \,,\, x_{i + 1}\,\,.. \,,\, x_n\;</math> est effectuée par rapport à l'une des <math>\;(n - 1)\;</math> autres variables ; pour alléger l'écriture nous omettons également la valeur des autres variables <math>\;x_{1,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{i - 1,\,0} \,,\, x_{i + 1,\, 0}\,\,.. \,,\, x_{n,\,0}\;</math> pour laquelle la dérivée partielle 1^ère en question est évaluée.</ref> judicieusement choisies des <math>\;n\;</math> [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] de <br>{{Al|12}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « il y a «<math>\;\color{transparent}{(n - 1)\,!}\;</math> liens entre les dérivées partielles }}l'équation implicite <math>\;f\left( x_1\,,\, ..\,,\, x_i\,,\, ..\, ,\, x_n \right) = 0\;</math>» soit <br>{{Al|6}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : }}«<math>\;\prod\limits_{k\,=\,1\,..\,n} \dfrac{\partial \varphi_{\sigma^{k - 1}(1)}}{\partial x_{\sigma^k(1)}} = (-1)^n\;</math>»<ref name="variable de dérivation partielle sous-entendue - ter" /> où <math>\;\sigma\;</math> une [[w:Permutation#Définition|permutation]] de <math>\;S_n\;</math><ref> C.-à-d. l'ensemble des [[w:Permutation#Définition|permutations]] des éléments de <math>\;\left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]</math>.</ref> avec <br>{{Al|61}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où }}<math>\;\sigma^k\;</math> la [[w:Permutation#Composition_de_permutations|puissance k]] de la [[w:Permutation#Définition|permutation]] <math>\;\sigma\;</math> telle que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma^0(1) = 1\\ \sigma^n(1) = 1\end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|61}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où }}<math>\;\sigma\;</math> telle que «<math>\;\sigma(1)\;</math> est <math>\;\neq 1\;</math>» et <br>{{Al|61}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « » où <math>\;\color{transparent}{\sigma}\;</math> telle que }}«<math>\;\sigma^k(1) \notin \left\lbrace 1,\,..\, \sigma(1),\, ..\, \sigma^{k - 1}(1) \right\rbrace\;</math> <math>\;\forall\, k \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]\;</math>»<ref> La 1^ère condition assurant que la dérivée partielle 1^ère de la [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] <math>\;\varphi_1\;</math> est effectuée relativement à l'une des variables dont elle dépend et <br>{{Al|3}}la 2^nde condition {{Transparent|assurant }}que la dérivée partielle 1^ère des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] successives <math>\;\varphi_{\sigma(1)}</math>, <math>\;\ldots</math>, <math>\;\varphi_{\sigma^{k - 1}(1)}\;</math> n'est effectuée par rapport à aucune des variables explicitées par les [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] successives déjà écrites dans le produit <math>\;\big\{</math>cette condition étant nécessaire pour que le mode de construction du produit des dérivées partielles 1^ères des <math>\;n\;</math> [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] utilise toutes les <math>\;n\;</math> [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] sans redondance<math>\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Lien entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « }}sous la condition qu'« aucune des dérivées partielles 1^ères de <math>\;f\;</math> ne s'annule en <math>\;(x_{1,\,0}\,,\, .. \,,\, x_{i,\,0}\,,\, ..\,,\, x_{n,\,0} )\;</math>». == Théorème des fonctions implicites == === Théorème des fonctions implicites en dimension deux === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le [[w:Théorème des fonctions implicites#Dimension 2|théorème des fonctions implicites en dimension deux]] précise à quelles conditions une équation implicite <math>\;f(x,\,y) = 0\;</math> des variables réelles <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> peut être résolue c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise }}à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;y\big)\;</math> en fonction de l'autre <math>\;y</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;x\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions il est possible d'exprimer }}pour tous les couples <math>\;\left( x\,,\, y \right)\;</math> vérifiant l'équation. ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème des fonctions implicites en dimension deux|contenu={{Al|5}}Soit «<math>\;f\;</math> une fonction réelle de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]] <math>\;\big(p\,\in\,\mathbb{N}^{*}\big)\;</math><ref name="classe Cp"> C.-à-d. continue et différentiable jusqu'à l'ordre <math>\;p\;</math> inclus.</ref> définie sur un ouvert <math>\;U\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> un point de <math>\;U\;</math> tel que <math>\;f\!\left( x_0\,,\, y_0 \right) = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel }}que la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;y</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;x\;</math> figée<math>\big)\;</math> y soit non nulle c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel que }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}il existe une fonction réelle <math>\;\psi\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur un intervalle ouvert réel <math>\;V\, \ni x_0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> dans <math>\;U</math>, noté <math>\;\Omega</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}tels que «<math>\;\forall\, \left( x\,,\, y \right) \in \Omega\; \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;x \in V \; \text{et}\;y = \psi(x)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe tels que }}«<math>\;\psi\;</math> définissant une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] solution de l'équation implicite <math>\;f\!\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème des fonctions implicites en dimension deux (autre version)|contenu={{Al|5}}Soit «<math>\;f\;</math> une fonction réelle de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]] <math>\;\big(p\,\in\,\mathbb{N}^{*}\big)\;</math><ref name="classe Cp" /> définie sur un ouvert <math>\;U\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> un point de <math>\;U\;</math> tel que <math>\;f\!\left( x_0\,,\, y_0 \right) = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel }}que la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;y\;</math> figée<math>\big)\;</math> y soit non nulle c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel que }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}il existe une fonction réelle <math>\;\varphi\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur un intervalle ouvert réel <math>\;V'\, \ni y_0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> dans <math>\;U</math>, noté <math>\;\Omega'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}tels que «<math>\;\forall\, \left( x\,,\, y \right) \in \Omega'\; \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;y \in V' \; \text{et}\;x = \varphi(y)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe tels que }}«<math>\;\varphi\;</math> définissant une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] solution de l'équation implicite <math>\;f\!\left( x\,,\, y \right) = 0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous admettons le [[w:Théorème des fonctions implicites#Dimension 2|théorème des fonctions implicites en dimension deux]] dans l'une ou l'autre version énoncée ci-dessus. ==== Exemples d'application ==== {{Al|5}}<u>Retour sur l'équation implicite</u> «<math>\;x^2 + y^2 - 1 = 0\;</math>» équation cartésienne <math>\;f(x\,,\,y) = 0\;</math> du cercle trigonométrique : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;x \in \left] -1\,,\, +1 \right[\;</math> il existe deux valeurs de <math>\;y\;</math> possibles de signe contraire, aussi on considère deux ouverts de <math>\,\mathbb{R}^2\,</math> [[w:Ensembles_disjoints|disjoints]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> il existe deux valeurs de <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> possibles de signe contraire, aussi }}<math>\;U_{+} = \left\lbrace x \in \left] -1\,,\, +1 \right[\;,\; y > 0 \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> il existe deux valeurs de <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> possibles de signe contraire, aussi }}<math>\;U_{-} = \left\lbrace x \in \left] -1\,,\, +1 \right[\;,\; y < 0 \right\rbrace\;</math> pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> }}appliquer, sur chacun d'eux, le [[w:Théorème des fonctions implicites#Dimension 2|théorème des fonctions implicites en dimension deux]] : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{+}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = 2\;y_0 \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}une fonction réelle <math>\;\psi_{+}\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\;\left] -1\,,\, +1 \right[\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> dans <math>\;U_{+}</math>, noté <math>\;\Omega_{+}</math>, tels que <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y \right) \in \Omega_{+}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x \in \left] -1\,,\, +1 \right[\; \text{et} \\ y = \psi_{+}(x) = \sqrt{1 - x^2} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\psi_{+}\;</math> décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessus de l'axe <math>\;x'x\;</math>».</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}«<math>\;\dfrac{d \psi_{+}}{dx}(x) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) } = -\dfrac{2\,x}{2\,y} = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math>»<ref name="dérivée 1ère d'une fonction implicite entre deux variables réelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Dérivée_première_d'une_fonction_implicite_entre_deux_variables_réelles|dérivée 1^ère d'une fonction implicité entre deux variables réelles]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{-}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_0,\,y_0) = 2\;y_0 \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}une fonction réelle <math>\;\psi_{-}\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\;\left] -1\,,\, +1 \right[\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> dans <math>\;U_{-}</math>, noté <math>\;\Omega_{-}</math>, tels que <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y \right) \in \Omega_{-}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x \in \left] -1\,,\, +1 \right[\; \text{et} \\ y = \psi_{-}(x) = -\sqrt{1 - x^2} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\psi_{-}\;</math> décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessous de l'axe <math>\;x'x\;</math>».</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}«<math>\;\dfrac{d \psi_{-}}{dx}(x) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) } = -\dfrac{2\,x}{2\,y} = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\;</math>»<ref name="dérivée 1ère d'une fonction implicite entre deux variables réelles" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;y \in \left] -1\,,\, +1 \right[\;</math> il existe deux valeurs de <math>\;x\;</math> possibles de signe contraire, aussi on considère deux ouverts de <math>\,\mathbb{R}^2\,</math> [[w:Ensembles_disjoints|disjoints]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> il existe deux valeurs de <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> possibles de signe contraire, aussi }}<math>\;{U'}_{\!\!+} = \left\lbrace y \in \left] -1\,,\, +1 \right[\;,\; x > 0 \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> il existe deux valeurs de <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> possibles de signe contraire, aussi }}<math>\;{U'}_{!-} = \left\lbrace y \in \left] -1\,,\, +1 \right[\;,\; x < 0 \right\rbrace\;</math> pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> }}appliquer, sur chacun d'eux, le [[w:Théorème des fonctions implicites#Dimension 2|théorème des fonctions implicites en dimension deux]] : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!+}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) = 2\;x_0 \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!+}}</math>, }}une fonction réelle <math>\;\varphi_{+}\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\;\left] -1\,,\, +1 \right[\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!+}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> dans <math>\;{U'}_{\!\!+}</math>, noté <math>\;{\Omega'}_{\!\!+}</math>, tels que <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!+}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y \right) \in {\Omega'}_{\!\!+}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} y \in \left] -1\,,\, +1 \right[\; \text{et} \\ y = \varphi_{+}(y) = \sqrt{1 - y^2} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\varphi_{+}\;</math> décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à droite de l'axe <math>\;y'y\;</math>».</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!+}}</math>, }}«<math>\;\dfrac{d \varphi_{+}}{dy}(y) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) } = -\dfrac{2\,y}{2\,x} = -\dfrac{y}{\sqrt{1 - y^2}}\;</math>»<ref name="dérivée 1ère d'une fonction implicite entre deux variables réelles" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!-}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_0,\,y_0) = 2\;x_0 \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!-}}</math>, }}une fonction réelle <math>\;\varphi_{-}\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\;\left] -1\,,\, +1 \right[\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!-}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0 \right)\;</math> dans <math>\;{U'}_{\!\!-}</math>, noté <math>\;{\Omega'}_{\!\!-}</math>, tels que <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!-}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y \right) \in {\Omega'}_{\!\!-}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} y \in \left] -1\,,\, +1 \right[\; \text{et} \\ x = \varphi_{-}(y) = -\sqrt{1 - y^2} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\varphi_{-}\;</math> décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à gauche de l'axe <math>\;y'y\;</math>».</ref> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y \in \left] -1\,,\, +1 \right[}\;</math> appliquer, pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0)\,\in\,{U'}_{\!\!-}}</math>, }}«<math>\;\dfrac{d \varphi_{-}}{dy}(y) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) } = -\dfrac{2\,y}{2\,x} = \dfrac{y}{\sqrt{1 - y^2}}\;</math>»<ref name="dérivée 1ère d'une fonction implicite entre deux variables réelles" />. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math><u>Remarques</u> : <math>\succ\;</math>aux points d'abscisse <math>\;x_{+} = +1\;</math> ou <math>\;x_{-} = -1</math>, il existe une seule valeur de <math>\;y\;</math> possible <math>\;y_d = 0</math>, mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>aux points d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x_{+} = +1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{x_{-} = -1}</math>, }}dans tout ouvert contenant l'un ou l'autre <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x}(x_{\pm},\,y_d) = 2\;y_d = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>aux points d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x_{+} = +1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{x_{-} = -1}\;</math> }}le [[w:Théorème des fonctions implicites#Dimension 2|théorème des fonctions implicites en dimension deux]] ne peut s'y appliquer ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarques : }}<math>\succ\;</math>aux points d'ordonnée <math>\;y_{+} = +1\;</math> ou <math>\;y_{-} = -1</math>, il existe une seule valeur de <math>\;x\;</math> possible <math>\;x_d = 0</math>, mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>aux points d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y_{+} = +1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{y_{-} = -1}</math>, }}dans tout ouvert contenant l'un ou l'autre <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y}(x_d,\,y_{\pm}) = 2\;x_d = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>aux points d'ordonnée <math>\;\color{transparent}{y_{+} = +1}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{y_{-} = -1}\;</math> }}le [[w:Théorème des fonctions implicites#Dimension 2|théorème des fonctions implicites en dimension deux]] ne peut s'y appliquer. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Exemples_de_fonctions_implicites_entre_deux_variables_réelles|exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles]] » présentés plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, }}que les conditions d'application du [[w:Théorème des fonctions implicites#Dimension 2|théorème des fonctions implicites en dimension deux]] sont vérifiées <math>\;\ldots</math> === Théorème des fonctions implicites en dimension trois === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème des fonctions implicites en dimension trois]] précise à quelles conditions une équation implicite <math>\;f(x,\,y,|,z) = 0\;</math> des variables réelles <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> peut être résolue c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise }}à quelles conditions on peut exprimer une des variables <math>\;x</math> <math>\;\big\{</math>ou <math>\;y\;</math> ou <math>\;z\big\}\;</math> en fonction des deux autres <math>\;(y\,,\,z)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer une des variables <math>\;\color{transparent}{x}</math> <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>ou <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{z\big\}}\;</math> en fonction de }}<math>\big\{</math>ou <math>\;(x\,,\,z)\;</math> ou <math>\;(x\,,\,y\big)\big\}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions on peut exprimer }}pour tous les triplets <math>\;\left( x\,,\, y\,,\, z \right)\;</math> vérifiant l'équation ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}il existe d'autres formulations <math>\;\big(</math>ou utilisations<math>\big)\;</math> de ce [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème]] que nous n'évoquerons pas<ref> Ces formulations <math>\;\big(</math>ou utilisations<math>\big)\;</math> dépassant le cadre d'étude que nous nous sommes fixés <math>\;\big\{</math>voir les paragraphes « [[w:Théorème des fonctions implicites#Multiplicateur de Lagrange|multiplicateur de Lagrange]] », « [[Théorème des fonctions implicites#Théorème du redressement d'un flot|théorème du redressement d'un flot]] » et « [[w:Théorème des fonctions implicites#Théorème de Cauchy-Lipschitz|théorème de Cuachy-Lipschitz]] » du même chapitre « [[w:Théorème des fonctions implicites|théorème des fonctions implicites]] » de wikipedia<math>\big\}</math>.</ref>. ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème des fonctions implicites en dimension trois|contenu={{Al|5}}Soit «<math>\;f\;</math> une fonction réelle de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]] <math>\;\big(p\,\in\,\mathbb{N}^{*}\big)\;</math><ref name="classe Cp" /> définie sur un ouvert <math>\;U\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> un point de <math>\;U\;</math> tel que <math>\;f\!\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right) = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel }}que la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;y</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> figées<math>\big)\;</math> y soit non nulle c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel que }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}il existe une fonction réelle <math>\;\psi\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur un intervalle ouvert de <math>\;\mathbb{R}^2</math> noté <math>\;V\, \ni (x_0\,,\, z_0)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;U</math>, noté <math>\;\Omega</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}tels que «<math>\;\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in \Omega\; \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;(x,\,z) \in V \; \text{et}\;y = \psi(x,\,z)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe tels que }}«<math>\;\psi\;</math> définissant une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] solution de l'équation implicite <math>\;f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème des fonctions implicites en dimension trois (1^ère autre version)|contenu={{Al|5}}Soit «<math>\;f\;</math> une fonction réelle de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]] <math>\;\big(p\,\in\,\mathbb{N}^{*}\big)\;</math><ref name="classe Cp" /> définie sur un ouvert <math>\;U\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> un point de <math>\;U\;</math> tel que <math>\;f\!\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right) = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel }}que la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;x</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> figées<math>\big)\;</math> y soit non nulle c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel que }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}il existe une fonction réelle <math>\;\varphi\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur un intervalle ouvert <math>\;\mathbb{R}^2</math> noté <math>\;V'\, \ni (y_0,\, z_0)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;U</math>, noté <math>\;\Omega'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}tels que «<math>\;\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in \Omega'\; \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;(y,\, z) \in V' \; \text{et}\;x = \varphi(y,\, z)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe tels que }}«<math>\;\varphi\;</math> définissant une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] solution de l'équation implicite <math>\;f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème des fonctions implicites en dimension trois (2^ème autre version)|contenu={{Al|5}}Soit «<math>\;f\;</math> une fonction réelle de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]] <math>\;\big(p\,\in\,\mathbb{N}^{*}\big)\;</math><ref name="classe Cp" /> définie sur un ouvert <math>\;U\;</math> de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> un point de <math>\;U\;</math> tel que <math>\;f\!\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right) = 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel }}que la dérivée partielle 1^ère de <math>\;f\;</math> par rapport à <math>\;z</math> <math>\;\big(</math>à <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> figées<math>\big)\;</math> y soit non nulle c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit «<math>\;\color{transparent}{\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)}\;</math> un point de <math>\;\color{transparent}{U}\;</math> tel que }}<math>\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}il existe une fonction réelle <math>\;\zeta\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur un intervalle ouvert <math>\;\mathbb{R}^2</math> noté <math>\;V''\, \ni (x_0,\, y_0)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;U</math>, noté <math>\;\Omega''</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe }}tels que «<math>\;\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in \Omega''\; \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;(x,\, y) \in V'' \; \text{et}\;z = \zeta(x,\, y)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|il existe tels que }}«<math>\;\zeta\;</math> définissant une [[w:Fonction_implicite|fonction implicite]] solution de l'équation implicite <math>\;f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous admettons le [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème des fonctions implicites en dimension trois]] dans chaque version énoncée ci-dessus. ==== Exemples d'application ==== {{Al|5}}<u>Retour sur l'équation implicite</u> «<math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - \dfrac{z^2}{c'^2} - 1 = 0\;</math>» équation cartésienne <math>\;f(x\,,\,y\,,\,z) = 0\;</math> de l'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde à une nappe]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x</math>, <math>\;y'y\;</math> et <math>\;z'z\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{f(x\,,\,y\,,\,z) = 0}\;</math> de }}avec <math>\;a'</math>, <math>\;b'\;</math> et <math>\;c'\;</math> les demi-axes<ref> Paramètres positifs.</ref>, l'[[w:Hyperboloïde|hyperboloïde]] étant [[w:Connexité_(mathématiques)|connexe]]<ref> Présence d'une seule nappe.</ref>{{,}}<ref> Le caractère [[w:Connexité_(mathématiques)|connexe]] de l'[[w:Hyperboloïde|hyperboloïde]] étant assuré par le fait que <math>\;z\;</math> peut prendre toute valeur réelle alors que <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> prennent des valeurs telles que <math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} \geqslant 1</math>.</ref> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en tout point <math>\;\left( x \in \mathbb{R}\;,\;z \in \mathbb{R}^*\right)\,</math> il existe deux valeurs de <math>\;y\;</math> possibles de signe contraire, aussi on considère <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( x \in \mathbb{R}\;,\;z \in \mathbb{R}^*\right)}\;</math> }}deux ouverts de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> [[w:Ensembles_disjoints|disjoints]] <math>\,U_{+} = \left\lbrace x \in \mathbb{R}\,,\, z \in \mathbb{R}^*\,,\, y > 0 \right\rbrace\,</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( x \in \mathbb{R}\;,\;z \in \mathbb{R}^*\right)}\;</math> deux ouverts de <math>\,\color{transparent}{\mathbb{R}^3}\,</math> disjoints }}<math>\,U_{-} = \left\lbrace x \in \mathbb{R}\,,\, z \in \mathbb{R}^*\,,\, y < 0 \right\rbrace\,</math> pour <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( x \in \mathbb{R}\;,\;z \in \mathbb{R}^*\right)}\;</math> }}appliquer, sur chacun, le [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème des fonctions implicites en dimension trois]] : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{+}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = \dfrac{2\;y_0}{b'^2} \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}une fonction réelle <math>\,\psi_{+}(x,\, z)\,</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\,</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;U_{+}</math>, noté <math>\;\Omega_{+}</math>, tels que <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in \Omega_{+}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x \in \mathbb{R}\;,\; z \in \mathbb{R}^*\; \text{et} \\ y = \psi_{+}(x,\,z) = b'\;\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\psi_{+}\;</math> décrivant la demi-nappe d'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde]] hors bornes strictement du côté <math>\;y > 0\;</math> du plan <math>\;xOz\;</math>».</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi_{+}}{\partial x} \right)_{\!z}(x,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,x}{a'^2}}{\dfrac{2\,y}{b'^2}} = -\dfrac{b'}{a'^2}\;\dfrac{x}{\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Dérivées_partielles_premières_d'une_fonction_implicite_entre_trois_variables_réelles|dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicité entre trois variables réelles]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{+}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi_{+}}{\partial z} \right)_{\!x}(x,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{-2\,z}{c'^2}}{\dfrac{2\,y}{b'^2}} = \dfrac{b'}{c'^2}\;\dfrac{z}{\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{-}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = \dfrac{2\;y_0}{b'^2} \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}une fonction réelle <math>\,\psi_{-}(x,\, z)\,</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\,</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;U_{-}</math>, noté <math>\;\Omega_{-}</math>, tels que <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in \Omega_{-}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x \in \mathbb{R}\;,\; z \in \mathbb{R}^*\; \text{et} \\ y = \psi_{-}(x,\,z) = -b'\;\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\psi_{-}\;</math> décrivant la demi-nappe d'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde]] hors bornes strictement du côté <math>\;y < 0\;</math> du plan <math>\;xOz\;</math>».</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi_{-}}{\partial x} \right)_{\!z}(x,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,x}{a'^2}}{\dfrac{2\,y}{b'^2}} = \dfrac{b'}{a'^2}\;\dfrac{x}{\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,U_{-}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \psi_{-}}{\partial z} \right)_{\!x}(x,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{-2\,z}{c'^2}}{\dfrac{2\,y}{b'^2}} = -\dfrac{b'}{c'^2}\;\dfrac{z}{\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en tout point <math>\,\left( y \in \mathbb{R}\,,\,z \in \mathbb{R}^*\right)\,</math> il existe deux valeurs de <math>\;x\;</math> possibles de signe contraire, aussi on considère <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( y \in \mathbb{R}\;,\;z \in \mathbb{R}^*\right)}\;</math> }}deux ouverts de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> [[w:Ensembles_disjoints|disjoints]] <math>\,{U'}_{\!+} = \left\lbrace y \in \left] -\infty\,,\, -b' \right] \cup \left[ +b'\,,\, +\infty \right[\,,\,z \in \mathbb{R}^*\,,\, x > 0 \right\rbrace\,</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( y \in \mathbb{R}\;,\;z \in \mathbb{R}^*\right)}\;</math> deux ouverts disjoints }}<math>\,{U'}_{\!-} = \left\lbrace y \in \left] -\infty\,,\, -b' \right] \cup \left[ +b'\,,\, +\infty \right[\,,\,z \in \mathbb{R}^*\,,\, x < 0 \right\rbrace\,</math> pour <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( y \in \mathbb{R}\;,\;z \in \mathbb{R}^*\right)}\;</math> }}appliquer, sur chacun, le [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème des fonctions implicites en dimension trois]] : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!+}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = \dfrac{2\;x_0}{a'^2} \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!+}}</math>, }}une fonction réelle <math>\,\varphi_{+}(y,\, z)\,</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\,</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!+}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;{U'}_{\!+}</math>, noté <math>\;{\Omega'}_{\!+}</math>, tels que <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!+}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in {\Omega'}_{\!+}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} y \in \mathbb{R}\;,\; z \in \mathbb{R}^*\; \text{et} \\ x = \varphi_{+}(y,\,z) = a'\;\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\varphi_{+}\;</math> décrivant la demi-nappe d'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde]] hors bornes strictement du côté <math>\;x > 0\;</math> du plan <math>\;yOz\;</math>».</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!+}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi_{+}}{\partial y} \right)_{\!z}(y,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,y}{b'^2}}{\dfrac{2\,x}{a'^2}} = -\dfrac{a'}{b'^2}\;\dfrac{y}{\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!+}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi_{+}}{\partial z} \right)_{\!y}(y,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{-2\,z}{c'^2}}{\dfrac{2\,x}{a'^2}} = \dfrac{a'}{c'^2}\;\dfrac{z}{\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!-}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x_0,\,y_0,\,z_0) = \dfrac{2\;x_0}{b'^2} \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!-}}</math>, }}une fonction réelle <math>\,\varphi_{-}(y,\, z)\,</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\,\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\,</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!-}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;{U'}_{\!-}</math>, noté <math>\;{\Omega'}_{\!-}</math>, tels que <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!-}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in {\Omega'}_{\!-}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} y \in \mathbb{R}\;,\; z \in \mathbb{R}^*; \text{et} \\ x = \varphi_{-}(y,\,z) = -a'\;\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\varphi_{-}\;</math> décrivant la demi-nappe d'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde]] hors bornes strictement du côté <math>\;x < 0\;</math> du plan <math>\;yOz\;</math>».</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!-}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi_{-}}{\partial y} \right)_{\!z}(y,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,y}{b'^2}}{\dfrac{2\,x}{a'^2}} = \dfrac{a'}{b'^2}\;\dfrac{y}{\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" /> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U'}_{\!-}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \varphi_{-}}{\partial z} \right)_{\!y}(y,\,z) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{-2\,z}{c'^2}}{\dfrac{2\,x}{a'^2}} = -\dfrac{a'}{c'^2}\;\dfrac{z}{\sqrt{1 - \dfrac{y^2}{b'^2} + \dfrac{z^2}{c'^2}}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math>en tout point <math>\;\left( x \in \mathbb{R}\;,\;y \in \mathbb{R}\;,\; \text{avec}\; \dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} > 1 \right)\;</math> il existe deux valeurs de <math>\;z\;</math> possibles de signe contraire, aussi on considère <br>{{Al|16}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( x \in \mathbb{R}\;,\;y \in \mathbb{R}\;,\; \text{avec}\; x^2 + y^2 > 1 \right)}\;</math> }}deux ouverts de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> [[w:Ensembles_disjoints|disjoints]] <math>\;{U''}_{\!\!+} = \left\lbrace x \in \mathbb{R}\;,\;y \in \mathbb{R}\;,\; z > 0 \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( x \in \mathbb{R}\;,\;y \in \mathbb{R}\;,\; \text{avec}\; x^2 + y^2 > 1 \right)}\;</math> deux ouverts de <math>\,\color{transparent}{\mathbb{R}^3}\,</math> disjoints }}<math>\;{U''}_{\!\!-} = \left\lbrace x \in \mathbb{R}\;,\; y \in \mathbb{R}\;,\; z < 0 \right\rbrace\;</math> pour <br>{{Al|16}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point <math>\;\color{transparent}{\left( x \in \mathbb{R}\;,\;y \in \mathbb{R}\;,\; \text{avec}\; x^2 + y^2 > 1 \right)}\;</math> }}appliquer, sur chacun, le [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème des fonctions implicites en dimension trois]] : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!+}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{2\;z_0}{c'^2} \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!+}}</math>, }}une fonction réelle <math>\;\zeta_{+}(x,\, y)\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!+}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;{U''}_{\!\!+}</math>, noté <math>\;{\Omega''}_{\!\!+}</math>, tels que <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!+}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in {\Omega''}_{\!\!+}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x \in \mathbb{R}\;,\; y \in \mathbb{R}\; \text{et} \\ z = \zeta_{+}(x,\,y) = c'\;\sqrt{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\zeta_{+}\;</math> décrivant la demi-nappe d'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde]] hors bornes strictement du côté <math>\;z > 0\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math>».</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!+}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta_{+}}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,x}{a'^2}}{\dfrac{-2\,z}{c'^2}} = -\dfrac{c'}{a'^2}\;\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!+}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta_{+}}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,y}{b'^2}}{\dfrac{-2\,z}{c'^2}} = \dfrac{c'}{b'^2}\;\dfrac{y}{\sqrt{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point }}pour <math>\;(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!-}</math>, <math>\;f(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0) = 0\;</math> et <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x_0,\,y_0,\,z_0) = -\dfrac{2\;z_0}{c'^2} \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> il existe <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!-}}</math>, }}une fonction réelle <math>\;\zeta_{-}(x,\, y)\;</math> de [[w:Classe_de_régularité|classe C^p]]<ref name="classe Cp" />, définie sur <math>\;\mathbb{R} \times \mathbb{R}\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!-}}</math>, }}un [[w:Voisinage_(mathématiques)|voisinage]] ouvert de <math>\;\left( x_0\,,\, y_0\,,\, z_0 \right)\;</math> dans <math>\;{U''}_{\!\!-}</math>, noté <math>\;{\Omega''}_{\!\!-}</math>, tels que <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!-}}</math>, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\forall\, \left( x\,,\, y\,,\, z \right) \in {\Omega''}_{\!\!-}\\ \text{et}\; f\!\left( x\,,\, y\,,\, z \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x \in \mathbb{R}\;,\; y \in \mathbb{R}\; \text{et} \\ z = \zeta_{-}(x,\,y) = -c'\;\sqrt{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1} \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Le « graphe de <math>\;\zeta_{-}\;</math> décrivant la demi-nappe d'[[w:Hyperboloïde#Hyperboloïde_à_une_nappe|hyperboloïde]] hors bornes strictement du côté <math>\;z < 0\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math>».</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!-}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta_{-}}{\partial x} \right)_{\!y}(x,\,y) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)_{\!y,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,x}{a'^2}}{-\dfrac{2\,z}{c'^2}} = -\dfrac{c'}{a'^2}\;\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en tout point pour <math>\;\color{transparent}{(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0)\,\in\,{U''}_{\!\!-}}</math>, }}«<math>\;\left( \dfrac{\partial \zeta_{-}}{\partial y} \right)_{\!x}(x,\,y) = - \dfrac{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!x,\,z}(x,\,y,\,z) }{ \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\,y,\,z) } = -\dfrac{\dfrac{2\,y}{b'^2}}{\dfrac{-2\,z}{c'^2}} = -\dfrac{c'}{b'^2}\;\dfrac{y}{\sqrt{\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} - 1}}\;</math>»<ref name="dérivée partielle 1ère d'une fonction implicite entre trois variables réelles" />. <br>{{Al|9}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» }}<math>\bullet\;</math><u>Remarque</u> : en tout point tel que <math>\;\dfrac{x^2}{a'^2} + \dfrac{y^2}{b'^2} = 1</math>, il existe une seule valeur de <math>\;z\;</math> possible <math>\;z_d = 0</math>, mais <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarque : en tout point tel que <math>\;\color{transparent}{a'^2 + b'^2 = 1}</math>, }}dans tout ouvert contenant ces points <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!x,\,y}(x,\, y,\, z_d) = \dfrac{-2\,z_d}{c'^2} = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur l'équation implicite «<math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Remarque : en tout point tel que <math>\;\color{transparent}{a'^2 + b'^2 = 1}</math>, }}le [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème des fonctions implicites en dimension trois]] ne peut s'y appliquer. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Exemples_de_fonctions_implicites_entre_trois_variables_réelles|exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles]] » présentés plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, }}que les conditions d'application du [[w:Théorème des fonctions implicites#Variété différentielle|théorème des fonctions implicites en dimension trois]] sont vérifiées <math>\;\ldots</math> === Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus === {{Al|5}}Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Fonctions_implicites#Énoncé_2|théorème des fonctions implicites de dimension trois]] » à toute dimension quatre ou plus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous laissons le soin au lecteur de généraliser }}le graphe des [[w:Fonction_implicite|fonctions implicites]] représentant « des surfaces en dimension trois » et « des [[w:Hypersurface|hypersurfaces]] <ref> Une « [[w:Hypersurface|hypersurface]] dans un espace de dimension <math>\;n\;</math> est un espace de dimension <math>\;n - 1\;</math>».</ref> en dimension quatre ou plus » <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Notion de champs tensoriels, recherche d'une méthode compacte pour déterminer la variation d'un champ vectoriel/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} i4evmozwf22epgs91c6odxg78qo2lbu 0 79541 982993 962539 2026-05-23T19:42:21Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982993 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe/]] }} == Relevés expérimentaux de l'évolution temporelle de grandeurs électriques dans l'exemple du « R L C série » soumis à un échelon de tension == === Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur avec observation de sa continuité en t = 0 === [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse en uC.png|thumb|340px|Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{Al|5}}Pour enregistrer la « réponse en <math>\;u_C(t)\;</math> du <math>\;R\; L\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à partir du schéma représenté {{Nobr|ci-dessous}} en faisant apparaître l'instant <math>\;0</math>, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de <math>\;K</math> ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, ce choix dépendant des valeurs des paramètres du <math>\;R\; L\; C\;</math> série sera précisé par la suite ; enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation stabilisée.</ref> à amplitude variable que l'on choisira par exemple à <math>\;1\; V</math>, dans ce cas le zéro de l'A.S<ref name="A.S." />. est reliée à la Terre<ref name="masse reliée à la Terre"> Masse reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur.</ref> et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-dessous pour des raisons d'unicité de masses. {{Al|5}}Si on automatise « la création <math>\;\big(</math>et la suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension {{Nobr|« créneau » <ref> Supposée symétrique <math>\;\big(</math>c.-à-d. de même durée pour l'alternance de valeur haute que celle de valeur basse<math>\big)</math>.</ref>}} d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> à laquelle on ajoute une composante permanente <math>\;\dfrac{E}{2}</math>, on obtient * sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant <math>\;E\;</math> et * sur l'alternance de valeur basse une tension valant <math>\;0</math> ; {{Al|5}}pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées {{Nobr|c.-à-d.}} qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du <math>\;R\; L\; C\;</math> série sera précisé par la suite ; {{Al|5}}enfin si on utilise un générateur de fonctions il est nécessaire de comptabiliser la résistance de sortie de ce dernier, laquelle vaut usuellement <math>\;50\;\Omega</math>, ainsi que la résistance interne de la bobine, laquelle vaut usuellement <math>\;10\;\Omega</math>, dans la résistance du <math>\;R\; L\; C\;</math> série<ref> Ceci ayant pour conséquence que <math>\;R > 60\;\Omega\;</math> et, si on souhaite une résistance <math>\;R\;</math> plus faible <math>\;\big(</math>tout en restant supérieure à <math>\;10\;\Omega\big)</math>, il convient alors d'insérer entre la sortie du générateur de fonctions et l'entrée du <math>\;R\; L\; C\;</math> série un montage suiveur dont on trouvera la description dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F.]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. <center>Ci-dessous les trois types de réponses en <math>\;u_C(t)\;</math> suivant la valeur de résistance du <math>\;R\;L\;C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> ;<br>avec <math>\;C = 5\; \mu F\;</math> et <math>\;L = 0,2\;H\;</math> on obtient, comme pulsation propre du <math>\;R\;L\;C\;</math> série, <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = 1000\;rad \cdot s^{-1}\;</math><ref name="réduction canonique"> Voir la signification dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réductions_canoniques|réductions canoniques]] » plus bas dans ce chapitre.</ref></center> [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en uC.png|left|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique en uC.png|right|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique critique en uC.png|center|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{clr}} * Ci-dessus à gauche, avec <math>\;R = 40\;\Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;30\;\Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine<ref> Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, il est nécessaire d'insérer entre la sortie du générateur de fonctions et l'entrée du <math>\;R\; L\; C\;</math> série un « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|montage suiveur]] » <math>\;\big(</math>chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)</math> pour ne pas tenir compte des <math>\;50\;\Omega\;</math> de résistance de sortie du générateur de fonctions.</ref><math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma =</math> {{Nobr|<math>0,1\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si pseudo-périodique"> Le calcul utilise la définition <math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{R}{L} = 200\;rad \cdot s^{-1}\;</math> d'où la valeur <math>\;\sigma = 0,1\;</math> compte-tenu de <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} =</math> <math>1000\;rad \cdot s^{-1}</math>.</ref>}} correspondant à un <u>régime pseudo-périodique</u> de pseudo-période <math>\;T \simeq 6,3\;ms\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_diagramme_temporel_de_la_variation_de_uC(t)_dans_le_cas_d'une_réponse_transitoire_pseudo-périodique_et_commentaires|tracé du diagramme horaire de u_C(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires]] » plus loin dans ce chapitre, la formule permettant le calcul de la pseudo-période étant <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} \simeq \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = T_0\;</math> s'identifiant à la période propre dans la mesure où <math>\;\sigma^2 \ll 1</math>.</ref> ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de <math>\;10\;\tau = 50\;ms\;</math><ref name="définition de tau"> Où <math>\;\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> est la constante de temps du <math>\;R\;L\;C\;</math> série <math>\big(</math>grandeur canonique la moins utilisée voir la signification dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réductions_canoniques|réductions canoniques]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> correspondant à peu près à <math>\;\dfrac{10\;\tau}{T} \simeq 8\;</math> pseudo-oscillations<ref name="fréquence créneau si pseudo-périodique"> Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de <math>\;50\;ms\;</math> soit une période minimale pour le signal créneau de <math>\;100\;ms\;</math> et une fréquence maximale de ce dernier de <math>\;10\;Hz\;\big(</math>possible à utiliser à condition de faire un enregistrement à l'oscilloscope numérique<math>\big)</math>.</ref> <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;10\;ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="durée balayage d'écran si pseudo-périodique"> Avec cette sensibilité, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de <math>\;10\; cm\;</math> en <math>\;100\; ms > 50\; ms</math>.</ref>, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué"> Ne laissant voir que <math>\;6\;cm\;</math> d'écran.</ref><math>\big)</math>. [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponses comparées en uC.png|thumb|350px|Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] * Ci-dessus au centre, avec <math>\;R = 400\;\Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;390\;\Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine<ref> Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension sans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|montage suiveur]] » <math>\;\big(</math>chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)</math>, il faut tenir compte des <math>\;50\;\Omega\;</math> de résistance de sortie du générateur de fonctions d'où une résistance additionnelle plus faible de valeur <math>\;340\;\Omega</math>.</ref><math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si apériodique critique"> Le calcul utilise la définition <math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{R}{L} = 2000\;rad \cdot s^{-1}\;</math> d'où la valeur <math>\;\sigma = 1\;</math> compte-tenu de <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} =</math> <math>1000\;rad \cdot s^{-1}</math>.</ref> correspondant à un <u>régime apériodique critique</u> <math>\;\big(</math>régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations<ref> En fait il y a « pseudo-oscillations » tant que <math>\;u_C(t)\;</math> passe au-dessus de sa valeur forcée même si les « pseudo-oscillations » sont à peine perceptibles <math>\;\big(</math>dans ce cas on parle encore de régime « sous-critique »<math>\big)</math>, la résistance critique à partir de laquelle elles disparaissent est donc définie expérimentalement avec une certaine « flexibilité ».</ref><ref name="fréquence créneau si apériodique critique"> Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de <math>\;10\;ms =</math> <math>20\;\tau\;</math> <math>\big(</math>en effet le critère de régime établi à partir de <math>\;10\; \tau\;</math> est moins bien réalisé qu'en régime pseudo-périodique et il faut le remplacer par <math>\;20\; \tau\big)\;</math> soit une période minimale pour le signal créneau de <math>\;20\;ms\;</math> et une fréquence maximale de ce dernier de <math>\;50\;Hz\;\big(</math>possible à utiliser à condition de faire un enregistrement à l'oscilloscope numérique<math>\big)</math>.</ref><math>\big)</math>, <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;2\;ms \cdot cm^{-1}\;</math> <ref name="sensibilité de base de temps si apériodique critique"> Il faut bien sûr modifier la sensibilité de la base de temps relativement à l'observation précédente car <math>\;\sigma\;</math> étant multiplié par <math>\;10</math>, <math>\;\tau\;</math> est divisé par <math>\;10\;</math> et le régime forcé étant considéré comme établi à partir de <math>\;10\; \tau</math>, cela représente donc <math>\;10\;</math> fois moins, autorisant une sensibilité de base de temps <math>\;10\;</math> fois plus faible soit <math>\;1\;ms \cdot cm^{-1}</math> ; choisissant en fait une sensibilité de <math>\;2\;ms \cdot cm^{-1}\;</math> car le critère de régime établi à partir de <math>\;10\; \tau\;</math> est moins bien réalisé qu'en régime pseudo-périodique, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de <math>\;10\; cm\;</math> en <math>\;20\; ms\;</math> c.-à-d. <math>\;>\;</math> à <math>\;10\; ms = 20\; \tau</math>, ce qui permet d'assurer plus nettement l'établissement du régime forcé.</ref>, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. * Ci-dessus à droite, avec <math>\;R = 4\;k \Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;3,99\;k \Omega \simeq 4\; k \Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine négligeable en pratique<ref> Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension sans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|montage suiveur]] » <math>\;\big(</math>chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)</math>, en théorie il faudrait aussi tenir compte des <math>\;50\;\Omega\;</math> de résistance de sortie du générateur de fonctions ce qui, avec la résistance de la bobine, conduirait à une résistance additionnelle de valeur <math>\;3,94\;k \Omega\;</math> mais, là encore, en pratique <math>\;3,94\;k \Omega \simeq 4\; k \Omega\;</math> revenant à considérer la résistance de la bobine et celle de sortie du générateur de fonctions comme négligeables.</ref><math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 10\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si apériodique"> Le calcul utilise la définition <math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{R}{L} = 20000\;rad \cdot s^{-1}\;</math> d'où la valeur <math>\;\sigma = 10\;</math> compte-tenu de <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} =</math> <math>1000\;rad \cdot s^{-1}</math>.</ref> correspondant à un <u>régime apériodique</u> <math>\;\big(</math>régime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique<ref name="surcritique"> En fait si on est simplement légèrement au-delà du régime apériodique critique on peut parler de régime « sur-critique ».</ref> <ref name="fréquence créneau si apériodique"> Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de <math>\;100\;ms =</math> <math>2000\;\tau\;</math> <math>\big(</math>le critère de régime établi à partir de <math>\;10\; \tau\;</math> utilisé en régime pseudo-périodique est devenu très insuffisant en régime apériodique, sur le diagramme horaire on observe qu'il faut <math>\;2000\; \tau\;</math> mais en fait se référer à <math>\;\tau = \dfrac{L}{R} = 50\; \mu s\;</math> n'a plus beaucoup de sens<math>\Big)\;</math> soit une période minimale pour le signal créneau de <math>\;200\;ms\;</math> et une fréquence maximale de ce dernier de <math>\;5\;Hz\;\big(</math>possible à utiliser à condition de faire un enregistrement à l'oscilloscope {{Nobr|numérique<math>\big)</math>.}}</ref><math>\big)</math>, <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;20\;ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="sensibilité de base de temps si apériodique"> Avec une sensibilité de <math>\;20\;ms \cdot cm^{-1}</math>, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de <math>\;10\; cm\;</math> en <math>\;200\; ms > 100\; ms\;</math> la durée nécessaire pour que la réponse forcée soit établie dans le cas de ce régime apériodique.</ref>, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> que le régime forcé s'établit le plus rapidement. {{Al|5}}Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la <u>continuité de la tension aux bornes du condensateur</u> du <math>\;R\;L\;C\;</math> série soumis à un échelon de tension en <math>\;t = 0</math>, instant de discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon source<ref name="circuit résistif"> En accord avec les propriétés de continuité de grandeurs électriques dans un circuit résistif.</ref>. === Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le « R L C série » avec observation de sa continuité en t = 0 === [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse en uR.png|thumb|340px|Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{Al|5}}On rappelle que pour observer l'évolution temporelle d'une intensité instantanée de courant à l'oscilloscope on visualise la tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique traversé par ce courant, ici nous regarderons la tension aux bornes du « conducteur ohmique de résistance {{Nobr|<math>\;R\;</math>» <ref> Plus exactement le conducteur ohmique en série avec la bobine laquelle, étant de résistance <math>\;10\; \Omega</math>, impose une valeur de résistance additionnelle égale à <math>\;R - 10\; \Omega\;</math> <math>\bigg[</math>si nous automatisons la création et suppression de l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> à l'aide d'un générateur de fonctions créant une tension créneau symétrique d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> avec un décalage permanent de même valeur <math>\;\dfrac{E}{2}</math>, nous supposons la résistance de sortie de ce générateur de fonctions sans effet en insérant un « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|montage suiveur]] » <math>\;\big(</math>chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)</math> entre lui et le <math>\;R\, L\, C\;</math> série<math>\bigg]</math>.</ref>.}} {{Al|5}}Pour enregistrer la « réponse en <math>\;u_R(t)\;</math> tension aux bornes du conducteur ohmique additionnel du <math>\;R\; L\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant <math>\;0</math>, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de <math>\;K</math> ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite<ref name="dépendance des paramètres du R L C série"> Car dépendant des valeurs des paramètres du <math>\;R\; L\; C\;</math> série avec <math>\;R\;</math> variant d'un régime à un autre.</ref> ; {{Al|5}}enfin l'échelon de tension peut être * créé de façon unique par une A.S. <ref name="A.S." /> à amplitude variable que l'on choisira par exemple à <math>\;1\; V</math>, <math>\;\big(</math>dans ce cas le zéro de l'A.S<ref name="A.S." />. est reliée à la Terre<ref name="masse reliée à la Terre" /> et il est nécessaire de positionner le conducteur ohmique comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses<math>\big)\;</math> ou * automatisé par « création <math>\;\big(</math>et suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> à laquelle on ajoute une composante permanente <math>\;\dfrac{E}{2}</math>, permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant <math>\;E\;</math> et sur l'alternance de valeur basse une tension valant <math>\;0</math> <math>\;\big(</math>pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que l'intensité du courant traversant le <math>\;R\; L\; C\;</math> série ne varie plus c.-à-d. qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du <math>\;R\; L\; C\;</math> série sera précisé par la suite<math>\big)</math>. <center>Ci-dessous les trois types de réponses en <math>\;u_R(t)\;</math> suivant la valeur de résistance du <math>\;R\;L\;C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> ;<br>avec <math>\;C = 5\; \mu F\;</math> et <math>\;L = 0,2\;H\;</math> on obtient, comme pulsation propre du <math>\;R\;L\;C\;</math> série, <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = 1000\;rad \cdot s^{-1}\;</math><ref name="réduction canonique" /></center> [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en uR.png|left|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique en uR.png|right|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique critique en uR.png|center|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{clr}} * Ci-dessus à gauche, avec <math>\;R = 40\;\Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;30\;\Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine<math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma</math> {{Nobr|<math>= 0,1\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si pseudo-périodique" />}} correspondant à un <u>régime pseudo-périodique</u> de pseudo-période <math>\;T \simeq 6,3\;ms\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_diagramme_temporel_de_la_variation_de_i(t)_dans_le_cas_d'une_réponse_transitoire_pseudo-périodique_et_commentaires|tracé du diagramme horaire de i(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires]] » plus loin dans ce chapitre, la formule permettant le calcul de la pseudo-période étant <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} \simeq \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = T_0\;</math> s'identifiant à la période propre dans la mesure où <math>\;\sigma^2 \ll 1</math>.</ref> ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de <math>\;10\;\tau = 50\;ms\;</math><ref name="définition de tau" /> correspondant à peu près à <math>\;\dfrac{10\;\tau}{T} \simeq 8\;</math> pseudo-oscillations<ref name="fréquence créneau si pseudo-périodique" /> <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;10\;ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="durée balayage d'écran si pseudo-périodique" />, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponses comparées en uR.png|thumb|350px|Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] * Ci-dessus au centre, avec <math>\;R = 400\;\Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;390\;\Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine<math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 1\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si apériodique critique" /> correspondant à un <u>régime apériodique critique</u> <math>\;\big(</math>régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations<ref> En fait il y a « pseudo-oscillations » tant que <math>\;u_R(t)\;</math> passe au-dessous de sa valeur forcée nulle même si les « pseudo-oscillations » sont à peine perceptibles <math>\;\big(</math>dans ce cas on parle encore de régime « sous-critique »<math>\big)</math>, la résistance critique à partir de laquelle elles disparaissent est donc définie expérimentalement avec une certaine « flexibilité ».</ref><ref name="fréquence créneau si apériodique critique" /><math>\big)</math>, <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;2\;ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="sensibilité de base de temps si apériodique critique" />, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. * Ci-dessus à droite, avec <math>\;R = 4\;k \Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;3,99\;k \Omega \simeq 4\; k \Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine négligeable en pratique<math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 10\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si apériodique" /> correspondant à un <u>régime apériodique</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>régime}} sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique<ref name="surcritique" />{{,}}<ref name="fréquence créneau si apériodique" /><math>\big)</math>, <math>\big(</math>sensibilité de base de temps choisie à <math>\;20\;ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="sensibilité de base de temps si apériodique" />, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> que le régime forcé nul s'établit le plus rapidement. {{Al|5}}Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la <u>continuité de l'intensité du courant</u> traversant le <math>\;R\;L\;C\;</math> série<ref> Par continuité de la tension aux bornes du conducteur ohmique du <math>\;R\;L\;C\;</math> série.</ref> soumis à un échelon de tension en <math>\;t = 0</math>, instant de discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon source<ref name="circuit résistif" />. === Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine, observation de sa discontinuité de 1^ère espèce en t = 0 === {{Al|5}}Nous cherchons à visualiser la tension aux bornes de la composante parfaite de la bobine réelle, mais ceci n'étant pas possible directement, deux possibilités s'offrent à nous : * la résistance de la bobine est petite relativement à la résistance additionnelle et nous pourrons assimiler la tension aux bornes de la bobine réelle à sa composante parfaite selon <math>\;L\;\dfrac{di}{dt}(t) + r_B\;i(t) \simeq</math> <math>L\;\dfrac{di}{dt}(t)</math>, ce sera le cas pour les régimes apériodiques critique ou non, * la résistance de la bobine n'est pas petite relativement à la résistance additionnelle <math>\;\big(</math>ce sera le cas pour le régime pseudo-périodique avec <math>\;R_{\text{additionnelle}} =</math> <math>30\; \Omega\;</math> alors que <math>\;r_B = 10\; \Omega\;</math> donnant <math>\;R = 40\; \Omega\;</math> et <math>\;\sigma = 0,1\big)</math>, nous visualiserons <math>\;u_B(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t) + r_B\;i(t)\; \stackrel{?}{\neq}\; L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> c.-à-d. ce que l'on cherche avec une erreur systématique de <math>\;r_B\; i(t)\;</math><ref> Toutefois en pratique, <math>\;i(t)\;</math> étant petite dans l'exemple de régime pseudo-périodique avec <math>\;R = 40\; \Omega</math>, on vérifierait que <math>\;r_B\; \vert i(t) \vert \ll \bigg\vert L\;\dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert</math>, on pourra donc confondre <math>\;u_B(t)\;</math> et <math>\;u_L(t)\;</math> dans les exemples de régimes proposés par la suite, l'erreur systématique de <math>\;r_B\; i(t)\;</math> étant, en pratique, toujours négligeable.</ref> qu'il conviendrait théoriquement de « soustraire à <math>\;u_B(t)\;</math>» <ref> <u>Méthode pour éliminer l'erreur systématique si besoin en était</u> : nous décomposons la résistance additionnelle de <math>\;30\; \Omega\;</math> en deux résistances dont l'une de <math>\;10\; \Omega\;</math> est placée immédiatement après la bobine, l'autre de <math>\;20\; \Omega\;</math> étant mise à la suite, et nous visualisons la tension aux bornes de la bobine réelle sur la voie <math>\;CH1\;</math> et celle aux bornes des <math>\;10\; \Omega\;</math> sur la voie <math>\;CH2\;</math> en faisant attention au problème de masse <math>\;\big[</math>il convient d'abord de supprimer la masse du générateur de fonctions <math>\;-\;</math> par utilisation d'un adaptateur de prise de secteur sans Terre ou par transformateur d'isolement <math>\;-\;</math> et de relier le point milieu entre la bobine et la résistance de <math>\;10\; \Omega\;</math> à la masse de l'oscilloscope, ce qui nécessitera d'« inverser » le signal sur la voie <math>\;CH2\;</math> pour obtenir <math>\;10\; i(t)</math>, le signal sur la voie <math>\;CH1\;</math> donnant <math>\;u_B(t)\;</math> sans être inversé<math>\big]</math>, nous obtiendrons <math>\;L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en soustrayant le signal <math>\;2\;</math> du signal <math>\;1</math> ; pour cela on peut utiliser l'opérateur « mathématique addition >» de l'oscilloscope en supprimant au préalable l'inversion du signal <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>de façon à obtenir <math>\;-10\; i(t)\big]\;</math> et en l'additionnant au signal <math>\;1</math> <math>\;\big[</math>qui n'avait pas été inversé, ainsi aucune inversion ne doit finalement être mise en œuvre sur aucune voie<math>\big]</math>.</ref> pour obtenir ce que l'on souhaite. <center>Dans les exemples proposés nous supposons que <math>\;r_B\; \vert i(t) \vert \ll \bigg\vert L\;\dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;u_B(t) \simeq u_L(t)\;</math> d'où le schéma de circuit ci-dessous.</center> [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse en uL.png|thumb|340px|Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{Al|5}}Pour enregistrer la « réponse en <math>\;u_L(t) \simeq u_B(t)\;</math> tension aux bornes de la bobine du <math>\;R\; L\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant <math>\;0</math>, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de <math>\;K</math> ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite<ref name="dépendance des paramètres du R L C série" /> ; {{Al|5}}enfin l'échelon de tension peut être * créé de façon unique par une A.S. <ref name="A.S." /> à amplitude variable que l'on choisira par exemple à <math>\;1\; V</math>, <math>\;\big(</math>dans ce cas le zéro de l'A.S<ref name="A.S." />. est reliée à la Terre<ref name="masse reliée à la Terre" /> et il est nécessaire de positionner la bobine comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses<math>\big)\;</math> ou * automatisé par « création <math>\;\big(</math>et suppression<math>\big)\;</math> d'un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> à laquelle on ajoute une composante permanente <math>\;\dfrac{E}{2}</math>, permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant <math>\;E\;</math> et sur l'alternance de valeur basse une tension valant <math>\;0\;</math><ref> Avec le choix d'automatisation de création et de suppression de l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> à l'aide d'un générateur de fonctions créant une tension créneau symétrique d'amplitude <math>\;\dfrac{E}{2}\;</math> avec un décalage permanent de même valeur <math>\;\dfrac{E}{2}</math>, nous rendons la résistance de sortie de ce générateur de fonctions sans effet en insérant un « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|montage suiveur]] » <math>\;\big(</math>chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)</math> entre lui et le <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref> <math>\;\big(</math>pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la dérivée temporelle de l'intensité du courant traversant le <math>\;R\; L\; C\;</math> série ne varie plus {{Nobr|c.-à-d.}} qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé en <math>\;u_L(t)</math>, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du <math>\;R\; L\; C\;</math> série sera précisé par la suite<math>\big)</math>. <center>Ci-dessous les trois types de réponses en <math>\;u_B(t) \simeq u_L(t)\;</math> suivant la valeur de résistance du <math>\;R\;L\;C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> ;<br>avec <math>\;C = 5\; \mu F\;</math> et <math>\;L = 0,2\;H\;</math> on obtient, comme pulsation propre du <math>\;R\;L\;C\;</math> série, <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = 1000\;rad \cdot s^{-1}\;</math><ref name="réduction canonique" /></center> [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en uL.png|left|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine d'un <math>\;R\; L\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique en uL.png|right|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un <math>\;R\; L\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique critique en uL.png|center|thumb|350px|Diagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes de la bobine d'un <math>\;R\; L\; C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] {{clr}} * Ci-dessus à gauche, avec <math>\;R = 40\;\Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;30\;\Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine<math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma =</math> {{Nobr|<math>0,1\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si pseudo-périodique" />}} correspondant à un <u>régime pseudo-périodique</u> de pseudo-période <math>\;T \simeq 6,3\;ms\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_diagramme_temporel_de_la_variation_de_uL(t)_dans_le_cas_d'une_réponse_transitoire_pseudo-périodique_et_commentaires|tracé du diagramme horaire de u_L(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires]] » plus loin dans ce chapitre, la formule permettant le calcul de la pseudo-période étant <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} \simeq \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = T_0\;</math> s'identifiant à la période propre dans la mesure où <math>\;\sigma^2 \ll 1</math>.</ref> ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de <math>\;10\;\tau = 50\;ms\;</math><ref name="définition de tau" /> correspondant à peu près à <math>\;\dfrac{10\;\tau}{T} \simeq 8\;</math> pseudo-oscillations<ref name="fréquence créneau si pseudo-périodique" /> <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;10\;ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="durée balayage d'écran si pseudo-périodique" />, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. * Ci-dessus au centre, avec <math>\;R = 400\;\Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;390\;\Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine<math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma =</math> {{Nobr|<math>1\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si apériodique critique" />}} correspondant à un <u>régime apériodique critique</u> <math>\;\big(</math>régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations de l'intensité du courant <math>\;i(t)\;</math><ref> On s'intéresse aux pseudo-oscillations éventuelles de <math>\;i(t)\;</math> et non à celles de <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> car, on observe qu'en régime apériodique critique de la tension parfaite aux bornes de la bobine, cette dernière passe au-dessous de sa valeur forcée nulle avant d'y revenir, ce qui est en accord avec l'absence de pseudo-oscillations de <math>\;i(t)</math>, en effet le régime apériodique critique de <math>\;i(t)\;</math> correspondant à <math>\;i(0^{+}) = 0\;</math> d'une part et <math>\;i(+\infty) = 0\;</math> d'autre part en variant de façon continue sans pseudo-oscillations, il est nécessaire que <math>\;i(t)\;</math> passe par une valeur extrémale <math>\;\big(</math>en fait maximale<math>\big)\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> soit d'abord positive, puis négative en passant par la valeur nulle <math>\;\ldots</math></ref><ref name="fréquence créneau si apériodique critique" /><math>\big)</math>, <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;2\;ms \cdot cm^{-1}\;</math><ref name="sensibilité de base de temps si apériodique critique" />, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponses comparées en uL.png|thumb|350px|Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] * Ci-dessus à droite, avec <math>\;R = 4\;k \Omega\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;3,99\;k \Omega \simeq 4\; k \Omega\;</math> de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux <math>\;10\;\Omega\;</math> de résistance de bobine négligeable en pratique<math>\big)\;</math> on obtient un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 10\;</math><ref name="réduction canonique" />{{,}}<ref name="calcul de sigma si apériodique" /> correspondant à un <u>régime apériodique</u> {{Nobr|<math>\;\big(</math>régime}} sans pseudo-oscillations de l'intensité du courant <math>\;i(t)\;</math> au-delà du régime apériodique critique de cette {{Nobr|dernière<ref name="surcritique" />{{,}}<ref> Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé de <math>\;u_L(t)\;</math> devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de <math>\;0,5\;ms =</math> <math>10\;\tau\;</math> <math>\big(</math>le critère de régime établi à partir de <math>\;10\; \tau\;</math> utilisé en régime pseudo-périodique est redevenu suffisant en régime apériodique, sur le diagramme horaire on observe qu'il faut <math>\;10\; \tau\;</math> avec <math>\;\tau = \dfrac{L}{R} = 50\; \mu s\Big)\;</math> soit une période minimale pour le signal créneau de <math>\;1\;ms\;</math> et une fréquence maximale de ce dernier de <math>\;1\;kHz</math>.</ref><math>\big)</math>,}} <math>\big(</math>on choisit comme sensibilité de base de temps <math>\;100\;\mu s \cdot cm^{-1}\;</math><ref> Avec une sensibilité de <math>\;100\;\mu s \cdot cm^{-1}</math>, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de <math>\;10\; cm\;</math> en <math>\;1\; ms > 0,5\; ms\;</math> la durée nécessaire pour que la réponse forcée en <math>\;u_L\;</math> soit établie dans le cas de ce régime apériodique.</ref>, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite<ref name="écran tronqué" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que, contrairement aux réponses en <math>\;u_C\;</math> ou en <math>\;i\;</math> pour lesquelles le régime forcé est établi le plus rapidement dans le cas apériodique critique, c'est dans le cas du régime apériodique <math>\big(</math>en bleu ci-contre<math>\big)\;</math> que le régime forcé nul de <math>\;u_L\;</math> s'établit le plus rapidement<ref> La raison de ceci se justifie car le fait que la courbe de <math>\;u_R(t)\;</math> <math>\big[</math>ou celle de <math>\;i(t)\big]\;</math> du régime apériodique « se rapproche de <math>\;0\;</math> <u>beaucoup plus lentement</u> » que celle du régime apériodique critique, entraînant des valeurs absolues de pentes <math>\;\bigg \vert \dfrac{d u_R}{dt}(t) \bigg\vert\;</math> <math>\bigg[</math>ou <math>\;\bigg \vert \dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert \bigg]\;</math> beaucoup plus petites pour le régime apériodique que celles du régime apériodique critique et par <math>\;u_L(t) = \dfrac{L}{R}\;\dfrac{d u_R}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2\; \sigma\;\omega_0}\;\dfrac{d u_R}{dt}(t)\;</math> <math>\big(</math>les faibles valeurs des pentes étant encore divisées par un facteur <math>\;10\;</math> quand on passe de <math>\;\sigma = 1\;</math> à <math>\;\sigma = 10\big)\;</math> on en déduit des valeurs absolues de tension <math>\;\vert u_L(t) \vert\;</math> pour le régime apériodique correspondant à <math>\;\sigma = 10\;</math> nettement plus petites que celles du régime apériodique critique.</ref>. {{Al|5}}Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la <u>discontinuité de 1^ère espèce de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine</u> du <math>\;R\;L\;C\;</math> série soumis à un échelon de tension en <math>\;t = 0</math>, instant de discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon source. == Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes du condensateur == [[File:RLC série soumis à échelon de tension - bis.png|thumb|350px|Schéma d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec sens <math>\;+\;</math> d'utilisation de l'équation de maille]] === Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension === {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;u_C(t)</math>, tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que <math>\;u_C(t)\;</math> comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité <math>\;i(t)</math> : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;u_C(t) + R\; i(t) + L\;\dfrac{di}{dt}(t) - E\;Y(t) = 0\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i(t)\;</math> au profit de <math>\;u_C(t)\;</math> selon <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur"> En convention récepteur.</ref> d'où <math>\;u_C(t) + R\; C\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;C\; \dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) = E\;Y(t)\;</math> soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{L\;C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;u_C(t)</math>, la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0</math>.</div> === Discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension u_C(t) aux bornes du condensateur en t = 0 === {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse"> Plus précisément dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Nature_de_la_discontinuité_de_la_solution_générale_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_hétérogène_du_2ème_ordre_connaissant_la_nature_de_la_discontinuité_de_l'excitation|nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation]] ».</ref> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> « la dérivée temporelle 2^nde de la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>», et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective"> Cette diminution ne devenant effective que dans la mesure où le numéro d'espèce à partir duquel la diminution sera faite n'est pas nul ; si le numéro d'espèce qui devrait être diminué d'une unité est nul, la diminution est remplacée par une stagnation à zéro.</ref> à chaque prise de primitive <math>\Rightarrow</math> « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale ainsi que la solution générale elle-même sont discontinues de 0^ème espèce c.-à-d. continues en <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on induit que <math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math> et <math>\;u_C(t)\;</math> sont continues en <math>\;t = 0\;</math><ref> De même l'intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est continue compte-tenu de <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math> en convention récepteur.</ref> et on justifie ces inductions par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite et celle de la tension aux bornes d'un condensateur parfait<ref name="rappel continuités dans circuit réel"> Revoir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Continuité_de_l'énergie_électrostatique_(instantanée)_stockée_dans_un_condensateur_parfait_d'un_circuit_«_réel_»_et_conséquences|continuité de l'énergie électrostatique instantanée stockée dans un condensateur parfait d'un circuit réel et conséquences]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Continuité_de_l'énergie_électromagnétique_(instantanée)_stockée_dans_une_bobine_parfaite_d'un_circuit_«_réel_»_et_conséquences|continuité de l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans une bobine parfaite d'un circuit réel et conséquences]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans un circuit « réel »<ref name="circuit réel"> On rappelle qu'un circuit est dit « réel » s'il comprend des « parties résistives par rapport auxquelles la résistance des fils de connexion peut être négligée », pour cela il faut que les fils de connexion soient en série avec un <math>\;\big(</math>ou des<math>\big)\;</math> conducteur<math>\big(</math>s<math>\big)\;</math> ohmique<math>\big(</math>s<math>\big)</math>.</ref>. === Établissement de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique du « R L C série » (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire === ==== Rappel de l'équation différentielle en u_C(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée ==== {{Al|5}}Quand <math>\;t\;</math> est positif, <math>\;Y(t)\;</math> vaut <math>\;1\;</math> et l'équation différentielle se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{L\;C}\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'excitation étant une constante, la réponse forcée est cherchée sous forme d'une constante d'où <center>«<math>\;u_{C,\,f} = E\;</math>».</center> ==== Réductions canoniques ==== {{Al|5}}Il y a trois réductions canoniques principales : ===== La plus courante en électricité ===== {{Al|5}}On définit deux grandeurs canoniques : * la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math> en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="pulsation propre"> Grandeur commune aux trois réductions canoniques.</ref> et * un « cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma \geqslant 0\;</math><ref name="sigma = 0"> <math>\;\sigma = 0\;</math> est théoriquement possible mais pratiquement rejeté car correspondant à l'absence de parties résistives dans le <math>\;R\, L\, C\;</math> série, ce qui est pratiquement impossible à cause de la résistance de la bobine.</ref> sans dimension » tel que «<math>\;\dfrac{R}{L} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>»<ref name="variations sigma et R"> <math>\;\sigma\;</math> est d'autant plus grand que <math>\;R\;</math> est grande.</ref> ; {{Al|5}}l'équation différentielle réduite s'écrit «<math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = \omega_0^2\;E\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>». ===== La 2^ème en importance d'usage dans le domaine électrique ===== {{Al|5}}On définit toujours deux grandeurs canoniques : * la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math> en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="pulsation propre" /> et * un « facteur de qualité <math>\;Q > 0\;</math> sans dimension » tel que «<math>\;\dfrac{R}{L} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math>»<ref> Le lien entre <math>\;Q\;</math> et <math>\;\sigma\;</math> est donc <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}</math>, établissant que <math>\;Q\;</math> est d'autant plus grand que <math>\;\sigma\;</math> est petite c.-à-d. que <math>\;R\;</math> est petite, l'absence théorique de parties résistives dans le <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\sigma = 0\;</math> correspondant à un facteur de qualité <math>\;Q_\text{lim} = \infty</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math>»<ref> Retenir cette 1^ère expression de <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R}</math>, le passage de la 1^ère expression à la 2^ème <math>\;Q = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math> se retrouvant par utilisation de <math>\;\omega_0^2 = \dfrac{1}{L\;C}</math> <math>\Leftrightarrow L\;C\;\omega_0^2 = 1 \Leftrightarrow L\;\omega_0 = \dfrac{1}{C\;\omega_0}</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'équation différentielle réduite s'écrit «<math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = \omega_0^2\;E\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>». ===== La moins courante en électricité ===== {{Al|5}}On définit encore deux grandeurs canoniques<ref> Vraiment très peu utilisées en électricité mais l'étant un peu plus en mécanique voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réduction_canonique_du_P.E.V.A._et_analogie_électromécanique|réduction canonique du P.E.V.A. et analogie électromécanique]] » exposé plus loin dans ce chapitre.</ref> : * la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math> en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="pulsation propre" /> et * une « constante de temps <math>\;\tau > 0\;</math> en <math>\;s\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{R}{L} = \dfrac{1}{\tau}\;</math>»<ref> Le lien entre <math>\;\sigma\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;Q\big)\;</math> et <math>\;\tau\;</math> est donc <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0} = \dfrac{Q}{\omega_0}</math>, établissant que <math>\;\tau\;</math> est d'autant plus grande que <math>\;\sigma\;</math> est petit <math>\big(</math>ou <math>\;Q\;</math> est grand<math>\big)\;</math> c.-à-d. que <math>\;R\;</math> est petite, l'absence théorique de parties résistives dans le <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\sigma = 0\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;Q_\text{lim} = \infty\big)\;</math> correspondant à une constante de temps <math>\;\tau_\text{lim} = \infty</math> ; <br>{{Al|3}}c'est aussi la constante de temps d'un <math>\;R\, L\;</math> série <math>\;\big[</math>en effet si <math>\;C\;</math> devient <math>\;\infty\;</math> <math>\;-\;</math> dans le cas d'un condensateur plan cela revient à donner une épaisseur nulle à l'isolant donc à supprimer le condensateur <math>\;-\;</math> on obtient <math>\;\omega_{0,\,\text{lim}} = 0\;</math> et l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> devient une équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\dot{u_C}(t)\;</math> ou, en multipliant les deux membres de l'équation par <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>en supposant que cela garde un sens bien que <math>\;C\;</math> soit devenu infinie<math>\big)</math>, une équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;i(t) = C\;\dot{u_C}(t)\;</math> c.-à-d. en intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\;</math> série limite du <math>\;R\, L\, C\;</math> série avec <math>\;C_\text{lim} = \infty\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'équation différentielle réduite s'écrit «<math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = \omega_0^2\;E\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>». ==== Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u_C(t) ==== {{Al|5}}La solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en <math>\;u_C(t)\;</math><ref> Voir la méthode exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant la solution générale de l'équation différentielle homogène<ref> Réduite selon la 1^ère réduction canonique car c'est celle qui donne l'équation caractéristique conduisant à la discussion la plus simple à mener.</ref> <center>«<math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = 0\;</math>»<ref> La 2^ème réduction canonique correspondant à l'équation différentielle linéaire <math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = 0\;</math> et <br>{{Al|3}}la 3^ème {{Transparent|réduction canonique correspondant }}à l'équation différentielle linéaire <math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = 0</math>.</ref>,</center> {{Al|5}}sa détermination passe par la résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle homogène <center>«<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>»<ref> La 2^ème réduction canonique donnerait l'équation caractéristique <math>\;s^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}\;s + \omega_0^2 = 0\;</math> et la 3^ème l'équation caractéristique <math>\;s^2 + \dfrac{1}{\tau}\;s + \omega_0^2 = 0</math>.</ref>.</center> ===== Évaluation du discriminant réduit ===== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : résolution d'une équation algébrique du 2^ème degré avec le monôme de degré un faisant apparaître un facteur <math>\;2</math> soit <center>«<math>\;a\;x^2 + 2\;b'\;x + c = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}sans utiliser cette particularité le discriminant s'écrit <math>\;\Delta = 4\;{b'}^2 - 4\;a\;c = 4 \left( {b'}^2 - a\;c \right)</math>, la factorisation par <math>\;4\;</math> permet d'introduire la notion de « <u>discriminant réduit</u> <math>\;\Delta' = {b'}^2 - a\;c\;</math>», le discriminant étant alors quatre fois ce dernier <math>\;\Delta = 4\;\Delta'\;</math> et par l'étude « du signe du discriminant réduit » <ref> Le signe du discriminant étant le même que celui du discriminant réduit.</ref>, on obtient : {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;\Delta' > 0</math>, il y a deux racines réelles distinctes <math>\;x_{\pm} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}\;</math>»<ref name="en fonction de discriminant réduit"> Dans la démarche de résolution, on ne calcule pas le discriminant mais directement le discriminant réduit et, si ce dernier est positif, nul ou négatif, on donne directement les racines sous les formes utilisant <math>\;b'\;</math> et <math>\;\Delta'</math>.</ref><ref> La justification utilisant le discriminant selon <math>\;x_{\pm} = \dfrac{-2\;b' \pm \sqrt{4\;\Delta'}}{2\;a} =</math> <math>\dfrac{-2\;b' \pm 2\;\sqrt{\Delta'}}{2\;a} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;\Delta' = 0</math>, il y a une racine réelle double <math>\;x_d = \dfrac{-b'}{a}\;</math>»<ref name="en fonction de discriminant réduit" />{{,}}<ref> La justification utilisant la résolution générale selon <math>\;x_d = \dfrac{-2\;b'}{2\;a} = \dfrac{-b'}{a}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\succ\;</math>« pour <math>\;\Delta' < 0</math>, il n'y a aucune racine réelle mais, quand on résout dans <math>\;\mathbb{C}</math>, deux racines complexes conjuguées <math>\;\underline{x_{\pm}} = \dfrac{-b' \pm i\;\sqrt{\vert \Delta' \vert}}{a}\;</math>»<ref name="en fonction de discriminant réduit" />{{,}}<ref> La justification utilisant le discriminant selon <math>\;\underline{x_{\pm}} = \dfrac{-2\;b' \pm i\;\sqrt{\vert 4\;\Delta' \vert}}{2\;a} =</math> <math>\dfrac{-2\;b' \pm 2\;i\;\sqrt{\vert \Delta' \vert}}{2\;a} = \dfrac{-b' \pm i\;\sqrt{\vert \Delta' \vert}}{a}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Utilisation du préliminaire</u> : le discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>»<ref> L'équation caractéristique correspondant à la 2^ème ou 3^ème réduction canonique ne permet pas d'utiliser la notion de discriminant réduit mais nécessite de se limiter à celle de discriminant ;<br>{{Al|3}}ainsi l'équation caractéristique <math>\;s^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}\;s + \omega_0^2 = 0\;</math> nécessite de discuter du signe de <math>\;\Delta = \left( \dfrac{\omega_0}{Q} \right)^2 - 4\;\omega_0^2 = \omega_0^2 \left( \dfrac{1}{Q^2} - 4\right)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|ainsi }}l'équation caractéristique <math>\;s^2 + \dfrac{1}{\tau}\;s + \omega_0^2 = 0\;</math> de discuter du signe de <math>\;\Delta = \left( \dfrac{1}{\tau} \right)^{\!2} - 4\;\omega_0^2 = \dfrac{1}{\tau^2} - 4\;\omega_0^2</math>.</ref> vaut <math>\;\Delta' = \left( \sigma\;\omega_0 \right)^2 - \omega_0^2\;</math> ou encore <center>«<math>\;\Delta' = \omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>».</center> ===== Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ===== {{Al|5}}Discussion identique à celle exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». ====== σ > 1 (fort amortissement) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «<math>\;s_{\pm} = -\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>»<ref name="signe des racines quand Delta' est positif"> Toutes deux négatives.</ref>, la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;u_C(t)\;</math> est <u>apériodique</u> et s'écrit <center>«<math>\;u_{C,\,l}(t) = A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math><ref name="variation des exponentielles quand Delta' est positif"> Les deux exponentielles <math>\;\exp\! \left( s_{+}\;t \right)\;</math> et <math>\;\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math> sont des fonctions <math>\;\searrow\;</math> du temps car <math>\;s_{+}\;</math> et <math>\;s_{-}\;</math> sont toutes deux négatives.</ref> <math>\;\big\{A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires<math>\big\}</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_{C,\,l}(t)}\;</math>}}<math>= A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>».{{Al|27}}</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique <math>\;\sigma > 1\;</math> se réécrit en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique * en terme de facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> selon «<math>\;Q < \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique"> Parfois utilisée.</ref> et * en terme de constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> selon «<math>\;\tau < \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique"> Quasiment jamais utilisée.</ref>. ====== σ = 1 (amortissement critique) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;= 0\;</math>» l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «<math>\;s_d = -\omega_0\;</math>»<ref name="sigma unité"> On rappelle que <math>\;\sigma = 1</math>.</ref>, la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;u_C(t)\;</math> est <u>apériodique critique</u> et s'écrit <center>«<math>\;u_{C,\,l}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( s_d\;t \right)\;</math><ref name="variation de l'exponentielle quand Delta' est nul"> L'exponentielle <math>\;\exp\! \left( s_d\;t \right)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> du temps car <math>\;s_d = -\omega_0\;</math> est négative.</ref> <math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires<math>\big\}</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_{C,\,l}(t)}\;</math>}}<math>= \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>».{{Al|87}}</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La valeur du cœfficient d'amortissement critique <math>\;\sigma_c = 1\;</math> se transforme, en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique * en valeur critique du facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> soit «<math>\;Q_c = \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> et * en valeur critique de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> soit «<math>\;\tau_c = \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ < 1 (faible amortissement) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «<math>\;\underline{s_{\pm}} = -\sigma\;\omega_0 \pm j\;\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>»<ref name="imaginaire pur en électricité"> En électricité la lettre minuscule <math>\;i\;</math> étant réservée pour représenter une intensité de courant, le nombre imaginaire pur de module égal à <math>\;1\;</math> est noté <math>\;j</math>.</ref> ou, «<math>\;\underline{s_{\pm}} = -\sigma\;\omega_0 \pm j\;\omega\;</math>» en introduisant la notion de « <u>pseudo-pulsation</u> <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} < \omega_0\;</math>»<ref name="lien entre omega et les racines de l'équation caractéristique"> <math>\;\omega\;</math> est donc la valeur absolue commune de la partie imaginaire des racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique soit <math>\;\omega = \Big\vert \Im\! \left[ \underline{s_{\pm}} \right] \Big\vert</math>.</ref>{{,}}<ref name="lien entre omega, omega0 et sigma"> La relation entre pseudo-pulsation, pulsation propre et cœfficient d'amortissement est à connaître.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\Delta'}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>» }}la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;u_C(t)\;</math> est <u>pseudo-périodique</u> et s'écrit <center>«<math>\;u_{C,\,l}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>»<ref name="variations de l'exponentielle et de l'autre facteur quand Delta' est négatif"> L'exponentielle <math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> du temps car <math>\;\Re\! \left[ \underline{s_{\pm}} \right] = -\sigma\;\omega_0\;</math> est négative et <br>{{Al|3}}<math>\;\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> est une fonction périodique du temps dont la période <math>\;\big(</math>qui définira la pseudo-période de la solution pseudo-périodique<math>\big)\;</math> <math>T = \dfrac{2\;\pi}{\omega} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> est d'autant plus grande <math>\;\big(</math>et toujours <math>\;>\;</math> à la période propre <math>\;T_0\big)\;</math> que <math>\;\sigma\;</math> s'approche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math>.</ref>, <br><math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique <math>\;\sigma < 1\;</math> se réécrit en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique * en terme de facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> selon «<math>\;Q > \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> et * en terme de constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> selon «<math>\;\tau > \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ = 0 (absence d'amortissement) ====== {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre hétérogène en <math>\;u_C(t)\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\ddot{u_C}(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = \omega_0^2\;E\;Y(t)\;</math>»<ref name="oscillateur harmonique non amorti"> Équation différentielle d'un oscillateur harmonique (non amorti) pour <math>\;t > 0</math>.</ref>,</center> {{Al|5}}on écrit directement<ref name="directement"> C.-à-d. sans passer par l'équation caractéristique.</ref> la solution générale libre <u>périodique</u> sous la forme <center>«<math>\;u_{C,\,l}(t) = A\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math><ref name="lien entre périodique et pseudo-périodique"> Peut être considéré comme la réécriture de la solution générale libre pseudo-périodique dans laquelle on fait <math>\;\sigma = 0</math>.</ref> <math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant des constantes réelles arbitraires<math>\big\}\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_{C,\,l}(t)}\;</math> }}<math>= A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B'\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math><math>\;\big\{A'\;</math> et <math>\;B'\;</math> étant des constantes réelles arbitraires<math>\big\}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : La condition d'absence d'amortissement <math>\;\sigma = 0\;</math> se transforme, en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique * en limite du facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> soit «<math>\;Q_{\text{lim}} = \infty\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> et * en limite de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> soit «<math>\;\tau_{\text{lim}} = \infty\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ==== Forme de la réponse transitoire en u_C(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ==== {{Al|5}}Nous avons vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Rappel_de_la_forme_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » que <div style="text-align: center;">«<math>\;f(x) = f_l(x) + f_f(x)\;</math>» où <br><math>\;f_l(x)\;</math> est la solution générale de l'équation homogène<ref> C.-à-d. la réponse libre.</ref> et <br><math>\;f_f(x)\;</math> la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation<ref> C.-à-d. la réponse forcée.</ref>.</div> ===== σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique ===== {{Al|5}}La solution transitoire apériodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E + A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)</math>{{Al|70}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_C(t)}\;</math> }}<math>= E + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <br><math>\;\big\{A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique ===== {{Al|5}}La solution transitoire apériodique critique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( s_d\;t \right)</math>{{Al|5}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_C(t)}\;</math> }}<math>= E + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>» <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique ===== {{Al|5}}La solution transitoire pseudo-périodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math> la pseudo-pulsation » <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique ===== {{Al|5}}La solution transitoire périodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E + A\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>{{Al|22}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_C(t)}\;</math> }}<math>= E + A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B'\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>», <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;A'\;</math> et <math>\;B'\big)\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ==== Détermination des conditions initiales (C.I.) en u_C(t) ==== {{Al|5}}L'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\,C\,\left[ u_C(t) \right]^2\;</math> ainsi que celle stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\,L\,\left[ i(t) \right]^2\;</math> dans le circuit résistif <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension étant continues<ref name="rappel continuités dans circuit réel" />, on en déduit la continuité de la tension <math>\;u_C(t)\;</math> aux bornes du condensateur ainsi que celle de l'intensité <math>\;i(t) = C\;\dot{u}_C(t)\;</math> du courant traversant la bobine soit, avec leur valeur respective à l'instant <math>\;0^{-}\;</math> nulle, <math>\;u_C(0^{+}) = u_C(0^{-}) = 0\;</math> et <math>\;i(0^{+}) = i(0^{-}) = 0\;</math> d'où <center>les C.I<ref name="C.I." />. suivantes «<math>\;u_C(0^{+}) = 0\;</math>» et «<math>\;\dot{u}_C(0^{+}) = 0\;</math>».</center> ==== Expression de la réponse transitoire en u_C(t) utilisant les conditions initiales (C.I.) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ==== ===== σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_C(t) = E + A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math> on trouve «<math>\;E + A_{+} + A_{-} = 0\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dot{u}_C(t) = s_{+}\;A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + s_{-}\;A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve «<math>\;s_{+}\;A_{+} + s_{-}\;A_{-} = 0\;</math>» ; {{Al|5}}restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math>»<ref name="résolution d'un système de deux équations linéaires algébriques à deux inconnues"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_combinaison_(linéaire)|résolution par combinaison linéaire]] (d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c r} A_{+} \!\!&+&\!\! A_{-} \!\!&=&\!\! -E\\ s_{+}\;A_{+} \!\!&+&\!\! s_{-}\;A_{-} \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit «<math>\;A_{+} = \dfrac{s_{-}}{s_{+} - s_{-}}\,E =</math> <math>-\dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,E\;</math>» et «<math>\;A_{-} = -\dfrac{s_{+}}{s_{+} - s_{-}}\,E = \dfrac{\sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,E\;</math>» ; {{Al|5}}finalement la réponse apériodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{\sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» <br>avec «<math>\;s_{\pm} = -\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>»<ref> L'utilisation du facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> conduirait à «<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{1 + \sqrt{1 - 4\;Q^2}}{2\;\sqrt{1 - 4\;Q^2}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4\;Q^2}}{2\;\sqrt{1 - 4\;Q^2}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» avec <math>\;s_{\pm} = \dfrac{\omega_0}{2\;Q} \left( -1 \pm \sqrt{1 - 4\;Q^2} \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}l'utilisation de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> à «<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{1 + \sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2}}{2\;\sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2}}{2\;\sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» avec <math>\;s_{\pm} = -\dfrac{1}{2\;\tau} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4\;\tau^2} - \omega_0^2}</math>.</ref>.</center> ===== σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_C(t) = E + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> on trouve «<math>\;E + A = 0\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dot{u}_C(t) = B\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) - \omega_0\,\left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve «<math>\;B - \omega_0\;A = 0\;</math>» ; {{Al|5}}restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math>»<ref name="résolution d'un système de deux équations linéaires algébriques à deux inconnues - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Système_de_deux_équations_algébriques_linéaires_à_deux_inconnues#Résolution_par_substitution|résolution par substitution]] (d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c r} A \!\!& &\!\! \!\!&=&\!\! -E\\ -\omega_0\;A \!\!&+&\!\! B \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit «<math>\;A = -E\;</math>» et «<math>\;B = \omega_0\,A =</math> {{Nobr|<math>-\omega_0\,E\;</math>» ;}} {{Al|5}}finalement la réponse apériodique critique en tension aux bornes du condensateur s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E\, \left[ 1 - \left( 1 + \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) \right]\;</math>».</center> ===== σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_C(t) = E + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> on trouve «<math>\;E + A\;\cos\! \left( \varphi \right) = 0\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dot{u}_C(t) = -\sigma\;\omega_0\;A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right) - \omega\;A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\sin\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> pour y faire <math>\;t = 0^{+}\;</math> on trouve «<math>\;-\sigma\;\omega_0\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) - \omega\;A\;\sin\! \left( \varphi \right)</math> {{Nobr|<math>= 0\;</math>»}} ou encore, avec <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}</math>, la C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\sigma\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) + \sqrt{1 - \sigma^2}\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}les deux équations aux deux variables <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> ne sont pas linéaires mais, en considérant les deux variables <math>\;A\,\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;A\,\sin(\varphi)\;</math> on obtient un « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues <math>\;A\,\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;A\,\sin(\varphi)\;</math>»<ref name="résolution d'un système de deux équations linéaires algébriques à deux inconnues - bis" /> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c r} A\;\cos\! \left( \varphi \right) \!\!& &\!\! \!\!&=&\!\! -E\\ \sigma\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) \!\!&+&\!\! \sqrt{1 - \sigma^2}\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit «<math>\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) = -E\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) =</math> <math>-\dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,A\;\cos\! \left( \varphi \right) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,E\;</math>» ; {{Al|5}}on détermine alors <math>\;A\;</math> par élimination de <math>\;\varphi\;</math> selon «<math>\;\left[ A\;\cos\! \left( \varphi \right) \right]^2 + \left[ A\;\sin\! \left( \varphi \right) \right]^2 = A^2\;</math>» ou <math>\;A^2 = E^2 + \dfrac{\sigma^2}{1 - \sigma^2}\,E^2 = \dfrac{1}{1 - \sigma^2}\,E^2\;</math> soit, en conservant la valeur positive de <math>\;A\;</math><ref name="signe de A"> Le changement de signe de <math>\;A\;</math> étant associé à l'ajout de <math>\;\pi\;</math> à <math>\;\varphi\;</math> selon la relation de trigonométrie <math>\;\cos(x + \pi) = -\cos(x)</math>.</ref>, <center>«<math>\;A = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,E\;</math>» et </center> {{Al|5}}{{Transparent|on détermine alors }}<math>\;\varphi\;</math> par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c c c} \cos(\varphi) \!\!&=&\!\! \dfrac{-E}{A} \!\!&=&\!\! -\sqrt{1 - \sigma^2} \!\!&<&\!\! 0\\ \sin(\varphi) \!\!&=&\!\! \dfrac{\dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,E}{A} \!\!&=&\!\! \sigma \!\!&>&\!\! 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» ou encore, en choisissant la valeur de <math>\;\varphi\;</math> dans l'intervalle <math>\;\left] \dfrac{\pi}{2}\, ;\, +\pi \right[\;</math><ref name="détermination principale"> Détermination principale de <math>\;\varphi\;</math> tenant compte du signe de son cosinus et de celui de son sinus.</ref> telle que <math>\;\tan(\varphi) = -\dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition<ref name="détermination de l'argument d'un complexe"> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] d'un complexe dont la partie réelle est négative et la partie imaginaire positive » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <center>«<math>\;\varphi = \pi + \arctan\! \left[ -\dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;\varphi = \pi - \alpha\;</math>» avec «<math>\;\alpha = \arctan\! \left[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha + \pi \right) \right] = E \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math>» <br> avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» et «<math>\;\alpha = \arctan\! \left[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>»<ref> L'utilisation du facteur de qualité <math>\,Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\,</math> conduirait à «<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\,\exp\! \left( -\dfrac{\omega_0}{2\;Q}\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\omega =</math> <math>\omega_0\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math>» et «<math>\;\alpha = \arctan\! \left[ \dfrac{1}{\sqrt{4\;Q^2 - 1}} \right]\;</math>», <br>{{Al|3}}celle de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> à «<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;\tau^2\;\omega_0^2}}}\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{2\;\tau} \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\omega =</math> <math>\sqrt{\omega_0^2 - \dfrac{1}{4\;\tau^2}}\;</math>» et «<math>\;\alpha =</math> <math>\arctan\! \left[ \dfrac{1}{\sqrt{4\;\tau^2\;\omega_0^2 - 1}} \right]\;</math>».</ref>.</center> ===== σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique ===== {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif<ref name="circuit résistif - bis"> Un circuit résistif est encore qualifié de « réel » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#cite_note-circuit_réel-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit<ref name="rappel continuités dans circuit réel" />{{,}}<ref name="possibilité ou non d'intensité infinie"> Dans un circuit résistif, l'intensité du courant devant rester finie, il en est de même de la puissance électrique <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> fournie par le générateur du circuit, et par suite des gains horaires instantanés d'énergie stockée dans un condensateur ou dans une bobine, les énergies correspondantes étant alors toujours continues ; <br>{{Al|3}}dans un circuit non résistif, l'intensité du courant peut être ponctuellement infinie, il en est de même de la puissance électrique <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> fournie par le générateur du circuit, et par suite des gains horaires instantanés d'énergie stockée dans un condensateur ou dans une bobine, les énergies correspondantes pouvant alors être discontinues de 1^ère espèce.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}toutefois on a induit dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Discontinuité_de_1ère_espèce_de_l'excitation_et_conséquence_induite_sur_la_tension_uC(t)_aux_bornes_du_condensateur_en_t_=_0|discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension u_C(t) aux bornes du condensateur en t = 0]] » plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^nd ordre en <math>\;u_C(t)\;</math> avec <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> terme du 1^er ordre entraînait la « continuité de <math>\;u_C(t)\;</math> et de sa dérivée temporelle <math>\;\dot{u}_C(t)\;</math>» que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de <math>\;u_C(t)\;</math> et de <math>\;\dot{u}_C(t)\;</math> à l'instant <math>\;0^{-}</math>, les C.I<ref name="C.I." />. suivantes encore valables dans un circuit <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension : «<math>\;u_C(0^{+}) = 0\;</math>» et «<math>\;\dot{u}_C(0^{+}) = 0\;</math>». {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_C(t) = E + A\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math><ref> Cette expression est plus intéressante que l'autre expression <math>\;u_C(t) = E + A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math> dans le cas où la valeur initiale de sa dérivée temporelle est nulle.</ref>, on trouve «<math>\;E + A = 0\;</math>» soit «<math>\;A = -E\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dot{u}_C(t) = -A\;\omega_0\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve «<math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math>» soit «<math>\;B = 0\;</math>» ; {{Al|5}}finalement la réponse périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit <center>«<math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_0\;t \right) \right]\;</math>»<ref name="circuit oscillant"> On y observe des oscillations non amorties, raison pour laquelle un circuit <math>\;L\;C\;</math> série <math>\;\big(</math>sans composant ohmique<math>\big)\;</math> est encore appelé « circuit <math>\;\big(</math>série<math>\big)\;</math> oscillant <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}en pratique un tel circuit n'existe pas, une bobine réelle ayant toujours une composante ohmique, on obtient donc, en associant une bobine réelle et un condensateur, un « circuit <math>\;\big(</math>série<math>\big)\;</math> oscillant amorti » et pour tenter d'obtenir un « circuit <math>\;\big(</math>série<math>\big)\;</math> oscillant <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math>», il faut lui associer, en série, un montage électronique dit « [[w:Résistance_négative|à résistance négative]] » qui compense la résistance {{Nobr|<math>\;\big(</math>positive<math>\big)\;</math>}} de la bobine.</ref>.</center> ==== Tracé du diagramme temporel de la variation de u_C(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires ==== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en uC - bis.png|thumb|400px|Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes]] {{Al|5}}La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> ou, en introduisant la période propre <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}</math>, une « pseudo-période <math>\;T = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> toujours <math>\;>\;</math> à la période propre <math>\;T_0\;</math>»<ref name="Pseudo-période quand sigma est petit"> Quand <math>\;\sigma = 0,1\;</math> <math>\big(</math>cas du tracé présenté<math>\big)</math>, la pseudo-période <math>\;T\;</math> ne diffère de la période propre <math>\;T_0\;</math> que de <math>\;0,5\, \%</math>.</ref> et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> ; {{Al|5}}ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » <ref name="enveloppes"> Ce sont les courbes entre lesquelles la courbe étudiée <math>\;\big[</math>c.-à-d. le graphe de <math>\;u_C(t)\;</math> ou de <math>\;i(t)\;</math> ou de <math>\;u_L(t)\big]\;</math> est limitée, les enveloppes sont donc tangentes à la courbe aux points de contact de cette dernière.</ref> supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de <math>\;u_C(t)\;</math> correspondent respectivement à <math>\;\cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) = -1\;</math> et <math>\;\cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) = +1\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit les propriétés suivantes : * deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure <math>\;\big(</math>ou inférieure<math>\big)\;</math> sont de temps séparés de <math>\;T</math> ; * deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de <math>\;\dfrac{T}{2}</math> ; * un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure <math>\;\big(</math>ou inférieure<math>\big)\;</math> et le 1^er point coupant la droite <math>\;u_C(t) = u_{C,\,f}\;</math> sont de temps séparés de <math>\;\dfrac{T}{4}</math> ; * variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à <math>\;\dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = 2\;\tau\;</math>»<ref name="définition de tau - bis"> <math>\;\tau\;</math> étant la constante de temps intervenant dans la 3^ème réduction canonique mais aussi la constante de temps d'un <math>\;R\, L\;</math> série.</ref> <math>\;\big(</math>justifiant que l'on estime le régime forcé atteint <math>\;-\;</math> à moins de <math>\;1\, \%\;</math> près <math>\;-\;</math> au bout de <math>\;10\; \tau\big)</math>, une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à <math>\;t = 0^{+}\;</math> recoupe la droite <math>\;u_C(t) = u_{C,\,f}\;</math> à la date <math>\;2\; \tau</math> ; {{Al|5}}toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants <math>\;t_{\text{env}}\;</math> tels que <math>\;\cos\! \left( \omega\;t_{\text{env}} - \alpha \right) = \pm 1\;</math> et non aux instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » <ref name="extrémales"> Ce qui correspondrait aux instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> où la courbe a une tangente <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des temps alors qu'aux instants <math>\;t_{\text{env}}\;</math> elle est tangente à l'une des enveloppes ce qui correspond à une tangente inclinée vers le bas pour l'enveloppe supérieure et vers le haut pour l'enveloppe inférieure.</ref> ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;t_{\text{extr}}\;</math> sont définis par <math>\;\dot{u}_C(t_{\text{extr}}) = 0\;</math>» avec la dérivée temporelle 1^ère de <math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math> s'explicitant selon «<math>\;\dot{u}_C(t) =</math> <math>E \left[ \dfrac{\sigma\;\omega_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) + \dfrac{\omega}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math>» d'où, après simplification évidente, l'équation «<math>\;\sigma\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} - \alpha \right) + \omega\;\sin\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} - \alpha \right) = 0\;</math>» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «<math>\;\tan\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} - \alpha \right) = -\dfrac{\sigma\;\omega_0}{\omega} =</math> <math>-\dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>», les racines <math>\;\omega\;t_{\text{extr}} - \alpha\;</math> étant définies à <math>\;\pi\;</math> près selon «<math>\;\omega\;t_{\text{extr}} - \alpha = -\arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right) + k\;\pi</math>, <math>\;k \in \mathbb{N}\;</math>» et enfin, compte-tenu de la valeur de <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right)\;</math> précédemment déterminée, <math>\;t_{\text{extr}} = k\;\dfrac{\pi}{\omega},\;\;k \in \mathbb{N}\;</math> soit finalement «<math>\;t_{\text{extr}} = k\;\dfrac{T}{2},\;\;k \in \mathbb{N}\;</math>»<ref> Ce résultat n'est simple que dans la mesure où la 2^ème C.I. correspond à la dérivée temporelle nulle, sinon il serait nettement moins simple.</ref>, établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de <math>\;\dfrac{T}{2}</math>. == Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le D.P.L. == [[File:RLC série soumis à échelon de tension - ter.png|thumb|350px|Schéma d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec sens <math>\;+\;</math> d'utilisation de l'équation de maille]] {{Al|5}}Rechercher une réponse en intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant traversant le <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension peut se faire en cherchant la réponse en tension <math>\;u_R(t)\;</math> aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> car la loi d'Ohm <math>\;u_R(t) = R\;i(t)\;</math> liant les deux grandeurs en convention récepteur est une relation de proportionnalité. === Équation différentielle en intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension === {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;i(t)</math>, intensité du courant du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que <math>\;i(t)</math> : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;R\; i(t) + u_C(t) + L\;\dfrac{di}{dt}(t) - E\;Y(t) = 0\;\;\left(\mathfrak{a}\right)\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;u_C(t)\;</math> au profit de <math>\;i(t)\;</math> en utilisant <math>\;i(t) =</math> {{Nobr|<math>C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />}} <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = \dfrac{i(t)}{C}\;</math> d'où, en dérivant temporellement<ref name="sens des distributions"> Au sens des distributions.</ref> <math>\;\left(\mathfrak{a}\right)</math>, <math>\;R\; \dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{C}\;i(t) + L\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) = E\;\delta(t)\;</math><ref name="dérivée de l'échelon unité"> La dérivée temporelle au sens des distributions de l'échelon unité <math>\;Y(t)\;</math> est le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Pic_de_Dirac_d'impulsion_unité_et_son_lien_avec_l'échelon_unité_(ou_«_fonction_»_d'Heaviside)|pic de Dirac d'impulsion unité δ(t) et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside)]] » <math>\;\big[</math>introduit au chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle - bis"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;i(t)</math>, le 1^er membre de cette équation étant de mêmes cœfficients constants que celui de l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)</math>, la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0</math>.</div> === Discontinuité de 2^ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » en t = 0 === {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> « la dérivée temporelle 2^nde de la solution générale est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math>», et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive<ref name="sens des distributions" /> <math>\Rightarrow</math> « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>» et « la solution générale discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue en <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on induit que <math>\;i(t)\;</math> est continue et <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0</math>, on justifie la 1^ère induction par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine {{Nobr|parfaite<ref name="rappel continuités dans circuit réel -bis"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Continuité_de_l'énergie_électromagnétique_(instantanée)_stockée_dans_une_bobine_parfaite_d'un_circuit_«_réel_»_et_conséquences|continuité de l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans une bobine parfaite d'un circuit réel et conséquences]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>}} dans un circuit « réel »<ref name="circuit réel" /> et la 2^ème en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est {{Nobr|initialement<ref name="initialement"> C.-à-d. pour tout <math>\;t < 0\;</math> soit en particulier pour <math>\;t = 0^{-}</math>.</ref>}} traversée par aucun courant et le condensateur est initialement<ref name="initialement" /> déchargé : * équivalent de la bobine à <math>\;0^{+}\;\rightsquigarrow\;</math> un interrupteur ouvert <math>\;\big(</math>on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite<ref name="rappel continuités dans circuit réel -bis" /> dans un circuit « réel »<ref name="circuit réel" /><math>\big)\;</math> et * équivalent du condensateur à <math>\;0^{+}\;\rightsquigarrow\;</math> un court-circuit <math>\;\big(</math>on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait<ref name="rappel continuités dans circuit réel -ter"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Continuité_de_l'énergie_électrostatique_(instantanée)_stockée_dans_un_condensateur_parfait_d'un_circuit_«_réel_»_et_conséquences|continuité de l'énergie électrostatique instantanée stockée dans un condensateur parfait d'un circuit réel et conséquences]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans un circuit « réel »<ref name="circuit réel" /><math>\big)</math>. === Établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire === ==== Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée ==== {{Al|5}}Quand <math>\;t\;</math> est positif, <math>\;\delta(t)\;</math> vaut <math>\;0\;</math> et l'équation différentielle se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;i(t) = 0\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire en <math>\;i(t)\;</math> étant homogène pour <math>\;t > 0</math>, il n'y a <u>pas de réponse forcée</u>. ==== Réduction canonique la plus usitée ==== {{Al|5}}Les réductions canoniques ne dépendant que du 1^er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en <math>\;i(t)\;</math> ou en <math>\;u_C(t)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réductions_canoniques|réductions canoniques]] {de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre en u_C(t)} » plus haut dans ce chapitre ; {{Al|5}}on utilisera la 1^ère pour la suite avec introduction * de la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math>»<ref name="unité de omega0"> En <math>\;rad \cdot s^{-1}</math>.</ref> et * du « cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma \geqslant 0\;</math><ref name="sigma = 0" />{{,}}<ref name="unité de sigma"> Sans dimension.</ref> tel que <math>\;\dfrac{R}{L} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>»<ref name="variations sigma et R" /> ; {{Al|5}}l'équation différentielle réduite s'écrit alors «<math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{di}{dt}(t) + \omega_0^2\;i(t) = 0\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>». ==== Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en i(t) ==== {{Al|5}}Cette dernière passe par la résolution de l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>», laquelle étant la même qu'au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Détermination_de_la_solution_générale_libre_de_l'équation_différentielle_en_uC(t)|détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u_C(t)]] » exposé plus haut dans ce chapitre conduit à la même résolution, à savoir : ===== Évaluation du discriminant réduit ===== {{Al|5}}Le discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» vaut <center>«<math>\;\Delta' = \left( \sigma\;\omega_0 \right)^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>»<ref name="raison du discriminant réduit"> On utilise le discriminant réduit car le cœfficient du terme de 1^er degré dans l'équation du 2^ème degré contient le facteur <math>\;2</math>, revoir le « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Évaluation_du_discriminant_réduit|évaluation du discriminant réduit]] (préliminaire) » plus haut dans ce chapitre.</ref>.</center> ===== Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ===== ====== σ > 1 (fort amortissement) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «<math>\;s_{\pm} = -\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>»<ref name="signe des racines quand Delta' est positif" />, la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;i(t)\;</math> est <u>apériodique</u> et s'écrit <center>«<math>\;i_{l}(t) = A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math><ref name="variation des exponentielles quand Delta' est positif" /> <math>\;\big\{A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires<math>\big\}</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{i_{l}(t)}\;</math>}}<math>= A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>».{{Al|27}}</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;\sigma > 1\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q < \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau < \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ = 1 (amortissement critique) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;= 0\;</math>» l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «<math>\;s_d = -\omega_0\;</math>»<ref name="sigma unité" />, la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;i(t)\;</math> est <u>apériodique critique</u> et s'écrit <center>«<math>\;i_{l}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( s_d\;t \right)\;</math><ref name="variation de l'exponentielle quand Delta' est nul" /> <math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires<math>\big\}</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{i_{l}(t)}\;</math>}}<math>= \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>».{{Al|87}}</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition de nullité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;\sigma = \sigma_c = 1\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q = Q_c = \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau = \tau_c = \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ < 1 (faible amortissement) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «<math>\;\underline{s_{\pm}} = -\sigma\;\omega_0 \pm j\;\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>»<ref name="imaginaire pur en électricité" /> ou, «<math>\;\underline{s_{\pm}} = -\sigma\;\omega_0 \pm j\;\omega\;</math>» en introduisant la notion de « <u>pseudo-pulsation</u> <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} < \omega_0\;</math>»<ref name="lien entre omega et les racines de l'équation caractéristique" />, {{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\Delta'}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>» }}la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;i(t)\;</math> est <u>pseudo-périodique</u> et s'écrit <center>«<math>\;i_{l}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>»<ref name="variations de l'exponentielle et de l'autre facteur quand Delta' est négatif" />, <br><math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;\sigma < 1\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q > \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau > \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ = 0 (absence d'amortissement) ====== {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre hétérogène en <math>\;i(t)\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + \omega_0^2\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;\delta(t)\;</math>»<ref name="oscillateur harmonique non amorti" />,</center> {{Al|5}}on écrit directement<ref name="directement" /> la solution générale libre <u>périodique</u> sous la forme <center>«<math>\;i_{l}(t) = A\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math><ref name="lien entre périodique et pseudo-périodique" /> <math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant des constantes réelles arbitraires<math>\big\}\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{i_{l}(t)}\;</math> }}<math>= A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B'\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math><math>\;\big\{A'\;</math> et <math>\;B'\;</math> étant des constantes réelles arbitraires<math>\big\}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition d'absence d'amortissement «<math>\;\sigma = 0\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_0_(absence_d'amortissement)|σ = 0 (absence d'amortissement)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q = Q_{\text{lim}}\,:\, \infty\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau = \tau_{\text{lim}}\,:\, \infty\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ==== Forme de la réponse transitoire en i(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ==== {{Al|5}}« En absence de réponse forcée » de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;i(t)\;</math> à l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>, « la réponse transitoire <math>\;i(t)\;</math> s'identifie à la réponse libre <math>\;i_l(t)\;</math>» d'où : ===== σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique ===== <center>«<math>\;i(t) = A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)</math>{{Al|71}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> }}<math>= A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <br><math>\;\big\{A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique ===== <center>«<math>\;i(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( s_d\;t \right)</math>{{Al|5}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> }}<math>= \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>» <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique ===== <center>«<math>\;i(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math> la pseudo-pulsation » <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique ===== <center>«<math>\;i(t) = A\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>{{Al|22}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{i(t)}\;</math> }}<math>= A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B'\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>», <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;A'\;</math> et <math>\;B'\big)\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ==== Détermination des conditions initiales (C.I.) en i(t) ==== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - circuit initial.png|thumb|300px|Circuit à <math>\;0^{+}\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec bobine initialement traversée par aucun courant et condensateur initialement déchargé]] {{Al|5}}L'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\,L\,\left[ i(t) \right]^2\;</math> dans le circuit résistif <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension étant continue<ref name="rappel continuités dans circuit réel -bis" />, on en déduit la continuité de l'intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant traversant la bobine soit, avec sa valeur respective à l'instant <math>\;0^{-}\;</math> nulle, <math>\;i(0^{+}) =</math> <math>i(0^{-}) = 0</math> ; {{Al|5}}n'ayant aucune propriété de continuité de <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> dans un circuit réel, nous obtiendrons sa valeur initiale en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math><ref name="méthode à utiliser si discontinuité de 1ère espèce"> Méthode à utiliser dès lors que l'on induit que cette grandeur est discontinue de 1^ère espèce.</ref> dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert d'après la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. et le condensateur initialement<ref name="initialement" /> déchargé par un court-circuit<ref name="raison d'équivalence de C avec un court-circuit"> La raison étant la continuité de l'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\,C\,\left[ u_C(t) \right]^2\;</math> dans un circuit réel <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#cite_note-rappel_continuités_dans_circuit_réel_-ter-98|⁹⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> entraînant la continuité de la tension aux bornes du condensateur soit, ce dernier étant initialement déchargé, <math>\;u_C(0^{+}) = u_C(0^{-}) = 0</math>.</ref> voir ci-contre ; {{Al|5}}la tension <math>\;E\;</math> aux bornes de la source se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert remplaçant la bobine à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> d'où <math>\;u_L(0^{+}) = E\;</math> et par suite <math>\;L\;\dfrac{di}{dt}(0^{+}) = E\;</math> dont on tire la C.I<ref name="C.I." />. cherchée <math>\;\dfrac{di}{dt}(0^{+}) = \dfrac{E}{L}</math>. <center>Finalement les deux C.I<ref name="C.I." />. sont «<math>\;i(0^{+}) = 0\;</math>» et «<math>\;\dfrac{di}{dt}(0^{+}) = \dfrac{E}{L}\;</math>».</center> ==== Expression de la réponse transitoire en i(t) utilisant les conditions initiales (C.I.) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ==== ===== σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;i(t) = A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math> on trouve «<math>\;A_{+} + A_{-} = 0\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = s_{+}\;A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + s_{-}\;A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve «<math>\;s_{+}\;A_{+} + s_{-}\;A_{-} = \dfrac{E}{L}\;</math>» ; {{Al|5}}restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math>»<ref name="résolution d'un système de deux équations linéaires algébriques à deux inconnues" />, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c r} A_{+} \!\!&+&\!\! A_{-} \!\!&=&\!\! 0\\ s_{+}\;A_{+} \!\!&+&\!\! s_{-}\;A_{-} \!\!&=&\!\! \dfrac{E}{L} \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit «<math>\;A_{+} = \dfrac{1}{s_{+} - s_{-}}\,\dfrac{E}{L} =</math> <math>\dfrac{1}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\dfrac{E}{L\;\omega_0} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\dfrac{E}{R}\;</math>»<ref name="élimination de L au profit de R"> En effet <math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{R}{L}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{R}{L\;\omega_0} = 2\;\sigma\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{1}{L\;\omega_0} = \dfrac{2\;\sigma}{R}</math>.</ref> et «<math>\;A_{-} = -A_{+} = -\dfrac{1}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\dfrac{E}{L\;\omega_0} = -\dfrac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\dfrac{E}{R}\;</math>»<ref name="élimination de L au profit de R" /> ; {{Al|5}}finalement la réponse apériodique en intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ \exp\! \left( s_{+}\;t \right) - \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» <br>avec «<math>\;s_{\pm} = -\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>»<ref> L'utilisation du facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> conduirait à «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\,\dfrac{1}{\sqrt{1 - 4\;Q^2}} \left[ \exp\! \left( s_{+}\;t \right) - \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» avec <math>\;s_{\pm} = \dfrac{\omega_0}{2\;Q} \left( -1 \pm \sqrt{1 - 4\;Q^2} \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}l'utilisation de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> à «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\,\dfrac{1}{\sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2}} \left[ \exp\! \left( s_{+}\;t \right) - \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» avec <math>\;s_{\pm} = -\dfrac{1}{2\;\tau} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4\;\tau^2} - \omega_0^2}</math>.</ref>.</center> ===== σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;i(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> on trouve «<math>\;A = 0\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = B\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) - \omega_0\,\left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve <math>\;B - \cancel{\omega_0\;A} = \dfrac{E}{L}\;</math> soit «<math>\;B = \dfrac{E}{L} =</math> <math>2\;\omega_0\;\dfrac{E}{R_c}\;</math>»<ref> En effet <math>\;2\;\sigma_c\;\omega_0 = \dfrac{R_c}{L}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{L} = \dfrac{2\;\sigma_c\;\omega_0}{R_c} = \dfrac{2\;\omega_0}{R_c}\;</math> car <math>\;\sigma_c = 1</math>, <math>\;R_c\;</math> étant la valeur de la résistance critique égale à <math>\;2\;L\;\omega_0</math>.</ref> ; {{Al|5}}finalement la réponse apériodique critique en intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R_c}\, \left( 2\;\omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>» dans laquelle <br> «<math>\;R_c = 2\;L\;\omega_0\;</math> est la résistance critique du <math>\;R\,L\,C\;</math> série ».</center> ===== σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;i(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> on trouve «<math>\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) = 0\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = -\sigma\;\omega_0\;A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right) - \omega\;A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\sin\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> pour y faire <math>\;t = 0^{+}\;</math> on trouve «<math>\;-\cancel{\sigma\;\omega_0\;A\;\cos\! \left( \varphi \right)} - \omega\;A\;\sin\! \left( \varphi \right)</math> <math>= \dfrac{E}{L}\;</math>» ou encore, avec <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}</math>, la C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) = -\dfrac{E}{L}\;</math> soit «<math>\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) =</math> <math>-\dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;\dfrac{E}{L\;\omega_0} = -\dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;\dfrac{E}{R}\;</math>»<ref name="élimination de L au profit de R" /> ; {{Al|5}}on détermine alors <math>\;\varphi\;</math> par <math>\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) = 0\;</math> dans laquelle <math>\;A \neq 0\;</math> soit <math>\;\cos\! \left( \varphi \right) = 0\;</math> ou «<math>\;\varphi = \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math>» en se limitant à sa détermination de l'intervalle <math>\;\left] -\pi\, ;\, +\pi \right]\;</math> et <center>on choisit «<math>\;\varphi = -\dfrac{\pi}{2}\;</math> pour satisfaire à <math>\;A > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) = -\dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;\dfrac{E}{R} < 0\;</math> nécessite que <math>\;\sin(\varphi)\;</math> soit <math>\;< 0\;</math> pour que <math>\;A\;</math> soit <math>\;> 0</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit alors <math>\;A\;</math> par <math>\;A\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = -\dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;\dfrac{E}{R}\;</math> soit <center>«<math>\;A = \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;\dfrac{E}{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement la réponse pseudo-périodique en intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \dfrac{\pi}{2} \right)</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{i(t)}</math>}}<math>= \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math>»<ref> En effet <math>\;\cos\! \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x)</math>.</ref> <br> avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>»<ref> L'utilisation du facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> conduirait à «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2}{\sqrt{4\;Q^2 - 1}}\,\exp\! \left( -\dfrac{\omega_0}{2\;Q}\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega =</math> <math>\omega_0\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math>», <br>{{Al|3}}celle de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> à «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2}{\sqrt{4\;\tau^2\;\omega_0^2 - 1}}\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{2\;\tau} \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega =</math> <math>\sqrt{\omega_0^2 - \dfrac{1}{4\;\tau^2}}\;</math>».</ref>.</center> ===== σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique ===== {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif<ref name="circuit résistif - bis" />, on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit<ref name="rappel continuités dans circuit réel" />{{,}}<ref name="possibilité ou non d'intensité infinie" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}toutefois on a induit dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Discontinuité_de_2ème_espèce_de_l'excitation_et_conséquence_induite_sur_l'intensité_i(t)_du_courant_traversant_le_«_R_L_C_série_»_en_t_=_0|discontinuité de 2^ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le R L C série en t = 0]] » plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 2^ème espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^nd ordre en <math>\;i(t)\;</math> avec <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> terme du 1^er ordre entraînait la « continuité de <math>\;i(t)\;</math> et la discontinuité de 1^ère espèce de sa dérivée temporelle 1^ère <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math>» que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de <math>\;i(t)\;</math> à l'instant <math>\;0^{-}</math>, une 1^ère {{Nobr|C.I<ref name="C.I." />.}} «<math>\;i(0^{+}) =</math> <math>0\;</math>» restant valable dans un circuit <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension, la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. nécessitant de tracer le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert et le condensateur par son équivalent à savoir un court-circuit<ref> En effet <math>\;i(t) = C\;\dot{u_C}(t)\;</math> étant continue en <math>\;t = 0</math>, la tension aux bornes du condensateur <math>\;u_C(t)\;</math> proportionnelle à une primitive de <math>\;i(t)\;</math> l'est aussi et le condensateur étant initialement déchargé, on en déduit <math>\;u_C(0^{+}) = 0</math>.</ref> dont on déduit <math>\;u_L(0^{+}) = E\;</math> et «<math>\;\dfrac{di}{dt}(0^{+}) = \dfrac{E}{L}\;</math>». {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;i(t) = A\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math><ref> Cette expression est plus intéressante que l'autre expression <math>\;i(t) = A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math> dans le cas où sa valeur initiale est nulle.</ref>, on trouve «<math>\;A = 0\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = \cancel{-A\;\omega_0\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)} + B\;\omega_0\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve «<math>\;B\;\omega_0 = \dfrac{E}{L}\;</math>» soit «<math>\;B = \dfrac{E}{L\;\omega_0} =</math> <math>C\;\omega_0\;E</math>»<ref> En effet <math>\;\omega_0^2 = \dfrac{1}{L\;C} \Leftrightarrow L\;C\;\omega_0^2 = 1 \Leftrightarrow L\;\omega_0 = \dfrac{1}{C\;\omega_0}</math>.</ref> ou, en substituant <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}</math>, une 3^ème expression «<math>\;B = \sqrt{\dfrac{C}{L}}\;E\;</math>» ; {{Al|5}}finalement la réponse périodique en intensité du courant traversant le <math>\;L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;i(t) = \dfrac{E}{L\;\omega_0}\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right) = C\;\omega_0\;E\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right) = \sqrt{\dfrac{C}{L}}\;E\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<ref name="circuit oscillant" />.</center> ==== Tracé du diagramme temporel de la variation de i(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires ==== {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : Le tracé et les commentaires sont quasi identiques à ceux exposés dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_diagramme_temporel_de_la_variation_de_uC(t)_dans_le_cas_d'une_réponse_transitoire_pseudo-périodique_et_commentaires|tracé du diagramme temporel de la variation de u_C(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires]] » plus haut dans ce chapitre, ils sont néanmoins “rappelés” ci-dessous. [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en i - bis.png|thumb|400px|Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en intensité du courant traversant un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes]] {{Al|5}}La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> ou, en introduisant la période propre <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}</math>, une « pseudo-période <math>\;T = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> toujours <math>\;>\;</math> à la période propre <math>\;T_0\;</math>»<ref name="Pseudo-période quand sigma est petit" /> et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> ; {{Al|5}}ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » <ref name="enveloppes" /> supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de <math>\;i(t)\;</math> correspondent respectivement à <math>\;\sin\! \left( \omega\;t \right) = -1\;</math> et <math>\;\sin\! \left( \omega\;t \right) = +1\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit les propriétés suivantes : * deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure <math>\;\big(</math>ou inférieure<math>\big)\;</math> sont de temps séparés de <math>\;T</math> ; * deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de <math>\;\dfrac{T}{2}</math> ; * un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure <math>\;\big(</math>ou inférieure<math>\big)\;</math> et le 1^er point coupant la droite <math>\;i(t) = 0\;</math> sont de temps séparés de <math>\;\dfrac{T}{4}</math> ; * variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à <math>\;\dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = 2\;\tau\;</math>»<ref name="définition de tau - bis" /> <math>\;\big(</math>justifiant que l'on estime le régime transitoire achevé <math>\;-\;</math> à moins de <math>\;1\, \%\;</math> près <math>\;-\;</math> au bout de <math>\;10\; \tau\big)</math>, une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à <math>\;t = 0^{+}\;</math> recoupe la droite <math>\;i(t) = 0\;</math> à la date <math>\;2\; \tau</math> ; {{Al|5}}toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants <math>\;t_{\text{env}}\;</math> tels que <math>\;\sin\! \left( \omega\;t_{\text{env}} \right) = \pm 1\;</math> et non aux instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » <ref name="extrémales"> Ce qui correspondrait aux instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> où la courbe a une tangente <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des temps alors qu'aux instants <math>\;t_{\text{env}}\;</math> elle est tangente à l'une des enveloppes ce qui correspond à une tangente inclinée vers le bas pour l'enveloppe supérieure et vers le haut pour l'enveloppe inférieure.</ref> ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;t_{\text{extr}}\;</math> sont définis par <math>\;\dfrac{di}{dt}(t_{\text{extr}}) = 0\;</math>» avec la dérivée temporelle 1^ère de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math> s'explicitant selon «<math>\;\dfrac{di}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{E}{R}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\, \left[ -\sigma\;\omega_0\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right) + \omega\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t \right) \right]\;</math>» d'où, après simplification évidente, l'équation «<math>\;-\sigma\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} \right) + \omega\;\cos\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} \right) = 0\;</math>» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «<math>\;\tan\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} \right) = \dfrac{\omega}{\sigma\;\omega_0} =</math> <math>\dfrac{\sqrt{1 - \sigma^2}}{\sigma}\;</math>», les racines <math>\;\omega\;t_{\text{extr}}\;</math> étant définies à <math>\;\pi\;</math> près selon «<math>\;\omega\;t_{\text{extr}} = \arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{1 - \sigma^2}}{\sigma} \right) + k\;\pi,\;\;k \in \mathbb{N}\;</math>» soit finalement les instants cherchés {{Nobr|«<math>\;t_{\text{extr}} =</math>}} <math>\dfrac{\arctan\! \left( \dfrac{\sqrt{1 - \sigma^2}}{\sigma} \right)}{\omega} + k\;\dfrac{\pi}{\omega},\;\;k \in \mathbb{N}\;</math>», établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de <math>\;\dfrac{T}{2}</math>. == Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) == [[File:RLC série soumis à échelon de tension - tetra.png|thumb|350px|Schéma d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec sens <math>\;+\;</math> d'utilisation de l'équation de maille]] === Équation différentielle en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un « R L C série » série soumis à un échelon de tension === {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;u_L(t)</math>, tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que <math>\;u_L(t)</math> : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;u_L(t) + R\; i(t) + u_C(t) - E\;Y(t) = 0\;\;\left(\mathfrak{b}\right)\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i(t)\;</math> et <math>\;u_C(t)\;</math> au profit de <math>\;u_L(t)\;</math> en utilisant <math>\;i(t) =</math> <math>C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = \dfrac{i(t)}{C}\;</math> et <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}\;</math><ref name="convention récepteur" /> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{di}{dt}(t) = \dfrac{u_L(t)}{L}\;</math> d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour tout <math>\;\color{transparent}{t}</math>, }}en dérivant temporellement<ref name="sens des distributions" /> la relation <math>\;\left(\mathfrak{b}\right)</math>, <math>\;\dfrac{d u_L}{dt}(t) + R\; \dfrac{1}{L}\;u_L(t) + \dfrac{1}{C}\;i(t) = E\;\delta(t)\;\;\left(\mathfrak{b}'\right)\;</math><ref name="dérivée de l'échelon unité" /> puis, <br>{{Al|11}}{{Transparent|pour tout <math>\;\color{transparent}{t}</math>, en dérivant temporellement }}la relation <math>\;\left(\mathfrak{b'}\right)\;</math> ci-dessus, <math>\;\dfrac{d^2 u_L}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{d u_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{C}\;\dfrac{u_L(t)}{L} = E\;\dot{\delta}(t)\;</math><ref name="dérivée du pic de Dirac d'impulsion unité"> La dérivée temporelle au sens des distributions du pic de Dirac d'impulsion unité <math>\;\delta(t)\;</math> est introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Évaluation_de_la_dérivée_temporelle_seconde_de_la_tension_aux_bornes_de_l'association_série_d'un_interrupteur_K_et_d'une_source_de_tension_parfaite_de_f.e.m._E_lors_de_la_fermeture_de_K_et_«_modélisation_»|évaluation de la dérivée temporelle 2^nde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et modélisation]] » notée <math>\;\dot{\delta}(t)\;</math> <math>\big[</math>introduit au chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour tout <math>\;\color{transparent}{t}</math>, }}l'équation différentielle en <math>\;u_L(t)\;</math> suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d^2 u_L}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{d u_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_L(t) = E\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle - ter"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;u_L(t)</math>, le 1^er membre de cette équation étant de mêmes cœfficients constants que ceux des équations différentielles en en <math>\;u_C(t)\;</math> et en <math>\;i(t)</math>, la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.</ref> ; <br>on remarque que l'excitation est “ discontinue de 3^ème espèce ”<ref name="discontinuité de 3ème espèce"> La “ discontinuité de 3^ème espèce ” n'est pas définie en mathématiques mais elle est néanmoins introduite dans le but de définir une échelle de discontinuités {{Nobr|<math>\;\big(</math>introduction}} personnelle<math>\big)\;</math> voir la fin du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Évaluation_de_la_dérivée_temporelle_seconde_de_la_tension_aux_bornes_de_l'association_série_d'un_interrupteur_K_et_d'une_source_de_tension_parfaite_de_f.e.m._E_lors_de_la_fermeture_de_K_et_«_modélisation_»|évaluation de la dérivée temporelle 2^nde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et modélisation]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> en <math>\;t = 0</math>.</div> === “ Discontinuité de 3^ème espèce ” de l'excitation et conséquence induite sur la tension u_L(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du « R L C série » en t = 0 === {{Al|5}}Nous avons admis dans le chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="lien entre discontinuités de l'excitation et de la réponse" /> que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1^er membre <math>\Rightarrow</math> « la dérivée temporelle 2^nde de la solution générale est “ discontinue de 3^ème espèce ”<ref name="discontinuité de 3ème espèce" /> en <math>\;t = 0\;</math>», et que le numéro d'espèce de discontinuité <math>\;\searrow\;</math> d'une unité<ref name="condition de diminution effective" /> à chaque prise de primitive<ref name="sens des distributions" /> <math>\Rightarrow</math> « la dérivée temporelle 1^ère de la solution générale est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0\;</math>» et « la solution générale discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion on induit que <math>\;u_L(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce et <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t)\;</math> discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion }}on justifie la 1^ère induction en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est initialement<ref name="initialement" /> traversée par aucun courant et le condensateur est initialement<ref name="initialement" /> déchargé : * équivalent de la bobine à <math>\;0^{+}\;\rightsquigarrow\;</math> un interrupteur ouvert <math>\;\big(</math>on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite<ref name="rappel continuités dans circuit réel -bis" /> dans un circuit « réel »<ref name="circuit réel" /><math>\big)\;</math> et * équivalent du condensateur à <math>\;0^{+}\;\rightsquigarrow\;</math> un court-circuit <math>\;\big(</math>on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait<ref name="rappel continuités dans circuit réel -ter" /> dans un circuit « réel »<ref name="circuit réel" /><math>\big)\;</math> {{Al|6}}{{Transparent|en conclusion }}ainsi que la 2^ème induction en revenant à la relation <math>\;\left(\mathfrak{b}'\right)\;</math> <ref name="signification de (b')"> C.-à-d. la dernière équation avant la dérivation ultime ayant permis d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;u_L(t)</math>.</ref> et en y faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math><ref name="autre méthode pour déterminer la 2ème C.I."> On peut aussi intégrer <math>\;\big(</math>au sens des distributions<math>\big)\;</math> l'équation différentielle écrite pour tout <math>\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math> <math>\big(</math>les valeurs pour <math>\;0^{-}\;</math> étant connues<math>\big)\;</math> soit <math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \left[ \dfrac{d^2 u_L}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_L(t) \right] dt = \displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} E\;\dot{\delta}(t)\;dt\;</math> ou, après prises de primitives et en tenant compte que <math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^t u_L(t') dt'\;</math> est continue <math>\big[</math>car <math>\;u_L(t)\;</math> étant discontinue de 1^ère espèce, toute primitive est discontinue de 0^ème espèce c.-à-d. continue<math>\big]</math>, la relation suivante <math>\;\left[ \dfrac{d u_L}{dt}(t) \right]_{0^{-}}^{0^{+}} + \dfrac{R}{L}\,\left[ u_L(t) \right]_{0^{-}}^{0^{+}} + \cancel{\dfrac{1}{L\;C}\, \left[ \displaystyle\int_{0^{-}}^{t} u_L(t') dt' \right]_{0^{-}}^{0^{+}}} = \cancel{E\, \left[ \delta(t) \right]_{0^{-}}^{0^{+}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un système initialement au repos <math>\;\big(</math>correspondant à toutes les grandeurs électriques nulles à l'instant <math>\;0^{-}\big)</math>, <math>\;\dfrac{d u_L}{dt}(0^{+}) + \dfrac{R}{L}\,u_L(0^{+}) = 0</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{d u_L}{dt}(0^{+}) + R\; \dfrac{1}{L}\;u_L(0^{+}) + \dfrac{1}{C}\;i(0^{+}) = \cancel{E\;\delta(0^{+})}\;</math> dans laquelle <math>\;i(0^{+})\;</math> utilise la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite<ref name="rappel continuités dans circuit réel -bis" /> dans un circuit « réel »<ref name="circuit réel" /> et <math>\;u_L(0^{+})\;</math> a été déterminé par circuit à <math>\;0^{+}</math>. === Établissement de la réponse en tension u_L(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire === ==== Rappel de l'équation différentielle en u_L(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée ==== {{Al|5}}Quand <math>\;t\;</math> est positif, <math>\;\dot{\delta}(t)\;</math> vaut <math>\;0\;</math><ref name="signification de t positif"> Nous considérons que <math>\;t\;\cancel{\rightarrow}\;0^{+}\;</math> tout en étant <math>\;> 0\;</math> quand nous utilisons la forme d'équation différentielle de ce paragraphe.</ref> et l'équation différentielle se réécrit <center>«<math>\;\ddot{u}_L(t) + \dfrac{R}{L}\;\dot{u}_L(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_L(t) = 0\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref name="signification de t positif" />.</center> {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire en <math>\;u_L(t)\;</math> étant homogène pour <math>\;t > 0\;</math><ref name="signification de t positif" />, il n'y a <u>pas de réponse forcée</u>. ==== Réduction canonique la plus usitée ==== {{Al|5}}Les réductions canoniques ne dépendant que du 1^er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en <math>\;u_L(t)</math>, en <math>\;i(t)\;</math> ou en <math>\;u_C(t)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réductions_canoniques|réductions canoniques]] {de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre en u_C(t)} » plus haut dans ce chapitre ; {{Al|5}}on utilisera la 1^ère pour la suite avec introduction * de la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math>»<ref name="unité de omega0" /> et * du « cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma \geqslant 0\;</math><ref name="sigma = 0" />{{,}}<ref name="unité de sigma" /> tel que <math>\;\dfrac{R}{L} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>»<ref name="variations sigma et R" /> ; {{Al|5}}l'équation différentielle réduite s'écrit alors «<math>\;\dfrac{d^2u_L}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_L(t) = 0\;\; \text{pour}\;t > 0\;</math>»<ref name="signification de t positif" />. ==== Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u_L(t) ==== {{Al|5}}Cette dernière passe par la résolution de l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>», laquelle étant la même qu'au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Détermination_de_la_solution_générale_libre_de_l'équation_différentielle_en_uC(t)|détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u_C(t)]] » exposé plus haut dans ce chapitre conduit à la même résolution, à savoir : ===== Évaluation du discriminant réduit ===== {{Al|5}}Le discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math>» vaut <center>«<math>\;\Delta' = \left( \sigma\;\omega_0 \right)^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2 \left( \sigma^2 - 1 \right)\;</math>»<ref name="raison du discriminant réduit" />.</center> ===== Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ===== ====== σ > 1 (fort amortissement) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «<math>\;s_{\pm} = -\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>»<ref name="signe des racines quand Delta' est positif" />, la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;u_L(t)\;</math> est <u>apériodique</u> et s'écrit <center>«<math>\;u_{L,\,l}(t) = A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math><ref name="variation des exponentielles quand Delta' est positif" /> <math>\;\big\{A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires<math>\big\}</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_{L,\,l}(t)}\;</math>}}<math>= A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>».{{Al|27}}</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;\sigma > 1\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)|σ > 1 (fort amortissement)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q < \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau < \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ = 1 (amortissement critique) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;= 0\;</math>» l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «<math>\;s_d = -\omega_0\;</math>»<ref name="sigma unité" />, la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;u_L(t)\;</math> est <u>apériodique critique</u> et s'écrit <center>«<math>\;u_{L,\,l}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( s_d\;t \right)\;</math><ref name="variation de l'exponentielle quand Delta' est nul" /> <math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires<math>\big\}</math> <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_{L,\,l}(t)}\;</math>}}<math>= \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>».{{Al|86}}</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition de nullité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;\sigma = \sigma_c = 1\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q = Q_c = \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau = \tau_c = \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ < 1 (faible amortissement) ====== {{Al|5}}«<math>\;\Delta'\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «<math>\;\underline{s_{\pm}} = -\sigma\;\omega_0 \pm j\;\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>»<ref name="imaginaire pur en électricité" /> ou, «<math>\;\underline{s_{\pm}} = -\sigma\;\omega_0 \pm j\;\omega\;</math>» en introduisant la notion de « <u>pseudo-pulsation</u> <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2} < \omega_0\;</math>»<ref name="lien entre omega et les racines de l'équation caractéristique" />, {{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\Delta'}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{< 0}\;</math>» }}la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre à laquelle obéit <math>\;u_L(t)\;</math> est <u>pseudo-périodique</u> et s'écrit <center>«<math>\;u_{L,\,l}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>»<ref name="variations de l'exponentielle et de l'autre facteur quand Delta' est négatif" />, <br><math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles arbitraires.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «<math>\;\sigma < 1\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)|σ < 1 (faible amortissement)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q > \dfrac{1}{2}\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau > \dfrac{1}{2\;\omega_0} = \dfrac{T_0}{4\;\pi}\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ====== σ = 0 (absence d'amortissement) ====== {{Al|5}}L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre hétérogène en <math>\;u_L(t)\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\ddot{u}_L(t) + \omega_0^2\;u_L(t) = \dfrac{E}{L}\;\dot{\delta}(t)\;</math>»<ref name="oscillateur harmonique non amorti" />,</center> {{Al|5}}on écrit directement<ref name="directement" /> la solution générale libre <u>périodique</u> sous la forme <center>«<math>\;u_{L,\,l}(t) = A\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math><ref name="lien entre périodique et pseudo-périodique" /> <math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant des constantes réelles arbitraires<math>\big\}\;</math> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_{L,\,l}(t)}\;</math> }}<math>= A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B'\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math><math>\;\big\{A'\;</math> et <math>\;B'\;</math> étant des constantes réelles arbitraires<math>\big\}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Voir la réécriture de la condition d'absence d'amortissement «<math>\;\sigma = 0\;</math>» en utilisant la 2^ème ou 3^ème réduction canonique au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_0_(absence_d'amortissement)|σ = 0 (absence d'amortissement)]] (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «<math>\;Q = Q_{\text{lim}}\,:\, \infty\;</math>»<ref name="facteur de qualité critique" /> ou «<math>\;\tau = \tau_{\text{lim}}\,:\, \infty\;</math>»<ref name="constante de temps critique" />. ==== Forme de la réponse transitoire en u_L(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ==== {{Al|5}}« En absence de réponse forcée » de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;u_L(t)\;</math> à l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>, « la réponse transitoire <math>\;u_L(t)\;</math> s'identifie à la réponse libre <math>\;u_{L,\,l}(t)\;</math>» d'où : ===== σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique ===== <center>«<math>\;u_L(t) = A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)</math>{{Al|71}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_L(t)}\;</math> }}<math>= A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;</math>», <br><math>\;\big\{A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique ===== <center>«<math>\;u_L(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( s_d\;t \right)</math>{{Al|5}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_L(t)}\;</math> }}<math>= \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>» <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique ===== <center>«<math>\;u_L(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math> la pseudo-pulsation » <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ===== σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique ===== <center>«<math>\;u_L(t) = A\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math>{{Al|22}} <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{u_L(t)}\;</math> }}<math>= A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B'\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>», <br><math>\;\big\{A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;A'\;</math> et <math>\;B'\big)\;</math> étant deux constantes réelles se déterminant en utilisant les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big\}</math>.</center> ==== Détermination des conditions initiales (C.I.) en u_L(t) ==== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - circuit initial.png|thumb|300px|Circuit à <math>\;0^{+}\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> avec bobine initialement traversée par aucun courant et condensateur initialement déchargé]] {{Al|5}}N'ayant aucune propriété de continuité de <math>\;u_L(t)\;</math> ainsi que de sa dérivée temporelle <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t)\;</math> dans un circuit réel, nous obtiendrons la valeur initiale de la 1^ère en traçant le circuit à <math>\;0^{+}\;</math><ref name="méthode à utiliser si discontinuité de 1ère espèce" /> dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert<ref> La raison étant la continuité de l'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique <math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\,L\,\left[ i(t) \right]^2\;</math> dans un circuit réel <math>\;\big\{</math>revoir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#cite_note-rappel_continuités_dans_circuit_réel_-bis-96|⁹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> entraînant la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine soit, cette dernière n'étant initialement traversée par aucun courant, «<math>\;i(0^{+}) = i(0^{-}) = 0\;</math>».</ref> et le condensateur initialement<ref name="initialement" /> déchargé par un court-circuit<ref name="raison d'équivalence de C avec un court-circuit" /> voir ci-contre ; {{Al|5}}la tension <math>\;E\;</math> aux bornes de la source se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert remplaçant la bobine à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> d'où <math>\;u_L(0^{+}) = E</math> ; {{Al|5}}la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. nécessite de revenir à la relation <math>\;\left(\mathfrak{b}'\right)\;</math><ref name="signification de (b')" /> et d'y faire <math>\;t = 0^{+}\;</math><ref name="autre méthode pour déterminer la 2ème C.I." /> en utilisant la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite<ref name="rappel continuités dans circuit réel -bis" /> dans un circuit «<span style="color:#ffffff;"><small>~</small></span>réel<span style="color:#ffffff;"><small>~</small></span>»<ref name="circuit réel" /> dans le cas où initialement<ref name="initialement" /> la bobine n'est traversée par aucun courant et <math>\;u_L(0^{+})\;</math> précédemment déterminée par circuit à <math>\;0^{+}\;</math> d'où la relation <math>\;(\mathfrak{b}')(0^{+})\;</math> donnant <math>\;\dfrac{d u_L}{dt}(0^{+}) + R\; \dfrac{1}{L}\;u_L(0^{+}) + \cancel{\dfrac{1}{C}\;i(0^{+})} = \cancel{E\;\delta(0^{+})}\;</math> ou <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+}) = -\dfrac{R}{L}\;E</math>. <center>Finalement les deux C.I<ref name="C.I." />. sont «<math>\;u_L(0^{+}) = E\;</math>» et «<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+}) = -\dfrac{R}{L}\;E\;</math>».</center> ==== Expression de la réponse transitoire en u_L(t) utilisant les conditions initiales (C.I.) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ ==== ===== σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_L(t) = A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math> on trouve «<math>\;A_{+} + A_{-} = E\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) = s_{+}\;A_{+}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + s_{-}\;A_{-}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve «<math>\;s_{+}\;A_{+} + s_{-}\;A_{-} = -\dfrac{R}{L}\;E\;</math>» ; {{Al|5}}restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues <math>\;A_{+}\;</math> et <math>\;A_{-}\;</math>»<ref name="résolution d'un système de deux équations linéaires algébriques à deux inconnues" />, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c r} A_{+} \!\!&+&\!\! A_{-} \!\!&=&\!\! E\\ s_{+}\;A_{+} \!\!&+&\!\! s_{-}\;A_{-} \!\!&=&\!\! -\dfrac{R}{L}\;E \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit «<math>\;A_{+} = -\dfrac{\dfrac{R}{L} + s_{-}}{s_{+} - s_{-}}\,E</math> <math>= \dfrac{s_{+}}{s_{+} - s_{-}}\,E\;</math><ref name="élimination de L et R au profit de sigma"> En effet <math>\;\dfrac{R}{L} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{R}{L} + s_{-} = 2\;\sigma\;\omega_0 + \left[ -\sigma\;\omega_0 - \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1} \right] = - \left[ - \sigma\;\omega_0 + \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1} \right] = -s_{+}</math>.</ref> ou <math>\;A_{+} = \dfrac{-\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,E\;</math>» et «<math>\;A_{-} = E - A_{+} = \dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,E\;</math>» ; {{Al|5}}finalement la réponse apériodique en tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ - \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» <br>avec «<math>\;s_{\pm} = -\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>»<ref> L'utilisation du facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> conduirait à «<math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{2\;\sqrt{1 - 4\;Q^2}} \left[ - \left( 1 - \sqrt{1 - 4\;Q^2} \right)\, \exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \left( 1 + \sqrt{1 - 4\;Q^2} \right)\, \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» avec <math>\;s_{\pm} =</math> <math>\dfrac{\omega_0}{2\;Q} \left( -1 \pm \sqrt{1 - 4\;Q^2} \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}l'utilisation de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> à «<math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{2\;\sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2}} \left[ - \left( 1 - \sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2} \right)\, \exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \left( 1 + \sqrt{1 - 4\;\tau^2\;\omega_0^2} \right)\, \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» avec <math>\;s_{\pm} =</math> <math>-\dfrac{1}{2\;\tau} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4\;\tau^2} - \omega_0^2}</math>.</ref>.</center> ===== σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_L(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> on trouve «<math>\;A = E\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) = B\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) - \omega_0\,\left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> pour y faire <math>\;t = 0^{+}\;</math> on trouve <math>\;B - \omega_0\;A = -\dfrac{R_c}{L}\;E\;</math> soit «<math>\;B = \left( \omega_0 - \dfrac{R_c}{L} \right)\, E =</math> {{Nobr|<math>-\omega_0\;E\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{R_c}{L} = 2\;\sigma_c\;\omega_0 = 2\;\omega_0\;</math> car <math>\;\sigma_c = 1</math>, <math>\;R_c\;</math> étant la valeur de la résistance critique, d'où <math>\;\omega_0 - \dfrac{R_c}{L} = -\omega_0</math>.</ref> ;}} {{Al|5}}finalement la réponse apériodique critique en tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;u_L(t) = E\, \left( 1 - \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>» dans laquelle <br> «<math>\;\omega_0 = \dfrac{R_c}{2\;L}\;</math> avec <math>\;R_c\;</math> la résistance critique du <math>\;R\,L\,C\;</math> série ».</center> ===== σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique ===== {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_L(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> on trouve «<math>\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) = E\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) = -\sigma\;\omega_0\;A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right) - \omega\;A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\sin\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> pour y faire <math>\;t = 0^{+}\;</math> on trouve «<math>\;-\sigma\;\omega_0\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) - \omega\;A\;\sin\! \left( \varphi \right)</math> <math>= -\dfrac{R}{L}\;E\;</math>» ou encore, avec <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}</math>, la C.I<ref name="C.I." />. se réécrit «<math>\;\sigma\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) + \sqrt{1 - \sigma^2}\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) =</math> <math>\dfrac{R}{L\;\omega_0}\;E\; = 2\;\sigma\;E\;</math>»<ref name="élimination de L au profit de R" /> ; {{Al|5}}les deux équations aux deux variables <math>\;A\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> ne sont pas linéaires mais, en considérant les deux variables <math>\;A\,\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;A\,\sin(\varphi)\;</math> on obtient un « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues <math>\;A\,\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;A\,\sin(\varphi)\;</math>»<ref name="résolution d'un système de deux équations linéaires algébriques à deux inconnues - bis" /> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c r c r} A\;\cos\! \left( \varphi \right) \!\!& &\!\! \!\!&=&\!\! E\\ \sigma\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) \!\!&+&\!\! \sqrt{1 - \sigma^2}\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) \!\!&=&\!\! 2\;\sigma\;E \end{array} \right\rbrace\;</math>», on en déduit «<math>\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) = E\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;A\;\sin\! \left( \varphi \right) =</math> <math>\dfrac{-\sigma\;A\;\cos\! \left( \varphi \right) + 2\;\sigma\;E}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\, = \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,E\;</math>» ; {{Al|5}}on détermine alors <math>\;A\;</math> par élimination de <math>\;\varphi\;</math> selon «<math>\;\left[ A\;\cos\! \left( \varphi \right) \right]^2 + \left[ A\;\sin\! \left( \varphi \right) \right]^2 = A^2\;</math>» ou <math>\;A^2 = E^2 + \dfrac{\sigma^2}{1 - \sigma^2}\,E^2 = \dfrac{1}{1 - \sigma^2}\,E^2\;</math> soit, en conservant la valeur positive de <math>\;A\;</math><ref name="signe de A" />, <center>«<math>\;A = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,E\;</math>» et </center> {{Al|5}}{{Transparent|on détermine alors }}<math>\;\varphi\;</math> par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c c c} \cos(\varphi) \!\!&=&\!\! \dfrac{E}{A} \!\!&=&\!\! \sqrt{1 - \sigma^2} \!\!&>&\!\! 0\\ \sin(\varphi) \!\!&=&\!\! \dfrac{\dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,E}{A} \!\!&=&\!\! \sigma \!\!&>&\!\! 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» ou encore, en choisissant la valeur de <math>\;\varphi\;</math> dans l'intervalle <math>\;\left] 0\, ;\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math><ref name="détermination principale" /> telle que <math>\;\tan(\varphi) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition<ref name="détermination de l'argument d'un complexe" /> <center>«<math>\;\varphi = \arctan\! \left[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>» <br> avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» et «<math>\;\varphi = \arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right)\;</math>»<ref> L'utilisation du facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math> conduirait à «<math>\;u_L(t) = \dfrac{2\;Q\;E}{\sqrt{4\;Q^2 - 1}}\,\exp\! \left( -\dfrac{\omega_0}{2\;Q}\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math>» et «<math>\;\varphi = \arctan\! \left( \dfrac{1}{\sqrt{4\;Q^2 - 1}} \right)\;</math>», <br>{{Al|3}}celle de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> à «<math>\;u_L(t) = \dfrac{2\;\tau\;\omega_0\;E}{\sqrt{4\;\tau^2\;\omega_0^2 - 1}}\,\exp\! \left( -\dfrac{t}{2\;\tau} \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>» avec «<math>\;\omega =</math> <math>\sqrt{\omega_0^2 - \dfrac{1}{4\;\tau^2}}\;</math>» et «<math>\;\varphi = \arctan\! \left( \dfrac{1}{\sqrt{4\;\tau^2\;\omega_0^2 - 1}} \right)\;</math>».</ref>.</center> ===== σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique ===== {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif<ref name="circuit résistif - bis" />, on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit<ref name="rappel continuités dans circuit réel" />{{,}}<ref name="possibilité ou non d'intensité infinie" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}toutefois on a induit dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Discontinuité_de_3ème_espèce_de_l'excitation_et_conséquence_induite_sur_la_tension_uL(t)_aux_bornes_de_la_bobine_(parfaite)_du_«_R_L_C_série_»_en_t_=_0|discontinuité de 3^ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension u_L(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du R L C série en t = 0]] » plus haut dans ce chapitre, que la “ discontinuité de 3^ème espèce ”<ref name="discontinuité de 3ème espèce" /> de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^nd ordre en <math>\;u_L(t)\;</math> avec <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> terme du 1^er ordre entraînait la « discontinuité de 1^ère espèce de <math>\;u_L(t)\;</math> et la celle de 2^ème espèce de sa dérivée temporelle 1^ère <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t)\;</math>» que le circuit soit résistif ou non soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}une 1^ère C.I<ref name="C.I." />. obtenue par tracé du circuit à <math>\;0^{+}\;</math> en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert<ref name="continuité de i dans circuit non résistif"> En effet <math>\;i(t)\;</math> étant, au facteur multiplicatif <math>\;\dfrac{1}{L}\;</math> près, une primitive de <math>\;u_L(t)\;</math> discontinue de 1^ère espèce est continue en <math>\;t = 0</math>, l'intensité du courant étant initialement nulle, elle le reste à l'instant <math>\;0^{+}</math> soit <math>\;i(0^{+}) = 0</math>.</ref> et le condensateur par un court-circuit<ref> En effet <math>\;i(t) = C\;\dot{u_C}(t)\;</math> étant continue en <math>\;t = 0</math>, la tension aux bornes du condensateur <math>\;u_C(t)\;</math> proportionnelle à une primitive de <math>\;i(t)\;</math> l'est aussi et le condensateur étant initialement déchargé, on en déduit <math>\;u_C(0^{+}) = 0</math>.</ref> «<math>\;u_L(0^{+}) =</math> <math>E\;</math>» restant valable dans un circuit <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. s'obtenant en revenant à la relation <math>\;\left(\mathfrak{b}'\right)\;</math><ref name="signification de (b')" /> et en y faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math><ref name="autre méthode pour déterminer la 2ème C.I." />, équation dans laquelle on utilise la propriété de continuité de l'intensité du courant<ref name="continuité de i dans circuit non résistif" /> dans le cas où initialement<ref name="initialement" /> la bobine n'est traversée par aucun courant, soit finalement la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+}) = 0\;</math>» valable dans un circuit <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension<ref> Compte-tenu de <math>\;R = 0\;</math> il s'agit bien de la même C.I. que celle obtenue dans un <math>\;R\, L\, C\;</math> série à savoir <math>\;\dot{u_L}(0^{+}) = -\dfrac{R}{L}\;E</math>.</ref>. {{Al|5}}Faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'expression de <math>\;u_L(t) = A\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math><ref> Utiliser cette expression plutôt que l'autre <math>\;u_L(t) = A'\,\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;</math> est encore intéressant car la valeur initiale de sa dérivée temporelle est nulle.</ref>, on trouve «<math>\;A = E\;</math>» puis <br>{{Transparent|Faisant <math>\;\color{transparent}{t = 0^{+}}\;</math> dans l'express. }}formant <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) = -A\;\omega_0\,\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\,\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> pour en prendre la valeur initiale on trouve «<math>\;B\;\omega_0 = 0\;</math>» soit «<math>\;B = 0\;</math>» ; {{Al|5}}finalement la réponse périodique en tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du <math>\;L\, C\;</math> série s'écrit <center>«<math>\;u_L(t) = E\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<ref name="circuit oscillant" />.</center> ==== Tracé du diagramme temporel de la variation de u_L(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires ==== {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : Le tracé et les commentaires sont quasi identiques à ceux exposés dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_diagramme_temporel_de_la_variation_de_uC(t)_dans_le_cas_d'une_réponse_transitoire_pseudo-périodique_et_commentaires|tracé du diagramme temporel de la variation de u_C(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires]] » plus haut dans ce chapitre, ils sont néanmoins “rappelés” ci-dessous. [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en uL - bis.png|thumb|400px|Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes]] {{Al|5}}La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période <math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> ou, en introduisant la période propre <math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}</math>, une « pseudo-période <math>\;T = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math> toujours <math>\;>\;</math> à la période propre <math>\;T_0\;</math>»<ref name="Pseudo-période quand sigma est petit" /> et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> se rapproche de sa valeur critique <math>\;\sigma_c = 1</math> ; {{Al|5}}ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » <ref name="enveloppes" /> supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de <math>\;u_L(t)\;</math> correspondent respectivement à <math>\;\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right) = +1\;</math> et <math>\;\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right) = -1\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit les propriétés suivantes : * deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure <math>\;\big(</math>ou inférieure<math>\big)\;</math> sont de temps séparés de <math>\;T</math> ; * deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de <math>\;\dfrac{T}{2}</math> ; * un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure <math>\;\big(</math>ou inférieure<math>\big)\;</math> et le 1^er point coupant la droite <math>\;u_L(t) = 0\;</math> sont de temps séparés de <math>\;\dfrac{T}{4}</math> ; * variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à <math>\;\dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = 2\;\tau\;</math>»<ref name="définition de tau - bis" /> <math>\;\big(</math>justifiant que l'on estime le régime transitoire achevé <math>\;-\;</math> à moins de <math>\;1\, \%\;</math> près <math>\;-\;</math> au bout de <math>\;10\; \tau\big)</math>, une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à <math>\;t = 0^{+}\;</math> recoupe la droite <math>\;u_L(t) = 0\;</math> à la date <math>\;2\; \tau</math> ; {{Al|5}}toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants <math>\;t_{\text{env}}\;</math> tels que <math>\;\cos\! \left( \omega\;t_{\text{env}} + \varphi \right) = \pm 1\;</math> et non aux instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » <ref name="extrémales" /> ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;t_{\text{extr}}\;</math> sont définis par <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t_{\text{extr}}) = 0\;</math>» avec la dérivée temporelle 1^ère de <math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> s'explicitant selon «<math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{E}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\, \left[ -\sigma\;\omega_0\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right) - \omega\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t + \varphi \right) \right]\;</math>» d'où, après simplification évidente, l'équation «<math>\;-\sigma\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} + \varphi \right) - \omega\;\sin\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} + \varphi \right) = 0\;</math>» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «<math>\;\tan\! \left( \omega\;t_{\text{extr}} + \varphi \right) = -\dfrac{\sigma\;\omega_0}{\omega} =</math> <math>-\dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;</math>», les racines <math>\;\omega\;t_{\text{extr}} + \varphi\;</math> étant définies à <math>\;\pi\;</math> près selon «<math>\;\omega\;t_{\text{extr}} + \varphi = -\arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right) + k\;\pi</math>, <math>\;k \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="k différent de 0"> <math>\;k = 0\;</math> doit être rejetée car <math>\;t_{\text{extr}}\;</math> doit être <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\varphi = \arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right) > 0\;</math> et <math>\;-\arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right) < 0</math>.</ref> soit finalement, avec <math>\;\varphi = \arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right)</math>, les instants cherchés {{Nobr|«<math>\;t_{\text{extr}} =</math>}} <math>-2\;\dfrac{\arctan\! \left( \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right)}{\omega} + k\;\dfrac{\pi}{\omega} = -2\;\dfrac{\varphi}{\omega} + k\;\dfrac{\pi}{\omega},\;\;k \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="k différent de 0" />, établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de <math>\;\dfrac{T}{2}</math>. == Bilan de puissance d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension et conséquences == === Bilan de puissance d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E === {{Al|5}}« La <u>puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension</u> » se retrouve en « <u>gain horaire d'énergie stockée</u> dans le dipôle <math>\;L\, C\;</math> série<ref name="circuit oscillant" /> <u>sous forme électromagnétique</u> » et en « <u>puissance calorifique dissipée par effet Joule</u><ref name="Joule"> '''[[w:James_Prescott_Joule|James Prescott Joule]] (1818 - 1889)''' physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''' <math>\;\big[</math>encore connu sous le nom de '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|Lord Kelvin]]'''<math>\big]\;</math> pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la magnétostriction <math>\;\big(</math>propriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique<math>\big)</math>.</ref> dans le conducteur ohmique » soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» <br> où «<math>\;\mathcal{E}(t)\;</math> est l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans le dipôle <math>\;L\, C\;</math> série » c.-à-d. <br>«<math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; \left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\; \left[ i(t) \right]^2\;</math>»<ref> Il convient bien sûr de refaire le schéma avec introduction des grandeurs utilisées, <math>\;u_C(t)\;</math> étant la tension <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> aux bornes du condensateur et <math>\;i(t)\;</math> l'intensité du courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>c.-à-d. aussi l'intensité du courant de charge du condensateur<math>\big)</math>.</ref>, <br>soit, mathématiquement, «<math>\;E\;Y(t)\;i(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + R\;\left[ i(t) \right]^2\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#Puissance_électrique_instantanée_fournie_par_un_échelon_de_tension_d'amplitude_E_délivrant_un_courant_d'intensité_i(t)|puissance électrique instantanée fournie par un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</center> === Équations différentielles en grandeurs électriques d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension déduites du bilan de puissance du D.P.L. === ==== Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en tension de charge du condensateur ==== {{Al|5}}Il suffit d'« <u>expliciter la dérivée temporelle 1^ère de l'énergie stockée</u> dans le <math>\;L\, C\;</math> série » à savoir <math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\, \left[ i(t) \right]^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\; 2\,\left[ u_C(t) \right]\,\dot{u_C}(t) + \dfrac{1}{2}\;L\;2\,\left[ i(t) \right]\,\dfrac{di}{dt}(t)</math> <math>= C\;u_C(t)\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math>» que l'on reporte dans le bilan de puissance soit «<math>\;E\;Y(t)\;i(t) =</math> <math>C\;u_C(t)\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i^2(t)\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il suffit d' }}<u>en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes</u> <math>\;C\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />{{,}}<ref> Bien que nous cherchions à établir l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> et que nous devions, a priori, conserver les grandeurs qui lui sont associées, il nous faut simplifier par une grandeur homogène à une intensité <math>\;\big[</math>le bilan de puissance étant en <math>\;W\;</math> et la façon directe d'obtenir l'équation différentielle quand les éléments sont montés en série étant une loi de maille exprimée en <math>\;V\;</math> il est donc nécessaire de simplifier le bilan de puissance par une grandeur exprimée en <math>\;A\;</math> c.-à-d. une intensité<math>\big]</math>, la seule intensité liée au condensateur étant celle le chargeant à savoir <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math> d'où le remplacement proposé.</ref> <u>dans le but de simplifier le bilan</u>, «<math>\;E\;Y(t)\;i(t) =</math> <math>u_C(t)\;i(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i^2(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il suffit d' }}<u>après simplification par</u><math>\;i(t)</math>, l'expression «<math>\;E\;Y(t) = u_C(t) + L\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i(t)\;</math>» dans laquelle il nous reste à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il suffit d' }}<u>éliminer</u><math>\;i(t)\;</math> <u>au profit de</u><math>\;u_C(t)\;</math> en réutilisant <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> d'où «<math>\;E\;Y(t) = u_C(t) + L\;C\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + R\;C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math>» soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle en tension de charge <math>\;u_C(t)\;</math> du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> : <center>«<math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_C(t) = \dfrac{1}{L\;C}\;E\;Y(t)\;</math>».</center> ==== Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en intensité du courant de charge du condensateur ==== {{Al|5}}Le début est identique, il suffit d'« <u>expliciter la dérivée temporelle 1^ère de l'énergie stockée</u> dans le <math>\;L\, C\;</math> série à savoir <math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\, \left[ i(t) \right]^2\;</math> ce qui donne «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) \;\overset{\cdots}{=}\;</math> <math>C\;u_C(t)\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math>» que l'on reporte dans le bilan de puissance «<math>\;C\;u_C(t)\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i^2(t) =</math> <math>E\;Y(t)\;i(t)\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le début est identique, il suffit d' }}<u>en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes</u> <math>\;C\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> <u>dans le but de simplifier le bilan</u>, {{Nobr|«<math>\;u_C(t)\;i(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i^2(t)</math>}} <math>= E\;Y(t)\;i(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le début est identique, il suffit d' }}<u>après simplification par</u><math>\;i(t)</math>, l'« expression intermédiaire <math>\;(\mathfrak{1})\;\;u_C(t) + L\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i(t) = E\;Y(t)\;</math>» dans laquelle il nous reste à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le début est identique, il suffit d' }}<u>éliminer</u><math>\;u_C(t)\;</math> <u>au profit de</u><math>\;i(t)\;</math> en réutilisant <math>\;C\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> <u>ce qui nécessite de dériver</u><ref name="sens des distributions" /> l'expression <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + R\;\dfrac{di}{dt}(t) =</math> <math>E\;\delta(t)\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{i(t)}{C} + L\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + R\;\dfrac{di}{dt}(t) = E\;\delta(t)\;</math>» soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle en intensité de courant de charge <math>\;i(t)\;</math> du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> : <center>«<math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;\delta(t)\;</math>».</center> ==== Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en tension aux bornes de la bobine (parfaite) ==== {{Al|5}}Le début est encore identique, il suffit d'« <u>expliciter la dérivée temporelle 1^ère de l'énergie stockée</u> dans le <math>\;L\, C\;</math> série » à savoir <math>\;\mathcal{E}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\, \left[ i(t) \right]^2\;</math> ce qui donne «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) \;\overset{\cdots}{=}\;</math> <math>C\;u_C(t)\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math>» et, après report dans le bilan de puissance, la relation suivante «<math>\;C\;u_C(t)\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i^2(t) =</math> <math>E\;Y(t)\;i(t)\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le début est encore identique, il suffit d' }}<u>en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes</u> <math>\;C\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> <u>dans le but de simplifier le bilan</u>, {{Nobr|«<math>\;u_C(t)\;i(t) + L\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i^2(t) = E\;Y(t)\;i(t)\;</math>»}} soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le début est encore identique, il suffit d' }}<u>après simplification par</u><math>\;i(t)</math>, l'« expression intermédiaire <math>\;(\mathfrak{1})\;\;u_C(t) + L\;\dfrac{di}{dt}(t) + R\;i(t) = E\;Y(t)\;</math>» dans laquelle il nous reste <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le début est encore identique, il suffit d' }}à <u>éliminer</u><math>\;u_C(t)\;</math> <u>au profit de</u><math>\;i(t)\;</math> en réutilisant <math>\;C\;\dfrac{du_C}{dt}(t) = i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> <u>ce qui nécessite de dériver</u><ref name="sens des distributions" /> <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> selon «<math>\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + L\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + R\;\dfrac{di}{dt}(t) =</math> {{Nobr|<math>E\;\delta(t)\;</math>»}} ou «<math>\;\dfrac{i(t)}{C} + L\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + R\;\dfrac{di}{dt}(t) = E\;\delta(t)\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le début est encore identique, il suffit d' }}à <u>éliminer</u><math>\;i(t)\;</math> <u>au profit de</u><math>\;u_L(t)\;</math> en utilisant <math>\;L\;\dfrac{di}{dt}(t) = u_L(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> <u>ce qui nécessite de dériver</u><ref name="sens des distributions" /> <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> selon «<math>\;\dfrac{1}{C}\;\dfrac{di}{dt}(t) + L\;\dfrac{d^3i}{dt^3}(t) + R\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) =</math> {{Nobr|<math>E\;\dot{\delta}(t)\;</math>»}} ou «<math>\;\dfrac{1}{C}\;\dfrac{u_L(t)}{L} + \dfrac{d^2u_L}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{du_L}{dt}(t) =E\;\dot{\delta}(t)\;</math>» soit, en ordonnant, l'équation différentielle en tension <math>\;u_L(t)\;</math> aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> : <center>«<math>\;\dfrac{d^2u_L}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_L(t) = E\;\dot{\delta}(t)\;</math>».</center> === Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique, évolution des énergie stockées dans le condensateur et la bobine === ==== Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension sur l'intervalle de temps de t à t + dt ==== {{Al|5}}On obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,;\, t + dt \right]\;</math> d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> en multipliant le bilan de puissance «<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» défini à l'instant <math>\;t\;</math> par la durée <math>\;dt</math>, bilan d'énergie s'énonçant selon : <br>{{Al|5}}{{Transparent|On obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle <math>\;\color{transparent}{\left[ t\,;\, t + dt \right]}\;</math> }}« le travail électrique élémentaire <math>\;\delta W_{e,\, f,\, \text{source}}\;</math> fourni par l'échelon de tension se retrouve en gain élémentaire d'énergie électromagnétique <math>\;d \mathcal{E}\;</math> stockée dans le <math>\;L\, C\;</math> série<ref name="circuit oscillant" /> et en énergie calorifique <ref> Ou chaleur.</ref> <math>\;\delta Q_R\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math>» soit <center>«<math>\;\delta W_{e,\, f,\, \text{source}} = d \mathcal{E} + \delta Q_R\;</math>» <br>avec «<math>\;\delta W_{e,\, f,\, \text{source}} = E\;Y(t)\;i(t)\;dt = E\;Y(t)\;C\;du_C\;</math>»<ref> La dernière expression utilisant le lien entre intensité du courant de charge du condensateur et la tension entre ses bornes à savoir <math>\;i(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math> en convention récepteur.</ref>, <br>«<math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\, \left[ i(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big\{</math>dont <math>\;d \mathcal{E}\;</math> est la différentielle<math>\big\}\;</math> <br>et «<math>\;\delta Q_R = R\,\left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>» chaleur dissipée par effet Joule<ref name="Joule" /> <br><math>\Downarrow</math> <br>«<math>\;E\;Y(t)\;C\;du_C = d\!\left\lbrace \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\, \left[ i(t) \right]^2 \right\rbrace + R\,\left[ i(t) \right]^2\;dt\;</math>».</center> ==== Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension sur l'intervalle de temps de 0⁺ à t ==== {{Al|5}}On intègre<ref name="sens des distributions" /> le bilan élémentaire ci-dessus entre <math>\;0^{+}\;</math> et <math>\;t\;</math> et on obtient, dans la mesure où le système est initialement<ref name="initialement" /> au repos <math>\;\big\{</math>ce qui a pour conséquence, en utilisant la continuité de <math>\;u_C(t)\;</math> et <math>\;i(t)\;</math> en <math>\;t = 0</math>, les valeurs suivantes «<math>\;u_C(0^{+}) = 0\;</math> et <math>\;i(0^{+}) = 0\;</math>»<math>\big\}</math> <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = \displaystyle\int_{0^{+}}^t E\;Y(t')\;C\;du_C(t') = \displaystyle\int_{0^{+}}^t d \mathcal{E}(t') + Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]}\;</math>»<br> soit, après intégration, le bilan d'énergie sur l'intervalle <math>\;\left[ 0^{+}\,;\, t \right]\;</math> du <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <br> «<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = C\;E\;u_C(t) = \mathcal{E}(t) + Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]}\;</math>»<ref> En effet, de <math>\;u_C(0^{+}) = 0\;</math> et <math>\;i(0^{+}) = 0</math>, on déduit <math>\;\mathcal{E}(0^{+}) = 0</math>.</ref> ce qui s'énonce selon :</center> {{Al|5}}« le travail électrique <math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]}\;</math> fourni par l'échelon de tension sur l'intervalle <math>\;\left[ 0^{+}\, ;\, t \right]\;</math> se retrouve en énergie stockée à l'instant <math>\;t\;</math> dans le <math>\;L\, C\;</math> série<ref name="circuit oscillant" /> <math>\;\mathcal{E}(t)\;</math> sous forme électromagnétique et en chaleur <math>\;Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]}\;</math> dissipée dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> par effet Joule<ref name="Joule" /> », {{Al|5}}l'« énergie électrique fournie la source » <ref> Autre expression pour qualifier le travail électrique.</ref> se réécrivant, suivant le régime transitoire de la tension de charge <math>\;u_C(t)\;</math> du condensateur, sous les formes suivantes : ===== Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle de temps de 0⁺ à t dans le cas d'une réponse apériodique de tension de charge du condensateur ===== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - énergie - apériodique.png|thumb|400px|Diagrammes horaires de l'énergie électrique fournie l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> au circuit <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur <math>\;\left[ 0 \,,\, t \right]\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math>, de l'énergie électromagnétique stockée dans le <math>\;L\, C\;</math> série <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> et de la chaleur dissipée par effet Joule<ref name="Joule" /> dans <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> sur la même durée dans le cas d'une réponse apériodique en <math>\;u_C(t)</math>]] {{Al|5}}La réponse apériodique de tension de charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> {{Nobr|«<math>\;u_C(t)</math>}} <math>= E \left[ 1 - \dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{\sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;s_{\pm} =</math> <math>-\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>» ayant été déterminée<ref name="résolution de l'équation différentielle"> Par résolution de l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> avec utilisation des C.I..</ref> au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique_2|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] en u_C(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ 0^{+}\, ;\, t \right]\;</math> <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = C\;E^2 \left[ 1 - \dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{\sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>»<br>« fonction <math>\;\nearrow\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,+\infty \right[} = C\;E^2\;</math>»<br>voir son diagramme horaire ci-contre en bleu.</center> {{Al|5}}Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve : * en énergie stockée dans le «<math>\;L\, C\;</math> série »<ref name="circuit oscillant" /> sous forme électromagnétique «<math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\,\left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\,\left[ i(t) \right]^2\;</math>» <math>\big[</math>voir son diagramme horaire ci-contre en vert<ref name="utilisation d'un logiciel de calcul"> Diagramme tracé points par points à l'aide d'un logiciel de calcul en utilisant l'expression de <math>\;i = i(t)\;</math> précédemment déterminée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique_4|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] de i(t) » à savoir «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ \exp\! \left( s_{+}\;t \right) - \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>» dans laquelle «<math>\;s_{\pm} = -\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>» <math>\big[</math>avec, simultanément si besoin, celle déjà utilisée de <math>\;u_C = u_C(t)\big]</math>.</ref><math>\big]\;</math> simplement <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;\mathcal{E}(+\infty) = \dfrac{1}{2}\;C\;E^2\;</math><ref name="valeurs à l'infini"> En effet <math>\;u_C(+\infty) = E\;</math> et <math>\;i(+\infty) = 0</math>, l'énergie stockée dans le <math>\;L\, C\;</math> série quand la charge du condensateur est terminée est uniquement sous forme électrostatique.</ref> et * en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule<ref name="Joule" /> «<math>\;Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = \displaystyle\int_{0^{+}}^t R\,\left[ i(t') \right]^2\;dt'\;</math>» <math>\big[</math>voir son diagramme horaire ci-contre en rouge<ref name="utilisation d'un logiciel de calcul" /><math>\big]\;</math> <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,+\infty \right[} = \dfrac{1}{2}\;C\;E^2\;</math><ref name="équipartition de l'énergie à l'infini"> En effet, comme il n'y a eu qu'une moitié de l'énergie fournie par l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> sur la durée infinie de charge du condensateur se retrouvant sous forme électrostatique dans le <math>\;L\, C\;</math> série, l'autre moitié a donc été dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> pendant cette même durée.</ref>. ===== Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle de temps de 0⁺ à t dans le cas d'une réponse apériodique critique de tension de charge du condensateur ===== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - énergie - apériodique critique.png|thumb|400px|Diagrammes horaires de l'énergie électrique fournie l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> au circuit <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur <math>\;\left[ 0 \,,\, t \right]\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math>, de l'énergie électromagnétique stockée dans le <math>\;L\, C\;</math> série <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> et de la chaleur dissipée par effet Joule<ref name="Joule" /> dans <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> sur la même durée dans le cas d'une réponse apériodique en <math>\;u_C(t)</math>]] {{Al|5}}La réponse apériodique critique de tension de charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> {{Nobr|«<math>\;u_C(t)</math>}} <math>= E\, \left[ 1 - \left( 1 + \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) \right]\;</math>» ayant été déterminée<ref name="résolution de l'équation différentielle" /> au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique_2|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] en u_C(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ 0^{+}\, ;\, t \right]\;</math> <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = C\;E^2 \left[ 1 - \left( 1 + \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) \right]\;</math>»<br>« fonction <math>\;\nearrow\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,+\infty \right[} = C\;E^2\;</math>»<br>voir son diagramme horaire ci-contre en bleu.</center> {{Al|5}}Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve : * en énergie stockée dans le «<math>\;L\, C\;</math> série »<ref name="circuit oscillant" /> sous forme électromagnétique «<math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\,\left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\,\left[ i(t) \right]^2\;</math>» <math>\big[</math>voir son diagramme horaire ci-contre en vert<ref name="utilisation d'un logiciel de calcul - bis"> Diagramme tracé points par points à l'aide d'un logiciel de calcul en utilisant l'expression de <math>\;i = i(t)\;</math> précédemment déterminée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique_4|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] de i(t) » à savoir «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R_c}\, \left( 2\;\omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\big[</math>avec, simultanément si besoin, celle déjà utilisée de <math>\;u_C = u_C(t)\big]</math>.</ref><math>\big]\;</math> simplement <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;\mathcal{E}(+\infty) = \dfrac{1}{2}\;C\;E^2\;</math><ref name="valeurs à l'infini" /> et * en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule<ref name="Joule" /> «<math>\;Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = \displaystyle\int_{0^{+}}^t R\,\left[ i(t') \right]^2\;dt'\;</math>» <math>\big[</math>voir son diagramme horaire ci-contre en rouge<ref name="utilisation d'un logiciel de calcul - bis" /><math>\big]\;</math> <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,+\infty \right[} = \dfrac{1}{2}\;C\;E^2\;</math><ref name="équipartition de l'énergie à l'infini" />. ===== Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle de temps de 0⁺ à t dans le cas d'une réponse pseudo-périodique de tension de charge du condensateur ===== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - énergie - pseudo-périodique.png|thumb|400px|Diagrammes horaires de l'énergie électrique fournie l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> au circuit <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur <math>\;\left[ 0 \,,\, t \right]\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math>, de l'énergie électromagnétique stockée dans le <math>\;L\, C\;</math> série <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math> et de la chaleur dissipée par effet Joule<ref name="Joule" /> dans <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> sur la même durée dans le cas d'une réponse pseudo-périodique en <math>\;u_C(t)</math>]] {{Al|5}}La réponse pseudo-périodique de tension de charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> {{Nobr|«<math>\;u_C(t)</math>}} <math>= E \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math>» avec «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math> et <math>\;\alpha = \arctan\! \left[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>» ayant été déterminée<ref name="résolution de l'équation différentielle" /> au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique_2|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] en u_C(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ 0^{+}\, ;\, t \right]\;</math> <center>«<math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = C\;E^2 \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math>»<br>« fonction partant de <math>\;0\;</math> et oscillant avec un amortissement exponentielle autour de <math>\;W_{e,\,f,\,\text{source sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,+\infty \right[} = C\;E^2\;</math>»<br>voir son diagramme horaire ci-contre en bleu.</center> {{Al|5}}Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve : * en énergie stockée dans le «<math>\;L\, C\;</math> série »<ref name="circuit oscillant" /> sous forme électromagnétique «<math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C\,\left[ u_C(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L\,\left[ i(t) \right]^2\;</math>» <math>\big[</math>voir son diagramme horaire ci-contre en vert<ref name="utilisation d'un logiciel de calcul - ter"> Diagramme tracé points par points à l'aide d'un logiciel de calcul en utilisant l'expression de <math>\;i = i(t)\;</math> précédemment déterminée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique_4|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] de i(t) » à savoir «<math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math>» où «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>» <math>\big[</math>avec, simultanément si besoin, celle déjà utilisée de <math>\;u_C = u_C(t)\big]</math>.</ref><math>\big]\;</math> partant de <math>\;0\;</math> et oscillant avec un amortissement exponentielle autour de <math>\;\mathcal{E}(+\infty) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\;E^2\;</math><ref name="valeurs à l'infini" /> et * en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule<ref name="Joule" /> «<math>\;Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,t \right]} = \displaystyle\int_{0^{+}}^t R\,\left[ i(t') \right]^2\;dt'\;</math>» <math>\big[</math>voir son diagramme horaire ci-contre en rouge<ref name="utilisation d'un logiciel de calcul - ter" /><math>\big]\;</math> <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;Q_{R,\,\text{sur}\,\left[ 0^{+}\,;\,+\infty \right[} = \dfrac{1}{2}\;C\;E^2\;</math><ref name="équipartition de l'énergie à l'infini" /> avec toutefois une <math>\;\nearrow\;</math> irrégulière dans la mesure où <math>\;i(t)\;</math> est oscillante. == Ordre de grandeur de la durée du régime transitoire d'une des réponses du « R L C série » soumis à un échelon de tension en fonction du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité) == === Recherche du critère de l'établissement pratique d'une des réponses forcées du « R L C série » soumis à un échelon de tension === {{Al|5}}Jusqu'à présent, lors de l'établissement d'une réponse forcée permanente avec un régime transitoire pseudo-périodique à amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement, nous avons considéré que la réponse forcée était établie après une « durée de <math>\;10\;\tau\;</math>», ce qui correspondait à une « réponse établie à moins de <math>\;1\, \%\;</math> près » <ref> La constante de temps d'amortissement de l'exponentielle <math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math> est <math>\;\dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = 2\;\tau\;</math> et <math>\;\exp(-4,6) \simeq 10^{-2}\;</math> d'où <math>\;\exp(-5) < 10^{-2}</math>.</ref> ; {{Al|5}}toutefois ce critère est trop sélectif car, la plupart du temps, une réponse établie à moins de <math>\;5\, \%\;</math> près est amplement suffisante et avec ce nouveau critère une réponse forcée permanente après un régime transitoire pseudo-périodique à amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement est considérée comme établie après une « durée de <math>\;6\;\tau\;</math>» <ref> La constante de temps d'amortissement de l'exponentielle <math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math> est <math>\;\dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = 2\;\tau\;</math> et <math>\;\exp(-3) \simeq 5\; 10^{-2}</math>.</ref>. === Définition de T_R le temps de réponse à 5 % === {{Al|5}}Le temps de réponse à <math>\;5\;\%</math>, noté <math>\;T_R</math>, est la durée nécessaire pour que la réponse forcée permanente soit établie à moins de <math>\;5\; \%\;</math> près ; {{Al|5}}le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> en <math>\;u_C(t)\;</math> d'un circuit <math>\;R\;L\;C\;</math> série soumis à un échelon de tension est calculable pour chaque valeur de cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> et exprimable en fonction de la valeur correspondante de la constante de temps <math>\;\tau = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}</math>, on obtient, suivant la nature du régime transitoire des exemples ci-après de pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \dfrac{1}{\sqrt{0,2 \times 5\;10^{-6}}} =</math> <math>1000\;rad \cdot s^{-1}</math>, les résultats ci-dessous : ==== Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire pseudo-périodique (c.-à-d. avec un faible amortissement) ==== {{Al|5}}La valeur du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> est liée à celle de la constante de temps <math>\;\tau\;</math> de la réduction canonique du <math>\;R\, L\,C\;</math> série par <math>\;\tau =</math> <math>\dfrac{L}{R} = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> soit, «<math>\;\sigma = 0,1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau = \dfrac{1}{2 \times 0,1 \times 10^3}</math> <math>= 5\;10^{-3}\;s = 5\;ms\;</math>» <math>\bigg\{</math>la pseudo-période valant «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi}{10^3 \times \sqrt{1 - (0,1)^2}}</math> <math>\simeq 6,31\;ms\;</math>»<math>\bigg\}</math> ; {{Al|5}}ci-dessous à gauche le diagramme horaire de <math>\;u_C = u_C(t)\;</math> pour <math>\;\sigma = 0,1\;</math> sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;T_R \simeq 29\;ms\;</math>»}} ou, en fonction de la constante de temps <math>\;\tau = 5\;ms</math>, <center>«<math>\;T_R \simeq 5,8\;\tau \simeq 6\;\tau\;</math>»<ref> On retrouve ainsi le résultat estimé en considérant la <math>\;\searrow\;</math> de l'exponentielle <math>\;\exp\!\left(- \dfrac{t}{2\;\tau} \right)</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : à partir de <math>\;T_R \simeq 29\;ms\;</math> on en déduit le paramètre sans dimension {{Al|9}}«<math>\;\omega_0\;T_R \simeq 29\;</math> pour <math>\;\sigma = 0,1\;</math>». [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en uC - ter.png|thumb|left|380px|Temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> en <math>\;u_C(t)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> dans le cas d'un régime transitoire pseudo-périodique]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique en uC - bis.png|thumb|right|400px|Temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> en <math>\;u_C(t)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> dans le cas d'un régime transitoire apériodique]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique critique en uC - bis.png|thumb|center|400px|Temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> en <math>\;u_C(t)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> dans le cas d'un régime transitoire apériodique critique]] {{clr}} ==== Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire apériodique critique (c.-à-d. avec un amortissement critique) ==== {{Al|5}}La valeur du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> est liée à celle de la constante de temps <math>\;\tau\;</math> de la réduction canonique du <math>\;R\, L\,C\;</math> série par <math>\;\tau =</math> <math>\dfrac{L}{R} = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> soit, «<math>\;\sigma = 1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau = \dfrac{1}{2 \times 1 \times 10^3}</math> <math>= 5\;10^{-4}\;s = 500\;\mu s\;</math>» ; {{Al|5}}ci-dessus au centre le diagramme horaire de <math>\;u_C = u_C(t)\;</math> pour <math>\;\sigma = 1\;</math> sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> soit «<math>\;T_R \simeq 4,7\;ms\;</math>»<ref> On vérifie que le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> pour le régime transitoire apériodique critique est inférieur à celui obtenu pour un régime transitoire pseudo-périodique tout comme le temps de réponse à <math>\;1\;\%\;</math> <math>\big(</math>celui qu'on définit quand on admet le régime permanent établi à <math>\;1\;\%\;</math> près<math>\big)</math>.</ref> ou, en fonction de la constante de temps <math>\;\tau = 0,5\;ms</math>, <center>«<math>\;T_R \simeq 9,4\;\tau \simeq 10\;\tau\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : à partir de <math>\;T_R \simeq 4,7\;ms\;</math> on en déduit le paramètre sans dimension {{Al|10}}«<math>\;\omega_0\;T_R \simeq 4,7\;</math> pour <math>\;\sigma = 1\;</math>». ==== Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire apériodique c.-à-d. avec un fort amortissement) ==== {{Al|5}}La valeur du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> est liée à celle de la constante de temps <math>\;\tau\;</math> de la réduction canonique du <math>\;R\, L\,C\;</math> série par <math>\;\tau =</math> <math>\dfrac{L}{R} = \dfrac{1}{2\;\sigma\;\omega_0}\;</math> soit, «<math>\;\sigma = 10\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\tau = \dfrac{1}{2 \times 10 \times 10^3}</math> <math>= 5\;10^{-5}\;s = 50\;\mu s\;</math>» ; {{Al|5}}ci-dessus à droite le diagramme horaire de <math>\;u_C = u_C(t)\;</math> pour <math>\;\sigma = 10\;</math> sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> soit «<math>\;T_R \simeq 60\;ms\;</math>»<ref> On vérifie que le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> pour le régime transitoire apériodique est supérieur à celui obtenu pour un régime transitoire apériodique critique tout comme le temps de réponse à <math>\;1\;\%\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>celui}} qu'on définit quand on admet le régime permanent établi à <math>\;1\;\%\;</math> près<math>\big)</math>.</ref> ou, en fonction de la constante de temps <math>\;\tau = 0,05\;ms</math>, <center>«<math>\;T_R \simeq 1200\;\tau\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : à partir de <math>\;T_R \simeq 60\;ms\;</math> on en déduit le paramètre sans dimension {{Al|17}}«<math>\;\omega_0\;T_R \simeq 60\;</math> pour <math>\;\sigma = 10\;</math>». === Diagramme en échelle logarithmique du paramètre sans dimension « ω₀ T_R » en fonction du cœfficient d'amortissement σ === [[File:RLC série soumis à échelon de tension - variation temps de réponse en fonction de sigma.png|thumb|400px|Diagramme en échelle log-log de <math>\;\omega_0\;T_R\;</math> en fonction du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série, <math>\;\omega_0\;</math> étant sa pulsation propre et <math>\;T_R\;</math> son temps de réponse à <math>\;5\, \%\;</math> en <math>\;u_C(t)\;</math> quand on lui impose un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse sous-critique en uC.png|thumb|400px|Temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> en <math>\;u_C(t)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> dans le cas du régime transitoire pseudo-périodique sous-critique <math>\;\sigma = 0,69\;</math>]] {{Al|5}}Traçant «<math>\;\log\! \left( \omega_0\;T_R \right)\;</math><ref name="logarithme décimal"> Le logarithme utilisé ici étant décimal.</ref> en fonction de <math>\;\log(\sigma)\;</math><ref name="logarithme décimal" /> avec les axes gradués directement en <math>\;\omega_0\;T_R\;</math> et en <math>\;\sigma\;</math>»<ref> Il suffit d'ailleurs d'utiliser du papier millimétré dit « log-log » où les échelles des axes sont par construction logarithmique décimale <math>\;\big(</math>remarque : il existe aussi du papier millimétré dit « semi-log » où l'axe des abscisses est logarithmique décimale, l'axe des ordonnées étant linéaire, papier à utiliser quand une seule échelle est logarithmique<math>\big)</math>.</ref>, on obtient le diagramme représenté ci-contre en noir sur lequel ont été ajoutées, en rouge, la modélisation linéaire pour une réponse permanente après un régime transitoire à faible cœfficient d'amortissement<ref> Modélisation linéaire approximativement applicable pour <math>\;\sigma \lesssim 0,1</math>.</ref> ainsi que celle après un régime transitoire à fort cœfficient {{Nobr|d'amortissement<ref> Modélisation linéaire approximativement applicable pour <math>\;\sigma \gtrsim 2</math>.</ref> ;}} {{Al|5}}on y observe un « minimum pour <math>\;\sigma_{\text{min}} \simeq 0,69\;</math>»<ref name="constante de temps pour temps de réponse minimal"> La valeur correspondante de la constante de temps <math>\;\tau_{\text{min}} = \dfrac{L}{R_{\text{min}}} = \dfrac{1}{2\;\sigma_{\text{min}}\;\omega_0}\;</math> vaut <math>\;\tau_{\text{min}} \simeq 720\;\mu s\;</math> et est obtenue avec <math>\;R_{\text{min}} \simeq 278\;\Omega\;</math> soit un conducteur ohmique de résistance <math>\;\big(</math>additionnelle<math>\big)</math> <math>\;R_{\text{min, additionnelle}} \simeq 270\;\Omega\;</math> compte-tenu de la résistance de la bobine réelle.</ref> correspondant à «<math>\;\left( \omega_0\; T_R \right)_{\text{min}} \simeq 3\;</math>», le temps de réponse <math>\;\big(</math>à <math>\;5\;\%\big)\;</math> minimal est donc obtenu en régime pseudo-périodique <math>\;\big(</math>assez proche du régime apériodique critique<ref> Un régime pseudo-périodique très proche du régime critique est encore qualifié de « sous-critique ».</ref><math>\big)</math>, il vaut « approximativement <math>\;T_{R,\,\text{min}} \simeq</math> <math>\dfrac{3}{\omega_0} = \dfrac{3}{2\;\pi}\;T_0 \simeq 0,5\;T_0 \simeq 3\; ms\;</math>»<ref> On vérifie que le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> est bien le plus faible parmi tous ceux des régimes transitoires possibles.</ref> soit encore «<math>\;T_{R,\,\text{min}} \simeq 4,2\;\tau_{\text{min}}\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;\tau_{\text{min}} \simeq 0,72\;ms</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque sur les modélisations linéaires</u> : * après un régime transitoire à faible cœfficient d'amortissement c.-à-d. <math>\;\sigma \lesssim 0,1</math>, on observe que la modélisation linéaire est de pente <math>\;-1</math>, correspondant à «<math>\;\log\! \left( \omega_0\;T_R \right) = cste - \log(\sigma)\;</math>» ou «<math>\;\omega_0\;T_R \propto \dfrac{1}{\sigma}\;</math>» ou encore, <math>\;\omega_0\;</math> étant constant dans les mesures considérées, {{Nobr|«<math>\;T_R \propto \dfrac{1}{\sigma}\;</math>»<ref> Ayant déterminé <math>\;T_R(\sigma = 0,1) \simeq 29\;ms\;</math> on en déduit <math>\;T_R(\sigma = 0,01) \simeq 290\;ms</math>.</ref> ;}} * après un régime transitoire à fort cœfficient d'amortissement c.-à-d. <math>\;\sigma \gtrsim 2</math>, on observe que la modélisation linéaire est de pente <math>\;+1</math>, correspondant à «<math>\;\log\! \left( \omega_0\;T_R \right) = cste + \log(\sigma)\;</math>» ou «<math>\;\omega_0\;T_R \propto \sigma\;</math>» ou encore, <math>\;\omega_0\;</math> étant constant dans les mesures considérées, {{Nobr|«<math>\;T_R \propto \sigma\;</math>»<ref> Ayant déterminé <math>\;T_R(\sigma = 10) \simeq 60\;ms\;</math> on en déduit <math>\;T_R(\sigma = 100) \simeq 600ms</math>.</ref>.}} === Détermination du temps de réponse à 5 % pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement sous-critique σ = 0,69 et conséquence === {{Al|5}}Ci-contre le diagramme horaire de <math>\;u_C = u_C(t)\;</math> pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement {{Nobr|sous-critique}} <math>\;\sigma = 0,69\;</math> sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> soit «<math>\;T_R \simeq 2,9\;ms\;</math>»<ref> On vérifie que le temps de réponse à <math>\;5\;\%\;</math> pour ce régime transitoire pseudo-périodique sous-critique est en accord avec la valeur <math>\;T_{R,\,\text{min}} \simeq 3\;ms\;</math> déterminée sur le diagramme en échelle logarithmique du paramètre sans dimension <math>\;\omega_0\; T_R\;</math> en fonction du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma</math>.</ref> ou, en fonction de la constante de temps <math>\;\tau = 0,72\;ms\;</math><ref name="constante de temps pour temps de réponse minimal" />, <center>«<math>\;T_R \simeq 4\;\tau\;</math>»<ref> On vérifie l'accord avec la valeur <math>\;T_{R,\,\text{min}} \simeq 4,2\;\tau_{\text{min}}\;</math> déterminée à partir du diagramme en échelle logarithmique du paramètre sans dimension <math>\;\omega_0\; T_R\;</math> en fonction du cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : pour obtenir le plus rapidement possible la réponse forcée permanente à <math>\;5\;\%\;</math> près il faut « se placer dans les conditions de régime transitoire sous-critique, plus précisément à cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma \simeq 0,7\;</math>», « le temps nécessaire pour estimer la réponse forcée établie étant, avec <math>\;\tau\;</math> constante de temps du <math>\;R\, L\, C\;</math> série, de l'ordre de <math>\;4\;\tau\;</math>»<ref> À comparer à l'ordre de grandeur de la valeur trouvée pour le régime transitoire apériodique critique à savoir <math>\;10\;\tau</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|À comparer à l'ordre de grandeur de la valeur trouvée }}pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement plus faible <math>\;\sigma \simeq 0,1\;</math> à savoir <math>\;6\;\tau</math>.</ref>. == Portraits de phase de l'évolution des grandeurs électriques d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité) == === Portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité) === ==== Particularités de l'obtention du portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E ==== {{Al|5}}Alors que l'équation cartésienne du portrait de phase de la charge du condensateur d'un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension se déduisait directement de l'équation différentielle en charge du condensateur <math>\;\big[</math>en effet le portrait de phase est un lien entre <math>\;q(t)\;</math> et <math>\;\dot{q}(t)\;</math> tout comme l'équation différentielle<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Portrait_de_phase_de_la_charge_d'un_condensateur_(initialement_déchargé)_dans_un_R_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension|portrait de phase de la charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\big]\;</math> ce n'est pas le cas ici car l'équation différentielle est un lien entre <math>\;q(t)</math>, <math>\;\dot{q}(t)\;</math> et <math>\;\ddot{q}(t)\;</math> alors que le portrait de phase n'est qu'un lien entre <math>\;q(t)\;</math> et <math>\;\dot{q}(t)</math>, aussi nous n'obtiendrons pas d'équation cartésienne pour le portrait de phase ; {{Al|5}}les seules façons d'obtenir le portrait de phase cherché sont : * expérimentale <math>\;\rightsquigarrow\;</math> on forme la courbe de Lissajous en se plaçant en fonctionnement <math>\;(x,\, y)\;</math> de l'oscilloscope, la tension aux bornes du condensateur étant envoyée sur <math>\;CH1\;</math> <math>\big(</math>en “ horizontal ”<math>\big)\;</math> et celle aux bornes du conducteur ohmique sur <math>\;CH2\;</math> <math>\big(</math>en “ vertical ”<math>\big)\;</math><ref> Attention à la masse de l'oscilloscope qui doit être le point commun entre le condensateur et le conducteur ohmique <math>\;\big(</math>la masse du générateur de fonction étant éliminée par utilisation d'un transformateur d'isolement ou d'une liaison au secteur sans prise de terre<math>\big)\;</math> et la voie <math>\;CH1\;</math> devant être inversée.</ref>, ou * par ses équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle. ==== Tracé du portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement ==== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en q - portrait de phase.png|left|thumb|400px|Portrait de phase d'une réponse pseudo-périodique en charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique en q - portrait de phase.png|right|thumb|400px|Portrait de phase d'une réponse apériodique en charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique critique en q - portrait de phase.png|center|thumb|400px|Portrait de phase d'une réponse apériodique critique en charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> soumis à un échelon de tension]] {{clr}} [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponses possibles en q - portrait de phase.png|thumb|400px|Superposition des portraits de phase des réponses pseudo-périodique, apériodique critique, apériodique en charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension au portrait de phase en charge du condensateur du <math>\;L\,C\;</math> série soumis au même échelon de tension]] {{Al|5}}Les tracés ci-dessus ont été obtenus à partir de leurs équations paramétriques résultant de l'intégration de l'équation différentielle avec les C.I<ref name="C.I." />. précédemment utilisées <math>\;\big(</math>à savoir condensateur « initialement »<ref name="initialement" /> déchargé et absence de courant « initial »<ref name="initialement" /> dans le {{Nobr|circuit<math>\big)</math>,}} le dernier diagramme ci-contre superposant les trois portraits de phase à celui que l'on obtiendrait pour un « circuit oscillant non amorti » <ref name="portrait de phase du circuit oscillant non amorti"> Le portrait de phase du « circuit oscillant non amorti » <math>\;\big(</math>ou dipôle <math>\;L\, C\;</math> série<math>\big)\;</math> ne peut pas être obtenu expérimentalement car, pour visualiser une intensité de courant il faut nécessairement ajouter un conducteur ohmique en série de façon à visualiser la tension aux bornes de ce dernier et dans ces conditions le circuit devient amorti <math>\;\big\{</math>toutefois il serait possible de réaliser une telle observation en ajoutant, en série, un montage électronique dit « [[w:Résistance_négative|à résistance négative]] » qui compense la somme de la résistance du conducteur ohmique indispensable à l'observation et la résistance de la bobine<math>\big\}</math>.</ref>. ==== Propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement ==== {{Al|5}}Compte-tenu des C.I<ref name="C.I." />. le point générique des portraits de phase part de l'origine <math>\;\left( q = 0\; ;\, i = 0 \right)\;</math> et décrit les portraits de phase dans le <u>sens horaire</u> <math>\;\big(</math>ou sens « <u>trigonométrique indirect</u> » <ref name="trigonométrique indirect"> On dit encore sens « <u>trigonométrique rétrograde</u> ».</ref><math>\big)\;</math> pour tendre, quand il y a amortissement, vers le point d'« équilibre » <math>\;\left( q_f = C\;E = 5\;\mu C\; ;\, i_f = 0 \right)\;</math> correspondant au régime forcé permanent, de façon directe si <math>\;\sigma \geqslant 1\;</math> <math>\big(</math>ci-dessus à droite et au {{Nobr|centre<math>\big)\;</math>}} ou « spiralante » si <math>\;\sigma < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math> <math>\big(</math>ci-dessus à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}sur le dernier diagramme ci-contre figure aussi le portrait de phase correspondant à un circuit oscillant non amorti <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)</math>, ce dernier {{Nobr|<math>\;\big(</math>dans}} lequel s'inscrit tous les autres portraits de phase<math>\big)\;</math> diffère des précédents par les propriétés suivantes : * c'est une courbe <u>fermée</u> traduisant le caractère « <u>répétitif</u> » <ref name="répétitif"> Le qualificatif « <u>répétitif</u> » signifie que le point générique retrouve les mêmes positions de l'espace de phase sans préciser s'il les obtient après des durées écoulées toutes égales <math>\;\big(</math>ce qui est effectivement le cas mais que nous ne pouvons pas déduire du portrait de phase<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}la résolution de l'équation différentielle nous permet d'ajouter le caractère « périodique » de la rotation du point générique sur le portrait de phase mais avec le seul tracé nous n'en savons a priori rien.</ref> de la charge du condensateur, le portrait de phase étant décrit successivement en repassant par les mêmes points <math>\;\big(</math>la charge et l'intensité du courant de charge ont les mêmes valeurs lors du n^ème tour que celles qu'elles avaient lors du tour précédent<math>\big)</math>, * la nullité du cœfficient d'amortissement se manifeste par l'absence de point d'« équilibre » vers lequel tend le point générique, ceci traduisant le fait que la réponse « transitoire » <ref name="transitoire - abus"> Le qualificatif « transitoire » ici est incorrect dans la mesure où le régime libre ne s'amortit pas.</ref> ne tend pas vers la réponse forcée permanente mais oscille autour de cette dernière sans amortissement, ce qui s'exprime par « le point <math>\;\left( q_f = C\;E = 5\;\mu C\; ;\, i_f = 0 \right)\;</math> correspondant au régime forcé permanent est le <u>centre de symétrie</u> du portrait de phase» », * c'est une <u>ellipse</u>, les équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} q(t) = C\;E\, \left[ 1 - \cos(\omega_0\;t) \right]\\ i(t) = C\;E\;\omega_0\;\sin(\omega_0\;t)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r} q(t) - C\;E \!\!&=&\!\! -C\;E\; \cos(\omega_0\;t)\\ i(t) \!\!&=&\!\! C\;E\;\omega_0\;\sin(\omega_0\;t)\end{array}\right\rbrace</math>, ce qui définit une ellipse de « centre <math>\;\left( q_f = C\;E = 5\;\mu C\; ;\, i_f = 0 \right)\;</math>», d'axes « l'axe des <math>\;q\;</math>» et « celui des <math>\;i\;</math>»<ref name="ellipse - équations paramétriques"> Voir le paragraphe sur les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Conséquence_:_Équations_paramétriques_d'une_ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, dont l'équation cartésienne est <math>\;\dfrac{\left( q - C\;E \right)^2}{\left( C\; E \right)^2} + \dfrac{i^2}{\left( C\;E\;\omega_0 \right)^2} = 1\;</math><ref name="ellipse - passage paramétrique, cartésien"> S'obtient en éliminant le temps par <math>\;\cos^2\!\left( \omega_0\; t \right) + \sin^2\!\left( \omega_0\; t \right) = 1</math>.</ref>{{,}}<ref name="ellipse - équation cartésienne"> Voir le paragraphe sur l'« équation cartésienne d'une [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. === Portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité) === ==== Particularités du portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E ==== {{Al|5}}Alors que l'équation cartésienne du portrait de phase de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un <math>\;R\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension se déduisait directement de l'équation différentielle en courant de charge du condensateur <math>\;\bigg[</math>en effet le portrait de phase est un lien entre <math>\;i(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> tout comme l'équation différentielle<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Portrait_de_phase_de_l'intensité_du_courant_de_charge_d'un_condensateur_(initialement_déchargé)_dans_un_R_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension|portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un R C série soumis à un échelon de tension]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\bigg]\;</math> ce n'est pas le cas ici car l'équation différentielle est un lien entre <math>\;i(t)</math>, <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t)\;</math> alors que le portrait de phase n'est qu'un lien entre <math>\;i(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)</math>, aussi nous n'obtiendrons pas d'équation cartésienne pour le portrait de phase ; {{Al|5}}les seules façons d'obtenir le portrait de phase cherché sont : * expérimentale <math>\;\rightsquigarrow\;</math> on forme la courbe de Lissajous en se plaçant en fonctionnement <math>\;(x,\, y)\;</math> de l'oscilloscope, la tension aux bornes du conducteur ohmique étant envoyée sur <math>\;CH1\;</math> <math>\big(</math>en “ horizontal ”<math>\big)\;</math> et celle aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> sur <math>\;CH2\;</math> <math>\big(</math>en “ vertical ”<math>\big)\;</math><ref> Attention à la masse de l'oscilloscope qui doit être le point commun entre le conducteur ohmique et la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> <math>\big(</math>la masse du générateur de fonction étant éliminée par utilisation d'un transformateur d'isolement ou d'une liaison au secteur sans prise de terre<math>\big)\;</math> et la voie <math>\;CH1\;</math> devant être inversée ; <br>{{Al|3}}nous nous plaçons dans le cas où <math>\;r_B\; \vert i(t) \vert \ll \bigg\vert L\;\dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;u_B(t) \simeq u_L(t)\;</math> mais dans le cas où cette condition ne serait pas réalisée, nous pourrions compenser la tension de la partie résistive de la bobine avec un montage [[w:Résistance_négative|à résistance négative]] placé en série avec cette dernière.</ref>, ou * par ses équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle. ==== Tracé du portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement ==== [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en i - portrait de phase.png|left|thumb|400px|Portrait de phase d'une réponse pseudo-périodique en intensité de courant de charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique en i - portrait de phase.png|right|thumb|400px|Portrait de phase d'une réponse apériodique en intensité de courant de charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> soumis à un échelon de tension]] [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse apériodique critique en i - portrait de phase.png|center|thumb|400px|Portrait de phase d'une réponse apériodique critique en intensité de courant de charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> soumis à un échelon de tension]] {{clr}} [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponses possibles en i - portrait de phase.png|thumb|400px|Superposition des portraits de phase des réponses pseudo-périodique, apériodique critique, apériodique en intensité de courant de charge du condensateur d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à un échelon de tension au portrait de phase en charge du condensateur du <math>\;L\,C\;</math> série soumis au même échelon de tension]] {{Al|5}}Les tracés ci-dessus ont été obtenus à partir de leurs équations paramétriques résultant de l'intégration de l'équation différentielle avec les C.I<ref name="C.I." />. précédemment utilisées <math>\;\big(</math>à savoir condensateur « initialement »<ref name="initialement" /> déchargé et absence de courant « initial »<ref name="initialement" /> dans le {{Nobr|circuit<math>\big)</math>,}} le dernier diagramme ci-contre superposant les trois portraits de phase à celui que l'on obtiendrait pour un « circuit oscillant non amorti » <ref name="portrait de phase du circuit oscillant non amorti" />. ==== Propriétés des portraits de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement ==== {{Al|5}}Compte-tenu des C.I<ref name="C.I." />. le point générique des portraits de phase part de l'origine <math>\;\left( i = 0\; ;\, \dfrac{di}{dt} = \dfrac{E}{L} \right)\;</math> et décrit les portraits de phase dans le <u>sens horaire</u> <math>\;\big(</math>ou sens « <u>trigonométrique indirect</u> » <ref name="trigonométrique indirect" /><math>\big)\;</math> pour tendre, quand il y a amortissement, vers le point d'« équilibre » <math>\;\left( i = 0\; ;\, \dfrac{di}{dt} = 0 \right)\;</math> correspondant au repos, de façon directe si <math>\;\sigma > 1\;</math> <math>\big(</math>ci-dessus à droite<math>\big)</math>, avec un « rebond<ref> En effet le point générique dépasse le point de repos pour y revenir.</ref> » si <math>\;\sigma = 1\;</math> <math>\big(</math>ci-dessus au centre<math>\big)\;</math> ou « spiralante » si <math>\;\sigma < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math> <math>\big(</math>ci-dessus à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}sur le dernier diagramme ci-contre figure aussi le portrait de phase correspondant à un circuit oscillant non amorti <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)</math>, ce dernier {{Nobr|<math>\;\big(</math>dans}} lequel s'inscrit tous les autres portraits de phase<math>\big)\;</math> diffère des précédents par les propriétés suivantes : * c'est une courbe <u>fermée</u> traduisant le caractère « <u>répétitif</u> » <ref name="répétitif" /> du courant de charge du condensateur, le portrait de phase étant décrit successivement en repassant par les mêmes points <math>\;\big(</math>l'intensité du courant de charge et la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine ont les mêmes valeurs lors du n^ème tour que celles qu'elles avaient lors du tour précédent<math>\big)</math>, * la nullité du cœfficient d'amortissement se manifeste par l'absence de point d'« équilibre » vers lequel tend le point générique, ceci traduisant le fait que la réponse « transitoire » <ref name="transitoire - abus" /> ne tend pas vers l'état de repos mais oscille autour de ce dernier sans amortissement, ce qui s'exprime par « le point <math>\;\left( i = 0\; ;\, \dfrac{di}{dt} = 0 \right)\;</math> correspondant à l'état de repos est le <u>centre de symétrie</u> du portrait de phase» », * c'est une <u>ellipse</u>, les équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l c r} i(t) \!\!&=&\!\! C\;E\;\omega_0\;\sin(\omega_0\;t)\\ \dfrac{di}{dt}(t) \!\!&=&\!\! C\;E\;\omega_0^2\;\cos(\omega_0\;t)\end{array}\right\rbrace\;</math> définissant une ellipse de « centre <math>\;\left( i = 0\; ;\, \dfrac{di}{dt} = 0 \right)\;</math>», d'axes « l'axe des <math>\;i\;</math>» et « celui des <math>\;\dfrac{di}{dt}\;</math>»<ref name="ellipse - équations paramétriques" />, dont l'équation cartésienne est <math>\;\dfrac{i^2}{\left( C\; E\;\omega_0 \right)^2} + \dfrac{\left( \dfrac{di}{dt} \right)i^2}{\left( C\;E\;\omega_0^2 \right)^2} = 1\;</math><ref name="ellipse - passage paramétrique, cartésien" />{{,}}<ref name="ellipse - équation cartésienne" />. === Commentaire sur l'éventuel portrait de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension === {{Al|5}}Étant donné que la dérivée temporelle de la tension <math>\;u_L(t)\;</math> aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> ne représente, même à un cœfficient multiplicatif près, aucune grandeur électrique <math>\;\big(</math>contrairement à la dérivée temporelle de la charge ou celle de l'intensité de courant de charge du condensateur<math>\big)</math>, la notion de portrait de phase de <math>\;u_L(t)\;</math> n'a qu'un intérêt très limité et ne sera pas introduite dans ce cours<ref> [[Fichier:High pass filter.png|thumb|right|Circuit <math>\;R\,C\;</math> série avec sortie aux bornes de <math>\;R\;</math> équivalent à un pseudo-dérivateur à B.F.]] Déterminer le portrait de phase de la tension aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> ne présente toutefois aucune difficulté à l'aide des équations paramétriques de <math>\;u_L = u_L(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{du_L}{dt} = \dfrac{du_L}{dt}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}l'observer expérimentalement sur un oscilloscope en formant une courbe de Lissajous nécessiterait des moyens plus sophistiqués dans la mesure où <math>\;\dfrac{du_L}{dt}\;</math> n'est proportionnelle à aucun grandeur électrique du circuit <math>\;\big\{</math>il faudrait utiliser un montage électronique dit « dérivateur » dont le signal de sortie est proportionnel à la dérivée temporelle du signal d'entrée, ce dernier étant égal à <math>\;u_L(t)\;</math> <math>\big[</math>voir dans le sous paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Interprétation_de_«_l'équivalent_B.F._»_de_la_fonction_de_transfert_:_circuit_«_pseudo_dérivateur_»|interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo-dérivateur]] » du paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Fonction_de_transfert_du_1er_ordre_non_fondamental_à_transfert_statique_nul|fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » une façon d'obtenir un montage « dérivateur » de schéma ci-contre<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien sûr, pour obtenir <math>\;u_L\;</math> c.-à-d. la tension aux bornes de la partie purement inductive de la bobine réelle, il serait préférable <math>\;\bigg\{</math>même dans le cas <math>\;r_B\; \vert i(t) \vert \ll \bigg\vert L\;\dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert\bigg\}</math>, de compenser la tension de la partie résistive de la bobine avec un montage [[w:Résistance_négative|à résistance négative]] placé en série avec cette dernière car <math>\;r_B\; \vert i(t) \vert \ll \bigg\vert L\;\dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert\;</math> <math>\nRightarrow</math> <math>\;r_B\; \bigg\vert \dfrac{di}{dt}(t) \bigg\vert \ll \bigg\vert L\;\dfrac{d^2i}{dt^.}(t) \bigg\vert</math>.</ref>. === Description de l'évolution temporelle d'une grandeur connaissant le portrait de phase qui lui est associé === {{Al|5}}Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Portrait_de_phase_d'un_système_dynamique#Évolution_du_système_dynamique_classique_à_un_degré_de_liberté_à_partir_d'un_point_d'un_de_ses_portraits_de_phase_hors_axe_des_x|évolution d'un système dynamique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des abscisses]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », les principaux commentaires sont rappelés ci-dessous sur l'exemple d'un portrait de phase de charge pseudo-périodique du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> : [[File:RLC série soumis à échelon de tension - réponse pseudo-périodique en q - portrait de phase.png|thumb|400px|Portrait de phase d'une réponse pseudo-périodique en charge du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension]] * aux instants correspondant aux points <math>\;Q\;</math> du portrait de phase de la zone <math>\;\dot{q} > 0\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\dot{q} < 0\big)</math>, <math>\;q \nearrow\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;q \searrow\big)</math> <math>\;\big[</math>ce qui correspond au fait que <math>\;Q\;</math> se déplace vers la droite <math>\big(</math>respectivement <math>\;Q\;</math> se déplace vers la gauche<math>\big)\big]</math>, * aux instants correspondant aux points <math>\;Q\;</math> du portrait de phase sur l'axe des charges, <math>\;\dot{q} = 0\;</math> et par suite, si le portrait de phase coupe cet axe dans le sens des <math>\;\dot{q} \nearrow\;</math> <math>\big(</math>respectivement dans le sens des <math>\;\dot{q} \searrow\big)</math>, il s'agit d'un minimum local <math>\;\big(</math>respectivement d'un maximum {{Nobr|local<math>\big)\;</math>}} de charge <math>\;\big[</math>ceci correspondant au fait que <math>\;Q\;</math> traverse l'axe des charges perpendiculairement à cet axe et qu'il le franchisse dans le sens des <math>\;\dot{q} \nearrow\;</math> ou <math>\;\dot{q} \searrow</math>, impliquant qu'il « tourne » obligatoirement dans le <u>sens rétrograde</u><math>\big]</math>, * en présence d'amortissement, le portrait de phase se « termine » par un « point asymptote » <ref> Appelé « <u>point fixe</u> » du portrait de phase.</ref> correspondant à un point d'« équilibre » <ref name="point d'équilibre"> Correspondant à la valeur de la charge en régime forcé permanent.</ref> ou « de repos »<ref name="point de repos"> S'il n'y a pas de réponse forcée permanente comme dans le cas du portrait de phase de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension.</ref> situé sur l'axe des abscisses<ref> Sur l'exemple ci-contre le point est atteint en « spiralant » caractérisant un régime pseudo-périodique, sur les deux autres exemples avec présence d'amortissement il est abordé directement caractérisant un régime apériodique <math>\;\big(</math>critique ou non<math>\big)</math>.</ref>, * en absence d'amortissement <math>\;\big(</math>portrait de phase de charge du condensateur d'un <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension, à imaginer à partir du portrait de phase ci-contre<math>\big)</math>, le portrait de phase est fermé correspondant à une rotation autour d'un point d'« équilibre »<ref name="point d'équilibre"/> ou « de repos »<ref name="point de repos"/> situé sur l'axe des abscisses, le régime de variation de l'abscisse étant <u>oscillatoire non </u>{{Nobr|<u>amorti</u><ref> On peut démontrer qu'il est aussi périodique.</ref> ;}} sur les exemples des portraits de phase de charge ou d'intensité du courant de charge du condensateur d'un <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension, le point d'« équilibre »<ref name="point d'équilibre"/> ou « de repos »<ref name="point de repos"/> situé sur l'axe des abscisses est un centre de symétrie du portrait de phase, caractérisant l'égalité des quatre durées entre les abscisses extrêmes et l'abscisse du point d'équilibre ou de repos en croissant ou en décroissant. == Circuit « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀, grandeurs canoniques (usuelles) associées au « R' L' C' parallèle » == === Rappel de la notion de dualité « série - parallèle » en électricité === {{Al|5}}La notion de dualité « série - parallèle » en électricité a été introduite dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Initiation_à_la_dualité_«_série_-_parallèle_»_en_électricité|initiation à la dualité série - parallèle en électricité]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », les principales grandeurs et relations duales utiles ici étant rappelées ci-dessous : {| class="wikitable" width="100%" | align="center" | association série | align="center" | association parallèle |- | align="center" | intensité <math>\;i\;</math> commune traversant les dipôles | align="center" | tension <math>\;u\;</math> commune aux bornes des dipôles |- | align="center" | tension <math>\;u_k\;</math> aux bornes du dipôle <math>\;_k\;</math> et tension <math>\;u = \sum\limits_k u_k\;</math> aux bornes de l'association <br><math>\;\big(</math>loi des mailles<math>\big)</math> | align="center" | intensité <math>\;i_k\;</math> du courant traversant le dipôle <math>\;_k\;</math> et intensité <math>\;i = \sum\limits_k i_k\;</math> traversant l'association <br><math>\;\big(</math>loi des nœuds<math>\big)</math> |- | align="center" | association en sortie ouverte <math>\;i = 0\;</math> ou en série avec un interrupteur ouvert | align="center" | association court-circuitée <math>\;u = 0\;</math> ou en <math>\;\parallel\;</math> avec un interrupteur fermé |- | align="center" | association soumise à une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e</math> | align="center" | association alimentée par une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta</math> |- | align="center" | association soumise à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <ref> Source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;E\;</math> en série avec un interrupteur que l'on ferme à <math>\;t = 0</math>.</ref> | align="center" | association alimentée par un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0</math> <ref name="échelon de courant"> Source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;I_0\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> avec un interrupteur que l'on ouvre à <math>\;t = 0</math> ;<br>{{Al|3}}l'échelon de courant correspond donc, pour tout instant <math>\;t</math>, à un c.e.m. <math>\;\eta(t) = I_0\;Y(t) = \left\lbrace \begin{array}{l}I_0\;\text{pour }t > 0\\0\;\;\text{pour }t < 0\end{array}\right.\;\big(</math>en effet, pour <math>\;t < 0</math>, l'interrupteur étant fermé, le courant d'intensité <math>\;I_0\;</math> le traverse entièrement, ne laissant aucun courant disponible pour l'extérieur<math>\big)</math>.</ref> |- | align="center" | conducteur ohmique de résistance <math>\;R = \dfrac{u}{i}</math> | align="center" | conducteur ohmique de conductance <math>\;G = \dfrac{i}{u}</math> |- | align="center" | condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> telle que <math>\;i = C\; \dfrac{du}{dt}</math> | align="center" | bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> telle que <math>\;u = L\; \dfrac{di}{dt}</math> |- | align="center" | bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> telle que <math>\;u = L\; \dfrac{di}{dt}</math> | align="center" | condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> telle que <math>\;i = C\; \dfrac{du}{dt}</math> |- | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association série"> Nécessité qu'il y ait un conducteur ohmique en série.</ref> « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association parallèle"> Nécessité qu'il y ait un conducteur ohmique en parallèle.</ref> « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » |- | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association série" /> « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » | align="center" | dans un circuit réel<ref name="caractère réel pour association parallèle" /> « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » |- | align="center" | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <br>traversé par un courant d'intensité <math>\;i</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }R} = R\; i^2</math> | align="center" | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance <math>\;G\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }G} = G\; u^2</math> |- | align="center" | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u_C</math> : <math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C} = \dfrac{1}{2}\;C\; u_C^2</math> | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i_L</math> : <math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L} = \dfrac{1}{2}\;L\; i_L^2</math> |- | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i</math> : <math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L} = \dfrac{1}{2}\;L\; i^2</math> | align="center" | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>soumis à une tension <math>\;u</math> : <math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C} = \dfrac{1}{2}\;C\; u^2</math> |- | align="center" | puissance instantanée électrique fournie par une source de tension parfaite de f.e.m. <math>\;e\;</math> <br>délivrant un courant d'intensité <math>\;i</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par la source de tension parfaite}} = e\; i</math> | align="center" | puissance instantanée électrique fournie par une source de courant parfaite de c.e.m. <math>\;\eta\;</math> <br>imposant une tension <math>\;u</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par la source de courant parfaite}} = \eta\; u</math> |} === Circuit « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀, circuit dual d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E === {{Al|5}}De ce qui précède on déduit que le « circuit dual d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math>» est un « circuit <math>\;R'\, C'\, L'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math>», les réponses duales correspondantes étant : {| class="wikitable" width="100%" | align="center" | Circuit <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> | align="center" | Circuit <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> |- | align="center" | réponse en tension <math>\;u_C(t)\;</math> aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <br>soumis à un échelon de tension | align="center" | réponse en intensité <math>\;i_{L'}(t)\;</math> du courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle <br>soumis à un échelon de courant |- | align="center" | réponse en intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série <br>soumis à un échelon de tension | align="center" | réponse en tension <math>\;u(t)\;</math> aux bornes du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle <br>soumis à un échelon de courant |- | align="center" | réponse en tension <math>\;u_L(t)\;</math> aux bornes de la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <br>soumis à un échelon de tension | align="center" | réponse en intensité <math>\;i_{C'}(t)\;</math> du courant traversant le condensateur du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle <br>soumis à un échelon de courant |} === Réductions canoniques d'un « R' L' C' parallèle » === {{Al|5}}Comme pour le <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension, on définit trois réductions canoniques pour le <math>\;R'\,C'\,L'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant dont la 1^ère est encore la plus usuelle : ==== Réduction canonique usuelle d'un « R' L' C' parallèle » ==== {{Al|5}}Les deux grandeurs canoniques <math>\;\big(</math>obtenues par dualité<math>\big)\;</math> sont : * « la pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{C'\;L'}}\;</math>»<ref name="dual de omega0"> Dual de <math>\;\omega_{0,\,\text{série}} = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math> dont le carré est le cœfficient du terme d'ordre zéro de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2^ème ordre en la réponse cherchée.</ref> en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math><ref name="pulsation propre" /> et * un « cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma' \geqslant 0\;</math>» sans dimension tel que «<math>\;\dfrac{G'}{C'} = \dfrac{1}{R'\;C'} = 2\;\sigma'\;\omega_0\;</math>»<ref name="dual de sigma"> Dual de <math>\;2\;\sigma_{\text{série}}\;\omega_{0,\,\text{série}} = \dfrac{R}{L}\;</math> cœfficient du terme d'ordre un de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2^ème ordre en la réponse cherchée.</ref>{{,}}<ref name="sigma' = 0"> <math>\;\sigma' = 0\;</math> étant réalisé en absence de partie résistive <math>\;{R'}_{\text{limite}} = \infty</math>.</ref>{{,}}<ref name="variations sigma' et R'" > <math>\;\sigma'\;</math> est d'autant plus grand que <math>\;R'\;</math> est faible.</ref>. ==== La 2^ème réduction canonique en importance d'un « R' L' C' parallèle » ==== {{Al|5}}On définit toujours deux grandeurs canoniques <math>\;\big(</math>obtenues par dualité<math>\big)</math> : * « la pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{C'\;L'}}\;</math>»<ref name="dual de omega0" /> en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math><ref name="pulsation propre" /> et * un « facteur de qualité <math>\;Q' > 0\;</math>» sans dimension tel que «<math>\;\dfrac{G'}{C'} = \dfrac{1}{R'\;C'} = \dfrac{\omega_0}{Q'}\;</math>»<ref name="dual de Q"> Dual de <math>\;\dfrac{\omega_{0,\,\text{série}}}{Q_{\text{série}}} = \dfrac{R}{L}\;</math> cœfficient du terme d'ordre un de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2^ème ordre en la réponse cherchée.</ref>{{,}}<ref> Le lien entre <math>\;Q'\;</math> et <math>\;\sigma'\;</math> est donc <math>\;Q' = \dfrac{1}{2\;\sigma'}</math>, établissant que <math>\;Q'\;</math> est d'autant plus petit que <math>\;\sigma'\;</math> est grand c.-à-d. que <math>\;R'\;</math> est faible, l'absence théorique de parties résistives dans le <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle correspondant à un facteur de qualité limite <math>\;{Q'}_\text{lim} = \infty\;</math> c.-à-d. à un cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma' = 0</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;Q' = R'\;C'\;\omega_0 = \dfrac{R'}{L'\;\omega_0}\;</math>»<ref> Le passage de la 1^ère expression à la 2^ème <math>\;Q' = \dfrac{R'}{L'\;\omega_0}\;</math> se retrouvant par utilisation de <math>\;\omega_0^2 = \dfrac{1}{L'\;C'}</math> <math>\Leftrightarrow L'\;C'\;\omega_0^2 = 1 \Leftrightarrow C'\;\omega_0 = \dfrac{1}{L'\;\omega_0}</math> ; <br>{{Al|3}}on remarque que le facteur de qualité d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;Q_{\text{parallèle}} = R\;C\;\omega_0 = \dfrac{R}{L\;\omega_0}\;</math> est l'inverse du facteur de qualité du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;Q_{\text{série}} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0} = \dfrac{L\;\omega_0}{R}</math>.</ref>. ==== La 3^ème réduction canonique la moins utilisée d'un « R' L' C' parallèle » ==== {{Al|5}}On définit encore deux grandeurs canoniques <math>\;\big(</math>obtenues par dualité<math>\big)</math> : * « la pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{C'\;L'}}\;</math>»<ref name="dual de omega0" /> en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math><ref name="pulsation propre" /> et * une « constante de temps <math>\;\tau' > 0\;</math>» en <math>\;s\;</math> tel que «<math>\;\dfrac{G'}{C'} = \dfrac{1}{R'\;C'} = \dfrac{1}{\tau'}\;</math>»<ref name="dual de tau"> Dual de <math>\;\dfrac{1}{\tau_{\text{série}}} = \dfrac{R}{L}\;</math> cœfficient du terme d'ordre un de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2^ème ordre en la réponse cherchée.</ref> ou «<math>\;\tau' = R'\;C'\;</math>»<ref> Le lien entre <math>\;\sigma'\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;Q'\big)\;</math> et <math>\;\tau'\;</math> est donc <math>\;\tau' = \dfrac{1}{2\;\sigma'\;\omega_0} = \dfrac{Q'}{\omega_0}</math>, établissant que <math>\;\tau'\;</math> est d'autant plus grande que <math>\;\sigma'\;</math> est petite <math>\big(</math>ou <math>\;Q'\;</math> est grande<math>\big)\;</math> c.-à-d. que <math>\;R'\;</math> est grande, l'absence théorique de parties résistives dans le <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle <math>\;\sigma' = 0\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;{Q'}_\text{lim} = \infty\big)\;</math> correspondant à une constante de temps <math>\;{\tau'}_\text{lim} = \infty</math> ; <br>{{Al|3}}c'est aussi la constante de temps d'un <math>\;R'\, C'\;</math> parallèle <math>\;\big[</math>la justification de ceci sera donné ultérieurement<math>\big]</math>.</ref>. === Équations différentielles et réponses transitoires d'un « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ === ==== Équations différentielles et réponses transitoires obtenues par dualité ==== ===== Équation différentielle en i_L'(t), intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ et réponses transitoires suivant la valeur de σ' ===== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;i_{L'}(t)</math>, intensité de courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> obtenue par dualité est <center>«<math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{R'\;C'}\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + \dfrac{1}{C'\;L'}\;i_{L'}(t) = \dfrac{I_0}{C'\;L'}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref> Duale de <math>\;\dfrac{d^2u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{du_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_C(t) = \dfrac{E}{L\;C}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math> équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension.</ref>{{,}}<ref name="nature de l'équation différentielle - tetra"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;i_{{L'}}(t)</math>, la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.</ref>, de forme canonique pratique <br>«<math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{L'}(t) = {\omega'}_0^2\;I_0\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>» ;<br>on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0</math>.</center> {{Al|5}}Les réponses transitoires ainsi que leur dérivée temporelle 1^ère sont continues en <math>\;t = 0\;</math> et s'expriment suivant le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma'\;</math> selon : * « si <math>\;\sigma' > 1\;</math>»<ref name="sigma' supérieur à 1"> Correspondant à <math>\;R' < {R'}_c\;</math> où <math>\;{R'}_c\;</math> est la résistance critique conduisant à un cœfficient d'amortissement critique <math>\;{\sigma'}_c = 1</math>.</ref> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{L'}(t) = I_0 \left[ 1 - \dfrac{\sigma' + \sqrt{{\sigma'}^2 - 1}}{2\;\sqrt{{\sigma'}^2 - 1}}\,\exp\! \left( {s'}_{+}\;t \right) + \dfrac{\sigma' - \sqrt{{\sigma'}^2 - 1}}{2\;\sqrt{{\sigma'}^2 - 1}}\,\exp\! \left( {s'}_{-}\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{\sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique en <math>\;u_C(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;{s'}_{\pm} =</math> <math>-\sigma'\;{\omega'}_0 \pm {\omega'}_0\;\sqrt{{\sigma'}^2 - 1}\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma' = 1\;</math>»<ref name="sigma' égal à 1"> Correspondant à <math>\;R' = {R'}_c\;</math> où <math>\;{R'}_c\;</math> est la résistance critique conduisant à un cœfficient d'amortissement critique <math>\;{\sigma'}_c = 1</math>.</ref> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{L'}(t) = I_0\, \left[ 1 - \left( 1 + {\omega'}_0\;t \right)\,\exp\! \left( -{\omega'}_0\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_C(t) = E\, \left[ 1 - \left( 1 + \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique critique en <math>\;u_C(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> ; * « si <math>\;\sigma' < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>»<ref name="sigma' non nul inférieur à 1"> Correspondant à <math>\;R' > {R'}_c\;</math> où <math>\;{R'}_c\;</math> est la résistance critique conduisant à un cœfficient d'amortissement critique <math>\;{\sigma'}_c = 1</math>.</ref> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{L'}(t) = I_0 \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - {\sigma'}^2}}\,\exp\! \left( -\sigma'\;{\omega'}_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega'\;t - \alpha' \right) \right]\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math> réponse pseudo-périodique en <math>\;u_C(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;\omega' =</math> <math>{\omega'}_0\;\sqrt{1 - {\sigma'}^2}\;</math> la pseudo-pulsation » et «<math>\;\alpha'</math> <math>= \arctan\! \left[ \dfrac{\sigma'}{\sqrt{1 - {\sigma'}^2}} \right]\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma' = 0\;</math>»<ref name="sigma' nul"> Correspondant à <math>\;R' = \infty\;</math> c.-à-d. à un circuit <math>\;L'\;C'\;</math> parallèle, encore appelé « circuit oscillant <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> parallèle » ou « circuit bouchon » <math>\;\big(</math>la raison de cette appellation sera justifiée ultérieurement avec l'étude des régimes sinusoïdaux forcés<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>régime périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{L'}(t) = I_0 \left[ 1 - \cos\! \left( {\omega'}_0\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_C(t) = E \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_0\;t \right) \right]\;</math> réponse périodique en <math>\;u_C(t)\;</math> du <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref>. ===== Équation différentielle en u(t), tension commune aux bornes du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ et réponses transitoires suivant la valeur de σ' ===== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;u(t)</math>, tension commune aux bornes du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> obtenue par dualité est <center>«<math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{R'\;C'}\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{C'\;L'}\;u(t) = \dfrac{I_0}{C'}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref> Duale de <math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math> équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension.</ref>{{,}}<ref name="nature de l'équation différentielle - penta"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;u(t)</math>, la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.</ref>, de forme canonique pratique <br>«<math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{du}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;u(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 2\,R'\,\sigma'\,{\omega'}_0\;I_0\;\delta(t)\; \text{si}\;\sigma' \neq 0\\ \dfrac{I_0}{C'}\;\delta(t)\qquad\qquad\; \text{si }\;\sigma' = 0\end{array}\right\rbrace\;\forall\;t\;</math>»<ref name="transformation 1/C'"> En effet <math>\;\dfrac{1}{R'\;C'} = 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{C'} = 2\,R'\,\sigma'\,{\omega'}_0\;</math> si <math>\;\sigma' \neq 0\;</math> correspondant à <math>\;R' \neq \infty</math>.</ref> ;<br>on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0</math>.</center> {{Al|5}}Les réponses transitoires sont continues en <math>\;t = 0\;</math> alors que leur dérivée temporelle 1^ère sont discontinues de 1^ère espèce, les 1^ères s'exprimant suivant le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma'\;</math> selon : * « si <math>\;\sigma' > 1\;</math>»<ref name="sigma' supérieur à 1" /> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;u(t) = R'\,I_0\;\dfrac{\sigma'}{\sqrt{{\sigma'}^2 - 1}} \left[ \exp\! \left( {s'}_{+}\;t \right) - \exp\! \left( {s'}_{-}\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Duale de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ \exp\! \left( s_{+}\;t \right) - \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique en <math>\;i(t)\;</math> traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;{s'}_{\pm} =</math> <math>-\sigma'\;{\omega'}_0 \pm {\omega'}_0\;\sqrt{{\sigma'}^2 - 1}\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma' = 1\;</math>»<ref name="sigma' égal à 1" /> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;u(t) = {R'}_c\;I_0\, \left( 2\;{\omega'}_0\;t \right)\,\exp\! \left( -{\omega'}_0\;t \right)\;</math>»<ref> Duale de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R_c}\, \left( 2\;\omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> réponse apériodique critique en <math>\;i(t)\;</math> traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> ; * « si <math>\;\sigma' < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>»<ref name="sigma' non nul inférieur à 1" /> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;u(t) = R'\;I_0\, \dfrac{2\;\sigma'}{\sqrt{1 - {\sigma'}^2}}\,\exp\! \left( -\sigma'\;{\omega'}_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega'\;t \right)\;</math>»<ref> Duale de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math> réponse pseudo-périodique en <math>\;i(t)\;</math> traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;\omega' =</math> <math>{\omega'}_0\;\sqrt{1 - {\sigma'}^2}\;</math> la pseudo-pulsation » ; * « si <math>\;\sigma' = 0\;</math>»<ref name="sigma' nul" /> <math>\;\big(</math>régime périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;u(t) = \dfrac{I_0}{C'\;{\omega'}_0}\; \sin\! \left( {\omega'}_0\;t \right) = L'\;{\omega'}_0\;I_0\; \sin\! \left( {\omega'}_0\;t \right) = \sqrt{\dfrac{L'}{C'}}\;I_0\; \sin\! \left( {\omega'}_0\;t \right)\;</math>»<ref> Duale de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{L\;\omega_0}\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right) = C\;\omega_0\;E\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right) = \sqrt{\dfrac{C}{L}}\;E\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> réponse périodique en <math>\;i(t)\;</math> traversant le <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref>{{,}}<ref> En effet <math>\;{\omega'}_0^2 = \dfrac{1}{L'\;C'} \Leftrightarrow L'\;C'\;{\omega'}_0^2 = 1 \Leftrightarrow L'\;{\omega'}_0 = \dfrac{1}{C'\;{\omega'}_0}\;</math> d'une part et d'autre part une 3^ème expression en substituant <math>\;{\omega'}_0\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{L'\;C'}}</math>.</ref>. ===== Équation différentielle en i_C'(t), intensité de courant traversant le condensateur du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ et réponses transitoires suivant la valeur de σ' ===== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;i_{C'}(t)</math>, intensité de courant traversant le condensateur du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> obtenue par dualité est <center>«<math>\;\dfrac{d^2 i_{C'}}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{R'\;C'}\;\dfrac{d i_{C'}}{dt}(t) + \dfrac{1}{L'\;C'}\;i_{C'}(t) = I_0\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref> Duale de <math>\;\dfrac{d^2 u_L}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{d u_L}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;u_L(t) = E\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t\;</math> équation différentielle en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension.</ref>{{,}}<ref name="nature de l'équation différentielle - hexa"> On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;i_{C'}(t)</math>, la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.</ref>, de forme canonique pratique <br>«<math>\;\dfrac{d^2 i_{C'}}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{d i_{C'}}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{C'}(t) = I_0\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t\;</math>» ;<br>on remarque que l'excitation est « discontinue de 3^ème espèce »<ref name="discontinuité de 3ème espèce" /> en <math>\;t = 0</math>.</center> {{Al|5}}Les réponses transitoires sont discontinues de 1^ère espèce en <math>\;t = 0\;</math> alors que leur dérivée temporelle 1^ère l'est de 2^ème espèce, les 1^ères s'exprimant suivant le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma'\;</math> selon : * « si <math>\;\sigma' > 1\;</math>»<ref name="sigma' supérieur à 1" /> <math>\;\big(</math>régime apériodique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{C'}(t) = \dfrac{I_0}{2\;\sqrt{{\sigma'}^2 - 1}} \left[ - \left( \sigma' - \sqrt{{\sigma'}^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( {s'}_{+}\;t \right) + \left( \sigma' + \sqrt{{\sigma'}^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( {s'}_{-}\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ - \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;{s'}_{\pm} =</math> <math>-\sigma'\;{\omega'}_0 \pm {\omega'}_0\;\sqrt{{\sigma'}^2 - 1}\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma' = 1\;</math>»<ref name="sigma' égal à 1" /> <math>\;\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{C'}(t) = I_0\, \left( 1 - {\omega'}_0\;t \right)\,\exp\! \left( -{\omega_0'}\;t \right)\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_L(t) = E\, \left( 1 - \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> réponse apériodique critique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> ; * « si <math>\;\sigma' < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>»<ref name="sigma' non nul inférieur à 1" /> <math>\;\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{C'}(t) = \dfrac{I_0}{\sqrt{1 - {\sigma'}^2}}\,\exp\! \left( -\sigma'\;{\omega'}_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega'\;t + \varphi' \right)\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> réponse pseudo-périodique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec « la pseudo-pulsation <math>\;\omega' =</math> <math>{\omega'}_0\;\sqrt{1 - {\sigma'}^2}\;</math>» et «<math>\;\varphi =</math> <math>\arctan\! \left( \dfrac{\sigma'}{\sqrt{1 - {\sigma'}^2}} \right)\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma' = 0\;</math>»<ref name="sigma' nul" /> <math>\;\big(</math>régime périodique<math>\big)\;</math> «<math>\;i_{C'}(t) = I_0\; \cos\! \left( {\omega'}_0\;t \right)\;</math>»<ref> Duale de <math>\;u_L(t) = E\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> réponse périodique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref>. ==== Équations différentielles et réponses transitoires obtenues par étude directe ==== ===== Équation différentielle en i_L'(t), intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ' ===== [[File:R'L'C' parallèle soumis à échelon de courant.png|thumb|350px|Schéma d'un <math>\;R'\,L'\,C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> pour étude de la réponse en <math>\;i_{L'}(t)\;</math>]] {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;i_{L'}(t)</math>, intensité du courant traversant la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> du circuit ci-contre s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que <math>\;i_{L'}(t)\;</math> comme inconnue, le circuit parallèle étant soumis à une même tension <math>\;u(t)</math> : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;i_{C'}(t) + i_{R'}(t) + i_{L'}(t) = I_0\;Y(t)\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i_{C'}(t)\;</math> et <math>\;i_{R'}(t)\;</math> au profit de <math>\;i_{L'}(t)\;</math> en utilisant <math>\;i_{C'}(t) =</math> <math>C'\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> avec <math>\;u(t) = L'\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> d'une part et <math>\;i_{R'}(t) = \dfrac{u(t)}{R'}\;</math> avec l'expression précédente de <math>\;u(t)\;</math> en fonction de <math>\;i_{L'}(t)\;</math> d'autre part d'où <math>\;C'\;L'\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + \dfrac{L'}{R'}\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + i_{L'}(t) =</math> <math>I_0\;Y(t)\;</math> soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en <math>\;i_{L'}(t)\;</math> suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{R'\;C'}\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + \dfrac{1}{L'\;C'}\;i_{L'}(t) = \dfrac{I_0}{L'\;C'}\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle - tetra" /> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 1^ère espèce en <math>\;t = 0</math>.</div> {{Al|5}}La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en <math>\;i_{L'}(t)\;</math> définissant : * le cœfficient du terme d'ordre zéro «<math>\;\dfrac{1}{L'\;C'} = {\omega'}_0^2\;</math>» avec «<math>\;{\omega'}_0 > 0\;</math> pulsation propre » et * le cœfficient du terme d'ordre un «<math>\;\dfrac{1}{R'\;C'} = 2\;\sigma'\;{\omega'}_0 = \dfrac{{\omega'}_0}{Q'} = \dfrac{1}{\tau'}\;</math>» avec «<math>\,\sigma' \geqslant 0\;</math> cœfficient d'amortissement » ou <math>\;Q' > 0\;</math> facteur de qualité ou <math>\;\tau'\;</math> constante de temps, {{Al|5}}on choisit la 1^ère forme canonique pour sa facilité de discussion de réponse libre d'où l'expression canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée hétérogène en <math>\;i_{L'}(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{L'}(t) = {\omega'}_0^2\;I_0\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}La réponse forcée étant une solution particulière de l'équation hétérogène pour <math>\;t > 0\;</math> «<math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{L'}(t) = {\omega'}_0^2\;I_0\;</math>» de même forme que l'excitation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;i_{L',\,f} = I_0\;</math>». {{Al|5}}La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène <math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{L'}(t) = 0</math>, elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique <math>\;s^2 + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\; s + {\omega'}_0^2</math> <math>= 0\;</math> et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Détermination_de_la_solution_générale_libre_de_l'équation_différentielle_en_uC(t)|détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u_C(t)]] (du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si <math>\;\sigma' > 1\;</math>», « apériodique critique si <math>\;\sigma' = 1\;</math>», « pseudo-périodique si <math>\;\sigma' < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>» et « périodique si <math>\;\sigma' = 0\;</math>». {{Al|5}}La réponse transitoire étant la somme de la réponse forcée et de la réponse libre, il reste à préciser les C.I<ref name="C.I." />. pour finaliser la résolution, pour cela on utilise, dans le cas d'un circuit résistif c.-à-d. si <math>\;\sigma' \neq 0</math>, * la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine et celle-ci n'étant initialement<ref name="initialement" /> traversé par aucun courant c.-à-d. <math>\;i_{L'}(0^{-}) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;i_{L'}(0^{+}) = 0\;</math>» et * la continuité de la tension aux bornes du condensateur et celui-ci étant initialement<ref name="initialement" /> déchargé c.-à-d. <math>\;u(0^{-}) = 0</math>, on en déduit <math>\;u(0^{+}) = 0\;</math> ou, cette tension étant aussi celle aux bornes de la bobine {{Nobr|<math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)</math>}} <math>\;L'\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(0^{+}) = 0\;</math> soit enfin la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(0^{+}) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>cas particulier</u> : dans le cas où <math>\;\sigma' = 0</math>, c.-à-d. dans le cas du « circuit oscillant <math>\;L'\, C'\;</math> parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les continuités précédentes mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en <math>\;i_{L'}(t)\;</math> étant <math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{L'}(t) = {\omega'}_0^2\;I_0\;Y(t)\;\; \forall\;t</math>, la discontinuité de 1^ère espèce de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que <math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t)\;</math> est discontinue de 1^ère espèce et, par prise successive de primitive, <math>\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)\;</math> et <math>\;i_{L'}(t)\;</math> sont continues d'où les mêmes C.I<ref name="C.I." />. {{Al|5}}L'utilisation de ces deux C.I<ref name="C.I." />. dans les expressions des solutions transitoires apériodique, apériodique critique, pseudo-périodique et périodique conduisent aux mêmes expressions que celles trouvées par dualité, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Équation_différentielle_en_iL'(t)_intensité_de_courant_traversant_la_bobine_(parfaite)_du_R'_L'_C'_parallèle_soumis_à_un_échelon_de_courant_d'amplitude_I0_et_réponses_transitoires_suivant_la_valeur_de_σ'|équation différentielle en i_L'(t) intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du R' L' C' parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ et réponses transitoires suivant la valeur de σ']] (obtenues par dualité) » plus haut dans le chapitre. ===== Équation différentielle en u(t), tension commune aux bornes du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ' ===== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;u(t)</math>, tension commune aux bornes du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que <math>\;u(t)\;</math> comme inconnue : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;i_{C'}(t) + i_{R'}(t) + i_{L'}(t) = I_0\;Y(t)\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i_{C'}(t)</math>, <math>\;i_{R'}(t)\;</math> et <math>\;i_{L'}(t)\;</math> au profit de <math>\;u(t)\;</math> en utilisant <math>\;i_{C'}(t) =</math> <math>C'\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />, <math>\;i_{R'}(t) = \dfrac{u(t)}{R'}\;</math><ref name="convention récepteur" /> et <math>\;u(t) =</math> {{Nobr|<math>L'\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" />}} ou <math>\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) = \dfrac{u(t)}{L'}\;</math> montrant la nécessité de dériver temporellement<ref name="sens des distributions" /> l'équation de nœud pour éliminer <math>\;i_{L'}(t)\;</math> au profit de <math>\;u(t)\;</math> soit <math>\;C'\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{R'}\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{u(t)}{L'} =</math> <math>I_0\;\delta(t)\;</math> et finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{R'\;C'}\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{L'\;C'}\;u(t) = \dfrac{I_0}{C'}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle - penta" /> ; <br>on remarque que l'excitation est discontinue de 2^ème espèce en <math>\;t = 0</math>.</div> {{Al|5}}La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en <math>\;u(t)\;</math> étant la même que celle en <math>\;i_{L'}(t)\;</math> on obtient <center>«<math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{du}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;u(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 2\,R'\,\sigma'\,{\omega'}_0\;I_0\;\delta(t)\; \text{si}\;\sigma' \neq 0\\ \dfrac{I_0}{C'}\;\delta(t)\qquad\qquad\; \text{si }\;\sigma' = 0\end{array}\right\rbrace\;\forall\;t\;</math>»<ref name="transformation 1/C'" />.</center> {{Al|5}}La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène <math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{du}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;u(t) = 0</math>, elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique <math>\;s^2 + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\; s + {\omega'}_0^2 = 0\;</math> et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Détermination_de_la_solution_générale_libre_de_l'équation_différentielle_en_uC(t)|détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u_C(t)]] (du R L C série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si <math>\;\sigma' > 1\;</math>», « apériodique critique si <math>\;\sigma' = 1\;</math>», « pseudo-périodique si <math>\;\sigma' < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>» et « périodique si <math>\;\sigma' = 0\;</math>». {{Al|5}}La réponse transitoire se réduisant à la réponse libre par absence de réponse forcée, il reste, pour finaliser la résolution, à préciser les C.I<ref name="C.I." />. en utilisant, dans le cas d'un circuit résistif c.-à-d. si <math>\;\sigma' \neq 0</math>, * la continuité de la tension aux bornes du condensateur et celui-ci étant initialement<ref name="initialement" /> déchargé c.-à-d. <math>\;u(0^{-}) = 0</math>, on en déduit la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;u(0^{+}) = 0\;</math>» d'une part et * d'autre part, la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. portant sur <math>\;\dot{u}(0^{+})\;</math> se détermine par circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel on remplace le condensateur initialement<ref name="initialement" /> déchargé par un court-circuit et la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> {{Nobr|initialement<ref name="initialement" />}} traversé par aucun courant par un interrupteur ouvert compte-tenu de la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine dans un circuit résistif<ref name="circuit à tracer effectivement"> Circuit à <math>\;0^{+}\;</math> à tracer réellement.</ref>, le courant délivré par la source de courant parfaite traversant de ce fait le court-circuit soit <math>\;i_{C'}(0^{+}) = I_0\;</math><ref> En effet le courant traversant le conducteur ohmique est d'intensité nulle selon <math>\;i_{R'}(0^{+}) = \dfrac{u(0^{+})}{R'} = 0</math>.</ref> d'où, avec <math>\;i_{C'}(t) =</math> <math>C'\;\dot{u}(t)</math>, la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\dot{u}(0^{+}) = \dfrac{I_0}{C'} = 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;R'\;I_0\;</math>»<ref name="transformation 1/C'" /> ; {{Al|5}}<u>cas particulier</u> : dans le cas où <math>\;\sigma' = 0</math>, c.-à-d. dans le cas du « circuit oscillant <math>\;L'\, C'\;</math> parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les C.I<ref name="C.I." />. précédentes obtenues par continuités dans un circuit résistif, ce dernier ne l'étant pas, mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> étant <math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + {\omega'}_0^2\;u(t) = \dfrac{I_0}{C'}\;\delta(t)\;\; \forall\;t</math>, la discontinuité de 2^ème espèce de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que <math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t)\;</math> est discontinue de 2^ème espèce et, par prise successive de primitive<ref name="sens des distributions" />, <math>\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math> l'est de 1^ère espèce et <math>\;u(t)\;</math> est continue d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas particulier : dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\sigma' = 0}</math>, }}la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. <math>\;u(0^{+}) = 0</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas particulier : dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\sigma' = 0}</math>, }}la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. portant sur <math>\;\dot{u}(0^{+})\;</math> peut s'obtenir alors en intégrant<ref name="sens des distributions" /> l'équation différentielle <math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + {\omega'}_0^2\;u(t) = \dfrac{I_0}{C'}\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math> soit <math>\;\dfrac{du}{dt}(0^{+}) + \cancel{{\omega'}_0^2\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} u(t')\;dt'} = \dfrac{I_0}{C'}\;</math><ref> En effet <math>\;u(t)\;</math> étant continue, toute primitive l'est aussi d'où <math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} u(t')\;dt' = 0</math>.</ref>. {{Al|5}}L'utilisation de ces deux C.I<ref name="C.I." />. dans les expressions des solutions transitoires apériodique, apériodique critique, pseudo-périodique et périodique conduisent aux mêmes expressions que celles trouvées par dualité, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Équation_différentielle_en_u(t)_tension_commune_aux_bornes_du_R'_L'_C'_parallèle_soumis_à_un_échelon_de_courant_d'amplitude_I0_et_réponses_transitoires_suivant_la_valeur_de_σ'|équation différentielle en u(t) tension commune aux bornes du R' L' C' parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ et réponses transitoires suivant la valeur de σ']] (obtenues par dualité( » plus haut dans ce chapitre. ===== Équation différentielle en i_C'(t), intensité du courant traversant le condensateur du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ' ===== {{Al|5}}L'équation différentielle en <math>\;i_{C'}(t)</math>, intensité du courant traversant le condensateur du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que <math>\;i_{C'}(t)\;</math> comme inconnue : {{Al|5}}pour tout <math>\;t</math>, <math>\;i_{C'}(t) + i_{R'}(t) + i_{L'}(t) = I_0\;Y(t)\;</math> où il convient d'éliminer <math>\;i_{R'}(t)\;</math> et <math>\;i_{L'}(t)\;</math> au profit de <math>\;i_{C'}(t)\;</math> en utilisant <math>\;i_{C'}(t) =</math> <math>C'\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> avec <math>\;u(t) = L'\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> d'où <math>\;i_{C'}(t) =</math> <math>C'\;L'\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) = \dfrac{i_{C'}(t)}{L'\;C'}\;</math> et <math>\;i_{R'}(t) = \dfrac{u(t)}{R'}\;</math><ref name="convention récepteur" /> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;u(t) = R'\;i_{R'}(t)\;</math> d'où <math>\;i_{C'}(t) =</math> <math>C'\;R'\;\dfrac{di_{R'}}{dt}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{di_{R'}}{dt}(t) = \dfrac{i_{C'}(t)}{R'\;C'}\;</math> montrant la nécessité de dériver temporellement<ref name="sens des distributions" /> l'équation de nœud successivement deux fois pour éliminer <math>\;i_{L'}(t)\;</math> et <math>\;i_{R'}(t)\;</math> au profit de <math>\;i_{C'}(t)\;</math> soit <math>\;\dfrac{d^2i_{C'}}{dt^2}(t) + \dfrac{d^2i_{R'}}{dt^2}(t) + \dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) =</math> <math>I_0\;\dot{\delta}(t)\;</math> et finalement, en reportant les expressions précédemment établies, l'équation différentielle en <math>\;i_{C'}(t)\;</math> suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{d^2i_{C'}}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{R'\;C'}\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(t) + \dfrac{1}{L'\;C'}\;i_{C'}(t) = I_0\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t\;</math>»<ref name="nature de l'équation différentielle - hexa" /> ; <br>on remarque que l'excitation est « discontinue de 3^ème espèce »<ref name="discontinuité de 3ème espèce" /> en <math>\;t = 0</math>.</div> {{Al|5}}La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en <math>\;i_{C'}(t)\;</math> étant la même que celle en <math>\;i_{L'}(t)\;</math> on obtient <center>«<math>\;\dfrac{d^2i_{C'}}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{C'}(t) = I_0\;\dot{\delta}(t)\;\;\forall\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène <math>\;\dfrac{d^2i_{C'}}{dt^2}(t) + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{C'}(t) = 0</math>, elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique <math>\;s^2 + 2\;\sigma'\;{\omega'}_0\; s + {\omega'}_0^2</math> <math>= 0\;</math> et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Détermination_de_la_solution_générale_libre_de_l'équation_différentielle_en_uC(t)|détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u_C(t)]] (du R L C série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si <math>\;\sigma' > 1\;</math>», « apériodique critique si <math>\;\sigma' = 1\;</math>», « pseudo-périodique si <math>\;\sigma' < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>» et « périodique si <math>\;\sigma' = 0\;</math>». {{Al|5}}La réponse transitoire se réduisant à la réponse libre par absence de réponse forcée, il reste, pour finaliser la résolution, à préciser les C.I<ref name="C.I." />. en utilisant, dans le cas d'un circuit résistif c.-à-d. si <math>\;\sigma' \neq 0</math>, * d'une part le circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel on remplace le condensateur et la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> par leur équivalent à savoir un court-circuit pour le condensateur et un interrupteur ouvert pour la bobine<ref> Cela résultant de la continuité de la tension aux bornes du condensateur et de celle de l'intensité du courant traversant une bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> dans un circuit résistif, le 1^er étant initialement <math>\;\big[</math>c.-à-d. pour tout <math>\;t < 0\big]\;</math> déchargé c.-à-d. <math>\;u(0^{-}) = 0\;</math> d'où <math>\;u(0^{+}) = 0\;</math> et la 2^ème n'étant initialement <math>\;\big[</math>c.-à-d. pour tout <math>t < 0\big]\;</math> traversée par aucun courant c.-à-d. <math>\;i_{L'}(0^{-}) = 0\;</math> d'où <math>\;i_{L'}(0^{+}) = 0</math>.</ref>, le courant délivré par la source de courant parfaite traversant de ce fait le court-circuit soit «<math>\;i_{C'}(0^{+}) = I_0\;</math>»<ref name="circuit à tracer effectivement" /> et * d'autre part la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. portant sur <math>\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(0^{+})\;</math> se détermine en faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'équation de nœud dérivée une fois dans laquelle on utilise <math>\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)</math> <math>= \dfrac{u(t)}{L'}\;</math> et <math>\;\dfrac{di_{R'}}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{u(t)}{R'} \right]}{dt} =</math> <math>\dfrac{1}{R'}\;\dfrac{du}{dt}(t() = \dfrac{1}{R'}\; \dfrac{i_{C'}(t)}{C'} = \dfrac{1}{R'\;C'}\;i_{C'}(t)\;</math> d'où <math>\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(0^{+}) + \dfrac{1}{R'\;C'}\;i_{C'}(0^{+}) + \cancel{\dfrac{1}{L'}\;u(0^{+})} =</math> <math>\cancel{I_0\;\delta(0^{+})}\;</math> donnant finalement «<math>\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(0^{+}) = -\dfrac{1}{R'\;C'}\;i_{C'}(0^{+}) = -\dfrac{1}{R'\;C'}\;I_0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>cas particulier</u> : dans le cas où <math>\;\sigma' = 0</math>, c.-à-d. dans le cas du « circuit oscillant <math>\;L'\, C'\;</math> parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les C.I<ref name="C.I." />. précédentes obtenues par continuités dans un circuit résistif, ce dernier ne l'étant pas, mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en <math>\;i_{C'}(t)\;</math> étant <math>\;\dfrac{d^2i_{C'}}{dt^2}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{C'}(t) = I_0\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t</math>, la “ discontinuité de 3^ème {{Nobr|espèce ”<ref name="discontinuité de 3ème espèce" />}} de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que <math>\;\dfrac{d^2i_{C'}}{dt^2}(t)\;</math> est “ discontinuité de 3^ème espèce ”<ref name="discontinuité de 3ème espèce" /> et, par prise successive de primitive<ref name="sens des distributions" />, <math>\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(t)\;</math> l'est de 2^ème espèce et <math>\;i_{C'}(t)\;</math> l'est de 1^ère espèce d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas particulier : dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\sigma' = 0}</math>, }}la 1^ère C.I<ref name="C.I." />. obtenue en faisant <math>\;t = 0^{+}\;</math> dans l'équation de nœud avant toute dérivation dans laquelle on utilise <math>\;i_{R'}(t) = \dfrac{u(t)}{R'}\;</math> continue <math>\;\bigg\{</math>compte-tenu du fait que <math>\;\dot{u}(t) = \dfrac{i_{C'}(t)}{C'}\;</math> étant discontinue de 1^ère espèce, sa primitive <math>\;u(t)\;</math> est continue<math>\bigg\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_{R'}(0^{+}) = 0\;</math> et <math>\;i_{L'}(t)\;</math> continue <math>\;\bigg\{</math>compte-tenu du fait que c'est une primitive de <math>\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) = \dfrac{u(t)}{L'}\;</math> qui est {{Nobr|continue<math>\bigg\}\;</math>}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_{L'}(0^{+}) = 0\;</math> d'où <math>\;i_{C'}(0^{+}) + \cancel{i_{R'}(0^{+})} + \cancel{i_{L'}(0^{+})} = I_0\;Y(0^{+})\;</math> donnant finalement <math>\;i_{C'}(0^{+}) = I_0</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas particulier : dans le cas où <math>\;\color{transparent}{\sigma' = 0}</math>, }}la 2^ème C.I<ref name="C.I." />. portant sur <math>\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(0^{+})\;</math> peut s'obtenir alors en intégrant<ref name="sens des distributions" /> l'équation différentielle <math>\;\dfrac{d^2i_{C'}}{dt^2}(t) + {\omega'}_0^2\;i_{C'}(t) = I_0\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math> soit <math>\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(0^{+}) + \cancel{{\omega'}_0^2\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} i_{C'}(t')\;dt'} = \cancel{I_0\;\delta(0^{+})}\;</math><ref> En effet <math>\;i_{C'}(t)\;</math> étant discontinue de 1^ère espèce, toute primitive est continue d'où <math>\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} i_{C'}(t')\;dt' = 0</math>.</ref> et finalement <math>\;\dfrac{di_{C'}}{dt}(0^{+}) = 0</math>. {{Al|5}}L'utilisation de ces deux C.I<ref name="C.I." />. dans les expressions des solutions transitoires apériodique, apériodique critique, pseudo-périodique et périodique conduisent aux mêmes expressions que celles trouvées par dualité, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Équation_différentielle_en_iC'(t)_intensité_de_courant_traversant_le_condensateur_du_R'_L'_C'_parallèle_soumis_à_un_échelon_de_courant_d'amplitude_I0_et_réponses_transitoires_suivant_la_valeur_de_σ'|équation différentielle en i_C'(t) intensité du courant traversant le condensateur du R' L' C' parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ et réponses transitoires suivant la valeur de σ']] (obtenues par dualité) » plus haut dans ce chapitre. === Bilan de puissance d'un « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ et conséquences === ==== Bilan de puissance obtenu par dualité ==== {{Al|5}}Le bilan de puissance du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude <math>\;I_0\;</math> obtenu par dualité est <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{échelon de courant}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, G'}(t)\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{\text{électromag},\;L'}(t) + \mathcal{E}_{\text{électrostat},\;C'}(t)\;</math>»<ref> Dual de <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{échelon de tension}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math> avec <math>\;\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{\text{électrostat},\;C}(t) + \mathcal{E}_{\text{électromag},\;L}(t)</math>.</ref> soit encore <br>«<math>\;I_0\;Y(t)\;u(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R'}\;</math>»<ref> Le dual de <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{échelon de tension}}(t) = E\;Y(t)\;i(t)\;</math> étant <math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{échelon de courant}}(t) = I_0\;Y(t)\;u(t)\;</math> et celui de <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t) = R\; i^2(t)\;</math> étant <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal},\, G'}(t) = G'\; u^2(t) = \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R'}</math>.</ref>.</center> ==== Bilan de puissance obtenu par étude directe ==== {{Al|5}}« <u>La puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de courant</u> » se retrouve en « <u>gain horaire d'énergie stockée</u> dans le dipôle <math>\;L'\, C'\;</math> parallèle<ref name="circuit oscillant - bis"> On y observe des oscillations non amorties, raison pour laquelle un circuit <math>\;L'\;C'\;</math> parallèle <math>\;\big(</math>sans composant ohmique<math>\big)\;</math> est encore appelé « circuit <math>\;\big(</math>parallèle<math>\big)\;</math> oscillant <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math>».</ref> <u>sous forme électromagnétique</u> » et en « <u>puissance calorifique dissipée par effet Joule</u><ref name="Joule" /> dans le conducteur ohmique » soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{e,\, f,\, \text{source}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + \mathcal{P}_{\text{cal},\, R}(t)\;</math>» <br> où «<math>\;\mathcal{E}(t)\;</math> est l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans le dipôle <math>\;L'\, C'\;</math> parallèle » c.-à-d. <br>«<math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C'\, \left[ u(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L'\, \left[ i_{L'}(t) \right]^2\;</math>»<ref> Il convient de refaire le schéma avec introduction des grandeurs utilisées, <math>\;u(t)\;</math> étant la tension <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> aux bornes du condensateur <math>\;\big(</math>c.-à-d. aussi la tension aux bornes du <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> {{Nobr|parallèle<math>\big)\;</math>}} et <math>\;i_{L'}(t)\;</math> l'intensité du courant traversant la bobine.</ref>, <br>soit, mathématiquement, «<math>\;I_0\;Y(t)\;u(t) = \dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) + \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R'}\;</math>»<ref> Voir l'expression de la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_stockage_et_dissipation_d'énergie#Puissance_électrique_instantanée_fournie_par_un_échelon_de_courant_d'amplitude_I0_imposant_une_tension_u(t)|puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de courant d'amplitude I₀ imposant une tension u(t)]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</center> ==== Conséquences : obtention d'équations différentielles d'un « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I₀ par bilan de puissance ==== {{Al|5}}Il suffit d'expliciter la dérivée temporelle 1^ère de <math>\;\mathcal{E}(t) = \dfrac{1}{2}\;C'\, \left[ u(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;L'\, \left[ i_{L'}(t) \right]^2</math>, ce qui donne «<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}}{dt}(t) = C'\;u(t)\;\dfrac{du}{dt}(t) + L'\;i_{L'}(t)\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)\;</math>», et de reporter le résultat obtenu dans le bilan de puissance soit «<math>\;I_0\;Y(t)\;u(t) = C'\;u(t)\;\dfrac{du}{dt}(t) + L'\;i_{L'}(t)\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + \dfrac{\left[ u(t) \right]^2}{R'}\;</math>», la suite dépendant de l'équation différentielle cherchée par exemple : {{Al|5}}<math>\;\rightsquigarrow\;</math>pour l'équation différentielle en <math>\;i_{L'}(t)</math>, il faut d'une part simplifier par une tension<ref> En effet il nous faut simplifier par une grandeur homogène à une tension <math>\;\big[</math>le bilan de puissance étant en <math>\;W\;</math> et la façon directe d'obtenir l'équation différentielle quand les éléments sont montés en parallèle étant une loi de nœud exprimée en <math>\;A\;</math> il est donc nécessaire de simplifier le bilan de puissance par une grandeur exprimée en <math>\;V\;</math> c.-à-d. une tension<math>\big]</math>.</ref> c.-à-d. <math>\;u(t)\;</math> en utilisant <math>\;L'\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) = u(t)\;</math> d'où «<math>\;I_0\;Y(t) = C'\;\dfrac{du}{dt}(t) + i_{L'}(t) + \dfrac{u(t)}{R'}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\rightsquigarrow}\;</math>pour l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{i_{L'}(t)}</math>, il faut }}d'autre part éliminer toute grandeur associée à <math>\;u(t)\;</math> en utilisant <math>\;u(t) = L'\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{du}{dt}(t) = L'\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t)\;</math> ce qui donne <center>«<math>\;I_0\;Y(t) = C'\;L'\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) + i_{L'}(t) + \dfrac{L'}{R'}\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\rightsquigarrow\;</math>pour l'équation différentielle en <math>\;u(t)</math>, il suffit de dériver<ref name="sens des distributions" /> temporellement l'équation différentielle en <math>\;i_{L'}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;I_0\;\delta(t) = C'\;L'\;\dfrac{d^3i_{L'}}{dt^3}(t) + \dfrac{di_{L'}}{dt}(t) + \dfrac{L'}{R'}\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\rightsquigarrow}\;</math>pour l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{u(t)}</math>, il suffit }}d'y reporter <math>\;\dfrac{di_{L'}}{dt}(t) = \dfrac{u(t)}{L'}</math>, <math>\;\dfrac{d^2i_{L'}}{dt^2}(t) = \dfrac{\dot{u}(t)}{L'}\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3i_{L'}}{dt^3}(t) = \dfrac{\ddot{u}(t)}{L'}\;</math> ce qui donne <center>«<math>\;I_0\;\delta(t) = C'\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) + \dfrac{u(t)}{L'} + \dfrac{1}{R'}\;\dfrac{du}{dt}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\rightsquigarrow\;</math>pour l'équation différentielle en <math>\;i_{C'}(t)</math>, il suffit de dériver<ref name="sens des distributions" /> temporellement l'équation différentielle en <math>\;u(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;I_0\;\dot{\delta}(t) = C'\;\dfrac{d^3u}{dt^3}(t) + \dfrac{1}{L'}\;\dfrac{du}{dt}(t) + \dfrac{1}{R'}\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\rightsquigarrow}\;</math>pour l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{i_{C'}(t)}</math>, il suffit }}d'y reporter <math>\;\dfrac{du}{dt}(t) = \dfrac{i_{C'}(t)}{C'}</math>, <math>\;\dfrac{d^2u}{dt^2}(t) = \dfrac{1}{C'}\;\dfrac{d i_{C'}}{dt}(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3u}{dt^3}(t) = \dfrac{1}{C'}\;\dfrac{d^2 i_{C'}}{dt^2}(t)\;</math> ce qui donne <center>«<math>\;I_0\;\dot{\delta}(t) = \dfrac{d^2 i_{C'}}{dt^2}(t) + \dfrac{i_{C'}(t)}{L'\;C'} + \dfrac{1}{R'\;C'}\;\dfrac{d i_{C'}}{dt}(t)\;</math>».</center> == Oscillateur mécanique harmonique amorti sur l'exemple du pendule élastique vertical amorti (P.E.V.A.), l'analogue électromécanique du « R L C série » soumis à un échelon de tension == === Analogie électromécanique entre un pendule élastique vertical non amorti lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et un circuit oscillant (non amorti) « L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant === {{Al|5}}Nous avons étudié en exercices du chap.<math>1</math> « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » le « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateur_harmonique#Pendule_élastique_vertical_non_amorti|pendule élastique vertical non amorti]] » ; nous avons établi l'équation différentielle en longueur du ressort et pouvons aisément en déduire l'équation différentielle en allongement du ressort repérée par rapport à la position à vide de ce dernier <math>\;\Delta z = z - l_0\;</math><ref> <math>\;l_0\;</math> étant la longueur à vide du ressort et <math>\;z\;</math> la longueur du ressort en charge <math>\;\big(</math>l'axe <math>\;z'z\;</math> étant vertical descendant<math>\big)</math>.</ref> suivante <center>«<math>\;m\;\ddot{\Delta z}(t) + k\;\Delta z(t) = m\;g\;Y(t)\;\;\forall\; t\;</math>»<ref> <math>\;g\;</math> étant l'intensité du champ de pesanteur terrestre.</ref>{{,}}<ref> Le ressort étant de raideur <math>\;k\;</math> et le solide suspendu de masse <math>\;m</math>, le poids du solide n'agissant qu'à partir du moment où ce dernier est lâché, c.-à-d. à partir de <math>\;t = 0</math>, il s'agit donc d'un échelon de poids.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans ce chapitre nous avons étudié la charge du condensateur d'un circuit oscillant <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math> <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> et établi l'équation différentielle en charge du condensateur <math>\;q(t)\;</math> suivante <center>«<math>\;L\;\ddot{q}(t) + \dfrac{1}{C}\;q(t) = E\;Y(t)\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Équation_différentielle_en_tension_aux_bornes_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension|équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon de tension]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;u_C(t)\;</math> est remplacée par <math>\;\dfrac{q(t)}{C}\;</math> et <math>\;R\;</math> est nulle.</ref> ;</center> {{Al|5}}nous constatons ainsi une analogie dite « électromécanique » entre un pendule élastique vertical non amorti <math>\;\big(</math>P.E.V.N.A.<math>\big)\;</math> lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et un circuit oscillant série non amorti <math>\;\big(L\, C\;</math> série<math>\big)\;</math> soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> initialement traversée par aucun courant avec les correspondances suivantes : {| class="wikitable" width="100%" | align="center" width="50%" | <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> | align="center" | P.E.V.N.A. dans un champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> |- | align="center" | condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> | align="center" | ressort sans masse de raideur <math>\;k\;</math> à extrémité supérieure fixée en <math>\;A\;</math> |- | align="center" | bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> en série avec le condensateur | align="center" | solide <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> relié à l'extrémité inférieure du ressort |- | align="center" | charge instantanée <math>\;q(t)\;</math> du condensateur | align="center" | allongement instantané <math>\;\Delta z(t)\;</math> du ressort<ref> Ou cote du solide repérée par rapport à sa position <math>\;O\;</math> quand le ressort a sa longueur à vide.</ref> |- | align="center" | <math>\;C\;</math> capacité du condensateur | align="center" | <math>\;\dfrac{1}{k}\;</math> inverse de la raideur du ressort |- | align="center" | tension instantanée aux bornes du condensateur <math>\;u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}\;</math><ref> On rappelle que la flèche tension aux bornes du condensateur pointe vers l'armature portant la charge <math>\;q(t)</math>.</ref> | align="center" | force d'action du ressort sur le solide <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow \text{ressort}} = -k\;\Delta z(t)\;\vec{u}_{O \rightarrow M}\;</math><ref> Le signe <math>\;-\;</math> apparaît car on ne s'intéresse pas à une force agissant sur l'analogue du condensateur qui est le ressort mais agissant sur l'analogue de la bobine qui est le solide ; on vérifierait, mais cela n'aurait aucun intérêt, que <math>\;\vec{F}_{\text{ressort} \leftarrow M} = k\;\Delta z(t)\;\vec{u}_{O \rightarrow M}\;</math> sans signe <math>\;-</math>.</ref> |- | align="center" | intensité instantanée du courant de charge <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)</math> du condensateur | align="center" | vecteur vitesse instantané <math>\;\vec{v}(t) = \dfrac{d \Delta z}{dt}(t)\;\vec{u}_{O \rightarrow M}\;</math> du solide |- | align="center" | <math>\;L\;</math> inductance propre de la bobine | align="center" | <math>\;m\;</math> masse du solide |- | align="center" | tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite en convention récepteur <br><math>\;u_L(t) = L\; \dfrac{di}{dt}(t)\;</math> | align="center" | dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement<ref> Voir la notion « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#1ère_grandeur_cinétique_d'un_point_matériel,_le_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel|1^ère grandeur cinétique d'un point matériel, le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel]] (M de masse m) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> instantané <math>\;\vec{p}(t)\;</math> du solide <math>\;\dfrac{d\vec{p}}{dt}(t) = m\;\dfrac{dv}{dt}(t)\;\vec{u}_{O \rightarrow M}\;</math> |- | align="center" | échelon de tension <math>\;e(t) = E\;Y(t)\;</math> d'amplitude <math>\;E\;</math> imposé au circuit oscillant série | align="center" | échelon de poids <math>\;m\;\vec{g}\;Y(t)\;</math> imposé au solide à partir du moment où ce dernier est lâché |- | align="center" | loi de maille appliqué au <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension <math>\;u_C(t) + u_L(t) = e(t)\;</math><ref> Tiré de la relation obtenue en choisissant un sens <math>\;+\;</math> sur la maille donnant <math>\;u_C(t) + u_L(t) - e(t) = 0</math>.</ref> | align="center" | relation fondamentale de la dynamique appliquée au solide <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow \text{ressort}} + m\;\vec{g}\;Y(t) = \dfrac{d\vec{p}}{dt}(t)\;</math><ref> Pour obtenir une correspondance terme à terme il faudrait modifier la relation en <math>\;m\;\vec{g}\;Y(t) = \dfrac{d\vec{p}}{dt}(t) + \vec{F}_{\text{ressort} \leftarrow M}\;</math> mais cela n'aurait aucun intérêt autre qu'analogique.</ref> |- | align="center" | équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> du <math>\;L\, C\;</math> série soumis à l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <br><math>\;L\;\ddot{q}(t) + \dfrac{1}{C}\;q(t) = E\;Y(t)\;\;\forall\;t\;</math> | align="center" | équation différentielle en <math>\;\Delta z(t)\;</math> du P.E.V.N.A. soumis à l'échelon de poids du solide <br><math>\;m\;\ddot{\Delta z}(t) + k\;\Delta z(t) = m\;g\;Y(t)\;\;\forall\;t\;</math> |- | align="center" | pulsation propre du circuit oscillant série non amorti <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{1}{L\;C}}\;</math> | align="center" | pulsation propre du pendule élastique vertical non amorti <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> |- | align="center" | discontinuité de 1^ère espèce de <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> <br>continuité de l'intensité <math>\;i(t)\;</math> et de la charge <math>\;q(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> | align="center" | discontinuité de 1^ère espèce de l'accélération <math>\;\dfrac{dv}{dt}(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> <br>continuité de la vitesse <math>\;v(t)\;</math> et de la cote <math>\;\Delta z(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> |- | align="center" | énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>de charge instantanée <math>\;q(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C}(t) = \dfrac{1}{2\;C}\, \left[ q(t) \right]^2\;</math><ref> On rappelle que <math>\;u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\, \left[ u_C(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2\;C}\, \left[ q(t) \right]^2</math>.</ref> | align="center" | énergie potentielle élastique stockée dans le ressort de raideur <math>\;k\;</math> <br>allongé de <math>\;\Delta z(t)\;</math> par rapport à sa longueur à vide : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t) = \dfrac{k}{2}\, \left[ \Delta z(t) \right]^2</math> |- | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L}(t) = \dfrac{1}{2}\;L\, \left[ i(t) \right]^2</math> | align="center" | énergie cinétique du solide de masse <math>\;m\;</math> et de vitesse <math>\;v(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{cinétique de }M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ v(t) \right]^2</math> |- | align="center" | énergie électromagnétique stockée dans le <math>\;L\, C\;</math> série : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrom. tot}}(t) =</math> <math>\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C}(t) + \mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L}(t)</math> | align="center" | énergie mécanique du pendule élastique vertical non amorti : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{méca}}(t) =</math> <math>\mathcal{E}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t) + \mathcal{E}_{\text{cinétique de }M}(t)</math> |- | align="center" | puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <br>délivrant un courant d'intensité <math>\;i(t)</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}(t) = E\;Y(t)\; i(t)</math> | align="center" | puissance instantanée développée par l'échelon de poids <math>\;m\;g\;</math> <br>quand le solide est de vitesse <math>\;v(t)</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{développée par mg}}(t) = m\;g\;Y(t)\; v(t)</math> |- | align="center" | bilan de puissance du <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension : <math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_{\text{électrom. tot}}}{dt}(t)\;</math><ref> On vérifie, en explicitant <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{électrom. tot}}}{dt}(t)\;</math> que l'on retrouve bien l'équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> après simplification par <math>\;i(t)</math>.</ref> | align="center" | bilan de puissance du P.E.V.N.A. soumis à un échelon de poids : <br><math>\;\mathcal{P}_{\text{développée par mg}}(t) = \dfrac{d \mathcal{E}_{\text{méca}}}{dt}(t)\;</math><ref> On vérifie, en explicitant <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{méca}}}{dt}(t)\;</math> que l'on retrouve bien l'équation différentielle en <math>\;\Delta z(t)\;</math> après simplification par <math>\;v(t)</math>.</ref> |} === Pendule élastique vertical amorti par frottement fluide linéaire (P.E.V.A.) === [[File:Pendule élastique vertical amorti.png|thumb|300px|Schémas comparatifs représentant le ressort vertical à vide, le ressort vertical à charge et à l'équilibre avec les deux forces agissant sur le solide <math>\;\big(</math>tension du ressort et poids du solide<math>\big)</math>, le ressort vertical à charge et à l'instant <math>\;t\;</math> avec les trois forces agissant sur le solide <math>\;\big(</math>force de frottement fluide linéaire en plus<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Nous introduirons le frottement fluide linéaire dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#2ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fluide,_résistance_à_l'avancement_(ou_force_de_frottement_fluide)_linéaire_ou_quadratique|2^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fluide,résistance à l'avancement (ou force de frottement fluide) linéaire ou quadratique]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }}y apprendrons que, dans la mesure où le fluide est peu visqueux et que la vitesse relative du solide par rapport au fluide reste très modérée, la résistance à l'avancement du solide <math>\;M\;</math> dans le fluide, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{M \leftarrow \text{flu}}</math>, est linéaire c.-à-d. «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{M \leftarrow \text{flu}} = -h\;\vec{v}_{\text{relat au flu}}(M)\;</math>»<ref> Plus précisément il est nécessaire que le solide <math>\;M\;</math> ait un axe de symétrie et que son vecteur vitesse relative par rapport au fluide <math>\;\vec{v}_{\text{relat au flu}}(M)\;</math> soit porté par cet axe de symétrie, pour que le vecteur résistance à l'avancement du solide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{M \leftarrow \text{flu}}\;</math> soit colinéaire au vecteur vitesse relative.</ref>, <math>\;h\;</math> étant une constante caractérisant le fluide ainsi que la nature du contact entre solide et fluide. {{Al|5}}Soit un « pendule élastique vertical amorti <math>\;\big(</math>P.E.V.A.<math>\big)\;</math>» constitué d'un « ressort idéal » <ref> C.-à-d. un ressort sans masse et parfaitement élastique.</ref> à « spires non jointives » <ref> Permet au ressort de s'allonger et de se comprimer.</ref> d'axe vertical, de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0</math>, fixe à une extrémité et sur lequel est attaché un solide <math>\;M\;</math><ref> Nous supposerons les dimensions transversales et longitudinale du solide petites devant toutes les autres longueurs.</ref> de masse <math>\;m\;</math> à l'autre extrémité, solide dont on étudie le mouvement selon l'axe <math>\;x'x\;</math> du ressort orienté dans le sens descendant, le solide étant dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> et se déplaçant dans un fluide immobile qui exerce sur lui une force de frottement linéaire de « cœfficient de frottement <math>\;h\;</math> constant » ; {{Al|5}}ci-contre la représentation « indispensable »<ref> En effet un simple coup d'œil sur ces trois schémas permet de définir parfaitement l'allongement <math>\;\big(</math>algébrique<math>\big)\;</math> du ressort.</ref> des trois schémas se côtoyant<ref> Pour représenter le 3^ème schéma à l'instant <math>\;t\;</math> relativement au 2^ème à l'équilibre, choisir un allongement supplémentaire relativement à l'équilibre <math>\;x(t) > 0\;</math> ainsi qu'un vecteur vitesse <math>\;\vec{v}(t)\;</math> <math>\big(</math>à représenter à côté du solide pour ne pas le confondre avec une force<math>\big)\;</math> dans le sens positif de l'axe, les choix de <math>\;x\;</math> et <math>\;\dot{x}\;</math> positifs étant faits pour éviter les erreurs de signe mais bien sûr les résultats trouvés sont indépendants du signe de ces grandeurs.</ref>, * le 1^er représentant le ressort à vide, * le 2^ème représentant le ressort à l'équilibre avec le solide <math>\;M\;</math> suspendu et les deux forces agissant sur <math>\;M_{\text{éq}}\;</math> à savoir son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_x\;</math>» et la tension du ressort «<math>\;\vec{T}_{\text{éq}} = -k\;\Delta l_{\text{éq}}\;\vec{u}_x\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Selon la loi de Hooke <math>\;\big\{</math>'''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' étant l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines<math>\big\}</math>.</ref> où «<math>\;\Delta l_{\text{éq}} = l_{\text{éq}} - l_0\;</math>» est l'allongement du ressort à l'équilibre, * le 3^ème représentant le ressort à l'instant <math>\;t\;</math> avec le solide <math>\;M\;</math> suspendu et les trois forces agissant sur <math>\;M\;</math> à savoir son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_x\;</math>», la tension du ressort «<math>\;\vec{T}(t) = -k\;\Delta l(t)\;\vec{u}_x\;</math>»<ref name="loi de Hooke" /> où «<math>\;\Delta l(t) = l(t) - l_0\;</math>» est l'allongement du ressort à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant encore, avec <math>\;l(t) = l_{\text{éq}} + x(t)\;</math> dans lequel <math>\;x(t)\;</math> est l'allongement supplémentaire à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à la position d'équilibre, «<math>\;\Delta l(t) = \Delta l_{\text{éq}} + x(t)\;</math>» et la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(t) =</math> {{Nobr|<math>-h\;\vec{v}(t)\;</math>»}} où «<math>\;\vec{v}(t) = \dot{x}(t)\;\vec{u}_x\;</math>» est le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>. === Mise en équation par application de la r.f.d.n. === {{Al|5}}Nous allons appliquer la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. qui a été rappelée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Rappel_de_dynamique,_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)|rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T}(t) + \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{a}(t)\;</math> est le vecteur accélération de <math>\;M\;</math> s'écrivant encore <math>\;\vec{a}(t) =</math> <math>\ddot{x}(t)\;\vec{u}_x\;</math>» soit, en reportant les expressions des forces et en projetant sur l'axe <math>\;\overrightarrow{x'x}</math> : <center>«<math>\;m\;g\; - k\, \left[ \Delta l_{\text{éq}} + x(t) \right] - h\;\dot{x}(t) = m\;\ddot{x}(t)\;</math>»</center> {{Al|5}}ou, en regroupant les termes dépendant de <math>\;x(t)\;</math> dans un même membre et en ordonnant <center>«<math>\;m\;\ddot{x}(t) + h\;\dot{x}(t) + k\;x(t) = m\;g - k\;\Delta l_{\text{éq}}\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}écrivant la « condition d'équilibre <math>\;m\;g - k\;\Delta l_{\text{éq}} = 0\;</math>» <ref> À l'équilibre uniquement deux forces s'exercent, on écrit que la somme des forces exercées est nulle d'où la condition en projetant ; <br>{{Al|3}}on peut aussi, quand on a choisi de repérer le solide par rapport à sa position d'équilibre, écrire que le 1^er membre de l'équation est nul à l'équilibre <math>\;\big(</math>pas d'accélération, pas de vitesse et, par choix de l'origine à la position d'équilibre pas de cote<math>\big)\;</math> et qu'il doit donc en être de même du 2^nd membre d'où la condition.</ref> on en déduit l'équation différentielle du mouvement du solide sous forme normalisée <center>«<math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{x}(t) + \dfrac{k}{m}\;x(t) = 0\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>».</center> === Analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle « R L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant === {{Al|5}}Reprenant l'analogie électromécanique entre un « P.E.V.N.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre » et le « dipôle <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> initialement traversée par aucun courant » introduite au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_un_pendule_élastique_vertical_non_amorti_lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_un_circuit_oscillant_(non_amorti)_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre un P.E.V.N.A. lâché sans vitesse initiale de la position de repos du ressort dans le champ de pesanteur terrestre et un L C série soumis à un échelon de tension, C étant initialement déchargé et L initialement traversée par aucun courant]] » plus haut dans ce chapitre, il convient, pour que l'analogie soit étendue au couple « P.E.V.A. et dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série », * de faire un changement d'origine des cotes pour qu'à la charge initiale<ref name="initialement" /> du condensateur <math>\;q(0^{-}) = 0\;</math> corresponde la cote initiale<ref name="initialement" /> du solide <math>\;x'(0^{-})</math> <math>= 0</math>, ceci nécessitant que l'origine du repérage de <math>\;M\;</math> soit la position de ce dernier quand le ressort est à vide c.-à-d. <math>\;O'\;</math> sur le schéma <math>\;\big(</math>et non sa position quand il y équilibre dans le champ de pesanteur<ref> Le choix de la position d'équilibre comme origine du repérage de <math>\;M\;</math> reste néanmoins un choix à privilégier hors analogie électromécanique parfaite.</ref> c.-à-d. <math>\;O\;</math> sur le schéma<math>\big)\;</math> soit <math>\;x'(t) =</math> <math>\Delta l(t)\;</math><ref name="position = allongement"> C.-à-d. l'allongement du ressort relativement à sa position à vide.</ref> ou <math>\;x'(t) = \Delta l_{\text{éq}} + x(t)</math>, d'où la réécriture de l'équation différentielle en <math>\;x'(t)\;</math> suivante «<math>\;m\;\ddot{{x'}}(t) + h\;\dot{{x'}}(t) + k\;x'(t) = m\;g\;\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;</math>» ou, après normalisation, l'équation différentielle en la position du solide avec son nouveau repérage «<math>\;\ddot{{x'}}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{{x'}}(t) + \dfrac{k}{m}\;x'(t) = g\;\;\left( \mathfrak{2}' \right)\;</math>» et * de prolonger l'analogie selon : {| class="wikitable" width="100%" | align="center" width="50%" | <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> | align="center" | P.E.V.A. dans un champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> |- | align="center" | rappel : charge instantanée <math>\;q(t)\;</math> du condensateur de capacité <math>\;C\;</math> | align="center" | rappel : allongement total <math>\;\Delta l(t) = x'(t)\;</math> du ressort de raideur <math>\;k\;</math><ref> Analogue électromécanique de <math>\;\dfrac{1}{C}</math>.</ref> |- | align="center" | rappel : intensité instantanée <math>\;i(t) = \dot{q}(t)\;</math> du courant traversant la bobine d'inductante propre <math>\;L\;</math> | align="center" | rappel : vitesse instantanée <math>\;v(t) = \dot{x'}(t)\;</math> du solide de masse <math>\;m\;</math> le long de l'axe du ressort |- | align="center" | conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> | align="center" | fluide dans lequel se déplace <math>\;M\;</math> avec un cœfficient de frottement linéaire <math>\;h\;</math> |- | align="center" | tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique <br><math>\;u_R(t) = R\;i(t)\;</math><ref name="convention récepteur" /> | align="center" | force de résistance à l'avancement exercée par le fluide sur le solide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{M \leftarrow \text{flu}} = -h\;\vec{v}(t) = -h\;\dot{x'}(t)\;\vec{u}_{O \rightarrow M}\;</math><ref> Le signe <math>\;-\;</math> apparaît car on ne s'intéresse pas à une force agissant sur l'analogue du conducteur ohmique qui est le fluide mais agissant sur l'analogue de la bobine qui est le solide ; on vérifierait, mais cela n'aurait aucun intérêt, que <math>\;\vec{F}_{\text{flu} \leftarrow M} = h\;\dot{x'}(t)\;\vec{u}_{O \rightarrow M}\;</math> sans signe <math>\;-</math>.</ref> |- | align="center" | loi de maille appliqué au <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension <math>\;u_C(t) + u_R(t) + u_L(t) = e(t)\;</math><ref> Tiré de la relation obtenue en choisissant un sens <math>\;+\;</math> sur la maille donnant <math>\;u_C(t) + u_R(t) + u_L(t) - e(t) = 0</math>.</ref> | align="center" | relation fondamentale de la dynamique appliquée au solide <math>\;\vec{F}_{M \leftarrow \text{ressort}} + \vec{\mathcal{R}}_{M \leftarrow \text{flu}} + m\;\vec{g}\;Y(t) = \dfrac{d\vec{p}}{dt}(t)\;</math><ref> Pour obtenir une correspondance terme à terme il faudrait modifier la relation en <math>\;m\;\vec{g}\;Y(t) = \dfrac{d\vec{p}}{dt}(t) + \vec{F}_{\text{ressort} \leftarrow M} + \vec{F}_{\text{flu} \leftarrow M}\;</math> mais cela n'aurait aucun intérêt autre qu'analogique.</ref> |- | align="center" | équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math> <br><math>\;L\;\ddot{q}(t) + R\;\dot{q}(t) + \dfrac{1}{C}\;q(t) = E\;Y(t)\;\;\forall\;t\;</math> | align="center" | équation différentielle en <math>\;\Delta l(t) = x'(t)\;</math> du P.E.V.A. soumis à l'échelon de poids du solide <br><math>\;m\;\ddot{x'}(t) + h\;\dot{x'}(t) + k\;x'(t) = m\;g\;Y(t)\;\;\forall\;t\;</math> |- | align="center" | réponse forcée en charge du condensateur <math>\;q_f = C\;E\;</math> <br>c.-à-d. la charge du condensateur à l'équilibre | align="center" | réponse forcée en allongement du ressort <math>\;{x'}_f = \dfrac{1}{k}\;m\;g\;</math> <br>c.-à-d. l'allongement du ressort à l'équilibre <math>\;\Delta l_{\text{éq}} = \dfrac{m\;g}{k}\;</math> |- | align="center" | rappel : discontinuité de 1^ère espèce de <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> <br>rappel :continuité de l'intensité <math>\;i(t)\;</math> et de la charge <math>\;q(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> | align="center" | rappel : discontinuité de 1^ère espèce de l'accélération <math>\;\dfrac{dv}{dt}(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> <br>rappel : continuité de la vitesse <math>\;v(t)\;</math> et de la cote <math>\;x'(t)\;</math> en <math>\;t = 0\;</math> |- | align="center" | réduction canonique du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <br>1^ère grandeur canonique : pulsation propre du R L C série <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{1}{L\;C}}\;</math> <br>2^èmes grandeurs canoniques : <br> cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma \geqslant 0\;</math> tel que <math>\;\dfrac{R}{L} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math> <br> facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} > 0\;</math> tel que <math>\;\dfrac{R}{L} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math> ou <br><math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R}\;</math><ref> Comme <math>\;\omega_0^2 = \dfrac{1}{L\;C} \Leftrightarrow L\;C\;\omega_0^2 = 1 \Leftrightarrow L\;\omega_0 = \dfrac{1}{C\;\omega_0}</math>, on en déduit <math>\;Q = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}</math>.</ref> <br> constante de temps <math>\;\tau > 0\;</math> telle que <math>\;\dfrac{R}{L} = \dfrac{1}{\tau}\;</math> ou <math>\;\tau = \dfrac{L}{R}\;</math> <br> forme canonique de l'équation différentielle normalisée en <math>\;q(t)\;</math> : <br><math>\;\ddot{q}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{q}(t) + \omega_0^2\;q(t) = \dfrac{E}{L}\;Y(t)\;\;\forall\;t\;</math> <br>continuité de la charge du condensateur et <br>continuité de l'intensité du courant traversant la bobine | align="center" | réduction canonique du P.E.V.A. <br>1^ère grandeur canonique : pulsation propre du P.E.V.A. <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> <br>2^èmes grandeurs canoniques : <br> cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma \geqslant 0\;</math> tel que <math>\;\dfrac{h}{m} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math> <br> facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} > 0\;</math> tel que <math>\;\dfrac{h}{m} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math> ou <br><math>\;Q = \dfrac{m\;\omega_0}{h}\;</math><ref> Comme <math>\;\omega_0^2 = \dfrac{k}{m} \Leftrightarrow \dfrac{m}{k}\;\omega_0^2 = 1 \Leftrightarrow m\;\omega_0 = \dfrac{k}{\omega_0}</math>, on en déduit <math>\;Q = \dfrac{k}{h\;\omega_0}</math>.</ref> <br> constante de temps <math>\;\tau > 0\;</math> telle que <math>\;\dfrac{h}{m} = \dfrac{1}{\tau}\;</math> ou <math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> <br> forme canonique de l'équation différentielle normalisée en <math>\;x'(t)\;</math> : <br><math>\;\ddot{x'}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{x'}(t) + \omega_0^2\;x'(t) = g\;Y(t)\;\;\forall\;t\;</math> <br>continuité de l'allongement du ressort<ref name="allongement = position"> C.-à-d. la position du solide suspendu repéré par rapport à sa position <math>\;O'\;</math> quand le ressort est à vide ; la discontinuité de 1^ère espèce de la position en <math>\;t = 0\;</math> nécessiterait une vitesse infinie en cet instant, ce qui est toujours impossible.</ref> et <br>continuité de la vitesse du solide suspendu<ref name="continuité de v"> La discontinuité de 1^ère espèce de la vitesse en <math>\;t = 0\;</math> nécessiterait une accélération infinie en cet instant, ce qui ne pourrait se produire qu'en présence d'une action de type « collision » modélisée par une force proportionnelle à un pic de Dirac, ainsi hors collision la vitesse doit toujours être continue.</ref> |- | align="center" | forme canonique de l'équation différentielle normalisée en <math>\;i(t)\;</math> : <br><math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{di}{dt}(t) + \omega_0^2\;i(t) = \dfrac{E}{L}\;\delta(t)\;\;\forall\;t\;</math> <br> continuité de l'intensité <math>\;i(t)\;</math> du courant traversant la bobine et <br>discontinuité de 1^ère espèce de son taux horaire de variation <math>\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math><ref> <math>\;\dfrac{di}{dt}(0^{+})\;</math> s'obtenant par circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel la condensateur est remplacé par un court-circuit et la bobine (parfaite) par un interrupteur ouvert d'où <math>\;u_L(0^{+}) = E\;</math> et <math>\;\dfrac{di}{dt}(0^{+}) = \dfrac{E}{L}\;</math>.</ref> | align="center" | forme canonique de l'équation différentielle normalisée en <math>\;v(t)\;</math> : <br><math>\;\dfrac{d^2v}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{dv}{dt}(t) + \omega_0^2\;v(t) = g\;\delta(t)\;\;\forall\;t\;</math> <br> continuité de la vitesse <math>\;v(t)\;</math> du solide suspendu<ref name="continuité de v" /> et <br>discontinuité de 1^ère espèce de son accélération <math>\;\dfrac{dv}{dt}(t)\;</math><ref> L'accélération initiale <math>\;\dfrac{dv}{dt}(0^{+})\;</math> s'obtenant par schéma à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel on utilise la continuité de l'allongement du ressort <math>\;\Delta l(0^{+}) = \Delta l(0^{-}) = 0\;</math> d'où la tension initiale du ressort nulle et la continuité de la vitesse du solide <math>\;v(0^{+}) = v(0^{-}) = 0\;</math> d'où la force de frottement fluide initiale s'exerçant sur le solide nulle <math>\Rightarrow</math> la seule force s'exerçant initialement sur le solide étant son poids, l'accélération initiale de <math>\;M\;</math> est <math>\;\dfrac{dv}{dt}(0^{+}) = g</math>.</ref> |- | align="center" | forme canonique de l'équa diff. normalisée en <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;</math> : <br><math>\;\dfrac{d^2u_L}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{du_L}{dt}(t) + \omega_0^2\;u_L(t) = E\;\dot{\delta}(t)\;\;\forall\;t\;</math> <br> discontinuité de 1^ère espèce de la tension <math>\;u_L(t)\;</math> aux bornes de la bobine<ref> <math>\;u_L(0^{+})\;</math> s'obtient par circuit à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel la condensateur est remplacé par un court-circuit et la bobine (parfaite) par un interrupteur ouvert d'où <math>\;u_L(0^{+}) = E</math>.</ref> et <br>discontinuité de 2^ème espèce de son taux horaire de variation <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(t)\;</math><ref> <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+})\;</math> peut s'obtenir en intégrant (au sens des distributions) l'équation différentielle écrite pour tout <math>\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math> en tenant compte de la nullité de toutes les grandeurs à <math>\;0^{-}\;</math> soit <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+}) + 2\;\sigma\;\omega_0\;u_L(0^{+}) + \cancel{\omega_0^2\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} u_L(t')\;dt'} = 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+}) = -2\;\sigma\;\omega_0\;E\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{du_L}{dt}(0^{+}) = -\dfrac{R}{L}\;E</math>.</ref> | align="center" | forme canonique de l'équa diff. normalisée en <math>\;F(t) = m\;\dfrac{dv}{dt}(t)\;</math><ref> Cette expression est aussi la dérivée de la quantité de mouvement <math>\;p(t) = m\;v(t)</math> <math>\;\big(</math>encore appelée résultante cinétique pour un système de points matériels<math>\big)</math>, soit <math>\;F(t) = \dfrac{dp}{dt}(t)\;</math> appelée résultante dynamique.</ref> : <br><math>\;\dfrac{d^2F}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{dF}{dt}(t) + \omega_0^2\;F(t) = m\;g\;\dot{\delta}(t)\;\;\forall\;t\;</math> <br> discontinuité de 1^ère espèce de la résultante dynamique <math>\;F(t)\;</math> de <math>\;M\;</math><ref> Cette discontinuité de 1^ère espèce est liée à celle de l'accélération compte-tenu de leur proportionnalité relative, la résultante dynamique initiale <math>\;F(0^{+})\;</math> s'obtient donc par schéma à <math>\;0^{+}\;</math> dans lequel on utilise la continuité de l'allongement du ressort <math>\;\Delta l(0^{+}) = \Delta l(0^{-}) = 0\;</math> d'où la tension initiale du ressort nulle et la continuité de la vitesse du solide <math>\;v(0^{+}) = v(0^{-}) = 0\;</math> d'où la force de frottement fluide initiale s'exerçant sur le solide nulle <math>\Rightarrow</math> la seule force s'exerçant initialement sur le solide étant son poids, c'est aussi la résultante dynamique initiale de <math>\;M\;</math> soit <math>\;F(0^{+}) = m\;g</math>.</ref> et <br>discontinuité de 2^ème espèce de son taux horaire de variation <math>\;\dfrac{dF}{dt}(t)\;</math><ref> <math>\;\dfrac{dF}{dt}(0^{+})\;</math> peut s'obtenir en intégrant <math>\;\big(</math>au sens des distributions<math>\big)\;</math> l'équation différentielle écrite pour tout <math>\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math> en tenant compte de la nullité de toutes les grandeurs à <math>\;0^{-}\;</math> soit <math>\;\dfrac{dF}{dt}(0^{+}) + 2\;\sigma\;\omega_0\;F(0^{+}) + \cancel{\omega_0^2\;\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} F(t')\;dt'} = 0\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dF}{dt}(0^{+}) = -2\;\sigma\;\omega_0\;m\;g\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{dF}{dt}(0^{+}) = -h\;g</math>.</ref> |} === Analogie électromécanique en terme de puissance et d'énergie entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle « R L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant === {{Al|5}}Reprenant l'analogie électromécanique entre un « P.E.V.N.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre » et le « dipôle <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine <math>\;\big(</math>parfaite<math>\big)\;</math> initialement traversée par aucun courant » introduite au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_un_pendule_élastique_vertical_non_amorti_lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_un_circuit_oscillant_(non_amorti)_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre un P.E.V.N.A. lâché sans vitesse initiale de la position de repos du ressort dans le champ de pesanteur terrestre et un L C série soumis à un échelon de tension, C étant initialement déchargé et L initialement traversée par aucun courant]] » plus haut dans ce chapitre, il convient, là encore, pour étendre cette analogie au couple « P.E.V.A. et dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série », * de prendre pour origine du repérage de <math>\;M\;</math> la position de ce dernier quand le ressort est à vide c.-à-d. <math>\;O'\;</math> sur le schéma d'où <math>\;x'(t) = \Delta l(t)\;</math> comme nouvelle cote liée à la précédente par <math>\;x'(t) =</math> <math>\Delta l_{\text{éq}} + x(t)\;</math> et * de prolonger l'analogie selon : {| class="wikitable" width="100%" | align="center" width="50%" | <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> | align="center" | P.E.V.A. dans un champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> |- | align="center" | rappel : énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <br>de charge instantanée <math>\;q(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C}(t) = \dfrac{1}{2\;C}\, \left[ q(t) \right]^2\;</math><ref> On rappelle que <math>\;u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\, \left[ u_C(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2\;C}\, \left[ q(t) \right]^2</math>.</ref> | align="center" | rappel : énergie potentielle élastique stockée dans le ressort de raideur <math>\;k\;</math> <br>allongé de <math>\;x'(t) = \Delta l(t)\;</math> par rapport à sa longueur à vide : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t) = \dfrac{k}{2}\, \left[ x'(t) \right]^2</math> |- | align="center" | rappel : énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <br>traversée par un courant d'intensité <math>\;i(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L}(t) = \dfrac{1}{2}\;L\, \left[ i(t) \right]^2</math> | align="center" | rappel : énergie cinétique du solide de masse <math>\;m\;</math> et de vitesse <math>\;v(t)</math> : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{cinétique de }M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ v(t) \right]^2</math> |- | align="center" | rappel : énergie électromagnétique stockée dans le <math>\;L\, C\;</math> série : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{électrom.}}(t) =</math> <math>\mathcal{E}_{\text{électrostat. stockée dans }C}(t) + \mathcal{E}_{\text{électromagn. stockée dans }L}(t)</math> | align="center" | rappel : énergie mécanique du pendule élastique vertical : <br><math>\;\mathcal{E}_{\text{méca}}(t) =</math> <math>\mathcal{E}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t) + \mathcal{E}_{\text{cinétique de }M}(t)</math> |- | align="center" | rappel : puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude <math>\;E\;</math> <br>délivrant un courant d'intensité <math>\;i(t)</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}(t) = E\;Y(t)\; i(t)</math> | align="center" | rappel : puissance instantanée développée par l'échelon de poids <math>\;m\;g\;</math> <br>quand le solide est de vitesse <math>\;v(t)</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{développée par mg}}(t) = m\;g\;Y(t)\; v(t)</math> |- | align="center" | puissance instantanée calorifique dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }R}(t) = R\;i^2(t)\;</math> | align="center" | puissance instantanée développée par la résistance à l'avancement du fluide sur <math>\;M</math> : <math>\;\mathcal{P}_{\text{développée par }\overrightarrow{\mathcal{R}_{M \leftarrow \text{flu}}}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}_{M \leftarrow \text{flu}}} \cdot \vec{v}(t) = -h\;v^2(t)\;</math><ref> Le signe <math>\;-\;</math> apparaît car on s'intéresse à une puissance développée par une force agissant sur le solide c.-à-d. fournie au solide ; en fait cette puissance étant négative, elle entraînera une perte d'énergie mécanique du solide par échauffement simultané de ce dernier et du fluide dans lequel il se déplace, la puissance calorifique rétrocédée au solide et au fluide étant <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. cédée à }M\,\text{au flu}}(t) =</math> <math>h\;v^2(t)</math>.</ref> |- | align="center" | bilan de puissance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension : <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{électrom.}}}{dt}(t) = \mathcal{P}_{\text{élect. fourn. par échel. de tens.}}(t) - \mathcal{P}_{\text{cal. dans }R}(t)\;</math> ou <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{électrom. tot}}}{dt}(t) = E\;Y(t)\;i(t) - R\;i^2(t)\;</math> | align="center" | bilan de puissance du P.E.V.A. soumis à un échelon de poids : <br><math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{méca}}}{dt}(t) = \mathcal{P}_{\text{développée par mg}}(t) + \mathcal{P}_{\text{développée par }\overrightarrow{\mathcal{R}_{M \leftarrow \text{flu}}}}(t)\;</math> ou <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{méca}}}{dt}(t) = m\;g\;Y(t)\;v(t) - h\;v^2(t)\;</math> |- | align="center" | retrouver l'équation différentielle en <math>\;q(t)\;</math> par bilan de puissance : expliciter <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{électrom.}}}{dt}(t)</math> <math>= \dfrac{1}{2\;C}\;2\;q(t)\;\dfrac{dq}{dt}(t) + \dfrac{1}{2}\;L\;2\;i(t)\;\dfrac{di}{dt}(t)</math>, reporter dans le bilan d'où <math>\;\left[ \dfrac{q(t)}{C} + L\,\dfrac{d^2q}{dt^2}(t) \right]\,\cancel{i(t)} = \left[ E\;Y(t) - R\;\dfrac{dq}{dt}(t) \right]\,\cancel{i(t)}\;</math><ref> Obtenu en transformant la puissance instantanée calorifique dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique selon <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. dissipée dans }R}(t) =</math> <math>R\;i^2(t) = R\;\dfrac{dq}{dt}\;i(t)\;</math> et en factorisant dans chaque membre par <math>\;i(t)</math>.</ref> | align="center" | retrouver l'équation différentielle en <math>\;x'(t)\;</math> par bilan de puissance : expliciter <math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{méca}}}{dt}(t)</math> <math>= \dfrac{k}{2}\;2\;x'(t)\;\dfrac{dx'}{dt}(t) + \dfrac{1}{2}\;m\;2\;v(t)\;\dfrac{dv}{dt}(t)</math>, reporter dans le bilan d'où <math>\;\left[ k\,x'(t) + m\,\dfrac{d^2x'}{dt^2}(t) \right]\cancel{v(t)} = \left[ m\,g\,Y(t) - h\,\dfrac{dx'}{dt}(t) \right]\cancel{v(t)}\;</math><ref> Obtenu en transformant la puissance instantanée calorifique rétrocédée au solide et au fluide <math>\;\mathcal{P}_{\text{cal. cédée à }M\,\text{au flu}}(t) =</math> <math>h\;v^2(t) = h\;\dfrac{dx'}{dt}(t)\;v(t)</math> et en factorisant dans chaque membre par <math>\;v(t)</math>.</ref> |- | align="center" | retrouver l'équation différentielle en <math>\;i(t)\;</math> par bilan de puissance puis <br>dérivation<ref name="sens des distributions" /> par rapport au temps utilisant <math>\;i(t) = \dfrac{dq}{dt}(t)\;\ldots</math> | align="center" | retrouver l'équation différentielle en <math>\;v(t)\;</math> par bilan de puissance puis <br>dérivation<ref name="sens des distributions" /> par rapport au temps utilisant <math>\;v(t) = \dfrac{dx'}{dt}(t)\;\ldots</math> |- | align="center" | retrouver l'équation différentielle en <math>\;u_L(t)\;</math> par bilan de puissance puis <br>double dérivation<ref name="sens des distributions" /> par rapport au temps utilisant <math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{d^2q}{dt^2}(t)\;\ldots</math> | align="center" | retrouver l'équation différentielle en <math>\;F(t)\;</math><ref> On rappelle que <math>\;F(t) = \dfrac{dp}{dt}(t)\;</math> est la résultante dynamique exercée sur le solide, <math>\;p(t) = m\;v(t)\;</math> étant la quantité de mouvement (ou résultante cinétique) de ce dernier.</ref> par bilan de puissance puis <br>double dérivation<ref name="sens des distributions" /> par rapport au temps utilisant <math>\;F(t) = m\;\dfrac{d^2x'}{dt^2}(t)\;\ldots</math> |} === Détermination directe de l'équation différentielle du mouvement du P.E.V.A. par théorème de la puissance mécanique === {{Al|5}}Nous verrons le théorème de la puissance mécanique dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_puissance_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»|énoncé du théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » à savoir : “ dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « la puissance <math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left( \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}} \right)\;</math> développée par les forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}\;</math><ref> Une force non conservative étant une force pour laquelle on ne peut pas définir d'énergie potentielle ; par abus ici, on ajoute les forces conservatives pour lesquelles on ne souhaite pas définir d'énergie potentielle.</ref> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale, dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, à « la puissance mécanique<ref> Correspondant à la dérivée temporelle de l'énergie mécanique c.-à-d. la somme des dérivées temporelles de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.</ref> de <math>\;M\;</math>» soit la relation «<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\left( \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}} \right) = \dot{\mathcal{E}}_m(t)\;</math>» ”. {{Al|5}}Comme à la tension du ressort s'exerçant sur le solide <math>\;M\;</math> on associe une énergie potentielle, les seules forces à considérer comme non conservatives sont le poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> du solide <math>\;M\;</math> et la force de résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(t) = -h\;\vec{v}(t)\;</math> que le fluide exerce sur <math>\;M</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant définie selon «<math>\;\mathcal{E}_m(t) = \mathcal{E}_{\text{élast. stockée dans ress.}}(t) + \mathcal{E}_{\text{cinét. de }M}(t) = \dfrac{1}{2}\;k\;{x'}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;m\;v^2(t)\;</math>», la puissance mécanique du solide <math>\;M\;</math> c.-à-d. <math>\;\dot{\mathcal{E}}_m(t)\;</math> est égale à la somme des puissances développées par le poids de <math>\;M\;</math> et par la force de résistance à l'avancement que le fluide exerce sur <math>\;M\;</math> soit <center>«<math>\;\dot{\mathcal{E}}_m(t) = \mathcal{P}(m\;\vec{g}) + \mathcal{P}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = m\;\vec{g} \cdot \vec{v}(t) + \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(t) \cdot \vec{v}(t) = m\;g\;v(t) - h\;v^2(t)\;\;\text{pour }t > 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}explicitant la puissance mécanique du solide <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\dot{\mathcal{E}}_m(t) = \dfrac{1}{2}\;k\;2\;x'(t)\;\dot{x'}(t) + \dfrac{1}{2}\;m\;2\;v(t)\;\dot{v}(t) = k\;x'(t)\;v(t) + m\;\ddot{x'}(t)\;v(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}reportant dans le théorème de la puissance mécanique, on obtient «<math>\;\left[ k\;x'(t) + m\;\ddot{x'}(t) \right] v(t) = \left[ m\;g - h\;\dot{x'}(t) \right] v(t)\;\;\text{pour }t > 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;v(t)\;</math><ref> Comme on étudie le mouvement du solide nous nous plaçons évidemment dans le cas où la vitesse n'est pas identiquement nulle.</ref>, l'équation différentielle suivante {{Nobr|«<math>\;k\;x'(t) + m\;\ddot{x'}(t)</math>}} <math>= m\;g - h\;\dot{x'}(t)\;\;\text{pour }t > 0\;</math>» soit, en ordonnant, <center>«<math>\;m\;\ddot{x'}(t) + h\;\dot{x'}(t) + k\;x'(t) = m\;g\;\;\text{pour }t > 0\;</math>».</center> === Réponses transitoires du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ === {{Al|5}}Nous supposons qu'initialement<ref name="initialement" /> le solide <math>\;M\;</math> est au repos en <math>\;O'\;</math><ref> Position correspondant au ressort ayant sa longueur à vide c.-à-d. ni allongé ni comprimé.</ref>, son poids étant compensé par une force de maintien de même norme dans le sens ascendant, force que l'on supprime à l'instant <math>\;t = 0\;</math><ref> Cela est équivalent à considérer un poids nul pour <math>\;t < 0\;</math> et sa valeur non nulle pour <math>\;t > 0</math>, c.-à-d. un échelon de poids <math>\;m\;\vec{g}\;Y(t)\;</math> pour tout <math>\;t</math>.</ref>, les conditions pour <math>\;t < 0\;</math> correspondant à l'analogue électromécanique du dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série à condensateur déchargé et bobine traversée par aucun courant avant qu'on lui impose un échelon de tension. ==== Réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ ==== {{Al|5}}On rappelle la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en <math>\;x'(t)</math>, élongation du P.E.V.A. <center>«<math>\;\dfrac{d^2x'}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{dx'}{dt}(t) + \omega_0^2\;x'(t) = g\;Y(t)\;\; \forall\;t\;</math>» <br>avec la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et le « cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma > 0\;</math> tel que <math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{h}{m}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on établit aisément les réponses transitoires en adoptant la même démarche que celle utilisée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Établissement_de_la_réponse_en_tension_uC(t)_aux_bornes_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension,_réduction_canonique_du_«_R_L_C_série_»_(pulsation_propre,_cœfficient_d'amortissement_ou_facteur_de_qualité),_régime_libre,_réponse_forcée_(ou_permanente),_réponse_transitoire|établissement de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique du R L C série (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire]] » plus haut dans ce chapitre et en utilisant la continuité des réponses transitoires ainsi que celle de leur dérivée temporelle 1^ère en <math>\;t = 0</math>, on obtient ainsi, suivant le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma</math> : * « si <math>\;\sigma > 1\;</math>»<ref name="sigma supérieur à 1"> Correspondant à <math>\;h > h_c\;</math> où <math>\;h_c\;</math> est le cœfficient de frottement fluide linéaire conduisant à un cœfficient d'amortissement critique <math>\;\sigma_c = 1</math>.</ref> <math>\big(</math>régime apériodique<math>\big)</math> «<math>\;x'(t) = \dfrac{m\;g}{k} \left[ 1 - \dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{\sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;q(t) = C\;E \left[ 1 - \dfrac{\sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \dfrac{\sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1}}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\,\exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique en <math>\;q(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;s_{\pm} =</math> <math>-\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma = 1\;</math>»<ref name="sigma égal à 1"> Correspondant à <math>\;h = h_c\;</math> où <math>\;h_c\;</math> est le cœfficient de frottement fluide linéaire critique conduisant à un cœfficient d'amortissement critique <math>\;\sigma_c = 1</math>.</ref> <math>\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)</math> «<math>\;x'(t) = \dfrac{m\;g}{k}\, \left[ 1 - \left( 1 + \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;q(t) = C\;E\, \left[ 1 - \left( 1 + \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique critique en <math>\;q(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> ; * « si <math>\;\sigma < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>»<ref name="sigma non nul inférieur à 1"> Correspondant à <math>\;h < h_c\;</math> où <math>\;h_c\;</math> est le cœfficient de frottement fluide linéaire conduisant à un cœfficient d'amortissement critique <math>\;\sigma_c = 1</math>.</ref> <math>\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)</math> «<math>\;x'(t) = \dfrac{m\;g}{k} \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;q(t) = C\;E \left[ 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t - \alpha \right) \right]\;</math> réponse pseudo-périodique en <math>\;q(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;\omega =</math> <math>\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math> la pseudo-pulsation » et «<math>\;\alpha =</math> <math>\arctan\! \left[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma = 0\;</math>»<ref name="sigma nul"> Correspondant à <math>\;h = 0\;</math> c.-à-d. à P.E.V.N.A., la réponse étant fournie ici pour rappel.</ref> <math>\big(</math>régime périodique<math>\big)</math> «<math>\;x'(t) = \dfrac{m\;g}{k} \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_0\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;q(t) = C\;E \left[ 1 - \cos\! \left( \omega_0\;t \right) \right]\;</math> réponse périodique en <math>\;q(t)\;</math> du <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en élongation du P.E.V.A. observé est pseudo-périodique car le cœfficient de frottement fluide linéaire <math>\;h\;</math> ne peut pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à notre disposition »<ref name="viscosité dynamique"> Exemple de fluide relativement visqueux « la glycérine » de [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta \simeq 1,5\; kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}\;</math> ce qui donnerait, en supposant l'objet sphérique de rayon <math>\;R = 5\; mm</math>, un cœfficient de frottement fluide linéaire donné par la [[w:Loi_de_Stokes|formule de Stokes]] <math>\;h = 6\;\pi\;\eta\;R \simeq</math> <math>0,14\;kg \cdot s^{-1}\;</math> et si l'objet était en fer de masse volumique <math>\;\rho \simeq 7,3\;10^3\; kg \cdot m^{-3}</math>, sa masse serait <math>\;m =</math> <math>\dfrac{4}{3}\;\pi\;\rho\;R^3 \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg\;</math> soit un rapport <math>\;\dfrac{h}{m} \simeq 36,8\;s^{-1} =</math> <math>2\;\sigma\;\omega_0</math>, enfin si la raideur du ressort était <math>\;k = 10\; N \cdot m^{-1} = 0,1\; N \cdot cm^{-1}</math>, la pulsation propre serait <math>\;\omega_0 =</math> <math>\sqrt{\dfrac{k}{m}} \simeq 51\;rad \cdot s^{-1}\;</math> et le cœfficient d'amortissement vaudrait <math>\;\sigma \simeq 0,36\;</math> soit un régime pseudo-périodique ; <br>{{Al|3}}il existe d'autres fluides encore plus visqueux comme le miel de [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\eta_{\text{miel}} \simeq 10\; kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}\;</math> ou la mélasse de [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{mélasse}} \simeq 10^2\; kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}</math>, leur utilisation entraînant une multiplication du cœfficient de frottement fluide linéaire avec les mêmes dimensions d'un facteur <math>\;6\;</math> à <math>\;60\;</math> et par suite une multiplication du cœfficient d'amortissement d'un facteur <math>\;6\;</math> à <math>\;60\;</math> conduisant, dans ce cas, à un régime apériodique.<br>{{Al|3}}'''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de ||w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1^ère démonstration de ce théorème fût donnée vingt ans plus tôt par '''[[w:Mikhaïl_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)\;</math> à qui on doit aussi, entre autres, un théorème portant son nom <math>\;\ldots</math></ref>. ==== Réponses transitoires en vitesse du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ ==== {{Al|5}}On rappelle la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en <math>\;v(t)</math>, vitesse du solide du P.E.V.A. <center>«<math>\;\dfrac{d^2v}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{dv}{dt}(t) + \omega_0^2\;v(t) = g\;\delta(t)\;\; \forall\;t\;</math>» <br>avec la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et le « cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma > 0\;</math> tel que <math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{h}{m}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on établit aisément les réponses transitoires en adoptant la même démarche que celle utilisée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Établissement_de_la_réponse_en_intensité_i(t)_du_courant_traversant_le_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension,_réduction_canonique,_régime_libre,_absence_de_réponse_forcée_(ou_permanente),_réponse_transitoire|établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire]] » plus haut dans ce chapitre et en utilisant la continuité des réponses transitoires ainsi que la discontinuité de 1^ère espèce de leur dérivée temporelle 1^ère en <math>\;t = 0</math>, la valeur <math>\;\dfrac{dv}{dt}(0^{+}) = g\;</math> étant obtenue par r.f.d.n. écrite à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> sachant que la tension du ressort et la résistance à l'avancement du solide dans le fluide y sont nulles, on obtient ainsi, suivant le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma</math> : * « si <math>\;\sigma > 1\;</math>»<ref name="sigma supérieur à 1" /> <math>\big(</math>régime apériodique<math>\big)</math> «<math>\;v(t) = \dfrac{m\;g}{h}\, \dfrac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ \exp\! \left( s_{+}\;t \right) - \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ \exp\! \left( s_{+}\;t \right) - \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique en <math>\;i(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;s_{\pm} =</math> <math>-\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma = 1\;</math>»<ref name="sigma égal à 1" /> <math>\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)</math> «<math>\;v(t) = \dfrac{m\;g}{h_c}\, \left[ 1 - \left( 1 + \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R_c}\, \left( 2\;\omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> réponse apériodique critique en <math>\;i(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> ; * « si <math>\;\sigma < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>»<ref name="sigma non nul inférieur à 1" /> <math>\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)</math> «<math>\;v(t) = \dfrac{m\;g}{h}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{R}\, \dfrac{2\;\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \sin\! \left( \omega\;t \right)\;</math> réponse pseudo-périodique en <math>\;i(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;\omega =</math> <math>\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math> la pseudo-pulsation » et «<math>\;\alpha =</math> {{Nobr|<math>\arctan\! \left[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>» ;}} * « si <math>\;\sigma = 0\;</math>»<ref name="sigma nul" /> <math>\big(</math>régime périodique<math>\big)</math> «<math>\;v(t) = \dfrac{g}{\omega_0}\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right) = \sqrt{\dfrac{m}{k}}\;g\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;i(t) = \dfrac{E}{L\;\omega_0}\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right) = C\;\omega_0\;E\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right) = \sqrt{\dfrac{C}{L}}\;E\; \sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> réponse périodique en <math>\;i(t)\;</math> du <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en vitesse du P.E.V.A. observé est encore pseudo-périodique, le cœfficient de frottement fluide linéaire <math>\;h\;</math> ne pouvant pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à disposition »<ref name="viscosité dynamique" />. ==== Réponses transitoires en résultante dynamique du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ ==== {{Al|5}}On rappelle la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en <math>\;F(t)</math>, résultante dynamique du solide<ref> On rappelle son expression <math>\;\vec{F}(t) = m\;\vec{a}(t)\;</math> où <math>\;\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t)\;</math> est le vecteur accélération du solide ou encore <math>\;\vec{F}(t) = \dot{vec{p}}(t)\;</math> avec <math>\;\vec{p}(t) = m\;\vec{v}(t)\;</math> vecteur quantité de mouvement <math>\;\big(</math>ou résultante cinétique<math>\big)\;</math> du solide.</ref> du P.E.V.A. <center>«<math>\;\dfrac{d^2F}{dt^2}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dfrac{dF}{dt}(t) + \omega_0^2\;F(t) = m\;g\;\dot{\delta}(t)\;\; \forall\;t\;</math>» <br>avec la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et le « cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma > 0\;</math> tel que <math>\;2\;\sigma\;\omega_0 = \dfrac{h}{m}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on établit aisément les réponses transitoires en adoptant la même démarche que celle utilisée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Établissement_de_la_réponse_en_tension_uL(t)_aux_bornes_de_la_bobine_(parfaite)_du_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension,_réduction_canonique,_régime_libre,_absence_de_réponse_forcée_(ou_permanente),_réponse_transitoire|établissement de la réponse en tension u_L(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire]] » plus haut dans ce chapitre et en utilisant la discontinuité de 1^ère espèce des réponses transitoires ainsi que celle de 2^ème espèce de leur dérivée temporelle 1^ère en <math>\;t = 0</math>, la valeur <math>\;F(0^{+}) = m\;g\;</math> étant obtenue par r.f.d.n. écrite à l'instant <math>\;0^{+}\;</math> sachant que la tension du ressort et la résistance à l'avancement du solide dans le fluide y sont nulles et celle <math>\;\dfrac{dF}{dt}(0^{+}) = -h\;g\;</math> par exemple en intégrant<ref name="sens des distributions" /> l'équation différentielle écrite pour tout <math>\;t\;</math> entre <math>\;0^{-}\;</math> et <math>\;0^{+}\;</math><ref> En effet l'intégration conduit à <math>\;\dfrac{dF}{dt}(0^{+}) + \dfrac{h}{m}\;F(0^{+}) + \cancel{\displaystyle\int_{0^{-}}^{0^{+}} \dfrac{k}{m}\;F(t')\;dt'} = \cancel{m\;g\;\delta(0^{+})}\;</math> d'où le résultat en utilisant <math>\;F(0^{+}) = m\;g</math>.</ref>, on obtient ainsi, suivant le cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma</math> : * « si <math>\;\sigma > 1\;</math>»<ref name="sigma supérieur à 1" /> <math>\big(</math>régime apériodique<math>\big)</math> «<math>\;F(t) = \dfrac{m\;g}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ - \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{2\;\sqrt{\sigma^2 - 1}} \left[ - \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{+}\;t \right) + \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, \exp\! \left( s_{-}\;t \right) \right]\;</math> réponse apériodique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;s_{\pm} =</math> <math>-\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>» ; * « si <math>\;\sigma = 1\;</math>»<ref name="sigma égal à 1" /> <math>\big(</math>régime apériodique critique<math>\big)</math> «<math>\;F(t) = m\;g\, \left( 1 - \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;u_L(t) = E\, \left( 1 - \omega_0\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> réponse apériodique critique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> ; * « si <math>\;\sigma < 1\;</math> en étant <math>\;\neq 0\;</math>»<ref name="sigma non nul inférieur à 1" /> <math>\big(</math>régime pseudo-périodique<math>\big)</math> «<math>\;F(t) = \dfrac{m\;g}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;u_L(t) = \dfrac{E}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;</math> réponse pseudo-périodique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref> avec «<math>\;\omega =</math> <math>\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math> la pseudo-pulsation » et «<math>\;\varphi =</math> {{Nobr|<math>\arctan\! \left[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{1 - \sigma^2}} \right]\;</math>» ;}} * « si <math>\;\sigma = 0\;</math>»<ref name="sigma nul" /> <math>\big(</math>régime périodique<math>\big)</math> «<math>\;F(t) = m\;g\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;u_L(t) = E\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;</math> réponse périodique en <math>\;u_L(t)\;</math> du <math>\;L\, C\;</math> série soumis à un échelon de tension d'amplitude <math>\;E</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en résistance dynamique du solide du P.E.V.A. observé est encore pseudo-périodique, le cœfficient de frottement fluide linéaire <math>\;h\;</math> ne pouvant pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à disposition »<ref name="viscosité dynamique" />. === Portrait de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement === {{Al|5}}Utilisant l'analogie électromécanique entre un P.E.V.A. et un <math>\;R\, L\, C\;</math> série, nous en déduisons que les portraits de phase en élongation du P.E.V.A. <math>\;\big[</math>ce serait le même principe pour ses portraits de phase en vitesse<math>\big]\;</math> peuvent se tracer à partir des équations paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x' = x'(t)\\ v = \dot{x'}(t)\end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\bigg[</math>ou <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} v = v(t)\\ a = \dot{v}(t)\end{array} \right\rbrace\;</math> pour ses portraits de phase en vitesse<math>\bigg]\;</math> déterminées par résolution de l'équation différentielle en élongation <math>\;\big[</math>ou en vitesse<math>\big]\;</math> avec C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Les C.I<ref name="C.I." />. correspondant au P.E.V.A. à solide lâché sans vitesse initiale<ref name="initialement" /> de la position telle que le ressort soit ni allongé ni comprimé aboutissant aux portraits de phase en élongation <math>\;\big[</math>ou en vitesse<math>\big]\;</math> analogues électromécaniques de ceux tracés dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|tracé du portrait de la charge du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] » <math>\;\big[</math>ou dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Tracé_du_portrait_de_phase_de_l'intensité_du_courant_traversant_le_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|tracé du portrait de la charge de l'intensité du courant traversant le R L C série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] »<math>\big]\;</math> plus haut dans ce chapitre, ne seront pas retracés mais simplement revus dans les paragraphes précités en faisant les modifications analogiques nécessaires ; {{Al|5}}Ci-dessous nous nous plaçons dans des C.I<ref name="C.I." />. quelconques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x'(0^{-}) = {x'}_0 \neq 0\\ v(0^{-}) = v_0 \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math> et nous limitons aux tracés des portraits de phase en élongation du P.E.V.A. correspondants : {{Al|5}}tout d'abord dans les C.I<ref name="C.I." />. d'allongement relativement à la longueur à vide et de lâché avec vitesse vers le bas c.-à-d. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x'(0^{-}) = {x'}_0 > 0\\ v(0^{-}) = v_0 > 0\end{array}\right\rbrace</math>, à gauche un « régime pseudo-périodique avec <math>\;\sigma =</math> {{Nobr|<math>0,125\;</math>»,}} au centre un « régime pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma = 0,0125\;</math> permettant d'approcher le cas du régime périodique d'un P.E.V.N.A. pour lequel le portrait de phase en élongation est une courbe fermée <math>\;\big\{</math>plus exactement une ellipse de centre <math>\;\left( x' = 0\, ; v = 0 \right)\;</math> et d'axes, l'axe des élongations et celui des vitesses<math>\big\}\;</math>» et à droite un «régime apériodique critique <math>\;\sigma = 1\;</math> simultanément à un régime apériodique quelconque avec <math>\;\sigma = 2\;</math>» ; <div style="text-align: center;"><gallery widths="380" heights="350"> Pendule élastique vertical amorti - portrait de phase en élongation.png|thumb|Portrait de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I. <ref name="C.I." /> élongation et vitesse positives Pendule élastique vertical amorti - portrait de phase en élongation - penta.png|thumb|Portrait de phase en élongation pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement d'un P.E.V.A. dans C.I. <ref name="C.I." /> élongation et vitesse positives Pendule élastique vertical amorti - portrait de phase en élongation - bis.png|thumb|Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I. <ref name="C.I." /> élongation et vitesse positives </gallery></div> {{Al|5}}puis dans les C.I<ref name="C.I." />. d'allongement relativement à la longueur à vide et de lâché avec vitesse vers le haut c.-à-d. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x'(0^{-}) = {x'}_0 < 0\\ v(0^{-}) = v_0 < 0\end{array}\right\rbrace</math>, à gauche un « régime pseudo-périodique avec <math>\;\sigma = 0,125\;</math>» et à droite un « régime apériodique critique <math>\;\sigma = 1\;</math> simultanément à un régime apériodique quelconque avec <math>\;\sigma = 2\;</math>» ; <div style="text-align: center;"><gallery widths="400" heights="350"> Pendule élastique vertical amorti - portrait de phase en élongation - ter.png|thumb|Portraits de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I. <ref name="C.I." /> élongation et vitesse négatives Pendule élastique vertical amorti - portrait de phase en élongation - tetra.png|thumb|Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I. <ref name="C.I." /> élongation et vitesse négatives </gallery></div> === Les deux définitions équivalentes d'un oscillateur harmonique === ==== Définition non énergétique d'un oscillateur harmonique ==== {{Al|5}}Un système à un degré de liberté de paramètre d'état <math>\;y\;</math> est un <u>oscillateur harmonique</u> si son paramètre d'état obéit à une <u>équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre</u>, homogène si le paramètre d'état est nul lorsque le système est en équilibre ; {{Al|5}}le système est dit « non amorti » en absence de terme du 1^er ordre dans l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le système est dit }}« amorti »{{Transparent|non }}en sa présence. ==== Définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique ==== {{Al|5}}Un système à un degré de liberté de paramètre d'état <math>\;y\;</math> est un <u>oscillateur harmonique</u> si le <u>diagramme d'énergie potentielle en fonction du paramètre d'état est une parabole</u><ref> Dans le cas d'un P.E.V.A. il s'agit du graphe de <math>\;\mathcal{E}_{\text{élastique stockée dans ressort}} = \dfrac{1}{2}\;k\;{x'}^2\;</math> en fonction de <math>\;x' = \Delta l</math>, dans le cas d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série il s'agit du graphe de <math>\;\mathcal{E}_{\text{électrost. stockée dans} C} =</math> <math>\dfrac{1}{2\;C}\;q^2\;</math> en fonction de <math>\;q\;</math> charge du condensateur.</ref>, l'éventuelle grandeur de dissipation étant <u>linéaire en fonction de la dérivée temporelle du paramètre d'état</u> <math>\;\big(</math>si cette grandeur de dissipation n'existe pas l'oscillateur est dit « non amorti » et si elle existe, il est dit « amorti »<math>\big)\;</math><ref> Dans le cas d'un P.E.V.A. la grandeur dissipative est la résistance à l'avancement du solide dans le fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = -h\;\dot{x'}\;\vec{u}_x</math>, dans le cas d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série il s'agit de la tension aux bornes du conducteur ohmique <math>\;u_R = R\;\dot{q}\;</math> en convention récepteur.</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe|Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe]] }} e282a7jwj5zodgbmd4rpp3epagcae8x 0 79543 982994 962540 2026-05-23T19:50:43Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982994 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 2 | niveau = 14 | précédent = [[../Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux/]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes/]] }} == Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale, réponse transitoire, régime sinusoïdal forcé (r.s.f.) == === Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence fixées === [[File:RLC série en sinusoïdal - réponse en uC.png|thumb|450px|Schéma d'un circuit <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une source de tension parfaite de f.e.m. sinusoïdale, réponse en tension aux bornes du condensateur]] {{Al|5}}L'exemple choisi est un <math>\;R\, L\, C\;</math> série<ref> Mais cela aurait pu être n'importe quelle association de conducteurs ohmiques, de condensateurs et de bobines <math>\;\ldots</math></ref> branché, à travers un « montage suiveur »<ref name="montage suiveur"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F.]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, aux bornes d'un générateur de fonctions {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} schéma ci-dessous<math>\big)\;</math> permettant de sélectionner la forme sinusoïdale de la f.e.m., sa fréquence ainsi que son amplitude <ref> On rappelle que c'est l'amplitude de la f.e.m. qui peut être fixée, l'amplitude de la tension dépendant alors de l'intensité du courant délivré c.-à-d. du circuit aux bornes duquel le générateur est branché ; <br>{{Al|3}}l'amplitude de la tension délivrée par le G.B.F. restera constante, compte-tenu de la résistance de sortie de ce dernier, si la chute ohmique dans la résistance de sortie peut être négligée devant la f.e.m. ou, si ceci n'est pas réalisé, en plaçant entre le générateur et le circuit étudié un montage suiveur <math>\;\big[</math>revoir les propriétés d'un montage suiveur dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F.]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\big(</math>qui est l'option choisie ici<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> Plus exactement la tension de crête à crête <math>\;U_{c.c.}\;</math> qui est le double de l'amplitude.</ref> ou sa valeur efficace <ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Définition_de_la_grandeur_efficace_associée_à_une_grandeur_instantanée_alternative|définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Pour cela il faut au préalable sélectionner <math>\;V_{RMS}\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. « root mean square » signifiant « moyenne quadratique »<math>\big)\;</math> en appuyant avec insistance sur le bouton de sélection d'amplitude <math>\;\big(</math>on supprime ce choix en réappuyant avec insistance<math>\big)</math> ; on rappelle que la tension efficace est liée à l'amplitude pour un signal sinusoïdal par <math>\;U_g = \dfrac{U_{g,\,\text{max}}}{\sqrt{2}}</math>, la valeur efficace étant notée par une lettre majuscule avec un indice minuscule <math>\;\big(</math>ce qui permet de la distinguer d'une éventuelle composante continue notée avec une lettre majuscule et un indice majuscule<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>on vérifiera l'absence de composante continue<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on se propose de déterminer la réponse en <math>\;u_C(t)\;</math> tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à la tension sinusoïdale <math>\;u_g(t)\;</math> de fréquence <math>\;f\;</math> et de valeur efficace <math>\;U_g\;</math> toutes deux fixées c.-à-d. d'expression instantanée <math>\;u_g(t) =</math> <math>U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_g \right)\;</math> où <math>\;\omega\;</math> est la pulsation liée à la fréquence <math>\;f\;</math> par <math>\;\omega = 2\,\pi\;f</math> ; {{Al|5}}on détermine l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à la tension sinusoïdale <math>\;u_g(t)\;</math> par application de la loi de maille, soit, après normalisation, <center>«<math>\;\ddot{u}_C(t) + \dfrac{R}{L}\,\dot{u}_C(t) + \dfrac{1}{L\,C}\,u_C(t) = \dfrac{1}{L\,C}\,u_g(t)\;</math>» ou <br>«<math>\;\ddot{u}_C(t) + \dfrac{R}{L}\,\dot{u}_C(t) + \dfrac{1}{L\,C}\,u_C(t) = \dfrac{1}{L\,C}\,U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_g \right)\;</math>».</center> === Réponse transitoire en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées === {{Al|5}}La réponse transitoire d'une équation différentielle linéaire hétérogène à excitation sinusoïdale de fréquence <math>\;f</math> est la somme de la solution « libre » de l'équation différentielle correspondante homogène et de la solution « forcée sinusoïdale de même fréquence <math>\;f\;</math>» <ref> En effet la solution particulière de l'équation hétérogène est choisie de même forme que l'excitation <math>\;\big(</math>à condition que cette forme particulière soit possible, ce qui est pratiquement toujours réalisé<math>\big)\;</math> c.-à-d. sinusoïdale de même fréquence <math>\;f</math>.</ref> de l'équation différentielle hétérogène<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Rappel_de_la_forme_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ns ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}faisant la réduction canonique de l'équation différentielle linéaire hétérogène en <math>\;u_C(t)\;</math> tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à la tension sinusoïdale <math>\;u_g(t) =</math> <math>U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_g \right)</math>, on obtient, avec * la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math>» et * le « facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math>»<ref name="lien entre Q et sigma"> On privilégie toujours le facteur de qualité <math>\;Q\;</math> relativement au cœfficient d'amortissement <math>\;\sigma\;</math> en régime sinusoïdal, on rappelle le lien entre les deux <math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}</math>.</ref> {{Al|5}}la forme canonique suivante «<math>\;\ddot{u_C}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\,\dot{u_C}(t) + \omega_0^2\,u_C(t) = \omega_0^2\,U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_g \right)\;</math>» ; {{Al|5}}la réponse transitoire s'écrit alors «<math>\;u_C(t) = u_{C,\,l}(t) + u_{C,\,f}(t)\;</math>» avec « la solution libre <math>\;u_{C,\,l}(t)\;</math> qui s'amortit en quelques <math>\;\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{Q}{\omega_0}\;</math>» et « la solution forcée sinusoïdale explicitée selon <math>\;u_{C,\,f}(t) =</math> <math>U_c\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_c \right)\;</math>» où <math>\;U_c\;</math> est la grandeur efficace et <math>\;\varphi_c\;</math> la phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur, ces deux grandeurs dépendant, a priori, de <math>\;R</math>, <math>\;L</math>, <math>\;C</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;U_g</math>, <math>\;\varphi_g</math> et restant à déterminer. === Amortissement très rapide de la solution libre, notion de régime sinusoïdal forcé (r.s.f.) === {{Al|5}}Dans l'exemple considéré ci-dessus la constante de temps <math>\;\tau\;</math> intervenant dans la réduction canonique est « toujours petite » <ref> La résistance la plus faible possible est celle de la bobine <math>\;R = r_B \simeq 10\, \Omega\;</math> et l'inductance propre la plus grande s'obtient avec introduction du noyau ferromagnétique <math>\;L \simeq 1\, H\;</math> d'où <math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,1\, s</math> <math>= 100\, ms\;</math> qui est donc la valeur la plus grande disponible pratiquement.</ref> même si l'inductance propre utilisée est relativement grande et la résistance relativement petite, ceci a donc pour conséquence l'amortissement de la solution libre au bout d'une « durée toujours petite, quelques <math>\;\tau\;</math>» <math>\;\big(</math>au plus en pratique <math>\;10\,\tau\;</math><ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Recherche_du_critère_de_l'établissement_pratique_d'une_des_réponses_forcées_du_«_R_L_C_série_»_soumis_à_un_échelon_de_tension|critère de l'établissement pratique d'une des réponses forcées du R L C série]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Avec <math>\;\tau \leqslant 0,1\, s\;</math> l'amortissement de la solution libre se fait en moins d'une seconde.</ref><math>\big)\;</math> et par suite, on peut estimer que <u>la réponse transitoire se confondant très rapidement avec la réponse sinusoïdale forcée, il est légitime de ne considérer que cette dernière en négligeant la phase transitoire</u> ; {{Al|5}}faire ceci c'est se placer d'emblée en « régime sinusoïdal forcé » ou « r.s.f. » et c'est que nous ferons systématiquement à l'exception de cas très particuliers. === Détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. » === {{Al|5}}Il faut donc déterminer la valeur efficace <math>\;U_c\;</math> ainsi que la phase à l'origine <math>\;\varphi_c\;</math> de la réponse <math>\;u_{C,\,f}(t)\;</math> et pour cela on pourrait reporter <math>\;u_{C,\,f}(t) =</math> <math>U_c\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\, t + \varphi_c \right)\;</math> dans l'équation différentielle puis faire l'identification pour tout <math>\;t\;\ldots\;</math> {{Al|5}}ce n'est pas ce que nous ferons car ce serait trop laborieux et pour dissuader d'avoir envie de faire ce traitement, nous allons l'amorcer ci-dessous, en commençant par le calcul des dérivées temporelles de la réponse et la décomposition en composantes paire <math>\;\cos\! \left( \omega\,t \right)\;</math> et impaire <math>\;\sin\! \left( \omega\,t \right)\;</math> de toutes les grandeurs sinusoïdales pour identification : * <math>\;u_{C,\,f}(t) = U_c\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\, t + \varphi_c \right) = U_c\,\sqrt{2}\,\left[ \cos\! \left( \omega\,t \right)\, \cos(\varphi_c) - \sin\! \left( \omega\,t \right)\, \sin(\varphi_c) \right]</math>, * <math>\;\dot{u}_{C,\,f}(t) = -U_c\,\sqrt{2}\;\omega\,\sin\! \left( \omega\, t + \varphi_c \right) = -U_c\,\sqrt{2}\;\omega\,\left[ \sin(\varphi_c)\, \cos\! \left( \omega\,t \right) + \cos(\varphi_c)\, \sin\! \left( \omega\,t \right) \right]</math>, * <math>\;\ddot{u}_{C,\,f}(t) = -U_c\,\sqrt{2}\;\omega^2\,\cos\! \left( \omega\, t + \varphi_c \right) = -U_c\,\sqrt{2}\;\omega^2\,\left[ \cos\! \left( \omega\,t \right)\, \cos(\varphi_c) - \sin\! \left( \omega\,t \right)\, \sin(\varphi_c) \right]\;</math> et * <math>\;u_g(t) = U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\, t + \varphi_g \right) = U_g\,\sqrt{2}\,\left[ \cos\! \left( \omega\,t \right)\, \cos(\varphi_g) - \sin\! \left( \omega\,t \right)\, \sin(\varphi_g) \right]</math> ; {{Al|5}}reportant dans l'équation différentielle en séparant composantes paire et impaire, on obtient : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour la composante paire <math>\;U_c \left[ -\omega^2\,\cos(\varphi_c) - \dfrac{\omega_0}{Q}\;\omega\,\sin(\varphi_c) + \omega_0^2\,\cos(\varphi_c) \right] = U_g\,\cos(\varphi_g)\;</math><ref name="simplification par racine de 2"> Après simplification par <math>\;\sqrt{2}</math>.</ref> et {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour la composante impaire <math>\;U_c \left[ \omega^2\,\sin(\varphi_c) - \dfrac{\omega_0}{Q}\;\omega\,\cos(\varphi_c) - \omega_0^2\,\sin(\varphi_c) \right] = -U_g\,\sin(\varphi_g)\;</math><ref name="simplification par racine de 2" /> ; {{Al|5}}on résout alors ce système aux deux inconnues <math>\;U_c\;</math> et <math>\;\varphi_c\;</math><ref> On peut par exemple expliciter <math>\;\cos(\varphi_c)\;</math> et <math>\;\sin(\varphi_c)\;</math> en fonction des données et de <math>\;U_c\;</math> puis éliminer <math>\;\varphi_c\;</math> par <math>\;\cos^2(\varphi_c) + \sin^2(\varphi_c) = 1\;</math> ce qui permettrait d'obtenir <math>\;U_c\;</math> en fonction des données, le report dans les expressions de <math>\;\cos(\varphi_c)\;</math> et <math>\;\sin(\varphi_c)\;</math> assurant la détermination de <math>\;\varphi_c</math>.</ref> <math>\;\ldots\;</math> en conservant une valeur positive pour <math>\;U_c\;</math> et la détermination principale<ref> C.-à-d. appartenant à l'intervalle <math>\;\left] -\pi\; ;\, +\pi \right]</math>.</ref> pour <math>\;\varphi_c</math> <math>\;\ldots\;</math> mais ce n'est pas la méthode à utiliser car beaucoup trop laborieux <math>\;\ldots</math> == Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f., lois de Kirchhoff en complexe == === Rappel de la méthode « des complexes » de recherche de la réponse sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à une excitation sinusoïdale === {{Al|5}}Pour cela <math>\;\big(</math>re<math>\big)</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exposé_de_la_méthode_«_des_complexes_»_pour_trouver_la_solution_forcée_sinusoïdale_(quand_elle_existe)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale_suivant_que_celle-ci_est_sous_la_forme_d'un_cosinus_ou_d'un_sinus|exposé de la méthode des complexes pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». === Application de la méthode « des complexes » à la détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. » === {{Al|5}}L'application de la méthode « des complexes » à la recherche de la solution sinusoïdale forcée <math>\;u_{C,\,f}(t)</math>, tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale <math>\;u_g(t)\;</math> de fréquence <math>\;f\;</math> <math>\big(</math>ou de pulsation <math>\;\omega = 2\,\pi\,f\big)\;</math> et valeur efficace <math>\;U_g\;</math> <math>\big(</math>ou d'amplitude <math>\;U_{g,\,\text{max}} = U_g\,\sqrt{2}\big)\;</math> fixées, c.-à-d. une tension fournie par le générateur de fonctions monté aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série égale à <math>\;u_g(t) = U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_g \right)</math>, nous conduit à <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'application de la méthode « des complexes » }}à déterminer la tension <math>\;u_{C,\,f}(t) =</math> <math>U_c\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_c \right)\;</math> en introduisant les grandeurs instantanées complexes associées aux tensions sinusoïdales précédentes après avoir, auparavant, établi l'équation différentielle en <math>\;u_C(t)\;</math> par application de la loi de maille<ref name="ou de noeud"> Mais dans un exemple de dipôles en parallèle ce serait par loi de nœud et dans des cas plus compliqués ce serait les deux avec élimination intermédiaire qui peut nécessiter une ou deux dérivations temporelles.</ref> ce qui donne, après normalisation, «<math>\;\ddot{u}_C(t) + \dfrac{R}{L}\,\dot{u}_C(t) + \dfrac{1}{L\,C}\,u_C(t) =</math> <math>\dfrac{1}{L\,C}\,u_g(t)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>», ou encore, après réduction canonique «<math>\;\ddot{u}_C(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\,\dot{u}_C(t) + \omega_0^2\,u_C(t) = \omega_0^2\,u_g(t)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)_{\text{réd. canon.}}\;</math>» avec la « pulsation propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math>» et le « facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R}</math> <math>= \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math>»<ref name="lien entre Q et sigma" /> ; {{Al|5}}on définit donc « la tension instantanée complexe intervenant dans l'excitation <math>\;\underline{u_g}(t) = \underline{U}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\, t \right)\;</math>»<ref name="unité imaginaire en électricité"> En électricité on note l'unité imaginaire par <math>\;j\;</math> et non <math>\;i</math>, cette dernière notation étant réservé à l'intensité, on a donc les propriétés de <math>\;j\;</math> suivantes à savoir <math>\;j = \exp\! \left( j\,\dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> et <math>\;j^2 = -1\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour le complexe noté <math>\;j\;</math> en mathématique <math>\;\big(</math>qui pourrait intervenir dans l'électricité triphasée<math>\big)\;</math> on le noterait, si besoin était, sous sa forme trigonométrique à savoir <math>\;\exp\! \left( j\; \dfrac{2\,\pi}{3} \right)</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\underline{U} = U\,\exp\! \left( j\,\varphi_g \right)\;</math><ref name="unité imaginaire en électricité" /> est la tension efficace complexe associée »<ref name="grandeur efficace complexe"> On introduit les grandeurs efficaces complexes <math>\;\underline{G}\;</math> à la place des amplitudes complexes <math>\;\underline{G_m}</math>, le lien existant entre elles étant <math>\;\underline{G} = \dfrac{\underline{G_m}}{\sqrt{2}}\;</math> soit un même argument égal à la phase à l'origine de la grandeur instantanée sinusoïdale <math>\;g(t)\;</math> et des modules représentant respectivement la grandeur efficace <math>\;G\;</math> et l'amplitude <math>\;G_m</math>.</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|on définit donc }}« la réponse forcée instantanée complexe <math>\;\underline{u_{C,\,f}}(t) = \underline{U_c}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\, t \right)\;</math>»<ref name="unité imaginaire en électricité" />{{,}}<ref> Qui est la solution instantanée complexe de l'équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;\;\dfrac{d^2 \underline{u_C}}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\,\dfrac{d \underline{u_C}}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\,C}\,\underline{u_C}(t) = \dfrac{1}{L\,C}\,\underline{u_g}(t)\;</math> dont <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> est la partie réelle ou, <br>{{Transparent|Qui est la solution instantanée compl }}sous forme canonique <math>\;\left( \mathfrak{1}' \right)_{\text{réd. canon.}}\;\;\dfrac{d^2 \underline{u_C}}{dt^2}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\,\dfrac{d \underline{u_C}}{dt}(t) + \omega_0^2\,\underline{u_C}(t) = \omega_0^2\,\underline{u_g}(t)\;</math> dont <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)_{\text{réd. canon.}}\;</math> est la partie réelle.</ref> dans laquelle «<math>\;\underline{U_c} = U_c\,\exp\! \left( j\,\varphi_c \right)\;</math><ref name="unité imaginaire en électricité" /> est la tension efficace complexe associée »<ref name="grandeur efficace complexe" /> puis {{Al|5}}on utilise la propriété de dérivation temporelle des grandeurs instantanées complexes équivalente à celle de multiplication par <math>\;j\,\omega\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on utilise la propriété }}pour transformer l'« équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)_{\text{réd. canon.}}\;</math>» en «<math>\;\mathcal{P}\! \left( j\,\omega \right)\;\underline{U_c} = \omega_0^2\;\underline{U_g}\;</math>»<ref> Obtenue en utilisant la propriété de dérivation temporelle dans le 1^er membre de l'équation différentielle, en factorisant ce dernier par <math>\;\underline{u_{C,\,f}}(t)\;</math> et en divisant les deux membres par <math>\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> pour obtenir une équation algébrique dans laquelle le temps n'intervient plus.</ref> où «<math>\;\mathcal{P}\! \left( j\,\omega \right) = \left( j\,\omega \right)^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}\,\left( j\,\omega \right) + \omega_0^2\;</math> est le polynôme caractéristique de cette équation différentielle <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)_{\text{réd. canon.}}\;</math>», polynôme caractéristique que l'on peut réécrire sous la forme algébrique suivante «<math>\;\mathcal{P}\! \left( j\,\omega \right) = \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + j\,\dfrac{\omega_0\,\omega}{Q}\;</math>»<ref> Ne s'annulant jamais si <math>\;Q\;</math> est fini <math>\;\big(</math>c.-à-d. si <math>\;R \neq 0\big)\;</math> mais pouvant s'annuler dans le cas d'un <math>\;L\, C\;</math> série <math>\;\big(</math>c.-à-d. si <math>\;R = 0\;</math> correspondant à <math>\;Q = \infty\big)\;</math> dans l'hypothèse où la fréquence imposée par le générateur de fonctions est égale à la fréquence propre du <math>\;L\, C\;</math> série <math>\;\big(</math>c.-à-d. si <math>\;\omega = \omega_0\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}dans le cas d'un circuit oscillant amorti <math>\;\big(</math>C.O.A.<math>\big)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans lequel <math>\;R \neq 0\big)\;</math> tel que la fréquence imposée soit quelconque ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas d'un circuit oscillant }}non amorti <math>\;\big(</math>C.O.N.A.<math>\big)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans lequel <math>\;R = 0\big)\;</math> tel que la fréquence imposée soit différente de la fréquence propre du C.O.N.A<ref name="C.O.N.A."> Circuit Oscillant Non Amorti.</ref>. <math>\;\big(</math>soit <math>\;\omega \neq \omega_0\big)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas d'un circuit oscillant }}le polynôme caractéristique ne s'annulant pas, on peut inverser l'équation algébrique pour en déduire la « tension efficace complexe associée à la réponse forcée complexe cherchée <math>\;\underline{U_c} = \dfrac{\omega_0^2}{\mathcal{P}\! \left( j\,\omega \right)}\;\underline{U_g} = \dfrac{\omega_0^2}{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + j\,\dfrac{\omega_0\,\omega}{Q}}\;\underline{U_g}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas d'un circuit oscillant }}on en déduit la « réponse forcée sinusoïdale <math>\;u_{C,\,f}(t) = U_c\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_c \right)\;</math>» avec * la « tension efficace associée <math>\;U_c = \big\vert\, \underline{U_c}\, \big\vert = \dfrac{\omega_0^2}{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right)^2 + \dfrac{\omega_0^2\,\omega^2}{Q^2}}\;U_g = \dfrac{Q^2\;\omega_0^2}{Q^2 \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right)^2 + \omega_0^2\,\omega^2}\;U_g\;</math>» et * la « phase à l'origine associée <math>\;\varphi_c = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{U_c} \right] = \varphi_g - \mathrm{arg}\! \left[ \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + j\,\dfrac{\omega_0\,\omega}{Q} \right] = \varphi_g - \mathrm{arg}\! \left\lbrace j\,\dfrac{\omega_0\,\omega}{Q} \left[ 1 - j\, Q \left( \dfrac{\omega_0}{\omega} - \dfrac{\omega}{\omega_0} \right) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref> On rappelle que l'argument d'un complexe peut se mettre sous la forme d'un <math>\;\arctan()\;</math> à condition que sa partie réelle soit positive <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (d'un complexe écrit sous sa forme algébrique) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le signe de la partie réelle de <math>\;\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + j\,\dfrac{\omega_0\,\omega}{Q}\;</math> étant conditionnel avec celui de la partie imaginaire positif, on effectue la mise en facteur par «<math>\;j\;</math> fois la partie imaginaire » pour que la partie réelle de l'autre facteur soit <math>\;1</math> <math>\;\ldots</math></ref> soit «<math>\;\varphi_c = \varphi_g - \dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left[ Q \left( \dfrac{\omega_0}{\omega} - \dfrac{\omega}{\omega_0} \right) \right]\;</math>». === Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f. === {{Al|5}}Bien que cette méthode « des complexes » pour la recherche de la solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale soit relativement simple, nous allons rendre son utilisation encore plus simple en introduisant une électricité « complexe » <ref> Au sens où les grandeurs introduites sont complexes <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}ne pas perdre de vue que <u>ces grandeurs complexes n'ont aucun sens physique direct</u> et que, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ne pas perdre de vue que }}en ce qui concernent les grandeurs instantanées complexes, ce sont leurs parties réelle ou imaginaire qui ont une signification physique alors que, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ne pas perdre de vue que }}en ce qui concernent les valeurs efficaces complexes ce sont leurs module et argument qui en ont une<math>\;\ldots</math></ref> associée au domaine du r.s.f<ref name="r.s.f."> Régime Sinusoïdal Forcé.</ref>. de l'électricité <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Cette électricité « complexe » dont les parties réelle et imaginaire sont deux faces d'un même problème, avec pour seul changement l'utilisation de fonction cosinus ou sinus, est rendue possible parce que * « la partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> d'une somme de complexes est égale à la somme des parties réelles <math>\;\big(</math>ou imaginaires<math>\big)\;</math> de chaque complexe », * « la dérivation temporelle se réduit à une multiplication par <math>\;j\;\omega\;</math>» et * « la prise de primitive à valeur moyenne nulle se réduit à une division par <math>\;j\;\omega\;</math>» <ref> Il faut préciser « à valeur moyenne nulle » pour éliminer la constante additive associée à toute prise de primitive <math>\;\ldots</math></ref>, {{Al|5}}ceci entraînant qu'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale se réduit à une relation de proportionnalité du type <math>\;\mathcal{P}\! \left( j\,\omega \right)\;\underline{y}(t) = \underline{e}(t)\;</math> où {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left( j\,\omega \right)\;</math>}} est le polynôme caractéristique de l'équation non normalisée déduite de la loi de maille<ref name="ou de noeud" /> » <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}L'électricité « complexe » transforme donc un problème d'analyse « recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale » en un problème d'algèbre élémentaire dans le domaine complexe « résolution d'une équation du type <math>\;a\;x = b\;</math>» <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Dans tous les paragraphes qui suivent nous formalisons cette électricité « complexe » <ref> Le qualificatif « complexe » donné dans ce cours à l'électricité associée au r.s.f. n'est pas codifié, la plupart des utilisateurs parle simplement de « r.s.f. » pour cette électricité « complexe » sans faire de distinction <math>\;\big(</math>mais uniquement dans le langage heureusement<math>\big)\;</math> entre les grandeurs sinusoïdales ayant un sens physique et les grandeurs instantanées complexes dont seule la partie réelle ou imaginaire a une signification physique.</ref> associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. === Grandeurs instantanées et efficaces (tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m.) en électricité « complexe » associée au r.s.f. === {{Al|5}}À toute grandeur instantanée <math>\;\big(</math>tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m.<math>\big)\;</math> définie dans un dipôle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} u(t) = U\,\sqrt{2}\,\cos(\omega\,t + \varphi_u)\\i(t) = I\,\sqrt{2}\,\cos(\omega\,t + \varphi_i)\\e(t) = E\,\sqrt{2}\,\cos(\omega\,t + \varphi_e)\\ \eta(t) = I_0\,\sqrt{2}\,\cos(\omega\,t + \varphi_\eta)\end{array}\right\rbrace\;</math>» en r.s.f<ref name="r.s.f." />., on associe la grandeur instantanée complexe dans ce dipôle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{u}(t) = \underline{U}\,\sqrt{2}\,\exp(j\,\omega\,t)\\ \underline{i}(t) = \underline{I}\,\sqrt{2}\,\exp(j\,\omega\,t))\\ \underline{e}(t) = \underline{E}\,\sqrt{2}\,\exp(j\,\omega\,t))\\ \underline{\eta}(t) = \underline{I_0}\,\sqrt{2}\,\exp(j\,\omega\,t))\end{array}\right\rbrace\;</math>» en électricité « complexe » associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />., ainsi que la grandeur efficace complexe correspondante «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{U} = U\,\exp(j\,\varphi_u)\\ \underline{I} = I\,\exp(j\,\varphi_i)\\ \underline{E} = E\,\exp(j\,\varphi_e)\\ \underline{I_0} = I_0\,\exp(j\,\varphi_\eta)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}de ces dernières on en déduit les grandeurs efficaces et les phases à l'origine correspondantes du r.s.f<ref name="r.s.f." />. respectivement * « la grandeur efficace en prenant le module, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = \big\vert\, \underline{U}\, \big\vert\\ I = \big\vert\, \underline{I}\, \big\vert\\ E = \big\vert\, \underline{E}\, \big\vert\\ I_0 = \big\vert\, \underline{I_0}\, \big\vert\end{array}\right\rbrace\;</math>» et * « la phase à l'origine en prenant l'argument, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \varphi_u = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{U} \right]\\ \varphi_i = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{I} \right]\\ \varphi_e = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{E} \right]\\ \varphi_\eta = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{I_0} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>». === Lois de Kirchhoff en électricité « complexe » associée au r.s.f. === <center>On rappelle que les lois de Kirchhoff<ref name="Kirchhoff"> '''[[w:Gustav_Kirchhoff|Gustav Robert Kirchhoff]] (1824 – 1887)''' est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande <math>\;\big(</math>prussienne<math>\big)\;</math> du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec '''[[w:Robert_Wilhelm_Bunsen|Robert Wilhelm Bunsen]] (1811 - 1899)''' chimiste allemand, de la [[w:Spectroscopie|spectroscopie]] qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.</ref> sont l'ensemble des lois de mailles et de nœuds d'un circuit.</center> {{Al|5}}On définit la <u>loi de maille</u> en électricité « complexe » associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. <math>\;\big(</math>après avoir défini un sens <math>\;+\;</math> de tension « physique » <ref name="sens + physique"> Sens <math>\;+\;</math> défini avant le passage aux grandeurs instantanées complexes d'où le qualificatif « physique », il ne peut pas s'agir d'un sens <math>\;+\;</math> de tension <math>\;\big(</math>ou d'intensité<math>\big)\;</math> instantanées complexes bien sûr, le corps des complexes <math>\;\mathbb{C}\;</math> n'étant pas ordonné [[File:Smiling smiley yellow simple.svg|15px|Smiling smiley yellow simple]] !</ref> sur la maille<math>\big)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}<math>\succ\;</math>« en tensions instantanées complexes <math>\;\sum\limits_k \underline{u_k}(t) = 0\;</math>» ou, <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en divisant les deux membres par <math>\;\sqrt{2}\,\exp\!\left( j\,\omega\,t \right)</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}<math>\succ\;</math>« en tensions efficaces complexes <math>\;\sum\limits_k \underline{U_k} = 0\;</math>»<ref> Mais attention la loi de maille n'est a priori pas valable en tensions efficaces <math>\;\big(</math>même en tenant compte du sens de tension relativement au sens <math>\;+\big)\;</math> car pour qu'elle le soit il faudrait que les tensions sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.</ref> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}la loi de maille en tensions instantanées complexes se justifie par le fait que sa partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> donne la loi de maille « physique » «<math>\;\sum\limits_k u_k(t) = 0\;</math>». {{Al|5}}On définit la <u>loi de nœud</u> en électricité « complexe » associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. <math>\;\big(</math>après avoir défini les sens <math>\;+\;</math> d'intensité de courant « physique » <ref name="sens + physique" /> sur les fils arrivant au nœud ou en partant<math>\big)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}<math>\succ\;</math>« en intensités instantanées complexes des courants <math>\;\sum\limits_{k\, \text{arrivant}}^{\text{au nœud}} \underline{i_k}(t) = \sum\limits_{l\, \text{partant}}^{\text{du nœud}} \underline{i_l}(t)\;</math>» ou, <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en divisant les deux membres par <math>\;\sqrt{2}\,\exp\!\left( j\,\omega\,t \right)</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}<math>\succ\;</math>« en intensités efficaces complexes des courants <math>\;\sum\limits_{k\, \text{arrivant}}^{\text{au nœud}} \underline{I_k} = \sum\limits_{l\, \text{partant}}^{\text{du nœud}} \underline{I_l}\;</math>»<ref> Mais attention la loi de nœud n'est a priori pas valable en intensités efficaces <math>\;\big(</math>même en tenant compte du sens des courants relativement au sens <math>\;+\;</math> choisi sur les fils<math>\big)\;</math> car pour qu'elle le soit il faudrait que les intensités sinusoïdales soient en phase ou en opposition de phase, ce qui n'est réalisable que dans un circuit où les seuls dipôles passifs linéaires sont des conducteurs ohmiques donc sans aucune bobine et sans aucun condensateur.</ref> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. }}la loi de nœud en intensités instantanées complexes des courants se justifie par le fait que sa partie réelle <math>\;\big(</math>ou imaginaire<math>\big)\;</math> donne la loi de nœud « physique » «<math>\;\sum\limits_{k\, \text{arrivant}}^{\text{au nœud}} i_k(t) = \sum\limits_{l\, \text{partant}}^{\text{du nœud}} i_l(t)\;</math>». == Lois d'Ohm de l'électricité « complexe » applicables aux D.P.L. au sens de l'A.R.Q.S. étudiés en r.s.f., notion d'impédances complexes et d'admittances complexes, cas d'un conducteur ohmique, d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite) == === Introduction : transformation du “ lien d'équation différentielle à cœfficients réels constants entre tension aux bornes d'un D.P.L. et intensité de courant le traversant du r.s.f. ” en “ loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. ”, notion d'« impédance complexe du D.P.L. utilisé en r.s.f. » === {{Al|5}}Considérons un D.P.L<ref name="D.P.L."> Dipôle Passif Linéaire.</ref>. fonctionnant en r.s.f<ref name="r.s.f." />. avec le choix de convention récepteur on a, par exemple, * une relation du type <math>\;u(t) = a\;\dfrac{di}{dt}(t) + b\;i(t)\;</math><ref name="possibilité de deuxième ordre ou plus"> Avec possibilité de dérivée temporelle du 2^ème ordre ou plus.</ref> ou * {{Transparent|une relation du type }} <math>\;i(t) = \alpha\;\dfrac{du}{dt}(t) + \beta\;u(t)\;</math><ref name="possibilité de deuxième ordre ou plus" /> ou * une association plus complexe <math>\;\Gamma\;\dfrac{du}{dt}(t) + \Theta\;u(t) = \Alpha\;\dfrac{di}{dt}(t) + \Beta\;i(t)\;</math><ref name="possibilité de deuxième ordre ou plus" /> ; {{Al|5}}quand on passe en électricité « complexe », on obtient sur chacun des exemples précédents * une relation du type <math>\;\underline{u}(t) = a\;\dfrac{d\underline{i}}{dt}(t) + b\;\underline{i}(t)\;</math><ref name="possibilité de deuxième ordre ou plus" /> soit, après explicitation des dérivées, «<math>\;\underline{u}(t) = \left( j\,\omega\,a + b \right) \underline{i}(t)\;</math>»<ref name="possibilité de deuxième degré ou plus"> Avec possibilité de polynôme de 2^ème degré en <math>\;j\,\omega\;</math> ou plus.</ref> ou * {{Transparent|une relation du type }} <math>\;\underline{i}(t) = \alpha\;\dfrac{d\underline{u}}{dt}(t) + \beta\;\underline{u}(t)\;</math><ref name="possibilité de deuxième ordre ou plus" /> soit, après explicitation des dérivées, «<math>\;\underline{i}(t) = \left( j\,\omega\,\alpha + \beta \right) \underline{u}(t)\;</math>»<ref name="possibilité de deuxième degré ou plus" /> ou * une association plus complexe <math>\;\Gamma\;\dfrac{d\underline{u}}{dt}(t) + \Theta\;\underline{u}(t) = \Alpha\;\dfrac{d\underline{i}}{dt}(t) + \Beta\;\underline{i}(t)\;</math><ref name="possibilité de deuxième ordre ou plus" /> soit, après explicitation des dérivées, «<math>\;\left( j\,\omega\,\Gamma + \Theta \right) \underline{i}(t) =</math> <math>\left( j\,\omega\,\Alpha + \Beta \right) \underline{u}(t)\;</math>»<ref name="possibilité de deuxième degré ou plus" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|quand on passe en électricité « complexe », }}soit, dans tous les cas, une relation de proportionnalité entre tension instantanée complexe et intensité instantanée complexe c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand on passe en électricité « complexe », soit, dans tous les cas, }}une <u>loi d'Ohm</u><ref name="Ohm"> '''[[w:Georg_Ohm|Georg Simon Ohm]] (1789 - 1854)''' physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.</ref> <u>de l'électricité « complexe » associée au r.s.f.</u><ref name="r.s.f." />, le cœfficient multipliant l'intensité instantanée complexe pour donner la tension instantanée complexe définissant l'<u>impédance complexe du D.P.L.</u><ref name="D.P.L." /> étudié en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. selon <center><math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{i}(t)} = \dfrac{\underline{U}}{\underline{I}}\;</math><ref name="simplification par l'exponentielle du temps"> La 2^ème définition résultant de la simplification haut et bas par <math>\;\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)</math>.</ref> soit, sur les trois exemples ci-dessus</center> * <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) = b + j\,a\,\omega\;</math> pour le 1^er exemple, * <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\beta + j\,\alpha\,\omega}\;</math> pour le 2^ème et * <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) = \dfrac{\Beta + j\,\Alpha\,\omega}{\Theta + j\,\Gamma\,\omega}\;</math> pour le 3^ème <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. sera donc de <u>déterminer l'impédance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />.</u><math>\;\underline{Z}(j\,\omega)\;</math><u>équivalent intervenant dans le problème</u> et une fois évaluée <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc }}d'en tirer les informations de sa 2^ème définition «<math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{U}}{\underline{I}} = \dfrac{U}{I}\,\exp\! \left[ j \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc }}en définissant l'<u>impédance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f.</u><ref name="r.s.f." /> par <math>\;Z(\omega) = \dfrac{U}{I}\;</math> exprimée en <math>\;\Omega</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc }}d'en tirer les informations de sa 3^ème définition «<math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = Z(\omega)\;\exp\! \left[ j \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \right]\;</math>» : <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc }}<math>\succ\;</math>en prenant le module de <math>\;\underline{Z}(j\,\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;Z(\omega) = \vert \underline{Z}(j\,\omega) \vert\;</math> c.-à-d. l'impédance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. » ou « le rapport de la tension efficace aux bornes du D.P.L<ref name="D.P.L." />. sur l'intensité efficace du courant le traversant » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc }}<math>\succ\;</math>en prenant l'argument de <math>\;\underline{Z}(j\,\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_u - \varphi_i = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]\;</math> c.-à-d. l'avance de phase de la tension aux bornes du D.P.L<ref name="D.P.L." />. sur l'intensité du courant le traversant ». === Notion d'« admittance complexe d'un D.P.L. utilisé en r.s.f. » === {{Al|5}}De même qu'en régime permanent après avoir défini la résistance d'un récepteur obéissant à la loi d'Ohm<ref name="Ohm" />, on a introduit son inverse la conductance ainsi que la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> correspondante, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De même qu'}}en régime sinusoïdal forcé <math>\;\big(</math>r.s.f.<math>\big)</math>, on introduit l'« <u>admittance complexe du D.P.L.</u><ref name="D.P.L." /> étudié en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. noté <math>\;\underline{Y}(j\,\omega)\;</math>» comme l'inverse de l'impédance complexe <math>\;\underline{Z}(j\,\omega)\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />. soit <center>«<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Z}(j\,\omega)}\;</math>» dont on déduit <br>«<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{i}(t)}{\underline{u}(t)} = \dfrac{\underline{I}}{\underline{U}}\;</math>»<ref name="simplification par l'exponentielle du temps" /> c.-à-d. <br>une « 2^ème forme de la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. » ou, <br>en définissant l'« <u>admittance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f.</u><ref name="r.s.f." /> par <math>\;Y(\omega) = \dfrac{1}{Z(\omega)} = \dfrac{I}{U}\;</math> exprimée en <math>\;S\;</math>», <br>«<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = Y(\omega)\,\exp\! \left[ -j \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \right]\;</math>»</center> * « le module de l'admittance complexe donnant l'admittance du dipôle » soit «<math>\;\big\vert\, \underline{Y}(j\, \omega)\, \big\vert = Y(\omega) = \dfrac{I}{U}\;</math>» et * « son argument {{Transparent|donnant }}l'opposé de l'avance de phase de la tension sur l'intensité » soit «<math>\;\mathrm{arg}\!\left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right] = -\left( \varphi_u - \varphi_i \right)\;</math>»<ref> C'est bien sûr aussi l'avance de phase de l'intensité sur la tension mais par la suite on privilégie l'avance de phase de la tension sur l'intensité <math>\;\ldots</math></ref>. === Représentation des D.P.L. en électricité « complexe » associée au r.s.f. === {{Al|5}}Comme ces derniers suivent, en électricité « complexe » associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />., la loi d'Ohm<ref name="Ohm" />, on les représente par un rectangle en indiquant leur impédance complexe à côté du rectangle <math>\;\big[</math>ne pas oublier de représenter les flèches tension et courant pour préciser la convention choisie <math>\;\big(</math>jusqu'ici c'est la convention récepteur qui a été choisie<ref> Le choix d'une convention générateur aurait induit un signe <math>\;-\;</math> dans l'expression de la loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f..</ref><math>\big)\big]</math>. === Conducteur ohmique de résistance R === {{Al|5}}« Loi d'ohm en r.s.f. »<ref name="r.s.f." /> «<math>\;u_R(t) = R\;i_R(t)\;</math>» <math>\Leftarrow</math> « loi d'ohm en électricité complexe associée au r.s.f. »<ref name="r.s.f." /> «<math>\;\underline{u_R}(t) = R\;\underline{i_R}(t)\;</math>» ou «<math>\;\underline{U_R} = R\;\underline{I_R}\;</math>»<ref name="simplification par l'exponentielle du temps" /> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|« Loi d'ohm en r.s.f. » «<math>\;\color{transparent}{u_R(t) = R\;i_R(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftarrow}</math> }}en introduisant l'impédance complexe <math>\;\underline{Z_R}\;</math> ou l'admittance complexe <math>\;\underline{Y_R}</math> : * l'« impédance complexe du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> vaut <math>\;\underline{Z_R} = R\;</math>»<ref> Car <math>\;\underline{Z_R} = \dfrac{\underline{u_R}(t)}{\underline{i_R}(t)} = \dfrac{\underline{U_R}}{\underline{I_R}}</math>.</ref> dont on tire {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« impédance du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math>» valant «<math>\;Z_R = \big\vert\, \underline{Z_R}\, \big\vert = R = \dfrac{U_R}{I_R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« avance de phase de <math>\;u_R(t)\;</math> sur <math>\;i_R(t)\;</math>» {{Transparent|valant }}«<math>\;\left( \varphi_{u_R} - \varphi_{i_R} \right) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_R} \right] = 0\;</math>», la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant ; * l'« admittance complexe du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> vaut <math>\;\underline{Y_R} = \dfrac{1}{R} = G\;</math>»<ref> Car <math>\;\underline{Y_R} = \dfrac{1}{\underline{Z_R}} = \dfrac{\underline{i_R}(t)}{\underline{u_R}(t)} = \dfrac{\underline{I_R}}{\underline{U_R}}</math>.</ref> dont on tire {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« admittance du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math>» valant «<math>\;Y_R = \big\vert\, \underline{Y_R}\, \big\vert = \dfrac{1}{R} = \dfrac{I_R}{U_R}\;</math>» c.-à-d. égale à sa conductance et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« avance de phase de <math>\;u_R(t)\;</math> sur <math>\;i_R(t)\;</math>» {{Transparent|valant }}«<math>\;\left( \varphi_{u_R} - \varphi_{i_R} \right) = -\mathrm{arg}\! \left[ \underline{Y_R} \right] = 0\;</math>», la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant. === Bobine parfaite d'inductance propre L === {{Al|5}}« Loi “ physique ” en r.s.f. »<ref name="r.s.f." /> «<math>\;u_L(t) = L\;\dfrac{di_L}{dt}(t)\;</math>» <math>\Leftarrow</math> « loi en électricité complexe associée au r.s.f. »<ref name="r.s.f." /> «<math>\;\underline{u_L}(t) = L\;\dfrac{d\underline{i_L}}{dt}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\underline{u_L}(t) = L \left( j\,\omega \right) \underline{i_L}(t)\;</math>» ou «<math>\;\underline{U_L} = L \left( j\,\omega \right) \underline{I_L}\;</math>»<ref name="simplification par l'exponentielle du temps" /> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|« Loi “ physique ” en r.s.f. » «<math>\;\color{transparent}{u_L(t) = L\;\dfrac{di_L}{dt}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftarrow}</math> }}en introduisant l'impédance complexe <math>\;\underline{Z_L}(j\,\omega)\;</math> ou l'admittance complexe <math>\;\underline{Y_L}(j\,\omega)</math> : * l'« impédance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math>» vaut «<math>\;\underline{Z_L}(j\,\omega) = j\;L\;\omega\;</math>»<ref> Car <math>\;\underline{Z_L} = \dfrac{\underline{u_L}(t)}{\underline{i_L}(t)} = \dfrac{\underline{U_L}}{\underline{I_L}}</math>.</ref> dont on tire {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« impédance de la bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math>» valant «<math>\;Z_L(\omega) = \big\vert\, \underline{Z_L}(j\,\omega)\, \big\vert = L\;\omega = \dfrac{U_L}{I_L}\;</math>» <math>\big[</math>exemple une bobine d'inductance propre <math>\;L =</math> <math>0,1\, H\;</math> fonctionnant sous une fréquence de <math>\;50\, Hz\;</math> a une impédance <math>\;Z_L = 0,1 \times (2\; \pi \times 50) \simeq 31,4\;\Omega</math>, si l'intensité efficace du courant la traversant est de <math>\;100\, mA\;</math> la tension efficace à ses bornes sera <math>\;\simeq 3,14\, V</math>, ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« avance de phase de <math>\;u_L(t)\;</math> sur <math>\;i_L(t)\;</math>» {{Transparent|valant }}«<math>\;\left( \varphi_{u_L} - \varphi_{i_L} \right) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_L}(j\,\omega) \right] = \dfrac{\pi}{2}\;</math>», la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance sur l'intensité du courant la traversant <math>\;\big(</math>à l'oscilloscope la tension aux bornes de la bobine parfaite<ref> C.-à-d. encore la tension aux bornes de la bobine réelle si la chute de tension due à la partie résistive de la bobine peut être négligée.</ref> serait un quart de période en avance sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant<math>\big)</math> ; * l'« admittance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math>» vaut «<math>\;\underline{Y_L}(j\,\omega) = \dfrac{1}{j\,L\,\omega} = -j\,\dfrac{1}{L\,\omega}\;</math>»<ref> Car <math>\;\underline{Y_L}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Z_L}(j\,\omega)} = \dfrac{\underline{i_L}(t)}{\underline{u_L}(t)} = \dfrac{\underline{I_L}}{\underline{U_L}}</math>.</ref> dont on tire {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« admittance de la bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math>» valant «<math>\;Y_L(\omega) = \big\vert\, \underline{Y_L}(j\,\omega)\, \big\vert = \dfrac{1}{L\,\omega} = \dfrac{I_L}{U_L}\;</math>» c.-à-d. l'inverse de l'impédance et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« avance de phase de <math>\;u_L(t)\;</math> sur <math>\;i_L(t)\;</math>» {{Transparent|valant }}«<math>\;\left( \varphi_{u_L} - \varphi_{i_L} \right) = -\mathrm{arg}\! \left[ \underline{Y_L}(j\,\omega) \right] = -\mathrm{arg}\! \left[ -j\,\dfrac{1}{L\,\omega} \right] = \dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref> On pouvait encore l'obtenir par <math>\;\left( \varphi_{u_L} - \varphi_{i_L} \right) = -\mathrm{arg}\! \left[ \underline{Y_L}(j\,\omega) \right] = -\mathrm{arg}\! \left[ \dfrac{1}{j\,L\,\omega} \right]\;</math> et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \dfrac{1}{j\,L\,\omega} \right] =</math> <math>\mathrm{arg}\! \left[ 1 \right] - \mathrm{arg}\! \left[ j\,L\,\omega \right] = 0 - \dfrac{\pi}{2}\;\ldots</math></ref>, la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance avec l'intensité du courant la traversant. {{Al|5}}Représentation d'une bobine parfaite d'auto-inductance <math>\;L\;</math> en électricité « complexe » associé au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f\;</math> <math>\big(</math>ou de pulsation <math>\;\omega\big)</math> : par un rectangle en mettant à côté du rectangle <math>\;j\, L\, \omega</math>. === Condensateur parfait de capacité C === {{Al|5}}« Loi “ physique ” en r.s.f. »<ref name="r.s.f." /> «<math>\;i_C(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)\;</math>» <math>\Leftarrow</math> « loi en électricité complexe associée au r.s.f. »<ref name="r.s.f." /> «<math>\;\underline{i_C}(t) = C\;\dfrac{d\underline{u_C}}{dt}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\underline{i_C}(t) = C \left( j\,\omega \right) \underline{u_C}(t)\;</math>» ou «<math>\;\underline{I_C} = C \left( j\,\omega \right) \underline{U_C}\;</math>»<ref name="simplification par l'exponentielle du temps" /> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|« Loi “ physique ” en r.s.f. » «<math>\;\color{transparent}{i_C(t) = C\;\dfrac{du_C}{dt}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftarrow}</math> }}en introduisant l'impédance complexe <math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega)\;</math> ou l'admittance complexe <math>\;\underline{Y_C}(j\,\omega)</math> : * l'« impédance complexe du condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math>» vaut «<math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega) = \dfrac{1}{j\;C\;\omega} = -j\,\dfrac{1}{C\,\omega}\;</math>»<ref> Car <math>\;\underline{Z_C} = \dfrac{\underline{u_C}(t)}{\underline{i_C}(t)} = \dfrac{\underline{U_C}}{\underline{I_C}}</math>.</ref> dont on tire {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« impédance du condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math>» valant «<math>\;Z_C(\omega) = \big\vert\, \underline{Z_C}(j\,\omega)\, \big\vert = \dfrac{1}{C\;\omega} = \dfrac{U_C}{I_C}\;</math>» <math>\bigg[</math>exemple un condensateur de capacité <math>\;C =</math> <math>10\, \mu F\;</math> fonctionnant sous une fréquence de <math>\;50\, Hz\;</math> a une impédance <math>\;Z_C = \dfrac{1}{10\,10^{-6} \times (2\; \pi \times 50)} \simeq 318\;\Omega</math>, si l'intensité efficace du courant la traversant est de <math>\;100\, mA\;</math> la tension efficace à ses bornes sera <math>\;\simeq 31,8\, V</math>, ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif<math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« avance de phase de <math>\;u_C(t)\;</math> sur <math>\;i_C(t)\;</math>» {{Transparent|valant }}«<math>\;\left( \varphi_{u_C} - \varphi_{i_C} \right) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_C}(j\,\omega) \right] = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref> On pouvait encore l'obtenir par <math>\;\left( \varphi_{u_C} - \varphi_{i_C} \right) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_C}(j\,\omega) \right] = \mathrm{arg}\! \left[ \dfrac{1}{j\,C\,\omega} \right]\;</math> et utiliser le fait que l'argument d'un quotient est la différence des arguments en écrivant que <math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \dfrac{1}{j\,C\,\omega} \right] =</math> <math>\mathrm{arg}\! \left[ 1 \right] - \mathrm{arg}\! \left[ j\,C\,\omega \right] = 0 - \dfrac{\pi}{2}\;\ldots</math></ref>, la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant <math>\;\big(</math>à l'oscilloscope la tension aux bornes du condensateur parfait serait un quart de période en retard sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant<math>\big)</math> ; * l'« admittance complexe du condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math>» vaut «<math>\;\underline{Y_C}(j\,\omega) = j\,C\,\omega\;</math>»<ref> Car <math>\;\underline{Y_C}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Z_C}(j\,\omega)} = \dfrac{\underline{i_C}(t)}{\underline{u_C}(t)} = \dfrac{\underline{I_C}}{\underline{U_C}}</math>.</ref> dont on tire {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« admittance du condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math>» valant «<math>\;Y_C(\omega) = \big\vert\, \underline{Y_C}(j\,\omega)\, \big\vert = C\,\omega = \dfrac{I_C}{U_C}\;</math>» c.-à-d. l'inverse de l'impédance et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'« avance de phase de <math>\;u_C(t)\;</math> sur <math>\;i_C(t)\;</math>» {{Transparent|valant }}«<math>\;\left( \varphi_{u_C} - \varphi_{i_C} \right) = -\mathrm{arg}\! \left[ \underline{Y_C}(j\,\omega) \right] = -\mathrm{arg}\! \left[ j\,C\,\omega \right] = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>», la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant. {{Al|5}}Représentation d'un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> en électricité « complexe » associé au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f\;</math> <math>\big(</math>ou de pulsation <math>\;\omega\big)</math> : par un rectangle en mettant à côté du rectangle <math>\;\dfrac{1}{j\, C\, \omega}</math>. == Comportement équivalent à B.F. et à H.F. d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite) == === Comportement équivalent à B.F. === {{Al|5}}Quand «<math>\;f \rightarrow 0\;</math>» <math>\;\big(\omega = 2\;\pi\;f \rightarrow 0\big)</math>, l'impédance complexe d'un condensateur parfait «<math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega) = \dfrac{1}{j\,C\,\omega} \rightarrow \infty\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Quand «<math>\;\color{transparent}{f \rightarrow 0}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(\omega = 2\;\pi\;f \rightarrow 0\big)}</math>, l'impédance compl }}celle d'une bobine parfaite «<math>\;\underline{Z_L}(j\,\omega) = j\,L\,\omega \rightarrow 0\;</math>» d'où : * <u>à B.F. un condensateur parfait est équivalent à un interrupteur ouvert</u> <math>\;\big(</math>en accord avec le fait que la limite du r.s.f<ref name="r.s.f." />. à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucun courant ne traversant l'isolant du condensateur<math>\big)\;</math> et * <u>à B.F. une bobine parfaite est équivalente à un court-circuit</u> <math>\;\bigg(</math>en accord avec le fait que la limite du r.s.f<ref name="r.s.f." />. à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucune tension aux bornes de la bobine car <math>\;\dfrac{dI}{dt} = 0\bigg)</math>. === Comportement équivalent à H.F. === {{Al|5}}Quand «<math>\;f \rightarrow \infty\;</math>», <math>\;\big(\omega = 2\;\pi\;f \rightarrow \infty\big)</math>, l'impédance complexe d'un condensateur parfait «<math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega) = \dfrac{1}{j\,C\,\omega} \rightarrow 0\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Quand «<math>\;\color{transparent}{f \rightarrow \infty}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(\omega = 2\;\pi\;f \rightarrow \infty\big)}</math>, l'impédance compl }}celle d'une bobine parfaite «<math>\;\underline{Z_L}(j\,\omega) = j\,L\,\omega \rightarrow \infty\;</math>» d'où : * <u>à H.F. un condensateur parfait est équivalent à un court-circuit</u> et * <u>à H.F. une bobine parfaite est équivalente à un interrupteur ouvert</u>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux|Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillat. mécan. amort. par frott. visqu.]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes|Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes]] }} akoewcero47qido2yesp942dibm87dh 0 79544 982995 962543 2026-05-23T19:51:53Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982995 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe/]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance/]] }} <div style="text-align: center;">On y traite aussi des associations de sources réelles de tension ou <math>\;\big(</math>et<math>\big)\;</math> de courant complexes associés au r.s.f<ref name="r.s.f."> Régime Sinusoïdal Forcé.</ref>.{{,}}<ref> Une source réelle de tension en électricité complexe associée au r.s.f. est une association série d'une source idéale de tension complexe et d'un D.P.L. suivant la loi d'Ohm en complexe et <br>{{Al|3}}une source réelle de courant en électricité complexe associée au r.s.f. est une association parallèle d'une source idéale de courant complexe et d'un D.P.L. suivant la loi d'Ohm en complexe.</ref>.</div> == Impédance complexe équivalente de l'association série de « deux impédances complexes », généralisation == === Association série de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}On se place en complexe associé au r.s.f<ref name="r.s.f." />. et on considère l'association série de deux D.P.L<ref name="D.P.L."> Dipôle(s) Passif(s) Linéaire(s).</ref>. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> « traversés par un même courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i}(t) = \underline{I}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>», la tension instantanée complexe aux bornes de chacun des dipôles <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> étant respectivement <math>\;\underline{u_1}(t) = \underline{U_1}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> et <math>\;\underline{u_2}(t) =</math> <math>\underline{U_2}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)</math> ; {{Al|5}}la tension instantanée complexe <math>\;\underline{u}(t)\;</math> aux bornes de l'association série étant la somme des tensions instantanées complexes individuelles <math>\;\underline{u_1}(t)\;</math> et <math>\;\underline{u_2}(t)\;</math> selon «<math>\;\underline{u}(t) = \underline{u_1}(t) + \underline{u_2}(t)\;</math>» et {{Al|5}}la loi d'Ohm<ref name="Ohm"> '''[[w:Georg_Ohm|Georg Simon Ohm]] (1789 - 1854)''' physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.</ref> en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «<math>\;\underline{u_1}(t) = \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{i}(t)\;</math>» et «<math>\;\underline{u_2}(t) = \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i}(t)\;</math>», nous en déduisons «<math>\;\underline{u}(t) = \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{i}(t) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i}(t)</math> <math>= \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \right] \underline{i}(t)\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}la proportionnalité de <math>\;\underline{u}(t)\;</math> et <math>\;\underline{i}(t)\;</math> prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe à l'association série de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association série <center>«<math>\;\underline{Z_{\text{assoc. série}}}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math>».</center> === Exemples : impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance r_B, impédance complexe d'un « R C série » === <center>Ces exemples ne sont évidemment pas exhaustifs.</center> ==== Impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance r_B ==== {{Al|5}}La modélisation d'une bobine réelle en association série d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;r_B\;</math> et d'une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\underline{Z_{\text{bobine réelle}}}(j\,\omega) = r_B + j\,L\,\omega\;</math>».</center> {{Al|5}}Sous <math>\;f = 50\; Hz\;</math> avec une résistance <math>\;r_B = 10\; \Omega\;</math> et une inductance propre <math>\;L = 0,1\; H\;</math> on obtient * une impédance complexe <math>\;\underline{Z_{\text{bobine réelle}}} \simeq 10 + j\;31,4\;</math> en <math>\;\Omega\;</math> dont on tire * une impédance <math>\;Z_{\text{bobine réelle}} = \sqrt{r_B^2 + L^2\;\omega^2} \simeq \sqrt{10^2 + 31,4^2}\;</math> en <math>\;\Omega\;</math> c.-à-d. <math>\;Z_{\text{bobine réelle}} \simeq 33\;\Omega\;</math><ref> Même à B.F. <math>\;\big(50\; Hz\big)\;</math> la résistance de la bobine joue un rôle secondaire dans l'impédance <math>\;33\; \Omega\;</math> au lieu de <math>\;31,4\; \Omega\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace<math>\big)</math>, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est élevée.</ref> et * une avance de phase de la tension sur l'intensité <math>\;\varphi_u - \varphi_i = \arctan\! \left( \dfrac{L\;\omega}{r_B} \right) \simeq \arctan\! \left( \dfrac{31,4}{10} \right) = \arctan\! \left( 3,14 \right) \simeq 72,3\,\text{°}\;</math><ref> À B.F. <math>\;\big(50\; Hz\big)\;</math> la résistance de la bobine joue un rôle légèrement plus important dans le déphasage <math>\;72,3\,\text{°}\;</math> au lieu de <math>\;90\,\text{°}\;</math> mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est élevée.</ref>. ==== Impédance complexe d'un « R C série » ==== {{Al|5}}Le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'un <math>\;R\, C\;</math> série étant une association série d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> et d'un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\underline{Z_{R\;C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;</math>»<ref> Ne pas faire de transformation a priori sur l'impédance complexe, les transformations à envisager dépendant de ce qu'on souhaite calculer, <br>{{Al|3}}en particulier mettre sous sa forme algébrique <math>\;\underline{Z_{R\;C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R - \dfrac{j}{C\,\omega}\;</math> ne présente un intérêt que si on s'intéresse aux parties réelle ou imaginaire, <br>{{Al|3}}de même réduire au même dénominateur selon <math>\;\underline{Z_{R\;C\;\text{série}}}(j\,\omega) = \dfrac{1 + j\,R\,C\,\omega}{j\,C\,\omega} = R\;\dfrac{1 + j\,R\,C\,\omega}{j\,R\,C\,\omega}\;</math> présente l'intérêt d'introduire une quantité imaginaire pure <math>\;j\,R\,C\,\omega\;</math> sans dimension en laissant <math>\;R\;</math> comme seule grandeur homogène à une impédance.</ref>.</center> {{Al|5}}Sous <math>\;f = 50\; Hz\;</math> avec une résistance <math>\;R = 100\; \Omega\;</math> et une capacité <math>\;C = 10\; \mu F\;</math> on obtient * une impédance complexe <math>\;\underline{Z_{R\;C\;\text{série}}} \simeq 100 + \dfrac{1}{j\;3,14\;10^{-3}} \simeq 100 - j\;318\;</math><ref> Dès que l'on fait une application numérique la forme algébrique devient la plus pratique.</ref> en <math>\;\Omega\;</math> dont on tire * une impédance <math>\;Z_{R\;C\;\text{série}} = \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{C^2\;\omega^2}} \simeq \sqrt{100^2 + 318^2}\;</math> en <math>\;\Omega\;</math> c.-à-d. <math>\;Z_{R\;C\;\text{série}} \simeq 334\;\Omega\;</math><ref> Rôle secondaire de la résistance dans l'impédance <math>\;334\; \Omega\;</math> au lieu de <math>\;318\; \Omega\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace<math>\big)</math>, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est faible.</ref> et * une avance de phase de la tension sur l'intensité <math>\;\varphi_u - \varphi_i = \arctan\! \left( \dfrac{-\dfrac{1}{C\;\omega}}{R} \right)\;</math><ref> Ici la forme algébrique devient importante d'où la transformation en <math>\;\underline{Z_{R\;C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R - \dfrac{j}{C\,\omega}</math>.</ref> soit <math>\;\varphi_u - \varphi_i = -\arctan\! \left( \dfrac{1}{R\;C\;\omega} \right)\;</math> littéralement et, à partir de l'expression numérique de l'impédance complexe, <math>\;\varphi_u - \varphi_i \simeq -\arctan\! \left( \dfrac{318}{100} \right) = -\arctan\! \left( 3,18 \right) \simeq -72,5\,\text{°}\;</math><ref> Rôle légèrement plus important de la résistance dans le déphasage <math>\;-72,5\,\text{°}\;</math> au lieu de <math>\;-90\,\text{°}\;</math> mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est faible.</ref>. === Généralisation : association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. et on retient la proposition suivante : {{Al|5}}« l'association série de <math>\;n\;</math> D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> d'impédances complexes respectives <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega),\; \ldots,\; \underline{Z_k}(j\,\omega),\; \ldots,\; \underline{Z_n}(j\,\omega)\;</math> est un D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe équivalente <center><math>\;\underline{Z_{\text{assoc. série}}}(j\,\omega) = \sum\limits_k^{1\, \ldots\, n} \underline{Z_k}(j\,\omega)\;</math>».</center> === Exemple : impédance complexe d'un « R L C série » === {{Al|5}}L'impédance complexe d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série vaut donc <math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + j\,L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;</math> dont la forme algébrique s'écrit selon <center>«<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on remarque que * « à B.F. le <math>\;R\, L\, C\;</math> série se comporte comme un condensateur parfait » car «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série},\,B.F.}}(j\,\omega) \sim \dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;</math>»<ref name="prédominance en complexe"> On dira qu'un terme complexe d'une somme est prédominant s'il son module prédomine devant tous les modules des autres termes.</ref> et * « à H.F. il se comporte comme une bobine parfaite » car «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série},\,H.F.}}(j\,\omega) \sim j\,L\,\omega\;</math>»<ref name="prédominance en complexe" /> ; {{Al|5}}enfin « pour la fréquence particulière <math>\;\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math>» <math>\big(</math>c.-à-d. la fréquence propre <math>\;\omega_0\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série<math>\big)\;</math> les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant <ref name="compensation à pulsation propre"> En effet <math>\;L\;\omega = \dfrac{1}{C\;\omega}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\omega^2 = \dfrac{1}{L\,C}\;</math> soit <math>\;\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \omega_0</math>.</ref>, « le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est purement résistif <math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega_0) = R\;</math>». == Impédance complexe équivalente de l'association parallèle de « deux impédances complexes » == === Association parallèle de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}On se place en complexe associé au r.s.f<ref name="r.s.f." />. et on considère l'association parallèle de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> « aux bornes desquels on a une même tension instantanée complexe <math>\;\underline{u}(t) = \underline{U}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>», l'intensité instantanée complexe du courant traversant chacun des dipôles <math>\;\big(</math>en convention récepteur<math>\big)\;</math> étant respectivement <math>\;\underline{i_1}(t) = \underline{I_1}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> et <math>\;\underline{i_2}(t) = \underline{I_2}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)</math> ; {{Al|5}}l'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i}(t)\;</math> du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées complexes individuelles <math>\;\underline{i_1}(t)\;</math> et <math>\;\underline{i_2}(t)\;</math> selon «<math>\;\underline{i}(t) = \underline{i_1}(t) + \underline{i_2}(t)\;</math>» et {{Al|5}}la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «<math>\;\underline{i_1}(t) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;</math>» et «<math>\;\underline{i_2}(t) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math>», nous en déduisons «<math>\;\underline{i}(t) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} =</math> <math>\left[ \dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} \right] \underline{u}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u}(t)\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}la proportionnalité de <math>\;\underline{i}(t)\;</math> et <math>\;\underline{u}(t)\;</math> prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe à l'association parallèle de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association parallèle <math>\;\underline{Z_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega)\;</math> telle que <math>\;\underline{i}(t) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{Z_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega)}\;</math> soit <center>«<math>\;\underline{Z_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math>».</center> === Exemples : impédance complexe d'un « R L parallèle », impédance complexe d'un « R C parallèle » === <center>Ces exemples ne sont évidemment pas exhaustifs.</center> ==== Impédance complexe d'un « R L parallèle » ==== {{Al|5}}Le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'un <math>\;R\, L\;</math> parallèle étant une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> et d'un bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\underline{Z_{R\;L\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{R \; j\,L\,\omega}{R + j\,L\,\omega}\;</math>».</center> {{Al|5}}Sous <math>\;f = 50\; Hz\;</math> avec une résistance <math>\;R = 10\; \Omega\;</math> et une inductance propre <math>\;L = 0,1\; H\;</math> on obtient * une impédance complexe <math>\;\underline{Z_{R\;L\;\parallel}} \simeq \dfrac{j\;314}{10 + j\;31,4}\;</math> en <math>\;\Omega\;</math> dont on tire * une impédance <math>\;Z_{R\;L\;\parallel} = \dfrac{R\;L\;\omega}{\sqrt{R^2 + L^2\;\omega^2}} \simeq \dfrac{314}{\sqrt{10^2 + 31,4^2}}\;</math> en <math>\;\Omega\;</math> c.-à-d. <math>\;Z_{R\;L\;\parallel} \simeq 9,5\;\Omega\;</math><ref> Rôle secondaire de l'inductance propre dans l'impédance <math>\;9,5\; \Omega\;</math> au lieu de <math>\;10\; \Omega\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace<math>\big)</math>, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est grande, en effet, si <math>\;\omega\;</math> devient grande, <math>\;Z_{R\;L\;\parallel} = \dfrac{R\;L\;\omega}{\sqrt{\cancel{R^2} + L^2\;\omega^2}} \sim R</math>.</ref> et * une avance de phase de la tension sur l'intensité <math>\;\varphi_u - \varphi_i = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{L\;\omega}{R} \right)\;</math><ref name="argument d'un quotient"> L'argument d'un quotient de complexes étant l'argument du numérateur auquel on retranche celui du dénominateur.</ref> littéralement et, numériquement, <math>\;\varphi_u - \varphi_i \simeq 90\,\text{°} - \arctan\! \left( \dfrac{31,4}{10} \right) = 90\,\text{°} - \arctan\! \left( 3,14 \right) \simeq</math> {{Nobr|<math>+17,7\,\text{°}\;</math><ref> Rôle légèrement plus important de l'inductance propre dans le déphasage <math>\;17,7\,\text{°}\;</math> au lieu de <math>\;0\,\text{°}\;</math> mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est grande, en effet, si <math>\;\omega\;</math> devient grande, <math>\;\varphi_u - \varphi_i = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{L\;\omega}{R} \right) \sim \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} \sim 0</math>.</ref>.}} ==== Impédance complexe d'un « R C parallèle » ==== {{Al|5}}Le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'un <math>\;R\, C\;</math> parallèle étant une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> et d'un condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\underline{Z_{R\;C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{R\;\dfrac{1}{j\,C\,\omega}}{R + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}} = \dfrac{R}{j\,R\,C\,\omega + 1} = \dfrac{R}{1 + j\,R\,C\,\omega}\;</math>»<ref> L'impédance complexe ayant « quatre étages », on fait la réduction minimale à savoir multiplier haut et bas par <math>\;j\, C\, \omega</math>, la 2^ème expression respectant l'usage courant consistant à noter la forme algébrique d'un complexe en commençant par sa partie réelle.</ref>.</center> {{Al|5}}Sous <math>\;f = 50\; Hz\;</math> avec une résistance <math>\;R = 100\; \Omega\;</math> et une capacité <math>\;C = 10\; \mu F\;</math> on obtient * une impédance complexe <math>\;\underline{Z_{R\;C\;\parallel}} \simeq \dfrac{100}{1 + j\;0,314}\;</math> en <math>\;\Omega\;</math> dont on tire * une impédance <math>\;Z_{R\;C\;\parallel} = \dfrac{R}{\sqrt{1 + R^2\;C^2\;\omega^2}} \simeq \dfrac{100}{\sqrt{1 + 0,314^2}}\;</math> en <math>\;\Omega\;</math> c.-à-d. <math>\;Z_{R\;C\;\parallel} \simeq 95,4\;\Omega\;</math><ref> Rôle secondaire de la capacité dans l'impédance <math>\;95,4\; \Omega\;</math> au lieu de <math>\;100\; \Omega\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace<math>\big)</math>, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est faible, en effet, en effet, si <math>\;\omega\;</math> devient faible, <math>\;Z_{R\;C\;\parallel} = \dfrac{R}{\sqrt{1 + \cancel{R^2\;C^2\;\omega^2}}}</math> <math>\sim R</math>.</ref> et * une avance de phase de la tension sur l'intensité <math>\;\varphi_u - \varphi_i = 0 - \arctan\! \left( R\;C\;\omega \right)\;</math><ref name="argument d'un quotient" /> soit <math>\;\varphi_u - \varphi_i = -\arctan\! \left( R\;C\;\omega \right)\;</math> littéralement et, numériquement, <math>\;\varphi_u - \varphi_i \simeq -\arctan\! \left( 0,314 \right) \simeq</math> {{Nobr|<math>-17,4\,\text{°}\;</math><ref> Rôle légèrement plus important de la capacité dans le déphasage <math>\;-17,4\,\text{°}\;</math> au lieu de <math>\;0\,\text{°}\;</math> mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est faible, en effet, si <math>\;\omega\;</math> devient faible, <math>\;\varphi_u - \varphi_i = -\arctan\! \left( R\;C\;\omega \right) \sim 0</math>.</ref>.}} == Admittance complexe équivalente de l'association parallèle de plus de deux « admittances complexes » == === Admittance complexe équivalente de l'association parallèle de deux « admittances complexes » === {{Al|5}}D'une part, ayant établi que l'association parallèle de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes respectives <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> est équivalente à un D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Association_parallèle_de_deux_D.P.L._en_r.s.f._de_fréquence_f_=_ω/(2π)|association parallèle de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et {{Al|5}}d'autre part l'admittance complexe d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. étant l'inverse de son impédance complexe, on en déduit que {{Al|5}}l'admittance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. équivalent à l'association parallèle de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. s'écrit <math>\;\underline{Y_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Z_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega)} = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} = \underline{Y_2}(j\,\omega) + \underline{Y_1}(j\,\omega)\;</math> soit finalement la propriété suivante : {{Al|5}}« l'association parallèle de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> d'admittances complexes respectives <math>\;\underline{Y_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Y_2}(j\,\omega)\;</math> est un D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'admittance complexe équivalente <center><math>\;\underline{Y_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega) = \underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega)\;</math>»<ref> Toutefois on utilise préférentiellement la propriété d'impédance complexe équivalente pour l'association parallèle de deux D.P.L. soit <math>\;\underline{Z_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}</math>.</ref>.</center> === Généralisation : association parallèle de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. et on retient la proposition suivante : {{Al|5}}« l'association parallèle de <math>\;n\;</math> D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> d'admittances complexes respectives <math>\;\underline{Y_1}(j\,\omega),\; \ldots,\; \underline{Y_k}(j\,\omega),\; \ldots,\; \underline{Y_n}(j\,\omega)\;</math> est un D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'admittance complexe équivalente <center><math>\;\underline{Y_{\text{assoc. }\parallel}}(j\,\omega) = \sum\limits_k^{1\, \ldots\, n} \underline{Y_k}(j\,\omega)\;</math>».</center> === Exemple : admittance complexe d'un « R L C parallèle » === {{Al|5}}L'admittance complexe d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle vaut donc «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{j\,L\,\omega} + j\,C\,\omega\;</math>»<ref> Usuellement on note <math>\;\dfrac{1}{R}\;</math> l'admittance complexe du conducteur ohmique au lieu d'introduire sa conductance <math>\;G</math>.</ref> dont la forme algébrique s'écrit selon <center>«<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{R} + j \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on remarque que * « à B.F. le <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle se comporte comme une bobine parfaite » car «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) \sim \dfrac{1}{j\,L\,\omega}\;</math>»<ref name="prédominance en complexe" /> et * « à H.F. il se comporte comme un condensateur parfait » car «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) \sim j\,C\,\omega\;</math>»<ref name="prédominance en complexe" /> ; {{Al|5}}enfin « pour la fréquence particulière <math>\;\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math>» <math>\big(</math>c.-à-d. la fréquence propre <math>\;\omega_0\;</math> du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle<math>\big)\;</math> les admittances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant <ref name="compensation à pulsation propre" />, « le <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle est purement résistif <math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega_0) = \dfrac{1}{R}\;</math>». == Notion de dualité « série - parallèle » appliquée en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) == {{Al|5}}La notion de dualité « série - parallèle » en électricité ayant été introduite dans le paragraphe intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_linéaires_du_premier_ordre_:_régime_libre,_réponse_à_un_échelon#Initiation_.C3.A0_la_dualit.C3.A9_.C2.AB_s.C3.A9rie_-_parall.C3.A8le_.C2.BB_en_.C3.A9lectricit.C3.A9|initiation à la dualité série - parallèle en électricité]] » du chap.<math>26</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », ses principales grandeurs et relations duales généralisables à l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> sont précisées ci-dessous<ref> Liste non exhaustive.</ref> : {| class="wikitable" | align="center" | association série | align="center" | association parallèle |- | align="center" | intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i}(t) = \underline{I}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> commune traversant les dipôles | align="center" | tension instantanée complexe <math>\;\underline{u}(t) = \underline{U}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> commune aux bornes des dipôles |- | align="center" | intensité efficace complexe <math>\;\underline{I} = I\,\exp\! \left( j\,\varphi_i \right)\;</math> commune <br>traversant les dipôles | align="center" | tension efficace complexe <math>\;\underline{U} = U\,\exp\! \left( j\,\varphi_u \right)\;</math> commune <br>aux bornes des dipôles |- | align="center" | impédance complexe d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{i}(t)} = \dfrac{\underline{U}}{\underline{I}} = \dfrac{1}{\underline{Y}(j\,\omega)}\;</math> | align="center" | admittance complexe d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{i}(t)}{\underline{u}(t)} = \dfrac{\underline{I}}{\underline{U}} = \dfrac{1}{\underline{Z}(j\,\omega)}\;</math> |- | align="center" | forme trigonométrique de l'impédance complexe d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = Z(\omega)\;\exp\! \left[ j \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \right]\;</math> <br>avec <math>\;Z(\omega) = \dfrac{U}{I}\;</math> impédance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. | align="center" | forme trigonométrique de l'admittance complexe d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = Y(\omega)\;\exp\! \left[ j \left( \varphi_i - \varphi_u \right) \right]\;</math><ref> Comme on privilégie l'avance de phase de la tension sur l'intensité on notera <math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = Y(\omega)\;\exp\! \left[ -j \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \right]</math>.</ref> <br>avec <math>\;Y(\omega) = \dfrac{I}{U}\;</math> admittance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. |- | align="center" | conducteur ohmique d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_R} = \dfrac{\underline{u_R}(t)}{\underline{i_R}(t)} = \dfrac{\underline{U_R}}{\underline{I_R}} = R</math> | align="center" | conducteur ohmique d'admittance complexe <math>\;\underline{Y_R} = \dfrac{\underline{i_R}(t)}{\underline{u_R}(t)} = \dfrac{\underline{I_R}}{\underline{U_R}} = \dfrac{1}{R}</math> |- | align="center" | condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_C} = \dfrac{\underline{u_C}(t)}{\underline{i_C}(t)} = \dfrac{\underline{U_C}}{\underline{I_C}} = \dfrac{1}{j\,C\,\omega}</math> | align="center" | bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> d'admittance complexe <math>\;\underline{Y_L} = \dfrac{\underline{i_L}(t)}{\underline{u_L}(t)} = \dfrac{\underline{I_L}}{\underline{U_L}} = \dfrac{1}{j\,L\,\omega}</math> |- | align="center" | bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_L} = \dfrac{\underline{u_L}(t)}{\underline{i_L}(t)} = \dfrac{\underline{U_L}}{\underline{I_L}} = j\,L\,\omega</math> | align="center" | condensateur parfait de capacité <math>\;C\;</math> d'admittance complexe <math>\;\underline{Y_C} = \dfrac{\underline{i_C}(t)}{\underline{u_C}(t)} = \dfrac{\underline{I_C}}{\underline{U_C}} = j\,C\,\omega</math> |- | align="center" | impédance complexe équivalente de l'association série de <math>\;n\;</math> D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Z_{\text{assoc. série}}}(j\,\omega) = \sum\limits_k^{1\,\ldots\,n} \underline{Z_k}(j\,\omega)</math> | align="center" | admittance complexe équivalente de l'association parallèle de <math>\;n\;</math> D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Y_{\text{assoc. }\,\parallel}}(j\,\omega) = \sum\limits_k^{1\,\ldots\,n} \underline{Y_k}(j\,\omega)</math> |- | align="center" | admittance complexe équivalente de l'association série de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Y_{\text{assoc. série}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Y_1}(j\,\omega)\;\underline{Y_2}(j\,\omega)}{\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega)}\;</math><ref> En effet <math>\;\underline{Y_{\text{assoc. série}}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Z_{\text{assoc. série}}}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\underline{Y_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Y_2}(j\,\omega)}} = \dfrac{1}{\dfrac{\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega)}{\underline{Y_1}(j\,\omega)\;\underline{Y_2}(j\,\omega)}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{Y_{\text{assoc. série}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Y_1}(j\,\omega)\;\underline{Y_2}(j\,\omega)}{\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega)}</math>.</ref> | align="center" | impédance complexe équivalente de l'association parallèle de deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. <math>\;\underline{Z_{\text{assoc. }\,\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math><ref> Contrairement à la relation duale ci-contre qui est très peu utilisée, cette relation l'est très fréquemment et préférentiellement.</ref> |- | align="center" | exemple impédance complexe d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + j\,L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega} = R + j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)\;</math> | align="center" | exemple admittance complexe d'un <math>\;R'\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;\underline{Y_{R'\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{R'} + j\,C\,\omega + \dfrac{1}{j\,L\,\omega} = \dfrac{1}{R'} + j \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)\;</math> |} == Impédance complexe d'un « R L C série », impédance, résistance et réactance == === Rappel : impédance complexe d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === <center>«<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + j\,L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Exemple_:_impédance_complexe_d'un_«_R_L_C_série_»|exemple : impédance complexe d'un R L C série]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>.</center> === Notion de résistance et de réactance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'impédance complexe connue === {{Al|5}}Quand l'impédance complexe <math>\;\underline{Z}(j\,\omega)\;</math> d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> est écrite sous sa forme algébrique, on appelle * « résistance <math>\;\mathcal{R}(\omega)\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />., la partie réelle de l'impédance complexe » soit «<math>\;\mathcal{R}(\omega) = \Re \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]\;</math>» et * « réactance <math>\;X(\omega)\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />., la partie imaginaire de l'impédance complexe » soit «<math>\;X(\omega) = \Im \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]\;</math>», {{Al|5}}toutes deux exprimées en <math>\;\Omega</math> ; {{Al|5}}ainsi la forme algébrique de l'impédance complexe s'écrit «<math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = \mathcal{R}(\omega) + j\;X(\omega)\;</math>». === Résistance et réactance d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)\;</math>» et on en tire : * « la résistance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\mathcal{R}(\cancel{\omega}) = R\;</math>» toujours <math>\;\geqslant 0\;</math><ref name="positivité de la résistance"> On démontrera que la propriété <math>\;\mathcal{R}(\omega) \geqslant 0\;</math> est valable quelle que soit le D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f..</ref> égale à la résistance du conducteur ohmique<ref> Attention ce n'est pas parce qu'il y a un conducteur ohmique dans une association que la résistance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la résistance du conducteur ohmique et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Attention }}la résistance d'une association n'est pas nécessairement indépendante de la pulsation du r.s.f..</ref> et * « la réactance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;X(\omega) = L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}\;</math>» pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle<ref> Quand <math>\;X(\omega)\;</math> est positive, la réactance est dite inductive, pour le <math>\;R\, L\, C\;</math> série cela correspond à <math>\;\omega > \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \omega_0</math>, <br>{{Al|3}}quand <math>\;X(\omega)\;</math> est négative, la réactance est dite capacitive, pour le <math>\;R\, L\, C\;</math> série cela correspond à <math>\;\omega < \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \omega_0</math>, <br>{{Al|3}}quand <math>\;X(\omega)\;</math> est nulle, il y a absence de réactance, pour le <math>\;R\, L\, C\;</math> série cela correspond à <math>\;\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \omega_0</math>.</ref>. === Impédance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la résistance et la réactance de ce dernier === {{Al|5}}L'impédance complexe sous sa forme trigonométrique étant «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = Z_{R\,L\,C\;\text{série}}(\omega)\;\exp\! \left[ j \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \right]\;</math>» et sous sa forme algébrique «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = \mathcal{R}(\omega) + j\; X(\omega)\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;\mathcal{R}(\omega)</math>}} <math>= R\;</math>» d'une part et «<math>\;X(\omega) = L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}\;</math>» d'autre part nous en déduisons : * « l'impédance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;Z_{R\,L\,C\;\text{série}}(\omega) = \bigg\vert \underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) \bigg\vert = \sqrt{\mathcal{R}^2(\omega) + X^2(\omega)} = \sqrt{R^2 + \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>» <math>\big[</math>l'impédance est minimale pour <math>\;\omega = \omega_0\;</math><ref name="compensation à pulsation propre" /> la pulsation propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.<ref> C.-à-d. quand <math>\;\omega \rightarrow 0\;</math> ou quand <math>\;\omega \rightarrow \infty</math>.</ref><math>\big]\;</math> et * « l'avance de phase de la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur l'intensité le traversant <math>\;\varphi_u - \varphi_i = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) \right] = \arctan\! \left[ \dfrac{X(\omega)}{\mathcal{R}(\omega)} \right] =</math> <math>\arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}}{R} \right)\;</math>»<ref> L'argument se met effectivement sous un <math>\;\arctan()\;</math> car la partie réelle de l'impédance complexe est toujours <math>\;\geqslant 0\;</math> <math>\big(</math>ceci restant vrai pour toute association de D.P.L. en r.s.f., sera démontré ultérieurement<math>\big)</math>.</ref> <math>\big[</math>la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série et l'intensité le traversant sont en phase pour <math>\;\omega = \omega_0\;</math><ref name="compensation à pulsation propre" /> la pulsation propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série et elle devient en quadrature retard à T.B.F.<ref> Quand <math>\;\omega \rightarrow 0\;</math> <math>\big(</math>T.B.F.<math>\big)\;</math> <math>\varphi_u - \varphi_i = \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}}{R} \right) \sim -\arctan\! \left( \dfrac{1}{R\,C\,\omega} \right) \rightarrow -\dfrac{\pi}{2}</math>.</ref>{{,}}<ref> Plus précisément quand <math>\;\omega < \omega_0\;</math> <math>\bigg(</math>correspondant à <math>\;\dfrac{1}{C\,\omega} > L\,\omega\bigg)\;</math> l'intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est en retard de phase sur la tension à ses bornes.</ref> et en quadrature avance à {{Nobr|T.H.F.<ref> Quand <math>\;\omega \rightarrow \infty\;</math> <math>\big(</math>T.H.F.<math>\big)\;</math> <math>\varphi_u - \varphi_i = \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}}{R} \right) \sim \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega}{R} \right) \rightarrow +\dfrac{\pi}{2}</math>.</ref>{{,}}<ref> Plus précisément quand <math>\;\omega > \omega_0\;</math> <math>\bigg(</math>correspondant à <math>\;\dfrac{1}{C\,\omega} < L\,\omega\bigg)\;</math> l'intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est en avance de phase sur la tension à ses bornes.</ref><math>\big]</math>.}} === Admittance complexe d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'admittance complexe d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série dans l'hypothèse où il serait en parallèle sur deux autres D.P.L<ref name="D.P.L." />., on trouverait <center>«<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{R + j\,L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}}\;</math>»<ref name="rien a priori"> Ne pas faire de transformation a priori, celle-ci dépendant de ce qu'on cherche à calculer.</ref> <br>soit encore «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = \dfrac{j\,C\,\omega}{j\,R\,C\,\omega - L\,C\,\omega^2 + 1}\;</math>»<ref> On fait apparaître un numérateur homogène à une admittance et un dénominateur sans dimension.</ref>.</center> === Notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue === {{Al|5}}Quand l'admittance complexe <math>\;\underline{Y}(j\,\omega)\;</math> d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> est écrite sous sa forme algébrique, on appelle * « conductance <math>\;\mathcal{G}(\omega)\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />., la partie réelle de l'admittance complexe » soit «<math>\;\mathcal{G}(\omega) = \Re \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]\;</math>» et * « susceptance <math>\;\mathcal{B}(\omega)\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />., la partie imaginaire de l'admittance complexe » soit «<math>\;\mathcal{B}(\omega) = \Im \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]\;</math>»<ref> Anciennement appelée « permittance », mais aujourd'hui seule « susceptance » peut être utilisée.</ref>, {{Al|5}}toutes deux exprimées en <math>\;S</math> ; {{Al|5}}ainsi la forme algébrique de l'admittance complexe s'écrit «<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = \mathcal{G}(\omega) + j\;\mathcal{B}(\omega)\;</math>». === Conductance et susceptance d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{R + j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)}\;</math>» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = \dfrac{R - j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)}{R^2 + \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>»<ref> À partir de <math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = \dfrac{j\,C\,\omega}{j\,R\,C\,\omega - L\,C\,\omega^2 + 1}\;</math> obtenue en multipliant haut et bas par <math>\;j\,C\,\omega\;</math> de façon à réduire les étages, si on multipliait haut et bas par le complexe conjugué du nouveau dénominateur de façon à déterminer sa forme algébrique on obtiendrait <math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{j\,C\,\omega \left[ 1 - L\,C\,\omega^2 - j\,R\,C\,\omega \right]}{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right)^2 + R^2\,C^2\,\omega^2} = \dfrac{1}{R}\;\dfrac{R^2\,C^2\,\omega^2 + j\,R\,C\,\omega \left[ 1 - L\,C\,\omega^2 \right]}{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right)^2 + R^2\,C^2\,\omega^2}\;</math> à éviter car expression compliquée.</ref> et on en tire : * « la conductance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\mathcal{G}(\omega) = \dfrac{R}{R^2 + \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>» toujours <math>\;\geqslant 0\;</math><ref name="positivité de la conductance"> On démontrera que la propriété <math>\;\mathcal{G}(\omega) \geqslant 0\;</math> est valable quelle que soit le D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f..</ref>{{,}}<ref> On note que, dans le cas d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série, la conductance d'un D.P.L. <math>\;\mathcal{G}(\omega) = \Re \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]\;</math> n'est pas égale à l'inverse de sa résistance <math>\;\mathcal{R}(\omega) =</math> <math>\Re \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]\;</math> soit, sauf dans cas très particuliers, <math>\;\mathcal{G}(\omega) \neq \dfrac{1}{\mathcal{R}(\omega)}\;</math> en effet <math>\;\mathcal{G}(\omega) = \Re \left[ \dfrac{1}{\underline{Z}(j\,\omega)} \right] = \Re \left\lbrace \dfrac{\left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]^{*}}{\vert \underline{Z}(j\,\omega) \vert^2} \right\rbrace\;</math> et, en introduisant la résistance et la réactance du D.P.L., <math>\;\dfrac{\left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]^{*}}{\vert \underline{Z}(j\,\omega) \vert^2} = \dfrac{\mathcal{R}(\omega) - j\;X(\omega)}{\mathcal{R}^2(\omega) + X^2(\omega)}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{G}(\omega) = \dfrac{\mathcal{R}(\omega)}{\mathcal{R}^2(\omega) + X^2(\omega)}\;</math> établissant que la conductance du D.P.L. n'est l'inverse de sa résistance qu'en absence de réactance, <math>\;\mathcal{G}(\omega) = \dfrac{\mathcal{R}(\omega)}{\mathcal{R}^2(\omega) + \cancel{X^2(\omega)}} = \dfrac{1}{\mathcal{R}(\omega)}\;</math> c.-à-d. pour une association purement résistive.</ref> différente de la conductance du conducteur ohmique<ref> Nous vérifions que la présence d'un conducteur ohmique dans une association n'implique pas que la conductance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la conductance du conducteur ohmique et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous vérifions }}que la conductance d'une association est en général dépendante de la pulsation du r.s.f..</ref> et * « la susceptance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\mathcal{B}(\omega) = -\dfrac{L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}}{R^2 + \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>»<ref> Pratiquement jamais utilisée.</ref> pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle<ref> On constate que la susceptance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\mathcal{B}(\omega)\;</math> s'annule simultanément à sa réactance <math>\;L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On constate }}que, dans le cas où la susceptance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\mathcal{B}(\omega) \neq 0</math>, elle est de signe contraire à sa réactance.</ref>. == Admittance complexe d'un « R L C parallèle », admittance, conductance et susceptance == <center>Tous les résultats de ce paragraphe pourront être retrouvés par dualité de l'impédance complexe d'un <math>\;R'\, L'\, C'\;</math> série.</center> === Rappel : admittance complexe d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === <center>«<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{R} + j\,C\,\omega + \dfrac{1}{j\,L\,\omega}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Exemple_:_admittance_complexe_d'un_«_R_L_C_parallèle_»|exemple : admittance complexe d'un R L C parallèle]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>.</center> === Rappel de la notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue === {{Al|5}}Quand l'admittance complexe <math>\;\underline{Y}(j\,\omega)\;</math> d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> est écrite sous sa forme algébrique, on appelle * « conductance <math>\;\mathcal{G}(\omega)\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />., la partie réelle de l'admittance complexe » soit «<math>\;\mathcal{G}(\omega) = \Re \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]\;</math>» et * « susceptance <math>\;\mathcal{B}(\omega)\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />., la partie imaginaire de l'admittance complexe » soit «<math>\;\mathcal{B}(\omega) = \Im \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]\;</math>», {{Al|5}}toutes deux exprimées en <math>\;S</math> ; {{Al|5}}ainsi la forme algébrique de l'admittance complexe s'écrit «<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = \mathcal{G}(\omega) + j\;\mathcal{B}(\omega)\;</math>». === Conductance et susceptance d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{R} + j \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)\;</math>» et on en tire : * « la conductance du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;\mathcal{G}(\cancel{\omega}) = \dfrac{1}{R}\;</math>» toujours <math>\;\geqslant 0\;</math><ref name="positivité de la conductance" /> égale à la conductance du conducteur ohmique<ref> Attention ce n'est pas parce qu'il y a un conducteur ohmique dans une association que la conductance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la conductance du conducteur ohmique <math>\;\big(</math>contre exemple la conductance d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Conductance_et_susceptance_d'un_«_R_L_C_série_»_en_r.s.f._de_fréquence_f_=_ω/(2π)|conductance et susceptance d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f_=_ω/(2π)]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Attention }}la conductance d'une association n'est pas nécessairement indépendante de la pulsation du r.s.f. <math>\;\big(</math>même contre exemple la conductance d'un <math>\;R\,L\,C\;</math> série voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Conductance_et_susceptance_d'un_«_R_L_C_série_»_en_r.s.f._de_fréquence_f_=_ω/(2π)|conductance et susceptance d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f_=_ω/(2π)]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> et * « la susceptance du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;\mathcal{B}(\omega) = C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega}\;</math>» pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle<ref> Quand <math>\;\mathcal{B}(\omega)\;</math> est positive, la susceptance est dite capacitive, pour le <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle cela correspond à <math>\;\omega > \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \omega_0</math>, <br>{{Al|3}}quand <math>\;\mathcal{B}(\omega)\;</math> est négative, la susceptance est dite inductive, pour le <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle cela correspond à <math>\;\omega < \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \omega_0</math>, <br>{{Al|3}}quand <math>\;\mathcal{B}(\omega)\;</math> est nulle, il y a absence de susceptance, pour le <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle cela correspond à <math>\;\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}} = \omega_0</math>.</ref>. === Admittance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la conductance et la susceptance de ce dernier === {{Al|5}}L'admittance complexe sous sa forme trigonométrique étant «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = Y_{R\,L\,C\;\parallel}(\omega)\;\exp\! \left[ -j \left( \varphi_u - \varphi_i \right) \right]\;</math>» et sous sa forme algébrique «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \mathcal{G}(\omega) + j\; \mathcal{B}(\omega)\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{G}(\omega) =</math> <math>\dfrac{1}{R}\;</math>» d'une part et «<math>\;\mathcal{B}(\omega) = C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega}\;</math>» d'autre part nous en déduisons : * « l'admittance du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;Y_{R\,L\,C\;\parallel}(\omega) = \bigg\vert \underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) \bigg\vert = \sqrt{\mathcal{G}^2(\omega) + \mathcal{B}^2(\omega)} = \sqrt{\dfrac{1}{R^2} + \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>» <math>\big[</math>l'admittance est minimale pour <math>\;\omega = \omega_0\;</math><ref name="compensation à pulsation propre" /> la pulsation propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.<ref> C.-à-d. quand <math>\;\omega \rightarrow 0\;</math> ou quand <math>\;\omega \rightarrow \infty</math>.</ref><math>\big]\;</math> et * « l'avance de phase de la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle sur l'intensité le traversant <math>\;\varphi_u - \varphi_i = -\mathrm{arg}\! \left[ \underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) \right] = -\arctan\! \left[ \dfrac{\mathcal{B}(\omega)}{\mathcal{G}(\omega)} \right] =</math> <math>-\arctan\! \left( \dfrac{C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega}}{\dfrac{1}{R}} \right)\;</math>»<ref> L'argument se met effectivement sous un <math>\;\arctan()\;</math> car la partie réelle de l'admittance complexe est toujours <math>\;\geqslant 0\;</math> <math>\big(</math>ceci restant vrai pour toute association de D.P.L. en r.s.f., sera démontré ultérieurement<math>\big)</math>.</ref> <math>\big[</math>la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle et l'intensité le traversant sont en phase pour <math>\;\omega = \omega_0\;</math><ref name="compensation à pulsation propre" /> la pulsation propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série et elle devient en quadrature avance à T.B.F.<ref> Quand <math>\;\omega \rightarrow 0\;</math> <math>\big(</math>T.B.F.<math>\big)\;</math> <math>\varphi_u - \varphi_i = -\arctan\! \left( \dfrac{C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega}}{\dfrac{1}{R}} \right) \sim \arctan\! \left( \dfrac{R}{L\,\omega} \right) \rightarrow +\dfrac{\pi}{2}</math>.</ref>{{,}}<ref> Plus précisément quand <math>\;\omega < \omega_0\;</math> <math>\bigg(</math>correspondant à <math>\;\dfrac{1}{L\,\omega} > C\,\omega\bigg)\;</math> l'intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle est en retard de phase sur la tension à ses bornes.</ref> et en quadrature retard à T.H.F.<ref> Quand <math>\;\omega \rightarrow \infty\;</math> <math>\big(</math>T.H.F.<math>\big)\;</math> <math>\varphi_u - \varphi_i = -\arctan\! \left( \dfrac{C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega}}{\dfrac{1}{R}} \right) \sim -\arctan\! \left( R\,C\,\omega \right) \rightarrow -\dfrac{\pi}{2}</math>.</ref>{{,}}<ref> Plus précisément quand <math>\;\omega > \omega_0\;</math> <math>\bigg(</math>correspondant à <math>\;\dfrac{1}{L\,\omega} < C\,\omega\bigg)\;</math> l'intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle est en avance de phase sur la tension à ses bornes.</ref><math>\big]</math>. === Impédance complexe d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'impédance complexe d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle dans l'hypothèse où il serait en série avec d'autres D.P.L<ref name="D.P.L." />., on trouverait <center>«<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + j\,C\,\omega + \dfrac{1}{j\,L\,\omega}}\;</math>»<ref name="rien a priori" /> <br>soit encore «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{j\,L\,\omega}{j\,\dfrac{L\,\omega}{R} - L\,C\,\omega^2 + 1}\;</math>»<ref> On fait apparaître un numérateur homogène à une impédance et un dénominateur sans dimension.</ref>.</center> === Résistance et réactance d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Y_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + j \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)}\;</math>» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{\dfrac{1}{R} - j \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)}{\dfrac{1}{R^2} + \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>»<ref> À partir de <math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) = \dfrac{j\,L\,\omega}{j\,\dfrac{L\,\omega}{R} - L\,C\,\omega^2 + 1}\;</math> obtenue en multipliant haut et bas par <math>\;j\,L\,\omega\;</math> de façon à réduire partiellement les étages, si on multipliait haut et bas par le complexe conjugué du nouveau dénominateur de façon à déterminer sa forme algébrique on obtiendrait <math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\parallel}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{j\,L\,\omega \left[ 1 - L\,C\,\omega^2 - j\,\dfrac{L\,\omega}{R} \right]}{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right)^2 + \dfrac{L^2\,\omega^2}{R^2}} = R\;\dfrac{\dfrac{L^2\,\omega^2}{R^2} + j\,\dfrac{L\,\omega}{R} \left[ 1 - L\,C\,\omega^2 \right]}{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right)^2 + \dfrac{L^2\,\omega^2}{R^2}}\;</math> à éviter car expression compliquée <math>\;\big(</math>même si on réduit les étages<math>\big)</math>.</ref> et on en tire : * « la résistance du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;\mathcal{R}(\omega) = \dfrac{\dfrac{1}{R}}{\dfrac{1}{R^2} + \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)^{\!2}} = \dfrac{R}{1 + \left( R\,C\,\omega - \dfrac{R}{L\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>» toujours <math>\;\geqslant 0\;</math><ref name="positivité de la résistance" />{{,}}<ref> On note que, dans le cas d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle, la résistance d'un D.P.L. <math>\;\mathcal{R}(\omega) = \Re \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]\;</math> n'est pas égale à l'inverse de sa conductance <math>\;\mathcal{G}(\omega) =</math> <math>\Re \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]\;</math> soit, sauf dans cas très particuliers, <math>\;\mathcal{R}(\omega) \neq \dfrac{1}{\mathcal{G}(\omega)}\;</math> en effet <math>\;\mathcal{R}(\omega) = \Re \left[ \dfrac{1}{\underline{Y}(j\,\omega)} \right] = \Re \left\lbrace \dfrac{\left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]^{*}}{\vert \underline{Y}(j\,\omega) \vert^2} \right\rbrace\;</math> et, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On note que, }}en introduisant la conductance et la susceptance du D.P.L., <math>\;\dfrac{\left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]^{*}}{\vert \underline{Y}(j\,\omega) \vert^2} = \dfrac{\mathcal{G}(\omega) - j\;\mathcal{B}(\omega)}{\mathcal{G}^2(\omega) + \mathcal{B}^2(\omega)}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{R}(\omega) =</math> <math>\dfrac{\mathcal{G}(\omega)}{\mathcal{G}^2(\omega) + \mathcal{B}^2(\omega)}\;</math> établissant que <br>{{Al|3}}{{Transparent|On note que, }}la résistance du D.P.L. n'est l'inverse de sa conductance qu'en absence de susceptance, <math>\;\mathcal{R}(\omega) = \dfrac{\mathcal{G}(\omega)}{\mathcal{G}^2(\omega) + \cancel{\mathcal{B}^2(\omega)}} = \dfrac{1}{\mathcal{G}(\omega)}\;</math> c.-à-d. pour une association purement résistive.</ref> différente de la résistance du conducteur ohmique<ref> Nous vérifions que la présence d'un conducteur ohmique dans une association n'implique pas que la résistance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la résistance du conducteur ohmique et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous vérifions }}que la résistance d'une association est en général dépendante de la pulsation du r.s.f..</ref> et * « la réactance du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;X(\omega) = -\dfrac{C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega}}{\dfrac{1}{R^2} + \left( C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega} \right)^{\!2}} = -\dfrac{R \left( R\,C\,\omega - \dfrac{R}{L\,\omega} \right)}{1 + \left( R\,C\,\omega - \dfrac{R}{L\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>» pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle<ref> On constate que la réactance du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;X(\omega)\;</math> s'annule simultanément à sa susceptance <math>\;C\,\omega - \dfrac{1}{L\,\omega}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On constate }}que, dans le cas où la réactance du <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle <math>\;X(\omega) \neq 0</math>, elle est de signe contraire à sa susceptance.</ref>. == Lois d'Ohm généralisées en électricité complexe associée au r.s.f. pour des D.A.L. (en convention générateur), impédance complexe interne, modèles générateur de tension et de courant == === Modèle générateur de tension du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f. === {{Al|5}}Un G.B.F.<ref name="G.B.F."> Générateur <math>\;\big(</math>de fonctions<math>\big)\;</math> Basse Fréquence.</ref> a une f.e.m. <math>\;e(t)\;</math> T-périodique et un D.P.L<ref name="D.P.L." />. interne, linéaire au sens de l'A.R.Q.S. ; {{Al|5}}quand la f.e.m. est sinusoïdale de pulsation <math>\;\omega = \dfrac{2\;\pi}{T}\;</math> on peut associer au G.B.F<ref name="G.B.F." />. un <u>modèle générateur de tension en complexe</u> « association d'une <u>source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe</u> <math>\;\underline{e}(t) = \underline{E}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> où <math>\;\underline{E} = E\;\exp\! \left( j\,\varphi_e \right)\;</math> est la f.e.m. efficace complexe, <u>en série avec un D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe interne</u> <math>\;\underline{z}\;</math> dont le module est l'impédance interne <math>\;\big(</math>de valeur usuelle <math>\;50\; \Omega\big)\;</math>» ; {{Al|5}}en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée <center>«<math>\;\underline{u}(t) = \underline{e}(t) - \underline{z}\;\underline{i}(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\underline{u}(t) = \underline{U}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> est la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. »<ref name="G.B.F." /> avec «<math>\;\underline{U} = U\;\exp\! \left( j\,\varphi_u \right)\;</math> la tension efficace complexe » et <br>«<math>\;\underline{i}(t) = \underline{I}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. »<ref name="G.B.F." /> avec «<math>\;\underline{I} = I\;\exp\! \left( j\,\varphi_i \right)\;</math> l'intensité efficace complexe » ;</center> {{Al|5}}si on divise par <math>\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)</math>, on obtient la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée en valeurs efficaces complexes <center>«<math>\;\underline{U} = \underline{E} - \underline{z}\;\underline{I}\;</math>».</center> === Modèle générateur de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f. === {{Al|5}}On peut aussi modéliser un G.B.F<ref name="G.B.F." />. en générateur de courant <math>\;\big(</math>même si c'est nettement moins utilisé qu'en régime permanent<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en régime sinusoïdal forcé de pulsation <math>\;\omega = \dfrac{2\;\pi}{T}\;</math> on peut associer au G.B.F<ref name="G.B.F." />. un <u>modèle générateur de courant en complexe</u> « association d'une <u>source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe</u> <math>\;\underline{\eta}(t) = \underline{I_0}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> où <math>\;\underline{I_0} = I_0\;\exp\! \left( j\,\varphi_\eta \right)\;</math> est le c.e.m. efficace complexe, <u>en parallèle avec un D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe interne</u> <math>\;\underline{z}\;</math> dont le module est l'impédance interne <math>\;\big(</math>de valeur usuelle <math>\;50\; \Omega\big)\;</math>» ; {{Al|5}}en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée <center>«<math>\;\underline{i}(t) = \underline{\eta}(t) - \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{z}}\;</math>» où <br>«<math>\;\underline{i}(t) = \underline{I}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> est l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. »<ref name="G.B.F." /> avec «<math>\;\underline{I} = I\;\exp\! \left( j\,\varphi_i \right)\;</math> l'intensité efficace complexe » et <br>«<math>\;\underline{u}(t) = \underline{U}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math> la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. »<ref name="G.B.F." /> avec «<math>\;\underline{U} = U\;\exp\! \left( j\,\varphi_u \right)\;</math> la tension efficace complexe » ;</center> {{Al|5}}si on divise par <math>\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)</math>, on obtient la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée en valeurs efficaces complexes <center>«<math>\;\underline{I} = \underline{I_0} - \dfrac{\underline{U}}{\underline{z}}\;</math>».</center> === Lien entre les modèles générateurs de tension et de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f. === {{Al|5}}« Le D.P.L<ref name="D.P.L." />. interne est le même dans les deux modèles, d'impédance complexe interne <math>\;\underline{z}\;</math>» ; {{Al|5}}« le c.e.m. instantané complexe <math>\;\underline{\eta}(t)\;</math> est lié à la f.e.m. instantanée complexe <math>\;\underline{e}(t)\;</math> et l'impédance complexe interne <math>\;\underline{z}\;</math>» selon <center>«<math>\;\underline{\eta}(t) = \dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{z}} \Leftrightarrow \underline{e}(t) = \underline{z}\;\underline{\eta}(t)\;</math>»<ref name="convention générateur"> On rappelle que nous avons choisi la convention générateur.</ref> ;</center> {{Al|5}}si on divise par <math>\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)</math>, on obtient le lien entre c.e.m. et f.e.m. efficaces complexes ainsi que l'impédance complexe interne <center>«<math>\;\underline{I_0} = \dfrac{\underline{E}}{\underline{z}} \Leftrightarrow \underline{E} = \underline{z}\;\underline{I_0}\;</math>»<ref name="convention générateur" />.</center> == Pont diviseur de tension (P.D.T.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension complexe alimenté en entrée == === Présentation du P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f. === [[File:Pont diviseur de tension complexe - définition.png|thumb|380px|Schéma de situation d'un pont diviseur de tension en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> alimenté en entrée par une tension <math>\;\underline{u_e}(t)</math>, donnant en sortie une tension <math>\;\underline{u_s}(t)</math>]] {{Al|5}}Un pont diviseur de tension <math>\;\big(</math>P.D.T.<math>\big)\;</math> en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> est un <u>quadripôle linéaire passif</u>, alimenté en entrée par une tension instantanée complexe <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> entre les bornes <math>\;E\;</math> et <math>\;M\;</math> de laquelle deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> sont montés en série quand la sortie définie parallèlement au D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> entre les bornes <math>\;S\;</math> et <math>\;M\;</math> est ouverte <math>\;\big(</math>le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte »<math>\big)\;</math> mais si cette sortie entre les bornes <math>\;S\;</math> et <math>\;M\;</math> est fermée sur une « charge »<ref name="cas général"> Ce qui est le cas le plus général même si ce n'est pas le plus utilisé.</ref>{{,}}<ref name="non représentée"> Non représentée sur le schéma.</ref>, le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> est en série avec l'association parallèle « D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et charge de sortie », la tension instantanée complexe aux bornes de cette association étant <math>\;\underline{u_s}(t)</math>. {{Al|5}}Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente : * « tension instantanée complexe d'entrée <math>\;\underline{u_e}(t) = \underline{U_e}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» de « tension efficace complexe d'entrée <math>\;\underline{U_e} =</math> {{Nobr|<math>U_e\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_e} \right)\;</math>»}} et * « intensité instantanée complexe du courant d'entrée <math>\;\underline{i_e}(t) = \underline{I_e}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» d'« intensité efficace complexe d'entrée <math>\;\underline{I_e} =</math> <math>I_e\;\exp\! \left( j\,\varphi_{i_e} \right)\;</math>» ; {{Al|5}}les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T<ref name="P.D.T." />. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T<ref name="P.D.T." />. est branché : * « tension instantanée complexe de sortie <math>\;\underline{u_s}(t) = \underline{U_s}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» de « tension efficace complexe de sortie <math>\;\underline{U_s} = U_s\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_s} \right)\;</math>» et * « intensité instantanée complexe du courant de sortie <math>\;\underline{i_s}(t) = \underline{I_s}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» d'« intensité efficace complexe de sortie <math>\;\underline{I_s} = I_s\;\exp\! \left( j\,\varphi_{i_s} \right)\;</math>»<ref> Celles-ci étant nulles quand le P.D.T. en complexe est en sortie ouverte.</ref>. === Générateur de Thévenin en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.T. alimenté en entrée par u_e(t) et vu des bornes de sortie » === ==== Énoncé du résultat ==== {{Théorème|titre = Générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D. « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par <u>u_e</u>(t) et vu des bornes de sortie »|contenu = {{Al|5}}Vu des bornes de sortie le réseau dipolaire « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math>» est équivalent, <br>{{Al|5}}dans la mesure où <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math><ref name="impédances complexes opposées"> Pour que <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0</math>, il faut que les deux impédances complexes soient purement imaginaires <math>\;\big(</math>pas de composante résistive dans l'une ou l'autre des D.P.L. complexes<math>\big)\;\big[</math>ce cas en pratique n'est donc jamais réalisé, il ne correspond qu'à une modélisation utilisable quand les résistances restent très faibles mais elles sont néanmoins, en pratique, non nulles<math>\big]\;</math> et que leurs réactances soient opposées <math>\;\bigg(</math>c.-à-d. que l'un des D.P.L. complexes soit équivalent à une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> et l'autre à un condensateur parfait de capacité <math>\;C</math>, la pulsation imposée étant la pulsation propre du <math>\;L\, C\;</math> série ou parallèle soit <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\bigg)</math> ; <br>{{Al|3}}On peut donc affirmer que dans tous les cas pratiques <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0</math>.</ref>, à un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin"> '''[[w:Léon_Charles_Thévenin|Léon Charles Thévenin]] (1857 - 1926)''' ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Thévenin|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1883</math>.</ref> dont <div style="text-align: center;">la f.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> est «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref name="sans hésiter"> À connaître sans hésitation.</ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes"> Encore applicable en grandeurs efficaces complexes car il suffit de diviser chaque membre par <math>\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)</math>.</ref> et <br>l'impédance complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math>».</div>}} ==== Démonstration ==== {{Al|5}}Le but recherché est la détermination de l'expression de <math>\;\underline{u_s}(t)\;</math> en fonction de <math>\;\underline{u_e}(t)</math>, <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> et les composants passifs du P.D.T<ref name="P.D.T." />. et pour cela on utilise : * la loi de maille<ref name="sens + de maille"> Dans le sens <math>\;+\;</math> non représenté sur le schéma choisi dans le sens de la tension de sortie.</ref> soit «<math>\;\underline{u_s}(t) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\; \underline{i_e}(t) - \underline{u_e}(t) = 0\;\; \left( \mathfrak{m} \right)\;</math>» dans laquelle on élimine <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> par * la loi de nœud «<math>\;\underline{i_e}(t) = \underline{i_1}(t) + \underline{i_s}(t)\;\; \left( \mathfrak{n} \right)\;</math>»<ref> Loi de nœud à la borne supérieure de sortie.</ref> ou, en explicitant l'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_1}(t)\;</math> du courant traversant <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> en fonction de <math>\;\underline{u_s}(t)\;</math> par loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe «<math>\;\underline{i_1}(t)</math> <math>= \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;</math>», la nouvelle expression de loi de nœud «<math>\;\underline{i_e}(t) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \underline{i_s}(t)\;\; \left( \mathfrak{n} \right)\;</math>» soit {{Al|5}}en reportant dans l'équation de maille <math>\;\left( \mathfrak{m} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\underline{u_s}(t) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \left[ \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \underline{i_s}(t) \right] - \underline{u_e}(t) = 0\;</math>» ou, en regroupant les termes en tension instantanée complexe de sortie, <math>\;\underline{u_s}(t) \left[ 1 + \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} \right]</math> <math>= \underline{u_e}(t) - \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t)\;</math> ou encore «<math>\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;\underline{u_s}(t) =</math> <math>\underline{u_e}(t) - \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t)\;</math>» soit finalement, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>dans la mesure où «<math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> est non nulle »<ref name="impédances complexes opposées />, «<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t) - \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)\;</math>» dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. en convention générateur à savoir * de f.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = \underline{u_{s,\,0}}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref> Valeur de tension instantanée complexe de sortie à vide c.-à-d. quand <math>\;\underline{i_s}(t) = 0</math>.</ref> et * d'impédance complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math>»<ref> Quand le R.D. est rendu passif en annulant la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin on obtient <math>\;\underline{u_{s,\,\underline{e_{\text{Th}}}(t) = 0}}(t) = - \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)\;</math> en convention générateur d'où <math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) =</math> <math>-\dfrac{\underline{u_{s,\,\underline{e_{\text{Th}}}(t) = 0}}(t)}{\underline{i_s}(t)} = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}</math>.</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math>»<ref name="impédances complexes opposées />, l'équation de maille transformée se réécrivant «<math>\;\underline{u_e}(t) - \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t) = 0\;\forall\;\underline{u_s}(t)\;</math>» permet d'en déduire <math>\;\underline{i_s}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{u_e}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\;\forall\;\underline{u_s}(t)\;</math> ou «<math>\;\underline{i_s}(t) =</math> <math>-\dfrac{\underline{u_e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;\;\forall\;\underline{u_s}(t)\;</math>» établissant une équivalence avec une source de courant parfaite en complexe. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L."> Réseau Dipolaire Linéaire.</ref>. « P.D.T<ref name="P.D.T." />. complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe existe c.-à-d. si <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math><ref name="impédances complexes opposées />, en effet : * d'une part la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin<ref name="Thévenin" /> étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte, c'est la fraction <math>\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> de la tension instantanée complexe d'entrée, * d'autre part l'impédance complexe de Thévenin<ref name="Thévenin" /> étant l'impédance complexe du R.D.L<ref name="R.D.L." />. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif<ref> C.-à-d. quand on a annulé la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin ce qui s'obtient en annulant la tension instantanée complexe d'entrée <math>\;\big(</math>en effet la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin est <math>\;\propto\;</math> à la tension instantanée complexe d'entrée<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un court-circuit, le R.D.P<ref name="R.D.P."> Réseau Dipolaire Passif.</ref>. « P.D.T<ref name="P.D.T." />. complexe court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association parallèle des D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math><ref> En effet, entre les bornes de sortie, <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> est montée en parallèle sur l'autre branche « court-circuit en série avec <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math>».</ref> soit <math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega) \parallel \underline{Z_2}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}</math>. ==== Le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t) ==== {{Théorème|titre = Tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par <u>u_e</u>(t) [dans le cas où <u>Z₁</u>(jω) + <u>Z₂</u>(jω) ≠ 0] |contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{u_{s,\,0}}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref> L'indice <math>\;_0\;</math> sur la tension de sortie traduisant qu'il s'agit d'une tension à vide.</ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />.</div>}} {{Al|5}}Il suffit de faire <math>\;\underline{i_s}(t) = 0\;</math> dans le résultat du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_1}(j\,\omega) \neq 0</math>, toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie ouverte. {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : La sortie étant ouverte «<math>\;\underline{i_s}(t) = 0\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}les D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> supposée finie, {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe appliquée au D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> conduit à «<math>\;\underline{u_{s,\,0}}(t) = \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{i_e}(t)\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}celle appliquée à l'association série des D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> à «<math>\;\underline{u_e}(t) = \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \right] \underline{i_e}(t)\;</math>» mais <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> étant de valeur finie, <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> ne sera de valeur finie que si <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0</math>, nous voyons donc la « nécessité pour que <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> reste de valeur finie que <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> soit non nulle », {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}d'où en éliminant <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> par «<math>\;\underline{i_e}(t) = \dfrac{\underline{u_e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> de valeur finie si <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math>», l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte «<math>\;\underline{u_{s,\,0}}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref> Le fait que <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> acquiert une valeur infinie quand <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math> entraîne une valeur infinie pour <math>\;\underline{u_{s,\,0}}(t)\;</math> compatible avec le fait qu'il n'existe pas de générateur de Thévenin équivalent en complexe dans cette hypothèse, le R.D. étant équivalent à une source de courant parfaite en complexe.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : C'est de cette expression <math>\;\underline{u_{s,\,0}}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math><ref name="attention aux sens des tensions"> Il faut bien sûr vérifier que les tensions d'entrée et de sortie sont dans le même sens.</ref> que l'on tire le nom « <u>pont diviseur de tension en complexe</u> » <math>\;\big(</math>et en sortie ouverte<math>\big)\;</math> car <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> est la tension instantanée complexe aux bornes de <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> montées en série et <math>\;\underline{u_{s,\,0}}(t)\;</math> la tension instantanée complexe aux bornes de <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math><ref> Le plus souvent notée <math>\;\underline{u_1}(t)</math>.</ref>, tension ne représentant que la fraction <math>\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> de <math>\;\underline{u_e}(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}si on s'intéressait à la tension instantanée complexe <math>\;\underline{u_2}(t)\;</math> aux bornes de <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> au lieu de <math>\;\underline{u_1}(t)\;</math> celle aux bornes de <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)</math>, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> d'où, en permutant les indices <math>\;_1\;</math> et <math>\;_2\;</math>, le résultat suivant <math>\;\underline{u_2}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math><ref name="attention aux sens des tensions" />{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />. == Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en électricité complexe associée au r.s.f. == <div style="text-align: center;">Dans tout ce paragraphe le « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)\;</math> et fermé sur une charge » est équivalent à un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe <br>c.-à-d. que nous supposons <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math><ref> On rappelle que si <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0</math>, le « P.D.T. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)\;</math> et fermé sur une charge » est équivalent à une source de courant parfaite en complexe entraînant que l'intensité instantanée complexe du courant traversant cette charge est indépendante de cette dernière.</ref>.</div> === Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue === {{Al|5}}On souhaite déterminer la tension instantanée complexe de sortie <math>\;\underline{u_s}(t)\;</math> d'un « P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et fermé sur une charge d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>» en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée <math>\;\underline{u_e}(t)</math>, des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math> ; il y a deux façons de procéder : * Remarquer que «<math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> est en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math>», « remplacer cette association parallèle par son impédance complexe équivalente » et « reconnaître un R.D.L<ref name="R.D.L." />. en sortie ouverte “ P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) \parallel \underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>” » <math>\;\ldots</math> * « Remplacer le R.D.L<ref name="R.D.L." />. “ P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie ” par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent en complexe » et « reconnaître dans le nouveau circuit un R.D.L<ref name="R.D.L." />. en sortie ouverte “ P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t)</math>, d'impédance complexe d'attaque <math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega)\;</math><ref> C.-à-d l'impédance complexe aux bornes de laquelle n'est pas définie la sortie.</ref> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>” » <math>\;\ldots</math> === 1^ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.T. en parallèle sur l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente === [[File:Pont diviseur de tension en complexe fermé sur une charge.png|thumb|300px|Schéma d'un P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et fermé sur une impédance complexe <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math>, traitement en considérant <math>\;\underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega)</math> <math>= \underline{Z_1}(j\,\omega) \parallel \underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> en sortie ouverte d'un P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)</math>]] {{Al|5}}Voir schéma de situation ci-contre : {{Al|5}}On utilise que l'impédance complexe de la charge <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> est montée en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)</math>, et « on remplace l'association parallèle par son D.P.L<ref name="D.P.L." />. équivalent d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_u}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}on considère le « nouveau P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;\underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega)\;</math>»<ref name="à tracer"> Schéma équivalent qu'il conviendrait de tracer.</ref> d'où l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte de ce nouveau P.D.T<ref name="P.D.T." />. {{Al|5}}«<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t) = \dfrac{\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_u}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)}}{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_u}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)}}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref name="P.D.T. en sortie ouverte"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Le_résultat_le_plus_utilisé_:_P.D.T._en_sortie_ouverte_alimenté_en_entrée_par_ue(t)|le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, <br>{{Al|5}}en multipliant haut et bas par <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_u}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega) \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega) \right] + \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_u}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref name="limite sortie ouverte"> On vérifie que si <math>\;\big\vert\, \underline{Z_u}(j\,\omega)\, \big\vert\;\rightarrow\;\infty</math>, <math>\;\underline{u_s}(t)\;\rightarrow\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_1}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math> correspondant à la tension instantanée complexe de sortie du P.D.T. d'origine en sortie ouverte <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Le_résultat_le_plus_utilisé_:_P.D.T._en_sortie_ouverte_alimenté_en_entrée_par_ue(t)|le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t)]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />.</div> === 2^ème résolution : utiliser le générateur de Thévenin du P.D.T. alimenté en entrée par u_e(t) === [[File:Pont diviseur de tension en complexe fermé sur une charge - bis.png|thumb|300px|P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et fermé sur une impédance complexe <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math>, traitement en considérant le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe équivalent <math>\;\left[ \underline{e_{\text{Th}}}(t)\,,\right.</math> <math>\left.\, \underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) \right]\;</math> fermé sur <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> puis le nouveau P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t)\;</math> et en sortie ouverte]] {{Al|5}}On remplace le R.D.L<ref name="R.D.L." />. « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent en complexe<ref name="générateur de Thévenin d'un P.D.T."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Énoncé_du_résultat|énoncé du résultat]] (explicitant le générateur de Thévenin en complexe équivalent à un P.D.T.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> * de f.e.m. de Thévenin<ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math>» et * d'impédance complexe de Thévenin<ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math>», {{Al|5}}on obtient alors le schéma ci-contre dans lequel <br>{{Al|5}}on reconnaît un « P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t)\;</math> et en sortie ouverte aux bornes de <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>» d'où l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte de ce nouveau P.D.T<ref name="P.D.T." />. {{Al|5}}«<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_u}(j\,\omega)}{\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)}\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = \dfrac{\underline{Z_u}(j\,\omega)}{\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} + \underline{Z_u}(j\,\omega)}\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref name="P.D.T. en sortie ouverte" /> ou, par simplification évidente, <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_u}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega) \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \right]}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref> Correspondant au même résultat que celui obtenu au paragraphe précédent car <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega) \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \right] = \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)\; \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)\; \underline{Z_2}(j\,\omega) =</math> <math>\underline{Z_2}(j\,\omega) \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega) \right] + \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math>.</ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />{{,}}<ref name="limite sortie ouverte" />.</div> == Pont diviseur de courant (P.D.C.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant complexe alimenté en entrée == === Présentation du P.D.C. en électricité complexe associée au r.s.f. === [[File:Pont diviseur de courant complexe - définition.png|thumb|400px|Schéma de situation d'un pont diviseur de courant en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> alimenté en entrée par un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et donnant en sortie un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math>]] {{Al|5}}Un pont diviseur de courant <math>\;\big(</math>P.D.C.<math>\big)\;</math> en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> est un <u>quadripôle linéaire passif</u>, alimenté en entrée par un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> entrant par la borne <math>\;E\;</math> et traversant deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> est court-circuitée <math>\;\big(</math>le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée »<math>\big)\;</math> mais si cette sortie est fermée sur une « charge »<ref name="cas général" />{{,}}<ref name="non représentée" />, le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> est en parallèle avec l'association série « D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et charge de sortie », l'intensité instantanée complexe du courant sortant par la borne <math>\;S\;</math> étant <math>\;\underline{i_s}(t)</math>. {{Al|5}}Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C<ref name="P.D.C."> Pont Diviseur de Courant.</ref>. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente : * « intensité instantanée complexe du courant d'entrée <math>\;\underline{i_e}(t) = \underline{I_e}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» d'« intensité efficace complexe d'entrée <math>\;\underline{I_e} =</math> <math>I_e\;\exp\! \left( j\,\varphi_{i_e} \right)\;</math>» et * « tension instantanée complexe d'entrée <math>\;\underline{u_e}(t) = \underline{U_e}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» de « tension efficace complexe d'entrée <math>\;\underline{U_e} =</math> {{Nobr|<math>U_e\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_e} \right)\;</math>» ;}} {{Al|5}}les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C<ref name="P.D.C." />. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C<ref name="P.D.C." />. est branché : * « intensité instantanée complexe du courant de sortie <math>\;\underline{i_s}(t) = \underline{I_s}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» d'« intensité efficace complexe de sortie <math>\;\underline{I_s} = I_s\;\exp\! \left( j\,\varphi_{i_s} \right)\;</math>» et * « tension instantanée complexe de sortie <math>\;\underline{u_s}(t) = \underline{U_s}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» de « tension efficace complexe de sortie <math>\;\underline{U_s} = U_s\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_s} \right)\;</math>»<ref> Celles-ci étant nulles quand le P.D.C. en complexe est en sortie court-circuitée.</ref>. === Générateur de Norton en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.C. alimenté en entrée par i_e(t) et vu des bornes de sortie » === ==== Énoncé du résultat ==== {{Théorème|titre = Générateur de Norton en complexe équivalent au R.D. « P.D.C. en complexe alimenté en entrée par <u>i_e</u>(t) et vu des bornes de sortie »|contenu = {{Al|5}}Vu des bornes de sortie le réseau dipolaire « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math>» est équivalent, <br>{{Al|5}}dans la mesure où <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math><ref name="impédances complexes opposées" />, à un générateur de Norton<ref name="Norton"> '''[[w:Edward_Lawry_Norton|Edward Lawry Norton]] (1898 - 1983)''' ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « [[w:Théorème_de_Norton|théorème portant son nom]] » énoncé en <math>\;1926</math>.</ref> dont <div style="text-align: center;">le c.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> est «<math>\;\underline{\eta_{N}}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>»<ref name="sans hésiter" />{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" /> et <br>l'impédance complexe <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> «<math>\;\underline{z_{N}}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math>».</div>}} ==== Démonstration ==== {{Al|5}}Le but recherché est la détermination de l'expression de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> en fonction de <math>\;\underline{i_e}(t)</math>, <math>\;\underline{u_s}(t)\;</math> et les composants passifs du P.D.C<ref name="P.D.C." />. et pour cela on utilise : * la loi de nœud «<math>\;\underline{i_e}(t) = \underline{i_2}(t) + \underline{i_s}(t)\;\; \left( \mathfrak{n} \right)\;</math>»<ref> Loi de nœud à la borne supérieure d'entrée.</ref> dans laquelle on élimine <math>\;\underline{i_2}(t)\;</math> par * la loi de maille<ref name="sens + de maille" /> soit «<math>\;\underline{u_s}(t) + \underline{Z_1}(j\,\omega)\; \underline{i_s}(t) - \underline{u_e}(t) = 0\;\; \left( \mathfrak{m} \right)\;</math>» ou, en explicitant la tension instantanée complexe d'entrée <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> en fonction de <math>\;\underline{i_2}(t)\;</math> par loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe «<math>\;\underline{u_e}(t) =</math> <math>\underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i_2}(t)\;</math>», la nouvelle expression de loi de maille «<math>\;\underline{u_s}(t) + \underline{Z_1}(j\,\omega)\; \underline{i_s}(t) - \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i_2}(t) =</math> <math>0\;\; \left( \mathfrak{m} \right)\;</math>» dont on tire «<math>\;\underline{i_2}(t) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\; \underline{i_s}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en reportant dans l'équation de nœud <math>\;\left( \mathfrak{n} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\underline{i_e}(t) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\; \underline{i_s}(t) + \underline{i_s}(t)\;</math>» ou, en regroupant les termes en intensité instantanée complexe de sortie, <math>\;\underline{i_s}(t) \left[ 1 + \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} \right] =</math> <math>\underline{i_e}(t) - \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> ou encore «<math>\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t) =</math> <math>\underline{i_e}(t) - \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>dans la mesure où «<math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> est non nulle »<ref name="impédances complexes opposées />, «<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t) - \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math>» dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton<ref name="Norton" /> en complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. en convention générateur à savoir * de c.e.m. instantané complexe <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> «<math>\;\underline{\eta_{N}}(t) = \underline{i_{s,\,c.c.}}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>»<ref> Valeur de l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée c.-à-d. quand <math>\;\underline{u_s}(t) = 0</math>.</ref> et * d'impédance complexe <math>\;\big(</math>de Norton<math>\big)\;</math><ref name="Norton" /> «<math>\;\underline{z_{N}}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math>»<ref> Quand le R.D. est rendu passif en annulant le c.e.m. instantané complexe de Norton on obtient <math>\;\underline{i_{s,\,\underline{\eta_{N}}(t) = 0}}(t) = - \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> en convention générateur d'où <math>\;\underline{z_{N}}(j\,\omega) = -\dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{i_{s,\,\underline{\eta_{N}}(t) = 0}}(t)}</math> <math>= \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)</math>.</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math>»<ref name="impédances complexes opposées />, l'équation de nœud transformée se réécrivant «<math>\;\underline{i_e}(t) - \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} = 0\;\forall\;\underline{i_s}(t)\;</math>» permet d'en déduire <math>\;\underline{u_s}(t) =</math> <math>\underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{i_e}(t)\;\;\forall\;\underline{i_s}(t)\;</math> ou «<math>\;\underline{u_s}(t) =</math> <math>-\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{i_e}(t)\;\;\forall\;\underline{i_s}(t)\;</math>» établissant une équivalence avec une source de tension parfaite en complexe. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton<ref name="Norton" /> en complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. « P.D.C<ref name="P.D.C." />. complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Norton<ref name="Norton" /> en complexe existe c.-à-d. dans l'hypothèse <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math><ref name="impédances complexes opposées />, en effet : * d'une part le c.e.m. instantané complexe de Norton<ref name="Norton" /> étant l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée, c'est la fraction <math>\;\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math><ref> Le courant de sortie étant celui qui traverse <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> la fraction doit être de module d'autant plus grand que l'impédance de l'autre branche <math>\;\big\vert\, \underline{Z_2}(j\,\omega)\, \big\vert\;</math> l'est d'où le numérateur de la fraction est l'impédance complexe <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> de l'autre branche.</ref> de l'intensité instantanée complexe d'entrée, * d'autre part l'impédance complexe de Norton<ref name="Norton" /> étant l'impédance complexe du R.D.L<ref name="R.D.L." />. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif<ref> C.-à-d. quand on a annulé le c.e.m. instantané complexe de Norton ce qui s'obtient en annulant l'intensité instantanée complexe d'entrée <math>\;\big(</math>en effet le c.e.m. instantané complexe de Norton est <math>\;\propto\;</math> à l'intensité instantanée complexe d'entrée<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P<ref name="R.D.P." />. « P.D.C<ref name="P.D.C." />. complexe ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association série des D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math><ref> En effet, entre les bornes de sortie, <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> est montée en série sur l'autre branche « interrupteur ouvert en parallèle avec <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math>».</ref> dont on tire <math>\;\underline{z_{N}}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega)\, _{\text{série}}\, \underline{Z_2}(j\,\omega) =</math> <math>\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)</math>. ==== Le résultat le plus utilisé : P.D.C. en sortie court-circuitée alimenté en entrée par i_e(t) ==== {{Théorème|titre = Intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée d'un P.D.C. en complexe alimenté en entrée par <u>i_e</u>(t) [dans le cas où <u>Z₁</u>(jω) + <u>Z₂</u>(jω) ≠ 0] |contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t) = \dfrac{\underline{Y_1}(j\,\omega)}{\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>»<ref> L'indice «<math>\;_{c.c.}\;</math>» sur l'intensité de courant de sortie traduisant qu'il s'agit d'un courant court-circuité.</ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />{{,}}<ref> L'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie court-circuitée en fonction des admittances complexes est plus fréquemment utilisée que celle de l'intensité de courant de sortie court-circuitée d'un P.D.C. en régime permanent en fonction des conductances ; <br>{{Al|3}}elle se justifie à partir de l'expression en fonction des impédances complexes en utilisant le lien entre impédance et admittance complexes soit <math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t) =</math> <math>\dfrac{\dfrac{1}{\underline{Y_2}(j\,\omega)}}{\dfrac{1}{\underline{Y_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Y_2}(j\,\omega)}}\;\underline{i_e}(t)\;</math> d'où l'expression <math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t) = \dfrac{\underline{Y_1}(j\,\omega)}{\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math> en multipliant haut et bas par <math>\;\underline{Y_1}(j\,\omega) \; \underline{Y_2}(j\,\omega)</math>.</ref>.</div>}} [[File:Pont diviseur de courant en complexe - sortie court-circuitée.png|thumb|380px|Pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et en sortie court-circuitée]] {{Al|5}}Il suffit de faire <math>\;\underline{u_s}(t) = 0\;</math> dans le résultat du générateur de Norton<ref name="Norton" /> en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_1}(j\,\omega) \neq 0</math>, toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie court-circuitée. {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : La sortie étant court-circuitée «<math>\;\underline{u_s}(t) = 0\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}les D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> étant montés en parallèle sont soumis à la même tension instantanée complexe <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> supposée finie, {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe appliquée au D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> conduit à «<math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t)</math> <math>= \dfrac{\underline{u_e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;</math>» {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}et celle appliquée à l'association parallèle des D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> à «<math>\;\underline{i_e}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{u_e}(t)}{\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega) \; \underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}} =</math> <math>\underline{u_e}(t) \left[ \underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega) \right]\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega) \; \underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} = \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\parallel\;\underline{Z_2}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\underline{Y_1}(j\,\omega)\;\parallel\;\underline{Y_2}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega)}</math>.</ref> mais <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> étant de valeur finie, <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> ne sera de valeur finie que si <math>\;\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega) \neq 0</math>, nous voyons donc la « nécessité pour que <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> reste de valeur finie que <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> soit non nulle »<ref> En effet <math>\;\underline{Y_1}(j\,\omega) + \underline{Y_2}(j\,\omega) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\underline{Y_1}(j\,\omega) = -\underline{Y_2}(j\,\omega)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{\underline{Y_1}(j\,\omega)} = -\dfrac{1}{\underline{Y_2}(j\,\omega)}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) = -\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> soit finalement équivalent à <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}d'où en éliminant <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> par «<math>\;\underline{u_e}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega) \; \underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math> de valeur finie si <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math>», l'expression de l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée {{Nobr|«<math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>»<ref> Le fait que <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> acquiert une valeur infinie quand <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math> entraîne une valeur infinie pour <math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t)\;</math> compatible avec le fait qu'il n'existe pas de générateur de Norton équivalent en complexe dans cette hypothèse, le R.D. étant équivalent à une source de tension parfaite en complexe.</ref> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : C'est de cette expression <math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math><ref name="attention aux sens des courants"> Il faut bien sûr vérifier que les courants d'entrée et de sortie sont entrant pour l'un et sortant pour l'autre.</ref> que l'on tire le nom « <u>pont diviseur de courant en complexe</u> » <math>\;\big(</math>et en sortie court-circuitée<math>\big)\;</math> car <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> est l'intensité instantanée complexe du courant traversant <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> montées en parallèle et <math>\;\underline{i_{s,\,c.c.}}(t)\;</math> l'intensité instantanée complexe du courant traversant <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math><ref> Le plus souvent notée <math>\;\underline{i_1}(t)</math>.</ref>, intensité ne représentant que la fraction <math>\;\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> de <math>\;\underline{i_e}(t)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}si on s'intéressait à l'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_2}(t)\;</math> du courant traversant <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> au lieu de <math>\;\underline{i_1}(t)\;</math> celle du courant traversant <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)</math>, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par <math>\,\underline{i_e}(t)\,</math> et en sortie court-circuitée en série avec <math>\,\underline{Z_2}(j\,\omega)\,</math> d'où, en permutant les indices <math>\,_1\,</math> et <math>\,_2</math>, le résultat suivant <math>\,\underline{i_2}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math><ref name="attention aux sens des courants" />{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />. == Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de courant en électricité complexe associée au r.s.f. == <div style="text-align: center;">Dans tout ce paragraphe le « P.D.C<ref name="P.D.C." />. alimenté en entrée par <math>\;i_e(t)\;</math> et fermé sur une charge » est équivalent à un générateur de Norton<ref name="Norton" /> en complexe <br>c.-à-d. que nous supposons <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math><ref> On rappelle que si <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0</math>, le « P.D.C. alimenté en entrée par <math>\;i_e(t)\;</math> et fermé sur une charge » est équivalent à une source de tension parfaite en complexe entraînant que la tension instantanée complexe aux bornes de cette charge est indépendante de cette dernière.</ref>.</div> === Pont diviseur de courant alimenté en entrée par i_e(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue === {{Al|5}}On souhaite déterminer l'intensité instantanée complexe du courant de sortie <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> d'un « P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et fermé sur une charge d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>» en fonction de l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée <math>\;\underline{i_e}(t)</math>, des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math> ; il y a deux façons de procéder : * Remarquer que «<math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> est en série avec <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math>», « remplacer cette association série par son impédance complexe équivalente » et « reconnaître un R.D.L<ref name="R.D.L." />. en sortie court-circuitée {{Nobr|“ P.D.C<ref name="P.D.C." />.}} en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et en sortie court-circuitée à la suite de <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\; _{\text{série}}\; \underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>” » <math>\;\ldots</math> * « Remplacer le R.D.L<ref name="R.D.L." />. “ P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie ” par son générateur de Norton<ref name="Norton" /> équivalent en complexe » et « reconnaître dans le nouveau circuit un R.D.L<ref name="R.D.L." />. en sortie court-circuitée “ P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{\eta_{N}}(t)</math>, d'impédance complexe d'attaque <math>\;\underline{z_{N}}(j\,\omega)\;</math><ref> C.-à-d la seule impédance complexe en parallèle sur la source de courant parfaite quand la sortie n'est pas court-circuitée.</ref> et en sortie court-circuitée à la suite de <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>” » <math>\;\ldots</math> === 1^ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.C. en série avec l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente === [[File:Pont diviseur de courant en complexe fermé sur une charge.png|thumb|400px|Schéma d'un P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et fermé sur une impédance complexe <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math>, traitement en considérant <math>\;\underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega)</math> <math>= \underline{Z_1}(j\,\omega)\; \text{série}\; \underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> en sortie court-circuitée d'un P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)</math>]] {{Al|5}}Voir schéma de situation ci-contre : {{Al|5}}On utilise que l'impédance complexe de la charge <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> est montée en série avec <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)</math>, et « on remplace l'association série par son D.P.L<ref name="D.P.L." />. équivalent d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}on considère le « nouveau P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et en sortie court-circuitée à la suite de <math>\;\underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega)</math> <math>= \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>»<ref name="à tracer" /> d'où l'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie court-circuitée de ce nouveau {{Nobr|P.D.C<ref name="P.D.C." />.}} {{Al|5}}«<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_{\text{éq}}}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega) \right]}\;\underline{i_e}(t)\;</math>»<ref name="P.D.C. en sortie court-circuitée"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Le_résultat_le_plus_utilisé_:_P.D.C._en_sortie_court-circuitée_alimenté_en_entrée_par_ie(t)|le résultat le plus utilisé : P.D.C. en sortie court-circuitée alimenté en entrée par i_e(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>»<ref name="limite sortie court-circuitée"> On vérifie que si <math>\;\vert \underline{Z_u}(j\,\omega) \vert\;\rightarrow\;0</math>, <math>\;\underline{i_s}(t)\;\rightarrow\;\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_1}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math> correspondant à l'intensité instantanée complexe de courant de sortie du P.D.C. d'origine en sortie court-circuitée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Le_résultat_le_plus_utilisé_:_P.D.C._en_sortie_court-circuitée_alimenté_en_entrée_par_ie(t)|le résultat le plus utilisé : P.D.C. en sortie court-circuitée alimenté en entrée par i_e(t)]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math></ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />.</div> === 2^ème résolution : utiliser le générateur de Norton du P.D.C. alimenté en entrée par i_e(t) === [[File:Pont diviseur de courant en complexe fermé sur une charge - bis.png|thumb|280px|P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et fermé sur une impédance complexe <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math>, traitement en considérant le générateur de Norton<ref name="Norton" /> en complexe équivalent <math>\;\left[ \underline{\eta_{N}}(t)\,,\right.</math> <math>\left.\, \underline{z_{N}}(j\,\omega) \right]\;</math> fermé sur <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math> puis le nouveau P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{\eta_{N}}(t)\;</math> et en sortie court-circuitée à la suite de <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math>]] {{Al|5}}On remplace le R.D.L<ref name="R.D.L." />. « pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{i_e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » par le générateur de {{Nobr|Norton<ref name="Norton" />}} équivalent en complexe<ref name="générateur de Norton d'un P.D.C."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Énoncé_du_résultat_2|énoncé du résultat]] (explicitant le générateur de Norton en complexe équivalent à un P.D.C.) » plus haut dans ce chapitre.</ref> * de c.e.m. de Norton<ref name="Norton" /> «<math>\;\underline{\eta_{N}}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>» et * d'impédance complexe de Norton<ref name="Norton" /> «<math>\;\underline{z_{N}}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math>», {{Al|5}}on obtient alors le schéma ci-contre dans lequel <br>{{Al|5}}on reconnaît un « P.D.C<ref name="P.D.C." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{\eta_{N}}(t)\;</math> et en sortie court-circuitée à la suite de <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>» d'où l'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie courticircuitée de ce nouveau P.D.C<ref name="P.D.C." />. «<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{z_{N}}(j\,\omega)}{\underline{z_{N}}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)}\;\underline{\eta_{N}}(t)\;</math>» et, {{Al|5}}en y reportant le c.e.m. et l'impédance complexes de Norton<ref name="Norton" /> «<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}{\left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \right] + \underline{Z_u}(j\,\omega)}\;\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>» ou, par simplification évidente <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) + \underline{Z_u}(j\,\omega)}\;\underline{i_e}(t)\;</math>»<ref> Correspondant au même résultat que celui obtenu au paragraphe précédent.</ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />{{,}}<ref name="limite sortie court-circuitée" />.</div> == Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente à l'association, théorème de Millman appliqué au cas de deux branches du type « impédance complexe, potentiel complexe » délivrant un courant d'intensité connue (ou à connaître) == === Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f. et générateur de Thévenin équivalent à l'association === [[File:Sources réelles de tension complexes associées au r.s.f. en parallèle.png|thumb|350px|Schéma de deux sources réelles de tension complexes associées au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> en parallèle délivrant un courant d'intensité complexe avec choix de convention générateur]] {{Al|5}}Considérons le montage ci-contre dans lequel on a représenté les sources linéaires non idéales de tension sinusoïdale de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> par leur modèle générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de pulsation <math>\;\omega</math> ; vu des bornes de sortie ce R.D.L<ref name="R.D.L." />. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » est équivalente à un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe dont nous cherchons la f.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t)\;</math> et l'impédance complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> <math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega)</math> : {{Al|5}}le plus simple pour l'obtenir passe par la transformation de chaque source réelle de tension complexe en son modèle générateur de {{Nobr|Norton<ref name="Norton" />{{,}}<ref name="à tracer effectivement"> Schéma équivalent à tracer effectivement soi-même.</ref>}} en complexe à savoir une “ association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe {{Nobr|«<math>\;\underline{\eta_k}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\underline{e_k}(t)}{\underline{z_k}(j\,\omega)}\;</math>»<ref name="valeur de k"> <math>\;k\;</math> prenant la valeur <math>\;1\;</math> ou <math>\;2\;</math> suivant la source réelle de tension considérée.</ref> et d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe «<math>\;\underline{z_k}(j\,\omega)\;</math>»<ref name="valeur de k" /> ” puis de remplacer * l'association parallèle des deux D.P.L<ref name="D.P.L." />. en complexe par leur D.P.L<ref name="D.P.L." />. en complexe équivalent d'impédance complexe «<math>\;\underline{z_{\text{éq}}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>»<ref> A priori cette impédance complexe équivalente est applicable dans la mesure où <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) \neq 0</math> ; <br>{{Al|3}}pour que <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) = 0</math>, il faut que les deux impédances complexes soient purement imaginaires <math>\;\big(</math>pas de composante résistive dans l'une ou l'autre des D.P.L. complexes<math>\big)\;\big[</math>ce cas en pratique n'est donc jamais réalisé, il ne correspond qu'à une modélisation utilisable quand les résistances restent très faibles mais elles sont néanmoins, en pratique, non nulles<math>\big]\;</math> et que leurs réactances soient opposées <math>\;\bigg(</math>c.-à-d. que l'un des D.P.L. complexes soit équivalent à une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> et l'autre à un condensateur parfait de capacité <math>\;C</math>, la pulsation imposée étant la pulsation propre du <math>\;L\, C\;</math> série ou parallèle soit <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\bigg)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut donc affirmer que dans tous les cas pratiques <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut donc affirmer }}que <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) = 0\;</math> dans un cas théorique très particulier où on néglige les composantes résistives et où les composantes réactives sont opposées pour une fréquence bien précise <math>\;\bigg[</math>dans ce cas l'association parallèle des deux D.P.L. en complexe est équivalente à un interrupteur ouvert d'impédance complexe équivalente <math>\;\underline{z_{\text{éq}}} = \infty\;</math> rendant, par extension, <math>\;\underline{z_{\text{éq}}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math> applicable dans ce cas particulier<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}On peut donc considérer que <math>\;\underline{z_{\text{éq}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math> est applicable sans aucune restriction.</ref> ainsi que * l'association parallèle des deux sources de courant parfaites en complexe par leur source de courant parfaite en complexe équivalente de c.e.m. instantané complexe «<math>\;\underline{\eta_{\text{éq}}}(t) = \underline{\eta_1}(t) + \underline{\eta_2}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{e_1}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{e_2}(t)}{\underline{z_2}(j\,\omega)}</math> <math>= \dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>»<ref> « L'association parallèle de deux sources de courant parfaites complexes est effectivement une source de courant parfaite complexe dont le c.e.m. instantané complexe est la somme des c.e.m. instantané complexe de chaque source » car «<math>\;\underline{i_1}(t) = \underline{\eta_1}(t)\;\; \forall\; \underline{u}(t)\;</math>» ainsi que «<math>\;\underline{i_2}(t) = \underline{\eta_2}(t)\;\; \forall\; \underline{u}(t)\;</math>» entraînent, avec application de la loi des nœuds «<math>\;\underline{i}(t) =</math> <math>\underline{i_1}(t) + \underline{i_2}(t)\;</math>» la relation suivante «<math>\;\underline{i}(t) = \underline{\eta_1}(t) + \underline{\eta_2}(t)\;\; \forall\; \underline{u}(t)\;</math>» caractérisant une source de courant parfaite complexe de c.e.m. instantané complexe <math>\;\underline{\eta_1}(t) + \underline{\eta_2}(t)</math>.</ref> ; {{Al|5}}on obtient alors le modèle générateur de Norton<ref name="Norton" /> complexe du R.D.L<ref name="R.D.L." />. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » <math>\;\Big[</math>c.-à-d. l'association <math>\;\parallel\;</math> d'une source de courant parfaite complexe de c.e.m. instantané complexe «<math>\;\underline{\eta_N}(t) = \dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>» et d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. en complexe d'impédance complexe «<math>\;\underline{z_N}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>»<math>\Big]\;</math><ref name="à tracer effectivement" /> et {{Al|5}}il reste à transformer, quand cela est possible, ce générateur de Norton<ref name="Norton" /> complexe en un générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> complexe équivalent<ref> Cette transformation suppose que <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math> car, quand <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) = 0</math>, le générateur de Norton complexe est une source de courant parfaite complexe, sans équivalent en générateur de Thévenin complexe.</ref> pour établir le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. initial « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » <math>\;\Big[</math>c.-à-d. l'association série d'une source de tension parfaite complexe de f.e.m. instantanée complexe «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) =</math> <math>\underline{z_N}(j\,\omega)\;\underline{\eta_N}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;\dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)} =</math> <math>\dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>» et d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. en complexe d'impédance complexe «<math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \underline{z_{N}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>»<math>\Big]\;</math><ref name="à tracer effectivement" />. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » a, « si <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math>»<ref> On rappelle que si <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) = 0</math>, le R.D. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » est équivalent à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe <math>\;\underline{\eta_N}(t) = \dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}</math>.</ref>, pour * f.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = \dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>»<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" /> et * impédance complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> généralisée en complexe du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » s'écrit donc, en convention générateur : <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{u_s}(t) = \underline{e_{\text{Th}}}(t) - \underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)} - \dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)\;</math>»<ref name="à tracer effectivement" />{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />.</div> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Le R.D.L<ref name="R.D.L." />. « <u>pont diviseur de tension</u> en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{e_1}(t)\;</math> avec sortie aux bornes du D.P.L<ref name="R.D.L." />. en complexe d'impédance complexe <math>\;\underline{z_2}(j\,\omega)\;</math>» est un <u>cas particulier</u> de ce R.D.L<ref name="R.D.L." />. « <u>association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe</u> » avec <math>\;\underline{e_2}(t) = 0</math>, <u>le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent en complexe a donc la même impédance complexe</u><math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>»<ref> Impédance complexe équivalente du R.D. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » que l'on a rendu passif en imposant <math>\;\underline{e_1}(t) = 0\;</math> et <math>\;\underline{e_2}(t) = 0</math>.</ref> et <u>sa f.e.m. instantanée complexe</u><math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> qui, dans le R.D.L<ref name="R.D.L." />. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » était une C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. des f.e.m. instantanées complexes des sources, les cœfficients des f.e.m. instantanées complexes étant croisés «<math>\;\dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math> pour <math>\;\underline{e_2}(t)\;</math> et <math>\;\dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math> pour <math>\;\underline{e_1}(t)\;</math>» <u>devient, en imposant</u><math>\;\underline{e_2}(t) = 0</math>, «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;\underline{e_1}(t)\;</math>» si «<math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math>»<ref> On retrouve donc bien la f.e.m. instantanée complexe du générateur de Thévenin équivalent en complexe au « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{e_1}(t)\;</math> avec sortie aux bornes du D.P.L. en complexe d'impédance complexe <math>\;\underline{z_2}(j\,\omega)\;</math>» identifiable à la tension à vide en complexe <math>\;\underline{u_{s,\,0}}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;\underline{e_1}(t)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Le_résultat_le_plus_utilisé_:_P.D.T._en_sortie_ouverte_alimenté_en_entrée_par_ue(t)|le résultat le plus utilisée : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t)]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, ceci n'étant applicable que dans la mesure où <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) \neq 0</math> ; <br>{{Al|3}}on rappelle que, dans le cas où <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) = 0</math>, le « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{e_1}(t)\;</math> avec sortie aux bornes du D.P.L. en complexe d'impédance complexe <math>\;\underline{z_2}(j\,\omega)\;</math>» est équivalent à une source de courant parfaite en complexe et qu'il n'existe donc pas de générateur de Thévenin complexe équivalent.</ref>. === Complément : théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. appliqué au nœud d'où partent deux branches de type « impédance complexe, potentiel complexe » lesquelles délivrent un courant d'intensité instantanée i_s(t) connue (ou à connaître) === <div style="text-align: center;">Le théorème de Millman<ref name="Millman"> '''[[w:Jacob_Millman|Jacob Millman]] (1911 - 1991)''' électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï <math>\;\big(</math>maintenant en Ukraine<math>\big)</math>, devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.</ref> en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> doit être considéré comme un complément<ref name="hors programme"> En effet il n'est pas explicitement précisé dans le programme de PCSI.</ref> mais <br>il est très pratique et permet le plus souvent un traitement plus rapide.</div> [[File:Théorème de Millman en complexe.png|thumb|400px|Réseau linéaire en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> tracé en privilégiant un nœud <math>\;S\;</math> auquel n'aboutissent que deux branches internes de type <math>\;\big[ \underline{Z}(j\,\omega)\,,\, \underline{v}(t) \big]\;</math> et par lequel sort un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math>, la référence des potentiels instantanés complexes étant un point interne <math>\;M\;</math> appelé masse]] {{Al|5}}Il s'agit du résultat du paragraphe précédent réécrit en terme de potentiel instantané complexe du nœud où on applique le théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> <math>\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : {{Al|5}}on pourra appliquer le théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> en un nœud <math>\;S\;</math> si, arrivent à ce nœud deux branches internes du type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math><ref name="Branche interne de type (Z, v)"> C.-à-d. que l'on trouve, sur chaque branche, un D.P.L. en complexe d'impédance complexe <math>\;\underline{Z}(j\,\omega)\;</math> connue, à l'extrémité duquel le potentiel instantané complexe <math>\;\underline{v}(t()</math>, évalué relativement à un point interne appelé « masse », est connu.</ref>, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math> ; <br>{{Al|5}}le théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> appliqué au nœud <math>\;S\;</math> permet de déterminer le potentiel instantané complexe du nœud considéré en fonction des deux potentiels instantanés complexes et des deux impédances complexes définis sur chaque branche interne ainsi que de l'intensité instantanée complexes du courant délivré<ref name="Choix de la masse"> Il faut auparavant choisir la masse du circuit pour avoir le traitement le plus simple même si cette masse peut, a priori, être n'importe quel point interne.</ref> ; {{Al|5}}l'« association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f. » délivrant un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> satisfait aux conditions d'« utilisation du théorème de Millman au nœud <math>\;A\;</math>» si « on choisit la masse en <math>\;B\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma du paragraphe précédent<math>\big)\;</math><ref> En effet la traversée du D.P.L. en complexe d'impédance complexe <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega)\;</math> conduit au potentiel instantané complexe <math>\;\underline{v_C}(t) = \underline{e_1}(t)\;</math> connu et celle du D.P.L. en complexe d'impédance complexe <math>\;\underline{z_2}(j\,\omega)\;</math> au potentiel instantané complexe <math>\;\underline{v_D}(t) = \underline{e_2}(t)\;</math> connu <math>\;\big[</math>dans un réseau satisfaisant l'applicabilité du théorème de Millman de l'électricité complexe, les différences de potentiel entre les potentiels instantanés complexes connus et la masse ne sont pas nécessairement des tensions instantanées complexes aux bornes de source idéale de tension complexe, elles sont simplement fixées à l'instant <math>\;t\;</math> et sont équivalentes à ce qu'on obtiendrait aux bornes d'une source idéale de tension complexe<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}or ayant établi «<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{e_1}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{e_2}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)} - \dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)\;</math>» si «<math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math>»<ref> Ceci étant la condition pour que le générateur de Norton complexe déterminé dans un 1^er temps puisse être transformé en générateur de Thévenin complexe ; on rappelle que dans le cas <math>\;\big(</math>jamais réalisé pratiquement mais correspondant à une modélisation possible en négligeant les parties résistives des impédances complexes et pour une pulsation particulière<math>\big)\;</math> où <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) = 0</math>, le générateur de Norton complexe est une source de courant parfaite complexe, sans équivalent en générateur de Thévenin complexe.</ref> on peut réécrire cette relation en terme de potentiels instantanés complexes car «<math>\;\underline{u_s}(t) = \underline{v_A}(t) - \underline{v_B}(t) = \underline{v_A}(t)\;</math>»<ref> On rappelle que la masse a été choisie en <math>\;B</math>.</ref> soit «<math>\;\underline{v_A}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{v_C}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{v_D}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)} - \dfrac{\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)</math> <math>= \dfrac{\underline{z_2}(j\,\omega)\; \underline{v_C}(t) + \underline{z_1}(j\,\omega)\; \underline{v_D}(t) - \underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math>» ou, en divisant haut et bas par «<math>\;\underline{z_1}(j\,\omega)\;\underline{z_2}(j\,\omega)\;</math>»<ref> Le but étant d'obtenir une expression plus symétrique, et donc plus facile à appliquer.</ref>, l'expression suivante <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{v_A}(t) = \dfrac{\dfrac{\underline{v_C}(t)}{\underline{z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{v_D}(t)}{\underline{z_2}(j\,\omega)} - \underline{i_s}(t)}{\dfrac{1}{\underline{z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{z_2}(j\,\omega)}}\;</math>» <math>\bigg[</math>nécessitant «<math>\;\dfrac{1}{\underline{z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{z_2}(j\,\omega)} \neq 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) + \underline{z_2}(j\,\omega) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\underline{z_1}(j\,\omega) = -\underline{z_2}(j\,\omega)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{\underline{z_1}(j\,\omega)} = -\dfrac{1}{\underline{z_2}(j\,\omega)}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{\underline{z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{z_2}(j\,\omega)} = 0</math>.</ref><math>\bigg]</math>.</div> {{Théorème|titre = Énoncé du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) à deux branches de type {<u>Z</u>(jω), <u>v</u>(t)}| contenu ={{Al|5}}L'application du théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f =</math> <math>\dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> au nœud <math>\;S\;</math> d'où partent deux branches du type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> et duquel est délivré un courant d'intensité instantané complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> conduit, dans la mesure où <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math> <math>\bigg[</math>équivalent à <math>\;\dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} \neq 0\bigg]\;</math> à l'expression suivante du potentiel instantané complexe au nœud <math>\;S</math> : <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{v_S}(t) = \dfrac{\dfrac{\underline{v_1}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{v_2}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} - \underline{i_s}(t)}{\dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}}\;</math>»<ref> Cette forme peut être considérée comme une application de la loi d'Ohm en complexe si on transforme auparavant chaque branche <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> en son “ modèle générateur de courant <math>\;\left\lbrace \dfrac{\underline{v}(t)}{\underline{Z}(j\,\omega)}\; \parallel\; \underline{Z}(j\,\omega) \right\rbrace\;</math>”, le numérateur de l'expression de <math>\;\underline{v_S}(t)\;</math> étant la somme des “ c.e.m. instantanés complexes ” et de l'intensité instantanée complexe de la branche externe arrivant en <math>\;S\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>d'où}} le signe <math>\;-\big)</math>, somme de courants traversant les deux D.P.L. en complexe en parallèle des “ modèles générateur de courant ” dont le dénominateur de l'expression de <math>\;\underline{v_S}(t)\;</math> représente l'admittance complexe équivalente d'où le théorème de Millman de l'électricité complexe à deux branches du type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> interprété comme loi d'Ohm en complexe écrite sous la forme <math>\;\underline{v}(t) = \dfrac{\underline{i}(t)}{\underline{Y}(j\,\omega)}</math>.</ref>{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />.</div>}} {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : Pour appliquer le théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> en un nœud, vérifier que les deux branches internes sont de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> <math>\big(</math>choisir la « masse » <ref> Si le circuit étudié est un R.D.L., le nœud d'application du théorème de Millman de l'électricité complexe étant l'une des bornes, l'autre borne ne sera pas systématiquement choisi comme masse {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} exercices<math>\big)</math>.</ref> pour obtenir des potentiels instantanés complexes les plus simples possibles<math>\big)\;</math> et définir le courant délivré dans la branche externe ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires : }}le potentiel instantané complexe du nœud choisi est exprimé sous la forme d'un quotient d'une somme de trois intensités instantanées complexes sur une somme de deux admittances complexes, chaque branche interne ayant pour terme dans la somme du numérateur <math>\;\dfrac{\underline{v_k}(t)}{\underline{Z_k}(j\,\omega)}\;</math> et pour terme dans la somme du dénominateur <math>\;\dfrac{1}{\underline{Z_k}(j\,\omega)}</math>, la branche externe n'ayant que le terme {{Nobr|<math>\;-\underline{i_s}(t)\;</math><ref name="changer en +"> À transformer en <math>\;+\underline{i_s}(t)\;</math> si le courant est reçu au lieu d'être délivré.</ref>}} dans la somme du numérateur. == Complément : généralisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. == <div style="text-align: center;">La généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. <math>\;-\;</math> tout comme le théorème de Millman<ref name="Millman" /> du même domaine <math>\;-\;</math> <br>doit être considéré comme un complément<ref name="hors programme" />, <br> il est toutefois très pratique et son utilisation dans des circuits compliqués du r.s.f<ref name="r.s.f." />. est quasi indispensable pour un traitement de durée acceptable.</div> === Condition d'application du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. en un nœud duquel part une branche externe par laquelle le courant est délivré === [[File:Théorème de Millman en complexe - généralisation.png|thumb|450px|Réseau linéaire en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> tracé en privilégiant un nœud <math>\;S\;</math> auquel aboutissent des branches internes de type <math>\;\big[ \underline{Z}(j\,\omega)\,,\, \underline{v}(t) \big]\;</math><ref name="au moins une"> Au moins une.</ref> et <math>\;\big(</math>éventuellement<math>\big)\;</math> des branches internes de type <math>\;\big[ \underline{i'}(t) \big]</math>, nœud <math>\;S\;</math> par lequel sort un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math>, la référence des potentiels instantanés complexes étant un point interne <math>\;M\;</math> appelé masse]] {{Al|5}}Il s'agit de la généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f =</math> <math>\dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> avec modification des branches internes <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : {{Al|5}}on pourra appliquer la généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> en un nœud <math>\;S\;</math> si, arrivent à ce nœud des branches internes du type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math><ref name="Branche interne de type (Z, v)" />{{,}}<ref name="au moins une" /> et {{Nobr|<math>\;\big(</math>éventuellement<math>\big)\;</math>}} des branches internes de type <math>\;\left\lbrace \underline{i'}(t) \right\rbrace\;</math><ref name="Branche interne de type (i')"> C.-à-d. une branche interne traversée par un courant d'intensité instantanée complexe connue.</ref>, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math> ; <br>{{Al|5}}la généralisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> appliquée au nœud <math>\;S\;</math> permet de déterminer le potentiel instantané complexe du nœud considéré en fonction des potentiels instantanés complexes et des impédances complexes définis sur chaque branche interne de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> ainsi que des intensités instantanées complexes des courants traversant chaque branche interne de type <math>\;\left\lbrace \underline{i'}(t) \right\rbrace\;</math> et l'intensité instantanée complexe du courant délivré<ref name="Choix de la masse" />. === Énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S de sortie du réseau par lequel le courant sortant alimente la branche extérieure === {{Al|5}}La démonstration consiste * à transformer les <math>\;n\;</math> branches de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> en leur modèle générateur de courant de l'électricité complexe<ref> C.-à-d. une source idéale de courant de c.e.m. instantané complexe <math>\;\dfrac{\underline{v}(t)}{\underline{Z}(j\,\omega)}\;</math> en parallèle sur un D.P.L. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z}(j\,\omega)</math>.</ref>, * à considérer les courants des <math>\;m\;</math> branches de type <math>\;\left\lbrace \underline{i'}(t) \right\rbrace\;</math> comme des courants délivrés par des sources idéales de courant de l'électricité complexe, * à regrouper les <math>\;n + m\;</math> c.e.m. instantanés complexes en parallèle en un seul c.e.m. instantané complexe équivalent «<math>\;\underline{\eta_{\text{éq}}}(t)\;</math>» * puis regrouper les <math>\;n\;</math> D.P.L<ref name="D.P.L." />. de l'électricité complexe en parallèle résultant des modèles générateurs de courant de l'électricité complexe équivalents aux branches de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> en un seul D.P.L<ref name="D.P.L." />. complexe équivalent d'admittance complexe «<math>\;\underline{Y_{\text{éq}}}(j\,\omega)\;</math>» et * terminer en écrivant que ce D.P.L<ref name="D.P.L." />. complexe équivalent est traversée par le courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{\eta_{\text{éq}}}(t) - \underline{i_s}(t)\;</math><ref name="changer en +" /> d'où «<math>\;\underline{v_S}(t)</math> <math>= \dfrac{\underline{\eta_{\text{éq}}}(t) - \underline{i_s}(t)}{\underline{Y_{\text{éq}}}(j\,\omega)}\;</math>» si «<math>\;\underline{Y_{\text{éq}}}(j\,\omega) \neq 0\;</math>»<ref> Dans le cas où <math>\;\underline{Y_{\text{éq}}}(j\,\omega) = 0</math>, les <math>\;n\;</math> D.P.L. de l'électricité complexe en parallèle résultant des modèles générateurs de courant de l'électricité complexe équivalents aux branches de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> sont alors équivalent à un interrupteur ouvert <math>\;\big(</math>leur rôle disparaît donc<math>\big)\;</math> et la source de courant complexe équivalente aux <math>\;n + m\;</math> c.e.m. instantané complexe en parallèle, de c.e.m. instantané complexe équivalent <math>\;\underline{\eta_{\text{éq}}}(t)\;</math> devenant parfaite, l'intensité instantanée complexe de sortie <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> est égale au c.e.m. instantané complexe équivalent <math>\;\underline{\eta_{\text{éq}}}(t)\;</math> soit <math>\;\underline{i_s}(t) =</math> <math>\underline{\eta_{\text{éq}}}(t)\;\;\forall\;\underline{v_S}(t)</math>.</ref>. {{Théorème|titre = Énoncé du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) appliqué au nœud S du réseau par lequel le courant d'intensité instantanée complexe <u>i_s</u>(t) en sort| contenu ={{Al|5}}L'application du théorème de Millman<ref name="Millman" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f =</math> <math>\dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> au nœud <math>\;S\;</math> d'où partent <math>\;n \geqslant 1\;</math> branches du type <math>\;\dfrac{\underline{v}(t)}{\underline{Z}(j\,\omega)}</math>, <math>\;m\;</math> branches du type <math>\;\left\lbrace \underline{i'}(t) \right\rbrace\;</math><ref> <math>\;m\;</math> pouvant être nul et si tel est le cas, <math>\;n\;</math> vaut au moins <math>\;2</math>, la valeur <math>\;n = 2\;</math> correspondant au théorème de Millman de l'électricité complexe sous la forme basique énoncée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Complément_:_théorème_de_Millman_de_l'électricité_complexe_associée_au_r.s.f._appliqué_au_nœud_d'où_partent_deux_branches_de_type_«_impédance_complexe,_potentiel_complexe_»_lesquelles_délivrent_un_courant_d'intensité_instantanée_is(t)_connue_(ou_à_connaître)|complément : théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. appliqué au nœud d'où partent deux branches de type “ impédance complexe, potentiel complexe ” lequelles délivrent un courant d'intensité instantanée i_s(t) connue (ou à connaître)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et duquel est délivré un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> conduit à l'expression du potentiel instantané complexe au nœud <math>\;S\;</math> suivante si toutefois «<math>\;\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{\underline{Z_k}(j\,\omega)} \neq 0\;</math>»<ref> Dans le cas où <math>\;\sum\limits_k^{1\,..\,n} \dfrac{1}{\underline{Z_k}(j\,\omega)} = 0</math>, les <math>\;n\;</math> D.P.L. de l'électricité complexe en parallèle résultant des modèles générateurs de courant de l'électricité complexe équivalents aux branches de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> étant équivalent à un interrupteur ouvert, la source de courant complexe équivalente aux <math>\;n + m\;</math> c.e.m. instantané complexe en parallèle, de c.e.m. instantané complexe équivalent <math>\;\underline{\eta_{\text{éq}}}(t)\;</math> devient parfaite et l'intensité instantanée complexe de sortie <math>\;\underline{i_s}(t) = \underline{\eta_{\text{éq}}}(t) = \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{\underline{v_k}(t)}{\underline{Z_k}(j\,\omega)} + \sum\limits_{l = 1}^m {\underline{i'}_l}(t)\;\;\forall\;\underline{v_S}(t)</math>.</ref> : <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{v_S}(t) = \dfrac{\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{\underline{v_k}(t)}{\underline{Z_k}(j\,\omega)} + \sum\limits_{l = 1}^m {\underline{i'}_l}(t) - \underline{i_s}(t)}{\sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{\underline{Z_k}(j\,\omega)}}\;</math>»<ref> Cette forme peut être considérée comme une application de la loi d'Ohm de l'électricité complexe si on transforme auparavant chaque branche <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> en son “ modèle générateur de courant de l'électricité complexe <math>\;\left\lbrace \dfrac{\underline{v}(t)}{\underline{Z}(j\,\omega)}\; \parallel\; \underline{Z}(j\,\omega) \right\rbrace\;</math>”, le numérateur de l'expression de <math>\;\underline{v_S}(t)\;</math> étant la somme des <math>\;n\;</math> “ c.e.m. instantanés complexes <math>\;\dfrac{\underline{v}(t)}{\underline{Z}(j\,\omega)}\;</math>” ainsi que des <math>\;m\;</math> “ intensités instantanées complexes <math>\;\underline{i'}(t)\;</math>” et de l'intensité instantanée complexe de la branche externe arrivant en <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>d'où le signe <math>\;-\big)</math>, somme de courants traversant les <math>\;n\;</math> impédances complexes en parallèle des “ modèles générateur de courant complexe ” dont le dénominateur de l'expression de <math>\;\underline{v_S}(t)\;</math> représente l'admittance complexe équivalente d'où le théorème de Millman de l'électricité complexe interprété comme loi d'Ohm en complexe écrite sous la forme «<math>\;\underline{v}(t) = \dfrac{\underline{i}(t)}{\underline{Y}(j\,\omega)}\;</math>», nécessitant bien sûr que «<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) \neq 0\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="changer en +" />{{,}}<ref name="valable en grandeurs efficaces complexes" />.</div>}} === Intérêt du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. === {{Al|5}}Si on cherche à déterminer le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> de l'électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> équivalent à un R.D.L<ref name="R.D.L." />. actif complexe <math>\;AB\;</math> comportant une ou plusieurs sources, il peut être intéressant <math>\;-\;</math> dans le cas où la notion de pont diviseur de tension complexe « ne serait pas opérationnelle » <ref> Cela est rare dans les R.D.L. simples mais devient plus fréquent quand la complication des R.D.L. s'accroît.</ref> <math>\;-\;</math> d'appliquer le théorème de Millman<ref name="Millman" /> complexe en « chaque borne extrême <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> du réseau » <ref> Attention si le réseau délivre par la borne <math>\;A\;</math> un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math>, il reçoit par la borne <math>\;B\;</math> ce courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> c._à-d. que le réseau délivre par la borne <math>\;B\;</math> un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;-\underline{i_s}(t)</math>.</ref> pour déterminer le potentiel instantané complexe de chaque borne en fonction des grandeurs internes et de l'« intensité instantané complexe du courant traversant le réseau » <ref> Si le courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> sort par la borne <math>\;A</math>, dans <math>\;\underline{v_A}(t)\;</math> le numérateur contiendra <math>\;-\underline{i_s}(t)</math>, il rentre alors par la borne <math>\;B\;</math> et dans <math>\;\underline{v_B}(t)\;</math> le numérateur contiendra <math>\;+\underline{i_s}(t)</math>.</ref>, puis de faire la différence pour obtenir la tension instantanée complexe aux bornes du réseau ; <div style="text-align: center;"><gallery widths="450" heights="400"> Théorème de Millman en complexe en la borne sup d'un R.D.png|thumb|Schéma d'un réseau dipolaire linéaire <math>\;\big(</math>R.D.L.<math>\big)\;</math> en électricité complexe associée au r.s.f. <ref name="r.s.f." /> de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> avec application du théorème de {{Nobr|Millman <ref name="Millman" />}} en complexe en la borne supérieure du R.D.L. <ref name="R.D.L." />, la masse <math>\;M\;</math> choisie en un point interne du R.D.L. <ref name="R.D.L." /> étant la même lors de l'application du théorème de Millman <ref name="Millman" /> en complexe en la borne inférieure du R.D.L. <ref name="R.D.L." /> ;<br>nous supposerons «<math>\;\sum\limits_{j = 1}^{j = m} \dfrac{1}{\underline{Z_j}(j\,\omega)} \neq 0\;</math>» Théorème de Millman en complexe en la borne inf d'un R.D.png|thumb|Schéma d'un réseau dipolaire linéaire <math>\;\big(</math>R.D.L.<math>\big)\;</math> en électricité complexe associée au r.s.f. <ref name="r.s.f." /> de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> avec application du théorème de {{Nobr|Millman <ref name="Millman" />}} en complexe en la borne inférieure du R.D.L. <ref name="R.D.L." />, la masse <math>\;M\;</math> choisie en un point interne du R.D.L. <ref name="R.D.L." /> étant la même lors de l'application du théorème de Millman <ref name="Millman" /> en complexe en la borne supérieure du R.D.L. <ref name="R.D.L." /> ;<br>nous supposerons «<math>\;\sum\limits_{l = 1}^{l = p} \dfrac{1}{\underline{z_l}(j\,\omega)} \neq 0\;</math>» </gallery></div> {{Al|5}}ayant obtenu «<math>\;\underline{v_A}(t) = \underline{v_{A,\,0}}(t) - \underline{z_A}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t)\;</math>»<ref> En supposant que le courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> sort par la borne <math>\;A</math>, le terme indépendant de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> est le potentiel instantané complexe à vide <math>\;\underline{v_{A,\,0}}(t)\;</math> <math>\big[</math>valeur du potentiel instantané complexe si <math>\;\underline{i_s}(t) = 0\big]\;</math> et le cœfficient de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> est noté <math>\;-\underline{z_A}(j\,\omega)</math>.</ref> par application du théorème de Millman complexe en <math>\;A\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ayant obtenu }}«<math>\;\underline{v_B}(t) = \underline{v_{B,\,0}}(t) + \underline{z_B}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t)\;</math>»<ref> En supposant que le courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> sort par la borne <math>\;A</math>, il entre par la borne <math>\;B</math>, le terme indépendant de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> est le potentiel instantané complexe à vide <math>\;\underline{v_{B,\,0}}(t)\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>valeur}} du potentiel instantané complexe si <math>\;\underline{i_s}(t) = 0\big]\;</math> et le cœfficient de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> est noté <math>\;\underline{z_B}(j\,\omega)</math>.</ref> par application du théorème de Millman complexe en <math>\;B</math>, <br>{{Al|5}}la différence s'écrit alors «<math>\;\underline{u_s}(t) = \underline{v_A}(t) - \underline{v_B}(t) = \left[ \underline{v_{A,\,0}}(t) - \underline{v_{B,\,0}}(t) \right] - \left[ \underline{z_A}(j\,\omega) + \underline{z_B}(j\,\omega) \right] \underline{i_s}(t)\;</math>» et on reconnaît la loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe généralisée, * la « f.e.m. instantanée complexe de Thévenin<ref name="Thévenin" /> étant <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = \underline{u_{s,\,0}}(t) = \underline{v_{A,\,0}}(t) - \underline{v_{B,\,0}}(t)\;</math>»<ref> Tension instantanée complexe à vide du R.D. c.-à-d. quand <math>\;\underline{i_s}(t) = 0</math>.</ref> et * l'« impédance complexe de Thévenin<ref name="Thévenin" /> <math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \underline{z_A}(j\,\omega) + \underline{z_B}(j\,\omega) \;</math>»<ref> Valeur de l'impédance complexe équivalente du R.D. quand ce dernier a été rendu passif c._à_d. en imposant <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = 0</math>.</ref>. {{Al|5}}Nous pourrons voir des exemples en exercices en plus de celui traité dans le paragraphe suivant <ref> Dans la mesure où il n'y a qu'une seule source, ce dernier pourrait être traité uniquement à l'aide de ponts diviseurs de tension.</ref>. === Exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type « Wheatstone » en r.s.f. === [[File:Pont de type Wheatstone en complexe alimenté par f.e.m. complexe.png|thumb|360px|Détermination du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. " pont de type Wheatstone<ref name="Wheatstone"> '''[[w:Charles_Wheatstone|Charles Wheatstone]] (1802 - 1875)''' physicien et inventeur anglais à qui on doit la 1^ère liaison télégraphique filaire <math>\;\big(</math>longue de <math>\;2\;km\big)\;</math> près de Londres en <math>\;1836</math>, l'un des 1^ers microphones et bien sûr le pont résistif du même nom entre autres.</ref> complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie " par utilisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> complexe en chacune des bornes de sortie]] {{Al|5}}Soit le pont « de type Wheatstone »<ref name="Wheatstone" />{{,}}<ref> On parle de pont « de type Wheatstone » quand les quatre éléments passifs autres que le détecteur de courant ne sont pas tous résistifs mais linéaires au sens de l'A.R.Q.S. ; en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> <math>\big[</math>correspondant à une f.e.m. instantanée complexe associée à la f.e.m. instantanée sinusoïdale imposée par le G.B.F.<math>\big]\;</math> chacun des dipôles passifs possède une impédance complexe, le détecteur en ayant également une.</ref> représenté ci-contre, alimenté en entrée par une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe <math>\;\underline{e}(t)\;</math> de f.e.m. efficace fixée et délivrant, à travers un détecteur d'impédance complexe interne <math>\;\underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)\;</math> branché entre les bornes de sortie, un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math> ; {{Al|5}}souhaitant évaluer l'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math> en fonction de <math>\;\underline{e}(t)</math>, des quatre impédances complexes du pont et de celle <math>\;\underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)\;</math> du détecteur, on détermine au préalable le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. « pont de type Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> alimenté en entrée par <math>\;\underline{e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » par utilisation du théorème de Millman<ref name="Millman" /> en complexe successivement à chacune des bornes de sortie ; {{Al|5}}on choisit la masse en <math>\;B\;</math> ce qui permet de connaître <math>\;\underline{v_A}(t) = \underline{e}(t)\;</math> en plus de <math>\;\underline{v_B}(t) = 0</math> ; {{Al|5}}<u>application du théorème de Millman complexe au nœud</u><math>\;C</math> : il s'agit du théorème à deux branches internes de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> s'éloigne de <math>\;C\;</math><ref name="théorème de Millman à deux branches de type Z, V"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Complément_:_théorème_de_Millman_de_l'électricité_complexe_associée_au_r.s.f._appliqué_au_nœud_d'où_partent_deux_branches_de_type_«_impédance_complexe,_potentiel_complexe_»_lesquelles_délivrent_un_courant_d'intensité_instantanée_is(t)_connue_(ou_à_connaître)|complément : théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. appliqué au nœud d'où partent deux branche de type “impédance complexe, potentiel complexe ” lesquelles délivrent un courant d'intensité instantanée i_s(t) connue (ou à connaître)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> soit, « dans l'hypothèse où <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math> est équivalent à <math>\;\dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} \neq 0</math>.</ref>, «<math>\;\underline{v_C}(t) = \dfrac{\dfrac{\underline{v_A}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{v_B}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} - \underline{i_s}(t)}{\dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}} =</math> <math>\dfrac{\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \cancel{\dfrac{0}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}} - \underline{i_s}(t)}{\dfrac{1}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}}\;</math>» ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)</math>, <center>«<math>\;\underline{v_C}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{e}(t) - \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)\;</math>»<ref> Ce résultat pouvait être trouvé en considérant le R.D. « P.D.T. complexe alimenté en entrée <math>\;\big(</math>c.-à-d. entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\big)\;</math> par <math>\;\underline{e}(t)\;</math> et délivrant en sortie <math>\;\big(</math>par <math>\;C\big)\;</math> un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math>» dont le générateur de Thévenin complexe équivalent <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Énoncé_du_résultat|énoncé du résultat]] (explicitant le générateur de Thévenin en complexe équivalent à un P.D.T.) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> a * pour f.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;\underline{v_{C,\,0}}(t) - \underline{v_B}(t) = \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\underline{e}(t)\;</math> <math>\Bigg[</math>quand <math>\;\underline{i_s}(t) = 0\;</math> la tension instantanée complexe aux bornes de <math>\;CB\;</math> est la fraction <math>\;\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> de celle aux bornes de <math>\;AB\Bigg]\;</math> et * pour impédance complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> <math>\big[</math>quand <math>\;\underline{e}(t) = 0\;</math> c.-à-d. quand <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont reliés par un court-circuit, les D.P.L. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> sont en <math>\;\parallel\;</math> vu des points <math>\;C\;</math> et <math>\;B\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|10}}<u>étude du cas très particulier</u> <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math><ref name="cas particulier d'impédances complexes opposées"> Rappelons pour cela qu'il faut que les impédances complexes soient purement imaginaires, c.-à-d. sans composante résistive <math>\;\big(</math>donc non réalisable rigoureusement dans la pratique<math>\big)\;</math> et que l'une soit inductive d'inductance propre équivalente <math>\;L\;</math> quand l'autre est capacitive de capacité équivalente <math>\;C\;</math> avec l'imposition d'une pulsation particulière égale à la pulsation propre du <math>\;L\, C\;</math> série ou parallèle <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}</math>.</ref> : le R.D.L<ref name="R.D.L." />. en complexe entre le nœud <math>\;C\;</math> et la masse <math>\;B</math> <math>\;\big(</math>la branche contenant le détecteur étant considérée comme externe<math>\big)\;</math> constitué de deux branches l'une <math>\;\left\lbrace \underline{Z_1}(j\,\omega)\; ;\; \underline{e}(t) \right\rbrace\;</math> et l'autre <math>\;\left\lbrace \underline{Z_2}(j\,\omega)\; ;\; 0 \right\rbrace\;</math> et délivrant un courant sortant de <math>\;C\;</math> d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> est équivalent au générateur de Norton<ref name="Norton" /> complexe de c.e.m. instantané complexe <math>\;\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;</math> et d'impédance complexe infinie<ref> En effet l'impédance complexe équivalente du R.D. rendu passif en remplaçant <math>\;\underline{e}(t)\;</math> par un court-circuit est <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\parallel\;\underline{Z_2}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> c.-à-d. <math>\;\infty\;</math> dans la mesure où <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0</math>.</ref> c.-à-d. à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe <math>\;\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} = -\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;</math> dont on déduit <center>«<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} = -\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\;\forall\;\underline{v_C}(t)\;</math>»<ref name="équilibre du pont impossible"> Dans ce cas le courant traversant le détecteur a une intensité instantanée complexe fixée indépendante de <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_4}(j\,\omega)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}<u>application du théorème de Millman complexe au nœud</u><math>\;D</math> : il s'agit du théorème à deux branches internes de type <math>\;\left\lbrace \underline{Z}(j\,\omega),\, \underline{v}(t) \right\rbrace\;</math> avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> s'approche de <math>\;D\;</math><ref name="théorème de Millman à deux branches de type Z, V" /> soit, « dans l'hypothèse où <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) \neq 0\;</math>»<ref> On rappelle que <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) \neq 0\;</math> est équivalent à <math>\;\dfrac{1}{\underline{Z_3}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} \neq 0</math>.</ref>, «<math>\;\underline{v_D}(t) =</math> <math>\dfrac{\dfrac{\underline{v_A}(t)}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{v_B}(t)}{\underline{Z_3}(j\,\omega)} + \underline{i_s}(t)}{\dfrac{1}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_3}(j\,\omega)}} = \dfrac{\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} + \cancel{\dfrac{0}{\underline{Z_3}(j\,\omega)}} + \underline{i_s}(t)}{\dfrac{1}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} + \dfrac{1}{\underline{Z_3}(j\,\omega)}}\;</math>» ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)</math>, <center>«<math>\;\underline{v_D}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;\underline{e}(t) + \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)\;</math>»<ref> Ce résultat pouvait être trouvé en considérant le R.D. « P.D.T. complexe alimenté en entrée <math>\;\big(</math>c.-à-d. entre <math>\;A\;</math> et <math>\;B\big)\;</math> par <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et délivrant en sortie <math>\;\big(</math>par <math>\;D\big)\;</math> un courant d'intensité instantanée complexe <math>\;-\underline{i_s}(t)\;</math>» dont le générateur de Thévenin complexe équivalent <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Énoncé_du_résultat|énoncé du résultat]] (explicitant le générateur de Thévenin en complexe équivalent à un P.D.T.) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> a * pour f.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;\underline{v_{D,\,0}}(t) - \underline{v_B}(t) = \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;\underline{e}(t)\;</math> <math>\Bigg[</math>quand <math>\;\underline{i_s}(t) = 0\;</math> la tension instantanée complexe aux bornes de <math>\;DB\;</math> est la fraction <math>\;\dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;</math> de celle aux bornes de <math>\;AB\Bigg]\;</math> et * pour impédance complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;</math> <math>\big[</math>quand <math>\;\underline{e}(t) = 0\;</math> c.-à-d. quand <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont reliés par un court-circuit, les D.P.L. d'impédances complexes <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_4}(j\,\omega)\;</math> sont en <math>\;\parallel\;</math> vu des points <math>\;D\;</math> et <math>\;B\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|10}}</span><u>étude du cas très particulier</u> <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0\;</math><ref name="cas particulier d'impédances complexes opposées" /> : le R.D. en complexe entre le nœud <math>\;D\;</math> et la masse <math>\;B</math> <math>\;\big(</math>la branche contenant le détecteur étant considérée comme externe<math>\big)\;</math> constitué de deux branches l'une <math>\;\left\lbrace \underline{Z_4}(j\,\omega)\; ;\; \underline{e}(t) \right\rbrace\;</math> et l'autre <math>\;\left\lbrace \underline{Z_3}(j\,\omega)\; ;\; 0 \right\rbrace\;</math> et délivrant un courant entrant par <math>\;D\;</math> d'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> est équivalent au générateur de Norton<ref name="Norton" /> complexe de c.e.m. instantané complexe <math>\;\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_4}(j\,\omega)}\;</math> et d'impédance complexe infinie<ref> En effet l'impédance complexe équivalente du R.D. rendu passif en remplaçant <math>\;\underline{e}(t)\;</math> par un court-circuit est <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\parallel\;\underline{Z_4}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;</math> c.-à-d. <math>\;\infty\;</math> dans la mesure où <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0</math>.</ref> c.-à-d. à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe <math>\;\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} = -\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_3}(j\,\omega)}\;</math> dont on déduit <center>«<math>\;-\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} = -\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_3}(j\,\omega)}\;\;\forall\;\underline{v_D}(t)\;</math>»<ref name="équilibre du pont impossible - bis"> Dans ce cas le courant traversant le détecteur a une intensité instantanée complexe fixée indépendante de <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on termine en faisant la différence pour obtenir la tension instantanée complexe aux bornes du R.D.L<ref name="R.D.L." />. « pont de type Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> alimenté en entrée par <math>\;\underline{e}(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » soit, dans l'hypothèse où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\\ \text{et}\\ \underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math>», soit la tension instantanée complexe aux bornes de ce R.D.L<ref name="R.D.L." />. <math>\;\underline{u_s}(t) = \underline{v_C}(t) - \underline{v_D}(t)\;</math> en fonction de l'intensité instantanée complexe <math>\;\underline{i_s}(t)</math> : <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{u_s}(t) = \underline{v_C}(t) - \underline{v_D}(t) = \left[ \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} - \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} \right] \underline{e}(t) - \left[ \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} \right] \underline{i_s}(t)\;</math>»,</div> {{Al|5}}et on en tire le générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> en complexe équivalent * de f.e.m. instantanée complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = \left[ \dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} - \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} \right] \underline{e}(t)\;</math>» ou, en réduisant au même dénominateur <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)\;[\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)] - \underline{Z_3}(j\,\omega)\;[\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)]}{[\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)]\;[\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)]}\; \underline{e}(t)\;</math> soit, après simplification évidente, «<math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega) - \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_3}(j\,\omega)}{[\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)]\;[\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)]}\; \underline{e}(t)\;</math>» et * d'impédance complexe <math>\;\big(</math>de Thévenin<math>\big)\;</math><ref name="Thévenin" /> «<math>\;\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;</math>» ; [[File:Circuit équivalent de R.D.A.L. fermé sur charge en complexe.png|thumb|300px|Circuit équivalent dans lequel le R.D.L.A<ref name="R.D.L.A."> Réseau Dipolaire Linéaire Actif.</ref>. fermé sur une charge en complexe associé au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> est remplacé par son générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> complexe équivalent]] {{Al|5}}nous obtenons finalement le schéma de sortie équivalent en complexe représenté ci-contre : {{Al|5}}on en déduit l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur par <u>loi de Pouillet en complexe</u> <ref name="Pouillet"> '''[[w:Claude_Pouillet|Claude Servais Mathias Pouillet]] (1790 - 1868)''' physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé <math>\;\big(</math>il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> La loi de Pouillet en complexe s'applique pour déterminer l'intensité instantanée complexe du courant circulant dans un circuit série en électricité complexe associée au r.s.f., elle résulte de l'application de la loi des mailles en complexe avec choix du sens <math>\;+\;</math> de f.e.m. instantanée complexe dans le sens <math>\;+\;</math> du courant <math>\;\big(</math>en accord avec l'algébrisation habituelle<math>\big)\;</math> et s'énonce «<math>\;\underline{i}(t) = \dfrac{\sum\limits_k \underline{e_k}(t)}{\sum\limits_l \underline{z_l}(j\,\omega)}\;</math>» {{Nobr|<math>\big[</math>encore}} applicable en valeurs efficaces complexes<math>\big]\;</math> <math>\big(</math>à retenir et à savoir utiliser sans hésitation<math>\big)</math>.</ref> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{e_{\text{Th}}}(t)}{\underline{z_{\text{Th}}}(j\,\omega) + \underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)} = \dfrac{\dfrac{\underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega) - \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_3}(j\,\omega)}{[\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)]\;[\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)]}\; \underline{e}(t)}{\dfrac{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega)} + \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} + \underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)}\;</math>» ou encore <br>«<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\left[ \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega) - \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_3}(j\,\omega) \right] \underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_2}(j\,\omega) \left[ \underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) \right] + \underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega) \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \right] + \cdots}</math> <math>\dfrac{\color{white}Z}{\color{black}\cdots\; \underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega) \left[ \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \right] \left[ \underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) \right]}\;</math>» dans l'hypothèse où «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\\ \text{et}\\ \underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math>» ;</div> {{Al|5}}le sens du courant dépendant du signe de <math>\;e_{\text{Th}}(t)\;</math><ref> Il ne s'agit évidemment pas de la f.e.m. instantanée complexe mais de la f.e.m. instantanée sinusoïdale associée.</ref>, on observe l'« absence de courant dans le détecteur » quand la f.e.m. de Thévenin<ref name="Thévenin" /> du générateur de Thévenin<ref name="Thévenin" /> équivalent au R.D.L<ref name="R.D.L." />. « pont de type Wheatstone<ref name="Wheatstone" /> alimenté en entrée par <math>\;e(t)\;</math> et vu des bornes de sortie » est nulle à tout instant soit <div style="text-align: center;">«<math>\;e_{\text{Th}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\Leftarrow</math> <math>\;\underline{e_{\text{Th}}}(t) = 0\;\;\forall\;t</math>, on dit alors que « <u>le pont est équilibré</u> » ce qui est réalisé « si <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_3}(j\,\omega)\;</math>»<ref> Le pont est équilibré quand les deux produits des impédances complexes croisées sont égaux ; si on utilise trois impédances complexes étalon <math>\;\big(</math>c.-à-d. connues avec une bonne précision<math>\big)\;</math> variables on peut déterminer la valeur de la 4^ème impédance complexe inconnue en cherchant à équilibrer le pont de type Wheatstone.</ref>.</div> {{Al|10}}<u>Retour sur les cas très particuliers</u> <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math><ref name="cas particulier d'impédances complexes opposées" /> ou <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0\;</math><ref name="cas particulier d'impédances complexes opposées" /> : pour l'explication qui suit nous supposerons que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\\ \underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Mais le cas où <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) \neq 0\;</math> et <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0\;</math> s'en déduirait facilement.</ref>{{,}}<ref> Si la possibilité théorique d'avoir simultanément <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math> et <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0\;</math> existe, le traitement tel qu'il a été abordé jusqu'à présent aboutit à une absurdité car <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math> conduit à <math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} = -\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\;\forall\;\underline{v_C}(t)\;</math> alors que <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0\;</math> conduit à <math>\;\underline{i_s}(t) = -\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_4}(j\,\omega)} = \dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_3}(j\,\omega)}\;\;\forall\;\underline{v_D}(t)</math>, ces deux résultats étant incompatibles sauf si <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) =</math> <math>\underline{Z_3}(j\,\omega)\;</math> et <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega) = \underline{Z_4}(j\,\omega)\;</math> mais ce n'est en général pas le cas ; <br>{{Al|3}}avant de rechercher la raison de cet échec, reprenons l'expression de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> obtenue dans le cas général et faisons y <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0\;</math> et <math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0</math>, nous constatons d'une part que le dénominateur s'annule alors que d'autre part, le numérateur étant égal à <math>\;\left[ \underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega) - \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_3}(j\,\omega) \right] \underline{e}(t) = \left[ - 2\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_3}(j\,\omega) \right] \underline{e}(t)\;</math> reste de module non nul, ceci entraînant une valeur infinie pour l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur ; <br>{{Al|3}}on s'aperçoit donc que les théorèmes de transformation de dipôle actif linéaire complexe en un autre dipôle actif linéaire complexe nécessite, pour qu'aucune absurdité n'en sorte, que l'intensité des courants intervenant reste de module fini <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|23}}{{Transparent|Retour sur les cas très particuliers <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0}\;</math> : }}l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur étant fixée, indépendante des deux autres impédances complexes de somme non nulle et valant «<math>\;\underline{i_s}(t) = \dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} = -\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)}\;\;\forall\;\underline{v_C}(t)\;</math>», il est <u>impossible d'équilibrer le pont</u> ; {{Al|23}}{{Transparent|Retour sur les cas très particuliers <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0}\;</math> : }}la valeur du potentiel instantané complexe du nœud <math>\;D\;</math> étant connue en fonction de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> entre autres selon <math>\;\underline{v_D}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;\underline{e}(t) + \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;\underline{i_s}(t)\;</math> et <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> étant fixée, <math>\;\underline{v_D}(t)\;</math> l'est aussi, le report de <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> dans l'expression de <math>\;\underline{v_D}(t)\;</math> donne «<math>\;\underline{v_D}(t) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;\underline{e}(t) + \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)}\;\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} = \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} \left[ 1 + \dfrac{\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} \right] \underline{e}(t)\;</math>»<ref> En gardant <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> au lieu de <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> on trouverait «<math>\;\underline{v_D}(t) = \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} \left[ 1 - \dfrac{\underline{Z_4}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} \right] \underline{e}(t)\;</math>».</ref> ; {{Al|23}}{{Transparent|Retour sur les cas très particuliers <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_1}(j\,\omega) + \underline{Z_2}(j\,\omega) = 0}\;</math> ou <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega) = 0}\;</math> : }}la détermination de la valeur du potentiel instantané complexe du nœud <math>\;C\;</math> ayant été substituée par celle de l'intensité instantanée complexe du courant <math>\;\underline{i_s}(t)\;</math> circulant dans le détecteur, nous utiliserons celle-ci ainsi que la valeur de l'impédance complexe du détecteur <math>\;\underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)\;</math> pour en déduire {{Nobr|«<math>\;\underline{v_C}(t) - \underline{v_D}(t)</math>}} <math>= \underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)\;\underline{i_s}(t) = \underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)\;\dfrac{\underline{e}(t)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{v_C}(t) = \underline{v_D}(t) + \dfrac{\underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)}\;\underline{e}(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\underline{v_C}(t) = \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} \left[ 1 + \dfrac{\underline{Z_4}(j\,\omega) + \underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)}{\underline{Z_1}(j\,\omega)} \right] \underline{e}(t)\;</math>»<ref> En gardant <math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;</math> au lieu de <math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega)\;</math> on trouverait «<math>\;\underline{v_C}(t) = \dfrac{\underline{Z_3}(j\,\omega)}{\underline{Z_3}(j\,\omega) + \underline{Z_4}(j\,\omega)} \left[ 1 - \dfrac{\underline{Z_4}(j\,\omega) + \underline{Z_{\mathcal{D}}}(j\,\omega)}{\underline{Z_2}(j\,\omega)} \right] \underline{e}(t)\;</math>».</ref>. {{Al|5}}Parmi les détecteurs possibles figurent * l'« oscilloscope » qui permet de visualiser la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en fonction du temps <math>\;\big[</math>dans ces conditions <math>\;\underline{z_{\mathcal{D}}}(\cancel{j\,\omega}) \simeq R\;</math> la résistance utilisée pour visualiser<math>\big]\;</math> ou * l'« ampèremètre » en fonctionnement alternatif qui mesure l'intensité efficace le traversant <math>\;\big[</math>dans ces conditions <math>\;\underline{z_{\mathcal{D}}}(\cancel{j\,\omega}) \simeq r_A\;</math> la résistance de l'ampèremètre correspondant au calibre choisi<math>\big]\;</math>. {{Al|5}}Les différents types de pont <math>\;\big(</math>donnés <ref> Liste non exhaustive.</ref> à titre documentaire<math>\big)\;</math> sont : * ponts universels P/Q<ref> Un pont universel est dit P/Q quand les conducteurs ohmiques étalon sont consécutifs.</ref> : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pont de Wien<ref name="M.Wien"> '''[[w:Max_Wien|Max Wien]] (1866 - 1938)''' physicien allemand à qui on doit l'oscillateur à pont dit de Wien en <math>\;1891\;</math> et le " Löschfunkensender " <math>\;\big(</math>un générateur d'oscillations électromagnétiques légèrement amorties<math>\big)\;</math> entre <math>\;1906\;</math> et <math>\;1909</math> ; il eut l'idée d'un amplificateur électronique qu'il ne réalisa pas faute de moyens <math>\;\big[</math>ce fût '''[[w:William_Hewlett|William Hewlett]] (1913 - 2001)''', ingénieur américain en électronique, cofondateur de « Hewlett-Packard », qui le réalisa en <math>1939\big]</math>.</ref> : <math>\;(\mathfrak{1}) = R_1\; \text{en série avec}\; C_1\;</math> toutes deux variables<ref> Ou encore <math>\;(\mathfrak{1}') = {R'}_1\; \text{en}\; \parallel\; \text{sur}\; {C'}_1\;</math> toutes deux à évaluer.</ref>, <math>\;(\mathfrak{2}) = R\; \text{en}\; \parallel\; \text{sur}\; C\;</math> toutes deux à évaluer<ref> Ou encore <math>\;(\mathfrak{2}') = R'\; \text{en série avec}\; C'\;</math> toutes deux à évaluer.</ref>, <math>\;(\mathfrak{3}) = R_3\;</math> étalon et <math>\;(\mathfrak{4}) = R_4\;</math> étalon ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pont de Sauty<ref name="Sauty"> '''Charles Victor de Sauty (1831 - 1893)''' ingénieur électricien et télégraphe anglais à qui on doit essentiellement le 1^er câble télégraphique transatlantique.</ref> parallèle : <math>\;(\mathfrak{1}) = R\; \text{en}\; \parallel\; \text{sur}\; C\;</math> toutes deux à déterminer, <math>\;(\mathfrak{2}) = R_2\;</math> étalon, <math>\;(\mathfrak{3}) = R_3\;</math> étalon et <math>\;(\mathfrak{4}) = R_4\; \text{en}\; \parallel\; \text{sur}\; C_4\;</math> toutes deux variables ; * ponts universels PQ<ref> Un pont universel est dit PQ quand les conducteurs ohmiques étalon sont croisés.</ref> : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pont de Hay<ref name="Hay"> Recherche d'information sur l'auteur '''Hay''' <math>\;\big(</math>je suppose que le nom donné au pont est celui de la personne l'ayant mis en œuvre mais si c'est l'usage ce n'est pas certain et pour l'instant je n'ai rien {{Nobr|trouvé<math>\big)</math>.}}</ref> : <math>\;(\mathfrak{1}) = R\; \text{en série avec}\; L\;</math> toutes deux à déterminer, <math>\;(\mathfrak{2}) = R_2\;</math> étalon, <math>\;(\mathfrak{3}) = R_3\; \text{en série avec}\; C_3\;</math> toutes deux variables et <math>\;(\mathfrak{4}) = R_4\;</math> étalon ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> pont de Maxwell<ref name="Maxwell"> '''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour avoir unifié en un seul ensemble d'équations « les équations de Maxwell », l'électricité, le magnétisme et l'induction fournissant, pour l'époque, le modèle le plus unifié de l'électromagnétisme ; il est également célèbre pour avoir interprété la lumière comme étant un phénomène électromagnétique <math>\;\big(</math>ayant notamment démontré que les champs électriques et magnétiques se propagent dans l'espace sous la forme d'une onde et à la vitesse de la lumière<math>\big)</math> ; ce sont ces deux découvertes qui permirent d'importants travaux ultérieurs notamment en [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] et en [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] ; il a également développé la distribution de Maxwell, une méthode statistique de description de la théorie cinétique des gaz ; il est également connu pour avoir réalisé le <math>\;17\; \text{mai}\; 1861\;</math> la 1^ère photographie en vraie couleur devant les membres de la Royal Institution de Londres. <br>{{Al|3}}Quant à savoir si le nom du pont a été donné parce qu'il l'a mis en œuvre ou pour lui rendre hommage, je n'en ai trouvé aucune trace.</ref> : <math>\;(\mathfrak{1}) = R\; \text{en série avec}\; L\;</math> toutes deux à déterminer, <math>\;(\mathfrak{2}) = R_2\;</math> étalon, <math>\;(\mathfrak{3}) = R_3\; \text{en}\; \parallel\; \text{sur}\; C_3\;</math> toutes deux variables et <math>\;(\mathfrak{4}) = R_4\;</math> étalon. {{Al|5}}<u>Exemple de traitement d'un pont de Wien</u><ref name="M.Wien" />{{,}}<ref> Dans le pont de Wien considéré le dipôle <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> variable est <math>\;R_1\;</math> en série avec <math>\;C_1\;</math> et le dipôle <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> à évaluer est <math>\;R\;</math> en <math>\;\parallel\;</math> sur <math>\;C</math>.</ref> : trouver <math>\;R\;</math> et <math>\;C\;</math> en fonction de <math>\;R_1</math>, <math>\;C_1</math>, <math>\;R_3</math>, <math>\;R_4</math> et <math>\;\omega</math> ; {{Al|23}}{{Transparent|Exemple de traitement d'un pont de Wien }}les valeurs des quatre impédances complexes sont respectivement «<math>\;\underline{Z_1}(j\,\omega) = R_1 + \dfrac{1}{j\;C_1\;\omega}\;</math>», «<math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{R\;\dfrac{1}{j\;C\;\omega}}{R + \dfrac{1}{j\;C\;\omega}} = \dfrac{R}{1 + j\;R\;C\;\omega}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\underline{Z_3}(j\,\omega) = R_3\;</math>»}} et «<math>\;\underline{Z_4}(j\,\omega) = R_4\;</math>» ; {{Al|23}}{{Transparent|Exemple de traitement d'un pont de Wien }}la condition d'équilibre du pont s'écrivant «<math>\;\underline{Z_2}(j\,\omega)\;\underline{Z_4}(j\,\omega) = \underline{Z_1}(j\,\omega)\;\underline{Z_3}(j\,\omega)\;</math>» nous conduit ici à l'égalité de complexes «<math>\;\dfrac{R}{1 + j\;R\;C\;\omega}\;R_4 =</math> <math>\left[ R_1 + \dfrac{1}{j\;C_1\;\omega} \right] R_3\;</math>» c.-à-d. l'égalité des parties réelles de chaque membre et de celle des parties imaginaires d'où la modification du membre de gauche en multipliant haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur et celle du membre de droite en le mettant sous forme algébrique «<math>\;\dfrac{R \left[ 1 - j\;R\;C\;\omega \right]}{1 + R^2\;C^2\;\omega^2}\;R_4 = \left[ R_1 - j\;\dfrac{1}{C_1\;\omega} \right] R_3\;</math>» <math>\Rightarrow</math> le système suivant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \!\dfrac{R\;R_4}{1 + R^2\;C^2\;\omega^2} \!\!\!\!&=&\!\!\!\! R_1\;R_3\! \\ \!\dfrac{R^2\;R_4\;C\;\omega}{1 + R^2\;C^2\;\omega^2} \!\!\!\!&=&\!\!\!\! \dfrac{R_3}{C_1\;\omega}\! \end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|23}}{{Transparent|Exemple de traitement d'un pont de Wien }}on élimine <math>\;1 + R^2\;C^2\;\omega^2\;</math> en divisant la 2^ème équation par la 1^ère d'où «<math>\;R\;C\;\omega = \dfrac{1}{R_1\;C_1\;\omega}\;</math>» ce qui permet d'évaluer «<math>\;1 + R^2\;C^2\;\omega^2 =</math> <math>1 + \dfrac{1}{R_1^2\;C_1^2\;\omega^2} = \dfrac{1 + R_1^2\;C_1^2\;\omega^2}{R_1^2\;C_1^2\;\omega^2}\;</math>» et par suite <math>\;R\;</math> par la 1^ère équation soit <math>\;R = \dfrac{R_1\;R_3}{R_4} \left[ 1 + R^2\;C^2\;\omega^2 \right] = \dfrac{R_1\;R_3}{R_4}\;\dfrac{1 + R_1^2\;C_1^2\;\omega^2}{R_1^2\;C_1^2\;\omega^2}\;</math> ou encore <center>«<math>\;R = \dfrac{R_1\;R_3}{R_4} \left[ 1 + \dfrac{1}{R_1^2\;C_1^2\;\omega^2} \right]\;</math>» ;</center> {{Al|23}}{{Transparent|Exemple de traitement d'un pont de Wien }}on détermine <math>\;C\;</math> en reportant <math>\;R\;</math> dans <math>\;R\;C\;\omega = \dfrac{1}{R_1\;C_1\;\omega}\;</math> selon <math>\;C = \dfrac{1}{R_1\;C_1\;\omega}\;\dfrac{1}{R\;\omega}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;C = \dfrac{1}{R_1\;C_1\;\omega^2}\;\dfrac{R_4}{R_1\;R_3}\;\dfrac{R_1^2\;C_1^2\;\omega^2}{1 + R_1^2\;C_1^2\;\omega^2}\;</math> ou <center>«<math>\;C = \dfrac{R_4}{R_3}\;\dfrac{C_1}{1 + R_1^2\;C_1^2\;\omega^2}\;</math>» ;</center> {{Al|23}}{{Transparent|Exemple de traitement d'un pont de Wien }}exemple numérique : sous <math>\;f = 50\; Hz</math>, avec <math>\;R_3 = R_4 = 1\; k \Omega</math>, on réalise l'équilibre avec <math>\;C_1 = 1,0\; \mu F\;</math> et <math>\;R_1 = 1,0\; k \Omega</math>, on en déduit la résistance cherchée <math>\;R \simeq \dfrac{1,0 \times 1,0}{1,0} \times \dfrac{1 + \left( 10^3 \right)^2 \times \left( 10^{-6} \right)^2 \times \left( 314 \right)^2}{\left( 10^3 \right)^2 \times \left( 10^{-6} \right)^2 \times \left( 314 \right)^2}\;</math><ref> Laissant les résistances de la 1^ère fraction en <math>\;k \Omega</math>, le résultat sera donc en <math>\;k \Omega\;</math> mais bien entendu il est impératif de mettre la résistance de la 2^ème fraction en <math>\;\Omega\;</math> ainsi que la capacité en <math>\;F</math>.</ref> en <math>\;k \Omega\;</math> soit encore <math>\;R \simeq 11,1\; k \Omega\;</math> ainsi que la capacité à évaluer <math>\;C \simeq</math> <math>\dfrac{1,0}{1,0}\;\dfrac{1,0}{1 + \left( 10^3 \right)^2 \times \left( 10^{-6} \right)^2 \times \left( 314 \right)^2}\;</math><ref> Les résistances de la 1^ère fraction peuvent être laissées en <math>\;k \Omega\;</math> car le résultat de la fraction est sans unité, si la capacité du numérateur de la 2^ème fraction est laissée en <math>\;\mu F</math>, le résultat sera en <math>\;\mu F\;</math> mais bien entendu il est impératif de mettre la résistance du dénominateur de la 2^ème fraction en <math>\;\Omega\;</math> ainsi que la capacité en <math>\;F</math>.</ref> soit enfin <math>\;C \simeq 0,076\;\mu F = 76\;nF</math>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe|Oscillateurs amortis : r.s.f., impédance complexe]] | suivant = [[../Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance|Oscillateurs amortis : oscillat. élect. ou méca soumis à une excitat. sinus., résonance]] }} gzpz2uj22bgwpr58x10ioadkum6iydj 0 79545 983003 962544 2026-05-24T05:28:03Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 983003 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 4 | niveau = 14 | précédent = [[../Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes/]] | suivant = [[../Filtrage linéaire : signaux périodiques/]] }} == Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série », impédance et déphasage (avance de phase de la tension entre ses bornes sur l'intensité du courant le traversant) == === Rappel de l'impédance complexe d'un « R L C série » en complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) === {{Al|5}}Comme cela a été vu au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Exemple_:_impédance_complexe_d'un_«_R_L_C_série_»|exemple : impédance complexe d'un R L C série]] (comme exemple d'association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f.) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » l'impédance complexe d'un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série » en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f."> Régime Sinusoïdal Forcé.</ref>. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}\;</math> s'évalue selon <center>«<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + j\, L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;</math>».</center> === Impédance du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance === {{Al|5}}De la forme algébrique de l'impédance complexe <math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)\;</math> on en tire * sa « résistance <math>\;\mathcal{R}_{R\,L\,C\;\text{série}}(\cancel{\omega}) = \Re \left[ \underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) \right] = R\;\in \mathbb{R}^{+}\;</math>» et * sa « réactance <math>\;X_{R\,L\,C\;\text{série}}(\omega) = \Im \left[ \underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) \right] = L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}\;\in \mathbb{R}\;</math>» puis {{Al|5}}on en déduit son impédance par <math>\;Z_{R\,L\,C\;\text{série}}(\omega) = \bigg\vert \underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega) \bigg\vert = \sqrt{\mathcal{R}_{R\,L\,C\;\text{série}}^2(\cancel{\omega}) + X_{R\,L\,C\;\text{série}}^2(\omega)}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;Z_{R\,L\,C\;\text{série}}(\omega) = \sqrt{R^2 + \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)^{\!2}}\;</math>».</center> === Avance de phase de la tension sur l'intensité du « R L C série » en fonction de sa résistance et de sa réactance === {{Al|5}}La résistance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité <math>\;\left( \varphi_u - \varphi_i \right) \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\; ,\; +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résistance du <math>\;\color{transparent}{R\, L\, C}\;</math> série étant toujours positive au sens large, l'avance de phase de la tension sur l'intensité }}s'évalue selon <math>\;\varphi_u - \varphi_i = \arctan\! \left[ \dfrac{X_{R\,L\,C\;\text{série}}(\omega)}{\mathcal{R}_{R\,L\,C\;\text{série}}(\cancel{\omega})} \right]\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\varphi_u - \varphi_i = \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}}{R} \right)\;</math>».</center> == Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), fréquence de résonance en intensité, nullité du déphasage à la résonance en intensité == <center>Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}</math>.</center> === Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes === {{Al|5}}Soit «<math>\;u_g(t) = U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_{u_g} \right)\;</math> la tension instantanée imposée au <math>\;R\, L\, C\;</math> série » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;i(t) = I(\omega)\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_i \right)\;</math><ref name="I dépendant de omega"> La tension efficace <math>\;U_g\;</math> imposée aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant constante mais l'impédance de ce dernier dépendant de la fréquence, il en est de même de l'intensité efficace du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref> l'intensité instantanée du courant le traversant », <br>{{Al|5}}on leur associe les grandeurs instantanées complexes «<math>\;\underline{u_g}(t) = \underline{U_g}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\, \omega\,t \right)\;</math>» et «<math>\;\underline{i}(t) = \underline{I}(j\,\omega)\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\, \omega\,t \right)\;</math>»<ref name="I souligné dépendant de omega"> La tension efficace complexe <math>\;\underline{U_g}\;</math> imposée aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant constante mais l'impédance complexe de ce dernier dépendant de la fréquence, il en est de même de l'intensité efficace complexe du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on leur associe les grandeurs instantanées complexes }}avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «<math>\;\underline{U_g} = U_g\,\exp\! \left( j\,\varphi_{u_g} \right)\;</math>» et «<math>\;\underline{I}(j\,\omega) = I(\omega)\,\exp\! \left[ j\,\varphi_i(\omega) \right]\;</math>»<ref name="I souligné dépendant de omega" />{{,}}<ref name="I dépendant de omega" /> ; {{Al|5}}de l'expression de l'impédance complexe du <math>\;R\, L\, C\;</math> série on déduit la réponse efficace complexe en intensité par loi d'Ohm<ref name="Ohm"> '''[[w:Georg_Ohm|Georg Simon Ohm]] (1789 - 1854)''' physicien allemand essentiellement connu pour sa découverte de la loi qui porte maintenant son nom.</ref> en complexe soit <center>«<math>\;\underline{I}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{U_g}}{\underline{Z_{R\,L\,C\;\text{série}}}(j\,\omega)} = \dfrac{\underline{U_g}}{R + j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)}\;</math>».</center> === Intensité efficace du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}L'intensité efficace du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série se déterminant en prenant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit <center>«<math>\;I(\omega) = \big\vert\, \underline{I}(j\,\omega)\, \big\vert = \dfrac{\vert \underline{U_g} \vert}{\vert \underline{Z_{\text{R L C série}}} \vert} = \dfrac{U_g}{Z_{\text{R L C série}}} = \dfrac{U_g}{\sqrt{R^2 + \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)^{\!2}}}\;</math>».</center> === Phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}La phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série se déterminant en prenant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit <center>«<math>\;\varphi_i(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{I}(j\,\omega) \right] = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{U_g} \right] - \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_{\text{R L C série}}} \right] = \varphi_{u_g} - \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}}{R} \right)\;</math>».</center> === Résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}La tension efficace <math>\;U_g\;</math> aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant constante et la pulsation <math>\;\omega\;</math> imposée par le générateur variable, on constate que l'intensité efficace <math>\;I(\omega)\;</math> du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série passe par un maximum quand l'impédance <math>\;Z_{\text{R L C série}}\;</math> de ce dernier est minimale et, comme celle-ci est la racine carrée de la somme de deux termes positifs dont le 1^er est constant, elle est minimale quand le 2^ème l'est aussi, ce qui est réalisé quand il s'annule c.-à-d. quand <math>\;L\,\omega = \dfrac{1}{C\,\omega}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L\,C}} = \omega_0\;</math> <math>\big(</math>pulsation propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série<math>\big)</math>. <center>En conclusion l'intensité efficace du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est maximale <math>\;\big(</math>on dit alors que <u>l'intensité entre en résonance</u><math>\big)\;</math> <br>quand <u>la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre</u> du <math>\;R\, L\, C\;</math> série ; <br>« la valeur maximale de l'intensité efficace est alors <math>\;I_{\text{max}} = I(\omega_0) = \dfrac{U_g}{R}\;</math>».</center> === Valeur du déphasage à la résonance en intensité du courant traversant le « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}On vérifie que l'avance de phase de la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur l'intensité du courant le traversant est nulle à la fréquence de résonance en intensité soit <center>«<math>\;\varphi_{u_g} - \varphi_i(\omega_0) = \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega_0 - \dfrac{1}{C\,\omega_0}}{R} \right) = 0\;</math>», <br>c.-à-d. que <u>l'intensité du courant</u> traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série <u>est en phase avec la tension à ses bornes à la résonance en intensité</u>.</center> === Réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel === [[File:R L C série en r.s.f. - diagramme de Fresnel.png|thumb|350px|Diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en intensité]] {{Al|5}}Avant de traiter ce paragraphe il convient, si besoin, de revoir la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Vecteur_de_Fresnel_tournant|vecteur de Fresnel tournant]] » puis celle de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Vecteur_de_Fresnel|vecteur de Fresnel]] (sous-entendu à l'origine des temps) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avant de traiter ce paragraphe }}la notion de diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel"> '''[[w:Augustin_Fresnel|Augustin Jean Fresnel]] (1788 - 1827)''' physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.</ref> n'étant qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes <math>\;\big(</math>ou de valeurs efficaces complexes<ref name="valeur efficace et amplitude complexes"> La valeur efficace complexe étant l'amplitude complexe divisée par <math>\;\sqrt{2}</math>.</ref><math>\big)\;</math> dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation {{Nobr|<math>\;\omega\;</math><ref name="lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel"> Voir justification au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Lien_entre_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresne|lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>}} quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire, nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement, préférant l'utilisation des amplitudes complexes <math>\;\big(</math>ou des valeurs efficaces complexes<ref name="valeur efficace et amplitude complexes" /><math>\big)\;</math> <math>\ldots</math> {{Al|5}}On trace les vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associés à chaque tension<ref name="particularisation du vecteur de Fresnel"> Les vecteurs de Fresnel tracés ici ont pour norme la valeur efficace de tensions <math>\;\big(</math>ou d'intensités<math>\big)\;</math> au lieu de leur amplitude, ils sont donc <math>\;\sqrt{2}\;</math> plus courts.</ref>, puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à la tension imposée par le générateur, le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à l'intensité du courant circulant dans le <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant colinéaire au vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, voir diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> ci-contre <ref name="particularisation du vecteur de Fresnel" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On en déduit par exemple : * «<math>\;U_g = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}\;</math> par théorème de Pythagore »<ref name="Pythagore"> '''[[w:Pythagore|Pythagore]] (vers 580 av.J.C. - vers 495 av.J.C.)''' philosophe et mathématicien grec n'ayant peut-être laissé aucun écrit, les quelques écrits qui lui sont parfois attribués auraient été commis par ses disciples.</ref> avec «<math>\;U_R = R\;I\;</math>», «<math>\;U_L = L\;\omega\;I\;</math>» et «<math>\;U_C = \dfrac{I}{C\;\omega}\;</math>» d'où le lien entre <math>\;U_g\;</math> et <math>\;I\;</math> {{Nobr|«<math>\;U_g =</math>}} <math>\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;I\;</math>» et * «<math>\;\tan\! \left( \varphi_{u_g} - \varphi_i \right) = \dfrac{U_L - U_C}{U_R}\;</math> dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont <math>\;U_R\;</math> et <math>\; \vert\, U_L - U_C\, \vert\;</math>» d'où, avec les valeurs de <math>\;U_R</math>, <math>\;U_L\;</math> et <math>\;U_C\;</math> rappelées ci-dessus, l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur l'intensité du courant le traversant {{Nobr|«<math>\;\varphi_{u_g} - \varphi_i</math>}} <math>= \arctan \left( \dfrac{L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega}}{R} \right)\;</math>»<ref name="sous forme d'un arctan"> Par construction l'avance de phase de la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur l'intensité du courant le traversant <math>\;\in\, \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, + \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> peut être mise sous la forme d'un arctangente <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>. === Réduction canonique dans le cadre d'une réponse sinusoïdale forcée d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === ==== Choix de la réduction canonique d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale » ==== {{Al|5}}Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réductions_canoniques|réductions canoniques]] d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série dans le cadre de la réponse en <math>\;u_C(t)\;</math> à un échelon de tension »<ref name="identité des réductions canoniques"> Mais les réductions canoniques sont les mêmes dans la réponse en <math>\;i(t)\;</math> ou en <math>\;u_L(t)\;</math> et, comme nous le voyons ici, quelle que soit la forme de la tension qui lui est appliquée.</ref> du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », il y a trois réductions canoniques possibles et, dans le cadre du r.s.f.<ref name="r.s.f." />, l'habitude quasi-générale est de choisir la 2^ème réduction canonique c.-à-d. : * la « <u>pulsation propre</u> <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math> s'exprimant en <math>\;rad\,\cdot\,s^{-1}\;</math>» et * le « <u>facteur de qualité</u> <math>\;Q > 0\;</math> sans dimension défini par <math>\;\dfrac{R}{L} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math> <ref name="facteur de qualité"> C.-à-d. correspondant au cœfficient de la dérivée temporelle 1^ère de la réponse dans l'équation différentielle normalisée en la réponse.</ref> soit <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math>»<ref name="différente forme facteur de qualité"> La 2^ème expression se déduisant de la 1^ère en utilisant <math>\;L\;C\;\omega_0^2 = 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;L\;\omega_0 = \dfrac{1}{C\;\omega_0}</math> ; <br>{{Al|20}}une 3^ème expression peut être obtenue en éliminant <math>\;\omega_0\;</math> en fonction de <math>\;L\;</math> et <math>\;C\;</math> on obtient «<math>\;Q = \dfrac{1}{R}\;\sqrt{\dfrac{L}{C}}\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}l'usage dans le cadre du r.s.f<ref name="r.s.f." />. est de « remplacer la notion de pulsation <math>\;\omega\;</math> en <math>\;rad\,\cdot\,s^{-1}\;</math> par celle de <u>pulsation réduite</u> <math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0}\;</math><ref name="fréquence réduite"> Celle-ci étant aussi la « <u>fréquence réduite</u> <math>\;x = \dfrac{f}{f_0}\;</math>» avec <math>\;f_0\;</math> la fréquence propre, <math>\;\bigg\{</math>car <math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0}\;</math> avec <math>\;\omega = 2\;\pi\;f\;</math> et <math>\;\omega_0 = 2\;\pi\;f_0</math>, conduit, en simplifiant haut et bas par <math>\;2\;\pi</math>, à l'expression <math>\;x = \dfrac{f}{f_0}\bigg\}</math>.</ref>, sans dimension<ref name="mesure de x"> Ainsi <math>\;x\;</math> mesure la pulsation <math>\;\big(</math>ou la fréquence<math>\big)\;</math> en unité <math>\;\omega_0\;</math> <math>\;\big(</math>ou en unité <math>\;f_0\big)</math>.</ref> ». {{Al|5}}La « réponse en intensité » du <math>\;R\, L\, C\;</math> série à la « tension imposée » par le générateur n'ayant pas la même homogénéité que l'« excitation en tension », la réduction canonique ne peut être « complète » <ref name="réduction complète"> Une réduction canonique est « complète » lorsqu'il ne reste plus que des grandeurs sans dimension éliminant toute référence au problème d'origine en les remplaçant par des références adaptables à toute une série de problèmes identiques dans des domaines très divers.</ref>, il restera un facteur ayant l'homogénéité d'une impédance et nous choisirons le maintien de <math>\;R</math>. ==== Forme canonique de l'impédance complexe d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale » ==== {{Al|5}}Déterminons d'abord la réduction canonique de l'impédance complexe du <math>\;R\, L\, C\;</math> série «<math>\;\underline{Z_{\text{R L C série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \right)\;</math>» * par élimination de <math>\;\omega\;</math> au profit de <math>\;x\;</math> selon <math>\;\omega = x\;\omega_0\;</math> soit «<math>\;\underline{Z_{\text{R L C série}}}(j\,x\,\omega_0) = R + j \left( L\,\omega_0\,x - \dfrac{1}{C\,\omega_0\,x} \right)\;</math>» * suivi d'une factorisation par <math>\;R\;</math><ref> Permettant de conserver ce paramètre d'une part et de faire apparaître le facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math> d'autre part.</ref> donnant «<math>\;\underline{Z_{\text{R L C série}}}(j\,x\,\omega_0) = R \left[ 1 + j \left( \dfrac{L\,\omega_0}{R}\,x - \dfrac{1}{R\,C\,\omega_0}\,\dfrac{1}{x} \right) \right]\;</math>» et finalement <center>«<math>\;\underline{Z_{\text{R L C série}}}(j\,x) = R \left[ 1 + j\, Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right]\;</math>»<ref> Bien que l'on ne considère plus la variation de l'impédance complexe selon la même variable <math>\;\big(\omega\;</math> ayant été remplacée par <math>\;x\big)\;</math> et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation <math>\;\underline{Z_{\text{R L C série}}}</math>.</ref>.</center> ==== Forme canonique de l'intensité efficace complexe du courant traversant un « R L C série en complexe associée au r.s.f. » en fonction de la tension efficace complexe imposée aux bornes du « R L C série » ==== {{Al|5}}De l'expression canonique de l'impédance complexe du «<math>\;R\, L\, C\;</math> série en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. » on déduit la réponse en intensité efficace complexe du courant traversant ce dernier en fonction de la tension efficace complexe qui lui est imposée <center>«<math>\;\underline{I}(j\,x) = \dfrac{\underline{U}_g}{\underline{Z_{\text{R L C série}}}(j\,x)} = \dfrac{\underline{U}_g}{R \left[ 1 + j\, Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right]}</math>»<ref name="I en fonction de x"> Bien que l'on ne considère plus la variation de l'intensité efficace complexe du courant traversant le <math>\;R\,L\,C\;</math> série selon la même variable <math>\;\big(\omega\;</math> ayant été remplacée par <math>\;x\big)\;</math> et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation <math>\;\underline{I}</math>.</ref></center> {{Al|5}}dont on tire : * la « réponse en intensité efficace du courant traversant le “<math>\;R\, L\, C\;</math> série en r.s.f<ref name="r.s.f." />. ” en fonction de la tension efficace <math>\;U_g\;</math> aux bornes de ce dernier », la résistance <math>\;R\;</math> du conducteur ohmique y figurant, le facteur de qualité <math>\;Q\;</math> et la fréquence réduite <math>\;x\;</math> soit <center>«<math>\;I(x) = \big\vert\, \underline{I}(j\,x)\, \big\vert = \dfrac{\vert \underline{U}_g \vert}{\bigg\vert \underline{Z_{\text{R L C série}}}(j\,x) \bigg\vert} = \dfrac{U_g}{R\; \sqrt{1 + Q^2 \left( x - \dfrac{1}{x} \right)^{\!2}}}\;</math>»<ref name="I en fonction de x" /> ou <br>«<math>\;I(x) = \dfrac{U_g}{Z_{\text{R L C série}}(x)}\;</math>» avec «<math>\;Z_{\text{R L C série}}(x) = R\;\sqrt{1 + Q^2 \left( x - \dfrac{1}{x} \right)^{\!2}}\;</math> impédance du <math>\;R\, L\, C\;</math> série » sous forme réduite et</center> * la « phase à l'origine de l'intensité instantanée du courant traversant le “<math>\;R\, L\, C\;</math> série en r.s.f<ref name="r.s.f." />. ” en fonction de celle de la tension instantanée <math>\;\varphi{u_g}\;</math> aux bornes de ce dernier, le facteur de qualité <math>\;Q\;</math> et la fréquence réduite <math>\;x\;</math>» soit <center>«<math>\;\varphi_i(x) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{I}(j\,x) \right] = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{U_g} \right] - \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_{\text{R L C série}}}(j\,x) \right] = \varphi_{u_g} - \arctan\! \left[ Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right]\;</math>»<ref name="I en fonction de x" /> ;</center> {{Al|5}}on vérifie * la <u>résonance en intensité pour la « fréquence réduite unité »</u> <ref> En accord avec le fait qu'il y a résonance en intensité quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref>, la « valeur maximale étant alors <math>\;I_{\text{max}} = I(x = 1) = \dfrac{U_g}{R}\;</math>» et * la <u>nullité du déphasage entre tension et intensité</u> à la résonance en intensité c.-à-d. <u>pour la « fréquence réduite unité »</u><ref> En accord avec le fait que le déphasage est nul à la résonance en intensité c.-à-d. quand la fréquence imposée par le générateur est égale à la fréquence propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref>, soit «<math>\;\varphi_i(x = 1) = \varphi_{u_g}\;</math>». == Courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, définition de l'acuité de la résonance en intensité == === Tracé (point par point) de la courbe de valeur efficace en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence === [[File:R L C série - courbes de l'intensité efficace en fonction de la fréquence.png|thumb|400px|Superposition des courbes de réponse en intensité efficace traversant un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math> pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue <math>\;Q = 0,4</math>, modérée <math>\;Q = 2\;</math> et aiguë <math>\;Q = 10</math>]] {{Al|5}}Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en intensité efficace du courant traversant le «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe sur laquelle on observe une résonance pour <math>\;x_r = 1\;</math> correspondant à une valeur différente du facteur de qualité * <math>\;Q = 0,4\;</math> donnant une résonance qualifiée de « floue », * <math>\;Q = 10\;</math> donnant une résonance qualifiée d'« aiguë » et * <math>\;Q = 2\;</math> donnant une résonance ni « floue » ni « aiguë ». <center>Voir tableau de variation explicité ci-dessous : {| class="wikitable" | align="center" | <math>\;x\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;1\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;X(x) = x - \dfrac{1}{x}\;</math><ref name="Variation croissante de X"> La grandeur <math>\;X(x) = x - \dfrac{1}{x}\;</math> étant une fonction croissante de <math>\;x</math>, en effet sa dérivée relativement à <math>\;x\;</math> vaut <math>\;X'(x) =</math> <math>1 + \dfrac{1}{x^2} > 0\;\;\forall x</math>, est une grandeur intermédiaire très pratique (mais malheureusement pas toujours utilisable).</ref> | align="center" | <math>\;-\infty\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;Z_{\text{R L C série}}(x) = R\; \sqrt{1 + Q^2\; X^2(x)}\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;R\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;I(x) = \dfrac{U_g}{Z_{\text{R L C série}}(x)}\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;\dfrac{U_g}{R}\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> |}</center> {{Al|5}}« Pour <math>\;x \rightarrow 0\;</math>», <math>\;X(x) \sim -\dfrac{1}{x}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;X^2(x) \sim \dfrac{1}{x^2}\;</math> d'où «<math>\;Z_{\text{R L C série}}(x) \sim R\;\dfrac{Q}{x}\;</math>» et par suite «<math>\;I(x) \sim \dfrac{U_g}{R}\;\dfrac{x}{Q}\;</math>» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «<math>\;I'(x) \sim \dfrac{U_g}{R}\;\dfrac{1}{Q} \neq 0\;</math>» précisant que la tangente à la courbe en <math>\;x = 0\;</math> n'est pas parallèle à l'axe des <math>\;x\;</math> <math>\big(</math>la pente étant d'autant plus faible que <math>\;Q\;</math> est grand<math>\big)</math>. === Nature du filtre de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » === {{Al|5}}La réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est <center>un « <u>passe-bande</u> » <ref name="passe-bande, passe-bas"> La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap.<math>7</math> intitulé « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_2ème_partie|filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-bas » ; <br>{{Al|3}}on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)\;</math> sur un <u>intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle</u> et qu'elle peut être « négligée » <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)\;</math> en dehors ;<br>{{Al|3}}on parle de « passe-bas » quand la réponse est d'amplitude « notable » <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)\;</math> sur un <u>intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure nulle</u> et qu'elle peut être « négligée » <math>\;\big(</math>à {{Nobr|préciser<math>\big)\;</math>}} en dehors.</ref> pour toute valeur du facteur de qualité</center> {{Al|5}}car il y a résonance quel que soit <math>\;Q\;</math><ref> Donc des valeurs notables dans l'intervalle dit passant.</ref> avec des limites nulles à basse et haute fréquence<ref> Donc des valeurs négligeables au voisinage de la fréquence nulle entraînant que la borne inférieure de l'intervalle dit passant n'est pas nulle et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Donc des valeurs négligeables }}au voisinage de la fréquence infinie entraînant que la largeur de l'intervalle dit passant est finie.</ref>. === Fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » === {{Al|5}}Les fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels"> <math>\;dB\;</math> est le symbole de « décibels » ; l'explication de la dénomination « à <math>\;-3\;dB\;</math>» est fournie dans le paragraphe suivant « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Pourquoi_les_fréquences_de_coupure_et_la_bande_passante_sont-elles_à_-3dB_?|pourquoi les fréquences de coupure et la bande passante sont-elles à -3dB ?]] » de ce chapitre.</ref> <math>\;f_c\;</math> sont « les valeurs de fréquence pour lesquelles la réponse est égale à la réponse maximale divisée par <math>\;\sqrt{2}\;</math>» soit ici «<math>\;I(f_c) = \dfrac{I(f_0)}{\sqrt{2}}\;</math>» ou, en fréquences réduites, «<math>\;I(x_c) = \dfrac{I(x_0 = 1)}{\sqrt{2}}\;</math>» soit concrètement l'équation suivante «<math>\;\dfrac{\dfrac{U_g}{R}}{\sqrt{1 + Q^2 \left( x_c - \dfrac{1}{x_c} \right)^{\!\!2}}} = \dfrac{\dfrac{U_g}{R}}{\sqrt{2}}\;</math>» équivalente à <math>\;Q^2 \left( x_c - \dfrac{1}{x_c} \right)^{\!\!2} = 1\;</math> et finalement l'équation <math>\;\bigg\vert x_c - \dfrac{1}{x_c} \bigg\vert = \dfrac{1}{Q}\;</math> ou encore <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_{c,\,h} - \dfrac{1}{x_{c,\,h}} = \dfrac{1}{Q}\\x_{c,\,b} - \dfrac{1}{x_{c,\,b}} = -\dfrac{1}{Q}\end{array}\;\;\text{avec }\;x_c \in \mathbb{R}^{+}\;\text{et } x_{c,\,h} > 1 > x_{c,\,b}\right.\;</math>»<ref> En effet <math>\;f\;</math> et <math>\;f_0\;</math> étant toutes deux positives, il doit en être de même de toutes valeurs de fréquence réduite donc de celles de fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB</math> ;<br>{{Al|3}}de plus <math>\;x_{c,\,h}\;</math> étant supérieure à <math>\;\dfrac{1}{x_{c,\,h}}\;</math> <math>\bigg(</math>car <math>\;x_{c,\,h} - \dfrac{1}{x_{c,\,h}} = \dfrac{1}{Q} > 0\bigg)\;</math> est <math>\;> 1\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|de plus }}<math>\;x_{c,\,b}\;</math> étant inférieure à <math>\;\dfrac{1}{x_{c,\,b}}\;</math> <math>\bigg(</math>car <math>\;x_{c,\,b} - \dfrac{1}{x_{c,\,b}} = -\dfrac{1}{Q} < 0\bigg)\;</math> est <math>\;< 1</math>.</ref>, <br> <math>\;x_{c,\,h}\;</math> étant appelée « fréquence réduite de coupure haute à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> »<ref name="unicité de la solution"> <math>\;x_{c,\,h}\;</math> étant solution de <math>\;x_{c,\,h} - \dfrac{1}{x_{c,\,h}} = \dfrac{1}{Q}\;</math> <math>\leftrightarrow</math> <math>\;x_{c,\,h}^2 - 1 = \dfrac{x_{c,\,h}}{Q}\;</math> équation du 2^ème degré en <math>\;x_{c,\,h}\;</math> qui admet <math>\;\big(</math>nous le démontrerons<math>\big)\;</math> deux racines réelles distinctes, nous conserverons la racine physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. la racine positive<math>\big)</math>, ce qui assurera l'unicité de la solution.</ref> et <math>\;x_{c,\,b}\;</math> « fréquence réduite de coupure basse à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> »<ref name="unicité de la solution - bis"> <math>\;x_{c,\,b}\;</math> étant solution de <math>\;x_{c,\,b} - \dfrac{1}{x_{c,\,b}} = -\dfrac{1}{Q}\;</math> <math>\leftrightarrow</math> <math>\;x_{c,\,b}^2 - 1 = -\dfrac{x_{c,\,b}}{Q}\;</math> équation du 2^ème degré en <math>\;x_{c,\,b}\;</math> qui admet <math>\;\big(</math>nous le démontrerons<math>\big)\;</math> deux racines réelles distinctes, nous conserverons la racine physique <math>\;\big(</math>c.-à-d. la racine positive<math>\big)</math>, ce qui assurera l'unicité de la solution.</ref> ;</center> {{Al|5}}il s'agit en fait de deux équations du 2^ème degré obtenues en multipliant chaque équation par <math>\;x_{c,\, h}\;</math> ou <math>\;x_{c,\, b}\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_{c,\,h}^2 - \dfrac{x_{c,\,h}}{Q} - 1 = 0\\x_{c,\,b}^2 + \dfrac{x_{c,\,b}}{Q} - 1 = 0\end{array}\right.\;</math>» de même discriminant <math>\;\Delta = \dfrac{1}{Q^2} + 4 > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> chacune a donc deux solutions réelles distinctes dont le produit, égal à <math>\;-1</math>, assure que les deux racines de chaque équation sont de signe contraire d'où finalement l'existence d'une seule solution réelle positive pour chaque équation soit <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} x_{c,\,h} \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{2\;Q} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2} \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{2\;Q} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{4\;Q^2}}\\x_{c,\,b} \!\!&=&\!\! -\dfrac{1}{2\;Q} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2} \!\!&=&\!\! -\dfrac{1}{2\;Q} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{4\;Q^2}}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Si on cherche à déterminer les fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, il faut résoudre ces deux équations algébriques du 2^ème degré mais le plus fréquemment on souhaite simplement déterminer la largeur de l'intervalle passant en fréquences à <math>\;-3\;dB\;</math> et pour cela il est inutile de résoudre ces équations comme cela sera indiqué dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Bande_passante_à_-3dB_de_la_réponse_sinusoïdale_forcée_en_intensité_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_»|bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>,</center> {{Al|5}}d'où <u>les fréquences de coupure à</u><math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> obtenues en multipliant par <math>\;f_0\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} f_{c,\,h} = f_0 \left( \dfrac{1}{2\;Q} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{4\;Q^2}} \right)\\f_{c,\,b} = f_0 \left( -\dfrac{1}{2\;Q} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{4\;Q^2}} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|d'où }}<u>l'intervalle passant en fréquences à</u><math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> «<math>\;\left[ f_0 \left( -\dfrac{1}{2\;Q} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{4\;Q^2}} \right)\; ;\;f_0 \left( \dfrac{1}{2\;Q} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{4\;Q^2}} \right) \right]\;</math>». === Bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » === {{Al|5}}« <u>La bande passante à</u><math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <u>d'une réponse sinusoïdale forcée</u> d'un D.P.L<ref name="D.P.L."> Dipôle Passif Linéaire.</ref>. soumis à une excitation sinusoïdale » est « <u>la largeur de l'intervalle passant en fréquences à</u><math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <u>de la réponse</u> », elle est usuellement notée «<math>\;B.P._{-3dB}\;</math><ref> On la trouve encore notée <math>\;\Delta f</math>.</ref> exprimée en <math>\;Hz\;</math>» ; <br>{{Al|5}}dans le cas présent la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est définie par <center>«<math>\;B.P._{-3dB} = f_{c,\,h} - f_{c,\,b}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>si l'évaluation de la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> suit le calcul des fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> on en déduit <center>«<math>\;B.P._{-3dB} = f_{c,\,h} - f_{c,\,b} = \dfrac{f_0}{Q}\;</math>» montrant que <br>celle-ci est d'autant plus faible que le facteur de qualité est grand<ref> L'intervalle passant en fréquences à <math>\;-3\;dB\;</math> est d'autant plus étroit que le facteur de qualité est grand, ce qui correspond donc à une résonance d'autant plus aiguë que <math>\;Q\;</math> est grand.</ref> ;</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>usuellement on s'intéresse à la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> et non explicitement aux fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" />, il est donc nécessaire de savoir l'évaluer sans avoir à expliciter les fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> et on procède comme suit<ref> Si on ne demande pas d'expliciter les fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> mais uniquement d'évaluer la bande passante à <math>\;-3\;dB</math> <math>\;\big(</math>ce qui est nettement le cas le plus fréquent<math>\big)\;</math> c'est ce qui est exposé ci-après qu'il faut faire <math>\;\ldots</math></ref> : {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on part du système d'équations non linéaires en <math>\;x_{c,\,h}\;</math> et <math>\;x_{c,\,b}\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_{c,\,h} - \dfrac{1}{x_{c,\,h}} = \dfrac{1}{Q}\;\;&(\mathfrak{1})\\x_{c,\,b} - \dfrac{1}{x_{c,\,b}} = -\dfrac{1}{Q}\;\;&(\mathfrak{2})\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> le système équivalent «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}) &x_{c,\,h} + x_{c,\,b} - \left( \dfrac{1}{x_{c,\,h}} + \dfrac{1}{x_{c,\,b}} \right) &=& 0\\ (\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}) &x_{c,\,h} - x_{c,\,b} - \left( \dfrac{1}{x_{c,\,h}} - \dfrac{1}{x_{c,\,b}} \right) &=& \dfrac{2}{Q}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou, en réduisant les termes entre parenthèses au même dénominateur puis en factorisant, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}) &\left( x_{c,\,h} + x_{c,\,b} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{x_{c,\,h}\;x_{c,\,b}} \right) &=& 0\\ (\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}) &\left( x_{c,\,h} - x_{c,\,b} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{x_{c,\,h}\;x_{c,\,b}} \right) &=& \dfrac{2}{Q}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>comme les fréquences réduites de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> sont strictement positives on a nécessairement <math>\;x_{c,\,h} + x_{c,\,b} \neq 0\;</math> et par suite la 1^ère équation se réduit à «<math>\;1 - \dfrac{1}{x_{c,\,h}\;x_{c,\,b}} = 0\;</math>» soit encore <center>«<math>\;x_{c,\,h}\;x_{c,\,b} = 1\;</math>»<ref> La fréquence réduite de coupure basse à <math>\;-3\;dB\;</math> est donc l'inverse de la fréquence réduite de coupure haute à <math>\;-3\;dB</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>reportant <math>\;x_{c,\,h}\;x_{c,\,b} = 1\;</math> dans la 2^ème équation, celle-ci se réduit à «<math>\;2 \left( x_{c,\,h} - x_{c,\,b} \right) = \dfrac{2}{Q}\;</math>» fournissant la valeur de la largeur de l'intervalle passant en fréquences réduites à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <center>«<math>\;B.P._{\text{en }x\;-3dB} = x_{c,\,h} - x_{c,\,b} = \dfrac{1}{Q}\;</math>»<ref> On la trouve encore notée <math>\;\Delta x</math>.</ref></center> {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>dont on tire la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> en multipliant par la fréquence propre <math>\;f_0\;</math> soit <center>«<math>\;B.P._{-3dB} = f_0\;B.P._{\text{en }x\;-3dB} = \dfrac{f_0}{Q}\;</math>».</center> === Acuité de la résonance en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » === {{Al|5}}L'acuité d'une résonance est une grandeur sans dimension définissant le caractère « aigu » de celle-ci <math>\;\big(</math>c.-à-d. une grandeur d'autant plus grande que la résonance est plus aiguë<math>\big)</math> ; on choisit donc comme définition de l'acuité d'une résonance le rapport de la fréquence de résonance sur la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> ; {{Al|5}}dans le cas présent l'acuité de la résonance en intensité d'un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est défini selon <center>«<math>\;\mathcal{A}_i = \dfrac{f_0}{B.P._{-3dB}} = \dfrac{1}{B.P._{\text{en }x\;-3dB}}\;</math>»<ref> On pourra encore écrire <math>\;\mathcal{A}_i = \dfrac{f_0}{\Delta f} = \dfrac{1}{\Delta x}\;</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}d'après le calcul de la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> effectué dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Bande_passante_à_-3dB_de_la_réponse_sinusoïdale_forcée_en_intensité_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_»|bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante]] » plus haut dans ce chapitre on en déduit <center>«<math>\;\mathcal{A}_i = \dfrac{f_0}{B.P._{-3dB}} = Q\;</math>»<ref> On vérifie aisément ceci sur les courbes de réponse en intensité efficace traversant un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math> pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue <math>\;Q = 0,4</math>, modérée <math>\;Q = 2\;</math> et aiguë <math>\;Q = 10\;</math> présentée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Tracé_(point_par_point)_de_la_courbe_de_valeur_efficace_en_intensité_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_»_en_fonction_de_la_fréquence|tracé (point par point) de la courbe de valeur efficace en intensité d'un “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ” en fonction de la fréquence]] » plus haut de ce chapitre ;<br>{{Al|3}}pour <math>\;Q = 0,4\;</math> où la résonance est floue, on lit <math>\;x_{c,\,h} \simeq 2,85\;</math> et <math>\;x_{c,\,b} \simeq 0,35\;</math> donnant <math>\;B.P._{\text{en }x\;-3dB} \simeq 2,5\;</math> et <math>\;\mathcal{A}_i = \dfrac{1}{B.P._{\text{en }x\;-3dB}}</math> <math>\simeq 0,4\;</math> correspondant à la valeur de <math>\;Q</math> ;<br>{{Al|3}}pour <math>\;Q = 10\;</math> où la résonance est aiguë, on lit <math>\;x_{c,\,h} \simeq 1,05\;</math> et <math>\;x_{c,\,b} \simeq 0,95\;</math> donnant <math>\;B.P._{\text{en }x\;-3dB} \simeq 0,10\;</math> et <math>\;\mathcal{A}_i = \dfrac{1}{B.P._{\text{en }x\;-3dB}}</math> <math>\simeq 10\;</math> correspondant à la valeur de <math>\;Q</math> ;<br>{{Al|3}}pour <math>\;Q = 2\;</math> où la résonance est intermédiaire, on lit <math>\;x_{c,\,h} \simeq 1,28\;</math> et <math>\;x_{c,\,b} \simeq 0,78\;</math> donnant <math>\;B.P._{\text{en }x\;-3dB} \simeq 0,50\;</math> et <math>\;\mathcal{A}_i = \dfrac{1}{B.P._{\text{en }x\;-3dB}}</math> <math>\simeq 2\;</math> correspondant à la valeur de <math>\;Q</math>.</ref>.</center> === Pourquoi les fréquences de coupure et la bande passante sont-elles à -3dB ? === {{Al|5}}Utiliser une échelle linéaire pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. soumis à une excitation sinusoïdale * est bien adapté au domaine de fréquences sur lequel la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière, * rend la variation peu visible sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière, * ne permet pas d'observer de variation sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Pour rendre observables tous les domaines de fréquences précédents on utilise une échelle logarithmique <math>\;\big(</math>décimale<math>\big)\;</math> pour représenter la grandeur efficace associée à une réponse sinusoïdale forcée d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. soumis à une excitation sinusoïdale et ainsi * sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe de sa valeur maximale au dixième de cette dernière, le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> de la réponse efficace<ref name="argument d'un log sans dimension"> L'argument d'un logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> ne devant pas avoir de dimension, si la réponse efficace en a une, on ne peut pas en prendre le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)</math> ; si tel est le cas, on divise la réponse efficace par une grandeur constante de même dimension, grandeur dite de référence, on obtient alors une grandeur sans dimension proportionnelle à la réponse efficace dimensionnée et c'est le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> de cette grandeur sans dimension qui définit, par abus, le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> de la réponse efficace dimensionnée.</ref> passe de sa valeur maximale à celle-ci diminuée de un, * sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du dixième de sa valeur maximale au centième de cette dernière, le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> de la réponse efficace<ref name="argument d'un log sans dimension" /> passe de sa valeur maximale diminuée de un à celle-ci diminuée de deux, * sur le domaine de fréquences où la réponse efficace passe du centième de sa valeur maximale au millième de cette dernière, le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> de la réponse efficace<ref name="argument d'un log sans dimension" /> passe de sa valeur maximale diminuée de deux à celle-ci diminuée de trois <math>\;\ldots</math> * On voit donc que tous les domaines de fréquences sont devenus observables et de façon similaire. {{Al|5}}En fait, au lieu de définir le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> de la réponse efficace<ref name="argument d'un log sans dimension" />, on introduit une grandeur qui est « vingt fois ce logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math><ref> Le facteur <math>\;20\;</math> sera justifié le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Définition_du_gain_en_dB|définition du gain en dB]] (remarque) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> », grandeur que l'on appelle « gain en décibels de la réponse efficace », dont l'intérêt est un effet de loupe sur la variation, <center>« une diminution d'une unité du logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> de la réponse efficace<ref name="argument d'un log sans dimension" /> correspondant à une diminution de <math>\;20\;dB\;</math><ref name="décibels" /> du gain en décibels de la réponse efficace ».</center> {{Al|5}}<u>Application au cas de la réponse efficace en intensité d'un</u><math>\;R\, L\, C\;</math><u>série soumis à une excitation sinusoïdale</u> : l'intensité efficace sous forme canonique «<math>\;I(x) =</math> <math>\dfrac{U_g}{R}\;\dfrac{1}{\sqrt{1 + Q^2 \left( x - \dfrac{1}{x} \right)^{\!\!2}}}\;</math>» ayant la dimension d'une intensité, on définit une intensité de référence <math>\;I_{\text{réf}}\;</math> constante<ref> Ce peut être, par exemple, <math>\;1\;A</math>.</ref>{{,}}<ref name="argument d'un log sans dimension" /> puis le « gain en décibels de l'intensité efficace sous forme canonique » <math>\;I_{dB}(x) = 20\; \log\! \left[ \dfrac{I(x)}{I_{\text{réf}}} \right] =</math> <math>20\; \log\! \left[ \dfrac{\dfrac{U_g}{R}}{I_{\text{réf}}} \right] - 20\; \log\! \left[ \sqrt{1 + Q^2 \left( x - \dfrac{1}{x} \right)^{\!\!2}} \right]\;</math> ou encore <center>«<math>\;I_{dB}(x) = 20\; \log\! \left[ \dfrac{I(x)}{I_{\text{réf}}} \right] = I_{dB\,\text{max}} - 10\; \log\! \left[ 1 + Q^2 \left( x - \dfrac{1}{x} \right)^{\!\!2} \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Application au cas de la réponse efficace en intensité d'un<math>\;\color{transparent}{R\, L\, C}\;</math>série soumis à une excitation sinusoïdale : }}la définition de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> de la réponse efficace en intensité étant «<math>\;I(x_c) = \dfrac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'équivalent en « gain en décibels de l'intensité efficace » en en prenant vingt fois le logarithme <math>\;\big(</math>décimal<math>\big)\;</math> «<math>\;I_{dB}(x_c) = I_{dB\,\text{max}} - 20\; \log\! \left[ \sqrt{2} \right] = I_{dB\,\text{max}} - 10\;\log(2)\;</math>» soit finalement «<math>\;I_{dB}(x_c) \simeq I_{dB\,\text{max}} - 3\;dB\;</math>»<ref> En effet <math>\;\log(2) \simeq 0,3\;</math> ordre de grandeur qu'il faut connaître en électronique.</ref> d'où la signification de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <math>\;\big(</math>ainsi que celle de bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /><math>\big)</math>. == Courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB == === Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence === [[File:R L C série - courbes de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence.png|thumb|400px|Superposition des courbes d'avance de phase de l'intensité du courant traversant un <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math> pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue <math>\;Q = 0,4</math>, modérée <math>\;Q = 2\;</math> et aiguë <math>\;Q = 10</math>]] {{Al|5}}Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de l'intensité du courant traversant le «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité * <math>\;Q = 0,4\;</math> donnant une variation lente et assez régulière du déphasage, * <math>\;Q = 10\;</math> donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace, la variation étant très lente en dehors et * <math>\;Q = 2\;</math> donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite de résonance en intensité efficace avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors. <center>Voir tableau de variation explicité ci-dessous : {| class="wikitable" | align="center" | <math>\;x\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;1\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;X(x) = x - \dfrac{1}{x}\;</math><ref name="Variation croissante de X" /> | align="center" | <math>\;-\infty\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;\left( \varphi_i - \varphi_{u_g} \right)(x) = -\arctan\! \left[ Q\; X(x) \right]\;</math> | align="center" | <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> |}</center> {{Al|5}}« Pour <math>\;x \rightarrow 0\;</math>», <math>\;X(x) \sim -\dfrac{1}{x}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Delta \varphi(x) = \left( \varphi_i - \varphi_{u_g} \right)(x) \sim \arctan\! \left[ \dfrac{Q}{x} \right]\;</math>» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «<math>\;\dfrac{d \Delta \varphi}{dx}(x) \sim \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{Q}{x} \right)^{\!2}} \left[ -\dfrac{Q}{x^2} \right] = \dfrac{-Q}{x^2 + Q^2} \rightarrow -\dfrac{1}{Q} \neq 0\;</math>» précisant que la tangente à la courbe en <math>\;x = 0\;</math> n'est pas parallèle à l'axe des <math>\;x\;</math> <math>\big(</math>la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que <math>\;Q\;</math> est grand<math>\big)</math>. === Valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB === {{Al|5}}« La résonance en intensité se produisant » pour une fréquence imposée par le générateur égale à la fréquence propre du «<math>\;R\, L\, C\;</math> série » c.-à-d. « pour une fréquence réduite <math>\;x_r\;</math> égale à <math>\;1\;</math>», on en déduit <math>\;X(x_r) = x_r - \dfrac{1}{x_r}\;</math> égale à <math>\;0\;</math> et par suite «<math>\;\Delta \varphi(x_r) = \left( \varphi_i - \varphi_{u_g} \right)(x_r) = -\arctan\! \left[ Q\; X(x_r) \right]\;</math> égal à <math>\;0\;</math>» ; on retient donc que <center>« <u>l'intensité du courant</u> circulant dans le “<math>\;R\, L\, C\;</math> série ” <u>à la résonance en intensité</u> est <u>en phase avec la tension</u> à ses bornes » ou <br>«<math>\;\Delta \varphi_{\text{réson. en i}} = \left( \varphi_i - \varphi_{u_g} \right)_{\text{réson. en i}} = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}« les fréquences de coupure haute et basse à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> de l'intensité efficace » du courant circulant dans le «<math>\;R\, L\, C\;</math> série » se déterminant par la résolution des équations {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} X(x_{c,\,h}) = x_{c,\,h} - \dfrac{1}{x_{c,\,h}} = \dfrac{1}{Q}\\X(x_{c,\,b}) = x_{c,\,b} - \dfrac{1}{x_{c,\,b}} = -\dfrac{1}{Q}\end{array}\right\rbrace\;</math>»}} on en déduit «<math>\;\Delta \varphi(x) = \left( \varphi_i - \varphi_{u_g} \right)(x) = -\arctan\! \left[ Q\; X(x) \right]\;</math> égal à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} -\arctan(1)\;\;\;\,\text{pour }x_{c,\,h}\\ -\arctan(-1)\;\text{pour }x_{c,\,b}\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l c l c l} \Delta \varphi(x_{c,\,h}) \!\!&=&\!\! \left( \varphi_i - \varphi_{u_g} \right)(x_{c,\,h}) \!\!&=&\!\! -\dfrac{\pi}{4}\\ \Delta \varphi(x_{c,\,b}) \!\!&=&\!\! \left( \varphi_i - \varphi_{u_g} \right)(x_{c,\,b}) \!\!&=&\!\! +\dfrac{\pi}{4}\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> == Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en intensité quelle que soit le facteur de qualité, détermination des fréquences de coupure à -3dB == === Dispositif expérimental et 1^ères observations === {{Al|5}}On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. » <ref name="nécessité d'un montage suiveur"> Plus exactement à la sortie du montage suiveur interposé entre le générateur et le dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série de façon à ce que l'intensité du courant traversant ce dipôle ne modifie pas la valeur efficace de la tension aux bornes du générateur due à l'existence de sa résistance de sortie de <math>\;r_S = 50\; \Omega\;</math> <math>\big[</math>on rappelle que <math>\;u_g(t) = e(t) - r_S\;i(t)\;</math> et que c'est la valeur efficace de <math>\;e(t)\;</math> que l'on fixe sur le générateur, il est donc nécessaire, pour que la valeur efficace de <math>\;u_g(t)\;</math> soit aussi fixée, que <math>\;i(t)\;</math> fournie par le générateur soit nulle, ce qui est le cas à l'entrée d'un montage suiveur, le courant de sortie de ce montage et qui traversera le <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant fournie par l'alimentation stabilisée du montage<math>\big]\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_montage_suiveur_interposé_entre_le_multimètre_et_le_G.B.F._pour_mesurer_la_f.e.m._efficace_d'un_G.B.F.|utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F.]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », la raison de l'introduction du montage suiveur dans le cas présent restant la même<math>\big\}</math>.</ref> sur la voie <math>\;CH1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On visualise simultanément }}la « tension aux bornes du conducteur ohmique » <ref> Attention à la masse, le conducteur ohmique doit avoir une de ses bornes reliée à la masse du montage suiveur, ce point étant choisi comme masse de l'oscilloscope.</ref> sur la voie <math>\;CH2</math>, on observe * « en fonctionnement bicourbe <math>\;(y,\, t)\;</math>», une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie <math>\;CH2\;</math> relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie <math>\;CH1\;</math> restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie <math>\;CH2\;</math> par rapport à la courbe de la voie <math>\;CH1\;</math> et * « en fonctionnement <math>\;(x,\, y)\;</math>», une courbe de Lissajous<ref name="Lissajous"> '''[[w:Jules_Antoine_Lissajous|Jules Antoine Lissajous]] (1822 - 1880)''' physicien français essentiellement connu pour ses travaux sur les ondes ; la courbe obtenue en fonctionnement <math>\;(x,\,y)\;</math> sur un oscilloscope porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ; {{Al|5}}on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique <math>\;\big(</math>si <math>\;R \nearrow</math>, <math>\;Q \searrow\big)</math>. === Observation de la résonance en intensité === {{Al|5}}On détermine la résonance en intensité <math>\;i(t)\;</math> en déterminant la résonance en tension aux bornes du conducteur ohmique <math>\;u_R(t) = R\;i(t)</math> ; * on constate, en fonctionnement bicourbe <math>\;(y,\,t)</math>, que la valeur efficace de <math>\;u_R(t)\;</math><ref name="mesure de valeur efficace"> Mesurée en automatique sur la voie <math>\;CH2\;</math> en sélectionnant <math>\;V_{rms}\;</math> et en vérifiant en automatique sur la voie <math>\;CH1\;</math> avec la même sélection que la tension efficace imposée par le générateur reste constante.</ref> passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence<ref name="mesure de fréquence"> Mesurée en automatique sur la voie voie <math>\;CH1</math>, en sélectionnant <math>\;f</math>.</ref>, les deux courbes sur voies <math>\;CH2\;</math> et <math>\;CH1\;</math> étant alors en phase<ref> On vérifiera qu'aucune des deux voies n'a été inversée par l'opérateur <math>\;\text{inv}\;</math> car, si tel était le cas sur l'une des voies seulement, on trouverait, à tort, que les courbes sont en opposition de phase.</ref> ; * on vérifie, en passant en fonctionnement <math>\;(x,\, y)\;</math> quand la résonance en intensité est observée, que la courbe de Lissajous<ref name="Lissajous" /> est un segment de droite de pente positive caractéristique de l'absence de déphasage entre les deux courbes<ref> C'est d'ailleurs la meilleure façon de repérer la fréquence pour laquelle il y a résonance en intensité.</ref>, ceci étant vérifié pour toute valeur du facteur de qualité. === Détermination des fréquences de coupure à –3dB === {{Al|5}}En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine « la valeur de la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique à la résonance en intensité soit <math>\;U_{R,\, \text{max}}\;</math>» ainsi que « la fréquence de résonance <math>\;f_r\;</math>»<ref> On doit alors vérifier <math>\;f_r = \dfrac{1}{2\;\pi\;\sqrt{L\;C}}</math>.</ref>, puis {{Al|5}}on calcule « la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique pour les fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <math>\;\dfrac{U_{R,\;\text{max}}}{\sqrt{2}}\;</math>» et {{Al|5}}on augmente <math>\;\big(</math>ou diminue<math>\big)\;</math> la fréquence pour que la mesure de <math>\;U_R\;</math> sur la voie <math>\;CH2\;</math> affiche cette valeur, « on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie <math>\;CH1\;</math>» correspondant à la « fréquence de coupure haute <math>\;\big(</math>ou basse<math>\big)\;</math> à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> », la différence donnant la valeur de la « bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> » <ref> On doit identifier cette valeur à «<math>\;\dfrac{f_0}{Q} = \dfrac{\omega_0}{2\;\pi}\;\dfrac{R}{L\;\omega_0} = \dfrac{R}{2\;\pi\;L}\;</math>».</ref>. == Détermination expérimentale de la pulsation propre et du facteur de qualité d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » à partir des courbes de valeur efficace et de déphasage == === Détermination de la fréquence propre === {{Al|5}}On détermine la fréquence de résonance en intensité * soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence <math>\;\big(</math>valeur pour laquelle la valeur efficace est maximale<math>\big)\;</math>»<ref name="courbe point par point"> Dans la mesure où cette courbe a été tracée point par point à partir de valeurs expérimentales.</ref> ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le <math>\;R\,L\,C\;</math> série visualisée à l'oscilloscope »<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Observation_de_la_résonance_en_intensité|observation de la résonance en intensité]] en fonctionnement bicourbe <math>\;(y,\,t)\;</math>» plus haut dans ce chapitre.</ref>, * soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence <math>\;\big(</math>valeur annulant le déphasage<math>\big)\;</math>»<ref name="courbe point par point" /> ou « sur la courbe de Lissajous<ref name="Lissajous" /> entre tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le <math>\;R\,L\,C\;</math> série et tension aux bornes de ce dernier visualisée à l'oscilloscope »<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Observation_de_la_résonance_en_intensité|observation de la résonance en intensité]] en fonctionnement <math>\;(x,\,y)\;</math>» plus haut dans ce chapitre.</ref> et <center>c'est la fréquence propre du «<math>\;R\, L\, C\;</math> série ».</center> === Détermination du facteur de qualité === {{Al|5}}On détermine les fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> * soit « sur la courbe tracée point par point de valeur efficace de l'intensité en fonction de la fréquence <math>\;\big(</math>valeurs pour lesquelles la valeur efficace est égale à la valeur maximale divisée par <math>\;\sqrt{2}\big)\;</math> »<ref name="courbe point par point" /> ou « sur la courbe de tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique en série avec le <math>\;R\,L\,C\;</math> série visualisée à l'oscilloscope »<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Détermination_des_fréquences_de_coupure_à_-3_dB|détermination des fréquences de coupure à -3dB]] en fonctionnement bicourbe <math>\;(y,\,t)\;</math>» plus haut dans ce chapitre.</ref>, * soit « sur la courbe tracée point par point de l'avance de phase de l'intensité sur la tension en fonction de la fréquence <math>\;\big(</math>valeurs pour lesquelles le déphasage vaut <math>\;\pm 45\,\text{°}\big)\;</math>»<ref name="courbe point par point" /> puis {{Al|5}}on détermine la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> en faisant la différence des deux fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" />, et enfin, {{Al|5}}{{Transparent|on détermine }}l'acuité de la résonance définie comme « rapport de la fréquence propre sur la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> » : <center>cette dernière est le facteur de qualité du «<math>\;R\, L\, C\;</math> série ».</center> == Analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale == === Analogue électromécanique d'un « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort === [[File:Pendule élastique horizontal, amorti et excité sinusoïdalement.png|thumb|340px|Dispositif expérimental d'enregistrement <math>\;\big(</math>en perspective<math>\big)\;</math> d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale <math>\;\big(</math>en vue de face<math>\big)</math>]] {{Al|5}}L'analogue électromécanique d'un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » est un « pendule élastique horizontal amorti <math>\;\big(</math>P.E.H.A.<math>\big)\;</math> par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude {{Nobr|constante<ref name="valeur efficace remplacée par amplitude en méca"> La notion de valeur efficace est peu utilisée en mécanique <math>\;\big(</math>contrairement à l'électricité<math>\big)\;</math> on remplace donc « valeur efficace constante » par « amplitude constante » sachant qu'en régime sinusoïdal, la valeur efficace est égale à l'amplitude divisée par <math>\;\sqrt{2}</math>.</ref>}} et de fréquence variable selon l'axe du ressort » voir schéma ci-contre <math>\;\big(</math>pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal »<ref> Le poids étant l'analogue d'une tension constante imposée par le générateur, l'analogue du « pendule élastique vertical soumis à une force excitatrice sinusoïdale le long de l'axe du ressort » est un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale à composante permanente non nulle », composante permanente qui modifie la tension aux bornes du condensateur mais nullement l'intensité du courant traversant le «<math>\;R\, L\, C\;</math> série » ; <br>{{Al|3}}en conséquence, dans la mesure où on s'intéresse à la réponse en vitesse du pendule élastique excité sinusoïdalement, on pourrait aussi considérer un pendule élastique vertical car la réponse en vitesse du pendule est l'analogue de la réponse en intensité du courant traversant le «<math>\;R\, L\, C\;</math> série », réponse qui est indépendante de l'éventuelle présence d'une composante permanente ajoutée à la tension sinusoïdale, donc dans le cas du pendule de la présence du poids agissant sur le solide.</ref><math>\big)</math> ; {{Al|5}}Il y a deux difficultés pour obtenir la réponse en vitesse d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale, * d'une part « comment imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie » et * d'autre part « comment enregistrer la réponse en vitesse ? » {{Al|5}}Le plus difficile est d'imposer « directement » une force excitatrice sinusoïdale de fréquence choisie : * une 1^ère possibilité est de charger l'objet <math>\;\big(</math>en lui donnant une charge <math>\;q\big)\;</math> et de l'immerger dans un condensateur à isolant fluide visqueux à armatures planes <math>\;\perp\;</math> à l'axe du ressort aux bornes desquelles on impose une tension sinusoïdale de fréquence choisie, on crée ainsi un champ électrique <math>\;\vec{E}(t) = E_m\; \cos\! \left( \omega\,t + \varphi_E \right) \vec{u}_x\;</math><ref> Le champ électrique à l'intérieur du condensateur plan est uniforme c.-à-d. indépendant de <math>\;x</math>, son évolution avec le temps étant la même en tout point intérieur au condensateur.</ref> sinusoïdal de même fréquence, de direction « l'axe du ressort » qui impose sur l'objet <math>\;M\;</math> une force électrique <math>\;\vec{F}(t) =</math> <math>q\; \vec{E}(t) = q\; E_m\; \cos\! \left( \omega\,t + \varphi_E \right) \vec{u}_x\;</math> mais, pour que l'objet reste chargé, il faut que le ressort auquel il est relié soit un isolant électrique c.-à-d. qu'il soit par exemple en plastique <math>\;\ldots\;</math> ce qui ne correspond pas au ressort usuel <math>\;\ldots</math> ; * en fait imposer directement une force excitatrice sinusoïdale n'est pas la façon la plus simple de réaliser une excitation sinusoïdale d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire, voir remarque en fin de paragraphe. {{Al|5}}La 2^ème difficulté est d'enregistrer « directement » la réponse en vitesse, car ce qu'on obtient par la méthode d'enregistrement ci-dessus c'est la réponse en élongation <math>\;x(t)</math> : * on peut certes à partir de la réponse en élongation en déduire, point par point, la réponse en vitesse mais <math>\;\ldots\;</math> c'est un peu laborieux <math>\;\ldots</math> ; * une possibilité pour enregistrer la réponse en vitesse, serait d'utiliser un « capteur de position » <ref> Lequel transforme l'élongation en signal électrique ; <br>{{Al|3}}l'élongation étant repérée par rapport à une position de référence, le capteur doit donner une réponse <math>\;\propto\;</math> à la distance séparant ces deux positions, ce peut être une réponse potentiométrique <math>\;\big(</math>dont le principe est celui d'un P.D.T. en sortie ouverte<math>\big)</math> : une tension constante <math>\;U\;</math> étant imposée à l'entrée du capteur de résistance totale <math>\;R</math>, sa tension de sortie <math>\;\big(</math>ouverte<math>\big)</math> <math>\;u_S(t)\;</math> est alors <math>\;\propto\;</math> à la résistance <math>\;r(t)\;</math> située entre les deux positions précédemment introduites donc à la distance entre ces deux positions <math>\;l(t)\;</math> selon <math>\;u_S(t) = \dfrac{r(t)}{R}\;U = \dfrac{\alpha\;l(t)}{R}\;U = \dfrac{\alpha\;U}{R}\;l(t)</math> ; on peut éventuellement éliminer la composante continue pour que le signal <math>\;u_S(t)\;</math> soit purement sinusoïdal, il suffit que la position de référence du capteur soit la position du solide quand le ressort est au repos.</ref> et d'envoyer le signal de sortie du capteur de position sur un « montage dérivateur » <ref> Nous verrons au chap.<math>6</math> intitulé « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie|Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1^ère partie]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » un exemple de montage dérivateur <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Interprétation_de_«_l'équivalent_B.F._»_de_la_fonction_de_transfert_:_circuit_«_pseudo_dérivateur_»|interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo-dérivateur]] »<math>\big\}</math>, le signal de sortie étant la dérivée temporelle du signal d'entrée.</ref>, ce qui permet alors d'obtenir un enregistrement en vitesse. [[File:Pendule élastique horizontal, amorti et excité sinusoïdalement - bis.png|thumb|450px|Dispositif expérimental d'enregistrement <math>\;\big(</math>en perspective<math>\big)\;</math> d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité sinusoïdalement par action d'un système « excentrique - bielle » agissant sur l'extrémité non liée au solide <math>\;\big(</math>en vue de face<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable</u> : cette façon consiste à créer un déplacement rectiligne sinusoïdal le long de l'axe du ressort sur son extrémité <math>\;A\;</math> précédemment fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on peut utiliser, pour créer le mouvement sinusoïdal de pulsation <math>\;\omega\;</math> de <math>\;A\;</math> <math>\big(</math>extrémité gauche du ressort<math>\big)</math>, un système « excentrique - bielle » ayant pour but de transformer le « mouvement circulaire de l'[[w:Excentrique_(mécanique)|excentrique]] <ref name="excentrique"> Parmi toutes les façons de créer un [[w:Excentrique_(mécanique)|excentrique]] nous avons choisi celle d'un disque homogène en rotation autour de l'axe géométrique <math>\;\Delta_G\;</math> du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'axe passant par le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du disque et <math>\;\perp\;</math> au plan de ce dernier<math>\big)</math>, mais en nous intéressant au mouvement d'un point <math>\;Q\;</math> solidaire du disque et <math>\;\notin \Delta_G</math> tel que <math>\;GQ = a\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;Q\;</math> décrit un cercle de rayon <math>\;a\;</math> à la vitesse angulaire de rotation du disque.</ref> et donc de l'extrémité gauche de la bielle liée à l'[[w:Excentrique_(mécanique)|excentrique]]<ref name="excentrique" /> par une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dont l'axe, solidaire de l'[[w:Excentrique_(mécanique)|excentrique]]<ref name="excentrique" />, est situé à une distance <math>\;a\;</math> de l'axe de rotation de ce dernier, <math>\;\big(</math>la vitesse angulaire de rotation de l'[[w:Excentrique_(mécanique)|excentrique]]<ref name="excentrique" /> étant <math>\;\omega\big)\;</math>» en « mouvement quasi rectiligne sinusoïdal de l'extrémité droite de la bielle liée à l'extrémité gauche du ressort <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A\big)\;</math> par une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], le mouvement de <math>\;A\;</math> étant quasiment d'amplitude <math>\;a\;</math> et de pulsation <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;x_A(t) \simeq a\; \cos\! \left( \omega\;t + \varphi_A \right)\;</math>» ; {{Al|5}}il n'y a donc pas de force excitatrice s'exerçant directement sur l'objet <math>\;M</math>, le bilan de forces horizontales que subit <math>\;M\;</math> se réduisant * à la « tension du ressort <math>\;\vec{T}(t) = -k \left[ x(t) - x_A(t) \right] \vec{u}_x\;</math>»<ref> En effet, la position de <math>\;M\;</math> étant repérée par rapport à sa position d'équilibre en absence de déplacement de l'extrémité <math>\;A\;</math> du ressort <math>\;\big(</math>position d'équilibre coïncidant avec la position à vide du ressort<math>\big)</math>, l'allongement par rapport à la longueur à vide du ressort augmente de <math>\;x\;</math> <math>\big(</math>axe orienté de gauche à droite<math>\big)\;</math> quand <math>\;M\;</math> est déplacé de <math>\;x\;</math> relativement à la position d'équilibre et diminue de <math>\;x_A(t)\;</math> quand <math>\;A\;</math> est déplacé de <math>\;x_A(t)</math>.</ref> et * à la « force de frottement fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = -h\;\dot{x}(t)\;\vec{u}_x\;</math>» ; {{Al|5}}on remarque que la « tension du ressort peut être décomposée en deux composantes », * « l'une résultant du déplacement de <math>\;M\;</math> par rapport à sa position d'équilibre <math>\;\vec{T}_M(t) = -k \left[ x(t) \right] \vec{u}_x\;</math>»<ref> Ce serait la seule composante si l'extrémité <math>\;A\;</math> était maintenue fixe.</ref> et * « l'autre résultant du déplacement imposé de l'extrémité <math>\;A\;</math>», déplacement conduisant à la composante «<math>\;\vec{T}_A(t) = k \left[ x_A(t) \right] \vec{u}_x\;</math> agissant sur <math>\;M\;</math>» ; {{Al|5}}nous voyons donc que <u>le fait de créer un mouvement sinusoïdal de l'extrémité</u><math>\;A\;</math> «<math>\;x_A(t) = a\; \cos\! \left( \omega\;t + \varphi_A \right)\;</math>» est <u>équivalent au problème où l'extrémité</u><math>\;A\;</math><u>serait maintenue fixe et où on imposerait directement sur</u><math>\;M\;</math><u>une force excitatrice sinusoïdale</u> «<math>\;\vec{T}_A(t)</math> <math>= k \left[ x_A(t) \right] \vec{u}_x = k\;a\; \cos\! \left( \omega\;t + \varphi_A \right) \vec{u}_x\;</math>». === Détermination de l'équation différentielle en vitesse du pendule élastique amorti excité sinusoïdalement (P.E.A.E.S.) === {{Al|5}}Nous considérons « l'extrémité <math>\;A\;</math> fixe et l'application directe sur <math>\;M\;</math> d'une force excitatrice sinusoïdale <math>\;\vec{F}(t) = F_m\; \cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right) \vec{u}_x\;</math>», les deux autres forces horizontales étant * la « tension du ressort <math>\;\vec{T}(t) = -k \left[ x(t) \right] \vec{u}_x\;</math>» <math>\big(M\;</math> étant repéré relativement à sa position d'équilibre c.-à-d. la position du ressort à vide<math>\big)\;</math> et * la « force de frottement fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = -h\;\dot{x}(t)\;\vec{u}_x\;</math>» ; {{Al|5}}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen que l'on projette sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> donne «<math>\;-k\;x(t) - h\;\dot{x}(t) + F_m\; \cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right) = m\;\ddot{x}(t)\;</math>» soit, en ordonnant et en normalisant <center>«<math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{x}(t) + \dfrac{k}{m}\;x(t) = \dfrac{F_m}{m}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}pour obtenir l'équation différentielle en vitesse il convient de dériver l'équation précédente relativement à <math>\;t</math>, utilisant <math>\;v(t) = \dot{x}(t)\;</math> soit <center>«<math>\;\ddot{v}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{v}(t) + \dfrac{k}{m}\;v(t) = \dfrac{F_m\;\omega}{m}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L}\;\dfrac{di}{dt}(t) + \dfrac{1}{L\;C}\;i(t) = \dfrac{U\;\sqrt{2}\;\omega}{L}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_{u_g} + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> car les grandeurs analogues électromécaniques sont <math>\;v(t) \leftrightarrow i(t)</math>, <math>\;F(t) \leftrightarrow u_g(t)</math>, <math>\;F_m \leftrightarrow U\;\sqrt{2}</math>, <math>\;m \leftrightarrow L</math>, <math>\;h \leftrightarrow R\;</math> et <math>\;k \leftrightarrow \dfrac{1}{C}</math>.</ref>.</center> === Réduction canonique du P.E.A.E.S. === {{Al|5}}On définit les grandeurs canoniques du P.E.A.E.S<ref name="P.E.A.E.S."> Pendule Élastique Amorti Excité Sinusoïdalement.</ref>. correspondant à la 2^ème réduction canonique introduite dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réductions_canoniques|réductions canoniques]] d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série dans le cadre de la réponse en <math>\;u_C(t)\;</math> à un échelon de tension »<ref name="identité des réductions canoniques" /> du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », soit * la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>»<ref name="analogue oméga0"> Analogue électromécanique de <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{1}{L\;C}}\;</math> car les grandeurs analogues électromécaniques sont <math>\;m \leftrightarrow L\;</math> et <math>\;k \leftrightarrow \dfrac{1}{C}</math>.</ref> et * le « facteur de qualité <math>\;Q > 0\;</math> tel que <math>\;\dfrac{h}{m} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math> <math>\;\Rightarrow</math> <math>\;Q = \dfrac{m\;\omega_0}{h} = \dfrac{k}{h\;\omega_0}\;</math>»<ref name="autres formules de Q"> Cette 2^ème relation découlant de <math>\;\dfrac{m\;\omega_0^2}{k} = 1\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;m\;\omega_0 = \dfrac{k}{\omega_0}</math> ;<br>{{Al|3}}il existe une 3^ème forme pour le facteur de qualité par élimination de <math>\;\omega_0\;</math> soit <math>\;Q = \dfrac{\sqrt{m\;k}}{h}</math>.</ref>{{,}}<ref name="analogue Q"> Analogue électromécanique de <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math> car les grandeurs analogues électromécaniques sont <math>\;m \leftrightarrow L</math>, <math>\;h \leftrightarrow R</math>, <math>\;k \leftrightarrow \dfrac{1}{C}</math>, la grandeur canonique <math>\;\omega_0\;</math> étant invariante par analogie électromécanique ;<br>{{Al|3}}la 3^ème forme du facteur de qualité mécanique obtenue par élimination de <math>\;\omega_0\;</math> c.-à-d. <math>\;Q = \dfrac{\sqrt{m\;k}}{h}\;</math> est l'analogue électromécanique de <math>\;Q = \sqrt{\dfrac{L}{C}}\;\dfrac{1}{R}</math>.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en vitesse avec excitation sinusoïdale <center>«<math>\;\ddot{v}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{v}(t) + \omega_0^2\;v(t) = \dfrac{F_m\;\omega}{m}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;\dfrac{d^2i}{dt^2}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dfrac{di}{dt}(t) + \omega_0^2\;i(t) = \dfrac{U\;\sqrt{2}\;\omega}{L}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_{u_g} + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> car les grandeurs analogues électromécaniques sont <math>\;v(t) \leftrightarrow i(t)</math>, <math>\;F(t) \leftrightarrow u_g(t)</math>, <math>\;F_m \leftrightarrow U\;\sqrt{2}</math>, les grandeurs canoniques <math>\;\omega_0\;</math> et <math>\;Q\;</math> étant invariantes par analogie électromécanique.</ref>.</center> === Détermination de la réponse forcée sinusoïdale en vitesse du P.E.A.E.S. === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement » <ref name="amortissement du régime libre en méca"> Cela peut demander quelques secondes, ce qui fait qu'il ne devient pas impossible de visualiser le régime transitoire <math>\;\ldots\;</math> lequel disparaît au bout de ces quelques secondes pour laisser uniquement le régime sinusoïdal forcé.</ref> et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation <math>\;\omega\;</math> cherché sous la forme «<math>\;v(t) = V_m\; \cos\! \left( \omega\, t + \varphi_v \right)\;</math>». {{Al|5}}On résout cette équation différentielle en passant en complexe<ref name="résolution en complexe"> Revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exposé_de_la_méthode_«_des_complexes_»_pour_trouver_la_solution_forcée_sinusoïdale_(quand_elle_existe)_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœ3fficients_réels_constants_hétérogène_à_excitation_sinusoïdale_suivant_que_celle-ci_est_sous_la_forme_d'un_cosinus_ou_d'un_sinus|exposé de la méthode des complexes pour trouver la solution sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœ3fficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la vitesse instantanée complexe s'écrivant «<math>\;\underline{v}(t) = \underline{V_m}(\omega)\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)\;</math>»<ref name="retour à la notation i"> Dès que l'on quitte le domaine de l'électricité, l'unité imaginaire est de nouveau notée <math>\;i</math>.</ref> avec l'amplitude complexe de la vitesse «<math>\;\underline{V_m}(i\,\omega) =</math> <math>V_m(\omega)\;\exp\! \left[ i\;\varphi_v(\omega) \right]\;</math>»<ref name="retour à la notation i" /> et la force excitatrice instantanée complexe «<math>\;\underline{F}(t) = \underline{F_m}\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)\;</math>»<ref name="retour à la notation i" /> avec l'amplitude complexe de la force «<math>\;\underline{F_m} = F_m\;\exp\! \left( i\;\varphi_F \right)\;</math>»<ref name="retour à la notation i" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|On résout cette équation différentielle en }}reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par <math>\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)</math>, on obtient «<math>\;-\omega^2\;\underline{V_m}(i\,\omega) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}\;\underline{V_m}(i\,\omega) + \omega_0^2\;\underline{V_m}(i\,\omega) = i\;\omega\;\dfrac{\underline{F_m}}{m}\;</math>» dont on tire <center>«<math>\;\underline{V_m}(i\,\omega) = \dfrac{i\;\omega}{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}}\;\dfrac{\underline{F_m}}{m} = \dfrac{1}{1 + i\;Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)}\;\dfrac{\underline{F_m}}{h}\;</math>»<ref> Cette dernière expression étant obtenue en éliminant <math>\;m\;</math> au profit de <math>\;Q\;</math> par «<math>\;Q = \dfrac{m\;\omega_0}{h}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;m = \dfrac{Q\;h}{\omega_0}\;</math>» donnant «<math>\;\dfrac{\underline{F_m}}{m} = \dfrac{\underline{F_m}}{\dfrac{Q\;h}{\omega_0}} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dfrac{\underline{F_m}}{h}\;</math>» soit, par report dans l'expression de l'amplitude complexe de la vitesse «<math>\;\underline{V_m}(i\,\omega) = \dfrac{i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}}{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}}\;\dfrac{\underline{F_m}}{h}</math>» donnant l'expression finale en divisant haut et bas le 1^er quotient par <math>\;i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}</math>.<br>{{Al|3}}Cette dernière expression est l'analogue électromécanique de «<math>\;\underline{I}(j\,\omega) = \dfrac{1}{1 + j\;Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)}\;\dfrac{\underline{U_g}}{R}\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}on déduit de la 2^ème forme canonique de l'amplitude complexe de la vitesse les grandeurs suivantes : * « en en prenant le module, l'amplitude de la vitesse <math>\;V_m(\omega) = \vert \underline{V_m}(i\,\omega) \vert = \dfrac{1}{\bigg\vert 1 + i\;Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right) \bigg\vert}\;\dfrac{\vert \underline{F_m} \vert}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + Q^2 \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)^{\!2}}}\;\dfrac{F_m}{h}\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de l'amplitude <math>\;I_m\;</math> de l'intensité du courant traversant un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale d'amplitude <math>\;U_m\;</math> et de pulsation <math>\;\omega\;</math> soit «<math>\;I(\omega) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 + Q^2 \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)^{\!2}}}\;\dfrac{U_m}{R}\;</math>».</ref> et * « en en prenant l'argument, la phase à l'origine de la vitesse <math>\;\varphi_v(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{V_m}(i\,\omega) \right] = \varphi_F - \mathrm{arg}\! \left[ 1 + i\;Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right) \right]\;</math>» dont on déduit l'« avance de phase de la vitesse sur la force <math>\;\varphi_v - \varphi_F</math> <math>= - \arctan\! \left[ Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right) \right]\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de l'« avance de phase de l'intensité du courant traversant un <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de pulsation <math>\;\omega\;</math> sur cette tension » soit «<math>\;\varphi_i - \varphi_u =</math> <math>- \arctan\! \left[ Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right) \right]\;</math>».</ref>. === Résonance en vitesse du P.E.A.E.S. === {{Al|5}}Les formules précédemment établies sur la « réponse en vitesse du pendule élastique amorti soumis à une force sinusoïdale d'amplitude fixée et de fréquence variable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. la réponse en vitesse du P.E.A.E.S<ref name="P.E.A.E.S." />.<math>\big)\;</math> étant de même forme que celles correspondant à la « réponse en intensité du courant traversant un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable »<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Détermination_de_la_réponse_forcée_sinusoïdale_en_vitesse_du_P.E.A.E.S.|détermination de la réponse forcée sinusoïdale en vitesse du P.E.A.E.S.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on en déduit les mêmes propriétés à savoir : * « résonance en vitesse pour une fréquence de la force excitatrice <ref> Ou une fréquence d'excitation de l'extrémité initialement fixe du ressort.</ref> égale à la fréquence propre de l'oscillateur », la « valeur maximale de l'amplitude en vitesse étant <math>\;V_{m,\,\text{max}} = \dfrac{F_m}{h}\;</math>»<ref> De la relation <math>\;h\;V_{m,\,\text{max}} = F_m\;</math> on en déduit que la force excitatrice et la force de frottement fluide à la résonance en vitesse ont même norme : <br>{{Al|3}}comme l'élongation <math>\;x(t)\;</math> et l'accélération <math>\;a(t) = \ddot{x}(t)\;</math> sont nécessairement de signe contraire en régime sinusoïdal <math>\;\big[</math>car <math>\;\ddot{x}(t) = -\omega^2\;x(t)\big]</math>, la tension du ressort <math>\;-k\;x(t)\;</math> et la résultante dynamique <math>\;m\;a(t)\;</math> sont de même signe et par suite, la r.f.d.n. <math>\;\overline{F}(t) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}} - k\;x(t) = m\;a(t)\;</math> avec <math>\;-k\;x(t)\;</math> et <math>\;m\;a(t)\;</math> de même signe d'une part et <math>\;\Big\vert \overline{F}(t) \Big\vert = \Big\vert \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}} \Big\vert\;</math> d'autre part, permet de déduire que la force excitatrice et la force de frottement fluide à la résonance en vitesse sont opposées, cette dernière étant de norme maximale.</ref>, * « nullité du déphasage à la résonance en vitesse entre la vitesse et la force excitatrice »<ref> En accord avec le résultat trouvé dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#cite_note-78|⁷⁸]] » plus haut dans ce chapitre « la force excitatrice et la force de frottement fluide à la résonance en vitesse sont opposées ».</ref>, * « nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur quel que soit le facteur de qualité » <br>{{Transparent|« nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur }}avec une « amplitude en vitesse quasi nulle à B.F. et H.F. » et <br>{{Transparent|« nature passe-bande en vitesse de l'oscillateur }}une «<math>\;B.P._{-3dB}\;</math> d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand », «<math>\;Q\;</math> caractérisant l'acuité de la résonance », * « quadrature avance de la vitesse sur la force excitatrice à B.F. » <math>\;\bigg\{</math>l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant <math>\;+\dfrac{\pi}{4}\;</math> pour la fréquence de coupure basse à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /><math>\bigg\}</math> et <br>« quadrature retard {{Al|2}}{{Transparent|de la vitesse sur la force excitatrice }}à H.F. » <math>\;\bigg\{</math>l'avance de phase de la vitesse sur la force excitatrice étant <math>\;-\dfrac{\pi}{4}\;</math> pour la fréquence de coupure haute à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /><math>\bigg\}</math>. == Établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), résonance en charge (sous condition de facteur de qualité suffisant) pour une fréquence inférieure à la fréquence propre, nature du filtre suivant le facteur de qualité == <center>Il convient bien sûr d'ajouter un schéma du circuit en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de fréquence <math>\;f = \dfrac{\omega}{2\;\pi}</math>.</center> === Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par méthode des complexes === {{Al|5}}Soit «<math>\;u_g(t) = U_g\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_{u_g} \right)\;</math> la tension instantanée imposée au <math>\;R\, L\, C\;</math> série » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}«<math>\;u_C(t) = U_C(\omega)\,\sqrt{2}\,\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_C \right)\;</math><ref name="UC dépendant de omega"> La tension efficace <math>\;U_g\;</math> imposée aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant constante mais les impédances du P.D.T., dont l'entrée est <math>\;u_g(t)\;</math> et la sortie ouverte aux bornes du condensateur, dépendant de la fréquence, il en est de même de la tension efficace aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref> la tension instantanée aux bornes du condensateur », <br>{{Al|5}}on leur associe les grandeurs instantanées complexes «<math>\;\underline{u_g}(t) = \underline{U_g}\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\, \omega\,t \right)\;</math>» et «<math>\;\underline{u_C}(t) =</math> <math>\underline{U_C}(j\,\omega)\,\sqrt{2}\,\exp\! \left( j\, \omega\,t \right)\;</math>»<ref name="UC souligné dépendant de omega"> La tension efficace complexe <math>\;\underline{U_g}\;</math> imposée aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant constante mais les impédances complexes du P.D.T., dont l'entrée est <math>\;\underline{u_g}(t)\;</math> et la sortie ouverte aux bornes du condensateur, dépendant de la fréquence, il en est de même de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|on leur associe les grandeurs instantanées complexes }}avec leurs valeurs efficaces complexes respectives «<math>\;\underline{U_g} = U_g\,\exp\! \left( j\,\varphi_{u_g} \right)\;</math>» et «<math>\;\underline{U_C}(j\,\omega) = U_C(\omega)\,\exp\! \left[ j\,\varphi_C(\omega) \right]\;</math>»<ref name="UC souligné dépendant de omega" />{{,}}<ref name="UC dépendant de omega" /> ; {{Al|5}}«<math>\;\underline{u_C}(t)\;</math> étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est <math>\;\underline{u_g}(t)\;</math>» on en déduit, en valeurs efficaces complexes, {{Nobr|«<math>\;\underline{U_C}(j\,\omega) =</math>}} <math>\dfrac{\dfrac{1}{j\,C\,\omega}}{R + j\,L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}}\;\underline{U_g}\;</math>»<ref name="P.D.T. en sortie ouverte"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Le_résultat_le_plus_utilisé_:_P.D.T._en_sortie_ouverte_alimenté_en_entrée_par_ue(t)|le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t)]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et, en multipliant haut et bas par <math>\;j\, C\, \omega\;</math> puis en regroupant les termes réels du dénominateur et en ordonnant <center>«<math>\;\underline{U_C}(j\,\omega) = \dfrac{1}{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right) + j\,R\,C\,\omega}\;\underline{U_g}\;</math>».</center> === Réduction canonique de la réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}Comme nous l'avons vu dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Choix_de_la_réduction_canonique_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_»|choix de la réduction canonique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale]] » plus haut dans ce chapitre, l'habitude quasi-générale dans le cadre du {{Nobr|r.s.f<ref name="r.s.f." />.}} est de choisir la 2^ème réduction canonique c.-à-d. : * la « <u>pulsation propre</u> <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math> s'exprimant en <math>\;rad\,\cdot\,s^{-1}\;</math>» et * le « <u>facteur de qualité</u> <math>\;Q > 0\;</math> sans dimension défini par <math>\;\dfrac{R}{L} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math><ref name="facteur de qualité" /> soit <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math>»<ref name="différente forme facteur de qualité" /> ; {{Al|5}}on rappelle que l'usage dans le cadre du r.s.f<ref name="r.s.f." />. est de « remplacer la notion de pulsation <math>\;\omega\;</math> en <math>\;rad\,\cdot\,s^{-1}\;</math> par celle de <u>pulsation réduite</u> <math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0}\;</math><ref name="fréquence réduite" />, sans dimension<ref name="mesure de x" /> ». {{Al|5}}La « réponse en tension aux bornes du condensateur » du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à la « tension imposée » par le générateur ayant la même homogénéité, la réduction canonique sera « complète » <ref name="réduction complète" />, « mis à part la tension efficace complexe imposée par le générateur, la forme canonique de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur ne dépendra que du facteur de qualité <math>\;Q\;</math>et de la fréquence réduite <math>\;x\;</math>». {{Al|5}}Pour déterminer la forme canonique réduite<ref> On parle de forme canonique réduite quand la réduction complète est possible et qu'on utilise la fréquence <math>\;\big(</math>ou la pulsation<math>\big)\;</math> réduite au lieu de la fréquence <math>\;\big(</math>ou la pulsation<math>\big)</math>.</ref> de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur, on élimine d'abord <math>\;\omega\;</math> au profit de <math>\;x\;</math> en y reportant <math>\;\omega = \omega_0\;x\;</math> soit <math>\;\underline{U_C}(j\,\omega_0\,x) =</math> <math>\dfrac{1}{\left( 1 - \cancel{L\,C\,\omega_0^2}\,x^2 \right) + j\,R\,C\,\omega_0\,x}\;\underline{U_g}\;</math><ref> On rappelle que <math>\;L\,C\,\omega_0^2 = 1</math>.</ref> et finalement, en reconnaissant dans <math>\;R\, C\, \omega_0\;</math> l'inverse du facteur de qualité <center>«<math>\;\underline{U_C}(j\,x) = \dfrac{1}{\left( 1 - x^2 \right) + j\,\dfrac{x}{Q}}\;\underline{U_g}\;</math>»<ref name="UC en fonction de x"> Bien que l'on ne considère plus la variation de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur selon la même variable <math>\;\big(\omega\;</math> ayant été remplacée par <math>\;x\big)\;</math> et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation <math>\;\underline{U_C}</math>.</ref>{{,}}<ref> Quand la réponse efficace complexe est mise sous une forme canonique <math>\;\big(</math>non réduite<math>\big)\;</math> « quotient irréductible de polynômes en <math>\;j\,\omega\;</math>», le degré du polynôme du dénominateur caractérise l'ordre du système étudié <math>\;\big(</math>ici il s'agit d'un 2^ème ordre<math>\big)</math>, la forme canonique étant dite « normalisée » si « le terme de degré <math>\;0\;</math> du dénominateur est <math>\;1\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on qualifiera cette forme canonique normalisée d'« usuelle » car c'est elle qui permet de définir l'ordre du système mais aussi les grandeurs canoniques « pulsation propre et facteur de qualité » en identifiant le « polynôme du dénominateur <math>\;1 - \beta\,\omega^2 + j\,\alpha\,\omega\;\;\left\lbrace \begin{array}{l}\beta \in \mathbb{R}^{+\,*}\\ \alpha \in \mathbb{R}^{+}\end{array}\right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;1 - \dfrac{\omega^2}{\omega_0^2} + j\,\dfrac{\omega}{Q\,\omega_0}\;</math>» ce qui permet d'en déduire la pulsation propre et le facteur de qualité du système ;<br>{{Al|3}}il est souhaitable de retenir la forme canonique normalisée réduite du dénominateur d'un 2^ème ordre «<math>\;\underline{D}(j\,x) = 1 - x^2 + j\,\dfrac{x}{Q}\;</math>» se réécrivant en forme canonique normalisée non réduite {{Nobr|«<math>\;\underline{D}(j\,\omega)</math>}} <math>= 1 - \dfrac{\omega^2}{\omega_0^2} + j\,\dfrac{\omega}{Q\,\omega_0}\;</math>».</ref>, <br>cette forme canonique<ref name="normalisée et réduite sous-entendu"> Sous entendu « normalisée et réduite ».</ref> usuelle étant aussi la forme canonique « pratique »<ref> Une forme canonique est dite « pratique » quand elle est mise sous forme d'un quotient <math>\;\big(</math>non nécessairement de polynômes en <math>\;j\,x\big)\;</math> avec un numérateur indépendant de <math>\;x</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : si au lieu de chercher la réponse en intensité du courant traversant le «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace fixée et de fréquence variable » on souhaite obtenir la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique du même «<math>\;R\, L\, C\;</math> soumis à une tension sinusoïdale de même tension efficace fixée et de fréquence variable », on peut procéder {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en déterminant d'abord <math>\;\underline{I}(j\,\omega)\;</math> par loi d'Ohm<ref name="Ohm" /> en complexe<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Réponse_sinusoïdale_forcée_en_intensité_du_courant_traversant_un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»_par_méthode_des_complexes|réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” par méthode des complexes]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> puis en déduire <math>\;\underline{U_R}(j\,\omega)\;</math> en utilisant <math>\;\underline{U_R}(j\,\omega) = R\;\underline{I}(j\,\omega)\;</math> ou {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en reconnaissant dans <math>\;\underline{u_R}(t)\;</math> la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est <math>\;\underline{u_g}(t)\;</math> soit, en valeurs efficaces complexes, «<math>\;\underline{U_R}(j\,\omega) = \dfrac{R}{R + j\,L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}}\;\underline{U_g}\;</math>»<ref name="P.D.T. en sortie ouverte" /> se réécrivant sous forme canonique normalisée pratique en divisant haut et bas par <math>\;R\;</math> et en mettant le dénominateur obtenue sous sa forme algébrique, soit «<math>\;\underline{U_R}(j\,\omega) = \dfrac{1}{1 + j \left(\dfrac{L}{R}\,\omega - \dfrac{1}{R\,C\,\omega} \right)}\;\underline{U_g}\;</math>» <math>\;\Bigg\{</math>il est aisé d'en déduire la forme canonique normalisée pratique réduite «<math>\;\underline{U_R}(j\,x) = \dfrac{1}{1 + j\;Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right)}\;\underline{U_g}\;</math>»<ref> Pour cela « on remplace <math>\;\omega\;</math> par <math>\;\omega_0\,x\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{U_R}(j\,\omega) = \dfrac{1}{1 + j \left(\dfrac{L}{R}\,\omega_0\,x - \dfrac{1}{R\,C\,\omega_0\,x} \right)}\;\underline{U_g}\;</math> d'où le résultat en utilisant <math>\;\dfrac{L\,\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\,C\,\omega_0} = Q</math>.</ref>{{,}}<ref name="UR en fonction de x"> Bien que l'on ne considère plus la variation de la tension efficace complexe aux bornes du conducteur ohmique selon la même variable <math>\;\big(\omega\;</math> ayant été remplacée par <math>\;x\big)\;</math> et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation <math>\;\underline{U_R}</math>.</ref> qui a été utilisée pour faire l'étude des variations du module et de l'argument<math>\Bigg\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}à partir de «<math>\;\underline{U_R}(j\,\omega) = \dfrac{R}{R + j\,L\,\omega + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}}\;\underline{U_g}\;</math>» obtenue par P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension</ref>. en sortie ouverte, on peut mettre la réponse efficace en tension aux bornes du conducteur ohmique sous sa forme canonique normalisée usuelle en multipliant haut et bas par <math>\;j\, C\, \omega\;</math> puis en regroupant les termes réels du dénominateur et enfin en ordonnant «<math>\;\underline{U_R}(j\,\omega) = \dfrac{j\,R\,C\,\omega}{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right) + j\,R\,C\,\omega}\;\underline{U_g}\;</math>»<ref> Cette forme permet d'affirmer que le système étudié est un 2^ème ordre mais c'est la forme canonique normalisée pratique qui doit être utilisée pour étudier le système.</ref> <math>\;\Bigg\{</math>il est aisé d'obtenir la forme canonique normalisée usuelle réduite «<math>\;\underline{U_R}(j\,x) = \dfrac{j\,\dfrac{x}{Q}}{\left( 1 - x^2 \right) + j\,\dfrac{x}{Q}}\;\underline{U_g}\;</math>»<ref> Pour cela « on remplace <math>\;\omega\;</math> par <math>\;\omega_0\,x\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\underline{U_R}(j\,\omega) = \dfrac{j\,R\,C\,\omega_0\,x}{\left( 1 - L\,C\,\omega_0^2\,x^2 \right) + j\,R\,C\,\omega_0\,x}\;\underline{U_g}\;</math> d'où le résultat en utilisant <math>\;L\,C\,\omega_0^2 = 1\;</math> et <math>\;R\,C\,\omega_0 = \dfrac{1}{Q}</math>.</ref>{{,}}<ref name="UR en fonction de x" /><math>\Bigg\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on rappelle que la forme canonique<ref name="normalisée et réduite sous-entendu" /> usuelle «<math>\;\underline{U_R}(j\,x) = \dfrac{j\,\dfrac{x}{Q}}{\left( 1 - x^2 \right) + j\,\dfrac{x}{Q}}\;\underline{U_g}\;</math>»<ref name="UR en fonction de x" /> permet de caractériser l'ordre du système mais ne permet pas de faire une étude simplement, le numérateur dépendant de <math>\;x</math> ; une fois l'ordre du système caractérisé par la forme canonique<ref name="normalisée et réduite sous-entendu" /> usuelle, il convient de trouver la forme canonique<ref name="normalisée et réduite sous-entendu" /> pratique en rendant le numérateur constant et pour cela « on divise haut et bas par <math>\;j\,\dfrac{x}{Q}\;</math>» ce qui donne la forme canonique<ref name="normalisée et réduite sous-entendu" /> pratique «<math>\;\underline{U_R}(j\,x) = \dfrac{1}{1 + j\;Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right)}\;\underline{U_g}</math>»<ref name="UR en fonction de x" /> permettant de faire une étude de variation aisée. === Tension efficace aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}La tension efficace aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série se déterminant en prenant le module de la tension efficace complexe on en déduit <center>«<math>\;U_C(\omega) = \vert \underline{U_C }(j\,\omega) \vert = \Bigg\vert \dfrac{1}{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right) + j\,R\,C\,\omega}\;\underline{U_g} \Bigg\vert = \dfrac{U_g}{\sqrt{\left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right)^{\!2} + R^2\,C^2\,\omega^2}}\;</math>» ou <br>sous sa forme canonique normalisée réduite «<math>\;U_C(x) = \vert \underline{U_C }(j\,x) \vert = \dfrac{U_g}{\sqrt{\left( 1 - x^2 \right)^{\!2} + \dfrac{x^2}{Q^2}}}\;</math>»<ref name="UC en fonction de x" />.</center> === Phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}La phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série se déterminant en prenant l'argument de la tension efficace complexe on en déduit <math>\;\varphi_C(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{U_C}(j\,\omega) \right] =</math> <math>\mathrm{arg}\! \left[ \underline{U_g} \right] - \mathrm{arg}\! \left[ \left( 1 - L\,C\,\omega^2 \right) + j\,R\,C\,\omega \right] = \varphi_{u_g} - \mathrm{arg}\! \left\lbrace j\,R\,C\,\omega \left[ 1 + j \left( \dfrac{L\,\omega}{R} - \dfrac{1}{R\,C\,\omega} \right) \right] \right\rbrace\;</math><ref> En effet le complexe dont on prend l'argument dans le 2^ème terme ayant une partie réelle de signe conditionnel, son argument <math>\;\notin \left] -\dfrac{\pi}{2}\;,\; +\dfrac{\pi}{2} \right[\;\forall \omega\;</math>, il ne peut donc s'écrire directement à l'aide d'un <math>\;\arctan()\;</math> d'où la mise en facteur de la partie imaginaire pour que l'autre facteur soit de partie réelle égale à <math>\;1\;</math> donc positive et ait un argument pouvant de mettre sous la forme <math>\;\arctan()</math>.</ref> soit <center>«<math>\;\varphi_C(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{U_C}(j\,\omega) \right] = \varphi_{u_g} - \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega}{R} - \dfrac{1}{R\,C\,\omega} \right)\;</math>»<ref name="lien entre phase à l'origine de uC et i"> Que l'on peut écrire encore «<math>\;\varphi_C(x) = \varphi_i(x) - \dfrac{\pi}{2}\;</math>» compte tenu du résultat «<math>\;\varphi_i(x) = \varphi_{u_g} - \arctan\! \left( \dfrac{L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega}}{R} \right)\;</math>» trouvé dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Phase_à_l'origine_de_l'intensité_du_courant_traversant_le_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»|phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et fréquence variable ”]] » plus haut dans ce chapitre, ce qui n'est pas une surprise dans la mesure où la tension aux bornes du condensateur est en quadrature retard sur l'intensité du courant, on a en effet <math>\;\underline{u_C}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;\underline{i}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi_C = -\dfrac{\pi}{2} + \varphi_i</math>.</ref> <br>ou en fonction du facteur de qualité et de la fréquence réduite <br>«<math>\;\varphi_C(x) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{U_C}(j\,x) \right] = \varphi_{u_g} - \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right]\;</math>»<ref name="UC en fonction de x" />{{,}}<ref> Que l'on peut écrire encore «<math>\;\varphi_C(x) = \varphi_i(x) - \dfrac{\pi}{2}\;</math>» compte tenu du résultat «<math>\;\varphi_i(x) = \varphi_{u_g} - \arctan\! \left[ Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right]\;</math>» trouvé dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Forme_canonique_de_l'intensité_efficace_complexe_du_courant_traversant_un_«_R_L_C_série_en_complexe_associée_au_r.s.f._»_en_fonction_de_la_tension_efficace_complexe_imposée_aux_bornes_du_«_R_L_C_série_»|forme canonique de l'intensité efficace complexe du courant traversant un “ R L C série en complexe associée au r.s.f. ” en fonction de la tension efficace complexe imposée au “ R L C série ”]] » plus haut dans ce chapitre, ce qui n'est pas une surprise dans la mesure où la tension aux bornes du condensateur est en quadrature retard sur l'intensité du courant, on a en effet <math>\;\underline{u_C}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;\underline{i}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi_C = -\dfrac{\pi}{2} + \varphi_i</math>.</ref>.</center> === Recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}La tension efficace <math>\;U_g\;</math> imposée par le générateur étant constante et la fréquence réduite <math>\;x\;</math> variable, on est amené à « étudier la variation de la tension efficace <math>\;U_C(x)\;</math> aux bornes du condensateur en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math>» et «<math>\;U_C(x)\;</math> se mettant sous la forme <math>\;U_C(x) = \dfrac{U_g}{\sqrt{g(x^2)}}\;</math> avec <math>\;g(x^2) =</math> <math>\left( 1 - x^2 \right)^{\!2} + \dfrac{x^2}{Q^2}\;</math>», il suffit d'« étudier la variation de <math>\;g(x^2)\;</math> relativement à <math>\;x^2\;</math>» {{Nobr|<math>\bigg(</math>compte-tenu}} du fait que <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{u}}\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;u\bigg)\;</math> en calculant la dérivée de <math>\;g(x^2)\;</math> par rapport à <math>\;x^2\;</math> soit «<math>\;\dfrac{d g}{d x^2}(x^2) = -2 \left( 1 - x^2 \right) + \dfrac{1}{Q^2} = 2\;x^2 + \dfrac{1}{Q^2} - 2\;</math>» ; on obtient alors la discussion suivante : * « si le terme constant <math>\;\dfrac{1}{Q^2} - 2\;</math> est strictement positif » soit «<math>\;Q < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>», la dérivée «<math>\;\dfrac{d g}{d x^2}(x^2) > 0\;\;\forall x^2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;g(x^2)\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x^2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_C(x)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x^2\;</math>» donc <center>«<math>\;U_C(x)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x\;</math>»<ref name="variation identique de x et son carré"> <math>\;x\;</math> étant toujours positive, sa variation est de même sens que celle de <math>\;x^2</math>.</ref> ;</center> * « si le terme constant <math>\;\dfrac{1}{Q^2} - 2\;</math> est négatif ou nul » soit «<math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>», la dérivée «<math>\;\dfrac{d g}{d x^2}(x^2)\;</math> s'annule pour <math>\;x_r^2 = 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \geqslant 0\;</math>»<ref> On remarque que <math>\;x_r^2 = 0\;</math> pour <math>\;Q = \dfrac{1}{\sqrt{2}}</math>.</ref> avec «<math>\;\dfrac{d g}{d x^2}(0) =</math> <math>\dfrac{1}{Q^2} - 2 \leqslant 0\;</math>» d'une part et d'autre part {{Nobr|«<math>\;\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left[ \dfrac{d g}{d x^2}(x^2) \right]</math>}} <math>= +\infty > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;g(x^2)\;</math> est minimale en <math>\;x_r^2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_C(x^2)\;</math> est maximale en <math>\;x_r^2\;</math>» donc <center>«<math>\;U_C(x)\;</math> est maximale en <math>\;x_r = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} < 1\;</math>»<ref name="variation identique de x et son carré" />.</center> {{Al|5}}En conclusion, <u>la tension aux bornes du condensateur d'un</u><math>\;R\, L\, C\;</math><u>série entre en résonance à condition</u> que le facteur de qualité vérifie <math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}</math>, <u>la fréquence de résonance étant inférieure à la fréquence propre</u> selon «<math>\;f_r = f_0\; \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} < f_0\;</math>»<ref> Résultat à retenir.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|En conclusion, }}la valeur de la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance en charge, quand celle-ci est existe, donne <math>\;U_{C,\,\text{max}} = U_C(x_r) = \dfrac{U_g}{\sqrt{\left( 1 - x_r^2 \right)^{\!2} + \dfrac{x_r^2}{Q^2}}} =</math> <math>\dfrac{U_g}{\sqrt{\left[ 1 - \left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) \right]^{\!2} + \dfrac{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}}{Q^2}}} = \dfrac{U_g}{\sqrt{\dfrac{1}{4\;Q^4} + \dfrac{1}{Q^2} - \dfrac{1}{2\;Q^4}}} = \dfrac{U_g}{\sqrt{\dfrac{1}{Q^2} - \dfrac{1}{4\;Q^4}}}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;U_{C,\,\text{max}} = U_C(x_r) = \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}} > Q\;U_g = U_C(x_0 = 1)\;</math>»<ref> Le facteur de qualité <math>\;Q\;</math> est encore appelé « facteur de surtension à la résonance en intensité » car c'est le rapport <math>\;\dfrac{U_C(x_0 = 1)}{U_g}</math>, la fréquence réduite propre étant aussi la fréquence réduite à la résonance en intensité ;<br>{{Al|3}}le facteur <math>\;\dfrac{Q}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math> pourrait être appelé « facteur de surtension à la résonance en charge » du fait que c'est le rapport <math>\;\dfrac{U_C(x_r)}{U_g}\;</math> mais ce n'est pas fait pratiquement car son expression est trop complexe et trop peu utilisée pour être retenue.</ref>.</center> === Valeur du déphasage à la résonance éventuelle en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === {{Al|5}}Contrairement à « la valeur du déphasage entre l'intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série et la tension à ses bornes à la résonance en intensité » <math>\;\big(</math>valeur nulle constituant un résultat {{Nobr|remarquable<math>\big)\;</math>}} « très utilisée en pratique pour repérer la résonance en intensité », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Contrairement à }}« <u>la valeur du déphasage</u> entre la tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série et la tension à ses bornes à la résonance <math>\;\big(</math>conditionnelle<math>\big)\;</math> en charge » « <u>n'ayant aucune particularité</u> permettant son utilisation pour repérer l'éventuelle résonance en charge », <u>usuellement on ne la détermine pas</u> bien que cela ne présente aucune difficulté comme on le vérifie ci-dessous : {{Al|5}}« si <math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>», « l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur la tension à ses bornes à la résonance en charge », c.-à-d. à la fréquence réduite <math>\;x_r =</math> <math>\sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}}</math>, vaut «<math>\;\varphi_C(x_r) = \varphi_{u_g} - \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( x_r - \dfrac{1}{x_r} \right) \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi_C(x_r) = \varphi_{u_g} - \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}}} \right) \right]\;</math> après report de l'expression de la fréquence réduite de résonance en charge, soit, après réduction au même dénominateur de l'argument de l'arctangente et simplification évidente <center>«<math>\;\varphi_C(x_r) = \varphi_{u_g} - \dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left[ \dfrac{1}{2\;Q\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}}} \right] = \varphi_{u_g} - \dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left[ \dfrac{1}{\sqrt{2}\;\sqrt{2\;Q^2 - 1}} \right]\;</math>».</center> === Nature du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant le facteur de qualité === {{Al|5}}Nous avons déterminé, dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Recherche_d'une_éventuelle_résonance_en_charge_(ou_en_tension_aux_bornes_du_condensateur)_du_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»|recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable]] » plus haut dans ce chapitre, * « l'absence de résonance en charge si <math>\;Q < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>», la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant <math>\;\searrow\;</math> d'une valeur notable <math>\;U_g \neq 0\;</math> à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F., nous en déduisons la nature « passe-bas »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> du filtre et * « l'existence d'une résonance en charge si <math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>», la réponse efficace en tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante étant d'une valeur notable <math>\;U_g \neq 0\;</math> à B.F. jusqu'à une limite nulle à H.F. mais en étant d'abord <math>\;\nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow</math>, nous en déduisons la nature « passe-bande ou passe-bas »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> du filtre suivant l'existence ou non d'une fréquence de coupure basse non nulle à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> ; <br>{{Al|5}}la condition pour qu'il existe une fréquence de coupure basse non nulle à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> étant «<math>\;U_C(x_{c,\,b}) = \dfrac{U_C(x_r)}{\sqrt{2}} > U_C(x = 0)\;</math>» avec la valeur de la réponse efficace à la résonance en charge {{Nobr|«<math>\;U_C(x_r)</math>}} <math>= \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Recherche_d'une_éventuelle_résonance_en_charge_(ou_en_tension_aux_bornes_du_condensateur)_du_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»|recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, se réécrit {{Nobr|«<math>\;\dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{2}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}} > U_g\;</math>}} <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;Q^2 > 2 \left( 1 - \dfrac{1}{4\;Q^2} \right)\;</math>» soit encore l'« inéquation bicarrée en <math>\;Q\;</math> suivante <math>\;2\;Q^4 - 4\;Q^2 + 1 > 0\;</math>» ; le discriminant réduit valant <math>\;\Delta' = 4 - 2 = 2 > 0</math>, les zéros du polynôme bicarré sont <math>\;\dfrac{2 \pm \sqrt{2}}{2} =</math> <math>1 \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \simeq \left\lbrace \begin{array}{c} 1,71\\0,29\end{array}\right.\;</math> et, compte-tenu de la condition de résonance <math>\;Q^2 \geqslant \dfrac{1}{2} = 0,50</math>, on en déduit que l'inégalité est vérifiée si <math>\;Q^2 \gtrsim 1,71\;</math> soit, <math>\;Q\;</math> étant positif, la « condition d'existence d'une fréquence de coupure basse à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> : <math>\;Q \geqslant \sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \simeq 1,31\;</math> ou <math>\;Q \gtrsim 1,31\;</math>» ;<br>{{Al|5}}en conclusion de cette étude « si <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant Q \lesssim 1,31\;</math>»<ref name="condition passe-bas, passe-bande"> La valeur <math>\;1,31\;</math> étant la valeur approchée de <math>\;Q_{\text{max, passe-bas}} = Q_{\text{min, passe-bande}} = \sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\;</math> dont il faut retenir qu'elle existe en étant un peu plus grande que <math>\;1</math>.</ref> la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-bas »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion de cette étude }}« si <math>\;Q \gtrsim 1,31\;</math>»<ref name="condition passe-bas, passe-bande" /> c'est un « passe-bande »<ref name="passe-bande, passe-bas" />. {{Al|5}}Finalement « pour un facteur de qualité restant faible <math>\;Q \lesssim 1,31\;</math>»<ref name="condition passe-bas, passe-bande" /> la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « <u>passe-bas</u> »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Finalement }}« pour un facteur de qualité plus grand <math>\;Q \gtrsim 1,31\;</math>»<ref name="condition passe-bas, passe-bande" /> c'est un « <u>passe-bande</u> »<ref name="passe-bande, passe-bas" />{{,}}<ref> Mais nettement moins intéressant que le passe-bande constitué de la réponse en intensité du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante car la fréquence de résonance dépend du facteur de qualité, ce qui est un handicap à son utilisation.</ref>. === Complément : détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant qu'il y a, ou non, résonance en charge === ==== Détermination de la fréquence de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en absence de résonance en charge ==== {{Al|5}}Considérant donc «<math>\;Q < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>», le filtre est un « passe-bas »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> dont la « valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est <math>\;U_{C,\,\text{max}} =</math> <math>U_C(x = 0) = U_g\;</math>» ; il n'existe donc qu'« une seule fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> dont la valeur réduite est définie par <math>\;U_C(x_c) = \dfrac{U_{C,\,\text{max}}}{\sqrt{2}}\;</math>» soit encore l'équation «<math>\;\dfrac{U_g}{\sqrt{\left( 1 - x_c^2 \right)^2 + \dfrac{x_c^2}{Q^2}}} = \dfrac{U_g}{\sqrt{2}}\;</math> ou <math>\;\left( 1 - x_c^2 \right)^2 + \dfrac{x_c^2}{Q^2} = 2\;</math>» soit, en développant et ordonnant l'« équation bicarrée par monômes de degré décroissant, <math>\;x_c^4 + \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right) x_c^2 - 1 = 0\;</math>» de discriminant réduit <math>\;\Delta' = \left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)^{\!2} + 1 > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> deux racines en <math>\;x^2\;</math> réelles distinctes mais de signe contraire<ref> Le produit des racines en <math>\;x^2\;</math> étant égal à <math>\;-1</math>.</ref>, la racine en <math>\;x^2\;</math> positive s'écrivant «<math>\;x_c^2 =</math> <math>-\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right) + \sqrt{\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)^{\!2} + 1}\;</math>» soit enfin la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <center>«<math>\;x_c = \sqrt{\sqrt{\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)^{\!2} + 1} - \left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)}\;</math>»</center> {{Al|5}}d'où la fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> du « passe-bas »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> « réponse en charge du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en absence de résonance en charge » <center>«<math>\;f_c = f_0\;\sqrt{\sqrt{\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)^{\!2} + 1} - \left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)}\;</math>»<ref name="non à retenir"> Ce n'est <math>\;\big(</math>ou ce ne sont<math>\big)\;</math> évidemment pas un <math>\;\big(</math>ou des<math>\big)\;</math> résultat(s) à retenir.</ref>{{,}}<ref name="déphasage sans particularité"> Évidemment compte-tenu de l'expression de la <math>\;\big(</math>ou les<math>\big)\;</math> fréquence(s) de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, le déphasage entre la tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série excité sinusoïdalement et la tension à ses bornes n'a aucune particularité.</ref>.</center> ==== Détermination de la (ou les) fréquence(s) de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » en présence de résonance en charge ==== {{Al|5}}Considérant donc «<math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>», le filtre étant un « passe-bas ou passe-bande »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> suivant que <math>\;Q\;</math> est <math>\;\lesssim 1,31\;</math> ou non, dont la « valeur maximale de tension efficace aux bornes du condensateur est <math>\;U_{C,\,\text{max}} = U_C\!\!\left( x_r = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} \right) = \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math>» ; il existe donc, suivant la valeur du facteur de qualité, « une ou deux fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> dont la <math>\;\big(</math>ou les<math>\big)\;</math> valeur(s) réduite(s) sont définies par <math>\;U_C(x_c) = \dfrac{U_{C,\,\text{max}}}{\sqrt{2}}\;</math>» soit encore l'équation «<math>\;\dfrac{U_g}{\sqrt{\left( 1 - x_c^2 \right)^2 + \dfrac{x_c^2}{Q^2}}} = \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{2}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math> ou <math>\;\left( 1 - x_c^2 \right)^2 + \dfrac{x_c^2}{Q^2} = \cancel{\pm} \dfrac{2}{Q^2} \left( 1 - \dfrac{1}{4\;Q^2} \right)\;</math>»<ref name="vérification positivité"> En effet le 1^er membre étant positif, le 2^ème doit l'être aussi et <math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math> implique <math>\;\dfrac{1}{4\;Q^2} \leqslant \dfrac{1}{2}\;</math> d'où <math>\;1 - \dfrac{1}{4\;Q^2} \geqslant \dfrac{1}{2} > 0</math>.</ref> soit, en développant et ordonnant l'« équation bicarrée, <math>\;x_c^4 + \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right) x_c^2 + 1 - \dfrac{2}{Q^2} + \dfrac{1}{2\;Q^4} = 0\;</math>» de discriminant réduit <math>\;\Delta' = \left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)^{\!2} - 1 + \dfrac{2}{Q^2} - \dfrac{1}{2\;Q^4}\;</math> se simplifiant en <math>\;\Delta' = \dfrac{1}{Q^2} - \dfrac{1}{4\;Q^4} =</math> <math>\dfrac{1}{Q^2} \left( 1 - \dfrac{1}{4\;Q^2} \right) > 0\;</math><ref name="vérification positivité" /> <math>\Rightarrow</math> deux racines en <math>\;x^2\;</math> réelles distinctes s'écrivant <math>\;x_c^2 = -\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right) \pm \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math> ces dernières étant toutes les deux positives ou de signe contraire<ref> En effet le « 1^er terme du 2^nd membre <math>\;-\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)\;</math> est <math>\;\geqslant 0\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>car <math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math> implique <math>\;\dfrac{1}{2\;Q^2} \leqslant 1\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \leqslant 0\bigg\}\;</math> et le « 2^ème du 2^nd membre <math>\;\dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}} > 0\;</math>» d'où <br>{{Al|3}}« chaque racine en <math>\;x^2\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» si le 1^er terme «<math>\;-\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)\;</math>» est <math>\;>\;</math> au 2^ème «<math>\;\dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math>» et <br>{{Al|3}}seule la racine en <math>\;x^2\;</math> «<math>\;-\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right) + \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math>» est <math>\;> 0\;</math> si le 1^er terme «<math>\;-\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right)\;</math>» est <math>\;<\;</math> au 2^ème «<math>\;\dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>«<math>\;-\left( \dfrac{1}{2\;Q^2} - 1 \right) - \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math>» étant <math>\;< 0\bigg\}</math>.</ref> ; ainsi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant donc «<math>\;\color{transparent}{Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\;</math>», }}dans le cas où les deux racines en <math>\;x^2\;</math> sont <math>\;> 0</math>, il y a deux fréquences réduites de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x_{c,\,h} = \sqrt{\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) + \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\\ x_{c,\,b} = \sqrt{\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) - \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant donc «<math>\;\color{transparent}{Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\;</math>», }}dans le cas où une seule racine en <math>\;x^2\;</math> est <math>\;> 0</math>, il y a une fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> «<math>\;x_{c,\,h} = \sqrt{\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) + \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math>» d'où * la fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> du « passe-bas à <math>\;Q \lesssim 1,31\;</math>»<ref name="passe-bande, passe-bas" /> « réponse en charge du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge » est <center>«<math>\;f_c = f_0\;\sqrt{\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) + \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math>»<ref name="non à retenir" />{{,}}<ref> On vérifierait que <math>\;\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) - \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}\;</math> est négatif et que <math>\;x_{c,\,b}\;</math> n'existe pas.</ref>,</center> * les fréquences de coupure haute et basse à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> du « passe-bande à <math>\;Q \gtrsim 1,31\;</math>»<ref name="passe-bande, passe-bas" /> « réponse en charge du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable en présence de résonance en charge » sont <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{c,\,h} = f_0\;\sqrt{\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) + \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\\ f_{c,\,b} = f_0\;\sqrt{\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right) - \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}} \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="non à retenir" />{{,}}<ref name="déphasage sans particularité" />.</center> === Réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » par diagramme de Fresnel === {{Al|5}}Revoir, si besoin est, la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Vecteur_de_Fresnel_tournant|vecteur de Fresnel tournant]] » puis celle de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Vecteur_de_Fresnel|vecteur de Fresnel]] (sous-entendu à l'origine des temps) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », sachant que la notion de diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> n'est qu'une façon concrète de matérialiser celle d'amplitudes complexes <math>\;\big(</math>ou de valeurs efficaces complexes<ref name="valeur efficace et amplitude complexes" /><math>\big)\;</math> dans tout schéma construit à partir de vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associés aux grandeurs sinusoïdales de même pulsation <math>\;\omega\;</math><ref name="lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel" /> quand on les ajoute, dérive temporellement certaines d'entre elles ou effectue toute autre opération linéaire <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Comme il a été indiqué dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Lien_entre_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresne|lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », l'utilisation du diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> n'apportant rien de plus que celle d'amplitudes complexes <math>\;\big(</math>ou de valeurs efficaces complexes<ref name="valeur efficace et amplitude complexes" /><math>\big)</math>{{,}}<ref> Et même, dans le cas présent, est nettement moins pratique car ne permettant pas l'utilisation de la notion très pratique de sortie ouverte de P.D.T. en complexe <math>\;\big(</math>et pour cause les diagrammes de Fresnel n'utilisant pas l'électricité complexe associée au r.s.f.<math>\big)</math>.</ref>, nous n'indiquerons que les grandes lignes de ce traitement. [[File:R L C série en r.s.f. - diagramme de Fresnel.png|thumb|350px|Diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de tension efficace et de fréquence fixées, détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur]] {{Al|5}}On trace les vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associés à chaque tension<ref name="particularisation du vecteur de Fresnel" />, puis la somme pour déterminer le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à la tension imposée par le générateur, voir diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> ci-contre <ref name="particularisation du vecteur de Fresnel" /> ; parmi ces vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> on distingue entre autres * le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à la tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série indirectement <math>\;\perp\;</math> à celui associé à l'intensité du courant y circulant<ref> Indirectement <math>\;\perp\;</math> signifiant que sa direction est perpendiculaire mais l'angle qu'il fait avec celui associé à l'intensité du courant fait <math>\;-\dfrac{\pi}{2}</math>.</ref>, leurs normes étant liées par «<math>\;U_C</math> <math>= \dfrac{I}{C\;\omega}\;</math>», et * le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> associé à l'intensité du courant colinéaire à celui associé à la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, leurs normes étant liées par «<math>\;U_R = R\;I\;</math>» <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}La façon la plus simple de procéder consiste à « déterminer <math>\;I\;</math> en fonction de <math>\;U_g\;</math>»<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Réponse_sinusoïdale_forcée_en_intensité_du_courant_traversant_un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»_par_diagramme_de_Fresnel|réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable par diagramme de Fresnel]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> pour ensuite « l’insérer dans <math>\;U_C =</math> <math>\dfrac{I}{C\;\omega}\;</math>» soit : * «<math>\;U_g = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}\;</math> par théorème de Pythagore »<ref name="Pythagore" /> dans lequel on reporte «<math>\;U_R = R\;I\;</math>», «<math>\;U_L = L\;\omega\;I\;</math>» et «<math>\;U_C = \dfrac{I}{C\;\omega}\;</math>» d'où <math>\;U_g = \sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;I\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;I = \dfrac{U_g}{\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}}\;</math>» et finalement, par report dans «<math>\;U_C = \dfrac{I}{C\;\omega}\;</math>» l'expression de la tension efficace aux bornes du condensateur en fonction de celle imposée au <math>\;R\,L\,C\;</math> série «<math>\;U_C = \dfrac{U_g}{C\;\omega\;\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}}\;</math>» <math>\;\ldots</math> * «<math>\;\tan\! \left( \varphi_{u_g} - \varphi_i \right) = \dfrac{U_L - U_C}{U_R}\;</math> dans le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont <math>\;U_R\;</math> et <math>\; \vert U_L - U_C \vert\;</math>» permettant de déduire, par report des expressions de <math>\;U_L</math>, <math>\;U_C\;</math> et <math>\;U_R\;</math> et simplification évidente, «<math>\;\varphi_{u_g} - \varphi_i = \arctan\! \left( \dfrac{L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega}}{R}\right)\;</math>» puis, sachant que «<math>\;\varphi_C = \varphi_i - \dfrac{\pi}{2}\;</math>» ou <math>\;\varphi_i =</math> <math>\varphi_C + \dfrac{\pi}{2}</math>, on en déduit <math>\;\varphi_{u_g} - \varphi_C - \dfrac{\pi}{2} = \arctan\! \left( \dfrac{L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega}}{R}\right)\;</math> puis l'expression de l'avance de phase de la tension aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur celle aux bornes du condensateur «<math>\;\varphi_{u_g} - \varphi_C = \dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left( \dfrac{L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega}}{R}\right)\;</math>». === Utilisation d'un outil de résolution numérique pour étudier l'influence du facteur de qualité sur l'éventuelle résonance en charge d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » === [[File:R L C série - courbes de la tension efficace aux bornes de C en fonction de la fréquence.png|thumb|650px|Tracé simultané des courbes de réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à tension sinusoïdale de valeur efficace fixée en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math> suivant le facteur de qualité pour la recherche d'une éventuelle résonance en charge, les tracés étant obtenus par Scilab]] {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : A priori ce paragraphe n'a pas de raison d'être car il est relativement aisé de trouver « à la main » la condition à imposer à <math>\;Q\;</math> pour qu'il y ait résonance en charge et de constater que la résonance est d'autant plus aiguë que <math>\;Q\;</math> est grand<ref> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Recherche_d'une_éventuelle_résonance_en_charge_(ou_en_tension_aux_bornes_du_condensateur)_du_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»|recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}c'est une demande explicite du programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Pour faire cette étude on peut tracer les courbes de valeurs efficaces <math>\;U_C\;</math> en fonction de <math>\;x\;</math> pour différentes valeurs de <math>\;Q\;</math> <math>\bigg(0,4\;;\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\;;\;1\;;\;3\bigg)\;</math> <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)\;</math> en utilisant n'importe quel logiciel de résolution numérique <math>\;\big[</math>celui utilisé ici est un de ceux proposés par le programme à savoir {{Nobr|« Scilab »<ref> La version utilisée étant Scilab <math>\;5.41</math>, Scilab étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref><math>\big]</math>,}} le programme utilisé<ref> Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel <math>\;\ldots</math></ref> est donné ci-dessous, les graphes tracés ci-contre résultant de l'utilisation de ce programme<ref> Les valeurs affichées de <math>\;Q\;</math> ainsi que celles éventuelles de <math>\;x_r\;</math> ayant été ajoutées à la main ainsi que le commentaire encadré « pas de résonance si <math>\;Q < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>».</ref> ; Q=3 ;x=linspace(0,3,100) ;G1=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ; Q=1 ;x=linspace(0,3,100) ;G2=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ; Q=(2)^(-1/2) ;x=linspace(0,3,100) ;G3=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ; Q=0,4 ;x=linspace(0,3,100) ;G4=((1-x^2)^2+x^2/Q^2)^(-1/2) ; drawlater() plot(x,G1,"b",x,G2,"g",x,G3,"r",x,G4,"m") ; a=gca() ;a.x_location="bottom" ;a.y_location="left" ; a.title.text="Les réponses en u_C suivants les valeurs du facteur de qualité" ; e=gce();e.children(2).thickness=2 ; drawnow() {{clr}} == Étude de la réponse sinusoïdale forcée en charge d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité, résonance forte (ou aiguë), fréquence de résonance en charge égale à celle en intensité, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, acuité de la résonance en charge == === Étude de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité === {{Al|5}}Envisageant un « grand facteur de qualité c.-à-d. <math>\;Q \gg 1\;</math>», on en déduit qu'il y a « résonance en charge pour la fréquence réduite <math>\;x_r = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} =</math> <math>\left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q^2} \right)^{\!\frac{1}{2}} \simeq 1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}\;</math>»<ref> <math>\;Q\;</math> étant <math>\;\gg 1</math>, on en déduit <math>\;2\;Q^2 \gg 1\;</math> et «<math>\;\dfrac{1}{2\;Q^2} \ll 1\;</math> autorisant de considérer <math>\;\dfrac{1}{2\;Q^2}\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un » ; <br>{{Al|3}}on utilise alors le D.L. à l'ordre un de <math>\;(1 + x)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> établi dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » s'écrivant <math>\;(1 + \varepsilon)^n = 1 + n\, \varepsilon + {\scriptscriptstyle\mathcal{O}}\! \left( \varepsilon \right)\;</math> ou «<math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math> dans laquelle <math>\;n = \dfrac{1}{2}\;</math>».</ref> ou, en conservant uniquement le terme prépondérant<ref name="terme prépondérant"> C.-à-d. en prenant le D.L. à l'ordre zéro de <math>\;(1 + x)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}</math>.</ref>, « pour <math>\;x_r \simeq 1\;</math>» ; <center>en conclusion « si <math>\;Q \gg 1\;</math>», «<math>\;f_{r,\; Q\, \gg\, 1} \simeq f_0\;</math>» c.-à-d. que <br>« la fréquence de résonance en charge à grand facteur de qualité est quasiment la fréquence propre » ;</center> {{Al|5}}« la valeur maximale correspondante <math>\;U_{C,\,\text{max}} = U_C(x_r) = \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}} = Q\;U_g \left( 1 - \dfrac{1}{4\;Q^2} \right)^{\!-\frac{1}{2}}\;</math>» se réécrit, en considérant <math>\;\dfrac{1}{4\;Q^2}\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un et en prenant le D.L. à l'ordre un du dernier facteur<ref> On utilisera le D.L. à l'ordre un de <math>\;(1 + x)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> établi dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » s'écrivant <math>\;(1 + \varepsilon)^n = 1 + n\, \varepsilon + {\scriptscriptstyle\mathcal{O}}\! \left( \varepsilon \right)\;</math> ou «<math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math> dans laquelle <math>\;n = -\dfrac{1}{2}\;</math>».</ref>, «<math>\;U_{C,\,\text{max}} \simeq Q\;U_g \left( 1 + \dfrac{1}{8\;Q^2} \right)\;</math>» ou, en conservant uniquement le terme prépondérant de ce dernier facteur<ref name="terme prépondérant" />, <center>«<math>\;U_{C,\,\text{max}} \simeq Q\;U_g\;</math>»<ref> Ainsi on comprend la raison pour laquelle on n'introduit pas la notion de « facteur de surtension à la résonance en charge » car ce facteur s'identifie au « facteur de surtension à la résonance en intensité » dans la mesure où le facteur de qualité est grand <math>\;\big(</math>et c'est essentiellement quand ce facteur est grand que l'aspect « passe-bande » du filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est utilisé<math>\big)</math>.</ref> impliquant une « <u>très grande</u> tension efficace aux bornes du condensateur »<ref> Pratiquement il faut être très attentif à ce résultat car cela peut conduire à un claquage du condensateur si on n'y prend pas garde, par exemple, supposons que la tension de claquage d'un condensateur soit <math>\;10\;V\;</math> et que le générateur fournisse une tension efficace <math>\;U_g = 5\;V</math>, on n'est pas certain que le condensateur ne claquera pas, en effet si le facteur de qualité vaut <math>\;Q = 10\;</math> et que l'on règle la fréquence délivrée par le générateur au voisinage de la fréquence propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série, la tension efficace aux bornes du condensateur prendra alors sa valeur maximale égale à <math>\;U_{C,\,\text{max}} \simeq 10 \times 5\;V</math> <math>= 50\;V\;</math> nettement supérieure à sa tension de claquage ce qui conduira certainement à sa destruction.</ref>, <br> ce qui correspond à une « <u>résonance aiguë</u> »<ref> On parle encore de résonance forte.</ref>.</center> === Détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité === {{Al|5}}Avec «<math>\;Q \gg 1\;</math>», le filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » étant un « passe-bande », on définit « deux fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> de valeurs réduites <math>\;x_c\;</math>» par «<math>\;U_C(x_c) = \dfrac{U_C(x_r)}{\sqrt{2}}\;</math>» dans laquelle « la tension efficace aux bornes du condensateur pour la fréquence réduite <math>\;x\;</math> s'écrit <math>\;U_C(x) =</math> <math>\dfrac{U_g}{\sqrt{ \left( 1 - x^2 \right)^2 + \dfrac{x^2}{Q^2}}}\;</math>» et « celle pour la résonance en charge <math>\;U_C(x_r) = \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math>» dans la mesure où on ne tient pas compte de <math>\;Q \gg 1\;</math> soit finalement l'équation de définition des fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <center>«<math>\;\dfrac{U_g}{\sqrt{ \left( 1 - x_c^2 \right)^2 + \dfrac{x_c^2}{Q^2}}} = \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{2}\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{4\;Q^2}}}\;</math> sans tenir compte de <math>\;Q \gg 1\;</math>»<ref> Mais en considérant <math>\;Q \gtrsim 1,31</math> pour avoir un passe-bande.</ref> ;</center> {{Al|5}}« tenir compte de <math>\;Q \gg 1\;</math>» permet * d'une part de « remplacer <math>\;U_C(x_r)\;</math> par son terme prépondérant soit <math>\;U_C(x_r) \simeq Q\;U_g\;</math>» et * d'autre part, « le caractère aigu de la résonance impliquant que les fréquences réduites de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> sont proches de la fréquence réduite de résonance en charge laquelle est assimilable à la fréquence réduite propre <math>\;x_0 = 1\;</math>», on peut « remplacer <math>\;\dfrac{x_c^2}{Q^2}\;</math> par son terme prépondérant soit <math>\;\dfrac{x_c^2}{Q^2} \simeq \dfrac{1}{Q^2}\;</math>»<ref> En effet si nous écrivons «<math>\;x_c^2 \simeq 1 + \varepsilon\;</math> avec <math>\;\varepsilon < 0\;</math> le terme infiniment petit correctif du D.L. de <math>\;x_c^2\;</math>», sachant que <math>\;\dfrac{1}{Q^2}\;</math> est un infiniment petit dont l'ordre peut être différent de celui de <math>\;\varepsilon</math>, multiplier les deux conduit à «<math>\;\dfrac{x_c^2}{Q^2} \simeq \dfrac{1}{Q^2} + \dfrac{\varepsilon}{Q^2}\;</math>» avec le 2^ème terme d'ordre supérieur à celui du 1^er puisque égal à la somme de l'ordre du 1^er et de celui de <math>\;\varepsilon\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{1}{Q^2}\;</math> terme prépondérant de <math>\;\dfrac{x_c^2}{Q^2}\;</math>».</ref>, « l'autre terme <math>\;\left( 1 - x_c^2 \right)^2\;</math> proche de <math>\;0\;</math> étant laissé tel quel », {{Al|5}}d'où la réécriture de l'équation de définition des fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> pour un grand facteur de qualité <center>«<math>\;\dfrac{U_g}{\sqrt{ \left( 1 - x_c^2 \right)^2 + \dfrac{1}{Q^2}}} \simeq \dfrac{Q\;U_g}{\sqrt{2}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left( 1 - x_c^2 \right)^2 + \dfrac{1}{Q^2} \simeq \dfrac{2}{Q^2}\;</math>» <br>conduisant à «<math>\;\big\vert\, 1 - x_c^2\, \big\vert = \dfrac{1}{Q}\;</math>» ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1}^2 - 1 \simeq \dfrac{1}{Q}\\ 1 - x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1}^2 \simeq \dfrac{1}{Q}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on en déduit aisément les fréquences réduites de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> du passe-bande « réponse en tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante à grand facteur de qualité » «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1} \simeq \sqrt{1 + \dfrac{1}{Q}} = \left( 1 + \dfrac{1}{Q} \right)^{\!\frac{1}{2}}\\ x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1} \simeq \sqrt{1 - \dfrac{1}{Q}} = \left( 1 - \dfrac{1}{Q} \right)^{\!\frac{1}{2}}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou, en utilisant le D.L. à l'ordre un de <math>\;(1 + x)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> avec <math>\;n = \dfrac{1}{2}\;</math><ref> Établi dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » soit <math>\;(1 + \varepsilon)^n = 1 + n\, \varepsilon + {\scriptscriptstyle\mathcal{O}}\! \left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon</math>, l'infiniment petit d'ordre un étant <math>\;\pm \dfrac{1}{Q}</math>.</ref>, <center>«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1} \simeq 1 + \dfrac{1}{2\;Q}\\ x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1} \simeq 1 - \dfrac{1}{2\;Q}\end{array} \right\rbrace\;</math>» donnant les fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} f_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1} \simeq f_0 \left( 1 + \dfrac{1}{2\;Q} \right)\\ f_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1} \simeq f_0 \left( 1 - \dfrac{1}{2\;Q} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Si on utilise les résultats du complément traité dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Détermination_de_la_(ou_les)_fréquence(s)_de_coupure_à_-3dB_du_filtre_«_réponse_en_charge_du_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»_en_présence_de_résonance_en_charge|détermination de la (ou les) fréquence(s) de coupure du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” en présence de résonance en charge]] » plus haut dans le chapitre ce sont les valeurs que l'on obtient en faisant en D.L. à l'ordre un en <math>\;\dfrac{1}{Q}</math> ; en effet les résultats trouvés en supprimant les termes d'ordre deux deviennent «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{c,\,h} = f_0\;\sqrt{\left( 1 - \cancel{\dfrac{1}{2\;Q^2}} \right) + \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \cancel{\dfrac{1}{4\;Q^2}}}} \simeq f_0\;\sqrt{1 + \dfrac{1}{Q}}\\ f_{c,\,b} = f_0\;\sqrt{\left( 1 - \cancel{\dfrac{1}{2\;Q^2}} \right) - \dfrac{1}{Q}\;\sqrt{1 - \cancel{\dfrac{1}{4\;Q^2}}}} \simeq f_0\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{Q}} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit, par D.L. à l'ordre un en <math>\;\dfrac{1}{Q}</math>, les résultats énoncés par utilisation de «<math>\;\sqrt{1 \pm \dfrac{1}{Q}} = \left( 1 \pm \dfrac{1}{Q} \right)^{\!\frac{1}{2}} \simeq 1 \pm \dfrac{1}{2\;Q}\;</math>».</ref>.</center> === Bande passante à -3dB et acuité de la résonance en charge du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » à grand facteur de qualité === {{Al|5}}Dans l'hypothèse «<math>\;Q \gg 1\;</math>» on détermine la bande passante réduite à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> selon «<math>\;\left( \Delta x \right)_{Q\,\gg\,1} = x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1} - x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1} \simeq \dfrac{1}{Q}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans l'hypothèse «<math>\;\color{transparent}{Q \gg 1}\;</math>» on détermine }}la bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> pour la résonance en charge à grand facteur de qualité s'écrit <center>«<math>\;B.P._{-3dB,\,Q\,\gg\,1} = \left( \Delta f \right)_{Q\,\gg\,1} = f_0\, \left( \Delta x \right)_{Q\,\gg\,1} \simeq \dfrac{f_0}{Q}\;</math>» <br>c.-à-d. le même résultat que celle de la résonance en intensité <br>mais avec «<math>\;B.P._{-3dB,\,Q\,\gg\,1} \simeq \dfrac{f_0}{Q} \ll f_0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}on définit de même l'acuité de la résonance en charge à grand facteur de qualité par <center>«<math>\;\mathcal{A}_{C,\,Q\,\gg\,1} = \dfrac{f_{r,\,Q\,\gg\,1}}{\left( \Delta f \right)_{Q\,\gg\,1}} \simeq \dfrac{f_0}{\dfrac{f_0}{Q}} = Q\;</math>» <br>c.-à-d. encore le même résultat que celle de la résonance en intensité <br>mais avec «<math>\;\mathcal{A}_{C,\,Q\,\gg\,1} \simeq Q \gg 1\;</math>».</center> == Courbe de valeur efficace en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, nature du filtre suivant la valeur du facteur de qualité, cas particulier d'un grand facteur de qualité == === Tracé, point par point, de la courbe de valeur efficace en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite === [[File:R L C série - courbes de la tension efficace Uc en fonction de la fréquence.png|thumb|400px|Superposition des courbes de réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math> pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance <math>\;Q = 0,4</math>, une “ résonance limite en <math>\;x = 0\;</math>” <math>\;Q = \dfrac{1}{\sqrt{2}}</math>, floue <math>\;Q = 2\;</math> et aiguë <math>\;Q = 10</math>]] {{Al|5}}Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en tension efficace aux bornes du condensateur d'un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité * <math>\;Q = 0,4\;</math> donnant une absence de résonance, * <math>\;Q = 10\;</math> donnant une résonance qualifiée d'« aiguë » en «<math>\;x_r = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} \simeq 0,995\;</math>», * <math>\;Q = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math> donnant une résonance limite en «<math>\;x_r = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} = 0\;</math>» et * <math>\;Q = 2\;</math> donnant une résonance qualifiée de « floue » en «<math>\;x_r = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}} \simeq 0,875\;</math>». <center>Voir tableau de variation explicité ci-dessous dans le cas où il y a résonance c.-à-d. si <math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}</math> : {| class="wikitable" | align="center" | <math>\;x\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;x_r = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}}\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;1\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;U_C(x) = \dfrac{U_g}{\sqrt{\left( 1 - x^2 \right)^{\!2} + \dfrac{x^2}{Q^2}}}\;</math> | align="center" | <math>\;U_g\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;U_{C,\,\text{max}}\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;Q\;U_g\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> |}</center> <center>Le tableau de variation dans le cas où il n'y a pas résonance c.-à-d. si <math>\;Q < \dfrac{1}{\sqrt{2}}</math> correspond à une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;U_g\;</math> à <math>\;0</math>.</center> {{Al|5}}« Pour <math>\;x \rightarrow 0\;</math>», «<math>\;U_C(x) = \dfrac{U_g}{\sqrt{1 + x^2 \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right) + \cancel{x^4}}} \simeq U_g \left[ 1 - \dfrac{x^2}{2} \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right) \right]\;</math>»<ref> En effet on utilise le D.L. à l'ordre un en <math>\;x^2\;</math> de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2 \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right)}} = \left[ 1 + x^2 \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right) \right]^{-\frac{1}{2}} \simeq 1 - \dfrac{1}{2}\; x^2 \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right)</math> <math>\;\bigg\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » présentant le D.L. à l'ordre un de <math>\;(1 + \varepsilon)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> s'écrivant <math>\;(1 + \varepsilon)^n = 1 + n\, \varepsilon + {\scriptscriptstyle\mathcal{O}}\! \left( \varepsilon \right)\;</math> ou {{Nobr|«<math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq</math>}} <math>1 + n\, \varepsilon\;</math> dans laquelle <math>\;n = -\dfrac{1}{2}\;</math>»<math>\bigg\}</math>.</ref> dont on tire la dérivée par rapport à la fréquence réduite {{Nobr|«<math>\;\dfrac{d U_C}{dx}(x) \simeq</math>}} <math>U_g \left[ - x \left( \dfrac{1}{Q^2} - 2 \right) \right] \rightarrow 0\;</math>» précisant que la tangente à la courbe en <math>\;x = 0\;</math> est parallèle à l'axe des <math>\;x</math>. === Rappel : nature du filtre « réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » suivant le facteur de qualité === {{Al|5}}A déjà été traité dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Nature_du_filtre_«_réponse_en_charge_du_R_L_C_s.érie_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»_suivant_le_facteur_de_qualité|nature du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” suivant le facteur de qualité]] » plus haut dans ce chapitre, on rappelle les résultats obtenus : * « si <math>\;Q\;</math> est faible » <math>\;\big(</math>plus précisément « si <math>\;Q \lesssim 1,31\;</math>»<math>\big)\;</math> « la réponse en tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » est un « <u>passe-bas</u> »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> sans résonance ou avec résonance très floue et * « si <math>\;Q\;</math> est suffisamment grand » <math>\;\big(</math>plus précisément « si <math>\;Q \gtrsim 1,31\;</math>»<math>\big)\;</math> c'est un « <u>passe-bande</u> »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> à résonance d'autant plus aiguë que la valeur du facteur de qualité est grande, la fréquence de résonance en charge<ref> On rappelle que la fréquence de résonance en charge est toujours inférieure à la fréquence propre.</ref> étant d'autant plus proche de la fréquence propre que <math>\;Q\;</math> est grand. === Rappel : cas particulier d'un grand facteur de qualité === {{Al|5}}A déjà été traité dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Étude_de_la_réponse_sinusoïdale_forcée_en_charge_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»_à_grand_facteur_de_qualité,_résonance_forte_(ou_aiguë),_fréquence_de_résonance_en_charge_égale_à_celle_en_intensité,_fréquences_de_coupure_et_bande_passante_à_-3dB,_acuité_de_la_résonance_en_charge|étude de la réponse sinusoïdale forcée en charge d'un “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” à grand facteur de qualité, résonance forte (ou aiguë), fréquence de résonance en charge égale à celle en intensité, fréquences de coupure et bande passante à -3dB, acuité de la résonance en charge]] » plus haut dans ce chapitre, on rappelle le principal résultat <center>c'est un « <u>passe-bande</u> »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> de fréquence de résonance quasiment égale à la fréquence propre et <br>dont l'acuité de résonance en charge est approximativement égale au facteur de qualité.</center> == Courbe de déphasage en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence, cas particulier d'un grand facteur de qualité == === Tracé (point par point) de la courbe de déphasage en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite === [[File:R L C série - courbes de l'avance de phase de la tension Uc sur la tension Ug en fonction de la fréquence.png|thumb|400px|Superposition des courbes d'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math> pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance <math>\;Q = 0,4</math>, une “ résonance limite en <math>\;x = 0\;</math>” <math>\;Q = \dfrac{1}{\sqrt{2}}</math>, floue <math>\;Q = 2\;</math> et aiguë <math>\;Q = 10</math>]] {{Al|5}}Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité * <math>\;Q = 0,4\;</math> donnant une variation lente et assez régulière du déphasage, * <math>\;Q = 10\;</math> donnant une variation rapide au voisinage de la fréquence réduite propre et très lente en dehors, * <math>\;Q = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math> donnant une variation légèrement plus rapide qu'aux faibles valeurs du facteur de qualité, variation du déphasage restant assez régulière et * <math>\;Q = 2\;</math> donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite propre avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors. <center>Voir tableau de variation explicité ci-dessous : {| class="wikitable" | align="center" | <math>\;x\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;1\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;X(x) = x - \dfrac{1}{x}\;</math><ref name="Variation croissante de X" /> | align="center" | <math>\;-\infty\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\nearrow\;</math> | align="center" | <math>\;+\infty\;</math> |- | align="center" | <math>\;\left( \varphi_C - \varphi_{u_g} \right)(x) = -\dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q\; X(x) \right]\;</math><ref> On rappelle que <math>\;\varphi_C = \varphi_i - \dfrac{\pi}{2}\;</math> c.-à-d. que la tension aux bornes du condensateur est en quadrature retard sur l'intensité de son courant de charge, cette relation résultant de <math>\;\underline{u_C}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{j\;C\;\omega}\;\underline{i}(t)</math>.</ref> | align="center" | <math>\;0\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> | align="center" | <math>\;\searrow\;</math> | align="center" | <math>\;-\pi\;</math> |}</center> {{Al|5}}« Pour <math>\;x \rightarrow 0\;</math>», <math>\;X(x) \sim -\dfrac{1}{x}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Delta \varphi(x) = \left( \varphi_C - \varphi_{u_g} \right)(x) \sim -\dfrac{\pi}{2} + \arctan\! \left[ \dfrac{Q}{x} \right]\;</math>» dont on tire la dérivée relativement à la fréquence réduite «<math>\;\dfrac{d \Delta \varphi}{dx}(x) \sim \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{Q}{x} \right)^{\!2}} \left[ -\dfrac{Q}{x^2} \right] = \dfrac{-Q}{x^2 + Q^2} \rightarrow -\dfrac{1}{Q} \neq 0\;</math>» précisant que la tangente à la courbe en <math>\;x = 0\;</math> n'est pas parallèle à l'axe des <math>\;x\;</math> <math>\big(</math>la pente étant négative d'autant plus faible en valeur absolue que <math>\;Q\;</math> est grand<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : on retiendra deux points sur ces courbes d'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série excité sinusoïdalement sur la tension à ses bornes : * elles ont toutes un point commun en la fréquence réduite propre <math>\;x_0 = 1</math>, le déphasage étant égal à <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> et * elles sont indépendantes du caractère « passe-bas ou passe-bande »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> du filtre. === Cas particulier d'un grand facteur de qualité === {{Al|5}}« Mis à part le voisinage immédiat de <math>\;x_0 = 1\;</math>»<ref> C.-à-d. mis à part le cas où la fréquence imposée par le générateur est dans le voisinage immédiat de la fréquence propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série.</ref>, « un grand facteur de qualité c.-à-d. <math>\;Q \gg 1\;</math>» implique «<math>\;Q\, \bigg\vert x - \dfrac{1}{x} \bigg\vert \gg 1\;</math>»<ref> En effet si <math>\;x\;</math> n'est pas dans le voisinage immédiat de <math>\;x_0 = 1</math>, la quantité <math>\;\bigg\vert x - \dfrac{1}{x} \bigg\vert \not\ll 1\;</math> et par suite la multiplication par <math>\;Q \gg 1\;</math> conduit à une quantité <math>\;Q\, \bigg\vert x - \dfrac{1}{x} \bigg\vert \gg 1</math>.</ref> que l'on peut réécrire «<math>\;Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} +\infty\;\;\text{si } x > 1\\ -\infty\;\;\text{si } x < 1\end{array} \right\rbrace\;</math> quand <math>\;Q \rightarrow \infty\;</math>» d'où «<math>\;-\arctan\! \left[ Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right] \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} -\dfrac{\pi}{2}\;\;\text{si } x > 1\\ +\dfrac{\pi}{2}\;\;\text{si } x < 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> quand <math>\;Q \rightarrow \infty\;</math>» et par suite l'avance de phase de la tension aux bornes du condensateur du <math>\;R\, L\, C\;</math> série excité sinusoïdalement sur la tension à ses bornes a pour limite quand <math>\;Q \rightarrow \infty\;</math> <center>«<math>\;\left( \varphi_C - \varphi_{u_g} \right)(x) = -\dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right] \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} -\pi\;\;\text{si } x > 1\\ 0\;\;\text{si } x < 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit encore <br> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c} \left( \varphi_C - \varphi_{u_g} \right)_{\!H.F.} \!\!&=&\!\! -\pi\;&\text{si }\;x > 1\\ \left( \varphi_C - \varphi_{u_g} \right)_{\!B.F.} \!\!&=&\!\! 0\;&\text{si }\;x < 1\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;x \notin \mathcal{V}(x_0 = 1)\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Déphasage de la tension aux bornes du condensateur d'un</u><math>\;R\, L\, C\;</math><u>série excité sinusoïdalement à grand facteur de qualité sur la tension imposée au</u><math>\;R\, L\, C\;</math><u>série aux fréquences de coupure haute et basse à</u><math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> : ayant déterminé les expressions des fréquences réduites de coupure haute et basse à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> quand le facteur de qualité a une grande valeur dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Détermination_des_fréquences_de_coupure_à_-3dB_du_filtre_«_réponse_en_charge_du_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»_à_grand_facteur_de_qualité|détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” à grand facteur de qualité]] » plus haut dans ce chapitre soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1} \simeq 1 + \dfrac{1}{2\;Q}\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{1}{x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1}} \simeq 1 - \dfrac{1}{2\;Q}\\ x_{c,\,b,\Q\,\gg\,1} \simeq 1 - \dfrac{1}{2\;Q}\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{1}{x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1}} \simeq 1 + \dfrac{1}{2\;Q}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1} - \dfrac{1}{x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1}} \simeq \dfrac{1}{Q}\\x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1} - \dfrac{1}{x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1}} \simeq -\dfrac{1}{Q}\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où les expressions du déphasage aux fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c}\left( \varphi_x - \varphi_F \right)\!(x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1}) \!\!&\simeq&\!\! -\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} \!\!&=&\!\! -\dfrac{3\;\pi}{4}\\ \left( \varphi_x - \varphi_F \right)\!(x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1}) \!\!&\simeq&\!\! -\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} \!\!&=&\!\! -\dfrac{\pi}{4}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> == Complémentarités des informations présentes sur les courbes de valeur efficace et de déphasage dans la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour un facteur de qualité modéré == {{Al|5}}La façon la plus simple de <u>déterminer la fréquence propre du <math>\;R\, L\, C\;</math> série quand on étudie sa réponse en tension aux bornes de son condensateur</u> <math>\;u_C(t)</math>, est de <u>le faire à partir de la connaissance de la courbe de déphasage</u> en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|La façon la plus simple }}pour la fréquence propre on a «<math>\;\left( \varphi_C - \varphi_{u_g} \right)(x_0 = 1) = -\dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\big[</math>moyenne arithmétique de l'avance de phase à B.F. <math>\;\big(</math>qui est nulle<math>\big)\;</math> et de celle à H.F. <math>\;\big(</math>qui vaut <math>\;-\pi\big)\big]\;</math><ref> On détermine les déphasages en fonctionnement bicourbe <math>\;(y,\,t)\;</math> à B.F. puis à H.F., on en fait la moyenne arithmétique et on lit la fréquence propre correspondante ; si on se place en fonctionnement <math>\;(y,\,x)\;</math> pour la fréquence propre la courbe de Lissajous doit être une ellipse à axes horizontal et vertical ou un cercle si on adapte les sensibilités des deux voies.</ref> » {{Nobr|<math>\;\big\{</math>la}} moyenne arithmétique de l'avance de phase à B.F. et de celle à H.F. s'obtenant plus aisément à partir de la courbe de déphasage si celle-ci a été tracée auparavant<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|La façon la plus simple }}pour <u>déterminer l'existence d'une éventuelle résonance en charge, le facteur de qualité et la fréquence de résonance</u>, on <u>utilise la courbe de valeur efficace</u> en effet, * ayant déterminé la valeur de la fréquence propre, il suffit de lire sur la courbe de valeur efficace, la valeur de <math>\;U_C\;</math> pour la fréquence propre et on en déduit «<math>\;Q = \dfrac{U_C(f_0)}{U_g}\;</math>», * « si ce dernier est <math>\;> \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>» il y a résonance en charge que l'on détermine aisément en prenant la valeur maximale de <math>\;U_C</math>, ce qui permet d'obtenir la fréquence de résonance <math>\;f_r</math>, * on vérifie alors l'accord avec les valeurs de <math>\;f_0\;</math> et <math>\;Q\;</math> obtenues précédemment selon «<math>\;f_r = f_0\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}}\;</math>» ; <center>il y a donc bien « complémentarités des courbes de valeur efficace et de déphasage » pour déterminer les grandeurs canoniques du <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\ldots</math></center> == Détermination expérimentale de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », observation de la résonance en charge pour un facteur de qualité suffisant, détermination de la fréquence de résonance en charge == === Dispositif expérimental et 1^ères observations === {{Al|5}}On visualise simultanément la « tension aux bornes du générateur B.F. » <ref name="nécessité d'un montage suiveur" /> sur la voie <math>\;CH1\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On visualise simultanément }}la « tension aux bornes du condensateur » <ref> Attention à la masse, le condensateur doit avoir une de ses bornes reliée à la masse du montage suiveur, ce point étant choisi comme masse de l'oscilloscope.</ref> sur la voie <math>\;CH2</math>, on observe * « en fonctionnement bicourbe <math>\;(y,\, t)\;</math>», une variabilité de l'amplitude de la courbe sur la voie <math>\;CH2\;</math> relativement à la variation de fréquence, l'amplitude de la courbe sur la voie <math>\;CH1\;</math> restant constante ainsi qu'une variation du déphasage de la courbe sur la voie <math>\;CH2\;</math> par rapport à la courbe de la voie <math>\;CH1\;</math> et * « en fonctionnement <math>\;(x,\, y)\;</math>», une courbe de Lissajous<ref name="Lissajous" /> elliptique caractéristique de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence ; {{Al|5}}on modifie la valeur du facteur de qualité en changeant la valeur de la résistance du conducteur ohmique <math>\;\big(</math>si <math>\;R \nearrow</math>, <math>\;Q \searrow\big)</math>. === Observation de la résonance conditionnelle en charge === {{Al|5}}On détermine la résonance en charge <math>\;q(t)\;</math> en déterminant la résonance en tension aux bornes du condensateur <math>\;u_C(t) = \dfrac{q(t)}{C}</math> ; * on constate, en fonctionnement bicourbe <math>\;(y,\,t)</math>, que la valeur efficace de <math>\;u_C(t)\;</math><ref name="mesure de valeur efficace" /> a deux comportements possibles suivant la valeur de <math>\;Q\;</math> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« si <math>\;Q\;</math> est <math>\;< \dfrac{1}{\sqrt{2}} \simeq 0,7\;</math>» la tension efficace <math>\;U_C\;</math> <math>\searrow\;</math> quand on fait croître la fréquence et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« si <math>\;Q\;</math> est <math>\;> \dfrac{1}{\sqrt{2}} \simeq 0,7\;</math>» elle passe par un maximum pour une certaine valeur de fréquence<ref name="mesure de fréquence" />. === En complément : détermination des fréquences de coupure à –3dB === {{Al|5}}En mesure automatique avec les choix précédemment précisés, on détermine « la valeur de la tension efficace aux bornes du condensateur à la résonance en charge<ref> Nous supposons donc que <math>\;Q\;</math> est <math>\;> \dfrac{1}{\sqrt{2}} \simeq 0,7</math>.</ref> soit <math>\;U_{C,\, \text{max}}\;</math>» ainsi que « la fréquence de résonance <math>\;f_r\;</math>», puis {{Al|5}}on calcule « la valeur que doit prendre la tension efficace aux bornes du condensateur pour la <math>\;\big(</math>ou les<math>\big)\;</math> fréquence(s) de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> <math>\;\dfrac{U_{C,\;\text{max}}}{\sqrt{2}}\;</math>» et {{Al|5}}on augmente <math>\;\big(</math>ou diminue<math>\big)\;</math> la fréquence pour que la mesure de <math>\;U_C\;</math> sur la voie <math>\;CH2\;</math> affiche cette valeur, « on mesure alors la valeur de fréquence sur la voie <math>\;CH1\;</math>» correspondant à la « fréquence de coupure haute <math>\;\big(</math>ou basse<math>\big)\;</math> à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> »<ref> Si on ne trouve pas de fréquence de coupure basse à <math>\;-3\;dB\;</math> c'est que le filtre est un « passe-bas », le facteur de qualité étant alors <math>\;< 1,3</math>.</ref> et, dans le cas où les deux fréquences de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> existent, leur différence donne la valeur de la « bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> »<ref> Dans le cas où il n'existe que la fréquence de coupure haute à <math>\;-3\;dB</math>, il s'agit d'un « passe-bas » dont la « bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math>» définie comme la largeur de l'intervalle passant s'identifie à la fréquence de coupure haute à <math>\;-3\;dB</math>.</ref>. == Analogie électromécanique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale == === Rappel : P.E.A.E.S. analogue électromécanique d'un « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable === [[File:Pendule élastique horizontal, amorti et excité sinusoïdalement - ter.png|thumb|500px|Dispositif expérimental d'enregistrement <math>\;\big(</math>en perspective<math>\big)\;</math> d'un pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire et excité par action d'une force horizontale sinusoïdale <math>\;\big(</math>en vue de face<math>\big)</math>]] {{Al|5}}L'analogue électromécanique d'un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » étant un « pendule élastique horizontal amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante<ref name="valeur efficace remplacée par amplitude en méca" /> et de fréquence variable selon l'axe du ressort »<ref> Déjà introduit dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Analogue_électromécanique_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_:_pendule_élastique_amorti_par_frottement_fluide_linéaire_auquel_on_applique_une_force_sinusoïdale_d'amplitude_constante_et_de_fréquence_variable_selon_l'axe_du_ressort|analogue électromécanique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>pour avoir l'analogue parfait il faut considérer le pendule « horizontal »<ref> Le poids étant l'analogue d'une tension constante imposée par le générateur, l'analogue du « pendule élastique vertical soumis à une force excitatrice sinusoïdale le long de l'axe du ressort » est un «<math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale à composante permanente non nulle », composante permanente qui modifie la tension aux bornes du condensateur ; <br>{{Al|3}}en conséquence, souhaitant l'analogue électromécanique de la réponse en tension aux bornes du condensateur du «<math>\;R\, L\, C\;</math> série » excité sinusoïdalement sans composante continue, lequel est la réponse en élongation du pendule élastique excité sinusoïdalement sans déplacement permanent dû au poids, il est impératif de choisir un pendule horizontal.</ref><math>\big)</math> voir schéma ci-contre ; {{Al|5}}Il ne reste plus qu'une difficulté pour obtenir la réponse en élongation d'un pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire et soumis à une force excitatrice sinusoïdale <math>\;\big(</math>contrairement à l'obtention de la réponse en vitesse d'un P.E.A.E.S<ref name="P.E.A.E.S." />. où il y avait deux difficultés, l'enregistrement de la réponse en vitesse disparaissant quand on s'intéresse à la réponse en élongation<math>\big)</math>, celle de choisir la façon d'imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie : {{Al|5}}les deux possibilités d'imposer une force sinusoïdale de fréquence choisie ont déjà été évoquées au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Analogue_électromécanique_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_:_pendule_élastique_amorti_par_frottement_fluide_linéaire_auquel_on_applique_une_force_sinusoïdale_d'amplitude_constante_et_de_fréquence_variable_selon_l'axe_du_ressort|analogue électromécanique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort]] » plus haut dans ce chapitre, nous retenons <br>{{Al|5}}{{Transparent|les deux possibilités }}la 2^ème intitulée « <u>façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable</u> » qui peut être retrouvée dans le paragraphe [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Analogue_électromécanique_d'un_«_R_L_C_série_»_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_:_pendule_élastique_amorti_par_frottement_fluide_linéaire_auquel_on_applique_une_force_sinusoïdale_d'amplitude_constante_et_de_fréquence_variable_selon_l'axe_du_ressort|précité]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|les deux possibilités la 2^ème }}consistant à imposer un déplacement sinusoïdal de fréquence variable à l'extrémité du ressort initialement fixe «<math>\;x_A(t) \simeq a\; \cos\! \left( \omega\;t + \varphi_A \right)\;</math>», ce déplacement sinusoïdal simulant alors sur l'autre extrémité reliée au solide une force sinusoïdale «<math>\;\vec{F}(t) = \vec{T}_A(t) = k \left[ x_A(t) \right] \vec{u}_x = k\;a\; \cos\! \left( \omega\;t + \varphi_A \right) \vec{u}_x\;</math>» <math>\;\big\{</math>notée «<math>\;\vec{F}(t) = F_m\; \cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right) \vec{u}_x\;</math>» par la suite<math>\big\}\;</math> sans que celle-ci ne lui soit imposée directement ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|les deux possibilités la 2^ème intitulée }}attention, pour que cette simulation soit mise en œuvre, il est nécessaire de considérer simultanément l'extrémité <math>\;A\;</math> fixe <math>\;\big(</math>sinon nous tiendrions deux fois compte du mouvement de <math>\;A\;</math><ref> Une 1^ère fois par la force <math>\;\vec{F}(t) = \vec{T}_A(t) = k \left[ x_A(t) \right] \vec{u}_x\;</math> simulée sur l'extrémité du ressort liée au solide et <br>{{Al|3}}une 2^ème fois par la tension du ressort dans laquelle le mouvement de <math>\;A\;</math> intervient <math>\;\vec{T}(t) = -k \left[ x_M(t) - x_A(t) \right] \vec{u}_x = -k \left[ x_M(t) \right] \vec{u}_x + k \left[ x_A(t) \right] \vec{u}_x</math>.</ref><math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> === Détermination de l'équation différentielle en élongation du P.E.A.E.S. === {{Al|5}}Nous considérons l'extrémité «<math>\;A\;</math> fixe » et l'« application directe sur <math>\;M\;</math> d'une force excitatrice sinusoïdale <math>\;\vec{F}(t) = F_m\; \cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right) \vec{u}_x\;</math>», les deux autres forces horizontales étant * « la tension du ressort <math>\;\vec{T}(t) = -k \left[ x(t) \right] \vec{u}_x\;</math>» <math>\big(M\;</math> étant repéré relativement à sa position d'équilibre c.-à-d. la position du ressort à vide<math>\big)\;</math> et * « la force de frottement fluide linéaire <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(t) = -h\;\dot{x}(t)\;\vec{u}_x\;</math>» ; {{Al|5}}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude galiléen que l'on projette sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> donne <math>\;-k\;x(t) - h\;\dot{x}(t) + F_m\; \cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right) = m\;\ddot{x}(t)\;</math> soit, en ordonnant et en normalisant <center>«<math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{x}(t) + \dfrac{k}{m}\;x(t) = \dfrac{F_m}{m}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right)\;</math>».</center> === Rappel : réduction canonique du P.E.A.E.S. === {{Al|5}}La réduction canonique a déjà été introduite dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Réduction_canonique_du_P.E.A.E.S.|réduction canonique du P.E.A.E.S.]] » plus haut dans ce chapitre, on rappelle les grandeurs canoniques ci-dessous : * la « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>»<ref name="analogue oméga0" /> et * le « facteur de qualité <math>\;Q > 0\;</math> tel que <math>\;\dfrac{h}{m} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math> <math>\;\Rightarrow</math> <math>\;Q = \dfrac{m\;\omega_0}{h} = \dfrac{k}{h\;\omega_0}\;</math>»<ref name="autres formules de Q" />{{,}}<ref name="analogue Q" /> ; {{Al|5}}on en déduit la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en élongation avec excitation sinusoïdale <center>«<math>\;\ddot{x}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{x}(t) + \omega_0^2\;x(t) = \dfrac{F_m}{m}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_F \right)\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de <math>\;\ddot{q}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{q}(t) + \omega_0^2\;q(t) = \dfrac{U\;\sqrt{2}}{L}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_{u_g} \right)\;</math> car les grandeurs analogues électromécaniques sont <math>\;x(t) \leftrightarrow q(t)</math>, <math>\;F(t) \leftrightarrow u_g(t)</math>, <math>\;F_m \leftrightarrow U\;\sqrt{2}</math>, les grandeurs canoniques <math>\;\omega_0\;</math> et <math>\;Q\;</math> étant invariantes par analogie électromécanique ;<br>{{Al|3}}si on divise les deux membres de l'équation différentielle normalisée en <math>\;q(t)\;</math> par <math>\;C\;</math> on retombe sur l'équation différentielle normalisée en <math>\;u_C(t)\;</math> soit <math>\;\ddot{u}_C(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{u}_C(t) + \omega_0^2\;u_C(t) =</math> <math>\dfrac{U\;\sqrt{2}}{L\;C}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_{u_g} \right)\;</math> ou <math>\;\ddot{u}_C(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{u}_C(t) + \omega_0^2\;u_C(t) = \omega_0^2\;U\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( \omega\,t + \varphi_{u_g} \right)</math>.</ref>.</center> === Détermination de la réponse forcée sinusoïdale en élongation du P.E.A.E.S. === {{Al|5}}<u>Amortissement du régime libre</u> : Le régime libre s'amortit comme en électricité mais usuellement « plus lentement » <ref name="amortissement du régime libre en méca" /> et, une fois cet amortissement terminé on observe le régime sinusoïdal forcé de pulsation <math>\;\omega\;</math> cherché sous la forme <math>\;x(t) = X_m\; \cos\! \left( \omega\, t + \varphi_x \right)</math>. {{Al|5}}On résout cette équation différentielle en passant en complexe<ref name="résolution en complexe" />, l'élongation instantanée complexe s'écrivant «<math>\;\underline{x}(t) = \underline{X_m}(\omega)\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)\;</math>»<ref name="retour à la notation i" /> avec l'amplitude complexe de l'élongation «<math>\;\underline{X_m}(i\,\omega)</math> <math>= X_m(\omega)\;\exp\! \left[ i\;\varphi_x(\omega) \right]\;</math>»<ref name="retour à la notation i" /> et la force excitatrice instantanée complexe «<math>\;\underline{F}(t) = \underline{F_m}\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)\;</math>»<ref name="retour à la notation i" /> avec l'amplitude complexe de la force «<math>\;\underline{F_m} = F_m\;\exp\! \left( i\;\varphi_F \right)\;</math>»<ref name="retour à la notation i" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|On résout cette équation différentielle en }}reportant dans l'équation différentielle et simplifiant par <math>\;\exp\! \left( i\;\omega\;t \right)</math>, on obtient «<math>\;-\omega^2\;\underline{X_m}(i\,\omega) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}\;\underline{X_m}(i\,\omega) + \omega_0^2\;\underline{X_m}(i\,\omega) = \dfrac{\underline{F_m}}{m}\;</math>» dont on tire <center>«<math>\;\underline{X_m}(i\;\omega) = \dfrac{1}{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}}\;\dfrac{\underline{F_m}}{m}\;</math>»<ref> Analogue électromécanique de la réponse en charge et non de la réponse en tension aux bornes du condensateur, la réponse en charge s'obtenant « en multipliant la réponse en tension aux bornes du condensateur par <math>\;C\;</math>» soit une valeur efficace complexe en charge se réécrivant «<math>\;\underline{Q} = C\;\underline{U_C} =</math> <math>\dfrac{C\;\underline{U_g}}{\left( 1 - \dfrac{\omega^2}{\omega_0^2} \right) + j\;\dfrac{\omega}{\omega_0\;Q}}\;</math>» ou, en « remplaçant <math>\;C\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{L\;\omega_0^2}\;</math>», «<math>\;\underline{Q} =</math> <math>\dfrac{\dfrac{\underline{U_g}}{L\;\omega_0^2}}{\left( 1 - \dfrac{\omega^2}{\omega_0^2} \right) + j\;\dfrac{\omega}{\omega_0\;Q}}</math> <math>= \dfrac{1}{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}}\;\dfrac{\underline{U_g}}{L}\;</math>» dont l'analogue électromécanique est effectivement «<math>\;\underline{X_m} = \dfrac{1}{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}}\;\dfrac{\underline{F_m}}{m}\;</math>» car les grandeurs analogues électromécaniques sont <math>\;q(t) \leftrightarrow x(t)</math>, <math>\;Q\;\sqrt{2} \leftrightarrow X_m</math>, <math>\;u_g(t) \leftrightarrow F(t)</math>, <math>\;U\;\sqrt{2} \leftrightarrow F_m</math>, les grandeurs canoniques <math>\;\omega_0\;</math> et <math>\;Q\;</math> étant invariantes par analogie électromécanique.</ref> ;</center> {{Al|5}}on déduit de cette forme canonique de l'amplitude complexe de l'élongation les grandeurs suivantes : * « en en prenant le module, l'amplitude de l'élongation <math>\;X_m(\omega) = \vert \underline{X_m}(i\,\omega) \vert = \dfrac{1}{\bigg\vert \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q} \bigg\vert}\;\dfrac{\vert \underline{F_m} \vert}{m} = \dfrac{\dfrac{F_m}{m}}{\sqrt{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right)^{\!2} + \omega^2\;\dfrac{\omega_0^2}{Q^2}}}\;</math>» et * « en en prenant l'argument, la phase à l'origine de l'élongation <math>\;\varphi_x(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{X_m}(i\,\omega) \right] = \varphi_F - \mathrm{arg}\! \left[ \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) + i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q} \right]\;</math>» soit, en mettant <math>\;i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q}\;</math> en facteur dans le complexe dont on cherche l'argument<ref> De façon que le 2^ème facteur ait une partie réelle égale à <math>\;1\;</math> donc positive permettant de mettre son argument sous forme d'un <math>\;\arctan()</math>.</ref>, «<math>\;\varphi_x(\omega) = \varphi_F - \mathrm{arg}\! \left\lbrace i\;\omega\;\dfrac{\omega_0}{Q} \left[ 1 + i\;Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right) \right] \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi_x(\omega) =</math> <math>\varphi_F - \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right) \right]\;</math>» d'où l'« avance de phase de l'élongation sur la force <math>\;\varphi_x - \varphi_F</math> <math>= -\dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right) \right]\;</math>». {{Al|5}}Comme en électricité il est pratique d'introduire la pulsation réduite <math>\;\big(</math>identique à la fréquence réduite<math>\big)\;</math> notée <math>\;u\;</math><ref> En électricité la pulsation réduite est notée <math>\;x\;</math> car <math>\;u\;</math> est réservée aux tensions et en mécanique elle est notée <math>\;u\;</math> car <math>\;x\;</math> est réservée à l'élongation.</ref> et définie selon «<math>\;u = \dfrac{\omega}{\omega_0} = \dfrac{f}{f_0}\;</math>» et, avec cet emploi on peut réécrire * l'« amplitude complexe en élongation <math>\;\underline{X_m}(i\;u) = \dfrac{1}{\left( 1 - u^2 \right) + i\;\dfrac{u}{Q}}\;\dfrac{\underline{F_m}}{m\;\omega_0^2} = \dfrac{1}{\left( 1 - u^2 \right) + i\;\dfrac{u}{Q}}\;\dfrac{\underline{F_m}}{k}\;</math>»<ref name="élimination de omega0"> En effet <math>\;\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;m\;\omega_0^2 = k</math>.</ref>{{,}}<ref> Bien que l'on ne considère plus la variation de l'amplitude complexe de l'élongation selon la même variable <math>\;\big(\omega\;</math> ayant été remplacée par <math>\;u\big)\;</math> et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation <math>\;\underline{X_m}</math>.</ref>, * l'« amplitude de l'élongation <math>\;X_m(u) = \dfrac{\dfrac{F_m}{m\;\omega_0^2}}{\sqrt{\left( 1 - u^2 \right)^{\!2} + \dfrac{u^2}{Q^2}}} = \dfrac{\dfrac{F_m}{k}}{\sqrt{\left( 1 - u^2 \right)^{\!2} + \dfrac{u^2}{Q^2}}}\;</math>»<ref name="élimination de omega0" /> et * la « phase à l'origine de l'élongation <math>\;\varphi_x(u) = \varphi_F - \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( u - \dfrac{1}{u} \right) \right]\;</math>» d'où l'« avance de phase de l'élongation sur la force <math>\;\varphi_x - \varphi_F</math> <math>= -\dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( u - \dfrac{1}{u} \right) \right]\;</math>». === Résonance conditionnelle en élongation du P.E.A.E.S. === {{Al|5}}Les formules précédemment établies dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Détermination_de_la_réponse_forcée_sinusoïdale_en_élongation_du_P.E.A.E.S.|détermination de la réponse forcée sinusoïdale en élongation du P.A.A.E.S.]] » plus haut dans ce chapitre concernant la « réponse en élongation du P.E.A.E.S<ref name="P.E.A.E.S." />. » étant les mêmes que celles correspondant à la « réponse en charge d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable »<ref> Celle-ci étant la même que la « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » au facteur multiplicatif <math>\;C\;</math> près.</ref>, on en déduit les mêmes propriétés à savoir : * « résonance conditionnelle en élongation pour un facteur de qualité <math>\;Q \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math>» et une « fréquence de la force excitatrice » <ref> Ou une fréquence d'excitation de l'extrémité initialement fixe du ressort.</ref> inférieure à la fréquence propre de l'oscillateur, plus précisément pour une fréquence égale à «<math>\;f_r = f_0\;\sqrt{1 - \dfrac{1}{2\;Q^2}}\;</math>», * « déphasage entre l'élongation et la force excitatrice à la résonance en vitesse<ref> On rappelle que la résonance en vitesse se produit quand la fréquence de la force excitatrice est égale à la fréquence propre.</ref> égal à <math>\;\left( \varphi_x - \varphi_F \right)\!(f_0) = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>», * nature « passe-bande ou passe-bas »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> en élongation de l'oscillateur suivant que le facteur de qualité est plus ou moins grand <math>\;\big(</math>« passe-bande »<ref name="passe-bande, passe-bas" /> pour <math>\;Q \gtrsim 1,31\big)\;</math> avec une amplitude en élongation égale à celle de l'excitateur à B.F. et quasi nulle H.F. et une <math>\;B.P._{-3dB}\;</math> d'autant plus petite que le facteur de qualité est grand<ref> On rappelle qu'à grand facteur de qualité, <math>\;Q\;</math> caractérise l'acuité de la résonance</ref>, * « déphasage de l'élongation sur la force excitatrice » « nul à B.F. soit <math>\;\left( \varphi_x - \varphi_F \right)_{B.F.} = 0\;</math>» et « égale à <math>\;-\pi\;</math> à H.F. » soit «<math>\;\left( \varphi_x - \varphi_F \right)_{H.F.} = -\pi\;</math>» et enfin * « déphasage de l'élongation sur la force excitatrice à grand facteur de qualité <math>\;\left( \varphi_x - \varphi_F \right)_{Q\,\gg\,1}\!(x) \simeq -\dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left[ Q \left( x - \dfrac{1}{x} \right) \right]\;</math>»<ref name="cas d'un grand facteur de qualité"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Cas_particulier_d'un_grand_facteur_de_qualité|cas particulier d'un grand facteur de qualité]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>comme les fréquences réduites de coupure haute et basse à <math>\;-3\;dB\;</math><ref name="décibels" /> et à grand facteur de qualité ont été déterminées<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Détermination_des_fréquences_de_coupure_à_-3dB_du_filtre_«_réponse_en_charge_du_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_et_de_fréquence_variable_»_à_grand_facteur_de_qualité|détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre “ réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” à grand facteur de qualité]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1} \simeq 1 + \dfrac{1}{2\;Q}\\ x_{c,\,b,\Q\,\gg\,1} \simeq 1 - \dfrac{1}{2\;Q}\end{array} \right\rbrace\;</math>», nous avons établi, en utilisant les deux résultats précédemment rappelés, «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c}\left( \varphi_x - \varphi_F \right)\!(x_{c,\,h,\,Q\,\gg\,1}) \!\!&\simeq&\!\! -\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} \!\!&=&\!\! -\dfrac{3\;\pi}{4}\\ \left( \varphi_x - \varphi_F \right)\!(x_{c,\,b,\,Q\,\gg\,1}) \!\!&\simeq&\!\! -\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} \!\!&=&\!\! -\dfrac{\pi}{4}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="cas d'un grand facteur de qualité" />. == Démarche expérimentale autour des régimes transitoires du 2^nd ordre : animation « flash » == {{Al|5}}On peut trouver cette animation<ref> Une démarche expérimentale autour des régimes transitoires du 1^er ou du 2^ème ordre utilisant une animation « flash » ou un sismomètre est une exigence du programme de physique de PCSI, le choix porte sur une animation « flash » autour d'un 2^ème ordre.</ref> à l'adresse suivante http://www.walter-fendt.de/html5/phfr/resonance_fr.htm ci-dessous une copie d'écran : [[File:Animation flash d'un système du 2ème ordre.png|thumb|center|950px|<center>Copie d'écran d'une animation flash d'un système du 2^ème ordre</center>]] {{Al|5}}Lancez l'animation après avoir sélectionné « diagramme élongation - temps » ainsi que les paramètres souhaités <math>\;\big(</math>à choisir intelligemment<math>\big)</math>, suivant votre choix vous verrez <math>\;\big(</math>ou ne verrez pas<math>\big)\;</math> le régime transitoire au début puis le régime forcé. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes|Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes]] | suivant = [[../Filtrage linéaire : signaux périodiques|Filtrage linéaire : signaux périodiques]] }} fx5z9sh7g9yr3y3nnfoee07nltshnru 0 79546 983004 981943 2026-05-24T05:28:26Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 983004 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 5 | niveau = 14 | précédent = [[../Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance/]] | suivant = [[../Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie/]] }} {{Al|5}}Dans ce chapitre, nous revoyons le développement en harmoniques de signaux périodiques, puis {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce chapitre, nous }}introduisons la notion de puissance électrique moyenne reçue par un dipôle en r.s.f<ref name="r.s.f."> Régime Sinusoïdal Forcé.</ref>. et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce chapitre, nous }}étendons cette notion pour tout régime périodique non sinusoïdal. == Rappel du théorème de Fourier : décomposition d'un signal périodique en une somme (infinie) de signaux harmoniques == <center>Pour plus de détails voir le chap.<math>5</math> « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier|théorème de Fourier]] » de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}'''[[w:Joseph_Fourier|Joseph Fourier]] (1768 – 1830)''' mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes <math>\;\big(</math>évoqués ici<math>\big)\;</math> et leur application au problème de la [[w:Conduction_thermique|propagation de la chaleur]] <math>\ldots</math> === Énoncé du théorème de Fourier === {{Théorème|titre=Théorème de Fourier (admis)|contenu={{Al|5}}Toute fonction périodique <math>\;s(t)</math>, de fréquence <math>\;f</math>, est développable en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]], c.-à-d. qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences <math>\;f_n = n\, f,\; n \in \mathbb{N}</math>, appelées « harmoniques de rang <math>\;n\;</math>»<ref> Le substantif « harmonique » est « masculin ».</ref>, le rang <math>\;n = 0\;</math> correspondant à la composante continue<ref name="composante continue"> Au sens permanent.</ref> et le rang <math>\;n = 1\;</math> à l'harmonique fondamental.}} === 2^ème développement en série de Fourier === {{Proposition|titre=2^ème développement en série de Fourier (admis)|contenu= {{Al|5}}Le 2^ème développement en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]] de la fonction périodique <math>\;s(t)</math>, de fréquence <math>\;f</math>, s'écrit <div style="text-align: center;">«<math>\;s(t) = C_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[ C_n\, \cos(2\, \pi\, f_n\, t + \varphi_n) \right]\;</math> avec <math>\;f_n = n\, f,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», <br><math>\;C_0\;</math> étant l'éventuelle composante continue<ref name="composante continue" />, <math>\;C_n\, \cos(2\, \pi\, f_n\, t + \varphi_n)\;</math> l'harmonique de rang <math>\;n</math>.</div>}} {{Al|5}}L'ensemble des valeurs «<math>\;\left\lbrace C_0,\, \left[ C_n,\, \varphi_n \right]_{n\, \in\, \mathbb{N}^{*}} \right\rbrace\;</math>»<ref> On peut remplacer les amplitudes par les valeurs efficaces multipliées par <math>\;\sqrt{2}\;</math> sauf, bien sûr, pour la composante continue où la notion de valeur efficace n'a aucun sens.</ref> définit alors « <u>la représentation fréquentielle du signal</u> ». === Harmonique instantané complexe de rang n === {{Al|5}}On associe à l'« harmonique instantané de rang <math>\;n\;</math> à savoir <math>\;C_n\,\cos\! \left( 2\, \pi\, n\, f\, t + \varphi_n \right)\;</math>», l'« harmonique instantané complexe <math>\;\underline{C_n}\,\exp\! \left( i\, 2\, \pi\, n\, f\, t \right)\;</math>»<ref name="imaginaire unité"> Si le traitement est du domaine de l'électricité, il convient d'écrire l'imaginaire unité <math>\;j\;</math> et non <math>\;i</math>.</ref> de fréquence <math>\;n\, f\;</math> où «<math>\;\underline{C_n} = C_n\;\exp\! \left( i\,\varphi_n \right)\;</math><ref name="imaginaire unité" /> est l'amplitude complexe de l'harmonique »<ref> Si on remplace les amplitudes par les valeurs efficaces multipliées par <math>\;\sqrt{2}</math>, on introduit alors les valeurs efficaces complexes selon <math>\;\underline{C_{\text{eff},\,n}} =</math> <math>C_{\text{eff},\,n}\;\exp\! \left( i\,\varphi_n \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'ensemble des amplitudes complexes <math>\;\left\lbrace C_0,\, \underline{C_n}_{\,n\, \in\, \mathbb{N}^{*}} \right\rbrace\;</math><ref> On notera que la composante continue <math>\;C_0\;</math> reste elle-même dans l'ensemble des amplitudes complexes.</ref> définit alors la « <u>représentation fréquentielle complexe du signal</u> »<ref> Si on remplace les amplitudes complexes par les valeurs efficaces complexes multipliées par <math>\;\sqrt{2}</math>, alors la <u>représentation fréquentielle complexe du signal</u> s'écrit <math>\;\left\lbrace C_0,\, \left[ \underline{C_{\text{eff},\,n}}\,\sqrt{2} \right]_{\,n\, \in\, \mathbb{N}^{*}} \right\rbrace</math>.</ref>. == Rappel de la définition de la grandeur efficace associée à une grandeur périodique, cas d'une grandeur sinusoïdale et autres exemples « grandeur créneau », « grandeur triangulaire », mesure à l'aide d'un multimètre == <center>Déjà traité dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Notion_de_grandeur_efficace_associée_à_une_grandeur_instantanée_alternative,_mesure_des_tensions_et_intensités_efficaces|notion de grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</center> === Définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative === {{Définition|titre=Définition d'une grandeur efficace| contenu ={{Al|5}}La valeur efficace <math>\;Y\;</math> d'une grandeur <math>\;T</math>-périodique<ref> Cette grandeur n'est pas nécessairement alternative <math>\;\big(</math>même si c'est le cas le plus fréquent<math>\big)</math>.</ref> <math>\;y(t)\;</math> est la <u>moyenne quadratique de la grandeur instantanée</u> <math>\;y(t)\;</math> <ref> c.-à-d. la grandeur réelle constante <math>\;> 0\;</math> dont le carré est la moyenne du carré de la grandeur instantanée.</ref> <div style="text-align: center;">c.-à-d. la grandeur <math>\;Y\;</math> constante réelle <math>\;> 0\;</math> telle que <br>«<math>\;Y^2 = \Big\langle y^2(t) \Big\rangle = \dfrac{1}{T}\, \displaystyle\int_0^T y^2(t)\, dt\;</math>»<ref> La notation <math>\;\Big\langle f(t) \Big\rangle\;</math> signifie valeur moyenne <math>\;\big(</math>temporelle<math>\big)\;</math> de la fonction <math>\;f(t)</math>.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'intervalle sur lequel est calculée la moyenne, de largeur <math>\;T</math>, peut être choisi à partir de n'importe quel instant <math>\;t_0</math>, la moyenne en étant indépendante ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}sans raison d'un choix particulier simplifiant le calcul de l'intégrale, on choisit usuellement l'instant <math>\;0</math>. === Évaluation dans le cas d'une grandeur sinusoïdale === {{Propriété|titre = Valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale| contenu ={{Al|5}}Soit la grandeur sinusoïdale du temps <math>\;y(t) = Y_m\, \cos(\omega\, t + \varphi_y)\;</math> de période <math>\;T = \dfrac{2\,\pi}{\omega}\;</math> et d'amplitude <math>\;Y_m > 0</math>, la valeur efficace de cette grandeur sinusoïdale vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;Y = \dfrac{Y_m}{\sqrt{2}}\;</math>»<ref> Résultat suffisamment important pour être retenu.</ref>.</div> {{Al|5}}En conséquence, la grandeur sinusoïdale du temps <math>\;y(t) = Y_m\, \cos(\omega\, t + \varphi)\;</math> est souvent écrite en remplaçant <math>\;Y_m\;</math> par <math>\;Y\,\sqrt{2}\;</math><ref> Dans le domaine de l'électricité c'est quasi systématique, par contre en mécanique on maintient usuellement la notion d'amplitude.</ref> <div style="text-align: center;">soit «<math>\;y(t) = Y\,\sqrt{2}\, \cos(\omega\, t + \varphi_y)\;</math> avec <math>\;Y\;</math> grandeur efficace ».</div>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u><ref> Rappelée car il est important de savoir la refaire.</ref> : soit à calculer <math>\;Y^2 = \dfrac{1}{T}\, \displaystyle\int_0^T Y_m^2\, \cos^2(\omega\, t + \varphi_y)\, dt</math>, ce qui se fait en linéarisant <math>\;\cos^2(\omega\, t + \varphi_y)\;</math> selon <math>\;\cos^2(\omega\, t + \varphi_y) =</math> <math>\dfrac{1 + \cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\;</math> et en remarquant qu'une primitive de <math>\;\dfrac{\cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\;</math> étant <math>\;\dfrac{\sin(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{4\,\omega}\;</math> avec les mêmes valeurs pour <math>\;0\;</math> et <math>\;T\;</math><ref> La fonction <math>\;\sin(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)\;</math> étant périodique de période <math>\;\dfrac{2\,\pi}{2\,\omega} = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{2\,\pi}{\omega} = \dfrac{T}{2}</math>.</ref>, donne une contribution nulle à l'intégrale correspondante <math>\;\displaystyle\int_0^T \dfrac{\cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\, dt =</math> <math>\cancel{ \left[ \dfrac{\sin(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{4\,\omega} \right]_0^T} = 0\;</math> dont on déduit <math>\;Y^2 =</math> <math>\dfrac{Y_m^2}{T}\, \displaystyle\int_0^T \dfrac{1 + \cos(2\,\omega\, t + 2\,\varphi_y)}{2}\, dt = \dfrac{Y_m^2}{T}\, \left[ \dfrac{t}{2} \right]_0^T = \dfrac{Y_m^2}{\cancel{T}}\, \dfrac{\cancel{T}}{2} = \dfrac{Y_m^2}{2}\;</math> soit, comme la valeur efficace doit être positive et que l'amplitude l'est aussi, <math>\;Y = \dfrac{Y_m}{\sqrt{2}}\;</math><ref> Calcul qu'il est conseillé de savoir refaire rapidement.</ref> C.Q.F.D<ref> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.. === En exercice, évaluation dans le cas de grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#En_exercice,_évaluation_dans_le_cas_de_grandeurs_«_créneau_»_ou_«_triangulaire_»_symétriques|ayant le même intitulé]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », on rappelle que les valeurs efficaces des grandeurs « créneau »<ref name="carré"> Encore appelé « carré ».</ref> ou « triangulaire » {{Nobr|symétriques<ref name="signal symétrique"> Un signal alterné <math>\;\big(</math>c.-à-d. périodique avec une alternance positive et une négative<math>\big)\;</math> est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.</ref>}} ne sont pas à retenir. === Utilisation d'un multimètre en régime alternatif périodique === {{Al|5}}Un multimètre peut fonctionner en voltmètre ou en ampèremètre<ref> Ceci étant très important est rappelé ci-après, bien que déjà traité dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#Utilisation_d'un_multimètre_en_régime_alternatif_périodique|ayant le même intitulé]] » du chap.<math>24</math> de la leçon «[[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> on peut choisir un fonctionnement * en régime permanent, repéré par <math>\;=</math>, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont blanches ou * en régime périodique, repéré par <math>\;\sim</math>, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont rouges ; <div style="text-align: center;">si on travaille en régime périodique <u>le multimètre fournit la valeur efficace</u> ;</div> {{Al|5}}il existe deux types de multimètres : * un multimètre « bas de gamme », <u>donnant la valeur efficace uniquement en régime sinusoïdal</u> <math>\;\big[</math>le multimètre détermine l'amplitude et divise par <math>\;\sqrt{2}\;</math> pour l'affichage<math>\big]</math>, dans ce cas les valeurs efficaces affichées sont fausses pour d'autres régimes périodiques « créneau<ref name="carré" /> ou triangulaire symétriques<ref name="signal symétrique" /> »<ref> En régime créneau, l'affichage donne un résultat sous-estimé alors qu'en régime triangulaire symétrique, il donne un résultat surestimé.</ref>, * un multimètre « T.R.M.S<ref> « True Root Mean Square » ou « moyenne quadratique exacte ».</ref>. », <u>donnant la valeur efficace quel que soit le régime</u> <math>\;\big[</math>l'obtention pouvant se faire par réponse du multimètre proportionnellement au carré de la grandeur, avec une inertie du multimètre ne permettant pas un affichage instantané et se matérialisant avec un affichage de la moyenne<math>\big]</math>. == Formule de Parseval == <center>Déjà traité dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Théorème_de_Parseval|Théorème de Parseval]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center> {{Al|5}}'''[[w:Marc-Antoine_Parseval_des_Chênes|Marc-Antoine Parseval des Chênes]] (1755 – 1836)''' mathématicien français à qui on doit essentiellement le « [[w:Égalité_de_Parseval|théorème de Parseval]]<ref name="égalité de Parseval"> Encore appelé [[w:Égalité_de_Parseval|égalité de Parseval]].</ref> » dont il eut l'intuition sans le démontrer<ref> Il estimait que c'était une évidence.</ref>. === Énoncé de la formule de Parseval === {{Théorème|titre= Énoncé du la formule de Parseval| contenu ={{Al|5}}Le carré de la valeur efficace d'une grandeur <math>\;T</math>-périodique est égal à la somme <math>\;\big(</math>infinie<math>\big)\;</math> des carrés des valeurs efficaces des harmoniques de la grandeur augmentée du carré de la composante continue<ref> On retrouve cette formule sous une autre expression dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Théorème_de_Parseval_utilisant_le_3ème_développement_en_série_de_Fourier|théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », le 3^ème développement en série de Fourier « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Troisième_développement_en_série_de_Fourier|se trouvant ici dans le même chapitre]] ».</ref>.}} === Formule de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier de la grandeur T-périodique === {{Al|5}}Écrivant le 2^ème développement en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]] de la fonction périodique <math>\;s(t)\;</math> de fréquence <math>\;f\;</math> sous la forme <center>«<math>\;s(t) = C_0 + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} \left[ C_{p,\,\text{eff}}\, \sqrt{2}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p) \right]\;</math>»<ref> Voir, plus haut dans ce chapitre, le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#2ème_développement_en_série_de_Fourier|2^ème développement en série de Fourier]] de la fonction <math>\;s(t)\;</math> dans lequel on a substitué l'amplitude de chaque harmonique par leur valeur efficace.</ref>,</center> {{Al|5}}l'[[w:Égalité_de_Parseval|égalité de Parseval]] prend alors la forme suivante {{Théorème|titre= Égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier| contenu = <div style="text-align: center;"> «<math>\;\Big\langle \left[ s(t) \right]^2 \Big\rangle = C_0^2 + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} C_{p,\,\text{eff}}^2\;</math>»<ref> On pourrait considérer que cette [[w:Égalité_de_Parseval|égalité de Parseval]] traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique <math>\;s(t)\;</math> utilisant le carré de la composante continue et les carrés des valeurs efficaces des harmoniques de <math>\;s</math>.</ref>.</div>}} === En complément : quelques éléments de démonstration de la formule de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique === {{Al|5}}On utilise la définition de la valeur efficace <math>\Rightarrow</math> on cherche à calculer l'expression suivante «<math>\;S_{\text{eff}}^2 = \Big\langle s^2(t) \Big\rangle = \dfrac{1}{T}\,\displaystyle\int_0^T s^2(t)\,dt =</math> <math>\dfrac{1}{T}\,\displaystyle\int_0^T \left\lbrace C_0 + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} \left[ C_{p,\,\text{eff}}\, \sqrt{2}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p) \right] \right\rbrace^{\!2}\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés «<math>\,C_0^2\;</math>», «<math>\;C_{p,\,\text{eff}}^2\, 2\, \cos^2(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme }}de termes « rectangles » selon «<math>\;2\,C_0\,C_{p,\,\text{eff}}\, \sqrt{2}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles » }}selon «<math>\;4\,C_{p,\,\text{eff}}\, C_{q,\,\text{eff}}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\,\cos(2\, \pi\, q\, f\, t + \varphi_q)\;</math> avec <math>\;q \neq p\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme }}dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon : * les intégrales des 1^ers termes « rectangles » à savoir «<math>\;2\,C_0\,C_{p,\,\text{eff}}\, \sqrt{2}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\;</math>» étant <math>\;\dfrac{T}{p}</math>-périodique et se calculant à l'aide de la primitive <math>\;2\,C_0\,C_{p,\,\text{eff}}\, \sqrt{2}\, \dfrac{\sin(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)}{2\, \pi\, p\, f}\;</math> qui prend la même valeur pour <math>\;0\;</math> et <math>\;T = p\;\dfrac{T}{p}\;</math><ref> Car la primitive <math>\;2\,C_0\,C_{p,\,\text{eff}}\, \sqrt{2}\, \dfrac{\sin(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)}{2\, \pi\, p\, f}\;</math> est aussi de période <math>\;\dfrac{T}{p}</math>.</ref> sont nulles, * les intégrales des derniers termes « rectangles » «<math>\;4\,C_{p,\,\text{eff}}\, C_{q,\,\text{eff}}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\,\cos(2\, \pi\, q\, f\, t + \varphi_q)\;</math> avec <math>\;q \neq p\;</math>» <math>\Rightarrow</math> une linéarisation selon {{Nobr|«<math>\;2\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\,\cos(2\, \pi\, q\, f\, t + \varphi_q)</math>}} <math>= \cos\! \left[ 2\, \pi\, (p + q)\, f\, t + \varphi_p + \varphi_q \right] + \cos\! \left[ 2\, \pi\, (p - q)\, f\, t + \varphi_p - \varphi_q \right]\;</math>» dont chaque terme se calcule à l'aide des primitives <math>\;\dfrac{\sin\! \left[ 2\, \pi\, (p + q)\, f\, t + \varphi_p + \varphi_q \right]}{2\, \pi\, (p + q)\, f}\;</math> et <math>\;\dfrac{\sin\! \left[ 2\, \pi\, (p - q)\, f\, t + \varphi_p + \varphi_q \right]}{2\, \pi\, (p - q)\, f}\;</math> lesquelles, prenant la même valeur pour <math>\;0\;</math> et <math>\;T = (p + q)\;\dfrac{T}{p + q}\;</math> dans la 1^ère primitive<ref> Car la primitive <math>\;2\,C_{p,\,\text{eff}}\,C_{q,\,\text{eff}}\, \dfrac{\sin(2\, \pi\, (p + q)\, f\, t + \varphi_p)}{2\, \pi\, (p + q)\, f}\;</math> est aussi de période <math>\;\dfrac{T}{p + q}</math>.</ref>, et pour <math>\;0\;</math> et <math>\;T = \vert p - q \vert\;\dfrac{T}{\vert p - q \vert}\;</math> dans la 2^ème primitive<ref> Car la primitive <math>\;2\,C_{p,\,\text{eff}}\,C_{q,\,\text{eff}}\, \dfrac{\sin(2\, \pi\, (p - q)\, f\, t + \varphi_p)}{2\, \pi\, (p - q)\, f}\;</math> est aussi de période <math>\;\dfrac{T}{\vert p - q \vert}</math>.</ref>, sont également nulles ; * les intégrales des termes carrés à savoir «<math>\;C_0^2\;</math>» et «<math>\;C_{p,\,\text{eff}}^2\, 2\, \cos^2(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\;</math> pour <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» dont la somme se calcule selon «<math>\;\displaystyle\int_0^T \left\lbrace C_0^2 + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} \left[ C_{p,\,\text{eff}}^2\, 2\, \cos^2(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p) \right] \right\rbrace\,dt</math> <math>= C_0^2\,T + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} \left[ C_{p,\,\text{eff}}^2\;\displaystyle\int_0^T 2\;\cos^2(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p)\;dt \right]\;</math>» ou, après « linéarisation <math>\;2\;\cos^2(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p) = 1 + \cos(4\, \pi\, p\, f\, t + 2\,\varphi_p)\;</math> et intégration <math>\;\displaystyle\int_0^T \left[ 1 + \cos(4\, \pi\, p\, f\, t + 2\,\varphi_p) \right] dt</math> {{Nobr|<math>= T\;</math>»}} car l'intégrale <math>\;\displaystyle\int_0^T \cos(4\, \pi\, p\, f\, t + 2\,\varphi_p)\;dt = \cancel{\left[ \dfrac{\sin(4\, \pi\, p\, f\, t + 2\,\varphi_p)}{4\, \pi\, p\, f}\right]_0^T}\;</math> est nulle compte-tenu du fait que <math>\;\sin(4\, \pi\, p\, f\, t + 2\,\varphi_p)\;</math> prend la même valeur pour <math>\;0\;</math> et <math>\;T = 2\,p\;\dfrac{T}{2\,p}\;</math><ref> <math>\;\sin(4\, \pi\, p\, f\, t + 2\,\varphi_p)\;</math> étant <math>\;\dfrac{T}{2\,p}</math>-périodique.</ref>, on en déduit «<math>\;\displaystyle\int_0^T \left\lbrace C_0^2 + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} \left[ C_{p,\,\text{eff}}^2\, 2\, \cos^2(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace C_0^2 + \left[ \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} C_{p,\,\text{eff}}^2 \right] \right\rbrace\; T\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant }}au final «<math>\;S_{\text{eff}}^2 = \Big\langle s^2(t) \Big\rangle = \dfrac{1}{T}\,\displaystyle\int_0^T \left\lbrace C_0 + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} \left[ C_{p,\,\text{eff}}\, \sqrt{2}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_p) \right] \right\rbrace^{\!2}\,dt\; \stackrel{\ldots}{=}\; C_0^2 + \left[ \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} C_{p,\,\text{eff}}^2 \right]\;</math>» <center>d'où la formule de Parseval «<math>\;S_{\text{eff}}^2 = \Big\langle s^2(t) \Big\rangle = C_0^2 + \left[ \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} C_{p,\,\text{eff}}^2 \right];</math>».</center> == Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, évaluation pour un conducteur ohmique (intérêt de la notion de valeur efficace), un condensateur (parfait) et une bobine (parfaite) == === Puissance électrique moyenne reçue par un D.L. au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque === {{Al|5}}«<math>\;u(t)\;</math> et <math>\;i(t)\;</math> étant respectivement la tension instantanée aux bornes d'un D.L<ref name="D.L."> Dipôle Linéaire.</ref>. et l'intensité instantanée du courant le traversant en convention récepteur », la puissance instantanée électrique reçue par le D.L<ref name="D.L." />. considéré précédemment s'écrit «<math>\;\mathcal{P}_{e,\, r}(t) = u(t)\; i(t)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Expression,_en_convention_récepteur,_de_la_puissance_instantanée_électrique_reçue_par_une_portion_de_circuit_en_fonction_de_la_tension_entre_ses_bornes_et_de_l'intensité_du_courant_la_traversant|expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intenisté du courant la traversant]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}dans un régime <math>\;T</math>-périodique quelconque, on définit la puissance électrique moyenne reçue par le D.L<ref name="D.L." />. par <center>«<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r}(t) \Big\rangle = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T \mathcal{P}_{e,\, r}(t)\;dt = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T u(t)\;i(t)\;dt\;</math>»<ref> La définition de la moyenne temporelle d'une grandeur <math>\;T</math>-périodique <math>\;f(t)\;</math> est «<math>\;\Big\langle f(t) \Big\rangle = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_{t_0}^{t_0 + T} f(t)\;dt\;</math>» mais le calcul étant indépendant de <math>\;t_0</math>, usuellement on choisit <math>\;t_0 = 0</math>.</ref>.</center> === Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R === {{Al|5}}Avec la loi d'Ohm de l'A.R.Q.S<ref name="A.R.Q.S."> Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires.</ref>. appliquée au conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> en convention récepteur on a «<math>\;u(t) = R\; i(t)\;</math>» et la puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque se réécrit «<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R}(t) \Big\rangle = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T R\;i^2(t)\;dt = R \left[ \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T i^2(t)\;dt \right]\;</math>» soit, en reconnaissant le carré de l'intensité efficace dans l'expression entre crochets, <center>«<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R}(t) \Big\rangle = R\;I^2\;</math>» avec «<math>\;I\;</math> l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique » ;</center> {{Al|5}}comme la tension efficace aux bornes de ce dernier est liée à l'intensité efficace du courant le traversant par «<math>\;U = R\; I\;</math>»<ref> En effet on a <math>\;u(t) = R\;i(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U^2 = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T u^2(t)\;dt = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T R^2\;i^2(t)\;dt = R^2 \left[ \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T i^2(t)\;dt \right] = R^2\;I^2\;</math> et, les valeurs efficaces ainsi que la résistance étant des grandeurs positives on en déduit <math>\;U = R\;I</math>.</ref> ou <math>\;I = \dfrac{U}{R}\;</math> on a également <center>«<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R}(t) \Big\rangle = \dfrac{U^2}{R}\;</math>» avec «<math>\;U\;</math> la tension efficace aux bornes du conducteur ohmique » et <br>«<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R}(t) \Big\rangle = U\;I\;</math>» avec «<math>\;U\;</math> et <math>\;I\;</math> tension et intensité efficaces ».</center> {{Al|5}}<u>Rappel</u> : Un des intérêts de l'introduction de la valeur efficace sur la valeur de crête dans la détermination d'une puissance électrique moyenne consommée par un conducteur ohmique est de « donner une même expression quelle que soit la forme du régime périodique » «<math>\;R\; I^2\;</math> ou <math>\;\dfrac{U^2}{R}\;</math> ou encore <math>\;U\; I\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel : }}alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime sinusoïdal «<math>\;R\; \dfrac{I_m^2}{2}\;</math> ou <math>\;\dfrac{U_m^2}{2\;R}\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{U_m\; I_m}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime }}créneau<ref name="carré" /> <math>\;\big(</math>symétrique<ref name="signal symétrique" /><math>\big)\;</math><ref> Mis entre parenthèses car le résultat est indépendant du caractère symétrique.</ref> «<math>\;R\; I_m^2\;</math> ou <math>\;\dfrac{U_m^2}{R}\;</math> ou encore <math>\;U_m\; I_m\;</math>»<ref name="valeurs efficaces sur créneau et triangulaire"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_résistance_de_sortie,_résistance_d'entrée#En_exercice,_évaluation_dans_le_cas_de_grandeurs_«_créneau_»_ou_«_triangulaire_»_symétriques|évaluation dans le cas de grandeurs créneau ou triangulaire symétriques]] (de leur valeur efficace) » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime }}triangulaire symétrique<ref name="signal symétrique" /> «<math>\;R\; \dfrac{I_m^2}{3}\;</math> ou <math>\;\dfrac{U_m^2}{3\;R}\;</math> ou encore <math>\;\dfrac{U_m\; I_m}{3}\;</math>»<ref name="valeurs efficaces sur créneau et triangulaire" />. === Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait de capacité C === {{Al|5}}Avec la relation de l'A.R.Q.S<ref name="A.R.Q.S." />. en convention récepteur liant l'intensité du courant « traversant » un condensateur de capacité <math>\;C\;</math> à la tension à ses bornes on a «<math>\;i(t) = C\; \dfrac{du}{dt}(t)\;</math>» et la puissance électrique moyenne reçue par le condensateur en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque se réécrit «<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,C}(t) \Big\rangle =</math> <math>\dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T u(t)\;C\;\dfrac{du}{dt}(t)\;dt = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T \dfrac{d\! \left[ \dfrac{1}{2}\;C\;u^2 \right]}{dt}(t)\;dt\;</math>» soit, en reconnaissant l'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique <math>\;\mathcal{E}_C(t)\;</math> dans l'expression entre crochets, «<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,C}(t) \Big\rangle = \dfrac{\left[ \mathcal{E}_C(t) \right]_0^T}{T}\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{E}_C(t) = \dfrac{1}{2}\;C\;u^2(t)\;</math> est l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur à l'instant <math>\;t\;</math>» et finalement, <math>\;T\;</math> étant une période de <math>\;\mathcal{E}_C(t)\;</math><ref name="période du carré d'une grandeur périodique"> Si <math>\;T\;</math> est la période de la tension <math>\;\big(</math>ou de l'intensité du courant<math>\big)\;</math> on a <math>\;u(t + T) = u(t)\;\;\forall\;t\;</math> <math>\big[</math>ou <math>\;i(t + T) = i(t)\;\;\forall\;t\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;u^2(t + T) =</math> <math>u^2(t)\;\;\forall\;t\;</math> <math>\big[</math>ou <math>\;i^2(t + T) = i^2(t)\;\;\forall\;t\big]\;</math> établissant que <math>\;T\;</math> est <u>une période</u> du carré de la tension <math>\;\big(</math>ou du carré de l'intensité du courant<math>\big)\;</math> mais <u>non nécessairement la plus petite</u> comme on le vérifierait sur l'exemple de tension sinusoïdale <math>\;\big(</math>ou d'intensité sinusoïdale du courant<math>\big)\;</math> dans lequel la plus petite période du carré de tension <math>\;\big(</math>ou du carré d'intensité du courant<math>\big)\;</math> est la moitié de la période de la tension <math>\;\big(</math>ou de l'intensité du courant<math>\big)</math>.</ref>, <center>«<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,C}(t) \Big\rangle = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}ainsi <u>la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait est nulle</u> quelle soit la forme du régime <math>\;T</math>-périodique établi. === Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite d'inductance propre L === {{Al|5}}Avec la relation de l'A.R.Q.S<ref name="A.R.Q.S." />. en convention récepteur liant l'intensité du courant traversant une bobine parfaite d'inductance propre <math>\;L\;</math> à la tension à ses bornes on a «<math>\;u(t) = L\; \dfrac{di}{dt}(t)\;</math>» et la puissance électrique moyenne reçue par la bobine parfaite en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque se réécrit «<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,L}(t) \Big\rangle =</math> <math>\dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T L\;\dfrac{di}{dt}(t)\;i(t)\;dt = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T \dfrac{d\! \left[ \dfrac{1}{2}\;L\;i^2 \right]}{dt}(t)\;dt\;</math>» soit, en reconnaissant l'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique <math>\;\mathcal{E}_L(t)\;</math> dans l'expression entre crochets, «<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,L}(t) \Big\rangle = \dfrac{\left[ \mathcal{E}_L(t) \right]_0^T}{T}\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{E}_L(t) = \dfrac{1}{2}\;L\;i^2(t)\;</math> est l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite à l'instant <math>\;t\;</math>» et finalement, <math>\;T\;</math> étant une période de <math>\;\mathcal{E}_L(t)\;</math><ref name="période du carré d'une grandeur périodique" />, <center>«<math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,L}(t) \Big\rangle = 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}ainsi <u>la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite est nulle</u> quelle soit la forme du régime <math>\;T</math>-périodique établi. == Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire dans le cas d'un régime sinusoïdal, puissance apparente et facteur de puissance, autres expressions dans le cas d'un dipôle passif utilisant la notion d'impédance ou d'admittance complexes == === Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire quelconque (actif ou passif) en r.s.f. === {{Al|5}}Notant, en r.s.f<ref name="r.s.f." />., «<math>\;u(t) = U\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_u)\;</math> la tension instantanée aux bornes du D.L<ref name="D.L." />. » et «<math>\;i(t) = I\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_i)\;</math> l'intensité instantanée du courant traversant le D.L<ref name="D.L." />. en convention récepteur », la définition de « la puissance électrique moyenne reçue par le D.L<ref name="D.L." />., notée <math>\;P_{e,\, r,\, D.L.}\;</math><ref> Notation que l'on utilise en r.s.f. à la place de celle, plus lourde, utilisée en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque <math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\,r,\, D.L.}(t) \Big\rangle</math>.</ref> » se réécrit selon «<math>\;P_{e,\, r,\, D.L.} =</math> <math>\dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T \mathcal{P}_{e,\, r,\, D.L.}(t)\;dt = \dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T u(t)\;i(t)\;dt =</math> <math>\dfrac{1}{T}\;\displaystyle\int_0^T 2\;U\;I\;\cos(\omega\,t + \varphi_u)\;\cos(\omega\,t + \varphi_i)\;dt\;</math>» et s'évalue en linéarisant, avant intégration, l'expression trigonométrique par utilisation de <math>\;2\,\cos(a)\,\cos(b) = \cos(a + b) + \cos(a - b)\;</math> ce qui donne ici <math>\;2\,\cos(\omega\,t + \varphi_u)\,\cos(\omega\,t + \varphi_i) =</math> <math>\cos(2\,\omega\,t + \varphi_u + \varphi_i) + \cos(\varphi_u - \varphi_i)\;</math> d'où la réécriture de «<math>\;P_{e,\, r,\, D.L.} = \dfrac{U\,I}{T}\; \displaystyle\int_0^T \left[ \cos(2\,\omega\,t + \varphi_u + \varphi_i) + \cos(\varphi_u - \varphi_i) \right] dt\;</math>» soit encore, la somme de « deux valeurs moyennes à évaluer » <ref> Au facteur <math>\;U\,I\;</math> près.</ref> <math>\;\Big\langle \cos(2\,\omega\,t + \varphi_u + \varphi_i) \Big\rangle\;</math> et <math>\;\Big\langle \cos(\varphi_u + \varphi_i) \Big\rangle</math>, * la 1^ère étant <u>nulle</u> car la fonction à intégrer de pulsation <math>\;2\,\omega\;</math> et donc de période <math>\;\dfrac{T}{2}</math>, donne une primitive également <math>\;\dfrac{T}{2}</math>-périodique à prendre entre deux valeurs séparées de <math>\;T = 2\;\dfrac{T}{2}\;</math> soit deux valeurs de primitive égales et * la 2^ème étant égale à <math>\;\cos(\varphi_u - \varphi_i)</math>, la fonction à intégrer étant constante et la moyenne d'une constante étant cette constante, <center>d'où l'expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.L<ref name="D.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. <br>«<math>\;P_{e,\, r,\, D.L.} = U\;I\;\cos(\varphi_u - \varphi_i)\;</math>»<ref name="à mémoriser"> À retenir et à savoir retrouver rapidement.</ref>.</center> {{Al|5}}Ainsi la puissance moyenne électrique reçue par un D.L<ref name="D.L." />. en r.s.f<ref name="r.s.f." />. peut être considérée comme le produit de deux facteurs : * «<math>\;U\,I\;</math>» appelée « <u>puissance apparente</u> », produit de la tension efficace et de l'intensité efficace et exprimée en <math>\;V \cdot A\;</math><ref> Bien que de même homogénéité que la puissance électrique moyenne exprimée en <math>\;W</math>, on n'exprime pas la puissance apparente en <math>\;W\;</math> mais en <math>\;V \cdot A\;</math> pour bien souligner que <u>la puissance apparente n'est en général pas la puissance électrique moyenne</u>.</ref> et * «<math>\;\cos(\varphi_u - \varphi_i)\;</math>» appelé « <u>facteur de puissance</u> » <ref> C'est ce facteur qui fait que la puissance apparente n'est pas la puissance électrique moyenne reçue quand il est différent de <math>\;1</math>.</ref>, cosinus de l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant et sans unité. {{Al|5}}<u>Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif</u> : d'une part la puissance électrique moyenne reçue par le D.L<ref name="D.L." />. étant positive s'il est passif et négative s'il est actif, d'autre part la puissance apparente étant naturellement positive, on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : }}le facteur de puissance d'un D.P.L<ref name="D.P.L."> Dipôle Passif Linéaire.</ref>. est positif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : }}le facteur de puissance d'un D.A.L<ref name="D.A.L."> Dipôle Actif Linéaire.</ref>. est négatif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre <math>\;-\pi\;</math> et <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> ou entre <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;+\pi\;</math> <math>\big(</math>en convention récepteur<math>\big)</math>. === Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L. === {{Al|5}}Rappelant qu'on définit l'impédance complexe d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon «<math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{i}(t)} = \dfrac{\underline{U}(j\,\omega)}{\underline{I}(j\,\omega)}\;</math>»<ref name="dépendance de la pulsation dans les grandeurs complexes"> Dans le cas général la tension et l'intensité efficaces complexes dépendent toutes deux de la pulsation imposée par le générateur mais il est possible que l'une des deux ou les deux n'en dépendent pas ; ainsi quand on impose la tension d'un générateur de tension directement aux bornes du D.P.L. <math>\;\underline{U}\;</math> n'en dépend pas ou quand on impose l'intensité du courant délivré par un générateur de courant directement à travers le D.P.L. <math>\;\underline{I}\;</math> n'en dépend pas, enfin aucun des deux n'en dépend quand en plus il s'agit d'un conducteur ohmique.</ref>, on en déduit la forme trigonométrique de l'impédance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. avec «<math>\;Z(\omega) = \dfrac{U(\omega)}{I(\omega)}\;</math> l'impédance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. », <center>selon «<math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = Z(\omega)\;\exp\! \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right]\;</math>»<ref name="dépendance de la pulsation dans les grandeurs physiques"> Dans le cas général la tension et l'intensité efficaces dépendent toutes deux de la pulsation imposée par le générateur mais il est possible que l'une des deux ou les deux n'en dépendent pas ; ainsi quand on impose la tension d'un générateur de tension directement aux bornes du D.P.L. <math>\;U\;</math> n'en dépend pas ou quand on impose l'intensité du courant délivré par un générateur de courant directement à travers le D.P.L. <math>\;I\;</math> n'en dépend pas, enfin aucun des deux n'en dépend quand en plus il s'agit d'un conducteur ohmique ; <br>{{Al|3}}on peut redire la même chose en ce qui concernent les phases à l'origine de la tension et de l'intensité <math>\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|5}}parallèlement la forme algébrique de l'impédance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. s'écrivant <center>«<math>\;\underline{Z}(j\,\omega) = \mathcal{R}(\omega) + j\,X(\omega)\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{R}(\omega)\;</math> définissant la résistance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. » et «<math>\;X(\omega)\;</math> sa réactance »<ref name="résistance et réactance d'un D.P.L. en r.s.f."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Notion_de_résistance_et_de_réactance_d'un_D.P.L._en_r.s.f._de_fréquence_f_=_ω/(2π)_et_d'impédance_complexe_connue|notion de résistance et de réactance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'impédance complexe connue]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>,</center> {{Al|5}}l'identification de la forme algébrique de l'impédance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. avec la forme trigonométrique de cette dernière <math>\Rightarrow</math> l'explicitation de la résistance et de la réactance du D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="résistance et réactance d'un D.P.L. en r.s.f." /> selon <center>«<math>\;\mathcal{R}(\omega) = \Re \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right] = Z(\omega)\; \cos\! \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right]\;</math>» d'une part et <br>«<math>\;X(\omega) = \Im \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right] = Z(\omega)\; \sin\! \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right]\;</math>» d'autre part, <br>d'où le facteur de puissance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. :{{Al|5}}«<math>\;\cos\! \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right] = \dfrac{\mathcal{R}(\omega)}{Z(\omega)}\;</math>»<ref name="notation simplifiée"> Pour la suite nous adopterons la simplification usuelle de notation à savoir ne pas préciser la dépendance en pulsation imposée par le générateur des phases à l'origine <math>\;\big(</math>même si celles-ci en dépendent effectivement<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue «<math>\;P_{e,\, r,\, \underline{Z}(j\,\omega)} = U(\omega)\;I(\omega)\;\cos(\varphi_u - \varphi_i)\;</math>» nous conduit à «<math>\;P_{e,\, r,\, \underline{Z}(j\,\omega)} = U(\omega)\;I(\omega)\;\dfrac{\mathcal{R}(\omega)}{Z(\omega)}\;</math>» soit, en utilisant la définition de l'impédance <math>\;Z(\omega) = \dfrac{U(\omega)}{I(\omega)} \Leftrightarrow \dfrac{U(\omega)}{Z(\omega)} = I(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'impédance complexe <math>\;\underline{Z}(j\,\omega)\;</math> selon <center>«<math>\;P_{e,\, r,\, \underline{Z}(j\,\omega)} = \mathcal{R}(\omega)\; \left[ I(\omega) \right]^2\;</math>»<ref name="à mémoriser" /> {{Al|5}}avec{{Al|5}} «<math>\;\mathcal{R}(\omega) = \Re \left[ \underline{Z}(j\,\omega) \right]\;</math> résistance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. »<ref name="résistance et réactance d'un D.P.L. en r.s.f." />.</center> === Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'admittance complexe du D.P.L. === {{Al|5}}Rappelant qu'on définit l'admittance complexe d'un D.P.L<ref name="D.P.L." />. en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon «<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{i}(t)}{\underline{u}(t)} = \dfrac{\underline{I}(j\,\omega)}{\underline{U}(j\,\omega)}\;</math>»<ref name="dépendance de la pulsation dans les grandeurs complexes" />, on en déduit la forme trigonométrique de l'admittance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. avec «<math>\;Y(\omega) = \dfrac{I(\omega)}{U(\omega)}\;</math> l'admittance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. », <center>selon «<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = Y(\omega)\;\exp\! \left\lbrace - \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="dépendance de la pulsation dans les grandeurs physiques" /> ;</center> {{Al|5}}parallèlement la forme algébrique de l'admittance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. s'écrivant <center>«<math>\;\underline{Y}(j\,\omega) = \mathcal{G}(\omega) + j\,\mathcal{B}(\omega)\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{G}(\omega)\;</math> définissant la conductance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. » et «<math>\;\mathcal{B}(\omega)\;</math> sa susceptance »<ref name="conductance et susceptance d'un D.P.L. en r.s.f."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Notion_de_conductance_et_de_susceptance_d'un_D.P.L._en_r.s.f._de_fréquence_f_=_ω/(2π)_et_d'admittance_complexe_connue|notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>,</center> {{Al|5}}l'identification de la forme algébrique de l'admittance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. avec la forme trigonométrique de cette dernière <math>\Rightarrow</math> l'explicitation de la conductance et de la susceptance du D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="conductance et susceptance d'un D.P.L. en r.s.f." /> <center>selon «<math>\;\mathcal{G}(\omega) = \Re \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right] = Y(\omega)\; \cos\! \left\lbrace -\left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right] \right\rbrace = Y(\omega)\; \cos\! \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right]\;</math>» d'une part et <br>{{Transparent|selon }}«<math>\;\mathcal{B}(\omega) = \Im m \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right] = Y(\omega)\; \sin\! \left\lbrace - \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right] \right\rbrace = - Y(\omega)\; \sin\! \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right]\;</math>» d'autre part, <br> d'où le facteur de puissance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. :{{Al|5}}«<math>\;\cos\! \left[ \varphi_u(\omega) - \varphi_i(\omega) \right] = \dfrac{\mathcal{G}(\omega)}{Y(\omega)}\;</math>»<ref name="notation simplifiée" /> ;</center> {{Al|5}}son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue «<math>\;P_{e,\, r,\, \underline{Z}(j\,\omega)} = U(\omega)\;I(\omega)\;\cos(\varphi_u - \varphi_i)\;</math>»<ref name="impédance complexe en indice"> Noter que l'on met en indice de la puissance électrique moyenne consommée « l'impédance complexe » et non « l'admittance complexe » pour les mêmes raisons que l'on écrit l'impédance complexe sur les schémas et non l'admittance complexe.</ref> nous conduit à «<math>\;P_{e,\, r,\, \underline{Z}(j\,\omega)} = U(\omega)\;I(\omega)\;\dfrac{\mathcal{G}(\omega)}{Y(\omega)}\;</math>»<ref name="impédance complexe en indice" /> soit, en utilisant la définition de l'admittance <math>\;Y(\omega) = \dfrac{I(\omega)}{U(\omega)} \Leftrightarrow \dfrac{I(\omega)}{Y(\omega)} = U(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L<ref name="D.P.L." />. d'admittance complexe <math>\;\underline{Y}(j\,\omega)\;</math> selon <center>«<math>\;P_{e,\, r,\, \underline{Z}(j\,\omega)} = \mathcal{G}(\omega)\; \left[ U(\omega) \right]^2\;</math>»<ref name="à mémoriser" />{{,}}<ref name="impédance complexe en indice" /> avec «<math>\;\mathcal{G}(\omega) = \Re \left[ \underline{Y}(j\,\omega) \right]\;</math> conductance du D.P.L<ref name="D.P.L." />. »<ref name="conductance et susceptance d'un D.P.L. en r.s.f." />.</center> === Évaluation de la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. sur l'exemple d'un dipôle R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable === {{Al|5}}Il y a plusieurs façons d'aborder la détermination de la puissance électrique moyenne consommée par un dipôle <math>\;R\,L\,C\;</math> série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, nous les énumérons ci-après. ==== Utilisation de la propriété « la puissance électrique moyenne consommée par une association série est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association » ==== {{Al|5}}Comme la bobine parfaite et le condensateur parfait ne consomment aucune puissance électrique en moyenne<ref name="puissance électrique moyenne consommée par C et L"> Voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Évaluation_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_un_condensateur_parfait_de_capacité_C|évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait de capacité C]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Évaluation_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_une_bobine_parfaite_d'inductance_propre_L|évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite d'inductance propre L]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série l'est par le conducteur ohmique d'où «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} = P_{e,\, r,\, R} = R\; \left[ I(\omega) \right]^2\;</math>»<ref name="puissance électrique moyenne consommée par R"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Évaluation_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_un_conducteur_ohmique_de_résistance_R|évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;I(\omega)\;</math> étant l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique mais aussi le dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série soit <math>\;I(\omega) =</math> <math>\dfrac{U}{Z_{R\, L\, C\, \text{série}}(\omega)} = \dfrac{U}{\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}}\;</math>» que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série soit <center>«<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} = \dfrac{R}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;U^2\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On aurait une propriété analogue avec des éléments montés en parallèle, la propriété s'énoncerait selon : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}« La puissance électrique moyenne consommée par une association parallèle est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association ». ==== Utilisation de la résistance du dipôle R L C série (c.-à-d. de la partie réelle de l'impédance complexe) ==== {{Al|5}}L'impédance complexe du dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)\;</math>» on en déduit simplement la « résistance du dipôle <math>\;\mathcal{R}(\omega) =</math> <math>R\;</math>»<ref name="résistance et réactance d'un D.P.L. en r.s.f." /> et par suite «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} =</math> <math>\mathcal{R}\!\cancel{(\omega)} \left[ I(\omega) \right]^2 = R\, \left[ I(\omega) \right]^2\;</math>»<ref name="puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. en fonction de sa résistance"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Autre_expression_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_un_dipôle_passif_linéaire_en_r.s.f._utilisant_l'impédance_complexe_du_D.P.L.|autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, où «<math>\;I(\omega)\;</math> est l'intensité efficace du courant traversant le <math>\;R\, L\, C\;</math> série <math>\;\stackrel{\ldots}{\Rightarrow}\;</math> <math>\;I(\omega) =</math> <math>\dfrac{U}{\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}}\;</math>» que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série soit <center>«<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} = \dfrac{R}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;U^2\;</math>»<ref> A priori intéressant car l'impédance complexe d'une association série est simple à déterminer.</ref>.</center> ==== Utilisation de la conductance du dipôle R L C série (c.-à-d. de la partie réelle de l'admittance complexe) ==== {{Al|5}}L'impédance complexe du dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'admittance complexe «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{1}{\underline{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega)} = \dfrac{1}{R + j \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)}\;</math>» et la détermination de la conductance nécessitant la forme algébrique on multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «<math>\;\underline{Y_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) = \dfrac{R - j \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;</math>» dont on tire la « conductance du dipôle <math>\;\mathcal{G}(\omega) =</math> <math>\dfrac{R}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;</math>»<ref name="conductance et susceptance d'un D.P.L. en r.s.f." /> et par suite «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} = \mathcal{G}(\omega)\; U^2\;</math>»<ref name="puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. en fonction de sa conductance"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Autre_expression_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_un_dipôle_passif_linéaire_en_r.s.f._utilisant_l'admittance_complexe_du_D.P.L.|autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'admittance complexe du D.P.L.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, où «<math>\;U\;</math> est la tension efficace aux bornes du <math>\;R\, L\, C\;</math> série » soit, en reportant l'expression de la conductance dans celle de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série <center>«<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} = \dfrac{R}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;U^2\;</math>»<ref> A priori intéressant car la tension efficace étant constante n'est pas à déterminer, par contre l'admittance complexe d'une association série nécessite de déterminer au préalable l'impédance complexe d'où un intérêt amoindri.</ref>.</center> ==== Utilisation de la puissance apparente et du facteur de puissance ==== {{Al|5}}Cette façon de procéder est de très loin la moins intéressante dans le cas présent car «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} = U\;I(\omega)\;\cos\! \left( \varphi_u - \varphi_i \right)\;</math>»<ref name="puissance électrique moyenne consommée par un D.L. en fonction de son facteur de puissance"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Évaluation_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_un_dipôle_linéaire_quelconque_(actif_ou_passif)_en_r.s.f.|évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire quelconque (actif ou passif) en r.s.f.]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nécessite de déterminer * d'une part l'intensité efficace traversant le dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série par «<math>\;I(\omega) = \dfrac{U}{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}(\omega)}\;</math>» et pour cela déterminer l'impédance du dipôle, * d'autre part le facteur de puissance par «<math>\;\cos\! \left( \varphi_u - \varphi_i \right) = \dfrac{\mathcal{R}_{R\,L\,C\,\text{série}}(\omega)}{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}(\omega)}\;</math>» et pour cela déterminer la résistance du dipôle <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Dans le cas précis<ref name="méthode à éviter"> Mais utiliser cette méthode dans ce cas précis serait très mal venu.</ref> : «<math>\;\underline{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;Z_{R\,L\,C\,\text{série}}(\omega) = \bigg\vert \underline{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) \bigg\vert = \sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;</math>» <math>\;\stackrel{\ldots}{\Rightarrow}\;</math> «<math>\;I(\omega) = \dfrac{U}{\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}}\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas précis : «<math>\;\color{transparent}{\underline{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) = R + j \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\mathcal{R}_{R\,L\,C\,\text{série}}(\omega) = \Re \left[ \underline{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}}(j\,\omega) \right] = R\;</math><ref name="résistance et réactance d'un D.P.L. en r.s.f." /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos\! \left( \varphi_u - \varphi_i \right) = \dfrac{\mathcal{R}_{R\,L\,C\,\text{série}}(\omega)}{Z_{R\,L\,C\,\text{série}}(\omega)} = \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + \left(\! L\,\omega - \dfrac{1}{C\,\omega} \!\right)^{\!2}}}\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans le cas précis : }}soit finalement «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}} = U\;I(\omega)\;\cos\! \left( \varphi_u - \varphi_i \right) = U\;\dfrac{U}{\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}}\;\dfrac{R}{\sqrt{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}} = \dfrac{R}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;U^2\;</math>»<ref name="méthode à éviter" />. === Variation de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série en fonction de la fréquence, résonance en puissance === {{Al|5}}La puissance électrique moyenne consommée par le <math>\;R\, L\, C\;</math> série étant «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}}(\omega) = \dfrac{R}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;U^2\;</math>» peut se réécrire, à l'aide des grandeurs canoniques « la pulsation propre <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\;C}}\;</math>» et « le facteur de qualité <math>\;Q = \dfrac{L\;\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0}\;</math>», ainsi que de « la fréquence réduite <math>\;x =</math> <math>\dfrac{f}{f_0} = \dfrac{\omega}{\omega_0}\;</math>» et d'une « grandeur homogène à une puissance <math>\;\dfrac{U^2}{R\;}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance électrique moyenne consommée par le <math>\;\color{transparent}{R\, L\, C}\;</math> série étant «<math>\;\color{transparent}{P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}}(\omega) = \dfrac{R}{R^2 + \left( L\;\omega - \dfrac{1}{C\;\omega} \right)^{\!2}}\;U^2}\;</math>» peut se réécrire, }}en divisant haut et bas par <math>\;R\;</math> et en factorisant le dénominateur restant par <math>\;R\;</math> que l'on associe à <math>\;U^2\;</math> de façon à faire apparaître dans l'autre facteur une grandeur sans dimension selon «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}}(\omega) = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{L\;\omega}{R} - \dfrac{1}{R\;C\;\omega} \right)^{\!2}}\;\dfrac{U^2}{R\;} =</math> <math>\dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{L\;\omega_0\;x}{R} - \dfrac{1}{R\;C\;\omega_0\;x} \right)^{\!2}}\;\dfrac{U^2}{R\;}\;</math>» soit, en reconnaissant le facteur de qualité au carré que l'on factorisera dans le terme au carré du dénominateur, <center>«<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}}(x) = \dfrac{1}{1 + Q^2\, \left( x - \dfrac{1}{x} \right)^{\!2}}\;\dfrac{U^2}{R\;}\;</math>»<ref> Bien que l'on ne considère plus la variation de la puissance électrique moyenne consommée par le <math>\;R\, L\, C\;</math> série selon la même variable <math>\;\big(\omega\;</math> ayant été remplacée par <math>\;x\big)\;</math> et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation <math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}}</math>.</ref>.</center> [[File:R L C série - courbes de la puissance électrique moyenne consommée en fonction de la fréquence.png|thumb|400px|Superposition des courbes de réponse en puissance électrique moyenne consommée par un <math>\;R\, L\, C\;</math> série soumis à une tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite <math>\;x\;</math> pour les facteurs de qualité donnant une résonance floue <math>\;Q = 0,4</math>, modérée <math>\;Q = 2\;</math> et aiguë <math>\;Q = 10</math>]] {{Al|5}}La puissance électrique moyenne consommée par le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est alors « maximale quand <math>\;x - \dfrac{1}{x} = 0\;</math> c.-à-d. pour <math>\;x = 1\;</math>», nous retiendrons que « la puissance électrique moyenne consommée par un <math>\;R\, L\, C\;</math> série résonne pour la fréquence égale à sa fréquence propre » <ref> C.-à-d. qu'elle résonne simultanément à l'intensité efficace du courant, ce qui est en accord avec <math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}}(\omega) = R\, \left[ I(\omega) \right]^2</math>.</ref>, « la valeur maximale étant alors égale à <math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série},\,\text{max}} = P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série}}(x = 1) = \dfrac{U^2}{R\;}\;</math>» ; {{Al|5}}à B.F<ref name="B.F."> Basse Fréquence.</ref>. le terme prédominant du dénominateur étant <math>\;\dfrac{Q^2}{x^2}</math>, la puissance électrique moyenne consommée par le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est alors équivalente à «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série},\,B.F.}(x) \sim \dfrac{x^2}{Q^2}\;\dfrac{U^2}{R\;} \rightarrow 0\;</math>»<ref> D'où <math>\;\dfrac{d P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série},\,B.F.}}{dx}(x) \sim \dfrac{2\;x}{Q^2}\;\dfrac{U^2}{R\;}\;</math> <math>\Rightarrow</math> la tangente à la courbe de la puissance électrique moyenne en fonction de la fréquence réduite en <math>\;x = 0\;</math> est l'axe des <math>\;x</math>.</ref> et {{Al|5}}à H.F<ref name="H.F."> Haute Fréquence.</ref>. le terme prédominant du dénominateur étant <math>\;Q^2\;x^2</math>, la puissance électrique moyenne consommée par le <math>\;R\, L\, C\;</math> série est alors équivalente à «<math>\;P_{e,\, r,\, R\, L\, C\, \text{série},\,H.F.} \sim</math> <math>\dfrac{1}{Q^2\;x^2}\;\dfrac{U^2}{R\;} \rightarrow 0\;</math>»<ref> La courbe de la puissance électrique moyenne en fonction de la fréquence réduite admet pour asymptote quand <math>\;x \rightarrow +\infty\;</math> l'axe des <math>\;x</math>.</ref> ; {{Al|5}}ci-contre la courbe de la puissance électrique moyenne en fonction de la fréquence réduite avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre }}le positionnement des « fréquences de coupure à <math>\;-3dB\;</math>» <ref name="fréquences de coupure à -3dB"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Fréquences_de_coupure_à_-3dB_de_la_réponse_sinusoïdale_forcée_en_intensité_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_»|fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Celles-ci correspondant à l'intensité efficace égale à l'intensité efficace maximale divisée par <math>\;\sqrt{2}</math>, elles sont aussi définies comme les valeurs de fréquence pour lesquelles la puissance électrique moyenne est égale à la puissance électrique moyenne maximale divisée par <math>\;2</math>.</ref> pour les valeurs de facteur de qualité <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le positionnement }}<math>\blacktriangleright\;</math><math>Q = 10\;</math> donnant une résonance aiguë <math>\;\bigg[</math>les fréquences réduites de coupure à <math>\;-3dB\;</math> sont <math>\;x_{c,\,b} \simeq 0,95\;</math> et <math>\;x_{c,\,h} \simeq 1,05\;</math><ref name="fréquences de coupure à -3dB" /> la bande passante réduite à <math>\;-3dB\;</math> étant <math>\;B.P._{x,\,-3dB} = \dfrac{1}{Q} = 0,1\;</math><ref name="bande passante à -3dB"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Bande_passante_à_-3dB_de_la_réponse_sinusoïdale_forcée_en_intensité_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_»|bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref><math>\bigg]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le positionnement }}<math>\blacktriangleright\;</math><math>Q = 2\;</math> une résonance modérée <math>\;\bigg[</math>les fréquences réduites de coupure à <math>\;-3dB\;</math> sont <math>\;x_{c,\,b} \simeq 0,78\;</math> et <math>\;x_{c,\,h} \simeq 1,28\;</math><ref name="fréquences de coupure à -3dB" /> la bande passante réduite à <math>\;-3dB\;</math> étant <math>\;B.P._{x,\,-3dB} = \dfrac{1}{Q} = 0,5\;</math><ref name="bande passante à -3dB" /><math>\bigg]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre le positionnement }}<math>\blacktriangleright\;</math><math>Q = 0,4\;</math> une résonance floue <math>\;\bigg[</math>les fréquences réduites de coupure à <math>\;-3dB\;</math> sont <math>\;x_{c,\,b} \simeq 0,35\;</math> et <math>\;x_{c,\,h} \simeq 2,85\;</math><ref name="fréquences de coupure à -3dB" /> la bande passante réduite à <math>\;-3dB\;</math> étant <math>\;B.P._{x,\,-3dB}</math> <math>= \dfrac{1}{Q} = 2,5\;</math><ref name="bande passante à -3dB" /><math>\bigg]</math>. == Expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, application de la formule de Parseval == === Décomposition en série de Fourier de la tension aux bornes du D.P.L. et de l'intensité du courant le traversant dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, conséquence sur la puissance instantanée électrique reçue === {{Al|5}}La tension instantanée <math>\;\big(T</math>-périodique mais non harmonique<math>\big)\;</math> aux bornes du D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif"> Mais cela reste valable pour un dipôle actif linéaire <math>\;\big(</math>D.A.L.<math>\big)</math>.</ref> se décomposant en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]] <math>\;\big(</math>avec choix de la 2^ème décomposition<math>\big)\;</math> selon «<math>\;u(t) =</math> <math>U_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} U_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{u,\,n} \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}l'intensité instantanée <math>\;\big(</math>également <math>\;T</math>-périodique mais non harmonique<math>\big)\;</math> du courant le traversant, en convention récepteur, se décomposant en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]] <ref> Avec même choix de la 2^ème décomposition.</ref> selon «<math>\;i(t) =</math> <math>I_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} I_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{i,\,n} \right)\;</math>», nous en déduisons <br>{{Al|5}}la puissance électrique instantanée consommée par le D.P.L<ref name="D.P.L." />. en régime <math>\;T</math>-périodique non harmonique utilisant ces deux décompositions selon «<math>\;\mathcal{P}_{e,\,r,\, D.P.L.}(t) = u(t)\;i(t) =</math> <math>\left[ U_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} U_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{u,\,n} \right) \right] \left[ I_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} I_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{i,\,n} \right) \right]\;</math>» ce qui, en développant, donne * des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique explicitée ci-après <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« reçue par la composante permanente<ref name="continue"> Encore qualifiée de « continue » par les électriciens <math>\;\big(</math>ce qui n'est évidemment pas au sens de « continuité de fonction » utilisé en mathématiques<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <math>\;U_0\;I_0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« reçue par l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> c.-à-d. <math>\;2\, U_{\text{eff},\, n}\, I_{\text{eff},\, n}\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n\, f\, t + \varphi_{u,\,n} \right)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n\, f\, t + \varphi_{i,\,n} \right)\;</math>» mais aussi * des termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents explicitée ci-dessous <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« couplage de la composante permanente<ref name="continue" /> et de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> c.-à-d. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}U_0\;I_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{i,\,n} \right)\\U_{\text{eff},\,n}\;I_0\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{u,\,n} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« couplage de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> et de l'harmonique de rang <math>\;n' \neq n\;</math> c.-à-d. <math>\;2\, U_{\text{eff},\, n}\, I_{\text{eff},\, n'}\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n\, f\, t + \varphi_{u,\,n} \right)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n'\, f\, t + \varphi_{i,\,n'} \right)\;</math>». === Puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque === * Effectuant la moyenne des divers termes précédemment développés de la puissance électrique instantanée consommée par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" /> en régime <math>\;T</math>-périodique non harmonique utilisant les deux décompositions en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]] de la tension instantanée aux bornes du dipôle et de l'intensité instantanée du courant le traversant en convention récepteur<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Décomposition_en_série_de_Fourier_de_la_tension_aux_bornes_du_D.P.L._et_de_l'intensité_du_courant_le_traversant_dans_le_cas_d'un_régime_T-périodique_quelconque,_conséquence_sur_la_puissance_instantanée_électrique_reçue|décomposition en série de Fourier de la tension aux bornes du D.P.L. et de l'intensité du courant le traversant dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, conséquence sur la puissance instantanée électrique reçue]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, nous trouvons que tous les termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents ont une moyenne nulle en effet <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> les termes de couplage de la composante permanente<ref name="continue" /> et de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}U_0\;I_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{i,\,n} \right)\\U_{\text{eff},\,n}\;I_0\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{u,\,n} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» étant de moyenne temporelle définie par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \Big\langle U_0\;I_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{i,\,n} \right) \Big\rangle = \dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T U_0\;I_{\text{eff},\,n}\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{i,\,n} \right)\;dt\\ \Big\langle U_{\text{eff},\,n}\;I_0\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{u,\,n} \right) \Big\rangle = \dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T U_{\text{eff},\,n}\;I_0\;\sqrt{2}\;\cos\! \left( 2\;\pi\;n\;f\;t + \varphi_{u,\,n} \right)\;dt\end{array}\right\rbrace\;</math> dans laquelle chaque fonction à intégrer, de période <math>\;\dfrac{T}{n}</math>, conduit à une primitive de même périodicité à prendre entre deux valeurs séparées de <math>\;T = n\;\dfrac{T}{n}\;</math> donnant deux valeurs de primitive égales et par suite une moyenne temporelle nulle et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> les termes de couplage de deux harmoniques de rangs différents c.-à-d. «<math>\;2\, U_{\text{eff},\, n}\, I_{\text{eff},\, n'}\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n\, f\, t + \varphi_{u,\,n} \right)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n'\, f\, t + \varphi_{i,\,n'} \right)\;</math>» étant de moyenne temporelle définie par <math>\;\Big\langle 2\, U_{\text{eff},\, n}\, I_{\text{eff},\, n'}\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n\, f\, t + \varphi_{u,\,n} \right)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n'\, f\, t + \varphi_{i,\,n'} \right) \Big\rangle =</math> <math>\dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T 2\, U_{\text{eff},\, n}\, I_{\text{eff},\, n'}\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n\, f\, t + \varphi_{u,\,n} \right)\, \cos\! \left( 2\, \pi\, n'\, f\, t + \varphi_{i,\,n'} \right)\;dt\;</math> dont l'intégrande<ref name="intégrande"> Nom masculin donné à la fonction à intégrer.</ref> s'intégrant par linéarisation en une somme de deux fonctions sinusoïdales <math>\;\dfrac{T}{n + n'}</math>-périodique pour l'une et <math>\;\dfrac{T}{\vert n - n' \vert}</math>-périodique pour l'autre, de primitive respective de même périodicité que la fonction considérée à prendre entre deux valeurs séparées de <math>\;T = (n + n')\;\dfrac{T}{n + n'}\;</math> pour la 1^ère <math>\;\big(</math>ce qui donne deux valeurs de primitive égales<math>\big)\;</math> et séparées de <math>\;T = \vert n - n' \vert\;\dfrac{T}{\vert n - n'\vert}\;</math> pour la 2^ème <math>\;\big(</math>ce qui donne encore deux valeurs de primitive égales<math>\big)\;</math> et par suite, leur ajout donne une moyenne nulle ; * la moyenne des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique s'obtient en appliquant le « résultat de la puissance électrique moyenne reçue par un D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" /> en r.s.f<ref name="r.s.f." />. »<ref name="puissance électrique moyenne consommée par un D.L. en fonction de son facteur de puissance" /> d'où {{Al|5}}la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" /> en régime <math>\;T</math>-périodique non harmonique est égale à <u>la somme des puissances électriques moyennes consommées par le {{Nobr|D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" />}} soumis à chaque harmonique pris isolément</u> soit <center>«<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} = \Big\langle \mathcal{P}_{e,\,r,\, D.P.L.}(t) \Big\rangle = U_0\;I_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \;U_{\text{eff},\,n}\;I_{\text{eff},\,n}\;\cos\! \left( \varphi_{u,\,n} - \varphi_{i,\,n} \right)\;</math>».</center> === Autres expressions de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque === {{Al|5}}Ayant établi que la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" /> en régime <math>\;T</math>-périodique non harmonique est la somme des puissances électriques moyennes consommées par le {{Nobr|D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" />}} soumis à chaque harmonique pris isolément, et <br>{{Al|5}}notant <math>\;\underline{Z_{D.P.L.,\,n}}(n\; \omega)\;</math><ref name="spécifique à passif"> Ici le dipôle ne peut être actif puisqu'on lui associe une impédance complexe pour chaque harmonique, il est donc nécessairement passif.</ref> l'impédance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. pour l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> dont la résistance est <math>\;\mathcal{R}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega) =</math> <math>\Re\! \left[ \underline{Z_{D.P.L.,\,n}}(n\; \omega) \right]\;</math><ref name="résistance et réactance d'un D.P.L. en r.s.f." />, nous pouvons réécrire <br>{{Al|9}}{{Transparent|notant <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_{D.P.L.,\,n}}(n\; \omega)}\;</math> }}la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" /> soumis à l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> selon «<math>\;\mathcal{R}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega)\, \left[ I_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2\;</math>»<ref name="puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. en fonction de sa résistance" /> dans laquelle <math>\;I_{\text{eff},\, n}(n\;\omega)\;</math> est l'intensité efficace du courant de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> traversant le dipôle d'où <br>{{Al|5}}une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="spécifique à passif" /> en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque <center>«<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} = \Big\langle \mathcal{P}_{e,\,r,\, D.P.L.}(t) \Big\rangle = \mathcal{R}_{D.P.L.,\,0}\, \left[ I_0 \right]^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \;\mathcal{R}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega)\, \left[ I_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}notant <math>\;\underline{Y_{D.P.L.,\,n}}(n\; \omega)\;</math><ref name="spécifique à passif" /> l'admittance complexe du D.P.L<ref name="D.P.L." />. pour l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> dont la conductance est <math>\;\mathcal{G}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega) =</math> <math>\Re\! \left[ \underline{Y_{D.P.L.,\,n}}(n\; \omega) \right]\;</math><ref name="conductance et susceptance d'un D.P.L. en r.s.f." />, nous pouvons réécrire <br>{{Al|9}}{{Transparent|notant <math>\;\color{transparent}{\underline{Z_{D.P.L.,\,n}}(n\; \omega)}\;</math> }}la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="valable si actif" /> soumis à l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> selon «<math>\;\mathcal{G}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega)\, \left[ U_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2\;</math>»<ref name="puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. en fonction de sa conductance" /> dans laquelle <math>\;U_{\text{eff},\, n}(n\;\omega)\;</math> est la tension efficace de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> aux bornes du dipôle d'où <br>{{Al|5}}une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="spécifique à passif" /> en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque <center>«<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} = \Big\langle \mathcal{P}_{e,\,r,\, D.P.L.}(t) \Big\rangle = \mathcal{G}_{D.P.L.,\,0}\, \left[ U_0 \right]^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \;\mathcal{G}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega)\, \left[ U_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Cas particuliers</u> où la résistance de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="spécifique à passif" /> est indépendante du rang : c.-à-d. «<math>\;\mathcal{R}_{D.P.L.,\,\cancel{n}}\!\cancel{(n\; \omega)} = \mathcal{R}_0\;\;\forall\;n\;</math>» <math>\;\big\{</math>exemple du dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> série où <math>\;\mathcal{R}_0 = R\big\}</math> ; <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particuliers où la résistance de l'harmonique de rang <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> du D.P.L. est indépendante du rang : }}on en déduit, après factorisation par <math>\;\mathcal{R}_0</math>, la puissance électrique moyenne consommée par le {{Nobr|D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="spécifique à passif" />}} en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque «<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} = \mathcal{R}_0\, \left\lbrace I_0^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \; \left[ I_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2 \right\rbrace = \mathcal{R}_0\; \left[ I_{\text{eff}} \right]^2\;</math>»<ref name="égalité de Parseval - bis"> Cette dernière égalité étant l'[[w:Égalité_de_Parseval|égalité de Parseval]] utilisant le 2^ème développement en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Formule_de_Parseval_utilisant_le_2ème_développement_en_série_de_Fourier_de_la_grandeur_T-périodique|formule de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier de la grandeur T-périodique]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Cas particuliers }}où la conductance de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> du D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="spécifique à passif" /> est indépendante du rang : c.-à-d. «<math>\;\mathcal{G}_{D.P.L.,\,\cancel{n}}\!\cancel{(n\; \omega)} = \mathcal{G}_0\;\;\forall\;n\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>exemple du dipôle <math>\;R\, L\, C\;</math> parallèle où <math>\;\mathcal{G}_0 = \dfrac{1}{R}\bigg\}</math> ; <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particuliers où la conductance de l'harmonique de rang <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> du D.P.L. est indépendante du rang : }}on en déduit, après factorisation par <math>\;\mathcal{G}_0</math>, la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L<ref name="D.P.L." />.{{,}}<ref name="spécifique à passif" /> en régime <math>\;T</math>-périodique quelconque «<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} = \mathcal{G}_0\, \left\lbrace U_0^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \; \left[ U_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2 \right\rbrace = \mathcal{G}_0\; \left[ U_{\text{eff}} \right]^2\;</math>»<ref name="égalité de Parseval - bis" />. === Peut-on se ramener à une application de la formule de Parseval pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, le D.P.L. étant de résistance (ou de conductance) dépendant effectivement de la fréquence ? === {{Al|5}}La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible par la résistance commune <math>\;\big(</math>ou la conductance commune<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible }}dans «<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.}</math> <math>= \mathcal{R}_{D.P.L.,\,0}\, \left[ I_0 \right]^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \;\mathcal{R}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega)\, \left[ I_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2</math>»<ref name="autres expressions de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Autres_expressions_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_le_D.P.L._en_régime_T-périodique_quelconque|autres expressions de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible }}dans «<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} = \mathcal{G}_{D.P.L.,\,0}\, \left[ U_0 \right]^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \;\mathcal{G}_{D.P.L.,\,n}(n\; \omega)\, \left[ U_{\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2</math>»<ref name="autres expressions de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a }}pas d'utilisation d'[[w:Égalité_de_Parseval|égalité de Parseval]] concernant l'intensité efficace <math>\;\big(</math>ou la tension efficace<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » }}toutefois on peut procéder autrement, en utilisant que « seuls les conducteurs ohmiques consomment en moyenne de la puissance », « les condensateurs parfaits et les bobines parfaites ayant une consommation moyenne nulle »<ref name="puissance électrique moyenne consommée par C et L" /> : {{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, }}pour cela on repère chaque élément résistif du D.P.L<ref name="D.P.L." />. de résistance <math>\;R_k\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, pour cela }}on évalue l'intensité instantanée du courant traversant cet élément résistif <math>\;i_k(t)\;</math> par sa 2^ème décomposition en [[w:Série_de_Fourier|série de Fourier]] c.-à-d. «<math>\;i_k(t) = I_{k,\,0} + \sum\limits_{p\; \in\; \mathbb{N}^{*}}^{1\, \text{à}\, +\infty} \left[ I_{k,\,\text{eff},\, p}(2\, \pi\, p\, f)\, \sqrt{2}\, \cos(2\, \pi\, p\, f\, t + \varphi_{k,\,p}) \right]\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, }}on en déduit la puissance électrique moyenne consommée dans <math>\;R_k\;</math> «<math>\;P_{e,\,r,\, R_k} = R_k\, \left\lbrace \left[ I_{k,\,0} \right]^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \;\left[ I_{k,\,\text{eff},\, n}(n\;\omega) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» soit finalement «<math>\;P_{e,\,r,\, R_k} = R_k\, \left[ I_{k,\,\text{eff}} \right]^2\;</math>»<ref name="égalité de Parseval - bis" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, }}pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée dans le D.P.L<ref name="D.P.L." />. on ajoute les puissances électriques moyennes consommées dans tous les conducteurs ohmiques du D.P.L<ref name="D.P.L." />. soit «<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} = \sum\limits_k \;P_{e,\,r,\, R_k} = \sum\limits_k \;R_k\, \left[ I_{k,\,\text{eff}} \right]^2\;</math>»<ref> On obtiendrait de même en utilisant les tensions aux bornes des éléments résistifs au lieu des intensités des courants les traversant «<math>\;P_{e,\,r,\, D.P.L.} =</math> <math>\sum\limits_k \;P_{e,\,r,\, R_k} = \sum\limits_k \;\dfrac{\left[ U_{k,\,\text{eff}} \right]^2}{R_k}\;</math>».</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance|Oscillateurs amortis : oscillat. élec. ou méca soumis à une excitat. sinus., résonance]] | suivant = [[../Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie|Filtrage linéaire : fonct. de transf. harm. et diag. de Bode, 1^ère part,]] }} eqbvzw2cqhkrw3ulc2y0dtwmgzf6fye 0 79547 983010 962590 2026-05-24T05:51:35Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 983010 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Filtrage linéaire : signaux périodiques/]] | suivant = [[../Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie/]] }} == Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert « dépendante de la sortie » mais « indépendante de l'entrée » == === Rappel des choix de convention d'un quadripôle linéaire en A.R.Q.S. === [[File:Réseau quadripolaire en complexe associée au r.s.f. - conventions d'entrée et de sortie.png|thumb|420px|En complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f."> Régime Sinusoïdal Forcé.</ref>. : convention générateur de la sortie du réseau dipolaire "source + réseau quadripolaire", convention récepteur de l'entrée du réseau dipolaire "réseau quadripolaire + charge"]] {{Al|5}}Déjà traité dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_associations_de_conducteurs_ohmiques#Notion_de_réseau_quadripolaire_et_conventions_d'entrée_et_de_sortie|notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie]] » du chap.<math>23</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans le cadre quelconque de l'A.R.Q.S<ref name="A.R.Q.S."> Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires.</ref>., repris ici dans celui de l'électricité complexe associée au {{Nobr|r.s.f<ref name="r.s.f." />. ;}} ci-contre schéma retranscrit en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. avec explication ci-dessous : * le choix de la convention d'entrée est fait de façon à ce que la source soit en convention générateur, le réseau dipolaire sur lequel la source est fermée, c.-à-d. constitué du Q.L.P. <ref name="Q.L.P."> Quadripôle Linéaire Passif.</ref>{{,}}<ref> Usuellement le quadripôle linéaire <math>\;\big(</math>Q.L.<math>\big)\;</math> est passif mais dans le cas où on utilise, dans la construction du Q.L., un [[w:Circuit_intégré|circuit intégré]] linéaire <math>\;\big(</math>c.-à-d. un « [[w:Amplificateur_opérationnel|amplificateur opérationnel]] » appelé plus simplement « [[w:Amplificateur_opérationnel|A.O.]] »<math>\big)</math>, ce dernier doit être polarisé pour fonctionner c.-à-d. qu'il y a dans le Q.L. un élément actif constitué de l'alimentation stabilisée <math>\;\big(</math>A.S.<math>\big)\;</math> assurant la polarisation de l'[[w:Amplificateur_opérationnel|A.O.]] <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Travaux_pratiques/Montages_électroniques_:_Montage_suiveur,_réponses_indicielles_d'un_R_L_C_série#Les_différentes_bornes_et_la_nécessité_de_polariser_un_A.O.|les différentes bornes et la nécessité de polariser un A.O.]] » du T.p.<math>5</math> dans le cadre de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}sans [[w:Amplificateur_opérationnel|A.O.]] le quadripôle est donc un Q.L.P. et avec présence d'un [[w:Amplificateur_opérationnel|A.O.]] il devient Q.L.A. <math>\;\big(</math>Quadripôle Linéaire Actif<math>\big)\;</math> mais tout ce qui sera introduit sur les Q.L.P. pourra être appliqué sans modification {{Nobr|<math>\;\big(</math>pourvu}} que le fonctionnement reste linéaire<math>\big)\;</math> aux Q.L.A. à base d'[[w:Amplificateur_opérationnel|A.O.]], l'A.S. assurant la polarisation de l'[[w:Amplificateur_opérationnel|A.O.]] n'étant d'ailleurs pas représentée sur les schémas <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Travaux_pratiques/Montages_électroniques_:_Montage_suiveur,_réponses_indicielles_d'un_R_L_C_série#Les_différentes_bornes_et_la_nécessité_de_polariser_un_A.O.|les différentes bornes et la nécessité de polariser un A.O.]] » du T.p.<math>5</math> dans le cadre de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}c'est la raison pour laquelle le qualificatif « passif » est mis entre parenthèses sur le schéma ci-contre et aussi <br>{{Al|3}}{{Transparent|c'est }}la raison pour laquelle l'exposé est fait exclusivement avec un Q.L.P..</ref> fermé sur le récepteur et vu des bornes d'entrée <math>\;\big(</math>en bleu ci-contre<math>\big)\;</math> étant en convention récepteur, * le choix de la convention de sortie est fait de façon à ce que le récepteur <math>\;\big(</math>encore appelé « charge »<math>\big)\;</math> soit en convention récepteur, le réseau dipolaire alimentant la « charge » c.-à-d. constitué du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. alimenté par la source et vu des bornes de sortie <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> étant en convention générateur ; {{Al|5}}<u>conventions d'écriture des grandeurs « tension ou intensité de courant »</u><ref> Exposées sur la tension d'entrée mais valable pour l'intensité du courant d'entrée ainsi les grandeurs correspondantes de sortie.</ref> : * une tension d'entrée de valeur moyenne nulle <math>\;\big(</math>c.-à-d. sans composante permanente<ref name="continue"> Encore qualifiée de « continu(e) » par les électriciens <math>\;\big(</math>ce qui n'est évidemment pas au sens de « continuité de fonction » utilisé en mathématiques<math>\big)</math>.</ref>, par exemple purement sinusoïdale<math>\big)\;</math> est notée <math>\;u_e(t)</math>, on a donc «<math>\;\Big\langle u_e(t) \Big\rangle = 0\;</math>», * dans le cas où la tension d'entrée est purement sinusoïdale, sa valeur efficace est notée <math>\;U_e</math>, on a donc dans ce cas «<math>\;u_e(t) =</math> <math>U_e\,\sqrt{2}\,\cos(\omega\,t + \varphi_{u_e})\;</math>», * une tension d'entrée dépendant du temps et a priori de valeur moyenne non nulle <math>\;\big(</math>c.-à-d. avec composante permanente<ref name="continue" /><math>\big)\;</math> est notée <math>\;u_E(t)\;</math> et correspond à «<math>\;\Big\langle u_E(t) \Big\rangle \neq 0\;</math>», * une tension d'entrée ne dépendant pas du temps <math>\;\big(</math>donc en régime permanent<ref name="continue" /><math>\big)\;</math> est notée <math>\;U_E</math>, on a donc «<math>\;u_E(t) = U_E + u_e(t)\;</math>» avec «<math>\;\Big\langle u_E(t) \Big\rangle = U_E\;</math> puisque <math>\;\Big\langle u_e(t) \Big\rangle = 0\;</math>». === Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. » === {{Al|5}}Après avoir introduit les grandeurs instantanées complexes associées aux grandeurs instantanées sinusoïdales <math>\;\big(</math>ainsi que les grandeurs efficaces complexes et les impédances complexes des D.P.L<ref name="D.P.L."> Dipôle Passif Linéaire.</ref>.<math>\big)</math>, <u>une fonction de transfert harmonique</u> <math>\;\underline{H}(j\,\omega)\;</math> du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. fermé sur une « charge d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)\;</math>» <u>est définie par</u> <center>«<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{y_s}(t)}{\underline{x_e}(t)} = \dfrac{\underline{Y_s}(j\,\omega)}{\underline{X_e}}\;</math>» où <br>«<math>\;\underline{y_s}(t)\;</math> est la tension instantanée complexe de sortie ou l'intensité instantanée complexe du courant de sortie », <br>«<math>\;\underline{x_e}(t)\;</math> est la tension instantanée complexe d'entrée ou l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée », <br>«<math>\;\underline{Y_s}(j\,\omega)\;</math><ref> La valeur efficace de sortie dépend usuellement des éléments du Q.L.P. et de la pulsation imposée par la source d'où la valeur efficace complexe considérée comme fonction de <math>\;j\, \omega</math>.</ref> est la tension efficace complexe de sortie ou l'intensité efficace complexe du courant de sortie » et <br>«<math>\;\underline{X_e}\;</math><ref> La tension efficace d'entrée étant supposée constante est donc a priori indépendante de <math>\;\omega</math>, d'où la notation de la tension efficace complexe considérée comme indépendante de <math>\;j\, \omega</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|La tension efficace d'entrée étant supposée constante }}toutefois c'est la valeur efficace de la f.e.m. de la source que l'on impose et non celle de la tension d'entrée, l'existence de <math>\;\underline{z_g}\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. de l'impédance de sortie du générateur qui vaut usuellement <math>\;50\, \Omega\big)\;</math> entraînant une variation de la tension efficace d'entrée correspondant à une variation de la chute ohmique aux bornes de <math>\;z_g\;</math> mais, cette dernière étant usuellement faible, nous pourrons considérer <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> que la tension efficace d'entrée reste constante et,<br>{{Al|3}}{{Transparent|La tension efficace d'entrée étant supposée constante }}si ce n'est pas le cas, nous insérerons entre la source et le Q.L.P. un [[w:Montages_de_base_de_l'amplificateur_opérationnel#Suiveur|montage suiveur]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Travaux_pratiques/Montages_électroniques_:_Montage_suiveur,_réponses_indicielles_d'un_R_L_C_série#Utilisation_dans_le_montage_suiveur|utilisation dans le montage suiveur]] (d'un A.O.) » du T.p.<math>5</math> dans le cadre de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}nous pouvons faire les mêmes commentaires dans l'hypothèse où la grandeur d'entrée est l'intensité efficace complexe.</ref> est la tension efficace complexe d'entrée ou l'intensité efficace complexe du courant d'entrée » ;</center> * « le module de la fonction de transfert définit son <u>gain</u> noté <math>\;G(\omega)\;</math>» soit <center>«<math>\;G(\omega) = \Big\vert \underline{H}(j\,\omega) \Big\vert = \dfrac{Y_s(\omega)}{X_e}\;</math>»,</center> * « l'argument de la fonction de transfert définit sa <u>phase</u> notée <math>\;\varphi(\omega)\;</math>» soit <center>«<math>\;\varphi(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{H}(j\,\omega) \right] = \varphi_{y_s}(\omega) - \varphi_{x_e}\;</math>» et</center> * « la forme trigonométrique de la <u>fonction de transfert</u> <math>\;\underline{H}(j\,\omega)\;</math>» s'écrit <center>«<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = G(\omega)\;\exp\! \left[ j\, \varphi(\omega) \right]\;</math>».</center> === Représentation symbolique du transfert par schéma unifilaire === [[File:Transfert d'un Q.L.P. - schéma unifilaire.png|thumb|350px|Représentation du transfert d'un Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. par schéma unifilaire<ref> Cette représentation est pratique mais elle n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI.</ref> <math>\;\big(</math>avec chaîne de [[w:Rétroaction|rétroaction]] en tiretés rouges<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Voir ci-contre : une grandeur d'entrée <math>\;\big(</math>tension ou intensité de courant<math>\big)\;</math><ref name="seul transfert électrique"> Nous nous limitons à des grandeurs purement électriques mais il existe beaucoup d'autres types de transfert pour lesquels seule l'entrée ou la sortie sont électriques <math>\;\big[</math>exemples un microphone où seule la sortie est électrique, l'entrée étant acoustique ou à l'inverse un haut parleur où seule l'entrée est électrique, la sortie étant acoustique<math>\big]\;</math> ou encore pour lesquels aucune des deux n'est directement électrique <math>\;\big[</math>exemples stabilisateur de vitesse de rotation où l'entrée et la sortie sont mécaniques ou thermostat <math>\;\big(</math>c.-à-d. stabilisateur de température<math>\big)\;</math> où l'entrée et la sortie sont thermodynamiques<math>\big]</math>.</ref> <math>\;x_e(t)\;</math> est imposée au Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. qui la transforme en grandeur de sortie <math>\;\big(</math>tension ou intensité de courant<math>\big)\;</math><ref name="seul transfert électrique" /> <math>\;y_s(t)\;</math><ref> Les grandeurs sur le schéma unifilaire sont considérées purement sinusoïdales d'où les notations utilisées, leurs valeurs efficaces étant notées <math>\;X_e\;</math> et <math>\;Y_s(\omega)</math>, si on considérait des grandeurs permanentes <math>\;\big(</math>ou continues au sens des électriciens<math>\big)\;</math> on noterait <math>\;X_E\;</math> et <math>\;Y_S</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Bien entendu les flèches sur le fil d'entrée ou sur celui de sortie ne veulent absolument pas dire qu'il y a « circulation de la grandeur » <math>\;\big(</math>ce serait totalement stupide pour une tension<math>\big)\;</math> mais signifient qu'il y a, provenant de la source, « apport de l'information <math>\;x_e(t)\;</math>» au Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. puis, provenant du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />., « restitution de l'information transformée <math>\;y_s(t)\;</math>» au récepteur situé en aval du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}la transformation effectuée par le Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. peut être « voulue » <math>\;\big(</math>on veut empêcher certaines fréquences de passer <math>\;\ldots\;</math> et si le but recherché est atteint c'est parfait<math>\big)\;</math> ou « une conséquence de la mauvaise qualité du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. » <math>\;\big(</math>existence de défauts qu'il faut donc chercher à éliminer<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}il est possible d'ajouter une « chaîne de rétroaction » <math>\;\big(</math>en tiretés rouges sur le schéma unifilaire<math>\big)\;</math> dans le but de stabiliser <math>\;\big(</math>ou déstabiliser<math>\big)\;</math> le signal de sortie, pour cela on renvoie à l'entrée un signal dépendant du signal de sortie et, ce signal renvoyé à l'entrée subissant de nouveau le transfert engendre une stabilisation <math>\;\big(</math>ou une déstabilisation<math>\big)\;\ldots</math> === Les quatre fonctions de transfert harmoniques === ==== Amplification complexe en tension ==== {{Al|5}}À partir de la tension d'entrée et la tension de sortie <math>\;\big(</math>en r.s.f<ref name="r.s.f." />.<math>\big)\;</math> on définit l'« <u>amplification complexe en tension</u> » «<math>\;\underline{A}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)} = \dfrac{\underline{U_s}(j\,\omega)}{\underline{U_e}}\;</math>»<ref> C'est de très loin la plus fréquemment introduite.</ref> sans unité : * son module définit le « gain en tension » «<math>\;G(\omega) = \Big\vert \underline{A}(j\,\omega) \Big\vert = \dfrac{U_s(\omega)}{U_e}\;</math>» et * son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée » «<math>\;\varphi(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{A}(j\,\omega) \right] = \varphi_{u_s}(\omega) - \varphi_{u_e}\;</math>». ==== Amplification complexe en courant ==== {{Al|5}}À partir de l'intensité du courant d'entrée et celle du courant de sortie <math>\;\big(</math>en r.s.f<ref name="r.s.f." />.<math>\big)\;</math> on définit l'« <u>amplification complexe en courant</u> »<ref> Ou amplification complexe en intensité.</ref> «<math>\;\underline{A_i}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{i_s}(t)}{\underline{i_e}(t)} = \dfrac{\underline{I_s}(j\,\omega)}{\underline{I_e}}\;</math>»<ref> Par ordre de fréquence d'utilisation, c'est la seconde plus utilisée après l'amplification complexe en tension mais au moins dix fois moins que celle-ci.</ref> sans unité : * son module définit le « gain en courant »<ref> Ou gain en intensité.</ref> «<math>\;G_i(\omega) = \Big\vert \underline{A_i}(j\,\omega) \Big\vert = \dfrac{I_s(\omega)}{I_e}\;</math>» et * son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur celle du courant d'entrée » «<math>\;\varphi_i(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{A_i}(j\,\omega) \right] = \varphi_{i_s}(\omega) - \varphi_{i_e}\;</math>». ==== Transimpédance complexe ==== {{Al|5}}À partir de l'intensité du courant d'entrée et la tension de sortie <math>\;\big(</math>en r.s.f<ref name="r.s.f." />.<math>\big)\;</math> on définit la « <u>transimpédance complexe</u> » «<math>\;\underline{Z_t}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{i_e}(t)} = \dfrac{\underline{U_s}(j\,\omega)}{\underline{I_e}}\;</math>»<ref> Par ordre de fréquence d'utilisation, c'est la troisième plus utilisée après l'amplification complexe en tension et en courant mais au moins dix fois moins que la précédente.</ref> en <math>\;\Omega</math> : * son module définit la « transimpédance »<ref name="éviter gain"> Bien qu'il s'agisse du gain de la fonction de transfert, on évite d'employer ce terme, le réservant à des grandeurs sans unité.</ref> «<math>\;Z_t(\omega) = \Big\vert \underline{Z_t}(j\,\omega) \Big\vert = \dfrac{U_s(\omega)}{I_e}\;</math>» en <math>\;\Omega\;</math> et * son argument, l'« avance de phase de la tension de sortie sur l'intensité du courant d'entrée » «<math>\;\varphi_{Z_t}(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Z_t}(j\,\omega) \right] = \varphi_{u_s}(\omega) - \varphi_{i_e}\;</math>». ==== Transadmittance complexe ==== {{Al|5}}À partir de la tension d'entrée et l'intensité du courant de sortie <math>\;\big(</math>en r.s.f<ref name="r.s.f." />.<math>\big)\;</math> on définit la « <u>transadmittance complexe</u> » «<math>\;\underline{Y_t}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{i_s}(t)}{\underline{u_e}(t)} = \dfrac{\underline{I_s}(j\,\omega)}{\underline{U_e}}\;</math>»<ref> Par ordre de fréquence d'utilisation, c'est la moins utilisée au moins dix fois moins que la précédente.</ref>{{,}}<ref> Ce n'est évidemment pas l'inverse de la transimpédance complexe.</ref> en <math>\;S</math> : * son module définit la « transadmittance »<ref name="éviter gain" /> «<math>\;Y_t(\omega) = \Big\vert \underline{Y_t}(j\,\omega) \Big\vert = \dfrac{I_s(\omega)}{U_e}\;</math>»<ref> Ce n'est évidemment pas l'inverse de la transimpédance.</ref> en <math>\;S\;</math> et * son argument, l'« avance de phase de l'intensité du courant de sortie sur la tension d'entrée » «<math>\;\varphi_{Y_t}(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{Y_t}(j\,\omega) \right] = \varphi_{i_s}(\omega) - \varphi_{u_e}\;</math>». === Propriétés fondamentales d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une « charge » et alimenté en entrée par une « source fonctionnant en r.s.f. » === {{Al|5}}Il sera aisé de vérifier les propriétés énoncées ci-dessous sur tous les exemples traités en cours et en exercices : * « toute fonction de transfert d'un Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. fermé sur une charge est <u>indépendante du dipôle source situé en amont de l'entrée</u> », c.-à-d. du générateur de fonctions de modèle générateur de tension <math>\;\left\lbrace \underline{e_g}(t)\, ,\, \underline{z_g}(j\,\omega) \right\rbrace\;</math> <math>\bigg[</math>ou du générateur de fonctions de modèle générateur de courant <math>\;\left\lbrace \underline{\eta_g}(t)\, ,\, \underline{z_g}(j\,\omega) \right\rbrace\bigg]</math>, en effet ce qui importe c'est la tension instantanée complexe d'entrée <math>\;\underline{u_e}(t)\;</math> et non la façon dont cette tension est construite à l'aide de la source, * « toute fonction de transfert d'un Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. fermé sur une charge est <u>dépendante du dipôle d'utilisation situé en aval de la sortie</u> », c.-à-d. de la charge <math>\;\underline{Z_u}(j\,\omega)</math>, en effet il est évident que l'amplification complexe en tension <math>\;\big(</math>ou la transimpédance complexe<math>\big)\;</math> en dépend puisque son absence ou présence modifie la tension instantanée complexe de sortie <math>\;\big\{</math>de même l'amplification complexe en courant {{Nobr|<math>\;\big(</math>ou}} la transadmittance complexe<math>\big)\;</math> en dépend puisque son absence ou présence modifie l'intensité instantanée complexe du courant de sortie<math>\big\}</math> ; il est donc impératif pour pouvoir évaluer la fonction de transfert de connaître la « charge » placée en sortie<ref> Si elle n'est pas précisée dans le cas de l'étude de l'amplification complexe en tension c'est vraisemblablement qu'on suppose la « sortie ouverte », mais ceci n'est pas une certitude <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : seules l'amplification complexe en tension et la transimpédance complexe ont un intérêt en sortie ouverte en effet, en sortie ouverte <math>\;\underline{i_s}(t) = 0\;</math> entraîne la nullité des deux autres et {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}seules l'amplification complexe en courant et la transadmittance complexe ont un intérêt en sortie court-circuitée en effet, en sortie court-circuitée <math>\;\underline{u_s}(t) = 0\;</math> entraîne la nullité des deux autres. == Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase == === Définition du gain en dB === {{Al|5}}Le gain <math>\;G(\omega)\;</math> associé à une fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,\omega)\;</math> étant défini par <math>\;G(\omega) = \Big\vert \underline{H}(j\,\omega) \Big\vert</math>, le gain en dB <math>\;G_{dB}(\omega)\;</math> l'est par : * «<math>\;G_{dB}(\omega) = 20\, \log \left[ G(\omega) \right] = 20\, \log \Big\vert \underline{H}(j\,\omega) \Big\vert\;</math> pour les deux fonctions de transfert sans unité » <math>\;\big(</math>à savoir l'amplification complexe en tension et l'amplification complexe en courant<math>\big)</math>, * «<math>\;G_{dB}(\omega) = 20\, \log \left[ \dfrac{G(\omega)}{G_{\text{réf}}} \right] = 20\, \log \left[ \dfrac{\Big\vert \underline{H}(j\,\omega) \Big\vert}{G_{\text{réf}}} \right]\;</math> pour les deux fonctions de transfert avec unité » où <math>\;G_{\text{réf}}\;</math> est un gain de référence exprimée dans la même unité que la fonction de transfert considérée <math>\;\big(</math>à savoir par exemple <math>\;G_{\text{réf}} = 1\;\Omega\;</math> pour la transimpédance complexe et <math>\;G_{\text{réf}} = 1\;S\;</math> pour la transadmittance complexe<math>\big)\;</math><ref> On rappelle qu'on évite de parler de gain mais qu'on remplace cette appellation par transimpédance ou transadmittance mais néanmoins on conserve l'appellation « gain en <math>\;dB\;</math>», par exemple <br>{{Al|3}}pour le gain en dB associé à la transimpédance complexe la définition s'écrit <math>\;G_{dB}(\omega) = 20\, \log \left[ \dfrac{Z_t(\omega)}{Z_{t,\,\text{réf}}} \right] =</math> <math>20\, \log \left[ \dfrac{\Big\vert \underline{Z_t}(j\,\omega) \Big\vert}{Z_{t,\,\text{réf}}} \right]\;</math> ou ; <br>{{Al|3}}pour le gain en dB associé à la transadmittance complexe la définition s'écrit <math>\;G_{dB}(\omega) = 20\, \log \left[ \dfrac{Y_t(\omega)}{Y_{t,\,\text{réf}}} \right] =</math> <math>20\, \log \left[ \dfrac{\Big\vert \underline{Y_t}(j\,\omega) \Big\vert}{Y_{t,\,\text{réf}}} \right]</math> ;<br>{{Al|3}}toutefois il n'est pas rare que l'on note par abus <math>\;G_{dB}(\omega) = 20\; \log \left[ G(\omega) \right] = 20\; \log \Big\vert \underline{H}(j\,\omega) \Big\vert\;</math> sans préciser le gain de référence tout comme le pH est noté <math>\;pH = -log \left[ H^{+} \right]\;</math> par abus, la notation correcte étant <math>\;pH = -log \left\lbrace a(H^{+}) \right\rbrace\;</math> avec <math>\;a(H^{+}) = \dfrac{\left[ H^{+} \right]}{c^0}\;</math> l'activité en ions <math>\;H^{+}</math>, <math>\;c^0\;</math> étant une concentration de référence égale à <math>\;1\, mol \cdot L^{-1}</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le choix du facteur <math>\;20\;</math> introduit dans la définition du gain en décibels pour les quatre fonctions de transfert résulte <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de l'expression de la puissance électrique moyenne <math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R}(t) \Big\rangle\;</math> reçue par un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> en fonction de la tension efficace <math>\;U\;</math> aux bornes de ce dernier ou de l'intensité efficace <math>\;I\;</math> du courant le traversant soit <math>\;\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R}(t) \Big\rangle = R\;I^2 = \dfrac{U^2}{R\;}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_signaux_périodiques#Évaluation_de_la_puissance_électrique_moyenne_reçue_par_un_conducteur_ohmique_de_résistance_R|évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> «<math>\;G_{dB,\,\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R} \Big\rangle} = 10\, \log \left[ G_{\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R} \Big\rangle} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or un gain en tension efficace aux bornes d'un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>ou un gain en intensité efficace de courant traversant le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\big)\;</math> de valeur <math>\;\dfrac{1}{10}\;</math> conduisant à un gain en puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> de valeur <math>\;\dfrac{1}{100}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la définition du gain en puissance électrique moyenne en décibels reçue par ce conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G_{dB,\,\Big\langle \mathcal{P}_{e,\, r,\,R} \Big\rangle} = -20\;dB</math>, le choix du facteur <math>\;20\;</math> dans celle du gain en décibels en tension efficace aux bornes de ce conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>ou dans celle du gain en décibels en intensité efficace de courant traversant ce conducteur ohmique de résistance <math>\;R\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;G_{dB,\,U} = -20\;dB</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;G_{dB,\,I} = -20\;dB\big)\;</math> c.-à-d. que les trois gains en décibels <math>\;\big(</math>en puissance électrique moyenne, en tension efficace et en intensité efficace de courant<math>\big)\;</math> ont la même valeur en décibels. === Définition du diagramme de Bode associé à la fonction de transfert <u>H</u>(jω) = G(ω) e^[jφ(ω)], courbe de gain et courbe de phase === {{Al|5}}Le diagramme de Bode<ref name="Bode"> '''[[w:Hendrik_Wade_Bode|Hendrik Wade Bode]] (1905 - 1982)''' est un ingénieur, chercheur et inventeur américain d'origine néerlandaise qui a été un pionnier de la [[w:Régulation|régulation]] moderne et des [[w:Télécommunications|télécommunications]] ; il a révolutionné ces domaines dans leurs contenus mais aussi dans leurs méthodes d'application <math>\;\big(</math>plus particulièrement connu pour avoir mis au point le [[w:Diagramme_de_Bode|diagramme de Bode]] qui constitue une méthode de représentation de l'amplitude et de la phase d'un système<math>\big)</math>.</ref> associé à la fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = G(\omega)\;\exp\! \left[ j\,\varphi(\omega) \right]\;</math> est l'ensemble des deux courbes suivantes en échelle semi-logarithmique<ref> Axe des abscisses en échelle logarithmique et axe des ordonnées en échelle linéaire.</ref> : * la <u>courbe de gain</u> qui est le graphe de <math>\;G_{dB}(f)\;</math> en fonction de la fréquence <math>\;f\;</math> <math>\bigg[</math>par prolongement on appelle encore « courbe de gain » le graphe de <math>\;G_{dB}(\omega)\;</math> en fonction de la pulsation <math>\;\omega\;</math><ref name="simple changement d'origine"> L'échelle des abscisses étant logarithmique, il s'agit d'un simple changement d'origine car <math>\;\omega = 2\,\pi\,f\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\log(\omega) =</math> <math>\log(f) + \log(2\,\pi)\;</math> d'une part et d'autre part <math>\;x = \dfrac{f}{f_0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\log(x) = \log(f) - \log(f_0)</math>.</ref> ou le graphe de <math>\;G_{dB}(x)\;</math> en fonction de la fréquence réduite <math>\;x = \dfrac{f}{f_0}\;</math><ref name="simple changement d'origine" /> où <math>\;f_0\;</math> est une fréquence caractéristique du transfert<math>\bigg]\;</math> et * la <u>courbe de phase</u> qui est le graphe de <math>\;\varphi(f)\;</math> en fonction de la fréquence <math>\;f\;</math> <math>\bigg[</math>par prolongement on appelle encore « courbe de phase » le graphe de <math>\;\varphi(\omega)\;</math> en fonction de la pulsation <math>\;\omega\;</math><ref name="simple changement d'origine" /> ou le graphe de <math>\;\varphi(x)\;</math> en fonction de la fréquence réduite <math>\;x = \dfrac{f}{f_0}\;</math><ref name="simple changement d'origine" />, <math>\;f_0\;</math> étant la même fréquence caractéristique du transfert que précédemment<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences</u><ref> Cette définition serait applicable à n'importe quel axe pourvu que cet axe soit en échelle logarithmique.</ref> : Une « décade » de l'axe des fréquences en échelle logarithmique est l'intervalle entre une fréquence quelconque <math>\;f_1\;</math> et la fréquence dix fois plus grande <math>\;f_2 = 10\;f_1</math>, toutes les décades ont donc la même largeur en échelle logarithmique car <math>\log(f_2) - \log(f_1) = \log(10\,f_1) - \log(f_1) = \log(10) = 1</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : }}ainsi entre <math>\;100\; Hz\;</math> et <math>\;1\;MHz = 100\;10^4\;Hz\;</math> il y a « quatre décades » <math>\;\big(</math>comme il y a « quatre décades » entre <math>\;50\; Hz\;</math> et <math>\;500\; kHz = 50\;10^4\;Hz\big)</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|Définition spécifique à l'échelle logarithmique de l'axe des fréquences : }}<u>remarque</u> : notez aussi qu'entre les fréquences <math>\;f_1\;</math> et <math>\;f_2 > f_1\;</math> il y a «<math>\;\log\! \left( \dfrac{f_2}{f_1} \right)</math> décade » <math>\;\big(</math>en particulier entre <math>\;f_1\;</math> et <math>\;2\;f_1\;</math> il y a «<math>\;\log(2) \simeq 0,3\;</math>décade » <ref> On note <math>\;\log(2) \simeq 0,30103\;</math> et on retiendra <math>\;\log(2) \simeq 0,3\;</math> à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref><math>\big)</math>. == Différentes fonctions de transfert du 1^er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F. == === Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre === {{Al|5}}Une fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,\omega)\;</math> est dite du « 1^er ordre »<ref> On parle encore, pour le réseau dipolaire formé du « quadripôle alimenté en entrée par une source et vu de sa sortie », dont la fonction de transfert à sortie fermée sur une charge est du « 1^er ordre », de « système du 1^er ordre ».</ref> quand, écrite sous forme d'un <u>quotient irréductible de polynômes en</u><math>\;j\,\omega</math>, le « dénominateur <math>\;\underline{D}(j\,\omega)\;</math> est un polynôme de degré <math>\;1\;</math>» ; {{Al|5}}la fonction de transfert sera dite « sous forme normalisée » si le « monôme de degré <math>\;0\;</math> de <math>\;\underline{D}(j\,\omega)\;</math> est <math>\;1\;</math>», ainsi une fonction de transfert du « 1^er ordre » s'écrit, « sous forme normalisée », selon <center>«<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{N}(j\,\omega)}{1 + j\,\alpha\,\omega}\;</math>» avec «<math>\;\alpha\, \in \mathbb{R}^{*}\;</math>» et «<math>\;\underline{N}(j\,\omega)\;</math> polynôme de degré <math>\;0\;</math> ou <math>\;1\;</math>»<ref> Le numérateur <math>\;\underline{N}(j\,\omega)\;</math> de la fonction de transfert est <u>non divisible par</u><math>\;1 + j\,\alpha\,\omega</math>, le quotient de polynômes définissant la fonction de transfert devant être <u>irréductible</u>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : si le quadripôle ne contient que des « conducteurs ohmiques, bobines et condensateurs », le cœfficient «<math>\;\alpha\;</math> est <math>\;> 0\;</math>»<ref name="stable"> Dans ce cas, on parle de système « stable », ce qui signifie que la solution de l'équation différentielle associée à la fonction de transfert ne diverge pas quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math> en effet ;<br>{{Al|3}}la détermination de l'équation différentielle associée à <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{N}(j\,\omega)}{1 + j\,\alpha\,\omega} = \dfrac{\underline{y_s}(t)}{\underline{x_e}(t)}\;</math> s'obtenant en utilisant la méthode exposée dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Réponse_fréquentielle_d'un_système_linéaire_du_1er_ordre_fondamental_à_un_signal_sinusoïdal_de_pulsation_ω|réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω]] (équation différentielle) » ou « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Réponse_fréquentielle_d'un_système_linéaire_du_1er_ordre_non_fondamental_avec_transfert_statique_nul_à_un_signal_sinusoïdal_de_pulsation_ω|réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω ]] (équation différentielle) » plus loin dans ce chapitre <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( 1 + j\,\alpha\,\omega \right)\, \underline{y_s}(t) = \underline{N}(j\,\omega)\;\underline{x_e}(t)\;</math> ou, en notant <math>\;\underline{N}(j\,\omega) = H_0 + j\,\beta\,\omega\;</math> et en remplaçant la « multiplication par <math>\;j\,\omega\;</math>» par la « dérivation temporelle », «<math>\;\underline{y_s}(t) + \alpha\;\dfrac{d \underline{y_s}}{dt}(t) = H_0\;\underline{x_e}(t) + \beta\;\dfrac{d \underline{x_e}}{dt}(t)\;</math>» d'où, en repassant aux grandeurs physiques et en ordonnant «<math>\;\alpha\;\dfrac{d y_S}{dt}(t) + y_S(t) =</math> <math>H_0\;x_E(t) + \beta\;\dfrac{d x_E}{dt}(t)\;</math>», la solution s'écrit, d'après le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », «<math>\;y_S(t) = y_{S,\,\text{libre}}(t) + y_{S,\,\text{forcée}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;y_{S,\,\text{forcée}}(t)\;</math> est la solution forcée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène choisie, quand cela est possible, de même forme que le 2^nd membre <math>\;\big(</math>ou excitation<math>\big)\big\}</math> et <math>\;y_{S,\,\text{libre}}(t)\;</math> la solution libre <math>\;\big\{</math>c.-à-d. la solution générale de l'équation différentielle homogène <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> «<math>\;y_{S,\,\text{libre}}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\alpha} \right)\;</math>» solution libre s'amortissant si <math>\;\alpha\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\big(</math>condition nécessaire pour que le système soit stable<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}dans ce qui suit nous n'envisagerons que des systèmes stables.</ref> et homogène à une constante de temps, on pose alors «<math>\;\alpha = \tau\;</math>» et la fonction de transfert du « 1^er ordre » peut se réécrire sous forme normalisée selon <center>«<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{N}(j\,\omega)}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math>» avec «<math>\;\tau\, \in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math>» et «<math>\;\underline{N}(j\,\omega)\;</math> polynôme de degré <math>\;0\;</math> ou <math>\;1\;</math>»<ref> Le numérateur <math>\;\underline{N}(j\,\omega)\;</math> de la fonction de transfert est <u>non divisible par</u><math>\;1 + j\,\tau\,\omega</math>, le quotient de polynômes définissant la fonction de transfert devant être <u>irréductible</u>.</ref> ou, <br>en posant «<math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\,\in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math>» se réécrire sous forme normalisée «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{N}(j\,\omega)}{1 + j\,\dfrac{\omega}{\omega_0}}\;</math>» ou encore, <br>en introduisant la « pulsation réduite <math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0} = \tau\;\omega\;</math>» se réécrire sous forme normalisée «<math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{\underline{N}(j\,x)}{1 + j\,x}\;</math>»<ref name="abus lors d'un changement de variable"> Quand on change de variable, passant de <math>\,\omega\,</math> à <math>\,x</math>, les fonctions <math>\,\underline{H}\,</math> et <math>\,\underline{N}\,</math> deviennent des fonctions composées, on devrait donc écrire <math>\,\underline{H}(j\,\omega_0\,x)\,</math> et <math>\,\underline{N}(j\,\omega_0\,x)\,</math> ou, <br>{{Al|48}}{{Transparent|Quand on change de variable, }}si on veut les considérer comme fonctions de <math>\;x</math>, changer de notation en écrivant <math>\;\underline{H'}(j\,x)\;</math> ou <math>\;\underline{N'}(j\,x)</math> ; <br>{{Al|48}}{{Transparent|Quand on change de variable, }}néanmoins par abus on nomme les fonctions de <math>\;\omega\;</math> et de <math>\;x\;</math> par la même lettre car les valeurs de la fonction considérée restent les mêmes d'où <math>\;\underline{H}(j\,\omega_0\,x)\;</math> simplement notée <math>\;\underline{H}(j\,x)\;</math> et <math>\;\underline{N}(j\,\omega_0\,x)\;</math> simplement notée <math>\;\underline{N}(j\,x)</math>.</ref>.</center> === Fonction de transfert du 1^er ordre fondamental === ==== Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre fondamental ==== {{Al|5}}Une fonction de transfert du 1^er ordre<ref name="1er ordre stable"> On rappelle que nous nous limitons aux fonctions de transfert du 1^er ordre de système stable c.-à-d. que, le cœfficient <math>\;\alpha\;</math> de <math>\;j\,\omega\;</math> dans le polynôme situé au dénominateur étant positif, on peut le remplacer par <math>\;\tau\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{\omega_0}</math>.</ref> est dite « <u>du 1^er ordre fondamental</u> » ssi «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math>» avec «<math>\;\tau\;\in\, \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à un temps » et «<math>\;H_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> de même homogénéité que le transfert harmonique », <math>\;H_0\;</math> définissant le <u>transfert statique</u><ref name="transfert statique"> C.-à-d. la valeur du transfert en régime permanent considéré comme limite du r.s.f. quand la fréquence tend vers <math>\;0</math>.</ref> ou {{Al|10}}{{Transparent|Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre fondamental » }}ssi «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\,\dfrac{\omega}{\omega_0}}\;</math>» avec «<math>\;\omega_0\;\in\, \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à une pulsation » et «<math>\;H_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> de même homogénéité que le transfert harmonique », <math>\;H_0\;</math> définissant le <u>transfert statique</u><ref name="transfert statique" /> ou enfin {{Al|10}}{{Transparent|Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre fondamental » }}ssi «<math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 + j\,x}\;</math>»<ref name="abus lors d'un changement de variable" /> avec «<math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0} = \tau\;\omega\;\in\, \mathbb{R}^{+}\;</math> pulsation réduite sans dimension »<ref name="fréquence réduite"> C'est aussi la fréquence réduite car <math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0} = \dfrac{2\, \pi\,f}{2\,\pi\,f_0} = \dfrac{f}{f_0}</math>.</ref> et «<math>\;H_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> de même homogénéité que le transfert harmonique », <math>\;H_0\;</math> définissant le <u>transfert statique</u><ref name="transfert statique" />. ==== Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » ==== {{Al|5}}Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de pulsation <math>\;\omega</math>, « la tension instantanée complexe d'entrée étant <math>\;\underline{u_e}(t) =</math> <math>\underline{U_e}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\, \omega\, t \right)\;</math>» avec «<math>\;\underline{U_e} =</math> <math>U_e\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_e} \right)\;</math> la tension efficace complexe d'entrée », «<math>\;R\;</math> étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T<ref name="P.D.T."> Pont Diviseur de Tension.</ref>. »<ref name="définition d'un P.D.T. en r.s.f."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Présentation_du_P.D.T._en_électricité_complexe_associée_au_r.s.f.|présentation du P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f.]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="impédance d'attaque"> C.-à-d. l'impédance complexe par laquelle le sens <math>\;+\;</math> du courant d'entrée pénètre dans le P.D.T., ou encore l'impédance complexe qui n'est pas celle aux bornes de laquelle se situe la sortie du P.D.T..</ref> et «<math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega)</math> <math>= \dfrac{1}{j\;C\;\omega}\;</math> l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte <math>\;\underline{u_{s,\,v}}(t) = \underline{U_{s,\,v}}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\, \omega\, t \right)\;</math>»<ref name="indice v"> L'indice «<math>\;_v\;</math>» signifiant « à vide » étant utilisé « en sortie ouverte ».</ref> avec «<math>\;\underline{U_{s,\,v}} = U_{s,\,v}\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_{s,\,v}} \right)\;</math> la tension efficace complexe de sortie ouverte »<ref name="indice v" /> ; {{Al|5}}on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous <math>\;u_e(t) = U_e\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_{u_e})\;</math> et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité <math>\;C\;</math> c.-à-d. «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_{s,\,v}}(t)}{\underline{u_e}(t)} = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}}\;</math>»<ref name="indice v" /> que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée <math>\;\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)</math> <math>= \dfrac{\underline{Z_C}(j\,\omega)}{R + \underline{Z_C}(j\,\omega)}\;\underline{U_e}\;</math>»<ref name="indice v" />{{,}}<ref name="sortie ouverte d'un P.D.T. en r.s.f."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_association_d'impédances_complexes#Le_résultat_le_plus_utilisé_:_P.D.T._en_sortie_ouverte_alimenté_en_entrée_par_ue(t)|le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t)]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} =</math> <math>\dfrac{\dfrac{1}{j\;C\;\omega}}{R + \dfrac{1}{j\;C\;\omega}}\;</math>»<ref name="indice v" /> donnant, en multipliant haut et bas par <math>\;j\,C\,\omega</math>, l'amplification complexe en tension cherchée <center>«<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} = \dfrac{1}{1 + j\;R\;C\;\omega}\;</math>»<ref name="indice v" /> correspondant effectivement à un 1^er ordre fondamental<ref> C'est l'exemple qu'il faut avoir en tête pour se remémorer les propriétés d'un 1^er ordre fondamental.</ref> <br>de « transfert statique <math>\;A_{v,\,0} = 1\;</math>», de « constante de temps <math>\;\tau_v = R\;C\;</math>» ou de « pulsation particulière <math>\;\omega_{0,\,v} = \dfrac{1}{\tau_v} = \dfrac{1}{R\;C}\;</math>»<ref name="indice v" />{{,}}<ref> Nous verrons au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Nature_du_filtre_et_fréquence_de_coupure_à_–3dB|nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB]] (pulsation de coupure à -3dB) » plus loin dans ce chapitre à quoi correspond la pulsation particulière du 1^er ordre fondamental, ce qui permettra de lui donner un nom.</ref>.</center> ==== Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB ==== {{Al|5}}Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1^er ordre fondamental s'écrivant «<math>\;G(x) = \Big\vert \underline{H}(j\,x) \Big\vert = \dfrac{\Big\vert H_0 \Big\vert}{\Big\vert 1 + j\,x \Big\vert} = \dfrac{\Big\vert H_0 \Big\vert}{\sqrt{1 + x^2}}\;</math>» est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x</math>, <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\Big\vert H_0 \Big\vert\;</math> jusqu'à <math>\;0</math>, il s'agit donc d'un <u>passe-bas</u> dans la mesure où il existe « nécessairement » <ref name="théorème des valeurs intermédiaires"> Le gain étant une fonction continue de <math>\;x</math>, l'existence de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> est justifiée par le « [[w:Théorème des valeurs intermédiaires#Énoncé|théorème des valeurs intermédiaires]] ».</ref> une « fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> de fréquence réduite <math>\;x_c\;</math> correspondant à <math>\;G(x_c) = \dfrac{\Big\vert H_0 \Big\vert}{\sqrt{2}}\;</math><ref> La valeur <math>\;\Big\vert H_0 \Big\vert\;</math> étant la valeur maximale du gain.</ref> »<ref name="définition d'une fréquence de coupure à -3dB"> Voir la 1^ère définition d'une fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_oscillateur_électrique_ou_mécanique_soumis_à_une_excitation_sinusoïdale,_résonance#Fréquences_de_coupure_à_-3dB_de_la_réponse_sinusoïdale_forcée_en_intensité_d'un_«_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_sinusoïdale_de_valeur_efficace_constante_»|fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».</ref> soit, avec <math>\;G(x_c) = \dfrac{\Big\vert H_0 \Big\vert}{\sqrt{1 + x_c^2}}\;</math> l'équation <math>\;1 + x_c^2 = 2\;</math> ou <math>\;x_c^2 = 1\;</math> et, <math>\;x_c\;</math> étant nécessairement <math>\;> 0</math>, <center>la « valeur de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> est <math>\;x_c = 1\;</math>» ou encore, <br>la « valeur de la pulsation de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> est <math>\;\omega_c = \omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\;</math>»<ref name="pulsation de coupure à -3dB"> Ainsi on peut maintenant donner un nom à la pulsation particulière <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\;</math> c'est la pulsation de coupure à <math>\;-3\;dB</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}En conclusion tout système du 1^er ordre fondamental est un « <u>passe-bas</u> », la « pulsation de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> étant <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\;</math>», l'« intervalle passant en fréquences est <math>\;\left[ 0\, ,\, f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\,\pi} \right]\;</math>» et la « bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref> C.-à-d. la largeur de l'intervalle passant.</ref> <math>\;B.P._{-3dB} = f_0\;</math>». {{Al|5}}Reprenant l'exemple du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous <math>\;u_e(t) = U_e\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_{u_e})\;</math> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité <math>\;C</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}c'est un « passe-bas » de « fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math> : <math>f_{0,\,v} = \dfrac{\omega_{0,\,v}}{2\,\pi} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\tau_v} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>»<ref name="indice v" /> soit, avec <math>\;R = 1\,k \Omega\;</math> et <math>\;C = 1\,\mu F</math>, une fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math> : <math>f_{0,\,v} \simeq 160\,Hz\;</math> d'où un intervalle passant en fréquences <math>\;\left[ 0\, ,\, 160\,Hz \right]\;</math><ref> Cela signifie que tout signal sinusoïdal d'entrée dont la fréquence est dans cet intervalle se retrouve en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient supérieur à <math>\;\dfrac{A_{0,\,v}}{\sqrt{2}} \simeq 0,70</math>, alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Cela signifie que }}tout signal sinusoïdal d'entrée de fréquence hors de cet intervalle se retrouvant en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient inférieur à <math>\;\dfrac{A_{0,\,v}}{\sqrt{2}} \simeq 0,70\;</math> est considéré comme absent en sortie <math>\;\big[</math>cela revenant à écrire que toute tension efficace de sortie inférieure à <math>\;0,70\;U_e\;</math> est nulle peut être considéré comme un critère manquant de finesse, mais n'oublions pas qu'en terme énergétique c'est le carré qui intervient et alors tout ce qui, en sortie, est inférieur à <math>\;0,50\;U_e^2\;</math> est considéré comme nul<math>\big]</math>.</ref>. ==== Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre fondamental et conséquences ==== ===== Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre fondamental et conséquences ===== {{Al|5}}Se situant en B.F<ref name="B.F."> Basse Fréquence.</ref>. si «<math>\;x \ll x_c = 1\;</math>» ce qui est « réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près si <math>\;x \lesssim \dfrac{x_c}{10} = \dfrac{1}{10}\;</math>»<ref name="condition B.F. d'un 1er ordre"> En effet, dans le dénominateur du gain, <math>\;x \ll 1\;</math> nécessite <math>\;x^2 < 10^{-2}\;</math> pour être réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près soit <math>\;x < 10^{-1}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en B.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \ll x_c = 1}\;</math>» }}nous obtenons l'« équivalent B.F<ref name="B.F." />. de la fonction de transfert selon <math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 \cancel{+ j\,x}} \sim H_0\;</math>»<ref name="complexes négligeables dans une somme"> On rappelle que dans une somme de deux complexes, l'un est négligeable relativement à l'autre si le module du premier l'est par rapport au module du second.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en B.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \ll x_c = 1}\;</math>» nous }}en déduisons en : * en prenant le module, le « gain à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{B.F.} \sim \Big\vert H_0 \Big\vert\;</math>» dont nous tirons le « gain en dB à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{dB,\,B.F.} \sim 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,B.F.}</math> <math>= 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right]\;</math>» et * en prenant l'argument <math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;H_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», la « phase à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{B.F.} \sim 0\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.} = 0\;</math>» ou <br>{{Transparent|en prenant l'argument }}<math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;H_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», la « phase à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{B.F.} \sim \pi\;</math>»<ref name="argument de -1"> L'argument d'un nombre négatif étant <math>\;\pm\, \pi</math>, nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à <math>\;x</math> et cette étude nous fera choisir <math>\;\pi</math> <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.} = \pi\;</math>»<ref name="argument de -1" />. ===== Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre fondamental et conséquences ===== {{Al|5}}Se situant en H.F<ref name="H.F."> Haute Fréquence.</ref>. si «<math>\;x \gg x_c = 1\;</math>» ce qui est « réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près si <math>\;x \gtrsim 10\;x_c = 10\;</math>»<ref name="condition H.F. d'un 1er ordre"> En effet, dans le dénominateur du gain, <math>\;x \gg 1\;</math> nécessite <math>\;x^2 > 10^2\;</math> pour être réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près soit <math>\;x > 10</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en H.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \gg x_c = 1}\;</math>» }}nous obtenons l'« équivalent H.F<ref name="H.F." />. de la fonction de transfert selon <math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{H_0}{\cancel{1 +} j\,x} \sim \dfrac{H_0}{j\,x}\;</math>»<ref name="complexes négligeables dans une somme" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en H.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \gg x_c = 1}\;</math>» nous }}en déduisons en : * en prenant le module, le « gain à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} \sim \dfrac{\Big\vert H_0 \Big\vert}{x}\;</math>» dont nous tirons le « gain en dB à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{dB,\,H.F.} \simeq 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right] - 20\;\log(x)\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite décroissante de pente <math>\;-20\;dB/\text{décade}\;</math> avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote {{Nobr|H.F<ref name="H.F." />.}} <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,H.F.} =</math> <math>20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right] - 20\;\log(x)\;</math>» et * en prenant l'argument <math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;H_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», la « phase à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{H.F.} \sim -\dfrac{\pi}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.} = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>» ou <br>{{Transparent|en prenant l'argument }}<math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;H_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», la « phase à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{H.F.} \sim \pi - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref name="argument de -1" /> <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> a pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.} = \pi - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref name="argument de -1" />. ==== Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode ==== [[File:Diagramme de Bode d'un premier ordre fondamental - courbe de gain.png|thumb|400px|Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> d'un 1^er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un <math>\;R\, C\;</math> série avec sortie ouverte aux bornes de <math>\;C</math>]] {{Al|5}}On trace d'abord les asymptotes B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\big(</math>de pente nulle<math>\big)\;</math> et H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\big(</math>de pente <math>\;-20dB / \text{décade}\big)\;</math> « se coupant en un point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math> égale à la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math>»<ref> La propriété que les asymptotes se coupent en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, se vérifiant aisément grâce aux équations des asymptotes B.F. <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right]\;</math> et H.F. <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,H.F.} = 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right] - 20\;\log(x)</math>, n'est pas généralisable à d'autres fonctions de transfert que celle d'un 1^er ordre fondamental <math>\;\big[</math>sur la plupart des autres fonctions de transfert elle est fausse <math>\;\ldots\;</math> et, si elle s'avérait exacte, elle nécessiterait une vérification avec détermination des équations des asymptotes et des fréquences réduites de coupure à <math>\;-3\;dB\big]</math>.</ref>, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> asymptotique {{Nobr|<math>\;\big(</math>en}} vert ou bleu ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> se confondant avec celle du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> asymptotique {{Nobr|<math>\;\big(</math>en}} vert ou bleu ci-contre<math>\big)\;</math> sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3dB\;</math>», il suffit de positionner le « point d'abscisse <math>\;x_0</math> <math>= 1\;</math><ref name="fréquence de coupure à -3dB"> Ou d'abscisse <math>\;f_0\;</math> si l'axe des abscisses est celui des fréquences et non des fréquences réduites.</ref> <math>\;3dB\;</math> au-dessous de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ; {{Al|5}}la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R\, C\;</math> série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;C\;</math> pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs {{Nobr|«<math>\;R = 1\; k \Omega\;</math>}} et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» conduisant à une « fréquence de coupure à <math>\;-3dB</math>, <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C} \simeq 10^4\;Hz =</math> <math>10\;kHz\;</math>», nous en déduisons les propriétés suivantes <math>\;\big(</math>vérifiées à <math>\;1\;\%\;</math> près<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La courbe de gain }}« les fréquences <math>\;f \lesssim \dfrac{f_0}{10} = 1\;kHz\;</math> de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvent en sortie sans modification » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La courbe de gain }}« les fréquences <math>\;f \gtrsim 10\;f_0 = 100\;kHz\;</math> de signaux d'entrée sinusoïdaux sont absents en sortie » <math>\;\ldots</math> ==== Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode ==== {{Al|5}}Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «<math>\;\varphi(x) = \mathrm{arg}\!\left[ H_0 \right] - \arctan(x) = \left\lbrace \begin{array}{r} -\arctan(x)\;\;\text{si }\;H_0 > 0\\ \pi - \arctan(x)\;\;\text{si }\;H_0 < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="argument de -1" /> qui est une « fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x\;</math>» ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «<math>\;H_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» ; [[File:Diagramme de Bode d'un premier ordre fondamental - courbe de phase.png|thumb|400px|Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> d'un 1^er ordre fondamental et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un <math>\;R\, C\;</math> série avec sortie ouverte aux bornes de <math>\;C</math>]] {{Al|5}}on trace ensuite les asymptotes B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\big(</math>de pente nulle et de valeur <math>\;0\big)\;</math> et H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\bigg(</math>de pente nulle et de valeur <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\bigg)</math>, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> asymptotique <math>\;\big(</math>en vert ou bleu ci-contre<math>\big)</math>  ; {{Al|5}}la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> asymptotique <math>\;\big(</math>en vert ou bleu ci-contre<math>\big)\;</math> sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3dB\;</math>»<ref name="approximation très grossière"> En fait en dehors de ces deux décades de fréquences centrées sur la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3dB</math>, la confusion est très grossière sur la 1^ère décade en deçà ou au-delà de cet intervalle et bonne à partir de la 2^ème décade <math>\;\ldots</math></ref>, il suffit de positionner le « point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math><ref name="fréquence de coupure à -3dB" /> à l'ordonnée <math>\;-\dfrac{\pi}{4}\;</math>» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »<ref> En pensant à raccorder les asymptotes et le point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math> aux niveaux <math>\;\dfrac{x_0}{100} = 0,01\;</math> et <math>\;100\;x_0 = 100\;</math> au lieu de <math>\;\dfrac{x_0}{10} = 0,1\;</math> et <math>\;10\;x_0 = 10\;</math> comme dans le cas de la courbe de gain <math>\;\bigg[</math>ou raccorder les asymptotes et le point d'abscisse <math>\;f_0\;</math> aux niveaux <math>\;\dfrac{f_0}{100}\;</math> et <math>\;100\;f_0\;</math> au lieu de <math>\;\dfrac{f_0}{10}\;</math> et <math>\;10\;f_0\;</math> comme dans le cas de la courbe de gain<math>\bigg]</math>.</ref> ; {{Al|5}}la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R\, C\;</math> série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;C\;</math> pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs «<math>\;R = 1\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à <math>\;-3dB</math>, <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C} \simeq 10^4\;Hz = 10\;kHz\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe de phase }}on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> en la supposant « linéaire entre <math>\;\dfrac{f_0}{10}\;</math> et <math>\;10\;f_0\;</math> depuis l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. jusqu'à l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ». ==== Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo intégrateur » ==== {{Al|5}}À H.F<ref name="H.F." />. c.-à-d. si la pulsation réduite «<math>\;x = \tau\;\omega\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;10\;</math>» ou si la pulsation «<math>\;\omega\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\dfrac{10}{\tau} = 10\;\omega_0\;</math>» ou encore si la fréquence «<math>\;f = \dfrac{\omega}{2\,\pi}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;10\;\dfrac{\omega_0}{2\,\pi} = 10\;f_0\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|À H.F. }}la fonction de transfert est « équivalente à <math>\;\underline{H}(j\,x) \sim \dfrac{H_0}{j\,x}\;</math>» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par <math>\;x = \tau\;\omega</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|À H.F. la fonction de transfert }}est « équivalente à <math>\;\underline{H}(j\,\omega) \sim \dfrac{H_0}{\tau}\;\dfrac{1}{j\,\omega}\;</math>»<ref name="abus lors d'un changement de variable" /> et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension <math>\;\underline{A}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)}\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|À H.F. la fonction de transfert }}est « équivalente à <math>\;\underline{A}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)} \sim \dfrac{A_0}{\tau}\;\dfrac{1}{j\,\omega}\;</math>» dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon <center>«<math>\;\underline{u_s}(t) \sim \dfrac{A_0}{\tau}\;\dfrac{\underline{u_e}(t)}{j\,\omega}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. « multiplier la grandeur instantanée complexe par <math>\;j\,\omega\;</math>» est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par <math>\;j\,\omega\;</math>» correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » <ref name="signification de diviser par j omega"> En effet on prend la primitive purement sinusoïdale donc de valeur moyenne nulle.</ref> d'où «<math>\;\underline{u_s}(t) \sim \dfrac{A_0}{\tau}\;\displaystyle\int^t \underline{u_e}(t')\, dt'\;</math>» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales <center>«<math>\;u_s(t) - u_s(0) \simeq \dfrac{A_0}{\tau}\;\displaystyle\int_0^t u_e(t')\, dt' = A_0\,2\,\pi\,f_0\;\displaystyle\int_0^t u_e(t')\, dt'\;</math>» si «<math>\;f > 10\;f_0\;</math>».</center> {{Al|5}}En conclusion, à H.F<ref name="H.F." />. soit pratiquement «<math>\;f > 10\, f_0\;</math>», on observe un fonctionnement « intégrateur » <ref name="pseudo"> Qualifié de « pseudo » car conditionnel en fréquence.</ref> du système linéaire du 1^er ordre fondamental, cela se manifeste par <br>{{Al|10}}{{Transparent|En conclusion, à H.F. soit pratiquement «<math>\;\color{transparent}{f > 10\, f_0}\;</math>», on observe }}une « fonction de transfert <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dfrac{1}{j\,\omega}\;</math>» ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|En conclusion, à H.F. soit pratiquement «<math>\;\color{transparent}{f > 10\, f_0}\;</math>», on observe }}une courbe de gain à asymptote de « pente <math>\;-20dB / \text{décade}\;</math>». ==== Gain statique et bande passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension », influence d'une charge résistive en aval de la sortie ==== {{Al|5}}<u>Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous</u><math>\;u_e(t)\;</math><u>et en sortie ouverte aux bornes du condensateur de capacité</u><math>\;C</math> : «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_{s,\,v}}(t)}{\underline{u_e}(t)}</math> <math>= \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} = \dfrac{1}{1 + j\;R\;C\;\omega}\;</math>»<ref name="indice v" />, son gain statique valant «<math>\;G_{0,\,v} = \Big\vert A_{0,\,v} \Big\vert = 1\;</math><ref name="indice v" /> » et sa bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la largeur, en fréquences, de l'intervalle passant à <math>\;-3\;dB\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;B.P._{-3dB,\,v}</math>}} <math>= f_{0,\,v} = \dfrac{\omega_{0,\,v}}{2\,\pi} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\tau_v} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>»<ref name="indice v" />, nous en déduisons <center>le produit « gain statique*bande passante à <math>\;-3dB\;</math>» en sortie ouverte «<math>\;G_{0,\,v} \times B.P._{-3dB,\,v} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>»<ref name="indice v" />.</center> {{Al|5}}<u>Amplification complexe en tension du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous</u><math>\;u_e(t)\;</math><u>et </u><br>{{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}<u>en sortie aux bornes du condensateur de capacité</u><math>\;C\;</math><u>fermée sur une charge résistive de résistance</u><math>\;R_u</math> : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec une <math>\;\searrow\;</math> du gain statique et une <math>\;\nearrow\;</math> de la bande passante à <math>\;-3\;dB</math>, le produit « gain statique*bande passante à <math>\;-3dB\;</math>» gardant la même valeur que celle en sortie ouverte ; {{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)</math>, ayant pour D.P<ref name="D.P."> Dipôle Passif.</ref>. d'attaque le conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, lequel est en série avec le condensateur de capacité <math>\;C\;</math> quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie <math>\;\underline{u_s}(t)\;</math> quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation <math>\;R_u</math> ; <br>{{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}nous pouvons alors reconnaître un P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)</math>, ayant pour D.P<ref name="D.P." />. d'attaque <math>\;R\;</math> « en série avec l'association <math>\;C\,\parallel\,R_u\;</math> d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_{C\,\parallel\,R_u}}(j\,\omega) = \dfrac{R_u\;\dfrac{1}{j\,C\,\omega}}{R_u + \dfrac{1}{j\,C\,\omega}} = \dfrac{R_u}{1 + j\,R_u\,C\,\omega}\;</math>» et en sortie ouverte aux bornes de cette association et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}nous obtenons «<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{\underline{Z_{C\,\parallel\,R_u}}(j\,\omega)}{R + \underline{Z_{C\,\parallel\,R_u}}(j\,\omega)}\;\underline{u_e}(t) = \dfrac{\dfrac{R_u}{1 + j\,R_u\,C\,\omega}}{R + \dfrac{R_u}{1 + j\,R_u\,C\,\omega}}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref name="sortie ouverte d'un P.D.T. en r.s.f." /> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;1 + j\,R_u\,C\,\omega\;</math> et après regroupement de termes, «<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{R_u}{R + R_u + j\,R\,R_u\,C\,\omega}\;\underline{u_e}(t)\;</math>» donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée «<math>\;\underline{A}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)} =</math> <math>\dfrac{\underline{U_s}(j\,\omega)}{\underline{U_e}}</math> <math>= \dfrac{\dfrac{R_u}{R + R_u}}{1 + j\,\dfrac{R\,R_u}{R + R_u}\,C\,\omega}\;</math>» correspondant effectivement à un 1^er ordre fondamental donc à un « passe-bas » dont nous tirons * le « gain statique <math>\;G_{0,\,R_u} = \Big\vert A_{0} \Big\vert = \dfrac{R_u}{R + R_u} < 1 = G_{0,\,v}\;</math>» et * la « bande passante à <math>\;-3\;dB</math> <math>\;B.P._{-3dB,\,R_u} = f_{0,\,R_u} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\tau_{R_u}} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\dfrac{R\,R_u}{R + R_u}\,C} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;\dfrac{R + R_u}{R_u} > \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C} = B.P._{-3dB,\,v}\;</math>» ; {{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}formant le produit « gain statique*bande passante à <math>\;-3dB\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;G_{0,\,R_u} \times B.P._{-3dB,\,R_u} = \dfrac{R_u}{R + R_u} \times \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;\dfrac{R + R_u}{R_u} =</math> <math>\dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>» c.-à-d. qu'on vérifie l'indépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit <center>«<math>\;G_{0,\,R_u} \times B.P._{-3dB,\,R_u} = G_{0,\,v} \times B.P._{-3dB,\,v}\;</math>», <br>une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation simultanée <br>de la bande passante à <math>\;-3dB\;</math> <math>\big(</math>celle-ci augmentant<ref> En effet il y a dégradation de la bande passante à <math>\;-3dB\;</math> si celle-ci augmente car le but d'un passe-bas est d'éliminer les H.F. et donc d'avoir la bande passante à <math>\;-3dB\;</math> la plus faible possible.</ref><math>\big)\;</math> et du gain statique <math>\big(</math>celui-ci diminuant<math>\big)</math>.</center> === Fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul === ==== Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul ==== {{Al|5}}Une fonction de transfert du 1^er ordre<ref name="1er ordre stable" /> est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » ssi «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{j\,\beta\,\omega}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math>» avec «<math>\;\tau\;\in\, \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à un temps » et «<math>\;\beta\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique<ref name="transfert statique" /> étant effectivement nul ou {{Al|10}}{{Transparent|Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » }}ssi «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{j\,\beta\,\omega}{1 + j\,\dfrac{\omega}{\omega_0}}\;</math>» avec «<math>\;\omega_0\;\in\, \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à une pulsation » et «<math>\;\beta\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps », le transfert statique<ref name="transfert statique" /> étant effectivement nul ou enfin {{Al|10}}{{Transparent|Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul » }}ssi «<math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{j\,\alpha\,x}{1 + j\,x}\;</math>»<ref name="abus lors d'un changement de variable" /> avec «<math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0} =</math> <math>\tau\;\omega\;\in\, \mathbb{R}^{+}\;</math> pulsation réduite sans {{Nobr|dimension »<ref name="fréquence réduite" />}} et «<math>\;\alpha = \dfrac{\beta}{\tau} = \beta\,\omega_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> de même homogénéité que le transfert harmonique », le transfert statique<ref name="transfert statique" /> étant effectivement nul. ==== Exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » ==== {{Al|5}}Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de pulsation <math>\;\omega</math>, « la tension instantanée complexe d'entrée étant <math>\;\underline{u_e}(t) =</math> <math>\underline{U_e}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\, \omega\, t \right)\;</math> avec <math>\;\underline{U_e} =</math> <math>U_e\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_e} \right)\;</math> la tension efficace complexe d'entrée », «<math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega) = \dfrac{1}{j\;C\;\omega}\;</math> étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T<ref name="P.D.T." />. »<ref name="définition d'un P.D.T. en r.s.f." />{{,}}<ref name="impédance d'attaque" /> et «<math>\;R\;</math> l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte <math>\;\underline{u_{s,\,v}}(t) = \underline{U_{s,\,v}}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\, \omega\, t \right)\;</math>»<ref name="indice v" /> avec «<math>\;\underline{U_{s,\,v}} = U_{s,\,v}\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_{s,\,v}} \right)\;</math> la tension efficace complexe de sortie ouverte »<ref name="indice v" /> ; {{Al|5}}on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous <math>\;u_e(t) = U_e\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_{u_e})\;</math> et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> c.-à-d. «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_{s,\,v}}(t)}{\underline{u_e}(t)} = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}}\;</math>»<ref name="indice v" /> que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée <math>\;\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega) = \dfrac{R}{R + \underline{Z_C}(j\,\omega)}\;\underline{U_e}\;</math>»<ref name="indice v" />{{,}}<ref name="sortie ouverte d'un P.D.T. en r.s.f." /> soit «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} = \dfrac{R}{R + \dfrac{1}{j\;C\;\omega}}\;</math>»<ref name="indice v" /> donnant, en multipliant haut et bas par <math>\;j\,C\,\omega</math>, l'amplification complexe en tension cherchée <center>«<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} =</math> <math>\dfrac{j\;R\;C\;\omega}{1 + j\;R\;C\;\omega}\;</math>»<ref name="indice v" /> correspondant effectivement à un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul<ref> C'est l'exemple qu'il faut avoir en tête pour se remémorer les propriétés d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul.</ref> <br>de « constante de temps <math>\;\tau_v = R\;C\;</math>» ou de « pulsation particulière <math>\;\omega_{0,\,v} = \dfrac{1}{\tau_v} = \dfrac{1}{R\;C}\;</math>»<ref> Nous verrons au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Nature_du_filtre_et_fréquence_de_coupure_à_–3dB_2|nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB]] (pulsation de coupure à -3dB) » plus loin dans ce chapitre à quoi correspond la pulsation particulière du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, ce qui permettra de lui donner un nom.</ref> et de « cœfficient <math>\;\beta_v = R\,C = \tau_v\;</math>»<ref name="nom de beta"> Lequel, en tant que cœfficient de <math>\;j\,\omega\;</math> dans le numérateur de l'amplification complexe en tension, ne porte pas de nom.</ref> ou «<math>\;\alpha_v = \dfrac{\beta_v}{\tau_v} = 1\;</math>»<ref name="indice v" />.</center> ==== Nature du filtre et fréquence de coupure à –3dB ==== {{Al|5}}Le gain associé à la fonction de transfert d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul s'écrivant «<math>\;G(x) = \Big\vert \underline{H}(j\,x) \Big\vert = \dfrac{\Big\vert \alpha \Big\vert\;x}{\vert 1 + j\,x \vert} = \dfrac{\Big\vert \alpha \Big\vert\;x}{\sqrt{1 + x^2}}\;</math>» ou, en divisant haut et bas par <math>\;x\;</math> pour obtenir un numérateur constant, «<math>\;G(x) = \dfrac{\Big\vert \alpha \Big\vert}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}}\;</math>» est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\dfrac{1}{x^2}\;</math> donc <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;x\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{x^2}\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x\;\in \mathbb{R}^{+\,*}</math>.</ref>, <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> jusqu'à <math>\;\Big\vert \alpha \Big\vert\;</math><ref name="nom donné à alpha"> Raison pour laquelle <math>\;\Big\vert \alpha \Big\vert\;</math> est appelé « gain à H.F. », <math>\;\alpha\;</math> correspondant alors à « la valeur de la fonction de transfert à H.F. ».</ref>, il s'agit donc d'un <u>passe-haut</u> dans la mesure où il existe « nécessairement » <ref name="théorème des valeurs intermédiaires" /> une « fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> de fréquence réduite <math>\;x_c\;</math> correspondant à <math>\;G(x_c) = \dfrac{\Big\vert \alpha \Big\vert}{\sqrt{2}}\;</math><ref> La valeur <math>\;\Big\vert \alpha \Big\vert\;</math> étant la valeur maximale du gain.</ref> »<ref name="définition d'une fréquence de coupure à -3dB" /> soit, avec <math>\;G(x_c) = \dfrac{\Big\vert \alpha \Big\vert}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x_c^2}}}\;</math> l'équation <math>\;1 + \dfrac{1}{x_c^2} = 2\;</math> ou <math>\;x_c^2 = 1\;</math> et, <math>\;x_c\;</math> étant nécessairement <math>\;> 0</math>, <center>la « valeur de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> est <math>\;x_c = 1\;</math>» ou encore, <br>la « valeur de la pulsation de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> est <math>\;\omega_c = \omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\;</math>»<ref name="pulsation de coupure à -3dB" />.</center> {{Al|5}}En conclusion tout système du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul est un « <u>passe-haut</u> », la « pulsation de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> étant <math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\;</math>», l'« intervalle passant en fréquences est <math>\;\left[ f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\,\pi}\, ,\, +\infty \right[\;</math>» et la bande non passante à <math>\;-3\;dB\;</math><ref> C.-à-d. la largeur de l'intervalle non passant, la « bande passante à <math>\;-3\;dB\;</math> ne pouvant pas être définie pour un passe-haut dans la mesure où elle serait infinie.</ref> <math>\;B.n.P._{-3dB} = f_0\;</math>». {{Al|5}}Reprenant l'exemple du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous <math>\;u_e(t) = U_e\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_{u_e})\;</math> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance <math>\;R</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|Reprenant l'exemple du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}c'est un « passe-haut » de « fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math> : <math>f_{0,\,v} = \dfrac{\omega_{0,\,v}}{2\,\pi} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\tau_v} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>»<ref name="indice v" /> soit, avec <math>\;R = 1\,k \Omega\;</math> et <math>\;C = 1\,\mu F</math>, une fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math> : <math>f_{0,\,v} \simeq 160\,Hz\;</math> d'où un intervalle passant en fréquences <math>\;\left[ 160\,Hz\, ,\, +\infty \right[\;</math><ref> Cela signifie que tout signal sinusoïdal d'entrée dont la fréquence est dans cet intervalle se retrouve en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient supérieur à <math>\;\dfrac{\Big\vert \alpha_v \Big\vert}{\sqrt{2}} \simeq 0,70</math>, alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Cela signifie que }}tout signal sinusoïdal d'entrée de fréquence hors de cet intervalle se retrouvant en sortie avec une valeur efficace égale à celle d'entrée multipliée par un cœfficient inférieur à <math>\;\dfrac{\Big\vert \alpha_v \Big\vert}{\sqrt{2}} \simeq 0,70\;</math> est considéré comme absent en sortie <math>\;\big[</math>cela revenant à écrire que toute tension efficace de sortie inférieure à <math>\;0,70\;U_e\;</math> est nulle peut être considéré comme un critère manquant de finesse, mais n'oublions pas qu'en terme énergétique c'est le carré qui intervient et alors tout ce qui, en sortie, est inférieur à <math>\;0,50\;U_e^2\;</math> est considéré comme nul<math>\big]</math>.</ref>. ==== Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences ==== ===== Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences ===== {{Al|5}}Se situant en B.F<ref name="B.F." />. si «<math>\;x \ll x_c = 1\;</math>» ce qui est « réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près si <math>\;x \lesssim \dfrac{x_c}{10} = \dfrac{1}{10}\;</math>»<ref name="condition B.F. d'un 1er ordre" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en B.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \ll x_c = 1}\;</math>» }}nous obtenons l'« équivalent B.F<ref name="B.F." />. de la fonction de transfert selon <math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{j\,\alpha\,x}{1 \cancel{+ j\,x}} \sim j\,\alpha\,x\;</math>»<ref name="complexes négligeables dans une somme" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en B.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \ll x_c = 1}\;</math>» nous }}en déduisons en : * en prenant le module, le « gain à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{B.F.} \sim \Big\vert \alpha \Big\vert\;x\;</math>» dont nous tirons le « gain en dB à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{dB,\,B.F.} \simeq 20\;\log\! \left[ \Big\vert \alpha \Big\vert \right] + 20\;\log(x)\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite croissante de pente <math>\;+20\;dB/\text{décade}\;</math> avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote {{Nobr|B.F<ref name="B.F." />.}} <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 20\;\log\! \left[ \Big\vert \alpha \Big\vert \right] + 20\;\log(x)\;</math>» et * en prenant l'argument <math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;\alpha\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», la « phase à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{B.F.} \sim +\dfrac{\pi}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.} = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>» ou <br>{{Transparent|en prenant l'argument }}<math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;\alpha\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», la « phase à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{B.F.} \sim -\pi + \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref name="argument de -1 - bis"> L'argument d'un nombre négatif étant <math>\;\pm\, \pi</math>, nous choisirons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à <math>\;x</math> et cette étude nous fera choisir <math>\;-\pi</math> <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode_2|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.} = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref name="argument de -1 - bis" />. ===== Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et conséquences ===== {{Al|5}}Se situant en H.F<ref name="H.F." />. si «<math>\;x \gg x_c = 1\;</math>» ce qui est « réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près si <math>\;x \gtrsim 10\;x_c = 10\;</math>»<ref name="condition H.F. d'un 1er ordre" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en H.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \gg x_c = 1}\;</math>» }}nous obtenons l'« équivalent H.F<ref name="H.F." />. de la fonction de transfert selon <math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{j\,\alpha\,x}{\cancel{1 +} j\,x} \sim \alpha\;</math>»<ref name="complexes négligeables dans une somme" />{{,}}<ref name="nom donné à alpha" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en H.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \gg x_c = 1}\;</math>» nous }}en déduisons en : * en prenant le module, le « gain à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} \sim \Big\vert \alpha \Big\vert\;</math>»<ref name="nom donné à alpha" /> dont nous tirons le « gain en dB à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{dB,\,H.F.} \simeq 20\;\log\! \left[ \Big\vert \alpha \Big\vert \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> a pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,H.F.}</math> <math>= 20\;\log\! \left[ \Big\vert \alpha \Big\vert \right]\;</math>» et * en prenant l'argument <math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;\alpha\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», la « phase à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{H.F.} \sim 0\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.} = 0\;</math>» ou <br>{{Transparent|en prenant l'argument }}<math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;\alpha\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», la « phase à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{H.F.} \sim -\pi\;</math>»<ref name="argument de -1 - bis" /> <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.} = -\pi\;</math>»<ref name="argument de -1 - bis" />. ==== Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode ==== [[File:Diagramme de Bode d'un premier ordre non fondamental à transfert statique nul - courbe de gain.png|thumb|380px|Tracé en rouge de la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un <math>\;R\, C\;</math> série avec sortie ouverte aux bornes de <math>\;R</math>]] {{Al|5}}On trace d'abord les asymptotes B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\big(</math>de pente <math>\;+20dB / \text{décade}\big)\;</math> et H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\big(</math>de pente nulle<math>\big)\;</math> « se coupant en un point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math> égale à la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math>»<ref> La propriété que les asymptotes se coupent en un point d'abscisse égale à la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> se vérifiant aisément grâce aux équations des asymptotes B.F. <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 20\;\log\! \left[ \Big\vert \alpha \Big\vert \right] + 20\;\log(x)\;</math> et H.F. <math>\;G_{dB,\,\text{asymptote}\,H.F.} = 20\;\log\! \left[ \Big\vert \alpha \Big\vert \right]\;</math> n'est pas a priori généralisable à d'autres fonctions de transfert que celle d'un 1^er ordre fondamental ou celle d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul <math>\;\big[</math>sur la plupart des autres fonctions de transfert elle est fausse <math>\;\ldots\;</math> et, si elle s'avérait exacte, elle nécessiterait une vérification avec détermination des équations des asymptotes et des fréquences réduites de coupure à <math>\;-3\;dB\big]</math>.</ref>, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> asymptotique <math>\;\big(</math>en vert ou bleu ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> se confondant avec celle du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> asymptotique {{Nobr|<math>\;\big(</math>en}} vert ou bleu ci-contre<math>\big)\;</math> sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3dB\;</math>», il suffit de positionner le « point d'abscisse <math>\;x_0</math> <math>= 1\;</math><ref name="fréquence de coupure à -3dB" /> <math>\;3dB\;</math> au-dessous de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ; {{Al|5}}la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R\, C\;</math> série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\;</math> pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs {{Nobr|«<math>\;R = 1\; k \Omega\;</math>}} et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» conduisant à une « fréquence de coupure à <math>\;-3dB</math>, <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C} \simeq 10^4\;Hz = 10\;kHz\;</math>», nous en déduisons les propriétés suivantes <math>\;\big(</math>vérifiées à <math>\;1\;\%\;</math> près<math>\big)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La courbe de gain }}« fréquences <math>\;f \gtrsim 10\;f_0 = 100\;kHz\;</math> de signaux d'entrée sinusoïdaux se retrouvant en sortie sans modification<ref> Expérimentalement ceci est limité par la valeur maximale de fréquence accessible à l'aide d'un générateur de fonctions <math>\;\big(</math>allant du <math>\;MHz\;</math> à <math>\;10\;MHz\big)</math>.</ref> <br>{{Al|1}}{{Transparent|La courbe de gain }}et « fréquences <math>\;f \lesssim \dfrac{f_0}{10} = 1\;kHz\;</math> de signaux d'entrée sinusoïdaux absents en sortie » <math>\;\ldots</math> ==== Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode ==== {{Al|5}}Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «<math>\;\varphi(x) = \mathrm{arg}\!\left[ j\,\alpha\,x \right] - \arctan(x) = \left\lbrace \begin{array}{r} \dfrac{\pi}{2} - \arctan(x)\;\;\text{si }\;\alpha > 0\\ -\dfrac{\pi}{2} - \arctan(x)\;\;\text{si }\;\alpha < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="argument de -1 - bis" /> qui est une « fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;x\;</math>» ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «<math>\;\alpha\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» ; [[File:Diagramme de Bode d'un premier ordre non fondamental à transfert statique nul - courbe de phase.png|thumb|400px|Tracé en rouge de la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul et en vert ou bleu de celle de son diagramme asymptotique sur l'exemple d'un <math>\;R\, C\;</math> série avec sortie ouverte aux bornes de <math>\;R</math>]] {{Al|5}}on trace ensuite les asymptotes B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\bigg(</math>de pente nulle et de valeur <math>\;\dfrac{\pi}{2}\bigg)\;</math> et H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\bigg(</math>de pente nulle et de valeur <math>\;0\big)</math>, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique <math>\;\big(</math>en vert ou bleu ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> <math>\;\big(</math>en rouge ci-contre<math>\big)\;</math> se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> asymptotique <math>\;\big(</math>en vert ou bleu ci-contre<math>\big)\;</math> sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3dB\;</math>»<ref name="approximation très grossière" />, il suffit de positionner le « point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math><ref name="fréquence de coupure à -3dB" /> à l'ordonnée <math>\;+\dfrac{\pi}{4}\;</math>» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »<ref> En pensant à raccorder les asymptotes et le point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math> aux niveaux <math>\;\dfrac{x_0}{100} = 0,01\;</math> et <math>\;100\;x_0 = 100\;</math> au lieu de <math>\;\dfrac{x_0}{10} = 0,1\;</math> et <math>\;10\;x_0 = 10\;</math> comme dans le cas de la courbe de gain <math>\;\bigg[</math>ou raccorder les asymptotes et le point d'abscisse <math>\;f_0\;</math> aux niveaux <math>\;\dfrac{f_0}{100}\;</math> et <math>\;100\;f_0\;</math> au lieu de <math>\;\dfrac{f_0}{10}\;</math> et <math>\;10\;f_0\;</math> comme dans le cas de la courbe de gain<math>\bigg]</math>.</ref> ; {{Al|5}}la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> ci-contre correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R\, C\;</math> série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\;</math> pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les mêmes valeurs «<math>\;R = 1\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» que celles utilisées pour la courbe de gain conduisant à une « fréquence de coupure à <math>\;-3dB</math>, <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C} \simeq 10^4\;Hz = 10\;kHz\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|la courbe de phase }}on y a également représenté en tiretés rouges une schématisation de la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> en la supposant « linéaire entre <math>\;\dfrac{f_0}{10}\;</math> et <math>\;10\;f_0\;</math> depuis l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. jusqu'à l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. et confondue avec les asymptotes au-delà de ces fréquences ». ==== Interprétation de « l'équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo dérivateur » ==== {{Al|5}}À B.F<ref name="B.F." />. c.-à-d. si la pulsation réduite «<math>\;x = \tau\;\omega\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{1}{10}\;</math>» ou si la pulsation «<math>\;\omega\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{1}{10\;\tau} = \dfrac{\omega_0}{10}\;</math>» ou encore si la fréquence «<math>\;f = \dfrac{\omega}{2\,\pi}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{\omega_0}{20\,\pi} = \dfrac{f_0}{10}\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|À B.F. }}la fonction de transfert est « équivalente à <math>\;\underline{H}(j\,x) \sim j\,\alpha\,x\;</math>» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par <math>\;x = \tau\;\omega</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|À B.F. la fonction de transfert }}est « équivalente à <math>\;\underline{H}(j\,\omega) \sim \alpha\;\tau\;j\,\omega\;</math>»<ref name="abus lors d'un changement de variable" /> et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension <math>\;\underline{A}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)} \;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|À B.F. la fonction de transfert }}est « équivalente à <math>\;\underline{A}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)} \sim \alpha\;\tau\;j\,\omega\;</math>» dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon <center>«<math>\;\underline{u_s}(t) \sim \alpha\;\tau\;j\,\omega\;\underline{u_e}\;(t)</math>» ;</center> {{Al|5}}or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. « multiplier la grandeur instantanée complexe par <math>\;j\,\omega\;</math>» c'est « effectuer une dérivation temporelle » d'où «<math>\;\underline{u_s}(t) \sim \alpha\;\tau\; \dfrac{d \underline{u_e}}{dt}(t)\;</math>» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales <center>«<math>\;u_s(t) \sim \alpha\;\tau\; \dfrac{du_e}{dt}(t) = \dfrac{\alpha}{2\,\pi\,f_0}\;\dfrac{du_e}{dt}(t)\;</math>» si «<math>\;f < \dfrac{f_0}{10}\;</math>».</center> {{Al|5}}En conclusion, à B.F<ref name="B.F." />. soit pratiquement «<math>\;f < \dfrac{f_0}{10}\;</math>», on observe un fonctionnement « dérivateur » <ref name="pseudo" /> du système linéaire du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, cela se manifeste par <br>{{Al|10}}{{Transparent|En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «<math>\;\color{transparent}{f < \dfrac{f_0}{10}}\;</math>», on observe }}une « fonction de transfert <math>\;\propto\;</math> à <math>\;j\,\omega\;</math>» ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|En conclusion, à BH.F. soit pratiquement «<math>\;\color{transparent}{f < \dfrac{f_0}{10}}\;</math>», on observe }}une courbe de gain à asymptote de « pente <math>\;+20dB / \text{décade}\;</math>». ==== Gain à H.F. et bande non passante à –3dB dans l'exemple : Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u_e(t), constitué de « R et C en série » avec « sortie ouverte aux bornes de R » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » ==== {{Al|5}}<u>Rappel de l'amplification complexe en tension du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous</u><math>\;u_e(t)\;</math><u>et en sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique de résistance</u><math>\;R</math> : «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{u_{s,\,v}}(t)}{\underline{u_e}(t)} = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} = \dfrac{j\;R\;C\;\omega}{1 + j\;R\;C\;\omega}</math>»<ref name="indice v" />, son gain à H.F<ref name="H.F." />. valant «<math>\;G_{H.F.,\,v} = \Big\vert \alpha_{v} \Big\vert = 1\;</math> et sa bande non passante à <math>\;-3\;dB\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la largeur, en fréquences, de l'intervalle non passant à <math>\;-3\;dB\big)\;</math> «<math>\;B.n.P._{-3dB,\,v}</math> <math>= f_{0,\,v} = \dfrac{\omega_{0,\,v}}{2\,\pi} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\tau_v} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>»<ref name="indice v" />, nous en déduisons <center>le produit « gain H.F.*bande non passante à <math>\;-3dB\;</math>» en sortie ouverte «<math>\;G_{H.F.,\,v} \times B.n.P._{-3dB,\,v} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>»<ref> En fait ce produit s'avéra n'avoir aucune importance, il est formé pour chercher une éventuelle propriété identique à celle trouvée avec le produit « gain statique*bande passante à <math>\;-3dB\;</math>» d'un 1^er ordre fondamental <math>\;\big(</math>propriété de conservation du produit quelle que soit la sortie<math>\big)\;</math> mais cette propriété n'existe pas pour un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Amplification complexe en tension du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous</u><math>\;u_e(t)\;</math><u>et en sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistance</u><math>\;R\;</math><u>fermée sur une charge résistive de résistance</u><math>\;R_u</math> : nous allons établir que la nature du filtre reste la même avec un maintien du gain à H.F<ref name="H.F." />. et une <math>\;\nearrow\;</math> de la bande non passante à <math>\;-3\;dB</math>, le produit « gain H.F.*bande non passante à {{Nobr|<math>\;-3dB\;</math>»}} étant aussi plus grande que celle en sortie ouverte ; {{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}bien sûr il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)</math>, ayant pour D.P<ref name="D.P." />. d'attaque le condensateur de capacité <math>\;C</math>, lequel est en série avec le conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> quand la sortie aux bornes de ce dernier est ouverte, de tension instantanée complexe de sortie <math>\;\underline{u_s}(t)\;</math> quand celle-ci est fermée sur la charge de résistance d'utilisation <math>\;R_u</math> ; <br>{{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}nous pouvons alors reconnaître un P.D.T<ref name="P.D.T." />. en complexe alimenté en entrée par <math>\;\underline{u_e}(t)</math>, ayant pour D.P<ref name="D.P." />. d'attaque d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega) = \dfrac{1}{j\,C\,\omega}\;</math> « en série avec l'association <math>\;R\,\parallel\,R_u\;</math> d'impédance complexe <math>\;R\,\parallel\,R_u =</math> <math>\dfrac{R\;R_u}{R + R_u}\;</math>» et en sortie ouverte aux bornes de cette association et <br>{{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}nous obtenons «<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{R\,\parallel\,R_u}{\underline{Z_C}(j\,\omega) + R\,\parallel\,R_u}\;\underline{u_e}(t) = \dfrac{\dfrac{R\;R_u}{R + R_u}}{\dfrac{1}{j\,C\,\omega} + \dfrac{R\;R_u}{R + R_u}}\;\underline{u_e}(t)\;</math>»<ref name="sortie ouverte d'un P.D.T. en r.s.f." /> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;j\,(R + R_u)\,C\,\omega\;</math> et après regroupement de termes, «<math>\;\underline{u_s}(t) = \dfrac{j\,R\,R_u\,C\,\omega}{R + R_u + j\,R\,R_u\,C\,\omega}\;\underline{u_e}(t)\;</math>» donnant, après normalisation, l'amplification complexe en tension recherchée «<math>\;\underline{A}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_s}(t)}{\underline{u_e}(t)} =</math> <math>\dfrac{\underline{U_s}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} = \dfrac{j\,\dfrac{R\,R_u}{R + R_u}\,C\,\omega}{1 + j\,\dfrac{R\,R_u}{R + R_u}\,C\,\omega}\;</math>» correspondant effectivement à un 1^er ordre non fondamental à transfert nul donc à un « passe-haut » dont nous tirons * le « gain à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.,\,R_u} = \dfrac{\vert \beta_{R_u} \vert}{\tau_{R_u}} = 1 = G_{0,\,v}\;</math>» et * la « bande non passante à <math>\;-3\;dB</math> <math>\;B.n.P._{-3dB,\,R_u} = f_{0,\,R_u} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\tau_{R_u}} = \dfrac{1}{2\,\pi\,\dfrac{R\,R_u}{R + R_u}\,C} = \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;\dfrac{R + R_u}{R_u} > \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C} = B.n.P._{-3dB,\,v}\;</math>» ; {{Al|17}}{{Transparent|Amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. }}formant le produit « gain H.F.*bande non passante à <math>\;-3dB\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;G_{H.F.,\,R_u} \times B.n.P._{-3dB,\,R_u} = 1 \times \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;\dfrac{R + R_u}{R_u} =</math> <math>\dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;\dfrac{R + R_u}{R_u} > \dfrac{1}{2\,\pi\,R\,C}\;</math>» c.-à-d. qu'on vérifie la dépendance de ce produit par rapport à la résistance d'utilisation soit <center>«<math>\;G_{H.F.,\,R_u} \times B.n.P._{-3dB,\,R_u} > G_{H.F.,\,v} \times B.n.P._{-3dB,\,v}\;</math>», <br>une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant d'une dégradation de la bande non passante à <math>\;-3dB\;</math> <math>\big(</math>celle-ci augmentant<ref> En effet il y a dégradation de la bande non passante à <math>\;-3dB\;</math> si celle-ci augmente car le but d'un passe-haut est d'éliminer uniquement les T.B.F. <math>\;\big(</math>Très Basses Fréquences<math>\big)\;</math> et donc d'avoir la bande non passante à <math>\;-3dB\;</math> la plus faible possible.</ref>) mais <br>{{Transparent|une diminution de la résistance d'utilisation s'accompagnant }}d'une conservation du gain H.F<ref name="H.F." />. <math>\big(</math>celui-ci restant égal à <math>1\big)</math>.{{Al|40}}</center> === Fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul === ==== Définition d'une fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul ==== {{Al|5}}Une fonction de transfert du 1^er ordre<ref name="1er ordre stable" /> est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » ssi «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{H_0 + j\,\beta\,\omega}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math>» avec «<math>\;\tau\;\in\, \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à un temps », «<math>\;H_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> définissant le transfert statique<ref name="transfert statique" /> de même homogénéité que le transfert harmonique » et «<math>\;\beta\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps » ou {{Al|10}}{{Transparent|Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » }}ssi «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{H_0 + j\,\beta\,\omega}{1 + j\,\dfrac{\omega}{\omega_0}}\;</math>» avec «<math>\;\omega_0\;\in\, \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à une pulsation », {{Nobr|«<math>\;H_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math>}} définissant le transfert statique<ref name="transfert statique" /> de même homogénéité que le transfert harmonique » et «<math>\;\beta\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> d'homogénéité égale à celle du transfert harmonique multipliée par un temps » ou enfin {{Al|10}}{{Transparent|Une fonction de transfert du 1^er ordre est dite « du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul » }}ssi «<math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{H_0 + j\,\alpha\,x}{1 + j\,x}\;</math>»<ref name="abus lors d'un changement de variable" /> avec «<math>\;x = \dfrac{\omega}{\omega_0} =</math> <math>\tau\;\omega\;\in\, \mathbb{R}^{+}\;</math> pulsation réduite sans dimension »<ref name="fréquence réduite" />, «<math>\;H_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> définissant le transfert statique<ref name="transfert statique" /> et <math>\;\alpha = \dfrac{\beta}{\tau} = \beta\,\omega_0\;\in\,\mathbb{R}^{*}\;</math> tous deux de même homogénéité que le transfert harmonique ». ==== Exemple : Pont diviseur de tension en sortie ouverte constitué de « R', R et C en série » avec « sortie aux bornes de "R C série" » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » ==== {{Al|5}}Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f<ref name="r.s.f." />. de pulsation <math>\;\omega</math>, « la tension instantanée complexe d'entrée étant <math>\;\underline{u_e}(t) =</math> <math>\underline{U_e}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\, \omega\, t \right)\;</math> avec <math>\;\underline{U_e} =</math> <math>U_e\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_e} \right)\;</math> la tension efficace complexe d'entrée », «<math>\;R'\;</math> étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T<ref name="P.D.T." />. »<ref name="définition d'un P.D.T. en r.s.f." />{{,}}<ref name="impédance d'attaque" /> et «<math>\;\underline{Z_C}(j\,\omega)</math> <math>= \dfrac{1}{j\;C\;\omega}\;</math> en série avec <math>\;R\;</math> l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte <math>\;\underline{u_{s,\,v}}(t) =</math> <math>\underline{U_{s,\,v}}\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\, \omega\, t \right)\;</math>»<ref name="indice v" /> avec «<math>\;\underline{U_{s,\,v}} = U_{s,\,v}\;\exp\! \left( j\,\varphi_{u_{s,\,v}} \right)\;</math> la tension efficace complexe de sortie ouverte »<ref name="indice v" /> ; {{Al|5}}on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P<ref name="Q.L.P." />. constitué du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée sous <math>\;u_e(t) = U_e\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_{u_e})\;</math> et en sortie ouverte aux bornes du « dipôle <math>\;R\, C\;</math> série d'impédance complexe <math>\;\underline{Z_{R\,\text{série}\,C}}(j\,\omega) = R + \dfrac{1}{j\;C\;\omega} = \dfrac{1 + j\,R\,C\,\omega}{j\,C\,\omega}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{u_{s,\,v}}(t)}{\underline{u_e}(t)} = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}}\;</math>»<ref name="indice v" /> que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée <math>\;\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{Z_{R\,\text{série}\,C}}(j\,\omega)}{R' + \underline{Z_{R\,\text{série}\,C}}(j\,\omega)}\;\underline{U_e}\;</math>»<ref name="indice v" />{{,}}<ref name="sortie ouverte d'un P.D.T. en r.s.f." /> soit «<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) =</math> <math>\dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} = \dfrac{\dfrac{1 + j\,R\,C\,\omega}{j\,C\,\omega}}{R' + \dfrac{1 + j\,R\,C\,\omega}{j\,C\,\omega}}\;</math>»<ref name="indice v" /> donnant, en multipliant haut et bas par <math>\;j\,C\,\omega</math>, l'amplification complexe en tension cherchée <center>«<math>\;\underline{A_v}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{U_{s,\,v}}(j\,\omega)}{\underline{U_e}} =</math> <math>\dfrac{1 + j\;R\;C\;\omega}{1 + j\;(R + R')\;C\;\omega}\;</math>»<ref name="indice v" /> correspondant effectivement à un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul<ref> C'est l'exemple qu'il faut avoir en tête pour se remémorer la façon dont il faut traiter un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul.</ref> <br>de « constante de temps <math>\;\tau_v = (R + R')\;C\;</math>» ou de « pulsation particulière <math>\;\omega_{0,\,v} = \dfrac{1}{\tau_v} = \dfrac{1}{(R + R')\;C}\;</math>»<ref> Nous verrons au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Nature_du_filtre_et_fréquence_de_coupure_à_–3dB_3|nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB]] (pulsation de coupure à -3dB) » plus loin dans ce chapitre à quoi peut correspondre <math>\;\big(</math>sous condition<math>\big)\;</math> la pulsation particulière du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul, ce qui permettra, <math>\;\big(</math>si la condition est réalisée<math>\big)\;</math> de lui donner un nom.</ref>, <br>de « transfert statique <math>\;H_{0,\,v} = 1\;</math>» et de « cœfficient <math>\;\beta_v = R\,C\;</math>»<ref name="nom de beta" /> ou «<math>\;\alpha_v = \dfrac{\beta_v}{\tau_v} = \dfrac{R}{R + R'}\;</math>»<ref name="indice v" />.</center> ==== Méthode d'étude à adopter pour le tracé du diagramme de Bode d'une fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul ==== {{Al|5}}La méthode d'étude consiste à « considérer la fonction de transfert comme le produit de deux fonctions de transfert <math>\;\underline{H}(j\,x) = \underline{H_1}(j\,x) \times \underline{H_2}(j\,x)\;</math>» dont « l'une <math>\;\underline{H_1}(j\, x)\;</math> est celle correspondant à un 1^er ordre fondamental pour laquelle toutes les propriétés sont connues » et dont « l'autre <math>\;\underline{H_2}(j\, x)\;</math><ref name="non physique"> Cette fonction de transfert ne peut être associée à un système physique stable car, comme nous le verrons, son gain tend vers l'infini à H.F..</ref> est la seule restant à étudier » ; {{Al|5}}une fois le produit formé et l'étude de la fonction de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\, x)\;</math><ref name="non physique" /> réalisée, nous en déduisons en : * en prenant le module «<math>\;\Big\vert \underline{H}(j\,x) \Big\vert = \Big\vert \underline{H_1}(j\,x) \Big\vert \times \Big\vert \underline{H_2}(j\,x) \Big\vert\;</math>» ou «<math>\;G(x) = G_1(x) \times G_2(x)\;</math>» soit finalement «<math>\;G_{dB}(x) = G_{1,\,dB}(x) + G_{2,\,dB}(x)\;</math>» permettant d'« obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> de la fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,x)\;</math> en ajoutant, points par points, la courbe de gain des diagrammes de Bode<ref name="Bode"/> de chaque fonction de transfert <math>\;\underline{H_1}(j\, x)\;</math> et <math>\;\underline{H_2}(j\, x)\;</math>» et * en prenant l'argument «<math>\;\mathrm{arg}\! \left[ \underline{H}(j\,x) \right] = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{H_1}(j\,x) \right] + \mathrm{arg}\! \left[ \underline{H_2}(j\,x) \right]\;</math>» soit finalement «<math>\;\varphi(x) = \varphi_1(x) + \varphi_2(x)\;</math>» permettant d'« obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> de la fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,x)\;</math> en ajoutant, points par points, la courbe de phase des diagrammes de Bode<ref name="Bode"/> de chaque fonction de transfert <math>\;\underline{H_1}(j\, x)\;</math> et <math>\;\underline{H_2}(j\, x)\;</math>» ; {{Al|5}}pour mettre la fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{H_0 + j\,\alpha\,x}{1 + j\,x}\;</math> sous forme du produit de fonctions précédemment décrit, on met <math>\;H_0\;</math> en facteur dans le numérateur soit <math>\;\underline{H}(j\,x) = \dfrac{H_0 \left[ 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x \right]}{1 + j\,x}\;</math> permettant de réécrire «<math>\;\underline{H}(j\,x) = \underline{H_1}(j\,x) \times \underline{H_2}(j\,x)\;</math>» avec «<math>\;\underline{H_1}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 + j\,x}\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. un 1^er ordre fondamental<math>\big)\;</math> et «<math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la fonction<ref name="non physique" /> restant à étudier<math>\big)</math>. ==== Étude de la fonction « partielle » de transfert <u>H₂</u>(jx) ==== {{Al|5}}Pour étudier la fonction « partielle » de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x</math>, il convient d'introduire une « pulsation réduite caractéristique <math>\;x_2\;</math> pour laquelle la partie imaginaire <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0}\,x_2\;</math> a la même valeur absolue que la partie réelle <math>\;1\;</math>» soit «<math>\;x_2 = \bigg \vert \dfrac{H_0}{\alpha} \bigg \vert\;</math>» ; {{Al|5}}avec cette introduction, la fonction « partielle » de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x\;</math> peut se réécrire, suivant les signes comparés de <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha</math> : <center>«<math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{x}{x_2}\;</math> si <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha</math> sont de même signe » et <br>«<math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 - j\,\dfrac{x}{x_2}\;</math> si <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha</math> sont de signe contraire ».</center> ===== Équivalents B.F. et H.F. de la fonction « partielle » de transfert <u>H₂</u>(jx) et conséquences ===== ====== Équivalents B.F. de la fonction « partielle » de transfert <u>H₂</u>(jx) et conséquences ====== {{Al|5}}À B.F<ref name="B.F." />. c.-à-d. si «<math>\;x \ll x_2\;</math>», « réalisé à moins de <math>\;1\,\%\;</math> près si <math>\;x \lesssim \dfrac{x_2}{10}\;</math>»<ref name="condition B.F."> En effet, dans l'expression du gain, <math>\;x \ll x_2\;</math> nécessite <math>\;\dfrac{x^2}{x_2^2} < 10^{-2}\;</math> pour être réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près soit <math>\;x < \dfrac{x_2}{10}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en B.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \ll x_2}\;</math>» }}nous obtenons l'« équivalent B.F<ref name="B.F." />. de la fonction partielle de transfert selon <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 \cancel{\pm j\,\dfrac{x}{x_2}}\;</math><ref name="plus ou moins"> <math>\;\pm\;</math> suivant les signes comparés de <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha</math>, avec <math>\;+\;</math> s'ils sont de même signe et <math>\;-\;</math> dans le cas contraire.</ref>{{,}}<ref name="complexes négligeables dans une somme" /> soit «<math>\;\underline{H_2}(j\,x)</math> <math>\sim 1\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en B.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \ll x_2}\;</math>» nous }}en déduisons en : * en prenant le module, le « gain à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{2,\,B.F.} \sim 1\;</math>» dont nous tirons le « gain en dB à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{2,\,dB,\,B.F.} \simeq 0\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. <math>\;G_{2,\,dB,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 0\;</math>» et * en prenant l'argument, la « phase à B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{2,\,B.F.} \sim 0\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à {{Nobr|B.F<ref name="B.F." />.<math>\big)\;</math>}} c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\varphi_{2,\,\text{asymptote}\,B.F.}</math> <math>= 0\;</math>». ====== Équivalents H.F. de la fonction « partielle » de transfert <u>H₂</u>(jx) et conséquences ====== {{Al|5}}À H.F<ref name="H.F." />. c.-à-d. si «<math>\;x \gg x_2\;</math>», « réalisé à moins de <math>\;1\,\%\;</math> près si <math>\;x \gtrsim 10\;x_2\;</math>»<ref name="condition H.F."> En effet, dans l'expression du gain, <math>\;x \gg x_2\;</math> nécessite <math>\;\dfrac{x^2}{x_2^2} > 10^{2}\;</math> pour être réalisé à moins de <math>\;1\;\%\;</math> près soit <math>\;x > 10\;x_2</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en H.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \gg x_2}\;</math>» }}nous obtenons l'« équivalent H.F<ref name="H.F." />. de la fonction partielle de transfert selon <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = \cancel{1} \pm j\,\dfrac{x}{x_2}\;</math><ref name="plus ou moins" />{{,}}<ref name="complexes négligeables dans une somme" /> soit «<math>\;\underline{H_2}(j\,x)</math> <math>\sim \pm j\,\dfrac{x}{x_2}\;</math>»<ref name="plus ou moins" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Se situant en H.F. si «<math>\;\color{transparent}{x \gg x_2}\;</math>» nous }}en déduisons en : * en prenant le module, le « gain à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{2,\,H.F.} \sim \dfrac{x}{x_2}\;</math>» dont nous tirons le « gain en dB à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{2,\,dB,\,H.F.} \simeq 20\;\log\! \left[ \dfrac{x}{x_2} \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite croissante de pente <math>\;+20\;dB/\text{décade}\;</math> avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{2,\,dB,\,\text{asymptote}\,H.F.}</math> <math>= 20\;\log(x) - 20\;\log(x_2)\;</math>» et * en prenant l'argument, <math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> sont de même signe », la « phase à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{2,\,H.F.} \sim +\dfrac{\pi}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> a pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{2,\,\text{asymptote}\,H.F.} = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>» ou <br>{{Transparent|en prenant l'argument }}<math>\;\succ\;</math>« dans la mesure où <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> sont de signe contraire », la « phase à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{2,\,H.F.} \sim -\pi + \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref name="argument de -1 - bis" /> <math>\;\big(</math>équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> se confond à H.F<ref name="H.F." />.<math>\big)\;</math> c.-à-d. que la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> admet pour « équation de l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\varphi_{2,\,\text{asymptote}\,H.F.}</math> <math>= -\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref name="argument de -1" />. ===== Tracé de la courbe de gain de son diagramme de Bode ===== {{Al|5}}Le tracé <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> est visible dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Superposition_de_la_courbe_de_gain_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H2(jx)_et_de_celle_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H1(jx)_du_1er_ordre_fondamental_suivi_de_l'ajout_des_deux_courbes_de_gain_pour_obtenir_la_courbe_de_gain_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_de_transfert_du_1er_ordre_non_fondamental_à_transfert_statique_non_nul|superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₂</u>(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₁</u>(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul]] » plus loin dans ce chapitre ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en bleu<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> envisagée correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R'</math>, <math>\;R\;</math> et <math>\;C\;</math> en série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\, C\;</math> série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «<math>\;R' = 10\;k \Omega</math>,<math>\;R =</math> <math>0,5\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» conduisant à «<math>\;H_{0,\,v} = 1\;</math> et <math>\;\alpha_v =</math> <math>\dfrac{R}{R + R'} = \dfrac{1}{21}\;</math> soit <math>\;x_2 = \dfrac{H_{0,\,v}}{\alpha_v} = 21\;</math><ref name="indice v" /> ou, avec <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,(R + R')\,C} \simeq 1\;kHz</math> <math>\;\big(</math>fréquence de coupure à <math>\;-3dB\;</math> de l'autre facteur du 1^er ordre fondamental<math>\big)</math>, <math>\;f_2 = x_2\;f_0 \simeq 21\;kHz\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} la fréquence caractéristique de la fonction partielle de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Le tracé <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en bleu<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}on trace d'abord les asymptotes B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\big(</math>de pente nulle<math>\big)\;</math> et H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\big(</math>de pente <math>\;+20dB / \text{décade}\big)\;</math> « se coupant en un point d'abscisse <math>\;x_2\;</math>», l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme asymptotique ; {{Al|5}}{{Transparent|Le tracé <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en bleu<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> on trace }}la courbe de gain <math>\;\big(</math>laquelle n'a pas été tracée<math>\big)\;</math> se confondrait avec celle du diagramme asymptotique sauf sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence <math>f_2\;</math>», il suffirait alors de positionner le « point d'abscisse <math>\;x_2\;</math><ref name="fréquence réelle"> Ou d'abscisse <math>\;f_2\;</math> si l'axe des abscisses est celui des fréquences et non des fréquences réduites.</ref> <math>\;3dB\;</math> au-dessus de l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. »<ref> En effet le gain pour la fréquence réduite <math>\;x_2\;</math> serait <math>\;G_2(x_2) = \bigg\vert 1 \pm j\,\dfrac{x_2}{x_2} \bigg\vert = \sqrt{2}\;</math> soit un gain en dB <math>\;G_{2,\,dB}(x_2) = 20\;\log(\sqrt{2}) = +3\;dB</math>.</ref> puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière ». ===== Tracé de la courbe de phase de son diagramme de Bode ===== {{Al|5}}Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «<math>\;\varphi(x) = \mathrm{arg}\!\left[ 1 \pm j\,\dfrac{x}{x_2} \right] = \left\lbrace \begin{array}{r} \arctan\! \left( \dfrac{x}{x_2} \right)\;\;\text{si }\;H_0\;\alpha\; > 0\\ -\arctan\! \left( \dfrac{x}{x_2} \right)\;\;\text{si }\;H_0\;\alpha\; < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="argument de -1 - bis" /> qui est une « fonction croissante de <math>\;x\;</math> si <math>\;H_0\;\alpha\;</math> est <math>\;> 0\;</math> ou <br>{{Al|81}}{{Transparent|Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase «<math>\;\color{transparent}{\varphi(x) = \mathrm{arg}\!\left[ 1 \pm j\,\dfrac{x}{x_2} \right]}\;</math>» qui est une « fonction }}décroissante de <math>\;x\;</math> si <math>\;H_0\;\alpha\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «<math>\;H_0\;\alpha\;</math> est <math>\;> 0\;</math>». {{Al|5}}Le tracé <math>\;\big(</math>en bleu<math>\big)\;</math> est visible dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Superposition_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H2(jx)_et_de_celle_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H1(jx)_du_1er_ordre_fondamental_suivi_de_l'ajout_des_deux_courbes_de_phase_pour_obtenir_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_de_transfert_du_1er_ordre_non_fondamental_à_transfert_statique_non_nul|superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₂</u>(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₁</u>(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul]] » plus loin dans ce chapitre ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en bleu<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode"/> envisagée correspond à celle associée à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R'</math>, <math>\;R\;</math> et <math>\;C\;</math> en série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\, C\;</math> série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «<math>\;R' = 10\;k \Omega</math>,<math>\;R =</math> <math>0,5\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» conduisant à «<math>\;H_{0,\,v} = 1\;</math> et <math>\;\alpha_v =</math> <math>\dfrac{R}{R + R'} = \dfrac{1}{21}\;</math> soit <math>\;x_2 = \dfrac{H_{0,\,v}}{\alpha_v} = 21\;</math><ref name="indice v" /> ou, avec <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,(R + R')\,C} \simeq 1\;kHz</math> <math>\;\big(</math>fréquence de coupure à <math>\;-3dB\;</math> de l'autre facteur du 1^er ordre fondamental<math>\big)</math>, <math>\;f_2 = x_2\;f_0 \simeq 21\;kHz\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} la fréquence caractéristique de la fonction partielle de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Le tracé <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en bleu<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}on trace d'abord les asymptotes B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\big(</math>de pente nulle et de valeur nulle<math>\big)\;</math> et H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\bigg(</math>de pente nulle et de valeur <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\bigg)</math>, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme asymptotique ; {{Al|5}}{{Transparent|Le tracé <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>en bleu<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> on trace }}la courbe de phase <math>\;\big(</math>laquelle n'a pas été tracée<math>\big)\;</math> se confondrait avec celle du diagramme asymptotique sauf, de façon très approximative, sur « un intervalle de une décade de part et d'autre de la fréquence <math>\;f_2\;</math>»<ref name="approximation très grossière" />, il suffirait donc de positionner le « point d'abscisse <math>\;x_2\;</math><ref name="fréquence réelle" /> à l'ordonnée <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;</math>»<ref> En effet la phase pour la fréquence réduite <math>\;x_2\;</math> serait <math>\;\varphi_2(x_2) = \arctan\! \left( \dfrac{x_2}{x_2} \right) = \arctan(1)\;</math> soit une phase de <math>\;\varphi_2(x_2) = +\dfrac{\pi}{4}</math>.</ref> puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière »<ref> En pensant à raccorder les asymptotes et le point d'abscisse <math>\;x_2\;</math> aux niveaux <math>\;\dfrac{x_2}{100}\;</math> et <math>\;100\;x_2\;</math> au lieu de <math>\;\dfrac{x_2}{10}\;</math> et <math>\;10\;x_2\;</math> comme dans le cas de la courbe de gain <math>\;\bigg[</math>ou raccorder les asymptotes et le point d'abscisse <math>\;f_2\;</math> aux niveaux <math>\;\dfrac{f_2}{100}\;</math> et <math>\;100\;f_2\;</math> au lieu de <math>\;\dfrac{f_2}{10}\;</math> et <math>\;10\;f_2\;</math> comme dans le cas de la courbe de gain<math>\bigg]</math>.</ref>. ==== Superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert <u>H₂</u>(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert <u>H₁</u>(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul ==== [[File:Premier ordre non fondamental à transfert statique non nul - courbe de gain.png|thumb|380px|Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul écrit sous forme de produit de deux fonctions de transfert dont l'une est un 1^er ordre fondamental puis par ajout point par point des courbes de gain de leur diagramme de Bode<ref name="Bode" /> respectif]] {{Al|5}}Le tracé <math>\;\big(</math>ci-contre<math>\big)\;</math> de la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspond à celui associé à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R'</math>, <math>\;R\;</math> et <math>\;C\;</math> en série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\, C\;</math> série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «<math>\;R' = 10\;k \Omega</math>,<math>\;R =</math> <math>0,5\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» conduisant à «<math>\;H_{0,\,v} = 1\;</math> et <math>\;\alpha_v =</math> <math>\dfrac{R}{R + R'} = \dfrac{1}{21}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_2 = \dfrac{H_{0,\,v}}{\alpha_v} = 21\;</math><ref name="indice v" />. {{Al|5}}On trace, en vert, la courbe de gain du diagramme asymptotique de Bode<ref name="Bode" /> du 1^er ordre fondamental «<math>\;\underline{H_{1}}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 + j\,x}\;</math>» composée * de son asymptote B.F<ref name="B.F." />. d'« équation <math>\;G_{dB,\,1,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right] = 0\;</math>» et * de son asymptote H.F<ref name="H.F." />. d'« équation <math>\;G_{dB,\,1,\,\text{asymptote}\,H.F.} = 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right] - 20\;\log(x) = -20\;\log(x)\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|On trace, en vert, }}les deux asymptotes se coupant au point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math> ou <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,(R + R')\,C} \simeq 1\;kHz</math> <math>\;\big(</math>fréquence de coupure à <math>\;-3dB\;</math> de ce 1^er ordre fondamental<math>\big)</math>, puis {{Al|5}}{{Transparent|on trace, }}en bleu, celle du diagramme asymptotique de Bode<ref name="Bode" /> de la fonction « partielle » de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x\;</math> composée * de son asymptote B.F<ref name="B.F." />. d'« équation <math>\;G_{dB,\,2,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 0\;</math>»<ref name="équivalent B.F. de H2(jx)"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Équivalents_B.F._de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H2(jx)_et_conséquences|équivalents B.F. de la fonction partielle de transfert <u>H₂</u>(jx) et conséquences]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * de son asymptote H.F<ref name="H.F." />. d'« équation <math>\;G_{dB,\,2,\,\text{asymptote}\,H.F.} = 20\;\log(x) - 20\;\log(x_2) = 20\;\log(x) - 20\;\log(21)\;</math>»<ref name="équivalent H.F. de H2(jx)"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Équivalents_H.F._de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H2(jx)_et_conséquences|équivalents H.F. de la fonction partielle de transfert <u>H₂</u>(jx) et conséquences]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|on trace, en bleu, }}les deux asymptotes se coupant au point d'abscisse <math>\;x_2 = 21\;</math> ou <math>\;f_2 = x_2\;f_0 \simeq 21\;kHz</math> <math>\;\big(</math>fréquence caractéristique de cette fonction partielle de transfert<math>\big)</math>, ensuite {{Al|5}}on obtient, en rouge, une approximation de la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul «<math>\;\underline{H}(j\,x) = \underline{H_1}(j\,x) \times \underline{H_2}(j\,x)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, }}en ajoutant les deux précédentes point par point ce qui donne «<math>\;G_{dB,\,\text{approximatif}}(x) \simeq</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l} 0\;&\text{si } x \in \left[ 0\, ,\, x_0 = 1 \right]\\ -20\;\log(x)\;&\text{si } x \in \left[ x_0 = 1\, ,\, x_2 = 21 \right]\\ -20\;\log(21) \simeq -26,4\;&\text{si } x \in \left[ x_2 = 21\, ,\, +\infty \right[\end{array}\right\rbrace\;</math>» et enfin, on affine, {{Al|5}}{{Transparent|on obtient, }}le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en <math>\;x_0 = 1\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;f_0 \simeq 1\;kHz\big)\;</math> le gain en dB est «<math>\;3dB\;</math> au-dessous »<ref> En effet le choix des résistances de l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R'</math>, <math>\;R\;</math> et <math>\;C\;</math> en série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\, C\;</math> série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » ayant donné comme fréquence réduite caractéristique de la fonction de transfert « partielle » <math>\;\underline{H_2}(j\,x)</math>, la valeur <math>\;x_2 = \dfrac{H_{0,\,v}}{\alpha_v}</math> <math>= \dfrac{R + R'}{R} = 21 > 10\;x_0 = 10\;</math> <math>\big\{x_0 = 1\;</math> étant la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> du 1^er ordre fondamental <math>\;\underline{H_1}(j\,x)\big\}</math>, nous en déduisons qu'à cette fréquence réduite <math>\;x_0 = 1\;</math> la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x)\;</math> s'identifie à son asymptote B.F. d'où le point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math> effectivement «<math>\;3dB\;</math> au-dessous » de l'approximation de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,x)</math>.</ref> ainsi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait }}qu'en <math>\;x_2 = 21\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;f_2 \simeq 21\;kHz\big)\;</math>{{Al|16}}il est «<math>\;3dB\;</math> au dessus »<ref> En effet le choix des résistances de l'exemple « P.D.T. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R'</math>, <math>\;R\;</math> et <math>\;C\;</math> en série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\, C\;</math> série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » ayant donné comme fréquence réduite caractéristique de la fonction de transfert « partielle » <math>\;\underline{H_2}(j\,x)</math>, la valeur <math>\;x_2 = \dfrac{H_{0,\,v}}{\alpha_v}</math> <math>= \dfrac{R + R'}{R} = 21 > 10\;x_0 = 10\;</math> <math>\big\{x_0 = 1\;</math> étant la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> du 1^er ordre fondamental <math>\;\underline{H_1}(j\,x)\big\}</math>, nous en déduisons qu'à cette fréquence réduite <math>\;x_2 = 21\;</math> la courbe de gain du diagramme de Bode du 1^er ordre fondamental s'identifie à son asymptote H.F. d'où le point d'abscisse <math>\;x_2 = 21\;</math> effectivement «<math>\;3dB\;</math> au-dessus » de l'approximation de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,x)</math>.</ref> et, <br>{{Al|5}}on termine le tracé de la courbe, en tiretés rouges, en raccordant les parties rectilignes de l'approximation de la courbe situées de chaque côté de l'un et l'autre point de « façon régulière ». {{Al|5}}<u>Propriété</u> : on constate qu'il s'agit d'un <u>passe-bas</u> de fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> égale à <math>\;x_0 = 1</math> <math>\;\big[</math>la raison étant que <math>\;x_2\;</math> est assez nettement supérieure à <math>\;x_0 = 1\;</math><ref> Si la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspondait à <math>\;x_2\;</math> est assez nettement inférieure à <math>\;x_0 = 1</math>, nous aurions un <u>passe-haut</u> de fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> égale à <math>\;x_0 = 1</math>.</ref><math>\big]</math>. ==== Superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert <u>H₂</u>(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction « partielle » de transfert <u>H₁</u>(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul ==== [[File:Premier ordre non fondamental à transfert statique non nul - courbe de phase.png|thumb|380px|Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul écrit sous forme de produit de deux fonctions de transfert dont l'une est un 1^er ordre fondamental puis par ajout point par point des courbes de phase de leur diagramme de Bode<ref name="Bode" /> respectif]] {{Al|5}}Le tracé <math>\;\big(</math>ci-contre<math>\big)\;</math> de la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul correspond à celui associé à l'exemple « P.D.T<ref name="P.D.T." />. alimenté en entrée par <math>\;u_e(t)</math>, constitué de <math>\;R'</math>, <math>\;R\;</math> et <math>\;C\;</math> en série en sortie ouverte aux bornes de <math>\;R\, C\;</math> série pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » avec les valeurs «<math>\;R' = 10\;k \Omega</math>,<math>\;R =</math> <math>0,5\; k \Omega\;</math> et <math>\;C = 15,9\; nF\;</math>» conduisant à «<math>\;H_{0,\,v} = 1\;</math> et <math>\;\alpha_v =</math> <math>\dfrac{R}{R + R'} = \dfrac{1}{21}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_2 = \dfrac{H_{0,\,v}}{\alpha_v} = 21\;</math><ref name="indice v" />. {{Al|5}}On trace, en vert, la courbe de phase du diagramme asymptotique de Bode<ref name="Bode" /> du 1^er ordre fondamental «<math>\;\underline{H_{1}}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 + j\,x}\;</math>» composée * de son asymptote B.F<ref name="B.F." />. d'« équation <math>\;\varphi_{1,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 0\;</math>» et * de son asymptote H.F<ref name="H.F." />. d'« équation <math>\;\varphi_{1,\,\text{asymptote}\,H.F.} = - \dfrac{\pi}{2}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|On trace, en vert, }}les deux asymptotes parallèles étant raccordée selon une schématisation linéaire passant par le point d'abscisse <math>\;x_0 = 1\;</math> ou <math>\;f_0 = \dfrac{1}{2\,\pi\,(R + R')\,C} \simeq 1\;kHz</math>, d'ordonnée <math>\;-\dfrac{\pi}{4}</math> <math>\;\big(f_0\;</math> étant la fréquence de coupure à <math>\;-3dB\;</math> de ce 1^er ordre {{Nobr|fondamental<math>\big)</math>,}} le segment de droite de schématisation joignant le point <math>\;\left( \dfrac{x_0}{10} = \dfrac{1}{10}\,,\, 0 \right)\;</math> ou <math>\;\left( \dfrac{f_0}{10} \simeq 100\; Hz\,,\, 0 \right)\;</math> au point <math>\;\left( 10\;x_0 = 10\,,\, -\dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> ou <math>\;\left( 10\;f_0 \simeq 10\; kHz\,,\, -\dfrac{\pi}{2} \right)</math>, puis {{Al|5}}{{Transparent|on trace, }}en bleu, celle du diagramme asymptotique de Bode<ref name="Bode" /> de la fonction « partielle » de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x\;</math> composée * de son asymptote B.F<ref name="B.F." />. d'« équation <math>\;\varphi_{2,\,\text{asymptote}\,B.F.} = 0\;</math>»<ref name="équivalent B.F. de H2(jx)" /> et * de son asymptote H.F<ref name="H.F." />. d'« équation <math>\;\varphi_{2,\,\text{asymptote}\,H.F.} = +\dfrac{\pi}{2}\;</math>»<ref name="équivalent H.F. de H2(jx)" />, {{Al|5}}{{Transparent|on trace, en bleu, }}les deux asymptotes parallèles étant raccordée selon une schématisation linéaire passant par le point d'abscisse <math>\;x_2 = 21\;</math> ou <math>\;f_2 = x_2\;f_0 \simeq 21\;kHz</math>, d'ordonnée <math>\;+\dfrac{\pi}{4}</math> <math>\;\big(f_2\;</math> étant la fréquence caractéristique de cette fonction partielle de transfert<math>\big)</math>, le segment de droite de schématisation joignant le point <math>\;\left( \dfrac{x_2}{10} \simeq 2,1\,;\, 0 \right)\;</math> ou <math>\;\left( \dfrac{f_2}{10} \simeq 2,1\; kHz\,;\, 0 \right)\;</math> au point <math>\;\left( 10\;x_2 \simeq 210\,;\, +\dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> ou <math>\;\left( 10\;f_0 \simeq 210\; kHz\,;\, +\dfrac{\pi}{2} \right)</math>, ensuite {{Al|5}}on obtient, en rouge, une approximation de la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul «<math>\;\underline{H}(j\,x) = \underline{H_1}(j\,x) \times \underline{H_2}(j\,x)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, }}en ajoutant les deux précédentes point par point ce qui donne «<math>\;\varphi_{\text{approximatif}}(x) \simeq</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{l} 0\;&\text{si } x \in \left[ 0\, ;\, \dfrac{x_0}{10} = 0,1 \right]\\ -\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{\log(x) - log(0,1)}{2}\;&\text{si } x \in \left[ \dfrac{x_0}{10} = 0,1\, ;\, \dfrac{x_2}{10} \simeq 2,1 \right]\\ -\dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{\log(2,1) - log(0,1)}{2} \simeq -\dfrac{\pi}{2}\;0,66\;&\text{si } x \in \left[ \dfrac{x_2}{10} \simeq 2,1\, ;\, 10\;x_0 = 10 \right]\\ \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{\log(210) - log(x)}{2}\;&\text{si } x \in \left[ 10\;x_0 = 10\,;\, 10\;x_2 \simeq 210 \right]\\ 0 \;&\text{si } x \in \left[ 10\;x_2 \simeq 210\,;\, +\infty \right[\end{array}\right\rbrace\;</math>» et enfin, on affine {{Nobr|<math>\;\big\{</math>à}} considérer comme complément, cette amélioration <math>\;\big(</math>nécessaire<math>\big)\;</math> du tracé résultant du fait que <math>\;x_2 \simeq 21\;</math> n'est pas <math>\;>\;</math> à <math>\;100\;</math> fois <math>\;x_0 = 1\;</math><ref> Ce qui aurait conduit à une séparation des intervalles de fréquence réduite pour lesquels les courbes de phase de chaque fonction partielle de transfert sont pratiquement séparables <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|on obtient, }}le tracé de la courbe en tenant compte du fait qu'en <math>\;\dfrac{x_0}{10} = 0,1\;</math> <math>\bigg(\!</math>ou <math>\;\dfrac{f_0}{10} = 100\; Hz\!\bigg)\;</math> la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> du 1^er ordre fondamental «<math>\;\underline{H_{1}}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 + j\,x}\;</math>» ne se confond pas exactement avec son équivalent B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\bigg\{\!</math>la confusion se faisant plutôt à <math>\;\dfrac{x_0}{100} = 0,01\;</math> <math>\bigg(\!</math>ou <math>\;\dfrac{f_0}{100} = 10\; Hz\!\bigg)\!\bigg\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait }}qu'en <math>\;\dfrac{x_2}{10} \simeq 2,1\;</math> <math>\bigg(\!</math>ou <math>\;\dfrac{f_2}{10} \simeq 2,1\; kHz\!\bigg)\;</math> la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> de la fonction partielle de transfert «<math>\;\underline{H_{2}}(j\,x) =</math> <math>1 + j\,\dfrac{x}{x_2}\;</math>» ne se confond pas exactement avec son équivalent B.F<ref name="B.F." />. <math>\;\bigg\{\!</math>la confusion se faisant plutôt à <math>\;\dfrac{x_2}{100} \simeq 0,21\;</math> <math>\bigg(\!</math>ou <math>\;\dfrac{f_2}{100} \simeq 210\; Hz\!\bigg)\!\bigg\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait }}qu'en <math>\;10\;x_0 = 10\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;10\;f_0 = 10\; kHz\big)\;</math> la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> du 1^er ordre fondamental «<math>\;\underline{H_{1}}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 + j\,x}\;</math>» ne se confond pas exactement avec son équivalent H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\big\{</math>la confusion se faisant plutôt à <math>\;100\;x_0 = 100\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;100\;f_0 = 100\; kHz\big)\!\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe en tenant compte du fait }}qu'en <math>\;10\;x_2 \simeq 210\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;10\;f_2 \simeq 210\; kHz\big)\;</math> la courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> de la fonction partielle de transfert «<math>\;\underline{H_{2}}(j\,x) =</math> <math>1 + j\,\dfrac{x}{x_2}\;</math>» ne se confond pas exactement avec son équivalent H.F<ref name="H.F." />. <math>\;\big\{</math>la confusion se faisant plutôt à <math>\;100\;x_2 \simeq 2100\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;100\;f_2 \simeq 2,1\; MHz\big)\!\big\}</math>, {{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe }}<math>\Rightarrow</math> entre <math>\;\dfrac{x_0}{100} = 0,01\;</math> et <math>\;\dfrac{x_2}{100} \simeq 0,21\;</math> <math>\bigg(\!</math>ou <math>\;\dfrac{f_0}{100} = 10\; Hz\;</math> et <math>\;\dfrac{f_2}{100} \simeq 210\; Hz\!\bigg)</math>, la courbe de phase est au-dessous de celle trouvée par schématisation linéaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}entre <math>\;\dfrac{x_2}{100} \simeq 0,21\;</math> et <math>\;\dfrac{x_2}{10} \simeq 2,1\;</math> <math>\bigg(\!</math>ou <math>\;\dfrac{f_2}{100} \simeq 210\; Hz\;</math> et <math>\;\dfrac{f_2}{10} \simeq 2,1\;kHz\!\bigg)</math>, la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}entre <math>\;\dfrac{x_2}{10} \simeq 2,1\;</math> et <math>\;10\;x_1 = 10\;</math> <math>\bigg(\!</math>ou <math>\;\dfrac{f_2}{10} \simeq 2,1\; kHz\;</math> et <math>\;10\;f_1 = 10\;kHz\!\bigg)</math>, la courbe de phase ne reste pas stationnaire contrairement à celle trouvée par schématisation linéaire<ref> La contribution réelle du 1^er ordre fondamental <math>\Rightarrow</math> une augmentation de la phase du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus grande que <math>\;x\;</math> s'approche de <math>\;10\;x_1 = 10\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|La contribution }}celle de la fonction partielle de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x\;</math> <math>\Rightarrow</math> une diminution de la phase du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que <math>\;x\;</math> s'approche de <math>\;10\;x_1 = 10\;</math> <math>\big\{</math>vérification sur la courbe du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre sachant qu'il suffit de multiplier cette dernière par <math>\;-1\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}entre <math>\;10\;x_1 = 10\;</math> et <math>\;x_2 \simeq 21\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;10\;f_1 = 10\;kHz\;</math> et <math>\;f_2 \simeq 21\;kHz\big)</math>, la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire<ref> La contribution réelle du 1^er ordre fondamental <math>\Rightarrow</math> une augmentation de la phase du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que <math>\;x\;</math> s'éloigne de <math>\;10\;x_1 = 10\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|La contribution }}celle de la fonction partielle de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x\;</math> <math>\Rightarrow</math> une légère diminution de la phase du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que <math>\;x\;</math> s'approche de <math>\;x_2 \simeq 21\;</math> la diminution s'annulant pour cette dernière fréquence réduite <math>\big\{</math>vérification sur la courbe du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre sachant qu'il suffit de multiplier cette dernière par <math>\;-1\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}entre <math>\;x_2 \simeq 21\;</math> et <math>\;100\;x_1 = 100\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;f_2 \simeq 21\;kHz\;</math> et <math>\;100\;f_1 = 100\;kHz\big)</math>, la courbe de phase est au-dessus de celle trouvée par schématisation linéaire<ref> La contribution réelle du 1^er ordre fondamental <math>\Rightarrow</math> une augmentation de la phase du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus petite que <math>\;x\;</math> s'approche de <math>\;100\;x_1 = 100\;</math> l'augmentation s'annulant pour cette dernière fréquence réduite <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|La contribution }}celle de la fonction partielle de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 + j\,\dfrac{\alpha}{H_0}\,x\;</math> <math>\Rightarrow</math> une légère diminution de la phase du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul pour les valeurs de cet intervalle, d'autant plus grande que <math>\;x\;</math> s'éloigne de <math>\;x_2 \simeq 21\;</math> la diminution étant nulle pour cette dernière fréquence réduite <math>\big\{</math>vérification sur la courbe du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre sachant qu'il suffit de multiplier cette dernière par <math>\;-1\big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient, le tracé de la courbe <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}entre <math>\;100\;x_1 = 100\;</math> et <math>\;100\;x_2 \simeq 2100\;</math> <math>\big(</math>ou <math>\;100\;f_1 = 100\;kHz\;</math> et <math>\;100\;f_2 \simeq 2,1\;MHz\big)</math>, la courbe de phase initialement au-dessus passe au-dessous de celle trouvée par schématisation linéaire ; {{Al|5}}{{Transparent|on obtient, }}le tracé affiné de la courbe n'étant en fait pas représenté mais remplacé, en tiretés rouges, par celui de cette courbe de phase du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul du même exemple, l'étude étant faite directement<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Étude_directe|étude directe]] (d'une fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul) » plus loin dans ce chapitre.</ref> et le tracé obtenu par utilisation d'un calculateur. ==== Nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB ==== {{Al|5}}Suivant la position de la fréquence réduite <math>\;x_2 = \dfrac{\vert H_0 \vert}{\vert \alpha \vert}\;</math> caractéristique de la fonction « partielle » de transfert <math>\;\underline{H_2}(j\,x) = 1 \pm j\,\dfrac{x}{x_2}\;</math> relativement à la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;x_0 = 1\;</math> de l'autre facteur du 1^er ordre fondamental <math>\;\underline{H_1}(j\,x) = \dfrac{H_0}{1 + j\,x}</math>, le système du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul de fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,x) = \underline{H_1}(j\,x)\;\underline{H_2}(j\,x)\;</math> est un {{Nobr|« passe-bas »}} ou un « passe-haut » ou encore un « passe-tout »<ref name="passe-tout"> Ce n'est pas un nom reconnu de filtre car un filtre qui laisse tout passer n'est pas un filtre <math>\;\ldots</math></ref>, plus précisément : * si <math>\;x_2 > x_0 = 1\;</math> le gain H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} = \dfrac{\vert H_0 \vert}{x_2}\;</math><ref name="gain H.F."> Le gain en dB H.F. étant «<math>\;G_{dB,\,1,\,\text{asymptote}\,H.F.} + G_{dB,\,2,\,\text{asymptote}\,H.F.} = \left\lbrace 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right] - 20\;\log(x) \right\rbrace + \left\lbrace 20\;\log(x) - 20\;\log(x_2) \right\rbrace = 20\;\log\! \left[ \Big\vert H_0 \Big\vert \right] -20\;\log(x_2)\;</math>» voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Superposition_de_la_courbe_de_gain_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H2(jx)_et_de_celle_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H1(jx)_du_1er_ordre_fondamental_suivi_de_l'ajout_des_deux_courbes_de_gain_pour_obtenir_la_courbe_de_gain_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_de_transfert_du_1er_ordre_non_fondamental_à_transfert_statique_non_nul|superposition de la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₂</u>(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₁</u>(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de gain pour obtenir la courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul]] » plus haut dans ce chapitre, ce gain en dB résultant effectivement de «<math>\;G_{H.F.} = \dfrac{\vert H_0 \vert}{x_2}\;</math>».</ref> étant inférieur au gain statique <math>\;G_0 = \vert H_0 \vert\;</math> avec une <math>\;\searrow\;</math> du gain au sens large, le filtre sera un passe-bas s'il existe une fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;x_c\;</math> définie par <math>\;G(x_c) = \dfrac{\vert H_0 \vert}{\sqrt{2}}\;</math> et, pour que celle-ci existe, il est « nécessaire »<ref name="théorème des valeurs intermédiaires" /> que <math>\;\dfrac{\vert H_0 \vert}{\sqrt{2}} > G_{H.F.} = \dfrac{\vert H_0 \vert}{x_2}\;</math> c.-à-d. que <math>\;x_2 > \sqrt{2}\;</math> alors que * si <math>\;x_2 < x_0 = 1\;</math> le gain H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} = \dfrac{\vert H_0 \vert}{x_2}\;</math><ref name="gain H.F." /> étant supérieur au gain statique <math>\;G_0 = \vert H_0 \vert\;</math> avec une <math>\;\nearrow\;</math> du gain au sens large, le filtre sera un passe-haut s'il existe une fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;x_c\;</math> définie par <math>\;G(x_c) = \dfrac{G_{H.F.}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\vert H_0 \vert}{x_2\;\sqrt{2}}\;</math> et, pour que celle-ci existe, il est « nécessaire »<ref name="théorème des valeurs intermédiaires" /> que <math>\;\dfrac{\vert H_0 \vert}{x_2\;\sqrt{2}} > G_0 = \vert H_0 \vert\;</math> c.-à-d. que <math>\;x_2 < \dfrac{1}{\sqrt{2}}</math>. {{Al|5}}En conclusion suivant la position de <math>\;\vert \alpha \vert\;</math> relativement à <math>\;\vert H_0 \vert\;</math> la nature du filtre est : * un « <u>passe-bas</u> » si «<math>\;x_2 > \sqrt{2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert H_0 \vert > \sqrt{2}\; \vert \alpha \vert\;</math>», * un « <u>passe-haut</u> » si «<math>\;x_2 < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert H_0 \vert < \dfrac{\vert \alpha \vert}{\sqrt{2}}\;</math>» et * un « passe-tout »<ref name="passe-tout" /> si «<math>\;\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant x_2 \leqslant \sqrt{2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert \alpha \vert}{\sqrt{2}} \leqslant \vert H_0 \vert \leqslant \sqrt{2}\; \vert \alpha \vert\;</math>». {{Al|5}}<u>Détermination de la fréquence réduite de coupure à</u><math>\;-3\;dB\;</math><u>pour un passe-bas</u> : nous supposons donc <math>\;x_2 > \sqrt{2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert H_0 \vert > \sqrt{2}\; \vert \alpha \vert\;</math> et l'équation définissant la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> étant «<math>\;G(x_c) =</math> <math>\dfrac{\vert H_0 \vert}{\sqrt{2}}\;</math> avec <math>\;G(x) = \Big\vert \underline{H}(j\,x) \Big\vert = \dfrac{\vert H_0 \vert}{\sqrt{1 + x^2}}\;\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{x_2^2}}\;</math>» elle se réécrit «<math>\dfrac{1 + \dfrac{x_c^2}{x_2^2}}{1 + x_c^2} = \dfrac{1}{2}\;</math>» ou <math>\;2 + 2\;\dfrac{x_c^2}{x_2^2} = 1 + x_c^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_c^2 \left( 1 - \dfrac{2}{x_2^2} \right) = 1\;</math> soit finalement <center>«<math>\;x_c = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{2}{x_2^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{2\;\alpha^{\,2}}{H_0^{\,2}}}}\;</math>»<ref> Valeur existant effectivement dans la mesure où <math>\;x_2\;</math> est supérieure à <math>\;\sqrt{2}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la fréquence réduite de coupure à<math>\;\color{Transparent}{-3\;dB}\;</math>pour un passe-bas : }}pour «<math>\;x_2 \gg x_0 = 1\;</math>» on vérifie que «<math>\;x_c = \dfrac{1}{\sqrt{1 \cancel{- \dfrac{2}{x_2^2}}}} \simeq 1 = x_0\;</math>». <br>{{Al|5}}<u>Détermination de la fréquence réduite de coupure à</u><math>\;-3\;dB\;</math><u>pour un passe-haut</u> : nous supposons donc <math>\;x_2 < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vert H_0 \vert < \dfrac{\vert \alpha \vert}{\sqrt{2}}\;</math> et l'équation définissant la fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> étant «<math>\;G(x_c) =</math> <math>\dfrac{\vert H_0 \vert}{x_2\;\sqrt{2}}\;</math> avec <math>\;G(x) = \Big\vert \underline{H}(j\,x) \Big\vert = \dfrac{\vert H_0 \vert}{\sqrt{1 + x^2}}\;\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{x_2^2}}\;</math>» elle se réécrit «<math>\dfrac{1 + \dfrac{x_c^2}{x_2^2}}{1 + x_c^2} = \dfrac{1}{2\;x_2^2}\;</math>» ou <math>\;2\;x_2^2 + 2\;x_c^2 =</math> <math>1 + x_c^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_c^2 = 1 - 2\;x_2^2\;</math> soit finalement <center>«<math>\;x_c = \sqrt{1 - 2\;x_2^2} = \sqrt{1 - \dfrac{2\;H_0^{\,2}}{\alpha^{\,2}}}\;</math>»<ref> Valeur existant effectivement dans la mesure où <math>\;x_2\;</math> est inférieure à <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Détermination de la fréquence réduite de coupure à<math>\;\color{Transparent}{-3\;dB}\;</math>pour un passe-haut : }}pour «<math>\;x_2 \ll x_0 = 1\;</math>» on vérifie que «<math>\;x_c = \sqrt{1 \cancel{- 2\;x_2^2}} \simeq 1 = x_0\;</math>». ==== Étude directe ==== <center>Ce n'est pas la bonne méthode car trop longue mais il faut aussi savoir l'utiliser.</center> {{Al|5}}Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement sans écrire la fonction de transfert comme le produit de deux fonctions de transfert et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement }}pour cela on explicite le « module de <math>\;\underline{H}(j\,x)\;</math>» définissant le gain «<math>\;G(x) = \dfrac{\vert H_0 \vert\;\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{x_2^2}}}{\sqrt{1 + x^2}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela }}la variation de ce dernier nécessitant d'étudier la fonction de <math>\;x^2\;</math> «<math>\;g(x^2) = \dfrac{1 + \dfrac{x^2}{x_2^2}}{1 + x^2}\;</math>»<ref> On a maintenu la factorisation par <math>\;H_0\;</math> et l'introduction de la fréquence réduite <math>\;x_2 = \dfrac{\vert H_0 \vert}{\vert \alpha \vert}\;</math> dans la fonction de transfert puis dans le gain mais ceci ne se justifiait plus, en absence de ceci le gain se serait écrit <math>\;G(x) = \dfrac{\sqrt{H_0^2 + \alpha^2\;x^2}}{\sqrt{1 + x^2}}\;</math> et sa variation aurait nécessité d'étudier celle de <math>\;h(x^2) =</math> <math>\dfrac{H_0^2 + \alpha^2\;x^2}{1 + x^2}\;</math> qui n'est rien d'autre que <math>\;H_0^2\;g(x^2)\;</math> donc de même variation et de dérivée aussi simple à établir <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer la nature du filtre directement pour cela la variation de ce dernier nécessitant }}d'évaluer sa dérivée relativement à <math>\;x^2\;</math> «<math>\;\dfrac{dg}{d{x^2}}(x^2) = \dfrac{\left( 1 + x^2 \right) \dfrac{1}{x_2^2} - \left( 1 + \dfrac{x^2}{x_2^2} \right)}{\left( 1 + x^2 \right)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{x_2^2} - 1}{\left( 1 + x^2 \right)^2}\;</math>» qui est <math>\left\lbrace\begin{array}{c}< 0\; \text{si } x_2 > 1\\ \text{ou} \\> 0\; \text{si } x_2 < 1\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> le gain «<math>\;G(x) = \dfrac{\vert H_0 \vert\;\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{x_2^2}}}{\sqrt{1 + x^2}}\;</math>» * est <math>\;\searrow\;</math> si <math>\;x_2 > 1</math>, en étant un passe-bas dans la mesure où <math>\;x_2\;</math> est nettement supérieure à <math>\;1\;</math><ref name="nature filtre"> Pour cela on recherche l'existence d'une fréquence réduite de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> comme cela a été fait au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Nature_du_filtre_et_fréquence_de_coupure_à_-3dB|nature du filtre et fréquence de coupure à -3dB]] » plus haut dans le chapitre.</ref> ou * est <math>\;\nearrow\;</math> si <math>\;x_2 < 1</math>, en étant un passe-haut dans la mesure où <math>\;x_2\;</math> est nettement inférieure à <math>\;1\;</math><ref name="nature filtre" />. {{Al|5}}<u>Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode</u><ref name="Bode />, on étudie les équivalents B.F<ref name="B.F." />. réalisé si <math>\;x \lesssim \dfrac{1}{10}\;\inf\! \left( 1\, ,\, \dfrac{\vert H_0 \vert}{\vert \alpha \vert} = x_2 \right)\;</math> et donnant «<math>\;\underline{H}_{B.F.}(j\,x)</math> <math>\sim \dfrac{H_0 \cancel{+ j\;\alpha\;x}}{1 \cancel{+ j\;x}} = H_0\;</math>»<ref name="complexes négligeables dans une somme" /> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on étudie les équivalents }}H.F<ref name="H.F." />. réalisé si <math>\;x \gtrsim 10\;\sup\! \left( 1\, ,\, \dfrac{\vert H_0 \vert}{\vert \alpha \vert} = x_2 \right)\;</math> et donnant «<math>\;\underline{H}_{H.F.}(j\,x) \sim</math> <math>\dfrac{\cancel{H_0 +} j\;\alpha\;x}{\cancel{1 +} j\;x} = \alpha\;</math>»<ref name="complexes négligeables dans une somme" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, }}on évalue les gains linéaires suivis des gains en décibels pour chaque équivalent B.F<ref name="B.F." />. et H.F<ref name="H.F." />. puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, }}on trace le diagramme asymptotique en reliant les asymptotes de façon quasi-linéaire sur l'intervalle <math>\;\left[ 1\,,\, x_2 \right]\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;\left[ x_2\,,\, 1 \right]\big\}</math>, ensuite <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, }}on obtient le tracé de la courbe de gain en tenant compte qu'en <math>\;x = 1\;</math> et en <math>\;x = x_2\;</math> le gain en dB est <math>\;\simeq 3\;dB\;</math> au-dessous <math>\;\big(</math>ou au-dessus<math>\big)\;</math> de la valeur du gain en dB de l'asymptote aboutissant à la fréquence réduite considérée<ref> Pour <math>\;1 < x_2\;</math> <math>\big(</math>plus exactement « assez nettement inférieur à »<math>\big)\;</math> il s'agit d'un passe-bas, «<math>\;G_{dB}(x = 1) \simeq 20\;\log \left[ \vert H_0 \vert \right] - 3\;dB\;</math>» et «<math>\;G_{dB}(x = x_2) \simeq 20\;\log \left[ \vert \alpha \vert \right] + 3\;dB\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour <math>\;1 > x_2\;</math> <math>\big(</math>plus exactement « assez nettement supérieur à »<math>\big)\;</math> il s'agit d'un passe-haut, «<math>\;G_{dB}(x = 1) \simeq 20\;\log \left[ \vert H_0 \vert \right] + 3\;dB\;</math>» et «<math>\;G_{dB}(x = x_2) \simeq 20\;\log \left[ \vert \alpha \vert \right] - 3\;dB\;</math>».</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de gain du diagramme de Bode, on obtient le tracé de la courbe de gain }}en raccordant « de façon régulière » les points de la courbe de gain de fréquence <math>\;x = 1\;</math> et <math>\;x = x_2\;</math> respectivement à l'asymptote la plus proche et à la partie linéaire joignant les deux asymptotes. {{Al|5}}<u>Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode</u><ref name="Bode />, on commence par déterminer le sens de variation, relativement à <math>\;x</math>, de la phase définie selon «<math>\;\varphi(x) = \mathrm{arg}\! \left[ H_0 + j\,\alpha\,x \right] - \mathrm{arg}\! \left[ 1 + j\,x \right] =</math> <math>\mathrm{arg}\! \left[ H_0 \right] + \arctan\! \left[ \dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right] - \arctan(x)\;</math>» ou «<math>\;\varphi(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} &\!\!\arctan\! \left[ \dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right] - \arctan(x)\;&\text{si }H_0 > 0\\ \pm \pi\; + &\!\!\arctan\! \left[ \dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right] - \arctan(x)\;&\text{si }H_0 < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="argument de -1 - ter"> L'argument d'un nombre négatif étant <math>\;\pm\, \pi</math>, nous choisissons la valeur lors de l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite de façon à garder une continuité de la phase relativement à <math>\;x</math>.</ref>{{,}}<ref> La différence de deux <math>\;\arctan()\;</math> peut-elle s'écrire sous la forme d'un <math>\;\arctan()</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] (domaine de valeurs) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ? <br>{{Al|3}}En général non car chaque <math>\;\arctan()\;</math> étant compris entre <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math>, nous pouvons seulement affirmer que la différence est comprise entre <math>\;-\pi\;</math> et <math>\;\pi\;</math> ce qui ne permet donc pas de mettre l'expression sous forme d'un <math>\;\arctan()</math> ; <br>{{Al|3}}toutefois, le 2^ème <math>\;\arctan()\;</math> de la différence <math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right] - \arctan(x)\;</math> étant compris entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math>, la différence sera encadrée par <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> si le 1^er <math>\;\arctan()\;</math> de la différence est compris entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> ce qui est réalisé si <math>\;\dfrac{H_0}{\alpha}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> c.-à-d. si <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> sont de même signe ; <br>{{Al|3}}en conclusion « si <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> sont de même signe », «<math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right] - \arctan(x) = \arctan \left[ \;?\; \right]\;</math>» et il reste à chercher l'argument de cet <math>\;\arctan()</math>. <br>{{Al|3}}Soit <math>\;\arctan(a) - \arctan(b)\;</math> compris entre <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math>, on pose <math>\;A = \arctan(a)\;</math> et <math>\;B = \arctan(b)\;</math> qui s'inversent en <math>\;\tan(A) = a\;</math> et <math>\;\tan(B) = b</math>, souhaitant calculer <math>\;A - B\;</math> que l'on sait compris entre <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math>, on forme <math>\;\tan(A - B) = \dfrac{\tan(A) - \tan(B)}{1 + \tan(A)\;\tan(B)} = \dfrac{a - b}{1 + a\;b}\;</math> et l'on inverse en <math>\;A - B = \arctan\! \left[ \dfrac{a - b}{1 + a\;b} \right]\;</math> d'où la relation cherchée «<math>\;\arctan(a) - \arctan(b) =</math> <math>\arctan\! \left[ \dfrac{a - b}{1 + a\;b} \right]\;</math>». <br>{{Al|3}}Dans le cas présent, « si <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> sont de même signe », «<math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right] - \arctan(x) = \arctan\! \left[ \dfrac{\dfrac{\alpha\,x}{H_0} - x}{1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0}} \right] = \arctan\! \left[ \dfrac{\left( \dfrac{\alpha}{H_0} - 1 \right) x}{1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0}} \right]\;</math>».</ref> et pour cela <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on commence par }}d'évaluer le signe de la dérivée de la phase relativement à <math>\;x\;</math> «<math>\;\dfrac{d \varphi}{dx}(x) = \dfrac{\dfrac{\alpha}{H_0}}{1 + \dfrac{\alpha^2\,x^2}{H_0^2}} - \dfrac{1}{1 + x^2}\;</math><ref name="dérivée d'un arctan()"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] (dérivée) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> laquelle s'écrit encore <math>\;\dfrac{d \varphi}{dx}(x) = \dfrac{\dfrac{\alpha}{H_0} \left( 1 + x^2 \right) - \left( 1 + \dfrac{\alpha^2\,x^2}{H_0^2} \right)}{\left( 1 + \dfrac{\alpha^2\,x^2}{H_0^2} \right) \left( 1 + x^2 \right)} = \dfrac{\left( \dfrac{\alpha}{H_0} - 1 \right) \left( 1 - \dfrac{\alpha}{H_0}\;x^2 \right)}{\left( 1 + \dfrac{\alpha^2\,x^2}{H_0^2} \right) \left( 1 + x^2 \right)}\;</math>»<ref> Nous avons vu dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#cite_note-107|¹⁰⁷]] » plus haut dans ce chapitre que, « si <math>\;H_0\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> sont de même signe », «<math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right] - \arctan(x) = \arctan\! \left[ \dfrac{\left( \dfrac{\alpha}{H_0} - 1 \right) x}{1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0}} \right]\;</math>» d'où la réécriture de la phase «<math>\;\varphi(x) =</math> <math>\arctan\! \left[ \dfrac{\left( \dfrac{\alpha}{H_0} - 1 \right) x}{1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0}} \right]\;\text{si }H_0 > 0\;\;\text{et }\;\alpha > 0\;\big(\text{ou si }H_0 < 0\;\;\text{et }\;\alpha < 0\big)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}nous en déduisons, dans ce cas, que « la phase varie de la même façon que la fonction <math>\;k(x) = \dfrac{\left( \dfrac{\alpha}{H_0} - 1 \right) x}{1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0}}\;</math>» dont la dérivée vaut «<math>\;\dfrac{dk}{dx}(x) = \left( \dfrac{\alpha}{H_0} - 1 \right) \dfrac{\left( 1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0} \right) - x \left( 2\;\dfrac{\alpha\,x}{H_0} \right)}{\left( 1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0} \right)^2} =</math> <math>\left( \dfrac{\alpha}{H_0} - 1 \right) \dfrac{1 - \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0}}{\left( 1 + \dfrac{\alpha\,x^2}{H_0} \right)^2}\;</math>» d'où la même discussion que celle exposée dans le corps du paragraphe dès lors que <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\big[</math>cette restriction montre qu'il était inintéressant de transformer la différence des deux <math>\;\arctan()\;</math> en un seul quand cela était possible, puisqu'il restait à traiter le cas où cela n'était pas possible<math>\big]</math>.</ref> soit {{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, }}<math>\succ\;</math>« si <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0} > 1\;</math>» le « signe de <math>\;\dfrac{d \varphi}{dx}(x)\;</math> est celui de <math>\;1 - \dfrac{\alpha}{H_0}\;x^2\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \varphi}{dx}(x) \left\lbrace \begin{array}{l} > 0\;&\text{si }\;x < \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2}\\ < 0\;&\text{si }\;x > \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="autre expression de x rendant la phase extrémale"> Comme <math>\;x_0 = 1\;</math> la fréquence réduite rendant la phase extrémale s'écrit encore <math>\;\sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2\;x_0}</math>.</ref> correspondant à «<math>\;\varphi(x) \nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\, ,\, \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2} \right]\;</math><ref name="autre expression de x rendant la phase extrémale" /> puis <math>\;\searrow\;</math> sur <math>\;\left[ \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2}\, ,\, +\infty \right[\;</math><ref name="autre expression de x rendant la phase extrémale" /> » et {{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, }}<math>\succ\;</math>« si <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0} < 1\;</math>» le « signe de <math>\;\dfrac{d \varphi}{dx}(x)\;</math> est celui de <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0}\;x^2 - 1\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;0 < \dfrac{\alpha}{H_0} < 1\;</math>», «<math>\;\dfrac{d \varphi}{dx}(x) \left\lbrace \begin{array}{l} > 0\;&\text{si }\;x > \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}}= \sqrt{x_2}\\ < 0\;&\text{si }\;x < \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="autre expression de x rendant la phase extrémale" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi(x) \searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\, ,\, \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2} \right]\;</math><ref name="autre expression de x rendant la phase extrémale" /> puis <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ \sqrt{\dfrac{H_0}{\alpha}} = \sqrt{x_2}\, ,\, +\infty \right[\;</math><ref name="autre expression de x rendant la phase extrémale" /> », <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« si <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0} < 0\;</math>», «<math>\;\dfrac{d \varphi}{dx}(x) < 0\;\;\forall x\;</math>»<ref> Car <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0}\;x^2 - 1 < 0\;\forall x</math>.</ref> correspondant à «<math>\;\varphi(x) \searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\, ,\, +\infty \right[\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, }}on poursuit en déterminant les équivalents B.F<ref name="B.F." />. et H.F<ref name="H.F." />. de la phase à partir de ceux de la fonction de transfert soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit }}<math>\succ\;</math>équivalent B.F<ref name="B.F." />. «<math>\;\underline{H}_{B.F.}(j\,x) \sim \alpha\;</math>» réalisé si «<math>\;x \lesssim \dfrac{1}{10}\;\inf\! \left( 1\, ,\, \dfrac{\vert H_0 \vert}{\vert \alpha \vert} = x_2 \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'asymptote B.F<ref name="B.F." />. «<math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.}</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{l} 0&\;\text{si }H_0 > 0\\ \pm \pi&\;\text{si }H_0 < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="argument de -1 - ter" />{{,}}<ref name="cas où H0 et alpha sont négatifs"> Dans le cas où <math>\;H_0 < 0\;</math> et <math>\;\alpha < 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0} > 1</math>, on choisit les équivalents B.F. et H.F. des asymptotes de la courbe de phase selon <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.} = -\pi\;</math> et <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.} = -\pi\;</math> de façon à ce que les valeurs intermédiaires aient les plus petites valeurs.</ref>{{,}}<ref name="cas où H0 et alpha sont négatifs - bis"> Dans le cas où <math>\;H_0 < 0\;</math> et <math>\;\alpha < 0\;</math> avec <math>\;0 < \dfrac{\alpha}{H_0} < 1</math>, on choisira les équivalents B.F. et H.F. des asymptotes de la courbe de phase selon <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.} = +\pi\;</math> et <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.} =</math> <math>+\pi\;</math> de façon à ce que les valeurs intermédiaires aient les plus petites valeurs.</ref>{{,}}<ref name="cas où H0 et alpha sont de signe contraire"> Dans le cas de <math>\;\dfrac{\alpha}{H_0} < 0</math>, on choisira les équivalents B.F. ou H.F. des asymptotes de la courbe de phase selon : * <math>\;H_0 > 0\;</math> et <math>\;\alpha < 0</math>, <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.} = -\pi\;</math> pour que la <math>\;\searrow\;</math> se fasse de <math>\;0\;</math> à <math>\;-\pi</math>, * <math>\;H_0 < 0\;</math> et <math>\;\alpha > 0</math>, <math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,B.F.} = +\pi\;</math> pour que la <math>\;\searrow\;</math> se fasse de <math>\;+\pi\;</math> à <math>\;0</math>..</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, on poursuit }}<math>\succ\;</math>équivalent H.F<ref name="H.F." />. «<math>\;\underline{H}_{B.F.}(j\,x) \sim H_0\;</math>» réalisé si «<math>\;x \gtrsim 10\;\sup\! \left( 1\, ,\, \dfrac{\vert H_0 \vert}{\vert \alpha \vert} = x_2 \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'asymptote H.F<ref name="H.F." />. {{Nobr|«<math>\;\varphi_{\text{asymptote}\,H.F.}</math>}} <math>= \left\lbrace \begin{array}{l} 0&\;\text{si }\alpha > 0\\ \pm \pi&\;\text{si }\alpha < 0\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="argument de -1 - ter" />{{,}}<ref name="cas où H0 et alpha sont négatifs" />{{,}}<ref name="cas où H0 et alpha sont négatifs - bis" />{{,}}<ref name="cas où H0 et alpha sont de signe contraire" /> ; {{Al|11}}{{Transparent|Pour tracer la courbe de phase du diagramme de Bode, }}pour le tracé effectif de la courbe de phase dans le cas particulier où <math>\;0 < H_0 < \alpha</math> <math>\;\big(</math>correspondant à un passe-bas<math>\big)</math>, voir la courbe en tiretés rouge dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Superposition_de_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H2(jx)_et_de_celle_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_«_partielle_»_de_transfert_H1(jx)_du_1er_ordre_fondamental_suivi_de_l'ajout_des_deux_courbes_de_phase_pour_obtenir_la_courbe_de_phase_du_diagramme_de_Bode_de_la_fonction_de_transfert_du_1er_ordre_non_fondamental_à_transfert_statique_non_nul|superposition de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₂</u>(jx) et de celle du diagramme de Bode de la fonction partielle de transfert <u>H₁</u>(jx) du 1^er ordre fondamental suivi de l'ajout des deux courbes de phase pour obtenir la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul]] » plus haut dans ce chapitre, le tracé dans les autres cas pouvant être obtenu de la même façon par utilisation d'un calculateur. == Différentes fonctions de transfert du 2^ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F. == {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_2ème_partie#Différentes_fonctions_de_transfert_du_2ème_ordre_et_leur_diagramme_de_Bode_associé,_comportements_asymptotiques_B.F._ou_H.F.|Différentes fonctions de transfert du 2^ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ». == Système du 1^er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal == === Réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω === {{Définition|titre=Réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω| contenu ={{Al|5}}Étant donné un filtre linéaire de fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,\omega)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Étant donné }}un signal sinusoïdal de pulsation <math>\;\omega\;</math> variable et de valeur efficace <math>\;X_e\;</math> fixée, <br>{{Al|5}}on appelle « réponse fréquentielle de ce filtre au signal sinusoïdal de valeur efficace complexe <math>\;\underline{X_e}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On appelle }}l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » soit <center><math>\;\left\lbrace \underline{Y_s}(j\,\omega) = \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e} \right\rbrace_{\forall\;\omega}</math>.</center>}} === Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω === {{Al|5}}Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre fondamental «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{y_s}(t)}{\underline{x_e}(t)} = \dfrac{H_0}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre fondamental }}avec «<math>\;H_0 \in \mathbb{R}^{*}\;</math> homogène au transfert harmonique et <math>\;\tau \in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à un temps », <br>{{Al|5}}l'équation différentielle en <math>\;\underline{y_s}(t)\;</math> associée au signal instantané complexe d'entrée <math>\;\underline{x_e}(t)\;</math> se retrouve <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> }}à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «<math>\;\left( 1 + j\,\tau\,\omega \right) \underline{y_s}(t) = H_0\;\underline{x_e}(t)\;</math>» d'une part et <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> à partir de la fonction de transfert }}en remplaçant la « multiplication par <math>\;j\,\omega\;</math>» par la « dérivation temporelle » d'autre part d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> }}«<math>\;\left( 1 + \tau\,\dfrac{d}{dt} \right) \underline{y_s}(t) = H_0\;\underline{x_e}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> }}en revenant aux grandeurs sinusoïdales, «<math>\;\tau\;\dfrac{d y_s}{dt}(t) + y_s(t) = H_0\;x_e(t)\;</math>»<ref name="conventions de normalisation"> La convention de normalisation de la fonction de transfert « cœfficient de degré <math>\;0\;</math> du dénominateur égal à <math>\;1\;</math>» ne correspond pas à celle de normalisation de l'équation différentielle « cœfficient de la dérivée de plus haut ordre égal à <math>\;1\;</math>», mais cela n'est nullement gênant.</ref>{{,}}<ref name="excitation et signal d'entrée"> On rappelle qu'en termes d'équation différentielle l'excitation est le 2^nd membre de l'équation différentielle quand celle-ci est normalisée <math>\;\big(</math>ce qui n'est pas le cas ici<math>\big)\;</math> et non le signal d'entrée du filtre même si on trouve parfois cette confusion par abus.</ref>. {{Al|5}}La « réponse fréquentielle du filtre du 1^er ordre fondamental de fonction de transfert <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math> au signal sinusoïdal de pulsation <math>\;\omega\;</math> variable et de valeur efficace <math>\;X_e\;</math> fixée<ref name="réponse fréquentielle"> Voir la définition donnée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Réponse_fréquentielle_d'un_filtre_linéaire_à_un_signal_sinusoïdal_de_pulsation_ω|réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> » est <center>l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » c.-à-d. <br>«<math>\;\left\lbrace \underline{Y_s}(j\,\omega) = \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e} = \dfrac{H_0}{1 + j\,\tau\,\omega}\;\underline{X_e} \right\rbrace_{\forall\;\omega}\;</math>».</center> === Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle === {{Al|5}}Connaissant la « réponse fréquentielle <math>\;\underline{Y_s}(j\,\omega) = \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e}\;</math> dont la forme trigonométrique s'écrit <math>\;\underline{Y_s}(j\,\omega) = Y_s(\omega)\;\exp\! \left[ j\,\varphi_s(\omega) \right]\;</math>», on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}la « réponse temporelle <math>\;y_s(t)\;</math>» en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{y_s}(t) = \underline{Y_s}(j\,\omega)\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» selon <center>«<math>\;y_s(t) = Y(\omega)\;\sqrt{2}\;\cos\! \left[ \omega\,t + \varphi_s(\omega) \right]\;</math>» avec <br>{{Al|22}}«<math>\;Y(\omega) = \vert \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e} \vert = G(\omega)\;X_e\;</math>» où <br>{{Al|109}}«<math>\;G(\omega) = \vert \underline{H}(j\,\omega) \vert\;</math> est le gain du filtre » et <br>{{Al|30}}«<math>\;\varphi_s(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e} \right] = \varphi(\omega) + \varphi_e\;</math>» où <br>{{Al|127}}«<math>\;\varphi(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{H}(j\,\omega) \right]\;</math> est la phase du filtre » ;</center> {{Al|5}}il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle <math>\;y_s(t) = Y(\omega)\;\sqrt{2}\;\cos\! \left[ \omega\,t + \varphi_s(\omega) \right]\;</math> au signal d'entrée <math>\;x_e(t) = X_e\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_e)\;</math>» suivant la valeur de la pulsation de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|il est intéressant }}connaissant le diagramme de Bode<ref name="Bode" /> et la pulsation de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> «<math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\;</math>» du filtre : {{Al|5}}{{Transparent|il est intéressant }}<math>\succ\;</math>« à B.F<ref name="B.F." />. c.-à-d. si <math>\;\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}\;</math>», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{H_0}{1 \cancel{+ j\,\tau\,\omega}} \sim H_0\;</math>» nous en déduisons <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à B.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}}\;</math>», }}son « équivalent en équation différentielle <math>\;\cancel{\tau\, \dfrac{d y_s}{dt}(t) +} y_s(t) = H_0\,x_e(t)\;</math>» établissant que <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à B.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}}\;</math>», }}<u>la réponse temporelle est égale au signal d'entrée multiplié par le transfert statique</u><ref> Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert de gain <math>\;G_{B.F.} = \vert H_0 \vert\;</math> et de phase <math>\;\varphi_{B.F.} = \mathrm{arg}\! \left[ H_0 \right]</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|il est intéressant }}<math>\succ\;</math>« à H.F<ref name="H.F." />. c.-à-d. si <math>\;\omega \gtrsim 10\;\omega_0\;</math>», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{H_0}{\cancel{1 +} j\,\tau\,\omega} \sim \dfrac{H_0}{j\,\tau\,\omega}\;</math>» nous en déduisons <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à H.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega_0}\;</math>», }}son « équivalent en équation différentielle <math>\;\tau\, \dfrac{d y_s}{dt}(t) \cancel{+ y_s(t)} = H_0\,x_e(t)\;</math>» ou «<math>\;y_s(t) = \dfrac{H_0}{\tau}\,\displaystyle\int_0^t x_e(t')\;dt'\;</math>» établissant que <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à H.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega_0}\;</math>», }}<u>la réponse temporelle</u><math>\;=\;</math>la primitive</u><math>\;\big(</math><u>de valeur moyenne nulle</u><math>\big)\;</math><u>du signal d'entrée multipliée par le taux horaire de transfert statique</u> {{Nobr|<math>\;\dfrac{H_0}{\tau}\;</math><ref> Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert de gain <math>\;G_{H.F.} = \dfrac{\vert H_0 \vert}{\omega}\;</math> et de phase <math>\;\varphi_{H.F.} = \mathrm{arg}\! \left[ H_0 \right] - \dfrac{\pi}{2}</math>, une primitive ayant une valeur efficace divisée par <math>\;\omega\;</math> et étant en quadrature retard sur la fonction dont c'est la primitive.</ref>,}} <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à H.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega_0}\;</math>», }}le système du 1^er ordre fondamental étant en effet équivalent, à H.F<ref name="H.F." />., à un <u>circuit pseudo-intégrateur</u><ref name="circuit pseudo-intégrateur"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Interprétation_de_«_l'équivalent_H.F._»_de_la_fonction_de_transfert_:_circuit_«_pseudo_intégrateur_»|interprétation de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo intégrateur]] (concernant la fonction de transfert du 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à H.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega_0}\;</math>», }}en accord avec l'existence d'une asymptote H.F<ref name="H.F." />. de la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> de pente <math>\;-20dB / \text{décade}\;</math><ref name="circuit pseudo-intégrateur" />. === Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux === ==== Énoncé du théorème de superposition ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère linéaire de l'équation différentielle ainsi que <br>{{Al|9}}{{Transparent|Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère }}celui de l'excitation relativement aux excitations individuelles <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, le caractère linéaire }}a pour conséquence que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire }}la recherche d'une solution forcée de l'équation différentielle correspondant à l'excitation somme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Dans une équation différentielle linéaire la recherche d'une solution forcée }}peut être simplifiée en autant de recherches de solution forcée de l'équation différentielle correspondant à chaque excitation individuelle ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}on peut alors énoncer le théorème de superposition. {{Théorème|titre=Théorème de superposition|contenu={{Al|5}}Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, <center>« la réponse forcée de l'équation différentielle à l'excitation somme est <br>la somme des réponses forcées de l'équation différentielle à chaque excitation prise individuellement ».</center>}} ==== Réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux ==== {{Al|5}}Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition<ref name="théorème de superposition"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Énoncé_du_théorème_de_superposition|énoncé du théorème de superposition]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le système étant linéaire, }}on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode#Détermination_de_la_réponse_temporelle_d'un_système_linéaire_du_1er_ordre_fondamental_à_un_signal_sinusoïdal_de_pulsation_ω_à_partir_de_sa_réponse_fréquentielle|détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle]] »<math>\big)\;\ldots</math> === Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal === ==== Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et généralités sur la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle ==== {{Al|5}}On associe au signal périodique d'entrée <math>\;x_E(t)\;</math> de fréquence <math>\;f_e\;</math> sa représentation fréquentielle <math>\;\left\lbrace C_{0,\,E}\, ;\, \underline{C_{p,\,e}}\; p \in \mathbb{N}^{*} \right\rbrace\;</math><ref name="notation harmoniques d'entrée"> <math>\;C_{0,\,E}\;</math> étant l'éventuelle composante permanente et <math>\;\underline{C_{p,\,e}}\;</math> la valeur efficace complexe de l'harmonique de rang <math>\;p\;</math> de fréquence <math>\;p\;f_e</math>.</ref> et {{Al|5}}on applique de nouveau le théorème de superposition<ref name="théorème de superposition" />, chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe «<math>\;\underline{C_{p,\,s}}(j\,2\,\pi\,p\,f_e) =</math> <math>\underline{H}(j\,2\,\pi\,p\,f_e)\;\underline{C_{p,\,e}}\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», la composante permanente<ref name="continue" /> du signal de sortie étant «<math>\;C_{0,\,S} = H_0\; C_{0,\,E}\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|on applique de nouveau le théorème de superposition, }}l'« ensemble <math>\;\left\lbrace C_{0,\,S}\, ;\, \underline{C_{p,\,s}}\; p \in \mathbb{N}^{*} \right\rbrace\;</math> définissant <u>la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal</u> » ; {{Al|12}}{{Transparent|on applique de nouveau le théorème de superposition, }}il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier<ref name="Fourier"> '''[[w:Joseph_Fourier|Joseph Fourier]] (1768 – 1830)''' mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur <math>\ldots</math></ref> pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un <u>signal créneau symétrique</u> » : ==== Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée ==== [[File:Sortie d'un passe-bas avec créneau en entrée.png|thumb|390px|Superposition du créneau d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>30\; Hz\;</math> et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique <math>\;H_0 = 1\;</math> et de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal créneau symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitude</u><math>\;U_m\;</math><u>et de fréquence</u>{{Nobr|<math>\;f_e\;</math><ref name="représentation fréquentielle d'un créneau"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Exemple_d'un_signal_créneau_symétrique|exemple d'un signal créneau symétrique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », les valeurs fournies dans le paragraphe précité ne correspondant qu'à l'amplitude des harmoniques devant être complétées pour donner l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Passage_du_premier_au_second_développement_en_série_de_Fourier|passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> :}} {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace C_{0,\,E} = 0\, ;\, \underline{C_{2\,n + 1,\,e}} = -\dfrac{2\,U_m\,\sqrt{2}}{\pi}\,\dfrac{j}{2\,n + 1}\; n \in \mathbb{N} \right\rbrace\;</math>»<ref name="valeur efficace et non amplitude"> On rappelle que dans la représentation fréquentielle on donne la valeur efficace complexe et non l'amplitude complexe de chaque harmonique d'où la différence par rapport aux évaluations faites dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Exemple_d'un_signal_créneau_symétrique|exemple d'un signal créneau symétrique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>}} soit une <math>\;\searrow\;</math> lente en <math>\;\dfrac{1}{p} =</math> <math>\dfrac{1}{2\,n + 1}\;</math> de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang <math>\;30\;</math> pour reconstituer approximativement le signal créneau <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Nombre_minimal_de_premiers_harmoniques_nécessaire_pour_reconstruire_un_signal_créneau_symétrique|nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Choix du filtre et ses propriétés</u> : nous choisissons un passe-bas du 1^er ordre fondamental<ref name="propriétés d'un 1er ordre fondamental"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_gain_du_diagramme_de_Bode|tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre fondamental) » plus haut dans ce chapitre.</ref> de « fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0</math> <math>= 10\, kHz\;</math>» et de « transfert statique <math>\;H_0 = 1\;</math>»<ref> Par exemple un <math>\;R\, C\;</math> série avec sortie ouverte aux bornes de <math>\;C</math>, le transfert étant l'amplification complexe en tension avec <math>\;R = 1\, k \Omega\;</math> et <math>\;C = 16\, nF</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Choix du filtre et ses propriétés : }}la zone « passe-bas sans atténuation étant <math>\;\left[ 0\, ,\, \dfrac{f_0}{10} = 1\, kHz \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Choix du filtre et ses propriétés : }}la « zone quasi absente en sortie <math>\;\big(</math>ou zone intégrative<ref name="zone intégrative"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Interprétation_de_«_l'équivalent_H.F._»_de_la_fonction_de_transfert_:_circuit_«_pseudo_intégrateur_»|interprétation de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo intégrateur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math> <math>\;\left[ 10\,f_0 = 100\, kHz\, ,\, +\infty \right[\;</math>». {{Al|5}}<u>Condition de fréquence pour obtenir un signal créneau en sortie</u> : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal créneau doivent être dans la zone passe-bas sans atténuation c.-à-d. que le 30^ème harmonique doit y être soit «<math>\;30\; fe \lesssim \dfrac{f_0}{10}\;</math>» ou «<math>\;f_e \lesssim \dfrac{f_0}{300} \simeq</math> {{Nobr|<math>33\, Hz\;</math>»<ref name="condition B.F. trop restrictive"> Toutefois en pratique cette condition est trop restrictive, avec une fréquence supérieure <math>\;\big(</math>néanmoins sans excès<math>\big)\;</math> à <math>\;33\, Hz\;</math> on observe aussi un créneau en sortie sans trop de distorsion.</ref>,}} voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 30\, Hz\;</math>». [[File:Sortie d'un passe-bas avec créneau en entrée - bis.png|thumb|left|390px|Superposition du créneau d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>100\; kHz\;</math> et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique <math>\;H_0 = 1\;</math> et de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> en fonctionnement intégrateur <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en </u>{{Nobr|<u>sortie</u><ref> Un signal triangulaire étant le signal primitive à valeur moyenne nulle du signal créneau.</ref> :}} les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire<ref name="constitution d'un triangulaire"> On estime qu'il faut superposer les harmoniques jusqu'au rang <math>\;3\;</math> pour constituer approximativement le signal triangulaire.</ref> doivent être dans la zone intégrative c.-à-d. qu'il suffit que le 1^er harmonique y soit <math>\;\big(</math>puisque le 3^ème est de fréquence plus élevée<math>\big)\;</math> soit «<math>\;fe \gtrsim 10\;f_0 = 100\,kHz\;</math>»<ref name="condition H.F. trop restrictive"> Là encore en pratique cette condition est trop restrictive, avec une fréquence inférieure <math>\;\big(</math>néanmoins sans excès<math>\big)\;</math> à <math>\;100\, kHz\;</math> on observe aussi un triangulaire en sortie sans trop de distorsion.</ref>, voir ci-contre à gauche la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 100\, kHz\;</math>» <math>\big[</math>on observera par contre que l'amplitude du signal triangulaire est d'autant plus faible que la fréquence du signal créneau d'entrée est éloignée de la fréquence minimale dans l'intervalle de fréquences de la zone intégrative<ref> Avec une fréquence <math>\;f_e = f_{\text{intégrative, inf}} = 10\;f_0 = 100\,kHz\;</math> on trouve une amplitude du signal de sortie <math>\;\simeq 0,15\,U_m\;</math> mais <br>{{Al|2}}avec {{Transparent|une fréquence }}<math>\;f_e = 10\;f_{\text{intégrative, inf}} = 100\;f_0 = 1\,MHz\;</math> celle-ci serait <math>\;10\;</math> fois plus faible <math>\;\big(</math>car le gain H.F. du filtre est inversement proportionnel à la fréquence du signal<math>\big)\;</math> et par suite le signal serait inobservable pratiquement car noyé dans les parasites.</ref><math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau ne sont pas dans la zone passe-bas</u> : considérant un signal créneau de fréquence <math>\;f_e = 1\,kHz\;</math> on constate que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau }}seul l'harmonique fondamental est dans la zone {{Nobr|passe-bas,}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau }}les autres harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau c.-à-d. jusqu'au rang <math>\;30\;</math> étant dans la zone intermédiaire <math>\;\big(</math>le 29^ème harmonique nécessaire étant de fréquence <math>\;29\,kHz\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau }}la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant du signal d'entrée, lui reste assez proche, voir ci-dessous à gauche la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 1\, kHz\;</math>». {{Al|5}}<u>Cas où les 1^ers harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal triangulaire ne sont pas dans la zone intégrative</u> : considérant un signal créneau de fréquence <math>\;f_e = 10\,kHz\;</math> on constate que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal triangulaire }}le 1^er harmonique se trouvant dans la zone intégrative est celui de rang <math>\;11</math>, les harmoniques de rang plus faible étant dans la zone intermédiaire, [[File:Sortie d'un passe-bas avec créneau en entrée - ter.png|thumb|left|450px|Superposition du créneau d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>1\; kHz\;</math> et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique <math>\;H_0 = 1\;</math> et de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)</math>, seul l'harmonique fondamental étant dans la zone passe-bas]] [[File:Sortie d'un passe-bas avec créneau en entrée - tetra.png|thumb|right|450px|Superposition du créneau d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>10\; kHz\;</math> et de la sortie d'un passe-bas du 1^er ordre fondamental de transfert statique <math>\;H_0 = 1\;</math> et de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)</math>, seuls les harmoniques à partir du rang <math>\;11\;</math> étant dans la zone intégrative]] {{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécess. }}la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant du signal primitive de valeur moyenne nulle du signal d'entrée, est plus proche d'un signal triangulaire que d'un signal créneau, voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 10\, kHz\;</math>». {{clr}} === En complément : phénomène de Gibbs === {{Al|5}}Quand on réalise une synthèse de Fourier<ref name="Fourier" /> à partir d'une réponse fréquentielle, on tronque volontairement la synthèse en se limitant aux harmoniques de rang inférieur à une certaine valeur<ref> Pour des raisons évidentes si la superposition était faite à la main, mais aussi par principe si elle est faite à l'aide d'un calculateur.</ref>, ceux de rang supérieur ne jouant qu'un rôle secondaire ; ainsi a-t-on estimé que {{Al|13}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier à partir d'une réponse fréquentielle, }}le squelette créneau nécessitant une synthèse non tronquée avant l'harmonique <math>\;30</math>, peut être reconstitué à la sortie d'un passe-bas de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\,kHz\;</math> pour un signal créneau d'entrée de fréquence <math>\;f_e = 30\,Hz</math>, <math>\;\big(</math>les <math>\;30\;</math> 1^ers harmoniques du créneau étant dans la zone passe-bas du filtre<math>\big)\;</math> en notant néanmoins, sur le 1^er schéma du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Synthèse_de_Fourier_pour_déterminer_la_réponse_temporelle_du_filtre_à_un_signal_créneau_symétrique_d'entrée|synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée]] » plus haut dans ce chapitre, l'observation d'un « <u>dépassement d'au moins</u><math>\;9\; \%\;</math>»<ref> Ce qui se matérialise par des pseudo-oscillations dont les amplitudes les plus grandes font au moins <math>\;9\, \%\;</math> de l'amplitude du créneau.</ref> lors de la « tentative de reconstitution des <u>discontinuités de 1^ère espèce</u> du créneau<ref name="discontinuité de 1ère espèce"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Discontinuité_de_première_ou_deuxième_espèces_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable#Discontinuité_de_1ère_espèce_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_en_une_valeur_de_cette_dernière|discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> », <u>la cause en étant que la synthèse est tronquée trop tôt</u> pour la reconstitution de cette discontinuité de 1^ère espèce<ref name="discontinuité de 1ère espèce" />, les harmoniques de rang supérieur à <math>\;30\;</math> n'étant pas dans la zone passe-bas ; de même {{Al|13}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier à partir d'une réponse fréquentielle, }}le squelette triangulaire nécessitant une synthèse non tronquée avant l'harmonique <math>\;3\;</math><ref> Avec une règle très approximative estimant qu'il faut dix fois moins d'harmoniques pour reconstituer un signal que pour reconstituer son signal dérivé <math>\;\ldots</math></ref>, peut être reconstitué à la sortie du filtre passe-bas fonctionnant en pseudo-intégrateur de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\,kHz\;</math> pour un signal créneau d'entrée de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>100\,kHz</math>, <math>\;\big(</math>les <math>\;3\;</math> 1^ers harmoniques du triangulaire attendu étant dans la zone intégrative du filtre<math>\big)\;</math> en notant néanmoins, sur le 2^ème schéma du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Synthèse_de_Fourier_pour_déterminer_la_réponse_temporelle_du_filtre_à_un_signal_créneau_symétrique_d'entrée|synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal créneau symétrique d'entrée]] » plus haut dans ce chapitre, l'observation d'un « <u>retrait</u> »<ref name="retrait"> Ou arrondi.</ref> lors de la « tentative de reconstitution de la <u>pointe</u><ref name="pointe"> Une « pointe » correspond à une discontinuité de 1^ère espèce de la dérivée.</ref> du triangulaire », <u>la cause en étant que la synthèse est tronquée trop tôt</u> pour la reconstitution de cette pointe<ref name="pointe" /> par la limite pratique supérieure de la zone intégrative <math>\;\big[</math>cette limite pratique supérieure n'étant pas <math>\;+ \infty</math>, les valeurs de la résistance et de la capacité ne restant pas constantes pour des fréquences trop élevées<math>\;\ldots\big]</math> ; {{Al|13}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier }}ce « <u>dépassement d'au moins</u><math>\;9\; \%\;</math>» lors de la tentative de reconstitution des <u>discontinuités de 1^ère espèce</u><ref name="discontinuité de 1ère espèce" /> du créneau ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier }}ce « <u>retrait</u> »<ref name="retrait" />{{Al|32}}lors de la tentative de reconstitution de la <u>pointe</u><ref name="pointe" /> du triangulaire <br>{{Al|12}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins<math>\;\color{transparent}{9\; \%}\;</math>» }}portent le nom de « <u>[[w:Phénomène_de_Gibbs|phénomène de Gibbs]]</u> »<ref name="Gibbs"> '''[[w:Willard_Gibbs|Josiah Willard Gibbs]] (1839 - 1903)''' physico-chimiste mathématicien américain, a appliqué la thermodynamique dans la [[w:Chimie_physique|chimie physique]], la rendant ainsi raisonnée et rigoureuse ; <br>{{Al|23}}avec '''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais et '''[[w:Ludwig_Boltzmann|Ludwig Eduard Boltzmann]] (1844 - 1906)''' physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la [[w:Physique_statistique|mécanique statistique]] qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ; <br>{{Al|23}}en mathématiques il est aussi, avec '''[[w:Olivier_Heaviside|Oliver Heaviside]] (1850 - 1925)''' physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'[[w:Analyse_vectorielle|analyse vectorielle]] ; <br>{{Al|23}}l'observation connue sous le nom « [[w:Phénomène_de_Gibbs|phénomène de Gibbs]] » a été découvert en <math>\;1848\;</math> par '''[[w:Henry_Wilbraham|Henry Wilbraham]] (1825 - 1883)''' mathématicien anglais et redécouvert par '''[[w:Willard_Gibbs|J.W.Gibbs]]''' en <math>\;1899</math>, c'est ce dernier qui trouva la cause mathématique de ce phénomène que l'on observe lors de l'étude des [[w:Série_de_Fourie|séries]] et [[w:Transformation_de_Fourier|transformées de Fourier]].</ref> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins<math>\;\color{transparent}{9\; \%}\;</math>» }}correspondent à l'absence des détails fins générés par des harmoniques de rang <math>\;>\;</math> à <math>\;30\;</math> pour un créneau ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier ce « dépassement d'au moins<math>\;\color{transparent}{9\; \%}\;</math>» correspondent à l'absence des détails fins générés par des harmoniques de rang }}<math>\;>\;</math> à <math>\;3\;</math> pour un triangulaire, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Quand on réalise une synthèse de Fourier }}le « [[w:Phénomène_de_Gibbs|phénomène de Gibbs]] »<ref name="Gibbs" /> apparaît donc dès que la synthèse est tronquée volontairement de façon abrupte lors de la reconstitution numérique ou à la sortie d'un filtre par limite de la zone indispensable. == Système du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal == {{Al|5}}Cette étude n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle est aussi importante que celle du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Système_du_1er_ordre_fondamental_et_détermination_de_sa_réponse_temporelle_à_un_signal_sinusoïdal,_à_une_somme_finie_de_signaux_sinusoïdaux_ou_à_un_signal_périodique_non_sinusoïdal|Système du 1^er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal]] » plus haut dans ce chapitre et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Cette étude n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. }}et elle ne présente aucune difficulté supplémentaire par rapport à l'étude faite dans ce dernier. === Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω === {{Al|5}}Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul «<math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{\underline{y_s}(t)}{\underline{x_e}(t)} = \dfrac{j\,\beta\,\omega}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul }}avec «<math>\;\beta \in \mathbb{R}^{*}\;</math> homogène au transfert harmonique multiplié par un temps » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul avec }}«<math>\;\tau \in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math> homogène à un temps », <br>{{Al|5}}l'équation différentielle en <math>\;\underline{y_s}(t)\;</math> associée au signal instantané complexe d'entrée <math>\;\underline{x_e}(t)\;</math> se retrouve <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> }}à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «<math>\;\left( 1 + j\,\tau\,\omega \right) \underline{y_s}(t) = j\,\beta\,\omega\;\underline{x_e}(t)\;</math>» d'une part et <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> à partir de la fonction de transfert }}en remplaçant la « multiplication par <math>\;j\,\omega\;</math>» par la « dérivation temporelle » d'autre part d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> }}«<math>\;\left( 1 + \tau\,\dfrac{d}{dt} \right) \underline{y_s}(t) = \beta\,\dfrac{d}{dt} \underline{x_e}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation différentielle en <math>\;\color{transparent}{\underline{y_s}(t)}\;</math> }}en revenant aux grandeurs sinusoïdales, «<math>\;\tau\;\dfrac{d y_s}{dt}(t) + y_s(t) = \beta\;\dfrac{d x_e}{dt}(t)\;</math>»<ref name="conventions de normalisation" />{{,}}<ref name="excitation et signal d'entrée" />. {{Al|5}}La « réponse fréquentielle du filtre du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{j\,\beta\,\omega}{1 + j\,\tau\,\omega}\;</math> au signal sinusoïdal de pulsation <math>\;\omega\;</math> variable et de valeur efficace <math>\;X_e\;</math> fixée<ref name="réponse fréquentielle" /> » est <center>l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » c.-à-d. <br>«<math>\;\left\lbrace \underline{Y_s}(j\,\omega) = \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e} = \dfrac{j\,\beta\,\omega}{1 + j\,\tau\,\omega}\;\underline{X_e} \right\rbrace_{\forall\;\omega}\;</math>».</center> === Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle === {{Al|5}}Connaissant la « réponse fréquentielle <math>\;\underline{Y_s}(j\,\omega) = \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e}\;</math> dont la forme trigonométrique s'écrit <math>\;\underline{Y_s}(j\,\omega) = Y_s(\omega)\;\exp\! \left[ j\,\varphi_s(\omega) \right]\;</math>», on obtient <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}la « réponse temporelle <math>\;y_s(t)\;</math>» en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{y_s}(t) = \underline{Y_s}(j\,\omega)\;\sqrt{2}\;\exp\! \left( j\,\omega\,t \right)\;</math>» selon <center>«<math>\;y_s(t) = Y(\omega)\;\sqrt{2}\;\cos\! \left[ \omega\,t + \varphi_s(\omega) \right]\;</math>» avec <br>{{Al|22}}«<math>\;Y(\omega) = \vert \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e} \vert = G(\omega)\;X_e\;</math>» où <br>{{Al|109}}«<math>\;G(\omega) = \vert \underline{H}(j\,\omega) \vert\;</math> est le gain du filtre » et <br>{{Al|30}}«<math>\;\varphi_s(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{H}(j\,\omega)\;\underline{X_e} \right] = \varphi(\omega) + \varphi_e\;</math>» où <br>{{Al|127}}«<math>\;\varphi(\omega) = \mathrm{arg}\! \left[ \underline{H}(j\,\omega) \right]\;</math> est la phase du filtre » ;</center> {{Al|5}}il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle <math>\;y_s(t) = Y(\omega)\;\sqrt{2}\;\cos\! \left[ \omega\,t + \varphi_s(\omega) \right]\;</math> au signal d'entrée <math>\;x_e(t) = X_e\;\sqrt{2}\;\cos(\omega\,t + \varphi_e)\;</math>» suivant la valeur de la pulsation de ce dernier <br>{{Al|5}}{{Transparent|il est intéressant }}connaissant le diagramme de Bode<ref name="Bode" /> et la pulsation de coupure à <math>\;-3\;dB\;</math> «<math>\;\omega_0 = \dfrac{1}{\tau}\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|il est intéressant }}<math>\succ\;</math>« à B.F<ref name="B.F." />. c.-à-d. si <math>\;\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}\;</math>», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{j\,\beta\,\omega}{1 \cancel{+ j\,\tau\,\omega}} \sim j\,\beta\,\omega\;</math>» nous en déduisons <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à B.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}}\;</math>», }}son « équivalent en équation différentielle <math>\;\cancel{\tau\, \dfrac{d y_s}{dt}(t) +} y_s(t) = \beta\;\dfrac{d x_e}{dt}(t)\;</math>» établissant que <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à B.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}}\;</math>», }}<u>la réponse temporelle est égale à la dérivée du signal d'entrée multipliée par le cœfficient</u><math>\;\beta\;</math><ref> Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert de gain <math>\;G_{B.F.} = \vert \beta \vert \omega\;</math> et de phase <math>\;\varphi_{B.F.} = \mathrm{arg}\! \left[ j\,\beta \right] = \mathrm{arg}\! \left[ \beta \right] + \dfrac{\pi}{2}</math>, une dérivée ayant une valeur efficace multipliée par <math>\;\omega\;</math> et étant en quadrature avance sur la fonction dont c'est la dérivée.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à B.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}}\;</math>», }}le système du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul étant en effet équivalent, à B.F<ref name="B.F." />., à un <u>circuit pseudo-dérivateur</u><ref name="circuit pseudo-dérivateur"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Interprétation_de_«_l'équivalent_B.F._»_de_la_fonction_de_transfert_:_circuit_«_pseudo_dérivateur_»|interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo dérivateur]] (concernant la fonction de transfert du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à B.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \lesssim \dfrac{\omega_0}{10}}\;</math>», }}en accord avec l'existence d'une asymptote B.F<ref name="B.F." />. de la courbe de gain du diagramme de Bode<ref name="Bode" /> de pente <math>\;+20dB / \text{décade}\;</math><ref name="circuit pseudo-dérivateur" />, {{Al|5}}{{Transparent|il est intéressant }}<math>\succ\;</math>« à H.F<ref name="H.F." />. c.-à-d. si <math>\;\omega \gtrsim 10\;\omega_0\;</math>», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant <math>\;\underline{H}(j\,\omega) = \dfrac{j\,\beta\,\omega}{\cancel{1 +} j\,\tau\,\omega} \sim \dfrac{\beta}{\tau}\;</math>» nous en déduisons <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à H.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega_0}\;</math>», }}son « équivalent en équation différentielle <math>\;\tau\, \dfrac{d y_s}{dt}(t) \cancel{+ y_s(t)} = \beta\;\dfrac{d x_e}{dt}(t)\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à H.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega_0}\;</math>», }}en prenant les primitives <math>\;\big(</math>de valeur moyenne nulle<math>\big)\;</math> de chaque membre, «<math>\;y_s(t) = \dfrac{\beta}{\tau}\;x_e(t)\;</math>» établissant que <br>{{Al|11}}{{Transparent|il est intéressant <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« à H.F. c.-à-d. si <math>\;\color{transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega_0}\;</math>», }}<u>la réponse temporelle est égale au signal d'entrée multiplié par le cœfficient horaire</u><math>\;\dfrac{\beta}{\tau}\;</math><ref> Ce qu'on retrouve à partir de l'équivalent H.F. de la fonction de transfert de gain <math>\;G_{H.F.} = \dfrac{\vert \beta \vert}{\tau}\;</math> et de phase <math>\;\varphi_{H.F.} = \mathrm{arg}\! \left[ \beta \right]</math>.</ref>. === Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux === {{Al|5}}Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition<ref name="théorème de superposition" /> et {{Al|5}}{{Transparent|Le système étant linéaire, }}on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Détermination_de_la_réponse_temporelle_d'un_système_linéaire_du_1er_ordre_non_fondamental_avec_transfert_statique_nul_à_un_signal_sinusoïdal_de_pulsation_ω_à_partir_de_sa_réponse_fréquentielle|détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle]] »<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> === Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal === ==== Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et rappel de la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle ==== {{Al|5}}On associe au signal périodique d'entrée <math>\;x_E(t)\;</math> de fréquence <math>\;f_e\;</math> sa représentation fréquentielle <math>\;\left\lbrace C_{0,\,E}\, ;\, \underline{C_{p,\,e}}\; p \in \mathbb{N}^{*} \right\rbrace\;</math><ref name="notation harmoniques d'entrée" /> et {{Al|5}}on applique de nouveau le théorème de superposition<ref name="théorème de superposition" />, chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe «<math>\;\underline{C_{p,\,s}}(j\,2\,\pi\,p\,f_e) =</math> <math>\underline{H}(j\,2\,\pi\,p\,f_e)\;\underline{C_{p,\,e}}\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», la composante permanente<ref name="continue" /> du signal de sortie étant nulle par absence de transfert statique du filtre soit «<math>\;C_{0,\,S} = 0\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|on applique de nouveau le théorème de superposition, }}l'« ensemble <math>\;\left\lbrace C_{0,\,S} = 0\, ;\, \underline{C_{p,\,s}}\; p \in \mathbb{N}^{*} \right\rbrace\;</math> définissant <u>la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal</u> » ; {{Al|12}}{{Transparent|on applique de nouveau le théorème de superposition, }}il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier<ref name="Fourier" /> pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un <u>signal triangulaire symétrique</u> » : ==== Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal triangulaire symétrique d'entrée ==== [[File:Sortie d'un passe-haut avec triangulaire en entrée.png|thumb|390px|Superposition du triangulaire d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>30\; Hz\;</math> et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> et de gain H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} = 1\;</math> en fonctionnement dérivateur <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> avec une amplification d'un facteur <math>\;100</math>]] {{Al|5}}<u>Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal triangulaire symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitude</u><math>\;U_m\;</math><u>et de fréquence</u>{{Nobr|<math>\;f_e\;</math><ref name="représentation fréquentielle d'un triangulaire"> Revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Exemple_d'un_signal_triangulaire_symétrique|exemple d'un signal triangulaire symétrique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », les valeurs fournies dans le paragraphe précité ne correspondant qu'à l'amplitude des harmoniques devant être complétées pour donner l'amplitude complexe des harmoniques selon la méthode indiquée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Passage_du_premier_au_second_développement_en_série_de_Fourier|passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> :}} {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace C_{0,\,E} = 0\, ;\, \underline{C_{2\,n + 1,\,e}} = -\dfrac{4\,U_m\,\sqrt{2}}{\pi^2}\,\dfrac{1}{(2\,n + 1)^2}\; n \in \mathbb{N} \right\rbrace\;</math><ref name="valeur efficace et non amplitude" />}} soit une <math>\;\searrow\;</math> rapide en <math>\;\dfrac{1}{p^2} =</math> <math>\dfrac{1}{(2\,n + 1)^2}\;</math> de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang <math>\;3\;</math> pour reconstituer approximativement le signal triangulaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Nombre_minimal_de_premiers_harmoniques_nécessaire_pour_reconstruire_un_signal_triangulaire_symétrique|nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Choix du filtre et ses propriétés</u> : nous choisissons un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul<ref name="propriétés d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Tracé_de_la_courbe_de_gain_du_diagramme_de_Bode_2|tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode]] (d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, de « fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0</math> <math>= 10\, kHz\;</math>» et de « gain à H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} = 1\;</math>»<ref> Par exemple un <math>\;R\, C\;</math> série avec sortie ouverte aux bornes de <math>\;R</math>, le transfert étant l'amplification complexe en tension avec <math>\;R = 1\, k \Omega\;</math> et <math>\;C = 16\, nF</math>, le cœfficient <math>\;\beta\;</math> étant égal à <math>\;\tau = \dfrac{1}{\omega_0}</math>, le gain à H.F. valant <math>\;\dfrac{\beta}{\tau} = 1</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Choix du filtre et ses propriétés : }}la « zone quasi absente en sortie <math>\;\big(</math>ou zone dérivative<ref name="zone dérivative"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_1ère_partie#Interprétation_de_«_l'équivalent_B.F._»_de_la_fonction_de_transfert_:_circuit_«_pseudo_dérivateur_»|interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo dérivateur]] » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big)</math> étant <math>\;\left[ 0\, ,\, \dfrac{f_0}{10} = 1\, kHz \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Choix du filtre et ses propriétés : }}la « zone passe-haut sans atténuation <math>\;\left[ 10\,f_0 = 100\, kHz\, ,\, +\infty \right[\;</math>». {{Al|5}}<u>Condition de fréquence pour obtenir un signal créneau en sortie</u><ref> Un signal créneau étant le signal dérivée du signal triangulaire.</ref> : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal créneau doivent être dans la zone dérivative c.-à-d. que le 30^ème harmonique doit y être soit «<math>\;30\; fe \lesssim \dfrac{f_0}{10}\;</math>» ou «<math>\;f_e \lesssim \dfrac{f_0}{300} \simeq 33\, Hz\;</math>»<ref name="condition B.F. trop restrictive" /> voir ci-contre à droite la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 30\, Hz\;</math>»<ref name="phénomène de Gibbs - discontinuité de 1ère espèce du signal"> On y observe le phénomène de Gibbs lors de la tentative de reconstitution de chaque discontinuité de 1^ère espèce du signal de sortie ; si le tronquement de la synthèse de Fourier se faisait à un rang plus élevé, cela ne ferait pas disparaître le phénomène de Gibbs mais limiterait l'étendue spatiale des pseudo-oscillations sans que le dépassement ne disparaisse.</ref> <math>\;\big[</math>on observera par contre que l'amplitude du signal créneau est d'autant plus faible que la fréquence du signal triangulaire d'entrée est éloignée de la fréquence maximale dans l'intervalle de fréquences de la zone dérivative<ref> Avec une fréquence <math>\;f_e = \dfrac{f_{\text{dérivative, sup}}}{30} = \dfrac{f_0}{300} \simeq 33\,Hz \simeq 30\,Hz\;</math> on trouve une amplitude du signal de sortie <math>\;\simeq 0,002\,U_m\;</math> ce qui est déjà très petit <math>\;\big[</math>par exemple avec <math>\;U_m = 10\,V\;</math> on aurait une amplitude du créneau de sortie de <math>\;20\,mV\;</math> auquel risque de se superposer des parasites d'amplitude à peine plus faible<math>\big]\;</math> mais <br>{{Al|2}}avec {{Transparent|une fréquence }}<math>\;f_e =</math> <math>\dfrac{1}{10}\;\dfrac{f_{\text{dérivative, sup}}}{30} = \dfrac{f_0}{3000} \simeq 3,3\,Hz \simeq 3\,Hz\;</math> celle-ci serait <math>\;10\;</math> fois plus faible <math>\;\big(</math>car le gain B.F. du filtre est proportionnel à la fréquence du signal<math>\big)\;</math> et par suite le signal serait totalement inobservable car d'amplitude trop faible d'une part et totalement noyé dans les parasites d'autre part.</ref><math>\big]</math>. [[File:Sortie d'un passe-haut avec triangulaire en entrée - bis.png|thumb|left|390px|Superposition du triangulaire d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>100\; kHz\;</math> et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> et de gain H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} = 1\;</math> <math>\;\big(</math>en {{Nobr|rouge<math>\big)</math>}}]] {{Al|5}}<u>Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie</u> : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire<ref name="constitution d'un triangulaire" /> doivent être dans la zone passe-haut c.-à-d. qu'il suffit que le 1^er harmonique y soit <math>\;\big(</math>puisque le 3^ème est de fréquence plus élevée<math>\big)\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;fe \gtrsim 10\;f_0</math>}} <math>= 100\,kHz\;</math>»<ref name="condition H.F. trop restrictive" /> voir ci-contre à gauche la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 100\, kHz\;</math>»<ref name="phénomène de Gibbs - pointe du signal"> On y observe le phénomène de Gibbs lors de la tentative de reconstitution de chaque pointe du signal de sortie <math>\;\big(</math>on rappelle qu'une pointe de signal correspond à une discontinuité de 1^ère espèce de la dérivée de ce dernier<math>\big)</math> ; si le tronquement de la synthèse de Fourier se faisait à un rang plus élevé, cela ne ferait pas disparaître le phénomène de Gibbs mais limiterait l'étendue spatiale de l'arrondi.</ref>. {{Al|5}}<u>Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau ne sont pas dans la zone dérivative</u> : considérant un signal triangulaire de fréquence <math>\;f_e = 1\,kHz\;</math> on constate que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau }}seul l'harmonique fondamental est dans la zone dérivative, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal créneau }}les autres harmoniques nécessaires à la reconstitution d'un signal créneau c.-à-d. jusqu'au rang <math>\;30\;</math> étant dans la zone intermédiaire <math>\;\big(</math>le 29^ème harmonique nécessaire étant de fréquence <math>\;29\,kHz\big)</math>, la conséquence de ceci est que le signal de sortie, bien que différant de la dérivée du signal d'entrée, lui reste assez proche<ref> En étant d'amplitude nettement plus grande car l'harmonique fondamental étant de fréquence plus élevée est affecté d'un gain nettement plus grand.</ref> voir ci-dessous à gauche la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 1\, kHz\;</math>»<ref name="phénomène de Gibbs - discontinuité de 1ère espèce du signal" />. {{Al|5}}<u>Cas où les 1^ers harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal triangulaire ne sont pas dans la zone passe-haut</u> : considérant un signal triangulaire de fréquence <math>\;f_e = 10\,kHz\;</math> on constate que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal triangulaire }}le 1^er harmonique se trouvant dans la zone passe-haut est celui de rang <math>\;11</math>, les harmoniques de rang plus faible étant dans la zone intermédiaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas où tous les harmoniques nécessaires à la reconstitution du signal trinagulaire }}la conséquence de ceci est que le signal de sortie est assez différent d'un signal triangulaire voir ci-dessous à droite la « courbe rouge avec <math>\;f_e = 10\, kHz\;</math>»<ref name="phénomène de Gibbs - pointe du signal" />. [[File:Sortie d'un passe-haut avec triangulaire en entrée - ter.png|thumb|left|450px|Superposition du triangulaire d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>1\; kHz\;</math> et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> et de gain H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} = 1\;</math> <math>\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> avec une amplification d'un facteur <math>\;10</math>, seul l'harmonique fondamental étant dans la zone dérivative]] [[File:Sortie d'un passe-haut avec triangulaire en entrée - tetra.png|thumb|right|450px|Superposition du triangulaire d'entrée <math>\;\big(</math>en noir<math>\big)\;</math> de fréquence <math>\;f_e =</math> <math>10\; kHz\;</math> et de la sortie d'un passe-haut du 1^er ordre non fondamental de transfert statique nul, de fréquence de coupure à <math>\;-3\;dB</math>, <math>\;f_0 = 10\; kHz</math> et de gain H.F<ref name="H.F." />. <math>\;G_{H.F.} = 1\;</math> <math>\big(</math>en rouge<math>\big)</math>, seuls les harmoniques à partir du rang <math>\;11\;</math> étant dans la zone passe-haut]] {{clr}} == Système du 2^ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal == {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_2ème_partie#Système_du_2ème_ordre_du_type_«_réponse_en_intensité_d'un_R_L_C_série_soumis_à_une_tension_d'amplitude_constante_»_et_détermination_de_sa_réponse_temporelle_à_un_signal_sinusoïdal,_à_une_somme_finie_de_signaux_sinusoïdaux_ou_à_un_signal_périodique_non_sinusoïdal|Système du 2^ème ordre du type “ réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ” et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ». == Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative == {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Filtrage_linéaire_:_fonction_de_transfert_harmonique_et_diagramme_de_Bode,_2ème_partie#Cas_d'un_système_linéaire_à_plusieurs_étages,_cas_particulier_d'étages_identiques_en_r.s.f._et_intérêt_de_la_notion_d'impédance_complexe_itérative|Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Filtrage linéaire : signaux périodiques/]] | suivant = [[../Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie|Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2^ème partie]] }} 4q8xj5xi3ebqwyrok32qteca8v3e0uu 4 80727 982986 982862 2026-05-23T11:59:01Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 982986 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2026-05-22T12:23:25Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul résultat|5000 résultats}} au maximum {{PLURAL:5000|est disponible|sont disponibles}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! Gadget !! data-sort-type="number" | Nombre d’utilisateurs !! data-sort-type="number" | Utilisateurs actifs |- |Accessibility || 27 || 1 |- |AdvancedContribs || 45 || 1 |- |AncreTitres || 31 || 1 |- |Barre de luxe || 47 || 2 |- |CoinsArrondis || 95 || 0 |- |DeluxeHistory || 121 || 1 |- |EditZeroth || 4 || 1 |- |FastRevert || 35 || 3 |- |FlecheHaut || 56 || 1 |- |HotCats || 94 || 3 |- |JavascriptHeadings || 18 || 1 |- |LeftPaneSwitch || 7 || 0 |- |LiveRC || 30 || 0 |- |OngletGoogle || 30 || 1 |- |OngletPurge || 99 || 4 |- |OptimizedSuivi || 16 || 0 |- |Popups || 39 || 2 |- |RenommageCategorie || 29 || 2 |- |ResizeGalleries || 82 || 2 |- |RestaurationDeluxe || 48 || 2 |- |ResumeDeluxe || 112 || 2 |- |RevertDiff || 32 || 2 |- |SisterProjects || 31 || 2 |- |Smart patrol || 5 || 2 |- |ZoomOnThumb || 32 || 2 |- |monBrouillon || 43 || 3 |- |recentchangesbox || 9 || 0 |- |searchFocus || 18 || 1 |- |searchbox || 31 || 2 |- |social-networks || 13 || 1 |} * [[Spécial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Accessibility,27,1 AdvancedContribs,45,1 AncreTitres,31,1 Barre de luxe,47,2 CoinsArrondis,95,0 DeluxeHistory,121,1 EditZeroth,4,1 FastRevert,35,3 FlecheHaut,56,1 HotCats,94,3 JavascriptHeadings,18,1 LeftPaneSwitch,7,0 LiveRC,30,0 OngletGoogle,30,1 OngletPurge,99,4 OptimizedSuivi,16,0 Popups,39,2 RenommageCategorie,29,2 ResizeGalleries,82,2 RestaurationDeluxe,48,2 ResumeDeluxe,112,2 RevertDiff,32,2 SisterProjects,31,2 Smart patrol,5,2 ZoomOnThumb,32,2 monBrouillon,43,3 recentchangesbox,9,0 searchFocus,18,1 searchbox,31,2 social-networks,13,1 --> k7rbrl75l37l0rqd10r9zzxdxuvjhoa 104 81788 982987 982981 2026-05-23T14:17:29Z Psychoslave 2753 982987 wikitext text/x-wiki Dans le tableau suivant, l’objectif est de fournir un ensemble coordonné de suffixes employés pour former des noms de désignatifs personnels aussi dit ''noms animés''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Noms animés, noms inanimés {{!}} Dico en ligne Le Robert|url=https://dictionnaire.lerobert.com/guide/noms-animes-noms-inanimes|site=dictionnaire.lerobert.com|consulté le=2023-02-18}}</ref>, désignant principalement des personnes ou des animaux et potentiellement d’autres êtres vivants ou plus marginalement des créatures au statut catégoriel plus vague comme des golems ou des robots. Dans une moindre mesure, les alternances peuvent s’appliquer également à des noms impersonnels, bien que cela ne soit pas pris en compte dans les spécifications visées en dehors de la colonne dédiée à l'ostentatoire inanimée. __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {| class="wikitable" |+Proposition d'équivalences suffixales coordonnées ! colspan="3" |Alternances allusives ! colspan="5" |Extensions ostentatoires ! rowspan="2" |Exemples |- !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Ambigu !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Équivoque !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Isonèphe ''ou'' Pannébulleux !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | '''Allophène'''<ref group="N">Colonne construite autour de la proposition exogène répandue ''iel,'' dont est tiré l’affixe ''-iẽl-'' avec un tilde renforçant le soin pris à éviter les collisions lexicales, et par suite via des cas où l’altération consonantique vers ''-iẽr-'' était cohésive à l’usage, extraction de -iẽ- comme morphe autonome.</ref> ! style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Arrhénophène<ref group="N">Construit sur -ì-.</ref> !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Générique<ref group="N">Colonne construite autour de ''-ā-''.</ref> !style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | Inanimé<ref group="N">Colonne construite autour de ''-ǫ-'' en priorité, avec ogonek évitant tout risque d’homographie.</ref> ! style="position: sticky; position: -webkit-sticky; top: 0px; z-index: 2;" | '''Thélyphène'''<ref group="N">Colonne construite autour de la lettre ''u''. Emploi de -û- lorsque que la prononciation donne /y/ et de ú pour /u/. </ref> |- | -oise | -ois | -ense -isque -ose -oẏse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫïse | -ûse |une villageoise, un villageois, des villagences ou des villagisques ou des villageoses, iẽne villagiẽse, úne villageûse, āne villageāse, ǫne villageǫrze, ine villageìse |- | colspan="3" | -ose | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫïse | -ûse |une virtuose, un virtuose, des virtuoses, iẽne virtuiẽse, úne virtuûse, āne virtuāse, ǫne virtuǫrze, ine virtuìse |- | -ise | -is | -èse | -iẽse | -uìse | -āse | -ǫse | -ûse |une marquise, un marquis, ẏņ marquèse, ẽņ marquiẽse, ìņ marcuìse, marquāse, marquǫse, úņ marcûse |- | colspan="3" | -a | -iẽre | -uìre | -iāstre | -iǫre | -iúre | |- | -a | -o | -urde -urge -urle -urne | -ẽ | -ì | -ãrque -ãrse -iãstre | -ǫire -iǫre | -û | |- | colspan="3" | -urge | -iẽrge | -ìrge | -ārge | -ǫrge | -úrge |une thaumaturge, un thaumaturge, des thaumaturges, iẽņ thaumatiẽrge, ìņ thaumatìrge, āņ thaumatārge, ǫņ thaumatǫrge, úņ thaumatúrge |- | -ière | -ier | -iage -iataire -iesque -iurge | -ẽre | -uìre -ìre | -iāre | -iǫre | -iúre |une aventurière, un aventurier, ẏņ aventuriurge, iẽne aventurẽre, ine aventurìure, āne aventuriāre, ǫne aventuriǫre, úne aventuriúre |- | -ière | -ier | -iurge | -ẽre | -ìre | -iāre | -iǫre | -iúre |une pionnière, un pionnier, ẏņ pionniurge, ẽņ pionnẽre, ìņ pionnìre, āņ pionniāre, ǫņ pionniǫre, úņ pionniúre |- | -ière | -ier | -iêtre | -iẽstre | -ìstre | -iāstre | -iǫstre | -iûstre | |- | colspan="3" | -gore | -guẽre | -guìre | -gāre | -gǫr | -gûre |une égrégore, un égrégore, quelque égrégore |- | colspan="3" | -ierge | -iẽlge | -uìrge | -iārge | -iǫrge | -iûrge |<blockquote>une concierge, un concierge, des concierge</blockquote> |- | colspan="3" | -ier | -ẽre | -uìre | -iāre | -iǫre | -iúre |<blockquote>une Bélier, un Bélier, des Béliers, iẽne Béliẽre, úne Béliúre, āne Béliāre, ǫne Béliǫre, ine Béluìre</blockquote> |- | -ère | -er | -age -ataire -esque -urge | -ẽge -ẽrge -iẽsque | -ìge -ìre -ìrge -ìsque | -āge -āre -ārge -ārste -āsque | -ǫge -ǫre -ǫrge -ǫsque | -ûge -úre -úrge -ûsque |une conseillère, un conseiller, ẏņ conseillurge , iẽņ conseilliẽrge, úņ conseillúre, āņ conseillārste, ǫņ conseillǫre, ìņ conseillìre |- | colspan="3" | -er (/e/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |<blockquote>une usager, un usager, des usager, iẽne usagiẽre, úne usageúre, āne usageāre, ǫne usageǫre, ine usagìre</blockquote> |- | colspan="3" | -er (/œʁ/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |<blockquote>une afrikander, un afrikander, des afrikanders</blockquote> |- | colspan="3" | -er (/ɛʁ/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une reporter, un reporter, ẏņ reporter, ẽņ reportiẽre, ìņ reportìre, āņ reportāre, ǫņ reportǫre, úņ reportúre |- | colspan="3" | -erc | -éẽrc (/e.ɛʁ/) | -éìrc | -éārc | -éǫrc | -éûrc |<blockquote>une clerc, un clerc, des clercs, cléẽrc,  cléûrc, cléārc, cléǫrc, cléìrc</blockquote> |- | colspan="3" | -erne | -erniẽme | -ernìme | -ernāme | -ernǫme | -ernûme | |- | -erte | -ert | ''-arcte'' -ertaire |<nowiki>-ertiẽre</nowiki> | -ertìre | -ertāre | -ertǫre | -ertúre |''experte, expert, esparcte'' ou ''exparcte, expertaire, expertiẽre, expertìre, expertāre, expertǫre, expertúre'' |- | -erte | -ert | -erde | -iẽrte | -ìerde | -ouāirde | -ǫerde | -ûerde |vert, vert, verde, viẽrte, vìerde, vouāirde, vǫerde, vûerde |- | colspan="3" | -ef | -iẽlve | -ìve | -āve | -ǫve | -ûve |<blockquote>une rédac’chef, un rédac’chef, des rédac’chefs</blockquote> |- | -effe <bdi>-èfe</bdi> <bdi>-effesse</bdi> <bdi>-eftaine</bdi> | -ef | -ève -eft -effurge -eftaire | -ẽif | -aìf | -āf | -ǫf | -ûf |une cheffe ou une chèfe ou une cheffesse ou une cheftaine, un chef, quelque chève ou quelque cheft ou quelque cheffurge ou quelque cheftaire, iẽņ khiẽf, ìņ khìf, ãņ chāf, ǫņ chǫf, úņ chûf |- | -agne | -agnon | -igne | -ẽrgne | -ìrgne | -ārgne | -ǫrgne | -úrgne |une compagne, un compagnon, des compignes, iẽne compiẽgne, úne compûgne, āne compārgne, ǫne compǫrgne, ine compìrgne |- | -agnonne | -agnon | -agnoine | -agniēne | -agnìne | -agnāne | -agnǫrne<ref name=":2" group="N" /> | -agnûne |une compagnonne, un compagnon, des compagnoines, iẽne compagniēne, ine compagnìne, āne compagnāne, ǫne compagnǫrne, úne compagnûne |- | colspan="3" | -ancre | -ancriẽme | -ancrìme | -ancrāme | -ancrǫme | -ancrûme |une cancre, un cancre, quelque cancre, iẽņ cancriẽme, ìņ cancrìme, āņ cancrāme, ǫņ cancrǫme, úņ cancrûme |- | colspan="3" | -ance | -iẽņce | -ìņce (/ins/) | -āņce | -ǫņce | -úņce | |- | -anche | -anc | -aņche | -ẽņche | -ìņche | -iāņche | -ǫņche | -ûņche | |- | -ande | -an | -ände (/ɛnd/) | -iẽņde | -ìņde (/ind/) | -āņde | -ǫņde | -úņde |une faisande, un faisan… |- | -ande | -and | -ände (/ɛnd/) | -iẽņde | -ìņde (/ind/) | -āņde | -ǫņde | -úņde |une tisserande, un tisserand, ẏņ tisserände, iẽņ tisseriẽņde, ìņ tisserìņde, āņ tisseriāņde, ǫņ tisserǫņde, úņ tisserúņde |- | colspan="3" | -andre | -iẽņdre | -ìņdre | -āņdre | -ǫņrde | -úņrde | |- | colspan="3" | -andre | -andriẽsque | -andrìsque | -andrāsque | -andrǫsque | -andrûsque | |- | -onde | -ond | -önde (/ɔnd/) | -ondiẽme | -ondìme | -ondāme | -ondǫme | -ondûme |une furibonde, un furibond, quelque furibönde, iẽņ furibondiẽme, ìņ furibondìme, āņ furibondāme, ǫņ furibondǫme, úņ furibondûme |- | colspan="3" | -aphe | -aphiēne | -aphìne | -aphāne | -aphǫnte<ref group="N">Le -t- intercalaire permet d’éviter toute ambiguïté avec ''-phone'', le suffixe désignant la notion de son ou de sonorité, tout en faisant un rapprochement au morphe ''-ont-'' retrouvé par exemple dans ''ontique''. </ref> | -aphûne |une lexicographe, un lexicographe, des lexicographes, iẽņ lexicographiēne, ìņ lexicographìne, āņ lexicographāne, ǫņ lexicographǫnte, úņ lexicographûne |- | colspan="3" | -adre | -iēdre | -ìdre | -āldre | -ǫdre | -ûdre |une cadre, un cadre, des cadres, iẽne quiẽdre, úne cûdre, āne cāldre, ǫne cǫdre, ine quìdre<ref group="N">Ici les ''qu-'' remplacent les ''c-'' devant les ''-i-'' pour conserver le son /k/.</ref> |- | -ess | -∅ | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une stewardess, un steward, des stewardestres, iẽne stewardiẽstre, úne stewardûstre, āne stewardāstre, ǫne stewardǫstre, ine stewardìstre |- | -ess | -er | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une waitress, un waiter, des waitestres, iẽne waitiĕstre, úne waitûstre, āne waitāstre, ǫne waitǫstre, ine waitìstre |- | colspan="3" | -iesque | -ẽsque -iadẽsque -imẽsque -inẽsque -ipẽsque -iriẽsque -itiẽsque | -iuìsque -uìsque | -iāsque -āstre | -iǫsque -ǫsque | -iûsque -ûsque |simiesque |- | colspan="3" | -esque | -iẽsque | -ìsque | -āsque | -ǫsque | -ûsque | |- | colspan="3" | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une séquestre, un séquestre, des séquestres, iẽņ séquiĕstre, iņ séquìstre, āņ séquāstre, ǫņ séquǫstre, úņ séquûstre |- | -mastrice -mistress | -master | -mestre | -miēstre | -mìstre | -māstre | -mǫstre | -mûstre |une webmastrice ou une webmistress, un webmaster, des webmestres, iẽne webmiĕstre, úne webmûstre, āne webmāstre, ǫne webmǫstre, ine webmìstre |- | colspan="3" | -maître- | -miēstre- | -mäìstre- | -māstre- | -mǫïstre- | -maústre- |une quartier-maître, un quartier maître, des quartiers-maîtres, iẽne quartier-miẽstre, úne quartier-maústre, āne quartier-māstre, ǫne quartier-mǫïstre, ine quartier-mäìstre |- | -maîtresse- | -maître- | -mèstre-<ref>Inspiration occitane, ''confer'' {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=mèstre|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-12-25|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=m%C3%A8stre&oldid=29051074|consulté le=2023-02-26}}</ref> | -miēstre- | -mäìstre- | -māstre- | -mǫïstre- | -maústre- |une maîtresse d’œuvre, un maître d’œuvre, des mèstres d’œuvre, iẽne miẽstre d’œuvre, úne quartier-maústre d’œuvre, āne quartier-māstre d’œuvre, ǫne quartier-mǫïstre d’œuvre, ine quartier-mäìstre d’œuvre |- | colspan="3" | -âtre | -âtriẽre | -âtrìre | -âtrāre | -âtrǫre | -âtrúre | |- | -âtresse | -âtre | -âtraire | -âtriẽre | -âtrìre | -âtrāre | -âtrǫre | -âtrúre | |- | colspan="3" | -aire | -atiẽre (postvoyelle) -iẽre (post-consonne) | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une intermédiaire, un intermédiaire, des intermédiaires, iẽne intermédiatẽre, ìne intermédiäìre, āne intermédiāre, ǫne intermédiǫre, úne intermédiúre |- | colspan="3" | -able | -ẽble | -ìble | -āible | -ǫble | -ûble |une comptable, un comptable, ẏņ comptable, ẽņ comptble, ìņ comptìble, āņ comptāible, ǫņ comptǫble, úņ comptûble |- | colspan="3" | -ible | -iẽble | -ìmble | -āmble | -ǫble | -ûble | |- | colspan="3" | -ium (/jɔm/) | -iẽme | -ìme | -iāme | -iǫme (/jom/) | -iûme |une médium, un médium, des médiums, iẽne médiẽme, ìne médìme, āne médiāme, ǫne médiǫme, úne médiûme |- | -ielle | -iel | -ium (/jɔm/) | -iẽme | -ìme | -iāme | -iǫme (/jom/) | -iûme |une officielle, un officiel, des officiums, iẽne officiẽme, ìne officìme, āne officiāme, ǫne officiǫme, úne officiûme |- | colspan="3" | -eil | -yiẽlle (/jɛj/) | -ìlle | -āille | -ǫille | -úille (/uj/) |<blockquote>une conseil, un conseil, des conseils</blockquote> |- | colspan="3" | -eille | -yiẽlle (/jɛj/) | -ìlle | -āille | -ǫille | -úille |<blockquote>une zoreille, un zoreille, des zoreilles</blockquote> |- | -eille | -eil | -euille (/œj/) | -yiẽlle (/jɛj/) | -ìlle | -āille | -ǫille | -úille |<blockquote>une pareille, un pareil, des pareuilles</blockquote> |- | -ieille | -ieux | -iaille | -iēlste (/jɛlst/) | -uìlle (/wij/) | -iāille (/jaj/) | -iǫille (/joj/) | -iúille (/juj/) |<blockquote>une vieille, un vieux, des </blockquote> |- | colspan="3" | -yste | -iēlste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |<blockquote>une lobbyste, un lobbyste, des lobbystes, iẽne lobbiẽlste, úne lobbûste, āne lobbāste, ǫne lobbǫste, ine lobbuìste</blockquote> |- | colspan="3" | -iste | -ẽste<ref group="N">Notamment après une consonne /s/ pour éviter la proximité phonétique à ''sieste''.</ref> -iẽste | -uìste | -iaste -āste | -iǫste -ǫste | -iûste -ûste |une journaliste, un journaliste, des journalistes, ẽņ journaliẽste, āņ journaliāste, ǫņ journaliǫste, úņ journaliûste |- | colspan="3" | -lâtre | -lâtrẽste | -lâtrìste | -lâtrāste | -lâtrǫste | -lâtrûste |une lâtrolâtre, un lâtrolâtre, ẏņ lâtrolâtre, ẽņ lâtrolâtrẽste, ìņ lâtrolâtrìste, āņ lâtrolâtrāste, ǫņ lâtrolâtrǫste, úņ lâtrolâtrûste |- | colspan="3" | -phore -phoriste | -phoriẽste | -phoruìte | -phorāste | -phorǫste | -phorûste |une dadophore, un dadophore, quelque dadophore, iẽne dadophoriẽste, úne dadophorûste, āne dadophorāste, ǫne dadophorǫste, ine dadophoruìte |- | colspan="3" | -ipte | -iẽpte | -uìpte | -āpte | -ǫpte | -ûpte |une iatralipte, un iatralipte, des iatraliptes, iẽne iatraliẽpte, ine iatraluìpte, úne iatralûpte, āne iatralāpte, ǫne iatralǫpte |- | colspan="3" | -io | -iẽste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |une physio, un physio, ẏne physio, iẽne physiẽste, úne physûste, āne physāste, ǫne physǫste, ine physuìste |- | colspan="3" | -io | -iẽre | -ìre | -iāre | -iǫre | -iúre |une proprio, un proprio, des proprios, iẽne propriẽre, ìne proprìre, āne propriāre, ǫne propriǫre, úne propriúre |- | -ia | -io | -ius | -iẽse | -ìse | -iāse | -iǫse | -iúse |une impréssarria, un impréssarrio, des impréssarrius, iẽne impréssarriẽse, ìne impréssarrìse, āne impréssarriāse, ǫne impréssarriǫse, úne impréssarriúse |- | -ienne | -ien | -iaire | -ẽstre | -ìestre | -iāstre | -iǫstre | -iûstre | |- | -ienne | -ien | -iste | -iēste -ẽste -ẽre | -uìste | -iāste | -iǫste | -iûste |une wikipédienne, un wikipédien, ẏne wikipédistes, iẽne wikipédiẽste, ìne wikipéduiste, āne wikipédiāste, ǫne wikipédiǫste, úne wikipédiûste |- | -ienne | -ien | -oine -ẏne | -oēne (/wɛn/) | -uìne | -iāne | -iǫne | -iúne |une généticienne, un généticien, ẏ génétiçoine, ẽņ génétiçoẽne, ìņ génétiçuìne, āne généticiāne, ǫne généticiǫne, úņ généticiúne |- | -ie | -e | -oine -ẏ -ẏe | -oēne (/wɛn/) | -uìne | -iāne | -iǫne | -iúne | |- | colspan="3" | -yenne | -yẽigņe (/jɛɲ/) | -yìne | -yāne | -yǫïne (/jɔjn/) | -yûne |Cheyenne |- | -yenne | -yen | -yeune (/jœn/) -yaune (/jon/) | -yẽigņe (/jɛɲ/) | -yìne | -yāne | -yǫïne (/jɔjn/) | -yûne |Libyenne… |- | colspan="3" | -on (/ɔn/) | -iēlne | -ìne | -āne | -ǫlne<ref name=":2" group="N" /> | -ûne |<blockquote>une orpington, un orpington, des orpingtons</blockquote> |- | colspan="3" | -on (/ɔ̃/) | -iēlne | -ìne | -āne | -ǫne | -ûne |anticivilisation Poisson Scorpion souillon |- | colspan="3" | -phone | -phoniẽre | -phonìre | -phonāre | -phonǫre | -phonúre | |- | colspan="3" | -one | -iēne | -ìne | -āne | -ǫïne<ref name=":2" group="N" /> | -úne |<blockquote>une cicérone, un cicérone, des cicérones</blockquote> |- | -one (/ɔn/) | -on | -oine | -ēne | -ìne | -āne | -ǫïne<ref name=":2" group="N" /> | -úne |buflone<blockquote>une démone, un démon, des </blockquote><blockquote>une péone, un péon</blockquote> |- | -onne | -on | -oine | -ēne | -ìne | -āne | -ǫïne<ref group="N" name=":2">Plutôt que ''-ǫne'' pour désambiguïser de ''-one''.</ref> | -úne |<blockquote>une bûcheronne, un bûcheron, des bûcheroines, iẽne bûcheriẽne, úne bûcherúne, āne bûcherāne, ǫne bûcherǫlne, ine bûcherìne</blockquote> |- | -one | -on | -onide | | | | | |une amphictyone, un amphictyon, quelque amphictyonide |- | colspan="3" | -an (/an/) | -iẽne | -ìne | -āire | -ǫne | -ûne |<blockquote>une végan, un végan, des végans, iẽne végiẽne, úne végûne, āne végiāire, ǫne végiǫne, ine végyìne</blockquote> |- | colspan="3" | -ian (/jœn/) | -iẽne | -yìne | -iāire | -iǫne | -iûne |<blockquote>une Canadian, un Canadian, des Canadians, iẽne Canadiẽne, úne Canadiûne, āne Canadiāire, ǫne Canadiǫne, ine Canadyìne</blockquote> |- | colspan="3" | -iane | -iẽne | -uìne | -iāire | -iǫne | -iûne |<blockquote>une tidiane, un tidiane, des tidianes, iẽne tidiiẽne, úne tidiûne, āne tidiiāire, ǫne tidiiǫne, ine tidiuìne</blockquote> |- | -ane | -an (/ɑ̃/) | -âme -anime -aire -oine | -iẽne | -ìne -uìne | -iāne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une artisane, un artisan, des artisâmes</blockquote> |- | -anne | -an | -âme -anime -aire -oine | -iẽne | -ìne -uìne | -iāne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une paysanne, un paysan, des paysâmes</blockquote> |- | -ane | -an (/an/) | -oine | -iẽne | -ìne -uìne | -iāne | -ǫne | -ûne -úne |<blockquote>une chamane, un chaman, des chamoines<ref group="N">À ne pas confondre avec des chanoines, évidemment.</ref></blockquote> |- | colspan="3" | -mane | -maniẽsque | -manìsque | -maniǫsque | -maniāsque | -maniûsque | |- | colspan="3" | -ane | -iẽne | -ìne -uìne | -āine | -ǫne | -ûne |<blockquote>une profane, un profane, des profanes,</blockquote> |- | -ie | -i | -iste | -iēste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |une yogie, un yogi, ẏņ yogiste, iēņ yogiẽste, ìņ yogüìste, āņ yogāste, ǫņ yogǫste, úņ yogûste |- | colspan="3" | -ie | -iẽste | -uìste | -iāste | -iǫste | -iûste |une génie, un génie, ẏņ génie, ẽņ géniẽste, ìņ génuìste, āņ géniāste, ǫņ géniǫste, úņ géniûste |- | colspan="3" | -ix (/iks/) | | | | | |<blockquote>une zmigrix, un zmigrix, des zmigrix,</blockquote> |- | -ix (/i/) | | | | | | | |<blockquote>une perdrix</blockquote> |- | colspan="3" | -i | -iēl | -yì | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une mistigri, un mistigri, des mistigris</blockquote> |- | -ue | -u | -ustre | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ústre |<blockquote>une résolue, un résolu, des résolustres </blockquote> |- | colspan="3" | -u (/y/) | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ústre |<blockquote>une belu, un belu, des belus, iẽne beliẽstre, ìne belìstre, āne belāstre, ǫne belǫstre, úne belústre</blockquote> |- | colspan="3" | -u (/u/) | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ústre |<blockquote>une Xiongnu, un Xiongnu, des Xiongnus, iẽne Xiongniẽstre, ìne Xiongnìstre, āne Xiongnāstre, ǫne Xiongnǫstre, úne Xiongnústre</blockquote> |- | colspan="3" | -u (/u/) | -iẽste | -uìste | -āste | -ǫste | -ûste |<blockquote>une otaku, un otaku, des otakus, iẽne otakiẽste, úne otakûste, āne otakāste, ǫne otakǫste, ine otakuìste</blockquote> |- | colspan="3" | -aste | -iẽste | -ìste -uìste | -āiste | -ǫste | -ûste |<blockquote>une cinéaste, un cinéaste, des cinéastes, iẽne cinéiẽste, úne cinéûste, āne cinéāiste, ǫne cinéǫste, ine cinéìste</blockquote> |- | colspan="3" | -oste | -iẽste | -ìste | -āste | -ǫlste | -ûste |<blockquote>une géognoste, un géognoste, des géognostes, iẽne géognosiẽste, úne géognosûste, āne géognosāste, ǫne géognosǫlste, ine géognosiste</blockquote> |- | colspan="3" | -uste | -iẽste | -ìste | -āste | -ǫste | -úste |<blockquote>une juste, un juste, des justes, iẽne jiẽste, úne júste, āne jāste, ǫne jǫste, ine jìste</blockquote> |- | -aise | -ais | -aïse (/ajz/) | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une anglaise, un anglais, ẏņ anglaïse, iẽņ anglẽse, úņ anglûse, āņ anglāse, ǫņ anglǫse, iņ anglìse |- | -use | -us (/y/) | -üs (/ys/) | -iẽse | -uìse | -āse | -ǫse | -úse |une intruse, un intrus, ẏn intrüs, iẽņ intriẽse, úņ intrúse, āņ intrāse, ǫņ intrǫse, iņ intruìse |- | colspan="3" | -iatre | -iẽtre | -yìtre | -iāstre | -iǫtre | -iûtre |une pédiatre, une pédiatre, quelque pédiatre, iẽņ pédiẽtre, ìņ pédyìtre, āņ pédiāstre, ǫņ pédiǫtre, úņ pédiûtre |- | colspan="3" | -itre | -iẽltre | -ìltre | -āltres | -ǫltre | -ûltre<ref group="N">Plutôt que -ûtre, pour éviter d’induire des termes comme ''pûtre'' en alterance de ''pitre'', jugé trop proche du terme préjoratif qu’est ''pute''. Aussi la reprise du -l- sur les autres gestes ostentatoires de cette entrée est considéré ici comme euphonique en plus de fournir une entrée plus homogène.</ref> |<blockquote>une arbitre, un arbitre, des arbitres</blockquote> |- | -itresse | -itre | -itrurge | -itriẽse | -itrìsse | -itrāste<ref name=":0" group="N" /> | -itrǫsse | -itrússe |<blockquote>une pitresse, un pitre, pitrurges,</blockquote> |- | colspan="3" | -ant | -ẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |<blockquote>une enfant, un enfant, des enfants</blockquote><blockquote>une ayant droit, un ayant droit, des ayants droit</blockquote> |- | -ante | -ant | -änte (/ant/) | -ẽņte | -ìņte -uìņte<ref name=":1" group="N">Notamment après un ''-i-''.</ref> | -āïņte<ref group="N" name=":3">Lorsque l'isonèphe termine déjà en -iänte.</ref> (/ajnt/) -iāņte | -ǫņte | -úņte |une savante, un savant, ẏņ savänte, iẽņ savẽņte, ìņ savìņte, āņ saviāņte, ǫņ savǫņte, úņ savúņte |- | -ente | -ent | -enste | -ẽņte | -ìņte -uìņte<ref name=":1" group="N" /> | -āïņte<ref name=":3" group="N" /> (/ajnt/) -iāņte | -ǫņte | -úņte |<blockquote>une surefficiente, un surefficient, ẏņ surefficienste, iẽne surefficiẽņte, ine sureffiçuìņte, āne surefficiāņte, ǫne surefficiǫņte, úne surefficiûņte</blockquote> |- | colspan="3" | -être | -ẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une ancêtre, un ancêtre, des ancêtres, |- | colspan="3" | -ètre | -ètriēste | -ètruìste | -ètrāste | -ètrǫste | -ètrûste |une géomètre, un géomètre, des géomètres, iẽne géomètriẽste, úne géomètrûste, āne géomètrāste, ǫne géomètrǫste, ine géomètruìste |- | -oigne -oignesse -ointe -ouine | -oin | -éïne | rowspan="2" | -ẽne | rowspan="2" | -ìne | rowspan="2" | -āne | rowspan="2" | -ǫïne | rowspan="2" | -ûne | rowspan="2" |''une témoigne'' ou ''une témoignesse'' ou ''une témoin'' ou ''une témointe'' ou ''une témouine'', ''un témoin'', ''ẏņ téméïne'' ou ''ẏņ témoin'', ẽņ témẽne, ìņ témìne, āņ témāne, ǫņ témǫïne, úņ témûne |- | colspan="3" | -oin |- | -jointe | -joint | -jugum (/ʒy.gɔm/) | -jugiẽl | -jugì | -jugā | -jugǫ | -jugû |une adjointe, un adjoint, des adjugums, iẽņ adjugiẽl, ìņ adjugì, āņ adjugā, ǫņ adjugǫ, úņ adjugû |- | colspan="3" | -uge | -ugiẽme | -ugìme | -ugiāme | -ugiǫme | -ugiûme |une juge, un juge, des juges, iẽņ jugiẽme, ìņ jugìme, āņ jugiāme, ǫņ jugiǫme, úņ jugiûme |- | -eresse | -eur | -urge | -eriẽsse | -ìarge | -āire | -ǫre | -ûre |une enchanteresse, un enchanteur, des enchanturges, iẽne enchanteriẽsse, ìne enchantìarge, āne enchantāire, ǫne enchantǫre, úne enchantûre |- | colspan="3" | -ecte | -ectiẽsse | -ectìsse | -ectāste<ref name=":0" /> | -ectǫsse | -ectússe |<blockquote>une architecte, un architecte, des architectes, </blockquote> |- | -esse | -e | -urge | -iẽsse | -ìsse | -āste<ref group="N" name=":0">L’adjonction de consonnes infixes comme -t- permet ici de distinguer du suffixe parfois péjoratif -asse. Pour des termes épicènes à terminaison similaire, confer enthousiaste et pancratiaste.</ref> | -ǫsse | -ússe |une poétesse, un poète, ẏņ poèturges, ẽņ poètiẽsse , úņ poètússe, āņ poétāste, ǫņ poétǫsse, ìņ poétìsse |- | -esse | -e | -aire | -iẽsse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe | |- | -esse | -e | -este -iste | -iẽsse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe | |- | -esse | -e | -éleste | -élẽsse | -élìsse | -élāste<ref name=":0" group="N" /> | -élǫsse | -élússe |angesse, ange, angéleste, angélẽsse, angélāste, angélǫsse, angélìsse, angélússe |- | -esse | -e | -esque | -iẽsque | -ìsque | -āsque | -ǫsque | -ûsque | |- | -tresse | -tre | -trurge | -triẽsse | -truìsse | -trāste<ref name=":0" group="N" /> | -trǫsse | -trússe | |- | -i | -o | -ès | -iẽse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe | |- | colspan="3" | -aï | -äiẽse | -äìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -äǫsse | -äússe | |- | -aïe | -aï | -aès | -äiẽse | -äìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -äǫsse | -äússe | |- | -esse | -é | -atème | -iẽsse | -uìsse | -āsse | -ǫïsse | -ússe |une abbesse, un abbé, ẏņ abbatème, iẽņ abbiẽsse , úņ abbússe, āņ abbāsse, ǫņ abbǫïsse, iņ abbuìsse. |- | -esse | -∅ | -estre | -iēstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre | |- | -iée | -ié | -iègne | -iẽne | -yìne | -iãne | -iǫne | -iúne | |- | -ée | -é | -aistre -estre | -iẽstre | -ìstre | -ãstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une passionnée, un passioné, ẏņ passionègne </blockquote> |- | -née | -né | -naistre | -niẽstre | -näìstre | -iãstre | -ǫastre | -äústre |une nouveau-née ou une nouvelle-née, un nouveau né, ẏņ nouveaule-naistre     nouviẽle-niẽstre     nouvuìle-näìstre     nouviāle-niāstre     nouvǫle-nǫastre     nouvúele-naústre |- | | | | | | | | | |- | colspan="3" | -é | -iẽl | -ì | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une hominidé, un hominidé, des hominidé</blockquote> |- | colspan="3" | -ée | -iẽle | -ìe | -āe | -ǫe | -ûe |<blockquote>une athée, un athée, des athées</blockquote> |- | colspan="3" | -pied | -piēlde | -pyìde | -piāde | -pǫde | -piûde |<blockquote>une casse-pied, un casse-pied, des casse-pieds</blockquote> |- | colspan="3" | -ay | -iẽl | -ì | -ā | -ǫ | -û |L’invariance de la terminaison lexical allusive en -ay se constate dans des métonymies de noms d’espèce, comme ''Charbray'', ou d’un groupe ethnique comme ''Ojibway''.<blockquote>une Ojibway, un Ojibway, des Ojibways</blockquote> |- | colspan="3" | -e (/e/) | -iẽl | -ì | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une corriente, un corriente, des corrientes</blockquote> |- | colspan="3" | -ee (/i/) | -iẽl | -ìl | -ā | -ǫ | -û |<blockquote>une Cherokee, un Cherokee, des Cherokees</blockquote> |- | colspan="3" | -y | -iẽl | -ìl | -ā | -ǫ | -û |Termes généralement issus d'un emprant à l'anglais, et dont des graphies en -ie existe généralement pour les singuliers de geste allusif.<blockquote>une gipsy, un gipsy, des gipsies </blockquote> |- | colspan="3" | -um (/ɔm/) | -iẽme | -ìme | -āme | -ǫme (/om/) | -ûme |<blockquote>une factotum, un factotum, des factotums</blockquote> |- | -ure | -ur | -urum (/yʁ.ɔm/) | -uriẽme | -urìme | -urāme | -urǫme (/yʁ.om/) | -urûme |une dure, un dur, des durums, iẽņ duriẽme, ìņ durìme, āņ durāme, ǫņ durǫme, úņ durûme |- | colspan="3" | -ure | -uriẽme | -urìme | -urāme | -urǫme (/yʁ.om/) | -urûme |une manicure, un manicure, des manicurums, iẽņ manicuriẽme, ìņ manicurìme, āņ manicurāme, ǫņ manicurǫme, úņ manicurûme |- | colspan="3" | -am | -amniẽl | -amnì | -amnā<ref>En lien avec l'exemple donné, voir les flexions du terme latin {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=damnum|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-03|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=damnum&oldid=31667475|consulté le=2023-03-04}}</ref> | -amnǫ | -amnû |<blockquote>une goddam, un goddam, des goddams</blockquote> |- | colspan="3" | -âme | -iæ̂̃me | -ìâme | -āime | -ǫâme | -úâme |<blockquote>une infâme, un infâme, des infâmes</blockquote> |- | colspan="3" | -em | | | | | |<blockquote>Une Yem-Yem, un Yem-Yem, des Yem-Yems</blockquote> |- | | -em | | | | | | |Certains termes comme ''moqqadem'' ont des variantes de flexion en nombre : ''des moqqadems'' ou des ''moqqademin''. |- | -ame | -am | -oime | -iẽme | -ìme | -iāme | -ǫme | -ûme |<blockquote>une imame, un imam</blockquote> |- | -ame -ane | -am | -æme (/ɛm/) | -iẽme | -ìme | -iāme | -ǫme | -ûme |<blockquote>une quidame ou une quidane, un quidam,</blockquote> |- | colspan="3" | -ime | -iẽme | -ìlme | -āme | -ǫme | -ûme |<blockquote>une habilissime, un habilissime, des habilissimes</blockquote> |- | colspan="3" | -im | | | | | |<blockquote>une canchim, un canchim, des canchims</blockquote> |- | colspan="3" | -ome | -iẽme | -ìme | -āme | -ǫlme | -ûme |<blockquote>une astronome, un astronome, des astronomes</blockquote> |- | colspan="3" | -om (/ɔm/) | | | | | |<blockquote>une Rome, un Rome, des Romes</blockquote> |- | colspan="3" | -om (/ɔ̃/) | | | | | |<blockquote>une prête-nom, un prête-nom, des prête-noms</blockquote> |- | -ame | -om (/ɔ̃/) | -ab | | | | | |<blockquote>une dame, un dom, des dabs,</blockquote> |- | -femme- | -homme- | -personne- | | | | | | |- | -maid | -man | -tender | -teniẽre | -tenìre | -tenāre | -tenǫr | -tenúre |<blockquote>une barmaid, un barman, des bartenders ou mixologistes</blockquote> |- | -woman- | -man- | -person- | | | | | |<blockquote>une businesswoman, un businessman, des businesspersons</blockquote> |- | -woman- | -man- | -opérator-<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=Camera operator|titre ouvrage=Wikipedia|date=2023-02-09|lire en ligne=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Camera_operator&oldid=1138475987|consulté le=2023-03-10}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Voyagiste|titre ouvrage=Wikipédia|date=2023-02-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Voyagiste&oldid=201501291|consulté le=2023-03-10}}</ref> | | | | | |<blockquote>une camérawoman, un caméraman, des caméraopérators</blockquote> |- | -woman | -man | -iste | | | | | |<blockquote>une groupwoman, un groupman, des groupistes</blockquote> |- | -seuf- | -reuf- | -adeuf- | | | | | | |- | -sœur- | -frère- | -adelphe- -frœur- -sibling- | -sèriẽl-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=εἴρω|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-12-12|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=%CE%B5%E1%BC%B4%CF%81%CF%89&oldid=31151568|consulté le=2023-03-19}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=series|titre ouvrage=Wiktionary|date=2023-03-17|lire en ligne=https://en.wiktionary.org/w/index.php?title=series&oldid=71726109|consulté le=2023-03-19}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=sèrie|titre ouvrage=Wiktionary|date=2021-03-08|lire en ligne=https://en.wiktionary.org/w/index.php?title=s%C3%A8rie&oldid=61963975|consulté le=2023-03-19}}</ref> | -fruìr- | -pār-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=par|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-02-20|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=par&oldid=31554890|consulté le=2023-03-19}}</ref> | -sǫrs-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=consors|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-14|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=consors&oldid=31778204|consulté le=2023-03-19}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=sors|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-12-11|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=sors&oldid=31137366|consulté le=2023-03-19}}</ref> | -súère-<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=suer|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-18|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=suer&oldid=31821334|consulté le=2023-03-19}}</ref> |<blockquote>une consœur, un confrère, des confrœurs, iẽne consèriẽl, úne consúère, āne conpār, one consors, ine confrix </blockquote> |- | -meuf- | -keum- | -zigue- | | | | | | |- |nana |mec |freq | | | | | |<blockquote>sa nana, son mec, ses freqs</blockquote> |- | -fille- | -garçon- | -aide- -humble- | | | | | |<blockquote>une fille de cuisine, un garçon de cuisine, des aides de cuisine ou des humbles de cuisine</blockquote> |- | -demoiselle- | -garçon- | -chantre- -pleige- -proche- | | | | | |<blockquote>demoiselle d’honneur, garçon d’honneur</blockquote> |- | -fille- | -garçon- | -gosse- -jeune- -môme- | | | | | | |- | colspan="3" | -aestro | | | | | |<blockquote>une maestro, une maestro, des maestros</blockquote> |- | -aestra | -aestro | -aestriurge | | | | | |une maestra, un maestro, quelque maestriurge, maestrẽ, maestrì, maestrārque, maestrǫire, maestrû |- | -emoiselle | -amoiseau | -omoisum | | | | | |<blockquote>une demoiselle, un damoiseau, des domoisum</blockquote> |- | colspan="3" | -eau | | | | | | |- | -e | -eau | | | | | | | |- | -aude -eaude -oune | -aud -eau -o | | | | | | | |- | -eaute | -eau | | | | | | | |- | -elle | -eau | -eaule | -iẽle | -uìle | -iāle | -ǫle | -úele (/wɛl/) |nouvelle, nouveau, nouveaule    nouviẽle    nouvuìle    nouviāle    nouvǫlenouvúele |- | -ette | -eau | | | | | | | |- | -otte | -eau | | | | | | | |- | -elle | -el | -eaule | -iẽl | -uìle | -āle | -ǫle | -úele (/wɛl/) |<blockquote>une intellectuelle, un intellectuel, intellectueaule, intellectuiẽle, intellectuúele, intellectuāle, intellectuǫle, intellectuìle</blockquote> |- | colspan="3" | -eule | -iẽle | -ìle | -āle | -ǫle | -ûle |une pipeule, un pipeule, des pipeules, iẽņ pipiẽle, ìņ pipìle, āņ pipāle, ǫņ pipǫle, úņ pipûle |- | -eule (/œl/) | -eul | -ẏle -oule | -oẽle | -eìle | -āule | -ǫïle | -ûole |une aïeule, un aïeul, ẏņ aïẏle, ẽņ aïoẽle, ìņ aïeìle, āņ aïāule, ǫņ aïǫïle, úņ aïûole |- | -eule (/øl/) | -eul (/øl/) | -euliane | -euliẽne | -eulyìne | -euliāire | -euliǫne | -euliûne |une Peule, un Peul, des Peulianes, iẽne Peuliiẽne, ine Peuliyìne, āne Peuliiāire, ǫne Peuliiǫne, úne Peuliûne |- | | -eulle | | | | | | |un tieulle |- | -eure -euresse | -eur | -arque | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -ûre |<blockquote>une majeure, un majeur, des majarques, iẽne majiẽre, úne majûre, āne majāre, ǫne majǫre, ine majìre</blockquote> |- | -ieuse | -ieur | -iaire | -ẽstre | -ìestre | -iāstre | -iǫstre | -iûstre |uņ ingénieuse, un ingénieur, ẏņ ingéniaire, ẽņ ingénẽstre, ìņ ingénìestre, āņ ingéniāstre, ǫņ ingéniǫstre, úņ ingéniûstre |- | -euse | -eur | -urge | -ẽre | -ìre | -āre -ārste -ārque | -ǫre | -ûre -úre<ref group="N" name=":4">En fonction des collisions terminologiques à éviter. Ainsi ''contúre'' serait homophonique de ''contours'', et bidouillûre pourra suggérer le résultat d'une bidouille plutôt que la personne qui l'a réalisé.</ref> |<blockquote>une conteuse, un conteur, des conturges, iẽne contiẽre, úne contûre, āne contāre, ǫne contǫre, ìne contìre </blockquote> |- | colspan="3" | -er | rowspan="2" | -iẽre | rowspan="2" | -ìre | rowspan="2" | -āre -ārste -ārque | rowspan="2" | -ǫre | rowspan="2" | -ûre -úre<ref name=":4" /> | rowspan="2" |''une hacker'' ou ''une hackeuse'' ou ''une hackère ou une hackeresse'' ou ''une hackereuse'' ou ''une hackresse, un hacker'' ou ''un hackeur, ẏņ hacker'' ou ''ẏņ hackurge, ẽņ hackiẽre, ìņ hackìre, ãņ hackãre'' ou ''ãņ hackãrste'' ou ''ãņ hackãrque, ǫņ hackǫre, úņ hackúre'' ou ''úņ hackûre'' |- | -euse -ère -eresse -ereuse -resse | -er -eur | -urge |- | -queuse | -queux | -qûrge | -quẽse | -quìse | -quāse | -quǫïse (/kojz/) | -qûse | |- | -ieuse | -ieux | -ieude -iurge | -iẽse | -uìse | -iāse | -iǫse | -iûse |une victorieuse, un victorieux, ẏņ victorieude ou ẏņ victoriurge, ẽņ victoriẽse, ìņ victoruìse, āņ victoriāse, ǫņ victoriǫse, úņ victoriûse |- | -euse | -eux | -eude -urge | -ẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une amoureuse, un amoureux, ẏņ amoureude ou ẏņ amoururge, ẽņ amouriēlse, úņ amourûse, āņ amourāse, ǫņ amourǫse, iņ amourìse |- | -trice | -teur | -taire | -tiẽre -triẽce | -tìre -truìce | -tāre -tārce | -tǫre -torce | -túre -trûce |''une autrice, un auteur, ẏņ autaire, ẽņ autiẽre ou ẽņ autriẽce, āņ autāre, ǫņ autǫre, úņ autúre'' ou ''úņ autrûc''e |- | -drice | -deur | -daire | -driẽce | -drìc | -drāce | -drǫce | -drûce |<blockquote>une ambassadrice, un ambassadeur, des ambassadaires, </blockquote> |- | | | | | | | | | |- | colspan="3" | -ouine | -ouigniẽne | -ouignìne | -ouignāne | -ouignǫne | -ouignûne |une transpédégouine, un transpédégouine, ẏņ transpédégouine, ẽņ transpédégouiniẽne, ìņ transpédégouinìne, āņ transpédégouināne, ǫņ transpédégouinǫne, úņ transpédégouinûne |- | -ouine | -ouin | -ouigne | -ouigniẽne | -ouignìne | -ouignāne | -ouignǫne | -ouignûne |une Pahouine, un Pahouin, ẏņ Pahouigne, ẽņ Pahouigniẽne, ìņ Pahouignìne, āņ Pahouignāne, ǫņ Pahouignǫne, úņ Pahouignûne |- | colspan="3" | -ine | -iẽne | -uìne | -āne -iãne | -ǫne -iǫne | -ûne -iûne |une Bordjiguine, un Bordjiguine, ẏņ Bordjiguine, |- | -ine | -in | -aine -ouine -oine | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une voisine, un voisin, ẏņ voisaine, iẽne voisiẽne, úne voisûne, āne voisāne, ǫne voisǫne, ìne voisuìne</blockquote> |- | -ine | -in | -ing | | | | | |<blockquote>une Latine, un Latin, des Latings</blockquote> |- | colspan="3" | -in | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une médecin, un médecin, des médecins, iẽne médeciẽne, ine médecuìne, āne médecāne, ǫne médecǫne, úne médecûne |- | -ine | -∅ | -ène | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une elfine, un elf, des elfènes, iẽne elfiẽne, ìne elfuìne, āne elfāne, ǫne elfǫne, úne elfûne |- | -oïne | -os | -ène | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une héroïne, un héros, quelque hérène, iẽne hérïẽne, ìne héruìne, āne hérāne, ǫne hérǫne, úne hérûne |- | -ine | -ot | -aire | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne | |- | -ine | -ain | -iaigne | -ẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -iúne -ûne |une sacristine, un sacristain, ẏņ sacrisitaigne, iẽne sacristẽne, ìne sacristuìne, āne sacristāne, ǫne sacristǫne, úne sacristûne |- | colspan="3" | -ène | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |une mécène, un mécène, quelque mécène, iẽne méçiẽne, ìne méçuìe, āne méçāne, ǫne méçǫne, úne méçûne |- | -aine | -ain | -aïne | -iẽne | -uìne -ìne | -āne | -ǫne | -ûne |une suzeraine, un suzerain, ẏņ suzeraïne, ẽņ suzeriẽne, ìņ suzerìne, āņ suzerāne, ǫņ suzerǫne, úņ suzerûne |- | colspan="3" | -aine | -iẽne | -uìne | -āne | -ǫne | -ûne |<blockquote>une capitaine, un capitaine, des capitaines</blockquote> |- | colspan="3" | -end (/ɛnd/) | -endēne | -enduìne | -āne | -ǫne | -ûne |une sex-friend, un sex-friend, quelque sex-friend, iẽņ sex-friendēne, ìņ sex-frienduìne, āņ sex-friendāne, ǫņ sex-friendǫne, ûņ sex-friendûne |- | colspan="3" | -end (/ɛ̃d/) | -iẽre | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une Zend, un Zend, quelque Zend, Zendiẽre, Zendìre, Zendāre, Zendǫre, Zendúre |- | -ende | -end | -ënde (/ɛnd/) | -iẽņde | -ìņde (/ind/) | -āņde | -ǫņde | -úņde |une révérende, un révérend, quelque révérënde, révériẽņde, révérìņde, révérāņde, révérǫņde, révérúņde |- | colspan="3" | -ade | -iẽde | -ìde | -iāde | -ǫde | -ûde | |- | colspan="3" | -ade | -adiẽsque | -adìsque | -adāsque | -adǫsque | -adûsque | |- | colspan="3" | -age | -æ̃ge (/ɛʒ/) | -äìge (/ajʒ/) | -āïḑge | -ǫage (/waʒ/) | -aúge (/awʒ/) | |- | colspan="3" | -age | -iẽge | -ìge | -iāge | -ǫge | -ûge | |- | colspan="3" | -age | -agiẽsque | -agìsque | -ageāsque | -ageǫsque | -ageûsque | |- | -ide | -e | -idus | -iẽde | -ìņde (/ind/) | -āde | -ǫde | -ûde |une gnomide, un gnome, des gnomidus, iẽņ gnomiẽde, ìņ gnomìņde, āņ gnomāde, ǫņ gnomǫde, úņ gnomûde |- | -ida | -id | -oude | -iẽde | -ìņde (/ind/) | -āde | -ǫde | -ûde |une mujahida, un mujahid, des mujahoudes, iẽņ mujahiẽde, ìņ mujahìņde, āņ mujahāde, ǫņ mujahǫde, úņ mujahûde |- | colspan="3" | -id (/id/) | -iẽd | -ìņd (/ind/) | -ād | -ǫd | -ûd |une kid, un kid, des kids, iẽņ kiẽd, ìņ kìņd, āņ kād, ǫņ kǫd, úņ kûd |- | colspan="3" | -ide | -idiẽre | -idìre | -idāre | -idǫre | -idúre |une guide, un guide, des guides, iẽņ guidiẽre, ìņ guidìre, āņ guidāre, ǫņ guidǫre, úņ guidúre |- | -ide | -∅ | -iane | -iẽde | -ìņde (/ind/) | -āde | -ǫde | -ûde |une titanide, un titan, des titanianes, iẽņ titaniẽde, ìņ titanìņde, āņ titanāde, ǫņ titanǫde, úņ titanûde |- | -itride | -ète | -ène |''-iẽste'' |''-ìète'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une aulitride, un aulète, des aulènes, iẽne auliẽste, ine aulìète, āne auliāste, ǫne aulïǫste, úne auliûste |- | colspan="3" | -aque | | | | | |<blockquote>un monomaque, une monomaque, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -èque | | | | | |<blockquote>une métèque, un métèque, des métèques, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -êque | | | | | |<blockquote>une archevêque, un archevêque, des archevêques, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -ique | -icurgiẽre | -icurgìre | -icurgeāire | -icurgeǫre | -icurgeûre |une scientifique, un scientifique, quelque scientifique, iẽņ scientificurgiẽre, ìņ scientificurgìre, scientificurgeāire, ǫņ scientificurgeǫre, ùņ scientificurgeûre |- | -ique | -ic | -iquestre | -iquiẽstre | -iquìstre | -iquāste | -iquǫstre | -iqûstre |une syndique, un syndic, ẏņ syndiquestre, iẽņ syndiquiẽstre, iņ syndiquístre, āņ syndiquāste, ǫņ syndiquǫstre, úņ syndiqûstre |- | -uche | -oquet | -ouquestre | -ouquiẽstre | -ouquìstre | -ouquāste | -ouquǫstre | -ouqûstre |une perruche, un perroquet, ẏņ perriquestre |- | colspan="3" | -oque | -ẽque | -ìque | -āque | -ǫïque (/ɔjk/) | -ûque |une ventriloque, un ventriloque, des ventriloques, iẽne ventrilẽque, ìne ventrilìque, āne ventrilāque, ǫne ventrilǫïque, úne ventrilûque |- | -oque | -oc | -ouc | -ẽque | -ìque | -āque | -ǫïque (/ɔjk/) | -ûque |une mastoque, un mastoc, des mastoucs, iẽne mastẽque, ìne mastìque, āne mastāque, ǫne mastǫïque, úne mastûque |- | | | -uque | | | | | | |- | colspan="3" | -âtre | | | | | | |- | colspan="3" | -lâtre | | | | | | |- | -arde | -ard | -oirde | -ẽrde | -ìrde | -iārde | -ǫrde | -ûrde |<blockquote>une débrouillarde, un débrouillard</blockquote> |- | -iarde | -iard | -iâtre | -iẽrde | -ìrde | -iārque | -iǫrde | -iûrde | |- | colspan="3" | -arde | -ardiẽme | -ardìme | -ardāme | -ardǫme | -ardûme |<blockquote>une garde, un garde, des gardes</blockquote> |- | -ardesse | -arde | -urge | -iẽse | -ìsse | -āste<ref name=":0" group="N" /> | -ǫsse | -ússe |<blockquote>une bardesse, un barde</blockquote> |- | colspan="3" |gen[dst]- |giẽņ- |gìņ- |geāņ- |geǫņ- |geûņ- |une gendarme, un gendarme, ẏņ gendarme, ẽņ giẽņdarme, úņ geûņdarme, āņ geāņdarme, ǫņ geǫņdarme, ìņ gìņdarme |- | colspan="3" | -ète | ''-iẽste'' | ''-ìète'' | ''-iāste'' | ''-ïǫste'' | -iûste |une athlète, un athlète, des athlètes, iẽne athliẽste, ine athlìète, āne athliāste, ǫne athlïǫste, úne athliûste |- | -ète | -et | -ectus | -ectiẽme | -ectìme | -ectāme | -ectǫme | -ectúme |<blockquote>une préfète, un préfet, des préfectus</blockquote> |- | -ette | -ot | -ouse -ouze | -iẽlche | -ìche | -āsse | -ǫche | -ûche |<blockquote>une gendarmette, un gendarmot, des gendarmouses, iẽne gendarmiẽlche, úne gendarmûche, āne gendarmāsse, ǫne gendarmǫche, ine gendarmìche </blockquote> |- | -ette | -et | -este |''-iẽte'' |''-ìte'' |''-āte'' |''-ǫte'' | -ûte |<blockquote>une cadette, un cadet, des cadestes</blockquote> |- | -oyette | -o | -oyiste |''-oyẽste'' |''-oyuìste'' |''-oyāste'' |''-oyǫste'' | -oyûste |une yoyette, un yoyo, des yoyistes, iẽne yoyẽste, ìne yoyöuìste, āne yoyiāste, ǫne yoyïǫste, úne yoyiûste |- | colspan="3" | -eute |''-iẽste'' |''-ìexte'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une thérapeute, un thérapeute, des thérapeutes, iẽne thérapiẽste, ìne thérapìexte, āne thérapiāste, ǫne thérapïǫste, úne thérapiûste |- | -ite | -it | -iste -ẏte |''-iẽste'' |''-uìste'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une érudite, un érudit, des érudistes<ref>{{Article|prénom1=Bon-Joseph|nom1=Dacier|titre=Notice historique sur la vie et les ouvrages de M. Gossellin|périodique=Mémoires de l'Institut de France|volume=9|numéro=1|date=1831|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/minf_1267-8996_1831_num_9_1_2348|consulté le=2023-05-01|pages=200–221}}</ref>, iẽne érudiẽste, ìne éruduìste, āne érudiāste, ǫne érudïǫste, úne érudiûste |- | colspan="3" | -ite |''-iẽste'' |''-uìste'' |''-iāste'' |''-ïǫste'' | -iûste |une cosmopolite, un cosmopolite, des cosmopolites, iẽne cosmopoliẽste, ìne cosmopoluìste, āne cosmopoliāste, ǫne cosmopolïǫste, úne cosmopoliûste |- | colspan="3" | -orte | -ortiẽltre | -ortìntre (/ɛ̃tʁ/) | -ortāntre | -ortǫntre | -ortúntre (/œ̃tʁ/) |<blockquote>une porte-parole, un porte-parole, des porte-parole ou des porte-paroles, </blockquote> |- | -orte | -ort | -ortiaire -ortium -ourte | -ortiẽme -oẽrte | -ortìme -ouìrte | -ortāme -oārte | -ortǫme -iǫrte | -ortûme -úorte |<blockquote>une morte, un mort, des mortiums</blockquote> |- | -otte | -ot | -onte | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une jeunotte, un jeunot, des , iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote><blockquote>une griotte, un griot, des</blockquote> |- | -ote | -ot | -onte | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre -ústre |<blockquote>une matelote, un matelot, des matelontes ou des , iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -onte | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |démogéronte |- | colspan="3" | -ote | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une pilote, un pilote, des pilotes</blockquote> |- | -ote | -o | -otium | -otiẽme | -otìme | -otāme | -otǫme | -otûme |<blockquote>une typote, un typo</blockquote> |- | colspan="3" | -ôte | -ôtiẽme | -ôtìme | -ôtāme | -ôtǫme | -ôtûme |une hôte, un hôte, des hôtes |- | colspan="3" | -ot | | | | | |<blockquote>une barjot, un barjot, des barjots</blockquote><blockquote>une heurte-pot, un heurte-pot, des heurte-pots</blockquote><blockquote>une pivot, un pivot, des pivots</blockquote><blockquote>une prot, un prot, des prots</blockquote><blockquote>une suce-goulot, un suce-goulot, des suce-goulots</blockquote> |- | colspan="3" | -ate | -iẽstre | -ìstre (/ɛ̃t/) | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une démocrate, un démocrate, des démocrates, iẽne , úne , āne , ǫne , ine </blockquote> |- | colspan="3" | -athe | -aẽre (postvoyelle) -iẽre (post-consonne) | -ìre | -āre | -ǫre | -úre |une ostéopathe, un ostéopathe, quelque ostéopathe, iẽņ ostéopathiẽre, ìņ ostéopathìre, āņ ostéopathāre, ǫņ ostéopathǫre, úņ ostéopathúre |- | -ate | -at | -aîstre (/ɛstʁ/) | -iẽstre | -ìstre (/ɛ̃t/) | -āstre | -ǫstre | -ûstre |<blockquote>une avocate, un avocat, des avocaîstres, iẽne avociẽlte ou iẽne avocquiẽlte, úne avocûnte, āne avocānte ou āne avoquānte, ǫne avocǫnte ou ǫne avoquǫnte, ine avocìnte ou ine avoquìnte </blockquote> |- | colspan="3" | -istre | -iẽstre | -uìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |une ministre, un ministre, des ministres, iẽne miniẽstre, ìne minuìstre, āne mināstre, ǫne minǫstre, úne minûstre |- | colspan="3" | -eintre (/ɛ̃tʁ/) | -ẽņtre | -ìņtre | -āņtre | -ǫņtre | -úņtre |une peintre, un peintre, ẏne peintre, iẽne pẽņtre, ìne pìņtre, āne pāņtre, ǫne pǫņtre, úne púņtre |- | colspan="3" | -ès | | | | | |<blockquote>une agrès, un agrès, des agrès,</blockquote> |- | colspan="3" | -ey | | | | | |<blockquote>une disc jockey, un disc jockey, des disc jockeys</blockquote> |- | colspan="3" | -ai | | | | | |<blockquote>une Bai, un Bai, des Bais</blockquote> |- | colspan="3" | -paide | -paidẽste | -paidìste | -paidāste | -paidǫste | -paidûste |une philopaide, un philopaide, quelque philopaide, iẽņ philopaidẽste, ìņ philopaidìste, āņ philopaidāste, ǫņ philopaidǫste, úņ philopaidûste |- | colspan="3" | -aide- | -aidẽņte- | -aidìņte- | -aidiāņte- | -aidǫņte- | -aidúņte- |une aide-bibliothécaire, un aide-bibliothécaire, quelque aide-bibliothécaire, iẽņ aidẽņte-bibliothécaire, ìņ aidìņte-bibliothécaire, āņ aidiāņte-bibliothécaire, ǫņ aidǫņte-bibliothécaire, úņ aidúņte-bibliothécaire |- | -aide | -aid | -aïde (/ajd/) | -aidẽse | -aidìse | -aidāse | -aidǫse | -aidúse |une laide, un laid, quelque laïde, iẽņ laidẽse, ìņ laidìse, āņ laidāse, ǫņ laidǫse, úņ laidúse |- | -euve | -euf | -eune | | | | | |<blockquote>une veuve, un veuf, des veunes, iẽne viẽne, úne vûne, āne vāne, ǫne vǫne, ine vìne</blockquote> |- | colspan="3" | -euve | | | | | |<blockquote>une yeuve, un yeuve, des yeuves</blockquote> |- | -ouse | -oux | -ose | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫïse | -ûse |une épouse, un époux, ẏne épose, iẽņ épiẽse, ìņ épìse, āņ épāse, ǫņ épǫïse, úņ épûse |- | -ouse | -ou | -asse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une gargouillouse, un gargouillou, des gargouillasses, iẽņ gargouilliẽse, ìņ gargouillìse, āņ gargouillāse, ǫņ gargouillǫse, úņ gargouillûse |- | colspan="3" | -asse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |dégueulasse |- | | | | | | | | | |- | colspan="3" | -ouse | -iẽse | -ìse | -āse | -ǫse | -ûse |une Toungouse, un Toungouse, des Toungouses, iẽņ Toungiẽse, ìņ Toungìse, āņ Toungāse, ǫņ Toungǫse, úņ Toungûse |- | -ouve | | | | | | | | |- | colspan="3" | -own | -owniẽne | -ownìne | -ownāne | -ownǫne | -ownûne |une southdown, un southdown, des southdowns, iẽņ southdowniẽne, ìņ southdownìne, āņ southdownāne, ǫņ southdownǫne, úņ southdownûne |- | -ownesse | -own | -owniste | -ẽown (/ɛɔwn/) | -ìown (/iɔwn/) | -āown (/aɔwn/) | -ǫwn (/ɔwn/) | -ûown (/yɔwn/) |une clownesse, un clown, des clownistes, iẽņ clẽown, ìņ clìown, āņ clāown, ǫņ clǫwn, úņ clûown |- | -oue | -ou | -ouäne | -ouiẽne | -ouìne | -ouāire | -ouǫne | -úne |une Aïnoue, un Aïnou, des Aïnoune, iẽņ Aïnouïẽne, ìņ Aïnouìne, āņ Aïnouāire, ǫņ Aïnouǫne, úņ Aïnúne |- | -oue | -ou | -ouïste | -ouiẽste | -ouyìste | -ouāste | -ouǫste | -úste |une hindoue, un hindou, des hindouïstes, iẽņ hindouïẽste, ìņ hindouyìste, āņ hindouāste, ǫņ hindouǫste, úņ hindúste |- | colspan="3" | -oute | -outēne | -outìne | -outāne | -outǫïne | -outúne |une rouquemoute, un rouquemoute, ẏņ rouquemoute, ẽņ rouquemoutēne, ìņ    rouquemoutìne, āņ rouquemoutāne, ǫņ rouquemoutǫïne, úņ rouquemoutúne |- | colspan="3" |⟨verbe⟩oute-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outẽre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outìre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outāre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outǫre-⟨nom⟩ |⟨verbe⟩outúre-⟨nom⟩ |uņ boute-feu, un boute-feu, ẏņ boute-feu, ẽņ boutẽre-feu, ìņ boutìre-feu, āņ boutāre-feu, ǫņ boutǫre-feu, úņ boutúre-feu |- |style=" background-color:#ffffcc; background-image: linear-gradient(to bottom right, transparent calc(50% - 1px), grey, transparent calc(50% + 1px)); " | | -oute |style=" background-color:#ffffcc; background-image: linear-gradient(to bottom right, transparent calc(50% - 1px), grey, transparent calc(50% + 1px)); " | | -iẽstre | -ìstre | -āstre | -ǫstre | -ûstre |∅, un biloute, ∅, ẽņ biliẽstre, ìņ bilìstre, ãņ bilāstre, ǫņ bilǫstre, úņ bilûstre |- | colspan="3" | -acoute | -acquiẽstre | -acquìstre | -acquāstre | -acquǫstre | -acqûstre |une macoute, un macoute, ẏņ macout, ẽņ macquiẽstre, ìņ macquìstre, āņ macquāstre, ǫņ macquǫstre, úņ macqûstre |- | -oute | -out (/ut/) | -outarque -outiste | -outarquiẽstre -outiēste | -outarqustre -outuìste | -outarquāstre -outāste | -outarquǫstre -outǫste | -outarqûstre -outûste |une maraboute, un marabout, ẏņ maraboutarque ou ẏņ maraboutiste, |- | colspan="3" | -arque | rowspan="2" | -arquiēstre | rowspan="2" | -arquìstre | rowspan="2" | -arquāstre | rowspan="2" | -arquǫstre | rowspan="2" | -arqûstre | |- | -arquesse | -arque | -arquestre | |- | -oute | -out (/u/) | -outiste -outille -oude | -outiẽse | -outuìsse | -outiāste | -outiǫsse | -outiûsse |<blockquote>une scoute, un scout, des scoutilles ou des scoutistes ou des scoudt, </blockquote> |- | -oute | -out (/u/) | -outie | -outiēste | -outuìste | -outāste | -outǫste | -outûste |<blockquote>une Tangoute, un Tangout, des Tangouties</blockquote> |- | -auve | | | | | | | | |- | -ecte | -ect | -ectum | -ectiẽlme | -ectìme | -ectāme | -ectǫlme | -ectûme |<blockquote>une suspecte, un suspect, des suspectums, </blockquote> |- | -ive | -if | -oive -ẏve | -iẽve | -ìlve | -āve | -ǫve | -ûve |une native, un natif, des natoives, iẽņ natiẽve, ìņ natìlve, āņ natāve, ǫņ natǫve, úņ natûve |- | colspan="3" | -auve | -iẽve | -ìve | -āve | -ǫïve (/ɔjv/) | -ûve |une chauve, un chauve, des chauves, iẽņ chiẽve, ìņ chìlve, āņ chāve, ǫņ chǫïve, úņ chûve |- | colspan="3" | -ave | -iẽve | -ìve | -ālve | -ǫve | -ûve |une brave, un brave, des braves, iẽņ briẽve, ìņ brìlve, āņ brālve, ǫņ brǫve, úņ brûve |- | colspan="3" | -ève | -iẽve | -ìve | -āve | -ǫve | -ûve |une élève, un élève, des élèves, iẽņ éliẽve, ìņ élìve, ãņ élāve, ǫņ élǫve, úņ élûve |- | colspan="3" | -ive | -iẽve | -ìlve | -āve | -ǫve | -ûve |une détective, un détective, des détectives, iẽņ détectiẽve, ìņ détectìlve, āņ détectāve, ǫņ détectǫve, úņ détectûve |- | -uve | -uve | -uve | -iẽve | -ìve | -āve | -ǫve | -ûlve | |- | colspan="3" | -ule | -iẽl | -ìle | -āle | -ǫle | -ûcle |<blockquote>une contribule, un contribule, des contribules</blockquote> |- | -ulle | -ul | -ullus (/y.lys/) | -iẽl | -ìlle | -ālle | -ǫlle | -úlle |<blockquote>une nulle, un nul, des nullus</blockquote> |- | -ulle | -ulle | | -ulliẽsse | -ullìsse | -ulliāsse | -ulliǫsse | -ulliússe | |- | -ule | -ul | -ulum | -iẽl | -ìle | -āle | -ǫle | -úle |<blockquote>une consule, un consul, des consulums</blockquote> |- | colspan="3" | -ole | -iẽl | -ìle | -iāle | -ǫple<ref group="N">Permet de désambiguïser avec ''-ole'', tout en faisant un lien avec <code>hóplon/ὅπλον</code> : ''outil, arme.''</ref> | -ûle |<blockquote>une bénévole, un bénévole, des bénévoles</blockquote> |- | colspan="3" | -il | -iẽle | -oìle | -āle | -ǫle | -ûle |<blockquote>une danakil, un danakil, des danakils</blockquote> |- | colspan="3" | -ile | -iẽl | -uìle | -āle | -ǫle | -ûle |<blockquote>une juvénile, un juvénile, des juvéniles</blockquote> |- | colspan="3" | -ille | -iẽlle | -oìle | -ālle | -ǫlle | -úlle |<blockquote>une intranquille, un intranquille, des intranquilles</blockquote> |- | -ile | -il | -iliane -oile | -iẽle | -uìle | -āle | -ǫle | -ûle |<blockquote>une civile, un civil, des</blockquote> |- | -iale | -ial | -iaule (/jol/) | -iẽle | -yìle | -āïle (/ajl/) -āyle | -ǫïle (/ɔjl/) | -iúle |une milléniale, un millénial, ẏn mélléniaule, ēņ milléniẽle, ìņ millényìle, āņ millénāïle, ǫņ millénǫïle, úņ milléniúle |- | -ale | -al | -aule (/ol/) | -iẽle | -ìale | -āïle | -ǫïle (/ɔ.jl/) | -iúle |une originale, un orignal, ẏņ originaule, |- | -ale | -al | -alesque | -aliẽsque | -alìsque | -alāsque | -alǫsque | -alûsque | |- | -oniale | -oine | -onaste | -onēste | -onìste | -oniāste | -onǫste | -onûste |<blockquote>une moniale, un moine, des monastes</blockquote> |- | colspan="3" | -ègue | -iẽgue | -ìgue | -āgue | -ǫgue | -ûgue |<blockquote>une collègue, un collègue, des collègues</blockquote> |- | -ègue | -eg | -ège | -iẽgue | -ìgue | -āgue | -ǫgue | -ûgue |<blockquote>une Touarègue, un Touareg, des Touarèges</blockquote> |- | colspan="3" | -ogue | -ẽgue | -ìgue | -āgue | -ǫrgue -ǫïgue | -ûgue |<blockquote>une psychagogue, un psychagogue, des psychagogues, iẽne , úne , āne , ǫne , ine</blockquote> |- | colspan="3" | -igue | -iẽlgue | -ìlgue | -āgue | -ǫgue | -ûgue |<blockquote>une prodigue, un prodigue, des prodigues, </blockquote> |} <noinclude> === Notes === <references group="N" /> === Références === <references /> </noinclude> m7e0zl7i0vc0hw3x2te77qolywvt8h3 104 84552 982988 982982 2026-05-23T14:17:47Z Psychoslave 2753 982988 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''affenpinscher''<ref>{{Lien web|titre=Page introuvable|url=https://chien.ouest-atlantis.com/avis-affenpinscher.html|site=chien.ouest-atlantis.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Affenpinscher à donner : adoption et rescues Québec [2024]|url=https://lebernard.ca/chiens/refuges/adoption-affenpinscher/|site=lebernard.ca|date=2023-02-04|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''africander, afrikander, alzheimer''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Couturier|titre=Puzzle: journal d'une Alzheimer|éditeur=J. Lyon|date=2004|isbn=978-2-84319-089-6|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimer, baby-boomer, babyboomer, baby-sitter, bartender, biker''<ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Issam|nom1=Charhi|titre=Nina Agdal : une biker sexy et glamour qui n’a plus rien à prouver !|périodique=Public|date=2014-04-09|lire en ligne=https://www.public.fr/nina-agdal-une-biker-sexy-et-glamour-qui-n-a-plus-rien-a-prouver|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcher, biohacker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Biohacking : qu’est-ce que c’est et comment ça fonctionne ? {{!}} BIOGENA France|url=https://biogena.com/fr-fr/savoir/guide/biohacking_bba_5612051|site=biogena.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Biohacking, l’art de doper sa routine !|url=https://www.parismatch.com/vivre/art-de-vivre/biohacking-lart-de-doper-sa-routine-234579|site=parismatch.com|date=2024-02-14|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Gabriel Dorthe|titre=Lepht Anonym : transhumanisme de cuisine|url=https://shs.cairn.info/le-transhumanisme-une-anthologie--9791037005717-page-303?lang=fr.}}</ref>'', bodybuilder''<ref>{{Lien web|titre=Mon poids, ma transformation + Entraînement Powerlifting|url=https://www.youtube.com/watch?v=8F5qyPu_6Lg|extrait=Je répond aussi à la question: est-ce qu'une femme qui s'entraine en musculation deviendra automatiquement comme une bodybuilder de haut niveau.}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Radio|prénom1=D. H.|titre=La belle histoire d'amour entre un nain bodybuilder et une femme transgenre|url=https://www.dhnet.be/medias/dh-radio/2015/03/30/la-belle-histoire-damour-entre-un-nain-bodybuilder-et-une-femme-transgenre-2PGEOCSPKRFSHAPVYSNZJJA2LM/|site=DHnet|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|nom1=WokeUpandChoseViolence|titre=L'odyssée d'une bodybuilder olympienne {{!}} Ep. 108: Mimi Capes|url=https://www.youtube.com/watch?v=F3wH4kpyvug|date=2024-07-10|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosser''<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Mazag de Robert Solé|isbn=978-2-02-039280-8|lire en ligne=https://livraddict.com/biblio/livre/mazag.html|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Rires D'homme Entre Deux Pluies De Claude Duneton|url=https://inter-commerce.de/1196925/Entre-Deux-Pluies-De-Claude-Duneton|extrait=Découverte grâce à une bookcrosser canadienne}}</ref>'', booker''<ref>{{Lien web|nom1=Souilem|prénom1=Ichrak|titre=[Interview] Connaissez vous Les Bookers ?|url=https://www.surfntaste.com/2012/06/interview-connaissez-vous-les-bookers.html|site=Surf 'n' Taste|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Back in the Dayz recrute un.e booker musique pop / variété|url=https://www.facebook.com/backinthedayz.be/posts/back-in-the-dayz-recrute-une-booker-musique-pop-vari%C3%A9t%C3%A9-fran%C3%A7aise/1410990631038110/}}</ref>'', bookmaker''<ref>{{Lien web|titre=Les Soprano - Saison 5|url=https://www.primevideo.com/-/fr/detail/The-Sopranos/0PTDULHB1XZY6O4QPUD6VMVXYR|extrait=Sack n'accepte pas le plan de partage du pouvoir que propose Tony et le lui fait savoir par une bookmaker du nom de Lorraine Calluzo.}}</ref>'', boomer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Pourquoi le terme « boomer » fait polémique|url=https://www.20minutes.fr/societe/3029587-20210426-pourquoi-terme-boomer-fait-polemique|site=20 Minutes|date=2021-04-26|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Bon à savoir 🤔 - C&#39;est quoi un “boomer” ? Un “boomer” est quelqu&#39;un né pendant le baby-boom, c’est une période de forte hausse (explosion) des naissances entre 1945 et 1975. (d&#39;où le terme « baby »… {{!}} Antoine Gérard {{!}} 27 commentaires|url=https://fr.linkedin.com/posts/antoine-g%C3%A9rard_bon-%C3%A0-savoir-cest-quoi-un-boomer-activity-7151482980757041152-deWI|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bootlegger''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Bootlegger : tout le pouvoir aux femmes|url=https://ici.radio-canada.ca/espaces-autochtones/1439606/bootlegger-kitigan-zibi-caroline-monnet-film|site=Radio-Canada|date=2019-12-23|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=AlloCine|titre=Hunger Games 6 : voici le casting complet du prochain film de la saga aux 3,3 milliards de dollars !|url=https://www.allocine.fr/article/fichearticle_gen_carticle=1000144157.html|site=AlloCiné|date=2025-05-15|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', bouncer''<ref>{{Lien web|titre=Laa - Encyclopédie Star Wars HoloNet|url=https://www.starwars-holonet.com/encyclopedie/personnage-laa.html|site=www.starwars-holonet.com|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Ty peluche vache Bouncers Daisy Cow White jouet en peluche Planet Happy BE|url=https://www.planethappy.be/fr/produit/410804/ty-peluche-vache-bouncers-daisy-cow-white-jouet-en-peluche.html|site=www.planethappy.be|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Olivia-Jeri Pizzuco-Ennis et Alice Young, auteur sur Montréal Campus|url=https://montrealcampus.ca/author/olivia-jeripizz/|site=Montréal Campus|date=2024-03-12|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', broker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les marchés financiers, des métiers passionnants|url=https://www.jinvestislavenir.fr/actualites/les-marches-financiers-des-metiers-passionnants|site=J’investis l’avenir|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=broker indelicat|url=https://www.hisse-et-oh.com/sailing/broker-indelicat|site=www.hisse-et-oh.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', buzzer''<ref>{{Lien web|titre=COMMISSAIRE TETINE passe à la télé aujourd'hui...|url=https://m.facebook.com/1339423339536398/photos/a.1363027137176018/2734202833391768/?type=3&locale=hi_IN|extrait=... une buzzer, une faiseur de buzz encore moins une buzziste, elle est encore trop jeune, ,laissez la grandir et apprendre , ne lui faite pas ...}}</ref>'', challenger''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Martinez|prénom1=Nicolas|titre=Aperçu : Aryna Sabalenka et Iga Swiatek s'affrontent en demi-finale de l'Open de Cincinnati 2024 - Open 6ème Sens - Tennis|url=https://www.open6emesens.fr/tennis/apercu-aryna-sabalenka-et-iga-swiatek-saffrontent-en-demi-finale-de-lopen-de-cincinnati-2024/|site=Open 6ème Sens|date=2024-08-17|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cheerleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Qu’est-ce que le cheerleading – FANATIC CHEER 19|url=https://www.fanaticcheer19.fr/quest-ce-que-le-cheerleading/|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', clubber''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Toulouse en panne d'endroits pour les plus de 30 ans|url=https://www.ladepeche.fr/article/2008/12/23/512102-toulouse-panne-endroits-plus-30-ans.html|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', co-designer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Isabel Marant s'offre une seconde directrice artistique|url=https://www.marieclaire.fr/kim-bekker-directrice-artistique-isabel-marant,1400742.asp|site=Marie Claire|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=FR|prénom1=FashionNetwork com|titre=The Kooples valide et amplifie sa stratégie de développement sur le sac|url=https://fr.fashionnetwork.com/news/The-kooples-valide-et-amplifie-sa-strategie-de-developpement-sur-le-sac,999832.html|site=FashionNetwork.com|date=2018-07-22|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', codesigner, coleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=à 07h00|prénom1=Par Le 31 mars 2012|titre=Fournier sait où elle va|url=https://www.leparisien.fr/hauts-de-seine-92/fournier-sait-ou-elle-va-31-03-2012-1932219.php|site=leparisien.fr|date=2012-03-31|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cosplayer, cost-killer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Dalila Zein, une « cost killer » devient directrice générale de l'AFP|url=https://www.acrimed.org/Dalila-Zein-une-cost-killer-devient-directrice|site=Acrimed {{!}} Action Critique Médias|date=2018-07-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', couchsurfer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Couchsurfing|url=https://www.couchsurfing.com/|site=Couchsurfing|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cracker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Access denied - Cristina Rodriguez|url=https://www.babelio.com/livres/Rodriguez-Access-denied/195530|site=Babelio|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crooner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Doris Day|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-01-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Doris_Day&oldid=232549107|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crossgolfer, dealer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Une dealer arrêté avec près d'un million d'euros|url=https://www.sudouest.fr/faits-divers/une-dealer-arrete-avec-pres-d-un-million-d-euros-8796791.php|site=SudOuest.fr|date=2013-02-19|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Littoral|prénom1=P. C. F.|titre=Une dealer républicaine|url=http://pcf-littoral.over-blog.com/2019/08/une-dealer-republicaine.html|site=Le blog de PCF Littoral|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', debater''<ref>{{Lien web|titre=Et oui, je prends le temps de lire les contrats. Le premier ministre, M. Legault pourrait en faire autant avant de les signer. Ça nous permettrait d’éviter d’autres fiascos financiers avec notre argent!|url=https://www.facebook.com/marwahrizqymtl/posts/et-oui-je-prends-le-temps-de-lire-les-contrats-le-premier-ministre-m-legault-pou/1240978227836763/|extrait=Une femme brillante, intègre, une "debater" excellente... Legault ne fait pas le poids devant Marwah Rizqy.}}</ref>'', designer, disliker, dissenter''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Valentina|nom1=Altopiedi|champ libre=En citant le verset biblique d’Isaïe (43 : 6) qui a pour signification l’unification de tous les peuples de la Terre sous un seul Dieu, la dissenter Williams célébrait la liberté qui aurait unifié tous les peuples dans un rêve quasiment millénariste d’une république universelle.|titre=Une Révolution pour tous ? Comment des femmes anglaises ont vécu et écrit la Révolution française : le cas de Mary Wollstonecraft et Helen Maria Williams|périodique=La Révolution française|numéro=22|date=2022/janv./20|issn=2105-2557|doi=10.4000/lrf.6206|lire en ligne=https://journals.openedition.org/lrf/6206|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', dogsitter''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Roncq - Marie, dogsitter professionnelle, pallie l’absence des maîtres|périodique=La Voix du Nord|lire en ligne=https://www.lavoixdunord.fr/592911/article/2019-06-03/marie-dogsitter-professionnelle-pallie-l-absence-des-maitres|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', doppelgänger''<ref>{{Lien web|titre=[Ecologie] Doppelgänger / Changelins|url=https://www.donjondudragon.fr/forum/vos-creations/illustrations/vos-creations-graphiques/precis-d-histoires-naturelles-carnets-ecologiques/ecologie-doppelganger-changelins-6173.html|site=www.donjondudragon.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Commentaire de chisalockhart sur Les Royaumes sans lune, Tome 1 : Le Porterune|url=https://booknode.com/les_royaumes_sans_lune_tome_1_le_porterune_03671487/commentaires/25027854|site=booknode.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', drifter''<ref>{{Lien web|nom1=Destrohido|titre=😍 Guide Drifter/Voyageuse SEXY ! 😍{{!}} Warframe [FR]|url=https://www.youtube.com/watch?v=0uvCDkn-HUo|date=2022-05-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', driver''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=En Mayenne, une grosse opération du PMU dans plusieurs bars pour redonner envie aux turfistes de parier - ICI|url=https://www.francebleu.fr/pays-de-la-loire/mayenne-53/laval/en-mayenne-une-grosse-operation-du-pmu-dans-plusieurs-bars-pour-faire-redonner-envie-aux-turfistes-de-parier-1177235|site=ICI, le média de la vie locale|date=2025-09-13|consulté le=2026-02-18|extrait=Joël est fan d'une driver en particulier. "Il y en a une, quand elle est dans la charrette, je le joue à chaque fois !", lance-t-il en parlant de Clarisse Lelièvre, originaire d'Ernée.}}</ref>'', droughtmaster, drummer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=DAWSON4|url=https://www.bandmix.fr/dawson4/|site=BandMix|consulté le=2026-02-18|extrait=Je recherche un ou une bassiste un ou une Drummer un ou une pianiste.}}</ref>'', e-merchandiser, fabmanager''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le Carrefour numérique de la Cité des sciences et de l'industrie recrute un/une Fabmanager/Fabmanageuse|url=https://forum.rfflabs.fr/topic/504/le-carrefour-num%C3%A9rique-de-la-cit%C3%A9-des-sciences-et-de-l-industrie-recrute-un-une-fabmanager-fabmanageuse|site=Réseau Fr. des FabLabs|date=2021-10-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', facebooker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=SaId.A|titre=Houssaine Obrim : » C’est fini, j’arrête. «|url=https://lionsdelatlas.ma/houssaine-obrim-c-est-fini-j-arrete/|date=2017-09-27|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Top dix des incivilités des Algériens.|url=https://www.algerie-dz.com/forums/algerie/260487-top-dix-des-incivilit%C3%A9s-des-alg%C3%A9riens|site=Algerie-dz.com|date=2012-10-20|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fighter''<ref>{{Lien web|titre=LP est une "Fighter" avec Imanbek dans un clip futuriste|url=https://www.chartsinfrance.net/Imanbek/news-118908.html|site=chartsinfrance.net|date=2021-10-03|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fixer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Romance Panam Cyberpunk 2077 : comment vivre le grand amour avec elle ?|url=https://www.jeuxvideo.com/news/1806152/romance-panam-cyberpunk-2077-comment-vivre-le-grand-amour-avec-elle.htm|site=Jeuxvideo.com|date=2023-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=R&ocirc;liste|prénom1=Senior|titre=Récit de partie Cyberpunk: Pour 500 eddies... - Senior Rôliste - Blog JDR (Jeu de rôle)|url=https://senioroliste.com/cyberpunk/pour-500-eddies|site=Senior Rôliste|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Netflix : les nouveautés à voir en avril 2023|url=http://www.ellequebec.com/style-de-vie/cinema-et-tele/netflix-les-nouveautes-a-voir-en-avril-2023|site=Magazine ELLE Québec {{!}} Tendances mode, beauté, lifestyle et célébrités|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', flanker, flyer''<ref>{{Lien web|titre=05/03/2022 - PERTH ASCOT: Pronostics, Cotes & Résultats|url=https://www.zeturf.fr/fr/reunion-du-jour/2022-03-05/R9-perth-ascot#a-l-affiche-tab|site=www.zeturf.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', follower''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=J'ai Eu Ma Première GROSSE Commande Grâce à Une Follower!|url=https://www.youtube.com/shorts/SOQFdyC2V_w|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerider''<ref>{{Lien web|titre=Welcome to the team Casey!|url=https://www.swatch.com/fr-fr/athlete-casey-brown.html?srsltid=AfmBOorEVey699qy0MAAFVnCEHL1s_uz1Ewmfyd7bHCiEI8MfjXiiSoW|site=www.swatch.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerunner''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Orion|prénom1=Maryam|titre=Lilou Ruel, star du parkour et freerunning à 17 ans nous partage ses secrets !|url=https://laruche.wizbii.com/interview-de-lilou-ruel-une-freerunner-girl-de-17-ans|site=WIZBII Blog|date=2020-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-ch|titre=https://we.tl/t-CKlLTf0DDy|url=https://www.redbull.com/ch-fr/red-bull-art-of-motion-2022-qualifications|site=Red Bull|date=2022-04-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le FN, un parti "dictatorial", Marine, une "Führer": les perles de Jean-Marie Le Pen|url=https://www.lexpress.fr/politique/rn/le-fn-un-parti-dictatorial-marine-une-fuhrer-les-perles-de-jean-marie-le-pen_1688798.html|site=L'Express|date=2015-06-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', Führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=My Cute Fuhrer sur Steam|url=https://store.steampowered.com/app/1205960/My_Cute_Fuhrer/|site=store.steampowered.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', gabber''<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Staelens|prénom1=Stefanie|titre=Une après-midi à danser le hakken dans le shop gabber le plus culte du Benelux|url=https://www.vice.com/fr/article/une-apres-midi-a-danser-le-hakken-dans-le-shop-gabber-le-plus-culte-du-benelux/|site=VICE|date=2018-06-14|consulté le=2026-05-16|extrait=Le groupe qui me semble le plus amical est une famille constituée d'une gabber mama, Antilla, et de ses sept fils.}}</ref>'', gamer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Academos|titre=Academos a posé 10 questions à un gamer pur et dur|url=https://academos.qc.ca/blogue-jeunes/entrevues/10-questions-pour-passionne-jeux-video/|site=Academos|date=2019-08-16|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', globe-trotter''<ref>{{Lien web|titre=Sarthe. Une globe-trotter vient en aide aux jeunes Africaines|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/la-chartre-sur-le-loir-72340/sarthe-une-globe-trotter-vient-en-aide-aux-jeunes-africaines-771895e6-4ede-11ed-84de-086d7f92e6be}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Nouaillé-Maupertuis : le documentaire d’une globe-trotter|url=https://www.lanouvellerepublique.fr/vienne/commune/nouaille-maupertuis/nouaille-maupertuis-le-documentaire-d-une-globe-trotter|site=lanouvellerepublique.fr|date=2024-10-01|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', greeter''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les greeters, guides bénévoles qui nous font aimer le patrimoine de leur ville|url=https://www.franceinfo.fr/culture/patrimoine/les-greeters-guides-benevoles-qui-nous-font-aimer-le-patrimoine-de-leur-ville_3368661.html|site=franceinfo|date=2017-08-11|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', hacker''<ref>{{Lien web|langue=en-US|titre=Qu’est-ce que le Hacker ? {{!}} Blog d'une Hacker|url=https://blog.letik.fr/?page_id=7|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Hackers et journalistes : Liens hypertextes {{!}} Magazin|url=https://magazin.epjt.fr/hackers-et-journalistes-liens-hypertextes|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|titre=A la rencontre des hackers qui gagnent des millions... légalement|périodique=BBC News Afrique|lire en ligne=https://www.bbc.com/afrique/monde-50601098|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', hinterwälder, hipster, homeschooler, looser, merchandiser, planner, ranger, rocker, teen-ager, teenager, trader, viewer, webmaster, youngtimer''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Majoritairement, ce sont des termes issus d’emprunts à l’anglais. Souvent la forme épicène est concourante à l’emploi de variations avec alternance suffixale en -euse, ''-ère'', ''-eresse ou -resse'' : ''africandère''<ref>{{Ouvrage|nom1=Getty Research Institute|titre=Le rire : journal humoristique paraissant le samedi|éditeur=Paris : F. Juven|date=1894|lire en ligne=http://archive.org/details/lerirejournalhum07unse|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimeresse''<ref>{{Lien web|titre=Bimbo com's - Ma-bimbo.com, jeu de mode ! Jeu de filles et jeu pour filles|url=https://ma-bimbo.com/profile/lolissou,coms,1583364,63.htm|site=ma-bimbo.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', baby-boomeuse,'' baby-sitteuse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Guillot|prénom1=Justine|titre=Baby-Sitting : quel statut, quel salaire ?|url=https://info-jeunes.fr/baby-sitting-quel-statut-quel-salaire/|site=Info-Jeunes|date=2024-01-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Tina, nounou est à la recherche d'un emploi à Strasbourg|url=https://yoopies.fr/nounou/strasbourg/baby-sitteuse-douce-experimentee-strasbourg/6343547|site=Yoopies|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''bartendresse'', ''bikeuse,'' ''bodybuildeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Sikagz|titre=Une bodybuildeuse de 47 ans balaye les critiques sur son physique|url=https://www.gentsu.fr/actu-urbaine/une-bodybuildeuse-de-47-ans-balaye-les-critiques-sur-son-physique/|site=Gentsu|date=2023-07-04|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Article|langue=en|titre=Immersion - Avec une bodybuildeuse {{!}} TV5MONDE États-Unis|périodique=TV5MONDE États-Unis|lire en ligne=https://usa.tv5monde.com/en/tv-guide/documentaries/immersion/avec-une-bodybuildeuse-728259|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une bodybuildeuse et influenceuse retrouvée morte après une chute de son immeuble, elle avait le corps lacéré|url=https://www.ladepeche.fr/2025/11/14/une-bodybuildeuse-et-influenceuse-retrouvee-morte-apres-une-chute-de-son-immeuble-elle-avait-le-corps-lacere-13052748.php|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosseuse''<ref>{{Lien web|titre=Marie-Paule Douaud, première « bookcrosseuse »|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/aizenay-85190/marie-paule-douaud-premiere-bookcrosseuse-3799563}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=A Lille, le "bookcrossing" fait voyager les livres {{!}} TF1 Info|url=https://www.tf1info.fr/conso/a-lille-le-bookcrossing-fait-voyager-les-livres-1519899.html|site=www.tf1info.fr|date=2015-01-12|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Comment trouver un bookeur, un agent, un tourneur, bref des dates autrement que par soi-même|url=https://confliktarts.com/blogs/news/comment-trouver-un-bookeur-un-agent-un-tourneur-bref-des-dates-autrement-que-par-soi-meme|site=Confliktarts|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Ducarre|prénom1=Antoine|titre=USA : Donald Trump destitué, le pari fou des bookmakers|url=https://vl-media.fr/usa-trump-destitue-pari-fou-bookmakers/|site=VL Média|date=2017-05-11|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Message du 1er janvier 2026 réservé aux hommes|url=https://atypikal.life/2026/01/01/message-du-1er-janvier-2026-reserve-aux-hommes/|site=Atypikal Life|date=2025-12-31|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeresse''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Auguste|nom1=Lepère|champ libre=p.142 : les paris pris par la bookmakeresse au Grand Prix hippique de Paris.|titre=[Illustrations de Paris au hasard]|date=1895|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b2000080w|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', boomeuse, boomeresse''<ref>{{Lien web|titre=Reddit - Le cœur d’Internet|url=https://www.reddit.com/r/TropPeurDeDemander/comments/1perfmz/vous_%C3%AAtes_l%C3%A0_les_petitsenfants_de_boomers/|site=www.reddit.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcheuse, coronère''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=À la poursuite de la santé - Des communautés autochtones {{!}} Savoir média {{!}} Lea-Chloe Bilodeau|url=https://fr.linkedin.com/posts/lea-chloe-bilodeau-3679741aa_%C3%A0-la-poursuite-de-la-sant%C3%A9-des-communaut%C3%A9s-activity-7334629045785038848-2PD2|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-16|extrait=Dans les jours qui suivent la publication du rapport de la coronère Stephanie Gamache sur le décès de Raphaël André, je suis tombée sur ce reportage de Savoir Média :}}</ref>'','' ''designeuse, globe-trotteuse, quakeresse'', et possiblement vivent concourament avec une forme équivoque en -eur&nbsp;: ''hackeur''<ref>{{Lien web|titre=Client Challenge|url=https://www.sfeir.dev/securite/maman-je-suis-un-hackeur/|site=www.sfeir.dev|consulté le=2026-05-23}}</ref>.<blockquote>ℹ️ ''Alzheimère'' ne semble employé que dans un jeu de mot avec mère<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Luna Théâtres|url=https://www.luna-theatres.fr/spectacle/alzheimere-fils-563|site=Luna Théâtres|consulté le=2026-02-17}}</ref>, qui dans le même registre alterne avec ''Alzheipère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Hoang|prénom1=Van|titre=Alzheipère de Xavier Benout aux Riches Claires jusqu'au 28 octobre • Le Suricate|url=https://www.lesuricate.org/alzheipere-de-xavier-benout/|site=Le Suricate|date=2017-10-16|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Alzheipère de Xavier Benout : Peut-on rire de tout ? - RTBF Actus|url=https://www.rtbf.be/article/alzheipere-de-xavier-benout-peut-on-rire-de-tout-9741731|site=RTBF|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. De même pour alzheimeuse, qui a servi de nom à une association chargée de promouvoir et développer le lien social des personnes souffrant de la maladie d'Alzheimer dans la Meuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. À noter également les dérivés ''Alzheimerienne'' et ''Alzheimerien''. De même pour ''boomère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Anne-Laure|titre=Les mots qu’il nous faut / Jeanne Henin|url=https://www.agence-dejademain.fr/les-mots-quil-nous-faut-jeanne-henin/|site=Agence Déjà Demain|date=2024-11-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'','' auquel une alternance en ''boopère'' n'est pas attesté en ce sens malgré la constatation de l'emploi d'un terme homéomorphe<ref>{{Ouvrage|prénom1=France)|nom1=University of Michigan|titre=Bulletins de la Société des antiquaires de l'Ouest|éditeur=Poitiers : Chez tous les libraires ; Paris : Chez Derache, Libraire|lire en ligne=http://archive.org/details/bulletindelasoc157unkngoog|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=Michel Sévigny Obituary {{!}} 2025 - 2025 {{!}} Sudbury Star|url=https://thesudburystar.remembering.ca/obituary/michel-sevigny-1076249989|site=thesudburystar.remembering.ca|consulté le=2026-02-18}}</ref>. </blockquote><blockquote>ℹ️ Outre ''bartendresse'', du côté anglophone la forme ''bartendereresse'' est attestée<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les 50 meilleurs bars et boissons dans Riga|url=https://wanderlog.com/fr/list/geoCategory/6425/les-meilleurs-bars-et-boissons-dans-riga|site=Wanderlog|consulté le=2026-02-17|extrait=The service was welcoming and the bartenderesse skills impressive.}}</ref>, et les formes ''barmaid'' à l'ambigu et ''barman'' à l'équivoque sont également en usage dans la francophonie.</blockquote>Pour l'isonèphe reprendre ''-urge'', déjà proposé pour [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-euse, -eur|''-euse, -eur'']] semble tout indiqué. Pour les ostentatoires également, avec pour seule contrainte supplémentaire l'emploire de -iẽre plutôt que -ẽre pour éviter les homophonies aux flexions alternatives d'ambigu en -ère. Soit respectivement ''-iẽre, -ìre, -āre'' ou ''-ārste'' ou ''-ārque, -ǫre, -ûre'' ou ''-úre''. ====== Défectivités ====== La forme ''barebacker'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec ''barebackeuse''<ref>{{Lien web|titre=Liste des barebackeuses - Page 2 - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=15726&start=15|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Beatriz hilton - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=12260|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=la salope a queues - CuckoldPlace.com|url=https://www.cuckoldplace.com/16_61375_1.html|site=www.cuckoldplace.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>''.'' La forme ''be-boper'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec be-bopeuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=CultureJazz.fr|prénom1=Équipe de rédaction de|titre=L'Appeal Du Disque - Décembre 2020|url=https://www.culturejazz.fr/spip.php?article3600|site=CultureJazz.fr|date=2020-12-15|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Guitare Jazz Manouche • Voir le sujet - Rare: Emily Remler playin' "Hot House"|url=https://guitarejazzmanouche.com/forum/viewtopic.php?t=21417&p=238714|site=guitarejazzmanouche.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=#alain gerber {{!}} Explore Tumblr posts and blogs {{!}} Tumgik|url=https://www.tumgik.com/tag/alain%20gerber|site=www.tumgik.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Follow Me|url=https://www.faq-drone.com/topic/22294-follow-me/|site=Forum Drones & Voitures RC|date=2018-11-03|consulté le=2026-02-17}}</ref>. Le terme ''buumdroeger'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''crossgolfer'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''freefighter'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''wasenmeister'' n’est attesté qu’à l'équivoque. ''Un growler''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Une chorale de chanteurs métal en spectacle vendredi au CEM|url=https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/2062560/growlers-choir-chant-gorge|site=Radio-Canada|date=2024-04-04|consulté le=2026-05-22}}</ref>, personne qui se spécialise le chant guttural, ne semble employé qu'à l'équivoque, mais des flexions comme ''growleuse'' sont en usage<ref>{{Lien web|titre=Chronique : PassCode Strive (2020)|url=https://www.leseternels.net/chronique.aspx?id=19040|site=www.leseternels.net|consulté le=2026-05-22}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-fr|nom1=Lo|titre=Of Hope And Aspiration|url=https://www.musiczine.net/index.php/fr/chroniques/item/23786-Of_Hope_And_Aspiration|site=www.musiczine.net|consulté le=2026-05-22}}</ref>. ====== Métaphores et métonymies haplogestes ====== ''Un bloomer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un blaster,'' arme, et par suite personne qui l'utilise. ''Un blazer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un bomber'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un cruiser,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ''Un dumper,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ====== Biotiques haplogestse ====== * ''un backer, oiseau&nbsp;;'' * ''un borer,'' insecte&nbsp;; * ''un burger,'' cépage&nbsp;; * ''un duiker,'' mammifère&nbsp;; ====== Références ====== <references /> t4eqm16r1p7tfbpvixhu27h5ozoj1q6 982989 982988 2026-05-23T15:34:53Z Psychoslave 2753 982989 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''affenpinscher''<ref>{{Lien web|titre=Page introuvable|url=https://chien.ouest-atlantis.com/avis-affenpinscher.html|site=chien.ouest-atlantis.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Affenpinscher à donner : adoption et rescues Québec [2024]|url=https://lebernard.ca/chiens/refuges/adoption-affenpinscher/|site=lebernard.ca|date=2023-02-04|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''africander, afrikander, alzheimer''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Couturier|titre=Puzzle: journal d'une Alzheimer|éditeur=J. Lyon|date=2004|isbn=978-2-84319-089-6|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimer, baby-boomer, babyboomer, baby-sitter, bartender, biker''<ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Issam|nom1=Charhi|titre=Nina Agdal : une biker sexy et glamour qui n’a plus rien à prouver !|périodique=Public|date=2014-04-09|lire en ligne=https://www.public.fr/nina-agdal-une-biker-sexy-et-glamour-qui-n-a-plus-rien-a-prouver|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcher, biohacker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Biohacking : qu’est-ce que c’est et comment ça fonctionne ? {{!}} BIOGENA France|url=https://biogena.com/fr-fr/savoir/guide/biohacking_bba_5612051|site=biogena.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Biohacking, l’art de doper sa routine !|url=https://www.parismatch.com/vivre/art-de-vivre/biohacking-lart-de-doper-sa-routine-234579|site=parismatch.com|date=2024-02-14|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Gabriel Dorthe|titre=Lepht Anonym : transhumanisme de cuisine|url=https://shs.cairn.info/le-transhumanisme-une-anthologie--9791037005717-page-303?lang=fr.}}</ref>'', bodybuilder''<ref>{{Lien web|titre=Mon poids, ma transformation + Entraînement Powerlifting|url=https://www.youtube.com/watch?v=8F5qyPu_6Lg|extrait=Je répond aussi à la question: est-ce qu'une femme qui s'entraine en musculation deviendra automatiquement comme une bodybuilder de haut niveau.}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Radio|prénom1=D. H.|titre=La belle histoire d'amour entre un nain bodybuilder et une femme transgenre|url=https://www.dhnet.be/medias/dh-radio/2015/03/30/la-belle-histoire-damour-entre-un-nain-bodybuilder-et-une-femme-transgenre-2PGEOCSPKRFSHAPVYSNZJJA2LM/|site=DHnet|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|nom1=WokeUpandChoseViolence|titre=L'odyssée d'une bodybuilder olympienne {{!}} Ep. 108: Mimi Capes|url=https://www.youtube.com/watch?v=F3wH4kpyvug|date=2024-07-10|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosser''<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Mazag de Robert Solé|isbn=978-2-02-039280-8|lire en ligne=https://livraddict.com/biblio/livre/mazag.html|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Rires D'homme Entre Deux Pluies De Claude Duneton|url=https://inter-commerce.de/1196925/Entre-Deux-Pluies-De-Claude-Duneton|extrait=Découverte grâce à une bookcrosser canadienne}}</ref>'', booker''<ref>{{Lien web|nom1=Souilem|prénom1=Ichrak|titre=[Interview] Connaissez vous Les Bookers ?|url=https://www.surfntaste.com/2012/06/interview-connaissez-vous-les-bookers.html|site=Surf 'n' Taste|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Back in the Dayz recrute un.e booker musique pop / variété|url=https://www.facebook.com/backinthedayz.be/posts/back-in-the-dayz-recrute-une-booker-musique-pop-vari%C3%A9t%C3%A9-fran%C3%A7aise/1410990631038110/}}</ref>'', bookmaker''<ref>{{Lien web|titre=Les Soprano - Saison 5|url=https://www.primevideo.com/-/fr/detail/The-Sopranos/0PTDULHB1XZY6O4QPUD6VMVXYR|extrait=Sack n'accepte pas le plan de partage du pouvoir que propose Tony et le lui fait savoir par une bookmaker du nom de Lorraine Calluzo.}}</ref>'', boomer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Pourquoi le terme « boomer » fait polémique|url=https://www.20minutes.fr/societe/3029587-20210426-pourquoi-terme-boomer-fait-polemique|site=20 Minutes|date=2021-04-26|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Bon à savoir 🤔 - C&#39;est quoi un “boomer” ? Un “boomer” est quelqu&#39;un né pendant le baby-boom, c’est une période de forte hausse (explosion) des naissances entre 1945 et 1975. (d&#39;où le terme « baby »… {{!}} Antoine Gérard {{!}} 27 commentaires|url=https://fr.linkedin.com/posts/antoine-g%C3%A9rard_bon-%C3%A0-savoir-cest-quoi-un-boomer-activity-7151482980757041152-deWI|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bootlegger''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Bootlegger : tout le pouvoir aux femmes|url=https://ici.radio-canada.ca/espaces-autochtones/1439606/bootlegger-kitigan-zibi-caroline-monnet-film|site=Radio-Canada|date=2019-12-23|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=AlloCine|titre=Hunger Games 6 : voici le casting complet du prochain film de la saga aux 3,3 milliards de dollars !|url=https://www.allocine.fr/article/fichearticle_gen_carticle=1000144157.html|site=AlloCiné|date=2025-05-15|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', bouncer''<ref>{{Lien web|titre=Laa - Encyclopédie Star Wars HoloNet|url=https://www.starwars-holonet.com/encyclopedie/personnage-laa.html|site=www.starwars-holonet.com|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Ty peluche vache Bouncers Daisy Cow White jouet en peluche Planet Happy BE|url=https://www.planethappy.be/fr/produit/410804/ty-peluche-vache-bouncers-daisy-cow-white-jouet-en-peluche.html|site=www.planethappy.be|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Olivia-Jeri Pizzuco-Ennis et Alice Young, auteur sur Montréal Campus|url=https://montrealcampus.ca/author/olivia-jeripizz/|site=Montréal Campus|date=2024-03-12|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', broker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les marchés financiers, des métiers passionnants|url=https://www.jinvestislavenir.fr/actualites/les-marches-financiers-des-metiers-passionnants|site=J’investis l’avenir|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=broker indelicat|url=https://www.hisse-et-oh.com/sailing/broker-indelicat|site=www.hisse-et-oh.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', buzzer''<ref>{{Lien web|titre=COMMISSAIRE TETINE passe à la télé aujourd'hui...|url=https://m.facebook.com/1339423339536398/photos/a.1363027137176018/2734202833391768/?type=3&locale=hi_IN|extrait=... une buzzer, une faiseur de buzz encore moins une buzziste, elle est encore trop jeune, ,laissez la grandir et apprendre , ne lui faite pas ...}}</ref>'', challenger''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Martinez|prénom1=Nicolas|titre=Aperçu : Aryna Sabalenka et Iga Swiatek s'affrontent en demi-finale de l'Open de Cincinnati 2024 - Open 6ème Sens - Tennis|url=https://www.open6emesens.fr/tennis/apercu-aryna-sabalenka-et-iga-swiatek-saffrontent-en-demi-finale-de-lopen-de-cincinnati-2024/|site=Open 6ème Sens|date=2024-08-17|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cheerleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Qu’est-ce que le cheerleading – FANATIC CHEER 19|url=https://www.fanaticcheer19.fr/quest-ce-que-le-cheerleading/|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', clubber''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Toulouse en panne d'endroits pour les plus de 30 ans|url=https://www.ladepeche.fr/article/2008/12/23/512102-toulouse-panne-endroits-plus-30-ans.html|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', co-designer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Isabel Marant s'offre une seconde directrice artistique|url=https://www.marieclaire.fr/kim-bekker-directrice-artistique-isabel-marant,1400742.asp|site=Marie Claire|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=FR|prénom1=FashionNetwork com|titre=The Kooples valide et amplifie sa stratégie de développement sur le sac|url=https://fr.fashionnetwork.com/news/The-kooples-valide-et-amplifie-sa-strategie-de-developpement-sur-le-sac,999832.html|site=FashionNetwork.com|date=2018-07-22|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', codesigner, coleader''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=à 07h00|prénom1=Par Le 31 mars 2012|titre=Fournier sait où elle va|url=https://www.leparisien.fr/hauts-de-seine-92/fournier-sait-ou-elle-va-31-03-2012-1932219.php|site=leparisien.fr|date=2012-03-31|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cosplayer, cost-killer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Dalila Zein, une « cost killer » devient directrice générale de l'AFP|url=https://www.acrimed.org/Dalila-Zein-une-cost-killer-devient-directrice|site=Acrimed {{!}} Action Critique Médias|date=2018-07-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', couchsurfer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Couchsurfing|url=https://www.couchsurfing.com/|site=Couchsurfing|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', cracker''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Access denied - Cristina Rodriguez|url=https://www.babelio.com/livres/Rodriguez-Access-denied/195530|site=Babelio|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crooner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Doris Day|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-01-18|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Doris_Day&oldid=232549107|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', crossgolfer, dealer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Une dealer arrêté avec près d'un million d'euros|url=https://www.sudouest.fr/faits-divers/une-dealer-arrete-avec-pres-d-un-million-d-euros-8796791.php|site=SudOuest.fr|date=2013-02-19|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Littoral|prénom1=P. C. F.|titre=Une dealer républicaine|url=http://pcf-littoral.over-blog.com/2019/08/une-dealer-republicaine.html|site=Le blog de PCF Littoral|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', debater''<ref>{{Lien web|titre=Et oui, je prends le temps de lire les contrats. Le premier ministre, M. Legault pourrait en faire autant avant de les signer. Ça nous permettrait d’éviter d’autres fiascos financiers avec notre argent!|url=https://www.facebook.com/marwahrizqymtl/posts/et-oui-je-prends-le-temps-de-lire-les-contrats-le-premier-ministre-m-legault-pou/1240978227836763/|extrait=Une femme brillante, intègre, une "debater" excellente... 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Comment des femmes anglaises ont vécu et écrit la Révolution française : le cas de Mary Wollstonecraft et Helen Maria Williams|périodique=La Révolution française|numéro=22|date=2022/janv./20|issn=2105-2557|doi=10.4000/lrf.6206|lire en ligne=https://journals.openedition.org/lrf/6206|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', dogsitter''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Roncq - Marie, dogsitter professionnelle, pallie l’absence des maîtres|périodique=La Voix du Nord|lire en ligne=https://www.lavoixdunord.fr/592911/article/2019-06-03/marie-dogsitter-professionnelle-pallie-l-absence-des-maitres|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', doppelgänger''<ref>{{Lien web|titre=[Ecologie] Doppelgänger / Changelins|url=https://www.donjondudragon.fr/forum/vos-creations/illustrations/vos-creations-graphiques/precis-d-histoires-naturelles-carnets-ecologiques/ecologie-doppelganger-changelins-6173.html|site=www.donjondudragon.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Commentaire de chisalockhart sur Les Royaumes sans lune, Tome 1 : Le Porterune|url=https://booknode.com/les_royaumes_sans_lune_tome_1_le_porterune_03671487/commentaires/25027854|site=booknode.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', drifter''<ref>{{Lien web|nom1=Destrohido|titre=😍 Guide Drifter/Voyageuse SEXY ! 😍{{!}} Warframe [FR]|url=https://www.youtube.com/watch?v=0uvCDkn-HUo|date=2022-05-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', driver''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=En Mayenne, une grosse opération du PMU dans plusieurs bars pour redonner envie aux turfistes de parier - ICI|url=https://www.francebleu.fr/pays-de-la-loire/mayenne-53/laval/en-mayenne-une-grosse-operation-du-pmu-dans-plusieurs-bars-pour-faire-redonner-envie-aux-turfistes-de-parier-1177235|site=ICI, le média de la vie locale|date=2025-09-13|consulté le=2026-02-18|extrait=Joël est fan d'une driver en particulier. "Il y en a une, quand elle est dans la charrette, je le joue à chaque fois !", lance-t-il en parlant de Clarisse Lelièvre, originaire d'Ernée.}}</ref>'', droughtmaster, drummer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=DAWSON4|url=https://www.bandmix.fr/dawson4/|site=BandMix|consulté le=2026-02-18|extrait=Je recherche un ou une bassiste un ou une Drummer un ou une pianiste.}}</ref>'', e-merchandiser, fabmanager''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le Carrefour numérique de la Cité des sciences et de l'industrie recrute un/une Fabmanager/Fabmanageuse|url=https://forum.rfflabs.fr/topic/504/le-carrefour-num%C3%A9rique-de-la-cit%C3%A9-des-sciences-et-de-l-industrie-recrute-un-une-fabmanager-fabmanageuse|site=Réseau Fr. des FabLabs|date=2021-10-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', facebooker''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=SaId.A|titre=Houssaine Obrim : » C’est fini, j’arrête. «|url=https://lionsdelatlas.ma/houssaine-obrim-c-est-fini-j-arrete/|date=2017-09-27|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Top dix des incivilités des Algériens.|url=https://www.algerie-dz.com/forums/algerie/260487-top-dix-des-incivilit%C3%A9s-des-alg%C3%A9riens|site=Algerie-dz.com|date=2012-10-20|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fighter''<ref>{{Lien web|titre=LP est une "Fighter" avec Imanbek dans un clip futuriste|url=https://www.chartsinfrance.net/Imanbek/news-118908.html|site=chartsinfrance.net|date=2021-10-03|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', fixer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Romance Panam Cyberpunk 2077 : comment vivre le grand amour avec elle ?|url=https://www.jeuxvideo.com/news/1806152/romance-panam-cyberpunk-2077-comment-vivre-le-grand-amour-avec-elle.htm|site=Jeuxvideo.com|date=2023-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=R&ocirc;liste|prénom1=Senior|titre=Récit de partie Cyberpunk: Pour 500 eddies... - Senior Rôliste - Blog JDR (Jeu de rôle)|url=https://senioroliste.com/cyberpunk/pour-500-eddies|site=Senior Rôliste|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Netflix : les nouveautés à voir en avril 2023|url=http://www.ellequebec.com/style-de-vie/cinema-et-tele/netflix-les-nouveautes-a-voir-en-avril-2023|site=Magazine ELLE Québec {{!}} Tendances mode, beauté, lifestyle et célébrités|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', flanker, flyer''<ref>{{Lien web|titre=05/03/2022 - PERTH ASCOT: Pronostics, Cotes & Résultats|url=https://www.zeturf.fr/fr/reunion-du-jour/2022-03-05/R9-perth-ascot#a-l-affiche-tab|site=www.zeturf.fr|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', follower''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=J'ai Eu Ma Première GROSSE Commande Grâce à Une Follower!|url=https://www.youtube.com/shorts/SOQFdyC2V_w|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerider''<ref>{{Lien web|titre=Welcome to the team Casey!|url=https://www.swatch.com/fr-fr/athlete-casey-brown.html?srsltid=AfmBOorEVey699qy0MAAFVnCEHL1s_uz1Ewmfyd7bHCiEI8MfjXiiSoW|site=www.swatch.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', freerunner''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Orion|prénom1=Maryam|titre=Lilou Ruel, star du parkour et freerunning à 17 ans nous partage ses secrets !|url=https://laruche.wizbii.com/interview-de-lilou-ruel-une-freerunner-girl-de-17-ans|site=WIZBII Blog|date=2020-10-05|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-ch|titre=https://we.tl/t-CKlLTf0DDy|url=https://www.redbull.com/ch-fr/red-bull-art-of-motion-2022-qualifications|site=Red Bull|date=2022-04-19|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le FN, un parti "dictatorial", Marine, une "Führer": les perles de Jean-Marie Le Pen|url=https://www.lexpress.fr/politique/rn/le-fn-un-parti-dictatorial-marine-une-fuhrer-les-perles-de-jean-marie-le-pen_1688798.html|site=L'Express|date=2015-06-11|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', Führer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=My Cute Fuhrer sur Steam|url=https://store.steampowered.com/app/1205960/My_Cute_Fuhrer/|site=store.steampowered.com|consulté le=2026-02-18}}</ref>'', gabber''<ref>{{Lien web|langue=en-US|nom1=Staelens|prénom1=Stefanie|titre=Une après-midi à danser le hakken dans le shop gabber le plus culte du Benelux|url=https://www.vice.com/fr/article/une-apres-midi-a-danser-le-hakken-dans-le-shop-gabber-le-plus-culte-du-benelux/|site=VICE|date=2018-06-14|consulté le=2026-05-16|extrait=Le groupe qui me semble le plus amical est une famille constituée d'une gabber mama, Antilla, et de ses sept fils.}}</ref>'', gamer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Academos|titre=Academos a posé 10 questions à un gamer pur et dur|url=https://academos.qc.ca/blogue-jeunes/entrevues/10-questions-pour-passionne-jeux-video/|site=Academos|date=2019-08-16|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', globe-trotter''<ref>{{Lien web|titre=Sarthe. Une globe-trotter vient en aide aux jeunes Africaines|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/la-chartre-sur-le-loir-72340/sarthe-une-globe-trotter-vient-en-aide-aux-jeunes-africaines-771895e6-4ede-11ed-84de-086d7f92e6be}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Nouaillé-Maupertuis : le documentaire d’une globe-trotter|url=https://www.lanouvellerepublique.fr/vienne/commune/nouaille-maupertuis/nouaille-maupertuis-le-documentaire-d-une-globe-trotter|site=lanouvellerepublique.fr|date=2024-10-01|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', greeter''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les greeters, guides bénévoles qui nous font aimer le patrimoine de leur ville|url=https://www.franceinfo.fr/culture/patrimoine/les-greeters-guides-benevoles-qui-nous-font-aimer-le-patrimoine-de-leur-ville_3368661.html|site=franceinfo|date=2017-08-11|consulté le=2026-05-16}}</ref>'', hacker''<ref>{{Lien web|langue=en-US|titre=Qu’est-ce que le Hacker ? {{!}} Blog d'une Hacker|url=https://blog.letik.fr/?page_id=7|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Hackers et journalistes : Liens hypertextes {{!}} Magazin|url=https://magazin.epjt.fr/hackers-et-journalistes-liens-hypertextes|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|titre=A la rencontre des hackers qui gagnent des millions... légalement|périodique=BBC News Afrique|lire en ligne=https://www.bbc.com/afrique/monde-50601098|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', handler''<ref>{{Article|langue=fr-FR|titre=History is being made!!! - Fhana|périodique=Fhana|date=2022-12-23|lire en ligne=https://fhana.com/fr/news/history-is-being-made/|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Vaucluse : Rackham, champion du monde d'un concours canin|url=https://www.laprovence.com/article/sorties-loisirs/6627446/vaucluse-rackham-champion-du-monde-dun-concours-canin.html?id=6627446|site=www.laprovence.com|date=2022-01-16|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Expositions canines - 15 - Forum Cheval|url=https://www.1cheval.com/membre/forum/salon/sujet-1308930-14-expositions-canines|site=1cheval|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', hardgamer''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Please help! Quel jeu choisir?|url=https://forum.trictrac.net/t/please-help-quel-jeu-choisir/98833|site=Forum de Trictrac|date=2011-11-22|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=question vétisphère sur le forum Final Fantasy X-2 - 03-05-2006 14:59:57|url=https://www.jeuxvideo.com/forums/1-7683-12037202-1-0-1-0-0.htm|site=Jeuxvideo.com|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', highlander''<ref>{{Lien web|titre=Instagram|url=https://www.instagram.com/p/C5lXlQro93o/|site=www.instagram.com|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Top Chef - Saison 8, Épisode 7 : Qui sera le plus fort ? 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Profile|url=https://www.freelancer.com/u/fabiennepietrus|site=Freelancer|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', instagrammer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Gabriel|prénom1=Nadia|titre=Choisir le bon influenceur pour son identité de marque|url=https://www.trustbeauty.io/comment-trouver-des-influenceurs-pertinents-pour-sa-marque/|site=Trust Beauty|date=2020-10-28|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Instagram|url=https://www.instagram.com/accounts/login/?next=https%3A%2F%2Fwww.instagram.com%2Fyukwi%2F&is_from_rle|site=www.instagram.com|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Mbote|prénom1=Redaction|titre=Didistone fan de la chanson "Bakala" de Fally Ipupa|url=https://mbote.cd/buzz/didistone-fan-de-la-chanson-bakala-de-fally-ipupa/146198/|site=Mbote|date=2023-10-17|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', interviewer''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Mission captation et interview lors d'une de mes conférences {{!}} LesBonsFreelances|url=https://www.lesbonsfreelances.com/mission/captation-interview-lors-conferences|site=www.lesbonsfreelances.com|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Oriana Fallaci|url=http://www.theflyingelectra.com/2015/08/oriana-fallaci.html|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Tournages et captations|url=https://communication.parisnanterre.fr/tournages-et-captations|site=Direction de la communication|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', jobber''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Petits travaux à domicile Orange|url=https://ringtwice.fr/petits-travaux/orange|site=Ring Twice|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Beth Phoenix|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-03-26|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Beth_Phoenix&oldid=234477674|consulté le=2026-05-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=BIOGRAPHIE DE BETH PHENIX|url=https://catchsuperstar.forumsrpg.com/t154-biographie-de-beth-phenix|site=catchsuperstar.forumsrpg.com|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', jogger''<ref name=":0">{{Lien web|langue=fr-FR|titre=activité en plein air|url=https://villachampagne.fr/activites-physiques-et-sportives/activite-en-plein-air/|site=location villa Guadeloupe - VILLA CHAMPAGNE|consulté le=2026-05-23}}</ref>'', jumper''<ref>{{Lien web|titre=Découvrez Jumpers, le nouveau film Disney.Pixar ...|url=https://www.facebook.com/PixarFR/posts/d%C3%A9couvrez-jumpers-le-nouveau-film-disneypixar-actuellement-au-cin%C3%A9ma-/1367426198756810/|extrait=Cette fois, ça suit une ado qui découvre qu'elle est une Jumper, mais c'est beaucoup plus sombre et psychologique.}}</ref>'', looser, merchandiser, planner, ranger, rocker, teen-ager, teenager, trader, viewer, webmaster, youngtimer''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Majoritairement, ce sont des termes issus d’emprunts à l’anglais. Souvent la forme épicène est concourante à l’emploi de variations avec alternance suffixale en -euse, ''-ère'', ''-eresse ou -resse'' : ''africandère''<ref>{{Ouvrage|nom1=Getty Research Institute|titre=Le rire : journal humoristique paraissant le samedi|éditeur=Paris : F. Juven|date=1894|lire en ligne=http://archive.org/details/lerirejournalhum07unse|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', Alzheimeresse''<ref>{{Lien web|titre=Bimbo com's - Ma-bimbo.com, jeu de mode ! Jeu de filles et jeu pour filles|url=https://ma-bimbo.com/profile/lolissou,coms,1583364,63.htm|site=ma-bimbo.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', baby-boomeuse,'' baby-sitteuse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Guillot|prénom1=Justine|titre=Baby-Sitting : quel statut, quel salaire ?|url=https://info-jeunes.fr/baby-sitting-quel-statut-quel-salaire/|site=Info-Jeunes|date=2024-01-17|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Tina, nounou est à la recherche d'un emploi à Strasbourg|url=https://yoopies.fr/nounou/strasbourg/baby-sitteuse-douce-experimentee-strasbourg/6343547|site=Yoopies|consulté le=2026-02-17}}</ref>, ''bartendresse'', ''bikeuse,'' ''bodybuildeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Sikagz|titre=Une bodybuildeuse de 47 ans balaye les critiques sur son physique|url=https://www.gentsu.fr/actu-urbaine/une-bodybuildeuse-de-47-ans-balaye-les-critiques-sur-son-physique/|site=Gentsu|date=2023-07-04|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Article|langue=en|titre=Immersion - Avec une bodybuildeuse {{!}} TV5MONDE États-Unis|périodique=TV5MONDE États-Unis|lire en ligne=https://usa.tv5monde.com/en/tv-guide/documentaries/immersion/avec-une-bodybuildeuse-728259|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une bodybuildeuse et influenceuse retrouvée morte après une chute de son immeuble, elle avait le corps lacéré|url=https://www.ladepeche.fr/2025/11/14/une-bodybuildeuse-et-influenceuse-retrouvee-morte-apres-une-chute-de-son-immeuble-elle-avait-le-corps-lacere-13052748.php|site=ladepeche.fr|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookcrosseuse''<ref>{{Lien web|titre=Marie-Paule Douaud, première « bookcrosseuse »|url=https://www.ouest-france.fr/pays-de-la-loire/aizenay-85190/marie-paule-douaud-premiere-bookcrosseuse-3799563}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=A Lille, le "bookcrossing" fait voyager les livres {{!}} TF1 Info|url=https://www.tf1info.fr/conso/a-lille-le-bookcrossing-fait-voyager-les-livres-1519899.html|site=www.tf1info.fr|date=2015-01-12|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Comment trouver un bookeur, un agent, un tourneur, bref des dates autrement que par soi-même|url=https://confliktarts.com/blogs/news/comment-trouver-un-bookeur-un-agent-un-tourneur-bref-des-dates-autrement-que-par-soi-meme|site=Confliktarts|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeuse''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Ducarre|prénom1=Antoine|titre=USA : Donald Trump destitué, le pari fou des bookmakers|url=https://vl-media.fr/usa-trump-destitue-pari-fou-bookmakers/|site=VL Média|date=2017-05-11|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Message du 1er janvier 2026 réservé aux hommes|url=https://atypikal.life/2026/01/01/message-du-1er-janvier-2026-reserve-aux-hommes/|site=Atypikal Life|date=2025-12-31|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', bookmakeresse''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Auguste|nom1=Lepère|champ libre=p.142 : les paris pris par la bookmakeresse au Grand Prix hippique de Paris.|titre=[Illustrations de Paris au hasard]|date=1895|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b2000080w|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', boomeuse, boomeresse''<ref>{{Lien web|titre=Reddit - Le cœur d’Internet|url=https://www.reddit.com/r/TropPeurDeDemander/comments/1perfmz/vous_%C3%AAtes_l%C3%A0_les_petitsenfants_de_boomers/|site=www.reddit.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>'', binge-watcheuse, coronère''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=À la poursuite de la santé - Des communautés autochtones {{!}} Savoir média {{!}} Lea-Chloe Bilodeau|url=https://fr.linkedin.com/posts/lea-chloe-bilodeau-3679741aa_%C3%A0-la-poursuite-de-la-sant%C3%A9-des-communaut%C3%A9s-activity-7334629045785038848-2PD2|site=fr.linkedin.com|consulté le=2026-02-16|extrait=Dans les jours qui suivent la publication du rapport de la coronère Stephanie Gamache sur le décès de Raphaël André, je suis tombée sur ce reportage de Savoir Média :}}</ref>'','' ''designeuse, globe-trotteuse, joggeuse<ref name=":0" />, quakeresse'', en plus de quoi il s'emploit parfois concourament une forme équivoque en -eur&nbsp;: ''hackeur''<ref>{{Lien web|titre=Client Challenge|url=https://www.sfeir.dev/securite/maman-je-suis-un-hackeur/|site=www.sfeir.dev|consulté le=2026-05-23}}</ref>.<blockquote>ℹ️ ''Alzheimère'' ne semble employé que dans un jeu de mot avec mère<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Luna Théâtres|url=https://www.luna-theatres.fr/spectacle/alzheimere-fils-563|site=Luna Théâtres|consulté le=2026-02-17}}</ref>, qui dans le même registre alterne avec ''Alzheipère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Hoang|prénom1=Van|titre=Alzheipère de Xavier Benout aux Riches Claires jusqu'au 28 octobre • Le Suricate|url=https://www.lesuricate.org/alzheipere-de-xavier-benout/|site=Le Suricate|date=2017-10-16|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Alzheipère de Xavier Benout : Peut-on rire de tout ? - RTBF Actus|url=https://www.rtbf.be/article/alzheipere-de-xavier-benout-peut-on-rire-de-tout-9741731|site=RTBF|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. De même pour alzheimeuse, qui a servi de nom à une association chargée de promouvoir et développer le lien social des personnes souffrant de la maladie d'Alzheimer dans la Meuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=F.Le|titre=Alzheipère, histoire d'en rire!|url=https://www.lavenir.net/regions/wallonie-picarde/2019/02/04/alzheipere-histoire-den-rire-ZDBRS2P6FBCCXHE3KCJ7RBWXX4/|site=lavenir.net|date=2026-02-17|consulté le=2026-02-17}}</ref>. À noter également les dérivés ''Alzheimerienne'' et ''Alzheimerien''. De même pour ''boomère''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Anne-Laure|titre=Les mots qu’il nous faut / Jeanne Henin|url=https://www.agence-dejademain.fr/les-mots-quil-nous-faut-jeanne-henin/|site=Agence Déjà Demain|date=2024-11-04|consulté le=2026-02-18}}</ref>'','' auquel une alternance en ''boopère'' n'est pas attesté en ce sens malgré la constatation de l'emploi d'un terme homéomorphe<ref>{{Ouvrage|prénom1=France)|nom1=University of Michigan|titre=Bulletins de la Société des antiquaires de l'Ouest|éditeur=Poitiers : Chez tous les libraires ; Paris : Chez Derache, Libraire|lire en ligne=http://archive.org/details/bulletindelasoc157unkngoog|consulté le=2026-02-18}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=Michel Sévigny Obituary {{!}} 2025 - 2025 {{!}} Sudbury Star|url=https://thesudburystar.remembering.ca/obituary/michel-sevigny-1076249989|site=thesudburystar.remembering.ca|consulté le=2026-02-18}}</ref>. </blockquote><blockquote>ℹ️ Outre ''bartendresse'', du côté anglophone la forme ''bartendereresse'' est attestée<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les 50 meilleurs bars et boissons dans Riga|url=https://wanderlog.com/fr/list/geoCategory/6425/les-meilleurs-bars-et-boissons-dans-riga|site=Wanderlog|consulté le=2026-02-17|extrait=The service was welcoming and the bartenderesse skills impressive.}}</ref>, et les formes ''barmaid'' à l'ambigu et ''barman'' à l'équivoque sont également en usage dans la francophonie.</blockquote>Pour l'isonèphe reprendre ''-urge'', déjà proposé pour [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-euse, -eur|''-euse, -eur'']] semble tout indiqué. Pour les ostentatoires également, avec pour seule contrainte supplémentaire l'emploire de -iẽre plutôt que -ẽre pour éviter les homophonies aux flexions alternatives d'ambigu en -ère. Soit respectivement ''-iẽre, -ìre, -āre'' ou ''-ārste'' ou ''-ārque, -ǫre, -ûre'' ou ''-úre''. ====== Défectivités ====== La forme ''barebacker'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec ''barebackeuse''<ref>{{Lien web|titre=Liste des barebackeuses - Page 2 - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=15726&start=15|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Beatriz hilton - tg-forum.com|url=https://tg-forum.com/forum/viewtopic.php?t=12260|site=tg-forum.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=la salope a queues - CuckoldPlace.com|url=https://www.cuckoldplace.com/16_61375_1.html|site=www.cuckoldplace.com|consulté le=2026-02-17}}</ref>''.'' La forme ''be-boper'' ne semble employé qu'à l'équivoque, en revanche il existe une alternance avec be-bopeuse<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=CultureJazz.fr|prénom1=Équipe de rédaction de|titre=L'Appeal Du Disque - Décembre 2020|url=https://www.culturejazz.fr/spip.php?article3600|site=CultureJazz.fr|date=2020-12-15|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Guitare Jazz Manouche • Voir le sujet - Rare: Emily Remler playin' "Hot House"|url=https://guitarejazzmanouche.com/forum/viewtopic.php?t=21417&p=238714|site=guitarejazzmanouche.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=en|titre=#alain gerber {{!}} Explore Tumblr posts and blogs {{!}} Tumgik|url=https://www.tumgik.com/tag/alain%20gerber|site=www.tumgik.com|consulté le=2026-02-17}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Follow Me|url=https://www.faq-drone.com/topic/22294-follow-me/|site=Forum Drones & Voitures RC|date=2018-11-03|consulté le=2026-02-17}}</ref>. Le terme ''buumdroeger'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''crossgolfer'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''freefighter'' ne semble employé qu'à l'équivoque. Le terme ''wasenmeister'' n’est attesté qu’à l'équivoque. ''Un growler''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|nom1=ICI.Radio-Canada.ca|prénom1=Zone Arts-|titre=Une chorale de chanteurs métal en spectacle vendredi au CEM|url=https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/2062560/growlers-choir-chant-gorge|site=Radio-Canada|date=2024-04-04|consulté le=2026-05-22}}</ref>, personne qui se spécialise le chant guttural, ne semble employé qu'à l'équivoque, mais des flexions comme ''growleuse'' sont en usage<ref>{{Lien web|titre=Chronique : PassCode Strive (2020)|url=https://www.leseternels.net/chronique.aspx?id=19040|site=www.leseternels.net|consulté le=2026-05-22}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-fr|nom1=Lo|titre=Of Hope And Aspiration|url=https://www.musiczine.net/index.php/fr/chroniques/item/23786-Of_Hope_And_Aspiration|site=www.musiczine.net|consulté le=2026-05-22}}</ref>. ====== Métaphores et métonymies haplogestes ====== ''Un bloomer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un blaster,'' arme, et par suite personne qui l'utilise. ''Un blazer'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un bomber'', vêtement et par suite personne qui le porte. ''Un cruiser,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. ''Un dumper,'' véhicule et par suite personne qui le conduit. Un hydrospeeder, véhicule et par suite personne qui le conduit. ====== Biotiques haplogestse ====== * ''un backer, oiseau&nbsp;;'' * ''un borer,'' insecte&nbsp;; * ''un burger,'' cépage&nbsp;; * ''un duiker,'' mammifère&nbsp;; ====== Références ====== <references /> 63i1ka8srj10cghg4qyrclz7h4fqkjb 4 85756 983011 982738 2026-05-24T10:26:05Z Fourmidable 50100 /* Archivage */ Réponse 983011 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Débat d'admissibilité}} == [[Flash]] == Proposé par : [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 19 mai 2025 à 09:24 (UTC) Logiciel obsolète depuis 2020. === Discussions === ''Toutes les discussions vont ci-dessous. Veuillez créer un sous-paragraphe de ce paragraphe pour toute nouvelle discussion.'' ==== Archivage ==== Archivage : Le logiciel Flash est obsolète... Donc, a minima, il faut déplacer cette leçon... Certes la page de présentation de la leçon est très incomplète ; Certes il n'y a pas la seconde ou deuxième partie (?) ; Mais le document peut servir de trame à un jeune apprenti WV [pour introduire le logiciel qui a remplacé Flash par exemple], à condition que l'on donne ces trames comme exemples dans les aides aux apprentis WV... Nota : Je me souviens, quand j'ai commencé à vouloir verser par mimétisme mes cours, du nombre de cheveux que je me suis tiré en absence de modèles et en dépit du parrainage au cordeau de @Noria (la pauvre !!! Merci encore...) [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 23 juillet 2025 à 08:20 (UTC) :Bonjour {{Mention|Guy6631}}, comment imaginez-vous cet "archivage", concrètement ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 26 juillet 2025 à 01:19 (UTC) ::Dans l'aide, à destination des bébés-WV, en parallèle à tous les conseils, une liste de types de page avec des commentaires de WVien-nes expérimenté-e-s, comme exemples à suivre ... [[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 28 juillet 2025 à 12:53 (UTC) :::@[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]], Je trouve que l'idée d'un espace d'archivage intéressante, mais pas pour quelque chose qui n'existe plus. Quel est l'intérêt de développer du contenu pédagogique sur des sujets obsolète et des technologies disparues ? En revanche, s'il existe quelque part quelque chose qui traite de l'histoire de l'informatique, on pourrait alors déplacer le contenu à cet endroit ? Mais la page en elle-même doit disparaitre selon moi. :::Et pour en revenir à l'idée d'archivage, on pourrait peut-être y réfléchir pour les nombreuses coquilles vides que constituent les pages créées sans contenu ou si peu. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 13 mai 2026 à 08:07 (UTC) ::::Ce serait bien de me montrer de quelle page d'aide vous parlez. Sinon, je ne pense pas que le contenu soit recyclable pour un autre logiciel : les conseils me semblent extrêmement personnalisés. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 24 mai 2026 à 10:26 (UTC) === Votes === ''Entrez ci-dessous votre vote éventuellement suivi d'une brève justification. N'oubliez pas de signer avec quatre tildes (<nowiki>~~~~</nowiki>).'' ''Les utilisateurs désirant commenter une justification de vote doivent impérativement le faire ci-dessus dans le paragraphe discussion en y créant un sous-paragraphe et en notifiant le votant au début de celui-ci. Toute discussion sur une justification de vote faite dans ce paragraphe sera supprimée pour raison de clarté et pour ne pas influencer directement les votants.'' ==== Supprimer ==== # {{Supprimer}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 juillet 2025 à 09:30 (UTC) # {{Supprimer}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 27 juillet 2025 à 07:28 (UTC) # {{Supprimer}} [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 13 mai 2026 à 07:57 (UTC) ==== Conserver ==== # ==== Neutre ==== #{{neutre}} : une telle leçon (deux pages) isolée est effectivement perdue. Je pense qu'il ne serait pas inintéressant d'affilier cette page au département "Programmation informatique" de la faculté d'informatique. Ceci dit, ce système logiciel ayant été abandonné par son propriétaire (selon l'article concerné sur Wikipédia), pas sûr que ce soit intéressant de maintenir ce cours, sinon comme "template" …? --[[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 18 décembre 2025 à 20:17 (UTC). #:Vous avez raison [[Spécial:Contributions/&#126;2026-65401-4|&#126;2026-65401-4]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-65401-4|discussion]]) 30 janvier 2026 à 09:56 (UTC) === Conclusion du vote === 10u0tpmezi2x6grczigzvaa9mo5v5ap 0 86989 982996 982511 2026-05-24T05:00:10Z PandaMystique 80252 982996 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = littérature | département = Littérature francophone | cours = [[Germinal]] | niveau = 12 | PlusLoin = oui | 1 = {{C|Une fiction sous le Second Empire (1866-1867)|titre=Une fiction sous le Second Empire (1866-1867)|0}} | 2 = {{C|Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin|titre=Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin|0}} | 3 = {{C|La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage|titre=La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage|0}} | 4 = {{C|Le coron et la dépendance vis-à-vis de la Compagnie|titre=Le coron et la dépendance vis-à-vis de la Compagnie|0}} | 5 = {{C|Maladies, accidents et caisses de secours|titre=Maladies, accidents et caisses de secours|0}} | 6 = {{C|Le travail des femmes et des enfants|titre=Le travail des femmes et des enfants|0}} | 7 = {{C|La grève d'Anzin de 1866 : un précédent oublié|titre=La grève d'Anzin de 1866 : un précédent oublié|0}} | 8 = {{C|La grève d'Anzin de 1884 : la matrice contemporaine|titre=La grève d'Anzin de 1884 : la matrice contemporaine|0}} | 9 = {{C|Le mouvement ouvrier de la Première Internationale à 1884|titre=Le mouvement ouvrier de la Première Internationale à 1884|0}} | 10 = {{C|Les trois courants socialistes incarnés dans le roman|titre=Les trois courants socialistes incarnés dans le roman|0}} | 11 = {{C|Le tournant législatif de 1884|titre=Le tournant législatif de 1884|0}} | 12 = {{C|Conclusion : un roman au carrefour de deux époques|titre=Conclusion : un roman au carrefour de deux époques|0}} | fiche1 = {{F|Révision|0}} | quiz1 = <!-- {{Qu|Titre du quiz 1|avancement (0 à 4)}} --> | exo1 = <!-- {{Exo|Titre de l'exercice 1|avancement (0 à 4)}} --> | tp1 = <!-- {{TP|Titre du travail pratique 1|avancement (0 à 4)}} --> | autres projets = oui | s = Germinal | w = <!-- titre de l'article correspondant sur Wikipédia (facultatif) --> | commons = <!-- titre de la catégorie correspondante sur Commons (facultatif) --> | wikt = <!-- titre du mot correspondant sur Wiktionnaire (facultatif) --> | b = <!-- titre du manuel correspondant sur Wikibooks (facultatif) --> | imprimable = oui }} [[Catégorie:Roman]] [[Catégorie:Littérature]] [[Catégorie:Littérature francophone]] <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> bmexvq7oxkwm94n08kinh4ghb0sdpxo 983007 982996 2026-05-24T05:32:36Z PandaMystique 80252 983007 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = littérature | département = Littérature francophone | cours = [[Germinal]] | niveau = 12 | PlusLoin = oui | 1 = {{C|Une fiction sous le Second Empire (1866-1867)|titre=Une fiction sous le Second Empire (1866-1867)|4}} | 2 = {{C|Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin|titre=Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin|4}} | 3 = {{C|La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage|titre=La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage|4}} | 4 = {{C|Le coron et la dépendance vis-à-vis de la Compagnie|titre=Le coron et la dépendance vis-à-vis de la Compagnie|0}} | 5 = {{C|Maladies, accidents et caisses de secours|titre=Maladies, accidents et caisses de secours|0}} | 6 = {{C|Le travail des femmes et des enfants|titre=Le travail des femmes et des enfants|0}} | 7 = {{C|La grève d'Anzin de 1866 : 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(facultatif) --> | commons = <!-- titre de la catégorie correspondante sur Commons (facultatif) --> | wikt = <!-- titre du mot correspondant sur Wiktionnaire (facultatif) --> | b = <!-- titre du manuel correspondant sur Wikibooks (facultatif) --> | imprimable = oui }} [[Catégorie:Roman]] [[Catégorie:Littérature]] [[Catégorie:Littérature francophone]] <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 8kby29wdbea3y8y28x1jwi730f77v7l 0 87062 982997 2026-05-24T05:11:17Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = | suivant = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Une fiction sous le Second Empire (1866-1867) == Pour comprendre ''Germinal'', il faut commencer par bien situer l'époque dans laquelle l'action se déroule. Le roman se passe en 1866... » 982997 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = | suivant = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Une fiction sous le Second Empire (1866-1867) == Pour comprendre ''Germinal'', il faut commencer par bien situer l'époque dans laquelle l'action se déroule. Le roman se passe en 1866-1867, à la fin du Second Empire de Napoléon III, soit près de vingt ans avant sa publication en 1885. Ce décalage temporel n'est pas sans importance : Zola écrit sous la Troisième République, qui a succédé à l'Empire après la défaite de Sedan en 1870 et la Commune de Paris en 1871, mais il situe son action dans les dernières années du régime impérial. Ce choix s'explique d'abord par la logique du cycle des ''Rougon-Macquart'', qui a précisément pour ambition de retracer la France sous le Second Empire ; il s'explique aussi par la cohérence historique du sujet, puisque c'est dans les années 1860 que la France connaît une accélération de son industrialisation et les premières grandes grèves modernes. Cependant, comme nous le verrons, Zola injecte dans ce récit de 1866 des éléments qui appartiennent en réalité aux années 1880, au moment où il écrit. Son roman superpose ainsi deux époques : celle, présumée, du Second Empire, et celle, réelle, des débuts de la Troisième République. La critique a longtemps signalé ce qu'on a appelé les anachronismes du roman, mais on verra qu'il s'agit moins d'erreurs que d'une construction délibérée, qu'André-Marc Vial qualifie d'« image synthétique » de la condition ouvrière sur vingt ans d'histoire<ref>André-Marc Vial, ''Germinal et le « socialisme » de Zola'', Éditions sociales, 1975 ; voir aussi Henriette Psichari, ''Anatomie d'un chef-d'œuvre. Germinal'', Mercure de France, 1964.</ref>. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = | suivant = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> inhim5k9cuwir0ux9gwbw0wjcj0zd01 982999 982997 2026-05-24T05:13:05Z PandaMystique 80252 982999 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = | suivant = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Une fiction sous le Second Empire (1866-1867) == Pour comprendre ''Germinal'', il faut commencer par bien situer l'époque dans laquelle l'action se déroule. Le roman se passe en 1866-1867, à la fin du Second Empire de Napoléon III, soit près de vingt ans avant sa publication en 1885. Ce décalage temporel n'est pas sans importance : Zola écrit sous la Troisième République, qui a succédé à l'Empire après la défaite de Sedan en 1870 et la Commune de Paris en 1871, mais il situe son action dans les dernières années du régime impérial. Ce choix s'explique d'abord par la logique du cycle des ''Rougon-Macquart'', qui a précisément pour ambition de retracer la France sous le Second Empire ; il s'explique aussi par la cohérence historique du sujet, puisque c'est dans les années 1860 que la France connaît une accélération de son industrialisation et les premières grandes grèves modernes. Cependant, comme nous le verrons, Zola injecte dans ce récit de 1866 des éléments qui appartiennent en réalité aux années 1880, au moment où il écrit. Son roman superpose ainsi deux époques : celle, présumée, du Second Empire, et celle, réelle, des débuts de la Troisième République. La critique a longtemps signalé ce qu'on a appelé les anachronismes du roman, mais on verra qu'il s'agit moins d'erreurs que d'une construction délibérée, qu'André-Marc Vial qualifie d'« image synthétique » de la condition ouvrière sur vingt ans d'histoire<ref>André-Marc Vial, ''Germinal et le « socialisme » de Zola'', Éditions sociales, 1975 ; voir aussi Henriette Psichari, ''Anatomie d'un chef-d'œuvre. Germinal'', Mercure de France, 1964.</ref>. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} <br> {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = | suivant = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> fcj4wx7s6vkvzvx4b3a641xgn2ut5jo 0 87063 982998 2026-05-24T05:12:15Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = [[../Une fiction sous le Second Empire (1866-1867)/]] | suivant = [[../La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin == Le bassin houiller du Nord, où se situe l'action du roman, est l'un de... » 982998 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = [[../Une fiction sous le Second Empire (1866-1867)/]] | suivant = [[../La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin == Le bassin houiller du Nord, où se situe l'action du roman, est l'un des plus importants de France. Il s'étend d'est en ouest sur près de 120 kilomètres, depuis Valenciennes, près de la frontière belge, jusqu'à Béthune. La houille y est exploitée depuis le XVIIIe siècle, et la Compagnie des mines d'Anzin, fondée en 1757, est la plus ancienne et l'une des plus puissantes des grandes compagnies françaises. À la fin du Second Empire, c'est une véritable institution qui emploie plusieurs milliers de mineurs sur des dizaines de fosses, et qui possède ses propres villages ouvriers, ses bureaux, ses ingénieurs et son école. Pour donner un ordre de grandeur de l'importance économique et humaine de cette industrie, il faut savoir qu'à l'époque où se déroule l'action du roman, environ 14 % des ouvriers du fond à Anzin étaient des enfants âgés de 11 à 15 ans<ref>B. Plessy et L. Challet, ''La Vie quotidienne au temps de Germinal'', Hachette, 1984, cité par François Dolléans, dans Émile Zola, ''Germinal. Extraits'', Hachette, coll. « Classiques Hachette », 1993, « Vivre au temps de ''Germinal'' ».</ref>. La Compagnie d'Anzin n'est donc pas un cas isolé dans le paysage industriel français : elle est représentative d'une logique économique et sociale qui régnait dans tout le bassin houiller. C'est cette logique que Zola transpose dans la Compagnie de Montsou imaginaire, qui réunit sous un seul nom des traits empruntés à plusieurs sociétés réelles. Henri Marel a montré à cet égard que la « géographie » de Montsou est elle-même une construction synthétique : Zola superpose Anzin, le coron de Saint-Louis, la fosse Renard de Denain et le site de Bruay-Thiers pour créer un lieu fictif qui n'existe nulle part mais qui condense les caractéristiques réelles de plusieurs lieux observés. Cette technique romanesque permet à l'écrivain de fournir « une scène que le regard peut embrasser », plus vraie pour le roman que ne le serait n'importe quel lieu unique<ref>Henri Marel, ''Germinal, une documentation intégrale'', University of Glasgow French and German Publications, 1989, p. 21-22.</ref>. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Une fiction sous le Second Empire (1866-1867)/]] | suivant = [[../La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 5hbg0g8p3c6c5toxf2vuzpm5h37oju6 0 87064 983000 2026-05-24T05:13:51Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] | suivant = [[../Le coron et la dépendance vis-à-vis de la Compagnie/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage == Le métier de mineur est l'un des plus durs et des plus dangere... » 983000 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = littérature | niveau = 12 | numéro = 3 | précédent = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] | suivant = [[../Le coron et la dépendance vis-à-vis de la Compagnie/]] | page_liée = | page_liée2 = }} == La condition des mineurs : travail, salaire, marchandage == Le métier de mineur est l'un des plus durs et des plus dangereux de la France industrielle du XIXe siècle. Les mineurs descendent à plusieurs centaines de mètres sous terre (à Anzin, jusqu'à 476 mètres dans la fosse Renard où Zola est descendu) pour extraire le charbon dans des galeries étroites, surchauffées ou inondées, où l'on travaille douze heures par jour. Le salaire de base d'un haveur, c'est-à-dire d'un mineur de fond, oscillait dans le bassin du Nord autour de 2 francs 75 à 3 francs par jour à la fin du Second Empire, ce qui suffisait à peine à nourrir une famille<ref>Voir Marel, ''op. cit.'', p. 24, qui souligne que « Zola est bien renseigné » sur les salaires.</ref>. Pour comparer, le pain coûtait alors environ 70 centimes le kilogramme. Mais ce salaire de base est compliqué par un système particulier qui constitue l'un des principaux griefs des mineurs et l'un des sujets centraux du roman : le marchandage. Le marchandage est une organisation du travail dans laquelle les équipes de mineurs (par exemple celle de Maheu dans le roman) se font concurrence pour obtenir le contrat d'exploitation d'une portion de la mine, à un tarif et pour une durée prédéterminés. Le contrat est attribué au moins-disant, c'est-à-dire à l'équipe qui accepte la rémunération la plus basse. La Compagnie se réserve par ailleurs le droit de modifier les conditions si les ouvriers gagnent ce qu'elle juge trop. Ce système crée de la rivalité entre les équipes, fait baisser les salaires et permet à la Compagnie de presser les coûts sans en avoir l'air. Les grèves d'Anzin de 1866, 1872, 1878 et 1884 auront toutes pour grief principal cette pratique<ref>Colin Smethurst, ''Émile Zola: Germinal'', Edward Arnold, coll. « Studies in French Literature », Londres, 1974, p. 171-172.</ref>. À ce système s'ajoute, à partir de 1884 dans la réalité (et dans le roman), la décision unilatérale de la Compagnie de payer désormais le boisage à part, au mètre cube de bois descendu, en abaissant simultanément le prix de la berline de charbon abattu (de 50 à 40 centimes). Ce changement, présenté par la Compagnie comme une simple modification technique, est vu par les mineurs comme une « baisse de salaire déguisée », pour reprendre l'expression d'Étienne dans le roman. C'est précisément le motif qui déclenche la grève d'Anzin de février 1884, et c'est exactement le motif qui déclenche la grève de Montsou dans le roman. Émile Basly, le leader syndical d'Anzin, le déclarait devant la Chambre des députés en mars 1884 : le mineur « ne peut travailler et surveiller » à la fois, et l'un ou l'autre devra être négligé<ref>Témoignage d'Émile Basly, ''Journal Officiel'', 18 mars 1884, p. 237 ; voir aussi le rapport de Clémenceau, p. 50 et 52, cités par Smethurst, ''op. cit.''</ref>. == Notes == {{Références|colonnes = 2}} {{Bas de page | idfaculté = littérature | précédent = [[../Le bassin houiller du Nord et la Compagnie des mines d'Anzin/]] | suivant = [[../Le coron et la dépendance vis-à-vis de la Compagnie/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 2zzqwlwrpaqjvp1z00sjvdmzmggs31w 14 87065 983001 2026-05-24T05:14:46Z PandaMystique 80252 Page créée avec « [[Catégorie:Germinal]] » 983001 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Germinal]] oulo0vbarzy7p5b03msu302sdq5sh9h 0 87066 983002 2026-05-24T05:26:13Z PandaMystique 80252 Page créée avec « Cette troisième partie restitue le contexte historique et social dans lequel s'inscrit l'action de ''Germinal''. On y verra que Zola superpose deux époques (le Second Empire des années 1866-1867, où se situe le récit, et les années 1880, où il écrit) pour donner une image synthétique de la condition ouvrière dans le bassin houiller du Nord : organisation du travail et système du marchandage, vie au coron, maladies professionnelles, travail des femmes e... » 983002 wikitext text/x-wiki Cette troisième partie restitue le contexte historique et social dans lequel s'inscrit l'action de ''Germinal''. On y verra que Zola superpose deux époques (le Second Empire des années 1866-1867, où se situe le récit, et les années 1880, où il écrit) pour donner une image synthétique de la condition ouvrière dans le bassin houiller du Nord : organisation du travail et système du marchandage, vie au coron, maladies professionnelles, travail des femmes et des enfants, grandes grèves d'Anzin en 1866 et en 1884, divisions du mouvement socialiste français. On s'attardera enfin sur le tournant législatif de 1884 (circulaire Waldeck-Rousseau, loi sur les syndicats) qui fait de ''Germinal'' un roman au carrefour de deux mondes, regardant le passé immédiat tout en pressentant les grandes luttes ouvrières du XXe siècle. {{autocat}} dzap1txnrv684oxb5b5bkswuqm22h50 0 87067 983005 2026-05-24T05:30:06Z PandaMystique 80252 Page créée avec « __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ À l'issue de cette troisième partie, l'élève devra être capable de : * situer l'action de ''Germinal'' dans son contexte historique et expliquer la superposition que Zola opère avec les réalités sociales contemporaines de son écriture * décrire les conditions matérielles de l'existence ouvrière dans le bassin houiller * retracer les deux grandes grèves d'Anzin et expliquer comment elles ont nourri la grève fictive de M... » 983005 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ À l'issue de cette troisième partie, l'élève devra être capable de : * situer l'action de ''Germinal'' dans son contexte historique et expliquer la superposition que Zola opère avec les réalités sociales contemporaines de son écriture * décrire les conditions matérielles de l'existence ouvrière dans le bassin houiller * retracer les deux grandes grèves d'Anzin et expliquer comment elles ont nourri la grève fictive de Montsou dans le roman ; * identifier les trois courants du socialisme français des années 1880 incarnés par Étienne Lantier, Rasseneur et Souvarine {{AutoCat}} 1moczgupep7o47bx3oz7dvl90w2f8x6 0 87068 983006 2026-05-24T05:32:11Z PandaMystique 80252 Page créée avec « ▶ [[Germinal/IV. L'intrigue : une architecture en sept parties|Leçon IV. L'intrigue : une architecture en sept parties]] {{autocat}} » 983006 wikitext text/x-wiki ▶ [[Germinal/IV. L'intrigue : une architecture en sept parties|Leçon IV. L'intrigue : une architecture en sept parties]] {{autocat}} gmg0pv2jkja93qd9gbq8a97pn951tiq 0 87069 983008 2026-05-24T05:35:42Z PandaMystique 80252 Page créée avec « ▶ [[Germinal/III. Sources et références historiques|III. Sources et références historiques]] {{autocat}} » 983008 wikitext text/x-wiki ▶ [[Germinal/III. Sources et références historiques|III. Sources et références historiques]] {{autocat}} mbq8256ym52dbsa3l3hlkneqk5m28nb 0 87070 983009 2026-05-24T05:42:25Z PandaMystique 80252 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Entête de fiche | idfaculté = littérature | nom = [[Germinal]] - Leçon II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola }} ==Doctrine naturaliste== Le naturalisme zolien est une méthode de travail inspirée de Claude Bernard (''Introduction à la médecine expérimentale'', 1865) et théorisée dans ''Le Roman expérimental'' (1880). Le romancier doit être à la fois observateur (qui... » 983009 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Entête de fiche | idfaculté = littérature | nom = [[Germinal]] - Leçon II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola }} ==Doctrine naturaliste== Le naturalisme zolien est une méthode de travail inspirée de Claude Bernard (''Introduction à la médecine expérimentale'', 1865) et théorisée dans ''Le Roman expérimental'' (1880). Le romancier doit être à la fois observateur (qui enregistre les faits) et expérimentateur (qui étudie le mécanisme des choses). ==Le dossier préparatoire== 962 feuillets manuscrits, conservés à la Bibliothèque nationale et publiés par Colette Becker en 1986 sous le titre ''La Fabrique de « Germinal »''. Cinq étapes selon Henri Mitterand : pré-maturation, première Ébauche, voyage à Anzin et ''Notes sur Anzin'', seconde Ébauche, plans et fiches de personnages. ==Voyage à Anzin (23 février - 3 mars 1884)== Dix jours d'enquête sur place, à l'invitation du député Alfred Giard, pendant la grande grève qui dure deux mois. Zola descend dans la fosse Renard à Denain (à 476 mètres), épisode fondateur où il transpose sa propre phobie de l'enfouissement dans le personnage d'Étienne. ''Mes Notes sur Anzin'' occupent près de cent feuillets. ==Compléments politiques== De retour à Paris, Zola rencontre Jules Guesde (le théoricien marxiste français) le 9 mars 1884, ce qui nourrira les harangues d'Étienne dans le roman. Une seconde phase de lectures lui apporte les éléments économiques, médicaux, politiques et législatifs nécessaires. ==Rédaction== Le roman est composé en dix mois à Médan (avril 1884 - janvier 1885), à un rythme régulier. Prépublication en feuilleton dans ''Gil Blas'' à partir du 26 novembre 1884, puis publication en volume chez Charpentier en mars 1885. ==Dialectique documentation/invention== La documentation justifie plus qu'elle ne crée ; l'invention précède en partie l'observation (la catastrophe finale est imaginée avant le voyage à Anzin) ; le roman comporte des anachronismes assumés (les idées socialistes des années 1880 prêtées à des personnages de 1866). ==Idée centrale à retenir== Selon la formule de Zola dans sa lettre à Céard du 22 mars 1885, « le saut dans les étoiles sur le tremplin de l'observation exacte ». Le grand roman réaliste ne copie pas le réel mais s'élance à partir de lui pour atteindre le symbole et le mythe. Étienne, néophyte qui apprend la mine en même temps que le lecteur, sert de relais entre l'expérience du romancier et l'imagination du lecteur. {{Bas de page | idfaculté = littérature | leçon = [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola|II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola]] | précédent = [[Germinal/I. Place et statut du roman/Fiche/Révision|I. Place et statut du roman]] | suivant = }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> q7t5i842eo1do4yst04h536wq2glpp8