Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.7 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 13012 983669 912268 2026-06-21T10:51:45Z Armand Jamet 80554 /* Nombres d'onde */ 983669 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 5 | précédent = [[../Réflexion, réfraction, impédance acoustique/]] | suivant = [[../Énergie acoustique/]] | niveau = 15 }} Jusqu'ici, nous avons considéré que les ondes se propageaient dans des milieux « infinis ». Si cela est un modèle acceptable dans certaines conditions, il est difficile de s'y tenir pour faire des expériences — lesquelles seront toujours délimitées dans l'espace. {{Définition | titre = Mode propre | contenu = On appelle '''mode propre''' une onde stationnaire dans un milieu de dimensions finies. }} Nous montrerons que, bien qu'une infinité de tels « modes » existent, on peut les dénombrer (c'est-à-dire qu’il y a un mode 1, un mode 2, 3 ... mais pas de mode 1,2 ou 4,78 par exemple). D'autre part, nous montrerons comment l'étude de ces modes propres suffit à étudier tout problème d'onde (au premier ordre) dans le milieu. Pour cela, nous considèrerons la vitesse (au lieu de la pression) qui a le bon goût de s'annuler aux limites de notre système d'étude, fournissant ainsi des conditions de bord. Cela est avant tout une question de simplicité — on peut tout à fait mener l'étude avec la pression, qui forme des « ventres » près des murs — mais cela est plus difficile à justifier physiquement. == Position du problème == On considère un problème à une dimension, par exemple un tube très fin et relativement long (de longueur ''L'') — une paille ou une fibre optique. Nous cherchons les solutions stationnaires à l'équation d'onde pour '''v''' (c'est-à-dire une solution stationnaire de l'équation de d'Alembert) qui satisfasse les conditions de nullité aux bords. L'équation de d'Alembert vérifiée par la vitesse, projetée sur l'axe, est : :<math>\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = 0.</math> Les conditions de bord sont : :<math>v(-\frac{L}{2}) = 0 \ ;</math> :<math>v(+\frac{L}{2}) = 0.</math> On suppose connue l'amplitude de ces ondes, notée ''A'' (où A est non nul). == Résolution == On cherche des solutions stationnaires, c'est-à-dire de la forme : :<math>v \left(x, t \right) = A \cos(kx) \cos(\omega t).</math> === Relation de dispersion === Alors, l'équation de d'Alembert s'écrit : :<math> - Ak^2 \cos \left( \omega t \right) \cos \left( kx \right) + A\frac{\omega^2}{c^2} \cos \left( \omega t \right) \cos \left( kx \right)= 0.</math> On obtient, puisque l'on cherche des solutions non nulles : :<math> - k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} = 0.</math> D'où une première relation, qui n’est pas fondamentale, mais qui nous ramène à une seule inconnue (le nombre d'onde ''k'') : :<math>\omega^2= \left(ck \right)^2.</math> Cette équation est appelée « relation de dispersion ». === Nombres d'onde === Vérifions maintenant dans quels cas les conditions aux limites sont vérifiées. Les deux conditions d'annulations imposent : :<math>A \cos (-kL/2) \cos (\omega t) = 0</math> :<math>A \cos (kL/2) \cos (\omega t) = 0</math> Cette égalité étant vérifiée à tout instant, et par non nullité de A, on a nécessairement : :<math>\cos (kL/2) = 0 \Leftrightarrow \frac{kL}{2} = \frac{pi}{2} \quad [\pi]</math> On a donc une quantificarion des vecteurs d'ondes, qui s'écrivent pour un entier relatif n, :<math> \frac{k_nL}{2} = \frac{\pi}{2} + n \pi </math> :<math> k_n = \frac{(2n+1)\pi}{L}</math> On peut voir déjà que tous les paramètres de l'onde sont fixés : vitesse (par le milieu), amplitude (par l'opérateur), nombre d'onde et pulsation. === Longueur d'onde === Pour mieux comprendre ce que sont ces modes propres, calculons la longueur d'onde qui leur est associée. La longueur d'onde (en mètres) est égale à la célérité divisée par la fréquence (on pourrait aussi dire que c’est le produit de la célérité et de la période). Au regard de la relation de dispersion précédente, :<math> \lambda = \frac{2 \pi}{k}</math> Les longeurs d'ondes associées aux modes propres s'écrivent donc : :<math> \lambda_n = \frac{2}{2n+1} L </math> ''Un exemple: Sachant que la célérité du son dans l'air (à {{Unité|20|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) est de {{unité|343|mètres}} par seconde, la longueur d'onde correspondante a une fréquence de {{unité|343|Hz}} est {{unité|1|mètre}}.'' == Cas général == === Théorème de Fourier === === Résolution === == Exemple == {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Réflexion, réfraction, impédance acoustique/]] | suivant = [[../Énergie acoustique/]] }} 78ygaih6nzep8xb688i5l25osc0jx3x 0 21966 983667 866803 2026-06-21T05:21:20Z Marvoir 1746 /* Produit semi-direct */ ajouté une notation 983667 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 24 | précédent = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | suivant = [[../Groupes diédraux/]] | page_liée = Exercices/Produit semi-direct }} == Opération d'un groupe sur un groupe par automorphismes == Sauf indication contraire, on entendra par « opération » d'un groupe une opération à gauche. Nous avons vu qu'une opération d'un groupe G sur un ensemble X peut être vue soit comme une application <math>G \times X \rightarrow X</math> (satisfaisant à certaines conditions), soit comme un homomorphisme <math>\varphi</math> de G dans le groupe symétrique <math>\ S_X</math>. Si l’ensemble X est lui-même muni d'une structure de groupe et que <math>\varphi</math> prend ses valeurs dans le sous-groupe Aut(X) de <math>\ S_X</math>, on dit que G opère sur le groupe X par automorphismes. Une opération d'un groupe G sur un groupe H par automorphismes peut donc être vue soit comme un homomorphisme de G dans le groupe Aut(H), soit comme une opération <math>G \times H \rightarrow H : (g, h) \mapsto ^{g}h</math> (notation exponentielle gauche) qui, outre les propriétés : :<math>\ ^{1}h = h</math> et <math>\ ^{(gg')}h = ^{g}(^{g'}h)</math> des opérations d'un groupe sur un ensemble, possède de plus la propriété : :<math>\forall g \in G, \forall (h_1, h_2) \in H^2, \ ^g(h_1h_2) = \ ^g h_1\ ^g h_2</math>. {{Remarque | contenu = Nous avons noté l'opération de G sur H sous forme exponentielle, ce qui est plus agréable quand le groupe H est noté multiplicativement. Si H était noté additivement, il serait plus agréable de noter l'opération de G sur H multiplicativement. }} {{Exemple | titre = Exemples | contenu = 1) L'opération d'un groupe G sur lui-même par conjugaison est une opération par automorphismes, à savoir par les automorphismes intérieurs. En effet, l'élément de <math>\ S_G</math> correspondant à l'élément ''g'' de G est l'automorphisme intérieur <math>\ x \mapsto gxg^{-1}</math> de G. 2) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G, tout automorphisme intérieur de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H. L'application qui à tout élément g de G fait correspondre l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de H est un homomorphisme de G dans Aut(H), donc une opération de G sur H par automorphismes. 3) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G, l’application qui à tout élément k de K fait correspondre l'automorphisme <math>x \mapsto kxk^{-1}</math> de H est un homomorphisme de K dans Aut(H) (restriction à K de l'homomorphisme de G dans Aut(H) considéré à l'exemple précédent), donc une opération de K sur H par automorphismes. }} == Produit semi-direct == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Produit semi-direct}} Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que K est un complément de H (dans G) si les deux conditions suivantes sont satisfaites : :<math>(1) \quad H \cap K = 1, </math> :<math>(2) \quad HK = G </math> }} Les conditions (1) et (2) sont symétriques en H et K (pour déduire <math>KH = G </math> de <math>HK = G </math>, passer aux inverses), donc si K est un complément de H, alors H est un complément de K. On dit aussi que H et K sont complémentaires (dans G). Dans ce cas, tout élément de ''G'' s'écrit d'une et une seule façon sous la forme ''hk'' avec <math>h \in H </math> et <math>k \in K </math> : * l’existence d'une telle écriture résulte de (2) ; * pour prouver l'unicité, notons que si h, h' sont des éléments de H et k, k' des éléments de K ; si <math>hk = h'k'</math>, alors <math>\ h'^{-1}h = k'k^{-1}</math>, de sorte que les deux membres appartiennent à <math> \quad H \cap K </math>, qui est égal à 1 d’après (1), d'où <math>\ h'^{-1}h = k'k^{-1} = 1,</math> d'où <math>h = h'</math> et <math>k = k'</math>. Ceci montre en particulier que G est équipotent au produit cartésien des ensembles sous-jacents de H et de K, donc : :<math>\vert G \vert = \vert H \vert \cdot \vert K \vert </math>. (Cela se déduit aussi de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]].) Le lecteur vérifiera que, réciproquement, si H et K sont des sous-groupes de G, si tout élément de ''G'' s'écrit d'une et une seule façon sous la forme ''hk'' avec <math>h \in H </math> et <math>k \in K </math>, alors H et K sont complémentaires. {{Définition | contenu = Soient G un groupe, H un sous-groupe '''normal''' de G et K un sous-groupe de G. On dit que G est produit semi-direct (interne) de H par<ref>Ceci est la terminologie de J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, {{p.|191}}. D'autres auteurs disent « produit semi-direct de K par H ». C'est le cas par exemple de N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, corollaire, Paris, 1970, {{p.|65}}. On préfère dans le présent exposé l’expression « de H par K » parce qu’il sera question d'une opération de K sur H, ce qui fait apparaître K comme actif et H comme passif.</ref> K si H et K sont complémentaires. Nous écrirons alors :<math>G = H \rtimes K </math> }} D'après ce qui précède, tout élément de ''G'' s'écrit dans ce cas d'une et une seule façon sous la forme ''hk'' avec <math>h \in H </math> et <math>k \in K </math>. {{Théorème |titre = Théorème (Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme) |contenu = Soient <math>G_1</math> et <math>G_2</math> des groupes et ''f'' un isomorphisme de <math>G_1</math> sur <math>G_2</math>. On suppose que <math>G_1</math> est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N de <math>G_1</math> par un sous-groupe H de <math>G_1</math>. Alors <math>G_2</math> est produit semi-direct interne du sous-groupe normal f(N) de <math>G_2</math> par le sous-groupe f(H) de <math>G_2</math>. }} Démonstration très facile, laissée au lecteur. {{Théorème | contenu = Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct de H par K. Alors K est isomorphe à G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Le morphisme <math>K\to G/H, k\mapsto kH</math> est surjectif (puisque G = KH) et injectif (puisque K∩H = 1). }} Remarques. *Ce théorème revient à dire que tout produit semi-direct d'un groupe H par un groupe K est une extension de H par K. *La réciproque est fausse, c'est-à-dire que si G est un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G isomorphe à G/H, G n'est pas nécessairement produit semi-direct de H par K (exemple : G = le groupe cyclique d'ordre 4, H = son sous-groupe d'ordre 2). Puisque H est normal dans G, nous pouvons considérer l'homomorphisme <math>\ \tau : k \mapsto \tau_k</math> de K dans Aut(H) défini à l'exemple 3 ci-dessus. La relation (a) s'écrit : :<math>\ (hk)(h'k') = h \tau _k(h')kk'</math>. Cela nous suggère la définition suivante : {{Définition | contenu = Soient H et K deux groupes et <math>\ \tau : k \mapsto \tau_k</math> un homomorphisme de K dans le groupe <math>(\mathrm{Aut}(H), \circ)</math>. On appelle produit semi-direct (externe) de H par K relativement à <math>\ \tau </math> et on note <math>H \rtimes _{\tau} K </math> (ou parfois <math>H \times _{\tau} K </math>) le produit cartésien <math>\ H \times K</math> des ensembles sous-jacents de H et de K, muni de la loi de composition interne <math>( (h, k), (h', k') ) \mapsto (h \tau _k(h'), kk').</math> }} {{Remarque | contenu = Si on utilise la notation exponentielle gauche pour marquer l'opération <math>\ \tau </math> de K sur H, la loi de composition interne en question se définit par : :<math>( (h, k), (h', k') ) \mapsto (h \ ^{k}h', kk').</math> }} {{Théorème | titre = Théorème (Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne) | contenu = Soient N et H deux groupes et <math>\ \tau : h \mapsto \tau_h</math> un homomorphisme de H dans Aut(N). Le produit semi-direct <math>N \rtimes _{\tau} H</math> est un groupe. L'ensemble <math>N \times \{1\}</math> est un sous-groupe distingué de <math>N \rtimes _{\tau} H</math> et l'injection canonique <math>n \mapsto (n, 1) </math> induit un isomorphisme de N sur <math>N \times \{1\}</math>. L'ensemble <math>\{1\} \times H</math> est un sous-groupe de <math>N \rtimes _{\tau} H</math> et l'injection canonique <math>h \mapsto (1, h) </math> induit un isomorphisme de H sur <math>\{1\} \times H</math>. Le groupe <math>N \rtimes _{\tau} H</math> est produit semi-direct interne de <math>N \times \{1\}</math> par <math>\{1\} \times H.</math> Si ''n'' est un élément de N et ''h'' un élément de H, l'image de <math>\tau_h(n)</math> par l'isomorphisme <math>N \rightarrow N \times \{1\}</math> est :<math>(\tau_h(n), 1) = (1, h) (n, 1) (1, h)^{-1}.</math> }} {{Démonstration déroulante | contenu = Pour alléger les expressions, nous écrirons <math>\ \ ^h n</math> pour <math>\ \tau_h(n)</math> (''n'' étant un élément de N et ''h'' un élément de H). Prouvons que la loi de composition du produit semi-direct externe est associative. Soient n, n' et n{{'}}{{'}} des éléments de N et h, h', h{{'}}{{'}} des éléments de H. Il s'agit de prouver que :<math>\ (1) \quad (\ (n, h) (n', h')\ ) \ (n'', h'') = (n, h) \ (\ (n', h') (n'', h'')\ ).</math> Dans le premier membre, <math>\ (\ (n, h) (n', h')\ ) </math> est égal à <math>\ (n \ ^h n', \ hh')</math>, donc le premier membre de (1) égale <math>\ (n \ ^{h}n', \ hh') \ (n'', h'')</math>, c'est-à-dire <math>(n \ ^{h}n' \ ^{hh'}n'', hh'h'').</math> Dans le second membre de (1), <math>\ (n', h') (n'', h'')</math> est égal à <math>\ (n' \ ^{h'}n'', h'h'')</math>, donc le second membre de (1) vaut <math>\ (n,h) \ (n' \ ^{h'}n'', h'h'')</math>, c'est-à-dire <math>\ (n \ ^{h}(n' \ ^{h'}n''), hh'h'')</math>, où on peut remplacer <math>\ ^{h}(n' \ ^{h'}n'')</math> par <math>\ ^{h}n' \ ^{hh'}n''</math>, donc (1) est vraie. Nous avons donc prouvé l'associativité. On vérifie facilement que (1, 1) est élément neutre et que tout élément (n, h) admet <math>\ (\ (^{h^{-1}}n)^{-1}, \ h^{-1})</math> pour inverse. (Remarque : l'exponentiation à droite n'a évidemment pas le même sens que l'exponentiation à gauche.) On laisse au lecteur le soin de vérifier que l’ensemble <math>N \times \{1\}</math> est un sous-groupe de <math>N \rtimes _{\tau} H</math>, que l'injection canonique <math>n \mapsto (n, 1) </math> induit un isomorphisme de N sur <math>N \times \{1\}</math>, que l’ensemble <math>\{1\} \times H</math> est un sous-groupe de <math>N \rtimes _{\tau} H</math> et que l'injection canonique <math>h \mapsto (1, h) </math> induit un isomorphisme de H sur <math>\{1\} \times H</math>. Le sous-groupe <math>N \times \{1\}</math> de <math>N \rtimes _{\tau} H</math> est normal (car un conjugué d'un élément de <math>\ H \times \{1\}</math> a évidemment 1 pour seconde composante). Pour le reste de l'énoncé, on se limitera à la dernière assertion. Il s'agit de prouver que, pour tout élément ''n'' de N et tout élément ''h'' de H, :<math>\ (2) \quad (\tau_h(n),1) = (1, h)\ (n, 1) \ (1, h)^{-1}.</math> Dans le second membre, on peut remplacer <math>\ (1, h)\ (n, 1)</math> par <math>\ (^{h}n, h)</math> et <math>\ (1, h)^{-1}</math> par <math>\ (1, h^{-1})</math>, donc le second membre de (2) est égal à <math>\ (^{h}n, h) \ (1, h^{-1}) = (^{h}n, 1) = (\tau_h(n),1),</math> ce qui prouve la thèse. }} {{Remarque | contenu = La dernière assertion du théorème montre que si l'on identifie N × {1} à N et {1} × H à H, l'opération interne de {1} × H sur N × {1} dans <math>N \times_{\tau} H</math> (par conjugaison) s'identifie à l'opération <math>\ \tau </math> de H sur N. }} {{Théorème | titre = Théorème (Produit semi-direct de deux groupes résolubles) | contenu = Tout produit semi-direct (interne ou externe) d'un groupe résoluble par un groupe résoluble est résoluble. }} {{Démonstration déroulante | contenu = C'est un cas particulier du théorème suivant, démontré au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes résolubles|Groupes résolubles]] : toute extension d'un groupe résoluble de classe q par un groupe résoluble de classe p est elle-même un groupe résoluble, de classe ≤ p + q. }} {{Lemme | titre = Lemme (Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe) | contenu = Soient N et H deux groupes et <math>\ \tau : k \mapsto \tau_k</math> un homomorphisme de H dans Aut(N). Soient L un groupe, <math>\nu</math> un homomorphisme de N dans L et <math>\eta</math> un homomorphisme de H dans L. (i) Pour que l’application <math>\ (n, h) \mapsto \nu(n) \eta(h)</math> de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que pour tout élément ''n'' de N et tout élément ''h'' de H, :<math>\ \nu(\tau_h(n)) = \eta(h) \nu(n) \eta(h)^{-1}.</math> (ii) Si cette condition est satisfaite, si de plus <math>\nu</math> et <math>\eta</math> sont injectifs et que <math>\nu(N) \cap \eta(H) = 1,</math> alors l'homomorphisme :<math>(n, h) \mapsto \nu(n) \eta(h)</math> de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> dans L est injectif, il induit par corestriction un isomorphisme de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> sur le sous-groupe de L engendré par <math>\nu(N)</math> et <math>\eta(H)</math> et ce sous-groupe de L engendré par <math>\nu(N)</math> et <math>\eta(H)</math> est produit semi-direct interne de <math>\nu(N)</math> par <math>\eta(H)</math> }} {{Démonstration déroulante | contenu = Pour que l'application :<math>\psi : (n, h) \mapsto \nu(n) \eta(h)</math> de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que, pour tous <math>n, n'</math> dans N et tous <math>h, h'</math> dans H, :<math>\psi ((n,h) (n', h')) = \psi (n, h) \psi (n', h')</math> autrement dit :<math>\psi ((n \tau_h(n'), hh')) = \nu (n) \eta(h) \nu (n') \eta(h')</math> ou encore, par définition de <math>\psi </math>, :<math>\nu (n \tau_h(n')) \eta (hh') = \nu (n) \eta(h) \nu (n') \eta(h').</math> Puisque <math>\nu</math> et <math>\eta</math> sont des homomorphismes, cela peut encore s'écrire :<math>\nu (n) \nu(\tau_h(n')) \eta (h) \eta(h') = \nu (n) \eta(h) \nu (n') \eta(h'),</math> ce qui équivaut à :<math>\nu(\tau_h(n')) \eta (h) = \eta(h) \nu (n')</math> ou encore à :<math>\nu(\tau_h(n')) = \eta(h) \nu (n') \eta (h)^{-1}.</math> Que ceci soit vrai pour tous <math>n, n'</math> dans N et tous <math>h, h'</math> dans H revient clairement à la condition exprimée dans l'assertion (i) de l'énoncé. Supposons, comme en (ii), que notre application <math>\psi </math> soit un homomorphisme (on vient de déterminer à quelle condition c'est vrai), que <math>\nu </math> et <math>\eta </math> soient injectifs et que <math>\nu(N) \cap \eta(H) = 1</math> ; prouvons qu'alors <math>\psi </math> est injectif. Puisque <math>\psi </math> est un homomorphisme, il suffit de prouver que si ''n'' est un élément de N et ''h'' un élément de H tels que <math>\psi(n, h) = 1</math>, alors n = 1 (dans N) et h = 1 (dans H). Par définition de <math>\psi</math>, l'hypothèse <math>\psi(n, h) = 1</math> signifie <math>\nu(n) \eta(h) = 1.</math> Puisqu'on suppose <math>\nu(N) \cap \eta(H) = 1</math>, on a donc <math>\nu(n) = \eta(h) = 1</math>. Puisque <math>\nu</math> et <math>\eta</math> sont des homomorphismes injectifs, on a donc n = 1 et h = 1, ce qui, comme on l'a vu, prouve que <math>\psi </math> est injectif. Donc <math>\psi </math> induit par corestriction un isomorphisme de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> sur <math>\psi(N \rtimes _{\tau} H).</math> D'après un théorème ci-dessus intitulé « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne », <math>N \rtimes _{\tau} H </math> est produit semi-direct interne de <math>N \times \{1\}</math> par <math>\{1\} \times H</math>, donc, d'après un théorème ci-dessus intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », <math>\psi(N \rtimes _{\tau} H)</math> est produit semi-direct interne de <math>\psi(N \times \{1\})</math> par <math>\psi(\{1\} \times H)</math>, c'est-à-dire de <math>\nu(N)</math> par <math>\eta(H)</math>, ce qui achève la démonstration du point (ii) de l'énoncé. }} {{Théorème | titre = Théorème (Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe) | contenu = Soient G un groupe, produit semi-direct (interne) d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H. Désignons par <math>\tau</math> l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout ''h'' dans H, applique ''h'' sur l'automorphisme <math> \tau_h</math> de N défini par <math>\tau_h(n) = hnh^{-1}</math> pour tout ''n'' dans N. (i) L’application <math>(n, h) \mapsto nh</math> définit un isomorphisme du produit semi-direct externe <math>N \rtimes _{\tau} H </math> sur le produit semi-direct interne G = NH. (ii) L'isomorphisme réciproque peut se caractériser comme l'unique isomorphisme de G sur <math>N \rtimes _{\tau} H </math> qui, pour tout élément ''n'' de N, applique ''n'' sur (n, 1) et, pour tout élément ''h'' de H, applique ''h'' sur (1, h). }} {{Démonstration déroulante | contenu = Désignons par <math>\nu</math> l'homomorphisme inclusion <math>n \mapsto n</math> de N dans G et par <math>\eta</math> l'homomorphisme inclusion <math>h \mapsto h</math> de H dans G. Par définition de <math>\tau</math>, nous avons, pour tout ''n'' dans N et tout ''h'' dans H, :<math>\tau_h(n) = hnh^{-1},</math> ce qui peut s'écrire :<math>\nu(\tau_h(n)) = \eta(h) \ \nu(n) \ \eta(h)^{-1}.</math> De plus, les homomorphismes <math>\nu</math> et <math>\eta</math> sont injectifs et <math>\nu(N) \cap \eta(H) = 1,</math> donc, d'après un lemme ci-dessus (intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe »), :<math>(n, h) \mapsto \nu(n) \ \eta(h) = nh</math> définit un isomorphisme de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> sur <math>\nu(N) \ \eta(H) = NH = G.</math> Ceci démontre l'assertion (i) de l'énoncé. L'assertion (ii) s'en déduit facilement. }} {{Théorème | titre = Théorème (Homomorphismes partant d'un produit semi-direct interne) | contenu = Soient G₁ un groupe, produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H. Soient G₂ un groupe, <math>\nu</math> un homomorphisme de N dans G₂, <math>\eta</math> un homomorphisme de H dans G₂. On suppose que, pour tout ''n'' dans N et tout ''h'' dans H, :<math>\nu (hnh^{-1}) = \eta(h) \ \nu(n) \ \eta(h)^{-1}.</math> Alors :(i) il existe un et un seul homomorphisme, soit <math>\lambda</math>, de G₁ dans G₂ qui coïncide avec <math>\nu</math> sur N et avec <math>\eta</math> sur H ; :(ii) si les homomorphismes <math>\nu</math> et <math>\eta</math> sont injectifs et que leurs images <math>\nu(N)</math> et <math>\eta(H)</math> se coupent trivialement, alors ::l'homomorphisme <math>\lambda</math> est injectif, ::il induit par corestriction un isomorphisme de G₁ sur le sous-groupe de G₂ engendré par <math>\nu(N)</math> et <math>\eta(H)</math>, ::le sous-groupe de G₂ engendré par <math>\nu(N)</math> et <math>\eta(H)</math> est produit semi-direct interne de <math>\nu(N)</math> par <math>\eta(H)</math>. }} {{Démonstration déroulante | contenu = On pourrait refaire des raisonnements tenus dans la démonstration du lemme intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », mais on va plutôt utiliser ce lemme. Désignons par <math>\tau</math> l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout ''h'' dans H, applique ''h'' sur l'automorphisme <math> \tau_h</math> de N défini par <math>\tau_h(n) = hnh^{-1}</math> pour tout ''n'' dans N. D'après le théorème «Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe », point (ii), il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\sigma</math> de G₁ sur <math>N \rtimes _{\tau} H </math> tel que, pour tout ''n'' dans N et tout ''h'' dans H, :<math>\sigma(n) = (n, 1)</math> et <math>\sigma(h) = (1, h).</math> L'hypothèse (de l'énoncé) <math>\nu (hnh^{-1}) = \eta(h) \ \nu(n) \ \eta(h)^{-1}</math> peut s'écrire :<math>\nu(\tau_h(n)) = \eta(h) \ \nu(n) \ \eta(h)^{-1},</math> donc, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), l'application :<math>\psi : (n, h) \mapsto \nu(n) \eta(h)</math> est un homomorphisme de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> dans G₂. Donc le composé :<math>\lambda = \psi \circ \sigma</math> est un homomorphisme de <math>G_1</math> dans <math>G_2</math>. D'après les définitions de <math>\sigma</math> et de <math>\psi</math>, nous avons, pour tout ''n'' dans N et tout ''h'' dans H, :(1) <math>\lambda(n) = \psi(n, 1) = \nu(n)</math> et :(2) <math>\lambda(h) = \psi(1, h) = \eta(h).</math> Donc <math>\lambda</math> est un homomorphisme de <math>G_1</math> dans <math>G_2</math> qui coïncide avec <math>\nu</math> sur N et avec <math>\eta</math> sur H. Puisque N et H engendrent <math>G_1</math>, <math>\lambda</math> est le seul homomorphisme de <math>G_1</math> dans <math>G_2</math> qui possède cette propriété. Nous avons donc prouvé l'assertion (i) de l'énoncé. Si <math>\nu</math> et <math>\eta</math> sont injectifs et que leurs images se coupent trivialement, alors, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (ii), l'homomorphisme <math>\psi</math> de <math>N \rtimes _{\tau} H </math> dans G₂ est injectif. Puisque <math>\sigma</math> est un isomorphisme, il en résulte que <math>\lambda</math>, égal à <math>\psi \circ \sigma,</math> est injectif. Donc <math>\lambda</math> induit par corestriction un isomorphisme de <math>G_1</math> sur <math>\lambda(G_1).</math> D'après le théorème intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », <math>\lambda(G_1)</math> est donc produit semi-direct interne de <math>\lambda(N)</math> par <math>\lambda(H)</math>, autrement dit, d'après (1) et (2), de <math>\nu(N)</math> par <math>\eta(H)</math>. La partie (ii) de l'énoncé en résulte. }} Remarques. 1) Soient H et K deux groupes, soit <math>\ \tau </math> l'opération triviale de K sur H, c'est-à-dire l'opération pour laquelle <math>\ ^{k}h = h</math> pour tout h dans H et tout k dans K. Alors, il résulte de la définition de <math>H \rtimes _{\tau} K </math> que <math>H \rtimes _{\tau} K </math> est identique au produit direct <math>H \times K </math>. 2) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct interne de H par K. Supposons de plus que tout élément de K commute avec tout élément de H. Alors l'opération de K sur H par automorphismes définie par <math>\ ^{k}h = khk^{-1}</math> pour tout h dans H et tout k dans K est l'opération triviale. Donc, d’après la remarque précédente, le produit semi-direct externe <math>H \rtimes _{\tau} K </math> est identique au produit direct externe <math>H \times K </math>. D'après un théorème ci-dessus, l’application <math>(h, k) \mapsto hk</math> définit donc un isomorphisme du produit direct externe <math>H \times K </math> sur G. Par définition du produit direct interne, il en résulte que G est produit direct interne de H et de K. (On pourrait évidemment le démontrer sans passer par le produit semi-direct. Du fait que tout élément de K commute avec tout élément de H, on tire facilement que H normalise K, donc, puisque HK est égal à G tout entier, K est normal dans G et on est ramené à un théorème du chapitre sur le produit direct.) 3) La seconde projection de <math>H \rtimes _{\tau} K </math> sur K est un homomorphisme de <math>H \rtimes _{\tau} K </math> sur K mais la première projection n'est un homomorphisme de <math>H \rtimes _{\tau} K </math> sur H que si l'opération <math>\ \tau </math> est triviale (et que le produit semi-direct est donc direct). {{Définition | contenu = Soient <math>\ \tau_1</math> une opération d'un groupe H sur un groupe N₁ par automorphismes et <math>\ \tau</math> une opération du groupe H sur un groupe N₂ par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont '''équivalentes comme opérations par automorphismes''' (et non seulement comme opérations de groupe sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme (et non seulement une bijection) ''f'' de N₁ sur N₂ tel que, pour tout élément ''x'' de N₁ et tout élément ''y'' de H, on ait :<math>\ f(\ ^y x \ ) = \ ^y f(x).</math> Si <math>\ \tau_1</math> et <math>\ \tau</math> sont vus comme des homomorphismes de H dans Aut(N₁) et de H dans Aut(N₂) respectivement, cette condition sur ''f'' revient à :<math>\tau= \hat f\circ \tau_1,</math> où <math>\hat f</math> désigne l'isomorphisme h ↦ f ∘ h ∘ f^-1 de Aut(N₁) sur Aut(N₂). }} {{Définition | contenu = Soient, pour <math>i=1</math> ou <math>2</math>, H{{ind|i}} et N{{ind|i}} des groupes, et <math>\tau_i</math> une opération de H{{ind|i}} sur N{{ind|i}} par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont '''quasi équivalentes comme opérations par automorphismes''' (et non seulement comme opérations de groupes sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme ''g'' de H₁ sur H₂ tel que les opérations <math>\tau_1</math> (de H{{ind|1}} sur N{{ind|1}}) et <math>\tau_2\circ g</math> (de H{{ind|1}} sur N{{ind|2}}) soient équivalentes comme opérations par automorphismes. }} Remarque. Dans les expressions « quasi équivalentes comme actions par automorphismes » et « équivalentes comme actions par automorphismes », nous omettrons parfois les mots « comme actions par automorphismes ». {{Théorème | contenu = Soient, pour <math>i=1</math> ou <math>2</math>, <math>N_i</math> et <math>H_i</math> des groupes, et <math>\tau_i: y \mapsto \tau_{i, y}</math> un homomorphisme de <math>H_i</math> dans <math>\mathrm{Aut}(N_i)</math>. Si les deux opérations correspondant à <math>\tau_1</math> et à <math>\tau_2</math> sont quasi équivalentes comme opérations par automorphismes, alors <math>N_1 \rtimes _{\tau_1} H_1</math> est isomorphe à <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2</math>. Plus précisément, si ''f'' est un isomorphisme de N₁ sur N₂ et ''g'' un isomorphisme de H₁ sur H₂ tels que, pour tout élément ''x'' de N₁ et tout élément ''y'' de H₁, on ait :<math>f(^{y}x \ ) = \ ^{g(y)}f(x),</math> autrement dit :<math>f(\tau_{1, y}(x)) = \tau_{2, g(y)}(f(x))</math> alors l'application :<math>\ (x, y) \mapsto (f(x), g(y))</math> définit un isomorphisme de <math>N_1\rtimes _{\tau_1} H_1</math> sur <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2</math>. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Soit <math>\nu</math> l'homomorphisme <math>x \mapsto (f(x), 1)</math> de <math>N_1</math> dans <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2</math> ; <math>\nu</math> induit par corestriction un isomorphisme de <math>N_1</math> sur le sous-groupe <math>N_2\times \{1\}</math> de <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2.</math> Soit <math>\eta</math> l'homomorphisme <math>y \mapsto (1, g(y))</math> de <math>H_1</math> dans <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2</math> ; <math>\eta</math> induit par corestriction un isomorphisme de <math>H_1</math> sur le sous-groupe <math>\{1\} \times H_2</math> de <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2.</math> Pour prouver la seconde assertion de l'énoncé, nous avons à prouver que l'application :<math>\psi\colon (x, y) \mapsto \nu(x) \ \eta(y) = (f(x), g(y))</math> de <math>N_1\rtimes _{\tau_1} H_1</math> dans <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2</math> est un isomorphisme (rappelons que le produit <math>\nu(x) \ \eta(y)</math> ci-dessus est calculé dans <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2</math>). <math>f</math> et <math>g</math> étant bijectives, la relation <math>\psi(x, y) = (f(x), g(y))</math> pour tout <math>(x, y)</math> dans <math>N_1\rtimes _{\tau_1} H_1</math> montre que <math>\psi</math> l'est aussi. Il reste donc à prouver que <math>\psi</math> est un homomorphisme. D'après un lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), il suffit pour cela de prouver que, pour tout ''x'' dans <math>N_1</math> et tout ''y'' dans <math>H_1</math>, :(thèse 1) <math>\qquad \nu(\tau_{1,y}(x)) = \eta(y) \nu(x) \eta(y)^{-1},</math> où le second membre est calculé dans <math>N_2\rtimes _{\tau_2} H_2</math>. Par définition de <math>\nu</math> et de <math>\eta</math>, la thèse (1) peut s'écrire :<math>(f(\tau_{1, y}(x)), 1) = (1, g(y)) \ (f(x), 1) \ (1, g(y))^{-1}</math>. En remplaçant le premier membre compte tenu des hypothèses de l'énoncé, nous mettons cette thèse sous la forme :<math>(\tau_{2, g(y)}(f(x)), 1) = (1, g(y)) \ (f(x), 1) \ (1, g(y))^{-1}</math> et ceci est un cas particulier de la relation :<math> \quad (\tau_h(n),1) = (1, h)\ (n, 1) \ (1, h)^{-1},</math> notée dans un théorème ci-dessus (« Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne »). Nous avons donc démontré la seconde assertion de l'énoncé. La première en résulte. }} == Produit semi-direct et opérations à droite == Soit <math>\ \varphi </math> une opération à droite (par automorphismes) d'un groupe K sur un groupe H. Les auteurs qui préfèrent les opérations à droite aux opérations à gauche définissent le produit semi-direct externe <math> K \ltimes _{\varphi} H</math> de H par K (noter la différence entre les symboles <math>\ltimes</math> et <math>\rtimes</math>) en munissant l’ensemble <math> K \times H</math> de la loi de composition interne :<math>( (k_1, h_1), (k_2, h_2) ) \mapsto (k_1 k_2, \varphi_{k_2}(h_1) h_2)</math> ou encore, si on représente <math>\ \varphi </math> par la notation exponentielle droite, :<math>( (k_1, h_1), (k_2, h_2) ) \mapsto (k_1 k_2, h_1^{k_2} h_2).</math> On pourrait prouver, comme on l'a fait pour une opération à gauche, que la loi ainsi définie est bien une loi de groupe, mais on peut faire d'une pierre deux coups en vérifiant (tâche facile laissée au lecteur) que si <math>\ \tau </math> désigne l'opération à gauche de K sur H définie par :<math>\ \tau_k(h) = \varphi_{k^{-1}}(h),</math> alors :<math>\ (h, k) \mapsto (k, \varphi_k(h)) </math> définit un isomorphisme de magmas de <math>H \rtimes _{\tau} K </math> sur <math>K \ltimes _{\varphi} H. </math> Puisqu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes (voir chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]), nous avons prouvé que <math> K \ltimes _{\varphi} H</math> est un groupe isomorphe à <math> H \rtimes _{\tau} K</math>. == Facteur semi-direct normal == La présente section peut être omise en première lecture. Nous définirons un facteur semi-direct normal d'un groupe G comme un sous-groupe normal de G ayant un complément dans G. Autrement dit, N est un facteur direct normal de G si et seulement s'il existe un sous-groupe Q de G tel que G soit produit semi-direct de N par Q. {{Théorème | contenu = Soient G un groupe abélien et N un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes : :(i) N est un facteur semi-direct normal de G ; :(ii) il existe un sous-groupe Q de G tel que tout élément de G s'écrive d'une et une seule façon <math>n q</math> avec <math>n \in N</math> et <math>q \in Q</math> ; :(iii) l'homomorphisme canonique <math>\varphi : G \to G/N</math> admet (au moins) un homomorphisme section, c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme <math>\sigma : G/N \mapsto G</math> tel que <math>\varphi \circ \sigma</math> soit l'automorphisme identique du groupe G/N ; :(iv) il existe un endomorphisme <math>\pi</math> de G tel que Ker<math>\pi</math> = N et que <math>\pi \circ \pi = \pi .</math> }} On laisse la démonstration au lecteur, car elle est à peu près identique à celle de l'équivalence des conditions (i) à (iv) d'un cas particulier démontré dans le chapitre [[../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]], théorème 23. Noter que la condition (v) du cas particulier doit être omise dans le cas général. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes/]] | suivant = [[../Groupes diédraux/]] }} p98x01yr6rutlgdcpbv4cn8rv1dwinx 0 26829 983668 983611 2026-06-21T05:29:10Z Marvoir 1746 /* Problème 11 */ Continué la solution. La suite pour bientôt. 983668 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 28 | chapitre = [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/]] | précédent = [[../Groupes dicycliques/]] | suivant = [[../Premiers résultats sur les groupes simples/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini de G et T une transversale droite de Q dans G. Tout élément ''x'' de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme :<math>\qquad x = q_{T}(x) \ \mathrm{repr}_{T}(x),</math> avec <math>q_{T}(x) \in Q</math> et <math>\mathrm{repr}_{T}(x) \in T.</math><br /> Pour tout élément ''a'' de G, on pose <math>R(a) = \prod_{t \in T} q_{T}(ta)Q'</math> (le produit étant pris dans le groupe commutatif Q/Q'). Prouver que R est égal au transfert de G vers Q/Q' défini dans la théorie à partir des transversales gauches. (Indication : d’après un exercice de la série [[../Classes modulo un sous-groupe|Classes modulo un sous-groupe]], <math>\ T^{-1}</math> est une transversale gauche de Q dans G.) {{clr}} {{Solution | contenu = Nous avons <math>\qquad ta = q_{T}(ta) \ \mathrm{repr}_{T}(ta),</math> avec :<math>\qquad q_{T}(ta) \in Q</math> et <math>\mathrm{repr}_{T}(ta) \in T.</math> En passant aux inverses, nous obtenons :<math>\qquad a^{-1}t^{-1} = \mathrm{repr}_{T}(ta)^{-1} \ q_{T}(ta)^{-1},</math> avec :<math>\qquad \mathrm{repr}_{T}(ta)^{-1} \in T^{-1}</math> et <math> q_{T}(ta)^{-1} \in Q.</math> Puisque <math>\ T^{-1}</math> est une transversale gauche de Q dans G, nous avons donc :<math>\qquad V(a^{-1}) = \prod _{t\in T} q_{T}(ta)^{-1}Q'.</math> En passant aux inverses et en tenant compte que V est un homomorphisme, nous trouvons :<math>\qquad V(a) = \prod _{t\in T} q_{T}(ta)Q'.</math> :<math>\qquad V(a) = R(a).</math> }} == Problème 2 == a) Soit G un groupe, soit Q un sous-groupe d'indice fini de G; désignons par V le transfert de G vers Q/Q' . Prouver que le dérivé de G est contenu dans le noyau de V. {{clr}} {{Solution | contenu = Le groupe d'arrivée Q/Q' de V est abélien et, de façon générale, si le groupe d'arrivée d'un homomorphisme <math>f</math> est abélien, le dérivé du groupe de départ de <math>f</math> est contenu dans le noyau de <math>f .</math> (Vérification facile.) }} b) Dans les hypothèses et notations du point a), on suppose que <math>g</math> est un élément central de G. Trouver une façon simple de décrire V(g). {{clr}} {{Solution | contenu = Choisissons une transversale gauche L de Q dans G. D'après le chapitre théorique, il existe des éléments <math>h_{1}, \ldots h_{k}</math> de L et des nombres naturels <math>n_{1}, \ldots n_{k}</math> pour lesquels :1° <math>\sum_{i=1}^{k} n_{i} = [G:Q] </math>; :2° pour chaque <math>i</math> dans <math>\{1, \ldots k \}, {h_{i}}^{-1} g^{n_{i}} h_{i}</math> appartient à Q, :3° V(g) est l'image de <math>\prod_{i=1}^{k} ({h_{i}}^{-1} g^{n_{i}} h_{i})</math> par l'homomorphisme canonique de Q sur Q/Q'. Puisque <math>g</math> est censé appartenir au centre de G, chaque facteur <math>{h_{i}}^{-1} g^{n_{i}} h_{i}</math> considéré au point 3° est égal à <math>g^{n_{i}}</math>, donc, compte tenu de 1° et de 2° : :<math>g^{[G:Q]}</math> appartient à Q et V(g) est l'image de <math>g^{[G:Q]}</math> par l'homomorphisme canonique de Q sur Q/Q' .<br /> Cela montre que si <math>g</math> est un élément central de G, il n'est pas nécessaire de recourir à une transversale de Q dans G pour expliciter V(g). }} c) Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un nombre premier, soit N un p-sous-groupe de Z(G), soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. (Puisque N est un p-sous-groupe central de G, N est contenu dans P. Voir [[../Théorèmes de Sylow/|exercices sur le chapitre Théorèmes de Sylow]].) Prouver que :<math>N \cap G' = N \cap P' .</math> Indication : utiliser le point b). {{clr}} {{Solution | contenu = Désignons par V le transfert de G vers P/P'.<br /> Soit <math>\nu</math> un élément de <math>N \cap G' .</math><br /> Puisque <math>\nu</math> appartient à N, il est central dans G, donc, d'après le point b), :(1)<math>\qquad \nu^{[G:P)}</math>appartient à P et <math>V(\nu)</math> est l'image de <math>\nu^{[G:P]}</math> par l'homomorphisme canonique de P sur P/P'. D'après la question a), G' est contenu dans le noyau de V, donc, puisque <math>\nu</math> est supposé appartenir à G', <math>\nu</math> appartient au noyau de V, ce qui, d'après (1), signifie que :<math>\nu^{[G:P]}</math> appartient à P', autrement dit, si <math>\bar{\nu}</math> désigne l'image de <math>\nu</math> par l'homomorphisme canonique de P sur P', :(2)<math>\qquad \bar{\nu}^{[G:P]} = 1</math> dans P/P'. D'autre part, puisque <math>\nu</math> est supposé appartenir à N, :<math>\qquad \nu^{\vert N \vert} = 1</math>, d'où aussi :(3)<math>\qquad \bar{\nu}^{\vert N \vert} = 1</math> dans P/P'. D'après (2) et (3), :(4)<math>\qquad \bar{\nu}^{PGCD([G:P], \vert N \vert ) } = 1</math> dans P/P'. Mais <math>\vert N \vert</math> est une puissance de <math>p</math> et, d'autre part, puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G, <math>[G:P]</math> est premier avec <math>p.</math> Donc <math>PGCD([G:P], \vert N \vert ) = 1</math>, donc (4) peut s'écrire :<math>\qquad \bar{\nu} = 1</math> dans P/P', c'est-à-dire que :<math>\qquad \nu</math> appartient à P'. Ceci étant démontré pour tout élément <math>\nu</math> de <math>N \cap G'</math>, nous avons donc <math>N \cap G' \subseteq N \cap P'.</math> L'inclusion réciproque est évidente, donc :<math>\qquad N \cap G' = N \cap P'</math>, ce qui démontre l'énoncé. }} d) Soit G un groupe fini. On suppose qu'il existe un facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert</math> tel que les p-sous-groupes de Sylow de G soient abéliens et que <math>\vert Z(G) \vert</math> soit divisible par <math>p .</math> Prouver que G' < G.<br /> Indication : utiliser le point c). {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque <math>\vert Z(G) \vert</math> est supposé divisible par <math>p</math>, Z(G) contient au moins un sous-groupe N d'ordre <math>p</math> (théorème de Cauchy). Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. D'après le point c), :(1)<math>\qquad N \cap G' = N \cap P' .</math> Puisque nous supposons que les p-sous-groupes de Sylow sont abéliens, P' = 1, donc le membre droit de (1) est égal à 1, donc :<math>\qquad N \cap G' = 1.</math> Si <math>G'</math> était égal à <math>G</math>, on aurait donc <math>N = 1</math>, ce qui contredit le choix de <math>N</math>. Donc <math>G' < G</math>, ce qui prouve l'énoncé. }} == Problème 3 == Soit G un groupe fini. On va prouver que G est nilpotent si et seulement s'il est p-nilpotent pour tout facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert.</math><br /> a) On suppose que G est nilpotent. Prouver qu'il est p-nilpotent pour tout facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert.</math> {{clr}} {{Solution | contenu = Soit <math>p</math> un facteur premier de <math>\vert G \vert .</math> Il s'agit de prouver que G est p-nilpotent.<br /> Soient <math>q_{1}, \ldots , q_{n}</math> les différents facteurs premiers de <math>\vert G \vert </math> autre que <math>p.</math><br /> Puisque G est nilpotent, il a un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P, et pour chaque <math>i</math> (<math>1 \leq i \leq n</math>), il a un seul <math>q_{i}</math>-sous-groupe de Sylow, soit <math>Q_{i}</math>; de plus,<br /> G est produit direct <math>P \times Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}.</math><br /> Donc G est le produit direct du p-groupe P et du groupe <math>Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}</math>, les éléments de <math>Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}</math> étant d'ordre non divisible par <math>p.</math> Il en résulte clairement que les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par <math>p</math> sont les éléments de <math>Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}</math> et forment donc un sous-groupe de G, ce qui prouve que G est p-nilpotent. }} b) Réciproquement, on suppose que G est p-nilpotent pour tout facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert.</math> Prouver que G est nilpotent. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit <math>p</math> un facteur premier de <math>\vert G \vert</math>, soit <math>q</math> un facteur premier de <math>\vert G \vert</math> autre que <math>p.</math><br /> D'après les hypothèses du point b), G est q-nilpotent, donc<br /> :(1)<math>\qquad </math>les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par <math>q</math> forment un sous-groupe de G, qu'on notera <math>G_{q}.</math> Un élément <math>x</math> de G est un p-élément de G (c'est-à-dire a pour ordre une puissance de <math>p</math>) si et seulement si, pour tout facteur premier <math>q</math> de <math>\vert G \vert</math> autre que <math>p</math>, l'ordre de <math>x</math> n'est pas divisible par <math>q.</math> Compte tenu de (1), cela revient à dire que l'ensemble des p-éléments de G est l'ensemble des éléments de G qui appartiennent à <math>G_{q}</math> pour chaque facteur premier <math>q</math> de <math>\vert G \vert</math> autre que <math>p.</math> (Autrement dit, avec les précautions d'usage en ce qui concerne l'intersection, l'ensemble des p-éléments de G est l'intersection des <math>G_{q}</math>, où <math>q</math> parcourt les facteurs premiers de <math>\vert G \vert</math> autres que <math>p.</math>) Donc :(2)<math>\qquad</math>l'ensemble des p-éléments de G est un sous-groupe de G. Vu la maximalité des p-sous-groupes de Sylow de G parmi les p-sous-groupes de G, (2) revient clairement à dire que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. Cela étant démontré pour chaque facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert</math>, G est donc nilpotent. }} == Problème 4 == On a vu dans un [[../Action de groupe/|exercice sur le chapitre Action de groupe]] que si <math>G</math> est un groupe agissant sur un ensemble <math>E</math>, si <math>H</math> est un sous-groupe de <math>G</math>, si <math>E^{H}</math> désigne l'ensemble des points fixes de <math>H</math> (c'est-à-dire l'ensemble des éléments de <math>E</math> fixés par tout élément de <math>H</math>), alors l'action <math>G \times E \to E</math> induit par restriction une action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H} .</math><br /> On va voir que si le groupe <math>G</math> est fini, si <math>H</math> est un sous-groupe de Sylow de <math>G</math>, si l'action de <math>G</math> sur <math>E</math> est transitive, alors l'action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math> est transitive. a) Soit G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de G, soient ''x'' et ''y'' deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans G_x et dans G_y.) On suppose que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même G-orbite et que Q est un sous-groupe de Sylow de G_x. Prouver que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q) -</math>orbite. {{clr}} {{Solution | contenu = Notons que, d’après un exercice de la série [[../Action de groupe|Action de groupe]], G_x et G_y sont conjugués et ont donc le même ordre, de sorte que, puisque Q est un sous-groupe de Sylow de G_x, c’est aussi un sous-groupe de Sylow de G_y, mais ce fait ne nous servira pas.<br /> Par hypothèse, il existe un élément ''g'' de G tel que :<math>(1) \qquad y = g^{-1}x.</math> Pour tout élément ''u'' de Q, nous avons donc :<math> \qquad gug^{-1}x = guy</math>. Puisque ''y'' est point fixe de Q, nous pouvons remplacer uy par y, donc :<math> \qquad gug^{-1}x = gy,</math> d'où, d’après (1), :<math> \qquad gug^{-1}x = x,</math> donc <math>\ gQg^{-1}</math> fixe ''x''.<br /> Ainsi, :<math>(2) \qquad gQg^{-1} \leq G_{x}.</math> Par hypothèse, il existe un nombre premier ''p'' tel que Q soit un p-sous-groupe de Sylow de G_x. Puisque <math>\ gQg_{-1}</math> a le même ordre que Q, il résulte de (2) que <math>\ gQg_{-1}</math> est lui aussi un p-sous-groupe de Sylow de G_x. Donc, d’après le théorème de Sylow, <math>\ Q</math> et <math>\ gQg_{-1}</math> sont conjugués dans <math>\ G_{x}.</math><br /> Il existe donc un élément ''h'' de <math>\ G_{x}.</math> tel que :<math> \qquad gQg^{-1} = hQh^{-1}.</math> Ceci entraîne :<math> \qquad h^{-1}gQg^{-1}h = Q,</math> donc :<math>(3) \qquad h^{-1}g \in N_{G}(Q).</math> De plus, <math>\ (h^{-1}g)y = h^{-1}(gy),</math> d'où, d’après (1), <math>\ (h^{-1}g)y = h^{-1}x.</math> Puisque ''h'' appartient à <math>\ G_{x},</math> ceci peut s'écrire :<math>\qquad (h^{-1}g)y = x.</math> D'après (3), il en résulte que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q)</math>-orbite. }} b) Soient G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de Sylow de G, soient ''x'' et ''y'' deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans G_x et dans G_y.) On suppose que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même G-orbite. Prouver que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q)</math>-orbite. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque Q est un sous-groupe de Sylow de G contenu dans G_x, c’est un sous-groupe de Sylow de G_x, donc il suffit d'appliquer le point a). }} c) Tirer de b) une nouvelle preuve du fait suivant : si G est un groupe fini et Q un sous-groupe de Sylow de G, si deux éléments de <math>\ C_{G}(Q)</math> sont conjugués dans G, ils sont conjugués dans <math>\ N_{G}(Q)</math>. (Ce fait a été démontré dans le chapitre théorique [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]].) {{clr}} {{Solution | contenu = Faire opérer G à gauche sur son ensemble sous-jacent par conjugaison : g * x = g x g{{exp|-1}}. Les éléments de <math>\ C_{G}(Q)</math> sont les points fixes de Q pour cette opération. Deux éléments de l’ensemble sous-jacent de G appartiennent à la même G-orbite si et seulement s'ils sont conjugués dans G. Puisque <math>\ C_{G}(Q)</math> est contenu dans <math>\ N_{G}(Q)</math>, deux éléments de <math>\ C_{G}(Q)</math> appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q)</math>-orbite si et seulement s'ils sont conjugués dans <math>\ N_{G}(Q)</math>. Le point c) résulte donc clairement du point b). }} d) Déduire de b) ce théorème de Burnside qui a été démontré dans les exercices sur les théorèmes de Sylow : soient G un groupe fini, p un diviseur premier de l’ordre de G, P un p-sous-groupe de Sylow de G, U et W des sous-groupes distingués de P; U et W sont conjugués dans G si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur N_G(P). {{clr}} {{Solution | contenu = Faire opérer G à gauche sur l’ensemble de ses parties par conjugaison. Alors U et W sont des points fixes de P, donc, d’après le point b), s'ils sont conjugués dans G (c'est-à-dire s'ils appartiennent à la même G-orbite) ils appartiennent à la même N_G(P)-orbite. Puisqu’ils sont contenus dans P et donc dans N_G(P), cela revient à dire qu’ils sont conjugués dans N_G(P). }} == Problème 5 == Soient <math>G</math> un groupe fini et <math>H</math> un sous-groupe de Hall ''normal'' de <math>G</math>. Prouver que <math>H</math> est l’ensemble des éléments de <math>G</math> dont l'ordre divise <math>\vert H \vert</math>, que <math>H</math> est seul de son ordre parmi les sous-groupes de <math>G</math> et est un sous-groupe caractéristique de <math>G</math>. (Cet énoncé est utilisé dans le chapitre théorique.) {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque H est un sous-groupe de Hall de G, l’ordre de G est de la forme ''ab'', où ''a'' est l’ordre de H et où ''b'' est un nombre naturel premier avec ''a''. Pour démontrer l'énoncé, on peut par exemple prouver que H est l’ensemble des éléments ''x'' de G tels que x{{exp|a}} = 1.<br /> Puisque H est d'ordre ''a'', nous savons que x{{exp|a}} = 1 pour tout élément ''x'' de H. Réciproquement, prouvons que si ''x'' est un élément de G tel que x{{exp|a}} = 1, alors x appartient à H.<br /> Puisque H est normal dans G, nous pouvons considérer le groupe G/H et l'homomorphisme canonique ''f'' de G sur G/H. De notre hypothèse x{{exp|a}} = 1 résulte f(x){{exp|a}} = 1, autrement dit l’ordre de f(x) divise ''a''. D'autre part, l’ordre de G/H est ''b'', donc l’ordre de f(x) divise ''b''. Ainsi, l’ordre de f(x) divise à la fois ''a'' et ''b''. Puisque ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux, l’ordre de f(x) est donc égal à 1, donc f(x) est l'élément neutre de G/H; autrement dit ''x'' appartient à H, comme annoncé.<br /> Nous avons donc prouvé que H est l’ensemble des éléments ''x'' de G tels que x{{exp|a}} = 1. Il en résulte clairement que H est le seul sous-groupe d'ordre ''a'' de G et est donc caractéristique dans G. }} == Problème 6 == a) Soit G un groupe fini. On suppose que pour tout diviseur premier ''p'' de l’ordre de G, G admet un p-sous-groupe de Sylow cyclique. (Puisque deux p-sous-groupes de Sylow sont toujours conjugués et donc isomorphes, ceci revient à supposer que tous les p-sous-groupes de Sylow sont cycliques.) Prouver que G est résoluble. (Indication. Raisonner par récurrence sur <math>\vert G \vert </math>. Appliquer l'hypothèse de récurrence au complément normal N d'un p-sous-groupe de Sylow de G, ''p'' désignant le plus petit facteur premier de l’ordre de <math>\vert G \vert </math>.) {{clr}} {{Solution | contenu = On raisonne par récurrence sur l’ordre de G. Si cet ordre est égal à 1, G est résoluble, donc nous pouvons supposer que <math>\vert G \vert > 1.</math> Nous pouvons alors considérer le plus petit facteur premier de <math>\vert G \vert ,</math> soit ''p'', et choisir un p-sous-groupe de Sylow P de G. D'après le chapitre [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]] de la théorie, P admet un complément normal dans G, soit N. Il est clair que N est un sous-groupe de Hall de G, donc tout sous-groupe de Sylow de N est un sous-groupe de Sylow de G. D'après les hypothèses de l'énoncé, il en résulte que tout sous-groupe de Sylow de N est cyclique. D'autre part, <math>\vert P \vert > 1,</math> donc <math>\vert N \vert < \vert G \vert,</math> donc, par hypothèse de récurrence, N est résoluble. D'autre part, N est produit semi-direct de N et de P, donc G/N est isomorphe à P. Puisque P est cyclique, il est commutatif et donc résoluble. Ainsi, N et G/N sont résolubles, donc G est résoluble. }} b) On dit qu'un nombre naturel est sans carrés s'il n'est divisible par le carré d'aucun nombre naturel > 1, ce qui revient à dire qu’il n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier. Prouver que si ''n'' est un nombre naturel sans carrés, tout groupe d'ordre ''n'' est résoluble. {{clr}} {{Solution | contenu = Soient G un groupe d'ordre ''n'' et ''p'' un diviseur premier de ''n''. Puisque ''n'' est sans carrés, tout p-sous-groupe de Sylow de G est d'ordre premier et est donc cyclique. La thèse résulte donc du point a). }} == Problème 7 == a) Soit <math>G</math> un groupe simple fini non abélien, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert .</math> On note <math>n_{p}</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G.</math><br /> Prouver que <math>\vert G \vert</math> n'est égal ni à <math>p n_{p}</math> ni à <math>p^{2} n_{p}.</math> {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, on ait :(hyp. 1)<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} n_{p}</math> avec <math>a = 1</math> ou <math>2.</math> D'après un théorème de Sylow, <math>n_{p} \equiv 1 \pmod{p}</math> et, en particulier, :(2)<math>\qquad n_{p}</math> est premier avec <math>p.</math> Choisissons un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow <math>P</math> de <math>G.</math><br /> D'après (1) et (2), :(3)<math>\qquad P</math> est d'ordre <math>p^{a}.</math> Puisque <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2</math>, il en résulte que :(4)<math>\qquad P</math> est abélien. Toujours d'après les théorèmes de Sylow, <math>n_{p}</math> est l'indice de <math>N_{G}(P)</math> dans <math>G</math>, donc, d'après l'hypothèse (1), <math>N_{G}(P)</math> est d'ordre <math>p^{a}.</math> Donc, d'après (3), <math>N_{G}(P) = P.</math> Puisqu'on a vu en (4) que <math>P</math> est abélien, <math>P</math> est donc évidemment central dans <math>N_{G}(P)</math>, donc, d'après le théorème du complément normal de Burnside, <math>P</math> admet un complément normal <math>H</math> dans <math>G.</math> Puisque <math>G</math> est supposé simple, il faut <math>H = G</math> ou <math>H = 1.</math> Le cas <math>H = G</math> est impossible, car il entraîne <math>P = 1</math>, ce qui est impossible puisque <math>p</math> divise <math>\vert G \vert .</math> Dans le cas <math>H = 1</math>, on aurait <math>G = P</math>, donc <math>G</math> serait un <math>p</math>-groupe, ce qui est impossible, puisque tout groupe ayant pour ordre une puissance de nombre premier est nilpotent et a fortiori résoluble, alors que <math>G</math>, supposé être un groupe simple non abélien, n'est pas résoluble. Cela montre que l'hypothèse (1) est contradictoire, d'où l'énoncé du point a). }} b) Soit <math>G</math> un groupe simple fini non abélien, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert .</math> On note <math>n_{p}</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G.</math> On suppose que <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par <math>p^{3}.</math> Prouver que :<math>\vert G \vert = p^{a} n_{p} b</math>, où <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2</math> et où <math>b</math> est premier avec <math>p</math> et <math>\geq 2.</math> {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par <math>p^{3}</math>, nous avons :(1)<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} m</math>, où <math>m</math> est premier avec <math>p</math> et où <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2.</math> D'après les théorèmes de Sylow, <math>m</math> est divisible par le nombre <math>n_{p}</math> des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G.</math> Soit <math>m = n_{p} b.</math> Alors (1) s'écrit :<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} n_{p} b</math>, où <math>b</math> (qui divise <math>m</math>) est premier avec <math>p.</math> D'après le point a), <math>b</math> n'est pas égal à <math>1</math>, ce qui achève de démontrer le point b). }} c) Soit <math>G</math> un groupe simple fini non abélien, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert .</math> Prouver que :<math>2 p (p+1) \leq \vert G \vert</math> (d'où <math>p < \sqrt{\vert G \vert / 2}</math>). {{clr}} {{Solution | contenu = Notons <math>n_{p}</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G</math> et <math>p^{a}</math> la plus grande puissance de <math>p</math> qui divise <math>\vert G \vert .</math><br /> D'après les théorèmes de Sylow, :(1)<math>\qquad \vert G \vert </math> est divisible par <math>p^{a} n_{p}.</math> De plus, puisque <math>G</math> est supposé simple et non abélien, le théorème 5, point a) du [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|chapitre théorique]] donne :(2)<math>\qquad n_{p} \geq p+1.</math> Si <math>\qquad \vert G \vert </math> est divisible par <math>p^{3}</math>, alors, d'après (1) et (2), :<math>\qquad \vert G \vert \geq (p+1) p^{3},</math> d'où, largement, <math>\vert G \vert \geq 2 p (p+1)</math>, donc l'énoncé est vrai dans ce cas.<br /> Reste le cas où <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par <math>p^{3}.</math> Alors, d'après le point b), :<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} n_{p} b</math>, où <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2</math> et où <math>b \geq 2.</math> Donc :<math>\qquad \vert G \vert \geq 2 p^{a} n_{p}.</math> D'après (2), cela entraîne <math>\vert G \vert \geq 2 p^{a} (p+1).</math> Puisque <math>a \geq 1</math>, on a donc encore <math>\vert G \vert \geq 2 p (p+1).</math> }} d) Soit <math>p</math> un nombre premier. Prouver qu'aucun groupe d'ordre <math>p(p+1)</math> ni aucun groupe d'ordre <math>p^{2} (p+1)</math> n'est simple. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit, par absurde, :(hyp. 1)<math>\qquad G</math> un groupe simple d'ordre <math>p(p+1)</math> ou <math>p^{2} (p+1)</math>. L'ordre de <math>G</math> n'est pas premier, donc <math>G</math> est un groupe simple non abélien. D'après les hypothèses et les théorèmes de Sylow, le nombre <math>n_{p}</math> des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G</math> divise <math>p+1</math> et, d'après le théorème 5, point a) du [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|chapitre théorique]], <math>n_{p} \geq p+1</math>, donc <math>n_{p} = p+1.</math> L'hypothèse (1) donne donc :<math>\vert G \vert = p n_{p}</math> ou <math>p^{2} n_{p}</math>, ce qui contredit le point a). L'hypothèse (1) est donc absurde, d'où l'énoncé. }} == Problème 8 == Soit ''n'' un nombre naturel impair, soit G un groupe d'ordre 2n. On a vu dans les exercices de la série [[../Groupes alternés|Groupes alternés]] que G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''n''. Prouver ce fait à l'aide du chapitre [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]]. {{clr}} {{Solution | contenu = Choisissons un 2-sous-groupe de Sylow P de G. Puisque 2 ne divise qu'une fois l’ordre de G, P est d'ordre 2. Il est donc cyclique. Puisque 2 est le plus petit facteur premier de l’ordre de G, il résulte d'un théorème démontré dans le chapitre théorique que G est 2-nilpotent, d'où l'énoncé. Voici une démonstration plus directe. P est normal dans N_G(P) et on a vu dans les exercices de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]] qu'un sous-groupe normal d'ordre 2 est central, donc P est central dans N_G(P). D'après le théorème du complément normal de Burnside, il en résulte que P admet un complément normal dans G. Un tel complément est d'ordre ''n'' et, d'après le chapitre théorique, est l'unique sous-groupe d'ordre ''n'' de G, d'où l'énoncé. }} == Problème 9 == a) Soit ''p'' un nombre premier impair (autrement dit > 2), soit G un groupe fini d'ordre <math>p \frac{p^{2} + 1}{2}.</math> Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Cette partie du problème ne fait intervenir que les propriétés classiques des sous-groupes de Sylow démontrées au chapitre [[../../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) {{clr}} {{Solution | contenu = D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est de la forme np+1, avec ''n'' naturel ≥ 0, et il divise <math>\frac{p^{2} + 1}{2}.</math> De ce second fait, il résulte que :(1) n < p. D'autre part, puisque np+1 divise <math>\frac{p^{2} + 1}{2},</math> il divise ''a fortiori'' <math>2 n^{2} \ \frac{p^{2} + 1}{2} = n^{2} p^{2} + n^{2}</math>. Comme np est congru à -1 modulo np+1, il en résulte que n² + 1 est multiple de np+1, d'où n² ≥ np. Si ''n'' était non nul, on aurait donc n ≥ p, ce qui contredit (1). Donc n = 0, c'est-à-dire que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est égal à 1. }} b) Soit G un groupe d'ordre 2p (p² + 1), où ''p'' est un nombre premier > 3. Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Indication. Dans le chapitre théorique, on a démontré un « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside. Appliquer ce cas particulier à un 2-sous-groupe de Sylow de G, puis utiliser le point a).) {{Solution | contenu = On montre facilement que si ''a'' est un nombre naturel, a² + 1 n'est divisible ni par 3 ni par 4. Donc l’ordre 2p (p² + 1) de G n’est pas divisible par 3 et il est divisible par 4 sans être divisible par 8. Choisissons un 2-sous-groupe de Sylow S de G. D'après ce qui précède, S est d'ordre 4 (et, en particulier, abélien) donc Aut(S) est d'ordre 2 ou 6, selon que S est un groupe cyclique ou un groupe de Klein. (Pour le cas où S est cyclique, voir le chapitre [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]]. Pour le cas où S est un groupe de Klein, et donc un 2-groupe élémentaire, voir un problème de la série [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]].) On a vu que <nowiki>|G|</nowiki> n’est pas divisible par 3, donc :PGCD(<nowiki>|Aut(S)|</nowiki>, <nowiki>|G|</nowiki>) = 2. D'après le « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside, S admet donc un complément normal N dans G. (On aurait aussi pu utiliser le théorème qui dit que si G est un groupe fini > 1, si ''q'' désigne le plus petit facteur premier de l’ordre de G, si l’ordre de G n'est divisible ni par q³ ni par 12, alors G est q-nilpotent.) N est d'ordre <math>p \frac{p^{2} + 1}{2},</math> donc, d’après la partie a) du problème, il n'a qu'un p- sous-groupe de Sylow, soit P. D'après le chapitre [[../../Sous-groupes caractéristiques|Sous-groupes caractéristiques]] (exemples), P est caractéristique dans N. Puisque N est normal dans G, P est donc normal dans G. Puisque l’ordre de G n'est divisible qu'une fois par ''p'', P est un p-sous-groupe de Sylow de G. Puisqu’il est normal dans G, c’est le seul p-sous-groupe de Sylow de G. }} == Problème 10 == Soit G un groupe simple fini, soit <math>p</math> un diviseur premier impair de l'ordre de G, soit P un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G. On suppose que <math>\vert N_{G}(P) \vert = 2p^{2} .</math> Prouver que <math> N_{G}(P) </math> est isomorphe soit au groupe diédral d'ordre <math>2p^{2}</math> soit au groupe diédral généralisé construit sur <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} .</math><br /> Indication : dans les [[../Groupes diédraux/|exercices sur le chapitre Groupes diédraux]], on a classifié les groupes non abéliens d'ordre <math>2p^{2} .</math> {{Solution | contenu = Il résulte des hypothèses que l'ordre de G est composé, donc, puisque G est supposé simple, G est un groupe simple fini non abélien. D'autre part, il est clair que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G sont d'ordre <math>p^{2},</math> donc ils sont abéliens. Donc, d'après [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|le chapitre théorique]], :(1)<math>\qquad P \cap Z(N_{G}(P)) = 1</math>, ce qui entraîne que <math>(N_{G}(P)</math> n'est pas abélien. On a vu dans les [[../Groupes diédraux/|exercices sur le chapitre Groupes diédraux]] (problème Classification des groupes d'ordre 18) que tout groupe non abélien d'ordre <math>2p^{2}</math> est isomorphe soit au groupe diédral d'ordre <math>2p^{2}</math>, soit au groupe diédral généralisé construit sur <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},</math> soit au produit direct <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times D_{2p}</math>, où <math>D_{2p}</math> désigne le groupe diédral d'ordre <math>2p .</math> Donc pour démontrer l'énoncé, il suffit de prouver que :(thèse 2)<math>\qquad N_{G}(P) </math> n'est pas isomorphe au produit direct <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times D_{2p} .</math> Supposons que cette thèse soit fausse, ce qui revient à supposer que :(hyp. 3)<math>\qquad N_{G}(P)</math> soit produit direct interne <math>K \times L</math>, où K est un groupe d'ordre p et L un groupe isomorphe à <math>D_{2p}.</math> Alors <math>Z(N_{G}(P)) = Z(K) \times Z(L) = K \times Z(L)</math>, donc :(4)<math>\qquad Z(N_{G}(P))</math> contient K. Puisque P est le seul p-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>, K est contenu dans P, donc, d'après (4), <math>P \cap Z(N_{G}(P)) \not= 1</math>, ce qui contredit (1). Cette contradiction prouve que notre hypothèse (3) est absurde, autrement dit notre thèse (2) est vraie. Comme nous l'avons vu, cela prouve l'énoncé. }} == Problème 11 == Soit ''n'' un nombre naturel non nul. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :a) tout groupe d'ordre ''n'' est cyclique; :b) ''n'' est sans carrés (c'est-à-dire que ''n'' n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier) et il n'y a pas deux facteurs premiers ''p'' et ''q'' de ''n'' tels que <math>q \equiv 1 (mod p)</math>. (Indication. Pour prouver que a) entraîne b), utiliser la classification des groupes d'ordre ''pq'' où ''p'' et ''q'' sont deux nombres premiers distincts. Cette classification a été faite dans les [[../Produit semi-direct|exercices sur le produit semi-direct]]. Pour prouver que b) entraîne a), utiliser une conséquence du théorème de Burnside qui a été démontrée dans le chapitre théorique correspondant à la présente page d'exercices.) {{Solution | contenu = Pour tout nombre naturel non nul ''a'', on désignera par <math>C_{a}</math> un groupe cyclique d'ordre ''a'' choisi une fois pour toutes.</br> Prouvons d'abord que la condition a) entraîne la condition b).</br> Il revient au même de prouver que si b) n'est pas satisfaite, alors a) ne l'est pas.</br> Supposons donc b) non satisfaite. Alors ''n'' est divisible par le carré d'un nombre premier ou il existe des facteurs premiers ''p'', ''q'' de ''n'' tels que <math>q \equiv 1 (mod p)</math>.</br> Si tout d'abord ''n'' est divisible par le carré d'un nombre premier ''t'', le produit direct <math>C_{t} \times C_{t} \times C_{n/t^2}</math> est un groupe d'ordre ''n'' qui n'est pas cyclique (puisque <math>C_{t} \times C_{t}</math> n'est pas cyclique et que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique).</br> Cessons de supposer que ''n'' est divisible par le carré d'un nombre premier, mais supposons qu'il existe des facteurs premiers ''p'', ''q'' de ''n'' tels que <math>q \equiv 1 (mod p)</math>. D'après un [[../Produit semi-direct|exercice sur le chapitre Produit semi-direct]], il existe un groupe non cyclique K d'ordre ''pq''. Alors <math>K \times C_{n/pq}</math> est un groupe d'ordre ''n'' et ce groupe n'est pas cyclique, puisque son sous-groupe K n'est pas cyclique.</br> Nous avons donc prouvé que la condition a) de l'énoncé entraîne la condition b).</br> Prouvons l'implication réciproque, en supposant que la condition b) est satisfaite et en prouvant que la condition a) l'est.</br> Soit donc ''n'' un nombre naturel non nul et sans carrés et tel que pour tous facteurs premiers (distincts) ''p'', ''q'' de ''n'', on ait <math>q \not\equiv 1 (mod p)</math>, soit G un groupe d'ordre ''n''; il s'agit de prouver que G est cyclique.</br> On va raisonner par récurrence sur le nombre ''r'' de facteurs premiers de ''n''.</br> L'énoncé est évidemment vrai si ''r'' est nul (tout groupe trivial est cyclique). Supposons donc <math>r \geq 1</math> et posons :<math>n = p_1 p_2 ... p_r</math>, où <math>p_1 < p_2 ... < p_r</math>. Puisque <math>\vert G \vert</math> n'est pas divisible par <math>p_1^2</math>, tout <math>p_1</math>-sous-groupe de Sylow de G est d'ordre premier et est donc cyclique, donc, d'après un corollaire du théorème du complément normal de Burnside (voir chapitre théorique), :(1) G est produit semi-direct <math>H \rtimes P_1 </math> d'un sous-groupe normal H d'ordre <math>n/p_1</math> par un sous-groupe <math>P_1</math> d'ordre <math>p_1</math>. La suite pour bientôt. }} :La suite pour bientôt. Remarque. Ce problème est l'exercice 575 de J. S. Rose, ''A course on group theory'', Dover reprints, 2012, p. 249-250. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes dicycliques/]] | suivant = [[../Premiers résultats sur les groupes simples/]] }} hmlhvuteqvvhsjfvpeoqsmns375pep2 4 80727 983661 983502 2026-06-20T18:22:20Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 983661 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2026-06-19T12:23:40Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul résultat|5000 résultats}} au maximum {{PLURAL:5000|est disponible|sont disponibles}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! Gadget !! data-sort-type="number" | Nombre d’utilisateurs !! data-sort-type="number" | Utilisateurs actifs |- |Accessibility || 27 || 0 |- |AdvancedContribs || 45 || 0 |- |AncreTitres || 31 || 1 |- |Barre de luxe || 47 || 3 |- |CoinsArrondis || 96 || 1 |- |DeluxeHistory || 121 || 1 |- |EditZeroth || 4 || 0 |- |FastRevert || 35 || 2 |- |FlecheHaut || 56 || 2 |- |HotCats || 94 || 2 |- |JavascriptHeadings || 18 || 1 |- |LeftPaneSwitch || 7 || 0 |- |LiveRC || 30 || 0 |- |OngletGoogle || 30 || 1 |- |OngletPurge || 100 || 5 |- |OptimizedSuivi || 16 || 0 |- |Popups || 39 || 0 |- |RenommageCategorie || 29 || 1 |- |ResizeGalleries || 82 || 1 |- |RestaurationDeluxe || 48 || 1 |- |ResumeDeluxe || 112 || 1 |- |RevertDiff || 32 || 1 |- |SisterProjects || 31 || 1 |- |Smart patrol || 5 || 2 |- |ZoomOnThumb || 32 || 1 |- |monBrouillon || 43 || 2 |- |recentchangesbox || 9 || 0 |- |searchFocus || 18 || 0 |- |searchbox || 31 || 1 |- |social-networks || 13 || 1 |} * [[Spécial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Accessibility,27,0 AdvancedContribs,45,0 AncreTitres,31,1 Barre de luxe,47,3 CoinsArrondis,96,1 DeluxeHistory,121,1 EditZeroth,4,0 FastRevert,35,2 FlecheHaut,56,2 HotCats,94,2 JavascriptHeadings,18,1 LeftPaneSwitch,7,0 LiveRC,30,0 OngletGoogle,30,1 OngletPurge,100,5 OptimizedSuivi,16,0 Popups,39,0 RenommageCategorie,29,1 ResizeGalleries,82,1 RestaurationDeluxe,48,1 ResumeDeluxe,112,1 RevertDiff,32,1 SisterProjects,31,1 Smart patrol,5,2 ZoomOnThumb,32,1 monBrouillon,43,2 recentchangesbox,9,0 searchFocus,18,0 searchbox,31,1 social-networks,13,1 --> my9bs4q2sjkihz7v0s8ke5ajnuq6rvd 104 87146 983662 2026-06-20T23:33:16Z Raznow 80551 Page créée avec « '''STADEMIC''' est une méthodologie éducative interdisciplinaire qui structure l'apprentissage autour de huit disciplines organisées en trois couches fonctionnelles. Son objectif est de transformer et de diffuser les connaissances en science, technologie et art à travers le design, l'ingénierie et les mathématiques, afin de produire de l'innovation et de développer la communication, avec une ambition d'accessibilité pour tous les publics. == Étymologie... » 983662 wikitext text/x-wiki '''STADEMIC''' est une méthodologie éducative interdisciplinaire qui structure l'apprentissage autour de huit disciplines organisées en trois couches fonctionnelles. Son objectif est de transformer et de diffuser les connaissances en science, technologie et art à travers le design, l'ingénierie et les mathématiques, afin de produire de l'innovation et de développer la communication, avec une ambition d'accessibilité pour tous les publics. == Étymologie et acronyme == Le nom STADEMIC est un acronyme formé des initiales de huit disciplines, dans l'ordre du pipeline d'apprentissage : * '''S''' — Science * '''T''' — Technology (Technologie) * '''A''' — Art * '''D''' — Design * '''E''' — Engineering (Ingénierie) * '''M''' — Mathematics (Mathématiques) * '''I''' — Innovation * '''C''' — Communication == Architecture en trois couches == STADEMIC organise les huit disciplines selon une architecture tripartite qui distingue ce que l'on transmet, comment on le transforme et ce que l'on produit. === Contenu (ce que l'on transmet) === Les disciplines de la couche « Contenu » fournissent la matière première de l'apprentissage. Il s'agit des savoirs fondamentaux issus des sciences, des technologies et des arts. L'apprenant s'approprie ces connaissances comme socle culturel et cognitif avant toute transformation. * '''S'''cience — observation, expérimentation, raisonnement hypothético-déductif * '''T'''echnology — outils numériques, systèmes automatisés, plateformes de collaboration * '''A'''rt — sensibilité esthétique, expression créative, lecture symbolique === Moyens (comment on transforme) === Les disciplines de la couche « Moyens » assurent la transformation opérationnelle des contenus. Elles convertissent la théorie en objets, en systèmes et en structures manipulables. * '''D'''esign — pensée centrée utilisateur, prototypage itératif, systèmes visuels * '''E'''ngineering — conception systémique, optimisation, fiabilité * '''M'''athematics — modélisation, abstraction, langage formel === Finalité (ce que l'on produit) === Les disciplines de la couche « Finalité » constituent l'aboutissement du processus. La connaissance transformée devient création neuve et se diffuse. * '''I'''nnovation — création de valeur inédite, rupture, amélioration continue * '''C'''ommunication — transmission claire, médiation, récit partagé == Pipeline d'apprentissage == Le parcours STADEMIC suit un pipeline en trois étapes : # '''Comprendre''' — appropriation active des contenus (S, T, A). L'apprenant explore, questionne et établit des liens entre disciplines fondamentales. # '''Transformer''' — activation des moyens (D, E, M). La théorie se convertit en protocoles, prototypes et modèles. # '''Diffuser''' — production de la finalité (I, C). La connaissance transformée se propage vers de nouveaux publics et de nouveaux usages. == Comparaison avec les approches apparentées == STADEMIC s'inscrit dans la famille des approches interdisciplinaires par disciplines intégrées, aux côtés de [[STEM]] (Science, Technology, Engineering, Mathematics) et [[STEAM]] (qui y ajoute l'Art). Sa spécificité tient à trois aspects : * l'intégration explicite du '''design''' et de la '''communication''' comme disciplines à part entière ; * la '''structuration en couches fonctionnelles''' (Contenu / Moyens / Finalité) absente des modèles STEM/STEAM ; * l'inscription d''''innovation''' et de '''communication''' comme finalités du parcours, et non comme simples compétences transversales. == Principes pédagogiques == STADEMIC repose sur cinq principes opérationnels : * '''Interdisciplinarité structurée''' — les disciplines ne sont pas juxtaposées mais articulées par un pipeline. * '''Orientation produit''' — l'apprentissage se mesure à la production effective d'innovations communiquées. * '''Accessibilité universelle''' — la méthode vise explicitement à réduire la fracture d'accès aux compétences du XXIe siècle. * '''Itération''' — le pipeline Comprendre → Transformer → Diffuser peut être parcouru plusieurs fois à des échelles croissantes. * '''Médiation''' — la communication n'est pas un appendice mais une finalité, ce qui place la médiation des savoirs au cœur du dispositif. == Domaines d'application == La méthodologie est pensée pour s'adapter à plusieurs contextes éducatifs : * enseignement secondaire et supérieur (projets interdisciplinaires) ; * formation professionnelle continue ; * éducation non formelle (fablabs, médiathèques, tiers-lieux) ; * médiation scientifique et culturelle ; * conception de programmes éducatifs. == Limites et perspectives == En tant que méthodologie émergente, STADEMIC soulève plusieurs questions de recherche : * la mesurabilité des compétences « innovation » et « communication » comme finalités ; * l'articulation avec les curricula nationaux existants ; * la formation des enseignants aux huit disciplines et au pipeline ; * l'équité effective de l'accessibilité revendiquée. == Voir aussi == === Articles connexes === * [[STEM]] * [[STEAM]] * [[Pédagogie de projet]] * [[Apprentissage par problèmes]] * [[Apprentissage expérientiel]] * [[Interdisciplinarité]] * [[Médiation culturelle]] [[Catégorie:Méthode pédagogique]] [[Catégorie:Acronyme en éducation]] [[Catégorie:Approche interdisciplinaire]] 91soj29aimyz3ogdenxbj5sqzdj5nxn 983666 983662 2026-06-21T00:48:09Z Raznow 80551 983666 wikitext text/x-wiki '''STADEMIC''' est une méthodologie éducative interdisciplinaire qui structure l'apprentissage autour de huit disciplines organisées en trois couches fonctionnelles. Son objectif est de transformer et de diffuser les connaissances en science, technologie et art à travers le design, l'ingénierie et les mathématiques, afin de produire de l'innovation et de développer la communication, avec une ambition d'accessibilité pour tous les publics. == Étymologie et acronyme == Le nom STADEMIC est un acronyme formé des initiales de huit disciplines, dans l'ordre du pipeline d'apprentissage : * '''S''' — Science * '''T''' — Technology (Technologie) * '''A''' — Art * '''D''' — Design * '''E''' — Engineering (Ingénierie) * '''M''' — Mathematics (Mathématiques) * '''I''' — Innovation * '''C''' — Communication == Architecture en trois couches == STADEMIC organise les huit disciplines selon une architecture tripartite qui distingue ce que l'on transmet, comment on le transforme et ce que l'on produit. === Contenu (ce que l'on transmet) === Les disciplines de la couche « Contenu » fournissent la matière première de l'apprentissage. Il s'agit des savoirs fondamentaux issus des sciences, des technologies et des arts. L'apprenant s'approprie ces connaissances comme socle culturel et cognitif avant toute transformation. * '''S'''cience — observation, expérimentation, raisonnement hypothético-déductif * '''T'''echnology — outils numériques, systèmes automatisés, plateformes de collaboration * '''A'''rt — sensibilité esthétique, expression créative, lecture symbolique === Moyens (comment on transforme) === Les disciplines de la couche « Moyens » assurent la transformation opérationnelle des contenus. Elles convertissent la théorie en objets, en systèmes et en structures manipulables. * '''D'''esign — pensée centrée utilisateur, prototypage itératif, systèmes visuels * '''E'''ngineering — conception systémique, optimisation, fiabilité * '''M'''athematics — modélisation, abstraction, langage formel === Finalité (ce que l'on produit) === Les disciplines de la couche « Finalité » constituent l'aboutissement du processus. La connaissance transformée devient création neuve et se diffuse. * '''I'''nnovation — création de valeur inédite, rupture, amélioration continue * '''C'''ommunication — transmission claire, médiation, récit partagé == Pipeline d'apprentissage == Le parcours STADEMIC suit un pipeline en trois étapes : # '''Comprendre''' — appropriation active des contenus (S, T, A). L'apprenant explore, questionne et établit des liens entre disciplines fondamentales. # '''Transformer''' — activation des moyens (D, E, M). La théorie se convertit en protocoles, prototypes et modèles. # '''Diffuser''' — production de la finalité (I, C). La connaissance transformée se propage vers de nouveaux publics et de nouveaux usages. == Comparaison avec les approches apparentées == STADEMIC s'inscrit dans la famille des approches interdisciplinaires par disciplines intégrées, aux côtés de [[STEM]] (Science, Technology, Engineering, Mathematics) et [[STEAM]] (qui y ajoute l'Art). Sa spécificité tient à trois aspects : * l'intégration explicite du '''design''' et de la '''communication''' comme disciplines à part entière ; * la '''structuration en couches fonctionnelles''' (Contenu / Moyens / Finalité) absente des modèles STEM/STEAM ; * l'inscription d''''innovation''' et de '''communication''' comme finalités du parcours, et non comme simples compétences transversales. == Principes pédagogiques == STADEMIC repose sur cinq principes opérationnels : * '''Interdisciplinarité structurée''' — les disciplines ne sont pas juxtaposées mais articulées par un pipeline. * '''Orientation produit''' — l'apprentissage se mesure à la production effective d'innovations communiquées. * '''Accessibilité universelle''' — la méthode vise explicitement à réduire la fracture d'accès aux compétences du XXIe siècle. * '''Itération''' — le pipeline Comprendre → Transformer → Diffuser peut être parcouru plusieurs fois à des échelles croissantes. * '''Médiation''' — la communication n'est pas un appendice mais une finalité, ce qui place la médiation des savoirs au cœur du dispositif. == Domaines d'application == La méthodologie est pensée pour s'adapter à plusieurs contextes éducatifs : * enseignement secondaire et supérieur (projets interdisciplinaires) ; * formation professionnelle continue ; * éducation non formelle (fablabs, médiathèques, tiers-lieux) ; * médiation scientifique et culturelle ; * conception de programmes éducatifs. == Limites et perspectives == En tant que méthodologie émergente, STADEMIC soulève plusieurs questions de recherche : * la mesurabilité des compétences « innovation » et « communication » comme finalités ; * l'articulation avec les curricula nationaux existants ; * la formation des enseignants aux huit disciplines et au pipeline ; * l'équité effective de l'accessibilité revendiquée. == Références == * http://stademic.org/ [[Catégorie:Méthode pédagogique]] [[Catégorie:Acronyme en éducation]] [[Catégorie:Approche interdisciplinaire]] omanbbt6aaxtx96wlv1wbrhfvu92xe8 2 87147 983663 2026-06-20T23:42:21Z Raznow 80551 Page créée avec « # Naoufel Razouane Bonjour ! Je suis **Naoufel Razouane**, passionné par l’éducation, la technologie, la fabrication numérique et la création de projets utiles pour les jeunes et les communautés. Je m’intéresse particulièrement aux approches d’apprentissage actives, où l’on apprend en expérimentant, en construisant, en observant et en résolvant des problèmes concrets. ## Centres d’intérêt - Éducation alternative et pédagogies actives... » 983663 wikitext text/x-wiki # Naoufel Razouane Bonjour ! Je suis **Naoufel Razouane**, passionné par l’éducation, la technologie, la fabrication numérique et la création de projets utiles pour les jeunes et les communautés. Je m’intéresse particulièrement aux approches d’apprentissage actives, où l’on apprend en expérimentant, en construisant, en observant et en résolvant des problèmes concrets. ## Centres d’intérêt - Éducation alternative et pédagogies actives - Culture *maker*, bricolage créatif et fabrication numérique - Sciences, technologie, ingénierie, arts et mathématiques (STEAM) - Développement web et outils numériques - Innovation sociale et entrepreneuriat - Conception d’ateliers pour enfants et adolescents - Partage des connaissances en langue française et arabe ## Projets et contributions Je travaille notamment sur des projets liés à l’initiation des jeunes aux sciences, à la technologie et à la création manuelle. Parmi ces projets figure **OctaMakers**, une initiative éducative centrée sur des ateliers pratiques permettant aux enfants et adolescents de découvrir les sciences et la fabrication par l’expérimentation. J’utilise également le terme **STADEMIC** pour désigner une méthodologie pédagogique basée sur une progression structurée, pratique et créative : comprendre, expérimenter, fabriquer, améliorer et partager. ## Ce que je souhaite faire sur Wikiversité Sur Wikiversité, je souhaite contribuer à la création et à l’amélioration de ressources libres autour de : - l’apprentissage par projet ; - les activités scientifiques simples pour enfants ; - les ateliers *maker* et STEAM ; - l’initiation à l’énergie, aux matériaux et aux mécanismes ; - les méthodes pédagogiques actives ; - les ressources éducatives en français et, lorsque possible, en arabe. ## Langues - Français - Arabe - Anglais ## Contact Vous pouvez me laisser un message sur ma [[Discussion utilisateur:Raznow|page de discussion]]. 7dn1x32101eyleyf8kn5ettl5hut3p6 983664 983663 2026-06-20T23:48:38Z Raznow 80551 983664 wikitext text/x-wiki Bonjour ! Je suis **Naoufel Razouane**, passionné par l’éducation, la technologie, la fabrication numérique et la création de projets utiles pour les jeunes et les communautés. Je m’intéresse particulièrement aux approches d’apprentissage actives, où l’on apprend en expérimentant, en construisant, en observant et en résolvant des problèmes concrets. == Centres d’intérêt == * Éducation alternative et pédagogies actives * Culture *maker*, bricolage créatif et fabrication numérique * Sciences, technologie, ingénierie, arts et mathématiques (STEAM) * Développement web et outils numériques * Innovation sociale et entrepreneuriat * Conception d’ateliers pour enfants et adolescents * Partage des connaissances en langue française et arabe == Projets et contributions == Je travaille notamment sur des projets liés à l’initiation des jeunes aux sciences, à la technologie et à la création manuelle. Parmi ces projets figure **OctaMakers**, une initiative éducative centrée sur des ateliers pratiques permettant aux enfants et adolescents de découvrir les sciences et la fabrication par l’expérimentation. J’utilise également le terme **STADEMIC** pour désigner une méthodologie pédagogique basée sur une progression structurée, pratique et créative : comprendre, expérimenter, fabriquer, améliorer et partager == Ce que je souhaite faire sur Wikiversité == Sur Wikiversité, je souhaite contribuer à la création et à l’amélioration de ressources libres autour de : * l’apprentissage par projet * les activités scientifiques simples pour enfants * les ateliers *maker* et STEAM * l’initiation à l’énergie, aux matériaux et aux mécanismes * les méthodes pédagogiques actives * les ressources éducatives en français et, lorsque possible, en arabe. == Langues == * Français * Arabe * Anglais == Contact == Vous pouvez me laisser un message sur ma [[Discussion utilisateur:Raznow|page de discussion]]. gi2co1zxc8k7wrhbakado47bmwvmyc8 983665 983664 2026-06-20T23:51:12Z Raznow 80551 983665 wikitext text/x-wiki Bonjour ! Je suis '''Naoufel Razouane''', passionné par l’éducation, la technologie, la fabrication numérique et la création de projets utiles pour les jeunes et les communautés. Je m’intéresse particulièrement aux approches d’apprentissage actives, où l’on apprend en expérimentant, en construisant, en observant et en résolvant des problèmes concrets. == Centres d’intérêt == * Éducation alternative et pédagogies actives * Culture ''maker'', bricolage créatif et fabrication numérique * Sciences, technologie, ingénierie, arts et mathématiques (STEAM) * Développement web et outils numériques * Innovation sociale et entrepreneuriat * Conception d’ateliers pour enfants et adolescents * Partage des connaissances en langue française et arabe == Projets et contributions == Je travaille notamment sur des projets liés à l’initiation des jeunes aux sciences, à la technologie et à la création manuelle. Parmi ces projets figure '''OctaMakers''', une initiative éducative centrée sur des ateliers pratiques permettant aux enfants et adolescents de découvrir les sciences et la fabrication par l’expérimentation. J’utilise également le terme '''[[STADEMIC (méthodologie éducative)|STADEMIC]]''' pour désigner une méthodologie pédagogique basée sur une progression structurée, pratique et créative : comprendre, expérimenter, fabriquer, améliorer et partager == Ce que je souhaite faire sur Wikiversité == Sur Wikiversité, je souhaite contribuer à la création et à l’amélioration de ressources libres autour de : * l’apprentissage par projet * les activités scientifiques simples pour enfants * les ateliers ''maker'' et STEAM * l’initiation à l’énergie, aux matériaux et aux mécanismes * les méthodes pédagogiques actives * les ressources éducatives en français et, lorsque possible, en arabe. == Langues == * Français * Arabe * Anglais == Contact == Vous pouvez me laisser un message sur ma [[Discussion utilisateur:Raznow|page de discussion]]. japhto3ffbgbamcywnhkoxzf6j2rodn