Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 104 67660 986079 985771 2026-08-29T15:00:17Z Guillaume FOUCART 39841 986079 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 'F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)' sur Research Gate] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 5pgj3n2ry0qli3i2sytxsbkho4166cg 986082 986079 2026-08-29T15:25:37Z Guillaume FOUCART 39841 986082 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 'F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)' '''sur Research Gate'''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} plujdgnya5euvuf3h9jfvug76ius6on 986083 986082 2026-08-29T21:00:41Z Guillaume FOUCART 39841 986083 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} e2r08119bkmda6kfvxkk4xgdokxa9xa 2 67667 986076 985772 2026-08-29T14:55:48Z Guillaume FOUCART 39841 986076 wikitext text/x-wiki Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de Gibbs 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[[Recherche:Essence,_existence,_puissance_(d'interaction),_philosophiques,_formalisées_mathématiquement,_dans_le_cadre_de_la_mécanique_newtonienne|Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 'F-quantité [anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court"] (27-07-2026)' sur Research Gate] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Brouillon|Brouillon]] [https://www.philo-et-societe-2-0.com/ Mon forum] Remarque : Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. =A mon sujet= '''§1)''' Titulaire d'un M2 RECHERCHE de Mathématiques de l'Université de ROUEN (2004-2008), obtenu, en 4 ans, de manière exceptionnelle, avec la mention AB, avec 12,225/20 de moyenne. Je n'ai jamais redoublé auparavant, et le M2 RECHERCHE, dont il est question, ne m'a pas permis de poursuivre en thèse. Je n'ai fait que des études de Mathématiques, sauf durant ma "L1" et ma "L2", où j'ai fait, aussi, de la physique et de l'informatique. J'ai été, pour les seules fois où je l'ai passé, 3 fois, consécutivement, admissible, au CAPES externe de Mathématiques, entre 2014 et 2016. Mais, en même temps, si je n'avais pas vécu tout cela, je n'aurais pas pu faire l'expérience d'un spectre assez large de nouvelles matières, et je n'aurais pas vécu dans diverses villes universitaires de FRANCE. J'ai eu mon M1 MA d'AMU à distance (2018-2021) avec 11,814/20 de moyenne. L'art d'échouer, de peu, mais dans l'honneur, au M2 MA CEPS d'AMU à distance (2021-2024) : En effet, j'ai eu 4 UE/5 au S3 en ayant eu 12/20, 11/20, 10/20 (UE validée en 2022-2023), 00/20 et 12,7/20, soit 09,14/20 de moyenne au S3 : Il m'aurait seulement fallu avoir 04,3/20 au lieu du 00/20 en Statistique mathématique et méthodes des ondelettes, pour avoir le S3. Par ailleurs au S4, j'ai eu 13/20 à 1 UE (UE validée en 2021-2022) et malheureusement, je ne peux pas l'échanger avec l'UE du S3 où j'ai eu 00/20. Les semestres ne se compensant pas, je ne pourrai pas poursuivre le S4 et donc faire le stage et comme je ne peux plus redoubler (*), je ne pourrai pas poursuivre mon M2 et ce dernier s'arrêtera donc là. Honnêtement, je ne pensais pas avoir la moyenne aux UE où j'ai eu 12/20 et 11/20, l'UE où j'ai eu 12,7/20 correspond à mes attentes et comme je savais que j'avais 00/20 à 1 UE, je ne pensais pas pouvoir valider le S3 donc le M2. Mais étant donnés mes résultats, échouer de cette façon là est regrettable. (*) Depuis cette année, les règles de redoublements ont changé et on ne peut plus passer 1 UE plus de 2 fois, sinon on est {éliminé|exclus} du M2, et ces règles sont rétroactives, mais les responsables du M2 ont pu obtenir une dérogation, cette année. Par ailleurs, les règles se sont durcies et concernant chaque UE, il faut avoir au moins 08/20 à l'examen pour que les devoirs soient pris en compte. Par ailleurs, il n'y a pas de session de rattrapage. Dans ce M2, il n'est pas possible de s'inscrire à des UE {supplémentaires en plus de celles exigées|surnuméraires} et il n'y a aucune UE optionnelle. Le M2 MA CEPS deviendra l'an prochain le M2 MA ANADEAL. '''§2)''' Il faut dire que j'avais une idée faussée des conditions d'accès au métier de maître de conférences : Dès la "L1", je pensais, naïvement, qu'il suffisait d'avoir son M2 RECHERCHE, pour être admis en thèse, puis qu'il suffisait d'avoir sa thèse ou son doctorat, pour devenir maître de conférences : De fait et aussi pour des raisons personnelles, j'ai juste cherché à avoir mes diplômes, sans, nécessairement, chercher à avoir les meilleures moyennes possibles et les meilleures mentions possibles. '''§3)''' De toute façon, hormis les métiers de la recherche en Mathématiques, en Philosophie générale de Tout, des sciences et de l'esprit, ainsi que morale, et en Neurosciences voire les métiers concernant la Composition musicale/Création musicale, ''grosso modo'', le reste ne m'intéresse pas, et pour, ainsi dire, je ne suis pas fait pour l'enseignement dans le primaire et le secondaire, et je ne suis pas fait pour tous les métiers d'ingénieur, or je suis condamné à ne pas devenir maître de conférences en Mathématiques, les années passent et il serait grand temps pour moi d'avoir un emploi. '''§4)''' De toute façon, beaucoup font, avant tout et bien plus, un métier, pour faire carrière, réussir dans la vie, avoir un statut social, et paraître, briller et se la jouer en société, en voyant le pouvoir, avant tout, comme une fin, que par goût ou par passion ou pour réussir leur vie, en voyant le pouvoir, avant tout, comme un moyen, ce qui n'est pas mon mode de fonctionnement ni ma façon de concevoir les choses. =Au sujet des intervenants du Département de recherche de la Faculté de Mathématiques de la Wikiversité (du moins de certains)= '''§5)''' Dans la Wikiversité, et en particulier, dans la section des Travaux de Recherche en Mathématiques, il y a très peu d'intervenants, et ces derniers, sauf, peut-être, à de rares exceptions, sont encore bien plus "tarés", bien plus "timbrés", bien plus "à la masse" et bien plus loufoques et farfelus que moi, moi qui le suis peu, et n'ont apparemment jamais vu un seul article de recherche en mathématiques, de leur vie, et n'ont pas la moindre idée de ce que c'est que faire de la recherche en mathématiques, et ils ont souvent, un niveau en mathématiques, très restreint, atteignant à peine la L2 et même pas la L3 ou le M1, encore moins le M2 ou le doctorat. '''§6)''' [https://rhaflimarouane.wordpress.com/ Marouane Rhafli] ou [[Utilisateur:Marouane rhafli|Marouane Rhafli]], encore, un illuminé, de plus, qui croit avoir résolu une conjecture célèbre qui résiste depuis des siècles, comme la conjecture de Goldbach, en quelques pages, avec des arguments relativement simples, basiques et élémentaires. '''§7) [ancien §8)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Plutôt que de poster comme [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]], des tonnes de travaux futiles et superficiels, dont l'intérêt n'est que purement calculatoire, soit pour en mettre, faussement, plein la vue, soit parce qu'il croit, vraiment, avoir, ainsi, montré, en s'en étant convaincu lui-même, mais à tort, qu'il a fait, qu'il a accompli, et qu'il s'est intéressé à et passionné pour beaucoup de choses dignes d'intérêt, autant en poster un seul ou quelques uns (de) sérieux et (d') approfondis. De plus, on peut lui faire les mêmes reproches que [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] : Il a, certes, exprimé des phrases très claires et fortement inspirées, pleines de considération, d'illumination et d'espoir, concernant ses travaux mathématiques, mais en revanche quand on regarde, vraiment, de près, le fond et la forme de ces derniers, c'est la désillusion : Cf. par exemple, [[Recherche:Vers une véritable généralisation opérationnelle de la Transformée de Fourier généralisée in memorian]] qui sont des travaux où les "raisonnements mathématiques" sont très mal expliqués, très mal justifiés, très peu détaillés et très peu synthétiques et où il y a parfois dans certains calculs ou certains raisonnements calculatoires, des passages d'étape à une autre, qui sont {bons|justes|vrais}, mais qui sont sans intérêt, et sinon ce n'est, franchement, que du pur délire ou du pur n'importe quoi. '''§8) [ancien §9)]''' ''Les travaux de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] vont être supprimés : [[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Base_logique_des_structures_hypercomplexes|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:05 (UTC) Incroyables mais vraies ! : La page de recherche ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], et les discussions ([[Discussion Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) entre [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Utilisateur:Flashmath|Flashmath]] (qui semble, apparemment, plus sérieux, dans ses leçons), et en plus, ils se comprennent entre eux, c'est à se demander si ces deux là ne sont pas une seule et même personne : Moi, je dis que pour la plupart de leurs discours, c'est, essentiellement, du baratin : Il est peu question d'objets mathématiques explicites définis formellement, rigoureusement et de manière cohérente, juste du délayage de phrases et d'élucubrations, avec souvent emploi de mots non utilisés, selon les définitions existantes, en vigueur, ou, alors, utilisés, selon des définitions très vagues, très confuses, très ambigües ou personnelles, et du jargon ou du verbiage, qui peut-être n'est pas, nécessairement, utilisé, dans le but conscient, réfléchi et volontaire, de meubler et d'habiller, même si, au final, c'est tout comme, mais qui est inconsistant, confus, évaporé, désorganisé, opaque, creux, vaseux, voire pompeux, fumeux et délirant '''('''même, dans le cas où il ne s'en rendrait pas compte et où son travail serait sincère, et même, dans le cas contraire, où il ferait, tout simplement, cela, pour paraître et faire savant et se faire considérer comme un homme supérieurement intelligent, car incompris des masses et du plus grand nombre, ou disons le, plutôt, franchement, de tous, y compris de lui-même''')''', ou inapproprié ou qui n'a, tout simplement, pas de sens et qui n'a que peu de rapport, avec les, voire qui est presque complètement déconnecté des mathématiques, voire même qui est pathologique, au sens psychiatrique du terme, pour désigner des objets qui pourraient, très vraisemblablement, lorsque tel est, bien, le cas, être désignés plus simplement et plus clairement : L'auteur n'a visiblement pas les idées très claires : On dirait du mauvais Lacan, lui qui était un imposteur, tout comme Freud, et pour lequel tout ce qu'il a dit et écrit n'était que du chiqué (pour épater et éblouir les gogos), cf. "Le livre noir de la psychanalyse" écrit par un collectif d'auteurs et "Impostures intellectuelles" d'Alain Sokal et Jean Bricmont. De plus, il croit pouvoir démontrer ou il croit avoir démontré le [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Dernier théorème de Fermat]], d'une autre manière que [[w:Andrew_Wiles|Andrew Wiles]], en très peu de pages. '''Par ailleurs''', apparemment, le mot "curvilinéaire" (Je connais plutôt le mot "curviligne") et le terme "topologie quantique" ([https://www.google.fr/search?client=browser-ubuntu&channel=fe&hl=fr&dcr=0&biw=1301&bih=639&q=%22topologie+quantique%22&oq=%22topologie+quantique%22&gs_l=psy-ab.3..0i22i30k1l2.3401.5260.0.6130.2.2.0.0.0.0.97.175.2.2.0....0...1.1.64.psy-ab..0.2.175...0j0i8i30k1.0.RfGkg3jLvVE Recherche "topologie quantique" sur Google], Cf. aussi [http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm/publications/habilitation.pdf Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois]) semblent exister, mais de manière, relativement, rare, sur les moteurs de recherche, et la notion de [[w:Nombre_hypercomplexe|nombre hypercomplexe]] (ainsi que la [https://www.google.fr/search?q=géométrie+hypercomplexe&client=firefox-b&dcr=0&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0ahUKEwjptZ35j9rWAhUlD8AKHdcuB_AQsAQIWw&biwhttps://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm=1304&bih=644 géométrie qui va avec]) existe belle et bien dans la littérature et est une généralisation de la notion de nombre complexe, mais [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ne les utilise pas dans ce sens là, mais dans un sens bien à lui ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes/Annexe/Glossaire#hypercomplexe]]). À mon avis, vu comment il parle de ses travaux, c'est-à-dire très mal et presque de façon, quasiment, incompréhensible et hermétique, avec des mots très mal choisis, et qui n'est, nullement, un signe de supériorité intellectuelle, et étant donné le niveau et la complexité des domaines dont il parle (surtout la topologie quantique) : Il ne les maîtrise, tout bonnement pas ou à peine ou les utilise à mauvais escient, dans des domaines et des contextes qui n'ont, strictement, {rien à voir|aucun rapport}, à moins que ce ne soit un domaine de sa propre invention, utilisant et reprenant le nom de théories déjà existantes, tout comme c'est déjà le cas pour sa géométrie et ses structures hypercomplexes : Ce qui n'est pas pour aider. '''Ajout 04-07-2024 :''' [https://bonpote.com/loi-de-brandolini-doit-on-repondre-aux-cons/ '''Loi de Brandolini : Doit-on répondre aux cons ?'''] '''Loi de Brandolini :''' ''"La quantité d’énergie nécessaire pour réfuter des idioties est supérieure d’un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire."'' '''et donc si je devais rapporter toutes les inepties et tous les passages verbeux, fumeux, pompeux et élucubratoires ayant peu d'intérêt voire aucun intérêt, et si devais réfuter, une à une, toutes les idioties de Supreme assis, il me faudrait beaucoup plus de temps qu'il ne lui en a fallu pour produire et rédiger ses "travaux" ou plutôt ses textes. Ce que je me refuse de faire. En fait de tels textes devraient être supprimés sans aucune justification ou presque : Le préambule que j'ai écrit devant suffire.''' '''§9) [ancien §10)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Je critique [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] et [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], mais moi-même, je n'ai pas été exempt sur Les-mathematiques.net, même si moi, contrairement à eux, j'en avais conscience et que j'ai passé, en tout et pour tout, 3 fois, le CAPES externe de mathématiques ([https://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm Annales des écrits du CAPES externe de mathématiques depuis l'année 1984]), en ayant été admissible 3 fois, consécutivement, entre 2014 et 2016, et en ayant eu, respectivement, 19,79/40 (10,89/20 + 08,90/20); 18,53/40 (12,22/20 + 06,31/20) et 14,77/40 (08,55/20 + 06,22/20), avec respectivement, des barres d'admissibilité de 12/40; 11,4/40 et 12/40 [Je sais que compte tenu de mon niveau universitaire, du niveau actuel du CAPES externe de mathématiques et du niveau général actuel de ses candidats, ce n'est pas glorieux : Aux écrits, en travaillant plus, j'aurais sans doute pu avoir au moins 30/40, mais en 2014, j'aurais dû être plus vigilant sur certaines de mes réponses, et en 2015 et en 2016, l'écrit 1 de 2016 ne m'a pas semblé facile (encore que j'aurais pu résoudre certaines questions que je n'ai pas traitées), les probabilités m'ont lourdement pénalisé et la forme des écrits 2 de 2015 et de 2016 et de certaines de leurs questions m'ont dérouté], mais sans jamais avoir été admis et en ayant, même, eu des 00/20 éliminatoires, à 3 oraux sur 6, mais aucun en 2014 ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] dit avoir été de la promotion ENAC 1968, mais ses facultés psychiques et intellectuelles semblent s'être, grandement, altérées ou dégradées, depuis). Je sais ce que c'est qu'avoir une intuition ou une idée fixe, plus ou moins vague ou confuse, parfois fausse ou mauvaise, qu'on a beaucoup de mal ou qu'on ne parvient pas à exprimer mathématiquement, et qui peut s'avérer être une impasse ou être stérile ou être une inepsie voire une folie : J'ai ainsi produit, sur Les-mathematiques.net, des textes, avec beaucoup de formules, de "formalisations" et peu d'explications (car ça me prenait trop de temps), en grande partie abscons et incompréhensibles, en l'état, et qui auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel, au lieu d'être soumis à un forum, mais j'avais besoin d'aide. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ne détaille pas et ne se justifie pas assez ou vraiment, très mal, et laisse, à tort, beaucoup d'étapes et de calculs, à la charge du lecteur : Mais on voit bien que la plupart de ses travaux sont faux ou ne veulent rien dire ou sont très mal expliqués ou sont sans intérêt. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a été étudiant à [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 l'École Supméca Cesti entre 1969 à 1972] [http://copainsdavant.linternaute.com/p/patrick-brejon-15430792 Cursus de Patrick Bréjon] ([https://www.google.fr/search?q=%22patrick+bréjon%22+et+%22jeux%22&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=gE83dKUZFp8FvM%253A%252CXLJlcf-FTbyK-M%252C_&usg=__Wjy9HMZMu2DXfEYBX2R3eyUE36Y%3D&sa=X&ved=0ahUKEwj277SlmaTbAhXMbRQKHcJiBVgQ9QEIPjAD#imgrc=gE83dKUZFp8FvM: photo]), et n'a même pas le niveau d'un étudiant moyen de L2 ou de L3, en Mathématiques, actuels. Moi, j'ai été étudiant moyen, en Mathématiques, dans de simples universités de province et je suis apparemment beaucoup moins barjo et bien meilleur en mathématiques que ces 2 "vieux" là ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]]), qui ont, ''grosso modo'', le même âge que mon père et qui ont été dans des Écoles supérieures, l'un, d'aviation, l'autre, de mécanique et de techniques industrielles, encore que c'est normal, puisque leurs cursus contiennent ou ont contenu, peu ou beaucoup moins, de mathématiques que le mien, d'autant plus que, depuis qu'"ils s'y sont remis", ça faisait, sans doute, un bail qu'ils n'en avaient plus refait, mais cela n'explique pas pourquoi ils sont beaucoup et bien plus barjos que moi et puis surtout, à âge égal, que mon père. Citation de [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] : "''[[Discussion_utilisateur:Ereduverseau#Laboratoire_de_recherche|Je ne suis pas encore décédé et j’espère bien avoir la Fields à 100 ans.]]''". Non seulement, on ne peut pas obtenir la médaille Fields, après 40 ans, sauf si, conformément, à ses croyances, il parvient à se réincarner, à moins qu'il espère plutôt le et qu'il ait voulu plutôt parler du prix Abel et encore il ne faut pas trop rêver non plus, surtout au vu de son âge, mais aussi, aux vues de ses productions mathématiques, il a, à mon avis, un peu trop, d'espoir, d'illusion et de présomption, et un peu trop, la grosse tête, même s'il lui arrive, aussi, parfois, de se montrer, sous des jours modestes, tout comme [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], sauf que lui ne montre, jamais, une seule once de modestie. Mais [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a quand même des circonstances atténuantes, il a eu des coups durs dans sa vie, il a eu un accident de voiture dont il a gardé des séquelles, probablement, neurologiques, aussi, a perdu des êtres chers et a connu le cancer. Par ailleurs, [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] semble avoir des activités ou des objectifs non illusoires dans le domaine du jeu, mais je ne sais pas s'il s'agit du même [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Br'''é'''jon (Les travaux de recherche partiels de)]], mais plutôt de Patrick Br'''e'''jon, sans l'accent aigu sur le "e", mais je pense que c'est la même personne : [http://twpublic.com/ereduverseau/ Patrick Bréjon's Twitter Account ereduverseau] et [https://www.lescasinos.org/actualites.php?id=3649&q=filiales Lundi 4 novembre 2013 : Groupe Partouche : les administrateurs et le mandataire judiciaires ont été nommés (1)] et [https://fr.ulule.com/jeu-cartes/ NOUVEAU CONCEPT de JEUX dont CARTES]. Il a même [http://www.lavoixdunord.fr/archive/recup%3A%252Fregion%252Fferriere-la-grande-patrick-brejon-l-homme-qui-souhaite-ia23b44361n2849794 sa page de gloire dans un journal local]. Si ce qui vient d'être dit, précédemment, est vrai, c'est bluffant, car il y aurait un grand décalage paradoxal entre l'image pitoyable et risible qu'il donne de lui sur [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|(La) Wikiversité/Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] et l'image qu'il donne de lui, (par) ailleurs. Après tout, même si on peut considérer qu'il n'est pas, vraiment, diplômé et compétent, en Mathématiques, il a, tout de même, [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 un BAC+5 de l'École Supméca Cesti], et, par ailleurs, son idée commerciale n'a rien, d'extraordinaire, et je ne sais pas si elle a porté ses fruits. '''§9bis)''' '''Patrick Bréjon "le retour" :''' bonjour et re depuis le temps. Oui , j'existe bien et je suis bien ce que j'ai dit. Oui, ce sont surtout des études calculatoires sur du numérique car je n'ai pas le niveau Universitaire. Non, pas inutiles car elles seront utiles aux prévisions à long terme et à assurer celles incertaines pour l'instant. Oui , beaucoup de travaux fantaisistes pour le fun. Deux membres ont reconnu la valeur de certains travaux, calcul rapide des coefficients de Lagrange et résolution de toutes les équa diff. '''§10)''' J'aurais aimé qu'il y ait au moins un intervenant examinateur sérieux et de qualité, mais la Wikiversité est un désert d'errance pour paumés, désespérés ou désœuvrés ou pour personnes, en mal de reconnaissance, de gloire ou de notoriété ou qui veulent, tout simplement, que leurs travaux leur survivent, mais, rarement, de manière légitime et méritée, qui peut en faire fuir plus d'un et en dissuader beaucoup d'y poster, ces derniers craignant de subir la honte, la risée, et le discrédit de bon nombre, en y déposant, en y postant ou en y divulguant leurs travaux. Moi, je n'ai pas le choix, je ne suis ni thésard, ni maître de conférences et je ne dépends d'aucun laboratoire de recherche d'université ou de grande école ou d'institution publique ou privée reconnue, et de fait, je ne peux poster ou publier, officiellement, que sur la Wikiversité ou sur Vixra, mes seules chances de salut. Mais j'ai, tout de même, passé beaucoup de temps, à peaufiner mes travaux, pour qu'ils aient leur forme actuelle, même si ce n'est sans doute pas leur forme finale et achevée, en suivant les conseils de certains intervenants de certains forums de mathématiques, même si, à cause du fait que j'avais eu un mal fou à les exprimer et du fait que leurs formes antérieures ne pouvaient pas passer, en l'état, j'ai dû subir des bannissements. Certainement, le prix à payer, pour des travaux de recherche, personnels, en mathématiques, comme les miens et pour un homme, comme moi. Tous ceux qui postent sur la Wikiversité ont, nécessairement, un petit grain de folie, mais, me concernant, la comparaison s'arrête là. Je me demande, si cela sert, vraiment, à quelque chose de poster des travaux personnels sur la Wikiversité. J'ai l'impression que c'est un espace, volontairement, délaissé et, spécialement, créé pour attirer les, répondre aux et contenter les farfelus, les illuminés voire les personnes mystiques et ésotériques, croyant aux forces surnaturelles, à la réincarnation et à l'au-delà, ou les personnes, psychiquement, dérangées ou psychiquement, atteintes, ou non stabilisées, qui représentent une bonne partie, si ce n'est pas la majeure partie des intervenants qui viennent y poster des travaux inédits, et ce afin qu'ils n'aillent pas polluer ailleurs. '''§11)''' Pour le fun, j'ai des idées de pseudos que je n'ai jamais testées, pour les nouveaux intervenants, à qui cela tenterait, comme "L'homme supérieur (et modeste)", "Grand maître vénéré tout puissant", en précisant que vous souhaitez que l'on vous appelle avec un diminutif contenant, strictement, un ou plusieurs mots de ce pseudo, "L'homme hyper sérieux", "L'homme sérieux ou la femme sérieuse de la Wikiversité" ou "L'intrus ou l'exception de la Wikiversité, dans le sens positif du terme". Cela dit, l'homme supérieur de la Wikiversité, doit, sérieusement, relativiser sa supériorité. Par ailleurs, les 2 premiers pseudos proposés pourraient être associés ou couplés avec des pseudos du type : "Détritus", "Déchet humain", "Minable", "Minus", "Médiocre", "Misérable petit nain", "Bon à rien", "Moins que rien", ou "Sous-sous-sous- ... -sous-merde", pour créer des duos d'intervenants, explosifs et surréalistes. ogba7m8jfamtx4d5ah5cl5kss8pqxa9 986077 986076 2026-08-29T14:57:16Z Guillaume FOUCART 39841 986077 wikitext text/x-wiki Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de Gibbs 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[[Recherche:Essence,_existence,_puissance_(d'interaction),_philosophiques,_formalisées_mathématiquement,_dans_le_cadre_de_la_mécanique_newtonienne|Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 'F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)' sur Research Gate] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Brouillon|Brouillon]] [https://www.philo-et-societe-2-0.com/ Mon forum] Remarque : Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. =A mon sujet= '''§1)''' Titulaire d'un M2 RECHERCHE de Mathématiques de l'Université de ROUEN (2004-2008), obtenu, en 4 ans, de manière exceptionnelle, avec la mention AB, avec 12,225/20 de moyenne. Je n'ai jamais redoublé auparavant, et le M2 RECHERCHE, dont il est question, ne m'a pas permis de poursuivre en thèse. Je n'ai fait que des études de Mathématiques, sauf durant ma "L1" et ma "L2", où j'ai fait, aussi, de la physique et de l'informatique. J'ai été, pour les seules fois où je l'ai passé, 3 fois, consécutivement, admissible, au CAPES externe de Mathématiques, entre 2014 et 2016. Mais, en même temps, si je n'avais pas vécu tout cela, je n'aurais pas pu faire l'expérience d'un spectre assez large de nouvelles matières, et je n'aurais pas vécu dans diverses villes universitaires de FRANCE. J'ai eu mon M1 MA d'AMU à distance (2018-2021) avec 11,814/20 de moyenne. L'art d'échouer, de peu, mais dans l'honneur, au M2 MA CEPS d'AMU à distance (2021-2024) : En effet, j'ai eu 4 UE/5 au S3 en ayant eu 12/20, 11/20, 10/20 (UE validée en 2022-2023), 00/20 et 12,7/20, soit 09,14/20 de moyenne au S3 : Il m'aurait seulement fallu avoir 04,3/20 au lieu du 00/20 en Statistique mathématique et méthodes des ondelettes, pour avoir le S3. Par ailleurs au S4, j'ai eu 13/20 à 1 UE (UE validée en 2021-2022) et malheureusement, je ne peux pas l'échanger avec l'UE du S3 où j'ai eu 00/20. Les semestres ne se compensant pas, je ne pourrai pas poursuivre le S4 et donc faire le stage et comme je ne peux plus redoubler (*), je ne pourrai pas poursuivre mon M2 et ce dernier s'arrêtera donc là. Honnêtement, je ne pensais pas avoir la moyenne aux UE où j'ai eu 12/20 et 11/20, l'UE où j'ai eu 12,7/20 correspond à mes attentes et comme je savais que j'avais 00/20 à 1 UE, je ne pensais pas pouvoir valider le S3 donc le M2. Mais étant donnés mes résultats, échouer de cette façon là est regrettable. (*) Depuis cette année, les règles de redoublements ont changé et on ne peut plus passer 1 UE plus de 2 fois, sinon on est {éliminé|exclus} du M2, et ces règles sont rétroactives, mais les responsables du M2 ont pu obtenir une dérogation, cette année. Par ailleurs, les règles se sont durcies et concernant chaque UE, il faut avoir au moins 08/20 à l'examen pour que les devoirs soient pris en compte. Par ailleurs, il n'y a pas de session de rattrapage. Dans ce M2, il n'est pas possible de s'inscrire à des UE {supplémentaires en plus de celles exigées|surnuméraires} et il n'y a aucune UE optionnelle. Le M2 MA CEPS deviendra l'an prochain le M2 MA ANADEAL. '''§2)''' Il faut dire que j'avais une idée faussée des conditions d'accès au métier de maître de conférences : Dès la "L1", je pensais, naïvement, qu'il suffisait d'avoir son M2 RECHERCHE, pour être admis en thèse, puis qu'il suffisait d'avoir sa thèse ou son doctorat, pour devenir maître de conférences : De fait et aussi pour des raisons personnelles, j'ai juste cherché à avoir mes diplômes, sans, nécessairement, chercher à avoir les meilleures moyennes possibles et les meilleures mentions possibles. '''§3)''' De toute façon, hormis les métiers de la recherche en Mathématiques, en Philosophie générale de Tout, des sciences et de l'esprit, ainsi que morale, et en Neurosciences voire les métiers concernant la Composition musicale/Création musicale, ''grosso modo'', le reste ne m'intéresse pas, et pour, ainsi dire, je ne suis pas fait pour l'enseignement dans le primaire et le secondaire, et je ne suis pas fait pour tous les métiers d'ingénieur, or je suis condamné à ne pas devenir maître de conférences en Mathématiques, les années passent et il serait grand temps pour moi d'avoir un emploi. '''§4)''' De toute façon, beaucoup font, avant tout et bien plus, un métier, pour faire carrière, réussir dans la vie, avoir un statut social, et paraître, briller et se la jouer en société, en voyant le pouvoir, avant tout, comme une fin, que par goût ou par passion ou pour réussir leur vie, en voyant le pouvoir, avant tout, comme un moyen, ce qui n'est pas mon mode de fonctionnement ni ma façon de concevoir les choses. =Au sujet des intervenants du Département de recherche de la Faculté de Mathématiques de la Wikiversité (du moins de certains)= '''§5)''' Dans la Wikiversité, et en particulier, dans la section des Travaux de Recherche en Mathématiques, il y a très peu d'intervenants, et ces derniers, sauf, peut-être, à de rares exceptions, sont encore bien plus "tarés", bien plus "timbrés", bien plus "à la masse" et bien plus loufoques et farfelus que moi, moi qui le suis peu, et n'ont apparemment jamais vu un seul article de recherche en mathématiques, de leur vie, et n'ont pas la moindre idée de ce que c'est que faire de la recherche en mathématiques, et ils ont souvent, un niveau en mathématiques, très restreint, atteignant à peine la L2 et même pas la L3 ou le M1, encore moins le M2 ou le doctorat. '''§6)''' [https://rhaflimarouane.wordpress.com/ Marouane Rhafli] ou [[Utilisateur:Marouane rhafli|Marouane Rhafli]], encore, un illuminé, de plus, qui croit avoir résolu une conjecture célèbre qui résiste depuis des siècles, comme la conjecture de Goldbach, en quelques pages, avec des arguments relativement simples, basiques et élémentaires. '''§7) [ancien §8)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Plutôt que de poster comme [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]], des tonnes de travaux futiles et superficiels, dont l'intérêt n'est que purement calculatoire, soit pour en mettre, faussement, plein la vue, soit parce qu'il croit, vraiment, avoir, ainsi, montré, en s'en étant convaincu lui-même, mais à tort, qu'il a fait, qu'il a accompli, et qu'il s'est intéressé à et passionné pour beaucoup de choses dignes d'intérêt, autant en poster un seul ou quelques uns (de) sérieux et (d') approfondis. De plus, on peut lui faire les mêmes reproches que [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] : Il a, certes, exprimé des phrases très claires et fortement inspirées, pleines de considération, d'illumination et d'espoir, concernant ses travaux mathématiques, mais en revanche quand on regarde, vraiment, de près, le fond et la forme de ces derniers, c'est la désillusion : Cf. par exemple, [[Recherche:Vers une véritable généralisation opérationnelle de la Transformée de Fourier généralisée in memorian]] qui sont des travaux où les "raisonnements mathématiques" sont très mal expliqués, très mal justifiés, très peu détaillés et très peu synthétiques et où il y a parfois dans certains calculs ou certains raisonnements calculatoires, des passages d'étape à une autre, qui sont {bons|justes|vrais}, mais qui sont sans intérêt, et sinon ce n'est, franchement, que du pur délire ou du pur n'importe quoi. '''§8) [ancien §9)]''' ''Les travaux de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] vont être supprimés : [[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Base_logique_des_structures_hypercomplexes|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:05 (UTC) Incroyables mais vraies ! : La page de recherche ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], et les discussions ([[Discussion Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) entre [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Utilisateur:Flashmath|Flashmath]] (qui semble, apparemment, plus sérieux, dans ses leçons), et en plus, ils se comprennent entre eux, c'est à se demander si ces deux là ne sont pas une seule et même personne : Moi, je dis que pour la plupart de leurs discours, c'est, essentiellement, du baratin : Il est peu question d'objets mathématiques explicites définis formellement, rigoureusement et de manière cohérente, juste du délayage de phrases et d'élucubrations, avec souvent emploi de mots non utilisés, selon les définitions existantes, en vigueur, ou, alors, utilisés, selon des définitions très vagues, très confuses, très ambigües ou personnelles, et du jargon ou du verbiage, qui peut-être n'est pas, nécessairement, utilisé, dans le but conscient, réfléchi et volontaire, de meubler et d'habiller, même si, au final, c'est tout comme, mais qui est inconsistant, confus, évaporé, désorganisé, opaque, creux, vaseux, voire pompeux, fumeux et délirant '''('''même, dans le cas où il ne s'en rendrait pas compte et où son travail serait sincère, et même, dans le cas contraire, où il ferait, tout simplement, cela, pour paraître et faire savant et se faire considérer comme un homme supérieurement intelligent, car incompris des masses et du plus grand nombre, ou disons le, plutôt, franchement, de tous, y compris de lui-même''')''', ou inapproprié ou qui n'a, tout simplement, pas de sens et qui n'a que peu de rapport, avec les, voire qui est presque complètement déconnecté des mathématiques, voire même qui est pathologique, au sens psychiatrique du terme, pour désigner des objets qui pourraient, très vraisemblablement, lorsque tel est, bien, le cas, être désignés plus simplement et plus clairement : L'auteur n'a visiblement pas les idées très claires : On dirait du mauvais Lacan, lui qui était un imposteur, tout comme Freud, et pour lequel tout ce qu'il a dit et écrit n'était que du chiqué (pour épater et éblouir les gogos), cf. "Le livre noir de la psychanalyse" écrit par un collectif d'auteurs et "Impostures intellectuelles" d'Alain Sokal et Jean Bricmont. De plus, il croit pouvoir démontrer ou il croit avoir démontré le [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Dernier théorème de Fermat]], d'une autre manière que [[w:Andrew_Wiles|Andrew Wiles]], en très peu de pages. '''Par ailleurs''', apparemment, le mot "curvilinéaire" (Je connais plutôt le mot "curviligne") et le terme "topologie quantique" ([https://www.google.fr/search?client=browser-ubuntu&channel=fe&hl=fr&dcr=0&biw=1301&bih=639&q=%22topologie+quantique%22&oq=%22topologie+quantique%22&gs_l=psy-ab.3..0i22i30k1l2.3401.5260.0.6130.2.2.0.0.0.0.97.175.2.2.0....0...1.1.64.psy-ab..0.2.175...0j0i8i30k1.0.RfGkg3jLvVE Recherche "topologie quantique" sur Google], Cf. aussi [http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm/publications/habilitation.pdf Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois]) semblent exister, mais de manière, relativement, rare, sur les moteurs de recherche, et la notion de [[w:Nombre_hypercomplexe|nombre hypercomplexe]] (ainsi que la [https://www.google.fr/search?q=géométrie+hypercomplexe&client=firefox-b&dcr=0&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0ahUKEwjptZ35j9rWAhUlD8AKHdcuB_AQsAQIWw&biwhttps://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm=1304&bih=644 géométrie qui va avec]) existe belle et bien dans la littérature et est une généralisation de la notion de nombre complexe, mais [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ne les utilise pas dans ce sens là, mais dans un sens bien à lui ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes/Annexe/Glossaire#hypercomplexe]]). À mon avis, vu comment il parle de ses travaux, c'est-à-dire très mal et presque de façon, quasiment, incompréhensible et hermétique, avec des mots très mal choisis, et qui n'est, nullement, un signe de supériorité intellectuelle, et étant donné le niveau et la complexité des domaines dont il parle (surtout la topologie quantique) : Il ne les maîtrise, tout bonnement pas ou à peine ou les utilise à mauvais escient, dans des domaines et des contextes qui n'ont, strictement, {rien à voir|aucun rapport}, à moins que ce ne soit un domaine de sa propre invention, utilisant et reprenant le nom de théories déjà existantes, tout comme c'est déjà le cas pour sa géométrie et ses structures hypercomplexes : Ce qui n'est pas pour aider. '''Ajout 04-07-2024 :''' [https://bonpote.com/loi-de-brandolini-doit-on-repondre-aux-cons/ '''Loi de Brandolini : Doit-on répondre aux cons ?'''] '''Loi de Brandolini :''' ''"La quantité d’énergie nécessaire pour réfuter des idioties est supérieure d’un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire."'' '''et donc si je devais rapporter toutes les inepties et tous les passages verbeux, fumeux, pompeux et élucubratoires ayant peu d'intérêt voire aucun intérêt, et si devais réfuter, une à une, toutes les idioties de Supreme assis, il me faudrait beaucoup plus de temps qu'il ne lui en a fallu pour produire et rédiger ses "travaux" ou plutôt ses textes. Ce que je me refuse de faire. En fait de tels textes devraient être supprimés sans aucune justification ou presque : Le préambule que j'ai écrit devant suffire.''' '''§9) [ancien §10)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Je critique [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] et [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], mais moi-même, je n'ai pas été exempt sur Les-mathematiques.net, même si moi, contrairement à eux, j'en avais conscience et que j'ai passé, en tout et pour tout, 3 fois, le CAPES externe de mathématiques ([https://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm Annales des écrits du CAPES externe de mathématiques depuis l'année 1984]), en ayant été admissible 3 fois, consécutivement, entre 2014 et 2016, et en ayant eu, respectivement, 19,79/40 (10,89/20 + 08,90/20); 18,53/40 (12,22/20 + 06,31/20) et 14,77/40 (08,55/20 + 06,22/20), avec respectivement, des barres d'admissibilité de 12/40; 11,4/40 et 12/40 [Je sais que compte tenu de mon niveau universitaire, du niveau actuel du CAPES externe de mathématiques et du niveau général actuel de ses candidats, ce n'est pas glorieux : Aux écrits, en travaillant plus, j'aurais sans doute pu avoir au moins 30/40, mais en 2014, j'aurais dû être plus vigilant sur certaines de mes réponses, et en 2015 et en 2016, l'écrit 1 de 2016 ne m'a pas semblé facile (encore que j'aurais pu résoudre certaines questions que je n'ai pas traitées), les probabilités m'ont lourdement pénalisé et la forme des écrits 2 de 2015 et de 2016 et de certaines de leurs questions m'ont dérouté], mais sans jamais avoir été admis et en ayant, même, eu des 00/20 éliminatoires, à 3 oraux sur 6, mais aucun en 2014 ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] dit avoir été de la promotion ENAC 1968, mais ses facultés psychiques et intellectuelles semblent s'être, grandement, altérées ou dégradées, depuis). Je sais ce que c'est qu'avoir une intuition ou une idée fixe, plus ou moins vague ou confuse, parfois fausse ou mauvaise, qu'on a beaucoup de mal ou qu'on ne parvient pas à exprimer mathématiquement, et qui peut s'avérer être une impasse ou être stérile ou être une inepsie voire une folie : J'ai ainsi produit, sur Les-mathematiques.net, des textes, avec beaucoup de formules, de "formalisations" et peu d'explications (car ça me prenait trop de temps), en grande partie abscons et incompréhensibles, en l'état, et qui auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel, au lieu d'être soumis à un forum, mais j'avais besoin d'aide. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ne détaille pas et ne se justifie pas assez ou vraiment, très mal, et laisse, à tort, beaucoup d'étapes et de calculs, à la charge du lecteur : Mais on voit bien que la plupart de ses travaux sont faux ou ne veulent rien dire ou sont très mal expliqués ou sont sans intérêt. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a été étudiant à [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 l'École Supméca Cesti entre 1969 à 1972] [http://copainsdavant.linternaute.com/p/patrick-brejon-15430792 Cursus de Patrick Bréjon] ([https://www.google.fr/search?q=%22patrick+bréjon%22+et+%22jeux%22&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=gE83dKUZFp8FvM%253A%252CXLJlcf-FTbyK-M%252C_&usg=__Wjy9HMZMu2DXfEYBX2R3eyUE36Y%3D&sa=X&ved=0ahUKEwj277SlmaTbAhXMbRQKHcJiBVgQ9QEIPjAD#imgrc=gE83dKUZFp8FvM: photo]), et n'a même pas le niveau d'un étudiant moyen de L2 ou de L3, en Mathématiques, actuels. Moi, j'ai été étudiant moyen, en Mathématiques, dans de simples universités de province et je suis apparemment beaucoup moins barjo et bien meilleur en mathématiques que ces 2 "vieux" là ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]]), qui ont, ''grosso modo'', le même âge que mon père et qui ont été dans des Écoles supérieures, l'un, d'aviation, l'autre, de mécanique et de techniques industrielles, encore que c'est normal, puisque leurs cursus contiennent ou ont contenu, peu ou beaucoup moins, de mathématiques que le mien, d'autant plus que, depuis qu'"ils s'y sont remis", ça faisait, sans doute, un bail qu'ils n'en avaient plus refait, mais cela n'explique pas pourquoi ils sont beaucoup et bien plus barjos que moi et puis surtout, à âge égal, que mon père. Citation de [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] : "''[[Discussion_utilisateur:Ereduverseau#Laboratoire_de_recherche|Je ne suis pas encore décédé et j’espère bien avoir la Fields à 100 ans.]]''". Non seulement, on ne peut pas obtenir la médaille Fields, après 40 ans, sauf si, conformément, à ses croyances, il parvient à se réincarner, à moins qu'il espère plutôt le et qu'il ait voulu plutôt parler du prix Abel et encore il ne faut pas trop rêver non plus, surtout au vu de son âge, mais aussi, aux vues de ses productions mathématiques, il a, à mon avis, un peu trop, d'espoir, d'illusion et de présomption, et un peu trop, la grosse tête, même s'il lui arrive, aussi, parfois, de se montrer, sous des jours modestes, tout comme [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], sauf que lui ne montre, jamais, une seule once de modestie. Mais [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a quand même des circonstances atténuantes, il a eu des coups durs dans sa vie, il a eu un accident de voiture dont il a gardé des séquelles, probablement, neurologiques, aussi, a perdu des êtres chers et a connu le cancer. Par ailleurs, [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] semble avoir des activités ou des objectifs non illusoires dans le domaine du jeu, mais je ne sais pas s'il s'agit du même [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Br'''é'''jon (Les travaux de recherche partiels de)]], mais plutôt de Patrick Br'''e'''jon, sans l'accent aigu sur le "e", mais je pense que c'est la même personne : [http://twpublic.com/ereduverseau/ Patrick Bréjon's Twitter Account ereduverseau] et [https://www.lescasinos.org/actualites.php?id=3649&q=filiales Lundi 4 novembre 2013 : Groupe Partouche : les administrateurs et le mandataire judiciaires ont été nommés (1)] et [https://fr.ulule.com/jeu-cartes/ NOUVEAU CONCEPT de JEUX dont CARTES]. Il a même [http://www.lavoixdunord.fr/archive/recup%3A%252Fregion%252Fferriere-la-grande-patrick-brejon-l-homme-qui-souhaite-ia23b44361n2849794 sa page de gloire dans un journal local]. Si ce qui vient d'être dit, précédemment, est vrai, c'est bluffant, car il y aurait un grand décalage paradoxal entre l'image pitoyable et risible qu'il donne de lui sur [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|(La) Wikiversité/Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] et l'image qu'il donne de lui, (par) ailleurs. Après tout, même si on peut considérer qu'il n'est pas, vraiment, diplômé et compétent, en Mathématiques, il a, tout de même, [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 un BAC+5 de l'École Supméca Cesti], et, par ailleurs, son idée commerciale n'a rien, d'extraordinaire, et je ne sais pas si elle a porté ses fruits. '''§9bis)''' '''Patrick Bréjon "le retour" :''' bonjour et re depuis le temps. Oui , j'existe bien et je suis bien ce que j'ai dit. Oui, ce sont surtout des études calculatoires sur du numérique car je n'ai pas le niveau Universitaire. Non, pas inutiles car elles seront utiles aux prévisions à long terme et à assurer celles incertaines pour l'instant. Oui , beaucoup de travaux fantaisistes pour le fun. Deux membres ont reconnu la valeur de certains travaux, calcul rapide des coefficients de Lagrange et résolution de toutes les équa diff. '''§10)''' J'aurais aimé qu'il y ait au moins un intervenant examinateur sérieux et de qualité, mais la Wikiversité est un désert d'errance pour paumés, désespérés ou désœuvrés ou pour personnes, en mal de reconnaissance, de gloire ou de notoriété ou qui veulent, tout simplement, que leurs travaux leur survivent, mais, rarement, de manière légitime et méritée, qui peut en faire fuir plus d'un et en dissuader beaucoup d'y poster, ces derniers craignant de subir la honte, la risée, et le discrédit de bon nombre, en y déposant, en y postant ou en y divulguant leurs travaux. Moi, je n'ai pas le choix, je ne suis ni thésard, ni maître de conférences et je ne dépends d'aucun laboratoire de recherche d'université ou de grande école ou d'institution publique ou privée reconnue, et de fait, je ne peux poster ou publier, officiellement, que sur la Wikiversité ou sur Vixra, mes seules chances de salut. Mais j'ai, tout de même, passé beaucoup de temps, à peaufiner mes travaux, pour qu'ils aient leur forme actuelle, même si ce n'est sans doute pas leur forme finale et achevée, en suivant les conseils de certains intervenants de certains forums de mathématiques, même si, à cause du fait que j'avais eu un mal fou à les exprimer et du fait que leurs formes antérieures ne pouvaient pas passer, en l'état, j'ai dû subir des bannissements. Certainement, le prix à payer, pour des travaux de recherche, personnels, en mathématiques, comme les miens et pour un homme, comme moi. Tous ceux qui postent sur la Wikiversité ont, nécessairement, un petit grain de folie, mais, me concernant, la comparaison s'arrête là. Je me demande, si cela sert, vraiment, à quelque chose de poster des travaux personnels sur la Wikiversité. J'ai l'impression que c'est un espace, volontairement, délaissé et, spécialement, créé pour attirer les, répondre aux et contenter les farfelus, les illuminés voire les personnes mystiques et ésotériques, croyant aux forces surnaturelles, à la réincarnation et à l'au-delà, ou les personnes, psychiquement, dérangées ou psychiquement, atteintes, ou non stabilisées, qui représentent une bonne partie, si ce n'est pas la majeure partie des intervenants qui viennent y poster des travaux inédits, et ce afin qu'ils n'aillent pas polluer ailleurs. '''§11)''' Pour le fun, j'ai des idées de pseudos que je n'ai jamais testées, pour les nouveaux intervenants, à qui cela tenterait, comme "L'homme supérieur (et modeste)", "Grand maître vénéré tout puissant", en précisant que vous souhaitez que l'on vous appelle avec un diminutif contenant, strictement, un ou plusieurs mots de ce pseudo, "L'homme hyper sérieux", "L'homme sérieux ou la femme sérieuse de la Wikiversité" ou "L'intrus ou l'exception de la Wikiversité, dans le sens positif du terme". Cela dit, l'homme supérieur de la Wikiversité, doit, sérieusement, relativiser sa supériorité. Par ailleurs, les 2 premiers pseudos proposés pourraient être associés ou couplés avec des pseudos du type : "Détritus", "Déchet humain", "Minable", "Minus", "Médiocre", "Misérable petit nain", "Bon à rien", "Moins que rien", ou "Sous-sous-sous- ... -sous-merde", pour créer des duos d'intervenants, explosifs et surréalistes. 9v8g52x3i33xfe5ego4bjvl56uyp98e 986078 986077 2026-08-29T14:58:36Z Guillaume FOUCART 39841 986078 wikitext text/x-wiki Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de Gibbs 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 'F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)' '''sur Research Gate'''] *[[Recherche:Essence,_existence,_puissance_(d'interaction),_philosophiques,_formalisées_mathématiquement,_dans_le_cadre_de_la_mécanique_newtonienne|Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Brouillon|Brouillon]] [https://www.philo-et-societe-2-0.com/ Mon forum] Remarque : Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. =A mon sujet= '''§1)''' Titulaire d'un M2 RECHERCHE de Mathématiques de l'Université de ROUEN (2004-2008), obtenu, en 4 ans, de manière exceptionnelle, avec la mention AB, avec 12,225/20 de moyenne. Je n'ai jamais redoublé auparavant, et le M2 RECHERCHE, dont il est question, ne m'a pas permis de poursuivre en thèse. Je n'ai fait que des études de Mathématiques, sauf durant ma "L1" et ma "L2", où j'ai fait, aussi, de la physique et de l'informatique. J'ai été, pour les seules fois où je l'ai passé, 3 fois, consécutivement, admissible, au CAPES externe de Mathématiques, entre 2014 et 2016. Mais, en même temps, si je n'avais pas vécu tout cela, je n'aurais pas pu faire l'expérience d'un spectre assez large de nouvelles matières, et je n'aurais pas vécu dans diverses villes universitaires de FRANCE. J'ai eu mon M1 MA d'AMU à distance (2018-2021) avec 11,814/20 de moyenne. L'art d'échouer, de peu, mais dans l'honneur, au M2 MA CEPS d'AMU à distance (2021-2024) : En effet, j'ai eu 4 UE/5 au S3 en ayant eu 12/20, 11/20, 10/20 (UE validée en 2022-2023), 00/20 et 12,7/20, soit 09,14/20 de moyenne au S3 : Il m'aurait seulement fallu avoir 04,3/20 au lieu du 00/20 en Statistique mathématique et méthodes des ondelettes, pour avoir le S3. Par ailleurs au S4, j'ai eu 13/20 à 1 UE (UE validée en 2021-2022) et malheureusement, je ne peux pas l'échanger avec l'UE du S3 où j'ai eu 00/20. Les semestres ne se compensant pas, je ne pourrai pas poursuivre le S4 et donc faire le stage et comme je ne peux plus redoubler (*), je ne pourrai pas poursuivre mon M2 et ce dernier s'arrêtera donc là. Honnêtement, je ne pensais pas avoir la moyenne aux UE où j'ai eu 12/20 et 11/20, l'UE où j'ai eu 12,7/20 correspond à mes attentes et comme je savais que j'avais 00/20 à 1 UE, je ne pensais pas pouvoir valider le S3 donc le M2. Mais étant donnés mes résultats, échouer de cette façon là est regrettable. (*) Depuis cette année, les règles de redoublements ont changé et on ne peut plus passer 1 UE plus de 2 fois, sinon on est {éliminé|exclus} du M2, et ces règles sont rétroactives, mais les responsables du M2 ont pu obtenir une dérogation, cette année. Par ailleurs, les règles se sont durcies et concernant chaque UE, il faut avoir au moins 08/20 à l'examen pour que les devoirs soient pris en compte. Par ailleurs, il n'y a pas de session de rattrapage. Dans ce M2, il n'est pas possible de s'inscrire à des UE {supplémentaires en plus de celles exigées|surnuméraires} et il n'y a aucune UE optionnelle. Le M2 MA CEPS deviendra l'an prochain le M2 MA ANADEAL. '''§2)''' Il faut dire que j'avais une idée faussée des conditions d'accès au métier de maître de conférences : Dès la "L1", je pensais, naïvement, qu'il suffisait d'avoir son M2 RECHERCHE, pour être admis en thèse, puis qu'il suffisait d'avoir sa thèse ou son doctorat, pour devenir maître de conférences : De fait et aussi pour des raisons personnelles, j'ai juste cherché à avoir mes diplômes, sans, nécessairement, chercher à avoir les meilleures moyennes possibles et les meilleures mentions possibles. '''§3)''' De toute façon, hormis les métiers de la recherche en Mathématiques, en Philosophie générale de Tout, des sciences et de l'esprit, ainsi que morale, et en Neurosciences voire les métiers concernant la Composition musicale/Création musicale, ''grosso modo'', le reste ne m'intéresse pas, et pour, ainsi dire, je ne suis pas fait pour l'enseignement dans le primaire et le secondaire, et je ne suis pas fait pour tous les métiers d'ingénieur, or je suis condamné à ne pas devenir maître de conférences en Mathématiques, les années passent et il serait grand temps pour moi d'avoir un emploi. '''§4)''' De toute façon, beaucoup font, avant tout et bien plus, un métier, pour faire carrière, réussir dans la vie, avoir un statut social, et paraître, briller et se la jouer en société, en voyant le pouvoir, avant tout, comme une fin, que par goût ou par passion ou pour réussir leur vie, en voyant le pouvoir, avant tout, comme un moyen, ce qui n'est pas mon mode de fonctionnement ni ma façon de concevoir les choses. =Au sujet des intervenants du Département de recherche de la Faculté de Mathématiques de la Wikiversité (du moins de certains)= '''§5)''' Dans la Wikiversité, et en particulier, dans la section des Travaux de Recherche en Mathématiques, il y a très peu d'intervenants, et ces derniers, sauf, peut-être, à de rares exceptions, sont encore bien plus "tarés", bien plus "timbrés", bien plus "à la masse" et bien plus loufoques et farfelus que moi, moi qui le suis peu, et n'ont apparemment jamais vu un seul article de recherche en mathématiques, de leur vie, et n'ont pas la moindre idée de ce que c'est que faire de la recherche en mathématiques, et ils ont souvent, un niveau en mathématiques, très restreint, atteignant à peine la L2 et même pas la L3 ou le M1, encore moins le M2 ou le doctorat. '''§6)''' [https://rhaflimarouane.wordpress.com/ Marouane Rhafli] ou [[Utilisateur:Marouane rhafli|Marouane Rhafli]], encore, un illuminé, de plus, qui croit avoir résolu une conjecture célèbre qui résiste depuis des siècles, comme la conjecture de Goldbach, en quelques pages, avec des arguments relativement simples, basiques et élémentaires. '''§7) [ancien §8)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Plutôt que de poster comme [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]], des tonnes de travaux futiles et superficiels, dont l'intérêt n'est que purement calculatoire, soit pour en mettre, faussement, plein la vue, soit parce qu'il croit, vraiment, avoir, ainsi, montré, en s'en étant convaincu lui-même, mais à tort, qu'il a fait, qu'il a accompli, et qu'il s'est intéressé à et passionné pour beaucoup de choses dignes d'intérêt, autant en poster un seul ou quelques uns (de) sérieux et (d') approfondis. De plus, on peut lui faire les mêmes reproches que [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] : Il a, certes, exprimé des phrases très claires et fortement inspirées, pleines de considération, d'illumination et d'espoir, concernant ses travaux mathématiques, mais en revanche quand on regarde, vraiment, de près, le fond et la forme de ces derniers, c'est la désillusion : Cf. par exemple, [[Recherche:Vers une véritable généralisation opérationnelle de la Transformée de Fourier généralisée in memorian]] qui sont des travaux où les "raisonnements mathématiques" sont très mal expliqués, très mal justifiés, très peu détaillés et très peu synthétiques et où il y a parfois dans certains calculs ou certains raisonnements calculatoires, des passages d'étape à une autre, qui sont {bons|justes|vrais}, mais qui sont sans intérêt, et sinon ce n'est, franchement, que du pur délire ou du pur n'importe quoi. '''§8) [ancien §9)]''' ''Les travaux de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] vont être supprimés : [[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Base_logique_des_structures_hypercomplexes|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:05 (UTC) Incroyables mais vraies ! : La page de recherche ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], et les discussions ([[Discussion Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) entre [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Utilisateur:Flashmath|Flashmath]] (qui semble, apparemment, plus sérieux, dans ses leçons), et en plus, ils se comprennent entre eux, c'est à se demander si ces deux là ne sont pas une seule et même personne : Moi, je dis que pour la plupart de leurs discours, c'est, essentiellement, du baratin : Il est peu question d'objets mathématiques explicites définis formellement, rigoureusement et de manière cohérente, juste du délayage de phrases et d'élucubrations, avec souvent emploi de mots non utilisés, selon les définitions existantes, en vigueur, ou, alors, utilisés, selon des définitions très vagues, très confuses, très ambigües ou personnelles, et du jargon ou du verbiage, qui peut-être n'est pas, nécessairement, utilisé, dans le but conscient, réfléchi et volontaire, de meubler et d'habiller, même si, au final, c'est tout comme, mais qui est inconsistant, confus, évaporé, désorganisé, opaque, creux, vaseux, voire pompeux, fumeux et délirant '''('''même, dans le cas où il ne s'en rendrait pas compte et où son travail serait sincère, et même, dans le cas contraire, où il ferait, tout simplement, cela, pour paraître et faire savant et se faire considérer comme un homme supérieurement intelligent, car incompris des masses et du plus grand nombre, ou disons le, plutôt, franchement, de tous, y compris de lui-même''')''', ou inapproprié ou qui n'a, tout simplement, pas de sens et qui n'a que peu de rapport, avec les, voire qui est presque complètement déconnecté des mathématiques, voire même qui est pathologique, au sens psychiatrique du terme, pour désigner des objets qui pourraient, très vraisemblablement, lorsque tel est, bien, le cas, être désignés plus simplement et plus clairement : L'auteur n'a visiblement pas les idées très claires : On dirait du mauvais Lacan, lui qui était un imposteur, tout comme Freud, et pour lequel tout ce qu'il a dit et écrit n'était que du chiqué (pour épater et éblouir les gogos), cf. "Le livre noir de la psychanalyse" écrit par un collectif d'auteurs et "Impostures intellectuelles" d'Alain Sokal et Jean Bricmont. De plus, il croit pouvoir démontrer ou il croit avoir démontré le [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Dernier théorème de Fermat]], d'une autre manière que [[w:Andrew_Wiles|Andrew Wiles]], en très peu de pages. '''Par ailleurs''', apparemment, le mot "curvilinéaire" (Je connais plutôt le mot "curviligne") et le terme "topologie quantique" ([https://www.google.fr/search?client=browser-ubuntu&channel=fe&hl=fr&dcr=0&biw=1301&bih=639&q=%22topologie+quantique%22&oq=%22topologie+quantique%22&gs_l=psy-ab.3..0i22i30k1l2.3401.5260.0.6130.2.2.0.0.0.0.97.175.2.2.0....0...1.1.64.psy-ab..0.2.175...0j0i8i30k1.0.RfGkg3jLvVE Recherche "topologie quantique" sur Google], Cf. aussi [http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm/publications/habilitation.pdf Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois]) semblent exister, mais de manière, relativement, rare, sur les moteurs de recherche, et la notion de [[w:Nombre_hypercomplexe|nombre hypercomplexe]] (ainsi que la [https://www.google.fr/search?q=géométrie+hypercomplexe&client=firefox-b&dcr=0&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0ahUKEwjptZ35j9rWAhUlD8AKHdcuB_AQsAQIWw&biwhttps://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm=1304&bih=644 géométrie qui va avec]) existe belle et bien dans la littérature et est une généralisation de la notion de nombre complexe, mais [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ne les utilise pas dans ce sens là, mais dans un sens bien à lui ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes/Annexe/Glossaire#hypercomplexe]]). À mon avis, vu comment il parle de ses travaux, c'est-à-dire très mal et presque de façon, quasiment, incompréhensible et hermétique, avec des mots très mal choisis, et qui n'est, nullement, un signe de supériorité intellectuelle, et étant donné le niveau et la complexité des domaines dont il parle (surtout la topologie quantique) : Il ne les maîtrise, tout bonnement pas ou à peine ou les utilise à mauvais escient, dans des domaines et des contextes qui n'ont, strictement, {rien à voir|aucun rapport}, à moins que ce ne soit un domaine de sa propre invention, utilisant et reprenant le nom de théories déjà existantes, tout comme c'est déjà le cas pour sa géométrie et ses structures hypercomplexes : Ce qui n'est pas pour aider. '''Ajout 04-07-2024 :''' [https://bonpote.com/loi-de-brandolini-doit-on-repondre-aux-cons/ '''Loi de Brandolini : Doit-on répondre aux cons ?'''] '''Loi de Brandolini :''' ''"La quantité d’énergie nécessaire pour réfuter des idioties est supérieure d’un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire."'' '''et donc si je devais rapporter toutes les inepties et tous les passages verbeux, fumeux, pompeux et élucubratoires ayant peu d'intérêt voire aucun intérêt, et si devais réfuter, une à une, toutes les idioties de Supreme assis, il me faudrait beaucoup plus de temps qu'il ne lui en a fallu pour produire et rédiger ses "travaux" ou plutôt ses textes. Ce que je me refuse de faire. En fait de tels textes devraient être supprimés sans aucune justification ou presque : Le préambule que j'ai écrit devant suffire.''' '''§9) [ancien §10)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Je critique [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] et [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], mais moi-même, je n'ai pas été exempt sur Les-mathematiques.net, même si moi, contrairement à eux, j'en avais conscience et que j'ai passé, en tout et pour tout, 3 fois, le CAPES externe de mathématiques ([https://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm Annales des écrits du CAPES externe de mathématiques depuis l'année 1984]), en ayant été admissible 3 fois, consécutivement, entre 2014 et 2016, et en ayant eu, respectivement, 19,79/40 (10,89/20 + 08,90/20); 18,53/40 (12,22/20 + 06,31/20) et 14,77/40 (08,55/20 + 06,22/20), avec respectivement, des barres d'admissibilité de 12/40; 11,4/40 et 12/40 [Je sais que compte tenu de mon niveau universitaire, du niveau actuel du CAPES externe de mathématiques et du niveau général actuel de ses candidats, ce n'est pas glorieux : Aux écrits, en travaillant plus, j'aurais sans doute pu avoir au moins 30/40, mais en 2014, j'aurais dû être plus vigilant sur certaines de mes réponses, et en 2015 et en 2016, l'écrit 1 de 2016 ne m'a pas semblé facile (encore que j'aurais pu résoudre certaines questions que je n'ai pas traitées), les probabilités m'ont lourdement pénalisé et la forme des écrits 2 de 2015 et de 2016 et de certaines de leurs questions m'ont dérouté], mais sans jamais avoir été admis et en ayant, même, eu des 00/20 éliminatoires, à 3 oraux sur 6, mais aucun en 2014 ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] dit avoir été de la promotion ENAC 1968, mais ses facultés psychiques et intellectuelles semblent s'être, grandement, altérées ou dégradées, depuis). Je sais ce que c'est qu'avoir une intuition ou une idée fixe, plus ou moins vague ou confuse, parfois fausse ou mauvaise, qu'on a beaucoup de mal ou qu'on ne parvient pas à exprimer mathématiquement, et qui peut s'avérer être une impasse ou être stérile ou être une inepsie voire une folie : J'ai ainsi produit, sur Les-mathematiques.net, des textes, avec beaucoup de formules, de "formalisations" et peu d'explications (car ça me prenait trop de temps), en grande partie abscons et incompréhensibles, en l'état, et qui auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel, au lieu d'être soumis à un forum, mais j'avais besoin d'aide. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ne détaille pas et ne se justifie pas assez ou vraiment, très mal, et laisse, à tort, beaucoup d'étapes et de calculs, à la charge du lecteur : Mais on voit bien que la plupart de ses travaux sont faux ou ne veulent rien dire ou sont très mal expliqués ou sont sans intérêt. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a été étudiant à [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 l'École Supméca Cesti entre 1969 à 1972] [http://copainsdavant.linternaute.com/p/patrick-brejon-15430792 Cursus de Patrick Bréjon] ([https://www.google.fr/search?q=%22patrick+bréjon%22+et+%22jeux%22&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=gE83dKUZFp8FvM%253A%252CXLJlcf-FTbyK-M%252C_&usg=__Wjy9HMZMu2DXfEYBX2R3eyUE36Y%3D&sa=X&ved=0ahUKEwj277SlmaTbAhXMbRQKHcJiBVgQ9QEIPjAD#imgrc=gE83dKUZFp8FvM: photo]), et n'a même pas le niveau d'un étudiant moyen de L2 ou de L3, en Mathématiques, actuels. Moi, j'ai été étudiant moyen, en Mathématiques, dans de simples universités de province et je suis apparemment beaucoup moins barjo et bien meilleur en mathématiques que ces 2 "vieux" là ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]]), qui ont, ''grosso modo'', le même âge que mon père et qui ont été dans des Écoles supérieures, l'un, d'aviation, l'autre, de mécanique et de techniques industrielles, encore que c'est normal, puisque leurs cursus contiennent ou ont contenu, peu ou beaucoup moins, de mathématiques que le mien, d'autant plus que, depuis qu'"ils s'y sont remis", ça faisait, sans doute, un bail qu'ils n'en avaient plus refait, mais cela n'explique pas pourquoi ils sont beaucoup et bien plus barjos que moi et puis surtout, à âge égal, que mon père. Citation de [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] : "''[[Discussion_utilisateur:Ereduverseau#Laboratoire_de_recherche|Je ne suis pas encore décédé et j’espère bien avoir la Fields à 100 ans.]]''". Non seulement, on ne peut pas obtenir la médaille Fields, après 40 ans, sauf si, conformément, à ses croyances, il parvient à se réincarner, à moins qu'il espère plutôt le et qu'il ait voulu plutôt parler du prix Abel et encore il ne faut pas trop rêver non plus, surtout au vu de son âge, mais aussi, aux vues de ses productions mathématiques, il a, à mon avis, un peu trop, d'espoir, d'illusion et de présomption, et un peu trop, la grosse tête, même s'il lui arrive, aussi, parfois, de se montrer, sous des jours modestes, tout comme [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], sauf que lui ne montre, jamais, une seule once de modestie. Mais [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a quand même des circonstances atténuantes, il a eu des coups durs dans sa vie, il a eu un accident de voiture dont il a gardé des séquelles, probablement, neurologiques, aussi, a perdu des êtres chers et a connu le cancer. Par ailleurs, [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] semble avoir des activités ou des objectifs non illusoires dans le domaine du jeu, mais je ne sais pas s'il s'agit du même [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Br'''é'''jon (Les travaux de recherche partiels de)]], mais plutôt de Patrick Br'''e'''jon, sans l'accent aigu sur le "e", mais je pense que c'est la même personne : [http://twpublic.com/ereduverseau/ Patrick Bréjon's Twitter Account ereduverseau] et [https://www.lescasinos.org/actualites.php?id=3649&q=filiales Lundi 4 novembre 2013 : Groupe Partouche : les administrateurs et le mandataire judiciaires ont été nommés (1)] et [https://fr.ulule.com/jeu-cartes/ NOUVEAU CONCEPT de JEUX dont CARTES]. Il a même [http://www.lavoixdunord.fr/archive/recup%3A%252Fregion%252Fferriere-la-grande-patrick-brejon-l-homme-qui-souhaite-ia23b44361n2849794 sa page de gloire dans un journal local]. Si ce qui vient d'être dit, précédemment, est vrai, c'est bluffant, car il y aurait un grand décalage paradoxal entre l'image pitoyable et risible qu'il donne de lui sur [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|(La) Wikiversité/Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] et l'image qu'il donne de lui, (par) ailleurs. Après tout, même si on peut considérer qu'il n'est pas, vraiment, diplômé et compétent, en Mathématiques, il a, tout de même, [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 un BAC+5 de l'École Supméca Cesti], et, par ailleurs, son idée commerciale n'a rien, d'extraordinaire, et je ne sais pas si elle a porté ses fruits. '''§9bis)''' '''Patrick Bréjon "le retour" :''' bonjour et re depuis le temps. Oui , j'existe bien et je suis bien ce que j'ai dit. Oui, ce sont surtout des études calculatoires sur du numérique car je n'ai pas le niveau Universitaire. Non, pas inutiles car elles seront utiles aux prévisions à long terme et à assurer celles incertaines pour l'instant. Oui , beaucoup de travaux fantaisistes pour le fun. Deux membres ont reconnu la valeur de certains travaux, calcul rapide des coefficients de Lagrange et résolution de toutes les équa diff. '''§10)''' J'aurais aimé qu'il y ait au moins un intervenant examinateur sérieux et de qualité, mais la Wikiversité est un désert d'errance pour paumés, désespérés ou désœuvrés ou pour personnes, en mal de reconnaissance, de gloire ou de notoriété ou qui veulent, tout simplement, que leurs travaux leur survivent, mais, rarement, de manière légitime et méritée, qui peut en faire fuir plus d'un et en dissuader beaucoup d'y poster, ces derniers craignant de subir la honte, la risée, et le discrédit de bon nombre, en y déposant, en y postant ou en y divulguant leurs travaux. Moi, je n'ai pas le choix, je ne suis ni thésard, ni maître de conférences et je ne dépends d'aucun laboratoire de recherche d'université ou de grande école ou d'institution publique ou privée reconnue, et de fait, je ne peux poster ou publier, officiellement, que sur la Wikiversité ou sur Vixra, mes seules chances de salut. Mais j'ai, tout de même, passé beaucoup de temps, à peaufiner mes travaux, pour qu'ils aient leur forme actuelle, même si ce n'est sans doute pas leur forme finale et achevée, en suivant les conseils de certains intervenants de certains forums de mathématiques, même si, à cause du fait que j'avais eu un mal fou à les exprimer et du fait que leurs formes antérieures ne pouvaient pas passer, en l'état, j'ai dû subir des bannissements. Certainement, le prix à payer, pour des travaux de recherche, personnels, en mathématiques, comme les miens et pour un homme, comme moi. Tous ceux qui postent sur la Wikiversité ont, nécessairement, un petit grain de folie, mais, me concernant, la comparaison s'arrête là. Je me demande, si cela sert, vraiment, à quelque chose de poster des travaux personnels sur la Wikiversité. J'ai l'impression que c'est un espace, volontairement, délaissé et, spécialement, créé pour attirer les, répondre aux et contenter les farfelus, les illuminés voire les personnes mystiques et ésotériques, croyant aux forces surnaturelles, à la réincarnation et à l'au-delà, ou les personnes, psychiquement, dérangées ou psychiquement, atteintes, ou non stabilisées, qui représentent une bonne partie, si ce n'est pas la majeure partie des intervenants qui viennent y poster des travaux inédits, et ce afin qu'ils n'aillent pas polluer ailleurs. '''§11)''' Pour le fun, j'ai des idées de pseudos que je n'ai jamais testées, pour les nouveaux intervenants, à qui cela tenterait, comme "L'homme supérieur (et modeste)", "Grand maître vénéré tout puissant", en précisant que vous souhaitez que l'on vous appelle avec un diminutif contenant, strictement, un ou plusieurs mots de ce pseudo, "L'homme hyper sérieux", "L'homme sérieux ou la femme sérieuse de la Wikiversité" ou "L'intrus ou l'exception de la Wikiversité, dans le sens positif du terme". Cela dit, l'homme supérieur de la Wikiversité, doit, sérieusement, relativiser sa supériorité. Par ailleurs, les 2 premiers pseudos proposés pourraient être associés ou couplés avec des pseudos du type : "Détritus", "Déchet humain", "Minable", "Minus", "Médiocre", "Misérable petit nain", "Bon à rien", "Moins que rien", ou "Sous-sous-sous- ... -sous-merde", pour créer des duos d'intervenants, explosifs et surréalistes. lb1gt7unkeillqg37nwkuwaibr1rqbd 986084 986078 2026-08-29T21:04:46Z Guillaume FOUCART 39841 986084 wikitext text/x-wiki Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de Gibbs 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)''' '''''(sur Research Gate)'''''] *[[Recherche:Essence,_existence,_puissance_(d'interaction),_philosophiques,_formalisées_mathématiquement,_dans_le_cadre_de_la_mécanique_newtonienne|Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Brouillon|Brouillon]] [https://www.philo-et-societe-2-0.com/ Mon forum] Remarque : Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. =A mon sujet= '''§1)''' Titulaire d'un M2 RECHERCHE de Mathématiques de l'Université de ROUEN (2004-2008), obtenu, en 4 ans, de manière exceptionnelle, avec la mention AB, avec 12,225/20 de moyenne. Je n'ai jamais redoublé auparavant, et le M2 RECHERCHE, dont il est question, ne m'a pas permis de poursuivre en thèse. Je n'ai fait que des études de Mathématiques, sauf durant ma "L1" et ma "L2", où j'ai fait, aussi, de la physique et de l'informatique. J'ai été, pour les seules fois où je l'ai passé, 3 fois, consécutivement, admissible, au CAPES externe de Mathématiques, entre 2014 et 2016. Mais, en même temps, si je n'avais pas vécu tout cela, je n'aurais pas pu faire l'expérience d'un spectre assez large de nouvelles matières, et je n'aurais pas vécu dans diverses villes universitaires de FRANCE. J'ai eu mon M1 MA d'AMU à distance (2018-2021) avec 11,814/20 de moyenne. L'art d'échouer, de peu, mais dans l'honneur, au M2 MA CEPS d'AMU à distance (2021-2024) : En effet, j'ai eu 4 UE/5 au S3 en ayant eu 12/20, 11/20, 10/20 (UE validée en 2022-2023), 00/20 et 12,7/20, soit 09,14/20 de moyenne au S3 : Il m'aurait seulement fallu avoir 04,3/20 au lieu du 00/20 en Statistique mathématique et méthodes des ondelettes, pour avoir le S3. Par ailleurs au S4, j'ai eu 13/20 à 1 UE (UE validée en 2021-2022) et malheureusement, je ne peux pas l'échanger avec l'UE du S3 où j'ai eu 00/20. Les semestres ne se compensant pas, je ne pourrai pas poursuivre le S4 et donc faire le stage et comme je ne peux plus redoubler (*), je ne pourrai pas poursuivre mon M2 et ce dernier s'arrêtera donc là. Honnêtement, je ne pensais pas avoir la moyenne aux UE où j'ai eu 12/20 et 11/20, l'UE où j'ai eu 12,7/20 correspond à mes attentes et comme je savais que j'avais 00/20 à 1 UE, je ne pensais pas pouvoir valider le S3 donc le M2. Mais étant donnés mes résultats, échouer de cette façon là est regrettable. (*) Depuis cette année, les règles de redoublements ont changé et on ne peut plus passer 1 UE plus de 2 fois, sinon on est {éliminé|exclus} du M2, et ces règles sont rétroactives, mais les responsables du M2 ont pu obtenir une dérogation, cette année. Par ailleurs, les règles se sont durcies et concernant chaque UE, il faut avoir au moins 08/20 à l'examen pour que les devoirs soient pris en compte. Par ailleurs, il n'y a pas de session de rattrapage. Dans ce M2, il n'est pas possible de s'inscrire à des UE {supplémentaires en plus de celles exigées|surnuméraires} et il n'y a aucune UE optionnelle. Le M2 MA CEPS deviendra l'an prochain le M2 MA ANADEAL. '''§2)''' Il faut dire que j'avais une idée faussée des conditions d'accès au métier de maître de conférences : Dès la "L1", je pensais, naïvement, qu'il suffisait d'avoir son M2 RECHERCHE, pour être admis en thèse, puis qu'il suffisait d'avoir sa thèse ou son doctorat, pour devenir maître de conférences : De fait et aussi pour des raisons personnelles, j'ai juste cherché à avoir mes diplômes, sans, nécessairement, chercher à avoir les meilleures moyennes possibles et les meilleures mentions possibles. '''§3)''' De toute façon, hormis les métiers de la recherche en Mathématiques, en Philosophie générale de Tout, des sciences et de l'esprit, ainsi que morale, et en Neurosciences voire les métiers concernant la Composition musicale/Création musicale, ''grosso modo'', le reste ne m'intéresse pas, et pour, ainsi dire, je ne suis pas fait pour l'enseignement dans le primaire et le secondaire, et je ne suis pas fait pour tous les métiers d'ingénieur, or je suis condamné à ne pas devenir maître de conférences en Mathématiques, les années passent et il serait grand temps pour moi d'avoir un emploi. '''§4)''' De toute façon, beaucoup font, avant tout et bien plus, un métier, pour faire carrière, réussir dans la vie, avoir un statut social, et paraître, briller et se la jouer en société, en voyant le pouvoir, avant tout, comme une fin, que par goût ou par passion ou pour réussir leur vie, en voyant le pouvoir, avant tout, comme un moyen, ce qui n'est pas mon mode de fonctionnement ni ma façon de concevoir les choses. =Au sujet des intervenants du Département de recherche de la Faculté de Mathématiques de la Wikiversité (du moins de certains)= '''§5)''' Dans la Wikiversité, et en particulier, dans la section des Travaux de Recherche en Mathématiques, il y a très peu d'intervenants, et ces derniers, sauf, peut-être, à de rares exceptions, sont encore bien plus "tarés", bien plus "timbrés", bien plus "à la masse" et bien plus loufoques et farfelus que moi, moi qui le suis peu, et n'ont apparemment jamais vu un seul article de recherche en mathématiques, de leur vie, et n'ont pas la moindre idée de ce que c'est que faire de la recherche en mathématiques, et ils ont souvent, un niveau en mathématiques, très restreint, atteignant à peine la L2 et même pas la L3 ou le M1, encore moins le M2 ou le doctorat. '''§6)''' [https://rhaflimarouane.wordpress.com/ Marouane Rhafli] ou [[Utilisateur:Marouane rhafli|Marouane Rhafli]], encore, un illuminé, de plus, qui croit avoir résolu une conjecture célèbre qui résiste depuis des siècles, comme la conjecture de Goldbach, en quelques pages, avec des arguments relativement simples, basiques et élémentaires. '''§7) [ancien §8)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Plutôt que de poster comme [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]], des tonnes de travaux futiles et superficiels, dont l'intérêt n'est que purement calculatoire, soit pour en mettre, faussement, plein la vue, soit parce qu'il croit, vraiment, avoir, ainsi, montré, en s'en étant convaincu lui-même, mais à tort, qu'il a fait, qu'il a accompli, et qu'il s'est intéressé à et passionné pour beaucoup de choses dignes d'intérêt, autant en poster un seul ou quelques uns (de) sérieux et (d') approfondis. De plus, on peut lui faire les mêmes reproches que [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] : Il a, certes, exprimé des phrases très claires et fortement inspirées, pleines de considération, d'illumination et d'espoir, concernant ses travaux mathématiques, mais en revanche quand on regarde, vraiment, de près, le fond et la forme de ces derniers, c'est la désillusion : Cf. par exemple, [[Recherche:Vers une véritable généralisation opérationnelle de la Transformée de Fourier généralisée in memorian]] qui sont des travaux où les "raisonnements mathématiques" sont très mal expliqués, très mal justifiés, très peu détaillés et très peu synthétiques et où il y a parfois dans certains calculs ou certains raisonnements calculatoires, des passages d'étape à une autre, qui sont {bons|justes|vrais}, mais qui sont sans intérêt, et sinon ce n'est, franchement, que du pur délire ou du pur n'importe quoi. '''§8) [ancien §9)]''' ''Les travaux de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] vont être supprimés : [[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Base_logique_des_structures_hypercomplexes|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:05 (UTC) Incroyables mais vraies ! : La page de recherche ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) de [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], et les discussions ([[Discussion Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]]) entre [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Utilisateur:Flashmath|Flashmath]] (qui semble, apparemment, plus sérieux, dans ses leçons), et en plus, ils se comprennent entre eux, c'est à se demander si ces deux là ne sont pas une seule et même personne : Moi, je dis que pour la plupart de leurs discours, c'est, essentiellement, du baratin : Il est peu question d'objets mathématiques explicites définis formellement, rigoureusement et de manière cohérente, juste du délayage de phrases et d'élucubrations, avec souvent emploi de mots non utilisés, selon les définitions existantes, en vigueur, ou, alors, utilisés, selon des définitions très vagues, très confuses, très ambigües ou personnelles, et du jargon ou du verbiage, qui peut-être n'est pas, nécessairement, utilisé, dans le but conscient, réfléchi et volontaire, de meubler et d'habiller, même si, au final, c'est tout comme, mais qui est inconsistant, confus, évaporé, désorganisé, opaque, creux, vaseux, voire pompeux, fumeux et délirant '''('''même, dans le cas où il ne s'en rendrait pas compte et où son travail serait sincère, et même, dans le cas contraire, où il ferait, tout simplement, cela, pour paraître et faire savant et se faire considérer comme un homme supérieurement intelligent, car incompris des masses et du plus grand nombre, ou disons le, plutôt, franchement, de tous, y compris de lui-même''')''', ou inapproprié ou qui n'a, tout simplement, pas de sens et qui n'a que peu de rapport, avec les, voire qui est presque complètement déconnecté des mathématiques, voire même qui est pathologique, au sens psychiatrique du terme, pour désigner des objets qui pourraient, très vraisemblablement, lorsque tel est, bien, le cas, être désignés plus simplement et plus clairement : L'auteur n'a visiblement pas les idées très claires : On dirait du mauvais Lacan, lui qui était un imposteur, tout comme Freud, et pour lequel tout ce qu'il a dit et écrit n'était que du chiqué (pour épater et éblouir les gogos), cf. "Le livre noir de la psychanalyse" écrit par un collectif d'auteurs et "Impostures intellectuelles" d'Alain Sokal et Jean Bricmont. De plus, il croit pouvoir démontrer ou il croit avoir démontré le [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Dernier théorème de Fermat]], d'une autre manière que [[w:Andrew_Wiles|Andrew Wiles]], en très peu de pages. '''Par ailleurs''', apparemment, le mot "curvilinéaire" (Je connais plutôt le mot "curviligne") et le terme "topologie quantique" ([https://www.google.fr/search?client=browser-ubuntu&channel=fe&hl=fr&dcr=0&biw=1301&bih=639&q=%22topologie+quantique%22&oq=%22topologie+quantique%22&gs_l=psy-ab.3..0i22i30k1l2.3401.5260.0.6130.2.2.0.0.0.0.97.175.2.2.0....0...1.1.64.psy-ab..0.2.175...0j0i8i30k1.0.RfGkg3jLvVE Recherche "topologie quantique" sur Google], Cf. aussi [http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm/publications/habilitation.pdf Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois]) semblent exister, mais de manière, relativement, rare, sur les moteurs de recherche, et la notion de [[w:Nombre_hypercomplexe|nombre hypercomplexe]] (ainsi que la [https://www.google.fr/search?q=géométrie+hypercomplexe&client=firefox-b&dcr=0&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0ahUKEwjptZ35j9rWAhUlD8AKHdcuB_AQsAQIWw&biwhttps://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm=1304&bih=644 géométrie qui va avec]) existe belle et bien dans la littérature et est une généralisation de la notion de nombre complexe, mais [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] ne les utilise pas dans ce sens là, mais dans un sens bien à lui ([[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes/Annexe/Glossaire#hypercomplexe]]). À mon avis, vu comment il parle de ses travaux, c'est-à-dire très mal et presque de façon, quasiment, incompréhensible et hermétique, avec des mots très mal choisis, et qui n'est, nullement, un signe de supériorité intellectuelle, et étant donné le niveau et la complexité des domaines dont il parle (surtout la topologie quantique) : Il ne les maîtrise, tout bonnement pas ou à peine ou les utilise à mauvais escient, dans des domaines et des contextes qui n'ont, strictement, {rien à voir|aucun rapport}, à moins que ce ne soit un domaine de sa propre invention, utilisant et reprenant le nom de théories déjà existantes, tout comme c'est déjà le cas pour sa géométrie et ses structures hypercomplexes : Ce qui n'est pas pour aider. '''Ajout 04-07-2024 :''' [https://bonpote.com/loi-de-brandolini-doit-on-repondre-aux-cons/ '''Loi de Brandolini : Doit-on répondre aux cons ?'''] '''Loi de Brandolini :''' ''"La quantité d’énergie nécessaire pour réfuter des idioties est supérieure d’un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire."'' '''et donc si je devais rapporter toutes les inepties et tous les passages verbeux, fumeux, pompeux et élucubratoires ayant peu d'intérêt voire aucun intérêt, et si devais réfuter, une à une, toutes les idioties de Supreme assis, il me faudrait beaucoup plus de temps qu'il ne lui en a fallu pour produire et rédiger ses "travaux" ou plutôt ses textes. Ce que je me refuse de faire. En fait de tels textes devraient être supprimés sans aucune justification ou presque : Le préambule que j'ai écrit devant suffire.''' '''§9) [ancien §10)]''' ''NB : [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] s'est retiré du Département de recherche en mathématiques.'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 14 juin 2018 à 20:42 (UTC) ''[[Wikiversité:Pages_à_supprimer/Recherche:Travaux_de_recherche_partiels_de_Patrick_Bréjon|Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]].'' [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discussion]]) 24 juin 2018 à 10:04 (UTC) Je critique [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] et [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], mais moi-même, je n'ai pas été exempt sur Les-mathematiques.net, même si moi, contrairement à eux, j'en avais conscience et que j'ai passé, en tout et pour tout, 3 fois, le CAPES externe de mathématiques ([https://capes-math.univ-rennes1.fr/Annales.htm Annales des écrits du CAPES externe de mathématiques depuis l'année 1984]), en ayant été admissible 3 fois, consécutivement, entre 2014 et 2016, et en ayant eu, respectivement, 19,79/40 (10,89/20 + 08,90/20); 18,53/40 (12,22/20 + 06,31/20) et 14,77/40 (08,55/20 + 06,22/20), avec respectivement, des barres d'admissibilité de 12/40; 11,4/40 et 12/40 [Je sais que compte tenu de mon niveau universitaire, du niveau actuel du CAPES externe de mathématiques et du niveau général actuel de ses candidats, ce n'est pas glorieux : Aux écrits, en travaillant plus, j'aurais sans doute pu avoir au moins 30/40, mais en 2014, j'aurais dû être plus vigilant sur certaines de mes réponses, et en 2015 et en 2016, l'écrit 1 de 2016 ne m'a pas semblé facile (encore que j'aurais pu résoudre certaines questions que je n'ai pas traitées), les probabilités m'ont lourdement pénalisé et la forme des écrits 2 de 2015 et de 2016 et de certaines de leurs questions m'ont dérouté], mais sans jamais avoir été admis et en ayant, même, eu des 00/20 éliminatoires, à 3 oraux sur 6, mais aucun en 2014 ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] dit avoir été de la promotion ENAC 1968, mais ses facultés psychiques et intellectuelles semblent s'être, grandement, altérées ou dégradées, depuis). Je sais ce que c'est qu'avoir une intuition ou une idée fixe, plus ou moins vague ou confuse, parfois fausse ou mauvaise, qu'on a beaucoup de mal ou qu'on ne parvient pas à exprimer mathématiquement, et qui peut s'avérer être une impasse ou être stérile ou être une inepsie voire une folie : J'ai ainsi produit, sur Les-mathematiques.net, des textes, avec beaucoup de formules, de "formalisations" et peu d'explications (car ça me prenait trop de temps), en grande partie abscons et incompréhensibles, en l'état, et qui auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel, au lieu d'être soumis à un forum, mais j'avais besoin d'aide. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ne détaille pas et ne se justifie pas assez ou vraiment, très mal, et laisse, à tort, beaucoup d'étapes et de calculs, à la charge du lecteur : Mais on voit bien que la plupart de ses travaux sont faux ou ne veulent rien dire ou sont très mal expliqués ou sont sans intérêt. [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a été étudiant à [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 l'École Supméca Cesti entre 1969 à 1972] [http://copainsdavant.linternaute.com/p/patrick-brejon-15430792 Cursus de Patrick Bréjon] ([https://www.google.fr/search?q=%22patrick+bréjon%22+et+%22jeux%22&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=gE83dKUZFp8FvM%253A%252CXLJlcf-FTbyK-M%252C_&usg=__Wjy9HMZMu2DXfEYBX2R3eyUE36Y%3D&sa=X&ved=0ahUKEwj277SlmaTbAhXMbRQKHcJiBVgQ9QEIPjAD#imgrc=gE83dKUZFp8FvM: photo]), et n'a même pas le niveau d'un étudiant moyen de L2 ou de L3, en Mathématiques, actuels. Moi, j'ai été étudiant moyen, en Mathématiques, dans de simples universités de province et je suis apparemment beaucoup moins barjo et bien meilleur en mathématiques que ces 2 "vieux" là ([[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]] et [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]]), qui ont, ''grosso modo'', le même âge que mon père et qui ont été dans des Écoles supérieures, l'un, d'aviation, l'autre, de mécanique et de techniques industrielles, encore que c'est normal, puisque leurs cursus contiennent ou ont contenu, peu ou beaucoup moins, de mathématiques que le mien, d'autant plus que, depuis qu'"ils s'y sont remis", ça faisait, sans doute, un bail qu'ils n'en avaient plus refait, mais cela n'explique pas pourquoi ils sont beaucoup et bien plus barjos que moi et puis surtout, à âge égal, que mon père. Citation de [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] : "''[[Discussion_utilisateur:Ereduverseau#Laboratoire_de_recherche|Je ne suis pas encore décédé et j’espère bien avoir la Fields à 100 ans.]]''". Non seulement, on ne peut pas obtenir la médaille Fields, après 40 ans, sauf si, conformément, à ses croyances, il parvient à se réincarner, à moins qu'il espère plutôt le et qu'il ait voulu plutôt parler du prix Abel et encore il ne faut pas trop rêver non plus, surtout au vu de son âge, mais aussi, aux vues de ses productions mathématiques, il a, à mon avis, un peu trop, d'espoir, d'illusion et de présomption, et un peu trop, la grosse tête, même s'il lui arrive, aussi, parfois, de se montrer, sous des jours modestes, tout comme [[Utilisateur:Supreme assis|Supreme assis]], sauf que lui ne montre, jamais, une seule once de modestie. Mais [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] a quand même des circonstances atténuantes, il a eu des coups durs dans sa vie, il a eu un accident de voiture dont il a gardé des séquelles, probablement, neurologiques, aussi, a perdu des êtres chers et a connu le cancer. Par ailleurs, [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Bréjon (Les travaux de recherche partiels de)]] alias [[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] semble avoir des activités ou des objectifs non illusoires dans le domaine du jeu, mais je ne sais pas s'il s'agit du même [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon|Patrick Br'''é'''jon (Les travaux de recherche partiels de)]], mais plutôt de Patrick Br'''e'''jon, sans l'accent aigu sur le "e", mais je pense que c'est la même personne : [http://twpublic.com/ereduverseau/ Patrick Bréjon's Twitter Account ereduverseau] et [https://www.lescasinos.org/actualites.php?id=3649&q=filiales Lundi 4 novembre 2013 : Groupe Partouche : les administrateurs et le mandataire judiciaires ont été nommés (1)] et [https://fr.ulule.com/jeu-cartes/ NOUVEAU CONCEPT de JEUX dont CARTES]. Il a même [http://www.lavoixdunord.fr/archive/recup%3A%252Fregion%252Fferriere-la-grande-patrick-brejon-l-homme-qui-souhaite-ia23b44361n2849794 sa page de gloire dans un journal local]. Si ce qui vient d'être dit, précédemment, est vrai, c'est bluffant, car il y aurait un grand décalage paradoxal entre l'image pitoyable et risible qu'il donne de lui sur [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|(La) Wikiversité/Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] et l'image qu'il donne de lui, (par) ailleurs. Après tout, même si on peut considérer qu'il n'est pas, vraiment, diplômé et compétent, en Mathématiques, il a, tout de même, [http://copainsdavant.linternaute.com/e/centre-d-etudes-superieures-des-techniques-industrielles-39660?page=12 un BAC+5 de l'École Supméca Cesti], et, par ailleurs, son idée commerciale n'a rien, d'extraordinaire, et je ne sais pas si elle a porté ses fruits. '''§9bis)''' '''Patrick Bréjon "le retour" :''' bonjour et re depuis le temps. Oui , j'existe bien et je suis bien ce que j'ai dit. Oui, ce sont surtout des études calculatoires sur du numérique car je n'ai pas le niveau Universitaire. Non, pas inutiles car elles seront utiles aux prévisions à long terme et à assurer celles incertaines pour l'instant. Oui , beaucoup de travaux fantaisistes pour le fun. Deux membres ont reconnu la valeur de certains travaux, calcul rapide des coefficients de Lagrange et résolution de toutes les équa diff. '''§10)''' J'aurais aimé qu'il y ait au moins un intervenant examinateur sérieux et de qualité, mais la Wikiversité est un désert d'errance pour paumés, désespérés ou désœuvrés ou pour personnes, en mal de reconnaissance, de gloire ou de notoriété ou qui veulent, tout simplement, que leurs travaux leur survivent, mais, rarement, de manière légitime et méritée, qui peut en faire fuir plus d'un et en dissuader beaucoup d'y poster, ces derniers craignant de subir la honte, la risée, et le discrédit de bon nombre, en y déposant, en y postant ou en y divulguant leurs travaux. Moi, je n'ai pas le choix, je ne suis ni thésard, ni maître de conférences et je ne dépends d'aucun laboratoire de recherche d'université ou de grande école ou d'institution publique ou privée reconnue, et de fait, je ne peux poster ou publier, officiellement, que sur la Wikiversité ou sur Vixra, mes seules chances de salut. Mais j'ai, tout de même, passé beaucoup de temps, à peaufiner mes travaux, pour qu'ils aient leur forme actuelle, même si ce n'est sans doute pas leur forme finale et achevée, en suivant les conseils de certains intervenants de certains forums de mathématiques, même si, à cause du fait que j'avais eu un mal fou à les exprimer et du fait que leurs formes antérieures ne pouvaient pas passer, en l'état, j'ai dû subir des bannissements. Certainement, le prix à payer, pour des travaux de recherche, personnels, en mathématiques, comme les miens et pour un homme, comme moi. Tous ceux qui postent sur la Wikiversité ont, nécessairement, un petit grain de folie, mais, me concernant, la comparaison s'arrête là. Je me demande, si cela sert, vraiment, à quelque chose de poster des travaux personnels sur la Wikiversité. J'ai l'impression que c'est un espace, volontairement, délaissé et, spécialement, créé pour attirer les, répondre aux et contenter les farfelus, les illuminés voire les personnes mystiques et ésotériques, croyant aux forces surnaturelles, à la réincarnation et à l'au-delà, ou les personnes, psychiquement, dérangées ou psychiquement, atteintes, ou non stabilisées, qui représentent une bonne partie, si ce n'est pas la majeure partie des intervenants qui viennent y poster des travaux inédits, et ce afin qu'ils n'aillent pas polluer ailleurs. '''§11)''' Pour le fun, j'ai des idées de pseudos que je n'ai jamais testées, pour les nouveaux intervenants, à qui cela tenterait, comme "L'homme supérieur (et modeste)", "Grand maître vénéré tout puissant", en précisant que vous souhaitez que l'on vous appelle avec un diminutif contenant, strictement, un ou plusieurs mots de ce pseudo, "L'homme hyper sérieux", "L'homme sérieux ou la femme sérieuse de la Wikiversité" ou "L'intrus ou l'exception de la Wikiversité, dans le sens positif du terme". Cela dit, l'homme supérieur de la Wikiversité, doit, sérieusement, relativiser sa supériorité. Par ailleurs, les 2 premiers pseudos proposés pourraient être associés ou couplés avec des pseudos du type : "Détritus", "Déchet humain", "Minable", "Minus", "Médiocre", "Misérable petit nain", "Bon à rien", "Moins que rien", ou "Sous-sous-sous- ... -sous-merde", pour créer des duos d'intervenants, explosifs et surréalistes. nagguf785l8v4p7yoehg1l1myv2ybjb 104 68308 986081 985773 2026-08-29T15:20:08Z Guillaume FOUCART 39841 986081 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = | niveau = }} Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de Gibbs 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume_FOUCART|Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 'F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)' '''sur Research Gate'''] =Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne, version 1(39)= == Résumé == Mes motivations sont de définir mathématiquement des concepts philosophiques bien choisis d'existence, d'essence et de puissance d'interaction. Il se peut que la formalisation mathématique de certaines notions ou de certains concepts philosophiques ait peu d'intérêt sur le plan mathématique : Cela ne veut pas, nécessairement, dire qu'il faille se tourner vers d'autres notions ou concepts, certes plus riches, mais polysémiques, fourre-tout ou plus flous (Par exemple comme le concept "amour" qui a plusieurs sens, qu'il conviendrait de distinguer). ==Essence et existence d'un corps évoluant dans le temps ou de son processus, formalisées mathématiquement (la matière qui le compose pouvant toujours exister après sa destruction)== ===Introduction et notion de dimension=== ==== Remarques ==== Nous nous plaçons dans un cadre proche de celui de la mécanique newtonienne, où <math>Tout</math> évolue dans le temps ou l'espace d'états <math>T = \R</math> (Remarque : On aurait pu aussi définir l'espace <math>T</math> comme une sous partie de <math>\R</math>, continue ou discontinue), une dimension temporelle éternelle, minimale, représentative de l'Histoire exhaustive de <math>Tout</math> (Cf définition plus bas), <math>\displaystyle{{\cal T} =\bigsqcup_{t \in T} T(t)}</math>, où <math>\forall t \in T, \,\, T(t)</math> est <math>Tout</math>, à l'instant <math>t</math>, c'est-à-dire la tranche de <math>{\cal T}</math> à l'instant <math>t</math>, avec <math>T(t) \neq \emptyset</math> et <math>{card}_Q(\{T(t)| t \in T\}) = {card}_Q(T)</math>. (Cf. plus bas pour la notation). On suppose de plus que <math>\forall t \in T, \exists n_t \in \N \,\, : \,\, T(t) \in \mathcal{P} \Big(\R^{n_t}(t)\Big)</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{\cal T} \in \mathcal{P} \Big(\bigsqcup_{t \in T} \R^{n_t}(t)\Big)}</math>. '''Remarque :''' <math>\forall t \in T, T(t) \,\, \mbox{peut être bornée}</math>, même si on peut concevoir fictivement et sur le plan mathématique, un espace non borné <math>\R^{n_t}(t)</math>, la contenant et allant au delà. '''Remarque :''' <math>\displaystyle{\forall t \in T, \,\, A(t) \in {\cal P}\Big(T(t)\Big), \emptyset(t) \subset A(t) \subset T(t) \,\, et \,\, \forall t_1,t_2 \in T, \,\, t_1 \neq t_2, \,\, \emptyset(t_1) \neq \emptyset, \,\, \emptyset(t_2) \neq \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\emptyset(t_1) \neq \emptyset(t_2) \,\, \mbox{et} \,\, \emptyset(t_1) \bigcap \emptyset(t_2) = \emptyset}</math>. '''Remarque importante :''' J'hésite à employer la notation <math>\forall t \in T, \,\, \emptyset(t)</math> : Par définition et <math>\emptyset(t) = {\{\}}_{T(t)}</math>, <math>\forall t_1,t_2 \in T \colon t_1 \neq t_2, \,\, \emptyset(t_1) = {\{\}}_{T(t_1)} \neq {\{\}}_{T(t_2)} = \emptyset(t_2)</math> et <math>\forall t_1, t_2 \in T \colon t_1 \neq t_2, \,\, \emptyset(t_1) \neq \emptyset, \,\, \emptyset(t_2) \neq \emptyset</math> <math>\displaystyle{\emptyset(t_1) \neq \emptyset(t_2) \,\, \mbox{et} \,\, \emptyset(t_1) \bigcap \emptyset(t_2) = \emptyset}</math> Dans cette optique <math>\forall t \in T \,\, \emptyset(t) \neq \emptyset</math>, bien que <math>\forall t \in T \,\, {card}_{Q \,\, ou \,\, E}\Big(\emptyset(t)\Big) = {card}_{Q \,\, ou \,\, E}(\emptyset) = 0</math>. Si cette notation pose vraiment problème, on la remplacera par et on reviendra à la notation <math>\emptyset</math>. <math>\Big(\R '' = -\infty_{{\cal F}(\R)} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}</math>. On a <math>\R \subsetneq \R' \subsetneq \R '' \Big)</math> (Pour les notations nouvelles, se reporter à la version la plus récente du document : [[Recherche:Cardinal_quantitatif|"La définition du cardinal quantitatif sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>"]]) Soit <math>{\cal A} \subset {\cal T}</math>. On se place dans un repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>. On désigne par <math>{card}_E({\cal A})</math> le cardinal équipotentiel ou de Cantor de la partie <math>{\cal A}</math> et on désigne par <math>{card}_Q({\cal A}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\cal A})</math> le cardinal quantitatif de la partie <math>{\cal A}</math> relatif au repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>, une notion encore à définir (dont j'ai parlé dans d'autres PDF : La version la plus récente du document : [[Recherche:Cardinal_quantitatif|"La définition du cardinal quantitatif sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>"]]) qui se veut plus fine que celle de cardinal équipotentiel et qui se veut être la notion optimale de nombre d'éléments, dans le système <math>ZFC</math>. ==== Définition ==== <math>\displaystyle{{\cal D} \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal T} \,\, \Longleftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, {\cal D} \in {\cal P}\bigg(\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big) \bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)\bigg)}</math> ==== Définition ==== <math>{\cal D}_0</math> dimension temporelle (éternelle) minimale, représentative de <math>{\cal T}</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e}f}</math> <math>{\cal D}_0</math> dimension de <math>{\cal T}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, \exists x \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal T} \bigsqcup {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, t \longmapsto x(t) \in \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) = \emptyset(t) \,\, \mbox{et} \,\, x(t) \in T(t) \bigsqcup \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) \neq \emptyset(t)}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, {\cal D}_0 = \bigsqcup_{t \in T} \{x(t)\}} = \{x(t)|t \in T\}</math> et <math>{card}_Q(\{x(t)| t \in T\}) = {card}_Q(\{T(t)|t \in T\}) [= {card}_Q(T)]</math> (En effet, la condition <math>{card}_E(\{x(t)| t \in T\}) = {card}_E(\{T(t)|t \in T\}) [= {card}_E(T)]</math> ne suffit pas) Remarque : La dernière ligne de cette définition est peut-être inutile, car elle peut être, implicitement, contenue dans les premières lignes de cette définition. ==== Définition ==== <math>{\cal D}</math> dimension temporelle (éternelle), représentative de <math>{\cal T}</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e} f}</math> <math>\displaystyle{{\cal D} \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal T} \,\, \mbox{et} \,\, \exists {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension temporelle (éternelle) minimale, représentative de} \,\, {\cal T} \,\, : \,\, {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal D}}</math> ==== Exemple ==== <math>\displaystyle{\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big) \bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{t \in T} \{\emptyset(t)\}}</math> sont des dimensions temporelles (éternelles), (représentative de <math>{\cal T})</math>, et <math>\displaystyle{\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big)\bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)}</math> est même maximale (dans un sens facile à deviner que je préciserai plus tard) et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{t \in T} \{\emptyset(t)\}}</math> est même minimale. ==== Définition ==== <math>\displaystyle{\mbox{Soit} \,\, {\cal D} \,\, \mbox{une dimension de} \,\, {\cal T} \,\, : \,\, {\cal D} = \bigsqcup_{t \in T_{{\cal D}}} D(t) \,\, \mbox{où} \,\, \forall t \in T_{{\cal D}}, \,\, D(t) \in {\cal P}({\cal T}) \,\, \mbox{et} \,\, T_{{\cal D}} \in {\cal P}(T)}</math>. <math>{\cal D}_0</math> dimension temporelle minimale, représentative de <math>{\cal D}</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e} f}</math> <math>{\cal D}_0</math> dimension de <math>{\cal T}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, \exists x \,\, : \,\, T_{{\cal D}} \longrightarrow {\cal T} \bigsqcup {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, t \longmapsto x(t) \in \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) = \emptyset(t) \,\, \mbox{et} \,\, x(t) \in T(t) \bigsqcup \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) \neq \emptyset(t)}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, {\cal D}_0 = \bigsqcup_{t \in T_{{\cal D}}} \{x(t)\}} = \{x(t)|t \in T_{{\cal D}}\}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, {card}_Q(\{x(t)| t \in T_{{\cal D}}\}) = {card}_Q(\{D(t)| t \in T_{{\cal D}}\}) [= {card}_Q(T_{{\cal D}})]}</math> ==== Définition ==== On reprend les notations de la définition précédente. <math>\displaystyle{\mbox{Si, de plus,} \,\, T_{{\cal D}} = ]-\infty,b_0)\bigsqcup \Big(\bigsqcup_{i \in \N_{n-1}^*} (a_i,b_i)\Big) \bigsqcup (a_n,+\infty[ \,\, \mbox{avec} \,\, \forall i \in \N_n^*, \,\, a_i \in T, \,\, \forall i \in \N_{n-1},\,\, b_i \in T, \,\, T = \R}</math> alors <math>{\cal D}</math> est une dimension temporelle éternelle par blocs et <math>{\cal D}_0</math> est une dimension temporelle éternelle par blocs, minimale, représentative de <math>{\cal D}</math>. Si, de plus <math>T_{{\cal D}} = \R</math> alors <math>{\cal D}</math> est une dimension temporelle éternelle et <math>{\cal D}_0</math> est une dimension temporelle éternelle, minimale, représentative de <math>{\cal D}</math>. ==== Définition ==== <math>{\cal D}_1</math> dimension temporelle, représentative de <math>{\cal D}_2</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e} f}</math> <math>\displaystyle{{\cal D}_1 \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal D}_2 \,\, \mbox{et} \,\, \exists {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension temporelle minimale, représentative de} \,\, {\cal D}_2 \,\, : \,\, {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal D}_1}</math> '''Remarque :''' Si, de plus <math>{\cal D}_0</math> est une dimension temporelle éternelle (respectivement éternelle par blocs), minimale, représentative de <math>{\cal D}_2</math>, alors <math>{\cal D}_1</math> est une dimension temporelle éternelle (respectivement éternelle par blocs), représentative de <math>{\cal D}_2</math>. ==== Remarques ==== Au lieu de considérer un espace <math>{\cal T}\times T</math> comme l'Histoire exhaustive de <math>Tout</math> et <math>\forall t \in T</math>, l'espace <math>{\cal T}\times \{t\}</math> : Nous considérons <math>\forall t \in T</math>, l'espace <math>T(t)</math>, <math>\displaystyle{\bigsqcup_{t \in T} T(t) = {\cal T}}</math>. '''Remarque :''' On ne prend pas nécessairement <math>{\cal T} = E\times T</math>, ni <math>\forall t \in T, \,\, T(t) = E \times \{t\}</math> : <math>\forall t \in T, \,\, T(t) \,\, \mbox{est une tranche variable de} \,\, {\cal T},</math> en tout cas beaucoup plus variable qu'une tranche <math>E \times \{t\}</math> de <math>E \times T</math>. On peut d'ailleurs considérer que <math>\forall t \in T, \,\, T(t)</math> est l'ensemble maximal pour l'inclusion, pour tous les corps existant à l'instant <math>t</math>. On suppose donc <math>\displaystyle{\forall t_1,t_2 \in T, \,\, t_1 \neq t_2, \,\, T(t_1) \bigcap T(t_2) = \emptyset}</math> On établit approximativement l'indépendance de certaines dimensions que localement : Mais rien ne nous dit qu'à plus grande échelle cette propriété est vérifiée : Il est fort probable que plus la partie de <math>{\cal T}</math>, que nous connaîtrons, sera grande, plus nous connaîtrons de dimensions et moins elles seront indépendantes, c'est pour cela que je préfère appeler dimension, toute partie de <math>\displaystyle{\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big) \bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)}</math> <math>\Big(</math> et pas seulement et simplement toute partie de <math>{\cal T}</math> : En effet, <math>\displaystyle{{\cal T} = \bigsqcup_{t \in T} T(t)}</math> et il se peut que <math>\exists t \in T, \,\, T(t) = \emptyset(t)</math>, or <math>\not \exists x_t \in \emptyset(t)</math>, or <math>\forall t \in T</math>, il existe pourtant bien une dimension représentative de <math>\emptyset(t)</math> : C'est le singleton constitué de l'élément <math>\emptyset(t)</math>, <math>\{\emptyset(t)\}</math> <math>\Big)</math>. Remarque : En fait, <math>Tout</math> dont nous pressentons et connaissons, intuitivement, certaines propriétés, est un indéfinissable. ==== Remarque ==== Je pensais le contraire, mais je pense aujourd'hui que la question de l'existence de Dieu est un indécidable irréductible, du moins, dans l'état de nos connaissances actuelles. Déjà, le monde microscopique quantique avec la logique qui lui est associée, est une réalité : On pourrait aussi envisager que Tout corresponde à un enchevêtrement de mondes ayant chacun sa propre logique. De fait, toute démonstration utilisant la logique classique, avec son principe du tiers exclus, est inappropriée lorsqu'on étudie Tout, et en particulier Dieu. Bien que nous ayons une connaissance et une appréhension de certaines des propriétés de Tout : Comme nous n'aurons toujours qu'une connaissance locale et relative de ce dernier, la logique qui lui est associée, nous sera à jamais inaccessible. La logique quantique est différente de la logique classique, la notion d'inclusion quantique de parties quantiques, est différente de celle d'inclusion classique de parties classiques : Dans le cadre de la mécanique quantique qui est différent et plus général que celui de la mécanique newtonienne, les parties considérées ne se ramènent pas nécessairement à une tribu de parties, classique : En effet à l'échelle quantique, il peut y avoir superposition de 2 états (ou évènements) : Et comme toute théorie physique est relative et révolutionnable et dépend de logiques plus ou moins complexes et abstraites, qui lui sont propres, et de notion d'inclusions plus ou moins complexes et abstraites, qui lui sont propres, et que Tout est un indéfinissable, malgré la connaissance que nous avons de certaines de ses propriétés : Jamais nous n'atteindrons ou n'accèderont à des notions de logique, d'inclusion et même d'existence universelles : Les notions de logique, d'inclusion et d'existence auxquelles nous aurons accès, dépendront, toujours, des cadres relatifs dans lesquels nous nous placerons, et celles du cadre universel, nous resteront, à jamais, inaccessibles : La notion d'existence dont je vais parler dans la suite, n'est pas l'existence mathématique, mais une des existences philosophiques, qui se formalise mathématiquement : Ce n'est nullement du galimacia à la Jean-Paul Sartre sur l'existence, là elle est dépouillée de toute ambiguïté : Il ne s'agit pas du fait d'exister à travers soi et les autres, qui est plus relatif à la puissance de nos interactions avec soi et les autres, de plus, la notion de puissance, peut être subjective et relative, à chacun. En utilisant et en faisant appel à la logique classique : Il est fort probable qu'il n'existe pas d'état premier de Tout et que Tout soit incréé, et puis supposons que cet état premier ait existé, à cet état premier, Tout s'est réduit au pire à l'Ensemble vide, donc, dans ce cas, Tout existe, et existera toujours, et sinon Tout s'est réduit ou se réduira au pire à l'Ensemble vide, donc Tout a toujours existé, existe, et existera toujours, pas nécessairement par rapport à l'Espace-Temps, mais par rapport à quelque chose d'éternel, l'Ensemble vide, le complémentaire de Tout dans lui-même, qui peut s'identifier parfois à Tout, dans son état minimal. Il est possible que Tout ne s'est jamais contracté et réduit à l'Ensemble vide : De toute façon qu'il se soit réduit ou pas, qu'il se réduise un jour, ou ne se réduise jamais à l'Ensemble vide, Tout est Eternel. Dieu, est une partie de Tout (pouvant se confondre avec Tout), s'il existe, et c'est, éventuellement, le créateur de Tout, et, c'est, éventuellement, un être sensible, pensant, conscient, s'il existe. === Existence === Soient <math>\displaystyle{{\cal D},{\cal O} \in {\cal P}({\cal T})}</math>. ==== Définition ==== L'application existence, pour les corps ou les processus, est définie par : <math>\displaystyle{{existence} \,\, : \,\, {\cal P}({\cal T}) \longrightarrow {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {\cal O} \,\,\longmapsto \,\, {existence}({\cal O}) = {\cal O}}</math> En particulier, si <math>{\cal O} = O(t_0) \in {\cal P}\Big(T(t_0)\Big)</math>, avec <math>t_0 \in T</math>, <math>{existence}\Big(O(t_0)\Big) = O(t_0)</math> ====Remarque (A propos de l'existence mathématique) :==== <math>\displaystyle{\exists x \in E' \,\, \Longleftrightarrow \,\, E' \neq \emptyset \,\, \Longleftrightarrow \,\, {card}_E(E') \geq 1 \,\, \Longleftrightarrow \,\, {card}_Q(E') \geq 1}</math> ==== Définition ==== On définit l'application existence commune à tout corps et au corps <math>\cal D</math> (ou dans un certain sens, l'application existence par rapport au corps <math>\cal D</math>), par : <math>\displaystyle{{existence}(.|{\cal D}) \,\, : \,\, {\cal P}({\cal T}) \,\, \longrightarrow \,\, {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {\cal O} \,\, \longmapsto \,\, {existence}({\cal O}|{\cal D}) = {\cal O} \cap {\cal D}}</math> et <math>existence({\cal O}|{\cal D})</math> s'appelle l'existence commune au corps <math>\cal O</math> et au corps <math>\cal D</math> (ou dans un certain sens, l'existence du corps <math>\cal O</math> par rapport au corps <math>\cal D</math>), En particulier, si <math>{\cal O} = O(t_0), {\cal D} = D(t_0) \in {\cal P}\Big(T(t_0)\Big)</math>, avec <math>t_0 \in T</math> <math>{existence}\Big(O(t_0)\Big|D(t_0)\Big) = O(t_0) \cap D(t_0)</math> ==== Propriétés ==== 1) <math>{existence}({\cal O}|{\cal D}) = {\cal O} \cap {\cal D} = {\cal D} \cap {\cal O} = {existence}({\cal D}|{\cal O})</math> 2) <math>{existence}({\cal D}|{\cal D}) = {\cal D} \cap {\cal D} = {\cal D} = {existence}({\cal D})</math> 3) Si <math>{\cal D} \subset {\cal O}</math>, <math>{existence}({\cal O}|{\cal D}) = {\cal O} \cap {\cal D} = {\cal D} = {existence}({\cal D})</math> === Essence === Attention, ici, essence a le même sens que celui de nature. Soient <math>\displaystyle{{\cal O}, {\cal O}_1, {\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math>. ==== Définition ==== On pose <math>\displaystyle{{\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_2) = \Big\{b \,\, : \,\, {\cal O}_1 \longrightarrow {\cal O}_2\Big| b \,\, bijection \Big\}}</math> ==== Définition ==== Si <math>\exists b_{1,2} \in {\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_2)</math> On dit que <math>{\cal O}_2</math> est l'essence de <math>{\cal O}_1</math> par rapport à la bijection <math>b_{1,2}</math> et on note <math>{\cal O}_2 = {essence}\Big({\cal O}_1 \Big|b_{1,2}\Big)</math> ==== Proposition ==== Si l'on note <math>b_{2,1}={(b_{1,2})}^{-1}</math> la bijection réciproque de <math>b_{1,2}</math> : On a <math>{\cal O}_1 = {essence}\Big({\cal O}_2\Big|b_{2,1}\Big)</math> On peut prendre <math>{\cal O}_2 = {\cal O}_1</math> et dans ce cas, <math>\exists b_{1,1} \in {\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_1)</math> : par exemple l'identité dans <math>{\cal O}_1</math>, <math>{id}_{{\cal O}_1} \in {\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_1)</math> et <math>{existence}({\cal O}_1) = {\cal O}_1 = {essence}({\cal O}_1|b_{1,1})</math> En particulier, on peut prendre <math>{\cal O}_1 = O_1(t_1) \in {\cal P}\Big(T(t_1)\Big) \,\, et \,\, {\cal O}_2 = O_2(t_2) \in {\cal P}\Big(T(t_2)\Big)</math> avec <math>t_1, t_2 \in T</math> ==== Définition ==== On pose <math>\displaystyle{{\cal B}ij({\cal O},.) = \Big\{b \,\, : \,\, {\cal O} \,\, \longrightarrow \,\, {\cal D}_{\cal O}\Big| {\cal D}_{\cal O} \in {\cal P}({\cal T}) \,\, et \,\, b \,\, bijection \Big\}}</math> ==== Définition ==== L'application essence est définie par : <math>\displaystyle{{essence}({\cal O}) \,\, : \,\, {\cal B}ij({\cal O},.) \longrightarrow {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, b \,\, \longmapsto \,\, {essence}({\cal O}|b)}</math>, En particulier, on peut prendre <math>{\cal O} = O(t_0) \in {\cal P}\Big(T(t_0) \Big)</math> avec <math>t_0 \in T</math>. On confondra <math>{essence}({\cal O})</math> et <math>\{{essence}({\cal O}|b)| b \in {\cal B}ij({\cal O},.)\}</math>. ===Essence spinoziste=== ==== Définition ==== Soit <math>\displaystyle{{\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> <math>t_1,t_2 \in T \,\, : \,\, t_1 < t_2</math> <math>O_{1,0}(t_1) = {essence \,\, spinoziste}\Big(O_2(t_2)\Big)</math> <math>\Longleftrightarrow_{d\acute{e}f}</math> <math>\displaystyle{{\cal O}_{1,0} \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, O_{1,0}(t_1) \,\, \Longrightarrow \,\, O_2(t_2)}</math> et <math>\displaystyle{\bigg({\cal O}_1 \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, O_1(t_1) \,\, \Longrightarrow \,\, O_2(t_2)\bigg) \,\, \Longrightarrow \,\, O_{1,0}(t_1) \subset O_1(t_1)}</math> ==== Notation ==== <math>\displaystyle{\forall {\cal O}\in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {\cal O} = \bigsqcup_{t \in T} O(t)}</math> On pose <math>\displaystyle{\forall T_0 \in {\cal P}(T), \,\, {\cal O}_{|T_0} = \bigsqcup_{t \in T_0} O(t)}</math> On pourrait donner une version généralisée de cette définition, avec interaction causale simultanée et non nécessairement entre 2 instants différents ou entre 2 durées différentes, l'une étant strictement antérieure à l'autre. On pourrait pour faire preuve de plus d'abstraction, chercher des définitions qui ne s'appliquent pas, nécessairement, à notre monde, mais qui pourraient s'appliquer à d'autres. Dans la suite, les cas <math>T_1 \bigcap T_2 \neq \emptyset</math> ou <math>T_1 > T_2</math> étant délicats et/ou posant des problèmes, ont été exclus. ==== Définition ==== Soit <math>\displaystyle{{\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> <math>T_1,T_2 \in {\cal P}(T) \,\, : \,\, T_1 < T_2</math> <math>{{\cal O}_{1,0}}_{|T_1} = {essence \,\, spinoziste}\Big({{\cal O}_2}_{|T_2}\Big)</math> <math>\Longleftrightarrow_{d\acute{e}f}</math> <math>\displaystyle{{\cal O}_{1,0} \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {{\cal O}_{1,0}}_{|T_1} \,\, \Longrightarrow \,\, {{\cal O}_2}_{|T_2}}</math> et <math>\displaystyle{\bigg({\cal O}_1 \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {{\cal O}_1}_{|T_1} \,\, \Longrightarrow \,\, {{\cal O}_2}_{|T_2}\bigg) \,\, \Longrightarrow \,\, {{\cal O}_{1,0}}_{|T_1} \subset {{\cal O}_1}_{|T_1}}</math> ===Ensemble de relations entre 2 corps=== ==== Définition ==== Soient <math>\displaystyle{{\cal O}_1, {\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> <math>{relations}({\cal O}_1,{\cal O}_2) =_{d\acute{e}f} {\cal P}({\cal O}_1 \times {\cal O}_2)</math> ==== Remarque ==== Soient <math>\displaystyle{{\cal O}_1,{\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> On peut avoir <math>{existence}({\cal O}_1|{\cal O}_2) = \emptyset</math>, mais si <math>{\cal O}_1, {\cal O}_2 \neq \emptyset</math>, on a toujours <math>{relations}({\cal O}_1,{\cal O}_2) \neq \emptyset</math> ==Puissance, puissance externe, puissance interne, d'un corps, formalisées mathématiquement== === Préambule === '''Remarque :''' Pour ce qui concerne la puissance d'interaction totale d'un corps principal : Pour la puissance externe de ce corps : Il faut considérer une partition dynamique, dans le temps, composée de ce corps principal et des autres (ou d'autres) corps, interagissant, avec lui <math>(1)</math>. Pour la puissance interne de ce corps principal : Il faut considérer une partition dynamique, dans le temps, de ce corps principal <math>(2)</math>. Pour couvrir, entièrement, les réseaux formés des corps de chaque partition, on considère des maillages triangulaires de corps : À chaque maillon du maillage triangulaire de corps, on considère la puissance élémentaire des interactions mutuelles des <math>3</math> corps qui le composent et qui lui est associée, puis en prenant soin de ne pas comptabiliser les doublons, on intègre la fonction puissance élémentaire, sur tout le maillage ou sur tout le réseau, c'est-à-dire sur tous les maillons triangulaires de la partition dynamique <math>(1)</math>, à l'instant <math>t</math>, pour obtenir la puissance externe d'interaction du corps principal à l'instant <math>t</math>, et sur tous les maillons triangulaires de la partition dynamique <math>(2)</math>, à l'instant <math>t</math>, pour obtenir la puissance interne d'interaction du corps principal, à l'instant <math>t</math>, puis on somme ces 2 dernières, pour obtenir la puissance totale d'interaction du corps principal, à l'instant <math>t</math>. Dans la définition de la puissance élémentaire entre 3 corps : J'ai tenté de donner des conditions d'intégrabilité, afin que mes intégrales soient parfaitement définies. Tant qu'à faire, j'ai généralisé la définition de puissance externe, interne et totale, d'interaction, à tout type d'intégrale et de mesure, en particulier à la mesure de comptage sur <math>\N_n^*</math>. Comme vous pouvez le constater, les idées mises en œuvre, sont simples. '''Remarque importante :''' On se place, ici, dans le cadre de la mécanique newtonienne : L'espace <math>E \times T</math> s'appelle l'espace-temps newtonien où <math>E \times T \subset \R^n \times \R</math>, pour un <math>n \in \N^*</math> donné. '''Remarque :''' La plupart des ensembles considérés reposent, essentiellement, sur des partitions. On se donne un ensemble <math>I\in {\cal P}(E\times T)</math>. La donnée de cet ensemble induit une application <math>\widehat{I} \,\, : \,\, T \,\, \longrightarrow \,\, {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t) = I \cap (E\times\{t\})</math>. C'est la "tranche" de <math>I</math> à l'instant <math>t</math>. On a <math>\displaystyle{I = \bigsqcup_{i \in T} \widehat{I}(t) \in {\cal P}(E\times T)}</math> Par construction, <math>\forall t \in T, \,\, \widehat{I}(t)\in {\cal P}(E\times \{t\})</math> Il est équivalent de dire que <math>\widehat{I} \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t) \in {\cal P}(E \times \{t\})</math> où <math>\displaystyle{I = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{I}(t)}</math>. On peut remarquer, si on le souhaite que <math>t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in \widehat{I}(t)</math> <math>\iff t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in I \cap (E \times \{t\})</math> <math>\iff t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in I \,\, et \,\, (i,t) \in E \times \{t\}</math> <math>\iff t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in I \,\, et \,\, i \in E \,\, et \,\, t = t</math>. <math>\iff (i,t) \in I \,\, et \,\, (i,t) \in E \times T</math> <math>\iff (i,t) \in I</math> car <math>I \in {\cal P}(E\times T)</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(E \times T)</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(I,E,T)}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{I}\Big| \widehat{I} \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t)= I \cap (E\times\{t\})\Big\}}</math> <math>\displaystyle{=\Big\{\widehat{I}\Big|\widehat{I} \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t) \in {\cal P}(E \times \{t\}) \,\, et \,\, I = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{I}(t)\Big\}}</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(E,T) = \Big\{\widehat{I} \in \widehat{{\cal A}}(I,E,T) \Big| I \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math> Soit <math>J \in {\cal P}(E \times T)</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(J,I,E,T)}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{I}(J) \in \widehat{{\cal A}}(I,E,T)\Big|\widehat{J} \in \widehat{{\cal A}}(J,E,T), \,\, \forall t \in T, \,\, \widehat{J}(t) \in \mathcal{P}\Big(\widehat{I}(J)(t)\Big) \,\, et \,\, \forall (j,t) \in J, \,\,\exists \widehat{I}(J)(j,t) \in {\cal P}\Big(\widehat{I}(t)\Big) \,\, :}</math> <math>\displaystyle{\forall t \in T, \,\, \bigsqcup_{(j,t) \in \widehat{J}(t)}\widehat{I}(J)(j,t) = \widehat{I}(J)(t)\Big\}}</math> <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(J,.,E,T)= \Big\{\widehat{I}(J) \in \widehat{{\cal A}}(J,I,E,T)\Big|I \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math> On suppose, par ailleurs, donnée une autre application <math>\widehat{\widehat{P}}(I) \,\, : \,\, I \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, (i,t) \,\, \longmapsto \,\, \widehat{\widehat{P}}(i,t)\in {\cal P}(E\times\{t\})</math>. On suppose aussi que pour <math>\displaystyle{\forall (i_1,t_1), (i_2,t_2) \in I, \,\,(i_1,t_1) \neq (i_2,t_2), \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_2) = \emptyset}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{\Big(\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\Big)}_{(i,t) \in I} \,\, partition}</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{\widehat{P}}(I) \Big|\widehat{\widehat{P}}(I) \,\, : \,\, I \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, (i,t) \longmapsto \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\in {\cal P}(E\times\{t\})}</math> <math>\displaystyle{telle \,\, que \,\, \forall (i_1,t_1),(i_2,t_2) \in I, \,\, (i_1,t_1) \neq (i_2,t_2), \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_2) = \emptyset} \Big\}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{\widehat{P}}(I) \Big|\widehat{\widehat{P}}(I) \,\, : \,\, I \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, (i,t) \longmapsto \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\in {\cal P}(E\times\{t\}) \,\, telle \,\, que \,\, {\Big(\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\Big)}_{(i,t) \in I} \,\, partition} \Big\}</math>. On pose <math>\displaystyle{\widehat{\widehat{\cal A}}(E,T)= \Big\{\widehat{\widehat{P}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)\Big|I \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math>. Dans la suite on confondra <math>\widehat{\widehat{P}}(I)</math> et <math>\displaystyle{\{\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) |(i,t) \in I\} = \{\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) |t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in \widehat{I}(t)\}}</math> Et on pose <math>\displaystyle{P(I) = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{\widehat{P}}(I)(t) = \bigsqcup_{t \in T} \bigsqcup_{(i,t) \in \widehat{I}(t)} \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) = \bigsqcup_{(i,t) \in I} \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) \,\, o\grave{u} \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(t) = \bigsqcup_{i \in \widehat{I}(t)} \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)}</math>, on a <math>\displaystyle{\forall t_1,t_2 \in T, \,\, t_1 \neq t_2, \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(t_2) = \emptyset}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall (i_1,t_1),(i_2,t_2) \in I, \,\,t_1 \neq t_2, \,\, (i_1,t_1) \neq (i_2,t_2), \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_2) = \emptyset}</math> Soient <math>I,Q \in {\cal P}(E \times T)</math>. Soit <math>\widehat{\widehat{P}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}_0\Big(I,Q,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T\Big) = \{\widehat{Q}\in \widehat{{\cal A}}(Q,E,T)|\forall (i,t) \in I, \,\, \widehat{Q}(t) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) = \emptyset\}}</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}_0\Big(I,.,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T\Big) = \Big\{\widehat{Q}\in \widehat{{\cal A}}_0\Big(I,Q,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T\Big)\Big|Q \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math> Soit <math>I \in {\cal P}(E \times T)</math>. Soit <math>\widehat{I} \in {\cal A}(I,E,T)</math>. Soit <math>t \in T</math>. Soit <math>{\cal{E}}(t)</math> une tribu sur <math>\widehat{I}(t)</math> Soit <math>\mu(t) \,\, : \,\, {\cal{E}}(t) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R}</math> une mesure Soit <math>{\cal E}</math> une tribu sur <math>I</math> Soit <math>\mu \,\, : \,\, {\cal E} \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R}</math> une mesure L'application <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}(\mu) \,\, : \,\, {\cal P}^3(E \times T) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R} \,\, : \,\, (A,B,C) \,\, \longmapsto \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C)}</math> telle que <math>\forall (A,B_1,B_2) \in {\cal P}^3(E \times T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B_1,B_2) = {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B_2,B_1)</math> et telle que <math>\forall (A,B,C) \in {\cal P}^3(E \times T)</math> <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C) = {{\cal P}uissance}(\mu)(B,A,C)= {{\cal P}uissance}(\mu)(C,A,B)}</math> où le terme <math>{{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C)</math> s'appelle la puissance des interactions de <math>A</math>, en interaction avec les interactions de <math>B</math> avec <math>C</math>, par rapport à la mesure <math>\mu</math>. (Remarque : Le terme <math>{{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,B)</math>, s'appelle la puissance des interactions de <math>A</math>, en interaction avec les interactions de <math>B</math> avec <math>B</math>, ou bien, plus simplement, la puissance des interactions entre <math>A</math> et <math>B</math>) et telle que (Dans la définition de la puissance élémentaire entre 3 corps : J'ai tenté de donner des conditions d'intégrabilité, afin que mes intégrales soient parfaitement définies.) '''Notations :''' Soient <math> f \,\, : \,\, E \times F \longrightarrow H</math> et <math>E_0 \times F_0 \in {\cal P}(E \times F)</math> Soit <math>h \,\, : \,\, H \,\, \longrightarrow \,\,K</math> Alors <math>f{|}_{E_0 \times F_0}(.,.) = f{|}_{E_0 \times F_0}</math> et <math>h\Big(f(.,.)\Big){\Big|}_{E_0 \times F_0} = (h \circ f){|}_{E_0 \times F_0}(.,.) = (h \circ f){|}_{E_0 \times F_0}</math>. Soient <math> g \,\, : \,\, E \times F \times G \longrightarrow H</math> et <math>E_0 \times F_0 \times G_0 \in {\cal P}(E \times F \times G)</math> Soit <math>k \,\, : \,\, H \,\, \longrightarrow \,\,K</math> Alors <math>g{|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}(.,.,.) = g{|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}</math> et <math>k\Big(g(.,.,.)\Big){\Big|}_{E_0 \times F_0 \times G_0} = (k \circ g){|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}(.,.,.) = (k \circ g){|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}</math>. Soit <math>t \in T</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E \times T)</math>. <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(A,E,T), \forall \widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(t),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,t),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,t)\Big){|}_{\{i \in E|(i,t) \in I\}^2}</math> <math>\in L^1\Big(\{i \in E|(i,t) \in I\}^2,\,\, ?, \,\, ?\Big)</math> <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(A,E,T), \forall \widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(.),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,.),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,.)\Big){|}_{T \times {I}^2}</math> <math>\in L^1\Big(T \times {I}^2, \,\, {\cal B}(T) \otimes {\cal E}^{\otimes 2}, \,\, \lambda \otimes \mu^{\otimes 2}\Big)</math> <math>\forall t \in T,</math> <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(I,A,E,T), \forall \widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(I)(.,t),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,t),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,t)\Big){|}_{\{i \in E |(i,t) \in I\}^3}</math> <math>\in L^1\Big(\{i \in E|(i,t) \in I\}^3, \,\, ?, \,\, ?\Big)</math> et <math>\forall \widehat{A} \in \widehat{\cal A}(I,A,E,T),\widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(I)(.,.),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,.),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,.)\Big){|}_{{I}^3}</math> <math>\in L^1\Big({I}^3,\,\,{\cal E}^{\otimes 3}, \,\, \mu^{\otimes 3}\Big)</math> Remarque : On ne peut obtenir et prendre en compte la totalité du réseau entre les éléments d'une partition, que si on fait au moins des maillages triangulaires. ===Puissance externe d'un corps=== ==== Définition ==== En tenant compte des notations de remarque et de ce qui précède et en supprimant et en ne prenant pas en compte les doublons de <math>{{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t)\Big)</math>, dans les expressions suivantes, on obtient : Soit <math>I\in {\cal P}(E \times T)</math>. Soit <math>t \in T</math>. Soit <math>{\cal{E}}(t)</math> une tribu sur <math>\widehat{I}(t)</math> Soit <math> \mu(t) \,\, : \,\, {\cal{E}}(t) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R}</math> une mesure Soit <math>\widehat{\widehat{P}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)</math> L'application <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,.,\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> est définie par : <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,.,\widehat{\widehat{P}}(I)\Big) \,\, : \,\,\widehat{{\cal A}}_0(I,.,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R} \,\, : \,\, \widehat{O} \longmapsto {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)}</math> où <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \int_{\widehat{I}(t)} \int_{\widehat{I}(t)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t) \,\,d \mu(t)(i_2,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t)}</math> En prolongeant les partitions, <math>\forall t \geq \,\, ou \,\, > \sup(T)</math> <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t, \widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{\frac{1}{2} \int_{\widehat{I}(t)} \int_{\widehat{I}(t)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t) \,\,d \mu(t)(i_2,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t)}</math> ===Puissance interne d'un corps=== ==== Définitions ==== Soit <math>t \in T</math> Soit <math>\widehat{O} \in \widehat{\cal A}(J,.,E,T)</math> <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O}) = {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big) \,\, {\mathbb{I}}_{\R_+}\bigg({{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big)\bigg)</math> Soit <math>J \in {\cal P}(E \times T)</math> Soit <math>t \in T</math> Soit <math>{\cal{F}}(t)</math> une tribu sur <math>\widehat{J}(t)</math> Soit <math>\nu(t) \,\, : \,\, {\cal{F}}(t) \longrightarrow \overline{\R}</math> une mesure. L'application mesurable <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,.)</math> est définie par : <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,.) \,\, : \,\, \widehat{\cal A}(J,.,E,T) \longrightarrow \overline{\R_+} \,\, : \,\,\widehat{O} \,\, \longmapsto \,\, {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O}) = {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big) \,\, {\mathbb{I}}_{\R_+}\bigg({{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big)\bigg)}</math> ==== Proposition ==== En supprimant et en ne prenant pas en compte les doublons, la relation : Si <math>t\in T</math> <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1 = j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t)\,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j = j_1, j = j_2, j_1 = j_2)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{{\mathbb{I}}_{\overline{\R_+}} \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1 = j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j = j_1, j = j_2, j_1 = j_2)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_1,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t)\Big)\,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{{\mathbb{I}}_{\overline{\R_+}} \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_1,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{=\Bigg(\frac{1}{3} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(J,\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.),\widehat{O}(J)\setminus \widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)} {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{{\mathbb{I}}_{\overline{\R_+}} \Bigg(\frac{1}{3} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(J,\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.),\widehat{O}(J)\setminus \widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)} {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)\Bigg)}</math> ===Puissance d'interaction, totale d'un corps=== ==== Définition ==== <math>{{\cal P}uissance}\Big(I,\nu, \mu,{{\cal P}uissance}(\nu), {{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,O)</math> <math>= {{\cal P}uissance}\Big(I,\nu, \mu,{{\cal P}uissance}(\nu), {{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>= {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O}) + {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>= {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,O) + {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,O)</math> où <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>= {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big) \,\, {\mathbb{I}}_{\R_+}\bigg({{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big)\bigg)</math> et où <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{\widehat{I}(t)} \int_{\widehat{I}(t)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t) \Big)\,\, d \mu(t)(i_1,t) \,\,d \mu(t)(i_2,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t)}</math> === Exemples === ====Exemple 1==== À un instant donné : Soit le département de Paris et les départements de la première couronne : Ils sont deux à deux disjoints. La puissance externe du département de Paris par rapport aux départements de la première couronne est égale à la demi somme des puissances des interactions du département de Paris en interaction avec toutes les interactions entre chaque département de la première couronne {et/avec} un autre département différent, de la première couronne plus la somme des puissances des interactions du département de Paris en interaction avec toutes les interactions de chaque département de la première couronne, avec lui-même. La puissance des interactions du département de Paris en interaction avec les interactions d'un département de la première couronne, avec lui-même est aussi la puissance des interactions du département de Paris, avec ce même département de la première couronne. ====Exemple 2==== On prend <math>T = \R</math> On prend l'instant <math>t = t_0</math> dans la première ligne. On prend <math>\widehat{I}(t_0) = \N_2^* \times \{t_0\}</math>. On a <math>\displaystyle{I = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{I}(t) = \N_2^* \times T = \N_2^* \times \R}</math> On prend <math>\widehat{O}(t_0)</math>, <math>\widehat{\widehat{P}}(1,t_0)</math>, <math>\widehat{\widehat{P}}(2,t_0)</math>, deux à deux disjoints. On prend <math>{\cal E}(t_0) = {\cal P}\Big(\widehat{I}(t_0)\Big)</math> une tribu sur <math>\widehat{I}(t_0)</math>. c'est-à-dire <math>{\cal E}(t_0) = {\cal P}(\N_2^* \times \{t_0\})</math> On prend <math>\mu(t_0)</math> une mesure de comptage sur <math>{\cal E}(t_0)</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\mu(t_0) \,\, : \,\, {\cal E}(t_0) \,\, \longrightarrow \,\, \R_+ \,\, : \,\, A \longmapsto \mu(t_0)(A) = \sum_{i \in \widehat{I}(t_0)} {\mathbb{I}}_A(i,t_0)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\mu(t_0) \,\, \colon \,\, {\cal P}\Big(\N_2^* \times \{t_0\}\Big) \longrightarrow \R_+ \,\, \colon \,\, A = A' \times \{t_0\} \longmapsto \mu(t_0)(A) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_A(i,t_0) = \sum_{i \in \N_2^*} {\mathbb{I}}_{A'}(i)}</math> Remarque : Soit <math>f(t_0) \,\, : \,\, {\cal E}(t_0) = {\cal P}\Big(\N_2^* \times \{t_0\}\Big) \,\, \longmapsto \,\, \overline{\R}</math> une fonction mesurable. <math>\displaystyle{\mu(t_0)(A) = \int_{\N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_A(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_A(i,t_0) = \sum_{i \in \N_2^*} {\mathbb{I}}_{A'}(i)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{A} f(t_0)(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \int_{\N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, {\mathbb{I}}_A(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, {\mathbb{I}}_A(i,t_0)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, {\mathbb{I}}_{\N_2^* \times \{t_0\}}(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) = \sum_{i\in \N_2^*} f(t_0)(i,t_0)}</math> On pose <math>\forall i_1,i_2 \in \widehat{I}(t_0)</math>, <math>{{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0)\Big) ={{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0)\Big)</math> <math>= p_{i_1,i_2}</math> où <math>p_{i_1,i_2} \in \overline{\R}</math>. On a : <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big) \Big(t_0,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{= {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big) \Big(t_0,\widehat{O},\{\widehat{\widehat{P}}(I)(i,s) | s \in T \,\, et \,\, (i,s) \in I(s)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \int_{\widehat{I}(t_0)} \int_{\widehat{I}(t_0)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0) \Big) \,\,d \mu(t_0)(i_1,t_0) \,\,d \mu(t_0)(i_2,t_0)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t_0)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0) \Big) \,\,d \mu(t_0)(i_1,t_0)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \sum_{(i_1,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} \sum_{(i_2,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}_{\mu}\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{+ \sum_{(i_1,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \sum_{i_1 \in \N_2^*} \sum_{i_2 \in \N_2^*} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{+ \sum_{i_1 \in \N_2^*} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\bigg({{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big)\bigg)}</math> <math>+ {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\bigg({{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)\bigg)}</math> <math>+ {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)</math> <math>= {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)</math> <math>= p_{1,2} + p_{1,1} + p_{2,2}</math> <math>= p_{1,1} + p_{1,2} + p_{2,2}</math> Le problème est, par exemple, si l'application <math>{{\cal P}uissance}(\mu) \,\, : \,\, {\cal P}^3(E \times T) \longrightarrow \overline{\R} \,\, : \,\, (A,B,C) \longmapsto {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C)</math> est telle que <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(E,T), \forall \widehat{\widehat{B}},\widehat{\widehat{C}} \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T) \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(.),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,.),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,.)\Big){|}_{T \times {I}^2}</math> <math>\not \in L^1\Big(T \times {I}^2, \,\, {\cal B}(T) \otimes {\cal E}^{\otimes 2}, \,\, \lambda \otimes \mu^{\otimes 2}\Big)</math> car, il peut exister au moins deux coefficients distincts <math>p_{i,j}</math> tels que <math>p_{i_1,j_1} = +\infty</math> et <math>p_{i_2,j_2} = -\infty</math>, de plus <math>\pm \infty</math> n'est pas une notation suffisamment précise pour distinguer les cardinaux au sens quantitatif (nombre d'éléments) ou au sens de l'équipotence (ordre de grandeur ou puissance du nombre d'éléments) d'ensembles infinis : Dans ce cas, il faut structurer <math>\overline{\R}</math> et ne pas considérer les deux infinis comme des points mais comme des ensembles, pour l'instant, il existe deux manière de le faire, soit par l'analyse non standard, soit par la théorie des cardinaux présentée par Michel Coste, qui peut se généraliser sur certaines classes de parties de <math>{\cal{P}}^m(\R^n)</math>, et qui peut distinguer les cardinaux de deux ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection : En celà ces cardinaux que Michel Coste ne veut pas appeler à tort "cardinaux", sont plus fins, plus précis que ceux de Cantor en poursuivant et en prolongeant l'intuition de départ qu'on en avait dans le cas fini. Bien entendu le problème est qu'on ne peut les appliquer qu'à certaines classes d'ensembles. cpu4e9ad2n89de32jvpy138voirz3q5 986086 986081 2026-08-29T21:12:05Z Guillaume FOUCART 39841 986086 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = | niveau = }} Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de Gibbs 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux_de_recherche|Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume_FOUCART|Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)''' '''''(sur Research Gate)'''''] =Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne, version 1(39)= == Résumé == Mes motivations sont de définir mathématiquement des concepts philosophiques bien choisis d'existence, d'essence et de puissance d'interaction. Il se peut que la formalisation mathématique de certaines notions ou de certains concepts philosophiques ait peu d'intérêt sur le plan mathématique : Cela ne veut pas, nécessairement, dire qu'il faille se tourner vers d'autres notions ou concepts, certes plus riches, mais polysémiques, fourre-tout ou plus flous (Par exemple comme le concept "amour" qui a plusieurs sens, qu'il conviendrait de distinguer). ==Essence et existence d'un corps évoluant dans le temps ou de son processus, formalisées mathématiquement (la matière qui le compose pouvant toujours exister après sa destruction)== ===Introduction et notion de dimension=== ==== Remarques ==== Nous nous plaçons dans un cadre proche de celui de la mécanique newtonienne, où <math>Tout</math> évolue dans le temps ou l'espace d'états <math>T = \R</math> (Remarque : On aurait pu aussi définir l'espace <math>T</math> comme une sous partie de <math>\R</math>, continue ou discontinue), une dimension temporelle éternelle, minimale, représentative de l'Histoire exhaustive de <math>Tout</math> (Cf définition plus bas), <math>\displaystyle{{\cal T} =\bigsqcup_{t \in T} T(t)}</math>, où <math>\forall t \in T, \,\, T(t)</math> est <math>Tout</math>, à l'instant <math>t</math>, c'est-à-dire la tranche de <math>{\cal T}</math> à l'instant <math>t</math>, avec <math>T(t) \neq \emptyset</math> et <math>{card}_Q(\{T(t)| t \in T\}) = {card}_Q(T)</math>. (Cf. plus bas pour la notation). On suppose de plus que <math>\forall t \in T, \exists n_t \in \N \,\, : \,\, T(t) \in \mathcal{P} \Big(\R^{n_t}(t)\Big)</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{\cal T} \in \mathcal{P} \Big(\bigsqcup_{t \in T} \R^{n_t}(t)\Big)}</math>. '''Remarque :''' <math>\forall t \in T, T(t) \,\, \mbox{peut être bornée}</math>, même si on peut concevoir fictivement et sur le plan mathématique, un espace non borné <math>\R^{n_t}(t)</math>, la contenant et allant au delà. '''Remarque :''' <math>\displaystyle{\forall t \in T, \,\, A(t) \in {\cal P}\Big(T(t)\Big), \emptyset(t) \subset A(t) \subset T(t) \,\, et \,\, \forall t_1,t_2 \in T, \,\, t_1 \neq t_2, \,\, \emptyset(t_1) \neq \emptyset, \,\, \emptyset(t_2) \neq \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\emptyset(t_1) \neq \emptyset(t_2) \,\, \mbox{et} \,\, \emptyset(t_1) \bigcap \emptyset(t_2) = \emptyset}</math>. '''Remarque importante :''' J'hésite à employer la notation <math>\forall t \in T, \,\, \emptyset(t)</math> : Par définition et <math>\emptyset(t) = {\{\}}_{T(t)}</math>, <math>\forall t_1,t_2 \in T \colon t_1 \neq t_2, \,\, \emptyset(t_1) = {\{\}}_{T(t_1)} \neq {\{\}}_{T(t_2)} = \emptyset(t_2)</math> et <math>\forall t_1, t_2 \in T \colon t_1 \neq t_2, \,\, \emptyset(t_1) \neq \emptyset, \,\, \emptyset(t_2) \neq \emptyset</math> <math>\displaystyle{\emptyset(t_1) \neq \emptyset(t_2) \,\, \mbox{et} \,\, \emptyset(t_1) \bigcap \emptyset(t_2) = \emptyset}</math> Dans cette optique <math>\forall t \in T \,\, \emptyset(t) \neq \emptyset</math>, bien que <math>\forall t \in T \,\, {card}_{Q \,\, ou \,\, E}\Big(\emptyset(t)\Big) = {card}_{Q \,\, ou \,\, E}(\emptyset) = 0</math>. Si cette notation pose vraiment problème, on la remplacera par et on reviendra à la notation <math>\emptyset</math>. <math>\Big(\R '' = -\infty_{{\cal F}(\R)} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}</math>. On a <math>\R \subsetneq \R' \subsetneq \R '' \Big)</math> (Pour les notations nouvelles, se reporter à la version la plus récente du document : [[Recherche:Cardinal_quantitatif|"La définition du cardinal quantitatif sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>"]]) Soit <math>{\cal A} \subset {\cal T}</math>. On se place dans un repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>. On désigne par <math>{card}_E({\cal A})</math> le cardinal équipotentiel ou de Cantor de la partie <math>{\cal A}</math> et on désigne par <math>{card}_Q({\cal A}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\cal A})</math> le cardinal quantitatif de la partie <math>{\cal A}</math> relatif au repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>, une notion encore à définir (dont j'ai parlé dans d'autres PDF : La version la plus récente du document : [[Recherche:Cardinal_quantitatif|"La définition du cardinal quantitatif sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>"]]) qui se veut plus fine que celle de cardinal équipotentiel et qui se veut être la notion optimale de nombre d'éléments, dans le système <math>ZFC</math>. ==== Définition ==== <math>\displaystyle{{\cal D} \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal T} \,\, \Longleftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, {\cal D} \in {\cal P}\bigg(\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big) \bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)\bigg)}</math> ==== Définition ==== <math>{\cal D}_0</math> dimension temporelle (éternelle) minimale, représentative de <math>{\cal T}</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e}f}</math> <math>{\cal D}_0</math> dimension de <math>{\cal T}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, \exists x \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal T} \bigsqcup {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, t \longmapsto x(t) \in \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) = \emptyset(t) \,\, \mbox{et} \,\, x(t) \in T(t) \bigsqcup \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) \neq \emptyset(t)}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, {\cal D}_0 = \bigsqcup_{t \in T} \{x(t)\}} = \{x(t)|t \in T\}</math> et <math>{card}_Q(\{x(t)| t \in T\}) = {card}_Q(\{T(t)|t \in T\}) [= {card}_Q(T)]</math> (En effet, la condition <math>{card}_E(\{x(t)| t \in T\}) = {card}_E(\{T(t)|t \in T\}) [= {card}_E(T)]</math> ne suffit pas) Remarque : La dernière ligne de cette définition est peut-être inutile, car elle peut être, implicitement, contenue dans les premières lignes de cette définition. ==== Définition ==== <math>{\cal D}</math> dimension temporelle (éternelle), représentative de <math>{\cal T}</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e} f}</math> <math>\displaystyle{{\cal D} \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal T} \,\, \mbox{et} \,\, \exists {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension temporelle (éternelle) minimale, représentative de} \,\, {\cal T} \,\, : \,\, {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal D}}</math> ==== Exemple ==== <math>\displaystyle{\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big) \bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{t \in T} \{\emptyset(t)\}}</math> sont des dimensions temporelles (éternelles), (représentative de <math>{\cal T})</math>, et <math>\displaystyle{\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big)\bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)}</math> est même maximale (dans un sens facile à deviner que je préciserai plus tard) et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{t \in T} \{\emptyset(t)\}}</math> est même minimale. ==== Définition ==== <math>\displaystyle{\mbox{Soit} \,\, {\cal D} \,\, \mbox{une dimension de} \,\, {\cal T} \,\, : \,\, {\cal D} = \bigsqcup_{t \in T_{{\cal D}}} D(t) \,\, \mbox{où} \,\, \forall t \in T_{{\cal D}}, \,\, D(t) \in {\cal P}({\cal T}) \,\, \mbox{et} \,\, T_{{\cal D}} \in {\cal P}(T)}</math>. <math>{\cal D}_0</math> dimension temporelle minimale, représentative de <math>{\cal D}</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e} f}</math> <math>{\cal D}_0</math> dimension de <math>{\cal T}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, \exists x \,\, : \,\, T_{{\cal D}} \longrightarrow {\cal T} \bigsqcup {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, t \longmapsto x(t) \in \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) = \emptyset(t) \,\, \mbox{et} \,\, x(t) \in T(t) \bigsqcup \{\emptyset(t)\} \,\, \mbox{si} \,\, T(t) \neq \emptyset(t)}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, {\cal D}_0 = \bigsqcup_{t \in T_{{\cal D}}} \{x(t)\}} = \{x(t)|t \in T_{{\cal D}}\}</math> <math>\displaystyle{\mbox{et} \,\, {card}_Q(\{x(t)| t \in T_{{\cal D}}\}) = {card}_Q(\{D(t)| t \in T_{{\cal D}}\}) [= {card}_Q(T_{{\cal D}})]}</math> ==== Définition ==== On reprend les notations de la définition précédente. <math>\displaystyle{\mbox{Si, de plus,} \,\, T_{{\cal D}} = ]-\infty,b_0)\bigsqcup \Big(\bigsqcup_{i \in \N_{n-1}^*} (a_i,b_i)\Big) \bigsqcup (a_n,+\infty[ \,\, \mbox{avec} \,\, \forall i \in \N_n^*, \,\, a_i \in T, \,\, \forall i \in \N_{n-1},\,\, b_i \in T, \,\, T = \R}</math> alors <math>{\cal D}</math> est une dimension temporelle éternelle par blocs et <math>{\cal D}_0</math> est une dimension temporelle éternelle par blocs, minimale, représentative de <math>{\cal D}</math>. Si, de plus <math>T_{{\cal D}} = \R</math> alors <math>{\cal D}</math> est une dimension temporelle éternelle et <math>{\cal D}_0</math> est une dimension temporelle éternelle, minimale, représentative de <math>{\cal D}</math>. ==== Définition ==== <math>{\cal D}_1</math> dimension temporelle, représentative de <math>{\cal D}_2</math> <math>\Longleftrightarrow_{d \acute{e} f}</math> <math>\displaystyle{{\cal D}_1 \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal D}_2 \,\, \mbox{et} \,\, \exists {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension temporelle minimale, représentative de} \,\, {\cal D}_2 \,\, : \,\, {\cal D}_0 \,\, \mbox{dimension de} \,\, {\cal D}_1}</math> '''Remarque :''' Si, de plus <math>{\cal D}_0</math> est une dimension temporelle éternelle (respectivement éternelle par blocs), minimale, représentative de <math>{\cal D}_2</math>, alors <math>{\cal D}_1</math> est une dimension temporelle éternelle (respectivement éternelle par blocs), représentative de <math>{\cal D}_2</math>. ==== Remarques ==== Au lieu de considérer un espace <math>{\cal T}\times T</math> comme l'Histoire exhaustive de <math>Tout</math> et <math>\forall t \in T</math>, l'espace <math>{\cal T}\times \{t\}</math> : Nous considérons <math>\forall t \in T</math>, l'espace <math>T(t)</math>, <math>\displaystyle{\bigsqcup_{t \in T} T(t) = {\cal T}}</math>. '''Remarque :''' On ne prend pas nécessairement <math>{\cal T} = E\times T</math>, ni <math>\forall t \in T, \,\, T(t) = E \times \{t\}</math> : <math>\forall t \in T, \,\, T(t) \,\, \mbox{est une tranche variable de} \,\, {\cal T},</math> en tout cas beaucoup plus variable qu'une tranche <math>E \times \{t\}</math> de <math>E \times T</math>. On peut d'ailleurs considérer que <math>\forall t \in T, \,\, T(t)</math> est l'ensemble maximal pour l'inclusion, pour tous les corps existant à l'instant <math>t</math>. On suppose donc <math>\displaystyle{\forall t_1,t_2 \in T, \,\, t_1 \neq t_2, \,\, T(t_1) \bigcap T(t_2) = \emptyset}</math> On établit approximativement l'indépendance de certaines dimensions que localement : Mais rien ne nous dit qu'à plus grande échelle cette propriété est vérifiée : Il est fort probable que plus la partie de <math>{\cal T}</math>, que nous connaîtrons, sera grande, plus nous connaîtrons de dimensions et moins elles seront indépendantes, c'est pour cela que je préfère appeler dimension, toute partie de <math>\displaystyle{\Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) \neq \emptyset(t)} T(t)\Big) \bigsqcup \Big(\bigsqcup_{t \in T|T(t) = \emptyset(t)} \{\emptyset(t)\}\Big)}</math> <math>\Big(</math> et pas seulement et simplement toute partie de <math>{\cal T}</math> : En effet, <math>\displaystyle{{\cal T} = \bigsqcup_{t \in T} T(t)}</math> et il se peut que <math>\exists t \in T, \,\, T(t) = \emptyset(t)</math>, or <math>\not \exists x_t \in \emptyset(t)</math>, or <math>\forall t \in T</math>, il existe pourtant bien une dimension représentative de <math>\emptyset(t)</math> : C'est le singleton constitué de l'élément <math>\emptyset(t)</math>, <math>\{\emptyset(t)\}</math> <math>\Big)</math>. Remarque : En fait, <math>Tout</math> dont nous pressentons et connaissons, intuitivement, certaines propriétés, est un indéfinissable. ==== Remarque ==== Je pensais le contraire, mais je pense aujourd'hui que la question de l'existence de Dieu est un indécidable irréductible, du moins, dans l'état de nos connaissances actuelles. Déjà, le monde microscopique quantique avec la logique qui lui est associée, est une réalité : On pourrait aussi envisager que Tout corresponde à un enchevêtrement de mondes ayant chacun sa propre logique. De fait, toute démonstration utilisant la logique classique, avec son principe du tiers exclus, est inappropriée lorsqu'on étudie Tout, et en particulier Dieu. Bien que nous ayons une connaissance et une appréhension de certaines des propriétés de Tout : Comme nous n'aurons toujours qu'une connaissance locale et relative de ce dernier, la logique qui lui est associée, nous sera à jamais inaccessible. La logique quantique est différente de la logique classique, la notion d'inclusion quantique de parties quantiques, est différente de celle d'inclusion classique de parties classiques : Dans le cadre de la mécanique quantique qui est différent et plus général que celui de la mécanique newtonienne, les parties considérées ne se ramènent pas nécessairement à une tribu de parties, classique : En effet à l'échelle quantique, il peut y avoir superposition de 2 états (ou évènements) : Et comme toute théorie physique est relative et révolutionnable et dépend de logiques plus ou moins complexes et abstraites, qui lui sont propres, et de notion d'inclusions plus ou moins complexes et abstraites, qui lui sont propres, et que Tout est un indéfinissable, malgré la connaissance que nous avons de certaines de ses propriétés : Jamais nous n'atteindrons ou n'accèderont à des notions de logique, d'inclusion et même d'existence universelles : Les notions de logique, d'inclusion et d'existence auxquelles nous aurons accès, dépendront, toujours, des cadres relatifs dans lesquels nous nous placerons, et celles du cadre universel, nous resteront, à jamais, inaccessibles : La notion d'existence dont je vais parler dans la suite, n'est pas l'existence mathématique, mais une des existences philosophiques, qui se formalise mathématiquement : Ce n'est nullement du galimacia à la Jean-Paul Sartre sur l'existence, là elle est dépouillée de toute ambiguïté : Il ne s'agit pas du fait d'exister à travers soi et les autres, qui est plus relatif à la puissance de nos interactions avec soi et les autres, de plus, la notion de puissance, peut être subjective et relative, à chacun. En utilisant et en faisant appel à la logique classique : Il est fort probable qu'il n'existe pas d'état premier de Tout et que Tout soit incréé, et puis supposons que cet état premier ait existé, à cet état premier, Tout s'est réduit au pire à l'Ensemble vide, donc, dans ce cas, Tout existe, et existera toujours, et sinon Tout s'est réduit ou se réduira au pire à l'Ensemble vide, donc Tout a toujours existé, existe, et existera toujours, pas nécessairement par rapport à l'Espace-Temps, mais par rapport à quelque chose d'éternel, l'Ensemble vide, le complémentaire de Tout dans lui-même, qui peut s'identifier parfois à Tout, dans son état minimal. Il est possible que Tout ne s'est jamais contracté et réduit à l'Ensemble vide : De toute façon qu'il se soit réduit ou pas, qu'il se réduise un jour, ou ne se réduise jamais à l'Ensemble vide, Tout est Eternel. Dieu, est une partie de Tout (pouvant se confondre avec Tout), s'il existe, et c'est, éventuellement, le créateur de Tout, et, c'est, éventuellement, un être sensible, pensant, conscient, s'il existe. === Existence === Soient <math>\displaystyle{{\cal D},{\cal O} \in {\cal P}({\cal T})}</math>. ==== Définition ==== L'application existence, pour les corps ou les processus, est définie par : <math>\displaystyle{{existence} \,\, : \,\, {\cal P}({\cal T}) \longrightarrow {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {\cal O} \,\,\longmapsto \,\, {existence}({\cal O}) = {\cal O}}</math> En particulier, si <math>{\cal O} = O(t_0) \in {\cal P}\Big(T(t_0)\Big)</math>, avec <math>t_0 \in T</math>, <math>{existence}\Big(O(t_0)\Big) = O(t_0)</math> ====Remarque (A propos de l'existence mathématique) :==== <math>\displaystyle{\exists x \in E' \,\, \Longleftrightarrow \,\, E' \neq \emptyset \,\, \Longleftrightarrow \,\, {card}_E(E') \geq 1 \,\, \Longleftrightarrow \,\, {card}_Q(E') \geq 1}</math> ==== Définition ==== On définit l'application existence commune à tout corps et au corps <math>\cal D</math> (ou dans un certain sens, l'application existence par rapport au corps <math>\cal D</math>), par : <math>\displaystyle{{existence}(.|{\cal D}) \,\, : \,\, {\cal P}({\cal T}) \,\, \longrightarrow \,\, {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {\cal O} \,\, \longmapsto \,\, {existence}({\cal O}|{\cal D}) = {\cal O} \cap {\cal D}}</math> et <math>existence({\cal O}|{\cal D})</math> s'appelle l'existence commune au corps <math>\cal O</math> et au corps <math>\cal D</math> (ou dans un certain sens, l'existence du corps <math>\cal O</math> par rapport au corps <math>\cal D</math>), En particulier, si <math>{\cal O} = O(t_0), {\cal D} = D(t_0) \in {\cal P}\Big(T(t_0)\Big)</math>, avec <math>t_0 \in T</math> <math>{existence}\Big(O(t_0)\Big|D(t_0)\Big) = O(t_0) \cap D(t_0)</math> ==== Propriétés ==== 1) <math>{existence}({\cal O}|{\cal D}) = {\cal O} \cap {\cal D} = {\cal D} \cap {\cal O} = {existence}({\cal D}|{\cal O})</math> 2) <math>{existence}({\cal D}|{\cal D}) = {\cal D} \cap {\cal D} = {\cal D} = {existence}({\cal D})</math> 3) Si <math>{\cal D} \subset {\cal O}</math>, <math>{existence}({\cal O}|{\cal D}) = {\cal O} \cap {\cal D} = {\cal D} = {existence}({\cal D})</math> === Essence === Attention, ici, essence a le même sens que celui de nature. Soient <math>\displaystyle{{\cal O}, {\cal O}_1, {\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math>. ==== Définition ==== On pose <math>\displaystyle{{\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_2) = \Big\{b \,\, : \,\, {\cal O}_1 \longrightarrow {\cal O}_2\Big| b \,\, bijection \Big\}}</math> ==== Définition ==== Si <math>\exists b_{1,2} \in {\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_2)</math> On dit que <math>{\cal O}_2</math> est l'essence de <math>{\cal O}_1</math> par rapport à la bijection <math>b_{1,2}</math> et on note <math>{\cal O}_2 = {essence}\Big({\cal O}_1 \Big|b_{1,2}\Big)</math> ==== Proposition ==== Si l'on note <math>b_{2,1}={(b_{1,2})}^{-1}</math> la bijection réciproque de <math>b_{1,2}</math> : On a <math>{\cal O}_1 = {essence}\Big({\cal O}_2\Big|b_{2,1}\Big)</math> On peut prendre <math>{\cal O}_2 = {\cal O}_1</math> et dans ce cas, <math>\exists b_{1,1} \in {\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_1)</math> : par exemple l'identité dans <math>{\cal O}_1</math>, <math>{id}_{{\cal O}_1} \in {\cal B}ij({\cal O}_1,{\cal O}_1)</math> et <math>{existence}({\cal O}_1) = {\cal O}_1 = {essence}({\cal O}_1|b_{1,1})</math> En particulier, on peut prendre <math>{\cal O}_1 = O_1(t_1) \in {\cal P}\Big(T(t_1)\Big) \,\, et \,\, {\cal O}_2 = O_2(t_2) \in {\cal P}\Big(T(t_2)\Big)</math> avec <math>t_1, t_2 \in T</math> ==== Définition ==== On pose <math>\displaystyle{{\cal B}ij({\cal O},.) = \Big\{b \,\, : \,\, {\cal O} \,\, \longrightarrow \,\, {\cal D}_{\cal O}\Big| {\cal D}_{\cal O} \in {\cal P}({\cal T}) \,\, et \,\, b \,\, bijection \Big\}}</math> ==== Définition ==== L'application essence est définie par : <math>\displaystyle{{essence}({\cal O}) \,\, : \,\, {\cal B}ij({\cal O},.) \longrightarrow {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, b \,\, \longmapsto \,\, {essence}({\cal O}|b)}</math>, En particulier, on peut prendre <math>{\cal O} = O(t_0) \in {\cal P}\Big(T(t_0) \Big)</math> avec <math>t_0 \in T</math>. On confondra <math>{essence}({\cal O})</math> et <math>\{{essence}({\cal O}|b)| b \in {\cal B}ij({\cal O},.)\}</math>. ===Essence spinoziste=== ==== Définition ==== Soit <math>\displaystyle{{\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> <math>t_1,t_2 \in T \,\, : \,\, t_1 < t_2</math> <math>O_{1,0}(t_1) = {essence \,\, spinoziste}\Big(O_2(t_2)\Big)</math> <math>\Longleftrightarrow_{d\acute{e}f}</math> <math>\displaystyle{{\cal O}_{1,0} \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, O_{1,0}(t_1) \,\, \Longrightarrow \,\, O_2(t_2)}</math> et <math>\displaystyle{\bigg({\cal O}_1 \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, O_1(t_1) \,\, \Longrightarrow \,\, O_2(t_2)\bigg) \,\, \Longrightarrow \,\, O_{1,0}(t_1) \subset O_1(t_1)}</math> ==== Notation ==== <math>\displaystyle{\forall {\cal O}\in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {\cal O} = \bigsqcup_{t \in T} O(t)}</math> On pose <math>\displaystyle{\forall T_0 \in {\cal P}(T), \,\, {\cal O}_{|T_0} = \bigsqcup_{t \in T_0} O(t)}</math> On pourrait donner une version généralisée de cette définition, avec interaction causale simultanée et non nécessairement entre 2 instants différents ou entre 2 durées différentes, l'une étant strictement antérieure à l'autre. On pourrait pour faire preuve de plus d'abstraction, chercher des définitions qui ne s'appliquent pas, nécessairement, à notre monde, mais qui pourraient s'appliquer à d'autres. Dans la suite, les cas <math>T_1 \bigcap T_2 \neq \emptyset</math> ou <math>T_1 > T_2</math> étant délicats et/ou posant des problèmes, ont été exclus. ==== Définition ==== Soit <math>\displaystyle{{\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> <math>T_1,T_2 \in {\cal P}(T) \,\, : \,\, T_1 < T_2</math> <math>{{\cal O}_{1,0}}_{|T_1} = {essence \,\, spinoziste}\Big({{\cal O}_2}_{|T_2}\Big)</math> <math>\Longleftrightarrow_{d\acute{e}f}</math> <math>\displaystyle{{\cal O}_{1,0} \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {{\cal O}_{1,0}}_{|T_1} \,\, \Longrightarrow \,\, {{\cal O}_2}_{|T_2}}</math> et <math>\displaystyle{\bigg({\cal O}_1 \in {\cal P}({\cal T}) \,\, : \,\, {{\cal O}_1}_{|T_1} \,\, \Longrightarrow \,\, {{\cal O}_2}_{|T_2}\bigg) \,\, \Longrightarrow \,\, {{\cal O}_{1,0}}_{|T_1} \subset {{\cal O}_1}_{|T_1}}</math> ===Ensemble de relations entre 2 corps=== ==== Définition ==== Soient <math>\displaystyle{{\cal O}_1, {\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> <math>{relations}({\cal O}_1,{\cal O}_2) =_{d\acute{e}f} {\cal P}({\cal O}_1 \times {\cal O}_2)</math> ==== Remarque ==== Soient <math>\displaystyle{{\cal O}_1,{\cal O}_2 \in {\cal P}({\cal T})}</math> On peut avoir <math>{existence}({\cal O}_1|{\cal O}_2) = \emptyset</math>, mais si <math>{\cal O}_1, {\cal O}_2 \neq \emptyset</math>, on a toujours <math>{relations}({\cal O}_1,{\cal O}_2) \neq \emptyset</math> ==Puissance, puissance externe, puissance interne, d'un corps, formalisées mathématiquement== === Préambule === '''Remarque :''' Pour ce qui concerne la puissance d'interaction totale d'un corps principal : Pour la puissance externe de ce corps : Il faut considérer une partition dynamique, dans le temps, composée de ce corps principal et des autres (ou d'autres) corps, interagissant, avec lui <math>(1)</math>. Pour la puissance interne de ce corps principal : Il faut considérer une partition dynamique, dans le temps, de ce corps principal <math>(2)</math>. Pour couvrir, entièrement, les réseaux formés des corps de chaque partition, on considère des maillages triangulaires de corps : À chaque maillon du maillage triangulaire de corps, on considère la puissance élémentaire des interactions mutuelles des <math>3</math> corps qui le composent et qui lui est associée, puis en prenant soin de ne pas comptabiliser les doublons, on intègre la fonction puissance élémentaire, sur tout le maillage ou sur tout le réseau, c'est-à-dire sur tous les maillons triangulaires de la partition dynamique <math>(1)</math>, à l'instant <math>t</math>, pour obtenir la puissance externe d'interaction du corps principal à l'instant <math>t</math>, et sur tous les maillons triangulaires de la partition dynamique <math>(2)</math>, à l'instant <math>t</math>, pour obtenir la puissance interne d'interaction du corps principal, à l'instant <math>t</math>, puis on somme ces 2 dernières, pour obtenir la puissance totale d'interaction du corps principal, à l'instant <math>t</math>. Dans la définition de la puissance élémentaire entre 3 corps : J'ai tenté de donner des conditions d'intégrabilité, afin que mes intégrales soient parfaitement définies. Tant qu'à faire, j'ai généralisé la définition de puissance externe, interne et totale, d'interaction, à tout type d'intégrale et de mesure, en particulier à la mesure de comptage sur <math>\N_n^*</math>. Comme vous pouvez le constater, les idées mises en œuvre, sont simples. '''Remarque importante :''' On se place, ici, dans le cadre de la mécanique newtonienne : L'espace <math>E \times T</math> s'appelle l'espace-temps newtonien où <math>E \times T \subset \R^n \times \R</math>, pour un <math>n \in \N^*</math> donné. '''Remarque :''' La plupart des ensembles considérés reposent, essentiellement, sur des partitions. On se donne un ensemble <math>I\in {\cal P}(E\times T)</math>. La donnée de cet ensemble induit une application <math>\widehat{I} \,\, : \,\, T \,\, \longrightarrow \,\, {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t) = I \cap (E\times\{t\})</math>. C'est la "tranche" de <math>I</math> à l'instant <math>t</math>. On a <math>\displaystyle{I = \bigsqcup_{i \in T} \widehat{I}(t) \in {\cal P}(E\times T)}</math> Par construction, <math>\forall t \in T, \,\, \widehat{I}(t)\in {\cal P}(E\times \{t\})</math> Il est équivalent de dire que <math>\widehat{I} \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t) \in {\cal P}(E \times \{t\})</math> où <math>\displaystyle{I = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{I}(t)}</math>. On peut remarquer, si on le souhaite que <math>t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in \widehat{I}(t)</math> <math>\iff t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in I \cap (E \times \{t\})</math> <math>\iff t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in I \,\, et \,\, (i,t) \in E \times \{t\}</math> <math>\iff t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in I \,\, et \,\, i \in E \,\, et \,\, t = t</math>. <math>\iff (i,t) \in I \,\, et \,\, (i,t) \in E \times T</math> <math>\iff (i,t) \in I</math> car <math>I \in {\cal P}(E\times T)</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(E \times T)</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(I,E,T)}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{I}\Big| \widehat{I} \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t)= I \cap (E\times\{t\})\Big\}}</math> <math>\displaystyle{=\Big\{\widehat{I}\Big|\widehat{I} \,\, : \,\, T \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, t \,\, \longmapsto \,\, \widehat{I}(t) \in {\cal P}(E \times \{t\}) \,\, et \,\, I = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{I}(t)\Big\}}</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(E,T) = \Big\{\widehat{I} \in \widehat{{\cal A}}(I,E,T) \Big| I \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math> Soit <math>J \in {\cal P}(E \times T)</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(J,I,E,T)}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{I}(J) \in \widehat{{\cal A}}(I,E,T)\Big|\widehat{J} \in \widehat{{\cal A}}(J,E,T), \,\, \forall t \in T, \,\, \widehat{J}(t) \in \mathcal{P}\Big(\widehat{I}(J)(t)\Big) \,\, et \,\, \forall (j,t) \in J, \,\,\exists \widehat{I}(J)(j,t) \in {\cal P}\Big(\widehat{I}(t)\Big) \,\, :}</math> <math>\displaystyle{\forall t \in T, \,\, \bigsqcup_{(j,t) \in \widehat{J}(t)}\widehat{I}(J)(j,t) = \widehat{I}(J)(t)\Big\}}</math> <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}(J,.,E,T)= \Big\{\widehat{I}(J) \in \widehat{{\cal A}}(J,I,E,T)\Big|I \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math> On suppose, par ailleurs, donnée une autre application <math>\widehat{\widehat{P}}(I) \,\, : \,\, I \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, (i,t) \,\, \longmapsto \,\, \widehat{\widehat{P}}(i,t)\in {\cal P}(E\times\{t\})</math>. On suppose aussi que pour <math>\displaystyle{\forall (i_1,t_1), (i_2,t_2) \in I, \,\,(i_1,t_1) \neq (i_2,t_2), \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_2) = \emptyset}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{\Big(\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\Big)}_{(i,t) \in I} \,\, partition}</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{\widehat{P}}(I) \Big|\widehat{\widehat{P}}(I) \,\, : \,\, I \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, (i,t) \longmapsto \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\in {\cal P}(E\times\{t\})}</math> <math>\displaystyle{telle \,\, que \,\, \forall (i_1,t_1),(i_2,t_2) \in I, \,\, (i_1,t_1) \neq (i_2,t_2), \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_2) = \emptyset} \Big\}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{\widehat{\widehat{P}}(I) \Big|\widehat{\widehat{P}}(I) \,\, : \,\, I \longrightarrow {\cal P}(E\times T) \,\, : \,\, (i,t) \longmapsto \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\in {\cal P}(E\times\{t\}) \,\, telle \,\, que \,\, {\Big(\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)\Big)}_{(i,t) \in I} \,\, partition} \Big\}</math>. On pose <math>\displaystyle{\widehat{\widehat{\cal A}}(E,T)= \Big\{\widehat{\widehat{P}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)\Big|I \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math>. Dans la suite on confondra <math>\widehat{\widehat{P}}(I)</math> et <math>\displaystyle{\{\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) |(i,t) \in I\} = \{\widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) |t \in T \,\, et \,\, (i,t) \in \widehat{I}(t)\}}</math> Et on pose <math>\displaystyle{P(I) = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{\widehat{P}}(I)(t) = \bigsqcup_{t \in T} \bigsqcup_{(i,t) \in \widehat{I}(t)} \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) = \bigsqcup_{(i,t) \in I} \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) \,\, o\grave{u} \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(t) = \bigsqcup_{i \in \widehat{I}(t)} \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t)}</math>, on a <math>\displaystyle{\forall t_1,t_2 \in T, \,\, t_1 \neq t_2, \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(t_2) = \emptyset}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall (i_1,t_1),(i_2,t_2) \in I, \,\,t_1 \neq t_2, \,\, (i_1,t_1) \neq (i_2,t_2), \,\, \widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_1) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_2) = \emptyset}</math> Soient <math>I,Q \in {\cal P}(E \times T)</math>. Soit <math>\widehat{\widehat{P}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}_0\Big(I,Q,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T\Big) = \{\widehat{Q}\in \widehat{{\cal A}}(Q,E,T)|\forall (i,t) \in I, \,\, \widehat{Q}(t) \bigcap \widehat{\widehat{P}}(I)(i,t) = \emptyset\}}</math> On pose <math>\displaystyle{\widehat{{\cal A}}_0\Big(I,.,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T\Big) = \Big\{\widehat{Q}\in \widehat{{\cal A}}_0\Big(I,Q,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T\Big)\Big|Q \in {\cal P}(E \times T)\Big\}}</math> Soit <math>I \in {\cal P}(E \times T)</math>. Soit <math>\widehat{I} \in {\cal A}(I,E,T)</math>. Soit <math>t \in T</math>. Soit <math>{\cal{E}}(t)</math> une tribu sur <math>\widehat{I}(t)</math> Soit <math>\mu(t) \,\, : \,\, {\cal{E}}(t) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R}</math> une mesure Soit <math>{\cal E}</math> une tribu sur <math>I</math> Soit <math>\mu \,\, : \,\, {\cal E} \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R}</math> une mesure L'application <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}(\mu) \,\, : \,\, {\cal P}^3(E \times T) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R} \,\, : \,\, (A,B,C) \,\, \longmapsto \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C)}</math> telle que <math>\forall (A,B_1,B_2) \in {\cal P}^3(E \times T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B_1,B_2) = {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B_2,B_1)</math> et telle que <math>\forall (A,B,C) \in {\cal P}^3(E \times T)</math> <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C) = {{\cal P}uissance}(\mu)(B,A,C)= {{\cal P}uissance}(\mu)(C,A,B)}</math> où le terme <math>{{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C)</math> s'appelle la puissance des interactions de <math>A</math>, en interaction avec les interactions de <math>B</math> avec <math>C</math>, par rapport à la mesure <math>\mu</math>. (Remarque : Le terme <math>{{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,B)</math>, s'appelle la puissance des interactions de <math>A</math>, en interaction avec les interactions de <math>B</math> avec <math>B</math>, ou bien, plus simplement, la puissance des interactions entre <math>A</math> et <math>B</math>) et telle que (Dans la définition de la puissance élémentaire entre 3 corps : J'ai tenté de donner des conditions d'intégrabilité, afin que mes intégrales soient parfaitement définies.) '''Notations :''' Soient <math> f \,\, : \,\, E \times F \longrightarrow H</math> et <math>E_0 \times F_0 \in {\cal P}(E \times F)</math> Soit <math>h \,\, : \,\, H \,\, \longrightarrow \,\,K</math> Alors <math>f{|}_{E_0 \times F_0}(.,.) = f{|}_{E_0 \times F_0}</math> et <math>h\Big(f(.,.)\Big){\Big|}_{E_0 \times F_0} = (h \circ f){|}_{E_0 \times F_0}(.,.) = (h \circ f){|}_{E_0 \times F_0}</math>. Soient <math> g \,\, : \,\, E \times F \times G \longrightarrow H</math> et <math>E_0 \times F_0 \times G_0 \in {\cal P}(E \times F \times G)</math> Soit <math>k \,\, : \,\, H \,\, \longrightarrow \,\,K</math> Alors <math>g{|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}(.,.,.) = g{|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}</math> et <math>k\Big(g(.,.,.)\Big){\Big|}_{E_0 \times F_0 \times G_0} = (k \circ g){|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}(.,.,.) = (k \circ g){|}_{E_0 \times F_0 \times G_0}</math>. Soit <math>t \in T</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E \times T)</math>. <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(A,E,T), \forall \widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(t),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,t),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,t)\Big){|}_{\{i \in E|(i,t) \in I\}^2}</math> <math>\in L^1\Big(\{i \in E|(i,t) \in I\}^2,\,\, ?, \,\, ?\Big)</math> <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(A,E,T), \forall \widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(.),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,.),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,.)\Big){|}_{T \times {I}^2}</math> <math>\in L^1\Big(T \times {I}^2, \,\, {\cal B}(T) \otimes {\cal E}^{\otimes 2}, \,\, \lambda \otimes \mu^{\otimes 2}\Big)</math> <math>\forall t \in T,</math> <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(I,A,E,T), \forall \widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(I)(.,t),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,t),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,t)\Big){|}_{\{i \in E |(i,t) \in I\}^3}</math> <math>\in L^1\Big(\{i \in E|(i,t) \in I\}^3, \,\, ?, \,\, ?\Big)</math> et <math>\forall \widehat{A} \in \widehat{\cal A}(I,A,E,T),\widehat{\widehat{B}}(I),\widehat{\widehat{C}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T), \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(I)(.,.),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,.),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,.)\Big){|}_{{I}^3}</math> <math>\in L^1\Big({I}^3,\,\,{\cal E}^{\otimes 3}, \,\, \mu^{\otimes 3}\Big)</math> Remarque : On ne peut obtenir et prendre en compte la totalité du réseau entre les éléments d'une partition, que si on fait au moins des maillages triangulaires. ===Puissance externe d'un corps=== ==== Définition ==== En tenant compte des notations de remarque et de ce qui précède et en supprimant et en ne prenant pas en compte les doublons de <math>{{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t)\Big)</math>, dans les expressions suivantes, on obtient : Soit <math>I\in {\cal P}(E \times T)</math>. Soit <math>t \in T</math>. Soit <math>{\cal{E}}(t)</math> une tribu sur <math>\widehat{I}(t)</math> Soit <math> \mu(t) \,\, : \,\, {\cal{E}}(t) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R}</math> une mesure Soit <math>\widehat{\widehat{P}}(I) \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T)</math> L'application <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,.,\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> est définie par : <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,.,\widehat{\widehat{P}}(I)\Big) \,\, : \,\,\widehat{{\cal A}}_0(I,.,\widehat{\widehat{P}}(I),E,T) \,\, \longrightarrow \,\, \overline{\R} \,\, : \,\, \widehat{O} \longmapsto {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)}</math> où <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \int_{\widehat{I}(t)} \int_{\widehat{I}(t)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t) \,\,d \mu(t)(i_2,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t)}</math> En prolongeant les partitions, <math>\forall t \geq \,\, ou \,\, > \sup(T)</math> <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t, \widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{\frac{1}{2} \int_{\widehat{I}(t)} \int_{\widehat{I}(t)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t) \,\,d \mu(t)(i_2,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t)}</math> ===Puissance interne d'un corps=== ==== Définitions ==== Soit <math>t \in T</math> Soit <math>\widehat{O} \in \widehat{\cal A}(J,.,E,T)</math> <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O}) = {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big) \,\, {\mathbb{I}}_{\R_+}\bigg({{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big)\bigg)</math> Soit <math>J \in {\cal P}(E \times T)</math> Soit <math>t \in T</math> Soit <math>{\cal{F}}(t)</math> une tribu sur <math>\widehat{J}(t)</math> Soit <math>\nu(t) \,\, : \,\, {\cal{F}}(t) \longrightarrow \overline{\R}</math> une mesure. L'application mesurable <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,.)</math> est définie par : <math>\displaystyle{{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,.) \,\, : \,\, \widehat{\cal A}(J,.,E,T) \longrightarrow \overline{\R_+} \,\, : \,\,\widehat{O} \,\, \longmapsto \,\, {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O}) = {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big) \,\, {\mathbb{I}}_{\R_+}\bigg({{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big)\bigg)}</math> ==== Proposition ==== En supprimant et en ne prenant pas en compte les doublons, la relation : Si <math>t\in T</math> <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1 = j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t)\,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j = j_1, j = j_2, j_1 = j_2)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{{\mathbb{I}}_{\overline{\R_+}} \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1 = j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)}\int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j = j_1, j = j_2, j_1 = j_2)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_1,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t)\Big)\,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{{\mathbb{I}}_{\overline{\R_+}} \bigg(\frac{1}{6} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {\mathbb{I}}_{(j \neq j_1, j \neq j_2, j_1\neq j_2)}(j_1,j_2,j) {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_2,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j_2,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \frac{1}{2} \int_{\widehat{J}(t)} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j_1,t),\widehat{O}(J)(j_1,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j_1,t) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)}{{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t),\widehat{O}(J)(j,t)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)\bigg)}</math> <math>\displaystyle{=\Bigg(\frac{1}{3} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(J,\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.),\widehat{O}(J)\setminus \widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)} {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{{\mathbb{I}}_{\overline{\R_+}} \Bigg(\frac{1}{3} \int_{\widehat{J}(t)} \,\, {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(J,\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.),\widehat{O}(J)\setminus \widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{J}(t)} {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)\Big(t,\widehat{O}(J)(j,.)\Big) \,\, d \nu(t)(j,t)\Bigg)}</math> ===Puissance d'interaction, totale d'un corps=== ==== Définition ==== <math>{{\cal P}uissance}\Big(I,\nu, \mu,{{\cal P}uissance}(\nu), {{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,O)</math> <math>= {{\cal P}uissance}\Big(I,\nu, \mu,{{\cal P}uissance}(\nu), {{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>= {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O}) + {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>= {{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,O) + {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)(t,O)</math> où <math>{{\cal P}uissance}_{interne}\Big(\nu,{{\cal P}uissance}(\nu)\Big)(t,\widehat{O})</math> <math>= {{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big) \,\, {\mathbb{I}}_{\R_+}\bigg({{\cal P}uissance}(\nu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{O}(t),\widehat{O}(t)\Big)\bigg)</math> et où <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big)\Big(t,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{\widehat{I}(t)} \int_{\widehat{I}(t)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t) \Big)\,\, d \mu(t)(i_1,t) \,\,d \mu(t)(i_2,t)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t) \Big) \,\,d \mu(t)(i_1,t)}</math> === Exemples === ====Exemple 1==== À un instant donné : Soit le département de Paris et les départements de la première couronne : Ils sont deux à deux disjoints. La puissance externe du département de Paris par rapport aux départements de la première couronne est égale à la demi somme des puissances des interactions du département de Paris en interaction avec toutes les interactions entre chaque département de la première couronne {et/avec} un autre département différent, de la première couronne plus la somme des puissances des interactions du département de Paris en interaction avec toutes les interactions de chaque département de la première couronne, avec lui-même. La puissance des interactions du département de Paris en interaction avec les interactions d'un département de la première couronne, avec lui-même est aussi la puissance des interactions du département de Paris, avec ce même département de la première couronne. ====Exemple 2==== On prend <math>T = \R</math> On prend l'instant <math>t = t_0</math> dans la première ligne. On prend <math>\widehat{I}(t_0) = \N_2^* \times \{t_0\}</math>. On a <math>\displaystyle{I = \bigsqcup_{t \in T} \widehat{I}(t) = \N_2^* \times T = \N_2^* \times \R}</math> On prend <math>\widehat{O}(t_0)</math>, <math>\widehat{\widehat{P}}(1,t_0)</math>, <math>\widehat{\widehat{P}}(2,t_0)</math>, deux à deux disjoints. On prend <math>{\cal E}(t_0) = {\cal P}\Big(\widehat{I}(t_0)\Big)</math> une tribu sur <math>\widehat{I}(t_0)</math>. c'est-à-dire <math>{\cal E}(t_0) = {\cal P}(\N_2^* \times \{t_0\})</math> On prend <math>\mu(t_0)</math> une mesure de comptage sur <math>{\cal E}(t_0)</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\mu(t_0) \,\, : \,\, {\cal E}(t_0) \,\, \longrightarrow \,\, \R_+ \,\, : \,\, A \longmapsto \mu(t_0)(A) = \sum_{i \in \widehat{I}(t_0)} {\mathbb{I}}_A(i,t_0)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\mu(t_0) \,\, \colon \,\, {\cal P}\Big(\N_2^* \times \{t_0\}\Big) \longrightarrow \R_+ \,\, \colon \,\, A = A' \times \{t_0\} \longmapsto \mu(t_0)(A) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_A(i,t_0) = \sum_{i \in \N_2^*} {\mathbb{I}}_{A'}(i)}</math> Remarque : Soit <math>f(t_0) \,\, : \,\, {\cal E}(t_0) = {\cal P}\Big(\N_2^* \times \{t_0\}\Big) \,\, \longmapsto \,\, \overline{\R}</math> une fonction mesurable. <math>\displaystyle{\mu(t_0)(A) = \int_{\N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_A(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_A(i,t_0) = \sum_{i \in \N_2^*} {\mathbb{I}}_{A'}(i)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{A} f(t_0)(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \int_{\N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, {\mathbb{I}}_A(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, {\mathbb{I}}_A(i,t_0)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, d \mu(t_0)(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) \,\, {\mathbb{I}}_{\N_2^* \times \{t_0\}}(i,t_0) = \sum_{(i,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} f(t_0)(i,t_0) = \sum_{i\in \N_2^*} f(t_0)(i,t_0)}</math> On pose <math>\forall i_1,i_2 \in \widehat{I}(t_0)</math>, <math>{{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0)\Big) ={{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0)\Big)</math> <math>= p_{i_1,i_2}</math> où <math>p_{i_1,i_2} \in \overline{\R}</math>. On a : <math>{{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big) \Big(t_0,\widehat{O},\widehat{\widehat{P}}(I)\Big)</math> <math>\displaystyle{= {{\cal P}uissance}_{externe}\Big(I,\mu,{{\cal P}uissance}(\mu)\Big) \Big(t_0,\widehat{O},\{\widehat{\widehat{P}}(I)(i,s) | s \in T \,\, et \,\, (i,s) \in I(s)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \int_{\widehat{I}(t_0)} \int_{\widehat{I}(t_0)} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0) \Big) \,\,d \mu(t_0)(i_1,t_0) \,\,d \mu(t_0)(i_2,t_0)}</math> <math>\displaystyle{+ \int_{\widehat{I}(t_0)} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0) \Big) \,\,d \mu(t_0)(i_1,t_0)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \sum_{(i_1,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} \sum_{(i_2,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}_{\mu}\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{+ \sum_{(i_1,t_0) \in \N_2^* \times \{t_0\}} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \sum_{i_1 \in \N_2^*} \sum_{i_2 \in \N_2^*} {\mathbb{I}}_{(i_1 \neq i_2)}(i_1,i_2) {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_2,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{+ \sum_{i_1 \in \N_2^*} {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(i_1,t_0) \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\bigg({{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big)\bigg)}</math> <math>+ {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\bigg({{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)\bigg)}</math> <math>+ {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)</math> <math>= {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(1,t_0)\Big) + {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{O}(t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0),\widehat{\widehat{P}}(I)(2,t_0)\Big)</math> <math>= p_{1,2} + p_{1,1} + p_{2,2}</math> <math>= p_{1,1} + p_{1,2} + p_{2,2}</math> Le problème est, par exemple, si l'application <math>{{\cal P}uissance}(\mu) \,\, : \,\, {\cal P}^3(E \times T) \longrightarrow \overline{\R} \,\, : \,\, (A,B,C) \longmapsto {{\cal P}uissance}(\mu)(A,B,C)</math> est telle que <math>\forall \widehat{A}\in \widehat{\cal A}(E,T), \forall \widehat{\widehat{B}},\widehat{\widehat{C}} \in \widehat{\widehat{\cal A}}(I,E,T) \,\, {{\cal P}uissance}(\mu)\Big(\widehat{A}(.),\widehat{\widehat{B}}(I)(.,.),\widehat{\widehat{C}}(I)(.,.)\Big){|}_{T \times {I}^2}</math> <math>\not \in L^1\Big(T \times {I}^2, \,\, {\cal B}(T) \otimes {\cal E}^{\otimes 2}, \,\, \lambda \otimes \mu^{\otimes 2}\Big)</math> car, il peut exister au moins deux coefficients distincts <math>p_{i,j}</math> tels que <math>p_{i_1,j_1} = +\infty</math> et <math>p_{i_2,j_2} = -\infty</math>, de plus <math>\pm \infty</math> n'est pas une notation suffisamment précise pour distinguer les cardinaux au sens quantitatif (nombre d'éléments) ou au sens de l'équipotence (ordre de grandeur ou puissance du nombre d'éléments) d'ensembles infinis : Dans ce cas, il faut structurer <math>\overline{\R}</math> et ne pas considérer les deux infinis comme des points mais comme des ensembles, pour l'instant, il existe deux manière de le faire, soit par l'analyse non standard, soit par la théorie des cardinaux présentée par Michel Coste, qui peut se généraliser sur certaines classes de parties de <math>{\cal{P}}^m(\R^n)</math>, et qui peut distinguer les cardinaux de deux ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection : En celà ces cardinaux que Michel Coste ne veut pas appeler à tort "cardinaux", sont plus fins, plus précis que ceux de Cantor en poursuivant et en prolongeant l'intuition de départ qu'on en avait dans le cas fini. Bien entendu le problème est qu'on ne peut les appliquer qu'à certaines classes d'ensembles. h80dudduyg4k9so3njdgm1y8xdjrsjc 104 78623 986080 985770 2026-08-29T15:17:24Z Guillaume FOUCART 39841 986080 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 'F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)' '''sur Research Gate'''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' 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'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} gj6fokcdwg6h3qabw9p296ytqqyfigb 986085 986080 2026-08-29T21:09:17Z Guillaume FOUCART 39841 986085 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/ Mes mathématiques et F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *'''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/08/07/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies-version-remaniee-07-08-2/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004 ''(version remaniée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/07/26/memoire-de-m1-sur-les-matrices-infinies/ Mon mémoire de M1 sur les Matrices infinies de 2003-2004] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R sur les Solutions de viscosité et la programmation dynamique, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle ''(version actualisée, voire définitive)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel) ''(version actualisée)''] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de M1 sur la convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/28/rapport-cs1/ Rapport CS1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] *[https://www.researchgate.net/publication/413244290_F-quantite_anciennement_Cardinal_quantitatif_par_opposition_au_Cardinal_potentiel_c-a-d_au_Cardinal_tout_court_27-07-2026 '''F-quantité (anciennement Cardinal quantitatif par opposition au Cardinal potentiel c-à-d au Cardinal "tout court") (27-07-2026)''' '''''(sur Research Gate)'''''] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''NB : 12-08-2026 : Pour pouvoir afficher la bonne et la belle police LaTeX adaptée d'avant concernant les lettres majuscules calligraphiques et pour pouvoir afficher la table des matières numérotée dans la page des travaux, même si les formules LaTeX s'y afficheront mal :''' '''''- Il faut créer un compte Wikiversité.''''' '''''- Il faut se connecter.''''' '''''- Il faut aller dans "Préférences", puis dans "Apparence".''''' '''''- Dans "Habillage" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "Vector (ancienne version 2010)".''''' '''''- Dans "Mathématiques" :''''' '''''* Il faut sélectionner : "SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur)".''''' '''''* Il faut cocher : "Expliquer les formules mathématiques au survol".''''' '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ F-quantité (anciennement le Cardinal quantitatif) ''(version PDF actualisée, économe en Mo, avec la table des matières qui s'affiche correctement et la numérotation des sections)]''''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math> et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>")]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{0,classique}</math>") et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "<math>\aleph_{1,classique}</math>"), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} d0z3ap2gpc6zod96hamsschmi21mok3 0 82502 986075 986066 2026-08-29T14:24:09Z Alain.fabo 73895 /* L'idée de Fermat? */ réécriture de quelques relations. 986075 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=pour <math> n=p</math> premier, <math> f_p(x,y)</math> est irréductible dans ℤ}}{{Démonstration déroulante|contenu=<math>f_5(x,1)=1+x+x^2</math> est irréductible dans <math>\Z(x)</math> Soit <math>p</math> premier supérieur à 7. Alors <math>p</math> divise tous les coefficients binomiaux donc <math> f_p(x,1)=x^m+p + pxP(x), \deg(P)=m-2</math> f est donc p-Einsenstein|titre=Démonstration}} == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} === '''xᵖ+yᵖ, p premier''' === On pourra rappeler ici le résultat de Gauss qui relie la somme de puissance, et donc <math>f_p(x^2,y^2)</math> avec les formes quadratiques:{{Propriété|titre=Théorème|contenu=<math>p</math> premier, <math>\quad \dfrac{x^p+y^p}{x+y}=X^2 + (-1)^{\frac{p+1}2} pY^2 \quad \quad \text{: formule de Gauss} </math> Ce qui est équivalent : <math>f_p(u^2,v^2)=\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) </math>}} Le calcul des carrés n'est pas simple<ref name=":5" />.C'est plus simple en faisant un changement de variable '''Exemples:''' <math>\begin{array}{llll} (u+v)^3+(u-v)^3&=2u\left( X^2+3Y^2 \right)& \quad X,Y=u,v\\ (u+v)^5+(u-v)^5&=2u\left( X^2-5Y^2 \right)& \quad X,Y=u^2+5v^2, 2v^2 \\ (u+v)^7+(u-v)^7&= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right)& \quad X,Y=u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2)\\ (u + v)^{11} + (u - v)^{11} &= 2 u (X^2+11Y^2)& \quad X,Y=u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \end{array}</math> Nous pouvons observer la régularité suivante: {{Propriété|titre=Proposition|contenu=<math>p</math> premier, <math>\dfrac{(u+v)^p+(u-v)^p}{2u}=\left( X^2+(-1)^{\frac{p+1}2}pY^2 \right) </math> Alors <math>v</math> divise toujours <math>Y</math> et <math>u</math> divise X pour <math>p=3[4]</math>}} Par contre, contrairement aux formules (1) et (2), il n'y a pas de régularité sur les facteurs premiers des X ou des Y. C'est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant en étudiant les propriétés dans <math>\Z</math> === '''(x+y)ᵖ-(xᵖ+yᵖ)''' === Afin d'être complet, nous rappelons aussi la factorisation de <math>(x+y)^p-(x^p+y^p), p\in \mathbb{P}</math> . C'est apparemment un résultat "classique" en algèbre {{Propriété|titre=Théorème|contenu=<math>p</math> premier plus grand que 5: <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)=pRS^kQ(R^2,S^3) </math> où <math>R=xy(x+y)</math> et <math>S=x^2+xy+y^2</math> avec: - <math>k=1</math> si <math>p \equiv -1[6]</math> et <math>k=2</math> si <math>p \equiv 1[6]</math> - <math>Q</math> irréductible}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=La divisibilité par p vient du petit théorème de Fermat. Celle par xy en factorisant le binôme. Celle par x+y vient de la factorisation de <math>x^p+y^p</math> par <math>x+y</math>. Celle par <math>x^2+xy+y^2</math> vient en prenant y=1. On obtient alors le polynôme <math>X^2+X+1</math> qui a pour racine <math>w=e^{2i\pi /3}</math> et <math>w^2</math>. Et qui donne donc la relation <math>1+w=-w^2</math> On vérifie que ces racines ce sont aussi celles de <math>(X+1)^p-(X^p+1)</math>. Pour la multiplicité k, on vérifie sur <math>P'(X)</math> et <math> P''(X)</math> Pour l'irréductibilité de Q, c'est déjà plus compliqué. On peut déjà relever que les racines sont groupées par 6. En effet, on vérifie facilement que si <math>\alpha</math> est racine, alors automatiquement les éléments de l'ensemble <math>\left\{\alpha, \dfrac{1}{\alpha}, -1 - \alpha, -\dfrac{\alpha + 1}{\alpha}; -\dfrac{1}{\alpha + 1}, -\dfrac{\alpha}{\alpha + 1} \right\}</math> sont racines. Ensuite c'est très compliqué et il faut connaître la théorie de Galois pour aller jusqu'à l'irréductibilité de Q}}'''Exemples:''' avec <math>y=1, R=x(x+1),S=x^2+x+1</math> <math>\begin{array}{lll} (x+1)^3-(x^3+1)&= 3x (x + 1)\\ (x+1)^5-(x^5+1)&= 5x (x + 1) (x^2 + x + 1)\\ (x+1)^7-(x^7+1)&=7x (x + 1) (x^2 + x + 1)^2 \\ (x+1)^{11}-(x^{11}+1)&=11x(x+1)(x^{2}+x+1)&(x^{6} + 3 x^{5}+ 7 x^{4} + 9 x^{3} + 7x^2+3x +1) \\ &&(\;(x^2+x+1)^3 + (x(x+1)) ^2\;) \\ &=11RS( R^3+S^2 )\\ (x+1)^{13}-(x^{13}+1)&=13x(x+1)(x^{2}+x+1)^{2}& (x^{6} + 3 x^{5} + 8 x^{4} + 11 x^{3} +\text{sym})\\ &&(\;(x^2+x+1)^3 + 2(x(x+1)) ^2\;)\\ &= 13RS^2(R^3+2S^2) \\ (x+1)^{17}-(x^{17}+1)&=17RS (R^6+5R^3S^2+R^4 )\\ (x+1)^{19}-(x^{19}+1)&=19RS^2 (R^6+7R^3S^2+3R^4 )\\ ... \end{array}</math> == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lllll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{lll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{ll} (u,v)&= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)&=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)&= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)&= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)&=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{llll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> == '''Le grand théorème de Fermat''' == === Une remarque presque anodine === <math>n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' » C'était un "simple" commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains, aucune allusion autre que les les cas <math>n=3</math> et <math>n=4</math>. . Plus aucune trace. Un mystère total. === Rappels historiques === Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''<ref>https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf</ref> , ''Itard''<ref>https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767</ref>, ''Rashed''<ref name=":3">https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html</ref>'','' ''Goldstein''<ref>https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf</ref> , ''Bachmakova''<ref>{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}</ref>. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat<ref>https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm</ref>, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met "au défi" de trouver des entiers tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Il a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube<ref>En effet, on tombe rapidement sur la formule <math>b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3</math>. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube <math>\color{green}c^3=a^3+b^3</math> , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.</ref>. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée "descente infinie". Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis<ref name=":7">On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème <math>x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3</math>, avec <math>(x,y)</math> impairs et donc <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres <math>u^2+3v^2</math>. Ainsi, en supposant <math>z=a^2+3b^2</math>, on tombe sur <math>u=a(a+3b)(a-3b)</math> et <math>v=b(a+b)(a-b)</math>. Or <math>2u</math> est un cube, donc <math>(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)</math> avec <math>s^3+t^3=r^3</math>. Puisque ce sont des diviseurs, <math>|r|<|u|<|z|</math>. La descente est amorcée. Au passage, <math>(x,y)</math> pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres "vrais", mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )</ref>. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.<ref>cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son "''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes"'' Proposition 39.</ref> Et c'est ce résultat qui implique directement le cas <math> n=4</math>. Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1638: pour la recherche de nombre premiers, Fermat dit ne ne connaître que le "vulgaire" crible d'Ératosthène<ref>Pour les nombres, je peux trouver par ma méthode toutes les questions des parties aliquotes, mais '''la longueur des opérations me rebute''' et la recherche des nombres premiers, à laquelle toutes ces questions aboutissent. Sur lequel sujet je ne sais point de méthode que la vulgaire, sinon qu'il suffît de faire la division jusques à la plus petite racine quarrée du nombre donné, car si on  n'a point trouvé de  de diviseur jusque là, on n'a garde d'en trouver de plus grands, pouvu que leur quotient seroit moindre que la racine quarrée, ce qui est impossible, par l'expérience qu'on aura déjà faite.</ref>. Et que ça le rebute. * Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car '''les voies ordinaires me lassent''' et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à Roberval d'aout 1640<ref>J'ai démontré ensuite celte proposition, qui sert à l'invention des nombres premiers: : Si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, je dis qu'il ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité multiple du quaternaire. (exemple 10 000 000 000+1  ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de 4, et ainsi, '''lorsque vous voudrez éprouver s'il est nombre premier, il ne faudra point le diviser ni par '5, ni par 7, ni par 11, etc'''</ref> : Il annonce que si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, il ne peut pas être divisé par un premier congrus à 3[4]. Et qu'on pourra donc se passer des divisions par 3, 7, 11, ... * Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème pour <math>p</math> premier : <math>\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés<ref>Le théorème est énoncé avant par son contemporain [[w:Albert_Girard#Le_th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s|Albert Girard]] . Mais Fermat n'avait rien lu de lui, d'après sa biographie sur Wikipedia. </ref>. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que <math>\frac{ x^p+y^p}{x+y}</math>ne contient que des facteurs premiers congrus à <math>1[2p]</math> === Factorisation === Avant de rentrer dans le cercle de ''Mersenne'', Fermat a lu ''Diophante,'' qui sort en 1621 par la traduction commentée de [[w:Claude-Gaspard_Bachet_de_Méziriac|Bachet de Méziriac]] . Il a probablement aussi déjà lu les ''Notae priores'' de ''François Viète'' sorti en 1631<ref name=":6" />. Il connaît donc: * le développement de <math>(x+y)^n=x^n+nyx^{n-1}+...+nxy^{n-1}+y^n</math> , le fameux binôme de Newton. * le fait que les coeffcients sont tous des multiples de l'exposant lorsque n est premier. * la factorisation <math>x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y + ...+ xy ^{n-2}+y^{n-1})</math> . * les relations coefficient-racines, dites [[w:Relations_entre_coefficients_et_racines|Formules de Viete]] Il a donc pu aller beaucoup plus loin : notamment la factorisation de <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)</math> pour p premier, détaillé dans le chapitre "relations algébriques", qu'on rappelle ici par la forme; <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)</math>, <math>k=1 \text{ pour } p\equiv -1[6], k=2 \text{ pour } p\equiv 1[6]</math> La première question qu'on peut se poser à ce niveau est: perçoit-il une incongruité en subsituant une puissance à <math>x^p+y^p</math> On aurait alors: <math>(x+y)^p-z^p=(x+y-z)P(x,y)</math> L'éclair lui vient-il à au moment d'égaliser les deux formes ? === Nombres premiers === S'il a pu faire des manipulations algébriques sophistiquées, Fermat n'a pas encore vu leur propriétés autour des nombres premiers. On le lit se plaindre du crible d'Ératosthène. C'est vers 1640 qu'il commence à voir des lumières salvatrices, avec la possibilité d'un tamis: utiliser uniquement des facteurs premiers en <math>1[2p]</math> pour factoriser <math>2^p-1</math>, ou des <math>1[4]</math> pour la somme des carrés. S'il fait quelques tables de calcul, il peut rapidement s'apercevoir que les valuations des facteurs premiers sont loin d'être des puissances. On peut en douter, lui qui se dit "paresseux". Éventuellement pour <math>p=5</math>, la table étant très belle, avec des facteurs premiers se terminant tous par le chiffre 1 {{Exemple déroulant|titre=Facteurs premiers de <math>(x^5+y^5)/(x+y)</math> pour<math>(x,y)</math> copremiers :|contenu=<math> \begin{matrix} x~\backslash ~y&1^5&3^5&5^5&7^5&9^5&11^5&13^5&15^5\\ 2{^5}&11&5\times11&11\times41&1871&41\times131&12391&5\times4951&11\times31\times131\\ 4{^5}&5\times41&181&461&1621&4621&5\times2161&11\times11\times181&31\times1291\\ 6{^5}&11\times101&---&991&31\times61&---&9931&71\times281&---\\ 8{^5}&11\times331&3001&11\times251&5\times661&11\times491&101\times101&71\times271&11\times31\times101\\ 10{^5}&9091&11\times701&---&6871&11\times761&31\times401&31\times661&---\\ 12{^5}&19141&---&14821&11\times31\times41&---&71\times251&5\times11\times11\times41&---\\ 14{^5}&5\times71\times101&31\times1021&71\times401&---&25951&5\times5591&11\times3061&41\times1091\\ \end{matrix} </math>}}{{Exemple déroulant|titre=Facteurs premiers de <math>(x^5-y^5)/(x-y)</math> pour<math>(x,y)</math> copremiers:|contenu=<math> \begin{matrix} x~\backslash~y&1^5&3^5&5^5&7^5&9^5&11^5&13^5&15^5\\ 2{^5}&31&211&1031&5\times11\times61&8431&17891&33751&58411\\ 4{^5}&11\times31&11\times71&11\times191&5261&5\times11\times211&22861&41141&71\times971\\ 6{^5}&5\times311&---&4651&11\times821&---&5\times6131&11\times4721&---\\ 8{^5}&31\times151&5\times1301&41\times241&11\times1451&41\times641&61\times701&5\times11\times1231&103801\\ 10{^5}&41\times271&14251&---&11\times2521&31\times1321&61051&11\times8221&---\\ 12{^5}&22621&---&11\times3191&5\times9281&---&41\times2141&151\times811&---\\ 14{^5}&11\times3761&48871&11\times11\times491&---&5\times11\times1741&125591&241\times691&11\times11\times1831\\ \end{matrix} </math>}} Peut-il avoir un déclic pour généraliser les cas <math>n=3,n=4</math> à <math> x^p+y^p \neq z^p </math> ? Ça paraît léger. Avec ça, on postule beaucoup plus large, par exemple <math> x^p+y^p \neq z^r, r>3 </math> . Ce qui est conjecturé encore aujourd'hui. Or Fermat reste "coincé" sur la même puissance. On présume donc qu'il utilise les factorisations dans <math>\Z</math> * <math>x^p+y^p=(x+y)P(x,y)=z^p</math> donne ** <math>(x,y,z)</math> forcés d'avoir des facteurs premiers en <math>1[2p]</math> . ** <math>(x+y, z-x,z-y)=(a^p,b^p,c^p)</math>, soit <math>2z=b^p+c^p-a^p</math> * <math>(x+y)^p-(x^p+y^p)=pxy(x+y)(x^2+xy+y^2)^kQ(x,y)</math> donne qu'on se retrouve à gauche avec une différence de puissance, et donc à droite des facteurs premiers en <math>1[2p]</math> sur <math>Q(x,y)</math>. Mais il n'y a pas de régularité sur les <math>Q(x,y)</math>. Leur expression devient compliquée, voir imprédictible, au fur et à mesure que l'exposant grandit. Donc sans vraiment de généralisation possible à toutes les puissances. Un seul motif est commun, à savoir ce <math>x^2+xy+y^2=\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2</math> , dont tous les facteurs premiers sont congrus à <math>1[6]</math>. Mais ça ne les interdit pas d'être aussi congrus à <math>1[2p]</math><ref>"''Chez les premiers, il a toujours un plus petit que soi pour qui ont est quelqu'1. Sauf 5, 17, 257, 65537''". Pour n'importe quel nombre premier p impair, alors il existe un plus petit premier q tel que <math>p\equiv 1[q]</math>. Les seules qui dérogent à cette règle sont les éventuels premiers de la forme <math>2^{2^n}+1</math>. Ce sont les ''nombres de Fermat''. Les 4 premiers sont premiers. Et à ce jours, il est conjecturé que ce sont les seuls.</ref>. Au final, toutes ces contraintes filtrent énormément les éventuels nombres "candidats" qu'il faudrait tester, devenant alors beaucoup trop grands pour un calcul à la main. Mais aucune impossibilité ou absurdité n'apparaît clairement. Tout cela sera reprise et étudié par les plus grands mathématiciens du 18ème siècle. Mais sans aboutir à une généralisation à toutes les puissances. C'est la factorisation dans <math>\C</math> qui va s'en suivre et initier beaucoup de progrès. Mais toujours sans atteindre une preuve générale. Ce qu'on peut relever, c'est que ces nouvelles mathématiques vont rapidement dépasser les connaissances supposées de Fermat. On peut résolument penser qu'il a existé un chemin plus "simple", autre que la factorisation, qui a éveillé son intuition. === Fermat et les carrés === Par les traductions de livre de ''Diophante''<ref>Voir la belle vidéo de Francis Loret sur You tube "''Francis Loret : Le dernier théorème de Fermat"'' partagé par le CIRM</ref>, Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Lui voit apparaître de la structure avec les nombres premiers. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme <math>a^2+b^2</math>, <math>a^2+2b^2</math>, <math>a^2+3b^2</math>. Ainsi que l'équation <math>x^2-ny^2=1</math> <ref name=":4">Des solutions rationnelles de <math>x^2-ny^2=1</math> sont <math>(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q</math>. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit <math>(x+1)(x-1)=ny^2</math>, on pose <math>y=m(x+1)</math> et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur <math>x</math>. Par contre, dans <math>\N</math>, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit <math>n </math></ref>, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations <math>a_ix+b_i=y^2</math> . En algèbre, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier<ref>https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination</ref>. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, et réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''<ref>https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf</ref>. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques<ref>{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}</ref>! Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math> En effet, pour <math> n=3</math>, on <math>(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2</math> Soit une belle formule pour les cubiques <math>(a^2+d)^3=\left(a(a^2-3d) \right)^2+d\left(d-3a^2\right)^2 </math> Or Fermat a travaillé sur <math>x^3=y^2+2</math> et <math>x^3=y^2+4</math>. Pour <math>d=2 </math>, dans <math>\Z </math> on trouve uniquement <math>a=1 </math> et la solution <math>(3,5)</math> Pour <math>d=4 </math>, là encore <math>a=1 </math>, soit la solution <math>(5,11)</math>. Mais on peut aussi considérer <math>d=1, 1-3a^2=\pm 2 </math> qui donne l'autre solution <math>(2,2)</math>. Surtout Fermat dira avoir réussi à prouver <u>par descente</u> que ce sont les seules. Notons qu'il aurait pu citer à ses correspondants <math>x^3=y^2+1</math>, qui donne <math>a=0 </math> , et la (seule) solution <math>(1,0)</math>. Peut-être était-ce moins spectaculaire. Ou qu'il n'a pas réussi à le montrer par descente<ref>C'est en effet une prouesse si on passe par la factorisation <math>y^2=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</math>. cf [https://math.stackexchange.com/questions/955967/does-an-elementary-solution-exist-to-x21-y3 preuve élémenaire]. Alors que ça prend quelques lignes par <math>x^3=(x+i)(x-i)</math> . Le passage par la formule des carrés est une sorte d'intermédiaire qui donne des solutions (ou pas), mais ne permet pas d'affirmer rigoureusement que ce sont les seules.</ref>. La formule des carré donne également directement la forme servant à la descente pour<math>z^3 \neq x^3+y^3</math> <ref name=":7" />: <math>(u^2+3v^2)^3=\left(u(u^2-9v^2)\right)^2+3\left((v(3v^2-3u^2)\right)^2=\left(u(u-3v)(u+3v)\right)^2+3\left((3v(v-u)(v+u)\right)^2</math> === L'idée de Fermat? === Je ne propose pas ici preuve du Grand théorème, mais plutôt une idée originale que Pierre de Fermat aurait pu avoir en lisant la question du Diophante avec cette formule des carrés dans la tête. Car il faut un déclencheur fort pour générer ce sentiment "admirable", dont on ressent toute la puissance dans le commentaire. Allez, pour cela, retour aux triplets pythagoriciens, puisque c'était la question originelle, à savoir comment partager un carré en 2 carrés, soit <math> z^2=x^2+y^2 </math> . Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>p</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^p=x^p+y^p</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, '''3 et 5 étant exclus.''' On peut réécrire l'expression sous la forme:<math>z'\cdot f^2 -x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2 = w\cdot(a^2+c^2-e^2)</math> Si pour <math>w \neq 0</math> on arrive à annuler le terme gauche, alors on obtient <math>e^2=a^2+c^2</math> . Soit des triplets pythagoriciens absurdes. En effet, Dans la relation <math>e^2=a^2+c^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>eac</math>. L'idée n'est-elle pas séduisante? Maintenant est-il possible d'en faire quelque chose? Si on peut obtenir des équations avec des carrés, Fermat, le spécialiste, en a-t-il fait quelque chose? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne<ref>Si on refait les calculs pour n=5, avec <math>(w+(z-w))^5=(w+(x-w))^5+(w+(y-w))^5</math>, on arrive à l'expression <math>wQ(x,y,z,w)=0</math> avec <math>Q(w) = 256w^4 - 640(x+y-z)w^3 + 560(x^2+y^2-z^2)w^2 - 200(x^3+y^3-z^3)w +25(x^4+y^4-z^4)</math> Mais n'arrive pas à annuler <math>Q(x,y,z,w)</math> pour une valeur de <math>w</math> entière. Et le but n'est pas forcément de tout redévelopper, puisqu'on perd la généralité</ref>? Sinon peut-on construire un système d'équation avec plusieurs valeurs de <math>w</math>? Cher lecteur, si tu as des idées, n'hésite pas à te manifester! === Plausibilité historique === Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>p \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>p</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>p =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers qu'il a prouvés, et ils ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "admirable". - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier qu'il ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. S'il a réussi à aller au bout de l'idée, n'était-ce juste simplement pas si important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans sa correspondance. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825<ref>En appliquant la même technique que pour le cas <math>n=3</math> : <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v^2)^2 \right) </math>. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme <math>X^2-5Y^2</math> , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme <math>X^2+3Y^2</math> dans le cas <math>n=3</math>. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de <math>2u</math>. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.</ref>. Pire, la technique devient quasi inopérante pour les exposants supérieurs<ref name=":5">''Yves Hellegouarch'' dans son livre "''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''", écrit page 38: "''On peut penser que pour les exposants'' ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' <math>X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2</math> . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange] pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.</ref>. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat<ref>Lettre à Frenicle AOUT 164: Mais voici ce que j'admire le plus: c'est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, des-quels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3 5 17 257 65537 4291967297 et le suivant de 20 lettres 18446744073709551617. '''Je n'en ai pas la démonstration exacte''', mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine de me dédire.</ref>. Par exemple, il n'hésite pas à avouer sa peine pour prouver sa (fausse) conjecture sur la primalité des <math>2^{2^n}+1</math> <ref>Lettre à ''Mersenne'' 23 décembre 1640: J''e languissois dans l'attente de vos lettres et de M. de Frenicle. Je suis bien aise qu'il approuve ce j'ai fait; et afin qu'il ne soit plus en lui doute de ce que je lui demande, voici trois questions que je propose, '''pource que les spéculations que j'y ai faites ne me satisfont pas pleinement''''' ''1° La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. à l'infini, sont toujours nombres premiers;'' ''2° Qu'il me donne quelqu'un de ses autres moyens pour trouver à l'infini des nombres premiers de tels nombres de figures qu'on voudra. '''Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie''', qu'en la progression d'un nombre pair, comme 6, toutes les puissances +1 de la progression qui ont pour exposant 1,2, 4, 8, 16, etc. sont nombres premiers, si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci: 5, 17, 267, etc.; laquelle proposition, '''si elle est vraie''', est de très grand usage.'' ''Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car déjà j'ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j'aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle.''</ref>. Or pour le Grand Théorème, jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! === Critique === Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange. Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas <math>n = 3</math> ou <math>n = 4</math>, ou <math>n</math> premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs<ref>Fermat a déjà fait énormément de mathématiques avant de s'attaquer à l'arithmétique. D'ailleurs dans sa première lettre à Mersen en 1936, il dit: "''Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis cinq ou six ans.''" Comme s'il avait dû faire une pause de quelques années. On imagine à cause de son métier très prenant.</ref>, que le problème est impossible dans <math>\Q</math> , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''<u>rationnels</u>'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que <math>x^n+y^n=1</math> n'a pas de solution dans <math>\Q</math>. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans <math>\N</math> ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans <math>\N</math>, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers qu'il a inventé, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas <math>n = 3</math><ref>Lettre à Carcavi 1659: ... J'ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir '''très grande difficulté''', la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d'éprouver. Telles sont les suivantes : '''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''' ...</ref>. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles<ref>En logique mathématique, la [[w:Démonstration_élémentaire#La_conjecture_de_Friedman|conjecture de Friedman]] stipule qu'il existerait effectivement une preuve "élémentaire". Ou plus précisément que la preuve de Wiles n'est pas "élémentaire".</ref>? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme<ref name=":6">D'après sa biographie, Fermat a lu les écrits de François Viète par son ami Jean de Beaugrand. les [[w:Notae_priores#Le_bin%C3%B4me_de_Newton|Notae priores]] évoquent déjà les formules du binôme et les factorisations de <math>x^n-y^n</math> . L'édition est datée à 1631</ref>. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes. Dans le cas n impair, la symétrie des termes nous guide. En utilisant ce regroupement, nous avons remarqué des régularités sur les décompositions en facteurs premiers. Et l'apparition de carrés. Ces propriétés générales n'ont probablement pas pu échapper à Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment ''elhor_abdelali'' et ''jandri'' pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ''ScratchingTheSurface'' , ''Thomas Andrews'' et ''Mastrem'' pour les démonstrations) Merci à ''Yohann C.'' pour son aide et ses relectures Merci à ''C. Goldstein'' d'avoir pris le temps de lire la partie sur Fermat et de m'avoir indiqué des imprécisions historiques. Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à ''Geogebra'' pour le calcul formel Merci à ''Math-gpt.org'' et ''Mistral'' pour les calculs et les références historiques. Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> icyac7qtx39qmif1uoeoadvc4rsr7h8 15 87337 986087 2026-08-30T08:53:16Z ~2026-47286-03 80907 Page créée avec « Je voudrais juste vous faire part d'une erreur dans la fiche théorie générale des nombres complexes racines n ieme d'un nombre complexe. sur la deuxieme feuille vous cherchez les racines carrées de 3-2i. quand vous écrivez les équations qui permettent de les trouver vous mettez racine (a^2+b^2)=racine (13). C'est faux. Il faut écrire: a^2+b^2 = racine (13). Amicalement et merci pour vos bons cours. ~~~~ » 986087 wikitext text/x-wiki Je voudrais juste vous faire part d'une erreur dans la fiche théorie générale des nombres complexes racines n ieme d'un nombre complexe. sur la deuxieme feuille vous cherchez les racines carrées de 3-2i. quand vous écrivez les équations qui permettent de les trouver vous mettez racine (a^2+b^2)=racine (13). C'est faux. Il faut écrire: a^2+b^2 = racine (13). Amicalement et merci pour vos bons cours. [[Spécial:Contributions/&#126;2026-47286-03|&#126;2026-47286-03]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-47286-03|discussion]]) 30 août 2026 à 08:53 (UTC) rxanblweok9rrqr67kiwi9csy1f3ctv