Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 12122 983743 955209 2026-06-23T19:53:14Z D3nsji 80572 983743 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ __NOTOC__ <div style="display:block; padding:0.1em;"> {| width="100%" border="0" cellpadding="3px" cellspacing="2px" |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="33%" |'''Niveau 0''' ! width="33%" |'''Niveau 1''' ! width="33%" |'''Niveau 2''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * | * | * {{L|[[Nombre entier naturel]]}} * {{L|[[Opérations élémentaires]]}} |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! 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Un noumène peut être défini comme un concept qui est connoté d'un attribut d'existence, les noumènes s'opposent aux phénomènes pour trouver un chemin pour aller des aspects phénoménologiques du monde à l'aspect essentialiste. Basé sur cette définition la philosophie peut être décrit, dans sa méthode, comme "définir des Noumènes et de savoir les conjuguer", la philosophie en allant vers l'essentiel serait donc une recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique. Voici pour la méthode mais quel est l'enjeu, quel est l'objet de la philosophie ? Comme on peut le voir dans le paragraphe précédent, la philosophie est un jeu de l'esprit essentiellement basé sur la réflexion dont l'objet peut être défini comme : "tous les Noumènes connexes au fait que l'homme, pensant, existe dans le monde et s'organise en sociétés". Puisque l'homme existe et qu'il réfléchit sur l'homme, il s'est mit à réfléchir sur l'homme dans différents aspects de la société (c'est-à-dire que l'acte de philosopher préexiste à sa définition). La philosophie a donc pour objet un savant mélange des causes et des finalités (les enjeux) des sociétés humaines (puisqu'elle est tour à tour justification/analyse et appel à être/définition) par le prisme de sa condition. Par sa méthode, et dans une certaine mesure, la philosophie est accessible à tout le monde, on peut même dire qu'un savant est un philosophe d'un ordre particulier. Par son objet, le philosophe se distingue du scientifique en ce qu'il s'oppose à la phénoménologie pour aller à l'essentiel pour essayer de caractériser des Noumènes en considérant le tout comme supérieur à la somme des parties, alors que le scientifique mesure les phénomènes pour en déduire des lois mathématiques de cet "essentiel" en considérant chaque partie séparément sans s'attarder au tout. {{AutoCat}} fkv1kzsoxvncnswynhdssq3dic54xqx 983772 983706 2026-06-24T07:06:21Z ~2026-36372-49 80566 983772 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Pour donner une définition de la philosophie on peut utiliser un concept de Kant, celui de Noumène. Un noumène peut être défini comme un concept qui est connoté d'un attribut d'existence, les noumènes s'opposent aux phénomènes pour trouver un chemin pour aller des aspects phénoménologiques du monde à l'aspect essentialiste. Basé sur cette définition la philosophie peut être décrit, dans sa méthode, comme "définir des Noumènes et de savoir les conjuguer", la philosophie en allant vers l'essentiel serait donc une recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique. Voici pour la méthode mais quel est l'enjeu, quel est l'objet de la philosophie ? Comme on peut le voir dans le paragraphe précédent, la philosophie est un jeu de l'esprit essentiellement basé sur la réflexion dont l'objet peut être défini comme : "tous les Noumènes connexes au fait que l'homme, pensant, existe dans le monde et s'organise en sociétés". Puisque l'homme existe et qu'il réfléchit sur l'homme, il s'est mit à réfléchir sur l'homme dans différents aspects de la société (c'est-à-dire que l'acte de philosopher préexiste à sa définition). La philosophie a donc pour objet un savant mélange des causes et des finalités (les enjeux) des sociétés humaines (puisqu'elle est tour à tour justification/analyse et appel à être/définition) par le prisme de sa condition. Par sa méthode, et dans une certaine mesure, la philosophie est accessible à tout le monde, on peut même dire qu'un savant est un philosophe d'un ordre particulier. Par son objet, et dans une certaine mesure, le philosophe se distingue du scientifique en ce qu'il s'oppose à la phénoménologie pour aller à l'essentiel pour essayer de caractériser des Noumènes en considérant le tout comme supérieur à la somme des parties, alors que le scientifique mesure les phénomènes pour en déduire des lois mathématiques de cet "essentiel" en considérant chaque partie séparément sans s'attarder au tout. {{AutoCat}} smngcau4t7fib1tqfmszd1aiks4r6rv 983773 983772 2026-06-24T09:03:06Z ~2026-36372-49 80566 983773 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Pour donner une définition de la philosophie on peut utiliser un concept de Kant, celui de Noumène. Un noumène peut être défini comme un concept qui est connoté d'un attribut d'existence, les noumènes s'opposent aux phénomènes pour trouver un chemin pour aller des aspects phénoménologiques du monde à l'aspect essentialiste. Basé sur cette définition la philosophie peut être décrit, dans sa méthode, comme "définir des Noumènes et de savoir les conjuguer", la philosophie en allant vers l'essentiel serait donc une recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique. Voici pour la méthode mais quel est l'enjeu, quel est l'objet de la philosophie ? Comme on peut le voir dans le paragraphe précédent, la philosophie est un jeu de l'esprit essentiellement basé sur la réflexion dont l'objet peut être défini comme : "tous les Noumènes connexes au fait que l'homme, pensant, existe dans le monde et s'organise en sociétés". Puisque l'homme existe et qu'il réfléchit sur l'homme, il s'est mit à réfléchir sur l'homme dans différents aspects de la société (c'est-à-dire que l'acte de philosopher préexiste à sa définition). La philosophie a donc pour objet un savant mélange des causes et des finalités (les enjeux) des sociétés humaines (puisqu'elle est tour à tour justification/analyse et appel à être/définition) par le prisme de sa condition. Par sa méthode, et dans une certaine mesure, la philosophie est accessible à tout le monde, on peut même dire qu'un savant est un philosophe d'un ordre particulier. Par son objet, le philosophe se distingue du scientifique en ce qu'il s'oppose à la phénoménologie pour aller à l'essentiel pour essayer de caractériser des Noumènes en considérant le tout comme supérieur à la somme des parties, alors que le scientifique mesure les phénomènes pour en déduire des lois mathématiques de cet "essentiel" en considérant chaque partie séparément sans s'attarder au tout. {{AutoCat}} fkv1kzsoxvncnswynhdssq3dic54xqx 108 85798 983719 982137 2026-06-23T18:42:30Z Projet PEP 78155 983719 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Dans cette section se trouvent des leçons pour découvrir divers aspects de l'éducation plurilingue. * {{L|[[Approches plurielles]]|}} * {{L|[[Biographies langagières et textes identitaires]]|}} * {{L|[[CLIL-EMILE - Enseignement des Matières par l’Intégration d’une Langue Étrangère]]|}} * {{L|[[Compétence plurilingue et inter-/transculturelle]]|}} * {{L|[[Conscience plurilingue - Conscience linguistique - Métacompétences]]|}} * {{L|[[Constellation linguistique dominante]]|}} * {{L|[[Contextes marginalisés et plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Éducation plurilingue et technologies numériques]]|}} * {{L|[[Éducation plurilingue non formelle et informelle]]|}} * {{L|[[Éducation plurilingue pour les personnes sourdes et malentendantes]]}} * {{L|[[Enseignement des langues tertiaires]]|}} * {{L|[[Évaluation de la compétence plurilingue|Évaluation plurilingue : évaluation de la compétence plurilingue]]}} * {{L|[[Évaluation des connaissances et des compétences des apprenants plurilingues |Évaluation plurilingue : évaluation des connaissances et des compétences des apprenants plurilingues]]}} * {{L|[[Éveil aux langues]]|}} * {{L|[[Inclusion langagière]]|}} * {{L|[[Intercompréhension]]|}} * {{L|[[L'anglais comme lingua franca]]|}} * {{L|[[Langue(s) maternelle(s), L1, langue familiale, langue(s) frontalière(s)… et plus encore !]]|}} * {{L|[[Langues d'héritage]]|}} * {{L|[[Langues en danger et éducation plurilingue]]|}} * {{L|[[Le locuteur natif]]|}} * {{L|[[Le plurilinguisme dans le CECRL]]|}} * {{L|[[Migrants, bilinguisme & implication parentale]]|}} * {{L|[[Plurilinguisme et éducation plurilingue dans le passé]]|}} * {{L|[[Politiques éducatives et politiques linguistiques familiales]]|}} * {{L|[[Médiation langagière]]|}} * {{L|[[Paysages linguistiques dans l'éducation]]|}} * {{L|[[Pédagogie de la variation]]|}} * {{L|[[Perspective décoloniale dans l'éducation plurilingue]]|}} * {{L|[[Portfolio linguistique]]|}} * {{L|[[Représentations des enseignants et plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Télécollaboration et plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Terminologie et éducation plurilingue]]|}} * {{L|[[Théories et modèles du plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Tournant plurilingue]]|}} * {{L|[[Translanguaging]]|}} {{AutoCat}} 8aa424ka1hujz0czxk6mr8yakp361gf 983720 983719 2026-06-23T18:43:25Z Projet PEP 78155 983720 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Dans cette section se trouvent des leçons pour découvrir divers aspects de l'éducation plurilingue. * {{L|[[Approches plurielles]]|}} * {{L|[[Biographies langagières et textes identitaires]]|}} * {{L|[[CLIL-EMILE - 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Enseignement des Matières par l’Intégration d’une Langue Étrangère]]|}} * {{L|[[Compétence plurilingue et inter-/transculturelle]]|}} * {{L|[[Conscience plurilingue - Conscience linguistique - Métacompétences]]|}} * {{L|[[Constellation linguistique dominante]]|}} * {{L|[[Contextes marginalisés et plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Éducation plurilingue et technologies numériques]]|}} * {{L|[[Éducation plurilingue non formelle et informelle]]|}} * {{L|[[Éducation plurilingue pour les personnes sourdes et malentendantes]]}} * {{L|[[Enseignement des langues tertiaires]]|}} * {{L|[[Évaluation de la compétence plurilingue|Évaluation plurilingue : évaluation de la compétence plurilingue]]}} * {{L|[[Évaluation des connaissances et des compétences des apprenants plurilingues |Évaluation plurilingue : évaluation des connaissances et des compétences des apprenants plurilingues]]}} * {{L|[[Éveil aux langues]]|}} * {{L|[[Inclusion langagière]]|}} * {{L|[[Intercompréhension]]|}} * {{L|[[L'anglais comme lingua franca]]|}} * {{L|[[Langue(s) maternelle(s), L1, langue familiale, langue(s) frontalière(s)… et plus encore !]]|}} * {{L|[[Langues d'héritage]]|}} * {{L|[[Langues en danger et éducation plurilingue]]|}} * {{L|[[Le locuteur natif]]|}} * {{L|[[Plurilinguisme dans le CECRL]]|}} * {{L|[[Médiation langagière]]|}} * {{L|[[Migrants, bilinguisme et implication parentale]]|}} * {{L|[[Plurilinguisme et éducation plurilingue dans le passé]]|}} * {{L|[[Politiques éducatives et politiques linguistiques familiales]]|}} * {{L|[[Paysages linguistiques dans l'éducation]]|}} * {{L|[[Pédagogie de la variation]]|}} * {{L|[[Perspective décoloniale dans l'éducation plurilingue]]|}} * {{L|[[Portfolio linguistique]]|}} * {{L|[[Représentations des enseignants et plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Télécollaboration et plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Terminologie et éducation plurilingue]]|}} * {{L|[[Théories et modèles du plurilinguisme]]|}} * {{L|[[Tournant plurilingue]]|}} * {{L|[[Translanguaging]]|}} {{AutoCat}} 72slukuq8jlod1grny4cppwm60b5chn 4 86053 983705 983572 2026-06-23T13:05:12Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-26 */ nouvelle section 983705 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-23 == <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois. * L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 1 juin 2026 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café == Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur " répondre" et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:43 (UTC) Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:46 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-24 == <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (<i lang="en">On-demand</i>) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (<i lang="en">Snapshot</i>) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Actualités pour la contribution''' * La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia. * Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia. * La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe. * L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La signature de la fonction <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi>, utilisez <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 8 juin 2026 à 21:30 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == Gestion des ébauches == Bonjour, Je propose de fusionner les catégories suivantes : * [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]] * [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe) * [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]] L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer. Qu'en dites-vous ? Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-25 == <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit <code>class=notpageimage</code> pour l'exclure des aperçus miniatures, soit <code>class=noviewer</code> pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet. * Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé. * La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit. * Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia]. * La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4). * Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15 juin 2026 à 16:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == Actualités techniques n° 2026-26 == <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire. '''Actualités pour la contribution''' * La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit <code>skipcaptcha</code>, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit <code>skipcaptcha</code> continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif. * Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23 juin 2026 à 13:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> tcjbn01p74wr062lb3g5l4l5qr14qca 983707 983705 2026-06-23T17:12:20Z MediaWiki message delivery 20848 /* RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons */ nouvelle section 983707 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-23 == <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois. * L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 1 juin 2026 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café == Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur " répondre" et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:43 (UTC) Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:46 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-24 == <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (<i lang="en">On-demand</i>) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (<i lang="en">Snapshot</i>) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Actualités pour la contribution''' * La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia. * Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia. * La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe. * L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La signature de la fonction <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi>, utilisez <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 8 juin 2026 à 21:30 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == Gestion des ébauches == Bonjour, Je propose de fusionner les catégories suivantes : * [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]] * [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe) * [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]] L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer. Qu'en dites-vous ? Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-25 == <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit <code>class=notpageimage</code> pour l'exclure des aperçus miniatures, soit <code>class=noviewer</code> pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet. * Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé. * La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit. * Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia]. * La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4). * Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15 juin 2026 à 16:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == Actualités techniques n° 2026-26 == <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire. '''Actualités pour la contribution''' * La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit <code>skipcaptcha</code>, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit <code>skipcaptcha</code> continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif. * Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23 juin 2026 à 13:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussion]])</bdi> 23 juin 2026 à 17:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> qk2amj4q29m0ut1id8bxmxqnfkn19m9 0 86484 983756 977858 2026-06-23T20:11:36Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL]] sans laisser de redirection 977858 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = pédagogie | département = Didactique des langues | 1 = {{C|Activité initiale|4}} | 2 = {{C|Introduction|4}} | 3 = {{C|Du CECRL original au Volume complémentaire|4}} | 4 = {{C|Intérêt et limites des nouveautés: réformes espérées et critiques|4}} | fiche1 = {{C|À retenir|4}} | quiz1 = {{C|Auto-évaluation|4}} | annexe1 = {{C|Ressources pour aller plus loin|4}} | annexe2 = {{C|Bibliographie|4}} }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> b0op1yvpjkrqnf79urfbss8w524ht4o 0 86485 983765 978026 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Présentation de la leçon]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Présentation de la leçon]] sans laisser de redirection 978026 wikitext text/x-wiki Cette "leçon" aborde la place et la définition du plurilinguisme dans le CECRL et les évolutions entre la version de 2001 et le Volume complémentaire. Une place est également faite aux critiques exprimées à l’encontre du CECRL dans le domaine du plurilinguisme. {{AutoCat}} 4y7ao4r5815q0hq8mas1qqt2gl3pze5 0 86486 983763 978024 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Objectifs]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Objectifs]] sans laisser de redirection 978024 wikitext text/x-wiki A l'issue de cette section, vous devriez être capable de… * expliquer comment le CECRL, dans sa version initiale et son Volume complémentaire (CECRL-VC) définit et traite le plurilinguisme et l'éducation au plurilinguisme ; * identifier l'évolution et les différences entre la version originale de 2001 et le Volume complémentaire ; * donner un avis critique sur la place du plurilinguisme dans le CECRL et le CECRL-VC. {{AutoCat}} niuzkg247ns37qyc7ysnp0zdqv9pzmg 0 86487 983764 978025 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Prérequis conseillés]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Prérequis conseillés]] sans laisser de redirection 978025 wikitext text/x-wiki Aucun pré-requis spécifique. {{AutoCat}} fq66g6n21eut93pbrq0pp8qno7o0ltp 0 86488 983767 982110 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Référents]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Référents]] sans laisser de redirection 982110 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * [[Utilisateur:Projet PEP|Christian Ollivier et Eva Vetter]] ([[Discussion utilisateur:Projet PEP|discuter]]) {{AutoCat}} tk9ftvetusucte49a4opvyg9tep5zly 0 86489 983757 977863 2026-06-23T20:11:36Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Activité initiale]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Activité initiale]] sans laisser de redirection 977863 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | lecon = xxxxxxxxxx | numéro = 1 | suivant = [[../Introduction/]] }} Commencez par une réflexion : * Qu’est-ce que vous savez sur le CECRL ? * Dans quel contexte parle-t-on du CECRL ? Vous pouvez faire une recherche en ligne pour identifier les entrées sur le CECRL. * Dans quel contexte avez-vous entendu parler des niveaux langagiers (A1 jusqu’à C2) ? Consultez la version première du Cadre européen commun de référence pour les langues (Conseil de l’Europe, 2001). Vous en trouverez différentes versions linguistiques sur [https://www.coe.int/fr/web/common-european-framework-reference-languages/cefr-and-its-language-versions cette page en français] et [https://www.coe.int/en/web/common-european-framework-reference-languages/cefr-and-its-language-versions cette page en anglais]. Lisez la (courte) section 1.3 qui définit le terme "plurilinguisme" pour les auteurs du CECRL. Listez ce qui vous semble important, par exemple: * la différence faite entre multilinguisme et plurilinguisme ; * ce sur quoi l'approche plurilingue met l'accent ; * ce qu'un plurilingue est capable de faire ; * l'objectif de l'enseignement-apprentissage des langues selon le CECRL. {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | suivant = [[../Introduction/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> kf4cpmsfovmrpdswis6gu1ofphhs1gb 0 86490 983761 977864 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Introduction]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Introduction]] sans laisser de redirection 977864 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 2 | précédent = [[../Activité initiale/]] | suivant = [[../Un peu d'histoire/]] }} En 2001, le ''Cadre européen commun de référence pour les langues'' (Conseil de l’Europe, 2001) propose de repenser l'enseignement-apprentissage des langues. Il met en avant une approche dite "perspective actionnelle" qui s'est largement répandue en Europe et au-delà - tout au moins en théorie. Il fournit également des descripteurs de compétences (essentiellement) pour les différentes activités langagières. Ceux-ci se sont aussi largement répandus internationalement. Les auteurs du ''Cadre'' font une autre suggestion qui connaîtra moins de succès. Ils proposent de modifier l'objectif de l'enseignement-apprentissage des langues. Il ne s'agirait plus de viser la maîtrise de plusieurs langues, mais d'aider les apprenants à développer une compétence plurilingue et pluriculturelle. Celle-ci doit leur permettre de * gérer tout leur répertoire langagier pour mieux communiquer en mobilisant toutes leurs ressources ; * d'activer leurs connaissances et compétences existantes pour apprendre de nouvelles langues. Les auteurs visent ainsi un décloisonnement de l'enseignement-apprentissage des langues. Cela aurait pu être une révolution, mais les mises en pratique sont restées rares dans les systèmes éducatifs. Pourtant, divers projets ont été financés par le Conseil de l'Europe via le Centre européen pour les langues vivantes (notamment l'élaboration d'un [https://carap.ecml.at/fr/Accueil Cadre de référence pour les approches plurielles des langues et des cultures] (Candelier et al., 2007, 2012)) et d'autres par la Commission européenne. Le Conseil de l'Europe a très vite pris conscience de cette difficulté à passer d'un objectif de politique linguistique éducative à la réalité de l'enseignement-apprentissage des langues dans les institutions. Il a donc publié divers guides et études complémentaires (Beacco, 2007; Beacco et al., 2016; Beacco & Byram, 2003; Coste et al., 2009; Lenz & Berthele, 2010) et finalement un ''Volume complémentaire'' du CECRL. Celui-ci réaffirme la volonté de mettre en place une éducation au plurilinguisme et renforce la dimension de celui-ci. C'est cette évolution du volume original au Volume complémentaire que cette "leçon" va éclairer.{{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Activité initiale/]] | suivant = [[../Un peu d'histoire/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 6c4hbree5zq00iea09ky9low46kb241 0 86491 983768 977865 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Un peu d'histoire]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Un peu d'histoire]] sans laisser de redirection 977865 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 3 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Du CECRL original au Volume complémentaire/]] }} Le plurilinguisme est à la fois une caractéristique propre à l’être humain et une pratique sociale. Ce phénomène existe depuis bien plus longtemps que les termes utilisés aujourd’hui pour le décrire. L’histoire de l’humanité montre ainsi de nombreux exemples de plurilinguisme. Prenons un seul cas illustratif : Giovanni Pontano, surnommé le « Gran Pontano ». Homme politique et intellectuel à la cour du roi Ferdinand à Naples (1458–1494), il pratiquait le plurilinguisme dans sa vie quotidienne. Son exemple reflète aussi une société largement plurilingue à la fin du XVe siècle (Bistagne, 2019). De même, l’idée d’éduquer au plurilinguisme ne date pas des politiques linguistiques récentes du Conseil de l’Europe. Elle a des racines historiques profondes. Le pédagogue Jan Amos Comenius est considéré comme l’un des premiers à avoir pensé une approche éducative du plurilinguisme. Dans sa ''Didactica Magna'' (1657), il recommande d’apprendre seulement les langues utiles pour l’avenir — comme les langues des pays voisins, les langues savantes ou professionnelles —, en plus de la langue maternelle. Pour lui, il ne s’agit pas d’atteindre une perfection dans toutes les langues, mais de développer une compétence fonctionnelle. Par ailleurs, de nombreux systèmes éducatifs ont intégré l’usage de plusieurs langues, mais cela ne signifie pas toujours qu’ils visent le plurilinguisme. Certains modèles, comme les écoles utraquistes dans la partie autrichienne de la monarchie des Habsbourg, mettent en place des transitions d’une langue vers une autre, sans chercher à maintenir toutes les langues en usage. D’autres approches, en revanche, visent explicitement à préserver une langue minoritaire. C’est le cas des écoles associatives créées en France à partir des années 1970, telles que Diwan (en breton), Ikastola (en basque) ou Calandreta (en occitan), qui sont des exemples de modèles éducatifs plurilingues.{{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Du CECRL original au Volume complémentaire/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> ojk3tohnj1oggzcab4mwv7wyhnu2s6e 0 86492 983760 977866 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Du CECRL original au Volume complémentaire]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Du CECRL original au Volume complémentaire]] sans laisser de redirection 977866 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 4 | précédent = [[../Un peu d'histoire/]] | suivant = [[../Intérêt et limites des nouveautés: réformes espérées et critiques/]] }} == Définition de "plurilinguisme" et objectif défini par le CECRL == Revenons un instant sur le premier exercice autour du concept de plurilinguisme dans le CECRL (lecture du chapitre 1.3). Dans le chapitre suivant (1.4), le texte établit un lien entre langue et culture. Le plurilinguisme y est replacé dans un cadre plus large, celui du pluriculturalisme. Ainsi, la compétence plurilingue est présentée comme une composante d’une compétence pluriculturelle. Pour rendre ce lien visible et en s'appuyant sur une étude préparatoire au ''Cadre'' (Coste, Moore & Zarate, 2009, mais il existe une version antérieure de 1997), le CECRL définit le concept de « compétence plurilingue et pluriculturelle » de la manière suivante (chapitre 8.1):<blockquote> […] la compétence à communiquer langagièrement et à interagir culturellement d’un acteur social qui possède, à des degrés divers, la maîtrise de plusieurs langues et l’expérience de plusieurs cultures. On considérera qu’il n’y a pas là superposition ou juxtaposition de compétences distinctes, mais bien existence d’une compétence complexe, voire composite, dans laquelle l’utilisateur peut puiser  (Conseil de l’Europe, 2001, p. 129).</blockquote> Autrement dit, il ne s’agit pas de compétences séparées pour chaque langue ou culture, mais d’une seule compétence globale, flexible, dans laquelle une personne peut mobiliser différentes ressources selon la situation. Cette compétence plurilingue et pluriculturelle englobe l’ensemble des langues et expériences culturelles d’un individu — c’est-à-dire son répertoire langagier complet. Concernant les curricula pour les langues, le CECRL recommande de penser les différentes langues en lien les unes avec les autres, et non comme des blocs séparés. Il identifie trois grandes orientations pour y parvenir : * mettre en relation l’apprentissage d’une langue avec les autres langues proposées, dans une perspective de diversification linguistique ; * éviter les redondances et encourager les transferts de compétences entre langues ; * prévoir des savoirs transversaux ou transférables, dans le cadre d’une éducation langagière globale. L’objectif final du curriculum, selon le CECRL, est de permettre aux apprenants de développer un premier répertoire plurilingue et pluriculturel différencié, ainsi qu’une meilleure conscience, connaissance et confiance dans leurs propres compétences, afin de pouvoir les mobiliser activement (Conseil de l’Europe, 2001, pp. 129-134). == Les paradoxes du CECRL (version de 2001) == Le CECRL promeut le développement de la compétence plurilingue mais ne fournit pas de réelle piste pour cela, ni de descripteurs la concernant. Tous les descripteurs de la version de 2001 permettent d'évaluer des niveaux de compétences pour des langues spécifiques, mais laissent de côté la compétence plurilingue. Il en est de même des grilles du [https://www.coe.int/fr/web/portfolio Portfolio européen des langues] (PEL), projet du Conseil de l'Europe lancé avec l'idée de CECRL. La partie auto-évaluation et le passeport invitent à auto-évaluer les compétences dans diverses langues. Le passeport permet de visualiser un profil de compétences dans diverses langues. Il correspond ainsi en partie à ce que dit la définition de Coste, Moore et Zarate reprise par le CECRL. Celle-ci indique en effet que la compétence plurilingue et pluriculturelle est une "compétence plurielle, complexe, voire composite et hétérogène, qui inclut des compétences singulières, voire partielles". Le portfolio permet de se rendre compte que l'on ne dispose pas de niveau homogène dans une langue et dans les différentes langues. Mais on reste assez proche d'une conception d'un plurilinguisme qui juxtapose les compétences dans les différentes langues. Le dynamisme de la compétence plurilingue apparaît surtout dans la partie réflexive du PEL. Le Volume complémentaire entend apporter une réponse à l'absence de cette dimension en proposant des descripteurs spécifiques pour la compétence plurilingue et la médiation. == Développement du volume complémentaire (CECR-VC) == Le CECRL-VC est le fruit d’une réflexion approfondie sur l’impact du CECRL publié en 2001, et sur la nécessité d’y intégrer des évolutions plus récentes dans le domaine de l’enseignement-apprentissage des langues. Cinq ans après sa publication, une enquête montre que le CECRL est devenu le document le plus important en Europe pour l'enseignement des langues. Il a permis d’harmoniser les approches d’enseignement-apprentissage des langues en créant un métalangage et des points de référence communs. Toutefois, malgré ce succès, il n’a pas conduit à une réforme en profondeur de l’éducation langagière fondée sur les concepts qu’il introduit. Ce sont surtout les niveaux et descripteurs qui ont retenu l’attention. Très largement adoptés, ils sont parfois perçus non comme un système de référence, mais comme des normes rigides. Comme l’observe Coste (2007, p. 4) :<blockquote>[…] the Framework was seen as a European standard, a kind of prescription or injunction, with contexts being forced, willy-nilly, to fit it - because it came from a European institution, and because other countries, regions, educational establishments, textbook publishers or authors, curriculum planners and test developers took its B2 or C1 as their target and benchmark. </blockquote>En revanche, d’autres notions ont eu moins d’impact, comme l’approche actionnelle, la médiation et le plurilinguisme (North 2023, p. 2) ou encore la vision de l’apprenant en tant qu’acteur social (Groupe d’experts sur le CECRL, 2023, p. 17). Le plurilinguisme fait ainsi partie des concepts dont l’adaptation reste limitée après la publication du CECRL. == Plusieurs explications, à la fois conceptuelles et pratiques, peuvent être avancées. == * L’interprétation simpliste de la distinction entre plurilinguisme (individu) et multilinguisme (société) ne reflète pas la complexité du concept. Le CECRL-VC insiste donc sur l’idée que l’addition de langues distinctes (multilinguisme) et le fait de surmonter la séparation des langues (plurilinguisme) peuvent se réaliser à la fois chez l’individu et au sein des communautés (Groupe d’experts sur le CECR, 2023, p. 32). * Le CECRL ne propose pas de descripteurs pour la compétence plurilingue ni pour la médiation. L’apport opérationnel du CECRL-VC comble cette lacune (Yüce, 2019, p. 96). * Le CECRL est parfois considéré comme complexe et difficile à comprendre. Le CECRL-VC a donc été conçu pour être plus clair, plus accessible et plus facile à utiliser que la version précédente (Conseil de l’Europe, 2020, pp. 13-15 ; North, 2023, p. 1). == Le plurilinguisme dans le volume complémentaire == Il convient de préciser d’emblée que le CECRL-VC introduit une série de changements importants, qui vont au-delà de la seule question du plurilinguisme. Parmi ces modifications figure l’adaptation à la langue des signes, avec l’élaboration de descripteurs pour la compétence à signer. Dans ce qui suit, seules les évolutions en lien avec le plurilinguisme seront présentées. Le CECRL-VC s’inscrit dans un cadre plus large : parmi les évolutions récentes qu’il prend en compte (évoquée au début du chapitre précédent) figure le [https://www.coe.int/fr/web/reference-framework-of-competences-for-democratic-culture/ Cadre de référence des compétences pour une culture de la démocratie] (CRCCD). Pour une vue d’ensemble de toutes les évolutions, vous pouvez consulter le chapitre 2.2 du Guide 2023). La philosophie du CRCCD joue un rôle essentiel dans le CECRL-VC : elle élargit le champ de l’éducation langagière en promouvant une éducation inclusive, plurilingue et interculturelle, au service de la démocratie, la justice sociale et les droits de l’homme (Groupe d’experts sur le CECRL, 2023, p. 3). Le plurilinguisme est mis en valeur dans le CECRL-VC et développé de manière plus explicite que dans la version de 2001. Le CECRL-VC en propose une vision élargie, en montrant que le plurilinguisme peut être compris sous différentes formes : comme un fait sociologique et historique, comme une caractéristique personnelle ou une ambition, comme une philosophie éducative ou une approche ou encore comme un objectif sociopolitique destiné à préserver la diversité linguistique. Cette vision élargie se reflète aussi dans le lien établi avec le concept de « translanguaging » considéré ici comme faisant partie du plurilinguisme (Conseil de l’Europe, 2021, p. 29). En ce qui concerne le plurilinguisme, l’apport sans doute le plus marquant du CECRL-VC est l’introduction de descripteurs illustratifs pour la compétence plurilingue et pluriculturelle — des outils qui manquaient dans la version originale (North, 2023, p. 4). Cette compétence s’inscrit dans la continuité du CECRL 2001, en réaffirmant « […] que les plurilingues ont un répertoire unique, interdépendant, dans lequel ils combinent leurs compétences générales et des stratégies diverses pour accomplir une tâche », et que « […] la compétence plurilingue implique la capacité à utiliser un répertoire interdépendant, inégal, plurilinguistique et avec une certaine flexibilité » (Conseil de l’Europe, 2021, p. 30). Dans le chapitre 4, les nouveaux descripteurs sont présentés. Ils sont regroupés en trois catégories distinctes : * Exploiter un répertoire pluriculturel ** reconnaître et agir sur les conventions et les indices culturels, sociopragmatiques et sociolinguistiques ; ** reconnaître et interpréter les ressemblances et les différences de perspectives, les pratiques, les événements ; ** évaluer de façon neutre et critique. (Conseil de l’Europe, 2021, pp. 130-131) * Compréhension plurilingue ** faire preuve d’ouverture et de souplesse pour travailler avec différents éléments de différentes langues ; ** exploiter les indices ; ** exploiter les ressemblances, reconnaître les « faux amis » (à partir du niveau B1) ; ** exploiter des sources parallèles dans différentes langues (à partir du niveau B1) ; ** recueillir les informations issues de toutes les sources disponibles (dans différentes langues). (Conseil de l’Europe, 2021, pp. 132-133) * Exploiter un répertoire plurilingue ** s’adapter avec souplesse à la situation ; ** anticiper le moment où l’utilisation de plusieurs langues est utile et appropriée et jusqu’à quel point ; ** adapter la langue aux capacités linguistiques des interlocuteurs ; ** combiner et alterner les langues si nécessaire ; ** expliquer et clarifier dans des langues différentes ; ** encourager les personnes à utiliser différentes langues en donnant un exemple. (Conseil de l’Europe, 2021, pp. 133-134) Chaque échelle inclut des descripteurs pour les niveaux de Pré-A1 jusqu’à C2.{{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Un peu d'histoire/]] | suivant = [[../Intérêt et limites des nouveautés: réformes espérées et critiques/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> hqix88on6wth4r0d96g5yne7p9qxq85 0 86493 983762 977870 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Intérêt et limites des nouveautés: réformes espérées et critiques]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Intérêt et limites des nouveautés: réformes espérées et critiques]] sans laisser de redirection 977870 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 5 | précédent = [[../Du CECRL original au Volume complémentaire/]] | suivant = [[../À retenir/]] }} La publication du CECRL-VC s’accompagne de l’espoir de renouveler l’enseignement-apprentissage des langues, en mettant davantage l’accent sur des notions clés comme la compétence plurilingue et pluriculturelle (ainsi que l’approche actionnelle, la médiation et la prise en compte de l’apprenant comme acteur social) — plutôt que de continuer à se concentrer uniquement sur les niveaux de compétence et les descripteurs. Mais le CECRL-VC fait lui aussi l’objet de critiques, et certaines remettent même en question l’ensemble de sa démarche : ainsi, Coste (2021) pointe le paradoxe de vouloir adapter une réalité aussi dynamique que le plurilinguisme à des niveaux fixes. La critique de Maurer et Puren (2019) porte sur les ambiguïtés et confusions conceptuelles qu’ils jugent structurelles, en particulier par rapport à la grille de compétence pluriculturelle. Selon eux, le CECRL-VC cherche surtout à moderniser le CECRL au service des organismes de certification (Maurer & Puren, p. 140). Volle (2022) va plus loin et évoque une dissolution de la langue dans l’action. Elle voit dans le CECRL(-VC) un « incroyable outil de standardisation et d’uniformisation des méthodes d’enseignement des langues » (Volle 2022, p. 144) dans une logique managériale.{{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Du CECRL original au Volume complémentaire/]] | suivant = [[../À retenir/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 99xrjvh7ytqvqppnekliyyp2v9vnjrs 0 86494 983769 977871 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/À retenir]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/À retenir]] sans laisser de redirection 977871 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 6 | précédent = [[../Intérêt et limites des nouveautés: réformes espérées et critiques/]] | suivant = [[../Auto-évaluation/]] }} * Le CECRL promeut le développement de la compétence plurilingue (et pluriculturelle) comme objectif de l'enseignement-apprentissage des langues. * La version de 2001 ne propose pas de descripteurs de la compétence plurilingue. * Ce constat d'absence de descripteurs spécifiques et la difficulté à passer d'un objectif politique d'éducation plurilingue ont conduit à la rédaction et publication d'un Volume complémentaire au CECRL. * Le CECRL-VC résulte de la réflexion approfondie sur l’impact du CECRL 2001 et sur la nécessité d’y intégrer des évolutions plus récentes dans le domaine de l’enseignement-apprentissage des langues (comme le CRCCD). * Le CECRL-VC valorise le plurilinguisme (ainsi que la médiation, l’approche actionnelle, et la langue des signes) et ajoute de nouveaux descripteurs pour l’éducation plurilingue. * Les nouveaux descripteurs de la compétence plurilingue et pluriculturelle sont regroupés en trois catégories : répertoire pluriculturel, compréhension plurilingue et répertoire plurilingue. * La critique réaffirme que le CECRL-CV contribue à l’uniformisation de l’apprentissage des langues sur des bases conceptuelles douteuses. {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Intérêt et limites des nouveautés: réformes espérées et critiques/]] | suivant = [[../Auto-évaluation/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> mpuwdoazdf37svj5qxfmcg06bfg1o3n 0 86495 983758 977872 2026-06-23T20:11:36Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Auto-évaluation]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Auto-évaluation]] sans laisser de redirection 977872 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 7 | précédent = [[../À retenir/]] | suivant = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} <quiz> {Laquelle des propositions faites dans le CECRL (2001) a rencontré un réel succès dans l’enseignement-apprentissage des langues en Europe?} + Les niveaux de compétence - Le plurilinguisme - L’ approche actionnelle - La médiation - Le pluriculturalisme {Quels sont les nouveaux descripteurs introduits dans le CECRL-VC (2020)?} + Descripteurs pour la compétence plurilingue + Descripteurs pour signer (utiliser la langue des signes) - Descripteurs pour l’action communicative - Descripteurs pour l’enseignement par les tâches {Laquelle ou lesquelles des affirmations suivantes est correcte?} - Le CECRL-VC modifie en profondeur le concept du plurilinguisme proposé dans le CECRL 2001. + Dans le CECRL-VC le plurilinguisme est conçu comme une composante d’une culture de la démocratie. - Les langues des signes sont intégrées dans le CECRL 2001. + Les langues des signes sont intégrées dans le CECRL-VC. + Le CECRL-VC adopte la notion de répertoire langagier. </quiz> {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../À retenir/]] | suivant = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 51vrd51lnhnf4rtxtm9nwswqfhie2bc 0 86496 983766 977873 2026-06-23T20:11:37Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Ressources pour aller plus loin]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Ressources pour aller plus loin]] sans laisser de redirection 977873 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 8 | précédent = [[../Auto-évaluation/]] | suivant = [[../Bibliographie/]] }} * Webinar "Aligning to the Common European Framework of Reference for Languages – Companion Volume: a continuous process"  (19 sept. 2024): https://www.youtube.com/live/5xslG-J7NTw * Webinar "Opportunities and challenges for plurilingual and intercultural education in times of AI"   (04 Feb 2025). https://youtube.com/live/Z-FtmjB9VBk * Groupe d’experts sur le CECR. (2023). Guide pour une éducation actionnelle, plurilingue et interculturelle. Editions du Conseil de l’Europe, Strasbourg. Conseil de l’Europe, Strasbourg. https://rm.coe.int/a-guide-to-action-oriented-plurilingual-and-intercultural-education-fr/1680b52355 * ECML: Plurilingual and intercultural education https://www.ecml.at/en/Thematic-areas/Plurilingual-and-intercultural-education * Linguistic Diversity in the European Union https://www.anefore.lu/wp-content/uploads/2024/05/Linguistic-diversity-in-the-European-Union.pdf * PlurCur https://www.ecml.at/en/ECML-Programme/Programme-2012-2015/PlurCur * Language friendly schools https://languagefriendlyschool.org * Online-books in different languages / Bilderbücher in verschiedenen Sprachen https://www.amira-lesen.de/# * Schule Merhsprachig Hefte https://www.schule-mehrsprachig.at/trio/trio-ausgaben * ALL http://all-literature.wikidot.com/multilingual-online-sources-of-texts * Lost Wor(l)ds https://www.multilingualism-in-schools.net/category/activities/ {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Auto-évaluation/]] | suivant = [[../Bibliographie/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> s68311u03x10s5kpsecnwqqsvpdu8dg 0 86497 983759 977874 2026-06-23T20:11:36Z Crochet.david 317 Crochet.david a déplacé la page [[Le plurilinguisme dans le CECRL/Bibliographie]] vers [[Plurilinguisme dans le CECRL/Bibliographie]] sans laisser de redirection 977874 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 6 | précédent = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} Beacco, J.-C. (2007). ''Guide pour le développement et la mise en oeuvre de curriculums pour une éducation plurilingue et interculturelle (version intégrale)''. Conseil de l’Europe. http://www.coe.int/t/dg4/linguistic/Source/Guide_Main_Beacco2007_FR.doc Beacco, J.-C., & Byram, M. (2003). ''De la diversité linguistique à l’éducation plurilingue. Guide pour l’élaboration des politiques linguistiques éducatives en Europe:'' Conseil de l’Europe. https://rm.coe.int/CoERMPublicCommonSearchServices/DisplayDCTMContent?documentId=09000016802fc3ab Beacco, J.-C., Byram, M., Cavalli, M., Coste, D., Cuenat, M. E., Goullier, F., & Panthier, J. (2016). ''Guide pour le développement et la mise en oeuvre de curriculums pour une éducation plurilingue et interculturelle''. Editions du Conseil de l’Europe. Bistagne, F (2019). Le plurilinguisme, objet d’histoire ? Le royaume de Naples et Giovanni Pontano. Étude de cas linguistique .In ''Écrire l’histoire - Histoire, Littérature, Esthétique'', 19, 117-125. https://hal.science/hal-02610631v1 Candelier, M., Camilleri-Grima, A., Castellotti, V., de Pietro, J.-F., Lörincz, I., Meißner, F.-J., Noguerol, A., & Schröder-Sura, A. (2007). ''CARAP : cadre de référence pour les approches plurielles des langues et des cultures''. Centre européen pour les langues vivantes. Candelier, M., Camilleri-Grima, A., Castellotti, V., de Pietro, J.-F., Lörincz, I., Meißner, F.-J., Noguerol, A., & Schröder-Sura, A. (with Molinié, M.). (2012). ''CARAP : cadre de référence pour les approches plurielles des langues et des cultures''. Centre européen pour les langues vivantes / Conseil de l’Europe. https://www.ecml.at/Portals/1/documents/ECML-resources/CARAP-FR.pdf?ver=2018-03-20-120658-740 Caravolas, J.A. (2011). J.A. Comenius (1592-1670) et le plurilinguisme. In ''Documents pour l’histoire du français langue étrangère ou seconde'' [En ligne], 43 | 2009. https://doi.org/10.4000/dhfles.826 Conseil de l’Europe. (2001). ''Un cadre européen commun de référence pour les langues : Apprendre, enseigner, évaluer''. Didier ; Conseil de l’Europe. https://rm.coe.int/16802fc3a8 Conseil de l’Europe. (2021). ''Un cadre européen commun de référence pour les langues : apprendre, enseigner, évaluer – Volume complémentaire''. Éditions du Conseil de l’Europe. [http://www.coe.int/lang-cecr www.coe.int/lang-cecr]. Coste, D. (2007). Contextualising uses of the Common European Framework of Reference for Languages. In Council of Europe, ''The Common European Framework of Reference for Languages (CEFR) and the development of language policies: challenges and responsibilities''. Intergovernmental Language Policy Forum. Report. Council of Europe. Coste, D., Moore, D., & Zarate, G. (2009). ''Compétence plurilingue et pluriculturelle : Vers un cadre européen commun de référence pour l’enseignement et l’apprentissage des langues vivantes. Version révisée et enrichie d’un avant-propos et d’une bibliographie complémentaire''. Éditions du Conseil de l’Europe. https://www.coe.int/t/dg4/linguistic/Source/SourcePublications/CompetencePlurilingue09web_FR.pdf Coste, D. (2021). De Rüschlikon au Volume complémentaire ou Du risque qu’il ya à passer sous les échelles. Vogt, K., & Quetz, J.(Éds.). ''Der neue Begleitband zum Gemeinsamen europäischen Referenzrahmen für Sprachen''. Peter Lang, 35-45. Groupe d’experts sur le CECR. (2023). ''Guide pour une éducation actionnelle, plurilingue et interculturelle''. Editions du Conseil de l’Europe, Strasbourg. Conseil de l’Europe, Strasbourg. https://rm.coe.int/a-guide-to-action-oriented-plurilingual-and-intercultural-education-fr/1680b52355 Lenz, P., & Berthele, R. (2010). ''Prise en compte des compétences plurilingue et interculturelle dans l’évaluation''. Conseil de l’Europe. https://www.coe.int/t/dg4/linguistic/Source/Source2010_ForumGeneva/Assessment2010_Lenz_FRrev.pdf Maurer, B. & Puren, C. (2019). ''CECR : par ici la sortie !'' Éditions des archives contemporaines. https://eac.ac/publications/9782813003522 North, B. (2023). The CEFR companion volume and the action-oriented approach. In ''ItalianoLinguadue'', 14(2), 1–23. https://doi.org/10.54103/2037-3597/19566 Volle, R.-M. (2022): Le CECR: une conception instrumentale et managériale des langues. ''Didactique du FLES: Recherches et Pratiques 1(1):'' 139-145). Yüce, E. (2019). Plurilingualism and pluriculturalism in the CEFR companion volume. In ''Schriften zur Sprache und Literatur III'' (pp.93-99). https://www.researchgate.net/publication/337243142<nowiki/>{{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> bqarwluqx31ppm6q92le6jaw9aa0v8w 0 87149 983708 2026-06-23T18:04:11Z ~2026-36575-67 80571 Page créée avec « La géométrie algébrique est la branche des mathématiques qui cherche à créer un lien, un pont entre géométrie et algèbre. Vous avez déjà fait un peu de géométrie algébrique au lycée. En effet, vous savez que dans le plan <math>\mathbb{R}^2</math> muni de son repère cartésien usuel, l'équation <math>x^2+y^2=1</math> correspond à un cercle centré en l'origine et de rayon <math>1</math> unité. Mais lorsqu'un chercheur en mathématiques parle de... » 983708 wikitext text/x-wiki La géométrie algébrique est la branche des mathématiques qui cherche à créer un lien, un pont entre géométrie et algèbre. Vous avez déjà fait un peu de géométrie algébrique au lycée. En effet, vous savez que dans le plan <math>\mathbb{R}^2</math> muni de son repère cartésien usuel, l'équation <math>x^2+y^2=1</math> correspond à un cercle centré en l'origine et de rayon <math>1</math> unité. Mais lorsqu'un chercheur en mathématiques parle de géométrie algébrique, ils parlent de lien plus profond. Globalement, on peut dire que la géométrie algébrique est très liée à l'algèbre commutative et à la théorie des anneaux. sq1zkgfhoe8bcdhpc5bhfc20ww371dj 983712 983708 2026-06-23T18:26:49Z D3nsji 80572 983712 wikitext text/x-wiki La géométrie algébrique est la branche des mathématiques qui cherche à créer un lien, un pont entre géométrie et algèbre. Vous avez déjà fait un peu de géométrie algébrique au lycée. En effet, vous savez que dans le plan <math>\mathbb{R}^2</math> muni de son repère cartésien usuel, l'équation <math>x^2+y^2=1</math> correspond à un cercle centré en l'origine et de rayon <math>1</math> unité. Mais lorsqu'une chercheuse ou un chercheur en mathématiques parle de géométrie algébrique, ils parlent de liens plus profonds. Globalement, on peut dire que la géométrie algébrique est très liée à l'algèbre commutative et à la théorie des anneaux. 81r6irn1bk5etsgylx4cbc3p16laqvd 983770 983712 2026-06-23T21:20:28Z D3nsji 80572 983770 wikitext text/x-wiki La géométrie algébrique est la branche des mathématiques qui cherche à établir un lien, un pont entre géométrie et algèbre. Vous avez déjà fait un peu de géométrie algébrique au lycée. En effet, vous savez que dans le plan <math>\mathbb{R}^2</math> muni de son repère cartésien usuel, l'équation <math>x^2+y^2=1</math> correspond à un cercle centré en l'origine et de rayon <math>1</math> unité. Mais lorsqu'une chercheuse ou un chercheur en mathématiques parle de géométrie algébrique, ils parlent de liens plus profonds. Globalement, on peut dire que la géométrie algébrique est très liée à l'algèbre commutative et à la théorie des anneaux. foiybiqxe956ib1jdx4glhvzusg3r8w 0 87150 983709 2026-06-23T18:13:40Z D3nsji 80572 Page créée avec « __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ L'objectif de cette leçon est d'introduire la géométrie algébrique. {{AutoCat}} » 983709 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ L'objectif de cette leçon est d'introduire la géométrie algébrique. {{AutoCat}} 9x0qxj4cuwxbm6vuigqesfpp5qhh9mc 0 87151 983710 2026-06-23T18:22:26Z D3nsji 80572 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = <!-- exemple : mathématiques (en minuscules) --> <!-- liste des facultés : [[WV:FAC]] --> | département = <!-- exemple : Algèbre --> <!-- liste des départements : [[WV:DEP]] --> | cours = <!-- exemple : [[Mathématiques en première générale]] --> | niveau = <!-- voir [[Aide:Niveau]] --> | PlusLoin = <!-- oui si cette leçon est un prérequis... » 983710 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = <!-- exemple : mathématiques (en minuscules) --> <!-- liste des facultés : [[WV:FAC]] --> | département = <!-- exemple : Algèbre --> <!-- liste des départements : [[WV:DEP]] --> | cours = <!-- exemple : [[Mathématiques en première générale]] --> | niveau = <!-- voir [[Aide:Niveau]] --> | PlusLoin = <!-- oui si cette leçon est un prérequis pour une ou plusieurs autres --> | 1 = <!-- {{C|Titre du chapitre 1|avancement (0 à 4)}} --> | 2 = <!-- {{C|Titre du chapitre 2|avancement (0 à 4)}} --> | 3 = <!-- etc. --> | fiche1 = <!-- {{F|Titre de la fiche 1|avancement (0 à 4)}} --> | annexe1 = <!-- {{Ann|Titre de l'annexe 1|avancement (0 à 4)}} --> | quiz1 = <!-- {{Qu|Titre du quiz 1|avancement (0 à 4)}} --> | exo1 = <!-- {{Exo|Titre de l'exercice 1|avancement (0 à 4)}} --> | tp1 = <!-- {{TP|Titre du travail pratique 1|avancement (0 à 4)}} --> | autres projets = <!-- afficher des liens vers les projets frères : oui ou rien --> | w = <!-- titre de l'article correspondant sur Wikipédia (facultatif) --> | commons = <!-- titre de la catégorie correspondante sur Commons (facultatif) --> | wikt = <!-- titre du mot correspondant sur Wiktionnaire (facultatif) --> | b = <!-- titre du manuel correspondant sur Wikibooks (facultatif) --> | imprimable = <!-- "oui" pour pouvoir créer une version imprimable --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> nwnl16j29hum78koqcbe9uj9c7ooa04 983711 983710 2026-06-23T18:25:25Z D3nsji 80572 Contenu remplacé par « {{Leçon |idfaculté=Mathématiques |département=Algèbre |niveau=18 |1=Introduction }} » 983711 wikitext text/x-wiki {{Leçon |idfaculté=Mathématiques |département=Algèbre |niveau=18 |1=Introduction }} f7fs0ym98gdello7cy2x27w23ojzb65 983713 983711 2026-06-23T18:28:41Z D3nsji 80572 983713 wikitext text/x-wiki {{Leçon |idfaculté=mathématiques |département=Algèbre |niveau=18 |1=Introduction }} f7hh02q4m8p22q18viupz9ebj96sve7 983714 983713 2026-06-23T18:31:16Z D3nsji 80572 983714 wikitext text/x-wiki {{Leçon |idfaculté=mathématiques |département=Algèbre |niveau=18 |1=Ensembles algébriques affines }} 0flsn9zh6a1a95en8yx7oh18amad2cs 983724 983714 2026-06-23T18:46:29Z D3nsji 80572 983724 wikitext text/x-wiki {{Leçon |idfaculté=mathématiques |département=Algèbre |niveau=18 |1=[[Géométrie algébrique/Ensembles algébriques affines|Ensembles algébriques affines]] }} 2xohjbi7x9odhoyh8zj5udexc2hn4vw 983735 983724 2026-06-23T19:03:02Z D3nsji 80572 983735 wikitext text/x-wiki {{Leçon |idfaculté=mathématiques |département=Algèbre |niveau=18 |1={{C|Ensembles algébriques affines|1}} }} mcm5vjp02fr1ivbm26gljzsdhaifg02 0 87152 983715 2026-06-23T18:33:55Z D3nsji 80572 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> | page_liée = [[Géométrie algébrique]] | page_liée2 = }} = Ensembles algébriques affines = == Application <math>\mathcal{V}</math> == {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précé... » 983715 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> | page_liée = [[Géométrie algébrique]] | page_liée2 = }} = Ensembles algébriques affines = == Application <math>\mathcal{V}</math> == {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 98w3k8lht75kbcuk5b6bzvoaeddjna0 983718 983715 2026-06-23T18:42:26Z D3nsji 80572 983718 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> | page_liée = [[Géométrie algébrique]] | page_liée2 = }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. == Application <math>\mathcal{V}</math> == Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>.{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 6lmriakwqa345vefzqzj1zybq10h0ec 983733 983718 2026-06-23T19:00:30Z D3nsji 80572 983733 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | suivant = [[?|?]] | page_liée = [[Accueil|Accueil]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. == Application <math>\mathcal{V}</math> == Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>.{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 16dzyyb83ipv3etnx6yx3dvq12iozpz 983737 983733 2026-06-23T19:06:57Z D3nsji 80572 983737 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. == Application <math>\mathcal{V}</math> == Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>.{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 4ga3wtannbsn52jua8x7640jp4ba3n5 983738 983737 2026-06-23T19:21:00Z D3nsji 80572 983738 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Application <math>\mathcal{V}</math> == Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-dessous. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:V(y%5E2-x%5E3-1).png {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> k7bl7ajh50m0c5hh5n6ta0uu5bughjc 983739 983738 2026-06-23T19:23:27Z D3nsji 80572 983739 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Application <math>\mathcal{V}</math> == Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-dessous. [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]] {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> i1vnwrh2s10j7rredu75w8y2eovo42w 983740 983739 2026-06-23T19:42:06Z D3nsji 80572 983740 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Application <math>\mathcal{V}</math> == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math>est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> hfon35bpu60ewtqxaf8fpor6y1ffjli 983741 983740 2026-06-23T19:42:29Z D3nsji 80572 983741 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Application <math>\mathcal{V}</math> == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math>est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> ftoj7ccn8lyx9j0gbb2bl7ta5lag4i0 983742 983741 2026-06-23T19:52:00Z D3nsji 80572 983742 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Application <math>\mathcal{V}</math> == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math>est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math>. == Ensembles algébriques affines == {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> ide4a7jwj9jxg0zzyr36xfev0ebkzvt 983744 983742 2026-06-23T19:54:28Z D3nsji 80572 983744 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. 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On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math>. == Ensembles algébriques affines == {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 9om0zdl5snnda8vpvvfz0b291k9txwe 983745 983744 2026-06-23T19:58:25Z D3nsji 80572 983745 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math>est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math>. == Ensembles algébriques affines == {{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un ensemble algébrique affine de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> oerbi7l488siwcvfib19r93nxyh7pi4 983748 983745 2026-06-23T20:07:53Z D3nsji 80572 983748 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math>. == Ensembles algébriques affines == {{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un ensemble algébrique affine de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> k4bdupnfjdr1ras4cbd3nylhiaarhl0 983754 983748 2026-06-23T20:10:07Z D3nsji 80572 983754 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math>. == Ensembles algébriques affines == {{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> kf9urkj48tqkqh0uzb063vrtlp1zqrc 983774 983754 2026-06-24T09:16:19Z D3nsji 80572 983774 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math> * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)</math> * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid (x_1,\dots,x_n)=(a_1,\dots,a_n)\}=\{a\}</math>}} == Ensembles algébriques affines == {{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 3r59r1erf7aeu9fw13raf32ll0pmc7p 983775 983774 2026-06-24T09:17:39Z D3nsji 80572 983775 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math> * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)</math> * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>}} == Ensembles algébriques affines == {{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 3t7jlce4meifkp6c8bwls78fhb8qzjg 983776 983775 2026-06-24T09:20:04Z D3nsji 80572 983776 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math> * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)</math> * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>}} == Ensembles algébriques affines == Comme dit dans la première section sur l'application <nowiki><math>\mathcal{V}</math></nowiki>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 6vktprlk92rclf497o59kwn96jyv0ho 983777 983776 2026-06-24T09:22:46Z D3nsji 80572 983777 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons alors <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Ensembles algébriques affines == Comme dit dans la première section sur l'application <nowiki><math>\mathcal{V}</math></nowiki>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> fd85t4gps7ly7rtysp67yj5bpfcr3af 983778 983777 2026-06-24T09:24:20Z D3nsji 80572 983778 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Ensembles algébriques affines == Comme dit dans la première section sur l'application <nowiki><math>\mathcal{V}</math></nowiki>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> oalmnm4cptv9cmg3b6xa5uygacqtwc3 983779 983778 2026-06-24T09:25:50Z D3nsji 80572 983779 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Ensembles algébriques affines == Comme dit dans la première section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 8fdmhbuys9g17j7zt0dpifoh8qwjcid 983780 983779 2026-06-24T09:38:32Z D3nsji 80572 983780 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Topologie de Zariski == Comme dit dans la première section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}On a alors la propriété remarquable suivante. {{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de <math>k^n</math> sont exactement les fermés d'une topologie sur <math>k^n</math>. Autrement dit : <math>\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}</math> est une topologie sur <math>k^n</math>.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* <math>\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})</math> et <math>k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})</math>. * Considérons <math>(S_j)_{j\in J}</math> une famille de parties de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a, pour tout <math>x\in k^n</math> : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0.</math> Ainsi : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).</math> Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine. *}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> rvt0dnzehw4kmda0u2cqqprrfrtrcvx 983781 983780 2026-06-24T09:39:29Z D3nsji 80572 983781 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés. {{Démonstration déroulante|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}}{{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}} == Topologie de Zariski == Comme dit dans la première section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}On a alors la propriété remarquable suivante. {{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de <math>k^n</math> sont exactement les fermés d'une topologie sur <math>k^n</math>. Autrement dit : <math>\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}</math> est une topologie sur <math>k^n</math>.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* <math>\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})</math> et <math>k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})</math>. * Considérons <math>(S_j)_{j\in J}</math> une famille de parties de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a, pour tout <math>x\in k^n</math> : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0.</math> Ainsi : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).</math> Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine. *}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 7rs4woulvjyzs0yzqqghimo9sd6ly7s 983782 983781 2026-06-24T09:40:01Z D3nsji 80572 983782 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Topologie de Zariski == Comme dit dans la première section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}On a alors la propriété remarquable suivante. {{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de <math>k^n</math> sont exactement les fermés d'une topologie sur <math>k^n</math>. Autrement dit : <math>\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}</math> est une topologie sur <math>k^n</math>.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* <math>\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})</math> et <math>k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})</math>. * Considérons <math>(S_j)_{j\in J}</math> une famille de parties de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a, pour tout <math>x\in k^n</math> : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0.</math> Ainsi : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).</math> Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine. *}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> q7gefhk7d2wpp87cqds9jwb5sbvid81 983783 983782 2026-06-24T09:47:43Z D3nsji 80572 983783 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} = Ensembles algébriques affines = Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. == Premier objet de la géométrie algébrique == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Topologie de Zariski == Comme dit dans la première section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}On a alors la propriété remarquable suivante. {{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de <math>k^n</math> sont exactement les fermés d'une topologie sur <math>k^n</math>. Autrement dit : <math>\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}</math> est une topologie sur <math>k^n</math>.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* <math>\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})</math> et <math>k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})</math>. * Considérons <math>(S_j)_{j\in J}</math> une famille de parties de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a, pour tout <math>x\in k^n</math> : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0</math>. Donc : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).</math> Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine. * Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Nous allons démontrer que <math>\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)</math>. D'une part, <math>\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'</math>. Donc <math>\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)</math>. D'où : <math>\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 41ogat889ih04g6xikbosbdu7ya8iu7 983784 983783 2026-06-24T10:05:57Z D3nsji 80572 983784 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. = Généralités = == Premier objet == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Topologie de Zariski == Comme dit dans la première section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}On a alors la propriété remarquable suivante. {{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de <math>k^n</math> sont exactement les fermés d'une topologie sur <math>k^n</math>. Autrement dit : <math>\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}</math> est une topologie sur <math>k^n</math>.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* <math>\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})</math> et <math>k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})</math>. * Considérons <math>(S_j)_{j\in J}</math> une famille de parties de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a, pour tout <math>x\in k^n</math> : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0</math>. Donc : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).</math> Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine. * Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Nous allons démontrer que <math>\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)</math>. D'une part, <math>\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'</math>. Donc <math>\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)</math>. D'où : <math>\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)</math>.}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 340cwfhpgnncf566z78xlcby5l6squi 983785 983784 2026-06-24T10:15:09Z D3nsji 80572 983785 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 18 | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../??/]] }} Dans tout ce chapitre, <math>k</math> désigne un corps commutatif et <math>n</math> est un entier naturel non-nul. Si <math>E</math> est un ensemble, on note <math>\wp(E)</math> l'ensemble de ses parties. <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> désigne l'anneau des polynômes à <math>n</math> indéterminées à coefficients dans <math>k</math>. Pour <math>n=1</math>, on aura tendance à écrire <math>k[X]</math>. Pour <math>n=2</math>, on écrira <math>k[X,Y]</math>. = Généralités = == Premier objet == [[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|<math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math>]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application <math>\mathcal{V}</math>. À un ensemble de polynômes à <math>n</math> indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application <math>\mathcal{V}</math> est donc l'application définie sur <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> à valeurs dans <math>\wp(k^n)</math> telle que pour toute partie <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, on a : <math>\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}</math>. Si <math>S=\{f_1,\dots,f_r\}</math> est un ensemble fini, on aura tendance à écrire <math>\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)</math> plutôt que <math>\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})</math>. Par exemple, si <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, <math>\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)</math> est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : <math>\mathcal{V}</math> est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ? Premièrement, <math>\mathcal{V}</math> n'est en général pas surjective. Toujours pour <math>k=\mathbb{R}</math> et <math>n=2</math>, on peut considérer <math>E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}</math>. Supposons que <math>E=\mathcal{V}({S})</math> pour une certaine partie <math>S\subset \mathbb{R}[X,Y]</math>. On a nécessairement <math>S\neq \varnothing</math> car <math>\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E</math>. Considérons donc <math>f\in S</math>. On peut alors écrire <math>f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k</math> où les <math>a_k</math> sont des polynômes à une indéterminée. En fixant <math>y\in [-1;1]</math>, il est clair que <math>f(X,y)\in \mathbb{R}[X]</math> s'annule une infinité de fois. Ainsi, <math>f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}</math> donc tous les <math>a_k</math> sont nuls. D'où <math>f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}</math> ce qui est absurde car <math>\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E</math>. <math>E</math> n'est donc pas dans l'image de <math>\mathcal{V}</math>, ce qui prouve que <math>\mathcal{V}</math> n'est pas surjective. Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que <math>\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)</math>. Donc <math>\mathcal{V}</math> n'est pas injective non plus. Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre <math>\mathcal{V}</math>. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de <math>k^n</math> mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter <math>\wp(k[X_1,\dots,X_n])</math> par la relation d'équivalence <math>S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})</math>. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de <math>\sim</math> et les propriétés algébriques intéressantes derrière. Enfin, pour terminer cette section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Si <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>, alors <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>, où <math>\langle S\rangle</math> désigne l'idéal engendré par <math>S</math> dans <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. * Si <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>, alors il existe une famille finie <math>(f_1,\dots,f_r)</math> de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math> telle que : <math>V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)</math>. * Soit <math>a\in k^n</math>. Alors <math>\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.|titre=Propriétés de <math>\mathcal{V}</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Supposons que <math>S\subset S'</math>. Considérons alors <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. On a alors : <math>\forall f\in S', f(x)=0</math>. Cela étant vrai pour tout <math>f\in S'</math>, puisque <math>S\subset S'</math>, on a : <math>\forall f\in S, f(x)=0</math>. D'où <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>, ce qui montre que <math>\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)</math>. Conclusion : <math>\mathcal{V}</math> est décroissante pour l'inclusion. * Soit <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a : <math>S\subset \langle S\rangle</math>. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset \mathcal{V}(S)</math>. Réciproquement, considérons <math>x\in \mathcal{V}(S)</math>. Considérons <math>P\in \langle S\rangle</math>. Celui-ci s'écrit : <math>P=\sum_{k=1}^rg_kf_k</math> où les <math>g_k\in k[X_1,\dots,X_n]</math> et les <math>f_k\in S</math>. Ainsi, <math>P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0</math>. D'où : <math>\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : <math>\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. * Soit <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>. Alors il existe <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math> tel que <math>V=\mathcal{V}(S)</math>. D'après la propriété précédente, <math>V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Mais, par noethérianité de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>, il existe un nombre fini de polynômes <math>f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]</math> tels que : <math>\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle</math>. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient <math>V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).</math> Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de <math>\mathrm{Im}(\mathcal{V})</math> comme intersection finie de la forme <math>\mathcal{V}(f)</math>. * Soit <math>a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n</math>. On a alors : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}</math>. On a bien : <math>\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}</math>. Les singletons sont donc toujours image de l'application <math>\mathcal{V}</math>.}} == Topologie de Zariski == Comme dit dans la première section sur l'application <math>\mathcal{V}</math>, on n'étudiera que les parties de <math>k^n</math> qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de <math>k^n</math> s'écrivant <math>\mathcal{V}(S)</math> pour un certain <math>S\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un <b>ensemble algébrique affine</b> de <math>k^n</math> est une partie <math>V\subset k^n</math> telle que <math>V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})</math>.}}On a alors la propriété remarquable suivante. {{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de <math>k^n</math> sont exactement les fermés d'une topologie sur <math>k^n</math>. Autrement dit : <math>\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}</math> est une topologie sur <math>k^n</math>.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* <math>\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})</math> et <math>k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})</math>. * Considérons <math>(S_j)_{j\in J}</math> une famille de parties de <math>k[X_1,\dots,X_n]</math>. On a, pour tout <math>x\in k^n</math> : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0</math>. Donc : <math>x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).</math> Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine. * Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons <math>S</math> et <math>S'\subset k[X_1,\dots,X_n]</math>. Nous allons démontrer que <math>\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)</math>. D'une part, <math>\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'</math>. Donc <math>\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)</math>. D'où : <math>\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)</math>. Réciproquement, Soit <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)</math>. Supposons alors <math>x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)</math>. Alors il existe <math>f\in S</math> tel que <math>f(x)\neq 0</math>. Mais, puisque <math>x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)</math>, pour tout <math>g\in S'</math>, <math>f(x)g(x)=0\implies g(x)=0</math>. Ainsi, <math>x\in \mathcal{V}(S')</math>. Au final, <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')</math>. Ainsi, <math>\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')</math>. Par double-inclusion, on a bien : <math>\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).</math>}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | suivant = [[??]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 8u44k167jn3gk9dxxb91nwf6w1gnb24 0 87154 983721 2026-06-23T18:45:00Z Projet PEP 78155 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = pédagogie | département = Didactique des langues | 1 = {{C|Activité initiale|4}} | 2 = {{C|Introduction|4}} | 3 = {{C|Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant|4}} | fiche1 = {{C|À retenir|4}} | quiz1 = {{C|Auto-évaluation|4}} | annexe1 = {{C|Ressources pour aller plus loin|4}} | annexe2... » 983721 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Leçon | idfaculté = pédagogie | département = Didactique des langues | 1 = {{C|Activité initiale|4}} | 2 = {{C|Introduction|4}} | 3 = {{C|Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant|4}} | fiche1 = {{C|À retenir|4}} | quiz1 = {{C|Auto-évaluation|4}} | annexe1 = {{C|Ressources pour aller plus loin|4}} | annexe2 = {{C|Bibliographie|4}} }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 5bzpfx5zcgd3nfgx3oqmxf4i5pb954l 0 87155 983722 2026-06-23T18:45:36Z Projet PEP 78155 Page créée avec « Les situations de mobilité familiale, qu'elles soient forcées ou non, conduisent à des situations dans lesquelles les familles doivent définir implicitement ou explicitement leurs politiques linguistiques familiales. Les politiques linguistiques familiales font plutôt référence aux politiques et pratiques linguistiques explicites et implicites à la maison (Curdt-Christiansen, 2018), mais nous allons nous référer à des politiques linguistiques familiale... » 983722 wikitext text/x-wiki Les situations de mobilité familiale, qu'elles soient forcées ou non, conduisent à des situations dans lesquelles les familles doivent définir implicitement ou explicitement leurs politiques linguistiques familiales. Les politiques linguistiques familiales font plutôt référence aux politiques et pratiques linguistiques explicites et implicites à la maison (Curdt-Christiansen, 2018), mais nous allons nous référer à des politiques linguistiques familiales qui vont au-delà du contexte domestique, pour décrire des pratiques plus holistiques des familles en défense de leurs langues familiales. Lire la suite 6pk2eh0woo5v7vkrmc2ypmqixqr9utm 0 87156 983723 2026-06-23T18:46:27Z Projet PEP 78155 Page créée avec « __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ A l'issue de cette leçon, vous devriez être capable de… * Définir le rôle de l’implication parentale dans le soutien bi/plurilingue des enfants ; * Comprendre le rôle de l’implication familiale dans la transmission intergénérationnelle de la langue d’origine ; * Identifier différentes manières de gérer positivement le plurilinguisme au sein de la famille. {{AutoCat}} » 983723 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ A l'issue de cette leçon, vous devriez être capable de… * Définir le rôle de l’implication parentale dans le soutien bi/plurilingue des enfants ; * Comprendre le rôle de l’implication familiale dans la transmission intergénérationnelle de la langue d’origine ; * Identifier différentes manières de gérer positivement le plurilinguisme au sein de la famille. {{AutoCat}} czhfsychxeaeqnnont4q6zjumetkkv8 0 87157 983725 2026-06-23T18:46:50Z Projet PEP 78155 Page créée avec « __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ -- {{AutoCat}} » 983725 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ -- {{AutoCat}} ld5mpmqc4pm4mzsjxrym4mrszmrj928 0 87158 983726 2026-06-23T18:48:22Z Projet PEP 78155 Page créée avec « __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * [[Utilisateur:Projet PEP|Projet PEP]] ([[Discussion utilisateur:Projet PEP|discuter]]) * Thierry Gaillat * Sílvia Melo-Pfeifer {{AutoCat}} » 983726 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * [[Utilisateur:Projet PEP|Projet PEP]] ([[Discussion utilisateur:Projet PEP|discuter]]) * Thierry Gaillat * Sílvia Melo-Pfeifer {{AutoCat}} hwzzbgcwg7qz8uhudznjfb98qkfymrp 0 87159 983727 2026-06-23T18:51:02Z Projet PEP 78155 Page créée avec « Regardez les vidéos suivantes et analysez les différentes pratiques langagières en lien avec la diversité des langues qui y sont pratiquées. * When your toddler speaks two different languages https://www.youtube.com/watch?v=66iY3UzC878 * Tips for Raising Multilingual Kids – Teaching 4 Languages to our Multicultural Children https://www.youtube.com/watch?v=NIOpW-niwb0 Après cette première activité, visionnez la vidéo qui suit et donnez un exemple de... » 983727 wikitext text/x-wiki Regardez les vidéos suivantes et analysez les différentes pratiques langagières en lien avec la diversité des langues qui y sont pratiquées. * When your toddler speaks two different languages https://www.youtube.com/watch?v=66iY3UzC878 * Tips for Raising Multilingual Kids – Teaching 4 Languages to our Multicultural Children https://www.youtube.com/watch?v=NIOpW-niwb0 Après cette première activité, visionnez la vidéo qui suit et donnez un exemple de stratégies pour gérer les langues en présence dans l’environnement familial. Si vous en connaissez ou imaginez en d’autres, n'hésitez pas à les rajouter. Marie Rose Moro : Passer d'une langue à l'autre, le cas des enfants migrants https://www.youtube.com/watch?v=WwcGUuCpzXs<!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | lecon = xxxxxxxxxx | numéro = 1 | suivant = [[../xxxxxxxxxxx/]] }} TT {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | suivant = [[../xxxxxxxxx/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> by08adw7e5uy448s9hj5dj3nx0s7tq0 983728 983727 2026-06-23T18:52:28Z Projet PEP 78155 983728 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | lecon = Migrants, bilinguisme et implication parentale | numéro = 1 | suivant = [[../Introduction/]] }} Regardez les vidéos suivantes et analysez les différentes pratiques langagières en lien avec la diversité des langues qui y sont pratiquées. * When your toddler speaks two different languages https://www.youtube.com/watch?v=66iY3UzC878 * Tips for Raising Multilingual Kids – Teaching 4 Languages to our Multicultural Children https://www.youtube.com/watch?v=NIOpW-niwb0 Après cette première activité, visionnez la vidéo qui suit et donnez un exemple de stratégies pour gérer les langues en présence dans l’environnement familial. Si vous en connaissez ou imaginez en d’autres, n'hésitez pas à les rajouter. Marie Rose Moro : Passer d'une langue à l'autre, le cas des enfants migrants https://www.youtube.com/watch?v=WwcGUuCpzXs {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | suivant = [[../Introduction/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> mhz17n31msz8fk3e427mcr7lx96zkrm 0 87160 983729 2026-06-23T18:53:56Z Projet PEP 78155 Page créée avec « {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 2 | précédent = [[../Activité initiale/]] | suivant = [[../Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant/]] }}Les situations de mobilité familiale, qu'elles soient forcées ou non, conduisent à des situations dans lesquelles les familles doivent définir implicitement ou explicitement leurs politiques linguistiques familiales. Les politiques linguistiques familiales font... » 983729 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 2 | précédent = [[../Activité initiale/]] | suivant = [[../Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant/]] }}Les situations de mobilité familiale, qu'elles soient forcées ou non, conduisent à des situations dans lesquelles les familles doivent définir implicitement ou explicitement leurs politiques linguistiques familiales. Les politiques linguistiques familiales font plutôt référence aux politiques et pratiques linguistiques explicites et implicites à la maison (Curdt-Christiansen, 2018), mais nous allons nous référer à des politiques linguistiques familiales qui vont au-delà du contexte domestique, pour décrire des pratiques plus holistiques des familles en défense de leurs langues familiales. Le besoin de gestion des langues est d'autant plus pressant en cas de naissance d'enfants, d’où se pose la question de la transmission ou non de la langue d'origine. Dans le cas des familles où les parents parlent deux langues d'origine différente, ou en cas d'éclatement des familles en mobilité (par exemple, en cas de divorce ou de décès d'un des conjoints), le choix des langues à parler à la maison et à transmettre devient encore plus pressant. Dans ce cadre familial plurilingue, il est également question de la gestion de la langue à l'école, dans les interactions langagières familiales, et de la place qui lui est accordée. Cette place peut être en opposition avec les langues d'origine, soit en complémentarité, ce qui témoigne d'une implication parentale en lien avec la réalité plurilingue de la famille. Le choix de l'école et des langues étrangères à étudier (ou non), ainsi que la demande de cours de langues d’origine dans des contextes formels ou informels, sont un autre signe de cette volonté des familles de s'impliquer dans l'éducation linguistique de leurs enfants. Dans cette section de Wikiversity, nous analyserons comment les familles s'impliquent dans l'éducation linguistique (et plurilingue) de leurs enfants, notamment en recherchant des occasions formelles et/ou informelles de transmettre la langue d'origine. Cette implication parentale peut favoriser le développement bi/plurilingue de l’enfant, dans une approche holistique intégrant aussi la.les langue.s de l’école.   {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Activité initiale/]] | suivant = [[../Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant/]] }}<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> hmibykpoa4mzu0itmwmmz1v4onypt7q 0 87161 983730 2026-06-23T18:56:24Z Projet PEP 78155 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 3 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../À retenir/]] }} Nous appelons langue d’origine (aussi appelée langue familiale) celle qui est transmise en situation de mobilité/migration, surtout dans l'environnement familial, dans un contexte sociolinguistique où elle est minoritaire. Cette langue est combinée normalement avec d’a... » 983730 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 3 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../À retenir/]] }} Nous appelons langue d’origine (aussi appelée langue familiale) celle qui est transmise en situation de mobilité/migration, surtout dans l'environnement familial, dans un contexte sociolinguistique où elle est minoritaire. Cette langue est combinée normalement avec d’autres langues pour former le répertoire plurilingue des enfants. Parmi ces autres langues nous comptons la ou les langue.s majoritaire.s (souvent langues de scolarisation), les langues curriculaires et d’autres langues en circulation avec des usages sociaux. Les parents et les familles peuvent s’impliquer, de façon directe ou indirecte, non seulement dans la transmission des langues familiales, mais aussi encore dans l’apprentissage et l’usage des langues majoritaires et scolaires, c’est-à-dire dans ce double investissement connexe. Parfois, les parents, par peur de stigmatisation de leurs enfants ou pour accepter les conseils de l’école qui tend encore à passer un idéal monolingue, choisissent de ne pas transmettre la langue d’origine à leurs enfants. N'est-il pas vrai que de nombreuses familles continuent d'entendre des conseils bien intentionnés de la part des responsables scolaires, tels que "il vaut mieux parler la langue de l'école à la maison" ou "votre enfant a encore un peu de retard en matière d'expression, cela doit être dû au fait qu'il parle une autre langue à la maison" ? Cependant, quand les parents s’engagent dans la transmission de leur langue d’origine, ils peuvent le faire de façon implicite ou explicite, mais passionnée (Gkaintartzi et al., 2014). Plus précisément, l’implication parentale signifie que les familles, notamment celles avec un background migratoire, sont des ressources avec leurs “funds of knowledge” (Vélez-Ibáñez & Greenberg, 1992) et qu’elles ne doivent pas être aperçues sous un angle “déficit-oriented”, mais sous un angle de l’engagement pro-actif. L’implication parentale est traditionnellement recherchée en termes de collaboration école-famille (Arias, 2017; Epstein, 2021; Krüger & Thamin, 2021). Cependant, l’implication des parents et des familles dans la transmission de la langue d’origine va bien au-delà de ce rapport à l’école et avec l’école, comme institution d’enseignement formel. Nous illustrons maintenant cette complexité de l'engagement familial en donnant des exemples d'implication de la famille dans des contextes informels et formels de transmission de la langue. === '''Engagement des familles dans la transmission informelle des langues familiales''' === Les familles peuvent soutenir de manière informelle le développement bilingue et plurilingue de leurs enfants à travers diverses pratiques quotidiennes, qui sont des pratiques de littératie situées et sociales. Par exemple, en adoptant des politiques linguistiques familiales explicites comme la méthode OPOL (one parent, one language/ un parent, une langue) ou la séparation langue de la maison-langue de l'environnement, ou en mettant en place des règles implicites favorisant l’usage des langues d’origine à la maison, notamment dans les pratiques de littératie. La lecture régulière dans différentes langues, même de manière ludique, contribue à renforcer les compétences linguistiques. Participer à des groupes de jeu ou à des activités sociales où l’enfant interagit avec d’autres enfants dans la langue d’origine offre des occasions naturelles de pratique (Costa Wätzold & Melo-Pfeifer, 2024). De même, l’intégration dans des groupes religieux ou communautaires peut encourager l’usage de ces langues dans un cadre culturel significatif (Souza, 2016). Des initiatives comme la “mala de herança”, contenant des objets, livres ou enregistrements dans la langue familiale, permettent de maintenir un lien affectif avec la culture d’origine (Costa Wätzold & Melo-Pfeifer, 2024). En aidant leurs enfants dans les devoirs scolaires, en traduisant ou en expliquant les contenus dans la langue d’héritage (Costa Wätzold & Melo-Pfeifer, 2024), les parents valorisent cette langue comme outil cognitif. Enfin, le maintien de liens familiaux intergénérationnels, par des contacts fréquents avec les grands-parents, les membres plus cités dans la littérature, dans le pays d’origine (Melo-Pfeifer, 2015), renforce l’usage authentique de la langue d’origine dans des contextes affectifs et quotidiens. === '''Engagement des familles dans la transmission formelle des langues familiales''' === Les familles peuvent s’engager de manière plus formelle pour soutenir le développement bilingue ou plurilingue de leurs enfants, notamment en recherchant des offres éducatives qui intègrent la langue ou les langues d’origine. Cela peut se traduire par le choix d’établissements scolaires bilingues ou internationaux où la langue d’origine est incluse dans le programme officiel, soit comme langue d’enseignement, soit comme matière scolaire. Une autre stratégie formelle consiste à inscrire les enfants à des cours extra-scolaires de langue d’origine, proposés en dehors du temps scolaire régulier. Ces cours peuvent être organisés par des associations de migrants, des groupes de parents ou des institutions culturelles, souvent les week-ends, et permettent aux enfants de développer leurs compétences linguistiques dans un cadre structuré tout en renforçant leur lien culturel avec la communauté d’origine. Autres formes d’implication familiale peuvent inclure le travail volontaire à l’école, le travail dans des groupes de gestion scolaire, voire “crowdsourcing” pour l’école, notamment pour soutenir les offres linguistiques (Arias, 2017). La typologie de partenariats possibles entre les écoles et les familles, présentée par Epstein (2001), va du soutien à la parentalité, à la communication, au bénévolat, à l'apprentissage à la maison, à la prise de décision et à la collaboration avec la communauté. Lorsque la question de la collaboration école-famille se pose, processus dynamique connu aussi comme “co-éducation” (Krüger & Thamin, 2021), l’implication familiale va au-delà de la réponse aux demandes de l’école (processus “top-down”), pour inclure surtout le travail pour répondre aux demandes des familles (processus “bottom up”). Dans ce sens, “schools will actively engage parents and families in a partnership that supports the academic work of children at home and shared educational decision making at school” (Arias, 2017, p. 284). Entre ces décisions éducatives, nous pouvons inclure celle de l’usage des langues et la promotion des langues d’origine. Ces démarches témoignent d’un investissement parental conscient et durable dans le maintien et la valorisation du plurilinguisme familial, même parfois avec des défis et des barrières sociales et institutionnelles (Zaidi et al., 2021). A noter que ces différentes illustrations ne se situent pas dans une démarche d’opposition aux langues de l’école, mais le plus souvent en association avec ces dernières, dans une idée d’appropriation globale. Cette valorisation simultanée des langues de l'école et des langues d'origine au sein du contexte familial constitue un enjeu crucial d’une éducation plurilingue. Elle favorise en effet le développement cognitif des apprenants, la préservation de leur identité culturelle, en ouvrant des perspectives sociales et professionnelles dans leur nouvel environnement.{{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../À retenir/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> exj9kalfu9byvadnh4lrzae6hh2ranq 0 87162 983731 2026-06-23T18:57:30Z Projet PEP 78155 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 4 | précédent = [[../Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant/]] | suivant = [[../Auto-évaluation/]] }} * L'implication des parents est essentielle au développement bilingue et plurilingue des enfants ; * Les familles peuvent développer des stratégies tacites ou explicites pour le développement bilingue et plurili... » 983731 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 4 | précédent = [[../Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant/]] | suivant = [[../Auto-évaluation/]] }} * L'implication des parents est essentielle au développement bilingue et plurilingue des enfants ; * Les familles peuvent développer des stratégies tacites ou explicites pour le développement bilingue et plurilingue des enfants en adoptant des politiques linguistiques familiales ; * Les familles peuvent s'impliquer dans des efforts formels et informels de transmission intergénérationnelle de la langue d'origine, ce qui contribue directement à l'éducation bilingue et plurilingue des enfants, tout en valorisant l’apprentissage et usage des langues de l’école ; * La collaboration (parfois appelée coéducation) école-famille est essentielle pour un travail concerté sur le développement bilingue et multilingue des enfants. {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Implication parentale dans le développement bilingue de l’enfant/]] | suivant = [[../Auto-évaluation/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> tjmb8l24a5zujajbmjygkn1owjp3yr0 0 87163 983732 2026-06-23T19:00:11Z Projet PEP 78155 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 4 | précédent = [[../À retenir/]] | suivant = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} <quiz> {Comment les familles peuvent-elles soutenir le développement bilingue de leurs enfants ?} -par la lecture ludique dans la langue d'origine et la langue majoritaire -en jouant avec des groupes d'enfants qui ont le même répertoire linguistique -par... » 983732 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 4 | précédent = [[../À retenir/]] | suivant = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} <quiz> {Comment les familles peuvent-elles soutenir le développement bilingue de leurs enfants ?} -par la lecture ludique dans la langue d'origine et la langue majoritaire -en jouant avec des groupes d'enfants qui ont le même répertoire linguistique -par des contacts réguliers avec les membres de la famille dans le pays d'origine +toutes les réponses ci-dessus {Les écoles doivent collaborer avec les familles pour assurer un développement bilingue et plurilingue harmonieux.} +Vrai -Faux {Les familles peuvent avoir des politiques linguistiques pour la transmission de la langue d'origine, sans nécessairement en être conscientes.} +Vrai -Faux {Implication parentale dans des initiatives de co-éducation signifie que les écoles doivent… } +voir les familles comme partenaires et pas comme structures qui manquent les connaissances de la société d’accueil; -éduquer les parents à la transmission de la langue du pays d’accueil; -créer des programmes scolaires spécifiques pour les familles avec un background migratoire, pour mieux les intégrer. {La valorisation des langues d’origine au sein des familles se fait au détriment de l’acquisition de la langue de scolarisation.} -Vrai +Faux </quiz> {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../À retenir/]] | suivant = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 8bb0x7pk01bdb8tw564qijl58cawjyg 0 87164 983734 2026-06-23T19:01:13Z Projet PEP 78155 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 5 | précédent = [[../Auto-évaluation/]] | suivant = [[../Bibliographie/]] }} * Epstein, J. (2001). ''School, family and community partnership''. Westview. * García, O., Zakharia, Z., & Otcu, B. (Eds.) (2013). ''Bilingual community education and multilingualism. Beyond heritage languages in a global city''. Multilingual Matters. * Paseka, A., &... » 983734 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 5 | précédent = [[../Auto-évaluation/]] | suivant = [[../Bibliographie/]] }} * Epstein, J. (2001). ''School, family and community partnership''. Westview. * García, O., Zakharia, Z., & Otcu, B. (Eds.) (2013). ''Bilingual community education and multilingualism. Beyond heritage languages in a global city''. Multilingual Matters. * Paseka, A., & Byrne, D. (Eds.) (2020). ''Parental involvement across European education systems. Critical perspectives''. London: Routledge. {{Bas de page | idfaculté = pédagogie | précédent = [[../Auto-évaluation/]] | suivant = [[../Bibliographie/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> apz6v4cm77ss0csezx0x6pr8avzlcjq 0 87165 983736 2026-06-23T19:04:55Z Projet PEP 78155 Page créée avec « <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 6 | précédent = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} Arias, M. B. (2017). Parent and community involvement in bilingual and multilingual education. In W. Wright, S. Boun & O. García (Eds.), ''The handbook of bilingual and multilingual education'' (pp. 282-298). Wiley Blackwell. Costa Wätzold, J. & Melo-Pfeifer, S. (2024). Constructing bilingu... » 983736 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = pédagogie | numéro = 6 | précédent = [[../Ressources pour aller plus loin/]] }} Arias, M. B. (2017). Parent and community involvement in bilingual and multilingual education. In W. Wright, S. Boun & O. García (Eds.), ''The handbook of bilingual and multilingual education'' (pp. 282-298). Wiley Blackwell. Costa Wätzold, J. & Melo-Pfeifer, S. (2024). Constructing bilingual input safe spaces at home: rethinking exposure to language from a multilingual and multisite perspective on literacy practices. ''Frontiers in Language Sciences'', 3. https://doi.org/10.3389/flang.2024.1416398.   Curdt-Christiansen, X. L. (2018). Family Language Policy. In J. W. Tollefson & M. Pérez-Milans (Eds.), ''The Oxford Handbook of Language Policy and Planning''. Oxford University Press. https://doi.org/10.1093/oxfordhb/9780190458898.013.21 Epstein, J. (2001). ''School, family and community partnership''. Westview. Gkaintartzi, A., Chatzidaki, A., & Tsokalidou, R. (2014). Albanian Parents and the Greek Educational Context: Who is Willing to Fight for the Home Language?. 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