Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.7 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 17123 983702 981599 2026-06-23T06:08:01Z Marvoir 1746 /* Centralisateur */ définition de deux sous-groupes qui se centralisent 983702 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | page_liée = Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur }} == Centre d'un groupe == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centre d'un groupe}} On appelle centre d'un groupe ''G'' et on note <math>Z(G)</math> l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec tout élément de ''G''. }} {{Proposition |contenu= <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de ''G''. Tout sous-groupe de <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de G. }} Démonstration. Prouvons d'abord que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Il est clair que l'élément neutre de G appartient à <math>Z(G)</math>. Soient ''a'' et ''b'' des éléments de <math>Z(G)</math>; prouvons que ''ab'' est un élément de <math>Z(G)</math>. Pour tout élément ''x'' de G, nous avons ''x(ab) = (xa)b = (ax)b = a(xb) = a(bx) = (ab)x'', donc ''ab'' commute avec tout élément de G, autrement dit appartient à <math>Z(G)</math>. Ainsi, le produit de deux éléments de <math>Z(G)</math> appartient toujours à <math>Z(G)</math>. Prouvons maintenant que si ''c'' est un élément de <math>Z(G)</math>, alors ''c{{exp|-1}}'' en est un lui aussi. Pour tout élément ''c'' de G, nous avons ''cx = xc'', d'où (en multipliant à gauche par ''c{{exp|-1}}'') ''x = c{{exp|-1}} x c'', d'où (en multipliant à droite par ''c{{exp|-1}}'') ''x c{{exp|-1}}'' = ''c{{exp|-1}}'' x , ce qui prouve bien que ''c{{exp|-1}}'' appartient à <math>Z(G)</math>. Ce qui précède prouve que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Prouvons que ''Z(G)'' est un sous-groupe distingué de ''G'' : si ''a'' est un élément de ''Z(G)'', alors, pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g a g{{exp|-1}}'' = ''a g g{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''g a g{{exp|-1}}'' appartient à ''Z(G)'', ce qui montre bien que ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. En fait, le même raisonnement prouve que tout sous-groupe de ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. Remarque. Pour un groupe G, on définira plus loin dans le présent chapitre le centralisateur (dans G) d'un sous-groupe de G et on verra que ce centralisateur est un sous-groupe de G. Selon la définition du centralisateur, <math>Z(G)</math> est le centralisateur de G dans G, ce qui fournit une autre démonstration du fait que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. On pourrait donc postposer la définition du centre à celle du centralisateur d'un sous-groupe et se dispenser ainsi de prouver que le centre d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe. {{Définition | contenu = Soit G un groupe. Un sous-groupe de G contenu dans <math>Z(G)</math> (autrement dit, un sous-groupe de <math>Z(G)</math>) est appelé un sous-groupe central de G. }} D'après ce qui précède, tout sous-groupe central d'un groupe G est un sous-groupe normal de G. == Conjugaison == {{Wikipédia|Automorphisme intérieur}} Soient G un groupe et g un élément de G. L'application <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de G dans lui-même est appelée la conjugaison par g (dans G). Nous la noterons Int(g). On a déjà noté au chapitre « [[../Groupes, premières notions/]] » que c’est un automorphisme de G, admettant pour réciproque la conjugaison :<math>x \mapsto g^{-1}xg</math>. Comme déjà vu également, on dit qu'un automorphisme ''f'' de ''G'' est intérieur s'il existe un élément g de G tel que f soit la conjugaison par g. L'ensemble Int(''G'') des automorphismes intérieurs de ''G'' est un sous-groupe du groupe Aut(''G'') des automorphismes de ''G'' ; plus précisément, l’application Int : <math>g \mapsto Int(g)</math> est un homomorphisme de ''G'' dans Aut(''G'') et Int(''G'') est l'image de cet homomorphisme. Le noyau ker Int de cet homomorphisme est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que Int(''g'') soit l'automorphisme identité de ''G'', autrement dit ker Int est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' pour tout élément ''x'' de ''G'' ; la condition ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' revient à ''gx = xg'', donc le noyau considéré est le centre ''Z(G)'' de ''G''. (Ceci montre de nouveau que ''Z(G)'' est un sous-groupe normal de ''G''.) Le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|premier théorème d'isomophisme]] permet donc d'énoncer : {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(G) est isomorphe à G/Z(G). }} On peut aussi montrer que {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). }} Démonstration. Soient ''g'' un élément de ''G'' et <math>\alpha</math> un endomorphisme de ''G''. Alors : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) \circ \alpha = \alpha \circ \mathrm{Int}(g)</math> (car les deux membres appliquent ''x'' sur <math>\alpha (g) \alpha (x) \alpha (g)^{-1}</math>). Si <math>\alpha</math> est un automorphisme, cela peut s'écrire : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) = \alpha \circ \mathrm{Int}(g) \circ \alpha^{-1}</math>, ce qui montre bien que Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). Soient ''x'', ''y'' et ''g'' des éléments de G tels que y = gxg⁻¹. Nous dirons alors que ''y'' est le conjugué de ''x'' par ''g''. Si un élément ''y'' de G est image d'un élément ''x'' de G par un automorphisme intérieur, autrement dit s'il existe un élément ''g'' de G tel que ''y'' soit le conjugué de ''x'' par ''g'', on dit que ''y'' est (un) conjugué de ''x'' (dans G). Du fait que les automorphismes intérieurs forment un groupe pour la composition, il résulte que la relation « ''y'' est un conjugué de ''x'' » est une relation d'équivalence dans ''G''. En effet : :x = 1x1{{exp|-1}} (réflexivité) :si y = gxg{{exp|-1}}, alors x = (g{{exp|-1}})yg = (g{{exp|-1}})y(g{{exp|-1}}){{exp|-1}} (symétrie) :si y = gxg{{exp|-1}} et z = hyh{{exp|-1}}, alors z = hgxg{{exp|-1}}h{{exp|-1}} = (hg)x(hg){{exp|-1}} (transitivité). {{Définition | contenu = Les classes selon cette relation d'équivalence sont appelées les classes de conjugaison (dans G). Si deux éléments de ''G'' sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu’ils sont conjugués (dans ''G''). }} (On verra dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]] que le cardinal de la classe de conjugaison d'un élément d'un groupe divise toujours l'ordre de ce groupe.) Si un sous-ensemble A de G est image d'un sous-ensemble B de G par un automorphisme intérieur, c'est-à-dire s'il existe un élément g de G tel que <math>A = gBg^{-1}</math>, on dit que A est conjugué de B (dans G), ou, plus précisément, est le conjugué de B (dans G) par g. Ici encore, on vérifie que cela définit une relation d'équivalence entre sous-ensembles de ''G''. Tout conjugué d'un sous-groupe H de G est image de H par un automorphisme (intérieur) de G et est donc un sous-groupe de G isomorphe à H. On a déjà rencontré les sous-groupes conjugués d'un sous-groupe dans le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Si H est un sous-groupe de G, le conjugué de H (dans G) par un élément h de H est égal à H. (En effet, puisque h et h⁻¹ appartiennent à H, la classe à gauche hH et la classe à droite Hh⁻¹ sont égales à H, donc hHh⁻¹ = (hH)h⁻¹ = Hh⁻¹ = H.) En particulier, le conjugué de G (dans G) par n’importe quel élément de G est G lui-même. Notons que certains auteurs<ref>Notre définition est conforme à J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, exer. 1.47, p. 18, ou encore p. 44. H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, adoptent l'autre définition.</ref> définissent le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg. Ce qui suit montre un avantage de cette définition. On note souvent x^g (resp. H^g) le conjugué d'un élément x (resp. d'un sous-groupe H) par un élément g<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, p. 44, qui pose H^g = gHg⁻¹ ; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, qui définissent le conjugué de x par g comme égal à g⁻¹xg et posent x^g = gxg⁻¹.</ref>. Si, comme nous l'avons fait, on définit le conjugué de x par g comme étant gxg⁻¹, on a alors :(x^g)^h = x^hg ; si, au contraire, on définit le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg, on a :(x^g)^h = x^gh, ce qui est évidemment plus agréable. Nous retrouverons cette problématique dans le cadre plus général des opérations à gauche et à droite d'un groupe sur un ensemble. Deux éléments conjugués dans le groupe ''G'' sont images l'un de l'autre par des automorphismes de ''G'' et on montre facilement que l'image d'un élément ''x'' par un automorphisme de ''G'' a le même ordre que ''x''. Donc deux éléments conjugués ont toujours le même ordre. Soient ''x'' et ''y'' deux éléments du groupe ''G''. Nous avons <math> xy = y^{-1}(yx)y</math>, donc xy et yx sont conjugués. En particulier, ils ont le même ordre. (Nous l'avons démontré plus lourdement dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]].) Un élément de G est point fixe de la conjugaison par g si et seulement s'il commute avec g. Il est point fixe de tous les automorphismes intérieurs si et seulement s'il commute avec tout élément de G, autrement dit s'il appartient au centre de G. == Centralisateur == {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. On appelle centralisateur de ''x'' (dans ''G'') et l'on note C_''G''(''x'') l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec ''x''. }} Il est clair que C_''G''(''x'') est l’ensemble des points fixes de la conjugaison par ''x'' ; comme l’ensemble des points fixes d'un automorphisme est un sous-groupe, C_''G''(''x'') est un sous-groupe de G. C_''G''(''x'') est aussi l’ensemble des <math>g \in G</math> tels que ''x'' soit point fixe de la conjugaison par ''g''. Ce dernier point sera développé dans le chapitre sur les [[../Action de groupe|actions de groupe]]. On verra aussi dans le chapitre sur les actions de groupe que si G est un groupe et ''a'' un élément de G, la classe de conjugaison de ''a'' dans G a pour cardinal l'indice dans G du centralisateur C_''G''(''a'') de ''a'' dans G. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centralisateur}} Si A est une partie de G, on appelle ''centralisateur de A (dans G)'' et l'on note C{{ind|G}}(A) l’ensemble des éléments de G qui commutent avec tout élément de A. }} Le centralisateur de A est donc l'intersection des centralisateurs des éléments de A. Puisqu'une intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G, le centralisateur de A est un sous-groupe de G. (Si A est vide, on ne peut théoriquement pas parler de l'intersection des centralisateurs d'éléments de A, car l'intersection d'une famille vide d'ensembles n’est pas définie, mais il est clair que si A est vide, le centralisateur de A est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.) Le centralisateur (dans G) de G lui-même est le centre de G. Le centre de G est contenu dans le centralisateur de toute partie de G. {{Proposition | contenu = Soient X et Y deux parties d'un groupe G. Si tout élément de X commute avec tout élément de Y, alors tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Puisque tout élément de X commute avec tout élément de Y, X est contenu dans le centralisateur de Y. Puisque le centralisateur de Y est un groupe, il en résulte, par minimalité de ⟨X⟩, que ⟨X⟩ est contenu dans le centralisateur de Y. Ceci revient à dire que tout élément de Y commute avec tout élément de ⟨X⟩, donc Y est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩. Par minimalité de ⟨Y⟩, il en résulte que ⟨Y⟩ est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩, ce qui revient à dire que tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} Remarque. Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G tels que tout élément de H commute avec tout élément de K, il nous arrivera de dire que H et K se centralisent. {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Soient G un groupe et X une partie génératrice de G. Si tous les éléments de X commutent entre eux, G est commutatif. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Faire Y = X dans la proposition qui précède. }} On se convainc facilement (voir exercices) que si ''a''₁, ... , ''a_n'' sont des éléments d'un groupe ''G'' qui commutent entre eux, le sous-groupe de ''G'' engendré par ''a''₁, ... , ''a_n'' est l’ensemble des éléments de la forme :<math>a_1^{r_1}\ldots a_n^{r_n},</math> où ''r''₁, ... , ''r_n'' parcourent les entiers relatifs. == Normalisateur == [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Rappelons]] la définition : {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' tels que <math>gHg^{-1} = H</math>, est appelé le normalisateur de ''H'' (dans ''G'') et noté N_''G''(''H''). }} Comme on l'a vu, N_''G''(''H'') est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dont ''H'' soit sous-groupe normal. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, autrement dit si ''g'' appartient à N_''G''(''H''). On dit qu'un sous-groupe ''K'' de ''G'' normalise ''H'' si tout élément de ''K'' normalise ''H'', autrement dit si ''K'' est contenu dans le normalisateur N_''G''(''H'') de ''H''. Il est clair que N_''G''(''H'') contient à la fois ''H'' et le centralisateur de ''H'' (dans ''G''). On a vu que Z(''G'') est contenu dans C_''G''(''H'') ; ''a fortiori'', il est contenu dans N_''G''(''H''). {{Lemme | titre = Observation | contenu = Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H''. Un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si et seulement si {{nobr|''g''^-1''Xg''}} et ''gXg''^-1 sont tous deux contenus dans ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= La condition est évidemment nécessaire. Prouvons qu'elle est suffisante. Soit ''g'' un élément de G tel que g^-1Xg et gXg^-1 soient tous deux contenus dans H. Désignons par f_g l'automorphisme intérieur <math>\ x \mapsto g^{-1}xg</math> de G. L'hypothèse selon laquelle g^-1Xg est contenu dans H revient à dire que :<math>f_g(X)\subseteq H.</math> Puisque le second membre est un sous-groupe de G, on a donc :<math>\langle f_g(X)\rangle\subseteq H.</math> Cela peut s'écrire :<math>f_g(\langle X\rangle)\subseteq H,</math> autrement dit :<math>f_g(H)\subseteq H,</math> ou encore :<math>g^{-1}Hg\subseteq H.</math> Les hypothèses sur ''g'' sont également satisfaites par g^-1, donc on a aussi :<math>gHg^{-1}\subseteq H.</math> Ces deux résultats montrent que ''g'' normalise H. }} En particulier, si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H'', alors, pour prouver que ''K'' normalise ''H'', il suffit, puisque ''K'' est une partie symétrique de ''G'' (c'est-à-dire que ''K''^-1 = ''K''), de prouver que pour tout élément ''g'' de ''K'', ''g''^-1''Xg'' est contenu dans ''H''. {{Lemme | titre = Lemme N/C | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' est un sous-groupe distingué du normalisateur N_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' et le quotient N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} {{Démonstration | contenu = Soit ''g'' un élément du normalisateur N_''G''(''H'') d'un sous-groupe ''H'' de ''G''. Puisque ''g'' normalise ''H'', l'automorphisme intérieur <math>\mathrm{Int}(g) : x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'' induit un automorphisme (non forcément intérieur) de ''H''. En faisant correspondre à chaque élément ''g'' de N_''G''(''H'') l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''H'', nous définissons un homomorphisme de N_''G''(''H'') dans Aut(''H''), et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G''. Cela montre que C_''G''(''H'') est un sous-groupe distingué de N_''G''(''H''). De plus, d’après le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Les trois théorèmes d.27isomorphisme|premier théorème d'isomorphisme]], N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} '''Remarque.''' Selon W. R. Scott, « ''ce théorème presque trivial est d'une grande importance en théorie des groupes''<ref>W. R. Scott, ''Group theory'', 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 50.</ref>. » == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} 20s851j5kqvdtq3wcbv4n1fqnfhv1yf 106 22306 983699 983077 2026-06-22T23:38:20Z Geoleplubo 7999 /* Travaux */ +1 983699 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{Index de travaux de recherche | nom = Pédagogie | idfaculté = pédagogie | menu = <div class="menuebox"><div class="menue"> [[Fichier:Crystal Clear app ktip.svg|28px|left|link=Wikiversité:Espace de noms Recherche]] <div class="aussen"> <div class="menutag">[[Études de Raopedia]]</div> * [[Composer des ressources éducatives en ligne libres et ouvertes]] * [[Département:Étude sur l'apprentissage|Étude sur l'apprentissage]] * [[Étude sur l'enseignement et l'apprentissage]] * [[Apprentissage et étudiant]] * [[Fondement et pratique en éducation]] </div> </div></div> }} [[fichier:Teaching.png|thumb|256px|{{PAGENAME}}]] Bienvenue dans le département de recherche sur la pédagogie. == Objectifs == * Développer des réflexions, des recherches et des problématiques sur les thèmes étudiés. * Coordonner des recherches en mettant en ligne au fur et à mesure les résultats d'enquête. * Mettre à la disposition de tous des résultats de recherche et des travaux théoriques de pointe. * Permettre à tous de pratiquer les notions sur la culture, selon les principes des connaissances ouverte et démocratique. Offrir à tous des possibilités de pratiquer des recherches et de les publier. * Assurer une critique du savoir et des compétences sur la culture libre, horizontale, ouverte à tous et indépendante. * Permettre le développement de recherches indépendantes et autonomes. == Principes == * Les laboratoires sont ouverts à tous. * Il n'y a pas de coordinateur officiel des recherches — ce qui n'empêche pas de contribuer en coordonnant un projet. Chacun participe à sa manière aux projets. * Il n'y a pas d'évaluation des recherches fondés sur un comité éditorial ou sur de la revue par les pairs. == Travaux == * [[Recherche:Critique du concept de mérite et de la méritocratie|Critique du concept de mérite et de la méritocratie]] * [[Recherche:Apprentissage par l'expérience|Apprentissage par l'expérience]] * [[Recherche:Métajustification de Wikipedia|Métajustification de Wikipedia]] * [[Recherche:L'autodidaxie|L'autodidaxie]] * [[Recherche:Runed26|Runed26]] * [[Recherche:STADEMIC (méthodologie éducative)]] == Participants == *[[Utilisateur:Deux Cent Seize|Deux Cent Seize]] [[Catégorie:Pédagogie]] </noinclude> pglm6a7hz59n9do4lcp75i6b9g5fi4b 0 22893 983700 983697 2026-06-23T05:15:55Z ~2026-36372-49 80566 983700 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Pour donner une définition de la philosophie on peut utiliser un concept de Kant, celui de Noumène. Un noumène peut être défini comme un concept qui est connoté d'un attribut d'existence, les noumènes s'opposent aux phénomènes pour trouver un chemin pour aller des aspects phénoménologiques du monde à l'aspect essentialiste. Basé sur cette définition la philosophie peut être décrit comme "définir des Noumènes et de savoir les conjuguer", la philosophie en allant vers l'essentiel serait donc une recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique. {{AutoCat}} gdkm0o603g05w1541ux753ikg3adqiu 983703 983700 2026-06-23T08:06:56Z ~2026-36372-49 80566 983703 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Pour donner une définition de la philosophie on peut utiliser un concept de Kant, celui de Noumène. Un noumène peut être défini comme un concept qui est connoté d'un attribut d'existence, les noumènes s'opposent aux phénomènes pour trouver un chemin pour aller des aspects phénoménologiques du monde à l'aspect essentialiste. Basé sur cette définition la philosophie peut être décrit, dans sa méthode, comme "définir des Noumènes et de savoir les conjuguer", la philosophie en allant vers l'essentiel serait donc une recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique. Voici pour la méthode mais quel est l'enjeu, quel est l'objet de la philosophie ? Comme on peut le voir dans le paragraphe précédent, la philosophie est un jeu de l'esprit essentiellement basé sur la réflexion dont l'objet peut être défini comme : "tous les Noumènes connexes au fait que l'homme, pensant, existe dans le monde et s'organise en sociétés". Puisque l'homme existe et qu'il réfléchit sur l'homme, il s'est mit à réfléchir sur l'homme dans différents aspects de la société (c'est-à-dire que l'acte de philosopher préexiste à sa définition). La philosophie a donc pour objet un savant mélange des causes et des finalités (les enjeux) des sociétés humaines (puisqu'elle est tour à tour justification/analyse et appel à être/définition) par le prisme de sa condition. Par sa méthode la philosophie est accessible à tout le monde, on peut même dire qu'un savant est un philosophe d'un ordre particulier. Par son objet, le philosophe se distingue du scientifique en ce qu'il s'oppose à la phénoménologie pour aller à l'essentiel pour essayer de caractériser des Noumènes en considérant le tout comme supérieur à la somme des parties, alors que le scientifique mesure les phénomènes pour en déduire des lois mathématiques de cet "essentiel" en considérant chaque partie séparément sans s'attarder au tout. {{AutoCat}} 3ia7ry1qmjaj0cxkpvqy78tho01g34b 0 26829 983701 983679 2026-06-23T06:02:41Z Marvoir 1746 /* Problème 11 */ achevé 983701 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 28 | chapitre = [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/]] | précédent = [[../Groupes dicycliques/]] | suivant = [[../Premiers résultats sur les groupes simples/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini de G et T une transversale droite de Q dans G. Tout élément ''x'' de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme :<math>\qquad x = q_{T}(x) \ \mathrm{repr}_{T}(x),</math> avec <math>q_{T}(x) \in Q</math> et <math>\mathrm{repr}_{T}(x) \in T.</math><br /> Pour tout élément ''a'' de G, on pose <math>R(a) = \prod_{t \in T} q_{T}(ta)Q'</math> (le produit étant pris dans le groupe commutatif Q/Q'). Prouver que R est égal au transfert de G vers Q/Q' défini dans la théorie à partir des transversales gauches. (Indication : d’après un exercice de la série [[../Classes modulo un sous-groupe|Classes modulo un sous-groupe]], <math>\ T^{-1}</math> est une transversale gauche de Q dans G.) {{clr}} {{Solution | contenu = Nous avons <math>\qquad ta = q_{T}(ta) \ \mathrm{repr}_{T}(ta),</math> avec :<math>\qquad q_{T}(ta) \in Q</math> et <math>\mathrm{repr}_{T}(ta) \in T.</math> En passant aux inverses, nous obtenons :<math>\qquad a^{-1}t^{-1} = \mathrm{repr}_{T}(ta)^{-1} \ q_{T}(ta)^{-1},</math> avec :<math>\qquad \mathrm{repr}_{T}(ta)^{-1} \in T^{-1}</math> et <math> q_{T}(ta)^{-1} \in Q.</math> Puisque <math>\ T^{-1}</math> est une transversale gauche de Q dans G, nous avons donc :<math>\qquad V(a^{-1}) = \prod _{t\in T} q_{T}(ta)^{-1}Q'.</math> En passant aux inverses et en tenant compte que V est un homomorphisme, nous trouvons :<math>\qquad V(a) = \prod _{t\in T} q_{T}(ta)Q'.</math> :<math>\qquad V(a) = R(a).</math> }} == Problème 2 == a) Soit G un groupe, soit Q un sous-groupe d'indice fini de G; désignons par V le transfert de G vers Q/Q' . Prouver que le dérivé de G est contenu dans le noyau de V. {{clr}} {{Solution | contenu = Le groupe d'arrivée Q/Q' de V est abélien et, de façon générale, si le groupe d'arrivée d'un homomorphisme <math>f</math> est abélien, le dérivé du groupe de départ de <math>f</math> est contenu dans le noyau de <math>f .</math> (Vérification facile.) }} b) Dans les hypothèses et notations du point a), on suppose que <math>g</math> est un élément central de G. Trouver une façon simple de décrire V(g). {{clr}} {{Solution | contenu = Choisissons une transversale gauche L de Q dans G. D'après le chapitre théorique, il existe des éléments <math>h_{1}, \ldots h_{k}</math> de L et des nombres naturels <math>n_{1}, \ldots n_{k}</math> pour lesquels :1° <math>\sum_{i=1}^{k} n_{i} = [G:Q] </math>; :2° pour chaque <math>i</math> dans <math>\{1, \ldots k \}, {h_{i}}^{-1} g^{n_{i}} h_{i}</math> appartient à Q, :3° V(g) est l'image de <math>\prod_{i=1}^{k} ({h_{i}}^{-1} g^{n_{i}} h_{i})</math> par l'homomorphisme canonique de Q sur Q/Q'. Puisque <math>g</math> est censé appartenir au centre de G, chaque facteur <math>{h_{i}}^{-1} g^{n_{i}} h_{i}</math> considéré au point 3° est égal à <math>g^{n_{i}}</math>, donc, compte tenu de 1° et de 2° : :<math>g^{[G:Q]}</math> appartient à Q et V(g) est l'image de <math>g^{[G:Q]}</math> par l'homomorphisme canonique de Q sur Q/Q' .<br /> Cela montre que si <math>g</math> est un élément central de G, il n'est pas nécessaire de recourir à une transversale de Q dans G pour expliciter V(g). }} c) Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un nombre premier, soit N un p-sous-groupe de Z(G), soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. (Puisque N est un p-sous-groupe central de G, N est contenu dans P. Voir [[../Théorèmes de Sylow/|exercices sur le chapitre Théorèmes de Sylow]].) Prouver que :<math>N \cap G' = N \cap P' .</math> Indication : utiliser le point b). {{clr}} {{Solution | contenu = Désignons par V le transfert de G vers P/P'.<br /> Soit <math>\nu</math> un élément de <math>N \cap G' .</math><br /> Puisque <math>\nu</math> appartient à N, il est central dans G, donc, d'après le point b), :(1)<math>\qquad \nu^{[G:P)}</math>appartient à P et <math>V(\nu)</math> est l'image de <math>\nu^{[G:P]}</math> par l'homomorphisme canonique de P sur P/P'. D'après la question a), G' est contenu dans le noyau de V, donc, puisque <math>\nu</math> est supposé appartenir à G', <math>\nu</math> appartient au noyau de V, ce qui, d'après (1), signifie que :<math>\nu^{[G:P]}</math> appartient à P', autrement dit, si <math>\bar{\nu}</math> désigne l'image de <math>\nu</math> par l'homomorphisme canonique de P sur P', :(2)<math>\qquad \bar{\nu}^{[G:P]} = 1</math> dans P/P'. D'autre part, puisque <math>\nu</math> est supposé appartenir à N, :<math>\qquad \nu^{\vert N \vert} = 1</math>, d'où aussi :(3)<math>\qquad \bar{\nu}^{\vert N \vert} = 1</math> dans P/P'. D'après (2) et (3), :(4)<math>\qquad \bar{\nu}^{PGCD([G:P], \vert N \vert ) } = 1</math> dans P/P'. Mais <math>\vert N \vert</math> est une puissance de <math>p</math> et, d'autre part, puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G, <math>[G:P]</math> est premier avec <math>p.</math> Donc <math>PGCD([G:P], \vert N \vert ) = 1</math>, donc (4) peut s'écrire :<math>\qquad \bar{\nu} = 1</math> dans P/P', c'est-à-dire que :<math>\qquad \nu</math> appartient à P'. Ceci étant démontré pour tout élément <math>\nu</math> de <math>N \cap G'</math>, nous avons donc <math>N \cap G' \subseteq N \cap P'.</math> L'inclusion réciproque est évidente, donc :<math>\qquad N \cap G' = N \cap P'</math>, ce qui démontre l'énoncé. }} d) Soit G un groupe fini. On suppose qu'il existe un facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert</math> tel que les p-sous-groupes de Sylow de G soient abéliens et que <math>\vert Z(G) \vert</math> soit divisible par <math>p .</math> Prouver que G' < G.<br /> Indication : utiliser le point c). {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque <math>\vert Z(G) \vert</math> est supposé divisible par <math>p</math>, Z(G) contient au moins un sous-groupe N d'ordre <math>p</math> (théorème de Cauchy). Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. D'après le point c), :(1)<math>\qquad N \cap G' = N \cap P' .</math> Puisque nous supposons que les p-sous-groupes de Sylow sont abéliens, P' = 1, donc le membre droit de (1) est égal à 1, donc :<math>\qquad N \cap G' = 1.</math> Si <math>G'</math> était égal à <math>G</math>, on aurait donc <math>N = 1</math>, ce qui contredit le choix de <math>N</math>. Donc <math>G' < G</math>, ce qui prouve l'énoncé. }} == Problème 3 == Soit G un groupe fini. On va prouver que G est nilpotent si et seulement s'il est p-nilpotent pour tout facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert.</math><br /> a) On suppose que G est nilpotent. Prouver qu'il est p-nilpotent pour tout facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert.</math> {{clr}} {{Solution | contenu = Soit <math>p</math> un facteur premier de <math>\vert G \vert .</math> Il s'agit de prouver que G est p-nilpotent.<br /> Soient <math>q_{1}, \ldots , q_{n}</math> les différents facteurs premiers de <math>\vert G \vert </math> autre que <math>p.</math><br /> Puisque G est nilpotent, il a un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P, et pour chaque <math>i</math> (<math>1 \leq i \leq n</math>), il a un seul <math>q_{i}</math>-sous-groupe de Sylow, soit <math>Q_{i}</math>; de plus,<br /> G est produit direct <math>P \times Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}.</math><br /> Donc G est le produit direct du p-groupe P et du groupe <math>Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}</math>, les éléments de <math>Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}</math> étant d'ordre non divisible par <math>p.</math> Il en résulte clairement que les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par <math>p</math> sont les éléments de <math>Q_{1} \times \cdots \times Q_{n}</math> et forment donc un sous-groupe de G, ce qui prouve que G est p-nilpotent. }} b) Réciproquement, on suppose que G est p-nilpotent pour tout facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert.</math> Prouver que G est nilpotent. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit <math>p</math> un facteur premier de <math>\vert G \vert</math>, soit <math>q</math> un facteur premier de <math>\vert G \vert</math> autre que <math>p.</math><br /> D'après les hypothèses du point b), G est q-nilpotent, donc<br /> :(1)<math>\qquad </math>les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par <math>q</math> forment un sous-groupe de G, qu'on notera <math>G_{q}.</math> Un élément <math>x</math> de G est un p-élément de G (c'est-à-dire a pour ordre une puissance de <math>p</math>) si et seulement si, pour tout facteur premier <math>q</math> de <math>\vert G \vert</math> autre que <math>p</math>, l'ordre de <math>x</math> n'est pas divisible par <math>q.</math> Compte tenu de (1), cela revient à dire que l'ensemble des p-éléments de G est l'ensemble des éléments de G qui appartiennent à <math>G_{q}</math> pour chaque facteur premier <math>q</math> de <math>\vert G \vert</math> autre que <math>p.</math> (Autrement dit, avec les précautions d'usage en ce qui concerne l'intersection, l'ensemble des p-éléments de G est l'intersection des <math>G_{q}</math>, où <math>q</math> parcourt les facteurs premiers de <math>\vert G \vert</math> autres que <math>p.</math>) Donc :(2)<math>\qquad</math>l'ensemble des p-éléments de G est un sous-groupe de G. Vu la maximalité des p-sous-groupes de Sylow de G parmi les p-sous-groupes de G, (2) revient clairement à dire que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. Cela étant démontré pour chaque facteur premier <math>p</math> de <math>\vert G \vert</math>, G est donc nilpotent. }} == Problème 4 == On a vu dans un [[../Action de groupe/|exercice sur le chapitre Action de groupe]] que si <math>G</math> est un groupe agissant sur un ensemble <math>E</math>, si <math>H</math> est un sous-groupe de <math>G</math>, si <math>E^{H}</math> désigne l'ensemble des points fixes de <math>H</math> (c'est-à-dire l'ensemble des éléments de <math>E</math> fixés par tout élément de <math>H</math>), alors l'action <math>G \times E \to E</math> induit par restriction une action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H} .</math><br /> On va voir que si le groupe <math>G</math> est fini, si <math>H</math> est un sous-groupe de Sylow de <math>G</math>, si l'action de <math>G</math> sur <math>E</math> est transitive, alors l'action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math> est transitive. a) Soit G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de G, soient ''x'' et ''y'' deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans G_x et dans G_y.) On suppose que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même G-orbite et que Q est un sous-groupe de Sylow de G_x. Prouver que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q) -</math>orbite. {{clr}} {{Solution | contenu = Notons que, d’après un exercice de la série [[../Action de groupe|Action de groupe]], G_x et G_y sont conjugués et ont donc le même ordre, de sorte que, puisque Q est un sous-groupe de Sylow de G_x, c’est aussi un sous-groupe de Sylow de G_y, mais ce fait ne nous servira pas.<br /> Par hypothèse, il existe un élément ''g'' de G tel que :<math>(1) \qquad y = g^{-1}x.</math> Pour tout élément ''u'' de Q, nous avons donc :<math> \qquad gug^{-1}x = guy</math>. Puisque ''y'' est point fixe de Q, nous pouvons remplacer uy par y, donc :<math> \qquad gug^{-1}x = gy,</math> d'où, d’après (1), :<math> \qquad gug^{-1}x = x,</math> donc <math>\ gQg^{-1}</math> fixe ''x''.<br /> Ainsi, :<math>(2) \qquad gQg^{-1} \leq G_{x}.</math> Par hypothèse, il existe un nombre premier ''p'' tel que Q soit un p-sous-groupe de Sylow de G_x. Puisque <math>\ gQg_{-1}</math> a le même ordre que Q, il résulte de (2) que <math>\ gQg_{-1}</math> est lui aussi un p-sous-groupe de Sylow de G_x. Donc, d’après le théorème de Sylow, <math>\ Q</math> et <math>\ gQg_{-1}</math> sont conjugués dans <math>\ G_{x}.</math><br /> Il existe donc un élément ''h'' de <math>\ G_{x}.</math> tel que :<math> \qquad gQg^{-1} = hQh^{-1}.</math> Ceci entraîne :<math> \qquad h^{-1}gQg^{-1}h = Q,</math> donc :<math>(3) \qquad h^{-1}g \in N_{G}(Q).</math> De plus, <math>\ (h^{-1}g)y = h^{-1}(gy),</math> d'où, d’après (1), <math>\ (h^{-1}g)y = h^{-1}x.</math> Puisque ''h'' appartient à <math>\ G_{x},</math> ceci peut s'écrire :<math>\qquad (h^{-1}g)y = x.</math> D'après (3), il en résulte que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q)</math>-orbite. }} b) Soient G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de Sylow de G, soient ''x'' et ''y'' deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans G_x et dans G_y.) On suppose que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même G-orbite. Prouver que ''x'' et ''y'' appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q)</math>-orbite. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque Q est un sous-groupe de Sylow de G contenu dans G_x, c’est un sous-groupe de Sylow de G_x, donc il suffit d'appliquer le point a). }} c) Tirer de b) une nouvelle preuve du fait suivant : si G est un groupe fini et Q un sous-groupe de Sylow de G, si deux éléments de <math>\ C_{G}(Q)</math> sont conjugués dans G, ils sont conjugués dans <math>\ N_{G}(Q)</math>. (Ce fait a été démontré dans le chapitre théorique [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]].) {{clr}} {{Solution | contenu = Faire opérer G à gauche sur son ensemble sous-jacent par conjugaison : g * x = g x g{{exp|-1}}. Les éléments de <math>\ C_{G}(Q)</math> sont les points fixes de Q pour cette opération. Deux éléments de l’ensemble sous-jacent de G appartiennent à la même G-orbite si et seulement s'ils sont conjugués dans G. Puisque <math>\ C_{G}(Q)</math> est contenu dans <math>\ N_{G}(Q)</math>, deux éléments de <math>\ C_{G}(Q)</math> appartiennent à la même <math>\ N_{G}(Q)</math>-orbite si et seulement s'ils sont conjugués dans <math>\ N_{G}(Q)</math>. Le point c) résulte donc clairement du point b). }} d) Déduire de b) ce théorème de Burnside qui a été démontré dans les exercices sur les théorèmes de Sylow : soient G un groupe fini, p un diviseur premier de l’ordre de G, P un p-sous-groupe de Sylow de G, U et W des sous-groupes distingués de P; U et W sont conjugués dans G si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur N_G(P). {{clr}} {{Solution | contenu = Faire opérer G à gauche sur l’ensemble de ses parties par conjugaison. Alors U et W sont des points fixes de P, donc, d’après le point b), s'ils sont conjugués dans G (c'est-à-dire s'ils appartiennent à la même G-orbite) ils appartiennent à la même N_G(P)-orbite. Puisqu’ils sont contenus dans P et donc dans N_G(P), cela revient à dire qu’ils sont conjugués dans N_G(P). }} == Problème 5 == Soient <math>G</math> un groupe fini et <math>H</math> un sous-groupe de Hall ''normal'' de <math>G</math>. Prouver que <math>H</math> est l’ensemble des éléments de <math>G</math> dont l'ordre divise <math>\vert H \vert</math>, que <math>H</math> est seul de son ordre parmi les sous-groupes de <math>G</math> et est un sous-groupe caractéristique de <math>G</math>. (Cet énoncé est utilisé dans le chapitre théorique.) {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque H est un sous-groupe de Hall de G, l’ordre de G est de la forme ''ab'', où ''a'' est l’ordre de H et où ''b'' est un nombre naturel premier avec ''a''. Pour démontrer l'énoncé, on peut par exemple prouver que H est l’ensemble des éléments ''x'' de G tels que x{{exp|a}} = 1.<br /> Puisque H est d'ordre ''a'', nous savons que x{{exp|a}} = 1 pour tout élément ''x'' de H. Réciproquement, prouvons que si ''x'' est un élément de G tel que x{{exp|a}} = 1, alors x appartient à H.<br /> Puisque H est normal dans G, nous pouvons considérer le groupe G/H et l'homomorphisme canonique ''f'' de G sur G/H. De notre hypothèse x{{exp|a}} = 1 résulte f(x){{exp|a}} = 1, autrement dit l’ordre de f(x) divise ''a''. D'autre part, l’ordre de G/H est ''b'', donc l’ordre de f(x) divise ''b''. Ainsi, l’ordre de f(x) divise à la fois ''a'' et ''b''. Puisque ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux, l’ordre de f(x) est donc égal à 1, donc f(x) est l'élément neutre de G/H; autrement dit ''x'' appartient à H, comme annoncé.<br /> Nous avons donc prouvé que H est l’ensemble des éléments ''x'' de G tels que x{{exp|a}} = 1. Il en résulte clairement que H est le seul sous-groupe d'ordre ''a'' de G et est donc caractéristique dans G. }} == Problème 6 == a) Soit G un groupe fini. On suppose que pour tout diviseur premier ''p'' de l’ordre de G, G admet un p-sous-groupe de Sylow cyclique. (Puisque deux p-sous-groupes de Sylow sont toujours conjugués et donc isomorphes, ceci revient à supposer que tous les p-sous-groupes de Sylow sont cycliques.) Prouver que G est résoluble. (Indication. Raisonner par récurrence sur <math>\vert G \vert </math>. Appliquer l'hypothèse de récurrence au complément normal N d'un p-sous-groupe de Sylow de G, ''p'' désignant le plus petit facteur premier de l’ordre de <math>\vert G \vert </math>.) {{clr}} {{Solution | contenu = On raisonne par récurrence sur l’ordre de G. Si cet ordre est égal à 1, G est résoluble, donc nous pouvons supposer que <math>\vert G \vert > 1.</math> Nous pouvons alors considérer le plus petit facteur premier de <math>\vert G \vert ,</math> soit ''p'', et choisir un p-sous-groupe de Sylow P de G. D'après le chapitre [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]] de la théorie, P admet un complément normal dans G, soit N. Il est clair que N est un sous-groupe de Hall de G, donc tout sous-groupe de Sylow de N est un sous-groupe de Sylow de G. D'après les hypothèses de l'énoncé, il en résulte que tout sous-groupe de Sylow de N est cyclique. D'autre part, <math>\vert P \vert > 1,</math> donc <math>\vert N \vert < \vert G \vert,</math> donc, par hypothèse de récurrence, N est résoluble. D'autre part, N est produit semi-direct de N et de P, donc G/N est isomorphe à P. Puisque P est cyclique, il est commutatif et donc résoluble. Ainsi, N et G/N sont résolubles, donc G est résoluble. }} b) On dit qu'un nombre naturel est sans carrés s'il n'est divisible par le carré d'aucun nombre naturel > 1, ce qui revient à dire qu’il n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier. Prouver que si ''n'' est un nombre naturel sans carrés, tout groupe d'ordre ''n'' est résoluble. {{clr}} {{Solution | contenu = Soient G un groupe d'ordre ''n'' et ''p'' un diviseur premier de ''n''. Puisque ''n'' est sans carrés, tout p-sous-groupe de Sylow de G est d'ordre premier et est donc cyclique. La thèse résulte donc du point a). }} == Problème 7 == a) Soit <math>G</math> un groupe simple fini non abélien, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert .</math> On note <math>n_{p}</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G.</math><br /> Prouver que <math>\vert G \vert</math> n'est égal ni à <math>p n_{p}</math> ni à <math>p^{2} n_{p}.</math> {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, on ait :(hyp. 1)<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} n_{p}</math> avec <math>a = 1</math> ou <math>2.</math> D'après un théorème de Sylow, <math>n_{p} \equiv 1 \pmod{p}</math> et, en particulier, :(2)<math>\qquad n_{p}</math> est premier avec <math>p.</math> Choisissons un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow <math>P</math> de <math>G.</math><br /> D'après (1) et (2), :(3)<math>\qquad P</math> est d'ordre <math>p^{a}.</math> Puisque <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2</math>, il en résulte que :(4)<math>\qquad P</math> est abélien. Toujours d'après les théorèmes de Sylow, <math>n_{p}</math> est l'indice de <math>N_{G}(P)</math> dans <math>G</math>, donc, d'après l'hypothèse (1), <math>N_{G}(P)</math> est d'ordre <math>p^{a}.</math> Donc, d'après (3), <math>N_{G}(P) = P.</math> Puisqu'on a vu en (4) que <math>P</math> est abélien, <math>P</math> est donc évidemment central dans <math>N_{G}(P)</math>, donc, d'après le théorème du complément normal de Burnside, <math>P</math> admet un complément normal <math>H</math> dans <math>G.</math> Puisque <math>G</math> est supposé simple, il faut <math>H = G</math> ou <math>H = 1.</math> Le cas <math>H = G</math> est impossible, car il entraîne <math>P = 1</math>, ce qui est impossible puisque <math>p</math> divise <math>\vert G \vert .</math> Dans le cas <math>H = 1</math>, on aurait <math>G = P</math>, donc <math>G</math> serait un <math>p</math>-groupe, ce qui est impossible, puisque tout groupe ayant pour ordre une puissance de nombre premier est nilpotent et a fortiori résoluble, alors que <math>G</math>, supposé être un groupe simple non abélien, n'est pas résoluble. Cela montre que l'hypothèse (1) est contradictoire, d'où l'énoncé du point a). }} b) Soit <math>G</math> un groupe simple fini non abélien, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert .</math> On note <math>n_{p}</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G.</math> On suppose que <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par <math>p^{3}.</math> Prouver que :<math>\vert G \vert = p^{a} n_{p} b</math>, où <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2</math> et où <math>b</math> est premier avec <math>p</math> et <math>\geq 2.</math> {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par <math>p^{3}</math>, nous avons :(1)<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} m</math>, où <math>m</math> est premier avec <math>p</math> et où <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2.</math> D'après les théorèmes de Sylow, <math>m</math> est divisible par le nombre <math>n_{p}</math> des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G.</math> Soit <math>m = n_{p} b.</math> Alors (1) s'écrit :<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} n_{p} b</math>, où <math>b</math> (qui divise <math>m</math>) est premier avec <math>p.</math> D'après le point a), <math>b</math> n'est pas égal à <math>1</math>, ce qui achève de démontrer le point b). }} c) Soit <math>G</math> un groupe simple fini non abélien, soit <math>p</math> un diviseur premier de <math>\vert G \vert .</math> Prouver que :<math>2 p (p+1) \leq \vert G \vert</math> (d'où <math>p < \sqrt{\vert G \vert / 2}</math>). {{clr}} {{Solution | contenu = Notons <math>n_{p}</math> le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G</math> et <math>p^{a}</math> la plus grande puissance de <math>p</math> qui divise <math>\vert G \vert .</math><br /> D'après les théorèmes de Sylow, :(1)<math>\qquad \vert G \vert </math> est divisible par <math>p^{a} n_{p}.</math> De plus, puisque <math>G</math> est supposé simple et non abélien, le théorème 5, point a) du [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|chapitre théorique]] donne :(2)<math>\qquad n_{p} \geq p+1.</math> Si <math>\qquad \vert G \vert </math> est divisible par <math>p^{3}</math>, alors, d'après (1) et (2), :<math>\qquad \vert G \vert \geq (p+1) p^{3},</math> d'où, largement, <math>\vert G \vert \geq 2 p (p+1)</math>, donc l'énoncé est vrai dans ce cas.<br /> Reste le cas où <math>\vert G \vert </math> n'est pas divisible par <math>p^{3}.</math> Alors, d'après le point b), :<math>\qquad \vert G \vert = p^{a} n_{p} b</math>, où <math>a</math> est égal à <math>1</math> ou à <math>2</math> et où <math>b \geq 2.</math> Donc :<math>\qquad \vert G \vert \geq 2 p^{a} n_{p}.</math> D'après (2), cela entraîne <math>\vert G \vert \geq 2 p^{a} (p+1).</math> Puisque <math>a \geq 1</math>, on a donc encore <math>\vert G \vert \geq 2 p (p+1).</math> }} d) Soit <math>p</math> un nombre premier. Prouver qu'aucun groupe d'ordre <math>p(p+1)</math> ni aucun groupe d'ordre <math>p^{2} (p+1)</math> n'est simple. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit, par absurde, :(hyp. 1)<math>\qquad G</math> un groupe simple d'ordre <math>p(p+1)</math> ou <math>p^{2} (p+1)</math>. L'ordre de <math>G</math> n'est pas premier, donc <math>G</math> est un groupe simple non abélien. D'après les hypothèses et les théorèmes de Sylow, le nombre <math>n_{p}</math> des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>G</math> divise <math>p+1</math> et, d'après le théorème 5, point a) du [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|chapitre théorique]], <math>n_{p} \geq p+1</math>, donc <math>n_{p} = p+1.</math> L'hypothèse (1) donne donc :<math>\vert G \vert = p n_{p}</math> ou <math>p^{2} n_{p}</math>, ce qui contredit le point a). L'hypothèse (1) est donc absurde, d'où l'énoncé. }} == Problème 8 == Soit ''n'' un nombre naturel impair, soit G un groupe d'ordre 2n. On a vu dans les exercices de la série [[../Groupes alternés|Groupes alternés]] que G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''n''. Prouver ce fait à l'aide du chapitre [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]]. {{clr}} {{Solution | contenu = Choisissons un 2-sous-groupe de Sylow P de G. Puisque 2 ne divise qu'une fois l’ordre de G, P est d'ordre 2. Il est donc cyclique. Puisque 2 est le plus petit facteur premier de l’ordre de G, il résulte d'un théorème démontré dans le chapitre théorique que G est 2-nilpotent, d'où l'énoncé. Voici une démonstration plus directe. P est normal dans N_G(P) et on a vu dans les exercices de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]] qu'un sous-groupe normal d'ordre 2 est central, donc P est central dans N_G(P). D'après le théorème du complément normal de Burnside, il en résulte que P admet un complément normal dans G. Un tel complément est d'ordre ''n'' et, d'après le chapitre théorique, est l'unique sous-groupe d'ordre ''n'' de G, d'où l'énoncé. }} == Problème 9 == a) Soit ''p'' un nombre premier impair (autrement dit > 2), soit G un groupe fini d'ordre <math>p \frac{p^{2} + 1}{2}.</math> Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Cette partie du problème ne fait intervenir que les propriétés classiques des sous-groupes de Sylow démontrées au chapitre [[../../Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) {{clr}} {{Solution | contenu = D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est de la forme np+1, avec ''n'' naturel ≥ 0, et il divise <math>\frac{p^{2} + 1}{2}.</math> De ce second fait, il résulte que :(1) n < p. D'autre part, puisque np+1 divise <math>\frac{p^{2} + 1}{2},</math> il divise ''a fortiori'' <math>2 n^{2} \ \frac{p^{2} + 1}{2} = n^{2} p^{2} + n^{2}</math>. Comme np est congru à -1 modulo np+1, il en résulte que n² + 1 est multiple de np+1, d'où n² ≥ np. Si ''n'' était non nul, on aurait donc n ≥ p, ce qui contredit (1). Donc n = 0, c'est-à-dire que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est égal à 1. }} b) Soit G un groupe d'ordre 2p (p² + 1), où ''p'' est un nombre premier > 3. Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Indication. Dans le chapitre théorique, on a démontré un « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside. Appliquer ce cas particulier à un 2-sous-groupe de Sylow de G, puis utiliser le point a).) {{Solution | contenu = On montre facilement que si ''a'' est un nombre naturel, a² + 1 n'est divisible ni par 3 ni par 4. Donc l’ordre 2p (p² + 1) de G n’est pas divisible par 3 et il est divisible par 4 sans être divisible par 8. Choisissons un 2-sous-groupe de Sylow S de G. D'après ce qui précède, S est d'ordre 4 (et, en particulier, abélien) donc Aut(S) est d'ordre 2 ou 6, selon que S est un groupe cyclique ou un groupe de Klein. (Pour le cas où S est cyclique, voir le chapitre [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]]. Pour le cas où S est un groupe de Klein, et donc un 2-groupe élémentaire, voir un problème de la série [[../Groupes commutatifs finis, 1|Groupes commutatifs finis, 1]].) On a vu que <nowiki>|G|</nowiki> n’est pas divisible par 3, donc :PGCD(<nowiki>|Aut(S)|</nowiki>, <nowiki>|G|</nowiki>) = 2. D'après le « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside, S admet donc un complément normal N dans G. (On aurait aussi pu utiliser le théorème qui dit que si G est un groupe fini > 1, si ''q'' désigne le plus petit facteur premier de l’ordre de G, si l’ordre de G n'est divisible ni par q³ ni par 12, alors G est q-nilpotent.) N est d'ordre <math>p \frac{p^{2} + 1}{2},</math> donc, d’après la partie a) du problème, il n'a qu'un p- sous-groupe de Sylow, soit P. D'après le chapitre [[../../Sous-groupes caractéristiques|Sous-groupes caractéristiques]] (exemples), P est caractéristique dans N. Puisque N est normal dans G, P est donc normal dans G. Puisque l’ordre de G n'est divisible qu'une fois par ''p'', P est un p-sous-groupe de Sylow de G. Puisqu’il est normal dans G, c’est le seul p-sous-groupe de Sylow de G. }} == Problème 10 == Soit G un groupe simple fini, soit <math>p</math> un diviseur premier impair de l'ordre de G, soit P un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G. On suppose que <math>\vert N_{G}(P) \vert = 2p^{2} .</math> Prouver que <math> N_{G}(P) </math> est isomorphe soit au groupe diédral d'ordre <math>2p^{2}</math> soit au groupe diédral généralisé construit sur <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} .</math><br /> Indication : dans les [[../Groupes diédraux/|exercices sur le chapitre Groupes diédraux]], on a classifié les groupes non abéliens d'ordre <math>2p^{2} .</math> {{Solution | contenu = Il résulte des hypothèses que l'ordre de G est composé, donc, puisque G est supposé simple, G est un groupe simple fini non abélien. D'autre part, il est clair que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G sont d'ordre <math>p^{2},</math> donc ils sont abéliens. Donc, d'après [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|le chapitre théorique]], :(1)<math>\qquad P \cap Z(N_{G}(P)) = 1</math>, ce qui entraîne que <math>(N_{G}(P)</math> n'est pas abélien. On a vu dans les [[../Groupes diédraux/|exercices sur le chapitre Groupes diédraux]] (problème Classification des groupes d'ordre 18) que tout groupe non abélien d'ordre <math>2p^{2}</math> est isomorphe soit au groupe diédral d'ordre <math>2p^{2}</math>, soit au groupe diédral généralisé construit sur <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},</math> soit au produit direct <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times D_{2p}</math>, où <math>D_{2p}</math> désigne le groupe diédral d'ordre <math>2p .</math> Donc pour démontrer l'énoncé, il suffit de prouver que :(thèse 2)<math>\qquad N_{G}(P) </math> n'est pas isomorphe au produit direct <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times D_{2p} .</math> Supposons que cette thèse soit fausse, ce qui revient à supposer que :(hyp. 3)<math>\qquad N_{G}(P)</math> soit produit direct interne <math>K \times L</math>, où K est un groupe d'ordre p et L un groupe isomorphe à <math>D_{2p}.</math> Alors <math>Z(N_{G}(P)) = Z(K) \times Z(L) = K \times Z(L)</math>, donc :(4)<math>\qquad Z(N_{G}(P))</math> contient K. Puisque P est le seul p-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>, K est contenu dans P, donc, d'après (4), <math>P \cap Z(N_{G}(P)) \not= 1</math>, ce qui contredit (1). Cette contradiction prouve que notre hypothèse (3) est absurde, autrement dit notre thèse (2) est vraie. Comme nous l'avons vu, cela prouve l'énoncé. }} == Problème 11 == Soit ''n'' un nombre naturel non nul. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :a) tout groupe d'ordre ''n'' est cyclique; :b) ''n'' est sans carrés (c'est-à-dire que ''n'' n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier) et il n'y a pas deux facteurs premiers ''p'' et ''q'' de ''n'' tels que <math>q \equiv 1 (mod p)</math>. (Indication. Pour prouver que a) entraîne b), utiliser la classification des groupes d'ordre ''pq'' où ''p'' et ''q'' sont deux nombres premiers distincts. Cette classification a été faite dans les [[../Produit semi-direct|exercices sur le produit semi-direct]]. Pour prouver que b) entraîne a), utiliser une conséquence du théorème de Burnside qui a été démontrée dans le chapitre théorique correspondant à la présente page d'exercices.) {{Solution | contenu = Pour tout nombre naturel non nul ''a'', on désignera par <math>C_{a}</math> un groupe cyclique d'ordre ''a'' choisi une fois pour toutes.</br> Prouvons d'abord que la condition a) entraîne la condition b).</br> Il revient au même de prouver que si b) n'est pas satisfaite, alors a) ne l'est pas.</br> Supposons donc b) non satisfaite. Alors ''n'' est divisible par le carré d'un nombre premier ou il existe des facteurs premiers ''p'', ''q'' de ''n'' tels que <math>q \equiv 1 (mod p)</math>.</br> Si tout d'abord ''n'' est divisible par le carré d'un nombre premier ''t'', le produit direct <math>C_{t} \times C_{t} \times C_{n/t^2}</math> est un groupe d'ordre ''n'' qui n'est pas cyclique (puisque <math>C_{t} \times C_{t}</math> n'est pas cyclique et que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique).</br> Cessons de supposer que ''n'' est divisible par le carré d'un nombre premier, mais supposons qu'il existe des facteurs premiers ''p'', ''q'' de ''n'' tels que <math>q \equiv 1 (mod p)</math>. D'après un [[../Produit semi-direct|exercice sur le chapitre Produit semi-direct]], il existe un groupe non cyclique K d'ordre ''pq''. Alors <math>K \times C_{n/pq}</math> est un groupe d'ordre ''n'' et ce groupe n'est pas cyclique, puisque son sous-groupe K n'est pas cyclique.</br> Nous avons donc prouvé que la condition a) de l'énoncé entraîne la condition b).</br> Prouvons l'implication réciproque, en supposant que la condition b) est satisfaite et en prouvant que la condition a) l'est.</br> Soit donc ''n'' un nombre naturel non nul et sans carrés et tel que pour tous facteurs premiers (distincts) ''p'', ''q'' de ''n'', on ait <math>q \not\equiv 1 (mod p)</math>, soit G un groupe d'ordre ''n''; il s'agit de prouver que G est cyclique.</br> On va raisonner par récurrence sur le nombre ''r'' de facteurs premiers de ''n''.</br> L'énoncé est évidemment vrai si ''r'' est nul (tout groupe trivial est cyclique). Supposons donc <math>r \geq 1</math> et posons :<math>n = p_1 p_2 ... p_r</math>, où <math>p_1, p_2, ... p_r</math> sont des nombres premiers tels que :<math>p_1 < p_2 ... < p_r</math>. Puisque <math>\vert G \vert</math> n'est pas divisible par <math>p_1^2</math>, tout <math>p_1</math>-sous-groupe de Sylow de G est d'ordre premier et est donc cyclique, donc, d'après un corollaire du théorème du complément normal de Burnside (voir chapitre théorique), :(1) G est produit semi-direct <math>H \rtimes P_1 </math> d'un sous-groupe normal H d'ordre <math>n/p_1</math> par un sous-groupe <math>P_1</math> d'ordre <math>p_1</math>. Il est clair que <math>n/p_1</math> est sans carrés et que, si ''p'' et ''q'' sont des facteurs premiers de <math>n/p_1</math>, alors <math>q \not\equiv 1 (mod p)</math>. Donc, par hypothèse de récurrence, :(2) H est cyclique. De cela et du fait que <math>\vert H \vert = p_2 ... p_r</math>, il résulte (chapitre [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]]) que :<math>\vert Aut(H) \vert = \varphi (p_2 ... p_r)</math>, où <math>\varphi</math> désigne la fonction indicatrice d'Euler. Puisque <math>p_2, ... , p_r</math>sont premiers entre eux deux à deux, cela peut s'écrire (chapitre [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]]) :<math>\vert Aut(H) \vert = \varphi (p_2) ... \varphi (p_r)</math> :<math>\vert Aut(H) \vert = (p_2 - 1) ... (p_r - 1)</math>. D'après nos hypothèses, aucun des nombres <math>p_2 - 1, ... p_r - 1</math> n'est divisible par <math>p_1</math>, donc :(3) <math>\vert Aut(H) \vert </math> est premier avec <math>p_1</math>. De façon générale, si K et L sont deux groupes finis d'ordres premiers entre eux, le seul homomorphisme de K dans L est l'homomorphisme trivial, c'est-à-dire l'homomorphisme prenant partout la valeur 1 (voir [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|les exercices sur le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément]]), donc, d'après (3), le seul homomorphisme de <math>P_1</math> dans Aut(H) est l'homomorphisme trivial.</br> En particulier, si nous désignons par <math>f</math> l'homomorphisme de <math>P_1</math> dans <math>Aut(H)</math> qui à tout élément ''x'' de <math>P_1</math> fait correspondre l'automorphisme <math>t \mapsto x t x^{-1}</math> de H (cet homomorphisme est bien défini puisque, d'après (1), H est normal dans G), l'homomrphisme ''f'' est trivial, ce qui revient à dire que <math>P_1</math> et H se centralisent. D'après le chapitre [[../../Produit semi-direct|Produit semi-direct]], remarque 2 sur le théorème ''Homomorphismes partant d'un produit semi-direct interne'', il en résulte que :(4) G est le produit ''direct'' (interne) de <math>P_1</math> et de H. Puisque <math>P_1</math> est d'ordre premier, il est cyclique; d'autre part, H est cyclique d'après (2). Donc <math>P_1</math> et H sont des groupes cycliques d'ordres premiers entre eux, donc (chapitre [[../../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]], leur produit direct est un groupe cyclique, donc, d'après (4), G est cyclique, ce qu'il fallait démontrer. }} Remarque. Ce problème est l'exercice 575 de J. S. Rose, ''A course on group theory'', Dover reprints, 2012, p. 249-250. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes dicycliques/]] | suivant = [[../Premiers résultats sur les groupes simples/]] }} 0ang7rmzqh661oda6qapwjq51j20q2k 0 87142 983698 983690 2026-06-22T21:50:48Z Solstag 13856 /* Analyses présentées et discussion des résultats */ détaille concordancer 983698 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation pour le Laboratoire Interdisciplinaire Sciences Innovations Sociétés (LISIS - UMR UGE, CNRS, INRAE). La formation aura lieu sur une journée et demie : le 8 juillet matin (9h30→12h30) et après midi (14h→17h), avec une pause déjeuner de 12h30 à 14h ; puis le 9 juillet matin ou après midi, à convenance. Local: LISIS, salle Seine, 1er étage du bâtiment Camus à côté du RER A Noisy-Champs. '''Inscriptions:''' Le lien pour les inscriptions a été envoyé par mail aux membres du laboratoire. == 8 juillet — Matin (9h30→12h30) == === Partie I : Introduction à la plateforme Cortext === Nous nous permettons une brève introduction pour présenter la mission, l'historique, le fonctionnement et les opportunités de collaboration avec la plateforme ! === Partie II : Cours « analyses socio-sémantiques » === Nous aimons beaucoup mettre les mains dans le cambouis, mais si nous voulons bricoler quelque chose qui fonctionne il vaut mieux connaître les principes du moteur ­— qu'il soit à combustion ou électrique — avant de s'y mettre. ''Ci-dessous le programme détaillé du cours.'' ==== Dimensions d'analyse ==== Construire une question dans son rapport avec les réponses qui permettent les données, qu'elles soient disponibles ou à produire, passe par la considération des partenaires avec lesquels nous allons au bal. * Sociale, sémantique, temporelle, territoriale, d'échelle… ==== Statistiques descriptives ==== Compter, compter, compter. * Volumétriques, comparatives, longitudinales (''Demography'', ''Epic-epoch'') ==== Matrice et graphiques ==== Les matrices, ces réseaux timides. * Statistiques de co-occurrence * Déviations (''Contingency matrix'') ou contrastes (''Profiling'') ==== Réseau ==== Les réseaux sont partout dans le social comme dans l'épistémique. * Réseaux homogène et hétérogène (co-word analysis × social network analysis) * Cooccurrence (''Network mapping'') ou ocurrence ([''Domain''-]''topic modeling'') * Construction des liens de cooccurrence (chi-2, syntagmatique-direct/paradigmatique-indirect etc) * Détection de communautés (''Network mapping'', [''Domain-'']''topic modeling'') * Réseaux de communautés (''Domain-topic modeling'') ==== Entités ==== Nous aurions pu les appeler « acteurs ». * Para-textuelles, métadonnées * Extraites du texte ** Traitement du langage naturel (TAL) ** Spécificité des mots (mesures chi-2, pigeonhole ; par modélisation [domaine-]thématique) ** Reconnaissance d'entités nommées * Nature des entités ** Thématique : mots-clés, catégories, phrases nominales ** Organisationnelles : institutions, auteurs ** Temporelles (''Epic epoch'', ''Demography'', ''Network mapping'', ''sashimi'') ** Toponymiques : adresses, noms de lieux (Geocoding) ** Autres (verbes, adjectifs) ==== Données ==== Et oui, on ne peut rien faire sans. * Sources ** Bibliographique (métadonnées) ** Archives de documents (texte intégral) ** Presse et médias ** Entretiens et sondages ** Traces d'interactions, jeux * Possibilités ** Par rapport aux entités et relations disponibles ** Croisements de différentes sources * Lecture contextualisé et retour au texte ** ''Corpus explorer'', ''Concordancer'', ''Domain-topic map'' * Enrichissement assisté ** Édition d'un dictionnaire (''Terms/List Indexer)'' ** Annotation avec tableur-classeur interactif (''Domain-topic model'') ** Annotation avec d'autres [[wikipedia:Computer-assisted_qualitative_data_analysis_software|CAQDAS]] === Partie III : Introduction à l'outil Cortext Manager === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' Prise en main de l'outil avec un projet vide, téléversement de données et lancement d'une chaîne d'analyse simple. == 8 juillet — Après-midi (14h→17h) == === Cas d'usage : Adaptation au changement climatique === Nous présenterons le cas d'une analyse assez complète employant les idées discutées dans le cours et l'outil Cortext Manager. ==== Données utilisées ==== * Web of Science, format WOS-RIS (“ISI”) ==== Analyses présentées et discussion des résultats ==== * Préparation du corpus # Téléversement du jeu de données # Importation des données (format WOS “ISI”) * Exploration du corpus # ''Corpus explorer'': observer les données # ''Demography'': Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs # ''Epic Epoch'': Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par institution des auteurs * Analyses sémantiques # ''Terms extraction:'' Extraction des groupes nominaux les plus pertinents des titres et résumés # ''Corpus Term Indexer:'' Indexation des titres, résumés et mots-clés par la liste des groupes nominaux extraits ajustée # ''Epic Epoch'': Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps # ''Network Mapping'': Paysage sémantique du corpus - réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits # ''Epic Epoch'': Evolution du nombre de documents projetés dans chaque cluster sémantique entre 2001 et 2024 * ''Concordancer, e.g. pour chercher des phrases ou cooccurrences mises en évidence par Network Mapping'' * Analyses hétérogènes # ''Network mapping'': Heatmap du réseau sémantique - spécialisation des continents (affiliations des auteurs) # ''Contingency matrix'': Sur/Sous-représentation des continents (affiliations d'auteurs) par clusters sémantiques * Analyses géographiques # ''Geocoding:'' Attribuer des coordonnées géopgraohiques aux adresses des affiliations des auteurs # ''Geospatial exploration'': Identification des lieux de recherche - projection des adresses des affiliations dans les zones rurales/urbaines # ''Geospatial networks'': Réseaux de collaborations entre principales zones rurales/urbaines * ''Domain-topic modeling'' puis enchaînement sur les années ou élément organisationnel ou territorial === Atelier pratique === Si le temps le permet, les participants travaillent en paires. Chaque paire crée un nouveau projet et suit le tutoriel pour reproduire en tout ou en partie le cas d'usage présenté. == 9 juillet — Matin ou après midi, à convenance == === Mise en pratique === Accompagner le travail des participants sur leurs questions ou données. A défaut, les participants pourront retravailler le cas d'usage présenté la veille. ==== Conclusion et retour des participants ==== Nous discuterons ensemble l’avancement et les difficultés rencontrés pour faciliter des futurs échanges entre les participants et pour un meilleur suivi de la part de la plateforme après la formation. 34gy3exinn9lobee0qviuy9a2mxyrnk 0 87148 983704 2026-06-23T10:52:10Z Lautaro osako 80568 Rien du tout 983704 wikitext text/x-wiki Je me nomme Lautaro osako, je viens de la Guinée précisément dans la vielle de N'zérékoré...je suis ivoirien d'origine guinéenne... J'ai l'honneur de votre bienveillance, je ne ne maîtrise pas beaucoup votre site mais j'espère vous arriver à me comprends...je suis le premier fils de ma mère, j'ai 18 ans mon père décédé il y a 12 ans maintenant...donc je vie avec ma mère mon petit frère et ma grande sœur...je vous demande pardon pour tout l'amour de Dieu si vous pouvez m'aider à aller en France...car je vais labas que pasceque c'est la France Non...c'est aller un centre pour le ballon, car mon cest le football je veux être un joueur professionnel comme les autres et pour aider ma familles. C'est relation et les moyens qui me fatigue beaucoup ...? ct0qt9p6wm5xivbbf4fx96n5lp64gjh