Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 18890 985485 977654 2026-08-02T08:11:05Z ~2026-34862-02 80635 Insertion d'informations manquantes. 985485 wikitext text/x-wiki [[commons:|commons:]]{{Chapitre | idfaculté = langues | leçon = [[../|Vocabulaire du Grec ancien]] | numéro = 4 | niveau = 2 | titre = Nombres ordinaux et cardinaux | titre_leçon = Vocabulaire du Grec ancien | précédent = [[../Particules/]] | suivant = [[../Animaux/]] }} Les nombres cardinaux sont invariables, à l'exception des quatre premiers, des centaines et des milliers. ==Nombres cardinaux et ordinaux == {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" |- ! style="background-color:#437bd580;" | Nombre ! style="background-color:#437bd580;" | Symbole ! style="background-color:#437bd580;" | Nombre cardinal ! style="background-color:#437bd580;" | Nombre ordinal ! style="background-color:#437bd580;" | Adverbe ! style="background-color:#437bd580;" | Collectif |- | style="background-color:#7db3db80;" |1 | αʹ | εἶς | πρῶτος, -ώτη, -ῶτον | ἅπαξ | μονάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |2 | βʹ | δύο | δεύτερος, -α, -ον | δίς | δυάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 3 | γʹ | τρεῖς | τρίτος, -η, -ον | τρίς | τριάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |4 | δʹ | τέσσαρες | τέταρτος, -άρτη, -αρτον | τετράκις | τετράς |- | style="background-color:#7db3db80;" |5 | εʹ | πέντε | πέμπτος, -η, -ον | πεντάκις | πεντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |6 | ϛʹ | ἕξ | ἕκτος, -η, -ον | ἑξάκις | ἑξάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |7 | ζʹ | ἑπτά | ἕϐδομος, -όμη, -ομον | ἑπτάκις | ἑπτάς, ἑϐδομάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |8 | ηʹ | ὀκτώ | ὄγδοος, -όη, -οον | ὀκτάκις | ὀκτάς, ὀγδοάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |9 | θʹ | ἐννέα | ἔνατος, -άτη, -ατον | ἐνάκις | ἐννεάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |10 | ιʹ | δέκα | δέκατος, -άτη, -ατον | δεκάκις | δεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 11 | ιαʹ | ἕνδεκα | ἑνδέκατος, -άτη, -ατον | ἑνδεκάκις | ἑνδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |12 | ιβʹ | δώδεκα | δωδέκατος, -άτη, -ατον | δωδεκάκις | δωδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |13 | ιγʹ | τρεῖς καὶ δέκα | τρισκαιδέκατος, -άτη, -ατον | τρισκαιδεκάκις |τρισκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |14 | ιδʹ | τέτταρες καὶ δέκα | τετταρακαιδέκατος, -άτη, -ατον | τετταρακαιδεκάκις |τετταρακαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |15 | ιεʹ | πεντεκαίδεκα | πεντεκαιδέκατος, -άτη, -ατον | πεντεκαιδεκάκις |πεντεκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |16 | ιςʹ | ἑκκαίδεκα | ἑκκαιδέκατος, -άτη, -ατον | ἑκκαιδεκάκις |ἑκκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |17 | ιζʹ | ἑπτακαίδεκα | ἑπτακαιδέκατος, -άτη, -ατον | ἑπτακαιδεκάκις |ἑπτακαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |18 | ιηʹ | ὀκτωκαίδεκα | ὀκτωκαιδέκατος, -άτη, -ατον | ὀκτωκαιδεκάκις |ὀκτωκαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 19 | ιθʹ | ἐννεακαίδεκα | ἐννεακαιδέκατος, -άτη, -ατον | ἐννεακαιδεκάκις |ἐννεακαιδεκάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 20 | κʹ | εἴκοσι(ν) | εἰκοστός, -ή, -όν | ἐικοσάκις | εἰκοσάς | |- | style="background-color:#7db3db80;" | 30 | λʹ | τριάκοντα | τριακοστός, -ή, -όν | τριακοντάκις | τριακοντάς | |- | style="background-color:#7db3db80;" | 40 | μʹ | τετταράκοντα | τετταρακοστός, -ή, -όν | τετταρακοντάκις | τετταρακοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 50 | νʹ | πεντήκοντα | πεντηκοστός, -ή, -όν | πεντηκοντάκις |πεντηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 60 | ξʹ | ἑξήκοντα | ἑξηκοστός, -ή, -όν | ἑξηκοντάκις |ἑξηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 70 | οʹ | ἑϐδομήκοντα | ἑϐδομηκοστός, -ή, -όν | ἑϐδομηκοντάκις |ἑϐδομηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 80 | πʹ | ὀγδοήκοντα | ὀγδοηκοστός, -ή, -όν | ὀγδοηκοντάκις | ὀγδοηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 90 | ϟʹ | ἐνενήκοντα | ἐνενηκοστός, -ή, -όν | ἐνενηκοντάκις |ἐνενηκοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" |100 | ρʹ | ἑκατόν | ἑκατοστός, -ή, -όν | ἑκατοντάκις |ἑκατοντάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 200 | σʹ | διακόσιοι | διακοσιοστός, -ή, -όν | διακοσιάκις |διακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 300 | τʹ | τριακόσιοι | τριακοσιοστός, -ή, -όν | τριακοσιάκις |τριακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 400 | υʹ | τετρακόσιοι | τετρακοσιοστός, -ή, -όν | τετρακοσιάκις |τετρακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 500 | φʹ | πεντακόσιοι | πεντακοσιοστός, -ή, -όν | πεντακοσιάκις |πεντακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 600 | χʹ | ἑξακόσιοι | ἑξακοσιοστός, -ή, -όν | ἑξακοσιάκις |ἑξακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 700 | ψʹ | ἑπτακόσιοι | ἑπτακοσιοστός, -ή, -όν | ἑπτακοσιάκις |ἑπτακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 800 | ωʹ | ὀκτακόσιοι | ὀκτακοσιοστός, -ή, -όν | ὀκτακοσιάκις |ὀκτακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 900 | ϡʹ | ἐνακόσιοι | ἐνακοσιοστός, -ή, -όν | ἐνακοσιάκις |ἐνακοσιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 1000 | ͵α | χίλιοι | χιλιοστός, -ή, -όν | χιλιάκις |χιλιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 2000 | ͵β | δισχίλιοι | δισχιλιοστός, -ή, -όν | δισχιλιάκις |δισχιλιάκις |- | style="background-color:#7db3db80;" | 3000 | ͵γ | τρισχίλιοι | τρισχιλιοστός, -ή, -όν | θισχιλιάκις |θισχιλιάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 10&nbsp;000 | ͵ι | μύριοι | μυριοστός, -ή, -όν | μυριάκις | μυριάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 20&nbsp;000 | ͵κ | δισμύριοι | δισμυριοστός, -ή, -όν | δισμυριάκις | δισμυριάς |- | style="background-color:#7db3db80;" | 100&nbsp;000 | ͵ρ | δεκακισμύριοι | δεκακισμυριοστός, -ή, -όν | δεκακισμυριάκις | δεκακισμυριάς |} ==Déclinaison des quatre premiers cardinaux== '''Un :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | εἷς | μία | ἕν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Accusatif | ἕνα | μίαν | ἕν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | ἑνός | μιᾶς | ἑνός |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | ἑνί | μιᾷ | ἑνί |} '''Deux :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | δύο | δύο | δύο |- | style="background-color:#7db3db80;" | Accusatif | δύο | δύο | δύο |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | δυοῖν | δυοῖν | δυοῖν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | δυοῖν | δυοῖν | δυοῖν |} '''Trois :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | τρεῖς | τρεῖς | τρία |- | style="background-color:#7db3db80;" | Accusatif | τρεῖς | τρεῖς | τρία |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | τριῶν | τριῶν | τριῶν |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | τρισί | τρισί | τρισί |} '''Quatre :''' {| class="altlines1" style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! style="background-color:#437bd580;" | Cas ! style="background-color:#437bd580;" | Masculin ! style="background-color:#437bd580;" | Féminin ! style="background-color:#437bd580;" | Neutre |- | style="background-color:#7db3db80;" | Nominatif | τέσσαρες | τέσσαρες | τέσσαρα |- | style="background-color:#7db3db80;" |Accusatif | τέσσαρας | τέσσαρας | τέσσαρα |- | style="background-color:#7db3db80;" | Génitif | τεσσάρων | τεσσάρων | τεσσάρων |- | style="background-color:#7db3db80;" | Datif | τέσσαρσι(ν) | τέσσαρσι(ν) | τέσσαρσι(ν) |} ==Formation des nombres== Il existe plusieurs façons différentes d'associer les dizaines et les unités : ''Vingt-cinq'' (κεʹ) peut se dire : * εἴκοσι πέντε * εἴκοσι καὶ πέντε * πέντε καὶ εἴκοσι ''Vingt-neuf'' (κθʹ) peut se dire d'une quatrième manière : * ἑνὸς δέοντες τριάκοντα : ''trente s'en fallant de un'' (ou ''trente moins un'') Pour dire ''vingt-et-unième'', on écrit ''εἷς καὶ εἰκοστός'' et non ''πρῶτος καὶ εἰκοστός'' [[Catégorie:Nombres|Grec ancien]] {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Vocabulaire du Grec ancien]] | précédent = [[../Particules/]] | suivant = [[../Animaux/]] }} nmgdl26rykxelgaw5ljc7vrjfgojg4k 3 46534 985478 945958 2026-08-01T23:21:37Z Pathoschild 1346 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 985478 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__<div class="mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">[[File:Revi logo (pink).png|thumb|center|<span style="color:red">PLEASE DO NOT LEAVE MESSAGE HERE!</span>]] ''' <span style="color:red"> BEFORE YOU BLOCK MY ACCOUNT: IF MY EDIT SUMMARY INCLUDE PREFIX </span>''(Script)''<span style="color:red">, DON'T BLOCK ME, JUST TELL ME TO SLOW DOWN AT COMMONS' TALK PAGE. IT IS AN AUTOMATED SCRIPT BEING USED ON COMMONS TO MOVE FILES.</span> Instead, please leave your message following site: <br /> [[File:Wikidata-logo-en.svg|45px|link=d:User talk:Revi C.]] [[d:User talk:Revi C.]] for Wikidata (Interwiki links) stuff <!--(I am {{int:Group-sysop}} there)--> <br /> [[File:Commons-logo.svg|45px|link=commons:User talk:Revi C.]] [[commons:User talk:Revi C.]] for renaming stuff or [[User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] action (I am {{int:Group-sysop}} there) <br /> [[File:Wikimedia Community Logo optimized.svg|45px|link=m:User talk:Revi C.]] [[meta:User talk:Revi C.]] for other stuff (User right notification, revert message, etc...) Messages left on this page may be reverted or moved without any response.</div> esxe13mcstpjlux1bt2hqwxr2v8t8mn 2 47069 985479 945959 2026-08-02T00:02:18Z Pathoschild 1346 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 985479 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__<div class="mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">{{#babel:ko|en-3|fr-0}} [[File:Revi wikimedia image.jpg|thumb|center|middle|If you are here to talk about CommonsDelinker removing a deleted image, please [[:c:User talk:Revi C.|go here]].]] Hello! I am [[:m:User:Revi C.|revi]]. I edit to [[m:SWMT|revert vandals]], do Wikidata stuff<!--(I am a Wikidata Admin! <small>([{{fullurl:wikidata:Special:ListUsers/Revi C.|limit=1}} Verify])</small>)-->, or do [[:c:COM:FR|Commons Filemoving stuff]] (I am Commons Admin too! <small>([{{fullurl:c:Special:ListUsers/Revi C.|limit=1}} Verify])</small>). Come to [[:m:User:Revi C.|my Meta userpage]] or [[:c:User:Revi C.|my Commons userpage]] for more information. Thank you.</div> ron576b742jk1h8ub4qb5cdn7v7ylfo 0 48688 985476 957964 2026-08-01T21:15:25Z ~2026-42565-07 80772 Contenu remplacé par « Nb » 985476 wikitext text/x-wiki Nb 2wxhzc8m3cvq6w6su2qwxp4pay51ijv 985477 985476 2026-08-01T21:24:54Z NDG 78647 Reverted edits by [[Special:Contribs/~2026-42565-07|~2026-42565-07]] ([[User talk:~2026-42565-07|talk]]) to last version by Fourmidable: unexplained content removal 957964 wikitext text/x-wiki {{Structure | pays = Bénin }} 90wsff48j4m0v7zrlokjx9snwx90wfw 2 51239 985480 946108 2026-08-02T00:39:09Z Pathoschild 1346 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Hym411]]) 985480 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[User:Revi C.]] 88g0cv17whfgb1wkeh281mptujwtlut 3 51240 985481 946109 2026-08-02T01:08:34Z Pathoschild 1346 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Hym411]]) 985481 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[User talk:Revi C.]] o9z79lcc9a9pfmqmrod5w3eyk4q9i0o 105 75106 985482 985473 2026-08-02T04:01:55Z JackBot 8020 Robot : Correction d’une double redirection depuis [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]] vers [[Discussion Recherche:Imagine un monde/Vietnam]] 985482 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion Recherche:Imagine un monde/Vietnam]] tf2nvhdg4663zhh608agdc6adzzxxb6 105 78237 985483 985474 2026-08-02T04:01:55Z JackBot 8020 Robot : Correction d’une double redirection depuis [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]] vers [[Discussion Recherche:Imagine un monde/Vietnam]] 985483 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion Recherche:Imagine un monde/Vietnam]] tf2nvhdg4663zhh608agdc6adzzxxb6 0 82502 985486 985214 2026-08-02T08:46:39Z Alain.fabo 73895 /* xⁿ+yⁿ */ ajout des formes quadratiques + commentaire sur l'identification sur w 985486 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}}On pourra ajouter cette belle propriété liées aux formes quadratiques: {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>p</math> premier, <math>\quad \dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{(p+1)/2} pY^2 </math>}} Nous n'en avons pas la démonstration mais on peut se référer à la discussion ici pour voir que cela n'est pas simple:<ref name=":5" /> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{l} (u+v)^3+(u-v)^3=2u\left( X^2+3Y^2 \right)&X=u&Y=v\\ (u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( X^2-5Y^2 \right)&X=u^2+5v^2&Y= 2v \\ (u+v)^7+(u-v)^7= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right) &X=u(u^2 + 7 v^2)&Y= v(u^2 - v^2)\\ (u + v)^{11} + (u - v)^{11} = 2 u (X^2+11Y^2)& X=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4) &Y=v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \end{array}</math> == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === ==== Une remarque presque anodine ==== <math>n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' » C'était un "simple" commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total. ==== Rappels historiques ==== Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''<ref>https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf</ref> , ''Itard''<ref>https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767</ref>, ''Rashed''<ref name=":3">https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html</ref>'','' ''Goldstein''<ref>https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf</ref> , ''Bachmakova''<ref>{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}</ref>. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat<ref>https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm</ref>, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met "au défi" de trouver des entiers tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Il a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube<ref>En effet, on tombe rapidement sur la formule <math>b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3</math>. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube <math>\color{green}c^3=a^3+b^3</math> , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.</ref>. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée "descente infinie". Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis<ref>On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème <math>x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3</math>, avec <math>(x,y)</math> impairs et donc <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres <math>u^2+3v^2</math>. Ainsi, en supposant <math>z=a^2+3b^2</math>, on tombe sur <math>u=a(a+3b)(a-3b)</math> et <math>v=b(a+b)(a-b)</math>. Or <math>2u</math> est un cube, donc <math>(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)</math> avec <math>s^3+t^3=r^3</math>. Puisque ce sont des diviseurs, <math>|r|<|u|<|z|</math>. La descente est amorcée. Au passage, <math>(x,y)</math> pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres "vrais", mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )</ref>. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.<ref>cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son "''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes"'' Proposition 39.</ref> Et c'est ce résultat qui implique directement le cas <math> n=4</math>. Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème pour <math>p</math> premier : <math>\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que <math>\frac{ x^p+y^p}{x+y}</math>ne contient que des facteurs premiers congrus à <math>1[2p]</math> ==== Fermat et les carrés ==== Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme <math>a^2+nb^2</math>, l'équation <math>x^2-ny^2=1</math> <ref name=":4">Des solutions rationnelles de <math>x^2-ny^2=1</math> sont <math>(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q</math>. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit <math>(x+1)(x-1)=ny^2</math>, on pose <math>y=m(x+1)</math> et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur <math>x</math>. Dans <math>\N</math>, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit <math>n </math></ref>, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations <math>a_ix+b_i=y^2</math> . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier<ref>https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination</ref>. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, ou réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''<ref>https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf</ref>. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques<ref>{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}</ref>! Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math> En effet, pour <math> n=3</math>, cela donne <math>(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2</math> Et par conséquent une formule de partage d'un cube <math>x^3=(3x-4)^2+(x-1)(x-4)^2 </math> Or Fermat a travaillé sur les cubiques <math>x^3=y^2+2</math> et <math>x^3=y^2+4</math>, dont la formule donne des solutions évidentes ==== L'idée de Fermat? ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>p</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^p=x^p+y^p</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2p-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café<ref>Si tant est qu'un mathématicien est "une machine à transformer le café en théorèmes" d'après Paul Erdős</ref>), par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>r^2=s^2+t^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>rst</math> Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur <math>w</math> ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne<ref>Une première idée serait qu'avec <math>wx+b=wy+c </math>, si on a <math>b<w</math> et <math>c<w</math>, alors là on peut identifier <math>x=y</math>. Pour cela, il faudrait <math>w</math> grand, éventuellement en considérant la limite à l'infini? Mais cela ne semble pas fonctionner, car les carrés sont toujours plus grand que les <math>w</math></ref><ref>Une seconde idée serait de prendre <math>w \in \C</math> . Pour <math>n=5</math>, <math>x^5=w(16w^2+5x^2-20wx )^2+(x-w)(16w^2+x^2-12wx)^2</math>Le premier carré donne une valeur réelle pour <math>w=5x/8+b i, b \in \R</math> et le deuxième carré pour <math>w=3x/8+b i, b \in \R</math>. Il n'y a donc pas de recouvrement possible. De plus, cette valeur est commune et vaut <math>-5x^2/4-16b^2</math>. Qui n'a aucune propriété concernant les facteurs premiers en <math>\pm1 [10]</math> . ça ne fonctionne pas</ref>? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? ==== Plausibilité historique ==== Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>p \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>p</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>p =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "admirable". Et il n'y pas de différenciation de cas <math>p\mid xyz</math> et <math>p \nmid xyz</math> - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825<ref>En appliquant la même technique que pour le cas <math>n=3</math> : <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2u(u^4+10u^2v^2+5v^4)=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v)^2 \right)</math>. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme <math>X^2-5Y^2</math> , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme <math>X^2+3Y^2</math> dans le cas <math>n=3</math>. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de <math>2u</math>. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.</ref>. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs<ref name=":5">''Yves Hellegouarch'' dans son livre "''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''", écrit page 38: "''On peut penser que pour les exposants'' ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' <math>X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2</math> . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange] pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.</ref>. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! ==== Objection! ==== Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange. Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas <math>n = 3</math> ou <math>n = 4</math>, ou <math>n</math> premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs, que le problème est impossible dans <math>\Q</math> , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''<u>rationnels</u>'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que <math>x^n+y^n=z^n</math> n'a pas de solution dans <math>\Q</math>. Ou plus simplement que l'équation <math>x^n+y^n=1</math> n'a pas de solutions non triviales dans <math>\Q</math>. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans <math>\N</math> ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans <math>\N</math>, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas <math>n = 3</math>. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 7fdemdktrdzsmcqtj7o8geq3kbdr7yx